Analisi matematica. Con elementi di geometria e calcolo vettoriale [Vol. 2] 9788850324231 [PDF]

Zitiervorschau

Indice

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Prefazione I

II

III

IV

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Equazioni differenziali § 1 Equazioni differenziali e modelli . . § 2 Equazioni a variabili separabili . . . § 3 Equazioni lineari del primo ordine . § 4 Equazioni lineari del secondo ordine Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 7 10 13 18

Successioni e serie di funzioni § 1 Serie di potenze . . . . . . . . § 2 Serie di Taylor . . . . . . . . . § 3 Soluzioni in serie . . . . . . . § 4 Serie di Fourier . . . . . . . . § 5 Convergenza uniforme . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . .

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35 37 46 52 54 62 73

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Vettori e calcolo geometrico § 1 Successioni finite: n-uple e vettori . . . . . . § 2 Sistemi di equazioni di primo grado, indipendenza lineare e dimensione . . . . . § 3 Coordinate cartesiane e geometria analitica § 4 Area di un parallelogramma . . . . . . . . . § 5 Volume di un parallelepipedo . . . . . . . . § 6 Il prodotto vettoriale . . . . . . . . . . . . . § 7 Rette e piani: sottospazi lineari . . . . . . . § 8 Coordinate non cartesiane . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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99 106 112 116 123 127 138 141

Matrici e operatori lineari § 1 Spazi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2 Matrici e trasformazioni lineari . . . . . . . . . . . . . .

163 164 170

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§ 3 Prodotto scalare e isometrie § 4 Il determinante . . . . . . . § 5 Forme quadratiche . . . . . j § 6 Autovalori e autovettori . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . .

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Curve, grafici e superfici nello spazio § 1 Curve parametriche . . . . . . . . . . § 2 Derivazione per componenti . . . . . § 3 Integrazione per componenti . . . . § 4 Lunghezza di una curva . . . . . . . § 5 Curvatura, torsione, terna intrinseca § 6 Funzioni di due variabili . . . . . . . § 7 Insiemi del piano . . . . . . . . . . . § 8 Limiti e continuità . . . . . . . . . . § 9 Superfici parametriche . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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227 227 231 235 239 242 247 250 252 256 258

Calcolo differenziale per funzioni di più variabili § 1 Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2 Derivate direzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3 Differenziabilità e approssimazioni lineari. . . . . § 4 Piano tangente ad una superficie parametrica . . § 5 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . § 6 Derivate successive. Il Teorema di Schwarz . . . . § 7 Valori di massimo e di minimo . . . . . . . . . . . § 8 Massimi e minimi su domini chiusi . . . . . . . . § 9 Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange . . . . . j § 10 Funzioni implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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275 275 279 280 287 290 292 294 301 304 307 311

Funzioni differenziabili tra spazi vettoriali § 1 Spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2 Successioni, limiti e continuità in (X, d). . . . . . . § 3 Insiemi chiusi e limitati in Rn . . . . . . . . . . . . . § 4 Proprietà delle funzioni continue . . . . . . . . . . § 5 Spazi metrici completi e Teorema delle contrazioni § 6 Linearizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8 Campi vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9 Derivate successive . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 10 Formula di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11 Ottimizzazione libera . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12 Il Teorema delle funzioni implicite . . . . . . . . . § 13 Ottimizzazione vincolata . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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331 332 333 338 340 342 348 353 355 358 360 362 365 369 371

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VI

VII

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VIII Sistemi di equazioni differenziali § 1 Campi di vettori e curve tangenti . . . . . . . . § 2 Il problema ai valori iniziali . . . . . . . . . . . j § 3 Esistenza e unicità delle soluzioni per il problema ai valori iniziali . . . . . . . . . § 4 Equazioni differenziali lineari . . . . . . . . . . § 5 Sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti § 6 Sistemi lineari non omogenei . . . . . . . . . . § 7 Proprietà qualitative dei sistemi autonomi . . . § 8 Sistemi non lineari . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

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387 390 392

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397 404 412 423 427 433 439

Integrali multipli § 1 Somme di Riemann ed integrale come limite . . § 2 Il calcolo degli integrali doppi su rettangoli . . § 3 Integrazione su domini generici . . . . . . . . . § 4 Integrazione su regioni semplici . . . . . . . . . § 5 Applicazioni dell’integrale doppio . . . . . . . . § 6 Cambiamento di variabile negli integrali doppi § 7 Integrali doppi in coordinate polari . . . . . . . § 8 Aree di superfici cartesiane . . . . . . . . . . . § 9 Integrale triplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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457 458 461 465 467 472 477 483 485 487 495

Integrali su curve e superfici § 1 Integrali curvilinei . . . . . . . . . . . . . . § 2 Integrali curvilinei di campi vettoriali . . . . § 3 Campi conservativi . . . . . . . . . . . . . . § 4 Teorema di Gauss–Green . . . . . . . . . . . § 5 Superfici regolari fino al bordo. Orientabilità § 6 Integrali di superficie . . . . . . . . . . . . . § 7 Integrali di superficie di campi vettoriali . . § 8 Teoremi del rotore e della divergenza . . . . Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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515 515 519 522 529 532 536 540 542 550

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Soluzioni degli esercizi

571

Note

647

Riferimenti bibliografici

651

Indice analitico

653

Prefazione

I

n questo secondo volume si prosegue (com’è ovvio) il percorso di avvicinamento all’analisi, e piú in generale, alla Matematica iniziato nel primo volume, per quei corsi di studio in cui questa viene usata per risolvere problemi scientifici e applicativi. Mentre però lo scopo del primo volume era quello di introdurre i concetti e gli strumenti fondamentali dell’analisi infinitesimale (differenziale e integrale), cercando di contestualizzare i vari aspetti della materia, in questo secondo volume l’orizzonte si amplia in modo significativo, dal momento che lo scopo non è solo quello di approfondire e generalizzare a piú variabili quei metodi, ma anche di studiare nel dettaglio alcune importanti applicazioni classiche dei metodi analitici. Si tratta sí di un libro di analisi in piú variabili, con i contenuti tipici di un secondo corso universitario, ma si è voluto fornire anche alcuni strumenti per approfondire e motivare la prospettiva unitaria ch’era alla base del primo volume (riquadri di approfondimento, intermezzi storici, esercizi e problemi teorici guidati, ma anche interi capitoli dedicati ad argomenti importanti, come le equazioni differenziali o l’algebra lineare). Questo ha fatto sí che le dimensioni dell’opera potrebbero risultare eccessive per un normale corso semestrale, e al lettore è richiesto un certo impegno per poterla considerare in toto. La distribuzione degli argomenti nei vari capitoli è stata perciò pensata al fine di massimizzare la libertà di scelta di possibili sotto-percorsi, pur conservando una certa consistenza logica (nei prerequisiti e nelle applicazioni). All’inizio di ogni capitolo si è descritto brevemente quali sono gli argomenti che sono necessari per affrontarlo, e quali capitoli sono ragionevolmente affrontabili in seguito. Come nel primo volume, ci sono piú livelli di percorso: un livello base, e un livello piú avanzato, contrassegnato con il simbolo j. Questo rivela una discontinuità di livello locale, cioè relativa al capitolo in cui ci si trova, e non assoluta. Questo perché alcuni capitoli sono in sé piú densi e impegnativi degli altri (per esempio i capitoli IV, VII e VIII). Per permettere questo accesso a vari livelli, abbiamo scelto alcune soluzioni non convenzionali. Le equazioni differenziali sono affrontate in due capitoli, a due livelli diversi: nel Capitolo I la trattazione avviene principalmente attraverso esempi ed esercizi, mentre la sistematizzazio-

x

Prefazione

ne teorica e gli approfondimenti sono rimandati al Capitolo VIII, che richiede una certa consapevolezza degli strumenti dell’analisi in piú variabili. In un corso di analisi non ridotto ai minimi termini i due capitoli possono essere anche svolti contemporaneamente (l’uno fornendo materiale per le esercitazioni dell’altro). Similmente, l’approccio al calcolo differenziale per funzioni in piú variabili è sviluppato ad un livello elementare (limitato a funzioni di due variabili reali e focalizzato alle applicazioni) nel Capitolo VI, mentre le strutture astratte che permettono una trattazione piú rigorosa sono oggetto del Capitolo VII. Di nuovo, tempo permettendo, i due capitoli possono essere svolti in contemporanea. Viceversa, laddove la minimalità del corso impedisca tali approfondimenti, abbiamo voluto lasciare al lettore interessato la possibilità di completare in modo autonomo la propria formazione. Per quanto riguarda gli elementi di geometria e di algebra lineare, che solitamente non vengono affrontati nei testi di analisi, abbiamo voluto inserirli proprio per cercare di ricomporre la prospettiva unitaria menzionata sopra (anche perché gli esempi significativi di spazio lineare sono proprio quelli di spazi di funzioni e di soluzioni di equazioni differenziali). Essi si trovano nel Capitolo III ad un livello molto elementare, e nel Capitolo IV ad un livello significativamente piú impegnativo. Completano il volume quattro capitoli con una esposizione piú tradizionale dei classici argomenti del secondo corso, con una particolare attenzione all’interdisciplinarietà: il Capitolo II (successioni e serie di funzioni), il Capitolo V (curve e superfici nello spazio), il Capitolo IX (integrali multipli) e il Capitolo X (integrali di linea e superficie e calcolo vettoriale). Alla fine di ogni capitolo sono stati selezionati un certo numero di esercizi, rappresentativi o di particolare interesse, da guardare prima di dedicarsi ai numerosi esercizi da svolgere (tutti con soluzione dettagliata in appendice). Rispetto al primo volume, la variabilità della natura e della difficoltà degli esercizi è aumentata, per cui i simboli che segnalano alcune tipologie di esercizi non standard non sono solo la ✩ (per gli esercizi di maggiore difficoltà e interesse teorico), ma anche K (per gli esercizi di natura prevalntemente teorica, che richiedono un certo tempo di riflessione), o (esercizi di tipo “enigmistico–ludico”), b (esercizi di calcolo), Ï (esercizi al calcolatore – pochi in realtà). In questo modo si è cercato di fornire qualche indicazione utile per poter fruire del testo, sia da parte del docente, che da parte del lettore. La stesura di quest’opera ha richiesto uno sforzo non banale da parte degli autori, che, forse perché sotto stress e pressione, possono aver inserito qua e là porzioni di testo prive di quella compostezza e gravità che il caso richiederebbe, nonché hanno certamente mancato di privare completamente l’opera di errori tipografici e non. Speriamo che il Lettore si mostri benevolo a riguardo. Milano, 8–I–2008 (Gli Autori)

I think I may fairly make two postulata. First, That food is necessary to the existence of man. Secondly, That the passion between the sexes is necessary and will remain nearly in its present state. An Essay on the Principle of Population (1798) T HOMAS R. M ALTHUS (1766–1834)

C APITOLO

I Equazioni differenziali

Le equazioni differenziali permettono di studiare l’evoluzione di molti sistemi fisici di interesse nelle scienze naturali, sociali ed economiche. In molti casi, infatti, è possibile prevedere l’evoluzione futura di un fenomeno, a partire da uno stato attuale osservabile, attraverso un modello matematico. Molto spesso un tale modello prevede delle regole sulle modalità di variazione delle funzioni coinvolte nella descrizione del fenomeno e tali relazioni prendono appunto il nome di equazioni differenziali. In questo capitolo impareremo ad

utilizzare le equazioni differenziali in alcuni semplici contesti applicativi e a risolverle nei casi più elementari, attraverso numerosi esempi, rimandando una trattazione più sistematica e rigorosa delle equazioni differenziali al Capitolo VIII. In un corso di Analisi Matematica avanzato lo studio delle equazioni ordinarie può prendere inizio direttamente dalla trattazione teorica del Capitolo VIII, utilizzando il contenuto di questo capitolo a scopo esemplificativo e di esercitazione.

P

er studiare l’evoluzione nel tempo di un sistema fisico attraverso un suo modello matematico è naturale cercare di individuare le relazioni fra le variazioni delle quantità che lo descrivono, pensate come funzioni del tempo, e lo stato del sistema al momento attuale. Come sappiamo dal primo volume, l’operazione adatta a quantificare la velocità di variazione di una funzione è la derivazione. Una equazione differenziale è appunto un’equazione che contiene una funzione incognita e alcune sue derivate. Iniziamo con qualche semplice esempio.

§ 1. Equazioni differenziali e modelli Modelli di crescita delle popolazioni Supponiamo di conoscere il numero di individui p0 di una popolazione di (ad esempio) batteri ad un certo istante t = 0 e di volerne prevedere

 Il modello matematico di un feno-

meno fisico viene individuato tipicamente attraverso considerazioni intuitive sulle qualità del fenomeno o a partire da una legge fisica basata sull’evidenza sperimentale, e consiste nella determinazione di un certo numero di quantità adatte alla descrizione del fenomeno (posizione, temperatura, densità, . . . ) e delle relazioni fra esse. Perciò, di norma, un modello matematico consiste in un insieme di funzioni che rappresentano gli stati possibili del sistema ed un certo numero di relazioni fra queste.

2

Equazioni differenziali

l’andamento demografico, vale a dire il numero di individui nel generico istante t. Indichiamo con p(t) tale numero. Per determinare la funzione incognita p dobbiamo fare delle ipotesi sul comportamento della popolazione, ipotesi che generalmente vengono dedotte sperimentalmente. Uno dei modelli più semplici assume che una popolazione cresca ad un tasso proporzionale al suo numero di individui. In effetti, se m ed n rappresentano i tassi percentuali rispettivamente di mortalità e natalità della popolazione (che supponiamo costanti) all’istante t muoiono mp(t) batteri e ne nascono np(t). In generale, sappiamo che il tasso di crescita di una quantità dipendente dal tempo è semplicemente la derivata prima della quantità stessa. Ne segue che la funzione p deve soddisfare l’equazione differenziale (1)

p′ (t) = np(t) − mp(t) = kp(t),

dove abbiamo posto n−m = k (il tasso percentuale di crescita di p). Questo modello è noto come la legge di Malthus (si veda il riquadro a pagina 5). Dobbiamo quindi trovare una soluzione della precedente equazione che soddisfi anche la condizione iniziale p(0) = p0 . Ovviamente la funzione p(t) ≡ 0 soddisfa le nostre richieste quando p0 = 0: stiamo semplicemente dicendo che in assenza di batteri all’istante t = 0 non ne possono nascere di nuovi! Supponiamo perciò p0 > 0 e cerchiamo delle soluzioni dell’equazione che non si annullino. Data la presenza di p′ , per determinare p ci aspettiamo di dover eseguire una qualche operazione di integrazione. Se supponiamo p(t) , 0 per ogni t, possiamo dividere i due membri della (1) per p(t) ottenendo p′ (t) = k. p(t) Il Lettore attento avrà già riconosciuto a primo membro la derivata della funzione ln |p(t)|. Otteniamo Z Z ′ p (t) dt = k dt = kt + C. ln |p(t)| = p(t) La presenza della costante arbitraria di integrazione ci dice che l’equazione (1) ha infinite soluzioni; per selezionare quella richiesta possiamo sfruttare la condizione iniziale. Sostituiamo perciò t = 0 e p(0) = p0 > 0 nella precedente equazione ottenendo ln p0 = C. Abbiamo perciò ln |p(t)| = kt + ln p0 ,

 Stiamo facendo qui l’ipotesi che p

sia una funzione derivabile. Poiché la funzione p(t) rappresenta un numero di individui, la dovremmo supporre a valori interi. Ne seguirebbe che p, quando non costante, non sarebbe di certo una funzione continua, né tantomeno derivabile. Il fatto di assumere, come facciamo, che p assuma valori non necessariamente interi implica che p sia un’approssimazione del numero di individui.

 Al

momento non c’è motivo per ritenere che se p0 , 0 allora p(t) , 0 per ogni t (cioè che la popolazione non possa estinguersi). Ritroveremo tale risultato a posteriori, dopo aver risolto l’equazione.

 Eseguendo il cambiamento di va-

riabili P = p(t) otteniamo dP = p′ (t) dt e quindi Z ′ Z p (t) 1 dt = dP p(t) P = ln |P| + C

= ln |p(t)| + C.

 In altre

parole, per prevedere l’evoluzione di un fenomeno non è sufficiente sapere come si evolve, ma serve conoscere il suo stato iniziale.

|p(t)| = ekt+ln p0 = ekt eln p0 = p0 ekt

e, ricordando che il numero di individui di una popolazione non può essere negativo, otteniamo la soluzione cercata: p(t) = p0 ekt .

 Perciò p(0) = p0 .

O

meglio scartando la soluzione (negativa) p(t) = −p0 ekt , che non soddisfa p(0) = p0 .

§ 1. Equazioni differenziali e modelli

La popolazione dunque aumenta esponenzialmente se k > 0, cioè se il tasso di natalità è maggiore di quello di mortalità e si estingue esponenzialmente quando si verifica la situazione opposta; nel caso, estremamente improbabile, in cui natalità e mortalità si compensino esattamente (k = 0), la popolazione rimane costante nel tempo (si veda la Figura I.1). La situazione è sostanzialmente analoga se supponiamo che i tassi di natalità e mortalità varino nel tempo, ad esempio per effetto dell’alternanza luce–buio o del susseguirsi delle stagioni (si veda anche l’Esercizio 1 a pagina 29). Il modello in cui il tasso percentuale di crescita di p è costante, vale a dire quando p′ (t)/p(t) = k, è realistico solo in condizioni ideali (ambiente illimitato, nutrimento adeguato, . . . ). Se le risorse sono limitate è ragionevole attendersi che la popolazione possa crescere esponenzialmente solo in presenza di pochi individui, e comunque mai arbitrariamente. Possiamo modificare il nostro modello supponendo che il tasso percentuale di crescita non sia costante, ma diminuisca al crescere di p. Una possibile scelta è richiedere che p soddisfi l’equazione

3

 Abbiamo veramente risolto il pro-

blema di partenza? In effetti abbiamo trovato l’espressione di una soluzione, ma a priori potrebbero essercene delle altre. Come vedremo può capitare di avere diverse soluzioni per la stessa equazione differenziale con lo stesso dato iniziale, anche se non è questo il caso (si veda a questo proposito l’Esercizio 25 a pagina 31). Quando l’equazione modella un fenomeno reale è auspicabile che ad ogni dato iniziale corrisponda una unica soluzione.

p′ (t) = k − hp(t), p(t) o equivalentemente (2)

p′ (t) = p(t)(k − hp(t)),

dove k, h sono costanti positive. Questa equazione è detta equazione logistica; venne proposta dal matematico belga Pierre-François Verhulst nel XIX secolo come modello per studiare la crescita della popolazione mondiale (si veda il riquadro a pagina 5). Risolveremo nei dettagli l’equazione logistica nell’Esercizio (I.1) a pagina 18, per ora ci limitiamo a descriverne alcune proprietà qualitative. Osserviamo innanzitutto che le funzioni costanti p(t) ≡ 0 e p(t) ≡ k/h risolvono l’equazione. Queste soluzioni sono dette di equilibrio, nel senso che se il dato iniziale p0 vale 0 oppure k/h allora il numero di individui non varia nel tempo. Se 0 < p0 < k/h allora il secondo membro della (2) è positivo, perciò p′ (0) > 0 e la popolazione cresce; viceversa se p0 > k/h, p′ (0) < 0 e la popolazione decresce. Notiamo che, in entrambi i casi, se la popolazione si avvicina alla quantità k/h, p′ tende a zero, cioè la popolazione tende a stabilizzarsi. Dunque ci aspettiamo che le soluzioni dell’equazione logistica abbiano grafici del tipo illustrato in Figura I.1 (a destra). La quantità k/h viene detta capacità dell’ambiente.

Equazioni del moto Consideriamo un oggetto libero di muoversi lungo una retta, ad esempio l’asse delle x di un piano cartesiano, ed indichiamo con x(t) la sua posizione all’istante t. Allora la sua velocità è definita come tasso di variazione della posizione, l’accelerazione come tasso di variazione della velocità: v(t) = x′ (t),

a(t) = v′ (t) = x′′ (t).

 Altri modelli di crescita

delle popolazioni sono descritti e studiati negli Esercizi 8 e 9 alla fine del capitolo.

 Infatti

queste due costanti sono quelle che annullano il secondo membro e allo stesso tempo hanno ovviamente derivata nulla.

4

Equazioni differenziali

F I.1: i grafici a sinistra rappresentano il numero di individui di una popolazione p(t), che si evolve secondo la legge di Malthus, p′ (t) = kp(t). Abbiamo supposto che al tempo t = 0 ci fossero 1000 individui e considerato k = 1, k = 0 e k = −1. A destra invece alcune soluzioni dell’equazione logistica, p′ (t)/p(t) = k − hp(t), quando k = 1, k/h = 1000, al variare del numero di individui al tempo t = 0.

In assenza di attrito, se l’oggetto è sottoposto ad una forza di intensità costante f (diretta lungo l’asse x) allora la sua accelerazione è costante ed è data dalla Legge di Newton, ovvero x′′ (t) = a(t) ≡

f . m

 Si intende

“l’intensità dell’accelerazione”, infatti l’accelerazione è un vettore parallelo alla forza, quindi diretto lungo l’asse x.

Integrando successivamente deduciamo x′ (t) = v(t) =

f t + C1 m

e

x(t) =

f 2 t + C1 t + C2 , 2m

con C1 e C2 costanti arbitrarie. Per determinarle abbiamo bisogno di conoscere dei dati supplementari. Ad esempio possiamo fissare la posizione e la velocità del corpo ad un certo istante t0 ; supponendo t0 = 0 e imponendo x(0) = x0 , v(0) = v0 otteniamo C1 = v0 ,

C2 = x0

e quindi x(t) =

 In questo

caso per determinare il moto dell’oggetto, cioè per selezionare una soluzione dell’equazione di partenza, abbiamo bisogno di due condizioni, cioè di tante condizioni quante sono le costanti di integrazione. Risulta naturale imporle misurando la posizione x e la velocità x′ nello stesso istante t0 di inizio dell’esperimento.

f 2 t + v0 t + x0 . 2m

Se la forza f (t) dipende dal tempo si può procedere allo stesso modo a patto di saper calcolare gli integrali coinvolti. Un caso frequente che non è trattabile come i precedenti è quello in cui la forza che agisce sull’oggetto dipende dalla posizione e/o dalla velocità dell’oggetto stesso, che sono incognite. Supponiamo per esempio che la forza sia esercitata da una molla e che il corpo sia in posizione di

 OttenendoZ

t

x′ (t) = v(t) = e

Z

t

s

x(t) = 0

f (s) ds + v0 0

Z 0

! f (u) du ds + v0 t + x0 .

§ 1. Equazioni differenziali e modelli

Malthus e Verhulst: la nascita della dinamica delle popolazioni La prima versione di An Essay on the Principle of Population fu pubblicata in forma anonima nel 1798. L’autore fu presto identificato nel reverendo inglese Thomas Robert Malthus (1766–1834). Anche se questo non è il primo libro sullo studio della teoria delle popolazioni è senza dubbio il più celebre. L’autore prende spunto da due postulati (quelli con cui abbiamo aperto questo capitolo) e ne ricava una teoria quantitativa per lo sviluppo della popolazione umana: “Assuming then my postulata as granted, I say, that the power of population is indefinitely greater than the power in the earth to produce subsistence for man. Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio”. Nel linguaggio odierno, le argomentazioni di Malthus asseriscono che la crescita di una popolazione, se incontrollata, è di tipo esponenziale, mentre l’economia agraria cresce solo in modo lineare; se ciò avviene per un sufficiente periodo di tempo, la crescita della popolazione sopravanza quella delle risorse. Da questo Malthus conclude che la crescita della popolazione umana viene naturalmente controllata dalla miseria, dal vizio e simili. Ogni fase di crescita incontrollata (come potrebbe accadere nel caso di emigrazione in nuove colonie, come il continente americano ai tempi di Malthus, oppure in seguito a guerre ed epidemie) deve essere seguita da una “cata-

5

strofe” (la catastrofe malthusiana, appunto) che quindi può essere vista come direttamente causata dalla crescita indiscriminata della popolazione. Uno degli effetti del libro di Malthus fu quello di alimentare la discussione sulla grandezza della popolazione britannica, fino a portare al Census Act del 1800, che istituì il censimento decennale degli abitanti della Gran Bretagna (tuttora in vigore). Nonostante le sue deduzioni, Malthus non traduce mai le sue leggi in termini strettamente matematici. L’articolo fondante della dinamica delle popolazioni può essere considerato la breve nota “Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement”, pubblicata dal matematico belga Pierre François Verhulst (1804–1849) nel 1838. Verhulst traduce in termini matematici, probabilmente per la prima volta, la legge di Malthus come l’equazione (1). Osserva poi che la velocità di crescita della popolazione è diminuita dalla sua stessa crescita, e propone come più semplice dei modelli l’equazione (2), chiamando le sue soluzioni curve logistiche. Negli anni successivi, Verhulst approfondirà ulteriormente lo studio dei modelli da lui proposti, arrivando a prevedere la soglia massima raggiungibile dalla popolazione del Belgio in nove milioni e quattrocentomila individui (la popolazione attuale è di circa dieci milioni). [J. Mawhin, The legacy of Pierre-François Verhulst and Vito Volterra in population dynamics.]

equilibrio in x = 0. Dalla Legge di Hooke, secondo cui la forza elastica di richiamo è proporzionale alla distanza del corpo dalla posizione di equilibrio, abbiamo, indicando con k > 0 la costante elastica della molla, fmolla = −kx e quindi mx′′ (t) = −kx(t). Oltre a quella legata alla presenza della molla, altre forze potrebbero agire sul corpo, ad esempio la forza d’attrito fattrito = −γx′

 Basandoci sull’esempio fisico del-

la molla, possiamo cercare di indovinare l’espressione delle soluzioni dell’equazione differenziale qui a lato, che ponendo ω2 = k/m diventa x′′ (t) = −ω2 x(t). Visto che il corpo compie oscillazioni periodiche è naturale provare a vedere se funzioni del tipo sin t o cos t non risolvano l’equazione. Ciò è vero soltanto se ω = 1. Più in generale le funzioni sin(ωt) e cos(ωt) sono soluzioni. La quantità ω assume quindi il significato di frequenza (propria) di oscillazione. Di nuovo, è necessario chiedersi se le funzioni periodiche di frequenza ω siano le uniche soluzioni o ve ne possano essere altre.

6

Equazioni differenziali

Prede e predatori Vito Volterra (1860–1940) è uno dei maggiori matematici italiani. È considerato, fra l’altro, uno dei padri fondatori dell’Analisi Funzionale, disciplina che trasferisce l’oggetto di studio dalla singola funzione reale di variabile reale agli spazi di funzioni, e che è a tutt’oggi campo di una intensa ricerca in matematica. Fu un personaggio di spicco nella politica scientifica e culturale, tanto da essere nominato senatore del Regno da Giolitti nel 1905. Volterra aveva sempre mostrato interesse per le applicazioni della matematica alla biologia e i suoi studi sulla dinamica delle popolazioni rappresentano una pietra miliare nella nascita del programma scientifico della biologia matematica. Lo zoologo Umberto D’Ancona, genero di Volterra, aveva compiuto degli studi statistici sulle popolazioni dei pesci dell’Adriatico, rilevando un aumento della percentuale dei pesci predatori sul totale del pescato negli anni immediatamente successivi alla prima guerra mondiale; e aveva ipotizzato che ciò fosse dovuto all’interruzione della pesca causata dalla guerra navale. Volterra elaborò una teoria generale della convivenza di un numero qualsiasi di specie animali in competizione fra di loro, a cui diede il nome di teoria matematica della lotta per la vita. Il modello di base - che descrive la coesistenza fra una specie di prede e una di predatori - consisteva in un sistema di due equazioni differenziali non lineari, oggi note come equazioni di Lotka– Volterra (in quanto introdotte contemporaneamente dallo statistico statunitense Alfred J. Lotka). Dall’analisi di questo modello, che studieremo nel Capitolo VIII a pagina 437, Volterra ricavò tre leggi. La prima asserisce che le densità delle due popolazioni hanno un andamento ciclico, cioè sono funzioni periodiche

del tempo. La seconda legge stabilisce che le medie della densità delle due popolazioni in un periodo T non dipendono dai valori iniziali. La terza legge dimostra che un prelievo indiscriminato delle due popolazioni (come avviene nella pesca) determina un aumento del numero delle prede e una diminuzione del numero dei predatori (si veda a questo proposito l’Esercizio 42 a pagina 455). In tal modo, veniva mostrata la validità dell’ipotesi di D’Ancona. La terza legge di Volterra ha avuto un’applicazione spettacolare all’entomologia agraria, confermando l’ipotesi, che già era stata avanzata sulla base delle osservazioni empiriche, che il ricorso alla lotta biologica sia più efficace dell’uso degli insetticidi. Basti pensare a un ecosistema composto di due specie: insetti fitofagi ed insetti entomofagi che si nutrono dei primi. Il risultato di Volterra suggerisce che il ricorso agli insetticidi può essere controproducente. Difatti, trattandosi di un prelievo indiscriminato di entrambe le specie (una sorta di pesca), esso produrrà un incremento delle prede (ovvero degli insetti dannosi per le piante) e una diminuzione dei benefici predatori. [Vito Volterra, Variazioni e fluttuazioni del numero d’individui in specie animali conviventi, Atti della R. Accademia nazionale dei Lincei. Memorie della Classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, (VI) 2 (1926), p. 31-113.] Il Regio Decreto n. 1227 del 28 agosto 1931 dispose che i professori di ruolo prestassero giuramento di fedeltà alla Patria e al Regime fascista. Il 18 novembre Vito Volterra, invitato a presentarsi dal Rettore dell’Università per il giuramento, così espresse il suo fermo rifiuto: «Sono note le mie idee politiche, per quanto esse risultino esclusivamente dalla mia condotta nell’ambito parlamentare, la quale è tuttavia insindacabile in forza all’Art. 51 dello Statuto fondamentale del Regno. La S. V. Ill.ma comprenderà quindi come io non possa in coscienza aderire all’invito da Lei rivoltomi [...] relativa al giuramento dei professori». Conseguentemente, il 29 dicembre Vito Volterra fu licenziato.

(γ > 0 è il coefficiente di attrito dinamico) oppure una generica forza esterna festerna = f (t). La forza risultante è data dalla somma di tutti questi contributi, perciò x(t) soddisfa la relazione (3)

mx′′ (t) = −kx(t) − γx′ (t) + f (t).

In questa situazione non possiamo, almeno a prima vista, procedere con delle semplici integrazioni che ci permettano di calcolare la posizione

§ 2. Equazioni a variabili separabili

x(t). Vedremo nel seguito del capitolo come trattare questo genere di equazioni.

Equazioni differenziali

7

 In

particolare studieremo le soluzioni dell’equazione (3) negli Esercizi (I.7) e (I.8), svolti alla fine del capitolo.

Una relazione che coinvolge una funzione incognita ed alcune delle sue derivate è detta equazione differenziale. La più semplice delle equazioni differenziali è y′ (t) = f (t) dove f è una funzione nota. Sappiamo già che l’insieme delle soluzioni dell’equazione è l’integrale indefinito Z y(t) = f (t) dt = F(t) + C , F′ = f . L’ordine dell’equazione è quello della derivata di ordine maggiore che vi compare. Per esempio l’equazione (1) è di primo ordine, la (3) di secondo. In entrambe queste equazioni la variabile indipendente è t e rappresenta il tempo. Una soluzione dell’equazione differenziale è una funzione che verifica l’equazione. Nella gran parte dei contesti è naturale richiedere che la soluzione sia continua su un intervallo di definizione. Ad esempio le restrizioni della funzione y(x) = −1/x sugli intervalli (−∞, 0) e (0, +∞) sono due diverse soluzioni dell’equazione y′ (x) = y2 (x). Questa richiesta permette di evitare il problema di definire la soluzione successivamente all’occorrenza di fenomeni “catastrofici”, quali le discontinuità, che pure sono di interesse interpretativo dal punto di vista delle applicazioni. Ci aspettiamo dagli esempi visti finora che l’integrale generale di un’equazione differenziale, cioè l’insieme di tutte le sue soluzioni, dipenda tipicamente da una (o più) costanti di integrazione.

 Se per

esempio f è una funzione

continua.

 Quindi in particolare una soluzio-

ne ammette almeno tante derivate quanto è l’ordine dell’equazione.  Abbiamo già visto nel primo volume come risulti opportuno definire la primitiva di una funzione solo su un intervallo e non su un dominio generico. Dato il legame tra le equazioni differenziali ed il calcolo integrale non stupisce che la richiesta venga ripetuta anche in questo contesto.

 Per i fenomeni catastrofici, da ad esempio l’Esercizio pagina 30.

si ve14 a

§ 2. Equazioni a variabili separabili Consideriamo l’equazione differenziale y′ (t) = ty2 (t) e, in prima battuta, osserviamo che la funzione nulla y ≡ 0 risolve l’equazione. Ci proponiamo quindi di cercare le soluzioni dell’equazione che non si annullano; a tal fine se supponiamo y(t) , 0 e dividiamo per y2 (t) entrambi i membri otteniamo y′ (t) = t. y2 (t)

 Al

solito, a priori non abbiamo motivo per ritenere che ci siano soluzioni che non si annullano mai.

8

Equazioni differenziali

Notiamo che il termine a sinistra dipende solo da y e dalla sua derivata, a destra invece rimane una funzione della variabile indipendente t. Integrando ora rispetto a t si ha Z ′ Z y (t) dt = t dt, y2 (t)

 Stiamo

da cui

 Nel primo integrale abbiamo ese-

1 1 − = t2 + C , y(t) 2

C ∈ R.

separando la variabile dipendente da quella indipendente (nel senso che non appaiono contemporaneamente nello stesso membro dell’equazione).

guito il cambiamento si variabili Y = y(t) da cui dY = y′ (t) dt e Z Z ′ y (t) dY 1 dt = = − + C. Y y2 (t) Y2

Poiché −1/y è invertibile (laddove è definita), possiamo esplicitare la funzione incognita y e concludere che le soluzioni dell’equazione di partenza che non si annullano sono della forma y(t) = −

1 , +C

t2 /2

C ∈ R.

Più in generale, ci proponiamo di studiare un’equazione differenziale del tipo (4)

y′ = 1(t)h(y)

con 1, h continue. Un’equazione di questo tipo viene detta equazione a variabili separabili. Supponiamo dapprima che il valore y¯ annulli la funzio¯ = 0; allora la funzione costantemente uguale a y¯ è una sone h, cioè h( y) luzione (costante) dell’equazione (4). Per determinare le soluzioni dell’equazione che non intersecano le soluzioni costanti, supponiamo h(y) , 0 e dividiamo entrambi i termini dell’equazione per h(y); otteniamo ′

y (t) = 1(t). h(y(t))

 Si

osservi che la variabile indipendente, t, e quella dipendente, y, compaiono come argomento di due funzioni diverse moltiplicate tra loro.

 Nel

paragrafo precedente abbiamo incontrato una importante equazione a variabili separabili: l’equazione logistica (2). Rimandiamo la sua risoluzione all’Esercizio svolto (I.1).

 Le

soluzioni costanti di un’equazione differenziale, in questo caso ¯ = 0, sono dette y ≡ y¯ con h( y) soluzioni (o integrali ) singolari.

Integrando rispetto alla variabile indipendente t si ha Z Z y′ (t) dt = 1(t) dt, h(y(t)) ovvero Z

1 dy = h(y)

Z 1(t) dt.

Dette ora H e G le primitive rispettivamente di 1/h e 1 dall’espressione precedente otteniamo H(y) = G(t) + C

 Integrale

generale dell’equazione a variabili separabili.

§ 2. Equazioni a variabili separabili

9

con C costante arbitraria. Sarà dunque possibile esplicitare la funzione incognita y negli intervalli in cui la funzione H risulta essere invertibile. Per quanto detto la funzione ottenuta sarà una soluzione dell’equazione fin tanto che h(y(t)) , 0, cioè fino a che il suo grafico non interseca quello di una soluzione costante (fatto che si può escludere sotto opportune ipotesi, si veda l’Esercizio 27 a pagina 31). (I.1) Esempio. Riprendiamo l’equazione y′ (t) = ty2 (t); secondo la notazione introdotta, abbiamo 1(t) = t, h(y) = y2 entrambe continue su tutta la retta reale. Poiché h si annulla se (e solo se) y = 0, l’equazione ammette come (unica) soluzione costante la retta y = 0. Abbiamo già visto che le soluzioni che non si annullano sono y(t) = −1/(t2/2 + C), C ∈ R. Osserviamo che l’espressione precedente ha senso quando t2 /2 + C , 0. Quindi, poiché le soluzioni devono essere definite su intervalli, ogni soluzione√(che non si annulla) R quando C > 0, su √ √ sarà definita su tutto √ (−∞, − −2C), su (− −2C, −2C) oppure su ( −2C, +∞) quando C < 0, su (−∞, 0) oppure su (0, +∞) quando C = 0. La scelta dell’intervallo di definizione dipende da un’eventuale richiesta di passaggio per un punto del piano. Se ad esempio vogliamo che y(0) = y0 (y0 , 0) otteniamo y(0) = −

1 C

e quindi

C=−

1 . y0

2 ; possiamo quindi cony0 cludere che se y0 < 0 la soluzione trovata su tutto R mentre se p p è definita  y0 > 0 lo è soltanto sull’intervallo (− 2/y0 , 2/y0).

 Come vedremo nei prossimi esem-

pi, la costante C può essere calcolata associando all’equazione differenziale un dato iniziale.

F I.2: alcune soluzioni dell’equazione y′ = ty2 . Attenzione: per ogni valore di C < 0 abbiamo tre diverse soluzioni!

 Imponendo

la condizione iniziale possiamo determinare la costante di integrazione C, e quindi selezionare una delle soluzioni calcolate.

La soluzione corrispondente è definita se t2 ,

(I.2) Esempio. L’equazione y′ (t) =

t 3 + cos y(t)

è a variabili separabili con 1(t) = t e h(y) = 1/(3 + cos y). Sia 1 che h sono continue su tutta la retta reale; inoltre h è strettamente positiva poiché, per ogni y, si ha cos y ≥ −1, quindi non esistono soluzioni costanti. Se dividiamo per h(y) e calcoliamo la primitiva di entrambi i termini troviamo Z Z (3 + cos y(t))y′(t) dt = t dt ovvero H(y) = 3y + sin y = t2 /2 + C. La funzione H è strettamente monotona su tutto R e quindi invertibile, ma non riusciamo a determinare una forma esplicita della sua inversa. Le soluzioni dell’equazione  differenziale risultano quindi definite implicitamente. (I.3) Esempio. L’equazione a variabili separabili y′ (t) = t2 y(t)

 Questo è l’intervallo più esteso, su

cui la soluzione trovata è definita, a cui appartiene l’istante iniziale t0 = 0.

 Stiamo

quindi moltiplicando per 3 + cos y(t).

 Infatti H′ (y) = 3 + cos y > 0.

10

Equazioni differenziali

ammette come unica soluzione costante y ≡ 0. Inoltre supponendo h(y) = y , 0 si ricava Z Z ′ y (t) t3 dt = t2 dt e quindi ln |y| = + C. y(t) 3 La funzione logaritmo è invertibile e la sua inversa è la funzione esponenziale; otteniamo perciò 3

|y(t)| = Ket

/3

,

F I.3: alcune soluzioni dell’equazione y′ = t2 y.

con K = eC > 0.

Possiamo quindi concludere che le soluzioni non nulle sono definite su 3 tutto l’asse reale e sono sempre positive, y(t) = Ket /3 , o sempre nega3 tive, y(t) = −Ket /3 . Osserviamo inoltre che le soluzioni positive sono crescenti, quelle negative decrescenti e che se y(t) è una soluzione positiva, −y(t) è una soluzione negativa. Alcune soluzioni dell’equazione sono  rappresentate in Figura I.3.

§ 3. Equazioni lineari del primo ordine Iniziamo a considerare l’equazione differenziale ty′ (t) + y(t) = t. Per trovare le sue soluzioni possiamo semplicemente osservare che il termine a sinistra è la derivata di un prodotto. Infatti se poniamo f (t) = t abbiamo   ty′ (t) + y(t) = ty(t) ′ |{z} |{z} f y′

f′y

e l’equazione di partenza diventa   ty(t) ′ = t. Ricaviamo quindi (per t , 0) ty(t) =

t2 +C 2

=⇒

y(t) =

t C + , 2 t

C ∈ R.

Se invece consideriamo l’equazione y′ (t) + y(t) = t, apparentemente non possiamo procedere come prima, infatti il primo membro non è più la derivata di un prodotto: mancano dei coefficienti moltiplicativi ai termini y′ ed y, che giochino il ruolo rispettivamente

 Questo

fatto non deve stupirci, infatti dall’equazione differenziale di partenza abbiamo che y′ ha lo stesso segno di y, poiché t2 è una quantità positiva.

§ 3. Equazioni lineari del primo ordine

11

di f ed f ′ . Possiamo tuttavia aggirare facilmente questo problema moltiplicando per f (t) = et entrambi i membri dell’equazione: otteniamo infatti h i′ et y′ (t) + et y(t) = et y(t) = et t |{z} |{z}

f (t) = et otteniamo f ′ (t) = f (t). f viene detto fattore integrante, nel senso che se moltiplichiamo l’equazione per f allora il suo primo membro diventa integrabile esplicitamente.

 Scegliendo

f′y

f y′

 Integrando per parti si ha infatti

da cui

Z

Z

et y(t) =

et t dt = et (t−1)+C

=⇒

y(t) = (t−1)+Ce−t ,

C ∈ R.

Z

et t dt = et t −

et dt.

Modifichiamo ora leggermente l’equazione e studiamo y′ (t) + 3y(t) = t. Nemmeno ora a sinistra abbiamo la derivata di un prodotto, e questa volta dobbiamo moltiplicare per una funzione f tale che 3 f (t) = f ′ (t). Scegliamo quindi f (t) = e3t e otteniamo h i′ e3t y′ (t) + 3e3t y(t) = e3t y(t) = e3t t, da cui

Z 3t

e y(t) =

e3t t dt =

 Si osservi che stiamo sempre moltiplicando per delle funzioni che non si annullano.

1 3t e (t − 1) + C 3

ovvero y(t) =

1 (t − 1) + Ce−3t , 3

C ∈ R.

Affrontiamo ora il caso più generale, ovvero studiamo l’equazione differenziale (5)

y′ (t) − a(t)y(t) = b(t)

con a e b continue su un comune intervallo di definizione. Procedendo come negli esempi precedenti, cerchiamo un fattore integrante f (non nullo) tale che f ′ (t) = −a(t) f (t)

perché, grossolanamente parlando, i suoi membri sono polinomi di primo grado rispetto alla funzione incognita e alla sua derivata (ma non necessariamente rispetto a t). Chiariremo il concetto di linearità nel Capitolo IV, ad esso dedicato.

 Moltiplichiamo

Se A(t) è una primitiva di a(t), ovvero A′ (t) = a(t), dall’equazione precedente (a variabili separabili nell’incognita f ) troviamo f (t) = e−A(t) ; moltiplichiamo quindi entrambi i membri di (5) per f (t) e otteniamo h i′ e−A(t) y′ (t) + e−A(t) (−a(t))y(t) = e−A(t) y(t) = e−A(t) b(t) | {z } | {z } f y′

 Tale equazione viene detta lineare

f′y

che, ricordando che A(t) =

R

a(t) dt, è equivalente alla formula

il primo membro dell’equazione per f tale che   f y′ − f ay = f y ′ = f y′ + f ′ y ovvero − f a = f ′ .

12

Equazioni differenziali

R

(6)

y(t) = e

Z b(t)e−

a(t) dt

R

a(t) dt

! dt + C ,

 Integrale

generale dell’equazione lineare del primo ordine. È ovviamente lasciata al Lettore la scelta se utilizzare i propri preziosi neuroni per mandare a memoria questa formula o piuttosto il procedimento che permette di ricavarla.

C ∈ R.

(I.4) Esempio. Consideriamo l’equazione y′ (t) = −y(t) +

1 . et

Confrontandola con la (5) abbiamo a(t) = −1 e b(t) = 1/et . Dalla formula appena vista, dato che le funzioni a e b sono definite e continue su R, ci aspettiamo che lo siano anche le soluzioni. Come primitiva di a scegliamo A(t) = −t; si ha quindi eA(t) = e−t ,

e−A(t) = et

ed infine dalla formula (6) otteniamo ! ! Z Z 1 t A(t) −A(t) −t e dt + C y(t) = e b(t)e dt + C = e et t+C = t , C ∈ R. e Il grafico di alcune delle soluzioni è rappresentato in Figura I.4.

y(t) y′ (t) = + t cos t. t In questo caso abbiamo a(t) = 1/t e b(t) = t cos t. Il loro insieme comune di definizione e continuità è R r {0}; le soluzioni dell’equazione saranno quindi definite su (−∞, 0) oppure su (0, +∞). Utilizziamo la formula risolutiva (6) per calcolarle. Se cerchiamo le soluzioni su (0, +∞) otteniamo R che una primitiva della funzione a(t) è A(t) = 1/t dt = ln t, inoltre Z Z −A(t) ln(1/t) −A(t) e =e = 1/t e b(t)e dt = cos t dt = sin t + C. Z A(t)

y(t) = e

−A(t)

b(t)e

! dt + C = t(sin t + C),

di a scegliamo come costante arbitraria quella nulla: stiamo cercando un fattore integrante, non tutti i fattori integranti.



(I.5) Esempio. Troviamo ora le soluzioni dell’equazione

Quindi

 Nell’integrazione

F I.4: alcune soluzioni dell’equazione y′ = −y + 1/et .

 Sottolineiamo

di nuovo che questa coincidenza tra gli intervalli di continuità dei termini dell’equazione e quelli di definizione delle soluzioni è vera per le equazioni lineari, in quanto giustificata dalla formula (6), ma è falsa per equazioni generali (si veda l’Esempio (I.1) a pagina 9).

C ∈ R.

Sull’intervallo (−∞, 0) le soluzioni hanno esattamente la stessa espressione, infatti A(t) = ln(−t), e−A(t) = eln(−1/t) = −1/t, eA(t) = eln(−t) = −t, quindi y(t) = −t(− sin t + C) = t(sin t − C), con C costante arbitraria. In Figura I.5 sono rappresentati i grafici di alcune soluzioni. Notiamo che, benché a(t) non sia definita per t = 0, potremmo pensare di estendere con continuità le soluzioni trovate anche in t = 0, tutte con valore 0. Ovviamente, nel compiere questa operazione, sarebbe necessario precisare che senso dare all’equazione differenziale per  t = 0.

F I.5: in figura è rappresentata la funzione y(t) = t(sin t+1) soluzione dell’equazione differenziale separatamente sugli intervalli (−∞, 0) e (0, +∞).

§ 4. Equazioni lineari del secondo ordine

13

§ 4. Equazioni lineari del secondo ordine In questo paragrafo prendiamo in considerazione le equazioni del secondo ordine del tipo ax′′ (t) + bx′ (t) + cx(t) = f (t), dove x(t) è la funzione incognita, a, b e c sono delle costanti ed f è data. L’esempio modello è quello del moto rettilineo di un corpo descritto dall’equazione (3) a pagina 6. Ci limiteremo a descrivere un metodo per determinare una classe di soluzioni, dimostreremo nel Capitolo VIII che quelle trovate sono tutte e sole le soluzioni di un’equazione lineare di secondo ordine a coefficienti costanti. Il metodo si divide in due parti, quella riguardante le cosiddette equazioni omogenee (cioè in cui f (t) ≡ 0) e quella dedicata alle equazioni non omogenee (in cui f (t) . 0).

 Tali

equazioni vengono dette equazioni lineari a coefficienti costanti.

Caso omogeneo (I.6) Esempio. Consideriamo l’equazione differenziale x′′ (t) − 3x′ (t) + 2x(t) = 0. Il fatto che la somma della funzione incognita con alcune sue derivate (moltiplicate per dei coefficienti) debba essere nulla suggerisce di cercare delle soluzioni che siano proporzionali alle loro derivate. Per questo motivo ci domandiamo se xλ (t) = eλt risolva l’equazione di partenza per qualche valore di λ. Le derivate prima e seconda di xλ sono x′λ (t) = λeλt ,

2 λt x′′ λ (t) = λ e .

 Un’altra

motivazione per cercare soluzioni di questo tipo viene dalle equazioni lineari di primo ordine a coefficienti costanti, infatti le soluzioni di x′ (t) + ax(t) = 0

sono tutte e sole le funzioni x(t) = ke−at , k ∈ R.

Sostituendo nell’equazione otteniamo che xλ è soluzione se e solo se λ2 eλt − 3λeλt + 2eλt = 0, ovvero (dividendo per la quantità strettamente positiva eλt ) se e solo se λ2 − 3λ + 2 = 0. Ricaviamo quindi i valori λ1 = 1, λ2 = 2, che forniscono le due soluzioni x1 (t) = et

e

x2 (t) = e2t

dell’equazione differenziale di partenza. Osserviamo inoltre che tutte le funzioni x(t) = C1 et + C2 e2t ,

C1 , C2 ∈ R

 Il polinomio λ2 − 3λ + 2 viene chiamato polinomio caratteristico associato all’equazione.

14

Equazioni differenziali

sono soluzioni dell’equazione . Abbiamo così trovato una famiglia di infinite soluzioni, al variare di due costanti arbitrarie. Come vedremo nel Capitolo VIII, queste sono tutte le soluzioni dell’equazione data, e non è un caso che le costanti arbitrarie siano in numero pari all’ordine dell’equazione.  Nell’esempio precedente abbiamo ricondotto la ricerca di soluzioni dell’equazione di partenza a quella delle radici del polinomio caratteristico. Il caso preso in considerazione era abbastanza favorevole, in quanto tale polinomio ammette due radici reali e distinte. Con qualche accorgimento si vede che il metodo è efficace anche quando le radici sono reali ma coincidenti, oppure addirittura complesse coniugate. (I.7) Esempio. Il polinomio caratteristico associato all’equazione lineare omogenea

 La verifica è semplice; infatti x′ (t) = C1 et + 2C2 e2t , x′′ (t) = C1 et + 4C2 e2t , quindi x′′ (t) − 3x′ (t) + 2x(t) =

C1 et + 4C2 e2t − 3C1 et − 6C2 e2t + 2C1 et + 2C2 e2t = 0.

 Cioè

quando il suo discriminante è strettamente positivo.

 Rispettivamente

quando il discriminante è nullo oppure strettamente negativo.

x′′ (t) − 4x′ (t) + 4x(t) = 0 è λ2 − 4λ + 4 = 0 ed ammette due radici coincidenti λ1 = λ2 = 2. La funzione esponenziale x1 (t) = e2t è quindi una soluzione dell’equazione, e assieme ad essa tutte le funzioni del tipo Ce2t con C ∈ R. Seguendo l’idea intuitiva che la presenza di due derivazioni nell’equazione provochi soluzioni che dipendono da due costanti arbitrarie, ci proponiamo di trovare una seconda soluzione che non sia della forma precedente. L’idea è di non discostarci troppo da questa prima soluzione trovata e di tentare di determinare una funzione C(t), non costante, tale che ¯ = C(t)e2t x(t)

 Stiamo

facendo “variare la costante arbitraria” della soluzione nota!

risolva l’equazione. Calcoliamo le derivate di x¯ x¯′ (t) = C′ (t)e2t + 2C(t)e2t , x¯′′ (t) = C′′ (t)e2t + 4C′ (t)e2t + 4C(t)e2t

 Tutti

i termini contenenti C(t) e C′ (t) si elidono!

quindi, sostituendo nell’equazione, otteniamo C′′ (t)e2t = 0

=⇒

C′′ (t) = 0.

Quindi una funzione C(t) che soddisfa la nostra richiesta è C(t) = t e abbiamo così dimostrato che la funzione x2 (t) = te2t

st’equazione sono C(t) = C1 +C2 t, da cui x(t) = (C1 + C2 t) e2t ,

risolve l’equazione di partenza. Ancora una volta osserviamo che al variare di C1 , C2 ∈ R abbiamo la seguente famiglia di soluzioni x(t) = C1 e2t + C2 te2t .

 In effetti tutte le soluzioni di que-



in perfetto accordo con la conclusione dell’esempio.

§ 4. Equazioni lineari del secondo ordine

15

(I.8) Esempio. Rimane da considerare il caso in cui il polinomio caratteristico ha due radici complesse. Ad esempio l’equazione x′′ (t) − 2x′ (t) + 2x(t) = 0 ammette come polinomio caratteristico λ2 − 2λ + 2 le cui radici sono λ1 = 1 + i

e

λ2 = 1 − i.

Pertanto, ragionando come nell’Esempio (I.6), otteniamo che le funzioni (a valori complessi) x˜1 (t) = e(1+i)t = et (cos t + i sin t) e

x˜2 (t) = e(1−i)t = et (cos t − i sin t)

risolvono, almeno formalmente, l’equazione. Anche tutte le funzioni del tipo x(t) = D1 x˜1 (t) + D2 x˜2 (t),

 Ricordiamo la definizione di esponenziale di un numero complesso data dalla Formula di Eulero

ex+iy = ex eiy = ex (cos y + i sin y) con x, y ∈ R. A tal proposito si veda anche l’approfondimento a pagina 51.

D1 , D2 ∈ C

sono allo stesso modo soluzioni. Volendo però selezionare solo quelle a valori reali dobbiamo imporre che D1 + D2 ∈ R e i(D1 − D2 ) ∈ R, da cui ricaviamo che D1 e D2 sono numeri coniugati. Perciò, se D1 = α + iβ e D2 = α − iβ, dall’espressione precedente otteniamo

 Infatti D1 x˜1 (t) + D2 x˜2 (t) = et [(D1 + D2 ) cos t + i(D1 − D2 ) sin t].

x(t) = (α + iβ)[et (cos t + i sin t)] + (α − iβ)[et (cos t − i sin t)] = 2αet cos t − 2βet sin t.

Ponendo infine C1 = 2α e C2 = −2β abbiamo la famiglia di soluzioni reali x(t) = et (C1 cos t + C2 sin t).



Possiamo ora estendere il metodo risolutivo visto negli Esempi (I.6), (I.7) e (I.8) ad una generica equazione lineare del secondo ordine a coefficienti costanti omogenea (7)

ax′′ (t) + bx′ (t) + cx(t) = 0,

a, b, c ∈ R.

Abbiamo visto che un’equazione di questo tipo ammette una famiglia di soluzioni dipendente da due parametri reali e dalle radici del polinomio caratteristico P2 (λ) = aλ2 + bλ + c. Se ∆ = b2 − 4ac, riassumiamo le situazioni che si possono presentare nella seguente tabella:

∆>0 ∆=0 ∆ 0), supponendo che k e h siano due costanti positive. Soluzione. Dobbiamo risolvere l’equazione a variabili separabili p′ (t) = p(t)(k − hp(t)). Si osserva immediatamente la presenza di due soluzioni costanti p≡0

e

p≡

k . h

Supponendo quindi p(t) , 0 e p(t) , k/h dividiamo entrambi i termini dell’equazione per p(t)(k − hp(t)) ed integriamo rispetto alla variabile

 Qk (t)

grado k.

e Q˜ k (t) sono polinomi di

 Osserviamo che quando 0 è radice doppia del polinomio caratteristico l’equazione differenziale può essere risolta integrando due volte!

Esercizi

19

indipendente t Z dp = t + C. p(k − hp) Otteniamo quindi p ln = k(t + C) k − hp

 Una =⇒

p(t) = Dekt , k − hp(t)

D , 0,

da cui ricaviamo p(t) = Dekt k − hp(t)

⇐⇒ ⇐⇒

k = −hDekt k − hp(t) h 1 p(t) = 1 − k 1 + hDekt

1−

primitiva del termine a sinistra è # Z Z " dp 1 h 1 = + dp p(k − hp) k p k − hp
1 ln |p| − ln |k − hp| = k |p| 1 = ln . k |k − hp|

e concludiamo (9)

p(t) =

kDekt . 1 + hDekt

Imponendo la condizione iniziale p(0) = p0 possiamo quindi ricavare la costante di integrazione D D=

p0 . k − hp0

Osserviamo che la soluzione trovata è definita quando il suo denominatore è non nullo ovvero 1 + hDekt , 0; sostituendo il valore della costante di integrazione D otteniamo la condizione ekt , 1 − k/(hp0 ) che è sempre verificata quando t > 0 essendo 1 − k/(hp0 ) < 1. Quindi la soluzione trovata è definita su [0, +∞) e si ha

 Ricordiamo

che siamo supponendo p(t) , k/h, quindi in particolare p0 , k/h.

k kDekt = . t→+∞ 1 + hDekt h

lim p(t) = lim

t→+∞

Possiamo quindi concludere che quando lasciamo evolvere una popolazione con p0 individui all’istante iniziale secondo la legge logistica (con h, k costanti strettamente positive) essa tenderà a stabilizzarsi verso un numero di circa k/h individui, che rappresenta la capacità dell’ambiente. Dall’espressione di p′ , p′ (t) = p(t)(k − hp(t)), potevamo già dedurre che le soluzioni dell’equazione sarebbero state delle funzioni (strettamente) crescenti quando p(t) ∈ (0, k/h), decrescenti se p(t) > k/h. i grafici di alcune soluzioni sono rappresentati in Figura I.1 (a destra), pagina 4. (I.2) Un serbatoio con una capacità di 1000 lt viene riempito di acqua in cui vengono sciolti 5 kg di sale. Una soluzione di acqua e sale al 2% entra nel serbatoio con una velocità di 10 lt/min. La soluzione viene continuamente rimescolata ed esce dal serbatoio alla stessa velocità. Quanto sale contiene il serbatoio dopo 5 minuti?

 Per uno studio completo della famiglia di soluzioni trovata, rimandiamo all’Esercizio 6 a pagina 29.

20

Equazioni differenziali

Soluzione. La variazione della quantità di sale presente nel serbatoio è uguale alla differenza tra la sua velocità di entrata, ve , e quella di uscita, vu . Detta s(t) la quantità di sale al tempo t, misurata in kg, l’equazione che descrive il fenomeno è s′ (t) = ve (t) − vu (t). Osserviamo che la quantità di sale per ogni litro di soluzione al tempo t è s(t)/1000. Le velocità di entrata e di uscita sono rispettivamente ve (t) =

1 [kg/min] 5

e

vu (t) =

s(t) [kg/min]. 100

Infatti, la soluzione entrante contiene il 2% di sale, quindi ogni minuto entrano 0,2 kg di sale, disciolto in 10 lt di acqua; inoltre, essendo s(t)/1000 la quantità di sale per ogni litro di soluzione al tempo t il sale uscente ogni minuto è pari a 10 volte questa quantità. Otteniamo s′ (t) =

1 (20 − s(t)). 100

L’equazione differenziale trovata è sia lineare di primo ordine sia a variabili separabili; la risolviamo nel secondo modo, dopo aver osservato che la soluzione da determinare deve verificare la condizione iniziale s(0) = 5. La soluzione costante s(t) ≡ 20 non è dunque quella cercata. Supponiamo quindi s(t) , 20, dividiamo per 20 − s(t) e, dopo aver calcolato la primitiva di entrambi i termini abbiamo ln |20 − s(t)| = −

1 t+C , C ∈ R 100

⇒

20 − s(t) = Ke−t/100 , K > 0.

Ricordando che s(0) = 5 otteniamo K = 15 e quindi s(t) = 20 − 15e−t/100 ; in particolare dopo 5 minuti nel serbatoio sono presenti 20 − 15e−1/20 ≃ 5, 7 kg di sale. (I.3) (Equazione omogenea) Determinare le soluzioni dell’equazione differenziale y′ (t) =

y(t) − e y(t)/t . t

Soluzione. Osserviamo che l’equazione è priva di significato quando t = 0, le sue soluzioni non saranno dunque definite in t = 0. Effettuiamo ora la sostituzione z(t) =

y(t) t

 Essendo

s(0) < 20 e avendo supposto s(t) , 20, abbiamo potuto togliere il valore assoluto, infatti 20 − s(t) > 0 laddove s(t) è definita.

Esercizi

21

e, derivando la funzione z rispetto alla variabile indipendente t, otteniamo z′ (t) =

y′ (t) y(t) z(t) − ez(t) z(t) − 2 = − t t t t

=⇒

z′ (t) = −

ez(t) . t

Abbiamo così trasformato l’equazione differenziale di partenza in un’equazione differenziale a variabili separabili, siamo quindi in grado di determinare la funzione incognita z(t) e da questa ricavare y(t) = tz(t). L’equazione trovata non ha soluzioni costanti. Dividendo per −ez(t) e integrando otteniamo Z Z dt −z ⇐⇒ e−z(t) = ln |t| + C , C∈R − e dz = t

 Più

in generale, per risolvere un’equazione del tipo ! y(t) y′ (t) = f t

si effettua la sostituzione y(t) z(t) = t per ricondursi all’equazione differenziale a variabili separabili f (z) − z . t Dopo aver risolto quest’ultima si trovano le soluzioni del problema iniziale sostituendo y(t) = tz(t). z′ =

e quindi z(t) = − ln(ln |t| + C),

definita se |t| > e−C .

Le soluzioni del problema di partenza quindi sono y(t) = −t ln(ln |t| + C) e sono definite su (−∞, −e−C) oppure su (e−C , +∞); in Figura I.6 ne sono rappresentate alcune. (I.4) Una tazza di caffè alla temperatura di 75◦ C viene posta in una stanza a 25◦ C. Supponendo che il raffreddamento segua la Legge di Newton, secondo la quale la velocità di raffreddamento è proporzionale alla differenza di temperatura tra il corpo e l’ambiente che lo circonda, e sapendo che nei primi 5 minuti la tazza si è raffreddata di 25◦ C scrivere l’equazione differenziale che descrive il raffreddamento del caffé. Determinare dopo quanto tempo il caffè raggiunge i 35◦ C. Soluzione. Se chiamiamo T la temperatura del caffé (supponiamo che la temperatura del liquido sia uniforme) la legge di Newton assicura l’esistenza di una “costante di raffreddamento” K < 0 tale che T′ (t) = K(T(t) − 25). Ancora una volta siamo di fronte ad un’equazione differenziale al tempo stesso a variabili separabili e lineare di primo ordine. Applichiamo questa volta la formula risolutiva vista a pagina 12, con a(t) = K e b(t) = −25K per determinare T(t) ! Z Kt −Kt T(t) = e −25Ke dt + C = 25 + CeKt . Per determinare la costante di integrazione C usiamo la condizione iniziale T(0) = 75, ottennendo 75 = C + 25, da cui C = 50. Per determinare

F I.6: alcune soluzioni dell’equazione omogenea y′ = y/t − ey/t .

22

Equazioni differenziali

la costante di raffreddamento utilizziamo la seconda informazione che viene fornita: dopo cinque minuti la temperatura del caffè è di 50◦ C. Abbiamo 50 = T(5) = 50e5K + 25

⇐⇒

K=−

ln 2 . 5

L’equazione differenziale che descrive il raffreddamento del caffé è quindi T′ (t) = −

ln 2 (T(t) − 25) 5

e la temperatura al tempo t è T(t) = 50e− ln 2 t/5 + 25. Per determinare t¯ > 0 tale che T(t¯) = 35 è dunque sufficiente sostituire 35 = 50e− ln 2 t/5 + 25 da cui si ottiene t¯ = 5 ln 5/ ln 2 ≃ 11, 6. Quindi il caffè raggiunge i 35◦ C dopo 11 minuti e 36 secondi (circa). ✩ (I.5) (Equazione di Bernoulli) Si consideri l’equazione differenziale p y′ (t) = 2(tan t)y(t) + 2 y(t) definita per t , π/2 + kπ, k ∈ Z. Dopo aver effettuato una opportuna sostituzione per ricondursi a una equazione lineare, determinare le soluzioni dell’equazione data. Soluzione. Osserviamo che y ≡ 0 è soluzione. Per y(t) > 0 definiamo p z(t) = y(t). La derivata di z è z′ (t) =

i h p p 1 1 y′ (t) = p 2(tan t)y(t) + 2 y(t) = (tan t) y(t) + 1, p 2 y(t) 2 y(t)

quindi z soddisfa l’equazione lineare z′ (t) = (tan t)z(t) + 1. Possiamo applicare la formula risolutiva (6) per determinare z; abbiamo a(t) = tan t, b(t) = 1, quindi A(t) = − ln | cos t| e ! Z 1 sin t + C z(t) = | cos t| dt + C =⇒ z(t) = | cos t| cos t grazie all’arbitrarietà della costante di integrazione C ∈ R. Innanzitutto osserviamo che l’espressione di z ottenuta (come anche l’equazione) ha senso quando t , π/2 + kπ, k ∈ Z. Però, come abbiamo

 Più

in generale ci proponiamo di risolvere un’equazione del tipo y′ (t) = a(t)y(t) + b(t)yα (t) con α ∈ R (se α = 0, 1 siamo già in grado di risolvere l’equazione). Dopo aver osservato che y ≡ 0 è soluzione quando α > 0, tentiamo di ricondurci ad un’equazione di cui sappiamo calcolare le soluzioni effettuando la sostituzione z(t) = yβ (t), con β ∈ R opportuno. Derivando otteniamo z′ (t) = βyβ−1 (t)y′ (t) e quindi   z′ (t) = βyβ−1 (t) a(t)y(t) + b(t)yα (t) h i = β a(t)z(t) + b(t)yα+β−1 (t) . Affinché quest’ultima equazione sia lineare (e quindi facilmente risolubile) dev’essere β = 1 − α. Abbiamo quindi capito che se poniamo z(t) = y(t)1−α l’equazione di partenza si trasforma nell’equazione lineare z′ (t) = (1 − α) [a(t)z(t) + b(t)]

di cui conosciamo la forma esplicita delle soluzioni.

Esercizi

23

più volte osservato, le soluzioni di un’equazione differenziale devono essere definite su degli intervalli. Otteniamo quindi molteplici famiglie di soluzioni, definite su intervalli disgiunti:   π π sin t + C , t ∈ − + kπ, + kπ . z(t) = cos t 2 2 A questo punto p possiamo calcolare la funzione incognita di partenza. Poiché z(t) = y(t), la funzione z trovata non può essere negativa. Questo impone una ulteriore restrizione sull’intervallo di definizione di z, almeno per alcuni valori di C. Infatti   sin t + C ≥ 0 e cos t > 0    oppure z(t) ≥ 0 ⇐⇒     sin t + C ≤ 0 e cos t < 0. Sotto queste condizioni   sin t + C 2 y(t) = cos t

con t ∈ I,

dove l’intervallo di definizione I dipende da k e da C ed è definito nel modo seguente:    π π   − + kπ, + kπ , se k è pari e C ≥ 1 o k è dispari e C ≤ −1    2 2      π  − arcsin C + kπ, + kπ , se k è pari e − 1 < C < 1    2      π    − + kπ, − arcsin C + kπ , se k è dispari e − 1 < C < 1. 2 (I.6) (Equazione logistica a coefficienti variabili) Usando la sostituzione z(t) = 1/p(t), determinare la soluzione per k(t) e h(t) variabili nel tempo dell’equazione logistica p′ (t) = k(t)p(t) − h(t)p2(t). Soluzione. Come suggerito, utilizziamo la sostituzione z(t) = 1/p(t) e calcoliamo la derivata della funzione z z′ (t) = −

p′ (t) k(t)p(t) − h(t)p2 (t) 1 + h(t) = − = −k(t) p(t) p2 (t) p2 (t)

da cui ricaviamo che z è soluzione dell’equazione lineare z′ (t) = −k(t)z(t) + h(t). Possiamo quindi applicare la formula risolutiva (6) per determinarne le soluzioni ! Z K(t) −K(t) h(t)e dt + C . z(t) = e

 Stiamo

risolvendo un’equazione di Bernoulli con α = 2; si veda l’Esercizio (I.5).

24

Equazioni differenziali

dove K(t) è una qualsiasi primitiva di k. Per trovare p(t) sarà sufficiente considerare il reciproco dell’espressione trovata, ovvero Z K(t)

K(t)

p(t) = e

h(t)e

!−1 dt + C .

(I.7) (Oscillatore armonico) Studiare le soluzioni dell’equazione mx′′ (t) = −kx(t) − γx′ (t). al variare della costante elastica della molla k > 0 e del coefficiente d’attrito γ > 0.

 Si osservi l’analogia tra la soluzione trovata e la (9).

 Come

abbiamo visto a pagina 3 questa è l’equazione differenziale soddisfatta dalla posizione x(t) di un corpo di massa m vincolato a muoversi su una guida rettilinea, soggetto sia ad una forza generata da una molla (con posizione di equilibrio in x = 0) che alla forza d’attrito.

Soluzione. Dividendo l’equazione differenziale per m > 0 otteniamo x′′ (t) + 2δx′ (t) + ω2 x(t) = 0, dove abbiamo posto (per comodità di calcolo che capiremo a breve) δ=

γ 2m

e

ω2 =

k . m

Il polinomio caratteristico associato a quest’ultima equazione è P2 (λ) = λ2 + 2δλ + ω2 ed ammette come radici √ √ λ1 = −δ + δ2 − ω2 e λ2 = −δ − δ2 − ω2 . A seconda del segno della quantità sotto radice, δ2 − ω2 , deduciamo tre possibili comportamenti. Caso 1: δ > ω. Il polinomio caratteristico ha due radici reali e distinte, quindi l’equazione ammette le seguenti soluzioni x(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t . Osserviamo che entrambi gli zeri del polinomio caratteristico sono negativi, quindi le soluzioni trovate tendono a zero in modo esponenziale quando t → +∞. Fisicamente questo significa che se la costante d’attrito è grande (rispetto alla costante di elasticità della molla), allora il corpo non oscilla, ma viene trascinato verso la posizione di equilibrio. Al variare delle costanti C1 e C2 le funzioni x(t) hanno un andamento come quello delle curve in Figura I.7. Caso 2: δ = ω. In questo caso il polinomio ha due radici reali coincidenti λ1 = λ2 = −δ, si ha quindi la famiglia di soluzioni x(t) = (C1 + C2 t)eλ1 t ,

C1 , C2 ∈ R.

Anche in questo caso le soluzioni decrescono in modo esponenziale al crescere del tempo t. Il grafico di alcune soluzioni è rappresentato in Figura I.7.

 Infatti

√ δ2 − ω2 < δ.

Esercizi

25

F I.7: da sinistra a destra sono rappresentati alcuni possibili moti di un oscillatore armonico rispettivamente nei casi in cui δ > ω, δ = ω e δ < ω, al variare della posizione e della velocità iniziali dell’oscillatore. L’andamento delle curve è molto simile nei primi due casi, in cui l’attrito è grande rispetto alla costante di elasticità della molla. Nel terzo caso risulta invece evidente il carattere oscillatorio del moto, compreso tra i grafici delle curve esponenziali ±re−δt .

Caso 3: δ < ω. Le radici del polinomio caratteristico sono due numeri complessi coniugati, ovvero √ λ1,2 = −δ ± iω¯ con ω¯ = ω2 − δ2 . Abbiamo quindi la famiglia di soluzioni x(t) = C1 e−δt sin(ωt) ¯ + C2 e−δt cos(ωt), ¯

C1 , C2 ∈ R.

Per riuscire a dare una interpretazione fisica del risultato ottenuto riscriviamo quest’ultima espressione effettuando le seguenti sostituzioni q   C1 r = C21 + C22 e ϕ = arctan − C2 da cui otteniamo x(t) = re−δt cos(ωt ¯ + ϕ),

C1 , C2 ∈ R.

Da quest’ultima espressione risulta evidente il carattere oscillatorio del moto. In questo caso quindi l’attrito non è sufficiente per smorzare il moto oscillatorio causato dalla molla. L’effetto dell’attrito si può osservare nel decadimento esponenziale dell’ampiezza dell’oscillazione: il grafico di x(t) è compreso tra la coppia di curve ±re−δt (si veda la Figura I.7, a destra). (I.8) (Oscillatore armonico con forzante) Studiare il moto di un corpo di massa m vincolato a muoversi senza attrito su una guida rettilinea, soggetto ad una forza generata da una molla con costante elastica k > 0 e ad una forza esterna di intensità f (t) = A cos(φt) con A, φ parametri reali. Soluzione. Abbiamo visto a pagina 3 che in questo caso l’equazione soddisfatta dalla posizione x(t) del corpo è mx′′ (t) + kx(t) = A cos(φt).

 Osserviamo che

in assenza di attrito, cioè quando δ = 0 si ottiene il moto puramente oscillatorio x(t) = r cos(ωt + ϕ).

26

Equazioni differenziali

F I.8: a sinistra un esempio di moto di un oscillatore armonico con forzante a cos(φt) non in risonanza; a destra invece la forzante è in risonanza, cioè φ = ω.

Se dividiamo per m e poniamo ω2 = k/m e a = A/m otteniamo x′′ (t) + ω2 x(t) = a cos(φt). Dall’esercizio precedente deduciamo l’espressione delle soluzioni dell’equazione omogenea associata, ovvero x(t) = C1 sin(ωt) + C2 cos(ωt), al variare di C1 , C2 in R. Vogliamo ora cercare una soluzione particolare dell’equazione completa. Essendo ±iω le radici del polinomio caratteristico, possono presentarsi due situazioni: Caso 1: φ , ω. In questo caso cerchiamo una soluzione particolare del tipo

 È il caso δ = 0.

xp (t) = b cos(φt) + c sin(φt). 2 la cui derivata seconda è x′′ p (t) = −φ (b cos(φt) + c sin(φt)). Sostituendo nell’equazione otteniamo 2

2

(ω − φ )(b cos(φt) + c sin(φt)) = a cos(φt)

=⇒

a b= 2 , c = 0. ω − φ2

Le soluzioni dell’equazione completa quindi sono x(t) = C1 sin(ωt) + C2 cos(ωt) +

a cos(φt), ω2 − φ2

C1 , C2 ∈ R.

Se effettuiamo ancora una volta le sostituzioni r = (C21 + C22 )1/2 e ϕ = arctan(−C1 /C2 ) otteniamo x(t) = r cos(ωt + ϕ) +

a cos(φt). 2 ω − φ2

Il moto del corpo risulta quindi essere la sovrapposizioni di due moti oscillatori con ampiezze e periodi diversi (Figura I.8, a sinistra).

 Non dobbiamo stupirci che la co-

stante c sia nulla, infatti se xp fosse somma di una funzione pari e di una dispari allora anche x′′ p avrebbe la stessa struttura (la derivata di una funzione pari è dispari e viceversa). 2 Dunque x′′ p (t) + ω xp (t) non potrebbe essere uguale ad a cos(φt), che è pari. Potevamo quindi dedurre senza fare calcoli che c = 0 e cercare direttamente una soluzione particolare del tipo xp (t) = b cos(φt).

 Per

quali valori di φ il moto è periodico?

Esercizi

27

Caso 2: φ = ω. In questo caso la soluzione particolare dev’essere cercata della forma xp (t) = bt cos(ωt) + ct sin(ωt).

x′p (t) = c(sin(ωt) + tω cos(ωt)) 2 x′′ p (t) = c(2ω cos(ωt) − tω sin(ωt)) 2 x′′ p (t) + ω xp (t) = 2cω cos(ωt) = a cos(φt)

=⇒

c=

a . 2ω

Otteniamo le soluzioni dell’equazione completa x(t) = C1 sin(ωt) + C2 cos(ωt) + ovvero, sostituendo r =

x(t) = r cos(ωt + ϕ) +

+

C22 )1/2

a t sin(ωt), 2ω

C1 , C2 ∈ R

e ϕ = arctan(−C1 /C2 ),

a t sin(ωt). 2ω

Da quest’ultima espressione deduciamo che per ogni successione (tn )n≥1 divergente a +∞ del tipo tn = t0 + 2π/ωn, con t0 , 0 si ha che |x(tn )| → +∞ e quindi il corpo, al crescere del tempo t, compie delle oscillazioni di ampiezza sempre più grandi (si veda la Figura I.8 a destra). Questo fenomeno viene chiamato risonanza. (I.9) Determinare le soluzioni delle equazioni differenziali x′′ (t) + x(t) = t2

e

φ della forzante è uguale alla frequenza propria ω dell’oscillatore.

 Invece

In realtà possiamo subito dire che b = 0, infatti t cos(ωt) è una funzione dispari e, come nel caso precedente, xp non può essere la somma di una funzione dispari e una pari. Derivando xp e sostituendo nell’equazione otteniamo

(C21

 Cioè la frequenza

x′′ (t) + x(t) = t sin t.

Soluzione. Le soluzioni dell’equazione omogenea associata ad entrambe le equazioni sono C1 cos t + C2 sin t, con C1 , C2 ∈ R, infatti il polinomio caratteristico è P2 (λ) = λ2 + 1 e i suoi zeri sono ±i. Il termine noto della prima equazione è il polinomio di secondo grado Q2 (t) = t2 e λ = 0 non annulla il polinomio caratteristico; cerchiamo dunque una soluzione particolare del tipo xp (t) = at2 + bt + c con a, b, c ∈ R da determinare. Se imponiamo che xp sia soluzione dell’equazione otteniamo 2 2 x′′ p (t) + xp (t) = (2a) + (at + bt + c) = t

di sfidare la sorte nel tentativo di indovinare la forma dell’integrale particolare, possiamo ragionare nel modo seguente. Prendiamo φ , ω. Dall’espressione dell’integrale generale a x(t) = r cos(ωt+ϕ)+ 2 cos(φt), ω − φ2

selezioniamo la soluzione con r = −a/(ω2 − φ2 ) e ϕ = 0: a cos(ωt) x(t) = − 2 ω − φ2 a cos(φt) + 2 ω − φ2 =a

cos(φt) − cos(ωt) ω2 − φ2

.

Se, fissato t, passiamo al limite per φ → ω, utilizzando la formula di de l’Hôpital otteniamo lim a

φ→ω

cos(φt) − cos(ωt) ω2 − φ2

=

at sin(ωt) . 2ω

28

Equazioni differenziali

da cui ricaviamo a = 1, b = 0 e c = −2. Le soluzioni della prima equazione sono quindi le funzioni x(t) = C1 cos t + C2 sin t + t2 − 2. Il termine noto della seconda equazione è invece del tipo f (t) = Qk (t)eαt sin(βt) con Qk polinomio di grado k = 1, α = 0 e β = 1. Poiché α ± iβ = ±i sono radici del polinomio caratteristico cerchiamo una soluzione particolare del tipo xp (t) = Q1 (t)t sin t + R1 (t)t cos t dove Q1 (t) = at + b ed R1 (t) = ct + d sono polinomi di primo grado da determinare. Se calcoliamo le derivate di xp (t) ed imponiamo che risolva l’equazione troviamo xp (t) = (at2 + bt) sin t + (ct2 + dt) cos t x′p (t) = (2at + b) sin t + (at2 + bt) cos t + (2ct + d) cos t − (ct2 + dt) sin t = (−ct2 − dt + 2at + b) sin t + (at2 + bt + 2ct + d) cos t

2 x′′ p (t) = (−2ct − d + 2a) sin t + (−ct − dt + 2at + b) cos t

+ (2at + b + 2c) cos t − (at2 + bt + 2ct + d) sin t

= (−at2 − bt − 4ct − 2d + 2a) sin t + (−ct2 − dt + 4at + 2b + 2c) cos t

x′′ p (t) + xp (t) = (−4ct − 2d + 2a) sin t + (4at + 2b + 2c) cos t = t sin t. e quindi −4c = 1,

−2d + 2a = 0,

4a = 0,

2b + 2c = 0

da cui ricaviamo a = d = 0 e b = −c = 1/4. Abbiamo quindi trovato una soluzione particolare dell’equazione completa xp (t) =

1 1 t sin t − t2 cos t. 4 4

Le soluzioni della seconda equazione quindi sono (si veda la Figura I.9) 1 1 x(t) = C1 cos t + C2 sin t + t sin t − t2 cos t. 4 4 ❊❊❊

F I.9: alcune soluzioni dell’equazione di second’ordine x′′ +x = t sin t.

Esercizi

29

✎ Diamoci da fare. . . (Soluzioni a pagina 571) 1 Sia k : [0, +∞) → R una funzione continua. Supposto che una popolazione p = p(t) si evolva con un tasso percentuale di crescita k(t) e che p(0) = p0 > 0, determinare il numero di individui all’istante t > 0. Sotto quali condizioni su k la popolazione si estingue? 2 Una popolazione di batteri inizialmente conta 500 individui, dopo 3 ore ne conta 8000. Supponendo che la crescita della popolazione sia proporzionale al numero dei suoi individui: (a) determinare un’espressione per il numero di batteri dopo t ore; (b) determinare il numero di batteri dopo 4 ore; (c) dire dopo quanto tempo ci saranno 32000 batteri. o 3 Una popolazione cresce con tasso relativo costante. Dopo 2 ore i batteri sono 600, dopo 8 sono 75000. (a) Determinare la popolazione iniziale; (b) determinare il numero di batteri dopo t ore; (c) dopo quanto tempo ci saranno 375000 batteri? 4 Le sostanze radioattive decadono (emettendo spontaneamente radiazioni) ad una velocità proporzionale alla massa residua m(t) secondo una costante k < 0 (il tasso di decadimento). I fisici spesso esprimono il tasso di decadimento in termini di tempo di dimezzamento ovvero il tempo necessario per il decadimento di metà di una certa quantità. Sapendo che il tempo di dimezzamento del radio è di 1590 anni, preso un campione di radio di 100 g: (a) trovare la formula che dice quanto radio rimane dopo t anni; (b) trovare la massa residua dopo 1000 anni; (c) dire dopo quanto tempo la massa sarà ridotta a soli 30 mg. 5 Per datare gli oggetti antichi, viene spesso usato il metodo della datazione al carbonio. Nell’atmosfera è presente carbonio 14 C, un isotopo radioattivo con un tempo di dimezzamento di 5730 anni. I vegetali assorbono il 14 C e, tramite la catena alimentare, lo passano agli animali. Quando un albero o un animale muoiono, la quantità di 14 C presente nel loro corpo comincia a diminuire secondo la legge di decadimento radioattivo. È stato scoperto un frammento di pergamena contenente circa il 75% della quantità di 14 C presente nei vegetali in vita. Stimare l’età della pergamena.

6 Determinare gli intervalli di definizione delle soluzioni dell’equazione logistica con coefficienti costanti p′ (t) = p(t)(k − hp(t)) studiata nell’Esercizio (I.1), svolto a pagina 18, quando ammettiamo che sia il tempo t che la condizione iniziale p0 = p(0) possano assumere anche valori negativi. 7 Mostrare che se p(t) soddisfa l’equazione logistica (Esercizio 6 ) allora p′′ (t) = p(t)(k − hp(t))(k − 2hp(t)). Dedurre che se p0 ∈ (0, 2k/h) allora la popolazione cresce con velocità massima quando raggiunge la metà della capacità dell’ambiente. 8 Si consideri l’equazione differenziale p′ (t) = (k − hp(t))(p(t) − m) con k, h, m costanti positive ed m < k/h. Se p(t) rappresenta il numero di individui di una popolazione al tempo t, questa equazione è una variazione dell’equazione logistica studiata nell’Esercizio (I.1), e differisce da quest’ultima per la presenza del fattore (1 − m/p(t)) a secondo membro. m indica il valore minimo sotto il quale la popolazione inizia ad estinguersi. (a) L’equazione data ammette soluzioni costanti? Quali? (b) Studiare il segno del tasso di crescita della popolazione. Come varia il numero di individui se p0 = p(0) ∈ (0, m)?

(c) Determinare l’espressione analitica delle soluzioni non costanti dell’equazione assumendo che per t = 0 la popolazione abbia p0 > 0 individui.

(d) Descrivere il comportamento della popolazione nelle seguenti situazioni: p0 ∈ (0, m), p0 ∈ (m, k/h) oppure p0 > k/h. 9 Un altro modello di funzione di crescita limitata per popolazioni è la funzione di Gompertz, ovvero una soluzione dell’equazione differenziale
p′ (t) = p(t) log k − log(hp(t)) , h, k > 0. (a) Determinare le soluzioni costanti. (b) Studiare il segno del tasso di crescita della popolazione al variare della popolazione stessa (supporre p(t) > 0).

30

Equazioni differenziali

(c) Determinare l’espressione analitica delle soluzioni non costanti assumendo p(0) = p0 > 0 individui.

(b) y′ (x) = y2 (x) + x2 − 1; (c) y′ (x) = x2 − y2 (x).

10 Un modello per la diffusione di un’epidemia si ba- b 17 Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni difsa sull’ipotesi che la velocità di propagazione sia conferenziali a variabili separabili prestando particolare temporaneamente proporzionale al numero di individui attenzione agli intervalli in cui sono definite. infetti e a quello di individui sani. In una città isolata (a) r′ (t) = r(t) − r3 (t), con r(t) ≥ 0; di 5000 abitanti, 160 erano malati all’inizio della settit3 mana e 1200 lo sono alla fine della stessa settimana. In ; (b) y′ (t) = − (y(t) + 1)2 quanto tempo verrà infettato l’80% della popolazione? (c) (1 + x3 )y′ (x) − x2 y(x) = 0; 11 Determinare le soluzioni dell’equazione differen(d) (1 + x)y′ (x) = y(x) + 1; ziale a variabili separabili, 1 (e) x′ (s) = ; p ex(s) eex(s) y′ (t) = 2 y(t) (f) y′ (x) = ex−y(x) ; prestando particolare attenzione all’intervallo di defini2xy(x) (g) y′ (x) = 2 ; zione delle soluzioni che non si annullano. x −1 t+y(t) ′ (h) e y (t) + t = 0. 12 Il corpo della vittima è stato rinvenuto sul luogo del delitto alle 2:20 di notte. Dopo mezz’ora la temperatura del corpo è di 15◦ C. Quando è stato commesso l’omicidio se all’ora del ritrovamento la temperatura del corpo è di 20◦ C e se la temperatura esterna è di -5◦ C? 13 Una torta viene tolta dal forno alle 17:00 quando è bollente (100◦ C). Dopo 10 minuti la sua temperatura è di 80◦ C, alle 17:20 è di 65◦ C. Determinare la temperatura della stanza. 14 Prima di appiccare fuoco ad un deposito di gas, un piromane attento vuole determinare il momento esatto dell’esplosione in funzione della quantità di gas inizialmente posta in combustione. Egli assume che la velocità con cui il gas prende fuoco sia proporzionale alla temperatura del deposito e che questa sia a sua volta proporzionale al quadrato del gas in combustione. Suppone inoltre che la quantità totale di gas sia infinita. Quando avviene l’esplosione? 15 Sia y(t) una soluzione dell’equazione differenziale ′

4

3

2

y (t) = y (t) − 3y (t) + 2y (t). Per quali valori di y(t) tale funzione risulta essere strettamente crescente? Per quali strettamente decrescente? Quali soluzioni costanti ammette l’equazione? 16 Per le seguenti equazioni determinare in quali sottoinsiemi del piano le (eventuali) soluzioni sono funzione crescenti, in quali punti hanno tangente orizzontale e infine dove sono decrescenti. (a) y′ (x) = x + y(x);

18 Dopo aver determinato le (due) soluzioni costanti dell’equazione x′ (t) = x2 (t) − 4, determinare quelle che non intersecano tali soluzioni. In particolare selezionare le soluzioni passanti per i punti (0,0), (0,3) e (0,-3) e dire su quale intervallo sono definite. b 19 Trovare le soluzioni (eventualmente in forma implicita) delle seguenti equazioni differenziali a variabili separabili passanti per il punto indicato. (a) y′ (t)y(t)(et + 1) = et , (0, −1);

(b) su(s)u′ (s) = 1 + s2 , (1, 1);

(c) x(1 + y2 (x))y′ (x) = 3, (1, 0); 4y(x) , (1, 0); (d) y′ (x) = x(y(x) − 3) (e) y′ (t) sin y(t) = sin t + 1, (0, π/2); 20 Determinare la curva passante per il punto (3, 2) con la seguente proprietà: tracciando la normale ad ogni punto P della curva (ovvero la retta passante per P ed ortogonale alla tangente in P), l’intersezione tra la normale e l’asse y è sempre il punto di coordinate (0, 6). 21 Su quale intervallo è definita l’unica soluzione dell’equazione differenziale omogenea (si veda l’Esercizio (I.3) a pagina 20) y′ (t) = 2

y(t) − 1. t

passante per il punto (1, 0)?

Esercizi

31

22 Risolvere le seguenti equazioni omogenee seguendo il procedimento descritto nell’Esercizio (I.3) svolto a pagina 20. y2 (x) y(x) + ; x2 x x(t) (b) x′ (t) = − ex(t)/t ; t (c) x2 y′ (x) = y2 (x) + xy(x) + x2 ; (a) y′ (x) =

(d) y′ (t) =

y2 (t) + t2 . ty(t) − t2

23 Trovare quale curva contenuta nel primo quadrante passa per il punto (1, 1) e soddisfa la seguente proprietà: il segmento di tangente, in un generico punto P, contenuto nel primo quadrante viene bisecato da P. 24 Determinare le curve del piano tali che la distanza di un qualsiasi loro punto P da T, intersezione tra la tangente alla curva in P e l’asse delle x, sia uguale alla distanza di T dall’origine.

(e) x′ (t) = et x(t) + et ; 2

(f) y′ (t) = 2ty(t) + et ; x+1 2 . (g) y′ (x) = y(x) + x x 29 Riferendosi all’esercizio precedente, determinare le soluzioni delle equazioni (a), (b), (c), (d) e (e) passanti rispettivamente per i punti (0, 0), (π/2, 0), (−3, −4), (1, 2e) e (0, 4). 30 Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni di Bernoulli utilizzando il procedimento descritto nell’Esercizio (I.5) svolto a pagina 22. 2 p (a) y′ (t) = 4ty(t) + et y(t); (b) y′ (x) − y(x) = xy5 (x); 1 1 (c) y′ (x) + y(x) = y4 (x)(1 − 2x); 3 3 p (d) y′ (x) + xy(x) + x y(x) = 0; x (e) y′ (x) = y(x) + . y(x)

25 Si consideri l’equazione differenziale lineare y′ (t) = a(t)y(t)+b(t) con a e b funzioni continue su un certo inter- o 31 Si consideri l’equazione differenziale del primo ordine vallo (c, d) con −∞ ≤ c < d ≤ +∞. Dimostrare che se y1 e y2 sono due soluzioni distinte dell’equazione, ovvero se y′ (t) = a(t)y(t) + b(t)y2 (t) + c(t), esiste t¯ ∈ (c, d) tale che y1 (t¯) , y2 (t¯), allora y1 (t) , y2 (t) per ogni t ∈ (c, d). con a, b, c continue (su un comune intervallo di definizione). Se c ≡ 0 abbiamo un’equazione di Bernoulli, 26 Date le funzioni continue a e b sull’intervallo (c, d) quando invece b ≡ 0 ci si riduce ad una lineare. Se con −∞ ≤ c < d ≤ +∞ e un punto P = (t0 , y0 ) ∈ (c, d)×R, b, c . 0, un’equazione di questo tipo prende il nome trovare l’espressione dell’unica (si veda l’esercizio 25 ) ′ di Equazione di Riccati e non esistono metodi generasoluzione dell’equazione lineare di primo ordine y (t) = li per la sua risoluzione. Nota però una sua soluzione a(t)y(t) + b(t) passante per il punto P. particolare, ψ, se ci proponiamo di cercare la soluzione ✩ 27 Si consideri l’equazione differenziale y′ (t) = generale dell’equazione nella forma 1(t)h(y(t)) + b(t) con 1 e b funzioni continue su un cery(t) = ψ(t) + z(t), to intervallo (c, d) con −∞ ≤ c < d ≤ +∞, e h′ continua. Dimostrare che se y1 e y2 sono due soluzioni disi verifica facilmente che z deve soddisfare l’equazione stinte dell’equazione, ovvero se esiste t¯ ∈ (c, d) tale che di tipo Bernoulli y1 (t¯) , y2 (t¯), allora y1 (t) , y2 (t) per ogni t ∈ (c, d). (Sug  gerimento: si applichi il risultato dell’Esercizio 25 alla z′ (t) = a(t) + 2b(t)ψ(t) z(t) + b(t)z2 (t). differenza y1 (t) − y2 (t).) Possiamo quindi ricavare la funzione z e dunque l’inteb 28 Determinare le soluzioni delle seguenti equazioni grale generale dell’equazione di partenza sommandole lineari di primo ordine. ψ. Utilizzando questo procedimento risolvere (a) y′ (t) + y(t) = 2t + 2; y′ (t) = y2 (t) − ty(t) + 1 cos x ′ = 0; (b) y (x) + sin 2x + 2y(x) sin x sapendo che è soddisfatta da ψ(t) = t. x−1 ′ 2 (c) y (x) = y(x) + x ; b 32 Determinare le soluzioni delle seguenti equaziox ni lineari di secondo ordine a coefficienti costanti y(t) + t2 et ; (d) y′ (t) = 2 omogenee. t

32

Equazioni differenziali

(a) y′′ − 4y′ = 0; ′′

′

(b) 2y + y − y = 0; ′′

′

(c) y − 4y + 3y = 0;

(d) y′′ + 4y′ + 4y = 0; (e) y′′ + 6y′ + 10y = 0; (f) y′′ − y′ + y = 0;

(g) y′′ + 2y′ + 2y = 0; 33 Dimostrare che se x1 (t) e x2 (t) sono due qualsiasi soluzioni dell’equazione lineare di second’ordine x′′ (t) + b(t)x′ (t) + c(t)x(t) = f (t) allora la loro differenza risolve l’equazione omogenea associata x′′ (t) + b(t)x′ (t) + c(t)x(t) = 0. 34 Nota xp (t), soluzione dell’equazione lineare di second’ordine x′′ (t) + b(t)x′ (t) + c(t)x(t) = f (t), dimostrare che x(t) risolve tale equazione se e solo se x(t) = xp (t) + xo (t) dove xo (t) è una qualsiasi soluzione dell’omogenea associata x′′ (t) + b(t)x′ (t) + c(t)x(t) = 0. b 35 Determinare le soluzioni y = y(x) delle seguenti equazioni lineari di secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee. (a) y′′ + y′ − 6y = 2e−x ;

(b) y′′ + y′ − 2y = x2 ;

(c) y′′ − 4y′ + 3y = x + 2;

(d) y′′ + 2y′ = x2 − 1; (e) y′′ − y = cos x;

(f) y′′ + 4y = cos x;

(a) x′′ + 2x′ = et + e−2t ; (b) 2x′′ + x′ − x = te−t + sin(2t). o 38 (Variazione delle costanti) Per determinare una soluzione particolare di un’equazione lineare di secondo ordine a coefficienti costanti non omogenea, si può procedere nel modo seguente. Prima si calcola la famiglia di soluzioni a due parametri dell’equazione omogenea, C1 u1 (t) + C2 u( t); quindi si cerca una soluzione dell’equazione non omogenea del tipo C1 (t)u1 (t) + C2 (t)u2 (t), con C1 (t) e C2 (t) funzioni da determinare che soddisfano la relazione C′1 (t)u1 (t) + C′2 (t)u2 (t) = 0. Con questo metodo determinare una soluzione particolare per le equazioni: (a) y′′ (t) + y(t) =

1 ; cos t

(b) y′′ (t) − 2y′ (t) + y(t) =

12et . t3

39 La Figura I.10 mostra un circuito RLC, cioè un circuito elettrico contenente un generatore di forza elettromotrice, E = E(t), un condensatore di capacità C, un resistore di resistenza R e una induttanza L, disposti in serie.

(g) y′′ + 4y = ex cos x; (h) y′′ + 2y′ = ex ; (i) y′′ − 2y′ + y = ex ;

(j) y′′ + y = (x2 + 1)ex .

36 Per le equazioni (a), (b), (e) dell’Esercizio 35 determinare la soluzione che soddisfa la condizione iniziale y(0) = 1, y′ (0) = 0 (giustificheremo l’esistenza e l’unicità di tale soluzione nel Capitolo VIII). 37 (Principio di sovrapposizione) Dimostrare che se x1 e x2 risolvono x′′1 + bx′1 + cx1 = f1 e x′′2 + bx′2 + cx2 = f2 , allora x1 + x2 è soluzione dell’equazione x′′ + bx′ + cx = f1 + f2 . Dedurre che le soluzioni di quest’ultima equazione sono tutte e sole le funzioni della forma x(t) = xo (t) + x1 (t) + x2 (t) con xo (t) soluzione dell’omogenea associata x′′ + bx′ + cx = 0. Trovare quindi le soluzioni delle seguenti equazioni:

Figura I.10 Se indichiamo con q = q(t) la quantità di carica e con i(t) l’intensità di corrente che attraversa il circuito allora q′ (t) = i(t). Inoltre la forza elettromotrice E(t) è pari alla differenza di potenziale agli estremi del generatore; ricordando che la differenza di potenziale tra le armature di un condensatore è q(t)/C, quella agli estremi della resistenza è Ri(t), mentre quella ai capi dell’induttanza è Li′ (t) si ottiene E(t) = Li′ (t) + Ri(t) +

q(t) . C

Esercizi

33

La corrente e la carica soddisfano quindi il sistema di equazioni lineari di primo ordine (con coefficienti costanti)  q(t) E(t) R  ′   − i(t) −  i (t) = L L LC    ′  q (t) = i(t). Determinare l’equazione lineare di second’ordine a coefficienti costanti soddisfatta da i(t). 40 Trasformare il sistema lineare di primo ordine ( ′ x (t) = ax(t) + by(t) y′ (t) = cx(t) + dy(t) in un’equazione lineare di second’ordine. Quindi, utilizzando questo procedimento, determinare le soluzioni del sistema ( ′ x (t) = 2x(t) + y(t) y′ (t) = x(t) + 2y(t). 41 Si consideri un circuito RLC dell’Esercizio 39 . Nel caso di un generatore di forza elettromotrice alternata, ovvero se E(t) = E0 sin(ω0 t), l’equazione diventa Li′′ (t) + Ri′ (t) +

1 i(t) = E0 ω0 cos(ω0 t). C

dove ϕ ∈ (−π/2, π/2) è lo sfasamento e l’intensità massima della corrente è data da i0 =

E0 , Z

con s Z=

  1 2 R2 + ω0 L − ω0 C

l’impedenza del circuito. ✩ 42 (Metodo di d’Alembert) Sia u(t) una soluzione di ay′′ (t) + by′ (t) + cy(t) = 0,

a, b, c ∈ R.

Dimostrare che se α(t) risolve aα′′ (t)u(t) + α′ (t)(2au′ (t) + bu(t)) = f (t) allora la funzione α(t)u(t) risolve l’equazione completa ay′′ (t) + by′ (t) + cy(t) = f (t). Questo metodo permette di determinare una soluzione di un’equazione lineare di secondo ordine non omogenea (si osservi che non è necessario che i coefficienti siano costanti, si veda l’Esercizio 43 ) a partire da una soluzione dell’omogenea, risolvendo un’equazione lineare di prim’ordine nella variabile α′ (t).

Si osservi l’analogia con l’equazione dell’oscillatore armonico studiato nell’Esercizio (I.7), svolto a pagina 24, quando E0 = 0; ritrovare i risultati dell’esercizio citato ✩ 43 Usare il Metodo di d’Alembert descritto nell’Eserponendo δ = R/2L e ω2 = 1/(CL). Verificare quindi che, cizio 42 per determinare una seconda soluzione delle nel caso generale E0 , 0, la funzione i(t) = i0 sin(ω0 t+ϕ) seguenti equazioni nota la soluzione u(t): risolve l’equazione se si pone (a) (1 − t2 )y′′ (t) − 2ty′ (t) + 2y(t) = 0, u(t) = t;   √ 1 1 ω0 L − , tan ϕ = (b) t2 y′′ (t) + ty′ (t) − 2y(t) = 0, u(t) = t 2 . R ω0 C

Eternal sunshine of the spotless mind! Each pray’r accepted, and each wish resign’d; Eloisa to Abelard A LEXANDER P OPE (1688–1744)

C APITOLO

II Successioni e serie di funzioni

Il suono si può scomporre in una somma di armoniche fondamentali, la luce può essere scomposta in uno spettro di molti colori. In moltissime applicazioni le quantità fisicamente rilevanti si decompongono in maniera naturale in somme di funzioni fondamentali. Le somme possono contare infiniti termini: parleremo allora di serie di funzioni. Gli elementi fondamentali, dal canto loro, possono essere monomi, nel caso delle serie di potenze

(dette anche di Taylor), oppure onde armoniche, nel caso delle serie di Fourier. In questo capitolo introdurremo e studieremo le proprietà di base delle serie di Taylor e di Fourier in vista delle loro possibili applicazioni fisiche. Successivamente introdurremo un concetto generale di fondamentale importanza, quello di convergenza uniforme, e ne analizzeremo le principali conseguenze teoriche.

Q

uando vogliamo risolvere un’equazione differenziale, o anche solo calcolare un integrale, e non siamo in grado di trovare le soluzioni in forma di una combinazione di funzioni elementari, possiamo pensare di ampliare l’insieme delle funzioni in cui lavoriamo, aggiungendone di nuove. Si tratta di un artificio molto vicino a quello che abbiamo già utilizzato nell’estendere l’insieme dei numeri razionali, aggiungendovi quei numeri con un allineamento decimale infinito, al fine di permettere la risoluzione dell’equazione x2 = 2. Allo stesso modo possiamo pensare di estendere la classe delle funzioni elementari, aggiungendovi le loro somme infinite: parleremo allora di serie di funzioni. (II.1) Esempio. Il nostro primo esempio di serie di funzioni è la funzione zeta di Riemann, definita da ζ(x) =

m ∞ X X 1 1 = lim . nx m→+∞ nx n=1

n=1

 Nel primo volume abbiamo tratta-

to lePserie numeriche, espressioni di tipo ∞ n=0 an dove ogni an è un numero reale. Ricordiamo che la somma di una serie è il limite della successione delle somme parziali, quando questo esiste finito, cioè ∞ m X X an = lim an ; n=0

m→+∞

n=0

si dice in questo caso che la serie converge, mentre se il limite vale +∞ o −∞ si dice che la serie diverge, altrimenti si dice che è indeterminata. Lo stesso si dirà per le serie di funzioni, la cui convergenza o meno dipenderà dal valore assunto dalla variabile x.

36

Successioni e serie di funzioni

Nel primo volume abbiamo studiato questo tipo di serie, le serie armoniche generalizzate di esponente x. Per studiare la loro convergenza abbiamo applicato il Criterio del confronto con l’integrale improprio, deducendo che queste serie convergono quando l’esponente x è maggiore di uno e divergono per x ≤ 1. In generale, data una serie di funzioni, ci saranno valori di x per cui la serie numerica corrispondente converge e altri per cui diverge o oscilla. L’insieme in cui converge si chiama insieme  di convergenza. (II.2) Esempio. Un esempio di fondamentale importanza nello studio di tutti i fenomeni ondulatori, nello studio delle vibrazioni di membrane elastiche e della trasmissione del calore, è la classe delle funzioni di Bessel, due delle quali sono definite tramite le serie seguenti J0 (x) =

∞ X (−1)n 2n x , 22n (n!)2 n=0

J1 (x) =

∞ X n=0

(−1)n x2n+1 . 22n+1 n!(n + 1)!

Come vedremo in seguito, tali funzioni risolvono l’equazione differenziale di Bessel 2 ′′

′

2

2

x y (x) + xy (x) + (x − ν )y(x) = 0,

F II.1: Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846).

per ν = 0 e ν = 1 rispettivamente. Le funzioni di Bessel sono somme infinite di combinazioni di potenze della variabile x, sono infatti della forma ∞ X cn x n n=0

dove (cn )n∈N è una successione di numeri reali assegnata. Le serie di potenze sono la naturale estensione della nozione di polinomio e di funzione elementare. Esse permettono di ampliare lo spettro delle funzioni note allo scopo principale di risolvere equazioni differenziali.  (II.3) Esempio. Se scegliamo come coefficienti della generica serie di potenze cn ≡ 1, otteniamo la serie geometrica di ragione x, a noi ben nota dal primo volume: ∞ X

xn .

n=0

La convergenza o meno della serie dipende dal valore assunto da x. Ad P n esempio la scelta x = 1/2 porta alla seriePconvergente ∞ 1/2 = 2, n=0 ∞ n mentre per x = 2 la serie corrispondente n=0 2 diverge a +∞. Più in generale, sappiamo che la serie geometrica è convergente per ogni valore di x in modulo minore di 1, mentre se |x| ≥ 1 la serie non è convergente. Abbiamo quindi ∞ X n=0

xn =

1 1−x

per |x| < 1.



F II.2: grafici delle funzioni di Bessel J0 e J1 .

P∞

qn è stata studiata nel primo volume. Dalla formula elementare per il calcolo di somme finite m X 1 − qm+1 qn = 1−q

 La serie geometrica

n=0

n=0

ricaviamo che la serie geometrica converge se e solo se |q| < 1 e la sua somma vale ∞ X 1 . qn = 1−q n=0

§ 1. Serie di potenze

Normalmente non sarà possibile studiare la convergenza di una serie di funzioni calcolandone esplicitamente le somme parziali per poi passare al limite. Utilizzeremo invece dei ragionamenti indiretti basati sui criteri di convergenza per le serie numeriche enunciati nel primo volume.

37

 Molti

di questi criteri sono brevemente richiamati nei commenti a fianco del testo.

(II.4) Esempio. Consideriamo la serie ∞ X

nxn

n=0

Osserviamo innanzitutto che la serie converge se x = 0, perché tutti i n termini in questo caso sono nulli. Fissiamo P∞ora x , 0 e poniamo an = nx : studiamo ora la convergenza della serie n=0 an . A questo scopo possiamo servirci del Criterio del rapporto: n+1 an+1 (n + 1)x n + 1 |x|. = an = nxn n Valutando il limite di questo rapporto troviamo n+1 an+1 = lim lim |x| = |x|. n→+∞ n→+∞ an n Il Criterio del rapporto garantisce la convergenza della serie per ogni valore di x tale che |x| < 1 e assicura la non convergenza se |x| > 1. Il Criterio non fornisce informazioni nel caso in cui il limite valga uno, cioè per x = −1 e x = 1. Possiamo però verificare direttamente che per tali P n valori di x laPserie non converge: per x = −1 si ha ∞ n=0 (−1) n mentre in x = 1 si ha ∞ n=0 n, e in entrambi casi è violata la condizione necessaria di convergenza. L’insieme di convergenza è quindi (−1, 1). 

§ 1. Serie di potenze (II.5) Definizione. Una serie di potenze è una serie di tipo ∞ X n=0

 Ricordiamo il Criterio del rapporto, che verrà utilizzato sistematicamente in queste pagine. Sia an , 0, e supponiamo che esista a lim n+1 = L. n→+∞ an P Se 0 ≤ L < 1 allora n an converge. P Se 1 < L ≤ +∞ allora n an non converge.

 Dunque la serie converge per −1
1 o x < −1.

 La Condizione necessaria per la convergenza di una serie afferma che X an converge =⇒ lim an = 0. n→+∞

In altre parole una serie i cui termini non tendano a zero non è mai convergente.

cn (x − x0 )n = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + ... + cn (x − x0 )n + ...

dove i numeri cn sono costanti reali chiamate coefficienti della serie e x0 ∈ R è il centro della serie, mentre x ∈ R è una variabile. Come abbiamo visto negli esempi, una serie di potenze può convergere per certi valori di x e non convergere per altri. Osserviamo che l’insieme di convergenza di una serie di potenze non è mai vuoto: infatti se x = x0 tutti i termini da uno in poi sono nulli e la serie converge in x = x0 (con somma c0 ).

 La

serie della definizione viene detta serie di potenze centrata in x0 . Benché non abbia senso la potenza 00 , si adotta la convenzione (x − x0 )0 = 1 anche quando x = x0 .

38

Successioni e serie di funzioni

(II.6) Esempio. Vogliamo stabilire per quali valori di x la serie ∞ X

n!xn

n=0

è convergente. Per scoprirlo fissiamo x , 0, definiamo an = n!xn e valutiamo il limite del rapporto |an+1 /an |: n+1 an+1 (n + 1)!x = |x|(n + 1) → +∞. an = n!xn

 Sicuramente

converge per x = 0 (è il centro della serie).

Grazie al Criterio del rapporto scopriamo che la serie non converge per alcun x , 0: l’insieme di convergenza in questo caso è ridotto al punto x = 0. 

 Non

si tratta di una serie qualunque: le sue somme parziali sono i polinomi di Taylor con centro nell’origine della funzione esponenziale f (x) = ex :

(II.7) Esempio. Mostriamo che la serie ∞ X xn n=0

n!

converge per ogni valore di x. Per x = 0, centro della serie di potenze, la serie converge con somma 1. Come negli esempi precedenti fissiamo ora x , 0 poniamo an = xn /n! e studiamo il rapporto |an+1 /an |. Risulta n+1 n! |x| an+1 x an = (n + 1)! · xn = n + 1 → 0.

Tm (x) =

m X f (n) (x0 ) (x − x0 )n . n! n=0

Vedremo fra poco che questa serie converge proprio alla funzione esponenziale stessa. Diverse funzioni che già conosciamo hanno la proprietà di essere la somma delle proprie serie di Taylor.

Questa volta il Criterio del rapporto garantisce la convergenza della serie per ogni x diverso da zero: dunque l’insieme di convergenza è tutto R.  È un fatto notevole che l’insieme di convergenza di una serie di potenze sia sempre un intervallo, centrato nel centro della serie x0 , eventualmente ridotto ad un solo punto o coincidente con R. Il teorema che segue afferma che questa situazione è del tutto generale. (II.8) Teorema. Data una serie di potenze sempre una delle seguenti situazioni

P∞

n=0 cn (x

 La dimostrazione si trova nell’approfondimento a pagina 39.

n

− x0 ) si verifica

① la serie converge solo per x = x0 ; ② la serie converge assolutamente per ogni x ∈ R; ③ esiste un numero reale R > 0 tale che la serie converge assolutamente per ogni valore di x con |x − x0 | < R e non converge per |x − x0 | > R. Si dice che la serie ha raggio di convergenza nullo nel primo caso, infinito nel secondo e R nell’ultimo caso.

 Ricordiamo che si dice che una serie converge assolutamente quando converge la serie dei P valori assoluti dei suoi termini n |an |. Abbiamo visto nel primo volume che la convergenza assoluta implica quella semplice (ma non viceversa).

§ 1. Serie di potenze

Dimostrazione del Teorema (II.8). Il teorema discende immediatamente dal Criterio del rapporto nel caso in cui esista il limite del rapporto |cn+1 /cn |, che però non è una ipotesi necessaria. Nel caso generale, la dimostrazione si basa sul seguente risultato. P n Proposizione. Se la serie numerica cn r , (r , 0) conP verge, allora la serie di potenze cn (x − x0 )n converge assolutamente per ogni x tale che |x − x0 | < |r|. P Dimostrazione. Siccome la serie cn rn converge, la successione dei suoi termini tende a zero, ed è pertanto una successione limitata: in altre parole, esiste una costante K > 0 tale che |cn rn | ≤ K per ogni valore di n. Dunque si ha n n (x − x0 ) x − x0 . |cn (x − x0 )n | = |cn rn | ≤ K rn r P x−x0 n r è una serie geoOsserviamo che la serie metrica di ragione |(x − x0 )/r| e dunque converge se

39

|(x − x0 )/r| < 1, ovvero se |(x − x0 )| < |r|. Il Criterio permette di concludere che anche P di confronto cn (x − x0 )n converge per |(x − x0 )| < |r|.  Grazie al precedente risultato, possiamo ora dimostrare il teorema in questione. Dimostrazione delPTeorema (II.8). Consideriamo ora la serie di potenze cn (x − x0 )n e studiamo la struttura del suo insieme di convergenza A. Se A = {x0 } oppure A = R ricadiamo nei primi due casi. Supponiamo allora che A contenga punti diversi da x0 ma non coincida con P l’asse reale: questo significa che esiste y , x0 tale che cn (y−x0 )n non converge. In base alla proposizione precedente A non può contenere alcun punto x tale che |x − x0 | > |y − x0 |: quindi A è un insieme limitato. Il raggio di convergenza è dunque l’estremo superiore R ≥ 0 dell’insieme dei numeri x − x0 = r ≥ 0 nei quali P la serie cn (x − x0 ) converge, ovvero X n o R = sup r ≥ 0 : cn rn converge .

Dunque l’analisi della convergenza di una serie di potenze si riconduce alla determinazione del suo raggio di convergenza. Nel caso questo sia finito (e non nullo), per completare lo studio è necessario ancora stabilire se la serie converge o meno agli estremi dell’intervallo di convergenza. (II.9) Esempio. La serie ∞ X xn n=1

La serie converge quindi per |x| < 1 e non converge per |x| > 1. Studiamo ora la convergenza agli estremi dell’intervallo (−1, 1). Per x = 1 troviamo la nota serie armonica divergente

n=1

1 n

(si veda anche l’Esempio (II.1) sulle serie armoniche generalizzate). Per x = −1 troviamo invece la serie a termini di segno alterno ∞ X (−1)n n=1

a determinare il raggio di convergenza, occorre dunque studiare le serie numeriche corrispondenti alla scelta x = x0 − R e x = x0 + R.

n

ha raggio di convergenza R = 1. Infatti, ponendo come al solito an = xn /n, per applicare il Criterio del rapporto calcoliamo n|x|n+1 an+1 = |x|. lim = lim n→+∞ an n→+∞ (n + 1)|x|n

∞ X

 Oltre

n

,

 Ricordiamo anche l’enunciato

del Criterio di Leibniz, utile per determinare la convergenza delle serie a termini di segno alterno Se bn è una successione decrescente che tende a zero allora la serie ∞ X (−1)n bn n=1

è convergente. P∞ n Inoltre, detta S = n=1 (−1) bn la somma della serie, si può stimare l’errore con il primo termine tralasciato: m X n (−1) bn ≤ bm+1 . |Rm | = S − n=1

40

Successioni e serie di funzioni

che converge per il Criterio di Leibniz riportato qui a fianco. In definitiva l’insieme di convergenza è l’intervallo aperto a destra [−1, 1).  L’esempio precedente suggerisce come derivare dal Criterio del rapporto per le serie una formula generale per la determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze. (II.10) Teorema. Il raggio di convergenza della serie di potenze P n n cn (x − x0 ) è cn (1) R = lim , n→+∞ cn+1

 Questo risultato è dimostrato nell’

Esercizio 2 a pagina 92. Si veda anche l’analogo Criterio della radice per la determinazione del raggio di convergenza, enunciato nell’Esercizio 3 .

sempre che il limite esista (eventualmente +∞). (II.11) Esempio. La serie di potenze ∞ X (x + 1)n (n + 1)2n n=0

ha centro in x0 = −1 e coefficienti positivi cn = 1/((n+1)2n). Applicando il Teorema (II.10) possiamo calcolare il raggio di convergenza R valutando il limite n+2 1 cn n+1 · 2 (n + 2) = 2. lim lim = lim = 2 n→+∞ n→+∞ cn+1 n→+∞ 2n (n + 1) n+1 Dunque R = 2 e l’insieme di convergenza è un intervallo di estremi x0 − R = −1 − 2 = −3 e x0 + R = −1 + 2 = 1. Dobbiamo ora studiare il comportamento della serie agli estremi di tale intervallo: ponendo P P∞ (−1)n (−2)n x = −3 troviamo la serie ∞ n=0 (n+1)2n = n=0 (n+1) ; si tratta di una serie armonica a termini di segno alterno, chePconverge per P il Criterio di Leib∞ 1 2n niz. Per x = 1 invece troviamo la serie ∞ n=0 n+1 , che è la n=0 (n+1)2n = nota serie armonica divergente. Possiamo ora concludere che l’insieme di convergenza è l’intervallo [−3, 1).  (II.12) Esempio. Per determinare il raggio di convergenza della serie di Bessel dell’Esempio (II.2) J1 (x) =

∞ X n=0

(−1)n x2n+1 , + 1)!

22n+1 n!(n

non possiamo applicare il Teorema (II.10) perché tutti i coefficienti cn di posto pari (corrispondenti cioè a potenze pari di x) sono nulli. Per studiare la convergenza della serie fissiamo dunque x, poniamo an = (−1)n x2n+1 /22n n!(n + 1)! e studiamo la convergenza della serie numerica

 Questo

esempio invita ad applicare con giudizio la formula per la determinazione del raggio di convergenza; infatti potrebbe porsi il caso che il limite non esista oppure che non abbia senso fare il rapporto dei coefficienti, perché infiniti fra essi di annullano, (come nel caso di serie che contengono solo termini dispari o pari). Questo non significa che il raggio di convergenza non esista (esso esiste sempre, eventualmente infinito) ma che la sua determinazione richiede un uso appropriato dei criteri di convergenza per le serie numeriche.

§ 1. Serie di potenze

41

Operazioni sulle serie di potenze

nell’intervallo di raggio r centrato in x0 , ovvero ∞ X f (x)+1(x) = (an +bn )(x−x0 )n , per ogni x ∈ (x0 −r, x0 +r).

Date due serie di potenze centrate nello stesso punto x0 , ∞ ∞ X X an (x − x0 )n e bn (x − x0 )n ,

Ciò non significa tuttavia che la serie somma abbia proprio r come suo raggio di convergenza (ad esempio, se an = −bn , la serie somma è sempre identicamente nulla e converge su tutto R). Nella situazione sopra descritta, per ogni x ∈ (x0 − r, x0 + r), il prodotto delle serie di potenze è la serie di potenze f · 1 definita mediante le formule seguenti: ∞  ∞  X  X  n n    f (x) · 1(x) =  an (x − x0 )   bn (x − x0 )  n=0 n=0  n  ∞ X ∞ ∞ X X X   i+j  = ai b j (x − x0 ) = ai bn−i  (x − x0 )n . 

n=0

n=0

n=0

possiamo definire una nuova serie di potenze, detta la somma delle due serie, i cui coefficienti sono le somme termine a termine dei coefficienti delle due serie: ∞ X (an + bn )(x − x0 )n . n=0

Indichiamo ora con f e 1 le somme delle due serie di potenze, ed r > 0 il più piccolo fra i due raggi di convergenza. È un semplice esercizio dimostrare che la serie delle somme converge alla funzione f + 1

n=0

i=0 j=0

i=0

Si vedano a questo proposito gli Esercizi 7 e 8 a pagina 92.

P

an , come abbiamo fatto nei primi esempi. Ora an , 0, perciò possiamo applicare il Criterio del rapporto. Risulta n+1 2(n+1)+1 22n n!(n + 1)! x2 an+1 (−1) x an = 22(n+1) (n + 1)!(n + 2)! · (−1)nx2n+1 = 4(n + 2)(n + 1) .

Osserviamo che per qualunque x si ha an+1 lim = 0 < 1. n→+∞ an Dunque per il Criterio del rapporto la serie converge sempre. Ne discende  che il raggio di convergenza è R = +∞.

Derivazione e integrazione della serie di potenze Per ogni x nell’intervallo di convergenza di una serie di potenze è definita la somma della serie: f (x) = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + c3 (x − x0 )3 + · · · =

∞ X n=0

cn (x − x0 )n .

In generale possiamo compiere diverse operazioni sulle serie di potenze: possiamo sommarle, moltiplicarle fra loro, elevarle ad una potenza, ottenendo sempre nuove serie di potenze. In questo paragrafo ci poniamo il problema di derivare ed integrare la somma di una serie di potenze. A

 Si

sopra.

veda l’approfondimento qui

42

Successioni e serie di funzioni

Le funzioni di Bessel e la diffrazione Vi è un limite teorico alla risoluzione degli strumenti ottici come cannocchiali o macchine fotografiche, dovuto alla diffrazione della luce passante attraverso l’obiettivo. Il fatto che la luce viaggi in linea retta è vero soltanto approssimativamente: nel passaggio attraverso una piccola apertura infatti, i raggi vengono deviati e interferiscono fra loro, con l’effetto di cancellarsi in qualche luogo e di sommarsi in altri. Per esempio la figura di diffrazione prodotta dal passaggio della luce attraverso un obiettivo circolare di diametro d produce una serie di anelli concentrici nell’intensità della luce stessa. Questi vengono chiamati dischi di Airy e corrispondono alle curve di livello minimo della funzione J12 (ρ)/ρ2 (si vedano gli Esercizi 13 e 23 a pagina 93) dove J1 è la funzione di Bessel di indice uno, definita nell’Esempio (II.2), il cui grafico è riportato (non in scala) qui sotto.

ghezza d’onda e f la distanza della schermo dall’obiettivo. Questo fenomeno diventa sempre più significativo al decrescere del diametro dell’apertura, relativamente alla lunghezza d’onda della luce e dà luogo ad un limite teorico per la risoluzione, comparabile con il raggio del primo disco di Airy. Lo stesso fenomeno si riscontra al passaggio della luce attraverso una lente (di un telescopio, per esempio).

Inoltre ρ = 2πrR/λ f , dove R è il raggio sul piano dell’immagine dal centro dell’obiettivo, λ è la lun-

questo fine è naturale chiedersi se la proprietà di linearità della derivata si possa estendere anche alle somme infinite di funzioni, e, in particolare, alle serie di potenze. In tal caso dovrebbe valere la formula f ′ (x) = c1 + 2c2 (x − x0 ) + 3c3 (x − x0 )2 + 4c4 (x − x0 )3 + . . . ∞ ∞ X X = ncn (x − x0 )n−1 = (n + 1)cn+1 (x − x0 )n . n=0

n=0

(II.13) Esempio. Conosciamo la somma della serie geometrica dell’Esempio (II.3), f (x) =

X 1 xn = 1 + x + x2 + x3 + . . . , = 1 − x n=0 ∞

definita in (−1, 1). Possiamo facilmente derivare la funzione f per ogni x ∈ (−1, 1); quindi abbiamo f ′ (x) =


2 1 = f (x) . 2 (1 − x)

 La

derivata di una somma finita di funzioni è infatti la somma delle derivate. Vedremo che questo non è sempre vero per tutte le somme infinite di funzioni, si vedano gli Esercizi 20 e 21 a pagina 94.

§ 1. Serie di potenze

43

D’altra parte, sappiamo anche calcolare il quadrato della serie geometrica (il calcolo è svolto nell’Esercizio (II.1) a pagina 73)  ∞ 2  2 X   xn  = 1 + x + x2 + x3 + . . .  n=0

= 1 + 2x + 3x2 + · · · =

∞ X

(n + 1)xn .

n=0

Quindi, in questo caso, la derivata della somma f coincide con la somma della serie che si ottiene derivando termine a termine la serie di potenze  di f . La situazione descritta nell’esempio corrisponde ad un fatto generale: è infatti possibile derivare e integrare tutte le serie di potenze all’interno dell’insieme di convergenza, nel senso precisato dal seguente teorema, la cui dimostrazione è rimandata al § 5. (II.14) Teorema. La somma di una serie di potenze f (x) =

∞ X n=0

cn (x − x0 )n = c0 + c1 (x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + c3 (x − x0 )3 + . . .

è derivabile (e quindi continua) nell’intervallo di convergenza (x0 −R, x0 + R). Inoltre risulta, per ogni x ∈ (x0 − R, x0 + R) (2)

f ′ (x) =

∞ X n=0

Z

(n + 1)cn+1 (x − x0 )n

x

x0

∞ X c n=1

n−1

n

(x − x0 )n

c2 c1 = c0 (x − x0 ) + (x − x0 )2 + (x − x0 )3 + . . . 2 3 I raggi di convergenza delle serie in (2) e (3) sono entrambi R. Osserviamo che le due formule si possono scrivere nella forma ∞  ∞  X d X d n [cn (x − x0 )n ], cn (x − x0 )  =  dx n=0 dx n=0  Z x X ∞ Z x ∞ X   n    [cn (t − x0 )n ] dt. cn (t − x0 )  dt =  x0

f ′ (x) =

∞ X n=0

ncn (x − x0 )n−1 .

= c1 + 2c2 (x − x0 ) + 3c3 (x − x0 )2 + 4c4 (x − x0 )3 + . . . f (t) dt =

(3)



n=0

n=0

x0

Z



x

f (t) dt = x0

∞ X cn (x − x0 )n+1 . n+1 n=0

 Il Teorema stabilisce che il raggio di convergenza è lo stesso per la serie di potenze, la serie delle derivate e quella degli integrali. Questo non significa che l’insieme di convergenza sia lo stesso per le tre serie: si veda a tal proposito l’Esercizio 21 a pagina 94. Se la serie converge in x0 ±R, allora la formula di integrazione vale anche con secondo estremo x = x0 ± R: si vedano i commenti a pagina 71, dove si discute la dimostrazione del Teorema (II.14). Osserviamo inoltre che questo risultato discende dal più generale Teorema (II.46).

44

Successioni e serie di funzioni

(II.15) Esempio. Vediamo come il teorema precedente si possa applicare per calcolare alcune serie di potenze a partire da altre serie di cui è nota la Si consideri ad esempio la serie geometrica di ragione −x, P∞somma. n n n=0 (−1) x . Sappiamo che ha raggio di convergenza R = 1 e somma 1/(1 + x): (4)

X 1 = (−1)n xn . 1+x ∞

n=0

Integrando il termine generale della serie si ha Z x xn+1 (−1)n tn dt = (−1)n n+1 0 e in corrispondenza Z x 1 dt = [ln(1 + t)]t=x t=0 = ln(1 + x). 0 1+t

 Il Lettore accorto avrà già ricono-

La formula (3) permette allora di dire che le due funzioni coincidono: (5)

ln(1 + x) =

∞ X

(−1)n

n=0

sciuto, nelle somme parziali m–sime della serie a secondo membro, lo sviluppo di Taylor di ordine m, centrato in 0, della funzione ln(1 + x).

n+1

x , n+1

x ∈ (−1, 1).

Se invece applichiamo la formula (2) e deriviamo termine a termine l’espressione (4) otteniamo la somma della serie che ha termine generale d n n n n−1 : dx (−1) x = (−1) nx ∞ X

(−1)n nxn−1 =

n=0

d 1 1 =− dx 1 + x (1 + x)2

per ogni x ∈ (−1, 1).



(II.16) Esempio. La formula (3) si può utilizzare per calcolare mediante una serie numerica alcuni integrali definiti di cui la funzione integranda non ammette una primitiva in forma elementare. Ad esempio possiamo calcolare Z 1 ln(1 + x) dx. x 0 Abbiamo appena visto che ln(1 + x) è la somma della serie di potenze P∞ n xn+1 n=0 (−1) n+1 nell’intervallo (−1, 1), quindi X ln(1 + x) 1 X xn+1 xn (−1)n (−1)n = = , x x n=0 n + 1 n=0 n+1 ∞

∞

x ∈ (−1, 1).

2

 Ad esempio e−x , sin x/x, ln(1 + x)/x, etc. Per una discussione su questo argomento si rimanda al Capitolo X del primo volume.

§ 1. Serie di potenze

45

Il Teorema di Abel

e dunque abbiamo, passando al limite per m → +∞:

A complemento dell’enunciato del Teorema (II.14) riguardante la continuità di una serie di potenze all’interno dell’intervallo di convergenza, abbiamo il seguente risultato: Teorema di Abel. Nella situazionePdel Teorema (II.14), supponiamo che la serie numerica cn Rn sia convergente. Allora X cn Rn . lim − f (x) = x→(x0 +R)

n

Un’applicazione immediata del Teorema è la seguente: poiché, in conseguenza del Criterio di Leibniz, la serie (5) converge anche per x = 1, deduciamo che +∞ X (−1)n+1 = lim− ln(1 + x) = ln 2 . x→1 n n=1 Dimostrazione. Con un cambio di variabile ci si può facilmente ricondurre al caso x0 = P 0 ed R = 1. Consideriamo le somme parziali sn = nk=0 ck . Poiché cn = sn − sn−1 , possiamo scrivere (ponendo s−1 = 0) m X

cn xn =

n=0

m X n=0

sn xn −

m X

sn−1 xn =

n=0

m X n=0

sn xn −x

m−1 X n=0

sn xn

f (x) = (1 − x)

+∞ X n=0

Sapendo anche che deduciamo che

sn xn , per |x| < 1.

P

f (x) − s = (1 − x)

n

xn = 1/(1 − x), per |x| < 1,

+∞ X (sn − s)xn . n=0

Poiché sn → s, per ogni ε > 0 esiste N tale che |s − sn | < ε/2 se n > N. Per tale N, stimiamo,per x vicino ad 1 N +∞ X X f (x) − s ≤ (1 − x) |sn − s| xn + (1 − x) |sn − s| xn n=0

≤ (1 − x)

n=N+1

N X

+∞ X ε |sn − s| xn + (1 − x) xn < ε , 2 n=0 n=N+1

a patto di scegliere δ > 0 tale che 1 − δ < x < 1 =⇒ (1 − x) Dunque limx→1− f (x) = s.

N X n=0

|sn − s| xn
0 tale che, nell’intervallo (x0 − r, x0 + r), f è la somma della sua serie di Taylor: ∞ X f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n = T (x) n! n=0

per ogni x in (x0 − r, x0 + r). (II.21) Esempio. Proviamo che f (x) = ex è sviluppabile in serie di Taylor in x0 = 0. Come già sappiamo, la serie di Taylor di f è ∞ ∞ X f (n) (0) n X xn x = . n! n! n=0 n=0

Abbiamo già visto nell’Esempio (II.7) all’inizio del capitolo che questa serie converge per ogni x ∈ R. Secondo la Definizione (II.20) dobbiamo verificare che, posto Rm (x) = f (x) − Tm (x) = f (x) −

m X f (n) (0) n x , n! n=0

 Sappiamo

già dal Corollario (II.17) che f deve essere indefinitamente derivabile.

 In altre parole, f (x) = lim Tm (x). m→+∞

 Si dice che una funzione è analitica in un intervallo se lo è in ogni punto dell’intervallo stesso.

 Infatti

f (n) (0) = e0 = 1 per ogni n.

50

Successioni e serie di funzioni

F II.4: polinomi esponenziale.

di

Taylor

della

funzione

allora limn→+∞ Rn (x) = 0. Dalla Formula di Taylor con resto di Lagrange abbiamo Rm (x) =

f (m+1) (ξ) m+1 eξ x = xm+1 , (m + 1)! (m + 1)!

da cui, essendo 0 < |ξ| < |x|, otteniamo 0 < |Rm (x)| ≤ e|x|

|x|m+1 . (m + 1)!

Come nell’Esempio (II.19), essendo x fissato, l’ultimo membro tende a 0 per m → +∞, perciò possiamo concludere che lim Rm (x) = 0,

m→+∞

∀x ∈ R.

Dunque la funzione f è sviluppabile in serie di potenze su tutto R e possiamo scrivere

(8)

ex =

∞ X xn n=0

n!

,

∀x ∈ R.

Il tipo di ragionamento visto nell’esempio può essere usato per stimare la differenza fra il valore di una funzione generica f con quello del suo polinomio di Taylor di ordine m, scrivendola come resto in forma di Lagrange. Nel caso generale otteniamo il seguente teorema. (II.22) Teorema (Criterio di sviluppabilità). Se f è dotata di derivate di ogni ordine in I = (x0 − r, x0 + r) ed esiste M > 0 tale che (9) f (n) (x) ≤ M n! r−n , per ogni x ∈ I e n ∈ N, allora f risulta sviluppabile in serie di Taylor centrata in x0 in I.

 La

dimostrazione del teorema è svolta nell’Esercizio 15 a pagina 93.

§ 2. Serie di Taylor

Serie a valori in C e funzione esponenziale complessa Le serie numeriche e di potenze trovano la loro collocazione naturale in campo complesso. Per parlare di convergenza di una serie di numeri complessi (anziché reali) occorre estendere il concetto di limite di una successione di numeri complessi cn ∈ C a c ∈ C: diremo che cn → c se per ogni ε > 0 esiste N tale che n > N ⇒ |cn − c| < ε,

dove | · | è il modulo di un numero complesso. In altre parole, la distanza nel piano tra cn e c è infinitesima per n P → ∞. Analogamente una serie di numeri complessi ∞ si dice convergente al valore n=0 cn dove cn ∈ C P n S se la successione sm = m n=0 c di numeri complessi ha limite S. Si verifica facilmente che la convergenza della serie a termini complessi cn = xP n +iyn è equivalenP∞ te alla convergenza delle due serie ∞ n=0 xn e n=0 yn . Inoltre anche per le serie a termini complessi la convergenzaPassoluta (cioè la convergenza della serie dei n moduli ∞ n=0 |c| ) implica la convergenza della serie. Consideriamo ora la serie di potenze ∞ X bn (z − z0 )n , bn , z0 ∈ C n=0

con coefficienti complessi e variabile z ∈ C. In base alle considerazioni precedenti è facile dimostrare l’analogo del Teorema (II.8), e si trova che l’insieme di convergenza è descritto dalla relazione |z − z0 | < R con R come in (1). Ovvero è un cerchio nel piano complesso centrato in z0 e raggio R se R > 0, è ridotto al solo z0 se R = 0 oppure tutto C se R = ∞. Questa osservazione permette di estendere al campo complesso tutte le funzioni analitiche che abbiamo

51

incontrato in questo capitolo. Ad esempio la serie ∞ X zn (10) ez = n! n=0 converge qualunqueP sia il numero complesso z; infatti |z|n la serie dei moduli ∞ n=0 n! è convergente (Esempio (II.10)) in tutto R. La somma di questa serie di potenze definisce una funzione da C a C, detta esponenziale complessa. In modo del tutto analogo, basandoci sulle formule (19) e (7), definiamo il seno ed il coseno di un numero complesso: ∞ ∞ X X z2n z2n+1 cos z = (−1)n sin z = (−1)n . (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 Ora, proviamo a calcolare l’esponenziale del numero complesso iz per z ∈ C. Ricordando che in vale ciclicamente (da n = 0) 1, i, −1, −i, abbiamo ∞ n n ∞ ∞ X X X i z z2n z2n+1 eiz = = +i . (−1)n (−1)n n! (2n)! (2n + 1)! n=0 n=0 n=0 Riconosciamo a destra le rappresentazioni in serie di cos z e sin z : abbiamo così dimostrato la Formula di Eulero eiz = cos z + i sin z, giustificando la definizione data nel primo volume di esponenziale di un numero complesso. Come vedremo nell’Esercizio 7 a pagina 92, si prova che ez · ew = ez+w

per ogni z, w ∈ C.

Di conseguenza troviamo le note formule per le funzioni circolari: sin(z + w) = sin z cos w + sin w cos z, cos(z + w) = cos z cos w − sin w sin z.

Si osservi che la condizione è sicuramente verificata se tutte le derivate di f sono (equi)limitate, cioè se esiste una costante K > 0 tale che per ogni x ∈ (−r, r) f (n) (x) ≤ K. Concludiamo il paragrafo con una osservazione: in tutti gli esempi che abbiamo visto la funzione considerata è uguale alla propria serie di Taylor. Ciò però non è vero in generale: esistono funzioni indefinitamente derivabili che non sono uguali alla propria serie di Taylor in un intervallo. Vedremo un esempio di questo fatto nell’Esercizio (II.4) a pagina 76.

 Più

in generale, la (9) è soddisfatta se per ogni n sufficientemente grande e per ogni x ∈ (−r, r) vale f (n) (x) ≤ Ln .

52

Successioni e serie di funzioni

§ 3. Soluzioni in serie Le serie di potenze vengono usate frequentemente per rappresentare alcune delle funzioni che si presentano in matematica, fisica e chimica. Ad esempio le serie dell’Esempio (II.12) a pagina 40 prendono il nome dall’astronomo tedesco Friedrich Bessel (1784-1846), che le incontrò nel risolvere l’equazione di Keplero al fine di determinare la legge oraria dei pianeti; da allora le funzioni di Bessel hanno trovato applicazione nello studio di una moltitudine di fenomeni fisici, come il moto di una membrana vibrante, la diffrazione, la propagazione del calore. Esse sono definite come soluzioni in serie dell’equazione differenziale di Bessel

A

tal proposito si veda anche l’approfondimento a pagina 84.

(11) x2 y′′ (x) + xy′ (x) + (x2 − ν2 )y(x) = 0, dove ν ∈ N è un parametro. Cerchiamo una soluzione della forma y(x) =

∞ X

cn x n .

n=0

Supponendo che il raggio di convergenza non sia nullo, possiamo utilizzare la formula (2) per calcolare le derivate y′ e y′′ nell’intervallo di convergenza: ∞ X y′ (x) = (n + 1)cn+1 xn = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + . . . ,

F II.5: convergenza della serie alla funzione di Bessel J0 .

n=0 ∞ X y′′ (x) = (n + 2)(n + 1)cn+2 xn = c2 + 3 · 2c3 x + 4 · 3c4 x2 + . . . . n=0

 Possiamo ancora scrivere

Da cui otteniamo ∞ X xy′ (x) = (n + 1)cn+1 xn+1 = c1 x + 2c2 x2 + 3c3 x3 + . . . ,

xy′ (x) = c1 x +

∞ X

(n + 2)cn+2 xn+2 .

n=0

n=0 ∞ X (n + 2)(n + 1)cn+2 xn+2 = c2 x2 + 3 · 2c3 x3 + . . . . x2 y′′ (x) = n=0

D’altra parte abbiamo x2 y(x) =

∞ X

cn xn+2 .

n=0

Sostituendo nell’equazione di Bessel con ν = 0, troviamo c1 x +

∞ X

[((n + 2)(n + 1) + (n + 2)) cn+2 + cn ] xn+2 = 0.

n=0

Dopo aver osservato che ((n + 2)(n + 1) + (n + 2)) = (n + 2)2 , ricaviamo ancora c1 x +

∞ h X n=0

i (n + 2)2 cn+2 + cn xn+2 = 0.

 Abbiamo raccolto i termini xn+2 .

§ 4. Serie di Fourier

53

Utilizzando il principio di identità delle serie di potenze (visto nell’approfondimento a pagina 49) otteniamo le condizioni: cn+2 = −

c1 = 0 ,

cn . (n + 2)2

Notiamo che tutti i coefficienti di posto dispari devono annullarsi: c1 = 0, c3 = −

c1 c3 = 0, c5 = − = 0, . . . 9 25

mentre quelli di posto pari sono determinati da c0 tramite la relazione di ricorrenza c2n c2n+2 = − , 4(n + 1)2

 Trattandosi

dei coefficienti pari, scriviamo 2n al posto di n.

da cui ricaviamo c2n =

(−1)n c0 . 22n (n!)2

 Per esempio ragionando per induzione.

Osserviamo infine che, ragionando come nell’Esempio (II.12), si dimostra facilmente che il raggio di convergenza della serie è infinito. Questo fatto giustifica l’uso della formula (2) in tutto R. Vediamo ora come modificare il ragionamento appena esposto per coprire il caso ν = 1. Sostituendo nell’equazione di Bessel otterremo stavolta c1 x +

∞ h X n=0

 Per ν

generico rimandiamo all’Esercizio 12 a pagina 93.

∞ X i cn xn = 0. (n + 2)2 cn+2 + cn xn+2 − ν2 n=0

Da cui otteniamo, dopo aver scorporato i primi due termini, −ν2 c0 + (1 − ν2 )c1 x +

∞ h X n=0

∞ X i cn+2 xn+2 = 0. (n + 2)2 cn+2 + cn xn+2 − ν2 n=0

Per ν = 1 ricaviamo quindi le condizioni cn+2 = −

c0 = 0 ,

cn . (n + 2)2 − 1

Stavolta si dovranno annullare tutti i coefficienti di posto pari mentre quelli di posto dispari soddisfano la relazione di ricorrenza c2n+3 = −

c2n+1 c2n+1 , =− 4(n + 1)(n + 2) (2n + 3)2 − 1

da cui possiamo infine dedurre l’espressione dei coefficienti di posto dispari c2n+1 =

(−1)n . 22n+1 n!(n + 1)!

F II.6: a Bessel è intitolato un cratere lunare nella parte meridionale del Mare Serenitatis.

54

Successioni e serie di funzioni

F II.8: a sinistra sono rappresentate alcune onde armoniche unidimensionali, φ(x, t) = A sin(kx − ωt + ϕ). Sull’asse orizzontale varia x, mentre ogni grafico corrisponde ad un valore di t fissato. Ad ogni istante t troviamo una funzione sinusoidale di x il cui profilo si sposta rigidamente sull’asse x al variare di t. A destra è riportato il grafico della funzione sin(10x) + sin(11x). Profilo della sovrapposizione delle onde armoniche sin(10x + ω1 t) e sin(11x + ω2 t) quando t = 0. Se le due onde si propagano con uguale velocità vedremo il profilo della figura viaggiare con la medesima velocità. Se invece le due onde viaggiano con velocità opposte di modo che le due frequenze abbiamo ugual modulo, ma segno opposto, cioè w1 = −ω2 = ω l’onda risultante sarà una onda stazionaria, di espressione sin(10x − ωt) + sin(11x + ωt) = 2(sin(10x) + sin(11x)) cos(ωt). In un’onda stazionaria quindi il profilo non si propaga orizzontalmente, ma oscilla verticalmente.

§ 4. Serie di Fourier Le serie di potenze hanno una importanza fondamentale in analisi, ma costituiscono una classe di funzioni inadatte ad alcune applicazioni. Per esempio, sono poco efficaci nell’approssimazione delle funzioni trigonometriche, nel senso che i polinomi approssimanti perdono la proprietà di periodicità, come risulta evidente dalla Figura II.3. D’altra parte, la periodicità caratterizza diverse funzioni di fondamentale interesse fisico, quali le onde acustiche, quelle elettromagnetiche e le vibrazioni elastiche. Inoltre, come abbiamo osservato nel Corollario (II.17), soltanto le funzioni estremamente regolari, che ammettano derivate di ogni ordine, possono venire sviluppate in serie di Taylor. Esse non si prestano quindi alla modellizzazione di fenomeni discontinui o impulsivi. Introduciamo in questo paragrafo le serie trigonometriche, o serie di Fourier dal nome del matematico che le introdusse nel ’700, e che hanno la proprietà di rappresentare funzioni più generali, addirittura discontinue, purché periodiche.

Funzioni periodiche e polinomi trigonometrici Moltissimi fenomeni fisici, da quelli acustici a quelli elettromagnetici, si possono rappresentare per mezzo di onde che si propagano viaggiando nello spazio. Una onda armonica unidimensionale elementare è una funzione della forma φ(x, t) = A sin(kx − ωt + ϕ).

F II.7: Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830).

 Ricordiamo che una funzione f è periodica di periodo T se vale la proprietà f (x + T) = f (x) per ogni x del dominio (si sottintende che anche x + T appartenga al dominio). È possibile pertanto disegnare il grafico di f su tutto il suo dominio a partire da quello su un intervallo di ampiezza T (ad esempio su [0, T) o su (−T/2, T/2]) per semplice replicazione e traslazione.

§ 4. Serie di Fourier

55

La quantità c = ω/k è la velocità di propagazione dell’onda lungo l’asse x, k è detto il numero d’onda, λ = 2π/k è la lunghezza dell’onda e f = ω/2π la frequenza. I massimi vengono detti cresta dell’onda di cui A è l’altezza o intensità e ϕ è la fase. Le onde elementari obbediscono al principio di sovrapposizione, cioè interagiscono semplicemente sommandosi in ogni punto; ciò può aumentare l’altezza in alcuni punti del profilo (interferenza costruttiva) e diminuirla in altri (interferenza distruttiva). Questi effetti sono visibili nella Figura II.8, a destra. La sovrapposizione di armoniche elementari con frequenza multipla di una fissata frequenza f , dà luogo a un polinomio trigonometrico di periodo 1/ f . Infatti, utilizzando le basilari formule di addizione per le funzioni trigonometriche, l’armonica elementare può essere espressa come A sin(kx + ϕ) = α cos kx + β sin kx con α = A sin ϕ e β = A cos ϕ. Per convenzione, lavoreremo con la frequenza fondamentale f = 1/2π. (II.23) Definizione. Un polinomio trigonometrico di ordine m è una funzione di periodo 2π di tipo m X

Pm (x) = a0 +

(an cos nx + bn sin nx) ,

n=1

dove i numeri an e bn sono detti coefficienti di Pm . (II.24) Esempio. Ovviamente sommando o sottraendo due polinomi trigonometrici otteniamo ancora un polinomio trigonometrico. Può sembrare strano, ma sono polinomi trigonometrici anche i prodotti di polinomi trigonometrici, e quindi tutte le potenze di seni e coseni e le loro combinazioni. Per esempio, abbiamo cos2 t =

cos(2t) + 1 2

cos(2t) cos t + cos t cos(3t) + 3 cos t = 2 4 cos(3t) cos t + 3 cos t cos t cos4 t = cos3 t cos t = 4 cos(4t) + cos 2t + 3 cos 2t + 3 cos(4t) + 4 cos 2t + 3 = . = 8 8 cos3 t = cos2 t cos t =

Più in generale, possiamo facilmente ricavare della formule di prostaferesi le uguaglianze seguenti, dette formule di Werner 1 [cos((n + m)x) + cos((n − m)x)] 2 1 (12) sin(nx) sin(mx) = [cos((n − m)x) − cos((n + m)x)] 2 1 sin(nx) cos(mx) = [sin((n + m)x) + sin((n − m)x)] . 2 cos(nx) cos(mx) =

F II.9: grafico di cos(2.5 sin(x) − x), periodica di periodo 2π.

 È facile vedere che le funzioni cos nx, sin nx sono 2π–periodiche per ogni n intero. Quindi anche ogni polinomio trigonometrico lo è, perciò d’ora in poi restringeremo lo studio di tali polinomi (e poi delle serie di Fourier) all’intervallo [−π, π].

 Qui

abbiamo utilizzato ripetutamente l’identità cos(x + y) + cos(x − y) . cos x cos y = 2

56

Successioni e serie di funzioni

F II.10: grafico di alcuni dei polinomi trigonometrici delle serie

X n6 cos nx X cos nx rispettivamente. e n! n3/2 n n

Tali formule giustificano l’affermazione che il prodotto fra due qualunque polinomi trigonometrici sia a sua volta un polinomio trigonometrico. Benché alcune funzioni possano essere polinomi trigonometrici sotto mentite spoglie, una volta smascherate possiamo asserire che esse determinano univocamente i coefficienti an e bn .  Possiamo estendere l’ambito dei polinomi trigonometrici prendendo in considerazione somme infinite anziché somme finite, in modo del tutto analogo a quanto abbiamo fatto passando dai polinomi alle serie di potenze. Tali serie verranno dette serie trigonometriche o serie di Fourier ed hanno la forma a0 +

∞ X

(an cos nx + bn sin nx) .

n=1

(II.25) Esempio. La serie trigonometrica ∞ X n6 cos nx n=1

n!

converge per ogni x ∈ [−π, π], come si può facilmente dedurre dal Criterio del confronto: n6 cos nx n5 = cn . ≤ n! (n − 1)! P Infatti si verifica facilmente che la serie ∞ n=1 cn è convergente, per esempio utilizzando il Criterio del rapporto. Notiamo che in generale i termini delle serie di Fourier non hanno segno costante. Faremo quindi sistematicamente ricorso alla nozione di convergenza assoluta ed ai criteri di convergenza relativi. Analogamente, anche la serie trigonometrica ∞ X cos nx n=0

n3/2

 Vale in fatti un principio

di identità dei polinomi trigonometrici : due polinomi trigonometrici definiscono la stessa funzione se e soltanto se hanno uguali coefficienti. Questo principio discende immediatamente dalle formule (14), (15) e (16), che vedremo tra qualche pagina, che legano i coefficienti an e bn agli integrali di f moltiplicata per le armoniche fondamentali.

§ 4. Serie di Fourier

Onde elettromagnetiche Le onde elettromagnetiche si trasmettono nello spazio alla velocità della luce (si veda l’approfondimento a pagina 361): perciò vengono largamente utilizzate per la trasmissione dei segnali nelle telecomunicazioni. Per segnali si intendono delle variazioni di grandezze fisiche che trasportano informazioni. Poiché la velocità c delle onde elettromagnetiche è costante, vi è una relazione fissa fra la lunghezza di un’onda e la sua frequenza: c = f λ. Un’onda elettromagnetica è quindi determinata dai tre parametri: altezza, frequenza e fase. Il termine modulazione indica la variazione nel tempo della forma di un’onda assegnata; nel campo delle telecomunicazioni è il sistema più comune per trasportare un segnale e consiste nel variare, nel tempo, i tre parametri che definiscono l’onda, a partire da valori prefissati (dell’onda cosiddetta portante); in altre parole, se la portante è definita da un’onda sinusoidale di ampiezza A, frequenza fp e fase ϕp : xp (t) = A cos(2π fp t + ϕp ), la modulazione di ampiezza (AM) consisterà nel prendere un’ampiezza variabile nel tempo A = A(t), come raffigurato nel grafico:

57

za (FM) consiste invece nel produrre una variazione nella frequenza dell’onda portante. Il primo sistema a modulazione di frequenza (FM) per le comunicazioni radio fu messo a punto nel 1936, dall’inventore statunitense Edwin H. Armstrong. Il principale vantaggio di questo sistema rispetto a quello a modulazione di ampiezza consiste nell’essere meno soggetto a scariche e interferenze. Detto xm (t) il segnale da trasmettere (ed immaginiamo che l’ampiezza sia piccola: |xm (t)| ≤ 1), il segnale modulato avrà espressione: ! Z t xt (t) = A cos 2π f (τ) dτ 0

= A cos 2π

Z th

i

!

fp + f∆ xm (τ) dτ

0

con f (t) = fp + f∆ xm (t). In questa relazione, f (t) è la frequenza istantanea dell’oscillazione e f∆ la sua deviazione rispetto alla frequenza della portante fp . La modulazione di un’onda portante sinusoidale da parte di un segnale sinusoidale a sua volta di frequenza inferiore si può scrivere come: xp (t) = A cos(2π fp t + β sin(2π fm t)) +∞ X =A Jn (β) cos(2π( fp + n fm )t) n=−∞

dove Jn (β) è la funzione di Bessel di prima specie (si veda l’Esercizio 12 a pagina 93).

La modulazione di ampiezza è stata la prima modulazione impiegata nelle trasmissioni via etere da Guglielmo Marconi agli inizi del secolo, in quanto la più facile da concepire e da realizzare, anche se è molto sensibile ai disturbi. La modulazione di frequen-

converge assolutamente per ogni x ∈ [−π, π]. Possiamo infatti maggiorare 1 cos nx n3/2 ≤ n3/2 e usufruire del Criterio del confronto, ricordando la convergenza della serie armonica generalizzata di esponente 3/2 > 1.  Il Lettore attento avrà già capito come formulare un semplice Criterio di convergenza per le serie di Fourier (che discende immediatamente del Criterio del confronto fra serie).

 Osserviamo che, apparentemente,

quest’ultima serie trigonometrica ha una cuspide in x = 0 (si veda la Figura II.10).

58

Successioni e serie di funzioni

(II.26) Teorema (Convergenza della serie di Fourier). Se ∞ X n=1

(|an | + |bn |) < +∞

allora le serie di Fourier a0 +

∞ X

(an cos nx + bn sin nx) converge

n=1

assolutamente per ogni x ∈ R.

Costruzione della serie di Fourier associata ad una funzione f Sia ora f (x) una funzione reale di periodo 2π. Ci proponiamo di stabilire se esista una serie trigonometrica la cui somma sia proprio f (x). Diremo allora che la funzione f è sviluppabile in serie di Fourier. A questo scopo procediamo come nel § 2 per la determinazione della serie di Taylor e cerchiamo di determinare quale sia la relazione che lega i coefficienti dei polinomi trigonometrici alla funzione somma. Supponiamo perciò che f sia sviluppabile in serie di Fourier, cioè che effettivamente (13) f (x) = a0 +

∞ X

 Per funzioni periodiche di periodo diverso da 2π si veda pagina 85.

(an cos nx + bn sin nx)

n=1

per ogni x in R e vediamo di determinare an e bn . A questo scopo seguiamo un procedimento dovuto a Fourier stesso; per determinare am con m fissato in N, consideriamo la (13), moltiplichiamo entrambi i membri per cos mx ed integriamo tra −π e π. Supponiamo nei nostri calcoli che la serie in (13) sia integrabile termine a termine Z π Z π f (x) cos mx dx = a0 cos mx dx+ −π

∞ X n=1

Z

π

an

−π

Z

sin nx cos mx dx .

cos nx cos mx dx + bn −π

!

π

 Vedremo

nell’Esercizio (II.12) alcune condizioni su f che assicurano di poter integrare termine a termine la sua serie di Fourier, analogamente a quanto visto per le serie di potenze nel Teorema (II.14).

−π

Osserviamo ora che gli integrali contenuti nella serie sono nulli o valgono π, in dipendenza dal valore di n. Valgono infatti le formule seguenti. (II.27) Formule di ortogonalità.  Z π   0 cos nx cos mx dx =   π −π  Z π   0 sin nx sin mx dx =   π −π Z π sin nx cos mx dx = 0, −π

n,m n = m(, 0), n,m n = m(, 0), ∀n ∈ N, m ∈ N.

 Le formule di ortogonalità si deducono immediatamente dalle formule di Werner (12) che, integrate fra −π e π danno sempre zero salvo quando n = m, nei primi due casi. Una dimostrazione alternativa, per chi non ricordasse le formule di prostaferesi, si può trovare nell’Esercizio 22 a pagina 94.

§ 4. Serie di Fourier

59

Grazie a queste formule scopriamo che l’unico integrale non nullo nella nostra espressione è quello corrispondente al coefficiente am e vale π. Si ricava così la relazione

(14) am =

1 π

Z

π

f (x) cos mx dx

m = 1, 2, 3, . . . .

−π

Il coefficiente a0 si ricava prendendo il valor medio della funzione

(15) a0 =

1 2π

Z

te in (14) e (16) si possono calcolare a partire da qualunque funzione f che sia integrabile, per esempio continua, oppure con un numero finito di discontinuità a salto, tra −π e π.

 L’unico

termine non nullo, integrando la funzione f su un periodo è proprio 2πa0 .

π

f (x) dx. −π

Utilizzando le formule di ortogonalità ricaviamo ancora 1 (16) bm = π

 Osserviamo che le costanti defini-

Z

π

f (x) sin mx dx,

m = 1, 2, 3, . . . .

−π

 La determinazione dei coefficienti

bm si ottiene in modo del tutto analogo, ma questa volta moltiplicando la serie di partenza (13) per sin mx invece che per cos mx: Z π f (x) sin mx dx −π

In questo modo abbiamo espresso i coefficienti di una serie di Fourier in funzione della sua somma f (x). Gli integrali (14) e (16) vengono detti coefficienti di Fourier di f . (II.28) Definizione. Sia f periodica di periodo 2π. La serie trigonometrica a0 +

∞ X

(an cos nx + bn sin nx)

n=1

con a0 , an e bn definiti in (15), (14) e (16) rispettivamente, si chiama serie di Fourier di f . La serie di Fourier di un polinomio trigonometrico è chiaramente il polinomio stesso, si veda a questo proposito anche l’Esercizio 37 a pagina 95. Indicheremo il polinomio di Fourier di grado m associato ad f con Fm (x) = a0 +

m X

(an cos nx + bn sin nx)

n=1

dove a0 , an , bn sono i coefficienti di Fourier di f . Osservazioni sul calcolo dei coefficienti di Fourier. Se f è periodica di periodo 2π i coefficienti della sua serie di Fourier si possono calcolare

Z = bm

π −π

sin2 mx dx = πbm .

Tutti gli altri integrali sono nulli per le formule di ortogonalità.

60

Successioni e serie di funzioni

integrando su un qualunque intervallo di ampiezza 2π. Infatti risulta, ∀a ∈ R, Z a+2π Z −π Z π Z a+2π f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx. a

−π

a

π

Nell’ultimo integrale si può effettuare la sostituzione x = t + 2π, ottenendo Z a+2π Z a Z −π f (x) dx = f (t) dt = − f (t) dt. −π

π

a

Quest’ultimo integrale si cancella col primo e rimane Z

Z

a+2π

π

f (x) dx =

f (x) dx. −π

a

Se f è pari, i coefficienti bn sono nulli: infatti la funzione f (x) sin nx è una funzione dispari dunque il suo integrale su un intervallo simmetrico (rispetto a x = 0) è nullo. Analogamente se f è dispari sono nulli i coefficienti a0 e an , risultando dispari la funzione f (x) cos nx. Dunque lo sviluppo di una funzione pari contiene solo coseni, quello di una funzione dispari è fatto soltanto di seni. (II.29) Esempio. Consideriamo la funzione f , periodica di periodo 2π, ottenuta prolungando il grafico di (x − π)2 su (0, 2π] (Figura II.12). Osserviamo che la funzione è continua su R ed è pari, dunque i coefficienti bn sono tutti nulli. Si ha invece Z 2π π2 1 1 [(x − π)3 ]2π = , (x − π)2 dx = a0 = 0 2π 0 6π 3

F II.11

e per n = 1, 2, . . . Z

2π

πan = 0

(x − π)2 cos nx dx

Z 2π 2π sin nx sin nx −2 (x − π)2 (x − π) dx n n 0 0 Z 2π  2π 4π 2 − cos nx 2 cos nx dx = 2 . =0− (x − π) − 2 n n n 0 n 0 

=

La serie di Fourier associata alla funzione è dunque X cos nx π2 . +4 3 n2 ∞

n=1

Alcune sue somme parziali sono rappresentate in Figura II.11.

F II.12



§ 4. Serie di Fourier

Convergenza della serie di Fourier In analogia all’analisi che abbiamo svolto nel caso delle serie di Taylor, affrontiamo ora il problema di stabilire sotto quali condizioni è vero che una funzione f (x) è uguale alla somma della sua serie di Fourier. Detti Fm i corrispondenti polinomi di Fourier ci chiediamo dunque: fissato x, è vero che lim Fm (x) = f (x)?

m→+∞

Per enunciare correttamente un risultato di convergenza per le serie di Fourier diamo la seguente definizione. (II.30) Definizione. Diciamo che la funzione f : [a, b] → R soddisfa la condizione (D) nell’intervallo [a, b] se esistono un numero finito di punti a ≤ x1 < x2 < · · · < xN ≤ b, tali che f è derivabile in (xi−1 , xi ) e esistono finiti i limiti limx→x+i f ′ (x) e limx→x−i f ′ (x), per ogni i = 1, . . . , N. Ad esempio soddisfano questa condizione √ tutte le funzioni studiate negli esempi precedenti; la funzione f (x) = x su [0, 1] non la √ soddisfa perché in x = 0 il limite da destra della derivata f ′ (x) = 1/(2 x) è +∞. Vale il seguente risultato. (II.31) Teorema (Convergenza puntuale della serie di Fourier.). Sia f una funzione periodica di periodo 2π, soddisfacente la condizione (D) della Definizione (II.30) in [−π, π]. Allora per ogni x ∈ R la serie di Fourier di f converge, e il suo valore in x è

61

 Possiamo

cercare di esaminare il problema della convergenza delle serie di Fourier utilizzando un software per disegnare i grafici di f e Fm per alcuni m. Se consideriamo la funzione “a gradino” dell’Esempio (II.32) i polinomi di Fourier ricostruiscono bene l’andamento del grafico di f , tranne nei punti di salto (Figura II.14). Dagli esempi analizzati sembra che la serie di Fourier di una funzione converga sempre e che in ogni punto x di continuità di f il valore della serie sia proprio f (x). Purtroppo questo risultato non è vero per una generica funzione continua: gli esempi però sono troppo complicati per essere trattati in questa sede.  Equivalentemente, f soddisfa la condizione (D) se la restrizione di f ′ a (xi−1 , xi ) è prolungabile con continuità all’intervallo chiuso [xi−1 , xi ].

 La dimostrazione di questo risultato è piuttosto complicata: verrà svolta in più tappe negli Esercizi 39 e 40 .

1 [ f (x+ ) + f (x− )] 2 dove f (x± ) = lim y→x± f (x) sono il limite destro e sinistro di f in x. Le funzioni che soddisfano la condizione (D) risultano quindi uguali alla propria serie di Fourier in ogni punto in cui sono continue; negli eventuali punti di discontinuità (necessariamente di tipo salto), i polinomi di Fourier di f tendono a regolarizzare la funzione e ad attribuirle il valore medio tra il limite destro e il limite sinistro di f : il punto medio del salto di f in x. (II.32) Esempio. La funzione “gradino”, detta anche onda quadra viene largamente utilizzata nelle trasmissione dei segnali digitali. È un segnale elettrico caratterizzato dall’avere solamente due stati possibili, zero e uno, cioè tensione assente o presente. Si tratta della funzione periodica di periodo 2π la cui restrizione all’intervallo (−π, π] è    0 x ∈ (−π, 0], ˜ f (x) =   1 x ∈ (0, π].

F II.13: nei punti di salto della funzione, si verifica il fenomeno di Gibbs: le somme parziali hanno delle rapide oscillazioni in vicinanza della discontinuità. Si veda a tal proposito l’Esercizio 36 .

62

Successioni e serie di funzioni

F II.14: grafico della funzione “gradino” ottenuta prolungando per periodicità 2π la funzione definita in (−π, π] come 0 per x ∈ (−π, 0) e 1 per x ∈ (0, π); di fianco alcuni suoi polinomi di Fourier.

 Osserviamo

che cos nπ assume valore +1 per ogni n pari, mentre è −1 se n è dispari: scriveremo quindi

Calcoliamo i coefficienti di Fourier: Z π Z π 1 1 1 a0 = f (x) dx = dx = , 2π −π 2π 0 2 Z π Z π  π 1 1 1 1 sin nx = 0, an = f (x) cos nx dx = cos nx dx = π −π π 0 π n 0 Z π Z π 1 1 f (x) sin nx dx = sin nx dx bn = π −π π 0  π 1 − (−1)n 1 1 1 − cos nx = = [− cos nπ + 1] = . π n πn πn 0

cos nπ = (−1)n

(è invece ovvio che sin nπ = 0 per ogni n intero).

Se n = 2k è un numero pari, allora bn = 0, se invece n = 2k + 1 è un 2 numero dispari, allora bn = πn ; in conclusione la serie di Fourier di f è 1 2 X sin(2k + 1)x + . 2 π 2k + 1 ∞

k=0

Essendo f costante a tratti (e quindi soddisfacente la condizione (D) della Definizione (II.30)), vale il teorema di convergenza puntuale in ogni punto, con somma [ f (x+ ) + f (x− )]/2; ad esempio in x = 0 la serie di Fourier vale 1/2, la media del “salto” di f in x = 0. Se x = π/2 si ha 1 = f (π/2) =

 L’onda

quadra contiene quindi tutte le onde armoniche fondamentali dispari, e la sua serie di Fourier è convergente, ma non assolutamente convergente. L’altezza della terza armonica è infatti un terzo di quella della prima, quella della quinta un quinto, etc.

1 2 X sin[(2k + 1)π/2] + 2 π 2k + 1 ∞

k=0

da cui

1 2

=

2 π

π=4

P∞

(−1)k k=0 2k+1 ,

e moltiplicando per 2π,

∞ X (−1)k . 2k + 1

 Questa

formula può essere utilmente usata per calcolare π con l’approssimazione desiderata!



k=0

§ 5. Convergenza uniforme La convergenza delle serie di potenze e delle serie di Fourier in un punto x ∈ R si riconduce, a livello teorico, all’esistenza del limite lim fn (x)

n→+∞

§ 5. Convergenza uniforme

Convergenza in media quadratica

I polinomi trigonometrici di Fourier godono di una proprietà importante che si può riassumere nel modo seguente: lo scarto quadratico medio tra f e un generico polinomio trigonometrico di ordine m è reso minimo dalla somma parziale m-esima della serie di Fourier associata ad f . Vale infatti il seguente: Teorema. Sia f periodica di periodo 2π una funzione soddisfacente la condizione (D) della Definizione (II.30) in [−π, π] e sia Fm la somma parziale m-esima della serie di Fourier associata ad f . Allora valgono le seguenti affermazioni: ① (Scarto quadratico medio) al variare di Pm (x), tra i polinomi trigonometrici di ordine m, la quantità Z π 1 | f (x) − Pm (x)|2 dx, 2π −π risulta minima per Pm = Fm ; ② (Disuguaglianza di Bessel) Z π ∞  X  1 | f (x)|2 dx ≥ 2a20 + a2n + b2n . π −π n=1

63

La dimostrazione di questi fatti segue da tecniche elementari, si veda il prossimo riquadro a pagina 64. In effetti, si può dimostrare (con strumenti niente affatto elementari e che esulano dagli scopi di questo libro) che la disuguaglianza di Bessel in realtà è una uguaglianza, nota col nome di identità di Bessel–Parseval   Z π ∞  X   | f (x)|2 dx = π 2a20 + a2n + b2n  . −π

n=1

Usando tale identità si arriva a dimostrare che la successione dalle somma parziali m-esime della serie di Fourier associata ad f converge in media quadratica ad f: Z π | f (x) − Fm (x)|2 dx = 0. lim m→+∞

−π

Questo importante risultato è vero per qualunque funzione periodica per la quale è possibile definire la serie di Fourier: ciò suggerisce che la convergenza “più naturale” per le serie di Fourier non è quella puntuale né quella uniforme, bensì la convergenza in media quadratica (si veda a tal proposito anche l’Esempio (IV.51) a pagina 185).

per successioni di funzioni fn che sono polinomi o polinomi trigonometrici di grado n. Consideriamo ora successioni di funzioni del tutto generali e ci poniamo il problema di stabilire per quali x la successione numerica fn (x) risulta convergente. (II.33) Esempio. Sia fn (x) =

nx2 . enx

Osserviamo che il denominatore ha un comportamento che dipende dal segno di x. Se x > 0 si ha limn→+∞ enx = +∞ e di conseguenza lim fn (x) = 0.

n→+∞

Se invece x è negativo il denominatore tende a 0 e concludiamo che il limite della successione è +∞. Se x = 0 si ha fn (0) = 0 ed essendo la successione identicamente nulla, il suo limite è 0. Riassumendo, la successione fn non converge per x < 0, mentre converge per x ≥ 0 alla funzione f (x) = 0. 

 Infatti, poiché x è fissato abbiamo t nx2 = x lim t = 0 , n→+∞ enx t→+∞ e come si può facilmente verificare applicando all’ultimo limite la Regola di del l’Hôpital, nota dal primo volume. lim

64

Successioni e serie di funzioni

Dimostrazione della disuguaglianza di Bessel. Se Fm è il polinomio di Fourier di ordine m associato ad f , è facile vedere, usando le formule di ortogonalità riportate a pagina 59, che Z π   f (x) − Fm (x) · Pm (x) dx = 0

Dato che il primo addendo non dipende da Pm la somma è minima quando Pm = Fm , e quindi vale ①. Per quanto riguarda ②, con calcoli analoghi si prova che   Z π m  2 X  2 2   f (x) · Fm (x) dx = π 2a0 + (an + bn ) e

−π

per ogni polinomio trigonometrico Pm di ordine m. Abbiamo quindi Z π  2 f (x) − Pm (x) dx = −π Z π  2 = f (x) − Fm (x) + Fm (x) − Pm (x) dx −π Z π Z π  2 f (x) − Fm (x) dx + [Fm (x) − Pm (x)]2 dx. = −π

−π

−π

Z

π −π

da cui

Z

n=1

  m  2 X  2 2   Fm (x) · Fm (x) dx = π 2a0 + (an + bn ) , n=1

π −π

| f (x) − Fm (x)|2 dx Z

π

= −π

  m X   | f (x)|2 dx − π 2a20 + (a2n + b2n ) , n=1

che, essendo il primo membro non negativo,equivale alla tesi.

(II.34) Definizione. Siano fn funzioni definite (almeno) su un insieme I ⊂ R. Se per ogni x ∈ I esiste il limite lim fn (x)

n→+∞

diciamo che la successione di funzioni fn converge puntualmente in I. La funzione f : I → R definita come f (x) = lim fn (x) n→+∞

si chiama funzione limite. (II.35) Esempio. Consideriamo in I = [0, 1] la successione fn (x) = xn . Fissando x in I si ha ( 0 x ∈ [0, 1) n lim x = 1 x=1 n→+∞ Quindi la successione fn converge puntualmente alla funzione f definita in I come f (x) = 0 per x , 1 e f (1) = 1. Osserviamo che, nonostante le funzioni fn siano continue, ciò non è più vero per il limite f .  La convergenza puntuale per successioni di funzioni è dunque una nozione troppo debole per mantenere nel passaggio al limite da fn a f alcune proprietà importanti, come la continuità (o la derivabilità). Per ovviare a questo, introduciamo la nozione di convergenza uniforme, che garantisce invece il passaggio al limite di molte proprietà, tra cui la continuità, l’integrabilità e, in un senso opportuno, la derivabilità.

 L’insieme di tutti gli x ∈ R in cui esiste il limite della successione, ovvero il più grande insieme in cui si ha convergenza puntuale, si chiama insieme di convergenza.

§ 5. Convergenza uniforme

65

F II.15: i grafici raffigurano il ruolo di ε nella convergenza uniforme, per due valori di ε. Il grafico di tutti gli elementi della successione fm , per ogni m sufficientemente grande, deve essere contenuto nella striscia di ampiezza ε intorno al grafico della funzione limite: {(x, y) ∈ R2 : x ∈ I, |y − f (x)| < ε}.

Quando una successione converge puntualmente nell’intervallo I, per ogni x fissato nell’intervallo, e per ogni ε > 0, possiamo trovare un indice N = N(x, ε) > 0 a partire dal quale fn (x) si discosta dal limite f (x) meno di ε: n > N ⇒ | fn (x) − f (x)| < ε. Può avvenire che l’indice di “soglia” N, a partire dal quale si ha | fn (x) − f (x)| < ε, dipenda effettivamente da ε e anche dal punto x prescelto. Ciò avviene, nell’Esempio precedente, in cui |xn | < ε , ⇐⇒ n >

ln ε ; ln x

ln ε l’indice N = N(ε, x) > ln x dovrà tendere all’infinito mano a mano che x si avvicina al valore uno. Se, al contrario, è possibile scegliere N indipendentemente da x ∈ I, allora la convergenza viene detta uniforme.

(II.36) Definizione. Diciamo che la successione di funzioni fn converge uniformemente in I ad f se risulta lim sup | fn (x) − f (x)| = 0,

n→+∞ x∈I

ovvero se per ogni ε > 0 esiste N = N(ε) > 0 tale che n > N ⇒ | fn (x) − f (x)| < ε,

∀x ∈ I.

Quando la convergenza è uniforme, l’indice soglia N = N(ε), a partire dal quale si ha | fn (x) − f (x)| < ε, dipende solo da ε e non dal punto x: vi è dunque una unica soglia N per tutti i punti x dell’intervallo. In particolare, se fn converge uniformemente a f allora vi converge anche puntualmente.

66

Successioni e serie di funzioni

Dal punto di vista grafico, l’affermazione “ fn converge uniformemente ad f in I” significa dire che il grafico di fn , per ogni n sufficientemente grande, è contenuto nell’insieme del piano {(x, y) : x ∈ I, |y − f (x)| < ε.} Come si vede nella Figura II.15, gli insiemi rappresentati sono striscie di larghezza ε intorno al grafico di f . (II.37) Esempio (Continuazione dell’esempio precedente). Come osservato, la convergenza non è uniforme in I: infatti N = N(ε, x) non può ln ε venire scelto in modo indipendente da x, poiché si deve avere N > ln x e 1/ ln x è arbitrariamente grande quando x si avvicina a 1. Nella Figura II.16, si vede che, fissato 0 < ε < 1, la striscia di ampiezza ε centrata in f è il rettangolo {(x, y) : 0 ≤ x < 1, −ε < y < ε} unito al segmento verticale {(1, y) : 1−ε < y < 1+ε}. I grafici delle funzioni fn non sono mai (per nessun indice n) contenute nella striscia, la convergenza quindi non è uniforme in [0, 1). La convergenza ad f risulta invece essere uniforme in ogni intervallo del tipo J = [0, a] con 0 < a < 1: su questo intervallo, infatti, il limite f è la funzione nulla e la scelta N = N(ε) = ln ε/ ln a va  bene per tutto l’intervallo. L’utilità della convergenza uniforme risulta evidente dai prossimi teoremi. (II.38) Teorema. Sia fn una successione di funzioni che converge uniformemente in I = [a, b] a una funzione f . Allora valgono i seguenti fatti. ➔ (Continuità del limite). Se le fn sono continue in I, anche f è continua in I. ➔ (Passaggio al limite sotto il segno di integrale). Se le fn sono continue in I allora vale la formula Z

Z

b n→+∞

fn (x) dx. a

(II.39) Teorema (Passaggio al limite sotto il segno di derivata). Se le fn sono derivabili in I con derivate fn′ continue in I, le fn′ convergono uniformemente in I ad una funzione 1 e le fn convergono puntualmente in almeno un punto x0 ∈ I allora le fn convergono su I ad f derivabile con derivata continua in I, e f ′ (x) = lim fn′ (x) = 1(x), n→+∞

 La convergenza uniforme delle fn permette di scambiare l’ordine fra l’operazione di limite rispetto all’indice n e le operazioni di passaggio limite rispetto alla variabile x/integrazione.

b

f (x) dx = lim a

F II.16: la convergenza di fn (x) = xn a f (x) = 0 non è uniforme in [0, 1): il grafico di fn non è contenuto nella striscia di raggio ε intorno al grafico di f . Il grafico delle fn ristrette a J = [0, a] è invece contenuto nella striscia {(x, y) : 0 ≤ x ≤ a, −ε < y < ε}, per ogni n abbastanza grande se 0 < a < 1.

per ogni x ∈ I.

 Per scambiare l’operazione di passaggio al limite rispetto da n e quella di derivazione è necessaria la convergenza uniforme delle derivate e quella puntuale, anche in un solo punto, delle funzioni.

§ 5. Convergenza uniforme

67

Abbiamo già osservato nell’Esempio (II.35) che una successione di funzioni continue può convergere puntualmente ad una funzione discontinua. Vediamo ora alcuni esempi che mostrano come la sola convergenza puntuale non sia sufficiente a garantire i passaggi al limite sotto il segno di integrale o di derivata. (II.40) Esempio. Sia I = [0, 1] e consideriamo la successione 2

fn (x) = 2nxe−nx . A x fissato la successione numerica fn (x) converge a 0, dunque fn converge puntualmente in I alla funzione f (x) = 0. Calcoliamo l’integrale definito di fn in I: Z

Z

1

1

fn (x) dx = 0

0

limk→+∞ ke−k = 0, come si verifica immediatamente usando il Teorema di De l’Hôpital.

 Infatti

h i 2 2 x=1 = 1 − e−n , 2nxe−nx dx = −e−nx x=0

perciò Z

1

fn (x) dx = lim 1 − e−n = 1.

lim

n→+∞

D’altra parte

n→+∞

0

R1 0

f (x) dx = 0 e

Z

1

f (x) dx = 0.

fn (x) dx ,

1 = lim

n→+∞

Z

1 0

0

In base al teorema appena visto possiamo concludere che la successione (di funzioni continue) non converge uniformemente su I. In effetti la Definizione (II.36) non è soddisfatta; se consideriamo ! r 1 2n −nx2 −nx2 sup |2nxe − 0| = max |2nxe | = fn √ = x∈I e 2n x∈I quest’ultima quantità diverge a +∞ quando n tende a +∞.



(II.41) Esempio. La successione di funzioni fn (x) =

1 sin nx, n

n→+∞

 L’estremo

superiore è in realtà un massimo, grazie al Teorema di Weierstrass ( fn è continua sull’intervallo chiuso e limitato); quindi studiando il segno della derivata prima di fn si trova che fn è massima in √ 1/ 2n.

x∈R

converge uniformemente a f (x) = 0 per ogni x ∈ R. Inoltre ogni fn è derivabile e fn′ (x) = cos nx su tutto R. Per vedere che l’affermazione f ′ (x) = lim fn′ (x)

F II.17: la successione 2 fn (x) = 2nxe−nx non converge uniformemente al suo limite.

per ogni x ∈ I.

è falsa, basta guardare cosa succede in x = 0, dove risulta fn′ (0) = 1 per  ogni n, e dunque limn→+∞ fn′ (0) = 1, mentre f ′ (0) = 0.

 Si

veda anche l’Esercizio (II.14) alla fine del capitolo per un esempio di limite uniforme di funzioni derivabili che non è derivabile.

68

Successioni e serie di funzioni

Convergenza uniforme per le serie Formalizziamo ora il concetto di serie di funzioni, già incontrato nel caso di serie di potenze e serie di Fourier: data una successione di funzioni fn definite su I, si chiama serie di funzioni l’espressione ∞ X n=0

fn = f1 + f2 + · · · + fn + · · ·

Il valore f (x) della serie di funzioni in x ∈ I è il valore della serie numerica P ∞ fn (x), ovvero il limite della successione delle somme parziali sm (x) = Pn=0 m n=0 fn (x) — se esiste. Dalle definizioni di convergenza puntuale e uniforme per successioni di funzioni si ricavano quindi immediatamente le corrispondenti convergenze per le serie di funzioni. (II.42) Definizione. Si dice che la serie a f in I se risulta lim

m→+∞

m X

fn (x) = f (x),

n=0

P∞

n=0 fn

converge puntualmente

∀x ∈ I.

La serie converge uniformemente a f in I se m X lim sup fn (x) − f (x) = 0. m→+∞ x∈I n=0 P Vale la pena di osservare che la serie ∞ n=0 fn (x) converge alla sua somma f (x) se e soltanto se la successione dei resti | f (x) − sm(x)| tende a 0, infatti ∞ m ∞ X X X 0 = lim | f (x)−sm (x)| = lim fn (x) − fn (x) = lim fn (x) . m→+∞ m→+∞ m→+∞ n=m+1 n=0 n=0 Sfruttando questa relazione possiamo caratterizzare la convergenza uniforme per le serie in un modo molto efficace e utile nelle applicazioni: P (II.43) La serie di funzioni ∞ n=0 fn converge uniformemente in I se e solo se è puntualmente convergente in I e risulta ∞ X fn (x) = 0. lim sup m→+∞ x∈I n=m P (II.44) Esempio. La serie ∞ n=1 fn con x fn (x) = 4 x + n4 converge x ∈ R, per confronto con la serie armonica generaP per ogni 4 lizzata ∞ 1/n . Mostriamo ora che la convergenza è uniforme in R. n=1

 L’insieme di tutti gli x ∈ R in cui la serie converge si chiama insieme di convergenza.

 Grazie a questa

caratterizzazione è possibile studiare la convergenza uniforme di una seria anche senza conoscere il valore della sua somma, cosa che è possibile calcolare in rarissimi casi. Ad esempio la somma della serie ∞ X x n=0

x4 + n4

non è nota, ma nell’Esempio (II.44) mostriamo che è uniformemente convergente su R sfruttando la Proposizione (II.43).

§ 5. Convergenza uniforme

69

Dimostrazione dei Teoremi (II.38) e (II.39) (Continuità del limite). Fissiamo x0 ∈ I e verifichiamo che f è continua in x0 . Per l’ipotesi di convergenza uniforme, fissato ε > 0 esiste N > 0 tale che | fn (x) − f (x)| < ε/3,

∀n > N, ∀x ∈ I.

Fissiamo n0 = N + 1 e scriviamo | f (x) − f (x0 )|

≤ | f (x)− fn0 (x)|+| fn0 (x)− fn0 (x0 )|+| fn0 (x0 )− f (x0 )|.

Grazie alla prima relazione otteniamo che

| f (x) − f (x0 )| ≤ ε/3 + | fn0 (x) − fn0 (x0 )| + ε/3.

Ora sfruttiamo la continuità in x0 della funzione fn0 : esiste infatti δ > 0 tale che |x − x0 | < δ ⇒ | fn0 (x) − fn0 (x0 )| < ε/3.

Sommando abbiamo che per x ∈ I

|x − x0 | < δ ⇒ | f (x) − f (x0 )| < ε,

e questa è proprio la continuità di f in x0 . (Passaggio al limite sotto il segno di integrale). Per la continuità del limite appena dimostrata, sappiamo che f è continua in [a, b] ed esiste dunque il suo integrale Rb f (x) dx. Inoltre vale la disuguaglianza a Z b Z b Z b [ f (x) − fn (x)] dx f (x) dx − fn (x) dx = a

a

Z

≤

a

a

b

| f (x) − fn (x)| dx.

Per l’ipotesi di convergenza uniforme, fissato ε > 0

esiste N > 0 tale che | fn (x) − f (x)| < ε, ˜

Dunque per ogni n > N possiamo continuare le maggiorazioni con Z b Z b Z b f (x) dx − f (x) dx ε dx = ε(b − a), n ≤ a

a

m→+∞

∞ X

a

da cui, per definizione di limite Z b Z b fn (x) dx = 0, f (x) dx − lim n→+∞ a a che implica la tesi. (Passaggio al limite sotto il segno di derivata). Applichiamo il Teorema di Valutazione ad ognuna delle fn′ : abbiamo, per ogni n Z x fn′ (t) dt = fn (x) − fn (x0 ), ∀x ∈ I, x0

dove fn (x0 ) → l per ipotesi. Dato che la successione fn′ converge uniformemente in I a 1(x), essa è continua e vale la formula di passaggio al limite sotto il segno di integrale, che porta a Z x lim fn (x) = lim fn (x0 ) + 1(t) dt, ∀x ∈ I, n→+∞

n→+∞

da cui

x0

Z

x

f (x) = lim fn (x) = l + n→+∞

1(t) dt, x0

∀x ∈ I.

Abbiamo scoperto che f è la funzione integrale di 1 su I: dunque il Teorema Fondamentale del Calcolo garantisce che f è derivabile e f ′ (x) = 1(x),

Chiamiamo P Mn = supx∈R | fn (x)|: se riusciamo a mostrare che la serie numerica ∞ n=1 Mn è convergente, la convergenza uniforme della serie di funzioni segue immediatamente applicando la Proposizione (II.43). Infatti la convergenza della serie di termine Mn si può formulare come lim

∀n > N, ∀x ∈ I.

Mn = 0.

n=m

Poiché per definizione si ha | fn (x)| ≤ Mn per ogni x ∈ R, risulta anche supx∈R | fn (x)| ≤ Mn e infine (dalla disuguaglianza triangolare del valore

∀x ∈ I.

70

Successioni e serie di funzioni

assoluto) ∞ ∞ ∞ X X X | fn (x)| ≤ Mn . fn (x) ≤ sup sup x∈R n=m x∈R n=m n=m Passando al limite per m → +∞ si ottiene proprio la convergenza uniforme della successione! Cerchiamo allora Mn , per n fissato. Questo significa calcolare l’estremo superiore della funzione | fn | in R: per questo è sufficiente cercare i punti di massimo locale e confrontare i valori di fn in quei punti coi limiti di fn a ±∞. Intanto osserviamo che fn è una funzione dispari, quindi basta studiarne il comportamento per x > 0, dove è positiva. Cominciamo col limite: lim

x→+∞ x4

x = 0. + n4

Cerchiamo ora gli estremi locali: essendo fn derivabile i punti candidati si trovano annullando la derivata di fn in x > 0: fn′ (x) =

3n4 − 3x4 x4 + 3n4 − 4x4 = . (x4 + n4 )2 (x4 + n4 )2

L’equazione fn′ (x) = 0 si risolve in x > 0 solo per x = n, dove risulta n 1 fn (n) = n4 +3n 4 = 4n3 . Possiamo quindi concludere che Mn =

1 , 4n3

∀n.

Essendo la serie di termine 1/n3 (serie armonica generalizzata) convergente, dalla discussione precedente la nostra serie di funzioni converge uniformemente in R.  Ripercorrendo l’argomento usato nell’Esempio precedente, si può dimostrare un risultato estremamente utile per studiare la convergenza uniforme di una serie di funzioni. (II.45) Teorema (Criterio di Weierstrass). Data la successione di funzioni fn definite in I, se esistono costanti positive Mn per cui ① | fn (x)| ≤ Mn ,

∀x ∈ I; P ② la serie numerica ∞ n=0 Mn è convergente; P allora la serie di funzioni ∞ n=0 fn (x) converge uniformemente in I. Concludiamo la trattazione teorica delle serie di funzioni osservando che i Teoremi (II.38) e (II.39) di passaggio al limite sotto il segno di derivata e di integrale per le successioni di funzioni implicano immediatamente la possibilità di derivare per serie e integrare per serie.

 Stiamo pensando n fissato!

§ 5. Convergenza uniforme

71

(II.46) Teorema (Teorema di derivazione e integrazione per serie). P Sia fn una successione di funzioni continue tale che ∞ n=0 fn converge uniformemente in I = [a, b]. Valgono i seguenti fatti. P∞ ① n=0 fn è continua in I. ② Vale la formula  Z b X ∞ ∞ Z b X    dx =  f (x) fn (x) dx. n   a a n=0

n=0

③ P Se le fn sono derivabili in I con derivate fn′ continue in I, e se la serie ∞ ′ n=0 fn converge uniformemente in I, allora la serie è derivabile con derivata continua in I e risulta ∞ ′ ∞ X X   =   f (x) fn′ (x), ∀x ∈ I. n   n=0

n=0

Convergenza uniforme della serie di potenze e della serie di Fourier In questo paragrafo analizziamo la convergenza uniforme delle due classi di serie di funzioni che abbiamo studiato in precedenza: le serie di potenze e le serie di Fourier. (II.47) Teorema (Convergenza uniforme della serie di potenze). Se la serie di potenze ∞ X n=0

cn (x − x0 )n

ha raggio di convergenza R > 0, allora converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato contenuto in (x0 − R, x0 + R). Dimostrazione. Se fissiamo un qualunque r ∈ (0, R) la serie valutata in x0 + r converge, dunque la successione numerica cn rn (essendo infinitesima) è limitata: esiste M > 0 tale che cn rn < M,

∀n ∈ N.

Prendiamo ora x ∈ [x0 − r, x0 + r]; risulta |cn (x − x0 )n | = |cn rn |

|x − x0 |n |x − x0 |n ≤ M , rn rn

e la serie di termine generale Mn = |x − x0 |n /rn è convergente, perché si tratta di una serie geometrica di ragione |x − x0 |/r < 1. Risultano così verificate le ipotesi

 Per quest’ultimo punto non è necessaria la convergenza uniforme della serie di partenza ma solo quella puntuale in almeno un punto.

72

Successioni e serie di funzioni

del Criterio (II.45) e la serie di potenze converge uniformemente nell’intervallo [x0 − r, x0 + r]. Ne segue la convergenza uniforme in ogni [a, b] ⊂ (x0 − R, x0 + R), è infatti possibile scegliere r positivo e minore di R tale che [a, b] ⊂ [x0 −r, x0 +r]. 

Abbiamo così scoperto che una serie di potenze converge uniformemente in ogni intervallo chiuso contenuto nell’insieme di convergenza: da questa proprietà discende immediatamente la dimostrazione del Teorema di integrazione e derivazione per serie di potenze (II.14), come caso speciale del Teorema generale (II.46). Per quanto riguarda le serie di Fourier di una funzione f la situazione è più complessa. Come abbiamo visto nel § 4, sappiamo garantire la convergenza puntuale della serie se f soddisfa la condizione (D) della Definizione (II.30) . Fortunatamente, basta aggiungere l’ipotesi che f sia continua per avere anche la convergenza uniforme. (II.48) Teorema (Convergenza uniforme della serie di Fourier). Sia f una funzione periodica di periodo 2π, come nella Definizione (II.30) in [−π, π] ma continua su R. Allora la serie di Fourier di f converge uniformemente in R.

 Grazie al Teorema di Abel discus-

so nell’approfondimento § 1, il secondo estremo di integrazione può coincidere con gli estremi dell’intervallo di convergenza.

 Stesse ipotesi del teorema di convergenza puntuale, in più si chiede che f sia continua su tutto R.

Dimostrazione. In base al Criterio (II.45) basta dimostrare che la serie (17)

∞ X n=1

(|an | + |bn |)

è convergente. Per ottenere questo risultato, consideriamo la funzione f ′ , che è periodica di periodo 2π, ed ha un numero finito di discontinuità di tipo salto in (−π, π]. La disuguaglianza di Bessel applicata ai coefficienti della serie di Fourier di f ′ (che indichiamo con a′n e b′n ) assicura che ∞  X  1Z π | f ′ (x)|2 dx < ∞. |a′n |2 + |b′n |2 ≤ π −π n=1

È facile vedere che sussiste la relazione nan = −b′n ,

nbn = a′n

∀n ∈ N

tra i coefficienti di Fourier di f e di f ′ . Sostituendo l’espressione di a′n e b′n nella relazione precedente, otteniamo la convergenza della serie ∞ X n=1

  n2 a2n + b2n < ∞.

Ora ci avvaliamo della disuguaglianza elementare, valida per ogni coppia di numeri reali x, y: 2xy ≤ x2 + y2 e maggioriamo 2|an | = 2 n|an | 1/n ≤ n2 a2n + 1/n2 . |{z} |{z} |{z} |{z} x

y

x2

y2

 Si veda l’Esercizio (II.11).

Esercizi

73

Analogamente si ha 2|bn | ≤ n2 b2n + 1/n2 . Ma allora la serie (17) risulta maggiorata dalla serie di termine generale n2 (a2n + b2n )+1/n2 , che è convergente perché somma di due serie convergenti. La serie (17)  converge quindi, per il Criterio del confronto, come volevamo dimostrare.

Come conseguenza del teorema possiamo dedurre ancora che, se f è continua e soddisfa la condizione (D) della Definizione (II.30), applicando il Teorema (II.46) è possibile derivare/integrare termine a termine la sua serie di Fourier per avere la serie di Fourier di f ′ o per calcolare un integrale definito di f .

Esercizi

 In

realtà vedremo che questo risultato per le serie di Fourier vale anche senza l’ipotesi di continuità per f , Esercizio (II.12).

(II.1) Utilizzando la serie geometrica dell’Esempio (II.3), dimostrare che: ∞ X 1 n 1 , per ogni x con |x| < |a|; x = n+1 a − x a n=0 ∞   X b−a 1 1 xn = − (b) , per |x| < |a| < |b|; n+1 n+1 (a − x)(b − x) a b n=0

(a)

(c)

∞ X n+1 n=0

an+2

xn =

1 , (a − x)2

per |x| < |a|.

Soluzione. La prima identità si ottiene sostituendo x con x/a nella serie geometrica: ∞  n X x n=0

a

=

1 1−

 Più precisamente, abbiamo lim

x,

|x| < |a|

m→+∞

m  n X x n=0

a

=

1 1−

x, a

|x| < |a|.

a

e dividendo entrambi i membri per a. Per la (b), osserviamo che se |x| < |a| ≤ |b| possiamo sottrarre le due serie ∞ X 1 1 n x = n+1 a − x a n=0

e

∞ X 1 n 1 x = n+1 b − x b n=0

ottenendo ∞   X 1 1 1 1 b−a − xn = − = . n+1 n+1 a − x b − x (a − x)(b − x) a b n=0

 Di

nuovo, più precisamente, sottraiamo le somme parziali per poi passare al limite.

74

Successioni e serie di funzioni

Per dimostrare l’ultima identità prendiamo le somme parziali della prima serie:  m+1 x m 1− X 1 n 1 a x = a n=0 an a−x

 Questa

parte dell’esercizio può sembrare un po’ ostica. È utile svolgerla proprio per sviluppare una maggiore padronanza nel calcolo delle somme finite.

e deriviamo rispetto ad x entrambi i termini. Otteniamo a sinistra 1 X n n−1 1 X n + 1 n X n + 1 n x x = x = a an a an+2 an+1 m

m−1

m−1

n=1

n=0

n=0

e destra invece −(m + 1)

 m  m+1 x 1 x (a − x) + 1 − a a a . 2 (a − x)

Quindi otteniamo l’uguaglianza m−1 X n+1 n=0

an+2

xn =

 m   1 m+1 x m x x − − . (a − x)2 a(a − x) a a(a − x)2 a

Se ora facciamo tendere m a +∞,  m|x| < a, otteniamo  mricordando che x x che (m + 1) tendono a 0. l’uguaglianza cercata, infatti sia a a (II.2) Determinare l’insieme di convergenza delle serie di potenze ∞ X (x − 1)n √ n n=1

e

∞ X n=1

xn . ln(1 + n)

Soluzione. Determiniamo il raggio di convergenza della prima serie utilizzando il Teorema (II.10): r n+1 cn R = lim = 1. = lim n→+∞ cn+1 n→+∞ n A questo punto il Teorema (II.8) garantisce la convergenza della serie per ogni valore di x tale che |x − 1| < 1 e assicura la non convergenza della serie se |x − 1| > 1. Essendo |x − 1| < 1 ⇔ −1 < x − 1 < 1 ⇔ 0 < x < 2, la serie converge per 0 < x < 2 e diverge se x > 2 o x < 0. Ci occupiamo ora della convergenza agli estremi dell’intervallo (0, 2). Cominciamo a studiare il primo estremo sostituendo √ nella serie il valore P direttamente n n, che converge per il x = 0. Si ottiene la serie numerica ∞ (−1) / n=1

 Il Teorema

(II.8) non fornisce informazioni sulla convergenza della serie agli estremi dell’intervallo (x0 − R, x0 +R), cioè nei punti x = 0 e x = 2.

Esercizi

75

Criterio di Leibniz. In corrispondenza al valore x = 2 si ha invece la serie √ P armonica generalizzata ∞ n=1 1/ n che non converge, perché l’esponente è inferiore di 1. Riassumendo, l’insieme di convergenza risulta essere l’intervallo [0, 2). La seconda serie è una serie di potenze centrata in 0, con coefficienti cn = 1/ ln(1+n). Anche in questo caso per determinare il raggio di convergenza possiamo sfruttare il risultato (II.10), essendo cn , 0. Dobbiamo quindi studiare il limite ln(2 + n) cn . lim = lim n→+∞ cn+1 n→+∞ ln(1 + n) Applicando la Regola di de L’Hôpital al quoziente delle funzioni ln(2+x) e ln(1 + x), si trova che il limite esiste ed vale 1. L’insieme di convergenza è dunque l’intervallo di estremi −1 e 1: vogliamo ora capire se negli estremi la serie converge. Cominciamo ponendo x = 1: si ottiene così la serie numerica ∞ X n=0

 Sulle serie armoniche generalizzate si veda anche l’Esempio (II.1).

 Si ha infatti lim

x→+∞

ln(2 + x) 1+x = lim = 1. ln(1 + x) x→+∞ 2 + x

1 ln(1 + n)

che è divergente grazie al Criterio del confronto con la serie armonica di termine 1/n (che sappiamo essere divergente). Essendo infatti ln(1 + n) ≤ n per ogni n ≥ 1, si ha 1 1 ≥ . ln(1 + n) n

 La funzione

logaritmo ln(1 + x) è infatti una funzione concava e y = x è la sua retta tangente nell’origine.

Se invece poniamo x = −1 troviamo la serie ∞ X n=0

(−1)n ln(1 + n)

che converge per il Criterio di Leibniz. Riassumendo, abbiamo mostrato che l’insieme di convergenza è [−1, 1). (II.3) Studiare la sviluppabilità in serie di Taylor delle funzioni arctan x e cos x. Soluzione. Per quanto riguarda la funzione arctan x, ricordiamo che la sua derivata è [arctan x]′ = 1/(1 + x2 ) e quindi possiamo servirci della serie di Taylor di 1/(1 + x2 ) e del Teorema (II.14) per avere immediatamente lo sviluppo richiesto, col vantaggio di non dover calcolare (e successivamente maggiorare) le derivate della funzione. Sappiamo che X 1 = (−1)n x2n , 1 + x2 n=0 ∞

∀x ∈ (−1, 1)

 Infatti an = 1/ ln(1 + n) tende a 0 decrescendo.

76

Successioni e serie di funzioni

F II.18: polinomi di Taylor della funzione coseno. Di nuovo, osserviamo che, per ogni m fissato il polinomio Tm è una buona approssimazione di cos x vicino all’origine, ma non lo è per grandi valori di x. Tuttavia, per ogni x il limm Tm (x) = cos x.

essendo 1/(1 + x2 ) la somma della serie geometrica di ragione −x2 . Basta ora integrare termine a termine la serie; per ogni x ∈ (−1, 1) si ottiene Z x ∞ Z x X dt = (−1)n t2n dt arctan x = 2 0 0 1+t n=0 possiamo quindi concludere che ∞ X x2n+1 (18) arctan x = (−1)n , 2n + 1

∀x ∈ (−1, 1).

n=1

Per studiare la sviluppabilità di cos x ricordiamo che abbiamo già mostrato nell’Esempio (II.19) che la funzione sin x è uguale alla sua serie di Taylor centrata in 0. Ragioniamo dunque in modo analogo e applichiamo il Criterio (II.22). Le derivate di ogni ordine di f (x) = cos x si trovano facilmente f (2n) (x) = (−1)n cos x,

f (2n+1) (x) = (−1)n+1 sin x,

e sono tutte limitate su R, risultando | f (k) (x)| ≤ 1,

∀x ∈ R.

Grazie al Criterio di sviluppabilità (II.22) possiamo allora affermare che cos x è la somma della sua serie di Taylor. Le sue derivate nell’origine sono f (2n+1) (0) = 0 e f (2n) (0) = (−1)n , quindi otteniamo

(19) cos x =

∞ X n=0

x2n , (−1) (2n)! n

 In

realtà potevamo giungere alla stessa conclusione sfruttando la formula (7) di sviluppo in serie della funzione sin x insieme al Teorema di derivazione per serie (II.46), osservando che cos x è la derivata di sin x. Vale quindi ∞  d X x2n+1  n cos x =  (−1)  dx  (2n + 1)!  n=0

∀x ∈ R.

=

=

(II.4) Verificare che la funzione ( −1/x e x>0 f (x) = 0 x≤0 non è sviluppabile in serie di Taylor.

∞ X n=0 ∞ X n=0

(−1)n

2n + 1 2n x (2n + 1)!

(−1)n

x2n . (2n)!

Esercizi

77

Soluzione. Cominciamo a verificare che f ammette tutte le derivate in 0 e che f (n) (0) = 0. Bisogna ricorrere alla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e ricordare che f risulta essere derivabile in 0 se e solo se esistono finiti e sono uguali i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in 0. Essendo lim+

h→0

f (0 + h) − f (0) 1 = lim+ e−1/h = 0, h h→0 h

 Per

calcolare il limite si usa la Regola di De l’Hôpital. Con la sostituzione x = 1/h si ha x = 0. lim x→+∞ ex

deduciamo che f ′ (0) = 0, infatti il limite sinistro è certamente nullo, essendo f costante quando x ≤ 0. Analogamente, per il calcolo di f (n) (0) si ricorrerà al limite del rapporto incrementale di f (n−1) : è dunque necessario calcolare le derivate di ogni ordine della funzione 1(x) = e−1/x per x > 0. Calcoliamo le prime quattro derivate 1′ (x) = e−1/x x−2   1′′ (x) = e−1/x −2x−3 + x−4   1(3) (x) = e−1/x 6x−4 − 6x−5 + x−6   1(4) (x) = e−1/x −24x−5 + 36x−6 − 12x−7 + x−8 Possiamo a questo punto congetturare che la derivata n-esima di 1 sia data da (20) 1(n) (x) = pn−1 (x)

e−1/x x2n

dove pn−1 è un polinomio di grado n − 1 nella variabile x. Per dimostrare questa formula possiamo sfruttare l’induzione matematica: essa è vera per n = 0 e supponendola vera per n − 1, dimostriamola per n. Si ha −1/x

d (n−1) e [1 (x)] = 2n dx x

  x2 pn−3 (x) + xpn−2 (2 − 2n) + pn−1 (x)

dove la parte in parentesi è un polinomio di grado n − 1: dunque la formula (20) è vera. A questo punto vogliamo dimostrare che f (n) (0) = 0. Procediamo ancora per induzione. Abbiamo già dimostrato che f ′ (0) = 0. Ora supponiamo che f (n−1) (0) = 0 (e quindi che f ammetta derivata (n − 1)-esima continua su tutto R) e calcoliamo il limite del rapporto incrementale destro di f (n−1) in 0, ovvero lim+

h→0

 Infatti

" # d e−1/x pn−2 (x) 2(n−1) dx x = pn−3 (x)

e−1/x x2n−2

+ pn−2 (x)(2 − 2n) + pn−1 (x)

e−1/x x2n−1

e−1/x 1 . x2n−2 x2

f (n−1) (0 + h) − f (n−1) (0) 1 pn−2 (h)e−1/h . = lim+ h h→0 h h2(n−1)

Tale limite risulta essere nullo grazie al Teorema di De l’Hôpital. Concludiamo quindi che tutte le derivate di f nell’origine esistono e sono nulle. P f (n) (0) n La serie di Taylor di f in x0 = 0 è dunque ∞ n=0 n! x = 0, cioè la funzione identicamente nulla. Ma 0 , e−1/x se x , 0, dunque f non è la somma della sua serie di Taylor in x , 0.

 Come nel caso precedente è sufficiente sostituire x = 1/h e applicare Teorema di De l’Hôpital un numero finito di volte.

78

Successioni e serie di funzioni

(II.5) Dati gli integrali Z

π 0

Z

sin x dx, x

1 0

arctan x dx x

verificare l’applicabilità del teorema di integrazione per serie e sfruttare il teorema per calcolarli. Quanti termini della serie basta sommare per ottenere un valore della somma approssimato a meno di 1/1000? Soluzione. Grazie allo sviluppo in serie di Taylor di sin x a pagina 48 possiamo scrivere sin x X x2n = (−1)n x (2n + 1)! ∞

n=0

Questa serie di potenze converge su tutto R e quindi si può applicare la formula di integrazione per serie (3) per valutare l’integrale su [0, π] Z

π 0

X 1 sin x (−1)n dx = x (2n + 1)! n=0 ∞

=

∞ X n=0

(−1)n

Z

1

x2n dx 0

2n+1

π . (2n + 1)!(2n + 1)

L’ultima serie è una serie numerica a segni alterni e infinitesimi per n → +∞: il Criterio di Leibniz ne garantisce la convergenza e stabilisce che arrestando la somma al termine an si commette un errore che è in modulo inferiore a an+1 . Per avere una stima della somma della serie con un errore inferiore a 1/1000 basta quindi considerare il primo intero n per cui risulta 1 π2n+1 < . (2n + 1)!(2n + 1) 1000 Si trova facilmente (con l’aiuto di una calcolatrice!) che il primo intero utile è n = 5: la stima richiesta dell’integrale è 4 X n=0

(−1)n

π2n+1 ∼ 1.852. (2n + 1)!(2n + 1)

Per calcolare il secondo integrale ricordiamo lo sviluppo in serie di Taylor della funzione arctan x visto nell’Esempio (II.3) e moltiplicando per 1/x abbiamo arctan x X x2n = , (−1)n x (2n + 1) ∞

n=1

∀x ∈ (−1, 1).

Esercizi

79

Grazie al Criterio di Leibniz la serie di potenze converge anche per x = 1 e possiamo applicare la formula di integrazione per serie (3) sull’intero intervallo [0, 1]: Z 1 Z 1 ∞ ∞ X X arctan x 1 1 dx = (−1)n x2n dx = (−1)n . x (2n + 1) 0 (2n + 1)2 0 n=0 n=0

 Si veda il commento a pagina 43.

Anche in questo caso possiamo stimare la somma della serie col Criterio di Leibniz: basta trovare il primo intero n per cui risulta 1 1 . < 2 1000 (2n + 1) Si trova n = 16 e la corrispondente stima del valore dell’integrale Z 1 15 X 1 arctan x ∼ 0.915 dx ∼ (−1)n x (2n + 1)2 0 n=0 (II.6) Determinare le soluzioni in serie di potenze dell’equazione di Airy: y′′ (t) − ty(t) = 0. Soluzione. Vogliamo determinare i coefficienti della serie y(t) =

∞ X

an t n .

n=0

Secondo la formula di derivazione delle serie di potenze (2), la derivata seconda di y è la serie ′′

y (t) =

∞ X

F II.19: George Biddell Airy (1801–1892).

 Si ha infatti n

(n + 2)(n + 1)an+2 t .

y′ (t) =

n=0

∞ X n=0

nan tn−1 =

an tn+1 =

∞ X

an−1 tn .

n=2

n=1

n=0

n

=

(n + 2)(n + 1)an+2 t −

∞ X

∞ X n=1

∞ X

(n + 2)(n + 1)an+2 tn .

n=0

an−1 tn = 0.

n=1

In questo modo possiamo facilmente raccogliere la potenza n-esima di t, ma abbiamo ancora un problema: la seconda serie comincia con n = 1, mentre la prima con n = 0. Perciò scorporiamo il termine di indice n = 0: 2a2 +

(n+1)an+1 tn ,

e, derivando una seconda volta, ∞ X y′′ (t) = n(n − 1)an tn−2

Imponendo che valga l’equazione differenziale otteniamo ∞ X

∞ X n=0

n=1

D’altra parte abbiamo ty(t) =

∞ X

( (n + 2)(n + 1)an+2 − an−1 ) tn = 0.

 Ovviamente si scrive ∞ X (n + 2)(n + 1)an+2 tn = n=0

2 · 1 · a2 +

∞ X n=1

(n + 2)(n + 1)an+2 tn .

80

Successioni e serie di funzioni

La serie di potenze a primo membro è identicamente nulla: se tutti i suoi coefficienti si annullano, ovvero ( 2a2 = 0

 In

(n + 2)(n + 1)an+2 − an−1 = 0,

per n = 1, 2, 3, . . .

Troviamo quindi le relazioni fra i coefficienti della serie:   a2 = 0    an−1     an+2 = (n + 1)(n + 2) , per n = 1, 2, 3, . . . Possiamo concludere che i termini a2 , a5 , a8 , . . . si annullano: cioè a3n+2 = 0,

conseguenza del Principio di identità delle serie di potenze visto nell’approfondimento a pagina 49. Abbiamo: a0 . a3 = 2·3 Continuiamo: a a4 = 1 3·4 a2 =0 a5 = 4·5 a0 a6 = . (2 · 3)(5 · 6)

per n = 0, 1, 2, 3, . . .

I termini a3 , a6 , a9 , . . . sono invece multipli di a0 , ovvero, a3n =

1 · a0 , (2 · 3)(5 · 6) · · · ((3n − 1) · (3n))

per n = 1, 2, 3, . . .

E infine i termini a4 , a7 , a10 , . . . sono multipli di a1 : a3n+1 =

1 · a1 , (3 · 4)(6 · 7) · · · ((3n) · (3n + 1))

per n = 1, 2, 3, . . .

Abbiamo trovato una famiglia di soluzioni dipendenti dai parametri a0 e a1 (che sono in effetti i valori di y(0) e di y′ (0)). Queste funzioni prendono il nome di funzioni di Airy. (II.7) Dimostrare che, per ogni p ∈ R, la serie di Taylor centrata in 0 della funzione f (x) = (1 + x)p è ! ∞ X p n x , n n=0 e determinarne il raggio di convergenza.

F II.20: grafico di due delle funzioni di Airy.

I

coefficienti binomiali sono definiti, per ogni p reale, come ! p(p − 1) . . . (p − n + 1) p = n n!

per ogni n =
1, 2, 3, . . . , se invece n = 0 si pone np = 1.

Soluzione. Cominciamo a calcolare la serie di Taylor della funzione; servono le derivate di ogni ordine di f , che valgono f (n) (x) = p(p − 1) . . . (p − n + 1)(1 + x)p−n quindi f (n) (0) = p(p − 1) . . . (p − n + 1) e la serie di Taylor di f è ! ∞ X p n x . n n=0 Osserviamo ora che se p è un intero la serie
si riduce a un polinomio di ordine p perché i coefficienti binomiali np sono nulli per ogni n > p. Se

 Per p ∈ N quindi non c’è nulla da dimostrare!

Esercizi

81

p < N, i coefficienti della serie sono tutti diversi da zero, e per studiare l’intervallo di convergenza della serie calcoliamo p
n+1 p − n
= . n + 1 p n

Il limite per n → +∞ di questo rapporto è 1 e possiamo concludere grazie al Teorema (II.10) che R = 1. (II.8) Dimostrare che √

1+x=

! ∞ X 1/2 n x , n n=0

∀x ∈ (−1/2, 1/2).

Soluzione. Conosciamo dall’Esercizio precedente la serie di Taylor della funzione. Per cercare di mostrare che la somma della serie è proprio f nell’intervallo (−1/2, 1/2), possiamo rifarci al Criterio di sviluppabilità (II.22). Dobbiamo allora riuscire a controllare le derivate di f in modo indipendente da x, precisamente vogliamo la stima | f (n) (x)| ≤ Mn!r−n , per ogni x ∈ (−1/2, 1/2), con r = 1/2. Abbiamo √ 1 · 3 · . . . · (2n − 3) 1 + x 113 2n − 3 (n) 1/2−n | f (x)| = . ... |1 + x| ≤ 222 2 2n (1 + x)n Non è difficile convincersi che 1 1 3 5 2n − 3 (n − 1)! n! < . · · ≤ · ...· 2 2 2 2 2 4 4 |{z} |{z} |{z} |{z} | {z } ≤1/2

≤1/2

≤2

≤3

≤n−1

Inoltre, poiché x ∈ (−1/2, 1/2), avremo 1/2 < 1 + x < 3/2 e dunque √ p 1+x ≤ 2n 3/2 . n (1 + x) √ In definitiva, posto M = 3/32 ed r = 1/2 troviamo | f (n) (x)| ≤ Mn!r−n , come richiesto per poter applicare il Criterio (II.22) in (−1/2, 1/2). (II.9) Determinare la serie di Fourier della funzione periodica di periodo 2π la cui restrizione all’intervallo (−π, π] è f (x) = x2 . Dimostrare che la somma della serie di Fourier è f (x) in ogni x ∈ R e sfruttare il risultato per mostrare che ∞ X 1 π2 = 6 n2 n=1

e

∞ X (−1)n n=1

n2

=

π2 . 12

 Vedremo nell’Esercizio 16 che la formula in realtà è valida per ogni x in (−1, 1); più in generale mostreremo che ! ∞ X p n x ∀x ∈ (−1, 1). (1+x)p = n n=0

per ogni p ∈ R. La dimostrazione è però piuttosto complicata, poiché il Criterio (II.22) si rivela in questo caso inadeguato.

82

Successioni e serie di funzioni

Soluzione. Risulta chiaro che f è una funzione pari, e questo permette subito di concludere che i coefficienti di Fourier bn definiti a pagina 59 sono nulli. Il coefficiente a0 si ottiene immediatamente Z π 1 1 x2 dx = π2 , a0 = 2π −π 3 mentre per il calcolo di an occorre integrare per parti due volte: Z π Z π   π sin nx sin nx π − an = 2x dx x2 cos nx dx = x2 2 n 0 n 0 0 Z   2π 2 cos nx π 2 π cos nx + dx = 2 cos nπ. =0− −x − n n n 0 n n 0 Ricaviamo quindi (−1)n n2

an = 4

e la serie di Fourier associata a f è dunque X (−1)n π2 cos nx, +4 3 n2 ∞

∀x ∈ R.

n=1

 OsserviamoPche |an | ≤ 4/n2

e poiché la serie 1/n2 è convergente, per il criterio di Weierstrass questa serie converge uniformemente su R.

La funzione f verifica le ipotesi del Teorema di convergenza puntuale (II.31): infatti in (−π, π) è derivabile con f ′ (x) = 2x; agli estremi dell’intervallo esistono finiti i limiti lim f ′ (x) = −2π,

lim f ′ (x) = 2π

x→π−

x→−π+

e dunque f soddisfa la condizione (D) della Definizione (II.30). Inoltre è continua su R e dunque dal Teorema (II.31) si ha l’uguaglianza f (x) =

X (−1)n π2 +4 cos nx, 3 n2 ∞

n=1

∀x ∈ R.

In particolare, per x = π si trova f (π) = π2 =

X (−1)n π2 cos nπ +4 3 n2 ∞

n=1

l’uguaglianza di Parseval vista nell’approfondimento a pagina 63 è utile per calcolare la somma di serie numeriche. Dalla relazione ∞  X  1 Z π a2n +b2n = | f (x)|2 dx−2a20 , π −π n=1

otteniamo Z π ∞ X 1 1 2 = 16 x4 dx − π4 4 π −π 9 n n=1 e poiché l’integrale vale

ovvero ∞

n=1

Con la scelta x = 0 si può calcolare la somma della serie ∞ X (−1)n

n2

=−

2 4 5π

∞ X π4 1 = . 4 90 n n=1

π2 X 1 = . 6 n2

n=1

 Anche

π2 . 12

(Per il calcolo della stessa serie si veda anche l’Esercizio 32 ).

Esercizi

83

(II.10) Determinare la serie di Fourier della funzione f periodica di periodo 2π la cui restrizione a (−π, π] è definita da f˜(x) = x,

x ∈ (−π, π].

Studiare quindi la convergenza puntuale della serie trovata.

F II.21

Soluzione. La funzione da studiare è detta “a dente di sega” ed è disegnata in Figura II.21. Osserviamo che essendo f dispari, i coefficienti an sono nulli per ogni n = 0, 1, 2, . . . . Per calcolare bn scriviamo Z π Z 2 π 1 x sin nx dx = x sin nx dx bn = π −π π 0 Z  π π 1 2 2 − x cos nx + cos nx dx = π n πn 0 0 π  2 2 1 2 = − π cos nπ + sin nx = − cos nπ. nπ πn n n 0 Abbiamo trovato che la serie di Fourier di f è 2

∞ X (−1)n+1 n=1

n

sin nx.

Per studiare la convergenza della serie usiamo il Teorema (II.31); possiamo concludere che la funzione “dente di sega” è uguale alla sua serie di Fourier in ogni x ∈ (−π, π), essendo f derivabile in questo intervallo. Invece in x = π, dove f non è continua, si ha che la serie di Fourier ha somma [ f (π+ ) + f (π− )] = [(−π) + (π)]/2 = 0 , f (π) = π. (II.11) Sia f periodica di periodo 2π continua in [−π, π] e soddisfi la condizione (D) della Definizione (II.30). Dimostrare che si ha nan = −b′n ,

nbn = a′n ,

∀n ∈ N

dove a′n e b′n sono i coefficienti di Fourier della funzione derivata f ′ e an , bn quelli di f . Soluzione. Le proprietà sono facile conseguenza della formula di integrazione per parti, che possiamo applicare date le ipotesi si f . Risulta così Z n π nan = f (x) cos nx dx π −π Z π 1 1 π f ′ (x) sin nx dx = [ f (x) sin nx]−π − π π −π Z π 1 =− f ′ (x) sin nx dx = −b′n . π −π

F II.22: alcuni polinomi di Fourier della funzione “dente di sega”.

84

Successioni e serie di funzioni

Soluzione in serie di Fourier dell’equazione di Keplero

In virtù della legge delle aree, il segmento ps spazza aree uguali in tempi uguali e dunque il punto y deve muoversi con velocità costante.

Vogliamo trovare una funzione f (t) che verifichi, per ogni t, ωt = f (t) − ε sin( f (t)).

Come vedremo nell’Esercizio 28 , la soluzione dell’equazione si scrive come serie di Fourier ∗∞ X 2Jn (nε) sin(nωt) f (t) = ωt + n n=1 dove Jn è la n-esima funzione di Bessel definita nell’Esercizio 12 a pagina 93. Ora mostriamo come la risoluzione dell’equazione, detta equazione di Keplero, permetta di determinare la legge oraria del moto di un pianeta che ruota su un’ellisse, di cui il Sole occupa un fuoco, obbedendo alla legge delle aree (si veda il riquadro di approfondimento a pagina 235). Nell’equazione, ε ∈ [0, 1] rappresenta l’eccentricità dell’ellisse (nulla nel caso di una circonferenza), mentre la funzione E = f (t) rappresenta l’anomalia eccentrica, il cui fra poco illustreremo il significato geometrico. Per piccoli valori dell’eccentricità (verificata dalle orbite di tutti pianeti del sistema solare eccetto Plutone) la soluzione dell’equazione di Keplero permette di calcolare le orbite con una ottima approssimazione:   1 3 1 f (t) ≈ ωt+ ε − ε3 sin(ωt)+ ε2 sin(2ωt)+ ε3 sin(3ωt)+· · · 8 2 8

Immaginiamo di fissare l’origine nel centro c dell’ellisse e di porre il semiasse maggiore dell’ellisse lungo l’asse orizzontale. Definiamo p = p(t) la posizione del pianeta, s quella del Sole. Il punto c è il centro dell’ellisse, cioè il punto medio fra i due fuochi: se a è il semiasse maggiore dell’ellisse, l’eccentricità vale √ ε = |cs|/a e il semiasse minore è b = a 1 − ε2 . Indichiamo con ϑ l’angolo fra il segmento ps e l’asse orizzontale. L’angolo ϑ è detta anomalia vera. Ora tracciamo, come illustrato nella figura, una circonferenza ausiliaria di raggio a e definiamo x il punto di tale circonferenza su cui si proietta verticalmente il punto p. In questa operazione le ordinate vengono moltiplicate di un fattore a/b. Lo stesso fattore moltiplicherà quindi le aree delle figure che hanno uguale proiezione sull’asse orizzontale. In particolare, in questo modo l’area del settore circolare |zsx| è uguale a a/b per l’area del corrispondente settore ellittico |zsp|. L’anomalia eccentrica E è definita come l’angolo fra il segmento xc e l’asse orizzontale. Il punto y sulla circonferenza ausiliaria è invece definito in modo che l’area del settore circolare ycz sia uguale a a/b per quella del settore ellittico psz.

Se P è il periodo di una rivoluzione, posto ω = 2π/P avremo quindi M = ωt . M viene detta anomalia media. L’uguaglianza delle aree dei settori curvi a2 M a = |zcy| = |zsp| = |zsx| 2 b ed il calcolo a2 E aεa sin E − |zsx| = |zcx| − |scx| = 2 2 implicano che a2 M a2 E aεa sin E = − 2 2 2 da cui finalmente discende l’equazione di Keplero: M = E − ε · sin E.

Ricaviamo infine la relazione fra l’anomalia eccentrica e quella vera (cioè fra gli angoli E e ϑ). La definizione di E si può scrivere come a cos E = aε + r cos ϑ, dove r = |ps| è il raggio. Anche l’equazione dell’ellisse si esprime con una relazione fra r e ϑ 1 − ε2 1 + ε cos ϑ Utilizzando l’identità trigonometrica tan2 possiamo scrivere infine r ϑ 1+ε E tan = tan . 2 1−ε 2 r=a

x 2

=

1−cos x 1+cos x

Esercizi

85

Analogamente si prova la seconda relazione. (II.12) Dimostriamo il Teorema di integrazione termine a termine della serie di Fourier. Sia f periodica di periodo 2π e soddisfi la condizione (D) della Definizione (II.30) in [−π, π]. Fissato x0 ∈ [−π, π] vale la formula Z

x x0

f (t) dt = a0 (x − x0 ) +

∞ Z X n=0

x

(an cos nt + bn sin nt) dt, x0

dove a0 , an e bn sono i coefficienti di Fourier di f . Soluzione. Consideriamo la funzione integrale Z x  ∀x ∈ [−π, π], f (t) − a0 dt, F(x) = −π

estesa su R per periodicità di periodo 2π. La funzione F è continua in [−π, π] e si annulla agli estremi; infatti Z π F(π) = f (t) dt − 2πa0 = 0. −π

Dunque F è continua in tutto R e grazie al Teorema (II.48) la serie di Fourier di F converge uniformemente a F in R. Chiamiamo An e Bn i coefficienti di Fourier di F: grazie all’Esercizio (II.11) sappiamo che nAn = −bn ,

nBn = an ,

∀n ∈ N.

Fissati quindi x0 e x in [−π, π] risulta Z x  f (t) − a0 dt = F(x) − F(x0 ) x0

=

∞ X

[An (cos nx − cos nx0 ) + Bn (sin nx − sin nx0 )]

n=0 ∞  X

cos nx − cos nx0 sin nx − sin nx0 + an n n n=0 " # Z Z ∞ x x X = bn sin nt dt + an cos nt dt =

n=0



−bn

x0

x0

e la tesi risulta provata.

Periodi diversi da 2π Considerare funzioni di periodo 2π è solo un fatto di comodità e di semplicità nelle notazioni. Si possono infatti considerare serie di Fourier

 Non

stiamo supponendo la continuità di f , e quindi non abbiamo, in generale la convergenza uniforme della serie di Fourier di f . Questo risultato quindi non discende dal teorema generale di integrazione per serie (II.46).

86

Successioni e serie di funzioni

costruite con funzioni tipo     2πn 2πn x sin x , cos T T tutte periodiche di periodo T. Data una qualunque funzione periodica di periodo T, integrabile su (−T/2, T/2), la serie di Fourier associata ad f avrà l’aspetto a0 +

∞ X

 an cos

n=0

∞  X   2πn 2πn x + x bn cos T T n=0

dove le formule per i coefficienti (14),(15) e (16) vengono sostituite da a0 = an = bn =

1 T 2 T 2 T

Z

T/2

f (x) dx, −T/2 Z T/2

 2πn x dx, T   2πn x dx. f (x) sin T 

f (x) cos Z

−T/2 T/2 −T/2

(II.13) Sia f la funzione di periodo T = 2 ottenuta prolungando per periodicità f˜(x) = |x|, x ∈ (−1, 1]. Calcolare la serie di Fourier sul periodo T e studiarne la convergenza alla funzione f . Soluzione. Poiché f è pari, i coefficienti bn sono tutti nulli. Si ricava facilmente a0 Z Z 1 1 1 1 a0 = |x| dx = x dx = , 2 −1 2 0 e, integrando per parti, per n ≥ 1 Z 1 Z an = |x| cos(πnx) dx = 2 −1

0

F II.23 1

x cos(πnx) dx =

Z 1 1 1 1 x sin(πnx) − 2 sin(πnx) dx πn πn 0 0  1 1 2 [sin πn − 0] − 2 − 2 2 cos(πnx) = πn πn 0 2 2 (−1)n − 1 = 0 + 2 2 [cos πn − 1] = 2 . π n π n2 Dunque se n è pari, il coefficiente an è nullo, se invece n = 2k + 1 si ha 

= 2

a2k+1 = −

4 . π2 (2k + 1)2

Esercizi

87

La serie di Fourier di f è ∞ 4 X cos[π(2k + 1)x] 1 − 2 . 2 π (2k + 1)2 k=0

Per il Teorema (II.31) la serie converge a f (x) per ogni x ∈ R: infatti f è derivabile in (−1, 1) e esistono finiti limx→−1+ f ′ (x) = −1 e limx→1− f ′ (x) = 1; inoltre f è continua su R essendo f (−1) = f (1). (II.14) Studiare la convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni r 1 x ∈ R. fn (x) = x2 + 2 n

Soluzione. Per ogni x fissato in R si ha r √ 1 x2 + 2 = x2 = |x|. lim n→+∞ n Dunque l’insieme di convergenza puntuale è tutto R e la funzione limite è f (x) = |x|. Per studiare la convergenza uniforme occorre valutare la successione r  √   1 2 2  Mn = sup | fn (x) − f (x)| = sup  x + 2 − x  . n x∈R x∈R

F II.24: grafico di fn (x) = q x2 + n12 per alcuni n e il suo limite f (x) = |x|.

Risulta, per ogni fissato x: r

1 1 x2 + 2 − x2 √ 2 1 1 n x2 + 2 − x2 = r ≤ n1 = . n n √ 1 n x2 + 2 + x2 n

Ma allora 0 ≤ Mn ≤ 1/n che tende a 0 per n → +∞: la convergenza è uniforme su R. Osserviamo che fn è derivabile in ogni punto di R, ma la funzione limite f non è derivabile in x = 0: abbiamo quindi un esempio di successione di funzioni uniformemente convergente che non conserva al limite la derivabilità delle fn .

 q Abbiamo moltiplicato e diviso per x2 +

1 n2

+

√ x2 e poi sfruttato la

2 2 formula q (a + b)(a − b)√= a − b con 1 2 2 a = x + n2 e b = x . Infine ab-

biamo osservato che il denominatore è maggiore di 1/n.

88

Successioni e serie di funzioni

(II.15) Studiare la convergenza puntuale della successione di funzioni fn (x) = nx(1 − x2 )n

x ∈ R.

Stabilire se la convergenza è uniforme in [−1, 1]. Verificare che Z

fn (x) dx ,

lim

n→+∞

Z

1 0

1

lim fn (x) dx.

0 n→+∞

Soluzione. Per x fissato si deve calcolare il limite: lim nx(1 − x2 )n .

n→+∞

Osserviamo subito che se |1 − x2 | > 1, si ha limn→+∞ (1 − x2 )n = +∞. In questo caso quindi la √ successione √ fn (x) non può convergere. Se invece |1 − x2| < 1, cioè se − 2 < x < 2, si che fn (x) converge a 0; infatti, posto a = 1 − x2 si ha |a| < 1 e √ lim n 1 − aan = 0.

 Ovvero per −1 > 1 − x2 oppure √ 1 − x2 > 1, che √ equivale a x > 2 oppure x < − 2.  Si potrebbe avere convergenza so-

lo se x = 0, che non verifica |1 − x2 | > 1.

n→+∞

√ √ √ Infine se x = ± 2 si ha fn (± 2) = ±n 2(−1)n che non ammette limite per n → +∞. √ Possiamo quindi concludere che l’insieme di convergenza √ puntuale è (− 2, 2) e la funzione √ √limite, definita su tale intervallo, è f (x) = 0. Poiché [−1, 1] ⊂ (− 2, 2), fn converge puntualmente alla funzione nulla su [−1, 1]. Vediamo se la convergenza è uniforme, valutando la quantità Mn = sup | fn (x) − f (x)| = max | fn (x)|.

 Stiamo

ancora una volta usando il Teorema di Weierstrass.

[−1,1]

[−1,1]

Essendo fn dispari, il suo valore assoluto è una funzione pari, quindi Mn = max | fn (x)| = max fn (x). [0,1]

[0,1]

Inoltre, per n ∈ N fissato, fn è derivabile in (0, 1), non negativa in [0, 1] e si annulla solo negli estremi dell’intervallo. Allora il massimo è assunto in un punto xn di (0, 1) e, grazie al Teorema di Fermat, fn′ (xn ) = 0. Poiché fn′ (x) = n(1 − x2 )n + n2 x(1 − x2 )n−1 (−2x) = n(1 − x2 )n−1 (1 − x2 − 2nx2 ) √ la derivata si annulla solo in xn = 1/ 2n + 1, che è necessariamente il punto di massimo cercato. In corrispondenza si trova n



1 Mn = √ 1− 2n + 1 2n + 1

n

(2n)n = √ . n 2n + 1 (2n + 1) n

F II.25: grafico di fn (x) = nx(1 − x2 )n per alcuni n.

Esercizi

89

Risulta allora limn→+∞ Mn = +∞ e la convergenza non è dunque uniforme in [0, 1] e nemmeno in [−1, 1]. Cerchiamo ora in quali sottoinsiemi di [0, 1] si ha convergenza uniforme. Osservando che xn → 0, sarà necessario considerare insiemi che escludono l’origine, ad esempio insiemi della forma [b, 1] con 0 < b < 1. Definiamo quindi ˜ n = max nx(1 − x2 )n . M [b,1]

Ricordiamo che fn′ (x) > 0 per x < xn e fn′ (x) < 0 per ogni x > xn . Scegliendo n abbastanza grande da avere che xn < b, si avrà in particolare che fn′ (x) < 0 per ogni x ∈ (b, 1), cioè la funzione fn , per n grande è monotona decrescente. Questo significa che

√ imporre 1/ 2n + 1 < b e dunque 2n + 1 > 1/b2 .

 Basta

˜ n = max fn (x) = fn (b) = nb(1 − b)n . M [b,1]

Si ottiene così ˜n =0 lim M

n→+∞

e questo prova la convergenza uniforme di fn a 0 in ogni intervallo di tipo [b, 1] con 0 < b < 1. Per concludere l’esercizio osserviamo che il limite degli integrali è Z 1  Z 1 n lim fn (x) dx = lim − (−2x)(1 − x2 )n dx n→+∞ 0 n→+∞ 2 0 n 1 = lim = n→+∞ 2(n + 1) 2 mentre l’integrale del limite è 0. (II.16) Data la serie ∞ X

enx ,

n=0

determinare l’insieme di convergenza puntuale e discutere la convergenza uniforme. Soluzione. Osserviamo che si può scrivere enx = (ex )n : dunque a x fissato si tratta di una serie geometrica di ragione q = ex . La serie geometrica converge se e solo se |q| < 1, ovvero se −1 < ex < 1

cioè se x < 0.

L’insieme di convergenza puntuale della serie è (−∞, 0); sappiamo anche calcolare la somma che è f (x) =

1 . 1 − ex

 Grazie alla simmetria di fn si ha convergenza uniforme anche in ogni intervallo di tipo [−1, −b], con 0 < b < 1.

90

Successioni e serie di funzioni

Essendo nota la somma della serie, per valutare se la convergenza è uniforme possiamo servirci della definizione (II.42). Dobbiamo calcolare m X 1 nx e . − lim sup x m→+∞ x 2/n

① Mostrare che fn converge puntualmente a 0 su R, ma che la convergenza non è uniforme su ogni intervallo aperto che contiene l’origine. P ② Mostrare che fn (x) è assolutamente convergente su R, ma non uniformemente convergente.

. . . We try to find out as much as we can about the spatial and temporal surroundings of the place in which we find ourselves put by birth. . . (2) Science and Humanism (1951) E RWIN S CHRÖDINGER (1887–1961)

C APITOLO

III Vettori e calcolo geometrico

In questo capitolo introdurremo la geometria analitica, intesa come calcolo geometrico e vettoriale. Dopo aver definito le n-uple e i vettori di numeri reali, con le operazioni che si possono definire su di esse, affronteremo i due principali argomenti (e strumenti) del capitolo: i sistemi di equazioni lineari e le coordinate cartesiane. Potremo quindi passare allo studio delle aree e volumi, introducendo una forma semplice di determinante, e il

L

prodotto vettoriale. Chiuderemo il capitolo con un revival della geometria euclidea e qualche cenno alle coordinate non cartesiane. Le parole più usate nel capitolo sono «vettore» (usata più o meno 250 volte, un po’ meno della metà del numero di volte in cui compare nel libro), «punto» (178 volte), «retta» (147) e «piano» (106). Sono questi i semplici concetti che andremo ad analizzare.

a Geometria ebbe plausibilmente origine come arte di misurare senza errore lunghezze, aree e volumi, e la Geometria Analitica può essere detta l’arte della misura con strumenti analitici. Come scrisse Sylvestre François Lacroix (1765–1843) nella prefazione del suo Traité de calcul (1797), «Nella scelta di evitare accuratamente tutte le costruzioni geometriche, ho voluto che il Lettore realizzasse che esiste un modo di guardare alla Geometria che si potrebbe chiamare “Geometria Analitica”, e che consiste nel dedurre le proprietà dello spazio dal più piccolo numero possibile di principi con metodi puramente analitici, come Lagrange ha fatto con la Meccanica a proposito delle proprietà di equilibrio e di movimento.»(1) Nel capitolo che stiamo per affrontare abbiamo cercato di sintetizzare alcuni aspetti elementari della Geometria Analitica ottocentesca (spesso con una notazione moderna). Mettiamo però in guardia il Lettore che puta caso si ritrovi interessato agli argomenti della Geometria (più o meno moderni): l’evoluzione successiva è affare recente o contemporaneo, e nelle prossime pagine non ve n’è traccia alcuna. Non solo, dei pochi argomenti che abbiamo scelto per convenienza, scarsa fantasia o conformismo, la trattazione è lontano dall’essere completa o esaurien-

98

Vettori e calcolo geometrico

te. Il medesimo Lettore interessato dovrebbe quindi procurarsi altri testi, sicuramente più ricchi e dettagliati, e a volte un po’ più impegnativi del nostro. Ne elenchiamo un certo numero nelle Note Bibliografiche a pagina 651.

§ 1. Successioni finite: n-uple e vettori Il calcolo vettoriale consiste in un sistema di operazioni analoghe a quelle del calcolo algebrico, ma in cui gli enti sui quali si eseguiscono i calcoli, invece che numeri, sono vettori, che andiamo a definire.(3) Ricordiamo per prima cosa che una successione finita u1 , u2 , . . . , un di numeri reali è anche chiamata una n-upla (u), e si indica con la scrittura u = (u1 , u2 , . . . , un ). I numeri u1 , u2 , . . . , un si dicono le componenti della n-upla, mentre l’intero n è la sua dimensione. Se n = 2, si ha una coppia di numeri, √ se n = 3 si ha una terna di numeri. Sono quindi n-uple: (1, 2), (5, 6, 2), (−1, 1, −1, 1). Definiamo ora due operazioni importanti sulle n-uple con componenti numeriche: il prodotto per un numero reale c e la somma tra due n-uple della stessa dimensione. (III.1) Definizione (Riscalamento). Sia c ∈ R un numero e u = (u1 , u2 , . . . , un ) una n-upla. Allora il prodotto cu = uc è la n-upla che ha per componenti le componenti di u moltiplicate una per una per c: cu = c(u1 , u2 , . . . , un ) = (cu1 , cu2 , . . . , cun ). Se c = −1, si indica semplicemente (−1)u = u(−1) = −u. Per esempio, 3(1, 2) = (3, 6), √ !  √  1 2 5 5, 6, 2 = , 3, , 2 2 2 −(−1, 1, −1, 1) = (1, −1, 1, −1). (III.2) Definizione (Somma). Se u = (u1 , u2 , . . . , un ) e v = (v1 , v2 , . . . , vn ) sono due n-uple di dimensione n, la somma u + v ha per componenti le somme delle componenti di u e v: u + v = (u1 , u2 , . . . , un ) + (v1 , v2 , . . . , vn ) = (u1 + v1 , u2 + v2 , . . . , un + vn ). Per esempio, (1, 2) + (2, 1) = (3, 3), (1, 2) − (2, 1) = (−1, 1), (1, 2, 3) + (2, 3, 1) + (3, 1, 2) = (6, 6, 6).

 Se invece le prossime saranno ma-

gari non il primo ma certamente l’ultimo mazzetto compiuto di pagine di argomento geometrico che il Lettore dovrà digerire nel corso degli studi, ed egli si sente un po’ come a trovarsi per caso a una cena di sushi, rognoni o foie gras, o addirittura si immedesima di più con l’oca all’ingrasso che con il gourmet, e purtroppo il rifiuto, il digiuno o la fuga non sono un’opzione. . . beh, pazienza.

 Si veda alla fine del § 6 nel Capitolo ℵ del primo volume. Quindi una n-upla di numeri reali è una funzione u : {1, 2, . . . , n} → R.

ATTENZIONE! Generalmente indicheremo una n-upla con una lettera in grassetto e le sue componenti con la stessa lettera (non in grassetto) indicizzata.

⊚

 Vedremo dopo, a pagina 107, il motivo per cui chiamiamo riscalamento questa operazione.

§ 2. Sistemi di equazioni di primo grado, indipendenza lineare e dimensione

La n-upla con tutte le componenti nulle si indica con il simbolo 0 = (0, 0, . . . , 0), la cui dimensione deve essere chiara dal contesto. Quando intendiamo possibile effettuare tali operazioni, invece di nuple useremo il termine vettori. Detto in altro modo, i vettori di dimensione n sono n-uple di numeri reali con il prodotto per un numero reale e la somma definiti come sopra. A volte, per sottolineare la differenza tra vettori di numeri e numeri, si usa chiamare i numeri gli scalari. (III.3) Definizione (Combinazione lineare). Se u e v sono due vettori della stessa dimensione e a, b sono due numeri reali, allora il vettore

99

 Di

nuovo, invitiamo il Lettore a non confondere la n-upla 0 ed il numero 0.

 Per ora, ci accontentiamo di que-

sta definizione. Nel Capitolo IV, a pagina 164, estenderemo il significato del termine: un vettore sarà quindi un elemento di uno spazio (astratto) sui cui è possibile eseguire le operazioni di somma e prodotto per uno scalare.

au + bv è detto combinazione lineare di u e v con coefficienti a e b. Più in generale, la combinazione lineare di k vettori u1 , u2 , . . . , uk con coefficienti c1 , c2 , . . . , ck è il vettore c1 u1 + c2 u2 + . . . + ck uk . Concludiamo questa introduzione ai vettori elencando le proprietà algebriche di cui essi godono, la cui dimostrazione è facile e quindi lasciata al Lettore. (III.4) (Proprietà dei vettori) Siano u, v, w tre vettori della stessa dimensione e c, d due scalari. Allora ① (commutativa) u + v = v + u, cu = uc. ② (associativa) (u + v) + w = u + (v + w), (cd)u = c(du).

 I simboli u1 , u2 non sono le componenti di un vettore u, ma sono loro i vettori! Purtroppo con questa notazione dovremmo scrivere che le componenti di u1 sono u1 1 , u1 2 , . . . , u1 n ! Si può ovviare al problema di avere due indici sovrapposti chiamando le componenti dei vettori con nomi standard (per esempio (x, y), (x, y, z) invece che u1 , u2 , u3 ), oppure evitare sempre di indicizzare successioni di vettori (poco pratico), oppure decidere una volta per tutte con quale ordine si considerano i doppi indici. Torneremo sul problema dopo (nel Capitolo IV), quando introdurremo le matrici.

③ (distributiva) c(u + w) = cu + cw, (c + d)u = cu + du. ④ (vettore zero) u + 0 = u, u − u = 0, 0u = 0 ⑤ (uno) 1u = u. (III.5) Definizione. L’insieme di tutti i vettori di dimensione n, o anche l’insieme di tutte le n-uple, si indica con il simbolo Rn .

§ 2. Sistemi di equazioni di primo grado, indipendenza lineare e dimensione Ricordiamo che una equazione lineare (o anche di primo grado) nelle incognite x1 , x2 , . . . , xn con certi coefficienti ai e y è una equazione della

 Le variabili xi vengono anche det-

te indeterminate, mentre i coefficienti ai le variabili determinate, o costanti.

100

Vettori e calcolo geometrico

forma (1)

a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = y.

Una soluzione dell’equazione è semplicemente una n-upla (x¯ 1 , x¯ 2 , . . . , x¯ n ) che soddisfa l’equazione (1). L’equazione è detta omogenea se y = 0. Un sistema di equazioni non è altro che un insieme di equazioni che devono essere tutte simultaneamente soddisfatte. Se tutte le equazioni sono di primo grado (cioè lineari), si dice che è un sistema di equazioni di primo grado. Se tutte le equazioni sono omogenee, si dice sistema omogeneo. Vediamo come legare non solo le n-uple, ma anche le proprietà dei vettori ai sistemi di equazioni. Consideriamo un sistema di 2 equazioni di primo grado in 3 incognite x1 , x2 e x3 , in cui i coefficienti ai , bi , ci e yi (i = 1, 2) sono da considerare noti: ( a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 = y1 (2) a2 x1 + b2 x2 + c2 x3 = y2 .

 Cioè una n-upla è soluzione del si-

stema se e solo se soddisfa tutte le equazioni del sistema.

A

volte si dice che il sistema è compatibile se ha almeno una soluzione, non compatibile se non ne ha. Se la soluzione è (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0, spesso questa viene chiamata la soluzione banale.

I coefficienti possono essere scritti come vettori a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ), c = (c1 , c2 ), y = (y1 , y2 ). Se introduciamo un nuovo modo di rappresentare i vettori, disponendone i coefficienti per colonne, il sistema di equazioni si può anche scrivere come " # " # " # " # y c b a1 x1 + 1 x2 + 1 x3 = 1 . y2 c2 b2 a2

O

anche, tenendo conto delle Proprietà dei vettori (III.4), " # " # " # " # a b c y x1 1 + x2 1 + x3 1 = 1 . a2 b2 c2 y2

Le soluzioni di (2) saranno quindi tutte le terne (x1 , x2 , x3 ) che soddisfano le equazioni (2), cioè (riscritte con la notazione vettoriale) tutte le terne per cui (3)

x1 a + x2 b + x3 c = y.

Risolvere un sistema di equazioni lineari nelle tre incognite x1 , x2 e x3 è quindi equivalente a trovare tutti i modi con cui y può essere scritto come combinazione lineare dei tre vettori a, b e c. Ogni sistema di equazioni di primo grado (dette anche lineari) nelle incognite x1 , x2 , x3 (il sistema (2)) può quindi essere scritto come una unica equazione vettoriale nelle stesse incognite (l’equazione (3)), che esprime un vettore noto come combinazione lineare dei vettori dei coefficienti. Un metodo, all’apparenza lento ma certamente infallibile, per risolvere i sistemi di primo grado è quello della eliminazione successiva delle variabili. Analizziamo il seguente esempio. (III.6) Esempio. Determiniamo le soluzioni del sistema di equazioni   2x1 − x3 = 1     5x1 − x2 = −1 (4)      x2 + x3 = 0,

 Vedremo

più avanti di giustificare l’infallibilità. Come abbiamo detto sopra, i sistemi di primo grado sono anche detti lineari.

§ 2. Sistemi di equazioni di primo grado, indipendenza lineare e dimensione

101

cioè descriviamo (in qualche modo) l’insieme di tutte le terne (x1 , x2 , x3 ) che soddisfano l’equazione vettoriale         2  0  −1  1  5 −1     x1   + x2   + x3  0  = −1 .         0 1 1 0 La terza equazione in (4) può essere riscritta come x3 = −x2 ; possiamo quindi sostituire nelle prime due l’espressione −x2 al posto di x3 , ed ottenere un sistema di due equazioni nelle due incognite rimanenti x1 e x2 : ( ( 2x1 + x2 = 1 2x1 − (−x2 ) = 1 ⇐⇒ (5) 5x1 − x2 = −1, 5x1 − x2 = −1 cioè " # " # " # 2 1 1 x1 + x2 = . 5 −1 −1 L’insieme delle soluzioni di (5) naturalmente non è uguale all’insieme delle soluzioni di (4), dato che uno è un insieme di coppie mentre l’altro è un insieme di terne, ma c’è una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi. A questo punto possiamo ripartire da capo, ed eliminare la variabile x2 nel sistema (5). La seconda equazione in (5) può essere riscritta come x2 = 5x1 + 1, e possiamo quindi sostituire nella prima equazione l’espressione 5x1 + 1 al posto di x2 , ed ottenere finalmente una unica equazione nell’incognita rimanente x1 : (6)

2x1 + (5x1 + 1) = 1

⇐⇒

7x1 = 0

⇐⇒

x1 = 0.

Come prima, gli insiemi delle soluzioni di (5) e (6) sono in corrispondenza biunivoca, e dunque esiste una unica soluzione. Sostituendo all’indietro i valori trovati otteniamo x1 = 0

=⇒

x2 = 5 · 0 + 1 = 1

=⇒

x3 = −x2 = −1,

cioè l’unica soluzione del sistema (4) è la terna (x1 , x2 , x3 ) = (0, 1, −1).



È facile immaginare come la tecnica illustrata nell’esempio precedente possa essere applicata in generale a sistemi di k equazioni in n incognite x1 ,x2 , . . . , xn : per eliminare la variabile xn basta scrivere una delle

 Se

(x1 , x2 , x3 ) è una soluzione di (4), allora (x1 , x2 ) è una soluzione di (5) e, viceversa, se (x1 , x2 ) è una soluzione di (5) allora ponendo x3 = −x2 si ottiene una terna che è soluzione di (4). Si dice cioè che i due sistemi sono equivalenti.

102

Vettori e calcolo geometrico

equazioni come xn = . . . e poi sostituire in tutte le altre equazioni l’espressione così trovata al posto di xn . L’insieme delle soluzioni del primo sistema è in corrispondenza biunivoca con l’insieme delle soluzioni del nuovo sistema di k − 1 equazioni in n − 1 incognite. Procedendo in questo modo per un certo numero di volte ci si può quindi ridurre ad avere una sola equazione in una o più incognite, oppure mostrare che non ci sono soluzioni. Naturalmente ci sono sistemi più efficienti per risolvere i sistemi lineari; per ora ci serve sapere che tutti i sistemi lineari si possono risolvere in un numero finito di passaggi. Questo metodo, chiamato anche metodo di eliminazione di Gauss, è facilmente implementabile al calcolatore perché consiste della ripetizione in sequenza solo delle seguenti operazioni elementari ➔ Scrivere una delle variabili come combinazione lineare delle altre. ➔ Utilizzando un’equazione della forma xi = . . . (del punto precedente), eliminare la variabile xi da tutte le altre equazioni per ridurre il numero di variabili e il numero di equazioni del sistema. Per formalizzare il problema in modo più adatto al calcolo meccanico, osserviamo che le equazioni hanno delle operazioni algebriche proprio come i vettori definiti poco sopra: si possono moltiplicare per uno scalare (entrambi i membri) e sommare (membro a membro). Non solo, le proprietà formali dei vettori (quelle della Proposizione (III.4) di pagina 99) sono tutte verificate. È quindi possibile scrivere una equazione di primo grado come vettore? Certo che sì. Basta scrivere la successione dei coefficienti delle variabili (quando questi stanno tutti a sinistra dell’uguale) e il termine noto (quando questo sta a destra). Per esempio, le tre equazioni del sistema (4) corrispondono, nell’ordine, ai vettori     2x1 − x3 = 1 (2, 0, −1, 1)         5x1 − x2 = −1 (5, −1, 0, −1) ∼           x2 + x3 = 0. (0, 1, 1, 0) La moltiplicazione per uno scalare e la somma di due equazioni risultano, in questa rilettura, proprio le operazioni sulle componenti dei vettori. Ora vogliamo mostrare come le due operazioni elementari descritte sopra possono essere ridotte ulteriormente, proprio alle operazioni sui vettori, ancora più semplici: ➔ Moltiplicare un vettore–equazione per uno scalare diverso da zero (cioè moltiplicare entrambi i membri dell’equazione per un numero diverso da zero). ➔ Sommare un vettore–equazione ad un altro vettore–equazione (cioè sommare membro a membro due equazioni). Sia c1 x 1 + c2 x 2 + . . . + cn x n = y

 Se

necessario dividendo entrambi i membri dell’equazione per il coefficiente di xn .

 Vedremo

negli Esercizi (III.1), (III.2) e (III.3) a pagina 141 alcuni esempi di questa procedura.

 Le

operazioni elementari hanno l’importante proprietà di lasciare invariato l’insieme delle soluzioni del sistema!

§ 2. Sistemi di equazioni di primo grado, indipendenza lineare e dimensione

103

una delle equazioni, corrispondente al vettore (c1 , c2 , . . . , cn , y). Se vogliamo scrivere x1 come combinazione lineare delle altre variabili (supponendo quindi che c1 , 0), non facciamo altro che dividere per c1 l’equazione. Il vettore–equazione che ne risulta è 1 (c1 , c2 , . . . , cn , y) = (1, c2 /c1 , . . . , cn /c1 , y/c1 ). c1 A meno quindi di moltiplicazione per uno scalare (e chiamando ancora ci e y i coefficienti) possiamo supporre l’equazione ridotta al tipo x1 = −c2 x2 − . . . − cn xn + y

∼

(1, c2, . . . , cn , y).

Supponiamo ora di voler eliminare la variabile x1 così ottenuta da un’altra equazione d1 x1 + d2 x2 + . . . + dn xn = z

∼

(d1 , d2 , . . . , dn , z).

Se d1 = 0, allora x1 è già eliminato e non c’è nulla da fare. Altrimenti, dividendo per d1 possiamo sempre supporre che d1 = 1. Sostituendo otteniamo
−c2 x2 − . . . − cn xn + y + d2 x2 + . . . + dn xn = z che in forma di vettore–equazione si scrive come (0, d2 − c2 , . . . , dn − cn , z − y) : questa non è altro che la differenza tra i due vettori, che si ottiene moltiplicando (0, c2 , . . . , cn , y) per −1 e sommando il risultato a (0, d2 , . . . , dn , z). Abbiamo dimostrato senza sforzo la proposizione seguente. (III.7) Ogni sistema di k equazioni in n incognite può essere ridotto ad un sistema di k − 1 equazioni in n − 1 incognite (le cui soluzioni sono in corrispondenza biunivoca con le soluzioni del primo sistema) applicando in una opportuna sequenza le seguenti operazioni elementari: ➔ Moltiplicare una equazione per uno scalare diverso da zero. ➔ Sommare (un multiplo scalare di) una equazione ad un altra equazione. Siano ora a, b e c tre vettori. Abbiamo visto che, per definizione di combinazione lineare, esistono soluzioni (x1 , x2 ) dell’equazione (7)

ax1 + bx2 = c

se e solo se c è combinazione lineare di a e b. Ma in quanti modi c può essere scritto come combinazione lineare di a e b? L’esistenza o la non-esistenza di soluzioni per equazioni del tipo ax1 + bx2 = 0 è un concetto importante, che andiamo a definire in modo preciso nel caso generale.

 Il metodo

di Gauss di eliminazione delle variabili può essere riscritto come un algoritmo che modifica la matrice dei coefficienti di un sistema di equazioni, in un numero finito di passi (e in un senso opportuno). La versione più completa dell’algoritmo di calcolo si chiama metodo di eliminazione di Gauss–Jordan, ed è quella che permette di ottenere le soluzioni esplicitamente.

104

Vettori e calcolo geometrico

(III.8) Definizione. Si dice che k vettori a1 , a2 , . . . , ak di dimensione n sono linearmente dipendenti se l’equazione (8)

a1 x1 + a2 x2 + . . . + ak xk = 0

ha almeno una soluzione non nulla (x1 , x2 , . . . , xk ) , 0. Se non sono linearmente dipendenti, allora si dicono linearmente indipendenti.

 Se k = 1, un vettore da solo è sempre linearmente indipendente (tranne quando è il vettore 0).

(III.9) Osservazione. È facile osservare che i vettori se a1 , a2 , . . . , ak sono dipendenti, allora uno di loro è uguale ad una combinazione lineare degli altri: sia (x1 , x2 , . . . , xk ) una soluzione non zero dell’equazione (8). Dato che (x1 , x2 , . . . , xk ) , 0, esiste un indice i per cui xi , 0. Per semplicità supponiamo che sia i = 1. Se dividiamo la (8) per x1 otteniamo l’equazione a1 + a2

x2 xk 1 + . . . + ak = 0 = 0, x1 x1 x1

che può anche essere scritta come a1 = −a2

xk x2 − . . . − ak , x1 x1

e quindi a1 è combinazione lineare degli altri. Viceversa, se esistono k − 1 coefficienti c2 , . . . , ck per cui a1 = c2 a2 + . . . + ck ak , allora l’equazione (8) ha per soluzione (x1 , x2 , . . . , xk ) = (1, −c2, . . . , −ck ) , 0. In particolare, se k = 2, due vettori sono linearmente dipendenti quando uno è un multiplo dell’altro. Due vettori linearmente dipendenti (e non nulli) si dicono anche paralleli.  Vediamo ora, iniziando con un esempio, come descrivere l’insieme di soluzioni di un sistema di equazioni, anche quando ce ne sono infinite. (III.10) Esempio. Determiniamo l’insieme di tutte le 4-uple (x1 , x2 , x3 , x4 ) che soddisfano il sistema di equazioni ( x1 + x3 = 1 (9) x1 + x2 + x3 + x4 = −1. Procediamo come sopra, eliminando le variabili con le operazioni di (III.7). Usiamo la prima per eliminare x1 dalla seconda (scrivendo la prima come x1 = 1 − x3 ): sottraendo la prima dalla seconda si ottiene x2 + x4 = −2, che possiamo anche scrivere come x2 = −2 − x4. Adesso non

 Teniamo a mente questa definizione: sarà chiaro in seguito (§ 7) il motivo di questo termine.

§ 2. Sistemi di equazioni di primo grado, indipendenza lineare e dimensione

105

ci sono più equazioni, e non ci resta che ragionare sulle equazioni che abbiamo ottenuto nella riduzione: ( x1 = 1 − x3 (10) x2 = −2 − x4 . Interpretiamo questa equazione pensando che le due variabili x3 e x4 possono assumere qualsiasi valore, senza restrizioni, mentre le variabili x1 e x2 ovviamente dipendono dai valori di x3 e x4 . Per sottolineare questa differenza di ruolo, introduciamo due nuove variabili s e t, libere di assumere qualsiasi valore, che chiamiamo parametri liberi. Quindi per indicare che x3 e x4 possono assumere qualsiasi valore scriviamo x3 = s x4 = t, e quindi riscriviamo la (10) come ( x1 = 1 − s x2 = −2 − t.

Ne deduciamo che le soluzioni del sistema (9) sono tutte le 4-uple (x1 , x2 , x3 , x4 ) le cui componenti si scrivono come  x1        x2    x3     x4

=1−s

= −2 − t =s = t,

cioè l’insieme delle soluzioni può essere scritto con la notazione vettoriale come          0  −1 1             −2 −1  0           . Soluzioni =     + s   + t   : s, t ∈ R     0   1   0               0  1 0 (III.11) Osservazione. Abbiamo scritto l’insieme delle soluzioni di un sistema come somma di un vettore con tutte le possibili combinazioni lineari di altri due vettori.  (III.12) Teorema. Sia X l’insieme di soluzioni di un sistema di equazioni in n incognite. Se X , ∅, allora esiste una n-upla A e d vettori linearmente indipendenti v1 , v2 , . . . , vd tali che le soluzioni sono tutte e sole le n-uple che si scrivono come somma di A con una qualsiasi combinazione lineare dei vi : (11) Soluzioni = {A + t1 v1 + t2 v2 + . . . + td vd : t1 , t2 , . . . , td ∈ R}

 Questo

è un esempio di parametrizzazione di un insieme, con due parametri s e t liberi.

106

(III.13) Definizione (dimensione). La dimensione di un insieme del tipo (11) è il numero d di parametri liberi che si usano nella sua parametrizzazione. Osserviamo che Rn è l’insieme delle combinazioni lineari degli n vettori (versori) linearmente indipendenti e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en (= (0, . . . , 0, 1), e quindi ha dimensione n. L’insieme di tutti i vettori di dimensione n (nel senso di dimensione di un vettore) è quindi uno spazio di dimensione n (nel senso di dimensione di un insieme di vettori). In generale ci possono essere insiemi di dimensione d di vettori di dimensione n, con n , d (per esempio, una retta nel piano è un insieme di dimensione 1 di vettori di dimensione 2). Riguardando la Definizione (III.13), ci si accorge che, al contrario della dimensione di un vettore che è immediata da verificare, la dimensione di un insieme X di soluzioni è una proprietà di una sua particolare parametrizzazione (il numero dei parametri liberi), e non del sistema di equazioni (due sistemi diversi possono avere le stesse soluzioni) né dell’insieme stesso. Può cambiare se si ottiene un’altra parametrizzazione, per esempio se si risolve un sistema in un altro modo (eliminando le variabili in un altro ordine)? In che modo cambia? In altre parole, la dimensione dello spazio delle soluzioni è ben definita? Torneremo sotto su questo importante problema nel prossimo Capitolo IV, per la Proposizione (IV.13).

§ 3. Coordinate cartesiane e geometria analitica Una delle interpretazioni di n-uple evettori più naturali è quella geometrica. Come abbiamo visto nei Capitoli I e II del primo volume, la retta è una interpretazione geometrica del continuum dei numeri reali, e i punti del piano possono essere rappresentati da coppie di numeri reali (che corrispondono a loro volta ai numeri complessi). In modo analogo, i punti dello spazio tridimensionale (lo spazio fisico in cui ci troviamo) possono essere associati a terne di coordinate cartesiane (x, y, z), come vedremo tra poco. Il primo passo è fissare un sistema di riferimento (cartesiano) nello spazio. Sulla retta questo è dato da un punto (l’origine), una unità di misura e un verso di percorrenza: equivalentemente, l’origine O (che corrisponde a 0) e un punto A , O punto sulla retta che corrisponde a 1. Nel piano, un sistema di riferimento è costituito da due rette ortogonali che si incontrano nell’origine O, che rappresentano le due coordinate dei punti del piano, su ognuna delle quali si sceglie il punto corrispondente all’unità (cioè unità di misura e verso di percorrenza). Nello spazio il sistema di riferimento sarà dato da tre rette a due a due ortogonali, chiamati gli assi del sistema di riferimento, passanti per un punto fissato chiamato origine, indicato ancora con la lettera O. Sui tre assi si suppone scelto un sistema di riferimento con origine in O; s’intende che, a parte la scelta del verso di percorrenza degli assi, per tutti

Vettori e calcolo geometrico

 Per il Teorema (III.12), possiamo quindi definire la dimensione dell’insieme di soluzioni di un sistema di equazioni lineari.

x y

z

F III.1: terna destrorsa.

 Anche se a volte questa interpre-

tazione è un po’ fuorviante. A volte l’immaginare situazioni geometriche aiuta a comprendere e ricordare concetti o metodi, ma bisogna fare attenzione a che l’intuizione visiva non cerchi di sostituirsi al rigore logico del ragionamento che si cerca di seguire.

 Si

possono prendere anche riferimenti in cui le due rette non sono ortogonali.

§ 3. Coordinate cartesiane e geometria analitica

e tre si è scelta la stessa unità di misura. Come vedremo, la terna di assi può essere scelta (a meno di rotazioni dello spazio) essenzialmente in due modi. La consuetudine è di preferire sistemi di riferimento in cui gli assi orientati costituiscono una terna destrorsa, come in Figura III.1. Dato un sistema di riferimento, è possibile mettere in corrispondenza biunivoca i punti dello spazio con le terne di numeri reali (chiamate coordinate cartesiane dei punti). Dati i tre assi x, y, z (su cui i punti sono rappresentati dai numeri reali x, y e z), la coordinata x di P è l’intersezione con l’asse delle x del piano parallelo al piano yz (quello che contiene gli assi y e z) e passante per P. La coordinata y di P è l’intersezione con l’asse delle y del piano parallelo al piano xz e passante per P, e la coordinata z di P è l’intersezione con l’asse delle z del piano parallelo al piano xy e passante per P. Per essere certi della coerenza della nostra definizione di coordinate, dovremmo mostrare che le tali intersezioni esistono e sono uniche: a tal fine basta osservare che l’asse z è ortogonale al piano xy, e quindi non può essere parallelo né contenuto in nessun piano parallelo a xy. Renderemo più rigorosa questa affermazione nell’Esercizio (III.13) a pagina 151. I vettori di R3 con coordinate (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) si indicano con i simboli i, j, k e sono anche detti i versori del sistema di riferimento canonico di R3 . Come procedere nella direzione inversa, cioè trovare il punto a partire dalle sue coordinate? Come si può vedere in Figura III.2 il punto di coordinate (x, y, z) si ottiene in tre passi: partendo dall’origine ci si sposta nella direzione dell’asse x fino a raggiungere (x, 0, 0); di qui ci si sposta nella direzione dell’asse y fino a raggiungere il punto (x, y, 0); finalmente, si sale nella direzione verticale dell’asse z e si finisce in (x, y, z), “tracciando” un segmento di lunghezza z a partire da (x, y, 0). È importante capire che per costruire questa corrispondenza abbiamo utilizzato due concetti: quello di punto (cioè una posizione nello spazio) e quello di spostamento tra due punti (e qui si aggiunge una componente dinamica alla geometria dello spazio) lungo una direzione. È l’analogo, se si vuole, della piccola differenza che abbiamo introdotto tra n-uple e vettori: gli spostamenti hanno una struttura algebrica più ricca di quella dei punti dello spazio. Infatti, si possono riscalare (non è difficile immaginare uno spostamento che è una frazione o un multiplo di uno spostamento dato: questa operazione corrisponde alla moltiplicazione per un opportuno scalare) e sommare: se ci si sposta da A a B e poi da B a C, lo spostamento risultante sarà quello da A a C. Anche se queste operazioni si possono comunque eseguire allo stesso modo sui punti, il significato geometrico non è lo stesso. Non si è capito niente? Riprendiamo da capo. In un sistema di riferimento cartesiano fissato, se A e B sono due punti dello spazio, definiamo il vettore spostamento: #» (12) AB = B − A,

107

 Questa

costruzione si basa sui seguenti due fatti generali: ① se P è un punto dello spazio e r un piano qualsiasi che non contiene P, allora esiste un unico piano r′ parallelo a r che contiene P; ② l’intersezione di un piano con una retta è un unico punto, tranne quando la retta è parallela al piano (e quindi non c’è intersezione) oppure quando è contenuta nel piano (e quindi l’intersezione è tutta la retta). z (0, 0, z)

(0, y, z)

(x, 0, z) (x, y, z)

O

(0, y, 0) y

(x, 0, 0) (x, y, 0) x

F III.2: coordinate cartesiane dello spazio.

 Un altro motivo per cui moltiplicare per uno scalare è detto riscalamento è il fatto che quando si cambia unità di misura sugli assi, le lunghezze risultano riscalate, cioè moltiplicate per un opportuno fattore di conversione.

108

Vettori e calcolo geometrico

#» cioè l’unico vettore tale che B = A + AB (lo spostamento che da A porta in B) come indicato in Figura III.3, le cui componenti non sono altro che le differenze delle coordinate di B e A. Ne segue che le coordinate # » del punto A e del vettore spostamento OA sono le stesse. La somma di vettori spostamento ha la proprietà che ci aspettiamo: spostarsi da A a B e poi da B a C significa in totale andare da A a C

B

#

AB A

#» #» # » AB + BC = AC, dato che B − A + C − B = C − A. Se fissiamo un vettore spostamento v, allora la trasformazione dello spazio Rn in sé definita da

F III.3: vettore spostamento da A a B.

P 7→ P + v si dice traslazione di vettore v. Vedremo più avanti (Esercizio (III.6) a pagina 145) la nota proposizione che le traslazioni mandano ogni retta in una retta ad essa parallela, e rette parallele in rette parallele, per cui possiamo interpretare geometricamente la somma di vettori con la regola del parallelogramma.

C

#

BC

B

#

AC

#

(III.14) Se a e b sono due vettori, allora i quattro punti (indicati in Figura III.5)

AB A

A, B = A + a, C = A + b, D = A + a + b sono i vertici di un parallelogramma.

F III.4: somma di vettori spostamento.

Dimostrazione. Osserviamo che la traslazione con vettore a manda A in B e C in D: dunque la retta per A e B va nella retta per C e D, che le è quindi parallela. Analogamente, la traslazione con vettore b manda A in C e B in D, e quindi la retta per A e C è parallela alla retta per B e D. 

Consideriamo ora due punti A e B nello spazio, come indicato in Figura III.6. Se le coordinate di A sono (xA , yA , zA ) e quelle di B sono (xB , yB, zB ), è facile utilizzare due volte il Teorema di Pitagora e vedere che la distanza tra A e B (cioè la lunghezza del segmento AB) è uguale a q Lunghezza AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 . Motivati da questo calcolo, definiamo in generale la norma di un vettore in modo tale da poter scrivere poi questa formula in modo più sintetico. (III.15) Definizione (Norma di un vettore). La norma di un vettore v = (v1 , v2 , . . . , vn ), indicata con il simbolo kvk, è uguale a q v21 + v22 + . . . + v2n

D

# 

CD

#

BD

C

#

a+

b = AC

b B

#

a = AB A

F III.5: regola del parallelogramma.

 Si può scrivere, con il simbolo di sommatoria, anche come v t n X v2i . kvk = i=1

§ 3. Coordinate cartesiane e geometria analitica

109

z

B

A

C

y

x

F III.6: distanza di punti nello spazio cartesiano. Scelto un sistema di riferimento cartesiano, possiamo usare due volte il Teorema di Pitagora, una volta per calcolare la distanza tra i punti nel piano (xA , yA ) e (xB , yB ), e una seconda volta applicato al triangolo ABC, dove le coordinate di C sono (xB , yB , zA ).

Con questa notazione, osserviamo che la distanza tra due punti dello spazio non è altro che la norma del vettore differenza (spostamento), e quindi possiamo riscrivere in modo più sintetico come #» Distanza tra A e B = kABk = kB − Ak. Si tratta in fondo di una riscrittura nel linguaggio moderno del teorema di Pitagora. Forse qualcuno ricorda che c’è una generalizzazione del teorema di Pitagora, nota come il Teorema del coseno, o anche Teorema di Carnot, che dice quanto segue: se a, b e c indicano le lunghezze dei lati BC, CA e AB di un triangolo ABC e γ indica l’angolo in C, allora

A b

c γ

C

B a

F III.7

A

(13) c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ. Possiamo definire i seguenti vettori #» c = AB #» a = CB #» b = CA

=⇒ =⇒ =⇒

kck = c,

kak = a,

c = a − b,

γ C

da cui

c2 = kck2 = ka − bk2 .

a

B

F III.8

kbk = b,

e ridisegnare la Figura III.7 indicando esplicitamente i vettori, come in Figura III.8. Nel sistema di riferimento che abbiamo scelto i vettori a, b e c avranno coordinate che, come sopra, indichiamo con (a1 , a2 , . . . , an ), #» #» #» # » #» (b1 , b2 , . . . , bn ) e (c1 , c2 , . . . , cn ). Dato che AB = AC + CB = −CA + CB, possiamo scrivere

c

b

 In

questa forma generale la formula ha senso per n = 2 (nel piano), oppure n = 3 (nello spazio), o anche negli spazi a dimensioni più alte, senza difficoltà di sorta.

110

Vettori e calcolo geometrico

Per definizione di norma si ha c2 = ka − bk2 = (a1 − b1 )2 + (a2 − b2 )2 + . . . + (an − bn )2

= a21 + b21 − 2a1 b1 + a22 + b22 − 2a2 b2 + . . . + a2n + b2n − 2an bn

= a21 + a22 + . . . + a2n + b21 + b22 + . . . + b2n −2 (a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn ) | {z } | {z } =kak2 =a2 2

=kbk2 =b2

2

= kak + kbk − 2 (a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn ) . Per il Teorema del coseno (13) risulta quindi    c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.  =⇒  2 2  = a + b − 2 (a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn ) 

a1 b1 +a2 b2 +. . .+an bn = ab cos γ.

Come nel caso della norma e il teorema di Pitagora, possiamo introdurre una operazione tra vettori che ci consente di riassumere in pochi simboli quanto detto. (III.16) Definizione (Prodotto scalare). Siano a e b due vettori di dimensione n. Il loro prodotto scalare, che si indica con il simbolo a · b, è a · b = a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn . Alcune volte useremo anche il simbolo equivalente ha, bi. Possiamo riassumere quanto visto sopra nella seguente proposizione. (III.17) Proposizione. Se a e b sono due vettori e γ è l’angolo tra a e b, allora a · b = kak kbk cos γ. Le seguenti proprietà seguono immediatamente dalla definizione di prodotto scalare e di norma. (III.18) (Proprietà del prodotto scalare) Se a, b e c sono vettori qualsiasi di Rn e c è uno scalare, allora: ① a e b sono ortogonali se e solo ④ a · (b + c) = a · b + a · c. se a · b = 0. ⑤ (ca) · b = c(a · b). ② a · a = kak2 . ③ a · b = b · a.

⑥ 0 · a = 0.

 Non importa con quale ordine si scelgano i due vettori, dal momento che cos γ = cos(−γ). Non solo: due vettori individuano due angoli γ e 2π − γ, almeno uno dei quali è compreso tra 0 e π. Ma cos(2π − γ) = cos(−γ) = cos γ, quindi il coseno dei due angoli è lo stesso, e in genere consideriamo sempre l’angolo compreso tra 0 e π.

§ 3. Coordinate cartesiane e geometria analitica

111

(III.19) Valgono le due disuguaglianze ① (Cauchy–Schwarz) Per ogni a, b ∈ Rn |a · b| ≤ kak kbk, e vale l’uguaglianza se e solo se a e b sono paralleli. ② (Disuguaglianza triangolare) Per ogni a, b ∈ Rn ka + bk ≤ kak + kbk e vale l’uguaglianza se e solo se a e b sono paralleli e a · b ≥ 0. j Dimostrazione. Per la prima, osserviamo che |a · b| ≤ kakkbk se e solo se (a · b)2 ≤ kak2 kbk2 , e quindi, se a = (a1 , a2 , . . . , an ) e b = (b1 , b2 , . . . , bn ), se e solo se 2  n n n X X  X b2j a2i ai bi  ≤ 

(e forse più semplice) della disuguaglianza di Cauchy–Schwarz si veda anche pagina 178.

j=1

i=1

i=1

 Per una dimostrazione alternativa

    n  n  n n X   X   X X      b2j  a2i   a j b j  ≤  ai bi       

⇐⇒

n X

⇐⇒

i,j=1

⇐⇒

2

X

1≤i