Cours Traitement D'antennes Chonavel [PDF]

Zitiervorschau

Traitement d’antennes ENST de Bretagne

Thierry Chonavel Laboratoire CNRS TAMCIC (UMR 2872), [email protected] 24 octobre 2007

Thierry Chonavel

Traitement d’antennes 1/38

Plan ` 1 Position du probleme 2 Localisation de sources

´ ´ e´ Localisation en presence de bruit correl ` Probleme large bande Estimation des covariances 3 Formation de voies

´ eralit ´ ´ Gen es ´ ´ FV independante des donnees Approche statistique de la FV Formation de voies adaptative

Thierry Chonavel

Traitement d’antennes 2/38

Plan ` 1 Position du probleme 2 Localisation de sources

´ ´ e´ Localisation en presence de bruit correl ` Probleme large bande Estimation des covariances 3 Formation de voies

´ eralit ´ ´ Gen es ´ ´ FV independante des donnees Approche statistique de la FV Formation de voies adaptative

Thierry Chonavel

Traitement d’antennes 3/38

` Systemes mono-capteurs et multi-capteurs • Traitement d’antennes (array processing) traitement

systeme mono−capteur

traitement global

systeme multi−capteurs

Thierry Chonavel

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` ´ Observation et problemes envisages • Nature de l’observation • champ spatio-temporel stationnaire, reguli ´ ` ´ erement echantillonn e´ en ´ temps et en espace au moyen d’un reseau de capteur • signaux emis ´ ´ ´ ees ´ par p sources decorr el • bruit additif decorr ´ ´ e´ avec les sources el • Problemes ` ´ envisages • localisation de sources (⇔ estimation de temps de retard) • formation de voies ( formation de diagramme de rayonnement) • Solution : prise en compte de l’information temporelle et spatiale.

Thierry Chonavel

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` ´ erales ´ Hypotheses gen • Reseau ´ d’antennes (array antenna) s(t)

θ

1

2

N

´ Figure: Source s(t) de frequence f dans la direction θ. • Reseau ´ ´ ´ lineaire de capteurs equidistants; Ondes planes.

Thierry Chonavel

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Sectre spatio-temporel du champ observe´ φ φ max

2π fo d sinθ c

−Fmax

fo

Fmax

−φ max

Figure: Support spectral des ondes planes Thierry Chonavel

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f

Espacement entre capteurs • φ(1, n) = 2π fd c sin θ;

´ Pour eviter l’ambiguite´ de position des sources, il faut que fd π π ∀f ∈ [−fmax , fmax ], ∀θ ∈ [− , ], |2π sin θ| < π, 2 2 c (d < λmin 2 ). • On prend gen ´ erallement ´ d= soit d
λp > 0. Donc Ry = Udiag{λ1 + σb2 , . . . , λp + σb2 , σb2 , . . . , σb2 }UH .

(6)

et vect{d(φ1 ), . . . , d(φp )} = vect{U1 , . . . , Up } = [vect{Up+1 , . . . , UN }]H . (7) • Spectre MUSIC: 1 g(φ) = P . H 2 | k =p+1,n UH k d(φ) | Thierry Chonavel

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(8)

´ e´ Cas du bruit correl

• On peut chercher a` estimer un modele ` pour le bruit. • Plus direct : estimer un modele ` global signal+bruit pour le spectre

spatial. • Peu de covariances disponibles → regularisation ´ ARMA. • description par equation ´ ´ aux differences • description par modeles ` ´ d’etat

Thierry Chonavel

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` ARMA Justification du modele • Modelisation ´ ´ realiste de la source k sur le capteur n:

sk ,t (n) = eiφk sk ,t (n − 1) + vk ,t (n),

(φk = 2π

fd sin θk ). c

(9)

• Le bruit peut etre ˆ ´ ` ARMA: decrit par un modele

bt (n) =

X

αk bt (n − k) +

k =1,q1

Spectre spatial de yt (n) = Sy (φ) =

X

k =1,p

X

βk wt (n − k).

(10)

k =0,q2

P

k =1,p sk ,t (n)

+ bt (n): P

| k =0,q2 βk e−ik φ |2 σv2k 2 P . + σw |1 − eiφk e−iφ |2 |1 + k =1,q1 αk e−ik φ |2

• Estimation Sy (φ) a` partir de [Ry ]11 , . . . , [Ry ]N1 . Thierry Chonavel

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(11)

` d’etat ´ Estimation ARMA par modele (I) • Modele ` des sources (theorique),du ´ bruit et global:



xs (n) = diag{eiφ1 , . . . , eiφp }xs (n − 1) s(n) = [1, . . . , 1]xs (n) 

(12)

xb (n) = Fb xb (n − 1) + w(n) (13) b(n) = Gb xb (n)      0 diag{eiφ1 , . . . , eiφp } 0  x(n) = x(n − 1) + = Fx(n − 1) w(n) 0 Fb  y(n) = [1, . . . , 1, Gb ]x(n) = Gx(n). (14) Thierry Chonavel

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` d’etat ´ (II) Estimation ARMA par modele • La technique utilise la matrice de Hankel des covariances   Ry (0) Ry (1) ... Ry (N/2)  Ry (1) Ry (2) . . . Ry (N/2 + 1)     .   .. Ry (N/2)  Ry (N/2 + 1) . . . Ry (N) G  GF      =  ..  . PH FPH . . . FN/2 PH = 0C, P = cov (x(n)).  .  GFN/2

(15)

• On note que O↑ = O↓ F, soit F = (O↓ H O↓ )−1 O↓ H O↑ = O↓ # O↑ . • Les {φk }k =1,p sont fournis par les arguments des valeurs propres de

´ F proches du cercle unite. Thierry Chonavel

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` Probleme large bande • Methode: ´ ´ ´ synthetiser les resultats obtenus dans les sous-bandes

´ etroites. • On exploite le fait que pour une source φ varie lineairement ´ avec f . • Une technique possible; Moyenner les spectres MUSIC:

1 1 , avecgk (φ) = P , g (f , φ) U k =1,K k k k =p+1,N k (fk )d(fk , φ) (16)

g(φ) = P

i fmax φ

i(N−1) fmax φ T fk ] ,

et d(fk , φ) = [1, e fk , . . . , e pour la direction θ, φ = 2π fdc sin θ. • Perte de resolution. ´ Thierry Chonavel

´ car a` la frequence f et

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Focalisation

• Deux approches • transformation lineaire ´ : T(fk )d(fk , φ) = d(fmax , φ) • transformation non lineaire ´ : Sk (fk , φ) → Sk (fmax , φ).

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´ Focalisation lineaire 1

´ Estimation bande etroite des pulsations (φu,k )u=1,p;k =1,K aux ´ frequences f1 , . . . , fmax

2

Construire {T(fk )}k =1,K telles que T(fk )Ak (fk ) = Ak (fmax ), avec Ak (fk ) = [d(fk , φ1,k ), . . . , d(fk , φp,k )]. On peut prendre ˜ 0 )][Ak (fk ), A(f ˜ k )]−1 . T(fk ) = [Ak (f0 ), A(f

3

´ Construire la matrice de covriance focalisee X Ry = T(fk )Ry (fk )T(fk )H k =1,K

Thierry Chonavel

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(17)

(18)

´ ´ Focalisation lineaire approchee • On voudrait que T(fk )d(fk , φ) ≈ d(fmax , φ), ∀φ • On peut prendre

T(fk ) = arg min

Z

π

T(fk ) −π

k T(fk )d(fk , φ) − d(fmax , φ) k d φ,

` contraint si on veut priviliegier ´ ou un critere certaines directions: Rπ   minT(fk ) −π k T(fk )d(fk , φ) − d(fmax , φ) k d φ 

T(fk )d(fk , φi ) ≈ d(fmax , φi ),

Thierry Chonavel

i = 1, . . . , p.

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(19)

´ Focalisation non lineaire

1

´ Estimer le spectre Sk (φ) aux frequences f1 , . . . , fmax .

2

Focaliser les spectres Sk (φ) → Sk (

3

fmax φ). fk

Extraire conjointement les pulsations {φk }k =1,p

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(20)

´ Parametrisation des covariances • Parametrisation ´ de la matrice des covariances R (structure Toeplitz) • Approximation conique:     X + KM = S= αm d(φm )d(φm )H ; αm ≥ 0, φm = (2m − M − 1)π/M   m=1,M

(21)

• Estimation par optimisation :



H ˆ −1 P ˆ −1 ˆ −1 k minα k (R m=1,M αm d(φm )d(φm ) − R )R αm ≥ 0, m = 1, . . . , M.

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(22)

Estimation des covariances • Hypothese ` gaussienne. Log-vraisemblance:

ˆ L(S) = − log |S| − Tr [S−1 R]. • Proleme ` des optima locaux. • Estimateur asymptotiquement equivalent: ´

ˆ R ˆ −1 k2 . min k (S − R) S

Thierry Chonavel

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Conclusions sur la localisation de sources • Localisation en presence ´ de bruit blanc : algorithme MUSIC ou

variantes • En presence ´ ´ e´ : estimation ARMA du spectre spatial de bruit correl • Localisation de sources a` large bande : focalisation lineaire ´ ou non ´ ` ´ lineaire des solutions a bande etroite. • Estimation de la matrice de covariance des observations • Remarque: le diagramme de rayonnemment global sera le produit

du diagramme d’un capteur (capteurs identiques) par la fonction de ´ reseau.

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Plan ` 1 Position du probleme 2 Localisation de sources

´ ´ e´ Localisation en presence de bruit correl ` Probleme large bande Estimation des covariances 3 Formation de voies

´ eralit ´ ´ Gen es ´ ´ FV independante des donnees Approche statistique de la FV Formation de voies adaptative

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Formation de voies (beamforming) • Objectif: formation electronique ´ d’un diagramme de rayonnement • Methode: ´ ´ combinaison des sorties d’un reseau de capteurs • par ponderation ´ scalaire des sorties de capteurs • par filtrage des sorties de capteurs • Traitement large bande et bande etroite ´ • Differentes ´ approches possibles • prise en compte des sorties de capteurs • traitements par blocs ou adaptatif

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´ ementaire ´ Approche el fd

• On observe yt = d(f , φ)st + bt (d(f , φ) = [, . . . , e2iπ c sin θ ]T ) • Formation de voies par remise en phase de l’information utile

zt = d(f , φ)H yt = Ns(t) +

X

fd

b(n)e−2iπ(n−1) c

sin θ

.

n=1,N

  1 2 H  • Fonction de reseau: ´ g(φ) = |d(φ) .  |2 = ( sin(Nφ) sin(φ) ) . 1 • Pour une source large bande, il faudrait appliquer d(f , φ)H pour ´ ´ ´ chaque frequence f , c.a.d. un filtre de reponse frequentielle −2iπ(n−1) fdc sin θ h(n, f ) = e sur le capteur n. • Dans le cas large bande, deux approches sont possibles: • filtrage derriere ` chaque capteur • realiser ´ ´ des traitements bande etroite dans le domaine temporel. Thierry Chonavel

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Traitements large bande

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´ ´ FV independante des donnees • Frequence ´ ´ Formation de voie simple: f fixee.

zt = d(f , φ)H yt = Ns(t) +

X

n=1,N

• Gain de formation de voies

GFV = avec Π =

SNRFV Tr (Rb ) = , SNR0 Tr (ΠRb )

d(f ,φ)d(f ,φ)H . kd(f ,φ)k2

• Estimateur spectral du periodogramme ´

S(φ) = E[|z|2 ] = d(f , φ)H Ry d(f , φ). Thierry Chonavel

fd

b(n)e−2iπ(n−1) c

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sin θ

.

´ eralisation ´ Gen • On cherche

ˆ = arg min k AH h − rd k2 , h h

´ eral, ´ avec A = [d(f , φ1 ), . . . , d(f , φp )] et, en gen [rd ]k ∈ {0, 1}. • Solution unique pour p ≥ N:

ˆ = (AAH )−1 Ard . h • Cas large bande: A = [d(f1 , φ1 ), . . . , d(fp , φp )]. • Pour p < N, la solution de norme minimale s’ecrit ´

ˆ = A(AH A)−1 rd . h

Thierry Chonavel

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Approche statistique de la FV • On exploite la connaissance de Ry • Approche gen ´ erale. ´ ` de maximum de Pour Ry = Rs + Rb le critere

´ SNR s’ecrit:

H ˆ = arg max h Rs h h h hH Rb h

• Caractere ` gen ´ eral ´ et limitation de cette approche.

ˆ est le vecteur propre associe´ a` la plus grande valeur • Solution: h propre de R−1 b Rs .

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Filtre adapte´ spatial • Encore appele´ estimateur a` variance minimale ˆ solution de • On cherche h



minh E[|hH y|2 ] hH d(fp , φp ) = 1

´ par le filtre adpte´ spatial (FAS) qui est donnee ˆ= h

R−1 y d(fp , φp ) d(fp , φp )H R−1 y d(fp , φp )

• Gain par rapport a` la formation de voies classique:

GFAS =

SNRFAS SNRFV

= Tr (ΠRb )Tr (ΠR−1 b ).

• Estimateur spectral de Capon: S(φ) =

Thierry Chonavel

1 . d(fp ,φp )H R−1 y d(fp ,φp )

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´ eralisation: ´ Gen GSC 

minh hH A(y)h CH h = c.

ˆ = A−1 C(CA−1 CC)−1 c. • Optimum h • Methode ´ GSC (Generalized Sidelobe Canceler): prend en compte ´ l’evolution temporelle de A(y) (par ex. A(y) = Ry ) avec un cout ˆ de calcul limite´ ˜ ˜h • h = h0 + C H ˜ = Ker {C}. • avec C h0 = c et Im{C} H ˜ = (CA(y) ˜ ˜ −1 C ˜ H A(y)h0 . • Solution: h0 = C(C C)−1 c et (par ex.) h C)

• Propriet ´ es ´ ˜ • L’information statistique n’est contenue que dans h ˜ • h est de dimension inferieure ´ a` N • Possibilite´ d’implementation ´ adaptative. Thierry Chonavel

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Formation de voies adaptative • Presentation ´ ´ des criteres ` unifiee

ˆ = arg min |yd − hH x|2 = R−1 rxy h x d h

˜ et yd = hH y. • Pour le GSC: x = Cy 0 • On peut estimer h de fac¸on recursive ´ par les algorithmes LMS ou

RLS (voir cours de traitement du signal adaptatif). • Formation de voies partiellement adaptative.

Thierry Chonavel

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Conclusion

• Possibilite´ de former le diagramme de rayonnement d’une antenne. • Prise en compte de contraintes (directions de gain fort ou de gain

faible, ...) • Prise en compte des statistiques de l’observation • Techniques a` cout ˆ de calcul limite´ (GSC, traitement adaptatif) • Lien avec le probleme ` de la localisation de sources.

Thierry Chonavel

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