Álgebra 3 - Estudiante [PDF]

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:

Artículo 21.1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, directamente o por medio de representantes libremente escogidos. 2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las funciones públicas de su país. 3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto. Artículo 22.Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al libre desarrollo de su personalidad. Artículo 23.1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el desempleo. 2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por trabajo igual. 3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por cualesquiera otros medios de protección social. 4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa de sus intereses. Artículo 24.Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas pagadas. Artículo 25.1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad. 2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho a igual protección social. Artículo 26.1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual para todos, en función de los méritos respectivos. 2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento de la paz. 3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que habrá de darse a sus hijos. Artículo 27.1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y en los beneficios que de él resulten. 2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas, literarias o artísticas de que sea autora. Artículo 28.Toda persona tiene derecho a que se establezca un orden social e internacional en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan plenamente efectivos. Artículo 29.1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...). 2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden público y del bienestar general en una sociedad democrática. 3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 30.Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los derechos y libertades proclamados en esta Declaración.

to

Pr

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Artículo 1.Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) deben comportarse fraternalmente los unos con los otros. Artículo 2.Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de cuya jurisdicción dependa una persona (...). Artículo 3.Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su persona. Artículo 4.Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de esclavos están prohibidas en todas sus formas. Artículo 5.Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. Artículo 6.Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su personalidad jurídica. Artículo 7.Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación que infrinja esta Declaración (...). Artículo 8.Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos fundamentales (...). Artículo 9.Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado. Artículo 10.Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier acusación contra ella en materia penal. Artículo 11.1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia mientras no se pruebe su culpabilidad (...). 2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de la comisión del delito. Artículo 12.Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques. Artículo 13.1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia en el territorio de un Estado. 2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y a regresar a su país. Artículo 14.1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a disfrutar de él, en cualquier país. 2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 15.1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad. 2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a cambiar de nacionalidad. Artículo 16.1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y fundar una familia (...). 2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá contraerse el matrimonio. 3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho a la protección de la sociedad y del Estado. Artículo 17.1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente. 2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad. Artículo 18.Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de religión (...). Artículo 19.Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...). Artículo 20.1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas. 2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.

3

Primaria

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Matemática

Álgebra y Estadística

Nombres:



Apellidos:



DNI:

Dirección:

Institución Educativa:

to

Pr

Correo electrónico:

Método EMAM

Método EMAM

Enrique Matto Muzante



Título de la obra

® MATEMÁTICA SIGMA 3, primaria Álgebra y Estadística

© Derechos de edición, arte y diagramación reservados y registrados conforme a ley DELTA EDITORES S.A.C. EDICIÓN, 2020

Coordinador de área: Mauro Enrique Matto Muzante



Diseño, diagramación y corrección: Delta Editores S.A.C.



Ilustración general: Banco de imágenes Delta Editores S.A.C.

DELTA EDITORES S.A.C. Jr. Pomabamba 325, Breña Tels. 332 6314 332 6667 Correo electrónico: [email protected] www.eactiva.pe

PROHIBIDA LA REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL LEY DE LUCHA CONTRA LA PIRATERÍA LEY 28289 PUBLICADA EL 20 DE JULIO DE 2004

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

© Derechos de autor reservados y registrados MAURO ENRIQUE MATTO MUZANTE

Tiraje: 6400 ejemplares

Impresión: AZA GRAPHIC PERÚ S.A.C. Av. José Leal 257, Lince Lima - Perú Tel. 471 5342

CAPÍTULO I DELITOS CONTRA LOS DERECHOS DE AUTOR Y CONEXOS

Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la autorización del autor.

Artículo 217.o.- Será reprimido con pena privativa de libertad no menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y escrita del autor o titular de los derechos: a. La modifique total o parcialmente. b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público. c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho. d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el autorizado por escrito.

La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior importe cada uno.

Pr

ISBN N.o 978-612-4354-22-9 Proyecto Editorial N.o 31501051900725 Ley N.o 28086 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.o 2019-09219

TÍTULO VII DELITOS CONTRA LOS DERECHOS INTELECTUALES

to

IMPRESO EN EL PERÚ / PRINTED IN PERU

La Editorial se hace responsable por el rigor académico del contenido del texto de acuerdo con los principios de la Ley General de Educación.

Índice Competencia y capacidades

Contenidos pedagógicos

• Apertura

4

• Cuento: No eran tan fácil como pensaba

5

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Unidad

Traduce datos y condiciones a expresiones algebraicas

1

• Proposiciones lógicas

6

• Igualdad entre dos expresiones aditivas hasta 999

8

• Agregar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad hasta 999 10

2

to 4

13

• Aumentar lo mismo a ambos lados de una igualdad hasta 9999 15

Comunica su comprensión sobre los números enteros

Usa estrategias y procedimientos para encontrar reglas

Pr

3

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio

• ¡Autoevalúate!

Argumenta afirmaciones sobre relaciones de cambio y equivalencia

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

• Restar lo mismo a ambos lados de una igualdad

17

• Quitar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad

19

• Lenguaje literal y lenguaje algebraico

21

• ¡Autoevalúate!

24

• Multiplicar o dividir lo mismo a ambos lados de una igualdad

26

• Ecuaciones

28

• Inecuaciones

32

• Noción de números enteros

35

• Valor absoluto de un número entero

39

• ¡Autoevalúate!

41

• Comparación de números enteros

43

• Operaciones aditivas con números enteros

45

• Expresiones algebraicas

49

• Término algebraico

51

• Valor numérico de una expresión algebraica

55

• ¡Autoevalúate!

57

Exportamos productos semejantes Perú, país de exportadores

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

El Perú ha incrementado sus exportaciones en estos últimos años. Productos como el cacao, el algodón, el maíz y la papa son parte de los productos estrella. Dos socios atienden un pedido para el mercado europeo; para ello han colocado maíz, cacao y papas en contenedores distintos.

Se sabe que Miguel ha exportado 2 contenedores de maíz, 3 de papa y 4 de cacao; Raúl, en cambio, 3 de maíz, uno de papa y 2 de cacao. Graficamos cómo exportaron cada uno; luego, haremos una suma de los que son semejantes.

Miguel

2 cont. de 3 cont. de 4 cont. maíz papa de cacao

Raúl

3 cont. de 1 cont. de 2 cont. de maíz papa cacao

Ahora, hallaremos el total de contenedores por producto; para poder hacerlo, sumaremos aquellos que son del mismo tipo de producto: 5 cont. de maíz

4 cont. de papa

6 cont. de cacao

Responde. 1. ¿Cuántos contenedores exportaron, Miguel y Raúl, cada uno? 2. ¿Conoces qué otros productos exporta el Perú?

Pr

Desempeños

to

1. Establece relaciones de equivalencias entre dos grupos de hasta veinte objetos y las transforma en igualdades que contienen adiciones, sustracciones o multiplicaciones.

2. Describe, con algunas expresiones del lenguaje algebraico y representaciones, su comprensión de la igualdad como equivalencia entre dos colecciones o cantidades, así como que un patrón puede representarse de diferentes formas. 4

cuatro

3. Emplea estrategias de cálculo, para encontrar equivalencias, mantener la igualdad, encontrar relaciones de cambio entre dos magnitudes o continuar, completar y crear patrones.

4. Hace afirmaciones y explica lo que sucede al modificar las cantidades que intervienen en una relación de igualdad y cómo equiparar dos cantidades. Así también, explica su proceso de resolución.

Valo res

Igualdad y dignidad

Enfoque de igualdad de género

mo pensaba o c l i c á f n a t a r e No

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Un campesino y su mujer solían discutir frecuentemente. Según él decía, las tareas del hogar eran pocas y fáciles de hacer y, en cambio, el trabajo del campo era muy duro. Un día decidieron cambiar sus ocupaciones: la mujer se fue al campo y el marido se quedó en la casa. Saca a pasear a las ovejas, da de comer a los pollos, prepara la comida y desgrana el maíz le dijo la mujer al campesino antes de irse al campo. El campesino se puso a trabajar. Primero, sacó el ganado a pastar, pero se le escaparon algunas ovejas y le costó trabajo reunirlas de nuevo. Después, fue al patio y amarró a los pollos a la pata de una gallina para que no se le escaparan. Entonces empezó a preparar la comida. El campesino recordó que su mujer siempre preparaba la comida mientras desgranaba el maíz y quiso hacer lo mismo que ella. «Cuando el maíz esté desgranado, la comida estará lista», pensó el campesino. Apenas había comenzado la tarea, cuando oyó el asustado cacareo de la gallina y el agudo pío, pío de los pollitos. Entonces salió corriendo para ver qué ocurría en el patio y vio a un enorme gavilán que se llevaba volando a la gallina con sus pollitos atados. Y mientras tanto, los chanchos entraron en la casa, botaron la olla al piso y se comieron el maíz.

Viendo tantas desgracias juntas, el hombre no sabía qué hacer. Al cabo de un rato, la mujer regresó del campo y preguntó: ¿Dónde están los pollos y la gallina?

to

Pr

Los amarré para que no se perdieran, pero vino el gavilán y se las llevó. ¿Y qué hace toda esa comida por el piso? Mientras yo estaba desesperado en el patio, los chanchos entraron en la casa, botaron la olla al piso y se comieron el maíz. ¡Perfecto! dijo la mujer. Yo, en cambio, he hecho lo que tú haces en cualquier día. Y, además, llego temprano a casa. Es que en el campo se hace una sola cosa, mientras que aquí hay que hacer todo a la vez: prepara esto, piensa en aquello, cuida lo otro. ¡No se puede hacer tantas cosas al mismo tiempo! Yo las hago todos los días y las hago bien, así que no discutamos más. Y no vuelvas a decir que las tareas del hogar son pocas y fáciles de hacer afirmó la mujer. León Tolstoi Actividad. 1. ¿Por qué discutían el campesino y su mujer? 2. ¿Qué le pasó al campesino al dedicarse a las labores domésticas? 3. ¿Merecen los varones y las mujeres el mismo respeto? 4. ¿De qué manera demuestras el respeto a tus compañeros(as)? Matemática SIGMA 3 - Álgebra

cinco

5

Proposiciones lógicas Relaciona

lo que sabes

Miguel, al oír las expresiones de sus amigos identificó en una de ellas una proposición lógica.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na Descubre

y construye es

Proposición lógica

1

Sandra dice una proposición lógica porque esta puede ser verdadera o falsa, mientras que en la expresión de Joe no se puede determinar el valor de verdad.

El Perú limita por el norte con Ecuador y Colombia.

¿A qué hora llegas?

se simboliza

un enunciado que puede ser verdadero o falso.

Se escribe: v(p) Se lee: Valor de verdad de p

con una letra minúscula: p, q, r, etc.

Keyla escribió algunas proposiciones, le asignó una letra a cada una y escribió V si es verdadera o F si es falsa. v(p) = V, porque Perú limita por el norte con Ecuador y Colombia.

p: El Perú limita por el norte con Ecuador y Colombia. V V

s : El cóndor es un ave de corral.

F

Pr

q: 15 divide exactamente a 120.

Joe escribió algunas proposiciones, le asignó una letra a cada una y escribió V si es verdadera o F si es falsa.

to

2

p: El puma es un felino doméstico.

F

q: «Ecuación» es una palabra que tiene las cinco vocales. V r : 327 es un número par. 6

seis

F

Practica

Nivel

lo aprendido 3

Nivel 1

Marca con un los enunciados que son proposiciones.

a) q: 530 es un número v(q) = impar. b) r: 15 multiplicado por 25 es igual a v(r) = 375.

)

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

a) Caracas es la capital de Venezuela. (

Escribe el valor de verdad de cada proposición.

2

b) ¿A qué hora llegaste? (

)

c) 9 × 8 = 72 (

)

d) Daniel es ingeniero civil. (

)

e) ¡Auxilio! (

)

f) El gato es un reptil. (

)

c) t: 25 + 3 × 9 – 18 = 32 v(t) = d) u: 472 es un número v(u) = par. e) v: El pato anfibio.

Escribe la negación de cada proposición. Observa el ejemplo.

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

a) q: El doble de 36 es 72.

II. El murciélago es un mamífero. III. ¿Que día fue ayer?

Pr

b) r: La vicuña es un mamífero herbívoro. ∼r:

to

∼s:

d) t: Perú no limita por el sur con Chile.

∼t:

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

¿Cuáles no son proposiciones? I. Deseo viajar a Iquitos.

∼q:

c) s: 358 es un número par.

v(v) =

Nivel

4



un

f) x: Norte es un día v(x) = de la semana.

p: Carlos es psicólogo ∼p: Carlos no es psicólogo

La negación de una proposición se simboliza por ∼p.

es

5

A

I y II

B

I y III

C

II y III

D

I, II y III

Determina el valor de verdad de cada proposición • La ballena es un mamífero. • 33 es un número par. A

VV

B

FF

C

VF

D

FV siete

7

Igualdad entre dos expresiones aditivas hasta 999 Relaciona

lo que sabes

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Yo tengo dos billetes de S/ 200 y tres billetes de S/ 50.

400

+

150

Y yo tengo tres billetes de S/ 100 y cinco billetes de S/ 50.

=

550

300

– 100

Descubre

+

250

=

550

+ 100

y construye

La suma de dos sumandos

es igual a la suma de otros dos sumandos

si

lo que se quita a uno de los sumandos se le aumenta al otro.

Pr

Keyla escribió y graficó la igualdad de dos expresiones aditivas y explica lo que hizo. 600

+

300

=

+ 200

to

– 200

400

900 8

ocho

=

900

+

500

Si los 200 que le quito a 600 se los doy a 300, la suma es la misma.

Practica

lo aprendido

Nivel Observa los gráficos y completa la igualdad entre dos adiciones.

1

b)

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

a)

–205

–105

510

+

350

=

405

607

+

+

175

402

=

+105

+

+205

=

=

Nivel 2

Escribe los sumandos que corresponden a los gráficos y que tienen igual suma. +

0

3

100

200

300

400

500

600

=

+

700

0

100

200

300

400

500

600

700

Escribe los sumandos que completan la igualdad. a) 350 + 250 = 450 +

c) 464 + 396 =

+ 197

b) 440 + 330 = 400 +

d) 376 + 398 =

+ 199

Pr

Nivel

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. Se tiene los sumandos 530 + 240. ¿Qué sumando debe tener 480 para que el resultado de la adición anterior no se altere?

to

4

5

Al quitarle 350 al primer sumando de 560 + 360 y dárselo al segundo, los nuevos sumandos son:

A

270

B

290

A

210 + 700

B

810 + 110

C

300

D

390

C

200 + 710

D

210 + 710

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

nueve

9

Agregar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad hasta 999 Relaciona

lo que sabes

tenía

–

x

tengo

gasté

350

=

475

Planteo una ecuación y resuelvo.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Agrego 350 a ambos lados y efectúo.

Tenía algunos soles. Gasté S/ 350. Ahora tengo S/ 475. ¿Cuánto dinero tenía?

x – 350 + 350 = 475 + 350 x = 825 Descubre

y construye

Si a ambos lados de una igualdad

1

se le agrega una misma cantidad,

la igualdad se mantiene.

Miguel planteó una igualdad. Agregó a ambos lados una misma cantidad y explica cómo halla el valor de x. tenía

x

gastó

–

420

tiene

=

La igualdad se mantiene.

500

Agrego 420 a ambos lados y efectúo. x – 420 + 420 = 500 + 420 x = 920

2

Sandra planteó y resolvió una situación problemática. 1.° Escribo y represento el problema. tenía

x

Pr

Pepe tenía algunos soles. Gastó 500. Ahora tiene S/ 499. ¿Cuánto tenía Pepe?

–

500

tiene

=

499

tenía = x

tiene ahora = 499

0

to

gastó

200

gastó = 500

400

600

800

1000

2.° Aumento 500 a cada lado y efectúo. x – 500 + 500 = 499 + 500 x = 999

3.° Compruebo reemplazando el valor de x en la ecuación. 999 – 500 = 499 ¡Sí se cumple! 4.° Escribo la respuesta: 10

diez

Pepe tenía 999 soles.

Practica

1

lo aprendido

b) 825 – 99 =

Nivel

Agrega 74 a cada lado.

Aumenta lo indicado, completa las cantidades representadas y escribe lo que pasa. 400

+

300

=

825 – 99 +



700

=

+

=

c) 85 + 299 =

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

a)



Agrega 98 a cada lado.



Aumenta 20 a cada lado. 400 + 300 +

85 + 299 +



= 700 +

=

+

=

d) 942 – 398 =

720

=

Agrega 56 a cada lado.



La igualdad b)

300

–

200

=

942 – 398 +



100

=

+

=

Nivel

3

= 100 +

Aumenta el sustraendo a cada lado, completa y escribe lo que sucede.

= 100 +

a) 874 – 499 = 375

Aumenta 200 a cada lado.

Pr

300 – 200 +

874 – 499 +

=

=

La igualdad

La igualdad

Escribe los términos que faltan y comprueba la igualdad.

to

2

a) 199 + 45 =

199 + 45 +

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

= =

b) 923 – 598 = 325 923 – 598 +

Agrega 99 a cada lado.

= 375 +

= 325 + =

+ La igualdad

once

11

4

Halla el valor de x, aumentando lo mismo a cada lado. a) x – 199 = 315 x – 199 +

= 315 +

Nivel Resuelve cada situación y pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 6

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

x =

Karina tenía algunos soles. Gastó S/ 399. Ahora tiene S/ 425. ¿Cuántos soles tenía Karina?

b) x – 297 = 450 x – 297 +

= 450 +

x =

5

Agrega lo indicado a cada lado, efectúa y halla el valor de x.

7

a) x – 99 = 274

A

S/ 842

B

S/ 824

C

S/ 642

D

S/ 424

María tenía algunos soles. Gastó S/ 499. Ahora tiene S/ 387. ¿Cuánto tenía María?

Agrega 99 a cada lado. x – 99 +

= 274 +

x =

b) x – 475 = 425

Agrega 475 a cada lado. x – 475 +

8

= 425 +

S/ 348

B

S/ 668

C

S/ 886

D

S/ 896

Ángela tenía algunos soles. Regaló S/ 299 y le queda S/ 201. ¿Cuántos soles tenía Ángela?

x =

Pr

c) x – 198 = 525

Agrega 198 a cada lado. x – 198 +

A

S/ 500

B

S/ 499

C

S/ 489

D

S/ 400

= 525 +

x =

to



A

d) x – 297 = 436

9

Ricardo tenía algunos soles. Regaló S/ 598. Ahora tiene S/ 302. ¿Cuánto tenía Ricardo?

Agrega 297 a cada lado. x – 297 + 12

doce

= 436 + x =

A

S/ 296

B

S/ 799

C

S/ 899

D

S/ 900

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 1

4

De los siguientes enunciados: I.

Norte y Sur son puntos cardinales.

Halla qué sumandos no están relacionados con sus equivalentes. 600 + 300•

•270 + 500

B

530 + 240•

•342 + 499

IV. La Antártida no está en el Sur.

C

243 + 597•

•350 + 350

Indica cuáles son proposiciones.

D

100 + 600•

•450 + 450

A

III. ¡Vamos al Sur!

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

II. ¿Qué hay en el Norte?

A

C

2

II y III I y IV

B

D

I, II y III II, III y IV

5

258 + 497

Descubre el valor de verdad de las proposiciones. • Cristóbal Colón Machu Picchu.

Determina qué sumandos dan el mismo resultado.

descubrió

• Machu Picchu se encuentra en Cusco. • En Machu Intihuatana. A

C

Picchu

FVF FFV

está

B

D

el

FVV VVV

Señala el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

Pr

3

Se tiene los sumandos:

• La capital de Lima es Perú.

6

A

399 + 456

B

254 + 501

C

499 + 356

D

256 + 399

Escribe C si la equivalencia es correcta o I si es incorrecta. • 320 + 160 = 300 + 180

(

)

• 529 + 185 = 600 + 114

(

)

• Quito es la capital de Colombia.

• 355 + 479 = 453 + 382

(

)

• Bolivia tiene por capital a La Paz.

• 689 + 287 = 778 + 199

(

)

la

capital

de

to

• Caracas es Venezuela.

A C

FVFV VFFV

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

B D

VFVF FVFF

A C

CICI CCII

B D

ICIC IICC trece

13

¡Autoevalúate!

A

C

Evelyn tenía cierta cantidad de dinero. Gastó S/ 387 al comprar los útiles escolares de su hijo. Ahora tiene S/ 466. Descubre cuánto dinero tenía inicialmente, Evelyn.

S/ 915 S/ 903

B

D

En un pozo habían muchos peces. Un acuicultor retiró 345 peces del pozo en otro lugar, quedando así 588. Determina cuántos peces había en el pozo, inicialmente.

A

Pr

C

833 peces 923 peces

B

D

A

S/ 905 S/ 893

843 peces 933 peces

C

10

S/ 853 S/ 863

B

D

S/ 854 S/ 864

En un camión habían muchos caramelos. Luego, el repartidor quitó 549 caramelos quedando en el camión solamente 355. ¿Cuántos caramelos habían en el camión?

A

901 caramelos

B

902 caramelos

C

903 caramelos

D

904 caramelos

1. C 2. B 3. A 4. C 5. B 6. C 7. B 8. D 9. A 10. D

8

9

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Un agricultor tenía algunos soles. Al comprar semillas gastó S/ 608; ahora le queda S/ 297. Calcula cuánto dinero tenía el agricultor.

¿Qué opina mi compañero?

Claves:

7

Coevaluación

to

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí? 1. ¿Cómo aprendí a reconocer una proposición lógica? 2. ¿Cómo aprendí a hallar expresiones aditivas equivalentes?

14

catorce

Metacognición

Aumentar lo mismo a ambos lados de una igualdad hasta 9999 Relaciona

lo que sabes

Sandra expresó un aumento a cada lado de una igualdad y explica lo que ocurre. 2500 + 998 + 200 = 3498 + 200

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

2500 + 998 = 3498

3698

Aumento 200 a cada lado y la igualdad se mantiene.

Descubre

3698

y construye

Si a ambos lados de una igualdad

1

=

se aumenta una misma cantidad,

la igualdad se mantiene.

Joe planteó un problema de igualación y explica cómo lo resuelve. 1.° Grafico la situación. Nicole = 1500

Nicole tiene S/ 1500. Si Beatriz gasta S/ 450, tendrá tanto dinero como Nicole. ¿Cuántos soles tiene Beatriz?

Gasta = 450

Beatriz = x

0

1500

x

2.° Escribo una igualdad y la resuelvo. Beatriz

Nicole tiene

1500

=

tiene x

gasta

–

450

Agrego 450 a cada lado y resuelvo:

Pr

1500 + 450 = x – 450 + 450 1950 = x

3.° Compruebo: Reemplazo x en la igualdad. 1500 = 1950 – 450

to

4.° Escribo la respuesta:

2

¡Sí es correcto!

Beatriz tiene 1950 soles.

Keyla planteó una ecuación con valor desconocido y explica la solución. 4500

+

4500

=

x

–

2500

2500

=

x

–

2500

7000

=

x

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

+

2500

Agrego 2500 a cada lado y efectúo las operaciones. quince

15

Practica

b) z – 3985 = 5250

lo aprendido

z – 3985 +

Nivel 1

= 5250 + z=

Aumenta lo indicado y comprueba que la igualdad se mantiene. a) Aumenta 1995 a cada lado.

c) y – 2997 = 5453

3500 + 560 = 4060

= 5453 +

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

y – 2997 +

3500 + 560 +

= 4060 +

y=

=

d) m – 3996 = 6343

b) Aumenta 2997 a cada lado.

m – 3996 +

3365 + 3635 = 7000

3365 + 3635 +

m=

= 7000 +

Nivel

=

c) Aumenta 2985 a cada lado. 2564 + 3998 = 6562

2564 + 3998 +

= 6562 +

= 6343 +

Reduce cada situación y pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 3

=

Nadia tenía algunos soles y gastó S/ 2987. Ahora tiene S/ 4325. ¿Cuánto tenía inicialmente?

d) Aumenta 2984 a cada lado. 3473 + 2999 = 6472

= 6472 +

Pr

3473 + 2999 +

S/ 7312

B

S/ 6312

C

S/ 6204

D

S/ 6212

=

4

Nivel

Halla el valor de la incógnita sumando lo mismo a cada lado.

to

2

A

Alejandro tenía algunos soles y gastó S/ 3875. Ahora tiene S/ 5450. ¿Cuánto dinero tenía?

a) x – 1999 = 6355 x – 1999 +

= 6355 + x=

16

dieciséis

A

S/ 1575

B

S/ 8225

C

S/ 8325

D

S/ 9325

Restar lo mismo a ambos lados de una igualdad lo que sabes

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Relaciona

607 + 250

Descubre

=

607 + 250 –

=

857

807

=

807

–

50

se quita una misma cantidad,

la igualdad se mantiene.

Miguel planteó y resolvió una situación aditiva y explica. Karina tenía algunos soles. Luego cobró S/ 250. Ahora tiene S/ 955. ¿Cuántos soles tenía Karina?

1.° Represento la situación. tenía x

cobró

+

tiene ahora

=

2.° Escribo una igualdad y resuelvo. x + 250 = 955 x + 250 – 250 = 955 – 250 (Resto 250 a cada lado) x = 705 3.° Compruebo reemplazando el valor de x en la ecuación. 705 + 250 = 955 ¡Sí se cumple! 4.° Escribo la respuesta: Karina

tenía 705 soles.

Pablo planteó y resolvió una situación aditiva y explica.

Pr

2

50

y construye

Si a ambos lados de una igualdad

1

857

to

Elmer tenía ahorrado cierta cantidad de dinero. Luego cobró S/ 240. Ahora tiene S/ 870. ¿Cuántos soles tenía Elmer?

1.° Represento la situación. tenía x

+

cobró

tiene ahora

=

2.° Escribo una igualdad y resuelvo. x + 240 = 870 x + 240 – 240 = 870 – 240 (Resto 240 a cada lado) x = 630 3.° Compruebo reemplazando el valor de x en la ecuación. 630 + 240 = 870 ¡Sí se cumple! 4.° Escribo la respuesta: Elmer

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

tenía 630 soles. diecisiete

17

Practica

1

lo aprendido

b) x + 298 = 915

Nivel

Resta 298 a cada lado. x + 298 –

Escribe los términos que faltan y comprueba la igualdad.



a) 605 + 99 =

= 915 – x =

c) x + 198 = 970

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Resta 99 a cada lado. 605 + 99 –

= 704 –



=

Resta 198 a cada lado. x + 198 –

x =

b) 570 + 420 =

Resta 420 a cada lado.

570 + 420 –

= 990 –



=

Nivel

Resuelve cada situación y pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 3

c) 714 + 199 =

Resta 199 a cada lado.

714 + 199 –

= 970 –

Fabio tenía algunos soles. Recibió S/ 299. Ahora tiene S/ 950. ¿Cuánto tenía Fabio?

= 913 –



=

d) 342 + 298 =

Resta 298 a cada lado.

A

S/ 751

B

S/ 701



C

S/ 651

D

S/ 650

342 + 298 –

= 640 –

Pr



4

Nivel

Enzo tenía S/ 460. Recibió algunos soles y ahora tiene S/ 961. ¿Cuánto recibió Enzo?

Resta lo indicado, efectúa y halla el valor de x.

to

2

=

a) x + 199 = 724 Resta 199 a cada lado. x + 199 –

18

dieciocho

= 724 – x =

A

S/ 603

B

S/ 501

C

S/ 302

D

S/ 100

Quitar una misma cantidad a ambos lados de una igualdad Relaciona

lo que sabes

Tenía 450 panes para vender. Recibí otros panes y ahora tengo 980 panes. ¿Cuántos panes recibí? tenía

recibí

+

tengo

=

x

980

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

450

Planteo una ecuación y resuelvo.

Resto 450 a ambos lados y efectúo.

450 – 450 + x = 980 – 450 x = 530

Descubre

y construye

Si a ambos lados de una igualdad

1

se resta una misma cantidad,

la igualdad se mantiene.

Keyla planteó una igualdad. Restó a ambos lados una misma cantidad y explica cómo halla el valor de x. tenía

397

recibió

+

x

tiene

=

La igualdad se mantiene.

995

Resto 397 a ambos lados y efectúo. 397 – 397 + x = 995 – 397 x = 598

2

Joe planteó una situación aditiva y explica cómo la resuelve. 1.° Escribo y represento la situación. Día 1

560

to

Pr

Un agricultor cosechó en un día 560 paltas para vender. Al otro día cosechó otras paltas. Ahora tiene 975 paltas. ¿Cuántas paltas cosechó el agricultor el segundo día?

Día 2

+

x

tiene

=

975

tiene ahora = 975

Día 2 = x

Día 1 = 560

0

560

975

2.° Resto 560 a cada lado y efectúo. 560 – 560 + x = 975 – 560 x = 415

3.° Compruebo reemplazando el valor de x en la igualdad. 560 + 415 = 975 ¡Sí se cumple! 4.° Escribo la respuesta: El agricultor cosechó 415 Matemática SIGMA 3 - Álgebra

paltas el 2.° día. diecinueve

19

Practica

b) z + 489 = 930

lo aprendido

z + 489 –

Nivel 1

Resta lo indicado a ambos lados, completa y escribe lo que ocurre.

z =

a) 345 + 399 = 744

c) y + 475 = 920

Resta 399

y + 475 –

= 744 –

= 920 –

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

345 + 399 –

= 930 –

y =

=

La igualdad

d) a + 479 = 950

b) 234 + 498 = 732

a + 479 –

Resta 498

234 + 498 –

a =

= 732 –

=

La igualdad

Nivel

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

c) 678 + 297 = 975 Resta 297

3

678 + 297 –

= 950 –

= 975 –

=

Virginia tenía algunos soles y recibió S/ 499. Ahora tiene S/ 940. ¿Cuánto tenía Virginia?

La igualdad

d) 546 + 398 = 944 Resta 398

= 944 –

Pr

546 + 398 –

A

S/ 441

B

S/ 451

C

S/ 459

D

S/ 499

=

4

La igualdad

to

Nivel

Erick tenía algunos patos. Compró 289 patos. Ahora tiene 955 patos. ¿Cuántos patos tenía Erick?

2

Halla el valor de la incógnita, restando lo mismo a cada lado.

a) x + 388 = 815 x + 388 –

= 815 – x =

20

veinte

A

289

B

566

C

666

D

955

Lenguaje literal y lenguaje algebraico Relaciona

lo que sabes

Si a mi edad le aumento 5 es igual a 37.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

El doble de mi edad es 16.

En las tres expresiones la edad es desconocida. Se representa con x .

Gerardo

Mi edad disminuida en 4 es igual a 6.

Descubre

Juana

Ana

y construye

Una situación escrita literalmente

puede

convertirse en una expresión matemática o algebraica,

que es

una expresión alfanumérica porque tiene números y letras.

Las letras generalmente son las incógnitas.

1

Miguel une con una línea una expresión literal con su expresión algebraica.

Pr

La mitad de un número, disminuido en 5

El cuádruple de una cantidad desconocida

to

Una cantidad desconocida

La suma de tres números sucesivos

El triple de una cantidad, aumentada en 4 Matemática SIGMA 3 - Álgebra

x

+x+1+x+2 x

2

– 5

4x

3x + 4

x

veintiuno

21

2

Pablo transformó y resolvió una expresión literal de la imagen de la página anterior, en una expresión algebraica. Gerardo dice: El doble de mi edad es 16, ¿qué edad tiene Gerardo? 1.° Transformo la expresión literal en expresión algebraica. Edad de Gerardo : x El doble de la edad de Gerardo : 2x El doble de la edad de Gerardo es igual a dieciséis: 2x = 16

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na



2.° Resuelvo la ecuación.

2x = 16



2x = 16 2 2

(Divido entre 2 a cada lado)

x=8

3.° Compruebo reemplazando el valor de x en la ecuación. 2(8) = 16

¡Sí se cumple!

4.° Escribo la respuesta:

Gerardo tiene 8 años.

2x = 16

3

Sandra planteó y resolvió una situación problemática convirtiendo una expresión literal a una algebraica. 1.° Convierto la expresión literal en algebraica.

Pr

La suma de dos números sucesivos es 143, ¿qué números son?

Un número



El sucesivo es = x + 1 La suma de dos números sucesivos es 143. x + x + 1 = 143



2.° Resuelvo la ecuación. x + x + 1 = 143 x + x + 1 – 1 = 143 – 1 (Resto 1 a cada lado) 2x = 142 2x = 142 2 2 x = 71



to

=  x





x

(Divido entre 2 a cada lado)

+ 1 = 72

3.° Compruebo reemplazando el valor de x en la ecuación. x + x + 1 = 143 → 71 + 71 + 1 = 143 ¡Sí se cumple! 4.° Escribo la respuesta: 22

veintidós

Los números son 71 y 72.

Practica

Nivel

lo aprendido

Resuelve las siguientes situaciones y escribe la respuesta.

Nivel 1

Une con una línea la expresión literal con la algebraica.

Una cantidad desconocida

3

–5

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

x

Rocío tiene figuritas. Si se sabe que el número de figuritas es igual al doble de 15, aumentada en 19. ¿Cuántas figuritas tiene Rocío?

Una cantidad desconocida disminuida en 5

x

El doble de una cantidad desconocida

2x – 7

El doble de una cantidad desconocida, disminuida en 7

x

4

La suma de dos números sucesivos

2x

Una cantidad desconocida aumentada en 9

2x + 5

La mitad de una cantidad desconocida

El doble de una cantidad desconocida, aumentada en 5

Rpta.

+x+1

x

Pr

Un número desconocido disminuido en 3

Cecilia tiene 36 frutas entre mandarinas y naranjas. Si se sabe que el número de mandarinas es el triple del número de naranjas, ¿cuántas naranjas tiene Cecilia?

x

2

Rpta.

Escribe el lenguaje algebraico que corresponde. Lenguaje literal

figuras.

+9

Nivel

2

Rocío tiene

Lenguaje algebraico

5

Cecilia tiene

naranjas.

Miguel tiene 24 pelotas entre rojas y azules. Si se sabe que el número de pelotas rojas es el doble del número de pelotas azules, ¿cuántas pelotas rojas tiene Miguel?

Un número desconocido aumentado en 6

to

Dos veces un número

El doble de un número, disminuido en 4 El triple de un número, aumentado en 2 La mitad de un número desconocido, disminuido en 7

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

Rpta. Miguel

tiene

pelotas rojas. veintitrés

23

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. Alex tiene 2402 pollos. Si Jazmín vende 1997, tendrá tantos pollos como Alex. ¿Cuántos pollos tiene Jazmín?

A

C

2

5405 4399

B

D

4405 4397

Patricia y Aldo tienen S/ 7829 juntos. Si Aldo aportó S/ 4988, halla cuánto dinero aportó Patricia.

A

C

S/ 2841 S/ 2941

B

D

5

Marina cosechó muchos kilogramos de papa, de los cuales vendió 7579. Si aún le queda por vender 1988 kg, calcula cuántos kilogramos de papa cosechó Marina.

Fernando lee un libro que tiene 389 páginas. Si hasta el día de hoy ha leído 288, ¿cuántas páginas le quedan por leer?

A

5591

B

9591

C

9567

D

9691

Alberto tenía muchos pescados. Se sabe que vendió 2560 y aún le quedan 5698. ¿Cuántos pescados tenía Alberto?

A

S/ 2929 S/ 3929

C

6

8558 3558

B

D

8258 3138

Tomasa tenía en su alcancía un poco de dinero. Su mamá le dio de propina S/ 288. Ahora tiene S/ 615. ¿Cuánto tenía Tomasa en su alcancía?

to

Pr

3

4

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

1

A C

24

100 199

veinticuatro

B D

101 201

A

S/ 327

B

S/ 317

C

S/ 315

D

S/ 427

¡Autoevalúate! 7

¿Qué expresiones algebraicas corresponden a las expresiones literales?

9

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

• El triple de un número desconocido disminuido en 6.

José compró frutas en el mercado entre naranjas, mandarinas y fresas. Se sabe que el número de mandarinas es el doble que el número de naranjas y el número de fresas es el triple que el de naranjas. Si el total de frutas fue 48, encuentra cuántas naranjas compró José.

• La cuarta parte de un número aumentado en 6. 3x + 6;

C

3x – 6; 4x + 6

4

+6

B

3x – 6;

D

3x + 6;

x

4

x

4

+6 –6

La suma de las edades de Carlos y Víctor es de 36 años. Se sabe que la edad de Carlos es el quíntuple de la edad de Víctor. Determina la edad de Víctor.

A

C

10

B

D

7 9

Alicia y Ricardo juntaron su dinero para comprar una refrigeradora. Se sabe que Alicia aportó el triple de S/ 200 aumentado en S/ 30 y Ricardo el cuádruple de S/ 150 disminuido en S/ 20. ¿Cuánto costó la refrigeradora?

A

5 años

B

6 años

A

C

12 años

D

30 años

C

S/ 1210 S/ 1030

B

D

1. C 2. A 3. B 4. C 5. B 6. A 7. B 8. B 9. C 10. A

Pr

6 8

¿Qué opina mi compañero?

S/ 1110 S/ 1010

Claves:

8

x

A

Coevaluación

to

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí?

Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a resolver situaciones problemáticas aumentando o disminuyendo una misma cantidad a ambos lados de la igualdad? 2. ¿Cómo aprendí a traducir una expresión literal a algebraica?

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

veinticinco

25

Multiplicar o dividir lo mismo a ambos lados de una igualdad Relaciona

lo que sabes

La mitad de lo que tengo, aumentada en 3 es igual a 40.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

El triple de lo que tengo, disminuido en 5 es igual a 25.

José

Ana

Descubre

y construye

Si se tiene una igualdad

1

se multiplica a ambos lados por un mismo número

y

se divide a ambos lados entre un mismo número

Sandra transformó lo que dice José, en la imagen de arriba, en una expresión algebraica.

2

Keyla transformó lo que dice Ana, en la imagen de arriba, en una expresión algebraica.

Luego explica y halla el valor desconocido.

Luego, explica y descubre el valor desconocido.

Tengo

Tengo

 y

Mitad de lo que tengo  y ÷ 2 o

y

2

 z

El triple de lo que tengo  3z

El triple de lo que  3z – 5 tengo, disminuido en 5

Mitad de lo que tengo,  y + 3 = 40 aumentada en 3 es 2 igual a 40

El triple de lo que tengo, disminuido en 5  3z – 5 = 25 es igual a 25

Resuelvo la ecuación:

Resuelvo la ecuación:

Pr

Mitad de lo que tengo, y  +3 aumentada en 3 2

y

+ 3 – 3 = 40 – 3

to

2

y

2

y

2

(Resto 3 a cada lado)

3z – 5 + 5 = 25 + 5 (Agrego 5 a cada lado)

3z = 30

= 37

× 2 = 37 × 2

3z 30 = 3 3

(Multiplico por 2 a cada lado)

z

y = 74

Rpta. José 26

la igualdad se mantiene.

veintiséis

tiene S/ 74.

Rpta.

= 10

Ana tiene S/ 10.

(Divido entre 3 a ambos lados)

Practica

b) x = 20 5

lo aprendido

Nivel 1

Multiplica por 5 a cada lado.

Escribe el resultado, haz lo indicado y comprueba que la igualdad se mantiene.

x

5

×



x =

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

a) 80 = 4

= 20 ×

c) x × 4 =

Multiplica por 4 a cada lado.

Divide entre 4 a cada lado.

80 × 4

= 20 ×



x × 4

=



b) 10 × 5 =

10 × 5

=



=

50



=

x =

Divide entre 5 a cada lado.

c)

240

240



Nivel

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 3

60 = 3

Si al doble de lo que tiene Raúl se le agrega S/ 50, la suma es S/ 250. ¿Cuánto tiene Raúl?

Multiplica por 3 a cada lado. 60 × 3

= 20 × =

Pr



2

Nivel

Haz lo indicado, efectúa las operaciones y halla el valor de x.

to

a) x 2

4

A

S/ 50

B

S/ 100

C

S/ 200

D

S/ 250

Si a un tercio de lo que tiene Carlos se le disminuye S/ 100, la diferencia es 200. ¿Cuánto tiene Carlos?

= 40

Multiplica por 2 a cada lado. x

2

= 40 ×

×

x =

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

A

S/ 300

B

S/ 600

C

S/ 750

D

S/ 900

veintisiete

27

Ecuaciones Relaciona

lo que sabes

x

Ambos lados pesan lo mismo.

x

250 g

¿Cuánto pesa cada caja?

50 g

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

50 g

Observa el procedimiento seguido por Iván y Eli para hallar el peso de cada caja. Primer miembro

Segundo miembro

2x + 50 = 300

x

+

x

+

50

=

250

+

50

2x + 50 – 50 = 300 – 50 2x = 250

x

Incógnita

Descubre

Ecuación 1

+

x

x

= =

250

125

Rpta. Cada

x

= 250 ÷ 2

x

= 125

caja pesa 125 gramos.

y construye

es una igualdad de dos expresiones matemáticas

la cual

se verifica para un solo valor de la incógnita.

Miguel planteó una situación y explica cómo la resuelve.

Si al doble de fresas que tiene Lia le aumento 12 es 68 fresas en total. ¿Cuántas fresas tiene Lia?

Las fresas que tiene Lia

x

El doble de fresas que tiene Lia

2x

Al doble de fresas que tiene Lia le aumento 12

2x + 12

Al doble de fresas que tiene Lia le aumento 12 es igual a 68

2x + 12 = 68

to

Pr

1.° Transformo el lenguaje literal en lenguaje matemático.

2.° Resuelvo la ecuación y hallo el valor de x. 2x + 12 = 68 2x + 12 – 12 = 68 – 12 (Resto 12 a cada lado) 2x 56 (Divido ÷ 2 a cada lado) = 2 2 x = 28 3.° Escribo la respuesta:

28

veintiocho

Lia tiene 28 fresas.

La igualdad se mantiene si se suma, se resta, se multiplica o se divide a los dos miembros una misma cantidad.

2

Joe planteó cuatro situaciones y en cada caso explica cómo la resuelve. a)

La edad de Julia aumentada en 9 años es 21 años. ¿Cuántos años tiene Julia?

1.° Planteo una ecuación y la resuelvo. + 9 = 21 x + 9 – 9 = 21 – 9 x = 12 2.° Escribo la respuesta: x

(Resto 9 a cada lado)

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Julia tiene 12 años.

b)

El doble de la edad de Miguel disminuida en 5 es igual a 19. ¿Cuántos años tendrá Miguel dentro de 3 años?

1.° Planteo una ecuación y la resuelvo. 2x – 5 2x – 5 + 5 2x 2x 2

= 19 = 19 + 5 = 24 24 = 2 x = 12

(Agrego 5 a cada lado)

(Divido ÷ 2 a cada lado) (Es la edad actual)

2.° Hallo la edad dentro de 3 años: 12 + 3 = 15 3.° Escribo la respuesta:

c)

Dentro de 3 años Miguel tendrá 15 años.

El quíntuple de caramelos que tiene María, aumentado en 13 es igual a 48. ¿Cuántos caramelos tiene María?

1.° Planteo una ecuación y la resuelvo. 5x + 13 5x + 13 – 13 5x 5x 5

= 48 = 48 – 13 = 35 35 = 5 x = 7

Pr

2.° Escribo la respuesta:

d)

(Resto 13 a cada lado)

(Divido ÷ 5 a cada lado)

María tiene 7 caramelos.

El triple de discos que tiene Luis, disminuido en 9 es igual a 15. ¿Cuántos discos tiene Luis?

to

1.° Planteo una ecuación y la resuelvo. 3x – 9 3x – 9 + 9 3x 3x 3

= 15 = 15 + 9 = 24 24 = 3 x = 8

2.° Escribo la respuesta: Matemática SIGMA 3 - Álgebra

(Sumo 9 a cada lado) (Divido ÷ 3 a cada lado)

Luis tiene 8 discos. veintinueve

29

Practica

lo aprendido

Nivel 1

Escribe en lenguaje algebraico. Lenguaje literal

Lenguaje algebraico

Un número aumentado en 5 es igual a 8

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

El doble de mi edad, aumentada en 4 es 24 Un número disminuido en 10 es 5

El cuádruple del dinero que tengo, disminuido en 30 es 70 Si al triple de un número le disminuyo 4 obtengo 17 Mi edad dentro de 7 años será 23

La tercera parte de un número es igual a 9 Mi edad hace 8 años fue 42

La mitad de un número es igual a 13

Relaciona cada expresión literal con el lenguaje algebraico correspondiente.

a)

La diferencia de dos números es 1

b)

El cubo de un número es 8

c)

El producto de dos números es 16

x . y = 16

d)

El cociente de dos números es 15

x2 = 25

e)

Un número disminuido en 20 es 7

x–y=1

Pr

2

f)

3

El cuadrado de un número es 25

x

– 20 = 7

x y

= 15

x3 = 8

Escribe como ecuación las siguientes expresiones.

to

a) El triple de lo que tengo es 51.

b) El quíntuple del dinero de Alicia, disminuido en S/ 15 es S/ 45. c) El doble de lo que tengo, aumentado en 11 es igual a 37. A la cantidad que no conocemos la llamamos incógnita. Esta se representa con cualquier letra en minúscula, por ejemplo: a, b, c,..., x, y, z.

30

treinta

Nivel 4

Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 2x + 1 = 35

Nivel Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. Un número aumentado en 13 es igual a 38. ¿Qué número es?

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

5

A

C

b) 3x – 2 = 19

6

23 27

B

D

25 29

Mi dinero disminuido en S/ 27 es igual a S/ 80. ¿Cuánto dinero tengo?

c) 5x + 1 = 31

7

A

S/ 10

B

S/ 105

C

S/ 107

D

S/ 109

Mi edad dentro de 7 años será 22 años. ¿Qué edad tengo?

d) 4x – 3 = 45

8

to

Pr

e) 7x – 9 = 19

f)

6x + 8 = 62

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

9

A

15

B

17

C

19

D

12

Si el triple del dinero que tienes es S/ 45, ¿cuánto dinero tienes?

A

S/ 25

B

S/ 30

C

S/ 20

D

S/ 15

Mi edad hace 9 años fue 27 años. ¿Qué edad tengo?

A

45 años

B

36 años

C

32 años

D

38 años

treinta y uno

31

Inecuaciones lo que sabes

El doble del número de figuras que tengo, aumentado en 16 es mayor que 52. Si tengo menos de 20, ¿cuántas figuras tengo?

En forma simbólica: El doble del número de figuritas 2x El doble del número de figuritas, 2x + 16 aumentado en 16

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Relaciona

¿Cuántas figuritas tienes?

Descubre

Inecuación

El doble del número de figuritas, aumentado en 16 es mayor 2x + 16 > 52 que 52

y construye

es una desigualdad

que tiene

por lo menos un término desconocido.

La solución es un conjunto de números.

1

Sandra resolvió la inecuación de la situación planteada arriba.

1.° Planteo una inecuación y la resuelvo.

Pr

La solución es similar a la de una ecuación. La solución es mayor o menor que un número hallado.

32

2.° Analizo la situación planteada. Como Rodrigo dice que tiene menos de 20 figuras, entonces tiene 19 figuras.

Resuelve las inecuaciones y halla el conjunto solución (C.S.) de cada una. a) x + 15 < 33 x + 15 – 15 < 33 – 15 x < 18

c) y – 8 < 14 y – 8 + 8 < 14 + 8 y < 22

e) z – 19 > 14 z – 19 + 19 > 14 + 19 z > 33







to

2

2x + 16 > 52 2x + 16 – 16 > 52 – 16 (Resto 16 a cada lado) 2x 36 (Divido ÷ 2 a cada lado) > 2 2 x > 18 C.S. = { 19 ; 20 ; 21 ; … }

C.S. = { 0; 1; 2; ...; 17 }

b) x + 27 < 42 x + 27 – 27 < 42 – 27 x < 15

d)





C.S. = { 0; 1; 2; ...; 14 }

treinta y dos

C.S. = { 0; 1; 2; ...; 21 }

– 9 < 17 m – 9 + 9 < 17 + 9 m < 26 m

C.S. = { 0; 1; 2; ...; 25 }

C.S. = { 34; 35; ... }

f) p + 36 > 45 p + 36 – 36 > 45 – 36 p>9 C.S. = { 10; 11; 12; ... }

Practica

lo aprendido

Nivel 1

Escribe en lenguaje algebraico. Lenguaje literal

Lenguaje algebraico

Un número aumentado en 7 es menor que 15

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Un número disminuido en 18 es mayor que 5

La edad de Sofía aumentada en 4 es mayor que 8 Un número disminuido en 4 es menor que 3

El doble de x es menor que 8

El triple de x es menor que 11

2

3

Escribe el conjunto solución.

a) x > 3 C.S.(x) = {

}

c) x < 7

C.S.(x) = {

}

b) x < 5 C.S.(x) = {

}

d) x > 20 C.S.(x) = {

}

Encuentra el conjunto solución para cada inecuación.

g) m + 13 < 25

d) y – 7 > 15

a) x + 5 > 20

C.S.(x) = {

}

C.S.(y) = {

}

}

h) x + 7 > 43

e) z + 13 < 28

Pr

b) m – 8 > 24

C.S.(m) = {

}

to

C.S.(m) = {

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

}

}

C.S.(y) = {

C.S.(x) = {

}

i) z + 8 > 25

f) y – 6 > 14

c) x + 12 > 19

C.S.(x) = {

C.S.(z) = {

}

C.S.(z) = { treinta y tres

} 33

Nivel 4

b) x – 5 < 1

Halla el conjunto solución.

C.S. = {



El mayor valor de x es:

}

A

0

B

4

C

5

D

6

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

a) 4x – 5 > 15

c) 3x – 4 > 26

b) 2x + 8 < 14

c) 10x – 5 > 15

6



C.S. = {

}



El doble del menor valor de x es: A

20

B

22

C

24

D

26

Resuelve cada situación y elige la alternativa correcta.

a) ¿Cuánto es la menor cantidad de dinero que podría tener, si lo que tengo disminuido en 7 es mayor que 5?

Nivel

Pinta el círculo de la alternativa que corresponda a la respuesta.

Resuelve, completa y elige la alternativa correcta.

Pr

5

to 34

C.S. = {



El menor valor de x es:

S/ 11

B

S/ 12

C

S/ 13

D

S/ 14

b) ¿Cuánto es la mayor cantidad de dinero que podría tener, si el triple de mi dinero aumentado en 15 es menor que 45?

a) x + 3 > 10



A

}

A

7

B

8

A

S/ 15

B

S/ 13

C

9

D

10

C

S/ 11

D

S/ 9

treinta y cuatro

Noción de números enteros Relaciona

lo que sabes Yo perdí mis 3 manzanas.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Yo gané 3 manzanas.

¿Cómo se representarían las cantidades mencionadas en el diálogo?

Diana ganó 3 manzanas, estas representan a una cantidad positiva y la escribiremos +3.

Miguel perdió 3 manzanas, las mismas que representan una cantidad negativa, por lo tanto, la escribiremos –3. Los números +3 y –3 serán llamados números enteros. Descubre

y construye

Enteros negativos ( –) ...; –4; –3; –2; –1

están formados por

Números enteros

su representación en la recta numérica

... –4

–3

–2

–1

+1

+2

+3

Enteros positivos ( +) +1; +2; +3; +4; ...

+4

Números enteros positivos

...

: Conjunto de los números enteros.

Pr

Números enteros negativos

0

Cero 0

Sandra menciona situaciones que dan idea de números enteros y escribe la expresión numérica. a) Usain Bolt ganó tres medallas de oro.

+3

b) Andrés perdió 8 naranjas.

–8

c) Pedro recibió S/ 120.

+120

d) Gabriela gastó S/ 80.

–80

e) Rebeca compró 45 discos de música.

+45

to

1

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

treinta y cinco

35

2

Joe observa cómo un termómetro muestra diferentes medidas en cada situación y las anota. a) En un refrigerador.

b) En una taza con café recién preparado.

–3 ºC

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

+41 ºC

+41

–3

c) En el horno de una pollería.

d) En la congeladora de una carnicería. –4 ºC

+62 ºC

+62

3

–4

Diana observa imágenes de paisajes en los que se anotan sus medidas en altura o profundidad (en metros). Pega los sticker de la página de adhesivos. a) La altura de una casa.

b) La profundidad del mar. 0

–5

–10 –15 –20

Pr

+6

c) La profundidad de un pozo de agua.

to

+27

+18

–4

+15 +12

–8

+9

–10

treinta y seis

d) La altura de un edificio.

+21

–2

–6

36

–30

–30

+24

0

–12

–25

+6

–12

+3 0

+27

Practica

lo aprendido

3

Nivel 1

Escribe el número entero que representa cada situación.

Escribe una expresión que representa al número entero. a) +12:

a) Miguel recibe S/ 64.

b) –8:

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

b) Ana pierde 8 naranjas. c) Rita gana S/ 28 diarios.

c) +7:

d) Antonio gasta S/ 124.

2

Observa cada figura y anota el número entero que corresponde a la medida mostrada. Usa los adhesivos de la página final de tu libro. a) Una torre de alta tensión.

d) –25:

4

Lee con cuidado cada situación y escribe la respuesta.

a) En el mar de Grau se encuentran sumergidos 2 submarinos; el «Abtao» a 140 m y el «Amazonas» a 190 m. ¿Cuál de ellos está más cerca de la superficie? Rpta.

b) Una piscina. 0

Pr

–1 –2 –3

b) En un edificio, Fabiola está en el sexto piso y su hermana Tatiana se encuentra en el octavo piso. ¿Quién de las dos está más cerca al primer piso? Rpta.

–4

to

c) Un poste publicitario.

c) En el lago Titicaca se encuentran buceando dos amigos. Walter está a 23 m por debajo del nivel del lago y Rafael está a 28 m por debajo del nivel del lago. ¿Quién de los dos tiene que subir más metros para llegar a la superficie? Rpta.

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

treinta y siete

37

Nivel 5

Observa el termómetro dibujado y con su ayuda resuelve cada situación. Un termómetro marcaba +25 °C, luego la temperatura bajó 15° C. ¿Qué temperatura marca ahora?

6

Lee cada situación, resuelve empleando una recta numérica y escribe la respuesta. Ejemplo: En la ciudad de Huancayo, un termómetro marcaba al mediodía +15 °C y a la medianoche registraba + 5 °C. ¿Cuántos grados bajó la temperatura?

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

a)

Nivel

–10

...

b)

c)

Pr

d)

to

e)

Estábamos a +20 °C, luego la temperatura bajó 5 °C. ¿Qué temperatura marca ahora?

Un termómetro marcaba –5 °C, luego la temperatura subió 15 °C. ¿Qué temperatura marca ahora?

Estábamos a –10 °C, luego la temperatura subió 20 °C. ¿Qué temperatura marca ahora?

Un termómetro marcaba –5 °C, luego la temperatura bajó 10 °C. ¿Qué temperatura marca ahora?

–15

–10

treinta y ocho

0

+5

+10 +15

+20 ...

Rpta. Bajó 10 °C

a) En la ciudad de Sullana, un termómetro marcaba en la mañana +20 °C y en la tarde +39 °C. ¿Cuántos grados aumentó la temperatura? ... –1

0

... +20 +25 +30 +35

+39

...

Rpta.

b) En la ciudad de Iquitos, un termómetro marcaba al mediodía +35 °C y a la medianoche +30 °C. ¿Cuántos grados disminuyó la temperatura? ... –1

0

... +25 +30 +35 +40 +50

+60 ...

Rpta.

c) En la ciudad de Cerro de Pasco, un termómetro marcaba en la tarde +10 °C y en la madrugada –5 °C. ¿Cuántos grados bajó la temperatura? –5

Rpta. 38

–5

0

+5

+10 ...

Valor absoluto de un número entero Relaciona

lo que sabes

Lee, observa la recta numérica y responde. Hace mucho frío, estamos a una temperatura de –5 °C.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Es lindo un amanecer, aunque la temperatura sea de +5 °C.

–5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

+5

a) ¿Qué distancia en unidades hay del cero al –5?

Rpta. 5 unidades

b) ¿Qué distancia en unidades hay del cero al +5?

Rpta. 5 unidades

Descubre

Valor absoluto

y construye

Es la distancia que separa a un número del cero en la recta numérica.

Además,

se emplean un par de barras para indicar que se desea encontrar el valor absoluto. |a| = a

Nota: A los números enteros que tienen el mismo valor absoluto, pero son de diferente signo, se les llama números opuestos. 1

Calcula el valor absoluto de cada número.

a) |–8| = 8

3

Determina el valor absoluto de cada número y resuelve la operación indicada. a) |–5| + |+8| + |–3|

Pr

b) |+16| = 16

5 +

c) |–11| = 11

8

+

3 = 16

d) |+24| = 24

b) |+6| – |+2| + |–5| – |+1|

|–3| = 3

to

e)

2

Halla el número opuesto de: a) –8 = +8

d) –7 = +7

b) +6 = –6

e) +2 = –2

c) –9 = +9

f) –4 = +4

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

6

– 4

2

+

5 –

1

+

5 –

1

9

–

1=8

treinta y nueve

39

Practica

4

lo aprendido

Nivel 1

Halla el valor absoluto de:

Calcula el valor absoluto de cada número y resuelve la operación indicada. a) |–8| + |–13| – |+5|

a) |–35| =

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

b) |+1| = c) |–49| =

d) |+83| =

b) |+25| – |–19| + |–7|

e) |–57| =

2

Escribe el opuesto de cada número. a) –64 =

c) |–12| – |+5| + |–19| – |+8|

b) +18 = c) –37 =

d) –42 =

e) +74 =

Nivel

Nivel

3

En cada recta numérica, ubica y escribe el número opuesto.

Pr

a) –6

–6

5

Resuelve la adición y mediante una línea relaciona este resultado con su número opuesto. a) 39 + 45 =

–155

b) 63 + 28 =

–124

c) 99 + 56 =

–84

d) 72 + 99 =

–91

e) 28 + 96 =

–171

0

to

b) +3

0

c) –25 –25

40

cuarenta

0

+3

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. Si al cuádruple de lo que tiene Elmer se le agrega S/ 89, la suma sería S/ 1681. ¿Cuánto tiene Elmer?

4

Si al triple de lo que tiene Karina le aumentamos el doble de S/ 109, tendría la misma cantidad que tiene Claudia. Sabiendo que Claudia tiene S/ 701, determina cuánto dinero tiene Karina.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

1

A

C

2

B

D

S/ 399 S/ 397

Si al doble de lo que tiene Estefany se le disminuye la mitad de S/ 48, resulta S/ 84. Calcula la mitad de lo que tiene Estefany.

A

C

S/ 15 S/ 60

B

D

5

S/ 30 S/ 120

Dentro de 20 años mi edad será igual al doble de la que tengo ahora. Averigua cuántos años tengo.

6

A

S/ 919

B

S/ 483

C

S/ 194

D

S/ 161

Resuelve la siguiente inecuación: 2x + 3 < 21 Luego, halla el triple del mayor valor de x.

A

21

B

24

C

27

D

33

Descubre el conjunto solución de la siguiente inecuación: 140 – 2y > 20 Luego, encuentra la suma de los dos mayores valores de y.

to

Pr

3

S/ 400 S/ 398

A C

10 30

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

B D

20 40

A C

117 119

B D

118 120

cuarenta y uno

41

¡Autoevalúate!

8

Durante la mañana, en la ciudad de Huaraz, la temperatura fue de 18 °C. Si se sabe que en la noche llegó a –2 °C, ¿cuántos grados bajó o subió la temperatura?

9

Calcula el valor absoluto de cada número y resuelve la operación indicada. Luego, da como respuesta su opuesto. |–15| + |–22| – |+14| + |–40|

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

7

A

bajó 16 °C

B

subió 20 °C

C

bajó 20 °C

D

subió 18 °C

Un trampolín, al borde de una piscina, se encuentra a 5 m de altura y la profundidad de la piscina es de 5 m. ¿Cuánta distancia hay desde el trampolín hasta el fondo de la piscina?

10

A

74

B

63

C

–63

D

–74

Determina el valor de A × B, sabiendo que: A = |–70| + |–16| – |+81|

 B = |–45| + 18 – |–13|

0m

B

5m

A

100

B

150

C

10 m

D

15 m

C

200

D

250

1. C 2. A 3. B 4. D 5. B 6. A 7. C 8. C 9. C 10. D

¿Qué opina mi compañero?

Claves:

Pr

A

Coevaluación

to

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí?

Metacognición

1. ¿Qué me fue más fácil plantear? a) Ecuación b) Inecuación 2. ¿Cómo aprendí a hallar el valor absoluto y el opuesto de un número entero?

42

cuarenta y dos

Comparación de números enteros Relaciona

lo que sabes

Lee, observa la recta numérica y responde.

–18 –15 –12

–9

–6

–3

uco

Huá n

cuc

Pun

Aya

o

Cer ro

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

de

ho

Pas

co

CIUDADES

0

+3

+6

+9 +12 +15 +18

TEMPERATURAS

a) Entre Ayacucho y Huánuco, ¿dónde hay menor temperatura? Rpta. En Ayacucho con +9 °C.

b) Entre Cerro de Pasco y Puno, ¿dónde hay menor temperatura? Rpta. En Cerro de Pasco con –9 °C, pues hace más frío. c) Entre Puno y Ayacucho, ¿dónde hay mayor temperatura? Rpta. En Ayacucho con +9 °C, pues hace más calor. Descubre

y construye

El mayor de dos números enteros es el que se encuentra situado más a la derecha en la recta numérica.

Comparación de números enteros

1

Encierra en un el número mayor, en cada recta numérica.

Pr

a) b)

–4

0

–7

+4

–2

3

to

c)

–3

d) e)

2

0

0

–5

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

0

+2

Escribe el signo >, < o =, según corresponde.

a) –5

< +5

d) +8

< +10

b) –8

<

–2

e) +3

=

c) 0

>

–3

f) –21 <

Escribe V si la expresión verdadera o F si es falsa.

a) |–8| = –8

F

b) 0 > +5

F

c) –9 < –2

V

+3

+12

es

+7

+3

cuarenta y tres

43

Practica

5

lo aprendido

Nivel

a) –8 > –2

Escribe el signo >, < o =, según corresponde. a) –3

+3

d) +10

+10

b) 0

+5

e) +8

–13

c) –7

0

f) –11

–11

b) –8 < 0 c) –4 = –4

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

1

d) –7 = +7

6

2

Escribe V si es verdadera o F si es falsa, cada expresión.

Encierra con un el número menor, en cada caso. a)

–7

Ordena en forma decreciente cada grupo de números enteros.

a) –4; 0; –6; +1

b) +2; 0; +8; –1

–3

c) –5; +2; –2; +5

b)

–4

+2

d) –1; +3; –3; +1

c)

3

–7

+7

Encierra con un mayor. a)

b)

el número

–5

Nivel

7

+5

–6

Pr

c)

–3

–5 > 0

B

+2 < 0

C

–8 < –2

D

–3 = +3

Pinta el círculo en la expresión incorrecta.

0

Nivel

Ordena en forma creciente cada grupo de números enteros.

to 44

A

–2

8

4

Pinta el círculo en la expresión correcta.

A

–9 < –7

B

0 > –4

C

+2 > –2

D

–5 > +5

a) +3; –3; 0

Completa la comparación indicada, con un número entero, para que esta sea correcta.

b) +2; –1; –4

a)

c) –2; +4; –5; 0

b) +2 >

cuarenta y cuatro

9




d) +3 >

Operaciones aditivas con números enteros Relaciona

lo que sabes

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Mizuki, Adriano, Alicia y Daniel están jugando con un par de dados, de diferente color. El dado blanco contiene los números del +1 al +6, mientras que el azul los números del –1 al –6. El juego consiste en lanzar ambos dados y sumar o restar los puntajes obtenidos; gana el juego aquel que obtiene un mayor puntaje total. jugador

dado blanco

dado azul

puntaje total

Mizuki

+4

–1

+3

Adriano

+5

–6

–1

Alicia

+6

–6

0

Daniel

+5

–1

+4

Observa la tabla y responde.

a) ¿Quién ganó el juego y cómo se hizo para calcular su puntaje total? b) ¿Quién fue el que obtuvo el menor puntaje total y cómo se calculó? Descubre

y construye

Operaciones aditivas con números enteros

Con signos iguales

Con signos diferentes

Si los sumandos tienen signos diferentes, se restan los valores y se coloca el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplo:

Ejemplo:

a) –4 – 8 = –12 b) +12 + 16 = +28 c) –9 – 6 = –15

a) –9 + 5 = –4 b) +23 – 18 = +5 c) –14 + 7 = –7

to

Pr

Si los sumandos tienen un mismo signo, se suman sus valores absolutos y se coloca el signo común delante del resultado.

1

Representa los sumandos en la recta numérica y halla el resultado. a) (–2) + (–5) = –7

b) (–3) + (–6) = –9 –5

–10 –9

–8

–7

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

–6

–5

–4

–6

–2 –3

–2

–1

0

–10 –9

–8

–7

–6

–3 –5

–4

–3

–2

–1

cuarenta y cinco

0

45

c) +15 + 20 = +35 +20

+15 0

4

+5 +10 +15 +20 +25 +30 +35 +40 +45 +50

En un juego de canicas Hugo perdió 5 canicas. Si en el siguiente juego ganó 11, ¿cuántas canicas ganó o perdió en total? +11

d) +48 + 60 = +108

–5 +60

+48

0

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na 0

2

–6 –5 –4 –3 –2 –1

Rpta. Ganó 6 canicas en total.

+12 +24 +36 +48 +60 +72 +84 +96 +108

En la recta numérica, representa el avance o retroceso que indica cada número entero. Descubre el resultado de la operación.

5

a) –7 + 5 = –2

–7 +5

–10 –9

–7

–8

–6

–5

–4

–2

–3

–1

0

Escribe V si la expresión verdadera o F si es falsa. a) (–8) + (–6) = –2

F

b) –4 + 7 = +3

V

c) –6 + (–3) = –9

V

d) +7 – 5 = +2

V

es

e) (–10) + (–5) = –15 V

b) +6 – 4 = +2

f) –6 + 8 = +14

+6 –4

–1

+1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9

Si un buzo estaba a 3 m bajo el nivel del mar y desciende 5 m, ¿a cuántos metros por debajo o por encima del nivel del mar se encuentra ahora? (Emplea una recta numérica)

Pr

3

0

6

to

–5

–9

–8

–7

–6

–5

–3

–4

–3

–2

–1

0

+1

(–3) + (–5) = –8 Rpta. Se encuentra a 8 m por debajo del nivel del mar. 46

cuarenta y seis

F

Sabiendo que:

A = –5; B = +3; C = –8; D = +5 y E = –4. Determina el valor de:

a) A + C (–5) + (–8) = –13 b) D – E +5 – (–4) +5 + 4 = +9

c) E + A (–4) + (–5) = –9 d) B + C +3 + (–8) +3 – 8 = –5

Practica

3

lo aprendido

Nivel 1

Resuelve cada situación, empleando una recta numérica. a) En un juego de taps Mateo perdió 9 taps y luego ganó 11 taps. ¿Cuántos taps perdió o ganó Mateo en total?

En la recta numérica, representa el avance o retroceso que indica cada número entero. Halla el resultado de la operación.

Resolución:

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

a) –8 + 6 =

–10

–10

–8

–6

–4

–2

0

+2

–8

–6

–4

–2

0

+2

+4

Rpta.

+4

b) Si un buzo estaba a 15 m bajo el nivel del mar y desciende 20 m, ¿a cuántos metros por debajo o por encima del nivel del mar, se encuentra ahora?

b) –4 – 4 =

Resolución:

–10

–8

–6

–4

–2

0

+2

+4

c) +3 – 9 =

–60

–50

–40

–30

–20

–10

0

+10

Rpta.

–10

–8

–6

–4

–2

0

+2

Nivel

+4

4

Encuentra el resultado de:

Pr

2

a) (–8) + (–9) =

b) (+5) + (–5) =

to

c) (–12) + (+7) =

Relaciona con una línea cada operación y su resultado. (–7) + (–9)

+14

(–8) + (+6)

+18

(+10) – (–4)

+4

(+10) + (+8)

–16

(–3) – (–7)

–2

d) (+7) – (–5) = e) (+10) – (+7) = f)

(–6) – (–4) =

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

cuarenta y siete

47

5

Pinta del mismo color las figuras que contienen expresiones equivalentes.

Nivel Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 7

–6

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

(–12) + (+7)

8

–5

Ganó 37

B

Ganó 7

C

Perdió 7

D

Perdió 37

En un juego de canicas Elmer perdió 5 canicas. Si en el siguiente juego ganó 13 canicas. ¿Cuántas canicas ganó o perdió en total?

(–6) + (+8)

A

Ganó 18

B

Perdió 8

C

Perdió 18

D

Ganó 8

Efectúa y completa.

9

a) (–9) + (–7) + (+5) (

)

+(

(

)

)

10

Pr

b) (+15) + (–5) + (–8) (

)

+(

)

)

to

(

c) (–14) + (–13) + (–19) (

48

A

+2

(–4) + (–2)

6

Luis perdió 22 figuritas y después ganó 15 figuritas. ¿Cuántas figuritas ganó o perdió?

cuarenta y ocho

)

+(

(

)

11

)

¿Qué operación es correcta? A

(–3) + (–8) + (6) = +4

B

(+5) + (–7) + (–3) = +5

C

(–8) + (–2) + (+3) = –7

D

(–6) + (–5) + (–4) = –13

¿Qué operación es incorrecta? A

(+9) + (–8) + (–5) = –4

B

(–7) + (+9) + (–3) = –1

C

(+3) + (–6) + (+5) = +2

D

(–6) + (+10) + (–7) = +3

Escribe V si la expresión verdadera o F si es falsa. a) (–10) + (–4) = –14 b) (+13) + (–15) = +2

es

Expresiones algebraicas Relaciona

lo que sabes

Según las equivalencias, cada niño dice cuántas frutas trajo o se olvidó para preparar una ensalada de frutas en el aula. = x

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Yo traje 2 x + 3y + z

= y

Yo traje 4x + 2y + 2z

= z

Y yo traje 3x + 4y + 2z

Responde:

a) ¿Qué operación se debe realizar para conocer cuántas frutas trajo al aula cada niño? b) ¿Quién trajo mayor cantidad de manzanas? c) ¿Quién trajo mayor cantidad de frutas? d) ¿La variable (incógnita) «y» representa una manzana? Descubre

y construye

Es la reunión de letras y números (variables y constantes).

Expresiones algebraicas (E.A.)

Es la agrupación de términos algebraicos unidos por operaciones aritméticas (+; –; ×; ÷). 4x + 3xy – 2yz

La reunión de términos debe ser finita.

Pr

Los exponentes no deben ser variables.

1

2x + y – 3

Indica cuántos términos tiene cada expresión algebraica. a) 2x + 3xy + 5z

to

Tiene tres términos b) 3x2 + 4xy – 5y2 + 7

Tiene cuatro términos c) 16x2y3 Tiene un término Matemática SIGMA 3 - Álgebra

2

2xy + 5yz – 8z → Tiene 3 términos 3xm – 2yn

→ No es una E.A.

Indica con un Sí o No, cuáles son expresiones algebraicas. a) 7xmy + 8xm – 5

No

b) 6x2y + 5xy2 + 3y3

Sí

c) 2mx – 5ny + 8

No

d) 14m5 – 8m4n – 7

Sí

e) 5n4 – 9mn3 + 3m2n2

Sí

cuarenta y nueve

49

Practica

lo aprendido

4

Nivel 1

Observa el precio de los artículos y responde.

Si x = ; y = ; z = , calcula el dinero que menciona tener cada niño. Ejemplo: Yo tengo S/ (3x + 3y + 2z)

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

3(10) + 3(5) + 2(1) S/ 2x

30 + 15 + 2 = S/ 47

S/ 4xy

S/ 5x + y

S/ 3xm + zn

a)

Yo tengo S/ (2x + 4y + z)

a) ¿Qué prenda de vestir muestra como precio una expresión no algebraica? Rpta.

b) ¿Qué prenda muestra en su etiqueta 2 términos algebraicos?

b)

Yo tengo S/ (4x + y + 5z)

Rpta.

2

¿Cuántos términos tiene cada expresión algebraica?

c)

a) 7x2y + 5xy2 – 3y3

Yo tengo S/ (2x + 8y + z)

b) 11x3 + 24x2y – 7xy2 + 9y3

Nivel

Pr

c) 235m2n – 199mn2

5

a) Cuánto tienen juntos:

Nivel

• Keyla y Miguel

Pinta los recuadros que contienen expresiones algebraicas.

to

3

9xa + 8y2 + 3zm

5x2ym + 2ymz

6x2y + 7xy2 – 2 2x – 3y + 5 50

Del ejercicio anterior, halla.

cincuenta

3m3n – 2mn2

• Sandra y Joe

b) ¿Quién tiene más dinero?

Término algebraico Relaciona

lo que sabes

Si Sandra midiera el área de una pizarra y esta tuviera como medidas expresiones algebraicas, realizaría: = b . h

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

A 2y3

A

= 3x2 . 2y3

A

= 6x2y3

3x2

El resultado obtenido es un término algebraico. Descubre

y construye

Término algebraico

Sus elementos son: coeficiente, variables y exponentes.

Exponentes

5

Coeficiente

1

x2y3

Variables

Es una expresión algebraica que no está separada por operaciones matemáticas.

Presenta una parte numérica y una parte literal. 8 m4n5 Parte numérica

Parte literal

Puede ser: • Términos semejantes: 8m3n4 ; –2m3n4 ; +5m3n4

• Términos no semejantes: 2x ; 3xy ; 8z2

En cada término identifica el coeficiente, la parte literal y los exponentes.

to

Pr

a) 8x2y3z • Coeficiente : 8 • Parte literal : x2y3z - Exponente de x : 2 - Exponente de y : 3 - Exponente de z : 1 b) 3xy5z4 • Coeficiente : 3 • Parte literal : xy5z4 - Exponente de x : 1 - Exponente de y : 5 - Exponente de z : 4

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

c) –4mn2p3 • Coeficiente : –4 • Parte literal : mn2p3 - Exponente de m : 1 - Exponente de n : 2 - Exponente de p : 3 d) –2e4h2k • Coeficiente : –2 • Parte literal : e4h2k - Exponente de e : 4 - Exponente de h : 2 - Exponente de k : 1

cincuenta y uno

51

Relaciona mediante una línea los términos semejantes. 8x2y

5xy2

–2xy2

–6y2z3

4y2z3

–3x2y

5

Los siguientes términos son semejantes. Calcula el valor de cada incógnita. 12xmy5 ; –3x7yn Resolución: Por ser términos semejantes, se cumple:

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

2

12x m y 5

7m2n5

3

Agrupa reduce.

2m2n5

m=7 ^ n=5

a) 8xay8 ; –5x6yc

convenientemente

y



5)x2y

+ (3 +



7)y3



A esto se le llama reducción de términos semejantes.

Pr

(–4 – 3)x2 + (5 – 2)y4 –7x2 + 3y4

4

Reduce los términos semejantes.

a) 7x2 + 9y4 – 6y4 + 5x2 + 3y4 – 8x2

to

(7 + 5 – 8)x2 + (9 – 6 + 3)y4



4x2

+

6y4

b) –5m3 + 3n4 – 4m3 – 4n4 – 6m3 – 5n4 (–5 – 4 – 6)m3 + (3 – 4 – 5)n4

–15m3 – 6n4

52 cincuenta y dos

Entonces: m = 3 ^ n = 9

d) 5axb5 ; –2a8bz

a) 5m2h + 7mh2 – 2m2h – 3mh2

b) –4x2 + 5y4 – 3x2 – 2y4

Entonces: x = 4 ^ y = 4

c) –3xmy9 ; 9x3yn

13x2y + 10y3

(5 – 2)m2h + (7 – 3)mh2 3m2h + 4mh2

Entonces: a = 6 ^ c = 8

b) 11mxn4 ; 7m4ny

8x2y + 3y3 + 5x2y + 7y3 (8 +

; –3x 7 y n

6

Entonces: x = 8 ^ z = 5

Relaciona mediante una línea la reducción de términos semejantes con su solución. –3x2 + 8x2 – 7x2

8y3

5x2 + 3x2 – 6x2

2 z4

–12y3 + 7y3 – 3y3

–2x2

9y3 – 3y3 + 2y3

2x2

6z4 + 4z4 – 8z4

–8y3

Los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal (iguales variables y exponentes).

Practica

5

lo aprendido

Nivel 1

Encierra con un círculo los términos semejantes al término dado. a) 7x2y

3x2y

–3a3b

2a3b

4ab3

5a3b2

a) 7x4y9z3 • Coeficiente

:

• Parte literal

:

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

b)

9a3b

5xy2 3x3y 4x2y

En cada término identifica el cociente, la parte literal y los exponentes.

2

- Exponente de x :

c) –5mn2 2m2n –3mn2 9mn2 8m2n



- Exponente de y :

d) 6x5z2 4x2z5 2x5z2 6x5z5 3x5z2



- Exponente de z :

a) 8m5n4

;

;

b) –3x3y8

;

;

c) 6a4b2

;

;

d) 2x8z3

;

;

Pinta del mismo color los recuadros que contienen términos semejantes. –5x9y

3xy9

–3xy5

–6xy9

4xy5

8x9y

–2x9y

–9xy5

7xy9

Relaciona mediante una línea los términos semejantes.

6

• Coeficiente

:

• Parte literal

:



- Exponente de x :



- Exponente de y :



- Exponente de z :

Reduce los términos semejantes: a) –4x5 + 8y4 – 8x5 + 3y4 – 2x5

b) 7a4 – 5b2 + 4a4 + 7b2 – 8a4 + 5b2

a) 16x4

8x3

b) 8y5

7x4

c) 16x2 – 2y5 – 7x2 + 5y5 – 2x2 + 3y5

c) –3x3

–5y5



to

4

b) –9x8y6z5

Escribe tres términos semejantes al término dado.

Pr

3



d)

6y4

e) –2x5 Matemática SIGMA 3 - Álgebra

9x5 –6y4 cincuenta y tres

53

Nivel

10

Colorea los términos semejantes a 7x5y4z3. –3x3y4z3

2x5y3z4

8x5y4z3

–2x5y4z3

5x3y5z4

6x5y3z4

7x5y4z2

8

a) 5xmy10 ; 8x7yn

Entonces: m =



La suma:

9x5y4z3

4x5y4z3

b) –8axb9 ; –3a5by



Entonces: x =

Efectúa (reduce términos semejantes).



La suma:

a) – 3x2y + 5y3 – 5x2y + 4y3



Entonces: x =



La suma:

Rpta.



Entonces: m =



La suma:

c) 5xy2 – 4x3y2 + 8xy2 – 3x3y2 – 3xy2 Rpta.

Nivel

11

Rpta.

Pr

Relaciona mediante una línea la reducción de términos semejantes con su solución.

to

4a3b2 – 7a3b2 – 5a3b2 6a2b3 – 8a2b3 – 3a2b3 54

cincuenta y cuatro

y n=

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

d) 8x3y2 – 3x2y3 + 9x3y2 – 5x2y3

7a3b2 – 6a3b2 + 2a3b2

y y=

d) 6x13yn ; –4xmy14

b) 7m2n – 6mn2 – 4m2n – 7mn2

–3a2b3 + 5a2b3 + 6a2b3

y y=

c) –7m9ny ; 5mxn11

Rpta.

9

y n=

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

7

Los siguientes términos son semejantes. Calcula el valor de cada incógnita y la suma de esos valores.

12

3a3b2

Efectúa: 8xy – 6xy + 5xy – 3xy A

5xy

B

3xy

C

4xy

D

–4xy

Halla el resultado de: 5m2p – 9m2p + 3m2p – 7m2p A

8m2p

B

–8m2p

C

–7m2p

D

–9m2p

8a2b3 13

–5a2b3 –8a3b2

Determina el resultado de A. A = 8xy2 + 2x2y – 4xy2 + 8x2y – 5x2y A

4x2y + 5xy2

B

4xy2 – 5x2y

C

3xy2 + 4x2y

D

4xy2 + 5x2y

Valor numérico de una expresión algebraica Relaciona

lo que sabes

Diana y Sandra comentan sobre sus ahorros, usando el lenguaje algebraico. Yo tengo S/ (6x + 2y).

Y yo tengo S/ (4x + 8y).

Responde: Si x = S/ 10 ; y = S/ 5

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

a) ¿Cuánto tiene cada una? b) ¿Quién tiene más dinero ahorrado?

Descubre

y construye

Valor numérico de una expresión algebraica

1

es

un número que resulta de sustituir las variables por los valores indicados y con ellos efectuamos las operaciones dadas.

Halla el dinero que tienen Diana y Sandra, respectivamente. Dinero de Diana: 6x + 2y

Dinero de Sandra: 4x + 8y

Reemplaza: x = 10 ; y = 5

Reemplaza: x = 10 ; y = 5

6x + 2y 6(10) + 2(5)

4x + 8y 4(10) + 8(5)

S/ 70

S/ 80

El valor numérico de la expresión 6x + 2y es 70.

El valor numérico de la expresión 4x + 8y es 80.

Rpta. Diana tiene S/ 70 y Sandra S/ 80.

Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas.

Pr

2

a) A = 3x + 5y + 2x2 = 3(2) + 5(3) + 2(2)2 = 6 + 15 + 2(4) = 21 + 8

Si: x=2 y = 3

to

A = 29

b) B = 8m – 2n + 3m2 = 8(3) – 2(4) + 3(3)2 = 24 – 8 + 3(9) = 16 + 27 B = 43

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

c) C = 7x – 2y2 + 3x – 4y = 7(4) – 2(2)2 + 3(4) – 4(2) = 28 – 2(4) + 12 – 8 = 20 + 12 – 8 = 32 – 8

Si: x=4 y = 2

C = 24 Si: m=3 n =4

Recuerda que al tener que desarrollar una multiplicación y una potenciación a la vez, primero se resuelve la potenciación y luego la multiplicación. cincuenta y cinco

55

Practica

Nivel 1

Nivel

lo aprendido 3

Si x = 3 ^ y = 5, calcula el V. N. de las siguientes expresiones algebraicas.

Si x = 4 ^ y = 6, determina el perímetro de las siguientes figuras. 6x

a)

2y

a) 4x2 – 2y + 3x + 5y

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

2P =

2P =

b)

2xy

b) 2x + 3y2 – 8x + 7y – 5x

2P =

2P =

2

c)

Si m = 2 ^ n = 4, halla el V. N. de las siguientes expresiones algebraicas.

3xy

2P =

a) 3m + 7n – 2m2 – 4n + 8m

2P =

Nivel

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta.

Pr

b) 9m2 – 3n + 5m – 6n + 7m

4

Si m = 5 y n = 8, ¿cuál es el valor numérico de 8m – 5n + 7m – 3n?

to

A

c) 8mn + 5n2 – 7m – 3mn + 2n

C

5

B

D

10 9

Si a = 3 y c = 4, ¿cuál es el valor numérico de 5a + 7c – 2a2 – 2c? A C

56 cincuenta y seis

12 11

18 20

B D

19 17

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 1

Escribe el signo >, < o = según corresponde; luego, elige la alternativa correcta.

4

De las siguientes operaciones: I. (–3) + (–7) = –10 II. (–6) + (+9) = –3

+2

c) –12

0

b) |+4|

|–4|

d) +24  

–24

III. (+14) – (+14) = +28



ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

a) –6



A

C

2

B

D

Determina cuáles son correctas.

, < –25

• 2x4 + 5y2 + 2z – y3

•

+6 > +16

• 5yz + 12x

• |–18| = +18

• 4m2n + 4nm6 – 4mn

• |+74| < |–74|

• 12xy + 3m + 15a – 3bc + 8p

A

C

VVFV FVFF

B

D

VFVF VVVF

Roberto ganó 14 taps y después perdió 11 taps. ¿Cuántos taps ganó o perdió?

Pr

3

, >,

IV. (–16) – (+18) = –34

6

A

4; 2; 3; 6

B

4; 3; 5; 3

C

4; 2; 3; 5

D

5; 3; 2; 5

Si a = S/ 10, b = S/ 5 y c = S/ 1, calcula cuánto tienen juntos Keyla y Joe. Keyla: 5a + 3b – 4c

to

Joe: 6a – 5b + 6c

A C

perdió 11 ganó 3

Matemática SIGMA 3 - Álgebra

B D

perdió 3 ganó 25

A C

S/ 91 S/ 142

B D

S/ 102 S/ 156

cincuenta y siete

57

¡Autoevalúate! 7

Halla el valor de N.

9

N = 7x2y3 + 5x2y2 – 5x2y3 + 3x2y2 – 8x2y2

Si a = 4 y b = 6, descubre el valor numérico de la siguiente expresión algebraica:

8

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

9ab + 5ab – 2a2 – 7b

A

2x2y2 + 16x2y3

B

2x2y2

A

262

B

264

C

8x2y3

D

2x2y3

C

272

D

284

Si a = 3 u y b = 7 u, encuentra el perímetro del siguiente rectángulo. 8a

B

C

10

Si m = 5 y n = 4, determina el valor de A + B. A = 4mn + 2n2 – m2 B = 8n + 6mn – n2

2b

A

D

64 u

B

76 u

A

213

B

223

C

88 u

D

96 u

C

236

D

243

1. D 2. B 3. C 4. D 5. C 6. B 7. D 8. B 9. A 10. B

¿Qué opina mi compañero?

Claves:

Pr

A

Coevaluación

to

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí?

Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a resolver operaciones aditivas con números enteros? 2. ¿Cómo aprendí a determinar el valor numérico de expresiones algebraicas?

58

cincuenta y ocho

Matemática ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Estadística y probabilidad

3

to

Pr

Primaria

Método EMAM

Método EMAM

Índice Competencia y capacidades

Unidad

Contenidos pedagógicos

1

3 4

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Apertura Cuento: La trampa para ratones

Representa datos con gráficos y medidas estadísticas o probabilísticas.

Recolección y organización de datos

5

Conteo y registro de datos cuantitativos

7

Tablas de doble entrada

9

2

Gráfico de barras verticales y horizontales

Comunica la comprensión de los conceptos estadísticos y probabilísticos.

13

Pictograma 17 ¡Autoevalúate! 21

Usa estrategias y procedimientos para recopilar y procesar datos.

Gráfico de barras dobles verticales agrupadas

23

Medidas de tendencia central

26

Sustenta conclusiones o decisiones con base en información obtenida.

Probabilidad de la ocurrencia de un suceso

32

Diagrama de árbol

34

¡Autoevalúate! 30

to

Pr

3

Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre

¡Autoevalúate! 11

4

¡Autoevalúate! 37

Nos encontramos rodeados de objetos tridimensionales. Estos se llaman así porque en ellos podemos encontrar características como: largo, ancho y alto. También se encuentra presente otra característica que podemos observar, esta es el color.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Ordenamos datos en una tabla de doble entrada

Nuestros juguetes, cuerpos tridimensionales

A partir de esta característica clasificaremos a los sólidos y los organizaremos en una tabla de doble entrada. Escribamos un palote por cada vez que contemos un objeto con el color indicado. COLOR

CONTEO

FRECUENCIA

amarillo

5

verde

4

rojo 2

Pr

Desempeños

3

azul

5

Responde.

1. ¿Cuántos sólidos hay en total?

2. ¿Qué objetos de tu aula podrías clasificar en un cuadro de doble entrada?

to

• Emplea procedimientos de recolección y organización de datos usando tablas de frecuencia para resolver problemas estadísticos. • Elabora gráficos estadísticos. Para esto clasifica datos cualitativos y cuantitativos, relacionados con un tema de estudio. • Interpreta información contenida en gráficos estadísticos. Expresa la ocurrencia de acontecimientos cotidianos usando nociones de seguro, posible e imposible. • Toma decisiones y elabora algunas conclusiones a partir de la información obtenida en el análisis de datos.

morado

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

tres

3

Valo res

Solidaridad

Enfoque de orientación al bien común

La trampa para ratones

Pr

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Un ratón estaba paseando tranquilamente por un agujero en la pared, cuando vio al granjero y a su esposa abriendo un paquete. En ese momento pensó: –¿Qué tipo de comida habrá ahí?–, pero quedó aterrorizado cuando descubrió que no era comida, sino una trampa para ratones. Entonces fue corriendo al patio de la granja a advertir a todos: –¡Hay una ratonera en la casa, una ratonera en la casa!–. La gallina, que cacareaba y escarbaba buscando alimento, levantó la cabeza y dijo: –Discúlpeme señor ratón, yo entiendo que es un problema para usted, pero a mí no me perjudica en nada, ni me incomoda–. El ratón fue entonces a buscar al cordero y le dijo: –Hay una ratonera en la casa, ¡una ratonera! –Discúlpeme señor ratón, le respondió el cordero–, pero no hay nada que yo pueda hacer, solamente pedir por usted. Lo recordaré en mis oraciones. Asustado, el pequeño ratón se dirigió entonces a la vaca que le respondió: –¿Pero acaso estoy yo en peligro? Pienso que no–. Aquella tarde, el ratón volvió a la casa, preocupado, solo y triste, por enfrentarse a la ratonera del granjero, pero al llegar oyó un gran barullo, como el de una ratonera atrapando a su víctima. Al oír el ruido la mujer del granjero corrió para ver lo que había atrapado. Entró tan rápido que no se percató que la ratonera había atrapado la cola de una serpiente venenosa que velozmente le picó en la pierna. El granjero, que acudió a los gritos de su esposa, la llevó inmediatamente al hospital para que la curaran, pero de vuelta a casa aún tenía la fiebre muy alta. El ratón, desde su agujero, observaba cómo el granjero cuidaba a su mujer. Y como todo el mundo sabe, para cuidar a alguien con fiebre, no hay nada mejor que un nutritivo caldo de gallina. Vio cómo agarró un cuchillo de la cocina y fue a buscar a la gallina, que es el ingrediente principal para preparar dicho caldo. Pero como la enfermedad de la mujer continuaba, la familia, los amigos y vecinos fueron a visitarla. El ratón vio cómo el granjero tuvo que matar al cordero para darle de comer a sus visitantes. Sin embargo y a pesar de todos los cuidados de su esposo, la mujer murió. Entonces el pequeño ratón vio, desde su ratonera, como el granjero, para poder pagar los gastos del funeral, vendió la vaca a un hombre que se la llevó al matadero.

Actividad.

1. ¿Por qué los animales de la granja no quisieron ayudar al ratón?

to

2. ¿Qué pasó con los animales que no ayudaron al ratón?

4

cuatro

3. ¿Alguna vez le has negado ayuda a alguna persona?

Recolección y organización de datos Relaciona

lo que sabes

Sandra preguntó a sus compañeros sobre el color del polo que usarán para el desfile.

COLOR DE POLO A ELEGIR PARA EL DESFILE

rojo rojo verde azul

rojo azul azul verde

azul azul rojo verde

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

azul azul rojo azul

Estos fueron los resultados: Responde.

¿Qué color de polo obtuvo la mayor cantidad de votos? 1.° Cuento y escribo el total de polos por cada valor. 2.° Verifico los datos y escribo los totales. Rpta. El polo azul obtuvo mayor cantidad de votos. Descubre

Color de polo

n.° de estudiantes

azul

8

rojo

5

verde

3

Total

16

y construye

Agrupa y ordena datos investigados según uno o más atributos o características. El número de veces que se repite un dato es la frecuencia.

Tabla de datos

Keyla define una situación, luego explica lo que hizo.

Fruta favorita de los alumnos de 3.er grado A

Matías hizo una encuesta sobre la fruta preferida por los estudiantes de 3.er grado A y obtuvo las siguientes respuestas:

manzana plátano

naranja

naranja manzana manzana plátano manzana naranja

Pr

manzana naranja

plátano

naranja plátano manzana

to

1.° Cuento con palotes y escribo el total de cada fruta. 2.° Verifico los datos y escribo el total. Fruta

Conteo

Frecuencias

manzana

6

plátano

4

naranja

5 Total

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

15

De la tabla podemos afirmar: a) La fruta preferida de los alumnos de 3.er grado A es la manzana. b) La fruta con menor preferencia es el plátano. cinco

5

Practica

b) El deporte preferido por las encuestadas es la .

lo aprendido

Nivel 1

perro canario gato gato

gato perro perro gato

Completa la tabla y responde. Mascota

Conteo

Frecuencia

Total

a) ¿Qué mascota es la preferida? . b) ¿Qué mascota es la menos preferida? . c) ¿Cuántos niños encuestados?

fueron .

Nivel

Pr

De una encuesta realizada sobre el deporte que practican las niñas de 3.er grado A de la I. E. Santa Rosa, en verano se hizo la siguiente tabla. n.° de estudiantes

natación

9

fútbol

4

baloncesto

6

to

Deporte

a) En total fueron encuestadas niñas. 6

Nivel

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

perro perro perro perro gato perro perro gato perro canario

2

c) Hay niñas más que prefieren la natación que el baloncesto.

Cecilia hizo una encuesta sobre la mascota que tienen los estudiantes de 3.er grado y obtuvo las siguientes respuestas:

seis

3

De una encuesta realizada a los estudiantes de 3.er grado de las secciones A y B, sobre las películas preferidas que han visto con sus familias, se confeccionó la siguiente tabla. Películas vistas por los estudiantes de 3.er grado Película

3.° A

3.° B

Minions

12

15

Home

18

16

Bob Esponja

6

8

Escribe V si la expresión es verdadera o F si es falsa. a) En 3.° A fueron encuestados más niños que en 3.° B.

b) En 3.° B, el número de niños que vieron Home es el doble de los que vieron Bob Esponja.

c) 14 niños en total vieron Bob Esponja. d) La película Minions fue más vista en 3.° A que en 3.° B. e) La película Home es la menos preferida. f) 34 niños en total prefirieron ver Home.

Conteo y registro de datos cuantitativos Relaciona

lo que sabes

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

La profesora Julia ha realizado una encuesta para saber el número de hijos de las familias de los estudiantes de 3.er grado de primaria y con los datos obtenidos elaboró una tabla de frecuencias.

1.° Escribió las respuestas de 18 niños. 4

3

5

4

4

4

2

4

4

3

5

3

4

3

4

5

3

2

2.° Elaboró una tabla de frecuencias. n.° de hijos por familia 2 3 4 5 Total

Dile las respuestas a un compañero: a) ¿Cuántas hijos? Descubre

Los datos cuantitativos

familias

tienen

Frecuencia 2 5 8 3 18

b) ¿Cuántas familias tienen a lo más tres hijos?

cinco

y construye

representan una cantidad.

Se registran

en un cuadro o tabla de frecuencias. Permiten:

• Leer la información recolectada. • Plantear preguntas sobre la información.

Pr

Keyla cuenta los datos y elabora una tabla de frecuencias. Luego, responde. Edades de los estudiantes de 3.er grado

to

9 8 8 9

Edad

Frecuencia

7

2

8

15

9

7

8 7 8 9

8 8 8 8

8 8 9 8

8 8 8 9

7 9 9 8

a) ¿Qué edad es la que más se repite? Rpta. La edad que más se repite es 8 años. b) ¿Cuántos estudiantes tienen a lo más 8 años? Rpta. 17 estudiantes.

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

siete

7

Practica

Nivel

lo aprendido 2

Nivel 1

Con los datos recolectados y anotados en la tabla, realiza lo que se indica.

En una encuesta realizada por Alberto sobre la edad que tienen cada uno de sus compañeros de clase se obtuvo los siguientes datos: 8 años 7 años 8 años 8 años

9 años 8 años 8 años 7 años

8 años 8 años 9 años 7 años

8 años 8 años 7 años 8 años

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

n.° de hermanos de los estudiantes de 3.° A

1 1 3 3

2 2 2 2

0 0 3 2

3 1 1 1

2 2 2 1

a) Completa la frecuencias. Edades

Conteo

de

Frecuencia

7 años

Cuenta los datos y completa la tabla de frecuencias.

8 años 9 años

n.° de hermanos de los estudiantes de 3.° A

n.° de hermanos

tabla

Total

n.° de estudiantes

b) Escribe la respuesta.

0

¿Cuántos estudiantes tienen por lo menos 8 años?

1 2 3

Rpta.

Total

Nivel

Escribe la respuesta.

Observa la siguiente tabla y responde.

Pr

a) ¿Cuántos estudiantes hay en el 3.º A?



Rpta.

.

to

b) ¿Cuántos estudiantes tienen solo dos hermanos?

Rpta.

.

c) ¿Cuántos estudiantes tienen más de un hermano? 8

Rpta.

ocho

.

Edades de los niños de 3.er grado A

Edad

7 años 8 años 9 años 10 años

Frecuencia

3

9

6

8

2

¿Qué expresión no es verdadera? A B C D

15 niños como máximo tienen 8 años. 10 niños como mínimo tienen 9 años. Hay 15 niños menores de 9 años. Hay 2 niños mayores de 10 años.

Tablas de doble entrada Relaciona

lo que sabes

Observa los animales e identifica a qué grupo pertenecen.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Esta tabla está hecha en base a la clase de animal y su alimentación.

Tipo de alimentación Clase de animal

Descubre

Herbívoros

Carnívoros

aves

gallina, paloma

cóndor

mamíferos

vaca

león

y construye

Está formada por filas (1.a entrada) y columnas (2.a entrada).

Tabla de doble entrada

Sandra clasificó los animales en una tabla de doble entrada.

Hábitat Clase de animal

Terrestre

Acuático

mamífero

caballo

delfín

reptil

cocodrilo

tortuga marina

Pr

1

El dato buscado se encuentra en la intersección de fila y columna respectiva.

Observa la siguiente tabla y completa los totales. Luego, responde. 1.er día

2.° día

3.er día

Total

a) ¿Qué equipo obtuvo mayor puntaje?

Los cóndores

50

20

30

100



Las águilas

60

40

20

120

Los halcones

60

60

30

b) ¿Qué equipo obtuvo menor puntaje?

150



to

2

Equipos

Puntaje

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

Rpta. Los halcones

Rpta. Los cóndores nueve

9

Practica

lo aprendido

Nivel Observa la tabla que muestra los gastos de una familia en los servicios básicos. Meses Servicios

enero

febrero

marzo

abril

mayo

junio

gas

50

50

50

50

50

50

luz

70

80

85

95

120

100

agua

30

35

47

45

40

38

teléfono

85

90

92

100

98

95

Una tabla de doble entrada está formada por filas y columnas. La primera entrada es por la fila y la segunda por la columna.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

1

a) ¿En qué mes se paga más por la luz?

b) ¿Cuánto se pagó de agua en los seis meses? c) ¿En qué mes los gastos fueron menos?

Nivel 2

Observa la tabla de doble entrada, completa y escribe las respuestas. n.° de estudiantes por grado Género n.° de Grado M F estudiantes 1.er 15 40

2.º

18

3.er

20

4.º

16

5.º

6.º

30

17

29

19

28

201

b) ¿Cuántos estudiantes están matriculados en 3.er grado?

c) ¿Cuántos varones hay matriculados en 1.er y 2.° grado? d) ¿Cuántas alumnas hay en total?

e) ¿Cuántos estudiantes hay matriculados en los tres grados mayores?

Pr

Total

38

a) ¿Qué grado tiene la menor cantidad de estudiantes matriculados?

Nivel 3

Completa la tabla de doble entrada de tres miembros de tu familia. Talla en cm

to

Nombres

a) ¿Quién tiene mayor talla? b) ¿Quién tiene menor masa corporal? 10 diez

Masa en kg

Edad en años

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. Julio recogió la siguiente información de los estudiante de 3.er grado. 18 16 15 17 17 18 16 16 18 15 15 18 17 17 16 16 16 18 18 18 15 16 17 16 16 15 16 18 17 17

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Anahí hizo una encuesta sobre qué ciudad del Perú era su preferida. Los resultados obtenidos son los siguientes. Arequipa Tacna Chiclayo Chiclayo Cusco Tarapoto Tacna Cusco Arequipa Cusco Arequipa Tacna Arequipa Arequipa Tarapoto Chiclayo Tacna Cusco Tarapoto Cusco Cusco

Completa la tabla; luego, responde. Ciudad preferida por un grupo de personas

Ciudad Arequipa

Conteo

Frecuencia

Completa los datos de la tabla y responde. Notas obtenidas por los estudiantes de 3.er grado

Chiclayo

Nota 15

Cusco

16

Tacna

17

Tarapoto

18

Total

1

C

Tacna Arequipa

B

D

4

Cusco Chiclayo

¿Cuántos alumnos obtuvieron menos de 17 de nota? A

C

¿Qué ciudades tienen igual preferencia por los encuestados?

Pr

2

A B

D

3

C

C

4 2

B D

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

3 1

6

5 15

B

D

10 22

¿Cuántos alumnos obtuvieron la nota mayor? A

¿Cuántas personas más prefieren Cusco que Tacna? A

5

Arequipa y Cusco Arequipa y Tacna Tacna y Tarapoto Chiclayo y Tarapoto

to

C

Frecuencia

Total

¿Qué ciudad es la más preferida por los encuestados? A

Conteo

10 7

¿Cuántos alumnos más de 15 de nota? A C

10 17

B

D

8 5

obtuvieron B D

15 25 once

11

¡Autoevalúate! Una empresa textil organiza en una tabla de doble entrada la información de la cantidad de sus productos vendidos durante el 2018.

8

¿Cuántas prendas se vendieron desde setiembre hasta noviembre?

A

Observa la tabla. Luego, responde.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

B

1380 prendas 960 prendas 930 prendas 870 prendas

C

Mes

camisa

pantalón

chompa

enero

130

120

50

febrero

130

110

50

marzo

130

120

80

abril

150

150

100

A

mayo

150

200

200

B

junio

180

180

160

C

julio

200

190

180

D

agosto

190

190

180

setiembre

180

180

150

octubre

150

150

150

noviembre

150

150

120

Estudiantes

diciembre

120

140

100

¿En qué mes se vendió más pantalones? A

Pr

C

junio mayo

B

D

julio agosto

9

10

¿En qué meses se vendieron menos chompas? febrero y marzo abril y mayo enero y mayo enero y febrero

¿Qué expresión es verdadera?

Mascotas preferidas por los alumnos de 3.er grado Mascotas

A B

C D

perros

gatos

pájaros

niñas

9

6

4

niños

12

6

2

Hay menos perros que gatos. Los pájaros son los preferidos. Hay 19 mascotas en total. Hay 9 perros más que gatos.

1. B 2. D 3. C 4. C 5. B 6. D 7. C 8. A 9. D 10. D

7

D

¿Qué opina mi compañero?

Claves:

Reporte anual de venta de productos

Coevaluación

to

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí?

Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a recolectar datos y registrarlos en una tabla de frecuencias? 2. ¿Cómo aprendí a organizar los datos en tablas de doble entrada? 12 doce

Gráfico de barras verticales y horizontales Relaciona

lo que sabes

Observa y responde. Puntajes obtenidos por las barras

Puntajes obtenidos por los equipos

Puntajes

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Deportes

fútbol

15 10 5

0

1.º

2.º

baloncesto

vóley

0

3.º

Fechas de presentación

5

10

15

20

25

Puntajes

a) ¿Qué nos muestra cada gráfico?

b) ¿Qué es lo que se quiere comunicar o dar a conocer en cada gráfico? Descubre

y construye

Los datos recolectados y agrupados en una tabla, también pueden observarse en un:

Gráfico de barras verticales: Las variables de estudio se representan en el eje horizontal y las frecuencias en el eje vertical.

Gráfico de barras horizontales: Las variables de estudio se representan en el eje vertical y la frecuencia en el eje horizontal.

Miguel realizó el conteo en una tabla simple, elaboró un gráfico de barras verticales y respondió.

1

Colores favoritos para las camisetas de la olimpiada

Color

Pr

azul rojo verde azul rojo azul rojo azul azul azul rojo azul verde rojo azul azul rojo verde azul rojo

to n.º de estudiantes

Total

azul

10

rojo

7

verde

3

a) ¿Qué color es el favorito de los estudiantes? Rpta. azul

9

b) ¿Cuántos estudiantes prefieren el azul?

6

Rpta. 10

3 0

Conteo

azul

rojo

verde

Colores Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

c) ¿Qué color de camiseta es el menos preferido? Rpta. verde trece

13

2

Sandra confeccionó el gráfico de barras horizontales con los datos de la tabla y luego escribió las respuestas. Presupuesto mensual

Presupuesto mensual S/

Palma

1500

Tuesta

900

Ruiz

1200

Zavaleta

Familias

Familia

Ruiz Tuesta

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Palma

Zavaleta

1000

0

300

600

900

1200

1500

Soles

a) ¿Qué familia gastó más?

Rpta. La familia Palma

b) ¿Cuánto es la diferencia entre lo que gastó la familia Palma y lo que gastó la familia Ruiz? Rpta. S/ 300 c) ¿Cuánto gastaron las cuatro familias juntas?

3

Pablo observó el gráfico de barras verticales y escribió las respuestas.

n.° de madres

Postre favorito de las madres de familia de 3.er grado

30

25

a) ¿Qué postre es el preferido por las madres? Rpta. Mazamorra

b) ¿Cuántas madres fueron encuestadas en total? Rpta. 20 + 15 + 25 = 60

20

15

10

0

torta

helado mazamorra

Postres

4

Rpta. S/ 4600

c) ¿Qué postre es el menos preferido por las madres? Rpta. Helado

Miguel elaboró un gráfico de barras horizontales con los datos agrupados en la tabla. Luego, respondió.

Pr

Comida favorita de los padres de familia

n.º de padres de familia

lomo saltado

22

cebiche

cebiche

31

carapulcra

carapulcra

15

ají de gallina

ají de gallina

24

to

Comida

lomo saltado

0

5

10

15

20

25

30

a) ¿Cuál es la comida preferida por los padres?

Rpta. Cebiche

b) ¿Cuál es la menos preferida por los padres?

Rpta. Carapulcra

c) ¿Cuántos padres fueron encuestados en total?

Rpta. 92 padres

14 catorce

Practica

lo aprendido

Nivel Completa el gráfico de barras y escribe la respuesta. Idiomas preferidos por los estudiantes de 3.er grado Frecuencia

portugués

70

80 70 60 50 40 30 20 10 0

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Idiomas

Idiomas preferidos por los estudiantes de 3.er grado n.º de estudiantes

1

alemán

40

inglés

80

francés

50

portugués

alemán

inglés

francés

Idiomas

Total

a) ¿Qué idioma fue el preferido?

b) ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?

c) ¿Cuántos estudiantes más prefieren francés que alemán?

2

Con los siguientes datos traza un gráfico de barras verticales. Deporte preferido

natación

50

fútbol

70

vóley

40

baloncesto

30

tenis

60

80 70 60 50 40 30 20 10 0

natación

vóley

fútbol

baloncesto

tenis

Deportes

Completa el gráfico de barras horizontales y escribe la respuesta.

Pr

3

Deporte preferido

n.º de personas

n.º de personas

Deportes

Registro de temperatura por estación

Registro de temperatura por estación

primavera

21

verano

26

otoño

18

invierno

16

primavera

Estaciones

Temperatura promedio (°C)

to

Estación

verano

otoño

invierno 0

5 10 15 20 25 Temperatura promedio (°C)

30

a) ¿Qué estación presenta la temperatura más baja? b) ¿Cuánto bajó la temperatura de verano a invierno? Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

quince

15

Nivel 4

Completa el diagrama de barras horizontales con los datos de la tabla presentada a continuación. Zapatos vendidos

de semana 1.a

1.a 2.a 3.a

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

500

2.a

700

3.a

400

4.a

300

5.a

600

6.a

5

Zapatos vendidos

n.o de zapatos vendidos n.o de semanas

n.o

4.a 5.a 6.a

0

100

200

n.°

350

300

400

500

600

700

800

de zapatos vendidos

Observa el siguiente diagrama de barras horizontales y escribe la respuesta. Ahorros en soles

Amigas

Sofía Lily

Ana

El tamaño de las barras va de acuerdo al valor de la frecuencia para ese dato.

Katy

0

100 150 200 250 300 350 400 450 500 Soles

a) ¿Quién ahorró más?

b) ¿Cuánto suman los ahorros de Ana y Katy?

Nivel

Observa el gráfico de barras del ejercicio anterior y pinta el círculo de la respuesta.

Pr

6

a) ¿Cuánto más ahorró Lily que Sofía? S/ 350

B

S/ 300

C

S/ 250

D

S/ 200

C

S/ 250

D

S/ 200

D

S/ 1350

to

A

b) ¿Cuánto menos ahorró Katy que Lily? A

S/ 350

B

S/ 300

c) ¿Cuánto ahorraron en total las cuatro amigas? A

16 dieciséis

S/ 1150

B

S/ 1200

C

S/ 1250

Pictograma Relaciona

lo que sabes

Lucía tiene una pastelería y durante la semana ha vendido 30 porciones de budín, 35 de crema volteada, 35 de torta de chocolate y 40 de pie de limón. Ahora, ella desea organizar estos datos en un pictograma. Por ello, Miguel va a ayudarla.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

1.° Elige un símbolo y decide cuántas porciones representará. El símbolo puede ser una porción de un pastel.

Para encontrar este valor, observa cada uno de los datos y analiza entre qué números se pueden dividir todos. Las cantidades 30; 35; 35 y 40 se pueden dividir entre 5.

Representa 5 porciones

2.° Construye el pictograma con el símbolo elegido y la cantidad que representa. Venta de dulces durante la semana

Pasteles

Conteo

Total

budín

30

crema volteada

35

torta de chocolate

35

pie de limón

40

Descubre

y construye

Un pictograma

es la representación de datos estadísticos

Ejemplo:

relacionado con los datos analizados.

El ícono representa un valor distinto de la unidad.

Pr

representa 10 llamadas telefónicas

mediante íconos

1

Sandra construyó un pictograma y respondió algunas preguntas. Curso

Conteo

a) ¿De qué curso hay más libros?

to

Matemática

Matemática

Comunicación

b) ¿Cuántos libros hay en total?

Inglés Personal Social

360 libros = 20 libros

c) ¿Cuánto es la diferencia entre el mayor y menor número de libros? Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

diecisiete

60 17

2

Joe observó el pictograma que representa el número de computadoras vendidas durante los cinco días de la semana. Luego, respondió las preguntas. Días

Conteo

= 5 computadoras

lunes martes

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

miércoles jueves

viernes

a) ¿Qué día vendió computadoras?

más

Vendió más el día viernes.

b) ¿Cuántas computadoras fueron vendidas en total?

3

85 computadoras.

c) ¿Qué día se vendió 20 computadoras?



El martes.

d) ¿Qué diferencia hay entre el número de computadoras vendidas el martes y el miércoles?



Hay

10

computadoras

de

diferencia.

Observa el siguiente pictograma y responde. Visitantes al museo de arte de lima

Días

Conteo

Total 30

martes

120

miércoles

180

jueves

90

viernes

150

Pr

lunes

Un pictograma es una representación gráfica de datos estadísticos empleando figuras.

to

= 30 personas

a) ¿Cuántas personas visitaron el museo el jueves? Rpta. 90 personas

c) ¿Cuántas personas fueron en total al museo? Rpta. 570 personas

b) ¿Qué día visitaron más personas el museo? Rpta. El miércoles

d) ¿Cuántas personas más fueron el miércoles que el jueves? Rpta. 90 personas

18 dieciocho

Practica

lo aprendido

Nivel 1

A continuación se muestra un pictograma que representa la venta de gelatinas en una fuente de soda.

2

El veterinario muestra en un pictograma la cantidad de gatos que atendió en cuatro meses. Atención a gatos Meses

= 10 personas, completa:

Conteo

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Si

enero

Venta de gelatinas

Sabores

Conteo

Total

febrero

fresa

marzo

naranja

abril

piña

= 10 gatos

a) En total se vendieron gelatinas.

3

a) En total se atendieron gatos.

b) Las gelatinas preferidas son las de .

b) Se atendieron más gatos en el mes de .

c) Se vendieron decenas de gelatinas de fresa y piña.

c) En enero se atendieron gatos más que en abril.

Pega los sticker necesarios para completar el pictograma. Usa los adhesivos que están al final del libro. Preferencia de los canales de cable

Canal

Conteo

60

Pr

Discovery Kids

Cartoon Network

75

Disney XD

105

= 15 niños

Observa el pictograma anterior y responde.

to

4

Total

a) ¿Cuántos niños más prefieren ver Disney XD que Discovery Kids?



Rpta.

.

b) ¿Cuántos niños fueron encuestados en total?

Rpta.

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

. diecinueve

19

Nivel 5

= 10 polos, completa.

Si

a) ¿Cuántos polos azules produjeron?

Producción de polos

Polos

Conteo

Total

b) ¿Cuántos polos verdes produjeron?

azul verde

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

c) ¿Cuántos polos produjeron en total?

rojo

6



El gráfico muestra el número de naranjas que ha recogido Pablo cada día. Día

Conteo

Total

lunes

a) ¿Cuántas naranjas recogió en total? b) ¿Cuántas naranjas menos se recogieron el miércoles que el viernes?

miércoles viernes

= 5 naranjas

Nivel 7

= 25 estudiantes, completa.

Si

Estudiantes inscritos

Talleres

Conteo

Total

vóley

fútbol

¿Cuántos estudiantes se inscribieron en cada uno de los talleres?

baloncesto

Pr

natación

8

Observa el pictograma anterior; luego, pinta el círculo de la alternativa correcta.

to

a) ¿Cuántos estudiantes inscritos hay en el taller de natación más que en el de fútbol?

20 veinte

b) ¿Cuántos estudiantes necesita inscribir el taller de baloncesto para tener tantos como el de vóley?

A

25

A

25

B

125

B

75

C

150

C

100

D

275

D

250

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. Realiza el conteo en una tabla simple y elabora un gráfico de barras verticales.

1

Finalmente, responde.

¿Qué juguete es el preferido por los niños encuestados? B

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

A

C

2

¿Cuántos niños en total fueron encuestados? A

C

3

Juguetes preferidos por los niños de 3.er grado

Juguete

Conteo

C

4

Pr

5

to

Cantidad de juguetes

Juguetes preferidos por los niños de 3.er grado

6

2 1

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

B

D

C

D

6 16

3 7

¿Cuántos niños más prefieren el carro que la pelota? 1 3

B

D

2 9

¿Cuántos niños deberían aumentarse a los que prefieren el avión para ser tantos como los que prefieren el carro? A

Juguetes

2 4

B

5

3

D

A

C

4

B

¿Qué juguete es el menos preferido por los niños encuestados?

A

6

3 10

¿Cuántos niños menos prefieren el avión que el caballito de palo? A

Frecuencia

D

C

4 2

B D

3 1

veintiuno

21

¡Autoevalúate! Interpreta el pictograma y completa la tabla. Luego, responde.

7

Ganancias del bazar Nicoma durante el 2018 enero febrero

A

enero

B

noviembre

C

abril

D

octubre

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

marzo

¿En qué mes, el bazar Nicoma, obtuvo menor ganancia?

Mes

mayo junio julio

agosto

9

setiembre octubre

noviembre diciembre

= S/ 1000

Mes enero

Ganancia

febrero

10

¿Cuánto fue la ganancia obtenida en el último trimestre del año? A

S/ 1000

B

S/ 2000

C

S/ 4000

D

S/ 7000

La diferencia entre las ganancias de abril y setiembre es: A

S/ 1000

B

S/ 2000

C

S/ 3000

D

S/ 4000

Responde con la información del pictograma. ¿Cuántas tazas de café se vendieron en total?

marzo

Días

abril

lunes

mayo junio julio

agosto

martes

miércoles

setiembre octubre

noviembre

= 30 tazas de café

A

C

350 330

¿Qué opina mi compañero?

340 320

B

D

1. B 2. D 3. B 4. D 5. C 6. A 7. D 8. D 9. B 10. C

Pr

diciembre

Conteo

Claves:

8

abril

Coevaluación

to

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí?

Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a leer, interpretar y construir un gráfico de barras horizontales y verticales? 2. ¿Cómo aprendí a interpretar y leer un pictograma? 22 veintidós

Gráfico de barras dobles verticales agrupadas Relaciona

lo que sabes n.° de matriculados en la I. E. Nuevo Sol

El director y los profesores de la I. E. Nuevo Sol analizan el número de alumnos matriculados en los años 2016 y 2017.

300 250 200

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

n.º de estudiantes

350

¿En qué año hubo más estudiantes matriculados?

150 100 50

¿Cuántos estudiantes se matricularon en cada

0

año? ¿En cuánto se incrementó la matrícula?

2016

Años

varones

Descubre

Los gráficos de barras dobles agrupadas

1

2017

mujeres

y construye

sirven para

• Visualizar con claridad la información recolectada. • Comparar las cantidades. • Plantear la solución de problemas.

Pueden ser

verticales.

horizontales.

Keyla confeccionó un gráfico de barras verticales agrupadas y responde.

n.° de estudiantes

Estudiantes matriculados en 3.er y 4.o grado 75 60



45 30

Rpta. 3.er = 75 y 4.° = 90

b) ¿Cuántos estudiantes menos hay en 3.er que en 4.°?

15

0

a) ¿Cuántos estudiantes hay en cada grado?

3.er

Grados



Rpta. 15 estudiantes.

mujeres

Pr

varones

4.º

Pablo graficó con barras verticales y respondió las preguntas planteadas.

to

a) ¿En qué grado se inscribieron más estudiantes en el taller de Matemática? Rpta. En 2.° grado.

b) ¿En qué grado se observa el menor número de mujeres inscritas? Rpta. En 1.er grado. Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

n.° de inscritos en talleres de Matemática

n.° de estudiantes

2

60 50 40 30 20 10

0

1.er varones

2.o Grados

3.er mujeres

veintitrés

23

Practica

lo aprendido

Nivel La gráfica muestra el número de alumnos varones y mujeres de primaria de la I. E. P. Sigma durante el 2018. Cantidad de alumnos de primaria de la I. E. P. Sigma el año 2018

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Cantidad de alumnos

40 35 30 25

Varones

20

Mujeres

15 10 5

0

1

1.º

2.º

3.º

Grados

4.º

5.º

6.º

Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa.

a) En 5.º grado el número de mujeres es 5.

b) En 6.º grado hay igual número de varones y mujeres.

c) En tres grados distintos el número de varones es igual. d) En 2.º grado no hay mujeres.

2

Completa las expresiones con las cantidades que corresponden.

a) En 3.er grado hay

varones y

mujeres.

Pr

b) El total de alumnos de primaria de la I. E. P. Sigma es

.

c) La diferencia entre la cantidad total de varones y mujeres es

Relaciona con una línea cada expresión con su respuesta.

to

3

.

La diferencia entre varones y mujeres de 2.° grado.

75

Cantidad total de alumnos hasta 3.er grado.

25

Cantidad de alumnas desde 4.° grado hasta 6.° grado.

120

24 veinticuatro

Nivel

Nivel

3.° C

aprobados

12

16

14

desaprobados

8

4

10

STA. RITA STA. ANA

3.° B

Fútbol Vóley Baloncesto

4

0

Completa el gráfico.

Cantidad de alumnos

14 12 10 8 6 4

8

2

3.° B

3.° C

Aula

Aprobados

A

2

B

3

C

4

D

5

to

80 100

9

¿Cuántos no aprobaron en total?

En total, ¿a cuántos estudiantes más les gusta el fútbol que el vóley? A

60

B

50

C

40

D

30

Determina si la expresión es verdadera V o falsa F y pinta la alternativa que corresponde.

• E n S t a . A n a h a y 2 0 estudiantes menos que en Sta. Rita.

¿Cuántos alumnos más aprobaron en 3.º B que en 3.º A?

Pr 6

60

• L a s u m a d e l o s q u e prefieren el baloncesto en Sta. Rita y Sta. Ana es igual que en Sta. Inés.

Desaprobados

Responde. 5

40

Observa el diagrama de barras horizontales y pinta el círculo de la respuesta. 7

16

3.° A

20

n.° de estudiantes

Cantidad de alumnos del 3.er grado aprobados y desaprobados en el examen de Matemática

0

STA. INÉS

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

3.° A

Preferencia de los estudiantes de primaria por los deportes Instituciones educativas

El cuadro muestra la cantidad de alumnos de tres aulas del 3.er grado que aprobaron y desaprobaron el examen bimestral de Matemática.

A

VV

B

VF

C

FF

D

FV

En total, ¿cuántos estudiantes prefieren el baloncesto y cuántos el vóley?

A

42

B

36

A

220 y 190

B

150 y 180

C

28

D

22

C

130 y 200

D

140 y 190

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

veinticinco

25

Medidas de tendencia central Relaciona

lo que sabes

Joe anotó la edad de sus 10 amigos. 7 años

9 años

8 años

9 años

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

9 años 10 años

8 años

10 años

10 años

10 años

Luego, halló el promedio de esta manera:

9 + 7 + 9 + 8 + 9 + 10 + 8 + 10 + 10 + 10 10 90 x = 10 • El promedio es 9.



x =



• La moda es 10.

x = 9

El dato que más se repite es 10. Entonces, la moda es 10: Descubre

Mo = 10

y construye

El promedio ( x )

Moda (Mo)

El promedio o media aritmética es igual a la suma total de datos dividido entre el número de datos.

Keyla halló la media aritmética y la moda para los datos de la tabla que muestra el número de estudiantes por grado del colegio Sigma.

Pr

1

La moda es el dato que más se repite.

Estudiantes del colegio Sigma n.° de estudiantes

1.er

36

2.°

35

3.er

37

4.°

38

5.°

35

6.°

35

to

Grado

26 veintiséis

1.° Hallo la media aritmética.

216 = 36 + 35 + 37 + 38 + 35 + 35 = = 36 6 6 x = 36 x

2.° Hallo la moda.

Mo = 35

El dato que más se repite es 35.

2

Pablo calculó el promedio de sus calificaciones en Matemática durante todo el año y explica cómo se halla. 16

x

=

14

20

14

18

14

14

18

16 + 14 + 20 + 14 + 18 + 14 + 14 + 18 8

1.° Sumo todos los datos. 2.° El resultado de la suma lo divido entre el número de datos. (Hay 8 datos)

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

128 x = 8 x

= 16

3.° El resultado de la división es el promedio.

Rpta. El promedio o media aritmética es 16.

3

Miguel calculó el promedio y halló la moda de los datos relacionados a la talla de calzado de 10 compañeros de clase. 32 30

El promedio es: x =

32 30

34 30

32 30

32 + 30 + 32 + 34 + 32 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 10

310 10

x

=



= 31

x

30 30

La moda Mo = 30, porque es el dato que más se repite.

Sandra registró el número de litros de leche que obtuvo diariamente de su establo durante una semana. Luego, halla el promedio y encuentra la moda.

Pr

4

to

25

El promedio es: x =

26

23

26

18

20

25 + 30 + 26 + 23 + 26 + 18 + 20 7

168 7

x

=



= 24

x

30

La moda Mo = 26, porque es el dato que más se repite. Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

veintisiete

27

Practica

lo aprendido

Nivel 1

Completa la tabla y la solución para hallar el promedio de platos típicos vendidos durante un día en la feria regional. Platos típicos

n.° de platos vendidos

chicharrones trucha frita picante de cuy chupe de camarones seco de cabrito

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

450 200 200 350 400

Total

a) ¿Cuál es el promedio de platos vendidos?

x =



x =



x =

450 + 200 +

+

+ 400

5

b) ¿Cuál es el plato típico más vendido?

2

El diagrama de barras muestra las ventas realizadas por una heladería, durante 5 días de una semana. ¿Cuánto es el promedio de helados vendidos? Helados vendidos

n.° de helados

300 250 200 150 100 50

lunes

Pr

0

martes

miércoles

jueves

Días



Rpta. Se vendió

como promedio.

La tabla muestra las notas obtenidas por Miguel en los 4 bimestres. Calcula el promedio anual.

to

3

viernes

Bimestre

Nota

I

15

II

18

III

16

IV

15

28 veintiocho



Rpta. El promedio anual de Miguel es

.

Nivel 4

Halla el promedio de cada situación. a) En la tabla se muestra las edades de seis amigos. Edad

José

10

Diana

12

Sonia

13

Carlos

14

Juan

11

Lupe

12

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Amigos

Rpta.

n.° de periódicos

b) El gráfico lineal muestra la venta de periódicos en cinco días. 70 60 50 40 30 20 10 0

lunes

martes miércoles jueves viernes

Días

Observa los gráficos y determina la moda.

a)

Colores preferidos 10 %

15 %

40 %

20 %

Pr

15 %

es el color de moda.

b)

n.° de personas

5

Rpta.

Deportes preferidos

20 15 10 5

0

fútbol

vóley

baloncesto

tenis

Deportes

es el deporte de moda.

to

Nivel 6

Si Roxana registró el número de llaveros que vendió durante una semana y obtuvo: 15 ; 16 ; 20 ; 14 ; 14 ; 26 y 14. ¿Cuál es el promedio y la moda? es el promedio de llaveros. es la moda.

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

veintinueve

29

¡Autoevalúate! El gráfico muestra la venta de juguetes con motivo de la celebración del Día del Niño.

100 80

Ken

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

n.° de juguetes

120

60

Barbie

40 20 0

lunes

martes

miércoles

jueves

viernes

sábado

domingo

Días

Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 1

2

¿Cuántos muñecos Ken se vendieron en total en la semana?

A

320

B

420

C

520

D

620

¿Cuántos juguetes se vendieron desde el lunes hasta el miércoles?

180

Pr

A

C

200

D

280

¿Cuántas muñecas Barbie se vendieron el sábado y domingo?

to

3

240

B

4

5

6

¿Cuánto es la diferencia de los muñecos vendidos de Ken y Barbie?

A

940

B

520

C

420

D

100

¿Cuántos juguetes se vendieron durante los días lunes, miércoles y viernes?

A

80

B

100

C

300

D

320

¿Qué día se vendieron más muñecas Barbie que muñecos Ken?

A

180

B

120

A

sábado

B

viernes

C

100

D

60

C

domingo

D

lunes

30 treinta

¡Autoevalúate! Se registran las notas que obtuvieron 13 alumnos en un examen de Estadística: 11

13

08

12

10

15

15

12

11

15

08

10

9

Encuentra la moda de las edades de un grupo de 18 personas.

16

16

18

20

21

19

19

20

18

17

18

21

20

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

7

21

Calcula el promedio y halla qué nota es la moda.

B

8

D x

= 12 y Mo = 15

17

A

16

B

18

C

20

D

21

Determina la media aritmética de los datos de la tabla. Temperatura registrada en la semana (°C)

L

M

M

J

V

S

D

21

23

19

18

21

20

25

20

14

18

14

19

15

19

17

15

19

A

Mo = 19 y x = 18

B

Mo = 15 y x = 17

20

B

21

C

Mo = 19 y x = 17

C

23

D

25

D

Mo = 17 y x = 19

1. C 2. D 3. A 4. D 5. C 6. C 7. D 8. B 9. B 10. C

¿Qué opina mi compañero?

las en

¿Qué nota representa la moda y cuánto es el promedio?

A

Pr

18

alumnos obtuvieron siguientes calificaciones Matemática:

x = 15 y Mo = 13

= 12 y Mo = 17

16

10 Diez

= 13 y Mo = 15

C x

16

Claves:

A x

19

Coevaluación

to

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí?

Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a leer, interpretar y construir un gráfico de barras dobles verticales agrupadas? 2. ¿Cómo aprendí a hallar la media aritmética y a encontrar la moda de un grupo de datos?

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

treinta y uno

31

Probabilidad de la ocurrencia de un suceso Relaciona

lo que sabes

Observa el experimento y responde.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Experimento: Se extrae dos tarjetas de una caja que contiene una tarjeta roja, una verde y una amarilla.

a) ¿Las dos tarjetas extraídas pueden ser rojas?, ¿cómo se llama este suceso? b) ¿Puede salir una tarjeta roja y una verde?, ¿cómo se llama este evento? c) ¿Las dos tarjetas son de diferente color?, ¿cómo se llama este suceso? Descubre

y construye

Experimento es una actividad bien definida o precisa de lo que se va a realizar.

1

Un suceso o evento ocurre al realizar el experimento.

Suceso seguro es lo que siempre ocurre. Suceso posible es lo que puede ocurrir.

Suceso imposible es lo que nunca ocurre.

Joe escribió todos los sucesos posibles del experimento planteado. Luego, hizo algunas preguntas sobre probabilidad de que ocurra o no un suceso. Sucesos posibles { RV ; RA ; VA }

Nota: R = rojo ; V = verde ; A = amarillo

a) La posibilidad o probabilidad de que salga una roja y una verde es, ¿un tercio o un sexto?

b) ¿Las dos tarjetas pueden ser amarillas?, ¿sí o no?

c) ¿Las dos tarjetas pueden ser de diferente color?, ¿sí o no? ¿por qué?

Pr

d) ¿Qué sucesos son posibles (P) y qué sucesos son imposibles (I)?

1) Las dos son amarillas I

2) Sale roja y negra

I



3) Sale amarilla y verde P

4) Ninguna es roja

P

Sea el experimento: Se extrae una bola al azar de una urna donde hay: 2 bolas rojas, 1 amarilla y 3 azules.

to

2

Responde. a) ¿Qué color de bola tiene más posibilidad de ser extraído? ¿Por qué?

Rpta. La bola azul, porque hay más que las otras.

32 treinta y dos

b) ¿Cuántas bolas debo sacar como mínimo para asegurarme de obtener una azul? Rpta. Debo sacar como mínimo 4 bolas, porque las tres primeras pueden ser 2 rojas y 1 amarilla. c) ¿Es posible sacar una bola blanca? ¿Qué tipo de suceso es?

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Rpta. No es posible, porque en la urna no hay alguna bola que sea blanca. Es un suceso imposible. Practica

lo aprendido

Nivel

1

2

Determina si la expresión es verdadera V o falsa F.

Nivel

3

Contesta con Sí o No a cada pregunta.

• Suceso es lo que ocurre al realizar un experimento.

Experimento: Se lanza tres veces una moneda de un sol.

• Suceso es el experimento que se realiza.

a) ¿Las tres veces puede salir cara?

• Probabilidad es la posibilidad que ocurra un suceso.

b) ¿Las tres veces puede salir sello?

Si se extrae una por una cuatro bolas de la caja, ¿qué suceso no puede ocurrir?

d) ¿Puede salir una vez cara y dos veces sello?

c) ¿Puede salir dos veces cara y dos veces sello?

Pr

Nivel

to

A

4

Sea el experimento de lanzar dos dados dos veces y se suman los resultados de las dos veces, ¿qué suceso no puede ocurrir?

B

C

D Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

A

Que la suma sea 4.

B

Que la suma sea 9.

C

Que la suma sea 20.

D

Que la suma sea 25. treinta y tres

33

Diagrama de árbol Relaciona

lo que sabes

Andrea tiene 3 faldas: una negra, una blanca y una azul; también tiene dos blusas: una roja y otra rosada.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

falda negra y blusa roja falda negra y blusa rosada falda blanca y blusa roja

falda blanca y blusa rosada falda azul y blusa roja

falda azul y blusa rosada

Descubre

y construye

• Es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio o probable. • Es un dibujo que ayuda a observar los resultados que pueden obtenerse en un experimento cuyas variaciones son finitas. • Se utiliza en el estudio de las probabilidades.

Diagrama de árbol

Keyla completó el diagrama y escribió todos los posibles casos para formar números de dos cifras con 5; 7 y 8 en las decenas y 2; 4 y 9 en las unidades, y anotó las respuestas. unidades número de dos cifras

Pr

decenas

5

to

7

8

34 treinta y cuatro

2

52

4

54

9

59

2

72

4

74

9

79

2

82

4

84

9

89

a) ¿Cuántos números se ha formado? b) ¿Cuántos números son impares?

9

3

c) ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor número formado? 37

Practica

lo aprendido

Nivel Joe quiere comprar un pantalón y debe elegir entre los colores: azul, negro y marrón y dos modelos: con cierre y con botones. Completa y responde. ¿De cuántas maneras puede elegir un pantalón?

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

1

Rpta.

2

En un restaurante turístico, Alicia muestra los platos típicos del sur del Perú.

to

Pr

Busca los adhesivos de tu libro y forma todas las combinaciones haciendo un diagrama de árbol. ¿De cuántas maneras se puede elegir un menú?

Rpta. Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

treinta y cinco

35

Nivel

Nivel

Completa y escribe la respuesta. 3

4

Sea el evento A: Pablo lanza tres monedas y anota lo que sale. a) ¿Cuál es la probabilidad que salgan 3 caras? 2.a moneda

3.a moneda

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

1.a moneda

Eva se matriculará en un curso de inglés en un instituto. Ella puede escoger entre las aulas A, B o C. Si escoge el aula A debe también escoger entre los profesores Pedro y Daniel que enseñan en esa aula; si escoge B, entre los profesores Sandra y Eduard y si se escoge C, entre Kelly y Alan. ¿Cuál es la probabilidad que escoja una profesora?

C

C

Caso favorable

C

Combinaciones posibles: Casos favorables:

C

S

Hay solo 1 caso de un total de 8 casos. La probabilidad es

8

2.a moneda C

Pr

C

5

3.a moneda C S

C

C S

S

C S

to

S

Casos posibles: favorables:

1 3

C

1 2

D

5 6

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número impar si se desea formar números de tres cifras que en la centena tengan 1 y se dispone para las decenas y unidades solo de las cifras 0; 2; 3 y 5; además, el número no puede tener cifras repetidas?

Casos favorables:

y casos .

La probabilidad es 36 treinta y seis

B

Combinaciones posibles:

C S

S

1 4

.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 caras y 1 sello? (No necesariamente en ese orden). 1.a moneda

A

.

A

1 2

B

1 3

C

3 4

D

5 6

¡Autoevalúate! Pinta el círculo de la alternativa que corresponde a la respuesta. 1

En el siguiente experimento:

4

Joe lanza dos dados al mismo tiempo.

Determina si la expresión es verdadera V o si es falsa F. Luego, elige la alternativa correcta.

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

Experimento: Se lanza, dos veces, una moneda de un sol. a) Puede salir una vez cara y dos veces sello.

¿Qué suceso es imposible? A

b) Puede salir tres veces cara.

B

c) Puede salir dos veces cara.

C

d) Puede salir una vez sello y dos veces cara. A

D

C

2

En el siguiente experimento:

5

FVFV VVVV

B

D

VFVF FFVF

Sea el experimento:

Se extrae dos tarjetas de una caja donde hay 5 tarjetas: dos rojas, una verde, una amarilla y una azul.

¿Qué evento es imposible?

Al extraer 5 bolas al azar, ¿qué suceso no es posible?

A

Se obtiene dos tarjetas rojas.

B

Se obtiene una tarjeta roja y una verde.

C

Se obtiene una tarjeta amarilla y otra roja.

D

Se obtiene dos tarjetas verdes.

A

Pr

B

C D

6

Si se extrae 3 bolas de la urna del ejercicio anterior, ¿qué suceso es posible?

to

3

A

B

C

D

Matemática SIGMA 3 - Estadística y probabilidad

Experimento: Alicia lanzó al aire una moneda de un sol y un dado. ¿Qué evento es imposible? A

B

C

D

treinta y siete

37

¡Autoevalúate! Experimento:

9

Encuentra de cuántas formas podrá vestirse Daniel si dispone de las siguientes prendas:

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

7

Al girar la ruleta dos veces y anotar el color que indica la flecha, ¿qué suceso es posible?

8

A

azul, blanco

B

rojo, rojo

C

amarillo, azul

D

verde, blanco

Un restaurante ofrece a sus clientes la carta del menú en el que se indica:

Entrada: Causa de atún y huevo a la rusa. Plato principal: Estofado y arroz con pollo. Postre: Gelatina y arroz con leche.

10

A

6

B

8

C

9

D

12

En un grupo de baile hay 4 niños y 5 niñas. El profesor necesita formar una pareja para una demostración de baile, ¿de cuántas maneras puede formar dicha pareja?

¿De cuántas maneras se puede elegir un menú? 4

B

6

A

20

B

16

C

8

D

16

C

12

D

10

Claves:

1. D 2. C 3. A 4. D 5. D 6. C 7. C 8. C 9. D 10. A

Pr

A

Coevaluación

¿Qué opina mi compañero?

to

Intercambia la sección ¡Autoevalúate! con un compañero. Dialoga y compara con él las respuestas.

¿Qué y cómo aprendí?

Metacognición

1. ¿Cómo aprendí a reconocer la probabilidad de ocurrencia o no de un suceso? 2. ¿Cómo aprendí a representar situaciones con diagramas de árbol? 38 treinta y ocho

LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA BANDERA NACIONAL

ta oh l o ib i d pa a rc la ia re ld p e rod es u tá cc pá ión gi na

ESCUDO NACIONAL

LEY DEL 25-02-1825

LEY DEL 25-02-1825

EL ACUERDO NACIONAL

El 22 de julio de 2002, los representantes de las organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos, para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este compromiso es el Acuerdo Nacional.

El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales. Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir, ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos. Estos son tan importantes que serán respetados como políticas permanentes para el futuro.

Pr

Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores, debemos promover y fortalecer acciones que garanticen el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los siguientes:

to

1. Democracia y Estado de Derecho La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los peruanos solo se pueden dar si conseguimos una verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo Nacional es garantizar una sociedad en la que los derechos son respetados y los ciudadanos vivan seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor para el país.

2. Equidad y justicia social Para poder construir nuestra democracia, es necesario que cada una de las personas que conformamos esta

sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el

Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades

económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una

educación de calidad, a una salud integral, a un lugar para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.

3. Competitividad del país

Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete

a fomentar el espíritu de competitividad en las

empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las

pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar la colocación de nuestros productos en los mercados internacionales.

4. Estado eficiente, transparente y descentralizado

Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus obligaciones de manera eficiente y transparente para

ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo

se compromete a modernizar la administración pública, desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar

el poder y la economía para asegurar que el Estado sirva a todos los peruanos sin excepción.

Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir constantemente sus acciones a la sociedad en general.

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Matemática

La serie Matemática Sigma se ajusta a los estándares educativos nacionales e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales establecidos por el Ministerio de Educación. La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo secuencial de la competencia matemática de los niños a partir de nociones.

El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas, el cual promueve y facilita que los estudiantes desarrollen las competencias:

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio

Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre

to

Pr

Además de una propuesta en valores acordes con los enfoques transversales y vinculada con el saber matemático.

3 Primaria