102 równania różniczkowe I rzędu z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku 8392273362 [PDF]

Zitiervorschau

W

M - u

.

M

Biblioteka Politechniki Poznańskiej W A A h o a s Biblioteczka Opracowań M atematycznych

102 równania różniczkowe I rzędu z pełnymi rozwiązaniami krok po k r o k u . _____ ZESZYT 3 M ateriały Pomocnicze do N auki dla Studentów Biblioteczka O pracow ań M atematycznych

W ydawnictwo Bila £

Biblioteczka Opracowań Matematycznych ISBN 83-922733-6-2

W / M h 023 Copyright © by Wydawnictwo Bila Wszystkie prawa zastrzeżone Printed in Poland w y p o ż y c z a ln ia sk ry p tó w

W

muox%

Wydawnictwo Bila & ul. Krajobrazowa 1/7 3 5 -1 2 4 Rzeszów, Tel: 608-503-856 e-mail: wydawniclwo_bilara)poczta.fin

X O O &

iL /)5 5

Biblioteczka Opracowań Matematycznych Spis treści Tabela przewidywań całek szczególnych dla równań I rzędu................ 4 1. Przegląd pojęć........................................................................................... 5 2. Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych.............. 7 3. Równania jednorodne..............................................................................18 4. Równania liniowe.................................................................................... 24 5. Równania Bemoulli’ego.......................................................................... 33 6. Równania różniczkowe rodziny linii....................................................... 41 7. Równania Clairauta i Lagrange’a ............................................................ 44 8. Równania Riccatiego............................................................................... 50 9. Równania zupełne.................................................................. 52 10. Czynnik całkujący................................................................................. 54 11. Różne równania różniczkowe I rzędu.................................................... 56

Bibliografia: 1/ Bieńko. W; O równaniach różniczkowych, PZWS, Warszawa, 1972. 2/ Krysicki. W, Włodarski. L: Analiza matematyczna w zadaniach, cz. II, PWN, Warszawa, 1987. 3/ Minorski. W: Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, Warszawa. 1969. 4/ Otto. E; Matematyka - podręcznik dla inżynierskich studiów zawodowych, tom. III, PWN, Warszawa. 1971. 5/ Szałajko. K; Matematyka, t. II. PWN, Warszawa 1985.

Biblioteczka Opracowań Matematycznych Dla równań liniowych niejednorodnych można stosować metodę przewidywań wg poniższych zasad: Niech równanie liniowe niejednorodne ma postać: ^ - + P(x)y = f( x ) ax Postać funkcji f(x) 1/ Wielomian W t(jc) 2/ Aetx

Postać funkcji przewidywanej Wielomian

gdzie k e R

Ae*

3/ W„(x)eb

Wn(x)

lub

W/n+1(x)

lub (Ax+B)ekl

ir „ (^ lub w . t A x V ' Acosfix + £sin fix lub (Ax +C )cos fix +(Bx + £>)sin fix

4/ A cos fix + B sin fix

(F (j)cos fix + Wm(_r)sin fix lub ^«.i(^)cos fix + ^„..(jfjsin fix

51 iPn(.v)cos (ix + ITn(x)sin fix

6/ Suma lub iloczyn funkcji wymienionych w punktach 1-5

Suma lub iloczyn funkcji przewidywanych w punktach 1-5.

Tabela przewidywań dla równań liniowych niejednorodnych I rzędu.

-4 -

Biblioteczka Opracowań Matematycznych 1. Przegląd pojęć Całka ogólna - funkcja y =f(x, C) zmiennej niezależnej x e (a, b) i dowolnej stałej C, która przy każdej ustalonej wartości C spełnia równanie różniczkowe. Całka ogólna jest więc jednoparametrową rodziną krzywych całkowych równania. Całka szczególna - funkcja y = '= J * (i+ x )ix A. zatem:

1 y 2' = -1x 3 +—x 1 2 +C ~ -1y 3 + —

Odrzucone wcześniej równania y = 0 oraz y = -1 nie są rozwiązaniami równania ponieważ nie należą do dziedziny rozwiązań równania.

Biblioteczka Opracowań Matematycznych dp 14/ Dane jest równanie różniczkowe adiabaty — v+Ap = 0 gdzie: v - objętość, p - ciśnienie, k - stała dla pewnego gazu. Wyznaczyć równanie adiabaty. Rozwiązanie: Rozwiązanie zadania sprowadza się do rozwiązania równania różniczkowego. — v + kp = 0 dv

dp

— v = -* p d\’

i ’

v =. k ± [

n

v

’

f = . ( e dv

J p

J v

stąd otrzymujemy:

ln|/?| + ln|C| = -k lnjv| czyli lnj/?v*| = ln|C| Ostatecznie otrzymujemy równanie adiabaty: pvk = C 15/

ey (l +

X 1 )—

dx

-

2 .t( l +

)= 0

ey(\ + x 2) ^ = 2.v(l +ey)/(l + x 2\\ +ey)

1+e

l +x x

ln|l +ey\ = ln|l + ;r | + ln|C|

Ostatecznie: l + e y = c ( \ + x 2) 16/ Wyznaczyć przebieg zmian natężenia prądu i —f(t) w obwodzie zawierającym dławik o oporze rzeczywistym R ~ 0 i oporze indukcyjnym toL » R. W obwód włączono także źródło prądu zmiennego o napięciu u - U sin to t vr chwili „t=0 ”. Rozwiązanie: Funkcja i =f(t) spełnia równanie różniczkowe: t di ... L — = U sin tul dt u Rozdzielając zmienne otrzymujemy: di = Y s'n • Ostatecznie: ^. i =---- cost tu + C

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

Ul

dy , 2 dy y - x — = \+ x — dx dx

± ( - e - x) = t- y dxy ’ f dy Jl_v 'i ~ y

Założenia: 1 - y ^ 0, x ^ 0, x ^ -1. r dx J _ r 2_.

- ln|l - y) = - ln|jrj + ln|x + 1| + ln|C| Pomocniczo wyznaczono całkę dla prawej strony równości:

' / ^ 0 =- i f + ^

=- taW+ln|):+l|+ln|c|

Uporządkujmy ostatecznie rozwiązanie:

H =c

IM M I

y = 1jest całką równania ponieważ po podstawieniu do wyjściowego równania y = 1 oraz y’ = 0 otrzymujemy równość. 18/ Wyznaczyć przebieg zmian pobieranej energii L = F(t) od czasu t przez odbiornik, którego moc była wprost proporcjonalna do sin* 3t. Rozwiązanie: Opisana zależność przebiega wg równania: f dL . i . 2 . L = - k 2 t — sin 6/ + C — = k ~sin 31 dL = k 2sin231 Stąd: dt 2 6 19/ —

(•v-l)(v2-} ' + l)- (y + l ) ( r + i + l ) - = 0 dx

Jy ' - y + 1

-dx J X +X + 1

2x-2

dx - \ ~ ~ - 2 d y = -[ 2 *x 1 + x +1 2 ]y - y + \

1 f2x + l - 3 2 i y 2- y + l

2 s x +.v+l

Po rozbiciu obydwu całek i przeniesieniu: 11 i 2 .i 1 1 i2 3 r dx 3 r d dy — lny - y + 1— l n x + x + l i!= — —=-----------—:—: 2 r ' 1 9 I I 2 J x2+x+1 2 Jy 2- y + l -

13

-

dx

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

(Dwie ostatnie całki otrzymano poprzez sprowadzenie obydwu funkcji do postaci kanonicznej i odpowiednie podstarzenie).

Ostatecznie zapiszemy:

j+

21/ Napisać równanie linii przechodzącej przez punkt (2,3) o takiej własności, że każdy odcinek stycznej do linii zawarty między osiami układujest dzielony na połowy przez punkt styczności. Rozwiązanie: Równanie odpowiadające tej zależności jest następujące:

ln|y| + ln|x| = ln|C|

Ostatecznie: Xy = 6

22/

— = cos y dx Założenie: cos y ^ 0, y j nJ2 ± krc.

(Całkę tę zttajdzie czytelnik w wielu podręcznikach. Można np. podstawić: cosy = sin (n/2+x)). Po obliczeniu całki otrzymujemy: z def. In (x) - 14-

Biblioteczka Opracowali Matematycznych Ostatecznie: y = larctgCe* —— 23/ Szybkość chłodzenia dT ciała w pewnych warunkach jest wprost propor­ cjonalna do różnicy temperatur T -T u , przy czym jako T —oznaczono temp. ciała a jako To—oznaczono temperaturę otoczenia. Wyznaczyć przebieg zmian temperatury ciała Tjako fimkcję czasu t. Współczynnik proporcjonalności „ k ” nie zależy od czasu. Rozwiązanie: Zapiszmy zmiany temperatury w czasie przy pomocy równania: dT , / \ i ostatecznie po obustronnym ~dt~ ( ~ stąd T - T r

f~ = W '

scałkowaniu otrzymamy: T = C ekl +T0 m dy dx i-F — idx y jl-y 2 Pomocniczo obliczamy całkę po lew'ej stronie: ~-dt I = —=t — \d y = d t dy = — \ d t = [— i----- = -

y

y

J i /r^ T

‘

= - lnl/ +J t2 = -ln

A zatem: ln

y

= x +C

Ce1 =

1 25/

2 dy y = x T T +y dx Założenia: x ^ 0, y t 1, y ± 0. y 2- y = x ^ l x y ( y - 1) dx ^

- łn|y) + ln|y - 1| = ln|x| + ln|C| - 15-

In y - 1 = ln|Cxj

y

V

y

Biblioteczka Opracowań Matematycznych Stąd:

y

-1

= Cx

Sprawdźmy jeszcze czy y = Ooraz y = 1 są całkami równania. Ponieważ dla y = 0 , y’ = 0 równanie wyjściowe jest spełnione. Podobnie dla y = 1, równanie wyjściowe jest spełnione. A zatem proste y = 0 oraz y = 1 są całkami równania. 26/ , , , — dy i y ~ ]+x'y dt_ dx x 2 x - t dy dx Zastosujemy podstawienie: y = — dx x dt 1 11+ X 2—T1 dt l+ t1 j . t cbc t X + r J) ~T+ — x ^ " T " ' x~ x~ X X* x* 2 Rozdzielamy zmienne, otrzymując: C dt (■xdx arctg(t) = arctg(xy) =— +C f r2 ^ 4 yx = tg — +C stąd y = -xt g V. 4 27/ Rurka o stałym przekroju S i długości /, szczelnie zamknięta, wy-pełniona jest gazem o ciśnieniu p. Wyznaczyć przebieg zmian ciśnienia wzdłuż rurki, jeżeli zamocowana prostopadle do osi obrotu będzie obra-cała się w płaszczyźnie poziomej ze stałą prędkością kątową co. Masa gazu zawartego w rurce jest równa M. Rozwiązanie:

4-1

dp M co1 — = ------- px dx łs p0

^ - ^ —-arxdx , p0\n\p\ =

Mar lis

Okazuje się, że zmiany ciśnienia wzdłuż rurki będą przebiegały zgodnie z poniższą zależnością o charakterze wykładniczym: Mm1 , -----—x ‘

p = e ~ p° s

gdzie x -jest odległością gazu od osi obrotu. 16-

Biblioteczka Opracowań Matematycznych 28/ xy2 + { y - x 2y )— = O ax

i

Założenia: x ^ 0 , y 4- 0. Podzielmy równanie przez xy:

K H f =0

Rozdzielamy zmienne: C t/>c x