DDS Serie 3 2021 [PDF]

Zitiervorschau

Université Abou-Bekr Belkaid Faculté de Technologie

Dynamique des structures Département de Génie Civil

Série de TD N°3 : Vibrations forcées harmoniques Rappel du cour : Réponse dynamique totale en vibration forcée harmonique : Equation de mouvement : 𝑢̈ (𝑡) + 2𝜉𝜔𝑢̇ (𝑡) + 𝜔2 𝑢(𝑡) = 𝑃0 sin⁡ 𝜔 ̅𝑡 Le déplacement total : 𝑢(𝑡) = 𝑒 −𝜉𝜔𝑡 (𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑑 𝑡) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑑 𝑡)) + 𝑢(𝑡) = la réponse transitoire (

0)

𝑃0 𝐷 𝐾

𝑠𝑖𝑛(𝜔 ̅𝑡 − 𝜃) .

+ Réponse permanente.

A et B : Constantes déterminées en fonction des conditions initiales. 𝐷=

1 √(1−𝛽 2 )2 +(2𝜉𝛽)2

: Facteur d’amplification dynamique.

2𝜉𝛽

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1−𝛽2 : Déphasage entre l’effort appliqué et le déplacement résultant. ̅ 𝜔

𝛽 = 𝜔 : Rapport de fréquences. SSDDL soumis à un déplacement de support 𝒖𝒈 (𝒕): Equation de mouvement : ⁡𝑀𝑢̈ (𝑡) + 𝐶𝑢̇ (𝑡) + 𝐾𝑢(𝑡) = −𝑀𝒖̈ 𝒈 (𝒕). Isolation vibratoire : TR = D√1 + (2ξβ)2 : Transmissibilité. Machine vibrante : TR est le rapport de l’amplitude de la force transmise sur l’amplitude de la force appliquée. Support vibrant : TR est le rapport de l’amplitude du déplacement transmis sur l’amplitude du déplacement appliqué.

EXERCICE 1:

M

Une masse M de 600 kg est posée sur un portique isostatique de raideur constante E.I=2100 tf.m2 et de masse négligeable (Figure 1.). La portée L est égale à 500 cm. On propose d’utiliser un modèle où le seul degré de liberté est le déplacement vertical de la masse. Afin d’évaluer son amortissement, on le soumet à un essai de vibrations libres ; le rapport de deux amplitudes consécutives est alors de 2,5.

Le DDL 1,3L

EI=Cste

L

Figure1. 1/ Calculer la rigidité K et la pulsation propre . 2/ On charge le système par une force harmonique 𝑝(𝑡) = 𝑃0 sin⁡ 𝜔 ̅𝑡 où, 𝑃0 = 18⁡𝑘𝑁 et 𝜔 ̅= 16𝑟𝑎𝑑/𝑠. Calculer le déplacement maximum en régime permanent. 3/ Tracer les diagrammes des efforts internes (M, N et T) maxima et minima en régime permanent, en tenant en compte le poids propre de la masse. 4/ Calculer le déplacement total dû à cette charge à t=0,8s si les conditions initiales sont nulles.

EXERCICE 2: Le portique de la figure 2 possède un plancher infiniment rigide. Il peut alors être modélisé par un système à un seul degré de liberté dans le cas où il serait soumis à des excitations horizontales. Afin d’évaluer son amortissement, on le soumet à un essai de vibrations libres ; le rapport de deux amplitudes consécutives est alors de 0.5. Ce portique est ensuite soumis à un déplacement horizontal du ̅ 𝒕). support 𝒖𝒈 (𝒕) = 𝒅⁡𝒄𝒐𝒔(𝝎 Pour l’application numérique, on donne:

M

H

E.I

E.I 3.E.I

3.E.I

1,5.H

Articulations L

L

L

Figure 3 Figure 2.

̅ =25rad/s. M=200 tonnes; E.I=80,0 106 N.m2; H=3,5 m; L= 6 m; d=3 mm; 𝝎 1/ Déterminer le déplacement relatif maximum du portique en régime permanent. 2/ En déduire les diagrammes des moments de flexion maxima. 3/ Quel serait le déplacement relatif maximum de ce portique si le mouvement du support entrait en résonance avec celui du portique? EXERCICE 3: Un système à un seul degré de liberté a une rigidité de 144,5 tf/m, une masse de 20 tonnes et un facteur d’amortissement de 5%. Ce système, initialement au repos, est soumis à un déplacement harmonique du support z(t ) = 3. sin (10.t ) + 4. cos (10.t ) [mm] où, t est exprimé en secondes. 1/

Calculer le déplacement et la vitesse relatifs maxima en régime permanent.

2/

Calculer le déplacement et la vitesse relatifs à t=0,5s en considérant la solution totale.

3/

Quelle doit-être la rigidité de ce système pour que le déplacement relatif maximum en régime permanent soit de 12mm.

EXERCICE 4 : Une fondation antivibratoire est installée dans une halle dont les perturbations ambiantes induisent des vibrations d’une fréquence de 24 Hz et de 0.25 mm d’amplitude. Nous voulons que l’amplitude du bloc isolé, d’une masse M= 1 tonne, ne dépasse pas 0.05 mm. 1/Déterminer la fréquence propre du dispositif d’appuis si l’amortissement est négligé (Figure 3.). 2/ Quelle est la rigidité (K1) des ressorts ? 3/ On ajoute un amortisseur à ce dispositif. Quelle est la nouvelle rigidité (K1) des ressorts si le coefficient d’amortissement est de 20%. Figure 3. EXERCICE 5 : Une machine de masse m=10000kg produit des forces harmoniques verticales d’une amplitude de 2500N à la vitesse de fonctionnement de 40Hz. Afin de limiter les vibrations induites dans le bâtiment où cette machine doit être installée, on prévoit de la poser sur 4 ressorts identiques. Déterminer la rigidité des ressorts nécessaires pour limiter à 400 N la force harmonique totale transmise au bâtiment (considérerez ξ=0).