Analiză matematică (funcții complexe) [PDF]

Zitiervorschau

MINISTERUL

Conf, dr. P. HAMBURG

EDUCAŢIEI

Ş|

INVĂTAMINTULUI.

Prof. dr. P. MOCANU

Prof. dr. N. NEGOESCU

MATEMATICA FUNCTii COMPLEXE )

EDITURA DIDACTICĂ Şl PEDAGOGICA BUCUREŞTI - 1982

Manualul a fost analizat şi aprobat de colectivul catedrei de analiză, algebră şi geometrie şi de conducerea Facultăţii de matematică ale Universităţii „Babeş-Bolyai" din Cluj-Napoca.

Referent ştiinţific : Prof. dr. M. REGHiS

Redactor: Prof. VALENTIN RADU Tehnoredactor : PARASCHIVA GAŞPAR Grafician : ANCA PtSLARU

23

Prefaţă în această lucrare se tratează capitolele de funcţii complexe prevăzute în programa analitică a cursului de analiză matematică ce se predă studenţilor din anul doi de la facultăţile de matematică, respectiv secţiile de matematică şi informatică ale facultăţilor de ştiinţele naturii din învăţămîntul universitar. Manualul este de asemenea util tuturor studenţilor de la facultăţile sau secţiile din învăţămîntul superior, care au prevăzute în programele analitice de matematică unele capitole de funcţii complexe. în cele şapte capitole ale manualului sînt prezen­ tate sub o formă accesibilă şi în acelaşi timp riguroasă noţiunile, metodele şi rezultatele fundamentale ale teoriei funcţiilor complexe, precum şi miele aplicaţii ale acestei teorii în diferite domenii ale ştiinţei şi tehnicii. Autorii s-au străduit să selecteze şi să sintetizeze într-un spaţiu restrîns elementele de bază ale uneia dintre cele mai dezvoltate discipline matematice, la care şcoala românească de matematică a adus importante contribuţii. Redactarea capitolelor şi paragrafelor a fost făcută de către autorii acestui m%nu%l după cum urmează : Gap. I, Gap. II, § 5 {Gap. III) şi § 2 {Gap. V) N. Xegosscu {Univ. „Al. I. Guza" Iaşi); §§ 1 — 4 {Gap. III), §§ 1,3 {Gap. V) şi Gap. VII - P. H a m burg (Univ. Graiova); Gap. IV şi Gap. VI — P. Mo­ canii {Univ. „Babeş-Bolyai" Gluj-Napoca).

CUPRINS CAPITOLUL I. iVuniere complexe § § § § § §

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Corpul numerelor complexe . Forma algebrică a numerelor complexe Operaţia de conjugare. Modulul unui număr complex . . . . . Argumentul unui număr complex Planul complex Planul complex extins şi reprezentarea lui sferică

7 8 9 10 13 16

CAPITOLUL II. Funcţii olomorfe § 1. Noţiunea de funcţie complexă § 2. Limite şi continuitate § 3. Drumuri în C § 4. Funcţii complexe derivabile de o variabilă reală § 5. Derivata unei funcţii complexe de o variabilă complexă . . . . § 6. Funcţii olomorfe § 7. Exemple de funcţii olomorfe pe C (funcţii întregi) § 8. Funcţii omografiee § 9. Funcţii raţionale § 10. Aplicaţii multivoce § 11. Interpretarea geometrică a derivatei

20 21 21 25 26 30 33 35 38 39 40

CAPITOLLL III. Integrarea funcţiilor complexe § § § § §

1. 2. 3. 4. 5.

Integrala complexă Teorema lui Cauchy Formulele lui Cauchy Formulele lui Schwarz şi Poisson Integrarea formelor diferenţiale de gradul lntîi

46 56 64 74 78

CAPITOLUL IV. Şiruri şi serii de funcţii olomorfe § § § § § §

1. 2. 3. 4.

Şiruri de funcţii olomorfe Serii de puteri Analiticitatea funcţiilor olomorfe Zerourile unei funcţii olomorfe. Teorema olomorfe 5. Teorema maximului modulului 6. Serii Laurent

89 91 95 identităţii funcţiilor 100 102 105

5

§ §

7. Puncte singulare 8. Funcţii meromorfe

189 115

CAPITOLUL V. Teorema reziduurilor § 1. Teorema reziduurilor § 2. Calculul unor integrale definite cu ajutorul reziduurilor § 3. Studiul funcţiilor meromorfe cu ajutorul reziduurilor

. . . .

117 121 134

CAPITOLUL VI. Reprezentarea conformă § § § §

1. 2. 3. 4.

Mulţimi de funcţii olomorfe Funcţii univalente Problema reprezentării conforme Reprezentarea conformă a domeniilor simplu conexe. Teorema lui Riemann

139 143 146 148

CAPITOLUL VII. Prelungirea analitică § 1. Prelungirea analilică § 2. Suprafeţe riemanniene

153 160

IXDEX

164

BIBLIOGRAFIE

167

CAPITOLUL

I

NUMERE COMPLEXE î n acest capitol se reaminteşte construcţia numerelor complexe ca perechi ordonate de numere reale. Cum din punctul de vedere al analizei matematice planul este mulţimea perechilor ordonate de numere reale, numerele complexe se identifică cu punctele P ale unui plan euclidian (cu metrica d : R x R - > R + definită prin ă(P1,P2) = Y(xz—x1)~ + {y2—yir, unde P1 şi P 2 au coordonatele (x±, y±) şi (o:2, y2) respectiv), numit planul reprezentativ ăl numerelor complexe sau planul complex. Această inter­ pretare geometrică a numerelor complexe ajută ia formarea de modele intuitive şi dă sugestii pentru demonstrarea unor teoreme. în ultima parte a capitolului, se compactifică corpul C al numerelor complexe cu un număr şi se arată că planul complex extins este omeomorf cu sfera unitate şi se dă interpretarea geometrică a acestui omeomorfism. Menţio­ năm că în acest capitol introductiv se amintesc şi se comentează rezultate cunoscute din cursurile de algebră şi analiză. Se insistă, în special asupra definiţiei argumentului unui număr complex, fără a folosi intuiţia geome­ trică şi asupra comp act ificării planului complex. Pentru elementele de topologia planului complex se folosesc sisteme fundamentale de vecină­ tăţi formate din discuri centrate în puncte. Notăm cu N, Z, Q, R respectiv mulţimea numerelor naturale, inelul întregilor, corpul numerelor raţionale şi corpul numerelor reale. Convenim să notăm cu N*, Z*, Q*, R* aceleaşi mulţimi de numere care nu includ pe 0 şi cu Q + , R + mulţimea numerelor raţionale pozitive (0 inclus) respectiv mulţimea numerelor reale pozitive (0 inclus). Pentru operaţii cu mulţimi vom folosi notaţiile uzuale A u B, A d B, A\B, A x B pentru reuniune, intersecţie, diferenţă, produs cartezian al mulţimilor A şi B. A x A se va nota cu A2. Menţionăm că în acest capitol se urmăreşte, de asemenea, de a se stabili unele notaţii unitare ce vor fi folosite în întregul manual. § 1. CORPUL NUMERELOR COMPLEXE

1.1. Definiţie. Fie R2 produsul cartezian al perechilor ordonate (x, y) de numere reale. Definim pe mulţimea R 2 operaţiile de adunare şi 7

înmulţire prin Ou Ui) + O2,2/2) = Oi + %2, yx + y^, O l , 2/l) 0 2 ) 2/2) = («1 «2 — #1^2) ^ 2 + *2^l)-

Prin definiţie, mulţimea numerelor complexe C este mulţimea R2 dotată cu aceste operaţii de adunare şi înmulţire. Prin urmare, prin C înţelegem tripletul (R2, + , .). 1.2. Propoziţie. C este corp comutativ. în adevăr, din proprietăţile operaţiilor de adunare şi înmulţire pentru numere reale rezultă imediat că operaţiile introduse în C sînt comutative, asociative, înmulţirea este distributivă faţă de adunare şi (0,0) şi (1,0) sînt elemente neutre pentru adunare şi respectiv înmulţire, (—as, —y) este opusul lui (x, y) pentru că (x, y) + {—x, -—3/) = (0,0). Opusul elementului 2 = 0 , y) se notează CU

——#.

De asemenea, orice element z e C\{(0, 0)} = 0* are invers, pentru că ecuaţia {x, y) (xx, yx) = (1, 0) cu (x, y) # (0, 0) este echivalentă cu sistemul compatibil în xx şi yx: xxx — yyx = 1, yxx + xyx — 0. Deci, inversul lui z — (x, y) e C* este (xx, yx) = (xj(x2 + y2), — yj(x2 + y2)) e C*. Inversul elementului z se notează cu — .

•

Evident, în C şi C* se pot defini operaţii inverse celor introduse în (1.1). care se numesc respectiv scădere şi împărţire. Corpul comutativ C=(R 2 . +,.) se numeşte corpul numerelor complexe şi elementele lui se numesc numere complexe.

§2. FORMA ALGEBRICĂ A NUMERELOR COMPLEXE 1.3. Propoziţie. Mulţimea Rx{0} = {(a;, 0); i e R J c C dotata cu, operaţiile din C este un subcorp al lui C iar aplicaţia 9 : R -» Rx{0}, unde '(62) = i('(9i) + iw'(8i) + y, unde 8X, 62 e ] - , TC + e[ şi lim y = 0. Deci e'(7t) = lim e '(8 1 ) = —i. Analog, e'(—n) = — i. Prin urmare (1.18) e valabilă şi în 9 = $3~ deci şi pentru orice 0GR.Q 1.20. Propoziţie. Funcţia f= a.e unde » e C satisface ecuaţia dife­ renţială f = i/. Reciproc dacă f : R -> C şi f' = if, atunci /(8) = /(0)-e(8). în particular f(0) = 1 implică f= e. Funcţia e admite următoarea teoremă de adunare : e ( i x + 92) = e(01)-e(82).

/V

Prima parte este evidentă. Dacă / ' = i/, atunci ( — I

e-i/-/-ie

e0. Deci pentru orice 9 e R avem f(0)/e(6) = f(0)/e(0) = f(0). Formula de adunare rezultă de aici punînd f( 6) = e( 91 4- 9) : avînd f = if si f(0) = = e( 9,) rezultă că e( Qx + Q) = e( 9,) • e( 9). Q 1.21. Definiţie. Numim cosinus respectiv sinus, pe care le notam cu eos şi sin partea reală respectiv imaginară a funcţiei e, adică pentru orice I e R avem e(9) = cos 9 -j- i sin 9. Separînd părţile reale şi imaginare în formula (1.18) obţinem formulele de derivare (cos 9')= —sin 8, (sin 9)' = = cos 9. 1.22. Propoziţie. Aplicaţia 9 i-> cos 8 -f- i sin 9 este un omomorfism al grupului aditiv R pe grupul multiplicativ al numerelor complexe £ cu |£j = 2, nucleul acestui omomorfism (subgrupul numerelor 9 astfel ca «os 9 4- i sin 0 = 2) este mulţimea tuturor multiplilor întregi ai lui 2 II

Prima parte rezultă din propoziţia precedentă e (6X + 03) = e( 01)e( 02). Ecuaţia e( 0) = 1 este satisfăcută pentru 0 = 2kn, unde h e Z ceea oe rezultă din observaţia că sin 0 > 0 pentru 8

]

7t

3TC C

cos 0 < 0 pentru

3TC

2 ir . Prin urmare e (0) ^ 1 2 ' pentru 0 e] 0,2TC[ şi din cauza periodicităţii 0 = 21c n cu h e Z sînt singu­ rele numere care satisfac ecuaţia cos 0 + i sin 0 — 1. 1.23. e(01) = e(02) ) cu |C| = i , atunci ecuaţia e ( 0 ) = £ are o soluţie unică în ] —TC,TC].în cazul t > 0,

e —,

.

şi gin 0 < o pentru 0

Vi

r yje[—l, 1] argumentul 8 al lui £ este dat de 8 = 2 \

di

- . Pentru

o

c < 0, 7) e [—1, 1] ecuaţia e(0) = 5 are soluţia 0 +TC.In baza propoziţiei (1.22), putem da următoarea definiţie generală a argumentului. 1.24. Definiţie. Pentru orice număr complex z ^ 0 orice soluţie 8 a ecuaţiei cos 0 + i sin Q = z/\z\ se numeşte argument al numărului com­ plex z. Din definiţie rezultă că pentru z = 0 nu corespunde nici un argument şi că oricărui număr complex z£ C*îi corespund o infinitate de argumente. Mulţimea argumentelor lui z s C* se notează cu Arg z şi se numeşte clasa argumentelor lui z. Argumentul trebuie înţeles ea o aplicaţie multivocă de la C* în P(R), adicăjArg : C*^ P(R), unde Ârg (C*) este o mulţime i c P ( R ) cu fiecare element de forma {8 + 2A;TC : it £ Z}, 8 fixat din ]—TC,TC]. 1.25. Definiţie. Funcţia arg : C*->- ] —TC,TC]care are ca valoare soluţie unică 6 s ] —-,TC]a ecuaţiei e(0) = zj\z\ se numeşte argumentul principal al lui z şi se notează cu arg z (notat cu a) Aplicaţia multivocă Arg (notată cu A, notaţie preluată de la aplicaţii multivoce şi care va fi folosită şi în continuare în analiza complexă) se defineşte prin relaţia Arg Z = {arg z -f 2Â;TC ; Tc e Z}, ceea ce se scrie 1.26.

Arg z = arg z{moă 2TC).

1.27. Observaţie. Din formula (1.23) şi prin verificări simple obţinem Arg (01-02) = Arg zy + Arg z.2, Arg {zl!z2) = Arg zx — Arg z2, arg z = Q •*> 0 şi Im z = 0, arg z = - -**• Re z < 0 şi Im z = 0. 1.28. Observaţie. Ecuaţia din definiţia (1.24) ne permite să dăm o reprezentare trigonometrică a oricărui număr complex z din C* prin formula 1.29.

z = | z | (cos 0 + i sin 8), unde 0 e Arg z 1.30. Aplicaţie. Ecuaţia binomă zn = a (unde a # 0 este dat) este

echivalentă cu | z | = | a \1,n şi Arg z — — Arg a = — (arg a + 2&TC) ceea ce dă n soluţii complexe zk—\ a\1/n j cos — (arga+2ftn:)-^i sin —(arga+2fc7t) j , ^_ \ n n ) fee 0,»—1. Această aplicaţie pune în evidenţă că, în (1.29), trebuie să punem 6 e Arg » şi nu 8 = arg. z. 12

1.31. Aplicaţie. Din ultima formulă din (1.20), obţinem formulele cos(e i - r 8 2 ) = cos B1 cos 62—sinOi sin 03, s i n ^ - f 02) = sinOjCosaa+cosOiSinOa. 1.32. Observaţie. Din formulele (1.29) şi (1.27) pentru zx # 0, z2 ^ 0, rezultă .vi.-, o

^i

[008(0! + 02) + i s i n ^ + 82)], unde Q1e Arg 2^,

82 £ Arg .?„ şi 0" = 12|" (cos n8 + i sin n%), pentru zi- 0, 0 e Arg » şi «, e JT. Ca un caz particular al acestei ultime relaţii obţinem formula lui Moivre: 1.34.

(cos0 + i sin 8)" = cos n0 4- i sin «0. 6 5. PLANUL COMPLEX

1.35. Definiţii. Conform definiţiei (1.1) avem C = (R 2 ; + , .) şi prin urmare, orice număr complex z = (se, y)= x + \y este un element din R2, adică este un punct al spaţiului aritmetic real bidimensional. Avind în vedere că R2 se identifică cu spaţiul euclidian bidimensional (planul euclidian), întregul limbaj geometric relativ la R2 se transferă în mod natural asupra corpului C. Putem vorbi deci despre planul C, despre punctul z e C şi despre o mulţime de puncte (o figură geometrică) A c C. Astfel, mulţimea părţilor reale x = Re z ale tuturor numerelor complexe se numeşte axa reală, mulţimea părţilor imaginare se numeşte axa imaginară. Mulţimile de puncte z pentru care Re z < 0, Re s > 0, Im z < 0, l m s > 0 se numesc respectiv semiplanul stîng, drept, inferior, superior al planului complex. Se mai introduc semiaxele reale, negative şi pozitive şi semiaxele imagi­ nare, negative şi pozitive. O dreaptă ave ecuaţia « = «-(- bt cu a e C, J e C * fixe şi t parcurgînd R (trece prin a şi este paralelă cu Ob). Ecuaţia dreptei se scrie şi în forma Im (z — a)lb = 0. Mulţimea {2 e C : Im (z — a)jb > 0} se numeşte, prin convenţie, semiplanul stîng, şi mulţimea {z £ C ; Im (z — a)jb