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chapitre

6

Sections planes de surfaces

Travaux dirigés

(page 152)

TD 1 1. N′(0 ; 0 ; z0). 2 2 Soit d la distance de N à (Oz), d = NN′ = x 0 + y 0 . 2 2 N ∈ S ⇔ x0 + y0 = 9 ⇔ d = 3. 2. a) Cette intersection est l’ensemble des points du plan d’équation z = 0 (c’est-à-dire (xOy)) situés à la distance 3 de l’axe (Oz) donc de O : c’est le cercle de centre O et de rayon 3. b) L’axe (Oz) coupe le plan P en Ω(0 ; 0 ; 5). L’ensemble des points du plan P situés à la distance 3 de l’axe (Oz), donc de Ω est le cercle de centre Ω et de rayon 3. c) Le cercle de centre Ω1(0 ; 0 ; – 4) et de rayon 3. x = 0 x = 0 3. a)  2 ⇔  donc l’in2  y = 3 ou y = – 3 x + y = 9 tersection de S et du plan d’équation x = 0 est la x = 3 réunion des deux droites définies par  et y = 0 x = 0 .  y = – 3 b) L’intersection de S et du plan d’équation y = 0 x = 3 est la réunion des deux droites définies par  y = 0 x = – 3 .  y = 0 –2 4. a) Analytiquement, la distance est --------- = 2. 1 x = 2 x = 2 ⇔ donc l’inter 2 2 x + y = 9  y = 5 ou y = – 5 section de S et du plan d’équation x = 2 est la réunion x = 2 x = 2 des deux droites définies par  ou  . y = 5  y = – 5 b) Le cylindre S et le plan d’équation x = a ont des points communs pour a ∈ [– 3 ; 3]. L’intersection est réduite à une seule droite pour |a| = 3. TD 2 z = 0  1. a)  2 4 2 ⇔ (x ; y ; z) = (0 ; 0 ; 0) : 2 -z  x + y = ----25  le plan (xOy) coupe le cône au point O.

332

z = 5  z = 5 b)  2 donc l’intersec4 2 ⇔ 2 2 2 ----x + y = 4  x + y = 25 z  tion de S et du plan P d’équation z = 5 est le cercle du plan P, de centre Ω(0 ; 0 ; 5) et de rayon 2. z = – 3  c)  2 2 36 donc l’intersection de S et du  x + y = ----25  plan Q d’équation z = – 3 est le cercle du plan P, de 6 centre Ω1(0 ; 0 ; – 3) et de rayon --- . 5 x = 0 x = 0 x = 0    2. a)  2 ou  . 4 2⇔ 2 2 2 -z  x + y = ---- y – --5- z = 0  y + --5- z = 0 25    y = 0 y = 0   b)  ou  2 2  x – --5- z = 0  x + --5- z = 0   x = 1 x = 1   3. a)  2 . 4 2 ⇔4 2 2 2 -z -z – y = 1  x + y = ---- ----25 25   b) u r et vr sont orthogonaux à ir vecteur normal au plan P1 et sont non colinéaires. c) O P 1M = Yu r + Zvr = yjr + zk r soit 1 5 1 5 Y  --- r j + --- r k + Z  – --- r j + --- r k = yjr + zk r . 2 4   2 4  Y–Z 5 On en déduit y = --------------- et z = --- (Y + Z) 4 2 2 2 puis Y = y + --- z et Z = – y + --- z. 5 5 2 2 4 d) YZ =  y + --- z  – y + --- z = ------ x2 – y2 et d’après  5  5  25 le a), YZ = 1. La courbe  est donc une hyperbole dont les asymptotes sont les axes (O1 ; u r ) et (O1 ; vr ). e) Si λ = 0, l’intersection est la réunion de deux droites passant par O (des génératrices). Si λ ≠ 0, l’intersection est une hyperbole. f) Situation identique.

TD 3 2 a) f(0 ; 5) = 25. b) f(– 2 ; – 3) = 13. c) f(3 ; 4) = 25. 3 1. a) • z est toujours positif comme somme de deux carrés. • Les coordonnées de O vérifient l’équation : 02 + 02 = 0. 2 b) • f(x ; y) = x + y2 = f(– x ; y) : la surface S est symétrique par rapport au plan d’équation (yOz). • f(x ; y) = x2 + y2 = f(x ; – y) : la surface S est symétrique par rapport au plan d’équation (xOz). 2. a) • A(1 ; 1 ; 2) ; B(– 1 ; 1 ; 2) ; C( 2 ; 0 ; 2) ; D(0 ; – 2 ; 2). b) z = 2. z = 2 z = 2 c)  ⇔ 2 l’intersection de P 2 2 2 z = x + y x + y = 2 et de S et l’ensemble des points de P situés à la distance 2 du point Ω(0 ; 0 ; 2). d) L’intersection de S et de Q est le cercle du plan Q, centré en Ω1(0 ; 0 ; 4) et de rayon 2. e) Si λ < 0, l’intersection est vide (car x2 + y2  0). Si λ  0, l’intersection est un cercle (éventuellement réduit à un point pour λ = 0) centré sur [Oz) et de rayon λ . x = 0 x = 0 3. a) •  ⇔  . L’intersection de 2 2 2 z = x + y z = y S et du plan (yOz) est donc la parabole d’équation z = y2 dans le plan (yOz) rapporté au repère orthonormal (O ; jr , k r ). x = 0 x = 0 •  ⇔  . L’intersection de S et 2 2 2 z = x + y z = x

du plan (xOz) est donc la parabole d’équation z = x2 dans le plan rapporté au repère orthonormal (O1 ; jr , k r ) avec O1(2 ; 0 ; 0). • De même, l’intersection de S et du plan d’équation y = 2 est la parabole d’équation z = x2 + 4 dans ce plan rapporté au repère orthonormal (O2 ; jr , k r ) avec O2(0 ; 2 ; 0). • L’intersection de S et du plan d’équation x = λ est donc la parabole d’équation z = y2 + λ2 dans ce plan rapporté au repère orthonormal (Oλ ; jr ; k r ) avec Oλ(λ ; 0 ; 0). 4. a) Pour tout point M de S, le plan P perpendiculaire à [Oz) passant par M coupe S suivant un cercle  de ce plan centré sur [Oz). Ce plan P coupe la parabole définie au 3. a) en N appartenant aussi à  (et aussi en un second point, en général…). M est l’image de N dans une rotation d’axe (Oz).

b) Résulte du fait que 2

2

2

2

( x A + y A ) + ( x B + y B )  x A + x B 2  y A + y B 2 ------------------------------------------------------≠ ------------------- + ------------------ 2   2  2 (pour A ≠ B). La surface S ne peut contenir de segment [AB] car le milieu du segment n’appartient pas à S. TD 4 1. a) xy = 0 = z. b) xy = (– x)(– y) : la surface S est symétrique par rapport à l’axe (O; k r ). 2. xy = 0 ⇔ x = 0 ou y = 0. L’intersection de S et du plan (xOy) est la réunion des deux axes (O; ir ) et (O; jr ). 1 1 3. a) A(1; – 1; – 1), B(2 : – --- ; —1), C( --- ; – 2; – 1) 2 2 et D(10; – 0,1; – 1). b) Ils appartiennent à S et au plan d’équation z = – 1.  1  z = xy  xy = – 1  y = – --x (car x ≠ 0). c)  ⇔ ⇔  z = –1  z = –1  z = –1  L’intersection de S et du plan P est l’hyperbole 1 équilatère, dans le plan P, d’équation y = – --- . x d) L’intersection de S et du plan d’équation z = λ λ est l’hyperbole d’équation y = --- . x  z = xy 4. a)  ⇒ x = z = 0, donc l’intersection de S x = 0 avec le plan d’équation x = 0 est contenue dans la droite intersection des plan d’équations x = 0 et z = 0. Réciproquement, tout point de la droite intersection des plans d’équation x = 0 et z = 0 appartient à S car 0 × y = 0. L’intersection de S avec le plan d’équation x = 0 est donc l’axe (O; jr ). b) De même, l’intersection de S avec le plan d’équation y = 0 est l’axe (O; k r ).  z = xy x = λ c)  : ⇔  x = λ  z = λy l’intersection de S avec le plan d’équation x = λ est la droite de ce plan d’équation (dans ce plan) z = λy. De même, l’intersection de S avec le plan d’équation y = λ est la droite de ce plan d’équation (dans ce plan) z = λx.  z = xy  z = x2 5.  : ⇔  x – y = 0 x – y = 0 l’intersection de S et du plan d’équation x – y = 0 est la parabole d’équation (dans ce plan) z = x2. Spécialité • Chap. 6 • Sections planes de surfaces

• 333

TD 5 1. a) R = bar{(M, µ), (N, 1 – µ)} = bar{(A, µλ), (B, µ(1 – λ)), (C(1 – µ)(1 – λ)), (D, λ(1 – µ)} = bar {(A, µλ), (D, λ(1 – µ)), (B, µ(1 – λ)), (C(1 – µ) (1 – λ))} = bar{(P, λ), (Q, 1 – λ)}. b) Il résulte du a) que, quels que soient λ et µ (non nuls), R appartient à (MN) et à (PQ) : ces deux droites sont concourantes. 2. a) Immédiat. b) O U M=λO U A + (1 – λ) O T B : les coordonnées de M sont donc (λ – (1 – λ); λ + (1 – λ); λ – (1 – λ)), soit : (2λ – 1; 1; 2λ – 1), qui vérifient bien xy = z. Donc M appartient bien à S. La vérification se fait de la même façon pour N, P et Q. c) Cela résulte de la définition barycentrique d’une droite : par exemple, la droite (AB) est l’ensemble

des barycentres de (A, λ) et de (B, 1 – λ), avec λ réel. d) D’après 2. b), les coordonnées de M sont : (2λ – 1; 1; 2λ – 1). On trouve de la même manière N(2λ – 1; – 1; 1 – 2λ). R est le barycentre de (M, µ) et de (N, 1 – µ), donc O Y R = µUOM + (1 – µ)UON et les coordonnées de R sont (2λ – 1; 2µ – 1; (2λ – 1)(2µ – 1)). Elles vérifient xy = z, donc R appartient bien à S. e) (AB) est l’ensemble des points M (2λ – 1; 1; 2λ – 1) qui appartiennent au plan P1 d’équation y = 1.  z = xy f) Les coordonnées de E vérifient  ⇒ x = z, y = 1 donc E appartient au plan P2 d’équation x – z = 0. P1 et P2 sont sécants car les vecteurs n o 1(0; 1; 0) et n o 2(1; 0; – 1), normaux respectivement à P1 et à P2, ne sont pas colinéaires. Leur intersection est donc une droite. Elle contient les points A et B : c’est la droite (AB). g) Cela résulte de e) et de f). De même, l’intersection de S et du plan P3 est la droite (AD).

Corrigés des exercices Sections planes d’un cylindre 1

Corrigé dans le manuel.

2

y2 + z2 = 3.

3 a) Le cercle de centre Ω(0 ; 0 ; 2) et de rayon 5 dans le plan d’équation z = 2. b) Deux droites (parallèles) définies par : x = – 4 x = – 4 et  .  y = – 3 y = 3

c) Le plan  d’équation y = 6 n’ont pas de point commun car pour tout M de (Oz). d(M, ) = 6 > 5. 4

y2 + z2 = 20.

4 MH 2 MH2 = ------ OH2 ⇔ ----------- = --- . 25 OH 5 b) Si z ≠ 0 Cette hypothèse entraîne que x et y ne peuvent être simultanément nuls : M n’appartient pas à l’axe [Oz). Dans le plan (OAM), la parallèle à (HM) passant par A coupe (OM) en L. MH AL Théorème de Thalès dans le triangle OAL : ----------- = ---------- , OH OA donc AL = 2. L appartient au cercle de centre A et de rayon AK (dans le plan d’équation z = 5), L est donc l’image de K dans une rotation d’axe [Oz] : M appartient donc bien au cône S. Si z = 0, alors x2 + y2 = 0 soit x = y = z = 0 : M est en O, sommet du cône. 6

Sections planes d’un cône 5

1. a) Théorème de Thalès dans le triangle OAK : 4 MH AK ----------- = ---------- ⇔ MH2 = ------ OH2. 25 OH OA b) MH2 = x2 + y2, OH2 = z2 et 0  OH  5. 2. a) H est le projeté orthogonal de M sur l’axe [Oz). Il en résulte MH2 = x2 + y2, OH2 = z2.

334

Corrigé dans le manuel.

 2 2 x + y = 9  x2 + y2 = 9 7  ⇔ 2 9  z = -- x 2 + y 2 = 4z 4   2  2 2 2 x + y = 9 x + y = 9 ⇔ ou  3 3  z = -- z = – --2 2  

L’ensemble des points communs au cylindre et au cône est la réunion des deux cercles de rayon 3, centrés 3 sur (Oz) et situés dans les plans d’équation z = --- et 2 3 z = – --- . 2

 2 5–1  z = x2 + y2  x + y 2 = --------------2   ⇔ ⇔  5–1 5–1   z = ---------------2  z = -------------- 2  Les deux surfaces se coupent suivant le cercle  sur le

8 ● Équation du cône S d’axe (Oz) de sommet O et contenant A : x2 + y2 = 4z2.

5–1 plan d’équation z = ---------------- , centré sur (O; rk) et de 2

3 2 12 + 32 = 10 ≠ 4 ×  --- = 9, donc B ∉ S.  2 A et B n’appartiennent pas à un même cône de sommet O et d’axe (Oz). ●

9 a) Le cercle de centre Ω(0 ; 0 ; – 2) et de rayon 2 dans le plan d’équation z = – 2. b) Une hyperbole. c) Une hyperbole. 10

5–1 ---------------- . 2 3. a) r 2 = x2 + y2 = λ, donc  = πλ. rayon r =

b) 1 =

11 ● ● 1. Le cercle de centre Ω(0 ; 4 ; 0) et de rayon 3 dans le plan d’équation y = 4. 2. (Oy) est l’axe du cône. x2 + z2 = 0 ⇒ x = z = 0 ⇒ y = 0 : le sommet du cône est O. 9 4 2 3. ------ y2 – z2 = 1 ⇔ y = ± --- 1 + z donc deux hyper16 3 boles d’asymptotes : x = 1 x = – 1    4 et  4 .  y = --3- z  y = – --3- z  

Sections de surfaces d’équation z = x2 + y2 et z = xy 12 1. a) La section de S et du plan P d’équation z = λ est le cercle d’équation x2 + y2 = λ du plan P de centre Ω(0; 0; λ) et de rayon λ . b)  = πλ. 9

81π 2

c)  =  0 πλ dλ = --------- . 2

πλ 81π 9 2 2.  πλ dλ = --------0- = --------- , soit λ 0 = ---------- . 2 2 4 λ0 0

13 1. x2 + y2 + z2 = 1. 2

2

0

π 5–1 2 π πλ dλ = ---  ---------------- = --2 2  2

– 5  3--------------- .  2 

c) r 2 = x 2 + y2 = 1 – λ2, d’où  = π(1 – λ2). d) 2 =

1



3

2 λ π ( 1 – λ ) dλ = π  λ – -----  5–1 3

---------------2

●

Le cône S de sommet O a pour équation : x2 + y2 = 9z2. 2 2 a) x + y = 144. Le domaine est un disque de rayon 12 donc  = 144π. b) 2 = 288π donc r2 = x2 + y2 = 288 = 9z2, soit z = 4 2 ou z = – 4 2 .



5–1 ---------------2

3

3– 5 2 5 – 1 ( 5 – 1) = π --- – ---------------- + ----------------------- = π  ---------------- .  6  3 2 24 π 3– 5 3– 5 5π  = 1 + 2 = ---  ---------------- + ---------------- = ------ ( 3 – 5 ) 2 2 3  12 ≈ 0,999 98.

Fonction de deux variables 14 ● 1. f(x ; y) = (x – 1)2 + (y + 3)2 – 10. 2. (x ; y), f(x ; y) > – 10 et ce minimum est atteint pour (1 ; – 3). lim

x→+∞

f(x ; y) = + ∞ : la fonction f n’admet pas de

maximum. 3. k  – 10. (x – 1)2 + (y + 3)2 = 10 + k : la section est le cercle centré en Ω(1 ; – 3 ; k), de rayon d’équation z = k.

10 + k dans le plan

Remarque : Pour z = – 10, le cercle est réduit à un point : Ω.

 z = x 2 + y 2 – 2x + 6y  z = x 2 – 2x 4.  ⇔ . y = 0 y = 0 La section de la surface S par le plan  d’équation y = 0 est la parabole d’équation z = x2 – 2x dans le plan  rapporté au repère (O ; ir , k r ).

Divers 15 Corrigé dans le manuel.

2

2

z = x + y z = x + y 2.  ⇔  2 2 2 x + y + z = 1  z2 + z – 1 = 0

16 1. a) Dans (O; jr , k r ), la courbe  a pour équation z = y2 – 4 : c’est une parabole. Spécialité • Chap. 6 • Sections planes de surfaces

• 335

b)  a pour sommet le point de coordonnées (0; 0; – 4). Elle coupe l’axe (O; jr ) aux points de coordonnées (0; 2; 0) et (0; – 2; 0). 2. Dans le plan d’équation x = λ, de repère (O1 ; jr , k r ) avec O1(l; 0; 0), z = y2 – 4 est l’équation d’une parabole, image de  dans la translation de vecteur λri. z = 3 z = 3  z = y2 – 4 ⇔  2 ⇔  3. a)  y = 7  y = – 7 ou y = 7 z = 3 La section de S par le plan d’équation z = 3 est la réunion de deux droites (parallèles) intersections des plans d’équation y = – 7 et y = 7 avec le plan d’équation z = 3.  z = –4  z = –4 ⇔  b)  2 z = y – 4 y = 0 La section de S par le plan d’équation z = – 4 est la droite intersection des plans d’équation y = 0 et z = – 4. c) L’équation λ = y2 – 4 (équivalente à y2 = λ + 4) admet des solutions (en y) pour λ  – 4. Pour λ > – 4, le plan d’équation z = λ coupe S. Remarque : Pour λ = – 4, le plan est tangent à S.

y = 0 y = 0 4. a)  ⇔  2 z = y – 4  z = –4 Le plan P d’équation y = 0 coupe S suivant la droite intersection de P avec le plan d’équation z = – 4. C’est le plan tangent vu au 3. c). y = 5 y = 5 b)  ⇔  2  z = 21 z = y – 4 Le plan Q d’équation y = 5 coupe S suivant la droite intersection de Q avec le plan d’équation z = 21. 17 1. z = a. La section de S par le plan d’équation z = a est la droite d’équation y = ax (privée du point O).

3. x = c. Pour c non nul, la section de S par le plan d’équation y x = c est la droite d’équation z = --- (privée du point O). c 18 ● r · vr = 1 – 1 = 0 : D et D′ sont orthogonales. ● 1. u O U A·u r = 0 donc d (O, D) = ||UOA|| = 1. De même d(O, D) = ||UOB|| = 1 et O est bien équidistant de D et D. x = t  2. O O M=O U A + tru, d’où  y = t , t ∈ .  z = 1 Soit N un point de D. MN2 = (t – x)2 + (t – y)2 + (1 – z)2 = f(t). f′(t) = 2(t – x) + 2(t – y) = 2(2t – x – y), donc f est minix+y male pour t = ------------ et la valeur minimum de MN2 est : 2 2

x+y (x – y) f  ------------ = ------------------- + (1 – z)2.  2  2 Dans +, MN est minimum lorsque MN2 est minimum, donc la distance de M à la droite D est : 2

2 (x – y) ------------------- + ( 1 – z ) . 2 x = t  3. De même,  y = – t est une représentation paramé  z = –1 trique de D′. Soit K un point de D′. MK2 = (t – x)2 + (– t – y)2 + (– 1 – z)2 = g(t). g′(t) = 2(t – x) – 2(– t – y) = 2(2t – x + y) donc g est minix–y male pour t = ------------ et la valeur minimum de MK2 est : 2 2

C1

x–y (x + y) g  ------------ = ------------------- + (1 + z)2.  2  2 La distance de M à la droite D′ est le réel :

C– 1 →

j

2

2 (x + y) ------------------- + ( 1 + z ) . 2 4. M ∈ S ⇔ MN = MK ⇔ MN2 = MK2

→

O i

2

2. y = b. La section de S par le plan d’équation y = b est l’hyperbole d’équation xz = b si b est non nul et la réunion des axes (O; ir ) et (O; k r ) (sauf le point O) si b est nul. Γ2

y

1 Γ1O

336

1

x

2

2 (x + y) (x – y) ⇔ ------------------- + ( 1 – z ) = ------------------- + (1 + z)2 2 2 ⇔ xy + 2z = 0. 5. a) A R B = – 2rk, donc les plans orthogonaux à (AB) ont pour équation z = λ, avec λ réel. z = λ z = λ ⇔    xy + 2z = 0  xy = – 2λ Si λ ≠ 0, la section de S par le plan d’équation z = λ est l’hyperbole d’équation xy = – 2λ dans le repère (Ω; ir , jr ), avec Ω(0; 0; λ). Si λ = 0, la section de S par le plan d’équation z = 0 est la réunion des deux axes (O; ir ) et (O; jr ).

b) Les plans orthogonaux à l’axe (O; ir ) ont donc pour vecteur normal ir et donc une équation de la forme x = a, avec a réel. x = a x = a ⇔    xy + 2z = 0  ay + 2z = 0 La section de S par un plan orthogonal à l’axe (O; ir ) est donc une droite. Il en est de même pour la section de S par un plan orthogonal à l’axe (O; jr ). ●

19 Bac Inde, 2004. 1. O U A.A U B = 0. 2. a) Équation générale d’un cône d’axe [Oz) et de sommet O : x2 + y2 = λ2z2. Comme A(0 ; 5 ; 5) appartient au cône, λ2 = 1 et le cône admet pour équation x2 + y2 = z2. b) Une équation de la sphère de centre B passant par A : x2 + y2 + (z – 10)2 = BA2 = 50. z = 5  x2 + y2 = z2 ⇔ 2 .  2 2 2 2  x + y + ( z – 10 ) = 50  x + y = 25 L’intersection du cône Γ et de la sphère S et donc le cercle de centre le point de coordonnées (0 ; 0 ; 5), de rayon 5 dans le plan d’équation z = 5. c) z

y = 0 y = 0 2. a)  2 ⇔  . L’intersection de T et du z = 0 x y = 0 plan (xOz) est l’axe (Ox). b) De même, l’intersection de T et du plan (yOz) est l’axe (Oy). z = 0 x = 0 y = 0 3. a)  2 ⇔ ou  . x y = z z = 0 z = 0 L’intersection de T et du plan (xOy) est la réunion des axes (Ox) et (Oy). b) L’intersection de T et du plan z = k a pour équation, dans le repère (K ; ir , jr ) x2y = k. k étant non nul, x ne peut être nul et une équation équivalente est : k y = ----2- . x 4. 1 ej

k

A

O

5

1k

ei

1



1



 2 2 2  x 2 + y 2 + z 2 = 25  x + y + z = 25 a)  ⇔  2 25  x 2 + y 2 = 2z 2  z = -----3  2 2 2 2  2  2  x + y + z = 25  x + y + z = 25 ⇔ ou  5 3 5 3  z = --------- z = – ---------3 3  

B

5

O

2 k ----2- dx = ( 1 – x ) . a) S(k) = 1 – k x 1 1 ( 1 – 2 k + k ) dx = --- . b)  = 6 0

21

10

– 1k

–1

y

x

3. La section d’un cône par un plan parallèle à son axe et ne le contenant pas est une hyperbole. C’est donc la figure 3. 4. Par l’absurde. Supposons x et y sont tous les deux impairs. Il existe deux entiers u et v tels que x = 2u + 1 et y = 2v + 1, soit x2 = 4u2 + 4u + 1 et x2 ≡ 1 [4]. De même, y2 ≡ 1 [4], d’où z2 ≡ 2 [4]. x et y étant (supposés) impairs, x2 et y2 le sont aussi. Il en résulte que z2 et z sont pairs et donc que z ≡ 0 [2] et z2 ≡ 0 [4]. Ce qui contredit le résultat précédent z2 ≡ 2 [4]. x et y ne peuvent donc être simultanément impairs. 20 ● 1. a) (x ; y ; z), (– x2)y = x2y. Le plan (yOz) d’équation x = 0 est plan de symétrie de T. b) (x ; y ; z), (– x2) (– y) = (– z). Le point O est centre de symétrie de T.

●

5 3 5 3 1 : z = ---------- et 2 : z = – ---------3 3 2 2 50  x 2 + y 2 = 50  -----x + y = -----  3 3 2  1   z = 5---------3 z = – 5---------3  3 3 b) 1 et 2 sont contenus dans le cylindre d’équation 50 x2 + y2 = ------ . 3 22 ● 1. a) Les vecteurs u r (1 ; 3 ; – 2) et vr (2 ; 0 ; – 1) normaux, respectivement à P et Q n’étant pas colinéaires, les deux plans P et Q ne sont pas parallèles.  z = 2x  z = 2x b) M(x ; y ; z) ∈ ∆ ⇔  ⇔  x + 3y – 2z = 0  y = 3x d’où le sytème d’équations paramétriques de la droite ∆ : x = t   y = t 3 avec t ∈ .   z = 2t Spécialité • Chap. 6 • Sections planes de surfaces

• 337

c) Un cône de sommet O et d’axe [Ox) admet une équation de la forme y2 + z2 = λ2 x2. Le point A(1 ; 3 ; 2) appartient au cône : donc λ2 = 7, et y2 + z2 = 7x2 est une équation du cône. 2. Figure 1 : z = 2. Figure 2 : x = 3. 3. a) La liste des carrés modulo 7 : x x2

0 0

1 1

2 4

3 2

4 2

5 4

6 1

L’équation x2 ≡ 3 [7] n’a donc pas de solution. b) (7 divise a2 + b2) ⇔ (a2 + b2 ≡ 0 [7]) or cette dernière proposition n’est vraie que si a2 et b2 sont congrus à 0 [7], c’est-à-dire si a et b sont congrus à 0 [7]. 4. a) A ∈ Γ ⇔ b2 + c2 = 7a2, donc 7 divise b2 + c2 et d’après la question précédente, 7 divise b et c. Il existe deux entiers b1 et c1 tels que b = 7b1 et c = 7c1 d’où 49(b21 + c21) = 7a2 donc a2 ≡ 0 [7] et a ≡ 0 [7], d’après le a).

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b) Deux remarques préliminaires : • Le seul point du cône d’abscisse 0 est son sommet O. • Pour des raisons de symétrie (par rapport à O, aux plans de coordonnées) on peut se limiter à chercher des points dont les coordonnées sont des entiers naturels. Supposons donc qu’il existe des points du cône ayant des coordonnées entières avec x non nul. Soit x0 la plus petite des abscisses de ces points. Il existe un point M(x0 ; z0) de Γ (autre que le sommet) dont les coordonnées sont entières. Alors, d’après la question précédente, il existe des entiers x1, y1 et z1 tels que x = 7x1, y = 7y1 et z = 7z1. De y20 + z20 = 7x20 , on déduit y21 + z21 = 7x21. Le point M1(x1 ; y1 ; z1) appartient donc à Γ et ses coordonnées sont entières, avec 0 < x1 < x0, ce qui est impossible car x0 est, par hypothèse, la plus petite abscisse non nulle. Le seul point à coordonnées entières du cône est donc son sommet.