Directii in logica contemporana [PDF]

Zitiervorschau

II

���

În logica· contemporană

COLECŢIA INGRIJITA DE PROF. DR. GH. ENESCU

P. BOTEZATU

•

s.

T.

D IMA . P. BIELTZ • VIERU • GH. ENESCU

Directii În logica contemporană EDITURA

ŞTIINŢIFICĂ

•

BUCUREŞTI, 1974

COPERTA COLECŢIEI VASILE SOCOllUC

PREFAŢĂ

Lucrarea de faţă, aşa cum o arată şi titlul Direcţii în logica contemporană, are ca scop să prezinte cititorului o serie de rezul­ tate ohtinute în cercetarea diferitelor teme fundamentale ale · logicii contemporane. Studiul Silogistica nouă (P. Botezatu) se opreşte asupra modului în care a evoluat, în urma dezvoltării logicii matematice, cea mai veche teorie logică - silogistica. Această temă considerată multă vreme exclusiv de competenţa logicii tradiţionale este acum pe deplin integrată cercetărilor moderne. Suh influenţa celorlalte teorii logice cadrul tematic al silogisticii s-a dezvoltat mult, astfel că dintr-o ramură închisă şi aparent definitivată (cum o credea şi I. Kant) ea a devenit un domeniu logic deschis progresului. Cititorul interesat ar putea gîndi el însuşi asupra unei probleme dificile rămasă nesoluţiona­ tă - silogistica cu termeni vizi, sau asupra semanticii acestei teorii. T. Dima ne oferă în Controversele inducţiei o trecere în revistă asupra discuţiilor şi rezultatelor dohîndite Într-o sferă de ase­ menea traditională pentru logică - inductia. Si aci Înnoirile si problemele �par la tot pasul atît sub infl�enţ � celorlalte teorii logice cît şi sub influenţa neceSităţilor puse de o serie de ştiinţe şi domenii speciale de gîndire. Deşi mai cunoscută, logica poli­ valentă este prezentată de P. Bieltz din unele unghiuri de vedere mai noi. Se insistă asupra raporturilor metateoretice cu logica bivalentă, problemă încă insuficient clarificată şi la rezolvarea căreia cititorul interesat va fi stimulat să-şi aducă contribuţia. Mai restrînsă ca dezvoltare şi chiar prin natura ei, tema Semantica lumilor posibile (S. Vieru) ne pune la curent cu un 5

concept ("lume posibilă") care în ultima vreme ocupă un loc tot mai important în cercetările logice. S-ar putea spune că valoarca metodologică a acestui concept ( de provenienţă leibniziană) se impune cu mult dincolo de cadrele logicii, de ex. în disciplinele cu caracter pragmatic (dr eptul , etica, estetica ş.a.). O încercare de a dezvălui raporturile mai strînse Între logica mate matică şi logica limbajului natural se face în studiul nostl'U Cîteva probleme ale logicii moderne. Mai întîi de toate (şi cu precădere) este destul de pe larg prezentată teoria cuantori­ lor derivaţi. Extrem de importantă pentru dezvoltarea analizei logice în aria unor discipline care sînt la începutul constituirii lor teoretice, expunerea asupra cuantorilor d erivaţi poate fi un stimul pentru adîncirea analizei logice a limbajului natural şi în alte directii. ' În acelaşi studiu. sînt semnalate două p robleme s p e ci ale. a nalogi a operatorilor (ceea ce s-ar p utea int e gr a într-o teorie generală a operatorilor logicii) şi problema supoziţiilor tacite cu care operează gîndirea în limbajul natural. Ultima temă are o de�sebită importanţă pentru dezvoltarea dialogului logic. In totalitatea lor, studiile se adresează nu numai c elor care învaţă sau cercetează în sfera logicii ci şi acelor cat e gorii de citi tori care doresc să-şi perfecţioneze capacitatea de analiză logic ă Sau s ă filozofeze asupra logicii contemporane. În ajutorul tuturor va veni expunerea clară, accesibilă pe care autorii s-au străduit s-o dea studiilor pre ze nt ate. Prof. univ. dr. GHEORGHE ENESCU

P. Botezatu

SILOGISTICA NOUĂ

1.

PRELIMINARII

în pl"Îmul moment al afirmării logicii matematice, s-a declan­ şat un conflict tăios Între apărătorii logicii vechi şi susţinătorii logicii noi. Silogistica, drept piesa centrală şi reprezentativă a logicii tradiţionale, a avut în pI'imul rînd de suferit din pricina acestei atitudini exclusiviste. Treptat Însă a început să se insta­ leze un climat de Înţelegere reciprocă. În această nouă atmosferă, silogistica a fost "adoptată " de către logicienii moderni, consi­ del';ltă ca o teorie remarcabilă, care merită să fie supusă unui studiu atent, folosind uneltele puternice de investigaţie ale logicii simbolice. S-a ajuns astfel la s itu aţia că astăzi avem la dispoziţie o literatură bogată asupra silogisticii tratată modern, care se supune cu greu efortului de sinteză. În mulţimea cercetărilor moderne de silogistică se face simţită acţiunea a două aspiraţii, oarecum opuse. Unii logicieni sînt preocupaţi de traducerea cît mai adecvată a silogisticii aristote­ lice în limbajul logicii moderne, ceea ce se numeşte formalizarea silogisticii. La polul opus, acţionează tendinţa de extindere a si­ logisticii, de dep ăşire cît mai ambiţioasă a cadrului aristotelic. Pe lîngă acestea, se manifestă şi impulsul de a descoperi noi meto­ de de decizie pentru silogistică. Aceste trei aspecte ale silogisticii moderne vor alcătui şi obiectul expunerii no astre . Aparatul matematic al logicii moderne s-a concretizat în mai multe instrumente simbolice , adaptate fiecare la complexitatea problemei. Pentru propoziţiile întregi, neanalizate, dispunem de calculul propoziţional. Dacă propoziţia este analizată, operîndu-se 7

cu componentele sale (subiect, predicat), trebuie să recurgem la calculul p r edicat elo r. Predicatele monadice (cu un singur argument) dau naştere calculului claselor, iar predicatele poliadice (cu mai multe argumente) configure ază calculul relaţiilor. Un model propoziţional, teoretic satisfăcător, al silogisticii nu a putut fi construit. Obstacolul cal'e se iveste tine de structura logică eterogenă a celor două sisteme. După c�m ;e ştie, silogistica este te oria logică a celor patru tipuri de propoziţii generale :

1. Propoziţia universal-afirmativă: toţi S sî nt P simholizată prin A ori SaP ori Aba; 2. Propoziţia universal-negativă : nici un S nu este P, în sim­ boluri E ori SeP or i Eba; 3. Propoziţia particular-afirmativă: unii S sînt P reprezentată p rin 1 ori SiP ori Iba; 4. Pr op o zi ţi a particular-negativă: unii S nu sînt P simboli­ zată prin O ori SoP ori Oba. Se observă cu uşurinţă că diferenţa dintre aceste propozlţn depinde de structura propoziţiei şi că propoziţiile respective sînt cuantificate ( " toţi" , "unii"). Aceste a sînt aspecte logice care de­ păşesc calculul propoziţiilor şi aparţin calculului predicatelor1• Dar, aşa cum am specificat, În cadrul logicii predicatelor, dispu­ nem de mai multe limbaje formalizate. În consecinţă, vom avea de studiat modele predicative, modele c lasi ale ŞI modele relaţionale ale silogisticii. II. MODELE CLASIALE 1. Proprietăţi şi clase

Începem expunerea noastră cu p re zentarea modelului clasial al silogisticii, deoarece impresia generală este că logica aristoteli' �( că a fost gîndită de la început ca o logică a claselor. În enuntul ' toti S sînt P, calitatea de clasă a lui S este clară, în timp ce natu�'a lui P rămîne ambiguă. în interpretarea inten­ sională (în conţinut) se Înţelege că clasa S posedă proprietatea P, ca în exemplul toate smaraldele sînt verzi. Cînd Însă afirmăm 1 S-a demonstrat că functorii silogisticii (A, E, 1, O) nu sînt funcţii de adevăr şi că deci nu pot fi exprm i aţi prin functori propoziţionali (im­ plicaţie, conjuncţie, disjuncţie etc.). v. t.M, B o chen ski, On the categorical

8

că toate smaraldele sînt p ietre preţioase adoptăm interpretarea extensională (în sferă) , considerînd că clasa S este inclusă În clasa P. Dar pentru a putea institui un calcul al claselor, se impune să operăm numai cu clase, cu alte cuvinte să generaIizăm interpre­ tarea extensională. Aceasta se poate realiza acceptînd principiul abstracţiunii, adică teza că orice proprietate determină o clasă, care astfel o poate reprezenta. în acest înţeles, toate smaraldele sînt 'verzi pri meşte sensul că toate smaraldele fac parte din clasa obiectelor verzi. Fireşte, odată cu aceasta, am impus limbajului comun o modificare semantică, ale cărei consecinţe ne vor stînjeni uneori. 2. Silogistica tradiţionala

Silogistica tradiţională cuprinde sistemul inferenţelor care se pot alcătui cu cele patru tipuri de propoziţii generale (A, E, 1 şi O). Aceste inferenţe sînt de două feluri : inferenţe imediate, Care se construiesc pe o singură premisă, şi inferenţe mediate, care dispun de două premise . În ceea ce priveşte numărul acestor inferenţe, acesta este în funcţie de anumite postulate, a căror acceptare intră în zona con­ troverselor. Teoria mulţimilor admite intervenţia mulţimii vide (nule), a aceleia care nu conţine nici un element. Se pot oferi cu uşurinţă exemple de noţiuni cu clasa vidă : pătrat rotund, număr prim şi par mai mare ca 2, astronauţii de pe planeta Marte etc. Discutabilă este doar opinia că noi operăm efectiv cu clasa vidă în gîndirea curentă. Aristotel p are să fi admis că toate clasele silogistice sînt nevide şi de aceea inferenţele sale suportă validi­ tatea numai în această ipoteză. Introducerea clasei vide modifică profund domeniul inferenţelor valide în sensul re strîngerii aces­ tuia. Amintim că a devărurile logice pot fi enunţate în două moduri : ca scheme de inferenţă, aşa cum se obişnuia în logica clasică, de pildă:

MaP SaM . ' . SaP� syllogism,

Dominican

Studies, 1, 1948, pp. 35-57 retipărit în A. Menne (ed.),

Logico-Philosophical Studies,

Dordrecht-HoIland, 1962, pp. 15-39.

2 Semnul " ... " se citeşte "deci". 9·

cu sensul: dacă sînt date propoziţiile iHaP şi SaitI (numite mise), este dată şi propoziţia SaP (numită concluzie) ; ca legi logice, în stilul logicii moderne, de exemplu:

pre­

(MaP.SaM) � SaP

cu înţelesul : dacă MaP şi SaM, atunci SaP. După cum se vede, pentru formularea legilor logice trebuie să folosim limbajul logici i propoziţionale. 1. Inferenţele imediate

A. Fără ter meni negativi 1 . Opoziţii SaP� -' SeP SeP� -' SaP SiP� S OP 22.3 22.4 -- SoP� SiP 22.5. SaP == -- SOP 22.6 -- SaP == SoP 22.7 S eP == - SiP 22.8 -- SeP == SiP 22.9 SaP� SiP 22.10 -' SiP� -- SaP 22. 11 SeP:) SOP 22.12 -- SoP� -' SeP

22.1

22.2

�

con trarietate sub contrarietate contradicţie "

contl'adicţie "

sub alternare sub alternare subalternare suhalternal'e

2. Conversiuni 22.13 22.14 22.15 22.16

SeP

==

PeS

conversiune simplă conversiune simplă conversiune accidentală subalternată

SiP == PiS SaP � PiS

SeP� PoS

B. Cu termeni

n

egat iv i

Negaţia termenilor se simbolizează prin bara deasupra terme­ nului : S, P. 1. Obversiuni 22.17 22.18 22.19 22.20 10

SaP

==

SeP

SeP

==

SaP

SiP

==

SoP

==

S oP SiP

obversiune obversiune ohversiune obversiune

22.21 SaP:J SoP 22 .22 SeP:J SiP

ohversiune subalternată "

2. Conversiuni obvertite 22.23 22.24, 22.25 22.26

SeP == PaS SiP == PoS SaP => PaS SeP => PiS

conversiune conversiune conversiune conversiune

obvertită obvertită ohvertită obvertită suhalternată

3. Contrapoziţii 22.27 22 .28 22.29 22.30 22.31 22.32 22.33 22.34

SaP == PaS SaP� PiS SeP � PoS SaP == Pa S SaP == PeS SaP => PoS SeP => As SoP == PiS

contrapoziţie contl"apoziţie contrapoziţie contrapo ziţie contrapoziţie

totală totală subalternată totală

totală pal'ţială suhalternată

"

"

"

"

4. Inversiuni

22.35 22.36 22. 37 22.38

SaP => SiP SeP => SoP SaP => SoP SeP => §ip

inversiune totală "

"

inversiune parţială "

"

II. Inferenţe mediate (silogisme fără termeni negativi) Silogismele se diferenţiază pe figuri, după poziţia termenului mediu, şi pe moduri, după calitatea şi cantitatea premiselor şi concluziei. l'"Figura

22.39 22.40 22.41 22 .4.2

1

flHaP.SaM) => SaP (ll!feP.SaNI) => SeP (MaP.SiM) => SiP (JYleP.SilVI) =:J SoP

Modurile AAA-1 EAE-1 AII-1 EIO-1

Barhara Celarent D arii Ferio 11

22.43 (MaP.SaM):J SiP 22.44 (MeP.SaM):J SoP 2. Figura 22.45 22.46 22. 47 22.48 22. 4 9 22. 5 0

22.51 22.52 22.53 22.54 22.55 22.56

22.57. 22.58 22.59 22.60 22.61 22.62

EAE-2 AEE-2 EIO-2 AOO-2 EAO-2 AEO-2

Cesare Camestres Festino Baroco Cesaro Camestrop

AAI-3

Da rapti

AII-3 EA O-3 OA O- 3 E10-3

D ati si

Felapton Bocardo Ferison

AAI - 4 AEE-4 IA1-4 EAO-4 E10-4 AEO-4,

Bramantip Camenes Dimaris Fesapo Fresison Camenop

3

(MaP.MaS)::) SiP (MiP.MaS) ::) SiP (MaP.MiS):J SiP (MeP.MaS):J SoP (MoP.MaS) :J SoP (MeP.MiS):J SoP

4. Figura

Barbari Celaront

2

(PeM.SaM):J SeP (PaM.SeM):J SeP (PeM.SiM):J SoP (PaM.SoM):J SoP (PeM.SaM):J SoP (PaM.SeM) :J SoP

3. Figura

AAI-I EA O- I

IAI - 3

Disamis

4

(PalYI.MaS):J SiP (PaM.MeS):J SeP (PiM.MaS):J SiP (PeM.MaS):J SoP (PeM.JYIiS) :J SoP (PaM.MeS) :J SoP

Dacă În silogistică admitem operaţia subalternării, atunci propoziţiile universale ( A şi E) sînt mai tari decît cele particu­ lare (1 şi O), propoziţiile particulare sînt mai slabe decît cele universale (de aceeaşi calitate). În consecinţă, Într-un mod valid, se poate substitui unei premise particulare (1 s au O) propoziţia universală de aceeaşi calitate (A s au E), obţinînd astfel moduri întărite, şi se poate substitui unei concluzii univel"sale (A sau E) propoziţia particulară de aceeaşi calitate (1 sau O), construind în acest chip moduri atenuate. Examinînd tabelul modurilOl" valide, constatăm că, din totalul de 24 moduri, numai 15 moduri nu sînt nici întărite, nici atenuate.

Celelalte 9 moduri se distribuie în aceste categorii după cum urmează: Modul originar

Modul

al

cărui mod Întărit este

Modul

al

cărui mod

atenuat

AAI-l EAO-l EAO-2 AEO-2

AII-l EIO-l EIO-2

EAE-l EAE-2

AOO-2

AEE· 2

AAI-3 EAO-3

IAI-3 sau AII-3 OAO-3 sau EIO-3

AAI-4 AEO-4

IAI-4

EAO-4

EIO-4

este

AAA-l

/ AEE-4

Se a trib uie În mo d ohişnuit silogisti cii aristotelice doar 19 moduri. î n această perspectivă sînt suprimate cele cinci moduri atenuate, considerÎndu-se că Înregistrarea lor ar fi superfluă. Aşa cum vom vedea, logica model'nă pune în discuţie validitatea tuturor modurilor care derivă concluzii particulare din premise universale, deci nu numai a celor 5 moduri atenuate, ci şi încă a 4. moduri Întărite din figurile 3 şi 4, incluzînd astfel într e g tabelul de mai sus. 3. Noţiuni de calculul claselor

Calculul cu clase dispune de următoarele relaţii şi operaţii între clase: 1. Intersecţia claselor: an b s au prescurtat ab, clasa elemen­ telor care aparţin în acelaşi timp ambelor clase. 2. Reuniunea claselor: a U b, clasa elementelor care aparţin cel puţin uneia din cele două clase. 3. Co mp le mentaţia: li, clasa elementelor care nu aparţin lui a. Complementul se determină În raport cu clasa universală. 4. 1ncluziunea: a C b, clasa a este conţinută în clasa b, cu alte cuvinte elementele lui a sînt şi elemente ale lui b. 5. Egalitate: a = b, clasele a şi b posedă exact aceleaşi ele­ me nte. o formulă este validă, dacă ea este valabilă în orice univers nevid al discursului. Cu alte cuvinte, substituind variabilelor ela­ siale oricare clase din oricare domenii nevide de indivizi, să 13

transformăm totdeauna formula într-o lege logică. În calculul claselor se demonstrează că o formulă este universal-validă dacă ea este l-validă, adică dacă este validă în domeniile care posedă un singur individ3• Dar l-validitatea poate fi uşor controlată, verificînd fOl"mula pentru valorile O (clasa vidă) şi 1 (clasa univer­ sală, care în acest caz se identifică cu clasa singulară). Întreaga procedură se poate traduce în limbajul logicii propoziţionale după Ul'mătorul dicţionar: Variabilele clasiale (a, b, c" .) se înlocuiesc cu variabile propoziţionale (p, q, r . . . ) intersecţia (a n b) se înlocuieşte cu conjuncţia (p' q) reuniunea (a U b) se înlocuieşte cu disjuncţia (p V q) complementaţia (a) se înlocuieşte cu negaţia ( --p) incluziune a ( a C b) se înlocuieşte cu implicaţia (p ::) q) egalitatea (a b) se înlocuieşte cu echivalenţa (p == q) 1 şi O se înlocuiesc prin A şi respectiv F, .. Dacă formula astfel transcrisă în limbaj propoziţional este validă, atunci şi formula corespunzătoare din calculul claselor este l-validă şi deci universal-validă. întrucît logica propoziţională dispune de mai multe metode de decizie relativ simple (tabele de adevăr, forme normale, tabele semantice etc.) logica clasială beneficiază de un ajutor preţios din partea acesteia. =

4. Modelul clasial al silogisticii

Cea dintîi îndatorire este traducerea adecvată a celor patru tipuri de propoziţii aristotelice în limbajul logicii clasiale. întru­ cît acest limbaj nu conţine operaţia excluziunii şi nici cuantifi­ catori, va trebui să recurgem la unele artificii pentru exprimarea propoziţiilor negative şi particulare:

SaP SeP SiP SoP

SaP SaP --SaP --SaP

be a bea --( b eCi) --(b e a)

3 Pentru demonstratia acestei metateoreme cf. D. H il b e r t, W. Ac k e 1'­ ma n n, Grundziige d�r theoretischen Logifc, 5. AufI., Berlin-Heidelbel.'g-New York 1967, pp. 47-57.

14

Se observă mai Întîi că infel'enţele imediate sînt exprimate unele prin echivalenţe, iar altele prin implicaţii. Examinîndu-le constatăm că modelul clasial al propoziţiilor silogistice validează doar inferenţele imediate prin echivalenţă, lăsînd în afara logicii inferenţele implicaţionale. Această nepotrivire, ni se spune, se datoreşte interpl'etării aristotelice a propoziţiei- universale, care este diferită de aceea a logicii moderne. Aristotel ar fi acceptat propoziţia SaP numai dacă există obiecte cal'e să fie S, în timp ce enunţul bea ar fi admisibil chiar dacă b este clasa vidă. Cerinţa de a opera şi cu clasa vidă constituie un imperativ al gîndirii matematice şi în genere al gîndirii ştiinţifice moderne. în gîndirea ipotetică şi în argumentarea prin reducere la absurd, deseori se prezumă inexistenţa unor obiecte în scopul derulării consecinţelor. Propo­ ziţia universală toţi S sînt P are mai curînd înţelesul ipotetic toţi S aLfi - - P, Cal"e este independent de existenţa ohiectelor S. Spre deosebire de aceasta, propozilia particulară unii S sînt P ar Ryea totdeauna înţeles existenţial, deoarece nu ar avea sens să o asertez în absenţa obicf'telm S. Dacă nu există martieni, nu sînt îndreptăţit să afirm nici că unii marţieni zboară, nici că unii marţieni nu zboară, Aşadar, în cazul clasei vide, particularele 8iP şi SoP pot fi false În acelaşi timp, ceea ce anulează rela­ ţia de subcontrarietatc. Totodată, contradictoriile lor, univers a­ lele SaP şi SeP, pot fi adevărate în acelaşi timp, ccea ce revocă şi relaţia de contrarietate. Mai urmează că particulara este falsă în timp ce universala de aceeaşi calitate este adevărată. Sînt abolite astfel şi relaţiile de sub alternare. Din pătratul logic al opoziţiilor nu rămîn valabile decît relaţiile de contradicţie. Pentru a putea valida şi aceste inferenţe în contextul logicii moderne, se cere să adăugăm acestora premisa existenţială, pe care logica aristotelică o presupune, de exemplu, sub forma enunţului SiS, adică --(b C b). Trecînd la sectorul inferenţelor mediate, regasIm aceeaşi si­ tuaţie. Calculul claselor confirmă o bună parte din modurile silo­ gistice, dar nu le validează pe toate. Sînt excluse de la acest be­ neficiu toate cele 9 moduri Întărite sau/şi atenuate, modurile care derivă concluzii particulare din premise universale. Se consideră că nu se poate deduce existenţa din premise care nu o conţin. Sînt validate deci numai 15 moduri silogistice. Dar, ca şi în cazul illferenţelor imediate, celelalte 9 moduri silogistice îşi recîştigă valabilitatea dacă le completăm cu o premisă existenţială. 15

întrucît fiecare formulă silogistică validă din logica claselor posedă o traducere în logica propoziţională, obţinem pe această cale indirectă şi un model propoziţional al silogisticii. Acest mo­ deI, fiind izomorf cu modelul clasial� se bucură de aceleaşi pro­ prietăţi şi pătimeşte de aceleaşi neajunsuri şi de aceea va fi ana­ lizat odată cu acesta. Traducerea propoziţiilor silogistice în lim­ baj propoziţional se poate efectua prin implicaţii sau conjuncţii sau disjuncţii (acestea fiind expresii echivalente): SaP SeP SiP SoP

s :J p s :J -- p --(s:J -- p ) --(s :J p)

-- s V p --s V -- P --( --s V -p) -( --s V p)

-- (s. --p) - (s.p) s.p s. -- p

în prima ediţie a logicii lor, Hilbert şi Ackermann au preferat exprimarea prin disjuncţii.4 Ca ilustrare, prezentăm transcrierea clasială-propoziţională a modul'ilor figurii 1: 24.1.1 24.1.2 24.2.1 24.2.2 24.3.1 24.3.2 24.4.1 24.4.2 24.5. 1 24.5.2 24.6.1 24.6.2

AAA EAE

AII EIO AAI EAO

« m C a). (b C m)) :J (b C a) « m :J p). (s � m» :J (s :J p ) « m C li). (b C m» :J (b Cli) « m :J -- p) . (s � m» :J (s � p) « m C a). -- (b C m) :J -- (b C ii) « m :J p ). -- (s :::) - m» :J ,..., (s :J -- p ) « m c ti). (bCm» :::) -- (b C a) « m :J - p). --(s :J - m» :J -- (s :J p) « m Ca). (b C m). -- (b Cb» :J - (b C "ii) « m :J p) . (s :::) m) . - (s :J -s» :J --(s:::) --p) (b Ca) « m Cli) . (b C m). (b C b) :J « m :J -p). (s� m). -(s:::) --s»:J --(s:Jp) --

-

-'

-

Se observă că validarea modurilor AAI şi EAO necesită o premisă suplimentară de existenţă. 5.

Privilegiile interpretării clasiale

Evident, traducerea inferenţelor silogistice în limbajul ela­ sial şi propoziţional este de natură să ne procul'e satisfacţiile cu care procesul simbolizării ne-a deprins. Ne impresionează de 4. D. H i 1 b e r t, W. Ack e r m a n n, op. cit., 1. AufI. 1928, 42; G. K 1 au s, Moderne Logik, Berlin 1965, pp. 220-233.

16

pp.

36-

la Pl'ima lectură rigoarea, precizia şi acurateţea formală şi nu mai puţin aspectul demonstrativ şi capacitatea deciziei. În acelaşi timp, ceea ce este foarte important, obţinem o des­ chidere de orizont, o fundamentare mai largă. înţelegem acum că silogistica reprezintă un fragment al logicii claselor şi că prin urmare ea se întemeiază pe principiile acesteia. Ca· urmare a noului formalism folosit, care îşi are puterea sa , sistemul silogisticii se dovedeşte capabil de concentrare şi de ex­ tindere. Din moment ce silogistica este scufundată în logica clase­ lor, ea îşi pierde oarecum autonomia, înfăţişarea de sistem corn­ ple-t-.şi ireductibil. Din noua perspectivă se accentuează ideea că poziţia termenului mediu, ca şi deosebirile în calitatea şi cantitatea premiselor, nu deţin importanţa absolută, care li se atribuie în logica clasică. În consecinţă, diferenţele dintre figuri şi dintre moduri se es­ tompează. Logicienii moderni sînt de părere că toate inferenţele silogistice se reduc la două sau trei tipuri. Reducerea se operează prin substituţii, cOllversiuni şi dubla negaţie pentru termeni, după cum urmează: l. Tipul AAA: se reduc la modul Barbara toate modurile alcă­ tuite numai din propoziţii universale. 2. Tipul AII: se reduc la modul Darii toate modurile alcătuite dintr-o propoziţie universală şi două particulare. 3. Tipul AAI: se reduc la modul Darapti toate modurile forma­ te din două universale şi o particulară (modurile suspecte, care necesită pentru validare o propoziţie adiţională de existenţă).5

Pe de altă parte, acţionează tentaţia de a prelungi silogistica formaţii mai cuprinzătoare. Silogistica tradiţională se carac­ terizează prin limite precise: numărul termenilor este fixat la trei, relaţia în cauză este numai de incluziune a claselor (sau ce­ va analog), variabilele reprezintă doar termeni generali. Scufun­ dînd silogistica în teoria generală a claselor, se iveşte posibili­ tatea de a transcede aceste hotare. Astfel, calculul claselor poate opera cu n termeni În raport de incluziune. Se formalizează în acest mod cu uşurinţă lanţurile de silogisme, cunoscute dealtfel şi în logica clasică sub numele în

li Pentru o tr atare m a i

H i 1 b e r t, W.

detail ată a

reduc erii moderne a modurilor

A e k e r m a n n, op.cit., 5. Aun.

ef. D.

pp. 61-62. 17

de polisilogisme sau sorite. Modul Barbara po ate fi reiterat infinit după schema : (( mI C b). (m2 C mI)

. .

.

.

la

( mit C mn-d· (a C mn» � (a C b)

De asemenea, se poate înlocui relaţia clasială (creatoare de p r opoziţii ) de incluziune prin altă relaţie clasială (creatoare de p ropoziţii) , cum este egalitatea dintre clase. Egalitatea este în fond illcluziunea reciprocă, reprezintă deci o legătură şi mai strînsă Între clase: a) == «b C a) . (a C b)) (b =

Se afirmă deci nu numai că toţi b s î nt a, ci în acelaşi t imp şi că toţi a sînt b, ceea ce se exprimă în propoziţia exclusivă (în subiect) toţi b şi numai b sînt a. Se poate dezvolta astfel silogistica propo ­ ziţiilor exclusive (şi exceptive), Care este plină de interes, deoa­ rece multe enunţuri din limbajul curent şi din l i m h ajul ştiinţific au caracter exclusiv (şi exceptiv). Fireşte , toate modurile vala­ ", care este bile cu semnul "C" sînt valabile şi cu semnul " mai tare. Dispunem astfel de modul Barbara exclusiv : =

«m

=

a) . (b

=

m)) � (b

=

a)

Importantă este validarea unor moduri noi, a căror s chemă încalcă unele legi clasice. Se poate, de pildă conchide din două premise n egative , una din ele fiind exclusivă: EEA-3:6 (m «(m

=

==

li) . ( m Cb)) :J (b C a) ,..., p). (m � ,..., s) ) :J ( 5 :J p)

S e mai poate extinde silogistica de la termeni generali la termeni singulari. Se ridică p r o blema dacă propoziţiile singulare pot fi a simil a ­ te pro poziţiilor universale sau propoziţiilor p articulare. S-a do ­ vedit că propoziţiile singulare nu pot fi absorbite nici în Cate­ goria propoziţiilor universale, nici în rîndul propo zitiilOl: parti­ culare şi că ele pOtedă un statut propriu. 7 Calculul claselor dispune de o relaţie specifică, prin care se poate reprezenta adecvat structura propoziţiei singulare. Aceasta. �ste relaţia de apartenenţă la O clasă, de membru al clasei, care se sim6 Silogist ica

propoziţiilor

excl usiv e es te amplu trata tă în P. B o t e z a t u�

Schiţă a unei logici naturale, Buc ureşti, Editura Ş ti inţifică, 1969. 7 Cf. A. S ur d u, Despre problema termenilor singulari în silogistică, Probleme . ., 1968, pp. 241- 258. de logică, 1, Bucureş ti, Edit ura Academiei R.SR 18

holizează prin functorul epsilon ( E ) . Enunţul s E b se cite şte s este un b cu sensul că s este un membru al clasei b. Rela"ţia de apar­ tenenţă se deosebeşte radical de relaţia de incluziune şi în primul rînd prin caracterul său intranzitiv. Î n timp ce avem : (( a C b).(b C c)) :::) (a C c) formula corespunzătoal'e:

({ S

E

b ). (b

E

K)) :::) ( 5 E K)

nu, este validă. D acă acest cetăţean este memhru al României şi România este membră a Naţiunilor Unite, nu urmează de aici că, &cest cetătean este memhru al Natiunilor Unite. În moduril� silogistice cu premise � niversale se poate substi­ tui unei premise (şi uneori chiar ambelor) propozi"ţii singulare păstrînd validitatea, de exemplu: 25.1 25.2 25.3 25.4 25.5 25.6

AAA-l *

EAE-l * EAE-2* AEE-2* AAI-31C
Px) . Ux(Sx::> Mx) . ExSx)=>Ex(Sx . Px) ( Ux(Mx� -Px) . Ux(Sx� Mx) . ExSx) -:JEx(Sx. --

2. Modele cuantificaţionale alTIeliorate

S-au făcut încercări pentru o reprezentare mai adecvată a silogisticii clasice în cadrul calculului predic at elor. P. F. Straw­ son este de părere că în logica clasi că se presupune că termenii 30

l! u sînt VI ZI, fără ca ace astă Sup oZlţle să fie explicit afirmată. In calculul predic a t elor trebuie să specificăm aceasta ŞI atunci obţinem formulele complexe : 1 6

SaP SeP SiP So P

-- Ex(Sx . -Px) . ExSx . Ex -Px ....., Ex(Sx . Px) . ExSx . ExPx Ex(Sx . Px) V ExSx V ExPx Ex(Sx . -Px) V -- ExSx V ....., Ex -- Px .....,

.....,

Interpretar ea lui Strawson este remarc abilă dintr-un anumit punct de vedere Ea reuşeşte să valideze între aga siIogistică cla­ sică, atît în c ompa r timentul inferenţelor imediate, cît şi în sec­ torul modurilor silogistice. Ace astă performanţă nu ne satisface totuşi de plin Legile silogistice de identitate (prezente în silogistica modernă), SaS (toţi S sînt S) şi SeS (nici un S nu este sj, sînt invalidate în acest sistem (deşi formele p articulare SiS şi SoS subzistă) . Mai grav este Însă faptul că interpretarea nu ne mulţumeşte din punct de vedere se mantic. Expresiile complicate propuse de Strawson nu acoperă înţelesul simplu al propoziţiilor A, E, 1, şi O. De altfel, însăşi traducere a propoziţiilor silogistice prin implicaţii ori conjunc"ţii ne îndepărtează de sensul originar al acestora. Se fac interesante încercări pentru o cît mai adec­ vată cufundare a silogisticii în calculul predicatel or. Contribu ţii importante sînt de semnalat din p artea l ui J. Slupecki, S t. Ja :kow­ ski, S. Vieru ş.a. I 7• Ultimul a demonstrat că supoziţia existenq ţiaIă nu este hotărîtoare pentru validare a silogis ticii, aceasta putînd fi substituită cu relaţia de echivalenţă dintre două predi­ cate arbitrare. .

.

3. SilogisDle plurative

în ultima vreme se manifestă un interes deosebit pentru logica pluralităţii, sistemele logice în care intervin cuantificatori de un tip nou : mulţi, puţini, cei mai mulţi etc. Generalizarea cuanti­ fi catorilor corespunde intereselor limb ajulu i logic comun, care utilize ază frecvent determinări cantitative intermediare Între toţi şi nici unul, precizînd s ensul expresiei unii. lG 17

P. F. S t r a w s o n, Introduction to Logical Theory, London 1952, p. 1 7 3 . S. V i e r u, Embedding of assertoric syllogistic into t h e predicate calculus,

IV the International Congress for Logic, Methodology and Philosophy of Science, Bucharest 1971 ; Silogistica asertorică şi logica prcdicatelor, "Revista de Filo­ sofie", 18, 7, 197 1 , pp. 879 - 8 87. 31

Încă din anii 1 935 -1 939, Gr. C. Moisil ne-a oferit două sis­ teme de " silogistică stocastică" şi o generalizare a acesteia, fo­ losind cuantificatoruI cei mai mulţi,l8 în primul sistem se introduc

cuantificatorii : [x ] p entru toţi x afară d e un număr finit ; [Ex ] există o infinitat e de x care . . . Propoziţiile silo gisti ce stocastice se transcriu după modelul clasic : A(S, P)

E(S, P)

I(S, P) 0(8, P) P,l'i)

[x ] (Sx ::> Px) cei mai Dlulţi S sInt P, [x ](Sx :J ....., Px) c e i mai mulţi S nu sînt P, [Ex ](Sx . Px) există de st ui S care sînt P, [Ex ] (Sx . -- Px) exi st ă destui S care nu sînt

=

=

=

=

=

=

=

=

Cu aceste pr op o ziţii se alcătuiesc s i lo gis me stocastice. Deoa­ re ce autorul constată că a ce st sistem satisface axi om ele silogis­ ticii clasice, se conchide că silogistica stocastică este identică silogisticii clasice, cu alte cuvinte că fiecărui mo d sil o gi st i c clasic îi c or e spun d e un mod sil ogist ic stocastic. Astfel avem :

Barbara stocastic cei mai mulJi M sînt P cei mai mulţi S sînt M . ' . cei mai mulţi S sînt P

Darapti stocastic cei mai mulţi M sînt P cet maL mulţi M sînt S . . . există destui S care sînt P

Acesta din urmă pr esup un e (î mpre un ă cu întreaga parte contes­ a sil o gis ti cii ) că toate clasele sînt infinite. Generalizînd p u te r ni c autorul demonstrează că în orice COlp logic (algebră Boole) se poate const rui o silogistică similară silogisticii clasice. Aceasta cor e sp u n de concluziei noastre că se p o at e institui un siste m sil o gistic p e o ri c e mulţim e parţial ordona t ă.2o tabilă

,

18

G

r.

C. M o i fi i 1, La statistique et la logique du concept,

"Revista

de

Filosofie", XXII, 19 37, Recherches sur le syllogisme, "Analele şt. Univ. Iaşi " . XXV, 1 9 3 9 : Sur la possibilite de modeler l e fini par l'infini 1 9 7 2 , reproduse III Essais sur les logiques non chrysppiennes, Bucarest 1 9 7 2 , pp. 1 64 - 1 8 0. 6 3 1 - 6" / 2 , 1 8 1 - 1 85 . 1 9 î n concepţia lui Moisil, silogistica s e extinde ş i l a propoziţiile cu subiect negativ SaP = U şiSo P = Y, deci şi silogistica stocastică va cuprinde propoziţiile corespunzătoare : U(S . P)

=

Y(S. P)

=

[x ](Sx =:> [Ex ](Sx .

Px) ......

=

Px)

cei mai mulţi =

există

20 P. B o t e z a t u, op. cit., p. 1 7 3 .

32

S sînt P S care

destui

nu sînt P.

numeşte aceste formaţii p rop oziţii şi silogisme D ar el este de părere că propoziţiile de tipul cei mai mulţi S sînt P nu pot fi simbolizate prin cuantificatori de orice fel şi că în genere logica cuantificaţională este incapabilă să justifice silogismele plurative. Este o situaţie delicată pentru acest sistem logic, deoarece propoziţiile şi inferenţele plurative sînt fo arte frecvente în limbajul logic şi pot fi validate printr-o metodă simplă, ca diagramele Venn acomodate. N. Re s che r

plurative.21

Re s che r introduce propo ziţiile plurative : cei mai multi S sînt P W cei mai multi S nu sînt P U' (non U) jum:ătate sau mai mult din S nu sînt P W' (non W) jumătate sau mai mult din S sînt P Se pot institui şi moduri mixte, de pildă A UU-l : toţi M sînt P cei mai mulţi S sînt M . ' . cei mai m ulţi S sînt P N. D

=

=

=

=

Modurile plurative pot fi obţinute din modurile categol'ice, fie atenuÎnd concluzia (A � U, E -,)- W) ori întărind o premisă (1 � U, O -,)- W), fie substituind uniform în concluzie şi în pre­ mis a maj oră pe toţi sau unii prin cei mai mulţi. Silogismele con­ ţinînd propoziţii D' sau W' se obţin din celelalte prin aceleaşi procedee de întărire a unei p remi se (1 � W', O -,)- U') sau de ate­ nual'e a concluziei (A � W' , E � U') . Ca procedeu d e decizie, Rescher foloseşte diagramele Venn obişnuite, cu semnul haşurării pentru clasele vide şi semnul Înstelă­ rii pentru clasele nevide. Se adaugă o săgeată ce conexează două se gmente de linii, numite cea de la vîrf capul săgeţii iar cealal­ tă aI'ipa săgeţii. Săgeata ne informe ază că regiunea aripii (cu toate sectoarele sale) este de cal'dinalitate mai mare decît regiu­ nea capului (cu toate sectoarele s ale). Este exact cee a ce inten­ ţionăm să afirmăm în prop oziţia cei mai m ulţi S sînt P, anume că clasa SP este mai mare decît clasa sP. Săgeţile sînt supuse următoarelor reguli :

Rl. Aripa unei săgeţi p oate fi totdeauna extinsă. R2. Capul unei săgeţi poate fi totdeauna contractat. R3. Aripa unei săgeţi poate fi totdeauna contractată dintr-o regiune haşurată. 21 N. R e s c h e r , Venn diagram .for plurative syllogisms (1962), Topics in Philosophical Logic, Dordrecht-Holland 1968. pp. 126 - 133.

33

R4. Capul unei săgeţi p oate fi to tdeauna extins într-o regiune haşurată. R5. Se poate totde auna tra s a o s ă g e at ă dintr- o re gi u n e Înste­ J ată într-o regiune haşurată. R6. Dacă ambele capete a două săgeţi se suprapun Într-o re g iu­ ne şi ambele aripi se suprapun Într-o regiune şi capul fiecărei s ă­ beţi se supra p une într-o regiun e cu aripa celeilalte, atunci se p o a­ te pune s e m n ul existenţei în re giunea cu aripi suprapuse. Reluînd modul UUU-l (Barbara plurativ), ob ţinem următoa­ rele diagrame : 5

P

@ M

Dia grama 8

s

P

@ M

Diagrama 9

Pentru a obţine concluzia cei mai mulţi S sînt P a trebuit să ex­ tindem aripa săgeţii de sus (RI) şi să-i contractăm capul (R2). 4. Valoarea Illo delelor predicative î ntrucît calculul predicatelor de ordinul Întîi constituie versiu­ nea standard a logicii simbolice, de utilizare curentă în cercetările logico-matematice moderne, silogistica apare În această inter­ pretare ca un fl·agment al logicii predicatelor, care îşi j ustifică existenţa ca atare , dar fără să-şi poată funda preeminenţa şi aureola tradiţionale. Silogistica se află astfel scufundată Într-un sistem logic cu dimensiuni infinite şi ramificaţii numeroase, în care ea se dizolvă, pierzÎndu-şi aproape complet personalitatea. Ceea ce se numesc .,legi ale silogismului" În logica modernă sînt de fap t anumite scheme de inferenţe ipotetice :

(q � r ) � ((P � q) � (p � r» (p � q) � ((q � r) � (p � r» dintre care ultima figure ază uneori şi ca axiomă a calculului pro­ poziţional (Hilbert-Bernays 1 934) . Judecînd situaţia în ansamblul său, constatăm că modelele cuantificaţionale nu denotă vreo superioritate asupra modelelor 34

clasiale. Formalizarea standard nu reuşeşte să acopel'c întreaga silogistică, decît dacă, pentru inferenţele imediate implicaţionale şi modurile silogistice Întărite sau/ �i atenuate, adăugăm premisa nesilogistic ă de existenţă. Dacă vrem să validăm silogistica î n Întregime, sîntem siliţi să recurgem la traduceri s ofisticate (gen Strawson, J asko'wski) ale pl'op oziţiilol' silogistice, care sînt cu totul nes atisfăcăto are din punct de vedere semalltj{', Dar chi ar traducerea cuantificaţională standard a propoziţii­ lor silogistice rămîne deficit ară din punctul de vedel'e al Înţele­ sului. Propoziţiile silogistice sînt toate categorice, în timp ce traducerea universalelor p ri n implicaţii conferă acestora un carac­ ter ipotetic, deci mai slab. Dimpotl'ivă, traducerea particularelor prin conjuncţii apare ca fiind pre a puternică, denotînd o permanen­ ţă a legăturii dintl'e termeni, pe care prop oziţia particulară o dezminte. Se ştie în semantica spaţiului logic (Wittgenstein, Carnap), că conţinutul conjuncţiei este mai bogat decît conţi­ nutul implicaţiei, drep t care conjuncţia j mplică implic aţia şi nu invers : (p . q) � (p � q)

Afal'ă de aceasta, logica pre dicatelOl', considerînd că ' ambii termeni (8, P) sînt predicate (proprietăţi), anulează asimetria evidentă dintre subiect şi predicat existentă în propoziţiile silo­ gistice . Funcţia de nucleu logic al propoziţiei, pe care o exerci­ tă subiectul în logica tradiţională, este pierdută şi nu se Între­ vede cum ar p utea fi recîş tigată eu uneltele lo gi cii cuantificaţio­ nale . 2 2 IV.

MODELE RELAŢIONALE

1. Modele Lukasiewicz

Modelele silogisticii, care au fos l examinate pma acum, se caracterizează toate prin împrejurarea că silogistica este scufun­ dat ă într- o teorie logică mai vastă (logica claselor, logica pre­ dicatelor), constituind doar un modest fragment al acesteia. Cîş tigurile sînt impresionante : formalizare şi demonstrabilitate, restitui subiec tului poziţia dominantă în propoziţie este la R. S t o i c b i ţ ă în La transcription du curree logique en calcu l propos itionnel, "Acta logica", VI, 1 9 63, pp. } 4,5 - ] 6 2 . ? 2 Preocu p area d e a

p rezen tă

35

decidabilitate ş i posibilităţi de extindere . Pe de altă parte Însă, nu se poate nega că în această interpretare silogistica îşi pierde oarecum individualitatea şi auton omia. Reacţionînd vehement împotriva acestor interpl'et ări, J. Luka­ sjewicz (1 878 -1956) şi-a propus ca, odată cu formalizarea silogis­ ticii aristotelice, să-i restituie specificul originar.23 Traducere a propoziţiilor silogistice prin cuantificatori este denunţată ca falsă, ca şi opinia că silogistica ar fi o teorie a claselor ori o teorie a predicatelor. Silogistica ar constitui un sistem deductiv distinct, cu propria sa axiomatică şi problematica sa.24 Dar, pe de altă parte, Lukasiewicz recuno aşte că logica aristotelică este , , 0 teorie a relaţiilor A, E, 1 şi O în domeniul termenilor univer­ sali"25. Interpl'etarea lukasiewicziană ne situează evident în dome­ niul vast al logicii relaţiilor, unde, prin selectarea unor relaţii pri vil egiat e , se deschide într-adevăr posibilitatea de a configura sisteme logice oarecum independente. Modelul Lukasiewicz pentru silogistică are la bază ca schelet deductiv calculul propoziţional cu toate comp onentele sale : alfa­ betul, reguli de formare, definiţii, axiome, reguli de inferenţă (regula substituţiei, regula substituţiei echivalenţilor, regula substiţuţiei pentru definiţii, regula detaşării). După sugestia aristotelică, toate modurile silogistice pot fi derivate din unele moduri considerate ca axiome. Lukasiewicz a ales ca axiome mo­ durile Barbara şi Datisi, cărora le-a adăugat legile d e identitate silogistică Aaa (toţi a sînt a) şi Iaa (unii a sînt a) . Acest aparat deductiv este suficient pentru obţinerea inferenţelor silogistice fără termeni negativi. Deoarece Însă intenţionăm să derivăm şi inferenţele imediate cu termeni negativi, vom expune o variantă a acestui sistem, care , printre altele, prezintă ş i avantajul că se­ pară net sectorul incontestabil al silogisticii de sectorul controver­ sat.26 Se foloseşte deci aparatul deductiv al calculului propoziţional şi următoarele teze ale acestuia : p == p (p == q) � ( - q == -p)

legea identităţii legea transpoziţiei

Id

TI'

23 J. L u k a s i e w i c z, Aristatle's Syllogistic fram the Standpoint of Modem Oxford 1951, 1957. Cartea lui Lukasiewicz constituie astăzi o

Formal Logic,

operă de referinţă clasică, care a declanşat un nou val al cercetărilor asupra

silgosticii.

24 Ibidem,

§ 35. § 6. 26 G . E. H u g h e s, D. G. L o n d e y, 2 5 Ibidem,

36

op.

cit., chap. 4 8 - 49.

legea du bl ei n eg aţii l eg e a exportaţiei legea comutativităţii (p . q) == ( q . p) ((P . q) � r) :) « p . -r) => - q) legea antilogismului (p :=) q) � (( q � r) � (p � r) legea silogismului legea adj unc ţiei p :J (q � (p . q» Se adaugă aparatul deductiv propriu silogisticii.

p == __

p

((p . q) => r) � ( p => (q => r») -'

Dn

Exp Corn Ant sa

Adj

1. Alfabetul a, b, m

variabile de te r me ni semnul negaţiei pentru termeni operatori diadici

A. 1 2•

.

Reguli de formare

(1) Un grup format dintr-un operator diadic (A sau 1) succe­ dat de două v ari ab ile de termeni (a, b s au m) fără s au cu s emnul negaţiei deasupra constituie o formulă bine formată (fbf) :a silo­ gi sti cii .

(2) Dacă X

fbf.

3.

şi Y

sînt fbf, atunci şi

df dJ

Iba Aba

,....,

X, X . Y şi X =>

Y

sînt

DefiniJii

D1

D�

Eba Oba

=

=

-

--

în consecinţă, propoziţiile silogistice se transcriu În limbajul Lukasiewicz după cum urmează : SaP SiP

Aba Iba

SeP SoP

Eba Oba

4. Axiome Al. A2. A3 . A4.

( D at i s i )

(Ama . Imb) � Iba Eba => Aba Eaa Iaa

(obversiunea lui E) (identitate pentru E) (ident i t at e pentru 1)

5. Reguli de inferenţă

Rl. Regula substituţiei p entru variabile de termeni : substi­ tuirea uniformă a ori c ărei variabile de termen prin altă variabilă de termen conservă caracterul de teză al formulei. Sub s tituti a s e simbolizează prin . . . 1 . . .

.

37

R2 .

Regul a dublei n e g aţii pentru termeni : dacă

v..

e s t e un termen,

lui CY. prin � sau el prin (X cons ervă caracterul de teză al formulei. Intervenţia . acestei l'cguli se simb olizează prin D n t . Regula detaşării se indică prin D , regula s ubstituirii echiv a­ lenţilor prin Eq, iar substituţiile în virtutea defini riil o r prin Df. înl ocuirea

6. Legile silogistice A.

şi

Part e a

1

a sil ogi sti ci i , c are

descinde

A3, exp u n e sect orul nec onlI· oversat.

numai

din A l ,

T I . Oba == -- Aba i nfe r en ţă prin contradicţie Id(Oba/p) X Di O T2. Aba :::::: -- Oba inferenţă prin c o n t rad i cţi e TI X Tr X Dn T3. Eba == -' Iba in fe r e l1 ţă prin contradic ţie Id(Eba/p) X Df E infel" cl! ţă prin contra dicţie T4,. Iba == -- Eba T3 X Tr X Dn lege a identit ăţii pentru A T5. Aua A2(a/b, a/a) , A3 x D :Aaa ( 1 ) ( 1 ) X Dnl :T5 T6. Iba == Iab c onv er si u n e a lui 1 A I (a/m) X Exp :Aaa � (Ia b � Iba) (1) ( 1 ), T5 X D : Iab � Iba (2) (2) , (2) (a/b, blaj X A dj X DJ == :T6 T7. Eba == Eab f;! c o nve r siune a lui E T6 (bla, alb) X Tr X D V DJE :T7 T8. (Ama . Ibm) � Iba AII-I Al, T6 (m/b, blaj X Eq :T8 T9. (Ima . Amb) � Iba IAI-3 : ( Amb . Ima) � Iba ( 1 ) Al (b/a, alb) , T6 X Eq :T9 (1) X Com TIO. (lam . Amb) => Iba IAI-4 T9, T6 (m/b) X Eq :TIO TI I . (Eam . Abm) ::> Eba EAE-2 Al X Ant : (A ma . -- Iba) � -- Imb( I) ( 1 ) (a/b, m/a, b/m) X Di E X Com :Tl l T12 . (Ema . A bm) � Eba EAE-I : T1 2 TI I , T7 (a/b, mIa) X Eq T13. (Aam . Ebm) ::) Eba AEE-2 : (Aam . Ebm) � Eab ( 1 ) Tll (b/a, alb) X Com ( 1 ), T7 X Eq :TI 3 38

A2

T14. (Aam . Emb) � Eba T13, 1'7{mJa) X Eq T15. (Ema . Ibm) � Oba Al(b/m, mlb) X Com (1) X Ant (2) X DJ E X DJ O X Com TI 6. (Eam . Ibm) � Ob a T15, T7 {mlb) X Eq T17. (Ema . Imb) � Oba T15, T6(m/a) X Eq T18. (Eam . lmb) � Oba T16, T6 (mia) X Eq T19. Ebii � A ba A2 (ăla) X Dnt T20 . A ba � Eba

T12 (a/m, a/a) (1),> A3 X D

X

Exp

T2 1 . Aba � Eba T20 (a/a) X Dnt T22 . Aba == Eba T20, T19 X Adj X DJ == T23 . Eba == Aba A2 , T2 1 X Adj X Di == T24 . Iba == Oba T22 (aja) X Tr X Dnt (1), T4, TI X Eq T25 . Oba == Iba T23 (ăja) X Tr X Dnt (1), TI , T4 X Eq T26 . (Ama . Abm) � Aba T12 (ăja) (1), T22 (mjb) X Eq, T22 X Eq T27 . (Aam . Obm) � Oba T2 6(m/a, ajm) X Ant X Df O T28 . (Oma . Amb) � Oba T26 X Com X Ant (l) (m/b, bjm) X Df O X Com T2 9 . Eba == Aab T23 ( alb, bla) , T7 X Eq T30 . Iba == Oab T24 (alb, bla) , T6 X Eq

AEEw4 :T 14 EIO-l : (Ibm . Aba) � lma( l) : (Ibm . - Ima) � - Aba(2) :T15 EIO-2 :T16 EIO-3 :T17 EIO-4 :T18 :T19 :Eaa ::> (Aba =:) Eba) ( 1 ) :T20 : T2 1 ohversiunea lui A : T2 2 ohversiune a lui E : T2 3 ohversiunea lui I : -- Eba == - Aba (1) :T24 ohversiunea lui O : - Aba == - Eba (1) :T25 AAA-I : (Emă . Abm) � Eba (1) :T2 6 AOO-2 :T27 OAO-3 : (Abm . - A ba) � - Ama ( 1) : T2 8 cOIlversiunea ohvertită a lui E : T2 9 conversiunea ohvertită a .lui 1 :T30 39

T3 1 . Aba == Eăb T22, T7(ă/aJ X Eq T32 . Ob a == Tăb T25, T6 (a/a) X Eq T33 . Aba == Aab T3 I , T2 3 (a/ b , blaj X Eq T34 . 0ba == Oab T32, T24( alb, bla) X Eq

contrapoziţia :T3 1 contrapoziţia :T32 contrapoziţia :T33 contrapoziţia �T34

parţială a lui parţială

a

A

lui O

totală a

lui

A

totală a

lui

O

B. Partea II a silogisticii, care se fundează şi pe A4, expune sectorul controversat. suhalternare a lui A T35 . Aba ::) Iba AI(bfm) X Com X Exp :Ibb � (Aba ::> Iba) (1) (1), A4(b/a) X D :T3 5 subalternarea lui E T36 . Eba ::> Oba :Ibb =:) (Eba � Oba) (1) T17 (blm) X Com X Exp :T3 6 (1), A4(bla) X D T37 . Aba => --- Eba cOlltrarietatea T35, T4 X Eq :T3 7 T3 8 . --Iba ::) Oba sub contrarietate a T36,T3 X Eq :T38 T39 . A ba ::> 1a b conversiunea lui A T35,T6 X Eq : T3 9 T40 . (A ma . A bm) � Iba AAI- I T26,T3 5 X Sil X D :T40 T41 . (Eam . Abm) ::) Oba EAO-2 :T4 1 TI I , T36 X Sit X D T42 . (Ema . Abm) :J Oba EAO-I TI2,T36 X Si l X D :T42 T43 . (Aam . Ebm) :J Ob a AEO-2 TI3,T26 X Sil X D :T4 3 T44 . (A a m . Emb ) ::) Oba AEO-4 :T44 TI4,T26 X Sil X D T45 . (A am . A m b ) :J Iba AAI-4 T44 (b/m, alb, mia} X Ant : (A mb . ...., O a m). � .- Eba (1) (1), T2, T4 X Eq X Com :T45 AAI-3 T46 . (Ama . A mbJ :J Iba T41 X Co m X Ant :( Abm . - ObaJ ::> ...... Eam (1 ) ( I ) (m/b, a/m, b/ a), T2, T4 X Eq :T46 T47 . (Ema . Amb) :J Oba EAO-3 : (Ebm . -- ObaJ :J -- Aam (1) T43 X Com X Ant (l) (mlb, alm, blaj, T2, TI X Eq :T47 40

T48 . (Eam . Amb) � Oba

T47, T 7 (ml b) X Eq T49 . Aba � Oab T 3 5 , T 3 0 X Sil X D TSO . Eba � Tab T36, T32 X Sil X D TS l . Eba � Oab T 3 6 , T 3 4 X Sil X D TS2 . Aba =:) Iba T 3 3 , T 39 (;;; b , blaj X Sil T5 3 . Aba � Oba

T52, T25 (bJb)

X

Eq

EAO-4 :T48

conversiunea

ob vertită

a

lui A

: T4 9

c ontr ap oziţi a p arţială a lui E : T5 0 c ontrapo ziţ i a totală a lui E :T5 1 inver s iu n e a tot al ă a lui A X

D

:T52

inversiune a parţială

a

lui

A

:T5 3

inversi un e a p arţială a lui E TS4 . Eba => Iba T39 (alb, bla) , T29 X Eq : T5 4 inversiunea totală a lui E T55 . Eba � O ba :T55 T54, T24(bfb) X Eq Inferenţele i me diate suhalterne (22.16, 22.2 1, 22.22, 22.26, 22.28 şi 22 .32) se deduc uşor din inferenţele imediate co re spunz ă­ toare (T7, T2 2 , T23, T29, T3 1 , T33) combinate cu teoremele subalternării (T35, T36). Se adaugă şi teorema : T56 . Oaa le g e a id entit ăţii pentru O T36 ( alb, ala) , A3 X D :T56 2 . Val oa re a I1lOdelelor LukasÎewÎcz

Constituirea modelului silo gi stic Lukasiewicz a Îns e m nat un decisiv înainte pe calea cl arificării problemelor silogisticii moderne. Prin instituirea unui s ist e m deductiv sp ecific , s-a reuşit să se determine cu precizie calităţile t eo retic e şi met at eoretice ale sistemului. Astfel, aflăm nu fără surprindere, că cel mai im· portant mod silo gistic în teoria clasică (fii n d sin gur ul alcătuit din trei pro p o z iţii univers al-afirmative), modul Barbara, deţine un foarte modest rol deductiv Înăuntrul sistemului. El apare necesar numai pentru derivarea modurilor în B (Barbari, Baroco şi BocardoJ şi în calitate de axiomă p oat e fi înlocuit de oricare din ace stea . Mai mult încă, dacă sînt date ohversiunile, Barbara poate fi dedus din Celarent, care, prin Cesare, derivă din Datisi, a s t fel că putem să·I elimină � dintre axiome - cum s - a şi p r oc e da t în ve r siune a prezentată mai sus. Cel mai i mp ort an t mod din punct de vedere deductiv este Datip as

41

d e oare ce fă r ă a cesta c a d e c e a mai mure p ar t e a i'ilugisticii . Dar şi acesta poate fi înlocuit în funcţie de axiomă prin Ferio. Cesare, Dimaris, Fresison sau Camenes. De ase m enea Aaa p oa t e fi suplinit prin Iba � Iab, iar Iaa prin Aba � Iba. Aaa p oate fi eliminat dintre axi ome , d e duc în du-l din Eba :J A ba �i. Eaa, aşa cum s-a procedat m a i sus. Sîn t p o sibi l e ast fel numeroase va­ ri ante (si sisteme p artiale)27, care la" noi au fos t studiate si îm­ bogăţite' de S. Vieru.28 Au torul obţi �e rezultate interesant � prin asocierea mai intimă a silogisticii cu logica propoziţională, înain­ tînd pîn ă la suprimarea axiomelor propriu-zis silogistice. Sistemul Lukasiewicz răspunde exigenţelor metateoretice curen­ te. î n primul rînd se demonstrează că s i st em ul este consistent c u privire la negaţie, în sensul că dacă X e st e o fuf a sistemului, nu p ot fi derivate şi X şi -- X. în acest s c op s e construieşte u n m o ­ d el al silogisticii, de exemplu, chiar în domeniul calculului p:ro­ poziţiona!. Se rescrie! formulele silogistice cu c ons t ant a infixă (la mijloc) : Aba devine bAli, et c . ? se traduc variabilele a, b, m prin p, q, r, functorii A şi I prin == , iar E şi O prin == - , nega-ria pe termeni ( -) prin neg aţi a prop oziţională ( --). În a c est fel orice fbf a silogisticii devine o fbf a calculului propoziţional şi orice ·teză a siIogisticii o teză a calculului propoziţional. Dar c al cuIul propoziţional clasic fiind c onsist e nt cu p rivi re la ne galie, urm ează că şi silogistica Lukasiewicz· e st e consi stentă cu p ri vir e I a negaţie . Se demonstrează, iarăşi pI'in mo delar e, şi independenţa axio­ melor29, aspect m ai puţi n important. Mai difi ci l ă ap are problema completitudinii sistemului. Deoarece am re u si t să derivăm din axiomele propuse toate legile silogl.stic e cl a;ice , vom s pune că sistemul este slab (ori deductiv) comp let. Cu t oate ace stea, aşa cum a do v e dit Lukasiewicz30, pentru a putea res pinge formulele silogistice nevalide, trebui e să su plimentăm sis te mul cu axiome şi reguli de rej ecţi e . Mai mult. în c ă , p e ntru a el i mina fOl'mulele s.il o gi s ti ce n e v alide care co nţin n u m ai doi tel'meni sau mai mult. de tr e i t ermeni, este ne cesară regul a gene r ală de l'ej e c ţi e a lui SL,

S lup ec ki. As tfel îmbogăţi t, si ste mul Lukasicwic z devine e a p a h.i J a se l't eze ori să re s pi n g ă orice fbf a silogis t ic i i . D ar sistcmui

să

1 7 1. M. il o e h e n 5 k i, art . cit. 2 8 S. V i e r u, Alternative

Formu lat iuns for Ar istotle's S.rllog istic, " Reyue­ roumain des scienccs sociales", Philos-Log., 14, 1970, 3, pp, 219- 2 5 6 ; Sur l'axio­ matisation de la syllogistique d'Aristote, RecheTches SIIT l' O rg a n o n , Bucarf:st 1 9 7 0 . pp . 133-143. 29 J, L u le a s i e w i c z, op .cit . , § 2 5 ; ef. O. B i r d, op.rit., § 24·. 30 J. L u le a s i c w i (' z, op .cit . , ch ap. V : ('f. O. B i r d, op .cit . , § 2 5 .

42

nu

este

tare complet,

vi nte nu es te atît de puternic Încît grupului axi omelor cu o fbf nederi­

cu alte c u

să nu su p orte su pli me nt ar ea

din axiome. D upă o idee remarc abil ă a lui Leibni z, se construiesc modele arit met i c e ale s ilogis t i c i i , care oferă procedee facile de decizie. Astfel, interpretînd prop oziţiile sil o gist ic e în domeniul numere­ lor naturale după mo delul u r m ă \. o r : 3 1 vabnă

Aba Oba

divide a b nu divide

b

Eba a

Iba

b b

şi a sînt prim e Între ele şi a au divizor comun

s e o bţine

o metodă practică de decizie pentru silogistică. pildă, modul Datisi : (Ama . Imb) =:J Iba ((6 divi d e 12) . (6 şi 9 au divizor comun)) � (9 şi 12 au divizor c om un) . Interpretarea aritmetică verifică toate axiomele silo­ gis tic e ale lui Lukasiewicz şi deci a c o per ă întreaga silogistică cu termeni p o ziti vi . Nu o p ute mlîns ă extinde la formele silogis t i c e cu te r meni negativi, deoarece nu se poate atribui un sens arit­ metic ne gaţi ei pe termeni. Tra:d ucerea lukasiewicziană a propoziţiilor sil o gistice este mai sati sfăcăt oare d e cî t versiunile prezentate pînă acum. Se c ons ervă spe cificitat e a acestor propoziţii şi astfel asp e c t ul se mantic este În mare măsură salvgardat. Nu ne mai vedem siliţi să reducem înţelesul propoziţiilor A, E, 1, O la sens uri mai mult sau mai puţin Înrudite, dar nici Într-un caz identice. Rămîne totuşi un aspect m ai puţin reuşit. Func torii lui Lukasiewicz concentre ază Într-un singur simhol trei aspecte distincte ale prop o ziţiilor sil o gistic e : relaţiâ SP, asertarea relaţiei şi cuantificarea, aspe c te care în logica clasică sînt separabile şi independente. Nu se Între­ vede cum am putea s i mb oli z a În acest li m baj propoziţiile silo ­ gist i c e singulare (de tipul Socrate este filosof), care sînt atît de frecvente. Modelele Lukasiewicz ac operă Întreaga silogistică, fără să fie n e c esar ă intervenţi a vre u nei prop o z i ţii auxiliare de existenţă. Problema tipinoasă a e x istenţei este trecută suh tăcere . D ar în acelaşi timp apare cu claritate că partea contest abilă a silogisticii descinde integral din axioma Iaa sau eventual Aba =:J Iba. Se consideră că a xi oma unii a sînt a ar avea sens existenţial, fiind că este o prop o ziţie pa r t.i c ulară. D ar aceasta constituie o interpretare De

31 J. S I u p e c k i, Z badan nad sylogis'yka Arystotelesa, Trav aux de la Societe dl'S Sc:jences et des Ll'ttres de Wroclaw, B. 9, 1948.

43

semantică sp e ci ală şi contestabilă. Nici s ub altern are a A � I nu ascunde sens existenţial decît dacă i-l anticip ă m. J. Slupecki a con struit un mo del clasial al silogisticii Iukasiewicziene, În c are se presupune că toate mulţi mi l e sînt nevide. Propoziţiile sil ogisti ce se traduc astfel : Aba Eba Iba Oba

clasa a este inclusă în clas a b a şi b sînt clase di sjun ct e int ers ecţi a claselor a şi b este nevidă clasa a nu este inclusă în cl as a b

în acest mod se o p ere az ă le găt ur a cu l ogi c a claselor şi cu conven­ s emn ifi caţiei existenţiale. Modelele Lukasiewicz sînt s usc eptibile de extensiune. Cea mai s implă dintre acestea se reali z e az ă prin înmulţi re a numărului ter­ menilor şi a p re mis elor , obţinînd ast fe l polisilogisme şi sorite. în acest scop , este suficient s ă îmbogăţim vocabularul, prin inclu­ derea unui număr nelimitat de termeni (a, b, c . . . ) , şi re g ula de formare (2) p entru a cup ri nd e şi c o nj un c ţii mul tip l e de pre­ mise (X, Y, Z . . . ) . C. A. Meredith a reuşit să obţină formulele ge ne r ale pentru calcularea numărului figurilor şi modurilor valide pe ntru silogismul cu n termeni :32 ţia

numărul termenilor nu mărU:i figurilor numărul figurilor cu moduri valide numărul mo durilor valide

n 2n-1 1/2(n2 - n+ 2) n(3n - 1)

ceea ce ne oferă următoarele exemplificări : numărul termenilor

1

numărul figurilor

1

num ărul figuril o r cu moduri valide numărul modurilor valide

1 2

2

3

4

10

2

4

8

512

7

46

--- --- ----- --- --2

4

---

-_.-

10

24

--44

290

Cea mai imp ortant ă este extensiunea sil ogisticii la termeni ne g ativi, problem ă care a preocupat încă pe lo gi cienii medievali şi căreia eminentul logician rom ân Florea Tuţugan (1908 -1961) i-a închinat o cercetare temeinică şi amplă.33 Continuînd investiJ. L u k a s i e w i c z. op. cit., § 14. F. T u ţ u g a D, Silogistica judecăţilor de predicaţie. Contribuţii, aclaosuri �i rectificări la silogistica clasică, BucUl"eşti 1 9 57. 32

1I3

44

gaţiile decisive ale lui De Mor gan , Tuţugan determină, ca şi e xist enţ a a opt ti p uri ireductibile de prop oziţii d e forma S - P, incluzînd şi termeni nega tivi : acesta,

A = SaP E = SeP 1 = SiP O = SoP

A' = SaP E' = SeP l'

O'

= S;,p So P =

Aceste propoziţii sînt an ali z ate ca disjuncţii a c elo r şapte "rela­ ţii unice şi bine determinate" care se pot instaura Între doi ter­ meni (i d e ntit ate , contr a di cţie, contrarietate, sub c ont ra rietate , supraordonare, subordonare, încru ci ş ar e ). Ni se oferă astfel o veritabilă metodă de decizie pentru sil o gisti c a extinsă, descom­ punerea pre misel or În r elaţiile lor de bază p ermiţîn d u - ne să deter­ minăm posibilitatea şi fOI'ma ccncluziei în fiecare caz. Introduce­ rea te r me nil or ne g ativi l ărgeşt e considerabil domeniul sil o gist i cii , conducînd ] a acceptarea u n nl' scheme de mo duri interzise În lo­ gica clasică. Ne s urpr i nde în pri mul rînd legitimal'ea m o duril o r alcătuite din d ouă premise n e g at ive : EEI'-l nici o grăsime nu se dizolvă în apă MeP zaharurile nu sînt grăsimi SeM . ' . SiP . . . unele corpuri care nu sînt zaharuri nu se dizolvă în apă

Alte le gi clasice sînt de asemenea Încălcate, ceea ce necesită o re­ formulare a le gilo r silogisticii.34 Numărul modurilor creşte sub­ stanţial, ajungînd la 3 2 m o duri valide pentru fiecare figură, cu un total de 128 de moduri (Ia care adăugînd ş i modurile atenuate, cîte 16 pentru fie care figură, obţinem un total de 192 moduri valide ) . Silogistica sup lim ent ată c u t ermeni negativi a fost axioma ti­ zată de J. W. MiIler, 1. Thomas35 ş.a. Sistemul axiomatic, pe care l-am înfăţişat În dezvoltare mai sus, c o nţin e şi termeni ne g ativi şi este ca atare apt să deriveze nu numai inferenţele imediate cu termeni negativi (aşa cum s-a de m onstrat ), ci şi 3·1 J. W. M i I I e

r,

The Structure of Aristotelian Logic, London 1 938 ;

F.

T u ţ u g a n, op. cit . , cap. III. 36 1. T ho ro a s, CS(n) : An Extension of eN, "Dominican Studies", 2, 1949, pp. 145 - 160,

reimprimat

în

A. M e n n e (ed.), 0p. cit., pp. 4. 0 - 54.

45

modurile silogistice cu termeni negatlvI. Regula suhstituţiei ne permite, de pildă, să înlo cuim orice termen pozitiv printr-un t t'rmen ne gativ. În consecinţă, în orice mod valid du p ă teoria clasi că se p o ate substitui oricărui termen (numai unora s au tut u­ ror) acelaşi termen negat salva validitate :

(Barbara) AAA - l : (A ma . Abm) � Aba a/a, b/b, mim : A ' A 'A '-1 : (Ama . A bm) => Aba ; ala, blb : (A ma . A b m) => A ba care este echivalent cu : EE'A'-l : (Ema . E'bm) :) A ' b a ,

.

O

altă extensiune a silogisticii se Înfăptuieşte prin introdu­ cerea mod alităţilor. Silogistica modală Însă nu cunoaşte Înflori­ rea silogisticii asertorice, desigur fiindcă primele sisteme (Aristotel, Teofrast) se situează departe de perfecţiunea silogisticii aser­ torice. Problemele sînt controversate : din asocierea unei premise apodictice (ne cesare) cu o premisă asertorică va rezulta o conclu­ zie: apodictică (Aristotel) sau asertorică (Teofrast)? Dacă, urmînd pe .� Teofrast, extindem regula concluzia urmează p artea cea mai _ slabă şi la modalităţj36, atunci se p o ate construi silogistica modală c a o extensiune a silogisticii asertorice, suplimentînd, de exemplu, sistemul Lukasiewicz cu functorii modali L (necesar) şi M (posi­ bil), cu sche ma axiomatică LX � X (unde X este o expresie asertorică simplă) şi cu două re guli de inferenţă :37

X � (Y � Z) LX => (LY � LZ)

X LX

În acest caz sînt validate silogisme de forma :

(LA ma . MAbm) � MAba, de pildă : virozele sînt în mod necesar contagioase cancerul este poate o viroză . . . cancerul este poate contagios

î n legătură cu succesele recente ale logicii de ontice (logica normelor, care opere ază cu m o dalităţi ca permis, obligatoriu, 3 6 S-ar putea Însă ca aceasta să fie o condiţie necesară, dar nu şi suficientă

pen tru validitatea inferenţelor silogistice modale. 37 S. V i e

d('s scienccs

r

u,

Theophrastus $yllogistic and predicate logic, "Revue

Pt'ntru silog istica problematică v. P. sinns pr obable s, Logiqu e ,

46

9,

roumain

sociales", S. de Philosophie-Logiquc, 1 5, 1 9 7 1 , 3, pp. 20 5 - 2 1 1 . "Revue

roumaill

1 96 5 , 3, pp. 1 05 - 1 1 1 .

B o t e z a t u, De la d€duction des conclu­ " scicnccs sociales , S. de Philosophie­

des

interzis), o atenlie deosebită se acordă şi silogisticii deontice, care îi constituie nucJ euJ.38 Se pot c o n st rui silogisme normative ca a c ea s ta : toţi cetăţenii acestui stat trebuie să fie cinstl,ţ"t toţi locuitorii acestei insule sînt cetăţenii acestui stat toţi locuitorii acestei insule trebuie să fie cinstiţi o

o

3.

Silogistica operatorie

Silogistica operatorie s-a născut din necesitatea constitUlT1l un ei logici operatorii naturale, a unui mo del lo gic care să l'eGee­ te m ai fidel o pera ţiile gîndirii l o gic e. :19 Exi gen ţ a su rprj n d e r ii operaliilor l o gic e care se efectuează în cursul silogi z ă rii a impus diferenţierea semantică a relaţiilor din corpul silogismului. Cînd r a ţ i o năm :

aerosolii sînt instabili norii sînt ae rosoli . ' . norii sînt instabili este evident că gîndim după mo delul :

a posedă m este o specie a lui a b posedă m

b •

•

o

lo elaţie intensională relaţie extensi onală relaţie intensională

unde a este un ge n , b o specie şi m o proprietate. Operaţia logică a m odului Ba rbara poate fi astfel for mulat ă : specia este inclusă în gen şi cîştigă proprietatea genului. întrucît operaţia lo g ică con­ stă în transferarea unei proprietăţi de la o cl a să la alta, o denumim operaţia logică tranzitivă. Silogismul se defineşte în acest context ca inferenţa clasială tranzitivă. Transferarea p r op ri et ăţ ii este în funcţie şi de natura proprie t ă ­ ţii. E xpresia a posedă m are sensul neexclusiv că a, dar nu numai �, posedă m şi În c on s ecinţ ă dacă b nu este o specie a lui a, n u putem conchide că b nu posedă m : liliecii nu sînt p ăsări şi totuşi zboară. Dacă Însă trecem la sensul exclusiv a, şi numai a, posedă m, atunci respingerea incluziunii atrage nec e s ar şi refuzul propri­ etăţii : p arale!ogramul9 nefiind decagon, nu al'e 35 de diagonale c a a ce st a. Se cons t at ă că propoziţi a exclusivă cre ează relaţii m a i 3 8 G , K a l i n o w s k i , L a logi q ues des normes, Paris, 1 9 7 2 . � 9 p, B o t e z a t li , Schiţă a unei logici naturale. Logică op eratorie, Bucure,;, l i,

Edi tura Ş tiinţifică, 1 9 69.

47

puternice Între termeni, ceea ce este de natură să sp orească numărul infel'enţelor permise. O prop oziţie p o ate fi exclusivă în subiect, În predicat sau În ambii termeni. Simbolizăm caracterul exclusiv al unui termen printr-o bară trasă dedesubtul său : Aba Ab a Aba

=

=

=

toţi b şi numai b sînt a toţi b sînt a şi numai a toţi b şi numai b sînt a şi numai a

Exigenţele operaţiei logice tranzitive impun astfel introducerea propoziţiilor exclusive În domeniul silogisticii, astfel că silogisti­ ca operatorie este în acelaşi timp o silogistică extinsă la propo­ ziţiile exclusive (şi exceptive). Va trebui să distingem p atru p o­ ziţii : tabela inferenţială A, fără premise exclusive (dar cu unele concluzii exclusive), tabela inferenţială B, cu premisa minoră exclu­ sivă în predicat, tabela inferenţială C, cu pre mis a maj oră exclu­ sivă în subiect şi tabela inferenţială D cu majora exclusivă în 6U­ hie ct şi minora exclusivă în predicat. în posesia acestui aparat logic, se pot formula definiţiile operatorii ale figurilor silogisti­ ce extinse : Figura 1 : după cum specia este ori nu este inclusă în gen, spe­ ci a posedă, respectiv nu posedă, proprietatea genului. Figura 2 : dup ă cum specia p osedă ori nu posedă proprietatea genului, specia este inclusă, respectiv nu este inclusă, în gen. Figura 3 : după cum genul include ori nu include specia, genul posedă, ori nu posedă, proprietatea speciei. Figura 4 : dup ă cum genul posedă ori nu posedă proprietatea speciei, genul include, respectiv nu include, specia. Precizăm că figura

4 operatorie se deosebeşte radical de figura

4 galenică, analiza operatorie demonstrînd că acesteia din urmă

nu-i corespunde o operaţie logică distinctă. Modurile silogistice sînt derivate prin metoda deduc/iei natu­ rale (Gentzen-Jaskowski), folosind definiţiile b o oleene ale func­ torilor silogistici. Met oda prezintă avantajul că se dispensează de axiome, folosind numai reguli de inferenţă, care opere ază prin intro ducerea ori expulzare a constantelor şi a variabilelor logice în formule ori din formule, procedee familiare gîndirii comune şi ştiinţifice. Aceste a sînt regulile de deducţie caracteristice algebrei b o oleene : dacă două clase sînt vide şi reuniunea lor este vidă ; dacă reuniunea a două clase este vidă, fiecare din cele două clase este vidă etc. Se adaugă şi o metodă de decizie de tip booleean, 48

folosind diagramele lui L. Carroll, în c are clasele sînt reprezentate prin p ătrate , e xi st e nţ a prin semnul ,, + ", iar in e xiste n ţ a prin semnul ,, -". Se obţin în total 74 moduri silogistice prin cip ale : 12 în t a bel a A, 1 8 în tabela B, 18 În t a b ela C şi 26 În tabela D , ial' p e figuri : 2 1 mo duri în figura 1, 2 1 mo duri în figur a 2, 19 mo duri în figur a 3 şi 13 moduri În fi gur a 4 . Se ad a ug ă numeroase moduri secundare, care s e formează uşor fie prin ataşarea semnu­ lui exclus ivităţii la ori c e termen din p remis e, obţin în d astfel moduri Întărite, fie prin expulzarea sem nului exclusivităţii de sub orice termen al concluziei, În care caz rezultă moduri atenuate.

Sînt interesante mo durile silogistice care tr an s ced legile clasice ale sil ogismului . Tabelele infe renţ i al e A şi B repro duc în genere modurile silogisticii clasice. Inovaţiile apar în tabelele C şi D şi sînt determinate în primul rînd de cara cterul exclusiv al p re misei majore. Astfel, aşa cum am semnalat, la figura 1 cade ne­ cesitatea ca p remisa minoră să fie afirmativă, obţinînd, de pildă, modul AOO-Cl :

­

Ama Ofun " . Oba

numai gazele sînt expansibile, unele elemente nu sînt gaze, unele elemente nu sînt expansibile. ·

'

.

Figura 2 s e poate realiza fără o premisă negativă, generînd astfel modul AAA-C2 :

Aam Abm . ' . Aba

numai acizii înroşesc hîrtia de turnesol, această substanţă înroşeşte hîrtia de turnesol, această substanţă este un acid. ·

' .

care este hotărîtor în operaţiile de recuno aştere şi cl a sific ar e a bie c tel or î n fi gur a 3 a p ar moduri cu ambele premise n eg a tive şi cu concluzia universală, cum este EEA-C3 : o

.

Ema Emb . ' . Aba

dintre animale, numai nevertebratele nu au coloana vertebrală oamenii nu sînt nevertebrate oamenii au coloana vertebrală ·

. .

Silogistica operat orie este susceptibilă nu numai de extensi­ une, înglohînd propo ziţiile exclusive, d ar şi de generalizare din­ colo de logic a claselor. î ntr-adevăr, transferul unor proprietăţi se poate realiza nu numai Între clase, cum este în c azul silogisti­ cii, ci Între orice fel de obiecte c are sînt ordo n ate p arţi al , adi­ că legat e printr-o relaţie care este reflexivă, a nti sim etri c ă şi 49

tranzitivă. Sa tisfac această condiţie totalităţile. ordonate parţi­ al prin relaţia întreg-parte . fenomenele� ordonate pal"ţial prin di­ verse relaţii spaţio-temporale, printre care şi relaţia c au z ală , propoziţiile. ordona te parţial prin relaţia de implicaţie etc. Se constituie astfel variate sisteme logice operatorii : logica clasia­ Iă operatorie ( silogistica operat orie) . mereologi a operatorie (lo­ gica totali tăţilor) , fenomenologica operatorie (logica fenomenelor) , logica propoziţională operatorie ş.a., care au la b a ză toate sche­ ma fundamentală : Pam Sba . · . Pbm

a posedă m b este secventul lui a . ' . b posedă 111,

Aceasta repI'ezintă operaţia logică tranzitivă, transfe rul proprie­ tăţii Între două obiecte logice. căreia i se alătură ca pereche operaţia logică constructivă. construcţia unui obiect din alte obiec­ te logice, vizibilă. de exemplu. În procedeele de clasificare şi divi­ ziune a conceptelor. Logica operatorie (LO) se divide astfel în două mari sectoare : logica operatorie tranzitivă (LOT) şi logica operatorie constructivă (LOC). Silogismul constituie prototipul inferenţelor tranzitive, după cum operaliile aritmetice (adunarea, scăderea etc.) se instituie ca modele ale inferenţelor constructive. 4. Alte modele

Model al'ea silogistÎcii atrage as tăzi numeroşi cercetători, ceea ce a condus la o mare varietate de soluţii, asupra cărora nu dispu­ nem încă de peri;pectiva necesară uncj evaluări categorice. Un interes deosebit pre zint ă modelul relaţional al lui P. Lorenzen.4o Adăugînd la relaţiile silogistice clasice (a, e, i, o) , relaţiile con­ verse ale lui a şi o (ii , () ) . rezultă şase relaţii silogistice , care prin operaţia de multiplicare a relaţiilor ne oferă toate schemele valide ale silogismului. Important este faptul că siste mul se dis­ pensează de axioma Iaa şi de sup oziţia existenţială generală. Mai semnalăm "calculul liniilor" al lui B. v. Freytag-Loring­ hoff41, o intere� antă meto dă diagramatică de de cizie, şi modelul 4U P. L o r e n z e n, Formale Logik, 2 AufI. , Berlin 1 9 6 2 , pp. 1 5 - 3 0. T o ii n, Le Strichkalkill d e B. von Freytag-Loringhoff et la Techcr­ che des pr emisses sous-en tendlls, "International Logi c Rey-iew", II, 4, 197 ] , pp. 2 1 9 - 2 41 . 41 T. V a n

50

nominal al lui F. Sommers42, care se străduie şte să restituie sil o­ gis ticii de mnit atea de piesă ce ntrală a logicii. Î ncercînd s ă co n ­ struiască silogistica prin procedeul deducţiei naturale Într-o versi­ u ne originală, Gh . Enescu a aj uns la concluzii semnificative .43 Modurile incriminate nu p ot fi derivate decît dacă se introduc . ,reguli de excepţie " (pe Care de altfel le reclamă şi modurile figurilor 3 şi 4) . Propoziţiile silogistice se tl'anscriu astfel :

SaP

=

SP

SeP

=

SP'

SiP

=

SP

SoP

=

SP'

Regula principală de deducţie este eliminarea termenului mediu, fiind permise substituţia termenilor extremi ŞI comutarea terme­ nilor şi a premiselor. Astfel :

AAA-l : (MP) (SM) � SP (MP) (SM)

==

(SM) (MP)

comutarea premiselor

(SM) (lVIP)

==

SMP

c o mprimarea expresiei

SMP � SP

eliminarea termenului mediu

Ulterior, T. J. Smiley a reuşit să formalizeze inte gral silogistica beneficiind de următoarele reguli de inferenţă :44

Aab, Abc Aac

Aab, Ebc Eac

Eb a Eab

A ba la b

Acestea sînt în fond axiomele de tip Lukasiewicz regîndite ca re­ guli deductive, ceea ce şi explică capacit atea sistemului. Menţio­ năm că şi silogistica operat orie foloseşte cu succes procedura de­ ducţiei naturale.

V. CONS ID E RAŢII FINALE Putem oare considera rezolvată problema traducel'ii silogisticii în limbajul l ogicii moderne ? Nu a sosit mo mentul unui răspuns pere mptoriu, de o arece investigaţiile sînt încă în desfăşurare. Din cele mai var iate poziţii se depun eforturi susţinute pentru o l'e42 F. S o ro ro e r s, The calculus of tenns, Mind, 79, 3 1 3, 1 97 0, pp. 1 - 3 9 , 4 3 G h. E n e s c u , U n form.alisme syllogistique, "Acta lo gic a", X I , 1 1 , 1 968, pp, 1 5 0 - 1 5 3 ; Filozofie şi logică, Bucureşti 1973, p p . 1 6 5 - 1 6 7 . 4-1 T. J. S ro i l e y, What is a syllogism?, "Journal of Phil osophic&l Logic", 2, 1 973, pp. 1 3 6 - 1 5 4. 51

prezentare cît mai fidelă a silogisticii în planul lo gicii simholi­ ce.45 Ceea ce se p oate afirma este doar opinia că, dintre modelele existente, cele mai reuşite par să fie din punctul de vedere for­ mal m odelele Lukasiewicz. Acestea sîn t traduceri care acoperă întreaga silogistică, fără să necesite intervenţia unor supoziţii suplimentare şi menţinîndu-se în apropierea sensurilor originare. Dar acest e înţelesuri ni se par că sînt expl'imate cel mai adecvat în silogistica op eratorie, care izbuteşte să dezvăluie operaţiile logice caracteristice celor patru figuri silogistice. Celelalte inter­ pretări suferă în genere de o antinomie metodologică46, pe care o putem denumi antino m ia sensului. Este opoziţia dintre fidelita­ tea traducerii şi integralitatea transpunerii : dacă urmărim să exprimăm înţelesul exact al funct orilor silogistici pierdem b ene­ ficiul acoperirii integrale a silogisticii, iar dacă dimpotrivă aspi­ răm Ia o traducere integrală sîntem siliţi să sacrificăm sensUl'ile originare ale functorilor silogistici. Este evident că aceşti functori nu pot fi adecvat formulaţi pl'in mijlocirea funct orilor logistici curenţi şi că, aşa cum a dovedit -o magistral J. Lukasie Wicz, se impune să-i reprezentăm prin relaţii specifice. Pe de altă p arte , merită relevate extensiunile silogisticii. î n posesia unor unelte formale puternice şi iscusite, silogistica nouă a surpat triumfăt oare barierele artificiale ale vechei silogi � tici. Silogistica modernă reuşeşte să opereze corect cu termeni negativi7 cu termeni vizi, cu termeni singulari, cu functori modali, cu n termeni, cu cuantificare piUIală, cu propoziţii exclusive etc. Este un spectacol impresionant şi dotat cu virtuţi practice. Impresio­ nează de asemenea avalanşa metodelor de decizie. Silogistica disp�ne astăzi de numeroase procedee decizionale de natură foarte variată, propoziţionale, clasiale, aritmetice etc. Efervescenţa acestora a prilejuit şi o punere la punct, care era necesară. S-a precizat ideea că a deţine un model într-o te orie nu semnifică numaidecît a aparţine acelei teorii.4 7 Unele modele au şi valoare teor�tieă, 4 6 Se argumentează ş i teza imposibilităţii d e a traduce fidel siIogistic� în limbajul logico-matematic, considerîndu-se că logica clasică şi logica matematică sînt formaţii eterogene, care nu s·ar putea substitui una alteia ; cf. A. S u r d u . Logica clasică ş i logica matematică, Bucureşti, Editura Ştiinţifică, 1971, p p . 7 1 - 87. 46

Pentru noţiunea de antinomie m etodologică v. P. B o t e z a t u, Valoarea Ed itura Ştiinţifică 19 7 1 , pp. 168- 169.

deducţiei, Bucureşti,

47 K. M. S a y r e, art. cit. , p. 240 ; S. V i e r u, Silogistica asertorică predicatelol'. "Revista de Filosofie", 1 8 , 1 9 7 1 , 7, pp. 886- 887.

logica

52

şi

semna1izÎnd o comunitate de esenţă, În timp ce altele (cele mai multe) implică doar v alenţe practice. Astfel, pentru silogistică, În prima categorie se înscriu doar unele modele pre dicat ive (ela­ siaJe �i relaţionale), pe cînd modelele propoziţionale ori aritmetice constituie numai instrumente de decizie.

BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ

O . , Syllogistic and Its Extensions, Englewod Cliffs , New Jersey,

1. B i r d, 1964.

2 . B o c h e n s k i, I. M.,

On the

categorical

syllogism,

Dominican

Stuaies,

1, 1 94B, pp. 3 5 - 57, reimprimat în A. Menne (ed.), Logico-Philosophical Studies, Dordrecht-Holland, 1962, pp. 1 5 - 39.

3. B o t e

z a t n,

P., Schiţă a unei logici naturale. Logică operatorie, Bucureşti

1969. 4. E n e

s c li,

Gh. , Filozofie şi logică, Bucureşti 1 973.

5. H i 1 b e r t,

D., A c k e r

m

a n n,

W., Grundz iige der theoretischen Logik,

5. AufI . , Berlin-Heidelberg-New York 1967. 6. H

u

G. E., Londey, D . G., The Elements of Formal Logic, London

g h e s,

1965. 7., K 1 a u

s, G.,

8. L e e,

H. N., Symbolic Logic, London 1 962.

Moderne Logik, 2. AufI., Berlin 1965.

9. L o r e n z e n, P., Formale Logik, 2. AufI., Berlin 1962. 1 0 . L li k a

s

i e wi c

z,

J., Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern

Formal Logic, Oxford, 1 9 5 1 , 1957.

I l . M e n n e, A., Logik und Existenz. Meisenheim 1954. 1 2. M e r e d i t h, C. A., The figures and moods of the n-term aristotelian syllo­ gism, "Dominican Studies" 6, 1 95 3 , pp. 42 - 47.

1 3 . M i I I e r, J. W., The Structure of Aristotelian Logic, L ondon 1938. 1 4 . M o i s i l,

G r.

C., Recherches

SUI'

XXV, 1939, reimprimat in Essais

le syllogisme, An.

Şt.

Univ.

Iaşi,

SUI' les logiques non chryspp iennes,

1,

Buca­

rest 1972, pp. 6 3 1 - 6 5 7. 1 5 . S a y r e,

K. M., Syllogistic

inference

within

the

"Notre- Dame Journal of Formal Logic", 5, 1964" 1 6 . S he p h e r d s o n, J. C.,

On

"Journal of Symholic Logic", 1 7 . S m i I e y,

T.

J"

the

propositional

calculus,

3, pp. 2 3 8 - 240.

interpretation of aristotelian syllogilitic,

21, 1956, pp . 137 - 147.

What is a syllogism?, "Journal of Philosophical Logic" ,

2, 1973, pp. 136 - 154.

lB . S t r

a li" S O n ,

P. F., Introduclion to Logical Thcory, Lon don 1 9 64. 53

1 9 . S u r el u, A., Logic a clasică şi logica matematică, Bucureşti 1 9 7 1 . � O . T h o m a s , L, CS(n) : An extension of CS, "Dominican Studies", 2, 1 949, pp. 145 - 160, reimprimat în M e n n e, A., op.cit., pp. 40 - 5 4. ţ u g a n, F 1., Silogistica judecăţilor de pl"edicaţie. Contribuţii, adaosuri, rectificări la silogistica clasică, Bucureşti 1 9 5 7.

21. T u

2 2 . V i e r u,

S . , Silogistica aseTtorică şi logica predicateloT, "Revista de Filozo­

fie", 1 8 , 1971,

7, pp. 879 - 8 8 7 .

T.

Dima

CONTROVERSELE i ND U CŢIEI

I.

PRECIZĂRI INTRODUCTIVE

Termenul de inducJie este transcrierea latină a t e rme nului epago­ Orga n o nwul aristotelic, care avea sensul de "a aduna la un loc unul cîte unul . " Totuşi, t e rme nul de in du c"ţie a be nefi ci at , în paginile Organon-ului, de mai multe a c c ep ţiuni . K eyne s [39, p. 274 ] şi Kneale [40, pp. 2 9 - 3 7 ] consideră că Ari s t ot el folosea termenul de "inductie" în două sensuri : inducţie sumativă (Analitica primă) şi ind ucţie intuitivă (Anali­ tica secundă) . Lalande [43, p . 3 şi p. 6 ] şi von Wright [66, p. 8 ] sînt de p ărere că în Topica apare al tr e ile a sens - inducţia ampli­ fiantă. într - a d e v ă r, în Topica est e definită inducţi a ca "ridicare de la in di vi du al la general ; de exemplu, dacă cel mai bun pilot este cel m ai pric e put în p rofe si un e a sa şi dacă acelaşi lucru este vala­ bil şi pentru vizitiu, atunci cel mai bun în genere este a cel care s e p ric epe în profesiunea sa" [5, 1, 1 2 , 105a ]. Considerăm că, în acest exemplu, Aristotel cuprindea d ouă aspecte ale inducţiei : a) atribuia o p rop rie t at e de la unii la toţi şi b) punea în cor ela ţi e d ou ă p ropri et ăţi care sî nt specifice unui număr de indivizi. E st e exprimată astfel , pentru prima dată, ideea stabilirii corelaţiilor dintre lucruri prin faptul că p os edă pro p ri et ăţi a s e m ăn ăt o ar e . De spr e a? est fel de inducţie Aristotel spunea că p ro c e dea z ă de l a cunoscut la necunoscut. în Analitica primă, analiza inducţiei este legată de t eo ri a silo­ gismului. Pentru a g ă s i termenul mediu se recurge la silogismul inductiv [3 , II, 23 ] , care leagă m aj or ul de mediu prin minor, ge, din

dar numai în cazul că minorul şi mediul sînt noţiuni echiva­ lente. Din nou apare ideea constituirii raţionamentului pe baza fap· tu]ui că aceleaşi obiecte posedă două propl'ietăţi diferite. Pentru a obţine o propoziţie generală trebuie ca minorul şi mediul s ă aibă aceeaşi sferă, adică s ă s e facă o enumerare completă a cazu­ rilor. în Analitica secundă, inducţia constă din extragerea univers alu­ lui din particularul cunoscut. în inducţie abstragem, "printr-un act de intuiţie, un adevăr general din consideraţii asupra instan­ ţelor particulare ale sale. Este esenţial pentru doctrina aristotelică faptul că cunoaşterea particularelor este posibilă numai printr-o percepţie senzorială [4, 8lb, 6 ] . Lucrările de logică inductivă menţionează de obicei numai primele două feluri de inferenţă inductivă. Astfel, inducţia care procedează printr-o enumerare a tuturor cazurilor" este numită " completă sau sumară [40, p. 30 ] sau sumativă [36, vot II, cap. IX, §l l. Două obiecţii au fost aduse inducţiei complete :

1. Unii logicieni (B. Erdmanp [26 ], J. St. MiU [45 ) au contestat inducţiei complete calitatea de raţionament, deoarece al' fi o simplă Însumare de cunoştinţe, nu ar da o concluzie nouă. I.... ogicianul rus Rutkovski a demonstrat că inducţia completă este un raţionament: deoarece genul cîştigă o notă nouă, îşi măreşte con­ ţinutul. De exemplu, "dacă fiecare planetă reflectă lumina solară, atunci toate planetele reflectă lumina solară". Astfel, genul cî ş tigă o notă nouă în conţinutul său, prin faptul că această notă aparţine fiecăreia din speciile sale [apud 59 ]. 2. Alţi logicieni, deşi admit că inducţia completă poate primi forma unui raţionament, acesta, în nici un caz, nu p oate fi induc­ tiv. Astfel, Bochenski, făcînd o clasificare a tuturor raţionamente .. lor inductive, include inducţia completă în clasa inducţiilor neau­ tentice, deoarece concluzia rezultă cu certitudine [8, p. 1 07 ] . Este adevărat c ă inducţia completă ia forma unui silogism de figura a III-a, În care premisele sînt judecăţi conjunctive :

(1)

Xl'

X2 ,

Xl' X2'

' , " •

•

•

,

xn

pos e dă

XJl

formează clasa A

A posedă 56

F,

F

dar concluzia nu este particulară ca În figura a III-a, ci exprimă

faptul că o clasă În totalitatea sferei sale posedă o notă, cîştigată

prin reuniunea speciilor sale. Considerăm deci, că nu este impropriu să numim inducţie inducţia completă, chiar dacă îmbracă forma deductivă, în sens de raţionament cert. Ea face trecerea de Ja inducţie la deducţie şi are un rol important în determinarea legilor intermediare, acelea de generalitate mijlocie care l'eunesc cîteva specii într-un gen. Dealtfel, elementul "problematic" al inducţiei complete se află în premisa minoră care spune că elementele enumerate epuizează sfera genului ; de fapt, oricînd se poate ivi Xn +l care s ă aparţină lui A, dar care să nu posede F. în matematică, se recurge la induc­ ţia completă ori de cîte ori cazul general nu poate fi demonstrat dintr-o dată, ci trebuie descompus în cîteva specii. Dacă teorema este adevărată pentru fiecare din aceste specii, ea este adevărată şi p entru cazul general. Inducţia în înţelesul dat de Arist otel în Topica este tradiţional numită incompletă. Ea a mai fost numită şi problematică de către Johnson [36, voI. II, cap. VIII, §l ]. Noi o vom numi ampliJiantă în acord cu Peirce [49, cf. 66, p. 9 ] , Lalande [43, p . 6] şi Kneale [40, p. 44 ]. Inductia în sensul A naliticii secunde a fost numită abstractivă sau int ';'itivă [36, voI. II, cap. VIII ] şi ea este o facultate a intelectului extrem de semnificativă pentru epistemologie. şi filozofie. Este vorba de actul intelectual caTe asigură ascensul de la fenomen la esenţă, la lege. II. INDUCTIA AMPLIFIANTĂ SI GENERALIZAREA .

.

Inducţia amplifiantă este tipul de inferenţă prin care, din fap­ tul că ceva este enunţat despre unii membl'i cunoscuţi ai unei clase, conchidem că acelaşi lucru se poate enunţa şi despre membrii necunoscuti ai clasei. Dacă co � cIuzia este aplicată Ia un număr nelimitat de membri necunoscuţi ai clasei, inducţia conduce la o generalizare. Enunţarea generaliz ărilor este scopul fundamental al inferenţe­ lor inductive, de aceea, inducţia este deseori înţeleasă ca ascensul de la p articular la general, sau de la enunţuri mai puţin generale la enunţuri mai generale. Pe de altă parte, enunţarea generalizărilor nu este scopul exclu­ siv aJ inferenţelor inductive. Ele pot fi şi extrapolări la un număr 57

lÎlrtitat de membri necunoscuţi ai clasei ; de exemplu, la membrul in�ediat următor. Este inferenţa inductivă de la particular la p art ic ular pe care a de,woItat-o Mill [45, cartea II, cap. Iv, §2 şi §3 ] . Ea a fos t numi tă educţie de că tre Johnson [36, voI. II, cap. IV ] . Ambele cazuri d e inferenţă inductivă, atît cel d e l a particular la general, cît şi cel de Ia particular la particular, pot fi incluse în definiţia aris t. otelică a inducţiei, ca inferenţă de la cunoscut la necunoscut, din Topica. Această definiţie include şi il1ducţia ca i nferenţă de l a tl'eeut la vii tOl' şi de la prezent la trecut. Generalizările la care inducţia amplifiantă ajunge sînt de mai multe feluri [66, pp. 3 -8 ] :

1. Cazul cel mai simplu îl constituie generalizarea care ia unei judecăţi categorice universal-afirmative : "Toţi A sînt B" ; sau, cu ajutorul cuantificatorului universal : forma

(2)

(x) [Ax

�

Bx ]

" pentru orice x, dacă x este A, atunci x este B". Dacă predicatele A şi B sînt termeni identici, atunci implicaţia ia fOl'ma unCI echivalenţe : (3)

(x) [Ax

�

Bx l.

Dacă cel puţin unul din predicatele A şi B au mai multe argu­ mente, atunci Între ele poate exista o anumită relaţie : (4)

(x)(y) [Ax . Ay

�

B(x, y) ].

"Pentru orice x şi pentru orice y, dacă x este A şi Y este A, atunci x este În relaţia B cu y. " . Maj oritatea legilor din fizică şi astronomie enunţă generali­ zăl'i care exprimă r elaţii Între obiecte şi nu apartenenţa proprietăţi­ lor la obiecte. Dacă genel'alizarea se referă la ordinea obiectelor, ea va avea următ oarea formă :

(5)

(x) (y) [F(x, y)

�

(Ax

�

By) ]

unde F este relaţia care stabileşte că x şi y formează Împreună o pereche ordonată. _ L�gile cauzale sînt de obicei exprimate prin astfel de generaliz�ri. 5Ş

Specificul formulelor (2) - (5) e ste că ele sînt impli c aţi i gen era­ le sau echivalente ca re necesită n u mai cuantificat orul univers al . în acord cu Key�es [39, p . 220 ] , von Wright le nume şte inducţii unive rsale sau geneJ"alizări u niversale. 2. Opuse generalizărilor uni ve rsale sînt acele generalizări în care noi inferăm că ceva va fi adevăra t nu despre toţi membrii unei clase, ci despre o oarec ar e p arte din ei. Aceste inducţii au fost numite sta ti sti ce sau generalizări statistice. K eynes [39. p . 220 ] le numeşte corelări inductive, iar Mill [4·5, cartea III, cap. XX ] - " generalizări aproxi mative " . Generalizările statistice enunţă că proprie t atea B ap arţine unei anumite părţi din membrii clasei A. De exemplu, generaii­ za re a statistică asupra morta!ităţii, care spune că din 1000 de oameni în viată, n vor muri la k ani . Generalizăriie statistice nu afjrmă nimic sigu r despre un anu­ me individ ; de exemplu, di n afirmaţia că la fie c a re 1000 de fran­ cezi În viaţă vor muri 1 2 1 la vîrsta de 47 de ani, nu reiese n im i c î n privinţa morţii lui x care din întîmplare are 47 de:. ani . Generalizările statistice au un rol important în cercetar ea ştiinţifică , atît în ştiinţele sociale, cît şi în fiz ica matematic ă . Expresiile simbolice ale inducţiilor statistice conţin amb ii cuantificatori : universal şi existenţial, de aceea, ele nu p ot fi nici verificabile nici falsificabile : (6)

(x){ Ax

�

(Ey) [By . R(x, y) ]}

"pentru orice x, dacă x este A , atunci există cel puţin un y astfel încît y este B şi x este în r elaţia R cu y". III. ALTE TIPURI DE INDUCŢIE 1. Din punct de vedere al succesiunii lor, inducţiile sînt p rim are şi secundare. Această dihotomie a fost elaborată de J. Nicod pe baza constatării că o inducţie care are printre premisele sale concluzia unei alte inducţii se numeşte secundară. Altfel, este primară [46 l. în mod deosebit, sînt secundare toate inducţiile pentru Care s-au enunţat ipoteze adiţi onale de limitare a cazurilor de elimi­ nat, şi sînt primare i nducţiile care se bazează pe procedeul simplei enumerări. ReluÎnd dihotomia lui Nicod, Bochenski va folosi drept funda­ ment scopul pe Care inducţiile îl urmăresc. Inducţii1e primal;e 59

conduc la ipoteze sau la legi, i ar inducţiile secundare la teOl'ii [8, p. 108 l. De aici urmează locul şi rolul inducţiilor În consti­ tuirea ştiinţelor naturii. Văzută schematic, dezvoltarea unei ştiinţe a naturii este urmă­ toarea : punctul de plecare îl formează enunţurile protocolare care compun o clasă ne ordonată, mereu predispusă a-şi mări sfera. Cu ajutorul procedeului simplei enumerări, au loc inducţii pri­ mare pentru inferarea unor enunţuri mai generale care să explice enunţurile protocolare, Atîta timp cît aceste generalizări nu sînt verificate, ele se numesc ipoteze. După verificare ele devin legi ştiinţifice, în acest fel, cel de al doilea nivel al constituirii ştiinţe­ lor :naturii este realizat prin enunţ are a, printr-o inducţie primară, a ipotezelor şi legilor. Al treilea stadiu Îl constituie explicarea legilor, prin formula­ l'ea unor enunţuri şi mai generale, care se constituie în teorii, cu aj utorul inducliilor secundare, b azate îndeosebi pe pro cedeul eliminativ. 2. Dacă generalizările se referă numai la concomitenţa obiec­ telor, inducţiile sînt calitative, dacă generalizările se referă la dependenţa lor funcţională, atunci inducţiile sînt cantitative. "Tabelele" lui Bacon şi "canoanele" lui Mill sînt exemple tipice de inducţii calitative. Ele se b azează pe relaţia de concomitenţă cal'e controlează raporturile de condiţionare suficientă sau/ şi necesară. în ştiinţele ajunse la un stadiu Înalt de dezvoltare, se stabilesc, prin inducţii cantitative, legi funcţionale. Ele sînt de forma urmă­ toare : pentru orice A, F şi G unde F şi G sînt proprietăţi ale lui A mărimea lui F este funcţie (matematică) de mărimea lui G. Un exemplu clasic şi simplu este legea căderii corpurilor : viteza căderii corpului este funcţie de timpul de cădere a cor­ pului. Cum arată Bochenski, aceste legi funcţionale implică o dublă generalizare. în Pl'imul rînd, există o referinţă la toţi A, adică la toate corpurile care cad ; în al doilea rînd, există funcţia mate­ matică, adică generalizarea care arată că toate mărimile de un anumit fel sînt coordonate cu mărimile de un alt fel [8, p . 106 l . Raporturile d e condiţionare suficientă sau/şi necesară pot fi exprimate şi prin intermediul legilor funcţionale. O dovadă o constituie încercările lui J ohnson, care, folosind ca relaţie cova­ rianţa cantitativă a fenomenelor, a stabilit dependenţe funcţio­ nale Între unul sau mai multi ' factori antecedenti si un secvente El a construit şi formalizat patru figuri : diffe ;e";ce, agreement, -

-

60

composition, resolution ( diferenţă, concordanţă, compunere, des­ compunere) , în cea mai mare parte deosebite de "canoanele" lui MiU şi destinate treptelor superioare ale cercetării ştiinţifice [36, §9 - §12 ]. 3. Inferenţa inductivă, cînd ia forma "silogistică", este consi­ derată inducţie demonstrativă. MiU a fost primul care a atribuit metodelor inductive şi o valoare demonstrativă [45, cartea III, cap. IX, §6 ] . Această pretenţie a lui MiII a fost puternic criti­ cată. S-a spus că, deoarece are caracter probabil, inducţia nu poate fi demonstrativă [2 1 , pp. 370 -71 ] . Doar dacă s-ar funda pe un raţionament mixt : inductivo-observativo-deductiv, met o dele lui Mill ar putea testa cu cer titudine ipotezele [41 , p. 366 ]. Critica valorii demonstrative a met odelor lui Mill a căpătat forma cea mai puternică la N. R. Campbell [17, pp. 85 - 88 ] . Obiecţia că metodele lui Mill n u posedă valoare demonstrativă trebuie privită cu circumspecţie. Ea iZvOl'ăşte, în mare măsură, din prejudecata neopozitivistă care restrînge sfera conceptului de demonstratie la modelul deductiv. Numai în acest sens restrîns se poate susţine că metodele inductive nu au putere demonstra­ tivă. într-un sens mai larg, care este în deplin acord cu linia dezvol­ tăr�i ştiinţei contemporane, nu se poate refuza argumentărilor sprij inite doar pe probabilităţi capacitatea demonstrativă. S-au făcut mai multe încercări de stabilire a condiţiilor în care inducţia problematică devine demonstrativă. Dintre acestea semnalăm contribuţiile lui W. E. J ohnson [36, partea II, cap. X, §1 şi § 2 ] şi C. D. Broad [15, pp. 127 - 15 8 ]. W . E. J ohnson consacră ultjmele două capitole din Logic indu c ţiei demonstrative. Cum sugerează chiar numele ei, această formă de inferenţă este demonstrativă, deoarece concluzia decurge în mod necesar din premise şi este inductivă, deoarece concluzia este mai generală de cît premisele. Scheletul acestei inferenţe îl formează o inferenţă ipotetico­ ca'egorică, de forma modus ponendo-ponens : (7) Dacă A, atunci B A , · .B

în care posibilitatea de a ajunge, pe cale demonstrativă, la o concluzie mai generală decît premisele depinde de natura pr c m.i­ sei majore. Aceasta este o propoziţie ipotetică compusă, în care antecedentul este de forma unei propoziţii categorice particulare 61

sau s:in gul are , iar s e cventul de forma unei pr o p o z i ţ i i cat e g o rÎ (' ('

uni ve rs al e .

J o hns o n

c onst ruit trei moduri al e indu cţiei demonstratiye . mod cu următ Ol'ul ex e m plu : "Dacă gazul Hidro­ gen po at e fi lichefiat, atunci orice gaz p oate fi lichefiat ; Dar gazu 1 Hidrogen poate fi lichefi at ; Deci toate gazele pot fi lirhefiate". a

Ilustl"ăm pri mul

Pornind de Ia acest exemplu, ci tat de Broad, am arăt at , într-o

no astră [2 3, p p . 166 -175 ], că ante e e de nt u1 (Hidrogenul, pen tru că ee te cel m ai uşor şi cel m ai " gaz o s " dintre g a z e ) şi d e a('c('a , e l a si g ur ă ge ne rali z ar e a ( " T o at e g a z el e s e l i chefi a z ă" ) . PremÎ fO U m ajo ră ar vrea să spună c ă , de oarece chiar a ce st element are o anum it ă proprietate, atunci to ate celelalte elemente ale cla�'ei vor ave a propriet at ea a fOTtiori. În s tr ă d ani a noastră de a expri ma a s p ect ul ex c epţi o n a l al ant e ­ c e d entull.li , am apelat l a descripţiile hotărîte, acele expresii care, al t ă int erven ţ.ie a

pr e mi sei maj o re s e referă la un caz ext re m

p otrjvit

ce

lui

Rus sell

[57, pp. 99 -100 ],

co nvj n e în exclusivit ate

m ai

uşor

u nu i

individ

d eno t ă

o

determin are

(.,Hidrogenul e s te

erl

gaz " ) .

Î n felul a c e st a, devine vizibil c ă , ceea ce ap ă r e a c a o si mplă at ribui re a unui p redi cat unui subiect ("Hidro genul se li chefia � ză"), este de fap t o c o nj uncţie de trei enunţuri , dintre care două asertează e xi s t e n ţ a unui obiect ca s i n g urul c a re p o s e d ă determi ­ n a ţia s p e c ifi c at ă de d c s cri pţ i e , iar cel de al treilea atribuie obie c­ tului. a s tfe l indivi dualizat o p r o prie t a l e sau o relaţif' cu al tf� obiecte.

Johns on s-a �;i

b aza t

for mali z a cele 4-.

Din punct de

pe i n ducţia demonstrativă p e nt ru a cGll&trui

p a tru figuri

� minti te În p ar a gr aful anteri or.

ve de re al procedeului pe c a re Îl incl u d ,

i n due ţ i i ­

enumerative şi eliminative. Inducţia p ri n simplă enumerare permite ge ne r ali za re a prin a c um ul area de enunţuri care e x pri m ă apartenenţa unei Însu�iri le sînt

la un numă r mereu crescînd de ele men te ale unei cl ase. Fi e c Cll" t' element car e p o sedă În suşirea a du ce un s p o r de

p r o b ab ilit at e , se a tin g e certitudin ea , eu exC'epţi a c a zului cînd au fo :,t examin ate t o ate ele ment ele cl a s e i . D a r, în a c e s t c a z , i nducţi a pri n si mp l ă enumerare se transformă in i n d uc ţie c omple at . D at o rit ă coin cid enţei fo rt uit (' , mai multe el e mente pot posed a ac e e a şi însu şir e în m o d a c ci d e nt al ; de aici, tendi nţ a , in au gUl' ată de F. B a con şi p e rp e tu at ă pînă în zilele no astre , de a c o nsi der a inducţi a prin simpl ă enumerare ca fijn d . , v ulg a r ă" şi " neş tii n ţi ­ fic ă"� şi de a o sur gh iuni la periferia ştiinţei. Ră mîn t otuşi, ca un d ar fă!'ă

62

a

hun cîşti g at pentru te oria inducţiei, analizele p ert ine nte şi to ni c e pe care J. Nicod le - a făcut ac e stui pro cedeu. Din pă c ate , el a ar gu m ent at î mp o t riva pr o c e d eului eliminativ, subl iniind u- i nu­ mai limitele . " Se c o nsid er ă de o b i c ei, spune Nicod, că m et o d a de elimin are este singur a cu a de v ă r at ştiinţifi c ă , deoarece pe rmite e nunţul concluziilor riguroase. Dar ac e as t ă tră sătură îi aparţine numai în m od abs tract şi cu condi ţia de a nu admite c o m p l e xi ­ t atea şi p l u ral it a t e a cauzelor. Î n ce r c are a de a utiliz a în mod practic, în p r o c e s ul real de i n v es tig a ţi e ş Liinţifică, p r o ce d e ul elimina tiv rămîne fără rezultat , deo ar e c e numărul infinit al circumstanţelor unui fen o me n trebuie redus la un număr finit şi această o p e r a ţ ie se re alizează numai p ri n induc ţii p ri mare a căror sferă o fo r me a z ă s i mp l a enumerare. " Pentru a-i construi o formă lo gic ă , Nico d a făcu t ap el l a n oţ i u ­ nea de probabilitate din concepţia lui Keynes, as up r a căreia v o m revenI.

Dintre apărătorii mai noi ai i n d u c ţiei prin si mp l ă trebuie ne ap ă r at amintit Braithwaite care consideră rea joacă un rol din c e în ce mai p uţin imp o rt ant ştiinţei, p r o gres ul ei rezultînd mai m ult din serii de decît

din

falsifi cări

enumerare, că elimina­ În pr act ica confirmări,

[14 ] .

Cert e s t e că inducţia prin simplă enumerare ocupă un l o c i mp or ­

în p ra ct i ca ş tiinţei, fiind utilizată, al ăt uri de an al o gi e , la construirea ip o tezelor, şi, prin a c e as t a , ea este un auxiliar p reţi o s al i n d u c ţ iei eliminative. în m atem ati c ă , multe ipoteze s - au ivit pe cale a in du c ţie i enumerative : să amintim ip o te z a lui G. Polya conform căreia numerele par fa c to ri zab il e sînt în minoritate fa ţă de cele i mpar fact oriz abile . lnducţia prin eliminare nu p r et i n de m ulti pli c are a enu nţ uril o r d e s pr e elementele unei cl a s e , ci di mp ot rivă, sînt eliminate ip o ­ te z el e i ni ţial posibile asupr a u n ei s itu aţi i date. N um ărul enunţu­ rilor luate În con s id era ţi e nu este imp ort ant , ci felul l o r, adică varietatea fe nomenelor î nre gis t ra te . "T ab el el e " lui B a c o n şi m et o d ele lui MiU sînt cazuri s pe ciale de a pli c a re a in du cţi ei p rin eli mina re . E x a minînd p r o ce de ul e li min at iv, din p unct de ve d e re al lo gi c ii moderne simbolice, von Wright [66, c ap . IV, §3 - §8 ] a re uşit să es timeze valoarea p r o c e de ul ui pentru pr oblema jus tificării in du c ţie i şi a ajuns la d e sco p eri r e a naturii l og i c e a i n d u cţiei eli­ minative în g ene ral . Să pre supunem că trebuie să stabilim că dintr-un număr n de 'ipoteze formulate asupra proprietăţilor iniţial p o s ib il e ale t an t

63

unui fenomen x� numai una este adevărată. Pentru a o gasI s e procedează prin eliminare. Adică s e const ată că dacă A(x) esl e p osibil, atunci nu este po sibil C(x) . î n virtute a legii :

(p . q) � (p

(8) se respinge

(9)

�

q)

implicaţia : (x) [(Ax)

�

(Cx) ]

Analog s e respinge impli caţia :

(10)

(x) [(Ax)

�

(Dx) ]

şi aşa mai departe ; de unde concluzia :

(Il)

(x) [(Ax)

�

(Bx) ].

Aplicînd acest proce deu Ia meto dele inductive, v o n Wri ght stabile�te că meto d a concordanţei reuşeşte să determine condiţia necesară, iar met oda diferenţei, condiţia suficientă. Generali­ zarea (10) p o ate să se refere fie la aflarea condiţiei neces are a lui A(x). fie la aflarea condiţiei suficiente a lui B(x) . Astfel, cu aju­ torul meto dei conc ordantei se studiază divel'sele observatii care serves c la eliminarea � tot ceea ce nu este prezent cînd es� e prezent A(x). Se elimină deci, t ot ceea ce nu este o condiţie nece­ sară a prezenţei lui A(x) , spre a constata că condiţia necesară pentru ca A (x) să fie prezent este să fie imp osibil de eliminat prezenţa lui B(x), cînd A(x) este prezent.

Cu ajutorul met odei difer enţei se studiază diversele observaţii care servesc la elimin are a a t o t ceea ce ap are, cînd A(x) nu este prezent. O dată eliminarea efectuată, rămîne numai ceea ce dis­ pare cînd A(x) dispare de asemenea, adică condiţia suficientă ca A(x) să ap ară este ca B(x) să apar ă, cu alte cuvinte, este imp o­ sibil c a B(x) s ă apară şi A(x) să nu apară.

Pentru ca procedeul eliminativ să-şi îndepline ască serviciile, trebuie mai Întîi să se lămure ască următo arele două chestiuni :

1. Este logic p osibil, numai prin eliminare, să se respingă " toate ipotezel e concure nte, afară de u n a singură, care să fie o condiţie ne cesară sau suficient ă? �

2.

zele 64

•

Este po sibil să se determine, Într-un caz dat, că toate ipMe ­ concurente, afară de una singură, au fo st eliminate?

Dacă vrem ca procedeul eliminativ s ă atingă cer titudinea şi să ajungă la concluzii adevărate, atunci este necesar şi suficient să se răspundă afirmativ la ambele întrebări. La ploima întrebare se p o ate loăspunde afirmativ, deoarece in­ 2, deci Într-o logică oarecare Ln, care se bazează pe mai mu It de două valori de adevăr, toate celelalte valori de adevăr, intermediare ÎntI"e adevăr şi fals, vor fi desemnate prin fracţii raţionale existente între intervalul dintre 1 şi O. As tfel, în logica =

=

{ ; , O} unde ;

trivalentă Lukasiewicz - Tarski, V3= 1,

semni­

fică probabilul sau posibilul, valoare de adevăr intermediară între adevăr şi fals. în mod analog, se poa.te s tabili că, dacă n = 2 2 1 . 1 . . menIte · , - , O ,Iar - SISInt fractn 4 , aLunCI Vn = 1 , ' =

.

{

3

-

3

}

3

•

3

A

-

să exprime grade diferite de probabilitate: � o treaptă de pro3

babilitate mai apropiată de valoarea de adevăr adevăr,

1

3

-

Uil

alt nivel de probabilitate, mai apropiat de valoarea de adevăr fals. Nu există nici o îndoială că procedînd după modelul de mai sus, este simplu a determina elementele mulţimii Vn oricît de mare ar fi numărul n, mai precis oricît de mare ar fi numărul valorilor de adevăl· pentru care stau variabilele propoziţionale p, q, r, .. . într- o logică polivalentă Ln oarecare. Pe de altă parte, modelul algebric introdus pentru a cal�ula elementele mulţimii 110

Vn, prin urmare şi numerele întregi sau fracţiile ob-ţinute ca semne pentru valorile de adevăr, constituie una din alegerile posi­ în acest sens, ·altcineva ar putea alege un alt sistem de no­ tare a valorilor de adevăr, fără ca aceasta să afecteze cu nimic consistenţa calculului asociat unei logici oarecare Ln. De exemplu: aşa cum în cazul L2, E.L. Post foloseşte t pentru 1 şi f în loc de O ( de la cuvintele englezeşti truth şi false), tot aşa, pentru valorile de adevăr specifice lui L4, ar putea fi folosite, în locul celor de mai sus, cifrele 1 , 2, 3, 4. De altfel, chiar aşa procedează şi C. I. Lewis [14, pp. 493 -494 l. După cum semnele grafice pe care le folosim pentru a desemna valorile de adevăr specifice unei logici polivalente oarecare pot să difere de la un autor la altul, la fel, operat orii adoptaţi ca primitivi pentI'u calculul as ociat acestei logici pot fi, la rîndul lor, diferiţi. Dar, dacă alegerea simbolurilor utilizate ca semne pentru valorile de adevăr pentru care stau variabilele propoziţio­ nale din Ln, nu afectează nici teoria şi nici calculul logic, cu excep­ ţia felului în care ele ni se înfăţişează, alegerea unor anume operatori primitivi în locul altora are consecinţe importante pen­ tru construirea calculului asociat unei logici oarecare. Printre acestea, avem în vedere o caracteristică comună pentru logica standard şi pentru cea polivalentă standard: alegerea operatori­ lor primitivi determină imediat - şi într-un caz şi în altul - ale­ gerea anumitor axiome şi definiţii drept specifice calculului logic corespunzător. Tocmai în acest sens A. N. Prior Înregistrează pe�te 20 de grupuri diferite de axiome (unele presupun diferite variante) şi aceasta numai pentru fragmentul logicii propoziţii­ lor din logica standard [17, pp. 301-307]. Deosebirea astfel instituită nu este de loc superfluă, deoarece alegerea unor axiome În locul altora influenţează dire ct nu doar gradul de simplici­ tate şi accesibilitate a unui calcul logic, ci şi aplicabilit atea sa în rezolvarea anumitor probleme ridicate în cadrul te oriei logice căreia el îi este asociat . . în plus, lucrul cel mai important - nu doar în acest context­ es te că, uneori, două logici polivalente par a fi construite cu aceiaşi operatori primitivi. Un examen mai atent ne va convinge însă că e vorba de o simplă aparenţă întrucît "aceiaşi" operatori, în termenii valorilor de adevăr, sînt altfel definiţi, în fiecare caz În parte. Ştiind că, în general, orice logică polivalentă se intro­ duce prin intermediul tabelelor de adevăr (matricilor) , menite să definească operatorii primitivi utilizaţi în calculul asociat, pent.ru a ne da seama de acest lucru, este suficient să examinăm bile.

111

cu atenţie tocmai matricile în cauză. în cele ce urmează, vom prezenta cîteva exemple în acest sens. Vom lua ca termen de com­ paraţie sistemul L3(LT), adică logica trivalentă Lukasiewicz Tarski. Asemănător calculului bivalent pe care el l-a construit pentru logica standard, J. Lukasiewicz a ales drept operatori primitivi pentru L3, implicaţia materială (Cpq = "dacă p, atunci q") şi negaţia (Np = "non-p" sau, "nu este cazul ca p"). În baza mo­ de lului algebl'ic ales, se ştie că mulţimea valorilor de adevăr V3 asociată lui L3(LT), conţine drept elemente do ar valorile 1,

� , O.

Cu alte cuvinte val'iabilele propoziţionale din alcătuirea

formulelor lui L3(LT), vor putea lua una din aceste trei valori de adevăI'. Se impune acum în mod imediat, completarea modelu­ lui algebric ales pentru a stabili modalitatea de evaluare a for­ mulelor bine formate (fbf) din L3(LT). Mai întîi, valoarea lui Np, negaţia lui p (p este o pl'opoziţie oarecare), se calculează după formula: Np = (1 - p) prin urmar e, dacă p este o propoziţie oarecare adevărată adică p = 1, atunci Np = O, dacă p este o propoziţie probabilă

(p �), atunci Np= �, iar dacă p este o propoziţie falsă (p= O), =:=

atuDci Np = 1. P'mtru a evalua formula Cpq (implicaţia materială de la p la q) se apele ază la expresia min [a, b,], care desemnează în algebră pe cel mai mic dintre numerele a şi b, sau faptul că ele ar fi iden­ tice. Pornind de aici, valoarea de adevăr a lui Cpq se estimează în conformitate cu formula: Cpq = min [1 , (1 - p) + q] Pornind de la ace astă formulă este uşor a arăta ca In cazurile în care p şi q ar fi doar adevărate sau false, formula Cpq ar fi la rîndul ei doar adevărată sau falsă, conform matricii : .----. 1 O q

o

1 12

care defineşte implicaţia matel'Îală în L2, adică în logica standard.

� , aşa cum este cazul în L3(LT), atunci formula Cpq va fi probabilă ( � ) , adică nici adevărată şi nici falsă, în două cazuri: cînd p 1 şi , ClnA d p -I , Iar , q ' � utllzln O. î n conseCInta, 'l' d metod a q= în schimb, dacă p şi q vor putea lua şi valoal'ea

=

1 SI -

=

2 '

'

=

2

A

matricilor, în cadrul lui L3(LT), negaţia şi implicaţia materială vor fi astfel definite:

Npl

1

O

2

2

O

I 1 21 O 2

Cpq

1

1

O

1 12

2 O 111

în L3(LT), alături de operatorii primitivi C şi N, J. Lukasiewicz a introdus şi alţi operatori, K (conjuncţia, Kpq = "p şi q"), A (disjuncţia, Apq "p sau q, posibil ambele") şi E (echiva­ lenţa, Epq "p este echivalent cu q"). Aceşti operatori ne­ fundamentali primesc în cadrul lui L3(LT) următoarea carac­ terizare matricială:

=

=

KI120 A I ....:..1 1 1 _

2

2

2

2

o

O

O

2

O

2

---

1

o

o

O

2

O

2 2 2

2

2

2

O

O

O

1

o o 1

2

2

în termenii modelului algebric ales, valoarea conjuncţlel se min [p, q], iar a disjuncţiei calculează după f mula Kpq max [p, q]. în cazul echivalenţei devine după formula Apq q, iar atunci cînd p #­ clar că Epq = 1, dacă şi numai dacă p min [p, q], ceea ce Înseamnă că echivalenţa este ::f q, Epq

or

=

=

=

=

113

adevăl'ată atunci şi numai atunci cînd componentele ei au aceeaşi valoare de adevăr; în condiţiile în care ele ar avea valori de adevăr diferite, valoarea echivalenţei este egală cu cea mai mică din valorile de adevăr ale componentelor ei. Acest lucru se p(late exprima şi prin formula:

Epq

=

min{min[1,(1 - p) + q], min[l, (1 - q) + p l }

ale cărei soluţii ne conduc la matricea lui E de mai sus. Revenind la matricele ce caracterizează pe N, C, K, A, şi E pentru L3(LT), este uşor de remarcat că eliminînd din ele şirurile şi coloanele ce corespund valorii � se obţin matricile aceloraşi 2

operatori în cadrul lui L2, adică în cadrul logicii standard. De aici rezultă concluzia după care operatorii din L3(LT) sînt rezul­ taţi printr-o generalizare a operatorilor logicii standard, impusă, evident, de introducerea unei noi valori de adevăr: probabilul

I �!'' \ 2

între adevăr (1) şi fals (O).

Pare deci fiTesc a încerca să desprindem cîteva aspecte semni­ ficative cu privire la raporturile dintre L2 şi L3(LT). Se ştie, de pildă, că în L2, cu ajutorul unor expresii speciale numite defi­ niţii; operatorii nefundamentali pot fi redaţi prin cei primitivi. Astfel, în calculul construit chiar de J. Lukasiewicz pentru L2, c-unoscut sub numele mai simplu "calculul CN", următoarele expresii: (1)

E(Kpq) (N CpNq)

(2)

E(Apq) ( C Npq)

(3) E(Epq) (KCpqCqp) * sînt legi logice, adică, interpret.ate pe baza matricelor corespunză­ toare, au valoarea 1, indiferent care ar fi alegerea de valori pentru p şi q. Se ştie, după cum am mai arătat, că lui L2 îi cores­ punde V2 {l, O}, în timp ce lui L3(LT) îi corespunde V3 =

=

=

{ l, �, O}. Menţionăm de asemenea că definiţia legii logice este

aceeaşi, atît pentru L2 cît şi pentru L3(LT): legea logică este o * Deşi în sistemul de scriere al lui J, Lukasiewicz folosirea parantezelor nu se impune în mod strict, noi le-am introdus cu scopul de a facilita citirea acestor formule, pentru cei nefamiIiarizaţi cu "scrierea poloneză".

1"14

expresie care estc Întotdeauna adevărată (primeşte valoarea 1) pentru orice valori de adevăr ale val'iabilelor ei componente. În aceste condiţii, se poate stabili că primele două definiţii din L2, adică expresiile (1) şi (2) de mai sus, nu sînt legi logice În L3 (LT) ceea ce devine evident, dacă pI'esupunem, în ambele cazuri, că atît p, cît şi

(

E K 22

=E

q

ar avea valoarea �; astfel, definiţia (1) devine: 2

2.)( NC 2. N� ) = E ( K �2. ) ( NC 2.2.) 2J\

2

2

2

2]

2

2

=

11) (NI) = EK--O =E- 0=-, ( -!(

2

Il

2

2

2

1

2

1

2

iar definiţia (2):

E (A � �)( CN + �) = E (A � �) ( C ; + ) =EA��l=E�l=�' 2

2

2

=

2

Prin urmare, în L3(LT) expresiile (1) şi (2) îşi pierd caracterul

(

de lege logică pentru că, cel puţin într-o interpretare p q

= "21

)

'

=

�

şi

In " au va1oarea 1 , ad"lea- nu sInt adevarate e 1e nu mal A

"

această interpretare a variabilelor lor componente. Din expresiile citate mai sus, doar cea de a treia îşi păstrează şi în L3 (LT) caracterul de lege logică. Dar, dacă lucl"urile stau astfel, întrucît, deşi nefundamentali, nu putem totuşi renunţa la operatorii J( şi A (anumite teoreme din L3(LT) îşi află o exprimare convenabilă doar prin conjunc­ ţie sau disjuncţie), se impune o redefinire a acestor operatori prin C şi N în condiţiile speciale ale logicii trivalente Lukasiewicz - Tarski. Tocmai în acest sens J. Lukasiewicz l"eia pentru lo­ gica sa trivalentă definiţia lui Apq din calculul C (calcul fragmen­ tar asociat logicii standard şi construit de el exclusiv cu ajutorul implicaţiei materiale [17, pp. 49 - 50] : (4)

E(Apq) (CCpqq)

întru totul asemănător expresiei (4), formula

(5)

E(Kpq) (NANpNq)

115

are caracter de lege logică atît în L2 cît ŞI In L3(LT), astfel încît ele servesc cu succes dezideratului propus. Pe lîngă expresiile de pînă acum pot fi citate şi alte exemple de legi logice, deopotrivă valabile în L2 şi L3(LT):

(6) (7)

E( Kpq) (Kqp)

=

comutativitatea conjuncţiei

E( KpKqr) (KKpqr) = asociativitatea conjuncţiei

(8)

E (Kpp)p

(9)

E(Apq) (Aqp)

=

idempotenţa conjuncţiei =

comutativitatea disjuncţiei

(10)

E( ApAqr) (AAp q r) = asociativitatea disjuncţiei

(Il)

E(App)p

=

idempotenţa disjuncţiei

întrucît expresiile (6) - (11) sînt legi logice ŞI In L3(LT) se poate susţine că cei doi operatori la care ele se refel"ă - conjuncţia şi disjuncţia - Îşi păstrează proprietăţile de bază şi în logica tl:i­ valentă Lukasiewicz-Tarski. Această afil"maţie poate fi Întărită dacă considerăm aici şi alte proprietăţi ale acestor operatori. Astfel, contragerea conjuncţiei: (12)

CKpqp

este o altă proprietate a conjuncţIei ce se conserva In L3(LT). Conform matricelor introduse pentru L3(LT), implicaţia materială este falsă doar dacă antecedentul ei este adevărat şi consecventul ei este fals, dar dacă p 0, deci expl"esia (12) 0, atunci şi Kpq este un alt exemplu de lege logică în sistemul tl"ivalent Lukasie­ wicz-Tarski. La fel se întîmplă cu extinderea disjuncţiei: =

(13)

=

CpApq

Într-adevăr, Apq ° dacă şi numai dacă şi p ° şi q 0, or în aceste condiţii, conform aceloraşi matrici, dacă p 0, atunci formula (1 3) este, la rîndul ei, lege logică în L3(LT). Şirul exemplelor ar putea continua cu bine cunoscutele legi ale lui Augustus De Morgan, dintl"e Cal'e una, expresia (5), a fost deja citată. Urmează oare de aici că operatorii din L3(LT) sînt rezultatul unei simple generalizări a celor din L2? După cum se va vedea în cele ce urmează, o asemenea afirmaţie trebuie privită cu rezerve. în fond, chiar dacă legile logice considerate pînă acum par să ateste ideea după care între operatorii din L2 şi cei din L3(LT) nu există deosebiri esenţiale, nu este deloc exclus ca o analiză =

=

=

=

1 16

mai atentă să ne convingă de contrariul. Chiar discuţia de pma acum ne-a arătat că deşi conjuncţia şi disjuncţia îşi păstrează în L3(LT) proprietăţile de bază din L2, totuşi, atunci cînd aceşti operatol"i sînt raportaţi la operatorii primitivi, C şi N, din L3(LT), situaţia lor se modifică substanţial în raport cu cele cunoscute din L2: definiţiile lui K şi A din L2 prin C şi N uu se mai conservă. Am arătat că expresiile (1) şi (2) nu sînt legi logice în L3(LT). Prin urmare, rezultă, în mod necesar, că, sau K şi A si-au modificat Întelesul fată de L2, sau acest lucru s-a întîm­ pl;t fie cu C, fie cel'puţin cu' N. Dar, dacă proprietăţile de bază ale lui K şi A se păstrează nealterate în L3(LT) şi în plus, nu apar nici un fel de modificări În raportarea lor reciprocă (legile lui A. De Morgan se conservă), pare firesc a ne îndrepta atenţia asupra lui C şi N. Mai întîi, cu ajutorul matricelor specifice, se poate constata că şi implicaţia materială (C) îşi conservă unele proprietăţi în L3(LT). Dintre exemplele posibile cităm aici reflexivitatea impli­ caţiei; adică formula (14)

Cpp

şi transpoziţia (contrapoziţia) implicaţiei, exprimată prin formula (15)

(Cpq) (CNqNp)

Cu ajutorul matricelor introduse se poate constata destul de uşor că formulele (14) şi (15) Îşi păstrează caracterul de lege logică şi În L3(LT). Şirul exemplelor pozitive ar putea continua, dar ni se pare mult mai interesant a arăta că, tocmai una din axiomele calculului CN, propus de însuşi J. Lukasiewicz pentru L2, îşi pierde proprietatea de lege logică în L3(LT). Este vorba de expresia: (16)

CCNppp

cunoscută încă de medievali sub numele de consequentia mirabi­ lis.

într-adevăr, pentru p

CeN � � � 2

2

2

=

CC � � � 2

2

2

=

=

�, fosta axiomă din L2 devine: 2

Cl � 2

=

2

or, din moment ce există o singură interpretare pentru care valoarea de adevăr a formulei (16) este diferită de 1 (valoare caracteristică legilor logice pentru orice interpretare a variabile117

lor pl'opoziţionale din alcătuirea lor), rezultă că ea nu poate fi considerată lege logică în L3(LT). Cu toate acestea pare cel puţin prematur să conchidem de aici că în L3(LT) avem de-a face cu un alt fel de implicaţie decît în L2. Aceasta cu atît mai mult cu cît, ceea ce L2 a acreditat drept proprietăţi de bază ale opera­ torului C, nu pare să sufere vreo schimbare în L3(LT), decît în unele cazuri cînd în formulele menite să exprime aceste proprie­ tăţi apare şi N, adică negaţia. Pe de o parte, această supoziţie tinde să se confirme prin faptul că formule ca : ( 14) Cpp "orice expresie se implică pe ea Însăşi " =

(15) CpCqp " dacă p este o propoziţie adevărată atunci ea este implicată de orice propoziţie q" sau, mai lapidar, "adevărul este implicat de orice". (18) CCpqCCqrCpr( cunoscute ca variante ale "principiului silo­ ( gismului " e xprimă tranzitivitatea implica­ =

(19) CCqrCCpqCpr( Jiei.

şi asemănător lor multe altele, îşi conserva msuşirea de legi lo­ gice şi în L3(LT) şi chiar într-o logică oarecare Ln standard, pentru orice n, n > 2. Pe de altă parte însă, schimbări ca cele de mai sus afectează în acelaşi sens şi alte legi logice din L2, nu numai unele din cele exprimate cu ajutol'ul implicaţiei (C) şi negaţiei (N). De pildă, în aceeaşi situaţie se află formula (20)

ApNp

cunoscută în L2 sub numele de "legea (principiul) terţiului ex­ clus", dar pe care noi o considerăm doar un simplu semn pentru Principiul Bivalenţei [6,

p.

43]. Dacă în formula (20) p

=

-;--7

atunci ea devine :

ceea ce este suficient pentru a ne convinge că ea nu mai este lege logică în L3(LT). La fel se comportă şi formula (21 ) 118

NKpNp

o

cunoscută şi sub numele de "legea (principiul) noncontradicţiei " - nume pe care, în baza aceloraşi motive, nu-l considerăm justi1 ficat. î ntr-adevăr, cînd p , formula (21) are, la rîndul ei, =

-

2

1

valoarea - şi deci, în L3(LT) îşi pierde şi ea caracterul de lege 2

logică. S-ar putea crede că formula (21) este o altă formă de exprimare a formulei (20) . Este adevărat. Formula (21) redă în limbajul lui ]( şi N, ceea ce formula (20) exprimă în limbajul lui A şi N. Ace astă afirmaţie se întemeiază pe " legile lui A. De Morgan " care, după cum am văzut, rămîn legi logice şi în L3(LT). S-ar mai putea crede însă că formula (20) ar reprezenta o transcâ­ eI'e în limbajul AN a formulei (16) şi, în aceste condiţii, ultimele două exemple de formule ce sînt legi logice în L2, dar nu şi în L3(LT), ar fi oarecum inutile. Această a doua opinie trebuie însă respinsă deoarece, numai în L2, prin definiţia C AN şi prin este posibilă o echi� idempotenţa disjuncţiei - formula (Il) valenţă între formulele (16) şi (20). Cum Însă, definiţia C AN nu mai este lege logică în L3(LT) (vezi formula (2) , identificarea fOl"mulei (16) cu formula (20) este, din orice punct de vedere, nejustificată. Oricum, dacă definiţia C AN ar fi acceptată şi în L3(LT), în aceleaşi condiţii în care ea funcţiona în L2, consis� tenţa lui L3(LT) ar fi grav afectată: am obţine ApNp CNpNp, =

-

=

=

=

or cînd p

=

�, ApNp 2

=

�, în schimb CNpNp 2

=

1, ceea ce

este, evident, inacceptabil. Prin urmare, chiar dacă nu sub toate aspe ctele, N este cel " vinovat " de faptul că formule cum ar fi (1); (2), (16), (20), (21) legi lo gice în L2, pierd ace astă Însuşire în L3(LT). Se impune deci să ne oprim cu mai multă atenţie asu.pra semnificaţiei pe care o are N ca operator în L3(LT), în comparaţie cu rolul îndeplinit de el în L2. Legea dublei negaţii " o propoziţie oarecare p este echivalentă cu dubla ei negaţie " este singura proprietate cu care N este . introdus Ca operator în logica standard. Dacă Însă ne limităm referinţele la această proprietate, care p o ate fi redată prin for­ mulele: -

=

(22) ŞI

CNNpp

(23)

CpNNp

nu vom obţine elemente semnificative pentru discuţia noastră 119

întrucît, aceste două formule îşi păstrează nealterat caracterul de lege logică şi în L3(LT). Se mai ştie Însă că, spre deosebire de K, A, C, E, etc. , care sînt operatori binari ai logicii standard, N, adică negaţia, este un operator monar [7, p. 29]. Pentru a dis­ tinge mai uşor negaţia şi ceilalţi operatori ai logicii standard, ne referim, pentl'u moment, la formulele logice de minimă complexi­ tate, evident, corect alcătuite În raport cu regulile de formal'e. în această situaţie, fiecare operator al logicii standard, cu excep­ tia negatiei, are o dublă semnificatie : el reprezintă simultan un �onector i nterpropoziţional şi o ope,.�ţie ce afectează două variabi­ le propoziţionale legate de el într-o propoziţie compusă (funcţie logică sau funcţie de adevăr). Negaţia are o singură semnificaţie şi anume, numai pe aceea de operaţie ce afectează un singur argument propoziţional. Operaţia pe care negaţia o semnifică este operaţia de respingere: la nivel general, a nega o propoziţie oarecare înseamnă a res pin g e propoziţia respectivă, sau un pre­ supus atribut al acelei propoziţii. Î n cadrul logicii propoziţiilor, fie ea standard sau nu, operaţiile logice - prin urmare şi nega­ ţia - nu se aplică unor propoziţii concrete şi în mod propriu, nici variabilelor propoziţionale, ci valol'ilor de adevăr posibile, pentru propoziţiile concrete şi pe !ltru care stau, În formulele logice, variabilele propoziţionale. In Logica standard, fondată pe Principiul Bivalenţei, mulţimea valorilor de adevăr V2, cu­ prinde numai două elemente, adevărul notat cu 1 şi falsul - notat cu O. După cum am mai arătat, 1, adică valoarea de adevăr ade­ văr este semnul legilor logice, Întl'ucît acestea au totdeauna va­ loarea 1, indiferent de interpretarea variabilelor propoziţionale din care ele sînt alcătuite. De aceea, vom numi valoarea 1 valoare desemnată şi, comparativ cu ea, orice altă valoare de adevăr, Care nu caracterizează o lege logică, va fi numită valoare nedesem­ nată. Atît în L2, cît şi în L3(LT) avem o singură valoare desem­ nată: 1. î n schimb, dacă în L2, avem tot o singură valoare nedesemnată, O, în L3(LT) avem două valori nedesemnate,

î şi O.

Dată fiind această situatie, în L2 negatia îşi realizează functia ' de operator logic printr- o reciprocare: �a transformă valo a;ea desemnată în valoare nedesemnată şi invers, valoarea nedesem­ nată în valoare desemnată - fapt ce reiese clar şi din expresiilc : NI = 0 NO 1 care redau definiţia matricială a lui N în L2. =

1 20

în L3(LT) însă, deşi negaţia poate fi definită, la nivel general, tot ca o operaţie de respingere, ea nu se m ai realizează Ca o reci­ procare întrucît, cu toate că şi aici N transformă valoarea desem­ nată Întrao valoare nedesemnată, reciproca nu mai este adevă­ rată. După cum se poate observa din simpla inspecţie a matricii prin care se defineşte negaţia în L3(LT), ea nu mai transformă orice valoare nedesemnată în valoare desemnată :

adică există un caz În care valoarea nedesemnată este transfor­ mată de negaţie tot Întrao valoare nedesemnată. Rezultă, prin urmare, că în L3(LT), negaţia nu este la fel de puternică în raport cu L2 sau, cel puţin că sub aspectul funcţiil �r ei, negaţia din L3(LT) corespunde doar parţial celei din L2. In acest fel se ex­ plică de ce unele formule, În care intervine şi negaţia, deşi erau legi logice în L2, îşi pierd această calitate în L3(LT). De aici nu se poate conchide că în L3(LT) operatorul N este întru totul diferit de operatorul N din L2, astfel încît L3(LT) să nu mai poată fi socotită o logică polivalentă standard, în sensul în care acest atribut a fost definit initial. Retinem Însă că situatia nega­ ţiei, comparativ în L2 şi L3(LT), ju �tifică concluzia d�pă care, nu toţi operatorii din L3(LT) sînt rezultatul unei simple generaa lizări a celor corespunzători din L2. Situaţia pusă în evidenţă mai sus are Însă şi alte consecinţe deosebit de importante, dintre care vom alege pentru moment una singură , D upă cum am arătat, în L2 operatorul N îndeplineşte atît funcţia de operaţie de respingere, cît şi pe aceea de reciprocare. Să presupunem că acesta este un caz special, Întru totul propriu logicii standard şi numai ei : un singur operator îndeplineşte ambele funcţii. î n L3(LT), operatorul N îndeplineşte numai una din aceste funcţii, pe cea de respingere. Se pune întrebarea : există în L3(LT) vreun mijloc de a suplini această lipsă a negaţiei? Evident, din moment ce negaţia nu poate Îndeplini şi funcţia de reciprocare, ar trebui ca În L3 (LT) să existe un alt operator care să preia el funcţia de a transforma valoal'ea desemnată într-o valoare ne desemnată şi orice valoare nedesemnată în valoare a desemnată. Un asemenea op erator ar rezulta direct drept o generalizare a negaţiei din L2. El ar face Însă inutil operatorul N din L3(LT) sau, în cel mai bun caz, N ar deveni un caz particular al său. Ar fi şi o altă alternativă, anume, un alt operator a cărui funcţie să fie numai aceea de a transforma orice 1 21

valoare ne desemnată din L3(LT) în valo ar e a desemnată . . În această situaţie, noul operator ar realiza împreună cu neg aţi a funcţia de reciprocare, în cadrul logi cii trivalente Lukasiewicz­ Tarski. Dar, din examinarea matricilor anterior introduse pe:ntru defi­ nirea operatorilor primitivi şi a celor nefundamentali din L3(LT), rezultă că aici nu există nici un operator care să transforme pe oricare din valorile nedesemnate în valoarea desemnată [1, pp. 46 - 47 ]. Acesta este unul din motivele pri ncip ale pentru care calculul asociat te oriei logice specifice lui L3(LT) se caracteri­ zează prin unele limitări de ordin formal. Acest calcul a fost axiomatizat în 19 32 de către M. Wajsherg, pe haza următoarelor patru aXIome : (Al) CpCqp (A2) CCpqCCqrCpr (A3) CCCpNppp (A4) CCNpNqCqp Asemănător uneia din axiomatizările calculului asociat logicii standard, datorat lui J. Lukasiewicz, cea realizată de M. Waj s­ berg pentru L3(LT), are ca operatori primitivi tot pe C şi N (motiv pentru care poate fi numit CN) şi foloseşte ca reguli de deducţie tot substituţia şi detaşaT ea (modus ponens). Iată unel e exe mple de teoreme ce rezultă din axiomele asumate şi de felul în care ele se obţin :

( A I) p/q , q/p = (TI) (TI)CqCpq ( AI)qJCpNp = ( T2) ( T2)CpCCpNpp ( A2) qI CCpNpp, Tip = C( T2 ) - C( A 3) - (T3) (T3)Cpp (A2)pjCpq, qjCCqrCpr , rjs = C( A2 ) - ( T4) (T4) CCCCqrCprsCCpqs (T4)p/s, sJCpCsr = (T5) ( T5)CCCCqrCsrCpCsrCCsqCpCsr (A2 ) plq, qj Cqp = C(T I ) - ( T6) 1 22

(T6)CCCpqrCqr (T4)qICqr, rlCsr, s/CCsqCpCsr (T7)CCpCqrCCsqCpCsr (T6)q/Cqr, r/CCsqCpCsr (T8)CCqrCCsqCpCsr (T8 ) q/CCrNrr . s/q

=

=

=

C(T5) - (T7)

C(T7) - (T8)

C(A3 )p/r - (T9 )

(T9)CCqCCr NrrCpCqr (T9) q/CqCCrNrr,r/Cqr

=

C(T9)pjCCqNCqr - (TI O )

(TI O) CpCCqCCrNrrCqr (T IO)pj CpCqp C(AI ) - (T II ) =

(TI I )CCqCCr NrrCqr (T4)p/CrNr, s/CCqrr

=

C(T l l ) qICqr - (T12)

(TI2)CCCr NrqCCqrr (T6)pjCrNr, r/CCqrr

=

C(T12) - (TI3)

(T13)CqCCqrr

Evident, exemplele ar putea fi continuate cu alte teoreme din L3(LT), dar considerăm că cele de pînă acum sînt suficiente. Este, credem, interesant de remarcat că, pe lîngă asemănările dej a enumerate, axiomatizarea lui M. Wajsberg mai presupune şi alte elemente comune cu cea a calculului asociat logicii standard. Astfel (Al) este o binecunoscută lege logică din L2, (A2) este una din axiomele utilizate de Lukasiewicz pentru formalizarea cal­ culului bivalent, iar (A4) este o al tă formă de exprimare a trans­ poziţiei implicaţiei. Singură (A3) reprezintă o lege logică căreia nu îi corespunde, cel puţin dire ct, o teOl"emă s au o axiomă din L2. într-adevăr, spre deosebire de CCNppp după care, "dacă non- p implică p, atunci p" şi care nu este lege logică În L3(L7), (A3) spune : "dacă p implică non- p implică p, atunci p". Dar, cel mai important aspect în legătură cu axiomatizarea lui M. Wajsberg este că ea nu constituie o formalizare completă în sens tare ci doar în sens slab. Astfel, axiomele lui M. Wajsberg formează o bază completă numai pentru acele legi logice care îşi pot afla exprimarea prin intermediul lui C şi N şi a operatorilor definihili prin implicaţie şi negaţie. Mai precis, se ştie că în L2 ori ce operator al calculului as ociat este definibil prin C şi N, dar, date fiind p articularităţile negaţiei la care ne-am referit, În L3(LT) acest lucru nu mai este posibil. Am văzut, de exemplu 123

ca III L3 (LT) definiţiile lui A şi K suferă modificări sensibile în rap o rt cu L2. Dovada cea mai p uternică se poate obţine prin _ afar ă de n e ga ţi e pe care considerarea operatorilor monari. In am califi cat o astfel, în L2 avem patru asemenea operatori. În L3 (LT) exis t ă însă douăzeci şi şapte operatori monari. Dacă folosim e xpresia (x, y, z)p pentru definiţia unui asemenea ope­ rato r, astfel încît el să aibă valoarea x cînd p = 1, valoarea y

,

-

cînd p =� şi valoarea 2

z

cînd p

=

0, operat orii monari dintr-o logi-

că cu trei valori, L3, ar putea fi redaţi lapidar după cum urmează :

(1) (1 , 1, 1) (2) (1, 1, +) (3) ( 1 , + , 1 ) (4) ( + , 1, 1 ) (5) ( 1 , i, +) ( 6)

(�, 1 , +)

( 7) ( +, f , ) (8) ( 9) 1

(10) (Il)

(1 2) ( 1 3) (14)

(15) ( 1 6) (17) ( 1 8)

, ( +, 0, +) (1 9) ( f, 0, 1 ) ( o, + , + ) (20) (+, 1 , O ) (+, 0, 0) (2 1 ) (O, 1, 1) (o, �, o) (22) (1 , O, O) (0, 0,+) (23) (O, O, 1) ( 1 , +, O) (24) (1, 1 , O) ( 1 , 0, +) (25) ( 1, 0, 1) (O , 1 , +) (2 6 ) (O , 1 , 1) (0, + , 1 ) (27) (O, 0 , O)

Dacă to ţi aceşti operatori ar putea fi d efiniţi pri n C şi N este evident că nu s-ar m ai pune p roblema e istenţei În L3(LT) a unui operator special care singur, sau Împreună cu negaţia, să realizeze transformare a oricărei valori nedesemnate În valoare a desemnată si a valorii desemnate într-o valoare nedesemnată. Drept c ons ; ci nţ ă, sistemul axiomatic CN al lui L3 (LT) ar fi complet în ambele sensuri. Dintre operatorii unii sînt definibili fără dificultate prin C şi N. Aşa, de exemplu, operatorul monar

x

monari (1 ) - ( 27),

1 24

(2 6)

se transcrie prin CpNp, cel de la nr. 3 prin CCNppp, iar cel de la nr. 1 8 este chiar negaţia. Alţii Însă, pot fi redaţi prin C şi oricîte combinaţii sînt posibile înue aceşti doi operatori. exemplu în acest sens este operatorul (8) din lista dc mai sus. Pentru a elimina imperfecţiunile sistemului axiomatic elabo­ rat de M. Wajsberg, J. Slupecki a introdus În 1936 un nou ope­ rator, notat cu T şi definit după cum urmează : nu

p 1

N

Un

Tp 1 2

1 2

2

o 2

adică, tocmai operatorul (8) din lista noastră. T este un operator monar care ia totdeauna valoarea �, indiferent care ar fi valoarea expresiei afectată de el şi care, poate fi definit şi astfel : Tp [(p - p) + f l Luaţi împl'eună , opel'atorii C, N şi T se bucură de proprietatea de a putea transcrie orice alt operator din L3(LT) . în acest fel sînt create condiţiile de depăşire a limi­ telor sistemului axiomatic propus de M. Wajsberg. într-adevăr, adăugînd la axiomele lui Wajsberg, încă două : (AS) CTpNTp şi (A6) CNTpTp se reuşeşte obţinerea unui sistem axiomatic (CNT) complet în ambele sensuri. Acest sistem este cunoscut sub numele Wajsberg­ Slupecki. De menţionat că în cazul acestui nou sistem axiomatic al lui L3 legile logice au tot valoarea ceea ce Înseamnă a spune că acest sistem păstrează pe ca valoare desemnată. În aceste condiţii se poate dovedi că, dacă se adaugă la axiomele conside­ rate pentru sistemul CNT o expresie care nu are valoarea de exemplu CCNppp, atunci este demonstrabilă orice propoziţie p. Astfel, dacă în această formulă p este înlocuit cu Tp, se obţine expresia C(CNTp Tp) Tp, al cărei antecedent (partea din paranteze) este axioma (A6) . De aici, prin detaşare rezultă expresia Tp care, la rîndul ei fiind antecedent în (AS), ne permite să deta­ şăm drep t lege logică expresia NTp. Mai departe, înlocuind în 2

=

1

1,

1,

1 25

q

(Al ) pe p cu NTp şi pe cu Np, ultima pretinsă lege logică ne permite o nouă detaşare şi anume expresia CNpNTp. în sfîrşit, înlocuind în (A4) cu Tp, această ultimă expresie ne permite să obţinem drept demonstrabil pe p. în acest fel se poate proba că sistemul CNT este complet în sens tare. Aceasta nu a fost însă singura cale de a exclude imperfecţiunea sistemului lui Wajsberg. Dintre alte alternative, una este dato­ rată tot lui Slupecki, din 1 946. în acest nou sistem el ia ca primi­ tivi operatorii C', N' şi R pe care îi defineşte astfel : pe q

C'

1

2

1

O

N'

R

O

O

1

2

2 O

1

2

2

2

O

O

O

De mentionat că acesti trei operatori luati împreună oferă posibilitate'a transcrierii ' tuturor celorlalţi �peratori din L3. Sistemul axiomatic construit de J. Slupecki cu C', N' şi R ca operatori primitivi, are ca reguli de deducţie tot substituţia şi detaşarea, păstrează pe ca valoare desemnată, dar debutează cu nouă axiome : 1

1. 2. 3. 4. 5.

C'C'pqC'C'qrC'pr C'C' N'ppp C'pC' N'pq C'RpN'p C'RC'pqRq

6. C'pC'RqRC'pq 7 . C'RRpp 8. C'pRRp 9. N'RN'p.

Acest nou sistem axiomatic datorat lui J. Slupecki cuprinde printre cele nouă axiome pe cele folosite de J. Lukasiewicz pen­ tru axiomatizarea calculului asociat logicii standard. Singura deosebire dintre axiomele (1), (2) şi (3) de mai sus şi cele ale lui Lukasiewicz este că în acestea din urmă apar operatorii C' şi N' acolo şi numai acolo unde în celelalte apăreau operatorii C şi N. în felul acesta toate teoremele calculului CN asociat logicii stan­ dard formează o parte din mulţimea teoremelor sistemului

C' N'R. 126

După cum arată A. N. Prior [ 1 7, pp. 2 3 5 - 240], pe ale cărui explicaţii ne-am bazat în expunerea contribuţiilor lui J. Slupecki, o altă axiomatizare pentru L3 (LT) fost propusă 1949 de către logicianul chinez Tzu-Hua-Hoo. Acesta porneşte de la sistemul CNT al lui Slupecki şi foloseşte numai doi operatori primitivi şi anume, C" şi N" pe care Îi defineşte astfel : în

a

C"

1

1

2

O

1

1

2

1

2

O

1

1

1 2

1

1

2

Nil

2 1

O

1

Sistemul axiomatic elabOl"at de Tzu-Hua-Hoo foloseşte cele şase axiome ale lui Slupecki din 1936 la care se adaugă definiţiile : N"p

C"pq

=

=

CTpNp CN"qN"p

Este demn de remarcat faptul ca sistemul axiomatic C"N " sînt derivabile toate cele trei axiome alese de J . Lukasiewicz pentru calculul asociat logicii standard. în acest fel, toate teOl'e­ mele care rezultă prin substituţie şi detaşare din aceste trei axio­ me sînt acreditate drept legi logice şi În sistemul C" N". AIternativele propuse de J. Slupecki şi de Tzu-Hua-Hoo la axiomatizal'ea lui M. Wajsberg sînt totodată alternative la L3 (LT) , fapt care se susţine prin operatorii nou introduşi de aceşti autori sau prin modificarea definiţiilor operatorilor primitivi din L3 (LT) . Prin urmare este justificat a vorbi În cazul noilor axiomatizări de calcule formalizate corespunzătoal'e unor logici cu trei valori În genere (L3) şi nu logicii trivalente Lukasiewicz­ Tarski. Din acest punct de vedere, alternativele menţionate ne obligă să considerăm că există diversificare, cel puţin sub as­ pectul unor calcule deosebite, chiar în interiOl'ul lui L3. Aceasta cu atît mai mult cu cît cele de pînă acum nu constituie nici măcar singurele alternative realizate pentru L3. Astfel, pe lîngă cele deja menţionate, pot fi introduse şi alte li

o

127

definiţii ale operatorilor N, C, A, K şi E, pornind tot de la numai trei valori de adevăr. Iată un nou exemplu : C

N

2

�

2 1

-

O

O

1

A

1 2

O

2

O

O

I(

1

-

2 1

1

2

O

... '

O

2

1

1

1

2

2

2

O

1

1 2

O

1 2

2

2

O

O

O

O

E

O

1

O

2 1 2

1

-

O

2

2

O

O

1

O

O

O

O

Grupînd aceste matrici cu cele date pentru L3(LT) se poate observa că avem definiţii diferite pentru care corespunde acum operatorului monar (2 3), pentru C şi pentru E. Aceste mo­ dificări au o serie de consecinţe importante dintre care avem în vedere aici faptul că deşi, în baza noilor matrici, Apq este echi­ valent cu KCCpqqCCqpp, Kpq nu mai este echivalent cu NANpNq. N oul sistem păstrează pe 1 ca valoare desemnată, iar construcţia sa axiomatică debutează, cum a arătat J. Lukasiewicz, de la douăsprezece axiome : N,

7. CpApq 8. CApqAqp 9. CKCprCqrCApqr 10. CNpCpq I L CKCpqCpNqNp 12. CCNpqCCCqpqq

1. CpKpp

2. CKpqKqp 3. 4. 5. 6.

CCpqCKpr Kqr CKCpqCqrCpl' CqCpq CKpCpqq

o

caracteristică importantă a acestui sistem axiomatic este că el nu acreditează ca legi logice nu numai formula ApNp, care nu era lege logică nici în L3(LT) , dar şi formula CNNpp, care Însă era teoremă în sistemul lui M. Wajsberg. în aceste condiţii, cu toate că formula CpNNp îşi păstrează caracterul de lege logică, noul sistem respinge cunoscuta "lege a" dublei negaţii" pe care o înlocuieşte cu "legea triplei negaţii . într-adevăr, formulele în acest sistem, ca şi CNpNNNp şi CNNNpNp sînt legi logice ,în logica stalldal"d. După cum arată A. Prior [16, pp. 250 - 2 53 ] , interesul pe care îl prezintă acest sistem ţine mai ales de faptul că , elimi� nind axioma (12), obţinem mulţimea de expresii folosite de A. Heyting pentrn a axiomatiza calculul intuiţionist, adică cel asoşi

N.

1 28

ciat teoriei logice datorate lui L. E. J. Brouwer. Logica intui­ ţionistă are la bază nu o încercare de a analiza riguros gradele de certitudine şi relaţiile dintre ele, ci încercarea de a elimina anumite paradoxuri şi contradicţii ce grevează asupra teoriei matematice a mulţimilor infinite. Calculul intuiţionist, la rîndul său o alternativă de tip L3, presupune o serie de particularităţi importante. Mai întîi, acest calcul permite eliminarea paradoxuri­ lor şi a contradicţiilor la care ne-am referit, dar el conţine drept principiu constitutiv refuzul sistematic de a folosi orice fel de demonstraţie care se bazează pe formula ApNp (înţeleasă drept Principiul Terţiului Exclus) şi pe "legea dublei negaţii ". De fapt A. Heyting a construit în asemenea fel calculul său, încît el să justifice drept legi logice num.ai acele tipuri de infel'enţe pe care le-a folosit Brouwer în propria sa teorie matematică. K. Godel a atras atenţia asupra unei alte particularităţi : în calculul lui o formulă de tipul "sau A s au B" este demonstrabilă dacă şi numai dacă cel puţin una din componentele sale este demonstrabilă. În sfîrşit, ne oprim aici deşi ar fi şi altele de enu­ merat, de pildă , cu toate că sistemul axiomatic propus de Hey­ ting este o variantă în cadrul logicii trivalente, anumite expresii demonstrabile în alte calcule L3 îşi pierd caracterul de lege lo­ gică în sistemul său. Un exemplu în acest sens : din cauza omisiu­ nii axiomei (12), cade şi echivalenţa dintre Apq şi KCCpqqCCqpp. De fapt cea mai importantă consecinţă a eliminării axiomei (12) este aceea că cele unsprezece rămase nu mai formează o bază completă de axiomatizare pentru o teorie logică cu un număr finit de valori, Vn. În baza axiomelor rămase se poate Însă asigura, după cum a arătat K. Godel în 1932, o formalizare com­ pletă pentru unele teorii logice cu un număr ',infinit de valori, Tocmai acest lucru este în măsură să explice de ce calculul lui Heyting, pornind de la interpretarea operatorilor săi primitivi ca operatori modali, îşi poate afla unele interpretări posibile sistemele lui Lewis, despre care se ştie că nu au o caracterizare matricială finită. Rezultate acest sens au fost obţinute de A. Tarski şi J. C. C. Mc. Kinsey. Pornind de Ia ratiuni asem.ănătoare cu cele care au stat la baza sistemelor prezent �te pînă acum, sau de Ia altele, au fost reali­ zate şi alte variante pentru L3. Astfel, D. A. Bociv3.r a elaborat sistem trivalent pentru analiza paradoxurilor din teoria 1ţimilOl", C. Kleene altul - pornind de la consideraţii asupra pl'Ocesului de rezolvare (algoritmic, recursiv), iar H. Reichenbach cOIlstruie şte alt si t m pentru analiza fenomenelor microfizice. Heyting,

VA.

în

în

un

mu

S.

un

un

s e

129

Gh. Enescu oferă o serie de det alii în legă tură cu aceste sisteme [10, pp. 1 7 8 - 184 ]. C on si der ăm Însă că exemplele de pînă acum sînt suficiente pentru a justifica ideea după care logica polivalentă presupune astăzi o plUl'alitate de "logici". Nu avem în vedere numai sistemul logicii trivalente, denumit L3. J. Lukasiewicz însuşi s-a ocupat de o logică cu p atru valori, iar alţi autori - prin­ tre care şi el - au desfăşurat cercetări În domeniul unor logici cu o infinitate de valori, pe care le vom denota prin LA. în acest context, J. B. Rosser şi A. R. Turquette [18 ] au obţinut rezul­ tate remarcabile pentru dezvoltare a cercetărilor de logică poli­ valentă, reuşind să elaboreze în 1 952 o metodă constructivă de axiomatizare pentru orice logică polivalentă cu un număr finit de valori, Ln. în expunerea contribuţiei lor folosim şi explicaţiile lui R. J. Ackermann [1 , pp. 53 -64 ] . După cum a m arătat, principala dificultate la care a aju:s axiomatizarea oferită de M. W aj sb e r g pentru logica trivalentă Lukasiewicz-Tarski era produsă de inexistenţa unui operator monar în L3(LT) care să permită schimbarea valorii desemnate într-o valoare nedesemnată şi invers. în acest scop, Rosser şi Turque tte au introdus anumite funcţii monare speciale, cunoscu­ te drept funcţiile J [I8, pp. 16 -23 ] . Pentru fiecare logică Ln vom avea exact n funcţii J asociate ei. O astfel de funcţie, J{i, n)p, unde n - 1 � i � 0, este adevărată (are valoarea 1 ) , dacă

şi numai dacă p are valoarea

_i_

n-l

din Vn ; altfel, J{i, n)p

=

O.

Funcţiile J, caracteristice oricărei logici Ln, se definesc prin C şi N. Iată un exemplu pentru cazul L3. (1) J(2, 3)p = NCpNp (2)

J(I, 3)p = NCCNCpNpNCNppNCNpp

(3)

J{O , 3)p = NCNpp

Dacă evaluăm aceste definiţii pe baza matricilor introduse de în consideraţie lista celor douăzeci şi şapte de operatori monari introdusă anterior, nu va fi greu de stabilit că J(2, 3)p corespunde o p e r atorului (22), J(1 , 3)p operat orului (21) şi J(O, 3)p operatorului (23) din acea listă. Prin urmare, dacă p 1 , atunci J(2, 3)p = 1 în timp ce J. Lukasiewicz pentru logica sa trivalentă şi luăm

=

J( l , 3)p

=

J ( O , 3)p = O. Dacă p = .!.... , atunci J(1 , 3)p = 1 , 2

în schimb J(2, 3) p = J(O,3)p =O, iar dacă p =O, atunci J(O, 3) p = l 130

şi J(2, 3)p = J(1 , 3)p = O. Rezultă că disjuncţia celor trei funcţii J asociate lui L3� pe care o notăm 2

E J (i , 3)p i =O

va fi o lege logică a lui L3, întrucît indiferent de valoarea pe care o ia p, cel puţin una din cele trei funcţii J are valoarea 1. în mod asemănător, disjuncţia celor n funcţii monare J asociate unei logici oarecare Ln va fi notată : -

n-7

E J(i, n)p

i =O

şi ea va fi o lege logică fel rezultă că

În

respectiva logică polivalentă. în acest

n-l

E J(i, n)p este o generalizare

i =IJ

pentru o logică Ln oarecare a

teoremei Ap Np din L2. D ar, după cum am arătat la început, formula Ap Np este un semn al Principiului Bivalenţei, caracteris­ tic logicii standard. Este firesc deci a conchide că formula n-1

L=: J(i, n)p este i=O

exprimarea Principiului General al n-Valenţei,

care acoperă orice logică Ln, pentru n > 2. Axiomatizarea oricărei logici Ln debutează cu trei axiome la care se adaugă altele în funcţie de numărul de elemente din mul­ ţimea Vn. Iată cele trei axiome comune pentru orice logică Ln şi care constituie de asemenea legi logice În LA, adică Într-o logică cu un număr infinit de v alori :

1. Cp Cqp

2. CCp CqrCqCpr 3. CCpqCCqrCpr în mod obişnuit asemenea formule nu apar ca axiome la Rosser şi Turquette. în locul lor sint introduse scheme de axiome care au o exprimare mai complicată. Dacă Însă, în acele scheme de axiome facem substituţii corecte, obţinem, printre altele, axiomele de mai sus. Am adoptat maniera de a indica direct axiomele, pentru a uşura o eventuală comparare cu formalizările propuse anterior. După Cum a m ară tat, restul de axiome depind de n şi de funcţiile J care pot fi definite în Ln, tot în dependenţă de n. Pentru a oferi 131

un exemplu privind metoda constructivă de axiomatizare dato­ rată lui Rosser şi Turquette, ne referim În continuare, în mod explicit, la cazul L3. Cea de a p atra axiomă a lui Rosser şi. Turquette pentru L3 reprezintă situaţii speciale ale formulei CCpCpqCpq care, se p oate proba, nu este lege logică în L3. Cînd p = .!.-- şi q 2

formulă are valoarea

CC - C - QC 1

1

1

2

2

2

o =

=

O această

2

CC 1

2

1

1

-

-

2

2

=C

1

1

2

=

1

2

în schimb, dacă p =f:. � , atunci formula considerată are valoarea 2

1.

D ar, după cum am arătat, funcţiile J nu au niciodată valoarea

�. 2

Prin

urmare următoarele trei formule

4a. CCJ(2, 3)pJ(2, 3)CpqJ(2, 3)Cpq

4b. CCJ(l , 3)pJ( l, 3)CpqJ( 1 , 3)Cpq 4c. CCJ(O, 3)pJ(O, 3)CpqJ(O, 3)Cpq care reprezintă axioma (4) Rosser-Turquette, sînt legi logice în L3. La cele de pînă acum se adaugă Ul'mătoarele două axiome : 5. CCJ(2, 3)pqCCJ(1 , 3)pqCC(O,3)pqq 6. CJ(2, 3)pp Axioma (5) arată că dacă CJ(i, 3)pq 1 , atunci q 1. J(i , 3)p n u poate fi decît 1 sau O . Dar q decurge din J(i, 3)p în toate cele trei situaţii şi prin urmare, q nu poate fi decît 1 . în ceea ce priveşte axioma (6), dacă J (2, 3)p 1 , atunci, prin definilia lui J(2, 3)p, p 1. Prin urmare, formula considerată este o lege logică. Axiomele (5) şi (6) , pot fi reformulate pentru o logică Ln oarecare. Axioma (7) apare în sistemul Rosser-Turquette sub forma unor p articularizări ale proprietătilor lui C si N În conditiile functiilor ' J. Acestea sînt următoarel� : =

=

=

=

•

7 a. CJ(2 , 3)pJ(O, 3)Np 7b .

1 32

CJ(I , 3)pJ( 1, 3) Np

•

7c. CJ(O,3 )pJ( 2 , 3) Np 7d. CJ( 2, 3)pCJ( 2 , 3) qJ ( 2 , 3)Cp q 7e . CJ(2 , 3)p CJ(1 , 3)qJ(1 , 3 )Cpq 7f. CJ(2 , 3)pJ(O,3)qJ(O,3)Cpq 7g. CJ( 1 ,3)pCJ(2, 3)qJ(2 , 3)Cpq 7h. CJ( l, 3)pCJ(1, 3)qJ(2 , 3)Cpq 7i." CJ(l , 3)pCJ(O,3)qJ(1 , 3)Cpq

7j . CJ(O , 3)pCJ(2, 3)qJ (2 , 3)Cpq 7k . CJ(O, 3)pCJ(1 , 3) qJ(2 , 3)Cpq

71.

CJ(O, 3)pCJ(O, 3) qJ( 2 , 3)Cpq

Din cele douăsprezece variante, cîte numara axioma (7) În sistemul Rosser-Turquette, primele trei ( a, b şi c) se referă la proprietăţile negaliei. Pentru justificarea lor să luăm În conside­ raţie cazul (7a), adică relaţia dint r e J( 2 , 3)p şi J(O, 3)Np. Să presupunem că J(2, 3)p = 1, ceea ce Înseamnă, conform celor 1 . În aceste condiţii, Np = O şi în conformi­ anterioare, că p 1 . Prin urmare, în tate cu definiţiile funcţiilor J, J (O, 3 ) Np cazul (7a) este imposibil ca antecedentul să fie adevărat şi consec­ ventul fals, ceea ce Înseamnă că implicaţia (7a) este o lege logică. Menţionăm că alte posibilităţi de interpretare a lui p pot fi lăsate �e o parte ştiind că funcţiile J nu pot fi decît adevărate sau false. In mod analog se justifică şi cazurile (7b) şi (7 c). Următoarele nouă variante ale axiomei (7) reprezintă proprie­ tăţile operatorului C, implicaţi a materială. Pentru a exemplifi c a felul Î? care ele se jus tifică să n e oprim atenţia asupra variantei (7e). Intrucît, aşa cum am mai arătat funcţiile J nu pot ave a decît fie valoarea 1 , fie valo area O, rezultă că (7e) ar putea să nu fie lege logică într-o singură situaţie şi anume cînd : J(2, 3)p = 1 şi J ( 1 , 3)Cpq 1 , J(1 , 3) q O. D ar, dacă J(2, 3)p 1 =

=

=

=

=

atunci, În mod neces ar p = 1 şi dacă J{1 , 3)q = 1 , la fel q În aceste condiţii Cpq

=

�

=

=

şi prin definiţia J(1 , 3)Cpq

�. 2

=

1.

Deci, Întrucît atunci cînd J(2, 3)p J(1 , 3)q = 1 , J(1 , 3)Cpq '# =1= 0, adică 1 , implicaţia (7e) este o lege logică. În mod analog s e j ustifică toate c elelalte opt cazuri rămase. =

1 33

Cele optsprezece axiome Înscrise şi discutate mai sus, datorate lui Rosser şi Turquette, oferă o formalizare completă pentru ,L3. Atît Ia Rosser şi Turquette, cît şi în forma În care noi le-am enunţat, aceste axiome nu apar Într- o notaţie corespunzătoare operatori­ lor primitivi din L3 , implicaţia (C) şi negaţia (N) şi aceasta dato­ rită functiilor J. D ate fiind însă definitiile functiilor J prin inter­ mediul l�i C şi N este de la sine înţe ies că ac �ste axiome pot fi exprimate, relativ uşor, În simbolurile primitive din L3. Astfel, de exemplu, întrucît, prin definiţie J(2, 3)p NCpNp, expresia (6) de mai sus devine CNCpNpp al cărui caracter de lege logică poate fi acum mai uşor probat, cu ajutorul matricilor ; =

CNCI NI I

=

CNCI 0I

CNC � N .!:. � 2

CNCONOO

=

=

CNOI

CNC � .!:. .!:.

2

2

=

CNCOIO

2

=

2

2

CNI O

=

Cl i

=

=

CNl .!:.

=

COO

2

=

I =

CO .!:. 2

=

1

1

După cum am arătat anterior, am prezentat aici numai felul în care, prin introducerea funcţiilor monare J, axiomatizarea oferită de R08ser şi Turquette se particularizează pentru logica trivalentă. Folosind ca manieră de exprimare metoda schemelor de axiome, cu ajutorul funcţiilor J, Rosser şi Turquette au oferit o axiomatizare completă pentru orice logică polivalentă cu un număr finit de valori, adică pentru o Ln oarecare, demonstrînd totodată şi completitudine a acestui sistem formalizat [18, pp. 33 - 3 8 ] . Pe de altă parte, J. Lukasiewicz a arătat că în baza axiomelOl' :

1. CpCqp 2. CCpqCCqrCpr 3 . CCCpNppp

4. CCCpqqCCqpp 5. CCCpqCqpCpq poate fi oferită o axiomatizare finită pentru logica polivalentă cu o infinitate de valori, adică pentru LA. Se remarcă uşor că pri­ mele trei formule de mai sus corespund integral primelor trei axiome ale lui M. Wajsberg. în felul acesta se poate spune că 1 34

orice logică polivalentă, indiferent dacă ea presupune un număr finit de valori sau nu, dispune de un calcul formalizat finit şi complet, aşa cum acest lucru a fost demult probat pentru L2, adică pentru logica standard. Se impune deci acum, înainte de a încheia, să încercăm o expli­ caţie a relaţiilor formale dintre L2, Ln(n > 2) şi LA. Vom proceda pe scurt, prin apel la p atru metateoreme, care exprimă lapidar aceste relaţii. Metateorema (1) : D acă n > 2, atunci T(Ln) C T(L2) , adică mulţimea T(Ln) a legilor logice din Ln este o submulţime specifică a mulţimii T(L2) a legilor logice din L2. Această metateoremă corespunde metateoremelor (7) şi (8) pe care le consemnează Gh. Enescu [10, p. 176 ] privitor la raportul dintre L2 şi L3(LT) . Pentru a stabili adevărul meta­ tI'lo:remei (1) este suficient să oferim un exemplu de expresie care este lege logică în L2, dar pierde această calitate în Ln, atunci cînd n > 2. Cum anterior am oferit mai multe asemenea exem­ ple - a se vedea formule ca CCNppp, sau CApqCNpq - nu cre­ dem că mai trebuie insistat aici în această direcţie. După cum arată şi R. J. Ackermann [ 1 , pp. 42 -43 ] , sensul acestei meta­ teoreme este că orice Ln, unde n > 2 este un fragment al lui L2. Cu alte cuvinte, dacă teoremele din Ln constituie o submulţime a mulţimii celor proprii lui L2, atunci, odată interpretate calcu­ lele corespunzătoare, rezultă că Ln (n > 2) sancţionează drept valide (corecte) mai puţine argumente (inferenţe) decît L2, ceea ce este în deplin acord cu motivaţia oferită de la început pentru logicile polivalente*. Metateorema (2) : Pentru două logici oarecare, Ln şi Lm, dacă 2 � n < m < A, atunci T(Lm) C T(Ln) dacă şi numai dacă k(n - 1) (m - 1), unde k este un număr pozitiv întreg. în conformitate cu stipulaţia k(n - 1) (m - 1), rezultă că n - 1 este un divizor al lui m - 1. în aceste condiţii, Vn C C Vm adică, mulţimea valorilor de adevăr din Ln este o subclas ă a mulţimii valorilor de adevăr din Lm. în acord cu modelul algebric introdus la început, fiecare element al lui Vn este identic =

=

.. în perspectiva sistemului polivalent propus de D. A. Bocivar, metateorema (1) s-ar modifica în sensul : Orice T(Ln) e st e sau identică sintactic cu o T(L2) sau izomorfă cu ea ; conversa nu e valabilă [10, p. 1 76 l. O asemenea situaţie poate apărea, şi în alte cazuri, i ar explicaţia ei ţine de categoria de probleme căreia

îi estc dedicat un sistcm polivalent.

1 35

cu elementul � al lui Vm. Prin urmare, dacă (J. este o lege 10k(n-l) 1 pentru orice interpretare în Lm, adică " pentru gică în Lm, (J. orice element din Vm. Cum Însă Vn cuprinde ca toate elementele sale d oar o p arte din elementele lui Vm, Înseamnă că CI.. = 1 şi pentru orice interpretare în Ln. Deci, dacă î/.. este lege logică în Lm, atunci ea este lege logică şi în Ln. Metateorema (3) : Dacă 2 � n < m < A, există cel puţin o formulă care este teoremă în Ln, dar nu este teoremă în Lm. Să spunem că CI.. , teoremă din Ln, este o conjuncţie de implicaţii, după cum urmează : =

KCpipjCpjpi întrucît (J. = 1 în Ln, Înseamnă că cel puţin două expresii distincte pi şi pj primesc ohligatm în Ln aceraşi valoare şi aceasta pentru că Vn conţine numai n -valori. Dată fiind definiţia lui C, fiecare c onjunct care conţine pe pi şi pj are valoarea 1 ş i prin urmare întreaga formulă are valoarea 1 . Această formulă nu este Însă lege logică în Lm pentru că fiecare pereche de ele­ mente distincte pi şi pj poate primi aici v al o r i diferite. Prin combinarea metateoremelor (1), (2) şi (3) rezultă : l\1etateorema 4 : Pentru orice număr prim ( n - 1), unde ( n - 1) > 1, există relaţia T(LA) C T(Lkn) C . . . C T(L2 n) C C T(Ln) C T(L2) . Ultima metateoremă este evidentă în baza celor discutate anterior. O ultimă precizare : luînd ca exemplu cele cinci axiome pe eare J. Lukasiewicz le oferi pentru axiomatizarea lui LA (Io N gica cu o infinitate de valori) , putem fi siguri că mulţimea T(LA) , a teoremelor din LA nu este vidă. Varietatea de sisteme de logică polivale ntă, pe care am Încet'ca t să o punem în evidenţă, nu este rezultatul unor eforturi pUl' ah­ stracte, a unui simplu joc cu mijloacele formale pe care ni le oferă logica contempora.nă. . Logicile polivalente nu cons tituie doar o simplă altel'll ativă la logica standard, aşa cum s�a Întîmplat p are- se cu sistemul elaborat de E. L. Post . Avîntul pe care l-au luat după 1920 investigaţiile din acest domeniu, ţine de l"aţiuIlile de ordin filosofic şi epistemologic, despre care am avut PTilejul să vorhim încă la început, dar mai ales de aplicaţiile logicilor poli­ valente. Ne-am referit pe parcurs numai în treacăt la aceste apli­ ca"ţii, deoarece scopul lucrării de faţă nu ne permitea mai mult. O examinare mai atentă a acestor aspecte ne face Îns ă să credem 136

că este justifieată ideea logicienilor, preocupaţi de logicile pol I­ valente, după care, dezvoltarea cercetărilor în acest domeniu Jnseamnă punerea la punct a unor imp ortante unelte pentru ştiinţa de azi şi pentru cea de mîine .

B I BLIO GRAFIE

1. A c k

e r m a n n,

2 . ..l\

e r S o 11, 1\.. _ R.

R.

J., Introduction to llfany Valued Logics,

.md Keg a n Paul, Lo ndoll , 1 967. d

n

şi B e l n

a p,

N. D . ., The Pure CalcIf las of Entail ­

"Journal of Symbolic Logic", voI . 2 1 ,

ment,

R o utled ge

NI'.

1,

1 9 6 2 , pp. 1 9 - 52,

se citează după textul retipărit în : Isem inge r , G(Ed.) Logic and Philosophy ,

Sclected

3. A n d e r

Readings,

A.

s o n,

Corpol" a tion ,

Mereditl) R. 7i

B

c i

nap

,

New York, 1963, pp . 7 6 - 1 1 3 .

N . D . , Tautological Ent a ilment , Philo �

sO)Jhic al Studies, voI. X I I I , Nr. 1 - 2, 1 96 2 , se citează după textul retipărit

in : Is e ming er , G. (Ed.) Logic and Philosophy, New York, 1 9 6 8 , 1 1 3.

,1. . A I' i 5. B i e

1t

z,

1 1 , 1 9 68,

6.

RieIt

of

1t

Organon,

voI. I, Editura

Ştiinţifică,

P . , The Logica l Sq uare of Duality, "Acta Logica", voI. XI, Nr

pp. 1 4 1 - 14·9.

P. şi B î r 1 i b a , M . D., Some Remarks Concerning the Princip ale

z,

l1fiddle,

"Acta

Logica",

voI . XI I I , Nr. 1 3 , 1 970, pp. 3 9 - 47.

P . , Principiul Dualităţii în Logica Formală, Editura Ştiinţifică

z,

Bucureşti, 1 9 74. 8. D i

Interpretare,

] 957.

Excluded

7. B i e

Despre

s t o t e 1,

Bucmeşti,

pp . 76 -

d i l e s c u,

1. Sur le Ticrs Exclu chez Aristote,

"

R e vue Roumaine des

Seiences S oc i al e s ", seri e de Philosophie el L og iqu e, tome 1 6 , Nr . 1 , 1 972,

pp. 37 - 4 2 . 9.

E 1 1 e s c u , G h . , Intr oduce re i n Logica JltIatematică, Editura Ştiinţific ă ,

Bucureşti, 1 9 65. 10.

E

Il e s

Il. H a s e

c u,

G h . , Logica Simbolică, Editura Ştiinţifi c ă , B u cureş ti, 1 9 7 1 .

11 j a e g e r,

1'vlodern Logic, D.

12.

J

a j a, A

Ac�demiei,

1 4.

Le

Bucureşti, 1960, pp. 37 - 1 1 9 .

şi K n e

a 1 e, M., The Developmcnt of Logic , Oxford Universi­

Press, London, 1 9 6 6 . w

tio-ns

i s,

Dordrecht-Holland, 1 97 2 .

t h., Despre Tertium Non-D atuT, Studii d e Logică, voI. I, Editura

1 3 . K n e a 1 e, W. ty

G . , IntToduction t o the Basic Concepts and Problems of Reidel Publishing Company,

C. I . şi L a il g f o r d,

In c . , New York, 1 95 9 .

C. 11. , Symbolic Logic, Dover Publica�

131

1 5 . L u k a s i e w i c z, J., Observaţii filozofice p riv in d sistemele polivalente de calcul . propoziţional, tradus în : E n e s c u, Gh. şi T i r n o v e a n u M. (Ed.), Logică şi Filozofie, Editura Politică, 1 6 . P o s t.

E.

Journal of Mathematics, 11. P r i o r,

XLIII, 1 9 2 1 , pp. 1 6 3 - 183.

A. N., Formal Logic, Oxford University Press, London, 1 962.

1 8 . R o s s e r,

19.

Bucureşti, 1966, pp. 29 5 - 32Q.

L., A General Theory of Elementary Propositions, The A m eri ca n

J. B. şi T il r q u e t t e , A. R., Many Valued Logics, North

Holland PubIishing Company, Amsterdam, 195 2 . Z i n o v i e v,

A . A., Philosophical Problems of Many Valued Logics, D.

Reidel Publishing Company, Dordrecht

-

HolIand, 1 9 6 3 .

Notă : î n afara lucrărilor înscrise mai sus, cei interesaţi în problematica logici1or polivalente pot consulta bibliografia cuprinsă în : D u m i t r i u, A., Logieo, Polivalentă, Editura Enciclopedică, Bucureşti, 1 9 7 1 , pp. 401 - 409.

S. V i e ru

S EMANT ICA " LU M I LOR P OS IBI L E " Ş I LOG I CA MODALĂ 1. Ideea "lumilor posibile", unul din conceptele leibniziene care-şi relevă deplina Însemnătate abia în secolul nostru, cunoaşte astăzi o spectaculoasă dezvoltare şi precizare tehnică. Dintr-o speculaţie metafizică, abstracţia lumilor posibile devine un fir căIăuzitor care conduce spre soluţionarea unei încîlcite probleme logice : definirea conceptului de "validitate logică" pentru o Întreagă familie de sisteme logice modale . IDtimele două decenii au adus cu sine, printre numeroase alte rezultate ale logicii for­ male, apariţia unei abordări semantice care este cunoscută sub denumirea de , �semantică a lumilor posibile". Importanţa acestei semantici este covîrşitoare : de ea se leagă tot progresul c are a permis ca logica modală să ajungă un instrument preţios al analizei filozofice şi să ajungă, mai mult, o p arte a unei logici filozofice despre care se vorbeşte astăzi cu insistenţă. La Leibniz, ideea lumilor posibile apare în cîteva contexte, dintre care vom reaminti două : (1) lu:m.ea actuală este cea :mai bună dintre lu:m.ile po sibile ; (2) necesar este ceea ce este adevărat în toate lu:m.ile posibile.

Prima idee nu es te de reţinut ca atare şi, dacă vom înţe lege expresi a "cea mai bună" în sens deontic, atunci logica deontică poate fi considerată o dezminţire. Semantica ei presupune că lumea actuală nu este cea mai hună dintre toate lumile posibile ; o atare optimă lume ar fi cea în care toate ohligaţiile sînt respec­ tate, ceea ce - empiric vorbind - nu este cazul. în schimb, dacă vom modifica formularea (1), şi vom accepta : ( 1 ' ) pentru fiecare lu:m.e po sibilă

- inclusiv pentru cea

reală - există cel puţin o lu:m.e posibilă in care toate obliga1 39

ţiile sînt sati sfăcute, "Vom aj unge djn nou la ipoteza pe eaTC se sprijină semantica logicii deontice a lui Von Wright. Să observăm Însă că afirmaţia lui Leibniz asupra optimalităţii lumii reale nu are nicidecum sensul deontic - precis şi limitat pe care ne-am grăbit a i-l conferi. Mai nebuloasă şi mai măreaţă, în spatele ei stă ideea armoniei pres tabilite. Lumea este un imens ceasornic care bate fără greş ; c ontingenţele nu lasă loc pentru iraţional ; şi aşa cum mersul lumii acesteia este regulat, tot astfel orice lume posibilă desfide cumva o altă lume , dar nu pe sine însăşi. Ideea lumilor posibile este esenţială pentru me tafizica şi teologia raţionalistă a lui Leibniz. A doua idee : necesar este ceea ce este şi adevărat în toate lumile posibile - ne readuce pe un tăl"Îm care este cel al logicii formale. Această idee o vedem condusă pînă la capăt şi matemati­ zată în semantica modernă. Deşi întrezărim în Leibniz un predecesor al acestei sem antici, aceasta nu Înse amnă că semantica "lumilor posibile " mi ar fi putut să apară indep endent de sugestia euristică oferită d e spe­ culatia metafizică. Poate că ar trebui chiar să spunem mai mult : în fdpt, ea a şi apărut în mod independent. Îi revine unui istoric al logicii recente misiunea de a se apleca asupra primelor memorii În care se fructifi că semantica "lumilor p osibile", pentru a stabili aportul ideii lui Leibniz. Putem presupune totuşi că definiţia neces arului ca ceea ce are loc În toate lumile posibile, definiţie intrată temeinic În acea " background knowledge " (cunoaştere prealabilă) al cărei aport În progresul cunoaşterii - după cum atestă studiile recente asupra factorilor propuls anţi ai ştiinţei - nu este de loc neglijabil, Saa întîlnit cu analiza formală ; rezultatul este depăşirea etapei anterioare În semantică şi scoaterea logicii formale dintr-un impas în care p ărea temeinic an­ corată. într-adevăr, logicienii erau în posesia unor modele algebrice pentru sistemele de logică modală cele mai cunoscute ; pe de altă parte, ei veneau cu anumite interpretări care raportau sistemele formale la anumite intuiţii. Dar intuiţiile nu erau con­ solidate într-o precisă teorie a modelelor în timp ce, pe de al tă parte, modelele algebrice nu sugerau vreo interpretare intuitivă. Fuziunea 8-a produs prin fructificarea ideii lui Leibniz. Semantica lumilor p osibile se raportează atît la modele algebrice cît şi la intuiţii filozofice într-un chip la fel de fericit ; precizia şi sugestivi­ tatea merg mînă în mînă. 2. Semantica logicii clasice a propoziţiilor presupune şi ' ea acelaşi concept, dar nu pe temeiul care ne autoriză să afirmăm 1 40

că sem antica unui şir întreg de sisteme formale, prinLre care cele modale vin În prima linie, este esenţialmente sprijinită pe ideea lumilor p osibile. Să ne oprim mai întîi asupra acestei deosebiri, apelînd în exemplificăl"ile noastre numai la logica modală. Distincţia p oate fi formulată destul de exact, dacă vom spune că defini­ ţiile (semantice) ale conccti"elor logicii clasice a propo ziţiilor pot fi introduse fără vreo referire esenţială la

IUlllile

posi­

Spre deosebire de acestea, definiţiile semantice ale operatorilor modali (op eratorii avînd înţelesurile : " este necesar . . . ", "este posibil . . . " şi altele) pun în j oc o referire esenţială la mulţi­ mea lumilor posibile. Cum definim negaţia propoziţională? Dacă A este o prop oziţie , spunem că -A ("non-A " ) este adevărată dacă şi numai dacă Însăşi A este falsă. Analo g, spunem că conjuncţia "A & B" este adevărată dacă şi numai dacă atît A cît şi B sînt adevărate. Cu alte cuvinte, negaţia, conjuncţia, implicaţia materială, dis­ juncţia, echivalenţa materială sînt funqii propoziţionale de adevăr. Aceasta Înseamn ă că valoarea de adevăr a unei propozi­ ţii al cărei semn principal este negaţia (conjuncţia, disjunc­ ţia e tc.) este determinată în mod univoc, adică este funcţie, de valoarea de adevăr a propoziţiei negate (respectiv a propoziţiilor conjuncte, disjuncte etc.). Fiecăl'ui conectiv al logicii propoziţii­ lor i se asociază deci o funcţie de adevăr, definită pe mulţimea { l , O } a celor două valori de adevăr şi luînd valori din aceeaşi mulţime. (Prin abuz de limbaj, o propoziţie avînd ca semn principal unul din conectivii logicii propoziţiilor este denumită, la rîndul ei, o funcţie de adevăr). Această funcţie de adevăr poate fi descrisă după cum se ştie, printr-o matrice care, în cazul cind funcţia respectivă este binară, are p atru linii şi trei coloane. Ultima coloană reprezintă valorile funcţiei pentru diferitele combinaţii ale argumentelor. De exemplu, în cazul conjuncţiei matricea are forma : bile .

A B

A& B

1 O O O

O O O

Diferitele combinaţii ale valorilor logice pe care le pot lua împreună A şi B reprezintă în terminologia lui Wittgenstein 1 41

tot

atîtea posibilităţi de adevăr, şi pentru fiecare posibilitate de adevăr valoarea de adevăr a întregului " A & B" este univoc deter­ minată. Poate fi determinat adevărul oricărei propoziţii compuse pe haza valorilor logice ale propoziţiilor din care este alcătuită? Răspunsul este negativ. în cazul cînd propoziţia este compusă prin intermediul conecti­ velor logicii propoziţiilor, răspunsul este Însă afirmativ. Ajunşi la acest punct trebuie să introducem o precizare. O propoziţie compusă poate fi alcătuită din alte propoziţii com­ puse, şi aşa mai dep arte. Această descompunere a propoziţiilor în altele mai simple trehuie să se oprească la un anumit punct, atunci cînd analiza ajunge la propoziţii atomare. Analiza acestora din urmă nu mai poate fi întreprinsă cu mijloacele logicii propo­ ziţiilor ; dacă o facem, trebuie să considerăm structurare a propozi­ ţiilor în termeni. O propoziţie atomară va exprima faptul că o anumită proprietate revine unui anumit obiect sau că anumite obiecte intră într-o anumită relaţie. Adevărul unei propoziţii atomare nu mai poate fi funcţie de adevărul componentelor sale ; aceste componente, dealtfel, nici nu mai sînt propoziţii. Dacă facem presupunerea că descompunerea unei propoziţii în propoziţii componente Înaintează şi se opreşte tocmai la pro­ poziţiile atomare, dacă totodată facem presupunerea că limbajul analizat cuprinde posibilităţi de expresie pentru propoziţii ato­ m are care descriu lumea (prin lume înţelegîndu-se un anumit domeniu al realităţii, adică o mulţime de obiecte avînd anumite proprietăţi şi relaţii)l, atunci semantica logicii propoziţiilor poate fi construită pentru acel limbaj într-un mod care conectează cele două idei : funcţia de adevăr şi propoziţia atomară. Vom spune deci că orice propoziţie compusă (prin mijloacele logicii propozi­ ţiilor) este funcţie de propoziţiile atomare care intră în componenţa sa - şi funcţie numai de acestea. Dacă în definirea conectivelor propoziţionale (ca funcţii de adevăr) ideea de lume posibilă nu a fost utilizată, aceasta nu 1 Printre limbajele care p o t f i considerate s e numără, alături d e diferitele limbaje speciale ale diferitelor discipline ştiinţifice, şi limba naturală, ale cărei

graniţe sint mai mult sau mai puţin imprecise şi pentru care noţiunea de "propoziţie atom ară" trebuie presupusă ca dată, fără să putem decide în lumina unor criterii prestabilite, univoce şi universale, dacă o anumită expresie este in­ totdeauna o propoziţie enunţiativă. iar în cazul afirmativ. dacă este atomară sau nu. Multe depind în acel caz de contextul pragmatic în care este utilizată expresia respecti vă.

1 42

înseamnă totuşi ca lllsaşi semantica logicii propoziţiilor nu ar fi o �,semantică a lumilor posibile" ; în definirea conceptului de adevăr logic, în definirea L-conceptelor în general (în sensul lui Carnap), conceptul leibnizian este pus în j oc, dar într-o accepţie în acelaşi timp precizată, limitată şi transformată. Pe de altă parte, filozofia atomismului logic utilizează ideea lumilor posi­ bile Într-o manieră împrumutată din semantica logicii propozi­ ţiilor (sau pe care, din punct de vedere istoric, a împrumutat-o ea acestei semantici). în semantică : în timp ce termenul "lume posibilă " al'e o colora­ tură ontologică, termenul " descriere de stare" mută discuţia de pe planul extralingvistic pe planul logic propriu-zis. Descrierea de stare este o totalitate coerentă şi exhaustivă a propoziţiilor elementare. Prin propoziţie elementară înţelegem o propoziţie atomară sau negaţia unei atari propoziţii. Descrierea de stal'e este un ansamblu de propoziţii care, pentru orice propoziţie ato­ mară formulabilă în limbajul respectiv, alege fie pe aceasta, fie pe negaţia ei ; aşadar, orice descriere de stare satisface legea contradicţiei, legea terţului exclus şi cuprinde propoziţii elemen­ tare. Orice descriere de stare reprezintă o "lume p osibilă", adică o stare posibilă a lumii" (despre care putem vorbi in limbajul " respectiv) ; una din descrierile de stare reprezintă starea reală a lumii. Noţiunea " descrierii de stare" a fost folosită sistematic de către Carnap2, după ce doctrina atomismului logic a lui Russell şi Wittgenstein trecuse de apogeul influenţei sale. Analiza seman­ tică a expresiilor limbaj ului - propoziţii, predicate, denumiri de indivizi - deosebeşte, potl'ivit metodei lui Carnap, o extensiune şi o intensiune a acestora. D ouă expresii (aparţinînd aceleiaşi ca tegorii semantice : amîn două propoziţii, sau amîndouă predi­ eate, sau amîndouă denumiri de indivizi) au aceeaşi extensiune dacă sînt echivalente, şi au aceeaşi intensiune dacă sînt logic­ echivalente (L-echivalente). Relaţia de echivalenţă se exprimă prin intermediul unei propoziţii avînd ca semn principal conec­ tivul echivalenţei materiale ; ea are loc dacă propoziţia respectivă este adevărată. Relaţia de L-echivalenţă, la rîndul ei, are loc dacă propoziţia care exprimă relaţia de echivalenţă este logic-adevă­ rată. O propoziţie este logic-adevărată, dacă are loc în toate de­ scrierile de stare, Această definiţie implică posibilitatea ca adevărul 2 A

1972.

se vedea R, C a r n a p ,

Semnificaţie şi necesitate,

Cluj, Editura D acia,

143

să fie stabilit independent de fapte, potrIVIt numai regulilor semantice alc sis temului. Dacă numim domeniu al unei pr opozi ţi i multi' me a descrierilor de staI"e în care ea cste adevăra tă, atunci mai p utem spune că o propoziţie este logic-adevărată, atunci cînd do m eniul ci este mulţimea tut uror descrierilor de s t are , este logicfalsă atunci cînd domeniul ei este vid şi logic-determinată atun c i cînd domeniul ei este sau vid, sau total ; în ca� contrar, o propo­ ziţie este logic-nedeterminată (factuaIă). Semantica lui Carnap conduce şi la o logică a modalităţilor care coincide cu sistemul de logică modală cunoscut în literatura de specialitate sub denumirea de S5. în acest sistem, modalităţile sînt privite ca proprietăţi ale j udecăţilor, corespunzătoare anumitor proprietăţi semantice ale propoziţiilor ; proprietatea unei j udecăţi de a fi necesară corespunde proprietăţii semantice a propoziţiei de a fi logic-adevărată (adică de a avea loc în toate descrierile de stare) iar proprietatea unei j udecăţi de a fi posibilă corespunde proprietăţii semantice a propoziţiei de a nu fi logic-falsă (adică de a avea loc în cel puţin una din descrierile de stare). Aici, ideea leibniziană a "lumilor posibile" revine iarăşi, în varianta "descrie­ rilor de staI"e " , definiţia necesal"ului ca adevăr în toate lumile posihile cunoscînd o metamorfozare şi o precizare care, pe de o parte, o face independentă de Ol'ice intenţie "metafizică " , iar pe de al tă parte o precizează şi o restrînge la un domeniu de propo­ ziţii. 3. Semantica logicii predicatelor nu utilizează nici ea în mod esenţial ideea lumilor posibile. Definiţia cuantorilor reclamă în tot atît de mică măsură ca şi definiţia conectivelor propoziţionale ideea de descriere de stare. De asemenea, s e mnificaţia expresiilor compuse numai cu mijloacele logicii pI"edicatelor este funcţie de semnificaţia expresiilor componente (pentru a ne exprima destul de vag). Aici intervine totuşi un element nou. Predicatele se consideră a fi definite pe un domeniu de indivizi ; aces t domeniu de indiv.izi poate varia îns ă, de exem plu el poate fi finit sau infinit. Din punctul de ve dere al logicii predicatelor, e s enţial ă este numai puterea domenj ului , adică numărul indivizilor cuprinşi într-un domeniu sau altul, nicidecum al te caracteristici. Pe de altă parte, valoarea de adevăr a un e i propoziţii cu predicate definite pe un domeniu dat nu de p i n d e decît de valorizările ( model e le) definite pe aeel domeni u. De exemplu, dacă ,, (x) Fx " este o formulă a logicii predic.atelol", condiţia adevărului propoziţiei care se obţine Într-o anum i t ă interpretare, pe un domeniu dat, a v ar i abilei de p re d ica t e P(x) prin pre di c a tul P'(x) , es t e ca P'(a) s ă fie o propozi1 44

tie adevărat ă, pentru orice element u al acelui domeniu. Deci, valo:rizările, r e sp e cti v de fin i ţi a cuant orilor, sînt relativi zate la domeniul de indivizi . Cu toate acestea, o v al o ri z ar e pe un anum i t d omeniu e s t c independentă de orice valorizare pe un alt domeniu. To t astfel, o propoziţic construi tă exclusiv cu conective propozi­ ţ i on al e şi cuantori aparţine unei descripţii de stare, ind ependent de componenţa oricăror al te descripţii de stare. Dacă nţelegem atomismul logic ca acea doctrină filozofică care ( pr intre altele) consideră că descrier.il e de stare sînt absolut independente, În sensul că nici una dintre propoziţiile consti­ t u tive ale unei descrieri de stare nu depinde de componenţa altor descrieri de stare, atunci desigur că ace astă doctrin ă Îş i găseşte un suport în logica propoziţiilor şi predicatelor. Dar dezminţirea atomismului logic vine În acee aşi privinţă tot din partea logicii - şi allume din partea celei modale. 4. în ce sens deci se m antic a logicii modale este o semantică a lumilor posibile? În primul rînd, desigur că În s e n sul făcut deja explicit În semantica lui C arnap , de reluare a viziunii leib­ niziene asupra necesarului şi posibilului. Des p r e aceasta am făcut menţiune mai sus . Trebuie observat că, în interpretarea lui Carnap, logica modală (mai exact, Sistemul 5 al lui Lewis) co res­ p unde unui fragment al metalogicii. În Meaning and Necessity, Carnap nu construieşte modele, valorizări pentru formulele sis temului modal, Într-o manieră analoagă celei aplicate în logica p r opoziţiil or şi a predicatelor. Tezele sistemului sînt validate prin echivalenţa lor logică cu propoziţiile metalogicii un ui anumit limbaj formal asertoric . În al doilea rînd, însă, plecîn d de la c o ncep ţ i a leiblliziană, de la ideea lumilor posibile, se ajunge l a o semantică a logicilor mo­ dale într-un sens mai bogat şi totodată mai tehnic. l\lai bogat, d f� o arec e este construită nu numai semantica sis temului S5, ci ş i semantica unui şir întreg de alte si steme modale, plecînd dq> la o intuiţie de bază asup ra pro p oziţiilor ne c e s are ca p ro poziţii ad.e v ărate în to ate lumile p o sibile (de un anumit gen ). 1\ilai teh­ nic� d e o arec e este utilizată me toda modelelor (valorizărilor), ajungîndu-se la o teorie a m odel el or stricto s en s u . Însăşi definiţia operatorilor modali este dată prin analogie cu definiţi a cuantorilor, ea căpătînd o expresie formală, la fei de riguroasă ca aceea pen ­ tru c o n ective prop o zi ţi onal e şi cuant ori . 5. Ajunşi la aces t p unct, o privirc de ans amblu asupra unor :,;l s1.emc axiomatice de logică modal ă sc impune. Vom defini cÎte-

145

va asemenea sisteme , spre a vedea apOI cum se construieş te se­ mantica lor. Sistemul simpl u şi elegant de logic ă mo d ală de la care vom porni urmînd o ordine îndeobşte uzitat ă, este c unoscut în litera­ tură sub denumirea de sistemul T. Mo tivul pentru care porni m tocmai de Ia el este acela că, aşa cum se Va vedea mai departe, semantica sistemului T este cea mai simplă semantică a lumilor p osibile. Sistemul T3 Alfabet

- Variabile propoziţionale : p, q, r, . . . (în număr nelimitat) ; - Conective pTopoziţionale : (negaţia), ---+ (implicaţia), V (disjuncţia), & ( conjuncţia), == (echivalenţa) ; - Operatori modali : L (necesarul), M (posibilul) ; => (implica­ ţia necesară) ; - Paranteze : ( ) -

,

.

Reguli de formare a formulelor corecte

Ansamblul acestol· reguli defineşte inductiv ideea de formulă bine formată (corectă). Vom fol.:;şi X, Y, Z . ca notaţii metalogice pentru formule corect cvnstruite ale sistemului. 1) Orice variabilă propoziţională este o formulă corectă ; 2) Dacă X este o formulă corectă, atunci -X este de asemenea o formulă corectă; 3) Dacă X şi X sînt formule corecte, atunci X � X, X V Y, X & Y, X == Y şi X => Y sînt formule corecte ; 4) Dacă X este o formulă corectă, atunci LX şi MX sînt for­ mule c orecte . .

.

DefiniJii

Conectivele propoziţionale se pot defini luînd ca primItIve conectivele şi � (sau un alt ansamblu de conective funcţionalcomplet). 3 Prezentarea se face în principal după G . E . H u g h e s & M. J. C r e s­ w e l I, An Introduction to Modal Logic (Methuen, London, ed. 1 9 7 2), dar am folosit o terminologie şi un sistem întrucîtva modificat de notaţii.

1 46

Operatorul M poate fi definit pe baza lui L

ŞI

MX = df - L - X " � " se defineşte prin : X�Y df L ( X � Y) =

Axiome

Orice ta utologie a logicii propoziţiilor este o axiomă. Pe lîngă acestea, sistemul T mai are următoarele axiome specific modale : 1) Lp � P 2) L(p � q) � (Lp � Lq )

Reguli de deducţie

1. Modus ponens (regula de detaşa.re) . Dacă X şi X � Y sînt teze, atunci Y este o teză. 2 . Reg ula de substituţie. Dacă X este o teză şi Y rezultă din X substituind Într-o variabilă din X (peste tot unde apare) o for­ mulă corectă, atunci Y este o teză. 3. Regula de necesitare. Dacă X este o teză, atunci LX este o teză4. Sistemul T, astfel definit, conţine deci ca o parte proprie a sa logica clasică a propoziţiilor. Sistemul putea fi construit, desigur, În mod alternativ plecînd de la un sistem de axiome ale logicii propoziţionale clasice căruia i se adăugau axiomele modale 1) 2). Printre tezele importante ale sistemului se numără : TI. Lp � P (adică L( Lp � p)). T2. (p � q) => (Lp � Lq) T3. L (p & q) == Lp & Lq.

Se poate demonstra Însă că formule ca cele de mai jos nu sînt teze ale sistemului T : Lp --+ LLp ; MMp --+ Mpp ; L(p --+ q) => (Lp => Lq) (a se compara cu T2 , slabă !) p --+ LMp ; MLp � p ; Mp --+ LMp ; MLp --+ Lp.

care este mal

" Noţiunea de teză pe care am folosit-o mai SU!! fără o definiţie explicită este definită inductiv prin axiomele lui T �i rezultatul aplicării regulilor de deducţie la teze (orice axiomă este o teză ; din teze se deduc (numai) teze).

1 47

Pentru a demonstra că formulele menţionate nu sînt teze "ale sistemului se pot folosi diferite modele ; după ce vom construi semantica sistemului T vom ave a posibilitatea să utilizăm modele în termeni de lumi posibile. , Este uşor de văzut că se pot construi sisteme mai tari sau mai slabe decît T sau sisteme care au o intersecţie comună cu T. Printre acestea se numără cinci sisteme cunoscute sub denumirea de S l - S 5 (sistemele Lewis de logică modală propoziţională). Toate sistemele pe care le vom defini mai j os au acelaşi voca­ bular şi aceleaşi reguli de construcţie a formulelor corecte, ele deosebindu-se numai prin axiomele sau prin regulile de deducţie adopt ate. Vom defini mai întîi trei sisteme logice care se obţin ad ăugînd la axiomele lui T axiome noi. Sistemul S4 se obţine adăugînd la T ca axiomă Lp � LLp (sau MMp -+ Mp) ; sistemul B se obtine adăugînd ca axiomă la T p � LMp (sau, alterna tiv, l\IILp � p) ; sistemul 85 se obţine adăugînd la T ambele axiome de mai sus (într-una dintre cele două formulări) sau, al teI'nativ, adăugînd la T axioma _Mp --+ � LMp (sau MLp � Lp). Aşadar, S5 este obţinut prin reuniunea celor două sisteme S4 şi B. Formulările de mai sus aparţin, în esenţă, lui Godel ( 1 933). Toate sistemele care conţin ca parte a lor pe T se numesc sis­ teme normale. Aşadar, sistemele normale c onţin ca teze toate tautologiile, formulele Lp � p, L(p -:l> q) � (Lp � Lq) şi sin t închise faţă de modus p onens, substituţie şi regula de necesitare. T este cel mai mic sistem normal. Semantica sistemelor normale, şi în primul rînd semantica lui T, ne va interesa cu precădc1."e. Se pot defini şj sisteme nenormale de logică modală a propo�iţii­ lor. FOl'mularea lor reclamă o modificare a bazei axiomatice şj a regulilor de deducţie . Iată cîteva sisteme, pe care le determinăm definind (inductiv) noţiunea de teză în cadrul respectiv. Sistemul 1 Orice tautologie a logicii propoziţiilor precum şi formulele (1) Lp � p, (II) ((p => q) & (q => r ) -+ (p => r) sînt teze ; dacă X este una din tezele menţionate anterior (adică o tautologie şau una din cele două teze (1) şi (II)), atunci LX este o teză ; daqă X şi X � Y sînt teze, atunci Y este o teză (modus ponens) ; dacă X este o teză, orice formulă obţinută prin substituţie din X este o teză (regula de substituţie) ; dacă L (X == Y) este o teză, atunci LX == LY este o teză. 1 48

Sistem ul 2 Se obţine din SI, adăugînd ca axiomă L(p � q) � (Lp � Lq) şi stipulînd ca regulă de deducţie : dacă L(X � Y) este o teză, atunci LX => LY este o teză ; totodată, axioma (II) şi ultima :regulă de deducţie din SI devin redundante. Sistemul S3 Se obţine adăugînd la definiţia pentru SI condiţia : L(p � q) => => L(Lp � Lq) este o teză. Formulările de mai sus pentru SI, S2, S3 aparţin în es enţă lui E. J. Lemmon (formulările sale diferă întrucîtva printr-o economicitate mai mare şi prin terminologia utilizată) . Sistemele SI - S5 au fost caracterizate într- o manieră deosebită de către C. L.' Lewiss. Mai pot fi definite şi alte sisteme de logică modală. Printre acestea vom mai menţiona doar SO.5 (introdus de către Lemmon) care diferă de sistemul T numai prin faptul că Regula de necesi­ tare din T este înlocuită pân condiţia mai slab ă : dacă X este o axiomă (adică o tautologie, sau Lp � P sau L(p -)- q) ----? (Lp -)­ -+ Lq), atunci LX este o teză. Puţinele sisteme de logică modală pe care le-am descris sumar mai sus deţin un loc important ca puncte-cheie în structura compli­ catului "cristal logic" care este lumea sistemelor modale propo­ ziţionale (de un anumit gen, pe care nu îl vom mai caracteriza îndeaproape). Menţionarea lor dă o idee generală despre varietatea practic inepuizabilă a sistemelor modale ; din infinitate a siste­ melor ce se pot imagina, numeroase prezintă un interes special. Cum se poate construi o semantică stricto senSH pentru asemenea sisteme ? Pentru cîteva dintre sistemele menţionate s-au con­ struit semantici algebrice, respectiv algebre modale. Sînt cunoscute de asemenea corespondenţe Între anumite sisteme ca cele de mai sus şi sisteme topologice. Asemenea rezultate sînt revelatoare pentru structura sintactică a sistemelor şi arată că sistemele modale pot fi privite ca întruchipări ale unor făpturi matematice : algebre, respectiv spaţii topologice. Dar dacă se rămîne numai la rezultate de acest gen, logicianul are tot dreptul să-şi mărturi­ sească perplexitatea : ce este totuşi o propoziţie necesară? ce sînt posibilul şi necesarul logic? Întrebarea-cheie este : care dintre sistemele de logică modală de mai sus este relevant pentru înţeII

5

A se vedea :

(ed. 2, 1 959).

C. 1. L

e

w i

s şi C. H. L a n g

f o r d, Symbolic Log ic Appendix 1 49

legerea necesităţii şi posibilităţii logice? Poate nici unul? Sau, cumva, mai multe, ori toate sistemele coerente, i ar În aces t caz, în ce constă adevărul fiecăruia în parte? Iată întrebări care ţin de filozofia logicii. Răspunsul la aceste Întrebări, exact fundamentat, ne-ar da Însă o logică filozofică. 6. Aici avem deosebirea netă Între logica clasică a propoziţii­ lor şi logicile propoziţionale modale : în timp ce prima porneşte de la un concept de validitate dat în prealabil, logicianul urmăl'ind să construiască un sistem axiomatic coerent şi complet relativ la acest concept - cu alte cuvinte, să construiască un calcul al tuturor tautologiilor - logicile modale se prezintă din capul locului ca o construcţie coerentă, dar despre care nu ştim să spunem dacă este completă, întrucît completitudinea trebuie definită în raport cu un concept semantic de validit ate la rîndul său nedefinit. Cu alte cuvinte, semantica trebuie aj ustată aici sintaxei �i nu invers. Această l"emarcă nu a scăpat comentatorilor atenţi ai situaţiei din logica modală de pînă acum 15 2 0 de ani. Dacă avem diferite logici modale, trebuie să avem diferite con­ cepte de validitate. Forjate ad hoc, vor izbuti aceste concepte să se subsumeze criteriului mai general care este dat de conceperea leibniziană a necesarului ca adevăr în toate lumile posibile? în mod surprinzător, răspunsul este afirmativ. Printr-un adevărat tur de forţă, gîndirea logică de la sfîrşitul anilor 50 şi începutul anilor 60 a reuşit să rezolve problema dificilă a defi­ nirii unor concepte diferite de validitate, subsumate toate unei aceleiaşi intuiţii fundamentale, cea a lumilor posibile. Nu stă în intenţia noastră să urmărim istoI"Îcul problemei, modul în care a fos t abordată soluţia, de aceea vom expune numai :rezultatul nud, într-o formă Însă nu cu totul precisă * . Ce legătură există între conceptul semantic de validitate şi conceptul (semantic) al necesităţii şi posibilităţii? Legătura res­ pectivă poate fi explicitat,ă imediat. O expresie este validă dacă este adevărată în toate l71lJdelele (sau pentl"U toate va.lorizările). Se impune deci a defini mai întîi ideea de model, s au de valori­ zare, pentru sistemele modale. Am văzut cum a fost definită această idee pentru logica clasică a propoziţiilor. în logica modală avem de asemenea şi formule al căror semn principal este un ope ­ rator modal (necesarul, sau posibilul). Se cere ca interpretarea acestui semn principal (respectiv, în limbaj tehnic, valorizările) să pornească de la conceperea necesal"ului ca adevăr în toate lu-

'" Cîteva consideraţii istorice se vor găsi în ultima secţiune a eseului nostru.

1 50

mile posibile sau, cum au spus unii logicieni, de exemplu Lewis, o propoziţie este necesară dacă este adevărată în toate circum­ stanţele pe care le putem concepe (in an conceivable circumstan­ ces). Dar atunci va trebui să concepem şi toate valorizările ca raportate la lumi posibile, iar definiţiile semantice ale conective­ lor propoziţionale obişnuite vor trebui să fie raportate şi ele la lumile posibile. Această raportare va avea loc foarte simplu, dacă vom exprima ceea ce era clar încă dinainte, şi anume că valoarea de adevăr a unei propoziţii compusă prin intermediul conectivelor propoziţionale este, în orice lume posibilă (sau de­ scripţie de st are, sau circumstanţă imaginabiIă), determinată de valorile de adevăr ale componentelor sale în aceeaşi şi numai în aceeaşi lume posibilă (sau descriere de stare etc.). în ceea ce priveşte însă dependenţa unei formule avînd ca semn principal "L" sau " M" de valoarea de adevăr a argumentului său - să spunem, de exemplu, că formula are forma "LX" sau "MX", "X " fiind deci formula aflată în domeniul operatorului modal - ea poate fi definită, în concordanţă cu criteriul leib­ nizi an numai prin referire la un ansamblu de lumi posibile. Deci, vom concepe orice valorizare ca atribuire a unei valori de adevăr - adevăratul sau falsul, 1 sau O - pentru o formulă dată LX (MX) într-o lume posibilă dată ; şi vom a dmite că valoarea de adevăr a unei asemenea formule LX într-o lume dată (să o numim w de la "world") depinde de valoarea de adevăr a lui X. în ce fel însă depinde? Nicidecum ca mai sus, nu depinde univoc şi întotdeauna de valoarea lui X În aceeaşi lume w ; într-adevăr, dacă aşa ar sta lucrurile, L şi M ar fi operaţii verifuncţionale, de tipul negaţiei şi afirmaţiei, de exemplu, ceea ce În mod cert nu este cazul (căci atunci calculul modal s-ar reduce la cel clasic). Valoarea de adevăr a lui LX sau MX va depinde Însă În mod uni­ voc şi Întotdeauna de valorile lui X în totalitatea lumilor posibile, ceea ce Înseamnă că presupunem existenţa unei asemenea totali­ tăţi. în ceea ce priveşte n atura acestei dependenţe, ea va fi, con­ form criteriului lui Leibniz, definită aşa cum am spus : LX este adevărată (într-o lume posibilă dată), dacă X este adevărată şi în toate lumile posibile ; MX va fi adevărată, dacă X va fi adevărată într-o lume posibilă. î n caz contrar, adică dacă există o lume p osibilă în care X este falsă, atunci şi LX va fi falsă ; iar dacă X este falsă în toate lumile posibile, atunci şi MX este falsă. Ajunşi aici, ne putem aduce aminte de faptul că analogia strînsă dintre cuantori şi operatorii modali, cunoscută tuturor logicienilor din secolul nostru care au studiat logica modală, 151

analogie ce se manifestă în domeniul formal al legilol" din calculele predica te şi calculele cu modalităţi, îşi găseşte o explicaţie mai adîncă, la nivel oe mantic. O propoziţie necesară este o propoziţie universală, căci ea afirmă că ceva este adevărat în toate lumile posibile ; o propoziţie problematică este existenţială, căci ea afirmă că ceva est e adevărat în unele (cel puţin una) din tre lumile posibile. Operat orii modali sînt deci cuantori sui generis, în sensul că folosirea lor ne permite să facem aserţiuni despre toate sau unele lumi posibile. (Pe de altă parte, în cunoscuta sa clasificare a modalităţilor, G. H. von Wright priveşte cuanto­ rii obişnuiţi drept modalităţi ale exis tenţei : univers alitatea, existenţa şi vacuitatea) . Modul în care am cal"acterizat mai sus dependenţa valorii de adevăr a unor formule (sau prop oziţii) de tipul " LX " şi " lY.lX " în funcţie de valorile d.e adevăr ale lui X în diferitele lumi posi­ bile, trebuie să sufere Însă o relativizare, prin raport la diferitele calcule modale în care necesarul şi posibilul, păstrîndu-şi carac­ teris ticile definitorii, a,?-ică fiind înţelese în spiritul lui Leibniz, se diferenţiază totuşi. Intr- adevăr, admitem că sistemele modale descriu versiuni diferite ale necesarului şi posibilului, adaptate unor scopuri diferite, răspunzînd unor intuiţii mai mult sau mai puţin diferite, sau pur şi simplu exploatînd variatele posibilităţi formale de diversificare a concep telor puse în joc, fapt ce impune ca şi semantica sistemelor modale să reflecte prin mijloacele ei ceea ce variaţia propoziţiilor axiomatice şi a regulilor de deducţie exprimă în limb aj sintactic. Procedeul de care se face uz in acest caz constă în a postula că totali tatea lumilor posibile es te structura tă de o relaţie diadică R Între lumile posibile avînd proprie tăţi formale ce pot varia de la calcul la calcul (de exemplu, propriet ăţile de reflexivitate, tranzivitate, simetrie ş.a.), i ar condiţiile definitorii care fac uz de expresiile "t oate lumile posibile", "unele lumi posibile" se l"elativizează, utilizînd expresiile : "toate lumile posibile care stau în relaţia R faţă de lumea posibilă dată w", "există o lume posi­ bilă în relaţia R faţă de lumea tu " , lume relativ la care este făcută valorizarea respec tivă. Procedeul nu este atît de neintuitiv pe cît pare la prima vedere. Posibilitatea, cum ştim din tratatele dc filozofie, este şi ea rela­ tivă : ceea ce este posibil sub un raport, poate să nu fie astfel sub u n al t raport ; ceea ce este posibil la un moment dat, sau pentru tineva, sau în tr-un sistem de referinţă oarecare dat , poate să se d ovedească imposibil, dacă schimb ăm criteriile de raportare ; cu

1 52

dacă este posibil din punct de ve dere subiectiv, poate să n u p o sibil din punct de vedere obiec tiv, ori vicevers a . De aceea, pare a.d misibil să relativizăm conceptul de lume posibilă, nu pînă într-atîta, deo camdată, în cît să refuzăm. a vorhi în general despre "unele lumi posibile " sau "toate lumile posibile " (ale unei colec ţii ela Le de lumi posibile), dar în aşa fel, încît s ă vorbim despre lumi posihile relativ la o lume dată, pe care 5 - 0 numim U' : în acest caz, formula U'Rw1 exprimă faptul că U'l este o lume posibilă rela­ tiv la U', sau, cum se mai spune, W1 este accesibilă lui w ; relaţia în cauză este numită adesea Telatie de accesibilitate Între lumi. în locul relaţiei R la care vom �pela de acum înainte în mod constant putem folosi şi Conversa acestei relaţii, numită relaţie de alteTnativitate. Dacă încercarea de justificare intuitivă a relaţiei de accesihili­ tate nu ap are convingătoare cititorului, el poate amîna pentru mai tîrziu sau pur şi simplu poate să renunţe la această intuitivi­ zare ; orice s-ar spune despre explicaţiile nctehnice, este neîndoiel­ nic că definiţiile şi teoremele pe care şi le dă semantica sistemelor modale sînt "clare şi distincte " , satisfac critel'iile standard de inteligibilitate deplină (cel puţin din punct de vedere matematic). De aceea, vom trece la prezentarea detaliilor tehnice. Se va vedea 2t tunci că se poate spune cu puţine cuvinte (şi ceva mai mult simbolism) ceea ce, recunoaştem, nu am putut exprima pînă la capăt şi justifica într-un limbaj nematematizat. Dar înainte de aceasta vom mai face patru observaţii. Prima : introducerea relaţiei de accesibilitate marchează nu numai preluarea ci şi modificarea punctului de ,· edere inspirat de Leibniz în teoria modalităţilor, şi anume într-o manieră "dia­ lectică ", după formula conservare-negare-depăşire. Într-adevăr, la Leibniz, totalitatea lumilor posibile este dată, absolută, ne­ stru cturată de nici o relaţie interioară. A do ua : nu trebuie crezut că, în pofida forţei euristice incontes­ tabile a ideilor lui Leibniz, semantica lumilor posibile nu ar fi fost elaborată fără reperul tradiţional. Despre aceasta nu putem face decît conjecturi, dar ar fi extrem de interesant un studiu de istoriBt logicii carc ar urmări în amănunt rolul euristic pc care l-a jucat ideea lumilor posibile în elab orarea semanticii logi cilor modale (în sens restrîn s şi în sens larg). Ce se întîmpla În să dacă nu ar fi existat acest fir căIăuzitor? Atun ci poate că expre�ia "lumile posibile ", împreună cu diversele asociaţii de idei provocate de această idee, nu ar fi fost pe buzele tuturor logicienilor. Calculele sau,

fie

1 53

modale ale lui Lewis au apărut, oricum, în mod independent, Întrucît ele porneau de la o încercare de a explica relaţia de deduc­ tibilitate mai satisfăcător decît o poate face logica clasică a pro­ poziţiilor ; teoria modelelor şi noţiunile semanticii, printre care cea de validitate logică, s-au cristalizat în fapt, independent de ideile lui Leibniz ; conceperea necesarului şi posibilului prin rapor­ tare la clasa "tuturor circumstanţelor pe care le putem concepe" (Lewis) este identică cu cea prin raportare la clasa "lumilor po­ sibile" (dacă facem abstracţie de toate implicaţiile metafizice), chiar dacă asociaţiile de idei generate de cele două expresii pot să se deosebească . A treia : conform celor spuse mai sus despre relaţia R, urmează că necesarul şi posibilul sînt definiţi acum cu ajutorul cuantorilor mărginiţi : În loc de a vorbi despre toate lumile posihile, avînd în vedere valoarea lui LX Într-o lume w, vorbim despre toate lumile posibile care stau în rel aţi a R faţă de lumea w etc. A patra : dacă wRw1 are loc, adică dacă w1 este o alternativă la lumea posibilă w, atunci w1 este una dintre lumile posibile în care este adevărată orice propoziţie X, necesară în w. î n mod convers, orice propoziţie adevărată în w1 este posibilă în w . 7. Să vedem acum cum se definesc noţiunile de bază ale seman­ ticii lumilor posibile (relativ la sistemele modale) 6. (A) Prin model, într-un sistem nespecificat de logică modală, din rîndul sistemelor descrise mai sus, vom Înţelege un triplet de forma

V = (W, R , V) unde W este o mulţime nevidă (ale cărei elemente se numesc " lumi posibile"), R este o relaţie diadică definită pe W (relaţia de accesibilitate), iar V este o funcţie (de valorizare) avînd ca prim argument o formulă, ca al doilea argument un element al lui W, iar ca valoare una din valorile de adevăr. Cu alte cuvinte, funcţia este definită peste tot pe produsul cartezian (f X W (unde (f este multime a formulelor corect construite ale calculului, W este ca � ai sus) şi ia valori pe mulţimea {O, l}. Funcţia V se defineşte inductiv, după cum urmează :

L) Pentru orice variabilă propoziţională, să spunem p, valoarea lu. V(p, w ) (cu w din W) este 1 sa u 0, fiind dată prin definiţie. a s w

1 54

în linii mari, expunerea noastră urmează şi aici pe H u e l I, op.

cit.

g h

e s şi C r e s

-

- Pentru formulele compuse, valoarea lui V(X, w) pentru o formulă X şi o lume posibilă w oarecare se calculează potrivit condiţiilor de mai j os . 2) V( -X, w) = 1 dacă şi numai dacă V(x, w) = O. (Aşa­ dar, V( -X, w) = O, atunci cînd V(X, w) = 1) . 3) V(X � Y) = O dacă şi numai dacă V(X, w) = 1 şi V(Y, w) = O. [Aşadar, V(X � Y, w) = 1 atunci cînd V(X, w) = O sau (cel puţin) V(Y, w) = 1 ] . 4) V(X & Y, w) = l dacă şi numai dacă V(X, w) = V(Y, w) 1. [şi deci V(X & Y, w) = O dacă V(X, w) = O sau V(Y, w) = = O ]. 5) V(X V Y) = O dacă şi num ai dacă V(X, w) = V(Y, w) = = 0. 1 dacă şi numai dacă V(X, w) 6) V(X = Y, w) V(Y, w). Următoarele două conditii definesc valorizarea formulelor avînd ca semn principal un �perator modal. Condiţiile definitorii sînt, cum vom vedea imediat, ceva mai complicate şi de aceea le vom enunţa pe larg. 7) V(LX, w) = 1 (p e ntru X o formulă corectă oarecare, w un element oarecare din W) , dacă şi numai dacă V(X, wn) = 1 pentru orice Wn E W, astfel Încît wRwn• Aşadar V(LX, w) = O, atunci cînd există o lume wn E W, astfel încît wRwn are loc şi totodată V(X, w,) = O. 8) V(MX, w) = 1 dacă şi numai dacă există o wn astfel Încît wRwn şi totodată V(X, wn ) 1. Aşadar, V(MX, w) = O atunci cînd , pentru orice wn astfel încît O. wRwn are loc, avem V(X, wn) =

=

=

=

=

=

Condiţiile definitorii de mai sus 1) - 8) sînt în mod vădit re­ dundante. O definiţie succintă, echivalentă cu cea de mai sus se p oate obţine, de e xe mplu, p ăstrînd condiţiile 1), 2 ) , 3) şi 7), şi considerînd celelalte conective ca simple abrevieri pentru com­ binaţii corespunzătoare de negaţii, implicaţii şi semne ale nece­ sarului . (B) Prin structură de modele vom înţelege ansamblul modelelor de forma (W, R, V) pentru un W dat. Aşadar, o structură de modele se defineşte ca triplet de forma ({) =

( W, R, ({)

ur.. de ({) este ans a mblul modelelor (funcţii de valorizare) definibile.,. plecînd de la un W şi un R date, pentru un calcul formal dat. 1 55

(C) S pu nem că o formulă X este verificată Într-un model V ( defini t pe o structură de modele rv ( W, R, rv ») Într- o lume w ( d in W) dacă V(X, w ) = l . ( D) O formulă X este realizabilă d a c ă es te verificată Într-un model. (E) O formulă X este v alidă atunci cînd V(X, w} = 1 , pentru orice w şi V din orice structură de modele (W, R, rv ) . Este uşor de vă zut că noţiunile introduse mai sus generalizea­ ză pentru logicile modale semantica logicii propoziţiilor (condiţii­ le 1) 6) din A) . Condiţiile 7) 8) nu fac decît să precizeze expli­ caţiile preliminare pe care le-am expus anterior. Noţiunea de validitate Înseamnă şi în acest caz adevăr în toate modelele. Vali­ ditatea se p o ate defini relativ la o structură de modele, sau rela­ tiv la totalit atea structurilor de modele (validitate absolută). Pentru ceea ce ne interesează aici, importantă era ultima noţiune, de aceea nu am introdus-o decît pe ea (definiţia E). Este evident că o formulă X este validă atunci şi numai atunci cînd negaţia ei, - X, nu este realizabilă, adică atunci cînd nu există nici un mo­ del În măsură să verifice X. Î ntrncît proprietă ţile formale ale relaţiei R nu au fost specifi­ cate, conceptele in troduse mai sus nu reprezintă decî t trăs ăturile comune ale şirului de concep te p articularizate I a fiecare sistem formal. Pentru sistemele T, S4, B, S5 şi celelal te siste me de logică modală vom avea tot atîtea definiţii pentru noţiunile de model, structură de modele, verificare, realizabilitate, validitate. Astfel : (AT) Prin T-model (model pentru sistemul T) vom înţelege un model V (W, R, V) astfel încît R este o relaţie reflexivă. (As4) Prin S4-model (model pentru S4) înţelegem un model V = ( W, R, V) astfel încît R e s te o relaţie reflexivă şi tranzi­ tivă. (AB) Pr i ntr un B-model (model pentru sistemul B) înţelegem un model cu R reflexivă şi simetrică. (AS5) P ri nt r un S5-model înţelegem un model astfel încît R es te reflexivă, simetrică şi tranzitivă (cu alte cuvinte, R este o relaţie de echivalenţă) . În mod analog, vom putea vorbi despre T-structuri de modele (res p ectiv, despre B-structlui de mo dele, S4-, S5- structuri de mo dele), despre T (B, S4, S5} - validitate, etc. Conceptele de mai sus pot fi adaptate la alte sisteme de logică modală, printre c are SI, S2, S3, SO.5, adoptînd presupoziţii suplimentare sau diferi te despre R (şi, uneori, despre W). =

-

-

=

-

-

1 56

H. Să rămînem deocamdată la sistemele modale pe care le�am caracterizat mai sus (vezi secţiunea 5) drept normale. Se vede imediat că simplitatea sintactică a sistemului T - cel mai mic sistem normal - are un substrat de simplitate semantică ce rezidă în faptul că relaţia R dintr-un T-model are numai proprietatea de reflexivitate. (Această simplitate semantică nu poate fi dedusă direct din considerente sintactice : de exemplu, nu putem explica faptul că semantica sistemului T este mai simplă ca semantica sistemelor B, S4, S5 prin aceea că T este mai slab decît toate aces­ tea ; în adevăr, semantica sistemului S2 este mai complicată decît cea a lui T, de exemplu, deşi S2 se include în T.) În cazul lui T şi al celorlalte sisteme normale, condiţia reflexivi� .tă�ii aduce după sine următoarea reformulare explicativă a con­ diţiilor 7) - 8) ce definesc funcţia de valorizare (modelul) : 7') V(LX, w) = 1 dacă şi numai dacă V(X, w) = 1 şi pentru orice wn etc. (ca mai sus). 81,) V(MX, w) = 1 dacă şi numai dacă V(X, W) = 1 salt există o 'Wn, astfel încît . . . etc. Pentru sis temul T se pot demons tra urmă toarele metateoreme

importante : (TI) Teorema de consistenţă. Orice teză (TII) Te orema de completi t u dine. Ori ce

di n T e ste T-validă.

formulă T-validă es te teză în T. Cu alte cuvinte, sis temul T este consistent şi complet din punct de vedere semantic. DemOllg trarea p �·i.m � i m3 tate lH�mc e s te fo ar te simplă. Pentru aceas ta, se cere să arătăm ci orice axio mă e s t e T-validă şi că apli­ carea regulilor de deduc �ie la formule T-valide conduce la formu� le T-valid� (regulile de d educţie, al tfel s p m , conservă T-validi­

tatea) .

în mod evident, orice tautologie este T-validă. în ceea ce priveşte axioma Lp � p : să arătăm că V(Lp � p, w) = 1 pentru orice V definit pe o T-structură de modele arbi­ trară şi pentru un w arbitrar. în ipoteza că V(Lp � p, w) = O urmează potrivit condiţiilor definitorii ale funcţiei V că V(Lp, w) = 1 şi V(p, w) = O ; din V(Lp w) = 1 urmează însă că V(p , 1 (î nt r u cî t R es te reflexivă) şi deci avem în acelaşi timp că w) V(p, w) = O şi V(p, w) = 1 , cu alte cuvinte V(p, w) '# V(p w) , ceea ce este absurd. Să arăt ăm că V(L(p � q) � (Lp � Lq) ,w) = 1, pentru oric e V. în ipoteza contrarie, urme ază că V(L (p � q) , w) = 1 şi ,

=

1 51

V((Lp 4- Lq) , w) = O ; din V((Lp � Lq) , w) = 0 urmeaza ms ă că V(Lp, w) 1 şi deci V(p, w) = 1, şi urmează totodată că V(q, w) = O. Pe de altă parte, din faptul că V(L(p -+ q) , w) = 1 urmează că V(p � q, w) = 1 , ceea ce este incompatibil cu V(p, w) = 1 şi W(q, w) O. Se demonstrează foarte simplu că aplicarea regulilor de deta­ şare şi de s u bstituţie conservă validitatea. în ceea ce priveşte regula de necesitare : d acă X este o formă T-validă, atunci V(X, w) = 1 pentru orice V şi w. D ar atunc i V(LX, w) = 1 are de asemenea loc ; într-adevăr, dacă V(LX, w) = O, atunci există o lume W1, cu wRw1, astfel încît V(X, w1) = O, ceea ce contrazice ipoteza i niţială, după care X este T-validă. Aşadar , aplicarea regulii de necesitare conservă T -y aliditatea. Teorema de consistenţă pentru T este ime diat ă. Demonstra ţi a teoremei de completitudine este Însă mult mai complicată şi nu o put e m reproduce În acest cadru. Pentru sistemele S4, B, S5 se demonstrează teoreme analoage de consis t enţă şi completitudine, apelînd la noţiunile res p ec t ive de S 4-model şi S4-validitate, etc. în cele ce urmează vom arăta numai, cu titlu de iniţiere pre­ liminară, că axiomele definitorii ale sistemelor S4, B, S5 sînt echivalente cu ipotezele respective de s pre proprietăţile relaţiei de accesib ilitate R. =

=

=

Axioma definitorie a sistemului S4 era Lp � LLp. Mai Întîi este evident că această formulă nu este T-validă. Pentru a arăta aceasta, este suficient să arătăm că ipoteza V(Lp � LLp, w) = O, pentru un anumit V ş i o w oarecare nn conduce la vreo contradic­ ţie. Dacă, în tr-adevăr , V(Lp � LLp, w) = O, atunci V(Lp, w) 1 şi V(LLp, w) = O ; din V(Lp, 1,0) = 1 scoatem consecinţa 1 pentru orice w 1 ' că V(p, w) = 1 şi totodată că V(p, Wl) astfel Încît wRw1 • Pe de altă parte, întrucît V(LLp, w) O, urmează că există un w1 , cu wRw1, astfel Încît V(Lp, w1 ) O; din V(Lp, w1) = O rezultă că există un w2, cu w1Rw 2 , astfel încît V(p, w2) o. Analiza no astră se opreşte aici , mai departe nu putem merge şi de aici nu rezultă nici o cont r adicţie. Pentru ca afi rmaţi a noastră E',ă fie im ediat evidentă, vom scrie astfel rezultatele de mai sus : =

=

=

=

=

=

w : Lp 4- LLp Lp 1 LLp = 0 =

1 58

=

1

w1 : Lp = O P =1

Aici w este lumea posibilă pentru care, prin ipoteză, V{Lp � �LLp, W) O ; în w avem, în virtutea ipotezei, Lp 1 şi LLp O ; WI este lumea în care Lp = O (existenţa unei atari lumi tre� b uie admisă, pe baza ipotezei că În w, LLp O) , şi care este o al ternativă la W (deci avem wRw1) ; la fel, Întrucît Lp O în wI' urmează că există un w2' astfel încît p = O. Se vede de aici că ipoteza este necontradictorie. Un T- contraexemplu (un contra­ model) la formula testată p o ate fi deci oferit de o structură de modele < W, R, V) unde W {w1 , w2, wa }' R es te reflexivă (dar nu tranzitivă) şi totodată wRwI , wlRw2 (dar nu wRw2) iar V este astfel, încît V(Lp, w) 1 , V(LLp, w) O, V(Lp , WI ) = O şi V(p , w2) O. Ce se întîmplă Însă dacă testăm aceeaşi formulă pentru un model V definit pe o S4-structură de modele ? în acest caz, în­ cercarea de a construi un contraexemplu eşuează. După ce s-a desfăşurat ca mai sus, analiza nu se opreşte, ci continuă, Întrucît din wRw1 şi w1Rw2 rezultă (R fiind tranzitivă) wRw2, şi deci orice propoziţie necesară în w este adevărată în w2 ; dar atunci, vom avea în w2 : P = O (ca mai sus) dar şi p = 1 (pentru că Lp 1 în w) . Aşadar, formula Lp � LLp este S4-validă. Dacă R este tl'anzitivă, atunci formula de mai sus este validă. Reciproc, dacă acceptăm formula de mai sus ca validă, atunci relaţia R dintre lumi trebuie să fie tranzitivă. într-adevăr, dacă Lp � LLp are întotdeauna loc, atunci dacă În w are loc Lp, are loc şi LLp. Deci, în orice lume p osibilă WI , astfel încît wRwl, vom avea Lp 1. Deci în orice lume posibilă w2, astfel încît wIRw2 vom avea p 1 . Aşadar, dacă Lp 1 în W, wRw1, wRw2, atunci p 1 în w2, oricare ar fi p, şi deci wRw2 (orice propoziţie nece­ sară în w este adevărată în w2). Axioma Lp � LLp este echivalentă cu reflexivitatea şi tranzi­ Livitatea lui R. în mod analog, putem demonstra (ceea ce nu vom face aici) că axioma definitorie a sistemului B : p � LMp este echivalentă cu reflexivitatea şi simetria relaţiei R, iar axioma definitorie a sistemului S5 Mp � LMp este echivalentă cu faptul că R este o relaţie de echivalenţă (de aceea, 55 se poate ohţine şi adăugînd la T ca axiome Lp -')- LLp şi P � LJ\!lp). 9. Pe lîngă sistemele modale normale, în care relaţia R este reflcxivă, mai avem de considerat şi sis temele nenormale. Lăsînd la o parte sistemul 5 1 7, vom arăta cum se definesc conceptele semantice de bază pentru 52, 53 şi SO.5. =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

7

Semantica lumilor posibile a fost adaptată recent ş i l a sistemul 51. 1 59

Semantica sis temelor S2, S3 pr e supu ne exist enţa unor hun i posibile nenormale, în c are orice propoziţie este posibilă (inclusiy cele contradictorii). întl'-un model pentru S2, W conţine cel pu ţin o lume normală şi po t exista, de asemenea, lumi nenorma] e : în orice lume nenor m al ă , w, V(l\1X, w) 1 pentru orice formulă X şi orice valorizare V. R el a ţi a R este reflexivă pentru toate lumile normale ; pentru orice lume nenormală w e xi s tă un w1' astfel în cît wI este o lume normală şi wIRw, şi relaţia de accesibili­ t ate nu al'e loc pentru nici o lume nenormală. Orice S2-model 1 (pentru orice V şi orice este astfel definit încît V(LX , w) 1 pentru orice WE W), dacă W este o lume normală şi V(X, wI ) O. lume 'LVl, astfel încît wRw 1 , iar în caz contrar V(LX, w) Un S3-mo del se defineşte stipulînd că rela"ţia R are, în afar[i de p r op rie t atea de mai sus (cvasireflexivitatea) şi propri etatea de tranzitivitate. O formulă este S2-validă (S3-validă) dacă este verifi cată în orice S2-model (respectiv S3-model) în ol'Îce lume normală. Pentru ambele sisteme se poate demonstra atunci tem'e­ ma respectivă de consistenţă şi de completitudine. Pentru sistemul S 0 . 5, se obţine o s em a nt ic ă prin modifican�a semanticii sistemului S2 şi anume un S O . 5 -model valorizează o formulă de forma LX după cum urme ază : dacă w este o lume normală, atunci V(LX, w) 1 dacă pentru orice WI astfel încît wRw1 V( X, 'LVI ) 1, iar în caz contrar V(LX, w) O ; dacă Însă w este o lume nenormală, atunci V(LX, w) poate fi 1 sau O (şi deci V( MX, w) poate fi 1 sau 0)8. Se mai cunosc semantici ale lumilor posibile pentru alte cîteva =

=

=

=

=

=

=

sisteme.

1 0. Semantica lumilor posibile poate fi extinsă la sistemele modale de logică a predicatelor. Pe de altă parte, ea p o ate fi extinsă în afara logicilor modale ' obişnuite (aletice), la logica de ontică, epis temică şi în general la o serie de logici ale "atitudinilor P l"O­ pozi ţionale " . Cu acest prilej apar o serie de mo dificări şi preci ­ zări principial noi . Un interes deosebit p:rczi n t ă a i ci , d f' Slgll l.' , sistemele d e logică modulă a prcdicatelol'. Acestea s c p o L ohţim� " alipind ] a unul dintre s is t e m e l e de logică mod ală propozi tiollaH; logica obi şnuită a pl'e dicatelor d e ordi nul J , cu sau fără axiomele identit ă ţ ii şi cu F; a u fără formule de legă tură, în ge nul "formulei B al'can" : (x)Lf(x) -)o L (x)f(x) . S�manti(' a l o g i cil o r mo dale ale pl'edic atel or p orne � t e de a�e1n cnea de la o mulţi me de lumi POS] � 8 A se vedea G. E. H u g h e Modal Logic, cap. 15 (pp. 275 şi 1 60

s

şi M. J. C r e

urm.).

s s w c

1 1 , An Introduction to

hile şi o relaţie R, Ca mal sus. Totodată însă, pentru unele sisteme sc admite că domeniul de indivizi D, din care iau valori în cadrul oricărui model val'i abi J e J e individuale, rămîne neschimbat în cadrul diferitelor lumi, în schimb extensiunea predicatelor varia­ ză : c u alte c u v in t e , în difeJ'ite huni posibile, aceiaşi indivizi au proprietă ti şi relaţii deosebite, ceea ce asigură dej a ca propozi­ ţiile at omare să nu aibă, în genere, acele aşi valori d.e adevăr în t o ate lumile . Pentru alte sisteme de logica predicatelor însă, defi­ nirea noţiunilor de model şi validitate impune, în plus, să definim mo delele astfel încît în cadrul fiecărui mo del în parte domeniul de indivizi să varieze de la lume la lume şi anume fie în conexiu­ ne cu relaţia de accesibilitate dintre lumi (aşa că, de exemplu, dacă are loc wIRw2, at unci domeniul de indivizi asociat lui '/,VI se include în domeniul asociat lui 'W2), fie independent ; tot­ odată, în unele semantici se presupune că orice model atribuie o valoare de adevăr oricărei propoziţii atomare (şi implicit ori­ cărei propoziţii compuse) , în timp ce în cadrul altor semantici este abandonată şi această presupoziţie, în favoarea alteia mai slabe, p otrivit cărei a n u orice propoziţie atomară este valorizată în cadrul oricărui model. Această variaţie sistema tică a noţiunilor de model, validitate ş.a., asigură semanticilor respective condiţiile de adecvare la diferite sisteme formale. În logica deontică, epistemică, într-o serie de alte logici a atitudinilor propoziţionale", tehnica de mai sus îşi găseşte de " asemenea aplicare. În general vorbind, procedeul constă (rămî­ nînd la cazul opera torilor monadici) în a defini pentru formulele " de tipul " A X , unde A este un operator neextensional (în sensul că din faptul că X = Y este material adevărat nu rezultă întotdea­ una că AX == A Y), condiţii de realizabilitate într-un domeniu de lumi posibile adecvat alese. Astfel, spre a da un singur exemplu, în logica deontică stand ard o formulă "Op" (" Este obliga tori u ca p �ă fie îndeplinit " ) se int erpI'ete ază ca spunînd că în orice lume (posibilă) de ontic perfectă p este adus la îndeplinire ; o lume este deontic-perJectă, relativ la un sis Lem de norme dat, dacă în ea toate obligaţiile s tipulate de acel sistem de norme sînt aduse la îndeplinire. Analog, formula "Pp " ( "p este permis") es te adevă­ rată dacă şi numai dacă există o lume deontic- IJerfectă în care p art{ loc (p este deci permis dacă realizarea sa este compatibilă cu realizarea tuturor obligaţiilor). Se presupune totoda tă că pentru orice lume posibilă (în particular pentru lumea aC Luală) există o lume care constituie o alternativă deontică la ea (cu 1 61

alte cuvint e, orice lume p o sibilă are acces la o lume deontic-per­ fect ă). Conceptul de validitate Înse amnă şi aici ade văr în cadrul tuturor

modelelor,

pentru

toate

l umile.

O

formulă de

forma

"OX" este, în p ar ticular, validă, dadi c � t e ad evărată în orice mo del,

în t o at e lumile deon tic-p erfe cte.

Il.

Se mantica l umilor posibilc, în a c ărei prez e nta re n e � am

oprit asupra lo gicilor modalc pro p o ziţi o nale , c o ns tituie un instru­

ment al analizei lo gice şi filo zofi ce care - după cum s - a putu L

vedea, sperăm, chiar din cele de mai sus - este suficient de fle­

xibil pentru a putea fi adap t at la nen umăra te sisteme fo rmale.

Unele ap orii filozofice Îşi pri mes c o soluţie , s au cel puţin o formu­

lare mai explicit ă, cu ajutorul te hnicii de acest gen ; s au, mai precis,

ap oriile

îşi

explicitează

nu numai pro p oziţii explicitează

formale

i

disp arate,

presup o ziţiile

se pune

lor

presupmr,i ţiilc

ci

în să7i

semantice.

subiaccnte.

sis L e mele

formale

Dar Î7i

Varietăţii sistemelor

deci în c oresp ondenţă varietat e a subiacentă

a condiţiilor interpretative.

O

dată admisă această p o sibili t ate

de variaţie a condiţiilor de in terp re tare - ş i aplicare - a sis L e ­

mclor logicc, exis tenţa unor sisteme at î t de diverse din p unct

Je ve dere sin t a c ti c nu mai con s t i t uie un mo tiv 2 . Prin [Pj ] vom nota ocupan­ tul cu locul j în lista Pi' deci corespunde indicelui (pj)' Cuantorii de bază ("standard") vor fi redaţi astfel VxF(x) [fj ] ) ' Lfi ]) şi 3 x F( x) pri n (3i)(3j)( [ui J prin (Vi)(3j)( [ u ,;] La rîndul lor judecăţile A, E, 1, O vor fi transcrise, după cum arată Rescher astfel : .

•

•

•

•

•

•

.

.

=

•

=

•

=

=

=

=

=

A

==

(Vi) (3j)( [sd

[Pj ])

=

E == (Vi) -- (3j)( [si J 1

O

== ==

(3 i)(3 i)( [sd

=

( 3 i ) - (3 j )( [si J

=

[Pj ])

[Pi ]) =

[Pi ] )

Procedura se generalizează şi la relaţii

[7 - p. 167 ] .

1.4. Cuantorii numerici. Î n cele d e mai sus n u s-a spus nimic cu privire la numărul indivizilor, numărul rămîne nedefinit. Există însă cazuri în care numărul poate fi precizat sau în orice caz avem o referire la număr Aceasta vizează mai ales cl1antorii existenţiali dar procedura se poate extinde şi Ia cei univers �li. Iată exemple de cu antori existenţiali numerici : " există numai un singur x astfel că A(x) " (cuant or utilizat de B. Russell, dar poate şi de alţii Înaintea sa). Se poate nota, de exemplu, astfel E ! x A(x) . P ut e m numi aces t cuantor "cuantor de unicitate". E vident că putem extinde proce dura la n indivizi (n 1, 2 , . . . k şi chiar 00 ) . Putem adopta notaţia E ! nxA(x) ("există n x astfel că A de x" ) . î nlocuind pe n cu numere determinate vom scrie .

=

1 71

E ! 2xA(x), E !3xA(x) evident următoarea :

etc.

Relaţia Între

3 xA(x)

şi

E ! nxA(x) este

(1) E ! nxA(x) f-- 3 xA(x) Fie propoziţia .,există 3 oraşe în România care au peste 200 mii locuitori". De la aceasta putem trece uşor la propoziţia mai abstractă "există oraşe În România care au pes te 200 de mii de locuitori". Se pune problema : cuantorii numerici introduşi mai sus mai cuprind cele două impreciziuni despre care am vorbit ? Evident (cu e xce p ţi a lui E !xA(x) pent ru a doua imprecizie) . Mai întîi că din nou nu se dă identitatea indivizilor, iar apoi nici nu se pune vreo limită superioară. "Există nx" va Însemna "există cel puţin nx" ( ex. "există cel puţin 2x") şi nu " există numai nx". Cum putem extinde Pl'ocedura l a cuantorul u ni ver s al ? Acest lucru se poate face introducînd expresii de forma "oricare din cei nx este A" (ex. "oricare din cei 1 0 studenţi este promovat"). Se poate adopta simbolismul V! nxA(x) ("pentru oricare din cei nx are loc A de x"). Ce relaţii există Între acest cuantor şi cuantorul universal de bază (V)? Mai întîi se observă că avem relaţia : (2)

VxA(x) t- V !nxA(x)

într-adevăr, dacă "pentru orice x are loc A(x) " atunci rezultă că "pentru oricare din cei nx (indiferent care ar fi n) ar e loc A (x)" Relaţia i nver s ă :

(3)

V !nxA(x) f-- VxA(x)

are loc numai în supoziţia că "universul indivizilor se re duce n". Se pare că într-adevăr o astfel de supoziţie este implicată în expresia "oricare din cei nx". Dar în logică atunci cînd lucrurile n u" s Înt nete Într-o directie putem introduce conventii de limitare la � direcţie sau alta. E � consider că de regulă o a�tfel de supo­ ziţie este presupusă şi că deci are loc (3), dar nu este imposibil un calcul fără ° asemenea supoziţie. la

1 . 5. Se poate combina criteriul 1 .2 cu 1.3. şi obţin e m a s tfel u antori numerici cu sferă limitată. Ex. "există n numere naturale ca solutie a ecuatiei E" Iată o propoziţie matematică în care u� ilizarea c� mbin�tă este ahsolut obi şn uită : c

172

"Pentru orice n dacă x este număr prim atunci există două numere la care x se divide exact " . (în plus această propoziţie utilize ază cuantori de diferite tipuri). 1 . 6. Cuantori numerici nuanţaţi. Chiar din cazurile analizate mai sus decUl'ge că putem introduce cuantori pe care-i putem nuan ­ ţa cantitativ. -Astfel, cuantorul existenţial poate fi nuanţat pl'in suprimarea impreciziei în ce priveşte raportul cu universalul : "există numai n indivizi x astfel că A(x)" Dej a a fost introdus (şi utilizat) în acest sens E !xA(x), dar şi alţii. Se mai poate citi un astfel de cuantor prin "există exact n indivizi x astfel că A(x)". Prop o ziţia matematică de la 1 .4, va lua acum o fOl'mă precisă

(fără des chideri ) .

"Pentru orice x dacă x este număr prim atunci există exact două numere prin care x se divide". 1 . 7. Combinat cu sfel'a limitată se poate introduce următorul cuantor utilizat dej a de K. Godel : "există cel mai mic număr natural astfel că , . , " Prin aceasta trecem Însă la nuanţarea prin altfel de expresii cal'e redau o proprietate (în sensul logic general) . Analog putem introduce expresia cuantificată : "există cel mai mare număr natural . . . " 1 . 8. COI'elat cu 3 xA(x) care pune o limită inferioară, dar nu una superioară putem forma cuantorul : "există cel mult un " sau generalizat la n : " "există cel mult nx astfel că Vom numi acest cuantor H cuantor de limită superioară " . Propoziţia următoare poate fi luată ca exemplu : " exi'Stă cel mult două numere prin care se divide exact orice număr prim " . 1 . 9. Asemănător cu 1.7. este cuantol'ul numerIC " există dar nu toţi astfel că . . . " ( Există x, dar nu toţi astfel că Om(x) "). "

x,

1 73

1.10. Cuantori aproximativi.

" "Există apl'oximativ nx astfel că . . . "Există apI'oape nx astfel că . . . . " "Aproape orice x este . . . . . " De astfel de cuantori ne-am folosit în lucrarea noastră Filozofie şi logică pentru studiul legilor. Astfel cuantorul aproape gene­ " ral" ("cu excepţia neglij abilă în general") l-am notat cu V· 1 . 1 1 . Combinarea cuantorilor cu negaţia. Putem considera drept cuantori şi negaţia cuantorilor de bază (luaţi în formă �tradiţio­ nală de exemplu) : "nu toţi", ,�nici un". Astfel de cua�tori au fost utilizaţi în lucrarea no astră Introducere în logica matematică (Anexa), însă în mod implicit în construirea unui tabel [2 p. 229 ]. -

1 . 1 2. Cuantori nuanţaţi cantitativ nedefinit. a) Cuantori de majoritate : "majoritatea indivizilor x sînt . " , "marea majoritate a indivizilor x sînt . . . . ", "majoritatea sim­ " plă a indivizilor x sînt . . . . ", "pentru cei mai mulţi x . . . ) (Am utilizat astfel de cuantori în lucrarea Filozofie şi :log ică). N. Rescher se ocupă şi el de cuantorii de maj oritate [7 ]. Astfel introduce cuantorul M cu ( Mx) 0 x : pentru "For most individuals x (in the non-empty domain of quantification .D) it is the case that 0X". în legătură cu aCest cuantor dă formulele : .

(1) (Vx)Px :) (Mx)Px (2) ( Mx)Px => (3 x)Px (3) [(Mx) Px & ( Mx) Q(x) ] :J 3 x(Px & Qx) . (4) ( Mx) Px :J -- ( Mx) Px --

( 5 ) [(Mx)(Px :) Q x) & (Vx) Px ] :J ( Mx) Qx. (6 ) [Vx(Px :) Qx) & ( Mx)Px ] => ( Mx) Qx. (Semnificaţia simbolurilor o presupunem cunoscută din alte tratate). Rescher analizează pe scurt şi silogisme cu scheme de forma "Most S in P". b) Cuantori de minoritate : "minoritatea indivizilor x sînt . . . ", "o mică minoritate a indivizilor x sînt . . . " c) Cuantorii imprecişi : "există mulţi x astfel că . . . ", "există puţini x astfel că . . . . ", "există foarte mulţi x . . . . '", 1,exis tă 1 74

prea mulţi x . . . . ", " există suficient de mulţi x astfel că . . . . " , "există foarte puţini x, astfel că . . . . " � ,mai mult de nx . . . . " etc. Astfel de cuantori îşi vor găsi locul într-o logică a impl"eci­ ziunii (L. A. Zadeh). d) Cuantori dinamici : " există din ce În ce mai mulţi x astfel că . . . ", "există din ce în ce mai puţini x astfel că . . . . " 1.13. Cuantori modali. Cuantorii pot fi comhinaţi cu modali­ tăţile şi credem că este justificat să numim astfel de complexe " cuantori modali". a) Există poate x astfel că . . . . b) Probabil orice x este " , c) Probabil orice x este . . . d ) Nu este exclus ca orice x , . . . Relaţia întl'e cuantificare şi modalitate a fost studiată mai pe larg de către Rescher şi Barcan. Rescher uneşte cuantorul standard cu modalitatea pe baza unei anumite clasificări a entităţilor în P (posibile) A(actuale). La rîndul 10 1' entităţile P se divid în P1 (posibile îndepărtate) şi P2 (posibile proxime) V şi 3 se referă la A, iar A şi E la P. Vom avea ca m"mare :

Va(a . . . ), 3 a( . . , a . . . ) (Aa) ( .

. . a .

. . ), (Ea)( . . . a . . . )

Se introduc apoi cuantorii modali : (Ax)f2)x

O VX0X

==

(Ex)0 x

==

O 3X0X

Alte formule apar UŞOI" pe baza acestor definiţii. în raport cu dis­ tincţia A, PI, Pz avem respectiv cuantorii Va, 3 a (Ala), ( E la) (A2a), (E2a) Ca urmare apar definiţiile : (Azx) 0 x

==

O VX0X

(Ezx) 0 x

==

O 3 X0X

X

==

3 x 00 X

(E 1x) 0 X

==

VX 0 0 x

(Alx)

12)

1 75

1. 14. Cuantori de opm�e. Cu multe din locuţiunile indicate de Goethe putem forma cee a ce aş numi " cuantori de opinie". Cred că există x . . . , Am impresia că toţi x . . . , S-ar putea spune că unii x . . . etc. Apoi : î n mod cert există x . . . , î n mod cert orice x . . '. , Este neclar dacă există x . . . , Este neclar dacă toţi x . . . etc. După părerea mea sîntem îndreptăţiţi să numim astfel de complexe " cuantori" avînd în vedere că ele afectează în primul rînd, inferenţele legate de cuantificare. Astfel, din "este neclar dacă toţi oamenii posedă al şaptelea simţ " deduc "există oameni care posedă al şaptelea simţ" şi " este nedar dacă există oameni care nu posedă al şaptelea simţ " . Se înţelege că operaţia următoare ar consta în analiza infe­ renţelor cu diferite feluri de cuantori. (Prin aceast a n-am presu­ pus că am epuizat clasificarea cuantorilor). Deocamdată ne limităm la a mai da unele exemple. În Filozofie şi logică am notat cuantorul de majoritate cu : p.xA(x) ( " majoritatea indivizilor x astfel că A de x"). Iată infe­ renţe relative la acest cuantor :

[J.xA(x) � 3 xA (x) VxA(x) � (LxA(x) Dacă vom defini minoritatea ca negaţie a majorităţii : min x A (x)

=

(LxA(x)

' atunci putem st abili inferenţele : min x A (x) � 3 xA(x) min x A (x) � (LxA(x) min x A (x) � VxA(x) Este posihil însă să adop tăm altă definiţie a mm x în raport cu !-Lx : min x A (x)

=

(LxA(x) · 3 xA(x)

Cu alte cuvinte se poate accepta că din simpla negaţie a majori­ tăţii nu putem deduce existenţa minorităţii. O observaţie care se impune din cele de mai sus este că nuan­ ţarea cuantorului existenţial este mult mai bogată şi chiar mai interesantă decît aceea a cuantorului universal.

l . I 5. Uneori cuantorii sînt asociaţi cu implicaţia sau echiva­ lenţa obţ.inîndu-sc complexe interesante ca mod de exprimare. Ex. A(x) xB(x) ("A de x este echivalent pentru orice " x, cu B de x ) Astfel în definiţia l'elaţiei de cauzalitate putem scrie : xCy x, y xPry ("x cauzează pe y este echivalent pentru orice x şi y cu x produce pe y") =

=

1 . 1 6. Cuantificarea temporală. Această prohlemă este pusă de Hintikka În [4 ] şi Rescher În [7 ] . Rescher vorheşte de "construcţia temporală a «obiectelor posibile» " . în acest scop introduce expr e siile : (Atx) 0 x pentru " A I I x' eXlstmg at time t 0 " (Eex) 0 x pentru "Some x existing at time t 0"

ia ap o i n pentru " now" , t pentru "proximate tillle şi (At) (Et) drept cuantori acronologici. Ca urmare se introduc defini­ ţiile : VX0x == ( Ax) 0 x 3x 0 x == (Ex) 0 x ( A1 x) 0x == (At) [(fn - tI � t) � (Atx) 0 x ] ( E1x) 0X == (Et) [ (fn - ti � t) & (Etx) 0 x ] (A2X)0X == (At) (Atx)0X (E2x) 0 x == (Et) (Etx) 0 x şi

Se

"

Un aspect particular a fost sesizat de noi în legătură cu para­ doxul mincinosului, anume posibilitatea de a interpreta cuantorii de bază în sens temporal VxF(x) : " ori de cîte ori xF(x)" 3 xF(x) : "uneori cînd xF(x)"

Această interpretare pare şi mai firească în cazul transcrieri jude c ăţil or A, E, 1, O în calculul predicatelor : ,

Vx(Sx ....... Px) : " ori de cîte ori are l o c Sx are loc Px 3 x(Sx . Px) : " uneori cînd are Joc Sx are loc şi Px" 2.

Analo gia o p eratorilor

Fără a se identifica se constată că o serie de operatori se comportă în mod analog. 1 77

o

primă mulţime

de

operatori analogi este următoarea :

(1) { V ' 3 , U , 0 , P} o

alta :

( 2) {&, V, n , c , O} în cuvinte (1) { sau, exista, reuniune, posibil, permis } (2) {şi, orice, intersecţie, necesar, obligatoriu} Aceste analogii deşi nu duc totdeauna la rezultate sigure au o mare valoare euristică deoarece ne arat ă " cam la ee ne putem aştepta". Analogia Între V şi U precum şi cea Între & şi n sînt triviale (ele sînt redate de dubla interpretare a " algebrei logice " ). Iată legi scoase confonn analogiilor : p � (p y q)

(p & q) � p

F(x) � 3yF(y)

V xF(x) -+ F(y)

p � OP

Dp � p

Analogia nu duce însă pînă la modalităţile deontice. Dimpotrivă în cazul următor ea merge pînă la capăt : (p & q)

�

( p V q)

VxF(x) � 3 xF(x) Dp � OP Op � Pp

Alte legi pot fi "induse anologic" pe baza rep ortării operatorilor unul la altul. Vx« F(x) & G(x»

=

VxF(x) & Vx)

G(x)

D (P &q . ) = O p & D q O (P & q)

=

Op&O q

Cititorul poate face singur exerciţii de grupare a legilol' în l'aport cu operat orii analogia 1 78

3.

Sup oz iţii

Supoziţiile j oacă un rol imens în gîndirea logică. Logicienii medievali s-au ocupat de studiul unor supoziţii, totuşi pînă acum nu există o cercetare temeinică. Tabelul de supoziţii pe care-l Vom da mai jos şi cu aceasta o încercare de clasificare sperăm să fie un îndemn pentru logicieni în a le cerceta mai îndeaproape. a) Supoziţie de existenţă. Despre această supoziţie am mai discutat în alte lucrări (vezi Filozofie şi logică) , noi o considerăm fundamentală pentru logică şi în speţă pentru soluţionarea para­ doxelor. Legeoa F(y) � 3 xF(x) este un caz particular al acestei supoziţii. î n condiţiile unui limbaj care nu acceptă restricţiile hilbertiene relative la cuantori putem chiar scrie F(x)

�

3 xF(x)

b) Supoziţie de posibilitate. Deşi nu exprimăm posibilitatea este necesar adesea s-o presupunem. De ex., pentru a pune o întrebare corectă este necesar să admitem o supoziţie de posibili­ tate, la fel pentru a formula o comandă (în genere o normă) corec tă. întrebarea "Ai ridicat 1 00 de kg" este corectă dacă este adevărată supoziţia că poţi ridica 100 de kg, dar întrebarea " Cîte prune ai mîncat scaunule? " este necorectă deoarece este falsă supoziţia că scaunul poate mînca. Comanda ,, inchide uşa ! " este corectă deoarece presupune pentru cel căruia i se adresează că poate să închidă uşa ; dimpotrivă comanda " Adu-mi luna ! " este necorectă deo arece supoziţia că x ar putea să aducă luna este falsă. c) Supoziţia de diferenţă. Există cazuri în care noi admitem în mod tacit diferenţa şi fără această supoziţie propoziţia devi­ ne falsă. Astfel, aserţiune a " x este tatăl lui y" presupune că "x -# y" . d) Supoziţia unei relaţii determinate. O anumită relaţie mal slabă presupune o relaţie mai tare pentru a se realiza. Astfel con­ juncţia Între două fapte a, b ( " a şi b") presupune o relaţie mai tare între aceste fapte. Am putea vorbi de supoziţia unei relaţii " mai tari " . e) Supoziţia de neexcludere. O astfel de sup oziţie apare în cazul cuantorului existenţial " există cel puţin un". Se presupune că Pf)t fi mai mulţi şi chiar toţi (deci nu este exclus să fie şi toţi). 1 79

f) SupoziJia " inclusiv " . Cînd sp unem "trenul merge pînă la Ploieşti" presupunem că tI'enul se opreşte inclusiv în gara Ploieşti. g) Supoziţia "exclusiv". Aserţiunea "Toţi oamenii din in�ti­ tuţia X sînt s ubordonaţi directorului" p oate fi adevărată numai În supo ziţi a " exclusiv directorul " . Există de b ună seamă multe alte supo ziţii (ex. "de permisie") pe care e fundamentată gîndirea noastră, în cele mai multe cazuri admise tacit (ca şi cele de mai sus) . B I B LI O GRAFIE

1 * "' * Gîndirea lui Goethe în texte alese, voI. II ediţia ingrijită de Mariana Şora, Editura Minerva, Bucureşti, 1 9 7 3 .

G h., Introducere î n logica matematică, Editura

2. E n e s c u, rel)lti,

1965.

3. E n e s 4. H i n

c u,

t i k a,

"Ajatus

"

G h., Filozofie ş i logică, J o a k le o,

Necessit)',

Ştiinţifică, Bucu­

Editura Ştiinţifică, Bucure�ti. 1 973. Universality

and

Time

in

Aristotle,

20, 1957.

5. K a p 1 a TI ,

D a v i d , Rescher's Pluralit)' - Quantifica.tion, "The Journal

of Simbolic Logic" 3 1 , 1966 şi idem Gen-eralized Plurality QuantiJication. 6. M o i s i 1

C.

G r., Essais sur les logiques non chryssippiennes,

Editura

Academiei R . S . R . , Bucureşti, 1 97 2 . 7. R e s c h e r

N. , Topics in philosophical logic, D . Reidel Publisching Com­

pany, Dordrecht-Holland, studiul Honstandard quantificationae logic, pp. 162- 181.

8. R e s c h e r , N. , Many-sorted Quantification, Procedings o f fleu 1 2 the "International Congres of psiholosophiy", Viena, 1 958. 9. R e s e h e r, N. , Plurality Quantification and Quasicategorial PropositioIlS,

"The Jou:rnal of simbolic logic, 27, 1 9 6 1 .

10. R e S c h e r,

N. , Predicate Logic Witlant Predicates, "Logique e t AnalyseU

7, 1 964.

I l . R e s e h e r N . , A Quantificational Treatment of Modality, "Logique et Analyse", 7 , 1 964...

CUPR I NS PREFAŢĂ : Gh. Enescu .

5

SILO GISTICA NOUĂ: "P. Botezatu

7

1.

II.

Preliminarii

7

8

Modele clasiale

1. Pro pri et ăţi şi clase

8

2. Silogistica tr a diţi o n al ă

9

3 . Noţiuni de calculul claselor

13 ·

5. P rivileg iile interpretării clasiale

16

4. Mod elul dasial al silogisticii

6. Incollvenientele in terpretării clasiale

19

7 . Modelul booleean

21

3. D i ag m mele Venll

24-

9. Procedeul antilogismului

III.

27

1 0 . Val o area modelelor clasiale .

28

Modele predicative

29

1 . Modelul cuantificaţional

29

2 . Modele

cuantificaţionale ameliorate

3. Silogisme plur a tiv e 4.

IV.

14

Val oa re a modelelor predicative

35 35

1. Mo dele Lukasiewicz 2. Valoarea modelelor Lukasiewicz

3. Sil o gi s t i c a operatorie .

31

34

Modele relaţionale

4. Alte modele

30

.

.

.

.

•

.

.

•

41

47

50 181

V.

Consideraţii finale

Bibliografie selectivă

CONTROVERSELE

INDUCŢIEI : T.

.

Dima

1.

Precizări introductive

II.

Inducţia amplifiantă şi generalizarea

IV.

Inducţia ca inferenţă reductivă

.

.

.

.

III. Alte tipuri de inducţic

V.

Metodele inductiv e

VI.

Prob!emele logice şi filozofice ale inducţiei .

.

.

. .

1. Provocarea lui Hume .

•

.

. . .

.

.

2. Hempel şi paradoxul confirmării

3. Paradoxul lui Goodman

4. Respingerea indu cţiei

5. Justificarea este posibilă şi necesară 5 . 1 . Enunţarea principiilor inductive supreme

5.2. Inducţia ca operaţie de auto-corectare

.

5.3. Invocarea probabilităţii

6. Justificarea este posibilă, dar nu este necesară Bibliografie

LOGICI POLIVALENTE: P. Bieltz Bibliografie

SEMANTICA "LUMILOR POSIBILE" ŞI LOGICA MODALĂ: S. Vieru C îTEVA PROBLEME ALE LOGICII MODERNE: Gh. Enescu

1. Teoria cuantificării

2 . Analogia operatorilor

3. Supoziţii Bibliografie

Reu n i nd stu d i i ale u nor logi cie n i d i n ·diferite generaţi i , l ucrarea de faţă prezi ntă cititorul u i Într-o formă accesi bilă si nteze pe diferite t e me ale logicii contem porane (s i logisti ca n ouă, d ezvoltări le moderne ale i nd ucţiei. l ogici pol i val e nte . co n ce p te

s pe ci al e şi se man tica logică. teoria

cu a ntorilo r

deri-

vaţi ş . a .) Stu d i i le vor co ntri bui n u n u mai in a i n forma la zi in direcţ i i l e a bordate, ci şi in zofi,

metodologi,

in

a

st i m u l a pe s pecia l işti (Iog ic i e n i fi l o-

diverse

domenii )

la

noi cercetări . Jn

acest sens l ucrarea se ad resează u n u i cerc l arg de cititori.