9 Flexion Sect en T ELUet ELS EC2 [PDF]

Zitiervorschau

Flexion M
σ Séance 9 : Poutres (section en T) Calcul E.L.U. Vérifications E.L.S. et calculs E.L.S.

E.C. 2 Section 5 et 6

EC2
Acier et Béton + Adhérence

Intérieur : Matériaux

Dispositions constructives : Armatures minimales

ΕΝ 1992− ) 1992−1−1 (EC2) ( E.L.U.
SECTION 6 E.L.S.
SECTION 5

Cours Séance 9 : FLEXION : M

FLEXION : M
s Cas des sections en T Calcul aux E.L.U. Vérification aux E.L.S. Sections minimales

6. États-limites ultimes (ELU) 6.1 Flexion simple et flexion composée 7. États-limites de service (ELS) 7.2 Limitation des contraintes 7.3 Maîtrise de la fissuration 7.3.2 Sections minimales d'armatures 7.3.3 Maîtrise de la fissuration sans calcul direct 7.4 Limitation des flèches 7.4.2 Cas de dispense du calcul

Adhérence


Sollicitations E.L.U. Mu , Nu …
Sollicitations E.L.S. Mser , Nser …

EC0 et EC1

Extérieur : Actions ∑γ j≥1

Charges permanentes 1

G, j

Gk, j "+"γ PP"+"γ Q,1Qk,1"+"∑γ Q,iψ0,iQk,i i>1

Charges variables d’accompagnement Charge variable de base

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Modélisation numérique des poutres en Té

www.inforgenie.ca/ci/softek_fr.html

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Plancher

Poutre en T

Retombée de Poutre

En raison du monolithisme des réalisations en Béa, les nervures et poutres de renfort de dalles ne sont pas toujours calculées comme des poutres rectangulaires mais bien comme des poutres en Té, en considérant que la dalle « collabore » à la flexion de la nervure en tant que « semelle » comprimée. La surface de compression offerte par cette dalle est très importante et permet donc un dimensionnement particulier.

Terminologie EC2

beff

hourdis

nervure Table de compression

bw

Il est possible pour une section en travée d’une poutre d’associer une partie de la dalle du plancher (les hourdis) à la nervure afin de reprendre les efforts de compression en partie haute de la poutre. La section en T obtenue est alors beaucoup plus résistante.

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LARGEUR COLLABORANTE : largeur de la table de compression La largeur de dalle participant effectivement à la flexion de la nervure n'est pas facile à déterminer. On conçoit aisément que les parties de la dalle travaillent d'autant moins qu'elles sont plus éloignées de l'axe de la poutre et que la dalle est mince vis-à-vis de la nervure.

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En fait, des études ont montré que la détermination de la largeur efficace (ou collaborante) beff de dalle dépendait des paramètres suivants: • nervure isolée ou non • système statique de l'élément (Iso- ou Hyperstatique) • mode d'application des charges (Réparties ou Concentrées) • rapport de l'épaisseur de la dalle à la hauteur utile de la poutre • rapport de la longueur de l'élément entre points de moment nul à la largeur de la nervure • rapport de la longueur de l'élément entre points de moment nul à l'écartement entre nervures La valeur L0, ou distance entre points de moment nul est la longueur de flexion positive (dalle comprimée) dans le cas d'une poutre hyperstatique. La largeur collaborante ne peut bien sûr dépasser la largeur réelle de la table, soit, dans le cas de nervures multiples, l'entredistance entre celles-ci. 8

Largeur participante des tables de compression (EC2 5.3.2.1)

Largeur de table de compression

(Poutres en Té)

beff,i beff,i-1

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Largeur participante des tables de compression (EC2 5.3.2.1) (1)P Dans le cas des poutres en T, la largeur participante de la table de compression – sur laquelle on peut admettre des conditions de contraintes uniformes - dépend des dimensions de l'âme et de la table, du type de chargement considéré, de la portée, des conditions d'appui et des armatures transversales. (2) Il convient d'établir la largeur participante de la table de compression en fonction de la distance l0 entre points de moment nul.

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TABLE DE COMPRESSION La largeur de la dalle qu’on peut associer à une poutre est définie par une largeur notée beff :

beff = bw + ∑ beff ,i

beff ,i = 0,2 × bi +

ℓ0 ≤ 0,2 × ℓ 0 10

l0 représente la distance entre point de moment nul Note : Pour la longueur l3 de la console, il convient de ne pas dépasser la moitié de la portée de la travée adjacente ; et il convient par ailleurs de limiter le rapport de deux portées adjacentes à des valeurs comprises entre 2/3 et 1,5.

bi représente la demi portée de la dalle entre poutres 11

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Calcul en Flexion : Cas de la section en T

Calcul en Flexion à l’E.L.U. : Cas de la section en T

Pivots à l’E.L.U. en Flexion : A et B

Flexion simple : Sections en T (avec table de compression)

xu = α × d

E.L.U. : États Limites Ultimes E.L.S. : États Limites de Service xu = α × d

beff hf

xu d

h A bw

Dans les diagrammes, les dimensions sont normées par la hauteur utile d. 13

Calcul en Flexion à l’E.L.U. : Cas de la section en T

Calcul en Flexion à l’E.L.U. : Cas de la section en T

Soit une section en T soumise à un moment fléchissant sollicitant Msd beff

R.S. pour le béton Les équations suivantes sont valables dans le cas où l’axe neutre se situe dans la nervure (en-dehors de la table de compression) : on a alors 0,8 . x > hf

fcd xu

0,8 . xu

hf d

h

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Bilan des efforts normaux sur la section Nervure comprimée Nbc(N) = 0,8 . x . bw . fcd Hourdis comprimés Nbc(H) = (beff – bw) . hf . fcd Aciers tendus Ns = A . fyd

z

A

Ns

bw

z = d - 0,4.xu

Equilibre de la section : P.F.S.

Les efforts internes Mrd doivent au moins équilibrer le moment sollicitant de calcul Msd

E.L.U.
Mrd = Msd = Mu

Nu = 0 = Nbc(N) + Nbc(H) - Ns Mu = M/c.d.g.A = Nbc(N) . (d – 0,4 . x) + Nbc(H) . (d – hf/2) 15

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Calcul en Flexion à l’E.L.U. : Cas de la section en T

Calcul en Flexion à l’E.L.U. : Cas de la section en T

Discussion : Mu > ? < MTu

Moment de référence : MTu La section considérée est à calculer en section en T, si l’axe neutre se situe dans la nervure. Pour cela, on évalue le moment repris par la seule table de compression, MTu
0,8 . xu = hf

hf  M Tu = beff × h f × f cd ×  d − 2 


alors 0,8 . x ≤ hf (l’axe neutre est dans la table)
Calcul d’une

  

As1=A bw Attention : d peut diminuer, prendre d hf

(l’axe neutre est dans la nervure)
Calcul d’une section en T

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Calcul en Flexion à l’E.L.U. : Cas de la section en T

Méthode de calcul d’une section en T à l’E.L.U.

Calcul d’une section en T Mu > MTu et donc 0,8 . x > hf

La section est décomposée comme suit :

=

beff

+

x

nervure ( N )

d

h

d

h

• Si Mu > MTu


Calcul en Flexion à l’E.L.U. : Cas de la section en T

x

hf

section rectangulaire de dimensions beff * h

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hf

beff

• Si Mu ≤ MTu

A

Sollicitation agissante Mu

=

MNu

+

MHu

Aciers tendus A

=

AN

+

AH

Avec:

bw

Hourdis ( H )

(

)



• MHu = beff − bw × h f × f cd ×  d −



h f  (beff − bw ) = × M Tu beff 2 

• MNu = Mu - MHu 19

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Calcul en Flexion à l’E.L.U. : Cas de la section en T

Calcul en Flexion à l’E.L.U. : Cas de la section en T

Calcul des armatures (section en T à l’E.L.U.)

Armatures équilibrant MNu

µu =

Remarques : • Dans cette méthode de décomposition de la section en T en deux sections fictives, les hourdis travaillent à leur maximum et équilibrent MHu . La nervure doit équilibrer le surcroît de moment Mu – MHu . • Il peut arriver que le béton de la nervure soit insuffisamment résistant et nécessite alors l’ajout d’armatures comprimées (cas très peu probable).

Armatures équilibrant MHu

M Nu bw × d ² × f cd

α u = 1,25 × (1 − 1 − 2 × µu ) z = d × (1 − 0,4 × α u )

AN =

M Nu z × f yd

AH =

M Hu h    d − f  × f yd 2  

Section totale d’aciers : As1 = A = AN + AH 21

Calcul en Flexion : Cas de la section en T

Calcul en Flexion à l’E.L.S. : Cas de la section en T

Flexion simple : Sections en T (avec table de compression)

Poutres en T en flexion simple à l’E.L.S. Principe du calcul

E.L.U. : États Limites Ultimes E.L.S. : États Limites de Service

• La justification porte sur les contraintes – un état limite de compression du béton – un état limite de traction des armatures

beff hf

• La justification porte sur les une ouverture limite des fissures (wMAX ≈ 0,2 à 0,4 mm).

y1 d

h

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Mais il faut aussi vérifier les armatures minimales !

A

• La justification porte sur la flèche

bw 23

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Calcul en Flexion à l’E.L.S. : Cas de la section rectangulaire

Calcul en Flexion à l’E.L.S. : Cas de la section rectangulaire

Justification de l’ouverture des fissures

Justification des contraintes • Combinaison d’action rares • Béton en compression

G+Q

• Combinaison d’action quasi-permanente G + Ψ2 x Q • Ouverture maximale des fissures wMAX = 0,2 à 0,4 mm

σccMAX = fb1 = k1 x fck = 0,6 x fck dans les parties exposées à des environnements correspondant aux classes d'exposition XD, XF et XS

ΦMAX et st MAX pour les armatures pour ne pas faire de calculs en respectant Amini

• Acier en traction σstMAX = fs1 = k3 x fyk = 0,8 x fyk 25

E.L.S.

Nota Bene : Annexe Nationale France 0,3 mm devient 0,25 mm en XC2 à XC4 0,2 mm en XD1, XD2 et XS1, XS2 0,15 mm en XD3 et XS3

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E.L.S.

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28

E.L.S.

Calcul en Flexion à l’E.L.S. : Cas de la section en T

Section minimale d'armature (EC-7.1)

Justification des flèches

Asmin.σ σs = kc.k.fct,eff . Act Act : Aire de la zone de béton tendu. La zone tendue est la partie de la section dont le calcul montre qu'elle est tendue juste avant la formation de la première fissure,

σs : Contrainte maximale admissible = fyk, fct,eff : Résistance à la traction du béton effective au moment supposé de la formation des fissures ( ≈ 3 MPa) Dans les cas les plus courants l’EC2 conseille : fct,eff

• Combinaison d’action quasi-permanente G + Ψ2 x Q • f/l < 1/250 en général • Pas de calcul si l/d respecte des conditions particulières. (cf. cours sur hypothèses E.L.S.)

= fctm 29

Calcul des contraintes à l’E.L.S. dans une section en T

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Calcul des contraintes à l’E.L.S. dans une section en T

Calcul des contraintes à l’E.L.S. dans une section en T Les données sont : • Les sollicitations (Mu et Mser) sous combinaison choisie (rares pour les contraintes et quasi-permanentes pour l’ouverture des fissures) • La géométrie de la section(beff, bw, h, hf, d, d’) • Les contraintes limites des matériaux (fb1, fs1  Tableau 7.2 EC2) • Les sections d’armatures (A et Ac)

Section homogénéisée réduite

αe = n = 15 pour l’acier non prise en compte du béton tendu beff

hf

d

y

y1

σ

h As1

pente K = (σbc/y1)

bw

Soit σ = K x y avec K : coefficient de la droite de contrainte ramené à du béton, donc

La justification consiste à montrer que : • la contrainte de compression du béton σbcMAX ≤ fb1 • la contrainte dans les aciers tendus A σst ≤ fs1

σbcMAX

σbcMAX = K x y1 et σs / n = K x (d - y1)

On définit une section homogénéisée (ramenée à du béton) pour que le diagramme des contraintes ci-dessus soit encore applicable. n est le coefficient d’équivalence acier/béton pris en général égal à 15 31

Pour un calcul plus précis, remplacer n=15 par n = αe ∈ [ 6 ; 24 ]

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Calcul des contraintes à l’E.L.S. dans une section en T

Calcul des contraintes à l’E.L.S. dans une section en T

Moment quadratique de la section homogénéisée : I1

Position de l’axe neutre y1 La valeur de y1 est donnée par l’équation d’équilibre de la section en effort : ΣF/x = 0

Le moment d’inertie est calculé par rapport à l’Axe Neutre de la section homogénéisée réduite.

bw × y + K × (beff − bw ) × hf × ( y1 − ) 2 2 − K × n × As1 × (d − y1 ) = 0 K×

2 1

hf

I1 =

b eff × y1

3

− ( b eff − b w ) × 3 + n × A s 1 × ( d − y1 )²

Or K ≠ 0 → équation du deuxième degré dont la solution mécaniquement acceptable (y1) est unique

( y1 − h f ) 3 3


I1


y1

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Calcul des contraintes à l’E.L.S. dans une section en T

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Calcul des contraintes à l’E.L.S. dans une section en T

Expression des contraintes normales

Calcul de Mser En Flexion simple M est constant dans la section, Mser calculé à la fibre neutre donne :

La distribution des contraintes dans une section droite suit la loi σ = Mser / I1 x y

contrainte dans le béton

  K × y1   2 M ser = (beff × y1 )×   ×  × y1    2  3   y − h   2  − (beff − bw ) × ( y1 − h f )×  K ×  1 f   ×  × ( y1 − h f ) 2 3     

contrainte dans les aciers tendus

σ bcMAX =

M ser × y1 I1

σ st = n ×

M ser × (d − y1 ) I1

+ n × As1 × [K × (d − y1 )]× (d − y1 )

Soit en simplifiant : Mser = K x I1


K=Mser/ I1

35

36

Et pour une section rectangulaire ! Pour une section rectangulaire…
prendre les mêmes formules avec beff = bw = b

EFFET DE LA POUTRE EN TE Si l'on compare comment un même moment de flexion est repris par les forces internes entre une poutre rectangulaire et une poutre en Té, on peut, en utilisant des notation symboliques de lettres majuscules F et Z pour représenter de grandes valeurs et f et z pour les faibles valeurs, mettre en évidence l'effet de la dalle en tant que semelle de compression. A égalité d'effort de flexion, une poutre en Té peut donc être moins haute. On remarque en conséquence que les efforts internes y sont importants, ce qui, du coté de l'acier amplifie encore l'inconvénient technologique évoqué ci- avant de positionnement des armatures.

b × y1 − K × n × As1 × (d − y1 ) = 0 2 2

K×

b × y1 + n × As1 × (d − y1 )² 3 3

I1 =

Mser = K x I1 d’où les contraintes… 37

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Exercice flexion section en T (EC2) à faire chez vous !

Exercice flexion section en T (EC2)

Béton C25/30 Calcul de Au pour : 1. Mu = 800 kN.m 2. Mu = 1000 kN.m 3. Mu = 1200 kN.m 4. Mu = 1400 kN.m ,

Matériaux • Béton C25/30 • Acier B500B Chargement Charge variables réparties : q = 10kN/m2 Immeuble d’habitation
ψ2 = 0,3 Environnement : XC2

Simplification
α = n = 15

A vérifier !

Pour la section la plus sollicitée • Déterminer les armatures longitudinales à l’E.L.U. • Faire une vérification de cette section vis-à-vis des E.L.S. • Faire un schéma de ferraillage

Conclusions Pour Mu =1000 kN.m Mser_rare = 714 kN.m Mser_quasi permanent = 450 kN.m vérifier la section choisie aux E.L.S. ? Φ 25 en acier B500B

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hf   0,2   M Tu = beff × h f × f cd ×  d −  = 0,7 × 0,2 ×16,7 ×  0,5175 −  = 0,976 MN .m 2  2   

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