Chapitre 10 Intégrale de Surface-Théorèmes Intégraux [PDF]

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Révision d’algèbre et d’analyse

Chapitre 10 : Intégrale de surface-Théorèmes intégraux

Équipe de Mathématiques Appliquées

UTC

Janvier 2014 5

suivant Ï

Chapitre 10 Intégrale de surface

10.1 10.2 10.3 10.4

Aire d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface Théorèmes intégraux . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3 11 16 22 Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

2

chapitre N

section suivante Ï

10.1 Aire d’une surface

10.1.1 10.1.2 10.1.3

Aire d’une surface paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aire d’une surface définie par son équation explicite . . . . . . Aire d’une surface définie par son équation explicite-variante

4 6 8

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

3

section N

suivant Ï

10.1.1 Aire d’une surface paramétrée Exercices : Exercice A.1.1

Documents : Document B.1.1 Document B.1.2

L’espace est muni d’un repère orthonormé (O,~ı,~,~ k). Si une surface S est plane, on peut supposer par exemple que S est dans le plan xO y , alors on a défini l’aire dans le chapitre sur l’intégrale double par : aire de S =

ZZ

d xd y S

Supposons maintenant que la surface S est gauche (c’est-à-dire non plane), le théorème suivant permet de calculer son aire. Théorème 10.1.1. S est une surface paramétrée par :

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

4

ÏÏ

section N

suivant Ï

  x = a (u, v) y = b (u, v) , (u, v) ∈ ∆ ⊂ IR2 où a, b, c sont des fonctions différentiables. On note  z = c (u, v) ° ° ° ° ° ° ° ° °− − → ° ° °→ σ(u, v) = °Tu (u, v) ∧ T v (u, v)° = ° ° ° ° ° ° °

alors : aire (S) =

ZZ ∆

  ∂a (u, v)   ∂u       ∂b   (u, v)  ∧    ∂u       ∂c (u, v) ∂u

Aire d’une surface paramétrée

° ∂a ° (u, v) ° ° ∂v ° ° ° ∂b ° (u, v) ° ° ∂v ° ° ° ∂c ° (u, v) ° ∂v

σ (u, v) d ud v

Vous pouvez lire la démonstration de ce théorème en document.

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

5

Î précédent

section N

suivant Ï

10.1.2 Aire d’une surface définie par son équation explicite Exercices : Exercice A.1.2 Exercice A.1.3 Exercice A.1.4

Soit la surface S d’équation cartésienne explicite (z = ϕ(x, y), (x, y) ∈ D).   x=x y=y Une paramétrisation de S est ¡ ¢ ,  z = ϕ x, y

donc 

− →  Tx = 

1 0 ∂ϕ ∂x (x, y)





→   −  , Ty = 

On obtient alors

s

σ(x, y) =

1+



0 1 ∂ϕ ∂y (x, y)

µ

∂ϕ ∂x



∂ϕ

− ∂x (x, y)



→ − →  ∂ϕ  −   , T x ∧ T y =  − ∂y (x, y)  .

¶2

1 µ

(x, y) +

∂ϕ ∂y

Sommaire Concepts

¶2

(x, y). Exemples Exercices Documents

On peut énoncer le théorème suivant :

6

ÏÏ

Î précédent

section N

suivant Ï

Théorème 10.1.2. S est une surface dont l’équation cartésienne explicite est ¡ ¢ (z = ϕ x, y , (x, y) ∈ D). On suppose que ϕ est différentiable. On pose : ∂ϕ ∂ϕ p= , q= , σ= ∂x ∂y

alors :

ZZ

ai r e(S) =

D

q 1 + p 2 + q 2,

Aire d’une surface définie par son équation explicite

σ(x, y)d xd y.

Le domaine d’intégration D est la projection de S sur le plan xO y . On pourrait énoncer des théorèmes similaires au théorème 10.1.2, quand on exprime x en fonction de y et z ou y en fonction de x et z . Faites le en exercice.

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

7

Î précédent

section N

10.1.3 Aire d’une surface définie par son équation explicite-variante Exercices : Exercice A.1.5

Etudions une variante pour calculer l’expression s

σ(x, y) =

1+

µ

∂ϕ ∂x

¶2

µ

(x, y) +

∂ϕ ∂y

¶2

(x, y).

Si on pose f (x, y, z) = z − φ(x, y), alors la surface S d’équation explicite z = φ(x, y) a pour équation implicite f (x, y, z) = 0. 

−−−−→

∂ϕ

− ∂x (x, y)



 ∂ϕ ~ = grad f =  N  − ∂y (x, y) 

1 Sommaire Concepts

est un vecteur normal ° ° à la surface S au point M = (x, y, ϕ(x, y)). ~ ° = σ(x, y). On obtient un vecteur normal unitaire : On remarque que °N 

∂ϕ

− ∂x (x, y)



Exemples Exercices Documents

~ N 1  ∂ϕ  ~ n=° °=  − ∂y (x, y)  °N ~ ° σ(x, y) 1 8

ÏÏ

Î précédent

section N

Le vecteur normal unitaire ~ n fait un angle aigu avec l’axe Oz , en effet sa troisième composante est positive. Donc si on connaît les composantes de ~ n , vecteur normal unitaire qui fait un angle aigu avec Oz , on note ces composantes (cos α, cos β, cos γ) : α, β, γ représentent les angles respectifs de ~ n avec ~ı,~,~ k : voir figure 10.1.1. On peut alors obtenir directement σ par la relation σ(x, y) = du point M (x, y, ϕ(x, y))

1 où évidemment γ dépend des coordonnées cosγ

~ k

Aire d’une surface définie par son équation explicitevariante

~ n

γ

β α

~ j

~ i

Sommaire Concepts

F IGURE 10.1.1: vecteur normal unitaire Théorème 10.1.3. S est une surface dont l’équation cartésienne explicite est ¡ ¢ (z = ϕ x, y , (x, y) ∈ D).

On suppose que ~ n est le vecteur normal unitaire à S qui fait un angle aigu avec Oz , on ÎÎ

9

ÏÏ

Exemples Exercices Documents

Î précédent

section N

note cos γ la troisième composante de ~ n , alors : ZZ

ai r e(S) =

D

1 d xd y, cos γ

où évidemment γ dépend des coordonnées du point M (x, y, ϕ(x, y)).

Aire d’une surface définie par son équation explicitevariante

L’aire définie dans la proposition précédente est bien positive puisque γ est un angle aigu. Traiter l’exercice de TD A.2.1.

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

10

Î section précédente

chapitre N

section suivante Ï

10.2 Intégrale de surface

10.2.1 10.2.2

Intégrale de surface-définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Intégrale de surface-application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

11

section N

suivant Ï

10.2.1 Intégrale de surface-définition Définition 10.2.1. Etant données une fonction f : IR3 → IR et une surface S d’équations paramétriques x = a(u, v), y = b(u, v), z = c(u, v), (u, v) ∈ ∆, où a, b, c sont des fonctions différentiables. On note ° ° ° ° ° ° ° °− ° − → °→ ° ° σ(u, v) = °Tu (u, v) ∧ T v (u, v)° = ° ° ° ° ° ° °

  ∂a (u, v)   ∂u       ∂b   (u, v)  ∧    ∂u       ∂c (u, v) ∂u

° ∂a ° (u, v) °  ° ∂v ° ° ° ∂b ° (u, v) ° . ° ∂v ° ° ° ∂c ° (u, v) ° ∂v

On définit l’intégrale de surface de f sur S par : ZZ S

f dσ =

ZZ ∆

f (a (u, v) , b (u, v) , c (u, v)) σ (u, v) d ud v.

On peut montrer que l’expression ci-dessus ne dépend pas de la paramétrisation choisie pour S . On en déduit l’expression de l’intégrale de surface dans le cas où la surface est définie par une équation cartésienne explicite. Théorème 10.2.1. Etant données une fonction f : IR3 → IR et une surface S dont l’équation ¡ ¢ cartésienne explicite est z = ϕ x, y , ((x, y) ∈ D), où ϕ est différentiable. 12

ÏÏ

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

section N

suivant Ï

On pose : p(x, y) =

∂ϕ ∂ϕ (x, y), q(x, y) = (x, y), σ(x, y) = ∂x ∂y

alors :

ZZ S

f dσ =

ZZ D

q

1 + p 2 (x, y) + q 2 (x, y)

Intégrale de surfacedéfinition

f (x, y, ϕ(x, y))σ(x, y)d xd y.

Propriétés Les propriétés suivantes découlent de la définition et des propriétés des intégrales doubles. ZZ ZZ ZZ – ( f 1 + f 2 )d σ = f1d σ + f2d σ –

Z ZS

S

αf dσ = α

ZZ S

S

S

f d σ où α est un nombre réel.

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

13

Î précédent

section N

10.2.2 Intégrale de surface-application Exercices : Exercice A.1.6 Exercice A.1.7

On est amené Z Z à calculer une intégrale de surface dans les cas suivants : – Si f = 1,

S

f d σ est égale à l’aire de S .

– Si f représente la masse surfacique (masse par unité de surface),

ZZ S

f d σ est la

masse de la surface de S . Ceci est utilisé en particulier pour calculer la masse des plaques qui sont des volumes assimilés à des surfaces. – Si µ est la masse surfacique, on obtient les coordonnées du centre de gravité de S par ZZ ZZ ZZ ZZ m=

S

µd σ, xG =

1 m

S

xµd σ, yG =

1 m

S

yµd σ, zG =

1 m

S

zµd σ

– Si µ est la masse surfacique, si ∆ est un axe, on obtient le moment d’inertie de S par rapport à ∆ en calculant : ZZ

m=

S

µd 2 (M , ∆)d σ.

14

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÏÏ

Î précédent

section N

– Si la surface S est orientée par le choix d’un champ de normales unitaires ~ n (x, y, z), ~ si V (x, y, z) est un champ de vecteurs, si on définit ~ (x, y, z), f (x, y, z) = ~ n (x, y, z) · V

alors

ZZ S

Intégrale de surfaceapplication

~ à travers la surface orientée S . f d σ est le flux du champ de vecteurs V

Nous allons revoir plus en détail ce cas particulier dans le prochain paragraphe. Traiter l’exercice de TD A.2.2.

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

15

Î section précédente

chapitre N

section suivante Ï

10.3 Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface

10.3.1 10.3.2

Orientation d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface orientée. . 19

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

16

section N

suivant Ï

10.3.1 Orientation d’une surface Exercices : Exercice A.1.8

Pour calculer la masse d’une surface, son centre de gravité, son moment d’inertie etc. . . , il est inutile d’orienter la surface. Par contre le calcul du flux d’un champ de vecteurs à travers une surface est lié au choix d’une orientation, lorsque l’orientation est modifiée, le flux change de signe. Il existe pour chaque surface 2 orientations possibles, si la surface est fermée, on parle d’orientation vers l’intérieur de la surface ou d’orientation vers l’extérieur de la surface, si la surface n’est pas fermée cette terminologie n’a plus de sens. Le choix d’une orientation se fait par le choix d’un champ de vecteurs normaux unitaires  x/R . Par exemple si S est la sphère de centre O et de rayon R , si on choisit ~ n =  y/R , on z/R 

oriente la surface (fermée) vers l’extérieur puisque les vecteurs normaux sont dirigés vers l’extérieur de S . Si S est la demi-sphère de centre O , rayon R située dans le demi-espace z ≥ 0, si on choisit  

x/R  ~ n = y/R , il n’est plus question de parler d’intérieur et d’extérieur puisque la surface z/R 17

ÏÏ

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

section N

suivant Ï

est ouverte, par contre on peut dire que la surface est orientée "vers le haut", puisque les vecteurs normaux "pointent vers le haut", pour être plus précis, les vecteurs normaux font un angle aigu avec Oz puisque leur troisième composante est positive. Si la surface est définie par l’équation (z = ϕ(x, y), (x, y) ∈ D) , il existe alors 2 champs de normales unitaires possibles :

Orientation d’une surface

 p  p  −σ +σ q ∂ϕ ∂ϕ q q ~ n1 =  − σ  , ~ n 2 =  + σ  avec p = ,q = , σ = 1 + p2 + q2 ∂x ∂y 1 − σ1 σ 

Les vecteurs ~ n 1 font un angle aigu avec Oz , en effet leur troisième composante est positive, lorsque l’on choisit ce champ de vecteurs on dit que la surface est orientée "vers le haut". Les vecteurs ~ n 2 font un angle obtus avec Oz , en effet leur troisième composante est négative, lorsque l’on choisit ce champ de vecteurs on dit que la surface est orientée "vers le bas".

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

18

Î précédent

section N

10.3.2 Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface orientée. Exercices : Exercice A.1.9

Définition 10.3.1. Soit S une surface. On oriente S en choisissant un champ de normales unitaires ~ n (M ). ~ ~ à travers la Soit V (M ) un champ de vecteurs. On définit le flux du champ de vecteurs V surface S par l’intégrale de surface : ¡ ¢ ~ = ΦS V

ZZ S

~ .~ V nd σ

Dans le cas particulier où la surface S est définie par une équation explicite, on peut démontrer la proposition : Proposition 10.3.1. La surface S est définie par l’équation Sommaire Concepts

(z = ϕ(x, y), (x, y) ∈ D),

on suppose que ϕ est différentiable. La surface est orientée, ε = 1 si le champ de normales fait un angle aigu avec Oz , ε = −1 sinon . On note p(x, y) =

∂φ ∂φ (x, y), q(x, y) = (x, y). ∂x ∂y 19

ÏÏ

Exemples Exercices Documents

Î précédent

section N

~ a pour composantes V1 ,V2 ,V3 ,on note Le champ de vecteurs V Ve1 (x, y) = V1 (x, y, ϕ(x, y)), Ve2 (x, y) = V2 (x, y, ϕ(x, y)), Ve3 (x, y) = V3 (x, y, ϕ(x, y)) ~ à travers la surface S orientée : On a alors l’expression du flux du champ de vecteurs V ¡ ¢ ~ ΦS V =

ZZ

~ .~ V nd σ ZZ ¡ ¢ = ε −p(x, y)Ve1 (x, y) − q(x, y)Ve2 (x, y) + Ve3 (x, y) d xd y S

Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface orientée.

D

Démonstration : µ ¶ p q 1 Les normales unitaires à S sont données par : ~ n = ε − ,− , . σ σ σ

~ = (V1 (x, y, z),V2 (x, y, z),V3 (x, y, z)) Si on a : V On obtient alors ~ ·~ V n=ε

−p(x, y)V1 (x, y, z) − q(x, y)V2 (x, y, z) + V3 (x, y, z) . σ(x, y)

Or sur S on a z = ϕ(x, y), en utilisant la définition de Ve1 , Ve2 , Ve3 , on obtient : ~ ·~ V n=ε

−p(x, y)Ve1 (x, y) − q(x, y)Ve2 (x, y) + Ve3 (x, y) , σ(x, y)

Sommaire Concepts

d’où en utilisant la définition de l’intégrale de surface : ¡ ¢ ~ ΦS V =

ZZ

~ .~ V nd σ ZZ ¡ ¢ = ε −p(x, y)Ve1 (x, y) − q(x, y)Ve2 (x, y) + Ve3 (x, y) d xd y

Exemples Exercices Documents

S

D

ÎÎ

20

ÏÏ

Î précédent

Ce qui termine la démonstration.

section N

Flux d’un champ de vecteurs à travers une surface orientée.

Traiter l’exercice de TD A.2.3.

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

21

Î section précédente

chapitre N

10.4 Théorèmes intégraux

10.4.1 10.4.2

Théorème de Stokes-Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Théorème de Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

22

section N

suivant Ï

10.4.1 Théorème de Stokes-Ampère Exercices : Exercice A.1.10

Documents : Document B.1.3

Théorème 10.4.1. Soit S une surface de IR3 orientée par le choix d’un champ de normales ~ n. Le bord de S est une courbe fermée Γ. La courbe Γ et la surface S sont orientées de façon cohérente en utilisant la règle du tirebouchon de Maxwell ou la règle du bonhomme d’Ampère. ~ est un champ de vecteurs dont les composantes V1 ,V2 ,V3 sont continument différenV tiables. ~ à travers la surface S est égal à la circulation de V ~ le Alors le flux du rotationnel de V long de la courbe Γ, c’est à dire ZZ S

−−−→ ~ rot V .~ nd σ =

Z Γ

V1 d x + V2 d y + V3 d z Sommaire Concepts

Voir la démonstration de ce théorème en document. Le théorème de Green-Riemann est un cas particulier du théorème de Stokes-Ampère. On peut démontrer cette proposition en exercice. Traiter l’exercice de TD A.2.4. 23

Exemples Exercices Documents

Î précédent

section N

10.4.2 Théorème de Gauss-Ostrogradski Exercices : Exercice A.1.11 Exercice A.1.12 Exercice A.1.13

Documents : Document B.1.4

Théorème 10.4.2. Soit V un domaine de IR3 limité par une surface fermée S orientée ~ un champ de vecteurs dont la divergence est une fonction vers l’extérieur de V et soit V ~ dans V est égale au flux de V ~ à travers continue, alors l’intégrale de la divergence de V S , c’est à dire ZZZ ZZ V

~ d xd yd z = div V

S

~ .~ V n d σ.

~ (M ) = 0. On peut démontrer ce théorème dans le cas où div V ~ On a vu dans le chapitre analyse vectorielle qu’alors V (M ) dérive d’un potentiel vecteur −−−→ ~ c’est à dire qu’il existe W ~ vérifiant V ~ (M ) = rot W ~ . On a donc W ZZ S

~ .~ V nd σ =

ZZ S

−−−→ ~ .~ rot W n d σ.

Ecrivons S = S 1 S 2 , soit Γ la frontière commune de S 1 et S 2 : voir figure 10.4.2 et remarquer dans chacun des cas l’orientation du bord Γ. S

24

ÏÏ

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

Î précédent

section N

Théorème de GaussOstrogradski S1

S1 Γ+

Γ

S2

Γ-

S2

F IGURE 10.4.2: Sommaire Concepts

Le Théorème de Stokes-Ampère permet d’écrire : ZZ S1

ÎÎ

−−−→ ~ .~ rot W nd σ =

25

Z Γ+

~ d~ W l

Exemples Exercices Documents

ÏÏ

Î précédent

ZZ S2

section N

−−−→ ~ .~ rot W nd σ =

Z Γ−

~ d~ W l

la somme de ces deux intégrales est donc nulle. On a donc bien dans ce cas : ZZZ V

~ d xd yd z = div V

ZZ S

Théorème de GaussOstrogradski

~ .~ V n d σ = 0.

Traiter l’exercice A.2.5.

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

26

Î précédent

suivant Ï

Annexe A Exercices

A.1 A.2 A.3

Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices de TD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices Supplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 43 49 Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

27

chapitre N

section suivante Ï

A.1 Exercices du chapitre 10

A.1.1 A.1.2 A.1.3 A.1.4 A.1.5 A.1.6 A.1.7 A.1.8 A.1.9 A.1.10 A.1.11 A.1.12 A.1.13

Ch10-Exercice1 . Ch10-Exercice2 . Ch10-Exercice3 . Ch10-Exercice4 . Ch10-Exercice5 . Ch10-Exercice6 . Ch10-Exercice7 . Ch10-Exercice8 . Ch10-Exercice9 . Ch10-Exercice10 Ch10-Exercice11 Ch10-Exercice12 Ch10-Exercice13

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29 30 31 32 33 35 36 37 38 39 40 41 42

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

28

section N

suivant Ï

Exercice A.1.1 Ch10-Exercice1 S est la sphère de centre O et de rayon R

1. Donner une paramétrisation de S en précisant bien dans quel domaine ∆ varient les paramètres u, v . 2. Calculer σ(u, v). 3. Calculer l’aire de S .

retour au cours Solution

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

29

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.2 Ch10-Exercice2 La surface S est plane et contenue dans le plan z = 0. On veut appliquer le théorème 10.1.2 1. Que vaut alors D ? 2. Que vaut ϕ(x, y), σ(x, y) ? 3. Utiliser le théorème 10.1.2 pour calculer l’aire de S et montrer que l’on obtient le résultat classique énoncé au début de ce chapitre.

retour au cours Solution

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

30

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.3 Ch10-Exercice3 On veut calculer l’aire de S définie par {(x, y, z) ∈ IR3 /z = x 2 + y 2 et z ≤ 4}. 1. Quel est le domaine D ? 2. Calculer σ(x, y). 3. Calculer l’aire de S (il est conseillé d’utiliser les coordonnées polaires pour calculer l’intégrale double). π 6

Réponse : (173/2 − 1)

retour au cours Solution

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

31

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.4 Ch10-Exercice4 b . On 1. S est une surface dont l’équation cartésienne explicite est (y = η(x, z), (x, z) ∈ D) suppose que η est une fonction différentiable, donner dans ce cas une expression permettant de calculer l’aire de S par une expression analogue à celle donnée dans le théorème 10.1.2.

2. Même question dans le cas où S est une surface dont l’équation cartésienne explicite est ¡ ¢ e . On suppose que ψ est différentiable. (x = ψ y, z , (y, z) ∈ D)

retour au cours Solution

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

32

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.5 Ch10-Exercice5 On suppose que S est plane, que la projection de S dans le plan xO y est D .Voir figure A.1.1

z

~ n

γ S

y x

D F IGURE A.1.1: aire d’une surface plane

Sommaire Concepts

1. Remarquer que dans ce cas cos γ est une constante. 2. En déduire une relation entre l’aire de S et l’aire de D .

Exemples Exercices Documents

3. Etait-il possible de prévoir ce résultat intuitivement ?

33

ÏÏ

Î précédent

section N

retour au cours Solution

suivant Ï

Exercice A.1.5 Ch10-Exercice5

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

34

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.6 Ch10-Exercice6 On définit la surface S par z = 2x + 2y, x > 0, y > 0, x + 2y < 4

On utilise les notations du théorème 10.2.1. 1. Calculer σ(x, y) 2. Faire une figure représentant D . 3. Que vaut l’aire de D ? En déduire l’aire de S . Revoir l’exercice A.1.5. 4. On suppose que S est homogène (c’est à dire sa masse surfacique est constante), calculer les coordonnées du centre de gravité de S .

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Exemples Exercices Documents

35

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.7 Ch10-Exercice7 q −−→ −−→ ~ à OM où r = kOM k.Calculer le flux de E 3 4π²0 r q tavers une sphère de rayon R et de centre O (réponse : ²0 ) ~ (M ) = Soit le champ de vecteurs E

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Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

36

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.8 Ch10-Exercice8 1. S est la demi-sphère de centre O et de rayon R , située dans le demi-espace x ≥ 0, on oriente la surface par les normales unitaires qui font un angle obtus avec Ox , déterminer le champ de vecteurs unitaires correspondant. 2. S est la surface d’équation z = x 2 + y 2 , on oriente la surface par les normales unitaires qui font un angle obtus avec Oz , déterminer le champ de vecteurs unitaires correspondant. 3. S est le plan d’équation 2x − 3y + 5z = 8, on oriente la surface par les normales unitaires qui font un angle aigu avec O y , déterminer le champ de vecteurs unitaires correspondant. 4. S est la surface d’équation x 2 + y 2 + 2z 2 = 1, on oriente la surface vers l’intérieur, déterminer le champ de vecteurs unitaires correspondant.

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Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

37

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.9 Ch10-Exercice9 ~ de compoSoit la surface S d’équation z = x 2 + y 2 (z ≤ 1) et le champ de vecteurs V z2 santes (xz, z, − 2 ). On oriente S par les normales qui font un angle aigu avec Oz . On reprend les notations de la proposition 10.3.1.

1. Faire une figure représentant S et D . 2. Calculer p(x, y), q(x, y), Ve1 (x, y), Ve2 (x, y), Ve3 (x, y), que vaut ε ? ~ à travers S .(Réponse : − π ) 3. Calculer le flux du champ de vecteurs V 2

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Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

38

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.10 Ch10-Exercice10 On définit la surface S par {z = 0, (x, y) ∈ D}, on appelle Γ le bord de D orienté dans le sens trigonométrique. ~ = (P (x, y),Q(x, y), 0). On définit le champ de vecteurs V −−−→

~. 1. Calculer rot V

2. Déterminer la normale unitaire à S dont l’orientation est cohérente avec l’orientation de Γ. −−−→

~ à travers la surface S ainsi orientée. 3. Calculer le flux du champ de vecteurs rot V

4. Retrouver l’égalité de Green-Riemann : ZZ D

∂Q ∂P (x, y) − (x, y)d xd y = ∂x ∂y

Z Γ

P d x +Qd y

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Solution

Exemples Exercices Documents

39

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.11 Ch10-Exercice11 B est la boule de centre O et de rayon R , S est la sphère de centre O et de rayon R orientée vers l’extérieur de B . ~ = (x, y, z). V

1. Quel est le volume de B ? En déduire ZZZ B

~ d xd yd z div V

2. Quelle est l’aire de S ? En déduire ZZ S

~ .~ V nd σ

Comparer.

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Solution

Exemples Exercices Documents

40

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.1.12 Ch10-Exercice12 Soit V un volume de IR3 dont la frontière est S . Ce volume contient des charges électriques dont la densité est σ. La quantité de charges contenues dans V est donc : ZZZ

q=

V

σ(x, y, z)d xd yd z

~ est le champ électrique. La forme locale de la loi de Gauss est : E σ , ²0 constante ²0

~= div E

En déduire la loi de Gauss :

ZZ S

~ .~ E nd σ =

q ²0

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Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

41

Î précédent

section N

Exercice A.1.13 Ch10-Exercice13 On définit le volume V = {(x, y, z) ∈ IR3 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 }, ~ = (z, x, y). Le champRRR de vecteurs V ~ Que vaut V div V d xd yd z ? Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Gauss-Ostrogradski.

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Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

42

Î section précédente

chapitre N

section suivante Ï

A.2 Exercices de TD

A.2.1 A.2.2 A.2.3 A.2.4 A.2.5

TD10-Exercice1 TD10-Exercice2 TD10-Exercice3 TD10-Exercice4 TD10-Exercice5

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44 45 46 47 48

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

43

section N

suivant Ï

Exercice A.2.1 TD10-Exercice1 On définit S = {(x, y, z) ∈ IR3 , x 2 + z 2 = 4, x + y < 2, y > 0, z > 0} 1. Faire une figure représentant S . 2. Montrer que S admet une équation cartésienne explicite (z = ϕ x, y , (x, y) ∈ D). Tracer D . ¡

¢

3. Déterminer (quasiment sans calculs) la normale unitaire qui fait un angle aigu avec Oz . 4. En déduire la formule donnant l’aire de S à l’aide d’une intégrale double en x, y . 5. Calculer l’aire de S . 6. Calculer l’aire de S en paramétrant S à l’aide des coordonnées cylindriques. 7. Retrouver l’aire de S à l’aide d’aires connues.

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Question 6 Question 7

Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1

Aide 2 Aide 2 Aide 2 Aide 3 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 2 Aide 3

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

44

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.2.2 TD10-Exercice2 Calculer la masse d’une sphère de rayon R centrée en O , dont la masse surfacique vaudrait :µ = |z| R (réponse : m = 2πR 2 ) Aide 1 Aide 2 Aide 3

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

45

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.2.3 TD10-Exercice3 On définit S = {(x, y, z) ∈ IR3 , y 2 + (z − 1)2 = 1, z ≥ 1, 0 ≤ x ≤ 1}. ~ = (y, z, x). On oriente S "vers le haut". On définit le champ de vecteurs V 1. Faire une figure représentant S . 2. Calculer le champ de normales unitaires ~ n qui oriente la surface "vers le haut". 3. Paramétrer S en utilisant les coordonnées cylindriques. ~ à travers S (réponse : 1). 4. Calculer le flux du champ de vecteur V

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4

Aide 1 Aide 1 Aide 2 Aide 1 Aide 1 Aide 2

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

46

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.2.4 TD10-Exercice4 p

1. S est le cône d’équation z = 1 − x 2 + y 2 , z > 0. On oriente S vers le haut. ~ = (−y, x, 1 + x + y) On définit le champ de vecteurs V −−−→

~ ) (réponse : 2π). (a) Calculer ΦS ( rot V

(b) Retrouver ce résultat à l’aide du théorème de Stokes-Ampère. 2. Mêmes questions avec la surface S d’équation 2z = x 2 + y 2 , z < 2. On oriente S vers le haut. ~ = (3y, −xz, y z 2 ) On définit le champ de vecteurs V

Question 1a Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Question 1b Aide 1 Aide 2 Aide 3 Question 2 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4 Aide 5 Aide 6 Aide 7 Aide 8

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

47

Î précédent

section N

Exercice A.2.5 TD10-Exercice5 V = {(x, y, z) ∈ IR3 , x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1} . On appelle S la surface qui limite V . On oriente S vers l’extérieur de V .

1. Faire une figure représentant V et les différentes parties de S . Paramétrer chacune des parties de S et déterminer pour chacune d’elles les vecteurs normaux unitaires correctement orientés. ~ = (xz, z, − z ) 2. On définit V 2 2

~ à travers S . (a) Calculer le flux du champ de vecteurs V ~ , comparer. (b) Calculer div V ~ = (−xz, x, zx 2 ) 3. On définit V ~ à travers S . Réponse : − π (a) Calculer le flux du champ de vecteurs V 4

(b) Retrouver le résultat précédent en utilisant le théorème de Gauss-Ostrogradski.

Question 1 Question 2a Question 2b Question 3a Question 3b

Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1

Sommaire Concepts

Aide 2 Aide 3 Aide 2 Aide 2 Aide 2 Aide 3

Exemples Exercices Documents

48

Î section précédente

chapitre N

A.3 Exercices Supplémentaires

A.3.1 A.3.2 A.3.3

Sup-Exercice1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Sup-Exercice2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Sup-Exercice3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

49

section N

suivant Ï

Exercice A.3.1 Sup-Exercice1 On définit S = {(x, y, z) ∈ IR3 , x 2 + z 2 = 4, x + y < 2, y > 0, z > 0}, on suppose que S est homogène (c’est à dire que sa masse surfacique est constante). Calculer l’ordonnée du centre de gravité de S . On choisira la paramétrisation de S pour laquelle les calculs sont les plus simples (réponse : 32 ). Aide 1 Aide 2 Aide 3

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

50

Î précédent

section N

suivant Ï

Exercice A.3.2 Sup-Exercice2 1. On définit S = {(x, y, z) ∈ IR3 , y 2 + (z − 1)2 = 1, z ≥ 1, 0 ≤ x ≤ 1}. On oriente S par les normales qui font un angle aigu avec Oz . On appelle Γ le bord de S orienté de façon cohérente avec S . (a) Faire une figure représentant S et Γ, présicer sur la figure l’orientation de Γ. (b) Paramétrer Γ. (c) Calculer la circulation le long de Γ du champ de vecteurs ~= U

µ

¶ z2 x2 y 2 , , . 2 2 2

Réponse : 1 (d) Reprendre l’exercice A.2.3 et comparer. 2. On définit la surface S d’équation z = x 2 + y 2 , z ≤ 1 . On oriente S par les normales qui font un angle aigu avec Oz . On appelle Γ le bord de S orienté de façon cohérente avec S . (a) Faire une figure représentant S et Γ, présicer sur la figure l’orientation de Γ. Sommaire Concepts

(b) Paramétrer Γ. (c) Calculer la circulation le long de Γ du champ de vecteurs ~= U

µ

¶ z 2 (y − 1) , 1, x y z . 2

Exemples Exercices Documents

Réponse : − π2 51

ÏÏ

Î précédent

section N

(d) Reprendre l’exercice A.1.9 et comparer.

Question 1a Question 1b Question 1c Question 1d Question 2a Question 2b Question 2c Question 2d

suivant Ï

Exercice A.3.2 Sup-Exercice2

Aide 1 Aide 1 Aide 2 Aide 1 Aide 2 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1 Aide 1

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

52

Î précédent

section N

Exercice A.3.3 Sup-Exercice3 Exercice pour ceux qui veulent s’entrainer aux calculs. On définit le volume : V = {(x, y, z) ∈ IR3 , 0 < z
0

On définit le champ de vecteurs ~ = (xz 2 , −z 2 , y 2 z). V

1. Calculer

ZZZ V

~ d xd yd z div V

2. Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de Gauss-Ostrogradski (réponse : 4πa 5 15 ).

Question 1 Question 2

Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 1 Aide 2 Aide 3 Aide 4

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

53

Î précédent

Annexe B Documents

B.1

Documents du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

54

chapitre N

B.1 Documents du chapitre 10

B.1.1 B.1.2 B.1.3 B.1.4

Approximation d’une surface élémentaire par un parallélogramme 56 Calcul de l’aire d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Démonstration du théorème de Stokes Ampère . . . . . . . . . 63 Démonstration du théorème de Gauss-Ostrogradski . . . . . . 67

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

55

section N

suivant Ï

Document B.1.1 Approximation d’une surface élémentaire par un parallélogramme On définit la surface εi j par   x = a(u, v) y = b(u, v)  z = c(u, v)

ui ≤ u ≤ ui + h1 v j ≤ v ≤ v j + h2

Les "sommets" P 0 , P 1 , P 2 , P 3 de εi j ont pour coordonnées respectives : ¢ ¢  ¡  ¡  a ¡u i , v j ¢  a ¡u i + h 1 , v j ¢ b u ,v b u + h1 , v j , P0 = , P1 = ¢  ¡ i j¢  ¡ i c ui , v j c ui + h1 , v j ¢ ¢  ¡  ¡  a ¡u i , v j + h 2 ¢  a ¡u i + h 1 , v j + h 2 ¢ b u , v + h2 , P 3 = b u + h1 , v j + h2 . P2 = ¢ ¢  ¡ i j  ¡ i c ui , v j + h2 c ui + h1 , v j + h2

On approche les points P 1 et P 2 par respectivement M1 et M2 , puis on approche l’aire de εi j par l’aire du parallélogramme dont 3 des sommets sont P 0 , M1 et M2 . Voir figure B.1.3. Pour construire les points M1 et M2 , on utilise la formule de Taylor, on sait en effet que

¢ ∂a ¡ u i , v j ,on a des relations similaires avec b et c donc le point ∂u P 1 est approché par le point M 1 de composantes :

a(u i +h 1 , v j ) ≈ a(u i , v j )+h 1

56

ÏÏ

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

section N

¢ ∂a ¡  a(u i , v j ) + h 1 ∂u u i , v j  ¢ ∂b ¡  M 1 =  b(u i , v j ) + h 1 ui , v j  ∂u  ¢ ∂c ¡ c(u i , v j ) + h 1 ui , v j ∂u 

suivant Ï

Document B.1.1 Approximation d’une surface élémentaire par un parallélogramme

      

Géométriquement le vecteur    −−−−→  P 0 M1 = h1   

¢ ∂a ¡ ui , v j ∂u ¢ ∂b ¡ ui , v j ∂u ¢ ∂c ¡ ui , v j ∂u

      

est tangent à l’arc P 0 P 1 en P 0 comme indiqué sur la figure B.1.3 De même P 2 est approché par : ¢ ∂a ¡  a(u i , v j ) + h 2 ∂v u i , v j  ¢ ∂b ¡  M 2 =  b(u i , v j ) + h 2 ui , v j  ∂v  ¢ ∂c ¡ c(u i , v j ) + h 2 ui , v j ∂v 

    .  

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

57

ÏÏ

section N

On note

   − →  Tu (u, v) =   

∂a (u, v) ∂u ∂b (u, v) ∂u ∂c (u, v) ∂u





   −   →   , T v (u, v) =     

∂a (u, v) ∂v ∂b (u, v) ∂v ∂c (u, v) ∂v

suivant Ï

      

L’aire de εi , j est approchée par l’aire du parallélogramme dont 3 des sommets sont P 0 , M 1 et M 2 :

Document B.1.1 Approximation d’une surface élémentaire par un parallélogramme

°−−−−→ −−−−→° °− ° − → ° ° °→ ° °P 0 M 1 ∧ P 0 M 2 ° = h 1 h 2 °Tu (u i , v j ) ∧ T v (u i , v j )° .

retour au cours

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

58

Î précédent

section N

suivant Ï

Document B.1.2 Calcul de l’aire d’une surface On veut calculer l’aire de la surface S paramétrée par :  x  = a (u, v) y = b (u, v) , (u, v) ∈ ∆ ⊂ IR2 où a, b, c sont des fonctions différentiables.  z = c (u, v) On peut quadriller le domaine ∆, voir la figure B.1.1, alors ∆ est approché par l’union des rectangles ∆i j . ∆i j est le rectangle défini par : ui ≤ u ≤ ui + h1 , v j ≤ v ≤ v j + h2 .

v

∆ij

vj ∆

h

Sommaire Concepts

2

ui

h1

Exemples Exercices Documents

u

F IGURE B.1.1: quadrillage du domaine ∆ 59

ÏÏ

Î précédent

section N

suivant Ï

A chaque rectangle ∆i j correspond un élément εi j sur la surface S . Les sommets de εi j , voir la figure B.1.2, sont : ¢ ¢  ¡  ¡  a ¡u i , v j ¢  a ¡u i + h 1 , v j ¢ b u ,v b u + h1 , v j , P0 = , P1 = ¢  ¡ i j¢  ¡ i c ui + h1 , v j c ui , v j

Document B.1.2 Calcul de l’aire d’une surface

¢ ¢  ¡  ¡  a ¡u i + h 1 , v j + h 2 ¢  a ¡u i , v j + h 2 ¢ b u + h1 , v j + h2 . b u , v + h2 , P 3 = P2 = ¢ ¢  ¡ i  ¡ i j c ui + h1 , v j + h2 c ui , v j + h2 ε ij z P3

P2 P0

P1

Sommaire Concepts

y x

Exemples Exercices Documents

F IGURE B.1.2: un élément εi j

ÎÎ

60

ÏÏ

Î précédent

section N

suivant Ï

L’aire de S peut être approchée par la somme des aires des surfaces εi j . L’approximation est d’autant meilleure que les pas h1 et h2 sont petits. On approche l’aire de εi j par l’aire d’un parallélogramme comme indiqué sur la figure B.1.3.

Document B.1.2 Calcul de l’aire d’une surface

M3 P3

M2 M1 P2 P1

P0

Sommaire Concepts

F IGURE B.1.3: approximation de εi j On démontre, voir le document, "B.1.1" , que l’aire du parallélogramme est égale à : °−−−−→ −−−−→° °− ° − → ° ° °→ ° °P 0 M 1 ∧ P 0 M 2 ° = h 1 h 2 °Tu (u i , v j ) ∧ T v (u i , v j )° .

ÎÎ

61

ÏÏ

Exemples Exercices Documents

Î précédent

Où on a noté

   − →  Tu (u, v) =   

∂a (u, v) ∂u ∂b (u, v) ∂u ∂c (u, v) ∂u

section N





   −   →   , T v (u, v) =     

∂a (u, v) ∂v ∂b (u, v) ∂v ∂c (u, v) ∂v

suivant Ï

      

Document B.1.2 Calcul de l’aire d’une surface

Depuis le début de ce document on parle d’approximation sans vraiment expliciter le sens donné à ce terme, pour être plus précis et sans donner la démonstration, on peut énoncer le résultat suivant, l’aire de S est égale à : aire de S = lim

h 1 →0

h 2 →0

X i,j

°− ° − → °→ ° h 1 h 2 °Tu (u i , v j ) ∧ T v (u i , v j )°

En utilisant la définition de l’intégrale double : lim

X

h 1 →0

i,j

h 2 →0

°− ° Z Z °− ° − → − → °→ ° °→ ° h 1 h 2 °Tu (u i , v j ) ∧ T v (u i , v j )° = °Tu (u, v) ∧ T v (u, v)° d ud v. ∆

retour au cours

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

62

Î précédent

section N

suivant Ï

Document B.1.3 Démonstration du théorème de Stokes Ampère On va démontrer le théorème de Stokes Ampère dans le cas où la surface S a une équation explicite : z = φ(x, y), (x, y) ∈ D . Γ

z

z= φ(x,y)

y D Sommaire Concepts

C

x

F IGURE B.1.4:

Exemples Exercices Documents

Démonstration :

63

ÏÏ

Î précédent



−−−→

~ = 1. (a) rot V  

∂V3 ∂y ∂V1 ∂z ∂V2 ∂x

2 − ∂V ∂z

section N

suivant Ï



 3  . − ∂V ∂x  ∂V1 − ∂y

(b) On appelle C le bord de D orienté dans le sens trigonométrique, on suppose qu’une paramétrisation de C est ½

Document B.1.3 Démonstration du théorème de Stokes Ampère

x = a(t ) t : t0 → t1 y = b(t )

On choisit pour Γ l’orientation correspondant à l’orientation de C conformément à la figure B.1.4. On utilise la règle du tire-bouchon de Maxwell pour montrer qu’alors la surface est orientée "vers le haut". (c) On utilise la proposition 10.3.1 avec ε = 1, on obtient : −−−→ ~)= ΦS ( rot V

ZZ D

∂φ

³

∂φ

³

− ∂x (x, y)

∂V3 ∂V2 ∂y (x, y, φ(x, y)) − ∂z (x, y, φ(x, y))

´

∂V3 ∂V1 ∂z (x, y, φ(x, y)) − ∂x (x, y, φ(x, y)) ∂V1 2 + ∂V ∂x (x, y, φ(x, y)) − ∂y (x, y, φ(x, y)) d xd y

− ∂y (x, y)

´

(B.1.1)

2. (a) On utilise la paramétrisation de C pour en déduire une paramétrisation de Γ sous la forme   x = a(t ) y = b(t ) t : t0 → t1 .  z = c(t ) = φ(a(t ), b(t ))

ÎÎ

64

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÏÏ

Î précédent

section N

suivant Ï

(b) On utilise la définition de l’abscisse curviligne : Z

Z Γ

V1 d x + V2 d y =

t1 t0

Document B.1.3 Démonstration du théorème de Stokes Ampère

V1 (a(t ), b(t ), c(t ))a 0 (t ) + V2 (a(t ), b(t ), c(t ))b 0 (t )d t

On note Ve1 (x, y) = V1 (x, y, φ(x, y)), Ve2 (x, y) = V2 (x, y, φ(x, y))

On obtient alors : Z

t1 t0

Z

=

t1 t0

V1 (a(t ), b(t ), c(t ))a 0 (t ) + V2 (a(t ), b(t ), c(t ))b 0 (t )d t

V1 (a(t ), b(t ), φ(a(t ), b(t )))a 0 (t ) + V2 (a(t ), b(t ), φ(a(t ), b(t )))b 0 (t )d t . Z

=

t1 t0

Ve1 (a(t ), b(t ))a 0 (t ) + Ve2 (a(t ), b(t ))b 0 (t )d t Z

=

C

Ve1 d x + Ve2 d y

On applique le théorème de Green-Riemann aux fonctions Ve1 et Ve2 et à la courbe C . Z ZZ C

Ve1 d x + Ve2 d y =

D

∂Ve2 ∂Ve1 (x, y) − (x, y). ∂x ∂y

On calcule les dérivées partielles de Ve1 et Ve2

Exemples Exercices Documents

∂Ve2 ∂V2 ∂V2 ∂φ (x, y) = (x, y, φ(x, y)) + (x, y, φ(x, y)) (x, y) ∂x ∂x ∂z ∂x ÎÎ

65

Sommaire Concepts

ÏÏ

Î précédent

section N

suivant Ï

∂Ve1 ∂V1 ∂V1 ∂φ (x, y) = (x, y, φ(x, y)) + (x, y, φ(x, y)) (x, y) ∂y ∂y ∂z ∂y

Document B.1.3 Démonstration du théorème de Stokes Ampère

On vient donc de démontrer : ∂φ ∂V2 (x, y) (x, y, φ(x, y)) ∂x ∂z D ∂φ ∂V1 − (x, y) (x, y, φ(x, y)) ∂y ∂z ∂V2 ∂V1 + (x, y, φ(x, y)) − (x, y, φ(x, y))d xd y ∂x ∂y ZZ

R

Γ V1 d x + V2 d y

=

(B.1.2)

(c) On pourrait montrer de façon similaire : ∂V3 ∂φ (x, y) (x, y, φ(x, y)) ∂y D ∂x ∂V3 ∂φ (x, y, φ(x, y))d xd y + (x, y) ∂y ∂x

ZZ

R

Γ V3 d z

=

−

(B.1.3)

3. Les équations B.1.1, B.1.2 et B.1.3 permettent de conclure : ZZ S

−−−→ ~ .~ rot V nd σ =

Z Γ

V1 d x + V2 d y + V3 d z

retour au cours

ÎÎ

66

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

Î précédent

section N

Document B.1.4 Démonstration du théorème de Gauss-Ostrogradski Soit        0 0 V1 (x, y, z) V1 (x, y, z)   +  V2 (x, y, z)  +  ~ (M ) =  V2 (x, y, z)  =  0 0 V V3 (x, y, z) 0 0 V3 (x, y, z)   0   ~ 0 On note U3 (M ) = V3 (x, y, z) On suppose que V = {(x, y, z) ∈ IR3 , (x, y) ∈ D 3 , ε(x, y) ≤ z ≤ φ(x, y)} conformément à la 

figure B.1.5. 1. (a) On a ~ 3 (M ) = div U

∂V3 (x, y, z). ∂z

(b) En utilisant l’expression de l’intégrale triple, on a : ZZZ V

∂V3 (x, y, z)d xd yd z = ∂z

ZZ D3

V3 (x, y, φ(x, y)) − V3 (x, y, ε(x, y))d xd y.

2. (a) On appelle S + la surface d’équation {z = φ(x, y), (x, y) ∈ D 3 }, on oriente cette surface "vers le haut". On utilise la proposition 10.3.1 pour montrer que ~3 ) = ΦS + (U

ZZ D3

67

V3 (x, y, φ(x, y))d xd y ÏÏ

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

Î précédent

z

section N

z= φ(x,y)

Document B.1.4 Démonstration du théorème de GaussOstrogradski

z= ε(x,y)

y

D3 x

F IGURE B.1.5: (b) On appelle S − la surface d’équation {z = ε(x, y), (x, y) ∈ D 3 }, on oriente cette surface "vers le bas". On utilise la proposition 10.3.1 pour montrer que ~3 ) = ΦS − (U

ZZ D3

−V3 (x, y, ε(x, y))d xd y

Sommaire Concepts

(c) On en déduit que ZZZ V

~3 d xd yd z = ΦS (U ~3 ). div U

3. Des calculs similaires pour V2 et V3 permettraient de terminer la démonstration du théorème de Gauss-Ostrogradski. ÎÎ

68

ÏÏ

Exemples Exercices Documents

Î précédent

section N

retour au cours

Document B.1.4 Démonstration du théorème de GaussOstrogradski

Sommaire Concepts

Exemples Exercices Documents

ÎÎ

69

Index des concepts G

Le gras indique un grain où le concept est défini ; l’italique indique un renvoi à un exer- Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 cice ou un exemple, le gras italique à un document, et le romain à un grain où le concept est mentionné.

I

Intégrale de surface-application . . . . . . . . 14 Intégrale de surface-définition. . . . . . . . . .12

A

Aire d’une surface définie par son équation explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Aire d’une surface définie par son équation O explicite-variante . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Orientation d’une surface . . . . . . . . . . . . . . 17 Aire d’une surface paramétrée . . . . . . . . . . . 4

S

Sommaire Concepts

Stokes-Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

F Flux d’un champ de vecteurs. . . . . . . . . . . . 19

70

Exemples Exercices Documents

Solution de l’exercice A.1.1   x = R cos u cos v 0 ≤ u < 2π y = R sin u cos v , π  − 2 ≤ v ≤ π2 z = R sin v

σ(u, v) = R 2 cos v A = 4πR 2

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.2 D = S, φ(x, y) = 0, σ(x, y) = 1.

On retrouve bien sûr : aire S =

ZZ

d xd y S

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.3

z S

y D x D est le disque de centre O et de rayon 2. σ(x, y) = ZZ q Z 2 2 A= 1 + 4x + 4y d xd y = D

2π Z 2 0

0

q

1 + 4x 2 + 4y 2

Z q 2π 17 p π 2 ρ 1 + 4ρ d ρd θ = ud u = (173/2 − 1) 8 1 6

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.4

1. On pose : p(x, z) =

∂η ∂η (x, z), q(x, z) = (x, z), σ(x, z) = ∂x ∂z

alors :

ZZ

ai r e(S) =

2. On pose : p(y, z) =

b D

σ(x, z)d xd z.

∂ψ ∂ψ (y, z), q(y, z) = (y, z), σ(y, z) = ∂y ∂z

alors :

ZZ

ai r e(S) =

e D

q 1 + p 2 (x, z) + q 2 (x, z),

q 1 + p 2 (y, z) + q 2 (y, z),

σ(y, z)d yd z.

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.5 aire D = cos γ aire S D et S sont planes. L’angle entre ces 2 surfaces est γ (puisque γ est l’angle entre les normales respectives à ces 2 surfaces). D est la projection de S , donc le rapport entre leurs aires est cos γ.

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.6

1. σ(x, y) =

p 1+4+4 = 3

z 8 y S D 4

D

y

2

4

x

x 2. 3. L’aire de D vaut 4, donc l’aire de S vaut 3 × 4 = 12 4. Si µ est la masse surfacique (constante), la masse de S est 12µ. On a ZZ ZZ xG =

1 m

D

µxσ(x, y)d xd y =

1 4

xd xd y D

On remarque que le centre de gravité de S a la même abscisse que le centre de gravité de D , ce qui est normal car la surface est plane et homogène. Après calculs on trouve : xG =

1 4

2− x2

Z 4Z 0

0

xd yd x =

4 3

On obtient de façon similaire : yG = 1 zG = 4

2− x2

Z 4Z 0

0

1 4

2− x2

Z 4Z 0

1 zd yd x = 4

0

2− x2

Z 4Z 0

yd yd x =

0

2 3

(2x + 2y)d yd x = 2xG + 2yG

La valeur de zG était prévisible puisque le centre de gravité appartient à la surface (ce n’est plus le cas lorsque la surface n’est pas plane).

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.7 −−→ OM q ~ .~ , E n= R 4π²0 R 2 ZZ q q q ~)= Φ(V aire S = . dσ = 2 2 4π²0 R 4π²0 R ²0 S ~ n=

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.8

1.

x y z ~ n = (− , − , − ). R R R

2. ~ n = (p

2x 1 + 4x 2 + 4y 2

3.

2y 1 ,p ,−p ). 2 2 1 + 4x + 4y 1 + 4x 2 + 4y 2

3 5 2 ~ n = (− p , p , − p ). 38 38 38

4. ~ n = (− p

x x 2 + y 2 + 4z 2

,−p

y x 2 + y 2 + 4z 2

Retour à l’exercice N

,−p

2z x 2 + y 2 + 4z 2

).

Solution de l’exercice A.1.9

z S

y D x

φ(x, y) = x 2 + y 2 p(x, y) = 2x, q(x, y) = 2y Ve1 = x(x 2 + y 2 ), Ve2 = x 2 + y 2 , Ve3 = −

~) = Φ(V

ZZ D

ZZ

=

D

(x 2 + y 2 )2 2

−2x 2 (x 2 + y 2 ) − 2y(x 2 + y 2 ) − −2x 2 (x 2 + y 2 ) −

(x 2 + y 2 )2 d xd y 2

(x 2 + y 2 )2 d xd y 2

En effet l’intégrale sur le domaine D qui est symétrique par rapport à la droite d’équation y = 0, d’une fonction impaire en y est nulle. On utilise les coordonnées polaires : ~)= Φ(V

Z 1Z 0

2π 0

−2r 5 cos2 θ −

r5 π d θd r = − 2 2

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.10 µ ¶ −−−→ ∂Q ∂P ~ = 0, 0, rot V (x, y) − (x, y) . ∂x ∂y

~ n = (0, 0, 1). −−−→ ∂Q ∂P ~= ~ n . rot V (x, y) − (x, y). ∂x ∂y ZZ −−−→ ∂P ∂Q ~ (x, y) − (x, y)d xd y ΦS ( rot V ) = ∂x ∂y D

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.11

~ = 3, vol (B) = div V ~ .~ V n= ZZ S

4πR 3 d’où 3

ZZZ B

~ = 4πR 3 div V

x2 + y 2 + z2 =R R

~ .~ V n d σ = R aire S = 4πR 3

Retour à l’exercice N

Solution de l’exercice A.1.12 ZZ S

~ .~ E nd σ =

ZZZ V

~ d xd yd z = div E

1 ²0

ZZZ V

σ(x, y, z)d xd yd z =

Retour à l’exercice N

q ²0

Solution de l’exercice A.1.13 ~ = 0, donc l’intégrale est nulle. div V ~ à travers la sphère S de centre O et de rayon R . Retrouvons ce résultat en calculant le flux de V Une paramétrisation de S est :   x = R cos θ cos φ 0 ≤ θ < 2π y = R sin θ cos φ , .  − π2 ≤ φ ≤ π2 z = R sin φ

On a : σ(θ, φ) = R 2 cos φ. y Un vecteur normal est ~ n = ( Rx , R , Rz ) On a donc ~ .~ V n=

xz + x y + z y = R(cos θ sin φ cos φ + cos2 φ sin θ cos θ + sin θ cos φ sin φ) R

D’où : ~ ) = R3 ΦS (V

Z

π 2

− π2

2π

Z 0

or

(cos θ sin φ cos φ + cos2 φ sin θ cos θ + sin θ cos φ sin φ) cos φd θd φ

2π

Z 0

cos θd θ =

2π

Z 0

cos θ sin θd θ =

2π

Z 0

~ à travers S est nul. on retrouve bien que le flux de V

Retour à l’exercice N

sin θd θ = 0,

Aide 1, Question 1, Exercice A.2.1

z

y x

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 2, Exercice A.2.1

z > 0, D est la projection de S sur xO y .

Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 2, Exercice A.2.1

z=

p

4 − x2

y

2

−2

2

Retour à l’exercice N

x

Aide 1, Question 3, Exercice A.2.1 Utiliser l’équation implicite pour obtenir un vecteur normal. Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 3, Exercice A.2.1 (2x,³0, 2z) est un vecteur normal. z´ x , 0, est le vecteur unitaire qui fait un angle aigu avec Oz (puisque sa troisième composante est 2 2

positive).

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 4, Exercice A.2.1 Que vaut cos γ ? En déduire σ(x, y). Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 4, Exercice A.2.1 z 2 2 cos γ = , σ(x, y) = =p 2 φ(x, y) 4 − x2

Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 4, Exercice A.2.1 ZZ

A=

D

2 d xd y p 4 − x2

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 5, Exercice A.2.1 Z

A=

2

4 − 2x dx p −2 4 − x 2

Une "partie" de cette intégrale est nulle, pourquoi ? Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 5, Exercice A.2.1 Si g est une fonction impaire

Ra

−a g (x)d x

= 0.

Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 5, Exercice A.2.1 Z

A=

2

4 dx p −2 4 − x 2

Poser x = 2u et revoir l’arcsinus. Retour à l’exercice N

Aide 4, Question 5, Exercice A.2.1 A = 4 [Ar c si nu]+1 −1 = 4π.

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 6, Exercice A.2.1 On pose :   x = 2 cos θ y =u  z = 2 sin θ

Donc bien sûr, on a x 2 + z 2 = 4, ∀u, ∀θ Traduire maintenant sur u et θ les conditions x + y < 2, y > 0, z > 0.

On obtient ainsi le domaine ∆ dans lequel varient les paramètres u et θ . Que vaut σ(u, θ) ? Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 6, Exercice A.2.1 ∆ = {(u, θ) ∈ IR2 , 0 < θ < π, 0 < u < 2 − 2 cos θ} σ(u, θ) = 2

Ceci est un résultat général quand on paramètre un cylindre à l’aide des coordonnées cylindriques, on obtient σ(u, θ) = R, où R est le rayon du cylindre Calculer l’aire à l’aide d’une intégrale en u et θ . Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 6, Exercice A.2.1 π Z 2−2 cos θ

Z

A=

0

0

2d ud θ = 4π.

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 7, Exercice A.2.1 S est un quart de cylindre de rayon 2 et de longueur 4, donc l’aire de S est 14 (4π × 4).

Retour à l’exercice N

Aide 1, Exercice A.2.2 La masse m vaut 2 fois la masse m+ de la demi-sphère supérieure. Retour à l’exercice N

Aide 2, Exercice A.2.2 La demi-sphère supérieure peut être décrite de 2 façons : – par son équation explicite : q z=

on a alors σ(x, y) =

R 2 − x 2 − y 2,

1 R =p , (x, y) ∈ D disque de centre O et de rayon R cos γ R2 − x2 − y 2

– à l’aide des coordonnées sphériques, préciser dans quel domaine varient les paramètres. Donner l’expression de m+ dans les 2 cas. Retour à l’exercice N

Aide 3, Exercice A.2.2 – Avec les coordonnées cartésiennes, on obtient : φ(x, y) σ(x, y)d xd y R D p ZZ R2 − x2 − y 2 R d xd y = p 2 R D R − x2 − y 2 ZZ

m+

=

=

aire D = πR 2

– Avec les coordonnées sphériques, on obtient : m+

=

π 2

2π Z

Z 0

0

R sin φ 2 R cos φd φd θ R

= πR 2

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 1, Exercice A.2.3

z ~ n

C

A

D x

Retour à l’exercice N

B

y

Aide 1, Question 2, Exercice A.2.3 On utilise l’équation implicite, (0, 2y, 2(z − 1)) est un vecteur normal, est-il unitaire ? Est-il orienté vers le haut ? Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 2, Exercice A.2.3 Une normale unitaire est (0, y, z − 1), cette normale est orientée vers le haut puique z − 1 ≥ 0. Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 3, Exercice A.2.3   x=x y = cos θ  z = 1 + sin θ

0 ≤ x ≤ 1( car 0 ≤ x ≤ 1) 0 ≤ θ ≤ π( car z ≥ 1)

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 4, Exercice A.2.3 Calculer σ(x, θ)

~ .~ V n = y z + x(z − 1)

Exprimer le produit scalaire à l’aide de x et de θ . Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 4, Exercice A.2.3

~)= Φ(V

π

Z 1Z 0

0

cos θ + sin θ cos θ + x sin θd θd x =

1

Z 0

2xd x = 1.

Entrainez vous a calculer de façon efficace les intégrales des cosinus et sinus en particulier souvenez-vous que l’intégrale sur une période de cosinus ou sinus est nulle. Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 1a, Exercice A.2.4 −−−→ ~ = (1, −1, 2), on utilise la proposition 10.3.1, que vaut D ? rot V

Faites une figure. Que vaut φ ? Calculer les dérivées partielles de φ, que vaut ε ? Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 1a, Exercice A.2.4 D est le disque du plan xO y de rayon 1 et de centre O .

z ~ n S

y

D x

φ(x, y) = 1 −

q

x 2 + y 2,

∂φ x ∂φ y (x, y) = − p , (x, y) = − p 2 2 2 ∂x x + y ∂y x + y2 ε=1

Utiliser la proposition 10.3.1. Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 1a, Exercice A.2.4

−−−→ ~) = ΦS ( rot V

x

ZZ p

x2 + y 2 = 2 aire D D

×1+ p

y x2 + y 2

Pourquoi ? Retour à l’exercice N

× (−1) + 2d xd y

Aide 4, Question 1a, Exercice A.2.4 L’intégrale d’une fonction impaire en x sur un domaine symétrique par rapport à la droite x = 0 est nulle, donc : ZZ x

D

Pour des raisons similaires on a :

p

x2 + y 2

p

x2 + y 2

y

ZZ D

d xd y = 0

d xd y = 0

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 1b, Exercice A.2.4 Quel est le bord Γ de S ? Quelle est l’orientation de ce bord ? Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 1b, Exercice A.2.4

z ~ n S

y x

Γ

Γ est le cercle du plan xO y de centre O , de rayon 1 orienté dans le sens trigonométrique, donc   x = cos θ y = sin θ θ : 0 → 2π  z =0

~ le long de Γ. Revoir comment on calcule la circulation de V

Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 1b, Exercice A.2.4 Z Γ

−→ ~ d` = V

Z

2π

O

sin2 θ + cos2 θd θ = 2π

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 2, Exercice A.2.4 −−−→ ~ = (z 2 + x, 0, −z − 3), on utilise la proposition 10.3.1, que vaut D ? rot V

Faites une figure. Que vaut φ ? Calculer les dérivées partielles de φ, que vaut ε ? Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 2, Exercice A.2.4

z S

y D x

D est le disque du plan xO y de rayon 2 et d’axe Oz . φ(x, y) =

x 2 + y 2 ∂φ ∂φ , (x, y) = x, (x, y) = y. 2 ∂x ∂y ε = 1.

Utiliser la proposition 10.3.1. Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 2, Exercice A.2.4

−−−→ ~) = ΦS ( rot V

D

ZZ

=

õ

ZZ

D

−x

x2 + y 2 2

−x 2 −

¶2

!

+x −

x2 + y 2 − 3d xd y 2

x2 + y 2 d xd y − 3 aire D 2

Pourquoi ? Retour à l’exercice N

Aide 4, Question 2, Exercice A.2.4 On calcule

RR

D

x 2 d xd y et on en déduit le résultat.

Retour à l’exercice N

Aide 5, Question 2, Exercice A.2.4 ZZ D

2

2π Z 2

Z

x d xd y =

0

0

3

r cos θd r d θ =

2π

Z 0

2

cos θd θ ×

2

Z 0

Pour des raisons de symétrie, on a donc : ZZ D

On en déduit

y 2 d xd y = 4π

−−−→ 3 1 ~ ) = − (4π) − (4π) − 3(4π) = −20π ΦS ( rot V 2 2

Retour à l’exercice N

r 3 d r = 4π

Aide 6, Question 2, Exercice A.2.4 Quel est le bord Γ de S ? Quelle est l’orientation de ce bord ? Retour à l’exercice N

Aide 7, Question 2, Exercice A.2.4

z

Γ

S ~ n y x

Γ est le cercle du plan z = 2 centré sur Oz , de rayon 2 orienté comme sur la figure, donc   x = 2 cos θ y = 2 sin θ θ : 0 → 2π  z =2

~ le long de Γ. Revoir comment on calcule la circulation de V

Retour à l’exercice N

Aide 8, Question 2, Exercice A.2.4 Z Γ

−→ ~ d` = V

2π

Z 0

6 sin θ(−2 sin θ) − 4 cos θ(2 cos θ)d θ = −20π

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 1, Exercice A.2.5

z

~ n2

S2

~ n1

S1

y x

S se compose de 2 parties, un morceau de paraboloïde S 1 que l’on a déjà étudié dans l’exercice A.1.9 et un disque S 2 qui se trouve dans le plan z = 1.

Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 1, Exercice A.2.5 La normale à S 1 doit être dirigée vers le bas, la normale à S 2 doit être dirigée vers le haut. Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 1, Exercice A.2.5 

2x 1+4x 2 +4y 2 2y

p

  ~ n 1 =  p1+4x 2 +4y 2  − p 12 2

   0   n2 =  0  , ~  1

1+4x +4y

La paramétrisation de S 1 est :   x=x y=y (x, y) ∈ D où D est le disque de centre O et de rayon 1  z = x2 + y 2

La paramétrisation de S 2 est :   x=x y = y (x, y) ∈ D  z =1

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 2a, Exercice A.2.5 Il faut calculer le flux à travers S 1 et S 2 correctement orientées. Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 2a, Exercice A.2.5 ~)= ΦS 2 (V

ZZ S2

~ .~ V n2 d σ = −

1 π aire S 2 = − 2 2

Pour le flux à travers S 1 , revoir l’exercice A.1.9. Est-ce la même orientation que dans cet exercice ? Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 2b, Exercice A.2.5 ~ = 0. Le flux est nul, c’est normal puisque div V

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 3a, Exercice A.2.5 On utilise la proposition 10.3.1, on obtient ~)=− ΦS 1 (V

ZZ D

−2x(−x(x 2 + y 2 )) − 2x y + x 2 (x 2 + y 2 )d xd y ~)=+ ΦS 2 (V

On obtient ~)=− ΦS 1 (V

ZZ D

ZZ

x 2 d xd y.

D

3x 2 (x 2 + y 2 )d xd y

Pourquoi ? Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 3a, Exercice A.2.5 On calcule les deux intégrales sur D en utilisant les coordonnées polaires. On trouve : π π ΦS 1 = − , ΦS 2 = 2 4

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 3b, Exercice A.2.5 ~ = −z + x 2 div V Revoir les calculs d’intégrale triple.

Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 3b, Exercice A.2.5 ZZZ V

~ d xd yd z = div V

Z Z µZ D

1 x 2 +y 2

2

¶

−z + x d z d xd y

Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 3b, Exercice A.2.5 ZZZ V

~ d xd yd z = div V

1 1 x 2 − x 2 (x 2 + y 2 ) + (x 2 + y 2 )2 d xd y − aire D 2 2 D

ZZ

On calcule cette intégrale en utilisant les coordonnées polaires, on obtient − π2 . Retour à l’exercice N

Aide 1, Exercice A.3.1 Revoir l’exercice A.2.1, on peut paramétrer à l’aide de x et y , ou des coordonnées cylindriques. 1 yG = m

1 yµd σ = A S

ZZ

ZZ S

yd σ

Bien sûr la masse surfacique (qui est constante) n’intervient pas dans le calcul des coordonnées du centre de gravité. Retour à l’exercice N

Aide 2, Exercice A.3.1 En utilisant les coordonnées cartésiennes on a : ZZ S

yd σ =

2

Z

2−x

Z

−2 0

2y d yd x p 4 − x2

En utilisant les coordonnées cylindriques on a : ZZ S

yd σ =

π Z 2−2 cos θ

Z 0

0

2ud ud θ

Retour à l’exercice N

Aide 3, Exercice A.3.1 Dans le premier cas on obtient : ZZ S

yd σ =

Z

4 + x2 dx p −2 4 − x 2 2

On pourrait calculer cette intégrale en effectuant le changement de variable : x = 2 sin θ . Dans le deuxième cas on obtient : ZZ S

yd σ =

π

Z 0

(2 − 2 cos θ)2 d θ = 6π

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 1a, Exercice A.3.2

z ~ n

C

A

D x

Retour à l’exercice N

B

y

Aide 1, Question 1b, Exercice A.3.2 Γ est constituée de quatre morceaux, lesquels ?

Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 1b, Exercice A.3.2 Le segment AB est paramétré par :   x=t y =1  z =1

t :1→0

Le demi-cercle BC est paramétré par :   x =0 y = cos θ  z = 1 + sin θ

θ:0→π

Le segment C D est paramétré par :   x=t y = −1  z =1

t :0→1

Le demi-cercle D A est paramétré par :   x =1 y = cos θ  z = 1 + sin θ

θ:π→0

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 1c, Exercice A.3.2 Revoir comment on calcule la circulation d’un champ de vecteurs le long d’une courbe, calculer la circulation morceau par morceau en faisant attention au sens de parcours. Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 1c, Exercice A.3.2 La circulation vaut − 21 + 0 + 12 + 1. Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 1d, Exercice A.3.2 −−−→

~ =V ~ , on utilise le théorème de Stokes-Ampére et on retrouve le résultat de l’exercice A.2.3 On a rot U

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 2a, Exercice A.3.2

z

Γ

S ~ n y x

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 2b, Exercice A.3.2   x = cos θ y = sin θ  z =1

t : 0 → 2π

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 2c, Exercice A.3.2 La circulation vaut :

2π

Z 0

1 π (− sin θ)(sin θ − 1) + cos θd θ = − 2 2

Entraînez-vous à calculer les intégrales trigonométriques le plus rapidement possible. Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 2d, Exercice A.3.2 −−−→

~ =V ~ , on utilise le théorème de Stokes-Ampére et on retrouve le résultat de l’exercice A.1.9 On a rot U

Retour à l’exercice N

Aide 1, Question 1, Exercice A.3.3 ~ = z 2 + y 2, div V V est un volume connu, lequel ? Utiliser un changement de variables pour calculer l’intégrale triple.

Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 1, Exercice A.3.3 V est une demi-boule.

On utilise les coordonnées sphériques, le jacobien vaut r 2 cos φ. Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 1, Exercice A.3.3 ZZZ V

~ d xd yd z = div V

π 2

2π Z

Z 0

0

a

Z 0

r 2 (sin2 θ cos2 θ + sin2 φ)r 2 cos φd r d φd θ =

après calculs. Retour à l’exercice N

4πa 5 , 15

Aide 1, Question 2, Exercice A.3.3 S est constituée de la demi-sphère S 1 orientée "vers le haut" et du disque S 2 orienté "vers le bas".

Retour à l’exercice N

Aide 2, Question 2, Exercice A.3.3 Donner un vecteur normal unitaire à S 1 . On peut paramétrer S 1 à l’aide de x et y , que vaut σ(x, y) ? Que vaut D ? Vous devez répondre à toutes ces questions sans pratiquement aucun calcul. Retour à l’exercice N

Aide 3, Question 2, Exercice A.3.3 ~ n1 =

³x y z ´ z , , , cos γ = a a a a

~ .~ V n1 =

On a donc ~)= ΦS 1 (V

ZZ D

x2

q

x2z2 − z2 y + y 2z2 a

a2 − x2 − y 2 − y

q

a2 − x2 − y 2 + y 2

q

a 2 − x 2 − y 2 d xd y

On calcule l’intégrale précédente en utilisant les coordonnées polaires. ~ .~ Pour le disque S 2 , ~ n 2 = (0, 0, −1) , donc V n2 = 0 Retour à l’exercice N

Aide 4, Question 2, Exercice A.3.3

~)= ΦS 1 (V

a Z 2π

Z 0

0

(ρ 2 − ρ sin θ)

q

a 2 − ρ 2 d θd ρ =

après calculs. Retour à l’exercice N

4πa 5 , 15