A nagy Fermat-tétel 9639429538 [PDF]

Zitiervorschau

A nagy Fermat-tétel Amir D. Aczel Akkord (2004) Címke: Matematika, Ismeretterjesztő Matematikattt Ismeretterjesztőttt

A tizenhetedik századi francia tudós, Pierre Fermat nagyon sok matematikai sejtést, tételt mondott ki, ezek közül később ő vagy követői többet bebizonyítottak, néhányat megcáfoltak. Különösen két számelméleti tétele ismert: az egyik a könnyen bebizonyítható úgynevezett kis Fermat- tétel, a másik a nagy Fermat-tétel, azaz a Fermat-sejtés, hiszen a tétel addig, amíg nincs bebizonyítva, csak sejtés. Amit magyarul Fermat-sejtésnek hívunk, az külföldön Fermat utolsó tétele néven ismert, nem azért, mintha ez lett volna Fermat utolsónak kimondott tétele, csak az utolsó, amit nem tudott senki sem bizonyítani, sem cáfolni.

Amir D. Aczel A nagy Fermat-tétel Egy ősi matematikai probléma titkának feltárása

Pierre de Fermat (1601-1665)

A tizenhetedik századi francia tudós, Pierre Fermat nagyon sok matematikai sejtést, tételt mondott ki, ezek közül később ő vagy követői többet bebizonyítottak, néhányat megcáfoltak. Különösen két számelméleti tétele ismert: az egyik a könnyen bebizonyítható úgynevezett kis Fermat-tétel, a másik a nagy Fermat-tétel, azaz a Fermat-sejtés, hiszen a tétel addig, amíg nincs bebizonyítva, csak sejtés. Amit magyarul Fermat-sejtésnek hívunk, az külföldön Fermat utolsó tétele néven ismert, nem azért, mintha ez lett volna Fermat utolsónak kimondott tétele, csak az utolsó, amit nem tudott senki sem bizonyítani, sem cáfolni. Minden iskolás találkozik Pitagorasz tételével, ami a derékszögű háromszög oldalaira, a-ra, b-re és átfogójára, c-re igaz: a2+b2 = c2. Ha a háromszög mindegyik oldalának hossza egész szám, a, b, c-t pitagoraszi számhármasnak nevezik. Könnyű ilyen számokat találni (például, zsebszámológéppel), ilyen a 3, 4, 5, hiszen 32+42=52 (9+16 = 25) vagy az 5, 12, 13 , a 7, 24, 25, a 8, 15, 17 stb. Az ilyen számhármasok mind megoldásai az x2+ y2 = z2 egyenletnek a pozitív egész számok körében. Az a Fermat-sejtésről szóló könyv, amely az 1960-as években a cambridge-i kisiskolás Andrew Wiies kezébe került, ezt irta: „…sosem fogsz olyan x, y, z számokat találni, melyekre x3+y3 = z3. Nem számít, milyen keményen próbálkozol, soha, de soha nem fogsz ilyen számokat találni. És azt is állította, hogy ugyanez igaz x4+y4 = z4– re és x5+y5= z5– re, és így tovább… Annyira egyszerűnek látszott. A könyvben ugyanakkor az állt, hogy erre senki sem talált bizonyítást több mint háromszáz éven keresztül. Be akartam bizonyítani…” Amir D. Aczel

Előszó 1993 júniusában régi barátom, Tom Schulte járt nálam látogatóban Bostonban, Kaliforniából. Egy napsütötte utcai kávézóban üldögéltünk a Newbury Streeten, előttünk magas poharakban jéghideg ital. Tom éppen azelőtt vált el, tűnődő hangulatban volt. Félig hozzám fordulva mondta, „Jut eszembe, Fermat utolsó tételét épp most bizonyították be.” (Fermat híres sejtését, a nagy Fermat-tételt angolul „Fermat utolsó tételé”-nek hívják. Mind a két elnevezést fogjuk használni.) Ez biztosan egy új vicc, gondoltam, miközben Tom figyelme ismét az utca felé fordult. Húsz évvel korábban Tom és én szobatársak voltunk, mindketten a Kalifornia Egyetem matematika szakos hallgatói Berkeleyben. A nagy Fermattétel olyasmi volt, amiről gyakran beszélgettünk. Ezenkívül megvitattuk a függvényeket, a halmazokat, a számtesteket, és a topológiát is. A matek szakosok közül senki sem aludt túl sokat éjszakánként, mert a feladataink annyira nehezek voltak. Ez különböztetett meg minket a legtöbb más terület hallgatóitól. Időnként matematikai rémálmaink voltak… arról, hogy megpróbáljuk ezt vagy azt a tételt bebizonyítani a másnap reggeli beadási határidő előtt. De ami a Fermat-tételt illeti… soha senki sem hitte, hogy még a mi életünkben bebizonyítják. A tétel annyira nehéz volt, és annyian próbálták már bebizonyítani több mint háromszáz éven keresztül. Tisztában voltunk vele, hogy a tétel bizonyítására tett kísérletek eredményeként a matematikának teljesen új ágai jöttek létre. A próbálkozások azonban kudarcot vallottak, egyik a másik után. Fermat utolsó tétele az elérhetetlen jelképévé vált. Egyszer fel is használtam a tétel köztudott megoldhatatlanságát a saját érdekemben. Az eset néhány évvel később történt, szintén Berkeleyben, mikor már elvégeztem a matematika szakot, és éppen a mester (Master) fokozatot szereztem meg operációkutatásból. Egy arrogáns végzős matematika szakos hallgató, nem tudva, hogy milyen matematikai háttérrel rendelkezem, felajánlotta a segítségét, mikor a Nemzetközi Házban, ahol mindketten laktunk, találkoztunk. „Én elméleti matematikát tanulok”, mondta. „Ha bármikor olyan

matematikai problémád van, amit nem tudsz megoldani, kérdezz csak meg engem.” Már menni készült, amikor megszólaltam. „Hát, igen. Volna valami, amiben segíthetnél…” Visszafodult: „Persze, hadd lássam, mi az!” Erre széthajtogattam egy szalvétát – ugyanis az ebédlőben voltunk. Lassan felírtam: Az xn+yn = zn egyenletnek nincs egész megoldása, ha n kettőnél nagyobb. „Tegnap este óta töröm ezen a fejem”, mondtam, miközben átnyújtottam neki a szalvétát. Láttam, ahogy elsápadt. „A nagy Fermat-tétel”, dünnyögte. „igen”, válaszoltam, „te elméleti matekos vagy. Tudnál segíteni?” Soha többé nem jött a közelembe. „Komolyan beszélek”, mondta Tom, felhörpintve italát. „Andrew Wiles. Ő bizonyította be Fermat utolsó tételét Cambridge-ben, a múlt hónapban. Jegyezd meg ezt a nevet. Még sokat fogod hallani.” Aznap éjjel Tom már a repülőn ült, úton vissza Kaliforniába. Az elkövetkező hónapokban rájöttem, hogy Tom valóban nem viccelt velem, és figyelemmel követtem azt az eseménysorozatot, melynek során Wilest először ünnepelték, majd megtalálták a hézagot a bizonyításában. Ezután egy évre visszavonult, és végül a kijavított bizonyítással tért vissza. Ám az elhúzódó folyamatot nyomon követve rájöttem, hogy Tomnak nem volt igaza. Nem Wiles neve volt az, amire oda kellett volna figyelnem, legalábbis nem csak az övé. Nekem és az egész világnak észre kellett volna vennem, hogy Fermat utolsó tételének bizonyítása messze nem egyetlen matematikus munkájának eredménye. Bár Wiles kapta a legtöbb dicséretet, az elismerés másokat is éppúgy megillet. Ők Ken Ribet, Barry Mazur, Goro Shimura, Yutaka Taniyama, Gerhard Frey és mások. Ez a könyv igyekszik a teljes történetet elmesélni, beleértve azt is, ami a színfalak mögött, a média kameráinak és reflektorainak látóterén kívül történt. Történetünk emellett megtévesztésről, cselszövésről és árulásról is szól. „A matematika művelésével kapcsolatos tapasztalataimat talán leginkább úgy tudnám leírni, mintha egy sötét házba hatolnál be. Bemész az első szobába, ahol sötét van, teljes sötétség. Ide-oda

botladozol, mindenhol bútordarabokba ütközöl. Fokozatosan felfedezed, melyik bútordarab hol van. Végül, úgy hat hónap múlva, megtalálod a villanykapcsolót, és felkapcsolod. Hirtelen mindent fény borít el, és pontosan látod, hol is voltál eddig. Aztán belépsz a következő sötét szobába…” Így írja le Andrew Wiles professzor a matematikusok Szent Gráljának hét évig tartó kutatását. 1993. június 23-án kora hajnalban John Conway professzor a sötétbe borult matematika épület felé tartott a Princeton Egyetem kampuszán. Kinyitotta a kaput, és felsietett az irodájába. Már hetekkel azelőtt, hogy kollégája, Andrew Wiles elutazott Angliába, kitartó, de homályos híresztelések keringtek a világ matematikusi köreiben. Conway arra számított, hogy valami fontos fog történni. Hogy pontosan mi, arról fogalma sem volt. Bekapcsolta a számítógépét és leült a képernyő elé. Reggel 5.53-kor száguldva érkezett a tömör e-mail üzenet az Atlanti-óceánon túlról: „Wiles bebizonyította a nagy Fermat-tételt.”

Cambridge, Anglia, 1993 júniusa 1993 késő júniusában Andrew Wiles professzor Angliába repült. A Cambridge-i Egyetemre tért vissza, ahol húsz évvel korábban diplomázott. John Coates professzor, aki annak idején Wiles doktori disszertációjának témavezetője volt, konferenciát szervezett az Iwasawa-elméletről – ez a számelméletnek az a speciális területe, amelyről Andrew Wiles a disszertációját írta, és amelyről sokat tudott. Coates megkérdezte korábbi tanítványát, hogy tartana-e a konferencián egy rövid, egyórás előadást valamilyen általa választott témában. A konferencia többi szervezőjével együtt igencsak meglepődött, amikor a félénk Wiles – aki korábban vonakodott a nyilvános beszédtől – válaszul azt kérdezte, nem kaphatna-e háromórányi előadásidőt. A 40 éves Wiles tipikus matematikusként nézett ki, mikor megérkezett Cambridge-be: fehér ing hanyagul feltűrt ujjal, vastag szarukeretes szemüveg, világos, ritkuló haj rakoncátlan

tincsei. Cambridge-i születésű lévén, mostani visszatérése nagyon különleges hazatérés volt – egy gyermekkori álom megvalósulása. Álma elérésének érdekében Andrew Wiles életének elmúlt hét évét lényegében saját padlásának foglyaként töltötte. Remélte azonban, hogy ez az áldozat, a többéves küszködés és a hosszú magányos órák hamarosan véget érnek. Hamarosan több időt tölthet majd feleségével és gyermekeivel, akiket oly keveset látott az elmúlt hét év során. Gyakran nem sikerült megjelennie a családi ebéden, elmulasztotta a délutáni teát, és alig ért oda a vacsorára. Most viszont övé lesz minden elismerés. Amikor Wiles professzor megérkezett, hogy megtartsa három óráját, a Sir Isaac Newton Matematikai Intézet még csak rövid ideje nyitotta meg kapuit Cambridge-ben. A tágas intézet festői környezetben épült, valamelyes távolságra a Cambridge Egyetemtől. Az előadótermek előtti nagy térségeket puha, kényelmes székekkel rendezték be, hogy elősegítsék a tudósok közötti nem hivatalos gondolatcserét, és ezáltal a tanulást és a tudást szolgálják. Wiles, bár ismerte a világ minden tájáról a szakmai konferenciára érkezett matematikusok többségét, mégsem érintkezett senkivel. Amikor kollégái tervezett előadásának hosszáról kíváncsiskodtak, Wiles csak annyit válaszolt, hogy jöjjenek el, akkor majd mindent meglátnak. Az effajta titkolózás szokatlan volt, még egy matematikus esetében is. A matematikusok, bár gyakran dolgoznak egyedül a tételek bizonyításán, és általában nem őket tartják a világ legtársaságibb embereinek, kutatási eredményeiket rendszerint megosztják egymással. A matematikai eredményeket szerzőik szabadon terjesztik kéziratként. Ezekhez a kéziratokhoz kívülállók aztán olyan megjegyzéseket fűznek, amelyek segítik a szerzőt, hogy cikkét még a megjelenés előtt tökéletesítse. Wiles azonban nem osztogatott kéziratokat és nem beszélgetett a munkájáról. Előadásainak címe „Moduláris formák, elliptikus görbék és Galoisreprezentációk” volt, ám a cím nem utalt arra, hogy az előadások hová fognak kilyukadni, és ezt még a terület szakértői sem tudták kitalálni. Az idő előrehaladtával a szóbeszéd egyre erősödött.

Az első napon Wiles egy erős és váratlan matematikai eredménnyel jutalmazta meg azt a mintegy húsz matematikust, aki eljött az előadására – és két előadás még hátravolt. Mi fog ebből kisülni? Mindenki számára nyilvánvalóvá vált, hogy ott a helye Wiles előadásain, és amint várakozásteljes matematikusok sereglettek az előadásokra, a feszültség fokozódott. A második napon Wiles nagyobb sebességre kapcsolt. Több mint 200 oldalnyi képletet és levezetést hozott magával: új tételként kimondott eredeti gondolatokat, és terjedelmes, elvont bizonyításukat. A teremben most már minden hely foglalt volt. Mindenki feszülten figyelt. Hová vezet mindez? Wiles nem tett semmilyen célzást. Szenvtelenül írt tovább a táblára, és mikor végzett az aznapi adaggal, gyorsan eltűnt. Másnap, 1993. június 23-án, szerdán volt az utolsó előadás. Az előadóteremhez közeledve Wiles kénytelen volt átnyomakodni a tömegen. Voltak, akik kint álltak, eltorlaszolva a bejáratot, a terem pedig csordultig telt. Sokan hoztak fényképezőgépet magukkal. Miközben Wiles megint végtelennek tűnő képleteket és tételeket rótt a táblára, a feszültség egyre nőtt. „Wiles előadásának mindössze egy lehetséges tetőpontja létezett, csak egyetlen végkifejlet volt elképzelhető”, mondta később Ken Ribet, a berkeleyi Kalifornia Egyetem professzora. Wiles éppen az utolsó néhány sorát fejezte be annak a bizonyításnak, amely a matematika egy titokzatos és bonyolult sejtését, a Shimura-Taniyama-sejtést oldotta meg. Aztán hirtelen hozzáírt még egy utolsó sort, egy évszázados egyenlet átfogalmazását, amelyről Ken Ribet hét évvel korábban bebizonyította, hogy a sejtésből következnék. „És ez bizonyítja Fermat utolsó tételét”, mondta, szinte fesztelenül. „Azt hiszem, itt abba is hagyom.” A teremben egy pillanatig döbbent csend uralkodott. Azután a hallgatóság tapsviharban tört ki. Vakuk villantak, és mindenki felállt, hogy a boldogságtól sugárzó Wilesnak gratuláljon. Perceken belül a világ minden táján elektronikus üzenetek villogtak a képernyőkön és faxok tekeredtek elő a készülékekből. Úgy tűnt, hogy minden idők leghíresebb matematikai problémáját megoldották.

„Az volt a legmeglepőbb, hogy másnap ránk zúdult a világsajtó áradata”, emlékszik vissza John Coates professzor, aki úgy szervezte meg a konferenciát, hogy nem is sejtette: ez lesz az egyik legnagyobb matematikai teljesítmény bölcsője. Az újságok a címlapon ünnepelték a váratlan áttörést. „Végre »Heuréka!« hangzik az évszázados matematikai rejtély háza táján” jelentette a New York Times címlapja 1993. június 24-én. A Washington Post nagyszabású cikkében Wilest „a matematika sárkányölőjé”-nek nevezte, és az összes hírmondó bemutatta azt az embert, aki minden valószínűség szerint megoldotta a matematika legmakacsabb problémáját, amely több mint 350 éven keresztül ellenállt a megoldási kísérleteknek. Egyik napról a másikra a csendes és visszahúzódó Andrew Wiles neve közismert lett.

Pierre de Fermat Pierre de Fermat tizenhetedik századi francia jogász, emellett amatőr matematikus volt. És bár a szó szoros értelmében valóban „amatőr” volt, mivel jogászi állásban dolgozott, E. T. Bell, a matematikatörténet kiváló alakja, a huszadik század elején egy írásában Fermat-t találóan az „amatőrök hercegé”-nek nevezte. Bell véleménye szerint Fermat fontosabb matematikai eredményeket ért el, mint korának legtöbb „hivatásos” matematikusa. Bell amellett érvelt, hogy Fermat volt a legtermékenyebb matematikusa annak a tizenhetedik századnak, amely minden idők néhány legnagyobb matematikusi koponyájának munkásságát szemlélte. Fermat egyik legmegdöbbentőbb teljesítménye a differenciálszámítás főbb vonásainak kidolgozása volt, amelyet Sir Isaac Newton születése előtt négyévvel végzett el. (Az ezzel kapcsolatos levelet 1638-ban írta René Descartes-nak.) A széles körben elfogadott hagyomány Newtonnak és kortársának, Gottfried Wilhelm von Leibniznek tulajdonítja az érdemet, hogy a mozgás, a gyorsulás, az erők, a pályák és a folytonos változás egyéb alkalmazott matematikai fogalmainak általunk differenciál- és integrálszámításnak (kalkulusnak) nevezett matematikai elméletét megalkották.

Pierre de Fermat utolsó tétele Diophantosz Arithmetikájának abban a kiadásában, amelyet Fermat fia, Samuel jelentetett meg. Diophantosz könyvének eredeti példányát, Fermat kézírásos jegyzetével, sosem találták meg (A Duke Egyetem könyvtárának különleges gyűjteményéből.) Fermat-t elbűvölték az ókori görögök matematikai eredményei. Lehetséges, hogy a kalkulus gondolatának megfogalmazásához a két ókori görög matematikus, Arkhimédész és Eudoxosz munkái vezették

el, akik az időszámításunk előtti harmadik, illetve negyedik században éltek. Fermat minden szabad percében az ókoriak – akkoriban latinra lefordított – munkáit tanulmányozta. Fontos jogi szakemberként teljes munkaidős állása volt, de hobbiként – sőt, szenvedélyként – az ókori tudósok munkáit próbálta meg általánosítani, és régóta eltemetett felfedezéseikben próbált új szépséget felfedezni. „Számos rendkívül szép tételt találtam”, mondta egyszer. Ezeket a tételeket aztán az ókori könyvek lefordított példányainak margójára jegyezte fel. Fermat apja Dominique Fermat borkereskedő, Beaumont-deLomagne városka második konzulja volt, anyja pedig Claire de Long, parlamenti bírók családjának lánya volt. Az ifjabb Fermat 1601 augusztusában született (augusztus 20-án keresztelték meg Beaumont-de-Lomagne-ban), és szülei békebírónak szánták. Toulouse-ban járt egyetemre, majd harmincéves korában ugyanebben a városban a Kérvények Kamarájának tanácsosává nevezték ki. Ugyanebben az évben, 1631-ben feleségül vette Louise Longot, anyjának unokatestvérét. Pierre-nek és Louise-nak három fia és két lánya született. Egyik fiuk, Clement Samuel lett az apa tudományos örökségének gondozója, apjának halála után kiadatta műveit. Mi több, éppen ez, a Fermat műveit tartalmazó, fia által kiadott könyv az, amely ránk maradt, és amelyből híres utolsó tételét ismerjük. Clement Samuel de Fermat felismerte a margóra firkált tétel jelentőségét, ezért belevette az ókori mű általa újrakiadott fordításába. Fermat életét gyakran jellemzik úgy, hogy csendes, nyugodt és eseménytelen volt. Munkáját méltósággal és becsülettel végezte, és 1648-ban fontos tisztségre emelték, mint a toulouse-i helyi parlament királyi tanácsosa, mely tisztséget tizenhét éven keresztül, 1665-ben bekövetkezett haláláig töltött be. Ha figyelembe vesszük azt a hatalmas szolgálatot, amelyet Fermat a Koronának tett, egy élet odaadó, hozzáértő és lelkiismeretes munkáját, nem csoda, hogy sok történészt ejt zavarba, hogyan volt ideje és szellemi energiája arra, hogy elsőrendű matematikát műveljen – méghozzá többkötetnyit. Az egyik francia szakértő szerint Fermat hivatalos munkája tulajdonképpen előnyére vált matematikai vizsgálódásainak, hiszen a

francia parlamenti tanácsosoktól elvárták, hogy nem hivatalos kapcsolataikat a lehető legkevesebbre korlátozzák, hogy ezzel a megvesztegetés és a korrupció kísértését elkerüljék. Mivel Fermatnak nyilvánvalóan szüksége volt némi kikapcsolódásra a nehéz munka után, és mivel társadalmi életét korlátoznia kellett, a matematika valószínűleg az áhított változatosságot nyújtotta számára. A kalkulus elemeinek kidolgozása pedig korántsem az egyetlen eredmény, amelyet Fermat-tól kaptunk. Tőle kaptuk a számelméletet is. A számelmélet fontos alkotórésze a prímszám fogalma.

Prímszámok A kettő és a három prímszámok. A négy nem prímszám, mivel a kettőnek önmagával vett szorzata: 2 • 2 = 4. Az öt prímszám. A hat, a négyhez hasonlóan, nem prímszám, mivel két szám szorzata: 2 • 3 = 6. A hét prímszám, a nyolc nem az (2 • 2 • 2 = 8), a kilenc sem (3 • 3 = 9), és a tíz sem (2 • 5 = 10). De a tizenegy ismét prímszám, mivel nincsenek olyan egész számok (magán a tizenegyen és az egyen kívül), amelyeket összeszorozva 11-et kapnánk. És folytathatjuk így tovább: a 12 nem prím, a 13 igen, a 14 nem, a 15 nem, a 16 nem, a 17 igen stb. Ebben nincs észrevehető szabályszerűség, mint például, hogy minden negyedik szám nem prím, vagy akár valami bonyolultabb mintázat. Ez a fogalom a kora ókortól kezdve zavarba ejtette az emberiséget. A számelméletnek a prímszámok az alapvető alkotórészei, és a könnyen látható struktúra hiánya miatt a számelmélet nem tűnik egységes területnek. A problémák elszigeteltek, nehezen megoldhatók, és a matematika egyéb területeire nézve nincs egyértelmű következményük. Barry Mazur szavaival: „A számelmélet minden erőlködés nélkül számtalan olyan problémát termel, amelyeket valami édes ártatlanság leng körül, csábító virágok; ugyanakkor… a számelmélet bogaraktól hemzseg, amelyek arra várnak, hogy megcsípjék a virágok elcsábult szerelmeseit, akiket aztán a csípés további erőfeszítésre ösztökél.” A híres feljegyzés a margón

Fermat-t megigézte a számok varázsa. Szépségre és értelemre lelt bennük. Több tételre is bukkant a számelméletben, melyek egyike azt mondta ki, hogy minden 22^n + 1 (kettő a kettő az n-edik hatványon, plusz egy) alakú szám prím. Később kiderült, hogy a tétel hamis, mivel találtak ilyen alakú számokat, amelyek nem prímek. Fermat féltve őrzött, latin fordítású ókori szövegei között volt egy Arithmetika című könyv, amelyet egy görög matematikus, Diophantosz írt, aki az időszámításunk szerinti harmadik században élt Alexandriában. 1637 körül Fermat kedves Diophantosz-kötetének margójára, a négyzetszámok két négyzetre való bontásának problémája mellé latinul ezt írta: Másfelől lehetetlen egy köböt két köbre, egy negyedik hatványt két negyedik hatványra, vagy általában bármely hatványt a négyzeten kívül két ugyanolyan kitevőjű hatványra bontani. Erre igazán csodálatos bizonyítást fedeztem fel, azonban a margó túl kicsi ahhoz, hogy leírjam. Ez a rejtélyes kijelentés matematikusok nemzedékeit tartotta lázban, akik megpróbálták azt az „igazán csodálatos” bizonyítást megtalálni, melynek Fermat, saját állítása szerint, birtokában volt. Maga az állítás, hogy míg egy egész szám négyzetét fel lehet bontani két másik egész szám négyzetére (például az öt négyzete, ami huszonöt, megegyezik a négy négyzetének [tizenhatnak] és a három négyzetének [kilencnek] az összegével), addig ugyanezt nem lehet köbökkel vagy más magasabb hatványokkal megtenni, megtévesztően egyszerűnek tűnt. Az 1800-as évek elejére Fermat összes többi tételét vagy bebizonyították, vagy megcáfolták. Ez a látszólag egyszerű állítás azonban eldöntetlen maradt, ezért kapta a „Fermat utolsó tétele” elnevezést. Vajon tényleg igaz a tétel? Még századunkban is elakadtak a számítógépek a kísérletezésben, hogy a tételt igazolják. A számítógépek igazolhatták a tételt nagyon sok számra, de az összes számmal nem boldogultak. Hiába próbálták ki a tételt sok milliárd számra, még mindig végtelen sokat – és végtelen sok kitevőt – kellett volna ellenőrizni. Fermat utolsó tételének igazolásához matematikai bizonyításra volt szükség. Az 1800-as években a francia és a német tudományos

akadémia jutalmat ajánlott fel annak, aki bizonyítással szolgál, és minden évben matematikusok, amatőrök és csodabogarak ezrei küldték el „bizonyítás”-aikat különböző folyóiratoknak és bírálóbizottságoknak – de mindig üres kézzel távoztak. (A Fermatsejtés varázsát csak fokozta Wolfskehl német matematikus, aki a huszadik század elején 100 000 márka jutalmat ajánlott fel a megoldónak. Bár a későbbi években ez a pénz elértéktelenedett, a bizonyítási vágy változatlanul megmaradt.)

1993. július-augusztus: végzetes hibát találnak. A matematikusok óvatos optimizmussal fogadták, amikor azon a júniusi szerdán Wiles lelépett a pódiumról. Úgy tűnt, hogy a 350 éves rejtély végre megoldódott. Wiles hosszú bizonyítása, amely nemcsak Fermat korában, hanem egészen a huszadik századig ismeretlen, bonyolult matematikai fogalmakat és elméleteket használt, független szakértők ellenőrzésére szorult. A bizonyítást elküldték egy tucat élvonalbeli matematikusnak. A padlása bezártságában töltött hétévnyi magányos munka talán végre megtérült Wilesnak. Az optimizmus azonban rövid életűnek bizonyult. Heteken belül hiányosságra bukkantak Wiles gondolatmenetében. Megpróbálta befoltozni, de a lyuk sehogy sem akart eltűnni. Peter Sarnak, princetoni matematikus, Andrew Wiles közeli barátja végignézte mindennapos gyötrődését a bizonyítás felett, amelyet mindössze két hónapja tárt az egész világ elé Cambridge-ben. „Olyan volt, mintha Andrew egy túlméretezett szőnyeget próbálna a padlóra teríteni”, magyarázta Sarnak. „Lesimítja, úgy, hogy a szőnyeg tökéletesen illeszkedjék a szoba egyik felében, de a túloldalon felmászik a falra. Ezért odamegy, és arrébb húzza… akkor viszont valahol máshol púposodik fel. Azt, hogy a szőnyeg mérete megfelel-e a szobának, vagy sem, nem volt képes megállapítani.” Wiles visszavonult padlásszobájába. A New York Times tudósítói és a média hagyták, hadd végezze magányos munkáját. Amint telt-múlt az idő, bizonyítás nélkül, a matematikusok és a közvélemény egyaránt eltűnődtek, vajon igaz-e egyáltalán Fermat tétele. Wiles meggyőzte a világot, hogy egy csodálatos bizonyítás van a birtokában, de ez most semmivel sem volt valóságosabb, mint Fermat saját „igazán

csodálatos bizonyítása, amelynek leírásához a margó sajnos túl kicsi”.

A Tigris és az Eufrátesz között, Kr. e. 2000 körül A nagy Fermat-tétel története sokkal, de sokkal korábbi, mint maga Fermat. Régebbre nyúlik, még Diophantosznál is, akinek munkáját Fermat általánosítani próbálta. Ennek az egyszerűnek látszó, de mély tételnek kezdetei az emberi civilizációval egyidősek. A bronzkori kultúrában gyökereznek, mely az ókori Babilon Tigris és Eufrátesz közötti termékeny félholdján (a mai Irak területén) fejlődött ki. És míg Fermat utolsó tétele olyan absztrakt állítás, amelynek nincsenek gyakorlati alkalmazásai a mérnöki vagy matematikai tudományokban – még a matematikán belüli szűkebb hazájában, a számelméletben sem –, a tétel gyökerei az időszámításunk előtt 2000 évvel Mezopotámiában élő emberek mindennapi életére nyúlnak vissza. A mezopotámiai völgyben a Kr. e. 2000-től Kr. e. 600-ig terjedő korszak a babiloni korszaknak tekinthető. Ez az időszak figyelemre méltó kulturális fejlődésnek volt szemtanúja, beleértve az írást, a kerék használatát és a fémfeldolgozást. Csatornarendszer biztosította a két folyó közötti kiterjedt földterületek öntözését. A termékeny babiloni völgyben virágzó civilizációval egyidőben a területet benépesítő ókori emberek megtanultak kereskedni és olyan gazdag városokat építeni, mint Babilon és Ur (Abrahám szülővárosa). Még ennél is korábban, a Kr. e. negyedik évezred végére mind a mezopotámiai, mind a Nílus menti völgyben kialakult az írás egy kezdetleges formája. Mezopotámiában bőven volt agyag, és puha agyagtáblákba vágótűvel (stylussal) ék alakú jeleket nyomtak. Ezeket a táblákat azután vagy kemencében kiégették, vagy a napon hagyták kiszáradni. Az írásnak ezt a fajtáját ékírásnak nevezik (latinul cuneus = ék). Az ékírás volt a világ első írástípusa. Babilonban és az ókori Egyiptomban a kereskedelem és az építkezések szükségessé tették a pontos méréseket. A bronzkori társadalmak első tudósai megtanulták, hogyan becsüljék meg egy kör kerületének és átmérőjének arányát, ami az általunk manapság „n”-nek nevezett számhoz közeli értéket adott. A hatalmas Zikkuratot, a bibliai Bábel tornyát és Szemirámisz függőkertjét, az ókori világ

hét csodájának egyikét építő embereknek hogyan számítsanak területeket és térfogatokat.

tudniuk

kellett,

A vagyon négyzetes mennyiség Kifinomult, 60-as alapú számrendszert fejlesztettek ki, így a babiloni mérnökök és építészek képesek voltak a mindennapos munkájukhoz szükséges mennyiségeket (egész számokkal) kiszámítani. (Ennek nyomai pl. az órák-percek kapcsolatában mind a mai napig megtalálhatók.) Az életben a számok négyzetei természetes formában jelennek meg, bár első ránézésre nem így tűnik. A számok négyzetei a vagyont kifejező mennyiségeknek tekinthetők. Egy gazdálkodó lehetőssége attól függ, hogy mennyi terményt képes termeszteni. A termények mennyisége viszont attól függ, hogy a gazdálkodónak mekkora terület áll rendelkezésére. A terület a föld hosszának és szélességének szorzatával egyezik meg, és itt jön be a négyzetre emelés. Annak a földdarabnak, amelynek a hossza és a szélessége is a, a területe a a négyzeten. Ebben az értelemben tehát a vagyon négyzetes mennyiség. A babiloniak szerették volna tudni, hogy az egész számok ilyen négyzetei mikor oszthatók fel egész számok más négyzeteire. Az a gazdálkodó, akinek egy huszonöt egység nagyságú földje volt, elcserélhette azt két másik négyzet alakú földre: egy tizenhat egységet és egy kilenc egységet számlálóra. Így egy ötször ötös birtok két másikkal volt egyenértékű, egy négyszer négyessel és egy háromszor hármassal. Ez értékes információ volt az adott gyakorlati probléma megoldására nézve. (A szerző itt csak egy elképzelt helyzetet vázol: elég valószínűtlen, hogy valóban szükség lett volna a gyakorlatban két egész oldalhosszú négyzetre felosztani egy nagyobb négyzetet.) Az előbbi összefüggést ma egyenletként írnánk fel: 52 = 32 + 42. Azon egész számok hármasait pedig, melyeknek négyzetei kielégítik az összefüggést, jelen esetben a 3, 4, 5 számokat, pitagoraszi számhármasoknak nevezzük – habár már a babiloniak is ismerték őket, több mint ezer évvel a híres görög matematikus, Püthagorasz előtt, akiről a számhármasokat elnevezték. Mindezt egy szokatlan agyagtábláról tudjuk, amely Kr. e. 1900 körül keletkezett.

„Plimpton 322” A babiloniaik a táblázatok megszállottjai voltak. Az agyag bősége és az ékírás technológiája pedig lehetővé tette, hogy sokat készítsenek belőlük. Az agyagtáblák hosszú élettartama miatt sok közülük máig fennmaradt. Egyetlen helyszínről, az ókori Nippur körzetéből több mint 50 000 táblát tártak fel, melyek ma többek között a Yale, a Columbia és a Pennsylvania Egyetem múzeumainak gyűjteményeit gazdagítják. Sok tábla a múzeumok alagsorában hever, porosodva, olvasatlanul és megfejtetlenül. Az egyik tábla, amelyet megfejtettek, rendkívüli. Ezt a Columbia Egyetem múzeumának birtokában lévő táblát úgy hívják, hogy Plimpton 322. Nincs rajta semmi más, csak 15 számhármas. Mindegyik számhármasra igaz, hogy az első szám négyzetszám, és megegyezik a másik kettő összegével, amelyek maguk is négyzetszámok – azaz a tábla tizenöt pitagoraszi számhármast tartalmaz. A már korábban említett 25 = 16 + 9 számok pitagoraszi számhármast alkotnak. A Plimpton 322 egy másik pitagoraszi számhármasa a 169 = 144 + 25 (132 = 122 + 52). A tudósok közt nem teljes az egyetértés arról, hogy miért érdekelték az ókori babiloniakat ezek a számok. Az egyik elmélet szerint az érdeklődésnek kizárólag gyakorlati okai voltak. Azt, hogy a gyakorlati problémák megoldásához szép négyzetszámokra volt szükségük, alátámasztja az a tény, hogy 60-as alapú számrendszert használva, az egész számokat előnyben részesítették a törtekkel szemben. Más szakértők azonban úgy gondolják, hogy maguk a számok iránti alapvető érdeklődés is ösztönözhette a babiloniak négyzetszámok iránti vonzódását. Bármi volt is a motiváció, úgy tűnik, hogy a Plimpton 322 arra szolgált, hogy a tanulókat megtanítsa a négyzetszámokat tartalmazó feladatok megoldására.

Columbia Egyetem, ritka könyvek és kéziratok könyvtára A babiloniaknak nem az volt a szándéka, hogy az ilyen problémák megoldására általános elméletet dolgozzanak ki, hanem inkább számhármasokat felsoroló táblázatokat készítettek, és – minden valószínűség szerint – megtanították a tanulókat, hogyan olvassák és használják ezeket a táblázatokat.

A számimádók titoktartásra felesküdött ókori társasága Püthagorasz Kr. e. 580 körül született a görög Számosz szigetén. Keresztül-kasul beutazta az ókori világot, járt Babilonban, Egyiptomban, talán még Indiában is. Utazásai során, elsősorban Babilonban, Püthagorasz matematikusokkal is kapcsolatba került, és valószínűleg megismerte az azóta róla elnevezett számokkal – a pitagoraszi

számhármasokkal – kapcsolatos vizsgálataikat, melyeket a babiloni tudósok és matematikusok akkor már több mint 1500 éve folytattak. Püthagorasz a lenyűgöző műalkotások és építészeti remekművek építőivel is kapcsolatba került, és e csodák matematikai vonatkozásai erősen hatottak rá. Míg a világot járta, Püthagorasz a Kelet vallási és filozófiai irányzatait is magába szívta. Visszatérve Görögországba, otthagyta Számosz szigetét, és Krotonban telepedett le, az itáliai csizmán. Érdekes megjegyezni, hogy Püthagorasz minden bizonnyal látta az ókori világ hét csodájának legtöbbjét. Az egyik csoda, Héra temploma közvetlenül Püthagorasz szülőhelyén, Számoszon van. Ma a csodálatos templom romjai – csak egyetlen oszlop áll már a sok száz közül – rövid sétányira fekszenek Püthagorion modern városától, melyet a sziget híres szülöttének tiszteletére neveztek el így. A tengerszoros túloldalán, néhány mérföldnyire északra, a mai Törökország területén, az ókori Epheszosz maradványai között található egy másik csoda. A rhodoszi kolosszus is a közelben, Számosztói délre van; a piramisok és a Szfinx Egyiptomban épültek, ezeket látta Püthagorasz; és Babilonban biztosan megcsodálta a függőkertet. Az itáliai csizma, vele Krotón, ahol Püthagorasz letelepedett, illetve Dél-ltália legnagyobb része akkoriban a görög világ – Magna Graecia – része volt. Ehhez a „nagyobb Görögország”-hoz a Földközi-tenger keleti medencéjének minden részéről tartoztak települések, többek között az egyiptomi Alexandria, számottevő görög ajkú népességével együtt – akiknek leszármazottai egészen a huszadik század elejéig ott éltek. A Krotóntól nem messze lévő barlangokban Delphoihoz hasonlóan jósok éltek, akik a közhiedelem szerint meg tudták jósolni az emberek és a népek jövőbeli sorsát.

„Minden szám” Itália csúcsának kietlen, kopár vidékén Püthagorasz titkos társaságot alapított a számok tanulmányozására. (Püthagorasz vallási szektát hozott létre, nem pedig a matematika művelésére szervezett társaságot. Eleinte a vallásos tevékenység része volt a számokkal foglalkozás, később kettévált a misztikus és a matematikai irányzat.) Úgy hisszük, hogy ez a társaság, melynek tagjait püthagoreusoknak nevezték el, jelentős mennyiségű matematikai ismeretet gyűjtött össze – a legnagyobb titokban. A püthagoreusok által követett filozófia, legalábbis így gondoljuk, mindent számszerű összefüggésre akart visszavezetni, mottójuk ezt összegezte: „Minden szám.” Istenként tisztelték a számokat, és úgy tartották, hogy varázslatos tulajdonságaik vannak. Érdeklődésük egyik tárgya a „tökéletes” szám volt. A tökéletes szám – melynek fogalmát a középkorba nyúlóan kutatták, és misztikával foglalkozó művekben is megjelenik, például a zsidó Kabbalában – olyan szám, amely saját szorzótényezőinek összege. Tökéletes számra a legjobb és legegyszerűbb példa a hat. A hat a három, a kettő és az egy szorzata. Ezek az ő szorzótényezői, és 6 = 3 • 2 • 1. Vegyük azonban észre, hogy ha ugyanezeket a tényezőket összeadjuk, akkor ismét hatot kapunk: 6 = 3 + 2 + 1. Ebben az értelemben a hatos szám „tökéletes”. Egy másik tökéletes szám a 28, hiszen az őt (maradék nélkül) osztó számok az 1, 2, 4, 7 és 14, ugyanakkor: 1 + 2 + 4 + 7+ 14= 28.

A püthagoreusok aszkéta életmódot folytattak, és szigorúan vegetáriánusok voltak. De babot sem ettek, mivel az szerintük heréhez hasonlít. A számokkal nagyon is a vallásosság szellemében foglalkoztak, és szigorú vegetáriánus étrendjük is vallásos hitből eredt. Ugyan Püthagorasz idejéből nem maradtak fenn dokumentumok, számos későbbi írás foglalkozik a mesterrel és követőivel, és maga Püthagorasz az ókor egyik legnagyobb matematikusának tekinthető. Neki tulajdonítják a Pitagorasz-tétel felfedezését, amely a derékszögű háromszög oldalainak négyzetéről szól, és erősen összefügg a pitagoraszi számhármasokkal és végső soron a kétezer évvel később megfogalmazott Fermat-sejtéssel.

Az átfogó négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével… Maga a tétel Babilonból ered, ugyanis világos, hogy a babiloniak tisztában voltak a „pitagoraszi” számhármasokkal. Az azonban a püthagoreusok érdeme, hogy a problémának geometriai megfogalmazást adtak, ezáltal általánosították a természetes számok (a pozitív egészek) esetén túlra is. A Pitagorasz-tétel azt mondja ki, hogy egy derékszögű háromszög átfogójának négyzete egyenlő a háromszög másik két oldala négyzetének összegével, amint a fenti ábrán látható. Amennyiben az átfogó egész szám (például 5, aminek a négyzete 25), a két négyzet összegeként felírt pitagoraszi megoldás a 4 (aminek a négyzete 16) és a 3 (aminek a négyzete 9) egész számok lesznek. A Pitagorasz-tétel tehát, amennyiben egész számokra alkalmazzuk, azokat a pitagoraszi számhármasokat adja eredményül, amelyeket Babilonban már ezer évvel korábban ismertek.

A püthagoreusok egyébként azt is tudták, hogy a négyzetszámok páratlan számok sorozatainak összegei. Például: 4=1 + 3; 9 = 1 + 3 +5; 16 = 1+3 + 5 + 7, és így tovább. Ezt a tulajdonságot egy négyzet alakban elrendezett mintázattal jelenítették meg. Ha a két szomszédos oldal mentén sorakozó páratlan számú pontot hozzáadjuk az előző négyzethez, egy újabb négyzet keletkezik:

Egész számok, törtek és még mik? A püthagoreusok tudása azonban sokkal tovább terjedt az egész számoknál és a törteknél (ilyen pl. az 1/2, 1/3, 5/8, 147/1769 stb.), amelyeket már az ókori Babilonban és Egyiptomban is ismertek. A püthagoreusok voltak azok, akik felfedezték az irracionális számokat – azaz az olyan számokat, amelyeket nem lehet törtként felírni, hanem végtelen, nem szakaszos tizedes tört alakban kell megadni. Egy ilyen példa a π szám (3,141592654…), a kör kerületének és átmérőjének aránya. A π szám végtelen tizedes tört; örökké tartana teljesen felírni, mivel végtelen sok újabb és újabb tizedes jegye van. Ha le akarjuk írni, egyszerűen csak ezt írjuk: π. Esetleg valahány, véges sok tizedes jegyig adjuk meg, például 3,14; 3,1415 és így tovább. Századunkban számítógépek segítségével a π-t több millió jegyig kiszámították és leírták, ám ilyen pontosságra ritkán van szükség. Az időszámításunk előtti második évezredben a babiloniak és az egyiptomiak különböző közelítéseket ismertek a π– re. A kerék feltalálásakor merült fel természetes módon, értékét durván háromnak vették. A π a piramisok különböző méreteinél is felbukkant.

Még az Ószövetség is megemlíti: a Királyok első könyvében, a 7.23ban egy kör alakú fal építéséről olvashatunk. A kerületre és az átmérőre megadott egységek számából arra következtethetünk, hogy az ókori izraeliták a π-t nagyjából háromnak vették. A püthagoreusok felfedezték, hogy a kettő négyzetgyöke irracionális szám. A Pitagorasz-tételt egy olyan derékszögű háromszögre alkalmazva, melynek mindkét befogója egy egységnyi, a püthagoreusok azt kapták, hogy az átfogó egy különös szám: mai megfogalmazásban a kettő négyzetgyöke. Látták, hogy ez a szám nem egész, még csak nem is tört, azaz nem két egész szám hányadosa. Ennek a számnak végtelen, önmagát nem ismétlő tizedestört-felírása volt. Csakúgy, mint a π esetében, a pontos szám, azaz a √2 (1,414213562…) leírása örökké tartana, hiszen végtelen sok jegye van, melyek sajátos sorozatot alkotnak (a sorozat nem ismétlődik, mint pl. az 1,857142857142857142857142857…, amelyet meg lehetne adni anélkül is, hogy minden egyes jegyet ténylegesen leírnánk). Minden olyan szám, amelynek tizedes tört alakja szakaszos (azaz ismétlődő, mint ahogy a fenti számban a 857142 mintázat újra és újra ismétli önmagát), racionális szám, azaz olyan szám, amelyet két egész szám arányaként a/b alakban is felírhatunk. Példánkban a két egész szám a 13 és a 7. A 13/7 hányados értéke 1,857142857142857142857142857…, ahol a 857142 szakasz a végtelenségig ismétlődik. A gyök kettő irracionalitásának felfedezése meglepte és sokkolta ezeket a szorgos számimádókat. Megesküdtek, hogy sohasem mondják el senkinek a társaságukon kívül. Mégis kiszivárgott. A legenda szerint maga Püthagorasz fojtotta vízbe azt, aki kifecsegte a világnak a különös, irracionális számok létezésének titkát. A számegyenes számai két különböző típus egyikébe tartoznak: racionálisak vagy irracionálisak. A két típus együtt lyukak nélkül kitölti az egész egyenest. A számok igen-igen közel (infinitezimálisan közel) vannak egymáshoz. A racionális számokról azt mondjuk, hogy mindenütt sűrűek a valós számok között. Egy racionális szám bármely környezete, bármilyen kicsi intervallum végtelen sok irracionális számot tartalmaz. És fordítva is, minden irracionális szám

körül végtelen sok racionális található. (Ez utóbbi jelenti azt, hogy a racionális számok sűrűek.) Mindkét halmaz, a racionális és az irracionális számoké is, végtelen elemszámú. Az irracionálisok halmaza azonban olyan számos, hogy belőlük több van, mint racionális számból. Az ő végtelenjük nagyobb végtelen. Ezt az 1880as években bizonyította be egy matematikus, Georg Cantor (18451918). Akkoriban kevesen hittek Cantornak. Legfőbb ellenfele, Leopold Kronecker (1823-1891) kigúnyolta és kifigurázta Cantort a racionális és irracionális számok számosságáról szóló elméletei miatt. Jól ismert Kronecker kijelentése, miszerint „Isten megteremtette az egész számokat, minden más az ember műve”, azaz még abban sem hitt, hogy az olyan irracionális számok, mint a kettő négyzetgyöke, egyáltalán léteznek! (Mindezt több mint kétezer évvel Püthagorasz után!) Kronecker ellenséges érzülete akadályozta meg, hogy Cantor professzori állást kapjon a jó hírű berlini egyetemen, és az ezt követő sorozatos idegösszeomlásai végül odáig vezettek, hogy Cantor elmegyógyintézetbe került. Ma már minden matematikus tudja, hogy Cantornak igaza volt, és hogy végtelenül több irracionális szám van, mint racionális, bár mindkét halmaz végtelen elemszámú. De vajon tudták-e ezt az ókori görögök is? A racionális számok között irracionálisak vannak

A racionális számok a törtek

A püthagoraszi hagyaték A püthagoreusok életmódjának az étrendi szabályok, a számtisztelet és a titkos összejövetelek és rituálék mellett egyik fontos vonása az volt, hogy erkölcsi alapozásként filozófiai és matematikai tanulmányokat folytattak. Úgy tudjuk, hogy maga Püthagorasz alkotta

meg a filozófia (a bölcsesség szeretete) és a matematika (amit tanulnak) szavakat. Püthagorasz a matematika tudományát az oktatás egy liberális formájává alakította át. Püthagorasz Kr. e. 500 körül halt meg, munkásságáról nem hagyott ránk írásos feljegyzést. Krotóni központja elpusztult, amikor egy rivális politikai csoport, a szibariták meglepték a püthagoreusokat, és legtöbbjüket meggyilkolták. A túlélők szétszóródtak a görög világban, a Földközi-tenger körzetében, ahová magukkal vitték filozófiájukat és számmisztikájukat. Azok között, alak a matematika filozófiáját megtanulták ezektől a menekültektől, megtaláljuk tarentumi Philolaoszt, aki a püthagoreusok által alapított új központban tanult. Philolaosz volt az első görög filozófus, aki a püthagoreusok társaságának történetét és elméleteit leírta. Philolaosz könyve volt az, amiből Platón a számok, a kozmológia és a miszticizmus püthagoreus felfogását megismerte, s amiről később maga is írt. (Ismereteink szerint a püthagoreusok legkimagaslóbb vezetője a Kr. e. 400 körül élt tarentumi Arkhütasz volt, iskolájának szokás tulajdonítani a pitagoraszi jellegzetességek többségét.) A Püthagoreus Testvériség egyedi jelképe az ötszögbe írt ötágú csillag volt. Az átlók, amelyek az ötágú csillagot alkotják, úgy metszik egymást, hogy egy kisebb, fordított állású ötszöget formáznak. Ha ebben a kisebb ötszögben megrajzoljuk az átlókat, megint újabb ötszöget alkotnak, és így tovább, a végtelenségig. Ennek az ötszögnek és az átlóiból összeálló ötágú csillagnak van néhány olyan elbűvölő tulajdonsága, amit a Püthagoreusok misztikusnak tartottak. Az átlón egy metszéspont az átlót két különböző hosszúságú részre osztja. Az egész átló hossza úgy aránylik a hosszabbik részhez, mint a hosszabbik szakasz a rövidebbik szakaszhoz. Ugyanez az arány jelenik meg az összes, egyre kisebb és kisebb átlón. Ezt az arányt aranymetszési aránynak hívják. Értéke egy irracionális szám: 1,618… Ha az 1-et elosztjuk ezzel a számmal, pontosan a tizedesvessző utáni részt kapjuk, az 1 nélkül, azaz 0,618…-at. Amint később látni fogjuk, az aranymetszés természeti jelenségekben is felbukkan, illetve olyan arányokban, melyeket az emberi szem szépnek lát. A híres Fibonacci-számok arányának határértékeként is hamarosan találkozunk majd vele.

Az Olvasó egy számológéppel is megkaphatja az aranymetszési arányt, a következő érdekes műveletsorozattal. Írja be, hogy 1 + 1 =, aztán nyomja le az 1/x gombot, azután + 1 =, majd 1/x következik, megint + 1 =, ismét 1/x, és folytassa így tovább. Ha a műveleteket elég sokáig ismétli, a kijelzőn megjelenő számnak felváltva 1,618…at illetve 0,618-at kell adnia. Ez az aranymetszés. Értéke az öt négyzetgyöke mínusz 1, osztva kettővel. Így kapható meg geometriailag a püthagoreus ötszögből. Mivel ez az arány sohasem állapodik meg két egész szám hányadosaként, azaz racionális számként, ebből következik, hogy az öt négyzetgyöke is irracionális szám. Kicsit később többet is foglalkozunk majd az aranymetszéssel. A püthagoreusok felfedezték, hogy a zenében fellelhető harmónia néhány egyszerű számaránynak felel meg. Arisztotelész szerint a püthagoreusok úgy hitték, hogy a mennyország csupa szám és zenei hangsor. A zenei harmónia és a geometriai alakzatok vezették el a püthagoreusokat arra a hitre, hogy „minden csak szám”. A püthagoreusok úgy gondolták, hogy a zene alapvető arányaiban csak az 1, 2, 3 és 4 számok szerepelnek, melyeknek összege 10. Ugyanakkor a 10 a számrendszerünk alapja. A püthagoreusok a 10es számot egy háromszögként ábrázolták, amelyet tetraktisznek hívtak:5

A tetraktiszt a püthagoreusok szentnek tartották, sőt, volt, hogy erre esküdtek. Ami azt illeti, Arisztotelész, Ovidius és más klasszikus írók szerint azért lett számrendszerünk alapja a tíz, mert az embernek tíz ujja van. Emlékezzünk vissza, hogy ezzel szemben a babiloniak hatvan alapú számrendszert használtak. Még ma is fellelhetők azonban más számrendszerek maradványai is. A „nyolcvan” francia megfelelője (quatre-vingt, azaz „négy húszas”) egy archaikus, húsz alapú számrendszer emléke.

Kötelek, a születése

Nílus

és

a

geometria

Az ókori görög matematikáról szóló ismereteink tetemes része az Kr. e. 300 körül Alexandriában élt Eukleidész Elemek című könyvéből származik. Általános vélemény szerint az Elemek első két kötete kizárólag Püthagorasznak és titkos társaságának munkásságával foglalkozik. Az ókori görögök a matematikát a szépségéért művelték, és absztrakt geometriai alakzatokat vizsgáltak. A görögök dolgozták ki a geometria egész elméletét, és ezt az elméletet tanítják az iskolákban ma is, nagyjából változatlanul. Tulajdonképpen az Elemek – illetve ami megmaradt belőle - tekinthető minden idők legnagyszerűbb tankönyvének. Hérodotosz, az ókor nagy görög történetírója úgy vélte, hogy a geometria az időszámításunk előtti harmadik évezredi Egyiptomban alakult ki, jóval az alexandriai vagy más görögök előtt. Leírja, miként szokta a Nílus áradása elmosni a folyó termékeny deltájában elterülő földek közötti határokat, és ez miképp tesz bonyolult földmérési technikákat szükségessé. Ehhez a munkához a földmérőknek geometriai fogalmakat és elképzeléseket kellett kialakítaniuk. A görög-perzsa háború történetében Hérodotosz így ír: Ha a folyó elmosta valaki földjének egy részét, a király embereket küldött ki, hogy felmérjék és mérések által meghatározzák a veszteség pontos mértékét. Úgy vélem, hogy ebből a szokásból vált ismertté a geometria először Egyiptomban, ahonnan aztán Görögországba is eljutott. A geometria az alakzatok és a formák tudománya, melyeket körök és egyenesek, ívek és háromszögek, valamint ezek különböző szögeket bezáró metszetei alkotnak. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen tudományág létfontosságú a földmérés magas szintű műveléséhez. Valóban, az egyiptomi geométereket „kötélfeszítők”-nek hívták, mivel köteleket használtak az egyenes vonalak kijelölésére, melyekre mind a templomok és piramisok építésénél, mind a birtokok

közti határvonalak átrendezésénél szükség volt. Azonban elképzelhető, hogy a geometria gyökerei még ősibbek. Az egybevágóság és szimmetria példái már a neolitikumi leletek díszítőelemeiben is fellelhetők, és ezek lehettek az előfutárai az egyiptomi geometriának, melyet a görögök aztán századokkal később megörököltek. A babiloniak érdeklődését a mezők területe iránt, mely szükségessé tette a négyzetszámok és viszonyaik megértését, az ókori egyiptomiak is oszthatták, akiknek ugyanazokkal a mezőgazdasági problémákkal kellett szembenézniük, csakúgy, mint a saját piramisaik építészeti kérdéseivel. Lehetséges tehát, hogy az ókori egyiptomiak is ismerték a pitagoraszi számhármasokat. Azonban a görögök voltak azok, akik a geometriát tisztán matematikai úton alapozták meg. Tételeket mondtak ki és bizonyítottak be.

Mi is az, hogy tétel? A görögök adták nekünk a tétel fogalmát. A tétel olyan matematikai állítás, amely be van bizonyítva. A tétel bizonyítása a tétel helyességének precíz igazolása oly módon, hogy azt senki nem vitathatja, aki a logika szabályait követi, és aki elfogadja a logikai rendszer alapjaként leszögezett axiómák összességét. Eukleidész axiómái között szerepel a pont és az egyenes fogalma, valamint az az állítás, hogy egy egyeneshez egy rajta kívüli ponton keresztül csak egyetlen párhuzamos egyenes húzható. Az axiómák és olyan logikai következtetések felhasználásával, mint például hogy ha A-ból következik B, és B-ből következik C, akkor A-ból következik C, az ókori görögök sok szép tételt tudtak bebizonyítani a háromszögek, körök, négyzetek, nyolcszögek, hatszögek és ötszögek geometriájáról.

„Heuréka! Heuréka!” A geometriai alakzatokat érintő eredményeket Eudoxosz (Kr. e. V század) és Arkhimédész (Kr. e. III. század) görög matematikusok a területek infinitezimális (azaz végtelenül kicsi) mennyiségek segítségével történő meghatározására is kiterjesztették. A kniduszi Eudoxosz (Kr. e. 408-355) Platón barátja és tanítványa volt. Túl szegény volt ahhoz, hogy az athéni Akadémián lakjon, ezért az olcsóbb kikötővárosban, Pireuszban élt, ahonnan mindennap bejárt Platón Akadémiájára. Bár maga Platón nem volt matematikus, bátorította a matematikai munkát, különösen az Eudoxoszhoz hasonló tehetséges tanítványok esetében. Eudoxosz Egyiptomba utazott, ahol csakúgy, mint Görögországban, sok geometriát tanult. Feltalálta a „kimerítés módszeré”-t, melyet a geometriai alakzatok területének meghatározására használt infinitezimális mennyiségek segítségével. Eudoxosz egy kör területét például sok kis téglalap területének összegeként közelítette meg – mely területek könnyen számíthatók az alap és a magasság szorzataként. Ez lényegében megegyezik a mai integrálszámítás módszerével, és a modern határátmenettel dolgozó érvelések sem sokban különböznek Eudoxosz „kimerítéses” módszerétől.

Az ókor legragyogóbb matematikusa azonban kétségkívül Arkhimédész volt (Kr. e. 287-212), aki Szicília szigetén, Szirakúza

városában élt. Arkhimédész Pheidiász, a csillagász fia volt, és rokonságban állt II. Hieronnal, Szirakúza királyával. Eudoxoszhoz hasonlóan, Arkhimédész olyan módszereket dolgozott ki a területek és térfogatok kiszámítására, melyek a kalkulus előfutárainak bizonyultak. Munkája megelőlegezte mind az integrálszámítást, mind a differenciálszámítást (a kalkulusnak ez a két fő része van – Arkhimédész mindkettőt átlátta). És bár leginkább az elméleti matematika érdekelte: a számok, a geometria, a geometriai alakzatok területe és így tovább, a matematika alkalmazásában elért eredményeiről is híres. Az egyik jól ismert történet arról szól, hogyan fedezte fel Arkhimédész a hidrosztatika főtételét: a törvényt, hogy a folyadékba merülő test a súlyából annyit veszt, amennyi az általa kiszorított folyadék súlya. Abban az időben élt egy csaló aranyműves Szirakúzában, és Hieron király megkérte matematikus barátját, hogy találjon módszert a csalás bizonyítására. Arkhimédész a vízbe merített tárgyak súlycsökkenését kezdte vizsgálni, saját testét használva a kísérletekhez. Fürdés közben elvégzett néhány mérést. Amikor rájött a törvényszerűségre, kiugrott a fürdőből, és Szirakúza utcáin meztelenül végigszaladva kiabálta: „Heuréka, heuréka!” („Megtaláltam, megtaláltam!”). Arkhimédésznek tulajdonítják az arkhimédészi csavar feltalálását is, amely egy hajtókar tekerésekor alacsonyabb helyről magasabbra juttatja a vizet. Ezt a szerkezetet még ma is használják a földművelők világszerte. Amikor Marcellus római hadvezér Kr. e. 214-212-ben megtámadta Szirakúzát, Hieron ismét híres rokonához fordult segítségért. Amint a római hajóhad közeledett, Arkhimédész óriási hajítógépeket tervezett az emelőkkel kapcsolatos vizsgálatai alapján, és a szirakúziak sikeresen megvédték magukat. Marcellus azonban átcsoportosította erőit, és kis idő múlva hátulról támadott, így meglepetéssel bevette Szirakúzát. Ez alkalommal Arkhimédész nem is tudott a támadásról, és a város fölött békésen üldögélt a földön, geometriai alakzatokat rajzolva a homokba. Egy római katona odament, és rálépett az alakzatokra. Arkhimédész felugrott és felkiáltott: „Ne zavard köreimet!” – mire a katona kirántotta kardját és leszúrta a 75 éves

matematikust. Végakaratában Arkhimédész úgy rendelkezett, hogy sírkövére azt a geometriai alakzatot véssék, melyet különösen csodált – egy hengert, belsejében egy gömbbel. Az elhanyagolt sír betemetődött, helye elveszett, ám sok évvel később Cicero római szónok megtalálta és helyreállította. Később azonban ismét a feledés homályába veszett. 1963-ban Szirakúza közelében egy új szálloda építkezésekor felásták a földet, és a munkások újra megtalálták Arkhimédész sírját. Arkhimédész kedvenc tétele a hengerbe helyezett gömbről szólt, ezt a tételt egy, A módszer címet viselő könyvben írta le. Mint a legtöbb ókori szövegről, erről is feltételezték, hogy elveszett. 1906-ban J. L. Heiberg dán tudós hírül vette, hogy Konstantinápolyban található egy elmosódott pergamen kézirat, rajta matematikai jellegű írással. Elutazott Konstantinápolyba, ahol megtalálta a 185 pergamenlapból álló kéziratot. A tudományos vizsgálatok kimutatták, hogy ez Arkhimédész könyvének egy tizedik századi másolata volt, amely fölé a tizenharmadik században keleti ortodox imádságokat róttak.

Alexandria, görög Egyiptom, Kr. u. 250 körül Kr. u. 250 körül élt Alexandriában egy Diophantosz nevű matematikus. Diophantosz életéről mindössze annyit tudunk, amennyi a következő feladványból kiderül, mely egy gyűjteményben, a Diophantosz halála után mintegy száz évvel íródott Antológia Palatinában szerepel. Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad, megtanította a sírt, mondja el élte sorát. Évei egyhatodát tölté ki a gyönge gyerekkor, még feleannyi lefolyt, s álla szakálla kinőtt. Egyheted eltelt még, és nászágy várta a férfit, elmúlt újra öt év, és fia megszületett.

Ez feleannyi napig láthatta a fényt idefenn, mint atyja, mivel neki így szabta az isteni sors. Őt gyászolva a sír felé hajlott agg Diophantosz, négy évvel később ő is elérte a célt. Mondd, hány esztendőt élt hát meg gyászban, örömben, S itta az édes fényt, míg hona lett ez a sír? (Ha megoldjuk a szöveg alapján felírható egyenletet, eredményként 84-et kapunk.) Nem tudjuk biztosan, hogy Diophantosz mikor élt. Csak két érdekes tény alapján tudjuk a korszakot időben elhelyezni. Először is, írásaiban idézi Hüpsziklészt, akiről tudjuk, hogy Kr. e. 150 körül élt. Másodszor, magát Diophantoszt pedig alexandriai Theón idézi. Theónról viszont jól meghatározható, hogy mikor élt, a Kr. u. 364. június 16-i napfogyatkozás alapján. Ezek szerint Diophantosz egészen biztosan Kr. u. 364 előtt, de Kr. e. 150 után élt. A tudósok, némileg önkényesen, Kr. u. 250 körülre teszik munkásságát. Diophantosz írta az Arithmetikát, amely algebrai fogalmakat dolgozott ki, és egy bizonyos típusú egyenlet megjelenéséhez vezetett. Ez a diophantoszi egyenlet, melyet a mai matematikában is használnak. Tizenöt kötetet írt, ezekből csak hat maradt ránk. A többi elveszett a tűzben, amely az alexandriai könyvtárat, az ókor legmonumentálisabb könyvgyűjteményét megsemmisítette. A megmenekült kötetek az utolsónak lefordított görög szövegek között voltak. Az első ismert latin fordítást 1575-ben adták ki. A Fermat birtokában lévő példány azonban Claude Bachet 1621-es fordítása volt. A második kötetben Diophantosz 8. problémája egy adott négyzetszám két négyzetszám összegére való felbontását tudakolta – ez a pitagoraszi feladat, melynek megoldását már kétezer évvel korábban ismerték a babiloniak és ez indította Fermat-t arra, hogy híres utolsó tételét a margóra leírja. Diophantosznak és kortársainak

matematikai tündöklését.

eredményei

jelentették

az

ókori

görögök

utolsó

Az Ezeregyéjszaka meséi Míg Európa azzal volt elfoglalva, hogy az egyik király vagy herceg hűbéresei a másik ellen vívták kis feudális háborúikat, küzdött a nagy pestisjárvánnyal, és költséges, sőt gyakran halálos, keresztes háborúnak nevezett hadjáratokra vállalkozott, az arabok a KözépKelettől az Ibériai félszigetig nyúló virágzó birodalmon uralkodtak. Nagyszerű gyógyászati, csillagászati és művészeti teljesítményeik mellett az arabok kidolgozták az algebra tudományát. 632-ben Mohamed próféta iszlám államot alapított, melynek központja Mekka volt, amely ma is az iszlám vallási központja. Röviddel ezután csapatai megtámadták a bizánci birodalmat, és ez a hadjárat folytatódott Mohamed ugyanebben az évben Medinában bekövetkezett halála után is. Néhány éven belül Damaszkusz, Jeruzsálem és Mezopotámia jelentős része alulmaradt az iszlám erőkkel szemben, és 641-re ugyanígy járt Alexandria – a világ matematikai fővárosa – is. 750-re ezek a háborúk csakúgy, mint a mozlimok egymás közötti harcai, elcsitultak, és a marokkói és nyugati arabok kibékültek a bagdadi központú keleti arabokkal. Bagdad matematikai központtá fejlődött. Az arabok a meghódított területek lakosaitól ugyanúgy átvették a matematikai gondolatokat, mint a csillagászati és egyéb tudományos felfedezéseket. Bagdadba hívattak számos iráni, szíriai és alexandriai tudóst. AlMámún kalifa uralkodásának idején, a 800-as évek elején megszülettek az Ezeregyéjszaka meséi, és arabra fordítottak számos görög művet, köztük Eukleidész Elemeit. A kalifa létrehozta Bagdadban a Bölcsesség Házát, melynek egyik tagja Mohamed Ibn Musa al-Khowarizmi volt. Mint Eukleidészre, al-Khowarizmire is világhírnév várt. Hindu fogalmakat és számjelölést, valamint mezopotámiai fogalmakat és Eukleidész geometriai gondolatait felhasználva al-Khowarizmi könyveket írt az. aritmetikáról és az algebráról. Az „algoritmus” szó az al-Khowarizmi névből ered. Az „algebra” szó pedig al-Khowarizmi legismertebb könyvének, az Al

Jabr Wa’l Muqabalahnak első szavaiból származik. Ebből a könyvből ismerte meg később Európa a matematika algebrának nevezett ágát. Bár Diophantosz Arithmetikája is algebrai gyökerekből táplálkozik, az Al Jabr szorosabb rokonságban áll a mai algebrával. A könyv az első- és másodfokú egyenletek módszeres megoldásával foglalkozik. A könyv címe arabul annyit tesz, mint „helyreállítás a tagoknak az egyenlet egyik oldaláról a másikra való áthelyezésével” – így oldjuk meg ma is az elsőfokú egyenleteket. Az algebra és a geometria kapcsolatban áll egymással, mint a matematika összes többi ága is. A kettőt összekötő egyik terület az algebrai geometria, mely századunkban fejlődött ki. Éppen a matematika ágainak összekapcsoltsága és a különböző ágak kapocsként szolgáló területei kövezték ki az utat Wiles évszázadokkal későbbi munkájához a Fermat-féle problémán.

A középkori kereskedő és az aranymetszés Az arabokat egy olyan probléma érdekelte, amely nagyon szorosan kapcsolódott a pitagoraszi számhármasok megtalálásának diophantoszi feladatához. A feladat olyan pitagoraszi számhármasok megtalálása volt, amelyekhez tartozó derékszögű háromszögnek a területe is egész szám. Több száz évvel később ez a feladat lett az alapja a Liber Quadratorum című könyvnek, melyet 1225-ben pisai Leonardo (1180-1250) írt. Leonardo ismertebb neve Fibonacci volt (ami annyit tesz, hogy „Bonaccio fia”). Fibonacci pisai születésű kereskedő volt. Élt Észak-Afrikában, és Konstantinápolyban is, élete során sokfelé utazott, megfordult Provence-ban, Szicíliában, Szíriában, Egyiptomban és a Földközitenger vidékének számos egyéb táján. Utazásai és a korabeli mediterrán társadalmi elithez fűződő kapcsolatai révén megismerkedett az arab matematikai gondolatvilággal, valamint a görög és a római kultúrával. Amikor II. Frigyes császár Pisába látogatott, Fibonaccit bemutatták a császári udvarban, és tagja lett a birodalmi kíséretnek. A Liber Quadratorum mellett Fibonacci egy másik, az előbbivel egy időben írt könyvéről is ismert, melynek címe Liber Abaci. Fibonacci könyvének egyik, a pitagoraszi háromszögekről szóló feladata egy

tizenegyedik századi bizánci kéziratban is megtalálható, melyet ma Isztambulban őriznek, a Régi Palota könyvtárban. Ez egyfelől véletlen egybeesés is lehet; másfelől azonban az is elképzelhető, hogy Fibonacci találkozott ugyanezzel a könyvvel utazásai során, Konstantinápolyban. Fibonacci leginkább az őróla elnevezett számsorozatról, a Fibonacciszámokról híres. Ezek a számok a Liber Abaci következő feladatából származnak: Hány pár nyúl keletkezik egy év alatt, egyetlen párból kiindulva, ha minden hónapban minden párnak egy pár utóda születik, melyek a második hónaptól kezdve válnak ivaréretté? Az ebből a feladatból eredő Fibonacci-sorozatban minden tag (a harmadiktól kezdve) az előtte lévő két szám összeadásával kapható meg. A sorozat a következő: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Ennek a sorozatnak (mely a feladatbeli 12 hónapon túl is folytatható) meglepő tulajdonságai vannak. Bámulatos módon, a sorozat két szomszédos tagjának hányadosa az aranymetszés arányához tart. A hányadosok a következők: 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, 89/144 stb. Vegyük észre, hogy ezek a számok egyre közelebb és közelebb vannak a (√5-1)/2 értékhez. Ez éppen az aranymetszés aránya. Számológép segítségével is megkapható, az 1 + 1, 1/x ,+ 1, 1/x… műveletek ismétlésével, ahogy már korábban leírtuk. Emlékezzünk vissza, hogy az aranymetszési arány reciproka (1/x) a nála eggyel kisebb számot adja. A Fibonacci-sorozat a természetben sokfelé előfordul. Egy faágon a levelek a Fibonaccisorozatnak megfelelő távolságra nőnek egymástól. A Fibonacciszámok a virágoknál is megjelennek. A legtöbb virágnak 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 vagy 89 szirma van. A liliomnak három szirma van, a boglárkának öt, a szarkalábnak többnyire nyolc, a körömvirágnak tizenhárom, az őszirózsának huszonegy, a százszorszépnek rendszerint harmincnégy, ötvenöt vagy nyolcvankilenc. A Fibonacci-számok a napraforgóban is felfedezhetők. A kis virágocskák, melyekből később a magok lesznek, a

napraforgó tányérjában kétféle spirális alakzatba rendeződnek: az egyik az óramutató járásával megegyező, a másik azzal ellentétes irányban tekeredik. Az óramutató járása szerinti irányban gyakran harmincnégy a spirálkarok száma, míg az ellentétes irányban ötvenöt. Néha a két szám ötvenöt és nyolcvankilenc, sőt néha nyolcvankilenc és száznegyvennégy. Ezek mind szomszédos Fibonacci-számok (melyeknek hányadosa az aranymetszési arányhoz tart). Ian Stewart a Természet számaiban úgy érvel, hogy amikor a spirálok kialakulnak, 137,5 fokos szöget zárnak be egymással, ami a 360 foknak az egy mínusz az aranymetszési aránnyal vett szorzata, és ezáltal az óramutató járása szerinti és azzal ellentétes irányú spirálkarok darabszámára két szomszédos Fibonacci-szám adódik, ahogy az alábbi ábra mutatja.

Ha egy olyan téglalapot rajzolunk, melynek oldalai az aranymetszés szerint aránylanak egymáshoz, akkor a téglalapot egy négyzetre és egy másik téglalapra oszthatjuk. A második téglalap hasonló a nagy téglalaphoz, mivel oldalainak aránya szintén az aranymetszésnek felel meg.

A Parthenon, Athén, Görögország A hasonló téglalapot most ismét egy négyzetre és egy maradék, szintén aranymetszésű téglalapra oszthatjuk… és így tovább. A spirálvonal, mely a téglalapok sorozatának egymást követő csúcsain át húzható, gyakran jelenik meg kagylókban, a napraforgó már említett virágocskáiban és a levelek elrendeződésében a faágon.

A Parthenon, Athén, Görögország A téglalap arányai szemet gyönyörködtetőek. Az aranymetszés nemcsak a természetben jelenik meg, hanem a szépség klasszikus ideáljaként a művészetben is. A sorozat megőrizte természetfeletti jellegét, amit az is bizonyít, hogy a napjainkban is működő Fibonacci Társaságnak, melynek központja a kaliforniai St. Mary’s College, egy pap az elnöke. A társaság célja az aranymetszés és a Fibonacci-számok előfordulásának felkutatása a természetben, a művészetekben és az építészetben, amit az a hit vezérel, hogy ez az arány Isten ajándéka a világnak. Szépségideáiként az aranymetszés olyan helyeken jelenik meg, mint az athéni Parthenon. A Parthenon magasságának és hosszának aránya éppen az aranymetszés. A sok száz évvel a görög Parthenon előtt épült gizai nagy piramisnál az alapél fele és egy lap magassága szintén az aranymetszés szerint aránylik egymáshoz. Az egyiptomi Rhind-papirusz egy „szent arány”ra tartalmaz utalást. Mind az ókori szobrok, mind a reneszánsz festmények bővelkednek az aranymetszésnek megfelelő, azaz „isteni” arányokban.

A cossistok A középkori Európába a matematika Fibonacci munkáin keresztül, valamint Spanyolország, az akkori arab világ része felől, alKhowarizmi munkássága révén jutott el. Azokban az időkben az algebra fő területe az egyenleteknek az ismeretlen mennyiségre való megoldása volt. Ma az ismeretlen mennyiséget “x”-nek hívjuk, és megpróbáljuk az egyenletet „x” összes lehetséges értékére megoldani. A legegyszerűbb egyenletre egy példa az x-5 = 0. Itt egyszerű matematikai műveleteket használhatunk “x” értékének meghatározására. Ha az egyenlet mindkét oldalához hozzáadunk 5-öt, akkor a bal oldalon x-5 + 5 adódik, a jobb oldalon pedig 0 + 5. A bal oldal tehát “x”, a jobb oldal pedig 5. Azaz x=5. Al-Khowarizmi idejében az arabok az ismeretlen

mennyiséget „dolog”-nak nevezték. A „dolog” szó arabul shai. Tehát az egyenleteket az ismeretlen shaira oldották meg, úgy, ahogy az előbb “x”-re tettük. Amikor ezeket az elképzeléseket az európaiak átvették, az arab shait lefordították latinra (res). Egyenletek megoldásával Európában elsőként olasz matematikusok foglalkoztak, akik az. ismeretlen „dolgot” olaszul cosának nevezték. Ezek az „egyenletmegoldó művészek” cossist néven váltak ismertté. Ahogy Babilonban három és fél ezer évvel korábban, a matematikát a középkorban és a korai reneszánszban is főként a kereskedelemben hasznosították. A merkantilis társadalmat egyre inkább foglalkoztatták a kereskedés, az árfolyamok, a haszon és a költségek kérdései, és ezek gyakran öltötték valamely egyenlet megoldását kívánó matematikai probléma alakját. A cossistok Luca Pacioli (14451514), Geronimo Cardano (1501-1576), Niccolo Tartaglia (15001557) és hozzájuk hasonló emberek voltak, akik a kereskedők és boltosok szolgálatában álló feladatmegoldókként versenyeztek egymással. Ezek a matematikusok az elvontabb problémák megoldását egyfajta reklámként használták. Mivel versenyezniük kellett az ügyfelekért, nem sajnálták az időt és az erőfeszítést az olyan nehezebb problémák, mint például a harmadfokú egyenletek megoldására (ezekben az egyenletekben az ismeretlen „cosa” mennyiségnek, vagyis a mi „x”-ünknek a harmadik hatványa, azaz x3 szerepel), hogy aztán eredményeiket publikálva még keresettebbekké váljanak az alkalmazott feladatok megoldására. (Az itáliai matematikusok között inkább az egyetemi rangért folytak a matematikai párbajok; természetesen a győzelemmel sokféle előny járt együtt.) Az 1500-as évek elején Tartaglia megtalálta a módját, hogyan lehet a harmadfokú egyenleteket megoldani, de ő is titokban tartotta, hogy a jól jövedelmező feladatmegoldó piacon előnyre tegyen szert versenytársaival szemben. Miután Tartaglia egy feladatmegoldó versenyen legyőzött egy másik matematikust, Fíorét, Cardano sürgette, hogy tárja fel a harmadfokú egyenletek megoldásásnak titkát. Tartaglia végül engedett Cardano sürgetésének és vázlatosan ismertette módszerét azzal a kikötéssel, hogy ezt Cardanónak is titokban kell tartania. Ő azonban már dolgozott az Ars Magna… című

algebrakönyvén és a hiányos értesülést saját erőfeszítései eredményeképpen kiegészítve, az 1545-ben megjelent könyvében közölte Tartaglia módszerét. Tartaglia úgy érezte, hogy elárulták, és haragra gerjedt Cardano iránt. Utolsó éveiben ideje nagy részét korábbi barátjának becsmérlésével töltötte, és sikerült is megtépáznia Cardano hírnevét. (Mindez nem akadályozta meg az utókort abban, hogy a harmadfokú egyenlet megoldóképletét Cardano-képletnek nevezze.) A cossistokat az ókori görögöknél alacsonyabb rendű matematikusoknak tartották. Az, hogy anyagi sikert hajhászva csak alkalmazott problémákkal foglakoztak, és hogy értelmetlen vetélkedésekbe keveredtek egymással, megakadályozta őket abban, hogy a matematikában a szépséget keressék, és hogy a tudást önmaga kedvéért szomjazzák. Nem dolgozták ki a matematika absztrakt, általános elméletét. Mindehhez vissza kellett nyúlni az ókori görögökig. És pontosan ez volt az, ami száz évvel később történt.

Reneszánsz kutatás az ókori tudás után Diophantosz óta ezerháromszáz év telt el. A középkori világ átadta helyét a reneszánsznak és a modern kor hajnalának. A középkor sötétségéből Európa hatalmas tudásszomjjal ébredt. Sokan voltak, akik az ókor klasszikus művei felé fordították figyelmüket. A tudás és megvilágosodás iránti vágy újjáéledésével az összes létező ókori könyvet lefordították latinra – a művelt emberek nyelvére. Claude Bachet francia nemes a matematika iránt erősen érdeklődő fordító volt. Megszerezte Diophantosz Arithmetikájának egy görög példányát, lefordította, és 1621-ben Párizsban Diophanti Alexandrini Arithmeticorum Libri Sex címen kiadta. Ennek a könyvnek egy példánya került később Fermat kezébe. Fermat tétele azt mondja ki, hogy a négyzeteken kívül nem találhatók pitagoraszi hármasok. Nem léteznek olyan számhármasok, hogy közülük kettőnek az összege a harmadikat adja, és mindhárom szám valamely egész számnak a köbe, vagy negyedik hatványa, vagy

ötödik, hatodik, vagy tetszőleges más, egész kitevőjű hatványa. Hogyan juthatott egy ilyen tétel Fermat eszébe?

Négyzetek, köbök és magasabb dimenziók Tételnek egy bebizonyított állítást nevezünk. Fermat kijelentette, hogy van egy „csodálatos bizonyítása”, de senki sem nevezhette az állítást tételnek anélkül, hogy látta és ellenőrizte volna a bizonyítást. Lehet egy állítás bármilyen mély, bármilyen jelentős vagy fontos, a legapróbb részletekig helyes bizonyítás nélkül csupán sejtésnek, esetleg feltételezésnek nevezhető. Amint a sejtést valaki bebizonyítja, már hívható tételnek, vagy, amennyiben egy mélyebb tételhez vezető segédállításról van szó, lemmának. A tételből levezethető bizonyított állításokat következményeknek nevezzük. Fermat bőven ontotta az állításokat. Egyik állítása szerint a (22)^n + 1 szám mindig prímszám. Ezt a sejtést nemcsak hogy nem sikerült bebizonyítani, azaz nem vált tétellé, hanem épp ellenkezőleg, azt bizonyították be, hogy hamis. Erre a következő évszázadban a nagy svájci matematikus, Leonhard Euler (1707-1783) mutatott rá. Így tehát indokolatlannak tűnt bízni abban, hogy az „utolsó tétel” igaz. Lehetett igaz is, de hamis is. Ahhoz, hogy a Fermat-sejtést valaki megcáfolja, nem kellett volna mást tennie, mint találni három egész a, b és c számot, és egy 2-nél nagyobb n hatványkitevőt, melyekre az an + bn = cn összefüggés teljesül. Soha senki nem talált ilyen számokat. (Később azonban a tétel bizonyítására irányuló kísérletek egyik kulcspontja éppen annak feltételezése volt, hogy létezik megoldás.) Az 1990-es évekre bebizonyosodott, hogy legalábbis négymilliónál kisebb n esetén nem léteznek ilyen egész számok. Ez azonban nem zárta ki azt, hogy egyszer majd találnak az egyenletet kielégítő számokat. A tételt minden lehetséges kitevőre és minden egész számra kellett volna bebizonyítani. Fermat az n = 4 esetre képes volt sejtését bizonyítani. Egy általa „végtelen leszállás” módszerének nevezett ötletes eljárással megmutatta, hogy nem léteznek olyan a, b és c egész számok, melyek kielégítik az a4 + b4 = c4 egyenletet. Azt is észrevette, hogy amennyiben valamely n-re létezne megoldás, akkor

n akármilyen osztójára is létezne. Ezért hatványkitevőként elegendő a (kettőnél nagyobb) prímszámokat megvizsgálni, azaz azokat a számokat, amelyekben az 1-en és önmagukon kívül semmilyen egész szám nincs meg maradék nélkül. Az első néhány prímszám a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… (Az 1-et nem nevezzük prímszámnak.) Ezek egyike sem osztható el 1-en és önmagán kívül más egész számmal úgy, hogy az eredmény egész szám legyen. Nem prím számra példa a 6, mivel a 6 hárommal elosztva 2-t ad, ami egész szám. Fermat n = 3-ra is be tudta bizonyítani tételét. Leonhard Euler az n = 3 és az n = 4 esetet Fermat-tól függetlenül szintén bebizonyította, majd 1828-ban Peter G. L. Dirichlet igazolta az n = 5 esetet. Ugyanerre a hatványkitevőre Adrien-Marie Legendre is bizonyította az állítást, 1830-ban. Gabriel Lamé, és az ő bizonyítását 1840-ben helyesbítő Henri Lebesgue az n = 7 esetet is sikeresen tisztázta. Így kétszáz évvel azután, hogy Fermat odaírta híres megjegyzését Diophantosz könyvének margójára, tétele még csak a 3, 4, 5, 6 és 7 hatványkitevőkre volt igazolva. Messze volt még a végtelen, pedig a tétel bizonyításához minden n– re ez kellett. Nyilvánvaló volt, hogy egy olyan általános bizonyításra volna szükség, amely az összes pozitív egész kitevőre működik. A matematikusok mind az illanékony általános bizonyítást keresték, de sajnos nem találtak mást, mint csupán egyes kitevőkre érvényes levezetéseket. Az algorista Az algorista olyan valaki, aki számítási eljárásokat, más szóval algoritmusokat talál ki. Ilyen ember volt a termékeny svájci matematikus, Leonhard Euler is, akiről az a hír járta, hogy éppolyan természetes számára a számolás, mint másoknak a lélegzés. Euler azonban jóval több volt, mint két lábon járó számológép. Ő volt minden idők legtermékenyebb svájci tudósa. Matematikai írásai annyi kötetre rúgnak, hogy a svájci kormányzat egy különleges alapítványt hozott létre összes műveinek összegyűjtésére. Nagy háztartásában állítólag a vacsorát jelző két gongütés között is képes volt matematikai cikkeket írni.

Leonhard Euler Bázelben született 1707. április 15-én. A következő évben a család egy faluba, Riechenbe költözött, ahol az apa – aki fiatalon Jakob Bernoullinál tanult matematikát – lett a kálvinista lelkész. Amikor a kis Leonhard iskolába ment, apja a teológiai tanulmányok irányába próbálta terelgetni, hogy később átvehesse helyét a falu lelkészeként. Euler azonban matematikai tehetségével tűnt ki. Korának híres svájci matematikusa, Jakob öccse, Johannes Bernoulli foglalkozott vele. A világnak számos matematikust adó Bernoulli család két fiatalabb tagja, Daniel és Nicolaus Bernoulli jó barátai lettek. Ők ketten győzték meg Leonhard szüleit, hogy engedjék fiukat matematikát tanulni, mert biztosan nagy matematikus lesz belőle. Leonhard azonban a matematika mellett teológiai tanulmányait is folytatta, és egész életében buzgón gyakorolta vallását. Az akkori Európában a matematikai és a tudományos kutatás nem elsősorban az egyetemeken történt, ellentétben napjainkkal. Az egyetemek inkább a tanításra koncentráltak, s emellett más tevékenységekre kevés idő maradt. A tizennyolcadik században a kutatás elsődleges helyszínei a királyi akadémiák voltak. Ezeken a kor vezető tudósai az uralkodó támogatását élvezve kutathatták az igazságot. A felfedezések egy része alkalmazott jellegű volt, melyek segítségével a kormányzat az egész nemzet helyzetét javíthatta. Más kutatások „tisztábbak” voltak, azaz a kutatás kedvéért – az emberiség tudásának növeléséért – folytak. A királyi fenségek nagylelkűen támogatták ezeket a kutatásokat, és az akadémiákon dolgozó tudósok kényelmes életet élhettek. Miután Euler a bázeli egyetemen befejezte a matematikai, valamint a teológiai és a héber tanulmányokat, professzori állásra pályázott. Annak ellenére, hogy már számottevő eredményeket mutatott fel, elutasították. Közben két barátját, Danielt és Nicolaust kutató matematikusnak nevezték ki Oroszországba, a szentpétervári királyi akadémiára, Tartották a kapcsolatot Leonharddal, és megígérték, hogy valahogy neki is szereznek ott helyet. Egy napon aztán a két Bernoulli sürgős levelet írt Eulernek, melyben elmondták, hogy a szentpétervári akadémia orvosi részlegében üresedés történt. Euler haladéktalanul élettani és orvosi tanulmányokba fogott Bázelben.

Nem mintha érdekelte volna az orvoslás, de muszáj volt állást találnia, és remélte, hogy így csatlakozhat barátaihoz, akiknek olyan kitűnő helyük volt Oroszországban, és semmi mással nem kellett törődniük, csak a saját kutatásukkal. Bármit tanult is, Euler mindenben matematikát fedezett fel, és ez alól az orvostudomány sem volt kivétel. A fül élettanának vizsgálata a hullámok terjedésének matematikai elemzéséhez vezette. Mindenesetre hamarosan meghívták Szentpétervárra, és 1827-ben csatlakozott két barátjához. Nagy Péter feleségének, Katalinnak halálával azonban káosz lett úrrá az akadémián, mivel az elhunyt volt a kutatások legfőbb támogatója. Az összevisszaságban Euler kihátrált az orvosi részlegből, és valahogy sikerült a matematikai részleg névsorára felkerülnie, ahová valójában mindig is tartoznia kellett volna. Hat évig meghúzta magát, hogy elkerülje a leleplezést, és tartózkodott mindenfajta társadalmi érintkezéstől, nehogy valaki rájöjjön a csalásra. Közben pedig folyamatosan dolgozott, tollából elsőrangú matematiai munkák kötetei kerültek ki. 1733-ban megkapta az akadémia legmagasabb matematikai beosztását. Úgy tűnik, hogy Euler olyan ember volt, aki bárhol tudott dolgozni. Kétszer nősült és 13 gyermeke volt. Családja növekedtével gyakran úgy művelte a matematikát, hogy közben egyik karjában egy kisbabát ringatott. Amikor Anna Ivanovna, Nagy Péter unokahúga került Oroszország trónjára, a terror időszaka köszöntött be, és Euler tíz évre ismét a munkájában keresett menedéket. Ebben az időszakban került eléje egy bonyolult csillagászati probléma, amelynek megoldásáért Párizsban díjat tűztek ki. Míg más matematikusok több hónapos szabadságot kértek az akadémiától, hogy a problémán dolgozhassanak, Euler három nap alatt megoldotta. A koncentrált erőfeszítésnek azonban megvolt az ára: Euler a jobb szemére megvakult. Euler ezután Németországba költözött, hogy az ottani királyi akadémián dolgozzék. A németekkel azonban nem jött ki jól, mert előszeretettel bocsátkoztak hosszú filozófiai vitákba, melyek Eulernek nem voltak ínyére. Mikor Nagy Katalin visszahívta a szentpétervári akadémiára, ő boldogan visszament. Denis Diderot, az

ateista filozófus éppen akkoriban látogatta meg Katalin udvarát. A cárnő megkérte Eulert, hogy vitatkozzék Diderot-val isten létezéséről. Közben Diderot-nak értésére adták, hogy a híres matematikusnak bizonyítéka van Isten létezésére. Euler Diderot-hoz lépett, és komoly hangon megszólalt: „Uram, (a + bn)/n = x, tehát Isten létezik; erre feleljen!” Diderot, aki nem is konyított a matematikához, megszeppent, és azonnal hazatért Franciaországba. Második oroszországi tartózkodása alatt Euler másik szeme világát is elvesztette. Fiai segítségével mégis folytatta a matematikát, ők írtak helyette. A vakság csak fokozta azt a képességét, hogy bonyolult számításokat végezzen el fejben. Euler még tizenhét évig művelte a matematikát, és 1783-ban halt meg, miközben unokájával játszott. A ma is használt matematikai jelölések nagy része Eulernek köszönhető. Ide tartozik az i betű használata is az imaginárius egységnek, azaz a -1 négyzetgyökének jelölésére. Eulernek volt egy kedvenc matematikai képlete, melyet a világ legszebbjének tartott, és az akadémia kapuja fölé is kifüggesztett. Ez az a képlet: ein + 1=0 A képlet tartalmazza számrendszerünk két alapvető számát, az 1-et és a 0-t; szerepel benne a három matematikai művelet: az összeadás, szorzás és hatványozás; megtalálható benne a két legfontosabb valós szám, π és az e; és szerepel benne az i, a képzetes számok alapegysége. Mi több, ránézésre is tetszetős.

Königsberg hét hídja Euler olyan hihetetlen látnok volt a matematikában, hogy a képzetes számok (és a mai komplex analízis) terén végzett úttörő munkája messze nem az egyetlen újítása volt. Olyan területen is úttörő munkát végzett, amely századunkban nélkülözhetetlenné vált a matematikusok – és a Fermat-sejtés megoldására tett kísérletek – számára. Ez a terület a topológia, az olyan térbeli tulajdonságok vizuális elmélete, melyeket a folytonos függvények alkalmazása nem változtat meg. A topológia a nemegyszer bonyolult és meglepő geometriai tulajdonságokkal rendelkező alakzatokat és formákat

vizsgálja, és azokat megszokott háromdimenziós világunkon túl, négy, öt, vagy még több dimenzióra is kiterjeszti. Amikor eljutunk majd Fermat problémájának modern megközelítéséhez, újra találkozni fogunk ezzel a lenyűgöző területtel, mivel a topológia – bármennyire távolinak tűnik is Fermat egyenletétől – nagyon fontos annak megértéséhez. A topológia megszületése előtt Euler Königsberg hét hídjának híres problémájával rakta le a tudományág alapjait. Ez a rejtvény keltette fel az érdeklődést a topológia, majd pedig a gráfelmélet iránt. Euler idejében Königsbergben hét híd ívelt át a Pregel folyón. Ezeket az alábbi ábra mutatja.

Euler feltette a kérdést, vajon lehetséges-e mind a hét hidat végigjárni anélkül, hogy valamelyiken is kétszer keresztülmennénk. A válasz az, hogy nem lehetséges. A hét híd problémája iránti érdeklődés más, a közelmúltban vizsgált problémákat is szült: ezek a különböző térképszínezési feladatok. Adott egy térképész, aki megrajzolja a világ térképét. Térképén az országok különböző színűre vannak festve, hogy el lehessen őket különíteni közvetlen szomszédaiktól. Két ország vagy állam csak akkor kaphatja pontosan ugyanazt a színt, ha nincs közös határuk. A kérdés az, hogy legalább hány színre van szükség ahhoz, hogy semelyik két egymással érintkező állam se legyen azonos színű. A probléma persze vizsgálható teljesen általánosan, nemcsak a világ jelenlegi viszonyai között. A kérdés valójában úgy szól, hogy az összes

lehetséges síkbeli térképet tekintve, mennyi a legkevesebb szín, amit elegendő használnunk. Matematikai szempontból ez egy topológiai feladat. 1852 októberében Francis Guthrie Anglia térképét színezte. Azon tűnődött, hogy minimum hány színt kellene használni a megyékhez. Arra jutott, hogy négyet. 1879-ben született egy bizonyítás arra, hogy tényleg a négy a keresett szám, később azonban a bizonyításban hibát találtak. Majdnem száz évvel később, 1976-ban két matematikus, Haken és Appel bebizonyította a négy színsejtés problémájaként elhíresült állítást. Bizonyításuk azonban mind a mai napig vitathatónak számít, mivel számítógépes futtatásokat is felhasználtak hozzá, nemcsak a hagyományos matematikai logikát.

Gauss, a nagy német zseni Az Euler által a nagy Fermat-sejtés n = 3 (azaz köbös) esetére adott bizonyítás egy állítólagos hibáját Carl Friedrich Gauss (1777-1855) javította ki. Míg a korszak legtöbb hírneves matematikusa francia volt, Gauss, ennek a kornak kétségtelenül – de az egész történelemnek is jó eséllyel – legnagyobb matematikusa összetéveszthetetlenül német volt. Sohasem tette ki lábát Németországból, még egy látogatás erejéig sem. Gauss egy igen szegény paraszt unokája, és egy brunswicki nyergesmester fia volt. Apja szigorú volt vele, anyja azonban védte és bátorította fiát. A kis Carlra anyjának, Dorotheának fivére, Friedrich is gondot viselt. Ez a nagybácsi tehetősebb volt Carl szüleinél, és szövőként jó hírnévnek örvendett. Amikor Carl hároméves volt, egyszer végignézte, ahogy nagybátyja a főkönyvben összeadta a tételeket. „Friedrich bácsi”, szólt közbe, „hibásan számoltál”. A nagybácsi megdöbbent. Attól a naptól fogva minden lehetőséget megragadott, hogy az ifjú zseni taníttatását és nevelését segítse. Közismert történet, hogy az. osztatlan elemi iskolában tanuló alsósoknak, köztük a kis Gaussnak, a tanító – hogy a nagyobbakkal legyen ideje foglalkozni – számolási feladatot adott: adják össze az egész számokat 1-től 100-ig. A gyerek pár perc múlva felmutatta palatábláján a helyes végeredményt. A tanító csodálkozására közölte, hogy észrevette, a számsor két végén álló szám összege, 1 + 100 ugyanannyi, mint a két másodiké, 2 + 99, 3 + 98, … és végül

50 + 51. Így a megoldás egészen egyszerűen 50-szer 101, azaz 5050. [Ma is így tanítják a számok összegének meghatározását 1-től n-ig: írjuk egymás mellé a számokat 1-től növekvő sorrendben, majd alájuk n-től csökkenő sorrendben. Most adjuk össze a két sort: n oszlopunk lesz, minden oszlopban n+1 az összeg, a számok összege tehát ennek a fele: n(n+1)/2.] Később a tanító keresett és talált is támogatót kitűnő tanítványának, aki fedezte egyetemi tanulmányainak költségét. 15 éves korában Gauss, Brunswick hercegének közbenjárására, egyetemre járt Brunswickban. A herceg később abban is támogatta a fiatal matematikust, hogy beiratkozzék a nagynevű göttingeni egyetemre. Itt írta le Gauss 1796. március 30-án híres naplójának első oldalát. A napló csak tizenkilenc oldalra rúgott, de ezeken az oldalakon Gauss 146 általa levezetett fontos és mély matematikai eredmény rövid leírását jegyezte fel. Később derült ki, hogy a tizennyolcadik század végén, illetve a tizenkilencedik században közölt majdnem minden fontos matematikai gondolat csírája szerepelt Gauss kiadatlan naplójának valamelyik bejegyzésében. Sokáig nem tudták, mi lett a naplóval, mígnem 1898ban rábukkantak Hamlinban, Gauss unokájának tulajdonában. Gauss számelméleti eredményei, melyeket rendszeres levelezés útján megosztott korának matematikusaival, Fermat utolsó tételének mindennemű bizonyítási kísérletében jelentős szerephez jutottak. Ezen eredmények nagy része szerepelt abban a számelméleti könyvben, melyet Gauss 1801-ben, 24 éves korában jelentetett meg latinul. A Disquisitiones Arithmeticae című könyvet lefordították franciára, és 1807-es párizsi kiadását nagy érdeklődés kísérte. Felismerték, hogy írója zseni. Gauss a könyvet pártfogójának, Brunswick hercegének ajánlotta. Gauss a klasszikus nyelveknek is avatott tudósa volt. Mire beiratkozott az egyetemre, már a latin mestere volt, és a nyelvtudomány iránti érdeklődése komoly választás elé állította. A nyelvek vagy inkább a matematika tanulmányozásában mélyedjen el? A kérdés 1796. március 30-án dőlt el. Naplójából tudjuk, hogy azon a napon a fiatal Gauss végleg úgy határozott, hogy a

matematikára szakosodik. Számos területen ért el eredményeket a matematikában és a statisztikában (neki tulajdonítjuk a legkisebb négyzetek ötletes módszerét az adatokhoz leginkább illeszkedő egyenes megtalálására), de a számelméletet tartotta a matematika szívének. A világ legnagyobb matematikai zsenije vajon miért nem próbálta meg soha bebizonyítani a nagy Fermat-sejtést? Gauss barátja, H. W. M. Olbers 1816. március 7-én levelet írt Brémából, melyben tudatta Gauss-szal, hogy a párizsi akadémia jelentős díjat tűzött ki annak, aki Fermat utolsó tételét bebizonyítja vagy megcáfolja. Gauss biztosan tudna mit kezdeni a pénzzel, jegyezte meg barátja. Ahogy matematikai pályafutása során mindvégig, Gausst akkoriban is anyagilag támogatta Brunswick hercege, s ez lehetővé tette, hogy a matematikával foglalkozzék, egyéb állás vállalása nélkül. Azonban távolról sem volt gazdag. Emellett, ahogy Olbers is utalt rá, egyetlen más matematikus sem rendelkezett az övéhez fogható szakértelemmel és tehetséggel. „Úgy tűnik nekem, kedves Gauss, hogy azonnal hozzá kellene fognod”, fejeződik be a levél. Gausst azonban nem csábította a lehetőség. Lehet, hogy tudta, milyen csalóka is valójában a nagy Fermat-sejtés. A számelmélet géniusza volt talán az egyetlen matematikus Európában, aki megérezte, mennyire nehéz lenne bebizonyítani. Két héttel később Gauss megírta Olbersnek véleményét a Fermattételről: „Nagyon hálás vagyok a párizsi díjról szóló tudósításodért. Azonban be kell vallanom, hogy Fermat utolsó tétele, mint elszigetelt állítás, igen kevéssé tart számot érdeklődésemre, mivel egy sereg hasonló állítást tudnék könnyedén megfogalmazni, melyeket nem lehetne sem bebizonyítani, sem megcáfolni.” Gauss ugyanakkor jelentőset lendített a matematika komplex analízisként ismert ágán ide tartoznak az Euler által vizsgált képzetes számok is. A képzetes számoknak meghatározó szerep jutott a nagy Fermattétel összefüggéseinek huszadik századi megértésében.

Képzetes számok

A komplex számtest olyan számtest, amely a megszokott valós számokon, valamint az Euler által is ismert, úgynevezett képzetes számokon alapszik. Ezek a számok akkor bukkantak fel, amikor a matematikusok például az x2 + 1 = 0 egyenlet megoldását próbálták számként definiálni. Ennek az egyszerű egyenletnek nincs „valódi” megoldása, mivel nincs olyan valós szám, amelyet négyzetre emelve -1 adódnék, hiszen akár pozitív, akár negatív számot szorzunk meg önmagával, az eredmény mindig pozitív. Ha azonban a mínusz egy négyzetgyökét valahogyan számként tudnánk definiálni, az – bár nem valós szám – megoldása lenne az egyenletnek. A számegyenest ezért kiterjesztették, hogy a képzetes számokat is magába foglalja. Ezek a számok a -1 (i-vel jelölt) négyzetgyökének többszörösei. Saját számegyenesükre helyezték őket, a valós számegyenesre merőlegesen. Ez a két tengely együttesen alkotja a komplex síkot. A komplex síkot a következő ábra mutatja. Számos meglepő tulajdonsága van, például az, hogy a (90˚-os) forgatás i-vel való szorzást jelent. A komplex sík a legszűkebb olyan számtest, mely minden másodfokú egyenlet megoldásait tartalmazza. Nagyon hasznosnak bizonyult, még a mérnöki, hidrosztatikai és egyéb alkalmazásokban is. 1811ben, évtizedekkel megelőzve korát, Gauss a komplex síkon értelmezett függvények viselkedését tanulmányozta. Ezeknek az analitikusnak nevezett függvényeknek csodálatos tulajdonságait fedezte fel. Gauss észrevette, hogy az analitikus függvények különlegesen simák, és rendkívül szépen lehet velük számolni. Az analitikus függvények megőrzik a síkbeli egyenesek és ívek közötti szögeket – ez a vonásuk a huszadik században vált lényegessé. Egyes analitikus függvények, melyeket moduláris formáknak hívnak, döntő szerephez jutottak a Fermat-probléma új megközelítéseiben.

Az i-vel való szorzás az óramutató járásával ellentétes irányba forgat. Szerénysége miatt Gauss nem publikálta ezeket a lenyűgöző eredményeket. Csak barátjának, Friedrich Wilhelm Besselnek (17841846) írt levelében említette őket. Amikor ugyanez az elmélet évekkel később – Gauss neve nélkül – felbukkant, más matematikusok aratták le a babérokat az analitikus függvények vizsgálatáért, melyekről Gauss oly sokat tudott. Sophie Germain Egyszer Gauss levelet kapott egy bizonyos „Leblanc úr”-tól. Leblanc-t lenyűgözte Gauss könyve, a Disquisitiones Arithmeticae, és elküldött Gaussnak néhány új aritmetikai eredményt. Az ezt követő, matematikai témákat boncoló levelezés során Gaussban nagy

tisztelet ébredt Leblanc úr és munkája iránt. Ez a nagyrabecsülés akkor sem csökkent, amikor Gauss rájött, hogy levelező-társának valódi neve nem is Leblanc, sőt, a levélíró nem is „úr”. Az ékesszólóan író matematikus, Sophie Germain (1776-1831) azon igen kevés nő egyike volt, akik abban a korban a matematikát aktívan művelték. A csalás felfedezésekor Gauss ezt írta neki: Hogyan írjam le Önnek bámulatomat és csodálkozásomat afölött, hogy becses levelezőtársam, Leblanc úr, a szemem előtt alakult át e jeles személyiséggé, aki oly ragyogó példáját adja annak, amit egyébként nehezen hinnék el… (Gauss levele Sophie Germainhez, kelt Brunswickban, Gauss születésnapján, amint a levél végén franciául áll: „Bronsvic ce 30 avril 1807 jour de ma naissance.”) Sophie Germain azért bújt férfinév mögé, hogy a nőkkel szembeni, akkoriban elterjedt előítéleteket elkerülje, és hogy Gauss figyelmét komolyan magára vonja. Ő volt az egyik legfontosabb matematikus, aki Fermat utolsó tételét megpróbálta bebizonyítani, és számottevő haladást is elért. Sophie Germain tétele, amely jelentős hírnevet szerzett neki, azt mondja ki, hogy ha Fermat egyenletének létezne megoldása n = 5 esetén, akkor mind a három számnak öttel oszthatónak kellene lennie. A tétel a nagy Fermat-sejtést két esetre osztotta: az első eset az öttel osztható, a második eset az öttel nem osztható számokra vonatkozott. A tételt más hatványkitevőkre is általánosították, és Sophie Germain egy általános tétele lehetővé tette, hogy Fermat utolsó tételét minden 100-nál kisebb prím n– re bebizonyítsák az első esetben. Ez igen fontos eredmény volt, amely annak lehetőségét, hogy Fermat utolsó tétele valamely 100-nál kisebb prímre nem teljesül, a második esetre redukálta. Sophie Germain kénytelen volt álruháját levetni, amikor Gauss szívességet kért barátjától, „Leblanc”-tól. 1807-ben Napóleon megszállta Németországot. A franciák háborús bírságot vetettek ki a németekre, és az egyes lakosok által fizetendő összeget az alapján állapították meg, hogy szerintük egy-egy ember mennyit ért. Gaussra mint neves göttingeni professzorra és csillagászra 2000 frank

adósságot szabtak ki – ami messze meghaladta anyagi lehetőségeit. Francia matematikusok, a nagy Gauss barátai, felajánlották segítségüket, de ő nem fogadott el tőlük pénzt. Gauss valaki olyat keresett, aki közbenjárna érdekében Pernety francia generálisnál Hannoverben. Írt barátjának, Leblanc úrnak, hogy felvenné-e a kapcsolatot a francia generálissal Gauss ügyében. Amikor Sophie Germain szívesen beleegyezett, kiderült valódi személyazonossága. Gauss azonban, amint leveléből kitetszik, el volt ragadtatva, s levelezésük a legkülönbözőbb matematikai témákról tovább folytatódott és fejlődött. Sajnos ők ketten sohasem találkoztak. Sophie Germain 1831-ben halt meg Párizsban, még azelőtt, hogy a göttingeni egyetem kitüntethette volna azzal a tiszteletbeli doktori címmel, melynek adományozását Gauss javasolta. Sophie Germain a Fermat utolsó tételének megoldásával kapcsolatos eredményei mellett sok minden mással is halhatatlanná tette nevét. Dolgozott az akusztika és a rugalmasság matematikai elméletén, valamint az alkalmazott és elméleti matematika egyéb területein. A számelméletben azzal kapcsolatos tételeket is bizonyított, hogy milyen prímszámok vezetnek megoldható egyenletekhez.

Az 1 811-es üstökös Gauss a csillagászat területén is fontos munkát végzett, bolygók pályáját határozta meg. (1807-től haláláig a göttingeni egyetem csillagvizsgálójának igazgatója volt.) 1811. augusztus 22-én figyelt meg először egy alig látható üstököst az éjszakai égbolton. Sikerült pontosan előre jeleznie az üstökös Nap felé vezető pályáját. Amikor az üstökös jól láthatóan felragyogott az égen, Európa babonás és elnyomott népei ezt annak isteni jeleként értelmezték, hogy Napóleon csillaga hamarosan lehanyatlik. Gauss az üstökösben csupán az általa jósolt pálya pontos megvalósulását látta. Azonban a tudománytalan többségnek is igaza lett – a következő évben Napóleon vereséget szenvedett, és visszavonult Oroszországból. Gauss jót mulatott magában. Nem szomorkodott, hogy a császárt legyőzve látta, azok után, hogy a francia erők akkora pénzösszegeket hajtottak be tőle és honfitársaitól.

A tanítvány Niels Henrik Abel norvég matematikus 1826 októberében Párizsba látogatott. Matematikusokkal szeretett volna találkozni -abban az időben Párizs volt a matematika mekkája. Abelre az egyik legmélyebb benyomást Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) tette, egy porosz, szintén látogatóban Párizsban, aki szimpatizált a fiatal norvéggal, abban a hitben, hogy ő is porosz. Abelre nagy hatással volt, hogy Dirichlet bebizonyította Fermat utolsó tételét n = 5-re. Egy barátjának levélben írt erről, megemlítve, hogy ugyanezt Adrien-Marie Legendre (1752-1833) is bebizonyította. Abel úgy írta le Legendre-t, mint aki rendkívül udvarias, de nagyon öreg. Legendre a Fermat-féle eredményt az n = 5 esetre Dirichlet-től függetlenül, nála két évvel később igazolta. Ez sajnos Legendre-ral minduntalan előfordult – eredményeinek nagy részét fiatalabb matematikusok már őt megelőzve megcsinálták. Dirichlet Gauss barátja és egyben tanítványa volt. Gauss remek könyve, a Disquisitiones Arithmeticae megjelenése után igen hamar elfogyott. Még azok a matematikusok sem tudtak belőle példányt szerezni, akiknek munkája Gausséhoz kapcsolódott. Sokan viszont, akiknek jutott, nem értették meg Gauss munkájának mélységét. Dirichlet-nek volt saját példánya. Gauss könyvének ezt a példányát magával vitte utazásaira, Párizsba, Rómába, és Európa egyéb városaiba. Ahová csak ment, a könyvet éjszakára a párnája alá tette. Gauss könyvét hétpecsétes könyvként kezdték emlegetni, és a tehetséges Dirichlet volt az az ember, aki mind a hét pecsétet feltörte. Dirichlet mindenki másnál többet tett azért, hogy nagy mesterének könyvét megmagyarázza és értelmezze a világ számára. A Disquisitiones részletezésén és értelmezésén, valamint Fermat tételének az ötödik hatványra történő bizonyításán kívül Dirichlet egyéb értékes matematikai eredményeket is hátrahagyott. Az általa bebizonyított egyik érdekes eredmény a következő számsorozattal kapcsolatos: a, a + b, a + 2b, a + 3b, a + 4b… és így tovább, ahol a és b olyan egész számok, melyeknek az 1-en

kívül nincs közös osztójuk (mint például a 2 és a 3, vagy a 3 és az 5, nem pedig mint például a 2 és a 4, melyeknek közös osztója a 2, vagy a 6 és a 9, melyeknek közös osztója a 3). Dirichlet bebizonyította, hogy ez a számsorozat végtelen sok prímszámot tartalmaz. Dirichlet bizonyításában az volt a csodálatos, hogy a matematika egy olyan ágának felhasználásával alkotta meg, amely abban az időben nagyon távolállónak tűnt a számelmélettől, ahová ez a probléma igazából tartozik. A bizonyításban Dirichlet az analízist, a matematikának a differenciál- és integrálszámítást is tartalmazó fontos elméletét használta. Az analízis folytonos jelenségekkel foglalkozik: a számegyenesen folytonosan elhelyezkedő számok függvényeivel, ezek pedig nagyon távolinak tűnnek az egész számok és a prímek – azaz a számelmélet birodalmának - diszkrét világától. Egy hasonló, a matematika látszólag eltérő ágait összekötő híd alapozta meg azt a modern filozófiát is, amely századunkban megoldotta a Fermat-rejtélyt. Dirichlet a különböző matematikai ágak efféle egyesítésének bátor úttörője volt. A tanítvány később megörökölte mesterének pozícióját. Amikor Gauss 1855-ben meghalt, Dirichlet otthagyta tekintélyes berlini állását a megtiszteltetésért, hogy átveheti Gauss helyét Göttingenben.

Napóleon matematikusai A francia császár szerette a matematikusokat, bár ő maga nem volt az. Kettő, Gaspard Monge (1746-1818) és Joseph Fourier (17681830) különösen közel állt hozzá. 1798-ban Napóleon a két matematikust magával vitte Egyiptomba, hogy segítsenek „civilizálni” ezt az ősi országot. Fourier Franciaországban, Auxerre-ben született 1768. március 21én, ám nyolcévesen árván maradt, és a helyi püspök segítségével katonai iskolába került. Fourier tehetsége már tizenkét éves korában megmutatkozott, párizsi egyházi előkelőségeknek írt prédikációkat, melyeket azok sajátjukként adtak elő. A papi életpályától az 1789-és francia forradalom mentette meg a fiatal Fourier-t. Helyette matematikaprofesszor, s a forradalom lelkes támogatója lett. Amikor

a forradalmat a terror váltotta fel, Fourier elborzadt a brutalitástól. Ékesszólását, mely a többévnyi prédikációírás során fejlődött ki, arra használta, hogy a túlkapások ellen felszólaljon. Jó előadóképességét Fourier matematikatanárként a legjobb párizsi iskolákban is kamatoztatta. Fourier-t a mérnöki tudományok, az alkalmazott matematika és a fizika érdekelték. Az École Polytechnique-en komolyan kutatta ezeket a területeket, és számos cikkét az akadémián is bemutatták. Hírneve Napóleon figyelmét is felkeltette, és 1798-ban a császár megkérte Fourier-t, hogy kísérje el, zászlóshajója fedélzetén, az ötszáz hajóból álló francia flotta élén Egyiptomba. Fourier a Kulturális Légióban vett részt. A légió feladata az volt, hogy „Egyiptom népét részesítse az európai civilizáció összes áldásában”. A tervek szerint, miközben a hajóhad meghódítja őket, a kultúrát is elhozza ezeknek az embereknek. A két matematikus Egyiptomban megalapította az Egyiptomi Intézetet. Fourier egészen 1802-ig ott maradt, majd visszatért Franciaországba, ahol Grenoble térségének prefektusává nevezték ki. Új helyén számos hasznos közmunkát végeztetett el, például mocsarakat csapoltatott le, és kiirtotta a maláriát. A sok munka mellett Fourier, a matematikusból lett adminisztrátor élete legragyogóbb matematikai gondolatainak megalkotására is talált időt. Fourier mesterműve a hő matematikai elmélete volt, mely arra a fontos kérdésre adott választ, hogyan is terjed a hő. Ezzel a munkával 1812-ben elnyerte az akadémia nagydíját. Munkájának egy része azokon a kísérleteken alapult, melyeket Egyiptom sivatagaiban végzett ottani évei alatt. Egyes barátai szerint ezek a kísérletek, melyek azzal is jártak, hogy zárt terekben képződött erős hőségnek tette ki magát, hozzájárulhattak korai, 62 éves korában bekövetkezett halálához. Fourier életének utolsó éveit azzal töltötte, hogy történeteket mesélt Napóleonról, és arról, milyen közeli kapcsolatban volt vele mind Egyiptomban, mind azután, hogy Napóleon megszökött Elba szigetéről. Ami azonban Fourier nevét halhatatlanná tette, az a hővel kapcsolatos kutatása, mivel ennek során dolgozta ki a periodikus függvények fontos elméletét. A periodikus függvények egy

sorozatát, ha azt speciális módon egy másik függvény közelítésére használják, Fourier-sornak nevezik.

Periodikus függvények Periodikus függvényre a leghétköznapibb példa egy karóra. Percről percre, a nagymutató egy kör mentén halad előre, és hatvan perc múlva pontosan ugyanarra a helyre tér vissza, ahonnan elindult. Megy tovább, de pontosan hatvan perc elteltével ismét ugyanoda érkezik. (Persze közben a kismutató az órák múlásával helyet változtat.) Az óra nagymutatójának mozgása periodikus függvényt ír le. Periódusa pontosan hatvan perc. Bizonyos értelemben az örökkévalóság összes percét – a mostantól mindörökké terjedő végtelen sok perc halmazát – az óra nagymutatója az óra számlapjának kerületére csavarja fel:

Vegyünk egy másik példát! A vasúti síneken robogó mozdonynál az erőt a motorról a kerékre átvivő kar fel-le mozog a kerék mentén, amint az forog. A kerék minden teljes körbefordulásakor a kar eredeti helyzetébe tér vissza – tehát ez a kar is periodikus mozgást végez. A kar függőleges kitérése, ha a vonatkerék sugara egységnyi, a szinuszfüggvényt írja le. A koszinuszfüggvény a kar vízszintes kitérése. Mindkét elemi trigonometrikus függvényt tanultuk az iskolában. A szinusz és a koszinusz is annak a szögnek a függvénye,

melyet a kar a kerék középpontján át húzott vízszintes egyenessel bezár. Ezt mutatja az alábbi ábra.

Amint a vonat halad, a kar függőleges kitérése a fent látható hullámvonalat írja le. Ez a vonal periodikus. Periódusa 2π. A KAR KITÉRÉSE ELŐSZÖR NULLA, MAJD HULLÁMSZERŰEN EMELKEDIK, AMÍG ELÉRI AZ EGYET, AZUTÁN CSÖKKEN, ISMÉT ELÉRI A NULLÁT, MAJD NEGATÍVBA LENDÜL MÍNUSZ EGYIG, VÉGÜL ABSZOLÚT ÉRTÉKE MEGINT NULLÁRA CSÖKKEN.

EZUTÁN A CIKLUS ÚJRAKEZDŐDIK.

Fourier azt fedezte fel, hogy a legtöbb függvény bármilyen pontossággal megközelíthető sok (a tökéletes pontossághoz elméletileg végtelen sok) szinusz- és koszinuszfüggvény összegével. Ez a híres Fourier-sor. Tetszőleges függvénynek ez a sok szinuszés koszinuszfüggvény összegeként való felírása a matematika számos alkalmazásában hasznos akkor, amikor a vizsgálni kívánt matematikai kifejezés nehezen tanulmányozható, a másmás együtthatókkal megszorzott szinuszok és koszinuszok összege viszont könnyen kezelhető és számítható – különösen számítógéppel. A matematika numerikus analízisként ismert ága a függvények és más mennyiségek kiértékelésének számítógépes módszereivel foglalkozik. A Fourier-analízis a numerikus analízis lényeges része, és olyan eljárásokból áll, melyek bonyolult problémákat, ahol sokszor nincs zárt alakú (azaz egyszerű matematikai képlettel megadható) megoldás, periodikus függvények Fourier-sora segítségével vizsgálnak. Fourier úttörő munkáját követően más, egyszerű függvényeket, többnyire polinomokat (azaz egy változó növekvő hatványait, négyzetét, köbét stb.) használó sorfejtéseket is kidolgoztak. Amikor az ön számológépe egy szám négyzetgyökét kiszámítja, azt egy ilyen módszeren alapuló

közelítés segítségével teszi. A szinuszok és koszinuszok Fouriersora különösen az olyan jelenségek közelítésekor hasznos, melyek természetüktől fogva periodikus összetevőkből állnak – ilyen például a zene. Egy zenei darabot harmonikusaira bonthatunk fel. Az árapály, a holdfázisok és a napfoltok mind az egyszerű periodikus jelenségek példái. Bár Fourier periodikus függvényeinek a természeti jelenségekre és a számítási módszerekre való alkalmazása igen nagy jelentőségű, a meglepő tény az, hogy a Fourier-sornak és -analízisnek akadt néhány hasznos alkalmazása az elméleti matematikában is, ami pedig sosem volt Fourier érdeklődésének fő vonalában. A huszadik században a Fourier-sorok a számelméletben jutottak szerephez, mint olyan eszközök, melyek a matematikai elemeket egyik területről a másikra viszik át. Ezt a szerepet Goro Shimura osztotta rájuk. (Shimura sejtésének igazolása volt az utolsó bökkenő a Fermat-tétel bizonyításában.) Fourier periodikus függvényeinek a komplex síkra való kiterjesztése, a matematika e két ágának összekapcsolása vezetett el az automorf függvények és a moduláris formák felfedezéséhez – s ezek szintén döntő hatást gyakoroltak Fermat utolsó tételére egy másik francia matematikus, a huszadik század elején alkotó Henri Poincaré révén.

Egy sántító bizonyítás A párizsi akadémia 1847. március elsejei ülésén Gabriel Lamé (17951870) matematikus izgatottan jelentette be, hogy általános bizonyítást talált Fermat utolsó tételére. Egészen addig csak bizonyos n hatványkitevőkkel próbálkoztak, s a tételre az n = 3, 4, 5, 7 esetekben született bizonyítás. Lamé azt állította, hogy általános megközelítést dolgozott ki a problémára, amely tetszőleges n kitevőre működik. Lamé módszere abban állt, hogy Fermat egyenletének bal oldalát, az xn + yn kifejezést komplex számok segítségével elsőfokú tényezők szorzatára bontotta. Lamé ezután szerényen elmagyarázta, hogy nem csak őt illeti meg a dicsőség, mivel az általa javasolt módszert Joseph Liouville-tól (18091882) tanulta. Lamé után azonban Liouville is kiállt a pódiumra, és minden dicséretet elhárított. Lamé nem bizonyította be Fermat utolsó tételét, mondta csöndesen, mivel az általa javasolt faktorizáció nem egyértelmű (azaz a szorzatra bontást sokféleképpen el lehet végezni, tehát ez nem megoldás). A próbálkozás, egy a sok közül, bátor volt, de nem termett gyümölcsöt. Mindazonáltal a faktorizáció ötletével, azaz az egyenlet szorzótényezőkre való bontásával később is próbálkoztak.

Ideális számok Ernst Eduard Kummer (1810-1893) volt az, aki újra faktorizálni próbált; saját korában ő jutott legközelebb Fermat problémájának általános megoldásához. Kummer, miközben megpróbálta bebizonyítani Fermat utolsó tételét, valójában egy önálló elméletet dolgozott ki a matematikában, az ideális szám ok elméletét. Kummer édesanyja, aki megözvegyült, amikor fia hároméves volt, keményen dolgozott, hogy fiát jó iskolákba járathassa. Kummer tizennyolc évesen Németországban a hallei egyetemen teológiát kezdett tanulni, hogy az egyházi pályára felkészüljön. Azonban egy éles elméjű matematikaprofesszor, aki különösen az algebráért és a számelméletért lelkesedett, a fiatal Kummer érdeklődését is felkeltette e területek iránt, s ő hamarosan abbahagyta a teológiát a matematika kedvéért. Harmadéves hallgató korában az ifjú Kummer megoldott egy nehéz matematikai problémát, amelyért díjat is kitűztek. E sikert követően huszonegy évesen elnyerte a matematikai doktori címet. Kummernek azonban nem sikerült egyetemi állást találnia, ezért volt gimnáziumában volt kénytelen tanári állást vállalni. Tíz évig volt iskolai tanár. Ez idő alatt Kummer sok kutatást végzett, eredményeit publikálta és levélben is megírta a kor néhány vezető matematikusának. Barátai felismerték, milyen szomorú dolog egy ilyen tehetséges matematikusnak fél életét a középiskolai matematika tanításával tölteni. Néhány kiváló matematikus segítségével Kummer professzori állást kapott a breslaui egyetemen. Egy évvel később, 1855-ben meghalt Gauss. Dirichlet átvette Gauss helyét Göttingenben, ezáltal az előkelő berlini egyetemen megüresedett a helye. Dirichlet megüresedett helyére Kummert választották. Ezt az állást töltötte be egészen nyugdíjba vonulásáig. Kummer a matematika szerteágazó problémáin dolgozott, a nagyon absztrakttól a nagyon alkalmazottig – még a matematika háborús alkalmazásai is foglalkoztatták. Nevet azonban Fermat utolsó tételére

vonatkozó beható munkájával szerzett. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) francia matematikus többször is úgy gondolta, hogy megtalálta Fermat problémájának általános megoldását. A nyughatatlan, figyelmetlen Cauchy azonban minden alkalommal szembesült azzal, hogy a probléma sokkal nagyobb falat, mint sejtette. A számtestek, amelyekkel dolgozott, sosem rendelkeztek az általa megkívánt tulajdonsággal. Cauchy tehát lehetette a problémát, és más dolgokkal kezdett foglalkozni. Kummert rabul ejtette Fermat utolsó tétele, és megoldási kísérletei a Cauchy által már bejárt hiábavaló útra terelték. Amikor azonban felismerte, hogy a szóban forgó számtestek nem rendelkeznek valamely tulajdonsággal, ahelyett, hogy feladta volna a reményt, olyan új számokat talált fel, amelyek már a szükséges tulajdonságnak voltak. Ezeket a számokat „ideális számok”-nak hívta. Kummer tehát az alapoktól kezdve egy teljesen új elméletet épített fel, melyet Fermat utolsó tételének bizonyítására próbált felhasználni. Egy ponton Kummer úgy gondolta, hogy végre megvan az általános bizonyítás, de eredménye sajnos nem volt teljes. Ennek ellenére Kummer hatalmas haladást ért el a Fermat-probléma leküzdésében. Az ideális számokkal való számolás lehetővé tette, hogy Fermat utolsó tételét az n hatványkitevő prímértékének széles osztályára bebizonyítsa. Azt tudta bebizonyítani, hogy Fermat utolsó tétele végtelen sok kitevőre érvényes, mégpedig azokra, amelyek „szabályos” (reguláris) prímszámokkal oszthatók. A „szabálytalan” (irreguláris) prímszámokkal nem boldogult. A száznál kisebb prímszámok között csak a 37, az 59 és a 67 szabálytalan. Kummer ezután külön foglalkozott ezekkel a szabálytalan prímekkel, és végül ezekre a számokra is be tudta bizonyítani Fermat tételét. Kummer hihetetlen áttörésének köszönhetően az 1850-es évekre Fermat utolsó tétele az összes n = 100-nál kisebb kitevőre, valamint az ebbe a tartományba eső prímszámok végtelen sok többszörösére igaznak bizonyult. Ez meglehetősen nagy teljesítmény volt, még akkor is, ha a bizonyítás nem volt általános, és még mindig végtelen sok szám maradt, amelyekre nem lehetett tudni, hogy igaz-e a tétel.

1816-ban a Francia Tudományos Akadémia díjat tűzött ki Fermat utolsó tételének bizonyítására. 1850-ben az akadémia ismét aranyérmet és 3000 frankot ajánlott fel annak a matematikusnak, aki bebizonyítja Fermat utolsó tételét. 1856-ban az akadémia úgy döntött, hogy visszavonja a díjat, mivel Fermat problémájának megoldása nem tűnt valószínűnek a közeljövőben. Ehelyett az akadémia úgy határozott, hogy kitüntetésben részesíti Ernst Eduard Kummert, „az egységgyökökből felépített komplex számok és az egész számok körében végzett szép kutatásaiért”. Így Kummer elnyerte azt a díjat, amire soha nem is pályázott. Kummer fáradhatatlanul küzdött tovább Fermat utolsó tételével, a kutatást csak 1874-ben hagyta abba. Kummer a négydimenziós tér geometriájával kapcsolatban is úttörő munkát végzett. Néhány eredménye jól hasznosítható a modern fizika egyik ágában, a kvantummechanikában. Kummer 1893-ban, nyolcvanas éveiben, influenzában halt meg. A matematikusok Kummernek az ideális számokkal elért sikerét még annál az előrelépésnél is többre tartják, melyet e számok felhasználásával a Fermat-probléma megoldásának útján elért. Ezt a figyelemre méltó elméletet Fermat utolsó tételének megoldási kísérletei ihlették, és ez a tény jól mutatja, hogy konkrét problémák megoldásának keresése hogyan vezethet új elméletek kifejlődéséhez. Mi több, Kummer ideális számaiból születtek meg az úgynevezett „ideálok”, melyek a huszadik században hatást gyakoroltak Wiles és más matematikusok munkájára a Fermat-tétellel kapcsolatban.

Meg egy díj 1908-ban Németországban a százezer márkával járó Wolfskehl-díjat tűzték ki jutalmul annak, aki általános megoldást mutat fel Fermat utolsó tételére. A díj fennállásának első évében 621 „megoldás”-t nyújtottak be. Egytől egyig hibásnak bizonyultak. Az elkövetkező években több ezer újabb „megoldás” érkezett, ugyanezzel az eredménnyel. Az 1920-as években a németországi infláció a

százezer márka valódi értékét szinte a semmire csökkentette. Fermat utolsó tételének hibás megoldásai azonban továbbra is özönlöttek.

Geometria Eukleidész nélkül A tizenkilencedik században a matematika új fejlődésnek indult. Bolyai János (1802-1860) és Nyikolaj Ivanovics Lobacsevszkij (17931856), egy magyar és egy orosz, megváltoztatták a geometria arcát. Felcserélték Eukleidész axiómáját, mely szerint egy egyeneshez egy rajta kívüli pontból csak egyetlen párhuzamos egyenes húzható, avval, hogy több is húzható. Ezáltal ők ketten, egymástól függetlenül olyan geometriai világot tudtak megalkotni, melyben a párhuzamossági axióma kivételével a többi euklideszi tulajdonság érvényben marad. Az új, hiperbolikus geometria sok problémát megoldott, és magyarázatot adott olyan helyzetekre, melyek addig rejtélyesnek és megoldhatatlannak tűntek. (Egy másik példa nemeuklideszi geometriára a gömb felszínén megvalósítható gömbi geometria.)

Szépség és tragédia Az absztrakt algebra, az a terület, amely az ismerős, az iskolában az egyenletek megoldási módszereként tanult algebrából ered, a tizenkilencedik században fejlődött ki. A matematikának ebből az ágából kimagasodik Galois gyönyörű elmélete. Evariste Galois 1811-ben született egy Párizs melletti kis faluban, Bourg-la-Reine-ben. Édesapja a városka polgármestere, rendíthetetlen republikánus volt. Az ifjú Évariste a demokrácia és a szabadság eszményein nőtt fel. Sajnos akkoriban Franciaország nagy része az ellenkező irányba tartott. A francia forradalom kevés volt ahhoz, hogy a szabadság, egyenlőség, testvériség álma megvalósuljon. A királypártiak magukhoz tértek Franciaországban, Napóleon után ismét egy Bourbon viselte a francia koronát – hogy ezúttal a nép képviselőivel együtt uralkodjék. Évariste életét a forradalom magasröptű eszméi itatták át. Jó ideológus lévén, megható beszédeket intézett a republikánusokhoz.

Matematikusként azonban páratlan tehetségű zseni volt. Tizenévesen a kor szakavatott matematikusai által ismert teljes algebrai és egyenletmegoldási elméletet magába szívta, és – még iskolásként – kidolgozta saját önálló rendszerét, melyet ma Galois-elmélet néven ismerünk. Tragikusan rövid életében sajnos nem adatott meg neki az elismerés. A kollégiumban éjjelente, míg mindenki más aludt, Galois ébren maradt, és papírra vetette elméletét. Elküldte a Francia Tudományos Akadémia elnökének -Cauchynak, a matematikusnak – azt remélve, hogy Cauchy majd segít az elmélet publikálásában. Cauchy azonban nemcsak nagyon elfoglalt volt, hanem arrogáns, és gondatlan is. Galois ragyogó kézirata a szemétkosárban landolt, olvasatlanul. Galois újra megpróbálta, de az eredmény ugyanaz volt. Közben nem sikerültek felvételi vizsgái az Ecole Polytechnique-re, ahol Franciaország ünnepelt matematikusainak zöme a képesítését szerezte. Galois-nak az volt a szokása, hogy mindent fejben oldott meg. Sosem jegyzetelt vagy írt le dolgokat, amíg nem volt kézzelfogható eredménye. Ez a módszer a részletek helyett inkább az ötletekre összpontosított. Az ifjú Evariste-nek a részletekhez kevés türelme és érdeklődése volt. Őt a nagy ötlet, a nagyívű elmélet szépsége érdekelte. Galois tehát nem érezte magát elemében, amikor egy táblánál állva kellett vizsgáznia. Emiatt pedig kétszer is meghiúsult a próbálkozása, hogy felvételt nyerjen álmai iskolájába. A tábla előtt nem szerepelt jól a dolgok leírásával, és ingerült lett, amikor az általa egyszerűen lényegtelennek ítélt részletekről faggatták. Tragikus, hogy ezt a hihetetlenül intelligens fiatalembert nála sokkal tehetségtelenebb vizsgáztatók kérdezték, akik nem értették meg mély gondolatait, és a triviális részletektől való idegenkedését tudatlanságnak vélték. Amikor felismerte, hogy ezen a második és egyben utolsó engedélyezett vizsgán is meg fog bukni, és az iskola kapui örökre bezáródnak előtte, Galois a vizsgáztató arcába vágta a táblatörlő szivacsot. Galois-nak be kellett érnie a második legjobb választással, az Ecole Normale-lal. De ott sem remekelt. Galois apja, Bourg-la-Reine polgármestere a városban papi intrika célpontjává vált.

Egy lelkiismeretlen pap pornográf versikéket terjesztett, a polgármester aláírásával. A több hónapos üldözés hatására Galois apja elvesztette önbizalmát és arra a meggyőződésre jutott, hogy mindenki az ellensége. Lassan kicsúszott a lába alól a talaj. Párizsba ment, és egy lakásban, nem messze attól a helytől, ahol fia tanult, öngyilkos lett. A fiatal Galois sosem heverte ki ezt a tragédiát. Az 1830-as forradalom vesztett ügyének megszállotjaként, az iskolaigazgatóval szembeni csalódottságában, aki szerinte elnéző volt a királypártiakkal és a klérussal szemben, Galois gúnyos, az igazgatót kritizáló levelet írt. Azután ragadtatta magát erre a tettre, hogy három napig az utcákon tüntetett a hatalom ellen lázadó párizsi diákokkal. Galois-t és osztálytársait bezárva tartották az iskolában, és nem tudtak átmászni a magas kerítésen. A felbosszantott Galois az igazgatót kritizáló csípős hangú levelet elküldte a Gazette des Écoles-nak. Erre kicsapták az iskolából. Galois-t azonban nem lehetett megfélemlíteni – egy második levelet is írt a Gazette-nek, melyben iskolatársait arra buzdította, hogy szólaljanak fel a becsület és a lelkiismeret nevében. Nem kapott választ. Kimaradván az iskolából, Galois magántanítást kezdett vállalni matematikából. Saját matematikai elméleteit is akarta tanítani a francia iskolák keretein kívül, mindössze tizenkilenc évesen. Galois azonban nem talált tanítványokat magának – elméletei túl elvontak voltak; túlságosan megelőzte korát. Bizonytalan jövővel, arra kárhoztatva, hogy sosem szerezhet tisztességes képesítést, Galois kétségbeesésében csatlakozott a francia nemzeti gárda tüzérségéhez. A korábban Lafayette által vezetett nemzeti gárdában szolgáló liberális elemek közül sokan közel álltak az ifjú Galois felfogásához. Gárdabeli tartózkodása idején Galois még egy utolsó kísérletet tett matematikai munkáinak publikálására. Irt egy tanulmányt az egyenletek általános megoldásáról – ez napjaink gyönyörű Galois-elmélete – és elküldte Siméon-Denis Poissonnak (1781-1840) a Francia Tudományos Akadémiára. Poisson elolvasta a cikket, de úgy találta, hogy „érthetetlen”. Ismét bebizonyosodott, hogy ez a tizenkilenc éves fiatalember annyira előbbre járt korának összes idősebb matematikusánál, hogy elegáns új elméletei elsuhantak felettük.

Galois ekkor úgy határozott, hogy felhagy a matematikával, és főállású forradalmár lesz. Azt mondta, hogy ha egy holttestre van szükség ahhoz, hogy az emberek belekapcsolódjanak a forradalomba, ő hajlandó magát feláldozni. 1831. május 9-én kétszáz fiatal republikánus bankettet adott, melyen tiltakoztak a nemzeti gárda tüzérségét feloszlató királyi rendelet ellen. Pohárköszöntőt mondtak a francia forradalomra és hőseire, valamint az 1830-as új forradalomra. Galois is felállt, és poharát Lajos Fülöpre, Orléans hercegére, a franciák akkori királyára emelte. Miközben ezt mondta, poharát magasra emelve, Galois a másik kezében egy nyitott zsebkést tartott. Ezt a többiek a király életveszélyes megfenyegetéseként értelmezték, és zendülés tört ki. Másnap Galois-t letartóztatták. A perben, melyben Galois-t azzal vádolták, hogy a király életére akart törni, ügyvédje azt állította, hogy Galois, késsel a kezében, valójában azt mondta, hogy „Lajos Fülöpre, ha árulóvá válik”. Galois néhány jelen lévő barátja a tüzérségből tanúskodott emellett, így az esküdtszék ártatlannak találta. Galois a tárgyi bizonyítékok asztaláról ismét magához vette kését, becsukta és zsebre tette, majd szabad emberként távozott az ülésteremből. De nem sokáig volt szabad. Egy hónappal később veszélyes republikánusként letartóztatták, és vádemelés nélkül börtönben tartották, mialatt a hatóságok a megfelelő vádat keresték, amelyet rá is bizonyíthatnának. Végül megtalálták a megfelelőt: a feloszlatott tüzérség egyenruhájának viselését. Galoist bíróság elé állították ebben az ügyben, és hat hónapos börtönbüntetésre ítélték. A királypártiak boldogok voltak, hogy végre leültették a húszéves fiatalembert, akit a rendszer veszélyes ellenségeként tartottak számon. Később Galois-t feltételesen szabadlábra helyezték. Hogy ezután mi történt, az nem teljesen világos. Míg szabadlábon volt, Galois megismerkedett egy fiatal nővel, és szerelmes lett. Némelyek szerint királypárti ellenségei húzták csőbe, akik egyszer és mindenkorra pontot akartak tenni forradalmi tevékenységének végére. Mindenesetre a szóban forgó hölgy kétes erkölcsű volt („une coquette de bas étage”). Amint Galois szeretője

lett, rögtön akadt egy királypárti, aki, hogy „megmentse a hölgy becsületét”, párbajra hívta ki Galois-t. A fiatal matematikusnak nem hagyott menekvési lehetőséget, aki mindent megpróbált, hogy lebeszélje a férfit a párbajról, de hiába. A párbaj előtti éjszakán Galois leveleket írt. Ezek a barátaihoz intézett levelek is azt az elméletet támasztják alá, hogy a királypártiak csapdájába esett. Mint írta, két királypárti hívta ki, és becsületszavát vették, hogy republikánus barátainak nem szól a párbajról. „Egy rossz hírű nő áldozataként halok meg. Nyomorúságos dolog, hogy így ér véget az életem. Oh, miért kell ilyen semmiségért, ilyen hitványságért meghalnom!” Azonban a párbaj előtti utolsó éjszaka nagyobb felében Galois teljes matematikai életművét vetette gondosan papírra, majd elküldte barátjának, Auguste Chevalier-nek. 1832. május 30-án hajnalban Galois egy elhagyatott mezőn szembenézett kihívójával. Gyomorlövést kapott, majd otthagyták egyedül a mezőn, haldokolva. Senki sem vette a fáradságot, hogy orvost hívjon. Végül egy paraszt talált rá, és bevitte a kórházba, ahol másnap reggel meghalt. Huszonegy éves volt. 1846-ban Joseph Liouville szerkesztett formában megjelentette Galois elegáns matematikai elméletét egy folyóiratban. Másfél évszázad múlva Galois elmélete adta a döntő lökést a Fermat-sejtést legyőző módszerhez.

Még egy áldozat Cauchy gondatlansága és arroganciája még egy ragyogó matematikus életét tette tönkre. Niels Henrik Abel (1802-1829) Findö norvég falucska lelkipásztorának fia volt. Tizenhat éves korában tanára arra biztatta Abelt, hogy olvassa el Gauss híres könyvét, a Disquisitiones-t. Abelnek sikerült még néhány lyukat is betömnie, melyek egyes tételek bizonyításában megmaradtak. Két évvel később azonban meghalt az apja, és az ifjú Abel kénytelen volt matematikai tanulmányait felfüggeszteni, hogy minden erejét a család fenntartására összpontosíthassa. Az előtte tornyosuló nehézségek ellenére Abel a matematika tanulására is talált egy kis időt, és tizenkilenc évesen figyelemre méltó matematikai felfedezésre jutott. 1824-ben publikált egy cikket, melyben bebizonyította, hogy az ötödfokú egyenleteket lehetetlen megoldani. Ezzel Abel korának

egyik leghíresebb problémáját oldotta meg. A tehetséges fiatal matematikus mégsem kapott egyetemi állásajánlatot, amire pedig nagy szüksége lett volna családjának fenntartásához, ezért munkáját elküldte Cauchynak, értékelés, illetve esetleges közlés és elismerés végett. A cikk, melyet Abel Cauchynak küldött, rendkívül hatásos és általános volt. Cauchy azonban elvesztette. Amikor évek múltán végre megjelent nyomtatásban, Abelnek már túl késő volt. 1829-ben tüdőbajban halt meg, melyet a szegénység és a családjáért nyomorúságos körülmények között megfeszítetten végzett munka idézett elő. Halála után két nappal Abel címére levél érkezett, melyben arról értesítették, hogy a berlini egyetem professzorává nevezték ki. Az Abel-csoport fogalma (amit ma már sokan köznévnek tekintenek, és kis a-val írnak) nagyon fontos a modern algebrában, és a Fermatprobléma modern megközelítésében is kulcsfontosságú. Az Abelcsoport olyan csoport, melyben a matematikai műveletek sorrendje megfordítható anélkül, hogy a végeredmény megváltozna. Az Abelvarietás egy még elvontabb algebrai objektum, melyet szintén eredményesen használtak fel a Fermat-tétel megoldásának modern megközelítéseiben.

Dedekind ideáljai Carl Friedrich Gauss öröksége évszázadról évszázadra szállt. Gauss egyik leginkább említésre méltó matematikai örököse Richard Dedekind (1831-1916) volt, aki ugyanabban a városban, a németországi Brunswickban született, mint a nagy mester. Azonban Gauss-szal ellentétben Dedekind gyermekként nem mutatott sok érdeklődést vagy tehetséget a matematika területén. Jobban érdekelte a fizika és a kémia, a matematikában csak ezen tudományok kiszolgálóját látta. Tizenhét évesen azonban Dedekind ugyanabba az iskolába került, ahol a nagy Gauss a matematikát tanulta – a Caroline College-ba – és itt megváltozott a jövője. Dedekind érdeklődni kezdett a matematika iránt, és ez az érdeklődés Göttingenbe vezérelte, ahol Gauss éppen tanított. 1852-ben, 21 évesen, Richard Dedekind Gausstól vette át doktorátusát. Tanítványának a kalkulusról szóló disszertációját a mester „teljesen

kielégítő”-nek találta. Ez nem volt valami óriási dicséret, és valóban, Dedekind zsenialitása ekkor még nem bontakozott ki. 1854-ben Dedekindet előadónak nevezték ki Göttingenben. Amikor Gauss 1855-ben meghalt, és helyére Dirichlet érkezett Berlinből, Dedekind Dirichlet minden előadását meghallgatta. Emellett ő szerkesztette Dirichlet számelméletről szóló korszakalkotó tanulmányát, melyet egy, a saját munkáján nyugvó kiegészítéssel is ellátott. Ez a kiegészítés annak az elméletnek a körvonalait tartalmazta, melyet Dedekind az algebrai számokról dolgozott ki. Ezeket a számokat az algebrai egyenletek megoldásaiként definiáljuk. Ide tartoznak a számok négyzetgyökeinek többszörösei, a racionális számokkal együtt. Az algebrai számtestek nagyon fontosak Fermat egyenletének tanulmányozásához, mivel a különböző fajta egyenletek megoldásával állnak elő. Dedekind így a számelméleten belül egy jelentős elméletet dolgozott ki. Fermat utolsó tételének modern megközelítéséhez Dedekind leginkább azzal járult hozzá, hogy megalkotta az ideálok elméletét. Ezek Kummcr ideális számainak általánosításai. Száz évvel azután, hogy Dedekind létrehozta őket, az ideálok megihlették Barry Mazurt, Mazur munkáját pedig Andrew Wiles aknázta ki. Az 1857-58-as tanévben Richard Dedekind indította el a Galoiselméletről szóló első matematikai kurzust. Dedekind matematikai látásmódja nagyon elvont volt, ő emelte a csoportelméletet arra a modern szintre, ahogy azt ma is művelik és tanítják. Az absztrakció tette lehetővé a Fermat-probléma huszadik századi megközelítését. Dedekind úttörő jelentőségű kurzusa a Galois által kidolgozott elméletekről óriási lépést jelentett ebbe az irányba. Az előadássorozatot két hallgató látogatta. Később Dedekind pályafutása különös fordulatot vett. Otthagyta Göttingent egy zürichi állás kedvéért, majd öt év múlva, 1862-ben visszatért Brunswickba, ahol egy középiskolában tanított ötven éven keresztül. Senki sem tudott magyarázatot adni arra, hogy ez a ragyogó matematikus, aki az algebrát az absztrakció és az általánosság hihetetlen magasságaiba emelte, miért hagyta

ott hirtelen Európa egyik legrangosabb egyetemi pozícióját azért, hogy helyette egy ismeretlen középiskolában tanítson. Dedekind sosem házasodott meg, sok éven át nővérével lakott együtt. 1916ban halt meg, szellemi aktivitását és frissességét életének utolsó napjáig megőrizte.

Fin de Siécle A tizenkilencedik század fordulóján Franciaországban élt egy matematikus, aki meghökkentően sok területen mutatott fel jó képességeket. Henri Poincaré (1854-1912) tudása a matematikán jóval túlra terjedt. 1902-ben és később, amikor már matematikusként nevet szerzett, népszerűsítő könyveket írt a matematikáról. Ezek a puha fedeles könyvek, melyeket mindenféle korú emberek olvastak, megszokott látványnak számítottak a párizsi kávéházakban és parkokban. Poincaré olyan családba született, melynek tagjai sokra vitték. Unokatestvére, Raymond Poincaré az első világháború alatt Franciaország elnöki székéig emelkedett. Más családtagok is kormányzati és köztisztviselői pozíciókat töltöttek be Franciaországban. Henri már fiatalkorától kezdve remek emlékezőtehetségével tűnt ki. Bármely elolvasott könyv bármely oldalát fejből fel tudta mondani. Azonban szórakozottsága is legendás volt. Egyszer egy finn matematikus csak azért tette meg a hosszú utat Párizsba, hogy Poincaréval találkozzon, és megvitasson vele néhány matematikai problémát. A látogatót három órán keresztül várakoztatták Poincaré dolgozószobája előtt, míg a szórakozott matematikus odabent fel-alá járkált – ami egész munkával töltött élete folyamán szokása volt. Végül Poincaré kidugta fejét a várószobába és felkiáltott: „Uram, ön zavar engem!” Erre a látogató gyorsan távozott, és soha többé nem mutatkozott Párizsban. Poincaré tehetségét már az általános iskolában felfedezték. De mivel annyira univerzalista volt – született reneszánsz ember –, különleges matematikai képessége még nem mutatkozott meg. Hamar kitüntette

magát remek fogalmazókészségével. Egyik tanára, aki felismerte és bátorította ezt a képességét, megőrizte iskolai irományait. Egyszer azonban az aggódó tanárnak figyelmeztetnie kellett az ifjú zsenit: „Ne legyél ennyire kiemelkedő, kérlek… próbálj meg kicsit átlagosabb lenni.” A tanárnak jó oka volt, hogy ezt tanácsolja. Úgy tűnik, hogy a francia pedagógusok tanultak Galois fél évszázaddal azelőtti balszerencséjéből – a tanárok rájöttek, hogy a tehetséges tanulók gyakran megbuknak az egyetemi felvételiztetők vizsgáján. Poincaré tanára őszintén aggódott, hogy tanítványa annyira tehetséges, hogy esetleg nem megy át a felvételi vizsgákon. Poincaré már gyerekkorában is szórakozott volt. Gyakran hagyott ki étkezéseket azért, mert elfelejtette, hogy evett-e már, vagy nem. A kis Poincarét érdekelték a klasszikusok, és megtanult jól írni. Tizenévesen a matematika kezdte érdekelni, és azonnal ki is tűnt benne. Egy szobában fel-alá járkálva a fejében teljesen kidolgozta a problémákat, majd leült, és mindent nagyon kapkodva leírt. Ebben Galois-ra és Eulerre hasonlított. Amikor Poincaré végül letette a vizsgáit, matematikából majdnem megbukott, ahogy általános iskolai tanára évekkel korábban tartott tőle. Átment, de csak azért, mert – tizenhét évesen – matematikusként olyan hírnévnek örvendett, hogy a vizsgáztatók nem merték megbuktatni. „Poincarén kívül akármelyik másik hallgató elégtelen osztályzatot kapott volna”, jelentette ki a vizsgabizottság elnöke, amint átengedte azt a hallgatót, akiből az Ecole Polytechnique elvégzése után korának legnagyobb francia matematikusa vált. Poincaré több tucat könyvet írt a matematikáról, a matematikai fizikáról, a csillagászatról és a népszerű tudományokról. Több mint ötszáz oldalnyi tudományos cikket írt az általa kidolgozott új matematikai témákról. Jelentős eredményekkel gazdagította a topológiát, azt a területet, amelyet Euler indított el. Poincaré eredményei azonban annyira fontosak voltak, hogy a matematika ezen ágáról úgy tartják, hogy valójában csak 1895-ben, Poincare Analysis Situs című könyvének megjelenésekor született meg. A topológia – a formák és a felületek és a folytonos függvények tanulmányozása - fontos szerepet játszott Fermat problémájának megértésében a huszadik század vége felé. Fermat utolsó tételének

modern megközelítésében azonban még szükségesebb volt egy másik, szintén Henri Poincaré által kezdeményezett terület.

Moduláris formák Poincaré az olyan periodikus függvényeket tanulmányozta, mint Fourier szinuszai és koszinuszai, de nem a számegyenesen, ahogy Fourier tette, hanem a komplex számsíkon. A szinuszfüggvény, sin x, az egységnyi sugarú körön a függőleges magasság, amikor a szög x. Ez a függvény periodikus: újra és újra megismétli önmagát, minden alkalommal, amikor a szög megteszi periódusának, a 360 foknak (azaz 2π-nek) valamely többszörösét. Ez a periodicitás egyfajta szimmetria. Poincaré a komplex síkot vizsgálta, amely valós számokat tartalmaz a vízszintes tengelyen, és képzeteseket a függőlegesen. Itt egy periodikus függvényt úgy lehetett elképzelni, mint aminek mind a valós, mind a képzetes tengelye mentén van periodicitása. Poincaré egy lépéssel tovább ment, és olyan függvények létezését posztulálta, amelyek még szélesebb körű szimmetriákkal rendelkeznek. Ezek olyan függvények, melyek változatlanok maradnak, ha a komplex z változót az f(z) ->/f((az + b)/(cz + d)) transzformáció szerint megváltoztatjuk. Itt az a, b, c, d elemek, mátrix alakba elrendezve, algebrai csoportot alkotnak. Ez többek között azt jelenti, hogy végtelen sok lehetséges változat van, ezek mind alkalmazhatók egymás után, és az f függvény invariáns erre a transzformációcsoportra nézve. Poincare ezeket a furcsa függvényeket automorf formáknak nevezte. Az automorf formák nagyon, nagyon különös szerzetek voltak, mivel sokféle belső szimmetriának tettek eleget. Poincaré nem volt egészen biztos abban, hogy egyáltalán léteznek-e ilyenek. Poincaré kutatásait a következőképpen írta le. Tizenöt napon keresztül, amikor reggel felébredt, leült az íróasztalához, és néhány órán keresztül próbálta magát meggyőzni, hogy az általa feltalált automorf formák egyszerűen nem létezhetnek. A tizenötödik napon rájött, hogy rossz úton jár. A furcsa függvények, amelyeket nehéz szemléletesen elképzelni, léteznek. Poincaré még ennél is bonyolultabb

függvényekké általánosította őket, melyeket moduláris formáknak nevezett. A moduláris formák a komplex sík felső felét népesítik be, és a geometriájuk hiperbolikus, azaz egy olyan furcsa térben vannak, ahol Bolyai és Lobacsevszkij nemeuklideszi geometriája uralkodik. Ennek a félsíknak bármelyik pontján keresztül sok, egy adott egyenessel párhuzamos „egyenes” húzható.

Az igen különös moduláris formák ebben a térben sokféleképpen szimmetrikusak. A szimmetriákat úgy kapjuk meg, hogy a függvényhez hozzáadunk egy számot, és az invertáljuk, 1/z szerint. Az alábbi ábra mutatja, hogy ezeknek a szimmetriáknak a felhasználásával hogyan lehet hézag és átfedés nélkül teljesen lefedni a komplex félsíkot.

Poincaré félretette a szimmetrikus automorf formákat és a még bonyolultabb moduláris formákat, és más matematika után nézett. Oly sok területtel foglalkozott, gyakran egyszerre többel is, hogy nem volt ideje a nehezen elképzelhető, végtelenül szimmetrikus képződmények szépségén elmélkedni. Azonban tudtán kívül egy újabb magot vetett el abban a kertben, ahonnan végül a Fermatprobléma megoldása kivirágzott.

Váratlan kapcsolat egy fánkkal 1922-ben Louis J. Mordell angol matematikus egy általa nagyon különösnek vélt kapcsolatot fedezett fel az algebrai egyenletek megoldásai és a topológia között. A topológia alkotóelemei a felületek és a terek. Ezek a felületek akárhány dimenzióban lehetnek: két dimenzióban, mint az ókori görög geometria ábrái, vagy a háromdimenziós térben, vagy még több dimenzióban. A topológia az ezeken a tereken ható folytonos függvényeknek, valamint maguknak a tereknek a vizsgálata. A topológiának az a része, amely Mordellt érdekelte, a háromdimenziós tér felületeivel foglalkozott. Ilyen felületre egyszerű példa a gömb: ez egy golyónak vagy labdának a felszíne. A labda háromdimenziós, a

felszíne azonban (ha nincs mélysége) kétdimenziós objektum. A Föld felszíne is példa erre. A Föld maga háromdimenziós: a Földön vagy a belsejében lévő bármely pont megadható a hosszúságával (ez egy dimenzió), a szélességével (ez a második dimenzió), és a mélységével (ez a harmadik dimenzió). A Föld felszíne azonban (mélység nélkül) kétdimenziós, hiszen a Föld felszínének bármely pontja két számmal jelölhető ki: a hosszúságával és a szélességével. A kétdimenziós felületek a háromdimenziós térben a nemük szerint osztályozhatók. A felület neme: a felületen található lyukak száma. A gömb neme nulla, hiszen a gömbben nincs lyuk. Egy amerikai fánkban egy lyuk található. Ezért a fánk (matematikai nevén tórusz) neme 1. „Lyuk”-on olyan lyukat értünk, amely teljesen keresztülnyúlik a felületen. Egy kétfülű bögrén két lyuk fut keresztül.

Ezért felületének neme 2. nemű felületté lehet átalakítani. Egy adott nemű felületet más nemű felületté csak úgy lehet átalakítani, ha néhány lyukat betömünk vagy kifúrunk rajta. Ezt nem lehet folytonos függvénnyel elérni, mivel némi tépést vagy ragasztást igényel, és ezek matematikailag szakadási pontokat jelentenek.

Folytonos függvény

Nem folytonos függvény Mordell egy különös és teljesen váratlan kapcsolatot fedezett fel egy egyenlet megoldásainak halmaza által alkotott felületben található lyukak száma (azaz a neme) és aközött, hogy az egyenletnek véges vagy végtelen számú megoldása van-e. Amennyiben a megoldások felületén, a teljes általánosság kedvéért komplex számokat használva, két vagy több lyuk van (azaz a neme kettő vagy több),

akkor az egyenletnek csak véges sok egész számokból álló megoldása lehet. Mordell képtelen volt ezt a felfedezését bebizonyítani, ezért Mordell-sejtésként vált ismertté.

Faltings bizonyítása 1983-ban egy huszonhét éves német matematikus, Gerd Faltings, aki akkoriban a wuppertali egyetemen dolgozott, bebizonyította Mordell sejtését. Faltingsot nem érdekelte Fermat utolsó tétele, a számelmélet egy elszigetelt problémájának tekintette. Mégis, bizonyítása, amely nagyszerű ötleteket és a században kidolgozott hatékony algebrai geometriai eszközöket használt fel, beláthatatlan következményeket tartogatott Fermat utolsó tételére nézve. Mivel a Fermat-egyenlet neme háromnál nagyobb n-re legalább kettő, világossá vált, hogy amennyiben a Fermategyenletnek egyáltalán létezik egész értékű megoldása, akkor is csak véges sok lehet belőlük (ez pedig megnyugtató, hiszen a megoldásszám most már legalább korlátozott). Nem sokkal később két matematikus, Granville és Heath-Brown Faltings eredményét felhasználva megmutatták, hogy a Fermat-egyenlet megoldásainak száma, ha létezik egyáltalán megoldás, az n hatványkitevő növekedésével csökken. Megmutatták, hogy azon kitevők aránya, amelyekre Fermat utolsó tétele igaz, a száz százalékhoz tart, ha n a végtelenségig növekszik. Más szóval, Fermat utolsó tétele „majdnem mindig” igaz. Ha létezik is a Fermat-egyenletnek megoldása (amely esetben a tétel hamis), a megoldások kevesen és ritkásan vannak. Így tehát 1983-ban a következőképpen állt Fermat utolsó tételének szénája. A tételt n= 1 000 000-ig bebizonyították (és ezt 1992-ben négymillióra emelték). Ráadásul ennél nagyobb n-re, ha létezhet is megoldás, csak igen kevés, és n növekedésével egyre kevesebb.

A furcsa tábornok

nevű

titokzatos

görög

Több tucat olyan kiváló matematikai könyvet adtak ki Franciaországban, francia nyelven, melynek szerzője Nicolas Bourbaki. Létezett is egy görög tábornok, akit Bourbakinak (18161897) hívtak. 1862-ben Bourbakinak felajánlották a görög trónt, amit azonban visszautasított. A tábornok fontos szerepet játszott a francia-porosz háborúban, és szobra megtalálható Nancy francia városban. Bourbaki tábornok azonban nem konyított a matematikához. És sosem írt egyetlen könyvet sem, se matematikáról, se másról. Ki írta hát a nevét viselő sokkötetnyi matematikát? A válasz a két világháború közötti Párizs boldog napjaiban keresendő. Nem Hemingway, Picasso és Matisse voltak az egyedüliek, akik szerettek kávéházakban ücsörögni, barátokkal találkozni, látni és látszani. Ebben az időben a Szajna bal partján, a párizsi egyetem környékén, ugyanazokban a kávéházakban egy lüktető matematikai közösség is virágzott. Az egyetem matematikaprofesszorai is szerettek barátokkal összejönni, meginni egy café au lait-t (tejeskávét) vagy egy pastist a Boulevard St. Michel egy jó sörözőjében, a gyönyörű Luxembourg kert szomszédságában, és beszélgetni… a matematikáról. Párizsban a tavasz megihlette az írókat, a művészeket és a matematikusokat. Magunk elé képzelhetjük, ahogy egy ragyogó nyári napon egy kellemes kávézóban a matematikusok lármás csoportja összegyűlt. Testvéries érzések kerítették hatalmukba őket, amint élénken vitatkoztak valamely elmélet finom részletein. Hangoskodásuk valószínűleg zavarta Hemingwayt, aki mindig is szeretett kávézókban egyedül dolgozni, és bizonyára kénytelen volt átmenni egy másik, kevésbé szeretett törzshelyére. A matematikusokat azonban mindez nem érdekelte. Értékelték egymás társaságát, és egy matematikusokkal teli kávéház – akik mind a számok és szimbólumok és terek és függvények közös nyelvét beszélték – mámorítólag hatott. „Ezt

érezhették a püthagoreusok is, amikor matematikáról beszélgettek”, mondta talán a csoport egyik idősebb tagja, amint poharát a többiek egészségére emelte. „Igen, de ők nem ittak Pernod-t”, válaszolta valaki, és mindnyájan nevettek. „De mi lehetnénk olyanok, mint ők”, mondta erre az első. „Miért nem alakítunk saját társaságot? Titkosat, természetesen.” Mindenhonnan egyetértő hangok hallatszottak. Valaki felvetette, hogy vegyék kölcsön az öreg Bourbaki tábornok nevét. Ennek a javaslatnak megvolt az oka. Azokban az időkben a párizsi egyetem matematika tanszékén az volt a hagyomány, hogy minden évben meghívtak egy hivatásos színészt, aki az összegyűlt oktatóknak és doktori hallgatóknak Nicolas Bourbakiként mutatkozott be. Ezután egyszemélyes műsort adott, mely egy hosszú álmatematikai monológból állt. Az ilyen előadások rendkívül szórakoztatóak voltak, mivel a modern matematikai elméletek gazdagságával együttjáróan számos szónak alakult ki a hétköznapi jelentésén túl külön matematikai jelentése. Ilyen szó például a „sűrű.” A racionális számokat sűrűnek mondjuk a valós számok halmazában. Ez azt jelenti, hogy a valós számok tetszőleges környezetében vannak racionális számok. A hétköznapi életben azonban a „sűrű” sok minden mást jelent. A mai egyetemi hallgatók is szeretik a többértelműség játékait játszani, szeretik elmondani a szép Polly Nom történetét, aki találkozik a sima operátorral, Hullámos Pi-vel (a polinom, a sima operátor és a hullámos pi, mind matematikai kifejezés). Így tehát azok a könyvek, amelyeket ezek a matematikusok közösen írtak, Nicolas Bourbaki nevét viselték. Elindult a Bourbakiszeminárium is, ahol gyakran vitattak meg matematikai ötleteket és elméleteket. A társaságbeli tagságnak titkosnak kellett lennie, és a matematikai eredményekre való hivatkozások a társaságra, Bourbaki nevére kellett történjenek, nem pedig az egyes tagokra. A Bourbaki tagjai azonban nem a püthagoreusok voltak. Míg a tankönyvek szerzőjeként Nicolas Bourbaki volt feltüntetve, a kutatási eredmények, például a tételek és bizonyításaik – melyek az elismertség szempontjából sokkal fontosabbak, mint a könyvek – annak a matematikusnak a nevén váltak ismertté, aki elérte őket. A

Bourbaki-társaság egyik első tagja André Weil (1906-1998) volt, aki később áttelepült az Egyesült Államokba, Princetonba, az Institute of Advanced Studyra. Az ő neve mindig közel állt ahhoz a fontos sejtéshez, amely a Fermat-probléma megoldásához vezetett. A Bourbaki egyik másik alapítója Jean Dieudonné francia matematikus volt, aki – hasonlóan a társaság legtöbb „csak franciáknak” tagjához – átköltözött az Egyesült Államok egyetemeinek zöldebb mezőire. Dieudonné esete, aki a közös Nicolas Bourbaki nevet viselő számos könyv fő szerzője volt, jól példázza azt az ellentétet, ami a bourbakisták névtelenségbe burkolózása és személyes egójuk között húzódott. Dieudonné egy alkalommal Bourbaki néven közölt egy cikket. A cikkben hibát találtak, mire Dieudonné egy rövid írást közölt a következő címmel: „N. Bourbaki egy hibájáról”, és aláírta: J. Dieudonné. A társaság skizofrén természete – tagjai mind franciák voltak, de legtöbben közülük az Egyesült Államokban éltek – Mr. Bourbaki hovatartozásában is megnyilvánul. Nicolas Bourbaki publikációi munkahelyként rendszerint a „nancangói egyetem”-et tüntetik fel, ami a franciaországi Nancy és Chicago nevének egyesítéséből származik. Bourbaki azonban kizárólag franciául publikál, és amikor tagjai találkoznak, általában egy francia nyaralóhelyen, a beszélgetések nemcsak hogy franciául, hanem azon belül a párizsi diákok tájszólásában folynak. A nemzeti szellem ezeknek az Amerikában élő francia matematikusoknak a magánéletébe is behatolt. André Weil, a bourbakista alapítótag számos fontos cikket közölt angolul. De Összegyűjtött munkái, melyeknek volt némi jelentőségük a nagy Fermat-sejtésre nézve is, franciául jelentek meg, Oeuvres címmel. Weil szokatlan tettei megbántották a Fermat-dráma egyik főszereplőjét, és Weil sosem tért magához ez után az összeütközés után. Azt el kell ismerni, hogy a Bourbaki tagjainak volt kollektív humorérzékük. Mintegy negyven évvel ezelőtt az Amerikai Matematikai Társasághoz egyéni tagsági kérelem érkezett Mr. Nicolas Bourbakitól. A társaság titkára azonban rendíthetetlen volt. Azt válaszolta, hogy ha Mr. Bourbaki csatlakozni kíván a

társasághoz, akkor intézményi tagságért kell folyamodnia (ami sokkal többe kerül). Bourbaki nem jelentkezett többé.

Elliptikus görbék A diophantoszi problémákat – az olyan problémákat, melyeket a harmadik században Diophantosz által megadott alakú egyenletek vetnek fel – a huszadik században egyre inkább az elliptikus görbéknek nevezett matematikai objektumok segítségével kezdték el tanulmányozni. Az elliptikus görbéknek azonban semmi közük sincs az ellipszisekhez. Eredetileg évszázadokkal korábban, az elliptikus függvényekkel kapcsolatban használták őket, az elliptikus függvényeket viszont arra találták ki, hogy segítségükkel az ellipszis kerületét kiszámítsák. Amint a matematika számos újító gondolata esetében, a kezdeményező ezen a területen is, maga Gauss volt. Különös módon az elliptikus görbék se nem ellipszisek, se nem elliptikus függvények, hanem kétváltozós harmadrendű polino-mok. Alakjuk a következő: y2 = ax3 + bx2 + cx, ahol a, b és c egész vagy racionális számok (minket a racionális számok feletti elliptikus görbék érdekelnek). Ilyen elliptikus görbére a következő ábra mutat néhány példát.

y2 = x3– x

y2 = x3– 3x + 3 Ha az elliptikus görbéken a racionális pontokat tekintjük – azaz a görbének csak azokat a pontjait nézzük, amelyek két egész szám hányadosai (kizárjuk az olyan irracionális számokat, mint a π vagy a kettő négyzetgyöke) ezek a pontok csoportot alkotnak. Ez azt jelenti, hogy szép tulajdonságaik vannak. Ha veszünk két tetszőleges megoldást, akkor „össze lehet őket adni” abban az értelemben, hogy a görbén egy harmadik megoldást adnak eredményül. A számelmélészeket lenyűgözték az elliptikus görbék azzal, hogy számos kérdésre adnak választ az egyenletekkel és megoldásaikkal kapcsolatban. Így az elliptikus görbék a számelmélet egyik leghasznosabb segédeszközévé váltak.14

Egy különös sejtés körvonalazódik A számelmélet szakértői egy ideje már tisztában voltak vele, hogy az általuk vizsgált elliptikus görbék némelyike moduláris. Ez a néhány elliptikus görbe tehát kapcsolatba hozható a moduláris formákkal. Egyes elliptikus görbéket valahogyan össze lehetett kötni a komplex síkkal, és a rajta értelmezett hiperbolikus geometriájú, sokféle szimmetriájú függvényekkel. Az nem volt világos, hogy mindez miért és hogyan történik. A dolog matematikája rendkívül bonyolult volt még a szakemberek számára is, és a belső struktúrát – a csodálatos harmóniákat – kevéssé értették. Azoknak az elliptikus függvényeknek, amelyeket egyben modulárisaknak is találtak, érdekes tulajdonságaik voltak. Hamarosan valaki megfogalmazta a merész sejtést, hogy minden elliptikus függvény moduláris. Hogy megértsük a modularitás fogalmát, amely a komplex félsík nemeuklideszi terében létezik, ahol a szimmetriák annyira bonyolultak, hogy szinte lehetetlen magunk elé képzelni, nézzünk meg egy nagyon egyszerű példát. Ebben a példában a szóban forgó görbe nem elliptikus, mivel egy kétváltozós harmadfokú egyenlet helyett csak egy kétváltozós másodfokú egyenletről van szó: a görbe egy közönséges kör. Annak a körnek az egyenlete, amelynek sugara a, középpontja pedig az origó: x2+y2 = a2. Tekintsünk most két egyszerű periodikus függvényt: x = a cos t, és y = a sin t. Ez a két függvény állhat x és y helyén a kör egyenletében. Ebben az értelemben a kör egyenlete moduláris. Ennek oka a sin2 t + cos2 t = 1 trigonometrikus azonosság. Ha ezt megszorozzuk a2– tel, éppen a kör egyenletét kapjuk. A moduláris elliptikus görbe nem más, mint ennek a gondolatnak kiterjesztése az összetettebb komplex síkra, a speciális, nemeuklideszi geometriával. Itt a periodikus függvények nem olyan szimmetriák, melyek csak az egyetlen t változóra érvényesek, mint a számegyenes szinuszainál és koszinuszainál, hanem a komplex sík automorf vagy moduláris formái, melyek a bonyolultabb f(z) —> f((az

+ b)/(cz + d)) transzformációkra nézve rendelkeznek szimmetriatulajdonságokkal. Tokió, Japán, az 1950-es évek eleje Az 1950-es évek elején Japán a háború pusztításaiból kilábaló nemzet volt. Az emberek már nem éheztek, de még mindig szegények voltak, és az átlagjapánnak a napi megélhetésért keményen meg kellett küzdenie. Ugyanakkor a gyárak újjáépültek a romokból, a cégek újraalakultak, és bizakodó volt a közhangulat. Ebben az időben az egyetemi élet is nehéz volt Japánban. A hallgatók között kemény versengés folyt: a jó jegyek jó állást jelentettek a diploma megszerzése után. Ez különösen érvényes volt az elméletimatematika-program doktori hallgatóira, mivel egyetemi állást, bár a fizetés alacsony volt, nehezen lehetett találni. Yutaka Taniyama egy ilyen matematikadoktorandusz-hallgató volt. 1927. november 12-én született, egy vidéki orvos családjának nyolcadik, legkisebb gyermekeként, Kisai városában, körülbelül 30 mérfölddel északra Tokiótól. Taniyama fiatalon a matematikának az Abel-varietások komplexus szorzását magába foglaló területét kezdte tanulmányozni. Ez a terület kevéssé volt ismert, és Taniyamának nagyon nehéz dolga volt. Dolgát csak tovább nehezítette, hogy a tokiói egyetem idősebb professzorainak tanácsait lényegében használhatatlannak találta. Minden kis részletet saját magának kellett levezetnie, és matematikai kutatómunkájának minden feladatát azzal a négy kínai írásjellel jellemezte, melyek jelentése „nehéz harc” és „keserves küzdelem”. A fiatal Yutaka Taniyama életében semmi sem volt könnyű. Taniyama egy kb. kilenc négyzetméteres szobában lakott. Az épület minden emeletéhez csak egy WC tartozott, melyet az emelet lakói közösen használtak. Ha fürödni akart, Taniyamának a háztól távolabb található közfürdőbe kellett elmennie. Az ócska bérházat „Békés Hegyek Villájá”-nak hívták, aminek ellentmondott, hogy egy forgalmas úton állt a vasút mellett, ahol néhány percenként eldübörgött egy-egy vonat. Talán azért, hogy jobban összpontosíthasson a kutatásra, az ifjú Yutaka leginkább éjjel

dolgozott, gyakran reggel 6-kor feküdt le, amikor a zajos nap elkezdődött. Taniyama majdnem mindennap – kivéve a nyári hőségben – ugyanazt a fémesen fénylő kékeszöld öltönyt viselte. Amint barátjának, Goro Shimurának elmagyarázta, édesapja az anyagot egy házalótól vette, nagyon olcsón. A csillogás miatt azonban a családból senki sem merte viselni. Végül Yutaka, aki nem törődött azzal, hogyan néz ki, jelentkezett, és az anyagból elkészíttette az öltönyt, amely mindennapos viseletévé vált. Taniyama 1953-ban végzett a tokiói egyetemen, majd a matematika tanszéken „különleges kutató-hallgató”-ként kapott állást. Barátja, Shimura egy évvel korábban diplomázott, és hasonló állással rendelkezett az Általános Oktatási Főiskolán, a kampusz túlsó végén. Barátságuk akkor kezdődött, amikor egyikük levelet írt a másiknak, kérve, hogy vigye vissza a könyvtárba egy matematikai folyóirat egyik számát, amely mindkettőjüket érdekelte. Gyakran ebédeltek együtt olcsó éttermekben, melyek állítólagos nyugati ételeket szolgáltak fel, például párolt marhanyelvet, ez akkoriban kezdett népszerűvé válni Japánban. Yutaka Taniyama

GORO Shimura, 1965 körül, amikor először fogalmazta meg sejtését (A felvételeket Goro Shimura, illetve a Princeton Egyetem bocsátotta rendelkezésre.) Villamossal Nikkóba az 1955-ös konferencián. Balról jobbra: T. Tamagawa, J.-P. Serre, Y. Taniyama, A. Weil Azokban az időkben csak kevés jó matematikus maradt Japánban. Amint egy matematikus némi ismertségre tett szert, megpróbált egy amerikai vagy európai egyetemre bejutni, ahol a matematikai közösségnek nagyobb hagyományai voltak, és ahol lehetőség volt az ugyanazon a területen kutató emberekkel kapcsolatba kerülni. Ezek az összeköttetések fontosak voltak azok számára, akik kevéssé ismert, ezoterikus területen folytattak kutatómunkát. Annak érdekében, hogy az érdeklődési területükhöz értő szakemberekkel szakmai kapcsolatokat próbáljanak kialakítani, a kér barát segített megszervezni a Tokió-Nikkói Algebrai Számelmélet Szimpóziumot 1955 szeptemberében. A szűk körű konferencián elhangzott kijelentések némelyike, bár a sors hosszú időre homályba burkolta őket, végül jelentős eredményekhez – és durva ellentétekhez – vezetett majdnem negyven évvel később.

Biztató kezdet A két barát elintézte a szükséges nyomtatványokat az adminisztráción, lefoglalta a konferencia helyszíneit, és elküldte a meghívókat azoknak a helyi és külföldi matematikusoknak, akiknek a részvételére számítottak. André Weil, aki időközben elhagyta Franciaországot, mint a chicagói egyetem professzora, egyike volt a meghívottaknak. Öt évvel korábban a Matematikusok Nemzetközi Kongresszusán Weil felhívta a matematikai közösség figyelmét egy Hasse nevű matematikus ismeretlen sejtésére „egy számtest fölötti varietás zéta függvényével” kapcsolatban. A homályos állítás tartogatott némi érdekességet a számelmélet kutatói számára. Úgy tűnik, hogy Weil gyűjtötte a számelméleti sejtéseket, és ezt is beválogatta Összegyűjtött műveibe, Hasse-re hivatkozva.

A terület eredményei iránti érdeklődés vonzóvá tette Weilt Taniyama és Shimura szemében, és örömmel fogadták, amikor elfogadta a meghívást a konferencián való részvételre. Egy másik külföldi matematikus, akit Toki-Nikkóba vártak, egy fiatalabb francia, JeanPierre Serre volt. Bár akkoriban talán nem volt a Bourbaki tagja, mivel a társaság csak jól ismert matematikusokból állt, az elkövetkező évtizedekben azzá vált. Egyes matematikusok Serre-t ambiciózus és erős versenyszellemmel megáldott emberként jellemezték. Azért ment el Tokió-Nikkóba, hogy annyit tanuljon, amennyit csak tud. A japánok tudtak pár dolgot a számelméletről, de számos eredményüket csak japán nyelven publikálták, miáltal azok rejtve maradtak a világ többi része elől. Ez remek alkalom volt ezeknek az eredményeknek a megismerésére, mivel a konferencia angolul folyt. Serre így egyike lehetett azon kevés Japánon kívüli embernek, aki ismerte az ott felvonultatott matematikát. A szimpóziumról megjelent konferenciakötet is csak japán nyelvű volt. Húsz évvel később Serre felhívta a figyelmet néhány tokió-nikkói eseményre, és a világ az ő verzióját hallotta meg – nem pedig a japán konferenciakötetben feljegyzettet. A kötet harminchat problémát tartalmazott. A 10., 11., 12. és 13. problémát Yutaka Taniyama írta. Hasse elgondolásaihoz hasonlóan, Taniyama problémái a zéta függvényekről fogalmaztak meg egy sejtést. Úgy tűnt, hogy kapcsolatot létesített a komplex sík Poincaréféle automorf függvényei és egy elliptikus görbe zéta függvénye között. Rejtélyes volt, hogyan kapcsolódhat össze egy elliptikus görbe valamivel a komplex síkon.

„Azt mondja, hogy… mit is?” A négy problémában megtestesült sejtés homályos volt. Taniyama nem valami érthetően fogalmazta meg a problémákat, könnyen lehet, hogy azért, mert maga sem volt biztos benne, mi is a kapcsolat. Az alapvető gondolat azonban ott volt. Intuíció volt, egy zsigeri megérzés, hogy az automorf függvények a komplex síkon, rengeteg szimmetriájukkal, valahogy kapcsolódnak a diophantoszi egyenletekhez. Ez semmiképp sem volt nyilvánvaló. Taniyama rejtett kapcsolatot vélt felfedezni a matematika két nagyon eltérő ága között.

André Weil szerette volna megtudni, hogy Taniyama mire gondol pontosan. A konferencia írásos feljegyzései, a japán nyelven kiadott konferenciakötet szerint Weil és Taniyama között a következő párbeszéd hangzott el: WEIL: Azt gondolja, hogy minden elliptikus függvényt egységbe foglalnak a moduláris függvények? TANIYAMA: A moduláris függvények önmagukban nem lesznek elegendők. Úgy vélem, hogy más speciális típusú automorf függvényekre is szükség lesz. Weil.: Természetesen némelyiket valószínűleg el lehet így intézni. De az általános esetben teljesen különbözőnek és titokzatosnak látszanak… A beszélgetésből két dolog egyértelműen kiderül. Egyrészt, Taniyama az „automorf függvény”-ekre utalt, nem pedig „csak a moduláris függvény”-ekre, mint amelyek az elliptikus görbékhez társulnak. Másrészt, Weil nem hitte, hogy általában létezne ilyesfajta kapcsolat. Később konkrétabban is kifejezte hitetlenségét, melynek fényében igencsak meglepő, hogy éppen az ő neve kapcsolódott végül össze azzal a sejtéssel, amit nem is ő fogalmazott meg, sőt, nem is hitt az érvényességében. A sors azonban néha furcsa, valószínűtlen fordulatokat vesz, és ennél bizarrabb dolgok is megestek. Mindez évtizedekkel később vált érdekessé. A mai történészeknek főnyeremény lenne megtudni, hogy Yutaka Taniyama pontosan mit hitt, gondolt és mondott. Sajnos azonban, mint oly sok más fiatal matematikai zsenire, Taniyamára is tragédia leselkedett. Néhány éven belül Goro Shimura elhagyta Tokiót, először Párizsba ment, azután az Institute for Advanced Studyra a Princeton Egyetemre. A két barát továbbra is tartotta a kapcsolatot. Goro Shimura 1958 szeptemberében kapta meg Yutaka Taniyama utolsó levelét. 1958. november 17-én, öt nappal harmincegyedik születésnapja után Yutaka Taniyamát holtan találták lakásában, íróasztalán búcsúlevéllel.

Shimura sejtése Egy évtized telt el a tokió-nikkói konferencia óta, és Goto Shimura, most már Princetonban, folytatta a kutatást a számelmélet, a zéta függvények és az elliptikus görbék területén. Megértette, hogy elhunyt barátja hol tévedett, és a matematika birodalmában elrejtett harmóniák utáni saját kutatása és keresése elvezette egy másik, merészebb és pontosabb sejtés megfogalmazásához. Azt sejtette, hogy minden racionális számok fölötti elliptikus görbe egyesíthető egy moduláris formával. A moduláris formák sajátosabb képződményei a komplex számsíknak, mint Taniyama automorf függvényei. Emellett a racionális számoknak, mint értelmezési tartománynak kijelölése, valamint más módosítások is fontos javításnak számítottak. Shimura sejtését egy ábra segítségével lehet megmagyarázni:

Ha a komplex síkot tórusz (a képen látható lyukas fánk) alakba „hajtogatjuk össze”, akkor ez a felület a racionális számok fölötti elliptikus egyenletek minden megoldását tartalmazni fogja, amely egyenletek viszont diophantoszi egyenletekből származnak. Ami később Fermat utolsó tételének megoldása szempontjából fontos lesz az az, hogy ha az xn +yn = zn Fermat-egyenletnek létezne megoldása, akkor ennek a megoldásnak szintén rajta kellene lennie a tóruszon. Mármost Shimura azt sejtette, hogy minden racionális együtthatós elliptikus görbe (azaz olyan egyenlet, amelynek

együtthatói a/b alakúak, ahol a és b is egész számok) rendelkezik egy „társ”-sal Poincaré nemeuklideszi, hiperbolikus geometriával rendelkező komplex félsíkján. A racionális elliptikus görbék minden egyes konkrét társa egy nagyon speciális függvény a komplex félsíkon, olyan, amely a sík bonyolult – a korábban említett f(z) —> f((az + b)/(cz + d)) transzformációira nézve invariáns, és az együtthatók csoportot alkotnak, sokféle váratlan szimmetriával. Mindez rendkívül összetett, rendkívül technikás, és – az elkövetkező néhány évtized legtöbb matematikusának véleménye szerint – az előrelátható jövőben bebizonyíthatatlan volt. Shimura sejtése azt fejezte ki, hogy minden elliptikus görbe egy jéghegynek a vízből kilátszó része. A víz alatt egy szövevényes szerkezet rejtőzik. A sejtés bizonyításához azt kellett volna megmutatni, hogy minden jéghegynek van víz alatti része. A jéghegyek egyes különleges csoportjairól ismert volt, hogy tartozik hozzájuk víz alatti rész, de mivel végtelen sok jéghegy volt, nem lehetett egyesével benézni alájuk. Általános bizonyítás kellett volna arra, hogy nem létezhet jéghegy víz alá merült rész nélkül. Egy ilyen bizonyítás megalkotását mindenki rendkívül nehéznek tartotta. Fondorlat és árulás Az 1960-as évek elején, a princetoni Institute for Advanced Study egy fogadásán Shimura ismét találkozott Jean-Pierre Serre-rel. Shimura beszámolója szerint Serre meglehetősen arrogánsan lépett hozzá. „Nem hiszem, hogy a moduláris görbékről szóló eredményei bármire is jók”, mondta. „Hiszen nem is alkalmazhatók tetszőleges elliptikus görbére.” Válaszul Shimura pontosan megfogalmazta sejtését: „Az ilyen görbét mindig egységbe kell foglalnia egy moduláris görbének.” Serre megkereste Weilt, aki nem volt ott a fogadáson, de az intézet tagja lévén a közvetlen közelben tartózkodott, és elmesélte neki Shimurával folytatott párbeszédét. Erre Weil Shimurához ment. „Tényleg ezt mondta?”, kérdezte zavartan. „Igen”, válaszolta Shimura, „talán nem lehetséges?” Tíz évvel Taniyama hasonló sejtése után, André Weil még mindig nem hitt egyik sejtésben sem. Azt válaszolta: „Nem látok semmit, ami ellentmondana neki, mivel egyik és másik halmaz is megszámlálható, de olyan érvet sem látok,

ami alátámasztaná ezt a föltételezést.” Weilnek ezt a mondatát később Serge Lang a Yale Egyetemről „ostobá”-nak és „üres”-nek minősítette. Ezeket a megjegyzéseket két tucat levél másolatával együtt, melyeket összefoglalóan „Taniyama-Shimura-aktá”-nak hívott, világszerte mintegy ötven matematikus körében terjesztette. Amit Weil Shimurának adott válasza jelentett, az körülbelül a következő: ha egy szobában hét férfi és hét nő van jelen, és valaki azt sejti, hogy ez hét házaspár, akkor nem látok benne ellentmondást, mivel a férfiak száma megegyezik a nők számával. De a feltételezése mellett sem látok semmilyen érvet. Az is lehet, hogy mindnyájan egyedülállók. Ami miatt Lang ostobának minősítette az állítást az az, hogy a számlálási érv most nem igazán alkalmazható egyszerű módon, mivel a „megszámlálható” végtelent és felsorolhatót jelent (mint például a pozitív egészek száma: 1, 2, 3, 4…), és az ilyen végtelen halmazok összepárosítása nem egyszerű feladat. Az mindenesetre világos, hogy André Weil nem gondolta úgy, hogy Shimura elmélete feltétlenül helytálló. Később elismerte, hogy a párbeszéd lezajlott, és akár ostoba és üres, akár nem, idézte is. Ez azonban csak 1979-ben következett be, amikor ezt írta: „Néhány évvel később Princetonban Shimura megkérdezte, hogy lehetségesnek tartom-e, hogy minden Q fölötti elliptikus görbe folytatódik egy olyan görbe jacobijában, melyet egy moduláris csoport kongruencia részcsoportja definiál; amire azt válaszoltam, hogy úgy tűnik, nem látok ellene semmit, mivel egyik és másik halmaz is megszámlálható, de semmi olyat sem látok, ami e feltételezés mellett szólna.” De a Shimura sejtését képező állításra utalva Weil még ekkor is azt írta, hogy „Shimura megkérdezte tőlem” (me demanda) ahelyett, hogy „Shimura azt mondta nekem”. Weil közölt néhány kapcsolódó cikket, és bár nem hitt Shimura elméletében, a neve összeforrt vele. A hiba meggyökeresedett, amikor a matematikusok cikkeikben mások munkájára hivatkoztak, és a téves hivatkozás a mai napig előfordul, amikor a történetet nem ismerő szerzők a Weil-Taniyamasejtést említik Shimura-Taniyama-sejtés helyett. Weil élvezte, hogy neve összekapcsolódott egy fontos elmélettel, melyről – bár ő maga

nem hitt benne – a legtöbb matematikus úgy gondolta, hogy valamikor a távoli jövőben igazolódik. Ahogy teltek az évtizedek, egyre több érv szólt a kapcsolat létezése mellett. Ha és amikor a sejtés bizonyítást nyer, tekintélyes matematikai elméletet alkot majd. Weil a sejtés környékén dolgozott, és sohasem engedte, hogy az általa kapott matematikai eredmények túlságosan eltávolodjanak a komplex sík moduláris formái és a diophantoszi egyenletek elliptikus görbéi között fennálló esetleges kapcsolattól. És bár az igazsággal minden bizonnyal tisztában volt, majdnem két évtizeden keresztül elmulasztotta, hogy Shimurára és döntő szerepére hivatkozzék. Ezután is csak alkalmi párbeszédekben illette fölényes dicsérettel, illetve – mintegy futólag – megemlítette nevét egyik publikációjában. Eközben Franciaországban Serre aktívan közreműködött a hamisság terjesztésében. Minden erejével azon volt, hogy a sejtéshez André Weil nevét társítsa, Goro Shimura neve helyett.

„Feladat az érdeklődő olvasónak” 1967-ben André Weil írt egy német nyelvű cikket, melyben a következő mondat szerepel: „Hogy ezek a dolgok mindig, azaz minden Q fölött definiált C görbe esetén, így viselkednek-e, az ebben a pillanatban még némileg problematikusnak tűnik, és az érdeklődő olvasónak gyakorló feladatként ajánlható.” Ez a bekezdés a racionális számok fölötti elliptikus görbékre utal (a racionális számokat a matematikusok Q-val jelölik), a „sich so verhalten” kifejezés pedig a modularitásra utal, azaz éppen Shimura sejtése fogalmazódik meg. Azonban Weil itt sem hivatkozott az elmélet megalkotójára. Ezt csak 12 évvel később tette meg, és akkor is csak úgy, hogy „Shimura megkérdezte tőlem…”, ahogy azt már láttuk. A fenti német nyelvű cikkben Weil a sejtést „problematikus”-nak nevezi. Ezután valami egészen különöset tesz. A sejtést egyszerűen feladja feladatnak az érdeklődő olvasó számára („und mag dem interessierten Leser als Übungsaufgabe empfohlen

werden”). Az „érdeklődő olvasónak” adott feladatot a világ egyik legkiválóbb matematikusa hét éven keresztül próbálta szobájába zárkózva bebizonyítani. Amikor egy matematikus gyakorló feladatot (Übungs-aufgabe) tűz ki, rendszerint A-tól Z-ig ismeri a bizonyítást, és meg van róla győződve – egész biztosan tudja –, hogy a tétel igaz, nem pedig „problematikus”, ahogy Weil írja. Egy anekdota szerint volt egy matematikaprofesszor, aki valamely állítással kapcsolatban kijelentette, hogy „ez nyilvánvaló”. A hallgatók zavarba jöttek, mivel a dolog cseppet sem volt nyilvánvaló, míg végül egy bátor diákjelentkezett és rákérdezett: „Miért?” A professzor erre egyik kezével nekiállt a tábla egyik sarkában irkálni és rajzolgatni, miközben a másik kezével eltakarta az írást, majd mindig gyorsan letörölte, amivel végzett. Körülbelül tíz percnyi titkos firkálás után a professzor teljesen letörölte a táblát, és kihirdette a megzavarodott hallgatóságnak: „Igen, tényleg nyilvánvaló.” A hazugság Az 1970-es években Taniyamának a tokió-nikkói találkozón felvetett problémái kezdtek szélesebb körben elterjedni. Időközben, mivel Weil sokat írt az általa kétségbe vont sejtésről, a moduláris elliptikus görbék „Weil-görbe” néven váltak ismertté. Amikor a nyugati világ jobban megismerte Taniyama problémáit, az ezekről a görbékről szóló sejtés a „Taniyama-Weil-sejtés” nevet kapta. Shimura neve teljesen kimaradt. De mivel Taniyama neve bekerült a képbe, Weil kirohanást intézett úgy általában a sejtések ellen. 1979-ben, mindössze öt évvel azelőtt, hogy Gerti Fallings bebizonyította, Weil „a diophantoszi egyenletek úgynevezett »Mordell-sejtése«” ellen érvelt. „Szép lenne, ha ez igaz lenne”, folytatta. „Inkább fogadnék arra, hogy igaz, mint hogy nem. De ez csak vágyálom, mivel nincs rá szemernyi bizonyíték sem, bár ellene sem.” Weil azonban ebben is tévedett. Több orosz matematikus is, köztük Safarevics és Parsin, már az 1970-es évek elején olyan eredményekre jutott, melyek bizonyítékot szolgáltattak a Mordell-sejtés mellett. 1984-ben pedig Gerd Faltings teljes egészében bebizonyította a sejtést, ezzel „majdnem mindig igazzá” téve Fermat utolsó tételét.

Mialatt André Weil a sejtések ellen fordult akkor, amikor már nem kizárólag az ő neve fűződött a most már sok matematikus által Taniyama-Weil-sejtésnek nevezett állításhoz, Párizsban Serre azon munkálkodott, hogy Shimura nevét senki se hozza összefüggésbe a sejtéssel. 1986-ban Berkeleyben, a Kalifornia Egyetemen rendezett fogadáson, jó néhány ember füle hallatára Jean-Pierre Serre elmondta Serge Langnak, hogy André Weil elmesélte neki a Goro Shimurával folytatott egy beszélgetését. Serre szerint Weil a következőkről számolt be neki: WEIL: Miért gondolta Taniyama, hogy minden elliptikus görbe moduláris? SHIMURA: Ön mondta neki, csak elfelejtette. Ez volt az a pillanat, amikor Lang, aki öntudatlanul maga is használta a „Weil-görbe” és a „Taniyama-Weil-sejtés” kifejezéseket, gyanakodni kezdett. Elhatározta, hogy kideríti az igazságot. Lang haladéktalanul írt mind Weilnek, mind Shimurának, majd Serre-nek is. Shimura határozottan cáfolta, hogy a fenti beszélgetésre valaha is sor került volna, és állítását bőségesen alá is támasztotta. Weil nem válaszolt rögtön. Serre pedig válaszában bírálta Lang próbálkozását, hogy felderíti az igazságot. 1995 júniusában a Bourbaki-szemináriumon Serre a sejtésre még mindig a „Taniyama-Weil” névvel utalt, kihagyva az értelmi szerző nevét, aki 30 évvel korábban beavatta őt a sejtésébe. Lang második kapcsolatfelvételi kísérletére Weil már válaszolt. Íme a levele: Kedves Lang! 1986. december 3. Nem emlékszem, hogy pontosan mikor és hol ért utol augusztus 9-i levele. Amikor azonban megkaptam, sokkal fontosabb ügyek kötöttek le (mint ahogy most is). Végtelenül bánt az a feltételezés, hogy valaha is Taniyama és Shimura érdemeinek kisebbítésére törekedtem volna. Örömmel

látom, hogy ön mennyire csodálja őket. Én is. A távoli múltban elhangzott beszélgetésekről szóló beszámolók sok félreértésre adhatnak okot. Ön a „történelem” részének tekinti őket, pedig nem azok. A legjobb esetben is csak anekdoták. Az ellentmondás tekintetében, amelyet ön jónak látott szóba hozni, nekem úgy tűnik, hogy Shimura levelei egyszer és mindenkorra pontot tettek a végére. Ami pedig a neveknek a fogalmakhoz, tételekhez vagy sejtésekhez (?) fűzését illeti, mindig azt mondom, hogy: (a) amikor egy személy neve hozzátapad (például) egy fogalomhoz, azt sosem annak jeleként kell felfogni, hogy a szóban forgó szerzőnek bármi köze lenne a fogalomhoz, sőt, az esetek többségében ennek ellenkezője igaz. Püthagorasznak semmi köze nem volt a „tételéhez”, és Fuchsnak sem volt több köze a Fuchs-függvényekhez (Fonctions fuchsiennes), mint Auguste Comte-nak az Auguste Comte utcához, (b) A személyneveket általában, nagyon helyesen, idővel helyénvalóbb nevek váltják fel; a Leray-Koszul-sorozat most már spektrális sorozat (és ahogy Siegel egyszer Erdősnek mondta, az Abelt most már kis „a”-val írják). És miért ne tehettem volna időnként „ostoba megjegyzéseket”, ahogy ön fogalmaz? 1979-ben azonban valóban „le voltam maradva”, amikor Mordell sejtésével kapcsolatban kételyemet fejeztem ki, mivel ebben az időben egyáltalán nem voltam tudatában az oroszok (Parsin stb.) ez irányú eredményeinek. Mentségem, ha ez annak számít, hogy 1972-ben hosszú beszélgetéseket folytattam Safareviccsel, és ő egyszer sem említette ezeket az eredményeket. Tisztelettel, A. Weil Ui. Amennyiben kedve támadna ezen levelemet xeroxgépén lemásolni, ne legyenek aggályai. Nem tudom, hogy a Xerox cég hová lenne ön és az önhöz hasonlók nélkül.

1984 ősze a Fekete-erdő közepén Miközben Berkeley, New Haven, Princeton, és az Atlanti-óceán túlsó partján Párizs a vita lázában égett, hogy kitől ered a ShimuraTaniyama-sejtés, mélyen a Fekete-erdőben, Németország délnyugati részén teljesen váratlan események zajlottak. Gerhard Frey diplomáját a tübingeni egyetemen szerezte, a Ph.D. fokozatot pedig a heidelbergi egyetemen, ahol számelméletet tanult, és Hasse és Weil munkái hatottak rá. Freyt lenyűgözte a finom összjáték a számelmélet és az algebrai geometria, a matematikának az utóbbi ötven évben kifejlődött ága között. Érdekelte még az aritmetikai geometria is. A számelmélet és az algebrai valamint aritmetikai geometria újabb területei közötti kapcsolatok vezették el odáig, hogy egy váratlan matematikai állítást fogalmazzon meg. Az 1970-es években Frey sokat dolgozott az elliptikus görbéken és a diophantoszi egyenleteken, majd 1978-ban elolvasta Barry Mazur, a Harvard Egyetem kutatója „Moduláris görbék és az Eisenstein-ideál” című cikkét. A cikk mély benyomást tett Freyre, ahogy sok más számelmélészre is, köztük a berkeleyi Kenneth Ribetre és a princetoni Andrew Wilesra. Mazur cikke meggyőzte Freyt arról, hogy igen komolyan el kellene gondolkodnia a moduláris görbék és a Galois-reprezentációk lehetséges alkalmazásáról az elliptikus görbék elméletére. Úgy találta, hogy ez szinte elkerülhetetlenül olyan diophantoszi kérdésekhez vezet, melyek szoros rokonságban állnak a Fermat-típusú egyenletekkel. Ezt a mély meglátást Frey megpróbálta pontosítani. 1981-ben Gerhard Frey néhány hetet a Harvard Egyetemen töltött, ahol gondolatait néhányszor megvitatta Barry Mazurral. Ezek a megbeszélések egyre inkább helyére tették fejében a dolgokat. A sűrű köd, amely körülvette a bonyolult kapcsolatot, melyet Frey a Fermat-szerű egyenletek valamint a moduláris formák és az elliptikus görbék kapcsolata között elképzelt, lassanként oszlani látszott. Frey ezután Berkeleybe ment, ahol beszélt Ken Ribettel, a tehetséges számelmélésszel, aki a Harvardon végzett és Mazurral dolgozott

hasonló kérdéseken. Végül Frey hazatért Németországba. Három évvel később meghívták, hogy előadást tartson az Oberwolfach központban, a Fekete-erdő sűrűjében. Oberwolfachot matematikai konferencia- és műhelyközpontnak tervezték, gyönyörű, békés környezetben, messze a városoktól és a tömegtől. A központ minden évben mintegy ötven nemzetközi összejövetelt támogat a matematika különböző témaköreiben. Az előadások tartása, de még a találkozókon való részvétel is kizárólag meghívás alapján történik. Mindent megtesznek azért, hogy a különböző országok szakemberei közötti szabad gondolatcserét lehetővé tegyék. 1984-ben Gerhard Frey egy ottani számelméleti konferencián tartott előadást. Őrültségnek tűnő dolgot állított. A matematikai képletekkel teleírt, stencilezett lapokból, melyeket a konferencián körbeadott, úgy tűnt, hogy amennyiben a ShimuraTaniyama-sejtés igaznak bizonyulna, abból Fermat utolsó tétele is következnék. Ennek semmi értelme sem volt. Amikor Ken Ribet Frey állítását először meghallotta, azt hitte, viccel. „Mi köze lehetne az elliptikus görbék modularitásának Fermat utolsó tételéhez?”, tette fel magában a kérdést. Nem is pazarolt több gondolatot erre a fura állításra, hanem folytatta szokásos munkáját. Azonban Párizsban és másutt többen is akadtak, akiket érdekelt Frey bizonyítatlan és némileg hiányos kijelentése. Jean-Pierre Serre magánlevélben írt erről egy J.-F. Mestre nevű matematikusnak. A levél nyilvánosságra került, és Serre később egy publikált cikkében is megismételte a Mestre-nek írt levélben megfogalmazott saját sejtéseit.

Ribet tétele Ken Ribet, aki először viccnek vélte az állítást, gondolkozni kezdett Serre sejtésein, és olyasmit ismert fel bennük, amit már ő is megfogalmazott saját magának, amikor volt egy kis ideje Frey „vicc”én töprengeni. Gerhard Frey állításainak bizonyos pontosításairól volt szó, melyekből, ha bizonyítást nyernének, következnék az alábbi implikáció: Shimura-Taniyama-sejtés —> Fermat utolsó tétele

Ken Ribet előadja fontos tételeit

Andrew Wiles nyilatkozik

Barry Mazur a Harvard Egyetemen – mindannyiuk „nagypapája”, az ő geometriai felismerései ösztönözték mindazokat, akik a nagy Fermatsejtés végső bizonyításában részt vettek. Gerhard Frey, akinek az az „őrült ötlete” támadt, hogy a Fermategyenlet megoldásából adódó elliptikus görbe egyszerűen nem létezhet. (C. J. Mozzochi felvételei.)

Frey ötletének működési elve zseniális volt. A következőképpen okoskodott: tegyük fel, hogy Fermat utolsó tétele nem igaz. Ekkor valamely kettőnél nagyobb n hatványkitevőre létezik az xn + yn = zn Fermat-egyenletnek megoldása, ahol x, y és z egészek. Ez a konkrét megoldás, a, b és c ezután egy bizonyos elliptikus görbét adna. Mármost Frey felírta annak a görbének az általános egyenletét, amely a Fermat-egyenlet megoldásából születhetne. Oberwolfachban előadott sejtése azt állította, hogy ez a görbe, melyet ma Freygörbének hívunk, rendkívül különös élőlény. Olyannyira különös, hogy egyszerűen nem létezhet. És ami a legfontosabb, az elliptikus görbe, amely Fermat utolsó tételének érvénytelensége esetén előállna, határozottan nem moduláris. Tehát, ha a Shimura-Taniyamasejtés helytálló, akkor minden elliptikus görbe szükségképpen moduláris. Így olyan elliptikus görbe, amely nem moduláris, nem létezhet. Ebből következik, hogy Frey görbéje, egy (számos más furcsa tulajdonsága mellett) nem moduláris elliptikus görbe, nem létezhet. Következésképpen Fermat egyenletének megoldásai sem létezhetnek. A Fermat-egyenlet megoldásainak hiányában pedig Fermat utolsó tétele (amely szerint az egyenletnek nincs megoldása n>2 esetén) bizonyítva van. A következtetések ezen láncolata, bár bonyolult, szépen követi a matematikai bizonyítás logikáját. A logika ez: ha A igaz, abból következik, hogy B igaz, ha tehát B nem igaz, akkor A sem lehet igaz. Frey állítása azonban maga is sejtés volt. Olyan sejtés volt, mely azt mondta ki, hogy ha egy másik sejtés (a Shimura-Taniyama-féle) igaz, azzal Fermat utolsó tétele is bizonyítást nyer. Serre Mestre-hez írt levelének másik két sejtése még jobban hozzásegítette Ken Ribetet ahhoz, hogy a Frey-sejtésről világos képet alkosson. Ken Ribetet korábban egyáltalán nem érdekelte Fermat utolsó tétele. Kémia szakosként kezdte el a Brown Egyetemet. Kenneth F. Ireland befolyása és pártfogása alatt Ribet érdeklődése a matematika irányába terelődött, és a zéta függvények, az exponenciális összegek és a számelmélet kezdte foglalkoztatni. Fermat utolsó tételét azzal intézte el, hogy „egyike azoknak a problémáknak, amelyekről semmi több érdemlegeset nem lehet mondani”. Ezt a nézetet sok matematikus osztotta, mivel a számelmélet problémái többnyire

egymástól elszigeteltek, és nem húzódik meg mögöttük egységes irány vagy általános alapelv. Fermat utolsó tételét azonban az teszi érdekessé, hogy végigkíséri a matematika történetét a civilizáció hajnalától napjainkig. A tétel végső megoldása pedig a matematika teljes szélességét lefedi, az olyan számelméleten kívüli területeket is felhasználja, mint az algebra, analízis, a geometria és a topológia – lényegében az egész matematikát. Ribet a Harvard Egyetemre ment, hogy Ph.D. fokozatot szerezzen matematikából. Itt, először közvetetten, majd a képzés vége felé közvetlenebbül, a nagyszerű számelmélész és geométer, Barry Mazur hatása alá került, akinek látomása minden, a Fermattétel bizonyításában akár legparányibb mértékben részt vállaló matematikust ösztönzött. Mazur Eisenstein-ideálokról írt cikke jelentette az Ernst Kummer által a múlt században kidolgozott ideálelmélet általánosítását a matematika modern területeire, az algebrai geometriára és a számelmélettől a geometriáig terjedő új megközelítésekre. Ken Ribet végül Berkeleyben, a Kalifornia Egyetemen lett matematikaprofesszor, és számelméleti kutatásokat végzett. 1985ben hallott Frey „őrült” elképzeléséről, arról, hogy ha létezne a Fermat-egyenletnek megoldása, azaz ha Fermat utolsó tétele hamis lenne, akkor ez a megoldás egy nagyon furcsa görbéhez vezetne. Ez a Frey-görbe egy olyan elliptikus görbéhez társulna, amely nem lehetne moduláris. A Serre Mestre-hez írt levelében található két ide kapcsolódó sejtés felkeltette benne az érdeklődést, hogy megpróbálja Frey sejtését bebizonyítani. Bár Fermat utolsó tétele nem igazán érdekelte, Ribet felismerte, hogy a probléma nagyon kurrenssé vált, és éppen egy általa jól ismert területen. Az 1985. augusztus 18-a és 24-e közötti héten Ribet Kaliforniában, Arcatában tartózkodott egy aritmetikai algebrai geometriai konferencián. Elkezdett Frey állításán gondolkozni, és az elkövetkező év során a probléma nem ment ki a fejéből. Amikor 1986 nyarának elején Berkeleyben felszabadult oktatási kötelezettségei alól, Ribet Németországba repült, ahol a világhírű matematikai központban, a Max Planck Intézetben készült kutatni. Alighogy megérkezett az intézetbe, Ribet nagy áttörést tett. Most már majdnem be tudta bizonyítani Frey sejtését.

De valami még hiányzott. Amikor visszatért Berkeleybe, Ribet összefutott Barry Mazurral, aki a Harvardról jött látogatóba. „Barry, igyunk meg valahol egy kávét”, javasolta Ribet. A két matematikus betért a kaliforniai egyetem kampusza mellett egy felkapott kávéházba. Míg a kapucsínót kortyolgatta, Ribet bizalmába avatta Mazurt: „Azt próbálom általánosítani, amit eddig csináltam, hogy be tudjam bizonyítani a Frey-sejtést. Éppen csak ez az egyetlen dolog nem akar sehogy sem stimmelni az általánosításhoz…” Mazur megnézte, amit Ribet mutatott neki. „De hiszen már meg is csináltad, Ken”, mondta, „csak annyit kell tenned, hogy hozzáadsz egy kis gamma null N struktúrát, végigviszed az érvelésedet, és már ott is vagy”! Ribet Mazurra nézett, aztán le a kapucsínóra, majd ismét Mazurra, hitetlenül. „Te jó ég, tökéletesen igazad van!”, mondta. Később visszament az irodájába, hogy befejezze a bizonyítást. „Ken ötlete káprázatos volt”, lelkendezett Mazur Ken Ribet ötletes bizonyításáról szólva, miután megjelentették, és a világ matematikusai megismerhették. Ribet egy olyan tételt fogalmazott meg és bizonyított be, amely tényként állította, hogy amennyiben a Shimura-Taniyama-sejtés igaz, abból Fermat utolsó tétele is egyenesen következik. Ugyanaz az ember, aki Frey felvetését alig egy éve még viccnek gondolta, most bebizonyította, hogy a „vicc” matematikai igazság. Az ajtó most már tárva-nyitva állt a Fermat-probléma ellen az algebrai geometria modern módszereivel indított támadás előtt. A világnak már csak egy olyan valakire volt szüksége, aki képes a lehetetlennek látszó Shimura-Taniyama-sejtést igazolni. Ez esetben a nagy Fermat-tétel automatikusan igaz lenne.

Egy gyerek álma Andrew Wiles volt az. az ember, aki pontosan ezt akarta véghezvinni. Amikor tízéves volt, Andrew Wiles ellátogatott angliai városának könyvtárába, és belelapozott egy matematikai könyvbe. Ebben a könyvben Fermat utolsó tételéről olvasott. A tétel, amint a könyvben le volt írva, annyira egyszerűnek látszott, hogy bármelyik gyerek megérthette. Wiles így beszél erről: „Azt mondta ki, hogy sosem

fogsz olyan x, y, z számokat találni, melyekre x3+y3 = z3. Nem számít, milyen keményen próbálkozol, soha, de soha nem fogsz ilyen számokat találni. És azt is állította, hogy ugyanez igaz.y4 + y4 = z4– re és x5 +y5 = z5– re, és így tovább… Annyira egyszerűnek látszott. A könyvben ugyanakkor az állt, hogy erre senki sem talált bizonyítást több mint háromszáz éven keresztül. Be akartam bizonyítani…” Az 1970-es években Andrew Wiles egyetemre járt. Diploma után felvették Cambridge-be kutató hallgatónak. Témavezetője John Coates professzor volt. Wilesnak le kellett mondania gyermekkori álmáról, hogy bebizonyítja a nagy Fermat-sejtést. A probléma kutatása oly mértékű időpocsékolás lett volna, amit egyetlen doktori hallgató sem engedhetett meg magának. Ráadásul melyik doktori témavezető vállalt volna el egy olyan hallgatót, aki egy ilyen ősrégi rejtvényen dolgozik, amely három évszázadon át a világ legzseniálisabb elméi előtt sem nyílt meg? Az 1970-es években Fermat nem volt divatos. Abban az időben a számelméletben „trendi”-nek, igazán forró kutatási területnek az elliptikus görbék számítottak. Így Andrew Wiles azzal töltötte idejét, hogy az elliptikus görbéket vizsgálta, az Iwasawa-elmélet elnevezésű témakörben. Elkészítette doktori disszertációját, és miután megkapta a Ph.D. fokozatot, a Princeton Egyetemen kapott matematikusi állást, és az Egyesült Államokba költözött. Ott is folytatta az elliptikus görbékkel és az Iwasawa-elmélettel kapcsolatos kutatást.

Fellobban a régi láng Meleg nyári este volt, Andrew Wiles egy barátja házában jeges teát kortyolgatott. Hirtelen, a beszélgetés kellős-közepén, barátja azt mondta: „Most jut eszembe, hallottad, hogy Ken Ribet bebizonyította az Epszilon-sejtést?” Az Epszilon-sejtés nem más, mint a számelmélészek nem hivatalos elnevezése a Serre által módosított, a Fermat-tétel és a Shimura-Taniyama-sejtés közötti kapcsolatról szóló Frey-sejtésre. Wilest felvillanyozta a hír. Abban a pillanatban tudta, hogy élete fordulóponthoz érkezett. Gyermekkori álma Fermat utolsó tételének bizonyításáról – az álom, amelyről le kellett mondania egy megvalósíthatóbb kutatási téma

kedvéért – elsöprő erővel új életre kelt. Hazaérve azon kezdett gondolkodni, hogyan fogja bebizonyítani a Shimura-Taniyama-sejtést. „Az első néhány évben”, vallotta be később, „tudtam, hogy nincs versenytársam, mivel tisztában voltam vele, hogy senkinek – engem is beleértve – sincs ötlete, hol kezdje”. Úgy döntött, hogy teljes titokban, elszigetelten fog dolgozni. „A túl nagy nézőközönség megzavarná a koncentrációt, azt pedig hamar megtanultam, hogy Fermat-nak még az említése is egyből túl nagy érdeklődést kelt.” Természetesen ügyes, tehetséges matematikusok bőségesen vannak, főleg egy Princetonhoz hasonló helyen, és nagyon is valóságos a veszély, hogy valaki elvégzi helyetted a munkádat – talán még jobban is. Bármi volt is az oka, Wiles bezárkózott tetőtéri dolgozószobájába, és munkához látott. Minden más kutatási tervét szüneteltette, hogy idejét teljesen Fermat-nak szentelhesse. Wiles az algebra, a geometria, az analízis és a matematika egyéb területeinek egész modern, hatékony fegyvertárát felvonultatta. Emellett felhasználta kortársainak és elődeinek fontos matematikai eredményeit is. Hasznosította Ribet fortélyos bizonyítási módszereit és eredményeit; felhasználta Barry Mazur elméleteit, Shimura, Frey, Serre, André Weil és még sok-sok más matematikus gondolatait. Ahogy Gerhard Frey később megfogalmazta, Wiles nagysága abban állt, hogy hitt abban amit csinált, méghozzá olyankor, amikor a világ szinte minden matematikusa úgy gondolta, hogy a ShimuraTaniyama-sejtést képtelenség a huszadik században bebizonyítani. Andrew Wiles tudta, hogy a Shimura-Taniyama-sejtés bizonyításához be kell látnia, hogy minden elliptikus görbe moduláris. Meg kellett mutatnia, hogy valamennyi elliptikus görbe, melynek megoldásai egy lyukas fánkon nyugszanak, valójában álruhába bújt moduláris forma. A fánk bizonyos értelemben megegyezett a komplex számsík moduláris formáknak nevezett bonyolultan szimmetrikus függvényeinek terével. Senkinek sem volt ötlete, hogyan lehetne e között a két látszólag teljesen eltérő dolog között egy ilyen furcsa kapcsolatot kimutatni.

Wiles rájött, hogy a legjobb, amit tehet, hogy megpróbálja megszámolni az elliptikus görbéket, és megszámolni a moduláris elliptikus görbéket is, és aztán megmutatni, hogy a „számuk” ugyanannyi. Ez az eljárás bizonyítaná, hogy az elliptikus görbék és a moduláris elliptikus görbék egy és ugyanazok, tehát minden elliptikus görbe valóban moduláris, amint a Shimura-Taniyama-sejtés állítja. Wiles két dologra jött rá. Az egyik, hogy nem kell a teljes ShimuraTaniyama-sejtést bebizonyítania, csak egy speciális esetet: a félig stabilis racionális együtthatós elliptikus görbék esetét. Ha bebizonyítja, hogy a sejtés igaz az elliptikus görbék e szűkebb osztályára, az már elég lenne Fermat utolsó tételének igazolásához. A másik dolog, amit Wiles tudott, hogy a „leszámlálás” itt nem fog működni, mivel végtelen halmazokkal állt szemben. A félig stabilis elliptikus görbék halmaza végtelen. Bármely a/b alakú racionális szám, ahol a és b egész számok, megad egy elliptikus görbét (úgy mondjuk, hogy egy elliptikus görbét a racionálisok felett). Mivel végtelen sok ilyen szám létezik – a és b bármelyik lehet a végtelen sok 1, 2, 3, 4… szám közül – végtelen sok elliptikus görbe van. Ezért az általunk ismert leszámlálás nem működne.

Egy nagy probléma kisebbekre bontása Wiles úgy gondolta, hogy megpróbálhatna kisebb problémákon dolgozni, egyszerre mindig csak egyen. Talán megvizsgálhatná az elliptikus függvények egyes részhalmazait, hogy meglássa, mire megy velük. Ez jó megközelítés volt, mivel a feladatot kisebb egységekre bontotta, s így lépésről lépésre mindegyik halmazt megérthette. Először is, bizonyos elliptikus görbékről már ismert volt, hogy modulárisak. Ezek igen fontos eredmények voltak, melyeket számos más számelmélész vezetett le. Andrew Wiles azonban hamarosan felismerte, hogy az elliptikus görbékre csak ránézni és megpróbálni összepárosítani őket a moduláris formákkal talán nem is olyan jó hozzáállás – végül is két végtelen halmazzal volt dolga. Valójában nem került közelebb a megoldáshoz, mint a kételkedő André Weil akkor, amikor kijelentette: „Nem látok semmit, ami ellentmondana a sejtésnek, mivel egyik és másik halmaz is megszámlálható (végtelen, de csak annyira, mint az egész számok

és a racionális számok, és nem kontinuum számosságú, mint az irracionális számok), de olyan érvet sem látok, ami alátámasztaná…” Kétévnyi egy helyben toporgás után Wiles egy új megközelítéssel próbálkozott. Arra gondolt, hogy megpróbálhatná az elliptikus görbéket Galois-reprezentációkká transzformáim, és aztán ezeket a Galois-reprezentációkat számlálhatná le a moduláris formák ellenében. Az ötlet kitűnő volt, bár nem eredeti. A lépés mögött meghúzódó elv igen érdekes. A számelmélet tudósait az foglalkoztatja, hogy egyenletek, például a Fermat-egyenlet megoldásait megtalálják. A számtestek matematikai elmélete ezt a problémát a testbővítések kontextusába helyezi. A testek nagy, végtelen halmazok, melyeket nehéz elemezni. Ezért a számelmélészek gyakran folyamodtak Evariste Galois elméletének, a Galois-elméletnek alkalmazásához, annak érdekében, hogy ezeket a problémákat a bonyolult testekről az úgynevezett csoportok nyelvére fordítsák. Egy csoportot gyakran véges sok (nem pedig végtelen számú) elem állít elő (generál). A Galois-elmélet használata a számelméletben így lehetővé teszi, hogy egy végtelen halmazról egy véges halmazzal jellemezhető halmazra térjenek át. A probléma ilyen lefordítása óriási előrelépést jelent, mivel elemek egy véges halmaza sokkal könnyebben kezelhető, mint egy végtelen halmaz. A leszámlálásnak csak véges sok elemre van értelme. Ez a megközelítés működőképesnek látszott bizonyos elliptikus görbehalmazokra. Az áttörés biztató volt. Ám egy év múlva Wiles ismét megakadt.

A Flach-cikk Andrew Wiles ezúttal azzal próbálkozott, hogy megszámolja a (félig stabilis) elliptikus görbéknek megfelelő Galois-reprezentációk halmazait, összehasonlítva a moduláris formákkal, és megmutassa, hogy a kettő ugyanaz. Eközben felhasználta saját szakterületét, melyből disszertációját írta, a vízszintes Iwasawa-elméletet. Wiles arra próbálta használni ezt az elméletet, hogy megkapja az osztályok számának képletét, amire a „számláláshoz” volt szüksége. Itt azonban kemény falba ütközött. Semmi sem vitte közelebb a válaszhoz.

1991 nyarán Wiles egy konferencián vett részt Bostonban, ahol találkozott korábbi cambridge-i doktori témavezetőjével, John Coatesszal. Coates professzor elmondta Wilesnak, hogy egyik tanítványa, Matthias Flach, egy Koljvagin nevű orosz matematikus korábbi munkájának felhasználásával megalkotott egy Euler-rendszert (Leonhard Euler után), az osztályszámképlet bizonyításának kísérleteképp. Wilesnak pontosan erre volt szüksége a Shimura-Taniyama-sejtés igazolásához – amennyiben sikerülne Flach részeredményeit a teljes osztályszámképletté kiterjesztenie. Wiles a fellegekben érezte magát, amikor Coatestól tudomást szerzett Flach munkájáról. „Mintha a saját problémámra szabták volna”, mondta Wiles, mintha Matthias Flach egyenesen az ő kedvéért végezte volna el mindezt a munkát. Wiles haladéktalanul félretette a vízszintes Iwasawa-elmélettel foglalkozó munkáját, és éjt nappallá téve vetette magát bele Koljvagin és Flach kutatásába. Ha az „Euler-rendszerük” valóban működne, akkor Wiles remélhetőleg be tudná látni az osztályszám eredményt, és a Shimura-Taniyama-sejtés be lenne bizonyítva a félig stabilis elliptikus görbékre – ez pedig elég Fermat utolsó tételének igazolásához. Ez azonban kemény dió volt, és kívül esett a Wiles által oly jól ismert Iwasawa-elmélet körén. Wiles egyre inkább szükségét érezte, hogy találjon valakit, akivel megbeszélheti a dolgokat. Olyan valakit keresett, aki ellenőrizheti haladását ezeken az ismeretlen vizeken, ugyanakkor senki másnak nem árul el egy hangot sem.

A jó barát Wilesnak végre döntenie kellett: folytassa-e a teljes titkolózást, amit már oly régóta betartott, vagy kiteregesse lapjait egy számelméletben jártas személy előtt. Végül arra jutott, hogy valószínűleg nem menne sokra vele, ha a végtelenségig titkolózna. Ahogy ő maga mondta, az ember egy egész életen keresztül dolgozhat egy problémán úgy, hogy semmiféle eredményre nem jut. Végül a szükség, hogy jegyzeteit valaki máséival összehasonlítsa, győzött a másik sürgető szükség fölött, hogy mindent megtartson magának. A kérdés most

már az volt: ki legyen a kiválasztott? Kiben bízhat, hogy megőrzi titkát? 1993 januárjában, hatéves magányos munka után Wiles megosztotta titkát. Behívta magához Nick Katz professzort, aki kollégája volt a princetoni matematika tanszéken. Katz az osztályszám-képlet bizonyítási kísérleteiben felhasznált számos elmélet szakértője volt. Ami ennél is fontosabb volt, Katz tökéletesen megbízható volt. Sosem szivárogtatta volna ki, hogy min dolgozik Andrew Wiles. Mint később kiderült, Wiles helyesen mérte fel kollégáját. A munka hátralévő hosszú hónapjai alatt, míg Wilesszal együtt dolgozott, Nick Katz száján lakat volt. A szoros szálakkal egybefűzött princetoni matematikusközösségben kollégáik egy percig sem gyanakodtak, még azután sem, hogy hétről hétre látták, amint ők ketten hosszú órákat töltenek a társalgó távoli sarkában egy csésze kávé fölött összehajolva. Andrew Wiles azonban még így is aggódott, hogy valaki megsejtheti, min dolgozik. Nem bízhatta magát a véletlenre. Ezért egy tervet dolgozott ki annak a ténynek elpalástolására, hogy „valamin” igen intenzíven dolgozik Nick Katz-szal. Wiles 1993 tavaszán egy új posztgraduális kurzus indítását tervezte, amelyen Nick Katz hallgatóként venne részt. Ez lehetővé tenné számukra, hogy együtt dolgozhassanak anélkül, hogy mások megsejtenék, mit is csinálnak. Wiles legalábbis ezt mondta. A doktori hallgatók nem sejthetnék, hogy az előadások mögött a Fermat utolsó tételéhez vezető út rejlik, míg agyukat letapogatva Wiles felfedezhetné az esetleges lyukakat elméletében, jó barátja, Nick Katz segítségével. A kurzust meghirdették. Címe, „Számítások elliptikus görbékkel”, elég ártatlanul hangzott ahhoz, hogy senki se sejthessen semmit. A kurzus elején pedig Wiles professzor azt mondta, hogy az előadások célja Matthias Flach egyes friss, az osztályszámképlettel kapcsolatos eredményeinek tanulmányozása. Nem esett szó Fermat-ról, Shimuráról vagy Taniyamáról, és senkinek sem juthatott eszébe, hogy a vizsgálandó osztályszámképlet lesz a nagy Fermat-tétel bizonyításának kulcsa. És arról sem volt senkinek sem fogalma, hogy az előadások célja nem az, hogy doktori hallgatókat matematikára

tanítsanak, hanem hogy Wiles és Katz együtt dolgozhasson ezen a problémán kollégáik gyanújának felébresztése nélkül, ugyanakkor pedig gyanútlan doktori hallgatókat rávegyenek, hogy ellenőrizzék helyettük a levezetéseket. Néhány héten belül azonban az összes doktori hallgató elmaradt. Nem tudtak lépést tartani egy olyan kurzussal, amely igazából sehová sem vezetett. Az egyetlen „hallgató”, aki tudott valamit és hozzászólt az órákhoz, a közöttük ülő másik matematika-professzor volt. Így egy idő múlva Nick Katz egyedül maradt a padsorokban. De Wiles az „óra” ürügyén folytatta az osztályszámképlet hosszú bizonyításának felírását a táblára, minden egyes alkalommal egy lépést előrehaladt, Nick Katz pedig minden lépést ellenőrzött. Az előadások során nem bukkantak fel hibák. Úgy tűnt, hogy az osztályszámképlet működik, és Wiles jó úton van a Fermat-probléma megoldásához. Így tehát 1993 tavaszának vége felé, ahogy a kurzus lassacskán befejeződött, Andrew Wiles majdnem elkészült. Már csak egyetlen végső akadállyal küzdött. A legtöbb elliptikus görbéről be tudta bizonyítani, hogy moduláris, de néhány közülük bizonyítatlan maradt. Úgy gondolta, hogy le tudja győzni ezeket a nehézségeket, és általában derűlátó volt. Wiles úgy érezte, eljött az ideje, hogy még valakivel beszéljen, és ezáltal még egy kis lökést kapjon az előtte álló utolsó nehézség leküzdéséhez. Így behívta magához egy másik kollégáját a princetoni matematika tanszékről, Peter Sarnak professzort, és őt is titoktartásra kötelezte. „Azt hiszem, hamarosan bebizonyítom Fermat utolsó tételét”, közölte a megdöbbent Sarnakkal. „Hihetetlen volt”, emlékszik vissza Sarnak. „Meghökkentem, megmámorosodtam, összezavarodtam – vagyis… emlékszem, hogy aznap éjjel alig bírtam aludni.” Most már két kolléga próbált segíteni Wilesnak a bizonyítás befejezésében. És bár senki sem sejtette, hogy min is dolgoznak valójában, az emberek kezdtek valamit észrevenni. És bár Sarnak fenntartotta azt az állítását, hogy tőle senki sem tudott meg semmit, később elismerte, hogy talán elejtett „néhány utalást…”.

A kirakós játék utolsó darabja 1993 májusa. Andrew Wiles egyedül ült íróasztalánál. Kissé ideges kezdett lenni. Úgy látszott, hogy az a néhány elliptikus görbe, amely ellenállt neki, nem akarja magát megadni. Sehogy sem tudta bebizonyítani róluk, hogy modulárisak. Pedig szüksége volt rájuk is, ha be akarta bizonyítani, hogy minden (félig stabilis) elliptikus görbe moduláris, amiből Fermat utolsó tétele következik. Ha ezt a legtöbb félig stabilis elliptikus görbére belátja, az önmagában hatalmas matematikai eredmény, de a cél eléréséhez nem elég. Hogy a sehová sem vezető intenzív kutatásból kicsit megpihenjen, Wiles felemelte a nagy mester, a harvardi Barry Mazur egyik régi cikkét. Mazur jó pár úttörő felfedezést tett a számelméletben – eredményei a terület számos szakemberét ösztönözték, köztük Ribetet és Freyt, akiknek munkája Wiles erőfeszítésének útját kikövezte. Mazur cikke, amelyet Wiles most újraolvasott, az ideálok elméletének továbbfejlesztése volt. Ez az elmélet Kummerrel és Dedekinddel kezdődött, és egy harmadik tizenkilencedik századi matematikussal – Ferdinand Gotthold Eisensteinnel (1823-1852) – folytatódott. Bár fiatalon meghalt, Eisenstein nagy lépéseket tett a számelméletben. Gauss például állítólag ezt mondta: „Mindössze három korszakalkotó matematikus létezett, Arkhimédész, Newton és Eisenstein.” Mazur Eisenstein-ideálról szóló cikkének egy sora volt az, ami Wiles figyelmét megragadta. Mazur arról beszélt, hogy az elliptikus görbék egyik halmazáról át lehet térni egy másikra. Az áttérés a prímszámokkal állt kapcsolatban. Mazur azt állította, hogy ha az ember egy prímszámon, a hármon alapuló elliptikus görbékkel dolgozik, akkor egy transzformáció segítségével elérhető, hogy ehelyett egy másik prímszám, az öt felhasználásával tanulmányozhassa őket. Ez a 3-ról 5-re kapcsoló pontosan az volt, amire Wilesnak szüksége volt. Azzal volt megakadva, hogy bizonyos hármon alapuló elliptikus görbeosztályokról nem tudta bebizonyítani, hogy modulárisak. Mazur pedig azt tanította, hogy át lehet váltani őket az öt prímszámon alapuló elliptikus görbékre. Ezekről az ötön alapuló görbékről Wiles pedig már megmutatta, hogy modulárisak. Tehát a 3-ról 5-re kapcsoló volt az utolsó trükk. Vette a hármon alapuló nehéz elliptikus görbéket, átváltotta őket öt alapúvá,

ezek pedig már bizonyítottan modulárisak voltak. Ismét egy másik matematikus ragyogó ötlete segítette át Wilest egy leküzdhetetlennek látszó akadályon. Andrew Wiles végre elkészült. Az időzítés is tökéletesnek volt mondható. A következő hónapban, júniusban, korábbi témavezetője, John Coates számelméletkonferenciát rendezett Cambridge-ben. A számelmélet összes nagy nevét oda várták. Ráadásul Cambridge volt Wiles korábbi lakóhelye, és ott járt doktori iskolába. Nem az lenne-e a tökéletes megoldás, ha ott mutathatná be a nagy Fermat-tétel bizonyítását? Wiles tehát versenyt futott az idővel. Össze kellett rendeznie annak teljes bizonyítását, miszerint a Shimura-Taniyamasejtés igaz a félig stabilis elliptikus görbékre. Ez azt jelenti, hogy a Frey-görbe nem létezhet. Ha pedig a Frey-görbe nem létezhet, akkor a Fermat-egyenletnek nem létezhetnek megoldásai n > 2 esetén, tehát Fermat utolsó tétele igaz. A bizonyítás leírva 200 oldalra rúgott. Andrew Wiles éppen időben végzett vele ahhoz, hogy elérje az Angliába tartó repülőgépet. Ott pedig utolsó előadásának végén győzelmesen fogadta az elsöprő tapsot, a villanó fényképezőgépeket és a riportereket.

Az utóhatás Eljött a bírálat ideje. A matematikai eredményeket – ahogy minden más tudományos felfedezést is – rendszerint valamely „referált folyóirat”-hoz nyújtják be. Ezek a referált folyóiratok képezik a tudósok számára a szokásos utat munkájuk esetleges közlése felé. Ezután a folyóirat kötelessége, hogy a benyújtott cikket a megfelelő kutatási terület más szakembereinek elküldje, akik áttekintik a cikk tartalmát, és megállapítják, hogy helyes-e, valamint hogy a cikkbéli eredmények érdemesek-e a közlésre. A referált folyóiratok publikációi jelentik a tudományos életben a megélhetést. A végleges állások, előléptetések, de gyakran a fizetés nagysága és a fizetésemelés is attól függ, hogy a kutató mit tud a referált folyóiratbeli cikkek terén felmutatni. Andrew Wiles azonban más utat választott. Ahelyett, hogy bizonyítását benyújtotta volna egy ismert matematikai folyóirathoz –

pedig szinte bárki más ezt tette volna –, egy konferencián mutatta be. Ennek valószínűleg kettős oka volt. Az évek során, amíg a bizonyításon dolgozott, Wiles nagy hangsúlyt fektetett a titoktartásra. Ha a bizonyítást egy folyóirathoz nyújtotta volna be, akkor a cikket elküldték volna néhány, a folyóirat által kiválasztott bírálónak, és ezek egyike, vagy valamelyik szerkesztő, szétkürtölhette volna a dolgot a világba. Wiles valószínűleg amiatt is aggódott, hogy valaki, aki elolvasta a beterjesztett bizonyítást, valahogy ellophatná, és a saját nevén terjeszthetné. Ez sajnos néha valóban előfordul a tudományos életben. A másik ok, amely az elsőhöz kapcsolódott, az volt, hogy Wiles szerette volna fenntartani azt a fokozódó feszültséget, mely cambridge-i előadásai során felgyülemlett. Annak ellenére, hogy az eredményeket egy konferencián vezették elő, bírálatra is szükség volt. A lépéseket ellenőrizni kellett, azaz a számelmélet más szakembereinek végig kellett nézniük Wiles bizonyítását, sorról sorra, hogy megbizonyosodjanak felőle, hogy valóban igazolta azt, amit akart. Mélyörvény keletkezik Wiles kétszáz oldalas cikkét a számelmélet számos vezető tudósának elküldték. Néhányan már hamar kétségüknek adtak hangot, de a matematikusok többsége úgy vélte, hogy a bizonyítás valószínűleg helyes. Azonban meg kellett várniuk a szakemberek ítéletét. „Hát persze!”, válaszolta Ken Ribet arra a kérdésemre, hogy ő hitt-e Wiles bizonyításában. „Sehogy sem láttam, amit néhányan nem sokkal a bizonyítás elolvasása után mondtak nevezetesen azt, hogy itt nincs Euler-rendszer.” Az egyik szakember, akit Wiles bizonyításának ellenőrzésére kiválasztottak, princetoni barátja, Nick Katz volt. Katz professzor két teljes hónapot, 1993 júliusát és augusztusát csak azzal töltötte, hogy a teljes bizonyítást tanulmányozta. Minden nap leült íróasztalához, és átolvasott minden sort, minden matematikai jelet, minden logikai következtetést, hogy biztos lehessen benne, hogy tökéletesen helytálló, és hogy bármelyik a bizonyítást elolvasó matematikus számára elfogadható lenne. Naponta egyszer vagy kétszer Katz

elektronikus levelet küldött Andrew Wilesnak, aki azon a nyáron máshol tartózkodott, és megkérdezte tőle: „Mire gondolsz ennek az oldalnak az ennyiedik sorában?” Vagy: „Nem látom, hogy ez a következtetés hogyan jön az előzőből”, és így tovább. Wiles szintén elektronikus levélben válaszolt, ha pedig a probléma több részletet igényelt, akkor faxon küldte el a választ Katznak. Egy napon, amikor Katz Wiles hosszú kéziratának körülbelül a kétharmadánál tartott, egy problémába ütközött. Első ránézésre ártalmatlannak tűnt, olyannak, mint sok-sok más probléma, melyeket Wiles Katz teljes megelégedésére megválaszolt. Most azonban nem így történt. Katz kérdéseire Wiles küldött egy választ. Katznak azonban újabb elektronikus levelet kellett írnia: „Még mindig nem értem, Andrew.” Wiles most már egy faxot küldött, s megpróbálta létrehozni a logikai kapcsolatot. Katz megint elégedetlen volt. Valami egyszerűen nem stimmelt. Ez egyike volt azoknak a gondolatmeneteknek, amelyeken Wiles és Katz gondosan átrágta magát ravasszal, amikor Wiles az „órá”-ját tartotta. Bármilyen problémát elvileg már el kellett simítaniuk. Azonban úgy tűnt, hogy a Wiles logikájában található ugrás felett mindketten átsiklottak. Talán ha a doktori hallgatók kitartottak volna, egyikük figyelmeztette volna őket a problémára. Mire Katz megtalálta a hibát, más matematikusok is szerre a világon felfedezték pontosan ugyanezt a hibát Wiles bizonyításában. Egyszerűen itt nem volt Euler-rendszer, és ez ellen semmit sem lehetett tenni. Az Euler-rendszer nélkül – ami Flach és Kolyvagin korábbi munkájának általánosítása akart lenni – az osztályszámképlet sem létezett. Az osztályszámképlet nélkül pedig lehetetlen volt „megszámolni” az elliptikus görbék Galoisreprezentációit a moduláris formákkal összevetve, és a ShimuraTaniyama-sejtés nyitva maradt. A Shimura-Taniyama-sejtés igazolása hiányában Fermat utolsó tételére sem volt bizonyítás. Azaz az Eulerrendszer hiánya az egész érvelést kártyavárként döntötte le. Agónia

Andrew Wiles 1993 őszén tért vissza Princetonba. Szégyellte magát, fel volt dúlva, mérges volt, frusztrált és megalázott. Megígérte a világnak a nagy Fermat-sejtés bizonyítását – de nem tudta leszállítani. A matematikában, ahogy majdnem minden más területen, nem igazán vannak „második díjak” vagy „futott még” helyezések. A csüggedt Wiles visszatért padlásszobájába, hogy megpróbálja kijavítani a bizonyítást. „Ebben az időszakban egy titkot próbált elrejteni a világ elől”, emlékszik Nick Katz, „és azt hiszem, hogy elég kényelmetlenül érezhette magát miatta”. Más kollégák is megpróbáltak segíteni Wilesnak, köztük korábbi tanítványa, Richard Taylor, aki Cambridge-ben tanított, de csatlakozott Wileshoz Princetonban, hogy megpróbáljon segíteni megfoltozni a bizonyítást. „Az első hét évben, amikor egyes-egyedül dolgoztam, minden percét élveztem, bármilyen nehéz vagy látszólag lehetetlen akadállyal néztem is szembe”, eleveníti fel Wiles. „De most, hogy ilyen nagy nyilvánosság előtt kellett matematikát művelnem, ez határozottan nem az én stílusom volt. Nem szeretnék még egyszer ilyen tapasztalatot átélni.” A rossz élmény pedig csak tartott és tartott. Szabadsága lejártával Richard Taylor visszatért Cambridgebe, de Wiles még mindig nem látott reménysugarat. Kollégái a várakozás, reménykedés és sajnálat keverékével nézték, szenvedése mindenki számára nyilvánvaló volt környezetében. Az emberek tudni akarták. Jó híreket akartak hallani, de egy kollégája sem merte megkérdezni, hogyan halad a bizonyítással. A tanszék berkein túl a világ is kiváncsi volt. Valamikor 1993 december 4-ének éjjelén Andrew Wiles az alábbi elektronikus üzenetet küldte a Sci.math nevű számítógépes hírcsoportba, melynek számos számelméleti kutató és más matematikus tagja volt: Tekintettel a találgatásokra, melyek a Taniyama-Shimura-sejtéssel, valamint Fermat utolsó tételével kapcsolatos munkám jelenlegi állását övezik, röviden beszámolok a helyzetről. Az ellenőrzési folyamat során több probléma is felmerült, amelyek többségét megoldottam, de van egy, amit még nem sikerült tisztáznom… úgy hiszem, hogy a közeljövőben ezzel is végezni tudok, a cambridge-i előadásaimban ismertetett gondolatok felhasználásával. Az a tény hogy a kéziraton még nagyon sok munka van hátra, lehetetlenné

teszi, hogy preprint formájában közreadjam. Princetonban a februárban kezdődő kurzusomon részletesen beszámolok majd erről a munkáról. Andrew Wiles

„Post mortem” De Andrew Wiles optimizmusa korai volt. És bármilyen kurzus meghirdetését tervezte is Princetonban, az sem hozott megoldást. A cambridge-i rövid életű dicsőség óta több mint egy év telt el, és Andrew Wiles azon volt, hogy feladja a reményt, és elfelejti nyomorult bizonyítását. 1994. szeptember 19-én, hétfőn reggel, Wiles a Princeton Egyetemen ült íróasztalánál, szanaszét körülötte papírkupacok. Elhatározta, hogy még egy utolsó pillantást vet a bizonyításra, mielőtt sutba vágná és örökre lemondana Fermat utolsó tételének igazolásáról. Látni akarta, hogy pontosan mi akadályozza meg, hogy felépítse az Euler-rendszert. Tudni akarta – csak saját maga megnyugtatására –, hogy miért vallott kudarcot. Miért nincs Eulerrendszer? Rá akart mutatni arra az egy bizonyos technikai részletre, amely az egész gondolatmenetet megbuktatja. Úgy érezte, ha már egyszer feladja, legalább azt joga van tudni, hol hibázott. Wiles az előtte fekvő papírokat tanulmányozta, nagyon keményen összpontosított körülbelül húsz percig. És hirtelen élesen látta, hogy miért nem működik a rendszer. Végre megértette, hogy mi hibádzott. „Ez volt egész pályafutásomnak a legfontosabb pillanata”, írta körül később az érzést. „Hirtelen, teljesen váratlanul belém hasított ez a hihetetlen felismerés. Semmi, amit még valaha tenni fogok…”, kezdte, de ekkor könnyek gyűltek a szemébe, és Wiles hangja elfulladt az érzelemtől. Amit Wiles abban a sorsszerű pillanatban felismert, az „olyan leírhatatlanul szép, annyira egyszerű és annyira elegáns volt… csak bámultam, nem akartam hinni a szememnek”. Wiles rájött, hogy éppen az, ami az Euler-rendszert meghiúsítja, a vízszintes Iwasawa-elméletet, amit három évvel korábban félretett, működteti. Wiles hosszú ideig bámulta a papírt. Bizonyára álmodik, gondolta, ez túl szép ahhoz, hogy igaz legyen. Később viszont már azt mondta, hogy túl szép volt ahhoz, hogy hamis legyen. A felfedezés annyira elsöprő erejű, annyira szép volt, hogy igaznak kelleti lennie.

Wiles órákig járkált a tanszéken. Nem tudta, hogy ébren van-e, vagy álmodik. Időnként visszament az íróasztalához, hogy megnézze, ott van-e még a fantasztikus felfedezés – de ott volt. Hazament. Aludnia kellett rá egyet – talán reggel majd talál valami hibát ebben az új érvelésben is. Egy évig viselni az egész világ nyomását, az egymás után kudarcba fulladó próbálkozásokat, ez bizony megtépázta Wiles önbizalmát. Amikor reggel megint az íróasztalához vezetett az útja, az előző nap talált felbecsülhetetlen drágakő még mindig ott volt, és őt várta. Wiles letisztázta a bizonyítást, a kijavított vízszintes Iwasawa-elmélet felhasználásával. Végre minden a helyére került. A három évvel korábban használt megközelítés volt a helyes. És ennek felismeréséhez a Flach-Koljvagin-út kudarcán keresztül jutott el, melyre félúton váltott át. A kézirat postázásra készen állott. Wiles emelkedett hangulatban jelentkezett be számítógépére. Tucatnyi matematikusnak küldött az interneten keresztül elektronikus üzenetet: „Készüljenek fel, hogy néhány napon belül expressz csomagot kapnak”, szólt a levél. Ahogy Wiles megígérte barátjának, Richard Taylornak, aki csak azért jött el hozzá Angliából, hogy segítsen kijavítani a bizonyítást, az Iwasawa-elméletet helyesbítő új cikk kettejük nevét viselte, bár Wiles magát az eredményt Taylor távozása után kapta meg. Az elkövetkező néhány hétben a matematikusok, akik megkapták Wiles cambridge-i cikkeinek javított változatát, alaposan átnézték a részleteket. Nem találtak hibát. Wiles ezúttal a matematikai eredmények bemutatásának hagyományos útját választotta. Ahelyett, amit másfél évvel korábban Cambridge-ben tett, a cikkeket elküldte egy szakfolyóiratnak, az Annals of Mathematicsnak, hogy más matematikusok elbírálhassák. A bírálás folyamata eltartott pár hónapig, de ez alkalommal nem fedeztek fel hibát. A folyóirat 1995. májusi száma közölte Wiles eredeti cambridge-i cikkét és Taylor és Wiles javítását. Fermat utolsó tétele végre békében nyugodhat.

Volt-e Fermat-nak bizonyítása?

Andrew Wiles bizonyítása saját leírása szerint „huszadik századi bizonyítás” volt. Valóban, Wiles számos huszadik századi matematikus munkáját felhasználta. Emellett korábbi matematikusok eredményeit is hasznosította. Wiles konstrukcióinak temérdek eleme mind mások munkájára épült. Így Fermat utolsó tételének bizonyítása valójában sok-sok huszadik századi – és egészen Fermat idejéig visszamenőleg az összes korábbi – matematikus közös teljesítménye volt. Wiles szerint Fermat semmiképpen sem gondolhatott erre a bizonyításra, amikor híres megjegyzését a margóra írta. Ez természetesen így van, hiszen a Shimura-Taniyama-sejtés nem létezett a huszadik század előtt. De gondolhatott-e Fermat egy másik bizonyításra? A válasz az, hogy valószínűleg nem. Ez azonban nem biztos. Sohasem fogjuk megtudni. Másfelől, Fermat még 28 évet élt az után, hogy tételét leírta a margóra. És sosem mondott róla semmi többet. Talán tisztában volt vele, hogy nem tudja a tételt bebizonyítani. Vagy tévesen úgy gondolta, hogy az egyszerű n = 3 eset bizonyítására használt végtelen leszállás módszere az általános megoldásra is alkalmazható. De az is lehet, hogy egyszerűen megfeledkezett a tételről, és más dolgokkal kezdett foglalkozni. A tétel bizonyítása, ahogy végül az 1990-és években megtörtént, sokkal több matematikát igényelt, mint amennyit Fermat maga ismerhetett. A tétel mélységét nemcsak az bizonyítja, hogy története végigkísérte az emberi civilizáció fejlődését, hanem az is, hogy a probléma végső megoldása a matematika teljes szélességét felöleli, mintegy egyesíti. A matematika e látszólag különálló fejezeteinek egyesítése volt az, ami végül térdre kényszerítette a tételt. És annak ellenére, hogy Andrew Wiles végezte el a tételen a fontos végső munkálatokat azzal, hogy bebizonyította a Shimura-Taniyamasejtésnek a Fermat-tétel bizonyításához szükséges alakját, az egész vállalkozás sok ember műve volt. És mindannyiuk hozzájárulása, megfelelően összerakva, hozta el a végső megoldást. Ernst Kummer munkássága nélkül nem lett volna ideálelmélet, ideálok nélkül pedig nem jött volna létre Barry Mazur munkája. Mazur nélkül nem lehetett volna Frey-sejtés, és e létfontosságú sejtés, valamint Serre egységbe foglalása nélkül nem bizonyíthatta volna be Ribet, hogy a Shimura-

Taniyama-sejtésből következik Fermat utolsó tétele. Legjobb tudásunk szerint pedig Fermat utolsó tételének bizonyítása nem lenne lehetséges a sejtés nélkül, melyet Yutaka Taniyama fogalmazott meg 1955-ben Tokió-Nikkóban, majd Goro Shimura finomított és konkretizált. Vagy mégis? Balról jobbra: John Coates, Andrew Wiles, Ken Ribet, Karl Rubin, amint Wiles bizonyítását ünneplik Cambridge-ben, közvetlenül a történelmi jelentőségű előadás után (Kenneth A. Ribet felvétele.)

Ken Ribet a kávéházban, ahol befejezte annak bizonyítását, hogy a Shimura-Taniyama-sejtésből következik a nagy Fermat-sejtés (Kenneth A. Ribet felvétele.) 1993. június, Cambridge. Andrew Wiles harmadik előadásának sorsdöntő pillanata, amikor mindenki számára világossá vált, hogy Fermat közelébe jutottak (Kenneth A. Ribet felvétele.) Gerd Faltings, aki teljesen máshogy közelítette meg a nagy Fermatsejtést. Amikor Wiles első kísérlete 1993-ban hibásnak bizonyult, sokan tartottak attól, hogy Faltings megelőzheti őt (Robert P. Matthews felvétele, Princeton Egyetem.) Fermat természetesen nem fogalmazhatott meg egy ilyen nagyívű sejtést, mely a matematika két nagyon különböző ágát egyesítette. Vagy talán megtehette? Semmi sem biztos. Csak annyit tudunk, hogy a tétel végül igazolódott, és a bizonyítást a világ minden tájáról tucatnyi matematikus nézte át és ellenőrizte a legapróbb részletekig. De az, hogy létezik egy bizonyítás, és az nagyon bonyolult és fejlett, még nem jelenti azt, hogy egyszerűbb bizonyítás nem létezhet. Ribet például egyik cikkében rámutat egy irányra, amelyben a Fermat-tétel bizonyítása esetleg a Shimura-Taniyamasejtés igazolása nélkül is lehetséges volna. És Fermat talán tudott egy csomó hatékony „modern” matematikát, ami azóta elveszett (tulajdonképpen Bachet Diophantoszának az a példánya sem került elő soha, amelybe Fermat eredetileg a széljegyzetet írta). Így tehát örökre titok marad, hogy volt-e a birtokában olyan „valóban csodálatos bizonyítás”, amely nem fért rá könyvének margójára.

Jegyzetek 1. E. T. Bell, Men of Mathematics, New York: Simon and Schuster, 1937, 56. o. 2. Barry Mazur, „Number Theory as Gadfly”, American Mathematical Monthly, Vol. 98, 1991, 593. o. 3. A Plimpton 322 és annak a babiloni matematika fejlett színvonalára utaló tartalma Ottó Neugebaucr nyomán vált a tudományos közösség számára ismertté 1934-ben. Az erről szóló angol nyelvű beszámoló megtalálható The Exact Sciences in Antiquity című könyvében (Princeton University Press, 1957). 4. Valójában Cantor ennél sokkal messzebbre ment. Azt a hipotézist állította fel, hogy az irracionális számok számossága közvetlenül a racionálisok végtelenje után következik. Azaz úgy gondolta, hogy nincs olyan végtelen számosság, ami nagyobb a racionálisokénál, de ugyanakkor kisebb az irracionális számokénál. Ez az állítás a kontinuum hipotézis elnevezést kapta, és a huszadik században Kurt Gödel és Paul Cohen munkája megmutatta, hogy ezt a hipotézist lehetetlen a matematika keretein belül bebizonyítani. A kontinuum hipotézis (néhány vele ekvivalens átfogalmazás társaságában) egyedül áll, szemben a matematika többi részével, és igazságtartalmuk független egymástól. Ez a matematika alapjainak egyik legbizarrabb igazsága. 5. D. Wells, Courious and Interesting Numbers, London: Penguin Books, 1987, 81. o. A NAGY FERMAT-TÉTEL 6.

C. Boyer, A Histoiy of Mathematics, New York: Wiley, 1968,

9. o. 7.

A közismert magyar fordítást közöljük.

8. Ian Stewart, Nature’s Numbers, New York: Basic Books, 1995, 140. o. 9. Michael Mahoney, The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 2. kiadás, Princeton University Press, 1994, 4. o. 10. Harold M. Edwards, Fermat’s Last Theorem, New York: Springer-Verlag, 1977, 61-73. o. 11. A titkos társaságról közismert adatok nagy részének forrása Paul R. Halmos, „Nicolas Bourbaki”, Scientific American, 196, 1957. május, 88-97. o. 12. André Weil, Oeuvres, I—III. kötet, Párizs: SpringerVerlag, 1979. 13. Kenneth A. Ribct és Brian Hayes, „Fermat’s Last Theorem and Modern Arithmetic” című munkájából átvéve, American Scientist, Vol. 82, 1994. március-április, 144—156. o. 14. A témába jó bevezető Joseph H. Silverman és John Tate könyve, Rational Points on Elliptic Curves, New York: SpringerVerlag, 1992. 15. Yutaka Taniyama életéről a legtöbb adat forrása Goro Shimura, „Yutaka Taniyama and His Time: Very Personal Recollections”, Bulletin of the London Mathematical Society, Vol. 21, 1989, 184-196. o. 16. o.

Újraközlés a japán Sugaku folyóiratban, 1956. május, 227-231.

17. Shimura tehát elmondta Serre-nek a sejtését, első ízben meg osztva, és hallgatólagosan bízva abban, hogy Serre elismeri majd, hogy tőle származik. 18.

André Weil, Oeuvres, idézett művében, III. kötet, 450. o.

19.

André Weil, „Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen

AMIR D. ACZEL durch Funktionalgleichungen”, Math. Annáién, Vol. 168, 1967, 165172. o. 20. Weil Lánghoz írt levele, az itt leírt eseménysorozat nagy részével együtt, a személyes beszélgetéseket és leveleket is beleértve, megtalálhatók: Serge Lang, „Some History of the ShimuraTaniyama Conjecture”, Notices of the American Mathematical Society, 1995. november, 1301-1307. o. Lang érdeme, hogy ez a cikk és az általa immár tíz éve a matematikusok között terjesztett „TaniyamaShimura-akta” végre kezdi elérni, hogy Goro Shimura megkapja az őt jogosan megillető elismerést. 21. Jean-Pierre Serre, „Lettre á J.-F. Mestre”, újraközölve Current Trends in Arithmetical Algebraic Geometry, Providence: American Mathematical Society 1987, 263-268. o. 22. Barry Mazur, „Modular Curves and the Eisenstein Ideal”, Párizs, Franciaország: The Mathematical Publications ofl.H.E.S., Vol. 47, 1977, 33-186. o. 23.

Barry Mazur, idézett cikkében.

24. A két cikk közül az első és fontosabbik, Andrew Wiles, „Modular Elliptic Curves and Fermat’s Last Theorem”, Annals of Mathematics, Vol. 142, 1995, 443-551. o., Fermat tételének a margóra írt latin nyelvű állításával kezdődik: Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullám in infinitum ultra quadratum potestatem in duos ejusdem nominisfas est dividere: cujus rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Pierre de Fermat. A folyóirat már a megjelenés dátuma előtt elfogyott, és most először 14 dolláros árat számolt fel példányonként.

A szerző megjegyzése A könyv elkészítése során a történelmi háttér nagy részét számos forrásból állítottam össze. Kedvencem és egyben a legteljesebb és legeredetibb forrás E. T. Bell könyve, a Men of Mathematics (A matematika férfiúi), bár nem tetszik a szexista cím, amely egyben félrevezető is, hiszen a matematikusok közül kettő nő; a könyv 1937ben íródott. Úgy tűnik, hogy a többi matematikatörténész Belltől merítette értesüléseit, ezért itt nem említem meg őket név szerint. Minden fontosabb forrást feltüntettem a jegyzetekben. Ezenkívül hasznosnak találtam Jacquelyn Savani cikkeit (Princeton University, Princeton Weekly Bulletin, 1993. szeptember 6.), és köszönöm neki, hogy elküldte a másolatát egy, a BBC adón sugárzott és Fermat utolsó tételéről szóló műsornak. Hálával tartozom C. J. Mozzochinak több matematikus fényképéért, akik szerepet játszottak Fermat utolsó tételének bizonyításában. Meleg köszönetem Kenneth A. Ribet professzornak (Kalifornia Egyetem, Berkeley) az érdekes riportokért és a sok értékes információért, amelyet a Fermat-tétel bizonyításához vezető munkájáról adott. Mélységes hálámat fejezem ki Goro Shimura professzornak (Princeton Egyetem) idejének nagylelkű feláldozásáért, hogy munkájával kapcsolatban oly sok értékes információhoz hozzásegítsen, és beszámoljon sejtéséről, mely nélkül nem létezne a Fermat-tétel bizonyítása. Hálás vagyok Gerd Faltings professzor úrnak (Max Planck Intézet, Bonn) és Gerhard Frey professzornak (Esseni Egyetem, Németország) a provokatív nyilatkozatokért és éles elméjű véleményekért. Köszönetet mondok Barry Mazur professzornak is a Harvard Egyetemről, amiért elmagyarázta a számelmélet geometriájának fontos fogalmait. Ha maradt is valami hiba, arról csak én tehetek. Köszönöm kiadómnak, John Oakesnak bátorítását és támogatását. Köszönet illeti Jill Ellyn Rileyt és Kathryn Beldent a Four Walls Eight Windows kiadótól. Végül mély hálám feleségemnek, Debrának.

Tartalom A nagy Fermat-tétel Előszó Pierre de Fermat Kötelek, a Nílus és a geometria születése „Heuréka! Heuréka!” A Parthenon, Athén, Görögország Az 1 811-es üstökös A tanítvány Egy sántító bizonyítás Ideális számok Faltings bizonyítása A furcsa nevű titokzatos görög tábornok Egy különös sejtés körvonalazódik 1984 ősze a Fekete-erdő közepén Ribet tétele „Post mortem” Jegyzetek A szerző megjegyzése