1ère S Équations Et Inéquations Irrationnelles PDF [PDF]

Zitiervorschau

Équations et inéquations irrationnelles

Cours 1 On s’intéresse aux équations de la forme

A x  B  x .

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété  Énoncé : a et b sont deux réels. a  b si et seulement si a  b 2 et b  0.

 Démonstration : Sens direct : a b.

On suppose que

On peut alors en déduire deux informations :

 a

2

 b 2 soit a  b 2 .

b0 Sens réciproque : On suppose que a  b 2 et b  0.

a  b 2 donc Or b  0 donc

a  b 2 soit

a b.

a b .

II. Exercices Résoudre dans  les équations suivantes : 1  x2  x

(1) ;

x 2  5  x  1 (2) ; x2  5x  3  2 x  1

(3).

Solutions :

(1) est successivement équivalente à :

1  x 2  x 2 et x  0 2 x 2  1 et x  0 x2 

x

1 et x  0 2 1

2

Soit S1 l’ensemble des solutions de (1).  1  S1     2

(2) est successivement équivalente à :

x 2  5   x  1 et x + 1  0 2

x 2  5  x 2  2 x  1 et x  – 1 2 x  4 et x  – 1 x  2 et x  – 1

Soit S 2 l’ensemble des solutions de (2). S 2  2

(3) est successivement équivalente à :

x 2  5 x  3   2 x  1 et 2x + 1  0 2

x 2  5 x  3  4 x 2  4 x  1 et x   3x 2  x  2  0 et x  

1 2

1 2

polynôme du second degré ( x  1 ou x 

2 1 ) et x   3 2

x 1

Soit S3 l’ensemble des solutions de (3). S3  1

Cours 2 On s’intéresse aux équations de la forme

A x  B  x .

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété  Énoncé : a et b sont deux réels quelconques a  b si et seulement si a  b et b  0.

 Démonstration : Sens direct : a b.

On suppose que 2

On a alors

 a   b

2

soit a  b .

De plus b  0. Sens réciproque : On suppose que a  b et b  0. On a alors a  0. De plus, on peut écrire

a b.

On retiendra : a  b si et seulement si a  b et b  0 si et seulement si a  b et a  0

II. Exercices Résoudre dans  les équations suivantes : x2  1  x

(1) ;

2 x  1  x  1 (2) ; x2  3  x  2

(3).

Solutions :

 (1) est successivement équivalente à :

x 2  1  x et x  0 x 2  x  1  0 et x  0  1 5 1 5  ou x   x   et x  0 2 2   1 5 x 2 Soit S1 l’ensemble des solutions de (1).

1  5  S1     2 

 (2) est successivement équivalente à : 2 x  1  x  1 et x + 1  0 x  2 et x  – 1 x2

Soit S 2 l’ensemble des solutions de (2). S 2  2

 (3) est successivement équivalente à :

x 2  x  1  0 et x  – 2

Considérons le polynôme x 2  x  1 e . Son discriminant est    3 .

donc le polynôme x 2  x  1 n’admet aucune racine dans . Soit S3 l’ensemble des solutions de (3). S3  

0

Cours 2' On s’intéresse aux équations de la forme

A x   B  x .

On va utiliser pour cela une propriété.

I. Propriété  Énoncé :

a et b sont deux réels quelconques a   b si et seulement si a  b  0 .

 Démonstration : Quasiment évidente.

II. Exemples

Cours 3 Équations avec plusieurs radicaux x  2  3x  5  1

(1)

2  x  3 x  5  1

(2)

2 x  x  1  2x  3 1

(3)

x x  x x  2

(4)

Cours 4 Inéquations irrationnelles I. Inéquations de la forme

A x  B  x

 Règle : a et b sont deux réels quelconques a  b a  b si et seulement si  . b  0

 Exercices d’application : Résoudre dans  les inéquations suivantes : 2 x 1  x  4

(1)

2 x 1  4  x

(2)

(1) est successivement équivalente à : 2 x  1  x  4  x  4  0  x  3  x  4 x4

Soit S1 l’ensemble des solutions de (1). S1   4 ;  

(2) est successivement équivalente à : 2 x  1  4  x  4  x  0 3 x  5  x  4

5  x  3   x  4 Soit S 2 l’ensemble des solutions de (2).

5  S2   ; 4 3 

A x  B  x

II. Inéquations du type  Règle :

a et b sont deux réels quelconques. b  0 a  b si et seulement si  2 a  b

 Exercice d’application : Résoudre dans  l’inéquation

2 x  x4

(1) est successivement équivalente à :  x  4  0  2 2  x   x  4 

x  4  0 ou  2  x  0

 x  4  2 2  x  x  8 x  16  x  4  2  x  9 x  14  0

 x  4 ou  x  2

ou x  4

Considérons le polynôme x 2  9 x  14 . Ses racines sont – 2 et – 7.

(1).

b  0 ou  . a  0

(1) est successivement équivalente à :  x  4  7  x  2 4  x  2

ou x   4 ou x   4

Soit S l’ensemble des solutions de (1). S    ;  2 

A x  B  x

III. Inéquations du type  Règle :

a et b sont deux réels quelconques.

a  b 2  a  b si et seulement si a  0 . b  0 

 Exercices d’application : Résoudre dans  les inéquations : x  3  x 1 x2  2 x  3  2 x  1

(1) (2)