DM - Logique Combinatoire - Corrigé [PDF]

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Devoir libre – Systèmes combinatoires Exercice 1 : Ecrire les équations booléennes de L et de S correspondant aux tables de vérité ci-dessous. Simplifier ensuite algébriquement ces équations. a

b

c

L

e

f

g

S

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

L=/a/bc+/ab/c+a/b/c+ab/c+abc L=/a/bc+/ab/c+a/b/c+ab(c+/c) L=/a/bc+/ab/c+a(b+/b/c) L=/a/bc+/ab/c+a(b+/c) L=/a/bc+/ab/c+ab+a/c L=/a/bc+b(a+/a/c)+a/c L=/a/bc+b(a+/c)+a/c

1

1

0

1

1

1

0

0

L=/a/bc+ab+b/c+a/c

1

1

1

1

1

1

1

1

S=/e/f/g+/ef/g+/efg+e/f/g+e/fg+efg S=/ef(/g+g)+eg(f+/f)+/f/g(e+/e)

S=/ef+eg+/f/g

Exercice 2 : Construire les tables de vérité (entrées a, b, c) correspondant aux expressions booléennes suivantes : X  ( a  b ).(b  c )  ab  ac  bb  bc  ab  ac  b  bc  ab  ac  b  b  ac a b c X Y Z Y  a  ab  abc  a  abc  a Z  ( a  a ).(b  b ).( c  c )  1

Exercice 3 : Ecrire l’équation logique réalisée par les circuits ci-dessous  :

T

NOM :

Prénom :

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 1 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1

U

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T  a.(b  c ).( d .e ) U  ( a.b  c.d ).e Exercice 4 : Proposer un logigramme le plus simple possible permettant de représenter chaque équation logique suivante  :

S1  a.b  c.d  e. f S 2  a.(b  c )  d .e

Exercice 5 : Ecrire l’équation logique issue des tableaux de Karnaugh suivants  : L1 a b L2 00 01 11 10 00 c

0 1

0 1

0 1

1 1

0 1

L1  a.b  c

c

0 1

0 1

a 01

b 11

10

0 1

1 1

1 1

L2  a  c

EXERCICE 6 : BRULEUR A FIOUL : Le chauffage des pièces d’un appartement est réalisé à l’aide d’un brûleur à fioul B. Le brûleur fonctionne dans les conditions suivantes :

NOM :

Prénom :

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Devoir libre – Systèmes combinatoires   

NOM :

Si on appuie sur un bouton marche m Si la température des pièces est inférieure à 20°C : détection par un thermostat th. Si la température de l’eau du circuit est inférieure à 50°C : détection par une sonde thermique e.

Prénom :

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Devoir libre – Systèmes combinatoires Le fonctionnement du thermostat est de la sonde sont les suivants :  Tant que la température est supérieure à celle indiquée, e et th sont dans l’état logique 0.  Dès que la température est en dessous des niveaux donnés, e et th passent à l’état 1.

Travail demandé :    

Etablir la table de vérité du brûleur Etablir le tableau de Karnaugh du brûleur En tirer l’équation simplifiée de B Réaliser le schéma à contacts de B simplifiée

m

th

e

B

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1

B=e+th+m

EXERCICE 7 : DISTRIBUTEUR DE BOISSONS : L’appareil décrit ci-contre comporte 3 cuves contenant du cassis, de l’eau et de la menthe. Trois boutons e, m, c commandent 3 électrovannes E, M, C. Un appui sur un bouton m permet d’obtenir de la menthe à l’eau, un appui sur c du cassis à l’eau et un appui sur e de l’eau pure. Une pièce est nécessaire pour obtenir une boisson à la menthe ou au cassis. L’introduction d’une pièce dans l’appareil actionne un contact p. L’eau pure est gratuite.

NOM :

Prénom :

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Devoir libre – Systèmes combinatoires Le déclenchement d’un bouton quelconque e, m, c ou l’introduction de la Si la temporisation arrive à son terme avant qu’un choix cohérent ait été fait, cette pièce est rendue (fonction R de restitution). La pièce est également rendue en cas de fausse manœuvre. Une impulsion sur m ou sur c immédiatement suivi d’un appui sur e avant la fin de la temporisation ne provoque pas de dysfonctionnement et l’appareil fournit suivant le cas une boisson à la menthe ou au cassis.

Travail demandé : 

Déterminer les variables d’entrée  e

–m–c-p Déterminer les variables de sortie  E – M – C – R

  

Etablir la table de vérité des sorties en fonction des entrées En déduire les équations logiques des sorties

E=/e/mcp+/em/cp+e/m/c/p+e/m/cp+e/mcp+em/cp M=+/em/cp+em/cp C=/e/mcp+e/mcp R=/e/m/cp+/emcp+e/m/cp+emcp  

Construire ensuite le tableau de Karnaugh de chaque sortie En tirer les équations simplifiées des sorties E

M

E=e/m/c+m/cp+/mcp

M=m/cp

C

R

C=/mcp

R=/m/cp+mcp

NOM :



Prénom :

Tracer le schéma à contacts de chaque sortie simplifiée

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Devoir libre – Systèmes combinatoires EXERCICE 8 : REMPLISSAGE D’UN CAMION : Pour remplir un camion de sable on utilise deux trémies A et B placées au-dessus d'une balance pour poids lourds. Un camion vide vient se placer sur la balance puis l'opérateur appuie sur un bouton poussoir S0 pour mettre en marche le remplissage. Dès que le camion est plein la balance fait passer à l'état 1 le signal logique S1. L'opérateur doit appuyer sur S0 pendant toute la phase de remplissage ; si on relâche S0 ou si le camion est plein le remplissage s'arrête automatiquement. Le remplissage doit se faire en utilisant la plus remplie des deux trémies ou les deux ensembles si leur poids est identique.

A

A0 A1

B

B0 B1

S0 S1

Les trémies peuvent êtres remplie à tout moment, indépendamment du reste du fonctionnement, et le système doit réagir en conséquence. Les deux trémies A et B sont montées sur un système de pesage qui donne le poids de sable en tonnes codé sur deux bits. Pour la trémie A, les deux bits A1 et A0 valent respectivement :  0 et 0 s'il y a moins d’une tonne de sable,  0 et 1 s'il y a entre une et deux tonnes de sable,  1 et 0 s'il y a entre deux et trois tonnes de sable et  1 et 1 s'il y a plus de trois tonnes de sable. La trémie B possède le même système de pesage avec les deux bits B0 et B1. L'ouverture des trémies est commandée par deux trappes TA et TB.

Pesage des trémies :    

Le système de pesage des trémies est composé de trois capteurs P0, P1 et P2. Si la trémie contient moins d’une tonne de sable, aucun capteur n'est actionné ; Si la trémie contient entre 1 et deux tonnes de sable le capteur P0 est actionné ; S'il y a entre deux et trois tonnes de sable P0 et P1 sont actionnés ;

P0 P1 P2

 S'il y trois tonnes ou plus de sable P0, P1 et P2 sont actionné. A partir de ces trois capteurs on code le poids de la trémie sur deux bits A0 et A1.

Travail demandé : 

Donner l'équation d’A0 et A1 en fonction de P0, P1 et P2. L’équation d’A0 et A1 sera déterminée en établissant pour chaque bit sa table de vérité puis l’équation sera déduite par les tableaux de Karnaugh.

A1=P1

NOM :

Prénom :

A0=P2+P0/P1

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Devoir libre – Systèmes combinatoires 

En respectant le fonctionnement du système, donnez en les justifiants les équations de TA et TB en fonction de A0, A1, B0, B1, S0 et S1.

A1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

A0 Poids B1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 2 0 0 2 0 0 2 1 0 2 1 1 3 0 1 3 0 1 3 1 1 3 1



TA=(A1.A0+/B1.A0+/B0.A1+/B1.A1+/B1./B0).S0./S1



TB=(/A1./A0+B1./A0+B0./A1+B1./A1+B1.B0).S0./S1

NOM :

B0 Poids TA TB 0 0 1 1 1 1 0 1 0 2 0 1 1 3 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 2 0 1 1 3 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 2 1 1 1 3 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 2 1 0 1 3 1 1

TA

TB

TA=A1.A0+/B1.A0 +/B0.A1+/B1.A1+/B1./B0

TB=/A1./A0+B1./A0 +B0./A1+B1./A1+B1.B0

Prénom :

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