Collected Works [1, 1 ed.] 3-54009189-0, 0-387-09189-0 [PDF]

Zitiervorschau

HENRI CARTAN

CEUVRES Collected Works

VOLUME I

Edited by R. Rernrnert and J-P.Sewe

SPRINGER-VERLAG BERLIN . HEIDELBERG - NEW YORK 1979

ISBN 3-540-09189-0 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387-09189-0 Springer-VerlagNew York Heidelberg Berlin CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Cartan. Henri: [Sammlung] (Euvres-Collected Works I Henri Cartan. Ed. by R. Kemmert : J-P. Serrc. - Berlin, Heidelberg. New York : Springer. ISBN 3-540-09189-0 (Berlin. He~delberg,New York) ISBN 0-387-09189-0 (New York, Hsidelberg, Berlin) Vol. 1. - 1979. This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part oT the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use oT ~llustrations,broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means and storage in data banks. Under 5 54 of the German Copyright Law where coples are made Tor other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount ofthe fee to be determined by agreement with the publisher. 0 by Springer-Verlag BerlinHeidelberg 1979. Printed in Germany. Pr~nting:Julius Beltz, HemsbachIBergstr. Binding: Konrad Triltsch, Wi~rz,burg 214013130-54 3 2 1

Preface

We are happy to present the Collected Works of Henri Cartan. There are three volumes. The first one contains a curriculum vitae, a >and a list of publications, including books and seminars. In addition the volume contains all papers of H. Cartan on analytic functions published before 1939. The other papers on analytic functions, e.g. those on Stein manifolds and coherent sheaves, make up the second volume. The third volume contains, with a few exceptions, all further papers of H. Cartan; among them is a reproduction of exposes 2 to 1 1 of his 1954155 Seminar on Eilenberg-MacLane algebras. Each volume ist arranged in chronological order. The reader should be aware that these volumes do not fully reflect H. Cartan's work, a large part of which is also contained in his fifteen ENS-Seminars (1948-1964) and in his book "Homological Algebra" with S. Eilenberg. In particular one cannot appreciate the importance of Cartan's contributions to sheaf theory, Stein manifolds and analytic spaces without studying his 1950151, 1951152 and 1953154 Seminars. Still, we trust that mathematicians throughout the world will welcome the availability of the "Oeuvres" of a mathematician whose writing and teaching has had such an influence on our generation. Reinhold Remmert

Jean-Pierre Serre

Curriculum Vitae

Ne a Nancy Elkve a 1'Ecole Normale SupCrieure AgrCge de mathematiques Docteur es Sciences mathematiques Professeur au Lycee Malherbe Caen Charge de cours a la FacultC des Sciences de Lille Charge de cours, puis maitre de confCrences a la Faculte des Sciences de Strasbourg 1936-40 Professeur a la FacultC des Sciences de Strasbourg 1940-49 Maitre de conferences a la Faculte des Sciences de Paris 1945-47 DCtachC pour deux ans a la FacultC des Sciences de Strasbourg 1949-69 Professeur a la Faculte des Sciences de Paris 1940-65 Charge de l'enseignement des mathkmatiques a 1'Ecole Normale SupCrieure 1969-75 Professeur la FacultC des Sciences d'Orsay, puis a 1'Universite de Paris-Sud 1967-70 Prbident de 1'Union MathCmatique Internationale Professeur honoraire a la FacultC des Sciences de Strasbourg, puis a I'UniversitC Louis Pasteur Professeur honoraire a 1'Universite de Paris-Sud. Foreign Honorary Member of the American Academy (Boston), 1950 Foreign Honorary Member of the London Mathematical Society, 1959 Membre de 1'AcadCmie Royale des Sciences et des Lettres du Danemark, 1962 Membre correspondant de 1'AcadCmie des Sciences (Institut de France), 1965 AssociC Ctranger de 1'Academia di Scienze, Lettere et Arti di Palermo, 1967 Honorary Member of the Cambridge Philosophical Society, 1969 Foreign Member of the Royal Society of London, 1971 Membre correspondant de 1'AcadCmie des Sciences de Gottingen, 1971 Membre correspondant de 1'Academie des Sciences de Madrid, 1971 Foreign Associate of the National Academy of Sciences (USA), 1972 Membre de 1'AcadCmie des Sciences (Institut de France), 1974 Membre correspondant de 1'AcadCmie Bavaroise des Sciences, 1974 Membre associe de 1'Academie Royale de Belgique (classe des Sciences), 1978 Medaille d'or du Centre National de la Recherche Scientifique, 1976. Docteur honoris causa de 1'Ecole Polytechnique Federale de Zurich (1955), des Universites de Munster (1952), Oslo (1961), Sussex (1969), Cambridge (1969), Stockholm (1978). 1904 (8 juillet) 1923-26 1926 1928 1928-29 1929-31 1931-35

Brkve analyse des travaux*

I. Fonctions analytiques

1) Fonctions d'une variable complexe C'est a elles que sont consacres mes tout premiers travaux. Quelques Notes aux Comptes Rendus se rapportent a la fonction de croissance de Nevanlinna et a la repartition des valeurs des fonctions meromorphes. Dans ma These [3], j'ai reussi a prouver, en la precisant, une inegalite conjecturee par Andre BLOCH: pour tout nombre reel h>O, les points du plan complexe ou un polynbme unitaire de degre n est, en valeur absolue, au plus egal a h" peuvent Gtre enfermes dans des disques dont la somme des rayons est au plus Cgale 21 2 eh (e = base des logarithmes neperiens). J'ai montre de plus que l'on peut considerablement generaliser ce resultat; cette generalisation a Cte ensuite reprise et utiliske par Ahlfors. L'inCgalitC de Bloch s'est rCvClCe un instrument precieux dans l'etude de la repartition des valeurs d'une fonction analytique. Dans [25], j'ai etudie la croissance d'un systeme de fonctions holomorphes, c'est-a-dire, en fait, d'une application holomorphe dans un espace projectif, generalisant a cette situation les theoremes de NEVANLINNA. Cette etude a kt6 reprise, d'une f a ~ o nindkpendante, par Hermann et Joachim WEYL. C'est dans ma These [3] que j'ai Ctudie les familles normales d'applications holomorphes d'un disque dans l'espace projectif Pn(@) prive de n 2 hyperplans en position genkique. Ce sujet semble redevenu d'actualite a la suite de quelques travaux recents (notamment de P. KIERNANet S. KOBAYASHI,Nagoya Math. J. 1973).

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2) Probl2mes d'itkration et de limite pour les fonctions holomorphes de plusieurs variables complexes ([I41, [24], [29]) J'ai notamment prouve le resultat suivant: soit D un domaine borne de a)",et soit f une application holomorphe D-D. Si, dans l'adherence de la suite des itCrees fk,il existe une transformation dont le Jacobien n'est pas identiquement nul, f est necessairement un automorphisme de D. Ce resultat est susceptible de nombreuses applications; M. HER* l'a utilise avec succes a diverses occasions. En voici une application immediate [24]: pour n = I, s'il existe un point a du plan complexe @, hors de D, et une courbe fermee de D dont l'indice par rapport * Caite par H. Cartan en 1973.

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Brkve analyse des travaux

a a soit non nul, si de plus f transforme cette courbe en une courbe dont l'indice est non nul, alors f est necessairement un automorphisme de D. Autre application: pour n quelconque, si f: D+D possede un point fixe en lequel le Jacobien est de valeur absolue Cgale a 1, f est un automorphisme de D.

3) Automorphismes des domaines born6s ([I 31, [20], [33]) Que peut-on dire du groupe de tous les automorphismes holomorphes d'un domaine born6 D de C"? (Cf. aussi 4) ci-dessous). Soit G ( a ) le groupe d'isotropie d'un point a E D, c'est-a-dire le sous-groupe forme des automorphismes qui laissent fixe le point a. Un premier rCsultat est le suivant: I'application qui, a chaque element de G (a), associe la transformation linCaire tangente en a, est un isomorphisrne de G (a) sur un sous-groupe (compact) du groupe linCaire GL(n,@).J'ai prouvC cela a partir d'un lemme t r b simple, qui dit que si une transformation holomorphe f de D dans D (non supposCe bijective) laisse fixe un point a E D et est tangente a 17identitCen a, c'est I'application identique. Ce lemme est aussi valable pour les groupes formels (cf. le livre classique de BOCHNERet MARTIN).I1 a aussi l'avantage de pouvoir s'appliquer tel quel aux fonctions holomorphes dans un espace de Banach complexe de dimension infinie, beaucoup Ctudiees aujourd'hui. Le rCsultat prCcCdent m'a conduit a une dkmonstration t r b simple du theoreme suivant: soient D et D' deux domaines cercles dont I'un au moins est suppose born6 (un domaine D est dit cerclC s'il est stable par toute homothCtie de rapport A tel que (A1 = 1 et s'il contient l'origine); alors tout isomorphisme holomorphe f: D+D1 qui transforme l'origine en l'origine est necessairement linkaire. Ce theoreme Ctait auparavant connu dans des cas particuliers, ou sous des hypotheses restrictives relatives a la frontiere (BEHNKE).I1 est, lui aussi, valable dans un espace de Banach. L'article [13] contient beaucoup d'autres resultats, notamment sur l'existence de developpements en sCries de types particuliers. La dktermination du groupe de tousles automorphismes d'un domainecerclC borne a ete faite completement pour le cas de deux variables dans [20]. A part quelques types spCciaux de domaines cercles (qui sont explicites), le groupe de tous les automorphismes se rCduit au groupe d'isotropie de l'origine. 4) Groupes de transformations holomorphes en gknkral

Le groupe des automorphismes holomorphes d'un domaine born6 D de @" est localement compact: c'est un rCsultat nullement Cvident que j'ai prouvC dans [24]. La question se posait ensuite de savoir si c'est un groupe de Lie. Ce probleme ne doit pas Stre confondu avec le fameux cinquieme probleme de HILBERT,qui du reste n'Ctait pas encore rCsolu a 1'Cpoque (1935). Dans [32], j'ai dCmontrC le thCoreme fondamental suivant: tout ccnoyau>>compact de groupe de transformations holomorphes, dans @",est un noyau de groupe de Lie. I1 en resulte d'une part que le groupe des automorphismes holomorphes

Brtve analyse des travaux

XI

d'un domaine borne est un groupe de Lie (a parametres reels); d'autre part que le groupe des automorphismes d'une varikte analytique complexe compacte est un groupe de Lie, comme BOCHNERl'a montre plus tard. Quant au theoreme fondamental ci-dessus, publie en 1935, il fut retrouve huit ans plus tard par MONTGOMERY SOUS une forme plus generale, valable pour les groupes de transformations differentiables; la methode de Montgomery est essentiellement la msme, mais en utilisant le thkoreme de Baire il reussit a I'appliquer au cas differentiable.

5) Domaines d 'holomorphie et convexite ([I 61, [23]) La notion de ccdomaine d'holomorphie>>est bien connue aujourd' hui. Dans l'article [16], j'ai pour la premiere fois montre qu'un domaine d'holomorphie posskde certaines proprietes de ccconvexitt>>par rapport aux fonctions holomorphes. Cette notion de ccconvexitt>> s'est, depuis lors, montrke feconde est non et elle est devenue classique. Dans [16], j'ai prouve que la ccconvexitC>> seulement necessaire pour que D soit un domaine d'holomorphie, mais qu'elle est suffisante pour certains domaines d'un type particulier (par exemple les domaines cercles). Qu'elle soit suffisante dans le cas general a etC dkmontre peu En mettant en commun nos idkes, Thullen et moi avons aprks par P. THULLEN. Ccrit le memoire [23] consacre a la theorie des domaines d'holomorphie. La notion de convexite holomorphe s'introduit aussi dans les problkmes d'approximation.

6) Problkmes de Cousin Le premier problkme de Cousin (ou probleme additif de Cousin) consiste a trouver une fonction meromorphe dont on se donne les parties principales (polaires). Le deuxikme problkme de Cousin (ou probleme multiplicatif) consiste a trouver une fonction meromorphe admettant un ccdiviseur,, donne (variete des zeros et des p6les avec leurs ordres de multiplicitC). On sait aujourd'hui que le probleme additif est toujours rCsoluble pour un domaine d'holomorphie, et plus gkneralement pour une ccvarietk de Stein,,. Ce resultat a kt6 prouve pour la premikre fois par K. OKA.Avant Oka, j'avais vu (6.[31]) que le probleme additif pouvait se rksoudre en utilisant l'integrale d'Andr6 WEIL,mais comme a cette Cpoque il manquait certaines techniques permettant d'appliquer l'integrale de Weil au cas general des domaines d'holomorphie, je renongai 5 publier ma demonstration. Par ailleurs, je savais que, dans le cas de deux variables, le premier problkme de Cousin n'a pas toujours de solution pour un domaine qui n'est pas un domaine d'holomorphie. En revanche, pour trois variables, j'ai donne le premier exemple (cf. [34]) d'ouvert qui n'est pas domaine d'holomorphie et dans lequel cependant le problkme additif de Cousin est toujours resoluble; il s'agit de C3 prive de l'origine. Ma methode de demonstration pour ce cas particulier (utilisation des series de Laurent) a et6

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Br6ve analyse des travaux

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9) La notion gknkrale d'espace analytique C'est apres 1950 qu'apparait la nCcessite de generaliser la notion de varietC analytique complexe, pour y inclure des singularites d'un type particulier, comme on le fait en GCometrie algkbrique. Par exemple, le quotient d'une varietk analytique complexe par un groupe proprement discontinu d'automorphismes n'est pas une variCtC analytique en gCnCral (s'il y a des points fixes), mais c'est un espace analytique (cf. [43]). Des 1951, BEHNKEet STEINtentaient d'introduire une notion d'espace analytique en prenant comme modeles locaux des ccrevktements ramifiis,, d'ouverts de Cn;mais leur dkfinition Ctait assez peu maniable. Ma premiere tentative date de mon Seminaire 1951-52 (Expose XIII); j'ai repris cette definition des espaces analytiques dans mon SCminairede 1953-54 en introduisant la notion genCrale d'espace annelk, qui a ensuite CtC popularisCe par SERRE,puis par GRAUERTet GROTHENDIECK. En 1953-54, ma dCfinition conduisait aux espaces analytiques normaux (c'est-a-dire tels que I'anneau associC a chaque point soit intkgralement clos). C'est SERREqui, le premier, attira I'attention sur I'utilitC d'abandonner la condition restrictive de normalitk. Ensuite GRAUERTpuis GROTHENDIECK introduisirent la catkgorie plus gCnCrale des espaces annelCs dans lesquels I'anneau attach6 a un point n'est plus nicessairement un anneau de germes de fonctions mais peut admettre des ClCments nilpotents. J'ai demontre dans [48] un thCoreme de ccprolongement~ des espaces analytiques normaux, suggerC par des travaux de W. L. BAILY,et qui s'applique a la compactification de SATAKEdans la thCorie des fonctions automorphes. 1 0 ) Quotients d7espacesanalytiques ([43], [51], et SCminaire 1953-54) Tout quotient d'un espace annelC X est canoniquement muni d'une structure d'espace annele (ayant une propriCte universelle aisee a formuler). Le probleme suivant se pose: lorsque X est un espace analytique, trouver des critkres permettant d'affirmer que I'espace annelC quotient est aussi un espace analytique. J'ai montrC que lorsque la relation d'equivalence est dCfinie par un groupe proprement discontinu d'automorphismes de X, le quotient est toujours un espace analytique. Puis, dans [51], j'ai donnC un critere valable pour toutes les relations d'equivalence ccpropres, et j'ai etendu au cas des espaces analytiques gkneraux un theoreme prouvC (par une autre mkthode) par K. STEINdans le cas des varietCs sans singularitks, et que voici: si f: X+Y est une application holomorphe, et si les composantes connexes des fibres de f sont compactes, le quotient de Xpar la relation d'iquivalence dont les classes sont les composantes connexes des fibres est un espace analytique. D'autres applications du critere sont donnCes dans [51]. 1 1 ) Fonctions automorphes e t plongements Ayant dCfini le quotient d'un espace analytique X par un groupe G proprement discontinu d'automorphismes, il s'agissait de realiser dans certains cas cet

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Brkve analyse des travaux

espace quotient comme sous-espace analytique d'espaces d'un type simple. Le premier cas que j'ai trait6 est celui ou X est un ouvert borne de @" et ou X/G est compact: en m'appuyant sur des resultats de M. HERVE(repris dans [47]), j'ai prouvC dans [43] que les formes automorphes d'un poids convenable fournissent un plongement de X/G comme sous-espace analytique (fermC) d'un espace projectif. Donc X/G s'identifie B l'espace analytique sous-jacent B une n . L'on peut choisir pour f une application fibr6e (en construisant avec SERREdes espaces de chemins), et I'on a donc une suite spectrale reliant les homologies de X, de Y et de la fibre. Cette mCthode permet le calcul (partiel) des groupes d'homotopie d'un espace a partir de ses groupes d'homologie.

2) DCtennination des algkbres d'Eilenberg-MacLane H. (17, n) ([9'1.], [92], 1931) Rappelons que K(17,n) dCsigne un espace dont tous les groupes d'homotopie sont nuls, sauf n,, qui est isomorphe a une groupe abClien donne 17. Un tel espace est un espace de HOPFet par suite ses groupes d'homologie foment une algebre graduee H.(17,n). Le probleme du calcul explicite de ces algebres avait CtC pose par EILENBERG et MACLANE.Je suis parvenu a ce calcul par des mCthodes purement algkbriques, basCes sur la notion de ccconstruction,,, et qui permettent un calcul explicite. Les resultats s'knoncent particulierement bien lorsqu'on prend comme anneau de coefficients le corps IF, a p klkments (p premier). Le cas ou p = 2 et ou le groupe 17 est cyclique avait CtC entierement rCsolu par J.-P. SERRE,par une mkthode un peu diffCrente. A l'occasion de ces calculs j'ai Ct6 amene introduire la notion d'algkbre graduCe a puissances diviskes; l'algkbre d'Eilenberg-MacLane possede de telles ((puissances divisCes,,. C'est une notion qui s'est avkree utile dans d'autres domaines, et notamment dans la thCorie des groupes formels (DIEUDONNG, CARTIER). 3) Suite spectrale d'un espace ou opdre un groupe discret ([82], [83]) On considere un groupe G opCrant sans point fixe, de fagon proprement discontinue, dans un espace topologique X. Dans une Note commune, J. LERAY et moi avions envisagC le cas ou le groupe est fini. J'ai CtudiC ensuite le cas gCnCra1, qui a de nombreuses applications. On trouve une exposition de cette question au Chapitre XVI de mon livre c~HomologicalAlgebra,, Ccrit en collaboration avec S. EILENBERG.

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Breve analyse des travaux

4) Cohomologie des espaces homog2nes de groupes de Lie ([86], [87]) I1 s'agit de la cohomologie h coefficients reels d'un espace hornogene Glg, G Ctant un groupe de Lie compact connexe et g u n sous-groupe ferme connexe de G. La methode utilisee est celle de I'ccalgebre de Weil>>d'une algebre de Lie. J'obtiens pour la premiere fois une determination complete de la cohomologie reelle de Glg; il suffit de connaitre la dans l'algebre de Lie de G, et 1'homomorphisrne I (G)+ I (g) (ou I (G) designe l'algebre des polynbrnes sur l'algebre de Lie de G, invariants par le groupe adjoint; de mime pour I (g)). Ces resultats ont etC ensuite repris par A. BORELqui les a en partie etendus au cas plus difficile de la cohomologie coefficients dans IF,. A ce sujet, on peut consulter le rapport de BORELdans le Bulletin de 1'A.M.S. (vol. 61, 1955, p. 397-432).

5) Opkra tions de STEENROD La premiere demonstration de la forrnule du produit pour les cccarres de Steenrod,,, irnproprernent appelee puisque c'est WU-WENTSUN qui m'avait propose de prouver cette formule, se trouve donnee dans la une demonstration Note [85]. Son seul merite est d'avoir suggere a STEENROD de la formule analogue .9i(xy) = r.+C .9;(x) .Y;(y) pour les operations de j=k Steenrod modulo p ( p premier impair). Aujourd'hui on a de meilleures demonstrations de ces relations. Dans [94], je determine explicitement les relations rnultiplicatives existant entre les generateurs St; de l'algebre de Steenrod pour p premier impair (le cas p = 2 avait ete trait6 par J. ADEM;le cas ou p est impair a ensuite Cte trait6 independarnrnent par J. Adern au rnoyen d'une rnCthode differente de la mienne).

6) Cohomologie a coefficients dans un faisceau Cette notion maintenant fondamentale, aussi bien en Topologie qu'en Analyse, avait ete introduite par J. LERAYd'une f a ~ o nrelativement compliquee. Dans mon SCminaire de 1950-51 j'en donne la premiere exposition axiomatique, qui est aujourd'hui adoptee (voir par exemple le livre classique de R. GODEMENT). Cette presentation a permis ultkrieurement de faire rentrer la theorie des et de lui faisceaux (de groupes abeliens) dans celle des appliquer les mCthodes de 1'Algebre homologique (foncteurs derives, etc. ...). D'autre part, c'est dans le cadre de la cohomologie a valeurs dans un faisceau que j'ai place le theorerne de DE RHAM(relatif au calcul de la cohomologie rkelle d'une variktk differentiable au moyen des formes differentielles), ainsi que la c> de PO IN CAR^ des varietes topologiques, triangulables ou non. d'etudier Ces idCes sont devenues courantes; elles ont permis a P. DOLBEAULT le cornplexe de d"-cohornologie d'une variCtC analytique cornplexe.

Breve analyse des travaux

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111. Theorie du potentiel ([70], [711.1, [72], [73], [74], [75], [84])

C'est sous l'influence de M. BRELOTque je me suis interesse pendant la guerre aux problemes de la theorie du potentiel (potentiel newtonien et generalisations diverses). J'ai utilid d'une maniere systematique la notion d'knergie, en commenqant par prouver le theoreme suivant: I'espace des distributions positives d'knergie finie, muni de la norme dkduite de I'energie, est complet. Ce fut l'occasion d'employer la methode de projection sur un sous-ensemble convexe et complet (dans un espace fonctionnel). Le theoreme precedent suggkra a J. DENYd'introduire en theorie du potentiel les distributions de SCHWARTZ; il prouva que I'espace vectoriel de toutes les distributions d'energie finie (et plus seulement les distributions positives) est complet. J'ai aussi introduit la notion de topologie fine (la moins fine rendant continues les fonctions surharmoniques), qui s'est averee utile notamment dans les questions d'effilement a la frontiere, et, plus recemment, dans les nouveaux developpements axiomatiques de la theorie du potentiel en relation avec les ProbabilitQ. J'ai donne la premiere demonstration d'un theoreme que dksirait BRELOT,et qui se formule ainsi: la limite d'une suite decroissante (ou, plus gkneralement, d'un ensemble filtrant dkcroissant) de fonctions surharmoniques, si elle n'est pas identiquement - 0 3 , ne differe d'une fonction surharmonique que sur un ensemble de capacite exterieure nulle. Enfin, je crois avoir Cte le premier a introduire une theorie du potentiel dans les espaces homogenes [7 11.

IV. Algebre homologique Ecrit entre 1950 et 1953, paru seulement en 1956, le livre ccHomological Algebra, est dii a une longue collaboration avec Samuel EILENBERG.On y expose pour la premi6re fois une theorie qui englobe diverses theories particulieres (homologie des groupes, homologie des algebres associatives, homologie des algebres de Lie, syzygies de HILBERT,etc. ...), en les plaqant dans le cadre general des foncteurs additifs et de leurs foncteurs ((derives>>.Les foncteurs Torn(A,B) (foncteurs derives gauches du produit tensoriel A 8 B) sont introduits dans cet ouvrage, ainsi que les foncteurs Extn(A, B) (foncteurs derives droits du foncteur Hom (A,B)). Auparavant, seul le foncteur Extl (A, R) avait it6 explicitement considCr6 dans la litterature (Eilenberg-MacLane). On montre notamment le r81e qu'ils jouent dans la ccformule de Kiinneth,,, qui est pour la premiere fois enoncee en termes invariants. Cet ouvrage de 400 pages semble avoir servi de catalyseur: il a ete a l'origine de rapides developpements tant en Algkbre pure qu'en Geometrie algkbrique et en Geometrie analytique. Le terme lui-mCme d'ccalgebre homologique>>,donnC comme titre a notre livre, a fait fortune. Dans ce livre nous avions trait6 le cas

XVIII

Brtve analyse des travaux

des modules sur un anneau; mais l'exposition avait Cte conduite de telle sorte qu'elle pouvait immkdiatement se transposer a d'autres cas, comme il Ctait d'ailleurs indiquC dans 1'Appendice a notre livre ecrit par D. BUCHSBAUM. I1 d'introduire et d'Ctudier systCmatiquement les devait revenir a GROTHENDIECK de la transformation de Fourier dans le cadre gCnCral des groupes abCliens localement compacts, sans faire appel ala thCorie ccclassique>>. 4 ) Classes de fonctions indkfiniment dkrivables ([63]

[68]) J'ai Ctabli par voie ClCmentaire de nouvelles inCgalitCs entre les dCrivCes successives d'une fonction d'une variable rCelle. Puis, en collaboration avec S. MANDELBROJT,nous les avons appliqukes a la solution dCfinitive du problkme de 1'Cquivalence de deux classes de fonctions (chacune des classes ktant dkfinies par des majorations donnCes des dkrivkes successives).

Brkve analyse des travaux

XIX

5) Extension et simplification d'un thkor6me de RADO([40]) J'ai formule ce theoreme de la maniere suivante: une fonction continue f qui est holomorphe en tout point z ou f(z) = 0 est holomorphe aussi aux points ou f(z) = 0. La demonstration que j'en ai donnee est tres simple et basCe sur la theorie du potentiel. De 18on dCduit le theoreme de RADOSOUS sa forme usuelle (i.e.: une fonction holomorphe qui tend vers zero a la frontiere est identiquement nulle, sous des hypothkses convenables relatives a la frontiere). De plus, sous la forme ou je l'knonce, le theoreme s'Ctend trivialement aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, et meme aux fonctions dans un ouvert d'un espace de Banach.

VI. Collaboration au Trait6 de N. BOURBAKI Pendant vingt ans, de 1935 a 1954, j'ai participk au travail collectif d'klaboration des (-.1 - p ) 2 4

Soit n I c nombrc des points t, d e modules inferieurs ou esaux

qp. On a , d'apr8s ce qui prkcbde,

i

la sornme qui figure au premier nlembre etant etcndue a ccs points t,. Mais on a evidenlment

les sorrllnes etant toujouis etenducs a u x m&mespoints t,. Si lI. cst un nombre positif arbitraire, on peut, en vertu d u theorkme 111, tracrr des cercles dont la somme des rayons soit (rgalc h 4 e k , et tcls que I'on ait I'inegalite ('1 (23)

Z'og

+

< I 1 log I I


SUR

LEs

S Y S T ~ Y E S DE

FoNcTloiYs HoLoMORPHES,ETc.

75

52. Soitf(x) une fonction mkromorphe dans tout le plan, on seulement au voisinage d'un point singulier essentiel isole, que nous supposerons a I'infini. Designons par E ( a ) l'ensemble des points oh la fonction f ( 2 ) prend la valeur a , et, en particulier, par E(m) I'ensemble des phles de la fonction. Dans tout ce qui suivra, on ndmettra, sauf indication contraire, que chaque point de l'ensemble E ( n ) est comptk autant de fois qu'il y a d'unitts dans l'ordre de multiplici~ede la racine correspondante de l'equation f ( x ) = a , si a est jini, d~rpdle correspondant, si a e ~ itlfitli. t Lorsque deux fonctions f ( x ) et g ( x ) , mBromorphes dans tout le plan, admettent le mCme ensemble E(a), nous dirons qu'elksprennent ensemble la valeur a , ou encore que g ( x ) prend la valeur a en mime temps ylle f ( x ) . 11 en est ainsi, t.11 particolier, lorsque chacune des deux fonctions admet a comme valeur exceptionnelle, c'est-8-dire ne prend pas la valeur a ; dans ce cas, I'ensemble E ( a ) est vide. Nous dirons, de mhn~e,que deux fonctions, meromorphes au voisinaye du point i I'in tin i. pr~~nnPnt ensemble la valeur a cru z~oisinagede l'injini, s'il cxiste un cercle de rayon assez grand, h I'extkrieur duquel les ensembles E(a) relatifs h ces deux fonctions coincident. Nous conviendrons Bgalrment de dire qu'une fonction /(XI, mkromorphe au voisinage du point i I'infini, admet (1 comrne valeur exceptionnelle, s'il cxiste uli cerclu ;I l'exteriec~rduquel / ( x ) ne prend pas lavaleur a . (1) Ccrlains des 1.6=11ltat.i de cc Ch;~pitl.c0111 &ti: plibliis dans dcux Notcs alix C o ~ j r p l e s~ C I L I I ~ (I/Se Z'.lcnd. rles S c . , t . 185? 1927, p. 1253, ct 1. 186, 1928, 11. 624. I.ci a f ( i ~ . n ~ : ~ ~dcs i o n sp a ~ , a g r a l ~ l ~4c sct 5 tlc la ~ c c o n d cNotc sont ~ 1 4 prol~ablcmcnr s

IIIl'XilCtCS.

53. G. POlga e t H. Neva~llinna ont kte, je crois, les premiers s'occuperde I'unicili. d e la determination d'une fonction meromorphe, par la connaissance d'un n o ~ n b r efini d'ensernbles E ( a , ) , E(t1,), . .., Etci,,), assujettis ou non la restriction relative aux ordres de rnultiplicitC. H. Nevat~linnaa demontre If: thCori!me suivant ('1 : S i rltlrr.r. Jbnctions, mt:~.ornorphe.s.arr voisintlgc (/I/ poinl il I'injni, srrpposk .singrrliel. c,ssc,ntiel, prenncnt ensemble c:rNc_, anlelrrs distinctes a u uoisinrrge cle l'infini, elles sont ~~t!ce.ssni~*ement r'dentiq~rcs,m&me1or.squ'on ne lien2 pas colnple clcs ol-rlws rle ~/~ulll;olicitr;. Une fonction meromorphe au voisinage d u point 5 l'infini cst donc complPtement determinee par la connaissance, au voisi~tngede cc point, de cinq ense~rlblesE ( a , ) , E ( u , ) , Eta,), E ( a , , ) ,E ( n , , ) . 11 est naturel de chercher B reduire ce nombre d e cinq. On y arrive en s'appuyant sur le theoreme de E. Borel, d e j i cite dans I'lntroduction ( 5 i ) : S i l'on

tr

rrne idcntitd de 111.forme

entre des fonctions enti?~r.s,sc1n.s zt!ms. ou bien 1eu1.s rtrpporls mirtuels sont des comtanles, - oil bien les fonclions se pcrrlagent e n ylusieurs p o r ~ y e s , 1t1 somine des fonclions rl'rrn m$me group(, cst i(lentique~nenl nulle, el lelr~riwpports mutrlels sonl des constantes. Rappelons clue, pour demontrer ce theori:me, H. N e v a ~ ~ l i ~ i(') na etablit la proposition suivante, d'ou il decoule immediatement : si les p fonctions ne solit pas liees par d'autre relation lineaire, homogbne, a coefficients constants non tous nuls, q u e la relation donnee

. . ., p ) sont bornes lorsque raugmente x et par suite les - - I s o n t d e s constantes. (i ~r, =I,

indeiiniment,

2,

P -

[ F , dl. G. Pblya avait ltabli cc ~1iCorCme [ G I dans le cas d e deux fonctions entikres, de gcnrc lini, qui prennent enst.mble quatrc valeurs h i e s distinctes. ( z ) [ F , 61. p. 3 8 1 . ( 1 )

SUR LES

SYSTBMES nE FONCTIONS

Or, pour rnontrer qrle n,(r.

IIOLOIIORPFIES,

ETC.

2)

77

est borne. i l sufit de supposer

que les fonctions sont d8li1iies gu voisinage d u point 9 l'infini, et qu'elles n'ont ni p8les ni zeros dans ce voisinage; dire que nr(r,

< X

)

est borne, c'est dire q u e

>

n'a pas de singularit6 h

!A

I'infini. D'oh une gen6ralis;1tion d u theorbme de Bore1 : N' l'on a lrne irlentit(;(1. la .forme

c n l r ~dc.r .fonctions /tolomo~p/~es, sans ziros, a11 voisin(~g.e(111 point ti l'inPni, 011 Oien leurs rapports mutnels sont rc;guliers a l'injini, - ou bien /es.fonctions se partagent e n pb~sieulrgroupes, la somme des .fonctions d'r~nm&rn~. grouppe cst i(1entiqrlerncnt nulle, el leurs rapporls niutr~elssont rigrr1ic1-.r/i l'infini.

Dans les problkmes que nous allons nous poser, nous nous ramltnerons systematiquement A I'etude d'une identitk, a laquelle nous appliquerons ce deruier theorhme. D'ailleura, celui-ci subsiste evidemment lorsque les fonctions X I , S,, .. ., X,, ont ,des zeros et des pbles, pourvu qu'aucun de leurs rapports mutuels n'en possi.de.

5%. Envisageons d'abord d e u s fonctions f ( x ) et g.(x), meromorplies au voisinage du point i I'inlini, supposk singulier essentiel; admettons qu'elles prennent ensemble, au voisinage de I'infini, quatre valeurs distinctes n , I), c, d , que nous pouvons supposer finies. Cherchons a voir si ces deux fonctions ne seraient pas forcement identiqnes. Designons, d'une facon generale, par ( e , , pe,, e,, c , ) le rapport anharrnonique de quatre nombres e l , e,, e,, r ; :

et posons (37)

I

(f,8.a , 1 ) ) -- X . (f,g, a, L . ) = Y , (f.g,a , d ) = % .

78 HENRI CARTAN. X, Y, Z sont des fon.ctions holomorphes, sans zeros, au voisinage du point a I'infini. Or, I'elimination de f et g entre les relations (37) conduit A une identite de Borel h six termes : ( a - b ) ( c- d ) ( X + Y Z ) + ( a -- c ) ( d- b ) ( Y + Z X ) + ( a - - - d ) ( -bc ) ( % + XY) - 0 .

R e h p l a ~ o n sX, Y, Z par leurs valeurs en fonction de f et g; il vient (38)

( a - b ) ( c - d ) [ (f - a ) ( f - b ) ( g - c ) ( g - d ) + (8'- a ) ( g - b ) (f - c ) ( l ' - d ) I + ( a - c ) ( d- b ) [ if - a ) ( f- c ) ( g - b ) i ~ 4 +!a-d)(b-()[(

+ (g- a ) ( # - c ) (f - b ) (f f -a)(j-d)(g.- b)(g-c)

dl]

+ (g- a ) ( # . - d ) ( j - b ) ( j - c ) ]G o .

Dbsignons respectivement par X:, X:, Xi,Xi, X:, X: les six termes qui figment au premier membre de (38), dans I'ordre o i ~ils se presentent. Ce sont des fonctions meromorphes au voisinage du point a I'infini, et leurs rapports mutuels ne possedent ni z'eros ni pdles. Nous appliquerons donc le theortme de Borel generalise a I'identite (38); les dimerents cas de decomposition possibles sont les suivants : a. Un seul groupe comprenant les six fonctions;

9. Deux groupes de trois fonction!;

y. Un groupe de deux fonctions et un groupe dequatre; t". Trois groupes de deux fonctions. Le cas p se subdivise Iui-mkme en deux cas essentiellement distirlcts, suivant que les trois fonctions d'un meme groupe ont leurs indices inferieurs tous differents, ou que deux de ces indices sent les mCmes. Nous prendrons, comme types de chacun de ces delis cas,

Le cas y se subdivise allssi en deux cas essentiellement distincts :

Enfin, le cas 4 se subdirisc en trois :

Jc dis d'abord que, 11 ct c designant deux quelconques des quatre nornbres a , 6, c , c / ( u $1 v ) , si deux des six rapports anharmoniques (.f, ,o., u , s u ~ reguliers t a I'infini, f ct g. sont idenliques. IIcrivons en clrct ( 1 )

(1. ,y.

11.

(,f. ,q. ( 1 , .

V )

u ,)

=I'

(,TI,

=,'F (x),

P ct P I etant des fonctions regulieres i I'infini. L'Clinlir~ation de g entre ces deux relations conduit a une equation, du second degre au plus ell .f. Si clle permettait de calculer f en fonction de P et P , , f n'aurait pas dc singularite rssrntielle a I'infini. II faut donc clue celte &quation soit identicjuenient rerifiee, autrement dit, que les deux relations kcrites se rkduisent 2 une seule. Or, si l'on y regarde, pour un instant, P el I), comrne des constantes, f e t g comrnedes variables, elles definissent une homographie admettant les points doubles 11, u, u 1 et u,, ce cjni fait au moins trois points doubles. Cette homographie sc reduit donc a la transformation identique, et I'on a

Cela posk, si l'on examinesuccessivement les cas enumeres plus haut, cn ecrivant, pour chacun d'eux, que le rapport de deux fonctions d'un mPnie groupe n'a pas de singularite a l'infini, on trouve precisement, all noi ins clans les cas a, p, , $, y I , y, et ;, , que delia des six rapports anharn~oniquesi f , g,11, c ) sont reguliers a I'infini. On en conclut f r g . Ilans le cas 6,, on a

[(I.,8, b. (')I2=

I.

Si (./', g., 6, 1 . ) r 1 , on a J'=g. Si (f, g, 6, c ) = - I , on tror~ve ensuite (j',g, u. h ) = I , ce q r ~ iest impossible, en vertu de la remarque faite plus haut.

80

II reste equations

IlENRl

CARTAN.

examiner le cas 2 , . L'elimination de f e t ,o. entre les ,Y;+X:=o

X:+X:o

et

donne [ ( a , 6,

d'oi1

I.,

d)12= I ,

( a , h , c , d )=

I.

puisc~ueles nombres ( I , I), c , d sont distincts. On trouve ensuite

cela exige q u e J'et g admettent (1 et 6 comme valeurs exceptionnelles; sinon j ' e t g prendraient ensemble la valeur 0, par exemplc; or on 11'a pas ( a / , 1 )= I . -

55. Tous les cas ayant ete examiees, nous obtenons le theorhme suivant : ' ~ I I ~ O R B D I V111. E - a , 6 , c , t/ dLsignant QIiATRE n01ttbre.rcomplexes distincts, i l existe a11 plus uric J'onction, m i r o m o y h e (111 f?oisinr~ge du point .ringulier essentiel a 1 ' i ~ r / i n iporrr , lalgnelle E ( a ), E ( b ) , E ( c ) , E ( d ) coi'ncideltt respcctic.ement, nu voisinage de l J i n . n i 7 aclr,c qrlrltrse ensembles do~cl,c!rA, 13, C , D. 11 y (1 e ~ : c e p ~ i osi, n les rns/,mbles A et B ttant vides U I I roisinage de l'itt/ini, 0 1 2 n

dans cr. cns, s'il existe l ~ folzction n ~ rel~onc//llttri la lguc.s/ion, il en existe d e u r , et dc~rr~. serrk~nzc~~c~, . / ' ( x ) ct g ( x ) , ct l'on n

1,orsquc rious disunu q u e tleus enscnil)lcs coi'ncident. au voisinage tlc I'infii~i, lou us cntentlons qu'il tlxistc un cercle cle rayon asscz gr:ind, i I'estkricur tluquel ils col~rcitlcnt. Conver~otrsalors de dire q u e dells e ~ i s e ~ n b l cdes points coi'ncident au sc~c.vlu~-,o.c,lorsqu'ils ire dillerent q u e par un ~ l o ~ r ~fini b r ede points. Le t1it'ori.m~\'Ill e1111.aincevicle~ii~nciil Ic suivant :

SUR I,ES SYSTEIIES DE FONCTIONS

IIOLOMORPI1ES,

8I

E1.C..

THEORBME VIIl bis. - (I existe arr plus une fonction me'romorphe dons tout leplan, non rationnelle, porrr laqrrelle E ( n ) , E(b), E(c), E ( d ) coi'ncident au sens large avec quatre ensembles donnks A, B , C, D ; il .y n exception xi, les ensembles A et B n'aynnt qrr'un nombre jini de poinls, on a ( a , I), c , d ) = -

I;

d a m ce cas, s'il existe une fonction repondant ci k1 question, il en existe deux, et deux seulernent, f ( x ) et g ( x ) , et l'on a

Ce theorPme reste vrai a fot.tior.i si I'on supprime les mots au sens large D ; le cas d'exception correspond alors seulement au cas oh les ensembles A et R sont vides. On retrouve ainsi u n thkoriime d i ~ a G. POlya et R. Nevanlinna ( I ) . ((

56. Corrsiderons maintenant trois fonctions f ( x ) , g ( x ) et 17(x), mCromorphes a u voisinage d n point h I'intini, suppose singulier essentiel; admettons qu'elles prennent ensemble, au voisinage d e l'infini, trois valeurs distinctes a , b , c, q u e nous pouvons supposer finies. Nous allons dkmontrer q u e deux de ces fonctions sont necessairement identiques. Posons en effet ( f , g , (7, //)=X. ( f ,,; n. r . ) = Y , ( f , / L , a , /,)=%, ( f , 11, a , 1 . ) = T ,

et Climinons J., g, /i entre ces relations; puis, dans I'identitk obtenue, r e m p l a ~ o n sde nouveau X, Y, Z, T en fonction de j;g , h. I1 vient, tous calculs faits, (39)

p~

( f -a)(g-b)(/~-,,) + ( f - b ) ( g -c)(/, - a ) a ) ( h- 0 ) - ( f - r ) ( g - I / ) ( / L - a ) -(f-a)(hr,on a necessairement f j x ) = g ( x ) . Dans le c:~s4" enfin, on a f ( x ) g ( x )=I . L e theorbme est demontre. I1 complkte le theorkme de G . Pblya e t R. Nevanlinna deja citk (Sj 57).

S U I ~ LES S Y S T ~ M E SnE FONCTIONS HOLOMORPHES,

ETC.

9'

t i l . 011pel11 encore le completer de la taron suivante :

THEOREME XV. - Soienl deux fonctions distinctes f ( x ) et g ( x ) , holomotphes et sans zkr-os a11 uoisinage du point sr'nguliet. essentiel ir l'inj'ni. Sccpposon.v j'(.I,) g ( x )$ I .

,

Soit alors uric. suite urbitraire de nornbres co~rtp lexes 5,,o, . . ., G,,, . . . gui tendent vers I'inJini. ktc~ntd o n n k ~une cit-conference r nyunt .son centre tl l'origine ot u n rayon arbiltnirc., i1 cxiste 11npoint z o sur celte circonfkrence, et une suite injinie c L , ,ok,, . . . , CI,, , . . . extraice de Lu suite yrkcedente, qui jouissent de La pt-oprie'tk srri(-nntc: C disignc~ntun cercle dc centre z,, et tte ruyon arbit~.airernentyeti(, el C,,, C,,, . . ., Ck,,, . . . dksignant Les cc.rcles hotr~olhttiquesde C par rapport ci L'origine, duns Les rapports re spec ti':^ c,,, G,,, . . . , c,,,, ..., . " . f-1 . ,

92

H.

C.\RTAN.

-

SUR 1.KS SYSTEWES DE FOSCTIONS

IIOCOMORPHES,

E'l'(:.

Par consequent, il existe s u r I' un point;,, qui jouit de la propriete suivantp : etant donne un cercle C quelconque, d r centrc z,, on peut trouver une suite infinie oymtelle que, dans chacun des crrcles C , , , la fonction

fz ait ao rnuins un "- I

sCn, eu un pblc. Prenons alors an(.

suite infinie de cercles, de centre ;,, dont les rayons tendent vcrs zkro ; pour chacun d'eux nous avons une suite ol,,,. La suite diagonale fournit la suite 4- de I'enonc6, et le theorerne est dernontrk.

Vu e t approur~!: I'aris, le 3 oclobrc rgv.8.

V M et permis d'imprimer : Paris, le 3 octobre 1928.

LE RECTRURDE L ' A C A D ~ BI)H I K I'AHIS, S.

CHARLETY.

4.

Un nouveau thbrkme d'unicitk relatif aux fonctions mkromorphes Comptes Rendus del'Academie des Sciences de Paris, 188,301-303 (1929)

I . Soierlt f ( x ) et g ( x ) deux forlctiorls de la variable cornplexe z, meren~orphesau voisinage d'rin point singulier essentiel isole, que nous s u p p o s e rolls a I'infini. Convenons de dire que ces fonctions prennent ensemble la v&ur (1 ( n pel~t6t1.e infir~i),s'il existe l r r r cercle a l'exterieur duquel les ~~uatio~ls

adrneltenl les 1116rrlt!s racirws. 11 se polrrra, ee particulier, qu'elles rl'ad[nettent a11t:llne racinc~all voisinage d r I'infini; la valrrrr n sera dite alors e~ce~tiorlnelle. Si I'on suppose c:n outre que les ordres de mr1ltil)licit6des racines sont les rnknles dans les d e l ~ vPqllations ( i ) , or1 sait alors q~i'ilne peut exister plus tle d e ~ l xfonctions prerrant enspmt)lc lrnis valeurs distinctes. $i l'oo fait abstraction des ordres de multiplicitt; des racines des equalio~ts( I ) , on sait se~llerntbnt(Nevanlinna) que deux fonctions qui prennent c!ltseIrlhlch cinq valeurs sont rlCcessairerncrlt ident,iques, mais jusqu'ici on Il'avait, PII ahaisst:r c r ~lomhrt.de cinq ~ I I ( :dans d r s cas particuliers, comme le srlivarlt (Yevanlinrla) : si dt t ltliH't;rr~r~r, t, el sru(')

(2)

Iement dans I r c : ~ soil A

est

le ~ I : I I I L O U I ~ I I I ~ C I . .

S ~ A N C ED U

21

6 27

OCTOBHE 1929.

4. Sul)l~osonsmaintenant f(x) rnkromoqhe duns tout le plan, et non mtionnelle. Alors t(r; f), et, d'une facon gCnCrale, toute fonction de I-ecouvrernent, augrnente indkfiniment avec r. A I'aide de (4) et de

H Ctant independant dc r, on demontre : THEOREYE 11. - 11, (I*)et u2(r) designant cteux qrr/~lconq~ies drs Jonciions c i c j

wcolicl,wnent (envisagees aux paragraphvs 2 et

:j),

on

(1,

pour tout a

> 1,

et your toiit r rxterieur a des intervalles duns lesquels la variation totalc de logr est j n i e ( ' ;), \ u , ( f , )~

--~2(r)l4 n1 l l l a ( L x . d ) XI amaao.!ql a1 ~ r r n c u a r ! ~ u . ) d s aluos . ~ uo!lsaul) ua saru?.toalll sn.>p so? 11 31) S U ~ ! ~ : , ~ I ~ J sal J . I ~ S( r ) v 1 . 1 ~salqe!.ll!.% ) r n a l ) all . ; ~ I ~ I ! ~ ~s.11 u o.JI n s ( , )

. ( ' g - ~ .d ' 5 6 ~ '61 1 '3

itl>y)s.~xaldrr~o:,.;alqe!.lr:n

"~ljrtcci

' ( c I I - L ~ . d '!881 'P ' I

"t/lauc

. s a 1 3 . 1xnap ~ ap a[qm;,sua,l ap asodluo:, as sa?9les!~ua suo!Jauoj sap a:)uals!xa,p aureruop a1 anbsaol l ~ a n b ! ~ t l d ~suo!~eaap!suo:, ?~s saluaui sal :)nb nprialua luela 'd?u?[ anuwjs!]) ?I 7nol.rwcl satld.iou~o.l?lrr suo!l:,uoj ap la saJ??lua sfio?l.31ioJa p suo.r;q.red snou 'saap! sal .rarrj ano,] ..t'ur?~(l a[ suep la x uuId a1 suep ~rraruaa!I:,ad -saa sanl!s jsarrhz103lanb xazdtilio3 l u a u ~ a l d u ~ sau!wtciop !s xnap ap aruam 110) saj.).ia3: m a p ay ?ul.rol'ati?u~uoyr i l l sti?,y s a q d a o ~ u o ~ a r u no saqd.iomoloy 'aa!e~lrro:, 1113 'rto ',(' ap la s, ap sa.?u$ s.inalun ap awys,Cs ]no7 nod s a q d ~ o u r o a a ~ uno saqd.~oruoloq ,€ a p la x a p sno!l:,uoj sap y luaurruaaa,fj!pu! eaanb!~ddu,sI!ns !nb a:, J n o L

'(11 am?Joayl la I am?Jo?ql a p ruou a[ snos !3! ~rroaannB!j!nb) (,) xnap suo.rpua!iaJ ua s n o -xnc~au?l;f ~ snld saruaaoaql zap !Iqela r! u!snon

aJ.ra!d -J.~I' a l u a q j ! p a!o.i aun .red ra ' p ~ e 1s n ~ dnad u n

. s ? 1 0 ~s~v?ocisap ri;)'? I / ) ajqtuasfia l ~ l u l n u u . rs, ~azi sad;??ltia suo!l.?uoi z n a p dp ~1ia?jo?16 I I au1.104 ~ D ) S I I O S a.rljaw as /?lad 'a?u$a3u~js?pY ~ ~ / ( / . I o u I o .~I n? o~ l( .I i ~'saxal(lu1o3 (/ S ~ ~ / U ? .xtiap IUC~ ap uo!~uuo./aun,nb~ 8 8 "a 1 a.'iuom?p e ( , ) aale:,u!od !auaH ' 1.

( 0 ~ 6 191 ) 1-66 'PS sanbneuraq~e~ sa9uaps sap u!lallna

saxaldu~oasalqapaa xnap ap suogauoj sal m s

u ( x ,. y ) ; et cela, de facon que, e'tant donnhs tleux voisinages quelconqrres q u i ont rine rrjgion conznzune, le quotient des d e u x fonctior~su ( x ,y j correspondnt~tessoit /iolot;zo~.~)he et d t f e r e n t de ze'ro duns cette rdgion c.omn~ritie.Alors i fexistc une fonction entidre U (x,y ) , telle que, a u voisiltrcge de tout point, le qziotient

u(x;

soit bolomorplie et d i j i r e n t de rdt-o.

Y)

2. Convenons d'appeller vnrie'te' caractP~.istiqzietoule v a r d t k dblinie, au voisinage de chacrin d e ses points, 1,ar u n e relation de la forme rl(x,.y)=o,

u ( x , y ) etant holomorphe au voisinage d u point considC1.e. Le thkoreme 1 exprime q u e l'on perit tocijours former- u t ~ fot~ction e entiere U ( x , y ) , s ' n n l ~ u l n n sur t des tla/.ittCs cnt,ac~S/.is~iqnes donndes, el&n o m b r e j n i ou en i~~Jinite'dd~tombr-able, et ne s'ann l ~ l a n tpas ailleut.~,pourc'u clue l ' e ~ ~ s eble m cle ces ~~rc~.ie'~ks n 'aclmette aucune singularit6 ti di.vtancej n i e . Cette derniere condition s'exprime, e n e n e t , d e la maniere suivante : btant d o n n e u n point quelconque d e l'espace, l'cnsemble des varibtbs qui passent au voisinage d e ce point p e u t 6lru defini e n &galanta zero u n e fonction holomorphe d e x et y. E n outre, le theor6rne I m o n t r e q u e 1'01~l)eut a'ssigner rrlt or-dre de mri1ti~)licittul.bitrair-e ci chaccitte des vri~.ie'tCssut* lesqrielles s'annule la fonction chel.chie U ( x , 3'). Voici ce qu'il faut entendre par la. S o i l V \ m e varikte s u r laquelle s'annule U ( x ,y ) . . au Nous dirons q n e i7est simple porlr la fonction U, SI -ne s'annule

OY

qu'en des point.s isoles s u r V ; il e n sora alors de m6me ( I ) 3u pour --, au nloins si la varieti. ii'est pas d c la f o r ~ i l c y = c o m t . , 0.z

auquel cas l'ordre d e nlultiplicite se l a k e definir i m u ~ e d i a t e m e n t . ( I ) Car, pour tt>l~td i o l a c e ~ r ~ e ncix, t

tfj/

s u r la \,;~l.ietC\', o n a I;( relalion

consequence de l a relatie)rr U ( x , y ) = o. S i

dtJ

-

03: .-.

s ' a r ~ n u l a i l e n des p o i n t s non

isolks, il serait nu1 c n l o u t p o i n l tle la varieli., r t par suite auszi

dU

--. dr

3u Si, au contraire, s'annule en tout point de V, et par 3v dU suite egalement - (a moins que la varietC ne soit de la forme dx . d' U x = const.), mais s l y ne s'annule ri~r'endes points isoles sur V, JY

-

la varik~e sera dite double porir la for~clionU. O n dkfinit de iu$me Lint? variete multiple d'ordre a . Si la variete V est multiple d'ordre a , la fonction U peut se mettre soos la forme U(x. y) = [ F ( r . y j l a U 1 ( x , y),

F(.?:,y ) Ctant ilne fonction entierc qui s'annule simplement sur V l et U , ( x , y ) tine fonction entiere qui ne s'annule qu'en des points isolt!s sur V. Le thdoreme I , qui s'etend aux fonctions de n variables complexes, @nkralise le thdorhnze d e W>ierstt.ass, d'aprhs lequel il existe toujours une fonction entiere d'une variable, admettant dcs z6ros donnCs avec des ordres de multiplicitC donnks. D'autre part, il fournit une dbmonstration du thCorPme de l'oincari: poiir un r~orrlbrequelconque de variables.

3. T H L ~ R11. E ~-C Convenorts E d'nppelet. Cquivalentes d a n s u n Oornaitte d e l'espuce ( x , y ) d e u x fonctiotts me't.on~or-phesdont la dife'rence est /lo/omorphe darts ce domaine. Supposons q u e tout poilit d e l'espace soit intkriecrr ci u n (( voisinnge u, d a n s lequel on a dtfini une fonction me'romophe ?(x,y ) , et celn d e facon q u e 7es fonctions y ( x , y ) , relatives a deux o o i s i ~ t u ~aeys a n t une 1-egioncommune, soient tquivalentes clans cette rkgion commune. A1ot.s ilexiste clne fonction @(x,y ) , p a r t o u t nte't.otnorphe i7. distance Jinie, et equivalente, a u voisirtnqe d e tout point d e l'espnca, h la fonction y ( x , y ) corresporlr/nnte. Ce t h e o r ~ m es'etend 6galement aux fonctions d'un nombre quelconqrie de variables complexes. I1 gkneralise le the'or6me d e Afittug-Lejfler, d'apres leqr~elon peut toujours former une fonclion d'one variable ad~neltantdes pciles donnes avec des parties principales donnees, et restant d'ailleurs holomorphe au voisinage de torit autre point du plan.

Le theoreme I peut Ctre ddduit du theoreme 11.

4. Dans cet article, je ddmontrerai un thkorCme fondamental (theoreme A) qui rentre dans l'ordre dlidCes prdcddent. Je rappelle d'abord un theoreme connu :

THEOR~ 111. ME - S o i t d o n n t e , d a n s le p l a n d e la v a r i a b l e conzplexe x, u n e suite infirzie d e points a i ( l i m a i = a);on p e u t toujours for.n~ertine Jbrrction 4 ( x ) , holonzor.phe en tout point diflkrent d e a;, et p r e n a n t e n c h a q u e p o i n t ai une v a l e u r arbitmir-e bi. Si bi est infini, on peut, de facon precise, se donner la partic principale de 4 ( z ) et le ternle constant de son ddveloppement au voisinage de x = a;. Si, au contraire, tous les bi sont finis, la fonction 4 ( x ) sera entiere. Nous indiquerons au no 6 la demonstration d'un thCor6me plus general (theoreme IV), ce qui nous dispense de rappeler ici la dkmonstration du theoreme 111.

5. Je generalise le thCor&me111 de la facon suivante : TH~ORE A.ME Soierzt donntes, d u n s l'espace ( x , y ) , des var.ie'te3 carmte'r.istiqiies Vi, e n nontbre f i n i ou e n infinite' de'nombmble, d o n t I'er~sernblen e pr-ksente a u c u n e s i n g u l a r i t t ci distance finie [en vertu du thdorkme 1, cet ensemble de varietds p e i ~ t&tre defini en egalant a zero une fonction e n t i h e F ( x , y ) ] . Sccpposons q u e l'orz a i t ddjini, s u r chagcie TTilune fonctior~ d e var.iable complexe, uniforme et p a r t o u t me'romorphe s u r V;, e t ddsignons cette fonction p n r cq ( M ) , M e l a n t urz poin t ycielconque d e Vi. Alors on p e u t trouoer icrze fonction @ ( x ,y ) , mkromorphe parlorLt a distance finie (,I ), et p r e n a n t sure chaque Tri les m&mes valeurs clue la fonction cq(M); il vaut mieux dire, a cause des

( I ) BlCme si p ( M ) est partout Ilolomorphc, i l n'est pas sQr (contrairen~entA ce q u i avalt lieu dans Ic cai du tllCoreme 111) qu'o~lpuisse prendre pour *(I,y ) une fonction enliere.

. ( I = ( A'x) uo!lelaJ el y luojs!?es !nb ,€ ap l a 3. ap sa!u!j s.ln.>le.\ s.71 anh a.t!r.llclon n e a%s!nua,u u o 'a.r?llua uo!lelaJ aun,p SF^ a1 sue(~l 'axald~l~rm ~!13alo.lduclcl a1 suep iur!5~ld as ua '!UIJU!,Iy slu!od sal ?la!~t!nP I " ~ e p. r a . ~ j u aaJlrj ~ I ! ( I ~uo J 'anh?.rq?2lu uo!le[a.c aun'p se.1 a1 s u e a (,)

: lue.i!ns aru?Joaql a1 l a j a ua e no f 111 ; ) U I ? . I O a1 ? ~~~a ! ~ r ~ a ! l sea ~ o darumoa luaruas!a?~d amJajuaJ rnb la 'aalou41s ?I:, yrap alllop sues e !nb uo!les!1e~?na2 aunlp alq!ldaasns Isa . 1 a ~ j a ~ - . 3 e l ap l ! ~aur?Joaql ,~ a1 ' a ~ q e y aun,p s~ suo!l -3uol sap auremop np ,I!IJOS sues 'anh lueualu!em suoAJasq0 .g

.s?r18!01? zasse !a!,nbsnT s?lsaJ aul?Jo?ql a?

an,4 a p slrl!od sap aJlrra ua!I un m o p j!lqela

v

. O = (,C .x)d ( , ) ?j?!.rwn v l .rns a l n u u v , s ( x ) h - (/CLr)a an6 ")la? '(.l' ' x )allavuo!pu.r ~ uo!l~uoJ sun a?s!xa '??pluawa.rlnw i .C l a x a p tro?13troJ ua luawallazruo?lu.r ~ a w ~ . r d x al,ns a d 'anb?.rq .rns at/dkrowo.r?w l a azu.ro.[?un ' ( x ) h uoy3uoJ apno7 'o = ( A ' x ) anb?.rqp3lr, ~ aq.rno3 a u n apuuop l u w 1 3

-?.qv a0.rno3

: sanb!aq?81e s a q ~ n o asap a!Jo?ql el suep anh!sse[a lsa !nh 'luen!ns aru,?~oaqia1 as![e.rau?8 I! ' l u a ~ ? ~ !onA p ap lu!od un,p 'urfu3 . I I I~ N I ? J O ?a1 I ~'q!p J suo,ie'l snou '!ssno as!le~aua% 11 so r ( m ) h jues -!I?] {la a,\no.lla.r rrolnh ' 1 aiu?Joaql a1 as!le~?u?9 aru?.ro?ql a? - 0 = 1 ap a5ou!s!on ne I ap aqd~omo.r?ruuo!lauoj aun 'uoy!urf?p ~ e 'de ~ a s (14)t i U ~ ! ~ ~ U a.llou O J ' 0 - C 'Ox~ u ~ np o da2eu!s!o~ n y .[!s!oqa luamalq -eua,\uoa Jayrra un luela zr ',L(Ox- x ) = 1 'aldruaxa ~ e d o] = j a p

v

I

a2cu!s!02\ no 1 a ~ ~ ? r u c a eudn ( p sarltl~ouro1oqsuoylauoj ua ~aru!~dxa,s lua,\rlad ap l u ~ o dnn,p , € l a x s a a u u o p ~ o o asal ",j ap O / C 'ox lu!od lnol ap a41:u!s!o~ n y -(( ala!JeA el Jns axaldruoa alqepen ap uo113uoj aun ~ e puajua d u o , ~a n b aa .ras!a?~d ap lua!~uoa 11 ))

variable cnnzylexe x , rlne suite i l l j r ~ i ed e points n , ( l i m a i = a), nil voisinnge d e chnqite p o i n ~a ; , 1111 de'veloppement

el,

1'.

(-) - a , I

x

d P s i g n a t ~ u,z r polj.tzorne or

2. Il,s.risle a l o r r ant. x -a,

fbttctio~t@ ( x ) , holomo~.p/~e en tout poiltt di-fe'rent d e a , , et a d m e ~ t c t n t a, u 1:oisinuge d e cl~ngrtepoint a;, 7LIt clhveloppeme~zt de la fornte * ( x ) =f,(X

I

+ ( X - ~ I ~ ) ~ ~ + ' , # ' , .T). I

En somme, on peut se doliner, at1 voisinagc d'une infinite de points isoles, autant de ternies du dkvcloppemen~de @ ( x ) que l'on veut; il n'est d ' a i l l e ~ ~ rpas s neccssairch que ? t i reste horn6 lorsque I'indice i nugmente indkliniment. Dkmonsrt.alion. - Soit F(z) rtne fonction entiP1-e admettant chaque ai pour zero d'ordre n;+ I . Cherchons a mettre la fonction inconnue @ ( xj sous la forme F ( x ) G ( x ) . I1 sr~ffitque

reste holomo~.phenu voisinnge de a , ; on connait donc 1'1 partie piincipale de G ( x ) au voisinage de c l ~ a q u eni, e l I'on sail par suite former G ( x ) (Mittng-Leffler).

7. Le theoreme preckden~nous sugge1.e une extension possible du theoreme fondanlental A. On a effectiven~ent le theoreme suivant : T H ~ O R E ME BDotznons . nous, tlans L'espi1ce (x,y),des carat~ d r $ t i ~ u eV;, s en nornbt.e.fini or, en infinit6 de'nomb~.able,d o ~ c t l'ensenzble n'admette nucrine singitlarite' a distance$nie. Srtr chaque V;, dkjnissons-nous n I fonrtiotzs d e rat-iable complexe, un o ( m # p ) , les transformations d'un domaine ( m , p ) cercl6 born6 D en lui-mcme, qui laissent fixe le centre, ont la forme I"

a moins que 1)ne soit un domaine de Reinhardt. 2" Les transformations d'un domaine semi-cerclC born6 D en luirn&me,qui laissent fixe l'origine, ont toutes la forme

sauf peut-Ctre dans le cas ou D peut se reprksenter sur un domaine de Reinhardt avec conservation de l'origine. 30 Les transformations d'un domaine inversemen1 cercle born4 D en lui-meme, qui laissent fixe le centre, ont la forme

=

(

y l z y g(xy),

ou la Eorme .c1=y f; (-q,): y l = xbOl(zy), sauf peut-&re dans le cas oli D peut se representer sur un domaine de Reinhardt avec conservation de l'origine.

4" S i mp < o ( m > o , p = -pl,

rn #pl), les transformations d'un domaine ( m , p ) cercle born6 D en l u i - m h e , qui laissent fixe le centre, ont toutes la forme

sauf peut-&tredar~sle cas oil D peut se reprksenter sur un domaine de Fieintlardt, avec conservation de l'origine. Pour trouver la forme des transformations d'un domaine ( m , p ) cc.rclC borne D en lui-rnbrne, qui laissent fixe l'origine, dans le cas oil D peut se reprbsenter sur un dornaine de Reinhardt, il suffit de combiner les rbsultats du Cllapitre 111 avec le thCor6me XXIX. Nous laissons ce soin au lecleur.

LES FONCTIONS DE DEUX VARIABLES COMPLEXES.

89 T H ~ O RXXXI. ~ M E - Si un domaine ( m , p ) cerclt borne D peut se transformer en un domaine (m',pl) cerclt! D', l'origine restantjixe, et si l'on a mp1-pm'f o, alors D peut se transformer en un domuine de Reinhardt (l'origine restantjixe), sauf peut-ktresi, mm' -ppl itant nul, la transformation a la forme Y = al.c i-. . . X = / I ~ T + . . ., Nous pouvons supposer m #p et m'#pl; nous avons vu en effet (Chap. 111) que si un domaine ( m , p ) cerclk peut se reprksenter sur un domaine cerclk (l'un au moins des deux domaines ktant bornk), il peut se reprksenter sur un dornaine de Reinhardt ( ' ). Cela posk, soit

la transformation envisagke. Le domaine D admet les transformations suivantes en lui-mCme : y(xl, y') =elm'ey(x,y ) , + ( x l , y') = eip'O+(x, y ); ces transformations ont la forme

Supposons que D ne puisse pas Ctre reprCsent6 sur un domaine de Reinhardt, dans une transformation laissant fixe l'origine. Alors on peut appliquer le thkoreme XXX aux transformations de D en luim6me. On doit donc avoir, quel que soit 6 : ou bien

ablei!n'O

ou bien aa~(eiP'O

(1)

- ha'eip'o

= ableil~'O- ba'eiln'e = 0,

- ei~n'O) = bb'(ei'n'O - a l ~ ' o)

= 0.

Bien entendu, il s'agit toujours uniquement de transformations laissant

fixe I'origine.

HENHI CAHTAB 90 Dans le premier cas, on aurait ( I / ) ' = but== o , ce qui e s l i ~ ~ ~ ~ ) o s s i L (ab' - ba' # 0). On a doric

aal= bb':

o.

ce qui est possible de deux f a ~ o n s:

Dans le premier cas, le domaine D admvt des I ransforrttatio~~s err Inirneme, de la forme

et, comme il est ( r n , p ) cerclb ( m p l - pm' mations

# o), il admet des

transfor-

D'aprGs le thborkme XXV, il pourrait se repr6sent.er sur un dornai~ie de Reinhardt. Dans le deuxikme cas, D admet des transformations en lui-~nk~rte,

s'il ne peut pas se reprbsenter sur un domaine de K e i ~ ~ h a r don t : a forckment I ) L I I / 'f1pIr-Z 0. --

Le thborkme XXXI est ktabli.

T H E O R ~XXXII. M E - S i un domcline (111,~)cer.clP bornt; D(tn # y ) ne peut pas se transformer en u n domcline de Reinhardt, l7o?.iginc. restant j x e , route transformation de D en n n autl-e domuine ( m ,p ) cercle', qui laisse J x e l'origine, a l'une dcs .forrncs suivnntes :

(I)b a n s ce cas, llhypothese rle I'enonce se 1.Prl11ita la 5rlivnntc. : D n'vst pat un domaine de Reinharat.

1.ES

2') A;

VON(:TIOKS

D E L)EUX V A R I A B L E S

COMPLEXES.

11 PSI .sf~l~l;-cf~l~c/k,

3" Si D est inverserr~enlcercli,

1il

~ransfo~.mation envisagke. D'apr6s la dkmonstration du thCoreme

mais la seconde 6ventlralitC n'est possible que si m + p = o. I1 n'y a plus alors qu'a tenir compte des rksultats d u Chapitre 111 pour obtenir le r hkor6me XXXlI.

,x S XI[[. - Soit D rtn clomnine de Reinhurdt bornC qui n'a

'~IIEOR~MI.:

pcis In Jor.rne

'lbrlre 11.c1n.~ forrrzcltion qui laisse fixe I'origine et qui fepresente D srlr un clornc~ij~c: ( m ,p ) cercli A ( m # p ) a la f orme Y = ~ T - + .. . ,

ou la forme \

Soi t, en elluc>t,

=bj,i

.. .

.

y - 6' y t . . . 1

-

a'.c + . . . .

la trarlsfor~ilatio~h envisagke. En raisonnant conlme pour le thCorkme XYXI, on voit que D admet des transformations en lui-m&me

de la forine (32) (OU l'on remplacerait m' et p' respectivenlent par m et p). En vertu du thCor6me XXIX, on conclut nu1= bbl-

d

0.

D'ou le prksent thCorkme.

c.

Q. F. D.

S i u n domaine de Reinhardt bornt D n'a pas la forme (31), toute transformation de D en u n clutre domaine de Reinhardt, qui laisse Jixe l'origine, a la forme I"

X=ax,

ou la forme

X =bj,,

Y=bly

Y = al.r

('1.

En effet, le thCor&me prkckdent et le thCorkme VI s'appliquent. C. Q . F. D .

S i u n domaine de Reinhardt born6 D n'a pas la forme ( 3 I ) , tolcte trnnsformation de D en u n autre domaine de Reinhardt A 2"

x =f ( x ) ,

(35)

Y =?,g(x)

Posons, en effet, x-X,=X',

Y-Y';

le domaine A devient un domaine A' semi-cerclk. Le thCorkme XXXIII s'applique a la t.ransformation de D en A'. I1 suffit alors de se servir du theorkme XII, relatif aux transformations des domaines c. Q. F . D. semi-cercles . Nous avons la une proposition qui peut servir de point de ddpart -

(l)

-

M . Reinhardt a donne cet enonce dans le cas des domaines convexes.

LES FONCTIONS D E D E U X VARIABLES COMPLEXES.

93 pour la recherche d c toutes les transformations d'un domaine de Reinhardt born6 en lui-m&me('). 30 Le thCor6me XXXIII, combin6 avec les rCsultats du Chapitre 111, permet de determiner la forme la plus gCn6rale de la transfornlation d'un domaine ( m , p ) cerclC en un domaine (m', p') cerclC (l'origine restant fixe) lorsqu'ils peuvent se reprbsenter sur un domaine de Reinhardt (l'origine restant fixe).

LES

DOMAINES

MAXIMA.

O n gait que, Ctant donnC un domaine dans l'espace des deux variables complexes x et y, il n'est pas toujours possible de construire une fonction f ( x , y ) holomorplle dans ce domaine et non prolongeable au delh. Nous dirons qii'un domaine D est maximum s'il existe au moins une fonction f(x, y ) tiolomorphe dans D et non prolongeable au deli.

4 . LES DOMAINES

- NOUS avons vu (Chap. 11, th6ork1ne 11), que toute fonctiou f(x,y ) , holomorphe dans un domaine cerclC D non ramifiC B l'origine, admet un dkveloppement en s6rie de polynomes homogknes C E R C L ~ S MAXIMA.

uniformCmen t convergent au voisinage de tout point intkrieur h D. ( I ) hI. Behnke m'ecrit ( a n mai 1930) que &I. l'hullen tient cle ~+soudrecon)pleternent cette cluestion. D'apres M . Thullen, seuls, parlni Ics dol~iair~rc tit, Hcinhardt horn&, les tlomnines

admettent des transformations eu ens-n161nesq u i rle lailsrnt p a s fiw lc crnlre, et ces transfor.mations sont hie11 fat-iles itrollrrer.

..r!lqt:l? y anSuo1 sn1tI aJl,j e a aur,!.ro?rll np oll.retl a,r?!ura.rd erl .aar~aS.raauo:, ap 1 ~ 0 a[~!t?mop 1 ,)IUWO:, v I I I ~ ~ I I U I1au1pe ~ ~ I A!11b ? ( X L x ) " c ~~{~~ a w a d -tiola.iap un ap?ssod (X'x)[ '.?lap nv a ~ q e a S [ ~ o l o .[rorr ~ t I 1,) v srrep aqd,romo~oquo!l:,uoj nrrn (X'x)J ~!osla 'runru!xe~u?~n,ra:,arr!emop un y l!os : Iuarrrale!p?lrrrlr! a.rllrorrr9p as ?:,(ror1;)~1a p ~!I.Ic(Iapuo:,as er1

'?1!01? 913.1a3 au!etuop url luammap!a? Isa v a:,ua2.1aauo:, ap au!emop a 7 -v Jnarqlu! ~u!od 1no1 ap aSeulsroa . . ne ,)rrr~ojrun~ s a:,ua2aaauo:, a el a n b a~!p ~sa,:,'am~oj!un a:,ua%~a~uo:,ap aulemop un Isa v anb a J r a .aS~aauo:,a u ? s eT 'su!s!oa slu!od saT snol ua 16 O,C lu!od nr? 'anb'sIal OX' O X slulod sap aIqmas -U"I L u ~ ! l ! ~ g ? p~ e dllsa aaua2naauo:, ap IeIol aureruop a1 '?:,uou? ,133 s u e a . a w ~ o J z u ~a3ua3.1anuoa ~ ay au?owop u11 Isa'3 za L ~ n a ? ~ ? z u ? zlos v [email protected]'l 1u+zuo3 v ama3,lanuon 3p lo102 au?uwop a] Lau!nwop un'y szu?odsal snoz ua a 3 ~ a , , u o(~X L x ) " d ~ a t q s v] ?S : I U R A ! ~ S am+ -o?rll neaq a, ?.~~uouu?p e (,) s 2 o l ~ e g. j q .u sap ap luela (,XLx)",l

sau?3omoq saurouiC10d ap a r q s aun .z.lo1.16 . v snou-suouuoa .sed IrJjns au qa:, anb J!OA suoIIe s n o x *?pol? a.1~3z?op 'WIIW.IXVUI a.11~m o d '?p.laa auzvwop u ~ i ' n baqns?J ua 11 I U L ' U ~ ~ U O : ,?~!ol? 3 p ~ a : , au!emop i q a d snld a1 suep a q d ~ o m o ~ oisa q ( , X L x ) / a n b la '([v]u o ! ~ - u a a n o ~ )luaIea!un luamaJ!essaD?u Isa a arlb p p a p suoae ua snoN

LES FOSCTIONS DE DEUX VARIABLES

COMPLEXES.

35

Soient LY,,(.c, y ) une serie de polynomes homogbnes, et A son domaine total de convergence. Nous voulons montrer que A est maximum. Soit A , , A,, . . . , .4,,, . . . une suite de nombres positifs croissants qui augmentent indefiniment, et soit q , , qs, . . ., rip, . . . une suite de nombres positifs decroissants qui tendei~tvers zero. Soit Ep l'ensemble des points (z, y ) en lesquels on a , quel que soit n, el soit A; le do~rlai~lc forme des points interieurs a El. Prenons les homothktiques E, et A, de E;, et A',,par rapport a l'origine dans le rapport I - q,,;l'ensernble El, est l'ensemble des points (x,y ) en lesquels on a , quel que soit n,,

1 plL(, x. j,) < A/,(1 - vl,

)I1,

et A , est le domaine form6 des points interieurs a E,. 'rout point de A , est evidernment interieur a A. R b c i p ~ o ~ u e m e n t , tout point x u ,yo de A est interieur a A, s i p est assez grand. En effet, la sirrie EP,,(x, Y ) converge u n i f o r m h e n t au voisinage de x,, y o ; donc I P,,(x, Y )/ admet une borne supbrieure independante de n et d u point x,y voisin de x,,,j r u . Prenons un entier q assez grand pour que A,, soil supkrieur a cette borne; alors le point x,,, yo est intkrieur it A:,, et, par suite, le point x = kx,, y = ky, appartient A;, quel que soit k suffisamrnent voisin de un. Choisissons p(p 2q ) assez grand pour que le point

a p p a r t i e ~ ~ nd eA;; il appartiendra a fortiori a A;; d o n c ~ z , ,yo apparc. Q . F . D. tient a A,. Ainsi, le clomai~~e A se presente comme limite d'one suite infinie de cloinaines fermcs A,,, complktement intbrieurs A A, et dont chacun contierlt le precedent. Je dis que le domaine A jouit de la proprikte suivante, que j'appellerai (( proprihtk [PI dans la suite de cette etude : ))

PropriPti [PI : Un domaine A jouit de la proprietk [PI si, ktant donnke m e suite infinie quelconque de regions L , , . . . , T p , . . . , interielires h A ct n'ayant aucnn point d'accumulation intkrieur a A, on

96

HENRI CARTAN.

peut former une fonction f ( x , y), holomol*plie d a m A, qui s'annule en un point au moins de chacune des regioos S,.

I1 est clair que tout domaine qui jouit de la propri6tC [ P I est maximum; en effet, il suffit de prendre urie suite infinie de rCgions s'accumulant au voisinage de tout point frontikre dl1 domaine consider6 ( I ) . En outre, tout transform6 analytique d'un domaine qui jouit de la propriCtC [PI jouit aussi de cette propriCtC, et, en particulier, est maximum. Revenons alors ail domaine total de convergence A de la sCrie XPn(s,y ) et aux domaines A, prCcCdemment dCfinis. ~ t a n donnCe t la suite des rdgions X,,, je puis associer A chaque Z, un domaine A,l tel que 3, soit extdrieure A A,,, et cela de facon que p' augmente indCfiniment avec p. P o u r la coinmotlitC du langage, nous pouvons supposer pl=p. Cela posd, il existe Cvidemment dans 2, un poinl x,,y,, qui n'appartient pas a Ep (car si tous les points de XI, appartenaient h E,, ils appartiendraient A A,). Puisque x , , y,, n'appartient pas B R,, il existe une valeur n, de n pour laquelle on a alors que, dans A,, on a

1 P , L , , ( J~,~) l1 < .1/,(1

--7i/,)"l,.

J e pose P n P ( x ,Y.

= Q 1 , ( z l, I . ) .

pnp(xp, Y P )

On a Qp(xp, ~

et, dans A,, par suite, dans A,-,

1 1 )

I Q p i x .2.j I < 1 ;

, on a

Pour plus de details, le lecteur pourra se reporter a mon article intitule :

(I)

Les domaines d'existence rles for~ctions analytiques, qui parnitra t)ienti)t dans le Bulletin de la Soc. Math. de France.

LES FONCTIONS D E DEUX V A R I A B L E S COMPLEXES.

I1 reste a former un produit convergent f ( x ,1,)

(1)

r1

[I

- ()/,(.c!

J.)]~RP[~'.",

/,=I

R , ( x , y ) etant un polynome destine a assurer la convergence. Donnons-nous a cet effet une sCrie convergente CE,, a termes positifs; la sCrie -

(

I - Q1,)=Q1,+ ; ( Q / , ) ? + . . .

convergeant uniformkment dans A,,-, , on peut prendre un nombre suffisant de termes, de facon que le reste soit inferieur a E,, dans A,-, ; l'ensemble de ces premiers termes constitue un polynome R,(x,y), qui rend le produit ( I ) uniformCment convergent a u voisinage de tout point intCrieur h A. Ainsi, nous venons d e montrer q u e A jouit non seulement d e la propriete [PI, mais d'une propri4t6 que nous appellerons [I"]et qui peut s'enoncer ainsi : Propriktt: [I"] : Un domaine A jouit de la propriCtC [I-"] si, 6tant donnee une suite infinie quelconque d e rCgions I,,intkrieures a A, n'ayant aucun point d'accumulation intkrieur a A, on peut former une fonction f ( x , y ) , holomorphe dans A, qui s'annule sur des variCtCs de l a forme

la varibte Q , = 1 contenant des points intCrieurs

a C,.

T H ~ O RXXXV. E D ~ ~- Torlt dornninc cerclk maximum jouit

la pro-

C~C

p/-ikte Y' ].

En effet, si A est cercle maximum, A est le domaine total d e convergence d'une certaine serie d e polynomes homog6nes et jouit, p a r conskquent, de la proprietC [P' I. COROLLAIRE. - Tout transfirmi e n a l y t i p e d'un domeine cercle ~ n a x i m u mest un rlonznine maximum. ? ' H E o I ~ ~ '\;X ~ I\ i~iI1E.

- I'OII~qu'un c/onz(~inczlnicwlent A , p i contient

- y x a a.r.?rlds.radi l l alrn ,I ss,loIel!os saurerrrop sap al!ur!l aururo:, ?.x?p!sno:, rssuu aJl? lnad r au!errrop a? -"'l,z-- I 1~odde.ra1 suap . ) U.I ~. ~ J O y ,Il ~ o d d e .led ~ '/Cl a p anb!l?qlouroqL1 110s -o.x?z sJah luaprIa7 la luassroJa?p !nb 'sjrlrsod .. saJqurou ap al!ns aun . . '"h '. . ‘I!, i ! o ~ .luap?2aCrda1 III~!IUO:, unaeq:, luop * - . ' ' ' ' ' saur.xaj sarrlerlrop a p a!urjrr! al!ns arln'p alrw!I ~urruo:, ?.x?p!suo:, a.113 lnad r . x .Irrnurlxem ~ Isa anb a!oA a.lrej a3sa.x 11 .?p.xa:, lsa v ~ s u y .uori~!pe.xlr~o:,aun a l!e.iaa!.x,ra 110 '111aci zasst? r ~ o i e. ~~p1,) " x q a.xlu;n a p a ~ ? y d s ~ a d i q sun y .~notl~ u e u a ~ lu:,~ d ."A'".r~ u y o da1 lueualuoa la 'V y .xnau?lur L U ?w.xaj y auiewop un .xaanoal lie.l.xnod .V y J n a r q x a ( I ( yl)O,iy .r.ylu!od a1 la ' y g .xna!.xyu! o/C'"X t,u!od a1 laua ua suosoddns . ? l r o ~ a

,x

"/a

da

"'a

:a \a

>

rro

i(1

a1a.xaa Isa 1! ( 1 \\yy aura.xo?rll n p suo!l!puoa xrle lyejsyas v au!enrop nn I.; 'p.xoq~!,(~ -n,lrresrJjrlsIsa rro!l!puo:, el anb lueualoyeur s u o ~ l u o ~ y

.-("A" . ' ) . I , ) ".IS

. . ..

B ( . c . y ) >."J'- .. ~ ( xy ). x >.'-v . .

Itkrons cette transformalion, et posons, d'une maniere gcnkrale,

Les fonctions f,, e t g,, sont uniforn16nlent bornees dans I), car f et g sont bornees, le domaine D elant lui-m&me borne. Leur3 dCrivCes partielles du premier ordre sont don(: uniformenlent I ~ o r nCes a l'origine. O r on a visible~nent

ce qui exige donc Ih"I21.

1

I nb'puisque ah'-

bccl)jl,

bar= h'h";

la ~ r c m i e r e~ a r t i edu theoreme 11 esl donc Ctabliu.

Remnr(lue. - O n sait que les racines de l'equa~ion( 2 ) restent invariantes si I'on transforme la substitution (3) par une substitution lineaire homogene quelconque de determinant non nul. I1 est bon de remarquer que, si f, e t g,, designent les iter6es d'ordre n d e f et g ,

a pour racines les puissances

trctnsJor.nte I ) e n

ILI""~~

U I L domcr.ilte

des rncines de ]'equation (2).

intcJrieut i~D, et si l'on n

on yeut eJectue1. sur- U u n e tr.ans/ormation linknire d e facon Vcte In trtrnsjormntion ( I ) prSenlte la forme (5 (

J )

i

+

. .,

g(z, y )

y e ! ...

(z

et 13 rkels).

E n effet, d'ap1.6~le lemme I , on a forcelllent

1

;\'

1

=.

1 ;,"1

=I.

S i 'hl#l.'',la transfornlation ( I ) pcut prendre la forme ( d ) , et le present lemme est etabli. S i I.'= I,", la transformation ( r ) peut Ctre ramenee a la forme

(4'). On a dans re cas ,yn(.f> y

+. .,

) = I,

"llY

ce qili exige b = 0.

et, par suite, la transformation a bien la forme (5). COIIOLLAIRE. - Si 1 n0'-- ha' I = 1 , et si A'= nlcessairen~enl /~=h'=ei'J,

I.", a1ot.s o n a

o'=b=o.

En effet, on peut, d'apres ce qui precede, transformer la s u b s ~ i tulion ( 3 ) par rlne substitution linkaire, de facon a 111; h n n e r la forme ( '3'

1

X

= .~eiO!

Y

=eiO ;

I

mais alors la substitution (3) est identique a sa transformke, et ellc a ellc-memc la forme (3').

c. Q.

O n voit qiie si l'on a c/

6' - ha' =

fl

F. D .

-- b'

-= I . 2

on a 1 = if= I ; la transformation ( I ) a donc la forme j'(.r. y ) = ; . I ' -. . .

.

g ( x . y ) G -y

d'aprks lc theorknic I , elfe scJ t'kduit id(~ntiqice.

o quand M dCcrit C , , x et y sont des fonctions de ;, uniforrnes et holomorphes pour z 2 > o, cjui se reproduisent par les substitutions d'un groupe fuchsien O I I fuchsoi'de G . I1 en sera ainsi tnutes les fois que C nc sera pas sirnplement connexe, ni reprksel~tablesur une sphere privde de d e n points. Consid6rons l'expression

od z', z", z"' ddsignent les derivees successiues de z = ?(M)par rapport a x , z &ant consider6 cornrne fonction de x sur la courbe C. Cette expression est invarjante par rapport a toute transforrnation homographique effectuee sur z ; c'est donc une fonction uni-

forme sur C, et l'on peut bcrire

R ( x , y ) ktant une fonction mkromorphe pnrtout a distance tinie. Exemple. - Soit la courbe entiere

Posons ex=

11.

II vient :t-=logu:

.r=log(r-u).

Soit u ( a ) une fonction qoi effectue la representation conforme du demi-plan z 2 > o sur la surface de recouvrement du plan u prive des points o, I et a.Les formules (6)

z = log n ( z ) ,

y = log[[ - U

( Z )

I

donnent une represeutation pararnktrique de la courbe ( 5 ) ; x et y reprennent toutes deux la meme valeur si a subil les transformations d'un certain sous-groupe I' du groupe niodulaire G. Le groupe G peut &tre dbtini par les deux substitutions fondamentalts

Le groupe l' est le groupe des substitutions de la forme

oh Its ai et les pi sout des entiers positifs, negatifs ou nuls, assujettis aux conditions

L'ktude du groupe J? n'est pas sans inter&. 11 est impossible de lui donner un nombre fini de substitutions fondamentales. O n a un systeme de substitutions fondamentales, en nombre infini, en prenant toutes les substitutions d t la forme

( m et p etant des entiers arbitraires pobitifs, nkgatifs ou nuls) et leurs inverses. 11 n'existe aucunc relation entre ces substitutions fondamentales. O n a un domaine fondamental A, limit6 par une infinit6 de denli-circonfkrences ayant leurs centres sur I'axc r6el et tangentes exterieurement deux a denx; les extremitbs de ces demi-circonferences sont tous les points de l'axe reel dla.bscisses

Ces demi-circonferences sent conjugukes deux a deux; la circon-

est conjuguke de la circonference

I 2 Ilk- ) . Au doniaine fondamental A et a sa frontiere les formules (6) font correspondre une fois et une seule la courbe (5) tout entiere munie d'une infinitb de coupures allant de l'infini a l'infini. Ces coupures rendent la cor~rbesimplcment connexe; sans les coupures, elle est mnltiplement connexe d'ordre inlini.

16. Soient deux courbes entieres C et C' indecomposables. Supposons qu'on puisse etablir une correspondance conforme et biul~ivoqueentre ces dcux vnrietes. D'une maniere precise, supposons qu'il existe deux functio~lsde variable complexe X(M) et Y (M), uniforl~leset h o l o ~ ~ l o r p hsur c s C, telles que le' point (X, Y) dtcrive u ~ l e fois et une ser~le C' quand le point h1 dtcrit C. D'apres le thkoreme A, on peut alors ecrire

f et g e t a ~ ~lleromorphes ~t partout a distance finie. Inversement, M' designant un point quelconqoe d e C', x et y les

coordonntks du point M de C qui lui correspond, les fonctions x ( M r )et , y ( M 1 )sont uniforn~eset holornorphes s u r C', et l'on peut ecrire (8)

. r l ( , ) . ,

y=(;(X,Y),

F et G Btant rnerornorphes purtout a distance finie. Ainsi, les relations ( 7 ) ' ou les variables x et 3, sont likes par 1'Cquation d e la c o ~ l r b eC, permettent d'exprimer inversetnent x et y en fonctions merornorphes des variables X et Y likes par l'equation de C'. Nous dirons qu'elles detinissent une rr.ansjbr.mation c',irne'romoryhe de cour*be a c-oorbe, par analogie avec les transformations birationnelles des courbcs iilgebriques.

17. A quelle condition peut-il exister une tellc correspondance C et C ' ?

eutre

P r e m i e r cas : Si C est silnplenlent connexc, C' doit I'Qtre Cqlement; C et C' doivcnt Ctrc t o ~ l t c sdeux representables conforrnernent s u r le plan, 011 toutcs deux sur le cercle-unite. Soient z et Z les variables d'unifornlisation. O n aura la correspondance la Idus glnerale enlre C et C' e n kcrivant

si z et 7, d6crivcnt tout le plan, et

si 5 et Z decrivent le c e ~ * r l c , - ~ ~ ~I Il ai tle~.sle premier cas, la correspolldance depend dc qu~ttl-epamn~etresreels: dans le second cas, de trois pararnktres. Les relations ( 9 ) et ( l o ) nous tionnent t!galement la tr.arisforltr(zfio~rhirnr;r~onznrl~/te Icc p l u s g i n e r . 0 1 ~de la courbe C erz. ellenlPnie. lI)ecrxii,nrr, ctcs : Si (: est doublell~entconnexe, C' doit l'&tre Cgalement. (: et C' doivent Ctre toutcs d e u r representablcs conforllrement s u r le l)lirn prive d r zc;t.o et l7ill$ni, 011 toutes deux s u r u n ccrcle prire de son centre, o o toutes dcux s u r une m&mecouronne circulaire. Les tr:rn~forrnations l)imeromorphes d e C en C',

-

25 -

ou de C em elle-meme, dependent d e deux parametres dans le premier cas Z = a z , a complexe, ou encore

(

Z = 1'0,

kciO

./. = T,

Z = - , d'un

") o" k est fire). z

sell1 dans

w

Troisikme cas :11 se detinit par l'exclusion des deux autres. C et C' ont des varietes de recouvremenl C , et C',, clui se laissent chacune representer conforinement srlr un cercle: les groupes correspondants G et (3' ont plus d'une substitu~ionfondamentale jsinon l'on serait dans le deuxieme cas). Pour qu'il puisse exister une transformation bimeromorphe de C cn C', il faut et i1 suffit cju'il cxiste unt! substitution homographiquc

qui t r a ~ ~ s f o r mlee groupe G en le groupe G ' ; autrement dit, qlie les groupes C; et G' appartiennent a la mCme r*lasse. Nous dirons aussi que les r o u r b ~ sC et C' { ~ p p a r t i e n n e n rti la m&me classe. O n trouve les transformations bimCromo~.phesde la courbe C en elle-meme, en cherchant les substitutions de la forme ( I I ) qui laissent itlvariailt le groupe G. 11 est aise de montrer q ~ ~ ' e l l e s forlnent un groupe yropr-emertt discontinu, sinon C; n'aurait clu'line substitirtion fondamentale. Par consecjuenl, les trnns.fo~.mntiorls bimSromoty)hes de C e n elle-rndnze f b ~ . m e n tu n ensemble ~)t.opt-erwentdiscorttirzu. Cela veut dire que. ctant donne un point quelconque M de la courbe, il n'existe pas de transformation fai,ant correspondre a M un point nrbi~rairenientvoisin de M et difFerent de M. C'cst la generalisation d'une proposition bien connue relativc: aux courbes algCbriques dc gcnre plus grand que u n .

P.-S. - Au no 13, je n'ai pas donnk d'exemple d'une courbe entiere simplement connexe reprksentable sur un cercle, parce que je n'avais pas su en trouver. IN probleme a resoudre etait le suivant : C o n s l r ~ l i t - etin systZme de d e u x J b r ~ c t i o n s

+1 g ( z )(

holotnotphes y o u r 1 z / < 1 , telles q u e 1 f ( z )( ~lnifornllnzetzt vers l'infini ~ l u a n c t1 z l e n d vers

terlde

UIZ ( I ) .

M. Valiron, a qui j'nvais pose ce probleme, I'a resolu de lavfaqon la plus elbgante en s'inspirant des travaux dc Fatou. J'indique ici rapidzment l'exemple qu'il m'a aimablement communique, en priant le lecteur de se reporter, poor plus de de~ails,ail beau Mbmoire de Fatou [ S u r les kquatiotzs fonctionnelles, ~roisieme Memoire ( H u l l . Soc. m a t h . d e F r a n c e ; t. 48, 1920, p. ao8-314); voir fj 62-65]. s etant rCel ( o < s < I ) , considbrons la substi~utionrationnelle

et la fonction de K e n i g s f ' ( z ) , solution de lJequa~.ionde Schroder

holomorphe pour / z 1 < I . J e d i s q u e / f'(z) ( + 1 f ( z ) I t e n d unifor.rndment vers 1 7 i n . n iq i l a n d 1 z 1 t e n d vers u n . E n effet, d'apres Fatou, on peut exclure du cercle / z 1 < I une infinite de domaines y,, , enlourant les zeros de f ( a ) , dont la somme ( I ) Dans ces conditions, en elTet, lorsaue z d i c r i t le cercle I z 1 < I , le point ( x , y ) engendre uoe variCtk sans singularith A distance finie, domc une courbe entiere C. Y a-t-il correspondance biunivoque entre / z < I e t la courbe C ? S'il n'en Ctait pas ainsi, A uo point quelconque ( x , y ) d e C correspondraicnt plusieurs

points r, se deduisant les uns cles autres par les substitutions d'un groupe G d'homographies conservant 'le cercle-unite. Ce groupe ne pcut contenir une inGnitC d'oplrations, sinon Ies homologues d'un point quelconque z , s'accumuleraient au voisinage de la circonfhrence 1 z I , et les fonclinns f et g seraient bornees ell ces points, ce qui est contraire h I'hypothese faite. Soient donc

-

les s u b s t i t u t i o ~ l srle G . .\lors

reste invariant par les substitutions de G ; inversement, i toute valeur d e t ( / t 1 < I ) correspondent n valeurs d e z , d e modules inf6rieurs a un, qui se dkduisent les unes J e s autres par les substitutions de G . On a donc une correspondance biunivoque entre la courbe C e t le cercle 1 t 1 < I . C. Q.

I. D.

des longueurs des contours est arbitrairement petite, de faqon que

( ja(z)( tende uniformkment vers l'infini quand 1 a ( tend vers u n en restant extkrieur aux y,,. MCme proposition pour f ( z ) , en excluant des domaines y:,. L'on peut en outre s'arranger pour que les y , et les y;, n'aicnt aucun point commun, a c o n d i t ~ o nque f ( z ) et $(I) n'aient aucult ;ero commun. :[I suffit domc de verifier que cette condition est remplie avec la fonction R ( z ) choisie ici. Et en effet, f(z) ne peut avoir de zCro multiple que si.f ( z ) et R1(z)ont un zkro commun; o r ici Rt(a)s'annule pour

d'autre part, les zeros de j ' ( z ) sont, outre z = o et z =- S, 1es antkckdents de z = - s, dont le module est superiei~ra s, puisque

I

zl

> l H(;) I:

aucun d'eux ne pcut donc coi'ncider avec a.

Sur les domaines d'existence des fonctions de plusieurs variables complexes Bulletin de la Societe mathematique de France 59, 46-69 (1931)

I.

- Introduction.

1. O n sait, depuis les travaux d e F. Hartogs ( I ) e t E. E. Levi ( 2 ) ' que les domaines d'existence des fonctio~lsanalytiques d e p1usic:urs variables complexes ne sont pas des domaines quelconques. E n particulier, si le domaine d'existence d'une fonction analytique drzdeux rvariablegcomplexesa pour frontihre une hypersurface (a trois dimensions reelles) qui satisfait a certaines conditions d e rCgularitk, il existe une expression differentielle qui fait intervenir les dkrivCes partielles du premier n ~ e m b r ede l'equation de l'hypersurface et qui doit posseder n n signe determink. G. Julia ( a ) a montrk plus tard q u e l'ensemble des points ou une famille d e fonctions holomorphes est normale jouit d e propriktks tout a fait analogues. Cela est assez nature], car les proprietes des domaines d'existence des fonctions holomorphes ont un rapport etroit avec celles des domaines d e convergence des series d e fonctions holomorphes. Malheureusement, le fait d e connaitre des conditions necessaires et suffisantes pour qu'une hypersurface soit, a u voisinage d ' u n d e ses points, la frontiere d'existence d'une fonction analytique, n'entraine pas la connaissance d e conditions necessaires et suffisantes pour qu'un dornaine donne soit le domaine rota1 d'existenw d'une fonction analytique. A I'heure actuelle, le problkme d e la recherche de telles conditions nbcessaires et suffi(I) Voir, n o t a m ~ ~ ~ e nUeber t, analytische Funklionen rnehrere~ unabhang. Veriind. ( M a t h . Ann., t. fi?, 1906, p. 1-88). ( I ) Annuli d i Matematica, sbrle 1118, t. 17, 1910, p. 61-87, e t t . 18, 1911, P. 69-79 (" Sur Ies familles d~ foncliolts analytiques d e plusieurs vuriables f Acla mathematica, t. 47, 1926, p. 53-115).

santes n'est resolu que dans c e r t a i n ~cas particuliers ( I j. Une classification des dornaines s'impose a ce sujct; elle sera indiquee au no 2. L e present travail est une rontl.ibution i la recherche de conditions nkessaires et suffisantes. Nous en trouverons dans des cas tres etendus. C'est en Ctudiant les propriktes des domaines d e convergence uniforme des series de fonctions holonlorphes que nous obtiendrons de telles conditions. E n passant, nous apporterons quelques complements aux theor6mes de G . Julia. Les problkmes dont nous venons de yarler sont en relation avec un probleme important, non encore rksolu : Est-il vrai qulCtant donne un domaine univalent (9 quelconque, toute fonction holomorpht? dans ce domaine y soit dCveloppablc en serie uniformement convergente de polynomes? Appelons n o r m a l tout domaine D qui jouit dc la propriCtC suivante : Toute fonction holomorphe dans D admet un developpement en sCric de polynomes, qui converge uniformentent au voisinage dc tout point intkrieur a D. u La question est de savoir si lous les domnines univalents sont normaux. O r , nous verrons que les domaines normaox jouissent de proprietes remarquables qui, vraisemblablement, n'appartiennent pas a tous les dornaines univalents. 11 suffirait donc dc donner l'exemple d'un domaine univalent qui ne posshde pas l'une de ces proprietbs, pour montrer du m&me coup l'existence de domaines non normavx. Encore resterait-il a caracteriser les domaines non normaux.

,,

((

2. Sauf evis contraire, nous ~i'envisagerons, pour simplifier, que des domaines unicv-tlents et ouverts, dont tous les points intdrieurs sont a distance h i e (9.Nous raisonncrons sur l'espace de deux variables cnmp1e~esx et y , mais nos raisonnements slappliqueront a un nombre quelconque de variables. Nous nous bor( I ) II en est ainsi, notamment, dans le cirs des domaines de Reinlrardt et, plus gen&ralement, des domaines cerclCs. Voir H . CART.+X,Les fonctions d e deux variables complexes e t l e probleme d e la representation a n a l y t i q u ,

m o p i t r e V (Journ. d e Math., qb sCric, 1 . 10, 1931, p. r - I 14). Ce Memoire sera ~J&Pigdpar la lettre [ C ] dans le prCsent article. (I) Un domainc univalent est un domaine tel qu'un point quelconque de I'esppce nppartienne au plus une fois au domaine. (I) C e h ne vent pa's dire qne nabs n'envisagerons que 6e5 domaines boroCs.

nerons a considkrer des fonctions holomorphes, laissant de c61e les fonctions meromorphes pour ne pas compliquer des questions dCjA difficiles. Nous dirons qu'un doniaine D est marinzum s'il existc une fonction f ( x , y ) , holomorphe dans D, qui n'est holomorphe en aucun point frontiere de D. Un domaine D sera dit rnaximum a u sens l a r g e si, elant donne un point frontiere quelconque x,, yode D , il existe une fonction f (2,y ) holomorphe dans D et non holomorphe en so, 3.0. Comme cette fonction f peut dependre du point x,, y o , il n'est nullement certain qri'un domaine m a x i m u m a u serts l a r g e soit m a x i m u m . Nous verrons cependant que tout domaine normal, maximum au sens large, est maximum. Un domaine 1) sera dit pseudo-convexe ( 4 ) en un p o i n t frorzti2re so, yo,s'il existe une hypersphere S, de centre x,, y o , et une fonction f ( x , y ) , holomorphe dans la rCgion commune a 0 et S, et non holomorphe en x,, y,. Uo domaine qui est pseudo-ccnvere en chacun de scs points frontiCres sera dit p a r t o u t pseudoconvexe. I1 est clair qu'un domaine maximum au sens large, et a fortiori un domaine maxin~um,est partout pseudo-convexe. Rien ne prouve que la reciproque soit exacte. E. E. Levi a prCcisCment donnk une condition necessaire et suffisante pour qu'un domaine soit pseudo-convexe en u n point de sa frontiere, dans le cas oh celle-ci est une hypersurface a trois dimensions qui satisfait, au voisinage du point considkre, a certaines conditions de regularite. Pour qu'un domaine h fronti&re rkguliere soit maximum, il faut donc que la condition de Levi soit verifike e n chaque point de la frontiere. Mais nous voulons dcs conditions nkcessaires et sufjsnntes pour qu'un domaine soit maximum. Nous e n trouverons pour tous les domaines normaux (sans faire aucune hypothese restrictive sur la nature de la tront~ere),en introduisant une nouvelle catCgol*ie de domaines, qui.sera definie au no 6 : celle des domaines strictement conve.res. Mais, alors que la catdgorie des domaines partout pseudo-convexes contient celle des domaines maxima, celle des domaines maxima contient cclle des domaines stricteme~lt (I)

Ce t e r ~ n esemble avoir t t C adept6 par les mathtmaticiens allemands.

convexes. A u t r e n ~ e n tdit, tout dornaine s t ~ . i c t e n ~ econvexe ~~t est maximum (theorerne V). L:I proposition reciproque est vraie pour les domaines rtor.maux. Voici rlne autre question : Etant donnk un domaine qui npparhient a l'une des quatrc categories precedentes (partout pseudoconvexe, rnaxi~numau sens large, niaxirnuni, stricternent convexe), les propriett.s qui caracterisent sa categorie se conservent-elks par une transformation analytiquc arbitraire de l'interieur du dornaine en uL autre? Nous verrons ail no9 qu'il en est bien ainsi, sans

f u i r e aucune hypoth6se sur la facon dorzt se comporte In trnrcsforr~ratiorr a u voisinage d e la,fr.orcti&~.e. Voici enfin un dernier prohlkrne : ~ t a n donni. t un dornaine D, non marimrim, toute fonction holornorphe dans D est holornorphe dans un dornaine plris grand, d'apres la definition m&me d'un dornaine maxirnu~n.Mais cela ne prouve pas qu'il existe un dornainc maximum A, tel clue toute fonction holomorphe dans L) soit aussi r classes holornorphe dans A. 11 en est pourtant ainsi p o ~ ~des en l>articulier pour tous les fort generales de dornaines (0, dornaines norrnaux. 11. - Domaines convexes relativement h une farnille de fonctions.

3. Plaqons-nous dans u n espace 6 i u n nolnhre quelconque de dimensions reelles. Sois 9 une farnille d e fonctions (rkelles ou complexes) continues dana u n dornaine ouvert 2 , borne ou non, dont tous!es points sont a distance linie, Par exernple, si 6 a quatre dimensions, o n pourra le considerer conlrne l'espace de deux variables complexes x et y , et envisager, par exernple. la farnille 3i d e toutes les fonctions holornorphes dans u n dornaine Z ('), ou r n h e la farnille forrnee par les fonctions d'une classe particulihre de fonctions holornorphes d a m Z; c'est ainsi que nous envisagerons parfois la farnille de tous les polynornes e n x et y , le dornainc 2 etant alors tout l'espace a distance finie. Voir aussi, A ce sujet, m o n M C n ~ o i r ed u Journal d e Math. d6ji cite. ( = ) Lorsque nous parlons de toutes les fonctions holomorphes dans Z, nous ( I )

n'entendons pas nous ailleurs.

l i m i t e r aux

fonctions q u i ne soot

pas

holomorphes

DEFINITION. - U I Ldomaine D sera dit convexe rclativenlent a une famille 9 d e fonctions continues duns 2 si I) est intk-

rieur ( I ) a 2, et si, e'tant donne's arbitrairement U I L domaine fernmd D o comp12tement intPr.ierrr ( 9u, D l un point frontikre M de D inttrieur a Z (s'il exisre d e tels points), et une l ~ y p e r sphZre S de centre M, intkrieure a 2 , i l existe a u moins Line fbnction f d e la famille 5. relle qrie lr m a x i m u n ~d e sort module dans S soit supdrieur. a u nzaximum d e son nzodule duns Do. Par exemple, un domaine bornk convcxe (au sens ordinaire du mot) n'est arltre qu'un domaine convexe relativement ila farnille des fonctions lineaires a coefficients reels des coordonnees d e l'espace. Dans l'espace de deux variables complexes a. e t y , nn domainc nn?estautre qu'on domaine cerclk convexe centre i l'origine convexe relativement a la fanlille des polvnomes honiogenes du premier degr6 en x e t y; Dans le m&me espace, un domaine cerclc rnaxilnun~,centre a 170rigine, n'est autre qu'un domaine convexe relativement h la famille de tor~sles polynomes hornogenes en x et y. C'est une consequence immkdiate des resultats que j'ai etnblis dans moll MCrnoire [ C ] [voir la note ( ' ) de la page 471. De m&me, un domaine de Reinhardt. ( 9 maximum n ' e s ~autre qu'un dornaine convexe relativernent a la farnille des rnonomes xnLyp( m et p entiers, positifs ou nuls). O n en deduit aussit6t la propriete caracteristique de la relation entre les rayons de convergence associks d'une serie double de Taylor.

(9

domaine intgriei~ra \' )I, ( 1 ) II esl entendu, dans tent ce qui suit, q u e par nous entendons un domaine dont Lous les points interieurs sont intCrieurs a E, sans rien prCjirger des points frontikres. (') Un domaine ferme est dit compliternent ittferieur a un a u t r e si tous ses points frontieres sont inttrieurs i l'autre. ( I ) Un dolnaine cerclk centre a I'origine est defini p a r les proprittts suivantes : I ' I'origine ( x = y = o ) est un point int6rieur; 2. si x,,, yo est un point du domaine, z -- x,ei8. y = y,e10 est aussi iln point d u domaine quel que soit le nombre reel 0. (') Un domaine de Reinhardt (centre B I'origine) est dhfini par les p r o p r i k ~ e s suivantes : I ' I'origiue est un point interieur; '2 si .z,.yo est un point du domaine, x = x,ei8, y = y,ei? est aussi un point d u tiomaine. quels q u e soient les nombres reels 0 e t y . lqmasua.l d 3 J!OS

e 110.1 1.10 .)p slrr!otI sap alqurasua'l ~ ! O S la 'dasuep ~ [ I I P O L U uos ap a ~ n a ! ~ ? d narrJoq s I?[ d'.fw 110s '6 aIl!ulej el a p ./ anbuo3pnI) uo!lauoj aun .).?uuop luclq .slueA!us sal S I I O ~E 'al!us . ~ ~ ! t l 'la 'dasap su!oru tie rrn,l e Jna!Jyu! l!os (1 y Jna!,raiu! cr~!od ,111olanb uo5ej a p s!s!oq:, ax]? luaa!op sau!eruop ST):, !lur!a!ns ne J I I ~ ! J ~ I U ! lrrarual -alduro:, la a e Jna!Jalu! lnarualaldruo:, Isa unaeq:, luop ' ' . ' 'd(l L... ''a s a r u ~ asau!eruop j a p a!u!lu! al!us auu'p al!u1!1 nu!eu~opa1

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~

-J!Iqela,I ap u!os ,)I J n a p a l u e suoss!el snou : uo!l!u -gap e[ ap ae!p?ruru! aauanbasuo:, a u n Isa uo!l!sodo~d allan .gv 1uawan!7vla.1 a r a n u o ~azuatu-?nl Isa a au?vurop a? ' ( d a sal snol m o d aruaru el) I( s u v p sariu?luoD s u o . ~ l ~ u oa /p & a l p w v J aun v luawan?lvlaJ axanuo3 Isa da a n 6 v l j ~?S .sau!eruop sa:, snol ap alqruasua'l ap a r u ~ o au!eruoy j a1 l!os -luea!ns ne Jna!J?lu! luauralqdruoa la p e Jnayalu! luamala~druo:, Isa un:,eqa luop

a

' . . . lda' . . . 'la s.?ru~ajsau!eruop a p a!u!lu! al!ns aun l ! o ~ oz .I& e luaruaA!lelaJ axaauos '?~o!l.ro/v ' p a ?f; e luaruaA!lelnJ axa~rroaau!eruop lnol suep sanu!luoJ suo!lauoj a p anpuala snld all!wcj auo'p a!l~etl l!ej I( suep sanu!luo:, suo!l3uoj a p 6 L;JII!wej aun !S ,,I - 'djuap - 3 3 7 ~ d uo?7?u$pp v l ap s a ~ v ~ p p u ~s~1~uarr/i?slro3 w? sarrhlarrd

'x

esr intkrieur au domaine suivant A,,, ; l'ensenlble des A,, correspondant a toutcb les valeurs de p , definit un domainc A qui contient D. Je vais lnontrer : I * que A est convexe rela'tivement ii 9 ; a"-que tout domaine qui contient D et est convexe relativement a 5 contient aussi A. J'aurai alors etabli le theoreme I.

A est conveze relativement a 5. - E n efl'et, soient A,, un domaine ferme completenlent intkrieur a A , et S une hypersphere, intkrieure a S, dont Ic centre M est un point frontiere de A. Si p est assez grand, Ap contient A. et des points interieurs a S ; l'h3persph&re S, contenant alors au moins un point frontieru de A,, contient au moins un point frontiere tie l'un des E f , , dktinis plus haut. 11 existe donc un point P de S, en lequcl une fonction f de la famille 3 a son module plus grand qu'en tout point de D,, c.t mClne qu'en tout point de A,, d'apres la definition de A,. A fortiori, le modulc de f au point P est plus grand que la borne sup& rieure de ce module dans A,,. Le domaine A est donc convexe relativenlent A 6. 2" Supposons qu'il existc u n dornaine A', qui soit convexe relativernent a 3,contienne D et a d ~ n e t t eun point frontiere M inlkrieur a A, Montrons qu'une telle supposition est absurde. E n effet, M serait intkrieur a A, pour des valeurs assez grandes de p; p etant ainsi choisi, soit A; un domaine ferme completement interieur a A' et tel que D p soit completement interieur a A;. Soit aussi S une hypersphere, de centre M, tout entiere interieure B Ap. Puisque A' est convexe relativement a 9,i1 existe une fonction f de la famille d dont le module en un point P de S est plus grand qu'en tout point de A;. La borne supkrieure de f serait donc plus grande dans Ap que dans Dp. O r ceci est en contradiction avec la faqon dont on a dkfini Ap. iu

C.

111.

Q . F. D .

- Domaines etrictement convexea relativement a une famille de fonctions.

5. DEFINITION. - k t a n t donnte une famille 3; d e fonctions contin~iesdans un domaine ouvert D l D sera d i t strictement convexe rekativenlent a la famille bl si a chaque domaine

fermk Do, compl&tement i n t d r i e u r a D , o n y e u t associer u n d o m a i n e fermk D',,, c*omyli!tement inte'rieur a D , qr/i j o i ~ i td e la yr.opriBtt s u i c a n l e :e'tant d o r ~ n hn r b i t r a i r e ~ r ~ e 1111 u t point M intkrieut. a Dl m a i s e x t k r i e u r a DI,, il eziste u n e fortction d e la f a m i l l e d d o n t le t ~ l o d u l ee n M est p l u s g ~ * a n dqu'en toiit y o i n l d e Do. D'apres cette dkfinition, il est, clair q u e si D est strictement convcrc relativement a une famille 5 d e fonctions holomorphes dans o n domaine Z (contenant D ) , il est convert? relativement a 5. Nous verrons ail nu 6 que, dans certains cas, la reciproque est vraie. Cine condition ne'cessnire et sujfisanle pout. ~ U ' U I Ld o n ~ a i n e n e soit p a s . ~ t r i c t e n ~ e nconc~exe. t -- Elle va rksulter immCdiatenlent d e la definition; aussi 116noncerons-nous sans demonstra tion. P o u r ' q u ' u n domaine D ne soit pas strictenlent convexe relativement a unc f'arnille 5 . i1 faut e t il suffit qu'il existe nn domaine f e r ~ n eD,, completement intCrieura 11, et i ~ n e s u i t einfinie de f > o i n ~ s MI, . . . , Mp, . . ., interieurs D , n'ayant aucun point limite interieur i D l e t tels que, elant donnee une fonction quelconque d e 3,son nodule en chacun des points blp soit au tjli~s6gal h la borne superieure d e ce l~iCnlemodule dans Do.

6. P l a ~ o t ~ s ous - n d u n s 17e.spaced e derr x vat.inDles coml~lexesx e l y. P o u r abreger le langage, nous dirons qrie D est convexe relatic~ernenta Z,si D est convexe relativernent a la famille d e toutes les fonctions holomorphes dans 3. Ue mCme, nous dirons que D est striclement convexe s'il est strictenlent convexe relativenlcnt a la famille d e toutes les fonctions holomorphes dans D.

T H ~ O H11. ~M -ESi rln d o m a i t ~ ejel-rne 11 est c o m p ~ t e m e n t i n t e r i e u r a U I L donzaine 2 , e t s i D est convex(: 1.elatic.en1ent it X, il est stt.ictement convexe. SupPosons, en effet, que ne soit pas striclement convexe, et servons-nous de la condition necessaire et suffisanle Cnoncee a la fin d u ~ i i ~ m e prkcedent. ro Conservons les m&mesnotations. Toute fonctio~lholonlorphe dans D , trt de module arl plus egal a rcn dans

Do, aura son module au plus egal a nrz en chacun des points Mp. DCsignons par M un point fronti6re de D qui soit ]taint lirnite des M,. Cela posC, donnons-nous un donlaine ferrne 11, , con~pletement interieur a D , et tel que D, soit compl6temcnt intCrieur I D,. Soit aussi S une hypersphere de centre M et de rayon p assez petit pour que S soit intbrieure a 2. Supposons, en outre, p assez pctit pour qile toute translation, de longueur inferieurc, a z p , transforme D, en un domaine contenant encore le don~aineI),, et transforme Z en un domaine conLenant encore le domaine I). Puisque D est convexe relativemcnt a 5 , il existe una fonction f ( x , y ) , holornorphe dans Z,de module au plus Cgal a u n dans I ) , et de module plus grand que un en un point (i, n) de S. O r , il existe un point Mp(xp,.)ap) interieur a S. J e considere alors la fonction ~ ( - c , y ) = f ( . r - s , , - ~ , . ~ ~-.pi); -.~,,

elle est holonlorphe dans I ) ; son module est au plus Bgal i r ~ r t dans Do et plus grand que rrrz en Mp. 011arrive ainsi a une contradiction. c. Q. F. n .

TH~ORE 111. ME Si un donznine est cortciexe relativentenl ci la famille 3; des yolynomes erL x e&,-,il es/ srrictement convexe relativemen&a 6 ,e t , a fir-tior-i, strictement convex(.. Cornrnc plus haut, on raisonnera par l'absurde, avec cette dirkrence que, le dornaine D nlCtant plus suppose borne, les points M, pourraient n'avoir cette fois aucun p o i n ~lin~itea distance h i e . O r , cette derniere eventualite est a re.jeter, car si les points M, tendent vers l'infini, on pcut evidernment trouver des polynomes du premier degre ( x ou y par c:xernple) q i ~ isoient bornes d i ~ o s le domaine D o ( e n effet Do, etant ferme, est b o r ~ l e )et ne soient pas bornks sur l'ensemble des points Mp. Co~nmeplus haut, on arrive a une contradiction, et le theorerne est dernontre. La demonstration rnarche, en sornme, grgce ail fait suivant : si l'on effectue une translation de l'espace, tout pol? norne en x et 3. reste un polynorne. E n remplaqant les translations par des homotheties, on retrouverait des propositions qui rn'ont servi dans mon Memoire cite [C] :

ayd.rozuoloy '(-5 ' x ) d u o ? ? ~ u o Ja u n a.r!n.r?suon l n a d u o ' a p .rna?~p?u?a2.1zu.11?zr?od u n ~ n v?vvLv,u ' a v sJna?J+ju! ' ' '. . . ''Ms?u?od a p a n b u o q a n b a?ugu! a p s a u n a a u u o p ?UV?JJ .a s u v p s a q d ~ o z u o l o qS U O ~ D U O . / a p g all?urvJ a u n 2, juazuan?? -vlaJ a x a n u o ~/ u a u r a ? ~ ? . /au?vurop ~s un a 2.20s - ' 1 ~~4I U T H O ~ H L "

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'eelqeylea xnep ep eeqd~omo1oqeuo!puoj eep e3uelspe,p eaupmop e e l - ' ~ 1

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-,a Jtla!J?lu! luaruau!el~aa Isa v anh suolCo~snoN '(p ,,u) lueualuoa ( x y l u a r u a ~ y e l a a~x) a ~ u o 3au!euiop l y a d snld 'V anreruop a1 !uyap Isa luop uoEiej el y s ~ o ps n o u - s u o l ~ o d a u a p ~u!od Inol ua,nb ua p u e B snld Isa alnpow a1 IUOP suep aqd~oruoloquo!13uoj aun als!xa 11 ' , a Jnapalxa ap anbuoqanb lured un Inel? : alueA!ns a l ? ! ~ d o ~ d el ap ~.i n .oinb .l 'g y ~na!~?ln!luarua1aldruo3 a r u ~ aaureruop j un ayosse Isa a au!eruop ne ' a x a ~ u o a~ u a r u a l ~ p1ue19 is 'laja u 3

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-all?tuvJ a??aa y ?uawan??vlaJ axanuoD ? u a t u a l ~ ? ?sa ~ ~ s1! ?a ' ~ p . r t ? y u ? a p~ au?vluop un ?sa,a '(slnu no sj!~!sod sJayua d la ~u ) d L r l 1 x satuouow sap all?wvJ vl v ?uawan?/vlaJ a x a n u o ~?sa a u ? v w o p 1111 ?S - './a) 111 X P J ~ H O ~ H L -all?tuvJa3?aD g 3uawa.,??vla.i axanuo2 ?uatua~3?.1~s ?a p l 3 ~ a 3jsa I? ',t'ja x u a sau?801uoq sawouLlod sap all?tuvJ v f p 3uawaq3vjaJ axanuo2 jsa au?vurop un ?S - .s?q 111 I I M T H O ~ H L

d a n s D, cjui s ' a n n u l e en chncun des p o i n t s Mp. et cela d e facon cjue les varie'tds s u r lesyuelles F s ' a n n u l e soient obtenues e n kpakunt & des constnntes certaines fonctions d c lo. J'amilh 3. Montrons d'abord que le theortme V est une consequence d u theoreme VI. Appliquons en effet ce dernier au cas oil la famille d est celle de toutes les fonctions holomorphes dans D l et oh les points MI, admettent coninle points limitcs tous les points frontieres de D . Je dis que la fonction F ( x , y ) correspondante n'est holomorphe en aucun point frontiere de D. Supposons en effetque F soit holomorphe en u n point frontiere M,, et par suite en tous les points frontieres voisins ( I ) . Comme chaque point frontiere cst point limite de points M,, la fonction F serait nulle en tout point de la frontiere voisin de M,. D'autre part. au voisinage de M,. F s'annulerait sur des caracteristiques rkgulieres. en nombre fini, a j a n t u n nombre fini de points d'intersection; la frontiere se composerait d'un certain nombre de ces caracteristiques. Soit 1' u n point frontiere appartenant A l'une de ces caracteristiques rt a une seule; au voisinage de Y, la fonction F ne s'annulerait pas ailleurs que s u r la frontikre. C'est impossible, puisque F s'annule aux points Rip, interieurs A D. L1hypoth6se faite est donc absurde : F ( x , y ) n'est holomorphe en aucun point frontiere de D, et par s ~ l i t eD est maxlmum. c. Q. Y . 11. Passons a la demontration du theoreme 1 I. Considerons D comme le domaine limite d'une suite infinie de domaines ferlnes Dl, . . . , D,,, . . . , dont chacun est completement interieur ti D et completement intkrieur au suivant. La definition d'un domaine D strictemen1 convexe relativenlent li une famille 9 associe a chaque domaine D, un doniaine ferme D;,, completement interieur a D. Soit alors n, la plus Rrande valeur de r t tclle que MI,soit exterieur G D;,. Puisque les points Mp n'ont aucun point l i m i ~ einterieur a D, n, tend vers l'infini avec p. Cela p o d , i1 kxiste, dans la famille 8, une fonction f,(x, y ) , Cgale a a, au point M,, e t dont la borne superieure dans Drip est ( I ) Nous supposons donc que D n'a pasde point fronliere isold. II est d'ailleurs facile de montrer que si D avait un point frontiere isolt, D ne serait pas slrictement convexe. Le thPortrne Y est donc valable sans aucune restriction.

.Jna!Jplo! lu!od anbeq3 ap a9eu!s!oa ne slualer!un lua!os sl!,nb a m p - y - l s a , ~Ls?~tuv.r ~ svd lua!os ao sl!,nb n n ~ n o d.slualen!un uou sau!etuop sap se3 ne ~uarualeS? anb!ldde,s a q g suolle snou anb luamauuos!eJ a? (,)

Lallnsaa11.1e3 'p = w anod aluap!a? anb'sa~dlsa uo!l!sodoad ley .w a?.roB?/va v l a p '?ssnv ?nl ' j s a v anb s!p a r i a a p a ~ ? ? l u o ~ J Jv nl s 8 l a -4~ u a j ~ o d z uasol~u o p U O ~ V Jv l J ~ ~ a s o d d n sua?J s u n s '(&)v lualeA!un au!leruop u n ua a luaruaoj -sule~l!nb

'a

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suep saydaowo1oy L s u o ! ~ ~ uxnap oj ap auralsis un

I!OS la ' ( 9 's 'z ' I = w) w a!ao8?le:, el 7 lueuaiaeddu lualeA!un au!eruop un a j!os 'as!aaad uo5ej a u n l a .aJ?vJl?qJv anti?l.Llvuv u o ~ ~ v w ~ ~ aun o ~ s~ u vv andasuoa d~ ~ as sa?~o.8?/vasaD a p aunavlla anb iueualu!eru aaaluoru suoIle snoN . a l u a p ? ~ ? ~a!ao%ale~ d el e luauuay -aeddr? sa!ao%ale~sa3 ap a n b u o ~ l a n baun,p sau!eruop sa1 snoL

*sanaAuoDluarrralD!als ,p feru!xeru ,,g f a8ale1 suas ne ew!xr?ru ,z f s a x a ~ u o ~ - o p n a slnolaed d ,,I : sau!eruop ap salueA!ns sa!ao8?je~ a a ~ e n bsa1 '.L 'x a3edsal1 suep 'aaa?p!suo~ y auauxe lsa uo 'uo!l~npoalu!'l suep l!p s u o ~ l e snou , ~ aruruon

.6

-a .a .O .o .aauou?.~ ap suorlrpuo~ .. sal salnol l![druaa !nb suep aydaoruo~oy' ( A ' ' x ) ~ uo!larroj null aluas?adaa l!npoad ar;) . ( s s e a l s ~ a ! a ~ap anb!sslela lrraruonuos!ea a1 aaladaa ap l g n s I!) (I y ana!a?lu! lu!od lnol ap a4eu!s!o~ ne juaruaruaoj!un a8aaauoa ~!npoad a3 anb uo3ej ap

'a

l ~ n p o a drrn a.lrllJlsuoD Inad uo,nb allnsaa ua 11 -1 "w anb alyad s n ~ d

de la definition m&me d'un domaine strictenlent convexe, que la proprikte, pour un domaine, d'&tre strictement convexe, se conserve par toute transformation analytique. Montrons, en second lieu, que le tr.a?~.~jbr.n~O d'ulc dornaine D partout pseudo-convexe est U I L domaine A partout pseudoconvexe. Soit (1)

x =.f(rr,

y),

Y = h-.(x , ~ )

la transformation de I) en A , et soit x = F(X,

Y),

y = G(X, Y )

la transformation inverse de A en D. Les domi~inesD et A etant supposks univalents, on a partout

Si A n'etait pas partout pseudo-convexe, il exis~eraitun point frontidre Xo, Yo de A , jouissant de la proprikte suivante : etant donnee une hypersphere quelconque Z,de centre X,,, Yo, toute fonction de X et Y, holomorphe dans ia rCgion commune a A et Z, est holomorphe en X,, Yo. Alors les fonctions

seraient holon~orphes en X,, Yo. La transformation ( 2 ) serait donc rkguliere en Xu,Y,,, et transformerait le voisinage tle Xo, 3 , en un voisinage univalent \ ' d'un point frontiere x , , 3.0 de D . Inversement, dans la rCgion V, f ( x , _ y ) et g ( x , 2.) seraient holomorphes, aver:

Soit alors S une hypersphere de centre xo,jaO, interieure a 1'. Yuisque D est partout pseudo-convexe, il exisi.e une hypersphere Sf intkrieure a S, et une fonction ~ ( x"Y), , holomorphe dans 1~1 region commune a D et S', et non holonlorphe en x , , y o . Poscns

( X , Y ) serait holomorphe dans la rCgion commune 4 A et a une certaine hypersphbre Z de centre X,,, Y o ; elle serait donc holomorphe en X,,Y,. O r on a et, par suite, ? ( x , y ) serait holomorphe e n xol Nous arrivons a tine contradiction. c. Q . F . D . O n montrerait de la mCme facon que le tr-ansformt analytique ?eo.

d ' u n domnirre m a x i m u m a u serzs large est mcrximum a u sens large.

10. 11 nous reste enfin 4 montrer que le transfornzt analytique d ' u n domaine maximzcm est m a x i m u m . Nous Ctablirons d'abord l e lenlnlc suivant :

LEMME. - Soiertt kj'onctiorrs I~olomorphesdans u n domaine A. Si, en chaque point frontiere de A, t u n e air moirzs de ces fonctior~src'esl pas Itolomor~phe,i l existe une combi~raison1inbair.e de ces.fonctior~sqrci n'est holorrzorphe en aururt poirlt Ji.onti2r.e d e A ; 1 c.st donc nzaxiniunl. Soient e n effet f , , . . . , f k ces fonctions. Uonnons-nous une suile ill-finie dc points frontibres dc A , MI, . . . . >I,, . . . , telle que tout point frontiere de A soit point limite de cette suitc. 11 spffitde trouver une conlbinaison Iineaire des j', qui ne soit holo~iiorpheen aucliil point MI,. O r , e n u n point frontiere donne M,, il existe nu 'plus k - I combi~laisonslinkaires homogenes distinctes

'~1.1, q u i soient l l o l o ~ l l o r ~ h e sn MI,; sinon, les j'; seraient toutes holomorphes en MI,. P o u r qu'une combinaison Za;f i soit holomorphe e n MI,, il doit donc exister au moins u n e relation linkaire homogene entre les a i . A chaque M,, est ainsi associee une telle relation; toutes ces relations etant en infinite denombrable, il est clair qu'on peut choisir les constantes ai de maniere qu'aucune de crs relations ne soit satisfaite. I,a fonction correspondante S a ;f i ne sera holomorphe en aucun point M,, e t le lemme est deniontre.

Cela pose, soit D un domaine maximum, et soit A le transform6 de D par une transfornlation (1

?i = f ( x , y ) ,

Y =g(x,y);

soi t (2)

x = F(X,Y),

y = G(X,Y)

la transfornlation inverse. D et A.sont suppases univalents ( n o u s l'avons d i ~plus haul une fois pour toutes). O n a donc

J e vais montrer que A est maximum. J e considere pour cela 11ne fonction Q ( X , y), holornorphe dans D, e t non prolongeable ail d e l i de D ( p a r hypothese, il existe u n e telle fonction). J e pose

+(X, Y) E ?[F(X, Y ) , G(X, Y)]. Les quatre fo.nctions

sont holonlorphes dans A. J e dis que, \,,, Yo etant un point frontiere quelconque de A , 1'11ne ail rnoins d e ces quatre fonctions n'est pas holornorphc en X,, k ,. Sinon, e n raisonnant comrne plus haut, on verrait que q(x,-v) serait holomorphe en un point frontiere x,,y,, de D, ce qui est contrdire a l7hypothese. 11 suffit donc d'appliquer A ces quatrc fonctions e t ail domaine A le lenlme qu'on vient dlCtL~blir. Ainsi A st maximum. C. Q. F. 11.

COROLLAIRE D U I.EMME.

Le domaine commrrlt h plusieurs domriines maxinza ( e n nombre $ni) est lui-m$me nzaximum. -

V. - Les domaines de convergence uniforme des series de fonctions.

11. Soit 2 un domaine ouvert d'un espace & a un nornbre quelconquc de dimensions. Considerons une serie de fonctions (rCelles

o u complexes) continues dans Z

q u i converge ynifortnement (vers une fonction finie) au voisinage d'un point 0 interieur a 8 . L'erisemble des points de Z au voisinage desq~ielsla serie converge uniformement constitue un domaine qui n'est peut-Ctre pas connexe; soit D la partie connexe de ce domaine q u i contient 0. Nous appellerons D lc dontnir~ed e convergence unQornre de la serie.

T H ~ O HYII. ~ ME Soit 5 U I Lf ~a ~ r ~ i l lde e /orzctions continlres d a n s U I L dolnai~teZ. ~ t n l t donnPe t une strie d e foncti0.n~d,? la famille 5,.q r ~ ic o n v e ~ . guniforrniment ~ a u voisinage d'un point 0 int(?riec/rh 2 , le dontaine d e convergence uniforme de cette sCrnieest cortveze r'elativement it la famille b. E n effet, soit Do n n domaine ferme completement i n t e r i e ~ i rau d o ~ n a i n ede convergence uniforme D , et soit S une hypersphere, interieure a Z, a j a n t pour centre un point frontiere de D. Nous allons nlontrer qu'il existe line fonction de la famille 9 telle que le maxinium de son module dans S soit superieur a11 maximum de son module dans Do. Envisageons a cet effet un domaine ferme D l , compl6tement intkrieur A D l qui contienne Do et des points intkrieurs a S. I1 suffit de montrer l'existence d'une fonction de % telle que le maximum de son module dans S soit superieur au maximum de son module dans D l . O r , soit

la serie envisagee, et soit

E ,

le maximum de If,,

dans D , . La

m

sdrie x r , , est convergente, h cause de la convergence uniforme. 1

Soit E l'enremble des points de 2 oli l'on a, qiiel que soit n .

soit A l'ensemble des points interieurs a E, et soit 4 la partie connexe de A qui contient le point 0. 11 est clair q u e A contient D l et est contenu dans D. Puisque A

contient D , , A contient des points interieurh n S ; il existe donc art rnoins un point frontiere de A intkrieur i S, soit M. Dans un voisinage arhitraire d e M, i1 existe o n point ou I'on ;I

pour une certainc. valeur de n (sinon M serait interieur a A). O n peut supposer qu'un tcl point est i n ~ e r i e u ra S. E n rksume, on a iJ;, 1 > E,, en U I ~point dc S, e t Id;, 1 O, u + 2 ) . Dans le premier cas, le thQor&meh dQmontrer est Qvident. Dans le second cas, on peut supposer que D a effectivement la forme

Transformations des domaines cerclbs et semi-cercl6s.

551

or, parmi les transformations d'un tel domaine en lui-mbme, celles qui laissent fixe un point xo, yo ( y o 0 ) dependent d'un seul paramitre; donc le point 0, de D , homologue du centre 0' de D', appartient B la variBt6 y = 0; il existe, par suite, une transformation de D en lui-mbme, dans laquelle le point 0, vient au centre 0. c. Q. F. D.

+

Cor 011a i r e. S i deux domaines cerclts borne's sont en correspondance analytique, ils sont kquivalents (conskquence immediate des theorhmes VIII et IX). En particulier, si u n domaine cercle' borne' n'est kquivalent aucun domaine de Reinhardt, il ne peut se reprdsenter sur aucun d o k i n e de Reinhardt. Passons maintenant A la correspondance entre un domaine cercle borne et un domaine semi-cercl6. ThBorhm e X. S i u n domaine cercle' bornt D est en correspondance analytique avec un domaine semi-cercle' D', il est tquivalent a u n domaine de Reinhardt. Ce thborhme a dejA Bt6 Qtablils) dans le cas ou le centre 0 du domaine D correspond B un point du plan de symetrie de D'. Dans le cas contraire, aux transformations

du dornaine D ' en lui-mbme, correspondent des transformations de D en lui-mbme, dans lesquelles le centre n'est pas fixe, et qui laissent fixes tous les points d'une variete A deux dimensions rhelies. Si D n'ktait Qquivalent B aucun domaine de Reinhardt, il serait equivalent 1 un domaine A, (theordme I). Or, dans toute transformation de A, en lui-mbme, il existe au plus une ligne (A une dimension) de points fixes, comme on s'en assure facilernent. Nous arrivons ainsi B une contradiction, et le thkorhme X est dkmontrk. I1 nous reste maintenant B rechercher B quelles conditions un domaine semi-cerclk peut se representer sur un domaine de Reinhardt borne. Le theordme X conduit au resultat suivant: Theorbme XI. S i u n domaine semi-cercle' borne' n7est e'quivalent a aucun domaine de Reinhardt, i l ne peut se repre'senter sur aucun domaine de Reinhardt. ~ t u d i o n se n h le cas de deux domaines semi-cercl6s D et A qui sont en correspondance analytique, en supposant que ces domaines soient gene'rauz (cf $ 3 ) et que 17un d'eux au moins soit borne. .

I"

[dl, th&or&rneXIII, p. 45. Voir aussi [ c ] .

552

H. Cartan.

Admettons que la correspondance entre D et A n'ait pas la forme

( 51 X=f(x), Y=yg(x), et envisageons la famille ( F ) des transformations de D en lui-meme, qui correspondent aux transformations

x'= X , Y'= Y e i e de A en lui-m8me. J e dis que, dans D , la vari6tQ y = 0 ne se traosforme pas en elle-mBme par toutes les transformations de ( F ) . Supposons en effet que cette variktd soit invariante par ( F ) ; alors la varietk correspondante de A serait invariante par (5''); ce serait donc une variQtQ X = a . Or, soient D' e t A' les plus petits domaines semi-cerclQs maxima contenant respectivement D et A. La correspondance envisagee entre D et A eat aussi une correspondance entre D' et A'; au point X = a , Y = 0 du domaine A' elle fait correspondre un point de D' pour lequel y = 0. Mais alors, d7apr8s le thkor8me (D), la correspondance envisagee a la forme ( 5 ) . Or nous avons fait l'hypoth8se contraire. I1 est donc Qtabli que, si la correspondance entre D e t A n'a pas la forme ( 5 ) , la variCtQ y = 0 n'est pas invariante par toutes les transformations de D en lui-m8me. Le domaine D appartient donc & l'une des trois categories dQfinies au thdor8me V; de m8me A. Or il est clair que deux domaines appartenant & ces categories exceptionnelles ne peuvent 8tre mis en correspondance analytique que s'ils sont Qquivalents. D'oh le thQor8me: Theor6 m e XII. S i deux domuines semi-cerclts ghiraux, dont l'un a u moins est borne', sont en correspondance analytique, ils sont e'quiualents. En outre, la correspondance envisqe'e a ntcessairement la forme P')

x= f(4,

Y= yg(x),

sauf peut-ilre duns le cas ou les domaines appartiennent & rune des trois cate'gories excep~ionnellesde'finies au the'ordme V . C h a p i t r e 11.

Iles tra~lsformationsdes domaines cercles. 5. Principe de la de'monstration du th6orhme I. Soit D un domaine cercld borne qui. ne soit Cquivalent & aucun domaine de Reinhardt. Supposons qu'il existe une transformation S analytique biunivoque de D en lui-meme, dans laquelle le centre n'est pas fixe. Nous voulons montrer que D est equivalent ti un domaine Au. Le domaine D admet la transformation infinitdsimale

f f .y _?t'. A = i x ddl + : ?/' (i

553

Transformations des domaines cercles et semi-cercles.

qui engendre les transformationslg)

(8 rkel). D admet aussi une transformation inhitksimale

obtenue en transformant par S la transformation (7). Les transformations engendrkes par ( 8 ) laissent fme le point transform6 du centre par S , et ne laissent fixe aucun autre point de D; elles ne laissent donc pas fixe le centre x = y = 0 , et, par suite, E (0, 0 ) et q ( 0 , 0 ) ne sont pas nuls tous lea deux. Cela posk, le groupe G de toutes les transformations de D en luimBme (nous ne savons pas encore si G est un groupe de Lie) doit contenir le plus petit groupe de Lie r contenant les transformations (7),et (8). Cela suffit B dkterminer effectivement le groupe r , bien que la transtormation (8) ait une forme inconnue a priori. E n effet, r ne peut pas Btre un groupe quelconque, car: l or n'admet pas d'autre transformation infinittsimale laissant fixe l'origine que la transformation ( 7 ) [cf. thkorhme (B), Chapitre I]; 2" r laisse invariant u n domaine bornt contenant l'origine (a savoir le domaine D envisagk). Nous allons voir que ces deux conditions permettent de determiner tous les groupes r possibles; nous montterons qu'ils se ramhnent, en effectuant une substitution linkaire convenable sur x et y , A l'un ou l'autre des deux groupes suivants

Pour achever la dkmonstration du thQor6me I, il restera A chercher les domaines bornQs invariants par chacun de ces deux groupes. Now verrons que les seuls domaines bornks invariants par TIsont les domaines d e Reinhardt suivants (k > 0 ) ; ; x i 9f k i y l < l --pppp-.

~

I1 est it peine besoin de rappcler que chaque transformation infinitesimale est consideree ici comme engendrant une famille de transformations finies dependant lo)

d'un parametre riel. Par exemple, la transformation (7) e t la transformation a, af cx s6nt regardbes comme diffbrentes.

f + y aay

554

H. Certan.

quant aux domaines bornks invariants par r 2 , ce sont prhcishment les domaines A,, et en outre le dicylindre E n somme, notre mkthode consiste B dkterminer a priori un sousgroupe I' du groupe de toutes les transformations du domaine cerclk D considkrk, puis B dkduire, de la connaissance de I',la forme du domaine D.

Soit B dkterminer le groupe I', plus petit groupe de Lie contenant les transformations ( 7 ) et (8), et satisfaisant en outre aux conditions lo et 2 O du paragraphe prkckdent ?O). Puisque la transformation ( 8 ) est transformke de (7) par S , et que S est une transformation analytique partout rkgulikre dans D , les fonctions E(z, y) et ~ ( zy), , qui figurent dans (8), sont holomorphes dans D . En vertu d'un thkorbme connu'l), elles sont d5veloppables dans D en sQries uniformkment convergentes de polynomes homogknes

5, et TI,, dksignant des polynomes homoghes en z et y de degrk n . D'aprb ce qu'on a vu plus haut, les constantes 5, et go ne sont pas nulles toutes les deux. L e m m e 1. Que D soit CYU ne soit 1~;8e'quivalent ci, un domaine de Reinhardt, on a Fn(z,y)=1;1,(x,y)=O pour n > 2 , et transformation

est une transformation infinittsimale de D en lui-mime. E n effet, formons le crochet des transformations (7) et (8), crochet qui appartient ausai au groupe I'. On trouve

B2= [ A , B l ]

=

m m af - - (n=O ~ ( n - 1 ) ? 5 , , } ~ ~ - (n=O ,Z(n-1)'~,,)~

") La dbtermination de r eat due it M. E. Certan, qui m'a aid6 de ses conseils dens la &solution du pdsent problhme. [dl, thborbme II, p. 14.

Transformations des domaines cerclbs et semi-cerclbs.

555

La transformation

fait aussi partie du groupe r. Or elle engendre des transformations laieaant fixe l'origine. Ces transformations sont donc lindaires (thkorhme A); donc a f dans B B, sont homogenes et du premier les coefficients de aa-i f et 3~

+

degrd. On en ddduit aussit6t le lemme. C. Q. F.D. Co r 011air e. La transformation

fait partie du goupe des transformations de D en Iui-meme. Lorsque D n'est Qquivalent a aucun domaine de Reinhardt, C fait partie du groupe K' dQfini plus haut. Lemme 2. Duns le cas ou D n'est e'quivalent d aucun domaine de Reinhardt, on peut ejjectuer une substitution line'aire homogdne eur x et y, de japon que la transjormation C prtcldente prenne ( d un jacteur riel constant p r b ) t u n e des deux formu suivantes

( 1 - - ~ ~a f) ~ + ( 1 -y2)-. - af ay

(11) En effet, on a

af af. cl=[A, Cl=i(-to+ i)G+i(-~o+qs)G, d'autre part, on a [ A , C,] = - C . En outre, la transformation

laisse fixe I'origine; elle doit donc etre identique It A B un facteur &el constant prhs; d'oa lea identiths

Rkciproquement, de deux quelconques sieme ( A un facteur e t Cl engendrent un groupe r cherchd.

supposons lea identitks (9) satisfaites. Alom le crochet des trois transformations A, C, Cl est 6gal h la troireel constant pr8s). Donc les transformatima A, C groupe B trois paramdtrea, qui n'eat autre que le

556

H. Cartan.

NWS sommes ainsi ramene's ci de'terminer lo,v,, 5,, 7, de fa~onque lea identite's (9) soient satisfaites. Or on peut, en effectuant une substitution linkaire et homogene sur x et y (ce qui transforme le domaine D en un domaine qui est encore cerclk, e t que nous appellerons encore D), se ramener au cas oh 7, = 0 . 0. En changeant au besoin x en k x, k ktant une conOn a alors 5, stante complexe, on peut se ramener au cas oh 5, = 1. Les identitks (9) donnent alors immkdiatement la forme que doit avoir la transformation C

+

p est une constante rkelle, a et b sont des constantes rkelles ou complexes. Mais p et b ne sont pas nuls tous deux. Sinon C engendrerait

u ktant un parametre ⪙ or il n'existe aucun domaine bornk invariant par ces transformations. p et b n'ktant pas nuls tous deux, on vkrifie sans peine qu'on peut effectuer sur x et y une substitution linkaire homogene, de fapon A annuler a . Supposons donc a = 0. J e dis que p 0. Sinon la transformation C engendrerait des transformations pour lesquelles on aurait X'=X+U ( u rkel quelconque);

+

or aucun domaine bornk ne peut admettre de telles transformations. I1 est donc prouvk que p n'est pas nul. En multipliant x et le parametre reel u par un m2me facteur reel et constant, on peut se ramener B l'un des deux cas suivants J e dis que le cas p = 1 ne peut pas se pre'senter. En effet, la transformation C correspondante s'obtiendrait en intkgrant le syst&me dz'du - I

+X'~,

~ = 2 ~ ' ~ ' + b ~ ' ~ ,

et en prenant la solution qui, pour u = 0 , se rkduit B x'= x, y'= y. On trouve ainsi x'-i sitl x - i . z'+i=e x+i' si l'on fait x = 0 , x' prend toutes les valeurs rkelles quand le parametre rkel u varie. I1 n'existe donc aucun domaine bornk qui contienne l'origine e t admette la transformation C. I1 reste donc seulement B envisager le cas oh p = -1. Si b = 0, la transformation C a la forme ( I ) kcrite plus haut. Si b 0, on peut, en

+

!l!ransformations des domaines cerclds et semi-cerclbs.

557

multipliant IJ par une constante complexe convenable, se ramener au cas od b = 1 ; ei l'on pose alors s=X, x-y=Y, la transformation C se trouve ramenke & la forme

Le lemme 2 est donc ktabli. Nous devons maintenant ktudier successivement les cas ( I ) et (11). Supposons d'abord que C ait la forme ( I ) ; on trouve facilement le groupe r, correepondant 1-ti z+t x J-- ,ie __. y1 = e i e (0 rkel, 1 t 1 < I). I +t z ' (1 + t x)= Cherchons les domaines bornks qui contiennent l'origine et sont invariants par TI.D'abord, x ( doit Btre infkrieur & un dans un tel domaine. Ensuite, les transform& de l'origine x = y --- O sont les points suivants

tous ces points seront intkrieurs au domaine. Enfin, soit x,, yo un point quelconque du domaine ( I so1 < 1, yo 0); il existe une transformation de rlqui amene x,, yo en un point pour lequel on a

+

or les transformks de ce point sont les suivants

on trouve ainsi tous les points pour lesquels on a

De tout cela, il rksulte que tout domaine bornk qui contient l'origine et eat invariant par le grsupe r, a la forme Passons au cas oh la transformation C a la forme (11). Le groupe r2 correspondant est y 1 = e i e -Ktte i -!it, ~ (0 &el, 1 t 1 < 1). (10) I+ tx

1+ty

Pour dkterminer les domaines bornks qui contiennent l'origine et sont invariants par r, on procBde comme on vient de le faire pour r,. On trouve, outre le dicylindre x Appliquons cette proposition B un domaine A,; soit D, le domaine associ6. Pour montrer le thQor6me I V (§ 2)' il suffit de faire voir que D, est identique B A,. --

") [dl, Chapitre V, thborkmes XXXVII et XLIII.

Transformations des domaines cercl6s et semi-cerclbs.

56 1

Or D , admet toutes les transformat,ions de A , ; il est donc identique B un domaine A , . I1 nous suffit maintenant de montrer que b = a , et, pour cela, de montrer que A, et D , ont au moins un point frontiere commun, pour lequel x f y . Or 1 z - y j admet, dans A,, un maximum M qui est atteint en un certain point frontiere x,, yo de A , . La fonction 1 z - Y -(zo-yo)

est holomorphe dans A , sans btre holomorphe en x,, yo, et, par suite, xo, yo est un point frontiere de D , . C. Q. F. D. Terminons ce chapitre par une remarque. I1 va sans dire que la mkthode, fondbe sur la theorie des groupes, qui a 6th employee aux paragraphes 6 et 7 pour la dbmonstration du thboreme I, pourrait aussi bien s'appliquer, avec de lkgeres modifications, It la determination des transformations des domaines de Reinhardt. On retrouverait ainsi les rksultats de P. Thullen par une mkthode diffkrente de la sienne. C h a p i t r e 111.

Les transformations des domaines semi-cerclCs. 9. Vue d'ensemble. Considkrons un domaine semi-cerclk bornk D . Parmi les transformations de D en lui-mbme, celles qui ont la forme (13) x' = d x ) , Y'= Y y ( x ) forment un groupe G, et les transformations x'= q ( x ) correspondantes foment un groupe g qui laisse invariant le domaine bornk d , projection de D . Le groupe g eat donc proprement discontinu, ou continu It un, deux ou trois parametres. A chaque transformation de g correspondent des transformations de G, dont chacune est d b f i e par la fonction y ( x ) correspondante. J e dis que, la fonction ~ ( x e'tant ) donnte, la fanction y ( x ) est bien dttermine'e au facteur e i e prh. Soient en effet ~ ( x etj y l ( x ) deux fonctions correspondant B la mbme fonction ~ ( x ) soient ; S et S, les transformations de G correspondant respectivement It y et y, . La transformation (S1)-l S s'kcrit

"'= x,

Y ' Y I ( ~= ) Y~ ( 5 ) ; comme elle transforme chacun des domaines 6 (x) 23) en lui-mbme, on doit avoir

U,

Cf-6 1.

562

H. Cartan.

Cela posk, nous allons prockder de la fagon suivante. L e m m e 7. groupe g , et le transformant le ramener a u cas

~ t a n tdonnds un sous-groupe y ci u n parame'tre d u sous-groupe r correspondant d u groupe G , o n peut, en domaine D en un domaine semi-cercle' e'quivalent, se ozi toutes les transformations de r ont la forme XI=

q ~ ( x ) , y'= y e i e .

Ce lemme sera dkmontrk 1 la fin du chapitre (§ 12). V ous commencerons par l'admettre. De ce lemme il rksulte que le groupe r peut Btre engendrk par deux transformations i~ifinitksimales. Par suite, le groupe G peut toujours itre engendrd par des transformations infinittsimales, ce qui n'ktait nullement kvident a priori. Le lemme 7 &ant admis, nous pourrons dkmontrer le L e m m e 8. S i le groupe g ddpend de plus d'un paramt?tre, le domaine D est kquivalent a u dicylindre 1x1 < I ,

lyi

0 ) ; xiq+ yia< 1 le groupe g ddpend donc de trois paramktres. Enfin, nous sewant du lemme 8, nous ktablirons le thkor6me V (cf. tj 3). Les thkoremes V I e t VII rksulteront alors des lemmes 7 et 8.

10. Dbmonstration du lemme 8. Supposons que le groupe g dkpende de deux ou de trois parametres. Le domaine d est alors simplement connexe, et l'on peut supposer que c'est le cercle I x 1 < 1. Or on connait tous les groupes A deux parambtres qui laiseent ce cercle invariant; un tel groupe est formk de toutes les transformations qui laissent fixe un point donnk de la circonfkrence. Repr6sentons d sur le demi-plan de Poincark x, > 0 (on pose x = x, i x,), de f q o n It envoyer le point fixe 1 l'infini; le groupe i deux parametres envisage prend la forme

-+

(14)

x'

=ax

+b

( a > O quelconque, b reel quelconque).

E n rksumk, si le groupe g depend de plus d'un parambtre, on peut se ramener au cas oh, le domaine d Ctant le demi-plan de Poincar6, le groupe g contient le sous-groupe y formk des transformations (14). Cherchons le sous-groupe r correspondant du groupe G. Le groupe r Gkpend de trois parametres et peut &re engendr6 par des transformations infinitksimales (conskquence du lemme 7, que nous admettons pour le moment). En ou-tre, toujours d'apres le lemme 7, on peut

Transformations des domaines cerclbs e t semi-cerclbs.

563

supposer que les transformations de r qui correspondent aux transformations

xl=x+b de y , ont la forme (15) xl=x+b, yl=yeie. Le groupe I' sera alors engendrk par les trois transformations infinitkimales suivantes

Les deux premikres engendrent le groupe ( 1 5 ) ; le premihre et la troisihme engendrent le sous-groupe de r correspondant aux transformations

( a > 0)

x'=ax

du groupe y. Soit B determiner la forme de la fonction q ( x ) . On a

gcrivons que ce crochet est une combinaison linkaire it coefficients rkels des transformations A , B, C ; il vient

q'(x) =i2

(1,

q(x) =i2x+p+ip1

( p et p, reels et constants).

On trouve alors facilement le groupe

rkel et constant);

r engendrk par A, B et C;

( a > 0 , b rhel),

=ax+b ,ieap y e - i l z

yle-ilzr=

"'

(0 reel quelconque)

Posons x

=X,

ye-ilz

=Y

c'eet

.

;

le domaine D se transforme en un domaine semi-cerclk kquivalent A, qui admet les transformations Supposons d'abord la forme

,LA = 0

. Alors il est clair que A a nhceaaairernent

X,>O,

JYl 0 (car y

= Yei"

est bonk dans le domaine, par hypothbe).

H. Cartan.

On a d'ailleurs 4X,= de sorte que A a la forme

Ix+il"- J x - i l a ,

Posons X-i -X+i

x',

4r Y

k(X+i)''

= y';

le domaine A se transforme en un domaine Bquivalent A', qui a la forme 1

x'iP+(Y';
Q,

est n6cmsairement u n e transformation biunivoque de D e n l u i - m i m e (et, par suite, on a f ' ( 0 ) 1 = 1). Supposons en effet qu'un tel nombre SZ n'existe pas. On pourrait alors trouver une suite de trarlsformatio~ls ir~tkrieuresn o n biunivoques s l , . . ., s p , . . . , (8,) 2'-=f P "z), pour lesquelles on aurait lim l f ' ( 0 ) 1 = 1. fp(0) = 0 , p-rm

'

P

Or, on peut supposer que les tra~lsformationsS,, convergent uniformCment vers une transformation limite S (sinon, il suffirait d'extraire de la suite des S , uile suite partielle uniformkment convergente). Soit donc (8)

z'= f ( z )

la transformation limite; on a

S , n'ktant pas dkgknkrke, est topologique (car nous sommes dans le cas d'une seule variable complexe). Puisque S est topologique et est limite de transformations intkrieures, S est une transformation intkrieure du domaine D; S est donc une transformation biunivoque de D en lui-m6me. Cela posk, de deux choses l'une. O u bien D possZde au moins un point fronti6re isolk M,,; dans ce cas la fonction fp est holomorphe en M,,, puisqu'elle est holomorphe en tous les points voisins et born&; comme,

Sur les fonctions de plusieurs variables complexes.

773

d'autre part, les transformations S - I S, sont interieures et convergent vers la transformation identique, elles laissent fixe le point M, B partir d'une certaine valeur de p. Or elles laissent aussi fixe le point 0 ; elles sont donc biunivogues (on s'en assure en considkrant les itkrkes de chacune d'elles et en appliquant le theoreme fondamental 4). O u bien il existe dans D au moins une courbe fermke C non topologiquement kquivalente & zero et non rkductible un point. Alors, B partir d'une certaine valeur de p, toutes les , trouvent dans le cas a ) (page 771); elles sont transformations s - ~ sse donc biunivoques, et l'on arrive encore B une contradiction. L'existence du nombre D est donc demontree dans tous les cas. La determination effective de Q semble assez facile dans le cas od D est une couronne circulaire. I1 va sans dire que, moyennant quelques prkcautions, les derniers Qnonces qui precedent peuvent 6tre ktendus au cas de plusieurs variables complexes. (Eingegangen am 15. Dezember 1931 .)

Sur les zkros des combinaisons linkaires de p fonctions holomorphes donnkes Mathematica (Cluj) 7,s-29 (1933)

Requ le 3 septembre 1932.

Introduction. Je me propose de developper ici le contenu d'une Note aux Comptes Rendus de 1'Academie des Sciences de Paris (1). Rappelons d'abord une inegalite fondamentale de R. NEVANLINRA, Cette inegalite concerne la theorie des fonctions meromorphes d'une variable complexe. Soit f (x) une fonctioil meromorphe pour I x 1 < R , a, q nombres complexes (R peut &re infini), et soient a , , az, distincts; on a, pour toute valeur de r inferieure B R,

.. .

Voici la signification des symboles utilises: T (r, f ) designe la fonction deAnie par la relation de croissance de NEVANLINNA,

Dans le second membre de (I), Nl(r, a,) est une abreviation pour N1(r, f -ai)(2). Enfin, S (r) designe une fonction de r dont R. NEVANLINNA (3) 189, 1929, p. 727. $(x) etant une fonction mkromorphe, nous d6signons par N(r, g) la vale-ir de la somme (1)

(2)

Btendue aux z k o s hi de + (x), chaque zero Btant comptb avec son ordre de multiplicite ; la meme somme, dsns laquelle chaque zero serait comptb une seule fois quel que soit son ordre de multiplicit6, sera designee par N, (r, @). - Pour la cornmodit6 de

+

l'bcriture, nous avons ajoutb - log 1 f (0) I B la fonction T (r, f ) de R. NEVANL~NNA ; nous supposons d'ailleurs, pour simplitier, que x = 0 n'est pas on pble pour f (x). (3) Voir le livre de R. NBVANLLNNA, Le thdorbme de Picard-Bore1 et la theorie des fonctions meromorphes (Collection Borel, Paris, 1929), p. 141-144. Dans la suite du present travail, je dbsignerai ce livre par [ a ] .

6

H . CARTAN

a indique les proprietes; il nous suffira de savoir ici que la quantite S (r) est, en general, negligeable devant T (r, f ) ; d'une faqon precise, on a, dans le cas ou K est infini, a condition d'exclure eventuellement des valeurs de r qui remplissent des intervalles dont la somme des longueurs est finie; ces intervalles ne dependent que de la fonction f (r), et non des valeurs a ] , . , aq intervenant dans l'inegalite (1). Dans le cas ou R a une valeur finie, on a

..

avec des intervalles exc.eptionnels dans lequels la variation totale de

1

log - est finie. R-r ilinegali&e(1) limite la croissance de la fonction f ( x ) , des qu'on connaft les racines de q ( q > 3) equations f (z)- ai= 0. R. NEVANLINNA en a tire des conclusions fort impol.tantes, qui lui ont notamment permis de preciser la portee du theoreme de Picard-Bore1 relatif aux ealeurs .exceptionnelles" d'une fonction meromorphe dans tout le plan. Or, e~ivisageonsl'inegalite (1) du point de vue suivant: rnettons f ( z ) sous la forme du quotient de deux fonctions g1(x) et g2(x), holomorphes pour I x I < R et sans zeros communs (on sait qu'une telle operation est toujours possible); les racines des equations f (x)-a,=0 se presentent alors comme les zeros des combinaisons lineaires gl(x)-aig2(x). Ainsi, le second membre de (1) fait intervenir les zeros de q combinaisons lineaires distinctes de deux fonctions holomorphes g,(x) et g , ( x ) sans zeros communs. On est alors amene a se demander s'il n'existe pas une inegalite analogue a (I), et relative aux systemes de p fonctions holomorphes donnees et aux zeros de q ( q 9 p) combinaisons lineaires distinctes p a p, de ces p fonctions. Une telie inegalite est a prevoir, car on sait, par exemple, que la somme de p fonctions entieres sans zeros, lineairemer~t independantes, a necessairement une infinite de zeros (4). Effectivement l'inegalite (1) est susceptible d'etre generalisee, comme nous le montrerons au cours de ce travail. Voici le resultat precis que nous etablirons: designons par gl (z),. . . , g, (x) p fonctions holomorphes pour I x I < R et linkairement indt!p p ) cornbinaisons linbaires homogenes a coefficients constants de ces p fonctions; designons ces combinaisons par Fi (x) (i= 1 , 2 , , q), et supposons-les linhairement distinctes p a p. Designons enfin par Np-1 (r, Fi) la somme l:11

.. .

2log+

r I l k 1

BtenduL aux z e ~ ~ ld o j de la fonction F~(x), chaque zero etant compte autant de fois qu'il y a d'unites dans son ordre de multiplicite si celui-ci est inferieur a p-1, et p-1 fois dans le cas contraire. Cela pose, nous Btablirons (5 2) I'inegalite fondamentale

dans laquelle le reste S ( r ) jouit des mernes proprietes que plus haut, a condition deremplacer, dans les inegalites (2) et (2)', T(r, f ) par l'(r). Pour p=2, cette inegalite se reduit a l'inegalite (1). Pour p 2, l'inegalite (3) est appelee Arendre, dans la theorie des systemes de p fonctions holomorphes, les memes services que l'inegalite de NEVANL~NNA dans la theorie des fonctions meromorphes. Nous l'appliquerons notamment au cas ou les fonctions gj(x) sont entiires (voir 5 4). Auparavant, nous nous occuperons des fonctions algt?broi'des ,,du type generalu (5 3), pour lesquelles l'inegalite (3) fournit une inegalite plus precise que celles connues auparavant. Les paragraphe? 5 et ti seront consacres a quelques applications dc l'inegalite (3) & des problemes d'unicite.

>

1. La fonction de croissance T (r).

.. .

Soient donnees p fonctions g, (x), , g p (x) holomorphes pour 1 x 1 K. Supposons une fois pour toutes qu'il n'existe aucune valeur toutes ces fonctions; supposons en outre, de x annulant ~i~v~ultanbnaent dnns le but de simplifier les calculs qui suivront, qu'aucune de ces fonctions ne s'annule pour x=0(5). Designons par u(x) la fonction reelle qui, pour chaque valeur de x, est 6gale a la plus grande des p R, quantites log I g, (x) I ( i = 1,2, . . ,p), et posons, pour r


~ O ! I I I D O I 01 ap suas a1 la 'qalnoru?p m o p eaas 11 aru?~o?qla1 f A ap sed puad?p au ( A 'z)$ anb 'V au!suiop a1 susp ( A ' T ) $ ap anb!li1uus luau1 -a9uo1o.ld ~ e 'da ~ n l m oe ~ u n o d uo '!yqal? 11 amura1 a1 s!oj a u n L~

au?uwop np (,C ' x ) y o d ?no7 .mod

??w 210'1 an6 alla? Isa J UO?~WW.IO./SUW.I~ 01 ?S :aluvn?ns ?l;)?.rdo.id w1 ap ?uwss?noC (,.1 > d '.I > w) d ?a w sLll?sod saJqwolr xnap a?s?ra 'sa+j.ras -uoa 7uv?? sa?~lap?a?.rdsuo??v~ou?a sayylodA?/ sa7 '11 X W ' Y ~ ~ I : luea!lls aurural a[ ~ a ~ l r r o r u ?suoIIe p snoN . ( . i ' ) aaedsa,~ap ,A l a A slu!od xnap ap no ' ( 3 " ) a3edsa'l ap ,x la x slu!od xnap ap auua!p!1311o az~uuis!pel

asd suouDg!spp 'a~l~l!mg,laa!~!~du~!sarrod v . 4 ~ e a.rna!.l?ln! l!os ,.I z noie.1 ap la 'iC'aalua3 ap a ~ a q d s ~ a d i qanb ' [ la y ~.IIIC>!.I~IU!I!OS .I z uo6e.1 ap la Ox amnaa ap a ~ ? q d s ~ a d i qanh , l sIa1 ',.I la .I sj!~!sod saJqurou xnap als!xa I! 'suo!l!pno3 sa3 s u e a .no!le3g!mlu ap lu!od un aJla ua sues e anua!l~eddt!O Aanb la 'uo!~sag!ure,l ap lu!od un a.lla ua suss e auua!l~eddu Ox anb la] (".C' "'x) ~ u ~ ou rd~

La

d b yue le quotient !.vl-..v I 15'-x 1

est infir-ieur h un certain nombre positif K . Dans cet knoncd, d;,;(x; YC')ddsigne la pseudo-distance des points x et x' dans le domaine D,, et d ~ ( xy, ; x', y') ddsigne la pseudo-distance des points (x, y ) et (x', y') dans le domaine A. Pour ddinontrer (5, I ) on remarquc d'abord que l'on a

En effet, si l'on ddsigne pour un instant par D le produit topologique de D, par l'espace ( y ) tout entier, et qu'on observe que A est intdrieur a D. on a C ~ A (yX; ,x', y')? d ~ 1 2y, ; x', y ' ) ; clu(x, y ; x ' . y ' ) = 4,ix; 50, car toute fonc~ionde x e l y, holomorphe et de module infhrieur a a n dans 0, se rdduit a une fonction de x seul, holomorphe et de module infdrieur a un dans D,.. 11 reste donc a ddtnontrer l'inkgalitd (5,3)

d ~ i x",Y ; x', y ' ) s & ( x ; z').

Pour cela, supposons x, y , x',y' fixes; au moyen d'uoe ~rnnsforformation lineaire s u r les coordonndes (conservant les distances), on peut se ramener au cas ou toutes les coordonndes de x et de sf sont dgales sauf une; de m61ne pour y et y'. O n aura donc

.

Celn dtant, a chaque point k(k, , . .,t,) de D,, je fais correspondre le p o i n ~q ( q , , . . ., a,/) dbfini par les fornjules

O n a par hypothbc.

(11 p

r suite

1 7/1-,1,1

I < K 151-

X,

I < KMl

M Btant u n n o ~ n b r efixe; en effet, le domaine D , est. bornk par hypothese. P a r hypothese aussi, le p o i n t y est intbrieur a l'hypersphere de centre y o et de rayon r'. Nous serons donc sGrs que le point q reste intbrieur a ]II.si

car alors le point q sera intdrieor a llhypersphere d e centre yoel de rayoil a r ' . E n d6finitive, il suffit que

pour que le point (5. 71) (dont les coordonndes sont des fonctions holomorphes d e coordonndes de E lorsque 5 decrit le domaine D,) reste intkrieur a A. K Ctant choisi de facon a satisfaire a cctte condilion, je vais construire une fonction G(E), holomorphe et d e module inf4rieur li un dans I).,.. nulle pour E = x, et egale a d ~ ( x y, ; sf, y') pour i .- x'. L1inCgalitP (5,3)en rksultera. Or i1 existe prkcisdment une fonction F ( < , q ) , holomorphe et de modl~leinfdrieur u n dans A , nulle nu point (x, . y ) et Bgale ii dA(*c,3'; x', y') au poinl (x', y ' ) . Si, dans cette fonction, nous renlplaqoos 7, cu fonction de 5 d'apres les formulcs ( i , 4 ) , nous obtiendrnos I;r fonction G(E) annouc6e. Le lemme III est donc tl&inontl+.

ti. Nous arrivons a la ddmonstrntion du lemme 11. Suit R un ~ i o m b r epositif assez grand pour que tor~tetljpersphere de rayon R, dolll le cchnlre 5 appnrtient a I'hypersph6rc

c u t i e n o e le doninine D, a son inti'rieur. 1I';tprt;s la dbfinitioll d e r ( $ 4 ) . I'hj-persphere de rayon r et de centre ( est int8rieure d l~),,.q ~ ~~eI lI soit C hstisfaisalit ( 6 , I ) . Si uous vorllons appliquer

le lelnme I au domaine D, et au point 5 de ce domaine, nous sommes conduit a choisir un nombre positif p(p < r ) satisfaisant a 3p

--

zpt --

nous ajouterons la condition (6'2)

P