32 1 4MB
Constructions métalliques
Cédric DESPREZ v.30/09/2022
Constructions métalliques (Partie 3)
7 ‐ Résistance des sections : moment fléchissant (M) (flexion pure) 8 ‐ Résistance des sections : effort tranchant (V) 9 ‐ Résistance des sections : effort normal (N) 10 ‐ Résistance des sections : Interaction M – V (flexion simple) 11 ‐ Résistance des sections : Interaction My – Mz (flexion biaxiale) 12 ‐ Résistance des sections : Interaction N‐My‐Mz (flexion composée/biaxiale) 13 ‐ Résistance des sections : Interaction N ‐ V ‐ My ‐ Mz
Supports construits sur la base des cours de : C. Desprez, S Capdevielle et J‐F Georgin
INSA de LYON Département Génie Civil et Urbanisme Laboratoire Géomécanique, Matériaux et Structures
67
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M)
7 – ELU : Résistance des sections : Moment fléchissant M (flexion pure)
z M x
Objectif : déterminer la résistance d’une section à partir de son modèle de comportement
68
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) a) Comportement d’une section fléchie Exemples de section sous M seul Section centrale de poutre isostatique sous chargement symétrique
x V
a
p
z y
Zone centrale d’une poutre en flexion 4 points
y
L 0
F
z
pL/2
x V
F L 0
F
‐F M 0
pL²/8 0
M 0
Fa 0
69
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) a) Comportement d’une section fléchie Elasticité 𝜀
Limite élastique 𝜀
𝜀
𝜀
z
avec 𝑓
𝜎 avec 𝜎
𝑀. 𝑧 𝐼
Plastification totale
z
z
z
.
𝜎
𝑓 𝐸
z
z
𝜎
Début plastification
z
z
𝜎
𝑓
𝜎
𝑓
𝑓 Création d’une rotule plastique
70
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) a) Comportement d’une section fléchie Développement de rotules plastiques
Mais attention : plastification possible que si la section ne présente pas d’instabilité locale avant de plastifier 71
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) a) Comportement d’une section fléchie Risque de voilement local ‐ ‐
Les profilés métalliques sont souvent constitués de parois minces (âme, semelles…) Lorsqu’elles sont comprimées, ces sections peuvent présenter des instabilités appelées « Voilement » (flambement local de parties de la section)
Voilement semelle
Voilement âme
72
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Classification des sections
Capacité de rotation haute basse aucune aucune
73
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Charge critique de voilement
Contrainte critique élastique de voilement :
𝜎
𝑘 .π .𝐸 12 1 𝜈
𝑡 𝑐
Analyse similaire au flambement, mais avec théorie des plaques
𝑘 tient compte de : Conditions limites, et distribution des contraintes dans la plaque
Pour utiliser la capacité de plastification de la section, il faut que 𝑓
𝜎 74
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Risque de voilement local
La contrainte de voilement s’exprime en fonction de l’élancement des âmes et semelle :
𝜎
𝑘 .π .𝐸 12 1 𝜈
𝑡 𝑐
.
Avec β
.
𝜎
𝑡 β 𝑐
Dépends des matériaux et CL des âmes et semelles
Dépends de la géométrie des âmes et semelles
Pas de de voilement si :
𝑓
𝜎
𝑓
β
𝑡 𝑐
𝑐 𝑡
β 𝑓
De nombreuses études paramétriques et expérimentales ont permis de classifier les sections en fonction de Voir les 3 tableaux suivants 75
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Classification des sections
Pour un profilé, on détermine successivement : ‐ La classe de la ou des parois interne(s) comprimée(s) (tableau de droite) ‐ La classe de la ou des semelle(s) en console (tableau page suivante) On garde la classe la plus DEFAVORABLE
76
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Classification des sections
77
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) b) Classification des sections
78
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) c) Moment résistant
Sections de classe 1 ou 2 Moment résistant = Moment max admissible par la section entièrement plastifiée (𝑀 , )
𝑏
𝑀
ℎ ℎ 𝑡
𝑟
,
𝑓 ℎ 2 .𝑏 .𝑡 𝛾 2
𝑡 2
𝑓 ℎ ℎ 2 𝑡 𝛾 2 4
𝑡
Ame
Semelle
Moment résistant 𝑏 .𝑡
𝑧
ℎ 2 𝑦
𝑦
𝑧
𝑡 2 𝑦
ℎ .𝑡 2 ℎ 4 𝑦
Calcul à la main possible de 𝑊 , , mais donné dans les catalogues
𝑀
,
𝑊
Critère ELU sections 1 et 2 :
𝑀 𝑧
𝑧
Exprimé en taux de travail
,
𝑓 𝛾
𝑀 ,
,
1 79
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) c) Moment résistant
Moment résistant = Moment max admissible par la section entièrement élastique (𝑀 , )
Sections de classe 3 𝑀
Sections de classe 4
,
𝑊
𝑓 𝛾
,
Moment résistant = Moment max admissible par la section « efficace » entièrement élastique (𝑀 , )
𝑀
,
𝑊
,
𝑓 𝛾
Critère ELU sections 3 et 4 :
𝑀
𝑀
Exprimé en taux de travail
,
,
1 80
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) c) Moment résistant
Exemple de données constructeurs
81
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7 – Résistance des sections : Moment fléchissant (M) d) Récapitulatif
Vérification ELU des sections vis‐à‐vis du moment fléchissant (M) 𝑀 𝑀 non
1
Risque de déversement
oui 𝑀
Classes 1 et 2
𝑀 𝑀
,
𝑀 𝑊
é
Classes 3 ou 4
𝑀
,
,
𝑀
𝑓 𝛾
Classes 3
𝑀
,
𝑊
,
𝑓 𝛾
𝑀
,
Classes 4
𝑀
,
𝑊
,
𝑓 𝛾 82
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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V)
8 – ELU : Résistance des sections : Effort tranchant V (cisaillement)
z
V
x
Objectif : déterminer la résistance d’une section à partir de son modèle de comportement
83
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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) a) Comportement d’une section en cisaillement (1/2) Exemples de section sous V seul Section d’extrémité de poutre isostatique sous chargement symétrique
x V
a
p
z y
Section d’extrémité d’une poutre en flexion 4 points
y
L 0
F
z
pL/2
x V
F L 0
F
‐F M 0
pL²/8 0
M 0
Fa 0
84
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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) a) Comportement d’une section en cisaillement (2/2)
Profil des contraintes de cisaillement 𝜏
𝑍
𝑉. 𝑆 𝑍 𝐼 .𝑏 𝑍
𝑆 𝑍 : moment statique de la partie de section 𝑏 𝑍 : largeur de la section en 𝑍
𝑉. 𝑆 0 𝐼 . 𝑡
𝜏
𝑍
𝑉 𝐴
𝜏
Aire de cisaillement (Dans les catalogues pour les profilé standard)
Condition pour assurer la résistance de la section en cisaillement : 𝜏 𝜏
déterminé avec critère de Von Mises
(En cisaillement pur 𝜎
𝜎
0)
²
3 𝜏
²
𝑓²
𝜏
𝜏
𝑓 3
Pour vérifier selon l’EC3, il faut exprimer cette condition en effort (slide suivant) 85
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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) b) Effort tranchant résistant b) Moment résistant L’effort tranchant résistant 𝑉
,
correspond à l’effort tranchant qui assure
D’où :
𝜏
𝑉
𝑉 𝐴
𝜏
𝑓 3
𝐴 .𝑓 ,
3. 𝛾
Critère ELU : ,
1
Mais attention : plastification possible que si la section ne présente pas d’instabilité locale avant de plastifier. Il faut donc également s’assurer qu’il n’y à pas de risque de voilement par cisaillement 86
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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) c) Risque de voilement local (1/2) b) Moment résistant Effet de l’effort tranchant Equilibre élémentaire
Cisaillement Vertical
Cisaillement vertical
Cisaillement horizontal
Cisaillement horizontal
Résultantes Traction
Compression
Compression
Risque de voilement de l’âme dans la direction principale de compression
Traction 87
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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) c) Risque de voilement local (2/2)
Le risque de voilement dépend de l’élancement de l’âme
𝑏
ℎ ℎ 𝑟
Pas de risque de voilement par cisaillement si
𝑡
𝑡
ℎ 𝑡
72. 𝜀
Avec 𝜀
(rq : Critère identique aux sections de classe 1 vis‐à‐vis du moment fléchissant. Cf slide 76)
Exemple de raidisseurs si risque de voilement
88
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8 – Résistance des sections : Effort tranchant (V) d) Récapitulatif
Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de l’effort tranchant (V) 1
𝑉 𝑉
𝑉
non ,
𝐴 .𝑓 ,
Risque de voilement par cisaillement ℎ 72. 𝜀 𝑡
oui Non traité ici
3. 𝛾
89
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9 – ELU : Résistance des sections : Effort normal N (traction ‐ compression)
z
N y
x
Objectif : déterminer la résistance d’une section à partir de son modèle de comportement
90
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9 – Résistance des sections : Effort normal (N) a) Comportement d’une section en traction‐compression Exemple de section en traction compression
Poutre treillis (chaque barre est en traction ou en compression)
91
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9 – Résistance des sections : Effort normal (N) b) Effort normal résistant Mode de ruine : plastification en traction Effort normal résistant de traction 𝑁
,
𝐴. 𝑓 𝛾 Critère ELU :
𝑁 𝑁 ,
Mode de ruine : plastification en compression Effort normal résistant de compression (sections classes 1,2 ou 3) 𝑁
,
𝐴. 𝑓 𝛾
1
Mais attention, en compression il faut aussi vérifier le risque de flambement
92
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9 – Résistance des sections : Effort normal (N) c) Récapitulatif
Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de l’effort normal (N) 𝑁 𝑁
𝑁 𝑁
𝑁 ,
non ,
1
Risque de flambement
oui
𝑁
𝑁
𝐴. 𝑓 𝛾
93
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10 – ELU : Résistance des sections : Intéraction M ‐ V
z
V
M x
94
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10 – Résistance des sections : interaction M‐V a) Comportement d’une section fléchie en cisaillement (1/2) Exemples de section sous M et V Section d’extrémité d’une poutre en console
p
z y
x
z y
L
pL V
M
Section sur appui intermédiaire d’une poutre continue
0 Pl/2 0
V 3PL/8
x
L
L 0
5PL/8
0 3PL/8
M 0
PL²/8 0
95
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10 – Résistance des sections : interaction M‐V a) Comportement d’une section fléchie en cisaillement (2/2)
Contraintes normales (sous M)
Contraintes de cisaillement (Sous V)
𝜎
au niveau des semelles
𝜏
au niveau de l’âme
Les contraintes maximales ne sont pas atteintes aux même endroit du profilés, mais l’âme doit reprendre 𝜎 𝑧 + 𝜏 𝑧 Interaction M‐V à prendre en compte dans la vérification des efforts résistants 96
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10 – Résistance des sections : interaction M‐V b) Interaction M‐V
𝑉
𝜏
Traduction en critère règlementaire (en effort)
𝜏
𝜏 2
𝜎
𝑉
,
𝑉
,
𝑀
,
2
𝜎
𝑀
critère de Von Mises (contraintes)
,
𝑀
𝑀
Observation 1 : les semelles ne sont quasiment pas impactées par les contraintes de cisaillement : Hypothèse 1 : même en présence d’effort tranchant le moment fléchissant résistant est au moins égal à la part de moment fléchissant repris par les semelles 𝑀 , Observation 2 : lorsque les contraintes de cisaillement restent modérées cisaillement admissibles sont proche de 𝜎 . ,
Hypothèse 2 : Tant que 𝑉
les contraintes de
le moment fléchissant résistant reste 𝑀
Observation 3 : Le critère limite de résistance suit un profil parabolique lors de l’interaction entre les contraintes de cisaillement et les contraintes normales de flexion ,
Hypothèse 3 : Si 𝑉 le moment fléchissant résistant se situe entre 𝑀 La valeur du moment résistant réduit 𝑀 , et est décrit par une parabole.
,
et 𝑀 . 97
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10 – Résistance des sections : interaction M‐V c) Moment résistant réduit (1/2) 𝑉
,
𝑉
,
𝑀
,
Critères ELU :
1 et
2 ,
𝑀
,
,
1
𝑀
Calcul du moment résistant réduit 𝑴𝑽,𝑹𝒅 Si
Si
𝑉
𝑉
𝑉
,
2
𝑉
,
2
le cisaillement n’affecte pas le moment fléchissant résistant qui reste :
une partie de l’âme ne peut plus participer à la résistance vis‐à‐vis du moment fléchissant à cause de l’effort tranchant.
𝑀 𝑀
, ,
𝑀 𝑀
𝑀
, ,
,
(classes 1 et 2) (classes 3 et 4)
à calculer
(slide suivante)
98
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10 – Résistance des sections : interaction M‐V c) Moment résistant réduit (2/2) 𝑀
,
Calcul de 𝑀
,
se calcul en prenant pour l’aire de cisaillement une limite d’élasticité réduite On prend 1
.
𝜌 𝑓 au lieu de 𝑓 avec 𝜌
,
Profil élastique
Profil plastique
Pour une poutre en I, l’EC3 (partie 1‐1.6.2.8) propose Sinon à calculer
𝑀
,
1
𝑊
,
. .
avec
𝑀
,
𝑀
et 𝐴 = aire de l’âme 99
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10 – Résistance des sections : interaction M‐V d) Récapitulatif
Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de M et V Critères ELU :
1 et
1
,
𝑉 (et donc 𝑉 , ) se calcul comme dans la partie « Effort tranchant »
oui
,
𝑊
,
non
,
2
(classes 3 et 4) 𝑀 , 𝑀 ,
(classes 1 et 2) 𝑀 , 𝑀 , 𝑀
𝑉
𝑉
𝑀
𝑊
,
avec
.
,
𝑀
. ,
𝑀
𝑓 𝛾 classes 3 𝑀
,
𝑊
,
classes 4 𝑓 𝛾
𝑀
,
𝑊
,
𝑓 𝛾 100
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11 – ELU : Résistance des sections : Interaction My ‐ Mz (flexion biaxiale ou déviée)
z My y
x Mz
101
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11 – Résistance des sections : Intéraction My ‐ Mz a) Comportement d’une section en flexion biaxiale (1/2) Exemples de section sous My et Mz Sections soumise à un moment fléchissant autour de deux axes simultanément
Vent + poids propre
Neige + poids propre sur panne inclinée
102
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11 – Résistance des sections : Intéraction My ‐ Mz a) Comportement d’une section en flexion biaxiale (2/2) Exemples de section sous My et Mz (M selon axe fort y‐y) (M selon axe faible z‐z)
z y
z y z y
z
y
z
z
y
z
y
y
Image : Pierre LATTEUR ‐ UCLouvain 103
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11 – Résistance des sections : Intéraction My ‐ Mz b) Critère de résistance 𝑀 et 𝑀 contribuent aux contraintes normales dans la section On ne peut pas mobiliser les 2 moments résistants en même temps (un dans chaque direction)
Vérifier
, ,
1 et
, ,
1 ne suffit pas Critères ELU : 𝑀 𝑀
L’EC3 (partie 1‐1.6.2.9) propose la vérification suivante :
𝑀 𝑀
, ,
(M selon axe fort y‐y) 𝛽
Valeurs sécuritaires (ok pour toutes sections)
1
1
Section I ou H
2
Sections creuses circulaires
2
Avec 𝑛
𝑁 𝑁 ,
𝛼
5.n (et 𝛽
1
1
2
𝛽 1,66 / (1−1,13.n²) et
Si seulement 𝑀 et 𝑀
,
(M selon axe faible z‐z)
𝛼
Sections creuses rectangulaires
,
𝑛
0 car 𝑁
6
0 104
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11 – Résistance des sections : Intéraction My ‐ Mz c) Récapitulatif
Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de My et Mz Critères ELU : 𝑀 𝑀
𝑀 𝑀
, ,
,
Classes 1 et 2
𝑀
𝑀
,
𝑀 𝑀
,
,
,
,
,
,
et 𝑀 𝑊 𝑊
,
,
𝑓 𝛾
,
𝑓 𝛾
𝑀
,
1
,
Classes 3 ou 4
𝑀
,
,
𝑀
, ,
Classes 3
𝑀 𝑀
, ,
, ,
𝑊 𝑊
,
𝑓 𝛾
,
𝑓 𝛾
et 𝑀
𝑀
,
, ,
Classes 4
𝑀 𝑀
, ,
, ,
𝑊 𝑊
,
𝑓 𝛾
,
𝑓 𝛾
105
Constructions métalliques
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12 – ELU : Résistance des sections: Interaction N‐M et N‐My‐Mz (flexion composée)
z
z
My
M N y
x
y
N x Mz
106
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12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz a) Comportement d’une section en flexion composée (1/2) Exemple d’éléments soumis à N et M
Têtes de poteaux d’un portique isostatique symétrique et chargé uniformément
107
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12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz a) Comportement d’une section en flexion composée (2/2)
Evolution d’une section sous N et M croissant
Elastique
Elasto‐plastique
Plastique limite
En présence de N, le bras de levier disponible pour l’axe neutre diminue et le moment résistant est plus faible
108
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12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz b) Moment résistant réduit (1/2) Pour une section bi‐symétrique (ie : I ou H) Cas de la flexion autour de l’axe fort (Y‐Y)
Sections de classe 1 et 2 ,
Si 𝑁
.
et 𝑁
.
Au delà
.
Pas de réduction de 𝑀
𝑀
,
𝑀
, ,
1 , ,
1
𝑛 0,5. 𝑎
(On considère que la capacité d’écrouissage compense la faible réduction de 𝑀 , )
Cas de la flexion autour de l’axe faible (Z‐Z) Si 𝑁
.
.
Pas de réduction de 𝑀
Au delà Si 𝑛 ,
𝑀
𝑛
𝑎
𝑁 𝑁 , 𝐴
Critères ELU 2. 𝑏. 𝑡 𝐴
1 et 0,5
,
,
, ,
, ,
1
𝑀
, ,
Si 𝑛 𝑀
𝑎∶
, ,
, ,
𝑎∶ 𝑀
, ,
1
𝑛 1
𝑎 𝑎
(Voir partie interaction My‐Mz pour 𝛼 et 𝛽) 109
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12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz b) Moment résistant réduit (2/2) Pour une section bi‐symétrique (ie : I ou H) (suite)
Sections de classe 3 Il faut que la somme des contraintes normale soit 𝑓
𝑁 𝐴
𝑀
ℎ 2
,
𝐼
𝑀
𝑏 2
,
𝐼
𝑓 𝛾
𝑁 𝑁
Critère ELU 𝑀 , 𝑀, 𝑀 , , 𝑀 ,,
1
Sections de classe 4 non traités dans ce cours
110
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12 – Résistance des sections : Interaction N‐M ou N‐My‐Mz c) Récapitulatif
Vérification ELU des sections vis‐à‐vis de N, My et Mz Classes 1 et 2
Critères ELU 1 et
,
,
, ,
, ,
flexion y‐y
,
𝑁
et 𝑁
.
non
oui
𝑀
𝐴 .𝑡 .𝑓 . 𝛾 non
oui
1
flexion z‐z
flexion y‐y
𝑁
.
Non traité ici
Critère ELU 𝑀 , 𝑀, 𝑀 , , 𝑀 , ,
𝑁 𝑁
1 flexion z‐z
.
Classes 4
Classes 3
𝑊
, ,
𝑛
,
𝑓 𝛾
𝑀
𝑎
𝑛
non
oui
𝑎
𝑀
, ,
𝑀
𝑀
, ,
𝑀
, ,
𝑀
1 , ,
1
𝑛 0,5. 𝑎
, ,
𝑀
𝑊
, ,
,
𝑓 𝛾
𝑁 𝑁 , 𝐴
2. 𝑏. 𝑡 𝐴
0,5
, ,
𝑀
, ,
𝑀
, ,
1
𝑛 1
𝑎 𝑎 111
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13 – ELU : Résistance des sections : Interaction N, V, My et Mz
z V y
My N x
Mz
112
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13 – Résistance des sections : interaction N‐My‐Mz‐V a) Comportement d’une section en flexion composée déviée Exemple d’éléments soumis à N, M et T
Têtes de poteaux d’un portique hyperstatique symétrique et chargé uniformément
113
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13 – Résistance des sections : interaction N‐My‐Mz‐V b) Critères de résistance Le principe est d’ajouter l’effet de l’effort tranchant (V) au moment résistant réduit par l’effort normal (N) 𝑀 , On obtient alors 𝑀
Critères ELU ,
, ,
Pour calculer 𝑀
si
𝑉
𝑉
,
𝑉
𝑉
,
,
, , ,
, , ,
1
, ,
pas besoin de réduire le moment résistant réduit du à l’effort N à cause de V
2
𝑀
si
1 et
,
, ,
𝑀
,
il faut réduire la valeur u moment résistant réduit 𝑀
2
𝑀
, ,
𝑀
,
,
à cause de V
mais en considérant 1
𝜌 𝑓 au lieu de 𝑓
Par exemple : pour une section en I de classe 1 Avec My‐N sans V 𝑀
, ,
𝑀
, ,
, .
Donc 𝑀
avec 𝑀 , ,
Avec My‐N et V 𝑊
, ,
𝑊
,
,
𝑀
, , ,
𝑊
1 ,
𝜌 𝑓 𝛾
1 1
𝑛 0,5. 𝑎
, .
114