Compendio de Matemática y Razonamiento Matemático II - 2022-II [PDF]

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UNIVERSIDAD CATÓLICA DE SANTA MARÍA PRECATÓLICA 2022 - II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II Heiby Elizabeth Espinoza Zúñiga Claudia Patricia Cárdenas Ticona Hilarión Chaco Llamoca

Arequipa – Perú Ingreso 2022

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II

UNIDAD 1: FUNCIONES DE VARIABLE REAL 1. Idea intuitiva de función Una función es una correspondencia entre dos conjuntos no vacíos, en donde a cada uno de los elementos del primer conjunto llamado conjunto de partida, solo le corresponde un único elemento del segundo conjunto llamado conjunto de llegada.

Ejemplo 3

h A

B

1

4

2

5 6

3

7

Ejemplo 1 Conjunto de partida

f A

B

1

2

2

4 6

3

7

Conjunto de partida

Conjunto de llegada

Conjunto de llegada

Se observa que la relación h no representa a una función ya que para el elemento 3 le corresponde dos elementos en el conjunto B. Por lo tanto, h solamente es una relación cuyos elementos son: h = {(1;4), (2;5), (2;6), (3;7)} Ejemplo 4

Se observa que la relación f representa a una función ya que para cada xA, existe un único yB, tal que la función f estaría conformado por los pares ordenados: f = {(1;2), (2;4), (3;6)} Notación de una función f: A → B

f

o

A→B

Se lee “f es una función de A en B”

j A

B

1

4

2

5 6

3

7

Conjunto de partida

Conjunto de llegada

A

B

Se observa que la relación j no representa a una función ya que al elemento 3 del conjunto A no le corresponde ningún elemento del conjunto B. Por lo tanto, j solamente es una relación.

1

2

¿Cómo representar la gráfica de una función?

2

4 6

Gráficamente una función se puede representar de dos maneras:

3

8

a) Usando un diagrama sagital

Ejemplo 2 g

Conjunto de partida

Conjunto de llegada

Se grafican los conjuntos usando los diagramas de Venn, y se representa la relación mediante flechas (sagitas).

Se observa que la relación g representa a una función ya que para cada xA, existe un único yB, tal que: g = {(1;2), (2;2), (3;6)} 1

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II Ejemplo

2.1 Dominio de una función

Sea la función f = {(1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8)}.

Llamado también conjunto de pre imágenes y está formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función.

f A

B

1

2

2 3

4 6

4

8

b) Usando un diagrama cartesiano

Notación Sea f: A→ B una función Dom f = Df = xA/(x;y)f 2.2 Rango de una función Llamado también conjunto de imágenes y está dado por todas las segundas componentes de los pares ordenados pertenecientes a la función. Notación

Se grafica cada par ordenado de la función en el plano cartesiano.

Sea f: A→ B una función

Ejemplo

Ran f = Rf = yB / (x;y) f

Sea la función f = {(1; 2), (2; 4), (3; 6), (4; 8)}.

Ejemplo Sea la función: f = (1;2);(3;5);(7;6);(4;9) Dom f = 1; 3; 7; 4 Ran f = 2; 5; 6; 9 2.3 Regla de correspondencia Es la relación que existe entre la primera y segunda componente de cada par ordenado de una función. Es decir: y = f(x)  (x;y)f La expresión anterior indica que la variable y está en función de la variable x, es decir que y depende de x. Por tanto: x es la variable independiente y es la variable dependiente

2. Definición formal de función Una relación f definida de A en B, que se denota: f : A → B será una función, si cumple las siguientes condiciones: a) Para cada x  A; ! y  B /( x; y)  f b) Si: ( x; y)  f  ( x; z)  f → y = z

3. Función real de variable real Es aquella función en la cual su conjunto de partida (dominio) y su conjunto de llegada (rango) son subconjuntos del conjunto de los números reales, es decir: f: A → B es una función real en variable real, si A  ℝ  B  ℝ

3.1 Gráfica de una función real La grafica de una función f es la representación geométrica de todos los pares ordenados que pertenecen a la función. Es decir:

2

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II

Grafica de (f) = (x;y)ℝxℝ /y = f(x), xDom f  La grafica de una función real, se representa en el plano cartesiano ℝxℝ 3.2 ¿Cómo reconocer si una gráfica representa a una función? Si toda recta paralela al eje y corta a la gráfica a lo más en un punto, dicha gráfica será la representación de una función. α

Ejemplo recta

y

f x . Observación La gráfica siempre pasa por el origen de coordenadas, es decir, contiene al punto (0; 0) Se observa que la recta trazada solo corta en un punto a la gráfica de f, por lo tanto, f es función.

Ejemplo

Ejemplo recta

y

g

x

Se observa que la recta trazada corta en más de un punto a la gráfica de g, por lo tanto, g no es función. 4. Función lineal Es aquella función cuya regla de correspondencia es: f(x) = mx

o

y = mx

Cuya gráfica es de la forma:

3

Donde: m  0

Para graficar una recta se necesita dos puntos, y uno de ellos es (0;0). Por tanto, solamente se necesita un punto y para ello hallamos de la siguiente manera: Si x = 2 → y = 3(2) = 6. Por consiguiente: A= (2;6)

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II Ejemplo Graficar la función que corresponde al perímetro de un cuadrado y determina el dominio y rango. Solución: El perímetro depende del lado del cuadrado, por tanto: P = 4l, siendo P el perímetro y l el lado del cuadrado Como la función P es lineal, entonces un punto sería (0;0) y solamente será necesario hallar otro punto de manera tabular: Lado del cuadrado l

Perímetro P

Puntos

l=1

P=4

A (1;4)

l=2

P=8

B (2;8)

Entonces la gráfica correspondiente es:

α

• •

Observación: La función afín interseca a ambos ejes en puntos llamados interceptos. Dom f = ℝ Ran f = ℝ

Ejemplo Determina los interceptos de la función 2x + y = 4, y traza su gráfica Solución: Calculamos los interceptos: Con el eje x: hacemos x = 0 entonces y = 4 → (0; 4) Con el eje y: hacemos y = 0 entonces x = 2 → (2; 0) Las coordenadas de los interceptos son (0; 4) y (2; 0) Luego ubicamos los interceptos y trazamos la grafica

Dominio: x > 0 Rango: y > 0 5. Función afín Es aquella función cuya regla de correspondencia es: f(x) = mx + n

o

y = mx + n

Donde: m  0 y n  0 Cuya gráfica es de la forma:

4

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 6. Pendiente de la gráfica de una función lineal o afín.

Observaciones Si la pendiente es positiva, la función es creciente

En las funciones: y = mx

Si la pendiente es negativa, la función es decreciente

y = mx + n m es la pendiente de la recta, la cual es la inclinación de la recta con respecto al eje x. Por tanto, su valor será la tangente del ángulo de inclinación. Es decir: m = tan α

7. Función cuadrática Es aquella función cuya regla de correspondencia es: f(x) = ax2 + bx + c

a0

Y que realizando la completación de cuadrados se puede transformar en la siguiente expresión y = a(x−h)2 + k α

Su grafica es una parábola, en la cual el par ordenado V = (h;k) es el vértice. Observaciones importantes: a) Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba

En caso que no se conozca el ángulo de inclinación, también se puede hallar conociendo dos puntos de la recta. Es decir:

𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 =

5

𝑦2 − 𝑦1 𝑠𝑢𝑏𝑖𝑑𝑎 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜

• • •

Dom f = xR Ran f = y k ;  El valor de k es el mínimo de la función

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II b) Si a  0, la parábola se abre hacia abajo

8. Análisis de la función cuadrática Si x1 y x 2 son raíces de la función: f (x) = ax2 + bx + c, y cuya discriminante es  = b 2 − 4ac , entonces sus gráficas pueden ser: Primer caso: cuando  > 0 La gráfica puede ser cualquiera de las siguientes formas: y y f f x1

x2

x

a>0

x1 • • •

Dom f = xR Ran f = y − ; k  El valor de k es el máximo de la función

c) Otra forma de hallar el vértice de la función: f(x) = ax2 + bx + c, es aplicando la siguiente relación:  b  b  V =  − ; f  −    2a  2a  

Segunda forma: aplicamos  b  b  V =  − ; f  −    2a  2a   En la función: f(x) = x2 – 6x + 8, en la cual: a = 1; b = – 6 y c = 8 Primero hallamos la primera componente del vértice: b −6 −6 − =− =− = −(−3) = 3 2a 2(1) 2 Segundo, evaluamos el valor de 3 en la función: f (x) = x2 – 6x + 8, es decir: f (3) = 32 – 6(3) + 8 f (3) = 9 – 18 + 8 f (3) = – 1 Luego, el vértice es: V = (3; ⎯1) 6

a0

x

En las gráficas x1 y x2 son raíces reales y diferentes (son los interceptos con el eje x) Segundo caso: cuando  = 0 La gráfica puede ser cualquiera de las siguientes formas: y

y

x1 = x2 x

f

Ejemplo Halla las coordenadas del vértice de la función: f(x) = x2 – 6x + 8 Solución: Primera forma: completando cuadrados y = x2 – 6x + 8 y = (x2 – 6x + 9) – 9 + 8 y = (x – 3)2 – 1 Como la expresión anterior, se transformado a la forma: y = a (x – h)2 + k, entonces: h = 3 y k = ⎯1. Por tanto, el vértice V = (3; ⎯1)

x2

a0 a>0

f

x

x1 = x2

En las gráficas x1 y x2 son raíces reales e iguales (solo es un intercepto con el eje x) Tercer caso: cuando   0 La gráfica puede ser cualquiera de las siguientes formas: y

y x a0

f

f

a>0

x En las gráficas no hay raíces reales (no hay intercepto con el eje x). Pero si hay dos raíces complejas (imaginarias) PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 9. Grafica de una función cuadrática Para graficar una función cuadrática, se debe tener en cuenta lo siguiente: a) El signo del coeficiente “a” para determinar la concavidad de la parábola. •

Si a > 0, es cóncava hacia arriba, y su vértice es un punto mínimo.

•

Si a < 0, es cóncava hacia abajo y su vértice es un punto máximo.

b) Para esbozar la gráfica de la función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c, podemos ubicar los principales puntos de la gráfica, los cuales son: •

El intercepto con el eje y

Se ubica en el punto (0; c), donde c corresponde al término independiente de la función. •

Los interceptos con el eje x

Se ubican en los puntos (x1; 0) y (x2; 0), donde x1 y x2 son raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0. Pueden existir dos, uno o ningún punto de intersección, dependiendo de las soluciones en los números reales de la ecuación.

•

Vértice de la parábola

Sus coordenadas están dadas por:

 − b b 2 − 4ac   V = (h; k ) =  ;− a  2a 

1° Determinamos la concavidad: Como a = 2 y 2>0, entonces la parábola es cóncava hacia arriba (se abre hacia arriba) 2° Hallamos su vértice V: Completando cuadrados en: f (x) = 2x2 ⎯ 4x ⎯ 6 y = 2(x2 ⎯ 2x) ⎯ 6 y = 2(x2 ⎯ 2x + 1) ⎯ 2 ⎯ 6 y = 2(x ⎯ 1)2 ⎯ 8 Como la expresión anterior, se transformado a la forma: y = a (x – h)2 + k, entonces: h = 1 y k = ⎯8. Por tanto, el vértice V = (1; ⎯8) 3° Hallamos los interceptos con los ejes: • Con el eje y: Es el punto (0; c), donde c corresponde al término independiente de la función. Y como c = ⎯ 6, entonces el intercepto con el eje y es el punto (0; ⎯6) • Con el eje x: Son los puntos (x1; 0) y (x2; 0), donde x1 y x2 son raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 Entonces resolvemos la ecuación: 2x2 ⎯ 4x ⎯ 6 = 0 x2 ⎯ 2x ⎯ 3 = 0 Factorizando tenemos: (x ⎯ 3) (x + 1) = 0 Luego, x ⎯ 3 = 0  x + 1 = 0 x1 = 3  x2 = ⎯1 Por tanto, los interceptos con el eje x son: (3; 0) y (⎯1; 0) Esbozando la gráfica de la función, tenemos:

En la gráfica, se muestran los principales puntos

Ejemplo Dada la función: f (x) = 2x2 ⎯ 4x ⎯ 6. Esboza su gráfica y determina el valor del máximo o mínimo, así como su dominio y rango Solución: 7

• •

Dom f = xR Ran f = y − 8;  PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II PRACTIQUEMOS 1. En la figura, se muestra la gráfica de la función lineal: f ( x) = x . Calcula el valor de m ⎯ n 3

2. El intercepto con el eje x de la función afín cuya gráfica pasa por los puntos (4;6) y (0;4) es:

y

(m;2)

x

(⎯3; n)

A) 6

B) 5

C) 7

D) ⎯5

E) ⎯2

3. Calcula el área de la región formada por las funciones: f(x) = 1,5x + 6; g(x) = –1,5x y el eje de abscisas.

A) ⎯8

B) ⎯7

C) ⎯4

D) 6

E) 8

4. La gráfica de la función afín cuya gráfica contiene a todos los puntos en el que la abscisa y la ordenada suman 5, es:

A)

B)

C)

D)

E) No corresponde ninguna gráfica A) 7 u2 16

B) 5 u2

C) 4 u2

D) 6 u2

E) 5,5u2 PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 5. La función: 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛, tiene como dominio restringido al intervalo [−1; 2] y como rango al intervalo [−1; 5] Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. I. La función es creciente f II. El valor de la pendiente es ⎯2 III. El intercepto con el eje y es (0; ⎯3)

A) FVF

B) FVV

C) FFV

D) VFF

E) VVF

7. Calcula el área de la región formada por la gráfica de la función f(x) = 2x – 5, y los ejes coordenados.

A) 25/4 17

B) 25/2

C) 27/4

D) 5/2

E) 5

6. Dada la función f: R→R, tal que: f(x) = ax + b donde f (2) =11 ∧ f (1) = 8 Calcula el valor de f (10)

A) 12

B) 16

C) 20

D) 28

E) 35

8. Con respecto a la gráfica de: 2(x – 5) + 3(y + 4) = 0 Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. I. Tiene una pendiente igual a ⎯2/3 II. Intercepta al eje y en (0; 2/3) III. Intercepta al eje x en (⎯1; 0)

A) VFV B) VFF

C) VVF

D) FFV

E) FVV

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 9. Determina la regla de correspondencia de la gráfica de la función f

A) y = 3x ⎯ 2 D) y = x/3⎯ 2

B) y = 3x + 2 C) y = 2x ⎯ 3 E) y = ⎯3x ⎯ 2

10. Las escalas termométricas Fahrenheit (°F) y Celsius (°C) están relacionadas mediante la siguiente regla de correspondencia: 9 F = C + 32 5 En la escala Celsius, los puntos de congelación y ebullición del agua se da a 0°C y 100°C respectivamente. Determina la suma de las lecturas de dichos puntos en la escala Fahrenheit (°F)

A) 244°F D) 244°F

B) 212°F E) 244°F

C) 244°F

11. SENAMHI pronosticó para el primer día de enero 12. Teniendo en cuenta la información del problema una temperatura promedio de 17°C y, a partir del anterior. Responde día siguiente, un descenso de medio grado Celsius ¿Después de cuántos días la temperatura sería cada día durante el mes. ¿Qué temperatura se de 6,5 °C? registrará el último día del mes?

A) 2°C 18

B) 3°C

C) 4°C

D) -1°C

E) -2°C

A) 20 días D) 18 días

B) 21 días E) 19 días

C) 22 días

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 13. En su recibo de agua, Claudia ha visto que le cobran un cargo fijo mensual de 8,5 soles y 5 soles por metro cúbico de agua que consume. Determina la regla de correspondencia de la función

A) y +5x=8,5 D) x – 5y=8,5

B) y - 5x=8,5 C) x – y=8,5 E) x + 5y=8,5

14. Luis trabaja como visitador médico. Él recibe un sueldo fijo de 2300 soles mensuales más una bonificación del 3% de las ventas que realice durante el mes. Determina con una ecuación los ingresos mensuales que percibe Luis

A) 100y+3x=2300 C) 100y-3x=2300 E) y-3x=2300

B) 10y+3x=2300 D) 10y-3x=230

15. La gráfica muestra la relación entre los ingresos 16. Teniendo en cuenta la información del problema diarios por las ventas de pares de zapatos y el anterior. Responde, ¿A qué precio se tendrían que precio al que se vendieron en una fábrica de vender los zapatos para que el ingreso sea de S/ calzado 3500?

¿Qué cantidad de dinero se recaudaría si el par de zapatos se vendiera a S/ 55?

A) S/. 650 D) S/. 680 19

B) S/. 720 E) S/. 780

C) S/.750

A) S/. 110 D) S/. 112

B) S/. 115 E) S/. 105

C) S/.120

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 17. La tabla muestra los valores del costo (S/.) en función del número de kilogramos de azúcar (kg.). Determina la regla de correspondencia del costo en función del número de kilogramos, y dar como respuesta el costo de un saco de azúcar que contiene 50 kilogramos. N° de kg.

2

3

7

Costo (S/.)

4,40

6,60

15,40

A) S/. 110 D) S/. 115

B) S/. 100 E) S/. 105

9

18. Teniendo en cuenta la información del problema anterior. Responde Si el costo de un cierto número de kilogramos es S/. 16,50. ¿A cuántos kilogramos corresponde dicho costo?

13

19,80 28,60

C) S/.120

A) 5 kg. D) 5,5 kg

B) 6 kg E) 7,5 kg

C) 7 kg

19. Un ambulante observa que el costo para producir 20. Una empresa invierte S/.45 en producir 20 artículos 10 botellas de refresco es 40 soles y el costo para y S/. 60 en producir 30 artículos. Determina la 20 botellas es 70 soles. Si el costo está relacionado ecuación que relaciona el costo y el número de de manera lineal con la producción. Calcula el artículos producidos. Si la inversión hubiera sido de costo que demandará producir 35 botellas S/. 135, ¿cuántos artículos se habrían producido?

A) S/. 115 D) S/. 105 20

B) S/. 110 E) S/. 35

C) S/.125 A) 60

B) 65

C) 70

D) 80

E) 75

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 21. Sea f: A → B una función, tal que f(x)=ax2 + b. Si los puntos: (2;3) y (–1; –3) pertenecen a f. Calcula el valor de: f (7) + f (–4)

A) 120

B) 108

C) 98

D) 115

E) 124

23. Con respecto a la función: 0,5y = 21⎯ x(x+4). Indique cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas

22. Con respecto a la función: f(x) = ⎯x2 + 2x + 15 Determina si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas I. La suma de las coordenadas del vértice es 21 II. El valor mínimo de la función es 19 III. Uno de los interceptos con los ejes es (5;0)

A) VFF

B) FVV

C) VFV

D) FVF

E) VVF

24. Determinar el valor de k en la función: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 8 , de tal manera que la parábola intercepte en un punto al eje x.

I. Intercepta al eje x en dos puntos II. Su vértice está en (2;24) III. Su rango es ]−∞; 42]

A) Solo I D) Todas

B) Solo III E) I y III

C) II y III A) 4

21

B) 6

C) 8

D) -8

E) C y D

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 25. Determinar el valor de k en la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑘𝑥 + 3 para que el vértice sea el punto (2; ⎯1)

A) 3

B) 4

C) 5

D) -4

E) -3

27. Dada la función: f(x) = x2 ⎯ 6x, ∀x∈R, ¿Para qué valor de k, el rango de la función es [k; +∞〉?

A) 9 22

B) -9

C) 3

D) 6

E) -6

26. ¿Cuál de las siguientes funciones interseca al eje x en un punto?

• • •

A) f

f(x) = x2 + 4(x+1) g(x) = x2 – 2x + 3 h(x) = 2(x⎯3)2 + 5

B) g

C) h

D) f y h

E) g y h

28. Observa la gráfica de la función y determina su regla de correspondencia

A) B) C) D) E)

𝑦 = −𝑥 2 − 4𝑥 − 3 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 𝑦 = −𝑥 2 − 3𝑥 − 3 𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 − 3 𝑦 = −𝑥 2 − 4𝑥 − 4 PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 29. Sabiendo que f(x) es una función cuadrática, 30. En la gráfica, se muestra tres puntos de la función: calcular el valor de 2x1+5x2 f (x) = ax2 + bx + c

Calcula el valor de a + b + c

A) 2 A) 11

B) 12

C) 13

D) 14

B) 3

C) 4

D) 2,5

E) 3,5

E) 15

31. Se desea comprar una plancha metálica de forma 32. El ingreso de cierta empresa está dado por: rectangular de 12 m de perímetro. ¿qué I(x) = m–nx2, donde x es el precio en soles. Si el dimensiones deberá tener la plancha rectangular precio es S/2, el ingreso es S/1192 y si el precio es para que tenga el área máxima? Dar como S/5, el ingreso es S/2935. respuesta el área máxima en metros cuadrados. ¿Cuánto sería el ingreso si el precio es de 3 soles?

A) B) C) D) A) 6 23

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

S/1542 S/1607 S/1632 S/1654 E) S/1706 PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 33. Un agricultor tiene un cerco de 120 metros de longitud y necesita cercar solo tres lados de un terreno rectangular, tal como se observa en la figura. Calcula el ancho del terreno para que tenga la mayor superficie posible

34. Un granjero quiere cercar su terreno rectangular, para lo que dispone de 10 m de valla metálica. Uno de los lados del terreno no debe ser cercado con la valla metálica, ya que tiene construido un muro de ladrillo.

¿Para qué longitud del lado se obtiene una superficie máxima?

A) 30 m D) 35 m

B) 20 m E) 40 m

C) 27 m

35. La mayor parte de los autos dan su mejor rendimiento en kilometraje cuando corren a una velocidad relativamente baja. El rendimiento R para cierto auto nuevo está modelado por la función

A) 3 m D) 4 m

B) 2 m E) 1.5 m

C) 2.5 m

36. Teniendo en cuenta la información del problema anterior. Responde ¿A qué velocidad se obtiene el mejor rendimiento?

1 2 𝑥 + 3𝑥 − 31, 𝑠𝑖: 15 ≤ 𝑥 ≤ 70 28 Donde x es la rapidez en km/h y R se mide en km/gal. ¿Cuál es el mejor rendimiento del auto?

𝑅(𝑥) = −

A) 32 km/gal D) 42 km/gal

24

B) 28 km/gal E) 35 km/gal

C) 25 km/gal

A) 32 km/h D) 42 km/h

B) 28 km/h E) 35 km/h

C) 25 km/h

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MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 37. Durante un partido de fútbol, un arquero ejecuta un saque de meta, que describe una trayectoria parabólica que responde a la función: f(x) = –0,05x2 + 0,7x, donde y es la altura (en metros) que alcanza la pelota cuando se encuentra a x metros de distancia horizontal desde el punto de lanzamiento. ¿Qué altura máxima alcanzó la pelota? ¿Cuál fue el alcance de la pelota sobre el campo?

A) 3 m y 15 m B) 3 m y 14 m C) 2.45 m y 14 m D) 2 m y 14 m E) 1.5 m y 15 m

39. Una compañía de teléfonos, que tiene 60 000 abonados y cobra S/ 95 mensuales, ordena un estudio de mercado para decidir el aumento que aplicará en sus tarifas. Los resultados indican que la empresa perderá 600 abonados por cada nuevo sol que aumente la tarifa. ¿Cuál deberá ser el aumento para maximizar el ingreso de dinero?

38. Un malabarista lanza hacia arriba tres pelotas, cada una de ellas se desplaza siguiendo una trayectoria que cumple con la gráfica de la función cuadrática: f(x) = ⎯12x2 + 96 x + 108 donde f (x) indica la altura (en centímetros) alcanzada por las pelotas al cabo de x segundos de transcurrido el lanzamiento. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza cada pelota?

A) 5 m

B) 3.5m

C) 2 m

D) 3 m

E) 4 m

40. Un equipo de fútbol juega en un estadio que tiene capacidad para 15 000 espectadores. Con el precio de la entrada a 14 soles, el promedio de asistencia en juegos recientes ha sido de 9500. Un estudio de mercado indica que por cada nuevo sol que baje el precio del boleto, el promedio de asistencia aumenta en 1000. ¿Cuál deberá ser el precio de la entrada para que se dé el máximo ingreso?

A) S/. 10,50 D) S/. 11,75

B) S/. 10,75 E) S/. 23,50

C) S/. 11,20

A) S/ 3 B) S/4 C) S/2.5 D) S/3.5 E) S/5 25

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

UNIDAD 2: SOLIDOS GEOMETRICOS PRISMAS 1. Definición Es un poliedro en el cual, dos de sus caras son regiones poligonales congruentes y paralelos denominados bases y el resto de caras son regiones paralelográmicas denominadas caras laterales.1

B A

C D

E

altura

G

H

F

I J

2. Elementos del Prisma Reconocemos los siguientes elementos:

3. Prisma Recto es un prisma que se caracteriza por que sus aristas laterales son perpendiculares a las bases, además la longitud de la altura es igual a la longitud de la arista lateral.

Para nombrar un prisma depende de los lados que tenga su base, como, por ejemplo:

4. Prisma Regular Es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares y sus caras laterales son rectángulos.

1

Compendio Académico de Matemática. Editorial Lumbreras. Pág. 412

26

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO El desarrollo lateral de un prisma es un rectángulo que está formado por tantos rectángulos como lados tenga la base.

6. Paralelepípedo Rectangular, Rectoedro u Ortoedro Es un prisma recto cuyas bases y cara laterales son regiones rectangulares.

d

c

a

b

•

Área lateral ( 𝐴𝐿 )

•

Área total

𝐴𝐿 = 2 ac + + 2 bc 𝐴 𝑇 = 2 ac + 2 bc + 2ab

•

Volumen

•

𝑉 = 𝑎𝑏𝑐 Longitud de la diagonal 2

𝑑 = √𝑎2 + 𝑏 + 𝑐2

CILINDROS

5. Áreas y Volumen en un prisma2 • Área de la superficie lateral (AL)

1. Definición Es aquel sólido geométrico comprendido entre sus planos paralelos entre sí y secantes a una superficie curva cerrada denominada superficie lateral del cilindro y en los planos paralelos se determinan secciones planas congruentes, las cuales se denominan bases del cilindro. En la superficie lateral del cilindro se ubican segmentos paralelos entre sí y congruentes, cuyos extremos son los puntos del contorno de las bases, dichos segmentos se denominan generatrices.3 Base

𝐴𝐿 = (𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒) × (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) 𝐴𝐿 = 𝑃𝑏 × ℎ

∨

𝐴𝐿 = 𝑃𝑏 × 𝑎𝑙

• Área de la superficie total (AT) 𝐴 𝑇 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 + 2 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 Generatriz

𝐴 𝑇 = 𝐴𝐿 + 2 𝐴𝑏 • Volumen (V)

Altura

Superficie Lateral

𝑉 = Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 Base

𝑉 = 𝐴𝑏 × ℎ 2

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I – Ciencias 2017”.Ingreso 2018

27

3

Compendio Académico de Matemática. Editorial Lumbreras. Pág. 414

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2. Cilindro Circular Recto El cilindro recto sus bases son regiones circulares y paralelas. También recibe el nombre de cilindro de revolución porque es generado por una región rectangular al girar 360° tomando como eje a uno de sus lados. Además, la altura y la generatriz tienen la misma longitud.

5. Desarrollo de la Superficie Lateral de un Cilindro Recto El desarrollo de la superficie lateral del cilindro es un rectángulo cuyas dimensiones son la longitud de la generatriz y la longitud de la circunferencia de la base. El área lateral del cilindro es equivalente al área del rectángulo.

6. Áreas y Volumen en un cilindro recto4

3. Elementos del Cilindro

• Área de la superficie lateral (AL)

𝐴𝐿 = 2𝜋𝑟𝑔 • Área de la superficie total (AT)

𝐴𝑇 = 2𝜋𝑟(𝑔 + 𝑟) • Volumen (V)

𝑉 = 𝜋𝑟 2 𝑔 4. Sección Axial de un Cilindro Recto La sección axial en un cilindro recto es una región rectangular que contiene a los centros de las bases y a su eje. B r r A g

r

C

r D 4

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTA MARÍA. “Compendio I – Ciencias 2017”.Ingreso 2018

28

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PRACTIQUEMOS 1. Juan ha construido un cubo y necesita transformarlo 2. María necesita hacer una caja para enviar un en un paralelepípedo, para lo cual decide aumentar a regalo para su sobrino que acaba de nacer, si la las aristas del cubo en 3, 6 y 9 cm respectivamente. Si diagonal de la caja debe medir 40cm, de largo el volumen del paralelepípedo obtenido excede en 32cm y de alto 16cm. Calcular el ancho de la caja 3 1404 cm al volumen del cubo dado. Determinar la que construyo María. medida de la arista del cubo

A) 8√5cm B) 6√3cm C) 16√5cm E) 8√3cm D) 12√5cm 3. Mario ha comprado yogurt en un depósito que tiene 4. La altura de un prisma cuadrangular regular la forma de un prisma hexagonal regular si se sabe mide 15cm, el desarrollo de su superficie que la apotema de la base mide 4 √3cm y la altura del lateral es un rectángulo cuya diagonal mide 25 prisma es el doble de la arista de la base. Mario desea cm. Hallar el área total del prisma. saber ¿cuánto de yogurt ha comprado? A)11,5cm

A) 3litros D) 1,9litros 29

B) 8cm

C)13,5cm

B) 4litros E) 3,5litros

D) 6cm

E) 9cm

C) 2,7litros

A) 180cm2 D) 350cm2

B) 420cm2 E) 210cm2

C) 280cm2

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 5. Determinar el volumen de un prisma recto cuya 6. Determinar la longitud de la diagonal de una

altura mide 15 cm y su base es un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio.

A) 120√3 cm3 D) 96√3 cm3

B) 180√3 cm3 E) 240√3 cm3

C) 110√3 cm3

7. Los lados de la base de un ortoedro miden 8cm

y 4√5 cm, la diagonal del ortoedro con el plano de su base forman un ángulo de 53°. Determinar la longitud de la diagonal del ortoedro.

A) 20cm

30

B) 16cm

C) 18cm

D) 9cm

E) 15cm

de sus caras laterales de un prisma hexagonal regular, si su área lateral es 726cm2 y sus caras laterales son cuadrados.

A) 10√3 cm D) 9√3 cm

B) 13√2 cm E) 14√2 cm

C) 11√2 cm

8. Determinar el área total de un prisma

hexagonal regular, si el desarrollo de la superficie lateral es un cuadrado cuyo perímetro mide 36cm. (√3 = 1,7 )

A) 75,6cm2 D) 89,5cm2

B) 92,5cm2 E) 45,8cm2

C) 90,7cm2

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 9. En el siguiente grafico calcular el área lateral del ̅̅̅̅ mide 4cm. prisma, si 𝐴𝑂

A) 96cm2 D) 68cm2

B) 72cm2 E) 54cm2

C) 48cm2

11. Calcular el volumen de un cilindro recto, su radio mide 2,5cm y su altura es el triple del radio.

A) D) 31

375 8 175 2

𝜋cm3 𝜋cm

3

B) E)

218 3 275 6

𝜋cm3 𝜋cm

3

C)

225 4

𝜋cm3

10. La base de un prisma hexagonal regular está inscrita en una circunferencia de radio igual a 12 cm. La altura del prisma es el triple que la apotema de la base. Calcular el área total del sólido.

A) 1020√3cm2 D) 1248√3cm2

B) 1728√3cm2 E) 1465√3cm2

C) 986√3cm2

12. Determinar el área total de un cilindro de revolución cuya altura mide 16dm, si el desarrollo de la superficie cilíndrica es un rectángulo cuya diagonal mide 20dm.

A) 308dm2 D) 196dm2

B) 215dm2 E) 412dm2

C) 248dm2

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 13. En el siguiente grafico determinar el volumen del cilindro si su radio mide 3u y OA = 5u

14. El área total de un cilindro recto es 80cm2 y la suma de las inversas del radio y de la generatriz es 1 3

2

A) 30𝜋u D) 36𝜋u2

2

2

C) 9 𝜋u

B) 24𝜋u E) 15 𝜋u2

. El volumen del cilindro es:

A) 96 cm3 D) 156 cm3

B) 80 cm3 E) 120 cm3

C) 140 cm3

15. Calcular el volumen en el siguiente gráfico, si 16. Mariana desea hacer cajitas en forma de cilindro con cartulina para poner peluchitos AQ = 3u, QD = 13 u y BP = 12u. (∡ QPD es recto)

P

B

A

32

D

Q

A) 158𝜋u3 D) 92𝜋u3

C

por San Valentín y poder venderlos. Calcular cuánto de cartulina necesitará para hacer 15 cajitas de 20cm de diámetro y 25cm de altura.

B) 136𝜋u3 E) 148𝜋u3

C) 192𝜋u3

A) 9,6m2 D) 3,3m2

B) 1,18m2 E) 1,34m2

C) 1,42cm2 PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 17. Se desea llenar completamente una piscina de 10m de 18. Determinar el área total de un cilindro circunscrito a un prisma hexagonal regular de 6cm de arista largo, 6m de ancho y 3m de altura. ¿Cuántos cilindros básica y 16cm de altura. de 130cm de altura y 35cm de radio llenos de agua serán necesarios vaciar en la piscina? (𝜋 = 3,14)

264PI

A) 240

B) 360

C) 130

D) 140

E) 480

A) 328𝜋cm2 D) 264𝜋cm2

B) 180𝜋cm2 E) 284𝜋cm2

C) 98𝜋cm2

19. Anita ha recibido de regalo un joyero en forma de un 20. Juan tiene una caja cuyas medidas son: 16cm, cilindro recto. Si sabe que el área lateral es igual al 12cm y 14π cm y una alcancía en forma de área de la base y el radio mide 12cm. Calcular el cilindro, si ambos objetos tienen el mismo volumen del joyero. volumen. Determina la altura de la alcancía si su radio mide 8cm.

A) 746𝜋 cm3 D) 694𝜋 cm3 33

B) 382𝜋 cm3 E) 864𝜋 cm3

C) 988𝜋 cm3

A) 42cm D) 54cm

B) 28cm E) 24cm

C) 36cm

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I

PIRÁMIDES Y CONOS 1. Pirámide En un sólido geométrico, en el cual su base es una región poligonal y su vértice es un punto exterior al plano de la base. En la figura: La región poligonal es el hexágono ABCDEF y el vértice es el punto V. 1.2 Áreas y volumen de una pirámide a) Área lateral de una pirámide (AL) AL = Suma de las áreas de las caras laterales b) Área total de una pirámide (AT) AT = Área lateral + Área de la base c) Volumen de una pirámide (V) V= Notación: pirámide V-ABCDEF 1.1 Pirámide regular Su base es una región poligonal regular y su altura cae en el centro de la base. Así como se observa en la figura anterior: O: centro de la base regular ABCDEF •

A una pirámide se le nombra de acuerdo con la cantidad de lados que tenga su base.

•

Las caras laterales de una pirámide regular son regiones triangulares congruentes entre sí.

•

La altura de una pirámide regular siempre tiene por extremos a su vértice y el centro de su base.

Observaciones importantes: • En una pirámide regular, todas sus caras laterales son congruentes. • Solo las pirámides regulares poseen apotema. • Se llama apotema (ap) de la pirámide a las alturas relativas a las bases de las caras laterales. 34

(Area de la base)(altura de la pirámide) 3

2. Cono circular recto o de revolución Es aquel sólido cuya base es un círculo y el pie de su altura es el centro de su base. Un cono se puede generar por un giro de 360º de una región triangular rectangular con respecto de uno de sus catetos.

En la figura se observa: • Que las generatrices (g) con el diámetro de la base forma la sección axial • Que la generatriz, la altura y el radio de la base forman un triángulo rectángulo, por PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I consiguiente, cumplen el teorema de Pitágoras. Es decir: g2 = h2 + R2 2.1 Desarrollo de un cono recto Al desarrollar la superficie de un cono de revolución, resultan un sector circular (superficie lateral) y un círculo (base)

•

En el desarrollo de la superficie lateral de un cono

Observaciones importantes •

Un cono equilátero es aquel cono de revolución cuya sección axial es una región triangular equilátera.

Siendo, 𝜃 el ángulo de desarrollo, se 𝑟 cumple que: 𝜃 = 360. 𝑔

2.2 Áreas y volumen de un cono recto a) Área lateral de un cono recto (AL) AL = Rg b) Área total de un cono recto (AT) AT = Área lateral + Área de la base AT = Rg + R2 Se cumple que: g = 2R

c) Volumen de un cono recto (V) V=

•

En un cono equilátero, su desarrollo es un semicírculo. V=

35

(Area de la base)(altura del cono) 3

𝜋𝑅 2.ℎ 3

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I PRACTIQUEMOS 1. Calcula el volumen de una pirámide triangular 2. Calcula el volumen de una pirámide regular de base regular, cuyas medidas de la arista de la base y la cuadrangular, sabiendo que el perímetro de la base es 24 cm y las aristas laterales están inclinadas 53° altura son 2√3 cm y 6 cm respectivamente. respecto del plano de la base.

A) 4√3 cm3 D) 10√3 cm3

B) 6√3 cm3 E) 12√3 cm3

C) 8√3 cm3

A) 46√2 cm3 D) 52√2 cm3

B) 50√2 cm3 E) 48√2 cm3

C) 45√2 cm3

3. Las caras laterales de una pirámide regular 4. En una pirámide pentagonal regular, todas sus aristas son de igual longitud y miden 4 dm. Calcula cuadrangular están inclinadas 45° respecto del el área de su superficie lateral. plano de la base. Calcula el área lateral, si la altura del sólido mide 6 dm. (Use: √3=1,7)

A) 52√2 dm2 D) 120√2 dm2 36

B) 144√2 dm2 E) 134√2 dm2

C) 160√2 dm2

A) 34 dm2 D) 32 dm2

B) 17 dm2 E) 68 dm2

C) 42 dm2 PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I 5. Calcular el perímetro de la base de una pirámide 6. En la figura se muestra una carpa con forma de hexagonal regular, si la arista de la base mide la pirámide cuadrangular regular. ¿Cuántos metros mitad de lo que mide la apotema de la pirámide y cuadrados de tela se utilizó para elaborar la carpa el área lateral de la pirámide es 96 u2 incluyendo la base?

A) 12 u

B) 18 u

C) 90 u

D) 24 u

E) 36 u

7. El techo de un quiosco tiene forma de una pirámide cuadrangular regular de caras equiláteras. Calcula el área del techo, en m2, si dicho quiosco ocupa en el piso un área de 16 m2 (Use: √3=1,7)

A) 24,6 37

B) 27,2

C) 22,4

D) 42,6

E) 61,2

A) 36

B) 48

C) 60

D) 72

E) 84

8. Se va a pintar 500 de estos recipientes de forma piramidal regular por dentro, y por fuera con una pintura que rinde 48 m2 por galón. ¿Cuántos galones se requiere, aproximadamente para pintar estos recipientes si la altura del recipiente es de 16 cm?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I 9. Un fabricante de velas está fundiendo un bloque 10. La carpa de un circo tiene forma de un prisma de cera de base cuadrada para hacer velas de forma hexagonal regular y su techo la forma de una piramidal con una altura de 5 cm, cuya base sea pirámide de altura igual a un tercio de la altura del cuadrado. ¿Cuántas velas podrá preparar el prisma. Si la altura total de la carpa es 32 m, calcule fabricante? la cantidad de lona aproximada, en m2, para construir la carpa.

A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

E) 14

A) 1000

B) 1196

C) 1290

D) 1206

E) 1300

11. Calcula el área de la superficie total, en cm2, de un 12. Calcula el volumen de un cono circular recto de área lateral 135𝜋 𝑐𝑚2 y área total 216𝜋 𝑐𝑚2 cono equilátero, cuya altura mide 2√3 cm.

A) 8𝜋 38

B) 12𝜋

C) 16𝜋

D) 32𝜋

E) 24𝜋

A) 324π cm3 D) 270π cm3

B) 280π cm3 E) 345π cm3

C) 310π cm3 PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I 13. Calcular el área lateral de un cono circular recto 14. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de volumen 72π cm3, sabiendo que las circular recto es un semicírculo de área 18𝜋 𝑐𝑚2 . Calcular el volumen del cono. generatrices están inclinadas 45° respecto del plano de la base.

A) 32π√2 cm2 D) 32π√3 cm2

B) 27π√2 cm2 E) 36π√2 cm2

C) 36π√3 cm2

A) 12√3π cm3 D) 9√2π cm3

B) 10√3π cm3 E) 15√2π cm3

C) 9√3π cm3

15. Calcula el volumen de un cono circular recto, en 16. Javier está cortando una figura de la forma de un dm3, cuya generatriz y altura miden 3 y 2 dm semicírculo, cuyo diámetro es 40 cm, para construir respectivamente. un gorro de forma de un cono ¿Cuál es la capacidad aproximada que tendrá dicho gorro?

A) 8π/3

39

B) 11π/3

C) 10π/3

D) 4π

E) 3π

A) 577π B) 384π C) 396π D) 418π E)412π PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO I 17. En el gráfico se muestra un sector circular de 18. Un viajero confeccionó y armó en el campo su carpa papel, con lo cual se va a armar los conitos para de forma cónica cuyo diámetro de la base es igual un cumpleaños. Si el área del sector circular es que la altura del cono. Calcula la cantidad de tela, 150π cm2, calcula el radio de la base del conito en m2, que compró para cubrir la parte lateral si su formado. altura mide 4 m. (Utilice:  ≈ 3,1 y √5 ≈ 2,2)

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

A) 24

B) 20

C) 25

D) 27

E) 28

19. Un ingeniero químico está haciendo pruebas con 20. Se tiene un depósito formado por una parte algunas muestras y en su mesa de trabajo tiene dos cilíndrica y una parte cónica, cuya radio de la recipientes (uno cilíndrico y otro cónico), los entrada superior mide 6 m, la altura del depósito cuales tienen la misma capacidad. Halla h completo es de 24 m y la altura de la sección cónica es 8 m. Si se desea pintar la superficie lateral del depósito, ¿Cuánto mide dicha área aproximadamente? (≈3,1416)

A) 6 cm

40

B) 7 cm

C) 8 cm

D) 9 cm

E) 12cm

A) 618

B) 642

C) 692

D) 792

E) 842

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II

UNIDAD 3: GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Y MEDIDAS predicciones que, en general, no acostumbran resultar DE CENTRALIZACIÓN útiles3. Estadística: Conjunto de informes numéricos derivados de los censos de población, de datos del registro del estado civil y de informes de apropiaciones. Disciplina que estudia cuantitativamente los fenómenos de masa o colectivos, o sea, aquellos fenómenos cuyo estudio solo puede efectuarse a través de una colección de observaciones.1 Aplicaciones de la estadística La estadística es un potente auxiliar de muchas ciencias y actividades humanas: sociología, psicología, geografía humana, economía, etc. Es una herramienta indispensable para la toma de decisiones. También es ampliamente empleada para mostrar los aspectos cuantitativos de una situación. La estadística está relacionada con el estudio de proceso cuyo resultado es más o menos Imprescindible y con la finalidad de obtener conclusiones para tomar decisiones razonables de acuerdo con tales observaciones. El resultado de estudio de dichos procesos, denominados procesos aleatorios, puede ser de naturaleza cualitativa o cuantitativa y, en este último caso, discreta o continúa. Son muchas las predicciones de tipo sociólogo, o económico, que pueden hacerse a partir de la aplicación exclusiva de razonamientos probabilísticos a conjuntos de datos objetivos como son, por ejemplo, los de naturaleza demográfica2. Las predicciones estadísticas, difícilmente hacen referencia a sucesos concretos, pero describen con considerable precisión en el comportamiento global de grandes conjuntos de sucesos particulares. Son

Ramis, M. D. (Agosto de 2009). http://www.monografias.com/trabajos10/esta/esta.shtml#ixzz4pSj e3QYW. 2 MARÍA, U. C. (2017). INGRESO 2018 COMPENDIO DE CIENCIAS. AREQUIPA. 3 MARÍA, U. C. (2017). INGRESO 2018 COMPENDIO DE CIENCIAS. AREQUIPA.

1

41

Divisiones de La Estadística4 Descriptiva La estadística formula reglas y procedimientos para la presentación de una masa de datos en una forma más útil y significativa. Establece normas para la representación gráfica de los datos. También son una base importante para el análisis en casi todas las disciplinas académicas.5 "La estadística descriptiva es la organización y resumen de datos" Fenómenos o sucesos Llamamos fenómenos o sucesos aquellos cuyos resultados no pueden predecirse antes de la realización. Son experimentos que no dan siempre el mismo resultado al repetirlos en las mismas condiciones. Un suceso elemental en el resultado de cada una de las realizaciones del experimento aleatorio. Cualquier suceso al conjunto vacío se llama suceso imposible y por tanto, será un suceso que no se produce nunca. Cualquier proceso que sea igual al espacio muestra se llama suceso seguro, es el que ocurre siempre.6 Algunos términos que es necesario conocer para fijar los datos en las tablas de estadística son: ¿Qué es el rango?7 El rango es una medida de dispersión, una medida de cómo los datos individuales pueden diferir de la media. El rango se calcula simplemente restando el valor mínimo del valor máximo del conjunto de datos. Fórmula para calcular el rango Rango = máximo (xi) - mínimo (xi)

Ramis, M. D. (Agosto de 2009). http://www.monografias.com/trabajos10/esta/esta.shtml#ixzz4pSj e3QYW 5 MARÍA, U. C. (2017). INGRESO 2018 COMPENDIO DE CIENCIAS. AREQUIPA. 6 MARÍA, U. C. (2017). INGRESO 2018 COMPENDIO DE CIENCIAS. AREQUIPA. 7 -ALCULA, G. A. (2009). http://www.alcula.com/es/calculadoras/estadistica/rango/. 4

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II Donde xi es el conjunto de valores.

¿Cuál es el punto medio de los siguientes límites?:

¿Qué son los intervalos de clase?8

8 - 16

Son intervalos sema abiertos se hallan ubicados en los valores de la tabla

MC = (LI + LS) / 2

Son de tipo I, [𝐿1, 𝐿𝑖+1 [ Donde:

MC = (8 + 16) / 2 MC = 24 / 2 MC = 12

𝑳𝒊 = Límite inferior de la clase 𝑳𝒊+𝟏= Límite superior de la clase k= Número de intervalos en que se ha particionado la Tabla Regla de Sturges Indica el número de intervalos a particionar la muestra tomada K= 1 + 3,3𝒍𝒐𝒈𝒏

¿Qué es la amplitud o ancho de clase? Es la longitud de cada intervalo .Se halla dividiendo la longitud del alcance entre el número de intervalos

𝑹𝑨𝑵𝑮𝑶

A= 𝑵𝑼𝑴𝑬𝑹𝑶 𝑫𝑬 𝑰𝑵𝑻𝑬𝑹𝑽𝑨𝑳𝑶𝑺

¿Qué es la marca de clase? (𝒙𝒊 ) El Punto Medio o Marca de Clase es la semisuma de los límites de una clase, estos límites son el inferior y el superior. La Marca de Clase se obtiene sumando el límite inferior (LI) y superior de una clase (LS) y dividiendo el resultado entre dos (2). La marca de clase en este caso la representaremos como MC.9

AGRUPACION DE DATOS POR SERIE O DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

En estadística, se le llama distribución de frecuencias a una ordenación tabulada de los datos recopilados en categorías mutuamente excluyentes que indican el número, de acuerdo a la clase o intervalo a que pertenece y con el número de veces o frecuencias que se repite cada observación en cada categoría10. Esto proporciona un valor añadido a la agrupación de datos. En resumen, la distribución de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Estas agrupaciones de datos suelen estar agrupadas en forma de tablas y gráficos.11

1. Frecuencia absoluta: La frecuencia absoluta de una variable estadística, es el número de veces que aparece en la muestra dicho valor de la variable, la representaremos por fi 12. 2 Frecuencia relativa: Es una medida útil para poder comparar. La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el tamaño de la muestra. Generalmente se expresa en porcentaje. Se denota por hi.

Formula: La fórmula de la marca de clase es la siguiente: MC = (LI + LS) / 2 Ejemplo: J.S.M. (s.f.). ARITMETICA. COLECCION EUCLIDES TAREAS, E. D. (2015). http://www.enciclopediadetareas.net/2016/07/punto-medio-omarca-de-clase-en.html. 10 MARÍA, U. C. (2018). COMPENDIO DE CIENCIAS. AREQUIPA. 8 9

42

Lima, A. P. (16 de febrero de 2014). http://aldanalisis.blogspot.pe/2014/02/distribucion-y-tablas-defrecuencia.html. 12 MARÍA, U. C. (2017). INGRESO 2018 COMPENDIO DE CIENCIAS. AREQUIPA. 11

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II Donde fi es la frecuencia absoluta, y n = es el tamaño de la muestra.

Supongamos 10 profesores cuántos alumnos tienen en sus respectivas secciones.

3. Frecuencia absoluta acumulada: Para poder calcularla la variable estadística ha de ser cuantitativa. La frecuencia absoluta acumulada de un valor de la variable, es el número de veces que ha aparecido en la muestra un valor menor o igual que el de la variable y lo representaremos por Fi.

Primero se ordenan los datos de menor a mayor.

4. Frecuencia relativa acumulada: Al igual que en el caso anterior la frecuencia relativa acumulada es la frecuencia absoluta acumulada dividido por el tamaño de la muestra, y la denotaremos por Hi13

Se determina y forma el número de clases. No es recomendable tener 2 o 3, como tampoco lo es tener una cantidad exorbitante.16

Se determina la amplitud que tendrá cada rango de clase. Estos rangos deben ser del mismo tamaño. Incluso pueden ser individuales, si se prestara, la pregunta para ello.15

Se determina la amplitud (Xmin (máximo valor) y Xmax (máximo valor)) que se denota con la letra C. Se calcula la marca de clase, que es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior entre 2 y se denota con Xi.

Donde fi es la frecuencia absoluta acumulada, y n = es el tamaño de la muestra.14 Ejemplo de datos consignados de las tablas de frecuencias

Comencemos el ejemplo: Tenemos la tabla con los valores originales. Aplicando los pasos descritos, la Tabla de Frecuencia quedaría, con 6 Intervalos con una amplitud de 4, y resultaría como sigue:

5. Porcentaje La frecuencia relativa es un tanto por frecuencia absoluta

frecuencia absoluta acumulada

𝒇𝒊

PESO

frecuencia relativa

frecuencia relativa acumulada

𝒉𝒊

𝑯𝒊

𝑭𝒊

53-55

2

2

0,04

0.04

56-58

5

7

0,1

0,14

59-61

9

16

0,18

0,32

62-64

15

31

0,3

0,62

65-67

12

43

0,24

0,86

68-70

5

48

0,1

0,96

71-73

2

50

0,04

1

uno, sin embargo, hoy día es bastante frecuente hablar siempre en términos de tantos por ciento o porcentajes, por lo que esta medida resulta de multiplicar la frecuencia relativa por 100. La denotaremos por: 𝒉𝒊 𝒙 𝟏𝟎𝟎

Las frecuencias absolutas y acumuladas son siempre números naturales La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al tamaño de la muestra. La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.17

Sigamos un mismo ejemplo para representar todas las frecuencias.

MARÍA, U. C. (2017). INGRESO 2018 COMPENDIO DE CIENCIAS. AREQUIPA. 14 Lima, A. P. (16 de febrero de 2014). http://aldanalisis.blogspot.pe/2014/02/distribucion-y-tablas-defrecuencia.html. 13

43

MARÍA, U. C. (2017). INGRESO 2018 COMPENDIO DE CIENCIAS. AREQUIPA. 16 MARÍA, U. C. (2017). INGRESO 2018 COMPENDIO DE CIENCIAS. AREQUIPA. 17 Velazques, F. A. (2009). Aritmética. Lima: racso. 15

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II GRÁFICOS ESTADÍSTICOS HISTOGRAMAS Los histogramas son el equivalente al diagrama de barras cuando lo que se quiere representar es la frecuencia de una variable cuantitativa que toma un gran número de valores, tales como la edad. Peso temperatura, etc. Para representar un gráfico de este tipo es necesario dividir el rango de valores de la variable en un número de intervalos que deben estar como en la tabla de frecuencias, entre 5 y 15), siendo recomendable que sean de la misma amplitud.

curvatura del polígono, y su punto más alto es siempre el de mayor frecuencia del conjunto. ¿Para qué sirve un polígono de frecuencias? Se emplean los polígonos de frecuencias cuando es necesario graficar o resaltar distintas distribuciones conjuntas o bien una clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua, junto con otra variable cualitativa o cuantitativa discreta, todo dentro de un mismo gráfico

La construcción de un histograma comienza con la división del eje de abscisas (eje X) en los intervalos estimados y, a continuación, sobre cada uno de ellos se levanta un rectángulo de base igual a la amplitud del intervalo y de altura proporcional a la frecuencia (relativa o absoluta).

GRÁFICO CIRCULAR

Los histogramas constituyen una poderosa herramienta para el análisis descriptivo de los datos. Entre otras cosas, permiten detectar, en función de su forma, el tipo de distribución que sigue la variable.

POLÍGONO DE FRECUENCIAS Un polígono de frecuencias es una herramienta gráfica que se emplea a partir de un histograma de frecuencia (es decir, otro tipo de gráfico que expresa las frecuencias mediante columnas verticales). Para ello, se unen con una línea los distintos puntos medios de las columnas del histograma, sin dejar espacio entre una y otra, logrando así una forma geométrica o polígono.

Es un gráfico usado para representar frecuencias, porcentajes y proporciones. Se suele usar con variables cualitativas, ya que con variables cuantitativas puede generar confusiones. También es llamado, gráfico de pastel, gráfico de torta o gráfica de 360°. El ángulo central de cada sector, es proporcional a la frecuencia. Se calcula de la siguiente manera, teniendo en cuenta la frecuencia a graficar:

Características del polígono de frecuencias Los polígonos de frecuencia se conforman uniendo los puntos medios de cada fase o columna mediante segmentos de recta, de modo que consisten en un tipo de representación visual de la información cuantitativa. Los datos de la tabla se hallan siempre por debajo de la 44

A un grupo de alumnos se les preguntó a un grupo de alumnos sobre su color favorito, se obtuvo el siguiente cuadro de frecuencias:

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II Media aritmética Es el promedio o medición de tendencia central de uso más común. Se calcula sumando todas las observaciones de una serie de datos y luego dividiendo el total entre el número de elementos involucrados.

Usaremos la frecuencia porcentual. Calculemos el ángulo central de cada sector:

• •

datos no agrupados 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 … . . 𝑋̅ = 𝑛 datos agrupados

Mediana

Usando el transportador, medimos cada uno de los ángulos centrales, y dibujamos el gráfico.

Es el valor medio de una secuencia ordenada de datos. Si no hay empates, la mitad de las observaciones serán menores y la otra mitad serán mayores. La mediana no se ve afectada por ninguna observación extrema de una serie de datos. Por tanto, siempre que esté presente una observación extrema es apropiada usar la mediana en vez de la media para describir una serie de datos.

Para calcular la mediana de una serie de datos recolectados en su forma sin procesar, primero debemos poner los datos en una clasificación ordenada. Después usamos la fórmula de punto de posicionamiento:

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL La mayor parte de las serie de datos muestran una clara tendencia a agruparse alrededor de un cierto punto central. Así pues, dada cualquier serie de datos particular, por lo general es posible seleccionar algún valor o promedio típico para describir toda la serie de datos. Este valor descriptivo típico es una medición de tendencia central o de ubicación. 45

Para encontrar el lugar de la clasificación ordenada que corresponde al valor de la mediana, se sigue una de las dos reglas: Si el tamaño de la muestra es un número impar, la mediana se representa mediante el valor numérico correspondiente al punto de posicionamiento, la observación ordenada es (n+1)/2. PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II Si el tamaño de la muestra es un número par entonces el punto de posicionamiento cae entre las dos observaciones medias de la clasificación ordenada. La mediana es el promedio de los valores numéricos correspondientes a estas dos observaciones medias.

MODA

Es el valor de una serie de datos que aparece con más frecuencia. Se obtiene fácilmente de una clasificación ordenada. A diferencia de la media aritmética, la moda no se ve afectada por la ocurrencia de los valores extremos. Ejemplo: Los valores siguientes son las calificaciones de un alumno durante todo el año 7; 8; 9; 7; 9; 8; 8; 8; 7; 8 Podemos afirmar entonces que el modo es igual a 8, dado que es el valor que aparece con más frecuencia.

46

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II PRACTIQUEMOS

1. En una encuesta se tomó nota del número de horas diarias que ven su celular 20 alumnos de un salón, registrándose estos resultados :3; 3; 5;4;2; 4; 3;5;4;3; 4;3;5;5;3; 1;2,4;2;3.(horas) Completar la tabla, hallar: 𝐹3 + ℎ3 − 𝑓5 −𝐻4 + ℎ%3 ( considerar valores enteros de la tabla) 𝒇𝒊

N°de horas 1 2 3 4 5 TOTAL

𝑭𝒊

𝒉𝒊

1

0,05 0,15

4

𝑯𝒊

Porcentaje h%

0,20

5 20 20

A) 41,55

B) 46,51

C) 36,22

D) 38,01

E) 39,48

2. Completar la siguiente tabla correspondiente a las edades de 32 mujeres que participan en un congreso de: “Habilidades y desarrolló personal”.

𝒇𝒊

EDAD 9 10 12 13 15 16 TOTAL

𝑭𝒊

𝒉𝒊

𝑯𝒊

Porcentaje % 12,5

16 0,75 2 4 32

Responder: 2.1 ¿Cuántas mujeres menores de 13 años fueron al congreso?

A) 24

B) 23

C) 22

D) 25

E) 20

2. 2 Según el cuadro anterior: hallar el valor de: ℎ1+ 𝐻2 + ℎ%5

A) 16,431

47

B) 18,751

C) 12,876

D) 13,125

E) 14,729

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II

2.3 Construir: polígono de frecuencias con los datos encontrados.

3. En el siguiente polígono de frecuencias , muestra la cantidad de alumnos matriculados en diferentes años , en la Institución Educativa : “Corazón de Jesús “:

Institución Educativa : “Corazón de Jesús “: 700

600

número de alumnos

600 500 400

400 300

300

300

200

200 100

0

0

0

0

0

2003

2004

2005

2006

2007

0

0

años

Construir la tabla de frecuencias correspondiente y responder: ¿Cuál es el porcentaje del número de alumnos matriculados en el 2005 y 2006? 𝒇𝒊

A.)21,3%; 12,5%

48

B) 22,5%; 13,6%

C) 22,2%; 11,1%

𝑭𝒊

D) 26,8%; 12,3%

𝒉𝒊

𝑯𝒊

Porcentaje %

E)24,7%; 16,4%

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II Las siguientes preguntas se referirán al siguiente diagrama estadístico , que muestra la producción anual de desarmadores de una fábrica ( millones de desarmadores) 25

20

millones de desarmadores

20

14

15

12

12

12

10 10

5

0 2013

2014

2015

2016

2017

2018

año

4. ¿Cuál es el porcentaje de producción desde el año 2015?

A) 72,5%

B) 75,3%

C) 73,4%

D)76,7%

E)76,6%

5. De acuerdo a los datos, desde el 2013 hasta el 2018 ¿Cuál es el porcentaje del año de mayor producción?

A) 23%

49

B) 27%

C)24%

D) 26%

E) 25%

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II

250 niños de una comunidad usan diversos medios de transporte para llegar a su escuela. El siguiente cuadro diagrama circular muestra porcentajes de niños que usan cada medio

bus, 20%

scooter x a pie,48%

bicicleta, 24%

6. ¿Qué cantidad de niños llega a su colegio en scooter?

A) 20

B) 17

C) 14

D) 12

E) 13

7. ¿Cuál es la diferencia entre los niños que llegan a pie y los que llegan en bicicleta?

A) 40 50

B) 70

C) 60

D) 20

E) 90 PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II

8. A continuación se tiene los gastos diarios de un grupo de turistas. Completa el cuadro y responde:

¿Cuántos turistas tienen sus gastos diarios de S/ 44 a S/ 59? GASTOS DIARIOS 40 -

𝒇𝒊

𝒉𝒊

𝑭𝒊

𝑯𝒊 0,15

16 0,25 58 76 -

A) 41

B) 60

0,95

64

C) 64

D) 58

E) 72

9. La siguiente tabla muestra la distribución de las ventas diarias de un conjunto 40 de tiendas. Hallar el

valor de: 𝐹3 + 𝐻2 −(𝑓3 × ℎ5 ) Ventas DIARIAS 100 -

𝒇𝒊

𝑭𝒊

𝒉𝒊

𝑯𝒊

4 0,225 0,525

-

A) 11,235

51

B) 12,567

400

C) 13,768

12 7

D) 18,754

E) 19,925

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 10. En un salón de clases se recopilaron las notas de la asignatura de Comunicación :

NOTA

10

11

12

13

14

15

16

17

4

8

10

13

16

12

7

4

FRECUENCIA

Determinar:

MEDIANA

MEDIA

MODA

11. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias, si la media aritmética de dicha distribución es: 4,32 hallar el valor de: “m” X

1

2

3

4

5

6

FRECUENCIAS

2

3

m

6

5

8

A) 3

52

B)7

C) 1

D)8

E)9

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II

12. La producción anual de plata de los principales productores de un continente, se muestra en el gráfico circular

B= 90° A= 120°

40° 110°

Si la producción total es de 1 000 toneladas, la producción media entre los países A y B es:

A) 291,65 A) 281,69

A) 201,63

A) 251,61

A) 211,25

13. En relación con la gráfica de barras:

ESTATURA DE UN GRUPO DE JÓVENES (cm) 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 160

161

162

163

164

165

Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: A) La media es 164,5 cm…… B) La moda es 164 cm…… C) La mediana es 162,5…. D) Total de encuestados es 100…. E) 25 encuestados tienen una estatura mayor que la media……

53

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II

14. Considerando la siguiente tabla de frecuencias, calcular la media correspondiente.

INTERVALOS [𝟒𝟎𝟎 − 𝟒𝟐𝟎[ [𝟒𝟐𝟎 − 𝟒𝟒𝟎[ [ [ − [𝟒𝟔𝟎 − 𝟒𝟖𝟎[ [ [ − [ [ − [ [ −

A) 456,23

B) 434,98

C) 422,76

𝑿𝒊

D)458,97

𝒇𝒊 80 120 125 99 88 78 10

𝑭𝒊

E) 451,55

15. La siguientes tabla presenta el ausentismo laboral en una empresa indicado por el número de trabajadores ausentes para cada día de trabajo , registrado para 90 días del año 2020: TRABAJADORES NÚMERO AUSENTES POR DE DIÁS DIA

[𝟎; 𝟒[ [𝟒; 𝟗[ [𝟗; 𝟏𝟒[ [𝟏𝟒; 𝟏𝟗[ [𝟏𝟗; 𝟐𝟒[ TOTAL

9 15 21 30 15

90

Luego la media aritmética del cuadro de trabajadores ausentes por día es:

54

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II

16. Dada la siguiente tabla de frecuencias 17. Se tiene la siguiente tabla incompleta acerca de las determinar : la edad promedio, moda y mediana ; edades de 88 profesores que laboran en la UCSM de un grupo de alumnos de secundaria: edades 𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊 variable Frecuencia [𝟑𝟎, 𝟑𝟒[ 0,125 0,125 absoluta 30 12 2 [𝟑𝟖. 30 60 𝟒𝟐[ 13 10 14 18 15 3 [𝟒𝟔, 𝟓𝟎] 48 16 1 Considerando que los intervalos de clase tienen el mismo tamaño ¿Cuál es el porcentaje de los profesores que tienen 34 años o más? MEDIA: MODA: MEDIANA:

A)82,1%

B) 87,5%

C)88,8%

D)82,6%

E)87,4%

NÚMERO DE ALUMNOS

18.En la siguiente gráfica se muestra el número de alumnos de una universidad agrupados según sus edades : 1000

800

800

600

500

600

300

400 200 0 16

18

20

22

EDADES DE LOS ALUMNOS

Hallar la edad promedio de los estudiantes:

A) 13,56

55

B) 18,36

C)14,34

D) 17,89

E) 16,21

PRECATÓLICA 2022-II

MATEMÁTICA Y RAZONAMIENTO MATEMÁTICO II 19. En el grupo B-1 se le preguntó a cada uno de los 20. En el siguiente diagrama circular sobre los alumnos el número de hermanos que tiene, y se asistentes a las deferentes tiendas de un mall, se sabe obtuvo el siguiente resultado : que en la tienda D hay 77 personas ¿cuántas personas hay en la tienda A? N°hermanos 0 1 2 3 4 5 alumnos 1 3 7 2 5 2 A

30°

a. ¿Cuántos hermanos tienen en promedio los alumnos?

C

(a/3)° 70°

E

(a/6)°

F

40°

D

(a/2)°

B

b. Encontrar la mediana y la moda de los datos de la tabla de frecuencias

A)61 B)63 C) 64 D) 66 E)60

56

PRECATÓLICA 2022-II

CLAVES DE RESPUESTAS Funciones de variable real 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

C

A

D

A

E

E

A

A

A

A

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A

B

B

C

C

A

A

E

A

D

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

A

C

E

E

D

A

B

A

C

D

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

C

B

A

C

A

D

C

E

C

D

Prismas y cilindros 1 D

2 A

3 C

4 D

5 B

6 C

7 A

8 B

9 C

10 B

11 A

12 B

13 D

14 E

15 C

16 D

17 B

18 D

19 E

20 A

Pirámides y conos 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

B

E

B

A

D

E

B

A

D

D

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

C

A

E

C

C

A

D

E

C

D

10

Gráficos estadísticos y medidas de centralización 1 A

2 2.1 A 2.2 D

11

12

C

A

3

4

5

6

7

8

9

C

A

E

A

C

D

E

13

14

15

16

17

18

19

A

B

D

20 B