Chapitre 6 Murs de Soutènement 1 [PDF]

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CHAPITRE 6 OUVRAGES DE SOUTENEMENT

1.1- Définition : Un ouvrage de soutènement est un élément construit dans le but de retenir un massif de sol en place ou de sol rapporté, ce massif pouvant lui-même porter des surcharges. Il peut être aussi utilisé pour retenir l’eau ou d’autres matériaux tels que charbon, argile, etc. Il en existe une large gamme de structures utilisées pour retenir les surfaces verticales du sol et de l’eau en tant que soutènement provisoires ou définitifs. Les ouvrages de soutènement sont conçus pour répondre aux situations les plus diverses. Ils se distinguent principalement par : - leur morphologie ; - leur mode de fonctionnement ; - les matériaux qui les constituent ; - leur mode d'exécution ; - leur domaine d'emploi (urbain, montagneux, aquatique,...). 1.2- Classification des ouvrages de soutènement selon l’Eurocode 7 D’après la définition de l’Eurocode 7, un ouvrage de soutènement est un élément structural qui retient des terrains (sols, roches ou remblais) et/ou de l’eau.

Les ouvrages sont classés, vis-à-vis du comportement en trois types de soutènement, ils sont caractérisés par des fonctionnements différents et conduisant à des études de stabilité interne spécifiques. Ces trois types d’ouvrages couverts par la norme sont : Les murs-poids : ce type d’ouvrages se comporte comme élément rigide indéformable ou peu déformable. La stabilité est assurée par le poids de l’ouvrage et, en partie, par du remblai derrière le mur. Ce type comprend les murs en pierre, les murs en béton et les murs en béton armé, ayant une semelle à leur base avec ou sans talon, épaulement ou contrefort (Figure 1.1 (a)).

Mur-poids à face inclinée

Mur-poids à redans

Mur poids avec semelle

Mur contilever

Mur chaise

Mur à contre fort

Fig 1.1- Murs-poids

1

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Les écrans de soutènement : sont des ouvrages flexibles qui regroupent les palplanches autostables, les palplanches ancrés ou buttonnés, et les parois moulées, parois préfabriquées, parois de type berlinois, blindage de fouilles, etc. Ce sont des ouvrages de soutènement relativement minces en acier, en béton armé ou en bois supportés par des ancrages, des buttons et/ou la butée des terres. Ce type d’ouvrages et caractérisé par sa résistance à la flexion qui joue un rôle important dans le soutènement des massifs de sols (Figure 1.2 (b)).

Paroi moulée butonnée

Paroi moulée ancrée

Palplanche

Figure 1.2- Ecrans de soutènement

Les ouvrages de soutènement composites : sont des ouvrages intermédiaires formés d’éléments appartenant aux deux types précédents (élément rigides et éléments flexibles), il existe un très grand nombre de murs de ce type. On peut citer comme exemple, les ouvrages en terre renforcés par des ancrages, des géotextiles ou des injections, et des ouvrages comportant des rangées multiples d’ancrages ou de clous. Si, par leurs dimensions, ces ouvrages se rapprochent des murs-poids, certains sont néanmoins relativement souples et peuvent tolérer des déformations importantes (Figure 1.2(c)).

Mur en terre armée

Mur en géotextile

Palplanche à ancrages multiple

Figure 1.3- Ouvrages de soutènements composites

1.3. Classification selon la manière de reprises des efforts Mestat (1999) a présenté une classification des ouvrages de soutènement qui se distinguent par la manière dont les forces de poussée et de butée exercées par le massif de sol retenu, sont reprises. Cependant, ces forces de poussée et de butée sont généralement reprises soit par le poids de l’ouvrage de soutènement (Tableau 1.1), soit par l’encastrement de l’ouvrage de soutènement (Tableau 1.2), soit par des ancrages (Tableau 1.3).

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Tableau 1.1− Ouvrages de soutènements qui reprennent la poussée par leur poids d’après Mestat (1999)

Type d’ouvrage

Caractéristiques de fonctionnement

Mur-poids en béton ou

Ouvrage rigide qui ne peut supporter sans

en maçonnerie

dommages

des

tassements

différentiels

supérieurs à quelques millièmes de sa hauteur.

Le sol retenu est renforcé par des inclusions Mur en Terre Armée

souples résistant à la traction. Ouvrage souple qui supporte les tassements différentiels du sol de fondation.

Mur cellulaire,

La cellule est remplie de sol et l’ensemble

batardeau en palplanches,

forme un ouvrage qui peut être, dans certains

caisson en béton

cas, très souple.

Tableau 1.2− Ouvrages de soutènement reprenant la poussée par leur encastrement d’après Mestat (1999)

Type d’ouvrage

Caractéristiques de fonctionnement Ouvrage rigide doté d’une base élargie et encastrée

Mur cantilever en béton armé

à la partie supérieure du sol de fondation. Il fonctionne en faisant participer à l’action de soutènement une partie du poids du remblai. Mur construit dans le sol en place, avant toute

Mur en parois moulées

excavation, par bétonnage d’une tranchée remplie de boue pour en assurer la stabilité. Il fonctionne par encastrement total ou partiel dans le sol de fondation. Ouvrage flexible pour lequel l’interaction structure-

Rideau de palplanches, encastré

sol retenue a une influence prépondérante sur le

dans le sol de fondation

comportement de l’ouvrage.

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Tableau 1.3 − Ouvrages de soutènement reprenant en totalité ou en partie la poussée par leur ancrage dans le massif retenu ou dans le sol de fondation d’après Mestat (1999) Type d’ouvrage

Caractéristiques de fonctionnement Ouvrage

flexible

renforcé

par

une

série

Paroi moulée ou rideau

d’ancrages dans le sol. Les ancrages sont des

de palplanches avec des ancrages

armatures métalliques (câbles ou barres) qui sont attachées d’une part à la paroi (ou au rideau) et d’autre part dans le massif du sol par un corps d’ancrage ou par un scellement avec un coulis d’injection. Paroi réalisée à partir de poteaux placés

Paroi berlinoise

préalablement dans le sol en place. Au fur et à mesure

de

l’excavation,

des

éléments

préfabriqués (poutres, plaques), ou moulée en place sont placées entre les poteaux. La poussée des terres est reprise par des ancrages fixés sur les poteaux. 1.4. Classification selon la rigidité de l’ouvrage Les ouvrages de soutènement sont également classés en deux catégories selon leur rigidité :  Les ouvrages rigides : Un écran soutenant un massif de sol est dit rigide si la surface de contact sol-écran reste plane après déplacement.  Les ouvrages souples : Un écran est dit souple si la surface de contact sol-écran est flexible. 1

1

2

4 2

3

3

4 1

4

Fig 1.4 ouvrage souple 1.5. Objectif de l’étude d’un ouvrage de soutènement 4

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Un ouvrage de soutènement est généralement considéré comme un ouvrage continu et soumis aux sollicitations suivantes :  pression du sol exercée par le poids du massif retenu et par les surcharges appliquées et transmises à l’ouvrage par le sol ;  pression de l’eau au contact des faces avant et arrière ;  réaction du sol exercée devant l’ouvrage de soutènement, contre la partie enterrée et réaction de l’eau exercée au contact de la même face ;  réactions d’appui des tirants ou des butons lorsque l’écran est étayé. L’étude d’un ouvrage de soutènement a pour objectif de déterminer ses caractéristiques géométriques et mécaniques, compatibles avec la sécurité et l’économie du projet :  pour un mur-poids : hauteur et profondeur d’encastrement ;  pour un rideau de palplanches : fiche de l’écran, module des palplanches, forces d’ancrage et dimensions des tirants, caractéristiques des butons ;  pour une paroi moulée en béton : fiche de l’écran, épaisseur et ferraillage, forces d’ancrage et dimensions des tirants ;  pour un mur composite : longueur des armatures, hauteur des couches, types de géotextiles ou géogrilles et propriétés du renforcement.

1.6. Equilibre limite 1.6.1. Généralités L’étude des murs de soutènement nécessite la connaissance des états de contraintes dans le sol. Ces états dépendent essentiellement des propriétés du massif de sol retenu et du mouvement du mur. Les trois états d’équilibre qui peuvent être envisagés sont :  état d’équilibre initial  état d’équilibre de poussée  état d’équilibre de butée Lorsqu’un massif de sol soutenu par un mur de soutènement rigide est en équilibre élastique, le mur ne peut ni se déformé, ni se déplacer ; ainsi que le sol ne peut pas présenter de déformation latérale (dilatation ou compression) : Dans cet état d’équilibre initiales, le massif exerce sur le mur une action désignée sous le nom de pression naturelle des terres ou de pression au repos. On peut passer de l’état primitif d’équilibre élastique du sol à l’état d’équilibre plastique par deux opérations différentes. Si l’on écarte d’une manière quelconque le mur du massif de sol, on constate que l’action du terrain sur le mur décroît, le sol est l’objet d’une expansion dans le sens horizontal, la pression sur la paroi verticale du mur diminue jusqu'à ce que les conditions d’équilibre plastique soient satisfaites, la 5

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pression verticale restant inchangée. A partir de cet état, toute augmentation nouvelle de déplacement provoque simplement un écoulement plastique sans changer l’état des contraintes. Le passage de l’équilibre élastique à l’écoulement plastique représente la rupture du sol. Si le déplacement se poursuit, on constate l’ouverture des fissures dans le massif et une partie du terrain suit l’écran dans son mouvement. Cet état est appelé état d’équilibre limite de poussée qui se produit pour une faible déformation horizontale. Le mécanisme est analogue lorsqu’on refoule le mur contre le massif, le sol est comprimé dans le sens horizontal, la pression sur la paroi verticale du mur augmente avec le déplacement de celui-ci tandis que la pression verticale due au poids propre du sol reste inchangée. Puisque la compression latérale est empêchée par le poids du sol, la rupture qui s’ensuit par écoulement plastique représente l’état d’équilibre limite de butée dans le massif.

1.6.2. Coefficient de pression des terres au repos Le coefficient de pression des terres au repos, est un paramètre géotechnique important. Il permet de caractériser l'état de contrainte effective dans un sol en place en présentant le rapport des contraintes horizontales et verticales à l'intérieur d'un massif dont la surface libre est horizontale. on considère une masse de sol de poids volumique γ limité par une surface horizontale et soumise à l’action de la pesanteur (Figure 1.5). La masse est limitée par un mur lisse AB. Un élément de sol placé à une profondeur z sera soumis à une pression verticale σv et une pression horizontale σh. La contrainte verticale est donc connue σz = σv = γ.z. Pour obtenir la contrainte horizontale σx ou σh il faudrait connaître la loi de comportement du sol. Si le mur AB ne se déplace ni à droit ni à gauche par rapport à sa position initiale la masse de sol sera dans un état d'équilibre élastique; c'est-à-dire la déformation horizontale est nulle. Le rapport entre la contrainte horizontale et la contrainte verticale est appelé le coefficient de pression des terres au repos, K0, où

y

x

K0 = σh / σv



z M

Figure 1.5− Massif infini

Lors d’un essai triaxial drainé (u=0 au cours de l’essai), dans lequel on augmente la contrainte telle sorte que la déformation horizontale reste nulle (

 h' , de

 h  0 ), on constate que la contrainte effective

horizontale est proportionnelle à la contrainte effective verticale.

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Le rapport entre la contrainte effective horizontale et la contrainte effective verticale est appelé coefficient de pression des terres au repos. On note :

K0 

 h'  v'

(1.2)

Lorsque il s’agit de matériau de remblai contenant un pourcentage important d’argile, le coefficient K0 est compris entre 0,5 et 1 suivant le mode d’exécution du remblai, le compactage et les caractéristiques de consolidation du matériau. Le coefficient de pression des terres au repos K0 peut être évalué à partir :  des relations théoriques : leur domaine est limité pour les sols normalement consolidés, par exemple : formule de Jaky (1948).  des essais au laboratoire :  d’essais en place (essais au pressiomètre auto foreur) ;  d’expressions empiriques relient ce paramètre à d’autres paramètres géotechniques (angle de frottement interne, pression de préconsolidation), lorsque l’histoire du chargement est relativement simple. Plusieurs formules théoriques et empiriques sont données pour l’estimation de K0 pour un sol normalement consolidé. Généralement l’expression la plus utilisée est celle donnée par Jaky (1948), qui tient compte de l’angle de frottement du sol : K 0  1  sin  '

(1.3)

Cette expression est largement utilisée à cause de ses significations pratiques et sa simplicité, mais elle est limitée pour les sols normalement consolidés. D’autres auteurs ont proposé, pour les sables et graviers, l’expression :

K0 

1  sin  ' cos  '

(1.4)

Cette expression donne des résultats plus élevés que ceux de la formule de Jaky. Les expressions du coefficient de pression des terres au repos Type de sol

Expression

Auteur

Matériau élastique

K0=ν/(1-ν), ν :coeff de Poisson

Argile normalement consolidée

K0NC=0,95-sinφ’

Bouker et Ireland (1995)

K0NC=0,19+0,233log10Ip

Alpan(1967)

Argile surconsolidée

K0OC= K0NCxOCR sinφ’

Mayene et Kulhawy(1982)

Sable normalement consolidé

K0NC=1-sinφ’

Jaky(1944)

Sable surconsolidé

K0OC= K0NCxOCR sinφ’

Mayene et Kulhawy(1982)

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1.6.3. Etats d’équilibre limite de poussée et de butée L’action des terres sur un écran peut être analysée à partir de l’hypothèse suivante :  sol travaillant en phase plastique (poussée active ou butée passive) ; La détermination de l’action des terres sur l’écran en plasticité suppose :  un écran rigide,  un milieu homogène isotrope,  un massif entièrement à l’état limite de rupture plastique généralisée, ce qui signifie qu’en tout point le critère de Coulomb est vérifié :

  c   ' .tg

(1.5)

Soit un sol homogène, sans eau, à surface horizontale non chargée. Dans le cas où il n’y a pas de possibilité de déplacement latéral, les contraintes effectives verticales et horizontales sont :σ’v= γ.h

et

 h'  K 0 . .h Supposons que la partie à gauche de M soit remplacée par un écran (figure 1.6). Si l’écran se déplace vers le massif. La contrainte  h augmente et devient supérieur à  v jusqu’à atteindre un état d’équilibre limite où le cercle de Mohr devient tangent à la droite limite de Mohr-Coulomb (figure 1.4). C’est l’état d’équilibre limite passif ou équilibre limite de butée, la contrainte prend la valeur :

 h'  K p . v'

(1.6)

Avec Kp : coefficient de butée des terres.

Kp ' K p . v

' K 0 . v

K0 Ka

M

Déplacement

Figure 1.6− Déplacement de l’écran correspondant à une mise en butée

Une déformation plus importante est nécessaire pour atteindre l’état de butée (de l’ordre 5% pour un sable dense et 12% pour un sable lâche). Si, au contraire, l’écran se déplace vers la gauche, le sol a tendance à suivre ce mouvement et la contrainte  h diminue jusqu’à ce qu’elle atteint l’équilibre limite où le cercle de Mohr devient tangent à 8

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la droite limite de Coulomb (Figure 1.5). C’est l’état d’équilibre limite de poussée, la contrainte prend la valeur :

 h'  K a . v'

(1.7)

Avec Ka : coefficient de poussée des terres. Une faible déformation horizontale (de l’ordre 1%) suffit pour atteindre cet état limite.

 butée

poussée

'

  c   .tg

butée

poussée ' K a . v

' K 0 . v

'

v

' K p . v



Figure 1.7− Evolution des contraintes en états de poussée et de butée

L’intensité et la direction des efforts limites de poussée et de butée exercés par un massif de sol sur un écran sont fonction :  des propriétés de résistance du sol ;  des conditions de frottement entre le sol et le soutènement ;  des actions qui s’exercent sur le massif (poids propre du sol, surcharges, forces hydrauliques, forces sismiques, etc.) ;  des caractéristiques du mur (rigidité, géométrie, système d’appui) ;  de l’amplitude et la direction du mouvement du mur par rapport au sol. 1.7. Influence du déplacement de l’écran et de sa rugosité Les expériences de Terzaghi ont donné une forte impulsion à la recherche expérimentale en cette matière ; depuis 1934 de nombreux essais, sur modèle réduit ou en vraie grandeur, ont été poursuivis pour préciser l’influence des déplacements de l’écran sur la poussée des terres. Les résultats des divers essais sont bien concordants, on constate d’abord que la totalité du coin de glissement est en état d’équilibre limite, car on distingue presque en chaque point du coin des amorces de rupture.

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Les essais montrent d’autre part que la ligne de rupture n’est rectiligne que dans sa partie haute, qu’elle s’incurve au voisinage de l’écran et que la rugosité de l’écran à une influence notable sur la forme de cette partie curviligne (Figure 1.6). Parallèlement, l’intensité de la poussée et la butée est fonction de cette rugosité.

Dans leur déplacement relatif, le massif et l’écran développent un frottement qui dépend de la nature de la paroi et de celle des grains du sol. Soit δ l’angle de frottement sol-écran. L’obliquité δ des contraintes de contact du massif et de l’écran est donc, dans ce cas, une donnée physique comme l’angle de frottement interne des terres. Le frottement est décrit par le critère de Coulomb, le long de l’interface, la contrainte tangentielle maximale mobilisable dans un sol pulvérulent s’écrit :

   tan 

(1.8)

 : étant la contrainte normale à l’écran. Pour les sols cohérents, la résistance maximale mobilisable au cisaillement le long de l’écran peut s’écrire :

  a   tan 

(1.9)

Avec a : adhérence sol-écran. La mesure du coefficient de frottement massif-écran détermine immédiatement la valeur absolue de l’obliquité δ. Il faut seulement se rappeler que la valeur de δ ne peut dépasser la valeur φ de l’angle de frottement interne des terres. En effet, si la mesure de δ conduisait à une valeur supérieure, on observerait en pratique la formation d’une pellicule de terrain collée contre la paroi et solidaire de l’écran substituant son propre frottement interne φ au frottement δ des maçonneries contre les terres. En valeur absolue, l’obliquité δ peut donc varier entre 0 et φ. Le signe de cette obliquité dépend du sens du mouvement relatif de l’écran et du coin de glissement ; dans les problèmes de poussée des terres, sur les murs de soutènement, δ est généralement positif, l’apparition du frottement négatif est assez rare, elle est due le plus souvent à un phénomène de tassement différentiel entre le mur et le massif. Lorsque δ = 0, on dit que l’écran est parfaitement lisse, lorsque δ = φ l’écran est parfaitement rugueux.

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0

0 



4

Qa





2

4

Qp

 0

0



 2

 0

0 



4





2

4

Qp

x 

 2

x



  0



0    

Qa 0

0  4





 2

4

Qp



 2





x

  

x

  

Qa Figure 1.8− Allures des lignes de glissement en fonction de la rugosité, (a) Equilibre limite de poussée ; (b) Equilibre limite de butée (Philipponnat et Hubert, 2008)

1.8. Détermination de la poussée et la butée des terres sur un écran

1.8.1. Décomposition des actions En pratique on distingue trois composantes principales :  celle due au poids propre ;  celle due à la surcharge ;  celle due à la cohésion (théorème des états correspondants). Ces trois composantes peuvent être calculées selon des théories qui sont applicables pour les sols en petites déformations (élasticité) pour un calcul de stabilité en petites déformations, ou bien en rupture généralisée (grandes déformations) pour un calcul d’ouvrage à l’état limite de ruine. 11

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Ces trois composantes seront simplement additionnées pour former une action résultante.

1.8.1.1. Action des terres en état de rupture sur l’écran due au poids propre du milieu Plusieurs méthodes sont utilisées pour déterminer la contrainte due au poids des terres, notamment celles de Coulomb, Rankine, Boussinesq…etc. les contraintes sur l’écran  h (z ) peuvent être inclinée par rapport à l’horizontale si δ ≠ 0. Le coefficient dû au poids des terres Kγ est noté Kaγ en cas de poussée et Kpγ en cas de butée. Si le sol est homogène, le diagramme de contrainte est triangulaire et la résultante agit au tiers de la hauteur à partir de la base de l’écran (Figure 1.7).

z2 expansion z1

compression

'

'

 h ( z1 )   v ( z1 )  K p

'

'

 h ( z 2 )   v ( z 2 ).K a

Figure 1.7− Diagramme des contraintes sur un écran, due au poids propre du terrain en rupture généralisée

1.8.1.2. Action des terres en état de rupture sur l’écran due aux surcharges Lorsque la surface libre du massif supporte une surcharge, on peut alors considérer, que le massif n’est pas pesant. L’étude d’un massif non pesant peut également être utile si l’on désire appliquer le théorème de la superposition des états d’équilibre. En un point de l’écran, la contrainte sur l’écran a une intensité Kq.q et une obliquité δ. Le coefficient dû à une surcharge Kq est noté Kaq en cas de poussée et Kpq en cas de butée. (Figure 1.8). charge uniformément répartie P2

charge uniformément répartie P1 expansion compression

'

 h  P1 . K pq

'

 h  P2 .K aq

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Figure 1.9− Diagramme des contraintes sur un écran, due à la cohésion d’un terrain en rupture généralisée

1.8.1.3. Action des terres en état de rupture sur l’écran due à la cohésion du sol D’après le théorème des états correspondants, l’action de la cohésion consiste à appliquer une pression hydrostatique H = c/tanφ sur le pourtour du massif (Figure 1.9). L’écran est donc soumis à deux actions :  une action directe correspondant à la pression c/tanφ ;  une action indirecte, qui est influencée sur l’écran de la surcharge c/tanφ, s’exerçant sur la surface libre. La poussée ou la butée sur l’écran due à la surcharge est obtenue à partir de la méthode exposée au paragraphe précédent. En butée :

 h'  c / tan  ( K pq  1)  c / tan .K pc

(1.10)

Qui est supérieure à zéro c'est-à-dire que la cohésion pousse l’écran vers l’amont. En poussée :

 h'  c / tan  ( K aq  1)  c / tan .K ac

(1.11)

Qui est inférieure à zéro c'est-à-dire que la cohésion tire l’écran vers l’amont. Les contraintes sur l’écran  h peuvent être inclinées par rapport à l’horizontale si   0

c / tan

c / tan

expansion

c/tanφ.Kaq c/tanφ

c/tanφ.Kpq

c/tanφ

compression

Figure 1.9− Diagramme des contraintes sur un écran, due à la cohésion d’un terrain en rupture généralisée

1.9. Détermination des forces de poussée et de butée par la méthode de Coulomb 13

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Coulomb (1776) a considéré un coin triangulaire (Figure.1.10) qui tend à glisser sur la partie du massif considérée rigide. Le principe de calcul consiste à écrire l’équation d’équilibre des forces appliquées sur le coin triangulaire de sol ABC, ces trois forces sont : le poids du sol W , la résultante F des efforts de frottement et de cohésion le long de la ligne de glissement bc et la réaction P de l’écran ab sur le massif. Coulomb a étudié en première étape le cas simple, d’un écran lisse, de massif à surface libre horizontale et de cohésion nulle. La projection des forces sur les axes parallèle et perpendiculaire à la surface de glissement bc, a permet d’obtenir l’expression de la force de poussée P appliquée sur le mur. L’expression est fonction de l’angle d’inclinaison de la surface de rupture par rapport à l’horizontale θ. La valeur maximale de poussée Pmax a été obtenue par la différentiation de l’expression. Ainsi, pour un sol granulaire (c ' =0) x

N  W cos  Pa sin 

(1.12)

T  W sin   Pa cos

(1.13)

a

c W

P

de (1.12) et (1.13)

T

y

T W sin   Pa cos   tg N W cos  Pa sin 

cL

N

(1.14) θ

1 W  H 2 cot  2

(1.15)

1 P  Wtg (   )  H 2ctgtg (   ) 2

(1.16)

Surface de cisaillement

b

Figure 1.12− Géométrie pour l’analyse de Coulomb

La dérivation de la fonction P(θ) donne





dP 1  H 2 ctg sin 2 (   )  cos 2 tg (   )  0 (1.17) d 2

Pour avoir la valeur maximale de P, qui est la force de poussée Pa, il faut que :   La substitution de (1.18) dans (1.16) donne, Le cœfficient de poussée K a 

 4



 2

1 (1  sin  ) Pa  H 2 2 (1  sin  )

(1.18) (1.19)

(1  sin  ) (1  sin  )

Dans le cas d’un massif de sol frottant sans cohésion à surface libre inclinée non surchargée, soutenu par un mur à surface rectiligne, rugueuse et inclinée. Le cœfficient de poussée est donné par l’expression suivante : 14

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K a 

cos 2 (   )  cos(   ) 1  

sin(    ) sin(    )   cos(   ) cos(   ) 

2

Cas de la butée des terres La Figure 1.13 présente le cas d’un mur à surface parfaitement lisse, soutenant un massif de sol frottant à surface libre horizontale. Une analyse de Coulomb, similaire à celle utilisée dans le cas de la poussée, permet d’obtenir la force minimale de butée Pp pour une inclinaison θ, du plan de cisaillement par rapport à l’horizontale.



 4



 2 a

c W

P θ T

N

b Figure 1.13− Coin de Coulomb passif pour un sol frottant soutenu par un mur à surface lice

1 (1  sin  ) Pp  H 2 2 (1  sin  )

(1.20)

Le cœfficient de butée K p 

(1  sin  ) (1  sin  )

Dans le cas d’un massif de sol frottant sans cohésion à surface libre inclinée non surchargée, soutenu par un mur à surface rectiligne, rugueuse et inclinée. Le cœfficient de butée est donné par l’expression suivante : K p 

c

cos (   ) 2

 cos(   ) 1  

sin(    ) sin(    )   cos(   ) cos(   ) 

2

β

a

α

W

T

H δ Pa

Méthode de Rankine (1857)

θcrt

N

b Figure 1.14

Rankine a remplacé l’étude de l’équilibre de rupture globale du coin de glissement par l’étude de l’équilibre de rupture de chaque volume élémentaire ; mais aussi, il a considéré que le coin de glissement était en entier à l’état d’équilibre limite. Rankine a supposé que la présence d’un écran lisse ne modifie pas la répartition des contraintes dans le massif. Avec cette hypothèse, il a déterminé la 15

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répartition des contraintes de poussée et de butée le long d’un écran, dans le cas d’un sol pesant pulvérulent (γ,φ) non surchargé. L’équilibre des forces perpendiculaires et parallèles au plan de cisaillement permet d’obtenir respectivement les expressions des contraintes normales et des contraintes de cisaillement.

 n   v cos 2    h sin 2 

(1.21)

   v sin  cos   h sin  cos

(1.22)

A l’état de rupture, la dérivation du rapport des contraintes τ/σ par rapport à l’angle d’inclinaison du plan de cisaillement θ permet d’obtenir l’expression suivante :

 / 

( v   ha ) (   ha )  v  tg (2.23)  v  ha /  v   ha  v /  ha 2  v ha





On peut montrer que l’équation (2.24) vérifie la condition du triangle ABC (Figure 2.16), AC  [ v  é v ha   ha  4 v ha ]1 / 2   v   ha

sin  

Donc

(1.24)

 v   ha  v   ha

z C

σv σh

σn.ds τ.ds θ

 v   ha

σh.dy

φ

2  v . ha

A

σv.dx Figure 1.15− Contraintes et dimensions de l’élément

B

Figure 1.16− Triangle de contraintes

pour l’analyse de Rankine

pour l’analyse de Rankine

Le coefficient de poussée des terres est défini par : K a 

 ha (1  sin  )   v (1  sin  )

La force de poussée peut être déterminée par l’intégration des contraintes sur la hauteur du mur. zH

Pa 

  .dz h

z 0

 v  h

1 1 1  sin  Pa  H 2 K a  H 2 2 2 1  sin 

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Caquot et Kérisel ont utilisé la méthode des lignes de glissement pour déterminer les coefficients de poussée et de butée pour différentes configurations géométrique et mécanique. Les résultats de Caquot et Kérisel (1948) et Kérisel et Absi (1990) ont été publiés sous forme de tables ont fait la méthode de référence pour le calcul de la poussée et de la butée des terres.

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Exercice N° 1 Démontrer les expressions des coefficients de poussée et de butée

Sable : c=0 φ=40° γ=20kN/m3

4m

de Rankine. Tracer les diagrammes de distribution des contraintes de poussée et de butée. Calculer les pressions de poussée et de butée

ainsi que les résultantes des forces appliquées sur le mur de soutènement Fig :1

B

représenté sur la figure 1.

Exercice N°2 Recalculer les pressions agissant sur le mur de soutènement représenté sur la Fig :1, sachant que le niveau de la nappe phréatique se trouve à une profondeur de 1m. Exercice N°3 Calculer les forces de poussée et de butée agissant contre le mur de soutènement de la fig :1 en utilisant la méthode de Coulomb, sachant que l’angle de frottement de l’interface sol-mur est égal à vingt degrés (δ=20°). Exercice N°4 On désire calculer le mur de quai représenté sur la figure qui en précise les dimensions. La partie supérieure de la semelle de fondation est arasée à la hauteur de la nape qui regne au même niveau que le terrain au pied du fût du mur. La semelle de la fondation est encastrée tout entière dans le terrain naturel, qui est totalement immergé, par contre le fût supporte la poussée d’un remblai d’apport non immergé. on adoptera les hypothèses de calcul suivantes : Béton : γ=23kN/m3 ; Remblai : γ=18kN/m3

q=10kPa

Frottement interne φ1= 30° ; Cohesion : c=0

F 1m A

Coefficient de poussée sur AB(δ=φ1 et λ=25°) : kaγ =0,474

kaq =0,522

λ=25°

H=6,5m

remblai

surcharge sur le remblai : q=10kPa

Nappe phréatique

Terrain naturel : γ’=11kN/m3 Frottement interne φ2= 25° ;Cohesion c=0 Coefficient de poussée sur BC (δ=2/3φ2 ) :

E 1m

B

D

C

H1=2,5m

Terrain naturel

B=5m

kaγ = kaq =0,364 par mesure de sécurité, on négligera la butée du terrain de fondation sur la face avant de la semelle. On demande : 1- L’excentricité de la résultante des forces sur la base de la fondation. Y a-t-il des efforts de traction ? 2- La contrainte maximale de compression sur le sol de fondation. 19

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3- Le coefficient de sécurité vis-à-vis du renversement par rapport au point D. 4- Le coefficient de sécurité au glissement CD(δ=φ2 ) Exercice N°5 On demande d’établir le diagramme de la distribution des composantes horizontales des contraintes s’exerçantsur le parement du mur défini sur la figure 3 sachant que : - le parement de ce mur est rectiligne et incliné de 10° sur la verticale, -

le terre-plein est horizontal et reçoit une surcharge uniformément repartie de 20kPa,

-

le terrain situé derrière le mur est composé de 4 couches stratifiées horizontales dont les caractéristiques sont indiquées sur la figure 3, la couche inférieure étant baignée par une nappe phréatique,

- l’angle de frottement d’interface δ=φ. Etudier la stabilité du mur de soutènement vis-à-vis au renversement et au glissement ?

q=20 kPa

1,5m

φ1=35°, γ1=18kN/m3

2 λ=10°

3

φ2=35°, γ2=16kN/m3

5,5

φ3=20°, γ3=18kN/m3 φ4=35°, γ2=18kN/m3

7 10

φ5=35°, γ2=11kN/m3 h (m) Fig :3

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