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Zitiervorschau

Lycée Alboury Ndiaye Linguère Mr Barry

Année scolaire : 2006 / 2007 Classe : TS 1 Durée : 4 heures 2e devoir du second semestre (Mathématiques)

Exercice I : (6 pts) Dans le plan orienté (P ), on donne deux points distincts O1 et O2 et on désigne par r1 la rotation de centre O1 et d’ angle 3 et par r2 la rotation de centre O2 et d’angle 23 . Pour tout point M de (P ), on note M 1 l’image de M par r1 et M 2 l’image de M 1 par r2 . 1.

a) Démontrer que le milieu J du segment  M1M 2  est un point fixe pour r2 or1 . b) Construire soigneusement J et prouver que J est situé sur le cercle de diamètre O1O2  . (On prendra O1O2  10cm )

2. Soit H le projeté orthogonal de O1 sur la droite  M1M 2  . a) Préciser les éléments caractéristiques de la similitude directe S de centre O1 qui transforme H en M. b) Démontrer que M, M 1 , M 2 sont alignés si et seulement si H est situé sur le

3.

cercle de diamètre O1 J  . c) En déduire l’ensemble (C ) des points M du plan (P ) pour lesquels M, M 1 , M 2 sont alignés. a) Exprimer M1M en fonction de O1M1 puis M1M 2 en fonction de O2 M1 . b) Où se situe M 1 lorsque l’on a l’égalité M1M 2  3M1M ? c) Trouver    l’ensemble des points M du plan (P ) tels que

M1M 2  3M1M . Exercice II : (3 pts) G

H E

F

D A

C B

Soit le cube ABCD EFGH représenté par la figure ci –dessus.      L’espace est muni du repère orthonormé direct  A, AB , AD, AE    On désigne par I le milieu de  EF  et par K le centre du carré ADHE.  

1.

 

 

a) Vérifier que BK  IG  IA .

b) Déduisez – en l’aire du triangle IGA. 2. Calculer le volume du tétraèdre ABIG et déduisez – en la distance du point B au plan AIG. Problème (11 pts) Soit p un entier naturel tel que p  2 et a1 , a2 ,........, a p une famille de p nombres réels tels que : 0  a1  a2  ........  a p . PARTIE A Etant donné n un entier naturel tel que n  an , on considère l’équation d’inconnue réelle x :

 E  : a1x  a2x  .......  anx  n x .

1. Pour k entier, 1  k  p , on considère la fonction :

g k : IR   IR x  

  ak n

x

Etudier ses variation sur l’intervalle  0,  et étudier sa limite en  . 2. Soit f n la somme des fonctions g k pour k compris entre 1 et p. Préciser le sens de variations de f n ainsi que sa limite en  . 3. En déduire que l’équation (E ) admet une solution et une seule dans IR . PARTIE B Pour chaque n  a p , on note xn la solution de l’équation (E ). On définit ainsi une suite

 xn nr , où r est le plus petit entier strictement supérieur à

ap .

1. Montrer que, pour tout entier n  r et tout réel x  0 , f n1 ( x)  f n ( x ) . En déduire que la suite  xn nr est décroissante.

2. Soit c un réel strictement positif quelconque. Montrer que, pour chacun des entiers k, c  ank  est convergente. Quelle en est la limite ? 1  k  p , la suite  n     f n (c)  est convergente. Quelle 3. Déduire de la question précédente que la suite  n 

 

en est la limite ? 4. Montrer qu’il existe un entier m tel que 0  f n (c)  1 . En déduire que, pour tout n  m , xn  c . 5. Déduire de ce qui précède que la suite  xn nr admet 0 pour limite. 6. Montrer que la suite  xn ln n nr admet lnp pour limite.

BAREME : Exercice I : 1: a) 1pt, b) 1.25pt 2: a) 1pt, b) 1pt, c) 0.5pt 3: a) 0.5pt, b) 0.5pt, c) 0.25pt. Exercice II : 1: a) 1pt, b) 0.5pt 2 : (1+0.5)pt Problème : Partie A : 1. 1.5pt 2. 1.5pt 3. 0.5pt Partie B : 1. 2pts 2. 1pt 3. 1pt 4. (0.5+1)pt 5. 1pt 6. 1pt