Corrigé de La Série N°1 (1) [PDF]

Zitiervorschau

Année Universitaire : 2020-2021 Filière : SEG / Semestre 1

UNIVERSITE SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH Faculté des Sciences Juridiques, Economiques et Sociales, Fès

Sections : 1 à 12

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T.D. de Microéconomie 1 Corrigé de la série n°1 Exercice n°1 1. Définition et signification de l'utilité marginale Définition : L'Um mesure la variation de l'UT provoquée par la variation unitaire de la quantité consommée. D’un point de vue économique, l'Um traduit la satisfaction procurée par une petite dose du bien pour subvenir à une petite dose du besoin. D’un point de vue mathématique, l'Um est représentée par la dérivée première de l'UT. - Si le bien est non divisible : Um =

ΔUT Δq

=

- Si le bien est divisible : Um = LimΔq→0

UTn −UT(n−1) qn −q(n−1)

ΔUT Δq

=

dU dq

: Fonction discontinue.

= (UT)′ : Fonction continue.

L'Um est une fonction décroissante de la quantité consommée. En effet, à mesure qu'un besoin est satisfait son intensité diminue (1ère loi de Gossen). 2. Evolution des Um des biens Quantités de biens Utilité marginale de X Utilité marginale de Y Um pondérée de X : Um pondérée de Y :

𝐔𝐦𝐱 𝐏𝐱 𝐔𝐦𝐲 𝐏𝐘

1 10 24

2 9 21

3 8 18

4 7 15

5 6 9

6 4 3

10

9

8

7

6

4

8

7

6

5

3

1

Les utilités marginales des biens X et Y sont décroissantes conformément à la première loi de Gossen qui stipule que : "l'intensité d'un plaisir qui se prolonge finit par s'éteindre au point de satiété, au-delà de ce point le plaisir se transforme en peine". 3. Hypothèse de non saturation du besoin Le besoin est saturé lorsque l'utilité totale est maximale. Au point de satiété l'utilité marginale est égale à zéro. Dans le cas présent aucune utilité marginale n'est nulle, par conséquent l'hypothèse de non saturation du besoin est vérifiée pour les biens X et Y. 4. Définition et calcul de l'utilité marginale L'Um pondérée est l'Um d'un bien rapportée à son prix. Elle mesure la satisfaction procurée par la dépense d'une unité monétaire. Calcul de l'Um pondérée : voir tableau supra.

1

5. Combinaison optimale et calcul de l'utilité totale La règle qui détermine l'équilibre du consommateur est l'égalisation des utilités marginales pondérées des biens. (deuxième loi de Gossen). 𝐔𝐦𝐗 𝐏𝐗

=

𝐔𝐦𝐘 𝐏𝐘

Sachant que x.Px + y.Py = R = 10 dh

La combinaison optimale est (x = 4 ; y = 2). La dépense correspondante est 1.4 + 3.2 = 10 dh. L'utilité totale est UT = UTX + UTY = 34 + 45 = 79. 6. Cardinalité et additivité des utilités La cardinalité : c'est une hypothèse qui signifie que l'utilité est mesurable par des nombres cardinaux (qui expriment la quantité et non l'ordre). Cependant l'utilité est un phénomène qualitatif, subjectif et psychologique. Elle est donc difficile à quantifier. La cardinalité demeure néanmoins une hypothèse commode pour distinguer l'utilité marginale de l'utilité totale. L'additivité : C'est une hypothèse selon laquelle l'utilité d'un couple de biens est obtenue par l'addition des utilités des deux biens. C'est une hypothèse irréaliste car elle implique que les biens sont indépendants. Or, souvent les biens sont interdépendants et sont consommés de façon associée. Si certains biens sont consommés séparément, ils n'auraient aucune utilité. Exercice n°2 1. Représentation graphique des courbes d'indifférence y 100

90

Carte d'indifférence du consommateur

A

80

45

B

40

C

32

I3= 3600

D

20

I1= 1600

5 20

36

40

80

50

160

100

x

Signification de la courbe d'indifférence La courbe d'indifférence est le lieu géométrique de toutes les combinaisons possibles des biens X et Y qui donnent un niveau identique d'utilité. L'ensemble des courbes d'indifférence constitue une carte d'indifférence. 2. Calcul du TMSx/y sur la courbe d'indifférence I1 Points

A

B

C

D

X

20

40

50

80

Y

80

40

32

20 2

TMSx/y =

𝚫𝐘 𝚫𝐗

- Du point A au point B :

TMSx/y =

ΔY ΔX

=

40 − 80 − 40 = =-2 40 − 20 20

- Du point B au point C :

TMSx/y =

ΔY ΔX

=

32 − 40 − 8 = = - 0,8 50 − 40 10

- Du point C au point D :

TMSx/y =

ΔY ΔX

=

20 − 32 − 12 = = - 0,4 80 − 50 30

Nous constatons que le TMS en valeur absolue est décroissant. En effet, à force de substituer le bien X au bien Y, le premier devient de plus en plus abondant alors que le second devient de plus en plus rare. Le consommateur rationnel serait donc disposé à renoncer à des quantités de plus en plus rares du bien Y pour avoir une unité supplémentaire du bien X. 3. Equation de la droite du budget De manière générale, l'équation de la droite du budget a pour équation : P 9 1440 9 R y = - X .x + = − .x + = − .x + 90 16 16 16 PY PY Représentation graphique : (voir graphique en haut) Signification de la droite du budget La droite du budget est le lieu géométrique de toutes les combinaisons (x,y) des biens dont la dépense est identique au revenu disponible du consommateur. 4. Détermination du point d'équilibre du consommateur a. Méthode graphique Graphiquement, le point d'équilibre est représenté par le point de tangence de la droite du budget à la courbe d'indifférence. Dans notre cas x = 80 et y= 45. b. Méthode algébrique Algébriquement, le point d'équilibre du consommateur s'obtient par la confrontation de la fonction d'utilité à la fonction contrainte. Ainsi, le problème du consommateur s'écrit comme suit : Maximiser U = f(x,y) = x.y Sous la contrainte 1440 = 9.x + 16.y ou bien y = −

9 .x + 90 (équation de la droite du 16

budget) En remplaçant y par ( −

9 .x + 90 ), la fonction d'utilité devient une fonction à une seule variable : 16

3

U = x.( −

9 9 .x + 90 ) = − .x 2 + 90.x = f(x) 16 16

U est maximale si U' = 0 et U'' < 0. Condition de premier ordre : U' = 0 U' = f'(x) = -

18 18 1440 .x + 90 = 0 soit 90 = .x ou bien 1440 = 18.x ; d'où x = = 80 16 16 18

Pour x = 80 ; y = −

9 .(80) + 90 = 45 16

Condition de second ordre : U'' < 0 U'' = -

18 < 0. 16

U' = 0 et U'' < 0, on dira que la combinaison optimale des biens est (x=80 ; y=45). Niveau d'utilité obtenu est : U = f(80 ; 45) = (80).(45) = 3 600 utils. Exercice n°3 Fonction d’utilité : U = f(x,y) = 2xy + 3y Fonction de contrainte : R = x.Px + y.Py = 12x + 21y

1. Expression du TMSx/y Le TMS peut se calculer de deux façons (deux expressions) Expression algébrique : TMSx/y =

dy 𝒅𝒙

Où y =f(x) est l’expression de la courbe d’indifférence. Par définition l’utilité est constante sur une même courbe d’indifférence : U0 = 2xy + 3y U0 = 2xy + 3y = y.(2x + 3). On en déduit y = TMSx/y =

dy dx

=(

U0

(2x + 3)

)’ =

-U0 (2x + 3)2

=

Expression économique : TMSx/y = Umx =

dU dx

= 2y et Umy =

Ainsi, TMSx/y =

Umx Umy

=

dU dy

U0 (2x + 3)

-2(y(2x + 3)) (2x + 3)2

Um𝑿

=-

Um𝒚

= f(x)

=

-2y (2x + 3)

dy 𝒅𝒙

= (2x + 3)

2y (2x + 3)

2. Utilisation optimale du revenu Le problème du consommateur s’écrit de la façon suivante : Maximiser U = f(x,y) = 2xy + 3y Sous la contrainte 150 = 12.x + 21.y 4

a- Méthode de substitution −Px

Equation de la droite du budget : y = −4

On remplace y par (

7

.x +

50 7

Py

R

.x +

Py

=

−12 21

.x +

150 21

=

−4 7

.x +

50 7

) afin de transformer la fonction d'utilité en une fonction à une

seule variable. U = 2.x.y + 3y U = 2.x.(

−4 7

.x +

50

−4

7

7

) + 3.(

.x +

50

1

7

7

) = .[(2x.(-4x + 50) + 3.(-4x + 50)]

1

1

7

7

U = .(-8.x2 + 100.x – 12.x + 150) = .(-8.x2 + 88.x + 150) = f(x) U est maximale si et seulement si U' = 0 et U'' < 0 Condition de premier ordre : U' = 0 1

88

7

16

U' = .(-16.x + 88) = 0  -16.x + 88 = 0  16x = 88 soit x = Pour x = 5,5 y =

−4 7

.(5,5) +

50

= 5,5

= -3,14 + 7,14 = 4

7

Condition de second ordre : U’’ = - 16 < 0 Donc la fonction d’utilité est optimale pour les valeurs x = 5,5 et y = 4. La combinaison optimale des biens est donc (x = 5,5 , y = 4) L'indice d'utilité correspondant à cette combinaison est : U = 2.(5,5).(4) + 3.4 = 56 PX = 12

PY = 12

R = 150

X = 5,5

Y=4

U = 56

b- Méthode de Lagrange Maximiser U = f(x,y) = 2xy + 3y Sous la contrainte 150 = 12.x + 21.y

L = Fonction objectif +  .(fonction contrainte nulle) L = f(x,y) +  .(R – x.Px – y.Py) L = 2x.y + 3y +  .(150 – 12.x – 21.y)

L'𝑥 = L'𝑦 = L'𝜆 =

𝜕𝐿 𝜕𝑥 𝜕𝐿 𝜕𝑦 𝜕𝐿 𝜕𝜆

= 2𝑦 − 12𝜆 = 0 ⇒ 𝜆 =

2y

(1)

12

= (2x + 3) − 21𝜆 = 0 ⇒ 𝜆 = = 150 − 12x − 21𝑦 = 0

De (1) et (2) on obtient

2y 12

=

2x+3 21

2x+3 21

(2)

(3) 

y 6

=

 21y = 12x + 18  7y = 4x + 6 ; soit y =

2x+3 21

𝟒𝐱+𝟔 𝟕 5

𝟒𝐱+𝟔

Dans (3) on remplace y par ( 150 = 12x + 21(

𝟕

)

𝟒𝐱+𝟔

) = 12x + 3(4x + 6)

𝟕

150 = 12x + 12x + 18 132 = 24.x ; soit x = Pour x = 5,5 y =

−4 7

132 24

= 5,5

.(5,5) +

50 7

= -3,14 + 7,14 = 4

La combinaison optimale des biens est (x=5,5 , y=4) L'indice d'utilité correspondant à cette combinaison est : U = 2.(5,5).(4) + 3.(4) = 56 c- Méthode du TMS Maximiser U = f(x,y) = 2xy + 3y Sous la contrainte 150 = 12.x + 21.y

A l'optimum :

UmX UmY

=

PX PY

⇒

2y (2x+3)

=

12 21

=

4 7

 14y = 8x + 12  7x = 4x + 6  ; soit y =

𝟒𝐱+𝟔 𝟕

𝟒𝐱+𝟔

Dans la fonction contrainte on remplace y par ( 150 = 12x + 21.(

)

𝟒𝐱+𝟔 𝟕

) = 12x + 3(4x + 6)

150 = 12x + 12x + 18  132 = 24.x ; soit x = Pour x = 5,5 y =

𝟕

−4 7

.(5,5) +

50 7

132 24

= 5,5

= -3,14 + 7,14 = 4

La combinaison optimale des biens est (x = 5,5 , y = 4) U = 2.(5,5).(4) + 3.4 = 56 3. Minimisation du revenu pour U = 70 Le problème d’optimisation par minimisation s’écrit de la façon suivante : Minimiser R = 12.x + 21.y Sous la contrainte U= 70 = f(x,y) = 2xy + 3y

Méthode du TMS A l'optimum :

UmX UmY

=

Px Py

⇒

2y (2x+3)

=

12 21

=

4 7

 14y = 8x + 12  7x = 4x + 6  ; soit y =

𝟒𝐱+𝟔 𝟕

𝟒𝐱+𝟔

Dans la fonction contrainte on remplace y par (

𝟕

)

6

70 = f(x,y) = 2xy + 3y = 2x.(

𝟒𝐱+𝟔

𝟒𝐱+𝟔

𝟕

𝟕

) +3(

)

1

70 = .(8x2 + 12x + 12x + 18)  490 = 8x2 + 24x + 18 7

490 – 18 = 8x2 + 24x  472 = 8x2 + 24x  8x2 + 24x – 472 = 0 Ou bien x2 + 3x – 59 = 0 Δ = b2 - 4ac = 32 – 4.(1).(-59) = 245 et √245 = 15,65 x1 =

−𝑏 + √𝛥 2𝑎

=

−3 + 15,65 2

Pour x = 6,32 on aura y =

= 6,32

et

4(6,32) + 6

x2 =

−𝑏 − √𝛥 2𝑎

=

−3 − 15,65 2

= - 9,325 < 0 à rejeter

= 4,46

7

Revenu minimum R0 = 12(6,32) + 21(4,46) = 169,5 dh. PX = 12

PY = 12

X = 6,32 Y = 4,46

U = 70 U = 169,5

4. Calcul du TMSx/y au point d’équilibre Au point d’équilibre (question 2) : x = 5,5 ; y = 4 et U = 56 Expression mathématique : TMSx/y = Expression économique : TMSx/y = Ou bien TMSx/y =

Px Py

=

12 21

dy dx

=

Umx Umy

-2y (2x + 3)

=

=

2y (2x + 3)

-2(4) 2(5,5) + 3

=

=

2(4) 2(5,5) + 3

−𝟖 𝟏𝟒

= - 0,57

𝟖

= 𝟏𝟒 = + 0,57

= 0,57 (cette expression est utilisée pour calculer le TMS uniquement

au point d’équilibre) Signification du TMS Au point d’équilibre, le consommateur est prêt à céder 0,57 unités du bien Y pour avoir 1 unité supplémentaire du bien X tout en gardant le même niveau de satisfaction. 5. Représentation graphique des points d’équilibre y 169,5 21

Equilibre du consommateur

150 21

4,46 4

U2= 70 U1= 56

0

5,5 6,32

150 12

169,5 12

x 7

Exercice n°4 Fonction d’utilité : U = f(x,y) = 2x2y 1. Equilibre du consommateur en situation initiale Le problème du consommateur s’écrit de la manière suivante : Maximiser U = f(x,y) = 2x2.y Sous la contrainte R = 150 = 10.x + 20.y

A l’optimum, TMSx/y = Um X = PX Um Y

4xy 2x 2

=

10 20



2𝑦 𝑥

=

1 2

PY

soit x = 4y

En remplaçant x par (4y) dans la fonction contrainte, on obtient la valeur de y. 150 = 10x + 20y = 10(4y) + 20y = 60y y=

150 60

= 2,5 et x = 4.(2,5) = 10

Niveau d’utilité U1 = 2.(10)2.(2,5) = 500 x1 = 10

U1 = 500

Px = 10

y1 = 2,5

R = 150

Py = 20

2. Effets de l’augmentation du prix du bien X sur la consommation des biens a. Equilibre du consommateur en situation finale Px passe de 10 à 15 (R et Py maintenus constants) Problème du consommateur : Maximiser U = f(x,y) = 2x2.y Sous la contrainte R = 150 = 15.x + 20.y

A l’optimum, TMSx/y = Um X = PX Um Y

4xy 2x 2

=

15 20

⇒

2y 𝑥

=

15 20

PY

 40y = 15x ou bien y =

15 40

.𝑥

En remplaçant y par (x) dans la fonction contrainte, on obtient la valeur de x. 150 = 15.x + 20.( x=

150 22,5

15 40

. 𝑥) = 15.x + 7,5.x = 22,5.x

= 6,66 et y =

15

.(6,66) = 2,5

40

Nouvel indice d’utilité U2 = 2.(6,66)2.(2,5) = 221,77 x2 = 6,66

U2 = 221,77

Px = 15

y2 = 2,5

R = 150

Py = 20

8

b. Calcul de l’effet de substitution et de l’effet de revenu Situation intermédiaire

On suppose que le consommateur souhaite garder le même niveau d’utilité que celui de la situation initiale (U1 = 500). Sachant que le prix de bien X a augmenté, quel sera le revenu que doit avoir le consommateur ? Le problème du consommateur s’écrira donc comme suit : Minimiser R = 15.x + 20.y Sous la contrainte U0 = U1 = 500 = f(x,y) = 2x2.y Méthode de Lagrange

L = 15.x + 20.y + λ.(500 - 2x2.y) 15

L’x = 15 - 4λ.x.y = 0  λ = L’y = 20 - 2λ.x2 = 0  λ = L λ = 500 – 2x2.y = 0

15

15

4𝑥𝑦 15

En remplaçant y par ( 40

20 2𝑥 2

=

10 𝑥2

(2)

(3)

De (1) et (2) on obtient

500 = 2x2.y = 2x2.

(1)

4𝑥𝑦

40

10 𝑥2

; 15.x2 = 40.x.y ou bien 15.x = 40.y soit y =

15 40

.𝑥

. 𝑥) dans (3), on obtient la valeur de x.

.𝑥 =

10 000 = 15.x3  x3 =

=

15 20

.x3

10000 15

= 666,66

D’où x = 3√666,66 = 8,74 Pour x = 8,74 ; y =

15

.(8,74) = 3,28

40

Revenu minimum R0 = 15.(8,74) + 20.(3,28) = 196,7 dh. X0 = 8,74

U0 = 500

Px = 15

Y0 = 3,28

R0 = 196,7

Py = 20

Le tableau ci-après résume les trois situations précédentes. Situation

PX

PY

x

y

U

R

Initiale U1

10

20

10

2,5

500

150

Intermédiaire U0

15

20

8,74

3,28

500

196,7

Finale U2

15

20

6,66

2,5

221,77

150

9

Calcul des valeurs de l'effet de substitution et de l'effet de revenu Effet de substitution S1 → S0

Effet de revenu S0 → S2

Effet total S1 → S2

x0 – x1

x2 – x 0

x2 – x1

8,74 – 10 = - 1,26

6,66 – 8,74 = - 2,08

6,66 – 10 = - 3,34

y0 – y1

y2 – y 0

y2 – y1

3,28 – 2,5 = + 0,78

2,5 – 3,28 = - 0,78

2,5 – 2,5 = 0

∆x ∆y

3. Variation du prix de bien X et fonction de demande Courbe de Consommation-Prix La courbe de consommation-prix (ou courbe de niveau de vie) est une ligne qui relie les points d’équilibre successifs obtenus par le consommateur lorsque le prix d’un bien varie alors que le revenu et le prix de l’autre bien sont maintenus constants. Equation de la demande de bien X

La fonction de demande d’un bien puise ses origines des conditions de maximisation de l’utilité. Le problème du consommateur s’écrit comme suit (Px étant quelconque) : Maximiser U = f(x,y) = 2x2.y Sous la contrainte 150 = x.Px + 20.y Méthode de Lagrange

L = 2x2.y + λ.(150 - x.Px - 20.y) 4.x.y

L’x = 4.x.y - λ.Px = 0  λ = L’y = 2.x2 – 20. λ = 0  λ = L λ = 150 - x.Px - 20.y = 0 De (1) et (2) on obtient En remplaçant y par ( 150 = x.Px + 20.(

4.x.y

𝐏𝐱 x.Px 40

(1)

Px 2𝑥 2 20

=

𝑥2 10

(2)

(3) =

𝐱𝟐

 x2.Px = 40.x.y ou bien x.Px = 40.y ; soit y =

𝟏𝟎

x.Px 𝟒𝟎

) dans (3), on obtient la valeur de x.

x.Px

x.Px

40

2

) = x.Px +

=

3x.Px 2

3.x.Px = 300  x.Px = 100 ; soit x = f(Px) =

𝟏𝟎𝟎 𝐏𝐱

= 100.(Px)-1 : Fonction de demande de bien X

Optimalité de la fonction de demande

Déduite algébriquement des conditions de maximisation de la fonction d’utilité et graphiquement de la courbe de consommation-prix, lieu des optima successifs du consommateur, la fonction de demande est forcément rationnelle. Par conséquent, elle exprime des quantités optimales de bien X pour des niveaux différents de prix. Vérification : Pour Px = 10 ; x =

100 10

= 10 (voir question 1)

10

Calcul de l’élasticité-prix de la demande

Dans la mesure où la fonction de demande obtenue plus haut est une fonction puissance, cette demande est iso-élastique. Son élasticité est toujours équation à son exposant (-1). En effet ; Ex/Px =

𝜕𝑥

.

𝑃𝑥

=

𝜕𝑃𝑥 𝑥

−100 . 𝑃𝑥

100 (𝑃𝑥)2 𝑃𝑥

=

−100

(𝑃𝑥)2

(𝑃𝑥)

100

. 2

=

−100 100

= -1

4. Variation du revenu et fonction d’Engel pour le bien X Courbe de Consommation-Revenu La courbe de consommation-revenu est une ligne qui relie les points d’équilibre successifs obtenus par le consommateur lorsque le revenu varie alors que les prix des biens sont maintenus constants. Equation d’Engel pour le bien X

La fonction d’Engel pour un bien se déduit des conditions de maximisation de la fonction d’utilité. Le problème du consommateur s’écrit comme suit (Px étant quelconque) : Maximiser U = f(x,y) = 2x2.y Sous la contrainte R = 10.x + 20.y

A l’optimum, TMSx/y = Um X = PX Um Y

4xy 2x 2

=

10 20

⇒

2y 𝑥

=

10 20

PY

 40y = 10x ou bien y =

10 40

.𝑥 =

𝐱 𝟒

𝐱

Dans la fonction contrainte on remplace y par ( ) et on obtient : 𝟒

𝐱 𝟒

R = 10.x + 20.( ) = 10.x + 5.x = 15.x x = f(R) =

𝐑 𝟏𝟓

: Fonction d’Engel

Optimalité de la fonction d’Engel

Cette fonction est optimale car elle est déduite algébriquement des conditions de maximisation de la fonction d’utilité et graphiquement de la courbe de consommation-revenu, lieu des optima successifs du consommateur. Par conséquent, la fonction d’Engel exprime des quantités optimales de bien X pour des niveaux différents de revenu. 150

Vérification : Pour R = 150 ; x =

15

= 10 (voir question 1)

Calcul de l’élasticité-revenu de bien X

Ex/R =

𝜕𝑥 𝑅

.

𝜕𝑅 𝑥

=

1.𝑅 15

𝑅 15

=

1 15

.

15.𝑅 𝑅

=1

5. Statut économique de bien X Le statut économique d’un bien se déduit soit des signes de l’effet de substitution et de l’effet de revenu, soit des signes des élasticités prix et revenu.

11

Signes des effets et nature de bien X L'effet de substitution de signe négatif (Δx = -1,26) signifie que la quantité du bien X a diminué lorsque le prix Px a augmenté (de 10 à 15). La quantité demandée est donc une fonction inverse du prix. D'autre part, l'effet de revenu de signe négatif (Δx = -2,08) signifie que la quantité demandée a diminué à la suite de la baisse du revenu réel (pouvoir d’achat) entrainé par l’augmentation du prix Px. La quantité de bien X varie ainsi dans le même sens que le revenu. La quantité demandée de bien X variant dans le même sens que le revenu et dans le sens inverse du prix, la demande pour le bien X présente les caractéristiques d'une demande normale. Par conséquent, le bien X est un bien normal. Signes des élasticités et nature de bien X Ex/Px = -1 (signe négatif) : la quantité demandée de bien X varie dans le sens inverse du prix Px. Ex/R = +1 (signe positif) : la quantité demandée de bien X varie dans le même sens que le revenu. Il s’agit d’une demande de type normal. Le bien X est donc un bien normal. Exercice n°5 Fonction d'utilité : U = f(x,y) = x.(y + 1) Fonction contrainte : R = 190 = 5.x + 10.y

1. Passage de la fonction d'utilité à la fonction de demande La fonction de demande d'un bien X s'exprime soit en fonction du revenu (x=f(R) : fonction d'Engel), soit en fonction du prix du bien (x=f(PX) : fonction de demande). Déduction de la fonction d'Engel La fonction d'Engel pour un bien se déduit algébriquement des conditions de maximisation de la fonction d'utilité. Géométriquement la courbe d'Engel se dérive de la courbe de consommation-revenu, lieu des points représentatifs des optima du consommateur. La déduction de la fonction d'Engel se fait sous l'hypothèse de la variation du revenu à prix des biens constants (hypothèse ceteris paribus). Déduction de la fonction de demande La fonction de demande d'un bien se déduit algébriquement des conditions de maximisation de la fonction d'utilité. Géométriquement la courbe de demande se dérive de la courbe de consommation-prix, lieu des points représentatifs des optima du consommateur. La déduction de la fonction de demande se fait sous l'hypothèse de la variation du prix du bien à revenu et prix de l'autre bien constants. (Hypothèse toutes choses étant égales par ailleurs). 2. Illustration de la démarche Nous allons illustrer la démarche décrite en haut en calculant pour le bien X la fonction d'Engel et la fonction de demande.

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a. Variation du revenu et fonction d'Engel (bien X) La fonction d'Engel d'un bien se déduit des conditions d'optimisation de l'utilité pour R quelconque. Maximiser U = f(x,y) = x.(y+1) Sous la contrainte 190 = 5.x + 10.y

Um x Px = Um y Py

A l'équilibre, TMSx/y = Umx Umy

=

y+1 x

=

Px Py

=

5 10 𝐱

1

x −2

2

2

= ⇒ x = 2y + 2 ⇒ y =

𝐱

= ( - 1) 𝟐

R = 5.x + 10.y et y = ( - 1) R = 5.x + 10.(

𝐱 𝟐

𝟐

- 1) = 5.x + 5.x - 10 = 10.x - 10

10.x = R + 10 ; soit : x = f(R) =

R + 10 10

=

𝐑 10

+ 1 : Fonction d'Engel pour le bien X

b. Variation du prix et fonction de demande (bien X) La fonction de demande d'un bien se déduit des conditions d'optimisation de l'utilité pour Px quelconque. Maximiser U = f(x,y) = x.(y + 1) Sous la contrainte 190 = x.Px + 10.y

A l'équilibre, TMSx/y =

Um𝐱 Um𝐲

=

𝐏𝐱 Py

Umx y + 1 Px Px = = = ⇒ x.Px = 10.y + 10 ⇒ 10y = x.Px − 10 Umy x Py 10 ⇒𝑦=

x.P𝑥 − 10 x.P𝒙 = −𝟏 10 10

R = x.Px + 10.y et y = R = x.Px + 10.(

x.P𝒙 10

x.P𝒙 10

−𝟏

− 𝟏) = x.Px + x.Px - 10 = 2x.Px – 10

2x.Px = R + 10 soit : x = f(Px) =

𝐑 + 10 2P𝐱

: Fonction de demande du bien X

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