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Decision and control problems in missile design Stéphane Le Ménec « Autour des PBs de PB » INRIA / Sophia-Antipolis Tuesday / Wednesday, March, the 29th and the 30th
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Summary
•
Decision support system in medium range air to air combat game
• • • • • •
Sub games, differential game barriers State trees Reprisal strategies Markov chains
High level management for Anti Tactical Ballistic Missiles launch
• • • •
Dynamic game
2 types of missiles : observers / interceptors Static game Matrix game, mixed strategies
Bank To Turn (BTT) Optimal Guidance Laws
•
In flight error estimation and compensation - Extended Kalman Filter design
Presentation
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Steering law design - Guidance Law Optimization (differential game aspect)
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Summary
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Bank To Turn (BTT) Optimal Guidance Laws
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Overview on Missile Architecture Design - Guidance, Navigation & Control (GNC) - Missile Symmetry - Steering Law
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Constrains and Errors - Constrains (Acceleration, Stability, Time Response) - Errors (Radome Aberration, Misalignments) - Simulation Example
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Guidance and Control (roll gain) Optimization -
Proportional Navigation Optimal Proportional Navigation Differential Game Point of View BTT Guidance Laws Some Results
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Navigation, Guidance and Control
• • •
Navigation is knowing where you are Guidance creates the commands to take you from where you are to where you want to be Control follows the commands
Navigation
+ Guidance Guidance
End Point
-
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Control Control
Autopilot Functions / Free Flight Control (FFC) hControls the missile to follow manoeuvre demands (within prescribed limits) • over the missile operating envelope • allowing for external disturbances • allowing for variations in system characteristics (unknown but bounded)
Guidance Law
Steering Law
Autopilot
Actuators
Instruments Seeker/ Estimator
different strategies :
Relative Kinematics
Airframe Target Motion
roll the missile as an airplane or angle of attack and side slip controls
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Symmetric missiles hGuidance Law determines the required missile trajectory / demands hThe steering law determines how this is achieved (interface between guidance and autopilot). This depends on the airframe / system configuration
Rocket Powered ≈ symmetric ⇒ Skid-to-Turn steering law (+ possibly roll-control) Réf.: - Page 6 - 30/03/2005 Ce document est la propriété de MBDA. Il ne peut être communiqué à des tiers et /ou reproduit sans l’autorisation préalable écrite de MBDA et son contenu ne peut être divulgué. MBDA 2005 . This document and the information contained herein is proprietary information of MBDA and shall not be disclosed or reproduced without the prior authorization of MBDA. MBDA 2005. Edité à partir du FF S1.0034 A2
Asymmetric missiles
Separation Control
Separation Control
Midcourse Guidance
Free Flight Control
Homing Guidance Cartesian State Estimation
Ram-Jet Powered, asymmetric, low side-slip required (engine constrains) ⇒
Bank-to-Turn steering law required also Bank-While-Turn & STT modes
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Basic Steering / Control laws
•
Skid-To-Turn (STT) - airframe has symmetry in two axes (cruciform) and is equally capable of being controlled in pitch and yaw. - May be roll controlled (or not) depending on the application.
•
Bank-To-Turn (BTT) - asymmetrical airframe and has more control capability in the pitch plane. - if control is required in another plane then the airframe must first be rolled into the plane where it can use its pitch control. Thus, this airframe must have roll control.
•
Bank-While-Turning (BWT) - similar to BTT but with active acceleration control in both planes
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Basic Steering / Roll Control Guidance and autopilots
ac
ayNRc φc
azNRc
BTT
azRc= ac φ
commands in non-rolling axes azRc
STT
φc=φ, 0
azRc
BWT
φc=atan2(ayNRc, -azNRc) φ
φ ayRc
φc=atan2(ayNRc, -azNRc)
ayRc
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Constrains on acceleration demands (STT)
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Constrains on acceleration demands (BTT)
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Stability constrains on roll (rate) demands
•
The roll chain is designed faster than pitch and yaw
• •
•
to control acceleration in the right plane in BTT, to reduce side slip in BWT
Errors on boresight angle measurements (see following slides) required
•
to slow down the autopilot (more particularly to decrease the roll gain G1R) to avoid FFC instabilities
•
•
to decrease the guidance law gain (in particular PN gain)
BTT more sensitive to boresight errors when
•
roll lag time constant small
(stability limit smaller when G1R large)
•
ATd (FFC acceleration demand) small ⇒ no fast roll demands when ATd small
• •
Incidence lag (airframe response) large VM (missile velocity) small
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Constrains on time response
•
The STT mode has smaller time response than BTT BTT requires first to roll « before » applying pitch control demands.
•
When Time To Go (tf – t) is small in comparison with BTT autopilot lag time constant, prefer STT mode
•
Just before interception, the ram jet engine constrains do not apply anymore, less restriction on side slip angle end interception in BTT ⇒ Steering law rules
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Proportional Navigation (PN) Trajectory Homing Guidance
target
// Lines Of Sight (LOS)
missile
• •
Sightline angle (and rate) vary at the start of engagement Later the sightline moves parallel to itself so the sightline rate → 0 and a shrinking interception triangle is produced
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PN guidance loop
•
We aim for a final missile straight line motion with no sightline rate (to reach the collision course triangle). We therefore define: lateral acceleration (latax) demand = λ .V.ωs where the sightline rate ωs is measured by the missile seeker and λ is a constant (called navigation constant, gain, kinematic stiffness …) and V a speed term
•
more efficient PNs exist as • Ideal PN (with missile longax compensation for accelerating missile) and • Augmented PN (APN) for an accelerating target
Target Motion
Missile/Target Geometry Missile Motion
Sightline Angle
Sightline Rate Seeker
Kinematics
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Guidance Law
Achieved Accln
Demanded Accln Autopilot Missile
Boresight errors / radome aberration
•
Radome aberration errors
• • • •
The radome is designed to protect the dish from airflow damages The seeker (dish) is theoretically decoupled from missile movements, but … Missile attitude changes imply fictive target movements (of apparent LOS) Radome aberration (RA) couples LOS measurements (Elevation, Circular) to missile attitude through gimbal angles
ε E measured = ε E true + kse . E + ksc . C
RA errors
ε C measured = ε C true + kgc . C + kge . E
apparent target
LOS
radome aberration angle
true target antenna radome Réf.: - Page 16 - 30/03/2005 Ce document est la propriété de MBDA. Il ne peut être communiqué à des tiers et /ou reproduit sans l’autorisation préalable écrite de MBDA et son contenu ne peut être divulgué. MBDA 2005 . This document and the information contained herein is proprietary information of MBDA and shall not be disclosed or reproduced without the prior authorization of MBDA. MBDA 2005. Edité à partir du FF S1.0034 A2
Boresight errors / misalignments effects
•
Inertial Measurement Unit (IMU) and Seeker misalignments
• By construction, offsets exist between IMU axis and body axis • In the same way, the dish reference axis are not perfectly linked to body axis ⇒ Errors in LOS angle and LOS rate reconstruction 9 Due to errors on the transfer matrix between dish, body and IMU coordinate frames 9 Errors occurs when no gyroscope on seeker axis (in modern missiles) Dish axis
9 In case of 3D target maneuvers (or BTT modes) LOS
Reference dish axis
measured
Gimbal angle (E)
IMU
Body (Radome axis) 2
1
(angle of attack)
: pitch
VM (velocity vector) D : dish Réf.: - Page 17 - 30/03/2005
Reference computed
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measured
E
true
2
1
Guidance Law Optimization (STT / linear model)
•
Approximation around the collision course triangle (linearization)
•
Unbounded controls (penalty function through quadratic criterion) - Linear Quadratic Theory (Bryson, Ho and all) • PN, APN optimal under target maneuver assumptions • OGL : first order assumption for missile and target dynamics - Differential game point of view (Ben Asher and all) • Trade of between miss distance and target acceleration capabilities taking into account • Missile lag time constant robustness, • Imperfect target acceleration estimation
•
Bounded controls, miss distance as criterion (Prof. J. Shinar and all) - DGL/0, DGL/1 (Differential Game, 1 : first order target dynamics), - DGL/C (delayed estimation), DGL/S (IR seeker)
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Guidance Law Optimization (STT / BTT)
•
(Kinematics without small angle approximation (Prof. J. Shinar and all)
• •
•
2D dynamics (STT context), non complete analytic solution Interesting for initial non collision course conditions
BTT optimal guidance law
• •
Collision course assumption Unbounded controls approach extension (Aggarwal and all) - Roll rate optimization
•
Lyapunov approach - Roll angle demand
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Differential Game Guidance Law
•
Kinematics • First order lag time constant for Pursuer and Evader
X& = A X + B ΓM + D ΓT
•
Singularity checking imply a trade off between miss distance and target maneuverability
Criterion
1 b min max J = y 2 (t f ) + 2 2
•
3D Guidance law expression
tf
∫ (Γ
2 Md
)
− γ 2 ΓT2 dt
0
term only in the one-sided optimal solution or when adding in the game a constant maneuver (in both case, parameter to estimate : Kalman filter)
r r r r c r ' ΓM c i = c Vc Ω i ∧ iMT i + c ⋅ ΓM + ( ⋅ ΓT ) 2 c, c' = f (τ pilot , t f − t ) Réf.: - Page 20 - 30/03/2005 Ce document est la propriété de MBDA. Il ne peut être communiqué à des tiers et /ou reproduit sans l’autorisation préalable écrite de MBDA et son contenu ne peut être divulgué. MBDA 2005 . This document and the information contained herein is proprietary information of MBDA and shall not be disclosed or reproduced without the prior authorization of MBDA. MBDA 2005. Edité à partir du FF S1.0034 A2
Results on 2D simulation
• • • • •
Linear Kalman Filter to estimate LOS rate and target acceleration (for APN and OGL) Radome aberration without compensation (+ thermal noise, + white noise) APN and OGL are sensitive to bad target acceleration estimations OGL with high guidance gain (→ ∞ at tf) is sensitive to errors LQ Diff. Game : no target acceleration required, finite guidance gain miss distance [m] 0 5 0 5
APN
0 5
small non null miss distance
PN
stability
0 5
LQG LQDG
0 5 0 0.08 Réf.: - Page 21 - 30/03/2005
0.06
0.04
0.02
0 radome slope R
0.02
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0.04
0.06
0.0
Results using a Generic 6dof simulation
•
Gen6DOF in Matlab / Simulink
•
Target point mass model
•
Extended Kalman Filter to estimate LOS rate and compensate radome aberration
•
3D LQDG
•
STT and BTT steering law (Steering Law : atan2)
•
Results with and without errors (Radome aberrations)
•
Results with different amount of Radome aberration errors
•
Sensitivity larger in BTT than in STT
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BTT Optimal Guidance Laws
•
Kinematics
relative positions In inertial axis relative velocity In inertial axis
•
z y& r = v y z&r = vz v& y = ATy − A cos φ v&z = AzT − A sin φ
azRc
A −A A& = c
ι
φ& = φ&d
ayRc
Criterion
1 J= 2
− − − −
tf 2 2 2 2 & yr (t f ) + z r (t f ) + ∫ ( wa Ac + wφ& φd ) dt t0
Hamiltonian -> two point boundary value problem Near optimal solution using singular perturbation method (separation between the slow and the fast mode) Solution similar to OGL + φ&d control Game formulation as in STT ?
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BWT
φ y
Conclusion
• • • • • • • •
Long range air to air missiles will be powered by ramjets Ramjets tolerate small sideslip angles and small negative angle of attack The pitch-yaw-roll dynamics is a nonlinear (coupling effect) BTT / BWT roll rate has to be controlled carefully to avoid instabilities Most of optimal guidance laws were designed in STT context Steering Law optimization required High guidance / autopilot gains are required against highly maneuverable targets Low gains are required for stability reasons, errors remains
• •
•
in LOS rate estimation (thermal noise for radar seeker, radome aberration, misalignments) and in target acceleration estimation (delays, errors)
First results are obtained using STT optimal guidance laws (differential game versions)
• •
by design of adapted gains and by avoiding target acceleration estimation
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