Corriges TD Ds Examens [PDF]

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PARTIE 3 : Corrigés

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Correction TD3 1- Représentation sur le plan de black de la transmittance du processus.

φ

Mg= -12dB < 0

φ=45°

et Mφ = - 31.8° < 0

→

Système instable en boucle fermée.

2- R(p)=k. 𝑀𝑔

2-1- Le gain critique kc = 10 20 = 0.25 −22

2-2- Pour une marge de phase de 45° → K = 10 20 = 0.08 La marge de gain Mg=9.7dB Le pic de résonance MP= Hmax – H0

= 3 – (-2.8) = 5.8dB

La pulsation de résonance La bande passante 2-3- L’erreur statique de position ɛp =

𝟏 = 𝟏+𝟎.𝟎𝟖

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0.92

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Correction DS Novembre 2011 Soit un système d’entrée u(t) et de sortie y(t) représenté par l’équation différentielle suivante : 10𝑦⃛(𝑡) + 17𝑦̈ (𝑡) + 8𝑦̇ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 4𝑢(𝑡) 1. Déterminer la transformée de Laplace du système puis donner sa fonction de transfert 𝑌(𝑝) 𝐻(𝑝) = 𝑈(𝑝) 3 2 10𝑝 𝑌(𝑝) + 17𝑝 𝑌(𝑝) + 8𝑝𝑌(𝑝) + 𝑌(𝑝) = 4𝑈(𝑝) (10𝑝3 + 17𝑝2 + 8𝑝 + 1)𝑌(𝑝) = 4𝑈(𝑝)

Donc 𝐻(𝑝) = 2. On donne 𝐻(𝑝) =

𝑌(𝑝) 𝑈(𝑝)

=

4 10𝑝3 +17𝑝2 +8𝑝+1

4

4 (1+𝑝)(1+2𝑝)(1+5𝑝)

Le système est mis dans une boucle de régulation avec une correction proportionnelle donné par représentation suivante :

E(p)

+

k

H(p)

Y(p)

-

a . Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée T(p). 4 𝑘 𝑘𝐻(𝑝) (1 + 𝑝)(1 + 2𝑝)(1 + 5𝑝) 𝑇(𝑝) = = 4 1 + 𝑘𝐻(𝑝) 1+𝑘 (1 + 𝑝)(1 + 2𝑝)(1 + 5𝑝)

=

3

4𝑘 10𝑝3 + 17𝑝2 + 8𝑝 + 1 + 4𝑘

b. En utilisant le critère de Routh, déterminer la condition de stabilité sur k. Quel est la valeur du gain critique kc qui permet d’avoir la limite de stabilité.

𝐷(𝑝) = 10𝑝3 + 17𝑝2 + 8𝑝 + 1 + 4𝑘 P3

10

8

P2

17

1+4k

126 − 40𝑘 17

0

P

1

P0

1+4k

Pour avoir un système stable, il faut que 126-40k > 0 et 1+4k > 0 donc

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5

-0.25 < k < 3.15

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3. Etude harmonique du système en boucle ouverte avec k=1 a. Cette étude nous a permis de remplir le tableau suivant : ω(rad/s) |𝐻(𝑗𝜔)|𝑑𝐵 𝑎𝑟𝑔(𝐻(𝑗𝜔))

0,01 12 -4,5

0,03 11,9 -13,7

0,1 10,9 -43,6

0,2 8,2 -78

0,3 5,2 -104

0,6 -3,2 -153

0,9 -10 -180

2 -27 -223,7

b. Représenter le système dans le diagramme de Bode, déterminer la marge de gain et la marge de phase puis en déduire la stabilité du système en boucle fermée. Bode Diagram

Magnitude (dB)

50

0 System: h Gain Margin (dB): 9.97 At frequency (rad/sec): 0.895 Closed Loop Stable? Yes

-50

5

-100

Phase (deg)

-150 0 System: h Phase Margin (deg): 43.1 Delay Margin (sec): 1.57 At frequency (rad/sec): 0.48 Closed Loop Stable? Yes

-90

-180

-270 -3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Mg = 9.97db > 0 et Mp = 43.1° > 0 ➔ donc système stable

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3

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Correction Examen Janvier 2012

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Correction DS Novembre 2013

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Correction DS Novembre 2014

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Correction Examen Janvier 2014

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Correction Examen Janvier 2015

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Correction Examen Janvier 2016

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Correction DS Novembre 2016

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Correction Examen Décembre 2016

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Correction DS Novembre 2017

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5. Représenter le système dans le diagramme de Bode, déterminer la marge de gain MG et la marge de phase Mφ puis en déduire la stabilité du système en boucle fermée. Calculer le gain critique Kc,

MG = 12 .dB > 0 Mφ = 67.6° > 0

Système stable

3

MG

Le gain critique Kc = 10 20 = 4

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Corrigés Examen Janvier 2018 Régulation de température d’un dégazeur thermique Un dégazeur est utilisé pour réduire la concentration en oxygène (O2), et en gaz carbonique (CO2) dans l'eau. Il est utilisé pour le traitement de l'eau d'appoint des chaudières industrielles. La diminution des taux d'oxygène et du gaz carbonique réduit les risques de corrosion. L’élimination se fait par création d’une atmosphère privée de ces gaz à la surface intime de l’eau de ruissellement. De plus, la propriété des gaz d’être d’autant moins solubles que la pression est faible et la température est élevée, est utilisée. Pour cela, l’eau contenue dans le dégazeur est maintenue à une légère pression (0.3 à 0.7 bar) et à la température d’évaporation correspondante (107 à 115 °C). Elle se trouve ainsi en légère ébullition (vaporisation). Le mélange de vapeur et du gaz cédé par l’eau d’alimentation, est évacue à l’atmosphère par un évent (sortie d’échappement), au fur et à mesure qu’il se forme. La figure (1) suivante représente le schéma de régulation de la température réglée en agissant sur le débit de vapeur. Sortie d’échappement T’ TIC

TY

Température de référence Tr

Légende : Qe M

Y

TE : Sonde pour la mesure de température TY : Module permettant de convertir un signal tension en signal courant TIC : Régulateur industriel composé d’un comparateur et un correcteur TV : Vanne de réglage de débit équipe d’un positionneur électropneumatique T’ : signal normalisé, image de la température dans le dégazeur. Y : signal de commande

Eau

TE

Qv

TV

Vapeur

Evacuation vers chaudière Le schéma fonctionnel simplifié de l’installation est donne par la figure (2) suivante: Correcteur C(p)

-figure (1)-

Tr(p)

ɛ(p)

T’(p)

Procédé physique

Y(p)

𝐊𝟏

T(p)

G(p)

𝐊𝟐 𝒑

1-τp Capteur + convertisseur -figure (2)-

Où Tr(p) est la température de référence, T(p) est la température dans le dégazeur et ɛ(p) = Tr(p)- T’(p) est l’erreur statique. Avec :

2

G(p) = (p+0.4)(p+1.5)

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Partie A – Etude temporelle : A1. On donne 𝐊 𝟏 = 𝐊 𝟐 = 𝟎 et τ = 0.1s 1°/ Déterminer la fonction de transfert simplifiée du correcteur C(p) = C(p) =

Y(p) ɛ(p)

Y(p) ɛ(p)

0.5

=1 T(p) r (p)

2°/ Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée H(p) = T T(p) r (p)

H(p) = T

=

G(p) 1+(1−𝜏𝑝)𝐺(p)

=

2 (p+0.4)(p+1.5) 2 1+(1−0.1𝑝)(p+0.4)(p+1.5)

2

2

= (p+0.4)(p+1.5)+2(1−0.1𝑝)= p2 +1.7p+2.6

0.5

3°/ Le système est-il stable en boucle fermée ? Expliquer. L’équation caractéristique : Ec(p) = p2 + 1.7p + 2.6 Donne comme :

0.5

Sol° : p1= -1.7+j2.74 Et

pôles à partie réelle négative → système stable

p2= -1.7-j2.74

4°/ Déterminer la classe α de ce système et le gain statique en boule ouverte KO 2 (1−0.1𝑝)

2 (1−0.1𝑝)

La FTBO : F(p) = (1 − 𝜏𝑝)𝐺(p) = (p+0.4)(p+1.5) = p2 +1.9p+0.6 =

3.33 (1−0.1𝑝)

K (1−0.1𝑝)

0 = 𝑝𝛼 (1+3.17p+1.67p 2)

0.5

𝑝0 (1+3.17p+1.67p2 )

Donc système de classe α = 0 (pas d’intégrateurs) et de gain statique en boule ouverte KO= 3.33 5°/ Calculer l’erreur statique de position pour un échelon d’amplitude 100 °C. 100

ɛp%= 1+𝐊 = 𝟎

100 1+𝟑.𝟑𝟑

= 23.09%

0.5

A2. On donne 𝐊 𝟏 > 𝟎 ; 𝐊 𝟐 = 𝟎 et τ = 0.1s 1°/ Déterminer la fonction de transfert simplifiée du correcteur C(p) = C(p) =

Y(p) ɛ(p)

en fonction de 𝐊 𝟏 .

Y(p) = 1 + 𝐾1 ɛ(p)

0.5

2°/ Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée H(p) = T(p) r (p)

H(p) = T

=

(1+𝐾1 )G(p) 1+(1−𝜏𝑝)(1+𝐾1 )𝐺(p)

=

2(1+𝐾1 ) (p+0.4)(p+1.5) 2(1+𝐾1 ) 1+(1−0.1𝑝)(p+0.4)(p+1.5)

T(p) Tr (p)

en fonction de 𝐊 𝟏 . 2 (1+𝐾 )

2(1+𝐾1 ) 1 )p+(2.6+2𝐾1 )

1 = (p+0.4)(p+1.5)+2(1−0.1𝑝)(1+𝐾 = ) p2 +(1.7−0.2𝐾 1

0.5

3°/ Etudier la stabilité du système en utilisant le critère de Routh et en déduire le gain critique 𝐊 𝟏𝐜 P2 p

1

p0

2.6 + 2𝐾1

1 1.7 − 0.2𝐾1

0 1

2.6 + 2𝐾1

Système stable pour : 1.7 − 0.2𝐾1 > 0

Et 𝐾1 > 0

→

0 < 𝐾1 < 8.5

le gain critique 𝐊 𝟏𝐜 = 𝟖. 𝟓 → Système limite de stabilité 4°/ Déterminer la classe α de ce système et le gain statique en boule ouverte KO La FTBO : F(p) = (1 − 𝜏𝑝)(1 + 𝐾1 )𝐺(p) =

2 (1−0.1𝑝)(1+𝐾1 ) (p+0.4)(p+1.5)

2 (1−0.1𝑝)

= p2 +1.9p+0.6 =

3.33(1+𝐾1 ) (1−0.1𝑝) K0 (1−0.1𝑝) = 𝑝0 (1+3.17p+1.67p2 ) 𝑝𝛼 (1+3.17p+1.67p2 )

Donc système de classe α = 0 (pas d’intégrateurs) et de gain statique en boule ouverte KO= 3.33(1 + 𝐾1 )

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0.5

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5°/ Déterminer l’erreur statique de position pour un échelon d’amplitude 100 °C pour 𝐊 𝟏 = 𝟏. 100

ɛp%= 1+𝐊 = 𝟎

100 1+𝟑.𝟑𝟑(1+𝐾1 )

= 13.04%

0.5

A3. On donne 𝐊 𝟏 = 𝟏 ; 𝐊 𝟐 > 𝟎 et τ = 0.1s 1°/ Déterminer la fonction de transfert du correcteur C(p) = C(p) =

Y(p) ɛ(p)

𝐊

= 2+ 𝐩𝟐 =

Y(p) ɛ(p)

en fonction de 𝐊 𝟐 . 0.5

2𝑝+𝐊 𝟐 𝑝 T(p) r (p)

2°/ Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée H(p) = T T(p) r (p)

H(p) = T H(p) =

=

2𝑝+𝐊 𝟐 G(p) 𝑝 2𝑝+𝐊 𝟐 1+(1−𝜏𝑝) 𝐺(p) 𝑝

=

2(2𝑝+𝐊 𝟐 ) 𝑝(p+0.4)(p+1.5) 2(2𝑝+𝐊 𝟐 ) 1+(1−0.1𝑝) 𝑝(p+0.4)(p+1.5)

en fonction de 𝐊 𝟐 2 (2𝑝+𝐊 )

𝟐 = 𝑝(p+0.4)(p+1.5)+2(1−0.1𝑝)(2𝑝+𝐊

𝟐

)

0.5

T(p) 2(2𝑝+𝐊 𝟐 ) = Tr (p) p3 +1.5p2 +(4.6−0.2𝐾2 )p+2𝐾2

3°/ Etudier la stabilité du système en utilisant le critère de Routh et en déduire le gain critique 𝐊 𝟐𝐜 L’équation caractéristique : Ec(p)= p3 + 1.5p2 + (4.6 − 0.2𝐾2 )p + 2𝐾2 Système stable pour : • Tous les coefficients existent et de même signes : 1

4.6 − 0.2𝐾2 > 0 Et 𝐾2 > 0 → 0 < 𝐾2 < 23 • p3 1 4.6 − 0.2𝐾2 p2

1.5

2𝐾2

p1

α

0

p0

2𝐾2

0 < 𝐾2 < 3 𝐊 𝟐𝐂 = 𝟑

0

α = 4.6 - 1.53𝐾2 > 0 𝐾2 < 3

SI

SS

SLS

𝐤𝟐 SI

4°/ Déterminer la classe α de ce système et le gain statique en boule ouverte KO La FTBO : F(p) = (1 − 𝜏𝑝) F(p)=

2𝑝+𝐊 𝟐 𝐺(p) 𝑝

(2−0.1𝐊 𝟐 ) 𝟎.𝟏 𝒑− 𝒑𝟐 ) 𝐊𝟐 𝐊𝟐 𝑝1 (1+3.17p+1.67p2 )

3.33𝐊 𝟐 (1+

=

=

2 (1−0.1𝑝)(2𝑝+𝐊 𝟐 ) 𝑝(p+0.4)(p+1.5)

=

2(𝐊 𝟐 +(2−0.1𝐊 𝟐 )𝒑−𝟎.𝟏𝒑𝟐 ) p(p2 +1.9p+0.6)

0.5

(2−0.1𝐊 𝟐 ) 𝟎.𝟏 𝒑− 𝒑𝟐 ) 𝐊𝟐 𝐊𝟐 𝑝𝛼 (1+3.17p+1.67p2 )

𝑘0′ (1+

Donc système de classe α = 1 (1 seul intégrateur) et de gain statique en boule ouverte KO = F(0) = ∞ 5°/ Déterminer l’erreur statique de position pour un échelon d’amplitude 100 °C. ɛp%= 0 (d’après tableau des erreurs) 0.5

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A4. Sur la figure 3, on donne les réponses indicielles :

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pour 𝐊 𝟏 = 𝐊 𝟐 = 𝟎

et τ = 0.1s → Partie A1

Pour 𝐊 𝟏 = 𝐊 𝟐 = 𝟏

et τ = 0.1s → Partie A3

① ②

-figure (3)A partir de (la figure 3) remplir le tableau suivant et identifier la réponse indicielle correspondante à chaque partie (A1 ou A3) puis conclure sur les performances du système asservi. Réponse indicielle

①

②

Dépassement D%

14.2

46.8

Temps de pic Tp(s)

2.28

1.68

Temps de monté Tm(s)

1.05

0.63

Temps de réponse à ±5% Tr (s)

4.69

7.15

Gain statique en boucle fermé kF

0.77

1

Gain statique en boucle ouvert kO

3.33

∞

Erreur statique de position ɛp en %

23.09

0

A1

A3

Partie (A1 ou A3)

4

Conclure : ② Plus précis et rapide que ① ① Plus stable que ②

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0.5

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Partie B : Etude harmonique :

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Pour 𝐊 𝟏 = 𝟏 ; 𝐊 𝟐 = 𝟑

1°/ Déterminer la fonction de transfert du correcteur C(p) = C(p) =

Y(p) ɛ(p)

=

3 2+𝐩

=

2𝑝+3 𝑝

=

Y(p) ɛ(p)

T′ (p) ɛ(p)

= C(p). G(p) =

0.5

2(𝑝+1.5) 𝑝

2°/ Déterminer la fonction de transfert en boucle ouverte F(p) = F(p) =

et τ = 0s

2(𝑝+1.5) 2 (p+0.4)(p+1.5) 𝑝

T′(p) ɛ(p)

4

0.5

= p(p+0.4)

3°/ Donner les expressions du module FdB(ɷ) et de l’Argument 𝝋(ɷ) de F(jɷ) . 4 F(jɷ) = jɷ(𝟎.𝟒+𝐣ɷ) FdB(ɷ) = 12 – 20Log(ɷ) – 10Log(0.16+ɷ²) ɷ 𝜑(ɷ) = −90 − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔( ) 0.4

1.5

On donne ci-joint le tracé sur un abaque de Black de la réponse harmonique du système en boucle ouverte.

M𝛗

Mg

-figure (4)4°/ Déduire de cette courbe (figure 4) les grandeurs relatives à un asservissement par retour unitaire du système. - L’ordre du système n = 2 - La classe du système α = 1 - La marge de gain MG (en dB) = ∞ - Le pic de résonnance MP (en dB) = 0

- La marge de phase M𝛗 (en degrés) = 11.4° - Le gain statique en boucle fermé KF = 1

- Le gain statique en boucle ouvert Ko = ∞ - L’erreur statique de position ƐP (en % ) = 0 5°/ Connaissant ces valeurs, conclure quant aux performances du système asservi. Système stable et précis.

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4

0.5

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Corrigés DS Novembre 2018

Régulation de Niveau Un système de régulation de niveau d’eau est modélisé par le schéma fonctionnel donné par la figure 1. Régulateur

Consigne C(p)

ɛ(p) +

Vanne

R(p)

Bac

Q1(p)

A(p)

Niveau d’eau H(p)

B(p)

-

I(p) T(p) Transmetteur

Figure 1 : Dispositif de régulation de niveau d’eau Avec C(p) : Consigne, Q1(p) : Débit d’eau, H(p) : Niveau d’eau, I(p) : Sortie du transmetteur. La Figure 2 : Représente le modèle de comportement de cette régulation de niveau :

VM

VA

Q1 A

Q2

h Q3

Q4

VE Figure 2 : Modèle de comportement de régulation de niveau

Pompe

Le débit d’entrée Q1 (fig 2) dépond de la section de la vanne automatique (VA), commandée par l’actionneur (A). (VM) est une vanne manuelle assurant le débit (Q2). Le débit de sortie (Q3) est proportionnel à la hauteur (h) et la section de la vanne d’évacuation (VE). La pompe (P) extrait un débit (Q4) proportionnel à la vitesse de rotation. Les paramètres a et b du schéma fonctionnel du Bac (fig 3) sont choisis pour un point de fonctionnement tels que : a=2 et b=500.

𝒕𝒂𝒏𝒈(𝑨)+𝒕𝒂𝒏𝒈(𝑩)

NB : 𝒕𝒂𝒏𝒈(𝑨 + 𝑩) = 𝟏− 𝒕𝒂𝒏𝒈(𝑨).𝒕𝒂𝒏𝒈(𝑩)

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;

(

MG = − 20. log G( j.osc )

)

; Mφ = π + Arg(G(j ꙍ1))

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Corrigés Examen Janvier 2019

Régulation de vitesse d’un moteur à courant continu i

PARTIE 1 : Etude préliminaire : Le moteur à courant continu est commandé en tension, on s’intéresse à la vitesse du rotor dépendant de la charge constituée d’un frottement fluide. (NB : Le flux de la machine est fonction du courant d’excitation ɸ = f(j))

R

L

ω u

e

𝑑𝑖

Équation électrique au stator

u = R i + L 𝑑𝑡 + e

J

Cm

Transformé de Laplace U(p) = (R+Lp) I(p) + E(p)

Cr

Figure 1 : MCC

Question 1 : En se référant à la figure 1, compléter le tableau suivant : Loi physique

ω

f

Schéma bloc U(p) + _

1 𝑅 + 𝐿𝑝

I(p)

E(p)

Force contre

e = Kɸ ω

E(p) = Kɸ Ω(p)

Couple électromagnétique

Cm = Kɸ i

Cm = Kɸ I(p)

Équation mécanique

Cm –Cr = J

Ω(p)

Kɸ

E(p)

I(p)

Kɸ

Cm(p)

Cm(p) +

1 𝑓 + 𝐽𝑝

électromotrice

𝑑𝜔 𝑑𝑡

+fω

Cm –Cr = (J p + f) Ω(p)

Ω(p)

_

Cr(p)

Question 2 : Compléter alors le schéma fonctionnel : 1 𝑅 + 𝐿𝑝

U(p) + _

I(p)

Kɸ

Cr(p)

Cm(p) +

1 𝑓 + 𝐽𝑝

Ω(p)

E(p)

Kɸ

On considère le système représenté par le schéma fonctionnel suivant avec k > 0 et τ > 0. E(p) +

-

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1 𝑘(1 + ) 𝜏𝑝

1 (1 + 𝑝)(1 + 10𝑝)

S(p)

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PARTIE 2: Stabilité par Critère de Routh :

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PARTIE 3: Rapidité par Critère de Naslin :

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Document Réponse DR

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Question 7: On vous donne ci-dessous (figure 2) les réponses indicielles pour k = 1 et τ = 5.5s : F(p) Sans correction H(p) Avec correction

Figure 2 : les réponses indicielles pour k = 1 et τ = 5.5s

Déterminer graphiquement : Tp , Tm , Ts , D% , gains statiques en BF kf , en BO ko et l’erreur statique de position ɛp. Sans correction : F(p)

Avec correction : H(p)

Dépassement D%

0

7.63

Temps de pic Tp(s)

_

23.5

Temps de monté Tm(s)

10.1

10.7

Temps de réponse à ±5% Tr (s)

18.4

37.9

Gain statique en boucle fermé kF

0.5

1

Gain statique en boucle ouvert kO

1

inf

50

0

Erreur statique de position ɛp en %

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PARTIE 4: Abaque de Black: Question8 : On donne ci-joint le tracé sur un abaque de Black de la réponse harmonique des systèmes G(p) et T(p) = R(p).G(p) en boucle ouverte pour K= 1 et τ = 5.5s.

Figure 3 : Réponses harmoniques des systèmes G(p) et T(p) pour K= 1 et τ = 5.5s.

Déduire de ces courbes (figure 3) les grandeurs relatives à un asservissement par retour unitaire du système. G(p) : Sans correction

T(p)=R(p).G(p) :Avec correction

Ordre du système (n)

2

2

Classe du système (α)

0

1

Le gain statique en BF (kF)

0.5

1

Le gain statique en BO (kO)

1

inf

La marge de gain MG (en dB)

inf

inf

La marge de phase Mφ (en degrés)

180

65.5

Le pic de résonnance MP(en dB)

6

0.3

L’erreur statique de position (en % )

50

0

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