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Zitiervorschau

CH V

Dynamique des Fluides Réels

1 - Généralités Etudier l’écoulement d’un fluide réel revient à résoudre l’équation de Navier-Stokes. Mais en pratique, cette équation ne peut se résoudre analytiquement qu’en posant des hypothèses simplificatrices.

Notamment, on va devoir distinguer deux grands types d’écoulement : en régime laminaire ou en régime turbulent colorant

laminaire

transitoire

turbulent

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LA TURBULENCE

Quand l’écoulement d’un liquide est le siège de multiples tourbillons, on dit que cet écoulement est turbulent. Au contraire si l’écoulement semble se faire de manière bien parallèle, on parle d’écoulement laminaire.

CH V - Dynamique des Fluides Réels y

M

M

z x

wM

wM laminaire

turbulent t

En régime laminaire, on pourra généraliser l’équation de Bernoulli en introduisant la notion de pertes de charge dues à la viscosité.

t

En régime turbulent, on devra utiliser des relations empiriques généralement déterminées expérimentalement

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Comment caractériser le régime d’un écoulement ?  c’est le résultat des travaux d’Osborne. Reynolds : Il a réalisé une étude systématique du régime d’écoulement en fonction des différents paramètres intervenant dans le problème : débit, viscosité, géométrie de la conduite... Il a ainsi montré que la transition du régime laminaire au régime turbulent ne dépend pas séparément de chacun des paramètres mais d’une seule grandeur les regroupant tous.  le nombre de Reynolds

vD vD Re      : masse volumique []=M.L-3  : viscosité []=M.L-1.T-1  : viscosité cinématique []=L2.T-1 [v]=L.T-1

v : vitesse D : diamètre [D]=L

[Re]=0

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 Le nombre de Reynolds est donc une grandeur sans dimension.  La transition d’un régime laminaire à un régime turbulent s’observe pour Re  2000 = Rec (nombre de Reynolds critique) laminaire 0

turbulent Rec

Re

On peut étendre le domaine où le régime est laminaire au delà de Rec, à condition de prendre certaines précautions (éviter les perturbations)

 En tout état de cause, on sait que l’écoulement est laminaire si son nombre de Reynolds est inférieur à 2000 (quelles que soient les perturbations subies par le système).

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2 - Ecoulement laminaire & Pertes de charge régulières Partons de l’équation de Navier-Stokes obtenue pour un fluide newtonien incompressible :

Pour un écoulement stationnaire, on a :

0

D’où :

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 ( p   gz 

1 2

   v )   v  2  v 2

Projetons cette égalité vectorielle le long d’une ligne de courant :

0 //

Puis projetons sur chacun des 3 trois axes d’un repère cartésien :

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Soit :

Supposons alors que l’écoulement laminaire s’effectue suivant l’axe x. Dans ces conditions, on a :

et si on pose : charge (pression totale)

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0

0

Mais d’après l’équation de continuité :

 Cte ( x, y , z )

D’où :

Pt fonction de x

fonction de y et z

On peut en déduire que la charge varie linéairement avec la distance parcourue par le fluide. on peut déjà supposer que que la charge diminue avec la progression de l’écoulement.

x

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Pt

Pt1  Pt 2  Pt

Pt1

Pt

Pt2

x2

x1

 p1   gz1 

1 2

x

v12  p2   gz2  12 v22 

pression totale en (1)

pression totale en (2)

dPt ( x2  x1 ) dx

perte de charge régulière

Il reste alors à caractériser le gradient de pression totale

.

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3 - Ecoulement de Poiseuille Considérons l’écoulement laminaire d’un fluide dans une conduite cylindrique, de rayon R, posée à l’horizontale : z

r



y x

Dans ces conditions, on peut écrire :

Par ailleurs, l’équation de continuité impose : 0

0

Et la géométrie du système est telle qu’il y a symétrie de révolution : Donc, finalement :

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Par conséquent, le Laplacien s’exprime comme :

0

0

Et il s’en suit :

 C te  A fonction de x

fonction de r

Il est alors possible d’en déduire le profil de vitesse v(r) par simple intégration :

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Constantes à déterminer à l’aide des conditions aux limites

Au contact des parois de la conduite, en r = R, le fluide est immobile :

Sur l’axe de la conduite, en r=0, la vitesse est nécessairement de valeur finie :

D’où :



et

v(r )  

A (R2  r 2 ) 4

profil de vitesse parabolique

R x

Remarque : pour avoir v(r)>0  r