50 Exercices Corrigés Sur Les Ossatures (RDM) [PDF]

Zitiervorschau

RDM - Ossatures Exercices

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Yves DEBARD Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique

Yves DEBARD

Février 2001

Institut Universitaire de Technologie Département Génie Mécanique et Productique Avenue Olivier Messiaen 72085 Le MANS Cedex 9 Tel 02 43 83 34 64 Fax 02 43 83 31 49 e-mail : [email protected]

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RDM - Ossatures Exercices

Sommaire : Pages

1

Analyse statique

25

Section droite : caractéristiques et contraintes

32

Flambement

43

Modes propres

Exercices

1

Analyse statique E1 : Treillis plan à noeuds articulés Référence :

F. FREY - Analyse des structures et milieux continus Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1985 , page 108

Problème : L'ossature plane représentée sur la figure est constituée de neuf poutres droites articulées entre elles. L'ensemble est lié à l'extérieur par un appui simple en 4 et une rotule en 1. y P

Q

P 4

2

1

x

3

1.4 m 2m 5 2m

2m

6

2m

La structure est en acier de module d'Young E = 210000 MPa. Les poutres sont des carrés creux de côté 70 mm et d'épaisseur 5 mm ( bibliothèque ). r

Le noeud 1 porte une force : Q =

r 0 0 daN. Les noeuds 2 et 3 portent une force : P = daN. − 1800 − 3600

Résultats : Actions de liaison :

R1x = 0 ,

R1y = 5400 daN , R4y = 3600 daN

Efforts normaux :

N12 = N23 = -5143 daN , N34 = -3600 daN , N15 = 6278 daN N56 = 3758 daN , N64 = 5091 daN , N53 = 1883 daN , N63 = -4680 daN

N25 = -3600 daN

2

RDM - Ossatures

E2 : Ossature plane Référence : A. JALIL - Calcul pratique des structures - Eyrolles, 1985 , page 55

Problème : L'ossature plane représentée sur la figure est constituée de trois poutres droites soudées entre elles. L'ensemble est lié à l'extérieur par un appui simple en 1 et une articulation en 4.

q

PB

2

PA

B

3

PC

4m y

C A 4

1

x 4m

4m

6m

La structure est en acier. Les trois poutres sont des HEA 600. r

0 daN. − 2000 r −1000 La poutre ( 3 - 4 ) porte en son milieu C une force : PC = daN. 0 r 0 La poutre ( 2 - 3 ) porte en son milieu B une force : PB = daN et sur le tronçon ( 2 - B ) une charge − 2000 0 r uniformément répartie q = daN/m. − 1000

La poutre ( 1 - 2 ) porte en son milieu A une force : PA =

Résultats : Actions de liaison : R1y = 4679 daN , R4x = 1000 daN , R4y = 2321 daN Le moment fléchissant maximal est égal à 18301 daN.m et situé sur la poutre ( 2 - 3 ) à X = 2.66 m.

Exercices

3

E3 : Ossature plane Référence : A. JALIL - Calcul pratique des structures - Eyrolles, 1985 , page 57

Problème : L'ossature plane représentée sur la figure est constituée de quatre poutres droites. L'ensemble est lié à l'extérieur par deux rotules en 1 et 5. Les poutres ( 2 - 3 ) et ( 3 - 4 ) sont liées entre elles par une rotule. q2 P 2

4

3

5m q1 y 1

5

x 3m

3m

La structure est en acier. Les quatre poutres sont des HEA 600. r

Le noeud 2 porte une force : P =

4000 daN 0

1000 r daN/m. La poutre ( 1 - 2 ) porte une charge uniformément répartie q 1 = 0 r

Les poutres ( 2 - 3 ) et ( 3 - 4 ) portent une charge uniformément répartie q 2 =

0 daN/m. − 5000

Résultats : Actions de liaison : R1x = -1250 daN ,

R1y = 9583 daN ,

R5x = -7750 daN ,

Le moment fléchissant est maximal en 4 et égal à 38750 daN.m

R5y = 20417 daN

4

RDM - Ossatures

E4 : Ossature plane Référence : A. JALIL - Calcul pratique des structures - Eyrolles, 1985 , page 6

Problème : L'ossature plane représentée sur la figure est constituée de quatre poutres droites. L'ensemble est lié à l'extérieur par deux articulations en 1 et 5. Les poutres ( 2 - 3 ) et ( 3 - 4 ) sont liées entre elles par une rotule.

q

F

3

1.5 m 4

2

C

4.5 m

y 1

5

x 3m

3m

La structure est en acier de module d'Young 210000 MPa. Les quatre poutres sont des HEA 600. r r 2000 Le noeud 2 porte une force : F = daN et un couple C = − 5000

0 0 daN.m − 3000 r

Les poutres ( 2 - 3 ) et ( 3 - 4 ) portent une charge uniformément répartie q =

0 daN/m projeté. − 1000

Résultats : Actions de liaison : R1x = -250 daN ,

R1y = 6000 daN ,

R5x = -1750 daN ,

R5y = 5000 daN

Exercices

5

E5 : Ossature plane Référence :

W. WEAWER, J. GERE - Matrix analysis of framed structures Van Nostrand Reihnold, 1990 , page 228

Problème : L'ossature plane représentée sur la figure est constituée de six poutres droites articulées entre elles. L'ensemble est lié à l'extérieur par deux articulations en 3 et 4. y

P1

C

1

2

q

P2

0.8 L

P3 4

3

x

0.6 L

L'ossature est en acier de module d'Young E. Les caractéristiques des poutres sont : - poutres ( 1 - 4 ) et ( 3 - 2 ) : aire = A - poutres ( 1 - 2 ) et ( 3 - 4 ) : aire = 0.6 A - poutres ( 3 - 1 ) et ( 4 - 2 ) : aire = 0.8 A La structure porte les charges suivantes : r

- le noeud 2 porte une force P1 de composantes ( 2P , P , 0 ). r

- la poutre (2-4) porte en son milieu une force P2 de composantes ( P , -P , 0 ). r

- la poutre (1-2) porte en son milieu un couple C de composantes ( 0 , 0 , -1.2 PL ). - la poutre ( 3-1 ) porte sur toute sa longueur une charge uniformément répartie. La charge par r unité de longueur q a pour composantes : ( 2.5 P/L , 0 , 0 ). r

- la poutre ( 3-4 ) porte en son milieu une force P3 de composantes ( 0 , -2P , 0 ).

6

RDM - Ossatures

Données numériques : * module d'Young : E = 200000 Mpa * L = 1.25 m * sections droites : - poutres (1-4) et (3-2) : carré plein de côté 50 mm - poutres (3-1) et (4-2) : rectangle plein ( dY = 40 mm dZ = 50 mm ) - poutres (1-2) et (3-4) : rectangle plein ( dY = 30 mm dZ = 50 mm ) * P = 1000 N

Résultats : - Déplacements : u1 = 25.00 10-3 mm , v1 = 10.37 10-3 mm , u2 = 26.53 10-3 mm , v2 = 10.05 10-3 mm - Actions de liaison : R3x = - 2890 N

R3y = - 5667 N

R4x = -2110 N

R4y = 7667 N

- Efforts aux extrémités des poutres ( en N ) : poutre 1-2 3-4 3-1 4-2 1-4 3-2

N à l'origine 610 0 4147 - 4520 - 2683 3150

TY à l'origine 2000 - 1000 - 1000 - 500 0 0

N à l'extrémité 610 0 4147 -3520 -2683 3150

TY à l'extrémité 2000 1000 1000 500 0 0

Exercices

7

E6 : Poutre droite Référence :

Guide de validation des progiciels de calcul de structures - AFNOR - 1990 - page 20

Problème : Considérons la poutre droite AB d'axe x, de section droite constante ( aire = 10-3 m2 , IZ = 1.7 10-8 m4 ) et de module d'Young E = 2.1 1011 Pa. Cette poutre est encastrée en A et B. y F2

p

x A

F1 0.3 m

B

C

0.3 m 1m

Elle porte : 0 r - sur toute sa longueur une force uniformément répartie p = − 24000 N/m. 0 r - au point d'abscisse x = 0.3 m une force F1 =

30000 0

r N et un couple C =

0

0 0

− 3000

10000 r - au point d'abscisse x = 0.7 m une force F2 = − 20000 N. 0

Remarque : Modéliser la poutre comme une ossature plane.

Résultats : Action de liaison :

RAx = - 24000 N

Déplacement :

v ( x = 0.5 m ) = - 4.90 10-2 m

Forces intérieures :

TY ( x = 0.5 m ) = - 540 N ,

MfZ ( x = 0.5 m ) = 2800 N.m

N.m.

8

RDM - Ossatures

E7 : Poutre courbe Référence :

Solution analytique

Problème : y

L'ossature plane représentée sur la figure est constituée d'une poutre courbe AB de centre O et de rayon moyen R = 60 mm. La section droite est un carré plein de côté 30 mm. La poutre est encastrée en B. Elle porte en A une force de composante ( 0 , P = 6000 , 0 ) N.

O

x

A

R

Les caractéristiques élastiques du matériau sont :

P

E = 210000 MPa et ν = 0.28.

B

Le cisaillement transverse est pris en compte.

Modélisation et résultats : Ossature paramétrée 30 ( 20 éléments , rayon = 60 mm , angle de départ = 0° , angle de l'arc = 270° ).

Résultats : Déplacement vertical du point A ( en mm ) :

vA =

3πPR 4 EA

+(

9π 4

+ 2)

PR

3

EI Z

+

3πPR 4Gk Z A

où A est l'aire de la section droite et IZ son moment quadratique par rapport à Z. La module d'élasticité transversal G est égal à :

E . Le dernier terme représente l'influence du cisaillement transverse. 2 (1 + ν )

Le coefficient d'aire cisaillée est égal à kZ = 0.833.

nombre d'éléments 10 20 40 60 100 théorie

avec cisaillement transversal 0.8285 0.8426 0.8462 0.8469 0.8472 0.8474

sans cisaillement transversal 0.8148 0.8289 0.8324 0.8331 0.8334 0.8336

Exercices

9

E8 : Ossature plane Référence :

Solution analytique

Problème : L'ossature plane représentée sur la figure est constituée de trois poutres droites articulées entre elles. Elle est en acier de module d'Young E L'ensemble est lié à l'extérieur par trois articulations en 1 et 2 et 3. Les caractéristiques des poutres sont : poutre ( 1 - 4 ) : rectangle plein [ 5a x a ] poutre ( 2 - 4 ) : rectangle plein [ 3a x a ] poutre ( 3 - 4 ) : rectangle plein [ 4a x a ]

3

4

q 3L y 1

x

2

4L

4L

r

La poutre ( 1 - 4 ) porte une charge d’intensité linéique q qui lui est perpendiculaire. On donne : L = 10 cm E = 200000 MPa. a = 10 mm q = 8 N/mm

Résultats : On obtient : 2

u4 =

3qL 2 Ea

2

= 6 10

−3

2

mm

N 24 = −2qL = −1600 N

v4 = −

2qL Ea

2

= −8 10

−3

mm

3 N 43 = − qL = −1200 N 2

10

RDM - Ossatures

E9 : Poutre à section droite variable soumise à son poids propre Référence : solution analytique

Problème : La poutre droite AB de longueur L est encastrée en A. Soient E et ρ respectivement le module d'Young et la masse volumique du matériau. La section droite est un rond plein dont le diamètre varie linéairement entre les noeuds A et B. La poutre est soumise son poids propre. Soit g l'accélération de la pesanteur.

∅2d

y

x A

∅d

B L

On donne : E = 200000 MPa

ρ = 8000 kg/m3 , g = 10 m/s2 , L = 1.2 m , d = 50 mm

Calculer la flèche en B.

Résultat : La flèche en B est égale à : vB = −

ρ g L4 3 E d2

= -0.110592 mm

Exercices

E10 : Treillis spatial à nœuds articulés Référence :

W. WEAWER, J. GERE - Matrix analysis of framed structures Van Nostrand Reihnold, 1990 , page 352

Problème : La structure représentée sur la figure ci-dessous est constituée de 9 poutres articulées entre elles.

z B

E C y

D x

A F

Les coordonnées des nœuds sont égales à ( en m ) : noeud x y z

A 3 0 0

B 0 0 3

C -3 0 0

D 3 5 0

E -3 5 0

F 0 5 -3

Soient E = 80000 MPa et ν = 0.3 les caractéristiques élastiques du matériau.

Les poutres sont des I à ailes égales : - DE , DF et EF : H = 240 , L = 150 , tw = 20 , tf = 20 mm. - AD , AF , CE , CF , BD et BE : H = 280 , L = 150 , tw = 40 , tf = 40 mm.

11

12

RDM - Ossatures

L' ensemble est fixé au mur par 3 rotules en A, B et C. Le nœud F porte une force de composantes ( 48 , 24 , -24 ) kN. La poutre AD porte en son milieu une force de composantes ( 0 , 0 , -24 ) kN. La poutre DE porte sur toute sa longueur une force uniformément répartie d'intensité linéique ( 0 , 0 , 24 ) kN/m.

Résultats : Déplacements nodaux : En D : ( 0.44359 , 0.30312 , 2.08842 ) mm En E : ( 0.02059 , 0.33437 , 1.79382 ) mm En F : ( 0.41121 , 1.34562 , 2.10171 ) mm

Actions de liaison : En A : ( -13.8 , -74 , -1.8 ) kN En B : ( -6 , 204 , -122.4 ) kN En C : ( -28.2 , -154 , 28.2 ) kN

Exercices

13

E11 : Portique plan – poutre soumise à une variation de température Référence :

Solution analytique

Problème : La structure plane représentée sur la figure ci-dessous est constituée de 3 poutres de même matériau et de même section droite ( rond creux de diamètre d et d’épaisseur t ) . La poutre BC est articulée en B et C. L’ensemble est encastré en A et D. Soient E et α respectivement le module d’Young et le coefficient de dilatation du matériau.

B

C H

A

D L

La poutre BC subit une variation de température égale à ∆T . On donne : L = 1 m , H = 0.3 m , d = 80 mm , t = 5 mm E = 210000 MPa , α = 13 10-6 K-1 ∆T = 50 K

Résultats : Soient A et I respectivement l’aire et le moment quadratique de la section droite. L’allongement de la poutre BC est égal à :

δ = α ∆T L +

NL EA

où N est l’effort normal dans la poutre BC.

N H3 L’effort normal N est solution de l’équation : 0.5 δ = − 3EI On obtient : N = -6071.3 N et δ = 0.62546 mm

14

RDM - Ossatures

E12 : Treillis plan - poutre soumise à une variation de température Référence :

Solution analytique

Problème : B

Le treillis plan à nœuds articulés représenté sur la figure ci-contre est constituée de 5 poutres de même matériau et de même section droite ( carré creux de côté extérieur c et d’épaisseur t ) . Les poutres OA, OB et OC ont la même longueur L. Le triangle ABC est équilatéral. L’ensemble est articulé en A et C.

A

O

Soient E et α respectivement le module d’Young et le coefficient de dilatation du matériau. La poutre OB subit une variation de température égale à ∆T . On donne : L = 0.5 m , c = 40 mm , t = 5 mm E = 200000 MPa , α = 12.5 10-6 K-1 ∆T = 30 K

Résultats : Soit A l’aire de la section droite. L’effort normal dans les poutres OA, OB et OC est égal à : N =

L’effort normal dans les poutres AB et BC est égal à :

Le déplacement vertical du point O est égal à :

−N 3

− 3 α ∆T E A 2+3 3

= 7296 N

2NL = -0.09026 mm EA

L’allongement de la poutre OB est égal à : δ = α ∆T L +

NL = 0.14237 mm EA

= -12636 N

C

Exercices

15

E13 : Appui incliné Référence :

Solution analytique

Problème : La structure plane représentée sur la figure ci-dessous est constituée de 2 poutres de même matériau et de même section droite ( rond creux de diamètre d et d’épaisseur t ) . Elle est articulée en A et repose en C sur un appui incliné à 45° par rapport à l’axe x. Soit E le module d’Young du matériau. y’ x’ C

B

L

y A

x 2L

La poutre BC porte une charge uniformément répartie d’intensité ( 0 , q , 0 ). On donne : L = 0.3 m , d = 30 mm , t = 5 mm E = 210000 MPa q = -1000 N/m L’énergie de déformation due à l’effort tranchant est négligée.

Modélisation : Ajouter un changement de repère { x’ , y’ } en C, puis définir la liaison dans ce repère local.

Résultats : Posons : X =

− 2q L = 200 N 3

Les actions de liaison sont égales à ( dans le repère { x , y } ) : - en A : ( X , 2 X ) = ( 200 , 400 ) N - en C : ( - X , X ) = ( -200 , 200 ) N Le moment fléchissant en B est égal à : - X L = -60 M.m Soient A et I respectivement l’aire et le moment quadratique de la section droite. Le déplacement horizontal de C dans le repère { x , y } est égal à :

6 q L4 12 q L2 uC = + = - 0.27009 mm 27 E I 9 E A

Section droite

17

Sections droites : caractéristiques et contraintes S1 : Caractéristiques d'une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ci-dessous. Soient O le centre de gravité et C le centre de torsion. H

t

Y

B Z

O

t C

♦ Première étude : On donne : H = B = 100 mm , t = 20 mm. Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. ♦ Deuxième étude : Pour plusieurs valeurs de l'épaisseur t ( 5 , 10 , 20 , 30 , 40 mm ), calculer les caractéristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces.

Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section ( section paramétrée ) puis activer le menu Calculer section droite. Pour la deuxième étude, prendre comme paramètres du maillage : 400 triangles à 6 noeuds, coefficient de dilution : 1.2 ( sélectionner la commande Paramètres du menu Modéliser ).

18

RDM - Ossatures

Résultats : Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. ♦ Première étude : On obtient ( la valeur en % représente l'écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin ) :

Maillage 100 TR3 400 TR3 20 TR6 100 TR6 150 TR6 400 TR6 2200 TR6

J ( cm4 ) 72.97 6.77 % 70.13 2.62 % 71.34 4.39 % 68.80 0.67 % 68.73 0.57 % 68.45 0.16 % 68.34

Iω ( cm6 ) 6379 2.95 % 6511 0.94 % 6535 0.58 % 6563 0.15 % 6563 0.15 % 6570 0.05 % 6573

YC ( mm ) -64.78 0.89 % -65.10 0.40 % -65.01 0.54 % -65.26 0.15 % -65.26 0.15 % -65.32 0.06 % -65.36

kY 0.6331 2.81 % 0.6219 0.99 % 0.6228 1.14 % 0.6174 0.26 % 0.6174 0.26 % 0.6163 0.08 % 0.6158

kZ 0.2408 2.99 % 0.2366 1.20 % 0.2378 1.71 % 0.2348 0.43 % 0.2347 0.38 % 0.2341 0.13 % 0.2338

♦ Deuxième étude : Les formules de résistance des matériaux ( R.d.M. ) valables pour les profils minces sont donnés dans les références [B6, P1, Y1] : J=

t3 ( h + 2 b) 3

Iω =

h 2 b 3 t (2 h + 3 b) 12 ( h + 6 b)

YC = −

3b2 b2 − h + 6b h + 2b

où h = H - t et b = B - 0.5 t On obtient ( E.F. = solution éléments finis ) : t (mm) 5 10 20 30 40

E.F. 1.206 9.286 68.44 211.3 454.9

J (cm4) R.d.M. 1.208 9.333 69.33 216.0 469.3

∆(%) 0.17 0.51 1.29 2.22 3.17

E.F. 2500 4269 6569 7835 7653

Iω (cm6) R..d.M. 2473 4077 5393 5123 4096

∆(%) 1.08 4.50 17.91 34.61 46.48

E.F. -74.45 -72.12 -65.32 -55.17 -41.40

YC (mm) R.d.M. ∆ ( % ) -74.71 0.36 -73.25 1.57 -70.30 7.70 -67.47 22.29 -64.64 56.16

∆ représente l'écart entre la solution analytique et la solution éléments finis, cette dernière servant de référence.

Section droite

19

S2 : Torsion d’une poutre rectangulaire Référence : S. LAROZE, Mécanique des structures - tome 2, Eyrolles/Masson, 1988, page 112

Problème : La poutre console représentée sur la figure est en acier de caractéristiques élastiques E et ν. Son extrémité libre est soumise à un couple de composantes ( 0 , C , 0 ). z Y Y

Z x

C

A

3a

y

Z

a

L

On donne :

B

E = 200000 MPa , ν = 0.3 L = 1 m , a = 100 mm C = 100 kN.m

Calculer la constante de torsion de la section droite, la rotation θ de l'extrémité libre de la poutre et le cisaillement maximal τmax pour plusieurs maillages de la section.

Modélisation : Activer le menu Calculer section droite du menu Modéliser.

Résultats :  3 n π 64 ∞ 1  référence : J = a  1 − 5 th 2  π n =1,3... n 5  4

∑

, τ max

 aC 8 1 − 2 = J  π  

  1  3n π n =1, 3... n 2 ch  2  ∞

∑

, θ=

On obtient ( activer le menu Contraintes sur section droite du menu Résultats ) : maillage 100 TR3 400 TR3 50 TR6 100 TR6 400 TR6 référence

J ( cm4 ) 8040.34 7934.79 7913.64 7902.96 7899.86 7899.51

remarque : le cisaillement est maximal en A et B.

θ ( rad ) 0.0161685 0.0163835 0.0164273 0.0164495 0.0164560 0.0164567

τmax ( MPa ) 114.77 119.59 124.55 124.64 124.73 124.75

CL GJ

20

RDM - Ossatures

S3 : Caractéristiques d'une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ci-dessous : Y tf Z

h

tw

b ♦ Première étude : On donne : h = 120 mm b = 100 mm , tw = tf = t = 20 mm. Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. ♦ Deuxième étude : Pour plusieurs valeurs de l'épaisseur t = tw = tf ( 5 , 10 , 20 , 30 , 40 mm ), calculer les caractéristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces.

Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section ( section paramétrée ) puis activer le menu Calculer section droite. Pour la deuxième étude, prendre comme paramètres du maillage : 400 triangles à 6 noeuds, coefficient de dilution : 1.2 ( sélectionner la commande Paramètres du menu Modéliser ).

Section droite

21

Résultats : Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. ♦ Première étude : On obtient ( la valeur en % représente l'écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin ) :

J ( cm4 ) 84.15 8.78 % 80.20 3.67 % 78.22 1.11 % 77.94 0.75 % 77.63 0.35 % 77.51 0.19 % 77.36

Maillage 100 TR3 400 TR3 100 TR6 200 TR6 400 TR6 800 TR6 4552 TR6

Iω ( cm6 ) 7766 2.61 % 7883 1.14 % 7946 0.35 % 7953 0.26 % 7963 0.14 % 7967 0.09 % 7974

kY 0.3745 3.14 % 0.3676 1.24 % 0.3646 0.41 % 0.3642 0.30 % 0.3637 0.17 % 0.3634 0.08 % 0.3631

kZ 0.6768 4.33 % 0.6591 1.60 % 0.6515 0.43 % 0.6508 0.32 % 0.6498 0.17 % 0.6493 0.09 % 0.6487

♦ Deuxième étude : Les formules de résistance des matériaux ( R.d.M. ) valables pour les profils minces sont donnés dans les références [B6, P1, Y1] : J=

t3 ( h − t + 2 b) 3

Iω =

(h − t) 2 b 3 t 24

On obtient ( E.F. = solution éléments finis ) : t (mm) 5 10 20 30 40

E.F. 1.306 10.206 77.627 247.74 546.82

J (cm4) R.d.M. 1.313 10.333 80.000 261.00 597.33

∆(%) 0.53 1.24 3.06 5.35 9.24

E.F. 2749 4991 7963 8990 8285

Iω (cm6) R.D.M. 2755 5042 8333 10125 10667

∆(%) 0.22 1.02 4.65 12.63 28.75

∆ représente l'écart entre la solution analytique et la solution éléments finis, cette dernière servant de référence.

22

RDM - Ossatures

S4 : Caractéristiques d'une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ci-dessous : L 2t Y Z

H

t 1.5 t 2L

♦ Première étude : On donne : H = 250 mm L = 100 mm , t = 20 mm. Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. ♦ Deuxième étude : On donne : H = 250 mm L = 100 mm. Pour plusieurs valeurs de l'épaisseur t ( 5 , 10 , 20 , 30 , 40 mm ), calculer les caractéristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces.

Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section ( section paramétrée ) puis activer le menu Calculer section droite. Pour la deuxième étude, prendre comme paramètres du maillage : 400 triangles à 6 noeuds, coefficient de dilution : 1.2 ( sélectionner la commande Paramètres du menu Modéliser ).

Section droite

23

Résultats : Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. ♦ Première étude : On obtient ( la valeur en % représente l'écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin ) :

Maillage 100 TR3 400 TR3 100 TR6 200 TR6 400 TR6 800 TR6 2500 TR6

J ( cm4 ) 473.1 19.71 % 416.7 5.44 % 401.5 1.59 % 398.6 0.86 % 396.6 0.35 % 395.9 0.18 % 395.2

Iω ( cm6 ) 125622 5.08 % 130683 1.25 % 131913 0.32 % 132081 0.20 % 132226 0.09 % 132279 0.05 % 132342

YC ( mm ) -59.24 0.49 % -59.36 0.29 % -59.48 0.08 % -59.48 0.08 % -59.51 0.03 % -59.52 0.02 % -59.53

kY 0.3398 2.81 % 0.3341 1.18 % 0.3321 0.58 % 0.3315 0.39 % 0.3307 0.15 % 0.3305 0.09 % 0.3302

kZ 0.5143 3.86 % 0.5018 1.33 % 0.4973 0.42 % 0.4969 0.34 % 0.4958 0.12 % 0.4955 0.06 % 0.4952

♦ Deuxième étude : Les formules de résistance des matériaux ( R.d.M. ) valables pour les profils minces sont donnés dans la référence [Y1] : h = H − 1.75 t

J=

t3 ( h + 14.75 L ) 3

Iω =

h 2 L3 t 7

On obtient ( E.F. = solution éléments finis ) : t (mm) 5 10 20 30 40

E.F. 6.96 53.7 397 1219 2599

J (cm4) R.d.M. 7.25 56.9 451 1505 3531

∆(%) 4.17 5.96 13.60 23.46 35.86

Iω (cm6) E.F. R.D.M. 41581 41573 77286 77223 132226 132071 166662 167170 182568 185143

∆(%) 0.02 0.08 0.12 0.30 1.41

∆ représente l'écart entre la solution analytique et la solution éléments finis, cette dernière servant de référence.

24

RDM - Ossatures

S5 : Caractéristiques d'une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ( UPN 400 ) : On donne ( en mm ) : h = 400 tw = 14 r = 18

r1

b = 110 tf = 18 r1 = 9

tf

Z

Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages.

Y

tw

b

r C

h

Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section ( bibliothèque ) puis activer le menu Calculer section droite.

Résultats : Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. On obtient ( la valeur en % représente l'écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin ) :

Maillage 100 TR3 400 TR3 100 TR6 200 TR6 400 TR6 800 TR6 2600 TR6

J ( cm4 ) 101.25 25.54 % 84.69 5.01 % 81.00 0.43 % 80.75 0.12 % 80.72 0.09 % 80.70 0.06 % 80.65

Iω ( cm6 ) 195071 8.87 % 211369 1.26 % 207173 3.22 % 213908 0.07 % 214076 0.00 % 214109 0.02 % 214066

YC ( mm ) -48.62 4.14 % -50.49 0.45 % -49.90 1.62 % -50.72 0.00 % -50.74 0.04 % -50.74 0.04 % -50.72

kY 0.2353 22.62 % 0.1975 2.92 % 0.2058 7.24 % 0.1922 0.16 % 0.1919 0.00 % 0.1918 0.05 % 0.1919

kZ 0.5866 3.15 % 0.5702 0.26 % 0.5760 1.28 % 0.5687 0.00 % 0.5685 0.04 % 0.5685 0.04 % 0.5687

Section droite

25

S6 : Caractéristiques d'une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ( IPN 500 ) : Y

On donne ( en mm ) : h = 500 tw = 18 r = 18

b = 185 tf = 27 r1 = 10.8

r1 h

Z

Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages.

tw tf

r

b

Modélisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section ( bibliothèque ) puis activer le menu Calculer section droite.

Résultats : Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. On obtient ( la valeur en % représente l'écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin ) :

Maillage 100 TR3 400 TR3 100 TR6 200 TR6 400 TR6 800 TR6 3200 TR6

J ( cm4 ) 511.26 36.72 % 398.11 6.46 % 402.15 7.54 % 376.44 0.67 % 375.95 0.54 % 375.44 0.40 % 373.94

Iω ( cm6 ) 1164816 11.49 % 1298520 1.33 % 1270004 3.5 % 1319475 0.26 % 1320964 0.37 % 1320812 0.36 % 1316060

kY 0.4990 2.72 % 0.4866 0.16 % 0.4841 0.35 % 0.4841 0.35 % 0.4840 0.37 % 0.4841 0.35 % 0.4858

kZ 0.6546 26.13 % 0.5338 2.85 % 0.5556 7.05 % 0.5171 0.37 % 0.5161 0.56 % 0.5160 0.58 % 0.5190

26

RDM - Ossatures

S7 : Caractéristiques d'une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ( HEM 320 ) : Y

On donne ( en mm ) : h = 359 tw = 21 r = 27

b = 309 tf = 40

Z

Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages.

h

tw

tf

r b

Modélisation :

Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section ( bibliothèque ) puis activer le menu Calculer section droite.

Résultats : Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. On obtient ( la valeur en % représente l'écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin ) :

Maillage 100 TR3 400 TR3 100 TR6 200 TR6 400 TR6 800 TR6 3600 TR6

J ( cm4 ) 1754.81 16.20 % 1607.62 6.46 % 1521.79 0.77 % 1514.09 0.26 % 1511.22 0.07 % 1510.42 0.02 % 1510.13

Iω ( cm6 ) 4813570 1.56 % 4857678 0.66 % 4888856 0.02 % 4888907 0.02 % 4889701 0.01 % 4889938 0.00 % 4890017

kY 0.2356 1.82 % 0.2335 0.91 % 0.2315 0.04 % 0.2315 0.04 % 0.2314 0.00 % 0.2314 0.00 % 0.2314

kZ 0.7204 3.02 % 0.7082 1.27 % 0.6997 0.06 % 0.6996 0.04 % 0.6994 0.01 % 0.6993 0.00 % 0.6993

Section droite

27

S8 : Caractéristiques d'une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ( cornière à ailes inégales et à coins arrondis : [ 70 x 50 x 7 ] ) :

t Y

On donne ( en mm ) : r

a = 70 t=7

b = 50 r= 7

r1

a

Z

r1 = 3.5

b

Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages.

Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section ( bibliothèque ) puis activer le menu Calculer section droite.

Résultats : Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. On obtient ( la valeur en % représente l'écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin ) :

Maillage 200 TR3 400 TR3 100 TR6 200 TR6 400 TR6 800 TR6 1360 TR6

J (cm4) 1.4592 6.73 % 1.4175 3.68 % 1.3686 0.10 % 1.3677 0.04 % 1.3673 0.01 % 1.3672 0.00 % 1.3672

Iω (cm6) 2.9307 15.45 % 3.2488 6.27 % 3.4656 0.02 % 3.4659 0.01 % 3.4661 0.01 % 3.4663 0.00 % 3.4663

β ω (cm6) 0.7301 21.05 % 0.8591 7.10 % 0.9125 1.33 % 0.9278 0.32 % 0.9243 0.05 % 0.9249 0.01 % 0.9248

YC (mm) ZC (mm) -11.99 15.93 1.64 % 1.30 % -12.07 16.02 0.98 % 0.74 % -12.17 16.12 0.16 % 0.12 % -12.19 16.14 0.00 % 0.00 % -12.19 16.14 0.00 % 0.00 % -12.19 16.14 0.00 % 0.00 % -12.19 16.14

kY 0.5171 2.34 % 0.5119 1.31 % 0.5059 0.12 % 0.5053 0.00 % 0.5053 0.00 % 0.5053 0.00 % 0.5053

kZ 0.3891 3.26 % 0.3836 1.80 % 0.3775 0.19 % 0.3768 0.00 % 0.3769 0.03 % 0.3768 0.00 % 0.3768

28

RDM - Ossatures

S9 : Caractéristiques d'une section droite Problème : Considérons la section droite représentée sur la figure ci-dessous : Y

Z H tw tf B ♦ Première étude : On donne : H = 200 mm B = 120 mm , tw = tf = t = 20 mm. Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. ♦ Deuxième étude : Pour plusieurs valeurs de l'épaisseur t = tw = tf ( 5 , 10 , 20 , 30 , 40 mm ), calculer les caractéristiques de la section et comparer avec les solutions analytiques valables pour les profils minces.

Modélisation : Prendre une ossature spatiale quelconque, modéliser la section ( section paramétrée ) puis activer le menu Calculer section droite. Pour la deuxième étude, prendre comme paramètres du maillage : 400 triangles à 6 noeuds, coefficient de dilution : 1.2 .

Section droite

29

Résultats : Pour éditer les caractéristiques, sélectionner la commande Caractéristiques du menu Fichier. ♦ Première étude : On obtient ( la valeur en % représente l'écart avec la valeur obtenue avec le maillage le plus fin ) :

J ( cm4 ) 114.35 8.14 % 110.81 4.79 % 106.43 0.65 % 106.08 0.32 % 105.85 0.10 % 105.75 0.01 % 105.74

Maillage 100 TR3 400 TR3 100 TR6 200 TR6 400 TR6 700 TR6 1240 TR6

Iω ( cm6 ) 83705 1.13 % 84186 0.56 % 84566 0.11 % 84590 0.08 % 84627 0.04 % 84655 0.00 % 84658

β ω ( cm6 ) 131793 0.41 % 132030 0.23 % 132241 0.07 % 132268 0.05 % 132303 0.02 % 132330 0.00 % 132333

kY 0.4772 1.53 % 0.4732 0.68 % 0.4710 0.21 % 0.4707 0.15 % 0.4703 0.06 % 0.4700 0.00 % 0.4700

kZ 0.4655 1.39 % 0.4614 0.50 % 0.4593 0.04 % 0.4592 0.02 % 0.4592 0.02 % 0.4591 0.02 % 0.4591

♦ Deuxième étude : Les formules de résistance des matériaux ( R.d.M. ) valables pour les profils minces sont donnés dans les références [B6, P1, Y1] :

h= H−t

b = B − 0.5 t

t3 J = ( h + 2 b) 3

h 2 b 3 t ( b + 2 h) Iω = 12 (2 b + h)

On obtient ( E.F. = solution éléments finis ) : t (mm) 5 10 20 30 40 50 60

E.F. 1.791 13.96 105.8 337.5 753.0 1379 2218

J (cm4) R.d.M. 1.792 14.00 106.7 342.0 768.0 1417 2304

∆(%) 0.06 0.29 0.85 1.33 1.99 2.76 3.88

Iω (cm6) E.F. R.D.M. 30337 30335 53944 53923 84627 84452 98495 97945 100656 99556 95008 93381 84668 82605

∆(%) 0.01 0.04 0.21 0.56 1.09 1.71 2.44

∆ représente l'écart entre la solution analytique et la solution éléments finis, cette dernière servant de référence.

30

RDM - Ossatures

S10 : Contrainte normale dans une section droite : flexion déviée Référence : Solution analytique

Problème : La poutre console représentée sur la figure ci-dessous est soumise en son extrémité libre à une force de composantes ( P , 0 , -3P ). z Y Y

A

P 0 -3P

Z 2a

x y

Z

B a

L

On donne : L = 1 m , a = 100 mm , P = 10000 N Etudier la contrainte normale dans la section encastrée.

Modélisation : Sélectionner l'option Ossature spatiale.

Résultats : Solution analytique : dans la section encastrée, la contrainte normale est égale à : σ=−

soit : σ =

Mf Y Mf Z a4 Z avec I Y = Y+ IY IZ 6

6PL a4

IZ =

2 a4 3

Mf Y = − P L Mf Z = −3 P L

( 0.75 Y − Z )

La contrainte de traction est maximale en A ( a , -0.5 a ) : σ T =

15 P L 2 a3

= 75 MPa .

La contrainte de compression est maximale en B ( -a , 0.5 a ) : σC = -75 MPa .

Méthode des éléments finis : pour extraire les résultats ci-dessus, activer le menu Contraintes sur section du menu Résultats, désigner la poutre, puis entrer l'abscisse de la section encastrée (commande Abscisse de la section du menu Modéliser).

Section droite

31

S11 : Contraintes dans une section droite : flexion-torsion Référence : solution analytique

Problème : La structure ABC représentée sur la figure ci-dessous est composée de deux poutres de section droite carrée ( côté a ). Elle est encastrée en A et porte en C une force de composantes ( 0 , 0 , -P ). Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau. z A

Y

y

Y M 0 0 -P

Z

L

Z A

N

B C

a

H

x

On donne : E = 200000 MPa , ν = 0.3 , L = 0.5 m , H = 0.4 m , a = 40 mm , P = 3000 N

Pour plusieurs maillages de la section droite, calculer : - le déplacement vertical des nœuds B et C. - dans la section encastrée, la contrainte de cisaillement et la contrainte équivalente de Von Mises au point M. - dans la section encastrée, la position et la valeur du cisaillement maximal.

Modélisation : Sélectionner l'option Ossature spatiale ou l'option Ossature plancher.

Résultats : Solution analytique : ♦ le déplacement vertical du noeud B est égal à ( kY = 5 / 6 ) : wB = −

P L3 PL = -2.92969 – 0.01463 = -2.94431 mm − 3 E IZ G kY A

32

RDM - Ossatures

♦ le déplacement vertical du noeud C est égal à ( J = 0.1405770 a4 ) :  P( L3 + H 3 ) P H 2 L  P (L + H ) w C = − = -13.09931 – 0.02633 = -13.12564 mm + − G J  G kY A  3 E IZ

♦ en M et dans le repère {XYZ}, le tenseur des contraintes a pour expression : σ 0 τ  6LP Σ ( M) =  0 0 0 avec : σ = 3   a  τ 0 0

et

τ=−

4.80387 H P a3

On obtient donc : σ = 140.63 MPa et τ = - 90.07 MPa. On en déduit la contrainte équivalente de Von Mises : σ VM = σ 2 + 3 τ 2 = 210.03 MPa ♦ Le cisaillement est maximal en N. En ce point, le tenseur des contraintes a pour expression :  0 τ 0 4.80387 H P 3 P Σ ( N ) =  τ 0 0 avec τ = − −   a3 2 a2 0 0 0

Le cisaillement maximal est donc égal à : τmax = τ = 92.89 MPa. Remarque : le deuxième terme de l'expression ci-dessus est dû à l'effort tranchant.

Méthode des éléments finis : ♦ Déplacements ( utiliser le bouton droit de la souris ) :

maillage 50 TR3 400 TR3 50 TR6 400 TR6 référence

sans cisaillement wB ( mm ) wC ( mm ) -2.92969 -12.91785 -13.05862 ″ -13.08275 ″ -13.09886 ″ -2.92969 -13.09931

avec cisaillement wB ( mm ) wC ( mm ) -2.94308 -12.94196 -2.94414 -13.08464 -2.94431 -13.10906 -13.12519 ″ -2.94431 -13.12564

♦ Contraintes : pour extraire les résultats demandés, activer le menu Contraintes sur section du menu Résultats, désigner la poutre AB, puis entrer l'abscisse de la section encastrée (commande Abscisse de la section du menu Modéliser). maillage 100 TR3 400 TR3 100 TR6 400 TR6 référence

τmax ( MPa ) 86.27 89.93 92.49 92.77 92.89

σVM ( MPa ) 205.20 206.59 209.66 209.89 210.03

Section droite

33

S12 : Cisaillement du à l'effort tranchant Référence : théorie élémentaire du cisaillement

Problème : La poutre console représentée sur la figure est constituée d'une demi-poutrelle IPE 500. 200

z

Y

Y 0 0 kN -100

16

Z

21 O

x

250 Z y

1m

10.2

L'extrémité de la poutre est soumise à une force de composantes ( 0 , 0 -100 ) kN. Calculer le cisaillement au centre de gravité O et le cisaillement maximal pour plusieurs maillages.

Résultats : Activer le menu Contraintes sur section du menu Résultats. Solution analytique : au centre de gravité de la section, le cisaillement du à l'effort tranchant TY est égal à: τO =

TY S ( théorie élémentaire du cisaillement ) IZ tw

où S est le moment statique par rapport à l'axe Z de la surface de la section située au dessus de l'axe Z Les caractéristiques de la section sont ( commande Caractéristiques du menu Fichier ) : IZ = 3262.67 cm4

S = 183.98 cm3

tw = 10.2 mm

d'où τO = 55.28 MPa. Méthode des éléments finis : on obtient ( pour extraire la quantité τO , effectuer une coupe droite parallèle à Y au voisinage de O ) : maillage 100 TR3 400 TR3 100 TR6 400 TR6

τmax ( MPa ) 55.53 55.35 57.02 56.90

τO ( MPa ) 55.53 55.34 55.58 55.28

34

RDM - Ossatures

S13 : Contrainte normale dans une poutre à section droite variable Référence : solution analytique

Problème : La poutre droite AB de longueur L est encastrée en A. Soit E le module d'Young du matériau. La section droite est un rond plein dont le diamètre varie linéairement entre les noeuds A et B. La poutre porte en B une force de composantes ( 0 , -P ). ∅ dA=2 dB

y

P

x A

∅ dB

B L

On donne : L = 1 m , dA = 100 mm , dB = 50 mm P = 10000 N Etudier la contrainte normale le long de la poutre.

Résultat : Solution analytique : la contrainte normale maximale dans la section droite d'abscisse x est égale à : σ=

32 P ( L − x)

π d3

où le diamètre d de la poutre est égal à : d A + (d B − d A )

x x = d B (2 − ) L L

Cette contrainte normale est maximale dans la section d'abscisse 0.5 L et vaut alors : σ max =

128 P L 27 π d 3B

= 120.72 MPa

Méthode des éléments finis : activer le menu Poutre du menu Résultats : σmax = 120.72 MPa à x = 0.5 m

Section droite

35

S14 : Contrainte normale dans une section droite : flexion déviée Référence : Solution analytique

Problème : La poutre droite AB de longueur L est encastrée en A. La section droite est une cornière à ailes inégales ( grande aile : a , petite aile : b , épaisseur : t ). z

b

M

A x L

B

t

Z

0 0 -P

α A

a

y Y

N

La poutre porte en B une force de composantes ( 0 , 0 , -P ). On donne : L = 0.8 m , a = 100 mm , b = 60 mm , t = 9 mm , P = 1000 N . Etudier la contrainte normale dans la section encastrée.

Modélisation : - Sélectionner l'option Ossature spatiale. - Pour créer la poutre, désigner le point B puis le point A. - Modifier l'orientation angulaire de la poutre.

Résultats : Solution analytique : Les composantes de la charge dans le repère { XYZ } sont ( 0, P cos α , -P sin α ). Dans la section encastrée, la contrainte normale est donc égale à : σ=−

Mf Z Mf Y P L cos α P L sin α Y+ Z=− Y+ Z IZ IY IZ IY

avec : IY = 22.9774 cm4 et IZ = 153.1764 cm4 La contrainte de traction est maximale en M (-27.629 mm , 25.498 mm ) : σT = 43.65 MPa . La contrainte de compression est maximale en N ( 63.412 mm , -16.841 mm ) : σC = -51.02 MPa . Méthode des éléments finis : Pour extraire ces résultats, activer le menu Contraintes sur section du menu Résultats, puis entrer l'abscisse de la section encastrée ( commande Abscisse de la section du menu Modéliser ).

36

RDM - Ossatures

S15 : Section droite à parois minces Référence :

A. BAZERGUI, T. BUI-QUOC, A. BIRON, G. McINTYRE, C. LABERGE, Résistance des matériaux, Recueil de problèmes - tome 1, exercice 16.7 Editions de l'Ecole Polytechnique de Montréal

Problème : Les deux sections droites à parois minces représentées sur la figure ci-dessous ont une épaisseur constante t.

Section II

Section I a

a

2a

A

Z

Z

a Y

O

Y O

2a

C

B C

On donne : a = 100 mm t = 10 mm. Calculer pour chaque section droite : - les caractéristiques en utilisant plusieurs maillages. - la contrainte moyenne de cisaillement dans la paroi en A et B quand la section droite est soumise à un moment de torsion MX = 10000 N.m

Modélisation : Modéliser une poutre console spatiale soumise à un moment de torsion. Définir la section ( géométrie importée : fichier IGES ou .GEO ).

Section droite

37

Résultats : Pour évaluer les caractéristiques, activer le menu Calculer section droite du menu Modéliser. Pour évaluer les contraintes, activer le menu Contraintes sur section droite du menu Résultats.

Section I ( section ouverte ) : Référence ( résistance des matériaux ) : J = 2 a t (a 2 + t 2 ) = 2020 cm 4 ,

τA =

MX 4 t (a + t ) 2

2

= 24.75 MPa , τ B =

MX 2 a (a 2 + t 2 )

= 4.95 MPa

On obtient : - caractéristiques : J (cm4) 2190 2153 2140 2137 2131 2129

Maillage 270 TR3 1000 TR3 160 TR6 220 TR6 900 TR6 1800 TR6

Iω (cm6) 2015578 2021152 2022219 2022294 2022509 2022511

- contraintes moyennes : τA = 24.54 MPa

ZC (mm) -248.69 -248.69 -248.67 -248.66 -248.64 -248.63

kY 0.1184 0.1175 0.1172 0.1171 0.1169 0.1168

τB = 4.70 MPa

kZ 0.4238 0.4204 0.4192 0.4188 0.4179 0.4176

( ~ 900 triangles à 6 nœuds )

Section II ( section fermée ) : Référence ( résistance des matériaux ) : J = 10 a 3 t = 10000 cm 4

τA =

MX 2

20 a t

= 5.00 MPa

τB =

MX 10 a 2 t

= 10.00 MPa

On obtient : - caractéristiques : Maillage 240 TR3 850 TR3 170 TR6 240 TR6 850 TR6 1900 TR6

J (cm4) 10577 10480 10427 10414 10388 10379

- contraintes moyennes : τA = 5.10 MPa

Iω (cm6) 578053 578457 579207 579239 579895 579995

ZC (mm) -66.06 -66.06 -66.00 -66.01 -66.07 -66.09

τB = 9.90 MPa

kY 0.3281 0.3249 0.3237 0.3231 0.3221 0.3217

kZ 0.3735 0.3699 0.3684 0.3678 0.3667 0.3663

( ~ 900 triangles à 6 nœuds )

38

RDM - Ossatures

S16 : Contraintes tangentielles dans un caisson multicellulaire Référence :

Résistance des matériaux : cisaillement dans les poutres à parois minces

Problème : Considérons la poutre console dont la section droite ( caisson rectangulaire à deux cloisons ) est représentée ci-dessous. Les parois et les cloisons ont la même épaisseur t. Y

Z 2a

O B

C

A

a

a

a

a

On donne : a = 500 mm , t = 20 mm. ♦ Première étude : Calculer les caractéristiques de la section droite pour plusieurs maillages. ♦ Deuxième étude : La section droite est soumise à un moment de torsion MX = 1000 kN.m . Evaluer le cisaillement moyen dans la paroi en A, B et C. ♦ Troisième étude : La section droite est soumise à un effort tranchant TY = 1000 kN . Evaluer le cisaillement moyen dans la paroi en en A, B et C.

Modélisation : Modéliser une poutre console spatiale. La section droite est paramétrée : [ 1000 2000 1000 20 20 20 ] mm

Section droite

Résultats : ♦ Première étude : caractéristiques référence : J =

112 3 a t = 5600 103 cm4 5

On obtient : Maillage 100 TR3 400 TR3 100 TR6 400 TR6 1000 TR6

J ( cm4 ) 5752 103 5683 103 5664 103 5650 103 5648 103

kY 0.4385 0.4337 0.4322 0.4315 0.4313

kZ 0.4550 0.4502 0.4486 0.4475 0.4473

♦ Deuxième étude : cisaillement dû au couple de torsion Mx τ A = 4τ

référence :

τ C = 3τ

τB = τ

avec

τ=

MX 56 a 2 t

On obtient ( ~ 1000 triangles à 6 nœuds ) : référence 14.29 MPa 3.57 MPa 10.71 MPa

τA τB τC

RDM-Ossatures 14.33 MPa 3.61 MPa 10.76 MPa

♦ Troisième étude : cisaillement dû à l’effort tranchant TY τA = 0

référence :

τ B = 5τ

τ C = 4τ

avec

τ=

TY 32 a t

On obtient ( ~ 1000 triangles à 6 nœuds ) :

τB τC

référence 15.63 MPa 12.50 MPa

RDM-Ossatures 15.63 MPa 12.52 MPa

39

40

RDM - Ossatures

S17 : Cisaillement dans un profil mince fermé et simplement cloisonné Référence :

S. LAROZE, M. LORRAIN, Mécanique des structures – tome II bis: exercices – poutres, ENSAE, 1989, pages 133,167

Problème : Considérons le gouvernail de profondeur dont la section droite est représentée ci-dessous.

2

Z

3

1

A C

R

t3

B t2

Y

O

L

t1

On donne : L = 600 mm , R = 75 mm , t1 = 2 mm , t2 = 4 mm , t3 = 3 mm. ♦ Première étude : Evaluer les caractéristiques de la section : constante de torsion de Saint Venant J, constante de gauchissement Iω, position du centre de cisaillement C, coefficients d'aire cisaillée ( kY , kZ ). ♦ Deuxième étude : Evaluer le cisaillement moyen dans les parois 1, 2 et 3 quand la section droite est soumise à un couple de torsion Mt = 10000 N.m. ♦ Troisième étude : La section droite est soumise à un effort tranchant TY = 10000 N. Evaluer le cisaillement maximal.

Section droite

Résultats : ♦ Première étude : caractéristiques de la section Référence : J = 1809 cm4. On obtient :

Maillage 200 TR3 400 TR3 200 TR6 400 TR6 1200 TR6

J ( cm4 ) 1828 1820 1819 1816 1815

Iω ( cm6 ) 531 297 370 343 334

YC ( mm ) -200.6 -201.1 -201.4 -201.2 -201.2

kY 0.6166 0.6146 0.6140 0.6136 0.6134

♦ Deuxième étude : cisaillement dû au couple de torsion On obtient ( ~ 1000 triangles à 6 nœuds ) :

τ1 τ2 τ3

référence 42.90 MPa 32.24 MPa 14.39 MPa

RDM - Ossatures 43.24 MPa 32.16 MPa 14.06 MPa

♦ Troisième étude : cisaillement dû à l'effort tranchant TY référence : le cisaillement est maximal en A et B et vaut : τmax = 5.16 MPa. On obtient ( maillage : ~ 1000 triangles à 6 nœuds ) : τmax = 5.23 MPa.

kZ 0.0958 0.0949 0.0946 0.0943 0.0942

41

42

RDM - Ossatures

S18 : Flexion - torsion Référence : solution analytique

Problème : z

La structure ABC représentée sur la figure ci-contre est constituée de deux poutres identiques de longueur L. Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau. L'ensemble est encastré en A. Les poutres AB et BC portent une charge uniformément répartie d'intensité linéique ( 0 , 0 , p ).

y A

On donne : B

E = 200000 MPa , ν = 0.3

C

x

L = 0.6 m , section droite : IPN 180 p = - 1000 N/m

Dans chacun des cas suivants et pour plusieurs maillages de la section droite, évaluer le déplacement vertical des points B et C.

Y Z

Y

Y

Z Z

Z

Y Cas 1

Cas 2

Section droite

43

Résultats : Les caractéristiques J, kY… utilisées dans la solution analytique sont extraites de la bibliothèque de profilés ( maillage = 4 x 1993 triangles à 6 nœuds ).

Cas 1 : Référence : wB =

11 p L4 3 p L2 = - 0.02057 - 0.00582 = - 0.02638 mm + 24 E I Z 2 G k Y A

wC =

7 p L4 2 p L2 p L4 = - 0.02618 - 0.00775 - 9.28441 = - 9.31834 mm + + 12 E I Z G k Y A 2 G J

On obtient :

Nombre d’éléments 400 TR3 800 TR3 400 TR6 800 TR6 bibliothèque référence

sans cisaillement wB ( mm ) wC ( mm ) -0.02057 -8.46166 -8.83228 ″ -9.25606 ″ -9.26805 ″ -9.31059 ″ -0.02057 -9.31059

avec cisaillement wB ( mm ) wC ( mm ) -0.02635 -8.46937 -0.02638 -8.84003 -0.02640 -9.26384 -0.02641 -9.27583 -0.02638 -9.31834 -0.02638 -9.31834

Cas 2 : Référence : wB =

11 p L4 3 p L2 = - 0.36576 - 0.00444 = - 0.37020 mm + 24 E I Y 2 G k Z A

wC =

7 p L4 2 p L2 p L4 = - 0.46551 - 0.00592 - 9.28441 = - 9.75584 mm + + 12 E I Y G k Z A 2 G J

On obtient :

Nombre d’éléments 400 TR3 800 TR3 400 TR6 800 TR6 bibliothèque référence

sans cisaillement wB ( mm ) wC ( mm ) -0.36576 -8.90356 -9.27178 ″ -9.69548 ″ -9.70751 ″ -9.74992 ″ -0.36576 -9.74992

avec cisaillement wB ( mm ) wC ( mm ) -0.37000 -8.90921 -0.37071 -9.27759 -0.37022 -9.70143 -0.37023 -9.71347 -0.37020 -9.75584 -0.37020 -9.75584

44

RDM - Ossatures

S19 : Contraintes dans une poutre à section droite variable Référence : solution analytique

Problème : La poutre droite AB de longueur L est encastrée en A. La section droite est un carré plein dont le côté varie linéairement entre les noeuds A et B. La poutre est soumise en B à : - une force de composantes ( N , F , 0 ) - un couple de composantes ( 0 , 0 , C ).

2a

y

x A B

a

L

On donne : L = 1 m , a = 10 mm , N = 1000 N , F = 1 N , C = 1 Nm

Evaluer les contraintes normales en A et B.

Résultats : Solution analytique : σ A inf =

3 ( C + F L)  3 (C + F L )  1  1   = 4MPa , σ A sup =  = 1 MPa N + N − 2 2 a a 4a  4a   

σ B inf =

6C 1   = 16 MPa N + 2 a  a 

, σ B sup =

6C 1   = 4 MPa N − 2 a  a 

Méthode des éléments finis : pour extraire ces résultats, activer le menu Poutre du menu Résultats, puis entrer l'abscisse de la section ( commande Valeur en un point du menu Résultats ).

Flambement

45

Flambement eulérien F1 : Ossature plane Référence : S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE, Théorie de la stabilité élastique, Dunod, 1966, page 69

Problème : L

L (F,0)

A 0.5 L

B

y C

x

t b

L'ossature plane représentée sur la figure est constituée de trois poutres droites soudées entre elles. L'ensemble est lié à l'extérieur par une rotule en A et C, un appui simple en B. La structure est en acier de module d’Young E. Les poutres ont une section droite rectangulaire ( b , t ). Le noeud B porte une force de composante ( F , 0 ). On donne : E = 200000 MPa , t = 20 mm , b = 100 mm , L = 1 m , F = -10 kN Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages.

Résultats : La charge critique est égale à : FC =

13.9 E I Z L2

= 18.53 kN

Le coefficient de charge critique est donc égal à : λC = 18.53 .

On obtient avec RDM-Ossatures :

Nombre d’éléments 3 5 10 20

λC 24.82 18.70 18.53 18.52

46

RDM - Ossatures

F2 : Poutre droite Référence : Z.P BAZANT, L. CEDOLIN, Stability of structures, Oxford, 1991, page 70

Problème : L’ossature plane représentée sur la figure est constituée de deux poutres droites de longueur L et de section rectangulaire. Elle est liée à l'extérieur par une rotule en A et un appui simple en B. Soit E le module d’Young du matériau. La poutre porte en C une force ( - P , 0 ). b

2b y A

t

t B

x

P C

L

L

On donne : L = 0.8 m , b = 25 mm , t = 10 mm ( IZAB = 2 IZBC ) E = 210000 MPa P = 1000 N

Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages.

Résultats : La charge critique est égale à : PC = 01813 . On obtient avec RDM-Ossatures : Nombre d’éléments 2 4 10

λC 1.227 1.223 1.223

π2 E I Z = 1223 N. On en déduit λC = 1.223 . L2

Flambement

47

F3 : Poutre droite à section variable Référence : S.P. TIMOSHENKO, J.M. GERE, Théorie de la stabilité élastique, Dunod, 1966, page 127

Problème : La poutre droite AB de longueur L est encastrée en A. Soit E le module d’Young du matériau. La section droite est un rond plein dont le diamètre varie linéairement entre les noeuds A et B. La poutre porte en B une force ( - P , 0 ). ∅ dA ∅ dB

y

P A

x B L

On donne : L = 1.2m , dA = 50 mm , dB = 28.117 mm ( IZB = 0.1 IZA ) E = 200000 MPa P = 10000 N

Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages.

Résultats : La charge critique est égale à : PC = 1202 .

E I Z1

On obtient avec RDM-Ossatures : Nombre d’éléments 1 2 10

λC 5.322 5.154 5.127

L2

= 51218 N. On en déduit λC = 5.1218 .

48

RDM - Ossatures

F4 : Poutre console - flexion-torsion Référence :

Solution analytique

Problème : La poutre droite AB ( ossature spatiale ), représentée sur la figure, a une longueur L et une section constante ( rectangle plein : b, t ). Elle est en acier de constantes élastiques E et ν. Elle est encastrée en A. Y

z Z

b

L A

Y

t

x

Z

B y

Cas de charge 1 : le noeud B porte une force ( 0 , 0 , - P ). Cas de charge 2 : la poutre porte une charge uniformément répartie sur toute sa longueur ( 0 , 0, - q ). Cas de charge 3 : le noeud B porte un couple ( M , 0 , 0 ). On donne : L = 1.2 m , b = 100 mm , t = 6 mm E = 200000 MPa , ν = 0.3 P = 100 N , q = 100 N/m , M = 100 Nm Pour chaque cas de charge, calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages et plusieurs hypothèses de calcul ( petites rotations / rotations modérées ).

Modélisation : La poutre est une ossature spatiale. Pour évaluer la constante de torsion de Saint Venant, activer le menu Calculer section droite ( ~ 600 triangles à 6 noeuds ). Les caractéristiques de la section sont : IY = 0.18 cm4 , J = 0.6928 cm4.

Flambement

49

Résultats : Cas 1 : La charge critique est égale à : FC =

4.0126 L2

E I Y G J = 1221 N ( petites rotations / rotations modérées )

Le coefficient de charge critique est donc égal à : λC1 = 12.21

Cas 2 : La charge critique est égale à : qC =

12.85 L3

E I Y G J = 3257 N/m ( petites rotations / rotations modérées )

Le coefficient de charge critique est donc égal à : λC2 = 32.57

Cas 3 : hypothèse petites rotations : π E I Y G J = 573.4 Nm 2L Le coefficient de charge critique est donc égal à : λC3 = 5.734

La charge critique est égale à : M C =

hypothèse rotations modérées : π E I Y G J = 1146.7 Nm L Le coefficient de charge critique est donc égal à : λC4 = 11.467

La charge critique est égale à : M C =

remarque : quand les rotations ne sont pas petites, le résultat dépend de la manière dont le couple extérieur est appliqué. Le résultat ci-dessus est obtenu avec un couple semitangentiel [Z2].

X

On obtient avec RDM : Nombre d’éléments 1 2 3 10 20 solution analytique

λC 1 18.25 13.05 12.54 12.24 12.21 12.21

λC 2 57.48 38.61 34.74 32.75 32.62 32.57

λC 3 6.322 5.882 5.799 5.739 5.735 5.734

λC4 12.644 12.644 11.995 11.514 11.479 11.467

50

RDM - Ossatures

F5 : Lame équerre - flexion-torsion Référence : J.H. ARGYRIS, O. HILPERT, G.A. MALEJANNAKIS, D.W. SCHARPF, On the geometrical stiffness of a beam in space - a consistent v. w. approach - CMAME, vol 20 (1979) 105-131

Problème :

z

La structure spatiale représentée sur la figure est composée de deux poutres droites de longueur L et de section constante ( rectangle plein : b , t ). Elle est encastrée en A.

L Y x A

Soient E et ν les constantes élastiques du matériau.

Z

Le noeud B porte une force ( 0 , P , 0 ) où P peut être positif ou négatif.

y

Y

On donne : L = 240 mm b = 30 mm t = 0.6 mm E = 71240 MPa

Z

L

b

ν = 0.31 t

P=±1N B

P

Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages et plusieurs hypothèses de calcul ( petites rotations / rotations modérées ).

Modélisation : Modéliser la section droite comme une section quelconque : logo = 5 , A = 0.18 cm2 , IY = 0.000054 cm4 , IZ = 0.135 cm4 , constante de torsion = 0.000216 cm4

Résultats : Référence ( avec 2 x 10 éléments ) : hypothèse petites rotations : λC ( P > 0 ) = 0.5507 , λC ( P < 0 ) = 0.4214 hypothèse rotations modérées : λC ( P > 0 ) = 1.0880 , λC ( P < 0 ) = 0.6804 On obtient avec RDM - Ossatures :

Nombre d’éléments 2x1 2x2 2 x 10 2 x 20

petites rotations λC ( P > 0 ) λC ( P < 0 ) 0.5604 0.4269 0.5531 0.4227 0.5507 0.4214 0.5506 0.4213

rotations modérées λC ( P > 0 ) λC ( P < 0 ) 1.1754 0.7085 1.1101 0.6873 1.0880 0.6804 1.0873 0.6802

Flambement

51

F6 : Lame équerre - flexion-torsion Référence : J.H. ARGYRIS, O. HILPERT, G.A. MALEJANNAKIS, D.W. SCHARPF, On the geometrical stiffness of a beam in space - a consistent v. w. approach - CMAME, vol 20 (1979) 105-131

Problème : La structure spatiale représentée sur la figure est composée de deux poutres droites de longueur L, perpendiculaires entre elles et de section constante ( rectangle plein : b , t ). Y

z B

b

Z L t

Y L Z A x

y C

Soient E et ν les constantes élastiques du matériau. Les conditions aux limites sont : noeud A : u = v = w = θy = θz = 0 noeud C : u = w = θy = θz = 0 Cas de charge 1 : noeud A : un couple de composante ( -M , 0 , 0 ) noeud C : un couple de composantes ( M , 0 , 0 )

-M

M

où M peut être positif ou négatif. Cas de charge 2 :

P

noeud B : une force de composantes ( 0 , 0 , P ) où P peut être positif ou négatif. On donne : L = 240 mm , b = 30 mm , t = 0.6 mm E = 71240 MPa , ν = 0.31 M = ± 1 Nmm , P = ± 1 N Calculer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages et plusieurs hypothèses de calcul ( petites rotations / rotations modérées ).

52

RDM - Ossatures

Modélisation : Modéliser la section droite comme une section quelconque : logo = 5 , A = 0.18 cm2 , IY = 0.000054 cm4 , IZ = 0.135 cm4 , constante de torsion = 0.000216 cm4

Résultats : Cas de charge 1 : Référence ( avec 2 x 10 éléments ) : hypothèse petites rotations : λC ( M > 0 ) = 315.79 , λC ( M < 0 ) = 937.84 hypothèse rotations modérées : λC ( M > 0 ) = 624.77 , λC ( M < 0 ) = 624.77 On obtient ( 4 modes demandés, précision sur le calcul des valeurs propres = 0.0001 ) :

Nombre d’éléments 2x4 2 x 10 2 x 20 2 x 50

petites rotations λC ( M > 0 ) λC ( M < 0 ) 317.31 985.38 315.79 937.84 315.58 931.14 315.51 929.27

rotations modérées λC ( M > 0 ) λC ( M < 0 ) 638.30 638.30 624.77 624.77 622.85 622.85 622.31 622.31

Remarque : la charge critique théorique ( hypothèse rotations modérées ) est égale à : MC =

π E I Y G J = 622.21 Nmm L

pour M positif ou négatif [T3]. Cette valeur est indépendante de l’angle que font entre elles les deux poutres.

Cas de charge 2 : Référence ( avec 2 x 10 éléments ) : hypothèse petites rotations : λC ( P > 0 ) = 19.326 , λC ( P < 0 ) = 2.419 hypothèse rotations modérées : λC ( P > 0 ) = 11.744 , λC ( P < 0 ) = 3.947 On obtient ( 5 modes demandés, précision sur le calcul des valeurs propres = 0.0001 ) :

Nombre d’éléments 2x4 2 x 10 2 x 20

petites rotations λC ( P > 0 ) λC ( P < 0 ) 15.419 2.420 14.908 2.419 14.836 2.419

rotations modérées λC ( P > 0 ) λC ( P < 0 ) 12.265 3.951 11.744 3.947 11.672 3.946

remarque : la valeur λC ( P>0 , hypothèse petites rotations ) donnée dans la référence correspond au premier mode symétrique. On obtient ( 5ième valeur propre ) : 19.326 avec 20 éléments.

Flambement

53

F7 : Flambement d’un mât vertical sous son poids propre Référence : J. COURBON, Stabilité de l’équilibre élastique, Les Techniques de l’Ingénieur, C 2040

Problème : Le mât représenté sur la figure ci-contre est encastré à sa base et libre à son extrémité supérieure. Ce mât de hauteur H, de section droite constante : rond plein de diamètre D est soumis à son poids propre. Soient E le module d’Young du matériau et ρ sa masse volumique. Soit g l’accélération de la pesanteur.

H

On donne : H = 4 m , D = 30 mm E = 200000 MPa , ρ = 7800 kg/m3 g = 10 m/s2 Evaluer le coefficient de charge critique en utilisant plusieurs maillages.

Résultats : La charge critique par unité de longueur est égale à : p C = 7.8373 propre par unité de longueur est égal à : p =

H3

= 973.804 N/m. Le poids

π D2 ρ g = 55.035 N/m. On en déduit λC = 17.662 . 4

On obtient avec RDM-Ossatures :

Nombre d’éléments 1 2 3 4 10

EI Z

λC 17.779 17.707 17.673 17.666 17.662

54

RDM - Ossatures

F8 : Flambement d’une poutre droite Référence : Solution analytique

Problème : La poutre droite représentée ci-dessous, de longueur L = 1.2 m et de section droite constante ( rectangle plein : 20 x 100 mm ) est en acier de module Young E = 200000 MPa. Elle porte à son extrémité supérieure une force de composantes ( 0 , P = -1000 N ).

L

y x

Cas 3

Cas 2

Cas 1

Cas 4

Calculer le coefficient de charge critique pour les conditions aux limites suivantes : Cas Base Extrémité supérieure

1 encastrement libre

2 rotule u=0

3 encastrement u=0

4 encastrement u = 0 , θz = 0

Résultats : Référence : λC1 = 0.25 λ

,

λC2 = λ

, λC3 = 2.04575 λ

, λC4 = 4 λ avec λ =

π2 E IZ P L2

On obtient : Nombre d’éléments 1 2 3 4 5 20 solution analytique

λC 1 23.018 22.858 22.849 22.847 22.847 22.846 22.846

λC 2 111.110 92.073 91.530 91.432 91.405 91.385 91.385

λC 3 191.750 188.100 187.340 187.110 186.950 186.951

λC4 373.550 368.300 366.720 365.550 365.541

Flambement

55

F9 : Flambement d’un cadre Référence : C. MASSONNET, Résistance des matériaux, Dunod, 1968, page 410

Problème :

0 -P

0 -P

Le cadre ABCD représenté sur la figure ci-contre est constitué de quatre poutres de longueur L et de section droite constante : rectangle plein ( cY , cZ ). Soit E le module d’Young du matériau. Le cadre est articulé en A et D. Il porte en B et C deux forces égales de composantes ( 0 , -P ).

B

C L

y

On donne :

A

L = 0.6 m , cY = 10 mm , cZ = 50 mm E = 200000 MPa P = 1000 N

D

L

Calculer le coefficient de charge critique λC quand le déplacement horizontal du point B est libre et quand celui-ci est nul.

Résultats : ♦ Première étude : le nœud B est libre La charge critique est égale à : PC = 5.68783

EI Z L2

= 13166 N. On en déduit λC = 13.166 .

On obtient avec RDM-Ossatures : Nombre d’éléments 4 8 12 16 référence

λC 13.194 13.181 13.168 13.165 13.166

♦ Deuxième étude : le déplacement horizontal du nœud B est nul EI La charge critique est égale à : PC = 16.4634 2Z = 38110 N. On en déduit λC = 38.110 . L On obtient avec RDM-Ossatures : Nombre d’éléments 4 8 12 16 40 référence

λC 38.468 38.209 38.144 38.111 38.110

x

Modes propres

57

Modes propres D1 : Treillis plan à noeuds articulés Référence : M. GÉRADIN, D. RIXEN, Théorie des vibrations, Masson, 1996 , page 265

Problème : L'ossature plane représentée sur la figure est constituée de neuf poutres droites articulées entre elles. Elle est liée à l'extérieur par une rotule en O et un appui simple en E. Les poutres sont des carrés creux de côté d et d'épaisseur t. Soient E le module d'Young du matériau et ρ sa masse volumique.

L y E O

L

L

L

On donne : L = 1 m d = 40 mm t = 5 mm E = 200000 MPa

ρ = 8000 kg m-3

Calculer les 9 premières fréquences propres.

Modélisation : Pour obtenir les vibrations de membrane, ne pas discrétiser les poutres.

Résultats : On obtient ( fréquences en Hz ) : Mode 1 2 9

référence 171.40 290.50 1663.5

RDM - Ossatures 171.39 290.48 1663.41

x

58

RDM - Ossatures

D2 : Poutre droite à section variable Référence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 200

Problème : La poutre droite ( 1-2 ) de longueur L est encastrée en 1. Soient E le module d’Young du matériau et ρ sa masse volumique. La section droite est un rectangle plein dont les dimensions varient linéairement entre les noeuds 1 et 2.

y

x 1

2 L

On donne :

L = 1 m , E = 200000 MPa , ρ = 7800 kg m-3 hY1 = 40 mm , hZ1 = 50 mm hY2 = 10 mm , hZ2 = 10 mm

Calculer les 5 premières fréquences propres.

Modélisation : Modéliser la poutre comme une ossature plane. Utiliser plusieurs maillages.

Résultats : On obtient ( fréquences en Hz ) pour les modes de flexion :

Mode 1 2 3 4 5

référence 56.55 175.79 389.01 702.36 1117.63

1 élément 37.43 -

2 éléments 54.96 169.52 334.59 644.29 -

5 éléments 56.52 175.09 385.40 701.07 1179.07

10 éléments 56.55 175.69 388.36 700.12 1112.65

Modes propres

59

D3 : Vibrations transversales d’une poutre droite bi-encastrée Référence : R.D. BLEVINS, Formula for natural frequency and mode shape, Krieger, 1993, p. 108

Problème : L’ossature plane représentée sur la figure est constituée d’une poutre droite ( 1-2 ) de longueur L et de section constante : carré plein de côté c. Elle est encastrée en 1 et 2. Soient E le module d’Young du matériau et ρ sa masse volumique. y

x 2

1 L

On donne :

L = 1 m , E = 210000 MPa , ρ = 7800 kg m-3 c = 10 mm

Calculer les 5 premières fréquences propres en utilisant plusieurs maillages.

Résultats : référence : 1 h i2 fi = 2 π L2

E IZ avec hi = 4.73004 , 7.85320 , 10.9956 , 14.1372 , 17.2788 ρA

On obtient ( fréquences en Hz ) :

Mode 1 2 3 4 5

référence 53.34 147.02 288.22 476.45 711.73

2 éléments 54.20 195.38 -

3 éléments 53.55 149.93 348.62 692.49 -

10 éléments 53.34 147.03 288.39 477.37 715.02

20 éléments 53.33 147.00 288.12 476.19 711.22

60

RDM - Ossatures

D4 : Portique plan Référence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 230

Problème : L’ossature plane représentée sur la figure est constituée de 6 poutres droites de section constante : rectangle plein ( b , h ). Elle est encastrée en A et B. Soient E le module d’Young du matériau et ρ sa masse volumique. Z

F E

Y

b

Y

poteaux h

Y

0.81 m C

D Y Z

0.36 m y A

O

0.3 m

traverses b

x

B

0.3 m

On donne : b = 29 mm , h = 4.8 mm E = 210000 MPa , ρ = 7800 kg/m3 Le cisaillement transversal est négligé. Calculer les 13 premières fréquences propres en utilisant plusieurs maillages.

Résultats : On obtient ( fréquences en Hz ) :

Mode 1 2 3 4 5 13

référence 8.8 29.4 43.8 56.3 96.2 335

6 éléments 8.79 29.52 52.93 86.77 118.64 -

20 éléments 8.78 29.44 43.87 56.35 96.41 343.36

h

60 éléments 8.78 29.44 43.85 56.30 96.18 335.48

Modes propres

61

D5 : Ossature spatiale Référence : M. PETYT, Introduction to finite element vibration analysis, Cambridge University Press, 1990, page 108.

Problème : L’ossature spatiale représentée sur la figure est constituée de 16 poutres droites. Elle est encastrée à sa base. Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau et ρ sa masse volumique.

Poutres verticales : carrés pleins de côté 50 mm

B 1m

B

A

A A

A Poutres horizontales : rectangles pleins ( 50 x 150 ) mm

1m

B

B 1m

1m

On donne : E = 219900 MPa

, ν = 0.3 , ρ = 7900 kg m-3

Le cisaillement est négligé ( hypothèse de Bernoulli ). Calculer les 10 premières fréquences propres en utilisant plusieurs maillages.

Résultats : On obtient ( fréquences en Hz ) : Mode 1 3 4 6 7 10

référence 11.8 34.1

16 éléments 11.81 15.38 34.13 43.28 134.76 178.04

32 éléments 11.81 15.38 34.11 43.25 122.05 153.70

64 éléments 11.81 15.38 34.11 43.24 121.59 152.81

128 éléments 11.81 15.38 34.11 43.24 121.56 152.75

62

RDM - Ossatures

D6 : Ossature plancher Référence : J.P REZETTE, F. LELEUX, Calcul dynamique des structures par la méthode des éléments finis, Les notes techniques du CETIM, 1974, page 58.

Problème : L’ossature plancher représentée sur la figure est constituée de 40 poutres droites ( ronds pleins de diamètre 0.01 m ). Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau et ρ sa masse volumique. Les nœuds extérieurs reposent sur un appui simple. z

x

y

On donne : E = 200000 MPa

, ν = 0.3 , ρ = 8000 kg m-3

Le cisaillement est négligé ( hypothèse de Bernoulli ). Calculer les 6 premières fréquences propres en utilisant plusieurs maillages.

Modélisation : Ossature plancher paramétrée : numéro 50 [ L = 0.8 m , H = 0.4 m , N = M = 4 ]

Résultats : On obtient ( fréquences en Hz ) : Mode 1 2 3 4 5 6

référence 96 165 278 306 369 468

40 éléments 96 165 278 306 370 469

80 éléments 96 165 276 301 361 453

160 éléments 320 éléments 96 96 165 165 275 275 300 300 361 361 452 452

Modes propres

63

D7 : Vibrations transversales d’une poutre droite libre Référence : R.D. BLEVINS, Formula for natural frequency and mode shape, Krieger, 1993, p. 108

Problème : L’ossature plane représentée sur la figure est constituée d’une poutre droite ( 1-2 ) de longueur L et de section constante : carré plein de côté c. Soient E le module d’Young du matériau et ρ sa masse volumique. y

x 2

1 L

L = 1.2 m , E = 210000 MPa , ρ = 7800 kg m-3

On donne :

c = 20 mm Le cisaillement transversal est négligé ( hypothèse de Bernoulli ). Problème : étudier les 5 premiers modes propres élastiques en utilisant plusieurs maillages.

Calcul : Introduire un décalage spectral égal à 20 Hz ( il y a 3 modes rigides ).

Résultats : Référence : fi =

h i2 2πL

2

EI Z avec hi = 4.73004 , 7.85320 , 10.9956 , 14.1372 , 17.2788 ρA

On obtient ( fréquences en Hz ) :

Mode 1 2 3 4 5

référence 74.08 204.20 400.31 661.73 988.52

10 éléments 74.04 203.99 399.81 661.14 988.91

20 éléments 74.04 203.95 399.47 659.67 984.31

40 éléments 74.04 203.94 399.45 659.57 983.97

64

RDM - Ossatures

D8 : Premier mode propre d’une poutre console avec masses Référence : R.D. BLEVINS, Formula for natural frequency and mode shape, Krieger, 1993, p. 158

Problème : La poutre console de longueur L représentée sur la figure ci-dessous est un rectangle plein de base b et de hauteur h. Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau et ρ sa masse volumique. La poutre porte une masse ponctuelle M à son extrémité et une masse uniformément répartie sur toute sa longueur d’intensité m. y M

m

x 2

1 L

L = 0.8 m , E = 200000 MPa , ν = 0.3

On donne :

, ρ = 7800 kg m-3

b = 100 mm h = 10 mm M = 2 kg , m = 4 kg/m Le cisaillement transversal est négligé ( hypothèse de Bernoulli ). Problème : étudier le premier mode propre en utilisant plusieurs maillages.

Résultats : Référence :

f=

3E IZ 1 3 2 π L (M + 0.24267 ( ρ A + m) L )

On obtient ( fréquences en Hz ) : Maillage 1 élément 2 éléments 3 éléments 20 éléments référence

M=m=0 12.84 12.79 12.78 12.78 12.78

M,m=0 8.43 8.42 8.42 8.42 8.39

M=0, m 8.95 10.00 10.21 10.39 10.39

M , m 6.98 7.45 7.55 7.62 7.59