Chap LI [PDF]

Zitiervorschau

Chapitre 3

EH TP

Calcul des lignes d’influence

3.1

Définition

La ligne d’influence d’une poutre est la courbe représentative de la variation d’un effet en un point donné en fonction de la position d’une charge unité mobile. Les lignes d’influence sont fort utiles pour la détermination des combinaisons d’actions lors des calculs des structures de génie civil. En effet, elles permettent de déterminer très simplement quelles sont les zones de chargement favorables (et défavorables) qui minimisent (maximisent) une action en un point donné.

La signification des lignes d’influence est opposée à celle des diagrammes des efforts (tableau 3.1).

Position charge : Position section :

L.I. Variable Fixe

D.E. Fixe Variable

Table 3.1 – Signification des L.I. et des diagrammes des efforts

Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

EHTP

3.2 Lignes d’influence d’une poutre isostatique

3.2

56

Lignes d’influence d’une poutre isostatique

Considérons une poutre droite A0 A1 , simplement appuyée, soumise à une charge unité mobile d’abscisse α (premier schéma de la figure (3.1)). Puisque la poutre est en équilibre, on a : X M/A1 = 0 V0 l − 1(l − α) = 0 α Ü V0 = 1 − l

(3.2)

EH TP

Ü

(3.1)

On a donc : pour α < x :



V(x,α) = − αl
M(x,α) = α 1 − xl



V(x,α) = 1 − αl
M(x,α) = x 1 − αl

pour α > x :

(3.3)

(3.4)

(3.5)

ces deux systèmes représentent les équations des lignes d’influence de l’effort tranchant V et du moment fléchissant M relatifs à la position x pour une position variable de la charge mobile α (voir figure 3.1).

Figure 3.1 – Lignes d’influence de V et M d’une poutre isostatique

Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

EHTP

3.3 Exploitation des lignes d’influence

3.3 3.3.1

57

Exploitation des lignes d’influence Charges localisées

Soit une poutre A0 A1 chargée par un ensemble de charges ponctuelles (P1 , . . . , Pn ) (figure 3.2).

EH TP

– Soient yi et yi′ les ordonnées d’abscisse αi des lignes d’influences de l’effort tranchant et du moment fléchissant dans la section Σ (figure 3.2). – Une charge unité 1 d’abscisse αi produit dans Σ un effort tranchant yi et un moment fléchissant yi′ (figure 3.2). – D’après le théorème de superposition, une charge Pi d’abscisse αi produit un effort tranchant Pi yi et un moment fléchissant Pi yi′ .

Le système de charges total produit un effort tranchant et un moment fléchissant à la section Σ de : V(x) =

n X

Pi yi

(3.6)

i=1

M(x) =

n X

Pi yi′

(3.7)

i=1

Figure 3.2 – Charges localisées sur la poutre

Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

EHTP

3.3 Exploitation des lignes d’influence

3.3.2

58

Charges réparties

Soit une poutre A0 A1 soumise entre α1 et α2 à une charge répartie d’intensité P (α) (figure 3.3).

EH TP

– Un tronçon de longueur dα et d’abscisse α subit une charge localisée élémentaire P (α)dα (figure 3.3), – par principe de superposition, la force P (α)dα produit dans la section Σ d’abscisse x un effort tranchant P (α)dαy et un moment fléchissant P (α)dαy ′ . L’ensemble de la charge répartie produit : V(x) =

M(x) =

Z

α2

P (α)ydα

(3.8)

P (α)y ′ dα

(3.9)

α1

Z

α2

α1

Figure 3.3 – Charge répartie sur la poutre

Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

EHTP

3.4 Exercices

59

Remarque : Si la charge appliquée est uniforme, P (α) = P , on a : V(x) = P

α2

ydα

(3.10)

y ′ dα

(3.11)

α1

Z

α2 α1

EH TP

M(x) = P

Z

3.4

Exercices

2 Exercice 1 :

Calculer la ligne d’influence du moment fléchissant et le moment produit au milieu de la poutre de la figure (3.4).

Figure 3.4 – Schéma de l’exercice 9

/ Solution 1 :

Ligne d’influence du moment fléchissant : Partie A0 M (voir figure 3.1) :

M(x,α) on a :

Pr. M. RGUIG

(3.12) α 2

(3.13)

 α 1 M(x,α) = x 1 − = (l − α) l 2

(3.14)

Cours : Calcul des structures

EHTP

xM = Partie M A1 :

x =α 1− l 

l 2

Ü

M(x,α) =

3.4 Exercices

60

EH TP

La L.I. du moment fléchissant est présentée sur la figure (3.5).

Figure 3.5 – Ligne d’influence du moment fléchissant à la section Σ

Calcul du moment à mi-travée : on a :

M (x) =

partie A0 M :

Z

l

py ′ dα

(3.15)

0

 l α pl2 p α2 2 = dα = 2 2 2 0 16

(3.16)

 l pl2 p α2 l−α = dα = lα − 2 2 2 l 16

(3.17)

M (x) = p

Z

l 2

0

partie M A1 :

M (x) = p

Z

l

l 2

2

le moment total est donc :

pl2 (3.18) 8 Autre façon pour calculer le M.F. à partir de la L.I. : on divise le chargement répartie par parties simplifiées et on cherche le ’centre de gravité’ de la représentation schématique de l’effort et on calcule directement le moment en cherchant la composante y ′ du C.D.G sur la ligne d’influence, comme ça on a pour notre cas (figure 3.6) : M (x) =

Pr. M. RGUIG

l l pl2 l l M (x) = Fg1 y1′ + Fg2 y2′ = p . + p . = 2 8 2 8 8

(3.19)

Cours : Calcul des structures

EHTP

61

EH TP

3.4 Exercices

Figure 3.6 – Moment total à la section Σ

2 Exercice 2 :

1. Déterminer les lignes d’influence des moments fléchissants aux sections Σ1 et Σ2 (figure 3.7),

2. Calculer les M.F. aux sections Σ1 et Σ2 du chargement extérieur appliqué (figure 3.8).

Figure 3.7 – Schéma de l’exercice 10

Figure 3.8 – Chargement extérieur appliqué à la poutre - Exercice 10

Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

EHTP

3.4 Exercices

62

/ Solution 2 : 1. Lignes d’influence du moment fléchissant à Σ : :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1::: Quand α < 2 m : En tenant en compte l’équilibre de la partie de la poutre AD, on obtient : X M/D = 0 Ü 4RA − 1(4 − α) = 0 (3.20) α 4

EH TP Ü

RA = 1 −

(3.21)

le moment à Σ1 est donc :

M(2,α) = RA .2 − 1(2 − α)  α = 1− .2 − 1(2 − α) 4 α = 2

(3.22) (3.23)

(3.24)

Quand α > 2 m :

On a deux cas à traiter cette fois : Cas 1 : 2 m < α < 4 m

On a la même travée et le même équilibre, donc : α RA = 1 − 4

le moment sur la deuxième partie de la poutre est :  α 4−α M(2,α) = RA .2 = 1 − .2 = 4 2

(3.25)

(3.26)

Cas 2 : α > 4 m La partie de la poutre AD ne subit aucun chargement, d’où : X M/D = 0 Ü RA = 0

(3.27)

le moment sur la troisième partie de la poutre est : M(2,α) = 0 Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

(3.28) EHTP

63

EH TP

3.4 Exercices

Figure 3.9 – Lignes d’influence du moment fléchissant à la section Σ1

Nous présentons la ligne d’influence du moment fléchissant à la section Σ1 sur la figure (3.9).

Lignes d’influence du moment fléchissant à Σ

:

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::2:::

Quand α < 4 m :

On a :

X

M/D = 0

Ü

RA = 1 −

α 4

(3.29)

l’effort tranchant au point D est :

V D = RA − 1 = −

α 4

(3.30)

le moment à Σ2 est : α α M(6,α) = VD .2 = − .2 = − 4 2

(3.31)

Quand α > 4 m :

Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

EHTP

3.4 Exercices

64

L’équilibre du tronçon AD nous donne : X M/D = 0 Ü

RA = 0

(3.32)

le moment à Σ2 est :

M(6,α) = −1.(6 − α) = α − 6

(3.33)

EH TP

La ligne d’influence correspondante à Σ2 est schématisée sur la figure (3.10).

Figure 3.10 – Lignes d’influence du moment fléchissant à la section Σ2 2. Calcul du moment fléchissant dû au chargement présenté sur la figure (3.8) : En cherchant les ordonnées des lignes d’influence de Σ1 et Σ2 au niveau des points d’application des efforts (voir figure 3.11), on obtient directement les valeurs des moments fléchissants aux points C et B. Ainsi on a : M/c = 10.(1) + 30.(0, 5) + 20.(0) = 25 kN.m (3.34)

Pr. M. RGUIG

M/B = 10.(−1) + 30.(−1, 5) + 20.(−1) = −75 kN.m

(3.35)

Cours : Calcul des structures

EHTP

65

EH TP

3.4 Exercices

Figure 3.11 – Moment total d’un chargement ext. aux sections Σ1 et Σ2 2 Exercice 3 :

1. Déterminer les foyers de la poutre de la figure (3.12), 2. Calculer et tracer la ligne d’influence du moment fléchissant à la section Σ,

on considère EI = cte.

Figure 3.12 – Schéma de l’exercice 11

/ Solution 3 : 1. Calcul des foyers de gauche : Travée 1 : on a : M0 = 0, donc : ϕ1 = − Pr. M. RGUIG

M0 =0 M1

Cours : Calcul des structures

(3.36) EHTP

3.4 Exercices

66

Travée 2 : ϕ2 =

l 6EI

b2 = c 1 + a2

l 3EI

+

l 3EI

=

1 4

(3.37)

Travée 3 : ϕ3 =

b3 = c 2 + a3 − b 2 ϕ 2

l 3EI

+

l 6EI l l 1 − 6EI 3EI 4

=

4 15

(3.38)

EH TP

Calcul des foyers de droite : En utilisant la symétrie de la poutre, on a : ϕ′1 =

4 15

(3.39)

1 4 ′ ϕ3 = 0

ϕ′2 =

(3.40) (3.41)

2. Calcul des équations de la ligne d’influence du moment fléchissant : – quand la force unité est appliquée sur la travée 1 : 1 ϕ1 ϕ′1 θ0′′ + ϕ′1 θ1′ b1 1 − ϕ1 ϕ′1 6 4 l 2 − α2 α = − l 15  6l  4 α2 = − α 1− 2 15 l

(3.42)

M1 = −

(3.43) (3.44)

– quand la force unité est appliquée sur la travée 2 : M1 =

1 ϕ2 θ1′′ + ϕ2 ϕ′2 θ2′ b2 1 − ϕ2 ϕ′2

(3.45)

2

α(l−α)(2l−α) 1 α(l −α + 16 6 − 14 6l 6l = 1 l 1 − 16   α α2 α 7 − 12 + 5 2 = − 15 l l

Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

2)

(3.46) (3.47)

EHTP

3.4 Exercices

67

– quand la force unité est appliquée sur la travée 3 : 1 ϕ3 θ2′′ + ϕ3 ϕ′3 θ3′ b3 1 − ϕ3 ϕ′3 6 4 (l − α)(2l − α) = − α l 15 6l  4α α α2 = − 2−3 + 2 15 l l

M2 =

(3.48) (3.49) (3.50)

EH TP

les moments M1 et M2 sont reliés par : (3.51)

M1 = −ϕ2 M2

d’où :

α M1 = 15



α α2 2−3 + 2 l l



(3.52)

En traçant point par point, la ligne d’influence du moment fléchissant obtenue est présentée sur la figure (3.13).

Figure 3.13 – Ligne d’influence du moment fléchissant à la section Σ 2 Exercice 4 :

On considère un pont à deux travées schématisé par une poutre comme présenté sur la figure (3.14). 1. Déterminer les foyers de la poutre, 2. Calculer et tracer la ligne d’influence du M.F. à la section Σ, Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

EHTP

3.4 Exercices

68

EH TP

3. On considère le passage d’un camion de 30 t (camion type Bc ). Calculer la valeur absolue maximale du M.F. dans la section Σ.

Figure 3.14 – Schéma de l’exercice 12 (pont à 2 travées)

/ Solution 4 :

1. Calcul des foyers de gauche : travée 1 (A0 A1 ) : on a : M0 = 0, d’où :

ϕ1 = −

M0 =0 M1

(3.53)

travée 2 (A1 A2 ) :

ϕ2 =

b2 = c 1 + a2

8 6EI

6 3EI

+

8 3EI

=

2 7

(3.54)

Calcul des foyers de droite : travée 2 (A1 A2 ) : on a : M2 = 0, d’où :

ϕ′2 = −

M2 =0 M1

(3.55)

travée 1 (A0 A1 ) : ϕ′1 =

Pr. M. RGUIG

b1 = c1 + a2

6 6EI 6 3EI

+

8 3EI

Cours : Calcul des structures

=

3 14

(3.56)

EHTP

3.4 Exercices

69

2. Calcul des équations de la ligne d’influence : – Quand la force unité est appliquée à la travée 1 : 1 ϕ1 ϕ′1 θ0′′ + ϕ′1 θ1′ b1 1 − ϕ1 ϕ′1 α(36 − α2 ) = − 168

M1 = −

(3.57) (3.58)

EH TP

– Quand la force unité est appliquée à la travée 2 : 1 ϕ2 θ1′′ + ϕ2 ϕ′2 θ2′ b2 1 − ϕ2 ϕ′2 α(8 − α)(16 − α) = − 224

M1 =

(3.59)

(3.60)

La ligne d’influence est présentée sur la figure (3.15). Elle est obtenue après traçage point par point.

Figure 3.15 – Ligne d’influence du moment fléchissant à la section Σ

3. Détermination de la position la plus défavorable du camion et la valeur extrême de M1 : On dispose les essieux du camion sur les travées du pont en le faisant rouler de gauche à droite ou de droite à gauche. la valeur maximale du moment est recherchée pour chaque cas et l’enveloppe de ces maximums correspond à la valeur la plus défavorable du pont et sa position est la position la plus défavorable. Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

EHTP

3.4 Exercices

70

EH TP

Sur la figure (3.16), nous présentons les trois situations potentielles de notre pont. Le cas le plus logique que donne le moment maximal est la deuxième situation.

Figure 3.16 – Positions potentielles possibles du camion sur les deux travées Soient α, α′ et α′′ les positions des essieux par rapport aux appuis situés immédiatement à gauche de ces essieux (voir figure (3.16). On a : α′ = α + 4.5 − l1 = α − 1.5

(3.61)

α′′ = α + 6 − l1 = α

(3.62)

en utilisant la ligne d’influence, on trouve :

(α − 1.5)(9.5 − α)(17.5 − α) α(36 − α2 ) − 12 168 224 α(8 − α)(16 − α) −12 (3.63) 224 = 13.36 − 19.22α + 2.813α2 − 0.07143α3 (3.64)

M1(α) = −6

Le maximum de M1(α) correspond à : dM1(α) =0 dα

− 19.22 + 5.626α − 0.2143α2 = 0

Ü

(3.65)

α = 4.04 m

(3.66)

M1max = −23.1 t.m

(3.67)

Ü et le moment maximal est :

Pr. M. RGUIG

Cours : Calcul des structures

EHTP