2013 Cours Analyse Complexe L3 Fab [PDF]

Zitiervorschau

SOMMAIRE

I

Les nombres Complexes I Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . I.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Module et Argument . . . . . . . . . II Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . II.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Ouverts et Fermés . . . . . . . . . . II.3 Compacité . . . . . . . . . . . . . . III Les fonctions complexes . . . . . . . . . . . III.1 Fonctions continues . . . . . . . . . III.2 Les grands théorèmes . . . . . . . . IV Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Ensembles connexes . . . . . . . . . IV.2 Composantes connexes . . . . . . . . IV.3 Connexité par arcs . . . . . . . . . . IV.4 Ouverts étoilés . . . . . . . . . . . . V Suites et Séries de fonctions . . . . . . . . . V.1 Convergence d’une suite de fonctions V.2 Séries numériques . . . . . . . . . . V.3 Séries de fonctions . . . . . . . . . . VI Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . VII Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . VIII Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . IX Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . X Correction des exercices . . . . . . . . . . .

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II Fonctions holomorphes I Fonctions complexes d’une variable complexe . . . . . . I.1 Isomorphisme entre R2 et C . . . . . . . . . . . . I.2 Un premier exemple : f (z) = z 2 . . . . . . . . . . II Fonctions holomorphes, C-différentiabilité . . . . . . . . II.1 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . II.2 Dérivée complexe et composantes connexes . . . III R-différentiabilité et Cdifférentiabilité . . . . . . . . . . III.1 R-linéarité et C-linéarité . . . . . . . . . . . . . . III.2 Applications C-linéaires . . . . . . . . . . . . . . III.3 Les conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . III.4 Comportement local d’une fonction holomorphe .

1

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5 6 6 6 9 10 11 14 16 16 16 19 19 21 22 27 28 28 29 31 33 35 35 35 37

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47 47 47 48 52 52 55 56 56 57 58 62

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63 64 66 66 69 72 72 73 75

III Fonctions analytiques I Séries Entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Disque de convergence . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Détermination pratique du rayon de convergence I.3 Opérations sur les séries entières . . . . . . . . . I.4 Holomorphie de la somme d’une série entière . . II Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Un exemple pour comprendre . . . . . . . . . . . II.2 Holomorphie des fonctions analytiques . . . . . . II.3 Exemples de fonctions analytiques . . . . . . . . III Conséquences de l’analyticité . . . . . . . . . . . . . . . III.1 Principes des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . III.2 Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . III.3 Le principe du maximum . . . . . . . . . . . . . IV Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . IV.3 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . I Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . .

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83 84 84 87 88 91 93 93 95 97 102 102 105 106 109 109 109 110 112 114

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121 121 121 126 127 127 129 129 133 135 136 137 137 138 138 140 142 143 145 149 155

IV

V VI

III.5 Opérateurs dérivées partielles complexes Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Un exemple : Charybde et Scylla . . . . IV.2 Un peu d’électromagnétisme . . . . . . Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI.1 Topologie et nombres complexes . . . . VI.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . VI.3 Correction des exercices . . . . . . . . .

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IV L’Exponentielle I L’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 L’exponentielle réelle . . . . . . . . . . . . . . II Cosinus et Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Trigonométrie réelle . . . . . . . . . . . . . . II.2 Trigonométrie Complexe . . . . . . . . . . . . II.3 Trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . . . II.4 Quelques commentaires . . . . . . . . . . . . II.5 Le nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . III Retour sur les fonctions circulaires réelles . . . . . . III.1 Relations autour du cercle trigonométrique . III.2 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . IV Fonctions tangentes et réciproques . . . . . . . . . . IV.1 Tangente et Arctangente . . . . . . . . . . . . IV.2 Tangente et Argument tangente hyperbolique V Vers le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1 Détermination de l’argument . . . . . . . . . V.2 Le logarithme réel . . . . . . . . . . . . . . . V.3 Détermination principale du logarithme . . . V.4 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . .

π

2 - L3 - Analyse Complexe

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Fabien PUCCI

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V La théorie de Cauchy I Chemins de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1 Classe de chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2 Opérations sur les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Exemples de chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Intégration le long de chemins de C . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Intégrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Le théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III Indice d’un lacet par rapport à un point . . . . . . . . . . . . . . III.1 Indice et composantes connexes . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Formule intégrale de Cauchy avec indice . . . . . . . . . . IV Théorème de Cauchy homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2 Le théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3 Simple connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.4 Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexe VI Propriétés des fonctions holomorphes I Les Conséquences du théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . I.1 Analyticité des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . I.2 L’équivalence analytique-holomorphe . . . . . . . . . . . II Comportement local et prolongement . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Prolongement holomorphe et factorisation . . . . . . . . II.2 Conséquences de la régularité des fonctions holomorphes II.3 Comportement au voisinage d’une singularité . . . . . . II.4 Le théorème de l’application ouverte . . . . . . . . . . . III Conséquences de la formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . III.1 Estimées de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2 Suites de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . III.3 Le théorème de Liouville est ses applications . . . . . . III.4 La formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . III.5 Unicité de la solution dans un problème de Dirichlet . .

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159 159 160 162 162 163 164 170 174 181 181 184 185 186 189 195 196

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199 199 199 203 204 204 206 207 209 209 209 210 211 212 213

VIISingularités des fonctions holomorphes - Théorème des résidus 215 I Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 I.1 Comportement au voisinage d’une singularité . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

-3

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4 - L3 - Analyse Complexe

SOMMAIRE

Fabien PUCCI

CHAPITRE I LES NOMBRES COMPLEXES

Sommaire I

Propriétés algébriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

II

Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

III

Les fonctions complexes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

IV

Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

V

Suites et Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

VI

Propriétés algébriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

VII Propriétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

VIII Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

IX

Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

X

Correction des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

’ensemble N = {1, 2, 3, . . .} des entiers naturels est fermé sous l’addition m + n et la multiplication mn mais pour pouvoir résoudre pour x toute équation du type

L

x + m = n,

m, n ∈ N,

il faut passer aux entiers relatifs Z = {0, ±1, ±2, . . .}. Et pour être capable de résoudre toute équation de la forme px + q = 0,

p, q ∈ Z, (

)

p / p, q ∈ Z, q 6= 0 . Ce dernier enil faut aller chercher les nombres rationnels Q = q semble est fermé sous les quatre opérations de l’arithmétique mais on ne peut y résoudre pour x toute équation du type x2 = a, a ∈ Q. Le corps, R, des nombres réels permet de résoudre certaines de ces équations mais pas toutes. Cet ensemble, muni de la valeur absolue | |, est un espace métrique qui est, de plus, complet au sens où toute suite (un )n∈N qui satisfait la condition de Cauchy lim |xm − xn | = 0 y est convergente mais on ne peut par exemple y obtenir une

m,n→+∞

solution de l’équation

x2 + 1 = 0. Il faut pour cela construire le corps des nombres complexes C. 5

I.2 I. Propriétés algébriques

I LES NOMBRES COMPLEXES

I Propriétés algébriques I.1 Structure Définition I I.1.1. On appelle ensemble des nombres complexes noté C, l’ensemble des couples z = (x, y) de R2 muni des lois : • z + z ′ = (x + x′ , y + y ′), • zz ′ = (xx′ − yy ′, xy ′ + x′ y), pour tous z = (x, y) et z ′ = (x′ , y ′) de C.

⋄ Muni de ces deux lois, C est un corps commutatif : 0 = (0, 0) est l’élément neutre pour l’addition, 1 = (1, 0) est l’élément neutre pour la multiplication et l’inverse multiplicatif de (x, y) 6= (0, 0) est !

x −y . , 2 2 2 x + y x + y2 ⋄ En identifiant (x, 0) ∈ R2 avec x ∈ R et en posant i = (0, 1), C = {z / z = x + iy avec x, y ∈ R et i2 = −1}. On calcule donc avec les nombres complexes comme avec les nombres réels en remplaçant partout i2 par −1. ⋄ De plus, l’application injective j : R 7−→ C plonge R dans C et permet de x (x, 0) voir C comme un R-ev de dimension 2 dont une base est (1, i). ⋄ Le nombre réel x est la partie réelle de z, le nombre réel y sa partie imaginaire, x = Re z,

y = Im z.

⋄ Interprétation géométrique : On peut représenter C comme le plan (xOy) muni d’une base orthonormée où 1 est le premier vecteur de base et i le second. A chaque nombre complexe z = (x, y) on peut associer le point M de coordonnées (x, y). On dit alors que z est l’affixe du point M.

I.2 Module et Argument ⋄ Le nombre complexe

z¯ = x − iy

est le conjugué de z. Pour tous nombres complexes z1 et z2 , z1 + z2 = z1 + z2 6 - L3 - Analyse Complexe

et

z1 z2 = z1 z2 . Fabien PUCCI

Module et Argument

I LES NOMBRES COMPLEXES

iR

M(z)

y −−→ OM i

b

O

R

x

1

Figure I.1.1 – Le plan complexe

⋄ On a les formules évidentes mais bien utiles : Re z =

z + z¯ 2

et

Im z =

z − z¯ . 2i

Donc, en particulier : – Un nombre complexe z est réel si et seulement si z¯ = z. – Un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z¯ = −z. ⋄ Interprétation géométrique : Le point d’affixe z¯ est le symétrique du point d’affixe z par rapport à l’axe réel. M(z) b

|z|

O

− arg z b

M(¯ z)

Figure I.2.2 – Conjugué d’un nombre complexe

⋄ Le nombre positif

|z| =

q

x2 + y 2

est le module de z. Pour tous nombres complexes z1 et z2 , |z1 z2 | = |z1 ||z2 |, et

z1

z2

=

|z1 | , |z2 |

z2 6= 0

(I.2.1)

|z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 |,

avec égalité si et seulement si z2 est un multiple réel de z1 . Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

-7

II.0 Module et Argument

I LES NOMBRES COMPLEXES

⋄ De (I.2.1), on déduit que l’ensemble des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe multiplicatif de C. On note U = {z ∈ C / |z| = 1}.

−−→ ⋄ Interprétation géométrique : Si M est le point d’affixe z, |z| = kOMk. ⋄ On remarque que

z¯ z = |z|2

et

z¯ 1 = 2. z |z|

⋄ Les nombres complexes admettent une forme polaire. Si z 6= 0, on peut écrire z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ

(Ce n’est ici qu’une simple définition pratique).

où le nombre r = |z| est le module de z et l’angle  y   arcsin si x > 0,   |z|    y si x 6 0, y > 0, θ = arg z =  π − arcsin |z|   y    si x 6 0, y 6 0  −π − arcsin |z|

1

(I.2.2)

est son argument (principal). Par définition on a −π 6 arg z < π

et l’ensemble arg z + 2πZ est l’ensemble des arguments du nombre complexe z. En d’autres termes la fonction θ 7−→ eiθ n’est pas une bijection de R sur le cercle unité : on ne peut donc en définir un inverse continu sur tout ce dit cercle. La fonction argument définie ici n’est continue que sur C privé de la demi-droite R− 2 . Nous reviendrons sur ce problème très important de la définition de l’argument lorsque nous essaierons 3 de définir la fonction logarithme complexe. L’argument est l’angle formé par la demi-droite réelle R+ et la demi-droite reliant l’origine au point M(z). Le nombre 0 n’a pas d’argument et pour tous z1 , z2 ∈ C∗ , on a arg z1 z2 ≡ arg z1 + arg z2 (2π). Cette représentation des nombres complexes permet une interprétation géométrique du produit. à l’aide des identités trigonométriques réelles connues. Ainsi, la multiplication de deux nombres complexes multiplie les modules et additionne les arguments. ⋄ Pour tout n ∈ Z et t ∈ R, on démontre par récurrence la relation de Moivre : (cos t + i sin t)n = cos nt + i sin nt.

i π πh 1. La fonction sinus est continue et strictement croissante sur − , . Elle admet donc une fonction 2 2 réciproque strictement croissante i π πh . arcsin : ] − 1, 1[7−→ − , 2 2

Ces fonctions seront définies rigoureusement en III.2 page 137 2. Un tel domaine est aussi appelé une coupure de C. 3. et nous réussirons !

8 - L3 - Analyse Complexe

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II. Propriétés topologiques

I LES NOMBRES COMPLEXES

M (z1 z2 )

|z1 z2 |

M (z2 ) M (z1 )

|z2 |

|z1 |

θ1 + θ2 θ2 θ1 O

Figure I.2.3 – Interprétation géométrique du produit de deux nombres complexes

II Propriétés topologiques Muni de la norme z 7−→ |z|, C est un C-espace vectoriel normé. En particulier, quels que soient z1 , z2 et z3 , |z3 − z1 | 6 |z3 − z2 | + |z2 − z1 |.

z1 |z3 − z1 | z3 O

|z2 − z1 |

|z3 − z2 | z2 Figure II.0.4 – Inégalité triangulaire : |z3 − z1 | 6 |z3 − z2 | + |z2 − z1 |

Cette norme permet de définir une distance sur le corps C : d(z, z ′ ) = |z − z ′ |,

(II.0.3)

qui n’est autre que la distance euclidienne k k dans le plan R2 .

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L3 - Analyse Complexe

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II.1 Suites

I LES NOMBRES COMPLEXES

II.1 Suites ⋄ Une suite (zn )n∈N de nombres complexes converge vers 0 si lim |zn | = 0 c’est-à-dire n→+∞

∀ ε ∈ R∗+ , ∃n0 (ε) > 0 / n > n0

=⇒

|zn | 6 ε.

On note lim zn = 0. n→+∞

⋄ Une suite (zn )n∈N de nombres complexes converge vers un nombre complexe z si (z − zn )n∈N converge vers 0 c’est-à-dire si lim |zn − z| = 0.

n→+∞

On note lim zn = z. n→+∞

⋄ En vertu des inégalités sup {| Re z|, | Im z|} 6 |z| 6 | Re z| + | Im z|, on a lim zn = z si et seulement si

n→+∞

sup



lim Re(zn ) = Re z et

n→+∞

Imz bc

|R ez

|, | I

m

O



lim Im(zn ) = Im z .

n→+∞

z bc

|z | z|


|R ez

bc

Rez |+

|I

m

z|

Figure II.1.5 – Encadrement de |z|

En conséquence, les règles de calcul sur les réels concernant la limite d’une somme, d’une différence, d’un produit ou d’un quotient restent valables. ⋄ Le plan achevé C s’obtient à partir du plan complexe C par adjonction d’un point « à l’infini », noté ∞, et défini par : C = C ∪ {∞}. zn −−−−→ ∞ n→+∞

⇐⇒

|zn | −−−−→ +∞. n→+∞

Ainsi, 1 −−−−→ 0. zn n→+∞ zn −−−−→ ∞ et wn −−−−→ a implique zn + wn −−−−→ ∞. zn −−−−→ ∞ si et seulement si n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

zn −−−−→ ∞ et wn −−−−→ a 6= 0 implique zn wn −−−−→ ∞. n→+∞

10 - L3 - Analyse Complexe

n→+∞

n→+∞

Fabien PUCCI

Ouverts et Fermés

I LES NOMBRES COMPLEXES

⋄ Toute suite de points de C contient donc une suite extraite convergeant vers un point de C. 4 



⋄ De plus, muni de la distance 5 définie en (II.0.3), C, | | est un espace métrique complet, c’est-à-dire que le critère de Cauchy est valide : (zn )n∈N converge (dans C) si et seulement si

lim

m,n→+∞

|zm − zn | = 0.

II.2 Ouverts et Fermés Définition I II.2.1 (Fermé). Un ensemble F ⊂ C est fermé si la limite de toute suite convergente (zn )n∈N de points de F est dans F .

Exemples: ¯ r) = {z ∈ C / |z − a| 6 r} est fermé. • Un disque fermé D(a, • Un demi-plan fermé {z ∈ C / az + az > 0} est fermé. a

az r b

a

z= +a

0

b

O

az + az > 0 a¯

Figure II.2.6 – Disque et Demi-plan du plan complexe

• Toute intersection et toute réunion finie d’ensembles fermés sont des ensembles fermés. D’une manière générale, Définition I II.2.2 (Adhérence d’une partie). Soit A une partie de C. Les points de E qui sont limites d’une suite de points de ¯ est appelé l’adhérence de A. A sont dits adhérents à A et leur ensemble, noté A,

On verra en (I II.2.7), une caractérisation plus précise de l’adhérence d’une partie. Exemple:L’adhérence d’un disque ouvert de centre a et de rayon r est le disque fermé. Ci-dessous, une conséquence importante de la complétude de C : 4. Par construction C est compact. 5. notée encore | | Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 11

II.2 Ouverts et Fermés

I LES NOMBRES COMPLEXES

Théorème I II.2.3. Si (Fn )ni nN est une suite décroissante pour l’inclusion de fermés non vides de C telle que lim diam(Fn ) = 0 alors il existe un z0 ∈ C tel que n→+∞

\

n∈N

Preuve: Notons Γ =

\

Fn = {z0 }.

Fn . Par la décroissance de la suite des diamètres, Γ est soit vide, soit

n∈N

réduite à un point. Montrons qu’elle est non vide. Les Fn étant non vides, choisissons pour tout n ∈ N, un point zn ∈ Fn . Comme lim diam(Fn ) = 0, la suite (zn )n∈N est de Cauchy dans C complet donc converge. n→+∞

Comme les Fp sont fermés pour tout p ∈ N et que zn ∈ Fp dès que n > p, la limite z0 de (zn )n∈N appartient à Fp pour tout p, donc à Γ. Ainsi Γ 6= ∅. 

Ce théorème sera la clé de voûte de la démonstration du théorème V II.3.13 de CauchyGoursat page 174. Définition I II.2.4 (Ouvert). Un ensemble U ⊂ C est ouvert si son complémentaire U c = C \ U est fermé.

Exemples: • Un disque ouvert D(a, r) = {z ∈ C / |z − a| < r} est ouvert. • Un demi-plan ouvert {z ∈ C / az + az < 0} est ouvert. • Toute réunion et toute intersection finie d’ensembles ouverts sont des ensembles ouverts. Proposition I II.2.5. Soit U ⊂ C. Alors U est ouvert si et seulement si pour tout z0 ∈ U, il existe un r > 0 tel que D(z0 , r) ⊂ U. 6 Preuve: La condition est nécessaire. Si elle n’était pas satisfaite c’est-à-dire 



1 . ∀ n ∈ N , ∃zn ∈ U / zn ∈ D z0 , n ∗

c

On pourrait trouver une suite (zn )n∈N d’éléments de U c convergeant vers z0 . Or, U ouvert suppose U c fermé c’est-à-dire z0 ∈ U c ce qui est absurde. La condition est suffisante. Soit (zn )n∈N une suite de points de U c qui converge vers un point z. Si z ∈ U alors il existe un petit disque centré en z inclus dans U ne contenant que des points de U et la suite ne peut donc converger vers z. Ce-dernier est donc dans U c qui est donc fermé. Autrement dit, U est ouvert.  6. On dit plus couramment que U est un ouvert si et seulement si il est voisin de tous ses points.

12 - L3 - Analyse Complexe

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Ouverts et Fermés

I LES NOMBRES COMPLEXES

Définition I II.2.6 (Voisinages). Soit z0 un point de C. Une partie de C est appelée un voisinage (ouvert) de z0 si et seulement si il contient un ouvert contenant z0 . 7 On note souvent V(z0 ) l’ensemble des voisinages de z0 . Une partie de C est appelé un voisinage de l’infini si et seulement si son complémentaire est borné.

Exemples: • Un ouvert est voisinage de chacun de ses points d’après I II.2.5. 8 • Une droite ou un segment n’est voisinage d’aucun de ses points dans C. 9 • A = {z ∈ C / |z| > 1} est un voisinage de l’infini car son complémentaire dans C ¯ 1), qui est borné. est le disque fermé D(0, • Une droite (∆) n’est pas un voisinage de l’infini car son complémentaire dans C n’est pas borné. A 6∈ V(∞)

A 6∈ V(∞)

A 6∈ V(∞)

A ∈ V(∞)

Figure II.2.7 – Voisinages de l’infini

La notion de point adhérent sera un outil très utile par la suite ; aussi en voici diverses caractérisations. Proposition I II.2.7 (Caractérisation de l’adhérence d’une partie). Soit A ⊂ C. Pour tout z ∈ C, on a les propriétés équivalentes suivantes : (i) Il existe une suite (zn )n∈N de points de A telle que z = lim zn . n→+∞

(ii) Tout fermé F contenant A contient z. (iii) Pour tout ouvert U contenant z, on a U ∩ A 6= ∅. 7. La définition est analogue pour les voisinages fermés. 8. Ici, la définition se mord un peu la queue. 9. Alors qu’ils le sont dans R. Il est difficile de tracé un disque (de rayon non nul) sur une droite sans déborder ! Fabien PUCCI

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- 13

II.3 Compacité

I LES NOMBRES COMPLEXES

L’assertion (i) exprime que z ∈ A tandis que l’assertion (ii) exprime que l’adhérence d’une partie A est le plus petit fermé contenant A. Preuve: (i) ⇒ (ii) : Comme F est fermé, z ∈ F . (ii) ⇒ (iii) : Soit U un ouvert contenant z. Si U ∩ A = ∅, le fermé F = C \ U contient A mais z 6∈ F ce qui contredit (ii). 

1 (iii) ⇒ (i) : Pour tout entier n ∈ N, le disque ouvert D z, n+1



contient z donc elle intersecte A et 

on construit ainsi une suite (zn )n∈N d’éléments de A tels que ∀n ∈ N, zn ∈ D z,

c’est-à-dire convergente vers z.



1 ∩A n+1 

Définition I II.2.8 (Point d’accumulation). Soient A ⊂ C et a ∈ C. On dit que a est un point d’accumulation de A si et seulement si tout voisinage de a rencontre A \ {a}. Un point de A qui n’est pas un point d’accumulation est dit isolé dans A.

II.3 Compacité Un ensemble E ⊂ C est dit borné s’il existe r > 0 tel que E ⊂ D(0, r). Définition I II.3.9 (Compact). Un ensemble E de C est dit compact si et seulement si il est à la fois fermé et borné.

Théorème I II.3.10 (Bolzano-Weierstrass). Soit E ⊂ C. Alors E est compact si etseulement si de toute suite (zn )n∈N de points  de E on peut extraire une sous-suite zϕ(n) qui converge dans E. n∈N

Preuve: La condition est nécessaire. Pour éviter des longueurs inutiles ici, on se ramène au cas réel où le théorème (I II.3.10) a déjà été démontré les années précédentes. Comme E est borné, toute suite (zn )n∈N de E l’est aussi donc aussi les suites réelles définies par ses parties réelles et imaginaires. On
peut donc extraire une sous-suite convergente de chacune d’elle et former une sous-suite zϕ(n) n∈N convergente vers un élément nécessairement dans E fermé. Réciproquement, si (zn )n∈N est suite d’éléments de E convergente vers un élément z alors toute sous-suite de (zn )n∈N converge vers z et z ∈ E qui est donc fermé. De plus, si E n’était pas borné on pourrait construire une suite (zn )n∈N d’éléments de E vérifiant, par exemple, |zn+1 | > |zn | + 1 qui contredirait l’hypothèse comme quoi on peut extraire une sous-suite convergente de (zn )n∈N qui serait nécessairement bornée. 

14 - L3 - Analyse Complexe

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Compacité

I LES NOMBRES COMPLEXES

Théorème I II.3.11 (Heine-Borel-Lebesgue). Soit E ⊂ C. Alors E est si et seulement si tout recouvrement de E par  compact  des ensembles ouverts Oi contient un sous-recouvrement fini. 10 i∈I

Preuve: La condition est nécessaire. Considérons d’abord
le cas du carré E = [−r, r] × [−r, r] de côté 2r . S’il existe une famille d’ensembles ouverts Oi i∈I recouvrant E mais dont aucune sous-famille finie ne recouvre E, l’un des quatre carrés de côté r, [−r, 0] × [−r, 0], [−r, 0] × [0, r], [0, r]× [−r, 0] et [0, r]× [0, r] ne peut pas être recouvert par une sous-famille finie. Par récurrence,
r on construit ainsi une suite décroissante Kn n∈N de carrés emboîtés de côté n qui ne peuvent 2
pas être recouverts par une sous-famille finie de Oi i∈I . r Pour tout n ∈ N, Kn 6= ∅ donc ∀ n ∈ N, ∃zn ∈ Kn . Comme lim n = 0, la suite (zn )n∈N n→+∞ 2 est de Cauchy dans C complet donc converge vers un élément z ∈ E et appartenant à tous les Kn (fermés). Il existe donc un ouvert Oiz c’est-à-dire un (petit) recouvrement fini contenant z et tous les carrés Kn pour n assez grand, en contradiction avec leur définition.

K bc

z0

K1 bc

E

z1

bc bc

z33 K bc

z z2K2

Figure II.3.8 – Propriété de Borel-Lebesgue Dans le cas général, E est compact donc borné donc contenu dans un carré de la forme
[−r, r] × [−r, r] avec r > 0 dont Oi i∈I ∪ E c est un recouvrement ouvert. On peut donc en extraire un sous-recouvrement fini qui recouvre évidemment E. La condition est suffisante. E ⊂

[ 

n∈N



D(0, n) , recouvrement de E par des ouverts dont on

peut extraire un recouvrement fini. E est alors contenu dans la boule ouverte de rayon maximal, donc borné. E est fermé carsi une suite (z ) de points de E convergeait vers z 6∈ E, les complémentaires   n n∈N 1 ¯ z, des ensembles D constitueraient un recouvrement de E par des ouverts dont on n n∈N ne pourrait extraire aucun sous-recouvrement fini.  10. Cette propriété est en fait la définition générale d’un compact en topologie : un espace est compact si et seulement s’il est séparé et a cette propriété. Fabien PUCCI

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III.2 III. Les fonctions complexes

I LES NOMBRES COMPLEXES

III Les fonctions complexes Les propriétés des fonctions continues de C vers C sont analogues à celles des fonctions continues de R vers R. La plupart d’entre elles admettent d’ailleurs une extension simple à des fonctions de la variable complexe.

III.1 Fonctions continues Définition I III.1.1. Soient E ⊂ C un ensemble, z0 ∈ E et f : E 7−→ C une fonction. Les énoncés suivants sont alors équivalents : (i) Pour toute suite (zn )n∈N de points de E convergeant vers z0 , la suite  f (zn ) converge vers f (z0 ). n∈N

(ii) ∀ ε > 0, ∃η(ε, z0 ) > 0 tel que

|z − z0 | < η

=⇒

|f (z) − f (z0 )| 6 ε.

(iii) L’image réciproque de tout ouvert C par f est un ouvert de C. Lorsqu’ils sont satisfaits, la fonction f est dite continue en z0 . Elle est continue sur E si elle est continue en tout point de E. Si le nombre η(ε, z0) peut être choisi indépendamment de z0 , on dit que f est uniformément continue sur E.

Une fonction complexe est donc continue si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire le sont toutes les deux. Ainsi, sommes, différences, produits, quotients et compositions de fonctions continues (lorsqu’elles sont définies) sont continues. De même, toute limite uniforme de fonctions continues est continue.

III.2 Les grands théorèmes Théorème I III.2.2 (Heine). Une fonction continue sur un ensemble compact y est uniformément continue.

Preuve: Soient E ⊂ C un ensemble compact et f : E 7−→ C une fonction continue. Soit ε > 0. Pour tout z ∈ E, il existe un réel positif ηz > 0 tel que ∀ z ′ ∈ E, |z − z ′ | < ηz

=⇒

ε |f (z) − f (z ′ )| 6 . 2 





ηz . Comme E est compact, 2 z∈E   [ ηz D z, il existe une partie finie J de E telle que E ⊂ . Comme J est fini, on peut poser 2 z∈J η = min ηz strictement positif. z∈J η Soient alors z et z ′ deux éléments de E tels que |z − z ′ | < . Il existe z0 ∈ J tel que 2 On peut donc recouvrir E par la famille d’ouverts D z,

16 - L3 - Analyse Complexe

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Les grands théorèmes

I LES NOMBRES COMPLEXES 



ηz ε z ∈ D z0 , 0 d’où |z − z0 | 6 |z − z ′ | + |z ′ − z0 | 6 ηz puis |f (z) − f (z0 )| 6 . 2 2 On obtient alors |f (z) − f (z ′ )| 6 |f (z) − f (z0 )| + |f (z0 ) − f (z ′ )| 6 ε. ′

f est donc uniformément continue sur E.



Théorème I III.2.3. L’image d’un ensemble compact par une fonction continue est un ensemble compact.




Preuve: Soient K un ensemble compact de E et Ui i∈I un recouvrement d’ouverts de f (K).
Comme f est continue, f −1 (Ui ) i∈I est un recouvrement de K par des ouverts dont on peut
extraire un recouvrement fini f −1 (Ui ) i∈J par compacité de K. Ui




J fini

i∈J J fini

est alors un recouvrement fini de f (K) qui est donc compact (dans f (E)).



Corollaire I III.2.4 (Théorème des valeurs intermédiaires). Sur un ensemble compact, le module, la partie réelle et la partie imaginaire d’une fonction continue atteignent une valeur minimum et une valeur maximum. 11

Preuve: Soit f : E 7−→ R l’une des applications citées dans le corollaire avec E un compact de C. D’après I III.2.3, f (E) est compact donc borné et fermé. Comme f (E) est borné il existe α et β dans E tels que α = inf f (E) et β = sup f (E). Comme E est fermé α, β ∈ E. 

Théorème I III.2.5 (D’Alembert-Gauss). Tout polynôme non constant de C[X] admet au moins une racine. On dit que C est algébriquement clos.

Preuve: 12 Soit P ∈ C[X] de degré p ∈ N∗ c’est-à-dire P = ap X p + . . . + a1 X + a0 avec ap 6= 0. considérons A = {|P (z)| / z ∈ C}. A est une partie non vide et minorée (par 0) de R donc elle admet une borne inférieure α = inf A. Le but de cette démonstration 13 est de montrer que cette borne est atteinte puis que α = 0, ce qui suffira. p

• ∀ z ∈ C, on peut écrire ap z = P (z) − |ap z p | 6 |P (z)| +

p−1 X

k=0

p−1 X

k=0

ak z k . Si |z| > 1 alors

|ak ||z k | 6 |P (z)| + pM |z|p−1

où M =

max |ak |.

06k6p−1

11. On dit plus couramment qu’une fonction continue (à valeurs réelles) sur un compact atteint ses bornes. 12. Le théorème de Liouville VI III.3.3 page 211 permettra plus tard une démonstration bien plus efficace mais patience ! 13. Il en existe bien d’autres ! Fabien PUCCI

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IV.1 Les grands théorèmes

I LES NOMBRES COMPLEXES

Par suite, |P (z)| > |ap ||z|p − pM |z|p−1 −−−−−→ +∞. L’ensemble des z ∈ C tels que |z|→+∞

|P (z)| 6 α + 1 est borné.

• Par définition de la borne inférieure, on peut considérer une suite (zn )n∈N à valeurs complexes telle que P (zn ) −−−−−→ α. Cette suite est bornée donc, d’après le théorème de n→+∞

Bolzano-Weierstrass (I II.3.10), on peut en extraire une suite convergente zϕ(n) tons ω sa limite. Par continuité de P , on a P (ω) = α.




n∈N

. No-

• Il ne reste plus qu’à montrer α = 0. Supposons le contraire et, par exemple, α > 0. De P (X + ω) plus, quitte à considérer le polynôme , on peut supposer : α ω=0

et

α = min |P (z)| = 1 = a0 . z∈C

et écrire : q

P = 1 + aq X +

p X

ak X k ,

k=q+1

où q est le premier indice tel que aq 6= 0.

Soit aq = ρeiθ sous sa forme polaire et considérons z = rei

P (z) = 1 − ρr q +

p X

, r > 0. On a :

i θ+π q

ak r k e

k=q+1 p X

|P (z)| 6 |1 − ρr q | +

θ+π q

k=q+1

|ak ]r k .

Pour r suffisamment petit, on obtient : 

|P (z)| 6 1 − ρr q + |

p X

k=q+1

{z

|ak ]r k  .

∼ ρr q >0

r→0

 }

On peut donc trouver des z ∈ C tels que |P (z)| < 1 = min |P (z)| ce qui contredit la

définition de α.

z∈C



Corollaire I III.2.6. Quels que soient les nombres complexes a0 , a1 , . . . , an 6= 0, une équation polynomiale de degré n, a0 + a1 z + . . . + an z n = 0, admet exactement n racines complexes.

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IV. Connexité

I LES NOMBRES COMPLEXES

IV Connexité IV.1 Ensembles connexes Définition I IV.1.1. On dit qu’un ensemble E ⊂ C est connexe s’il vérifie l’une des propositions équivalentes suivantes : (i) Il n’existe pas de partition de E en deux ouverts disjoints non vides. (ii) Il n’existe pas de partition de E en deux fermés disjoints non vides. (iii) Les seules parties ouvertes et fermées de E sont ∅ et E. (iv) Toute application continue de E dans {0, 1} est constante. Intuitivement un espace topologique est dit connexe s’il est « d’un seul morceau ». Exemples: • C est connexe. • Un disque ouvert ou fermé, un demi-plan sont des sous-ensemble connexes de C. n

o

• Un segment [z1 , z2 ] = z ∈ C / z = (1 − λ)z1 + λz2 , 0 6 λ 6 1 est connexe. • Les connexes de R sont les intervalles. Preuve: (i) ⇒ (ii) : Si F , F ′ était une partition de E en deux fermés, alors E \ F et E \ F ′ formeraient une partition de E en deux ouverts, ce qui contredirait (i). (ii) ⇒ (iii) : S’il existait une partie A on vide, différente de E ouverte et fermée alors A et E \ A formeraient une partition de E en deux fermés. (iii) ⇒ (iv) : Soit f : E 7−→ {0, 1} une application continue. Supposons par exemple qu’il existe z ∈ E tel que f (z) = 0. Alors f −1 (0) est un ouvert, fermé et non vide. Donc f −1 (0) = E, d’après (iii) et f est constante. (iv) ⇒ (i) : Si E n’est pas connexe. Il existe alors des ouverts U et V non vides et disjoints tels que E = U ∪ V. Alors l’application f : E 7−→ {0, 1} définie par ∀ z ∈ E,

f (z) =

(

1 si z ∈ U 0 si z ∈ V

est non constante car U et V sont non vides et pourtant,


f −1 {0, 1} = E (ouvert)
f −1 ∅ = ∅ (ouvert)




f −1 {1}
= U (ouvert) f −1 {0} = V (ouvert),

c’est-à-dire que l’image réciproque de tout ouvert de {0, 1} est un ouvert de E, donc f est continue, ce qui contredit (iv) 

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L3 - Analyse Complexe

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IV.1 Ensembles connexes

I LES NOMBRES COMPLEXES

Voici une rapide propriété des connexes qui servira pour la suite, notamment en V III.1.2 page 181 : Corollaire I IV.1.2. Toute application continue localement constante sur un connexe E est constante sur E.

Exemple:Une fonction continue sur un espace connexe à valeurs dans Z discret est, à fortiori, localement constante donc constante partout d’après I IV.1.2. Preuve: Soit z0 ∈ E. On pose Ω = {z ∈ E / f (z) = z0 } = f −1 {z0 }. Comme f est continue et que {z0 } est un ouvert, Ω est ouvert. [ c De plus, Ω = f −1 {z} est ouvert comme réunion d’ouverts, donc Ω fermé. z∈E\{z0 }

Ω est donc ouvert et fermé dans un connexe. D’après (iii), Ω = E.



Proposition I IV.1.3. ¯ est Soit A une partie connexe de C. Alors toute partie B telle que A ⊂ B ⊂ A, connexe. En particulier A¯ est connexe.

Preuve: Si B n’est pas connexe, on peut trouver deux ouverts U et V de C tels que B ⊂ U ∪ V,

U

B∩U = 6 ∅,

A

B∩V = 6 ∅

B

et B ∩ U ∩ V = ∅.

V A¯

Figure IV.1.9 – L’adhérence d’une partie connexe est connexe 6 ∅, A ∩ U ∩ V = 6 ∅ et A ∩ U ∩ V = ∅ avec D’après I II.2.7.(iii), on a donc aussi A ∩ U = A ⊂ B ⊂ U ∪ V. Donc A n’est pas connexe. 

Ce résultat est faux pour l’intérieur d’une partie. L’intérieur d’une partie non vide A étant définit comme la réunion de tous les ouverts contenus dans A ou de manière équivalente comme le plus grand ouvert contenu dans A. Proposition I IV.1.4. L’image d’un espace connexe par une fonction continue est connexe.

20 - L3 - Analyse Complexe

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Composantes connexes

I LES NOMBRES COMPLEXES

˚ A

A

Figure IV.1.10 – L’intérieur d’une partie n’est pas connexe Preuve: Soient E un ensemble connexe et f : E 7−→ C une application continue. Il suffit alors de considérer g : f (E) 7−→ {0, 1} une quelconque application continue. Alors, g ◦ f est continue de E connexe dans {0, 1} donc constante d’après I IV.1.1. (iv), c’est-à-dire que g est constante sur f (E) qui est donc connexe. 

IV.2 Composantes connexes Lemme I IV.2.5. Soit (Ci )i∈I une famille de parties connexes de C telle que ∃i0 ∈ I, ∀ i ∈ I, Alors C =

[

Ci0 ∩ Ci 6= ∅.

Ci est connexe.

i∈I

Preuve: Soient ci0 ∈ Ci0 et f : C 7−→ {0, 1}.

C1 Ci0 C2 C3 Figure IV.2.11 – Réunion de connexes Pour tout i ∈ I, la restriction f|Ci de f à Ci connexe, est continue donc constante nécessairement égale à f (ci0 ). D’où, f est constante sur C qui est connexe. 

Le lemme I IV.2.5 permet de définir une notion très importante pour la suite : Définition I IV.2.6 (Composante connexe). Pour tout z ∈ E ⊂ C, on appelle composante connexe de z, la réunion des parties connexes de E contenant z. On la note C(z).

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IV.3 Connexité par arcs

I LES NOMBRES COMPLEXES

A B

Figure IV.2.12 – A et B connexes, A ∪ B non connexe. A et B sont les deux composantes connexes de A ∪ B

De la définition découlent immédiatement quelques propriétés évidentes mais qu’il est important de garder à l’esprit : • D’après I IV.1.3, les composantes connexes sont fermées. • Les composantes connexes d’un ensemble E forment une partition de E sur lequel on peut définir une relation d’équivalence R définie par : zRz ′

⇐⇒

z ′ ∈ C(z).

• Pour tout z ∈ E, C(z) est la réunion de tous les connexes contenant z donc une composante connexe est connexe d’après I IV.2.5. • Un sous-ensemble de C est connexe si et seulement si il ne contient qu’une seule composante connexe. Proposition I IV.2.7. Les composantes connexes d’un ouvert de C sont des ouverts.

Preuve: Soient U un ouvert de C et z ∈ U. comme U est ouvert, d’après I II.2.5, il contient un disque centré en z de rayon non nul. Ce disque est connexe donc inclus dans la composante connexe contenant z qui est ipso facto ouverte. 

IV.3 Connexité par arcs Définition I IV.3.8. Un ensemble E ⊂ C est connexe par arcs si deux quelconques de ses points, z0 et z1 peuvent être joints par une courbe continue entièrement contenue dans E c’est-à-dire qu’il existe une fonction continue γ : [0, 1] 7−→ E telle que γ(0) = z0 et γ(1) = z1 .

La notion de connexité par arcs correspond à l’idée intuitive de connexité : un espace est connexe, c’est à dire « d’un seul morceau » si on peut joindre deux quelconques de ses points par une ligne continue. 14 Exemple: 14. Notre intuition fonctionne en imaginant des parties de R ou de C et plus généralement pour des ouverts de Rn où l’on peut démontrer que les notions de connexité et de connexité par arcs coïncident

22 - L3 - Analyse Complexe

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Connexité par arcs

I LES NOMBRES COMPLEXES

b

z0 bc

b

E b

a bc

γ

z0

z1

E γ

z1

Figure IV.3.13 – Ensembles connexes par arcs

• Un convexe est connexe par arcs. 15 • Un disque ouvert ou fermé est connexe par arcs (car convexe). n

o

• Une couronne Cr,R (a) = z ∈ C/r < |a−z0 | < R , même coupée, comme représentée en IV.3.13 est connexe par arcs. Théorème I IV.3.9. Soit A une partie de C. (i) Si A est connexe par arcs alors A est connexe. (ii) Si A est connexe et ouvert alors A est connexe par arcs.

Preuve: (i) Soit z0 ∈ A. Pour tout z ∈ A il existe une application continue γz : [0, 1] 7−→ A telle que γz (0) = z0 et γz (1)
= z. Comme [0, 1] est connexe et γ continue, d’après I IV.1.4, l’ensemble Az = γ [0, 1] est aussi connexe et contient z0 et z. [ En écrivant A = Az , réunion de connexes d’intersection non vide, A est connexe d’après I IV.2.5.

z∈E

(ii) « Réciproquement », supposons A ouvert et connexe, z0 ∈ A et posons 



Γz0 = z ∈ A / il existe un arc γz de A joignant z0 à z . Γz0 est non vide car il contient z0 . Il suffit alors de montrer que Γz0 est ouvert et fermé dans A. • Soit donc z ∈ Γz0 et D(z, r) un disque ouvert de A centré en z. Un disque étant convexe, il contient tous les segments issus de z. Tout point x ∈ D peut donc être joint à z0 par l’arc γz ∪ [z, x] c’est-à-dire D ⊂ Γz0 qui est ouvert.

• Soit maintenant z ∈ Γz0 . Comme A est ouvert, il existe encore un disque ouvert centré en z de rayon non nul. Par définition de l’adhérence, cet ouvert rencontre Γz0 . En prenant x ∈ Γz0 un élément de cette intersection, z peut être relié à z0 via le chemin γx ∪ [x, z] et z ∈ Γz0 qui est fermé.

mais en général, un espace connexe n’est pas toujours connexe par arcs comme le montre le graphe de la 1 fonction x 7−→ dont l’adhérence est connexe sans être connexe par arcs. sin x 15. La notion de connexité par arcs généralise celle de convexité puisque l’on n’impose plus que les points soient reliés par des segments. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

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IV.3 Connexité par arcs

I LES NOMBRES COMPLEXES

Γz0 bc

bc

x bc

z

z0 bc

bc

A

Figure IV.3.14 – Γz0 est ouvert

Γz0 bc

z0

bc

x

z

bc bc

bc

z

A

Figure IV.3.15 – Γz0 est fermé Γz0 est un ouvert-fermé non vide de A connexe, il est donc égal à A tout entier qui est, par conséquent, connexe par arcs. 

Remarque: d’une manière générale, soit z0 un point fixé d’un ensemble E, n

Γz0 = z ∈ E / il existe un arc de E joignant z0 à z

o

est connexe par arcs par définition. C’est la composante connexe par arcs contenant z0 .

L’équivalence du théorème I IV.3.9 va donner toute son importance à une famille d’ouverts : les domaines. Définition I IV.3.10 (Domaine). Un domaine D ⊂ C est un ensemble ouvert et connexe de C.

Exemples: • Les pavés ouverts, les ouverts convexes sont des domaines. 24 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

Connexité par arcs

I LES NOMBRES COMPLEXES

• Le disque unité D(0, 1) est un domaine borné. • La couronne illustrée en IV.3.13 est un domaine. n

o

• Le demi-plan droit z ∈ C / Re z > 0 est un domaine non borné.

B

C

A Figure IV.3.16 – A et B sont des domaines. C n’est pas connexe

Comme tout connexe, un domaine est « d’un seul tenant » c’est-à-dire que l’on peut se promener à l’intérieur sans traverser de frontière. Par contre il peut y avoir des « trous ». Définition I IV.3.11 (Trou). Soit U ⊂ C. On appelle trou de U toute composante connexe bornée de C \ U.

Un connexe sans trou sera dit simplement connexe. D’après I IV.1.4, on sait que l’image d’un domaine par une fonction continue est connexe par contre ce n’est pas nécessairement un ensemble ouvert 16 donc un domaine. On verra cependant que pour les fonctions holomorphes, l’image d’un domaine est soit un domaine, soit réduite à un point. Le théorème I IV.3.9 nous donne immédiatement une propriété importante pour la suite : Corollaire I IV.3.12. Tout domaine de C est connexe par arcs.

On peut même améliorer un peu ce résultat : Proposition I IV.3.13. Tout domaine de C est connexe par arcs C 1 par morceaux. 16. Il suffit de penser à une fonction constante. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 25

IV.3 Connexité par arcs

I LES NOMBRES COMPLEXES

Preuve: Soit A un domaine. A est ouvert et connexe, donc il est connexe par arcs d’après I de A, et γ : [0, 1] 7−→ A un chemin continu qui joint z0 à z1 . IV.3.9. Soient z0 et z1 deux points
Comme A est ouvert et γ [0, 1] ⊂ A, pour tout t ∈ [0, 1], on peut trouver un disque Dt centré en γ(t) et inclus dans A quitte à réduire le rayon de chaque disque. On a alors


γ [0, 1] ⊂

[

t∈[0,1]

Dt ,




recouvrement de γ [0, 1] par des ouverts. Or, [0, 1] est compact donc son image par γ continue est aussi compact dans A d’après I III.2.3. On peut donc extraire un recouvrement fini [

i∈I I fini

Dti ,




de γ [0, 1] . Quitte à ajouter les disques D0 et D1 à ce recouvrement, en joignant les centres

bc

z0 bc

bc

bc

bc bc bc bc bc

bc

bc

z1

γ

A Figure IV.3.17 – Un domaine est connexe par arcs

des disques (par des segments), on obtient un chemin C 1 par morceaux joignant z0 à z1 . 17



Attention, ce résultat est faux en dehors d’un espace métrique. Considérons, par 1 exemple, la fonction f : x ∈]0, 1] 7−→ sin et l’ensemble x A=











x, f (x) / x ∈]0, 1] ∪ {0} × [−1, 1] . 



Alors A est connexe car A = ϕ ]0, 1] est l’adhérence de l’image du connexe ]0, 1] par l’application continue ϕ : x 7−→ (x, f (x)) pour x ∈]0, 1]. Mais A n’est pas connexe par arcs car z0 (0, 0) et z1 (1, sin 1) appartenant tous deux à A ne peuvent être joints par un chemin continu. 17. Il est même affine par morceaux.

26 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

Ouverts étoilés

I LES NOMBRES COMPLEXES

y 1

0

z1 (1, sin 1) bc

bc

f (x) = sin

−1

1

1 x

x

Figure IV.3.18 – Un connexe n’est pas nécessairement connexe par arcs en dehors d’un espace métrique

IV.4 Ouverts étoilés Définition I IV.4.14. Un ouvert U est dit étoilé si il existe z0 ∈ U tel que pour tout z ∈ U le segment [z0 , z] est entièrement inclus dans U. Le point z0 est alors appelé un centre de U.

C’est donc une notion plus générale que la convexité : un ouvert (ou un ensemble) est dit convexe si il contient le segment [z0 , z1 ] dès qu’il contient ses extrémités. Alors que pour un ouvert étoilé on demande seulement qu’il existe un certain z0 tel que cela soit vrai pour tous les z1 .

z0

b

b

z1

b

z0

Figure IV.4.19 – Ouverts étoilés

Exemples: • Tout espace convexe est étoilé. • Un disque ou un demi-plan est convexe (et donc aussi étoilé). • L’ouvert C\R∗− n’est pas convexe mais il est étoilé en prenant pour centre n’importe quel réel positif. • Tout ouvert étoilé est connexe par arcs.

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 27

V.1 V. Suites et Séries de fonctions

I LES NOMBRES COMPLEXES

V Suites et Séries de fonctions V.1 Convergence d’une suite de fonctions Pour n ∈ N, soit fn : D − 7 → C une fonction d’une variable complexe à valeurs dans C. On désigne par (fn (z) une suite de fonctions. On distingue alors plusieurs formes de n∈N

convergence en désignant 18 f : D 7−→ C la fonction limite. Définition I V.1.1 (Convergence ponctuelle).

On dit que (fn )n∈N converge ponctuellement a sur D vers f si pour tout z ∈ D, la suite (fn (z))n∈N converge vers f (z) c’est-à-dire : ∀ ε ∈ R∗+ , ∀ z ∈ D, ∃η(z, ε), ∀ n > η,

fn (z) − f (z)

6 ε.

(V.1.4)

a. ou simplement

Définition I V.1.2 (Convergence uniforme). On dit que (fn )n∈N converge uniformément sur D vers f si pour tout z ∈ D, la majoration dans (V.1.4) est indépendante de z ∈ D c’est-à-dire : ∀ ε ∈ R∗+ , ∃η(ε), ∀ n > η,





sup fn (z) − f (z) 6 ε. z∈D

Remarque: La convergence uniforme entraîne la convergence simple. La réciproque est fausse 19 La convergence uniforme est intéressante pour les propriétés topologiques et différentielles qu’elle permet de transmettre de la suite de fonctions à la fonction limite. Elle est cependant souvent trop contraignante sur l’ensemble tout entier voire impossible à obtenir. Continuité et différentiabilité notamment étant des propriétés locales, on se contente souvent d’une forme plus faible de convergence : Définition I V.1.3 (Convergence uniforme sur tout compact). On dit que (fn )n∈N converge uniformément sur tout compact de D si pour tout compact K de D, elle convergence uniformément sur K. Théorème I V.1.4. Soit (fn )n∈N une suite de fonctions continues sur un ensemble D et à valeurs dans C. Si la suite (fn )n∈N converge sur tout compact de D vers f alors f est continue sur D. 18. lorsqu’elle existe ! 19. Considérer la suite (z n )n∈N sur le disque fermé de centre O et de rayon 1

28 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

Séries numériques

I LES NOMBRES COMPLEXES

Preuve: Soient z0 ∈ D et ε > 0. Montrons que f est continue en z0 . Soit z ∈ D et K un compact contenant z0 et z 20 . On a : |f (z0 ) − f (z)| 6 |f (z0 ) − fn (z0 )| + |fn (z0 ) − fn (z)| + |fn (z) − f (z)| 6 2 sup |f (z) − fn (z)| + |fn (z0 ) − fn (z)|. z∈K

D’une part, par convergence uniforme de (fn )n∈N sur K, ∃N (ε, K) ∈ N tel que n>N

ε sup |f (z0 ) − fn (z)| 6 . 4 z∈K

=⇒

D’autre part, par continuité des fn en z0 , ∃η(ε, z0 ) > tel que |z − z0 | < η

=⇒

ε |fn (z0 ) − fn (z)| 6 . 2

Pour n > N et |z − z0 | < η, on obtient finalement |f (z0 ) − f (z)| 6 ε. La fonction limite est donc continue en z0 choisi quelconque dans D donc elle est continue sur D. 

Proposition I V.1.5 (Critère de Cauchy uniforme). Une suite de fonctions (fn )n∈N d’un ensemble D ⊂ C vers C converge uniformément sur D si et seulement si ∀ ε ∈ R∗+ , ∃η(ε), ∀ p > η, ∀ q > η, ∀ z ∈ D,

fp (z) − fq (z)

6 ε.

Preuve: La condition nécessaire est immédiate.
Réciproquement, pour tout z ∈ D, la suite fn (z) n∈N est de Cauchy dans C qui est complet donc elle converge vers une limite notée f (z). On définit, ainsi une fonction f : D 7−→ C. Montrons que la convergence est uniforme sur D. Soit z ∈ D quelconque et soient ε > 0 et η ∈ N tels que : ∀ p, q > η,

fp (z) − fq (z) 6 ε.

Pour p > η quelconque et fixé, lorsque q → +∞, on a : fp (z) − f (z) 6 ε.

Égalité vraie pour tout p > N et indépendamment de z ∈ D. Il y a donc convergence uniforme. 

V.2 Séries numériques zn .

Soit (zn )n∈N une suite de complexes. On désigne par Sn = z0 + z1 + . . . + zn =

n X

X

zn la série de terme général

zk ,

k=0

est la somme partielle de rang n. Lorsque S=

+∞ X

n=0

X

zn converge (en tant que suite), on note

zn = lim

n→+∞

n X

zk ,

k=0

20. Par exemple, le disque de centre z0 et de rayon |z0 − z| + 1 Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 29

V.2 Séries numériques

I LES NOMBRES COMPLEXES

sa somme et Rn = S − Sn =

+∞ X

zk = zn+1 + zn+2 + . . . , son reste de rang n.

k=n+1

Théorème I V.2.6 (Convergence absolue). X

Soit zn une série de termes complexes. Si la série à termes positifs X converge alors il en est de même de la série zn . X On dit alors que zn converge absolument.

X

|zn |

Ces deux critères se révèleront d’une grande importance pour déterminer les disques de convergence des séries entières aux chapitres suivants. X

Preuve: sous l’hypothèse de convergence de de Cauchy. Pour tout n, p entiers naturels,

|zn |, il suffit de vérifier que la suite (Sn )n∈N est

X n+p +∞ X X n+p Sn+p − Sn = zk 6 z 6 |zk |, k k=n+1 k=n+1 k=n+1 X

par convergence de la série Soit alors ε > 0. Comme lim

n→+∞

|zn |.

+∞ X

k=n+1

|zk | = 0, il existe η(ε) tel que pour n > η,

+∞ X Sn+p − Sn 6 |zk | 6 ε. k=n+1

Le critère de Cauchy est vérifié, la série

X

zn est donc convergente.



Proposition I V.2.7 (Critères de d’Alembert et Cauchy). X

Soit

zn une série à termes strictement positifs telle que zn+1 =ℓ zn (D’Alembert) lim

n→+∞

   

ou

lim

n→+∞

√ n

zn = ℓ,

(Cauchy)

ℓ ∈ R.

X

Si ℓ < 1, la série z converge. X n Alors  Si ℓ > 1, la série Xzn diverge.   Si ℓ = 1+ , la série zn diverge. Preuve: (i) Critère de D’Alembert : • Supposons que ℓ < 1. Il existe donc un réel k ∈]ℓ, 1[ et un rang n0 (k) au delà duquel zn 6 k c’est-à-dire : zn−1 zn





zn0 6 kzn−1 6 k zn0 6 k × k n0 n 6 M k terme général d’une série géométrique convergente.

30 - L3 - Analyse Complexe

n−n0

n

Fabien PUCCI

Séries de fonctions

I LES NOMBRES COMPLEXES

D’après les critères de comparaison sur les séries à termes positifs, convergente.

X

zn est donc

• Supposons ℓ > 1 ou ℓ = 1 + ◦(1). Le raisonnement est identique : il existe donc un zn puis réel k ∈]1, ℓ[ et un rang n0 (k) au delà duquel k 6 zn−1 0 6 kzn−1 6 zn 0 6 kn−n0 zn0 6 zn   zn0 0 6 kn × 6 zn k n0 0 6 M kn 6 zn . Les critères de comparaison assurent ici la divergence de la série

X

zn .

(ii) Critère de Cauchy : Le raisonnement est identique à celui du critère de D’Alembert en √ remarquant que comparer n zn et un réel k revient à comparer zn et kn . • Si ℓ < 1 alors il existe donc un réel k ∈]ℓ, 1[ et un rang n0 (k) au delà duquel 0 6 zn 6 kn terme général d’une série géométrique convergente. • Si ℓ > 1 ou ℓ = 1 + ◦(1) alors il existe donc un réel k ∈]1, ℓ[ et un rang n0 (k) au delà duquel 0 6 kn 6 zn terme général d’une série géométrique divergente. Les critères de comparaison assurent respectivement la convergence et la divergence de la X série zn . 

Le théorème I V.2.6 combiné à la proposition I V.2.7 fournit une condition suffisante commode et rapide de convergence : Corollaire I V.2.8. La série complexe

X

zn est (absolument) convergente lorsque

zn+1 lim n→+∞

0. Comme lim

n→+∞

X

sup |un |. Il est important de remarquer que ce majorant est

z∈D

+∞ X





sup uk = 0, il existe un entier η(ε) tel que pour n > η,

k=n+1 z∈D

+∞ X Sn+p (z) − Sn (z) 6 sup uk 6 ε. k=n+1 z∈D

Le critère de Cauchy uniforme (I V.1.5) est vérifié, la série mément sur D.

32 - L3 - Analyse Complexe

X

un (z) converge donc unifor

Fabien PUCCI

TD no 1

VI. Propriétés algébriques

VI Propriétés algébriques Exercice VI.1: Mettre sous forme algébrique, les nombres complexes suivants : (i) Z1 = (ii) Z2 =

3 + 6i 3 − 4i 

1+i 2−i

2 + 5i 2 − 5i + 1−i 1+i √ !3 1 3 (iv) Z4 = − + i 2 2

(iii) Z3 = 2

+

3 + 6i 3 − 4i

(v) Z5 =

(1 + i)9 (1 − i)7

Exercice VI.2 (Racines carrées): Calculer les racines carrées de 1, i, 3 + 4i, 8 − 6i et 7 + 24i. Exercice VI.3: Résoudre dans C les équations suivantes : (i) z 2 − (11 − 5i)z + 24 − 27i = 0.

(ii) z 3 + 3z − 2i = 0.

Exercice VI.4: Calculer le module des nombres complexes suivants : (i) Z1 = −i

(iv) Z4 =

(ii) Z2 = 1 + i

(2 + 3i)(1 + 2i) (−1 + i)(1 + i)

(iii) Z3 = 2i(3 + i)(1 + i)

(v) Z5 =

(1 + i)4 2+i

(vi) Z6 =

2i 2+i + 1−i 1+i

Exercice VI.5: Calculer le module et l’argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués : √ tan ϕ − i (i) 1 + i(1 + 2). où ϕ est un angle donné. (iii) tan ϕ + i q √ √ (ii) 10 + 2 5 + i(1 − 5). Exercice VI.6: Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : √ √ (i) 1 + i (ii) 1 − i 3 (iii) − 3 + i

√ 1+i 3 (iv) √ 3−i

Exercice VI.7: Trouver les nombres complexes z tels que : (i)

z−1 ∈R z+1

(ii)

z−1 ∈ iR z+1

Exercice VI.8: (i) Résoudre dans C l’équation

z = i. z−1 Donner la solution sous forme algébrique.

Fabien PUCCI

(VI.0.5)

L3 - Analyse Complexe

- 33

TD no 1

VII.0 VI. Propriétés algébriques

(ii) Soient M, O et A les points d’affixes respectives z, 0 et 1. On suppose que ces trois points sont distincts. Interpréter géométriquement le module et un argument z et retrouver la solution de l’équation (VI.0.5). de z−1

Exercice VI.9: Mettre sous forme trigonométrique 1 + eiθ où θ ∈] − π, π[. Donner une interprétation géométrique.

Exercice VI.10: Soient z et ω deux nombres complexes tels que z¯ω 6= 1. |z − ω| 6 1 si |z| 6 1 et [ω| 6 1 avec égalité si et seulement si |z| = 1 ou Montrer que |1 − z¯ω| |ω| = 1. Exercice VI.11: Soient α et β deux nombres réels. Mettre le nombre complexe z = eiα + eiβ sous forme trigonométrique. α+β α−β (indication : on pourra poser u = ,v= ). 2 2 n En déduire la valeur de

X

p=0

Cnp cos[pα + (n − p)β].

Exercice VI.12: Montrer que l’équation d’un cercle ou d’une droite du plan C est de la forme αz¯ z + βz + β¯z¯ + γ = 0,

(VI.0.6)

où α et γ sont des nombres réels et β un nombre complexe. Exercice VI.13 (Comment construire un pentagone régulier ?): Soit (A0 , A1 , A2 , A3 , A4 ) un pentagone régulier. On note O son centre et on choisit un −−→ − − → repère orthonorm’e (O, → u ,→ v ) avec − u = OA0, qui nous permet d’identifier le plan avec l’ensemble des nombres complexes C. (i) Donner les affixes ω0 , . . . , ω4 des points A0 , . . . , A4 et montrer que 1 + ω1 + ω12 + ω13 + ω14 = 0. 2π ) est l’une des solutions de l’équation 4z 2 + 2z − 1 = 0. 5 2π En déduire la valeur de cos( ). 5

(ii) En déduire que cos(

π (iii) On considère le point B d’affixe −1. Calculer la longueur BA2 en fonction de sin 10 √ 2π π puis de 5 (on remarquera que sin = cos ). 10 5 i 1 , le cercle C de centre I de rayon et enfin le 2 2 point J d’intersection de C avec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puis la longueur BJ.

(iv) On considère le point I d’affixe

(v) Application : Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer. 34 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

VII. Propriétés topologiques

VII Propriétés topologiques Exercice VII.1: Montrer qu’un disque ouvert de C est un ouvert. Qu’en est-il d’un disque fermé ? Exercice VII.2: (i) Montrer qu’une réunion quelconque d’ouverts de C est un ouvert. (ii) Montrer qu’une intersection finie d’ouverts de C est un ouvert. Que dire d’une intersection infinie d’ouverts de C ? Exercice VII.3: Montrer que les fonction suivantes sont continues sur C : (i) z 7−→ |z|

(iii) z 7−→ z¯n

(ii) z 7−→ z n

(iv) z 7−→ Re(z) et z 7−→ Im(z).

Exercice VII.4: Soit U un ouvert de C. Montrer que  si ϕ: R+ 7−→ C et f : U 7−→ C sont des fonction continues alors la fonction z 7−→ ϕ |f (z)| est une fonction continue sur U.

VIII Suites et séries de fonctions Exercice VIII.1: Pour x > 0, on pose un (x) = (i) Montrer que la série

n2

x . + x2

+∞ X

un (x) converge simplement sur R+ .

+∞ X

un (x) converge uniformément sur tout intervalle [0, A], avec

+∞ X

un (x) ne converge pas uniformément sur R+ .

+∞ X

(−1)n un (x) converge uniformément sur R+ .

n=1

(ii) Montrer que la série A > 0. (iii) Montrer que la série

n=1

n=1

(Indication : on pourra contredire le critère de Cauchy)

(iv) Montrer que la série

n=1

(v) Montrer que la série

+∞ X

(−1)n un (x) converge normalement sur tout intervalle [0, A],

n=1

avec A > 0 sans pour autant converger normalement sur R+ .

IX Séries entières Exercice IX.1: X X X Déterminer les domaines de convergence D des séries entières n!z n , nn z n , zn , n n Xz Xz et . n n! Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 35

TD no 1

IX.0 IX. Séries entières

Exercice IX.2: Déterminer les domaines de convergence des séries entières Exercice IX.3: Déterminer les séries de Taylor à l’origine de

X

(−1)n 2n X (−1)n+1 2n+1 z et z . (2n)! (2n + 1)!

1 1 1 1 , , , , ... 2 3 1 − z (1 − z) (1 − z) (1 − z)4

Exercice IX.4: Soit (an )n∈N une série entière de rayon de convergence R. Est-il exact que pour |z| > R on a lim |an zn | = +∞ ? n→+∞

36 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

X. Correction des exercices

X Correction des exercices Correction de l’exercice VI.1: (3 + 6i)(3 + 4i) −15 + 30i 3 6 (i) Z1 = = = − + i . |3 − 4i|2 25 5 5 (ii)

(1 + i)2 (2 + i)2 2i(3 + 4i) −8 + 6i = = . En utilisant le premier point 2 2 (|2 − i| ) 25 25 23 36 on trouve : Z2 = − + i . 5 25



1+i 2−i

2

=

(iii) Z3 = z + z = 2 Re z avec z = Re z = −

3 et Z3 = −3. 2

(2 + 5i)(1 + i) −3 + 7i 2 + 5i . z = = . Donc 2 1−i |1 + i| 2

(iv) Z4 = (ei2π/3 )3 = ei2π = 1. √ √ √ (v) 1 + i = 2eiπ/4 et 1 − i = 2e−iπ/4 donc Z5 = ( 2)(9−7) ei(9π/4+7π/4) = 2ei4π = 2. (La présence de fortes puissances doit inciter à passer en forme trigonométrique.) Correction de l’exercice VI.2: Soit z = a+ib un nombre complexe avec a, b ∈ R ; nous cherchons les complexes ω ∈ C tels que ω 2 = z. Écrivons ω = α + iβ. Nous raisonnons par équivalence : ω 2 = z ⇐⇒ (α + iβ)2 = a + ib ⇐⇒ α2 − β 2 + 2iαβ = a + ib Soit en identifiant les parties réelles entre elles ainsi que les parties imaginaires :

⇐⇒

 α 2

− β2 = a 2αβ = b

Sans changer l’équivalence nous rajoutons la condition |ω|2 = |z|. √  2 2  α + β = a2 + b2   ⇐⇒ α2 − β 2 = a    2αβ = b  √  a + a2 + b2  2   α =    2 √ a2 + b2 −a + ⇐⇒ 2 2  β = α − a =    2   2αβ = b  s √   a + a2 + b2    α = ±   2√  s ⇐⇒ −a + a2 + b2 2   β = ±    2    αβ est du même signe que b Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 37

TD no 1

X.0 X. Correction des exercices

Cela donne deux couples (α, β) de solutions et donc deux racines carrées ω = α + iβ de z. En pratique on répète facilement ce raisonnement, par exemple pour z = 8 − 6i, ω 2 = z ⇐⇒ (α + iβ)2 = 8 − 6i ⇐⇒ α2 − β 2 + 2iαβ = 8 − 6i ⇐⇒

 α2

− β2 = 8 2αβ = −6  2    α

q

+ β 2 = 82 + (−6)2 = 10 le module de z ⇐⇒ α2 − β 2 = 8    2αβ = −6  2   2α

= 18 ⇐⇒ β = 10 − α2 = 1    2αβ = −6 √   9 = ±3 α = ±   ⇐⇒ β = ±1    α et β de signes opposés 2

⇐⇒

   

ou

  

α = 3 et β = −1

α = −3 et β = +1

Les racines de z = 8 − 6i sont donc ω = 3 − i et −ω = −3 + i. Correction de l’exercice VI.3: (i) ∆ = −2i dont les racines carrées sont 1 − i et −1 + i, d’où les racines z1 = 5 − 2i et z2 = 6 − 3i. (ii) Une racine « évidente » z1 = i, d’où la résolution complète en effectuant la division par z − i. On trouve z2 = i et z3 = −2i. Correction de l’exercice VI.4: (i) |Z1 | = 1 √ (ii) |Z2 | = 2

√ √ √ (iii) |Z3 | = |2i||3 + i||1 + i| = 2 × 10 × 2 = 4 5 √ 13 × 5 65 2 donc |Z4 | = (iv) |Z4 | = 2×2 2 (v) |Z5 | =

|1 + i|4 4 =√ |2 + i| 5

(2 + i)(1 + i) + 2i(1 − i) 3 + 5i (vi) Z6 = = donc |Z6 | = (1 − i)(1 + i) (1 − i)(1 + i) 38 - L3 - Analyse Complexe

√

34 2 Fabien PUCCI

TD no 1

X. Correction des exercices

Correction de l’exercice VI.5: ρ = ρ = 1, θ = 2ϕ + π.

√ 3π ; 4 + 2 2, θ = 8

q

ρ = 4, θ = −

π ; 10

Correction de l’exercice VI.6: √ π π 1 π mod 2π et (i) |1 + i| = 2 et √ (1 + i) = cos + i sin donc arg(1 + i) = 4 4 4 2 √ iπ/4 1 + i = 2e . √ √ √ π 1 π (ii) |1 − i 3| = 2 et (1 − i 3) = cos(− ) + i sin(− ) donc 1 − i 3 = 2e−iπ/3 . 2 3 3 √ (iii) On a de même − 3 + i = 2ei5π/6 . √ √ √ 1+i 3 iπ/3 −iπ/6 (iv) On a de même 1+i 3 = 2e et 3−i = 2e donc √ = ei(π/3+π/6) = eiπ/2 . 3 − i√ √ √ 1+i 3 (On peut aussi remarquer que ( 3 − i)i = 1 + i 3 donc √ = i = eiπ/2 .) 3−i z−1 Correction de l’exercice VI.7: Si z = −1, la fraction n’a pas de sens. z+1 z−1 z−1 z−1 ∈ R est équivalent à arg = 0 mod π et ∈ iR est équivalent à Si z 6= 1, z+1 z+1 z+1 π z−1 = mod π (on enlève le cas z = 1 car 0 n’a pas d’argument). arg z+1 2 z−1 Interprétation géométrique de arg : soit M, A, B les points d’affixes respectives z+1 z, 1 et −1. On suppose que M est différent de A et B. Le nombre 1 − z est l’affixe du −−→ −−→ −−→ −−→ z−1 MA et −1 − z celle de MB, donc arg = arg(1 − z) − arg(−1 − z) = (MB, MA). z+1 −−→ −−→ (i) Pour z 6= 1, l’équation est équivalente à (MB, MA) = 0 mod π, c’est-à-dire A, B et M sont alignés, donc z ∈ R. On voit que z = 1 est solution donc l’ensemble des solutions est S = {z ∈ R, z 6= −1}.

−−→ −−→ π (ii) Pour z 6= 1, l’équation est équivalente à (MB, MA) = mod π, c’est-à-dire M est 2 sur le cercle de diamètre [AB], qui est le cercle de centre 0 de diamètre 1. On voit que z = 1 est solution donc l’ensemble des solutions est S = {z; |z| = 1} \ {−1}.

Remarque : on peut retrouver ces solutions de façon calculatoire en écrivant z = x + iy et z−1 en calculant les parties réelle et imaginaire de . z+1 Correction de l’exercice VI.8: z = i a un sens seulement si z 6= 1. Pour z 6= 1, cette équation est équivalente (i) z−1 à: z = i(z − 1)

⇐⇒

z(1 − i) = −i

−i 1−i 1 1 −i(i + 1) = − i. ⇐⇒ z = |1 − i|2 2 2 ⇐⇒ z =

Cette valeur est bien solution car elle est différente de 1. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 39

TD no 1

X.0 X. Correction des exercices

−−→ −−→ |z| OM (ii) Le nombre −z est l’affixe du vecteur MO et 1 −z celle de MA. Donc = |z − 1| AM −−→ −−→ z = arg(−z) − arg(1 − z) est l’angle (MA, MO). Comme |i| = 1 et et arg z−1 −−→ −−→ z π π arg i = mod 2π, L’équation = i est équivalente à OM = AM et (MA, MO) = . 2 z−1 2 1 Comme OM = AM, M est sur la médiatrice de [OM], donc Re z = . Comme 2 \ l’angle OMA est droit, M est sur le cercle de diamètre [OM]. En raison de l’angle 1 1 orienté, on retrouve z = − i. 2 2 Correction de l’exercice VI.9: iθ iθ iθ θ iθ 1 + eiθ = e 2 (e− 2 + e 2 ) = 2 cos e 2 . 2

θ θ Comme θ ∈] − π, +π[ alors le module est 2 cos > 0 et l’argument est . 2 2 Géométriquement, on trace le cercle de centre 1 et de rayon 1. L’angle en 0 du triangle θ (0, 1, 1 + eiθ ) est et donc est le double de l’angle en 0 du triangle (1, 2, 1 + eiθ ) qui vaut 2 θ. C’est le résultat géométrique (théorème de l’angle au centre) qui affirme que pour un cercle l’angle au centre est le double de l’angle inscrit. Correction de l’exercice VI.10: On écrit d’abord : |z − ω|2 (z − ω)(¯ z−ω ¯) |z|2 + |ω|2 − 2 Re(¯ z ω) = = . 2 2 2 |1 − z¯ω| (1 − z¯ω)(1 − z ω ¯) 1 + |z| |ω| − 2 Re(¯ z ω) Il suffit alors de comparer |z|2 + |ω|2 et 1 + |z|2 |ω|2. La différence s’écrit 

1 + |z|2 |ω|2 − |z|2 | − |ω|2 = 1 − |ω|2 d’après les hypothèses. Ceci assure d’une part que





1 − |z|2 > 0,

|z − ω| 6 1 si |z| 6 1 et [ω| 6 1 et d’autre part que |1 − z¯ω|

|z − ω| = 1 si et seulement si |z| = 1 ou |ω| = 1. |1 − z¯ω|

Correction de l’exercice VI.11: Soit (α, β) ∈ R2 et z le nombre complexe z = eiα + eiβ . α−β α+β et v = . Alors, α = u + v et β = u − v et Soit u = 2 2 z = eiα + eiβ = eiu+iv + eiu−iv = eiu (eiv + e−iv ) = 2 cos(v)eiu α − β i α+β = 2 cos( )e 2 2 On en déduit la forme trigonométrique de z : |z| = 2| cos( 40 - L3 - Analyse Complexe

α−β )| 2

et, lorsque cos(

α−β ) 6= 0 : 2 Fabien PUCCI

TD no 1

X. Correction des exercices

Arg(z) =

 α+β    [2π]   π

2 α+β + [2π] 2

α−β >0 2 α−β si cos γα).

2

β |β|2 + = − γ. α α s

|β|2 γ − (pourvu, bien sûr, que α2 α

Correction de l’exercice VI.13: i

A1

A2

A0 1

O

A3 A4

Figure X.0.20 – Pentagone régulier

(i) Comme A0 A1 A2 A3 A4 est un pentagone régulier, on a : OA0 = OA1 = OA2 = OA3 = OA4 = 1 et −−→ −−→ 2π (2π), (OA0 , OA1) = 5 −−→ −−→ 4π (OA0 , OA3) = − (2π), 5 Fabien PUCCI

−−→ −−→ 4π (OA0, OA2 ) = (2π), 5 −−→ −−→ 2π (OA0, OA4 ) = − (2π). 5 L3 - Analyse Complexe

- 41

TD no 1

X.0 X. Correction des exercices

On en déduit : 2iπ 4iπ 6iπ 8iπ 4iπ 2iπ ω0 = 1, ω1 = e 5 , ω2 = e 5 , ω3 = e− 5 = e 5 , ω4 = e− 5 = e 5 . On a bien ωi = ω1i . Enfin, comme ω1 = 6 0, 1 + ω1 + . . . + ω14 =

1−1 1 − ω15 = = 0. 1 − ω1 1 − ω1

2π 4π 4π 2π (ii) Re(1 + ω1 + . . . + ω14) = 1 + 2 cos( ) + 2 cos( ). Comme cos( ) = 2 cos2 ( ) − 1, 5 5 5 5 2π 2π 2 2π on en déduit : 4 cos ( ) + 2 cos( ) − 1 = 0. cos( ) est donc bien une solution de 5 5 5 √ √ −1 + 5 −1 − 5 2 et . Comme l’équation 4z + 2z − 1 = 0 dont les solutions sont 4 4 √ 5−1 2π 2π . cos( ) > 0, on en déduit que cos( ) = 5 5 4 4π 4π ) + i sin( ) + 1|2 5 5 4π 4π 4π = 1 + 2 cos( ) + cos2 ( ) + sin2 ( ) 5 5 5 2π = 4 cos2 ( ). √5 5−1 Donc BA2 = . 2

(iii) BA22 = |ω2 + 1|2 = | cos(

(iv) BI =

i

2

+ 1

√

5 1 = . BJ = BI − = 2 2

√

5−1 . 2

(v) Pour tracer un pentagone régulier, on commence par tracer un cercle C1 et deux diamètres orthogonaux, qui jouent le rôle du cercle passant par les sommets et des axes de coordonnées. On trace ensuite le milieu d’un des rayons : on obtient le point I de la question 4. On trace le cercle de centre I passant par le centre de C1 : c’est le cercle C. On trace le segment BI pour obtenir son point J d’intersection avec C. On trace enfin le cercle de centre B passant par J : il coupe C1 en A2 et A3 , deux sommets du pentagone. Il suffit pour obtenir tous les sommets de reporter la distance A2 A3 sur C1 , une fois depuis A2 , une fois depuis A3 . (en fait le cercle de centre B et passant par J ′ , le point de C diamétralement opposé à J, coupe C1 en A1 et A4 , mais nous ne l’avons pas justifié par le calcul : c’est un exercice !)

Correction de l’exercice VII.1: Soit D(ω, R) un disque ouvert. Si R = 0, alors D(ω, R) = ∅, c’est un ouvert. Sinon, soit z quelconque de D(ω, R). On a déjà 0 < R − |z − ω| et pour tout réel ε tel que 0 < ε < R − |z − ω|, pour tout t ∈ D(z, ε), |t − ω| = |(t − z) + (z − ω)| 6 |t − z| + |z − ω| < ε + |z − ω| < R, c’est-à-dire t ∈ D(ω, R) choisi quelconque donc D(z, ε) ⊂ D(ω, R). Le disque ouvert D(ω, R) est donc ouvert. 42 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

X. Correction des exercices

b

t

ε b

z

b

ω

R

Montrons maintenant qu’un disque fermé n’est pas ouvert. Considérons z = ω + Reiθ , ε un point de ∂D(ω, R) ⊂ D(ω, R). Pour tout ε > 0, le point t = z + eiθ est dans D(z, ε) 2 sans être dans D(ω, R) car : |t − ω| =

ω







ε iθ ε + R+ e − ω = R + > R. 2 2

Correction de l’exercice VII.2: (i) Soit (Ui )i∈I une famille d’ouverts qu’on peut supposer non vides. Si z ∈ U =

[

i∈I

Ui ,

il existe un indice i0 ∈ I tel que z ∈ Ui0 . Comme Ui0 est ouvert, il contient donc un voisinage de z contenu dans U qui est donc ouvert. (ii) Soit (Ui ) i∈I une famille d’ouverts qu’on peut supposer non vides et posons U = I fini

\

i∈I I fini

Ui .

Soit z ∈ U. Comme, pour tout i ∈ I, Ui est ouvert, chacun d’entre eux contient un voisinage ouvert de z, par exemple, un disque ouvert D(z, ri ), ri > 0. La famille étant finie, on peut poser r = min ri > 0. Par construction z ∈ D(z, r) ⊂ U qui est donc ouvert. i∈I

Dans le cas d’une intersection infinie, on peut avoir r = inf ri = 0. Il suffit de prendre i∈I le contre-exemple classique 1 = D(0, 1) qui est fermé. D 0, 1 + n n=1 +∞ \





Correction de l’exercice VII.3: Soit z0 ∈ C quelconque. Il suffit de montrer que chacune des applications est continue en z0 . (i) Il suffit d’écrire que

|z| − |z0 |

6 |z − z0 |.

(ii) Pour n = 0, il s’agit de la fonction constante égale à 1 et pour n > 1, posons z0 ∈ C quelconque. Il existe un réel R > 0 tel que z0 ∈ D(0, R). Pour tout z ∈ D(0, R), on a: n

|z −

z0n |

= |z

n−1 X n−1−k k − z0 | z z0 k=0

6 nRn−1 |z − z0 | −−−→ 0. z→z0

(iii) Il suffit d’écrire que |¯ z n − z¯0n | = |z n − z0n |. Avec le même raisonnement, on montre aussi que z 7−→ ¯¯z est continue sur C. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 43

TD no 1

X.0 X. Correction des exercices

1 1 (iv) Il suffit d’écrire que Re(z) = (z + z¯) et Im(z) = (z − z¯). 2 2i Correction de l’exercice VII.4: Soient ε > 0 et z0 ∈ U. Comme ϕ est continue sur R+ , elle l’est en |f (z0 )| donc t − |f (z0 )|

∃η > 0, ∀ t ∈ R+ ,

=⇒

0 tel que ∀ z ∈ U, |z − z0 | < α

=⇒

En combinant (X.0.7) et (X.0.8), on obtient

|f (z)| − |f (z0 )|

    ϕ |f (z)| − ϕ |f (z0 )|

(X.0.8)

< η.

6 ε, 



pour tout z ∈ U tel que |z − z0 | < α. La fonction z 7−→ ϕ |f (z)| est donc continue sur

z0 ∈ U quelconque donc sur U tout entier. Correction de l’exercice VIII.1:

(i) Pour x = 0, un (0) = 0, qui est bien le terme général d’une série convergente. Pour x , terme général d’une série convergente. D’après les x > 0, on a un (x) ∼ n→+∞ n2 +∞ X

critères de comparaison des séries à termes positifs, la série

un (x) converge.

n=1

(ii) Pour tout x ∈ [0, A], |un (x)| 6 série

+∞ X

A , terme général d’une série convergente donc la n2

un (x) converge normalement donc uniformément sur tout intervalle de la

n=1

forme [0, A]. (iii) Pour tout entier k tel que n + 1 6 k 6 2n, on a n2 + k 2 6 5n2 d’où On en déduit que

n2

n 1 > . 2 +k 5n

2n X n 1 1 un (n) = > n× = . 2 2 2 2 5n 5 k=n+1 n + k k=n+1 n + k 2n X

La série de fonctions

+∞ X

un (x) ne vérifie donc pas le critère de Cauchy uniforme, elle

n=1

ne converge donc pas uniformément sur R+ . (iv) Il suffit ici d’utiliser le critère des séries alternées. En effet, à x > 0 fixé, la suite 

un (x)



n∈N

est positive, décroissante et tend vers 0. La série

convergente et on a la majoration du reste : +∞ X k (−1) uk (x) k=n

44 - L3 - Analyse Complexe

6 |un (x)| =

+∞ X

(−1)n un (x) est donc

n=1

x . n2 + x2 Fabien PUCCI

TD no 1

X. Correction des exercices

Il ne reste plus qu’à majorer le membre de droite indépendamment de x par un terme qui tend vers 0. Avec une majoration classique, on a : √ x2 + n2 1 x 1 6 6√ 2 6 −−−−→ 0. 2 2 2 2 2 n +x n +x n n→+∞ n +x On a donc bien convergence uniforme sur R+ .







(v) Comme (−1)n un (x) = un (x) , on a le même résultat qu’en ((ii)) et la convergence normale sur tout intervalle de la forme [0, A]. Cependant, comme la convergence normale sur un sous-ensemble de R complet y entraine la convergence uniforme, d’après ((iii)), on ne peut donc avoir la convergence normale sur R+ tout entier. Correction de l’exercice IX.1: C’est une simple application des critères de D’Alembert et de Cauchy : • Pour an = n! et z 6= 0, on a : |an+1 z n+1 | = (n + 1)|z| −−−−→ +∞. n→+∞ |an z n | Le rayon de convergence de la série est donc nul et D = {0}. • La conclusion est la même pour an = nn avec q n

|an z n | = n|z| −−−−→ +∞. n→+∞

• On sait que la série géométrique z n est convergente si et seulement si |z| < 1, ce qui signifie que son domaine de convergence est le disque unité ouvert D = D(0, 1) = {z ∈ C / |z| < 1}. • Pour an =

1 |an+1 z n+1 | n et z 6= 0, = |z| −−−−→ |z|. n n→+∞ n |an z | n+1

X zn z n converge Si |z| < 1, le théorème de d’Alembert nous dit alors que la série n absolument. X zn n Si |z| > 1, on a lim |an z | = +∞ et la série z n diverge. n→+∞ n Enfin si |z| = 1 alors z = eit avec t ∈ [0, 2π[. D’après le théorème d’Abel sur les X eint diverge uniquement pour t = 0, soit pour séries semi-convergentes, la série n z = 1. X zn z n est le disque unité fermé privé Conclusion, le domaine de convergence de n de 1, soit D = {z ∈ C / |z| 6 1} \ {1}.

X zn • A l’aide du critère de D’Alembert toujours, la série est absolument convern! gente pour tout nombre complexe z. Son domaine de convergence est C tout entier. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 45

TD no 1

X.0 X. Correction des exercices

Correction de l’exercice IX.2: En posant un =

(−1)n 2n z , (2n)!

pour z 6= 0, on a :

|z|2 un+1 = −−−−→ 0. un (2n + 2)(2n + 1) n→+∞ Le critère de D’Alembert nous dit alors que la série

X

(−1)n 2n z est absolument conver(2n)!

gente. son domaine de convergence est donc D = C. Le raisonnement et le résultat sont les mêmes pour la deuxième série. Correction de l’exercice IX.3: ∀|z| < 1, ...

+∞ X 1 1 1 z n et = = 2 1 − z n=0 (1 − z) 1−z



′

=

+∞ X

nz n−1 ,

n=1

Correction de l’exercice IX.4: Non. Dans ce cas on est seulement assuré que lim sup |an z n | = +∞ mais il n’y a aucune raison que lim inf |an z n | = +∞. n→+∞

n→+∞

X

Il suffit de prendre par exemple la série z 2n , de rayon de convergence R = 1, mais (|an z n |)n∈N n’a pas de limite : la valeur est 0 pour n impair et |z|n pour n pair, qui tend vers l’infini lorsque |z| > 1).

46 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

CHAPITRE II FONCTIONS HOLOMORPHES

Sommaire I

Fonctions complexes d’une variable complexe . . . . . . . . .

47

II

Fonctions holomorphes, C-différentiabilité . . . . . . . . . . . .

52

III

R-différentiabilité et Cdifférentiabilité . . . . . . . . . . . . . .

56

IV

Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

V

Applications conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

VI

Exercices

72

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I Fonctions complexes d’une variable complexe I.1 Isomorphisme entre R2 et C Le plan complexe C porte deux structures d’espace vectoriel, il peut être identifié à R2 et c’est alors un R-espace de dimension 2, de base (1, i) par exemple ; ou considéré canoniquement comme C-espace de dimension 1, de base (1). L’application φ : R2 7−→ C est un isomorphisme de R-espaces vecto(x, y) z = x + iy riels. Si f est une fonction définie dans C au voisinage d’un point z, la fonction f ◦ φ est définie dans R2 au voisinage du point (x, y). Nous pourrons donc voir toute fonction définie sur C à valeurs dans C comme une fonction définie sur R2 , à valeurs dans R2 . Si z = x + iy est un point de C nous écrirons f (z) lorsque nous nous intéresserons aux propriétés « complexes » de f et f (x, y) lorsque nous nous intéresserons aux propriétés « réelles » de f . • Si f est définie dans C il faudra lire f ◦ φ(x, y) lorsqu’on écrira f (x, y). • Inversement si f définie dans R2 , il faudra lire f ◦ φ−1 (z) lorsqu’on écrira f (z). Cet abus de notation permettra d’alléger les écritures. Ces réflexions amènent à considérer le diagramme commutatif suivant : 47

TD no 1

I.2 Un premier exemple : f (z) = z 2

C z

f

C f (z) φ−1

φ R2 ! x y

f˜

f˜ = φ−1 ◦ f ◦ φ,

avec

P = φ ◦ P˜ ◦ φ−1 , ˜ ◦ φ−1 . Q = φ◦Q

et

R2 ! P˜ (x, y) ˜ y) Q(x,

D’où

(I.1.1)

f (z) = P (z) + iQ(z).

La fonction f˜ permet, en particulier, de définir la partie réelle et la partie imaginaire d’une application complexe vue comme application sur R2 . Avec les abus de notation spécifiés plus haut, on note alors : ˜ y). f (x + iy) = P˜ (x, y) + iQ(x, Enfin, on munit R2 de la topologie usuelle associée à la norme euclidienne k(x, y)k = et C de celle associée au module |z|.

q

x2 + y 2

I.2 Un premier exemple : f (z) = z 2 Considérons la fonction f définie par f (z) = z 2 , définie sur C tout entier, pour laquelle le diagramme (I.1.1) devient : f C C z z2 φ−1

φ R2 ! x y

f˜

R2 ! x2 − y 2 2xy

Tout le problème de représenter le graphe une fonction complexe f : U ⊂ C ≃ R2 7−→ C ≃ R2 est de disposer d’un repère de dimension isomorphe à R2 × R2 soit de dimension 4 (sic !). Ces derniers étant plutôt rares, on doit contourner cette difficulté : ⋄ On peut tracer des images de familles de courbes appropriées sous la transformation w = f (z) assimilée à une transformation f˜ de R2 de R2 . On pose w = f (z) = u + iv. – Les images réciproques des courbes u = cste et v = cste sont des hyperboles d’équations respectives x2 − y 2 = u 48 - L3 - Analyse Complexe

et

v xy = . 2 Fabien PUCCI

TD no 1

Un premier exemple : f (z) = z 2

y

1 O

x

1

Figure I.2.1 – Images réciproques de droites parallèles aux axes du plan (u, v)

Remarque: La figure (I.2.1) représente aussi les courbes de niveaux des fonc˜ y). tions P˜ (x, y) et Q(x, – Les droites d’équation x = cste et y = cste sont transformées en des paraboles d’équations respectives u = x2 −

v2 4x2

et

u=

v2 − y 2. 4y 2

(I.2.2)

v

1 O

1

u

Figure I.2.2 – Transformation de deux réseaux de droites verticales et horizontales (parallèles aux axes du plan) par l’application z 7−→ z 2 . On obtient, grâce à la conformité (voir plus loin !) de cette application deux réseaux de courbes qui se coupent à angle droit.

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 49

TD no 1

I.2 Un premier exemple : f (z) = z 2

⋄ On peut représenter dans un repère de R3 les parties réelle ou imaginaire (Fig. I.2.3).

R2 ! x y

P˜

R2 ! x y

R x2 − y 2

˜ Q

R 2xy

2xy x2 − y 2

x

y

y

x

Figure I.2.3 – Parties réelle et imaginaire de z 7−→ z 2

50 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

Un premier exemple : f (z) = z 2

⋄ On peut représenter dans un repère de R3 le module |f (z)| (Fig. I.2.4).

x2 + y 2

y x Figure I.2.4 – Représentation de z 7−→ |f (z)|

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 51

TD no 1

II.1 II. Fonctions holomorphes, C-différentiabilité

II Fonctions holomorphes, C-différentiabilité II.1 Propriétés élémentaires Définition II II.1.1. Soient U un ouvert de C et z0 ∈ U. Une fonction f : U 7−→ C est dite Cdifférentiable en z0 si le nombre lim z→z

0 z∈C\{z0

f (z) − f (z0 ) f (z0 + h) − f (z0 ) = lim existe. h→0 z − z h 0 }

(II.1.3)

h∈C\{0}

On note f ′ (z0 ) cette limite. C’est le nombre dérivé de f en z0 . On dit qu’une fonction est holomorphe sur U si elle est C-différentiable en tout point de U. On note H(U) leur ensemble.

La propriété de C-différentiabilité est une propriété locale 1 Dans la suite, nous emploierons indifféremment le terme d’holomorphie pour une fonction C-dérivable en un point ou sur un ouvert et lorsqu’elle est holomorphe sur U, il est alors possible de définir son application dérivée f ′ : U 7−→ C ′ z f (z). Nous verrons cependant que la notion d’holomorphie prend tout son sens lorsqu’elle est reliée aux propriétés topologiques de son ouvert de définition. De plus, même si la définition de f ′ (z0 ) est analogue à la définition de la dérivée d’une fonction de variable réelle, on verra que les fonctions holomorphes ont des propriétés beaucoup plus intéressantes que les fonctions dérivables de variable réelle. Dans un premier temps, comme sur R, la relation (II.1.4) entraîne, qu’une fonction C-dérivable est nécessairement continue puisqu’il revient au même de dire, au voisinage d’un point z0 où f est holomorphe, f (z0 + h) − f (z0 ) = dfz0 h + o(|h|),

2

(II.1.4)

où dfz0 est l’application C-linéaire 3 définie par : dfz0 : C 7−→ C z f ′ (z0 )z.

(II.1.5)

Comme sur R encore, la réciproque est fausse : il suffit de considérer z 7−→ z¯ ci-après, continue sur C sans être holomorphe nulle part. 1. Notion qui passera donc bien à la limite uniforme notamment !

|f (h)| =0 |h| est continue en 0. Linéaire, elle l’est donc sur C tout entier.

2. On dit qu’une fonction f de la variable complexe est un o(|h|) lorsque lim

h→0

3. Il est facile de voir que dfz0

52 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

Propriétés élémentaires

Exemples: ⋄ La fonction constante et la fonction z 7−→ z sont holomorphes en tout point de C. ⋄ La fonction z 7−→ z¯ ne l’est en aucun puisque lim

h→0 h∈R∗

z0 + h − z0 z0 + ih − z0 = 1 6= lim = −1. h→0 h ih h∈R∗

Remarque: Les fonctions z 7−→ z¯, z 7−→ Re z, z 7−→ Im z et z 7−→ |z|2 nous fournissent des exemples de fonctions indéfiniment dérivables vues comme fonctions de R2 dans R2 et non dérivables au sens complexe. La fonction z 7−→ |z|2 est uniquement dérivable en 0 avec une dérivée nulle |z|2 = z¯ −−→ 0. z→0 z ⋄ Pour tout entier naturel n, la fonction f : z 7−→ z n est holomorphe sur C avec f ′ (z) = nz n−1 pour tout n > 1 et tout z ∈ C. Preuve: Les cas n égal 0 ou 1 sont triviaux. Pour n > 2, soient z0 ∈ C et z dans un voisinage de z0 , il suffit d’écrire : f (z) − f (z0 ) z n − z0n = = z n−1 + z n−2 z0 + . . . + zz0n−2 + z0n−1 −−−→ nz0n−1 , z→z0 z − z0 z − z0 par continuité sur C des fonctions z 7−→ z p , ∀p ∈ N.



n 1 ⋄ La fonction f : z 7−→ n est holomorphe sur C∗ avec f ′ (z) = − n+1 pour tout z z z ∈ C∗ . Preuve: Par le même raisonnement, avec (z0 ; z) ∈ (C∗ )2 , z dans un voisinage de z0 ,

f (z) − f (z0 ) zn − zn z n−1 + z n−2 z0 + . . . + zz0n−2 + z0n−1 = n n0 =− z − z0 z z0 (z − z0 ) z n z0n =−

1 1 1 1 + + . . . + n−1 2 + n zz0n z 2 z0n−1 z z0 z z0

par continuité sur C∗ des fonctions z 7−→

Fabien PUCCI

!

−−−→ − z→z0

1 , ∀p ∈ N∗ . zp

n

, z0n+1



L3 - Analyse Complexe

- 53

TD no 1

II.1 Propriétés élémentaires

Il est facile de voir que l’ensemble des fonctions holomorphes de U dans C est une algèbre pour les lois usuelles + ,× et ◦. Plus précisément : Proposition II II.1.2. Soient U un ouvert de C et f , g des fonctions holomorphes sur U. (i) f + g et f g sont holomorphes sur U. (ii)

f est holomorphe sur U \ Z(g) 4 . g

(iii) Si f est holomorphe au voisinage de z0 et g au voisinage de f (z0 ) alors g ◦ f est holomorphe au voisinage de z0 . (iv) Les régles usuelles de dérivation s’appliquent : (f + g)′ = f ′ + g ′

(f g)′ = f ′ g + f g ′

!′

g′ 1 =− 2 g g ′ ′ (g ◦ f ) = f × g ′ ◦ f.

f g

!′

=

(II.1.6)

f ′g − g′f g2 (II.1.7)

Preuve: Ces propriétés se démontrent exactement comme dans le cas réel. Démontrons seulement la propriété (II.1.7). Dans des voisinages respectifs de z0 et w0 = f (z0 ), l’expression (II.1.4) s’écrit : g(w) − g(w0 ) = g′ (w0 )(w − w0 ) + o(|w − w0 |)

(II.1.8)

′

f (z) − f (z0 ) = f (z0 )(z − z0 ) + o(|z − z0 |)

(II.1.9)

Comme f est continue en z0
, pour z suffisamment proche de z0 , f (z) appartient à un voisinage de f (z0 ) et o |f (z) − f (z0 )| = o(|z − z0 |). On peut alors reporter (II.1.9) dans (II.1.7) :














g f (z) − g f (z0 ) = g′ f (z0 ) f ′ (z0 )(z − z0 ) + o(|z − z0 |) + o |f (z) − f (z0 )|


= f ′ (z0 ) × g′ f (z0 ) (z − z0 ) + o(|z − z0 |)

g ◦ f est donc holomorphe au voisinage de z0 avec (g ◦ f )′ (z0 ) = f ′ (z0 ) × g′ ◦ f (z0 ).



Exemple: • Une fonction polynomiale est holomorphe sur C tout entier. 6 • D’après ((ii)), une fonction rationnelle est holomorphe sur son ensemble de définition. • Par récurrence, on généralise (II.1.6) en la formule de Leibniz : (f1 f2 . . . fn )′ = f1′ f2 . . . fn + f1 f2′ . . . fn + . . . + f1 f2 . . . fn′ . Dans le cas où toutes les fk sont égales à f , on a (f n )′ = nf ′ f n−1 . 4. On note communément, Z(g) = {z ∈ C / g(z) = 0}, l’ensemble des zéros 5 de g. 5. Non ! pas Z comme Zorro ! 6. De telles fonctions dont le domaine d’holomorphie est le plan complexe tout entier sont dites entières.

54 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

Dérivée complexe et composantes connexes

Donnons une variante de ((iii)) sous une forme affaiblie mais utile 7 : Lemme II II.1.3. Soient U un ouvert de C, f : U 7−→ C holomorphe, [a, b] un segment réel non réduit à un point et γ : [a, b] 7−→ U une fonction dérivable. Alors la fonction f ◦ γ est dérivable sur ]a, b[ avec 



(f ◦ γ)′ (t) = γ ′ (t) × f ′ γ(t) .

Preuve: Soient t 6= t0 dans [a, b]. Il suffit de revenir à la définition (II.1.3) en remarquant que par continuité de γ, lim γ(t) = γ(t0 ) c’est-à-dire que l’on pourra toujours trouver un voisinage t→t0

adéquat de t0 envoyant γ(t) dans un voisinage de γ(t0 ). Ainsi fait, on a :





f γ(t) − f γ(t0 ) (f ◦ γ)(t) − (f ◦ γ)(t0 ) = t − t0 t − t0 =






t − t0 γ(t) − γ(t0 ) + δ(t), = f ′ γ(t0 ) × t − t0





f ′ γ(t0 ) γ(t) − γ(t0 ) + o |γ(t) − γ(t0 )|


o |γ(t) − γ(t0 )| o(|t − t0 |) avec δ(t) = = |γ ′ (t0 )| × = |γ ′ (t0 )| × o(1) −−−→ 0. t→t0 t − t0 t − t0
La fonction f ◦ γ est donc bien dérivable en t0 avec (f ◦ γ)′ (t0 ) = γ ′ (t0 ) × f ′ γ(t0 ) .



II.2 Dérivée complexe et composantes connexes Dans le cas des fonctions d’une variable réelle, on sait qu’une fonction définie sur un intervalle et à valeurs réelles ou complexes est constante si et seulement si elle est dérivable de dérivée nulle. Dans le cas complexe, on vérifie facilement qu’une fonction constante est holomorphe de dérivée nulle et pour la réciproque, on a le résultat suivant : Théorème II II.2.4. Soient U un ouvert connexe de C et f : U 7−→ C une fonction holomorphe. Si f ′ ≡ 0 alors f est constante sur U. Preuve: Soit a un élément de U. Comme U est un ouvert connexe, d’après (I IV.3.13) page 25, il est connexe par arcs c’est-à-dire que pour tout b ∈ D, il existe un chemin affine γ : [0, 1] 7−→ D reliant a à b. Il est clair que γ est continu et au moins C 1 par morceaux (sur R).
D’après (II II.1.3), la fonction de la variable réelle ϕ : t 7−→ f γ(t) est dérivable sur [0, 1] et telle que
ϕ′ (t) = γ ′ (t)f ′ γ(t) = 0, donc constante sur [0, 1] c’est-à-dire f (a) = ϕ(0) = ϕ(1) = f (b).

7. On aura besoin de ce résultat notamment dans la recherche de primitives en V II.2.10 page 171. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 55

TD no 1

III.1 III. R-différentiabilité et Cdifférentiabilité

L’élément b ∈ D ayant été choisi de manière quelconque dans D, f est donc constante sur D c’est-à-dire localement constante sur le connexe U. D’après I IV.1.2 page 20, elle est constante sur U tout entier. 

Corollaire II II.2.5. Soit U un ouvert de C. Une fonction holomorphe sur U dont la dérivée est nulle est constante sur chaque composante connexe de U.

Preuve: D’après I IV.2.7 page 22, si U est ouvert, ses composantes connexes le sont aussi. Il suffit alors d’appliquer la proposition précédente à chacune d’elles. 

III R-différentiabilité et Cdifférentiabilité III.1 R-linéarité et C-linéarité Trois espaces d’applications linéaires interviennent naturellement : • LR (C, C), espace vectoriel sur R des applications R-linéaires de C dans C (où C est identifié à R2 ). C’est aussi l’espace des applications R-linéaires de R2 dans R2 noté L(R2 , R2 ). Il est de dimension 4 sur R. La différentielle 8 df(x0 ,y0 ) d’une application f˜ : R2 7−→ R2 définie par ˜ y) + df(x ,y ) f˜(x + h1 , y + h2 ) = f(x, 0 0

h1 h2

!

+ o(k(h1 , h2 )k),

appartient à cette espace. • LCR (C, C), espace vectoriel sur C des applications R-linéaires de C dans C. 9 Il est de dimension 2 sur C. On note traditionnellement dx et dy les applications de LCR (C, C) qui à z = x+iy ∈ C associent Re z et Im z respectivement, c’est-à-dire dx(x + iy) = x

et

dy(x + iy) = y.

(III.1.10)

(

dx(1) = 1, dy(1) = 0, le couple (dx, dy) forme une C-base de LCR (C, C). dx(i) = 0, dy(i) = 1, On définit ensuite les applications dz et d¯ z par Comme

dz = dx + idy

et

d¯ z = dx − idy.

(III.1.11)

Le couple (dz, d¯ z ) est encore une C-base du C-espace vectoriel LCR (C, C). 10 8. Lorsqu’elle existe ! 9. C’est le précédent muni de sa structure complexe canonique. 10. L’opérateur dz n’est autre que l’identité de C et d¯ z celui de la conjugaison.

56 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

Applications C-linéaires

• LCC (C, C), espace vectoriel sur C des applications C-linéaires de C dans C. Formé des applications de la forme z 7−→ αz, α ∈ C, il s’identifie avec le dual complexe C∗ de C donc de dimension 1 sur C dont (dz) en forme une C-base. Revenons un instant sur les écritures en (II.1.4) et (II.1.5). Outre le fait qu’elles expriment que la C-différentielle d’une fonction holomorphe appartient naturellement à LCC (C, C), puisque ce n’est qu’une multiplication par f ′ (z0 ), on reconnaît aussi et surtout l’expression d’une similitude du plan complexe de rapport |f ′(z0 )| et d’angle arg f ′ (z0 ). C’est un fait général auquel est consacré le paragraphe suivant.

III.2 Applications C-linéaires Les fonctions de C dans C et C-linéaires sont de la forme f (z) = αz,

avec

α = a + ib ∈ C. = ρ(cos θ + i sin θ)

Avec les notations du diagramme (I.1.1), f définit une application f˜ ∈ L(R2 , R2 ) définie par : f˜ :

R2 ! 7−→ x y

R2! a −b b a

x y

!

=ρ

cos θ − sin θ sin θ cos θ

!

x y

!

.

Une application C-linéaire définit donc une application R-linéaire dont la matrice dans la base canonique est de la forme ! a −b . (III.2.12) b a Réciproquement, soit f˜ ∈ L(R2 , R2 ), une application dont la matrice dans une base soit de la forme (III.2.12). Il est clair que que l’application φ◦ f˜◦φ−1 définit une application de LC (R2 , R2 ). On a donc démontré le résultat suivant : Lemme II III.2.1. Une application f : C 7−→ C est C-linéaire si et seulement si l’application f˜ : R2 7−→ R2 qui lui est associée est R-linéaire et dont la matrice dans une base de R2 est de la forme (III.2.12).

Remarque: Ce résultat extrêmement simple est à la base de deux propriétés importantes des fonctions holomorphes : • les conditions de Cauchy-Riemann que nous verrons au paragraphe suivant. • la représentation conforme. En effet, la matrice (III.2.12), notamment écrite sous sa forme polaire ! cos θ − sin θ ρ sin θ cos θ est la matrice d’une similitude d’angle θ et de rapport ρ, transformation du plan qui conserve les angles orientés et les cercles. Nous reviendrons sur ce point plus loin. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 57

TD no 1

III.3 Les conditions de Cauchy-Riemann

III.3 Les conditions de Cauchy-Riemann On remarquera que l’expression (II.1.4) est exactement la définition d’une fonction différentiable : un terme linéaire plus des termes qui tendent vers 0 assez vite . . . à cela près que le terme linéaire est un terme C-linéaire. Approfondissons ce lien :

Proposition II III.3.2. Soient f : U 7−→ C et z0 ∈ U. Alors, f est holomorphe en z0 si et seulement si f˜ est R-différentiable en z0 et si sa C-différentielle dz0 f au point z0 est une application C-linéaire.

Remarque: Ceci veut simplement dire que, sous les bonnes hypothèses de différentiabilité, une fonction est holomorphe si et seulement si sa différentielle est une similitude du plan. Preuve: Si f est holomorphe en z0 = x0 + iy0 , posons f ′ (z0 ) = u + iv et h = h1 + ih2 sous leur forme cartésienne. L’expression (II.1.4) s’écrit :

f (z0 + h) − f (z0 ) = dfz0 h + o(|h|)

= f ′ (z0 )h + o(|h|)

f˜(x0 + h1 , y0 + h2 ) − f˜(x0 , y0 ) = (u + iv)(h1 + ih2 ) + o(k(h1 , h2 )k)

= uh1 − vh2 + i(vh1 + uh2 ) + o(k(h1 , h2 )k)

= dfR,(x0 ,y0 ) (h1 , h2 ) + o(k(h1 , h2 )k),

où on a posé, avec tous les abus de notation mentionnés plus haut,

dfR,(x0 ,y0 ) :

R2 ! 7−→ h1 h2

R2 ! uh1 − vh2 = uh2 + vh1

u −v v u

!

h1 h2

!

(III.3.13) .

L’application dfR,(x0 ,y0) est bien une application R-linéaire de L(R2 , R2 ) c’est-à-dire que f est R-différentiable. De plus, sa matrice dans une base de R2 est bien de la forme (III.2.12) donc dfz0 est C-linéaire. Réciproquement, il suffit de remonter les implications précédentes, l’essentiel du travail ayant été fait en (II III.2.1). 

58 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

Les conditions de Cauchy-Riemann

Avec les notations de (I.1.1), on peut préciser encore ce résultat : Théorème II III.3.3 (Les conditions de Cauchy-Riemann). Soit U ⊂ C un ouvert et z0 = x0 + iy0 ∈ U. Les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) La fonction f : U 7−→ C est C-différentiable a en z0 .

(ii) L’application f˜ : U 7−→ R2 est R-différentiable et vérifie les conditions de Cauchy-Riemann : ˜ ∂Q ∂ P˜ (x0 , y0 ) = (x0 , y0), ∂x ∂y (III.3.14) ˜ ∂Q ∂ P˜ (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ). ∂x ∂y (iii) L’application f˜ est R-différentiable en (x0 , y0 ) et sa matrice jacobienne est la représentation d’une similitude directe égale à dfR,(x0 ,y0 ) =

Re f ′ (z0 ) − Im f ′ (z0 ) Im f ′ (z0 ) Re f ′ (z0 )

!

(III.3.15)

.

a. ou holomorphe en z0

Revenons sur la R-différentiabilité d’une fonction f˜ : U 7−→ R2 définie comme en (I.1.1). Dire que f˜ est différentiable en (x0 , y0 ) ∈ U signifie qu’il existe une application dfR,(x0,y0 ) ∈ L(R2 , R2 ) telle que, pour tout (x, y) dans un voisinage de (x0 , y0 ) au sens de (I II.2.6) : f˜(x, y) − f˜(x0 , y0 ) = dfR,(x0 ,y0 )

x − x0 y − y0

!





+ o k(x, y) − (x0 , y0 )k .

En définissant, les dérivées partielles ∂ P˜ (x , y )    ∂x 0 0    

∂ f˜ f˜(x0 + h, y0 ) − f˜(x0 , y0) (x0 , y0 ) = lim =  h→0 ∂x h 

 

 ˜  ∂Q (x0 , y0 ) ∂x

(III.3.16)

et ∂ P˜  (x , y )   ∂y 0 0    

˜ 0 , y0 + k) − f˜(x0 , y0 ) f(x ∂ f˜ (x0 , y0 ) = lim =  k→0 ∂y k 



˜  ∂Q (x0 , y0 ) ∂y

Fabien PUCCI

,   

(III.3.17)

L3 - Analyse Complexe

- 59

TD no 1

III.3 Les conditions de Cauchy-Riemann

avec les notations de (III.1.10), on a : dfR,(x0 ,y0 ) =

∂ f˜ ∂ f˜ (x0 , y0 )dx + (x0 , y0)dy ∂x ∂y    

=

∂ P˜ ∂ P˜ (x0 , y0) (x0 , y0 ) ∂x ∂y ˜ ˜ ∂Q ∂Q (x0 , y0 ) (x0 , y0) ∂x ∂y



  . 

(III.3.18)

où la matrice (III.3.18) s’appelle la jacobienne de f en (x0 , y0 ). De plus, en considérant des nombres complexes de la forme z = x + iy0 , on a aussi :  f˜(x, y0 ) − f˜(x0 , y0 )    = x→x lim   0 x − x0   x6=x0     f (z) − f (z0 )  f (x + iy0 ) − f (x0 + iy0 ) f ′ (z0 ) = z→z lim = x→x lim 0  z − z 0 0 x − x0  z6=z0  x6=x0        ∂Q ∂P   (z0 ) + i (z0 ). = ∂x ∂x

=

∂ f˜ (x0 , y0 ). ∂x

=

∂f (z0 ). ∂x

(III.3.19)

De même, en considérant des nombres complexes de la forme z = x0 + iy, on a aussi :    =          f (z) − f (z0 )  ′ f (z0 ) = z→z lim = 0  z − z0  z6=z0           =

lim y→y

0

y6=y0

lim

y→y0 y6=y0

f˜(x0 , y) − f˜(x0 , y0 ) i(y − y0 )

= −i

∂ f˜ (x0 , y0 ). ∂y

f (x0 + iy) − f (x0 + iy0 ) i(y − y0 )

= −i

∂f (z0 ). ∂y

(III.3.20)

∂Q ∂P (z0 ) − i (z0 ). ∂y ∂y

Preuve: L’équivalence ((i)) ⇔ ((ii)) n’est qu’une reformulation de (II III.2.1) et (II III.3.2). Quant à ((ii)) ⇔ ((iii)), l’expression de la jacobienne en (III.3.13) avec f ′ (z0 ) = u + iv entraîne l’égalité (III.3.15). 

Il faut bien noter que, a priori, les conditions de Cauchy-Riemann (III.3.14) ne font intervenir que les dérivées partielles de f , et ne garantissent donc pas l’existence de la différentielle de f : la condition de R-différentiabilité ne peut donc pas être omise dans (II III.3.3).((ii)). z5 est continue, possède des dérivées Par exemple, la fonction f définie par f (z) = |z|4 partielles par rapport à x et y et satisfait en z = 0 aux conditions (III.3.14). Pourtant, elle n’est pas C-différentiable. Exemples:Les conditions de Cauchy-Riemann permettent de montrer que les fonctions, d’apparence très raisonnable, z 7−→ z¯, z 7−→ Re z, z 7−→ Im z, z 7−→ |z| et z 7−→ |z|2 ne sont pas holomorphes. Preuve: Considérons par exemple f : z 7−→ z¯ où, avec toujours les notations de (I.1.1), ˜ y) = −y. D’où P˜ (x, y) = x et Q(x, ˜ ∂Q ∂ P˜ (x, y) = 1 6= (x, y) = −1. ∂x ∂y Cette fonction n’est donc holomorphe en aucun point de C.

60 - L3 - Analyse Complexe



Fabien PUCCI

TD no 1

Les conditions de Cauchy-Riemann

Interprétation géométrique Les conditions de Cauchy-Riemann entraînent des contraintes géométriques assez ri˜ constantes. Plus précisément : gides notamment pour les courbes à P˜ et Q Théorème II III.3.4 (Lignes de niveau orthogonales). Si f = P + iQ est une fonction holomorphe sur un ouvert U de C alors les lignes ˜ sont orthogonales. de niveau de P˜ et Q ˜ Preuve: Il suffit d’appliquer les conditions de Cauchy-Riemann (III.3.14) à P˜ et Q, ˜ ∂Q ∂ P˜ = , ∂x ∂y

et

˜ ∂Q ∂ P˜ =− . ∂x ∂y

˜ y) = cste En tout point (x0 , y0 ) de U, les vecteurs tangents des courbes P˜ (x, y) = cste et Q(x, sont données, respectivement par     ˜ ∂ P˜ ∂Q (x0 , y0 )   ∂x (x0 , y0 )   −−→ −−→ ˜ =  ∂x  , grad(x0 ,y0 ) P˜ =  et grad(x0 ,y0 ) Q ˜  ∂ P˜  ∂Q   (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) ∂y ∂y et on a ˜ ˜ ˜ ∂Q ˜ ˜ ∂Q ˜ −−→ ˜ −−→ ˜ ∂ P˜ ∂ Q ∂Q ∂Q ∂ P˜ ∂ Q . + . = . − . = 0. grad P . grad Q = ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y 

y

1

O

1

x

Figure III.3.5 – Pour le champ P˜ , ses équipotentielles (en rouge) sont orthogonales à ses lignes de champ (en vert)

˜ y) = cste Avec un langage de physiciens, les courbes courbes P˜ (x, y) = cste et Q(x, ˜ tandis que les courbes orthogonales à s’appellent les équipotentielles des champs P˜ et Q ces dernières portent le nom de lignes de champ. Le théorème (II III.3.4) s’interprète alors comme suit : Pour une fonction holomorphe, les lignes de champ de sa partie réelle sont les équipotentielles de sa partie imaginaire 11 . 11. et inversement ! Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 61

III.4 Comportement local d’une fonction holomorphe

TD no 1

III.4 Comportement local d’une fonction holomorphe Théorème II III.4.5 (Inversion locale). Soient U un ouvert, f ∈ H(U) et z0 ∈ U tel que f ′ (z0 ) 6= 0. Alors, il existe un ouvert V ⊂ U contenant z0 tel que : (i) W = f (V) est ouvert. (ii) f : V 7−→ W est une bijection holomorphe. (iii) f ′ ne s’annule pas sur V. 

(iv) f −1

′

=

1 . f ′ ◦ f −1

Preuve: Ce résultat est une conséquence directe du théorème d’inversion locale pour les fonctions R-différentiables de R2 . Lemme II III.4.6 (Théorème d’inversion locale réel). Soient f˜ : R2 7−→ R2 , U ⊂ R2 un ouvert et (x0 , y0 ) ∈ U tel que df˜(x0 ,y0 ) ∈ Gℓ(R2 , R2 ). Alors il existe un ouvert V ⊂ U tel que (x0 , y0 ) ∈ V et un ouvert W de R2 , tels que (u0 , v0 ) = f˜(x0 , y0 ) ∈ W et f est un C 1 -difféomorphisme 12 de V sur W. De plus W = f (V) est un ouvert et 

df˜(x0 ,y0 )

−1

−1 = df˜(u . 0 ,v0 )

En effet, si f est holomorphe alors la fonction f˜ de R2 associée est R-différentiable et sa différentielle en un point z0 = x0 + iy0 est une similitudede rapport f ′ (z0 ) 6= 0. L’application linéaire df˜(x0 ,y0 ) , de déterminant f ′ (z0 ) 6= 0, est donc inversible. On peut appliquer le théorème d’inversion locale réel à f˜ au voisinage de (x0 , y0 ). On obtient ainsi les voisinages V et W de l’énoncé. Soit w0 un point de W. Montrons que g est holomorphe en w0 . g(w) − g(w0 ) g(w) − g(w0 ) = . w − w0 f ◦ g(w) − f ◦ g(w0 ) Comme g est continue en w0 , l’expression précédente a bien une limite lorsque w tend vers w0 égale à 1
. f ′ g(w0 ) Remarque: L’inverse de la similitude df˜(x0 ,y0 ) associée à f ′ (z0 ) est la similitude df˜f−1 ˜(x0 ,y0 ) 1 associée à ′ .  f (z0 ) 12. f est une bijection de V sur W, de classe C 1 , ainsi que f −1 .

62 - L3 - Analyse Complexe

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TD no 1

Opérateurs dérivées partielles complexes

Définition II III.4.7 (Fonction biholomorphe). Soient U et V deux ouverts de C. Une fonction holomorphe f : U 7−→ V est dite biholomorphe sur U si elle est bijective et si sa fonction réciproque f −1 : V 7−→ U est aussi holomorphe. D’après (II III.4.5), pour une fonction holomorphe il suffit de vérifier f ′ (z0 ) 6= 0 pour être localement biholomorphe. Exemples:La fonction z 7−→ z 2 est localement biholomorphe dans un voisinage de chaque     1 1 1 1 ′ z0 6= 0. Pour la fonction de Joukovski f : z 7−→ z+ , on a f (z) = 1 − 2 . Elle 2 z 2 z est localement biholomorphe pour z0 6= ±1. Lorsqu’une fonction est biholomorphe d’un ouvert U dans un ouvert V, ceux-ci sont identiques du point de vue de l’analyse complexe, puisque toute propriété vérifiée sur l’un peut être transférée au second par composition avec le biholomorphisme. Remarquons aussi qu’une fonction biholomorphe est en particulier un homéomorphisme. Les ouverts U et V possèdent donc aussi les mêmes propriétés topologiques.

III.5 Opérateurs dérivées partielles complexes Les formules (III.1.11) de changement de la base (dx, dy) de LCR (C, C) en la base (dz, d¯ z ) conduisent à définir les opérateurs dérivées partiels suivants : Définition II III.5.8. Soient U un ouvert de C et z0 ∈ U. Soit f : U 7−→ C une fonctions admettant des dérivées partielles par rapport aux variables x et y en z0 . On définit les opérateurs dérivées partielles : ∂f 1 (z0 ) = ∂z 2

∂f ∂f (z0 ) − i (z0 ) ∂x ∂y

!

∂f 1 et (z0 ) = ∂ z¯ 2

!

∂f ∂f (z0 ) + i (z0 ) , (III.5.21) ∂x ∂y

où z0 = x0 + iy0 . La différentielle de f s’écrit alors : d z0 f =

∂f ∂f (z0 )dz + (z0 )d¯ z. ∂z ∂ z¯

(III.5.22)

C’est le contexte dans lequel s’énoncent les célèbres conditions de Cauchy exprimant la C-linéarité de la différentielle de f (lorsqu’elle existe) en fonction des dérivées partielles. Proposition II III.5.9. Soient f : U 7−→ C C et z0 ∈ U. Une fonction f est holomorphe en z0 si et seulement si elle est R-différentiable en z0 et si ses dérivées partielles en z0 vérifient la condition de Cauchy ∂f (z0 ) = 0. (III.5.23) ∂ z¯

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 63

TD no 1

IV.0 IV. Fonctions harmoniques

Preuve: Il suffit de réécrire les conditions (III.3.14) avec f = P + iQ : 2

∂f ∂f ∂f (z0 ) = (z0 ) + i (z0 ) ∂ z¯ ∂x ∂y   ∂P ∂Q ∂Q ∂P (z0 ) + i (z0 ) + i (z0 ) + i (z0 ) = ∂x ∂x ∂y ∂y   ∂P ∂P ∂Q ∂Q = (z0 ) − (z0 ) + i (z0 ) + (z0 ) ∂x ∂y ∂y ∂x = 0. 

Remarque: Au vu de l’expression (III.5.22), la condition (III.5.23) exprime que la différentielle dfz0 est C-linéaire si et seulement si elle est proportionnelle à dz. En reprenant l’une ou l’autre des formes rencontrées précédemment, la dérivée complexe de f en un point z0 ∈ U est alors donnée par l’une de ses dérivées directionnelles suivantes : f ′ (z0 ) =

∂f (z0 ) = ∂z (II.1.3)

∂f (z0 ) ∂x (III.3.19)

= −i

∂f (z0 ). ∂y

(III.5.24)

(III.3.20)

Proposition II III.5.10 (Fonction holomorphe à valeurs réelles). Soient U un ouvert connexe de C et f : U 7−→ R. Si f est holomorphe sur U alors f est constante (sur U). ˜ = 0. Comme f est supposée holomorphe Preuve: En gardant les notations de (I.1.1), on a Q ˜ ∂ P˜ ∂Q (x, y) = (x, y) = 0. D’après sur U, les conditions de Cauchy-Riemann (III.3.14) imposent ∂x ∂y (III.5.24), ∂f (z) = 0, ∂x ce qui équivaut à dire que f est constante sur U tout entier d’après (II II.2.4). f ′ (z) =



Géométriquement, les équations de Cauchy-Riemann empêchent une fonction holomorphe d’avoir une image trop petite (contenue dans une droite réelle, par exemple).

IV Fonctions harmoniques Définition II IV.0.1. Soit U un ouvert non vide de R2 . On dit qu’une fonction ϕ : U 7−→ R est harmonique sur U si elle est de classe C 2 sur U avec ∀(x, y) ∈ U,

64 - L3 - Analyse Complexe

∂2ϕ ∂2ϕ (x, y) + 2 (x, y) = 0. ∂x2 ∂y

Fabien PUCCI

TD no 1

IV. Fonctions harmoniques

∂2 ∂2 L’opérateur + est noté ∆ et appelé laplacien. ∂x2 ∂y 2

Théorème II IV.0.2. ˜ de classe C 2 et à Si f = P + iQ est une fonction holomorphe sur U avec P˜ et Q ˜ sont harmoniques sur U. valeurs réelles alors les fonctions P˜ et Q

Preuve: Il suffit de dériver les équations de Cauchy-Riemann (III.3.14) et d’appliquer lethéo ∂ ∂ 2 rème de Schwarz qui dit que, pour des fonctions de classe C comme ici, les opérateurs ∂x ∂y   ∂ ∂ et coïncident : ∂y ∂x ∂ 2 P˜ ∂ 2 P˜ + ∂x2 ∂y 2 ! ! ∂ ∂ P˜ ∂ ∂ P˜ = + ∂x ∂x ∂y ∂y ! ! ˜ ˜ ∂ ∂Q ∂ ∂Q = + − ∂x ∂y ∂y ∂x 2 2 ˜ ˜ ∂ Q ∂ Q = − =0 ∂x∂y ∂x∂y

∆P˜ =

˜ ˜ ∂2Q ∂2Q + ∂x2 ∂y 2 ! ! ˜ ˜ ∂ ∂Q ∂ ∂Q = + ∂x ∂x ∂y ∂y ! ! ∂ ∂ P˜ ∂ ∂ P˜ = − + ∂x ∂y ∂y ∂x 2 2 ∂ P˜ ∂ P˜ =− + = 0. ∂x∂y ∂x∂y

˜= ∆Q

˜ sont donc harmoniques sur U. Les fonctions P˜ et Q Remarque: Nous verrons plus loin qu’une fonction holomorphe est en fait indéfiniment déri˜ de classe C 2 sur U sera donc redondante. vable. L’hypothèse P˜ et Q 

Exemples:

⋄ comme la fonction P : (x, y) 7−→ x2 + y 2 dont le laplacien ∆P = 4 est non nul n’est pas harmonique donc il ne peut pas exister de fonction holomorphe sur C de partie réelle x2 + y 2 = |z|2 . ˜ ⋄ Pour toute fonction holomorphe f = P + iQ ne s’annulant pas sur U (où P˜ et Q 2 sont de classe C à valeurs réelles), la fonction ln |f | est harmonique.

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 65

TD no 1

IV.2 Un exemple : Charybde et Scylla

Même si on ne le démontrera pas ici, le théorème (II IV.0.2) admet une réciproque : Théorème II IV.0.3. Si U est un ouvert simplement connexe 13 et P : U 7−→ R une fonction harmonique, il existe alors des fonctions holomorphes sur U de partie réelle P .

Ce théorème permet donc de voir, sur un ouvert simplement connexe, l’ensemble des fonctions harmoniques comme celui des parties réelles de fonctions holomorphes. Grâce à cette découverte, Riemann a ouvert l’application des fonctions holomorphes à de nombreux problèmes de la physique, puisque cette équation est satisfaite par le potentiel gravitationnel d’un corps, par les champs électriques et magnétiques via les équations de Maxwell, par la chaleur en équilibre et les liquides parfaits sans rotationnel.

IV.1 Un exemple : Charybde et Scylla Le potentiel d’un liquide (parfait) en présence d’un puits et d’une source confondus en le même point 14 est donné par la fonction f:

x y

1 z

7−→

z

x P˜ (x, y) = 2  x + y2  −y  ˜ Q(x, y) = 2 x + y2 

!

   

qui est holomorphe sur U = C∗ . x ˜ : (x, y) 7−→ −y sont donc harmoniques sur et Q Les fonctions P˜ : (x, y) 7−→ 2 2 x +y x2 + y 2 2 R \ {(0, 0)}. On a tracé en (Fig. IV.1.7), les courbes de niveau de la fonction P˜ .

IV.2 Un peu d’électromagnétisme Le potentiel d’un dipôle où les charges sont placées en 1 et −1 peut être décrit par la fonction holomorphe : f (z) =

1 1 + . z+1 z−1

Les parties réelles et imaginaires de f sont donc des fonctions harmoniques dont on a tracé les courbes de niveau en (Fig. IV.2.8). Exemple:Même si l’on ne démontre pas (II IV.0.3), on peut tout de même chercher de telles fonctions sous la forme f = P +iQ, où Q : U 7−→ R s’obtient en résolvant le système (III.3.14) défini par les conditions de Cauchy-Riemann. Soit, par exemple P : C 7−→ R défini par P (z) = x2 − y 2 − 2xy − 2x + 3y. 13. Un ouvert connexe « sans trous ». 14. Difficile à faire en pratique si ce n’est au bord d’une cascade ! Gare à la chute !

66 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

Un peu d’électromagnétisme

x x2 + y 2

x

y Figure IV.1.6 – P˜ : (x, y) 7−→

x x2 + y 2

y

1

O

1

x

Figure IV.1.7 – Equipotentielles au voisinage d’un Puits-Source

Déterminons toutes les fonctions Q : C 7−→ R telles que f = P + iQ soit holomorphe sur C. Il est clair que P˜ est harmonique puisque

∆P˜ = Fabien PUCCI

∂ 2 P˜ ∂ 2 P˜ + = 2 − 2 = 0. ∂x2 ∂y 2 L3 - Analyse Complexe

- 67

TD no 1

IV.2 Un peu d’électromagnétisme

y

1

O

1

x

Figure IV.2.8 – Equipotentielles d’un dipôle

y

1

O

1

x

Figure IV.2.9 – Circulation du champ électrique au voisinage d’un dipôle (+q,-q) donnée par les courbes de niveau de la 1 1 + partie imaginaire de z 7−→ z+1 z−1

˜ Les conditions de Cauchy-Riemann s’écrivent : On peut donc chercher Q. ˜ ∂Q ∂ P˜ (x, y) = (x, y) = 2x − 2y − 2 ∂y ∂x ˜ ∂ P˜ ∂Q (x, y) = − (x, y) = 2y + 2x − 3 ∂x ∂y

(IV.2.25) (IV.2.26)

˜ y) = 2xy + x2 − 3x + ϕ(y) où ϕ est différentiable De (IV.2.25), on déduit que Q(x, sur R. En remplaçant maintenant dans (IV.2.25), on déduit que ϕ′ (y) = −y − 2 puis ˜ y) = 2xy + x2 − 3x − y 2 − 2y + c, c ∈ R. Q(x, 68 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

V. Applications conformes

Finalement, en arrangeant un peu, on obtient : 

f (z) = x2 − y 2 − 2xy − 2x + 3y + i 2xy + x2 − 3x − y 2 − 2y + c = (x + iy)2 + i(x + iy)2 − 2(x + iy) − 3i(x + iy) + ic = (1 + i)z 2 − (2 + 3i)z + ic.



V Applications conformes Les transformations du plan effectuées à l’aide de fonctions holomorphes jouissent d’une propriété remarquable : « elles conservent les angles ». Tout repose sur la proposition (II III.3.2). Précisons tout d’abord ces quelques notions : Soient U un ouvert de C et f : U 7−→ C une fonction complexe qui à z ∈ U associe w = f (z) ∈ f (U). Considérons alors deux chemins γ1 et γ2 de classe C 1 dessinés dans U qui se coupent en un point z0 ∈ U régulier pour γ1 et γ2 c’est-à-dire : γ1 : [0, 1] 7−→ U t γ1 (t)

γ2 : [0, 1] 7−→ U t γ2 (t)

dγ1 dγ2 avec γ1 (t0 ) = γ2 (t0 ) = z0 , 0 < t0 < 1, (t0 ) 6= 0 et (t0 ) 6= 0 les vecteurs tangents dt dt respectifs en z0 . − →′ γ2

−−−−−→′ (f ◦ γ2 )

θ

γ1

z0 γ2

−−−−−→′ (f ◦ γ1 )

θ − →′ γ1

f (z0 )

f (U )

U f ◦ γ1

f ◦ γ2

Figure V.0.10 – Image de chemins par une application conforme

On regarde maintenant leurs images par f supposée holomorphe : les deux courbes f ◦ γ1 et f ◦ γ2 dessinées dans f (U) se coupent en f (z0 ) et leur vecteur tangents respectif en ce point sont donnés par !

!

dγ1 dγ1 d (t0 ) = f ′ (z0 ) × (t0 ) (f ◦ γ1 )(t0 ) = (f ′ ◦ γ1 )(t0 ) × dt dt dt ! ! dγ2 dγ2 d ′ ′ (t0 ) = f (z0 ) × (t0 ) (f ◦ γ2 )(t0 ) = (f ◦ γ2 )(t0 ) × dt dt dt Les vecteurs tangents image sont donc les images des vecteurs tangents par une similitude de rapport f ′ (z0 ) d’après (II III.3.2). Si f ′ (z0 ) 6= 0 c’est-à-dire si le point z0 est régulier l’angle des courbes images est le même que celui des courbes originelles. De telles applications sont dites conformes. Avant de donner des exemples, précisons ce point : Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 69

TD no 1

V.0 V. Applications conformes

Définition II V.0.1. Soient U un ouvert de C, f : U 7−→ C une application et z0 un point de U admettant un voisinage sur lequel f (z) 6= f (z0 ). On dit que f conserve les angles en z0 si lim e−iθ

r→0+

f (z0 + reiθ ) − f (z0 ) |f (z0 + reiθ ) − f (z0 )|

(V.0.27)

existe et est indépendant de θ. Une application qui conserve les angles en tout point de U est dite conforme sur U. f (z0 + h) − f (z0 ) représente la |f (z0 + h) − f (z0 )| direction (un complexe du cercle unité), qui va de f (z0 ) à f (z0 + h).

Remarque: Dans cette définition, le terme δf (z0 , h) =





i(τ +θ)

f z0 + re i(τ +θ)

z0 + re L′

f (z0 )

θ

θ

iτ L z0 + re

z0



f z0 + reiτ

Figure V.0.11 – Angle formé par deux rayons



Cette définition exprime que si deux rayons L = z0 + reiτ et L′ = z0 + rei(θ+τ ) sont \ issus de z0 , l’angle que fait leur image est le même que l’angle orienté (L, L′ ). Exemple:Les similitudes conservent les angles car pour f (z) = az, a ∈ C∗ , on a : lim e−iθ δf (z0 , reiθ ) =

r→0+

a , indépendant de θ. |a|

Donc f est conforme sur C. La propriété de conserver les angles est caractéristique des fonctions holomorphes dont la dérivée ne s’annule pas. Théorème II V.0.2. Soient U un ouvert de C, z0 ∈ U et f : U 7−→ C une application holomorphe. f est conforme en z0 si et seulement si f ′ (z0 ) 6= 0. Preuve: Comme f est holomorphe dans un voisinage de z0 avec f ′ (z0 ) 6= 0. Pour tout élémet h = reiθ dans un voisinage de 0 écrit sous sa forme polaire, on a : f (z0 + reiθ ) − f (z0 ) = f ′ (z0 )reiθ + o(|h|).

Il suffit alors de remplacer dans (V.0.27) : lim e−iθ

r→0+

′ iθ f ′ (z0 ) f (z0 + reiθ ) − f (z0 ) −iθ f (z0 )re = lim e = . |f (z0 + reiθ ) − f (z0 )| r→0+ |f ′ (z0 )reiθ | |f ′ (z0 )|

70 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 1

V. Applications conformes

Donc f conserve les angles. Réciproquement, soit n le plus petit entier tel que f (n) (z0 ) 6= 0. En anticipant un peu sur le fait que f admet en tout point de U un développement en série entière, que, dans un voisinage de z0 , on peut écrire : f (z0 + reiθ ) − f (z0 ) =

f (n) (z0 ) n inθ r e + o(r n ). n!

D’où f (n) (z0 ) n inθ r e f (n) (z0 ) i(n−i)θ = lim e−iθ δf (z0 , reiθ ) = lim e−iθ (n)n! e . r→0+ r→0+ |f (n) (z0 )| f (z0 ) n inθ r e n!

quantité qui ne dépend pas de θ si et seulement si n = 1 c’est-à-dire f ′ (z0 ) 6= 0.



Exemple:f : z 7−→ z 2 est holomorphe sur C, de dérivée f ′ : z 7−→ 2z. Cette dérivée s’annulant en zéro, on n’est pas assuré de la conservation des angles des vecteurs tangents à des courbes passant par zéro. Effectivement les demi-droites z(t) = teiα , (t, α > 0) sont transformées en les demi-droites f (z(t)) = t2 e2iα ce qui montre que les angles des tangentes aux courbes droites correspondantes sont multipliés par 2. Cependant f est une transformation conforme 15 de C∗ sur lui-même, et on peut vérifier que les droites parallèles aux axes du plan ne passant pas par zéro sont transformées en un réseau de courbes orthogonales comme illustré en (Fig. I.2.2). En précisant les résultats de (I.2.2), on a : ⋄ Les droites x = x0 ont pour image les paraboles de foyer O et de directrice x = 2x20 . ⋄ Les droites y = y0 ont pour image les paraboles de foyer O et de directrice x = 2y02. Compléments Pour la résolution analytique ou numérique d’équations aux dérivées partielles à deux dimensions, l’utilisation de changements de variables associés à des transformations conformes bijectives présente un intérêt certain. En effet, on est assuré de ce qu’un système de coordonnées orthogonales sera transformé en un nouveau système de coordonnées elles aussi orthogonales. Ceci garanti une certaine simplicité des formules de changement de coordonnées des opérateurs différentiels, tout en permettant de transformer un domaine de géométrie compliqué en un domaine de géométrie simple. A ce sujet on dispose du théorème dit de Riemann, qui stipule que, étant donné un ouvert simplement connexe U, il existe toujours une application conforme bijective f qui transforme U en l’intérieur du disque unité. Une extension de ce théorème due à Carathéodory et Osgood montre que si de plus U est borné et sa frontière est une courbe tracée par un circuit injectif de C, alors on peut prolonger f sur la frontière de U, et cette frontière se trouve alors transformée en le cercle unité. Cette dernière extension est capitale puisque un problème physique comporte toujours des conditions aux limites posées sur la frontière de U.

15. mais non injective Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 71

TD no 2

VI.2 VI. Exercices

VI Exercices VI.1 Topologie et nombres complexes Exercice VI.1: Soit α un nombre réel. (i) Montrer que R \ {α} n’est pas connexe. (ii) Soit z0 ∈ C, montrer que C \ {z0 } est connexe. (iii) Montrer qu’il n’existe aucun homéomorphisme de R dans C. (iv) Soit f : C 7−→ R une fonction continue et surjective. Montrer que : ∀ x ∈ R, f −1 (x) est infinie. Exercice VI.2: Lorsque z est complexe les fonctions sin(z), cos(z), sh(z) et ch(z) sont définies par les formules 16 : eiz − e−iz 2i eiz + e−iz cos(z) = 2

ez − e−z 2 ez + e−z ch(z) = 2

sin(z) =

sh(z) =

où la fonction z 7−→ ez est la fonction définie à l’exercice (VI.12). (i) Montrer sin(a + ib) = sin(a) ch(b) + i cos(a) sh(b). (ii) Pour a et b réels, prouver : ∀ a, b ∈ R, | sin(a + ib)|2 = sin2 (a) + sh2 (b) (iii) Résoudre sin(z) = 0. Exercice VI.3: n o Soit α ∈ R et Hα = − reiα / r ∈ R+ . (i) Montrer que C \ Hα est ouvert et étoilé par rapport au centre eiα . (ii) Montrer que C \ Hα est connexe. On considère la fonction argα : C\Hα 7−→]α−π, α+π[ telle que pour tout z ∈ C\Hα , argα (z) est l’unique argument de z dans l’intervalle ]α − π, α + π[. (a) Prouver que argα est continue sur C \ Hα .

(b) Si Θ est une fonction continue sur C \ Hα telle que Θ(z) est un argument de z pour tout z ∈ C \ Hα , montrer qu’il existe k ∈ Z tel que : ∀ z ∈ C \ Hα ,

Θ(z) = argα (z) + 2kπ.

16. Comme dans R donc !

72 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Fonctions holomorphes

VI.2 Fonctions holomorphes Propriétés élémentaires Exercice VI.4: 1 1 Montrer que la fonction f (z) = est holomorphe sur C \ {0} et vérifie f ′ (z) = − 2 . z z Exercice VI.5: Si f et g sont deux fonctions dérivables au sens complexe au point z0 ; montrer que f + g, f − g et f g le sont et donner la valeur de leurs dérivées au point z. Exercice VI.6: f Si f et g sont deux fonctions dérivables au sens complexe au point z0 montrer que est g dérivable au sens complexe et donner la valeur de la dérivée lorsque g(z0 ) 6= 0. Exercice VI.7: Montrer la formule pour la dérivée d’une composition g ◦ f . Exercice VI.8: (i) En quels points la fonction z 7→ z est-elle holomorphe ? (ii) Même question pour les fonctions z 7→ Re z et z 7→ Im z. Exercice VI.9: Prouver qu’une fonction holomorphe sur un ouvert connexe, de dérivée identiquement nulle, est constante. Et si l’ouvert n’est pas connexe ? Équations de Cauchy-Riemann Exercice VI.10: Montrer qu’une application u : C 7−→ C est R-linéaire si et seulement si il existe deux nombres complexes α et β tels que : ∀ z ∈ C, u(z) = αz + β z¯.

(VI.2.28)

Exercice VI.11: La fonction f définie sur C par f (z) = f (x + iy) = x2 y + iy est-elle holomorphe ? Exercice VI.12: Cet exercice propose une variante pour développer la théorie de la fonction exponentielle. (i) On se donne une fonction f qui est n + 1-fois dérivable au sens complexe sur le disque ouvert D(0, R). Soit z ∈ D(0, R). En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral de Lagrange à la fonction de la variable réelle t 7→ g(t) = f (tz) pour 0 6 t 6 1, prouver : f (z) = f (0) + f ′ (0)z +

f (2) (0) 2 f (n) (0) n z +···+ z + z n+1 2 n!

Z

0

1

(1 − t)n (n+1) f (tz) dt. n!

(ii) On suppose que f est dérivable au sens complexe une fois sur D(0, R) et vérifie f ′ = f et f (0) = 1. Montrer que f est infiniment dérivable au sens complexe. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 73

TD no 2

VI.2 Fonctions holomorphes

(iii) En utilisant la question précédente montrer : n X f (z) −



z k |z|n+1 6 sup |f (w)| (n + 1)! |w|6|z| k=0 k!

et en déduire que, pour tout z ∈ C on a : f (z) =

+∞ X

zk . k=0 k!

(iv) Réciproquement on considère la fonction F (z) =

+∞ X

zk . k! k=0

(a) Vérifier que le rayon de convergence est infini. (b) Établir par un calcul direct que F ′ (0) existe et vaut 1. (c) En utilisant le théorème sur les séries doubles, montrer que : ∀ z, w ∈ C, F (z + w) = F (z)F (w). (d) En déduire ensuite que F est holomorphe sur C et vérifie F ′ = F . Exercice VI.13: Connaissant les fonctions de la variable réelle exp, sin et cos, on peut définir la fonction x 7−→ eix = cos x + i sin x sur R et la fonction exponentielle complexe par ∀ z = x + iy ∈ C, exp : z 7−→ ex eiy . Montrer, avec cette définition, que cette fonction est holomorphe sur C avec exp′ z = exp z. Exercice VI.14: Soit U ⊂ C un ouvert connexe. En utilisant les équations de Cauchy-Riemann, montrer que toute fonction f : U 7−→ R holomorphe sur U est constante. Exercice VI.15: (i) Montrer que la fonction u : (x, y) 7−→ e−x (x sin y − y cos y) est ∂2u ∂2u harmonique sur R2 c’est-à-dire que son laplacien ∆u = 2 + 2 est nul pour tout ∂x ∂y 2 couple (x, y) ∈ R . (ii) Détermine v telle que f (z) = u + iv soit holomorphe sur C. (iii) Déterminer la fonction f . Exercice VI.16: Tout complexe z qui n’est pas un réel positif ou nul peut s’écrire sous la forme z = reiθ , avec r > 0 et θ ∈ ]0, 2π[. On définit une fonction f sur Ω = C \ [0, +∞[ par f (z) = P (r, θ) + iQ(r, θ) où P et Q sont des fonctions réelles données. (i) Donner des conditions sur les dérivées partielles de P , Q pour que f soit holomorphe sur Ω. (ii) En déduire que la fonction Log z = Log r + iθ est holomorphe sur Ω. Quelle est sa dérivée ? 74 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Correction des exercices

VI.3 Correction des exercices Correction de l’exercice VI.1: (i) α étant un nombre réel, les intervalles ] − ∞, α[ et ]α, +∞[ forment une partition d’ouverts non vide de R \ {α} qui n’est donc pas connexe. (ii) C \ {z0 } est connexe par arcs donc connexe. 17 (iii) Supposons le contraire et soit ϕ : R 7−→ C un tel homéomorphisme. D’après ((ii)), pour tout z0 = ϕ(α) ∈ C, ϕ−1 C\{z0 } = R\{α} est donc connexe, ce qui contredit le résultat de ((i)). (iv) Comme f est surjective, pour tout x ∈ R, la partie f −1 (x) est non vide. Supposons donc qu’il existe x0 ∈ R tel que E0 = f −1 (x0 ) soit finie. La partie Ω = C \ E0 est connexe dans C ce qui entraîne que son image par f continue est aussi connexe. Comme f (Ω) = R \ {x0 } est non connexe d’après ((i)), il y a là une contradiction. Ainsi, ∀ x ∈ R, f −1 (x) est infinie. Correction de l’exercice VI.2: (i) 1 sin(a)ch(b) + i cos(a) sh(b) = (eia − e−ia )(eb + e−b ) − (eia + e−ia )(eb − e−b ) 4i  1  ia−b e − e−ia+b = sin(a + ib). = 2i 



(ii) Si a, b ∈ R, alors : | sin(a + ib)|2 = (sin(a) ch(b))2 + (cos(a) sh(b))2

= sin2 (a)(1 + sh2 (b)) + (1 − sin2 (a)) sh2 (b)

= sin2 (a) + sh2 (b).

(iii) La somme de carrés de nombres réels précédente ne peut être nulle que si et seulement si sin(a) = 0 et sh(b) = 0, c’est-à-dire a ∈ πZ et b = 0. Donc sin(z) = 0 ⇐⇒ z ∈ πZ. Correction de l’exercice VI.3: Hα est la demi-droite issue de l’origine O et faisant un angle π + α avec l’axe [Ox). z1

1

×

b

α −3

−2

−1

O −1

eiα 1

2 ×

z2

17. Ce résultat se prolonge aisément : C \ E est connexe dans C pour toute partie E finie. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 75

TD no 2

VI.3 Correction des exercices

(i) Hα est fermée donc C \ Hα est ouvert.

Si C \h Hα n’est pas connexe alors il existe un point z de C \ Hα tel que le segi iα ment e , z intersecte la demi-droite Hα en un point ω dont l’affixe est décrite par l’équation : (1 − λ)eiα + λz = −reiα . Comme eiα ∈ / Hα , le réel λ ne peut être nul. D’où z=

1 + r − λ iα e ∈ Hα λ

et la contradiction avec l’hypothèse de départ z 6∈ Hα . L’ensemble C \ Hα est donc étoilé par rapport à eiα . (ii) Deux point z1 , z2 quelconques de C toujours être joints par le chemin h i h \ Hα ipeuvent continu formé des deux segments z1 , eiα et eiα , z2 donc C \ Hα est connexe par arcs donc connexe. (iii) (a) Montrons tout d’abord que l’application ϕ : ] − π, π[ θ

ϕ

Uα eiθ

est un homéomorphisme de ] − pi, π[ sur Uα où l’on a noté n

o





Uα = z ∈ C \ Hα / |z| = 1 = C \ Hα ∩ S1 . il suffit pour cela de montrer que ϕ est une application fermée 18 . Soit alors F une partie fermée de ] − pi, π[, c’est aussi une partie compacte dont l’image par ϕ, continue dans Uα est aussi compacte. Comme Uα est séparée, on en déduit que ϕ(F ) est fermée et le résultat. En notant alors ψ l’inverse de ϕ, on remarque que argα = ψ ◦ s, ϕ où s est définie par s : C \ Hα Uα . z z |z| La continuité de argα sur C \ Hα résulte alors de celle de ψ et s. Θ − argα est définie et continue dans C \ Hα et prend des (b) L’application h = 2π valeurs entières. Comme C \ Hα est connexe d’après ((ii)), son image par h est connexe dans Z. Or, les seules parties connexes de Z muni de la topologie discrète, sont les parties  réduites  an un o seul élément c’est-à-dire qu’il existe donc un entier k ∈ Z tel h C \ Hα = k . On en déduit le résultat. Correction de l’exercice VI.4: Il suffit de vérifier que f est dérivable au sens complexe. Pour tout z 6= 0 : 1 −1 1 f (w) − f (z) = lim w z = lim w→z w − z w→z w − z w→z w−z

lim



z−w wz



=−

1 . z2

18. L’image de toute partie fermée est une partie fermée.

76 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Correction des exercices

La fonction f est bien holomorphe sur C \ {0} avec f ′ (z) = −

1 . z2

Correction de l’exercice VI.5: Considérons le produit f g. En utilisant la définition même de la dérivée, on a : 1 g(z + h) − g(z) f (z + h) − f (z) f (z + h)g(z + h) − f (z)g(z) = f (z + h) + g(z) h h h ′ ′ −→ f (z)g (z) + g(z)f (z). 



h→0

Autre manière : 

′

f (z + h)g(z + h) = f (z) + f (z)h + hε(h) 

′



′

g(z) + g (z)h + hε(h) 

′



= f (z)g(z) + f (z)g (z) + f (z)g(z) h + hε(h) . D’où (f g)′(z) = f (z)g ′ (z) + f ′ (z)g(z). Correction de l’exercice VI.6: On procède de la même façon que pour la correction de l’exercice VI.5 en s’assurant que dans un voisinage de g(z0 ) 6= 0, on ait g(z) et g(z + h) non nuls, ce qui est assuré par la continuité de g en z0 . On a alors : f (z) + f ′ (z)h + hε(h) ! g ′(z) g(z) 1 + h + hε(h) g(z) !   g ′(z) 1 ′ 1− h + hε(h) = f (z) + f (z)h + hε(h) g(z) g(z) f (z) f ′ (z)g(z) − g ′ (z)f (z) = + h + hε(h) g(z) g 2(z) = ...

f (z + h) = g(z + h)

Correction de l’exercice VI.7: On utilise de nouveau la définition de la dérivée, d’abord pour f en z puis pour g au point f (z) : f (z + h) = f (z) + f ′ (z)h + hε(h). Notons wh = f ′ (z)h + hε(h). Alors (et comme dans les exercices précédents on utilise « epsilon » pour n’importe quelle fonction tendant vers zéro lorsque sa variable tend vers zéro) :         g f (z + h) = g f (z) + wh = g f (z) + g ′ f (z) wh + wh ε(wh ). Ainsi :

   1  wh g f (z + h)) − g(f (z) = g ′ f (z) + ε(wh ) . h h wh Lorsque h → 0, on a wh → 0, donc ε(wh ) → 0 et par ailleurs → f ′ (z). Au final h 



 



(g ◦ f )′ (z) = lim g ′ f (z) + ε(wh ) h→0







  wh = g ′ f (z) f ′ (z). h

Correction de l’exercice VI.8: Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 77

TD no 2

VI.3 Correction des exercices

(i) La fonction f (z) = z n’est nulle part holomorphe car  h 1 f (z + h) − f (z) = , h h qui n’a pas de limite lorsque h → 0.

z+z , la fonction z 7−→ Re z n’est pas plus holomorphe que la (ii) Comme Re z = 2 précédente. Ce raisonnement s’applique aussi à z 7→ Im z. Nous reviendrons à ce genre d’applications dans l’exercice VI.14. Correction de l’exercice VI.9: Pour éviter des raisonnements topologiques, supposons dans un premier temps que Ω soit le disque unité D(0, 1), et montrons que f est constante et égale à f (0). Si z ∈ D, alors le segment [0, z] ⊂ D (et c’est pour cette raison que l’on a pris Ω = D). On peut écrire Z z f ′ (z) dz = 0. f (z) − f (0) = 0

Seulement, ici il faut expliquer le sens de cette intégrale (non connue pour l’instant). Soit γ : [0, 1] → [0, z], γ(t) = tz, une paramétrisation du segment [0, z]. Alors, Z

z

0

′

f (w) dw = =

Z

1

0

Z

1

0

′

′

f (γ(t))γ (t) dt = 

′



Z

Re f (tz)z dt + i

1

0

Z

f ′ (tz)z dt 1

0





Im f ′ (tz)z dt = 0.

Dans le cas d’un ouvert connexe Ω quelconque, le précédent raisonnement montre qu’au voisinage de tout point z0 ∈ Ω la fonction f est constante. C’est donc une propriété ouverte. Autrement dit, si z0 ∈ Ω est un point quelconque, l’ensemble E = {z ∈ Ω ; f (z) = f (z0 )}

est un ouvert. Pour conclure il faut établir que E est aussi un fermé de Ω (topologie n o −1 f (z0 ) est l’image d’un fermé par la induite ! !). Or ceci est évident puisque E = f

fonction continue f . Notons enfin que E = 6 ∅ puisque z0 ∈ E. Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés du connexe Ω étant l’ensemble vide et Ω, on a Ω = E. La fonction f est constante sur Ω. Si Ω n’est pas connexe, f peut prendre différentes valeurs sur les différentes composantes connexes de Ω.

Correction de l’exercice VI.10: Il est clair qu’une application définie par (VI.2.28) est R-linéaire. De plus, dans ce cas, α et β sont alors solutions du système  α + β

iα − iβ

= u(1) = u(i)

(VI.3.29)

Réciproquement, si u est R-linéaire, il suffit de la connaître sur une base 19 du R-espace vectoriel C. Le déterminant du système (VI.3.29) est non nul. On peut donc correctement définir le couple (α, β) comme solution de celui-ci. On a alors : ∀ z ∈ C, u(z) = u(x + iy) = xu(1) + yu(i) = x(α + β) + iy(α − β) = α(x + iy) + β(x − iy) = αz + β z¯.

, x et y sont réels

19. Par exemple, (1, i) !

78 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Correction des exercices

Remarque : De telles applications sont holomorphes si et seulement si β = 0. C’est exactement la différence entre la R-différentiabilité et l’holomorphie ou C-différentiabilité. En effet, nous verrons que les équations ! de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l’équation ∂ 1 ∂ ∂ ∂ . Un calcul simple montre que dans ce cas f (z) = 0 où = +i ∂z ∂z 2 ∂x ∂y β=

∂f ∂f (z) et α = (z) ∂z ∂z

!

1 ∂ = avec ∂z 2

∂ ∂ . Ce qui se traduit par : −i ∂x ∂y ∂f ∂f (z) = 0. Dans ce cas f ′ (z) = (z). f est C-différentiable en z si et seulement si β = ∂z ∂z

Correction de l’exercice VI.11: On notant f = P + iQ, on a P (x, y) = x2 y et Q(x, y) = y. Calculons les dérivées partielles intervenant dans les conditions de CauchyRiemann : ∂Q (x, y) = 1 ∂y ∂Q (x, y) = 0 ∂x

∂P (x, y) = 2xy ∂x ∂P (x, y) = x2 ∂y

Posons alors H = {z = x + iy ∈ C, 2xy = 1}. Pour z ∈ C \ H,

∂P ∂Q (x, y) 6= (x, y) donc ∂x ∂y

∂Q ∂P (x, y) 6= − (x, y). ∂y ∂x L’application f n’est donc holomorphe en aucun point de C. f n’y est pas holomorphe et pour z ∈ H,

Correction de l’exercice VI.12: (i) La formule de Taylor avec reste intégral s’écrit, sous les bonnes conditions sur g : g (n) (a) g(b) = g(a) + g (a)(b − a) + ... + (b − a)n + n! ′

Z

b a

(b − t)n (n+1) g (t) dt n!

puis on remplace avec a = 0 et b = 1. (ii) Si f ′ = f et si f est n-fois dérivable au sens complexe, alors f (n) (z + h) − f (n) (z) f (n−1) (z + h) − f (n−1) (z) = lim = f (n) (z). h→0 h→0 h h lim

Par récurrence on en déduit, d’une part, que f est infiniment dérivable et, d’autre part, que f (n) (z) = f (z) pour tout n > 0. En particulier, f (n) (0) = 1 pour tout n > 0. (iii) En utilisant la formule de Taylor de la question précédente on a donc n X f (z) −



Z 1 (1 − u)n (n+1) z k n+1 6 |z| |f (uz)| du n! 0 k=0 k!

6 |z|n+1 sup |f (n+1) (w)| |w|6|z|

Z

0

1

(1 − u)n |z|n+1 du 6 sup |f (w)| . n! (n + 1)! |w|6|z|

A z ∈ C fixé, cette dernière expression tend vers 0 lorsque n → ∞. +∞ X zk . D’où f (z) = k=0 k! Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 79

TD no 2

VI.3 Correction des exercices

zk . Alors : k! ak+1 1 = |z| −−−−→ 0 ak k + 1 k→+∞

(iv) (a) Fixons z ∈ C et notons ak =

D’après le critère de D’Alembert, le rayon de convergence de cette série est +∞. En particulier, F est holomorphe sur C. (b) Une série entière est dérivable sur son disque de convergence donc ∀ z ∈ C, X kz k−1 = F (z). D’où F ′ (0) = F (0) = 1. F ′ (z) = k! k>1 (c) Les séries F (z) et F (w) étant absolument convergente sur C, leur produit de Cauchy est également convergent et on peut permuter les sommes : ∞ k X z j w k−j 1 X k! F (z)F (w) = = z j w k−j k=0 j=0 j! (k − j)! k=0 k! j=0 j!(k − j)! ∞ X k X

=

∞ X

1 (z + w)k = F (z + w). k=0 k!

(d) Grâce à la question précédente, pour tout z ∈ C : F (h) − F (0) F (z + h) − F (z) = lim F (z) × = F (z) × F ′ (0) = F (z). h→0 h→0 h h lim

Correction de l’exercice VI.13: On a exp z = P (z) + iQ(z) avec P (z) = ex cos y et Q(z) = ex sin y qui sont deux fonctions R-différentiables avec ∂P ∂Q (x, y) = ex cos y = (x, y) ∂x ∂y ∂Q ∂P (x, y) = −ex sin y = − (x, y) ∂y ∂x Les conditions de Cauchy-Riemann sont donc réalisées, z 7−→ exp z est holomorphe sur C et on a : ∂ exp ∂P ∂Q = (x, y) + i (x, y) ∂x ∂x ∂y = ex cos y + iex sin y = exp z.

∀ z ∈ C, exp′ z =

Correction de l’exercice VI.14: Soit f (z) = u(z) + iv(z) pour z ∈ U. Si f ne prend que des valeurs réelles, alors v ≡ 0. On tire des équations de Cauchy-Riemann ∂v ∂u = ≡0 ∂x ∂y

et

∂u ∂v =− ≡ 0. ∂y ∂x

!

1 ∂f ∂f ∂f (z) = 0 : la dérivée de f est identiquement nulle (z) = −i D’où f ′ (z) = ∂z 2 ∂x ∂y sur l’ouvert connexe Ω ce qui implique que f est constante. 20 Correction de l’exercice VI.15: 20. Cf. exercice VI.9.

80 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Correction des exercices

(i) Il suffit de calculer ; ∂2u = −2e−x sin y + xe−x sin y − ye−x cos y ∂x2 ∂2u = −xe−x sin y + 2e−x sin y + ye−x cos y ∂y 2 D’où ∆u =

∂2u ∂2u + = 0 et u est harmonique sur R2 . ∂x2 ∂y 2

(ii) Comme f est cherchée holomorphe, elle doit satisfaire aux équations de CauchyRiemann : ∂u ∂v = = e−x sin y − xe−x sin y + ye−x cos y ∂y ∂x ∂v ∂u =− = −e−x cos y − xe−x cos y − ye−x sin y ∂x ∂y

(VI.3.30) (VI.3.31)

En intégrant (VI.3.30) par rapport à y, x étant constant, on obtient : v = −e−x cos y + xe−x cos y + e−x (y sin y + cos y) + ϕ(x) = ye−x sin y + xe−x cos y + ϕ(x),

(VI.3.32)

où ϕ est une fonction réelle arbitraire de x. Par substitution de (VI.3.32) dans (VI.3.31), on obtient : −ye−x sin y − xe−x cos y + e−x cos y + ϕ′ (x) = −ye−x sin y − xe−x cos y + e−x cos y ϕ′ (x) = 0. La fonction ϕ est donc constante à un réel λ et on a finalement trouvé : ∀ λ ∈ R,

v = e−x sin y + xe−x cos y + λ.

(iii) A une constante additive près, ∀ zi nC, on a : f (z) = u + iv = e−x (x sin y − y cos y) + ie−x (sin y + x cos y) −x

=e

eiy − e−iy eiy + e−iy x −y 2i 2

!

−x

+ ie

eiy − e−iy eiy + e−iy y +x 2i 2

!

= i(x + iy)e−(x+iy) = ize−z . Correction de l’exercice VI.16: (i) En utilisant les relations de Cauchy, on trouve aisément 1 ∂Q ∂P = ∂r r ∂θ

et

∂Q 1 ∂P =− ∂r r ∂θ

(ii) Ces conditions sont vérifiées par la fonction Log. Sa dérivée est

Fabien PUCCI

1 . z

L3 - Analyse Complexe

- 81

VI.3 Correction des exercices

82 - L3 - Analyse Complexe

TD no 2

Fabien PUCCI

CHAPITRE III FONCTIONS ANALYTIQUES

Sommaire I

Séries Entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

II

Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

III

Conséquences de l’analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

IV

Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

I

Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

C

e chapitre reprend les idées que Weierstrass développa en son temps : il consiste simplement à voir les fonctions de la variable complexe à travers leur représentation locale en sommes de séries entières. X Une série entière étant une série de fonctions de la forme an z n , le lemme d’Abel (III I.1.2) montre très simplement que le domaine de convergence d’une telle série est un 1 disque D(0, R) dont le rayon est donné par la formule de Hadamard R = 1 . lim sup |an | n Suivant Weierstrass, une « bonne » fonction de variable complexe est une fonction f , définie sur un ouvert U de C, telle que, pour tout point zo de U, il existe une série entière X an z n de rayon de convergence R > 0 dont la somme centrée en zo est égale à f dans un voisinage ouvert de z0 , soit f (z) =

+∞ X

n=0

an (z − z0 )n .

De telles fonctions s’appellent des fonctions analytiques sur U. Les fonctions usuelles, comme l’exponentielle complexe, les fonctions trigonométriques et les fonctions hyperboliques sur lesquelles nous reviendrons au chapitre (IV ) sont analytiques sur C. Plus généralement, on montre en (III II.3.6) page 99 que la somme d’une série entière définit une fonction analytique à l’intérieur de son disque de convergence. Ce résultat n’est pas une évidence : si l’on fixe un point zo du disque de convergence, on doit alors montrer que la somme de la série initiale s’exprime localement comme somme d’une autre série centrée en z0 , dont les coefficients diffèrent a priori de ceux de la première. Les fonctions analytiques possèdent de remarquables propriétés, qui les distinguent radicalement des fonctions de classe C ∞ à deux variables réelles. Par exemple et non des moindres, lorsque leur ouvert de définition U est connexe, elles sont complètement déterminées par leurs valeurs sur une partie de U de la forme {zm , m ∈ N}, où (zm )m∈N 83

TD no 2

I.1 I. Séries Entières

est une suite d’éléments de U qui possède une valeur d’adhérence. C’est le théorème des zéros isolés (III III.1.4) ou principe du prolongement analytique (III III.2.7). La notion de série entière est donc tout naturellement à la base de l’étude. Ce chapitre commence donc par rappeler rapidement leurs principales propriétés avant de définir les fonctions analytiques proprement dite c’est-à-dire développables en séries entières au voisinage de tout point de leur ouvert.

I Séries Entières Ce premier paragraphe est un prolongement de l’étude des séries de fonctions débutée au chapitre (I )V page 28. Il s’attache à redémontrer rapidement les quelques propriétés importantes des séries entières et propres à celles-ci qui nous seront utiles par la suite.

I.1 Disque de convergence Définition III I.1.1. X

On appelle série entière de la variable z toute fonction de la forme an z n où (an )n∈N est une suite d’éléments de C. On désignera par D, le domaine de convergence de la série Xentière c’est-à-dire l’ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série an z n est convergente. f (z) =

∀ z ∈ D,

+∞ X

an z n .

n=0

Remarque: D est non vide puisqu’il contient toujours 0. Exemples:Un polynôme est un cas très particulier et sans intérêt de série entière. Par contre, une série géométrique est le premier cas de série entière rencontré dans le cadre des séries numériques. Plus précisément : ∀ |z| < 1,

+∞ X

n=0

zn =

1 , 1−z

Le domaine de convergence est ici le disque ouvert de centre l’origine et de rayon 1 1 . Lemme III I.1.2 (Lemme d’Abel). Soit

X

an z n une série entière et z0 ∈ C tel que la suite (an z0n )n∈n soit bornée. Alors

(i) ∀ z ∈ C, |z| < |z0 |, la série

X

an z n est absolument convergente.

(ii) Pour tout r tel que 0 < r < |z0 |, la série de fonctions convergente.

X

an z n est normalement

Preuve: Soit M un majorant de |an z0n |. Les propriétés ((i)) et ((ii)) découlent de la majoration n n z |an z n | 6 M z , 0 z z0 0

|an z n | 6

(I.1.1)

1. La convergence est même uniforme sur tout sous-ensemble fermé du disque

84 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Disque de convergence

où le dernier membre de l’inégalité (I.1.1) est le terme général d’une série géométrique convergente. 

Ce lemme simple montre quelle est la forme du domaine de définition de la série : c’est un disque. L’assertion (ii) est une conséquence importante qui mérite d’être reformulée : Corollaire III I.1.3. Si une série entière converge en un point z0 alors elle converge normalement sur tout le disque ouvert de centre O et de rayon |z0 |.

z0 b

0
1 et dans le cas contraire 1 6∈ I et R 6 1. Avec ces dernières définitions et le lemme d’Abel, nous pouvons un peu préciser les propriétés :

Théorème III I.1.5. Soit

X

an z n une série entière, R son rayon de convergence.

(i) Pour tout z ∈ C tel que |z| < R, (ii) Pour tout z ∈ C tel que |z| > R,

X

X

an z n converge absolument. an z n diverge (grossièrement).

X

(iii) Pour tout r tel que 0 6 r < R, la série an z n converge normalement sur D(0, r). En particulier la somme d’une série entière est continue sur son disque de convergence.

Attention, on n’affirme rien quant à la nature de la série que |z| = R.

X

an z n pour tout z ∈ C tel

Preuve: Grâce à la majoration (I.1.1), seule reste à démontrer l’assertion (ii) : Si z ∈ C est
tel que |z| > R alors, par définition de R, |an ||z|n ne peut être bornée et a fortiori an z n n∈N X

ne peut converger vers 0 donc an z n diverge. La continuité de la somme d’une série entière est une conséquence de la convergence normale sur tout compact contenu dans son disque de convergence. 

Ce théorème permet de classer les nombres complexes en deux catégories : l’une où la somme est convergente voire normalement convergente avec toutes les propriétés topologiques et analytiques qui en découlent et une autre où il n’y a pas convergence. A la frontière, reste une zone limite où les comportements fluctuent suivant les directions et les propriétés de la suite (an )n∈N 2 . +∞ +∞ +∞ X X zn X zn 1 1 , (−1)n z n = , et ont 1 − z n=0 1 + z n=0 n2 n=0 n n=0 1 comme rayon de convergence. Elles convergent donc toutes sur le disque unité ouvert tout en ayant des comportements très divers sur sa frontière. On gardera donc bien en tête que la convergence sur tout le disque fermé de convergence est loin d’être acquise. +∞ X zn converge Grâce à la transformation d’Abel, on montre, par exemple, que la série n=0 n pour tout élément du cercle de convergence différent de 1.

Remarque: Les séries

+∞ X

zn =

2. Le lecteur ou l’étudiant intéressé par ces questions pourra regarder les théorèmes de Tauber et de convergence radiale d’Abel par exemple.

86 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Détermination pratique du rayon de convergence

I.2 Détermination pratique du rayon de convergence On trouve en général le rayon de convergence grâce aux critères suivants : Proposition III I.2.6. (i) Si

(ii) Si

1 admet une limite ℓ alors R = . ℓ

(Critère de d’Alembert).

1 |an | admet une limite ℓ alors R = . ℓ

(Critère de Cauchy).

an+1

an

q n

Preuve: a n+1 n+1 z (i) Pour tout z ∈ C, lim = ℓ|z|. D’après le critère de D’Alembert (I V.2.7) page 30 an z n X an z n diverge c’est-à-dire R 6 1 . pour les séries numériques, si ℓ|z| > 1 alors la série

ℓ

X an z n converge et R > 1 . Si ℓ|z| < 1 alors la série

ℓ

1 Conclusion, R = . ℓ

(ii) Le raisonnement est identique en utilisant le critère de Cauchy (I V.2.7) page 30 pour les séries numériques. 

Ces deux derniers critères sont les plus utilisés en pratique pour calculer des rayons de convergence 3 . Cependant, il peut arriver que les limites considérées n’existent pas. On peut alors avoir recours à une formule explicite du rayon de convergence dite formule de Hadamard : Proposition III I.2.7 (Formule d’Hadamard). R=

1 lim sup n∈N

Preuve: Tout d’abord, si la suite lim sup n∈N

q n

q n



|an |

q n

|an |

.4

(I.2.3)

n’est pas majorée ou, de manière équivalente, n∈N

|an | = +∞. Il en est de même de la suite

q n

|an

zn|



pour tout nombre complexe

n∈N

3. On prendra bien garde à ce que les réciproques de ces deux critères sont fausses ! ¯ = R ∪ {±∞} est le sup dans R ¯ des 4. La limite supérieure d’une suite (an )n∈N d’éléments de R valeurs d’adhérence de la suite (an )n∈N , noté lim (an ) ou lim sup(an ) et que l’on peut définir de manière n∈N  n∈N   ¯ décroît). équivalente comme le nombre lim sup ak (qui existe toujours dans R car sup ak n→+∞

k>n

k>n

Tout majorant d’une suite est alors supérieur à la limite supérieure de cette suite :

n∈N

x > ak , ∀ k ⇒ x > sup ak , ∀ n ∈ N ⇒ x > lim sup ak = lim(an )n∈N . k>n

Fabien PUCCI

n→+∞ k>n

L3 - Analyse Complexe

- 87

TD no 2

I.3 Opérations sur les séries entières

z ∈ C∗ et la série

X

n∈N 

la même manière si

|an z n | est divergente d’après (III I.1.2) c’est-à-dire R = 0 = 

q n

|an |

est majorée, il en est de même de

n∈N

q n



|an z n |

1 . De +∞ pour tout

n∈N

nombre complexe z ∈ C∗ . On peut alors appliquer le critère de Cauchy (III I.2.6) précédent : • •

X

n∈N

X

n∈N

q

|an z n | est convergente si lim sup |z| n |an | < 1 donc R > n∈N

|an z n | est divergente si lim sup |z| n |an | > 1 donc R 6

Conclusion, R =

1 lim sup n∈N

1 lim sup n∈N

n

|an | .

q n

.

q

|an |

.

q n

lim sup n∈N

q

n∈N

1



|an |

I.3 Opérations sur les séries entières Comme pour les fonctions polynomiales, on peut définir sur l’ensemble des séries entières les opérations suivantes : (i) La somme des séries entières

X

an z n et

X

X

bn z n est la série entière

X

X



an + bn z n .

X

(ii) Le produit des séries entières an z n et bn z n est la série entière cn z n , où les coefficients cn sont définis pour tout entier naturel n par la relation de Cauchy : cn =

n X

ak bn−k .

k=0

(iii) La série dérivée de la série entière

X

an z n est la série entière

X

nan z n−1 .

an n+1 z . n+1 Ces séries sont, pour l’instant, définies d’un point de vue purement formel. Il faudra user d’autres artifices que leur simple écriture pour prouver leur existence. Insistons encore en disant que les séries (iii) et (iv) n’ont, pour l’heure, aucun lien différentiel avec la série X an z n . (iv) La série primitive de la série entière

X

an z n est la série entière

X

Théorème III I.3.8. X

X

Soient an z n et bn z n deux séries entières dont les rayons de convergence sont respectivement R etR′ . On désigne par ρ le rayon de convergence de la série entière X an + bn z n . somme (i) Si R 6= R′ , alors ρ = min(R, R′ ).

(ii) Si R = R′ , alors ρ > min(R, R′ ). De plus, pour |z| < min(R, R′ ) : +∞ X

n=0

88 - L3 - Analyse Complexe





an + bn z n =

+∞ X

n=0

an z n +

+∞ X

bn z n .

(I.3.4)

n=0

Fabien PUCCI

TD no 2

Opérations sur les séries entières X

X

Preuve: Si |z| < min(R, R′ ), d’après (III I.1.5), les séries an z n et bn z n sont absolument convergentes donc il en est de même de la série somme et on a ρ > min(R, R′ ). De plus, la relation (I.3.4) est clairement vérifiée. que 0 < R 6 R′ . Pour tout réel positif r tel queX R < r < R′ , la série X Supposons
n an r n et d’une converan + bn r est divergente comme somme d’une série divergente gente. D’où ρ 6 min(R, R′ ) = R et l’égalité ρ = min(R, R′ ) si R 6= R′ . 

Théorème III I.3.9. X

X

Soient an z n et bn z n deux séries entières dont les rayons de convergence sont respectivement R et R′ . On désigne ! par ρ le rayon de convergence de la série entière

produit

X

cn z n =

n X

X

ak bn−k z n .

k=0

Alors, ρ > min(R, R′ ) et pour |z| < min(R, R′ ) : +∞ X

an z n

n=0

!

+∞ X

!

bn z n =

n=0

+∞ X

n=0

n X

!

ak bn−k z n .

k=0

(I.3.5)

Preuve: Le cas où l’un des deux rayons de convergence est nul est évident. On suppose donc désormais que R et R′ sont strictement positifs. Pour tout réel r tel que 0 6 r < min(R, R′ ) et pour tout entier n ∈ N, on a : n n X X k n−k |cn r | = ak r bn−k r 6 ak r k bn−k r n−k k=0 k=0 ! n ! n X X k n−k 6 ak r bn−k r n

6

k=0 +∞ X

k=0




La suite |cn r n |

ni nN

ak r k

!

k=0 +∞ X

k=0

bk r k

!

< +∞

est donc bornée. D’après le lemme d’Abel (III I.1.2), ρ > min(R, R′ ).

Pour |z| < min(R, R′ ), les séries

X

an z n et

X

bn z n sont absolument convergentes d’après

(III I.1.5), donc leur produit est égal au produit de Cauchy de que la relation (I.3.5) est vérifiée.

X

an z n et

X

bn z n c’est-à-dire 

Théorème III I.3.10.

X

R.

X

an z n une série entière de rayon de convergence R. La série dérivée X an nan z n−1 et la série primitive z n+1 ont le même rayon de convergence n+1

Soit

Preuve: Comme X

X

X

an z n et sa série dérivée nan z n−1 rayon de convergence respectif. Fabien PUCCI

an n+1 z , il suffit de montrer qu’une série n+1 ont même rayon de convergence. Notons R et R′ leur

an z n est la série dérivée de

X

L3 - Analyse Complexe

- 89

TD no 2

I.3 Opérations sur les séries entières

• Pour tout réel r tel que 0 6 r < R′ , la suite (nan r n−1 )n∈N est bornée donc (an r n )n∈N aussi en vertu de la majoration :

|an r n | 6 |nan |r n = r|nan |r n−1 .

Donc r 6 R et on en déduit R′ 6 R.

• Réciproquement, soit r < R et fixons r0 tel que r < r0 < R. On a :

nan r

n−1




r n an r0n = r0 r0

n−1

(I.3.6)

.





n r n = 0 car r0 < r. Dans l’inégalité (I.3.6), la suite est bornée et lim n→+∞ r0 r0
La suite nan r n−1 n∈N est donc bornée et d’après le lemme d’Abel (III I.1.2), r < R′ c’est-à-dire R 6 R′ .
an r0n n∈N

On a donc démontré le théorème : R = R′ .



Par récurrence, on montre alors facilement le corollaire suivant :

Corollaire III I.3.11. X

Une série entière an z n et ses séries dérivées ont toutes le même rayon de convergence.

90 - L3 - Analyse Complexe

X

n(n − 1) . . . (n − p + 1)an z n−p

Fabien PUCCI

TD no 2

Holomorphie de la somme d’une série entière

I.4 Holomorphie de la somme d’une série entière X

La somme d’une série entière an z n , de rayon de convergence ρ > 0, est définie sur un disque ouvert D(0, ρ) de C. Il est donc possible de parler de sa dérivée au sens de (II II.1.1) page 52 en tout point z0 ∈ D(0, ρ).

Plus précisément, la proposition suivante montre que la somme d’une série entière est holomorphe en tout point de son disque de convergence.

Proposition III I.4.12. X

La somme f de la série entière pour tout z ∈ D(0, ρ) et on a :

an z n , de rayon ρ, est dérivable au sens complexe

∀ z ∈ D(0, ρ),

f ′ (z) =

+∞ X

nan z n−1 .

n=1

Preuve: D’après le théorème (III I.3.10), on sait déjà que

X

an z n et

X

rayon de convergence ρ. Pour tout élément z ∈ D(0, ρ), on pose g(z) =

nan z n−1 ont le même

+∞ X

nan z n−1 .

n=1

Soit z0 ∈ D(0, ρ) et soit r un réel tel que |z0 | < r < ρ de sorte que f (z0 ) et g(z0 ) sont bien définis. De même, soit h ∈ C tel que |h| 6 r − |z0 | de sorte que |z0 + h| 6 |z0 | + |h| 6 r et f (z0 + h) est bien défini. On a alors :

z0

r

b

|h| b

b

O

z0 + h ρ

Figure I.4.2 – Holomorphie de la somme d’une série entière. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 91

TD no 2

I.4 Holomorphie de la somme d’une série entière

f (z0 + h) − f (z0 ) − g(z0 ) = h = = =

+∞ X

n=1

+∞ X

n=1 +∞ X

n=1 +∞ X

h i an (z0 + h)n − z0n h

−

+∞ X

nan z0n−1

n=1

an (z0 + h)n−1 + (z0 + h)n−2 z0 + . . . + z0n−1 an (z0 + h)

n−1

+ (z0 + h)

n−2

!

z0 + . . . + (z0 +

−

+∞ X

nan z0n−1

n=1

h)z0n−2

− (n −

1)z0n−1

!

un (z0 , h).

n=1

Comme |z0 | < r et |z0 + h| < r, on a un (z0 , h) 6 2n|an |r n−1 ,

(I.4.7)

qui est le terme d’une série convergente lorsque r < ρ. La série de terme général un (z0 , h) est donc normalement convergente donc convergente. On peut alors scinder sa somme en deux termes : +∞ X

un (z0 , h) =

n=1

N X

un (z0 , h) +

n=1

+∞ X

un (z0 , h).

(I.4.8)

n=N +1

Soit ε > 0 quelconque fixé. • Comme ∀ n > 1, un (z0 , 0) = 0, le premier terme de (I.4.8) qui est une somme finie s’annule pour h = 0, c’est-à-dire qu’il existe un réel positif η(z0 , ε) tel que : |h| < η

=⇒

N X ε un (z0 , h) 6 . 2 n=1

(I.4.9)

• Comme r < ρ, le reste de la série de terme général n|an |r n−1 converge vers 0 5 , c’est-à-dire qu’il existe un entier n0 (ε) ∈ N tel que, d’après (I.4.7) :

n > n0

=⇒

+∞ X un (z0 , h) 6 n=N +1

+∞ X

n=N +1

|un (z0 , h)| 6 2

+∞ X

ε n|an |r n−1 6 . (I.4.10) 2 n=N +1

Finalement, si |h| < min(r − |z0 |, η) et n > n0 , (I.4.9) et (I.4.10) entraîne

La série

X

f (z0 + h) − f (z0 ) − g(z0 ) 6 ε. h

an z n est donc holomorphe en z0 et on a f ′ (z0 ) =

Exemple:f (z) =

+∞ X

nan z0n−1 .



n=0

X

1 . 1−z a pour rayon de convergence 1 et que sa somme est

z n a pour rayon de convergence 1 et pour tout |z| < 1, f (z) = X

On en déduit que la série nz n−1 1 sur le disque unité ouvert. f ′ (z) = (1 − z)2

5. A l’intérieur de son disque de convergence, une série converge absolument.

92 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

II. Fonctions analytiques

Corollaire III I.4.13. X

La somme f d’une série entière an z n est indéfiniment dérivable au sens complexe dans son disque ouvert de convergence, ses séries dérivées ont toutes le même rayon de convergence et on a :

∀ z ∈ D(0, ρ),

+∞ X

f (p) (z) =

n=p

=

+∞ X

n(n − 1) . . . (n − p + 1)an z n−p

(n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)an+p z n

(I.4.11)

n=0

De plus, Les coefficients an sont complètement déterminés par la somme de la série et la formule : an =

1 (n) f (0). n!

(I.4.12)

Remarque: La relation (I.4.12) entraîne que si le développement en série entière existe, il est unique sur le disque de convergence. Preuve: XUne simple récurrence sur la proposition (III I.4.12) montre que la somme f d’une série entière an z n est indéfiniment dérivable au sens complexe et que les rayons de convergence de toute ses dérivées sont égaux. Le corollaire (III I.3.11) permet alors d’obtenir la relation (I.4.11) sur le disque de convergence puis, en évaluant pour z = 0, on obtient (I.4.12). 

II Fonctions analytiques II.1 Un exemple pour comprendre X

Considérons la série entière (−1)n z 2n . D’après le critère de D’Alembert, on calcule rapidement son rayon de convergence et, en reconnaissant la série géométrique de raison −z 2 , on a l’égalité : ∀ z ∈ D(0, 1),

+∞ X

(−1)n z 2n =

n=0

1 . 1 + z2

Cette fonction simple permet de comprendre pourquoi le plan complexe est le cadre naturel d’étude des séries entières. X En effet, la série entière d’une variable réelle (−1)n x2n converge vers la fonction 1 f : x 7−→ sur l’intervalle ouvert ] − 1, 1[ où elles coïncident. 1 + x2 La fonction f étant continue sur R, il est naturel de vouloir prolonger cette égalité à la droite réelle toute entière. Or, si l’on trace les premiers termes de la série 6 , la figure (II.1.3) montre que la série converge vers f seulement et seulement sur l’intervalle ] − 1, 1[. Ce phénomène était assez déstabilisant et contre intuitif au début de l’histoire de l’analyse réelle. Le jeune étudiant 6. dite de Mac-Laurin. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 93

TD no 2

II.2 Un exemple pour comprendre

y

1

O Figure II.1.3 –

X

x

1

(−1)n x2n converge vers

1 sur ] − 1, 1[ 1 + x2

trouve tout aussi déroutant d’appeler le segment ] − 1, 1[, le disque de convergence alors qu’un segment est, somme toute, assez plat. Ce qui est contre-intuitif et contre-étymologique sur l’axe réel ne l’est plus lorsqu’on passe dans le plan complexe où l’on regarde la fonction de la variable complexe

z 7−→

1 1 = . 2 1+z (z + i)(z − i)

Celle-ci admet deux pôles, i et −i, qui sont à la distance 1 de l’origine. Le disque de convergence est redevenu bien « rond » mais est coincé entre ces deux singularités que 1 tracée dans R3 . Il semble alors difficile l’on visualise bien sur la surface z 7−→ 2 1+z d’avoir un rayon supérieur à 1.

La solution vient en déplaçant Xle centre du cercle de convergence Xet en considérant non plus la série de Mac-Laurin an z n centrée en 0 mais la série an (z − z0 )n , dite de Taylor centrée en z0 . En s’éloignant suffisamment des pôles i et −i de la fonction f , il semble raisonnable de penser que la nouvelle série coïncidera avec f sur un disque de rayon aussi grand que le disque centré en z0 ne rencontre pas l’une des deux singularités. Le problème qui se pose est alors le suivant : est-il possible de développer f en série entière ailleurs qu’en l’origine ? et, si fait, que sera le nouveau rayon de convergence devenu ? De telles fonctions sont dites analytiques et c’est le sujet des prochaines parties.

94 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Holomorphie des fonctions analytiques 1 1 + z2

x 7−→

1 1 + x2

Re(z)

Re(z)

Im(z)

Im(z)

Figure II.1.4 – z 7−→ y



1 1 + z2

i 1 bc

O −i

1

z0 min(|z0 − i|, |z0 + i|) bc

x

Figure II.1.5 – Développement d’une série ailleurs qu’en l’origine

II.2 Holomorphie des fonctions analytiques Définition III II.2.1. Soient U ⊂ C un ouvert, f : U 7−→ C une application et z0 ∈ X U. On dit que f est analytique en z0 s’il existe une série entière an z n de rayon de convergence ρ > 0 et un réel r ∈]0, ρ] tels que pour tout z ∈ D(z0 , r) ∩ U on ait : f (z) =

+∞ X

n=0

an (z − z0 )n .

(II.2.13)

On dit que f est analytique sur U si elle est analytique en tout point de U 7 et on note traditionnellement O(U) leur ensemble 8 .

7. L’analyticité est donc une propriété locale. 8. pour l’instant ! Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 95

TD no 2

II.2 Holomorphie des fonctions analytiques

r b b

z0

ρ

z

b

U

O

Figure II.2.6 – Domaine d’analyticité

Quelques commentaires s’imposent : (i) Tout d’abord, pour des raisons d’existence de la série et de f (z), la nécessité de la condition z ∈ D(z0 , r) ∩ U est claire. Il serait dommage d’avoir une belle égalité entre deux termes dont l’un n’est pas sûr d’exister. (ii) Ensuite, même si les deux domaines d’existence de la série et de la fonction sont correctement déterminés, rien n’est dit sur leur domaine de coïncidence. Le disque de convergence peut, par exemple, ne pas être contenu dans U comme illustré en (Fig. II.2.6). (iii) Enfin, l’égalité (II.2.13), exprime simplement que f est développable en série entière au voisinage de tout point de U. Cependant, si l’on a prouvé en (III I.4.13) que ce développement est unique dans le disque D(z0 , r), rien ne dit que celui-ci sera identique à un développement centré en tout autre élément z1 de U. La définition même des fonctions analytiques permet de déduire de (III I.4.12) et (III I.4.13) une propriété fondamentale : Corollaire III II.2.2. Une fonction analytique sur U ainsi que toute ses dérivées sont holomorphes sur U. Preuve: L’holomorphie étant une propriété locale, il suffit de prouver que f est dérivable en un point quelconque z0 ∈ U. Comme f est analytique sur U, considérons son développement en X série entière an (z − z0 )n au voisinage de z0 . D’après (III I.4.12), cette série est dérivable sur son disque de convergence et on obtient : f ′ (z0 ) =

+∞ X

n=1

nan (z − z0 )n−1 .

f est donc bien holomorphe en z0 choisi quelconque donc sur U tout entier. L’existence des dérivées supérieures n’est qu’affaire de récurrence. 

Quant à lui, Le corollaire (III I.4.13) se traduit par : 96 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Exemples de fonctions analytiques

Corollaire III II.2.3. X

Soit f (z) = an (z − z0 )n le développement en série entière d’une fonction analytique en z0 . Pour tout n ∈ N, ∀ z ∈ V(z0 ),

f (p) (z) =

+∞ X

n=p

=

X

n∈N

n(n − 1) . . . (n − p + 1)an (z − z0 )n−p (n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)an+p (z − z0 )n

et f (n) (z0 ) = n!an .

On vient donc de prouver que

O(U) ⊂ H(U).

II.3 Exemples de fonctions analytiques Les polynômes Un polynôme P est une fonction analytique sur C puisqu’on peut le développer en tout point par sa formule de Taylor : P (z) =

+∞ X

1 (n) P (z0 )n(z − z0 )n , n! n=0

étant entendu que cette somme est finie.

Les fractions rationnelles 1 La fonction z 7−→ est analytique dans C \ {0}. En effet pour |z − z0 | < |z0 |, z0 6= 0, z on a :

1 1 1 1 = = z z z0 + z − z0 z0 1 + − z0 z0 X (−1)n n = n+1 (z − z0 ) . n∈N z0 Le rayon de la série étant égal à |z0 |. 9 9. Il est égal à la distance de z0 à C \ C∗ , complémentaire de l’ouvert d’analyticité C∗ qui se réduit ici à {0}. C’est un fait général sur lequel nous reviendrons. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 97

TD no 2

II.3 Exemples de fonctions analytiques

Proposition III II.3.4. Soient une fraction rationnelle mise sous forme irréductible f (z) = n

P (z) et Q(z)

o

Z(Q) = zi , 1 6 i 6 k / Q(zi ) = 0 , l’ensemble des pôles de f . Alors f est analytique sur Ω = C \ Z(Q) et pour tout z0 ∈ Ω, le rayon de convergence de la série de Taylor de f en z0 est n

o





min |z0 − zi |, zi ∈ Z(Q) = d z0 , Z(Q) .

16i6k

(II.3.14)

Preuve: La décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle ramène la question 1 . Pour |z − z0 | < |z0 − zi |, on a : aux fractions de la forme z − zi 1 1 1 1 = = z − zi z − z0 + z0 −i z0 − zi 1 + z − z0 z − zi n 0  X z − z0 1 (−1)n = z0 − zi n∈N z0 − zi =

(−1)n (z − z0 )n . n+1 (z − z ) 0 i n∈N X

La convergence de la série géométrique étant sous la condition |z − z0 | < |z0 − zi | pour chaque pôle, on obtient bien (II.3.14). Ici aussi, le rayon de la série est égal à la distance de z0 au complémentaire de l’ouvert d’analyticité. 

L’exponentielle En anticipant un peu sur le chapitre suivant, la fonction exponentielle est analytique dans C. Pour tout z0 ∈ C, on a : exp z = exp z0 × exp(z − z0 ) =

exp z0 (z − z0 )n . n! n∈N X

Les théorèmes (III I.3.8) et (III I.3.8) permettent de préciser la structure de O(U) : Proposition III II.3.5. L’ensemble des fonctions analytiques sur un ouvert U ⊂ C est une algèbre sur C pour les lois usuelles + et ×. Quant à la stabilité par la composition, même si l’on pourrait le démontrer en passant par les séries formelles, il semble plus judicieux d’attendre d’avoir prouver que les ensembles O(U) et H(U) coïncident afin de profiter des propriétés déjà prouvées en (II II.1.2) page 54. 98 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Exemples de fonctions analytiques

Les fonctions sommes de séries entières jouent un rôle particulièrement important dans la théorie. Il semble naturel de penser qu’elles sont analytiques dans leur disque de convergence. Ce n’est cependant pas une évidence. II s’agit en effet de montrer qu’une telle fonction se développe en série au voisinage de chacun des points du disque, alors que la série initiale ne donne le développement de la fonction qu’en son centre. On va tout de même montrer un résultat beaucoup plus précis : une série entière coïncide avec la somme de sa série de Taylor en tout point de l’intérieur de son disque de convergence : Théorème III II.3.6. X

Soit f (z) = an z n , la somme d’une série entière dont le rayon de convergence ρ est non nul. X 1 Pour tout élément z0 ∈ D(0, ρ), la série entière f (n) (z0 )z n a un rayon de n! convergence au moins égal à ρ − |z0 | et on a : 



f (z) =

∀ z ∈ D z0 , ρ − |z0 | ,

+∞ X

1 (n) f (z0 )(z − z0 )n . n=0 n!

(II.3.15)

Autrement dit, la somme d’une série entière est analytique sur son disque de convergence.

X

Preuve: D’après (III I.4.13), f (z) = an z n et ses dérivées successives f ′ , f ′′ , . . . , f (p) ont toutes le même rayon de convergence ρ et pour tout z0 ∈ D(0, ρ), les nombres f (p) (z0 ) =

X

n∈N

(n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)an+p z0n

sont bien définis. Toutes considérations de convergence mises à part, la série de Taylor est définie formellement par : X 1

p! p∈N

f (p)(z0 )(z − z0 )p =

X

p∈N

 

X (n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)

p!

n∈N

b

z



an+p z0n  (z − z0 )p

r b

z0

b

O

ρ

Figure II.3.7 – Analyticité de la somme d’une série entière Soit z0 ∈ D(0, ρ) fixé et un réel strictement positif r tel que |z0 |+r < ρ. Pour tout z ∈ D(z0 , r), considérons alors la série double de terme général un,p (z) défini par : Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 99

TD no 2

II.3 Exemples de fonctions analytiques

(n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1) an+p z0n (z − z0 )p . p!

un,p (z) =

Soit J une partie finie de N × N. Il existe un entier N ∈ N tel que ∀ (n, p) ∈ J, n + p 6 N ce qui nous donne la majoration :

p n + p =

+

N

n

N

p n

= p

12

+ n

= p

11

+ n

= 10

+ p n

= 9

+ p n

= 8

+ p n

= 7

+ p n

= 6

+ p n

= 5

+ p

J

=

n

4

+ p

n

3 =3 2n + p 1 =1 +

p

=

2

1 2 3

n

N

Figure II.3.8 – J finie ⊂ {n + p 6 N }

X

(n,p)∈J

|un,p (z)| 6 =

X

06n+p6N

X

06q6N

=

X

06q6N

6

06q6N

 

X

n+p=q



|un,p (z)|

 X X (n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)  an+p z0n (z − z0 )p  p!

06q6N

6

|un,p (z)| =

X

X

06q6N



n+p=q



|aq |  

X q(q − 1) . . . (q − p + 1)

p!

n+p=q

q

|aq | |z0 | + |z − z0 | 

|aq | |z0 | + r

q



|z0 |q−p |z − z0 |p 

< +∞.

LaXdernière inégalité étant vérifiée en vertu de la condition |z0 | + r < ρ imposée à r. La série un,p (z) est donc absolument donc commutativement convergente et on peut appliquer le théorème de sommation par tranches :

100 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Exemples de fonctions analytiques

• D’une part :

X

un,p (z) =

X X (n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)

p!

q∈N n+p=q

(n,p)∈N2

=

X

aq

=

q∈N

=

X

p!

n+p=q

q∈N

X

X q(q − 1) . . . (q − p + 1)

aq z0 + z − z0 aq z q = f (z).

an+p z0n (z − z0 )p

z0q−p (z − z0 )p


q

q∈N

• D’autre part :

X

un,p (z) =

X

p∈N

(n,p)∈N2

=

 

X 1

X (n + p)(n + p − 1) . . . (n + 1)

p!

n∈N

p! p∈N

f (p) (z0 )(z − z0 )p



an+p z0n  (z − z0 )p

Sous les conditions précédentes, on a donc montré l’égalité

f (z) =

X 1

p! p∈N

f (p) (z0 )(z − z0 )p ,

(II.3.16)

pour tout élément z ∈ D(z0 , r). L’égalité (II.3.16) étant vérifiée pour tout réel positif r tel que r < ρ − |z0 |, le rayon de convergence de la série de Taylor est donc au moins égal à ρ − |z0 |.  Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 101

TD no 2

III.1 III. Conséquences de l’analyticité

III Conséquences de l’analyticité III.1 Principes des zéros isolés On sait qu’une fonction polynôme non nulle sur C a un nombre fini de racines. Dans une certaine mesure, ce résultat s’étend aux fonctions analytiques sur un ouvert : une fonction analytique non identiquement nulle ne peut s’annuler que sur un fermé discret. En particulier, un tel ensemble est au plus dénombrable. Lemme III III.1.1. X

Soit f la somme d’une série entière an z n sur son disque de convergence. S’il existe une suite (zp )p∈N de nombres complexes non nuls tendant vers 0 tels que f (zp ) = 0 pour tout p ∈ N, alors an = 0 pour tout n ∈ N.

Preuve: Supposons le contraire c’est-à-dire que l’un des an ne soit pas nul. Notons q, le plus petit entier tel que aq 6= 0. Pour tout z ∈ D, on peut écrire : f (z) = z q g(z)

avec

g(z) =

+∞ X

an+q z n .

n=0

Comme somme d’une série entière, g est continue en 0 et vérifie g(0) = aq et ∀ p ∈ N, g(zp ) = 0. D’où aq = g(0) = lim g(zp ) = 0, p→+∞

ce qui contredit l’hypothèse de départ. Donc ∀ n ∈ N, an = 0 c’est-à-dire f est la fonction nulle.



Définition III III.1.2 (Zéro). On appelle zéro d’une fonction complexe f , un point z0 tel que f (z0 ) = 0.

Le lemme (III III.1.1) traduit que toute série entière s’annulant sur une partie possédant un point d’accumulation est identiquement nulle 10 ou encore, par la contraposée : Corollaire III III.1.3 (Principe des zéros isolés pour les séries entières). L’ensemble des zéros d’une série entière non identiquement nulle est discret. 11

Appliquons maintenant ces résultats aux fonctions analytiques : le résultat de factorisation qui suit précise le comportement local d’une telle fonction au voisinage d’un de ses zéros. 10. On se servira de ce résultat dans la démonstration du théorème (III III.2.7). 11. Les zéros d’une série entière (non nulle) sont isolés !

102 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Principes des zéros isolés

Théorème III III.1.4 (Principe des zéros isolés). Soient U ⊂ C un domaine et f une fonction analytique, non identiquement nulle sur U. Alors les zéros de f sont des points isolés dans Z(f ). 12

De plus, pour tout zéro z0 de f , il existe un unique entier positif m et une fonction g analytique dans un voisinage de z0 , ne s’annulant pas dans un voisinage de z0 , telle que ∀ z ∈ U, f (z) = (z − z0 )m g(z). (III.1.17)

Remarque: La fonction g n’est, pour l’instant, analytique que dans un voisinage de z0 . Nous verrons plus loin qu’elle l’est, en réalité, sur tout l’ouvert U.


Preuve: L’ensemble des zéros Z(f ) = f −1 {0} est fermé en tant qu’image réciproque d’un fermé par une fonction continue. Montrons qu’il est discret. Par la contraposée, supposons que Z(f ) admettent un point d’accumulation a et posons 



A = z ∈ U / ∃V ⊂ V(z) tel que f|V ≡ 0 . Comme U est connexe, il suffit de montrer que A est non vide, ouvert et fermé dans U pour conclure à l’égalité A = U :

b

un

V(a) b

a

V A

b

u

U

Figure III.1.9 – Z(f ) et prolongement analytique • Comme f est analytique X sur U, elle est, en particulier, développable en série entière au voisinage de a. Soit an (z − a)n ce dernier. Comme a est un point d’accumulation de Z(f ), on peut trouver une suite (zn )n∈N d’élément de Z(f ) satisfaisant aux hypothèse du lemme (III III.1.1) et conclure à la nullité des an , n ∈ N donc de f sur ce voisinage et a ∈ A qui est non vide. • Par construction, tout élément z de A possède un voisinage ouvert inclus dans A donc il est ouvert. 12. Autrement dit, Z(f ) est un ensemble fermé discret. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 103

TD no 2

III.1 Principes des zéros isolés

• Soit u un élément de l’adhérence A¯ de A dans U. Il existe donc une suite (zn )n∈N d’éléments de A convergente vers u. Pour tout n ∈ N, on a aussi f (zn ) = 0 et par continuité f (u) = 0. Or, u ∈ U et f et analytique dans U. La fonction f est donc développable en série entière dans un voisinage de u dans lequel elle possède une infinité de zéros. D’après le principe des zéros isolés (III III.1.1), f est donc identiquement nulle et u ∈ A qui donc fermé. En conclusion, A est ouvert, fermé et non vide dans U connexe donc A = U c’est-à-dire f est identiquement nulle sur U. Soit z0 ∈ Z(f ). Comme f est analytique, il existe r > 0 tel que, pour tout z ∈ D(z0 , r), f (z) =

+∞ X

n=0

an (z − z0 )n .

Les coefficients an ne peuvent pas être tous nuls, sinon Z(f ) contiendrait tout le disque D(z, r) et cela contredirait le premier point. Soit donc m le plus petit entier (forcément positif) tel que am 6= 0. Alors on a, ∀ z ∈ D(z0 , r),

f (z) = (z − z0 )m g(z)

avec

g(z) =

+∞ X

n=0

an+m (z − z0 )n .

La fonction g, somme d’une série entière est analytique d’après (III II.3.6) et vérifie g(z0 ) = am 6= 0 par définition de m. Il existe donc un voisinage de z0 (contenu dans D(z0 , r)) sur lequel g ne peut s’annuler. 

Corollaire III III.1.5. Soient U un domaine et f une fonction analytique sur U. 



(i) L’anneau O(U), +, × des fonctions analytiques est un anneau commutatif intègre. (ii) Toute fonction analytique sur U admet un unique développement en série entière au voisinage de chaque point de U qui est nécessairement le développement en série de Taylor de f en ce point. (iii) Si f n’est pas nulle, tout sous ensemble compact de U contient au plus un nombre fini de zéros de f .

Preuve: (i) Soient f et g deux fonctions analytiques sur U telles que f × g = 0 sur U. Si f ne possède aucun zéro sur U, alors g est identiquement nulle sur U.

Si f possède un zéro z0 ∈ U sans être identiquement nulle sur U alors il existe un voisinage V de z0 sur lequel z0 est son unique zéro. Comme sur V \{z0 } nous avons toujours f ×g = 0, ceci implique que g est identiquement nulle. L’anneau est intègre.

(ii) Soient z0 un point de U et

X

an (z − z0 )n ,

X

bn (z − z0 )n deux développements en série

X

entière au voisinage de z0 . La série entière (an − bn )(z − z0 )n coïncide donc avec la fonction nulle dans un voisinage de z0 . D’après le lemme (III III.1.1), ses coefficients sont donc tous nuls et on en déduit an = bn pour tout n ∈ N.

(iii) Si un compact contenait un nombre infini de zéros de f , on pourrait en extraire une soussuite convergente d’après (I II.3.10) page 14 et donc un point d’accumulation de Z(f ) par continuité de f ce qui n’est pas permis par (III III.1.4).

104 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Prolongement analytique



La définition de m dans la preuve de (III III.1.4) ainsi que l’unicité du développement en série entière entraine que f (z0 ) = f ′ (z0 ) = . . . = f (m−1) (z0 ) = 0 et f (m−1) (z0 ) 6= 0. On définit alors l’ordre d’un zéro d’une fonction analytique : Définition III III.1.6 (Ordre d’un zéro). On dit qu’une fonction f analytique sur un ouvert U possède en z0 un zéro d’ordre m 13 lorsque f (z0 ) = f ′ (z0 ) = . . . = f (m−1) (z0 ) = 0

et

f (m−1) (z0 ) 6= 0.

Nous préciserons le comportement local d’une fonction analytique au voisinage d’un zéro au chapitre (V ). Venons en à une des plus agréables propriétés des fonctions analytiques. 14

III.2 Prolongement analytique Théorème III III.2.7 (Principe du prolongement analytique). Soient U un domaine de C et f , g deux fonctions analytiques sur U. Si f et g coïncident sur une partie Ω ⊂ U possédant un point d’accumulation dans U, alors elles coïncident sur U tout entier. Preuve: Il suffit d’appliquer (III III.1.5) à h = f − g.



Définition III III.2.8 (Prolongement analytique). Soit U un domaine, V ouvert non vide de U, si f est une fonction analytique sur V, on appelle prolongement analytique de f sur U toute fonction analytique définie sur U, qui coïncide avec f sur V. Il se pourrait très bien qu’il n’existe pas de tel prolongement, mais, s’il en existe un, il est unique grâce à (III III.2.7). Remarque: Le théorème du prolongement analytique est vrai pour les fonctions analytiques mais faux pour les fonctions d’une variable réelle. Par exemple la fonction f (x) =

(

0 −

e

1 x2

si x 6 0 , si x > 0

est de classe C ∞ sur R sans être analytique. En effet, si c’était le cas, Z(f ) contiendrait R− qui admet de nombreux points d’accumulation donc f serait nulle partout. Ce qui n’est pas. 13. ou, de manière équivalente, que m est la multiplicité de z0 . 14. Déjà joli, mais on verra que l’on a bien mieux. Patience ! Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 105

TD no 2

III.3 Le principe du maximum

Le théorème du prolongement analytique peut être interprété comme une extension aux fonctions analytiques, du théorème sur les polynômes : deux polynômes qui coïncident pour un nombre infini de valeurs distinctes sont égaux. 15 Pour les fonctions analytiques, on a besoin non seulement d’un nombre infini de valeurs mais contenant aussi un point d’accumulation. Dans la pratique, nous ferons souvent usage du principe du prolongement analytique. Par exemple, pour démontrer que deux expressions (fonctions analytiques de z) sont égales, il suffira de prouver l’égalité pour z réel, z ∈ [0, 1] ou encore z appartenant à une courbe dessinée dans U. Fonctions sans prolongement Il existe des fonctions 16 qui convergent dans un disque et qui ne permettent aucun prolongement en dehors de ce disque. L’exemple le plus simple est f (z) = z + z 2 + z 4 + . . . =

+∞ X

n

z2 .

n=0

Cette série a pour rayon de convergence 1. Posons z = reiπ avec r proche de 1. On a alors 



f reiπ = −r + r 2 + r 4 + r 6 + . . . = g(r). La fonction g est continue en 1 et vérifie la relation g(r) = −r + g(r 2 ) qui implique que lim g(r) ne peut être finie. On ne peut donc pas prolonger la fonction f en dehors du r→1 disque D(0, 1).

III.3 Le principe du maximum Proposition III III.3.9. Soient U un ouvert et f analytique sur U. Si |f | admet un maximum local en z0 ∈ U alors f est constante sur la composante connexe de z0 dans U. Preuve: Supposons le contraire et soit z0 ∈ U un maximum local de |f | dans U. Comme f est analytique, on peut localement la développer en série entière au voisinage de z0 . Si f est constante localement alors, d’après le principe des zéros isolés (III III.1.4) page 103, elle est constante sur la composante connexe de z0 dans U, sinon il existe un entier m > 0 tel que : ∀ h ∈ C,

f (z0 + h) = f (z0 ) + hm cm + o |h|k




avec

cm 6= 0.


1 f (z0 ) − arg cm c’est-à-dire de sorte que f (z0 ) et hm cm aient On choisit h tel que arg h ∈ m le même argument θ. On a alors 






f (z0 + h) = |f (z0 )| + |h|m |cm | eiθ + o |h|k , 15. Un nombre fini de valeurs suffit ! 16. Comme dans l’exemple qui suit, de telles séries convergent, en général, très vite en tout point de leur disque de convergence tout en n’admettant aucun prolongement sur leur frontière. Phénomène paradoxal s’il en est !

106 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 2

Le principe du maximum

cm

|f (z0 )| |cm |

|hm cm |

f (z0 )

hm cm

θ = arg f (z0 ) O Figure III.3.10 – Principe du module maximum

puis f (z0 + h) > f (z0 ) ,

pour |h|, ce qui contredit l’hypothèse initiale.



Une conséquence immédiate de ce principe est que le module d’une fonction analytique ne peut atteindre son maximum que sur la frontière du domaine de définition de f :

Corollaire III III.3.10. Soient U un ouvert connexe borné et f , une fonction continue non constante sur U , analytique sur U. Alors |f | atteint son maximum sur la frontière de U et nulle part ailleurs.

Preuve: En effet comme U est fermé et borné dans C, il est compact. La fonction continue |f (z)| y atteint donc son maximum en un point z0 qui ne peut être à l’intérieur de U d’après le principe du maximum (III III.3.9). 

On peut considérer le graphe de |f | comme une surface dans U × R ⊂ C × R ≃ R3 que l’on appelle parfois le paysage analytique de f . Le principe du module maximum affirme alors que dans le paysage analytique d’une fonction analytique, il n’y a pas de sommets. Le principe du maximum oblige le module d’une fonction analytique non constante à ne pas avoir de maximum local sur un ouvert connexe. Or, une fonction analytique est continue, et, pour peu qu’elle soit définie un peu au-delà de l’ouvert considéré et que celuici soit borné, son module va avoir un maximum sur l’adhérence. Ce maximum est donc forcément atteint sur le bord. Dans le paysage analytique d’une fonction analytique, les sommets sont à l’horizon. C’est ce qu’affirme, en termes plus précis, notre version finale du principe du maximum : Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 107

III.3 Le principe du maximum

TD no 2

Théorème III III.3.11 (Principe du (module) maximum). Soit U un ouvert connexe et borné dans C. Soient f une fonction définie et continue sur U et analytique sur U et M le maximum de |f | sur ∂U. Alors on a : (i) ∀ z ∈ U,

f (z)

6 M.

(ii) S’il existe un point z0 ∈ U tel que |f (z0 )| = M alors f est constante sur U. Preuve: C’est une simple conséquence de la proposition (III III.3.9) et du corollaire (III III.3.10). D’après le corollaire, on sait que le maximum ne peut être atteint que sur la frontière de U d’où (i). S’il existe un point z0 intérieur à U tel que |f | y atteigne son maximum alors, d’après (III III.3.9), f est constante sur la composante connexe de z0 . La connexité de U entraîne alors (ii). 

108 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 3

IV. Exercices

IV Exercices IV.1 Séries entières Exercice IV.1: Montrer que si (an )n∈N est une suite de nombres complexes telle qu’il existe un nombre X an complexe z0 tel que la suite (an z0n )n∈N soit bornée, alors la série entière z n a un n! n∈N rayon de convergence infini. Exercice IV.2: Pour x réel, on pose f (x) =

sin x ,  x 1,  

si x 6= 0 si x = 0

. Montrer que f est de classe C ∞ sur R.

Exercice IV.3: n X Xk et R > 0 donné. Montrer que pour n suffisamment grand, Pn n’a pas Soient Pn = k=0 k! de racine dans le disque fermé de centre 0 et de rayon R.

IV.2 Équations de Cauchy-Riemann Exercice IV.4: Soit U un ouvert connexe et f une fonction holomorphe dans U. On écrit f = P + iQ, où P et Q sont à valeurs réelles. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : (i) f est constante. (ii) P est constante. (iii) Q est constante. (iv) f¯ est holomorphe. (v) |f | est constante. Exercice IV.5: Dans cet exercice, on identifie R2 et C via l’application (x, y) 7−→ x + iy. Soit U un ouvert de C et f une fonction de classe C 1 sur U comme fonction de deux variables et à valeurs dans C. ∂ f¯ (i) Montrer que = ∂ z¯

!

∂f . ∂z

(ii) Montrer que f est holomorphe si et seulement si f ′ (z) = (iii) Soit f de classe C 2 . Montrer que ∆f = 4

∂f = 0 et que, dans ce cas, ∂ z¯

∂f (z). ∂z

∂2f . ∂z∂ z¯

Exercice IV.6: x . Déterminer, si elles existent, Soit P : C∗ 7−→ R définie par P (z) = P (x + iy) = |z|2 toutes les fonctions Q : C∗ 7−→ R telles que f = P + iQ soit holomorphe sur C∗ Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 109

TD no 3

IV.3 Correction des exercices

IV.3 Correction des exercices Correction de l’exercice IV.1: Soit M un majorant de la suite (|an z0n |)n∈N . Alors, pour tout z ∈ C, an n 1 z n 1 z n z = |an z n | 6 M < +∞, 0 n! n! z0 n! z0 |{z} t

n

X an t converge pour tout t ∈ R 17 . La série z n est n! n∈N n! donc normalement convergente sur C, donc converge sur C.

car la série réelle de terme général

Correction de l’exercice IV.2: Pour x réel non nul, la fonction sin est développable en série entière donc, il en est de même de f et on a : f (x) =

+∞ X

(−1)n

n=0

x2n . (2n + 1)!

Cette relation reste vraie pour x = 0 donc la fonction f est développable en série entière sur R et en particulier, la fonction f est de classe C ∞ sur R. Correction de l’exercice IV.3: Notons DR le disque fermé de centre 0 et de rayon R. Soient z ∈ DR et n un entier naturel. On reconnait dans Pn le développement limité de ez d’ordre n. |Pn (z)| =

z e

z

− (e

− Pn (z))

> |ez | − |ez − Pn (z)| > e−R − |ez − Pn (z)|.

Comme la suite de polynômes (Pn )n∈N converge uniformément 18 vers la fonction exponentielle sur DR , on peut donc trouver un entier n0 tel que pour tout z ∈ DR et tout entier n > n0 , 1 |ez − Pn (z)| 6 e−R . 2 Pour n > n0 et z ∈ DR , on a alors 1 |Pn (z)| > e−R > 0, 2

Pn ne s’annule pas dans DR .

Correction de l’exercice IV.4: • On a clairement (i) =⇒ (ii). • D’après les équations de Cauchy-Riemann sur un ouvert connexe, ∂P ∂Q (x, y) = (x, y) ∂y ∂x ∂Q ∂P (x, y) = − (x, y) ∂x ∂y on a facilement (ii) ⇐⇒ (iii). • Comme (ii) ⇐⇒ (iii), alors (ii) =⇒ (i) et (iii) =⇒ (i). 17. vers exp t ! 18. Confere cours deuxième année.

110 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 3

Correction des exercices

• Si f est constante alors f¯ l’est aussi et, en particulier f¯ est holomorphe. D’où (i) =⇒ (iv). f − f¯ f + f¯ et Q = le sont aussi. • Réciproquement, si f¯ est holomorphe alors P = 2 2i Or, d’après un résultat du cours, des fonctions holomorphes à valeurs réelles sur un ouvert connexe sont constantes. Donc f = P + iQ est constante et (iv) =⇒ (i). • Si f est constante alors |f | l’est aussi. Donc (i) =⇒ (v). Réciproquement, si |f | est constante alors il existe c ∈ R tel que P 2 (z) + Q2 (z) = c2 .

Si c = 0, (i) est démontrée. Sinon, supposons c 6= 0. La fonction u : z 7−→ P 2 (z)+Q2 (z), vue comme application de R2 dans R est constante donc sa différentielle ∂u ∂u du = dx + dy ∂x ∂y est nulle. En particulier,  ∂P ∂Q ∂u     ∂x (z) = 2P (z) ∂x (z) + 2Q(z) ∂x (z) = 0  ∂u ∂P ∂Q    (z) = 2P (z) (z) + 2Q(z) (z) = 0 ∂y ∂y ∂y

En tenant compte des conditions de Cauchy-Riemann 19 , on obtient le système sui∂P ∂P vant, où les inconnues sont et : ∂x ∂y  ∂P ∂P     P (z) ∂x (z) − 2Q(z) ∂y (z) = 0  ∂P ∂P    Q(z) (z) + P (z) (z) = 0 ∂x ∂y Le déterminant de ce système est précisément P 2 (z) + Q2 (z) = c2 6= 0 donc l’unique solution est le couple (0, 0). On en déduit que les dérivées partielles de P sont nulles sur U connexe puis que P est constante. On a donc montré (v) =⇒ (ii) ⇐⇒ (i). 20

y 2 − x2 est différentiable (x2 + y 2 )2 sur C∗ identifié à R2 \ {(0, 0)}. Si f = P + iQ = est holomorphe sur C∗ , la fonction Q est alors différentiable sur C∗ avec : ∂P y 2 − x2 ∂Q (x, y) = (x, y) = 2 (IV.3.18) ∂y ∂x (x + y 2 )2 ∂Q ∂P 2xy (x, y) = − (x, y) = 2 (IV.3.19) ∂x ∂y (x + y 2)2 y + ϕ(y), où ϕ est différentiable sur R. De (IV.3.19), on déduit que Q(x, y) = − 2 x + y2 y Avec (IV.3.18), on obtient ϕ′ (y) = 0 puis Q(x, y) = − 2 + c, où c ∈ R. x + y2 z¯ 1 x − iy + ic = 2 + ic = + ic. On obtient donc f (z) = 2 2 x +y |z| z

Correction de l’exercice IV.6: La fonction P : (x, y) 7−→

19. et en divisant par 2 20. En écrivant f f¯ = |f |2 , on aurait pu utiliser la même méthode que celle employée pour montrer (iv) =⇒ (i). Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 111

TD no 4

I.0 I. Exercices

I Exercices Exercice I.1: Trouver tous les nombres complexes z solution de l’équation exp z = ω, où ω est un nombre complexe fixé. Trouver en particulier les solutions de cette équation lorsque ω = exp ω ′ , où ω ′ est un nombre complexe donné. Exercice I.2: On note arctan une détermination de l’inverse de la fonction tangente. (i) Rappeler la dérivée de arctan et en déduire que Z

∀ x ∈ R,

arctan x =

∀ x ∈ [−1, 1],

arctan x =

x

0

1 dt. 1 + t2

(ii) Prouver que X

n∈N

(−1)n

x2n+1 . 2n + 1

(iii) En déduire la valeur de π. Exercice I.3: zn que l’on note (lorsqu’elle Pout tout z ∈ C, on considère la série entière de terme général n! existe) : X zn . exp z = n∈N n! (i) Montrer que exp est définie et continue sur C (ii) En déduire que exp 0 = 1. (iii) Montrer que : ∀ z1 , z2 ∈ C,

exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) × exp(z2 ).

(iv) Premières propriétés : Montrer que : (a) Pour tout nombre complexe z, En déduire que, pour tout z ∈ C,

ez 6= 0.

e−z =

1 . ez

(I.0.20)

(I.0.21)

(b) Pour tout nombre complexe z, (c) Pour tout nombre réel t,

(v) Holomorphie et Analyticité : 112 - L3 - Analyse Complexe

ez = ez .

(I.0.22)

it e

(I.0.23)

= 1.

Fabien PUCCI

TD no 4

I. Exercices

(a) La fonction exponentielle est holomorphe sur C et ∀ z ∈ C,

exp′ (z) = exp(z).

(I.0.24)

(b) La fonction exponentielle est analytique sur C. Pour tout z0 ∈ C, on a : ∀ z ∈ V(z0 ),

exp z =

exp z0 (z − z0 )n . n! n∈N X

(I.0.25)

(vi) L’exponentielle réelle : Montrer que la restriction de la fonction exponentielle à l’axe réel établit une bijection strictement croissante sur R∗+ . Dresser son tableau de variations complet.

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 113

TD no 4

I.1 Correction des exercices

I.1 Correction des exercices Correction de l’exercice I.1: L’équation ω = exp z s’écrit encore ex eiy = |ω|eiθ où x et y sont respectivement les parties imaginaires et réelles de z. On trouve : x = ln |ω| et y ≡= θ mod 2π. Si ω = exp ω ′ , alors on déduit facilement que Re(ω) = Re(ω ′ ) et Im(ω) ≡ Im(ω ′ ) mod 2π. Correction de l’exercice I.2: 



π π (i) La détermination de arctan réalise un C 1 -difféomorphisme de R dans − , . 2 2 On calcule sans difficulté sa dérivée et on trouve : arctan′ x =

1 . 1 + x2

1 est continue sur R, elle est donc Riemann1 + x2 intégrable sur tout segment [0, x]. On a donc :

D’autre part, la fonction x 7−→

∀ x ∈ R, (ii) La fonction x 7−→ s’écrit :

arctan x =

Z

1 dt. 1 + t2

x

0

1 est développable en série entière sur l’intervalle ] − 1, 1[ et 1 + x2 ∀ |x| < 1,

X 1 = (−1)n x2n . 2 1+x n∈N

Pour tout x ∈]−1, 1[, on peut trouver un intervalle I fermé contenant x et inclus dans ] − 1, 1[. Comme pour toute série entière, la convergence est normale à l’intérieur du disque de convergence donc uniforme sur tout intervalle fermé inclus dans ce disque et en particulier sur I. X x2n+1 Il s’ensuit que la série de terme général (−1)n se déduit de la série (−1)n x2n 2n + 1 n∈N par une intégration terme à terme. En tenant compte du résultat de la question ((i)), on obtient : ∀ x ∈ [−1, 1], 1 (iii) Sachant que arctan √ 3

!

=

arctan x =

X

(−1)n

n∈N

x2n+1 . 2n + 1

π , on déduit que : 6

√ X π=2 3 (−1)n n∈N

1 3n (2n

+ 1)

.

Correction de l’exercice I.3: 1 (n+1)! 1 n!

zn n→+∞ n! est absolument convergente sur C tout entier et son rayon de convergence est infini. La convergence normale assure la continuité de la somme de la série entière.

(i) Pour tout z ∈ C non nul,

114 - L3 - Analyse Complexe

−−−−→ 0, donc la série entière de terme général

Fabien PUCCI

TD no 4

Correction des exercices

(ii) Par continuité de la somme. (iii) L’absolue convergence entraîne aussi la commutative convergence et justifie la convergence du produit de Cauchy et les réarrangements arbitraires des termes :

n +∞ X z2n X X z1k z2n−k z1n +∞ × = exp(z1 ) × exp(z2 ) = n=0 n! n=0 k=0 k! (n − k)! n=0 n! +∞ X

=

!

n +∞ X (z1 + z2 )n 1 X n! z1k z2n−k = . n! n=0 n! k=0 k!(n − k)! n=0 +∞ X

Donc, exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) × exp(z2 ).

∀ z1 , z2 ∈ C,

(I.1.26)

(iv) (a) D’après ((iii)), ez e−z = e0 = 1 d’où le résultat. En particulier, on obtient la relation : e−z =

1 . ez

(b) La fonction z 7−→ z¯ est continue sur C, d’où n X

zk e = lim n→+∞ k=0 k! z

!

=⇒

ez

n X

!

zk = ez . = lim n→+∞ k! k=0

(c) D’après ((iv)b) et ((iii)), pour tout t ∈ R,





D’où eit = 1.

2 it e

= eit × eit = eit × e−it = eit−it = e0 = 1.

(v) (a) Une série entière est dérivable sur son disque de convergence et la série dérivée, de même rayon de convergence, est obtenue en dérivant terme à terme la série initiale. Pour z ∈ C, on a : (exp z)′ =

+∞ +∞ X z n−1 X zn nz n−1 = = = exp z. n! n=1 (n − 1)! n=0 n! n=1 +∞ X

(b) Soient z0 ∈ C, z dans un voisinage de z0 . Il suffit d’appliquer ((iii)) : exp z = exp z0 × exp(z − z0 ) =

exp z0 (z − z0 )n . n! n∈N X



x

(vi) (a) D’après (I.1.4), pour tout x réel, ex 6= 0. D’après (I.1.3), ex = e 2 L’exponentielle est strictement positive sur R.

2

> 0.

(b) La relation (I.1.8) montre que x 7−→ ex est dérivable mais aussi de classe C ∞ sur R. (c) D’après (I.1.8) encore, (ex )′ = ex > 0. L’exponentielle est strictement croissante sur R. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 115

TD no 4

I.1 Correction des exercices

x

7 6 5 4 3e 2 1

+∞

−∞

+∞ x

e

0

−4 −3 −2 −1

bc

1

Figure I.1.11 – La fonction x 7−→ exp(x) sur R

(d) Pour x > 0, ex = 1 + x + entraîne lim ex = 0.

+∞ X

xn > 1 + x. Donc lim ex = +∞ et (I.1.7) x→+∞ n! n=2

x→−∞

On regroupe ces informations dans le tableau de variations de la fonction x 7−→ exp(x).

116 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Correction des exercices

Principe du maximum Exercice .4 (Théorème de Schwarz): Soient R et M deux réels strictement positifs et f une fonction analytique sur le disque ouvert D(O, R) telle que f (0) = 0 et ∀ |z| 6 R, |f (z)| 6 M.



(i) Montrer que ∀ z ∈ D(O, R), f (z) 6

M|z| . R

(ii) On suppose de plus qu’il existe un entier k > 1 tel que : f (0) = f ′ (0) = . . . = f (k) (0) = 0 et f (k+1) (0) 6= 0. f (z) (a) Montrer que la formule g(z) = k définit une fonction analytique sur D(O, 1) z vérifiant : ∀ z ∈ D(O, 1), |g(z)| 6 M. (b) En déduire que |f (z)| 6 M|z|k pour tout z ∈ D(O, 1). Que peut-on dire s’il existe a ∈ D(O, 1), tel que |f (a)| = M|a|k ? Exercice .5: Soit f une fonction analytique dans D(0, R), le disque de centre 0 et de rayon R. Pour 0 6 r 6 R, on pose : Mf (r) = max f (z) . |z|=r

(i) Montrer que r 7−→ Mf (r) est une fonction croissante.

(ii) Montrer que, si f n’est pas constante, r 7−→ Mf (r) est strictement croissante. (iii) On suppose que f est un polynôme de degré n, et on pose : g(z) = z n f

1 . z

 

1 ? r Mf (r) (b) En déduire que la fonction r − 7 → est strictement décroissante, sauf si f rn n est de la forme az . (a) Quel est le lien entre Mf (r) et Mg

 

(iv) On suppose de plus que f est unitaire. Montrer que, si pour tout z de module 1, |f (z)| = 1, alors f (z) = z n . Exercice .6 (Fonction analytique à valeurs réelles sur le bord): Soit Ω un ouvert connexe de C contenant le disque unité fermé D et f une fonction analytique sur Ω. On suppose que f (z) ∈ R si |z| = 1. Montrer que f est constante sur Ω.

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 117

TD no 5

.0 Correction des exercices

Correction des exercices : Correction de l’exercice .4: (i)

• Comme f (0) = 0, le premier coefficient du développement en série entière de f (z) f sur D(O, R) est nul donc est analytique sur D(O, R). z • Pour |z| = R, on a : f (z) M 6 . (.0.27) z R

• Il suffit alors d’appliquer le théorème du module maximum à la fonction analyf (z) tique sur l’ouvert connexe et borné D(O, R). L’inégalité (.0.27) se prolonge z alors sur le disque tout entier et on a : f (z)

∀ |z| 6 R,

6

M|z| . R

(ii) De la même manière que précédemment et comme dans le cours, d’après les hypothèses sur les dérivées successives de f en 0, on peut factoriser f (z) = z k g(z), où g est analytique dans D(O, 1), et vérifie g(0) = 0. Il manque la dernière hypothèse de (i) : M Pour tout z ∈ D(O, 1) avec |z| = r où 0 < r < 1, g(z) 6 k . Par le principe du r module maximum, cette inégalité est encore vraie dans tout le disque avec |z| 6 r. Il suffit alors, à z fixé dans D(O, r), de faire tendre r vers 1 pour obtenir : ∀ z ∈ D(O, 1),





g(z)

6 M.



(iii) On obtient immédiatement f (z) 6 |z|k g(z) 6 M|z|k . S’il existe un point a avec f (a)

en a.





= M|a|k alors c’est que g(a) = M et donc que |g| admet un maximum local

Toujours d’après le principe du module maximum, on en déduit que g est constante, c’est-à-dire que : f (z) = λz k . Correction de l’exercice .5: (i) Si f n’est pas constante sur le disque alors, d’après le principe du module maximum, il suffit de remarquer que :







Mf (r) = max f (z) = max f (z) . |z|=r

|z|6r

L’inclusion {|z| 6 r1 } ⊂ {|z| 6 r2 } entrainera alors que r 7−→ Mf (r) est croissante.

En effet, si ce n’était pas le cas, la fonction f atteindrait son maximum sur le disque fermé D(0, r) en un point intérieur ce qui est en contradiction avec le principe précédent. Si f est constante, comme {|z| = r1 } ⊂ {|z| = r2 } dès que r1 6 r2 , on a aussi Mf (r1 ) 6 Mf (r2 ) et la fonction r 7−→ Mf (r) est encore croissante. 118 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Correction des exercices

(ii) S’il existe r1 < r2 tels que Mf (r1 ) = Mf (r2 ), alors la fonction f atteint un maximum sur le disque fermé D(0, r1 ) en un point intérieur. Elle est donc constante. Par contraposée, si f n’est pas constante, r 7−→ Mf (r) est strictement croissante. 3 (iii) Puisque g

f (z) 1 = n , on a z z

 

Mg

Mf (r) 1 = . ( r rn





De plus, si f (z) = an z n + . . . + a1 z + a0 est un polynôme, alors n

g(z) = z f

1 = a0 + a1 z + . . . + an z n z

 

est encore un polynôme, donc analytique sur C. 1 est alors strictement r décroissante, sauf si g est constante. Mais dans ce cas f (z) = az n . D’après la question précédente, la fonction r 7−→ Mg

 

(iv) En conservant les notations de la question précédente, comme f est unitaire, g(0) = 1 ce qui entraîne Mg(0) = 1. Or, Mg (1) = Mf (1) = 1 car f est unitaire. D’après les questions précédente, g est donc constante, ce qui implique f (z) = z n . Correction de l’exercice .6: Comme f est analytique  sur  Ω donc holomorphe, il suffit de prouver qu’elle est à valeurs réelles c’est-à-dire Im f (z) = 0, pour obtenir le résultat escompté. • On considère la fonction g, holomorphe sur Ω définie par : g = eif = e− Im(f )+i Re(f ) . 

g(z)



− Im f (z)

6 1 si |z| = 1 par hypothèse alors, par le principe du Comme 6e module maximum, cette inégalité se prolonge dans tout le disque unité : ∀ z ∈ D, 



g(z)

6 1.

(.0.28)

On déduit de (.0.28) que Im f (z) > 0, quel que soit z ∈ D. 



• En considérant la fonction h = e−if , on démontre, de même, que Im f (z) 6 0, quel que soit z ∈ D. 



• Conclusion, Im f (z) = 0, la fonction f est donc à valeurs réelles dans D. La fonction analytique f est donc constante dans D. Par application du principe du prolongement analytique dans l’ouvert Ω, on en déduit que f est constante sur Ω tout entier.

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 119

.0 Correction des exercices

120 - L3 - Analyse Complexe

TD no 5

Fabien PUCCI

CHAPITRE IV L’EXPONENTIELLE

Sommaire I

L’exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

II

Cosinus et Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

III

Retour sur les fonctions circulaires réelles

IV

Fonctions tangentes et réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . 138

V

Vers le logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

. . . . . . . . . . . 136

C

e chapitre est consacré à l’étude de la plus fondamentale des fonctions en mathématiques ainsi qu’à la construction d’une détermination de l’argument et de logarithme complexe qui sont les premiers exemples de fonctions multivoques 1 complexes. En chemin, nous définirons rigoureusement et donnerons les principales propriétés des fonction cosinus, sinus et tangentes circulaires et hyperboliques ainsi que leur réciproque qui seront autant d’exemples de fonctions analytiques sur des domaines à préciser, obtenues par prolongement de la somme d’une série entière définie sur un sous-ensemble de R. Ce chapitre, permettra, en outre, de mettre en pratique les résultats de ceux qui l’ont précédé.

I L’exponentielle complexe I.1 Construction 1 (n+1)! 1 n!

zn Pour tout z ∈ C non nul, −−−−→ 0, donc la série entière de terme général n→+∞ n! est absolument convergente et son rayon de convergence est infini. 1. qui peuvent avoir plusieurs images.

121

TD no 5

I.1 Construction

Re (ez )

Im z

Re z

Figure I.1.1 – z 7−→ Re exp z




Définition IV I.1.1. La fonction exponentielle est définie par la somme de la série ∀ z ∈ C,

exp z =

+∞ X

zn . n=0 n!

(I.1.1)

C’est donc une fonction entière. La série (I.1.1) étant normalement convergente sur C, elle y est uniformément convergente sur tout sous-ensemble borné du plan complexe : La fonction C 7−→ C est continue sur C. z exp(z) En particulier, exp(0) = 1.

122 - L3 - Analyse Complexe

(I.1.2)

Fabien PUCCI

TD no 5

Construction

Im

z

4 3 2 1

−3

−2

− −11 O

1

2

3

4 R ez

Figure I.1.2 – Lignes de niveaux de z 7−→ Re exp z




L’absolue convergence entraîne aussi la commutative convergence et justifie la convergence du produit de Cauchy et les réarrangements arbitraires des termes :

+∞ X

n +∞ X z2n X X z1n +∞ z1k z2n−k exp(z1 ) × exp(z2 ) = × = n=0 n! n=0 n! n=0 k=0 k! (n − k)!

=

∀ z1 , z2 ∈ C,

!

+∞ X

+∞ n X (z1 + z2 )n 1 X n! z1k z2n−k = . n! n=0 n! k=0 k!(n − k)! n=0

exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) × exp(z2 ).

(I.1.3)

On définit alors le nombre e comme étant exp(1) ce qui permettra d’écrire exp(z) de z manière plus simple : e .

e = 2, 7182818284590452353 . . .

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 123

TD no 5

I.1 Construction

Les relations (I.1.2) et (I.1.3) ont des conséquences importantes :

Proposition IV I.1.2. (i) Pour tout nombre complexe z, ez 6= 0.

(I.1.4)

ez = ez .

(I.1.5)

it e

(I.1.6)

(ii) Pour tout nombre complexe z,

(iii) Pour tout nombre réel t,

= 1.

Preuve: (i) D’après (I.1.3), ez e−z = e0 = 1 d’où le résultat. En particulier, on obtient la relation :

e−z =

1 . ez

(I.1.7)

(ii) La fonction z 7−→ z¯ est continue sur C, d’où

ez = lim

n→+∞

n X zk

k=0

k!

!

=⇒

ez = lim

n→+∞

n X zk

k=0

k!

!

= ez .

(iii) D’après (I.1.5) et (I.1.3), pour tout t ∈ R, 2 it e = eit × eit = eit × e−it = eit−it = e0 = 1.



D’où eit = 1. 

Le théorème suivant montre le rôle central que joue l’exponentielle en analyse complexe. Elle fait ici le lien entre les deux précédents chapitres comme premier exemple de fonction holomorphe et analytique. 124 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Construction

Théorème IV I.1.3. (i) La fonction exponentielle est holomorphe sur C et exp′ (z) = exp(z).

∀ z ∈ C,

(I.1.8)

(ii) La fonction exponentielle est analytique sur C. Pour tout z0 ∈ C, on a : ∀ z ∈ V(z0 ), (iii) ∀ z ∈ C,

exp z = lim

n→+∞

compact de C.

exp z =



z 1+ n

n

exp z0 (z − z0 )n . n! n∈N X

(I.1.9)

. La convergence étant uniforme sur tout

Preuve: (i) D’après III I.4.12 page 91, une série entière est dérivable sur son disque de convergence et la série dérivée, de même rayon de convergence, est obtenue en dérivant terme à terme la série initiale. Pour z ∈ C, on a : (exp z)′ =

+∞ X

+∞ +∞ X z n−1 X zn nz n−1 = = = exp z. n! (n − 1)! n=0 n! n=1 n=1

(ii) Soient z0 ∈ C, z dans un voisinage de z0 . Il suffit d’appliquer (I.1.3) : exp z = exp z0 × exp(z − z0 ) =

X exp z0

n!

n∈N

(z − z0 )n .

(iii) Pour tout z ∈ C et tout n ∈ N∗ , on a : 

1+

z n

n

=1+z+

n  X

k=2

1−

1 n



1−





2 k−1 ... 1 − n n



zk . k!

De plus, pour tout 2 6 k 6 n, on montre facilement par récurrence sur k que : 

1 1− n







2 k−1 1− ... 1 − n n



>1−

1 + 2 + . . . + (k − 1) . n

Soit, enfin r > 0 et z ∈ D(0, r), on a :

n    n      k X zk z n X 1 z 2 k−1 − 1+ 1− 1− 1− ... 1 − = k! n n n n k! k=0 k=2        n k X

6

6 =
0. L’exponentielle

(ii) La relation (I.1.8) montre que x 7−→ ex est dérivable mais aussi de classe C ∞ sur R. (iii) D’après (I.1.8) encore, (ex )′ = ex > 0. L’exponentielle est strictement croissante sur R. (iv) Pour x > 0, ex = 1 + x + lim ex = 0.

+∞ X

xn > 1 + x. Donc n! n=2

lim ex = +∞ et (I.1.7) entraîne

x→+∞

x→−∞

On regroupe ces informations dans le tableau de variations de la fonction x 7−→ exp(x) :

126 - L3 - Analyse Complexe



Fabien PUCCI

TD no 5

II. Cosinus et Sinus

x

7 6 5 4 3e 2 1

+∞

−∞

+∞ x

e

0

bc

1

−4 −3 −2 −1

Figure I.2.4 – La fonction x 7−→ exp(x) sur R

II Cosinus et Sinus II.1 Trigonométrie réelle On définit les fonctions cosinus et sinus réelle par les formules dites d’Euler : ∀ t ∈ R,

cos t =

eit + e−it 2

et

sin t =



eit − eit . 2i





(II.1.10)



⋄ Par définition, pour tout t réel, cos t = Re eit et sin t = Im eit . On obtient alors l’identité d’Euler : eit = cos t + i sin t.

(II.1.11)

En dérivant l’égalité (II.1.11) membre à membre et en identifiant, on obtient :

cos′ t + i sin′ t = ieit = − sin t + i cos t. D’où cos′ t = − sin t et sin′ t = cos t pour tout t réel. Les fonctions x 7−→ cos x et x 7−→ sin x sont C ∞ sur R. ⋄ A partir de la définition (II.1.10), il est facile de voir que cos(−t) = cos t, la fonction cosinus est paire et sin(−t) = − sin(t), la fonction sinus est impaire. ⋄ L’égalité |eit | = 1 (I.1.6) se traduit par une autre relation fondamentale et étymologique 2 : ∀ t ∈ R, cos2 t + sin2 t = 1. (II.1.12) En particulier, les fonctions sin et cos sont à valeurs dans [−1, 1]. ⋄ De la définition de l’exponentielle complexe et de la continuité des fonctions partie réelle et partie imaginaire, on déduit que ces fonctions sont développables en séries entières sur R avec : 2. Les fonctions cos et sin portent le nom de fonctions circulaires Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 127

TD no 5

II.1 Trigonométrie réelle



it

cos t = Re e =

+∞ X



(it)n = Re n=0 n!

(−1)n

n=0



it

sin t = Im e =

+∞ X



(−1)n

n=0

+∞ X

2n

!

=

2

+∞ X

n=0

in tn n!





t t t t6 = 1− + − + ... (2n)! 2! 4! 6! +∞ X

4

Re

(it)n = Im n=0 n!

!

+∞ X

in tn Im = n! n=0 

(II.1.13) 

t2n+1 t3 t5 t7 = t − + − + ... (2n + 1)! 3! 5! 7!

1

1 1

(a) cos t = 1 −

1 t2 t4 t6 + − + ... 2! 4! 6!

(b) sin t = t −

t3 t5 t7 + − + ... 3! 5! 7!

Figure II.1.5 – Les fonctions cosinus et sinus comme limite de leur série de Taylor.

Quelques formules de trigonométrie circulaire : La relation fonctionnelle (I.1.3) vérifiée par l’exponentielle ainsi que les définitions (II.1.10) permettent d’obtenir les formules classiques de trigonométrie sur R :   cos(a + b)      cos(a − b)

= cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)  sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)      sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) p+q p−q cos 2 2 p−q p+q sin = −2 sin 2 2 p+q p−q sin p + sin q = 2 sin cos 2 2 p−q p+q sin sin p − sin q = 2 cos 2 2

   cos p + cos q           cos p − cos q                  

cos2 a =

     cos 2a

128 - L3 - Analyse Complexe

(II.1.14)

= 2 cos

1 + cos 2a 2

sin2 a =

1 − cos 2a 2

(II.1.15)

(II.1.16)

= cos2 a − sin2 a sin 2a = 2 sin a cos a. Fabien PUCCI

TD no 5

Trigonométrie Complexe

Ainsi que les formules de Moivre : (cos t + i sin t)n = cos(nt) + i sin(nt),

(II.1.17) 

définies en I.2 page 8 qui se déduisent immédiatement de la relation eit trée par récurrence.

n

= eint , démon-

II.2 Trigonométrie Complexe Les fonctions cos et sin, définies précédemment sont développables en série entière sur R. On les prolonge alors à C tout entier en définissant : ∀ z ∈ C,

cos z =

+∞ X

(−1)n

n=0

z 2n (2n)!

et

sin z =

+∞ X

(−1)n

n=0

z 2n+1 . (2n + 1)!

Comme sommes de séries entières, ces deux fonctions sont analytiques (donc holomorphes) sur C et coïncident avec leur homologue réelle sur R. D’après le théorème de prolongement analytique III III.2.7 page 105, elles coïncident donc sur C tout entier. Les nouvelles fonctions cos et sin sont donc les (uniques) prolongements analytiques des fonctions circulaires réelles. En particulier, on a toujours cos′ z = − sin z et sin′ z = cos z pour tout z ∈ C. Remarque: La plupart des égalités trigonométriques établies sur R s’étendent à C par prolongement analytique. Par exemple, la fonction cos2 x + sin2 x est analytique sur R donc elle admet un unique prolongement analytique, donné par son développement en série entière, qui est ici particulièrement simple, puisqu’il s’agit de la série constante 1. Donc, cos2 z + sin2 z = 1.

∀ z ∈ C,

On prolonge de la même manière les égalités (II.1.14) et (II.1.15) à C ainsi que les formules d’Euler (II.1.10), de Moivre (II.1.17), . . . ∀ z ∈ C,

cos z =

eiz + e−iz 2

∀ z ∈ C,

et

sin z =

eiz − eiz . 2i

(II.2.18)

eiz = cos z + i sin z. 3

Comme leurs homologues réelles, les fonctions cos et sin sont indéfiniment dérivables (sur C) et, en particulier, holomorphes .

II.3 Trigonométrie hyperbolique Dans la même démarche, il est d’usage de définir le cosinus hyperbolique et le sinus hyperbolique, d’abord par leur développement en série entière sur R : +∞ X t2n et + e−t ∀ t ∈ R, cosh t = = = cos it 2 n=0 (2n)! +∞ X t2n+1 et − e−t = = −i sin it, ∀ t ∈ R, sinh t = 2 n=0 (2n + 1)!

et ensuite par leur prolongement analytique au plan complexe :
3. En faisant bien attention que cos z 6= Re eiz si z n’est pas réel. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 129

TD no 5

II.3 Trigonométrie hyperbolique

ez + e−z 2 z e − e−z ∀ z ∈ C, sinh z = 2

+∞ X

z 2n = cos iz n=0 (2n)! +∞ X z 2n+1 = = −i sin iz. n=0 (2n + 1)!

∀ z ∈ C, cosh z =

=

(II.3.19)

Il est facile de voir que les séries entières de (II.3.19) sont convergentes et analytiques sur C tout entier. Elles sont, en particulier, holomorphes sur C avec ∀ z ∈ C,

cosh′ z = sinh z

et

sinh′ z = cosh z,

donc indéfiniment dérivables sur C. Quelques formules de trigonométrie hyperbolique : Les homologues des formules trigonométriques sont regroupées ci-dessous 4 : ∀ z ∈ C,

cosh2 z − sinh2 z = 1 5

ez = cosh z + sinh z.

et

  cosh(a + b)      cosh(a − b)

= cosh(a) cosh(b) + sinh(a) sinh(b) = cosh(a) cosh(b) − sinh(a) sinh(b)  sinh(a + b) = sinh(a) cosh(b) + cosh(a) sinh(b)      sinh(a − b) = sinh(a) cosh(b) − cosh(a) sinh(b) p+q p−q cosh 2 2 p+q p−q = 2 sinh sinh 2 2 p−q p+q cosh sinh p + sinh q = 2 sinh 2 2 p+q p−q sinh p − sinh q = 2 cosh sinh 2 2

   cosh p + cosh q           cosh p − cosh q                       

cosh2 a =

(II.3.20)

(II.3.21)

= 2 cosh

1 + cosh 2a 2

sinh2 a = −

1 − cosh 2a 2

(II.3.22)

(II.3.23)

cosh 2a = cosh2 a + sinh2 a sinh 2a = 2 sinh a cosh a.

Cosinus et Sinus hyperboliques réels : (i) Comme leur homologue circulaire, cosh est paire et sinh est impaire. 4. Formellement, à partir des formules (II.1.14), (II.1.15) et (II.1.16), on remplace cos par cosh, sin par sinh et pour les produits de sinh × sinh on image un i fantôme devant chaque sinh et on remplace par l’opposé. 5. On reconnaît l’équation X 2 − Y 2 = 1 d’une hyperbole équilatère à l’origine du qualificatif hyperbolique dû à Vincenzo Riccati (1707-1775, théologien jésuite, physicien et mathématicien originaire de Bologne) alors qu’il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l’aire sous la courbe.

130 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Trigonométrie hyperbolique

y

1 O

x

1

x 7−→ cosh x x 7−→ sinh x

Figure II.3.6 – Cosinus et Sinus hyperboliques approchés par leur série de Taylor

ex + e−x , on déduit que cosh x > 0. 2 Puis, cosh2 x = 1 + sinh2 x entraîne cosh x > 1 pour tout x réel. La valeur 1 étant atteinte pour x = 0.

(ii) De la définition cosh x =

(iii) En se limitant à l’ensemble des réels, les fonctions cosh et sinh sont indéfiniment dérivables sur R avec : ∀ x ∈ R,

cosh′ x = sinh x

et

sinh′ x = cosh x.

(II.3.24)

(iv) Il résulte de (ii) et (II.3.24) que sinh est strictement croissante sur R puis sinh x > 0 = sinh 0 pour x > 0. (II.3.24) entraîne alors à son tour que cosh est strictement croissante sur R+ , strictement décroissante sur R− par parité. (v) Enfin avec lim cosh x = lim sinh x = +∞ et l’argument de parité (i), on peut x→+∞ x→+∞ tracer les graphes II.3.6 de ces fonctions.

x −∞ cosh x

0

+∞

+∞ +∞

1

x −∞

0

+∞ +∞

sinh x

0 −∞

Figure II.3.7 – Tableaux de variations de x 7−→ cosh x et x 7−→ sinh x sur R

Fonctions réciproques : (vi) La fonction cosh est continue strictement croissante de [0; +∞[ sur [1; +∞[, elle réalise donc un homéomorphisme de [0; +∞[ sur [1; ∞[. Sa fonction réciproque, Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 131

TD no 5

II.3 Trigonométrie hyperbolique

y

1 O

x

1

x 7−→ argcosh x x 7−→ argsinh x Figure II.3.8 – Graphes de x − 7 → argcosh x et x 7−→ argsinh x ainsi que la série de Taylor de argsinh.

notée argcosh est appelée argument cosinus hyperbolique. Elle est dérivable sur ]1, +∞[ de dérivée argcosh′ x = √

1 x2 − 1

.

En outre, on peut donner une expression exacte pour argcosh, qui est : ∀ x ∈ [0; +∞[,



argcosh(x) = ln x +

√



x2 − 1 .

(II.3.25)

Preuve: Le calcul explicite de cette forme logarithmique revient à résoudre, l’équation cosh t = x. D’après (II.3.20), on a et = x + sinh t. La relation x2 − sinh2 t = 1, entraîne p t alors e = x + x2 − 1 puis le résultat. Il est alors facile de calculer la dérivée de argcosh. 

(vii) La fonction sinh est continue strictement croissante de R sur R, elle réalise donc un homéomorphisme de R sur R. Sa fonction réciproque, notée argsinh est appelée argument sinus hyperbolique. Elle est dérivable sur R de dérivée 1 argsinh′ x = √ 2 . x +1 En outre, on peut donner une expression exacte pour argsinh, qui est : ∀ x ∈ R,



argsinh(x) = ln x +

√



x2 + 1 .

(II.3.26)

(viii) La fonction argsinh est développable en série entière sur l’intervalle ] − 1; 1[ donc analytique et prolongeable à tout le disque unité ouvert par ∀ z ∈ D(0, 1),

argsinh z =

(−1)n (2n)! z 2n+1 . n (n!)2 (2n + 1) 4 n=0 +∞ X

Remarque: La fonction argcosh n’est pas définie dans un voisinage de 0. 132 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Quelques commentaires

(ix) Le prolongement à C des expressions (II.3.25) et (II.3.26) donnent des exemples de fonctions multiévaluées complexes qui nécessitent le choix d’une coupure de C 6 . On choisit traditionnellement comme coupure la demi-droite ] − ∞, 1[= {z ∈ C / Re z < 1 et Im z = 0}

pour argcosh et la réunion des deux demi-droites

] − i∞, −i[ = {z ∈ C / Re z = 0 et Im < −i} ]i, +i∞[ = {z ∈ C / Re z = 0 et Im > i}

et

pour argsinh. On a alors : 

argcosh z = Log z +

√

 √ z+1 z−1

et



argsinh z = Log z +

II.4 Quelques commentaires

√



1 + z2 .

Re (cos z)

Im(z) Re(z) x 7−→ cos x y 7−→ cosh y

Figure II.4.9 – z 7−→ Re(cos z)

⋄ Si les fonctions cos et sin, restreintes à R, sont bornées, il n’en est pas de même pour ces mêmes fonctions définies sur C. Précisément pour z = x + iy ∈ C, on a : cos(z) = cos(x) cos(iy) − sin(x) sin(iy) = cos(x) cosh(y) + i sin(x) sinh(y)

(II.4.27)

sin(z) = sin(x) cos(iy) + cos(x) sin(iy) = sin(x) cosh(y) − i cos(x) sinh(y) 6. Voir plus loin. . . Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 133

TD no 5

II.4 Quelques commentaires

Im z 1 −π

2

O

−π

2

π

π

2

3π

Re z 2π

2

5π

Figure II.4.10 – Courbes de niveaux de la fonction z 7−→ Re(cos z)

et | cos(z)|2 = cos2 (x) cosh2 (y) + sin2 (x) sinh2 (y)

= cos2 (x) cosh2 (y) + (1 − cos2 (x)) sinh2 (y)

= cos2 (x)(cosh2 (y) − sinh2 (y)) + sinh2 (y) = cos2 (x) + sinh2 (y) −−−−−−−−→ +∞ | Im(z)|→+∞

| cos z|

Im(z)

Re(z) Figure II.4.11 – z 7−→ | cos z|

Im z 1 −π

2

−π

O

2

π

πRe z

2

3π

Figure II.4.12 – Courbes de niveaux de z 7−→ | cos z|

De même, | sin(z)|2 = sin2 (x) + sinh2 (y) −−−−−−−−→ +∞. | Im(z)|→+∞

134 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Le nombre

π

⋄ Avec les mêmes notations on établit que cosh(z) = cosh(x) cosh(iy) + sinh(x) sinh(iy) = cosh(x) cos(y) + i sinh(x) sin(y)

(II.4.28)

sinh(z) = sinh(x) cosh(iy) + cosh(x) sinh(iy) = sinh(x) cos(y) + i cosh(x) sin(y). Puis, | cosh(z)|2 = sinh2 (x) + cos2 (y) −−−−−−−→ +∞, | Re(z)|→+∞

2

2

2

| sinh(z)| = sinh (x) + sin (y) −−−−−−−→ +∞. | Re(z)|→+∞

II.5 Le nombre

π

Théorème IV II.5.1. π

(i) Il existe un nombre positif π tel que ei 2 = i. (ii) Pour tout z ∈ C, ez = 1 si et seulement si z ∈ 2iπZ. (iii) Les fonctions exponentielles, cosinus et sinus hyperboliques sont périodiques, de période 2iπ. Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π.

Preuve: (i) La fonction cos définie par (II.1.13) est continue sur l’axe réel et vérifie cos 0 = 1 > 0. De plus, pour t = 2, la série (II.1.13) est une série alternée convergente dont le terme général décroit à partir du second terme. Elle est donc inférieure à la somme de ses trois premiers 24 1 22 + = − < 0. termes c’est-à-dire cos 2 < 1 − 2 24 3 D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc un plus petit nombre positif t0 ∈ [0, 2] tel que cos t0 = 0 et on pose traditionnellement, par définition :

π = 2t0 .

(II.5.29)

D’après (II.1.12), cos2 t + sin2 t = 1, d’où sin t0 = ±1. Or sin′ t = cos t > 0 sur ]0, t0 [ c’est-à-dire que la fonction sin est croissante sur ]0, t0 [ avec sin 0 = 0. D’où sin t0 = 1 > 0 et π

ei 2 = i. (ii) Condition nécessaire : D’après (i), on a facilement eiπ = i2 = −1 7 puis e2inπ = 1 pour tout n ∈ Z. Condition suffisante : Supposons maintenant que z = x + iy soit un nombre complexe tel que ez = 1 et montrons que z est un multiple entier de 2iπ.

7. Cette équation est assez remarquable puisque, écrite sous la forme eiπ + 1 = 0, elle relie 5 des plus fondamentaux nombres mathématiques. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 135

TD no 5

III.1 III. Retour sur les fonctions circulaires réelles

Comme |ez | = ex = 1, nécessairement x = 0. Reste à montrer que y est un multiple entier de 2π. Supposons donc le contraire c’est-à-dire y 6∈ 2πZ et montrons que eiy 6= 1. Comme R est archimédien, il existe un entier relatif k tel que 2kπ < y < 2(k + 1)π donc tel que 0 < y − 2kπ < 2π. Par périodicité de l’exponentielle, ei(y−2kπ) = eiy ; On peut donc supposer que y ∈]0, 2π[. y y π Posons alors ei 4 = u + iv avec u et v réels et même strictement positifs car 0 < < . 4 2 On a : eiy = (u + iv)4 = u4 − 6u2 v 2 + v 4 + 4iuv(u2 − v 2 )

(II.5.30)

Le membre de droite de (II.5.30) ne peut être réel que si u2 = v 2 c’est-à-dire u = v car 1 u > 0 et v > 0. La condition u2 + v 2 = 1 entraîne alors u2 = v 2 = puis, en remplaçant 2 dans (II.5.30), on obtient eiy = −1 6= 1 ce qui achève la démonstration. (iii) D’après (ii), on a ∀ z ∈ C, ∀ k ∈ Z, ez+2ikπ = ez e2ikπ = ez . Soit alors un réel T tel que 0 < T 6 2π et ∀ z ∈ C, ei(z+T ) = eiz c’est-à-dire tel que eiT = 1. D’après (ii), 2π|T d’où T = 2π. La fonction exponentielle est donc périodique de période 2iπ. Les formules d’Euler (II.2.18) et (II.3.19) entraînent immédiatement la périodicité des fonctions cosinus et sinus. 

Remarque: A la suite de IV V.1.1, on pourrait prouver que les applications de la forme t 7−→ eαt avec α ∈ C, sont les seuls morphismes continus de (R+ , +) dans (C∗ , ×) mais ce résultat ne nous sera pas utile donc on gardera cette remarque comme intermède culturel.

III Retour sur les fonctions circulaires réelles Ce petit intermède est consacré à l’étude des fonctions de la variables réelle cos : R 7−→ R x cos x

et

sin : R 7−→ R , x sin x

que nous n’avions pas encore les moyens de traiter convenablement ainsi qu’à quelques formules trigonométriques chères aux lycéens.   π et par parité avec cos 0 = 1 > 0, D’après (II.5.29), cos x > 0 pour tout x ∈ 0, 2   π π cos x > 0 pour tout x ∈ − , . La fonction sin telle que sin′ = cos est donc strictement 2 2   π π croissante sur − , . Comme sin 0 = 0, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, 2 2   π la fonction sin, continue, prend des valeurs strictement négatives sur − , 0 puis stric2   π ′ tement positives sur 0, . On en déduit les variations de cos avec cos = − sin. 2 π π Enfin, ei 2 = i de IV II.5.1 (i), donne sin = 1 et la 2π-périodicité donnée par IV II.5.1 2 (iii) achève l’étude sur R. On résume l’étude dans les tableaux III.0.13. Les graphes des fonctions sont donnés en II.1.5 page 128. 136 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

x −

Relations autour du cercle trigonométrique

π 2

π 2

0

x −

1

cos x

π 2

0

1

sin x

0

0

π 2

0 −1

Figure III.0.13 – Tableaux de variations des fonctions x 7−→ cos x et x 7−→ sin x sur R

III.1 Relations autour du cercle trigonométrique D’après IV II.5.1 (i), on a : π

ei 2 = i

eiπ = −1.

et

π π Une translation de sur x entraîne donc une rotation d’angle sur les cos et sin 2 2 correspondants. π

ei 2 = i

   





π = − sin x cos x + 2  =⇒ π   = cos x  sin x + 2

iπ

e = −1 =⇒

(

cos (x + π) = − cos x sin (x + π) = − sin x

Enfin, e−ix = eix , c’est-à-dire une symétrie par rapport à l’axe des réels, et des arguments de parité entraînent :    





π ( − x = sin x cos (π − x) = − cos x 2   et π  sin (π − x) = sin x  − x = cos x  sin 2 On résume traditionnellement ces relations sur un cercle trigonométrique : Remarque: En remplaçant π par iπ, cos par cosh et sin par sinh, on obtient la même série de formules trigonométriques pour les fonctions hyperboliques. cos

III.2 Fonctions réciproques (i) La fonction cos est continue strictement décroissante de [0; π] sur [−1, 1], elle réalise donc un homéomorphisme de [0; π] sur [−1; 1]. Sa fonction réciproque, notée arccos, 1 est dérivable sur ] − 1, 1[ de dérivée arccos′ x = − √ . 1 − x2 



π π sur [−1, 1], elle (ii) La fonction sin est continue strictement décroissante de − , 2 2   π π réalise donc un homéomorphisme de − , sur [−1; 1]. Sa fonction réciproque, 2 2 1 . notée arcsin, est dérivable sur ] − 1, 1[ de dérivée arcsin′ x = √ 1 − x2

(iii) On pourrait alors démontrer que ces fonctions sont analytiques sur ] − 1, 1[ et prolongeables en des fonctions analytiques sur le disque unité ouvert par les séries : Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 137

TD no 5

2

bc

bc

π +x 2

1

x

x bc

bc

π−

π 2 −x

IV.1 IV. Fonctions tangentes et réciproques

sin t bc

−2

cos1 t

2 bc

bc

x π+

O

−1

−1

bc

bc

−2

π +x −2

−π 2 −x

−x

Figure III.1.14 – Formules trigonométriques

X (2n)! π +∞ arccos z = − z 2n+1 , n 2 2 n=0 4 (n!) (2n + 1)

∀ z ∈ D(O, 1),

arcsin z =

(2n)! z 2n+1 . n (n!)2 (2n + 1) 4 n=0 +∞ X

IV Fonctions tangentes et réciproques IV.1 Tangente et Arctangente (i) Pour z ∈ C, (II.4.27) s’écrit : cos z = cos x cosh y + i sin x sinh y. π (π) et sinh y = 0 ⇔ y = 0, on déduit de IV II.5.1 que Comme cos x = 0 ⇔ x ≡ 2 l’ensemble des zéros de la fonction cos est l’ensemble de réels Z(cos) =





π + kπ / k ∈ Z . 2

(ii) Sur C \ Z(cos), on définit la fonction tangente (circulaire) par tan z = 138 - L3 - Analyse Complexe

sin z . cos z Fabien PUCCI

TD no 5

Tangente et Arctangente

y

x 7−→ arccos x 1 x 7−→ arcsin x

O

x

1

Figure III.2.15 – arccos et arcsin pour x réel ainsi que leur série de Taylor

y

−3π 2

−π

−π 2

O

π 2

π

3πx 2

x 7−→ tan x x 7−→ arctan x Figure IV.1.16 – tan et arctan pour x réel ainsi que leur série de Taylor

Cette fonction est analytique sur son domaine de définition, 2π-périodique, impaire, holomorphe, indéfiniment dérivable 8 et de dérivée tan′ z =

1 = 1 + tan2 z. 2 cos z

(IV.1.31)

(iii) On peut déduire diverses formules valables pour cette fonction tangente des formules trigonométriques précédentes. Par exemple de (II.1.14) on déduit tan(a + b) = lorsque tous ces nombres existent.

tan a + tan b , 1 − tan a tan b

8. Les redondances sont, pour l’instant, encore nécessaires. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 139

TD no 5

IV.2 Tangente et Argument tangente hyperbolique

(iv) D’après (IV.1.31), la fonction  de la variable réelle x 7−→ tan x est donc stricteπ π avec lim tan x = +∞. Elle définit donc un homéoment croissante sur − , − 2 2 x→ π 2   π π morphisme de − , sur R. Sa fonction réciproque, notée arctan, est appelée 2 2 1 arc-tangente. Elle est dérivable de dérivée . 1 + x2 x

−

π 2

π 2

0

x −∞

+∞

0

π 2

+∞ 0

tan x

arctan x

0 π − 2

−∞

Figure IV.1.17 – Tableaux de variations des fonctions x 7−→ tan x et x 7−→ arctan x pour x réel. Le tableau complet de la fonction tan est obtenu soit par imparité et 2πpériodicité soit par symétrie par rapport à l’origine et translations de 2π.

(v) Les fonctions tan et arctan sont toutes deux développables en séries entières, développement prolongeable analytiquement au plan complexe. Respectivement, on a: 

∀ z ∈ D 0,



π , 2

∀ z ∈ D(0, 1),

tan z =

arctan z =

+∞ X

B2n (−4)n (1 − 4n ) 2n−1 z , (2n)! n=1 (−1)n 2n+1 z , n=0 2n + 1 +∞ X

où les nombres Bn apparaissant dans le développement de tan z sont les nombres de Bernoulli 9 .

IV.2 Tangente et Argument tangente hyperbolique (i) Pour z ∈ C, (II.4.28) s’écrit : 9. En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés Bn , constituent une suite de nombres rationnels, qui ont d’abord été étudiés par Jacques Bernoulli en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type : m−1 X k n = 0n + 1n + 2n + · · · + (m − 1)n , k=0

pour différentes valeurs de l’entier n. m−1 X En effet, l’expression k n est toujours un polynôme en m, de degré n+1, dont les coefficients définissent k=0

les nombres de Bernoulli Bn de la façon suivante : m−1 X k=0

140 - L3 - Analyse Complexe

 n  1 X n+1 Bk mn+1−k . k = n+1 k n

k=0

Fabien PUCCI

TD no 5

Tangente et Argument tangente hyperbolique

y

1

O

x

1

x 7−→ tanh x x 7−→ argtanh Figure IV.2.18 – tanh et argtanh pour x réel ainsi que leur série de Taylor

cosh z = cosh(x) cos(y) + i sinh(x) sin(y). Par le même raisonnement que précédemment, on déduit de IV II.5.1 que l’ensemble des zéros de la fonction cosh est l’ensemble de réels 



π Z(cosh) = i × + kπ / k ∈ Z . 2

(IV.2.32)

(ii) Sur C \ Z(cosh), on définit la fonction tangente hyperbolique par tanh z =

sinh z ez − e−z e2z − 1 = z = . cosh z e + z −z e2z + 1

Cette fonction est analytique sur son domaine de définition, 2iπ-périodique, impaire, holomorphe, indéfiniment dérivable et de dérivée tanh′ z =

1 = 1 − tanh2 z. cosh2 z

(IV.2.33)

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l’intermédiaire de leur fonction génératrice expox c’est-à-dire nentielle x e −1 ∞ X xn x = B , n ex − 1 n=0 n!

pour tout x de valeur absolue inférieure à 2π, (le rayon de convergence de cette série entière). Enfin, on peut aussi trouver une formule explicite en passant par les nombres de Stirling :       n k k n X X X k 1 1 X k! n k−j j k k  j jn. (−1) (−1) = Bn = (−1) j j k + 1 k! j=1 k + 1 j=0 k=0

Fabien PUCCI

k=0

L3 - Analyse Complexe

- 141

TD no 5

V.1 V. Vers le logarithme

(iii) Des formules trigonométriques du même type sont toujours valables, auxquelles il faut ajouter : tan z = −i tanh iz

et

tanh z = −i tan iz.

(iv) D’après (IV.2.33) et (IV.2.32), la fonction de la variable réelle x 7−→ tanh x est définie sur R, strictement croissante avec lim tanh x = 1. Elle définit donc un x→+∞

homéomorphisme de R sur ]−1, 1[. Sa fonction réciproque, notée argtanh, est appelée 1 argument tangente hyperbolique. Elle est dérivable de dérivée . 1 − x2 x

−∞

0

∞

x

0

−1

1 +∞

1 0

tanh x

0

argtanh x −∞

−1

Figure IV.2.19 – Tableaux de x 7−→ tanh x et x 7−→ argtanh x pour x réel.

(v) Les fonctions tanh et argtanh sont toutes deux développables en séries entières, développement prolongeable analytiquement au plan complexe. On a, respectivement :





π ∀ z ∈ D 0, , 2

∀ z ∈ D(0, 1),

tanh z =

argtanh z =

.

+∞ X

B2n (−4)n (4n − 1) 2n−1 z , (2n)! n=1 +∞ X

1 z 2n+1 . 2n + 1 n=0

(vi) En outre, comme pour argcosh et argsinh, on peut trouver une formule explicite. Il s’agit d’une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure les segments ]−∞; −1[ et ]1; +∞[ : argtanh z =

1 Log(1 + z) − Log(1 − z) , 2 



dont la restriction à ] − 1, 1[ s’écrit : 1+x 1 . argtanh x = ln 2 1−x 



V Vers le logarithme 142 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Détermination de l’argument

V.1 Détermination de l’argument Théorème IV V.1.1. L’application t 7−→ eit réalise un morphisme de groupes continu et surjectif de l’axe réel (R, +) sur le cercle unité (S1 , ×) de noyau 2πZ. Preuve: D’après (I.1.6), ∀ t ∈ R, eit ∈ S1 . On peut donc définir une application ϕ : R 7−→ S1 t eit .

ϕ 1 1 bc

eit t

sin t

t

O

0

cos t

11

eit

Figure V.1.20 – R −→ S1 La relation fonctionnelle (I.1.3) implique facilement que S1 est un sous-groupe multiplicatif de (C∗ , ×) d’une part et que ϕ est un morphisme d’autre part, continu de surcroît. L’assertion IV II.5.1.(ii) entraîne que le noyau de ϕ est exactement 2πZ. Il ne nous reste donc plus qu’à montrer que ϕ est surjectif. Considérons un élément w = u+iv de S1 c’est-à-dire tel que |w| = 1 et montrons qu’il existe un réel t tel que w = eit . Supposons d’abord u > 0 et v > 0. La relation |w|2 = u2 +v 2 =1 entraîne que u et v sont dans π π avec cos 0 = 1 et et cos = 0. [0, 1]. Or, la fonction cos est strictement décroissante sur 0, 2     2 π π Elle réalise donc une bijection 10 de 0, sur [0, 1] et il existe un unique réel t ∈ 0, tel que 2 2   π u = cos t. Comme sin2 t = 1 − u2 = v 2 avec v > 0 et t ∈ 0, , on a v = sin t puisque ces deux 2 valeurs sont positives. Il en résulte que w = eit . Si u < 0 et v > 0, on peut appliquer ce qui précède à −iw et on trouve −iw = eit puis π w = ei(t+ 2 ) . Enfin, si v < 0, on sait que −w = eit puis w = ei(t+π) . L’application t 7−→ eit est donc bien une surjection de R dans S1 . 

p 

R/

≃

Le théorème IV V.1.1 peut se résumer par le diagramme V.1.34 : ϕ (R, +) (S1 , ×) t eit

2πZ , +

(V.1.34)



10. ou d’après le théorème des valeurs intermédiaires. . . Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 143

TD no 5

V.1 Détermination de l’argument

arg z

Im z

Re z

Figure V.1.21 – z 7−→ arg z.

Ainsi, l’exponentielle définit un isomorphisme de groupes

ϕ˜ : R /2πZ 7−→ S1 . Si on munit R /2πZ de la topologie quotient 11 , ϕ˜ devient un homéomorphisme. L’application réciproque associe, à tout nombre complexe de module 1, une classe modulo 2πZ de réels, ses arguments. La fonction définie sur C∗ par arg : C∗

z = x + iy

[−π, π[  arg z =

             

y arcsin , si x > 0, |z| y π − arcsin , si x 6 0, y > 0, |z| y , si x 6 0, y 6 0 −π − arcsin |z|

(V.1.35)

consiste à choisir comme représentants les éléments de l’intervalle [−π, π[. On l’appelle la détermination principale de l’argument. La fonction du même nom définie intuitivement en I.2.2 page 8 l’est désormais rigoureusement. R −1 ˜ ˜ ⊂ R/ 11. Une partie U 2πZ est un ouvert de /2πZ si et seulement si p (U ) est un ouvert de R.

144 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Le logarithme réel

Im z

z

2

bc

z |z|

1 sin

z |z|

bc

arg z

O

1

2

Re z

3

Figure V.1.22 – Argument d’un nombre complexe non nul dans le plan complexe

V.2 Le logarithme réel D’après IV I.2.4, la fonction exponentielle est continue et strictement croissante de R sur ]0, +∞[. Elle définit donc un homéomorphisme de R sur ]0, +∞[. La fonction réciproque est notée ln et on l’appelle logarithme népérien. Théorème IV V.2.2 (Le logarithme népérien). (i) La fonction ln est définie sur R∗+ , continue et strictement croissante sur son ensemble de définition et vérifie : ∀ x ∈ R,

ln ex = x

∀ x ∈ R∗+ ,

et

eln x = x.

(ii) La fonction ln est de classe C ∞ sur R et ∀ x ∈ R∗+ ,

(ln x)′ =

1 . x

(iii) La fonction ln vérifie l’équation fonctionnelle : ∀ x1 , x2 ∈ R∗+ ,

ln x1 x2 = ln x1 + ln x2 .

(V.2.36)

(iv) La fonction x ln(1 + x) est développable en série entière sur ] − 1, 1[ et ∀ x ∈] − 1, 1[,

ln(1 + x) =

+∞ X

(−1)n−1

n=1

xn . n

(V.2.37)

Preuve: (i) Simple conséquence du paragraphe précédent. De plus, par symétrie par rapport à la première bissectrice y = x, on déduit : Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 145

TD no 5

V.2 Le logarithme réel

lim ln x = +∞

et

ln e = 1

et

x→+∞

lim ln x = −∞.

x→0+

Ainsi que

x

ln 1 = 0.

3 2 1

+∞

0

bc

+∞

1 2 e 3 4 5 6 7 8

−1 −1 −2 −3 −4

ln x −∞

Figure V.2.23 – La fonction x 7−→ ln x sur R∗+ (ii) L’exponentielle ne s’annulant pas sur R, la fonction ln est dérivable sur son ensemble de définition et 1 1 1 ∀ x = eu ∈ R∗+ , (ln x)′ = u ′ = u = . e x (e )


Puis, par récurrence, ln ∈ C ∞ R∗+ . Remarque: ln x est la primitive de

1 qui s’annule en 1. x

(iii) Soient x1 = eu et x2 = ev , tous deux éléments de R∗+ . D’après (I.1.3), 



ln x1 x2 = ln (eu ev ) = ln eu+v = u + v = ln x1 + ln x2 . (iv) Il est clair que ln(1 + x) est une primitive sur ] − 1, +∞[ de x ∈] − 1, 1[, on sait aussi que

+∞ X

(−1)n xn =

n=0

1 . Ceci dit, pour tout 1+x


′ 1 = ln(1 + x) . 1+x

On peut alors intégrer terme à terme ce développement en série entière sur l’intervalle ] − 1, 1[, le rayon de convergence restant inchangé d’après III I.3.10 :

∀ x ∈] − 1, 1[,

ln(1 + x) = =

+∞ X

(−1)n

n=0 +∞ X

xn+1 n+1

(−1)n−1

n=1

xn n 

La relation (V.2.37) invite à considérer la série entière définie par S(z) =

+∞ X

(−1)n−1

n=1

146 - L3 - Analyse Complexe

(z − 1)n . n

(V.2.38) Fabien PUCCI

TD no 5

Le logarithme réel

y

1 O

x

1

Figure V.2.24 – ∀x ∈]0, 2[, ln x = (x−1)−

(x − 1)2 (x − 1)3 (x − 1)4 + − +. . . 2 3 4

zn étant 1, la relation (V.2.38) est n valide pour tout complexe z tel que |z − 1| < 1 c’est-à-dire tout élément du disque ouvert centré en 1 et de rayon 1. D’après III II.3.6, on sait que S est analytique sur son disque de convergence et vérifie : Le rayon de convergence de la série

S(1) = 0

et

X

(−1)n−1

∀ |z − 1| < 1,

1 S ′ (z) = . z

En particulier, pour tout x ∈]0, 2[, S(x) = ln x. Précisons ces notions :

Définition IV V.2.3 (Détermination du logarithme). Soit U un domaine contenu dans C∗ . On appelle détermination (continue) du logarithme sur U toute fonction continue sur U vérifiant ∀ z ∈ U,

exp ◦f = Id|U .

Par composition de fonctions analytiques, la fonction exp ◦S est analytique 12 et coïncide sur ]0, 2[ avec l’identité donc, d’après le théorème de prolongement analytique III III.2.7 page 105, elles sont égales sur 1 + D(0, 1) tout entier. La somme de la série définie en (V.2.38), clairement continue, est donc une détermination du logarithme sur 1 + D(0, 1). Par définition, c’en est même une détermination analytique. 12. On anticipe un peu mais chut ! Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 147

TD no 5

V.2 Le logarithme réel

Corollaire IV V.2.4. Sur tout disque ne contenant pas l’origine, il existe une détermination analytique du logarithme. Plus précisément : soit z0 ∈ C∗ et θ0 = arg(z0 ) défini en (V.1.35). Alors la série f (z) = ln |z0 | + iθ0 +

+∞ X

(−1)n−1 (z − z0 )n , n nz 0 n=1

définit une détermination (analytique) du logarithme sur D(z0 , |z0 |).

+∞ X













z − z0 (−1)n−1 z − z0 n < 1 vers S z converge, pour définie en n z z z0 0 0 n=1 (V.2.38). On sait qu’elle est analytique sur  disque ne contenant pas 0 donc sur D(z0 , |z0 |).  tout z z  = z0 = z. Donc exp ◦f (z) = |z0 | exp(iθ0 ) × exp ◦f z0 z0

Preuve: La série

148 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Détermination principale du logarithme

V.3 Détermination principale du logarithme La fonction exponentielle n’est pas surjective sur C puisqu’elle ne s’annule jamais. Elle n’est pas non plus injective d’après IV V.3.5 (iii). On ne peut donc espérer définir une fonction réciproque de l’exponentielle sur C tout entier. Théorème IV V.3.5. Pour tout nombre complexe w 6= 0, il existe un nombre complexe z tel que : w = ez . L’application exponentielle est un morphisme continu surjectif de (C, +) dans (C∗ , ×) de noyau 2iπZ. w = eiy et |w| d’après IV I.2.4, l’exponentielle réalise une bijection de R sur R+ , il existe donc x ∈ R tel que |w| = ex . En conclusion, w = ex+iy .  Preuve: Fixons un élément w 6= 0. D’après IV V.1.1, il existe un y ∈ R tel que

ϕ

(C, +) z p 

C/

(C∗ , ×) ez (V.3.39)

ϕ˜

2iπZ , +



⋄ Le diagramme V.3.39 illustre IV V.3.5. Il traduit que l’exponentielle se factorise en un morphisme injectif ϕ˜ donc bijectif et on a : C/

∗ 2iπZ ≃ C .

⋄ Si l’on cherche, comme dans R, à inverser la fonction exp, on est amené à résoudre w = exp z = ex+iy pour z 6= 0 : on trouve x = ln |w| et y ≡ arg w (2π). On est donc amené à poser une expression de la forme Log w = ln |w| + i arg w.

(V.3.40)

Il est clair que cette expression dépend de la détermination de l’argument choisie en IV V.1.1. On fait ici le choix de la détermination principale. ⋄ Enfin, d’après (V.3.39), cette construction doit nécessairement être définie sur des « bandes 13 » de la forme n

o

B˜−π = z ∈ C / − π 6 Im z < π , 13. ou tout autre obtenue par translation à condition de choisir une détermination de l’argument adaptée. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 149

TD no 5

V.3 Détermination principale du logarithme

w = ez

Im z 5 4 3π 2 1

Re w 5 4 3 2 1 w0 = −ex0 −5 −4 −3 −2 −1O −2 −3 −4 −5 bc

−5 −4 −3 −2 −1O −2 −π −3 −4 −5

1 2 3 4 Re z x0 − iπ bc

1 2 3 4 Im w

z = Log w

Figure V.3.25 – Exemple de domaine assurant la bijectivité de l’exponentielle

homéomorphe à R × [−π, π[ pour assurer la bijectivité de l’exponentielle.

Ces conditions étant réunies, on a bien eLog w = e|w| × ei arg w = |w|ei arg w = w c’est-à-dire exp ◦ Log = Id|C∗ . Elles sont aussi suffisantes.

⋄ Cependant, la fonction Log n’est pas continue sur C∗ . En effet, soit x un réel strictement négatif et considérons les deux suites (un )n∈N et (vn )n∈N de C∗ définies par un = |x|eiπ(1− n ) 1

et

vn = |x|e−iπ(1+ n ) . 1

Par continuité de l’exponentielle sur C, on a lim un = lim vn = −|x| = x. n→+∞

    

n→+∞

1 n



−−−−→ ln |x| + iπ

1 Log vn = ln |x| − iπ 1 + n



−−−−→ ln |x| − iπ



Log un = ln |x| + iπ 1 − 

n→+∞

6=

Or,

     

.

n→+∞

La fonction Log, ainsi construite ne saurait donc être continue sur B˜−π . Pour surmonter cette difficulté et construire une détermination du logarithme au sens de IV V.2.3 on est amené à s’interdire les valeurs de z telle que Im z = −π et à définir la bande ouverte 150 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Détermination principale du logarithme

Im z 6 5 4 3 π 2 1

ln |x| + iπ b

b

b

bc

O −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −π −3 −4 −5

Re w 5 4 3 un 2 vn 1 x

1 2 3 4 Re z

O −5 −4 −3 −2 −1 −1

1 2 3 4 Im w

−2 −3 −4 −5

b

ln |x| − iπ

Figure V.3.26 – Log n’est pas continu sur B˜−π n

o

B−π = z ∈ C / − π < Im z < π .

exp|B−π est alors une bijection bi-continue de B−π sur C∗ \ R∗− = C \ R− où R− est appelée une coupure du plan complexe. La bijection réciproque, toujours définie par (V.3.40), est alors continue. Plus précisément : Définition IV V.3.6 (Détermination principale du logarithme). La fonction Log définie sur C \ R− par Log :

n

o

B−π = z ∈ C / − π < Im z < π   arcsin y  , si x > 0,   |z|    y , si x 6 0, y > 0, ln |z| + i × π − arcsin  |z|     −π − arcsin y , si x 6 0, y < 0   |z|

C \ R− z = x + iy

est appelée La détermination principale du logarithme ;

Attention : l’égalité (V.2.36), usuelle dans R∗+ ne peut plus être appliquée dans C. π π π Par exemple, pour z = e2i 3 , on a z 2 = e4i 3 = e−2i 3 . Si l’on choisit la détermination principale du logarithme, alors Log z = 2i

π 3

et

Log z 2 = −2i

π 6= 2 Log z. 3

Remarque: Pour α ∈ R, une détermination du logarithme 14 sur une bande n

Bα = z ∈ C / α < Im z < α + 2π 14. non principale cette fois. Fabien PUCCI

o

L3 - Analyse Complexe

- 151

TD no 5

V.3 Détermination principale du logarithme

| Log z|

Im z

Re z Figure V.3.27 – Surface z 7−→ | Log z|. En coloré, la détermination principale du logarithme. Le module, étant continue sur C, on peut visualiser la singularité en 0 du logarithme. La courbe tracée en rouge, représentant la fonction x 7−→ ln |x|, est donc évidemment discontinue en 0.

est de la forme Logα : C \ ∆α 7−→ Bα z Logα z = ln |z| + i argα (z), où la coupure ∆α correspondante est la demi-droite {ρeiα , ρ > 0} et α < argα (z) < α+2π. Im z

Re w

∆α

α + 2π

Bα

1 O α

1

1 Re z

O



α

Figure V.3.28 – Bande Bα = z ∈ C / α < Im z < α + 2π coupure ∆α associée

152 - L3 - Analyse Complexe

Im w

1



et sa

Fabien PUCCI

TD no 5

Détermination principale du logarithme

La relation fonctionnelle : La relation (I.1.3) pour la fonction exponentielle implique que 



exp Log z1 z2 = z1 z2 





= exp Log z1 × exp Log z2 



= exp Log z1 + Log z2 . On en déduit que : ∀ z1 , z2 ∈ C∗ ,



Log z1 z2 = Log z1 + Log z2 + 2ikπ.

L’entier k est déterminé par la branche du logarithme choisie. Si l’on considère la branche principale sur C \ R− , on a : ∀z1 , z2 ∈ C\R− , Log z1 z2 = Log z1 +Log z2 +

  

2iπ 0   −2iπ

si si si

π < arg z1 + arg z2 −π < arg z1 + arg z2 < π arg z1 + arg z2 < −π.

En particulier, ∀ n ∈ Z, on a Log z n = n Log z + 2ikπ et donc aussi 



z n = exp n Log z . Cette formule est la motivation pour considérer aussi des puissances complexes en V.4. Proposition IV V.3.7. (i) Si f est une détermination du logarithme sur un domaine U ⊂ C∗ alors les autres déterminations du logarithme dans ce même ouvert sont f + 2ikπ, k ∈ Z. (ii) Il n’existe pas de détermination (continue) du logarithme sur C∗ . (iii) Si f est une détermination du logarithme dans un domaine U alors ∀ z ∈ U,

1 f ′ (z) = . z

D’après (iii), une détermination du logarithme sur U est donc nécessairement une 1 primitive de sur U. z

Preuve:

f −g (i) Si f et g sont deux déterminations continues du logarithme sur U alors h = est 2iπ continue de U connexe à valeurs dans Z discret, donc h est constante d’après I IV.1.2 page 20. (ii) Supposons qu’une telle détermination existe et appelons-la f . La fonction u = Im f est alors une détermination continue de l’argument sur C∗ . Restreignons-nous au cercle S1 et posons Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 153

TD no 5

V.3 Détermination principale du logarithme

v : R 7−→ R  θ u eiθ . v est alors continue et 2π-périodique. Pour tout θ ∈ R, θ et v(θ) sont des représentants d’une même classe d’argument de eiθ donc il existe un entier n(θ) tel que v(θ) − θ = 2n(θ)π. On applique ici le même raisonnement qu’en (i) : v est continue donc n est aussi continue de R connexe dans Z discret donc elle est constante c’est-à-dire qu’il existe un entier n0 tel que v(θ) − θ = 2n0 π. Là, où le bât blesse, c’est que v est 2π-périodique : v(θ) = θ + 2n0 π = v(θ + 2π) = θ + 2π + 2n0 π, ce qui est impossible. Donc il ne peut exister de telle détermination sur C∗ . (iii) Soient z0 et z dans U et posons Z = f (z) et Z0 = f (z0 ). Comme exp ◦f = Id|U , on a exp Z = z et exp Z0 = z0 puis 1 Z − Z0 1 f (z) − f (z0 ) = −−−→ = . z − z0 exp Z − exp Z0 z→zo exp Z0 z0 

La moralité de IV V.3.7.(ii) est qu’il faut enlever un peu plus qu’un ensemble discret pour espérer construire une détermination du logarithme continue. On sait depuis IV V.3.6 qu’une telle construction est possible en enlevant une demi-droite. Entre les deux, on pourrait essayer de construire une détermination du logarithme sur C privé d’un segment ou d’un disque. Peine perdue, comme nous le verrons, segments, disques et autre ensembles bornés sont homotopes 15 à un point. Corollaire IV V.3.8 (Détermination analytique du logarithme). La fonction Log définie en IV V.3.6 est analytique sur C \ R− .

Preuve: On sait déjà que Log est une détermination continue du logarithme sur C \ R− . Il ne reste plus qu’à vérifier qu’elle y est analytique. Soient donc z0 ∈ C \ R− et D un disque ouvert, centré en z0 de rayon r suffisamment petit pour ne pas intersecter la demi-droite des réels négatifs. Comme D ⊂ D(z0 , |z0 |), d’après IV V.3.7.(i), les deux déterminations du logarithme Log et f définie en IV V.2.4 sont égales sur D à un facteur de 2iπ près. L’une étant analytique, l’autre l’est aussi.  15. En première approche, « qui peuvent se déformer continument en. . . »

154 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Fonctions puissance

Im z 2 z0

−5

−4

−3

r bc

−2

|z0 | 1 −1

O

1

Re z

Figure V.3.29 – Il existe une détermination analytique du logarithme sur C \ R−

V.4 Fonctions puissance Pour α ∈ R et x ∈ R∗+ , on définit la fonction puissance-α par xα = exp(α ln x). On étend cette définition à C : Définition IV V.4.9 (Puissance). Soient α ∈ C et U un domaine ne contenant pas l’origine. Pour chaque détermination du logarithme dans U, on peut définir une fonction puissance-α associée par φ : U 7−→ C z z α = exp(α Log z).

(V.4.41)

Exemple:Pour la détermination principale du logarithme, la fonction z 7−→ z i est définie par ∀ z ∈ C \ R− ,

z i = exp(i Log z) = exp(i ln |z| − arg z) = exp(i ln |z|) × exp(− arg z).

π

Par exemple, ii = e− 2 +2kπ . Remarque: Comme pour le logarithme, il faut être extrêmement vigilant avant d’utiliser des formules comme z α+β = z α z β ou (zz ′ )α = z α z ′α , . . . Quelques commentaires importants : Ici, la fonction Log est multivaluée. Ceci signifie que z α est aussi multivaluée en général. Considérons quelques cas particuliers : ⋄ si α = n ∈ N alors z n = |z × z ×{z. . . × z}. Cette valeur est unique. n fois

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 155

TD no 5

V.4 Fonctions puissance

⋄ Si α = −n est un entier négatif alors z n = |z −1 × z −1 {z × . . . × z −1}. Cette valeur est n fois

unique.

1 alors z α est une racine énième de l’unité. On les obtient toutes à partir n 2ikπ d’une seule par multiplication par e n , k = 0, 1 . . . , n − 1.

⋄ Si α =

⋄ Si α ∈ R \ Q alors z α représente une infinité de nombres complexes. Leur ensemble est dense dans S1 . ⋄ α ∈ C \ Q alors z α représente une infinité de nombres complexes. Leur ensemble décrit une spirale d’équation z α = |z|α × e2ikπα . Remarque: Si l’on échange les rôles de α et z dans (V.4.41), l’expression 

αz = exp z Log c



définit cette fois une vraie fonction 16 car Log c est fixé comme la valeur de la branche principale. Exemple: Avec α = e, on a Log e = 1 et ez = exp(z × 1) = exp z, ce qui justifie encore, a posteriori, le choix des notations. Proposition IV V.4.10. Une détermination du logarithme étant choisie sur U, la fonction puissance associée est continue et dérivable sur U avec ∀ z ∈ U,

αz α−1 .

Preuve: La fonction puissance est la composée de fonctions continues et C-dérivables donc elle l’est aussi. Le reste n’est que calcul. 

16. On dit univoque.

156 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Fonctions puissance

Exercice .1: En n’utilisant que la relation fonctionnelle, démontrer que, pour tout p, q ∈ C : cos p + cos q = 2 cos Exercice .2: Montrer que la série de terme général fn (z) = Ω = C \ {−n, n ∈ N}.

p−q p+q cos . 2 2

(−1)n définit une fonction analytique sur z+n

Exercice .3: Vérifier que la fonction définie par f (z) =

1 est développable en série entière au 2+z voisinage du point z = 1 et écrire ce développement. Exercice .4: Déterminer les zéros des fonctions suivantes et préciser leurs ordres : (i) f (z) = exp z − 1

(iii) h(z) = sin z 2

(ii) g(z) = sin2 z

(iv) k(z) =

sin z . z

Exercice .5: Soit f une fonction holomorphe sur D(0, 1) vérifiant : ∀ x ∈] − 1, +1[,





f (x) ∈ R et f (ix) ∈ R .

Montrer que f est paire.

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 157

TD no 5

.0 Fonctions puissance

Correction des exercices : Correction de l’exercice .2: Il suffit de montrer que cette série de fonctions converge sur Ω et converge uniformément sur tout compact contenu dans ce domaine de convergence. (−1)n définit une fonction analytique sur Ω. La fonction fn (z) = z+n (−1)n (x + n) De plus, la partie réelle fn,1 (x, y) = se comporte, pour n grand et à x et (x + n)2 + y 2 (−1)n , ce qui assure la convergence de la série de terme général y fixés comme la fonction n fn,1(x, y). (−1)n+1 y Le raisonnement est identique avec la partie imaginaire fn,2 (x, y) = . (x + n)2 + y 2 (−1)n Ainsi, la série de termes est convergente sur Ω. z+n De plus, comme cette série est une série alternée, on a une majoration du reste par le dernier terme oublié. Considérons D(O, r) un disque compact de C. ∀ z ∈ D(O, r) ∩ Ω, |S(z) − Sn (z)| 6

1 −−−−→ 0, |r − n| n→+∞

indépendamment de z. La série converge donc uniformément sur tout compact de Ω où elle y définit une fonction analytique. Correction de l’exercice .3: f (z) =

(−1)n (z − 1)n . n+1 3 n∈N X

Correction de l’exercice .4: On trouve : n

o

(i) Df = zk = 2kπ, k ∈ Z . Les zéros sont simples. n

o

(ii) Dg = zk = kπ, k ∈ Z . Les zéros sont d’ordre 2. √

o n o √ kπ, k ∈ Z ∪ zk = − kπ, k ∈ Z et o n o n √ √ Dh′ = zk = i −kπ, k ∈ Z ∪ zk = −i −kπ, k ∈ Z . Tous ces zéros sont simples. n

(iii) Dh = zk =

o

n

(iv) Dh = zk = kπ, k ∈ C∗ . Les zéros sont simples. Correction de l’exercice .5: Comme f est à valeurs réelles sur ]−1, 1[, il en est de Xmême de f ′ , f ′′ , . . . , et par récurrence, de toutes ses dérivées. La série de Taylor f (z) = an z n n∈N

1 est donc à coefficients an = f (n) (0) réels. n! Il en sera de même, par hypothèse, de la série pour f (iz), donc on a aussi in an ∈ R pour tout n. Pour n impair on a donc Xan à la fois réel et imaginaire pur, donc nul. Conclusion, f (z) = a2k z 2k et f est bien une fonction paire. k∈N

158 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

CHAPITRE V LA THÉORIE DE CAUCHY

Sommaire I

Chemins de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

II

Intégration le long de chemins de C . . . . . . . . . . . . . . . 163

III

Indice d’un lacet par rapport à un point . . . . . . . . . . . . 181

IV

Théorème de Cauchy homotopique . . . . . . . . . . . . . . . . 185

L

e but de cette partie est d’établir une formule intégrale pour les fonctions holomorphes, c’est-à-dire de montrer que toute fonction holomorphe s’écrit comme l’intégrale d’une certaine fonction. Nous en déduirons l’analyticité de toute fonction holomorphe et aurons ainsi montré l’équivalence entre « fonction holomorphe » et « fonction analytique ». Nous verrons que, pour une fonction donnée, le problème délicat de l’existence d’une primitive complexe sur un ouvert de C n’est bien défini que conjointement à la notion de chemin dans cet ouvert. Nous verrons ensuite de quelle façon la régularité des fonctions admettant une primitive est reliée à la régularité des chemins considérés. Nous introduisons d’abord la notion de chemin du plan complexe, puis celle d’intégration le long de ces chemins. Nous étudierons ensuite en détail la relation entre cette dernière notion et la détermination de primitives pour une fonction d’une variable complexe.

I Chemins de C 159

TD no 5

I.1 Classe de chemins

I.1 Classe de chemins Définition V I.1.1 (Chemin). Soient I[a, b] un intervalle fermé de longueur non nulle de R, U un ouvert de C identifié à R2 et γ : I 7−→ U une application. (i) L’image γ(I) (notée aussi parfois γ ∗ ) est appelée chemin et γ est un paramétrage du chemin. On confondra souvent γ(I), γ ∗ et son paramétrage γ. (ii) Un lacet est un chemin continu fermé c’est-à-dire dont l’extrémité et l’origine sont confondus : γ(a) = γ(b). Un lacet est dit simple s’il n’admet d’autres points doubles γ(a) = γ(b).

Figure I.1.1 – Des fonctions y = f (x) et x = g(y) peuvent être écrites sous la forme : (a)

g(t) t

γ(t) =

!

(b)

y

γ(t) =

γ∗

f (t) O

!

y γ∗

a

g(t) t

t b x

t

O ag(t)

b x

Remarques: 

• Si γ : [a, b] 7−→ U est un chemin, son image im γ = γ [a, b]) est le chemin géométrique qu’il définit et γ est une paramétrisation de im γ.

bc

γ(b)

γ∗ b

γ(a) Figure I.1.2 – Chemin de C possédant un point double

• Dire qu’un chemin est sans point double revient à dire que γ est injectif. 160 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Classe de chemins

γ∗

γ∗

bc

bc

γ(a) = γ(b)

γ(a) = γ(b)

Figure I.1.3 – Lacets

Lemme V I.1.2. Soient I[a, b] un intervalle fermé de longueur non nulle de R, U un ouvert de C identifié à R2 et γ : I 7−→ U une application. (i) Un chemin est dit continu (resp. continu et C 1 par morceaux, C 1 ) s’il admet un paramétrage continu (resp. continu et C 1 par morceaux, C 1 ). (ii) On dit que γ est continu et de classe C 1 par morceaux si et seulement si γ est continu sur [a, b] et s’il existe une subdivision finie a = a0 < a1 < . . . < an−1 < an = b de [a, b] telle que γ soit de classe C 1 sur tous les intervalles fermés [ai , ai+1 ], i = 0 . . . n − 1. 1 (iii) Deux chemins γ1 : [a, b] 7−→ U et γ2 : [c, d] 7−→ U sont dits C 1 -équivalents s’il existe un C 1 -difféomorphisme φ : [a, b] 7−→ [c, d] tel que γ1 = γ2 ◦ φ. Si, de plus, on peut trouver φ croissant, on dit que les chemins sont C 1 équivalents de même orientation.

y γ2

γ1 x

O |

|

a

b

t

|

|

c

d

s

φ Figure I.1.4 – Chemins équivalents

La C 1 -équivalence et la C 1 -équivalence de même orientation sont deux relations d’équivalence. On notera γ˜ et γ˜ + les classes d’équivalence relatives à ces relations. De plus, en choisissant comme difféomorphisme, une bijection affine de [a, b] dans [0, 1], tout chemin est équivalent à un chemin dont la source est [0, 1] ce qui simplifiera les notations. 1. Le plus souvent, on dira seulement « C 1 par morceaux » au lieu de « continu et C 1 par morceaux ». Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 161

TD no 5

I.3 Opérations sur les chemins

φ : [a, b] 7−→ [0, 1] 1 t (t − a) b−a

⇐⇒

φ−1 : [0, 1] 7−→ [a, b] t a + (b − a)t.

(I.1.1)

Définition V I.1.3 (Courbe). Une courbe est une classe d’équivalence de chemins. Une courbe orientée est une classe d’équivalence de chemins pour la relation précédente avec φ strictement croissante.

I.2 Opérations sur les chemins Définissons deux opérations naturelles sur les chemins : Définition V I.2.4. (i) Si γ : [a, b] 7−→ C est un chemin, le chemin opposé à γ est le chemin γ − : [0, 1] 7−→ C t γ(a + b − t). Dans ce cas, im(γ − ) = im(γ). (ii) Si γ1 : [a1 , b1 ] 7−→ C et γ2 : [a2 , b2 ] 7−→ C sont deux chemins tels que γ1 (b) = γ2 (c), le chemin juxtaposé 2 γ2 + γ1 3 est le chemin défini sur l’intervalle [a1 , b1 + b2 − a2 ] par γ : [a1 , b1 + b2 − a2 ] 7−→ C ( t

γ1 (t) γ2 (t + a2 − b1 )

si si

t ∈ [a1 , b1 ] t ∈ [b1 , b1 + b2 − a2 ].

Dans ce cas, im(γ2 + γ1 ) = im(γ2 ) ∪ im(γ1 ).

Remarque: On peut aussi composer plusieurs chemins si le point final d’un chemin est égal au point de départ du chemin suivant. C’est d’ailleurs de cette manière que l’on construit un chemin C 1 par morceaux dans un domaine.

I.3 Exemples de chemins (i) Si a, b ∈ C alors γ : [0, 1] 7−→ C est un chemin de classe C 1 , appelé t (1 − t)a + tb segment orienté [a, b]. Il est de longueur |b − a|. 2. ou concaténé, ou somme. . . 3. Dans cet ordre comme pour une composée.

162 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

II. Intégration le long de chemins de C

γ bc 1 (a1 )

γ2∗ γ3 (b3 )

γ1∗ bc

bc

γ2 (b2 )=γ3 (a3 ) bc

γ1 (b1 )=γ2 (a2 )

γ3∗ Figure I.2.5 – Juxtaposition des trois chemins γ1 : [a1 , b1 ] − 7 → C, γ2 : [a2 , b2 ] 7−→ C et γ3 : [a3 , b3 ] 7−→ C. On obtient ainsi un chemin C 1 par morceaux

(ii) Pour a et b dans C, le segment [a, b] admet aussi pour paramétrage γ : [α, β] 7−→ C (β − t)a + (t − α)b . t β−α

.

(iii) Si T ⊂ C est un triangle dont les sommets z1 , z2 , z3 sont numérotés dans le sens trigonométrique, on définit ∂T = [z1 , z2 ] ∪ [z2 , z3 ] ∪ [z3 , z1 ],

(I.3.2)

le bord orienté du triangle dont une paramétrisation sur [0, 1] peut être γ : [0, 1] 7−→ C t

              

(1 − 3t)z1 + 3tz2

si

(2 − 3t)z2 + (3t − 1)tz3

si

(3 − 3t)z3 + (3t − 2)tz1

si

1 t ∈ 0,  3 1 2 t∈ ,  3 3 2 t ∈ ,1 . 3 



(iv) Pour a ∈ C, r > 0, le cercle orienté de centre a et de rayon r noté plus affinement Ca,r = a + Cr ou encore plus simplement |z − a| = r est l’image du chemin γ : [0, 2π] 7−→ C t a + reit . t

Remarque: Les chemins γn : [0, 2nπ] 7−→ C définis par γn (t) = ei n sont tous des paramétrisations distinctes du cercle unité.

II Intégration le long de chemins de C Le problème consiste à donner un sens à une intégrale complexe

Z

z1

z0

f (z)dz où z

parcourt un chemin γ reliant z0 à z1 . On pourrait, par exemple, considérer le segment [z0 , z1 ] mais le problème, contrairement à R, c’est qu’il existe « beaucoup » de chemins reliant z0 à z1 dans C. C’est de cette considération est riche de conséquences. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 163

TD no 5

II.1 Intégrale curviligne

z = γ(t) bc

γ∗

b

bc

z0 = γ(a)

z1 = γ(b)

γ

|

|

|

a

t

b

Figure II.0.6 – Intégration le long de γ

II.1 Intégrale curviligne On appellera dorénavant chemin une classe de chemin C 1 par morceaux et à dérivée bornée défini sur un intervalle [a, b] fermé de R c’est-à-dire que l’on considère une subdivision finie a = a0 < a1 < . . . < an−1 < an = b de [a, b] telle que γ soit de classe C 1 sur tous les intervalles fermés [ai , ai+1 ], i = 0 . . . n − 1 et telle qu’il existe un réel M tel que |γ ′ (t)| 6 M sur [a, b] 4 .

Soient alors U un ouvert de C et f : U 7−→ C une fonction continue et γ : [a, b] 7−→ U un chemin comme précisé ci-dessus. On peut définir l’intégrale de f le long de ce chemin en s’inspirant de la définition de l’intégrale de Riemann d’une fonction définie sur un segment réel et à valeur complexes. Pour ce faire, on découpe, pour tout entier naturel n > 1, l’intervalle [a, b] en n intervalles de même longueur en utilisant la subdivision b−a (tn,k )06k6n 5 définie par tn,k = a + k pour 0 6 k 6 n et on lui associe la suite (In )n∈N n définie par :

∀ n ∈ N∗ ,

In = = =

n−1 X

k=0 n−1 X

k=0 n−1 X k=0









f γ(tn,k ) γ(tn,k+1 − γ(tn,k



f γ(tn,k ) (tn,k+1 − tn,k )γ ′ (tn,k ) + o(tn,k+1 − tn,k ) 

tn,k+1 − tn,k =

b−a n





(tn,k+1 − tn,k )f γ(tn,k ) γ ′ (tn,k ) + o(1).

On reconnait une somme de Riemann et il est tout naturel de donner la définition suivante :

4. Ou tout au moins que chacune des dérivées à gauche et à droite de γ|]ai ,ai+1 [ existe pour i = 0 . . . n−1. 5. Cette subdivision est indépendante de la subdivision, finie, a0 < . . . < an . Construire une subdivision sur chaque intervalle [ai−1 , ai ] à la manière de Newton-Cotes permettrait de calculer une meilleure valeur approchée de cette intégrale mais tel n’est pas notre propos ici.

164 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Intégrale curviligne

Définition V II.1.1 (Intégrale curviligne). Soient U un ouvert non vide de C, f : U 7−→ C une fonction continue et γ : [a, b] 7−→ U un chemin à valeurs dans U. L’intégrale curviligne de f le long de γ est le nombre complexe : Z

γ

f (z)dz =

Z

b

a





f γ(t) γ ′ (t)dt.

(II.1.3)

En notant a = a0 < a1 < . . . < an = b une subdivision telle que γ soit de classe continue C 1 par morceaux sur chaque [ai , ai+1 ], i = 0 . . . n − 1, on a précisément : Z

γ

f (z)dz =

n−1 X Z ai+1 i=0

ai





f γ(t) γ ′ (t)dt.

Remarques: • Cette définition n’introduit donc aucune forme nouvelle d’intégration. ′ • En pratique cette intégrale curviligne se calcule en   posant z = γ(t) et dz = γ (t)dt avec t parcourant [a, b] pour z parcourant γ [a, b] .

Exemples 1 (i) Soient f (z) = et γ : t 7−→ eit une paramétrisation du cercle unité sur [0, 2π]. z Comme f est holomorphe sur C∗ , elle y est en particulier continue. Z 2π Z 2π 1 it 1 dz = ie dt = i dt = 2iπ. eit 0 0 |z|=1 z

Z

(ii) Plus généralement, soient f (z) = z n pour n ∈ Z, ω ∈ C et γ = Cω,r une paramétrisation du cercle de centre ω et de rayon r > 0. On a :

Z

|z−ω|=r

n

z dz =

Z

0

2π

n int

int

r e inre dt = ir

n+1

Z

2π

0

i(n+1)t

e

dt =

(

0 2iπ

si si

n 6= −1 n = −1.

(iii) Soient z0 ∈ U un ouvert de C et f une fonction continue sur U. Pour tout z ∈ U, l’intégrale de f le long du segment [z0 , z] est donnée par F (z) =

Z

[z0 ,z]

f (z)dz = (z − z0 )

Z

0

1





f (1 − t)z + tz0 dt.

Comme on le verra plus tard, la fonction F est une bonne candidate à une primitive de f sur U. Sur cet exemple simple, on voit bien ici le rôle tout naturel que vont jouer les ouvert étoilés et plus tard les ouverts simplement connexes. (iv) Un exemple fondamental : Soit γ : t 7−→ ω + reit une paramétrisation du cercle de centre ω et de rayon r > 0. Un simple changement de variable dans (ii), donne Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 165

TD no 5

II.1 Intégrale curviligne

z

z0

z0 b

bc

γ (a) Segment dans un ouvert étoilé

z

(b) Chemin dans un ouvert simplement connexe

Figure II.1.7 – Ouverts de C

Z

n

|z−ω|=r

(z − ω) dz =

(

0 2iπ

Ce qui s’écrit en particulier,

Z

si si

|z−ω|=r

n 6= −1 n = −1 1 dz = 2iπ. z−ω

(II.1.4)

On doit maintenant montrer que cette intégrale curviligne est bien définie, c’est-à-dire qu’elle est indépendante du choix de la paramétrisation de la courbe orientée choisie. Théorème V II.1.2. La valeur de

Z

γ

f ne dépend que de γ˜ +

Preuve: Soient γ : [a, b] 7−→ U et γ1 : [a1 , b1 ] 7−→ U deux éléments de γ˜+ et φ : [a, b] 7−→ [a1 , b1 ] un difféomorphisme strictement croissant tel que γ = γ1 ◦ φ. Il suffit simplement de faire un changement de variable adéquat :

Z

f (z)dz = γ

= = =

Z

b

a b

Z

a b

Z




f γ(t) γ ′ (t)dt

a b1

a1

=









f γ1 φ(t) γ1′ φ(t) φ′ (t)dt

Z

Z




f γ1 ◦ φ(t) (γ1 ◦ φ)′ (t)dt




f γ1 (s) γ1′ (s)ds

f (z)dz.

s = φ(t)

γ1 

166 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Intégrale curviligne

Proposition V II.1.3. Soient U un ouvert de C, γ : [a, b] 7−→ U un chemin de U et f une fonction continue sur U. (i)

Z

γ−

f =−

Z

γ

f.

(ii) Soient γ1 et γ2 tels que γ = γ1 + γ2 . Alors Z

γ

f=

Z

γ1

f+

Z

γ2

f.

Preuve: (i) Soit γ − le chemin défini par γ − (t) = γ(a + b − t). Il suffit d’effectuer le changement de variable u = a + b − t : Z

γ−

f (z)dz = − =

Z

Z

b

a

a

=−




f γ(u) γ ′ (u)du

b

Z

b




f γ(a + b − t) γ ′ (a + b − t)dt

u= a+b−t




f γ(u) γ ′ (u)du

a

(ii) γ|[a,c] = γ1 et γ|[c,b] = γ2 . La linéarité de l’intégrale de Riemann donne immédiatement le résultat. 

Exemples: (i) Intégration sur un triangle : Si T ⊂ C est un triangle dont les sommets sont notés plus simplement A, B et C et numérotés dans le sens trigonométrique alors on a : Z

∂ABC

Z

Z

Z

f (z)dz = y f (z)dz + y f (z)dz + y f (z)dz, AB

BC

CA

y où la notation AB représente le segment orienté AB. (ii) Intégration sur un polygone : Considérons le polygone ABCD constitué des deux triangles adjacents T1 = ABD et T2 = BCD. On a

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 167

TD no 5

II.1 Intégrale curviligne

Z

∂T1

f (z)dz +

Z

∂T2

f (z)dz =

Z

∂P

B

f (z)dz,

C

puisque les deux intégrales,Z parcourues en Z sens inverse, y f (z)dz et y f (z)dz s’anBD

T1 A

T2

P

DB

D nulent mutuellement. Ce résultat , pourtant simple, sera fondamental pour la dé- Figure II.1.8 – Intégration sur un polygone monstration du théorème de Cauchy-Goursat V II.3.13.

(iii) Intégration sur un maillage : D’une manière générale, Lemme V II.1.4 (Intégration sur un maillage). Soit U un ouvert, f ∈ H(U) et Γ ⊂ U une partie de U dont la frontière ∂Γ 1 est continue, dans U. [ C par morceaux et entièrement contenue Γi où les Γi forment une partition 6 de Γ dont les frontières ∂Γi Si Γ = 16i6n

sont continues, C 1 par morceaux alors Z

∂Γ

f (z)dz =

n Z X

i=1 ∂Γi

f (z)dz.

Γi Γj

Γ Figure II.1.9 – Intégration sur un maillage

Le lemme indique simplement qu’en parcourant toutes les frontières des éléments ∂Γi , chaque arête intérieure est parcourue deux fois dans deux sens opposés. En effet deux sommets voisins, définissent une arête qui est commune à deux éléments et deux seulement disons Γi et Γj . Lorsque l’on somme les intégrales sur tous les éléments du maillage, les deux intégrales sur l’arête commune s’annulent. On fait ici la même remarque que précédemment : ce résultat sera fondamental pour la démonstration du théorème de Cauchy homotopique (V IV.2.5) page 189. La définition même de l’intégrale curviligne en V II.1.1 montre une relation entre l’intégrale d’une fonction le long d’un chemin et la longueur de ce dernier, lorsqu’elle est bien définie, ce qui est le cas pour les chemins par morceaux. Précisons ce lien, ce qui nous servira pour des majorations futures : 6. On dit que la famille {Γi , 1 6 i 6 n} forme un maillage de Γ.

168 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Intégrale curviligne

Définition V II.1.5 (Longueur d’un chemin). Soit γ : [a, b] 7−→ U un chemin C 1 par morceaux. La longueur de γ est définie par Z

ℓ(γ) =

b

a

′ γ (t) dt.

Cette longueur ne dépend pas du paramétrage et elle est finie. Preuve: γ étant C 1 par morceaux, sa dérivée γ ′ est continue sur le compact [a, b] donc bornée et on a Z

b

γ ′ (t) dt 6 |b − a| sup |γ ′ |.

a

[a,b]

La longueur est donc finie Soit maintenant, une autre paramétrisation γ1 de γ, de même orientation et φ : [a1 , b1 ] 7−→ [a, b] un difféomorphisme strictement croissant tel que γ1 = γ ◦ φ. En particulier, φ′ > 0 sur [a1 , b1 ]. Le même raisonnement qu’en V II.1.2 conduit à ℓ(γ1 ) =

Z

b1

a1

Z

b1

Z

b1

′ γ (t) dt = 1

a1


γ φ(t) φ′ (t)dt

=

s=φ(t)

′

Z

b

γ ′ (s) ds = ℓ(γ).

a

Si φ est décroissant alors b1 < a1 et φ < 0 sur [b1 , a1 ]. De plus, γ et γ1 sont d’orientation opposés. On utilise encore V II.1.2 : ℓ(γ1 ) =

Z

b1

a1

′ γ (t) dt = − 1

a1


γ φ(t) φ′ (t)dt

=

s=φ(t)

−

Z

b

a

γ ′ (s) ds = ℓ(γ).



Exemples: ⋄ Considérons Cω,r un cercle de centre ω et de rayon r > 0. On a : Z

′

|z−ω|=r

|γ | =

Z

0

2π

it ire dt

= 2πr.

On retrouve (heureusement) la formule du périmètre d’un cercle ce qui légitime (s’il en était besoin) les choix des notations faites au chapitre IV page 121. ⋄ Pour un segment [z0 , z1 ] paramétré sur [0, 1] par γ(t) = z0 + (z1 − z0 )t, on a : Z

[z0 ,z1 ]

|γ ′ | =

Z

1

0

|z1 − z0 |dt = |z1 − z0 |.

Les notations et définitions sont donc cohérentes 7 . Proposition V II.1.6 (Estimation standard). Soient U un ouvert de C, γ : [a, b] 7−→ U un chemin C 1 par morceaux et f : U 7−→ C une application continue sur U. Z

γ

f (z)dz

6 sup |f | × ℓ(γ). γ

(II.1.5)

7. Pour peu que l’on en douta. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 169

TD no 5

II.2 Recherche de primitives

Remarques: 



• La fonction f n’a besoin d’être continue que sur le support de γ c’est-à-dire γ [a, b] . • de plus, comme γ est continue et [a, b] compact, le dit support est aussi compact. La  fonction f , continue sur γ [a, b] y atteint donc ses bornes d’après le théorème des valeurs intermédiaires : le sup apparaissant dans (II.1.5) est donc un simple max. Preuve: C’est une conséquence immédiate de la définition et des propriétés élémentaires de l’intégrale : Z Z b
′ f (z)dz = f γ(t) γ (t)dt γ a Z b

6 sup |f | × γ

a

|γ ′ (t)|dt

= sup |f | × ℓ(γ). γ



Corollaire V II.1.7. Soient γ un chemin C 1 par morceaux de C et (fn )n∈N une suite de fonctions continues sur im γ convergeant uniformément vers f sur im γ. Alors, lim

Z

n→+∞ γ

fn (z)dz =

Z

γ

f (z)dz.

Preuve: Il suffit d’appliquer (II.1.5) à la suite de fonctions f − fn : Z

γ






f (z) − fn (z) dz 6 sup |f − fn | × ℓ(γ). γ

La convergence uniforme de fn vers f finit le travail.



On remarquera que cette proposition est encore valable si la suite (fn )n∈N ainsi que sa limite sont continues sur un ensemble au moins connexes par arcs.

II.2 Recherche de primitives Le théorème fondamental du calcul différentiel dans R exprime le fait que chaque foncZ

tion continue f : [a, b] 7−→ R possède une primitive F (x) et que Nous allons étudier si ce résultat reste vrai dans C.

b

a

f (t)dt = F (b) − F (a).

Définition V II.2.8 (Primitive). Soit une fonction f : U − 7 → C définie sur une ouvert de C. On dit que f admet une primitive complexe F sur U s’il existe une fonction holomorphe F : U − 7 →C vérifiant F ′ = f sur U.

Exemples: 170 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Recherche de primitives

(i) Pour tout n 6= −1,

1 n+1 z est une primitive de z n sur C. n+1

(ii) cos z est une primitive de − sin z sur C. (iii)

X

X an (z −z0 )n+1 est un primitive de an (z −z0 )n sur son disque de convergence. n+1

De II II.2.4 page 55, on déduit immédiatement, comme sur R : Lemme V II.2.9.

Si l’ouvert U est connexe et si f : U 7−→ C est holomorphe et admet des primitives, alors deux primitives de f sur U diffèrent d’une constante.

On se donne donc un ouvert U de C et une fonction continue sur U. L’intégration le long des chemins de U permet d’énoncer des conditions nécessaires, puis suffisantes, d’existence de primitives de f sur l’ouvert U. premier résultat est une condition nécessaire d’existence. Chaque qui l’en sera fait mention, on considèrera des chemins γ : [a, b] 7−→ U tracés sur U C 1 par morceaux. Théorème V II.2.10 (Condition nécessaire). Soient U un ouvert de C et f une fonction continue sur U. Si f admet une primitive F sur U alors, Z

γ









f (z)dz = F γ(b) − F γ(a) .

En d’autres termes, la valeur de l’intégrale ne dépend que des extrémités du chemin et est égale à la variation de la primitive entre ces deux extrémités. En particulier, pour tout lacet de U, Z

γ

f (z)dz = 0.

(II.2.6)

Preuve: Soient γ : [a, b] 7−→ U un chemin et F une primitive de f sur U. D’après II II.1.3 page 55,

(F ◦ γ)′ (t) = γ ′ (t) × F ′ γ(t) = γ ′ (t) × f γ(t) . D’où

Z

γ

f (z)dz =

Z

b




f γ(t) γ ′ (t)dt =

a




Z

b

a




= F γ(b) − F γ(a) .

(F ◦ γ)′ (t)dt

Comme F est continue sur im γ, la deuxième partie du théorème est claire avec γ(a) = γ(b). 

Exemples: Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 171

TD no 5

II.2 Recherche de primitives

(i) Pour tout lacet γ continu et C 1 par morceaux de C, ∀ n ∈ Z, n 6= −1,

Z

γ

z n dz = 0.

1 1 dz = 2iπ 6= 0, la fonction z 7−→ n’admet pas de primitive sur C∗ z |z|=1 z 1 n’admet pas de primitive sur C \ {ω}. et plus généralement, z 7−→ z−ω

(ii) Comme

Z

Le théorème suivant montre que la condition (II.2.6) est aussi suffisante pour l’existence d’une primitive sur un ouvert convexe 8 . Théorème V II.2.11 (Critère d’intégrabilité sur un ouvert convexe). Soient U un ouvert convexe et f : U 7−→ C une fonction continue. Z Si, pour tout triangle T , plein fermé et inclus dans U, on a f (z)dz = 0, alors ∂T f possède une primitive F sur U donnée par ∀ ω ∈ U, ∀ z ∈ U,

F (z) =

Z

[ω,z]

f (ς)dς.

En particulier, (II.2.6) est vérifiée pour tout chemin fermé dans U.

Plus généralement, on dit que f admet une primitive locale au voisinage de chaque point de U, si pour tout z0 ∈ U, il existe un voisinage ouvert Vz0 de z0 contenu dans U dans lequel f|Vz0 possède une primitive. Bien entendu, si f possède une primitive dans U, elle possède une primitive locale au voisinage de chaque point de U, mais la réciproque est fausse en général. L’exemple le 1 plus simple consiste à prendre U = C∗ et f (z) = . Nous savons déjà qu’elle ne possède z pas de primitive dans U et pourtant le théorème V II.2.11 montre qu’elle admet une primitive locale au voisinage de chaque point de U. Preuve: Soit ω ∈ U. Comme U est convexe, il contient le segment [ω, z] pour tout z ∈ U, la fonction F est bien définie. Considérons z0 ∈ U et z dans un voisinage de z0 . Par convexité, le triangle plein et fermé T =

[

[ω, (1 − t)z0 + tz],

06t61

est inclus dans U. Comme défini en (I.3.2), on a : ∂T = [ω, z] + [z, z0 ] + [z0 , ω]. Par hypothèse, on a

Z

f (ς)dς = 0, c’est-à-dire

∂T

8. Même si l’on en n’a pas l’utilité ici, on pourrait aisément montrer ce théorème dans le cadre plus général d’un ouvert étoilé. Le prolongement que nous ferons plus loin aux ouverts simplement connexes englobera le cadre de ces ouverts.

172 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Recherche de primitives

z0 bc

bc

z

U ∂T bc

ω

Figure II.2.10 – Condition suffisante d’intégrabilité dans un ouvert étoilé

Z

f (ς)dς = 0

[ω,z]+[z,z0 ]+[z0 ,ω]

Z

f (ς)dς + [ω,z]

Z

f (ς)dς +

[z,z0 ]

F (z) +

Z

f (ς)dς = 0

[z0 ,ω]

Z

[z,z0 ]

f (ς)dς − F (z0 ) = 0 F (z) − F (z0 ) = =

Z

f (ς)dς

[z0 ,z]

Z

[z0 ,z]




f (z0 ) + f (ς) − f (z0 ) dς

= f (z0 )(z − z0 ) +

Z

[z0 ,z]

Or, d’après (II.1.5),

Z

[z0 ,z]













f (ς) − f (z0 ) dς

f (ς) − f (z0 ) dς 6 sup f − f (z0 ) × |z − z0 | −−−→ 0, [z0 ,z]

par continuité de f sur le compact [z0 , z] c’est-à-dire que On a donc bien montré que ∀ z ∈ Vz0 ,

z→z0

Z

[z0 ,z]




f (ς) − f (z0 ) dς = o(z − z0 ).

F (z) − F (z0 ) = f (z0 )(z − z0 ) + o(z − z0 ).

Comme f est continue sur U, la fonction F est donc C-différentiable en tout point z0 de U avec F ′ (z0 ) = f (z0 ). 

Il n’est pas toujours pratique de considérer un triangle sur lequel intégrer f . on utilise souvent, en pratique, une forme affaiblie de V II.2.11 : Corollaire V II.2.12. Soit U un ouvert convexe C. Z Si, pour tout lacet γ continu et C 1 par morceaux dans U, on a f (z)dz = 0 alors f admet une primitive dans U, par exemple, F (z) =

Fabien PUCCI

Z

γ

[ω,z]

f (ς)dς.

L3 - Analyse Complexe

- 173

TD no 5

II.3 Le théorème de Cauchy

Puisque l’on vient d’affaiblir le théorème V II.2.11, on peut aussi préciser que celui-ci est aussi valable si l’on suppose U seulement étoilé. En effet, il suffira de prendre pour ω le centre de l’ouvert dans la démonstration de V II.2.11 pour avoir le résultat. Les ouverts convexes étant un cas particulier des ouverts étoilés où tout point peut être pris comme centre, on vient donc de donner une version plus forte de V II.2.11 et l’équilibre est ainsi rétabli.

II.3 Le théorème de Cauchy Nous n’avons jusqu’à maintenant pas utilisé la notion d’holomorphie dans le problème de la construction de primitives. En particulier, dans le paragraphe précédent, les fonctions considérées étaient seulement supposées continues. Nous allons voir ici comment la notion d’holomorphie permet d’assurer que les intégrales le long de chemins fermés sont nulles, ce qui est le premier pas vers l’invariance des intégrales par déformation des chemins, que nous verrons plus tard. Commençons par les conditions les moins contraignantes et limitons-nous au cas des triangles, pour lesquels l’élégante démonstration de Goursat 9 permet de donner un sens au découpage infini de triangles en sous-triangles si souvent utilisé dans les ouvrages de physique dans des contextes analogues. Notons que l’argument ultime de la démonstration repose sur la complétude du plan complexe et en fait une belle application de cette notion de topologie. Théorème V II.3.13 (Cauchy-Goursat). Soient U un ouvert de C, S une partie finie de U et f : U 7−→ C une fonction continue sur U et holomorphe sur U \ S. Si ∂T est le bord orienté d’un triangle plein inclus dans U, alors Z

∂T

f (z)dz = 0.

Preuve: Il est clair qu’il suffit de se limiter au cas où S est réduit à un singleton S = {α}. Considérons un triangle T contenu dans U : (i) Commençons par supposer que α 6∈ T c’est-à-dire f holomorphe sur tout un ouvert V contenant T . A l’aide des milieux de chacun des côtés, on découpe T en 4 triangles semblables δ1 , δ2 , δ3 et δ4 mais d’aire 4 fois plus petites. Remarquons que l’un au moins de ces 4 triangles, nommée T1 , vérifie Z

∂T

Z f (z)dz 6 4

∂T1

Z

En effet, dans le cas contraire, nous aurions

ce qui est absurde.

∂T

f (z)dz .

f (z)dz 6

Z 4 Z X f (z)dz < 4× 1 4 i=1

δi

∂T

9. En toute légitimité, la preuve de Goursat s’appuie sur des rectangles. L’idée d’utiliser des triangles qui rend la preuve directement applicable à des domaines étoilés vient de Pringsheim. L’originalité de la méthode de Goursat est en fait de se libérer de la condition « f ′ continue »dans la démonstration initiale de Cauchy en utilisant la complétude de C.

174 - L3 - Analyse Complexe



f (z)dz ,

Fabien PUCCI

TD no 5

Le théorème de Cauchy

b

b

α

z0

T

Figure II.3.11 – Découpage du triangle T lorsque α 6∈ T On construit alors, par récurrence, à partir de T1 une suite (Tn )n∈N de triangles vérifiant : ∀ n ∈ N∗ , Z

∂T

On a, de plus, ℓ(∂Tn ) =

Z n f (z)dz 6 4

∂Tn

1 ℓ(∂T ) 2n

et

f (z)dz .

1 diam(T ), 4n

diam(Tn ) =

c’est-à-dire que la suite (Tn )n∈N , ainsi construite est une suite décroissante pour l’inclusion de fermés dont le diamètre tend vers 0. D’après le théorème I II.2.3 page 12 dans C complet, l’intersection de ces triangles est réduite à un point z0 ∈ T¯. Utilisons maintenant la C-différentiabilité de f en z0 ∈ V : ∀ z ∈ V(z0 ),

f (z) = f (z0 ) + f ′ (z0 )(z − z0 ) + ε(z)(z − z0 ),

où ε est une fonction continue sur tout voisinage de z0 et telle que lim ε(z) = 0. z→z0

Z

∂Tn

f (z)dz = f (z0 )

Z

′

∂Tn

dz + f (z0 )

Z

∂Tn

(z − z0 )dz +

Z

∂Tn

ε(z)(z − z0 )dz.

(II.3.7)

Les deux premières intégrales de (II.3.7) sont nulles d’après V II.2.10 car les fonctions 1 et z − z0 possèdent une primitive sur U.

Par continuité de ε en z0 , pour tout ε > 0 il existe un δ(ε) > 0 tel que |z − z0 | < δ entraîne |ε(z)| < ε. Pour n suffisamment grand pour que Tn ⊂ D(z0 , δ), on a alors : Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 175

TD no 5

II.3 Le théorème de Cauchy

Z

∂T



Z

f (z)dz 6 4n

∂Tn



ε(z)(z − z0 )dz

6 4n × ε × max |z − z0 | × ℓ(∂Tn ) z∈T

n

6 4 × ε × diam(∂Tn ) × ℓ(∂Tn )

6 diam(∂T ) × ℓ(∂T ) ×ε. |

{z

}

Constant

Le Z dernier terme de (II.3.7) n’a donc d’autre choix que d’être nul. On a donc prouvé que f (z)dz = 0.

∂T

(ii) Si α est un des sommets de T , on le découpe en trois triangles T1 , T2 et Tε , α étant un sommet de Tε , ε arbitrairement petit. On a alors, les bords étant toujours orientés,

b

α

Tε T2

T1

Figure II.3.12 – Découpage de T lorsque α est un sommet

Z

f (z)dz =

∂T

Z

f (z)dz +

∂T1

Z

f (z)dz + ∂T2

Z

f (z)dz.

∂Tε

D’après (i), comme T1 et T2 ne contiennent pas α, les deux premières intégrales sont nulles et la dernière peut être rendue arbitrairement petite grâce à la majoration Z

∂Tε

f (z)dz 6 ℓ(∂Tε ) sup |f |, ∂Tε

et à la continuité de f sur le compact ∂Tε .

(iii) Si α est intérieur à T , on commence par découper T en trois triangles délimités par les sommets de T et α. Il suffit alors d’appliquer le même raisonnement (trois fois) qu’en (ii). (iv) Enfin, si α est un point arbitraire de la frontière ∂T , on découpe le triangle T en deux triangles de sorte que α soit un sommet de chacun des deux triangles et on se retrouve encore dans le cas (ii). 

Nous sommes maintenant en position de démontrer le résultat principal de ce chapitre. 176 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Le théorème de Cauchy

T3

T2

α b

T1

Figure II.3.13 – Découpage de T lorsque α appartient à l’intérieur de T

α

T2 b

T1

Figure II.3.14 – Découpage de T lorsque α appartient à la frontière de T

Théorème V II.3.14 (Cauchy). Soient U un ouvert convexe de C et f : U 7−→ C une fonction continue sur U et holomorphe sur U sauf en un nombre fini de points ne contenant pas ω. (i) f possède une primitive sur U donnée par ∀ ω ∈ U, ∀ z ∈ U,

F (z) =

Z

[ω,z]

f (ς)dς.

(ii) Pour tout lacet γ continu C 1 par morceaux contenu dans U, on a : Z

γ

f (ς)dς = 0.

(iii) Si γ1 et γ2 sont deux chemins continus C 1 par morceaux contenus dans U ayant mêmes extrémités, alors Z

γ1

Fabien PUCCI

f (ς)dς =

Z

γ2

f (ς)dς.

L3 - Analyse Complexe

- 177

TD no 5

II.3 Le théorème de Cauchy

Preuve: Comme f est holomorphe sur U (sauf en un nombre fini de points qu’il suffit d’éviter), son intégrale est nulle le long de tout triangle T inclus dans U d’après V II.3.13. D’après V II.2.11, on a donc immédiatement (i) et (ii).

γ2∗ bc bc

γ1∗ Figure II.3.15 – Deux chemins de mêmes extrémités forment un lacet Pour démontrer (iii), il suffit d’appliquer (ii) au lacet γ = γ1 + γ2− . 

Remarques: (i) Le théorème V II.3.14, ainsi que les autres propositions précédentes se réécrivent aisément dans un ouvert U seulement supposé étoilé de centre, disons ω pour faciliter les notations. Le centre ω sera alors naturellement choisi pour la définition de F . (ii) L’assertion (ii) est une ample généralisation du théorème de Cauchy-Goursat V II.3.13 qui nous disait que l’intégrale le long du bord d’un triangle était nulle pour toute fonction holomorphe dans un voisinage du triangle plein. Par exemple il s’applique aux rectangles dont les bords ne sont pas parallèles aux axes, ou aux parallélogrammes, ou aux rectangles en général, triangles, aux hexagones, aux ellipses, aux ovoïdes quelconques, en fait à n’importe quoi, à partir du moment que l’on peut trouver un ouvert étoilé incluant la figure et son bord et sur lequel la fonction est holomorphe. Sans conditions sur l’ouvert U, l’énoncé du théorème de Cauchy n’est pas correcte. En effet, si le théorème s’applique en particulier aux disques, aux demi-plans ou à l’ouvert C \ R− qui entre en jeux dans la discussion du Logarithme qui sont des ouverts étoilés sur lesquels toute fonction holomorphe admet une primitive holomorphe, ce n’est pas le cas de l’ouvert U = C \ {0}. On verra plus loin que la question de l’existence des primitives est naturellement liée à une classe plus large d’ouverts : les ouverts simplement connexes. 1 Considérons, par exemple, la fonction f : z 7−→ sur U = C∗ . La fonction z F : z 7−→ Log z est une primitive sur le domaine étoilé C \ R− mais pas sur U. Pour le prouver 10 , il suffit de vérifier, par exemple, que la condition nécessaire V II.2.10 n’est pas satisfaite pour le chemin γ(t) = eit qui est un exemple très important d’une intégrale le long d’un lacet donnant un résultat non nul : Z

dz = 2iπ. |z|=1 z

10. encore !

178 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Le théorème de Cauchy

(iii) L’assertion (iii) indique que si U est étoilé ou convexe et a et b sont deux éléments de U alors pour toute fonction f holomorphe sur U on peut parler (sans autre précision) de l’intégrale de f de a à b puisqu’elle ne dépend pas du chemin suivi pour aller de a à b. On verra que cette remarque peut s’étendre aux ouverts simplement connexes. Le diagramme ci-desous illustre la suite d’implications que nous venons de démontrer. On le complètera au fur et à mesure de notre avancée. Z

∂T

f =0

V II.2.11

f admet une primitive sur U

V II.3.13

V II.2.10 R

f est holomorphe sur U

γ

f =0

III I.4.12 page 91 f est analytique sur U Comme tout point d’un ouvert possède un voisinage convexe (donc étoilé) contenu dans l’ouvert, par exemple un disque, nous en déduisons un résultat local d’existence de primitives pour des fonctions holomorphes. Corollaire V II.3.15. Soient U un ouvert de C et f une fonction holomorphe sur U. Alors, pour tout point z0 ∈ U, il existe un voisinage ouvert Vz0 de z0 sur lequel f admet une primitive. 1 Exemple:La fonction z 7−→ définie sur l’ouvert U = C∗ admet une primitive au voisiz nage de tout point de U. A ce stade, on peut déjà introduire la célèbre formule intégrale de Cauchy. La démonstration donnée ici est plus proche dans l’esprit à celle que fit Cauchy en son temps. En passant sur le côté historique, elle met en œuvre des idées que nous redévelopperons plus tard, notamment dans la manière de découper et faire glisser les chemins autour des singularités. Théorème V II.3.16 (Formule intégrale de Cauchy 1831). Soit U un domaine étoilé et γ une courbe fermée parcourant ∂U dans le sens positif. Soit f holomorphe dans un voisinage de l’adhérence U de U. ∀ z ∈ U,

f (z) =

Preuve: Soit z ∈ U fixé. La fonction ς 7−→

ce point « chirurgicalement ». Fabien PUCCI

1 2iπ

Z

γ

f (ς) dς. ς −z

(II.3.8)

f (ς) est holomorphe sur U \ {z}. On doit donc ôter ς −z L3 - Analyse Complexe

- 179

TD no 5

II.3 Le théorème de Cauchy

Soient ω, le centre du domaine étoilé et a la projection de z à partir de ω sur ∂U. 11 Le domaine U ∗ = U \ [z, a] est donc étoilé pour le même centre ω. La continuité de f : ς 7−→ f (ς) en z implique que pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que f (ς) − f (z)| 6 ε dès que |ς − z| 6 η.

α b

b

a

α−

z β

b

ω

U

γ

Figure II.3.16 – Formule intégrale de Cauchy Notons β le cercle de centre z et de rayon η et α un segment joignant β à a. Nous allons démontrer que Z

γ

f (ς) dς = ς −z

Z

β

f (ς) dς = f (z) × ς −z

Z

β

1 dς + O(ε) = 2iπf (z) + O(ε). ς −z

(II.3.9)

Pour montrer la première égalité, considérons le chemin δ = γ + α − β + α− . D’après V II.3.14.(ii), on a : f (ς) dς ς δ −z Z Z Z Z f (ς) f (ς) f (ς) f (ς) = dς + dς + dς + dς − γ ς −z α ς −z β ς −z α ς −z Z Z f (ς) f (ς) dς = dς. β ς −z γ ς −z 0=

Z

La deuxième égalité se déduit de la continuité de f et de (II.1.5). En effet, on a tout d’abord, Z Z 1 f (ς) dς = ς − z dς − f (z) β ς −z β

Z f (ς) − f (z) dς ς −z β 1 × ℓ(β) 6 ε 1 2πη = 2πε. 6 sup f (ς) − f (z) × sup η |ς−z|=η ς − z |ς−z|=η

1 dς = 2iπ et le réel ε ayant été choisi arbitrairement petit, ς − z β on a donc démontré le théorème on faisant tendre ce dernier vers 0.  Sachant depuis (II.1.4) que

Z

Toute la magie de cette démonstration réside dans le fait d’avoir pu contourner la singularité au point z en déformant suffisamment le contour de U pour éviter celle-ci. Ceci fait, le théorème de Cauchy V II.3.14 appliqué au lacet δ donne le résultat. Cette notion de déformation, continue, des chemins s’appelle une homotopie . La section IV 11. si z = ω, on choisit pour a un point arbitraire de ∂U.

180 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

III. Indice d’un lacet par rapport à un point

page 185 montrera comment le théorème de Cauchy V II.3.14 s’insère tout naturellement dans ce cadre. Le pouvoir extraordinaire de la formule de Cauchy (II.3.8) réside dans le fait que 1 la variable z à gauche se retrouve à droite dans la simple forme .Toutes les belles ς −z propriétés de cette dernière fonction se transmettent, à travers l’intégrale, à n’importe quelle fonction holomorphe. Elle va nous donner une suite de conséquences surprenantes. Mais étudions là tout d’abord et tout particulièrement :

III Indice d’un lacet par rapport à un point Nous introduisons ici la notion fondamentale d’indice d’un chemin fermé. Celle-ci illustre parfaitement la manière dont la théorie de l’intégration de Cauchy fournit en retour des résultats d’ordre topologique sur les chemins du plan complexe. La formule de Cauchy III.2.11 est une conséquence immédiate de la définition de l’indice et du théorème de Cauchy-Goursat V II.3.13.

III.1 Indice et composantes connexes Définition V III.1.1 (Indice). Soit z0 ∈ C et γ : [a, b] 7−→ C un lacet continu et C 1 par morceaux, tel que z0 6∈ γ [a, b] . On pose alors

1 Z dς . 2iπ γ ς − z0 qui est l’indice du lacet γ par rapport au point z0 . Indγ z0 =

Proposition V III.1.2. Avec les notations précédentes, l’indice vérifie : (i) Indγ z0 ∈ Z. (ii) Pour tout r > 0, le lacet γn : t ∈ [0, 2π] 7−→ z0 + reint a pour indice Indγn z0 = n. (iii) La fonction de  z0 7−→ Indγ z0 est constante sur les composantes connexes   C\ [a, b] et nulle sur l’unique composante connexe non bornée de C\ [a, b] . (iv) Si γ1 et γ2 sont deux lacets de même origine, alors

Indγ1 +γ2 z0 = Indγ1 z0 + Indγ2 z0

Preuve: (i) Comme eω = 1 si et seulement si ω ∈ 2iπZ d’après IV II.5.1.(ii) page 135, il suffit de
montrer que exp 2iπ Indγ z0 = 1 pour tout z ∈ C \ im γ. Par définition, pour tout chemin γ : [a, b] 7−→ C continu C 1 par morceaux, Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 181

TD no 5

III.1 Indice et composantes connexes

Indγ z0 =

1 2iπ

Z

Z

t

b

a

γ ′ (t) dt. γ(t) − z0

Pour t ∈ [a, b], on définit la fonction φ(t) = exp

a



γ ′ (s) ds . γ(t) − z0

Il suffit alors de montrer que φ(b) = 1. Sauf peut être sur un ensemble fini 12 S ⊂ [a, b], γ ′ (s) φ(t). γ(t) − z0

φ′ (t) = puis




φ′ (t) γ(t) − z0 − γ ′ (s)φ(t) = 0, φ(t) . Cette dérivée est γ(t) − z nulle sur [a, b] \ S, où S est fini, c’est donc une fonction constante d’après II II.2.4 page 55. qui est le numérateur de la dérivée de la fonction Ψ : t 7−→

Le chemin γ étant fermé, γ(a) = γ(b) entraîne φ(b) = φ(a) = 1. (ii) Un calcul direct fournit le résultat : Indγn z0 =

1 2iπ

Z

2π 0

rineint dt = n. reint

(III.1.10)




(iii) La fonction z0 7−→ Indγ z0 définie en (III.1.10) est continue sur C \ [a, b] d’après les théorème sur les intégrales à paramètres dont l’intervalle d’intégration est compact. Elle
est, de plus, à valeurs dans Z donc constante sur chaque composante connexe de C \ [a, b] d’après I IV.1.2 page 20. Z dz 1 De plus 6 sup × ℓ(γ). D’où z∈γ |z − z0 | γ z − z0 Z

lim

|z0 |→+∞ γ

dz = 0. z − z0




Sur la composante non bornée de C \ [a, b] , l’indice est donc nul.

γ2∗ b

z0

γ1∗

Figure III.1.17 – Indice d’un point par rapport à deux lacets de même origine 12. en chaque point de raccordement ai de la subdivision de [a, b] où γ n’est pas dérivable tout en restant continu.

182 - L3 - Analyse Complexe

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TD no 5

Indice et composantes connexes

(iv) Il suffit de composer les lacets avec γ1 (b) = γ2 (a) et appliquer V II.1.3. 

Exemple:Une conséquence de (ii) et (iii) est que pour tout paramétrisation orienté d’un cercle de centre z0 , on a : Ind|z−z0 |=r (z) =

(

1 0

si si

|z − z0 | < r |z − z0 | > r.

De manière plus générale, Définition V III.1.3. Si γ est un lacet simple, on pose n

o

Int(γ) = z ∈ C / | Indγ z| > 1 , n

o

Ext(γ) = z ∈ C / | Indγ z| = 0 .

S’il semble clair qu’un cercle du plan complexe partage ce dernier en deux composantes connexes dont l’une est bornée (l’intérieur du cercle) et l’autre pas (l’extérieur), ce n’est pourtant pas si évident 13 que cela à démontrer. On le doit à Jordan : Théorème V III.1.4 (Jordan). Tout lacet γ, simple, partage le plan en deux domaines dont il est la frontière. En d’autres termes, le complémentaire de γ est la réunion de deux ouverts connexes disjoints : le domaine intérieur, qui est borné, et le domaine extérieur, qui est non borné.

Corollaire V III.1.5. C = Int(γ) ∪ γ ∗ ∪ Ext(γ).

L’assertion V III.1.2.(ii) montre que si γ : [a, b] 7−→ C est un chemin fermé et si z0 6∈ im γ, l’indice de γ par rapport à z0 est le nombre de tours décrits par γ(t) autour de z0 quand t parcourt [a, b], c’est-à-dire encore la variation d’une détermination continue de l’argument de γ entre ses deux bornes. Pour le voir, ramenons le point z0 à l’origine et considérons le lacet γ : [a, b] 7−→ C donné sous sa forme polaire γ(t) = ρ(t)eiθ(t) où les fonctions ρ et θ sont des fonctions réelles de classe C 1 . Calculons alors l’indice de l’origine : 13. même très difficile ! Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 183

TD no 5

III.2 Formule intégrale de Cauchy avec indice

b ρ′ (t)eiθ(t) + iρ(t)θ ′ (t)eiθ(t) 1 dt 2iπ a ρ(t)eiθ(t) ! Z b 1 ρ′ (t) ′ = + iθ (t) dt 2iπ a ρ(t)    1 1 ln ρ(b) − ln ρ(a) + θ(b) − θ(a) . or ρ(a) = ρ(b) = 2iπ 2π  1 θ(b) − θ(a) . = 2π L’indice est donc bien égal au nombre de tours de la courbe autour de O.

Indγ 0 =

Z

0 +1 +2 +3

+1

0 +1

+1

−1

+2 +1

0

γ∗

Figure III.1.18 – Calcul de l’indice d’un lacet

En pratique, pour calculer l’indice d’une courbe par rapport à un point, on ne calcule pas d’intégrale mais on utilise le fait que la fonction indice ne varie que de ±1 lorsque l’on franchit γ ∗ . Il est alors possible de calculer la valeur de l’indice de proche en proche en tenant compte de l’orientation locale du chemin et en se souvenant que Indγ z = 0 si z appartient à la composante connexe non bornée du complémentaire de γ ∗ , du moins si ce complémentaire n’a qu’un nombre fini de composantes connexes et si γ ne parcourt aucun arc plus d’une fois.

III.2 Formule intégrale de Cauchy avec indice Nous somme maintenant en possession de tous les outils nécessaires pour s’attaquer à l’analycité des fonctions holomorphes et à toutes les élégantes propriétés qui en découlent. La formule de Cauchy ci-dessous fut la plus grande contribution de Cauchy à l’analyse complexe. Suffisamment grande pour qu’on la redémontre ici d’une manière plus efficace à l’aide du théorème de Cauchy-Goursat V II.3.13. Théorème V III.2.6 (Formule intégrale de Cauchy). Soient U un ouvert convexe et γ un lacet continu, C 1 par morceaux d’image contenu dans U. Si f est une fonction holomorphe sur U alors, pour tout point z ∈ U \ im γ, on a : 1 f (z) × Indγ z = 2iπ

184 - L3 - Analyse Complexe

Z

γ

f (ς) dς. ς −z

(III.2.11)

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TD no 5

IV. Théorème de Cauchy homotopique

Remarque: Une première analyse de la formule (III.2.11) indique qu’une fonction holomorphe est fortement influencée par son comportement au bord. Observation déjà confirmée par le principe du maximum III III.3.9 page 106 et que confirmera la propriété de la moyenne VI III.4.6 page 212. Preuve: soit z ∈ C \ γ ∗ et définissons la fonction g sur U par g(ς) =

  f (ς) − f (z)

ς −z f ′ (z)



si

ς 6= z

si

ς = z.

Par définition de la dérivée, g est donc continue sur U et holomorphe sur U \{z}. Elle remplit donc les conditions du théorème de Cauchy-Goursat V II.3.13. D’où, en substituant : 1 g(ς)dς 2iπ γ Z f (ς) − f (z) 1 dς 2iπ γ ς −z Z 1 f (ς) dς 2iπ γ ς − z Z f (ς) 1 dς 2iπ γ ς − z Z

=0 =0 f (z) = 2iπ

Z

γ

1 dς ς −z

= f (z) × Indγ z. 

On notera au passage l’intérêt de l’énoncé de V II.3.13 autorisant les fonctions à admettre des points singuliers en nombre fini. La section suivante est le point central de la théorie de Cauchy. Elle montre comment se libérer de la condition « convexe » voire « étoilé » sur l’ouvert U, pourvu que le chemin considéré soit homotope 14 à un point dans U. Les hypothèses restrictives seront alors reportes sur les chemins considérés et non sur l’ouvert.

IV Théorème de Cauchy homotopique L’extension de la formule de Cauchy dans le cadre des ouverts non convexes nécessite des hypothèses topologiques, que l’on peut formuler en termes de « déformation continue » des courbes.

Figure IV.0.19 – Déformation continue d’un lacet en cercle

14. pour l’instant qui peut se déformer continument jusqu’à. . . Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 185

TD no 5

IV.1 Homotopie

IV.1 Homotopie Définition V IV.1.1 (Homotopie). Soit U ⊂ C un ouvert et γ0 , γ1 : [a, b] 7−→ U deux chemins continus continus définis sans perte de généralités sur un même intervalle. (i) On dit que γ0 et γ1 sont homotopes dans U s’il existe H : [a, b] × [0, 1] 7−→ U (t, s) H(t, s) = γs (t),

(IV.1.12)

continue des deux variables, dite homotopie de chemins, telle que ∀ t ∈ [a, b],

H(t, 0) = γ0 (t)

et

H(t, 1) = γ1 (t).

(IV.1.13)

(ii) Si γ0 et γ1 ont même extrémité, on dit qu’ils sont homotopes strictement dans U lorsque l’application H définie en (IV.1.12) vérifie (IV.1.13) et la condition ∀ s ∈ [0, 1],

H(a, s) = γ0 (a) = γ1 (a) et H(b, s) = γ0 (b) = γ1 (b). (IV.1.14)

(iii) Si γ0 et γ1 sont des lacets, on dit qu’ils sont homotopes au sens des lacets dans U l’application H définie en (IV.1.12) vérifie (IV.1.13) et la condition ∀ s ∈ [0, 1],

H(a, s) = H(b, s).

(a) Homotopie libre

(IV.1.15)

(b) Homotopie stricte

Figure IV.1.20 – Homotopies de lacets

Remarques: • La condition « dans U » est essentielle pour définir l’homotopie : deux chemins peuvent être homotopes dans U et ne pas l’être dans U \ {z0 } par exemple. • La condition (IV.1.15) n’est qu’une reformulation de IV.1.14 dans le cas des lacets, c’est-à-dire ∀ s ∈ [0, 1], t 7−→ H(s, t) est un lacet. 186 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Homotopie

Exemples: (i) Tout chemin de U ouvert est homotope à un point dans U. (ii) Dans C deux chemins γ0 , γ1 : [a, b] 7−→ C continus sont toujours homotopes. Il suffit de prendre H : [a, b] × [0, 1] 7−→ U (t, s) H(t, s) = (1 − s)γ0 (t) + sγ1 (t).

(a) Homotopie libre

(b) Homotopie stricte

Figure IV.1.21 – Homotopies de chemins

(iii) Dans C tout lacet est homotope au cercle unité D(0, 1), lui-même homotope à un point (0, par exemple). H : (t, s) ∈ [0, 2π] × [0, 1] 7−→ H(t, s) = (1 − s)eit

est une homotopie de lacets dans C du cercle sur 0.

γ2∗ z0 b

γ1∗

Figure IV.1.22 – Dans C, deux lacets sont toujours homotopes entre eux et à un point

(iv) Dans une couronne 15 , deux chemins continus ne sont pas nécessairement homotopes. Proposition V IV.1.2. L’homotopie de chemins, l’homotopie stricte de chemins, et l’homotopie de lacets sont des relations d’équivalence dans l’ensemble des chemins continus de U. 15. ou plus généralement, sur un ouvert non simplement connexe . . . mais nous verrons ça plus loin. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 187

TD no 5

IV.1 Homotopie

(i) γ1 et γ2 sont homotopes mais pas de même orientation.

γ1∗

(ii) γ3 n’est homotope ni à γ1 , ni à γ2 . Cr b

(iii) γ3 est homotope à z1 mais pas γ1 , ni γ2 .

z0

γ2∗ γ CR

b

z1

(iv) γ1 et γ2 sont homotopes aux deux frontières Cr et CR mais pas γ3 . (v) Aucun des chemins γ1 , γ2 , γ3 pas plus que z1 n’est homotope à z0 .

γ3∗

Figure IV.1.23 – Homotopie dans une couronne Preuve: On démontre la propriété pour des chemins homotopes. Le raisonnement est identique pour l’homotopie stricte et l’homotopie des lacets. (i) La relation est trivialement réflexive. (ii) si γ0 est un chemin homotope à un autre nommé γ1 alors il existe une application ˜ définie par H(t, ˜ s) = H(t, 1−s), H : [a, b]×[0, 1] 7−→ U continue vérifiant (IV.1.13). Si on pose H ˜ est continue sur [a, b] × [0, 1] est vérifie H(., ˜ 0) = γ1 et H(., ˜ 1) = γ1 : γ1 est homotope H à γ0 , la relation est symétrique. (iii) Si γ0 et γ1 sont homotopes, γ1 et γ2 aussi d’homotopie respective H1 et H2 alors l’application H définie par ∀ s ∈ [0, 1],

H(t, s) =

    H0 (2t, s)

   H1 (2t − 1, s)



si

t ∈ 0,

si

t∈





1 2

1 ,1 2

est continue sur [a, b]×[0, 1] et définie une homotopie de γ0 sur γ2 . La relation est transitive. La relation d’homotopie sur les chemins est donc bien une relation d’équivalence.



On peut alors définir correctement l’homotopie sur les classes d’équivalence avec conservation de l’orientation comme en V II.1.2 page 166 : Définition V IV.1.3 (Classes de chemins homotopes). On dira que deux classes γ0+ et γ1+ sont strictement homotopes si et seulement si γ0+ et γ1+ contiennent deux chemins g0 , g1 : [a, b] 7−→ U strictement homotopes. Légitimons un peu cette définition : soit H : (t, s) ∈ [a, b] × [0, 1] 7−→ H(t, s) ∈ U l’homotopie stricte entre les chemins g0 et g1 . Pour toute autre paire g˜0 , g˜1 : [˜ a, ˜b] 7−→ U de chemins de γ0+ × γ1+ de même source [˜a, ˜b], on a g˜0 = g0 ◦ φ0 et g˜1 = g1 ◦ φ1 où φ0 , φ1 : [˜ a, ˜b] 7−→ [a, b] sont les difféomorphismes associés au changement de variables. La fonction   ˜ H(t, s) = H (1 − s)φ0 (t) + sφ1 (t), s 188 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Le théorème

est continue sur [˜ a, ˜b] × [0, 1] et vérifie 







˜ 0) = H φ0 (t), 0 = g0 φ0 (t) = g˜0 (t) H(t, et









˜ 1) = H φ1 (t), 1 = g1 φ1 (t) = g˜1 (t). H(t,

C’est bien une homotopie stricte entre g˜0 et g˜1 . Corollaire V IV.1.4.

Si γ0 et γ1 sont des chemins de U définis sur un même intervalles [a, b], équivalents de même orientation, alors ils sont strictement homotopes dans U. Preuve: Si φ est le difféomorphisme de reparamétrisation avec γ1 = γ0 ◦ φ, on pose


H(t, s) = γ0 (1 − s)t + sφ(t) . L’application H est une bien une homotopie stricte entre γ0 et γ1 .



Ceci permet de définir l’homotopie pour les classes d’équivalence de chemins avec conservation de l’orientation. 16

IV.2 Le théorème Théorème V IV.2.5 (Cauchy-Gauss). Soient U un ouvert de C et γ0 , γ1 : [a, b] 7−→ U deux chemins continus, C 1 par morceaux. Soit f est holomorphe sur U a . (i) Si γ0 et γ1 ont les mêmes extrémités et sont strictement homotopes dans U ou (ii) Si γ0 et γ1 sont deux lacets, homotopes au sens des lacets dans U Alors,

Z

γ0

f (z)dz =

Z

γ1

f (z)dz.

(IV.2.16)

En particulier, si γ0 est un lacet homotope à un point, Z

γ0

f (z)dz = 0.

a. ou si f est continue sur U et holomorphe sur U privé d’un ensemble fini

Un lacet homotope à un point point est dit homotopiquement trivial. Preuve: Remarquons avant de commencer où se situe la difficulté : si U était un ouvert étoilé 17 , ou même seulement si l’homotopie H prenait ses valeurs dans un sous-ouvert V ⊂ U étoilé, alors nous pourrions affirmer que f a une primitive, et nous saurions alors que son intégrale le long 16. et de ne plus nous occuper de celles-ci. 17. ou convexe Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 189

TD no 5

IV.2 Le théorème

d’un chemin ne dépend que des extrémités de ce chemin d’après V II.2.10 page 171. On n’aurait même pas besoin de supposer γ0 et γ1 homotopes.
Le problème c’est lorsqu’on ne peut pas trouver de tel ouvert V contenant H [a, b] × [0, 1] et tel que f admette une primitive sur V 18 . C’est là, que la compacité va venir à notre secours. (i) Supposons pour commencer que γ0 et γ1 soient deux chemins continus, C 1 par morceaux et de mêmes extrémités γ0 (a) = γ1 (a) et γ0 (b) = γ1 (b). On se place donc dans le cadre de l’homotopie stricte de chemins et on considère l’application H définie en (IV.1.12) et vérifiant (IV.1.13) et (IV.1.14). 1 b−a de [a, b] × [0, 1] en posant : Effectuons une subdivision à pas constant × n n j b−a et tk = a + j . n n On définit la suite (Hn )n∈N comme étant l’interpolation affine de H sur tout pavé

b tk+1

sj =

∀ k, j ∈ {1, . . . , n},







Ij,k = tk , tk+1 × sj , sj+1 par : ∀ (t, s) ∈ Ij,k ,

Ijk

tk

[a, b]



a

0

sj sj+1

1

[0, 1]

γ0 (a) = γ1 (a) b

γ1∗ = H(., 1)

U

Γjk H(., 0) = γ0∗ b

γ0 (b) = γ1 (b)

Figure IV.2.24 – Invariance de l’intégrale sur deux chemins homotopes

Hn (t, s) =

1 b−a 2 n

"





(sj+1 − s) (tk+1 − t)H(tk , sj ) + (t − tk )H(tk+1 , sj ) + 

# 

(s − sj ) (tk+1 − t)H(tk , sj+1 ) + (t − tk )H(tk+1 , sj+1 ) "

n2 = (sj+1 − s)(tk+1 − t)H(tk , sj ) + (sj+1 − s)(t − tk )H(tk+1 , sj )+ b−a (s − sj )(tk+1 − t)H(tk , sj+1 ) + (s − sj )(t − tk )H(tk+1 , sj+1 18. Si f est la fonction

#

1 et si γ0 est le cercle unité parcouru dans le sens direct c’est le cas. z

190 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Le théorème

∀ n ∈ N, Hn est continue sur I = [a, b] × [0, 1]. Montrons qu’elle converge uniformément vers H sur I. En remarquant que b−a , n2

(sj+1 − s)(tk+1 − t) + (sj+1 − s)(t − tk ) + (s − sj )(tk+1 − t) + (s − sj )(t − tk ) = on a :

,s (t k

)

H H(tk , sj+1) b

H

Γjk H(

n (t

b

, s)

H(tk , sj )

H(

t, s )

H

n(

t, s

j+

t, s

j)

Hn

(t,

, s)

1)

+1

tk H( H(tk+1 , sj+1) b

sj )

H (t, s

j +1 )

b

H(tk+1 , sj ) Figure IV.2.25 – (Hn )n∈N converge uniformément vers H sur I

Hn (t, s) − H(t, s) =



  n2 (sj+1 − s)(tk+1 − t) H(tk , sj ) − H(t, s) b − a 



+ (sj+1 − s)(t − tk ) H(tk+1 , sj ) − H(t, s) 



+ (s − sj )(tk+1 − t) H(tk , sj+1 ) − H(t, s)

 + (s − sj )(t − tk ) H(tk+1 , sj+1 − H(t, s) 

6

n2 h (sj+1 − s)(tk+1 − t) + (sj+1 − s)(t − tk ) b−a

i

+ (s − sj )(tk+1 − t) + (s − sj )(t − tk ) ×

=

sup


(t′ ,s′ ),(t,s)

∈Ijk

sup


(t′ ,s′ ),(t,s) ∈Ijk

H(t′ , s′ ) − H(t, s) .

H(t′ , s′ ) − H(t, s)

Or, dans le pavé Ijk , deux points sont nécessairement à une distance inférieure à la longueur p 1 + (b − a)2 . D’où d’une diagonale, ici δn = n ∀ (t, s) ∈ Ij,k , Fabien PUCCI

sup H(t′ , s′ ) − H(t, s) Hn (t, s) − H(t, s) 6 (t′ ,s′ )−(t,s) 6δn

L3 - Analyse Complexe

- 191

TD no 5

IV.2 Le théorème

Soit ε > 0. Comme H est une fonction continue sur l’ensemble compact [a, b] × [0, 1], elle y est uniformément continue d’après le théorème de Heine I III.2.2 page 16 donc il existe un réel η(ε) > 0 tel que ′ ′ (t , s ) − (t, s) < η =⇒ H(t′ , s′ ) − H(t, s) < ε. Fixons alors n suffisamment grand pour que δn < η. Soit (s, t) ∈ I, il existe j, k ∈ {1, . . . , n} tels que (s, t) ∈ Ijk . On obtient alors Hn (t, s) − H(t, s) 6 ε,

et la convergence uniforme de (Hn )n∈N vers H sur I.

En particulier, pour n suffisamment grand, la continuité uniforme permet aussi d’assurer que sup (t′ ,s′ )−(t,s) 6δn

  1 H(t′ , s′ ) − H(t, s) 6 dist H [a, b] × [0, 1] , ∂U

2

!

= D.


Autrement dit, les quadrilatères Γj,k = H(tk , sj ), H(tk+1 , sj ), H(tk+1 , sj+1 )H(tk , sj+1 ) sont inclus strictement dans U, leur bord, formé par les fonctions t 7−→ Hn (s, t) et s 7−→ Hn (s, t), est continu, C 1 par morceaux 19 . On peut donc appliquer le théorème de Cauchy V II.3.14.(ii) sur un voisinage convexe de chaque quadrilatère, on obtient : ∀ j, k ∈ {1, . . . , n},

Z

f (z)dz = 0. 20

Γj,k

D’après le lemme V II.1.4 page 168, en faisant la somme sur j et k et en tenant compte de l’orientation, on en déduit : n−1 X n−1 XZ

f (z)dz = 0

j=0 k=0 Γj,k

Z

Hn (t,0)

f (z)dz −

Z

f (z)dz = 0

Hn (t,1)

Z

f (z)dz =

Hn (t,0)

Z

f (z)dz.

(IV.2.17)

Hn (t,1)

Considérons enfin le chemin fermé h

i

γ k = Hn (tk+1 , 0), Hn (tk , 0) + γ0 [tk ,tk+1 ] . Pour n assez grand, le disque (convexe) de centre γ0 (tk ) et de rayon D est strictement contenue dans U et contient γk . On peut donc y appliquer une nouvelle fois le théorème de Cauchy V II.3.14.(ii) : Z f (z)dz = 0.

γk

Puis,

Z

γ0

n−1 XZ

k k=0 γ

f (z)dz −

Z

f (z)dz = 0 f (z)dz = 0

Hn (t,0)

Z

γ0

f (z)dz =

Z

f (z)dz. Hn (t,0)

19. Contrairement aux fonctions t 7−→ H(s, t) et s 7−→ H(s, t). C’est ici qu’apparaît la nécessité d’introduire la suite (Hn )n∈N et toute la subtilité de la continuité uniforme sur un compact qui entraîne la convergence uniforme. 20. Autrement dit, f admet une primitive sur un voisinage convexe de chaque Γj,k ce qui n’était pas le cas sur U.

192 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Le théorème Z

Le même argument montre aussi que

Z

f (z)dz =

γ1

Finalement, on a montré que :

Z

f (z)dz.

Hn (t,1)

f (z)dz =

γ0

Z

f (z)dz.

γ1

(ii) Considérons maintenant le cas de deux lacets homotopes γ0 et γ1 et H une application continue sur I définie par (IV.1.12) et vérifiant (IV.1.13) et (IV.1.15).

γ1 (a) = γ1 (b)

U

b

γ0∗

γa∗ γ1∗ H(a, s)

b

γ0 (a) = γ0 (b)

Figure IV.2.26 – Invariance de l’intégrale sur deux lacets homotopes L’application s 7−→ H(a, s) est continue, à valeurs dans U ouvert, donc on peut l’approcher uniformément par une fonction affine par morceaux dont l’image est incluse dans U et telle que γa (0) = H(a, 0) et γa (1) = H(a, 1). Par exemple 21 , ∀ t ∈ [tk , tk+1 ],

γn (t) =

i n h (tk+1 − t)H(a, tk ) + (t − tk )H(a, tk+1 ) . b−a

On peut donc construire un chemin C 1 -équivalent et de même orientation que le chemin γa +γ1 +γa− , qui est strictement homotope à γ0 . D’après ce qui précède, on a : Z

f (z)dz =

γ0

Z

f (z)dz +

γa

=

Z

Z

γ1

−f (z)dz

Z

f (z)dz

γa

f (z)dz.

γ1

C’est le résultat espéré et la fin de la démonstration 

Remarque: Bien que γ1 et γ2 soient supposés continus, C 1 par morceaux, l’homotopie H, elle, est seulement supposée continue, d’où la nécessité d’introduire la suite (Hn )n∈N . Et dans le cas de l’homotopie libre ? Attention, dans le théorème V IV.2.5, l’expression (IV.2.16) n’est vraie que pour des lacets ou des chemins strictement homotopes. Il est clair que si elle l’était aussi pour tous chemins librement homotope, on démontrerait du même coup que toutes les intégrales sur 21. C’est exactement le même raisonnement que pour approcher H par (Hn )n∈N mais en plus simple. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 193

TD no 5

IV.2 Le théorème

C seraient nulles puisque tous les chemins ouverts sont homotopes à un point, donc les primitives aussi et donc toutes les fonctions holomorphes, ce qui n’est pas. Le théorème IV.2.16 montre que la valeur d’une intégrale curviligne dans C ne dépend que des extrémités. Le cas des chemins librement homotopes montre, lui, que deux primitives dffèrent d’une constante. Montrons-le : Considérons donc deux chemins homotopes pas nécessairement strictement. En reprenant les notations précédentes, les applications s 7−→ H(a, s) et s 7−→ H(b, s) sont continues, à valeurs dans U.

γ0 (a)

) a, . H(

γ1 (a) b

b

γa∗

γ1∗ = H(., 1)

H(., 0) = γ0∗ b

γ1 (b)

H

b

γ0 (b)

(b ,

.)

γb∗

Figure IV.2.27 – Les intégrales d’une fonction holomorphes sur deux chemins homotopes diffèrent d’une constante

On construit donc les chemins continus, C 1 par morceaux γa et γb comme précédemment. Les chemins γa + γ1 + γb− et γ0 sont donc strictement homotopes et on a :

Z

γ0

Z

γ0

f (z)dz −

Z

γ1

f (z)dz = f (z)dz =

Lorsque γ0 et γ1 sont strictement homotopes, (IV.2.16).

Z

γa +γ1 +γb−

Z

γa

f (z)dz

f (z)dz − {z

|

Z

γb

f (z)dz

Constant

Z

γa

f (z)dz −

Z

γb

}

f (z)dz = 0 et on retrouve

Une des conséquences du théorème de Cauchy-Gauss V IV.2.5 est qu’une intégrale Z zB f (z)dz où zA et zB sont les affixes le long d’un certain contour peut aussi être noté zA

des extrémités A et B du chemin puisque l’intégrale ne dépend pas du chemin suivi. On pourra retenir l’image suivante : finalement, pour une fonction holomorphe dans U, le chemin est un élastique fixé par deux punaises dans le plan déformable à souhait mais en restant dans U sans pour autant que les déformations de l’élastique modifie la valeur de l’intégrale. 194 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Simple connexité

Corollaire V IV.2.6. Soit z0 ∈ C et γ0 , γ1 deux lacets continus et C 1 par morceaux, homotopes dans U \ {z0 }. Alors, Indγ0 z0 = Indγ1 z0 .

Preuve: Il suffit simplement d’appliquer le théorème de Cauchy homotopique V IV.2.5 et l’ex1 1 × et les lacets γ0 et γ1 .  pression (IV.2.16) avec f la fonction définie par f (z) = 2iπ z − z0

IV.3 Simple connexité Définition V IV.3.7 (Ouvert simplement connexe). Soit U ⊂ C un ouvert. On dit qu’il est simplement connexe s’il est connexe et si deux chemins continus γ0 et ?γ1 de mêmes extrémités sont toujours strictement homotopes. De manière équivalente, U est simplement connexe si et seulement si il est connexe et tout lacet est homotope au sens des lacets à un point.

Intuitivement, un ouvert est simplement connexe s’il est connexe sans trous 22 au sens de I IV.3.11 page 25. Nous allons ici préciser certains points avancés au chapitre I , section IV. La première idée est que la simple connexité est un prolongement naturel de la connexité par arcs. Pour garder une image, s’il est toujours possible de tirer un tuyau d’arrosage à travers les arbres de son jardin (connexité par arcs), cela est beaucoup moins évident, une fois revenu à son point de départ de tirer le dit tuyau par la même extrémité (simple connexité) sans qu’il ne s’enroule autour d’un arbre (les trous) Exemples

Figure IV.3.28 – Connexe,connexe par arcs, simplement connexe, étoilé, convexe

La proposition suivante montre que la simple connexité est une notion topologique : 22. Lorsque nous verrons l’identification entre C ∪ {∞} et la sphère de Riemann, on pourra plus simplement dire qu’un ouvert de C est simplement connexe si et seulement si son complémentaire est connexe. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 195

TD no 5

IV.4 Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexe

b

Figure IV.3.29 – Connexe, connexe par arcs, simplement connexe, étoilé, convexe

Figure IV.3.30 – Connexe, connexe par arcs, simplement connexe, étoilé, convexe

Proposition V IV.3.8. Soient U et V deux ouverts homéomorphes de C. U est simplement connexe si et seulement si V l’est.

Preuve: D’après le corollaire V IV.1.4 et les commentaires précédents, la notion d’homotopie est invariante par homéomorphisme. Mieux, un homéomorphisme φ entre les deux ouverts induit une bijection entre un chemin γ0 de U et un chemin γ1 = γ0 ◦ φ de V. Un chemin homotope à un point dans U fournit alors, par composition avec l’homéomorphisme, une homotopie dans V qui transforme le chemin image en un chemin constant. 

Figure IV.3.31 – Connexe, connexe par arcs, simplement connexe, étoilé, convexe

Notons pour finir que la notion topologique de simple connexité se généralise à des espaces topologiques connexes par arcs quelconques, par exemple Rn ou des sous-groupes du groupe linéaire Gℓn (R). Enfin, citons le célèbre théorème de Riemann selon lequel tout ouvert U simplement connexe et distinct de C est analytiquement isomorphe au disque unité ouvert.

IV.4 Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexe Le théorème de Cauchy-Gauss peut alors se réécrire dans un ouvert simplement connexe, les conditions sur les lacets et chemins étant transférées à l’ouvert : 196 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexe

Figure IV.3.32 – Connexe, connexe par arcs, simplement connexe, étoilé, convexe

Théorème V IV.4.9 (Cauchy-Gauss dans un ouvert simplement connexe). Soient U un ouvert simplement connexe et f est holomorphe sur U a . (i) Si γ0 et γ1 sont deux chemins de U continus, C 1 par morceaux ayant les mêmes extrémités alors Z

γ0

f (z)dz =

Z

γ1

f (z)dz.

(ii) Si γ est un lacet de U, continu et C 1 par morceaux alors Z

γ

f (z)dz = 0.

a. ou si f est continue sur U et holomorphe sur U privé d’un ensemble fini

Preuve: Dans U simplement connexe, les chemins de mêmes extrémités sont strictement homotopes et les lacets homotopes à un point. Il suffit d’appliquer le théorème de Cauchy-Gauss homotopique V IV.2.5. 

Donnons enfin un condition d’intégrabilité semblable V II.2.11 page 172 mais dans un ouvert simplement connexe : Théorème V IV.4.10 (Primitives dans un ouvert simplement connexe). Soient U un ouvert simplement connexe et f est holomorphe sur U a . Alors f admet une primitive complexe F sur U. a. ou si f est continue sur U et holomorphe sur U privé d’un ensemble fini

Preuve: Soit z0 ∈ U. D’après I IV.3.13 page 25, pour tout z ∈ U, il existe un chemin continus γz0 ,z , C 1 par morceaux reliant z0 à z. On pose alors F (z) =

Z

f (ς)dς.

γz0 ,z

Soit alors h ∈ D(0, r) avec r > 0 suffisamment petit pour que le segment [z, z + h] soit inclus dans U. Soit alors γz+h,z0 , un chemin continu, C 1 par morceaux reliant z + h à z0 dans U. Dans un ouvert simplement connexe, la lacet Γ = γz0 ,z + [z, z + h] + γz+h,z0 est homotope à un point. D’où, Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 197

TD no 5

IV.4 Théorème de Cauchy dans un ouvert simplement connexe

Z

f (ς)dς +

γz0 ,z

Z

f (ς)dς +

[z,z+h]

Z

f (ς)dς = 0

Γ

Z

f (ς)dς = 0

γz+h,z0

F (z) − F (z + h) =

Z

f (ς)dς

[z,z+h]

= f (z)h +

Z

[z,z+h]




f (ς) − f (z) dς

La fin de la démonstration est identique à celle de V II.2.11, la continuité de f sur le compact Z

[z, z + h] entraînant

[z,z+h]




f (ς) − f (z) dς = o(h) puis

F (z + h) − F (z) = f (z)h + o(h), pour tout h ∈ D(0, r) avec f est continue sur U. La fonction F est donc C-différentiable en tout point z de U avec F ′ (z) = f (z). 

Théorème V IV.4.11 (Formule intégrale de Cauchy homotopique). Soient U un ouvert et γ un lacet continu, C 1 par morceaux et homotope à un point dans U. Si f est une fonction holomorphe sur U alors, pour tout point z ∈ U \ im γ, on a : f (z) × Indγ z =

1 2iπ

Z

γ

f (ς) dς. ς −z

(IV.4.18)

Preuve: On reprend les mêmes notations qu’en V III.2.6 page 184 et notamment la fonction g, définie sur U par g(ς) =

  f (ς) − f (z) 

ς −z f ′ (z)

si si

ς 6= z

ς = z.

Comme γ est homotope à un point dans U et que g remplie les conditions du théorème de Cauchy-Gauss V IV.4.9, on a : Z

γ

g(ς)dς =

Z

γ

f (ς) − f (z) dς = 0. ς −z

La fin de la preuve est identique et donne la formule (IV.4.18).

198 - L3 - Analyse Complexe



Fabien PUCCI

CHAPITRE VI PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES

Sommaire I

Les Conséquences du théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . 199

II

Comportement local et prolongement . . . . . . . . . . . . . . 204

III

Conséquences de la formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . 209

I Les Conséquences du théorème de Cauchy I.1 Analyticité des fonctions holomorphes Théorème VI I.1.1 (Cauchy-Taylor). Pour tout ouvert U du plan, toute fonction f holomorphe U est analytique sur U. X

En particulier, pour tout z0 ∈ U, le rayon de convergence ρ de la série an (z−z0 )n centrée en z0 est supérieur ou égal à la distance de z0 au complémentaire de U, 



ρ > d z0 , C \ U ,

et les coefficients sont donnés par an =

1 2iπ

Z

Cz0 ,R

f (ς) dς, (ς − z0 )n+1

où Cz0 ,R = z0 + Reit est une paramétrisation d’un cercle orienté centré en z0 et de rayon R tel que 0 < R < ρ.

Preuve: A partir de la formule de Cauchy (III.2.11) page 184, il s’agit essentiellement de développer en série entière la fonction sous le signe somme puis d’intervertir somme et intégrale. La conclusion résulte ensuite de la convergence d’une série géométrique. Fixons z0 quelconque dans U et plaçons-nous donc dans les conditions d’application du théorème de Cauchy V III.2.6 page 184 : • Comme U est voisin de chacun de ses points, il contient un disque de centre z0 et de rayon R > 0. Soit γ : t ∈ [0, 2π] 7−→ z0 + Reit une paramétrisation orientée de sa frontière (le

199

TD no 5

I.1 Analyticité des fonctions holomorphes

z

r b

bc

z0

U Figure I.1.1 – Une fonction holomorphe sur U est analytique sur U cercle de centre z0 et de rayon R). Quitte à réduire R, on peut supposer que im γ est entièrement contenu dans U. • Soit z ∈ D(z0 , r) avec r tel que 0 < r < R. z appartient donc à U \ im γ. La formule de Cauchy s’écrit : 1 Indγ z × f (z) = 2iπ

Z

γ

f (ς) dς. ς −z

(I.1.1)

Par construction, on a |z − z0 | < r < |ς − z0 | = R et en particulier z − z0 ς − z < 1. 0

On sait depuis III II.3.4 page 98 que dans ce cas,

1 1 1 1 = = 0 ς −z (ς − z0 ) − (z − z0 ) ς − z0 1 − z−z ς−z0 =

+∞ X

(z − z0 )n , (ς − z0 )n+1 n=0

(I.1.2)

Afin d’appliquer le théorème de convergence dominée dans (I.1.1), trouvons un majorant de l’intégrande indépendant de ς et intégrable sur le compact im γ : +∞ X f (ς)(z − z )n X  r n sup|ς−z0 |=R |f | +∞ 0 × 6 (ς − z0 )n+1 R R n=0

avec 0 < r < R

n=0

=

sup|ς−z0 |=R |f (ς)| 1 × R 1−

r R

=

sup |ς−z0 |=R

|f (ς)| ×

1 . R−r

(I.1.3)

1 Le dernier terme de (I.1.3) Z est bien indépendant de ς et intégrable sur im γ . On peut donc

intervertir les signes

X

et

dans (I.1.1) :

Indγ z × f (z) =

 X Z f (ς) 1 +∞ dς (z − z0 )n . 2iπ n=0 γ (ς − z0 )n+1

Enfin, d’après V III.1.2.(iii) page 181, sur le connexe D(z0 , r), on a : Indγ z = Indγ z0 = 1 pour tout z ∈ D(z0 , r) ce qui se traduit par : 1. Il est même constant.

200 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Analyticité des fonctions holomorphes

f (z) =

 X Z 1 +∞ f (ς) dς (z − z0 )n . 2iπ n=0 γ (ς − z0 )n+1

L’expression (I.1.4) est bien celle d’une série entière coefficients an sont donnés par ∀ n ∈ N, En particulier, |an | 6

an =

1 2iπ

Z

γ

X

(I.1.4)

an (z − z0 )n centrée en z0 dont les

f (ς) dς. (ς − z0 )n+1

1 1 × sup |f (ς)| × n , le rayon de convergence est au moins égal 2π |ς−z0 |=R R

à R. La fonction f est donc bien développable en série entière au voisinage de tout point de U, elle est analytique sur U. Enfin, la condition sur R, c’est-à-dire que le cercle γ = z0 + Reit soit contenu dans U entraîne
que le rayon de convergence de la série (I.1.4) est au moins égal à d z0 , C \ U .  +∞ X

f (n) (z0 ) (z − z0 )n de f au voisin! n=0 nage de z0 , unique d’après III I.4.13 page 93, on en déduit que : Par identification avec le développement de Taylor

Corollaire VI I.1.2. En conservant les notations de VI I.1.1, on a : ∀ n ∈ N,

f (n) (z0 ) =

n! 2iπ

Z

|ς−z0 |=R

f (ς) dς. (ς − z0 )n+1

(I.1.5)

SoitX f une fonction analytique sur un ouvert U de C. Les coefficients de sa série de Taylor an (z − z0 )n centrée en z0 ∈ U sont donc donnés par l’une des deux relations : an =

f (n) (z0 ) 1 = n! 2iπ

Z

|ς−z0 |=R

f (ς) dς. (ς − z0 )n+1

(I.1.6)

Toute l’originalité est d’offrir une alternative à un calcul des dérivées d’ordre n d’une fonction si celles-ci s’avéraient trop compliquées ou inversement, à un calcul d’une intégrale curviligne casse-tête (typiquement le cas de la physique). Le seul point malheureux étant que cette dernière relation n’est calculable que si nous arrivons à mettre la fonction dans l’intégrale curviligne sous la forme : f (ς) , (ς − z0 )n+1 ce qui loin d’être aisée dans la plupart des cas. L’idée serait alors de trouver un chemin général pour l’intégrale curviligne, valable pour toute fonction f tel que ce dénominateur (qui contient en plus une singularité en z0 ) disparaisse. La solution viendra plus loin en contournant cette singularité c’est-à-dire en déformant le disque |ς − z0 | = R intervenant dans l’intégrale (I.1.6) en une couronne autour de z0 . Une première conséquence du théorème de Cauchy-Taylor est que la C-différentiabilité entraîne la C-différentiabilité à tout ordre. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 201

TD no 5

I.1 Analyticité des fonctions holomorphes

z0 b

b

z0

b

z0

b

z0

b

z0

b

z0

b

z0

b

z0

b

z0

b

z0

b

Figure I.1.2 – Déformation continue d’un disque en couronne

Corollaire VI I.1.3. Soit U un ouvert de C. Si f ∈ H(U) alors f ′ ∈ H(U). Preuve: La preuve est immédiate : si f est holomorphe sur U elle y est aussi analytique d’après la théorème de Cauchy-Taylor VI I.1.1 page 199 donc dérivable d’après III I.4.12 page 91, sa dérivée f ′ étant encore analytique donc holomorphe. 

Remarque: Par une récurrence aisée, on en déduit que les dérivées à tout ordre d’une fonction holomorphes sont également holomorphes. Une conséquence de VI I.1.3 est une réciproque utile au théorème V II.2.10 : Théorème VI I.1.4 (Moreira). Soit f une fonction continue sur un ouvert U de C. Si l’intégrale de f le long de tout lacet contenu dans U est nulle, alors f est holomorphe sur U. Preuve: L’holomorphie étant une notion locale, il suffit de se restreindre à un disque ouvert quelconque contenu dans U. Soit donc D(z0 , r) un tel disque ouvert fixé. D’après V II.2.11, la fonction f admet une primitive holomorphe F sur D(z0 , r) qui est convexe donc étoilé. D’après le corollaire VI I.1.3 précédent la fonction F est infiniment dérivable. La fonction f = F ′ est donc holomorphe sur D(z0 , r) donc sur U. 

Le théorème de Moreira est un résultat puissant qui a de nombreuses applications. En voici deux exemples de champ différent. La première est assez spectaculaire si l’on compare avec le cas réel où une suite de fonctions indéfiniment différentiable peut très bien converger vers une fonction nulle part différentiable. Corollaire VI I.1.5. Soient un ouvert U ⊂ C (fn )n∈N une suite de fonctions holomorphes dans U qui converge uniformément sur tout compact de U vers une fonction f . Alors f ∈ H(U).

202 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

z0

TD no 5

L’équivalence analytique-holomorphe

Preuve: Soit T un triangle inclus dans U. Comme T est fermé borné dans C c’est un compact Z Z

et

∂T

fn = 0 entraîne

∂T

f = 0 par convergence uniforme puis VI I.1.4 implique f ∈ H(U).



On affinera ce résultat après avoir vu les inégalités de Cauchy.

I.2 L’équivalence analytique-holomorphe Le théorème de Moreira VI I.1.4 était la dernière pierre à notre édifice. Le théorème suivant résume les trois principales propriétés démontrées jusque ici :

Théorème VI I.2.6. Soit U un ouvert de C et f ∈ C(U) une fonction continue sur U. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) f est holomorphe sur U,

(Point de vue de Riemann)

(ii) f est analytique dans U,

(Point de vue de Weierstrass)

(iii) f admet localement une primitive dans U.

(Point de vue de Cauchy)

En particulier, si U est étoilé, le point (iii) devient : f admet une primitive sur U.

Preuve: Ce n’est qu’un résumé des propriétés déjà démontrées : (i) ⇒ (ii) C’est le théorème III I.4.12 page 91. (ii) ⇒ (i) Le théorème de Cauchy-Taylor précédent VI I.1.1

(i) ⇒ (iii) Tout z ∈ U admet un voisinage convexe donc étoilé sur lequel on peut appliquer le théorème de Cauchy-Goursat V II.3.13 puis V II.2.11. (iii) ⇒ (i) Soit z ∈ U, f admet une primitive holomorphe F sur un voisinage Vz = D(z, r) étoilé et on a f|Vz = F ′ . d’après VI I.1.3, l’holomorphie de F entraîne celle de f .



Le diagramme ci-dessous résume ces implications : Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 203

TD no 5

II.1 II. Comportement local et prolongement

Z

∂T

V II.2.11 page 172 f =0 f admet une primitive sur U

V II.3.13 page 174 (Cauchy-Goursat) f est holomorphe sur U

V II.2.10 page 171 (Moreira) Z VI I.1.4

γ

f =0

V II.3.16 page 179 (Formule de Cauchy)

III I.4.12 page 91

(Cauchy-Taylor) 1 Z f (ς) dς f est analytique sur U f (z) = 2iπ γ ς − z VI I.1.1

II Comportement local et prolongement II.1 Prolongement holomorphe et factorisation Le résultat suivant est le premier résultat de prolongement holomorphe que nous rencontrons à rapprocher du théorème III III.2.7 page 105 de prolongement analytique. Proposition VI II.1.1 (Prolongement holomorphe). Soit f une fonction continue sur un ouvert U de C et holomorphe sur U sauf en un nombre fini de points. Alors, f est holomorphe sur U tout entier. Preuve: La notion d’holomorphie étant une propriété locale, on peut se restreindre à un disque ouvert contenu dans U, dans lequel f est continue et holomorphe sauf en un nombre fini de points. Un disque étant convexe, d’après le théorème de Cauchy V II.3.14 page 177, l’intégrale de f le long de tout chemin fermé est nulle. Le théorème de Moreira VI I.1.4 permet de conclure : f ∈ H(U). 

Définition VI II.1.2 (Singularité). 



Soit U un ouvert de C et z0 ∈ U. si f ∈ H U \ {z0 } , on dit que f possède une singularité isolée en z0 . Si f peut être définie en z0 de sorte que la fonction prolongée soit holomorphe sur U, on dit que la singularité est artificielle. La condition de continuité de f dans VI II.1.1 est en fait inutile si on suppose au moins que f est bornée au voisinage de la singularité. Si c’était le caractère holomorphe de f qui assurait, via le théorème de Moreira VI I.1.4 l’existence du prolongement, dans la version ci-dessous, plus forte, on exploite le côté analytique d’une fonction holomorphe : 204 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Prolongement holomorphe et factorisation

Théorème VI II.1.3 (Prolongement holomorphe). Soient U un ouvert de C et z0 ∈ U. Si f est une fonction holomorphe sur U \ {z0 } et bornée dans un voisinage de z0 alors f est holomorphe sur U tout entier.

Remarque: Comme VI II.1.1, ce théorème ce généralise aisément à une partie finie de singularités isolées. Preuve: La fonction g définie par g(z) =

(

(z − z0 )2 f (z) 0

si si

z 6= z0 z = z0 ,

est, par construction holomorphe sur U \ {z0 } et vérifie g′ (z0 ) = lim

z→z0

(z − z0 )2 f (z) = lim (z − z0 )(f (z) = 0, z→z0 z − z0

puisque f est supposée bornée dans un voisinage de z0 donc holomorphe sur U. Comme g est holomorphe, elle est analytique sur U et on peut écrire g(z) = avec a0 = g(z0 ) = 0 et a1 = g′ (z0 ) = 0 c’est-à-dire g(z) = (z − z0 )2 factorisant. Par identification, on obtient f (z) =

+∞ X

n=0

d’où holomorphe.

+∞ X

n=0

+∞ X

n=0

an (z − z0 )n

an+2 (z − z0 )n en

an+2 (z − z0 )n , f est donc analytique sur U 

En application, on peut tenir une promesse faite en III III.1.4 page 103 : Corollaire VI II.1.4. Soient U un domaine de C et f une fonction holomorphe non identiquement nulle sur U. Soit z0 ∈ U un zéro de f d’ordre m. Alors, il existe une fonction g holomorphe sur U ne s’annulant pas dans un voisinage de z0 et telle que la fonction f se factorise sous la forme ∀ z ∈ U,

f (z) = (z − z0 )m g(z).

(II.1.7)

Preuve: Il suffit de reprendre la démonstration de III III.1.4 page 103 et d’appliquer le théorème de prolongement holomorphe X VI II.1.1 à g : Soient donc f (z) = an (z − z0 )n le développement de f centré en z0 et m le plus petit entier tel que am 6= 0. On a : ∀ z ∈ U,

f (z) = (z − z0 )m g(z),

où g, comme somme d’une série entière, est analytique donc holomorphe dans un voisinage f (n) (z0 ) de z0 2 . Par unicité, ses coefficients coïncide avec ceux de son développement de Taylor n! 2. Ça, on le savait déjà. Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 205

II.2 Conséquences de la régularité des fonctions holomorphes

TD no 5

Posons alors g˜(z) =

 f (z) − f (z0 )    m   

(z − z0 ) f (m) (z0 ) m!

si

z 6= z0

si

z = z0

La fonction g˜ est holomorphe dans U \{z0 }, bornée dans un voisinage de z0 donc holomorphe dans U d’après VI II.1.3 et coïncide avec g sur son disque de convergence. Comme g˜(z0 ) 6= 0, elle est donc non nulle dans un voisinage de z0 et on a prouvé (II.1.7). 

II.2 Conséquences de la régularité des fonctions holomorphes Proposition VI II.2.5. Soit U un ouvert simplement connexe et f ∈ H(U) ne s’annulant pas dans U. (i) Il existe une fonction holomorphe g : U 7−→ C, appelée logarithme complexe de f et notée Log f telle que eg = f.

(ii) Pour tout entier n ∈ N il existe une fonction holomorphe h : U 7−→ C appelée racine n-ième complexe de f , telle que hn = f.

Preuve: f est holomorphe sur U. Comme f′ f U est simplement connexe, d’après V IV.4.10 page 197, ′ admet une primitive g sur U f
′ f c’est-à-dire telle que g′ = ′ . Ceci entraîne que f e−g = (f ′ − g′ f )e−g = 0. La fonction f f e−g est donc constante. Il suffit alors de choisir la primitive de g telle que f e−g = 1 pour avoir l’assertion (i).

(i) Comme f ∈ H(U) ne s’annule pas sur U, la fonction

1

(ii) Il suffit de choisir h = e n Log f .



Puisque tout point d’un ouvert de C admet un voisinage simplement connexe donné par un disque ouvert centré en ce point, nous en déduisons le résultat suivant. 206 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Comportement au voisinage d’une singularité

Corollaire VI II.2.6. Soient U un ouvert de C et f une fonction ne s’annulant pas sur U. (i) Si f est holomorphe dans U alors elle admet au moins localement un logarithme complexe ainsi qu’une racine n-ième pour tout n ∈ N fixé. (ii) Si f est seulement supposée continue sur U alors il existe une détermination continue du logarithme sur U, c’est-à-dire une fonction continue g : U 7−→ C telle que eg = f .

II.3 Comportement au voisinage d’une singularité On poursuit ici l’étude commencée en III.4 page 62 sur le comportement local de f en exploitant l’analyticité d’une fonction holomorphe notamment le corollaire VI II.1.4 de factorisation qui découle lui-même de celui de prolongement holomorphe VI II.1.1. Le lemme suivant qui pourrait être en soi un théorème, étudie le comportement local d’une fonction holomorphe au voisinage d’un point singulier. Lemme VI II.3.7 (Comportement au voisinage d’un point singulier). Soient U un ouvert connexe de C, f une fonction holomorphe sur U non constante et z0 un point de U d’image w0 . Soit m l’ordre du zéro de la fonction f − w0 . Alors, il existe un voisinage ouvert V de z0 , un voisinage W du point 0 ainsi qu’un isomorphisme analytique ϕ : V 7−→ W tel que ϕ(z0 ) = 0 et ∀ z ∈ V,

f (z) = f (z0 ) + ϕ(z)m .

Preuve: Si m = 1, ce n’est rien d’autre que le théorème d’inversion locale II III.4.5 page 62 et dans ce cas, ϕ(z) = f (z) − f (z0 ) convient. Supposons maintenant m > 2. D’après le corollaire VI II.1.4, dans un voisinage D(z0 , r) de z0 , la fonction f s’écrit : f (z) = f (z0 ) + (z − z0 )m g(z)


où

g(z0 ) = f ′ (z0 ) 6= 0,

(II.3.8)

avec g ∈ H D(z0 , r) ne s’annulant sur le voisinage de z0 . On pose alors h une détermination holomorphe de sa racine m-ième sur un voisinage W1 de g(z0 ) : ∀ z ∈ V1 = g−1 (W1 ),


m

h g(z)

= g(z) 


m

f (z) = f (z0 ) + (z − z0 )n h g(z) = f (z0 ) + ϕ(z)m




où ϕ(z) = (z − z0 )h g(z)
n

L’application ϕ définie sur V1 est holomorphe par construction. De plus, g(z0 ) = h g(z0 ) entraîne
ϕ′ (z0 ) = h g(z0 ) 6= 0.

6= 0

D’après le théorème d’inversion locale II III.4.5 page 62, il existe donc un voisinage V ⊂ V1 de z0 et un voisinage W = ϕ(V) de ϕ(z0 ) sur lequel ϕ : V 7−→ W est une bijection bi-holomorphe. Elle vérifie, de plus, ϕ(z0 ) = 0. 

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 207

TD no 5

II.4 Comportement au voisinage d’une singularité

Corollaire VI II.3.8. Soient U un ouvert connexe de C, f une fonction holomorphe sur U non constante et z0 ∈ U d’image w0 = f (z0 ). Soit m l’ordre du zéro de la fonction f − w0 . Alors, il existe alors un voisinage W de w0 sur lequel tout point de W \ {w0 } admet exactement m antécédents.

Preuve: Les hypothèses du lemme VI II.3.7 sont vérifiées. Gardons les mêmes notations et soient ϕ : z0 ∈ V 7−→ W un isomorphisme biholomorphe tel que ϕ(z0 ) = 0 et W = ϕ(V) un voisinage de w0 3 . Considérons r > 0 tel que D(0, r) ⊂ W.

Pour tout w ∈ D f (z0 ), r m \ {f (z0 )}, le nombre w − f (z0 ) ∈ D 0, r m \ {0} et admet m racines λk , k = 1, . . . , m complexes distinctes appartenant à D(0, r) ⊂ W. Comme ϕ−1 est un isomorphisme sur D(0, r), les m points distincts zk = ϕ−1 (λk ) appartiennent à V,voisinage de z0 et vérifient : ∀ k ∈ {1, . . . , m},


m

f (zk ) = f (z0 ) + ϕ ϕ−1 (λk ) = f (z0 ) + λm k = f (z0 ) + w − f (z0 )

= w.

Ce sont donc bien m solutions distinctes de l’équation f (z) = w.



En particulier, une fonction holomorphe de dérivée nulle en un point z0 n’est pas injective au voisinage de ce point. Cette propriété est particulière au cadre des fonctions holomorphes, comme le montre l’exemple de la fonction f : x 7−→ x3 définie sur R. Cette propriété n’admet pas non plus de réciproque, comme le montre le cas de la fonction exponentielle complexe, non injective et pourtant de dérivée non nulle en tout point de C. Notons enfin que, d’après le résultat suivant, il n’est pas nécessaire de vérifier l’holomorphie de l’application réciproque pour montrer qu’une application holomorphe bijective est un isomorphisme biholomorphe. Proposition VI II.3.9. Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U. Si f est injective, alors f est un isomorphisme biholomorphe sur son image.

Preuve: Supposons f est injective alors, d’après VI II.3.8, la dérivée f ′ ne peut s’annuler. D’après le théorème d’inversion locale II III.4.5 page 62, c’est de plus une bijection holomorphe sur son image. Il suffit donc de montrer que l’inverse est holomorphe. Soient w0 un point quelconque de l’image et z0 son antécédent. Alors, le théorème d’inversion locale II III.4.5 montre l’existence de voisinages ouverts V de z0 et W de w0 tels que g = f|V soit une bijection d’inverse holomorphe de V sur W. L’inverse g−1 coïncide avec f −1 sur W, ce qui montre que f −1 est holomorphe sur W. Le choix de w0 , donc celui de W étant arbitraire et la notion d’holomorphie une notion locale, la proposition est démontrée.  3. C’est aussi un voisinage de 0 par définition.

208 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Le théorème de l’application ouverte

II.4 Le théorème de l’application ouverte Théorème VI II.4.10 (Théorème de l’application ouverte). Toute fonction holomorphe non constante est une application ouverte.

Preuve: Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U de C. Soit V ⊂ U un ouvert dans U, montrons que f (V) est un ouvert c’est-à-dire voisinage de chacun
de ses points. Soit z0 ∈ U, il s’agit donc de montrer que f (U) contient un voisinage D f (z0 ), r de f (z0 ) pour r assez petit. D’après le lemme VI II.3.7, on peut trouver un voisinage ouvert V ⊂ V de z0 , un voisinage W de 0 ainsi qu’un fonction biholomorphe ϕ : V 7−→ W telle que ϕ(z0 ) = 0 et ∀ z ∈ V,

f (z) = f (z0 ) + ϕ(z)m .

√
Soit r > 0 tel que D(ϕ(z0 ), m r) ⊂ W et montrons que tout w ∈ D f (z0 ), r est dans l’image de f . Soit v une racine m-ième de w − f (z0 ). On a : v m = w − f (z0 )

=⇒

|v|m < r

⇐⇒

v ∈ D(0,

√

m

r) = D(ϕ(z0 ),

√ r).

m

Donc v ∈ W = ϕ(V ) c’est-à-dire v = ϕ(z) pour un unique 4 z ∈ V , voisinage de z0 et w − f (z0 ) = v m = ϕ(z)m

=⇒

w = f (z0 ) + ϕ(z)m = f (z).

Le point w, choisi dans un voisinage de f (z0 ), est donc bien dans l’image de f ce qui revient au même de dire que f (V) est voisinage de chacun de ses points : il est ouvert. 

III Conséquences de la formule de Cauchy III.1 Estimées de Cauchy Théorème VI III.1.1 (Inégalités de Cauchy). Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U. Soient z0 ∈ U et R > tel que le disque D(z0 , R) soit contenu dans U. Alors, ∀ n ∈ N et r vérifiant 0 < r < R, on a : f (n) (z ) 0 n!

6

sup|z−z0|=r |f (z)| . rn

(III.1.9)

Preuve: La fonction holomorphe f étant a fortiori continue sur le compact im γ = Cz0 ,r , il s’agit d’une simple majoration dans (I.1.5) : 4. ϕ est un difféomorphisme sur U . Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 209

TD no 5

III.2 Suites de fonctions holomorphes

∀ n ∈ N,

1 f (n) (z0 ) = n! 2iπ

Z

f (ς) dς (ς − z0 )n+1

|ς−z0 |=r 2π f (z0

1 + reit ) rieit dt 2iπ 0 (z0 + reit − z0 )n+1 Z 1 2π f (z0 + reit ) = dt n eint 2π r 0 Z 2π f (n) (z ) sup|z−z0|=r |f (z)| 1 0 f (z0 + reit ) dt 6 . 6 n n! 2πr 0 rn =

Z

Remarque: Si on considère f : z 7−→ z n , z0 = 0 et U = D(0, 1) alors



sup |f (z)| = 1

|z−z0 |=1

et f (n) (0) = n!, la relation (III.1.9) devient une égalité, c’est-à-dire que les inégalités de Cauchy sont maximales et ne peuvent être améliorées.

III.2 Suites de fonctions holomorphes Il faut bien comprendre par ailleurs que ce théorème est spécifiquement lié à l’holomorphie des fonctions considérées. Il permet en effet de majorer les dérivées d’une fonction par la fonction elle-même, alors que tous les théorèmes de calcul différentiel réel conduisent à des estimations inverses : ce sont les majorations sur les dérivées qui conduisent à des majorations sur la variation de la fonction initiale. En exemple, on peut prolonger le corollaire VI I.1.5 démontré page 202 : Proposition VI III.2.2. Soient un ouvert U ⊂ C (fn )n∈N une suite de fonctions holomorphes dans U qui converge uniformément sur tout compact de U vers une fonction f . Alors pour tout p ∈ N, (fn(p) )n∈N converge uniformément sur tout compact de U vers f (p) ∈ H(U). Preuve: Les corollaires VI I.1.3 et VI I.1.5 assurent déjà que f et toutes ses dérivées sont holomorphes sur U. Montrons que la convergence uniforme sur tout compact. Soient K un compact inclus dans U, z ∈ K et Rz un réel strictement positif tel que D(z, Rz ) ⊂ U. D’après VI III.1.1, pour tout 0 < r < Rz , on a : ′ f (z) − f ′ (z) 6 sup |(f − fn )(ς)|. n ς∈Cz,r

Utilisons la compacité de K : K ⊂

[

z∈K

D(z, Rz ) recouvrement par des ouverts dont on peut

extraire un sous-recouvrement fini, lui-même contenu dans un disque fermé D et borné donc compact 5 . Notre majoration devient alors : ′ f (z) − f ′ (z) 6 sup |(f − fn )(ς)|. n ς∈D

puis



sup f ′ (z) − fn′ (z)| 6 sup |(f − fn )(ς)|.

z∈K

ς∈D

5. Quitte à réduire les rayon Rz , on peut supposer D entièrement contenu dans U.

210 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Le théorème de Liouville est ses applications

K D

U

Figure III.2.3 – La convergence uniforme sur tout compact d’une suite de fonctions holomorphes entraîne la convergence sur tout compact de ses dérivées Comme D est compact, la convergence uniforme de fn vers f sur tout compact (donc D) entraîne celle de fn′ vers f ′ . Une récurrence aisée montre la convergence uniforme sur tout compact des dérivées supérieures. 

III.3 Le théorème de Liouville est ses applications Le corollaire suivant est célèbre et remarquable. Rappelons qu’une fonction est dite entière lorsqu’elle est holomorphe dans C. Corollaire VI III.3.3 (Liouville). Si f est une fonction entière et bornée sur C, alors f est constante.

Preuve: Soient f ∈ H(C) et M un majorant de f c’est-à-dire tel que ∀ z ∈ C, |f (z)| 6 M . X f (n) (0) Comme f est entière, elle est égale à la somme z n de son développement en 0. Par n! ailleurs, les inégalités de Cauchy VI III.1.1 conduisent à, pour tout n ∈ N∗ et tout réel r strictement positif, f (n) (z ) M (r) M 0 6 n −−−−→ 0. 6 n! rn r r→+∞

(III.3.10)

On obtient donc f (n) (0) = 0 pour tout n > 1, c’est-à-dire f est constante (égale à f (0)).



La même preuve montre aussi que : Corollaire VI III.3.4. Si une fonction entière satisfait |f (z)| 6 M|z|n pour |z| → +∞ alors la fonction f est un polynôme de degré au plus n.

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 211

TD no 5

III.4 La formule de la moyenne

Preuve: On a M (r) 6 M r n dans (III.3.10).



En particulier, les fonction exp, cos, sin, sinh et cosh définies au chapitre IV , entières et non constantes, ne peuvent donc être bornées. Le théorème de Liouville est faux sur l’axe réel. En effet, les mêmes fonctions de la variable réelle cette fois sont entières et bornées sur R sans être constantes Le théorème de Liouville a un corollaire célèbre : le corps des nombres complexes est algébriquement clos. Corollaire VI III.3.5 (D’Alembert-Gauss). Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet une racine complexe.

Preuve: Considérons en effet un polynôme non constant P de degré n tel que ∀ z ∈ C, P (z) 6= 0. 1 La fonction f = est donc non constante et analytique. Il nous suffit donc de prouver qu’elle P est bornée sur C pour conclure via le théorème de Liouville VI III.3.3 : on a, P (z) = z avec an 6= 0. Donc

n



a0 an−1 + ... + n an + z z



,

lim |P (z)| = ∞. On peut donc trouver un disque fermé D tel que :

|z|→+∞

• en dehors de D, la fonction f =

1 est bornée car |P | tend ver +∞. P

1 est continue sur un compact donc bornée aussi. P

• dans D, f =

En conclusion, f est bornée sur C et le théorème est démontré.



Remarque: Par récurrence sur le degré et division euclidienne, ce résultat entraîne qu’un polynôme de degré n admet exactement n racines complexes, comptées avec leur multiplicité.

III.4 La formule de la moyenne Proposition VI III.4.6 (Propriété de la moyenne). Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert U. Pour tout disque fermé D(z0 , r) inclus dans U, Z  1 2π  f (z0 ) = f z0 + reit dt. 2π 0 Géométriquement, la valeur d’une fonction holomorphe en un point z0 ∈ C est le   centre de gravité de l’image du cercle f D(z0 , r) , pour tout réel r > 0 assez petit.

Preuve: Il s’agit d’une application directe de la formule de Cauchy (I.1.5). Considérons une paramétrisation γ = z0 + reit du cercle Cz0 ,r . On a immédiatement : 1 f (z0 ) = 2iπ

Z

Cz0 ,r

1 f (ς) dς = ς − z0 2iπ

212 - L3 - Analyse Complexe

Z

0

2π

f (z0 + reit ) 1 rieit dt = it z0 + re − z0 2π

Z

0

2π




f z0 + reit dt. Fabien PUCCI

TD no 5

Unicité de la solution dans un problème de Dirichlet



La propriété de la moyenne permettrait de montrer en particulier que le principe du module maximum III III.3.11 page 108 indépendamment du caractère analytique. Nous ne le ferons pas ici. En parlant du principe du maximum, citons en une application aux fonctions harmoniques réelles définies en IV page 64.

III.5 Unicité de la solution dans un problème de Dirichlet En mathématiques, le problème de Dirichlet est de trouver une fonction harmonique définie sur un ouvert U, de R2 prolongeant une fonction continue définie sur la frontière de l’ouvert U. Ce problème porte le nom du mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Définition VI III.5.7 (Problème de Dirichlet). Soient U un ouvert de R2 et g : ∂U 7−→ R une fonction continue sur sa frontière. Peut-on trouver une fonction ϕ : U 7−→ R telle que : (i) ϕ est de classe C 2 sur U, continue sur U. (ii) ϕ vérifie l’équation de Laplace :

∆ϕ = 0.

(iii) ϕ|∂U = g.

Il n’existe pas toujours de solution au problème de Dirichlet mais s’il en existe une sur un ouvert connexe borné alors le principe du maximum assure que c’est la seule : Proposition VI III.5.8. Soit P˜ une fonction harmonique à valeurs réelles non constante sur U ouvert connexe de R2 . Alors P˜ ne peut admettre de maximum ni de minimum local dans U.

Preuve: Supposons par exemple l’existence d’un maximum local en z0 ∈ U et D(z0 , r) un disque centré en z0 et inclus dans U sur la frontière duquel on a P (z) 6 P (z0 ). Or, d’après II IV.0.3 page 66, P est la partie réelle d’une fonction f holomorphe sur un voisinage V de D(z0 , r). Alors g = exp ◦f est aussi holomorphe sur V , et |g| = exp P admet un maximum local en z0 sans être constante, ce qui contredit le principe du maximum III III.3.9 page 106. Le résultat similaire sur l’absence de minimum local s’obtient en appliquant le même raisonnement à −P . 

On en déduit immédiatement le Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 213

III.5 Unicité de la solution dans un problème de Dirichlet

TD no 5

Corollaire VI III.5.9. Soient U un ouvert connexe borné de R2 , P˜ une fonction à valeurs réelles continue sur U , harmonique sur U. Alors il existe z0 et z1 sur le bord de U tels que P (z0 ) = inf P (z) z∈U

et

P (z1 ) = sup P (z). z∈U

Ce résultat implique l’unicité des solutions d’un problème de Dirichlet plan posé sur U ouvert connexe borné. En effet la différence entre deux solutions est une fonction harmonique dans U, continue sur U, qui vaut zéro sur le bord de U : une telle fonction est nulle d’après la proposition VI III.5.8.

214 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

CHAPITRE VII SINGULARITÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES THÉORÈME DES RÉSIDUS

Sommaire I

Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

C

e chapitre est consacré à l’étude des fonctions holomorphes sur des ouverts privés de certains sous-ensembles discrets, on dit que ces fonctions sont à singularités isolées. L’exemple le plus simple, qui en est aussi le modèle local, est celui des fonctions holomorphes sur des disques épointés. Pour de telles fonctions, on montre l’existence d’un développement en série, qui généralise celui de Taylor et qu’on appelle le développement de Laurent. Ses termes sont des monômes de la forme an (z − zo )n , où maintenant l’entier n appartient à Z.

b

z0

Figure .5.1 – Déformation d’un ouvert privé d’un point isolé en une couronne dans C

Le point essentiel est que tous ces termes, sauf celui pour lequel n = −1, possèdent des primitives. L’intégrale le long de lacets contenus dans le disque épointé et entourant le centre ne détecte donc que le coefficient a−1 de ce terme, qu’on appelle le résidu. Le théorème des résidus globalise cette étude locale et permet d’exprimer simplement l’intégrale le long d’un chemin, pour une fonction à singularités isolées en fonction des résidus en chacune des singularités « entourées par le chemin ». C’est donc un moyen extrêmement efficace pour calculer des intégrales, mais aussi un outil théorique profond.

I Fonctions méromorphes 215

TD no 5

I.1 Comportement au voisinage d’une singularité

I.1 Comportement au voisinage d’une singularité Dans le cas où le bord de l’ouvert de définition comporte un point isolé, on peut obtenir une caractérisation très fine de l’image d’un voisinage de ce point. On ne revient pas sur la définition VI II.1.2 page 204 des singularités du fonctions holomorphes ni sur celles de singularités artificielles en lesquelles le théorème VI II.1.3 page 205 affirme que l’on peut prolonger une fonction holomorphe sous la condition qu’elle soit bornée dans un voisinage de celles-ci. Le théorème suivant permet d’avoir une classification exhaustive des singularités isolées d’une fonction holomorphes. Théorème VII I.1.1. 



Soient U un ouvert de C, z0 ∈ U et f ∈ H U \ {z0 } . Alors, (i) soit, la fonction f peut être prolongée par continuité en z0 en une fonction holomorphe. La singularité est alors artificielle. (ii) soit, il existe un entier m ∈ N tel que la fonction g définie par g(z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en une fonction holomorphe sur U. Le plus petit entier m tel que (z − z0 )m f (z) se prolonge en une fonction holomorphe sur U s’appelle l’ordre du pôle z0 . (iii) soit, l’image de tout voisinage épointé de z0 est dense dans C. On dit alors que z0 est une singularité essentielle de f .

Par la suite, on appellera disque 1 épointé d’un point z0 ∈ C de rayon r > 0, noté D ∗ (z0 , r), tout voisinage de la forme D(z0 , r) \ {z0 }.

Preuve: Si z0 n’est pas une singularité essentielle de f alors il existe un voisinage D ∗ (z0 , ε) de z0 épointé en z0 dont l’image n’est pas dense dans C c’est-à-dire qu’il existe un point a ∈ C et un réel r strictement positif tel que


D(a, r) ∩ f D ∗ (z0 , r) = ∅.

b

)− |f (z

a r

b

a|

>r

f (z0 )


f D∗ (z0 , r)




Figure I.1.2 – D(a, r) et f D ∗ (z0 , r) sont disjoints dans le cas d’une singularité essentielle 1 1 est donc holomorphe sur D ∗ (z0 , r) et bornée par car |f (z)−a)| > r. f (z) − a r D’après le théorème de prolongement holomorphe VI II.1.3 page 205, on peut donc la prolonger en une fonction f˜ holomorphe sur D(z0 , r) tout entier. La fonction z 7−→

1. ou voisinage

216 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TD no 5

Comportement au voisinage d’une singularité

En appliquant alors le corollaire VI II.1.4 page 205, il existe donc un entier naturel m et une fonction g, holomorphe sur D(z0 , r), ne s’annulant pas en z0 tels que ∀ z ∈ D(z0 , r),

1 = (z − z0 )m g(z). f (z) − a

∀ z ∈ D(z0 , r),

f (z) = a +

D’où

1 . (z − z0 )m g(z)

1 est holomorphe dans un voisinage g de z0 . On se retrouve alors dans l’un ou l’autre des deux premiers cas suivant que m est égal à 0 ou pas. 

Comme g ne s’annule pas dans un voisinage de z0 , la fonction

1

Exemple:La fonction z 7−→ e z2 admet une singularité essentielle eno0. n ∗ En effet, considérant un disque épointé Dε = z ∈ C / 0 < |z| < ε , il suffit de montrer que son image par f est dense dans C. Or, n

o

Dε∗ = reit / (r, t) ∈]0, ε[×[0, 2π[ ,

et 



n

f Dε∗ = Z = e

cos 2t r2

× e−i

sin 2t r2

Pour tout Z = ρeiθ ∈ C∗ , le système ρ=e

o

, (r, t) ∈]0, ε[×[0, 2π[ .

cos 2t r2

θ=−

sin 2t r2

admet pour solution le couple (r, t) défini par





1 r= q 4 (ln ρ)2 + θ2 θ . sin 2t = q (ln ρ)2 + θ2

Conclusion : f Dε∗ = C∗ , qui est bien dense dans C.

Fabien PUCCI

L3 - Analyse Complexe

- 217

TD no 5

I.1 Comportement au voisinage d’une singularité

−1 z2 e

Im z

Re z

Im z Re z 1

Figure I.1.3 – Module et argument de la fonction z 7−→ e z2 . Les deux tours qui apparaissent forment une singularité dont les lignes de niveau (en jaune) sont des lemniscates. L’argument de f (z) se comporte beaucoup plus violemment avec une infinité de rotations sur chacune de ces lemniscates.

218 - L3 - Analyse Complexe

Fabien PUCCI

TABLE DES FIGURES

I.1.1 Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.2 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.3 Interprétation géométrique du produit de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . II.0.4Inégalité triangulaire : |z3 − z1 | 6 |z3 − z2 | + |z2 − z1 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.5Encadrement de |z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.6Disque et Demi-plan du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.7Voisinages de l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.8Propriété de Borel-Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.9L’adhérence d’une partie connexe est connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.10 L’intérieur d’une partie n’est pas connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.11 Réunion de connexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.12 A et B connexes, A ∪ B non connexe. A et B sont les deux composantes connexes de A ∪ B IV.3.13 Ensembles connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.14 Γz0 est ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.15 Γz0 est fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.16 A et B sont des domaines. C n’est pas connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.17 Un domaine est connexe par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.18 Un connexe n’est pas nécessairement connexe par arcs en dehors d’un espace métrique . . IV.4.19 Ouverts étoilés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X.0.20 Pentagone régulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 9 9 10 11 13 15 20 21 21 22 23 24 24 25 26 27 27 41

I.2.1 Images réciproques de droites parallèles aux axes du plan (u, v) . . . . . . . . . . . . . . . I.2.2 Transformation de deux réseaux de droites verticales et horizontales (parallèles aux axes du plan) par l’application z 7−→ z 2 . On obtient, grâce à la conformité (voir plus loin !) de cette application deux réseaux de courbes qui se coupent à angle droit. . . . . . . . . . . . I.2.3 Parties réelle et imaginaire de z 7−→ z 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.2.4 Représentation de z 7−→ |f (z)| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.5Pour le champ P˜ , ses équipotentielles (en rouge) sont orthogonales à ses lignes de champ (en vert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x IV.1.6P˜ : (x, y) 7−→ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x + y2 IV.1.7Equipotentielles au voisinage d’un Puits-Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.8Equipotentielles d’un dipôle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.9Circulation du champ électrique au voisinage d’un dipôle (+q,-q) donnée par les courbes 1 1 de niveau de la partie imaginaire de z 7−→ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . + z+1 z−1 V.0.10 Image de chemins par une application conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.0.11 Angle formé par deux rayons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X X I.1.1 an z0n converge ⇒ an z n converge normalement si |z| < |z0 |. . . . . . . . . . . . . . . I.4.2 Holomorphie de la somme d’une série entière. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X 1 sur ] − 1, 1[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.3 (−1)n x2n converge vers 1 + x2 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.4z 7−→ 1 + z2

49

219

49 50 51 61 67 67 68 68 69 70 85 91 94 95

I.1 TABLE DES FIGURES

TD no 5

II.1.5Développement d’une série ailleurs qu’en l’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.6Domaine d’analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.7Analyticité de la somme d’une série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.8J finie ⊂ {n + p 6 N } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.1.9Z(f ) et prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.3.10 Principe du module maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.11La fonction x 7−→ exp(x) sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.1.1 z 7−→ Re exp z . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.1.2 Lignes de niveaux de z 7−→ Re exp z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x2 x3 x4 x5 I.2.3 exp(x) = 1 + + + + + + ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1! 2! 3! 4! 5! I.2.4 La fonction x 7−→ exp(x) sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.5Les fonctions cosinus et sinus comme limite de leur série de Taylor. . . . . . . . . . . . . . II.3.6Cosinus et Sinus hyperboliques approchés par leur série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . II.3.7Tableaux de variations de x 7−→ cosh x et x 7−→ sinh x sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.8Graphes de x 7−→ argcosh x et x 7−→ argsinh x ainsi que la série de Taylor de argsinh. . . . II.4.9z 7−→ Re(cos z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.10 Courbes de niveaux de la fonction z 7−→ Re(cos z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.11 z 7−→ | cos z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4.12 Courbes de niveaux de z 7−→ | cos z| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.0.13 Tableaux de variations des fonctions x 7−→ cos x et x 7−→ sin x sur R . . . . . . . . . . . . III.1.14 Formules trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III.2.15 arccos et arcsin pour x réel ainsi que leur série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.16 tan et arctan pour x réel ainsi que leur série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.17 Tableaux de variations des fonctions x 7−→ tan x et x 7−→ arctan x pour x réel. Le tableau complet de la fonction tan est obtenu soit par imparité et 2π-périodicité soit par symétrie par rapport à l’origine et translations de 2π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.18 tanh et argtanh pour x réel ainsi que leur série de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.19 Tableaux de x 7−→ tanh x et x 7−→ argtanh x pour x réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eit

V.1.20 R −−→ S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.21 z 7−→ arg z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.1.22 Argument d’un nombre complexe non nul dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . V.2.23 La fonction x 7−→ ln x sur R∗+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (x − 1)2 (x − 1)3 (x − 1)4 V.2.24 ∀ x ∈]0, 2[, ln x = (x − 1) − + − + ... . . . . . . . . . . . . . . 2 3 4 V.3.25 Exemple de domaine assurant la bijectivité de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . V.3.26 Log n’est pas continu sur B˜−π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V.3.27 Surface z 7−→ | Log z|. En coloré, la détermination principale du logarithme. Le module, étant continue sur C, on peut visualiser la singularité en 0 du logarithme. La courbe tracée en rouge, représentant la fonction x 7−→ ln  |x|, est donc évidemment discontinue en 0. . . V.3.28 Bande Bα = z ∈ C / α < Im z < α + 2π et sa coupure ∆α associée . . . . . . . . . . . . V.3.29 Il existe une détermination analytique du logarithme sur C \ R− . . . . . . . . . . . . . . I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.1.4 I.2.5

Des fonctions y = f (x) et x = g(y) peuvent être écrites sous la forme : . . . . . . . . . . . Chemin de C possédant un point double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chemins équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Juxtaposition des trois chemins γ1 : [a1 , b1 ] 7−→ C, γ2 : [a2 , b2 ] 7−→ C et γ3 : [a3 , b3 ] 7−→ C. On obtient ainsi un chemin C 1 par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.0.6Intégration le long de γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.7Ouverts de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.8Intégration sur un polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1.9Intégration sur un maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.10 Condition suffisante d’intégrabilité dans un ouvert étoilé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.11 Découpage du triangle T lorsque α 6∈ T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.12 Découpage de T lorsque α est un sommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.13 Découpage de T lorsque α appartient à l’intérieur de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.14 Découpage de T lorsque α appartient à la frontière de T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.15 Deux chemins de mêmes extrémités forment un lacet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3.16 Formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220 - L3 - Analyse Complexe

95 96 99 100 103 107 116 122 123 126 127 128 131 131 132 133 134 134 134 137 138 139 139 140 141 142 143 144 145 146 147 150 151 152 152 155 160 160 161 161 163 164 166 168 168 173 175 176 177 177 178 180

Fabien PUCCI

TD no 5

TABLE DES FIGURES

III.1.17 Indice d’un point par rapport à deux lacets de même origine . . . . . . . . . . . . . III.1.18 Calcul de l’indice d’un lacet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.0.19 Déformation continue d’un lacet en cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.20 Homotopies de lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.21 Homotopies de chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.1.22 Dans C, deux lacets sont toujours homotopes entre eux et à un point . . . . . . . . IV.1.23 Homotopie dans une couronne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.24 Invariance de l’intégrale sur deux chemins homotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.25 (Hn )n∈N converge uniformément vers H sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.26 Invariance de l’intégrale sur deux lacets homotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.2.27 Les intégrales d’une fonction holomorphes sur deux chemins homotopes diffèrent constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV.3.32 Connexe, connexe par arcs, simplement connexe, étoilé, convexe . . . . . . . . . . . I.1.1 Une fonction holomorphe sur U est analytique sur U . . . . . . . . I.1.2 Déformation continue d’un disque en couronne . . . . . . . . . . . III.2.3La convergence uniforme sur tout compact d’une suite de fonctions la convergence sur tout compact de ses dérivées . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d’une . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182 184 185 186 187 187 188 190 191 193 194 195 196 196 196 197

. . . . . . . . . . . . . 200 . . . . . . . . . . . . . 202 holomorphes entraîne . . . . . . . . . . . . . 211

.5.1 Déformation d’un ouvert
privé d’un point isolé en une couronne dans C . . . . . . . . . . 215 I.1.2 D(a, r) et f D∗ (z0 , r) sont disjoints dans le cas d’une singularité essentielle . . . . . . . . 216 1 I.1.3 Module et argument de la fonction z 7−→ e z2 . Les deux tours qui apparaissent forment une singularité dont les lignes de niveau (en jaune) sont des lemniscates. L’argument de f (z) se comporte beaucoup plus violemment avec une infinité de rotations sur chacune de ces lemniscates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

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L3 - Analyse Complexe

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INDEX

H(U), 52 Abel, 83 lemme d’, 84, 89 transformation d’, 86 Accumulation point d’, 14, 102, 105, 106 Adhérence caractérisation, 13 d’une partie, 11 Affixe d’un nombre complexe, 6 Algèbre, 54 Analytique détermination, 154 Antécédents, 208 Archimédien, 136 Argument, 8, 183 cosinus hyperbolique, 132 d’un nombre complexe, 8, 144 détermination principale, 143 sinus hyperbolique, 132 Base, 47 de C, 6 de LC R (C, C), 56 Biholomorphe, 208 Bijection, 8, 126 bissectrice, 145 Bolzano-Weierstrass théorème de, 14, 18 Borel -Lebesgue, théorème de, 15 Borné, 14, 122 Bornée suite, 84 Borne, 17 inférieure, 17 Cauchy *-Gauss, 189 *-Gauss dans un simplement connexe, 197 conditions de Cauchy-Riemann, 59 critère de, 11, 29, 30, 32 formule intégrale de, 179 inégalités de, 209 produit, 123

suite de, 5, 15, 29, 30 théorème de, 177 théorème de *-Goursat, 174 théorème de *-Taylor, 199 théorie de, 159 Centre d’un ouvert étoilé, 27 Cercle paramétrisation d’un, 163, 183 unité, 8, 143 Chemin, 69, 160, 165 C 1 par morceaux, 161 équivalence de, 161 de même orientation, 161 exemples de, 162 intégration le long, 163 juxtaposés, 162 longueur, 169 opposés, 162 Circulaire fonction, 127 Clos algébriquement, 17 Commutatif Diagramme, 47 Compact, 14–17, 173, 203, 209 fermé et borné, 14 image d’un, 17 image par une fonction continue, 170 Complet, 175 Complexe conjugué, 6 plan, 6 Complexes corps des, 5 Conforme application, 69 représentation, 57 Connexe, 19, 24 adhérence d’un, 20 composante, 21, 22, 55, 56 image d’un, 20 par arcs, 22, 23, 195 réunion de, 21 simplement, 165, 195 connexe

222

TD no 5 composante, 181 simplement, 25 Continue, 102, 173, 209 limite uniforme de fonctions continues, 28 uniformément, 16 Continuité, 180 Convergence absolue, 30, 31, 89 commutative, 100, 123 dominée, 200 normale, 32, 84, 92, 122 ponctuelle, 28 rayon de, 85 uniforme, 28, 29, 32, 170 uniforme sur tout compact, 28, 125, 202, 210 Convexe étoilé, 178 Cosinus complexe, 129 Coupure, 8, 151, 152 Courbe, 162 Couronne, 201 d -dz et -¯ z , 56 D’Alembert -Gauss, théorème de, 17 critère de, 30 D’Alembert-Gauss théorème de, 212 Dérivé fonction, 52 nombre, 52 Diagramme, 47 Différentiabilité C-, 52, 59, 173, 198 R-, 59 Différentiable, 58 Différentibilité C-, 201 Directionnelle dérivée, 64 Dirichlet problème de, 213 disque, 85 Domaine, 8, 24 étoilé, 180 connexe par arcs, 25 d’analyticité, 96 de convergence, 84 image d’un, 25 Double point, 160 Dual ∗ de LC C (C, C) = C , 57 Equipotentielle, 61 Etoilé ouvert, 174 Euler formules d’, 127 Fabien PUCCI

INDEX

identité, 127 nombre d’, 123 Exponentielle, 98 définition, 121 propriétés, 135 Fermé, 11 Fermés suite de, 175 Fonction analytique, 83, 93, 96, 107, 205 biholomorphe, 63 complexe, 16 constante sur un connexe, 20 continue, 16, 17 cosinus, 127 développable en série entière, 104 entière, 54 exponentielle, 121 harmonique, 64, 213 holomorphe, 52, 62, 91, 96, 125, 174 Puissance α, 155 sinus, 127 Graphe, 48 Hadamard formule de, 83, 87 Heine théorème de, 16 Holomorphe, 91 Homéomorphisme, 63, 145 Homotope, 154 à un point, 189 classe, 188 Homotopes chemins, 186 Homotopie, 180 de chemins, 186 de lacets, 186 Hyperbole, 48 Imaginaire partie, 48 Indice, 181 calcul pratique de, 183 Injective, 208 Intégrale curviligne, 164, 165 Intermédiaires théorème des valeurs, 17, 135 Inverse d’un nombre complexe, 6 Inversion locale théorème d’, 62, 207 Isomorphisme analytique, 207 Jacobienne, 59 Jordan théorème de, 183 L3 - Analyse Complexe

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TD no 5

I.1 INDEX Lacet, 160, 161, 171, 178, 186, 202 Laplace équation de, 213 Laplacien, 65 Lignes de champ, 61 Linéarité C-, 56 R-, 56 Liouville théorème de, 211 Logarithme complexe, 8 d’une fonction, 206 détermination du, 147 détermination principale du, 151 népérien, 145 Maximum principe du, 106, 213 Module, 17 d’un nombre complexe, 7 d’une fonction, 107 Moivre formule de, 8 Moreira théorème de, 202 Moyenne formule de la, 212 Multivoque, 121 Ordre d’un pôle, 216 Ouvert, 12 étoilé, 27, 172 convexe, 172 image réciproque d’un, 19 simplement connexe, 178 Ouverte théorème de l’application, 209 Périodique fonction, 135 Pôle, 98, 216 Parabole, 49 Paramétrage d’un chemin, 160 Partition, 22 Pentagone régulier, 41 Pi, 135, 169 définition, 135 Primitive, 165, 170, 172, 177 dans un simplement connexe, 197 1 de , 178 z locale, 172, 179 Prolongement analytique, 84, 105 d’égalités, 129 holomorphe, 204, 205 Puissance fonction, 155

224 - L3 - Analyse Complexe

Réelle partie, 48 Réels corps des, 5 Racine n-ème, 206 Rayon de convergence, 88 Recouvrement par des ouverts, 15, 210 Reste d’une série, 30 Riemann, 71 intégrale de, 164 Série alternée, 135 convergente, 29 dérivée, 88 entière, 84 géométrique, 85, 98, 199 primitive, 88 produit de Cauchy, 88 somme de, 88 Série entière développement de Cos, 128 développement de Sin, 128 développement en, 71, 127 Segment orienté, 162 paramétrisation d’un, 163 Similitude, 57, 62 Singularité, 204 artificielle, 216 essentielle, 216 Somme d’une série, 30 Suite, 13 de fonctions, 28 convergente, 10, 11 de fonctions, 170 de fonctions holomorphes, 202, 210 de nombres complexes, 10 extraite, 14 Surjection, 143 Tangent vecteur, 69 Taylor développement de, 201, 205 formule de, 97 série de, 99, 201 Triangle, 172, 174 paramétrisation d’un, 163 Trigonométrie circulaire, 128, 136 hyperbolique, 130, 137 Trou, 25 Vectoriel espace, 47 Fabien PUCCI

TD no 5

INDEX

Voisinage d’un point, 13 de l’infini, 13 Weierstrass, 83 Zéro d’une fonction, 102 ordre d’un, 105 principe des -s), 102

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L3 - Analyse Complexe

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