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TP 2 | THIERRY
Compte-rendu de TP : la corde de Melde Dispositif expérimental : Nous allons étudier dans ce TP la corde de Melde, qui peut être représentée par le schéma suivant :
Disposit if Vibreur > < GBF Analyse : Soient λn, L et fn respectivement la longueur d’onde, la longueur de la corde et la fréquence de l’onde. λn = 2L / n puisqu’un fuseau n du signal est de longueur λ/2. Or, fn = v / λn Donc, fn = vn / 2L Or, v =
T μ ), √¿
Donc fn =
où T est la tension de la corde et μ sa masse linéïque.
√T n 2√μL
Réalisation et validation : 1 -Visualisation des modes propres : En faisant vibrer la corde à des valeurs quelconques, on n’observe une légère oscillation de la corde mais aucun mouvement particulier ne se dégage.
1
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Mode propre Fréque de vibration nce Mode f1 = 18 fondamental, 1er Hz mode propre 2ème mode propre
f2 = 36 Hz
3
mode propre
f3 = 54 Hz
4ème mode propre
f4 = 72 Hz
ème
Nomb re de Allure de la corde ventr à l’œil nu es /2
Nomb re de nœud s
1
2
2
3
3
4
4
5
Allure réelle de la corde à un instant donné
/2
/2
/2
On a n fuseaux pour le nième mode propre. Donc la longueur d’un fuseau s’exprime sous la forme : L/n = λn/2, car une longueur d’onde doit réaliser un schéma complet, soit deux fuseaux n. On en déduit que λn = 2L / n
Nœud
/2
2
TP 2 | THIERRY 2 - Fréquence du quatrième mode propre et détermination de la masse linéïque : Dans la phase d’analyse, on a déterminé que fn =
√T n 2√ μL
2
Donc μ =
Tn 4 f 2 L2
Or, la tension de la corde s’exprime par T = mg, où m est la masse de la masse placée au bout de la corde et g l’intensité du champ de pesanteur. Donc μ =
m g n2 2 2 4f L
On utilisera le quatrième mode propre, soit n=4 et f = 72 Hz (voir tableau). Dans les conditions de l’expérience, on avait : m = 0,10 kg et g = 9,8 m.s-2 On réalise donc l’application numérique μ=
100.10−3∗9,81∗4 2 4∗722∗1,602
= 3.0.10-4 kg.m-1 = 0.30 g.m-1
Ceci diffère fortement de la valeur trouvée par la pesée de la corde fournie par le professeur, où μ = 0,30 m.s-1 Soit ε l’écart relatif entre ces deux valeurs ε = (0.31 – 0.30) / 0.31 = 0.03 = 3% L’écart est très faible. On peut donc considérer notre expérimentation comme étant exacte. 3 – Vérification de la loi en
√T
:
On fait varier la tension de la corde en modifiant la masse qui y est suspendue afin de déterminer l’influence de la tension T de la corde sur la fréquence du troisième mode propre. On réalise 5 mesures pour 5 masses différentes entre 30 et 200g. On relève alors les différentes fréquences auxquelles on observe le troisième mode propre.
Masse au bout de la Fréquence du corde troisième mode propre 30g
28 Hz
3
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50g
36 Hz
100g
54 Hz
150g
62 Hz
200g
75 Hz
On trace alors le graphe de la fréquence en fonction de
√T
.
Fréquence en fonction de la tension de la corde 80 70
f(x) = 52.76x R² = 1
60 50 40 30 20 10 0 0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
Linear ()
√T
soit fn = k *
alors
√μ
=
, avec k =
n 2k L
donc
n 2√μL μ=
= 52,76
n2 2 2 4k L
A.N :
μ=
32 2 2 4∗52,76 ∗1,6
= 3,15.10-4
g.m-1 = 0,32 g.m-1 On a donc une nouvelle valeur de
μ
= 0,32 g.m-1. Cette valeur est plus
précise car la méthode d’obtention est plus précise. En effet, on effectue une régression linéaire sur une courbe de 5 mesures afin de dégager le coefficient pour calculer
μ , alors que la valeur précédente était calculée à partir d’une
seule mesure.
4
TP 2 | THIERRY 4 – Approcher les incertitudes de répétabilité : Lorsqu’on répète plusieurs fois le mesurage de la même grandeur, dans les mêmes conditions expérimentales, on peut trouver des résultats légèrement différents. On doit donc calculer l’incertitude de mesure à partir des résultats de tous les groupes. L’incertitude
❑n−1=
√
de
mesure
se
calcule
à
partir
de
l’écart
type
n
´ 2 ∑ (mk −m)
ou
1
m ´
est la valeur moyenne de la série de mesure.
n−1 k
L’incertitude de mesure U(M) est donnée par : U(M) =
❑n−1
√n
. Il y a 6 groupes
de mesure, donc n = 6. On choisit donc le coefficient k pour un niveau de confiance à 95%, k = 2,57.
On regroupe les résultats de la classe pour le 2- et le 3- dans un tableau : Groupe 1
μ
23-
La moyenne
=
μ
=
0,41
0,32
μ
μ
=
0,32
m ´
Groupe 2
=
Groupe 3
μ
0,65
μ
0,43
est donc de
m= ´
=
=
Groupe 4
μ
=
0,32
μ
=
Groupe 5
μ
=
Groupe 6
μ
0,32
30
μ
μ
=
0,33
= =
0,32
0,41+0,32+0,65+0,32+0,32+0, 30 =0,39 6
Donc
√
(0,41−0,39)2+(0,32−0,39)2+(0,65−0,39)2 +(0,32−0,39)2 +(0,32−0,39)2+(0,30−0,39 6−1 U ( M ) =2,57 × √6 ¿ 0, 141 Donc pour le 2- ,
μ
= 0.30
±
0,141 g.m-1 .
5
TP 2 | THIERRY On procède alors de la même manière pour les résultats du 3-, mais cette fois-ci avec 4 mesures : La moyenne
m ´
est donc de
m= ´
0,32+ 0, 43+0, 33+0,32 =0,3 5 4
Le coefficient k pour 4 mesures est de 3,18. Donc
√
( 0 ,32−0,35)2 +(0,43−0,35)2 +(0,33−0,35)2 +( 0,32−0,35)2 4−1 U ( M ) =3,18 × √4 ¿ 0, 085
Donc pour le 3- ,
μ
= 0.32
±
0,085 g.m-1 .
6