Chap. 1 - Étude Mécanique Des Arbres Ok PDF [PDF]

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Chap. 1 : Étude Mécanique des arbres

Étude mécanique des arbres 1. Introduction 1.1. Définition d’un arbre Un arbre est un solide globalement de révolution, animé d’un mouvement de rotation autour de son axe. Il est composé des plusieurs surfaces fonctionnelles séparées le plus souvent par des épaulements. On trouve généralement − Les zones de contact avec les éléments assurant le guidage − La zone motrice assurant la liaison avec le moteur ou une poulie ou une roue… − Les zones réceptrices sur lesquelles viennent se monter les éléments récepteurs (poulies, roues, pignons, cannelures…) − Les zones intermédiaires assurant la continuité de matière entre les zones précédemment évoquées. La figure 1 représente ces différentes zones pour un arbre de boîte de vitesses.

Figure 1: Zones caractéristiques d’un arbre

L'arbre est un des éléments de machines fréquemment utilisé. Son rôle est multiple : En général, il sert à transmettre la puissance d'une partie de la machine à une autre, mais il peut aussi servir à assurer le positionnement d'un élément par rapport à un autre. À cause de sa géométrie et de ses fonctions, un arbre peut porter différents noms tels que : − Arbre de transmission : il transmet un couple d'un moteur à une machine ou à un élément de machine. − Arbre de renvoi : il supporte des éléments de machines (engrenages, poulies, ...) et il transmet un couple entre chaque élément. − Essieu : arbre stationnaire ou rotatif, qui ne transmet pas de couple, mais qui sert au positionnement. Suivant le rôle qui lui est affecté, l'arbre est soumis à des contraintes de flexion, de torsion ou à un chargement complexe de torsion, de flexion et charge axiale de traction ou compression. D’une manière générale, le calcul de prédétermination d’un arbre se fait sous deux aspects : − Un aspect statique : à partir du calcul de la résistance de l’arbre et de sa déformation − Un aspect dynamique : à partir du calcul de la tenue en fatigue de l’arbre et des vibrations engendrée Dr. Solomani Coulibaly ENI-ABT MC

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Suivant l’utilisation de l’arbre considéré, certains types de dimensionnement seront prédominants. Par exemple, un arbre de réducteur de forte capacité sera en premier lieu calculé à la résistance tandis qu’un arbre de turbine de turbocompresseur tournant à haute vitesse sera d’abord vérifié à partir de sa vitesse critique. Le critère choisi dépend de la géométrie et des spécifications imposées par la fonction éventuelle de l'arbre. 1.2. Influence des éléments montés sur un arbre Lorsque l'on conçoit un arbre, l'objectif visé, quel que soit le critère choisi, consistera toujours à chercher à obtenir un diamètre aussi faible que possible, garantissant une construction la plus économique possible et la plus sûre. Quelles que soient les données qui ont servi de base au calcul (résistance, rigidité, fatigue ou vitesse critique), le diamètre de l'arbre est grandement influencé par la distribution des moments fléchissant. Afin de réduire le plus possible ces moments, il est avantageux de monter les éléments de transmission le plus près que possible des supports de l'arbre. Les arbres sont positionnés transversalement et axialement par des coussinets ou des roulements. À noter que plusieurs éléments de transmission (embrayages, engrenages hélicoïdaux, engrenages coniques ainsi que les dilatations thermiques, produisent des charges axiales qui peuvent, dans certains cas, être très importantes. Des butées doivent être prévues pour reprendre ces charges. 1.3. Matériaux pour arbre En règle générale, on utilise des arbres en acier. Suivant les conditions d'utilisation, on peut envisager le choix de différentes nuances. Les paramètres conduisant au choix d'un matériau sont nombreux, on peut citer : − − − − −

Les dimensions souhaitées ; L’usinabilité ; La soudabilité ; L’aptitude aux traitements thermiques ; Les conditions mécaniques de fonctionnement : fatigue, chocs, usure, milieu ambiant...

Il va de soi que le concepteur doit apprécier au plus juste le poids de ces différents paramètres pour choisir la nuance appropriée au meilleur prix. Le tableau 1 qui suit donne les nuances les plus utilisées pour la fabrication des arbres. Ces aciers sont recommandés car ils présentent le double avantage d'être couramment disponibles et d'avoir des caractéristiques mécaniques et métallurgiques connues.

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Chap. 1 : Étude Mécanique des arbres Tableau 1: Principaux aciers pour arbres (Entre parenthèse : ancienne désignation)

Principaux acier inoxydable Austénitiques X2 Cr Ni 19-11 18,5 44 à 64 X4 Cr Ni 18-10 21,5 45 X4 Cr Ni Mo 17-12 49 à 69 X6 Cr Ni Ti 18-10 20,5 40 X6 Cr Ni Mo Ti 17-12 21,5 Martensitiques X30 Cr 13 68,5 83 à 103 10 Ferritiques X6 Cr 17 24,5 41 à 64 18 Dr. Solomani Coulibaly ENI-ABT MC

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2,5

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Bien sûr, cette liste n’est pas exhaustive ; il existe de très nombreuses autres nuances. On peut utiliser dans d’autres cas des arbres en alliage d’aluminium ou au titane (aviation...) ou bien en matériaux composites.

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2. Modélisation des efforts appliqués sur arbre 2.1.

Efforts extérieures appliqués à un arbre

Quel que soit le critère retenu, dans un premier temps il faut déterminer toutes les charges extérieures appliquées à l'arbre. Généralement on connaît la disposition et la nature des éléments réalisant la liaison pivot entre l'arbre et le bâti et les efforts appliqués aux différents organes avec lesquels il est lié. Afin de pouvoir calculer tous les efforts de liaison à l'aide de la mécanique des solides indéformables, on modélise en première approche de manière isostatique la liaison pivot entre l'arbre et son support. Le tableau 2 donne le comportement et la modélisation des différents éléments couramment utilisés pour la réaliser. Tableau 2: Modélisation des actions

Une seule zone de contact assure le guidage : contact direct entre arbre et alésage, paliers lisses et les roulements rapprochés Deux zones de contact assurent le guidage (deux éléments de liaisons) un seul élément assure l’arrêt axial de l’arbre

Modélisation

Torseur associé

X Y Z

12

12

O

Torseurs associés En A rotule En B linéaire annulaire

Modélisation

X Y Z

12

12

A

Modélisation Chaque élément assure de l’arrête de l’arbre dans un seul sens

12

A

L’appui plan assure l’arrêt axial de l’arbre dans un seul sens ou les deux

0  0 0R

0 Y Z

12

B

12

0  0 0R

Torseurs associés En A rotule unilatérale En B rotule unilatérale X12 > 0 X12 < 0

X Y Z

12

12

Modélisation

12

0  M 12  N12 R

12

0  0 0R

X Y Z

12

12

B

12

0  0 0R

Torseurs associés En A appui plan En B linéaire annulaire

0 Y 0

12

A

L12  0  N12 R

0 Y Z

12

B

12

0  0 0R

Afin de déterminer les actions mécaniques exercées sur l'arbre au niveau des liaisons, on isole l'arbre et on applique le principe fondamental de la statique ou de la dynamique selon l'importance des effets d'inertie. Dr. Solomani Coulibaly ENI-ABT MC

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2.2.

Efforts intérieures appliqués à un arbre (effort de cohésion)

Si le torseur des efforts extérieurs est totalement connu, le torseur des efforts intérieurs permet de déterminer l'évolution des différentes sollicitations appliquées à une poutre. En un point quelconque G de l'axe d'une poutre on réalise une coupure fictive. La poutre est alors formée de deux tronçons appelés 1 et 2, conformément à la figure 2 ci-dessous (tronçon 1 : abscisse curviligne inférieure à celle de G ; tronçon 2 abscisse curviligne supérieure à celle de G). 1

2

A

B

G

Ligne moyenne

Figure 2

Par convention le torseur des efforts intérieurs ou de cohésion est le torseur représentatif de l'action du tronçon 2 sur le tronçon 1, réduit au point G. On note

 i G =  2→1G avec G sur la ligne moyenne.

On peut déterminer la relation entre le torseur des efforts intérieurs et le torseur des efforts extérieurs appliqués à chacun des tronçons 1 et 2, pour cela on traduit leur équilibre. Équilibre de 1 : Appliquons le PFS au tronçon 1 : {𝜏𝑒𝑥𝑡→1 }𝐺 + {𝜏2→1 }𝐺 = {0} {𝜏𝑒𝑥𝑡→1 }𝐺 + {𝜏𝑖 }𝐺 = {0}

d'où

{𝜏𝑖 }𝐺 = −{𝜏𝑒𝑥𝑡→1 }

Équilibre de 2 : De la même manière. L’équilibre de 2 nous donne : {𝜏𝑒𝑥𝑡→2 }𝐺 + {𝜏1→2 }𝐺 = {0} {𝜏𝑒𝑥𝑡→2 }𝐺 − {𝜏𝑖 }𝐺 = {0}

d'où

{𝜏𝑖 }𝐺 = {𝜏𝑒𝑥𝑡→2 }𝐺

Les composantes du torseur de cohésion sont :

 i G

  N : Effort Normal sur (G, x )  N x M t x       = Ty y M fy y  avec Ty : Effort Tranchant sur (G, y )  T z M fz z    z G Tz : Effort Tranchant sur (G, z )

 M t : Moment de Torsion sur (G, x )  M fy : Moment de Flexion sur (G, y )  M fz : Moment de Flexion sur (G, z )

Dans un repère local (G, x, v, w) lié à une section droite, de centre G et de normale x (figure 3), ce torseur s'exprime sous la forme :

 i G

N M t          Ri = N x + Tv v + Tw w  = t = Tv M fv      M G ,i = M t x + M fv v + M fw w (G , x , v , w ) T M  fw (G , x , v , w )  w

Figure 3 Dr. Solomani Coulibaly ENI-ABT MC

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Pour les arbres, généralement toutes les sections droites sont circulaires. Dans ce cas tous les axes appartenant à ces sections et passant par leurs centres, sont axes principaux d’inerties. Pour un arbre de section droite circulaire, tout axe passant par le centre de la section est un axe principal d’inertie. Dans une section donnée, on fera en sorte de toujours choisir la base locale qui minimise le nombre de composantes du torseur des efforts intérieurs.

 i G

N M t    = 0 M fv    Tw 0 (G , x , v , w )

Nature des sollicitations En fonction de « l’allure » du torseur de cohésion, une typologie des sollicitations est établie. On appelle sollicitation simple (tableau 3) l’état de contrainte d’une poutre dont le torseur de cohésion ne comporte qu’un élément. Par contre la sollicitation est dite composée si la poutre est soumise à plusieurs sollicitations simples (par exemple : Traction + flexion pure). Tableau 3: Sollicitation simple Nature des sollicitations

Traction

Effort normal

(N>0)

Effort tranchant

Ty = 0

Mt = 0

N Compression (N