Cours MIMO 2020-21 [PDF]

Zitiervorschau

République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université des Sciences et de la Technologie d'Oran Mohamed Boudiaf (USTO-MB)

Faculté de Génie Electrique Département d’Automatique

Systèmes Linéaires Multi-Variables Notes de Cours Destiné aux étudiants en Master 1 Automatique et Informatique Industrielle Réalisé par : Pr. ZEMALACHE MEGUENNI kadda

Année universitaire 2020/2021

1

Avant-propos L’analyse et la synthèse des systèmes dynamiques linéaires invariants (SLI) nécessitent la connaissance d’un modèle mathématique traduisant les relations reliant les grandeurs d’entrée principales et secondaires aux grandeurs de sortie. En générales chaque SLI peut être représenté par une représentation suivante : Représentation graphique qui peut être diagramme fonctionnel ou de fluence. Représentation reliant l’entrée à la sortie comme les fonctions de transfert qui demeurent des représentations externes ou par des modèles d’état dans ce cas on parle de des représentations internes. La représentation externe reste valable et efficace quelque soient les systèmes jusqu’à ce que ces derniers atteignent une complexité telle l’unique relation entrée - sortie pour les commander correctement ne peut en satisfaire. Ces modèles deviennent difficiles à mettre en œuvre lorsqu’ils possèdent plusieurs entrées et plusieurs sorties. L’analyse par variables d’´etat est une approche moderne d’étude des systèmes née dans les années 60. Parmi les domaines d’application de cette théorie, l’automatique prend une place privilégiée : les représentations d’état sont à l’origine de méthodes puissantes d’analyse et de commande des systèmes, et qui possède en outre, l’avantage de conserver la représentation temporelle des phénomènes. Ce document regroupe un ensemble de notes de cours sur la commande par représentation d’état. Il accompagne le cours d’automatique linéaire dispensé aux étudiants de Génie Electrique, du deuxième cycle. L'objectif du cours est de donner une méthodologie pour la conception des différentes lois de commande pour les systèmes linéaires invariants multi-variables, dans le contexte de l'approche d'état. Le contenu de ce document n’est absolument pas exhaustif et doit être complété des notes personnelles prises lors des séances de cours, des travaux dirigés et des travaux pratiques.

2

Table de matière Avant-propos ……………………………………………………………… 2 1. Introduction ………………………………………………………… 3 2. Représentation d'état des Systèmes Multi-variables (SM)……….. 17 3. Commandabilité et Observabilité ………………………………….. 23 4. Commande par retour d'état et note sur les Observateurs d’état .. 36 Références……………………………………………………………………..49

3

Chapitre I Introduction 1.1.

Rappel sur le calcul matriciel

1.1.1. Représentation matricielle et notations Une matrice est un tableau rectangulaire d'éléments, généralement des nombres ou des fonctions. Ces grandeurs sont généralement des réels ou des complexes. Dans la suite, nous ne considérerons que des grandeurs réelles. Une matrice de dimension ∗ est notée ∗ ∈ . Cette matrice est une matrice de lignes et de colonnes. / /5 = 3/,- 7 = 8 ⋮ /

Si m = n, alors la matrice est carrée.

/5 /55 ⋮ / 5

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

Une matrice Vqui ne comporte qu'une seule colonne, V ∈ R : 4 45 2=8 ⋮ : 4

Une matrice Vqui ne comporte qu'une seule ligne,V ∈ R 2 = 34

45

∗

/ /5 ⋮ : /

∗

, est appelé un vecteur colonne

, est appelé un vecteur ligne :

⋯ 4 7

1.1.2. L'addition matricielle L'addition matricielle n'est définie qu'entre deux matrices de même dimensions. La matrice résultante est de la même dimension que les matrices additionnées et chacun de ses éléments est la somme des éléments des deux matrices correspondant à la même ligne et à la même colonne. L'addition ou la soustraction entre deux matrices A et B est donnée par : ) = *+,- . = */,- ± 1,- .

Exemple 1.1: +

1 2 6 = 2

=

4 7 6 8

0 5 2 6 , = 3 0 1 1 6 −4 &' − = 4 2

!"#

2 −6 6 2 4

1.1.3. Le produit 1.1.3.1.La multiplication d'une matrice avec un scalaire La multiplication entre une matrice et un nombre scalaire donne une matrice dont chaque élément de la matrice est multiplié par le scalaire. Étant donné une matrice, et 1 un scalaire, alors les éléments de la matrice ) résultante sont donnés par : ) = *+,- . = 1/,La matrice ) = 1 est de même dimension que . Exemple 1.2: 1 4 0 = &' 1 = 2 !"# 2 7 3 2×1 2×4 2×0 2 8 0 )=1 = = 2×2 2×7 2×3 4 14 6 1.1.3.2.La multiplication matricielle La multiplication entre deux matrices n'est définie que lorsque leurs dimensions son compatibles : le nombre de colonnes de la matrice à gauche de l'opérateur doit correspondre au nombre de lignes de la matrice à droite de l'opérateur. ∗ , et si ∈ ∗= , la multiplication entre les matrices et donne une matrice ) Si ∈ de dimensions ( ∗ >) telle que tous ses éléments : +,- = G /,H 1HHI

Exemple 1.3:

1 2 0 1 0 0 0 ) = 2 = 31 27 0

)=

=

(1 × 0) + (2 × 0) (1 × 1) + (2 × 2) 1 0 5 =C F= (1 × 0) + (0 × 0) (1 × 1) + (0 × 2) 2 0 1 1 = 3(1 × 0) + (2 × 0) (1 × 1) + (2 × 2)7 = 30 57 2

Remarque : La commutativité n'est pas toujours vraie. ≠ 1.1.4. L'opérateur de transposition La transposée d'une matrice = */,- .

∗

⇒

?

est la matrice

= ′ = */-, .

?

∗

5

(notée parfois aussi ′ ) définie par :

Exemple 1.4: =

1 0 5 4 1 37 ⇒ 2 ? = 2′ = O2P 3

1 5 ⇒ 0 4

2 = 31 2

?

= ′=

1.1.5. Les mineurs

Les mineurs mJK des éléments aJK d'une matrice Acarrée, A ∈ R ∗ , sont les déterminants de la partie restante de A lorsqu'on ne tient pas compte de la ligne i et de la colonne j. Exemple 1.5:

En ce qui concerne la matrice 1 1 0 = O1 0 1P 0 2 1

Le mineur m5Q est donné par : 5Q

1 = S&' V = O⋯ 0

1 ⋯ 2

⋯ 1 1 U=2 ⋯PW = S&' T 0 2 ⋯

1.1.6. Les mineurs (directeurs) principaux

Le mineur principal de A d'ordre k est obtenue en supprimant les n − k dernières lignes et colonnes. Soit

/ /5 = 3/,- 7 = 8 ⋮ /

/5 /55 ⋮ / 5

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

/ /5 ⋮ : /

Les mineurs directeurs d'une matrice carrée A, appelés aussi mineurs principaux sont définis comme suit :

Q

=/ / /5 U 5 = S&' T / / 5 55 / /5 /Q / = S&' VO 5 /55 /5Q PW /Q /Q5 /QQ ⋮ = S&'( )

6

Exemple 1.6:

Q

1 = O1 0

1 0 0 1P 2 1

=1 1 1 5 = S&' T 1 0 1 = S&'( ) = S&' VO1 0

U = −1

1 0 0 1PW = −3 2 1

Si tous les mineurs principaux de la matrice définie positive.

sont positifs alors, on des que la matrice

est

1.1.7. Les cofacteurs Les cofacteurs +,- des éléments /,- d'une matrice +,- = (−1),X-

∈

carrée,

,-

∗

, sont donnés par :

Exemple 1.7:

Le cofacteur +5Q de la matrice +5Q

1 1 = O1 0 0 2 5XQ = (−1) ∗

/ /5 = 3/,- 7 = 8 ⋮ /

0 1P 1

5Q

est donné par :

= −2

/5 /55 ⋮ / 5

⋯ ⋯ ⋱ ⋯

/ /5 ⋮ : /

1.1.8. Le déterminant d'une matrice Soit

On appelle déterminant d'une matrice S&'( ).

carrée,

∈

∗

avec

= , le nombre noté

1.1.8.1.Calcul du déterminant d'une matrice avec les cofacteurs La valeur d'un déterminant d'ordre d'une matrice carrée est la somme des produits obtenus en multipliant chaque élément d'une ligne (colonne) donnée de la matrice par son cofacteur. On peut donc, par exemple, calculer le déterminant d'ordre 3 de la matrice . 7

S&'( ) = / +

+ / 5+

5

+ / Q+

Exemple 1.8: 1 1 = O0 2 0 5 1 1 = O0 2 0 5

=

Q

/ / =O 5 /Q =/

/5 /55 /Q5

/55 /Q5

1 2 ⇒ S&'( ) = 1+ 3 5

/Q /5Q P /QQ

/5Q /QQ − /

+ 2+

5

5

/5 /Q

/5Q /QQ + /

Q

/5 /Q

/55 /Q5

= ((1 × 5) − (3 × 2)) = −1

2 2 2 1 2 1 2 ) − 0 × S&'( ) + 0 × S&'( ) = (1 × −8) − (0 × −9) + (0 × −3) = −8 2P ⇒ S&'( ) = 1 × S&'( 5 1 5 1 2 2 1 2 2 2 0 2 0 2 ) − 1 × S&'( ) + 2 × S&'( ) = (1 × −8) − (1 × 0) + (1 × 0) = −8, 2P ⇒ S&'( ) = 1 × S&'( 5 1 0 1 0 5 1

Remarque :

Lorsque le déterminant d'une matrice est nul, on dit que la matrice est (non inversible) singulière. Si tous les éléments d'une ligne (ou colonne) d'une matrice sont nuls alors le déterminant est nul. Si deux lignes (ou colonnes) d'une matrice sont identiques, alors le déterminant est nul. 1.1.9. La matrice inverse La matrice inverse Y

=

cd-(e)

Y

d'une matrice

carrée, est donnée par la relation :

dfg(e)

Remarque : Pour qu'une matrice soit inversible, il faut que sont déterminant soit différent de 0. On dit alors que la matrice est régulière ou non singulière. Z[

/5 / /5 /55 −/ ? = = / ⇒ /S\( ) = −/ /55 ⇒ / / 5 55 5 / /5 /Q / /5 /Q Z[ = 3, !"# = O/5 /55 /5Q P ⇒ ? = O/ 5 /55 /Q5 P /Q /Q5 /QQ / Q /5Q /QQ /55 /Q5 / /Q / 5 /55 _+ TS&' /5Q /QQ U − TS&' / Q /QQ U + TS&' / Q /5Q Ub ^ /5 /Q / /Q / /5 a a ⇒ /S\( ) = ^− TS&' / U + TS&' U − TS&' / Q /QQ / Q /5Q Ua 5Q /QQ ^ /5 /Q / /Q / /5 a ^ + TS&' U − TS&' U + TS&' ] /55 /Q5 / 5 /Q5 / 5 /55 U` = 2,

!"#

/ = / 5

8

5

Exemple 1.9: = 2, ⇒

/S\( 1 2 1 −1 ? = = ⇒ /S\( ) = ⇒ Y = 1 1 −2 1 S&'( 1 0 0 1 1 0 Z[ = 3, !"# = O1 0 1P ⇒ ? = O0 0 2P 0 2 1 0 1 1 0 2 0 2 0 _+ TS&' 1 1 U − TS&' 0 1 U + TS&' 0 ^ 1 0 1 0 1 ⇒ /S\( ) = ^− TS&' U + TS&' U − TS&' 1 1 0 1 0 ^ 1 0 1 0 1 ^ ]+ TS&' 0 2 U − TS&' 0 2 U + TS&' 0 −2 0 0 /S\( ) = O−1 1 −1P 2 −2 0 −2 0 0 O−1 1 −1P 1 0 /S\( ) Y !"#, = = 2 −2 0 = O0,5 −0,5 S&'( ) −2 −1 1

1 1 = ⇒ 2 1

1 −1 ) −1 1 = −2 1 = 2 −1 ) −1 0 1 1 1 1 0

Ub a Ua a a U`

0 0,5P 0

1.1.10. Le rang d'une matrice Le rang d'une matrice correspond au nombre maximum de colonnes ou de lignes linéairement indépendantes. C'est aussi l'ordre du plus grand déterminant non nul. Si i est cet ordre, on dit que la matrice est de rang i. Remarque : Si le déterminant d'une matrice carrée est non nul alors le rang de cette matrice égale aux nombre de lignes (colonnes) de cette dernière.

Z[ S&' (

∗

) ≠ 0,

Exemple 1.10: 1 = O1 0

5

!"# "/ j( ) =

0 0 0 1P ⇒ S&'( 2 1

0 0 0 = O1 0 1P ⇒ S&'( 0 2 1

) = −2&' − 2 ≠ 0 ⇒ "/ j( 5)

)=

=3

=0

Dans ce cas la, on cherche l'ordre du plus grand déterminant non nul, par exemple on prend la sous matrice suivante : k

=

0 1 ⇒ S&' ( 2 1

Alors, "/ j(

5)

=2

k)

= −2 &' − 2 ≠ 0 ⇒ "/ j(

9

k)

=2

1.1.11. Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice Si est une matrice carrée ( × ) quelconque, les valeurs propres distincts de notés l, et sont associées aux vecteurs propres 4, par : 4, = l, 4, ,

sont

[ = 1⋯

Les valeurs propres de A sont les scalaires tels que: S&'( − l, m) = 0

où m est la matrice identité d'ordre . Cette dernière équation en fonction de l, et de degré matrice .

est dite équation caractéristique de la

Exemple 1.11:

1 0 0 = O1 0 1P 0 2 1 1 0 0 l 0 0 1−l 0 0 ( − l, m) = O1 0 1P − O0 l 0P = O 1 −l 1 P 0 2 1 0 0 l 0 2 1−l 1−l 0 0 S&'( − l, m) = 0 ⇒ O 1 −l 1 P=0 0 2 1−l l =1 −l 1 ⇒ (1 − l)S&' T U ⇒ (1 − l)(l5 − l − 2) = 0 ⇒ o l5 = 2 q 2 1−l lQ = −1 Calcul des vecteurs propres de Pour la valeur propre (1)

n =n n n 1 0 0 n n n n n 4 = l 4 /4&+ 4 = O 5 P ⇒ O1 0 1P O 5 P = 1 O 5 P ⇒ o + nQ = n5 q nQ nQ 2x5 + nQ = nQ 0 2 1 nQ 0.7071 Z[ ! >!#& n = 0.7071 &' nQ = −0.7071 !"# 4 = O P 0 −0.7071

10

Pour la valeur propre (2)

n n n = 2x 1 0 0 n 45 = l5 45 /4&+ 45 = On5 P ⇒ O1 0 1P On5 P = 2 On5 P ⇒ o n + nQ = 2x5 q nQ nQ 2x5 + nQ = 2xQ 0 2 1 nQ 0 Z[ ! >!#& n5 = 0.4472 &' nQ = 0.8944 !"# 45 = O0.4472P 0.8944 Pour la valeur propre (-1)

n = −n n 0 0 n n n n 0 1P O 5 P = −1 O 5 P ⇒ o + nQ = −n5 q nQ 2x5 + nQ = −nQ 2 1 nQ 0 Z[ ! >!#& n5 = 0.7071 &' nQ = −0.7071 !"# 4Q = O 0.7071 P −0.7071

n 1 n 4Q = lQ 4Q /4&+ 4Q = O 5 P ⇒ O1 nQ 0

1.2.

Rappel des notions de l'approche d'état

1.2.1. L'importance de la représentation d'état des systèmes La représentation d'état est très utile aussi pour les systèmes continus que pour les systèmes discrets. Cette représentation qui, outre le fait qu'elle représente un très grand nombre de systèmes physiques qui sont décrits par des équations différentielles, elle est largement exploitée en automatique vue la richesse en informations qu'elle apporte à l'étude de la commande des systèmes. En effet, ce formalisme permet de mener une étude plus complète sur les systèmes que celle qui peut être menée par l'approche « fonction de transfert », notamment pour les systèmes discrets dont la représentation d'état conduit à des commandes plus performantes. 1.2.2. La représentation d'état d'un système linéaire stationnaire Dans le cas d'un système linéaire stationnaire continu, la représentation interne est :

nt (') = n(') + u(') x s v(') = ) n (') + w u(') Dans le cas général, le système peut avoir plusieurs entrées et plusieurs sorties. Soit le nombre de variables d’état, le nombre d’entrées et > le nombre de sorties. , , ), w étant des matrices constantes.

∈

: matrice d'état, d'évolution (ou de dynamique)

) : matrice d'observation (ou de sortie) ) ∈ : matrice de commande (ou d'entrée)

w : matrice de transmission directe w ∈

11

=∗

∗

=∗

∈

∗

Remarque 1: Il est important de noter, que la représentation d’état d’un système n’est pas unique et dépend, notamment, du choix des variables d’état selon l’étude du concept. Il est possible de passer d'une représentation d'état à une autre équivalente par une transformation linéaire. Il est rare que la sortie du système soit directement reliée à son entrée. On a donc très souvent w = 0. Remarque 2: Dans un système non linéaire ces matrices sont non stationnaire ('), ('), )('), w('). 1.2.3. Formulation de la fonction (ou la matrice) de transfert suivant l'équation d'état

D’une manière générale, à tout système linéaire, causal et continu peuvent être associées les équations matricielles suivantes : nt (') = n(') + u(') x s v(') = ) n (') + w u(')

Equation d’état Equation de sortie

Et peut être représenté par la figure 1.1.

D u

B

+ +

nt

n

C

+

+

v

A Fig. 1.1: Schéma bloc de la représentation d’état Avec :

n : vecteur d’état du système.

u : vecteur d’entrée du système.

v : vecteur de sortie du système.

1.2.3.1.Passage de l’espace d’état vers la fonction de transfert

La conversion de ce système vers la fonction de transfert peut être obtenue en lui appliquant la transformée de Laplace aux deux côtés. (En supposant les conditions initiales sont nulles) :

Ou sous la forme :

#y(#) = y(#) + z(#) {(#) = ) y(#) + w z(#) 12

#y(#) − y(#) = z(#) {(#) = ) y(#) + w z(#)

On trouve y(#) telle que :

y(#) = (# m − )Y z(#) Si on remplace y(#) dans l’équation de sortie { (#), on trouve : {(#) = 3)(# m − )Y + w7z(#)

Alors, la fonction (ou la matrice) de transfert du système est donnée par : {(#) … (#) = = 3)(# m − )Y + w7 z(#) Exemple 1.12: On considère le système mécanique (masse-ressort-amortisseur) : 0 1 0 nt = ‡YH Yˆ‰Š n + ‡ Š ux † v = 31 07n

= 10 avec o )‹ = 20 x i = 4000

w=0

Alors, la fonction de transfert est donnée par : {(#) = )((#m − )Y z(#) =

#5 +

0 1 0 −i ) + w = 31 07 ŽV# −O 0 1 1

+‹

#+

i

⇒ …(#) =

#5

0,1 + 2s + 400

Y 1 0 −+‹ PW O 1 P• + 0

Exemple 1.13: Soit un système donné par sa représentation d’état suivante : x 0 Š C F+ ‡ Š u −2 x5 1 x = 31 1 7 C F x5

xt 3 ‡ Š= ‡ xt 5 0 y

s sI − A = ‡ 0 (sI − A)

Y

1

0 3 Š−‡ s 0

1

−2

Š=‡

s−3 0

−1

Š s+2

s+2 1 adj(sI − A) 0 s − 3 = = (s + 2) (s − 3) det(sI − A) 13

s+2 1 s−3 0 +0 3C(s I − A )Y B + D7 = 31 1 7 0 (s + 2) (s − 3) 1 3s + 2 s−2 s − 27 0 = 5 = G(s) (s + 2) (s − 3) 1 s − s−6

1.2.3.2.Passage de la fonction de transfert vers l’espace d’état

En se basant sur la méthode des variables de phase, on peut convertir une fonction de transfert vers une représentation d’état. Soit le système représenté par la fonction de transfert …(#) … (#) =

∑” 1, #, {(#) = z(#) # + ∑” Y /, #,

/4&+

≤

En décomposant cette fonction de transfert G(s) en deux fonction de telle sorte qu’on sépare la sortieY(s) de l’entrée G(s) comme suit :

Avec

G5 (s) =

G(s) =

Y(s) Y(s) R(s) = = G (s). G5 (s) U(s) R(s) U(s)

˜™ X∑™œ• š› ˜ › ž

G (s) = ∑” bJ sJ

et

En écrivant G (s) et G5 (s) sous forme différentielle.

d r d r dr + a Y + …+ a + a” = u dt dt dt d r d Y r b + b Y + … + b” r = y dt dt Y

Si on pose x =r dr x5 = dt ⋮ d Y r x = dt Y

⇒

dr dt d5 r xt 5 = 5 dt ⋮ d r xt = dt xt =

xt = x5

xt 5 = xQ ⋮ xt Y = x xt = − a” x − a x5 … − a Y x + u y = b” x + b x5 … + b x

⇒

14

Sous la forme matricielle la représentation d’état est obtenue : xt _ ^ xt ^ 5 ^ ⋮ ^ ^xt Y ^ ] xt

0 b _ a ^ 0 a a = ^ ⋮ ^ a 0 ^ a ^ a ]− a ” `

1

0

⋯

0 ⋮ 0

−a

0 ⋮ 0

⋱

⋯

y = 3b”

−a

Y5

b …b

Exemple 1.14: (MCC) S[ + [ S' S¢ + ¢ ¤[ = £ S' S¡ ¢= S' 4=¥

4

+

x 0 _ b _ b b ^ a ^ a a ^ x5 a 0 ^0 a ⋮ a a + ^⋮a ⋮ a^ ^ a 1 a ^x Y a ^0 a ^ a a ^ a ^ a −a Y ` ]1 ` ] x ` x _ b ^ x5 a ^ ⋮ a a 0 0 … 07 ^ ^ a ^x Y a ^ a ] x ` 0

R

L

-

Les variables d’état sont : n = ¡, n5 = ¢ et nQ = [. 0 1 _ nt ^0 − £ Ont 5 P = ^ nt Q ^ 0 ]0

Exemple 1.15:

0 0 ¤ b n a n 0 £ a O 5 P + 81: 4 a nQ ¥ − ` ¥ n v = 31 0 07 On5 P nQ

Soit un système possédant la fonction de transfert suivante : … (#) =

#5

15

#−2 − #−6

£,

u (1.8)

[/ = +!#'

1.2.4. Différence entre SISO et MIMO Un système communique avec l'extérieur par l'intermédiaire de grandeurs, en fonction du tempss appelés signaux. Parmi les grandeurs physiques mises en jeu dans un système, l'on peut distinguer : Grandeurs d'entrée :(grandeur exogène): une grandeur d'entrée est une grandeur qui agit sur le système. Grandeurs de sortie : (réponses (réponses): grandeurs contrôlées par l'effet des entrées. Selon le nombre des entrées et des sorties on peut citer deux types de système : 1. Monovariable : système à une seule entrée et une seule sortie. 2. Multivariable : nombre d'entrées + nombre de sorties > 2. 2 plusieurs entrées et plusieurs sorties, c'est un système multivariable a) le système a plusieurs (MIMO (Multiple Input Multiple Output)) ; b) le système a une entrée et plusieurs sorties, système ( SIMO (Single Input Multiple Output)); c) le système a plusieurs entrées et une sortie, système ( MISO (Multiple Input Single Output)); Une présentation synthétique mettant en évidence les analogies et les différences entre le multi-variable et le mono-variable variable est faite dans la figure suivante :

Fig. 1.2 : Différence entre SISO et MIMO

16

Chapitre II Représentation d'état des systèmes multi-variables multi (SM) 2.1. Définitions 2.1.1. Système Un système est un ensemble d'objets interagissant entre eux pour réaliser une fonction. Il est connecté au monde extérieur à travers ses entrées ( signaux d'excitation : actions envoyées au système, perturbations qui sont en général imprévisibles) et ses sorties ( réponses du système aux signaux d'entrée).

Fig. 2.1 : Représentation d'un système a) Système invariant (ou stationnaire) Ce sont des systèmes dontt les paramètres du modèle mathématique ne varient pas au cours du temps. b) Système linéaire ou non linéaire On dit qu'un système est linéaire s'il est régi par un système d'équations différentielles linéaires. En pratique, aucun système n'est linéaire. 2.2. Différentes ifférentes représentations des systèmes multivariables En général, la représentation des systèmes multivariable se fait par extension des techniques du cas monovariable. 2.2.1. Représentation externe Cette représentation utilise directement la relation entrée/sortie entrée/sortie considérant le système comme une boite noire. a) Système d’équations différentielles

Un système linéaire invariant multi multi-variable d'ordre possédant entrées et > sorties peut être décrit par un système d'équations différentielles linéaires à coefficients coefficients constants : n t (') = ¦ (n ('),

…

v t (') = § (n ('),

…

† n t (' ) = ¦ (n ('), …

† v=t (') = §= (n ('), …

17

u ('), ⋯

u ('), ')

n ('), u ('), ⋯ ⋮ n ('), u ('), ⋯

u ('), ') x u ('), ')

n ('), ⋮ n ('),

u (' ) , ⋯

u ('), ')

x

où z = 3u (') ⋯ u (')7, { = *v (') ⋯ v= ('). sont respectivement l'entrée et la sortie du système. b) Matrice de transfert Dans le cas SISO, la fonction reliant l'entrée et la sortie du système est appelée fonction de transfert, dans le cas MIMO, on a plusieurs fonctions de transfert représentant l'effet de chaque entrée sur chaque sortie. L'ensemble de ces fonctions rangées en tableau constitue la matrice de transfert du système. v (#) ³ (#) ⋯ ⋱ ± ⋮ ²=± ⋮ v= (#) ³= (#) ⋯

³ (#) u (#) ⋮ ²O ⋮ P ³= (#) u (#)

2.2.2. Représentation internes (ou d’état)

Le principe général de la représentation d'état consiste à décrire un système en considérant sa dynamique interne et pas seulement une relation entre son entrée et sa sortie (comme le fait la fonction de transfert). Ainsi, il convient de redonner de l'importance à des grandeurs qui ne sont ni entrée, ni sortie. La représentation d'état étant particulièrement adaptés aux systèmes multivariables, elle est obtenue à partir des autres représentations (particulièrement à partir de la matrice de transfert). Un système linéaire multi-variable et invariant possédant entrées et > sorties, peut être représenté par: nt (') = n(') + u (' ) v(') = ) n (') + w u (') 2.3. Résolution de l’équation d’état des

La résolution des équations d’état consiste à déterminer les expressions temporelles variables d’état connaissant l’entrée u(') qui lui est appliquée. Soit un système donné par l’équation différentielle suivante :

La solution a pour expression

nt (') = / n (') + 1 u(') g

n (') = & cg n(0) + ¨ & c(gY©) 1 u (ª)Sª ”

La généralisation de cette solution à un système différentiel présenté par les équations d’état xt (t) = 3A7x (t) + 3B7 u(t) Sera comme suit :

-

X(t) = e3¬7- X(0) + ¨ e3¬7(-Y®) 3B7 u(τ)dτ ”

Où on note Φ (t) = e3¬7- appelée matrice de transition du système. -

X(t) = Φ (t) X(0) + ¨ Φ (t − τ) 3B7 u(τ)dτ ”

18

2.3.1. Calcul de la matrice de transition ´ (µ)

Le calcul de la matrice de transition dans la résolution des équations d’état est l’opération la plus délicate, où plusieurs méthodes existent, ici on cite la plus classique basée sur la transformation de Laplace. Calcul basé sur la transformée de Laplace Soit système d’équations différentielles de la représentation d’état xt (t) = 3A7x (t) + 3B7 u(t)

En lui appliquant la transformée de Laplace on obtient

s X(s) − x(0) = 3A7X(s) + 3B7 U(s) ⇒ (s I − 3A7)X(s) = x(0) + 3 7 z(#) Où m matrice carrée d’identité de dimension

X(s) = (s I − 3A7)Y x(0) + (s I − 3A7)Y 3B7 U(s)

Il est clair que la transformée de Laplace de :

ℒ(e3¬7- ) = (s I − 3A7)Y

(s I − 3A7)Y =

Avec

+ ˜ ¹

Où Φ (t) = ℒ Y (s I − 3A7)Y =

3¬7 ˜º

+

3¬7º ˜»

+ ⋯ ˜™¼• + ⋯,

I + 3A7t +

3¬7º 5 t 5!

Φ (t) = ℒ Y (s I − 3A7)Y = ℒ Y ¿

Exemple 2.1:

Soit le système suivant soumit à un échelon unité u('): n 0 P ‡ Š+ O P u −6 n5 1

nt 0 O P= O nt 5 −8

1

Calculer de la matrice de transition Á(') puis n ('). #m −

= O

(#m − )Y =

#

0

0 0 P−O # −8

3¬7™

+

+⋯

Adj(s I − 3A7) À det(s I − 3A7)

avec

# P=O −8 −6 1

3¬7» Q t Q!

!

1 n (0) = O P 0 1

#+6

#+6 /S\(#m − ) 1 = O ( # 5 + 6 # + 8) S&'(#m − ) −8 19

3¬7™

P

1 P #

t + ⋯,

Á (') = ℒ Y (# m − 3 7)Y = ℒ Y =

#+6 _ 5 ^( # + 6 # + 8) −8 ^ 5 ] ( # + 6 # + 8)

2 1 ℒY C − F #+2 #+4 8 −4 4 + F ℒY C #+2 #+4

Á (') = ±

0.5 0.5 − F #+2 #+4 : −1 2 C + F #+2 #+4

ℒY C ℒY

2& Y5g − & YÂg

−4& Y5g + 4 & YÂg

Á(' − ª).

1 b ( # 5 + 6 # + 8)a # a 5 ( # + 6 # + 8) `

1 Y5g 1 YÂg & − & 2 2 ² − & Y5g + 2& YÂg

1 Y5(gY©) 1 YÂ(gY©) & − & = O2 P 2 Y5(gY©) YÂ(gY©) −& + 2&

Y5(g) YÂ(g) Á (' ). y(0) = C 2& Y5(g) − & YÂ(g) F −4& + 4&

g g 1 1 1 1 Y5g 1 YÂg _ & Y5g ¨ & 5© Sª − & YÂg ¨ & © Sªb − & + & 2 ^2 a ” ” 8 4 8 ¨ Á(' − ª). . u(ª)Sª = ^ = 8 : g g a 1 1 Ä ^ −& Y5g ¨ & 5© Sª + 2& YÂg ¨ & © Sª a & Y5g − & YÂg 2 2 ] ` ” ” Ã

1 7 Y5g 7 YÂg + & − & 8 X(t) = Φ (t) X(0) + ¨ Φ (t − τ) 3B7 u(τ)dτ = 88 4 : 7 7 Y5g YÂg ” − & + & 2 2 -

Cas de matrice A diagonale

Si la matrice carrée

d'ordre

λ _ ^ A = ^0 ^ ]0

est diagonale on a : 0

λ5 0

0

Φ (t) = e3¬7-

eλ• b _ a ^ 0 a ⟹ e3¬7- = ^ 0 ^ a ] 0 λQ `

20

0

eλº 0

0

b a 0 a a eλ» - `

Cas de matrice A diagonalisable Si la matrice carrée d'ordre admet valeurs propres distinctes l, ∶ [ = 1 … elle est diagonalisable et il existe une matrice de transformation É telle que :

É: matrice des vecteurs propres de

Φ (') = É & eÊ É Y

Propriété de la matrice ´ (µ)

On note quelques propriétés de cette matrice Á (0) = m

Á (')Y = Á (−')

Á ('5 + ' ) = Á ('5 ) Á (' )

Á ('5 − ' )Á (' − '” ) = Á ('5 − '” )

Á (')H = Á (i')

∀i ∈Ì

'” ≤ ' ≤ '5

/4&+

Exemple 2.2: On considère un système régi par l’équation d’état : xt (t) = 3A7x(t) + (B)e(t)

3A7 = −1 −1 1 1

avec

et

(B) = T 2 U −1

−1 U. 1 Ce système étant soumis à une entrée en échelon unité, déterminer à tout l’instant t l’expression x(t) de son vecteur d’état. On pourra remarquer que la matrice de commande est nilpotente et choisir la méthode de calcul direct de la matrice de transition. On suppose qu’à l’instant t = 0, le système se trouve dans l’état x(0) = T

Vérification que la matrice de commande est nilpotente. En effet :

Par conséquent :

3 75 = −1 −1 −1 1 1 1

On a donc : & 3e7g = ¿m + 3 7' + ⋯ +

3 7 = 0 0, 0 0

0 −1 = 0 1 ∀

0 0

≥2

3 7 −' 1 0 ' +⋯À = T U+T ' 0 1 !

−' 1−' U=T ' '

La forme générale de la solution de l’équation d’état a pour expression. 21

−' U 1+'

g

n(') = & 3e7g n(0) + ¨ & 3e7(gY©) ( )&(ª)Sª ”

Ce système étant sollicité par un échelon, on a : &(ª) = 1 On a par ailleurs : Donc :

1−' n (') = T '

Soit :

−1 n (0) = T U 1

1 − (' − ª) −(' − ª) −' −1 2 U T U + ¨ sC F T UÎ Sª ( ) ( ) 1+' ' − ª 1 + ' − ª 1 −1 ” g

g

¨ (2 − ' + ª)Sª

Ñ Õ −1 n(') = T U + Ð ”g Ô 1 ¨ (' − Ò − 1)Sª Ï ” Ó ª5 ‡2ª − 'ª + Š 2 ”Õ Ñ −1 n(') = T U + Ð g Ô 1 ª5 ‡'ª − − ªŠ 2 Ï ” Ó g

n(') = Ñ

−1 + 2' −

'5 2Õ

'5 1−'+ Ï 2 Ó

22

Chapitre III Commandabilité et Observabilité 3.1. Introduction La commandabilité et l'observabilité sont deux concepts développés pour la représentation d'état des systèmes qui permettent de caractériser respectivement la possibilité que la commande exerce une influence sur un des états (est ce que c'est possible de commander un système par ses entrées) et la possibilité d'obtenir une certaine information d'un des états (est ce que c'est possible de déterminer l'état du système par ses sorties). Cependant leur concept peut être utilisé dans d'autres représentations. Considérons le système linéaire invariant

nt (') = n (') + u(') x s v(') = ) n(') + w u(')

D

B Espace des commandes

C Espace D’état

Espace des sorties

A Fig. 3.1 : Le lien entre les espaces (Commande, état et sortie) On peut alors se poser une question importante sur l'évolution de l'état et donc sur le lien entre ces espaces au travers des matrices A, B, C et D. Peut-on déterminer une commande admissible transférant le système d'un état donné à un autre ? La notion sous-jacente à cette question est la notion de commandabilité (gouvernabilité, contrôlabilité). D'après notre schéma ceci concerne la matrice A et l'action par B sur l'espace d'état. Peut-on déterminer l'état initial à partir de l'observation des sorties ? La notion sousjacente à cette question est la notion d'observabilité (détectabilité). D'après le schéma précédente cette propriété concerne les matrices A et C. Ces deux propriétés sont nécessaires que ce soit pour la commande où il faudra que le système soit commandable, ou pour la synthèse d'observateur où il faudra que le système soit observable.

23

3.2. Commandabilité 3.2.1. Définition de la commandabilité

Soit un système d’état ’état linéaire dont l’état initial a une valeur n” = n ('” ), ssi on suppose w = 0,, on dit qu’il est commandable si pour toute instance n, du vecteur d’état, il existe un signal d’entrée u(') d’énergie finie qui permet au système de passer de l’état n” à l’état n, en un temps fini. En représentation d’état, il s’agira de déterminer le signal de commande u (' ) entre deux instants donnés, '” et ' , pour amener le système de l’état n ('” ) vers un état n (' ) souhaité. Donc l’étude de la commandabilité ne dépend que des matrices et . Pour cette raison, on dit parfois que c’est la paire ( , ) qui est commandable.

Fig. 3.2 : Trajectoire de l’état n('” ) vers un état n(' )

3.2.2. Critère de Kalman

La paire ( , ) est commandable si et seulement si : rang(M× ) =

tel que

M× = 3B

A. B …

A

Y

. B7

La matrice M× est dite matrice de commandabilité. La paire ( , ) est complètement commandable si et seulement si la matrice de commandabilité est régulière, c.à.d son déterminant n’est pas nul. Exemple 3.1: Étudier la commandabilité du système suivant : xtt

3

O P= O xtt 5 6 y(t)

x 1 P ‡ Š+ O P u −2 x5 0 1

= 31

x 17‡ Š x5

On trouve la matrice de commandabilité M× et on calcule son rang 24

rang(A) = 2

donc

1 M× = ±O P 0

O

M× = 3 B

A5Y . B7

M× = 3 B

3

A. B7

1

1 1 P O P² = O −2 0 0

6

rang ( M× ) = rang(A) = 2

3 6

P

On conclue que le système est commandable

Exemple 3.2 : Étudier la commandabilité du système suivant : x xt −2 1 1 O P= O P ‡ Š+ O P u xt 5 α −4 x5 1 x y(t) = 3 1 07‡ Š x5

On trouve la matrice de commandabilité M× et on calcule son rang M× = 3 B A5Y . B7 rang(A) = 2 donc M× = 3 B A. B7 M× = O

1 1

−1

α−4

det ( M× ) = α − 3

P

On conclue que le système est commandable si α ≠ 3

3.3. Observabilité

D'autre part, il est souvent nécessaire de reconstruire l'état d'un système à partir des mesures disponibles pour les sorties. La notion d'observabilité est alors nécessaire pour s'assurer que la reconstruction de l'état est possible. 3.3.1. Définition de l’Observabilité Un système est dit observable si, étant donné l'instant '” , il existe un instant ' tel que la connaissance de v('” , ' ) et u('” , ' ) permette de déterminer de manière unique l'état n” = n('” ) et ceci quelque soit l'entrée du système. Un état n est dit reconstructible à l'instant ' si, quelque soit u('), il existe '” ≤ ' tel que la connaissance de u(') et de v(') avec ' ∈ 3'” , ' 7, permettent de déterminer n = n(' ). Si tout état est reconstructible à l'instant ' , le système est dit complètement reconstructible. Donc l’étude de l’observabilité ne dépend que des matrices et ). Pour cette raison, on dit parfois que c’est la paire ( , )) est observable. 25

La paire (A, C) est observable si et seulement si : rang(MÙ ) =

C

Ñ Õ CA tel que MÙ = Ð Ô Ð ⋮ Ô ÏCA

Ó

Y

La matrice MÙ est dite matrice d’observabilité

Exemple 3.3:

Étudier l’observabilité du système suivant : xt 3 O P= O xt 5 6 y(t)

x 1 P ‡ Š+ O P u −2 x5 0 x = 31 17‡ Š x5 1

On trouve la matrice l’observabilité MÙ et on calcule son rang et MÙ = V

rang(A) = 2

M” = O

1 9

1

−1

C

CA

W

P

rang ( MÙ ) = rang(A) = 2

On conclue que le système est observable

Exemple 3.4 : Étudier la commandabilité et l’observabilité et du système suivant : xt

0.5

O P= O xt 5 0

On calcule M×

x

0 P ‡ Š + O P u y(t) 1 −2 x5 0

M× = 3 B

A. B7

M× = O

0 1

26

= 30 0

P −2

x

17‡ Š x5

Matrice singulière donc système non commandable. En effet on a : xt = 0.5 x

→ x

n′est pas affecté par u ou par x5

xt 5 = −2 x5 + u → x5 dépend de u

On calcul

C MÙ = O P ce qui donne CA

MÙ = O

Matrice singulière donc système non observable

0 0

1 2

P

Remarque :

Si la matrice A est diagonale, le système est complètement commandable si tous les éléments de B sont non nuls. Le système est complètement observable si tous les éléments de C sont non nuls. Il est possible que : rang(M× ) < , donc, la commandabilité ne se vérifie que pour une partie du vecteur d'état, dans ce cas le système est dit partialement commandable et sa commande consiste à rendre sa partie non commandable inopérante afin de le contrôler entièrement via sa partie commandable. De même il est possible que rang(M” ) < , donc l'observabilité ne se vérifie que pour une partie du vecteur d'état.

3.4. Différentes représentations d’état (modèles) Comme nous l’avons déjà mentionné, la représentation d’état d’un système n’est pas unique. Dans les lignes qui suivent, nous présentons plusieurs types de représentation d’état que l’on peut obtenir à partir d’une fonction de transfert … (#). Le choix de la représentation peut dépendre de la forme disponible de la fonction de transfert ou du type d’étude que l’on souhaite réaliser à partir du modèle. Rappelons encore que les propriétés du système ne sont en aucun cas liées à la forme choisie. 3.4.1. Représentation modale Ce type de représentation, encore appelée représentation parallèle, convient particulièrement bien à la représentation d’un système dont la fonction de transfert est placée sous la forme d’une somme. Soit …(#) sa fonction de transfert : G(s) =

Y(s) α α5 α = + + ⋯+ U(s) s+s s + s5 s+s

Remarque : On dit alors que la fonction de transfert est strictement propre. Cette écriture fait apparaître la somme de fonctions de transfert et peut être matérialisée par le schéma de la figure suivante en faisant apparaître blocs élémentaires. En appelant y, (Z) la sortie du ième bloc élémentaire, on a : 27

y, (Z) = ˜X˜› U(S) ⇒ nt , = #, n, + u Þ

›

v(') = / n + /5 n5 + ⋯ + / n

et :

D’où la forme diagonale est déduite à partir des pôles de chaque fraction du 1er ordre. xt _xt b ^ 5a ^⋮a= ^⋮a ]xt `

z(á)

1 Z − Z1

1 Z − Z2

1 Z−Z

s _⋮ ^ ^⋮ ^⋮ ]0

⋯

y = 3α

α5

0

b ⋮a ⋱ ⋮a a ⋯ s `

x 1 _ x5 b _1b ^⋮a ^ a ^ a + ^⋮a u ^⋮a ^⋮a ]1 ` ]x `

x _ b ^x a 5 … α 7^⋮a ^ a ^⋮a ]x `

y 1 (Z )

à1

y2 (Z)

à2

y (Z)

+

+

{(á)

+

à

Fig. 3.3 : Schéma bloc de la fonction de transfert. La matrice de commande 3 7 est diagonale et ses valeurs propres sont les pôles de la fonction de transfert. La traduction directe des équations d’état conduit à la représentation schématique de la figure suivante :

28

+

u(')

+

+

−#1

-

¨

−#2

-

¨ −#

-

¨

n1

à1

n2

à2

n

++ +

v(')

à

Fig. 3.4 : Représentation d’état du système sous forme modale. 3.4.2. Représentation série Soit :

…(#) =

à {(Z) = (# )(# −# − #5 ) × … × (# − # ) z(Z)

Cette écriture fait apparaître le produit de fonctions de transfert et peut être matérialisée par la mise en cascade de blocs élémentaires.

u(') +

-

−#1 ¨

n1

………

+

-

−# ¨

n

à

v(')

Fig. 3.5 : Représentation d’état du système sous forme série. La figure précédente propose une représentation d’état cohérente avec cette forme en cascade de la fonction de transfert.

29

nt = # n + u å nt = # n + n 5 5 ã 5 ⋮ änt = # n + n Y ã â v(') = àn

# 0 ⋯ 0 1 å 1 # 0 0 0 5 ãnt (') = 8 : n (') + Ž ⋮ • u(')x ⋮ ⋱ ⋱ 0 ä 0 0 ⋯ 1 # ã v(') = (0 ⋯ 0 à). n (' ) â

⇒

3.4.3. Représentation compagne commandable

On suppose ici que la fonction de transfert n’est pas factorisée. Soit :

… (#) =

1 # +1 / # +/

Y

Y

# #

Y

Y

+ ⋯ + 1 # + 1” + ⋯ + / # + /”

/4&+


0 donc le system instable.

35

Chapitre IV Commande par retour d'état et note sur les Observateurs d’état 4.1. Introduction La commande par retour d'état est un moyen de modifier le comportement en boucle fermée d'un système dynamique donné par une représentation d’état. Cette approche suppose l'état connu. Une finalité de la commande par retour d'état peut être considérée pour minimiser (ou maximiser) un indice de performance. Ceci peut être aussi utilisé pour obtenir un système en boucle fermée dont les pôles (les valeurs propres de la matrice d'état), soient placés de manière appropriée. Ces derniers déterminent le comportement d’un système monovariable ; dans le cas où le système est multi-variable, il est indispensable de considérer uniquement les valeurs propres, mais il est nécessaire de faire les augmentations d'état nécessaires.

4.2. Conception du régulateur par retour d’état La conception du régulateur dans l’espace d’état permet de spécifier les pôles d’un système, pour obtenir la réponse temporelle voulue. Cependant, elle ne permet pas de spécifier les zéros d’un système ; c’est un désavantage, puisque les zéros peuvent modifier la réponse transitoire. Pour un système ayant une fonction de transfert dont l’équation caractéristique est de la forme : s + a Y s Y + ⋯ + a s + a” = 0 Les solutions de cette équation déterminent les pôles du système qui décrivent la dynamique de ce dernier. Pour modifier la réponse, il faut trouver paramètres ajustables ceci revient à changer la position des pôles par changement des coefficients /, . En introduisant les paramètres ¤, dans l’équation caractéristique, elle devient de la forme : s + (K + a Y )s Y + ⋯ + (K 5 + a s) + (K + a” ) = 0

Cette équation détermine les nouveaux pôles du système en boucle fermée dont les positions peuvent être ajustées en choisissant convenablement les ¤, . Soit le système

xt = A x + B u

y= Cx+ Du

La loi de commande par retour d’état est définie par x _ b ^ x5 a ^ a u = −K x + r = 3− K − K 5 −K Q …. −K 7 ^x a + r Q ^ a ^⋮a ]x `

36

(A)

(B) Fig. 4.1 : Représentation d’un système en espace d’état (A) San retour d’état (B) avec retour d’état Les équations d’état du système en boucle fermée s’écrivent :

xt = A x + B u = A x + B(−K x + r) = (A − B K)x + B r y=Cx+ Du

Les représentations d’état sous forme des variables de phases et canonique de commande avec des matrices d’état sous la forme compagne inferieure ou supérieure sont mieux adaptées pour illustrer le concept. Pour la synthèse du réglage par retour d’état pour un système non représenté sous ces deux formes, il est recommandé d’effectuer la transformation, effectuer la synthèse des ¤, puis revenir vers la représentation de départ.

37

4.3. La méthodologie de placement des pôles Pour appliquer la méthode de design par placement de pôles, on utilise les étapes suivantes : 1. 2. 3. 4. 5. Soit :

Représenter le système sous la forme de variable de phase. Former les retours des variables d’état vers l’entrée à travers les ¤, . Former l’équation caractéristique du système en boucle fermée obtenue en 2. Former l’équation caractéristique désirée à partir des pôles désirés. Egaliser les coefficients par identification des deux équations caractéristiques les ¤, . nt _ ^ nt ^ 5 ^ ⋮ ^ ^nt Y ^ ] nt

0 b _ a ^ 0 a a = ^ ⋮ ^ a ^ 0 a ^ a ]− /” `

1

0

⋯

0 ⋮ 0

0 ⋮ 0

⋱

⋯

−/

v = 3+”

L’équation caractéristique est donnée par : # +/

Y

−/

0 0 Y5

⋮ 1

−/

n _ ^ n5 ^ ⋮ + …… + 7 ^ ^ ^n Y ^ ] n #

Y

b a a a a a a `

Y

b a a a a a `

n _ ^ n 5 ^ ⋮ ^ ^ ^n Y ^ ] n

0 b _ b a ^ a a ^0a a + ^⋮a ^ a a ^0a a ^ a a ]1` `

u

+ ⋯ + / # + /” = 0

Former le système en boucle fermée avec u = −¤n. On a :

( −

0 _ ^ 0 ^ ⋮ ¤) = ^ 0 ^ ^ ]− /” − i”

1

⋯

0 ⋮ 0

−/ −i

L’équation caractéristique correspondante est : # + (/

Y

+i

Y

)#

Y

⋱

⋯

0

0 ⋮ 0

−/

0 0

Y5

−i

Y5

+ ⋯ + (/ + i )# + (/” + i” ) = 0 38

−/

Y

1

−i

Y

b a a a a a `

Sachant que l’équation désirée est donnée par : s +d

s

Y

Y

(4.1)

+ ⋯ + d s + d” = 0

En identifiant les deux équations caractéristiques coefficients ¤, du régulateur soient : dJ = aJ + kJ

(4.1) et (4.2) on obtient

les

(4.2)

i = 0,1,2,3 … . , n

Exemple 4.1 : Soit le système du 2éme ordre non amorti. 0 1 x xt 0 O P= O P ‡ Š+ O P u −ω5” 0 x5 xt 5 1 y(t)

= 30

x 17‡ Š x5

Déterminer la loi de commande qui permet de placer les pôles du système en – 2 ¢”5 (doubler la fréquence naturelle) et augmenter í de 0 à 1. L’équation désirée est :

s5 + 4ω” s + 4ω5” = 0

L’équation du système avec régulateur det(sI − (A − BK)) = det oO

En égalisant

s

0

0 P − VO −ω5” s

1 0 Px − xO P 3k 0 1

0

s5 + k5 s + ω5” + k = 0

o

k 5 = 4ω” x x ⇒ o 5 5 5 ω” + k = 4ω” k = 3ω” k 5 = 4ω”

La loi de commande est donnée par

u = −K x =

−33ω5”

39

x

4ω” 7 ‡ Š x5

k 5 7Wq

Exemple 4.2 : Soit le système du 2éme ordre non amorti. xt

0

O P= O xt 5 −2 y(t)

x

1

0 P ‡ Š+ O P u −3 x5 1 x 17‡ Š x5

= 30

Déterminer la loi de commande qui permet de placer les pôles du système avec un temps de réponse à 5% Tr= 2sec et un facteur de dépassement ξ = 0.707 L’équation désirée s5 + 4s + 8 = 0

L’équation du système avec régulateur det(sI − (A − BK)) = det oO

s

0

s 5 + (k 5 + 3)s + 2 − k = 0

En égalisant

o

k5 + 3 = 4 2−k =8

La loi de commande est donnée par Exemple 4.3 :

0 0 P − VO s −2 ⇒

o

1

0 Px − xO P 3k −3 1

k5 7Wq

k5 = 1

x x k = −6

x 3−6 u = −K x = 17 ‡ Š x5

Calculer la commande par retour d’état appliquée au système décrit par les matrices A, B, C, D afin d’obtenir un système ayant les pôles suivants : á = −2, −3, −4. −1

= 81

−5

L’équation désirée est :

2

−2

−1

−2

4:

3

1

= 80 : 0

) = 31

0

(# + 2)(# + 3)(# + 4) = # Q + 9# 5 + 26# + 24 = 0

07

On effectue une transformation de modèle en cherchant la matrice de transformation T formée des vecteurs propres (4 , 45 , 4Q ) comme décrit plus haut : 40

1 _ b ^ a 4 = ^ 0a ^ a ] 0`

d’où la matrice

−2

É = 8−23 −11

−1 _ b ^ a 4 = ^1a ^ a ]−5`

−1

1

0:

1

−5

−2 _ b ^ a 4 = ^−23a ^ a ]−11`

0

On applique la transformation au modèle d’état initial nt =

n+

u

v=)n+ wu

vers le modèle d’état final

ït =

+

u

v=) + w u

Puis on calcul les ¤ð du nouvelle modèle on trouve ¤ð = 32 41 97. On calcul les ¤ du modèle initial par ¤ = ¤ð É Y

K= [9 3.57 -9.28]

4.4. Conception du régulateur par retour d’état et intégrateur Afin d’éliminer l’erreur d’un système, on introduit au régulateur par retour d’état un contrôle intégral ceci en ajoutant une variable d’état notée xi à la sortie de l’intégrateur avec : xt J = r − Cx

Le système d’état augmenté par l’état xi devient (On prend w = 0) : xt = A x + B u xt J = r − Cx

Donné sous forme matricielle :

y=Cx

xt A O P= O xt J −C

y(t)

On a

u = −Kx + K ñ xJ = −3 K

x B 0 P ‡ Š+ O P u+ O P r 0 xJ 0 1

0

x 0 7‡ Š xJ x Kñ 7 ‡ Š xJ

= 3C

41

En remplace la commande u dans le système d’état

x 0 P ‡ Š+ O P r xJ 1 0

xt (A − BK) O P= O xt J −C

B Kñ

x 7 ‡ Š 0 xJ

y = 3C

Fig. 4.2: Représentation d’un système avec retour d’état et contrôle intégral Le système a donc été augmenté pour pouvoir utiliser son équation caractéristique car afin de calculer ¤ et ¤f , selon la réponse transitoire voulue. Exemple 4.5 :

Soit le système suivant :

x 0 P ‡ Š+ O P u −5 x5 1 x y = 3 1 0 7‡ Š x5 1. Faire la conception d’un contrôleur sans contrôle intégral pour pour obtenir un dépassement de 10% et un n temps de stabilisation de 0,5#. Evaluer l’erreur erreur statique due à une entrée échelon unitaire. 2. Répéter le design, cette fois avec du contrôle intégral. Evaluer l’erreur statique due à une entrée échelon unitaire. xt 0 O P= O xtt 5 −3

L’équation désirée :

1

s5 + 16s + 183.1

L’équation du système avec retour d’état : s5 + (5 + K 5 )s + (3 + K ) 42

Par égalité, on obtient : K = 3K Calcul de l’erreur statique

K 5 7 = 3180.1 117

e(∞) = 1 + C(A − BK) B = Y

1 + 31 07

0 180.1

= 0.995

1 −16

Y

0 1

Maintenant le calcul avec l’ajout de l’action intégral et on augmente l’ordre du système avec la variable n, , ceci donne la nouvelle forme d’état : xt 0 _ b VO ^ a ^x5t a = 8 −3 ^ a ] xt J ` xt _ b ^ a ^x5t a = ^ a ] xt J `

1

0 P − O P 3k −5 1 −3 1 0 7

0 _ ^ ^−3 − k ^ ] −1

k5 7W

1

−5 − k 5 0

y = 31

0

0

b a kña a 0`

x _ b ^ a 0 7 ^x 5 a ^ a ] xJ `

0 O P kñ : 1 0 x _ b ^x a ^ 5a + ^ a ] xJ `

x _ b ^x a ^ 5a + ^ a ] xJ `

0 _ b ^ a ^ 0a r ^ a ] 1`

0 _ b ^ a ^ 0a r ^ a ] 1`

L’équation caractéristique du système avec contrôle intégral est : sQ + (5 + k5 )s5 + (3 + k )s + k ñ

Il faut ajouter un pôle au système contrôle, puisqu’on utilise du contrôle intégral. On le choisit qui est très loin des pôles du système, comme (s + 100). Le polynôme souhaité est donc : (s + 100)(s5 + 16s + 183.1) = Ceci donne

= s Q + (116)s5 + (1783.5)s + 18310

k = 1780.1

k5 = 111

Le système final après réglage est donné par : xt _ b ^ a ^x5t a = ^ a ] xt J `

0 _ ^ ^−1783.5 ^ ] −1

1

−116 0

43

k ñ = 18310

0

b a 18310a a 0 `

x _ b ^x a ^ 5a + ^ a ] xJ `

0 _ b ^ a ^ 0a r ^ a ] 1`

e(∞) = 1 + C(A − BK)Y B = 1+ 31

y = 31

0

4.5. Synthèse d’observateur

0 0

x _ b ^ a 0 7 ^x 5 a ^ a ] xJ `

_ Ñ^ 0 7 Ð^−1783.5 ^ −1 Ï]

1

−116 0

0

Y

b aÕ 18310aÔ a 0 `Ó

0 _ b ^ a=0 ^ 0a ^ a ] 1`

On appelle observateur du système un opérateur qui génère une approximation nô de la variable õ = É n sous la forme : õ öt = ³ õ ö + ¥v + £u Si õ et n ont même dimension, l’observateur est dit complet (tout l’état est estimé). Dans ce cas É = m ; Donc : õ = n et w ö = xô Si dim(w ) ≤ dim (x) alors l’observateur est dit d’ordre réduit.

L’observateur doit satisfaire aux moins les deux conditions suivantes : Il doit être stable. Il doit assurer la convergence de w ö vers w

ö (t) − w(t)) = lim e(t) = 0 lim ( w

-→ø

-→ø

Ou &(') est dénommée erreur de reconstruction.

∀ u , ∀ x(0)

4.5.1. Observateur Identité L’observateur identité est un observateur complet avec le quel on obtient les équations du couple (système, observateur) : xôt = F xô + Ly + Ju xt = A x + B u y =Cx

En considèrent la dérivé de l’erreur d’estimation :

et = xt − xôt = (A − LC)x + (B − J)u − F xô xô = x − e 44

ett = (A − LC − F)x + (B − J)u − F e

Pour une estimation sans biais il faut que : e=0

et

Pour cela il faut donc satisfaire les équations : A − LC − F = 0 B−J =0 F stable

et = 0

ce qui donne

L’équation de l’observateur est dans ce cas :

F = A − LC J=B A − LC stable

xôt = (A − LC)xô + L y + B u

4.5.2. Principe de fonctionnement de l'observateur

La structure de l'observateur est celle indiquée sur la figure suivante. suivan Elle fait intervenir tout d'abord un estimateur fonctionnant en boucle ouverte qui est caractérisé par la même dynamique que celle du système. La structure fonctionnant en boucle fermée obtenue par l'introduction d'une matrice de gains ¥ permet d'imposer oser la dynamique propre à cet observateur.

Fig. 4.3 : Observateur d’un système d’état L : est appelé le gain de l’observateur. Il y a convergence si & converge vers 0. L’équation caractéristique est donnée par :

det(lm ( − ¥) )) = 0

Les valeurs propres λ sont choisi choisies es de manière à obtenir les performances désirées en termes de stabilité et réponse transitoire. 45

Elles doivent être des racines négatives ou à partie réelle négative.

Le problème consiste donc à trouver une matrice ¥ tel que les valeurs propres du système bouclé (de l’observateur) soient en des positions préfixées. Les différentes grandeurs mentionnées sur la figure représentent respectivement : Un vecteur d'entrée z du système réel et de l'observateur,

Un vecteur d'état y constitué des grandeurs à observer et un vecteur de sortie { dont les composantes sont mesurables. Le dernier vecteur est comparé au vecteur équivalent donné par l'observateur pour assurer le fonctionnement en boucle fermée.

Remarque :

La dynamique de xý = ( x − xô) n’est pas soumise à une entrée. xýt = ( A xô) et xý(0) = x(0) − xô(0)

Si le système est stable cette différence tend vers zéro (A stable).

La vitesse de convergence de xô vers n est identique à la réponse transitoire du système (même équation caractéristique).

Si on désire accélérer la convergence de xô vers n de telle manière que l’état estimé soit disponible instantanément par le régulateur u = −¤n, il faut introduire un feedback. 4.5.2.1. La méthode de détermination de la matrice Soit le système d’ordre n (sous forme canonique d’observateur) −/ Y 1 _ ^ ⋮ ^ − ¥) = ^ ^ −/ 0 ^ ] −/” 0

⋯ ⋱

⋯

(−/ Y − ) 1 _ ^ ⋮ ^ = ^ ^(−/ − Y ) 0 ^ ] (−/” − ) 0

0 b b _ a ^ a ⋮a ^ ⋮ a a−^ a 31 1a ^ Y a a ^ a ` 0` ]

⋯ ⋱

⋯ 46

0 b a ⋮a a 1a a 0`

0

⋯

07

L’équation caractéristique de # + (/

+ )#

Y

Y

− ¥)

+ + (/

L’équation caractéristique de # + (/ Y )# L’équation désirée est : # + (S

Y

Y

)#

Y

Y5

+ 5 )#

+ (/

+ (S

Y5 )# Y5 )#

Y5 Y5 Y5

+ ⋯ + (/ +

Y

)# + (/” +

+ ⋯ + (/ )# + (/” )=0

+ ⋯ + (S )# + (S” )=0

)=0

L’égalisation entre l’équation caractéristique de − ¥) et celle désirée on retrouve les /4&+ [ = 1,2, … . , , = S Y, − / Y,

,.

Exemple 4.6 : Soit un pendule simple dont le mouvement est régi par :

1 n 0 P ‡ Š+ O P u 0 n5 1 n = 3 1 07‡ Š n5

0

nt

O P= O −¢”5 nt 5

v(')

Déterminer l’estimateur pour ce pendule tel que les pôles de l’observateur soient placés en – 10 ¢”5 ( 5 fois plus rapides que celui du regulateur par retour d’état de l’exemple 4.1) # 5 + 20¢” # + 100¢”5 = 0

L’équation désirée

L’équation du système avec régulateur

S&' (#m − ( − ¥))) = S&' oO

En égalisant

¥= O P= O 5

#

0

20¢”

99¢”5

P

0 0 P − VO −¢”5 #

Solution avec programme sous Matlab avec ¢” = 2

A = [0 1; -4 0]; B = [0; 1]; C = [1 0]; D = [0]; p1= -10*4 ; L = place(A’,C’,[p1,p1])

47

1

0

Px − xO P 3 1 5

0 7Wq

Exemple 4.7 : Soit un système donné par la représentation d’état suivante par :

−0.8 n 1 P ‡ Š+ O P u n5 0 0 n v(') = 3 0 17‡ Š n5

nt 2 O P= O nt 5 2

Déterminer l’estimateur pour ce système tel que les deux pôles de l’observateur soient placés en 3 0.7 0.27 puis en 3 0.7 0.57

L’équation du système avec régulateur : − ¥) = O

det(lm −

2 2

−0.8 P − O P3 0 0 5

0.5 7 = O

+ ¥) ) = l5 + (2 − 0.5 5 )l −

L’équation désirée de l’observateur est : (l + 4)5 = l5 + 8l + 16

Par identification entre les deux équations on trouve

5

2

−0.8 − 0.5

2

+ 0.5

= 18 et

5

= 12

La représentation du système avec observateur est donnée par : xt −1 −9 x 2 18 O P= O P ‡ Š+ O P u+ O P y xt 5 1 −7 x5 0 12

48

−0.5

+1

5

P

Références bibliographiques 1- Kendouci Khedidja: "Analyse et Commande des Systèmes Linéaires Continus dans l’Espace d’Etat" support de cours (HDR), Université des Sciences et de Technologie d’Oran, USTO-MB, 2017. 2- Merah Abdelkadeur : "Systems Linéaires Multi-Variables" support de cours (HDR), Université Dr Tahar Moulay de Saida, Avril 2019. 3- De Larminat, Automatique, Hermès, 1995. 4- B. Pradin, G. Garcia ; "automatique linéaire : systèmes multivariables", polycopies de cours, INSA de Toulouse, 2011. 5- Caroline Bérard, Jean-Marc Biannic, David Saussié, ''La commande multivariable", Editions Dunod, 2012. 6- G. F. Franklin, J. D. Powell and A. E. Naaeimi, Feedback Control Dynamique Systems. (Addison-Wesly, 1991. 7- K. J. Astrôm, B. Wittenmark, Computer-Controlled Systems, Theory and design. Prentice Hall, New Jersy, 1990. 8- W. M. Wonman, Linear Multivariable Control :A Geometric approach. Springer Verlag, New York, 1985. 9- Hervé Guillard, Henri Bourlès, "Commandes des Systèmes. Performance & Robustesse. Régulateurs Monovariables Multivariables Applications Cours & Exercices Corrigés", Editions Technosup, 2012. 10- Caroline Bérard , Jean-Marc Biannic , David Saussié, Commande multivariable, Dunod, Paris, 2012.

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