Ceprevi 1-2-3 Formulario [PDF]

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CEPREVI 2015 – C: ESQUEMAS Y RESÚMENES QUÍMICA UNIDAD 1 :estructura atómica ÁTOMO es La partícula mínima de un elemento que conserva sus propiedades

sus partes son

sus partículas fundamentales son

Núcleo

Zona extranuclear

Protón

Neutrón

Electrón

contiene

contiene

carga

carga

carga

Protones y neutrones principalmente

Solamente a los electrones

Positiva

Nula

Negativa

es

es

ubicados en el

ubicado en la

Compacto

Casi vacío

Núcleo

Zona extranuclear

determina

determina

La masa del átomo

El volumen atómico

Átomo neutro

Ión

posee

posee

representación

Tipos

Carga positiva

Carga negativa

es un

A ZE

A q+ ZE

A q− ZE

Catión

anión

se cumple que

se cumple que

#p+ = #e – = #Z

#p+ = Z ≠ #e –

1

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES tipos de núclidos

Isótopos

ejemplos

Isóbaros

especie

Isótonos

poseen igual

poseen igual

poseen igual

Número atómico

Número de masa

Número de neutrones

ejemplo

ejemplo

Ejemplo

12 6C

14 6C

40 20 Ca

40 18

Ar

11 5B

27 13

Al

#p+

#e –

#nº

13

10

14

16

18

17

3+

33 2− 16 S

12 6C

Características de las partículas subatómicas fundamentales: Partícula (notación)

Descubridor (año)

electrón (e –) protón (p+)

Carga eléctrica

Masa

relativa

absoluta

gramos

uma

Thomson (1897)

–1

– 1,6 x 10 – 19C

9,11 x 10 – 28

0,00055

Rutherford (1919)

+1

+1,6 x 10 – 19C

1,672 x 10 – 24

1,0073

neutrón Chadwick 0 0 1,675 x 10 – 24 1,0087 (nº) (1932) – 24 *uma: unidad de masa atómica (1 uma = 1,66 x 10 g) *C: Coulomb (unidad de carga eléctrica en el sistema internacional) *relación de masas (m): mn > mp+ > > > me – *la partícula subatómica fundamental más ligera es el electrón y la más pesada es el neutrón *el electrón y el protón poseen igual carga pero signos opuestos, constituyendo la unidad elemental de carga eléctrica *el p+, e – y nº es idéntico para todos los átomos; por ejemplo: e – o p+ de un átomo de carbono es idéntico al e – o p+ del átomo del hierro o de cualquier otro elemento. Partes del átomo: a. Núcleo: *región céntrica y muy pequeña *posee carga positiva debió a los protones *presenta alrededor de 200 tipos de partículas denominadas nucleones. Ejemplo: protón, neutrón, pión, muón, mesón, neutrino, etc. *al protón y neutrón se les denomina nucleones fundamentales *región de alta densidad (1013 – 1014 g/cm3) *concentra casi toda la masa del átomo (99,99%) b. Zona extranuclear: *región que rodea al núcleo, muy grande pero casi vacía *posee carga negativa debido a los electrones *determine el tamaño o volumen del átomo *en ella se encuentran únicamente al electrón, que giran a gran velocidad con trayectorias indefinidas CLASIFICACIÓN DE PARTÍCULAS SUBATÓMICAS 1. LEPTONES: son partículas de masa ligera y de interacción débil. Entre ellos tenemos a: 1.1 Electrón (e –): es una partícula muy estable (no decae en otras partículas); con spin igual a 1/2 1.2 Neutrino (v) 1.3 Muón (µ)

2

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

2. HADRONES: El término hadrón significa partícula de interacción fuerte; son partículas pesadas en comparación con los leptones; poseen interacciones: electromagnética, débil y fuerte; están constituidos por ciertas partículas elementales llamadas quarks. Se agrupan en dos grandes familias: bariones y mesones a. Bariones: poseen spin fraccionario (1/2; 3/2; etc.) y cada uno está formado por 3 quarks. Entre los bariones tenemos al protón, hiperón Λ (lambda), hiperón Σ (sigma), hiperón Ξ (cascada) e hiperón Ω (omega) ¿Qué son los quarks? Son las partículas más pequeñas que constituyen la materia, por lo tanto, son partículas elementales de la materia. b. Mesones: son os hadrones más ligeros, poseen spin entero (0, 1, 2, etc.) y cada mesón está formado por 2 quarks (un quark y un antiquark). Entre ellos tenemos los mesones π (pión) y mesones K (kaón)

QUÍMICA -UNIDAD 2 ZONA EXTRANUCLEAR PROPIEDAD DUAL DE LA MATERIA Fue propuesta por el físico francés Louis de Broglie en 1924 en los siguientes términos: “Los cuerpos materiales que viajan a una cierta velocidad poseen dos propiedades (carácter dual): propiedad de partícula (propiedad mecánica) y propiedad de onda (ondas de materia)”. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE Fue propuesto en 1927 por el físico alemán Werner Heisemberg con el siguiente enunciado: “Es imposible determinar con exactitud el momento lineal y la posición de una partícula pequeña (electrón, protón, neutrón, etc) que viaja a una gran velocidad, simultáneamente”. ESTADOS CUANTIZADOS DE ENERGÍA En el átomo existen diversos estados energéticos cuantizados (niveles, subniveles y orbitales). La cuantización de energía para los niveles fue un gran aporte de Niels Bohr. Los electrones sólo pueden existir en determinados estados de energía. Si pasan de un estado energético a otro, deben emitir o absorber energía en forma de un fotón. ORBITAL ATÓMICO O NUBE ELECTRÓNICA (REEMPE) De acuerdo al principio de incertidumbre, no es posible determinar una trayectoria definida para el electrón; por lo tanto, se hace necesario definir una región espacial energética donde existe la mayor probabilidad de encontrar al electrón, llamado orbital o nube electrónica. Cada orbital puede contener un máximo de 2 electrones con spin o rotación (alrededor de su eje imaginario) opuestos El orbital es la región espacial energética de manifestación más probable del electrón (REEMPE). También se llama nube electrónica o función de onda NÚMEROS CUÁNTICOS Los números cuánticos describen los estados energéticos del electrón y también proporcional tres características fundamentales del orbital, tal como se indica en forma resumida. Número cuántico

Determina para el electrón

Define para el orbital

Principal (n)

El nivel principal de energía

El tamaño o volumen efectivo

Secundario o azimutal (l)

El subnivel donde se encuentra, dentro de un determinado nivel de energía

La forma geométrica espacial

Magnético (ml)

El orbital, donde se encuentra dentro de un determinado subnivel

La orientación espacial que adopta bajo la influencia de un campo magnético externo

3

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

Spin magnético (ms)

El sentido de rotación o giro alrededor de su eje imaginario

-------------

NÚMERO CUÁNTICO PRINCIPAL (n) Describe el nivel de energía principal que el electrón ocupa.

n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,...∞ K , L , M , N , O , P , Q ,...

K

L

M

O

N

Q ...

P

notación es pectroscópica

aumenta energía

núc leo n=1

2

3

4 5

6

notación cuántica

7 ...

La capacidad electrónica de un determinado nivel “n” se halla con la regla de Rydberg

# maxe − = 2n2 El número cuántico principal también define el volumen efectivo del orbital; por lo tanto, a mayor valor de n, mayor es el tamaño del orbital NÚMERO CUÁNTICO SECUNDARIO (l) Para el electrón determina el subnivel de energía donde éste debe encontrarse dentro de un nivel “n”. Además, define la forma geométrica del orbital o nube electrónica. Para cada nivel de energía se cumple que “l” puede tomar valores enteros desde cero hasta (n – 1), inclusive.

l=

0

1 ; 2 ; 3 ;...;

desde (mínimo valor )

n −1 hasta (máximo valor )

Relación de subniveles y la forma de orbitales atómicos Subniveles

Denominación espectroscópica

Valores de “l”

Forma de los orbitales

s

sharp

0

esférica

p

principal

1

diobular

d

diffuse (difuso)

2

tetralobular

f

fundamental

3

compleja

4

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

NÚMERO CUÁNTICO MAGNÉTICO (ml) Para el electrón, indicar el orbital donde se encuentra dentro de un determinado subnivel de energía. Para el orbital, determina la orientación espacial que adopta cuando el átomo es sometido a la acción de un campo magnético externo. En cada subnivel (l), “ml” puede tomar valores permitidos: 0, ±1; ±2;Q; ± l, así: m l = + l, ; + 1 ; 0 ; − 1 ;...; − l ó m l = − l, ; − 1 ; 0 ; + 1 ;...; + l

Muestra el número máximo de orbitales y electrones por cada tipo de subnivel de energía:

Subnivel

Orbitales

Número de orbitales (2l + 1)

Número máximo e – (4l + 2)

Notación

s (l = 0)

1↓ s

1

2e –

s2

3

6e –

p6

5

10e –

d10

7

14e –

f14

1↓ Px

p (l = 1)

d (l = 2) f (l = 3)

1↓ dxy

1↓ dxz

1↓ Py 1↓ 2

dz

1↓ Pz 1↓ dyz

1↓ 2

dx − y2

1↓ 1↓ 1↓ 1↓ 1↓ 1↓ 1↓

NÚMERO CUÁNTICO DE SPIN MAGNÉTICO (ms) Indica el sentido de rotación del electrón alrededor de su propio eje. Sus valores permitidos son: ms = ±

1 2

Spin o rotación de dos electrones. Se observan los supuestos giros en sentido antihorario, y en sentido horario, los microimanes se forman debido al spin.

Antihorar io

Hor ario

núc leo eje imaginario

↑ N

m s = +1/2 S

↓ N

ms = − 1/2 S

DISTRIBUCIÓN O CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA (C.E.)

5

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

Consiste en el ordenamiento sistemático de los electrones en los diferentes estados energéticos de la zona extranuclear (niveles, subniveles y orbitales) sobre la base de ciertos principios establecidos, producto de hechos experimentales. Los electrones se distribuyen en orden creciente de la energía relativa de los subniveles. La energía relativa de un subnivel u orbital se evalúa sumando n y l: ER = n + l

Si los subniveles u orbitales poseen la misma energía relativa, éstos se denominan “degenerados”, entonces la distribución electrónica seguirá el orden creciente de los niveles energéticos (n) Regla de Möllier. Es una forma práctica para realizar la distribución electrónica por subniveles según el principio Aufbau. También se llama comúnmente regla de “serrucho”

NIVELES (CAPAS)

1 K

2 L

3 M

4 N

5 O

6 P

7 Q

s u b n i v e l e s

s2

s2

s2

s2

s2

s2

s2

p

6

p

6

p

d 10

6

p

6

d 10

d 10

f14

f14

32

32

p

6

p

6

d 10

−

Nº MÁX DE e POR NIVEL (PRÁCTICO)

8

2

18

18

8

niveles incompletos Configuración electrónica Kernel o simplificada: La regla de distribución práctica puede ser escrito en forma lineal, lo cual posee muchas ventajas como por ejemplo: realizar la distribución electrónica simplificada o “Kernel” (término alemán que significa “corazón”) haciendo uso de la configuración electrónica de un gas noble; visualizar de manera rápida el número de electrones de valencia; ubicar un elemento en la tabla periódica moderna; deducir rápidamente el número de elementos que hay en cada periodo de la tabla periódica; etc.

1s 2

2s 2 2p 6

3s 2 3p 6

4s 2 3d10 4p6

5s 2 4d10 5p6

⇓

⇓

⇓

⇓

[ 2 He]

[10 Ne]

[18 Ar ]

[ 36 Kr ]

6s 2 4f 14 5d10 6p6 ⇓

[ 54 Xe]

7s 2 5f 14 6d10 7p 6

⇓

⇓

[ 86 Rn]

118 e −

DISTRIBUCIÓN POR ORBITALES: Principio de Hund Se efectúa mediante el principio de máxima multiplicidad o de Hund, primero se debe dejar todos los orbitales a medio llenar y luego empezar el llenado con spines opuestos PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI En un átomo, no pueden existir 2 electrones cuyos 4 valores de sus números cuánticos sean iguales; al menos deben diferenciarse en el spin (ms)

6

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

PARAMAGNETISMO Y DIAMAGNESTISMO Las sustancias químicas (simples o compuestas) que son atraídas por un campo magnético generado por un imán o electroimán se denominan paramagnéticas; este comportamiento se debe a la existencia de electrones desapareados en su distribución electrónica atómica o molecular. Por el contrario, hay sustancias químicas que son débilmente repelidas o no son atraídas por un campo magnético, se denominan diamagnéticas. En este caso solo existen electrones apareados en su estructura atómica o molecular

QUÍMICA - UNIDAD 3 TABLA PERIÓDICA ACTUAL ANTECEDENTES DE LA TABLA PERIÓDICA ACTUAL Durante los primeros 25 años del s. XIX se descubrieron unos 20 elementos químicos y a medida que fueron aumentando, muchos de ellos mostraban propiedades físicas y químicas semejantes. Entonces surgió la necesidad de ordenarlos. Dicho ordenamiento de los elementos se desarrolló en función de las características y propiedades que presentaban. Los principales intentos de clasificación fueron: 1. Las triadas de Johan Dobereiner Triada

Li

Na

K

Peso atómico

7

23

39

Se formaron unas 20 triadas 7 + 39 = 23 2

Donde: PA (Na ) =

2. Ordenamiento helicoidal o tornillo telúrico de Chancourtois (1862)

Al Mg Na F

O

N

generatriz C peso atómico creciente B Be

H

Li

3. Ley de las octavas de John Newlands (1864) Ordenó los elementos en grupos de 7, de tal manera que el octavo elemento tenía propiedades semejantes al primero. Serie

Li

Be

B

C

N

O

F

PA

7

9

11

12

14

16

19

Serie

Na

Mg

Al

Si

P

S

Cl

PA

23

24

27

28

31

32

35,5

7

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

4. Tabla periódica de Mendeliev (1869) Muestra la variación regular de las propiedades de los elementos en función del peso atómico (PA) serie

Grupos I

1

H

2

II

III

IV

V

VI

VII

Li

Be

B

C

N

O

F

3

Na

Mg

Al

P

P

S

Cl

4

K

Ca

?

Ti

V

Cr

Mn

M

M

M

VIII

Fe, Co, Ni

M

5. Tabla periódica actual Los elementos se ordenan según la carga nuclear (Z), es decir, sobre la base de la ley de Moseley y la distribución electrónica de los elementos →

H Li

Be

Na

Mg

M

L

↓

He

aumenta el número atómico

B Al

L L

L L

La Ac

PROPIEDADES PERIÓDICAS PROPIEDADES PERIÓDICAS ATÓMICAS Son propiedades submicroscópicas de los elementos que varían en forman regular en un periodo o grupo y permiten explicar sus propiedades físicas y químicas variación general

z aumenta

Aumentan: EI, EN, CNM, AE Disminuyen: RA, CM

8

Ni

9

7

6

5

4

3

2

1

Ba

Ra

Cs

Fr

87 0.7 (22 3)

89 1.1 (227)

Ac

*Serie Actin idos

90 1.3 2 32.0 38

Th

91 1.5 (2 31)

Pa

Pr

10 5 -----

Db

Ta

41 1.6 9 2.90 6

Nb

23 1.6 59.4 2

V

5 VB

92 1.7 238 .04

U

Nd

106 -----

Sg

W

42 1.8 95.940

Mo

24 1.6 51.993

Cr

93 1 .3 (237 )

Np

95 --(243)

Am

63 --151.96

Eu

109 -----

Mt

Ir

Rh

Tb

111 -----

96 --(2 47)

Cm

97 --(24 7)

Bk

98 --(251 )

Cf

99 --(254)

Es

Ho

113 -----

Tm

p

115 -----

100 --(253)

Fm

1 01 --(2 56)

Md

10 2 --(25 4)

Nc

70 1.1 17 3.0 4

Yb

11 6 -----

84 2.0 21 0

Po

Te

34 2.4 78 .93 0

Se

16 2.5 32 .06 4

S

8 3.5 15 .99 9

O

103 --(257 )

Lr

71 1.2 174 .97

Lu

117 -----

85 2.2 210

At

I

35 2.8 79.909

Br

17 3.0 35.453

Cl

9 4.0 18.998

F

16 17 VIA VIIA

118 -----

86 --222

Rn

Xe

36 --83.800

Kr

18 --39.948

Ar

10 --20.183

Ne

2 --4.003

He

Uup Uuh Uus Uuo

Bi

Sb

33 2.0 7 4.9 22

As

15 2.1 3 0.9 73

P

7 3.0 1 4.0 07

N

15 VA

68 69 1.2 1.2 167.26 16 8.9 34

Er

114 -----

Pb

Sn

32 4.8 69.720

Ge

14 1.8 28.083

Si

6 2.5 12.011

C

14 IVA

Uut Uuq

Tl

In

31 1 .6 68.720

Ga

13 1 .5 26.981

Al

66 67 --1 .2 162 .50 164.930

Dy

112 -----

Hg

Cd

30 1.8 65.170

Zn

12 IIB

Uuu Uub

Au

Ag

29 1.9 6 3.5 4

Cu

64 65 --1.2 1 57.25 158 .94 0

Gd

f

110 -----

Uun

Pt

Pd

28 1.8 5 8.7 10

Ni

11 IB

transición interna (Tierras raras)

94 --(242)

Pu

Sm

108 -----

Hs

Os

61 62 --1.2 147 150.350

Pm

107 -----

Bh

Re

Ru

27 1.8 58.933

Co

9 10 VIIIB

5 2 .0 10 .811

B

13 IIIA

18 VIIIA

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 1 .9 2.2 2.2 2.2 1.9 1.7 1 .7 1.8 1.9 2.1 2.5 --98.900 101.070 1 09.905 10 6.4 00 107 .87 0 112.400 114.820 118.690 12 1.7 50 127 .60 0 126.910 131.300

Tc

26 1.6 55.847

Fe

8

81 Número ató mico 1.8 El ectron egativida d 204.370 Pe so atómico 1 2 (en re lación al C )

Tl

CLAVE

d

25 1 .6 54.936

Mn

6 7 VIB VIIB

58 59 60 1.1 1.1 1.2 1 40.1 20 14 0.90 7 144.240

Ce

1 04 -----

Rf

Hf

40 1.4 91.2 20

Zr

22 1.5 47.9 00

Ti

4 IVB

Símbolo

57 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 1.1 1.3 1.5 1.7 1 .9 2.2 2.2 2.2 2.4 1.9 1 .8 1.8 1.9 138.91 1 78.4 90 18 0.94 8 183.850 186.200 190.200 1 92.200 19 5.0 90 196 .96 7 200.590 204.370 2 07.190 20 8.9 80

La

39 1.3 88.905

Y

21 1.3 44.956

Sc

3 IIIB

*Serie La ntá nidos

s

88 0 .9 (226 )

55 56 0.7 0 .9 132.905 137.340

38 1 .0 87.520

Sr

Rb

37 0.8 85.470

20 1 .0 40.080

Ca

K

19 0.8 39.102

12 1 .2 24.312

Mg

Na

11 0.9 22.989

4 1 .5 9.012

Be

Li

3 1.0 6.939

2 IIA

1 2.1 1.008

H

1 IA

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

TABLA PERIÓDICA ACTUAL Es un esquema donde se da el ordenamiento sistemático de los elementos en función de sus números atómicos creciente y su distribución electrónica final

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

ORDENAMIENTO DE LOS ELEMENTOS

en

Periodos

en

Grupos

Bloques

se ordena

se usa

Horizontalmente

En columnas

Distribución electrónica final

poseen

poseen

para

Igual número de niveles o capas

Igual número de electrones de valencia

presentan

Propiedades químicas diferentes

Propiedades químicas similares

10

Elementos representativos

Elementos de transición

finalizan

finalizan

En subniveles s op

En subniveles dof

son

son

Elementos del grupo A

Elementos del grupo B

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA Discreta Continua a c a b = = b d b c d: Cuarta proporcional de a, b: Media proporcional de byc a y c.

ARITMÉTICA-UNIDAD 1 RAZONES Y PROPORCIONES RAZÓN Es la comparación que se establece entre dos cantidades, RAZÓN ARITMÉTICA

RAZÓN GEOMÉTRICA

a–b=r

a =K b

b = ac

c: Tercera proporcional de ayb PROPIEDADES:

Dónde: • a y b
términos de la razón • a
Antecedente • b
Consecuente • r
Valor de la razón aritmética • K
Valor de la razón geométrica

si :

 ∗     ⇒ ∗    ∗ 

a c = b d

Nota: Cuando se mencione solamente razón o relación se debe entender que se hace referencia a la razón geométrica.

a±b c±d = b d a c = a±b c±d a+b c +d = a−b c −d

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES

PROPORCIÓN Es la igualdad de dos razones de la misma clase y que tienen el mismo valor

Es llamadlo así al conjunto de razones geométricas, que en común van a tener un mismo valor:

PROPORCIÓN ARITMÉTICA Es aquella que se forma al igualar dos razones aritméticas.

Ejemplo: 18 = 12 = 21 = 3 6

4

7

a–b=c–d En general:

Una proporción aritmética puede ser de dos tipos Discreta

Continua

Extremos

Extremos

a – b = c – d

a – b = b –c

Medios

Medios

d: Cuarta diferencial de: a, b y c.

b: Media diferencial de ayc c: Tercera diferencial de a y b.

a1 a2 a3 a = = = .... n = k b1 b2 b3 bn

Se cumplen las siguientes propiedades a1 + a 2 + a3 + ...an =k b1 + b2 + b3 + bn a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ...an = kn b1 ⋅ b2 ⋅ b3 ⋅ ...bn

SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS CONTINUAS EQUIVALENTES Ejemplo:

11

64 32 16 = = =2 32 16 8

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

Observación: Los medios consecutivos son iguales

2. Si todos los datos no son iguales (Menor dato ) < MH < MG < MA < (Mayor dato )

En general:

a b c d Si: = = = =k b c d e

a =  b = ⇒ c =  d =

ek 4

3. Solo para dos números a y b

ek 3

2

MA ⋅ MH = MG

ek 2 ek

2

ARITMÉTICA-UNIDAD 2

ARITMÉTICA-UNIDAD 3

PROMEDIOS

MAGNITUDES PROPORCIONALES

Es un valor que representa a un conjunto de datos (cantidades o números); dicho valor no es inferior que el menor de los datos, ni superior que el mayor de los datos. Es decir:

MAGNITUD Es todo aquello que tiene la propiedad de poder aumentar o disminuir su intensidad, la cual se puede medir o cuantificar

Menor Dato ≤ Promedio ≤ Mayor Dato PROMEDIOS IMPORTANTES

Promedio Aritmético o Media Aritmética: ( MA )

Promedio Geométrico o Media Geométrica: ( MG )

MG = n a1 ⋅ a2 ⋅ a3 ⋅ ...an Promedio Armónico o Media Armónica: ( MH )

MH =

CANTIDAD

1

2

3

8

COSTO S/.

4

8

12

32

Además, al realizar el cociente de sus valores correspondientes siempre resulta lo mismo.

Caso particular para dos datos: a y b MG = ab

4 m; 25 cm;... 8 kg; 1400 g;... 8; 12; 40

Al aumentar o disminuir la cantidad de cuadernos, se observa que el costo aumenta o disminuye en la misma proporción. Por lo tanto, se concluye que la cantidad de cuadernos es D.P al costo.

n 1 1 1 1 + + + ... + a1 a2 a3 an

a+b 2

Es el valor que toma la magnitud en un determinado momento de análisis.

Magnitudes Directamente Proporcionales (D.P.) Ejemplo: Si el costo de un cuaderno es de s/4, veamos la relación que existe entre las magnitudes cantidad de cuadernos y costos.

a + a 2 + a3 + ...an MA = 1 n

MA =

CANTIDAD

Longitud Masa N° de Obreros

Para “n” datos: a1, a2, a3,Q, an:

MH =

2

(a − b)2 = 4(MA − MG )

2ab a+b

Cantidad 1 2 3 8 = = = = = cos tan te Costo 4 8 12 32

PROPIEDADES:

En general: A y B son dos magnitudes directamente proporcionales.

1. Si todos los datos son iguales:

A DP B ↔

MH = MG = MA

12

Valor de A Valor de B

= cte

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

*Interpretación Geométrica A

*Interpretación Geométrica A

a3

a1

a2 a2

a1

A.B=K

a3 B b1

b2

B

b3

b2

b1

-La gráfica de 2 magnitudes D.P. es una recta que pasa por el origen de coordenadas. -Exceptuando el origen de coordenadas, se verifica: a1 a2 a3 a = = = ..... = n = K b1 b2 b3 bn

b3

-La gráfica de 2 magnitudes I.P. es una rama de hipérbola equilátera. -Se verifica: a1 . b1 = a2 . b2 =Q= an . bn = K -La función de proporcionalidad inversa será: F(x) =

K x

-La función de proporcionalidad directa será:

Propiedades: F(x) = KX

P.1) A D.P. B ↔ B D.P. A C I.P. D ↔ D I.P. C 1 P.2) A D.P. B ↔A I.P. B

Magnitudes Inversamente Proporcionales (I.P.) Ejemplo: Si dos obreros pintan una casa en 12 días. Veamos la relación que existe entre las magnitudes número de obreros y número de días Nº de obreros

2

4

3

8

Nº de días

12

6

8

3

P.3) Cuando se tienen más de 2 magnitudes como: A, B, C y D; se analizan dos a dos, tomando a una de ellas como referencia para el análisis y manteniendo a las otras en su valor constante.

Al aumentar o disminuir la cantidad de obreros, se observa que el número de días disminuye o aumenta en la misma proporción.

*A D.P. B (C y D constantes) *A I.P. C (B y D constantes) *A D.P. D (B y C constantes)

Por lo tanto, se concluye que:

Aplicación en los Sistemas de Engranajes CASO I: Cuando están en contacto (engranan)

(Cantidad de obreros) I.P (número de días) Además, al realizar el producto de sus valores correspondientes siempre resulta lo mismo.

A B

(Nº obreros)(Nº días) = = 2 . 12 = 4 . 6 = 3 . 8 = 8 . 3 = cte. En general: A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales. (#dA) . (#vA) = (#dB) . (#vB)

A IP B ↔ (valor de A)(valor de B) = cte.

13

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

CASO II: Cuando están unidos por un eje común.

“Las caras de un cubo son cuadrados” (6)

(+)

B

Área 6( 20 2 ) 6(30 2 )

Costo s / . 48 x

(+)

“A mayor área a pintar, el costo será mayor (D.P.)”

A ⇒ x . 6(202) = 6(302) . 48 Resolviendo: x = S/. 108

B. REGLA DE 3 SIMPLE INVERSA Método: multiplicación en paralela #vA = #vB

−

ARITMÉTICA-UNIDAD 3

Magnitud ( A )

Magnitud (B)

a1

b1

a2

x

(+)

REGLA DE TRES

(−)

+

Es un procedimiento que permite calcular algún valor desconocido luego de comparar varias magnitudes. Existen 2 clases:

⇒ a 2 ⋅ x = a1 × b1 → x =

1. Regla de 3 simple (2 magnitudes) Directa e Indirecta 2. Regla de 3 compuesta (más magnitudes)

Ejemplos: (2) Un grupo de obreros pueden hacer una obra en 4 meses, si con 108 albañiles más lo harían en 40 días. ¿Cuántos obreros hubo al principio? (1 mes < > 30 días)

de

2

A. REGLA DE 3 SIMPLE DIRECTA Método: multiplicación en “aspa”

Magnitud ( A ) −

(+)

Resolución:

Magnitud (B)

a1

b1

a2

x

⇒ a1 ⋅ x = a 2 × b1 → x =

a1 × b1 a2

(+)

(+)

−

Nº obreros

Nº días

x

120 días

( −)

( 4 meses )

(108 + x )

a 2 × b1 a1

40d

“A mayor número de obreros, acabarán la obra en menos tiempo (I.P.)” ⇒ 120x = 40(108 + x) Resolviendo: x = 54 ∴ Nº obreros inicial = 54

Ejemplos: (1) Para pintar un cubo de 20 cm de arista se gastó S/. 48, cuánto se gastará para pintar otro cubo de 30 cm de arista:

REGLAS DE TRES COMPUESTA Método de solución: “proporcionalidad”

(Nº obreros)(efic.)(Nº días)(Nº h / d) = CTE (obra)(dificultad)

Resolución:

A

=L

Ejemplo: (3) En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra, se retiran 6 obreros, cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra.

2

L

L

14

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

VII. EXPONENTE CERO (a ≠ 0)

Resolución: por proporcionalidad (Nº obreros)(Nº días) = CTE (obra)

a0 = 1

(8 )(12) (2)( x ) = lo que falta 2  1  ← de la obra     3 3 Resolviendo: x = 24 ∴ terminarán lo que falta en 24 días. ⇒

NOTA: 00 es indeterminado VIII. RAÍZ DE UNA POTENCIA m n

m, n ∈ ℜ/ n ≠ 0

am = a n

ÁLGEBRA-UNIDAD 1 IX. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES HOMOGÉNEOS

LEYES DE EXPONENTES Y RADICALES

n

I. MULTIPLICACIÓN DE BASES IGUALES

X. DIVISIÓN DE RADICALES HOMOGÉNEO

m,n∈ℜ

am. an = am + n

II. MULTIPLICACIÓN DE BASES DIFERENTES CON IGUAL EXPONENTE m,n∈ℜ

am. bm = (a . b)m

an

=a

m −n

m

b

a b

n ∈ ℜ/ n ≠ 0

m, n, p, ∈ ℜ/n ≠ 0

a≠0∧m∈ℜ

XII. RADICAL DE RADICAL

mn p

mn

NOTA: a

b≠0∧m∈ℜ

mnp

a

m, n, p, ∈ ℜ

ÁLGEBRA-UNIDAD 2 POLINOMIOS Y GRADOS

m.n

≠a

GRADOS DE UN MONOMIO

m,n∈ℜ

ó a

mn

A. Grado absoluto (G.A.) Está determinado por la exponentes de sus variables.

m n

≠ (a )

b =   a

suma

Ejemplo: Respecto a los monomios a. M(x, y) = – 9x4 y6 → G.A. = 4 + 6 = 10

VI. EXPONENTE NEGATIVO −m

a =

m

a =   b

(am)n = am . n

NOTA: a – m =

b

=n

p

V. POTENCIA DE POTENCIA

a   b

a

n

n m  n mp  a  = a  

IV. DIVISIÓN DE BASES DIFERENTES CON IGUAL EXPONENTE

am

n

XI. POTENCIACIÓN DE UN RADICAL

III. DIVISIÓN DE BASES IGUALES am

n ∈ ℜ/ n ≠ 0

a ⋅ n b = n ab

m

a≠0∧b≠0

B. Grado Relativo (G.R.) Con respecto a una de sus variables. M (x, y) = – 5x6 y4 z8 Vemos que: G.R. (x) = 6; G.R. (y) = 4; G.R. (z) = 8

1 am

15

de

los

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

POLINOMIO Es la expresión algebraica que consta de dos o más términos, en el cual los exponentes de sus variables son números enteros no negativos. Ejemplos: a) P(x) = 2x – 3 b) Q(x) = x3 + x2 y + y2 c) P(x,y) = x2 + 2x y + 3y2

2. Si el polinomio es completo y ordenado la diferencia de los grados relativos de dos términos consecutivos es igual a la unidad.

Polinomio Homogéneo: Este polinomio se caracteriza por que todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.

(binomio) (trinomio) (trinomio)

Ejm: Para el Polinomio:

GRADOS DE UN POLINOMIO

P( x ; y ) = { x9 + 2 x 4 y 5 + { y9 123 9º

A. Grado absoluto (G.A.) Está determinado por el mayor grado absoluto que tiene uno de sus términos.

P( x ; y ) = x 6 y 4 − 2 x 7 y 8 + x 6 y16 123 123 1 424 3 15º

9º

Polinomios Idénticos: Estos polinomios se caracterizan por que los coeficientes de sus términos semejantes en ambos miembros son iguales, en efecto:

Ejemplo: Dado el polinomio:

10º

9º

G.A. = 9º

Si:

22º

a x2 + b x + c ≡ d x2+ ex + f

Vemos que: G.A. = 22

B. Grado Relativo (G.R.) Con respecto a una de sus variables es el mayor exponente que tiene dicha variable en el polinomio dado.

Se cumple que: a = d

Ejemplo: P(x) = a x2 + b x + c ≡ 0 Se cumple que: a=0 b=0 c=0

ÁLGEBRA-UNIDAD 3

CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS

PRODUCTOS NOTABLES

Polinomio Ordenado: Con respecto a sus exponentes aumentan (ascendentes); ó disminuyen (descendentes).

IDENTIDADES ALGEBRAICAS

Ejemplo: a) P(x) = 7 – x3 + 2x6 – x15 (ascendente) b) P(x) = x 9 – 2x7 – x3 – 1 (descendente)

I. Cuadrado del Binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Polinomio Completo: Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes completos desde cero hasta “n” 2

c=f

Polinomios Idénticamente Nulos: Sus coeficientes valen cero:

Ejemplo: Dado el polinomio: P(x,y) = x6 y3 – 2x9 y7 – x4 y8 Vemos que: G.R.(x) = 9 G.R.(y) = 8

4

b=e

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

II. Identidad de Legendre

3

P(x) = 2x + x + 6x – 7x – 6 (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)

Propiedades 1. El número de términos es igual al grado absoluto más uno: #t = G. A + 1

(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab

16

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

III. Cubo del Binomio 3

TRIGONOMETRÍA-UNIDAD 1

3

2

2

(a + b) = a + 3a b +3ab + b

3

SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES

(a – b)3 = a3 – 3a2 b +3ab2 – b3

Sistema Sexagesimal (S): 1 vuelta = 360º Sistema centesimal (C): 1 vuelta = 400g Sistema radial (R): 1 vuelta = 2π rad

Estas mismas fórmulas se pueden expresar bajo las formas:

Relación entre sistemas: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b) S = 180K S C R = = = K ⇒ C = 200K 180 200 π R = πK

(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b)

IV. Diferencia de cuadrados (a + b)(a – b) = a2 – b2

Sub unidades

V. Suma y Diferencia de cubos (a + b) (a2 – ab + b2) = a3+ b3

S

C

1º = 60'

1g = 100m

1' = 60' '

1m = 100s

x (x + a ) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab

x9 10

S

VII. Cuadrado del trinomio 2

2

180º < > 200g < > πrad 9º < > 10g 27' < > 50m

Cambio de sistema

VI. Multiplicación de binomios con un término en común.

2

Equivalencias

1º = 3600' ' 1g = 10000s

(a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3

S = 9K C = 10K πK R= 20

2

(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc

x 10 9

180 π

C x

VII. Cubo del trinomio

R π 180

Ángulo trigonométrico

Sentido Antihor ario (+)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b)(a + c)(b + c)

IGUALDADES CONDICIONALES

Sentido Horario (− )

θ

Si: a + b + c = 0 → a2 + b2 + c2 = –2 (ab + ac + bc) → a3 + b3 + c3 = 3abc

α

Observación:

*al cambiar el sentido cambiar á el signo α

⇒ θ

17

−α θ

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

Propiedades:

TRIGONOMETRÍA - UNIDAD 2

Recíprocas:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS I

Senθ . Cscθ = 1 Tgθ . Ctgθ = 1 Secθ . Cscθ = 1

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

A α

Complementarias: Si: α + θ = 90º

b c

Senθ = Cosα Tgθ = Ctgα Secθ = Cscα

β B

C

a

TRIGONOMETRÍA - UNIDAD 3

Catetos: a y b Hipotenusa: c Ángulos agudos: α y β

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS II

α + β = 90 º

lo que quiero = R.T.(∠) lo que tengo

TEOREMA PITÁGORAS

a2 + b2 = c 2

H

CÁLCULO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

H

θ

HSenθ

θ HCosθ

Hipotenusa c

a

Cateto Opuesto (C.O.) al ángulo “θ” aSecβ

θ

β

b

aTgβ

β a

a

Cateto Adyacente (C.A.) al ángulo “θ” b

RECÍPROCAS

C.O. a Sen θ = = H c

bCs cα

α

α

C. A . b Cos θ = = H c Tg θ =

C.O. a = C.A . b

Ctgθ =

C.A. b = C.O. a

Sec θ =

H c = C. A . b

Csc θ =

H c = C.O . a

bCtgα

ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR

a

θ

A=

18

b

ab Sen θ 2

b

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

ÁNGULO DE ELEVACIÓN (α)

Cuando es una cantidad par de veces se cancela SSSS 144....... 24SSS 43 x = S x = 180º − x impar

SC x = 90 º + x

visual α

horizontal

GEOMETRÍA - UNIDAD 1 RECTAS PARALELAS Rectas paralelas

ÁNGULO DE DEPRESIÓN (β)

θ

horizontal β

y α

visual

x

α =θ

x + y = 180º α x θ

θ

GEOMETRÍA - UNIDAD 1

θ

ÁNGULOS

x= α+ θ

Serrucho α x

Ángulos:

Agudo

O btuso α

θ

θ

0º < θ < 90º

β y

α

α +β +θ = x + y

90º < α < 180º

Ángulos complementarios

a + b + c +...+θ = 180(n) ∴ “n”: número de segmentos

c

α + θ = 90º

3

β

α + β + θ + φ = 180º

a

1 b

2

α

φ θ

“n”

θ

θ

GEOMETRÍA - UNIDAD 2

Ángulos suplementarios

TRIÁNGULOS θ + β = 180º θ

Propiedades

β

y β

Complemento y Suplemento de un ángulo C x = 90 º − x

α

S x = 180 º − x

CCC ...4 CC 142 3 x= x

β θ

α + β + θ = 180º

Par

19

α

x x=α +β

x x + y + z = 360º

z

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

α

θ

β

α

φ

α +β = θ + φ

A

θ

β

α

β

θ

x

A 60º

φ

x = α + β +θ

α +β =θ + φ

60º

C

B

60º

60º

C

B

Adicionales:

a

α

θθ

αα

2α

2α 2α

α

α

x α α

θθ

b

b

a

GEOMETRÍA - UNIDAD 3

x

LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES a+ b 2

x=

a+ b 2

x=

B

* Mediana (BM ; AP )

BI : bisectr iz del ∠ ABC

B

x = a− b 2

x

2k

Baricentro P n

G

a

b

A

2n

C

I

k A

Existencia:

Cor respondencia:

a

b

a

* Altura ( AN ; CM)

b

B

α

β

M

Si : α > β

α + θ = 180º

N

H θ

→ a>b A

Clasificación:

Escaleno

H: Ortocentro α

x a−b < x < a+b

C

M

Isósceles

θ

θ

C

∆ Rectángulo

Equilátero

∆Obtusángulo A

A

60º 60º 60º

B

C B: Ortocentro

Observación: Si AB = BC y m∠B = 60º → uniremos A con C Se formará un ∆ equilátero

C B

H: Ortocentro (se ubica en la región ext erior)

20

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

Observación: el incentro es el centro de la circunferencia inscrita

↔

* Mediatriz ( L )

B

B αα

L

I A

θ

C

A B θ

β β

θ

C

* Bisectriz Exterior E: Excentro

Circuncentro

α α

B

O

E

x

x C

A

β

x = 2θ ⇒ AO = BO = OC

A

β

θ C

θ x = 90 − 2

Observación: el Circuncentro (O) es el centro de la circunferencia circunscrita

E: Excentro

E

Circunscrita θ

x

α O

O

β

α α

β En un triángulo rectángulo el circuncentro se ubica en el punto medio de la hipotenusa

α > 90º

x=

En un triángulo obstusangulo, el circuncentro se ubica en la región exterior

FÍSICA - UNIDAD 1 ANÁLISIS DIMENSIONAL

* Bisectriz interior

Fórmulas Dimensionales Básicas

Ι: Incentro

B θ

x = 90º + θ 2 I

β

x β

A

θ 2

α

α C

21

1.

[Número] = 1

2.

[Área] = L2

3.

[Volumen] = L3

4.

[Densidad] = ML–3

5.

[Velocidad] = LT–1

6.

[Aceleración] = LT–2

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

7.

[Fuerza] = MLT–2

Nota: Si la magnitud adimensional viene dada de exponente, no se elimina.

2 –2

8.

[Trabajo] = ML T

9.

[Energía] = ML2T–2

10.

[Potencia] = ML2T–3

11.

[Presión] = ML–1T–2

12.

[ Período] = T

13.

[Frecuencia] = T–1

14.

[Velocidad angular] = T–1

15.

[ Ángulo] = 1

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD Establece que dimensionalmente las unidades no se suman, por lo tanto: Sea la ecuación dimensional: E A = B + CD − F

E  Se cumple: ⇒ [A ] = [B] = [CD] =   F

3 –1

16.

[Caudal] = L T

17.

[Aceleración angular] = T–2

18.

[ Carga eléctrica] = IT

19.

[Iluminación] = JL–2

FÍSICA - Unidad 2 ANÁLISIS VECTORIAL

Sistema Internacional de Unidades MAGNITUD FÍSICA

Nombre

Definido como un segmento orientado y que sirve para representar a las magnitudes vectoriales.

UNIDAD

Dimens.

Nombre

Símbolo

1 Longitud

L

metro

m

2 Masa

M

kilogramo

kg

3 Tiempo

T

segundo

s

4 Temperatura

θ

kelvin

K

I

amperio

A

J

candela

cd

N

mol

mol

5 Intensidad de corriente eléctrica 6 Intensidad Luminosa 7 Cantidad de Sustancia

ELEMENTOS DE UN VECTOR 1. Origen.- Punto de aplicación 2. Sentido.- Orientación 3. Módulo.- Tamaño 4. Dirección.- Línea de acción

DETERMINACIÓN DE RESULTANTES 1er Procedimiento: TRIÁNGULO *Aplicado a dos vectores *Procedimiento gráfico *Participan vectores consecutivos

MAGNITUDES ADIMENSIONALES Son aquellas que no poseen dimensión: * Constantes numéricas:

 1  2  = 1 , [π] = 1   * Funciones algébricas o trigonométricas: [Senθ] = 1, [Logx] = 1, [ex] = 1

→

→

→

R = A+ B

22

CEPREVI 215 C – ESQUEMAS Y RESÚMENES

2do Procedimiento: PARALELOGRAMO *Aplicado a dos vectores *Procedimiento gráfico y analítico *Participan vectores concurrentes

FÍSICA - unidad 3 CINEMÁTICA MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) La velocidad es constante es decir

→

→

RAPIDEZ CONSTANTE

→

R = A+ B

Características

Para su módulo se recurre a:

R = A 2 + B2 + 2AB cos θ

1s

1s

1s

2m

2m

2m

2m/s

Dónde: R = módulo de la resultante A y B = módulos de los vectores sumandos θ = ángulo entre los vectores A y B Consideraciones: R max = A + B R min = A – B R min ≤ R ≤ R max

*en iguales tiempos, se tienen iguales recorridos *los recorridos son directamente proporcionales a los tiempos

Resultantes directas:

Observación: *Tiempo de encuentro (te) te

te

VA

VB

A

B d

d VA + VB

→ te =

*Tiempo de alcance (ta) ta ta VA A

VB B

d

→ ta =

23

d VA − VB

( VA > VB )

CEPREVI 2015 C– ESQUEMAS Y RESÚMENES

OBSERVACIÓN: Cuando un móvil parte del reposo, las distancias recorridas en intervalos de tiempos iguales son proporcionales a los números: 1, 3, 5, 7,..., (2n – 1). Números de Galileo.

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV) La aceleración es constante

La trayectoria es rectilínea

a

V=0 t

*ecuaciones escalares

K

a = cte

t V0

VF

d VF = V0 ± at

d = V0 t ±

;

at 2 2

;

VF2 = V02 ± 2ad

 V + VF  d =  0 t 2  

V0: rapidez inicial VF: rapidez final a: módulo de la aceleración t: duración del movimiento Se usa: +: rapidez aumenta –: rapidez disminuye

*La diferencia de distancias para segundos consecutivos nos da el valor de la aceleración a = cte 1s 1s

v

d1

d2 d2 − d1 = a

DISTANCIA EN EL n – esimo seg. ER

1 seg

DO

esimo

2 seg

n seg

a Vi

d1

dn

d2 dn = Vi +

a (2n − 1) 2

Dónde: “n” es el intervalo de tiempo deseado.

24

t

t

t

3K

5K

7K