Analiza Calcul Integral Gavriil Paltineanu [PDF]

Zitiervorschau

5

Cap.1 – PRIMITIVE

CAPITOLUL 1 PRIMITIVE 1.1 METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora. Definiţia 1.1.1 Fie f : I → , unde I ⊂ este un interval. Funcţia F : I → se numeşte primitivă a funcţiei f pe intervalul I, dacă F este derivabilă pe I şi F ′( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ I. Observaţia 1.1.1 Dacă F este o primitivă a lui f pe I, atunci oricare ar fi constanta reală C, funcţia G : I → definită prin G ( x) = F ( x) + C , ∀ x ∈ I, este de asemenea o primitivă a lui f pe I. Mai mult, orice altă primitivă a lui f pe I este de această formă. Într-adevăr, dacă G = F + C, atunci G ′ = F ′ = f , deci G este o primitivă a lui f pe I. Reciproc, fie G o altă primitivă a lui f pe I şi fie H = G – F. Pentru orice x ∈ I avem H ′( x ) = G ′( x ) − F ′( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 . Fie acum a ∈ I un punct interior fixat. Din Teorema lui Lagrange rezultă că pentru orice x ∈ I, există ξ în intervalul deschis de capete a şi x astfel încât: H ( x) − H ( a) = H ′ (ξ ) ( x − a ) = 0 . Dacă notăm cu C = H(a), atunci G(x) – F(x) = C, ∀ x ∈ I, deci G = F + C pe I. Definiţia 1.1.2 Fie f : I → şi F : I → o primitivă a sa. Mulţimea tuturor primitivelor funcţiei f pe I se notează cu ∫ f dx sau ∫ f ( x ) dx şi se numeşte integrala nedefinită a funcţiei f. Din Observaţia 1.1.1 rezultă că ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , ∀ x ∈ I, unde cu C am notat mulţimea tuturor funcţiilor constante pe I. Observaţia 1.1.2 În capitolul următor se va arăta că orice funcţie continuă pe un interval admite primitive pe acest interval. În continuare reamintim tabloul primitivelor funcţiilor elementare uzuale.

6

x α+1 + C , x ∈ , α ≠ –1 α +1 1 1 ∫ x dx = ln x + C , x ∈ (0, ∞), ∫ x dx = ln ( − x ) + C , x ∈ (–∞,0) ax x , x ∈ , a > 0, a ≠ 1, ∫ e x dx = e x + C , x ∈ a x = d ∫ ln a ∫ sin x dx = − cos x + C , x ∈ α ∫ x dx =

∫ cos x dx = sin x + C , 1

∫ cos2 x dx = tg x + C

x∈

1

∫ sin 2 x dx = − ctg x + C , 1

∫ 1 + x2 dx = arctg x + C ∫

1 1 − x2

\ {( 2k + 1) π 2; k ∈

, x∈

\ {k π ; k ∈

x∈

}

}

,x∈

dx = arcsin x + C , x ∈ (–1,1)

∫ sh x dx = ch x + C , x ∈ ∫ ch x dx = sh x + C , x ∈

∫ ∫

dx 2

x +a

2

dx x2 − a2

( ) ⎧ln x + x + a + C , x ∈ ( a, ∞ ) ) ⎪ ( , =⎨ ⎪ln ( − x − x − a )+ C , x ∈ ( −∞, −a ) ⎩ = ln x + x 2 + a 2 + C , x ∈ 2

2

2

2

Propoziţia 1.1.1 Fie f, g : I → şi fie α, β ∈ primitive pe I, atunci αf + βg admite primitive pe I şi ∫ (α f + β g ) ( x)dx = α ∫ f (x) dx + β ∫ g (x) dx .

a > 0.

oarecare. Dacă f şi g au

Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din proprietatea de linearitate a operaţiei de derivare: (α F + β G )′ = α F ′ + β G′ . Propoziţia 1.1.2 Fie F : J → o primitivă a funcţiei f : J → u : I → J o funcţie derivabilă pe I. Atunci

şi fie

7

Cap.1 – PRIMITIVE

∫ f [u( x)] u′(x)dx = F [u(x)] + C

, ∀ x ∈ I.

Demonstraţia rezultă imediat din regula de derivare a funcţiilor compuse: ( F [u(x)])′ = F ′[u(x)] ⋅ u′(x) = f [u(x)] ⋅ u′(x) , x ∈ I. Observaţia 1.1.3 Din Propoziţia 1.1.2 rezultă că pentru calculul primitivei funcţiei ( f o u ) u′ se poate proceda astfel:

Facem schimbarea de variabilă t = u( x) , x ∈ I. Funcţia u este diferenţiabilă pe I şi avem dt = du( x) = u′( x)dx . În continuare rezultă: ∫ f [u( x)] ⋅ u′( x)dx = ∫ f (t)dt = F (t) + C = F [u( x)] + C , x ∈ I. Precizăm că egalitatea

∫ f [u( x)] u′( x)dx = ∫ f (t)dt

este o egalitate formală.

Într-adevăr, funcţia din membrul stâng este definită pe J iar funcţia din membrul drept pe I, deci cele două funcţii nu sunt egale în sensul egalităţii funcţiilor. Exemplul 1.1.1 Să se calculeze

dx

∫ x2 + a2 .

x , atunci dx = adt şi vom avea: a x dx 1 dx 1 ad t 1 1 ∫ x 2 + a 2 = a 2 ∫ ⎛ x ⎞2 = a 2 ∫ t 2 + 1 = a arctg t = a arctg a + C , x ∈ . ⎜ a ⎟ +1 ⎝ ⎠ În mod analog se arată că dx x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C , x ∈ ( −a, a ) , a > 0. Dacă notăm t =

Propoziţia 1.1.3 Fie u : I → J o funcţie bijectivă de clasă C1 cu u'(x) ≠ 0, ∀ x ∈ I şi f : J → o funcţie continuă. Dacă G : J → este o primitivă a funcţiei ′ f ⋅ (u −1 ) : J → atunci ∫ f [u( x)] dx = G [u( x)] + C , ∀ x ∈ I.

Demonstraţie.

( )′ [u(x)]u′(x) = 1 ,

Deoarece u −1 [u( x)] = x , ∀ x ∈ I, rezultă u −1

∀ x ∈ I.

Aşadar avem:

∫ f [u( x)] dx = ∫ f [u( x)] ⋅ (u

−1

)′ [u(x)] ⋅ u′(x)dx = ∫ ⎡⎣⎢ f ⋅ (u )′ ⎤⎦⎥ [u(x)] ⋅ u′(x)dx . −1

8

( )

′ Cum G este o primitivă a funcţiei f ⋅ u −1 , din Propoziţia 1.1.2 rezultă că

∫ ⎡⎣ f ⋅ (u −1 )′ ⎤⎦ [u(x)] ⋅ u′(x)dx = G [u(x)] +C ∫

.

Observaţia 1.1.4 Din Propoziţia 1.1.3 rezultă că pentru calculul primitivei f [u( x)] dx , facem schimbarea de variabilă t = u(x) şi acceptăm următorul calcul

′ formal: x = u −1(t ) , dx = (u −1 ) (t )dt , = G [u( x)] +C .

∫ f [u(x)] dx = ∫ f (t) ⋅ (u

−1

)′ (t)dt = G(t) + C =

Exemplul 1.1.2 Să se calculeze ∫ tg 4 x dx , x ∈ ( −π 2, −π 2) .

Notăm t = tgx, x = arctg t, dx = 4 ∫ tg x dx = ∫

1 1+ t 2

dt .

t4

1 ⎞ t3 ⎛ 2 d 1 d t t t = − + = − t + arctg t + C = ⎟ ∫ ⎜⎝ 3 1+ t 2 1+ t2 ⎠

tg 3 x − tg x + x + C . 3 Următorul rezultat este cunoscut sub numele de metoda de integrare prin =

părţi. Propoziţia 1.1.3 Dacă f şi g sunt de clasă C1 pe I, atunci ∫ f ( x) g′( x) dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′(x) g ( x)dx .

Demonstraţie. Conform regulii de derivare a produsului a două funcţii, avem: ( fg )′ = f ′g + fg′ .

∫

Ţinând seama de Propoziţia 1.1.1 rezultă f ( x) g ′( x) dx = ∫ ( f ( x) g ( x) )′ dx − ∫ f ′( x) g ( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ′( x) g ( x)dx . Exemplul 1.1.3 Să se calculeze

∫

a 2 − x 2 dx = ∫

a2 − x2 a2 − x2

∫

a 2 − x 2 dx .

dx = a 2 arcsin

Dacă notăm cu f ( x) = x şi g ′( x) =

x 2

a − x2

x x −∫x dx . a a2 − x2 , atunci

9

Cap.1 – PRIMITIVE

f ′( x ) = 1 , g ( x) = − a 2 − x 2 şi

2∫

∫x

x

dx = − x a 2 − x 2 + ∫ a 2 − x 2 dx .

a2 − x2 x Aşadar ∫ a 2 − x 2 dx = a 2 arcsin + x a 2 − x 2 − ∫ a 2 − x 2 dx , de rezultă că a x a 2 − x 2 dx = x a 2 − x 2 + a 2 arcsin + C , deci a x a2 x 2 2 2 2 a − x d x = a − x + arcsin + C . ∫ 2 2 a În mod asemănător se arată că x 2 a2 2 2 2 a + x d x = a + x + ln x + x 2 + a 2 + C , x ∈ . ∫ 2 2

(

)

1.2. PRIMITIVELE FUNCŢIILOR RAŢIONALE Prin funcţie raţională se înţelege un raport de două polinoame (funcţii P( x) polinomiale), adică o funcţie de forma: R ( x) = , x ∈ I unde P şi Q sunt Q( x) polinoame şi Q( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ I. Dacă gradul lui P este mai mare sau egal cu gradul lui Q, efectuăm împărţirea şi obţinem: P ( x) P ( x) = C ( x) + 1 , unde C este un polinom şi grad P1 < grad Q . Q( x) Q( x) P De la cursul de algebră se ştie că raportul 1 admite următoarea descomQ punere (unică) în fracţii simple: ⎛ ⎞ A jk j Aj 2 P1( x) l ⎜ A j1 ⎟+ K =∑ + + + 2 k ⎜ ⎟ j Q( x) j =1 ⎜ x − a j ⎟ x − aj x − aj ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ n Bj mj x + C j mj ⎥ B j2 x + C j2 ⎢ B j1 x + C j1 . + ∑⎢ 2 + +K+ 2 mj ⎥ 2 2 j =1 ⎢ x + b j x + c j x + bj x + c j x + bj x + c j ⎥⎦ ⎣

(

)

(

(

)

)

(

)

unde A j i , a j , B j i , C j i , b j , c j sunt numere reale, b 2j − 4c j < 0 , j = 1, n şi Q(x) = = ( x − a1 ) 1 K( x − al ) k

kl

(x

2

+ b1 x + c1

)

m1

(

K x 2 + bn x + cn

)

mn

(Descompunerea

în

factori ireductibili a polinomului Q). Aşadar, pentru a calcula primitiva unei funcţii raţionale este suficient să ştim să calculăm primitive de forma

10

1

∫ ( x − a ) k dx ,

∫

respectiv

Bx + C

(

2

x + bx + c

)

∗

dx , b 2 − 4c < 0 , k ∈

k

.

Calculul primului tip de primitivă este imediat. Într-adevăr, pentru k ≠ 1 avem

dx

∫ ( x − a )k = ∫ ( x − a )

−k

− k +1 x − a) ( +C dx =

, iar

−k + 1

dx

∫ x − a = ln x − a + C .

Pentru al doilea tip de primitivă procedăm astfel: Bx + C Bx + C dx = ∫ dx . ∫ 2 k k 2 ⎡⎛ x + bx + c b⎞ 4c − b 2 ⎤ ⎢⎜ x + ⎟ + ⎥ 2⎠ 4 ⎦⎥ ⎣⎢⎝

(

)

b 4c − b 2 şi a 2 = obţinem: 2 4 B 2t Bb ⎞ dt ⎛ dx = ∫ dt + ⎜C − ⎟∫ k 2 t 2 + a2 2 ⎠ t 2 + a2 ⎝

Folosind notaţiile t = x +

∫

Bx + C

(

x 2 + bx + c

)

k

(

)

(

)

k

.

Evident avem: 1 ⎧ , pentru k ≠ 1 ⎪ k −1 2t ⎪ 2 (1 − k ) t 2 + a 2 ∫ 2 2 k dt = ⎨ ⎪ t +a ln t 2 + a 2 , pentru k = 1 . ⎪⎩ Pentru cealaltă primitivă stabilim, în cazul k > 1, o relaţie de recurenţă: ⎞ dt 1 a2 + t 2 − t 2 1 ⎛ t2 = = − Ik = ∫ d t I dt ⎟ . ⎜ k − 1 ∫ ∫ k k k 2 2 a a ⎜ ⎟ t 2 + a2 t 2 + a2 t 2 + a2 ⎝ ⎠ t Dacă notăm cu f (t ) = t şi g ′(t ) = , atunci f ′(t ) = t şi 2 2 k t +a

(

( (

)

(

)

(

) )

)

(

(

g (t ) =

∫

t

(t

2

1 2t ∫ 2 t 2 + a2

(

2

+a

)

2 k

dt = −

)

k

)

dt = −

1 1 ⋅ 2 ( k − 1) t 2 + a 2

(

t

(

2 ( k − 1) t 2 + a

În continuare avem: 1 ⎛ t I k = 2 ⎜ I k −1 + a ⎜ 2 ( k − 1) t 2 + a 2 ⎝

(

)

)

)

2 k −1

k −1

−

+

)

k −1

şi

1 I k −1 . 2 ( k − 1)

1 ⎞ I k −1 ⎟ sau 2 ( k − 1) ⎟ ⎠

11

Cap.1 – PRIMITIVE

1 ⎛ t 2k − 3 ⎞ I k −1 ⎟ + 2⎜ k − 1 2 ( k − 1) a ⎜ 2 ( k − 1) t 2 + a 2 ⎟ ⎝ ⎠ dt 1 t În cazul k = 1 avem I1 = ∫ 2 2 = arctg + C . a a t +a Ik =

(

(1)

)

Exemplul 1.2.1 Să se calculeze primitiva funcţiei: x7 − 2 x6 + 4 x5 − 5 x 4 + 4 x3 − 5 x 2 − x f ( x) = 6 . x − 2 x5 + 3 x 4 − 4 x3 + 3 x 2 − 2 x + 1 Este uşor de observat că polinomul de la numitor are rădăcina dublă x = 1 şi

admite descompunerea x 6 − 2 x5 + 3x 4 − 4 x3 + 3x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1)

2

( x + 1) . 2

2

Din teorema împărţirii rezultă: x 5 − x 4 + x3 − 3 x 2 − 2 x f ( x) = x + , deci 2 2 2 − + x 1 x 1 ( )

(

∫

f ( x)dx =

)

x2 x5 − x 4 + x3 − 3 x 2 − 2 x dx . +∫ 2 2 2 x − 1 x2 + 1

(

)

(

)

Funcţia de sub semnul integrală o descompunem în fracţii simple astfel: x5 − x 4 + x 3 − 3 x 2 − 2 x A B Cx + D Ex + F = + + 2 + . 2 2 2 2 x − 1 ( x − 1) x +1 x − 1 x2 + 1 x2 + 1

(

)

(

(

)

)

Dacă amplificăm ambii membri ai acestei egalităţi cu ( x − 1) şi apoi dăm 2

lui x valoarea 1, rezultă B = –1. În continuare, trecem în membrul stâng termenul −1 , aducem la acelaşi numitor şi simplificăm cu x – 1. Rezultă: ( x − 1)2

x 4 + x3 − 2 x 2 + x − 1

( x − 1) ( x 2 + 1)

2

=

A Cx + D Ex + F + 2 + . 2 x −1 x +1 x2 + 1

(

)

Amplificând ultima egalitate cu x – 1 şi dând apoi lui x valoarea 1 obţinem 1 A = 1. Trecem în membrul stâng termenul , aducem la acelaşi numitor şi x −1 simplificăm cu x – 1. Rezultă: Ex + F x 2 + x + 2 Cx + D + = 2 sau 2 2 2 2 x + 1 x +1 x +1

(

)

(

)

x 2 + x + 2 = Cx3 + Dx 2 + ( C + E ) x + D + F .

12

Se obţine astfel sistemul: C = 0, D = 1, C + E = 1, D + F = 2, care admite soluţia: C = 0, D = 1, E = 1, F = 1. Aşadar, avem: 5 x +1 x − x 4 + x3 − 3 x 2 − 2 x dx dx 1 dx = ∫ dx + ∫ dx = −∫ +∫ 2 ∫ 2 2 2 2 1 x − 2 2 1 x + 1 x − ( ) x +1 x −1 x +1

(

)

(

(

)

= ln x − 1 +

1 1 2x dx + arctg x + ∫ dx + ∫ 2 x −1 2 x2 + 1 x2 + 1

= ln x − 1 +

Din (1) rezultă: dx I2 = ∫ x2 + 1

(

)

2

)

(

)

(

)

2

=

1 1 + arctg x − + I2 . 2 x −1 2 x +1

(

=

(

x 2

)

2 x +1

+

)

1 dx 1 x = + arctg x . ∫ 2 2 2 x +1 2 x +1 2

(

)

În final avem:

∫

f ( x)dx =

x2 1 x −1 3 + ln x − 1 + + + arctg x + C . 2 2 x −1 2 x +1 2

(

)

1.3 PRIMITIVE DE FORMA: ∫ R (cos x, sin x ) dx Fie R ( u , v ) = n

m

P ( u, v )

Q ( u, v )

o funcţie raţională de două variabile, unde P ( u, v ) = m

l

= ∑ ∑ ai j u i v j şi Q ( u , v ) = ∑ ∑ bi j u i v j sunt două polinoame de două variabile. i =0 j =0

k =0 j =0

Presupunem că I ⊂ (–π, π) este un interval şi Q ( sin x, cos x ) ≠ 0 , ∀ x ∈ I. Pentru calculul primitivei de forma

∫ R ( sin x, cos x ) dx

facem schimbarea de

2 x dt . , x ∈ I. Inversând funcţia, obţinem x = 2arctg t şi dx = 2 1+ t2 Pe de altă parte avem: x x 1 − tg 2 2 tg 2 şi sin x = 2 . cos x = 2 x 2 x 1 + tg 1 + tg 2 2

variabilă: t = tg

13

Cap.1 – PRIMITIVE

În urma acestei schimbări de variabilă rezultă: ⎛ 1 − t 2 2t ⎞ 2 cos , sin d R x x x = R ( ) ∫ ∫ ⎜⎜ 1 + t 2 , 1 + t 2 ⎟⎟ ⋅ 1 + t 2 d t = ∫ R1(t ) d t , ⎝ ⎠ unde R1 este o funcţie raţională în t. Observaţia 1.3.1 Intervalul I se poate înlocui cu orice alt interval J pe care x funcţia x → tg este strict monotonă şi Q ( sin x, cos x ) ≠ 0 , ∀ x ∈ J. 2 Exemplul 1.3.1 Să se calculeze

dx

∫ 3 + sin x ,

x ∈ (−π, π) .

x şi obţinem: 2 2d t 2 dt 1 2 dx = ∫ = dt = ∫ 2 ⋅ ∫ 3 + sin x = ∫ 2 2 2t 1 + t 3 + + 3 t 2 t 3 1 8 ⎛ ⎞ 3+ ⎜t + ⎟ + 1+ t2 ⎝ 3⎠ 9 1 x t+ 3tg + 1 2 3 1 3= 2 arctg arctg = ⋅ +C . 3 2 2 2 2 2 2 2 3 În continuare, prezentăm trei cazuri particulare, în care se pot face alte schimbări de variabile, ce conduc la calculul unor primitive de funcţii raţionale mai x simple decât cele obţinute în urma schimbării de variabilă tg = t. 2 1. R ( cos x, sin x ) = R1 cos 2 x, sin 2 x sau R2 ( tg x ) , unde R1 (respectiv R2)

Facem schimbarea de variabilă t = tg

(

)

sunt funcţii raţionale. ⎛ π π⎞ Presupunem în plus că I ⊂ ⎜ − , ⎟ şi Q ( cos x, sin x ) ≠ 0 , ∀ x ∈ I. În ⎝ 2 2⎠ acest caz, se face schimbarea de variabilă t = tg x. 1 Inversând funcţia, obţinem x = arctg t şi dx = d t. 1+ t2 De la trigonometrie se ştie că: 1 tg 2 x 2 şi . cos 2 x = x = sin 1 + tg 2 x 1 + tg 2 x Aşadar, în urma acestei schimbări de variabile obţinem:

14

⎛ 1 t2 ⎞ 1 2 2 cos , sin d , R x x x R = ⎜ 1 1 ∫ ∫ ⎜ 1 + t 2 1 + t 2 ⎟⎟ ⋅ 1 + t 2 d t , ⎝ ⎠ 1 respectiv ∫ R 2 ( tg x ) dx = ∫ R2 (t ) ⋅ 1 + t 2 d t . În ambele cazuri problema s-a redus la calculul unor primitive de funcţii raţionale în t.

(

)

Exemplul 1.3.2 Să se calculeze

⎛ π π⎞

1

∫ 2 + sin x cos x dx , x ∈ ⎜⎝ − 2 , 2 ⎟⎠ .

Pentru început observăm că: 1 1 tg 2 x + 1 x = x = d d ∫ 2 + sin x cos x ∫ 2 + tg x cos2 x ∫ 2 tg 2 x + tg x + 2 dx .

∫

⎛ π π⎞ Dacă facem schimbarea de variabilă: x = tg x, x ∈ ⎜ − , ⎟ , obţinem: ⎝ 2 2⎠ 2 t +1 1 dt dt 1 dt ⋅ =∫ 2 = ∫ = dx = ∫ 2 2 2 + sin x cos x 2t + t + 2 1 + t 2t + t + 2 2 ⎛ 1 ⎞ 2 15 ⎜t + ⎟ + ⎝ 4 ⎠ 16 1 t+ 1 4 4 = 2 arctg 4 tg x + 1 + C . = ⋅ ⋅ arctg 2 15 15 15 15 4 2 2) R ( cos x, sin x ) = R1 cos x, sin x cos x , x ∈ I, unde R1 este de asemenea,

(

)

o funcţie raţională de două variabile. În acest caz facem schimbarea de variabilă sin x = t. Rezultă dt = cos x dx şi 2 2 ∫ R1 cos x, sin x cos x dx = ∫ R1 1 − t , t d t = ∫ R 2 (t ) d t .

(

)

(

Exemplul 1.3.3 Să se calculeze

)

cos3 x

∫ sin 4 x dx , x ≠ kπ. Dacă facem schimbarea

de variabilă: t = sin x, atunci dt = cos x dx şi obţinem: cos3 x

∫ sin 4 x

dx = ∫

cos 2 x ⋅ cos x dx 4

(1 − t ) d t = 2

=∫

4

⎛1

t sin x 1 1 1 1 =− 3 + =− + +C . 3 t 3t 3sin x sin x 3) R ( cos x,sin x ) = R1 cos x,sin 2 x sin x .

(

)

1⎞

∫ ⎜⎝ t 4 − t 2 ⎠⎟ d t =

15

Cap.1 – PRIMITIVE

În acest caz se recomandă schimbarea de variabilă cos x = t. Exemplul 1.3.4 Să se calculeze

∫ cos

2

x sin 3 x dx . Dacă facem schimbarea

de variabilă cos x = t obţinem: 2 3 2 2 2 2 4 2 ∫ cos x sin x dx = ∫ cos x sin x ⋅ sin x dx = ∫ t 1 − t ( −d t ) = ∫ t − t d t =

(

=

5

3

5

)

(

)

3

t t cos x cos x − = − +C . 5 3 5 3

1.4 PRIMITIVE DE FORMA ∫ R ⎛⎜ ax 2 + bx + c ⎞⎟ dx ⎝

⎠

Pentru început observăm că printr-o schimbare de variabilă de forma t = αx + β se obţine o primitivă de forma: sau

∫ R1 ( t ,

)

∫ R1 ( t ,

)

t2 +1 d t ,

∫ R1 ( t ,

)

t2 −1 d t

1− t2 d t .

Într-adevăr, dacă a > 0 şi ∆ = b2 – 4ac < 0, atunci avem: 2

2

b ⎞ −∆ −∆ 4a 2 ⎛ b ⎞ ⎛ ax + bx + c = a ⎜ x + ⎟ + = ⎜x+ ⎟ +1 . 2a ⎠ 4a 4a −∆ ⎝ 2a ⎠ ⎝ Dacă facem schimbarea de variabilă −∆ ⎛ −∆ b ⎞ 2a ⎛ b ⎞ dt t= ⎜t − ⎟ , dx = ⎜x+ ⎟ , atunci x = 2a ⎝ 2a 2a ⎠ −∆ ⎝ −∆ ⎠ 2

şi

∫ R ( x,

)

⎡ −∆ ⎛ ⎤ −∆ b ⎞ −∆ ax 2 + bx + c dx = ∫ R ⎢ t− , dt = ⋅ t 2 + 1⎥ ⋅ ⎜ ⎟ −∆ ⎠ 4a ⎣ 2a ⎝ ⎦ 2a

(

)

= ∫ R1 t , t 2 + 1 d t . Celelalte două forme se obţin în cazurile a > 0, ∆ > 0, respectiv a < 0, ∆ > 0. Pentru primitivele de forma

∫ R (t,

)

t 2 + 1 d t se poate face una din

următoarele schimbări de variabile:

t 2 + 1 = tu + 1 ;

t 2 + 1 = tu − 1 ;

Exemplul 1.4.1 Să se calculeze

∫ x+

dx

t2 +1 = u ± t .

. x2 + 2 x + 2 Dacă facem schimbarea de variabilă x + 1 = t, rezultă

16

∫ x+

dx x2 + 2 x + 2

=∫

dx x+

( x + 1)2 + 1

=∫

dt t −1+ t2 +1

.

Facem acum o nouă schimbare de variabilă: t 2 + 1 = u − t . Ridicând la pătrat şi efectuând calculele obţinem: u2 + 1 u2 −1 u2 + 1 2 d u , dt = . şi + = t= t 1 2u 2u 2u 2 Aşadar, avem:

∫

(

)

2 1 1 1 u +1 du u2 + 1 = = ∫ 2 ⋅ 2 du = ∫ 2 2 2 u ( u − 1) t −1+ t2 +1 2 u −1 −1+ u +1 u 2u 2u 1 du 1 du 1 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ = ∫ + ∫ 2 = ln u − 1 + ∫ ⎜ − − 2 ⎟ du = 2 u − 1 2 u ( u − 1) 2 2 ⎝ u −1 u u ⎠

dt

1 1 = ln u − 1 − ln u + + C unde u = t + t 2 + 1 = x + 1 + x 2 + 2 x + 2 . 2 2u

Pentru primitive de forma următoarele

schimbări

de

∫ R (t,

)

t 2 − 1 d t se poate face una din

t 2 − 1 = u ( t − 1) ;

variabile:

t 2 − 1 = t − u , iar pentru primitive de forma

∫ R (t,

)

1− t2 dt ,

t 2 − 1 = u ( t + 1) ; 1 − t 2 = u (1 − t ) ;

1 − t 2 = u (1 + t ) ; 1 − t 2 = tu ± 1 .

1.5. PRIMITIVE DE FORMA: ∫ x m ( ax n + b ) dx , m,n,q ∈Q p

Acest tip de primitive este cunoscut sub numele de integrale binome. Matematicianul rus P.L. Cebâşev a arătat că aceste primitive se pot calcula numai în următoarele 3 cazuri: Cazul 1: p ∈ . Dacă notăm cu r numitorul comun al numerelor m şi n şi facem schimbarea de variabilă x = t r obţinem:

∫x

m

Deoarece mr ∈ raţională.

( ax

n

+b

)

şi nr ∈

p

(

dx = ∫ t mr at nr + b

)

p

⋅ rt r −1d t .

rezultă că funcţia de sub semnul integrală este

17

Cap.1 – PRIMITIVE

Exemplul 1.5.1 Să se calculeze

∫

(

dx

x

(

4

)

= ∫ x −1 2 x1 4 + 1

)

x +1

∫

10

dx

x

−10

(

4

)

x +1

10

, x ∈ (0, ∞)

dx .

1 1 Aşadar avem: m = − ; n = şi p = –10 ∈ . 2 4 Cum r = 4 facem schimbarea de variabilă x = t 4 şi obţinem: t 4t 3d t dt dt dx = ∫ t 2 ( t + 1)10 = 4∫ ( t + 1)10 d t = 4∫ ( t + 1)9 − 4∫ ( t + 1)10 = ∫ 4 10 x x +1

(

)

=−

1 2 ( t + 1)

8

4 1 1 + ⋅ =− ⋅ 9 9 ( t + 1) 2

1

(

)

4

x +1

8

4 + ⋅ 9

(

4

)

x +1

9

+C .

m +1 ∈ , p∉ . n

Cazul 2:

1

1

Dacă notăm u = x n , x > 0, atunci x = u n , dx =

(

1

)

m

1 n −1 ⋅ u du şi n m +1

1

−1 −1 1 1 p p ∫ x ax + b dx = n ∫ u n ( au + b ) u n du = n ∫ u n ( au + b ) du . În continuare facem schimbarea de variabilă au + b = t r , unde r este 1 numitorul lui p. Rezultă u = t r − b şi a m

n

p

(

m +1 −1 u n

)

(

)

m +1

−1

n 1 r ⋅ t rp ⋅ ⋅ t r −1d t = ∫ R (t ) d t . ( au + b ) du = ∫ ⎡⎢ t r − b ⎤⎥ ∫ a ⎣a ⎦ m +1 Cum − 1 ∈ şi rp ∈ , rezultă că funcţia de sub semnul integralei este n raţională în t. p

Exemplul 1.5.2 Să se calculeze

∫

x3 1 − x2

dx , x ∈ (−1,1) .

m +1 1 = 2 ∈ . Cum p = − , vom face schimbarea n 2 −t de variabilă 1 − x 2 = t 2 . Rezultă x = 1 − t 2 , dx = d t şi 1− t2

Avem m = 3, n = 2, deci

18

∫

(1 − t )

2 32

x3 1 − x2

dx = ∫

⋅

t

(1 − x ) = 2

−t

(

(1 − t ) 2

1 − x2

3

)

d t = ∫ t2 −1 d t = 12

t3 −t = 3

− 1 − x2 + C .

m +1 m +1 ∉ ;p∉ . + p∈ ; n n Se poate arăta, aşa cum s-a procedat şi în cazul 2, că dacă facem schimbarea ax n + b r de variabilă = t , x ≠ 0, unde r este numitorul lui p, problema se reduce la xn calculul primitivei unei funcţii raţionale.

Cazul 3:

Exemplul 1.5.3 Să se calculeze

∫

dx x

2

(1 + x )

2 3

, x > 0.

m +1 + p = −2 ∈ . Facem n 1 , schimbarea de variabilă 1 + x 2 = t 2 x 2 , x > 0 şi obţinem x = t2 −1

Avem m = –2; n = 2 şi p = 3 2 . Evident

dx =

−t

(

)

t2 −1

32

dt ,

∫

x

2

(t = ∫ ( t − 1) 2

(1 + x )

2 3

2

)

−1 t

3

32

⋅

−t

(

)

t2 −1

32

dt =

x 1 1 + x2 = − − = − − +C . t t d t x t2 1 + x2 În încheierea acestui capitol, prezentăm o listă de primitive care nu se pot exprima prin funcţii elementare. ex sin x cos x shx Ei ( x) = ∫ dx ; Si ( x ) = ∫ dx ; Ci ( x) = ∫ dx ; Sh i ( x) = ∫ dx ; x x x x 2 chx S ( x) = ∫ sin x 2 dx ; C ( x) = ∫ cos x 2 dx ; φ ( x) = ∫ e− x dx ; Ch i ( x) = ∫ dx ; x dx . Li ( x) = ∫ ln x =∫

1− t2

dx

19

Cap. 2 –INTEGRALA RIEMANN

CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2.1 SUME DARBOUX. CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Definiţia 2.1.1 Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x ∆ = { 0 , x1 ,K, xi ,K, xn } ⊂ [a, b] astfel încât a = x0 < x1 < K < xi −1 < xi < K < xn = b . Numărul ∆ = max ( xi − xi −1 ) se numeşte norma diviziunii ∆. Spunem că 1≤i ≤ n

diviziunea ∆' este mai fină decât diviziunea ∆ şi notăm ∆ p ∆′ dacă ∆' conţine pe lângă punctele diviziunii ∆ şi alte puncte. În continuare, pentru orice funcţie f : [a, b] → , mărginită, notăm cu: m = inf { f ( x); x ∈ [a, b]} , M = sup { f ( x); x ∈ [a, b]} ,

mi = inf { f ( x); x ∈[ xi −1 , xi ]} , M i = sup { f ( x); x ∈ [ xi −1 , xi ]} . Evident au loc inegalităţile: m ≤ mi ≤ M i ≤ M , ∀ i = 1, n Suma Darboux inferioară (superioară) se defineşte astfel: n

n

i =1

i =1

(1)

s∆ = ∑ mi ( xi − xi −1 ) , respectiv S ∆ = ∑ M i ( xi − xi −1 ) .

Din punct de vedere geometric, aceste sume reprezintă ariile evidenţiate în figură.

y

y f

f

s∆

Mi

mi

O

a = x0

xi −1

S∆

x

x xi

xn = b

O

a = x0

Din (1) rezultă că pentru orice diviziune ∆ avem:

xi −1 xi

xn = b

20

m ( b − a ) ≤ s∆ ≤ S∆ ≤ M ( b − a )

(2)

Lema 21.1 Dacă ∆ p ∆′ , atunci s∆ ≤ s∆ ' ≤ S ∆ ' ≤ S ∆ .

Demonstraţie. Fie ∆ : a = x0 < x1 < K < xi −1 < xi < K < xn = b . Presupunem că diviziunea ∆' conţine pe lângă punctele diviziunii ∆, un singur punct în plus şi anume, punctul c, situat între xi −1 şi xi . Fie mi′ = inf { f ( x); x ∈ [ xi −1 , c ] } şi mi′′ = inf { f ( x); x ∈ [ c, xi ]} . Deoarece mi ≤ mi′ şi mi ≤ mi′′ , rezultă

s∆ ' − s∆ = mi′ ( c − xi −1 ) + mi′′( xi − c ) − mi ( xi − xi −1 ) ≥ ≥ mi ( c − xi −1 + xi − c ) − mi ( xi − xi −1 ) = 0 .

Aşadar, am arătat că s∆ ≤ s∆ ' . Evident, dacă presupunem că diviziunea ∆' conţine pe lângă punctele diviziunii ∆ mai multe puncte (distincte) c1 ,K , c p , raţionamentul este asemănător. Demonstraţia inegalităţii S ∆ ' ≤ S ∆ este analoagă şi rămâne în seama cititorului. Lema 2.1.2 Pentru orice două diviziuni ∆' şi ∆" ale intervalului [a, b], avem s∆ ' ≤ S ∆ " .

Demonstraţie. Fie ∆ = ∆ ′ U ∆ ′′ diviziunea care constă din reuniunea punctelor diviziunilor ∆' şi ∆". Evident avem ∆ ′ p ∆ şi ∆′′ p ∆ . Din Lema 2.1.1 rezultă: s∆′ ≤ s∆ ≤ S ∆ ≤ S∆′ . Din inegalităţile (2) rezultă că mulţimea de numere reale {s∆ }∆ este majorată

de numărul M(b – a), iar mulţimea de numere reale

{ S ∆ }∆

este minorată de

numărul m(b – a). Notăm cu I* = sup s∆ şi cu I ∗ = inf S∆ . I ∗ se numeşte integrala superioară ∆

iar I* se numeşte integrala inferioară. Lema 2.1.3 I* ≤ I ∗ .

∆

21

Cap. 2 –INTEGRALA RIEMANN

Demonstraţie. Din Lema 2.1.2 rezultă că: s∆ ' ≤ S ∆ " , oricare ar fi diviziunile ∆' şi ∆". Fixând pentru moment diviziunea ∆" obţinem: I* = sup s∆′ ≤ S ∆′′ . Cum ∆" ∆′

∗

a fost arbitrară, în continuare avem I* ≤ inf S∆′′ = I . ∆′′

Definiţia 2.1.2 Fie f : [a, b] → o funcţie mărginită. Spunem că f este (D)integrabilă (integrabilă în sensul lui Darboux) pe [a, b] dacă I* = I ∗ = I .

Valoarea comună I o notăm cu

b

∫a

f ( x ) dx .

Lema 2.1.4 Pentru orice ε > 0, există δ ε > 0 astfel încât oricare diviziune ∆

a intervalului [a, b] cu ∆ < δ ε avem:

I* − ε < s∆ ≤ S∆ < I ∗ + ε

(4)

Demonstraţie. Vom demonstra inegalitatea I* − ε < s∆ , lăsând în seama cititorului demonstraţia celeilalte inegalităţi. Deoarece I* = sup s∆ rezultă că ∀ ε > 0 există o ∆

diviziune ∆ 0 a intervalului [a, b] astfel încât: I* −

ε

< s∆ 0 . 2 Să presupunem că ∆ 0 : a = c0 < c1 < K < ck < K < c p = b .

Fie µ = min ( ck − ck −1 ) şi fie ∆ : a = x0 < x1 < K < xi −1 < xi < K < xn = b o 1≤ k ≤ p

diviziune a intervalului [a, b] cu ∆ < µ . Dacă notăm cu ∆ = ∆ 0 U ∆ , atunci în

intervalul [ xi −1 , xi ] se află cel mult un punct ck din diviziunea ∆ 0 . xi −1

ck

xi

Fie mi′ = inf { f ( x); x ∈ [ xi −1 , ck ]} şi mi′′ = inf { f ( x); x ∈ [ ck , xi ]} . Contribuţia subintervalului [ xi −1 , xi ] în diferenţa s∆ − s∆ va fi

mi′ ( ck − xi −1 ) + mi′′( xi − ck ) − mi ( xi − xi −1 )

şi este evident majorată de ( M − m ) ( xi − xi −1 ) . Cum în diviziunea ∆ există (p – 1) puncte interioare ck rezultă că avem următoarea majorare:

s∆ − s∆ ≤ ( p − 1)( M − m ) ∆

(5)

22

⎧⎪ ⎫⎪ ε Fie acum δ ε = min ⎨ µ ; ⎬ , fie ∆ o diviziune a intervalului ⎪⎩ 2 ( p − 1)( M − m ) ⎪⎭ [a, b] cu ∆ < δ ε şi fie ∆ = ∆ 0 U ∆ . Cum δ ε ≤ µ rezultă că ∆ < µ şi conform (5) avem:

s∆ − s∆ ≤ ( p − 1)( M − m ) ∆ < ( p − 1)( M − m ) Aşadar avem I* −

ε

< s∆ 0 ≤ s∆ ≤ s ∆ +

2 Cu aceasta lema este demonstrată.

ε 2

ε

2 ( p − 1)( M − m )

=

ε

2

.

, deci I* − ε ≤ s∆ .

Teorema 2.1.1 (Criteriul de integrabilitate al lui Darboux) Fie f : [a, b] → mărginită. Condiţia necesară şi suficientă ca f să fie integrabilă pe [a, b] este ca pentru orice ε > 0, să existe δ ε > 0 , astfel încât

oricare ar fi diviziunea ∆ a intervalului [a, b], cu ∆ < δ ε , să avem S ∆ − s∆ < ε . Demonstraţie. Necesitatea. Presupunem că I* = I ∗ = I . Din Lema 2.1.4 rezultă că ∀ ε > 0, ε ε ∃ δ ε > 0 astfel încât I − < s∆ ≤ S ∆ < I + , pentru ∀ ∆ cu ∆ < δ ε . Evident, 2 2 ε ε ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ S ∆ − s∆ < ⎜ I + ⎟ − ⎜ I − ⎟ = ε . Aşadar S ∆ − s∆ < ε pentru orice ∆ cu ∆ < δ ε . 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Suficienţa. Presupunem că ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 astfel încât, oricare ar fi ∆ cu

∆ < δ ε avem S ∆ − s∆ < ε . Deoarece s∆ ≤ I* ≤ I ∗ ≤ S∆ , rezultă că 0 ≤ I ∗ − I* ≤ S∆ − s∆ < ε . Cum ε > 0 este arbitrar, aceasta implică I ∗ − I* = 0 , deci f este integrabilă pe [a, b].

2.2. CLASE DE FUNCŢII INTEGRABILE Teorema 2.1.1 Dacă f : [a, b] →

este continuă, atunci f este integrabilă pe

[a, b]. Demonstraţie. Fie ∆ : a = x0 < x1 < K < xi −1 < xi < K < xn = b o diviziune oarecare a intervalului [a, b]. Deoarece, o funcţie continuă pe un interval compact

23

Cap. 2 –INTEGRALA RIEMANN

este mărginită şi îşi atinge marginile rezultă că ∃ ξi ∈ [ xi −1 , xi ] şi ηi ∈ [ xi −1 , xi ] astfel încât mi = f (ξi ) şi M i = f (ηi ) . Aşadar, avem n

S ∆ − s∆ = ∑ ⎡⎣ f (ηi ) − f (ξ i ) ⎤⎦ ( xi − xi −1 ) . i =1

Pe de altă parte, f este uniform continuă pe [a, b], deci ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 ε astfel încât oricare ar fi x′, x′′ ∈ [ a, b] cu x′ − x′′ < δ ε , avem f ( x′) − f ( x′′) < . b−a Dacă presupunem acum că ∆ < δ ε rezultă ηi − ξi ≤ xi − xi −1 ≤ ∆ < δ ε deci S ∆ − s∆
0, ∃ δ ε > 0 (cel de la continuitatea uniformă) astfel încât ∀ ∆

cu ∆ < δ ε avem S ∆ − s∆ < ε . Din Teorema 2.1.1 rezultă că f este integrabilă pe [a, b]. Teorema 2.2.2 Dacă f : [a, b] → pe [a, b].

este monotonă, atunci f este integrabilă

Demonstraţie. Vom face demonstraţia pentru cazul când f este crescătoare şi nu se reduce la o constantă. Cazul când f este descrescătoare se tratează asemănător. Dacă f se reduce la o constantă, adică f ( x) = c , ∀ x ∈ [ a, b] , atunci s∆ = S∆ = c ( b − a ) , ∀ ∆ deci I∗ = I ∗ = c ( b − a ) . Fie deci f crescătoare, astfel încât f (a ) < f (b) şi fie ∆ : a = x0 < x1 < K < xi −1 < xi < K < xn = b o diviziune oarecare a intervalului [a, b]. Deoarece f este crescătoare, avem mi = f ( xi −1 ) şi M i = f ( xi ) , deci n

S ∆ − s∆ = ∑ ( f ( xi ) − f ( xi −1 ) ) ( xi − xi −1 ) . i =1

Fie ε > 0 şi fie δ ε = avea S ∆ − s∆ < δ ε

n

ε f (b) − f (a )

. Dacă presupunem că ∆ < δ ε , atunci vom

∑ ( f ( xi ) − f ( xi −1 ) ) < i =1

ε f (b) − f ( a)

[ f (b) − f (a)] = ε .

Aşadar, ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 astfel încât ∀ ∆ cu ∆ < δ ε avem S ∆ − s∆ < ε . Din Teorema 2.1.1 rezultă că f este integrabilă pe [a, b].

24

2.3. SUME RIEMANN. CRITERIUL DE INTEGRABILITATE RIEMANN Fie f : [a, b] → , ∆ : a = x0 < x1 < K < xi −1 < xi < K < xn = b o diviziune a

intervalului [a, b] şi ξi ∈ [ xi −1 , xi ] un punct oarecare. Dacă notăm cu

ξ = (ξ1 ,ξ 2 ,K,ξ n ) , atunci suma Riemann asociată funcţiei f, diviziunii ∆ şi

punctelor intermediare ξ i , se notează cu σ ∆ ( f ;ξ ) şi este prin definiţie n

σ ∆ ( f ;ξ ) = ∑ f (ξ i )( xi − xi −1 ) . i =1

Definiţia 2.3.1 Fie f : [a, b] → . Spunem că f este (R)-integrabilă (integrabilă în sensul lui Riemann) pe [a, b] dacă există un număr finit I, astfel încât ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 cu proprietatea că oricare ar fi diviziunea ∆, cu ∆ < δ ε şi

oricare ar fi punctele intermediare ξ = (ξ1 ,K,ξ n ) , avem σ ∆ ( f ;ξ ) − I < ε . Teorema 2.3.1 Dacă f este (R)-integrabilă pe [a, b], atunci f este mărginită pe [a, b].

Demonstraţie. Prin ipoteză, există I ∈ , astfel încât pentru ε = 1, există δ 1 > 0 cu proprietatea că oricare ar fi ∆ cu ∆ < δ1 şi oricare ar fi punctele intermediare ξ i avem: I − 1 < σ ∆ ( f ;ξ ) < I + 1 (1) Fie ∆ : a = x0 < x1 < K < xi −1 < xi < K < xn = b cu ∆ < δ1 şi fie ξi ∈ [ xi −1 , xi ] ,

i = 1, n . Presupunem prin absurd că f nu este mărginită pe [a, b]. Atunci, există un subinterval ⎡⎣ x j −1 , x j ⎤⎦ astfel încât f nu este mărginită pe ⎡⎣ x j −1 , x j ⎤⎦ . Pentru a face o

{

}

alegere, să presupunem că sup f ( x); x ∈ ⎣⎡ x j −1 , x j ⎦⎤ = +∞ . Cum f nu este mărginită superior pe intervalul ⎡⎣ x j −1 , x j ⎤⎦ , rezultă că există ξ j ∈ ⎡⎣ x j −1 , x j ⎤⎦ astfel încât n I − s +1 , unde am notat cu s = ∑ f (ξi )( xi − xi −1 ) . f (ξ j ) > x j − x j −1 i =1 i≠ j

( ⎧⎪ξi daca i ≠ j şi ξ = (ξ1 ,K ,ξ n ) . Rezultă Fie ξ i = ⎨ ( ⎪⎩ξi daca i = j

25

Cap. 2 –INTEGRALA RIEMANN

σ ∆ ( f ; ξ ) = s + f (ξ j )( x j − x j −1 ) > s +

I − s +1 ( x j − x j −1 ) = I + 1 x j − x j −1

Aşadar σ ∆ ( f ; ξ ) > I + 1 ceea ce contrazice (1). Prin urmare, ipoteza că f nu e mărginită pe [a, b] ne conduce la o contradicţie. Următoarea teoremă ne arată că cele două definiţii ale integrabilităţii sunt echivalente. Teorema 2.3.2 Fie f : [a, b] → mărginită. Atunci f este (D)-integrabilă pe [a, b] dacă şi numai dacă f este (R)-integrabilă pe [a, b].

Demonstraţie. Dacă f este (D)-integrabilă pe [a, b], atunci I* = I ∗ = I . Pe de altă parte, din Teorema 2.1.1. rezultă că ∀ ε >0, ∃ δ ε > 0 astfel încât oricare ar fi diviziunea ∆ cu

∆ < δ ε avem S ∆ − s∆ < ε . Cum s∆ ≤ I ≤ S ∆ şi s∆ ≤ σ ∆ ( f ,ξ ) ≤ S∆ , ∀ ξ , rezultă că σ ∆ ( f , ξ ) − I < ε pentru orice ∆ cu ∆ < δ ε şi orice puncte intermediare ξ i , deci f este (R)integrabilă. Reciproc, să presupunem că f este (R)-integrabilă. Atunci există I ∈ cu proprietatea că, pentru ε > 0, ∃ δ ε > 0 astfel încât ∀ ∆ cu ∆ < δ ε şi ∀ ξ avem: I−

ε 4

< σ ∆ ( f ;ξ ) < I +

ε

4 Fie ∆ : a = x0 < x1 < K < xi −1 < xi < K < xn = b cu ∆ < δ ε . Deoarece

(2)

M i = sup { f ( x); x ∈ [ xi −1 , xi ] } , rezultă că există αi ∈ [ xi −1 , xi ] astfel încât Mi −

ε

4 (b − a )

< f (α i )

(3)

Amplificând inegalitatea (3) cu ( xi − xi −1 ) şi sumând rezultă: S∆ −

ε

n

< ∑ f (α i )( xi − xi −1 ) = σ ∆ ( f ;α ) , unde α = (α1 ,K,α n ) .

4 i =1 Ţinând seama acum şi de (2) obţinem:

S∆ < I +

În mod asemănător se arată că s∆ > I −

ε 2

ε

(4)

(5) 2 Din (4) şi (5) rezultă că S ∆ − s∆ < ε , pentru orice ∆ cu ∆ < δ ε , deci f este (D)-integrabilă, conform Teoriei 2.1.1.

26

Teorema 2.3.3 (Criteriul de integrabilitate al lui Riemann) Condiţia necesară şi suficientă ca f : [a, b] → să fie integrabilă pe [a, b], este să existe un număr finit I, astfel încât pentru orice şir de diviziuni {∆ n } ale

intervalului [a, b] cu proprietatea că lim ∆ n = 0 şi orice alegere a punctelor intermediare ξ

(n)

n→∞

(

)

să avem lim σ ∆ n f ;ξ ( n ) = I . n →∞

Demonstraţie. Necesitatea. Prin ipoteză există I ∈

astfel încât ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 cu

proprietatea că ∀ ∆ cu ∆ < δ ε şi ∀ ξ avem σ ∆ ( f ;ξ ) − I < ε .

Fie {∆ n } un şir de diviziuni cu ∆ n → 0. Atunci ∃ un rang n0 ∈

(

∗

astfel

)

încât ∆ n < δ ε pentru orice n ≥ n0 . Conform ipotezei avem σ ∆ n f ,ξ ( n ) − I < ε pentru orice n ≥ n0 şi orice set de puncte intermediare ξ ( n ) corespunzător divi-

(

)

ziunii ∆ n . Rezultă că lim σ ∆ n f ;ξ ( n ) = I . n →∞

Suficienţă. Presupunem că există I ∈ cu proprietatea că pentru orice şir de diviziuni {∆ n } cu ∆ n → 0 şi orice set de puncte intermediare ξ ( n ) avem

(

)

lim σ ∆ n f ;ξ ( n ) = I .

n →∞

Presupunem prin absurd că f nu este integrabilă, deci că oricare ar fi numărul finit I, există ε 0 > 0 astfel încât ∀ δ > 0, ∃ ∆δ cu ∆δ < δ şi există un set de

(

)

puncte intermediare ξ δ astfel încât σ ∆δ f ,ξ δ − I ≥ ε 0 . În particular, pentru δ =

σ∆

( f ,ξ ) − I ≥ ε (n)

n

0

1 1 rezultă că ∃ ∆ n cu ∆ n < şi ξ ( n ) astfel încât n n

(

)

. Aceasta înseamnă că σ ∆n f ,ξ ( n ) → I , ceea ce contrazice

ipoteza făcută. Definiţia 2.3.2 Spunem că o mulţime A ⊂ ϒ este neglijabilă (de măsură Lebesque nulă), dacă ∀ ε > 0, ∃ un şir de intervale deschise ( I n )n ≥1 cu urmă-

toarele proprietăţi : ∞

a) A ⊂ U I n n =1

b)

∞

∑ l ( I n ) < ε , unde cu l ( I n ) am notat lungimea intervalului n =1

In .

27

Cap. 2 –INTEGRALA RIEMANN

Precizăm că unele din intervalele I n pot să fie mulţimea vida ∅. Propoziţia 2.3.1. Orice mulţime care se reduce la un punct este neglijabilă

Demonstraţie. Fie A =

{ x0 } .

∞

Evident A ⊂ U I n şi n =1

ε ε⎞ ⎛ Putem alege I1 = ⎜ x0 − , x0 + ⎟ şi I n = ∅ pentru n ≥ 2. 3 3⎠ ⎝ ∞

∑ l ( In ) < ε . n =1

Următoarea afirmaţie este evidentă: Propoziţia 2.3.2 Dacă A ⊂ B şi B este neglijabilă, rezultă că A este neglijabilă. Propoziţia 2.3.3 O reuniune numărabilă de mulţimi neglijabile este de asemenea neglijabilă.

Demonstraţie. Fie An ⊂ 2 neglijabilă, ∀ n ∈ intervale deschise ( I n m )

∞

U An

. Rezultă că pentru ∀ ε > 0, ∃ un şir de ∞

m ≥1

cu proprietăţile: A ⊂ U I n m şi

În continuare avem: deci, mulţimea

∗

m =1

∞

∞

n =1

n =1

⎛

∞

⎞

⎝

m =1

⎠

U An ⊂ U ⎜ U I n m ⎟

şi

∞

∞

ε

∑ l ( I n m ) < 2n .

m =1 ∞

∞

ε

∑ ∑ l ( I n m ) < ∑ 2n n =1 m =1

=ε ,

n =1

este neglijabilă.

n =1

Corolarul 2.3.1 Orice mulţime finită sau numărabilă din ϒ este neglijabilă. Afirmaţia rezultă din Propoziţiile 2.3.1 şi 2.3.3. În continuare prezentăm fără demonstraţie următoarea teoremă. Teorema 2.3.4 (Criteriul de integrabilitate al lui Lebesque) Fie f : [a, b] → . Condiţia necesară şi suficientă ca f să fie integrabilă pe [a, b] este ca f să fie mărginită pe [a, b] şi mulţimea punctelor sale de discontinuitate să fie neglijabilă.

28

2.4. PROPRIETĂŢILE INTEGRALEI RIEMANN 2.4.1.

b

∫a 1dx = b − a .

Afirmaţia rezultă imediat din observaţia că orice sumă Riemann σ ∆ (1;ξ ) = b − a

2.4.2. Proprietatea de linearitate Dacă f, g : [a, b] → grabilă pe [a, b] şi

sunt integrabile, atunci funcţia α f + β g este inte-

∫a (α f + β g ) ( x) dx = α ∫a b

b

b

f ( x) dx + β ∫a g ( x) dx .

Demonstraţie. Fie {∆ n } un şir de diviziuni cu proprietatea că lim ∆ n = 0 şi fie ξ ( n ) un set n →∞

de puncte intermediare oarecare pentru diviziunea ∆ n . Avem:

σ ∆ (α f + β g ;ξ ( n ) ) = ασ ∆ n

( f ;ξ ) + βσ ( g;ξ ) . (n)

n

(n)

∆n

b

Deoarece membrul drept are limită finită când n → ∞ şi anume α ∫a f ( x) dx + b

+ β ∫a g ( x) dx , rezultă că şi membrul stâng are limită finită, deci α f + β g este integrabilă şi în plus

∫a (α f + β g ) ( x) dx = α ∫a b

b

b

f ( x) dx + β ∫a g ( x) dx .

2.4.3. Proprietatea de monotonie Dacă f şi g sunt integrabile pe [a, b] şi f ( x) ≤ g ( x) , ∀ n ∈ [a, b], atunci b

∫a

b

f ( x) dx ≤ ∫a g ( x ) dx .

Afirmaţia rezultă imediat din observaţia că

∫a [ g ( x) − f ( x)] dx ≥ 0 b

şi din

proprietatea de linearitate a integralei Riemann.

2.4.4. Dacă f este integrabilă pe [a, b], atunci | f | este integrabilă pe [a, b] şi b

∫a

f ( x ) dx ≤

b

∫a

f ( x ) dx .

Fie A mulţimea punctelor de discontinuitate ale funcţiei | f | din intervalul [a, b] şi B mulţimea punctelor de discontinuitate ale lui f din intervalul [a, b]. Se ştie că dacă f este continuă într-un punct, atunci | f | este continuă în acel punct. Aşadar, avem A ⊂ B. Conform Teoremei 2.3.4, B este neglijabilă. Rezultă atunci că şi A este neglijabilă, deci că | f | este integrabilă.

29

Cap. 2 –INTEGRALA RIEMANN

Pe de altă parte avem: − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) , ∀ x ∈ [a, b]. Din Proprietatea 3) de monotonie a integralei, rezultă că b

b

b

− ∫a f ( x) dx ≤ ∫a f ( x)dx ≤ ∫a f ( x) dx deci

b

∫a

b

f ( x) dx ≤ ∫a f ( x) dx .

2.4.5. Dacă f şi g sunt integrabile pe [a, b], atunci fg este integrabilă pe [a, b]. Într-adevăr, fie A/B/C mulţimea punctelor de discontinuitate ale lui f /g/ fg. Se ştie că dacă f şi g sunt continue într-un punct, atunci fg este continuă în acest punct. Rezultă că C ⊂ A Υ B. Cum A şi B sunt neglijabile, rezultă că A U B este neglijabilă, deci C este neglijabilă. Conform Teoremei 2.3.4 rezultă că fg este continuă pe [a, b]. 2.4.6. Teorema de medie Fie f şi g două funcţii integrabile pe [a, b]. Presupunem că g păstrează semn constant pe [a, b]. Dacă notăm cu m = inf { f ( x); x ∈ [ a, b] } şi cu

M = sup { f ( x); x ∈ [ a, b] } , atunci există m ≤ µ ≤ M astfel încât b

∫a

f ( x ) g ( x ) dx = µ

b

∫a g ( x) dx

(1)

Demonstraţie. Presupunem că g ( x) ≥ 0 , ∀ x ∈ [a, b]. Deoarece m ≤ f ( x) ≤ M , ∀ x ∈ [a, b] rezultă mg ( x) ≤ f ( x) g ( x) ≤ Mg ( x) , ∀ x ∈ [a, b]. Din Proprietăţile 2) şi 3) avem m

Dacă

b

b

∫a g ( x) dx ≤ ∫a

b

∫a g ( x) dx = 0 ,

f ( x ) g ( x ) dx ≤ M

atunci şi

b

∫a

b

∫a g ( x)dx

(2)

f ( x) g ( x) dx = 0 şi egalitatea (1) are loc

pentru orice µ ∈ . Să presupunem că

b

b

∫a g ( x) dx ≠ 0 . Cum g ≥ 0 rezultă ∫a g ( x) dx > 0 . b

Împărţind inegalitatea (2) cu b

∫ Dacă notăm cu µ = a b

∫a

f ( x) g ( x) dx = µ

b

b

∫a g ( x)dx

f ( x) g ( x)dx b

∫a g ( x)dx

∫a g ( x) dx .

∫ obţinem: m ≤ a

f ( x) g ( x)dx b

∫a g ( x) dx

, rezultă că m ≤ µ ≤ M, deci

≤M .

30

Corolarul 2.4.1 Fie f : [a, b] → continuă şi g : [a, b] → integrabilă. Dacă g păstrează semn constant pe [a, b], atunci există ξ ∈ [a, b] astfel încât b

∫a

b

f ( x) g ( x) dx = f (ξ ) ∫a g ( x) dx .

Demonstraţie. Deoarece f este continuă pe [a, b], rezultă că există α, β ∈ [a, b] astfel încât m = f (α ) şi M = f ( β ) . Din Teorema de medie, ştim că există m ≤ µ ≤ M astfel b

∫a

b

∫a g ( x) dx . Pe de altă parte, f are proprietatea Darboux pe [a, b], deci există ξ între α şi β , deci în [a, b], astfel încât µ = f (ξ ) . Aşadar avem încât

f ( x ) g ( x ) dx = µ

b

∫a

b

f ( x) g ( x) dx = f (ξ ) ∫a g ( x) dx .

Corolarul 2.4.2 Dacă f : [a, b] →

m ≤ µ ≤ M astfel încât

b

∫a

este integrabilă, atunci există

f ( x )dx = µ ( b − a ) .

Afirmaţia rezultă imediat din Teorema de medie pentru cazul particular când g = 1. Corolarul 2.4.3 Dacă f : [a, b] →

astfel încât

b

∫a

este continuă, atunci există ξ ∈ [a, b]

f ( x)dx = f (ξ )( b − a ) .

Afirmaţia rezultă imediat din Corolarul 2.4.1, pentru cazul particular când g = 1.

2.4.7. Dacă f este integrabilă pe [a, b] şi a < c < b, atunci f este integrabilă pe [a, c] şi [c, b] şi

b

∫a

c

b

f ( x) dx = ∫a f ( x) dx + ∫c f ( x)dx .

Demonstraţie. Faptul că f este integrabilă pe [a, b] şi [c, b] rezultă imediat din Teorema 2.3.4. Fie {∆ ′n } un şir de diviziuni ale intervalului [a, c] cu ∆′n → 0 şi fie {∆ ′′n } un şir de diviziuni ale intervalului [c, b] cu

∆′′n

→ 0. Dacă notăm cu

∆ n = ∆ ′n U ∆ ′′n , atunci ∆ n este o diviziune a intervalului [a, b] şi ∆ n → 0.

( )

Fie de asemenea α (n) β(n) un set de puncte intermediare pentru diviziunea ∆ ′n (respectiv ∆ ′′n ). Dacă notăm cu ξ(n) = α (n) U β(n) , atunci ξ ( n ) este un set de puncte intermediare pentru ∆ n . Trecând la limită după n în egalitatea

31

Cap. 2 –INTEGRALA RIEMANN

(

)

(

)

(

)

σ∆ n f ; ξ(n) = σ ∆′n f ; α (n) + σ ∆′′n f ; β(n) , rezultă că b

∫a

c

b

f ( x) dx = ∫a f ( x) dx + ∫c f ( x)dx .

Următoarea teoremă ne asigură că orice funcţie continuă pe un interval admite primitive pe acel interval. x

Teorema 2.4.8 Fie f : [a, b] → continuă şi fie F ( x) = ∫a f (t ) d t ,

∀ x ∈ [a, b]. Atunci f este derivabilă pe (a, b) şi F ′( x ) = f ( x ) , ∀ x ∈ (a, b). Demonstraţie. x

∫a

Fie x0 ∈ (a, b) oarecare. Să observăm pentru început că x0

f (t )d t −

x

− ∫a f (t ) d t = ∫x f (t ) d t . Într-adevăr, dacă x0 < x atunci afirmaţia rezultă din egali0

tatea

x

x0

x

∫a = ∫a + ∫x

. Dacă x < x0, atunci 0

F ( x) − F ( x0 )

Aşadar, avem

x

=

∫x

x0

x

x0

∫a = ∫a + ∫x

deci

x

x0

∫a − ∫a

x0

x

= − ∫x = ∫ x . 0

f (t ) d t

. x − x0 x − x0 Conform Corolarului 2.4.3 rezultă că ∃ ξ în intervalul închis de capete x0 şi x

astfel încât

x

∫x

0

avem: lim

x → x0

0

f (t ) d t = f (ξ ) ( x − x0 ) . Cum f este continuă în x0, în continuare

F ( x) − F ( x0 ) x − x0

= lim f (ξ ) = f ( x0 ) , deci F ′ ( x0 ) = f ( x0 ) . x → x0

Teorema 2.4.9 (Leibniz-Newton) Fie f : [a, b] → integrabilă. Dacă F este o primitivă a lui f pe [a, b], atunci b

∫a

f ( x) dx = F (b) − F (a ) .

Demonstraţie. Fie ∆ : a = x0 < x1 < K < xi −1 < xn = b o diviziune oarecare a intervalului n

[a, b]. Observăm că F (b) − F ( a ) = ∑ ⎡⎣ F ( xi ) − F ( xi −1 ) ⎤⎦ . i =1

Pe de altă parte, din Teorema Lagrange rezultă că există ξi ∈ ( xi −1 , xi ) astfel încât:

F ( xi ) − F ( xi −1 ) = F ′ (ξi )( xi − xi −1 ) = f (ξi )( xi − xi −1 ) .

32

Dacă notăm cu ξ = (ξ1 ,K,ξ n ) obţinem: n

F (b) − F (a ) = ∑ f (ξ i )( xi − xi −1 ) = σ ∆ ( f ;ξ ) . i =1

Fie {∆ n } un şir de diviziuni de normă tinzând la zero şi fie ξ ( n ) setul de puncte intermediare pentru ∆ n care rezultă din Teorema Lagrange. Rezultă: b

∫a

(

)

f ( x) dx = lim σ ∆ n f ;ξ ( n ) = F (b) − F (a ) , n →∞

33

Cap. 3 – INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU

CAPITOLUL 3 INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU 3.1.

INTEGRALE GENERALIZATE

Teoria integralei definite s-a făcut pentru funcţii mărginite, definite pe intervale mărginite. În cele ce urmează vom da un sens unor integrale de forma ∞

∫a

f ( x)dx sau

b

∫a

f ( x)dx , unde b este finit şi f este nemărginită pe [a, b]. Vom

trata ambele cazuri unitar. Definiţia 3.1.1 Fie f : [a, b) → ϒ, b finit sau nu. Presupunem că f este integrabilă pe intervalul compact [a, u], oricare a < u < b. Dacă există u

∫ b a

lim

u

(v )

f ( x)dx şi e finită, spunem că

b

u

∫a f ( x)dx = ulimb ∫a

spunem că

b

∫a

b

∫a

f ( x)dx este convergentă şi notăm cu

f ( x)dx . În caz contrar, dacă limita nu există sau e infinită,

f ( x)dx este divergentă.

Exemplul 3.1.1 Să se studieze convergenta integralei

∞

∫1

dx xα

. Avem

dacă α =1 ⎧ln u ⎪ 1−α ∫1 xα = ⎨ u − 1 dacă α ≠ 1 . Observăm că dacă α > 1, atunci ⎪ ⎩ 1−α ∞ dx ∞ dx −1 (v ) ∫ α = , deci ∫ α este convergentă şi dacă α ≤ 1, atunci 1 x 1 1−α x u dx ∞ dx ∞ dx lim ∫ α = ∞ , deci ∫ α este divergentă. În particular, ∫ 2 este 1 x 1 x u →∞ 1 x ∞ dx ∞ dx convergentă şi (v) ∫ 2 = 1 , în timp ce ∫ este divergentă. 1 x 1 x u

dx

34

Exemplul 3.1.2 Să se studieze convergenţa integralei:

b

dx

∫a ( b − x )α

unde b

este finit. b−u ( ⎧ ln daca α =1 ⎪ dx ⎪ b−a ∫a ( b − x )α = ⎨ 1 ⎪ ⎡( b − u )1−α − ( b − a )1−α ⎤ daca( α ≠ 1 . ⎦ ⎩⎪1 − α ⎣ Observăm că dacă α < 1 atunci u

b

dx

a

( b − x )α

(v) ∫

iar dacă α ≥ 1, lim ∫ u

dx

u

b a

α

(b − x )

= lim ∫

b a

u

dx

u

( b − x )α

= −∞ . Aşadar,

b

=

( b − a )1−α 1−α

dx

∫a ( b − x )α

,

este convergentă pentru

α < 1 şi divergentă pentru α ≥ 1 . În particular,

b

∫a

dx

este convergentă şi

b−x

b

dx

∫a (b − x )

este

b− x

divergentă. Observaţia 3.1.1 Fie f : (a, b] → ϒ, a finit sau nu. Presupunem că f este b

integrabilă pe intervalul [u, b], oricare ar fi a < u < b. Notăm cu (v) ∫ f ( x)dx = a

∫ a u

= lim u

b

f ( x)dx , dacă această limită există şi e finită, şi spunem că

este convergentă. În caz contrar, exemplul 3.1.2 rezultă că

b

b

∫a

b

∫a f ( x)dx

f ( x)dx este divergentă. Procedând ca în

dx

∫a ( x − a )α , unde a este finit, este convergentă pentru

α < 1 şi divergentă pentru α ≥ 1. De exemplu

1

∫0

dx este convergentă şi x

1 dx

∫0

x

este

divergentă. Teorema 3.1.1 Fie f : [a, b) → ϒ, b finit sau nu. Dacă f este integrabilă pe b

[a, u] oricare ar fi a < u < b, atunci

∫a

dacă ∀ ε > 0, ∃ a < δ ε < b astfel încât

∫u′

u ′′

f ( x)dx este convergentă dacă şi numai f ( x)dx < ε pentru orice u ′, u ′′ ∈ (δ ε , b ) .

35

Cap. 3 – INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU

Demonstraţie. u

Pentru orice a < u < b notăm cu F(u) = ∫ f ( x)dx . Conform Definiţiei 3.1.1, a

b

∫a

f ( x)dx este convergentă dacă şi numai dacă există L = lim F (u ) şi e finită. Pe u

b

de altă parte, din Teorema Cauchy-Balzano rezultă că existenţa acestei limite finite este echivalentă cu faptul că ∀ ε > 0, ∃ o vecinătate Vε a lui b astfel încât

F (u′) − F (u′′) < ε pentru orice u ′, u ′′ ∈ Vε I [ a, b) . Dacă b este finit, putem

presupune că Vε este de forma ( b − ηε , b + ηε ) unde a < b − ηε < b şi alegem

δ ε = b − ηε . Dacă b = +∞ putem presupune că Vε este de forma (δ ε , ∞ ) unde

a < δ ε < b . În ambele situaţii, dacă u′, u′′ ∈ (δ ε , b ) rezultă că u ′, u ′′ ∈ Vε I [ a, b) ,

deci că F (u′) − F (u′′) < ε . Pe de altă parte, se observă imediat că u′

∫a

F (u′) − F (u′′) = Aşadar,

b

∫a

f ( x)dx − ∫

u ′′

a

f ( x)dx =

Definiţia 3.1.2 Spunem că b

f ( x)dx .

f ( x)dx este convergentă, dacă şi numai dacă pentru ε > 0,

∃ a < δ ε < b astfel încât pentru orice u′, u′′ ∈ (δ ε , b ) avem

∫a

u ′′

∫u′

b

∫a

u ′′

∫u′

f ( x)dx < ε .

f ( x)dx este absolut convergentă dacă

f ( x) dx este convergentă.

Corolarul 3.1.1 Dacă b

∫a

b

∫a

f ( x)dx este absolut convergentă, atunci

f ( x)dx este convergntă.

Demonstraţie. Afirmaţia rezultă din Teorema 3.1.1 şi din Observaţia că ≤∫

u ′′

u′

u ′′

∫u′

f ( x)dx ≤

f ( x ) dx .

Teorema 3.1.2 Fie f,g : [a, b) → ϒ+, b finit sau nu. Presupunem că f şi g sunt integrabile pe intervalul [a, u], oricare ar fi a < u < b şi că f ( x) ≤ g ( x) , ∀ x ∈ [a, b). Atunci

1) Dacă

b

∫a g ( x)dx

converge, rezultă că şi

b

∫a

f ( x)dx converge.

36

2) Dacă

b

∫a

f ( x)dx diverge, rezultă că şi

b

∫a g ( x)dx

diverge.

Demonstraţie. u

u

a

a

Fie F (u ) = ∫ f ( x)dx şi G (u ) = ∫ g ( x)dx , unde a < u < b. Din proprietatea de monotonie a integralei rezultă că 0 ≤ F (u ) ≤ G (u ) , ∀ a < u < b. F şi G sunt monoton crescătoare, deoarece f şi g iau valori în ϒ+. Dacă presupunem că

u

b

∫a g ( x)dx

este convergentă rezultă că (v) ∫ g ( x)dx = a

b

= lim G (u ) există şi e finită şi G (u ) ≤ (v) ∫ g ( x)dx . u

a

b

b

Cum F ≤ G rezultă că F (u ) ≤ (v) ∫ g ( x)dx , ∀ a < u < b. Faptul că F este a

monoton crescătoare şi mărginită superior pe [a, b) implică că există lim F (u ) ≤ u

b

≤ (v) ∫ g ( x)dx , deci a

b

∫a

f ( x)dx converge.

Dacă presupunem că

b

∫a

f ( x)dx este divergentă, rezultă că lim F (u ) = +∞ şi u

b

∫a g ( x)dx

cu atât mai mult lim G (u ) = +∞ , deci u

b

∞

b

diverge.

Exemplul 3.1.3 Să se studieze convergenţa integralei

∞ cos x

∫1

x x

dx . Deoarece

∞ dx cos x 1 , ∀ x ∈ [1, ∞) şi ∫ este convergentă, din Teorema 3.1.2 ≤ 1 x x x x x x ∞ cos x rezultă că ∫ dx este convergentă. 1 x x ∞ cos x Rezultă că ∫ dx este absolut convergentă, deci convergentă în virtutea 1 x x Corolarului 3.1.1.

Observaţia 3.1.2 Fie f : [a, b) → ϒ integrabilă pe fiecare interval compact

închis în [a, b) şi fie a < c < b. Atunci, dacă

b

∫c

b

∫a

f ( x)dx este convergentă dacă şi numai

f ( x)dx este convergentă. Într-adevăr, este suficient să observăm că pentru

orice c < u < b, avem

u

∫a

c

u

a

c

f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx , iar

număr finit, f fiind integrabilă pe [a, c].

c

∫a f ( x)dx

este un

37

Cap. 3 – INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU

Teorema 3.1.3 Fie f : [a, ∞) → ϒ+, integrabilă pe intervalul [a, u] pentru orice a < u < b. Atunci 1) Dacă ∃ α > 1 astfel încât lim xα f ( x) există şi e finită rezultă că x →∞

∞

∫a

f ( x)dx este convergentă.

2) Dacă ∃ α ≤ 1 astfel încât lim xα f ( x) există şi este strict pozitivă, rezultă x →∞

că

∞

∫a

f ( x)dx este divergentă.

Demonstraţie. Fie α > 1 şi fie l = lim xα f ( x) < ∞. Din definiţia limitei unei funcţii rezultă x →∞

că, pentru orice ε > 0, ∃ δ ε > a astfel încât l − ε < xα f ( x) < l + ε pentru orice l +ε x > δ ε . Aşadar, f ( x) < α , pentru orice x > δ ε . x ∞ l +ε dx este convergentă în acest caz (Vezi Exemplul 3.1.1), din Cum ∫ δ ε xα ∞

∫δ

Teorema 3.1.2 rezultă că Observaţia 3.1.2 rezultă că

∞

∫a

ε

f ( x)dx este convergentă. Ţinând seama şi de

f ( x)dx este convergentă.

Presupunem acum că ∃ α ≤ 1, astfel încât ∃ lim xα f ( x) = l şi e finită. x →∞

Deoarece l > 0, putem presupune că 0 < ε < l. Pentru un astfel de ε, există δ ε > 0 astfel încât l − ε < xα f ( x) < l + ε pentru orice x > δ ε . l −ε În particular avem α < f ( x) , ∀ x > δ ε . x ∞ l −ε dx este divergentă (Vezi exemplul 3.1.1), din Teorema Deoarece ∫ δ ε xα 3.1.2 rezultă că că

∞

∫a

∞

∫δ

ε

f ( x)dx este divergentă. În sfârşit, din Observaţia 3.1.2 rezultă

f ( x) dx este divergentă.

Dacă ∃ α ≤ 1 astfel încât lim xα f ( x) = +∞, atunci ∀ ε > 0, ∃ δ ε > a astfel x →∞

încât xα f ( x) > ε pentru orice x ∈ (δ ε , ∞ ) . Aşadar, f ( x) >

ε xα

, ∀ x > δ ε . Cum

38

ε

∞

∫δ

ε

∞

∫a

α

x

dx este divergentă în acest caz, rezultă că

∞

∫δ

ε

f ( x)dx este divergentă, deci

f ( x)dx este divergentă.

Exemplul 3.1.4 Să se studieze convergenţa integralei

∞

∫a

P ( x) dx , unde P şi Q( x)

Q sunt polinoame, grP ≤ grQ − 2 şi Q(x) ≠ 0, ∀ x > a.

P ( x)

Deoarece lim x 2

este finită, din Teorema 3.1.3 rezultă că

Q( x)

x →∞

∞

∫a

P ( x) dx Q( x)

este absolut convergentă, deci convergentă conform Corolarului 3.1.1. Teorema 3.1.4 Fie f : [a, b) → ϒ+, integrabilă pe intervalul [a, u] pentru orice a < u < b < ∞. Atunci α

1) Dacă ∃ α < 1 astfel încât lim ( b − x ) f ( x) există şi e finită, rezultă că x

b

∫a f ( x)dx

b

este convergentă. α

2) Dacă ∃ α ≥ 1 astfel încât există lim ( b − x ) f ( x) > 0, atunci x

b

b

∫a f ( x)dx

diverge. Demonstraţia este asemănătoare cu demonstraţia Teoremei 3.1.3, ţinându-se b dx seama de faptul că ∫ este convergentă pentru α < 1 şi divergentă pentru a ( b − x )α α ≥ 1 (Exemplul 3.1.2). Exemplul 3.1.5 lim ( 2 − x )

12

x

1 x(2 − x)

2

deoarece lim ( 2 − x )

3

x

2

dx

2

∫1

=

este convergentă deoarece

x(2 − x) 1 2

< ∞ , în timp ce

1

( x + 1)( 2 − x )

3

=

1 3

2

∫1

dx

( x + 1)( 2 − x )3

este divergentă,

>0.

Are loc de asemenea, următoarea teoremă: Teorema 3.1.5 Fie f : (a, b] → ϒ+, integrabilă pe [v, b] pentru orice −∞ < a < v < b. Atunci:

39

Cap. 3 – INTEGRALE GENERALIZATE ŞI CU PARAMETRU α

1) Dacă ∃ α < 1 astfel încât lim ( x − a ) f ( x) există şi e finită, rezultă că x

b

∫a f ( x)dx

a

este convergentă. α

2) Dacă ∃ α ≥ 1 astfel încât lim ( x − a ) f ( x) > 0, atunci x

a

b

∫a f ( x)dx

este

divergentă. Exemplul 3.1.6 lim x1 2

x

0

lim x5 2

x

0

dx

1

∫0 x ( x + 1)

1 x ( x + 1)

=1< ∞

1 x5 ( x + 1)

este convergentă, deoarece

dx

1

∫0

iar

x

5

( x + 1)

este divergentă, deoarece

=1> 0 .

Următoarea teoremă este cunoscută sub numele de „Criteriul integral al lui Cauchy”. Teorema 3.1.6 Fie f : [1, ∞) → ϒ+ o funcţie monoton descrescătoare. Atunci ∞

∫1

f ( x) dx şi seria

∞

∑ f (n) au aceeaşi natură. n =1

Demonstraţie. Deoarece f (n) ≤ f ( x) ≤ f ( n − 1) pentru orice x ∈ [ n − 1, n] rezultă că f ( n) ≤ ∫

n

n −1

f ( x)dx ≤ f ( n − 1) , ∀ n ≥ 2 şi mai departe că m

∑

n=2

f (n) ≤

m

∫1

f ( x ) dx ≤

Dacă presupunem că seria

m −1

∑ f (n) , pentru orice m ≥ 2

(1)

n =1

∞

∑ f ( n)

este convergentă, rezultă că ∃ M > 0

k =1

astfel încât

m −1

m

∑ f (n) < M, ∀ m ≥ 2 . Ţinând seama de (1) rezultă că ∫1

f ( x)dx < M

n =1

pentru orice m ≥ 2 . Fie u > 1 oarecare şi fie m ∈

∗

, m > u. Deoarece f ≥ 0 , rezultă că

40

u

∫1

m

f ( x) dx ≤ ∫ f ( x) dx < M . Aşadar, ∃ lim

u

∫ u →∞ 1

1

convergentă. Dacă presupunem acum că

f ( x) dx ≤ M , deci

∞

∑ f ( n)

∞

∫1

f ( x)dx este

este divergentă, rezultă că

m =1 m

lim

m →∞ ∞

∫1

∑

f (n) = ∞ şi deci că

m→∞

m

∫ m →∞ 1 lim

f ( x) dx = +∞ . De unde deducem că

f ( x)dx este divergentă. ∞

∫1

Exemplul 3.1.7

dx α

are aceeaşi natură cu suma

n convergentă dacă α > 1 şi este divergentă dacă α ≤ 1.

∞

1

∑ nα

, deci este

n =1

Teorema 3.1.7 (Criteriul Dirichlet) Fie f,g : [a, b) → , unde b este finit sau nu. Presupunem că f este continuă şi că există M > 0 astfel încât F (u ) ≤ M , ∀ a < u < b, unde am notat cu u

F(u) = ∫ f ( x) dx . Despre funcţia g presupunem că este monoton descrescătoare, a

de clasă C1 şi nenegativă pe [a, b). În plus lim g ( x) = 0 . Atunci x

b

b

∫a

f ( x) g ( x) dx

este convergentă. Demonstraţie. Demonstraţia se bazează pe Teorema 3.1.1. Pentru orice u′, u′′ ∈ ( a, b ) avem u ′′

∫u′

u′′

f ( x)g ( x) dx = ∫ F ′( x)g ( x) dx = F ( x) g ( x) u′

u ′′ u′

u ′′

− ∫ F ( x)g ′( x) dx . u′

Pe de altă parte, g fiind descrescătoare rezultă că g ′( x ) ≤ 0 , ∀ x ∈ [a, b] şi, conform teoremei de medie există ξ în intervalul de capete u' şi u" astfel încât u ′′

u ′′

∫u′ F ( x)g ′( x)dx = F (ξ ) ∫u′ g ′( x) dx = F (ξ ) [ g (u′′) − g (u′)] Aşadar, avem:

u ′′

∫u′

f ( x)g ( x) dx = F (u ′′) g (u ′′) − F (u ′) g (u ′) − F (ξ ) [ g (u ′′) − g (u ′) ] .

Ţinând seama că F (u ) ≤ M , ∀ u ∈ (a, b) rezultă: u′′

∫u′

f ( x)g ( x)dx ≤ 2 M [ g (u ′′) + g (u ′) ] .

Prin ipoteză lim g ( x) = 0 , deci pentru ∀ ε > 0, ∃ α < δ ε < b astfel încât x

g ( x)
0 există două mulţimi elementare poligonale Pε şi Qε cu proprietăţile: Pε ⊂ A ⊂ Qε şi aria Qε – aria Pε < ε. Afirmaţia rezultă din Propoziţia 5.1.1 şi din Teorema 5.1.1. Observaţia 5.1.4. Orice disc (mulţime plană a cărei frontieră este un cerc) are arie. Într-adevăr, dacă notăm cu Pn (respectiv Qn) mulţimea poligonală a cărei frontieră este poligonul regulat cu n laturi înscris (respectiv circumscris) în cerc, atunci ariaQn – ariaPn este oricât de mică pentru n suficient de mare. În continuare notăm cu (θ, ρ) coordonatele polare în plan. Propoziţia 5.1.3. Fie ρ = ρ (θ ) , θ ∈ [α , β ] o funcţie continuă şi fie 1 β A = { (θ , ρ ) α ≤ θ ≤ β , 0 ≤ ρ ≤ ρ (θ )} . Atunci A are arie şi ariaA = ∫ ρ 2 (θ ) dθ . 2 α

Demonstraţie Fie ∆ n : α = θ 0 < θ1 < K < θ i −1 < θ i < K < θ n = β o diviziune echidistantă a

intervalului [α , β ] .

94

Fie mi

ρ = ρ (θ ) ,

(respectiv

θ ∈ [θi −1,θi ] .

M i ) marginea inferioară (superioară) a funcţiei

Aria

sectorului

de

cerc

ORi Pi = { (θ , ρ ) θi −1 ≤ θ ≤ θi , 0 ≤ ρ ≤ ρ (θ )} 1 2 m (θ − θ ) , iar 2 i i i −1 aria sectorului de cerc OQi Ri −1 este egală cu 1 2 M (θ − θ ) . 2 i i i −1 Dacă notăm cu Pn (respectiv Qn ) reuniunea celor n sectoare de cerc ORi Pi (respectiv OQi Ri −1 ) atunci Pn ⊂ A⊂ Qn şi

este egală cu

n

aria Pn = ∑ i =1

Fig. 8

n

aria Qn = ∑ i =1

1 2 m (θ − θ ) iar 2 i i i −1 1 2 M (θ − θ ) . 2 i i i −1

Observăm că cele două sume sunt sumele Darboux asociate funcţiei 1 2 β −α ρ (θ ) , θ ∈ [α , β ] şi diviziunii ∆ n . Ţinând seama că ∆ n = → 0 şi n 2 1 funcţia ρ 2 este integrabilă pe [α , β ] , rezultă că există 2 1 β (4) lim aria Pn = lim aria Qn = ∫ ρ 2 (θ ) dθ n →∞ n →∞ 2 α Pe de altă parte, deoarece Pn ( respectiv Qn ) are arie pentru ∀ ε > 0 există o mulţime elementară En ( respectiv Fn ) , En ⊂ Pn ⊂ A ⊂ Qn ⊂ Fn astfel încât ε ε şi aria Fn − aria Qn < . În plus, ţinând seama de (4) putem aria Pn − aria En < 3 3 ε presupune că aria Qn − aria Pn < . Aşadar, avem aria Fn − aria En < ε , deci mulţi3 1 β 2 mea A are arie şi aria A = ∫ ρ (θ ) dθ . 2 α Teorema 5.1.2. Suportul unei curbe rectificabile este o mulţime de arie zero.

95

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Demonstraţie. Fie r : [a, b] → 2 drumul parametrizat rectificabil care determină curba γ, definit prin r (t ) = ( x(t ), y(t ) ) . Fie L lungimea acestui drum şi fie x = x%(s) , y = y% (s) , s ∈ [0, L] reprezentarea sa naturală (Vezi Cap. 4, §4.3).

Fie ∆ n : 0 = s0 < s1 < K < si −1 < si < K < sn = L o diviziune echidistantă a

intervalului [0, L] şi fie M i punctul de coordonate ( x% ( si ) , y% ( si )) de pe suportul L . Considerăm un pătrat Di cu centrul în n 2L şi laturile paralele cu axele de coordonate, de latură . Este evident că n

curbei γ. Lungimea arcului M i −1M i este Mi

suportul curbei γ (imaginea funcţiei vectoriale r) este inclus în

n

U Di

şi

i =0

⎛ n ⎞ n 4L2 aria ⎜ U Di ⎟ ≤ ∑ aria ( Di ) = ( n + 1) 2 . Cum n ⎝ i =0 ⎠ i =0 lim ( n + 1)

n →∞

mulţimii

4L2 n2 n

U Di

= 0 , pentru n suficient de mare, aria este oricât de mică, deci suportul

i =0

Fig. 9

curbei γ este o mulţime de arie zero. Din Teoremele 5'.1.1 şi 5.1.2 rezultă:

Corolarul 5.1.4. Orice mulţime plană mărginită a cărei frontieră este o reuniune finită de curbe rectificabilă are arie. Corolarul 5.1.5. Orice mulţime mărginită a cărei frontieră este netedă pe porţiuni are arie. Afirmaţia rezultă din Teorema 4.2.1 şi Corolarul 5.1.4. Propoziţia 5.1.2. Dacă A1 şi A2 sunt două mulţimi care au arie şi nu au puncte interioare comune, atunci reuniunea lor A = A1 Υ A2 are arie şi aria ( A) = aria ( A1) + aria ( A2 ) .

Demonstraţie. Deoarece frontiera lui A este inclusă în reuniunea frontierelor lui A1 şi A2 şi acestea sunt de arie zero, rezultă că şi frA este de arie zero, deci A are arie.

96

Pentru orice ε > 0 există mulţimile elementare Ei, Fi, i = 1,2 cu proprietăţile: E1 ⊂ A1 ⊂ F1 , E2 ⊂ A2 ⊂ F2 , aria ( F1 ) − aria ( E1 ) < ε , aria ( F2 ) − aria ( E2 ) < ε . Avem aria E1 + aria E2 ≤ aria A ≤ aria ( F1 U F2 ) ≤

Fig. 10

aria A − ( aria A1 + aria A2 )

≤ aria F1 + aria F2 şi aria E1 + aria E2 ≤ aria A1 + aria A2 ≤ ≤ aria F1 + aria F2 Aceste inegalităţi implică ≤ aria F1 − aria E1 + aria F2 − aria E2 < 2ε .

Cum ε > 0 a fost arbitrar, rezultă că aria A = aria A1 + aria A2 .

5.2. INTEGRALA DUBLĂ. DEFINIŢIE. PROPRIETĂŢI Fie A ⊂ 2 o mulţime mărginită. Atunci există un cerc care conţine mulţimea A. Rezultă că distanţa dintre orice două puncte ale mulţimii A este mai mică decât diametrul acestui cerc. Aşadar, mulţimea {dist ( M , N ) , M ∈ A, N ∈ A} este o mulţime de numere reale pozitive majorată, deci are margine superioară. Definiţia 5.2.1. Fie A ⊂ 2 o mulţime mărginită. Se numeşte diametrul mulţimii A următorul număr: d ( A) = diam ( A) = sup { dist ( M , N ) ; M ∈ A, N ∈ A }

Fig. 1

Definiţia 5.2.2. Fie A şi B două mulţimi din plan. Se numeşte distanţa dintre aceste mulţimi următorul număr d ( A, B ) = inf { dist ( M , N ) ; M ∈ A, N ∈ B } .

Este clar că dacă A I B ≠ ∅ atunci d ( A, B ) = 0. Afirmaţia reciprocă nu este în general adevărată. Într-adevăr, distanţa dintre graficul 1 funcţiei f ( x) = , x ≠ 0 şi axa Ox este zero, deşi cele două mulţimi sunt disjuncte. x

97

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Teorema 5.2.1. Fie A şi B două mulţimi plane închise, mărginite şi disjuncte. Atunci d ( A, B ) > 0 .

Demonstraţie. Presupunem prin absurd că 1 d ( A, B ) = 0 . Atunci, pentru ε = , există Pn ∈ A şi n Fig. 2 Qn ∈ B astfel încât 1 (1) dist ( Pn , Qn ) < n Deoarece mulţimea A este mărginită, rezultă că şi şirul {Pn} este mărginit.

Din Lema Cesàro deducem că există un subşir {Pnk } convergent. Fie P = lim Pnk . k →∞

Cum A este închisă rezultă că P ∈ A. Pe de altă parte, din (1) rezultă că subşirul {Qnk } este de asemenea convergent şi limita sa este tot P. Evident, P ∈ B, pentru că B este închisă. Am ajuns astfel la o contradicţie şi anume P ∈ A I B, adică A şi B nu sunt disjuncte. În cele ce urmează vom nota cu D un domeniu compact din 2 , adică o mulţime conexă, închisă şi mărginită. Presupunem în plus că D are arie. Aceasta se întâmplă, de exemplu, dacă frontiera lui D este o reuniune finită de curbe rectificabile. În particular dacă este netedă pe porţiuni. Definiţia 5.2.3. Se numeşte partiţie a lui D orice familie finită de subdomenii ρ

Di ⊂ D, i = 1, p , care au arie, nu au puncte interioare comune şi D = U Di . i =1

Dacă notăm cu ρ partiţia D1, D2 ,K , D p a lui D atunci norma acestei partiţii se defineşte astfel: ρ = max { diam ( Di ) ; 1 ≤ i ≤ p } . Din Propoziţia 5.1.2 rezultă că p

aria D = ∑ aria Di . i =1

Definiţia 5.2.4. Spunem că partiţia ρ ′ a domeniului D este mai Fig. 3 fină ca partiţia ρ a acestui domeniu şi notăm aceasta cu ρ ′ f ρ , dacă fiecare subdomeniu al partiţiei ρ este o reuniune finită de subdomenii ale partiţiei ρ ′ . Aşadar, dacă ρ este partiţia ( Di )1≤i ≤ p , atunci

98

ni

ρ ′ este de forma {Dij′ }1≤ i ≤ p şi Di = U Di′j , ∀ i = 1, p . 1≤ j ≤ ni

j =1

Este evident că dacă ρ p ρ ′ atunci ρ ≥ ρ ′ . Fie ρ : D1, D2 ,K , D p o partiţie a domeniului D şi fie f : D → Ρ o funcţie mărginită. Notăm cu: m = inf f ( x, y ) ( x, y ) ∈ D , M = sup f ( x, y ) ( x, y ) ∈ D

{

}

{

}

{ } M i = sup { f ( x, y ) ( x, y ) ∈ Di } . mi = inf f ( x, y ) ( x, y ) ∈ Di ,

Sumele Darboux corespunzătoare funcţiei f şi partiţiei ρ se definesc astfel: p

sρ = ∑ mi aria Di i =1

p

şi S ρ = ∑ M i aria Di . i =1

Deoarece m ≤ mi ≤ M i ≤ M , ∀ i şi, p

aria D = ∑ aria Di , rezultă:

Fig. 4

i =1

m ( aria D ) ≤ sρ ≤ S ρ ≤ M ( aria D )

(2)

Lema 5.2.1. Dacă ρ p ρ ′ atunci sρ ≤ sρ′ ≤ S ρ′ ≤ S ρ .

Demonstraţie Presupunem că partiţia ρ se compune din domeniile ( Di )1≤i ≤ p şi partiţia ρ ′ din domeniile

{Dij′ }11≤≤ij≤≤pn . i

ni

Cum ρ p ρ ′ rezultă că pentru orice i = 1, p avem

{

}

Di = U Dij′ . Dacă notăm cu mij′ = inf f ( x, y ) ( x, y ) ∈ Dij′ , atunci mij′ ≥ mi , j =1

∀ i = 1, p , ∀ j = 1, ni . În continuare avem ⎛ ni ⎞ p ni ′ sρ = ∑ mi aria Di = ∑ mi ⎜ ∑ aria Dij ⎟ ≤ ∑ ∑ mij′ aria Dij′ = sρ′ . ⎜ j =1 ⎟ i =1 j =1 i =1 i =1 ⎝ ⎠ Aşadar, am arătat că sρ ≤ sρ′ . În mod asemănător se arată că S ρ′ ≤ S ρ . p

p

Lema 5.2.2. Pentru orice două partiţii ρ ′ şi ρ ′′ ale domeniului D avem: sρ′ ≤ S ρ′′ . Demonstraţie

99

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Să presupunem că partiţia ρ ′ se compune din subdomeniile ( Di′ )1≤i ≤ p iar partiţia ρ ′′ din subdomeniile

( D′′j )1≤ j ≤q . Dacă notăm cu ρ partiţia formată din

domeniile ( Di′ I D′′j )1≤i ≤ p , atunci ρ este mai fină şi ca ρ ′ şi ca ρ ′′ . Din Lema 5.1.2 1≤ j ≤ q

rezultă: sρ′ ≤ sρ ≤ S ρ ≤ S ρ′′ . În continuare vom nota cu I∗ = sup { sρ ρ − partiţie a lui D } şi I ∗ = inf { S ρ ρ − partiţie a lui D } . Existenţa acestor margini rezultă din inegalităţile (2). Din Lema 5.2.2 rezultă că I ∗ ≤ I ∗ . Definiţia 5.2.5. Spunem că funcţia f este integrabilă pe domeniul D dacă I∗ = I = I . Valoarea comună I se notează cu I = ∫∫ f ( x, y ) dx dy şi se numeşte ∗

D

integrala dublă a funcţiei f pe domeniul D. Lema 5.2.3. Pentru orice ε > 0 există δ ε > 0 astfel încât pentru orice partiţie

ρ a domeniului D cu ρ < δ ε avem: I∗ − ε < sρ ≤ S ρ < I ∗ + ε . Demonstraţie. Din definiţia marginii superioare rezultă că ∀ ε > 0 există o partiţie ρ 0 a domeniului D astfel încât ε (3) I∗ − < sρ 0 2 Vom nota cu (Gκ )1≤κ ≤ r elementele partiţiei ρ 0 , cu Γκ frontiera mulţimii Gκ şi cu Γ =

r

U Γκ . Deoarece Gκ

κ =1

are arie, rezultă că Γκ este de arie zero. Cum Γ

este o reuniune finită de mulţimi mărginite închise, de arie zero, rezultă că Γ este o mulţime închisă, mărginită de arie zero. Pentru orice ε > 0 există o mulţime elementară E cu proprietăţile Γ ⊂ E şi aria E
0 . Fie

ρ : ( Di )1≤i ≤ p o partiţie a domeniului D cu ρ < δ ε . Să observăm că elementele

partiţiei ρ sunt de două feluri şi anume: Dacă Di I Γ ≠ ∅ atunci Di ⊂ E ; dacă Di I Γ = ∅ atunci există o singură mulţime Gκ astfel încât Di ⊂ Gκ . Dacă

100

I = {1, 2,K , p} , atunci notăm cu I1 = { i ∈ I Di I Γ ≠ ∅ } şi cu I 2 = I \ I1 . Aşadar, dacă i ∈ I1 avem Di ⊂ E şi dacă i ∈ I 2 există un κ (unic) astfel încât Di ⊂ Gκ . Fie ρ% partiţia formată din mulţimile ( Di I Gκ )i,κ . Din cele de mai sus rezultă că elementele lui ρ% sunt de forma ( Di I Gκ )i∈I1 şi {D j }

κ =1,r

j∈I 2

.

În continuare avem sρ% − sρ = ∑

r

∑ m% iκ aria ( Di I Gκ ) − ∑ mi aria ( Di ) ≤

i∈I1 κ =1

≤ ∑ M aria Di − ∑ m aria Di ≤ ( M − m ) aria E < ( M − m ) i∈I1

i∈I1

sρ% < sρ +

ε

i∈I1

2 ( M − m)

=

ε 2

. Aşadar

ε

(4) 2 Pe de altă parte, din Lema 5.2.1 rezultă că sρ ≤ sρ% , deoarece ρ0 p ρ% . 0

Ţinând seama acum de (3) şi (4) obţinem: ε ε I∗ − < sρ ≤ sρ% < sρ + , deci I∗ − ε < sρ . 0 2 2 Cealaltă inegalitate din enunţ se demonstrează asemănător. Teorema 5.2.2 (Darboux) Fie D un domeniu compact care are arie şi f : D → Ρ o funcţie mărginită. Condiţia necesară şi suficientă ca f să fie integrabilă pe D este ca pentru orice ε > 0 să existe δ ε > 0 cu proprietatea că pentru orice

partiţie ρ a lui D cu ρ < δ ε să avem S ρ − sρ < ε . Demonstraţie. Necesitate. Prin ipoteză I∗ = I ∗ = I . Din Lema 5.2.3 rezultă că ∀ ε > 0, există δ ε > 0 astfel încât ∀ ρ partiţie a lui D cu ρ < δ ε avem ε ε I − < sρ ≤ S ρ < I + , deci . S ρ − sρ < ε . 2 2 Suficienţă. Prin ipoteză ∀ ε > 0 ∃ δ ε > 0 astfel încât S ρ − sρ < ε pentru orice partiţie ρ cu ∗

ρ < δ ε . Din inegalităţile sρ ≤ I∗ ≤ I ∗ ≤ S ρ ∗

deducem

0 ≤ I − I∗ < ε . Cum ε > 0 este arbitrar rezultă I − I∗ = 0 , deci f este integrabilă pe D.

Teorema 5.2.3. Orice funcţie continuă pe D este integrabilă pe D.

101

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Demonstraţie. Fie f : D → Ρ continuă şi fie ρ : D1,K , D p o partiţie oarecare a lui D. Atunci avem: p

S ρ − sρ = ∑ ( M i − mi ) aria Di . i =1

Din continuitatea lui f rezultă pe de o parte că f este mărginită şi îşi atinge marginile pe fiecare domeniu compact Di , iar pe de altă parte că f este uniform continuă pe D. Fie (ξi′,ηi′ ) ∈ Di astfel încât mi = f (ξi′,ηi′ ) şi fie (ξi′′, ηi′′) ∈ Di astfel încât M i = f (ξi′′, ηi′′) . Din continuitatea uniformă rezultă că ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 astfel încât ∀ ( x′, y′) ∈ D , ( x′′, y′′) ∈ D cu x′ − x′′ < δ ε , y′ − y′′ < δ ε avem ε . f ( x′, y′) − f ( x′′, y′′) < aria D Dacă presupunem acum că ρ < δ ε va rezulta p

S ρ − sρ = ∑ ( f (ξi′′, ηi′′) − f (ξi′,ηi′ )) aria Di < i =1

ε

n

aria D ∑ i =1

aria ( D i) = ε .

Din Teorema 5.2.2 rezultă că f este integrabilă pe D. Teorema 5.2.4. Dacă f este mărginită pe D şi continuă pe D cu excepţia eventual a unei mulţimi de arie zero, atunci f este integrabilă pe D.

Demonstraţie. Fie M > 0 astfel încât f ( x, y ) < M , ∀

( x, y ) ∈ D

şi fie ε > 0 oarecare.

Prin ipoteză există o mulţime elementară E care conţine în interiorul său ε punctele de discontinuitate ale lui f şi aria E < . 4M o

Dacă notăm cu D% = D \ E , atunci D% este o mulţime închisă şi evident mărginită. Cum f este continuă pe D% rezultă că f este uniform continuă pe D% , deci ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 astfel încât oricare ar fi ( x′, y′) ∈ D% , ( x′′, y′′) ∈ D% cu x′ − x′′ < δ ε , y′ − y′′ < δ ε avem f ( x′, y′) − f ( x′′, y′′)
0 este arbitrar rezultă că I ∗ = I∗ , deci f este integrabilă pe D. În continuare vom introduce noţiunea de sumă Riemann. Fie ρ : D1,K , Dp o partiţie a domeniului D şi fie (ξi ,ηi ) ∈ Di un punct arbitrar, ∀ i = 1, p . Notăm cu

(ξ ,η ) = (ξi ,ηi )1≤ p≤1 .

Suma Riemann ataşată funcţiei f, diviziunii ρ şi punctelor

(ξi ,ηi )

se defineşte astfel: σ ρ ( f , ξ ,η ) = ∑ f (ξi ,ηi ) aria Di . Cum

intermediare

p

i =1

mi ≤ f (ξ i,ηi ) ≤ M i , ∀ i = 1, p , rezultă sρ ≤ σ ρ ( f , ξ ,η ) ≤ S ρ , ∀ (ξ ,η ) . Definiţia 5.1.6. Fie D un domeniu compact şi fie f : D → Ρ o funcţie mărginită. Spunem că f este integrabilă pe D (în sensul lui Riemann, pe scurt (R)integrabilă) dacă există un număr finit I cu proprietatea că ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 astfel

încât oricare ar fi ρ partiţie a lui D cu ρ < δ ε şi oricare ar fi alegerea punctelor intermediare (ξi ,ηi ) ∈ Di avem

σ ρ ( f , ξ ,η ) − I < ε . Numărul I se numeşte integrala dublă a funcţiei f pe domeniul D şi se foloseşte notaţia I = ∫∫ f ( x, y ) dx dy . D

Observaţia 5.2.1. Pentru orice ε > 0 , există (α i , βi ) ∈ D şi (γ i , δ i ) ∈ D

astfel încât S ρ − σ ρ ( f ,α , β ) < ε şi σ ρ ( f , γ , δ ) − sρ < ε . Într-adevăr, din definiţia marginii superioare rezultă că ∀ ε > 0 , există ε (αi , βi ) ∈ Di astfel încât M i − f (α i , βi ) < aria D . În continuare avem: p ε S ρ − σ ρ ( f ,α , β ) = ∑ ( M i − f (α i , β i )) aria Di < ⋅ aria D = ε . aria D i =1 Cealaltă inegalitate se demonstrează în mod analog. Folosind această observaţie şi procedând ca în demonstraţia Teoremei 2.3.2 se arată că cele două definiţii ale integralei duble cu sume Riemann şi sume Darboux coincid. De asemenea, se poate demonstra, ca şi în cazul integralei simple, că are loc următorul criteriu de integrabilitate.

103

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Teorema 5.2.5 (Riemann). Fie f : D → Ρ mărginită. Condiţia necesară şi suficientă ca f să fie integrabilă pe D, este să existe un număr real finit I cu proprietatea că pentru orice şir {ρ n} de partiţie ale lui D, care satisface condiţia

(

)

lim ρ n = 0 şi orice şir ξ (n) ,η (n) de puncte intermediare să avem

n →∞

(

)

lim σ ρn f , ξ (n) ,η (n) = I .

n →∞

Observaţia 5.2.2. Din Teorema 5.2.5 şi Observaţia 5.2.1 rezultă că dacă f este integrabilă pe D, atunci pentru orice şir {ρ n} de partiţii ale lui D, care

satisface condiţia lim ρ n = 0 , avem: n →∞

lim sρ n = lim S ρ n = ∫∫ f ( x, y ) dx dy .

n →∞

n →∞

D

Fie {ρ n} un şir de partiţii ale domeniului D cu proprietatea lim ρ n = 0 . n →∞

Subdomeniile partiţiei ρ n care nu au puncte comune cu frontiera lui D, le numim celule interioare. Reuniunea lor o notăm cu Pn . Celelalte subdomenii ale partiţiei ρ n le numim celule frontieră şi reuniunea lor o notăm cu Qn . Evident D = Pn U Qn şi aria D = aria Pn + aria Qn . Observaţia 5.2.3. aria D = lim aria Pn . n →∞

Într-adevăr, deoarece

aria D = sup { aria E; E ⊂ D, E ∈ E } , rezultă că

∀ ε > 0 , ∃ o mulţime elementară Eε ⊂ D astfel încât (5) aria D < aria Eε + ε Mulţimea Eε este formată dintr-un număr finit de dreptunghiuri închise, cu laturile paralele cu axele de coordonate. Fără a restrânge generalitatea, putem presupune că mulţimea Eε este disjunctă de frontiera domeniului D, deoarece, în caz contrar, putem micşora (comprima) această mulţime pe direcţia axelor de coordonate, astfel încât mulţimea obţinută să fie disjunctă de frontiera lui D şi să satisfacă în continuare (5). Fie R un dreptunghi oarecare al mulţimii Eε . Conform Teoremei 5.2.1 distanţa de la R la frontiera lui D este strict pozitivă. Notăm cu δ cea mai mică distanţă de la frontiera lui D la dreptunghiurile mulţimii Eε şi considerăm o partiţie ρ n 0 cu ρ n0 < δ . Observăm că Eε ⊂ Pn 0 , unde Pn 0 este reuniunea tuturor celulelor interioare ale partiţiei ρ n 0 . Într-adevăr, dacă M ∈ Eε , atunci există un dreptunghi R ⊂ Eε astfel încât M ∈ R. Deoarece distanţa de la M la frontiera lui D este mai mare ca δ,

104

punctul M nu poate aparţine nici unei celule frontieră din partiţia ρ n 0 , deci aparţine unei celule interioare a partiţiei ρ n 0 , adică a mulţimii Pn 0 . Rezultă că aria D < aria Pn 0 + ε , deci

{

aria D = sup aria Pn ; n ∈

} = lim aria P .

∗

n →∞

n

În continuare vom evidenţia o consecinţă importantă a Observaţiei 5.2.3 pentru teoria integralei duble. Fie {ρ n} un şir de partiţii ale domeniului D de ′ , iar normă tinzând la 0. Celulele interioare ale partiţiei ρ n le notăm cu Dni celulele frontieră ale lui ρ n le notăm cu Dn′′ j . Avem D = Pn U Qn unde

′ şi Qn = U Dn′′ j . Pn = U Dni i

j

Din Observaţia 5.2.3 deducem că lim aria (Qn ) = 0 n →∞

(6)

Observaţia 5.2.4. Fie f : D → o funcţie mărginită, integrabilă pe D şi fie ′ (respectiv M n′′ j ) un punct arbitrar din domeniul Dni ′ (respectiv Dn′′ j ). Atunci M ni

avem:

′ ) aria ( Dni ′ ) = ∫∫ f ( x, y ) dx dy . lim ∑ f ( M ni

n →∞ i

D

Într-adevăr, deoarece f este mărginită pe D, rezultă că există K > 0 astfel încât f ( M ) < K , ∀ M ∈ D. În continuare avem:

∑ f ( M n′′ j ) aria ( Dn′′ j ) ≤ ∑ f ( M n′′ j ) j

j

aria ( Dn′′ j ) ≤ K aria ( Qn ) .

Ţinând seama de Teorema 5.2.5 şi de (6) deducem ⎛ ⎞ ′ ) aria ( Dni ′ ) + ∑ f ( M n′′ j ) aria ( Dn′′ j ) ⎟ = ⎜⎜ ∑ f ( M ni ∫∫ f ( x, y ) dx dy = nlim ⎟ →∞ i j D ⎝ ⎠ ′ ) aria ( Dni ′ ). = lim ∑ f ( M ni n →∞ i

5.3. PROPRIETĂŢILE INTEGRALEI DUBLE Proprietăţile integralei duble sunt analoage cu proprietăţile integralei simple. Lăsăm demonstraţiile în seama cititorului. 5.3.1.

∫∫ 1. dx dy = aria D . D

105

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

5.3.2.

Dacă f şi g sunt integrabile pe D, atunci ∀ α, β ∈ Ρ, funcţia

α f + β g este integrabilă pe D şi

∫∫ ⎡⎣α f ( x, y ) + β g ( x, y )⎤⎦ dx dy = α ∫∫ f ( x, y ) dx dy + β ∫∫ g ( x, y ) dx dy . D

5.3.3.

D

D

Dacă f şi g sunt integrabile pe D şi f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) , ∀ ( x, y ) ∈ D,

atunci

∫∫ f ( x, y ) dx dy ≤ ∫∫ g ( x, y ) dx dy . D

5.3.4.

D

Dacă f este integrabilă pe D, atunci f este integrabilă pe D şi

∫∫ f ( x, y ) dx dy ≤ ∫∫ f ( x, y ) dx dy . D

D

5.3.5. Dacă f este integrabilă pe D şi notăm cu m (respectiv M) marginea inferioară (respectiv superioară) a funcţiei f pe D, atunci există m ≤ µ ≤ M astfel încât ∫∫ f ( x, y ) dx dy = µ aria D . D

Dacă presupunem în plus că f este continuă pe D, atunci există un punct (ξ ,η ) ∈ D astfel încât

∫∫ f ( x, y ) dx dy = f (ξ ,η ) aria D . D

5.3.6. Dacă domeniul D este reuniunea a două domenii compacte D1 şi D2 care au arie, fără puncte interioare comune şi f este integrabilă pe D1 şi D2 , atunci f este integrabilă pe D şi ∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫∫ f ( x, y ) dx dy + ∫∫ f ( x, y ) dx dy . D

D1

D2

5.4. MODUL DE CALCUL AL INTEGRALEI DUBLE Definiţia 5.4.1. Un domeniu compact D se numeşte simplu în raport cu axa Oy, dacă există două funcţii continue ϕ ,ψ : [a, b] →Ρ astfel încât ϕ ( x) < ψ ( x) pentru orice a < x < b şi

D=

{ ( x, y ) ∈

2

}

a ≤ x ≤ b; ϕ ( x) ≤ y ≤ ψ ( x) .

Un astfel de domeniu este reprezentat în figura 1. În mod analog, un domeniu D se numeşte simplu în raport cu axa Ox dacă există două funcţii continue u, v : [c, d ] →Ρ astfel încât u( x) < v( x) pentru c < y < d astfel încât

106

D=

{ ( x, y ) ∈

2

}

c ≤ y ≤ d ; u( x) ≤ x ≤ v( x) .

Fig. 1

Fig. 2

Un astfel de domeniu este reprezentat în figura 2. Există domenii compacte care sunt simple în raport cu ambele axe, de exemplu dreptunghiurile, cercurile etc. Lema 5.4.1. Fie D un domeniu simplu în raport cu axa Oy şi fie f : D → Ρ o funcţie continuă pe D. Dacă notăm cu m (respectiv M) marginile funcţiei f pe domeniul D atunci m (aria D ) ≤ ∫

b a

(∫

ψ ( x)

ϕ ( x)

)

f ( x, y ) dy dx ≤ M (aria D ) .

Demonstraţie. Pentru început, să observăm că din teorema de continuitate a integralei cu parametru (Teorema 3.2.1) rezultă că funcţia F ( x) = ∫

ψ ( x)

ϕ ( x)

f ( x, y ) dy , x ∈ [a, b] ,

este continuă pe [a, b] , deci integrabilă pe [a, b] . Prin ipoteză avem: m ≤ f ( x, y ) ≤ M , ∀ ( x, y ) ∈ D . Din proprietatea de monotonie a integralei rezultă: ψ ( x)

ψ ( x)

ψ ( x)

∫ϕ ( x) mdy ≤ ∫ϕ ( x) f ( x, y ) dy ≤ ∫ϕ ( x) M dy , sau

m [ψ ( x) − ϕ ( x)] ≤ ∫

ψ ( x)

ϕ ( x)

∀ x ∈ [a, b] ,

f ( x, y ) dy ≤ M [ψ ( x) − ϕ ( x)] , ∀ x ∈ [a, b] .

Folosind din nou proprietatea de monotonie a integralei obţinem: b

b

a

a

m ∫ [ψ ( x) − ϕ ( x)] dx ≤ ∫

Rămâne să observăm că aceasta lema este demonstrată.

(∫

ψ ( x)

ϕ ( x)

b

)

b

f ( x, y ) dy dx ≤ M ∫ [ψ ( x) − ϕ ( x)] dx . a

∫a (ψ ( x) − ϕ ( x)) dx = aria D

(Corolarul 5.1.1) şi cu

107

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Teorema 5.4.1. Fie D un domeniu simplu în raport cu axa Oy şi f : D → Ρ o funcţie continuă. Atunci b

(

ψ ( x)

∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫a ∫ϕ ( x) f ( x, y ) dy D

) dx .

Demonstraţie. Fie ∆ n : a = x0 < x1 < K < xi −1 < xi < K < xn = b , o diviziune

echidistantă a intervalului [a, b] .

Aşadar, b−a , ∀ i = 1, n şi xi − xi −1 = n b−a ∆n = . n Considerăm funcţiile ϕ j : [a, b] → , j = 0, n definite astfel: j [ψ ( x) − ϕ ( x)] , n ∀ x ∈ [a, b] . Evident ϕ 0 = ϕ şi

ϕ j ( x) = ϕ ( x) +

ϕ n =ψ . Notăm cu

Fig. 3

Dij =

{ ( x, y ) ∈

Observăm că diam ( Dij ) ≤

partiţia

domeniului D formată din mulţi-

mile ( Dij )0≤i ≤ n , unde 0≤ j ≤ n

ρn

2

}

xi −1 ≤ x ≤ xi , ϕ j −1( x) ≤ y ≤ ϕ j ( x) .

b−a 1 + ψ −ϕ n n

∞

, ∀ x ∈ [ xi −1, xi ] , de unde deducem că

ρ n → 0 când n → ∞. Fie mij (respectiv M ij ) marginea inferioară (respectiv superioară)a funcţiei f pe domeniul Dij . Din Lema 5.4.1 rezultă ⎛ ϕ j ( x ) f x, y dy ⎞ dx ≤ M aria D , i, j = 0, n . ( ) ⎟ ij ij ∫ x i −1 ⎜ ⎝ ϕ j −1( x ) ⎠ Sumând succesiv după i şi j obţinem: n n n x ⎛ n ϕ ( x) n n ⎞ i j ∑ ∑ mij aria Dij ≤ ∑ ∫ x i −1 ⎜⎜ ∑ ∫ϕ j −1( x) f ( x, y ) dy ⎟⎟ dx ≤ ∑ ∑ M ij aria Dij . i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 ⎝ j =1 ⎠ mij aria Dij ≤ ∫

xi

108

Deoarece

n

ϕ ( x)

ψ ( x)

j ∑ ∫ϕ j −1( x) f ( x, y ) dy = ∫ϕ ( x) f ( x, y ) dy

j =1

n

(

şi

i j ∑ ∫ x i −1 ⎛⎜⎝ ∫ϕ j −1( x) f ( x, y ) dy ⎞⎟⎠ dx = ∫ a ∫ϕ ( x) f ( x, y ) dy i =1

ϕ ( x)

x

b

rezultă: sρ n ≤ ∫

b a

(∫

ψ ( x)

ϕ ( x)

ψ ( x)

) dx

)

f ( x, y ) dy dx ≤ S ρ n

(1)

Cum f este integrabilă pe D, din Observaţia 5.2.2 rezultă că lim sρ n = lim S ρ n = ∫∫ f ( x, y ) dx dy . n →∞

n →∞

D

Trecând la limită după n în inegalităţile (1) obţinem

(

b

ψ ( x)

∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫a ∫ϕ ( x) f ( x, y ) dy D

) dx .

Observaţia 5.4.1. Dacă domeniul D este simplu în raport cu axa Ox, avem următoarea formulă de calcul

(

d

)

v( y )

∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫c ∫u( y) f ( x, y ) dx dy . D

Exemplul 5.4.1. Să se calculeze

∫∫ x

2

y dx dy unde D este domeniul mărginit

D

de curbele y = x 2 , y = 1 . Observăm că domeniul D este simplu în raport cu axa Oy: D =

{ ( x, y ) −1 ≤ x ≤ 1, x

2

}

≤ y ≤1 .

Conform Teoremei 5.1.1. avem:

∫∫ x

2

D

y dx dy = ∫

⎛ y2 = ∫ ⎜ x2 ⋅ −1 ⎜ 2 ⎝ 1

1 −1

(∫

1 x2

)

x 2 y dy dx =

⎞ ⎟ dx = 1 1 x 2 − x 6 dx = 2 ∫ −1 ⎟ x2 ⎠

1

(

1

)

1 ⎛ x3 x7 ⎞ 1 1 4 Fig. 4 = ⎜ − ⎟ = − = . 2⎜ 3 7 ⎟ 3 7 21 ⎝ ⎠ −1 Pe de altă parte, este uşor de observat că domeniul d este simplu şi în raport cu axa Ox. Într-adevăr D =

{ ( x, y ) 0 ≤ y ≤ 1, −

}

y ≤ x ≤ y . Aşadar avem

109

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

∫∫ x D

2

1⎛

y dx dy = ∫ ⎜ ∫ 0⎝ −

y y

⎛ 1⎜ x3 ⎞ x y dx ⎟ dy = ∫ y ⋅ 0⎜ ⎠ ⎜ 3 ⎝

⎞ ⎟ dy = ⎟ y⎟ ⎠

y

2

−

7

2 = 3

∫

1 2 y 0

2 y2 y dy = 3 7 2

1 0

=

4 . 21

5.5. SCHIMBAREA VARIABILELOR ÎN INTEGRALA DUBLĂ Fie Ω ⊂ 2 un domeniu mărginit care are arie, fie funcţia vectorială F : Ω → 2 , definită prin F (u, v ) = ( x (u, v ) , y (u, v )) , ( u, v ) ∈ Ω şi fie D ⊂

2

imaginea directă a domeniului Ω prin funcţia vectorială F. Presupunem că funcţia F are următoarele proprietăţi: (i) F este de clasă C 1 pe Ω . (ii) F : Ω → D este bijectivă. (iii) Transformarea F este o transformare regulată pe Ω, adică iacobianul său D ( x, y ) det J F ( u, v ) = ( u, v ) ≠ 0 , ∀ ( u, v ) ∈ Ω . D ( u, v )

( )

În aceste condiţii rezultă că D = F Ω

este la rândul său un domeniu

compact şi că iacobianul transformării F păstrează semn constant pe Ω. O astfel de funcţie vectorială se mai numeşte şi schimbare de coordonate sau schimbare de variabile. Observaţia 5.5.1. O schimbare de variabile transformă o curbă netedă pe porţiuni din domeniul Ω, într-o curbă netedă pe porţiuni din domeniul D. Fie γ ⊂ Ω o curbă netedă şi fie ρ (t ) = ( u(t ), v(t ) ) , t ∈ [a, b] o reprezentare parametrică

a sa. Dacă notăm cu C = F (γ ) , atunci r(t) = ( x ( u(t), v(t)) , y (u(t), v(t ))) , t ∈ [a, b]

este o reprezentare parametrică a curbei C ⊂ D. Ţinând seama de formulele de calcul pentru derivatele parţiale ale funcţiilor compuse obţinem: ∂x ⎧ dx ∂x ⎪⎪ dt = ∂u [u(t ), v(t )] ⋅ u′(t ) + ∂v [u(t ), v(t )] ⋅ v′(t ) ⎨ ⎪ dy = ∂y [u(t ), v(t )] ⋅ u′(t ) + ∂y [u(t ), v(t )] ⋅ v′(t ) ⎪⎩ dt ∂u ∂v Dacă presupunem, prin absurd că C nu este netedă, rezultă că există dx dy t0 ∈ ( a, b ) astfel încât ⎡⎣u (t0 ) , v ( t0 )⎤⎦ = 0 şi ⎡u (t ) , v (t0 )⎦⎤ = 0 , deci dt dt ⎣ 0

110

∂x ⎧ ∂x ⎪⎪ ∂u ⎣⎡u (t0 ) , v (t0 )⎦⎤ ⋅ u′ (t0 ) + ∂v ⎡⎣u (t0 ) , v (t0 )⎤⎦ ⋅ v′ (t0 ) = 0 ⎨ ⎪ ∂y ⎡u (t ) , v (t )⎤ ⋅ u′ (t ) + ∂y ⎡u (t ) , v (t )⎤ ⋅ v′ (t ) = 0 0 ⎦ 0 0 ⎦ 0 ∂v ⎣ 0 ⎩⎪ ∂u ⎣ 0

(1)

Cum prin ipoteză (u′ (t0 )) + ( v′ (t0 )) > 0 , rezultă că sistemul (1) admite 2

2

soluţie nebanală. Aşadar, avem:

∂x ∂x ⎡⎣u (t0 ) , v (t0 )⎤⎦ ⎡u (t ) , v (t0 )⎤⎦ D ( x, y ) ∂u ∂v ⎣ 0 =0, ⎡⎣u (t0 ) , v (t0 )⎤⎦ = D ( u, v ) ∂y ∂y ⎡u (t ) , v (t0 )⎤⎦ ⎡u (t ) , v (t0 )⎤⎦ ∂u ⎣ 0 ∂v ⎣ 0 ceea ce contrazice faptul că F este o transformare regulată. Observaţia 5.5.2. Printr-o schimbare de variabile, orice punct de pe frontiera domeniului D, corespunde unui punct de pe frontiera domeniului Ω şi reciproc. Cu alte cuvinte F ( fr Ω ) = fr D .

Într-adevăr, să presupunem că ( x0 , y0 ) ∈ fr D şi că există ( u0 , v0 ) ∈ Ω astfel încât x0 = x ( u0 , v0 ) , y0 = y (u0 , v0 ) . Cum transformarea F este regulată în punctul

(u0, v0 ) , din teorema de inversiune locală rezultă că ( x0, y0 )

este un punct interior

domeniului D, ceea ce este absurd. În cele ce urmează prezentăm noţiunea de modul de continuitate al unei funcţii şi principalele sale proprietăţi, care vor interveni în demonstraţia teoremei schimbării de variabile. Definiţia 5.5.1. Fie f : A ⊂ 2 → , unde A este o mulţime oarecare şi fie δ > 0 oarecare. Vom nota cu ω (δ , f ) = sup f ( M ′) − f ( M ′′) ; M ′, M ′′ ∈ A, dist ( M ′, M ′′) < δ .

{

}

Se observă imediat că dacă 0 < δ 1 < δ 2 atunci ω (δ 1, f ) < ω (δ 2, f ) . Observaţia 5.5.3. O funcţie f : A →

este uniform continuă pe A, dacă şi

numai dacă lim ω (δ , f ) = 0 . δ →0 δ >0

Într-adevăr, prin ipoteză, pentru ∀ ε > 0, ∃ ηε > 0 cu proprietatea că pentru orice M ′, M ′′ ∈ A cu dist ( M ′, M ′′) < ηε avem f ( M ′) − f ( M ′′) < ε . Rezultă că dacă

0 < δ < ηε , atunci

ω (δ , f ) < ε , deci

afirmaţiei reciproce este asemănătoare.

lim ω (δ , f ) = 0 . Demonstraţia

δ →0 δ >0

111

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Observaţia 5.5.4. Dacă A este convexă, atunci pentru orice δ 1 > 0 , δ 2 > 0

avem ω (δ 1 + δ 2 , f ) ≤ ω (δ 1, f ) + ω (δ 2 , f ) . În particular, rezultă

ω ( mδ , f ) ≤ , ∀ m ∈

∗

.

Într-adevăr, fie M ′, M ′′ ∈ A cu dist ( M ′, M ′′) < δ 1 + δ 2 şi fie M=

δ2 δ1 M′+ M ′′ . Evident M aparţine segmentului de dreaptă de capete δ1 + δ2 δ1 + δ2

M ′ şi M ′′ , deci M ∈ A, deoarece A este convexă. În continuare avem:

δ1 δ2 M ′ − M ′′) şi M ′′ − M = ( ( M ′′ − M ′) , deci δ1 + δ2 δ1 + δ2 δ1 δ1 dist ( M , M ′) = M − M ′ = M ′′ − M ′ < (δ + δ ) = δ 1 δ1 + δ2 δ1 + δ2 1 2 δ2 δ2 dist ( M , M ′′) = M − M ′′ = M ′′ − M ′ < (δ + δ ) = δ 2 . δ1 + δ2 δ1 + δ2 1 2 Aşadar, ∃ M ∈ A astfel încât dist ( M , M ′) < δ1 , dist ( M , M ′′) < δ 2 . M −M′ =

Pentru orice M ′, M ′′ ∈ A cu dist ( M ′, M ′′) < δ 1 + δ 2 avem

f ( M ′) − f ( M ′′) ≤ f ( M ′) − f ( M ) + f ( M ) − f ( M ′′) < ω (δ 1, f ) + ω (δ 2 , f ) , deci

ω (δ 1 + δ 2 , f ) ≤ ω (δ 1, f ) + ω (δ 2 , f ) .

Fie F : Ω → D , F (u, v ) = ( x (u, v ) , y (u, v )) , (u, v ) ∈ Ω o schimbare de variabile. Notăm cu ⎧ ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂y ⎞⎫ ω ( h ) = max ⎨ω ⎜ h, ⎟ ; ω ⎜ h, ⎟ ; ω ⎜ h, ⎟ ; ω ⎜ h, ⎟⎬ , ⎩ ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂v ⎠⎭ ∂x ⎛ ∂x ⎞ pe mulţiunde, de exemplu, ω ⎜ h, ⎟ este modulul de continuitate al funcţiei ∂u ⎝ ∂u ⎠ mea Ω, calculat în punctul h, deci ⎧ ∂x ⎫ ∂x ⎛ ∂x ⎞ ω ⎜ h, ⎟ = sup ⎨ ( M ′) − ( M ′′) ; M ′, M ′′ ∈ Ω, dist ( M ′, M ′′) < h⎬ . u u u ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ Deoarece x, y ∈ C 1 ( Ω ) , rezultă că lim ω ( h ) = 0 . h →0

Lema 5.5.1. Fie F : Ω → D , F (u, v ) = ( x (u, v ) , y (u, v )) , (u, v ) ∈ Ω o schim-

bare de variabile, fie ∆ = ( a, a + h ) × (b, b + h ) ⊂ Ω şi fie P = F ( ∆ ) ⊂ D imaginea directă a pătratului ∆ prin transformarea F. Atunci D ( x, y ) aria P = ( a, b ) aria ∆ + ϕ ( h ) unde ϕ ( h) ≤ Kh2ω ( h) , D ( u, v )

112

K fiind o constantă independentă de h şi de punctul A ( a, b ) . Demonstraţie.

Fig. 1

Fig. 2

Fie c = x ( a, b) şi d = y ( a, b ) . Din Teorema Lagrange rezultă că există două puncte (ξ ,η ) , (ξ ′,η ′) pe segmentul de dreaptă deschis de capete ( a, b ) şi (u, v ) astfel încât: ∂x ∂x ⎧ ⎪⎪ x (u, v ) = c + ∂u (ξ ,η ) (u − a ) + ∂v (ξ ,η ) ( v − b ) (2) ⎨ ⎪ y (u, v ) = d + ∂y (ξ ′,η ′) (u − a ) + ∂y (ξ ′,η ′) ( v − b ) ∂u ∂v ⎩⎪ Dacă notăm cu ∂x ∂x ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ α = ⎜ (ξ ,η ) − ( a, b ) ⎟ (u − a ) + ⎜ (ξ ,η ) − ( a, b ) ⎟ ( v − b ) şi ∂u ∂v ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂v ⎠ ∂ ∂ ∂ ∂ y y y y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ β = ⎜ (ξ ′,η ′) − ( a, b ) ⎟ (u − a ) + ⎜ (ξ ′,η ′) − ( a, b ) ⎟ ( v − b ) , atunci ∂u ∂v ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂v ⎠ ∂x ∂x ⎧ ⎪⎪ x (u, v ) = c + ∂u ( a, b ) (u − a ) + ∂v ( a, b ) ( v − b ) + α (3) ⎨ ⎪ y (u, v ) = d + ∂y ( a, b ) (u − a ) + ∂y ( a, b ) ( v − b ) + β ∂u ∂v ⎩⎪ În continuare considerăm transformarea afină

∂x ∂x ⎧ˆ ⎪⎪ x (u, v ) = c + ∂u ( a, b ) (u − a ) + ∂v ( a, b ) ( v − b ) ⎨ ⎪ yˆ (u, v ) = d + ∂y ( a, b ) (u − a ) + ∂y ( a, b ) ( v − b ) ∂u ∂v ⎩⎪

(4)

113

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Fie Fˆ : Ω → D funcţia vectorială Fˆ (u, v ) = ( xˆ (u, v ) , yˆ (u, v )) , (u, v ) ∈ Ω şi fie Pˆ = Fˆ ( ∆ ) imaginea directă a pătratului ∆ prin transformarea afină Fˆ . Ţinând seama de coordonatele vârfurilor A, B, H, L ale pătratului ∆ rezultă coordonatele vârfurilor patrulaterului Pˆ = QRST , anume Q = Fˆ ( A) = ( c, d ) ∂x ∂y ⎛ ⎞ R = Fˆ ( B ) = ⎜ c + ( a, b ) h, d + ( a, b ) h ⎟ ∂u ⎝ ∂u ⎠ ∂x ∂x ∂y ∂y ⎛ ⎞ T = Fˆ ( L ) = ⎜ c + ( a, b ) h + ( a, b ) h, d + ( a, b ) h + ( a, b ) h ⎟ u v u v ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∂ ∂ x y ⎛ ⎞ S = Fˆ ( H ) = ⎜ c + ( a, b ) h, d + ( a, b ) h ⎟ ∂v ⎝ ∂v ⎠ Se observă că dreptele QR şi ST sunt paralele şi că 2 2 uuur uuur ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ QR = ST = h ⎜ ( a, b ) ⎟ + ⎜ ( a, b ) ⎟ . Prin urmare, patrulaterul QRST este ⎝ ∂u ⎠ ⎝ ∂u ⎠ un paralelogram. Aria sa este egală cu mărimea produsului vectorial r r r i j k

uuur uuur ∂x ∂y QR × QS = ( a, b ) h ( a, b ) h 0 = ∂u ∂u ∂x ∂y ( a, b ) h ( a, b ) h 0 ∂v ∂v ∂y ∂x ∂y ⎛ ∂x ⎞r = h 2 ⎜ ( a, b ) ( a, b ) − ( a, b ) ( a, b ) ⎟ k . ∂v ∂v ∂u ⎝ ∂u ⎠ Aşadar, avem: D ( x, y ) ( a, b ) h 2 aria Pˆ = D ( u, v ) Mai reţinem că

(5)

2 2 uuur uuur ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ QS = RT = h ⎜ ( a, b ) ⎟ + ⎜ ( a, b ) ⎟ (6) ⎝ ∂v ⎠ ⎝ ∂v ⎠ Să estimăm acum distanţa de la un punct oarecare M ( x, y ) ∈ P la punctul

corespunzător Mˆ ( xˆ, yˆ ) ∈ Pˆ . Din (3) şi (4) rezultă că dist ( M , Mˆ ) = α 2 + β 2 . Pe de altă parte, ţinând seama de proprietăţile modulului de continuitate, pentru (u, v) ∈ ∆ obţinem ⎛ ⎝

α (u, v ) ≤ ω ⎜ 2h,

∂x ⎞ ∂x ⎞ ⎛ ⎟ h + ω ⎜ 2h, ⎟ h ≤ 2ω ( 2h ) h ≤ 2ω ( 2h ) h ≤ 4ω ( h ) h ∂u ⎠ ∂v ⎠ ⎝

114

Absolut analog se arată că β (u, v ) ≤ 4ω ( h ) h . Aşadar, avem: dist ( M , Mˆ ) ≤ 32ω 2 ( h ) h 2 ≤ 6 ω ( h ) h = r (7) Notăm cu Γ reuniunea tuturor discurilor de rază r care au centrul în punctul ˆ M , când Mˆ parcurge frontiera paralelogramului Pˆ . Aria mulţimii Γ este mai mică decât suma ariilor celor patru cercuri de rază r cu centrele în vârfurile paralelogramului Pˆ , plus aria celor patru dreptunghiuri de lăţime 2r construite pe laturile paralelogramului Pˆ . Rezultă că uuur uuur aria ( Γ ) ≤ 4π r 2 + 4r QR + QS .

(

)

Deoarece x, y ∈ C 1 ( Ω ) , rezultă că derivaFig. 3

tele lor parţiale de ordinul I sunt mărginite pe Ω , uuur uuur deci QR < K1h , QR < K1h , unde K1 > 0 este o

constantă. Prin urmare avem: aria ( Γ ) ≤ 4π 36ω 2 ( h ) h 2 + 48ω ( h ) h 2 K1 ≤ K ω ( h ) h 2

(8)

unde K este o constantă pozitivă independentă de h şi de A ( a, b ) . Observăm că P \ Pˆ ⊂ Γ . Într-adevăr, fie M1 ∈ P \ Pˆ şi fie (u1, v1 ) ∈ ∆ astfel

Fig. 4

încât

M1 = F (u1, v1 ) .

Dacă

notăm

cu

Mˆ 1 = Fˆ (u1, v1 ) , atunci Mˆ 1 ∈ Pˆ şi dist ( M1, Mˆ 1 ) < r . Cum M 1 ∉ Pˆ , rezultă că segmentul de dreaptă Mˆ M întâlneşte frontiera lui Pˆ . 1

1

(

)

(

)

Fie Mˆ 2 ∈ Mˆ 1M 1 I fr.Pˆ . Avem dist M1Mˆ 2 < dist M1Mˆ 1 < r , deci M 1 ∈ Γ .

continuare avem: P = Pˆ U ( P \ Pˆ ) aria P = aria Pˆ + aria ( P \ Pˆ ) . În

de

unde

rezultă

că:

Cum aria ( P \ Pˆ ) ≤ aria Γ , deducem că există θ ∈ ( 0,1) astfel încât aria ( P ) = = aria ( Pˆ ) + θ ⋅ aria ( Γ ) . Din (5) şi (8) obţinem aria ( P ) =

D ( x, y ) ( a, b ) h 2 + θ ⋅ K ω ( h ) h 2 . D ( u, v )

În sfârşit, dacă notăm ϕ ( h ) = θ ⋅ K ω ( h ) h 2 atunci ϕ ( h ) ≤ K ⋅ ω ( h ) h2 şi aria ( P ) =

D ( x, y ) ( a, b ) h 2 + ϕ ( h ) . D ( u, v )

115

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Cu aceasta lema este demonstrată. Teorema 5.5.1. Fie F : Ω → D , F (u, v ) = ( x (u, v ) , y (u, v )) , schimbare de variabile şi fie f : D →

( u, v ) ∈ Ω o

o funcţie continuă. Atunci

D ( x, y )

∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫∫ f ⎣⎡ x (u, v) , y (u, v)⎦⎤ D (u, v ) (u, v) du dv . D Ω Demonstraţie. Fie m ∈ ∗ un număr natural oarecare, fie h = 2−m şi fie familiile de drepte x = kh, y = lh, k , l ∈ . Notăm cu Sm reţeaua de pătrate determinată de aceste drepte şi cu ρ m partiţia domeniului Ω determinată de această reţea. Fie ∆ mi un pătrat interior oarecare al reţelei Sm şi fie

Fig.5

aria ( Pmi ) =

Fig. 6

Pmi = F ( ∆ mi )

imaginea

directă a pătratului ∆ mi prin transformarea F. Din Lema 5.5.1 rezultă că

D ( x, y ) ( M mi ) aria ( ∆ mi ) +ψ ( h ) ⋅ aria ( ∆ mi ) unde ψ ( h ) ≤ K ω ( h ) , D ( u, v )

iar M mi este un punct din pătratul ∆ mi . Dacă notăm cu Qmi = F ( M mi ) ∈ Pmi şi ţinem seama că funcţiile f, x şi y sunt continue şi mărginite rezultă D ( x, y ) ∑ f (Qmi ) aria ( Pmi ) − ∑ f ⎡⎣ x ( M mi ) , y ( M mi )⎤⎦ D (u, v ) ( M mi ) aria ( ∆ mi ) ≤ i i

≤ K ′ω ( h) ∑ aria ( ∆ mi ) = K ′ω ( h ) aria ( Ω) . i

Cum funcţiile f şi f o F sunt continue, deci integrabile şi lim ω ( h ) = 0 , din h →0

Observaţia 5.2.4 deducem că ∫∫ f ( x, y ) dx dy = lim D

∑ f (Qmi ) aria ( Pmi ) =

m→∞ i

= lim

∑ f ⎡⎣ x ( M mi ) , y ( M mi )⎤⎦ aria ( ∆ mi ) =

m→∞ i

D ( x, y ) = ∫∫ f ⎡⎣ x (u, v ) , y (u, v )⎤⎦ (u, v ) du dv = . , D u v ( ) Ω Cel mai utilizat tip de schimbare de variabile este trecerea la coordonate polare:

116

⎧ x = ρ cos θ ⎨ ⎩ y = ρ sin θ

ρ > 0,

0 < θ < 2π

(9)

Dacă notăm cu A = { (θ , ρ ) 0 < θ < 2π ,0 < ρ < ∞} , cu

B=

2

\ { ( x,0) , x ≥ 0} şi cu F (θ , ρ ) = ( ρ cosθ , ρ sin θ ) , atunci F : A → B este o

transformare regulată (iacobianul său J F ( ρ ,θ ) = Fie 0 < α < β < 2π şi fie ϕ : [α , β ] →

D ( x, y ) = ρ > 0 ). D ( ρ ,θ )

o funcţie continuă . Notăm cu

Ω = { (θ , ρ ) α < θ < β ; 0 < ρ < ϕ (θ ) } şi cu D = F ( Ω ) , atunci F : Ω → D este o schimbare de variabile. Dacă f : D → este o funcţie continuă, atunci din Teorema 5.5.1 rezultă: ∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ )ρ d ρ dθ = Ω

D

(10) ⎞ = ∫ ⎜∫ f ( ρ cosθ , ρ sinθ ) ρ d ρ ⎟ dθ α⎝ 0 ⎠ Deoarece mulţimea D \ D (respectiv Ω \ Ω ) este de arie zero, rezultă că este valabilă şi egalitatea (11) ∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫∫ f ( ρ cosθ , ρ sin θ )ρ d ρ dθ β ⎛ ϕ (θ )

Ω

D

Exemplul 5.5.1. Să se calculeze

∫∫ ( x

2

+ y 2 ) dx dy , unde

D

x ⎧ ⎫ D = ⎨ ( x, y ) x 2 + y 2 < a 2 , < y < x 3, x > 0⎬ . 3 ⎩ ⎭ În acest caz Ω = F −1 ( D ) este drept⎛π π ⎞ unghiul ⎜ , ⎟ × ( 0, a ) . ⎝6 3⎠ Într-adevăr, înlocuind în inegalităţile care definesc domeniul D pe x şi y cu ρ cos θ şi ρ sin θ rezultă: Fig. 7

Fig. 8

cos θ ⎧ ⎫ Ω = ⎨ (θ , ρ ) ρ 2 < a 2 , < sin θ < 3 cos θ ⎬ = 3 ⎩ ⎭

117

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

1 ⎧ ⎫ ⎛π π ⎞ = ⎨ (θ , ρ ) 0 < ρ < a; < tgθ < 3 ⎬ = ⎜ , ⎟ × ( 0, a ) 3 ⎩ ⎭ ⎝6 3⎠ Aşadar, avem 2 2 2 2 2 2 ∫∫ ( x + y ) dx dy = ∫∫ ( ρ cos θ + ρ sin θ )ρ d ρ dθ = Ω

D

=∫

π 3

π 6

(∫ ρ d ρ ) dθ = π24a . a

4

3

0

Exemplul 5.5.2. Să se calculeze

∫∫

x 2 + y 2 dx dy , unde

D

D=

Fig. 9

Ω=

{ (θ , ρ ) ∫∫ D

{ ( x, y ) x 2 + y 2 < 2ax,

Observăm că ecuaţia x 2 + y 2 − 2ax = 0 este ecuaţia cercului cu centrul în punctul (a, 0) şi de rază r = a. Înlocuind x şi y cu ρ cos θ şi ρ sin θ în inegalităţile ce definesc D obţinem

Fig. 10

{

ρ 2 < 2a ρ cosθ , ρ sin θ > 0 } = (θ , ρ ) 0 < ρ < a cosθ , 0 < θ
0 .

)

ρ 2 d ρ dθ =

π

2

}

a3 π 2 3 cos θ dθ = 3 ∫0

(1 − sin 2 θ ) cosθ dθ = 2a

3

9

Exemplul 5.5.3. Să se calculeze

∫∫ ( y − x + 2) dx dy , unde D

⎧ ⎫ x y x y2 D = ⎨ ( x, y ) 2 + 2 < 1 ⎬ . Ecuaţia 2 + 2 = 1 este ecuaţia unei elipse de semiaxe a b a b ⎩ ⎭ a şi b. În acest caz se folosesc coordonate polare generalizate şi anume ⎧ x = a ρ cos θ ⎨ ⎩ y = b ρ sin θ 0 < ρ < 1 şi 0 < θ < 2π . Iacobianul transformării este Fig. 11 Fig. 12 abρ. 2

2

2

118

2π

(

1

∫∫ ( y − x + 2) dx dy = ∫0 ∫0 (bρ sin θ − a ρ cosθ + 2) abρ D

=

2π ab 2 sin θ 0

∫

⋅

ρ3 3

1 0

2π

dθ − a b ∫ cos θ ⋅ 2

0

ρ3 3

) d ρ dθ =

1 0

dθ + 2ab ⋅ ∫

2π

0

ρ2 2

1 0

dθ = 2π ab .

5.6. APLICAŢII ALE INTEGRALEI DUBLE ÎN GEOMETRIE ŞI MECANICĂ

O primă aplicaţie a integralei duble în geometrie a fost evidenţiată în proprietăţile integralei duble şi anume: aria D = ∫∫ 1⋅ dx dy , unde D ⊂ 2 , este un D

domeniu mărginit care are arie. o funcţie integrabilă, fie ρ : D1, D2 ,K , Dn o partiţie a Fie f : D → domeniului D şi fie (ξi ,ηi ) ∈ Di un punct arbitrar. Reamintim că: n

∑ f (ξi ,ηi ) aria Di , ρ →0

I = ∫∫ f ( x, y ) dx dy = lim D

i =1

sensul exact fiind următorul: Pentru orice ε > 0, există δ ε > 0 astfel încât, oricare ar fi partiţia ρ a

domeniului D, cu ρ < δ ε şi oricare ar fi punctele intermediare (ξi ,ηi ) ∈ Di , avem: n

∑ f (ξi ,ηi ) aria Di − I

0, unde D = ( x, y ) ∈ ; x + y < a . D (x + y ) 1 Observăm că funcţia f ( x, y ) = nu este definită în O(0,0) şi nu α 2 ( x2 + y 2 ) este mărginită pe D. 1 ⎛ 1⎞ ⎧ ⎫ Fie Dn = D \ B ⎜ 0; ⎟ = ⎨( x, y ) ; 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ a 2 ⎬ . Este clar că {Dn} este ⎝ n⎠ ⎩ n ⎭ un şir de domenii mărginite, care are arie şi care îndeplineşte condiţiile (i)-(iii), iar f este continuă pe Dn , deci integrabilă pe Dn . În continuare avem:

{

}

132

∫∫

Dn

dx dy 2 α 2

( x2 + y )

=

2π ⎛ a

ρ

2π

⎞

∫0 ⎜⎝ ∫ 1 n ρ α dρ ⎟⎠ = 2 − α ⋅ [a 2−α − nα −2 ] .

Observăm că dacă α < 2, atunci există lim

n→∞

Aşadar, dacă α < 2. integrala este convergentă şi

∫∫ D

n→∞ ∫∫

Dacă α > 2, atunci lim

Dn

Pentru α = 2, avem

dx dy α 2

( x2 + y 2 )

dx dy

2π

∫∫ x 2 + y 2 = ∫0

dθ

Dn

Rezultă că

dx dy

∫∫ x 2 + y 2

∫∫

Dn

dx dy α 2

( x2 + y 2 )

dx dy 2 α 2

( x2 + y )

=

2π ⋅ a 2 −α . 2 −α

=

2π ⋅ a 2−α . 2 −α

= +∞. a

∫1 n

dρ

ρ

1 = 2π ⎡⎢ln a − ln ⎤⎥ ⎯⎯⎯ →∞ . n ⎦ n→∞ ⎣

este divergentă.

D

Exemplul 5.8.3. Să se studieze convergenţa integralei ∫∫ D

{

}

dx dy α 2

( x2 + y 2 )

, unde

D = ( x, y ) ; x 2 + y 2 > a 2 , a > 0 . Evident, domeniul D este nemărginit.

{

}

Dacă notăm cu Dn = ( x, y ) ; a 2 < x 2 + y 2 < n 2 , rezultă că

{Dn}

satisface

condiţiile (i)-(iii). Pe de altă parte, procedând ca în exerciţiul precedent deducem că dx dy 2π dx dy ∫∫ 2 2 α 2 = α − 2 ⋅ [n 2−α − a 2−α ] , dacă α ≠ 2 şi ∫∫ x 2 + y 2 = 2π [ln n − ln a] . Dn Dn ( x + y ) Rezultă că integrala este convergentă dacă α > 2 şi divergentă dacă α ≤ 2. Teorema 5.8.2. Fie f, g: D → Ρ+, cu proprietatea 0 ≤ f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ,

∀

( x, y ) ∈ D .

Dacă

∫∫ g ( x, y ) dx dy D

este convergentă, atunci şi

∫∫ f ( x, y ) dx dy D

este convergentă. Afirmaţia rezultă imediat din Teorema 5.8.1 şi din inegalitatea an = ∫∫ f ( x, y ) dx dy = ∫∫ g ( x, y ) dx dy = bn , ∀ n. Dn

Dn

133

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE 2

Definiţia 5.8.2 Fie f :

→

, integrabilă pe orice bilă închisă Br , cu

centrul în origine şi de rază R. Dacă există lim

n→∞

∫∫ f ( x, y ) dx dy şi e finită, atunci, Br

această limită se numeşte valoarea principală în sensul lui Cauchy a integralei generalizate ∫∫ f ( x, y ) dx dy . D

Se foloseşte notaţia: V.p. ∫∫ f ( x, y ) dx dy = lim

r →∞

2

2

∫∫2 f2 ( x, y ) dx dy .

x + y ≤r

Exemplul 5.8.4. V.p. ∫∫ x ⋅ h ( x 2 + y 2 ) dx dy = 0, oricare ar fi h o funcţie 2

continuă pe lim

r →∞

2

. Într-adevăr,

∫∫2

x ⋅ h ( x 2 + y 2 ) dx dy = lim

x2 + y ≤ r 2

r →∞

2π

∫0

r

cosθ dθ ∫ ρ 2 ln ρ 2 d ρ = 0 . 0

5.9. INTEGRALE TRIPLE După cum am văzut în acest capitol, trecerea de la integrala simplă la integrala dublă, pe lângă multe analogii, presupune şi unele modificări de substanţă, atât în planul conceptelor, cât şi în cel al raţionamentelor. Aceste modificări îşi au originea în principal, în teoria mulţimilor plane măsurabile (care au arie). În contrast cu această situaţie, trecerea de la integrala dublă la integrala triplă nu presupune nici un fel de complicaţie. Pentru început se impune introducerea noţiunii de volum. Din geometria elementară se ştie că volumul unui paralelipiped dreptunghic este egal cu produsul lungimilor muchiilor sale. În particular, dacă T este un paralelipiped cu laturile paralele cu axele de coordonate, adică T = [a1, a2 ] × [b1, b2 ] × [c1, c2 ] , atunci Vol (T ) = ( a2 − a1 )(b2 − b1 )( c2 − c1 ) . Definiţia 5.9.1 Prin mulţime elementară în spaţiu înţelegem orice reuniune finită de paralelipipede dreptunghice cu muchiile paralele cu axele de coordonate, fără puncte interioare comune. Volumul unei astfel de mulţime este prin definiţie suma volumelor paralelipipedelor care o compun. Mai precis, T este o mulţime elementară dacă există p

o

o

Ti = [ai1, ai2 ] × [bi1, bi2 ] × [ci1, ci2 ] , i = 1, p astfel încât T = U Ti şi Ti I T j = ∅ pentru

i≠ j.

i =1

134

def

Vol (T ) =

p

p

i =1

i =1

∑ Vol (Ti ) = ∑ ( ai2 − ai1 )(bi2 − bi1 )(ci2 − ci1 ) .

În continuare notăm cu T familia tuturor mulţimilor elementare din spaţiu. Definiţia 5.9.2 Fie T un domeniu mărginit din 3 . Se numeşte volumul interior al lui T următorul număr: V∗ = sup {Vol (T ′) ; T ′ ⊂ T , T ′ ∈ T } (În cazul când nu există T ′ ∈ T astfel încât T ′ ⊂ T , vom defini V∗ = 0 ). În mod analog, definim volumul exterior astfel: V ∗ = inf {Vol (T ′′) ; T ′′ ⊃ T , T ′′ ∈ T }

Este evident că V∗ ≤ V ∗ . Spunem că domeniul T este măsurabil (are volum) dacă V∗ = V ∗ = V . Dacă T are volum, atunci prin definiţie Vol (T ) = V = V∗ = V ∗ . Observaţia 5.9.1 Orice mulţime elementară în spaţiu are volum în sensul definiţiei 5.9.2 şi acesta coincide cu cel din Definiţia 5.9.1. Teorema 5.9.1. Fie D ⊂ 2 un domeniu mărginit care are arie şi fie f : D → + o funcţie continuă. Dacă notăm cu

{

T = ( x, y, z ) ∈

}

; ( x, y ) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f ( x, y )

3

atunci T are volum şi Vol (T ) = ∫∫ f ( x, y ) dx dy . D

Demonstraţie. Din punct de vedere geometric domeniul T este un corp cilindric mărginit inferior de domeniul D, lateral de suprafaţa cilindrică, care are generatoarele paralele cu axa Oz şi curba directoare fr(D), iar superior de graficul funcţiei z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D .

135

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Considerăm în planul xOy o reţea S k de pas h = 2−k , formată de dreptele x = ph , y = lh , p, l ∈ . Fie I k familia tuturor pătratelor (pline) ∆h ale reţelei S k incluse în D şi fie Pk reuniunea acestor pătrate. Conform Observaţiei 5.2.3 avem (1) aria D = sup aria Pk = lim aria Pk k →∞

k

Fie mh (respectiv M h ) marginea inferioară (respectiv superioară) a funcţiei f pe domeniul Dh şi fie sk = ∑ mh aria Dh . Ţinând seama de (1) şi de Fig. 1

Dh∈I k

faptul că f este integrabilă pe D rezultă că lim sk = ∫∫ f ( x, y ) dx dy . k →∞

D

Fie J k familia tuturor pătratelor Dh care conţin cel puţin un punct din D şi fie Qk reuniunea acestor pătrate. Evident Pk ⊂ D ⊂ Qk . Mai mult, se poate arăta că aria D = inf aria Qk = lim aria Qk (2) k

k →∞

Dacă notăm cu S k = precizarea că dacă Fig. 2

∑

Dh∈J k

M h aria Dh , (cu

Dh ∈ J k \ I k , atunci

M h = sup { f ( x, y ) ; ( x, y ) ∈ Dh I D} , atunci

lim S k = ∫∫ f ( x, y ) dx dy .

k →∞

D

Fie Th′ paralelipipedul dreptunghic cu muchiile paralele cu axele de coordonate de bază ∆h şi înălţime mk şi fie Tk′ = U {Th; ∆ h ∈ I k } . Este evident că Tk′ este o mulţime elementară în spaţiu, Tk′ ⊂ T şi Vol (Tk′ ) = sk . Pe de altă parte, dacă notăm cu Th′′ paralelipipedul dreptunghic de bază ∆h şi

înălţime M h şi cu Tk′′ = U {Th′′; ∆ h ∈ J k } , atunci Tk′′ este o mulţime elementară în spaţiu, Tk′′ ⊃ T şi Vol (Tk′′) = Sk . În continuare avem:

0 ≤ V ∗ − V∗ ≤ Vol (Tk′′) − Vol (Tk′ ) = Sk − sk . Cum lim Sk − sk = 0 , rezultă că k →∞

∗

V = V∗ =

∫∫ f ( x, y ) dx dy . D

136

Observaţia 5.9.2 Din Teorema 5.9.1 rezultă interpretarea geometrică a integralei duble. Dacă f : D → + este continuă, atunci ∫∫ f ( x, y ) dx dy este D

volumul corpului cilindric mărginit inferior de D, lateral de suprafaţa cilindrică cu generatoarele paralele cu Oz şi curba directoare C =frD şi superior de suprafaţa z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D (Vezi fig. 1). Demonstraţia următoarei teoreme este complet analoagă cu cazul domeniilor plane. Teorema 5.9.2. Un domeniu T ⊂ 3 are volum dacă şi numai dacă pentru ∀ ε > 0 există două mulţimi elementare în spaţiu Pε şi Qε astfel încât Pε ⊂ T ⊂ Qε şi Vol (Qε ) − Vol ( Pε ) < ε .

Definiţia 5.9.2 O mulţime A ⊂ 3 este de volum zero dacă ∀ ε > 0 , există o mulţime elementară în spaţiu Pε cu proprietăţile: A ⊂ Pε şi Vol ( Pε ) < ε . Ţinând seama de această definiţie, Teorema 5.9.2 se poate reformula astfel: Teorema 5.9.3. Un domeniu mărginit T ⊂ 3 are volum dacă şi numai dacă frontiera sa este de arie zero. Fie acum T ⊂ 3 un domeniu mărginit şi fie ρ : T1, T2 ,K , Tn o familie de subdomenii cu proprietăţile: n

1) T = U Ti o

i =1 o

2) Ti I T j = ∅ dacă i ≠ j 3) Ti are volum, ∀ i = 1, n . O astfel de familie de subdomenii se numeşte partiţie a lui T. Se numeşte norma partiţiei ρ cel mai mare diametru dintre diametrele domeniilor Ti , i = 1, n . Aşadar

ρ = max {diam (Ti ) , 1 ≤ i ≤ n } , unde

diam (Ti ) = sup {dist ( M ′, M ′′) ; M ′, M ′′ ∈ Ti } . Definiţia 5.9.3 Fie T ⊂ 3 un domeniu mărginit care are volum, fie f : T → Ρ şi fie ρ : T1, T2 ,K , Tn o partiţie oarecare a lui T. Notăm cu Pi un punct oarecare din subdomeniul Ti şi cu n

σ ρ ( f , Pi ) = ∑ f ( Pi ) Vol (Ti ) . i =1

137

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Spunem că f este integrabilă pe domeniul T dacă există un număr finit I cu proprietatea că ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 astfel încât oricare ar fi partiţia ρ a lui T cu

ρ < δ ε şi oricare ar fi punctele Pi ∈ Ti avem:

σ ρ ( f , Pi ) − I < ε . Numărul I se numeşte integrala triplă a funcţiei f pe domeniul T şi se foloseşte notaţia: I = ∫∫∫ f ( x, y, z ) dx dy dz . De asemenea, vom scrie T

∫∫∫

n

∑ f ( Pi ) Vol (Ti ) ,

f ( x, y, z ) dx dy dz = lim

ρ →0 i =1

T

sensul exact fiind cel din Definiţia 5.9.3. Proprietăţile integralei triple sunt complet analoage cu proprietăţile integralei duble. În particular se poate arăta că orice funcţie continuă este integrabilă. Definiţia 5.9.4 Un domeniu T ⊂ 3 se numeşte simplu în raport cu axa Oz dacă există un domeniu D ⊂ 2 care are arie şi două funcţii continue ϕ ,ψ : D → cu proprietatea ϕ ( x, y ) < ψ ( x, y ) , ∀ ( x, y ) ∈ D astfel încât

T=

{ ( x, y, z ) ∈

}

; ϕ ( x, y ) < z < ψ ( x, y ) , ∀ ( x, y ) ∈ D .

3

Din Teorema 5.9.1 rezultă că un astfel de domeniu are volum şi Vol ( T ) = ∫∫ψ ( x, y ) dx dy − ∫∫ ϕ ( x, y ) dx dy . D

D

Teorema 5.9.4. Fie T ⊂ 3 un domeniu simplu în raport cu Oz şi fie f : T → Ρ o funcţie continuă. Atunci: ⎛ ψ ( x, y ) ⎞ ∫∫∫ f ( x, y, z ) dx dy dz = ∫∫ ⎜⎝ ∫ϕ ( x, y ) f ( x, y, z ) dz ⎟⎠ dx dy . T D Exemplul 5.9.1. Să se calculeze volumul tetraedrului T mărginit de planele: x = 0, y = 0, z = 0 şi x + 2y + z – 6 = 0. Proiecţia tetraedrului T în planul xOy este x iar T este următorul domeniu triunghiul (plin) D = ( x, y ) ; 0 ≤ x ≤ 6; 0 ≤ y ≤ 3 − 2

{

}

simplu în raport cu Oz: T = { ( x, y, z ) ; 0 ≤ z ≤ 6 − x − 2 y , ( x, y ) ∈ D } .

138

Fig. 3

Fig. 4

Evident

Vol ( T ) = ∫∫∫ dx dy dz = ∫∫ T

D

(∫

0

⎛ = ∫ ⎜⎝ ( 6 y − xy − y 2 ) 0 6

6− x − 2 y

3−

x 2

0

)

6 ⎛ 3−

dz dx dy = ∫ ⎜ ∫ 0⎝ 0

x 2

⎞

( 6 − x − 2 y ) dy ⎟⎠ dx =

⎞ 6⎛ x2 ⎞ x 2 x3 ⎟ dx = ⎜ 9 − 3x + ⎟ dx = 9 x − 3 + ∫0 ⎝ ⎠ 4⎠ 2 12

Exemplul 5.9.2. Să se calculeze

∫∫∫

6 0

= 18.

x 2 + y 2 dx dy unde T este domeniul

T

2

mărginit de suprafeţele z = 0, z = 1, z = x + y 2 . Din punct de vedere geometric z 2 = x 2 + y 2 reprezintă un con cu vârful în origine. Observăm că dacă notăm cu D discul x 2 + y 2 < 1 , atunci

{

}

T = ( x, y, z ) ; x 2 + y 2 < z < 1, ( x, y ) ∈ D . Avem

∫∫∫

x 2 + y 2 dx dy dz =

= ∫∫

(

T

D

2π

0

Fig. 5

x2 + y 2

(∫

1 x2 + y 2

)

dz =

)

x 2 + y 2 − ( x 2 + y 2 ) dx dy =

D

=∫

∫∫

dθ

1 π 2 ∫0 ( ρ − ρ ) ρ d ρ = 6 .

În continuare prezentăm teorema schimbării de variabile în integrala triplă.

139

Cap. 5 – INTEGRALE MULTIPLE

Teorema 5.9.5. Fie Ω şi T două domenii din 3 şi fie F : Ω → T o funcţie vectorială surjectivă, definită prin F (u, v, w) = ( x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) ,

∀ (u, v, w) ∈Ω .

Presupunem că F ∈ C 1 ( Ω) , F : Ω → T este bijectivă şi că iacobianul D ( x, y, z ) ≠ 0 pe Ω. Dacă f : T → este o funcţie continuă, atunci D (u, v, w)

∫∫∫ f ( x, y, z ) dx dy dz = T

D ( x, y, z ) = ∫∫∫ f ⎡⎣ x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)⎤⎦ (u, v, w) du dv dw . D (u, v, w) Ω Cea mai utilizată schimbare de variabile în spaţiu este trecerea la coordonate polare. ⎧ x = ρ sin θ cos ϕ 0 < ρ < ∞ ⎪ ⎨ y = ρ sin θ sin ϕ 0 < θ < π ⎪ z = ρ cosθ 0 < ϕ < 2π ⎩ Semnificaţia notaţiilor este prezentată în figura 6. Iacobianul transformării este D ( x, y, z ) = D ( ρ ,θ , ϕ )

sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ cosθ = ρ cosθ cos ϕ ρ cosθ sin ϕ −ρ sin θ = −ρ sin θ sin ϕ ρ sin θ cos ϕ 0

Fig. 6

= ρ 2 sin θ .

Exemplul 5.9.3. Să se calculeze ∫∫∫ xyz dx dy dz , unde T este domeniul mărginit de T

suprafeţele x = 0, y = 0, z = 0 şi x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Din punct de vedere geometric, domeniul T este primul octant din sfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 . Trecem la coordonate polare şi notăm cu Fig. 7

{

Ω = ( ρ ,θ ,ϕ ) ; 0 < ρ < 1,0 < θ
0 , y > 0 , z > 0 . Rezultă că suportul acestei pânze este porţiunea sferei cu centrul în origine şi de rază R, cuprinsă în primul

octant. Mai departe avem: xu = R cos u cos v , yu = R cos u sin v , zu = − R sin u

142

xv = − R sin u sin v, yv = R sin u cos v, zv = 0

A = R 2 sin 2 u cos v , B = R 2 sin 2 u sin v , C = R 2 sin u cos u E = R 2 , F = 0 , G = R 2 sin 2 u

A2 + B 2 + C 2 = EG − F 2 = R 4 sin 2 u > 0 , ∀ (u, v ) ∈ D . De asemenea, este evident că funcţia r este injectivă pe D. Aşadar, pânza parametrizată din acest exemplu este o pânză parametrizată netedă şi simplă. Un caz particular de pânză parametrizată, deosebit de important în aplicaţii, este cazul pânzei definită explicit. Mai precis, fie D ⊂ 2 un domeniu şi fie ∂f ∂f f :D→ o funcţie de clasă C 1 . Notăm cu p = şi cu q = . Cu ajutorul ∂y ∂x funcţiei f putem defini următoarea pânză parametrizată de clasă C 1 :

r:D→

3

, r ( x, y ) = ( x, y, f ( x, y )) , ∀ ( x, y ) ∈ D .

Ecuaţiile parametrice sunt: ⎧x = x ⎪ ⎨y = y ⎪ z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D . ⎩ Observăm că suportul acestei pânze este graficul funcţiei f (Fig. 2). Pe de altă parte, avem D ( y, z ) 0 1 A= = = −p , D ( x, y ) p q B=

p q D ( z, x ) = = −q şi D ( x, y ) 1 0

C=

D ( x, y ) 1 0 = =1. D ( x, y ) 0 1

Deoarece A2 + B 2 + C 2 = p 2 + q 2 + 1 > 0 , rezultă că pânza (3) este netedă. De aseme Fig. 2 nea, este evident că este o pânză simplă. Planul tangent într-un punct oarecare M ( x, y, f ( x, y )) are ecuaţia:

( X − x ) ( − p ) + (Y − y )( −q ) + Z − f ( x, y ) = 0 , iar parametrii directori ai normalei în M sunt ( − p, −q,1) . Definiţia 6.1.5. Două pânze parametrizate de clasă C 1 , r : D →

r1 : D1 →

3

3

şi

se numesc echivalente cu aceeaşi orientare dacă există un difeo-

morfism Φ : D → D1 cu proprietăţile: det J Φ (u, v ) > 0 , ∀ (u, v ) ∈ D şi r = r1 o Φ .

143

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

Reamintim că Φ este difeomorfism, dacă Φ este bijectivă, Φ ∈ C 1 ( D ) şi Φ −1 ∈ C 1 ( D1 ) Dacă det J Φ < 0 pe D, spunem că cele două pânze sunt echivalente cu orientări opuse. Funcţia Φ se mai numeşte şi schimbare de parametri. Vom nota cu r r1 faptul că pânzele r şi r1 sunt echivalente. Din Definiţia 6.1.4 rezultă: Observaţia 6.1.1 Orice două pânze echivalente au acelaşi suport. Exemplul 6.1.2. Fie pânza parametrizată definită astfel:

(

)

r1 (u1, v1 ) = u1, v1, R 2 − u12 − v12 ,

(u1, v1 ) ∈ D1 = {(u1, v1 ) ∈ 3; u12 + v12 < R 2, u1 > 0, v1 > 0} . Observăm că pânzele din exemplele 6.1.1 şi 6.1.2 sunt echivalente cu aceeaşi ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ orientare. Într-adevăr, fie Φ : D = ⎜ 0, ⎟ × ⎜ 0, ⎟ → D1 , definită prin: ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Φ (u, v ) = ( R sin u cos v, R sin u sin v ) , (u, v ) ∈ D . Rezultă că Φ ∈ C 1 ( D ) şi

J Φ (u, v ) =

R cos u cos v − R sin u sin v = R 2 sin u cos u > 0 , ∀ R cos u sin v R sin u cos v

(u, v ) ∈ D . Dacă

presupunem că Φ (u′, v′) = Φ (u′′, v′′) , atunci rezultă că tg v = tg v′ şi mai departe că v = v′ şi u = u′ . Aşadar, Φ este injectivă. Pentru a dovedi că Φ este şi surjectivă, fie u1 > 0 , v1 > 0 cu proprietatea u12 + v12 < R 2 . Deoarece 0 < că există 2

⎛ π⎞ u ∈ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠

astfel încât

u12 + v12 < 1 , rezultă R

u12 + v12 = sin u , relaţie echivalentă cu R

2

u1 ⎛ u1 ⎞ ⎛ v1 ⎞ ⎛ π⎞ ⎜ R sin u ⎟ + ⎜ R sin u ⎟ = 1 . Atunci există v ∈ ⎜⎝ 0, 2 ⎟⎠ astfel încât R sin u = cos v şi ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ v1 = sin v . În definitiv, am arătat că există (u, v ) ∈ D astfel încât R sin u u1 = R sin u cos v , v1 = R sin u sin v , deci (u1, v1 ) = Φ (u, v ) . De asemenea, este uşor de observat că ⎛ u 2 + v2 v ⎞ Φ −1 (u1, v1 ) = ⎜⎜ arcsin 1 1 , arctg 1 ⎟⎟ , (u1, v1 ) ∈ D1 , deci Φ −1 ∈ C 1 ( D1 ) . r u1 ⎠ ⎝ Pe de altă parte avem: ( r1 o Φ ) (u, v ) = r1 ⎡⎣Φ (u, v)⎤⎦ = ( R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u ) = r (u, v) ,

144

∀ (u, v ) ∈ D , deci r

r1 .

Observaţia 6.1.2 Orice pânză parametrizată echivalentă cu o pânză parametrizată simplă sau netedă este la rândul său simplă sau netedă. Într-adevăr, fie r r1 unde r (u, v ) = ( x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )) , (u, v ) ∈ D ,

r1 (u1, v1 ) = ( x1 ( u1, v1 ) , y1 (u1, v1 ) , z1 (u1, v1 )) , (u1, v1 ) ∈ D1 şi fie Φ : D → D1 , Φ (u, v ) = ( λ (u, v ) , µ (u, v )) , (u, v ) ∈ D , schimbarea de parametri.

Deoarece r = r1 o Φ şi Φ este bijectivă, rezultă că dacă r1 este injectivă (deci simplă) atunci şi r este injectivă (simplă). Pe de altă parte: x (u, v ) = x1 ⎡⎣λ (u, v ) , µ (u, v )⎤⎦ , y (u, v ) = y1 ⎡⎣λ (u, v ) , µ (u, v )⎤⎦ şi z (u, v ) = z1 ⎣⎡λ (u, v ) , µ (u, v )⎦⎤ . Ţinând seama de formulele de derivare a funcţiilor compuse de două variabile rezultă: D ( y, z ) D ( y1, z1 ) D ( λ , µ ) D ( λ, µ ) A= = ⋅ = A1 ⋅ D (u, v ) D (u, v ) D (u, v ) D (u, v ) şi analog D (λ , µ ) D (λ , µ ) şi C = C 1 ⋅ . B = B1 ⋅ D (u, v ) D (u, v ) Aşadar, avem: 2

2

⎡ D (λ, µ ) ⎤ ⎡ D (λ, µ ) ⎤ A2 + B 2 + C 2 = A12 + B12 + C12 ⎢ ⎥ . Cum ⎢ D (u, v ) ⎥ > 0 , rezultă că ( ) , D u v ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ dacă r (respectiv r1) este netedă, atunci şi r1 (respectiv r) este netedă.

(

)

Definiţia 6.1.6 Se numeşte suprafaţă parametrizată de clasă C 1 orice clasă

de echivalenţă de pânze parametrizate de clasă C 1 . Aşadar, Sˆ este o suprafaţă parametrizată de clasă C 1 , dacă există o pânză parametrizată de clasă C 1 , r : D ⊂ 2 → 3 , astfel încât: Sˆ = r1 : D → 3 , pânză netedă parametrizată; r r1 .

{

Cum r

}

r1 , rezultă că r ∈ Sˆ . Suprafaţa Sˆ se numeşte simplă (respectiv netedă)

dacă pânza r care o determină este simplă (netedă). Suportul suprafeţei Sˆ , este suportul S al pânzei r care o determină, acelaşi cu suportul oricărei alte pânze de clasă Sˆ . De regulă, vom identifica suprafeţa Sˆ su suportul său S.

145

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

6.2. ARIA UNEI SUPRAFEŢE Pentru început abordăm problema ariei unei suprafeţe nedete explicită. Fie D ⊂ 2 un domeniu mărginit care are arie şi fie f : D → o funcţie de clasă C 1 ∂f ∂f pe D . Dacă notăm cu p = şi q = , rezultă că p şi q sunt continue pe D . Fie ∂y ∂x S (respectiv S ) graficul funcţiei f : D → S=

(respectiv f : D →

). Aşadar,

{ ( x, y, f ( x, y )) ; ( x, y ) ∈ D } şi S = { ( x, y, f ( x, y )) ; ( x, y ) ∈ D } .

Mulţimea Γ = S \ S se numeşte bordura suprafeţei S. Dacă S este frontiera domeniului D, atunci Γ = { ( x, y, f ( x, y )) ; ( x, y ) ∈ C } . Fie ρ : D1, D2 ,K , Dn o partiţie a

domeniului D şi fie M i ( xi , yi ) un punct oarecare din Di . Notăm cu Pi punctul corespunzător de pe suprafaţa S. Evident Pi are coordonatele

( xi , yi , f ( xi , yi )) .

Fie π i planul tangent la S în r punctul Pi şi fie ni versorul normalei la S în Pi , orientat în sus. Dacă notăm r cu γ i unghiul format de versorul ni cu 1 axa Oz, atunci cos γ i = , 1 + pi2 + qi2 ∂f ∂f Fig. 1 unde pi = ( xi , yi ) şi qi = ( xi , yi ) . ∂y ∂x Fie Ti porţiunea decupată din planul tangent π i de cilindrul cu generatoarele paralele cu Oz şi curba directoare Ci – frontiera domeniului Di . Deoarece γ i este unghiul dintre planul π i şi planul xOy rezultă că aria Di = aria (Ti ) cos γ i sau aria (Ti ) = 1 + pi2 + qi2 ⋅ aria ( Di )

(1) n

∑ aria (Ti ) . ρ →0

Prin definiţie, aria S = aria S = A = lim

Sensul exact fiind

i =1

următorul: Există A ∈

+

astfel încât ∀ ε > 0, există δ ε > 0 astfel încât,

∀ ρ : D1,K , Dn , partiţie a lui D, cu ρ < δ ε şi (∀) M i ( xi , yi ) ∈ Di , avem:

146

n

A − ∑ aria (Ti ) < ε . i =1

Ţinând seama de (1) rezultă că

n

n

i =1

i =1

∑ aria (Ti ) = ∑ 1 + pi2 + qi2 ⋅ aria D i .

Observăm că suma din membrul drept este suma Riemann ataşată funcţiei g = 1 + p 2 + q 2 , partiţiei ρ şi punctelor intermediare M i ( xi , yi ) ∈ Di . Cum g este continuă pe D, deci integrabilă, rezultă că:

aria S = lim σ ρ ( g; M i ) = ρ →0

∫∫ g ( x, y ) dx dy = ∫∫ D

1 + p 2 + q 2 ( x, y ) dx dy .

D

Aşadar, o suprafaţă netedă explicită S : z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , are arie şi aria S = ∫∫ 1 + p 2 + q 2 ( x, y ) dx dy

(2)

D

Exemplul 6.2.1 Să se calculeze aria suprafeţei S : z = R2 − x2 − y 2 ,

Rezultă:

p=

( x, y ) ∈ D = { ( x, y ) ∈

2

}

; x2 + y 2 < R2 .

∂z x ∂z y =− =− , q= , 2 2 2 2 ∂x ∂y R −x −y R − x2 − y 2

1 + p2 + q2 =

R2

. R2 − x2 − y2 Conform (2) avem R dx dy = R Aria S = ∫∫ R2 + p2 + q2 D = 2π R ⋅ R 2 − ρ 2

R

0

ρ

2π R

∫0 ∫0

= 2π R 2 .

Din punct de vedere geometric S =

R2 − ρ 2

{( x, y,

dρ =

)

R2 − x2 − y 2 ; x2 + y 2 ≤ R2

}

reprezintă emisfera superioară a sferei cu centrul în origini şi de rază R. Aria întregii sfere va fi 4π R 2 . Definiţia 6.2.1 Fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie r (u, v ) = ( x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )) , ∀ (u, v ) ∈ D ⊂ 2 , o reprezentare parametrică a

sa. Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că x, y, z ∈ C 1 ( D) . Notăm cu S = { ( x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )) ; (u, v ) ∈ D } şi cu

147

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

S=

{ ( x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) ) ; ( u, v ) ∈ D } .

Deoarece suprafaţa este simplă, rezultă că funcţia r : D → S este bijectivă. Mulţimea Γ = S \ S se numeşte bordura suprafeţei S. Dacă notăm cu C frontiera domeniului D, atunci Γ = r (C) = { ( x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )) ; (u, v ) ∈ C } . Corespondenţa dintre C şi Γ, în general nu este bijectivă . Suprafaţa S se numeşte închisă dacă S = S. O suprafaţă parametrizată închisă nu are bordură. Exemplul 6.2.2 Fie suprafaţa parametrizată r (u, v ) = ( R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u ) , (u, v ) ∈ D = ( 0, π ) × ( 0, 2π ) .

Fig. 2

Ecuaţiile parametrice sunt: ⎧ x = R sin u cos v ⎪ ⎨ y = R sin u sin v u ∈ ( 0, π ) ⎪ z = R cos u v ∈ ( 0, 2π ) . ⎩ Observăm că r ( 0, v ) = ( 0,0, R ) , ∀ v ∈ [0, 2π ] . Aşadar, imaginea oricărui punct de pe segmentul AE , prin funcţia vectorială r, este punctul P ( 0,0, R ) . În mod analog imaginea oricărui punct de pe segmentul BF este punctul P′ ( 0,0, −R ) . Pe de altă parte, imaginea oricărui punct M ∈ AB U EF va fi un punct de coordonate x = R sin u , y = 0, z = R cos u , u ∈ [0, π ] . Deoarece x 2 + y 2 + z 2 = R 2 şi x ≥ 0 rezultă că imaginea frontierei domeniului D prin funcţia vectorială r este meridianul PQP′ de pe sfera cu centrul în origine şi de rază R. Aşadar, S = r (D) este sfera cu centrul în origine şi de rază R mai puţin meridianul PQP′ .

148

S = r ( D ) este sfera cu centrul în origine şi de rază R. Bordura suprafeţei S este Γ = S \ S = PQP′ . Definiţia 6.2.2 Fie D ⊂ 3

r:D→

2

un domeniu mărginit care are arie şi fie

, r (u, v ) = ( x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )) , (u, v ) ∈ D .

Presupun că r ∈ C 1 ( D ) şi r : D →

3

este injectivă. Fie S = r (D) şi

S = r ( D ) . Prin definiţie aria S = aria S = ∫∫ EG − F 2 du dv = ∫∫ D

A2 + B 2 + C 2 du dv

(3)

D

Observaţia 6.2.1 Fie S o suprafaţă netedă explicită: z = f ( x, y ) ,

( x, y ) ∈ D ⊂

2

, f ∈ C 1 ( D ) . În acest caz A = − p, B = −q, C = 1 şi din Definiţia

6.2.2 rezultă că: aria S = ∫∫ 1 + p 2 + q 2 dx dy . D

Aşadar, în acest caz particular, regăsim formula (2) de calcul a ariei unei suprafeţe. Rezultă că Definiţia 6.2.2 este generalizarea, pentru suprafeţe parametrizate, a noţiunii de arie a unei suprafeţe explicite. Observaţia 6.2.2 Aria unei suprafeţe parametrizate nu depinde de parametrizarea aleasă. Într-adevăr, fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie 3

r:D→

, r (u, v ) = ( x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )) , (u, v ) ∈D, o reprezentare parametri-

zată a sa. Dacă r1 : D1 →

3

, r1 (u1, v1 ) = ( x1 ( u1, v1 ) , y1 (u1, v1 ) , z1 (u1, v1 )) , (u1, v1 ) ∈ D1

este o altă reprezentare parametrică echivalentă a lui S, atunci există un difeomorfism Φ : D → D1 , Φ (u, v ) = ( λ (u, v ) , , (u, v )) , ∀ (u, v ) ∈D şi avem 2

) ⎛⎜ DD((λu,, µv )) ⎞⎟ . A + B +C = ( ⎝ ⎠ Dacă în formula (3) facem schimbarea de variabile u1 = λ (u, v ) , v1 = µ (u, v ) obţinem 2

2

aria S =

2

∫

A12

+ B12

+ C12

A12 + B12 + C12 du1 dv1 =

D1

=

∫

D

∫

D 2

2

2

A + B + C du dv .

A12 + B12 + C12

D (λ, µ ) D ( u, v )

−1

⋅

D (λ, µ ) du dv = D ( u, v )

149

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

Exemplul 6.2.3 Să se calculeze aria suprafeţei parametrizate ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ S : x = R sin u cos v , y = R sin u sin v , z = R cos u , ( x, v ) ∈ D = ⎜ 0, ⎟ × ⎜ 0, ⎟ . ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ Aşa cum s-a arătat în exemplul 6.1.1, în acest caz

A2 + B 2 + C 2 = EG − F 2 = R 4 sin 2 u , deci Aria S = ∫∫ R 2 sin u du dv = R 2 D

π 2

∫0

π 2

dv ∫

0

sin u du =

π R2 2

.

Din punct de vedere geometric suprafaţa S este porţiunea din primul octant a sferei, cu centrul în origine şi de rază R. Aria întregii sfere va fi egală cu π R2 8⋅ = 4π R 2 . 2 Exemplul 6.2.4 Să se calculeze aria torului. Considerăm în planul xOy un cerc de rază a cu centrul în punctul (b,0) unde 0 < a < b. Torul este suprafaţa T care se obţine când rotim acest cerc, ca un corp rigid, în spaţiu în jurul axei Oy. Dacă θ este unghiul din figura 2 şi ϕ este unghiul de rotire al cercului în jurul axei Oy, atunci ecuaţiile parametrice ale torului sunt: ⎧ x = (b + a cos θ ) cos ϕ ⎪ T : ⎨ y = a sin θ (θ ,ϕ ) ∈ D = ( 0, 2π ) × ( 0, 2π ) . ⎪ z = (b + a cos θ ) sin ϕ ⎩

Rezultă: xθ = −a sin θ cos ϕ zθ = −a sin θ sin ϕ xϕ = − (b + a cos θ ) sin ϕ

yθ = a cos θ

yϕ = 0

zϕ = (b + a cosθ ) cos ϕ E = xθ2 + yθ2 + zθ2 = a 2 ; F = xθ xϕ + yθ yϕ + zθ zϕ = 0 ;

Fig. 2

G = xϕ2 + yϕ2 + zϕ2 = (b + a cos θ )

2

EG − F 2 = a 2 (b + a cos θ ) . 2

Aria T = ∫∫ a (b + a cosθ ) dθ dϕ = a D

2π

∫0

dϕ ∫

2π

0

(b + a cosθ ) dθ = 4π 2ab .

Aşadar, aria torului este 4π 2ab . În cazul particular când a = b reobţinem aria sferei.

150

6.3. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE PRIMA SPEŢĂ Fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie r(u, v) = ( x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) ) , ( u, v ) ∈ D o reprezentare parametrică a sa. Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că x, y, z ∈ C 1 ( D ) . Fie

de asemenea, F o funcţie reală definită pe S = r ( D ) şi fie ρ : D1, D2,K, Dn o partiţie a lui D. Notăm cu Si = r ( Di ) şi cu Pi ( xi , yi , zi ) un punct oarecare din Si .

Definiţia 6.3.1 Se numeşte integrala de suprafaţă de prima speţă a funcţiei F pe suprafaţa S şi se notează cu ∫∫ F ( x, y, z ) dσ următoarea limită S

lim

n

∑ F ( Pi ) aria Si , dacă această limită există şi e finită.

ρ →0 i =1

(Sensul exact al existenţei acestei limite fiind următorul: există L ∈ Ρ astfel încât ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 cu proprietatea că oricare ar fi partiţia ρ a lui D cu ρ < δε n

şi oricare ar fi punctele Pi ∈ Si avem L − ∑ F ( Pi ) aria Si < ε . i =1

Observaţia 6.3.1 Dacă S este o „suprafaţă materială” neomogenă, a cărei

densitate variabilă este descrisă de funcţia F : S → aproximează masa suprafeţei S, iar

∫∫ F ( x, y, z ) dσ

lim

+,

atunci

n

∑ F ( Pi ) aria Si i =1

n

∑ F ( Pi ) aria Si = masa ( S ) .

ρ →0 i =1

Aşadar,

reprezintă masa suprafeţei materiale S a cărei densitate variabilă

S

este dată de funcţia F : S →

+.

Teorema 6.3.1 Fie S o suprafaţă parametrizată simplă şi netedă şi fie x = x ( u, v ) , y = y (u, v ) , z = z (u, v ) , (u, v ) ∈ D o reprezentare parametrică a sa.

Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că x, y, z ∈ C 1 ( D ) . dacă F : S → este continuă, atunci există integrala de suprafaţă de prima speţă a funcţiei F pe suprafaţa S şi

∫∫ F ( x, y, z ) dσ = ∫∫ F ⎡⎣ x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )⎤⎦ S

Demonstraţie.

S

EG − F 2 ( u, v ) du dv

(1)

151

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

Fie ρ : D1, D2,K, Dn o partiţie oarecare a domeniului D. O astfel de partiţie determină o partiţie a suprafeţei S (mai exact a suprafeţei lui S) şi anume: S1, S 2,K, Sn unde Si = r ( Di ) . Fie Pi ( xi , yi , zi ) un punct oarecare din Si = r ( Di ) şi n

fie π n = ∑ F ( Pi ) aria Si . Dacă ţinem seama de modul de calcul al ariei unei i =1

n

suprafeţe (Definiţia 6.2.2), rezultă că π n = ∑ F ( xi , yi , zi )∫∫ EG − F 2 (u, v ) du dv . i =1

Di

Pe de altă parte, din teorema de medie a integralei duble, rezultă că există α , β ( i i ) ∈ Di astfel încât

∫∫

EG − F 2 ( u, v ) du dv = EG − F 2 (αi , β i ) aria ( Di ) .

Di

Fie, de asemenea (ξi ,ηi ) ∈ Di cu proprietatea că xi = x (ξi ,ηi ) , yi = y (ξi ,ηi ) şi zi = z (ξi ,ηi ) . Cu aceste precizări rezultă că: n

π n = ∑ F ⎡⎣ x (ξi ,ηi ) , y (ξi ,ηi ) , z (ξi ,ηi )⎤⎦ EG − F 2 (α i , βi ) aria ( Di ) . i =1

Dacă notăm cu G (u, v ) = F ⎡⎣ x ( u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )⎤⎦ EG − F 2 ( u, v ) , ∀ (u, v ) ∈ D , atunci suma Riemann corespunzătoare partiţiei ρ, funcţiei G şi punctelor intermediare (ξi ,ηi ) ∈ Di este n

σ ρ (G,ξ ,η ) = ∑ F ⎡⎣ x (ξi ,ηi ) , y (ξi ,ηi ) , z (ξi ,ηi )⎤⎦ EG − F 2 (ξi ,ηi ) aria ( Di ) . i =1

Deoarece G este continuă pe D , deci integrabilă pe D , rezultă că există (2) lim σ ρ (G; ξ ,η ) = ∫∫ G (u, v ) du dv ρ →0

S = r ( D)

D

Cum F este continuă pe şi S este o mulţime compactă (fiind imaginea mulţimii compacte D prin funcţia continuă r), rezultă că F este mărginită pe S . Fie M > 0 astfel încât F ( x, y, z ) < M , ∀ ( x, y, z ) ∈ S . În continuare avem: n

π n − σ ρ (G;ξ ,η ) ≤ M ∑ EG − F 2 (αi , βi ) − EG − F 2 (ξi ,ηi ) aria ( Di ) . i =1

Pe de altă parte, funcţia

EG − F 2 fiind continuă pe mulţimea compactă

D , este uniform continuă, deci ∀ ε > 0, ∃ δ ε > 0 cu proprietatea că oricare ar fi

152

punctele (u′, v′) şi (u′′, v′′) din D astfel încât u′ − v′ < δ ε , u′′ − v′′ < δ ε , rezultă că

EG − F 2 (u′, v′) − EG − F 2 (u′′, v′′) < Dacă presupunem acum că

ε

M ⋅ aria ( D )

(3)

ρ < δ ε , atunci αi − ξi ≤ diam ( Di ) < δ ε ,

βi − ηi ≤ diam ( Di ) < δ ε , deci π n − σ ρ (G; ξ ,η ) < M

ε

n

M aria ( D )

∑ aria ( Di ) = ε

(4)

i =1

Din (2) şi (4) rezultă că există lim π n = lim σ ρ (G ;ξ ,η ) = ∫∫ F ⎡⎣ x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )⎤⎦ EG − F 2 ( u, v ) du dv .

ρ →0

ρ →0

D

Exemplul 6.3.1 Să se calculeze

∫∫ ( x + y + z ) dσ

unde S : x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ,

S

z > 0. Suprafaţa S reprezintă emisfera superioară a sferei cu centrul în origine şi de rază a. O reprezentare parametrică a acestei suprafeţe este: x = a sin u cos v ,

π

(u, v ) ∈ D = ⎛⎜ 0, 2 ⎞⎟ × (0, 2π )

y = a sin u sin v , z = a cos u ,

(Vezi Exemplul 6.1.1). ⎝ ⎠ Ţinând seama că EG − F 2 = a 4 sin 2 u , din Teorema 6.3.1 rezultă: 2 ∫∫ ( x + y + z ) dσ = ∫∫ (a sin u cos v + a sin u sin v + a cos u ) a sin u du dv = S

=a

D

3 π 2

∫0

du ∫

2π 0

(sin

2

⎛ π 2 = a 3 ⎜ ∫ ⎛⎜ sin 2 u sin v ⎝ 0 ⎝ = 2π a

3 sin

2

2

u

)

u cos v + sin 2 u sin v + sin u cos u dv = 2π 0

− sin 2 u cos v

2π 0

+v sin u cos u

2π 0

⎞ ⎞ du = ⎟⎟ ⎠⎠

π 2

= π a3 . 0

Corolarul 6.3.1 Fie S : z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D o suprafaţă netedă explicită,

( )

unde D este un domeniu mărginit care are arie, iar f ∈ C 1 D . Dacă F : S → este continuă, atunci:

∫∫ F ( x, y, z ) dσ = ∫∫ F ⎣⎡ x, y, f ( x, y )⎦⎤ S

1 + p 2 + q 2 ( x, y ) dx dy

(5)

D

Afirmaţia rezultă din Teorema 6.3.1 şi din observaţia că o reprezentare parametrică a suprafeţei S este: x = x, y = y, z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D .

153

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

Exemplul 6.3.2 Să se calculeze

∫∫ ( xy + yz + zx ) dσ , unde S este porţiunea S

din conul z = x + y , decupată de cilindrul x 2 + y 2 = 2 y . Observăm că proiecţia suprafeţei S în planul xOy este domeniul D : x 2 + y 2 − 2 y ≤ 0 . Aşadar, 2

2

S : z = x 2 + y 2 , ( x, y ) ∈ D . În continuare avem p =

= Fig. 1

Fig. 2

x 2

x +y

q=

∂z y = şi 2 ∂y x + y2

x 2 + y 2 ⎤ 2 dx dy . ⎥⎦

D

S

,

1 + p 2 + q 2 = 2 . Din corolarul 6.3.1

∫∫ ( xy + yz + zx ) dσ = ∫∫ ⎡⎢⎣ xy + ( y + x )

rezultă că: I =

2

∂z = ∂x

Trecând la coordonate polare: x = ρ cosθ , y = ρ sinθ , θ ∈ [0,π ] , 0 ≤ ρ ≤ 2sinθ , obţinem: π

= 2

2sin θ

∫0 dθ ∫0

I= 2

( ρ 2 sinθ cosθ + ρ 2 sinθ + ρ 2 cosθ ) ρ dρ =

π

∫0 (sinθ cosθ + sinθ + cosθ )

=4 2

∫0 (sin

=4 2

∫0 (1 − cos

π

π

5

5

ρ4 4

2sin θ

dθ = 0

)

4

θ cosθ + sin θ + sin θ cosθ dθ = 4 2 2

)

2

θ sinθ dθ =

π

∫0 sin

5

θ dθ =

64 2 . 15

Observaţia 6.3.2 Dacă suprafaţa S este netedă pe porţiuni, adică este o ρ

reuniune finită de suprafeţe simple netede, S = U Si cu proprietăţile: Si este i =1

simplă şi netedă ∀ i = 1, ρ , două câte două nu au puncte interioare comune ( Si I S j = ∅ dacă i ≠ j) şi pentru orice i şi j Γij = Si I S j este o curbă netedă pe porţiuni (în cazul când este nevidă), atunci ρ

aria S = ∑ aria Si şi i =1

ρ

∫∫ F ( x, y, z ) dσ = ∑ ∫∫ F ( x, y, z ) dσ . S

i =1 S

154

6.4. INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ DE SPEŢA A DOUA Pentru a defini integrala de suprafaţă de speţa a doua, trebuie mai întâi să definim orientarea unei suprafeţe, problemă asemănătoare cu orientarea unei curbe. Fie S o suprafaţă parametrizată netedă şi fie r (u, v ) =( x ( u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )) ,

(u, v ) ∈ D o reprezentare parametrică a sa. În scriere vectorială, r r r (u, v ) = x (u, v ) i + y ( u, v ) j + z ( u, v ) k , ( u, v ) ∈ D.

r Deoarece suprafaţa S este netedă, rezultă că ru × rv ≠ 0 , pentru orice ( u, v ) ∈ D. În

fiecare punct M ∈ S, de coordonate M ⎡⎣ x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )⎤⎦ există doi versori normali la suprafaţa S (ortogonali pe planul tangent în punctul M la suprafaţa S) şi r r r ×r anume ± n( M ) unde n(M ) = u v . ru × rv Definiţia 6.4.1 Suprafaţa S se numeşte orientabilă (sau cu două feţe) dacă r aplicaţia M → n( M ) : S → 3 este continuă. r Este evident că dacă aplicaţia M → n( M ) : S → 3 este continuă, atunci şi r aplicaţia M → −n( M ) : S → 3 este continuă. Dacă o suprafaţă este orientabilă, atunci orientarea sa (sau desemnarea unei feţe a acestei suprafeţe) revine la aleger rea uneia din cele două aplicaţii continue M → ± n( M ) . Aşadar, avem două orientări posibile ale suprafeţei S (sau două feţe ale suprafeţei S) şi anume: r r r S + = ( S , n ) care corespunde aplicaţiei continue M → n( M ) : S → 3 şi S − = ( S , n ) r care corespunde aplicaţiei continue M → −n( M ) : S → 3 . Desigur, notaţia S + r r pentru faţa ( S , n ) este arbitrară. Putem foarte bine să notăm cu S + = ( S , −n ) .

Important este faptul că, odată ales un anumit sens al normalei pentru a desemna o faţă a suprafeţei, cealaltă faţă va corespunde sensului opus al normalei. O suprafaţă neorientabilă se mai numeşte şi suprafaţă cu o singură faţă. r Observaţia 6.4.1 Proprietatea aplicaţiei M → n( M ) : S → 3 de a fi continuă, în cazul unei suprafeţe orientabile, este o proprietate globală şi se referă la întreaga suprafaţă S. Aceasta presupune de pildă următoarea proprietate: fie M 0 ∈ S oarecare fixat şi fie C o curbă închisă pe suprafaţa S care trece prin M 0 şi care nu întâlneşte bordura suprafeţei S. Să presupunem că am ales un sens pe r r normala în M 0 la S şi anume sensul versorului n ( M 0 ) . Deplasând versorul n( M ) pe curba C, plecând din M 0 , revenim în punctul M 0 cu aceeaşi orientare a normalei, adică

155

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

r r lim n ( M ) = n ( M 0 ) .

M →M0 M ∈C

Exemple. 1. Orice suprafaţă netedă explicită, z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D are două feţe şi anume: faţa superioară, care corespunde normalei orientată în sus (care face un unghi ascuţit cu direcţia pozitivă a axei Oz) şi faţa inferioară care corespunde normalei orientată în jos.

Fig. 1

2. Sfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 are două feţe şi anume: faţa exterioară care corespunde normalei orientată spre exterior şi faţa interioară care corespunde normalei orientată spre interior. Într-adevăr, pentru orice punct M ( x, y, z ) de pe sferă, versorul normalei r 1 uuuur exterioare în punctul M al sferei este: n( M ) = OM . R r Este uşor de arătat că aplicaţia M → n( M ) : S → 3 este continuă pe

{

}

S = ( x, y, z ) x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

r r 3. Fie S o suprafaţă parametrizată netedă şi fie r (u, v ) = x (u, v ) i + y ( u, v ) j +

+ z (u, v ) k , ( u, v ) ∈ D o reprezentare parametrică a sa. Presupunem în plus că r : D → S este homeomorfism, adică r este bijectivă şi bicontinuă (r şi r −1 sunt continue). Atunci S = r(D) este o suprafaţă orientabilă. r r r ×r Într-adevăr, aplicaţia M → n( M ) : S → 3 , unde n(M ) = u v este continuă pe ru × rv S, pentru că este compunerea funcţiilor continue r −1 : S → D şi r ×r (u, v ) → ru × rv : D → 3 . u v

156

4. Un exemplu clasic de suprafaţă cu o singură faţă (neorientabilă) este aşanumita banda lui Möbius. Un model al acestei suprafeţe se obţine dacă răsucim o bucată de hârtie dreptunghiulară ABCD astfel încât punctul A să coincidă cu C, iar punctul B cu D.

Fig. 2

Este uşor de observat că dacă deplasăm versorul normalei la suprafaţă plecând din E, pe curba închisă de pe suprafaţă corespunzătoare liniei mediane EF, când revenim în E, orientarea versorului normalei va fi opusă orientării iniţiale a acestuia. Aşadar, nu este asigurată continuitatea globală a aplicaţiei r M → n( M ) : S → 3 , deci suprafaţa nu este orientabilă. Definiţia 6.4.2 Fie S o suprafaţă parametrizată simplă, netedă, orientabilă r r şi fie r (u, v ) = x (u, v ) i + y ( u, v ) j + z ( u, v ) k , ( u, v ) ∈ D o reprezentare parametrică a sa. Presupunem că D este un domeniu mărginit care are arie şi că r x, y, z ∈ C 1 D . Fie de asemenea v : Ω → 3 o funcţie vectorială continuă definită r r r r prin v ( x, y, z ) = P ( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z ) k , ∀ ( x, y, z ) ∈Ω , unde Ω∈ 3 r este un domeniu ce conţine suprafaţa S. Dacă notăm cu S + = ( S , n ) unde

( )

r r r ×r n = u v , atunci integrala de suprafaţă de speţa a doua a funcţiei v pe faţa S + ru × rv a suprafeţei S, se defineşte astfel: r r ∫∫ Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = ∫∫ v ⋅ n dσ = S+

S

= ∫∫ ⎣⎡ P ( x, y, z ) cosα + Q ( x, y, z ) cos β + R ( x, y, z ) cosγ ⎦⎤ dσ S

(1)

r unde α , β ,γ sunt unghiurile pe care le face versorul n al normalei la suprafaţă cu r r direcţiile pozitive ale axelor de coordonate. Aşadar: n ( x, y, z ) = cosα ( x, y, z ) i + r r r + cos β ( x, y, z ) j + cosγ ( x, y, z ) k , ∀ ( x, y, z ) ∈ S. Dacă S − = ( S , −n ) este cealaltă faţă a suprafeţei S, atunci: r r ∫∫ Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = ∫∫ v ⋅ ( −n ) dσ = −∫∫ Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy . S−

S

S+

157

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

Observaţia 6.4.2 Din punct de vedere fizic, integrala de suprafaţă de speţa a r doua reprezintă fluxul câmpului de vectori v prin faţa S + (respectiv S − ) a suprar feţei S. Mai precis, să presupunem că v reprezintă câmpul vitezelor particulelor r unui fluid în curgere staţionară, adică oricare ar fi M ∈ Ω, v (M) coincide cu viteza particulei de fluid care trece prin M, viteză care depinde de punctul M, dar nu r r depinde de timp. Atunci ∫∫ v ⋅ n dσ reprezintă volumul fluidului care trece în unitaS+

r tea de timp prin suprafaţa S în direcţia versorului n , ce defineşte faţa S + a suprafeţei S. Dacă notăm cu A =

D ( y, z ) D ( z, x ) D ( x, y ) , B= şi C = , atunci A, B, C D (u, v ) D ( u, v ) D (u, v )

sunt parametrii directori ai normalei la suprafaţă şi cosα = cos β =

B

A 2

± A + B2 + C 2

,

C

, cos γ =

. Alegerea semnului "+" sau "–" ± A2 + B 2 + C 2 ± A2 + B 2 + C 2 în faţa radientului se face în funcţie de orientarea normalei la suprafaţă. Ţinând seama de modul de calcul al integralei de suprafaţă de prima speţă rezultă: ∫∫ Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = ±∫∫ P ⎡⎣ x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )⎤⎦ A (u, v ) + S+ D (2) + Q ⎡⎣ x (u, v ) , y (u, v ) , z (u, v )⎤⎦ B (u, v ) + R ⎡⎣ x (u, v ) , y ( u, v ) , z (u, v )⎤⎦ C (u, v ) du dv

{

}

Exemplul 6.4.1 Să se calculeze

∫∫ x dy dz + ydz dx + zdx dy ,

unde S + este

S+

faţa exterioară a sferei x 2 + y 2 + z 2 + R 2 . Ecuaţiile parametrice ale sferei sunt: ⎧ x = R sin u cos v ⎪ ⎨ y = R sin u sin v ⎪ z = R cos u ⎩

u ∈ [0,π ], v ∈ [0,2π ].

A = R 2 sin 2 u cos v , B = R 2 sin 2 u sin v , C = R 2 sin 2 u cos u şi A2 + B 2 + C 2 = R 4 sin 2 u (3) cosα = ± sin u cos v , cos β = ± sin u sin v , cosγ = ± cos u Observăm că pentru normala orientată spre exterior trebuie să alegem ⎛ π⎞ semnul "+" în formulele (3). Într-adevăr, dacă u ∈ ⎜ 0, ⎟ punctul corespunzător M ⎝ 2⎠

de pe sferă se află pe emisfera superioară şi normala exterioară va face un unghi ascuţit cu axa Oz ( cos γ = cos u > 0 ).

158

⎛π ⎞ Dacă u ∈ ⎜ ,π ⎟ , punctul corespunzător ⎝2 ⎠ M de pe sferă se află pe emisfera inferioară şi normala orientată spre exterior va face un unghi optuz cu axa Oz ( cos γ = cos u < 0 ). Din formula de calcul (2) rezultă: ∫∫ xdy dz + ydz dx + zdx dy = S+

=∫

2π 0

dv ∫

π 0

( R sin u cos v + R sin u sin 3

3

2

3

3

2

)

v + R 3 sin u cos2 u du =

π

= R 3 ⋅ 2π ∫ sin u du = 4π R 3 . 0

În cazul unei suprafeţe netede explicită z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D, avem A = –p, B = –q, C = 1, unde p =

−p

cosα =

∂f ∂f şi q = . ∂y ∂x , cos β =

−q

1

, cosγ =

. ± 1 + p 2 + q2 ± 1 + p 2 + q2 ± 1 + p2 + q2 Dacă S + este faţa superioară a suprafeţei, corespunzătoare normalei orientate în sus, atunci cosγ > 0 şi vom alege semnul "+" în faţa radicalului. Pentru faţa inferioară S − , cosγ < 0 şi alegem semnul "–" în faţa radicalului. Exemplul 6.4.2 Să se calculeze ∫∫ ( y − z ) dy dz + ( z − x ) dz dx + ( x − y ) dx dy , unde S−

S − este faţa inferioară a conului

x 2 + y 2 = z 2 : 0 ≤ z ≤ h . Aşadar avem: S : z = x 2 + y 2 , ( x, y ) ∈ D , unde

D= q=

y 2

x +y

cosα =

2

{ ( x, y ) x

}

+ y 2 ≤ h2 , p =

x 2

x + y2

,

, 1 + p 2 + q 2 = 2 . Deoarece cosγ < 0, rezultă că cos γ =

x 2 x2 + y2

şi cos β =

y 2 x2 + y2

∫∫ ( y − z ) dy dz + ( z − x ) dz dx + ( x − y ) dx dy = S−

2

.

1 − 2

,

159

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

⎡ x y 1 ⎤ + ( z − x) + ( x − y) ⎥ dσ = = ∫∫ ⎢( y − z ) 2 2 2 2 − 2⎥ ⋅ + ⋅ + 2 x y 2 x y S ⎢ ⎣ ⎦ ⎡ x y x − y⎤ = ∫∫ ⎢ y − x 2 + y 2 + x2 + y 2 − x + ⎥ 2 dx dy = 2 2 2 2 2 ⎥ ⋅ + ⋅ + x y x y 2 2 D ⎢ ⎣ ⎦

(

)

= 2∫∫ ( y − x ) dx dy = 2∫ D

(

h 0

)

(sinθ − cosθ ) dθ = 0 .

6.5. FORMULE INTEGRALE O primă formulă integrală a fost deja prezentată în Capitolul 5, §5.7 şi anume formula lui Green, care stabileşte legătura între integrala dublă pe un domeniu şi integrala curbilinie de speţa a doua pe frontiera acestui domeniu. În cele ce urmează prezentăm alte două formule: formula Gauss-Ostrogradski, care stabileşte legătura între integrala triplă şi integrala de suprafaţă şi formula Stokes care stabileşte legătura între integrala curbilinie şi integrala de suprafaţă. Teorema 6.5.1 (Gauss-Ostrogradski) Fie T ⊂ 3 un domeniu simplu în raport cu cele trei axe de coordonate şi ∂P ∂Q ∂R pe , , fie P, Q, R trei funcţii reale continue, împreună cu derivatele lor ∂x ∂y ∂z

T . Presupunem de asemenea că S = T \ T (frontiera lui T) este o suprafaţă netedă pe porţiuni. Atunci: ⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ ∫∫∫ ⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎠ dx dy dz = ∫∫ P ( x, y, z ) dy dz + Q ( x, y, z ) dz dx + R ( x, y, z ) dx dy , T S e

unde cu Se am notat faţa exterioară a suprafeţei S. Demonstraţie. Deoarece domeniul T ⊂ 3 este simplu în raport cu axa Oz, rezultă că există un domeniu mărginit D ⊂ 3 , care are arie şi două funcţii reale, conţine pe D proprietatea că ϕ ( x, y ) < ψ ( x, y ) , ∀ ( x, y ) ∈ D astfel încât

T=

{ ( x, y, z ) ∈

}

; ϕ ( x, y ) < z < ψ ( x, y ) , ∀ ( x, y ) ∈ D .

3

Notăm cu S1 graficul funcţiei z = ϕ ( x, y ) ,

( x, y ) ∈ D ,

cu S 2 graficul

funcţiei z = ψ ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D şi cu S3 suprafaţa cilindrică laterală, cu generatoarele paralele cu axa Oz. Observăm că suprafaţa S = S1 U S 2 U S3 este frontiera

( )

domeniului T. Ipoteza că S este netedă pe porţiuni înseamnă că ϕ ,ψ ∈ C 1 D .

160

Faţa exterioară a suprafeţei S înseamnă faţa corespunzătoare normalei orientate spre exterior. Aceasta înseamnă pentru suprafaţa S1 , faţa inferioară, iar pentru suprafaţa S 2 , faţa superioară. Aşadar Se = ( S1 )− U ( S2 )+ U ( S3 )e . Deoarece pentru faţa inferioară a suprafeţei S1 , unghiul γ format de normala orientată în jos, cu axa Oz, este optuz, rezultă că cos γ < 0 , deci 1 cosγ = − . 2 2 ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

Fig. 1

Mai departe avem:

∫∫ R ( x, y, z ) dx dy = ∫∫ R ( x, y, z ) ⋅

( S1 )−

S1

= ∫∫ R ( x, y,ϕ ( x, y )) ⋅ D

−1 2

⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

2

2

dσ =

2

⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⋅ 1 + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ dx dy = 2 2 ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎛ ∂ϕ ⎞ ⎛ ∂ϕ ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ −1

= − ∫∫ R ⎣⎡ x, y,ϕ ( x, y )⎦⎤ dx dy

(1)

D

În mod analog, pentru faţa superioară a suprafeţei S 2 , cos γ > 0 , deci

∫∫ R ( x, y, z ) dx dy =

( S2 ) +

= ∫∫ R ⎡⎣ x, y,ψ ( x, y )⎤⎦ ⋅ D

= ∫∫ R ⎡⎣ x, y,ψ ( x, y )⎤⎦ dx dy . D

2

2

⎛ ∂ψ ⎞ ⎛ ∂ψ ⎞ dx dy = ⋅ 1+ ⎜ + 2 2 ∂x ⎟⎠ ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ⎝ ∂ ∂ ψ ψ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1+ ⎜ ⎟ + ⎜ ∂y ⎟ ∂ x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1

(2)

Pentru faţa exterioară a suprafeţei cilindrice laterale, cosγ = 0 , deoarece π unghiul γ = . Rezultă că: 2

161

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

∫∫ R ( x, y, z ) dx dy = ∫∫ R ( x, y, z ) cosγ dσ = 0

( S3 )e

Aşadar avem: ∫∫ R ( x, y, z ) dx dy = ∫∫ R ( x, y, z ) dx dy + ( S1 )−

Se

(3)

S3

∫∫ R ( x, y, z ) dx dy + ∫∫ R ( x, y, z ) dx dy =

( S2 ) +

( S3 )e

= ∫∫ R ⎡⎣ x, y,ψ ( x, y )⎤⎦ dx dy −∫∫ R ⎡⎣ x, y,ϕ ( x, y )⎤⎦ dx dy D

(4)

D

Pe de altă parte, din modul de calcul al integralei triple rezultă: ∂R ∫∫∫ ∂z dx dy dz = T

ψ ( x, y )

∫∫ D

⎛ ψ ( x, y ) ∂R ⎞ dx dy = ⎜ ∫ϕ ( x, y ) ∂z dz ⎟ dx dy = ∫∫ R ( x, y, z ) ⎝ ⎠ D ϕ ( x, y )

= ∫∫ R ⎡⎣ x, y,ψ ( x, y )⎤⎦ dx dy − ∫∫ R ⎡⎣ x, y,ϕ ( x, y )⎤⎦ dx dy

(5)

Din (4) şi (5) deducem: ∂R ∫∫∫ ∂z dx dy dz = ∫∫ R ( x, y, z ) dx dy T S

(6)

D

D

e

În mod analog, folosind faptul că domeniul T este simplu şi în raport cu axele Oy şi Ox deducem: ∂Q (7) ∫∫∫ ∂y dx dy dz = ∫∫ Q ( x, y, z ) dz dx T S e

∂P ∫∫∫ ∂x dx dy dz = T

∫∫ P ( x, y, z ) dx dy

(8)

Se

În sfârşit, adunând relaţiile (6), (7) şi (8) obţinem formula GaussOstrogradski: ⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ ∫∫∫ ⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎠ dx dy dz = ∫∫ P ( x, y, z ) dy dz + Q ( x, y, z ) dz dx + R ( x, y, z ) dx dy (9) S T e

Observaţia 6.5.1 Printre exemplele de domenii simple în raport cu cele 3 axe de coordonate amintim: sfera, elipsoidul, paralelipipedul dreptunghic cu muchiile paralele cu axele etc. Fără a intra în detalii, menţionăm că formula GaussOstrogradski rămâne valabilă şi pentru domenii care sunt reuniuni finite de domenii simple în raport cu cele 3 axe de coordonate, două câte două, dintre acestea având în comun cel mult suprafeţe netede pe porţiuni. Scriind formula Gauss-Ostrogradski pentru fiecare din domeniile simple Ti , care alcătuiesc domeniul T, adunând aceste formule şi folosind proprietatea de aditivitate a integralei triple şi a integralei de suprafaţă, se obţine formula Gauss-Ostrogradski pentru domeniul T. Acest lucru se explică prin faptul că integrala de suprafaţă, pe o suprafaţă de intersecţie a două domenii simple vecine, apare în suma din membrul

162

drept de două ori, o dată pe faţa superioară şi o dată pe faţa inferioară, deci contribuţia ei în membrul drept este nulă. În felul acesta, în membrul drept rămâne numai integrala pe faţa exterioară a domeniului T. Observaţia 6.5.2 Ţinând seama de legătura dintre integrala de suprafaţă de speţa a doua şi de integrala de suprafaţă de speţa întâi, formula Gauss-Ostrogradski se mai scrie: ⎛ ∂P ∂Q ∂R ⎞ (10) ∫∫∫ ⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎠ dx dy dz = ∫∫ ( P cosα + Q cos β + R cosγ ) dσ T S

unde α , β ,γ sunt unghiurile pe care le face normala exterioară la suprafaţa S cu Ox, Oy şi Oz. r Dacă notăm cu V câmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci r r ∂P ∂Q ∂R r r r + + . Fie de asemenea, V = Pi + Qj + Rk şi divV = ∂x ∂y ∂z r r r r n = cosα i + cos β j + cos γ k versorul normalei exterioare la suprafaţa S. Cu aceste precizări, formula Gauss-Ostrogradski devine: r r r div V dx dy dz = V (11) ∫∫∫ ∫∫ ⋅ n dσ T

S

Sub această formă, formula Gauss-Ostrogradski se mai numeşte şi formula flux-divergenţă. Exemplul 6.5.1 Folosind formula Gauss-Ostrogradski să se calculeze 2 2 ∫∫ x dy dz + y dz dx + z dx dy , unde Se este faţa exterioară a cubului 2

Se

T=

{ ( x, y, z ) ∈

}

; 0 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ a,0 ≤ z ≤ a . Notând cu P ( x, y, z ) = x 2 ,

3

Q ( x, y, z ) = y 2 şi R ( x, y, z ) = z 2 , din formula Gauss-Ostrogradski deducem:

∫∫ x dy dz + y dz dx + z dx dy = ∫∫∫ (2 x + 2 y + 2z ) dx dy dz = 2

2

2

Se

T

a

z2 ⎞ = 2∫ dx ∫ dy ∫ ( x + y + z ) dz = 2∫ dx ∫ ⎜ xz + yz + ⎟ dy = 0 0⎜ 0 0 0 2⎟ ⎝ ⎠0 a

a

a

a

a⎛

a⎛

a⎛ a2 ⎞ y2 a2 = 2∫ dx ∫ ⎜ ax + ay + ⎟ dy = 2 ∫ ⎜ axy + a + 0 0⎜ 0⎜ 2⎟ 2 2 ⎝ ⎝ ⎠

a

= 2∫

a⎛ 2 ⎜a x + 0⎜

⎝

⎛ x2 ⎞ a3 a3 ⎞ + ⎟ dx = 2 ⎜ a 2 + a 3 x ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎠

a

= 3a 4 . 0

a

⎞ y ⎟ dx = ⎟ ⎠ 0

163

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ

Teorema 6.5.2 (Stokes) Fie S o suprafaţă netedă explicită: z = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , unde D este un

domeniu mărginit a cărui frontieră γ este o curbă netedă. Presupunem că f ∈ C 2 D şi P, Q, R sunt trei funcţii de clasă C 1 pe un domeniu Ω ⊂

( )

include suprafaţa S . Dacă notăm cu Γ = S \ S =

3

care

{ ( x, y, f ( x, y )); ( x, y ) ∈γ } bordu-

ra suprafeţei S, atunci avem: ⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎛ ∂P ∂R ⎞ ⎛ ∂Q ∂P ⎞ ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫ ⎜⎝ ∂y − ∂z ⎟⎠ dy dz + ⎜⎝ ∂z − ∂x ⎟⎠ dz dx + ⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎠ dx dy . S Γ +

(Între sensul de parcurgere al curbei Γ şi faţa suprafeţei pe care se face integrala din membrul drept, există următoarea legătură de compatibilitate*) : dacă curba Γ este parcursă în sens trigonometric (respectiv sensul acelor unui ceasornic), atunci integrala din membrul drept se face pe faţa superioară (respectiv inferioară) a suprafeţei S). Demonstraţie. Fie x = ϕ (t ), y = ψ (t ), t ∈ [a, b] o reprezentare parametrică a curbei γ. Atunci x = ϕ (t ), y = ψ (t ) , z = f [ϕ (t ),ψ (t )] ,

t ∈ [ a , b]

este

o

reprezentare parametrică a curbei Γ-bordura suprafeţei S. Ţinând seama de modul de calcul al integralei duble de speţa a doua avem: ∫ P ( x, y, z ) dx = Γ

a

Fig. 2

= ∫ p ⎣⎡ϕ (t ),ψ (t ), f (ϕ (t ),ψ (t) )⎦⎤ϕ ′(t )dt = 0

= ∫ P ⎣⎡ x, y, f ( x, y )⎦⎤ dx .

(12)

γ

În continuare, din formula lui Green rezultă: ⎛ ∂P ∂P ∂f ⎞ ∫ P ⎡⎣ x, y, f ( x, y )⎤⎦ dx = −∫∫ ⎜⎝ ∂y + ∂z ⋅ ∂y ⎠⎟ dx dy γ D Dacă notăm p =

*)

∂f ∂f şi cu q = , mai departe avem: ∂y ∂x

În ipoteza că sistemul de coordonate este rectangular drept.

(13)

164

−∫∫ D

∂P ∂P 1 dx dy = −∫∫ ⋅ ⋅ 1 + p 2 + q 2 dx dy = 2 2 ∂y ∂ y 1+ p + q D

∂P ∂P = −∫∫ cosγ dσ = −∫∫ dx dy ∂y ∂y S S

(14)

+

şi

−∫∫ D

∂P ∂f ∂P −q ⋅ dx dy = ∫∫ ⋅ ⋅ 1 + p 2 + q 2 dx dy = 2 2 ∂z ∂y ∂ y 1+ p + q D

∂P ∂P = ∫∫ cos β dσ = ∫∫ dz dx ∂z ∂z S S

(15)

+

Din (12), (13) şi (15) deducem: ∂P ∂P ∫ P ( x, y, z ) dx = ∫∫ ∂z dz dx − ∫∫ ∂y dx dy Γ S S

(16)

În mod analog se arată că: ∂Q ∂Q ∫ Q ( x, y, z ) dy = ∫∫ ∂x dx dy − ∫∫ ∂z dy dz S S Γ

(17)

+

+

+

şi

+

∂R

∂R

∫ R ( x, y, z ) dz = ∫∫ ∂y dy dz − ∫∫ ∂x dz dx Γ

S+

(18)

S+

Adunând relaţiile (16), (17) şi (18) obţinem formula lui Stokes din enunţul teoremei. Observaţia 6.5.3 Formula lui Stokes rămâne valabilă şi pentru suprafeţe care sunt reuniuni finite de suprafeţe explicite de tipul celei din Teorema 6.4.2, două dintre acestea având în comun arce de curbă care sunt porţiuni din bordurile orientate ale acestor suprafeţe. Într-adevăr, scriind formula lui Stokes pentru fiecare din suprafeţele Si şi adunând formulele obţinute, rezultă formula lui Stokes pentru p

suprafaţa S = U Si . i =1

Fig. 3

Explicaţia constă în faptul că integrala curbilinie pe o curbă de intersecţie a două suprafeţe vecine intervine în suma din membrul stâng de două ori, cu orientări diferite, deci contribuţia sa în această sumă este nulă. În felul acesta în membrul stâng apare numai integrala curbilinie pe bordura

165

CAP. 6 – INTEGRALE DE SUPRAFAŢĂ p

suprafeţei S. Pe de altă parte este evident că

∫∫ =∑ S

∫∫ .

i =1 ( Si )

Observaţia 6.5.4 Ţinând seama de legătura între integrala de suprafaţă de speţa a doua şi integrala de suprafaţă de speţa întâi, formula lui Stokes se mai scrie: ∫ P dx + Q dy + R dz = Γ

⎡⎛ ∂R ∂Q ⎞ ⎤ ⎛ ∂P ∂R ⎞ ⎛ ∂Q ∂P ⎞ cosα + ⎜ = ∫∫ ⎢⎜ − − ⎟ cos β + ⎜ − ⎟ cosγ ⎥ dσ . ⎟ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎦ S ⎣⎝ r Dacă notăm cu V câmpul vectorial de componente P, Q, R, atunci r r r ⎛ ∂R ∂Q ⎞ r ⎛ ∂P ∂R ⎞ r ⎛ ∂Q ∂P ⎞ r r r V = Pi + Qj + Rk şi rotV = ⎜ − − ⎟ j +⎜ − ⎟k . ⎟i + ⎜ ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠ r r r r Fie de asemenea n = cosα i + cos β j + cosγ k versorul normalei la suprafaţa r r r r S orientată în sus şi fie d r = dxi + dyj + dzk . Cu aceste precizări, formula lui Stokes devine: r r r r ∫ V d r =∫∫ rotV ⋅ n dσ . Γ

S

r Integrala din membrul stâng reprezintă circulaţia câmpului V de-a lungul r curgei Γ, iar integrala din membrul drept reprezintă fluxul câmpului rotV prin suprafaţa S în sensul normalei orientate în sus. Exemplul 6.5.2 Folosind formula lui Stokes să se calculeze ∫ ( z − y ) dx + ( x − z ) dy + ( y − x ) dz , unde ∆ ABC

A, B, C sunt coordonate A( a,0,0) ,

Fig. 4

punctele

de

B (0, b,0) , C ( 0,0, c ) , a > 0, b > 0, c > 0 . Planul determinat de punctele A, B şi C are x y z ecuaţia + + = 1 . a b c Observăm că triunghiul ABC este bordura ⎛ x y⎞ suprafeţei S : z = c ⎜1 − − ⎟ , ( x, y ) ∈ D , ⎝ a b⎠

unde D este triunghiul (plin) OAB. Notând cu P = z – y, Q = x – z şi R = y – x, din formula lui Stokes rezultă:

166

∫ ( z − y ) dx + ( x − z ) dy + ( y − x ) dz = ∫∫ 2 (cosα + cos β + cosγ ) dσ , unde α , β ,γ

∆ ABC

S

Fig. 5

cos β =

ca 2 2

a b + b 2c 2 + c 2 a 2

sunt unghiurile pe care le face normala la suprafaţa S, orientată în sus, cu axele Ox, Oy şi Oz. Cum γ este ascuţit, rezultă cosγ > 0. Pe ∂z c c de altă parte avem p = = − , q = − şi a ∂x b 2 2 2 2 2 2 a b +b c +c a 1 + p 2 + q2 = . Rezultă că: a 2b2 ab cos γ = , a 2b2 + b2c 2 + c 2a 2 bc cosα = , a 2b2 + b2c 2 + c 2a 2 . Cu aceste precizări, rezultă:

∫ ( z − y ) dx + ( x − z ) dy + ( y − x ) dz =

∆ ABC

2 (bc + ca + ab) dx dy = bc + ca + ab . ab ∫∫ D

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7.1 NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Prin ecuaţia diferenţială de ordinul întâi înţelegem o ecuaţie de forma: F ( x, y, y′) = 0

(1)

3

, y = y( x) este unde F este o funcţie reală definită pe o mulţime deschisă D ⊂ dy este derivata de ordinul întâi a acesteia. funcţia necunoscută, iar y′ = dx Definiţia 7.1.1 O funcţie ϕ : I ⊂ Ρ → Ρ se numeşte soluţie pentru ecuaţia diferenţială (1) dacă este derivabilă pe I şi F [ x,ϕ ( x),ϕ ′( x)] = 0 , ∀ x ∈ I (Se

subînţelege că se presupune că ( x,ϕ ( x),ϕ ′( x) ) ∈ D , ∀ x ∈ I). Graficul unei soluţii a ecuaţiei (1) se mai numeşte şi curbă integrală a ecuaţiei (1). Prin soluţie generală înţelegem o familie de soluţii y = ϕ ( x, C ) , unde C este o constantă arbitrară. Prin particularizarea constantei C obţinem diferite soluţii particulare ale soluţiei (1). Exemplul 7.1.1 Fie ecuaţia y (2) y′ = , x ≠ 0. x Observăm că y = Cx, x ∈ (0,∞) este soluţia generală a ecuaţiei pe intervalul (0,∞). De asemenea y = Cx, x ∈ (–∞,0) este soluţia generală a ecuaţiei pe intervalul (–∞,0). Curbele integrale sunt semidreptele care pornesc din originea axelor de coordonate (Fig. 1). Exemplul 7.1.2 y y′ = − , y ≠ 0. x

(3)

Observăm că oricare ar fi constanta C > 0, funcţiile y = ± C 2 − x 2 , x ∈ ( −C, C ) sunt soluţii pentru această ecuaţie pe intervalul ( −C, C ) .

168

ANALIZĂ MATEMATICĂ. CALCUL INTEGRAL

Fig. 1

Fig. 2

Curbele integrale sunt semicercurile x 2 + y 2 = C 2 , y > 0 (respectiv y < 0). Observaţia 7.1.1 Există ecuaţii diferenţiale care admit soluţii ce nu se pot obţine din soluţia generală prin particularizarea constantei. O astfel de soluţie se numeşte soluţie singulară. Exemplul 7.1.3 Fie ecuaţia y = xy′ + y′2

(4) 2

Soluţia generală este y = Cx + C , x ∈ Ρ, aşa cum ne dăm seama printr-o verificare directă. Curbele integrale corespunzătoare soluţiei generale reprezintă o familie de drepte (fig. 3). Constatăm însă x2 că ecuaţia admite şi soluţia y = − , 4 x ∈ Ρ. Într-adevăr, înlocuind în ecuaţie 2 x2 ⎛ x⎞ x obţinem identitatea: − = x ⎜ − ⎟ + , 4 ⎝ 2⎠ 4 x ∈ Ρ. Pe de altă parte, este evident că această soluţie nu se obţine din soluţia generală prin particularizarea constantei x2 C. Aşadar, y = − , x ∈ Ρ este o soluţie 4 Fig. 3 singulară a ecuaţiei (4). Curba sa integrală este o parabolă (înfăşurătoarea familiei de drepte y = Cx + C 2 ). Definiţia 7.1.2 O ecuaţie diferenţială de forma: y′ = f ( x, y )

(5)

169

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

unde f este o funcţie reală continuă definită pe o mulţime deschisă D ⊂ 2 , se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul întâi sub formă normală. Problema Cauchy pentru ecuaţia (5) şi punctul ( x0, y0 ) ∈ D , constă în deter-

minarea unei soluţii ϕ a ecuaţiei (5) care verifică condiţia iniţială: ϕ ( x0 ) = y0

(6) 1

Mai precis, problema constă în găsirea unei funcţii ϕ : I → Ρ, de clasă C pe intervalul I, care îndeplineşte următoarele condiţii: ( x,ϕ ( x)) ∈ D , ∀ x ∈ I , ϕ ′( x) = f [ x,ϕ ( x)] , ∀ x ∈ I şi ϕ ( x0 ) = y0 . Lema 7.1.1 Rezolvarea problemei Cauchy (5) + (6) este echivalentă cu rezolvarea ecuaţiei integrale: x

y( x) = y0 + ∫ f [t, y(t )] dt , x ∈ I

(7)

x0

Demonstraţie. Într-adevăr, dacă y = ϕ ( x) , x ∈ I este soluţie pentru problema Cauchy (5) + (6) atunci ϕ ′(t ) = f [t,ϕ (t )] , ∀ t ∈ I şi ϕ ( x0 ) = y0 . Integrând prima identitate, obţinem pentru orice x ∈ I : x

x

x0

x0

ϕ ( x) − ϕ ( x0 ) = ∫ ϕ ′(t )d t = ∫ f [t,ϕ (t )] d t . Cum ϕ ( x0 ) = y0 , rezultă că ϕ ( x) = y0 + ∫

x x0

f [t,ϕ (t)] d t , ∀ x ∈ I , deci

y = ϕ ( x) , x ∈ I este soluţie pentru ecuaţia integrală (7). Reciproc, dacă y = ϕ ( x) , x ∈ I este soluţie pentru ecuaţia (7), atunci x

ϕ ( x) = y0 + ∫ f [t,ϕ (t)] d t , ∀ x ∈ I . x0

Evident ϕ ( x0 ) = y0 . Pe de altă parte, prin derivare obţinem:

ϕ ′( x) = f [ x,ϕ ( x)] , ∀ x ∈ I , deci y = ϕ ( x) , x ∈ I este soluţie pentru problema Cauchy (5) + (6). Definiţia 7.1.3 O funcţie f : D ⊂

2

→

este lipschitziană în raport cu y,

pe domeniul D, dacă există o constantă L ≥ 0 astfel încât f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ ≤ L y1 − y2 , oricare ar fi punctele ( x, y1 ) şi ( x, y2 ) din D. Observaţia 7.1.2 Dacă D este deschisă şi convexă, f ∈ C 1( D) şi

mărginită pe D, atunci f este lipschitziană în raport cu y pe D.

∂f este ∂y

170

ANALIZĂ MATEMATICĂ. CALCUL INTEGRAL

Într-adevăr, fie M > 0 astfel încât

∂f ( x, y ) < M , ∀ ( x, y ) ∈ D . Din teorema ∂y

creşterilor finite a lui Lagrange deducem că oricare ar fi punctele ( x, y1 ) şi ( x, y2 ) din D, există un punct ξ între y1 şi y2 astfel încât ∂f f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) = ( x,ξ )( y1 − y1 ) . În continuare avem: ∂y

f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) ≤ M y1 − y2 , deci f este lipschitziană pe D. Teorema 7.1.1 (Teorema de existenţă şi unicitate) Fie f : D = [ x0 − a, x0 + a ] × [ y0 − b, y0 + b] → o funcţie continuă şi lipschitziană în raport cu y, pe D . Atunci există o soluţie unică y = ϕ ( x) , x ∈ I ⊂ ( x0 − a, x0 + a ) , a problemei Cauchy y′ = f ( x, y ) , ( x, y ) ∈ D , y ( x0 ) = y0 . Demonstraţie. Cum f este continuă pe mulţimea compactă D , rezultă că f este mărginită pe D . Fie M > 0 astfel încât f ( x, y ) < M , ∀ ( x, y ) ∈ D . Fie de

asemenea, L constanta lui Lipschitz, α ∈ ( 0,1) un număr oarecare şi ⎧ b α⎫ h = min ⎨a, , ⎬ . Notăm cu I intervalul ⎩ M L⎭ [ x0 − h, x0 + h] şi cu

F = { g : I → [ y0 − b, y0 + b]; g − continuă}

. Observăm că F nu este un spaţiu vectorial, deoarece nu este închis la Fig. 4 operaţia de adunare. Constatăm însă că F este un spaţiu metric, în raport cu distanţa d ( g1, g2 ) = sup{ g1( x) − g2 ( x) ; x ∈ I } , ∀ g1, g 2 ∈ F (8) Mai mult, F este un spaţiu metric complet. Într-adevăr, dacă {g n } este un şir fundamental de funcţii din F, atunci {g n } este un şir fundamental în spaţiul Banach C ( I ) = {g : I → , g − continuă } , înzestrat cu norma g = sup{ g ( x) , x ∈ I } .

Rezultă că {g n } este convergent în C ( I ) , deci există g : I →

, continuă,

astfel încât d ( g n , g ) = g n − g → 0 . Este clar însă, că dacă g n ∈ F şi g n → g, atunci g ∈ F. Aşadar, (F, d) este un spaţiu metric complet. Definim aplicaţia T : F → F astfel:

171

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

T ( g )( x) = y0 + ∫

x x0

f [t, g (t )] d t , ∀ g ∈ F , ∀ x ∈ I

(9)

Observăm că T(g) este o funcţie continuă pe I şi că T ( g )( x) − y0 ≤

x

∫ x0 f (t, g(t)) dt

≤ M x − x0 ≤ Mh ≤ M ⋅

b =b. M

Rezultă că T ( g ) ∈ F , ∀ g ∈ F . Mai mult, vom arăta că T este o contracţie. Într-adevăr, ţinând seama că F este lipschitziană în raport cu a doua variabilă, rezultă:

T ( g1)( x) − T ( g2 )( x) = ≤L

x

∫ x0

x

∫ x0 f [t, g1(t)] − f [t, g2(t)] dt

≤

g1(t ) − g2 (t) d t ≤ Ld ( g1, g2 ) x − x0 ≤ Ld ( g1, g2 ) h ≤ α d ( g1, g2 ) ,

∀ x∈I . Trecând la marginea superioară obţinem: d (T ( g1),T ( g2 ) ) = sup{ T ( g1)( x) − T ( g2 )( x) ; x ∈ I } ≤ α d ( g1, g2 ) .

Cum α ∈ ( 0,1) , deducem că T : F → F este o contracţie. Din teorema de punct fix a lui Banach (Teorema 3.1.8 din [10]) rezultă că există ϕ ∈ F unică, astfel încât T (ϕ ) = ϕ . Aşadar, avem: x

ϕ ( x) = y0 + ∫ f [t,ϕ (t)] d t , ∀ x ∈ I . x0

Din Lema 7.1.1 deducem că ϕ este o soluţie unică pentru problema Cauchy y′ = f ( x, y ) , y ( x0 ) = y0 şi cu aceasta teorema este demonstrată. Observaţia 7.1.3 Teorema 7.1.1 ne dă o primă metodă aproximativă de rezolvare a problemei Cauchy şi anume metoda aproximaţiilor succesive. Aşa cum ştim din teorema de punct fix a lui Banach, soluţia ϕ a problemei Cauchy este limita în raport cu distanţa, definită în (8), a şirului aproximaţiilor succesive { yn} , unde: y1( x) = y0 + ∫

x x0 x

y 2 ( x ) = y0 + ∫

x0

y n ( x ) = y0 + ∫

x0

x

f ( t, y0 ) d t,

x∈I

f [t, y1(t )] d t,

x∈I

f [t, yn −1(t )] d t, x ∈ I

Cum convergenţa în raport cu distanţa (8) este echivalentă cu convergenţa u

uniformă, rezultă că yn ⎯⎯ →ϕ . I Exemplul 7.1.4 Să se rezolve problema Cauchy

172

ANALIZĂ MATEMATICĂ. CALCUL INTEGRAL

⎡ 1 1 ⎤ ⎡ 1 3⎤ y′ = y , ( x, y ) ∈ D = ⎢− , ⎥ × ⎢ , ⎥ , y(0) = 1 . ⎣ 2 2⎦ ⎣2 2⎦ Se observă imediat că soluţia acestei probleme Cauchy este ⎡ 1 1⎤ ϕ ( x) = e x , x ∈ I ⊂ ⎢− , ⎥ . ⎣ 2 2⎦

Pe de altă parte, avem f ( x, y ) = y , ( x, y ) ∈ D , x0 = 0 , y0 = 1 , a = b = M=

1 , 2

3 şi L = 1. 2 1 ⎛1 1 1⎞ 1 ⎡ 1 1⎤ atunci h = min ⎜ , , ⎟ = , deci I = ⎢ − , ⎥ . 2 ⎝2 3 2⎠ 3 ⎣ 3 3⎦ Şirul aproximaţiilor succesive arată astfel:

Dacă alegem α = x

y1( x) = 1 + ∫ 1d t = 1 + x

,x∈I

0

x

y2 ( x) = 1 + ∫ (1 + t ) d t = 1 + x + 0

x2 2

,x∈I

x⎛ t2 ⎞ x2 x3 y 3( x ) = 1 + ∫ ⎜ 1 + t + ⎟ d t = 1 + x + + 0⎜ 2⎟ 2 3! ⎝ ⎠

yn ( x ) = 1 + x + ∞

Cum e x = ∑

n =0

,x∈I

x2 xn +K+ 2! n!

,x∈I

xn u şi convergenţa este uniformă pe Ρ, rezultă că yn ⎯⎯ →ex . I n!

Observaţia 7.1.4 În exemplul 7.1.4 am putut afla limita şirului aproximaţiilor succesive. De regulă, acest lucru nu este posibil şi de aceea vom aproxima limita acestui şir cu funcţia determinată la pasul n. Cu alte cuvinte ϕ ≈ yn . Aşa cum ştim de la teorema de punct fix a lui Banach, eroarea satisface inegalitatea: αn ϕ ( x ) − yn ( x) ≤ dist ( y0, y1 ) , ∀ x ∈ I . 1−α

Cum dist ( y0, y1 ) = sup

{∫

x x0

}

f (t, y0 ) d t ; x ∈ I ≤ M ⋅ h , rezultă că

αn ϕ ( x) − yn ( x) ≤ ⋅ Mh , ∀ x ∈ I . 1−α

7.2

ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI DE FORME PARTICULARE

7.2.1. Ecuaţii cu variabile separabile O ecuaţie cu variabile separabile este o ecuaţie de forma: f1( x) g1( y ) y′ + f 2 ( x) g 2 ( y ) = 0 unde f1, f 2 : I → sunt funcţii continue, f1 ≠ 0 pe I, g1, g 2 : J → sunt funcţii continue, g 2 ≠ 0 pe J. Împărţind cu f1( x) g 2 ( y ) ecuaţia devine: g1( y) f ( x) dy = − 2 dx g 2 ( y) f1( x) Integrând, obţinem: g1( y ) f 2 ( x) ∫ g2( y) dy = −∫ f1( x) dx .

(

)

(

(10)

(11)

)

Exemplu 1 + x 2 yy′ + x 1 + y 2 = 0 .

Ecuaţia se pune sub forma evhivalentă Integrând obţinem: deci sau

(

y

1+ y

2

dy = −

x 1+ x2

dx .

x

∫ 1 + y 2 dy = −∫ 1 + x 2 dx ,

)

(

)

1 1 1 ln 1 + y 2 = − ln 1 + x 2 + ln C , 2 2 2 C 2 1+ y = , C >0. 1 + x2 Dacă ne interesează soluţia care îndeplineşte condiţia iniţială y(1) = 2 ,

obţinem C = 10 şi mai departe y = ± y=

y

9 − x2 1+ x2

9 − x2 1 + x2

. Evident, soluţia căutată este

, x ∈ (–3,3).

7.2.2. Ecuaţii omogene Sunt ecuaţii de forma ⎛ y⎞ y′ = f ⎜ ⎟ ⎝x⎠ unde f este o funcţie continuă pe un interval I.

(12)

168 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

y şi considerăm u = u(x) noua funcţie necunoscută, x rezultă y( x) = xu( x) şi y′ = u + x ⋅ u′ . În urma acestei schimbări de funcţie necunoscută, ecuaţia (12) devine o ecuaţie cu variabile separabile, anume: u + x ⋅ u′ = f (u) . Cazul f (u) = u a fost prezentat în Exemplul 7.1.1. Putem deci presupune că f (u) ≠ u . Separând variabilele obţinem: du dx du = şi mai departe ∫ = ln x + ln C . f (u) − u x f (u) − u

Dacă notăm cu u =

2

Exemplu y′ =

y ⎛ y⎞ + , x ≠ 0. x ⎜⎝ x ⎠⎟

du dx y obţinem u + xu′ = u + u 2 , deci 2 = . Integrând rezultă x x u x 1 − = ln x + ln C şi mai departe − = ln C x . Din această relaţie se obţin soluţiile y u corespunzătoare diferitelor condiţii iniţiale. De exemplu, soluţia care îndeplineşte x condiţia iniţială y(2) = 1 este y = , x ∈ 0,2e2 . 2 + ln 2 − ln x Notând cu u =

(

)

7.2.3. Ecuaţii liniare Ecuaţiile liniare neomogene sunt ecuaţii de forma: y ′ + P( x ) y = Q ( x ) (13) unde P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I. Ecuaţia liniară omogenă asociată este y′ + P( x) y = 0 (14) Observăm că ecuaţia omogenă (14) este o ecuaţie cu variabile separabile. Separând variabilele şi integrând obţinem: dy = − P( x)dx , y ≠ 0 y ln y = −∫ P( x)dx + ln C şi mai departe

y = Ce ∫ , C ∈ Ρ. (15) Deşi soluţia (15) s-a obţinut în ipoteza y ≠ 0 , care presupune C ≠ 0, observăm că ecuaţia (14) admite şi soluţia y = 0 care s-a pierdut la împărţirea cu y. Aşadar (15) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei omogene (14). Pentru a obţine soluţia generală a ecuaţiei neomogene (13) folosim metoda variaţiei constantei a lui Lagrange şi anume: căutăm soluţia ecuaţiei neomogene (13) de forma − P( x)dx

169

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

y = ϕ ( x) e ∫ (16) unde ϕ este o funcţie de clasă C1 pe intervalul I. Pentru determinarea funcţiei ϕ punem condiţia ca (16) să fie soluţie pentru ecuaţia (13) şi obţinem: − P( x ) dx

− P( x ) dx − P( x) dx − P( x) dx − ϕ ( x)P( x) e ∫ + P( x)ϕ ( x) e ∫ = Q( x ) . ϕ ′( x) e ∫

Efectuând calculele rezultă

ϕ ′( x) = Q( x) e ∫

P( x ) dx

, şi mai departe ϕ ( x) = ∫ Q( x) e ∫

P( x ) dx

dx + C .

Înlocuind în (16) obţinem soluţia generală a ecuaţiei neomogene (13) şi anume: − P( x ) dx ⎛ ∫ P( x) dxdx ⎞ (17) y =e ∫ ⎜ C + ∫ Q( x) e ⎟ ⎝ ⎠ Exemplu y′ + y sin x = − sin x cos x Avem P( x) = sin x şi Q( x) = − sin x cos x . Înlocuind în (17) obţinem:

(

)

(

)

y = ecos x C − ∫ sin x cos x e − cos xdx = ecos x C − e− cos x cos x − e − cos x , deci

y = C ecos x − cos x − 1 .

7.2.4. Ecuaţii Bernoulli Sunt ecuaţii de forma: y′ + P( x) y = Q( x) yα , α ≠ 0, α ≠ 1 (18) Presupunem că P şi Q sunt funcţii continue pe un interval I. Împărţind cu yα pentru y ≠ 0 obţinem: yα y′ + P( x) y1−α = Q( x) . Dacă facem schimbarea de funcţie y1−α = z , unde z = z( x) este noua funcţie necunoscută, rezultă (1 − α ) y1−α ⋅ y′ = z′ şi mai departe z′ + P( x ) z = Q ( x ) 1−α Observăm că am obţinut o ecuaţie liniară. Exemplu y′ −

y 1 4 = y ln x , x ∈ (0,∞). 3x 3

1 −3 1 y = ln x . 3x 3 −3 −4 Dacă notăm cu z = y , atunci z′ = −3 y y′ şi ecuaţia devine: 1 1 z′ + z = − ln x . Aceasta este o ecuaţie liniară cu P( x) = şi Q( x) = − ln x . x x Folosind formula (17) obţinem:

Împărţind cu y 4 pentru y ≠ 0 rezultă y −4 ⋅ y′ −

(19)

170 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

(

) 1x (C − ∫ x ln x dx )

z = e − ln x C − ∫ ln x eln x dx =

C x x C x x + − ln x . Aşadar avem: y −3 = + − ln x , x > 0, y ≠ 0. x 4 2 x 4 2 Diferite soluţii particulare se obţin precizând condiţiile iniţiale.

şi mai departe z =

7.2.5. Ecuaţii Riccati Sunt ecuaţii de forma y′ = P( x) y 2 + Q( x) y + R( x) (20) unde P, Q şi R sunt funcţii continue pe un interval I. Dacă se cunoaşte o soluţie particulară a ecuaţiei (20), anume y p : J ⊂ I → , atunci efectuând schimbarea de 1 , ecuaţia se reduce la o ecuaţie liniară. Într-adevăr, derivând şi z înlocuind în ecuaţia (20) obţinem: y 1⎞ 1⎞ z′ ⎛ ⎛ y′p − 2 = P( x) ⎜ y 2p + 2 p + 2 ⎟ + Q( x) ⎜ y p + ⎟ + R( x) . z z ⎠ z⎠ z ⎝ ⎝

funcţie y = y p +

Ţinând seama că y p verifică ecuaţia (20), deci că y′p = P( x) y 2p + Q( x) y p + R( x) , rezultă

z′ + ⎡⎣2 y p P( x) + Q( x)⎤⎦ z = − P( x) .

(21)

Observăm că ecuaţia (21) este o ecuaţie liniară. 1 2 Exemplu y′ = − y 2 − 2 , x ∈ (0,∞). 3 3x 1 Observăm că y = este o relaţie particulară a ecuaţiei. Facem schimbarea x 1 1 de funcţie y = + şi obţinem: x z 1 z′ 1⎛ 1 2 1 ⎞ 2 1 2 1 − 2 − 2 = − ⎜ 2 + + 2 ⎟− 2 = − 2 − − 2. 3⎝ x xz z ⎠ 3x x z x 3xz 3z Rezultă următoarea ecuaţie liniară: 2

2 1 z = , a cărei soluţie generală este z = Cx 3 + x . 3x 3 Soluţia generală a ecuaţiei Riccati este: 1 1 y= + , x ∈ (0,∞), C > 0. 2 x Cx 3+x z′ −

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

171

7.2.6. Ecuaţia Clairaut Sunt ecuaţii de forma: (22) y = xy′ + ϕ ( y′) 1 unde ϕ este o funcţie de clasă C pe un interval J. Notând y′ = p ecuaţia devine y = x ⋅ p + ϕ ( p) . dp dp Derivând în raport cu x obţinem: p = p + x + ϕ ′( p) , deci dx dx dp [ x + ϕ ′( p)] dx = 0 . dp Dacă = 0 , rezultă p = C şi mai departe dx y = C x + ϕ (C ) (23) Familia de soluţii (23) reprezintă soluţia generală a ecuaţiei (22). Din punct de vedere geometric, curbele integrale corespunzătoare acestei soluţii sunt drepte. Pe de altă parte, din x + ϕ ′( p) = 0 , obţinem soluţia singulară ⎧ x = −ϕ ′( p) (24) ⎨ ⎩ y = − pϕ ′( p) + ϕ ( p) Curba integrală corespunzătoare soluţiei singulare (24) este înfăşurătoarea familiei de drepte (23). Exemplu y = xy′ −

y′2 . 2

C2 , C ∈ Ρ. 2 Soluţia singulară sub formă parametrică este: ⎧x = p ⎪ ⎨ p2 . ⎪y = ⎩ 2

Soluţia generală este y = C x −

Eliminând pe p între cele două ecuaţii parametrice obţinem y =

x2 , adică o 2

parabolă.

7.2.7. Ecuaţii cu diferenţiale exacte. Factor integrant Sunt ecuaţii diferenţiale de forma: P ( x, y ) + Q ( x, y ) y′ = 0

(25)

172 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

unde P şi Q sunt funcţii de clasă C 1 pe dreptunghiul D = ( a, b ) × ( c, d ) , Q ≠ 0 pe D ∂P ∂Q = pe D. Fie ∂y ∂x definită astfel: şi

( x0, y0 ) ∈ D

x

y

x0

y0

un punct oarecare fixat şi fie F : D → Ρ,

F ( x, y ) = ∫ P ( t, y0 ) dt + ∫ Q ( x, t ) dt ,

( x, y ) ∈ D

(26)

Propoziţia 7.2.7 În condiţiile de mai sus, orice funcţie implicită y = ϕ ( x)

definită de ecuaţia F ( x, y ) = C , C ∈ Ρ, este soluţie pentru ecuaţia diferenţială (25) şi orice soluţie a ecuaţiei (25) este de această formă.

∂F ∂F = P şi = Q . Într-adevăr, ∂x ∂y ţinând seama de formula de derivare a integralei cu parametru şi de ipoteza ∂P ∂Q = , rezultă ∂x ∂y y ∂Q y ∂P ∂F = P ( x, y0 ) + ∫ ( x, t ) dt = P ( x, y0 ) + ∫ y ∂t ( x, t ) dt = y 0 ∂x ∂x 0 = P ( x, y0 ) + P ( x, y ) − P ( x, y0 ) = P ( x, y ) . ∂F De asemenea, avem: = Q ( x, y ) . Aşadar, funcţia F definită în (26) are ∂y ∂F ∂F = P şi = Q . Cu alte cuvinte forma diferenţială proprietatea că ∂y ∂x ω = P ( x, y ) dx + Q ( x, y ) dy este exactă. Fie ecuaţia F ( x, y ) = C , ( x, y ) ∈ D (27) ∂F Deoarece = Q ≠ 0 pe D, rezultă că în vecinătatea oricărui punct din D ∂y ecuaţia (27) defineşte o funcţie implicită y = ϕ ( x) , x ∈ I. Deoarece F [ x,ϕ ( x)] = 0 , ∂F ∂F ∀ x ∈ I, derivând obţinem [ x,ϕ ( x)] + ∂y [ x,ϕ ( x)] ⋅ϕ ′( x) = 0 , ∀ x ∈ I. ∂x ∂F ∂F = P şi Ţinând seama că = Q , deducem că ∂x ∂y P [ x,ϕ ( x)] + Q [ x,ϕ ( x)] ⋅ϕ ′( x) = 0 , ∀ x ∈ I, deci y = ϕ ( x) , x ∈ I este soluţie pentru ecuaţia (25). Demonstraţie. Pentru început vom arăta că

173

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Reciproc, fie y = ϕ ( x) , x ∈ I o soluţie a ecuaţiei (25). Atunci, ∀ x ∈ I avem ∂F ∂F ( x,ϕ ( x)) ∈ D şi P [ x,ϕ ( x)] + Q [ x,ϕ ( x)] ⋅ϕ ′( x) = 0 . Deoarece ∂x = P şi ∂y = Q ∂F ∂F x,ϕ ( x)] + rezultă [ [ x,ϕ ( x)] ⋅ϕ ′( x) = 0 , ∀ x ∈ I, ceea ce este echivalent cu ∂x ∂y d ( F ( x,ϕ ( x))) = 0 , ∀ x ∈ I. dx Din ultima relaţie deducem că F [ x,ϕ ( x)] = C , ∀ x ∈ I, deci y = ϕ ( x) , x ∈ I este o funcţie implicită definită de ecuaţia (27). Exemplul 7.2.7 Să se afle soluţiile ecuaţiei (3x 2 − y ) + (3y 2 − x ) y′ = 0 , ( x, y ) ∈ 2 \ (3a 2, a ); a ∈

{

Avem P ( x, y ) = 3x 2 − y , Q ( x, y ) = 3 y 2 − x , F ( x, y ) = ∫

}.

∂Q ∂P = = −1 . ∂x ∂y

y ( 3t 2 − y0 ) dt + ∫ (3t 2 − x ) dt = x 3 + y 3 − xy + x0 y0 − x03 − y03 . x0 y0 x

Aşadar, orice soluţie a ecuaţiei date este de forma y = ϕ ( x), x ∈ I , unde ϕ este o funcţie implicită definită de ecuaţia x 3 + y 3 − xy = K . Observaţia 7.2.7 Dacă

∂P ∂Q , atunci se caută un factor integrant. Prin ≠ ∂y ∂x

factor integrant se înţelege o funcţie µ = µ ( x, y ) , µ ∈ C 1( D) , µ ≠ 0 pe D cu proprietatea ∂ ∂ (28) ⎡ µ ( x, y ) Q ( x, y )⎤⎦ = ⎡⎣ µ ( x, y ) P ( x, y )⎤⎦ , ( x, y ) ∈ D ∂x ⎣ ∂y Aşadar, să presupunem că avem ecuaţia diferenţială ∂Q ∂P (29) P ( x, y ) + Q ( x, y ) y′ = 0 , Q ≠ 0 pe D şi ≠ ∂x ∂y Dacă reuşim să găsim un factor µ = µ ( x, y ) şi înmulţim ecuaţia (29) cu acest factor integrant, obţinem ecuaţia echivalentă µ ( x, y ) P ( x, y ) + µ ( x, y ) Q ( x, y ) y′ = 0 , care este de tipul (25) şi a cărei soluţie se află în conformitate cu Propoziţia 7.2.7. Determinarea factorului integrant se face prin încercări. Să căutăm pentru început un factor integrant de forma µ = µ ( x) ∂Q ∂P şi (care depinde numai de x). Din (28) rezultă µ ′( x)Q ( x, y ) + µ ( x) = µ ( x) ∂x ∂y mai departe

174 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

∂P

−

∂Q

µ′( x) ∂y ∂x = µ ( x) Q

(30)

∂P ∂Q − ∂y ∂x să Pentru ca egalitatea (30) să fie posibilă trebuie ca expresia Q depindă numai de x. ∂P ∂Q − ∂y ∂x Aşadar, ecuaţia (29) admite factor integrant µ = µ ( x) , dacă Q ∂P ∂Q − µ′( x) ∂y ∂x depinde numai de x. Să notăm cu ϕ ( x) = . Atunci = ϕ ( x) şi Q µ ( x) integrând obţinem ln µ ( x) = ∫ ϕ ( x)dx + C . Putem alege factorul integrant µ ( x) = e ∫

(

ϕ ( x)dx

.

)

Exemplu Fie ecuaţia 1 − x 2 y + x 2 ( y − x ) y′ = 0 , x ≠ 0, x ≠ y. Avem

∂P ∂Q − ∂Q ∂P 2 ∂y ∂x P = 1 − x2 y , Q = x2 ( y − x) , = 2 xy − 3x 2 ≠ = −x2 , = − . Rezultă Q ∂x ∂y x că µ ( x) = e

2 − ∫ dx x

=

1 x2

. Amplificând ecuaţia dată cu acest factor integrant obţinem

⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 − y ⎟ + ( y − x ) y′ = 0 . ⎝x ⎠ ∂P ∂Q 1 Fie P1 = 2 − y şi Q1 = y − x . Observăm că 1 = 1 = −1 . ∂y ∂x x 2 x⎛ 1 y y 1 ⎞ F ( x, y ) = ∫ ⎜ 2 − y0 ⎟ d t + ∫ (t − x ) d t = − − xy + K . x0 t y0 x 2 ⎝ ⎠ Soluţia ecuaţiei va fi orice funcţie implicită y = ϕ ( x) , x ∈ I definită de y2 1 − − xy = C . 2 x În mod analog, se arată că ecuaţia (29) cu P ≠ 0, admite un factor integrant ∂Q ∂P − ∂x ∂y depinzând numai de y ( µ = µ ( y) ) dacă expresia depinde numai de y. P

ecuaţia

175

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

(

)

Exemplu Fie ecuaţia y 2 ( 2 x − 3 y ) + 7 − 3xy 2 y′ = 0 , y ≠ 0 , 2 x ≠ 3 y ,

7 ≠ 3xy 2 . Avem

P = y 2 ( 2x − 3 y ) , Q = 7 − 3xy 2 ,

∂Q ∂P = −3 y 2 ; = 4 xy − 9 y 2 , ∂x ∂y

∂Q ∂P − µ ′( y ) ∂x ∂y 2 1 = = − ; µ ( y) = 2 . µ( y) P y y 1 Înmulţind ecuaţia iniţială cu 2 obţinem ecuaţia echivalentă y ⎛ 7 ⎞ 2 x − 3 y + ⎜ 2 − 3x ⎟ y ′ = 0 . ⎝y ⎠ ∂Q1 ∂P1 7 P1 = 2 x − 3 y ; Q1 = 2 − 3x ; = = −3 . ∂x ∂y y

F ( x, y ) = ∫

x x0

7 ⎛7 ⎞ − 3x ⎟ dt = x 2 − 3xy − + C . ⎜ 2 y 0⎝ t ⎠

y

( 2t − 3 y0 ) dt + ∫ y

Orice funcţie implicită y = ϕ ( x), x ∈ I definită de ecuaţia x 2 − 3xy −

7 =K y

este soluţia pentru ecuaţia dată. Dacă ecuaţia nu admite factori integranţi de forma µ = µ ( x) sau µ = µ ( y) se caută factori integranţi de forme mai complicate µ = µ ( xy ) , µ = µ ( ax + by ) ,

⎛x⎞ ⎝ ⎠

µ = µ ⎜ ⎟ etc. y

7.3. ECUAŢII DIFERENŢIALE LINIARE DE ORDINUL n Prin ecuaţie diferenţială liniară de ordinul n înţelegem orice ecuaţie de forma: a0 ( x) y (n) + a1( x) y (n −1) + K + an −1( x) y′ + an ( x) y = b( x) , x ∈ J (1) unde b şi ai , i = 0, n sunt funcţii continue pe intervalul J şi a0( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ J . Ecuaţia omogenă asociată este a0( x) y (n) + a1( x) y (n −1) + K + an −1( x) y′ + an ( x) y = 0 , x ∈ J (2) d Dacă notăm cu D = (operatorul de derivare), cu dx

176 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

D p = 14 D o4 D244 oKo3 D= p ori

dp dx p

, cu I operatorul identitate pe spaţiul funcţiilor de clasă

C (n) pe J, ⎡ I ( y) = y, ∀ y ∈ C (n) ( J )⎤ şi cu L ( D ) = a0 D n + a1D n −1 + K + an −1D + an I , ⎣ ⎦ atunci ecuaţiile (1) şi (2) devin: L ( D ) ( y ) = f ( x) (1')

L(D)( y ) = 0 (2') Prin soluţie a ecuaţiei (1) (respectiv (1')), înţelegem orice funcţie ϕ ∈ C (n) ( J ) care verifică ecuaţia: L ( D ) (ϕ ( x) ) = f ( x) [respectiv L ( D ) (ϕ ( x) ) = 0 ], ∀ x ∈ J. Notăm cu S mulţimea soluţiilor ecuaţiei omogene (2). Observaţia 7.3.1 S este un spaţiu vectorial real. Într-adevăr, deoarece operatorul de derivare D este liniar, rezultă că operatorul L ( D ) este liniar.

Fie y1, y2 ∈ S şi α1,α 2 ∈ . Atunci

L ( D )(α1 y1 + α 2 y2 ) = α1L ( D )( y1 ) + α 2 L ( D )( y2 ) = α1 ⋅ 0 + α 2 ⋅ 0 = 0 ,

deci

α1 y1 + α 2 y2 ∈ S .

Definiţia 7.3.1 Fie ϕ1,ϕ 2 ,K,ϕ n : J → , n funcţii de clasă C ( valul J. Se numeşte wronskianul acestor funcţii, următoarea funcţie:

W ( x) = W [ϕ1,K,ϕ n ] ( x) =

ϕ1( x) ϕ1′( x)

........... ...........

ϕ n ( x) ϕ n′ ( x)

n −1)

pe inter-

, ∀ x∈J .

ϕ1(n −1) ( x) ........... ϕ n(n −1) ( x) Propoziţia 7.3.1 Fie ϕ1,ϕ 2 ,K,ϕ n , n-funcţii de clasă C (

n −1)

pe intervalul J.

Dacă ϕ1,ϕ 2 ,K,ϕ n sunt liniar dependente pe J, atunci W [ϕ1,K,ϕ n ] ( x) = 0 , ∀ x∈J . Demonstraţie. Prin ipoteză există n numere reale λ 1, λ 2,K, λn , nu toate nule, astfel încât:

λ1ϕ1( x) + λ 2ϕ 2 ( x) + K + λnϕ n ( x) = 0 , ∀ x ∈ J

Derivând succesiv relaţia (3) de ( n − 1) ori obţinem: λ 1ϕ ′1( x) + λ 2ϕ ′2 ( x) λ nϕ ′n ( x) = 0 +K + , ∀ x∈J . λ 1ϕ 1(n −1) ( x) + λ 2ϕ (2n −1) ( x) +K + λ nϕ (nn −1) ( x) = 0

(3)

177

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Am obţinut astfel un sistem (algebric) liniar şi omogen de n-ecuaţii cu nnecunoscute. Deoarece sistemul admite soluţie nebanală (prin ipoteză cel puţin una din necunoscutele λ 1,K, λn este diferită de 0) rezultă că determinantul coeficienţilor este zero. Aşadar, avem W ( x) =

ϕ1( x) ϕ1′( x)

........... ...........

ϕ n ( x) ϕ n′ ( x)

= 0 , ∀ x∈J .

ϕ1(n −1) ( x) ........... ϕ n(n −1) ( x) Propoziţia 7.3.2 Fie ϕ ,ϕ1,ϕ 2 ,K,ϕ n , intervalul J cu proprietăţile: W [ϕ1,ϕ 2,K,ϕ n ] ( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ J .

( n − 1)

funcţii de clasă C (n) pe

W [ϕ ,ϕ1,ϕ 2,K,ϕ n ] ( x) = 0 , ∀ x ∈ J .

Atunci, există n constante reale C1, C2 ,K, Cn astfel încât ϕ ( x) = C1ϕ1( x) + K + Cnϕ n ( x) , ∀ x ∈ J . Demonstraţie. Pentru simplificarea scrierii facem demonstraţia în cazul particular n = 2. Prin ipoteză avem: ϕ ( x) ϕ1( x) ϕ 2 ( x) ϕ ′( x) ϕ1′( x) ϕ 2′ ( x) = 0 , ∀ x ∈ J (4) ϕ ′′( x) ϕ1′′( x) ϕ 2′′( x) Deoarece coloanele 2 şi 3 ale acestui determinant sunt liniar independente (prin ipoteză W [ϕ1,ϕ 2 ] ( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ J ) rezultă că prima coloană a determinantului (4) este combinaţie liniară de acestea. Aşadar, ∀ x ∈ J , există λ 1( x), λ 2 ( x) ∈ astfel încât ⎧ϕ ( x) = λ 1( x)ϕ1( x) + λ 2 ( x)ϕ 2 ( x) ⎪ (5) ⎨ϕ ′( x) = λ 1( x)ϕ1′( x) + λ 2 ( x)ϕ 2′ ( x) ⎪ϕ ′′( x) = λ ( x)ϕ ′′( x) + λ ( x)ϕ ′′ ( x) 1 1 2 2 ⎩ Deoarece, din primele 2 ecuaţii din (5), λ 1 şi λ 2 se pot exprima în funcţie de ϕ ,ϕ1,ϕ 2 şi de derivatele de ordinul întâi ale acestora, iar ϕ ∈ C 2 ( J ) , rezultă că

λ1, λ 2 ∈ C 1 ( J ) . Derivând prima relaţie din (5) obţinem: ϕ ′( x) = λ 1( x)ϕ1′( x) + λ 2 ( x)ϕ 2′ ( x) + λ 1′ ( x)ϕ1( x) + λ ′2 ( x)ϕ 2 ( x) . Ţinând seama de a doua relaţie din (5) deducem λ 1′ ( x)ϕ1( x) + λ ′2 ( x)ϕ 2 ( x) = 0 .

178 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

În mod analog, derivând a doua relaţie din (5) şi ţinând seama de a treia relaţie din (5) deducem λ 1′ ( x)ϕ1′( x) + λ ′2 ( x)ϕ 2′ ( x) = 0 . Am obţinut un sistem liniar şi omogen de 2 ecuaţii cu 2 necunoscute: λ 1′ ( x) şi λ ′2 ( x) . Deoarece, prin ipoteză determinantul coeficienţilor

ϕ1( x) ϕ 2 ( x) = W [ϕ1,ϕ 2 ] ( x) ≠ 0 , ϕ1′( x) ϕ 2′ ( x) rezultă că sistemul admite numai soluţia banală. Aşadar, λ1′ ( x) = 0, λ ′2 ( x) = 0, ∀ x ∈ J ; deci

λ1( x) = C1 , λ 2 ( x) = C2 , ∀ x ∈ J . Conform primei relaţii din (5) avem: ϕ ( x) = C1ϕ 1( x) + C2ϕ 2 ( x) , ∀ x ∈ J . Teorema 7.3.1 (Liouville) Fie y1, y2 ,K, yn , n-soluţii particulare ale ecuaţiei omogene (2), fie

W ( x) = W [ y1, y2,K, yn ] ( x) , x ∈ J şi x0 ∈ J oarecare fixat. Atunci, pentru orice x ∈ J avem: W ( x) = W ( x0 ) e

−∫

x a1(t ) dt x0 a0 (t )

(6)

Demonstraţie. Prezentăm demonstraţia pentru cazul particular n = 2. Fie y1, y2 , soluţii particulare ale ecuaţiei (2). Atunci avem a ( x) a ( x) yi′′ = − 1 yi′ − 2 y , i = 1,2, x ∈ J (7) a0 ( x ) a0 ( x ) i Pe de altă parte, derivând funcţia W, W ( x) =

y1 y1′

y2 , x ∈ J, obţinem y2′

y1′ y′2 y1 y2 y1 y2 dW . = + = dx y1′ y′2 y1′′ y′′2 y1′′ y′′2 Ţinând seama de relaţiile (7) şi de proprietăţile determinanţilor, deducem: y1 y2 dW a ( x) y1 y2 . = a1 =− 1 a2 a1 a2 a0 ( x) y1′ y′2 dx − y1′ − y1 − y′2 − y2 a0 a0 a0 a0 Prin urmare avem dW a ( x) = − 1 W ( x) , ∀ x ∈ J (8) dx a0 ( x ) Ecuaţia diferenţială (8) este o ecuaţie liniară omogenă de ordinul întâi a cărei soluţie generală este

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

W ( x) = Ce

−∫

x a1(t ) dt x0 a0 (t )

179

(9)

În particular, pentru x = x0 rezultă C = W ( x0 ) , deci W ( x) = W ( x0 ) e

−∫

x a1(t ) dt x0 a0 (t )

.

Definiţia 7.3.2 Se numeşte sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2), orice set de n soluţii particulare y1, y2 ,K, yn ale ecuaţiei (2) cu pro-

prietatea că există x0 ∈ J , astfel încât W [ y1,K , yn ] ( x0 ) ≠ 0 .

Corolarul 7.3.1 Dacă y1, y2 ,K, yn este un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene (2), atunci y1,K, yn sunt liniar independente pe intervalul J.

Demonstraţie. Fie x0 ∈ J , astfel încât W ( x0 ) = W [ y1,K , yn ] ( x0 ) ≠ 0 . Din Teorema Liouville rezultă că W(x) ≠ 0, ∀ x ∈ J, iar din Propoziţia 7.3.1 rezultă că y1,K, yn sunt liniar independente pe J. Teorema 7.3.2 Fie y1, y2 ,K, yn un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene (2). Atunci, oricare ar fi y soluţie a ecuaţiei (2), există C1,K, Cn ∈ astfel încât y( x) = C1 y1( x) + K + Cn yn ( x) , ∀ x ∈ J.

Demonstraţie. Deoarece y1, y2 ,K, yn sunt soluţii pentru (2) rezultă: ⎧a0 ( x) y (n) + a1( x) y (n −1) + K + an −1( x) y′ + an ( x) y = 0 ⎪⎪ (n) (n −1) (10) + K + an −1( x) y1′ + an ( x) y1 = 0 ⎨a0 ( x) y1 + a1( x) y1 ⎪ (n) (n −1) + K + an −1( x) yn′ + an ( x) yn = 0 ⎪⎩a0 ( x) yn + a1( x) yn Sistemul (10) este liniar şi omogen şi admite soluţii nebanale, ∀ x ∈ J [Deoarece prin ipoteză a0( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ J]. Rezultă că determinantul coeficienţilor este 0, deci y (n) y (n −1) K y′ y y1(n)

y1(n −1) K

y1′

y1 = 0 , ∀ x ∈ J.

yn(n)

yn(n −1) K

y′n

yn

Egalitatea (11) este echivalentă cu W [ y, y1,K, yn ] ( x) = 0 , ∀ x ∈ J.

(11)

(12)

180 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Pe de altă parte, prin ipoteză există x0 ∈ J astfel încât W [ y1,K, yn ] ( x0 ) ≠ 0

şi conform teoremei Liouville rezultă că W [ y1,K, yn ] ( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ J. Sunt îndeplinite aşadar ipotezele Propoziţiei 7.3.2, de unde deducem că există C1,K, Cn ∈ astfel încât y = C1 y1 + C2 y2 + K + Cn yn . Observaţia 7.3.2 Orice sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene (2) este o bază în spaţiul vectorial S al soluţiilor ecuaţiei (2) şi dim S = n . Într-adevăr, din Corolarul 7.3.1 deducem că y1,K, yn sunt liniar independente pe J, iar din Teorema 7.3.2 că y1,K, yn formează un sistem de generatori pentru S. Cum dimensiunea unui spaţiu vectorial este egală cu numărul vectorilor din orice bază a sa, rezultă că dim S = n . Observaţia 7.3.3 Din Teorema 7.3.2 rezultă că dacă y1,K, yn este un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă (2), atunci soluţia generală*) a ecuaţiei (2) este y = C1 y1 + C2 y2 + K + Cn yn , ∀ C1, C2 ,K, Cn ∈ . Propoziţia 7.3.3 Fie y p o soluţie oarecare a ecuaţiei neomogene (1), oarecare fixată. Atunci, orice soluţie y a ecuaţiei neomogene (1) este de forma y = y0 + y p (13)

unde y0 este o soluţie a ecuaţiei omogene (2). Demonstraţie. Fie S spaţiul vectorial al soluţiilor ecuaţiei omogene (2) şi fie S mulţimea soluţiilor ecuaţiei neomogene (1). Dacă y = y0 + y p unde y0 ∈ S şi y p ∈S , atunci

L ( D )( y ) = L ( D )( y0 ) + L ( D ) ( y p ) = 0 + f ( x) = f ( x) . Rezultă că y ∈ S . Reciproc,

fie

y

∈

S

şi

L ( D )( z ) = L ( D )( y ) − L ( D ) ( y p ) = f ( x) − f ( x) = 0 , deci

z = y − yp . z ∈ S.

Atunci Prin urmare

y = z + y p , unde z ∈ S. În cele ce urmează vom arăta că dacă se cunoaşte soluţia generală a ecuaţiei omogene (2), atunci, folosind metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange, se poate afla soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1). Pentru simplificarea scrierii, să presupunem că n = 2.

*)

(

)

Prin soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n, F x, y, y′,K, y (n) = 0 , se

înţelege o familie de soluţii ale acesteia, de forma y = ϕ ( x, C1,K, Cn ) , unde Ci sunt constante arbitrare.

181

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Fie y1, y2 un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene (2). Atunci, soluţia generală a ecuaţiei omogene este (14) y0 = C1 y1 + C2 y2 Căutăm soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) de forma (15) y = ϕ1( x) y1 + ϕ 2 ( x) y2 Derivând, obţinem: y′ = ϕ1( x) y1′ + ϕ 2 ( x) y′2 + ϕ1′( x) y1 + ϕ 2′ ( x) y2 . Impunem condiţia (16) ϕ1′( x) y1 + ϕ 2′ ( x) y2 = 0 Ţinând seama de (16), rezultă că (17) y′ = ϕ1( x) y1′ + ϕ 2 ( x) y′2 , şi mai departe că (18) y′′ = ϕ1( x) y1′′ + ϕ 2 ( x) y′′2 + ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y′2 În sfârşit, punând condiţia ca funcţia definită în (14) să verifice ecuaţia a0 ( x) y′′ + a1( x) y′ + a2 ( x) y = f ( x) şi ţinând seama de (17) şi (18) rezultă: a0 ( x) [ϕ1( x) y1′′ + ϕ 2 ( x) y′′2 + ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y′2 ] + a1( x) [ϕ1( x) y1′ + ϕ 2 ( x) y′2 ] + +a2 ( x) [ϕ1( x) y1 + ϕ 2 ( x) y2 ] = f ( x). În continuare avem: ϕ1( x) [a0 ( x) y1′′ + a1( x) y1′ + a2 ( x) y1] + ϕ 2 ( x) [a0( x) y′′2 + a1( x) y′2 + a2 ( x) y2 ] + +a0( x) [ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y′2 ] = f ( x). Ţinând seama că y1 şi y2 sunt soluţii pentru ecuaţia omogenă, rezultă că a0( x) [ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y′2 ] = f ( x) , deci că f ( x) (19) a0( x) În concluzie, dacă, căutăm soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) sub forma (15), atunci funcţiile ϕ1 şi ϕ 2 satisfac condiţiile (16) şi (19), anume: ⎧ϕ1′( x) y1 + ϕ 2′ ( x) y2 = 0 ⎪ (20) f ( x) ⎨ ⎪ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y′2 = a ( x) 0 ⎩ Cum determinantul coeficienţilor sistemului liniar (20) este chiar wronskianul funcţiilor y1 , y2 şi este diferit de zero prin ipoteză, rezultă că sistemul (20) are soluţie unică. Fie ϕ1′( x) = g1( x) şi ϕ 2′ ( x) = g 2 ( x) soluţia unică a sistemului (20). Mai departe avem: ϕ1( x) = ∫ g1( x)dx + C1 şi ϕ 2 ( x) = ∫ g 2 ( x)dx + C2 (21)

ϕ1′( x) y1′ + ϕ 2′ ( x) y′2 =

Înlocuind (21) în (15) obţinem soluţia generală a ecuaţiei neomogene: y = C1 y1 + C2 y2 + y1∫ g1( x) dx + y2 ∫ g 2 ( x) dx = y0 + y p

(22)

182 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

unde y0 = C1 y1 + C2 y2 este soluţia generală a ecuaţiei omogene, iar y p = y1∫ g1( x) dx + y2 ∫ g 2 ( x) dx este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Observaţia 7.3.4 În cazul general, metoda variaţiei constantelor constă în următoarele: fie y1, y2 ,K, yn un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene (2). Atunci, soluţia generală a ecuaţiei (2) este: y = C1 y1 + K + Cn yn . Căutăm soluţia generală a ecuaţiei neomogene (1) de forma (23) y = ϕ1( x) y1 + K + ϕ n ( x) yn unde ϕ ′1,ϕ2′ ,K ,ϕn′ verifică sistemul

⎧ϕ1′( x) y1 + K + ϕ n′ ( x) yn = 0 ⎪ϕ ′( x) y′ + K + ϕ ′ ( x) y′ = 0 (24) ⎪ 1 1 n n ⎨ ⎪ϕ1′( x) y (n −1) + K + ϕ n′ ( x) yn(n −1) = f ( x) 1 a0 ( x) ⎪⎩ Rezolvând sistemul (24) (care are soluţie unică) şi integrând, obţinem funcţiile ϕ1,K,ϕ n şi deci soluţia generală a ecuaţiei neomogene (23). În concluzie, dacă cunoaştem un sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă, atunci folosind metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange putem să aflăm soluţia generală a ecuaţiei neomogene. În general, determinarea unui sistem fundamental de soluţii pentru ecuaţia omogenă este dificilă pentru ecuaţii cu coeficienţi variabili. Acest lucru este posibil însă, în cazul ecuaţiilor cu coeficienţi constanţi, de care ne vom ocupa în continuare. Fie (25) a0 y (n) + a1 y (n −1) + K + an −1 y′ + an y = 0 o ecuaţie diferenţială liniară şi omogenă de ordinul n, cu ai ∈ , constante, ∀ i = 1, n . Căutăm soluţii ale ecuaţiei (25) de forma y = er x (26) unde r este o constantă reală. Punând condiţia ca funcţia definită în (26) să fie soluţie pentru ecuaţia (25) rezultă:

(

)

e r x a0r n + a1r n −1 + K + an −1 r + an = 0 . Se obţine astfel o ecuaţie algebrică de ordinul n, care se numeşte ecuaţia caracteristică: a0r n + a1r n −1 + K + an −1 r + an = 0 (27) Distingem următoarele cazuri:

183

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Cazul 1. Ecuaţia caracteristică (27) are rădăcini reale şi distincte două câte

două. Fie r1, r2,K, rn ∈ r x

, ri ≠ rj dacă i ≠ j, rădăcinile ecuaţiei caracteristice (27). r x

r x

Atunci: y1 = e 1 , y2 = e 2 ,K, yn = e n , vor fi soluţii ale ecuaţiei diferenţiale (25). Wronskianul acestor soluţii este r x

e1 r1e

r1x r x

r1n −1e 1

=e

e

r2 x

r2e

r2 x

r2n −1e

(r1+K+ rn ) x

r2 x

K K

r x

en rne

rn x

1

( r + r +K+ rn ) x r =e 1 2 1

1

K

1

r2

K

rn

=

r1n −1 r2n −1 K rnn −1

r x

K rnn −1e n

∏ ( ri − rj ) ≠ 0 .

1≤ j 0 astfel încât

191

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE n

f ( x, y1,K, yn ) − f ( x, z1,K, zn ) ≤ L∑ y j − z j , oricare ar fi punctele ( x, y1,K, yn ) j =1

şi ( x, z1,K, zn ) din D. Observaţia 7.4.1 Dacă D este o mulţime deschisă şi convexă, f ∈ C 1( D) şi

există M > 0 astfel încât

∂f ( x, y1,K, yn ) ≤ M , ∀ ( x, y1,K, yn ) ∈ D şi ∀ i = 1, n , ∂xi

atunci f este lipschitziană pe D. Într-adevăr, din teorema creşterilor finite a lui Lagrange, rezultă că oricare ar fi P ( x, y1,K, yn ) ∈ D şi oricare ar fi Q ( x, z1,K, zn ) ∈ D există un punct

( x,ξ1,K,ξn )

pe segmentul de dreaptă deschis, de capete P şi Q astfel încât

∂f ( x,ξ1,K,ξn ) ( y j − z j ) . ∂ j =1 x j n

f ( x, y1,K, yn ) − f ( x, z1,K, zn ) = ∑ În continuare avem:

n

f ( x, y1,K, yn ) − f ( x, z1,K, zn ) ≤ ∑

j =1

∂f ( x,ξ1,K,ξn ) ∂x j

(y j − zj) ≤

n

≤ M ∑ (yj − zj) , j =1

deci f este lipschitziană pe D. Teorema 7.4.1 (Teorema de existenţă şi unicitate pentru sisteme)

Fie M 0 ( x0, y10,K, yn0 ) ∈

n +1

, a, bi > 0 , i = 1, n şi D = ( x0 − a, x0 + a ) × ∆ ,

n

unde ∆ = ∏ ( y j0 − b j , y j 0 + b j ) = ( y10 − b1, y10 + b1 ) ×K× ( yn0 − bn , yn0 + bn ) . j =1

Dacă f i : D → este continuă şi lipschitziană pe D , oricare ar fi i = 1, n , atunci există o soluţie unică a sistemului (1): y1 = ϕ1( x),K, yn = ϕ n ( x) ,

x ∈ I ⊂ ( x0 − a, x0 + a ) cu proprietatea: ϕ1 ( x0 ) = y10,K,ϕ n ( x0 ) = yn0 . (Cu alte cuvinte, în condiţii precizate, problema Cauchy (1)+(2) are soluţie unică). Demonstraţie. Deoarece f i este continuă pe mulţimea compactă D , rezultă

că este mărginită pe D . Fie M i > 0 marginea superioară a funcţiei f i pe D şi fie M = max {M 1,K, M n} . Fie de asemenea L = max {L1,K, Ln} , unde Li > 0 este

constanta Lipschitz a funcţiei f i pe D , i = 1, n . Fie α ∈ (0,1) oarecare şi fie b α ⎞ ⎛ b1 h = min ⎜ a, ,K, n , ⎟ . M nL ⎠ ⎝ M

Notăm

cu

I = ( x0 − h, x0 + h ) .

Evident,

192 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

I ⊂ ( x0 − a, x0 + a ) . Procedând ca în demonstraţia Lemei 7.1.1, se arată că rezolvarea problemei Cauchy (1)+(2) este echivalentă cu rezolvarea următorului sistem de ecuaţii integrale: ⎧ y ( x) = y + x f [t, y (t),K, y (t )] d t 10 ∫ 1 1 n ⎪⎪ 1 x0 (3) ⎨ x ⎪ yn ( x) = yn0 + ∫ f n [t, y1(t ),K, yn (t )] d t , x ∈ I x0 ⎪⎩ Rezultă că dacă arătăm că sistemul (4) are soluţie unică, atunci teorema este demonstrată. Fie F = { G = ( g1,K, gn ): I → ∆ ; G − continuă pe I } şi fie d (G, H ) = max sup{ gi ( x) − hi ( x) ; x ∈ I } , oricare ar fi funcţiile G = ( g1,K, g n ) şi 1≤ i ≤ n

H = ( h1,K, hn ) din F . Se arată, ca şi în demonstraţia Teoremei 7.1.1, că ( F ,d ) este un spaţiu metric complet. În continuare, pentru orice G ∈F şi orice x ∈ I, notăm cu Ti (G)( x) = yi0 + ∫

x x0

f i [t, g1(t ),K, g n (t)] d t şi cu T = (T1,K, Tn ) . Pentru

început vom arăta că T : F → F . Într-adevăr, pentru orice x ∈ I, avem:

Ti (G)( x) − yi0 ≤

x

∫x0 fi [t, g1(t),K, gn (t)] dt

≤M

x

∫x0 dt

= M ( x − x0 ) ≤

bi = bi . M Rezultă că T (G)( x) = (T1(G)( x),K,Tn (G)( x) ) ∈ ∆ , ∀ x ∈ I . Cum T (G) este ≤ Mh ≤ M ⋅

evident continuă pe I, rezultă că T (G) ∈ F . În continuare vom arăta că T este o contracţie pe F . Pentru aceasta, fie G, H ∈ F , x ∈ I şi i = 1, n . Atunci

Ti (G)( x) − Ti ( H )( x) ≤ ≤

x

∫ x0

x

∫ x0 fi (t, g1(t),K, gn (t)) − fi (t, h1(t),K, hn (t)) dt

n

Li ∑ g j (t ) − h j (t) d t ≤ nL d (G, H ) j =1

≤ nLd (G, h )

α nL

x

∫ x0 dt

≤ nLd (G, H ) h ≤

= α d ( G, h ) .

Rezultă că d (T (G),T ( H ) ) = max sup{ Ti (G )( x) − Ti ( H )( x) ; x ∈ I } ≤ 1≤ i ≤ n

≤ α d ( G, H ) .

≤

193

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Cum α ∈ (0,1), deducem că T este o contracţie pe F . Din Teorema de punct fix a lui Banach, rezultă că există Φ = (ϕ1,K,ϕ n ) ∈ F , unică, cu proprietatea: T ( Φ ) = Φ , relaţie vectorială echivalentă cu: yi0 + ∫

x x0

fi [t,ϕ1(t ),K,ϕ n (t )] d t = ϕi (t) , ∀ t ∈ I , ∀ i = 1, n .

Aşadar, am arătat că Φ = (ϕ1,K,ϕ n ) : I → ∆ este soluţia unică a sistemului (3) şi cu aceasta teorema este demonstrată. Definiţia 7.4.4 Prin ecuaţie diferenţială de ordinul n, sub formă normală, înţelegem o ecuaţie diferenţială de forma: y (n) = f x, y, y′,K, y (n −1) (4)

(

)

unde f este o funcţie continuă definită pe o mulţime deschisă D ⊂

n +1

, y = y ( x)

este funcţia necunoscută iar y (k ) este derivata de ordinul k a lui y, k = 1, n − 1 . Prin soluţie a ecuaţiei (4) se înţelege orice funcţie y = ϕ ( x) , x ∈ I ,

ϕ ∈ C (n −1( I ) cu proprietăţile:

( x,ϕ ( x),ϕ ′( x),K,ϕ

(n −1)

)

( x) ∈ D , ∀ x ∈ I şi

ϕ (n) ( x) = f ⎡⎣ x,ϕ ( x),ϕ ′( x),K,ϕ (n−1) ( x)⎤⎦ , ∀ x ∈ I .

Fie M 0 ( x0, y0, y10,K, yn −1,0 ) ∈ D un punct oarecare fixat. Problema Cauchy pentru ecuaţia (4) şi punctul M 0 constă în determinarea unei soluţii: y = ϕ ( x) , x ∈ I a ecuaţiei (4) care îndeplineşte condiţiile: ϕ ( x0 ) = y0 , ϕ ′( x0 ) = y10,K,ϕ (n −1) ( x0 ) = yn −1, 0 (5) Teorema 7.4.2 Fie n −1

D = ( x0 − a, x0 + a ) × ( y0 − b0, y0 + b0 ) × ∏ ( y j0 − b j , y j0 + b j ) un paralelipiped cu j =1

centrul în M 0 ( x0, y0, y10,K, yn −1,0 ) ∈ D . Presupunem că f : D →

este continuă

şi lipschitziană în raport cu toate argumentele, mai puţin x. În aceste condiţii, problema Cauchy (4)+(5) are soluţie unică. Demonstraţie. Dacă introducem notaţiile: y1 = y′ , y2 = y′′,K, yn −1 = y (n −1) atunci ecuaţia (4) se înlocuieşte cu următorul sistem de ecuaţii diferenţiale:

(6)

194 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

⎧ dy ⎪ dx = y1 ⎪ ⎪ dy1 = y 2 ⎪ dx (7) ⎨ ⎪ dyn −2 = yn −1 ⎪ dx ⎪ dy ⎪ n −1 = f ( x, y, y1,K, yn −1 ) ⎩ dx Cum sistemul (7) verifică condiţiile din Teorema 7.3.1, rezultă că există o soluţie unică a sistemului (7): y = ϕ ( x) , y1 = ϕ1( x),K, yn −1 = ϕ n −1( x) , x ∈ I (8) care verifică condiţia iniţială ϕ ( x0 ) = y0 , ϕ1 ( x0 ) = y10,K,ϕ n −1 ( x0 ) = yn −1,0 (9) Dacă ţinem seama de notaţiile (6) şi de faptul că (8) este soluţie pentru sistemul (7) obţinem: ϕ (n) ( x) = f ⎡ x,ϕ ( x),ϕ ′( x),K,ϕ (n −1) ( x)⎤ , ∀ x ∈ I , deci y = ϕ ( x) , x ∈ I ⎣ ⎦ este soluţie pentru ecuaţia (4). Pe de altă parte din (6) şi (9) rezultă că ϕ ( x0 ) = y0 ,

ϕ ′( x0 ) = y10,K,ϕ (n −1) ( x0 ) = yn −1, 0 . Aşadar, y = ϕ ( x) , x ∈ I este soluţie unică pentru problema Cauchy (4)+(5). Exemplul 7.4.1 Să se rezolve problema Cauchy y′′ + y = x , y(0) = 1 , y′(0) = 3 . Soluţia generală a ecuaţiei este y = C1 cos x + C2 sin x + x . Din condiţiile iniţiale y(0) = 1 , y′(0) = 3 rezultă C1 = 1 şi C2 = 2 . Soluţia problemei Cauchy este y = cos x + 2sin x + x .

7.5

SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE LINIARE

Un sistem de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi este de forma următoare: ⎧ dy1 ⎪ dx = a11( x) y1 + K + a1n ( x) yn + b1( x) ⎪ (1) ⎨ dy ⎪ n = an1( x) y1 + K + ann ( x) yn + bn ( x) ⎪⎩ dxn unde aij şi bi sunt funcţii continue definite pe un interval I = (a, b) ⊂ Ρ. Sistemul omogen asociat sistemului (1) este:

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

195

⎧ dy1 ⎪⎪ dx = a11( x) y1 + K + a1n ( x) yn ⎨ dy ⎪ n = an1( x) y1 + K + ann ( x) yn ⎪⎩ dxn

(2)

Dacă introducem notaţiile vectoriale: ⎛ y1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ a11K a1n ⎞ ⎜ ⎟ , B = ⎜⎜ M ⎟⎟ Y =⎜ M ⎟, A=⎜ ⎜ an1K ann ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎜y ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ sistemul (1) devine dY = AY + b dx iar sistemul (2) dY = AY dx

(1')

(2')

Observaţia 7.5.1 Dacă notăm cu f i ( x) = ai1( x) y1 + K + ain ( x) yn + bi ( x) , ∂fi = aij ( x) . Fie x0 ∈ ( a, b ) = I şi fie J ⊂ I un interval ∀ x ∈ I , ∀ i = 1, n , atunci ∂y j

închis care conţine punctul x0 . Deoarece funcţiile aij şi bi sunt continue pe I, rezultă că aceste funcţii sunt mărginite pe J. Din Observaţia 7.3.1 rezultă că funcţiile f i sunt lipschitziene în raport cu y1,K, yn pe domeniul J × n . Rezultă

că pe o vecinătate suficient de mică a punctului ( x0, y10,K, yn0 ) ∈ J × n , Teorema 7.3.1 de existenţă şi unicitate este valabilă. De fapt, se poate demonstra mai mult, că oricare ar fi a < x0 < b şi oricare ar fi y0 = ( y10,K, yn0 ) ∈ n , există o soluţie

unică a sistemului liniar (1): y1 = ϕ1( x),K, yn = ϕ n ( x) , x ∈ I care verifică condiţia iniţială ϕ1 ( x0 ) = y10,K,ϕ n ( x0 ) = yn0 . În continuare vom studia sistemul omogen (2).

Propoziţia 7.5.1 Dacă Y1 şi Y2 sunt soluţii ale sistemului omogen (2), atunci ∀ α1,α 2 ∈ , rezultă că α1Y1 + α 2Y2 este de asemenea soluţie pentru (2).

Demonstraţie. Deoarece operaţia de derivare este liniară rezultă: d dY dY α1Y1 + α 2Y2 ) = α1 1 + α 2 2 = α1 AY1 + α 2 AY2 = A (α1Y1 + α 2Y2 ) . ( dx dx dx Dacă notăm cu S mulţimea soluţiilor sistemului omogen (2) din Propoziţia 7.5.1, rezultă că S este un spaţiu vectorial real.

196 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

⎛ y11 ⎞ ⎛ y1n ⎞ ⎜ ⎟ Definiţia 7.5.1 Fie Y = ⎜ M ⎟ ,K, Yn = ⎜⎜ M ⎟⎟ n-soluţii particulare ale siste⎜y ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ n1 ⎠ ⎝ nn ⎠ mului omogen (2). Se numeşte wronskianul acestor soluţii, următorul determinant: y11( x) K y1n ( x) W ( x) = W [Y1,K,Yn ] ( x) = , x∈I . yn1( x) K ynn ( x) Propoziţia 7.5.2 Dacă Y1,K,Yn sunt n-soluţii particulare ale sistemului (2), liniar dependente pe I, atunci W ( x) = 0, ∀ x ∈ I .

Demonstraţie. Prin ipoteză, există α1,K,α n ∈ , nu toate nule, astfel încât: α1Y1( x) + K + α nYn ( x) = 0 , ∀ x ∈ I , relaţie echivalentă cu: ⎧⎪α1 y11( x) + K + α n y1n ( x) = 0 (3) ⎨α y ( x) + K + α y ( x) = 0 , ∀ x∈I n nn ⎪⎩ 1 n1 Deoarece (3) este un sistem (algebric) liniar şi omogen, care admite soluţie nebanală, rezultă că determinantul coeficienţilor este zero. Dar, determinantul coeficienţilor este chiar wronskianul soluţiilor Y1,K,Yn . Aşadar, W (Y1,K,Yn ) ( x) = 0 , ∀ x ∈ I .

Teorema 7.5.1 (Liouville) Fie Y1,K , Yn , n-soluţii particulare ale sistemului omogen (2) şi fie x0 ∈ I oarecare fixat. Atunci, ∀ x ∈ I avem:

W ( x) = W ( x0 ) e

x

∫ x0 [a11(t ) +K+ ann (t )]d t

(4)

Demonstraţie. Pentru simplificarea scrierii, considerăm cazul particular n = 2. Fie deci ⎛ y11 ⎞ ⎛ y12 ⎞ Y1 = ⎜ ⎟ şi y2 = ⎜ ⎟ soluţii particulare pentru (2). Wronskianul acestor soluţii ⎝ y21 ⎠ ⎝ y22 ⎠ este: W ( x) =

y11

y12

, x∈I . y21 y22 Deoarece Y1 şi Y2 sunt soluţii pentru sistemul (2) avem: ⎧ dy11 ⎧ dy12 ⎪⎪ dx = a11 y11 + a12 y21 ⎪⎪ dx = a11 y12 + a12 y22 şi ⎨ ⎨ ⎪ dy21 = a y + a y ⎪ dy22 = a y + a y 21 11 22 21 21 12 22 22 ⎪⎩ dx ⎪⎩ dx

(5)

197

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Ţinând seama de modul de derivare al unui determinant, de identităţile (5) şi de proprietăţile determinanţilor, rezultă: dy11 dy12 y11 y12 a11 y11 + a12 y21 a11 y12 + a12 y22 dW = dx + dx + dy21 dy22 = dx y21 y22 y21 y22 dx dx +

y11 y12 a11 y11 a11 y12 y11 y12 + = = a11 y11 + a22 y21 a21 y12 + a22 y22 y21 y22 a22 y21 a22 y22

= ( a11 + a22 )

y11

y12

y21

y22

.

Aşadar, avem dW (6) = [a11( x) + a22 ( x)] W ( x) , x ∈ I dx Observăm că (6) este o ecuaţie diferenţială liniară şi omogenă de ordinul x ∫ x0 [a11(t )+ a22(t )]d t , x ∈ I , unde C ∈ Ρ este întâi. Soluţia sa generală este: W ( x) = C ⋅ e o constantă arbitrară. Deoarece W ( x0 ) = C , rezultă:

W ( x) = W ( x0 ) e

x

∫ x0 [a11(t )+ a22(t )]d t

, x∈I .

Definiţia 7.5.2 Se numeşte sistem fundamental de soluţii ale sistemului omogen (2), orice set de n soluţii particulare ale acestui sistem, Y1,K , Yn , cu

proprietatea că există x0 ∈ I , astfel încât W [Y1,K , Yn ] ( x0 ) ≠ 0 .

Corolarul 7.5.1 Dacă Y1,K , Yn este un sistem fundamental de soluţii pentru

sistemul omogen (2), atunci W [Y1,K, Yn ] ( x) ≠ 0 , ∀ x ∈ I . Afirmaţia rezultă din Teorema Liouville.

Observaţia 7.5.2 Din Propoziţia 7.5.2 şi Corolarul 7.5.1, rezultă că dacă Y1,K , Yn este un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen (2), atunci Y1,K , Yn sunt liniar independente pe intervalul I. Teorema 7.5.2 Dacă Y1,K , Yn este un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen (2), atunci oricare ar fi Y soluţie a acestui sistem, există C1,K , Cn ∈ astfel încât Y = C1Y1 + K + CnYn .

Demonstraţie. ⎛ y11 ⎞ ⎛ y1n ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Fie Y1 = ⎜ M ⎟ ,K, Yn = ⎜ M ⎟ , Y = ⎜ M ⎟ şi x0 ∈ I oarecare fixat. ⎜y ⎟ ⎜y ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ n1 ⎠ ⎝ nn ⎠ ⎝ n⎠

198 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Considerăm următorul sistem ⎧⎪α1 y11 ( x0 ) + K + α n y1n ( x0 ) = y1 ( x0 ) (7) ⎨ ⎪⎩α1 yn1 ( x0 ) + K + α n ynn ( x0 ) = yn ( x0 ) Deoarece determinantul coeficienţilor sistemului (7) este chiar wronskianul soluţiilor Y1,K , Yn şi acesta este diferit de zero prin ipoteză, rezultă că sistemul (7) admite soluţie unică. Fie C1, C2 ,K , Cn soluţia unică a sistemului (7) şi fie Z = C1Y1 + K + CnYn . Din Propoziţia 7.5.1 rezultă că Z este soluţie pentru sistemul

omogen (2). Pe de altă parte, observăm că Z ( x0 ) = Y ( x0 ) . Din Teorema de exis-

tenţă şi unicitate rezultă că Z = Y, deci Y = C1Y1 + K + CnYn . Observaţia 7.5.3 Din Teorema 7.5.2 rezultă că dacă cunoaştem n-soluţii particulare ale sistemului omogen (2), Y1,K , Yn şi acestea formează un sistem fundamental de soluţii, atunci soluţia generală a sistemului omogen este: (8) Y = C1Y1 + K + CnYn unde C1,K , Cn sunt constante arbitrare. În continuare, prezentăm metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange pentru rezolvarea sistemelor neomogene. Pentru simplificarea scrierii considerăm cazul particular n = 2. Fie deci următorul sistem neomogen: ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = a11 y1 + a12 y2 + b1 (9) ⎨ ⎪ dy2 = a y + a y + b 21 1 22 2 2 ⎪⎩ dx ⎛ y11 ⎞ ⎛ y12 ⎞ Fie de asemenea Y1 = ⎜ ⎟ şi Y2 = ⎜ ⎟ un sistem fundamental de soluţii ⎝ y21 ⎠ ⎝ y22 ⎠ pentru sistemul omogen asociat. Atunci avem: ⎧ dy11 ⎧ dy12 ⎪⎪ dx = a11 y11 + a12 y21 ⎪⎪ dx = a11 y12 + a12 y22 şi ⎨ (10) ⎨ ⎪ dy21 = a21 y11 + a22 y21 ⎪ dy22 = a21 y12 + a22 y22 ⎪⎩ dx ⎪⎩ dx Din Observaţia 7.5.3 deducem că soluţia generală a sistemului omogen este ⎧ y10 = C1 y11 + C2 y12 (11) ⎨ ⎩ y20 = C1 y21 + C2 y22 , C1, C2 ∈ Căutăm soluţia sistemului neomogen (9) de forma ⎧ y1 = ϕ1( x) y11 + ϕ 2 ( x) y12 (12) ⎨ ⎩ y2 = ϕ1( x) y21 + ϕ 2 ( x) y22 Punând condiţia ca (12) să verifice sistemul (9) obţinem:

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

199

′ + ϕ 2 y12 ′ = a11 (ϕ 1y11 + ϕ 2 y12 ) + a12 (ϕ 1y21 + ϕ 2 y22 ) + b1 ⎧⎪ϕ ′1 y11 + ϕ 2′ y12 + ϕ 1 y11 ⎨ ⎪⎩ϕ ′1 y21 + ϕ 2′ y22 + ϕ 1 y′21 + ϕ 2 y′22 = a12 (ϕ 1y11 + ϕ 2 y12 ) + a22 (ϕ 1y21 + ϕ 2 y22 ) + b2 Ţinând seama de identităţile (10) rezultă ⎪⎧ϕ ′1( x) y11 + ϕ 2′ ( x) y12 = b1( x) (13) ⎨ x ∈ I. ⎪⎩ϕ ′1( x) y21 + ϕ 2′ ( x) y22 = b2 ( x) , Deoarece determinantul coeficienţilor este chiar wronkianul soluţiei Y1 , Y2 şi acesta este diferit de zero pe I, rezultă că sistemul (13) are soluţie unică. Fie ϕ ′1( x) = g 1( x) şi ϕ 2′ ( x) = g 2 ( x) , x ∈ I , soluţia unică a sistemului (13). Integrând, obţinem: ⎧ϕ 1( x) = ∫ g1( x) dx + C1 ⎪ (14) ⎨ ⎪⎩ϕ 2 ( x) = ∫ g 2 ( x) dx + C2 În sfârşit, înlocuind (14) în (12) obţinem soluţia generală a sistemului neomogen (9), anume: ⎧ y1 = C1 y11 + C2 y12 + y11 ∫ g1( x) dx + y12 ∫ g 2 ( x) dx ⎪ (15) ⎨ ⎪⎩ y2 = C1 y21 + C2 y22 + y21 ∫ g1( x) dx + y22 ∫ g2 ( x) dx Dacă notăm cu: ⎧ y1 p = y11 ∫ g1( x) dx + y12 ∫ g 2 ( x) dx ⎛ y1 p ⎞ ⎛ y10 ⎞ ⎪ şi cu Y0 = ⎜ , Yp = ⎜ ⎨ ⎟ atunci soluţia ⎟ ⎝ y20 ⎠ ⎝ y2 p ⎠ ⎪⎩ y2 p = y21 ∫ g1( x) dx + y22 ∫ g 2 ( x) dx generală a sistemului neomogen (9) este de forma Y = Y0 + Y p (15') unde Y0 este soluţia generală a sistemului omogen, iar Y p este o soluţie particulară a sistemului neomogen. Observaţia 7.5.4 În principiu, rezolvarea sistemului neomogen este întotdeauna posibilă dacă se cunoaşte un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen. Într-adevăr, fie Y1,K , Yn un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen. Atunci (16) Y0 = C1Y1 + K + CnYn este soluţia generală a sistemului omogen. Căutăm soluţia generală a sistemului neomogen de forma: (17) Y = ϕ1( x)Y1 + K + ϕ n ( x)Yn Funcţiile ϕ1,K , ϕ n se determină astfel: Se consideră sistemul:

200 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

⎧⎪ϕ ′1( x) y11 + K + ϕ n′ ( x) y1n = b1( x) (18) ⎨ϕ ′ ( x) y + K + ϕ ′ ( x) y = b ( x) n1 n nn n ⎪⎩ 1 Sistemul (18) are soluţie unică. Fie ϕ ′1( x) = g1( x),K,ϕn′ ( x) = g n ( x) soluţia

acestui sistem. Integrând, găsim: ϕ 1( x) = ∫ g1( x) dx + C1,K,ϕn ( x) = ∫ g n ( x) dx + Cn

(19)

Înlocuind (19) în (17) se obţine soluţia generală a sistemului neomogen. Din păcate, pentru sisteme cu coeficienţi variabili este dificil de aflat un sistem fundamental de soluţii pentru sistemul omogen. Acest lucru este posibil în cazul sistemelor cu coeficienţi constanţi. În continuare vom studia astfel de sisteme. Fie sistemul: dY (20) = AY dx ⎛ a11 K a1n ⎞ unde A = ⎜ este o matrice constantă ( aij sunt constante reale). ⎜ an1 K ann ⎟⎟ ⎝ ⎠ Reamintim că, prin definiţie, derivata unei matrice ale cărei elemente sunt funcţii derivabile, este matricea formată cu derivatele acestor elemente. Aşadar, ′ ( x) K f 1′ n ( x) ⎞ ⎛ f11( x) K f1n ( x) ⎞′ def ⎛ f 11 sunt ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ′ ⎟⎟ , x ∈ I , dacă fij : I → ′ ⎝ f n1( x) K f nn ( x) ⎠ ⎝ f n1( x) K f nn ( x) ⎠ derivabile, ∀ i, j = 1, n . În particular ( Ax )′ = A . Prin inducţie matematică se demonstrează imediat că ⎡( Ax )k ⎤′ = k ⋅ A ( Ax )k −1 , k ≥ 1 , k ∈ . ⎣ ⎦ Cum e

Ax

=

∞

∑

( Ax )k

( )

3.6.1), rezultă că e

(e )′ = Ae Ax

Ax

Ax

, x∈

k!

k =0

′

şi convergenta este uniformă (Vezi [10],

k ⋅ A ⋅ ( Ax ) =∑ k! k =1

, x∈

∞

k −1

k −1 Ax ) ( = A∑ = Ae Ax . Aşadar, avem k − 1 ! ( ) k =1 ∞

.

(21)

Teorema 7.5.2 Soluţia generală a sistemului (20) este:

Y = e AxC ⎛ C1 ⎞ ⎜ ⎟ unde C = ⎜ M ⎟ este un vector constant oarecare ( Ci ∈ ⎜C ⎟ ⎝ n⎠

(22) , i = 1, n ).

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

201

Demonstraţie. Din (21) rezultă imediat că

dY = Ae AxC . Înlocuind în (20) obţinem identidx

tatea Ae AxC = Ae Ax ⋅ C , deci (22) este soluţie pentru (20). Exemplul 7.5.1 Să se rezolve sistemul: ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = −2 y1 + y2 + 2 x + 3 ⎨ ⎪ dy2 = −4 y + 3 y + 4 x − 1 1 2 ⎪⎩ dx Sistemul omogen asociat este: ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = −2 y1 + y2 ⎨ ⎪ dy2 = −4 y + 3 y 1 2 ⎪⎩ dx

(23)

(24)

Conform Teoremei 7.5.2, soluţia generală a sistemului (24) este Y = e AxC , ⎛ C1 ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ unde A = ⎜ ⎟ şi C = ⎜ ⎟ . ⎝ C2 ⎠ ⎝ −4 3 ⎠ Matricea e Ax se calculează uşor dacă matricea A se poate aduce la forma diagonală. În cazul nostru acest lucru este posibil. Într-adevăr, valorile proprii ale matricei A sunt λ 1 = 2 ; λ 2 = −1 . Cum λ 1 ≠ λ 2 , există o bază formată din vectori proprii. O astfel de bază este v1 = (1, 4) , v2 = (1,1) . Matricea de trecere de la baza canonică la această nouă bază este: 13⎞ ⎛ 1 1⎞ −1 ⎛ −1 3 T =⎜ ⎟ . În raport cu noua bază, matricea A are forma ⎟ , iar T = ⎜ ⎝ 4 3 −1 3 ⎠ ⎝ 4 1⎠

⎛2 0 ⎞ A diagonală D = ⎜ ⎟ . Din proprietăţile funcţiei A → e (Vezi (10), 3.6.2) 0 − 1 ⎝ ⎠ rezultă că 2x ⎛ e2x 0 ⎞ 0 ⎞ ⎛ −1 3 1 3 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ e = e Dx = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ şi e Ax = T ⋅ e DxT −1 = ⎜ ⎟ ⎜ 0 e− x ⎟ ⎝⎜ 4 3 −1 3 ⎠⎟ ⎜ 0 e− x ⎟ 4 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 4 1 1 ⎛ ⎞ 2x −x e2 x − e− x ⎟ ⎜−3e + 3e 3 3 =⎜ ⎟. ⎜ − 4 e2 x + 4 e− x 4 e2x − 1 e− x ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 3 ⎝ 3 ⎠ Soluţia generală a sistemului omogen (24) este:

202 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

1 1 ⎛ C1 2 x 4 ⎞ − e + C1e− x + C2e2 x − C2e− x ⎟ ⎛ y10 ⎞ Ax ⎛ C1 ⎞ ⎜ 3 3 3 3 Y0 = ⎜ ⎟. ⎟=e ⎜ ⎟=⎜ y C 4 4 4 ⎝ 20 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜ − C e2x + C e− x + C e2x − 1 C e− x ⎟ ⎜ ⎟ 3 1 3 2 3 2 ⎠ ⎝ 3 1 C −C 4C − C2 Dacă introducem notaţiile K1 = 2 1 , K 2 = 1 , rezultă 3 3 ⎧⎪ y10 = K1e2 x + K 2e− x (25) ⎨ 2x −x ⎪⎩ y20 = 4K1e + K 2e ((25) reprezintă soluţia generală a sistemului omogen (24)). Pentru a găsi soluţia sistemului neomogen, folosim metoda variaţiei constantelor a lui Lagrange. Căutăm soluţia sistemului neomogen de forma: ⎧⎪ y1 = ϕ1( x) e2 x + ϕ2 ( x) e− x (26) ⎨ 2x −x ⎪⎩ y2 = 4ϕ1( x) e + ϕ2 ( x)e Funcţiile ϕ ′1 şi ϕ ′2 verifică sistemul: ⎧⎪ϕ ′1( x) e 2 x + ϕ ′2 ( x) e − x = 2 x + 3 ⎨ 2x −x ⎪⎩4ϕ ′1( x) e + ϕ ′2 ( x)e = 4 x − 1.

Rezolvând acest sistem obţinem: ϕ ′1( x) =

2 x − 4 −2 x 4 x + 13 x e , ϕ ′2 ( x) = e şi 3 3

mai departe:

−2 x + 3 −2 x 4x + 9 x e + C1 , ϕ 2 ( x) = e + C2 6 3 Înlocuind (27) în (26), rezultă soluţia generală a sistemului (23): 7 ⎧ 2x −x ⎪ y1 = C1 e + C2 e + x + 2 ⎨ ⎪ y = 4C e 2 x + C e− x + 5 . 1 2 ⎩ 2

ϕ 1( x) =

(27)

Observaţia 7.5.5 La acelaşi rezultat se ajunge şi dacă se foloseşte metoda eliminării, care constă în următoarele: Se derivează una din ecuaţiile sistemului (23), de exemplu prima şi se elimină y2 şi y′2 din ecuaţiile sistemului şi din ecuaţia derivată, obţinându-se în final o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul doi, cu coeficienţi constanţi în necunoscuta y1 . Să reluăm, folosind metoda eliminării, rezolvarea sistemului (23): ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = −2 y1 + y2 + 2x + 3 ⎨ ⎪ dy2 = −4 y + 3 y + 4 x − 1 . 1 2 ⎪⎩ dx

203

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Derivând prima ecuaţie obţinem: d 2 y1 d y dy = −2 1 + 2 + 2 2 dx dx dx Din prima ecuaţie a sistemului deducem că dy y2 = 1 + 2 y1 − 2 x − 3 dx Ţinând seama de a doua ecuaţie a sistemului rezultă: dy2 ⎛ dy ⎞ = −4 y1 + 3 ⎜ 1 + 2 y1 − 2 x − 3 ⎟ + 4x − 1 şi mai departe dx dx ⎝ ⎠

(28)

(29)

dy2 dy = 2 y1 + 3 1 − 2 x − 10 . dx dx Înlocuind (30) în (28), obţinem următoarea ecuaţie de ordinul doi: y′′1 − y′1 − 2 y1 = −2x − 8

(30) (31)

Ecuaţia omogenă asociată este y′′1 − y′1 − 2 y1 = 0 , iar ecuaţia sa caracteristică este r 2 − r − 2 = 0 . Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt r1 = 2 , r2 = −1 , deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este y10 = C1e 2 x + C2e − x . Căutăm o soluţie a ecuaţiei neomogene (31) de forma membrului drept (pentru că nu avem rezonanţă) y1 p = ax + b (32) Punând condiţia ca (32) să verifice ecuaţia (31), obţinem a = 1; b = Aşadar, soluţia generală a ecuaţiei (31) este 7 y1 = C1e 2 x + C2e − x + x + 2 Înlocuind (33) în (29) rezultă că: y2 = 4C1e 2 x + C2e − x + 5 . Aşadar, soluţia sistemului (23) este: 7 ⎧ 2x −x ⎪ y1 = C1 e + C2 e + x + 2 ⎨ ⎪ y = 4C e 2 x + C e− x + 5 , 1 2 ⎩ 2 aceeaşi soluţie ca şi cea obţinută cu metoda matricială.

7 . 2

(33)

Observaţia 7.5.6 Metoda matricială pentru rezolvarea sistemelor liniare omogene cu coeficienţi constanţi se aplică şi în cazul când matricea A nu se poate

diagonaliza, folosindu-se în acest caz pentru calculul matricei e Ax forma canonică Jordan a lui A. Pentru detalii vezi [13].

204 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7.6. SISTEME AUTONOME. ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Prin sistem de ecuaţii diferenţiale autonome, se înţelege un sistem de forma: ⎧ dy1 ⎪⎪ dx = f1 ( y1,K, yn ) (1) ⎨ dy ⎪ n = f n ( y1,K, yn ) ⎩⎪ dx unde fi sunt funcţii continue pe o mulţime deschisă D ⊂ n . Se observă că în cazul sistemelor autonome, variabila independentă x nu apare printre argumentele funcţiilor fi . Definiţia 7.6.1 O funcţie ψ : D → se numeşte integrală primă pentru sistemul (1) dacă: a) ψ ∈ C 1(D) ; b) ψ nu este o funcţie constantă pe D ; c) Pentru orice soluţie y1 = ϕ 1( x),K, yn = ϕn ( x) , x ∈ I a sistemului (1),

există o constantă c ∈ , care depinde de această soluţie, astfel încât ψ ⎡⎣ϕ 1(t ),K,ϕn (t )⎤⎦ = c , ∀ t ∈ I . Exemplul 7.6.1 Fie sistemul autonom dy1 dy2 (2) = y2 , = − y1 , ( y1, y2 ) ∈ 2 . dx dx Folosind metoda eliminării se obţine imediat soluţia generală a sistemului (2), anume: ⎧ y1 = C1 cos x + C2 sin x (3) ⎨ ⎩ y2 = −C1 sin x + C2 cos x

Observăm că funcţia ψ : ∀ ( y1, y2 ) ∈

2

2

→

definită prin ψ ( y1, y2 ) = y12 + y22 ,

este o integrală primă pentru sistemul (2). Într-adevăr,

ψ [C1 cos x + C2 sin x, − C1 sin x + C2 cos x] = C12 + C22 = constant . Teorema 7.6.1 Dacă fi sunt continue şi lipschitziene pe D, atunci o funcţie

ψ ∈ C 1(D) este integrală primă pentru sistemul (1) dacă şi numai dacă: ∂ψ ∂ψ f1 ( y ) y ) +K + fn ( y) ( ( y ) = 0 , ∀ y = ( y1,K, yn ) ∈ D . ∂y1 ∂yn

(4)

205

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Demonstraţie Necesitatea. Fie x0 ∈ şi y0 = ( y10 ,K, yn0 ) ∈ D oarecare fixat. Din Teorema de existenţă şi unicitate pentru sisteme, rezultă că există o soluţie unică a sistemului (1), y1 = ϕ 1( x),K, yn = ϕn ( x) , x ∈ I, cu proprietatea:

ϕ 1 ( x0 ) = y10 ,K ,ϕ n ( x0 ) = yn0 . Dacă ψ : D → este integrală primă pentru (1), atunci

ψ ⎡⎣ϕ 1( x),K,ϕn ( x)⎤⎦ = C , ∀ x ∈ I .

(5)

Derivând (5) rezultă: dϕ ( x) dϕ ( x) ∂ψ ∂ψ ⎡⎣ϕ 1( x),K ,ϕn ( x)⎤⎦ ⋅ 1 + K + ⎡⎣ϕ 1( x),K ,ϕ n ( x)⎤⎦ ⋅ n = 0 , ∀ x∈I . dx dx ∂y1 ∂yn Ţinând seama că ϕ 1,K,ϕn verifică sistemul (1), mai departe avem: ∂ψ ⎡ϕ ( x),K , ϕn ( x)⎤⎦ ⋅ f1 ⎡⎣ϕ 1( x),K , ϕ n ( x)⎤⎦ + K ∂y1 ⎣ 1 ∂ψ ⎡ϕ ( x),K , ϕ n ( x)⎤⎦ ⋅ f n ⎡⎣ϕ 1( x),K , ϕn ( x)⎤⎦ = 0 , ∀ x ∈ I . + ∂y ⎣ 1 n

∂ψ ∂ψ y0 ) f1 ( y0 ) + K + ( ( y ) f ( y ) = 0 . Cum ∂y1 ∂yn 0 n 0 y0 ∈ D a fost arbitrar, rezultă că ψ verifică (4) pe D.

În particular, pentru x = x0 rezultă

Suficienţa. Fie y1 = ϕ 1( x),K, yn = ϕn ( x) , x ∈ I o soluţie oarecare a siste-

mului (1). Atunci (ϕ 1( x),K, yn = ϕn ( x)) ∈ D , ∀ x ∈ I şi

∂ϕ 1 ∂ϕ = f1 ⎡⎣ϕ 1( x),K , ϕ n ( x)⎤⎦ ,K , n = f n ⎡⎣ϕ 1( x),K , ϕ n ( x)⎤⎦ , ∀ x ∈ I . ∂x ∂x 1 Dacă ψ ∈ C ( D) verifică (4) pentru ∀ y ∈ D, atunci avem: dϕ dϕ ∂ψ ∂ψ ⎡⎣ϕ 1( x),K ,ϕn ( x)⎤⎦ ⋅ 1 + K + ⎡⎣ϕ 1( x),K ,ϕn ( x)⎤⎦ ⋅ n = 0 , ∀ x ∈ I , dx dx ∂y1 ∂yn d relaţie echivalentă cu ψ ⎡⎣ϕ 1( x),K , ϕ n ( x)⎤⎦ = 0 , ∀ x ∈ I , dx de unde rezultă că ψ ⎡⎣ϕ 1( x),K , ϕ n ( x)⎤⎦ = c , ∀ x ∈ I .

Aşadar, ψ este integrală primă pentru sistemul (1). Teorema 7.6.2 Presupunem că fi : D ⊂

şi

n

∑ fi 2 ( y ) ≠ 0 , ∀

n

→

sunt continue, lipschitziene

y ∈ D.

i =1

Atunci, sistemul (1) admite cel mult (n – 1) integrale prime independente.

206 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Demonstraţie. Presupunem ψ 1,ψ 2 ,K ,ψ n sunt integrale prime pentru sistemul (1). Din Teorema 7.6.1 rezultă: ∂ψ 1 ⎧ ∂ψ 1 ⎪ ∂y ( y ) f1 ( y ) + K + ∂y ( y ) f n ( y ) = 0 n ⎪ 1 , ∀ y ∈ D. (6) ⎨ ∂ψ ⎪ n ( y ) f1 ( y ) + K + ∂ψ n ( y ) f n ( y ) = 0 ∂yn ⎪⎩ ∂y1 Am obţinut un sistem (algebric) liniar şi omogen în necunoscutele f1 ( y ) , f 2 ( y ) ,K, f n ( y ) . Deoarece sistemul admite soluţii nebanale, rezultă că determinantul coeficienţilor este zero. Aşadar avem: ∂ψ 1 ∂ψ 1 y) K ( ( y) ∂y1 ∂yn = 0 , ∀ y ∈ D. ∂ψ n ∂ψ n ( y ) K ∂y ( y ) ∂y1 n pe D.

Din Teorema 4.11.2 din [10] rezultă că Ψ1, ..., Ψn sunt dependente funcţional

Observaţia 7.6.1 În condiţiile Teoremei 7.6.2 se poate arăta că sistemul (1) admite (n – 1) integrale prime independente funcţional pe D. Ţinând seama şi de Teorema 7.6.2, rezultă că sistemul (1) admite (n – 1) integrale prime independente şi (n – 1) este numărul maxim de integrale prime independente ale sistemului (1). În continuarea acestui paragraf vom presupune că funcţiile fi satisfac condiţiile din Teorema 7.6.2. Sistemul (1) se poate pune sub forma simetrică echivalentă: y′1 y′2 y′n = =K = = 1. (7) f1 ( y1,K, yn ) f 2 ( y1,K, yn ) f n ( y1,K, yn ) Prin combinaţie integrabilă a sistemului (6), se înţelege o ecuaţie diferenţială, consecinţă a sistemului (7), uşor de integrat. Metoda combinaţiilor integrabile este folosită pentru aflarea integralelor prime ale sistemului. Exemplul 7.6.2 Să se afle două integrale prime independente ale sistemului: y′1 y′2 y′3 (8) = = y2 − y3 y3 − y1 y1 − y2 y′1 + y′2 y′3 . Din proprietăţile unui şir de rapoarte egale deducem: = y2 − y1 y1 − y2 d După simplificare rezultă: ( y + y + y ) = 0 , deci y1 + y2 + y3 = C1 . dx 1 2 3 Funcţia ψ 1 ( y1, y2 , y3 ) = y1 + y2 + y3 este integrală primă pentru (8). Pentru a obţine o altă integrală primă facem următoarea combinaţie integrală:

207

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Amplificăm succesiv primul raport cu y1 , al doilea cu y2 , al treilea cu y3 şi y1 y′1 + y2 y′2 y3 y′3 . folosind proprietăţile rapoartelor egale obţinem: = y2 y3 − y1 y3 y1 y3 − y2 y3 d După ce simplificăm obţinem ( y y′ + y y′ + y y′ ) = 0 , deci dx 1 1 2 2 3 3 y12 + y22 + y32 = C2 . Funcţia ψ 1 ( y1, y2 , y3 ) = y12 + y22 + y32 este integrală primă pentru sistemul (8). Prin ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi liniară se înţelege o ecuaţie de forma: ∂u ∂u + K + Pn ( x1,K, xn ) =0. (9) P1 ( x1,K, xn ) ∂x1 ∂xn unde Pi sunt funcţii continue şi lipschitziene pe o mulţime deschisă D ⊂ n

∑ Pi2 ( x) ≠ 0 , i =1

∀ x = ( x1,K , xn ) ∈ D .

Funcţia

u = u ( x1,K , xn )

este

n

şi

funcţia

necunoscută. Definiţia 7.6.2 Se numeşte soluţie a ecuaţiei (9) orice funcţie ϕ definită pe o

submulţime deschisă D 1 ⊂ D , ϕ ∈ C 1 ( D1) cu proprietatea: ∂ϕ ∂ϕ P1( x) + K + Pn ( x) ( x) = 0 , ∀ x = ( x1,K, xn ) ∈ D1 . ∂x1 ∂xn Ecuaţiei cu derivate parţiale (9) i se asociază sistemul simetric următor: x1′ x′ x′ = 2 = K = n = 1. (10) P1( x) P2 ( x) Pn ( x) Observaţia 7.6.2 Din Teorema 7.6.2 rezultă că orice integrală primă a sistemului (10) este soluţie pentru ecuaţia cu derivate parţiale (9). Mai general, are loc următoarea teoremă: Teorema 7.6.3 Fie ψ 1,K ,ψ k integrale prime pentru sistemul (10) şi fie Φ

o funcţie de clasă C 1 definită pe mulţimea deschisă Ω ⊂ k . Atunci funcţia u ( x) = Φ [ψ 1( x),K,ψ k ( x)] , ∀ x ∈ D1 ⊂ D , este soluţie pentru ecuaţia cu derivate parţiale (9). (Se subînţelege că se presupune că (ψ 1( x),K ,ψ k ( x) ) ∈ Ω , ∀ x ∈ D 1 ). Demonstraţie. Pentru orice x ∈ D 1 avem:

208 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

∂ψ 1 ∂φ ∂ψ k ⎧ ∂u ∂φ ⎪ ∂x = ∂y ( y ) ⋅ ∂x ( x) + K + ∂y ( y ) ⋅ ∂x ( x) 1 1 k 1 ⎪ 1 ⎨ ∂u ∂φ ∂ψ ∂φ ∂ψ ⎪ = ( y ) ⋅ ∂x 1 ( x) + K + ∂y ( y ) ⋅ ∂x k ( x) , y = (ψ 1( x),K,ψ k ( x)) ∈ Ω ∂ ∂ x y ⎪⎩ n 1 n k n Ţinând seama de (11) şi de Observaţia 7.6.2 deducem: ∂φ

∂u

n

⎡

∂ψ

∂ψ

(11)

⎤

∑ Pi ( x) ⋅ ∂ xi = ∂y1 ( y ) ⋅ ⎢ P1( x) ⋅ ∂x11 (x) + K + Pn ( x) ⋅ ∂xn1 ( x)⎥ + K ⎣

i =1

+

⎦

∂φ ∂ψ ∂ψ ⎡ ⎤ y ) ⋅ ⎢ P1( x) ⋅ k ( x) + K + Pn ( x) ⋅ k ( x)⎥ = 0 , ∀ x ∈ D1 . ( ∂yk ∂x1 ∂xn ⎣ ⎦

Aşadar, u = Φ [ψ 1( x),K,ψ k ( x)] , x ∈ D1 este soluţie a ecuaţiei (9), ∀ k ∈

∗

.

Următoarea teoremă ne arată că orice soluţie a ecuaţiei (9) este de această formă. Teorema 7.6.4 Fie ψ 1,K ,ψ n −1 , ( n − 1) integrale prime independente ale

sistemului (10) şi fie u = ϕ ( x1,K, xn ) , x = ( x1,K , xn ) ∈ D1 ⊂ D o soluţie oarecare a ecuaţiei (9). Atunci există o funcţie Φ de clasă C 1 pe o mulţime deschisă Ω⊂

n −1

astfel încât (ψ 1( x),K,ψ n−1( x) ) ∈ Ω , ∀ x ∈ D1 şi

ϕ ( x) = Φ [ψ 1( x),K,ψ n −1( x)] , ∀ x ∈ D1 .

Demonstraţie. Deoarece ϕ,ψ 1,K ,ψ n −1 sunt soluţii pentru (9), rezultă: ⎧ ∂ϕ ∂ϕ ( x) + K + Pn ( x) ( x) = 0 ⎪ P1( x) ∂ ∂ x xn 1 ⎪ ⎪⎪ ∂ψ 1 ∂ψ ( x) + K + Pn ( x) 1 ( x) = 0 ⎨ P1( x) ∂x1 ∂xn ⎪ ⎪ ∂ψ n −1 ∂ψ ( x) + K + Pn ( x) n −1 ( x) = 0 , ∀ x ∈ D1 ⎪ P1( x) ∂x1 ∂xn ⎪⎩

Deoarece

n

∑ Pi2 (x) ≠ 0 , ∀ i =1

(12)

x ∈ D1 , rezultă că sistemul liniar şi omogen (12)

admite soluţii nebanale pentru orice x ∈ D1 , deci determinantul coeficienţilor este zero.

209

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

∂ϕ ( x) ∂x1 ∂ψ 1 ( x) ∂x1

∂ϕ ( x) ∂xn ∂ψ 1 K ( x) = 0 , ∀ x ∈ D1 . ∂xn ∂ψ n −1 ∂ψ n −1 ( x) K ( x) ∂x1 ∂xn K

Cum prin ipoteză funcţiile ψ 1,K ,ψ n −1 sunt independente funcţional, rezultă că: ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ϕ ( x) K ( x) ⎟ ⎜ ∂xn ⎜ ∂x1 ⎟ ⎜ ∂ψ 1 ⎟ ∂ψ 1 rang ⎜ ( x) K ( x) ⎟ = n − 1 , ∀ x ∈ D1 . ∂xn ⎜ ∂x1 ⎟ ⎜ ∂ψ n −1 ∂ψ n −1 ⎟ ( x) K ( x) ⎟ ⎜⎜ ⎟ ∂xn ⎝ ∂x1 ⎠ Din Teorema 4.11.2 din [10] rezultă că ϕ depinde funcţional de ψ 1,K ,ψ n −1

pe D1 , deci că există Φ ∈ C 1 ( Ω ) , Ω ⊂

n −1

astfel încât

ϕ ( x) = Φ [ψ 1( x),K,ψ n −1( x)] , ∀ x ∈ D1 . Exemplul 7.6.3 Să se afle soluţia generală a ecuaţiei:

∂u ∂u x2 + y 2 ∂ u +y + ⋅ = 0. ∂x ∂y ∂z z Sistemul simetric asociat este: x′ y′ z′ = = , xyz ≠ 0. x y x2 + y 2 x

z x′ y′ y y Din = deducem este o integrală primă. = C1 , deci ψ 1 ( x, y, z ) = x y x x Pentru a obţine o a doua integrală primă procedăm astfel: amplificăm primul raport cu x, al doilea raport cu y şi folosim proprietăţile rapoartelor egale. Rezultă xx′ + yy′ zz′ xx′ + yy′ = = zz′ , şi mai departe x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2 ′ ⎛ z 2 ⎞′ x 2 + y 2 = ⎜ ⎟ . Integrând rezultă ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ 2 z deci ψ 2 ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − , este integrală primă. 2 egalitate echivalentă cu

(

)

x2 + y 2 −

z2 = C2 , 2

210 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

⎛y Soluţia generală a ecuaţiei va fi: u ( x, y, z ) = Φ ⎜ , ⎜x ⎝

Φ ∈C1

x2 + y 2 −

( ) este o funcţie arbitrară, iar xyz ≠ 0 .

z2 ⎞ ⎟ , unde 2⎟ ⎠

2

Definiţia 7.6.3 Fie a ∈ Ρ şi A ⊂ n −1 o mulţime deschisă cu proprietatea ( x1,K, xn−1, a ) ∈ D , ∀ ( x1,K, xn−1 ) ∈ A . Fie de asemenea g : A → Ρ o funcţie de

clasă C 1 . Problema Cauchy pentru ecuaţia (9) şi funcţia g constă în determinarea unei soluţii u = u ( x1,K , xn ) ale ecuaţiei (9) care satisface următoarea condiţie pe mulţimea A: u ( x1,K, xn −1, a ) = g ( x1,K, xn−1 ) (13) În cazul n = 2 problema Cauchy are o interpretare geometrică simplă: să se ∂z ∂z găsească suprafaţa z = z ( x, y ) [soluţie a ecuaţiei P ( x, y ) + Q ( x, y ) = 0 ] care ∂x ∂y trece prin curba y = a , z = g ( x) . Teorema 7.6.5 Dacă există ( n − 1) integrale prime independente ale sistemului simetric asociat (10), atunci problema Cauchy (9) şi (13) are o soluţie unică u : D1 → , D1 ⊂ D .

Demonstraţie. Fie a ∈ Ρ, g ∈ C 1( A) , A ⊂

n −1

deschisă cu proprietatea că

( x1,K, xn−1, a ) ∈ D , ∀ ( x1,K, xn−1 ) ∈ A . Fie ϕ1,K , ϕ n −1 , ( n − 1) integrale prime independente funcţional pe D. D (ϕ1,K,ϕn −1 ) Rezultă că ( x ,K, xn−1, a ) ≠ 0 , ∀ ( x1,K, xn−1 ) ∈ A . D ( x1,K, xn −1 ) 1 Fie F : A ⊂ n −1 → n−1 definită astfel: F ( x1,K, xn−1 ) = (ϕ1 ( x1,K, xn−1, a ) ,K,ϕn−1 ( x1,K, xn−1, a )) , ( x1,K, xn−1 ) ∈ A . Din Teorema de inversiune locală (Teorema 4.8.2 din [10]) rezultă că ∀ M ( x1,K , xn −1 ) ∈ A , există o vecinătate deschisă A 1 a punctului M, A 1 ⊂ A şi o vecinătate deschisă B1 a punctului F(M), astfel încât F : A 1 → B1 este difeomorfism.

Fie F −1 = (ω1,K, ωn−1 ) : B1 → A 1 , inversa funcţiei F : A 1 → B1 . Definim u( x) = g ⎡⎣ω1 (ϕ1( x),K,ϕn−1( x)) ,K, ωn−1 (ϕ1( x),K,ϕn−1( x))⎤⎦ ,

211

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

∀ x = ( x1,K, xn −1, xn ) ∈ D

(14)

cu proprietatea că ( x1,K , xn −1 ) ∈ A 1 . Din Teorema 7.6.3 rezultă că funcţia definită în (14) este soluţie pentru (9). Pe de altă parte, observăm că u ( x1,K , xn −1, a ) = g ⎡ F −1 o F ( x1,K , xn −1 )⎤ = ⎣ ⎦ = g ( x1,K, xn −1 ) , oricare ar fi ( x1,K , xn −1 ) ∈ A 1 , deci funcţia definită în (14) este

(

)

soluţia problemei Cauchy (9)+(13). Unicitatea rezultă din unicitatea funcţiilor ω1,K, ωn −1 . Exemplul 7.6.4 Să se rezolve problema Cauchy ∂z ⎧ ∂z −x = 0, x > 0 ⎪y ∂y ⎨ ∂x ⎪ y = 0, z = x . ⎩

Sistemul simetric este

dx dy = sau xx′ + yy′ = 0 , de unde rezultă integrala y −x

(

)

primă x 2 + y 2 = c . Soluţia generală este z = φ x 2 + y 2 , unde φ este o funcţie arbitrară de clasă C 2 pe

2

. Din relaţiile x 2 + y 2 = c , y = 0 , z = x deducem x = c

şi mai departe z = x 2 + y 2 . Aşadar, soluţia problemei Cauchy este z = x 2 + y 2 , x > 0. O ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi cvasiliniară este de forma: ∂u ∂u (15) P1 ( x1,K , xn , u ) + K + Pn ( x1,K , xn , u ) = Pn +1 ( x1,K , xn , u ) ∂ x1 ∂ xn unde Pi sunt funcţii continue şi lipschitziene pe o mulţime deschisă D ⊂ n +1

∑ Pi2 ≠ 0 i =1

n +1

şi

pe D. Căutăm soluţia ecuaţiei (15) sub forma funcţiei implicite

u = u ( x1,K , xn ) , definită de ecuaţia V ( x1,K, xn , u ) = 0 , unde V este o funcţie de ∂V clasă C 1 pe D şi ≠ 0 pe D. ∂u Din Teorema funcţiilor implicite rezultă că ∂V ∂u ∂x = − i , i = 1, n (16) ∂V ∂ xi ∂u Înlocuind (16) în (15) rezultă: ∂V ∂V ∂V (17) P1 ( x1,K , xn , u ) + K + Pn ( x1,K , xn , u ) + Pn +1 ( x1,K , xn , u ) =0 ∂ x1 ∂ xn ∂u

212 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

Am obţinut astfel o ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi liniară. Soluţia ecuaţiei (17) este de forma V = φ ⎡⎣ϕ 1 ( x1,K, xn , u ) ,K,ϕ n ( x1,K, xn , u )⎤⎦ ,

( x1,K, xn , u ) ∈ Ω ,

unde ϕ1,K , ϕ n sunt n integrale prime independente ale sistex′ x′ u′ mului 1 = K = n = . P1 Pn Pn +1 Exemplul 7.6.5 Să se afle soluţia generală a ecuaţiei ∂z ∂z 2y + 3x 2 + 6 x 2 y = 0 şi apoi să se rezolve problema Cauchy x = 0; y 2 = 2 z . ∂x ∂y x′ y′ z′ = 2= =1. Sistemul simetric ataşat este: 2 y 3x −6x 2 y

Din 3x 2 x′ = 2 yy′ deducem x3 − y 2 = C1 . Din 3x 2 x′ = − z′ deducem x 3 + z = C2 .

Soluţia generală a ecuaţiei este funcţia z = z ( x, y ) definită implicit de

(

)

ecuaţia φ x3 − y 2 , x3 + z = 0 , unde φ ∈ C 1

( ) 2

este o funcţie arbitrară. Pentru a

rezolva problema Cauchy eliminăm variabilele x, y, z între relaţiile: ⎧ x3 − y 2 = C1 ⎪ ⎪ x 3 + z = C2 ⎨ ⎪x = 0 ⎪ 2 ⎩ y = 2z şi obţinem C1 + 2 C2 = 0 . Înlocuind C1 şi C2 cu expresiile din membrul stâng, obţinem: x 3 − y 2 + 2 x3 + 2 z = 0 . Rezultă că 1 z = y 2 − 3x3 este soluţia problemei Cauchy. 2

(

)