Corriges 22 [PDF]

Zitiervorschau

physique

année scolaire 2015/2016

Physique du laser Notes de cours mardi 8 mars 2016 L'oscillateur à pont de Wien

expérience de cours

Le système peut osciller pourvu que le gain de l'amplicateur soit G = 3. L'oscillateur démarre dès que le gain dépasse les pertes. La saturation du gain (phénomène non linéaire) assure un fonctionnement stable de l'oscillateur. à installer mardi 8 mars 2016 en salle L111.

Figure 1  L'oscillateur à pont de Wien I-

Les interactions entre la lumière et la matière

1. Position du problème Système à deux niveaux

s'y retrouver

On s'intéressera à un système à deux niveaux d'énergie (E1 et E2 > E1 ), non dégénérés (c'est-à-dire que le système est dans un seul état possible pour chacun de ces deux niveaux). On notera N1 la population du niveau d'énergie E1 et N2 la population de celui d'énergie E2 . La population totale N = N1 + N2 est constante.

spé PC

page n◦ 1

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Facteur de Boltzmann

s'y retrouver

À l'équilibre thermique à la température T (en kelvin), le rapport des populations des deux niveaux est donné par le facteur de Boltzmann : ~ ω0 h ν0 E2 −E1 N1 = e kB T = e kB T = e kB T N2

avec donc E2 − E1 = ~ ω0 = h ν0 et la constante de Boltzmann kB = 1, 38 × 10−23 J · K−1 et ~ = 1, 05 × 10−34 J · s est la constante de Planck réduite.

Loi de Planck

=

s'y retrouver

L'énergie est le produit de trois termes : • l'énergie d'un photon h ν = ~ ω (en J) ; • la densité d'états à la pulsation ω :

h 2π

(en m−3 · s) ; • le nombre moyen de photons dans un état de pulsation ω : ω2 π 2 c3

1 ~ω

e kB T −1

(sans unités).

La densité spectrale du rayonnement (des photons) est donnée par la loi de Planck du corps noir dans le cas de l'équilibre thermique : uem (ω) =

~ ω3 π 2 c3

~ω

e kB T − 1

R∞

la densité d'énergie étant eem = ω=0 uem (ω) dω . On pourra aussi utiliser la relation uem (ω) = ϕ (ω) eem R∞ où ϕ (ω) est le spectre du rayonnement : ω=0 ϕ (ω) dω = 1.

2. Le processus d'émission spontanée Diagramme énergétique de l'émission spontanée

animation

La gure 2 représente le processus d'émission spontanée.

système dans un état excité

E2

E1

Figure 2  Diagramme énergétique de l'émission spontanée

spé PC

page n◦ 2

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Émission spontanée

dénition

Lors de l'émission spontanée, le système passe du niveau d'énergie supérieure (E2 ), au niveau d'énergie inférieure (E1 ) en émettant un photon d'énergie h ν0 = ~ ω0 = E2 − E1 . La probabilité de l'émission spontanée est proportionnelle à la population du niveau d'énergie E2 : 

dN1 dt



 =− spo

dN2 dt

 = A21 N2 spo

avec A21 , le coecient d'Einstein relatif à l'émission spontanée.

Processus d'émission spontanée et cinétique d'ordre 1

s'y retrouver

On retrouve le même type de cinétique dite d'ordre 1 en radioactivité ou encore en chimie.

1 Élargissement du spectre d'émission spontanée

exercice

B Montrer que le coecient d'Einstein relatif à l'émission spontanée fait apparaître un temps caractéristique τ . B Éstimer alors l'élargissement δν du spectre d'émission spontanée. B Citer d'autres causes d'élargissement du spectre. B τ = A121 . B δντ ≈ 1, d'où δν ≈ A21 . B Élargissement du spectre par eet doppler (pour les gaz), par choc (dit lorentzien pour la matière conden-

sée)...

3. Le processus d'absorption Diagramme de l'absorption de photon

animation

La gure 3 représente le processus d'absorption de photon.

E2

système dans un état de basse énergie

E1

Figure 3  Diagramme de l'absorption de photon

spé PC

page n◦ 3

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Absorption de photon

dénition

Lors de l'absorption d'un photon, le système passe du niveau d'énergie inférieure (E1 ) au niveau d'énergie supérieure (E2 ) en absorbant un photon d'énergie proche de h ν0 = ~ ω0 = E2 − E1 . La probabilité de l'absorption d'un photon est proportionnelle à la population du niveau d'énergie E1 , mais aussi à la densité spectrale uem (ω0 ) en ω0 : 

dN2 dt



 =− abs

dN1 dt

 = B12 uem (ω0 ) N1 = B12 ϕ (ω0 ) eem N1 abs

avec B12 , le coecient d'Einstein relatif à l'absorption.

4. Le processus d'émission stimulée (ou émission induite) Diagramme de l'émission stimulée

animation

La gure 4 représente le processus d'émission stimulée, c'est-à-dire induite par un photon.

système dans un état excité

E2

E1

Figure 4  Diagramme de l'émission stimulée

Émission stimulée

dénition

Lors de l'émission stimulée, le système passe du niveau d'énergie supérieure (E2 ), au niveau d'énergie inférieure (E1 ) en émettant un photon d'énergie h ν = ~ ω , comme dans le cas de l'émission spontanée. Cependant, cette émission est stimulée par l'arrivée d'un photon d'énergie proche de h ν0 = ~ ω0 = E2 − E1 . Aussi, au terme de l'émission stimulée existent deux photons dit "jumeaux" car ayant les mêmes caractéristiques. La probabilité de l'émission stimulée est proportionnelle à la population du niveau d'énergie E2 , mais aussi à la densité spectrale des photons uem (ω0 ) en ω0 : 

dN1 dt



 =− sti

dN2 dt

 = B21 uem (ω0 ) N2 = B21 ϕ (ω0 ) eem N2 sti

avec B21 , le coecient d'Einstein relatif à l'émission stimulée.

spé PC

page n◦ 4

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

5. Bilans de population 2 Relations entre coecients d'Einstein

exercice

B Écrire les lois d'évolutions des deux populations N1 et N2 . B Réécrire ces relations dans le cas stationnaire et à l'équilibre thermique. B En déduire les relations entre les coecients d'Einstein grâce à la loi de Planck du corps noir. B On trouve



dN1 dt



 =−

dN2 dt

 = uem (ω0 ) (B21 N2 − B12 N1 ) + A21 N2

B Dans le cas stationnaire uem (ω0 ) (B21 N2 − B12 N1 ) + A21 N2 = 0

et à l'équilibre thermique

E2 −E1 ~ ω0 h ν0 N1 = e kB T = e kB T = e kB T N2

B D'où  E2 −E1  uem (ω0 ) B21 − B12 e kB T + A21 = 0 ⇒ uem (ω0 ) =

A21 B21 B12 B21 e

E2 −E1 kB T

−1

On en déduit les relations entre les coecients d'Einstein : B12 = B21 = B =

π 2 c3 A21 ~ ω03

3 Comparaison des la probabilités de l'émission spontanée et de l'émission stimulée exercice

B Déterminer une condition sur ω0 et T pour que la probabilité de l'émission spontanée soit plus grande que celle de l'émission stimulée. B Est-ce le cas pour le Soleil ? B À température ambiante, pour quel domaine de longueur d'onde la probabilité de l'émission spontanée est-elle plus grande que celle de l'émission stimulée ? B Pour que la probabilité de l'émission spontanée soit plus grande que celle de l'émission stimulée, il faut

que :

A21 N2 > B21 uem (ω0 ) N2 ⇔ A21 >

~ ω0 π 2 c3 A21 uem (ω0 ) ⇔ e kB T − 1 > 1 3 ~ ω0

soit encore ~ ω0 > kB T . B Pour le Soleil, ω0 ≈ 1016 rad · s−1 et T ≈ 5000 K, ce qui donne

qui domine. B Cherchons λ tel que ~

~ ω0 kB T

≈

10−18 10−20

> 1 : c'est l'émission spontanée

hc 6, 6 × 10−34 × 3 × 108 2π c > kB T ⇔ λ < = = 13 × 10−5 m λ kB T 1, 3 × 10−23 × 300

soit dans l'infra rouge : dans le visible, c'est l'émission spontanée qui domine. II-

Les principes du LASER

1. L'amplication LASER Causes d'amplication et d'absorption de la lumière

schéma

La gure 5 représente les particules matérielles du milieu qui, lors de l'incidence d'un photon (en bleu), émettent de la lumière par émission stimulée (en vert), absorbent ou diusent la lumière par émission spontanée (en rouge).

spé PC

page n◦ 5

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

•

•

Figure 5  Causes d'amplication et d'absorption de la lumière

4 Bilan de puissance dans un milieu amplicateur

exercice

On note I (z, t) l'intensité lumineuse (norme du vecteur de Poynting) d'une onde plane qui se propage à la vitesse c suivant ~uz , avec une densité d'énergie eem (z, t). B Exprimer eem (z, t) en fonction de I (z, t). B Faire un bilan d'énergie électromagnétique pour un système de section S compris entre les abscisses z et z + dz . B Relier les pertes et les gains énergétiques de l'onde par unité de volume aux coecients d'Einstein, au spectre du rayonnement (ϕ (ω)), à l'intensité lumineuse I (z, t) et aux populations par unité de volume n1 et n2 des deux niveaux d'énergie E1 et E2 . B Montrer que le bilan peut se réécrire 1 ∂I ∂I + = γ (ω) I − P ∂z c ∂t

On exprimera le gain par unité de longueur γ (ω). B I (z, t) = c eem (z, t) ⇒ eem (z, t) = I(z,t) c . B Dans le système de section S compris entre les abscisses z et z + dz , • à l'instant t, l'énergie électromagnétique est Eem (t) = eem (z, t) S dz , • à l'instant t + dt, l'énergie électromagnétique est Eem (t + dt) = eem (z, t + dt) S dz

Soit

dEem ∂eem (z, t) = S dz dt ∂t

Le bilan peut s'écrire ∂I (z, t) dEem = +I (z, t) S − I (z + dz, t) S + C S dz − A S dz = − dz S + C S dz − A S dz dt ∂z

où C et A sont les création et annihilation par unité de volume. On peut donc écrire : 1 ∂I (z, t) ∂I (z, t) =− +C −A c ∂t ∂z B Les pertes (annihilation) sont dues à l'absorption et à l'émission spontanée (entre autres !) : A = A21 N2 + B12 uem (ω0 ) n1 = A21 N2 + B12 ϕ (ω0 ) eem n1 = A21 N2 + B12 ϕ (ω0 )

I (z, t) n1 c

Les gains (création) sont dûs à l'émission stimulée : C = B21 uem (ω0 ) n2 = B21 ϕ (ω0 ) eem n2 = B21 ϕ (ω0 ) B Le bilan peut se réécrire

I (z, t) n2 c

∂I 1 ∂I + = γ (ω0 ) I − P ∂z c ∂t

avec le gain par unité de longueur γ (ω0 ) =

B ϕ(ω0 ) c

(n2 − n1 ).

Surface de contrôle pour un bilan d'énergie de l'onde électromagnétique schéma La gure 6 représente le système entre z et z + dz pour le bilan d'énergie de l'onde électromagnétique. spé PC

page n◦ 6

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

S

z

z + dz

Figure 6  Surface de contrôle pour un bilan d'énergie de l'onde électromagnétique

2. Le pompage optique et l'inversion de population 5 Évolution de l'intensité lumineuse au cours de la propagation dans un milieu exercice

On admet que l'intensité lumineuse I (z, t) (norme du vecteur de Poynting), d'une onde plane qui se propage à la vitesse c suivant ~uz dans un milieu matériel à deux niveaux d'énergie E1 et E2 de populations par unité de volume n1 et n2 , suit la loi : 1 ∂I ∂I + = γ (ω0 ) I − P ∂z c ∂t

avec le gain par unité de longueur γ (ω0 ) = k (n2 − n1 ), où k > 0. B Intégrer cette équation diérentielle en absence de perte (P = 0) et en régime permanent. E2 −E1 N1 = e kB T ), on B Montrer que, du fait de l'équilibre thermique imposé par le facteur de Boltzmann ( N 2 trouve la loi de Beer-Lambert. B Que faut-il si on veut qu'il y ait amplication plutôt qu'absorption de l'onde ? B L'équation diérentielle en absence de perte (P = 0) et en régime permanent devient dI dI = γ (ω0 ) I = k (n2 − n1 ) I ⇒ = k (n2 − n1 ) dz dz I

qui s'intègre en

I(z) = I0 ek(n2 −n1 ) z

B On retrouve la loi de Beer Lambert à l'équilibre thermique (n1 > n2 ) : I(z) = I0 e−α z B Mais s'il existe un moyen de maintenir n2 > n1 , on a I(z) croissant : il y a amplication de l'onde incidente.

Nécessité de l'inversion de population pour l'amplication

à retenir

Dans le cas de l'inversion de population, le niveau de plus haute énergie est plus peuplé que le niveau de basse énergie (n2 > n1 ). Il y a alors amplication de l'onde incidente qui augmente de façon exponentielle : c'est l'eet LASER. Le milieu sera alors dit actif ou amplicateur (plutôt qu'absorbant), car l'émission stimulée devient prédominante.

Pompage

s'y retrouver

Le pompage permet de réaliser l'inversion de population en peuplant le niveau d'énergie E2 plus que le niveau d'énergie E1 qui doit pour cela se dépeupler très rapidement vers un état d'énergie plus basse. Ce pompage peut être réalisé de diérentes façons : • grâce à de l'énergie apportée de façon lumineuse (par des ashs par exemple). Ce "pompage optique" a valu le prix Nobel à Alfred Kastler en 1966. • grâce à de l'énergie apportée de façon électrique (par des décharges par exemple). Ce pompage est par exemple utilisé dans le laser hélium-néon. • grâce à toute autre méthode (passage du courant électrique dans les diodes lasers par exemple).

spé PC

page n◦ 7

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Le pompage optique dans le cas du laser hélium -néon

schéma

La gure 7 représente les niveaux d'énergie (simpliés) de l'hélium et du néon pour la transition à 633 nm. 21 S

transferts par collisions

pompage par décharges électriques

E2 (3s)

E1 (3p)

désexcitation rapide néon

hélium

Figure 7  Le pompage optique dans le cas du laser hélium -néon

3. La cavité LASER et le bouclage Intérêt de la cavité LASER

s'y retrouver

Comme dans le domaine optique le phénomène d'émission spontanée est important, il va falloir que l'onde électromagnétique traverse le milieu amplicateur à de nombreuses reprises pour être ampliée.

Schéma de l'oscillateur LASER

schéma

La gure 8 représente le schéma de principe d'un oscillateur optique. cavité

milieu amplicateur pompage

miroir parfait

miroir quasi parfait

photons émis

Figure 8  Schéma de l'oscillateur LASER

6 Modes possibles de la cavité LASER

théorème

La cavité LASER de longueur ` impose par les conditions aux limites une résonance pour les ondes de longueur d'onde λ et de fréquences ν telles que `=n

λ c où n ∈ N ⇔ ν = n où n ∈ N 2 2`

⇒

Les modes propres de la cavité LASER de longueur ` ont pour fréquences νn = n

Deux modes sont donc éloignés de ∆ν =

c 2`

c où n ∈ N 2`

(c'est l'intervalle spectral libre de la cavité).

Les modes oscillants du LASER

schéma

La gure 9 représente les modes d'un laser. Seuls les modes pour lesquels le gain est supérieur au pertes peuvent commencer à osciller (en régime permanent, les gains égalent alors les pertes pour ces modes). spé PC

page n◦ 8

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016 gains

νn−1

νn

pertes

νn+1

ν

gains > pertes

Figure 9  Les modes oscillants du LASER

Schéma de l'oscillateur de Wien en électronique

schéma

La gure 10 représente le schéma de principe d'un oscillateur électronique, comme celui de Wien. G(ω)

amplicateur

H(ω)

ltre résonnant

Figure 10  Schéma de l'oscillateur de Wien en électronique

Analogie avec l'oscillateur de Wien en électronique

tableau

Le tableau 1 présente l'analogie entre les systèmes optique (LASER) et électronique (oscillateur de Wien par exemple). L'objectif d'un oscillateur autonome est de fabriquer un signal sinusoïdal stable de fréquence xée et d'amplitude assez importante à partir d'un signal non sinusoïdal d'amplitude très faible (bruit). oscillateur amplicateur ltre bouclage apport d'énergie

oscillateur électronique amplicateur non inverseur à AO ltre passe bande (de Wien par exemple) bouclage par rétroaction alimentation de l'AO

LASER milieu amplicateur (émission stimulée) ltre Fabry Pérot (cavité) réexion sur les miroirs pompage

Table 1  analogie entre les oscillateurs optique et électronique

spé PC

page n◦ 9

Janson de Sailly

physique III-

année scolaire 2015/2016 L'optique LASER

1. Le faisceau du LASER Amplitude de la vibration lumineuse

s'y retrouver

On admet que, sous certaines conditions, l'amplitude scalaire de la vibration lumineuse émise par un laser est du type (dit "gaussien fondamental") : A˜ (r, z, t) = A˜0 f (r, z) e−i (ω t−ϕ(z))

en coordonnées cylindriques (r, θ, z). Il ne s'agit pas d'une onde plane progressive monochromatique mais d'une onde qui se propage principalement suivant les z croissants, et qui est limitée dans l'espace, suivant la distance r à l'axe Oz . L'amplitude est f (r, z) =

r2 w0 − w(z) 2 e w(z)

Waist et longueur de Rayleigh du faisceau gaussien

dénition

Le faisceau gaussien d'un laser est caractérisé par : • sa taille minimale (ou "waist") notée w0 , • sa longueur de Rayleigh notée zR . La taille du faisceau à l'abscisse z est

s w(z) = w0

 1+

z zR

2

Faisceau gaussien d'un laser

schéma

La gure 11 représente l'évolution de l'extension du faisceau d'un laser au cours de sa propagation.

extension du faisceau laser

w0

zR

θ z

faisceau conique onde sphérique

faisceau cylindrique onde plane

faisceau conique onde sphérique

Figure 11  Faisceau gaussien d'un laser

spé PC

page n◦ 10

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

7 Comportements du faisceau à courte et longue distance La limite de diraction due à l'ouverture w0 donne θ = D'autre part, si z  zR , w(z) ≈ w0

théorème

λ π w0 .

z w(z) w0 ⇒θ= = zR z zR

A courte distance, au contraire, w(z) ≈ w0 . ⇒ On retiendra que : • pour |z| < zR , l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w0 , • pour |z|  zR , l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O), et le faisceau conique d'ouver0 ture angulaire θ = π λw0 = w zR .

8 Évolution de l'éclairement dans un plan transverse à la propagation exercice B En admettant que l'amplitude scalaire de la vibration lumineuse émise par un laser est : r2 w0 − w(z) 2 A˜ (r, z, t) = A˜0 e e−i (ω t−ϕ(z)) w(z)

déterminer l'évolution de l'éclairement I (r, z) dans un plan transverse z à la propagation. B Comme I = k |A˜ (r, z, t) |2 , on trouve  I (r, z, t) = I0

r2 w0 − w(z) 2 e w(z)

2

 = I0

w0 w(z)

2 e

r2 −2 w(z) 2

= I0 1+

w0 1  2 e

−2 r 2 2 !  z 1+ zR

z zR

2. Transformation du faisceau d'un LASER par une lentille convergente Focalisation du faisceau gaussien d'un laser

schéma

La gure 12 représente l'évolution de l'extension du faisceau d'un laser focalisé grâce à une lentille convergente.

0 zR

w0 θ0

w00

F'

Figure 12  Focalisation du faisceau gaussien d'un laser

spé PC

page n◦ 11

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

9 Extension de la tache de focalisation d'un laser

théorème

Un faisceau laser de caractéristiques w0 et zR incident sur une lentille convergente de focale f 0 est 0 transformé en faisceau laser de caractéristiques w00 et zR . 0 λ f0 w0 w0 λ 0 0 0 0 Le schéma montre que θ = f 0 . Or d'autre part, θ = π λw0 = w 0 . Aussi, f 0 = π w 0 , soit w0 = π w . zR 0 0 0 Comme l'ouverture de la lentille est w0 < f 0 , on trouve w00 > λ. ⇒ La tache de focalisation d'un laser est au moins de l'ordre de la longueur d'onde : w00 > λ.

Évolution des capacités de stockage des disques optiques

tableau

Le tableau 2 présente l'évolution des longueurs d'ondes et des capacités de stockage des disques optiques. disque optique CD DVD blu-Ray

année 1982 1997 2006

λ 780 nm 650 nm 405 nm

couleur IR rouge bleu

capacité 0, 8 Go 8 Go 100 Go

Table 2  évolution des disques optiques

Conjugaison et faisceau gaussien d'un laser

schéma

La gure 13 représente l'évolution de l'extension du faisceau d'un laser pour lequel une lentille convergente opère une conjugaison des deux "waists".

w0

zR

θ0

θ

0 −zR

w00

A

A'

Figure 13  Conjugaison et faisceau gaussien d'un laser

10 Réduction de la divergence du faisceau d'un LASER grâce à un un élargisseur de faisceau. exercice

On s'intéresse à un faisceau laser de longueur d'onde λ, de waist w0 . B Déterminer son angle de divergence θ à longue distance. Le faisceau encore cylindrique est incident sur une lentille convergente L1 de focale f10 . B Déterminer alors l'angle θ0 du faisceau après la lentille L1 . Le faisceau divergent du laser susamment loin de L1 est incident sur une lentille convergente L2 de focale f20 . B Déterminer le waist w0 ” du faisceau émergent de L2 . f0 B Montrer qu'un choix astucieux de f20 permet de conférer au faisceau laser émergent de L2 un angle 1 de divergence à longue distance θ”  θ. B L'angle de divergence à longue distance est θ = B Après la lentille L1 , θ0 = wf 00 .

λ π w0 .

1

B Le faisceau est incident sur la lentille L2 avec l'angle θ0 =

w0 w0 ” 0 f10 qui est aussi θ = f20 . λ π w0 ” . Or les précédentes relations

B L' angle de divergence à longue distance après L2 est θ” = w0 w0 ” 0 f10 = θ = f20 . Aussi, λ f0 λ θ” = = 10  θ ⇔ f10  f20 π w0 ” f2 π w0

spé PC

page n◦ 12

ont montré que

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Élargisseur de faisceau d'un laser

schéma

La gure 14 représente un télescope formé de deux lentilles convergentes permet d'élargir le faisceau d'un laser. L2

L1 w0

w0 ” θ0

F2 w00 F10

Figure 14  Élargisseur de faisceau d'un laser

spé PC

page n◦ 13

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Technique à maîtriser jeudi 10 mars 2016 I-

Les capacités exigibles

1. Le LASER et l'émission stimulée ce qu'il faut savoir faire

capacités

Distinguer les propriétés d'un photon émis par émission spontanée ou stimulée. Associer l'émission spontanée à la durée de vie d'un niveau excité. Utiliser les coecients d'Einstein dans le seul cas d'un système à deux niveaux non dégénérés. Justier la nécessité d'une inversion de population. Exprimer la condition d'oscillation. Associer la puissance émise à la limitation du gain par une non-linéarité.

2. Le faisceau du LASER ce qu'il faut savoir faire

capacités

Relier l'ouverture angulaire λ/a et le rayon minimal a. Utiliser l'expression fournie du prol radial d'intensité en fonction de la distance axiale. Construire l'allure d'un faisceau de prol gaussien à partir de l'enveloppe d'un faisceau cylindrique de rayon a et d'un faisceau conique centré sur l'orice de sortie du laser, et de demi-ouverture angulaire λ/a. Exploiter la convergence angulaire du faisceau issue de l'optique géométrique, la loi du retour inverse, et le lien entre l'ouverture angulaire λ/a et le rayon minimal a pour obtenir la dimension et la position de la section minimale. Montrer que le rayon minimal est de l'ordre de λ. Utiliser un élargisseur de faisceau pour réduire l'ouverture angulaire.

II-

Méthodes

1. Le LASER et l'émission stimulée A) Faire un bilan énergétique pour les photons

méthode

Pour un petit élément de volume de section S et de longueur dz , pendant dt, l'énergie électromagnétique varie de dEem = +Ie S − Is S + C S dz − A S dz dt où Ie est l'intensité entrant et Is l'intensité sortant. La création (C ) par unité de volume est due à l'émission stimulée. Les pertes (annihilation A) sont dues à l'absorption et à l'émission spontanée (entre

autres !) :

B) Déterminer les modes de la cavité

méthode

Il sut d'écrire les conditions aux limites sur les miroirs de la cavité de longueur ` pour trouver qu'il y a résonance pour les ondes de longueur d'onde λ et de fréquences ν telles que `=n

spé PC

λ c où n ∈ N ⇔ ν = n où n ∈ N 2 2`

page n◦ 14

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

2. Le faisceau du LASER C) Trouver les caractéristiques du faisceau d'un LASER

méthode

• pour |z| < zR , l'onde laser est quasi plane limitée, et le faisceau cylindrique de largeur w0 ,

• pour |z|  zR , l'onde laser est quasi sphérique limitée (de centre O), et le faisceau conique d'ouverture 0 angulaire θ = π λw0 = w zR .

D) Déterminer l'eet d'une lentille convergente sur le faisceau d'un LASER méthode

Il sut de positionner le centre de l'onde conique du LASER au point de convergence prévu par l'optique géométrique. Cela donne une première relation sur l'angle de divergence du faisceau conique. Il y a d'autre part continuité de l'ouverture du faisceau de part et d'autre de la lentille. Cela donne l'autre relation qui permet de déterminer la totalité des caractéristiques du faisceau LASER.

III-

Exercices

1. Le LASER et l'émission stimulée 1.1) Étude d'un LASER à 3 niveaux

N3

Γ3 WP

N2 A21

B21

B12 N1

1)

Les équations d'évolution de chacun des niveaux sont les suivantes :   

2)

Le schéma des niveaux et des transitions d'un laser à 3 niveaux est donné ci-contre. On note u (ω) la densité énergétique donnée par la loi de Planck. 1) Écrire les équations d'évolution de chacun des niveaux. On pose N = N3 + N1 + N2 = cste et N2 = N1 + ∆N . 2) Exprimer ∆N en fonction de N3 en régime stationnaire. 3) En déduire une condition pour l'inversion de population.

dN3 dt = +Wp N1 − Γ3 N3 dN1 = −W N + A21 N2 + B21 u (ω) N2 − B12 u (ω) N1 p 1 dt dN2 = Γ N − A 3 3 21 N2 − B21 u (ω) N2 + B12 u (ω) N1 dt

En régime stationnaire :  

Wp N1 = Γ3 N3 Wp N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2  Γ3 N3 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2

La seconde équation se réécrit : Wp N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N1 + B21 u (ω) N1 + A21 ∆N + B21 u (ω) ∆N ⇒ (A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Wp + B12 u (ω) − A21 − B21 u (ω)) N1 = (Wp − A21 ) N1

car B12 = B21 . D'autre part, la première relation donne : Wp N1 = Γ3 N3 ⇒ (A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Wp − A21 ) N1 =

spé PC

page n◦ 15

  A21 Γ3 N3 1− Wp

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Aussi, on a :

 ∆N =

3)

A21 1− Wp

 Γ3

N3 (A21 + B21 u (ω))

Une condition pour l'inversion de population est donc  ∆N > 0 ⇒

A21 1− Wp

 >0

soit Wp > A21

(la pompe doit être plus rapide que l'émission spontanée). 1.2) Étude d'un autre LASER à 3 niveaux

Le schéma des niveaux et des transitions d'un laser à 3 niveaux est donné ci-contre. On note u (ω) la densité énergétique donnée par la loi de Planck. 1) Écrire les équations d'évolution de chacun des niveaux. On pose N = N0 + N1 + N2 = cste et N2 = N1 + ∆N . 2) Exprimer ∆N en fonction de N0 en régime stationnaire. 3) En déduire une condition pour l'inversion de population.

N2 A21

B21

B12

WP

N1 Γ1 N0

1)

Les équations d'évolution de chacun des niveaux sont les suivantes :   

2)

dN1 dt dN2 dt

dN0 dt

= −Wp N0 + Γ1 N1 = −Γ1 N1 + A21 N2 + B21 u (ω) N2 − B12 u (ω) N1 = +Wp N0 − A21 N2 − B21 u (ω) N2 + B12 u (ω) N1

En régime stationnaire :  

Wp N0 = Γ1 N1 Γ1 N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2  Wp N0 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2

La seconde équation se réécrit : Γ1 N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N1 + B21 u (ω) N1 + A21 ∆N + B21 u (ω) ∆N ⇒ (A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Γ1 + B12 u (ω) − A21 − B21 u (ω)) N1 = (Γ1 − A21 ) N1

car B12 = B21 . D'autre part, la première relation donne :  Wp N0 = Γ1 N1 ⇒ (A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Γ1 − A21 ) N1 =

Aussi, on a : ∆N = 3)

A21 1− Γ1

 W p N0

  A21 N0 1− Wp Γ1 (A21 + B21 u (ω))

Une condition pour l'inversion de population est donc  ∆N > 0 ⇒

1−

A21 Γ1

 >0

soit Γ1 > A21

(la vidange du niveau 1 vers le niveau 0 doit se faire très rapidement, plus que celle du niveau 2 vers le niveau 1 : le niveau 2 est "métastable"). spé PC

page n◦ 16

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

1.3) Étude d'un LASER à 4 niveaux

N3

Le schéma des niveaux et des transitions d'un laser à 4 niveaux est donné ci-contre. On note u (ω) la densité énergétique donnée par la loi de Planck. 1) Écrire les équations d'évolution de chacun des niveaux. On pose N = N0 +N1 +N2 +N3 = cste et N2 = N1 + ∆N . 2) Exprimer ∆N en fonction de N0 en régime stationnaire. 3) En déduire une condition pour l'inversion de population.

Γ3 N2 WP

A21

B21

B12 N1

Γ1 N0

1)

Les équations d'évolution de chacun des niveaux sont les suivantes :       

2)

dN1 dt dN2 dt

dN0 dt

= −Wp N0 + Γ1 N1 = −Γ1 N1 + A21 N2 + B21 u (ω) N2 − B12 u (ω) N1 = +Γ3 N3 − A21 N2 − B21 u (ω) N2 + B12 u (ω) N1 dN3 dt = +Wp N0 − Γ3 N3

En régime stationnaire :    

Wp N0 = Γ1 N1 Γ1 N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2 Γ3 N3 + B12 u (ω) N1 = A21 N2 + B21 u (ω) N2    Wp N0 = Γ3 N3

La seconde équation se réécrit : Γ1 N1 + B12 u (ω) N1 = A21 N1 + B21 u (ω) N1 + A21 ∆N + B21 u (ω) ∆N ⇒ (A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Γ1 + B12 u (ω) − A21 − B21 u (ω)) N1 = (Γ1 − A21 ) N1

car B12 = B21 . D'autre part, la première relation donne :  Wp N0 = Γ1 N1 ⇒ (A21 + B21 u (ω)) ∆N = (Γ1 − A21 ) N1 =

Aussi, on a : ∆N = 3)

A21 1− Γ1

 W p N0

  N0 A21 Wp 1− Γ1 (A21 + B21 u (ω))

Une condition pour l'inversion de population est donc  ∆N > 0 ⇒

1−

A21 Γ1

 >0

soit Γ1 > A21

(la vidange du niveau 1 vers le niveau 0 doit se faire très rapidement, plus que celle du niveau 2 vers le niveau 1 : le niveau 2 est "métastable").

1.4) Écart en fréquence entre deux modes

spé PC

page n◦ 17

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

1) Donner l'écart en fréquence entre deux modes longitudinaux dans une cavité linéaire dont la longueur optique est L = 300mm.

L'écart entre deux modes longitudinaux consécutifs est c/2L avec c = 3 × 108 m s−1 . Ici, cet écart vaut 500 MHz. 1.5) Laser à impulsion synchronisé en phase

Un laser dont les modes sont synchronisés en phase est un laser à impulsion, chaque impulsion faisant un aller et retour dans la cavité LASER. 1) Quelle est la fréquence de répétition des impulsions d'un laser dont les modes sont synchronisés en phase et dont la cavité est de longueur optique égale à L = 1 m ? 1) L'écart temporel entre deux impulsions issues d'un laser linéaire à modes synchronisés en phase est de 2L/c. La fréquence est donc c/2L = 150 MHz.

1.6) Répartition des populations entre deux niveaux à l'équilibre thermique

On rappelle qu'à l'équilibre thermique à la température T (en kelvin), le rapport des populations des deux niveaux est donné par le facteur de Boltzmann : ~ ω0 h ν0 E2 −E1 N1 = e kB T = e kB T = e kB T N2

avec la constante de Boltzmann kB = 1, 38 × 10−23 J · K−1 . On considère un niveau énergétique situé à une énergie égale à 200 cm−1 du niveau fondamental. Il n'y a pas d'autre niveau à proximité. 1) Donner la fraction de population qui se trouve dans ce niveau par rapport à la population du niveau fondamental, pour une température de 300 K. 1)

On applique la formule : E2 −E1 h ν0 hc hcσ N1 = e kB T = e kB T = e λ kB T = e kB T N2

d'où

−34 ×3×108 ×200×102 N2 − 6,62×10 − hcσ 1,38×10−23 ×300 = e kB T = e = e−0,96 = 0, 38 N1

38% de la population du niveau fondamental se trouve dans le niveau considéré.

1.7) Écart en longueur d'onde entre deux modes

On dispose d'un laser Hélium-Néon, de longueur optique de cavité égale à 20 cm et émettant à 632,8 nm. 1) Quel est l'écart en fréquence entre deux modes longitudinaux consécutifs ? 2) En déduire l'écart en longueur d'onde. 1) 2)

L'écart en fréquence entre deux modes est de ∆ν = ∆ν Comme ∆λ λ = ν , on trouve ∆λ =

c 2L

= 750 MHz.

∆ν λ ∆ν λ2 λ2 = = = 1 pm ν c 2L

1.8) Nombre de modes d'un LASER HeNe

spé PC

page n◦ 18

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Le milieu amplicateur d'un laser hélium néon émet un rayonnement à 633 nm. Ce milieu possède une bande spectrale d'amplication de δν = 1, 275 GHz (on suppose que le prol spectral est rectangulaire pour simplier). La cavité linéaire du laser a une longueur de 30 cm. 1) Estimer le nombre de modes du laser. 1)

Deux modes sont éloignés de ∆ν =

c 3 × 108 = = 0, 5 GHz 2L 2 × 0, 30

Le nombre de modes est égal à la bande spectrale divisée par l'intervalle entre deux modes longitudinaux : . N=

δν 1, 275 = = 2, 55 ∆ν 0, 5

δν = 1, 275 GHz

δν = 1, 275 GHz

gains

gains

pertes

∆ν = 0, 5 GHz

νn−1

νn

νn+1

ν

gains > pertes Remarque : le nombre de modes pouvant osciller sera généralement de 2 mais il est possible que 3 modes oscillent si un mode est parfaitement au centre de la transition. CO2 Le milieu amplicateur d'un laser au CO2 émet un rayonnement à 10, 6 µm. Ce milieu possède une bande spectrale d'amplication de δν = 0, 5 GHz (on suppose que le prol spectral est rectangulaire pour simplier). La cavité linéaire du laser a une longueur ` = 1, 0 m. 1.9) Démarrage d'un LASER au

Montrer que le laser a peu de chance d'osciller. On positionne un des miroirs de la cavité du laser sur une cale piezo électrique qui permet de faire varier ` de δ`. 2) Estimer le déplacement maximal δ` pour être sûr qu'un mode tombe dans la bande d'amplication. 1)

1)

Deux modes sont éloignés de ∆ν =

c 3 × 108 = = 1, 5 GHz 2` 2×1

Le nombre de modes est égal à la bande spectrale divisée par l'intervalle entre deux modes longitudinaux : . δν 0, 5 = = 0, 33 ∆ν 1, 5

N=

Si on ne fait rien, le laser a peu de chance d'osciller. 2) Dans le pire des cas, la bande spectrale d'amplication du CO2 est située exactement au milieu de deux modes. Dans ce cas, l'écart de fréquence qui sépare l'extrémité de la bande spectrale du mode le plus proche est :

∆ν δν − 2 2 Or la fréquence d'un mode peut s'exprimer sous la forme νn = n 2c` où n ∈ N (en général très grand). Si on bouge la cavité de δ`, la fréquence bouge de dν avec : dν =

dν δ` = ν `

On veut donc  δ` =

spé PC

∆ν δν − 2 2



` = ν



∆ν δν − 2 2



`λ = c



1, 5 × 109 0, 5 × 109 − 2 2

page n◦ 19



1 × 10, 6 × 10−6 = 17, 6 µm 3 × 108

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

1.10) Puissance maximale d'un laser Yb :YAG

Un cristal d'ytterbium (Yb :YAG) est inséré dans une cavité laser. Il subit un pompage optique à 940 nm de puissance 1 W. La longueur d'onde d'émission de l'ytterbium est de 1030 nm. 1) Quelle est la puissance lumineuse maximale de ce laser ? 1) En supposant que tous les photons de pompe sont absorbés par le cristal, et utilisés pour l'eet laser, le nombre de photons émis par unité de temps Ne est égal au nombre de photons absorbés par unité de temps par pompage optique Na :

Ne = Na =

Pa Pa Pe λa 940 = λa = λ e ⇒ Pe = Pa = × 1 = 0, 91 W hν hc hc λe 1030

2. Le faisceau du LASER 2.11) Divergences du faisceau d'une diode LASER GaAs

La cavité optique d'une diode laser GaAs a à peu près les dimensions suivantes : • suivant Oz : 1 rmmm ; • suivant Ox : 1 rmµm ; • suivant Oy : 100 rmµm. Elle émet un rayonnement dans l'infra-rouge à 870 nm. 1) Estimer la divergence de son faisceau, assimilé à un faisceau gaussien 1.a) suivant la direction Ox 1.b) et suivant la direction Oy . 1)

La divergence du faisceau est due à la diraction : θ = π λw0 , soit : 780×10−9 −3 1.a) suivant la direction Ox : θx = rad = 14◦ , π×1×10−6 = 248 × 10 −9 780×10 −5 1.b) et suivant la direction Oy : θy = rad = 0, 14◦ . π×100×10−6 = 248 × 10

2.12) Caractéristiques des faisceaux d'un LASER Nd :YAG

On s'intéresse au laser Nd :Yag, de longueur d'onde λ = 1064 nm. 1) Déterminer la divergence θ à longue distance et la longueur de Rayleigh zR d'un tel laser 1.a) lorsque son faisceau est focalisé assez ecacement , avec un waist w0 = 10 µm, 1.b) lorsque son faisceau est assez collimaté , avec un waist w0 = 1 mm. 1)

0 Comme θ = π λw0 = w zR ◦ 1.a) lorsque w0 = 10 µm, θ = 1, 8 et zR = 314 µm, ◦ 1.b) lorsque w0 = 1 mm, θ = 0, 018 et zR = 3, 14 m.

2.13) Focalisation d'un LASER

On cherche à focaliser un faisceau laser collimaté, issu d'un laser He-Ne (longueur d'onde 633 nm), de taille

1 mm, situé à une position z = 0 de telle façon que la longueur de Rayleigh du faisceau focalisé soit égale à 30

mm.

1)

Quelle distance focale doit posséder la lentille qu'il faut utiliser ?

1) Les données sont : λ = 633 nm, avant la lentille le waist est w0 = 1 mm, après la lentille, on veut que 0 la longueur de Rayleigh soit zR = 30 mm. Le faisceau conique converge au foyer, avec un angle

θ0 =

spé PC

w0 λ w0 = = 00 0 0 f π w0 zR

page n◦ 20

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

aussi le waist après la lentille est w002 = w0 0 = f = 0 zR w0 0

r

0 λ zR π ,

π 0 0 zR w0 = λ zR

d'où

r

0 π zR w0 = λ

r

π × 30 × 10−3 × 1 × 10−3 = 39 cm 633 × 10−9

2.14) Conjugaison de deux faisceaux LASER

Un faisceau laser, issu d'un laser He-Ne (de longueur d'onde 633 nm), a une taille 1 mm située à une distance d (grande devant sa longueur de Rayleigh) d'une lentille de focale f 0 = d3 . 0 0 1) Quelle est la distance d entre la lentille et la taille w0 du faisceau après la lentille ? 0 2) Quelle est la nouvelle taille w0 du faisceau après la lentille ? La distance d0 entre la lentille et la taille w00 du faisceau après la lentille est donnée par la relation de conjugaison : 1)

1 1 1 1 1 1 − = 0 ⇒ 0− = 0 f d −d f OA0 OA

d'où

1 1 1 3 1 2 = 0− = − = d0 f d d d d

donc d0 = d2 . 2) Les données sont : λ = 633 nm, avant la lentille le waist est w0 = 1 mm. L'angle du faisceau conique avant la lentille est θ=

h λ = d π w0

où h est la hauteur éclairée sur la lentille. et l'angle du faisceau conique après la lentille est θ0 =

donc

h λ = d0 π w00

w00 1 d0 = = w0 d 2

Aussi la nouvelle taille du faisceau après la lentille est w00 = 0, 5 mm.

2.15) Épurateur de faisceau LASER

Soit un faisceau laser gaussien peu divergent de rayon w0 . On admet que l'amplitude scalaire de la vibration lumineuse émise par un laser est : r2 w0 − w(z) 2 A˜ (r, z, t) = A˜0 e e−i (ω t−ϕ(z)) avec w(z) = w0 w(z)

s

 1+

z zR

2

en coordonnées cylindriques (r, θ, z). 1) Déterminer l'évolution de l'éclairement I (r, z) dans un plan transverse z à la propagation. 2) De façon à "épurer" le faisceau du laser, on positionne un diaphragme circulaire de rayon a, centré en z = 0. 2.a) Quelle est la proportion de l'énergie transmis à travers le diaphragme circulaire en fonction de a ? 3 w0 w0 2.b) Applications numériques : a = 2 , a = 4 , a = w0 et a = 2 w0 . 1)

Comme I = k |A˜ (r, z, t) |2 , on trouve  I (r, z, t) = I0

2)

spé PC

r2 w0 − w(z) 2 e w(z)

2

 = I0

w0 w(z)

2

2

e

r −2 w(z) 2

= I0 1+

w0 1  2 e

−2 r 2  2 ! z 1+ zR

z zR

Diaphragme en z = 0. page n◦ 21

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

2.a) 2

I (r, z = 0, t) = I0 e

−2 r 2 w0

L'énergie totale est donc 2

Z Z Etot = I0

e

−2 r 2 w0

Z

2

∞

Z

2π

2

e

d S = I0 r=0

−2 r 2 w0

Z

∞

dr r dtheta = 2π I0

θ=0

2

re

−2 r 2 w0

dr

r=0

tandis que l'énergie qui passe à travers le diaphragme est Z

a

E(a) = 2π I0

2

re

−2 r 2 w0

dr

r=0

Pour calculer l'intégrale, on peut faire le changement de variable suivant : t = r2 ⇒ dt = 2 r dr, soit Z

a2



−2t 2

e w0 dt = π I0

E(a) = π I0 t=0

w02 −2t 2 e w0 −2

a2 = t=0

Aussi, la fraction est −2 a E(a) 2 = 1 − e w0 Etot

2.b)

spé PC

AN :

w

E (a= 20 ) Etot

= 0, 39,

3w

E (a= 4 0 ) Etot

= 0, 67,

2

E(a=w0 ) Etot

page n◦ 22

  −2 a2 π I0 w02 2 1 − e w0 2

= 0, 86, et

E(a=2 w0 ) Etot

= 0, 999

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Résolution de problème vendredi 11 mars 2016 Cet exercice sera fait en demi-groupe lors de la séance de travaux dirigés.

Le pointeur laser article paru dans "le garo" le 03/12/2014

disponible à l'adresse http: // sante. lefigaro. fr/ actualite/ 2014/ 12/ 03/ 23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux

Gare au danger des pointeurs lasers pour les yeux En apparence inoensifs, les pointeurs laser, principalement utilisés notamment dans les conférences pour désigner des informations sur un tableau, peuvent causer des dommages très importants lorsqu'ils sont dirigés vers les yeux. [...] Les pointeurs lasers sont classés en quatre catégories en fonction de leur puissance et donc de leur dangerosité. Seules les deux premières sont autorisées à la vente au grand public au sein de l'UE. [...] La gravité des lésions dépend de la puissance du laser et de la durée d'exposition. En France, seuls les lasers dont la puissance ne dépasse pas 1 mW (classe 1 et 2) sont autorisés à la vente. Mais il est très facile de se procurer sur Internet des modèles beaucoup plus puissants, de catégories 3 et 4, normalement réservés à un usage professionnel. Selon le Pr Renard, les plus dangereux sont ceux qui émettent dans la couleur verte, avec une puissance pouvant aller jusqu'à 1500 mW. Projetée pendant quelques instants à courte distance sur l'÷il, la lumière peut brûler la rétine et laisser des séquelles irréversibles. Avec la banalisation de ces objets, les médecins disent redouter une augmentation des blessures oculaires. Leur utilisation inappropriée est en outre régulièrement dénoncée par les pilotes de ligne ou les joueurs de football, qui sont éblouis par des rayons.

Enoncé 1) Estimer la puissance surfacique du faisceau d'un pointeur laser reçu par un joueur sur un terrain de football.

spé PC

page n◦ 23

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Correction 1) Le faisceau du laser, de puissance P = 1 mW et de longueur d'onde λ = 532 nm, initialement de rayon r ≈ 1 mm, a sur le joueur un rayon R à déterminer. On se trouve à une distance ` ≈ 50 m de la source, donc la zone de divergence :θ ≈ λr ≈ R` . −9 ×50 Aussi, R ≈ λr` = 532×10 ≈ 3 cm, ce qui semble cohérent avec la photo. 1×10−3 P 1×10−3 −2 . Du coup, Psurf = π r2 = π×(3×10 −2 )2 ≈ 0, 3 W · m

Travaux pratiques vendredi 11 mars 2016 La moitié de la classe fait un TP d'optique sur la polarisation des ondes électromagnétiques.

spé PC

page n◦ 24

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Approche documentaire vendredi 11 mars 2016 Le document est à lire, l'exercice est à rendre. RAWAT Julia et MOREL-COURTIN Maëla feront un exposé.

Les lasers Bernard Valeur Lumière et luminescence - éditions Belin.

Principe, applications et types de lasers Inventé dans les années soixante, le laser fait partie de notre quotidien depuis longtemps : lecteurs de CD et DVD, imprimantes laser, mesures de distances, télécommunications optiques, guidage de missiles, découpe ultraprécise, en particulier des métaux, nettoyage des monuments historiques, outil des ophtalmologistes et des dermatologues, pointeurs lumineux des conférenciers, etc. sans oublier les grands spectacles et les lms de science-ction (rayon de la mort, sabres lasers de la Guerre des Étoiles, etc.). Mais comment une telle lumière à la fois puissante, très directive et d'une couleur aussi pure est-elle possible ?

Émission spontanée et émission stimulée. L'eet laser

Dans les processus d'émission de lumière décrits jusqu'ici, les atomes ou molécules excités retournent à leur état fondamental de façon spontanée, les photons étant émis de manière aléatoire et dans toutes les directions. Il existe un autre type d'émission dite induite ou stimulée qu'Einstein avait prédite en 1917 : un photon frappant un atome excité peut forcer ce dernier à revenir à l'état fondamental, en émettant un photon de caractéristiques parfaitement identiques à celles du photon incident. Il est important de préciser ce que l'on entend par caractéristiques parfaitement identiques : compte tenu de la nature même de la lumière, et conformément au triptyque décrit à la n du chapitre précédent, l'identité de caractéristiques concerne le quantum d'énergie, la fréquence de l'onde électromagnétique et la quantité de mouvement. En particulier, l'identité de quantité de mouvement, qui est une grandeur vectorielle, implique que les deux photons se propagent exactement dans la même direction. Les ondes qui leur sont associées sont en accord de phase, et on dit alors qu'il y a cohérence. Si ces deux photons peuvent à leur tour déclencher le même processus avec d'autres atomes excités, l'émission stimulée s'accompagne d'une multiplication de photons, c'est-à-dire d'une amplication de lumière. C'est le principe du laser (acronyme de Light Amplication by Stimulated Emission of Radiation) dont l'idée a été proposée en 1957 par des physiciens américains (C. H. Townes et A. L. Schawlow) et soviétiques (A. M. Prokhorov et N. G. Basov). Entre la prédiction par Einstein de l'émission stimulée et la mise en évidence de l'eet laser en 1960, pourquoi s'est-il écoulé plus de quarante ans ? Il existe en eet un obstacle de taille à surmonter : l'émission stimulée est en compétition avec l'émission spontanée et l'absorption, et elle n'est pas observée dans les conditions habituelles. Dans quelles conditions doit-on se placer pour que l'émission stimulée soit prédominante ? Il faut garder à l'esprit que dans les processus d'absorption comme d'émission stimulée, l'énergie du photon est égale à la diérence d'énergie entre l'état fondamental et l'état excité de l'atome. Ces deux processus sont également probables. Pour un ensemble d'atomes, la prédominance d'un processus par rapport à l'autre dépend de la proportion des atomes dans l'état fondamental et l'état excité : l'émission stimulée l'emportera sur l'absorption si le nombre d'atomes dans l'état excité est supérieur à celui dans l'état fondamental. Or, ce n'est pas le cas : à température ordinaire, la théorie montre que le nombre d'atomes à l'état excité est négligeable. Par conséquent, l'émission laser n'est possible qu'à condition de renforcer la population

spé PC

page n◦ 25

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

de l'état excité au détriment de celle de l'état fondamental : c'est ce que l'on appelle une inversion de population. Pour la réaliser, on utilise un courant électrique ou une source de lumière puissante (lampe ash ou autre laser). Dans le cas d'une source de lumière, le processus est appelé pompage optique ; il a été proposé pour la première fois par le physicien français Alfred Kastler (prix Nobel de physique en 1966). L'amplication est considérablement augmentée en faisant passer le faisceau de lumière plusieurs fois dans le milieu, à l'aide de deux miroirs formant la cavité résonnante du laser. Cependant, l'amplication a une limite qui est atteinte lorsque s'établit un équilibre entre d'une part l'émission laser, et d'autre part les pertes dues à l'absorption résiduelle du milieu et la nécessaire transmission partielle d'un des miroirs - pour que le faisceau laser puisse émerger de la cavité laser vers l'extérieur. Plus le trajet parcouru entre les deux miroirs est grand, plus le faisceau laser est parallèle et directif. En outre, le faisceau est très monochromatique car la longueur d'onde correspond en principe strictement à la diérence d'énergie entre les deux niveaux d'énergie impliqués. En réalité, ces niveaux uctuent légèrement, et une raie laser possède donc une certaine largeur spectrale, mais qui est beaucoup plus étroite que celle de toutes les autres sources monochromatiques connues. Il en résulte que, lorsqu'un faisceau laser est séparé en deux faisceaux, ces derniers, après avoir parcouru des chemins optiques diérents sur de grandes longueurs, peuvent interférer en produisant des franges d'ordre élevé. Cette cohérence à la fois spatiale et temporelle donne lieu à des applications, en particulier l'holographie. Il existe une grande variété de lasers qui se distinguent par la nature du milieu actif - un solide, un gaz, ou un liquide - et le mode de pompage. En outre, les lasers sont soit continus (faisceau d'intensité constante), soit puisés. La puissance émise par les lasers continus va du milliwatt à plusieurs dizaines de kilowatts. Pour les lasers impulsionnels, l'énergie émise se situe entre une fraction de millijoule et des kilojoules.

Les applications du laser

Les applications des lasers sont extrêmement variées, et il n'est pas question d'en dresser ici la liste exhaustive. Voici les plus importantes.  Alignement et télémétrie. L'une des premières applications a concerné l'alignement sur de grandes distances pour la réalisation de travaux (voies ferrées par exemple). Puis la télémétrie laser a vu le jour : pour mesurer la distance à un objet rééchissant, on envoie une impulsion brève que l'objet rééchit, et le temps mis par la lumière pour faire l'aller-retour permet de calculer la distance. C'est, par exemple, selon ce principe que la distance séparant un hélicoptère du sol est mesurée. Dans le futur, les automobiles seront équipées d'un télémètre laser permettant de mesurer la distance au véhicule qui les précède an de maintenir cette distance constante. La technique fonctionne également à l'échelle astronomique, la distance de la Terre à la Lune a pu être déterminée de façon très précise (au centimètre près) grâce à un miroir déposé sur la Lune lors de missions spatiales. On a pu ainsi montrer que notre satellite s'éloigne de nous à raison de 3,8 cm par an !  Télédétection. La détection à distance de la pollution atmosphérique est possible grâce à des lasers. La méthode appelée LIDAR (LIght Détection And Ranging) est l'équivalent optique du RADAR (RAdiowave Détection And Ranging). Des impulsions laser sont émises dans diverses directions. Une partie de la lumière est absorbée par les molécules et les particules en suspension. Une autre partie est diusée dans toutes les directions, et une fraction est rétrodiusée vers la source à proximité de laquelle est disposé un détecteur : il permet d'analyser la lumière rétrodiusée et d'en déduire la nature des molécules polluantes (oxydes d'azote (N O et N O2 ), ozone (O3 ), etc.) et leur éloignement. La longueur d'onde du laser doit cependant être adaptée aux molécules à détecter.  Télécommunications. Dans ce domaine, le laser a apporté une véritable révolution. Les câbles optiques constitués de bres optiques, dans lesquels des faisceaux lasers sont guidés, ont progressivement remplacé les câbles électriques souterrains ou sous les océans. Grâce à un codage numérique approprié, les capacités de transmission sont extraordinairement élevées. La longueur d'onde utilisée est de 1,3 µm (infrarouge) car c'est dans le domaine 1-2 µm que l'atténuation est la plus faible.  Médecine. Les lasers sont utilisés à diverses ns : - destruction localisée des cellules par eet thermique (tumeurs bénignes, angiomes (tâches de vin)...) ; - traitement des cancers par photothérapie dynamique : on injecte au patient des molécules (inoensives pour le patient) qui, excitées par le laser, se transforment en agent destructeur des tumeurs cancéreuses. La nesse du faisceau laser permet de détruire sélectivement ces tumeurs avec une précision telle que les tissus sains environnants sont épargnés ; - chirurgie oculaire (cataracte, décollement de la rétine...) ; - chirurgie plastique :  gommage  des imperfections de la peau.  Reprographie. spé PC

page n◦ 26

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Les imprimantes laser orent une haute dénition grâce à la focalisation du faisceau sur une aire réduite. En balayant une surface, il est possible de reconstituer une image point par point avec une dénition de 10 points par mm2 .  Découpage et usinage. La puissance et la nesse du faisceau laser sont mises à prot pour : découper de façon très précise des pièces métalliques ; façonner des pierres précieuses, en particulier le diamant ; fabriquer des composants électroniques ; découper des patrons de vêtements.  Lecteurs de CD et de DVD. Des diodes laser à base d'arséniure de gallium sont utilisées dans ces dispositifs.  Lasers de puissance. La France a décidé de se doter d'un laser ultrapuissant, le laser Mégajoule, en vue de produire la fusion nucléaire. Ce laser permettra également de simuler une explosion nucléaire et de recréer les conditions extrêmes qui existent au ÷ur des étoiles. Ces quelques exemples montrent que le laser, né de la recherche fondamentale, a suscité de nombreuses applications pratiques que leurs inventeurs étaient loin de soupçonner. Le laser demeure un outil très précieux pour de nouvelles recherches fondamentales qui, à leur tour, trouveront de nouveaux débouchés. Le refroidissement par laser, avec comme application les horloges à atomes froids, en est une superbe illustration.

Divers types de laser  Lasers à solide

Le premier laser, mis au point par T. H. Maiman en 1960, était un laser à rubis, Le pompage d'un barreau est eectué par un tube ash qui produit des éclairs intenses. Le faisceau laser émis est rouge (longueur d'onde : 694,3 nm). Le laser à néodyme fonctionne selon le même principe. Le matériau actif est un barreau de verre dopé au néodyme (N d3+ ), et l'émission se situe dans le proche infrarouge (1,06 nm). Ce type de laser permet de produire de fortes puissances. Le laser YAG (acronyme de Yttrium Aluminium Garnet) utilise un cristal (Y3 Al5 O12 ) dopé au néodyme. Il produit un rayonnement dans l'infrarouge avec une forte puissance (10 à 100W). Plus récent est le laser vert à base de néodyme (Nd : Y V O4 ). Le pompage est eectué par des diodes. Un cristal de LBO (LiB3 O5 ) placé dans la cavité permet de diviser par deux la longueur d'onde d'émission laser du néodyme (doublage de fréquence) : l'émission continue se situe donc à 532 nm au lieu de 1,06 µm. Le laser titane-saphir comporte un barreau de saphir dopé au titane pompé par un laser vert (comme celui décrit ci-dessus). Il peut délivrer un train d'impulsions de quelques dizaines de femtosecondes (1 femtoseconde = 10−15 s) avec une fréquence de répétition de 80 MHz. En outre, ce type de laser est accordable, c'est-à-dire que le spectre d'émission laser s'étend de 680 à 1100 nm. En utilisant des cristaux doubleurs et tripleurs de fréquence, on dispose ainsi d'une très large gamme spectrale d'émission allant de l'UV à l'infrarouge. Le laser titane-saphir est un outil très puissant pour les spectroscopistes.  Lasers à gaz Ces lasers assurent une émission continue. Le premier d'entre eux, conçu par A. Javan en 1961, c'est-à-dire peu de temps après le laser à rubis, est le laser à hélium-néon. En plus de la raie d'émission dans le rouge bien connue (633 nm), il existe d'autres raies moins intenses (voir tableau E1). Le laser à argon ionisé (Ar+ ) présente davantage de raies situées dans le visible (en particulier dans le vert) et dans l'UV. Les raies dans l'UV sont nettement moins intenses et n'apparaissent qu'avec des lasers dont la puissance est de plusieurs watts. spé PC

page n◦ 27

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Le laser hélium-cadmium (He − Cd) émet une raie dans l'UV et une autre dans le visible. Le laser à excimére utilise des gaz rares (xénon par exemple) et souvent du uor. Un atome excité peut s'associer à un atome non excité pour former un dimère excité (XeF par exemple) appelé excimére (contraction de excited dimer), L'intérêt de ces lasers est de délivrer des impulsions de grande puissance dans l'UV.

 Lasers à colorants Le milieu actif est une solution concentrée d'un colorant uorescent qui appartient aux familles des coumarines, rhodamines, oxazines, cyanines, etc. Le pompage peut être assuré par un laser à argon. Ces lasers présentent l'avantage d'être accordables dans une grande partie du spectre de uorescence du colorant, mais leur inconvénient est la photodégradation progressive du colorant qui doit donc être renouvelé périodiquement. C'est pourquoi on leur préfère de plus en plus des lasers titane-saphir.  Lasers à semi-conducteurs ou diodes laser Une diode laser est constituée de deux semiconducteurs dopés p et n (à base par exemple d'arséniure de gallium dopé à l'aluminium) séparés par une couche active (arséniure de gallium). Au sein de cette couche, lorsqu'une tension est appliquée, la recombinaison d'électrons et de trous donne naissance à un eet laser au-delà d'un certain courant. L'eet laser peut être obtenu en appliquant une tension à une jonction p-n associant deux semiconducteurs (voir ci-dessus la section sur la luminescence cristalline). Ils présentent l'avantage d'être très compacts et d'avoir une bonne ecacité (environ 50%). En revanche, ils sont peu puissants (1 à 10 mW) et le faisceau laser est faiblement directionnel (divergence de 5 à 30◦ ). La gure ci-dessus montre le principe d'une diode laser et le tableau E2 indique les semiconducteurs utilisés dans les applications telles que lecteurs de CD, imprimantes laser et télécommunications optiques. Les diodes laser sont également exploitées dans les pointeurs.

Enoncé

Le document stipule que "l'émission stimulée est en compétition avec l'émission spontanée et l'absorption, et elle n'est pas observée dans les conditions habituelles.". Nous allons le démontrer en se plaçant, pour simplier, spé PC

page n◦ 28

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

dans le cas d'un système à deux niveaux d'énergie (E1 et E2 > E1 ), non dégénérés (c'est-à-dire que le système est dans un seul état possible pour chacun de ces deux niveaux). On notera N1 la population du niveau d'énergie E1 et N2 la population de celui d'énergie E2 . La population totale N = N1 + N2 est constante. 1) Coecients d'Einstein 1.a) Écrire les lois d'évolutions des deux populations N1 et N2 . 1.b) Réécrire ces relations dans le cas stationnaire et à l'équilibre thermique. On admettra qu'à l'équilibre thermique à la température T (en kelvin), le rapport des populations des deux niveaux est donné par le facteur de Boltzmann : E2 −E1 ~ ω0 h ν0 N1 = e kB T = e kB T = e kB T N2

1.c)

En déduire les relations entre les coecients d'Einstein : B12 = B21 = B =

π 2 c3 A21 ~ ω03

grâce à la loi de Planck du corps noir pour laquelle la densité spectrale du rayonnement (des photons) dans le cas de l'équilibre thermique est : uem (ω) =

~ ω3 π 2 c3

~ω

e kB T − 1

Comparaison des la probabilités de l'émission spontanée et de l'émission stimulée Déterminer une condition sur ω0 et T pour que la probabilité de l'émission spontanée soit plus grande que celle de l'émission stimulée. 2.b) À température ambiante, pour quel domaine de longueur d'onde la probabilité de l'émission spontanée est-elle plus grande que celle de l'émission stimulée ? 2)

2.a)

spé PC

page n◦ 29

Janson de Sailly

physique

année scolaire 2015/2016

Correction

1)

Coecients d'Einstein On trouve

1.a)



1.b)

dN1 dt



 =−

dN2 dt

 = uem (ω0 ) (B21 N2 − B12 N1 ) + A21 N2

Dans le cas stationnaire uem (ω0 ) (B21 N2 − B12 N1 ) + A21 N2 = 0

et à l'équilibre thermique

1.c)

~ ω0 h ν0 E2 −E1 N1 = e kB T = e kB T = e kB T N2

D'où  E2 −E1  uem (ω0 ) B21 − B12 e kB T + A21 = 0 ⇒ uem (ω0 ) =

A21 B21 B12 B21 e

E2 −E1 kB T

−1

On en déduit les relations entre les coecients d'Einstein : B12 = B21 = B =

π 2 c3 A21 ~ ω03

Comparaison des la probabilités de l'émission spontanée et de l'émission stimulée Pour que la probabilité de l'émission spontanée soit plus grande que celle de l'émission stimulée, il faut que : 2)

2.a)

A21 N2 > B21 uem (ω0 ) N2 ⇔ A21 >

~ ω0 π 2 c3 kB T A u (ω ) ⇔ e −1>1 21 em 0 ~ ω03

soit encore ~ ω0 > kB T . 2.b) Cherchons λ tel que ~

2π c hc 6, 6 × 10−34 × 3 × 108 > kB T ⇔ λ < = = 13 × 10−5 m λ kB T 1, 3 × 10−23 × 300

soit dans l'infra rouge : dans le visible, c'est l'émission spontanée qui domine.

Devoir surveillé samedi 12 mars 2016 Un DS commun aura lieu samedi 12 mars 2016, il portera sur l'électromagnétisme en régimes variables (ARQS et ondes).

spé PC

page n◦ 30

Janson de Sailly