Campuri Markov - Retea Bayesiana Sa Camp, Retea de Probabilitati cursTP PDF [PDF]

Zitiervorschau

Ariadna Lucia Pletea

Liliana Popa

˘ ¸ ILOR TEORIA PROBABILITAT

˘ ” GH. ASACHI”, UNIVERSITATEA TEHNICA IAS¸I 1999

Cuprins Introducere

5

1 Cˆ amp de probabilitate 1.1 Cˆamp finit de evenimente . . . . . 1.2 Cˆamp finit de probabilitate . . . . 1.3 Metode de num˘arare . . . . . . . . 1.4 Moduri de selectare a elementelor . 1.5 Definit¸ia axiomatic˘a a probabilit˘a¸tii 1.6 Formule probabilistice . . . . . . . 1.7 Scheme clasice de probabilitate . . 1.8 Cˆamp infinit de probabilitate . . . 1.9 Probleme propuse . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

2 Variabile aleatoare discrete 2.1 Definit¸ia ¸si clasificarea variabilelor aleatoare . . . . . . . . 2.2 Variabile aleatoare discrete simple . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Exemple de variabile aleatoare discrete simple . . . . . . . 2.4 Variabile aleatoare discrete simple bidimensionale . . . . . 2.5 Variabile aleatoare cu un num˘ar infinit num˘arabil de valori 2.6 Funct¸ia generatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

3 Variabile aleatoare continue 3.1 Funct¸ia de repartit¸ie a unei variabile aleatoare unidimensionale 3.2 Densitatea de probabilitate. Repartit¸ia normal˘a . . . . . . . . 3.3 Funct¸ia de repartit¸ie multidimensional˘a. Transform˘ari . . . . . 3.4 Valori caracteristice ale unei variabile aleatoare . . . . . . . . 3.5 Funct¸ia caracteristic˘a a unei variabile aleatoare . . . . . . . . 3.6 Variabile aleatoare continue clasice ¸si leg˘aturile dintre ele . . . 3.7 Fiabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

7 7 11 16 17 18 20 26 29 36

. . . . . . .

43 43 44 61 65 68 74 75

. . . . . . .

81 81 88 95 108 117 126 143

4 Probleme la limit˘ a ˆın teoria probabilit˘ a¸tilor 155 4.1 Convergent¸a ˆın probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.2 Legea numerelor mari (forma slab˘a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.3 Aproxim˘ari pentru repartit¸ii discrete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3

4.4 4.5

Convergent¸a ˆın repartit¸ie. Teorema limit˘a central˘a . . . . . . . . . . . . . Leg˘atura dintre convergent¸a ¸sirurilor funct¸iilor de repartit¸ie ¸si convergent¸a ¸sirurilor funct¸iilor caracteristice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Convergent¸a aproape sigur˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Convergent¸a ˆın medie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Probleme propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 164 . . . .

177 181 182 184

5 Procese stochastice 187 5.1 Lant¸uri Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.2 Procese Markov continue. Procese Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.3 Procese stochastice stat¸ionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Introducere Numeroase probleme practice din variate domenii de activitate, ca: ingineria electric˘a, radio, transmisia de date, calculatoare, teoria informat¸iei, fiabilitatea sistemelor ¸si altele, conduc la studiul unor fenomene ¸si procese aleatoare. Evaluarea ¸sanselor lor de producere constituie obiectul disciplinei teoria probabilit˘a¸tilor. Cursul de Teoria probabilit˘a¸tilor are atˆat un caracter informativ, furnizˆand student¸ilor not¸iuni ¸si rezultate fundamentale cu care vor opera ˆın cadrul specialit˘a¸tilor lor, cˆat ¸si formativ, acomodˆandu-i cu rat¸ionamente matematice, dintre care unele vor fi necesare prelucr˘arii pe calculator a datelor. Cursul este alc˘atuit din cinci capitole. Capitolul I, intitulat ”Cˆamp de probabilitate” introduce not¸iunea de cˆamp de probabilitate, cadru ˆın care se define¸ste axiomatic not¸iunea de probabilitate. Sunt trecute ˆın revist˘a formule ¸si scheme clasice de probabilitate. Elementele de teorie sunt ˆınsot¸ite de exemple, dintre care unele cu referire la situat¸ii tehnice privind controlul de calitate, transmiterea informat¸iei etc. Cuprinde paragrafele: 1.Cˆamp finit de evenimente; 2.Cˆamp finit de probabilitate; 3. Metode de num˘arare; 4.Moduri de selectare a elementelor; 5.Definit¸ia axiomatic˘a a probabilit˘a¸tii; 6.Formule probabilistice; 7.Scheme clasice de probabilitate; 8.Cˆamp infinit de probabilitate. Capitolul II, intitulat ”Variabile aleatoare discrete”cuprinde paragrafele 1.Definit¸ia ¸si clasificarea variabilelor aleatoare; 2.Variabile aleatoare discrete simple; 3.Exemple de variabile aleatoare discrete simple; 4.Variabile aleatoare discrete simple bidimensionale; 5.Variabile aleatoare cu un num˘ar infinit num˘arabil de valori. Este scos ˆın evident¸a˘ rolul distribut¸iei Poisson, a evenimentelor rare ˆın numeroase aplicat¸ii tehnice. Capitolul III, intitulat ”Variabile aleatoare continue”, cuprinde paragrafele: 1.Func¸tia de repartit¸ie a unei variabile aleatoare unidimnesionale; 2.Densitatea de probabilitate.Repartit¸ia normal˘a;3.Funct¸ia de repartit¸ie multidimensional˘a.Transform˘ari; 4.Valori caracteristice ale unei variabile aleatoare. 5.Funct¸ia caracteristic˘a a unei variabile aleatoare; 6.Variabile aleatoare continue clasice ¸si leg˘aturile dintre ele; 7.Fiabilitate. Este scos ˆın evident¸a˘ rolul legii lui Gauss ˆın studiul erorilor accidentale de m˘asurare. Capitolul IV, intitulat ”Probleme la limit˘a ˆın teoria probabilit˘a¸tilor”, cuprinde paragrafele: 1.Convergent¸a ˆın probabilitate a ¸sirurilor de variabile aleatoare; 2.Legea numerelor mari (forma slab˘a); 3.Aproxim˘ari pentru distribut¸ii discrete; 4.Convergent¸a ˆın repartit¸ie. Teorema limit˘a central˘a; 5.Leg˘atura dintre convergent¸a funct¸iilor de repartit¸ie

¸si convergent¸a funct¸iilor caracteristice; 6.Convergent¸a aproape sigur˘a; 7.Convergent¸a ˆın medie. Scopul acestui capitol este de a pune ˆın evident¸˘a justific˘ari teoretice ale apropierii dintre anumite concepte din teoria probabilit˘a¸tlor ¸si din statistica matematic˘a ¸si de asemenea, leg˘aturile dintre diferitele tipuri de convergent¸˘a ˆın teoria probabilit˘a¸tilor. Capitolul V, intitulat ”Procese stochastice”, cuprinde paragrafele:1.Lant¸uri Markov; 2.Procese Markov contiue. Procese Poisson; 3.Procese stochastice stat¸ionare. Pentru ˆınt¸elegerea materialului din acest capitol, s-au dat numeroase exemple de important¸˘a practic˘a din teoria a¸stept˘arii, teoria stocurilor ¸si altele. Capitolele I, II, IV au fost redactate de lector dr. Pletea Ariadna, iar Capitolele III ¸si V de lector dr. Popa Liliana, care au colaborat pentru a obt¸ine o form˘a cˆat mai unitar˘a ¸si modern˘a a cursului. Adres˘am pe aceast˘a cale vii mult¸umiri comisiei de analiz˘a a cursului, format˘a din prof. dr. Pavel Talpalaru, prof. dr. Stan Chirit¸a˘ ¸si lector Gheorghe Florea pentru observat¸iile constructive f˘acute, cˆat ¸si, anticipat, tuturor cititorilor, care vor contribui prin sugestii la ˆımbun˘at˘a¸tirea prezentului material. Autoarele

Capitolul 1 Cˆ amp de probabilitate 1.1

Cˆ amp finit de evenimente

ˆIn teoria probabilit˘a¸tilor not¸iunile primare sunt: evenimentul ¸si probabilitatea. Teoria probabilit˘a¸tilor studiaz˘a experient¸ele aleatoare, acele experient¸e care reproduse de mai multe ori se desf˘a¸soar˘a de fiecare dat˘a ˆın mod diferit, rezultatul neputˆand fi anticipat. Exemple de experient¸e aleatoare: aruncarea unui zar, tragerile la ¸tint˘a, durata de funct¸ionare a unei ma¸sini etc. Rezultatele posibile ale unei experient¸e aleatoare se numesc probe sau cazuri posibile ale expeient¸ei. Experient¸ele se pot realiza printr-un num˘ar finit sau un num˘ar infinit de probe. Mult¸imea rezultatelor (cazurilor) posibile ale unei experient¸e aleatoare formeaz˘a spat¸iu de select¸ie. Not˘am simbolic spat¸iul de select¸ie cu E. Definit¸ia 1.1.1 Se nume¸ste eveniment o submult¸ime a spat¸iului de select¸ie. Orice element a lui E, notat e, este un punct de select¸ie sau un rezultat posibil al experient¸ei. ˆIn cele ce urmeaz˘a vom presupune E finit. Exemplul 1.1.1 Consider˘am experient¸a care const˘a ˆın aruncarea unui zar. Aceasta este o experient¸a˘ aleatoare. Mult¸imea rezultatelor posibile ale experient¸ei sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6. Deci spat¸iul de select¸ie este E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Presupunem c˘a ne intereseaz˘a evenimentul ca la o aruncare a zarului s˘a obt¸inem o fat¸a˘ cu un num˘ar par de puncte. Dac˘a aruncˆand zarul am obt¸inut fat¸a cu cinci puncte, aceasta este o prob˘a a experient¸ei noastre, dar evenimentul care ne interesa (o fat¸˘a cu un num˘ar par de puncte) nu s-a realizat. Dac˘a proba experient¸ei ar fi fat¸a cu ¸sase puncte, atunci evenimentul nostru s-a realizat. Exemplul dat este al unei experiente cu un numar finit de probe. Se pot da exemple ¸si de experient¸e cu o infinitate de probe. Astfel, experient¸a tragerii la ¸tint˘a. Exist˘a o infinitate de probe care realizeaz˘a evenimentul atingerii ¸tintei. 7

ˆ mp de probabilitate Ca

8

Not¸iunile de spat¸iu de select¸ie ¸si de eveniment astfel introduse ne permit ca teoria mult¸imilor s˘a poat˘a fi folosit˘a ˆın studiul evenimentelor aleatoare. Traducem ˆın limbaj de evenimente not¸iuni ¸si simboluri caracteristice teoriei mult¸imilor. 1. Drept submult¸ime a lui E se poate considera E. Cum indiferent de rezultatul e al experient¸ei, e ∈ E, rezult˘a c˘a odat˘a cu e se realizeaz˘a E. Evenimentul E se nume¸ste eveniment cert (sau eveniment sigur). De exemplu, la aruncarea zarului aparit¸ia unei fet¸e cu un num˘ar de puncte mai mic sau egal cu 6 este evenimentul sigur. Aparit¸ia unei fet¸e cu un num˘ar mai mic sau egal cu 4 de puncte este un eveniment nesigur, dar posibil. 2. Drept submult¸ime a lui E putem considera mult¸imea vid˘a ∅ care nu se realizeaz˘a la nici o efectuare a experient¸ei, motiv pentru care se nume¸ste eveniment imposibil. 3. Fie evenimentul A, submult¸ime a lui E. Evenimentul complementar lui A ˆın raport ¯ se nume¸ste eveniment contrar evenimentului A. Acesta se realizeaz˘a cu E, notat A, dac˘a ¸si numai dac˘a nu se realizeaz˘a evenimentul A. ˆIn exemplul 1.1.1 evenimentul contrar evenimentului aparit¸iei unui num˘ar par de puncte este evenimentul care const˘a ˆın aparit¸ia unui num˘ar impar de puncte. Astfel, A = {2, 4, 6} ¸si A¯ = {1, 3, 5}. 4. Fie evenimentele A, B ⊂ E. Evenimentul A implic˘a evenimentul B (scris A ⊂ B) dac˘a B se realizeaz˘a prin toate probele lui A (¸si prin alte probe), adic˘a dac˘a (e ∈ A) ⇒ (e ∈ B). 5. Fie A, B ⊂ E dou˘a evenimente. Evenimentul A∪B este evenimentul a c˘arui realizare are loc dac˘a se realizeaz˘a sau A sau B. 6. Fie A, B ⊂ E. Prin evenimentul A ∩ B ˆınt¸elegem evenimentul care se realizez˘a dac˘a se realizeaz˘a atˆat A cˆat ¸si B. 7. Fie A, B ⊂ E. Prin A \ B ˆınt¸elegem evenimentul care se realizeaz˘a prin probe ale ¯ lui A ¸si B. Definit¸ia 1.1.2 Fie A ⊂ E, A 6= ∅. Evenimentul A se nume¸ste eveniment elementar dac˘ a este implicat numai de el ˆınsu¸si ¸si de evenimentul imposibil. Celelalte evenimente se numesc evenimente compuse. a se pot Definit¸ia 1.1.3 Fie A, B ⊂ E. Evenimentele A, B se numesc compatibile dac˘ ˆ realiza simultan, adic˘a exist˘a probe care realizeaz˘ a atˆat pe A cˆat ¸si pe B (A ∩ B 6= ∅ ). In caz contrar evenimentele se numesc incompatibile (A ∩ B = ∅). Observat¸ia 1.1.1 Operat¸iile de reuniune ¸si intersect¸ie se extind pentru un num˘ar finit de evenimente. Fie A1 , A2 , . . . , An ⊂ E. Avem (. . . ((A1 ∪ A2 ) ∪ A3 ) ∪ . . . ∪ An ) =

n [ i=1

Ai ,

ˆ mp de probabilitate Ca

9

adic˘a evenimentul care se realizeaz˘a dac˘a cel put¸in un eveniment Ai se realizeaz˘a ¸si (. . . ((A1 ∩ A2 ) ∩ A3 ) ∩ . . . ∩ An ) =

n \

Ai

i=1

este evenimentul care se realizeaz˘a dac˘a toate evenimentele Ai , i = 1, n se realizeaz˘a. Ment¸ion˘am cˆateva din propriet˘a¸tile operat¸iilor introduse: 1. Dac˘a A ⊂ B atunci A ∪ B = B ¸si A ∩ B = A. 2. Oricare ar fi evenimentul A au loc relat¸iile A ∪ A = A, A ∪ ∅ = A, A ∪ E = E, E ∪ ∅ = E, A ∩ A = A, A ∩ ∅ = ∅, A ∩ E = A, E ∩ ∅ = ∅. 3. Dac˘a A ⊂ C, B ⊂ C, A, B, C ⊂ E atunci A ∪ B ⊂ C ¸si A ∩ B ⊂ C. 4. Dac˘a A, B, C ⊂ E atunci A ∪ B = B ∪ A, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), A ∩ B = B ∩ A, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Construct¸ia sistematic˘a a unui cˆamp finit de evenimente se poate face plecˆand de la dou˘a axiome, numite axiomele cˆampului finit de evenimente. Not˘am cu P(E) mult¸imea p˘art¸ilor lui E. Definit¸ia 1.1.4 Perechea { E, K }, K 6= ∅, K ⊂ P(E), se nume¸ste cˆamp finit de evenimente dac˘ a: a) ∀A ∈ K ⇒ A¯ ∈ K; b) ∀A, B ∈ K ⇒ A ∪ B ∈ K. Consecint¸e ale definit¸iei: 1. E ∈ K deoarece (∀A ∈ K ⇒ A¯ ∈ K) ⇒ (A ∪ A¯ ∈ K) ⇒ (E ∈ K). 2. ∅ ∈ K deoarece (E ∈ K ⇒ E¯ ∈ K) ⇒ (∅ = E¯ ∈ K). ¯ = A¯ ∪ B ∈ K. 3. Dac˘a A, B ∈ K ⇒ A \ B ∈ K deoarece A \ B = A ∩ B 4. Urm˘atorele propriet˘a¸ti sunt echivalente: (∀A, B ∈ K ⇒ A ∪ B ∈ K) ¸si (∀A, B ∈ K ⇒ A ∩ B ∈ K), ¯ deoarece A ∩ B = A¯ ∪ B.

ˆ mp de probabilitate Ca

10

5. Din Definit¸ia 1.1.4 rezult˘a, folosind metoda induct¸iei matematice, c˘a ∀n > 2, Aj ∈ K, 1 6 j 6 n ⇒

n [

Aj ∈ K.

j=1

6. Din Consecint¸a 4 rezult˘a: ∀n > 2, Aj ∈ K, 1 6 j 6 n ⇒

n \

Aj ∈ K.

j=1

ˆIntr-un cˆamp finit de evenimente au loc urm˘atoarele propriet˘a¸ti: P1. Dou˘a evenimente elementare distincte sunt incompatibile. Fie A1 ¸si A2 dou˘a evenimente elementare. S˘a presupunem c˘a A1 ∩ A2 6= ∅, adic˘a A1 ∩ A2 = B 6= ∅. Deci B ⊂ A1 , B 6= ∅ ¸si cum A1 ¸si A2 sunt distincte, B 6= A1 , deci A1 nu este eveniment elementar, ceea ce este fals. P2. ˆIntr-un cˆamp finit de evenimente exist˘a evenimente elementare. Fie A1 un eveniment. Dac˘a A1 este elementar, afirmat¸ia este demonstrat˘a. Dac˘a A1 este eveniment compus exist˘a A2 6= ∅, A2 6= A1 astfel ˆıncˆat A2 ⊂ A1 . Dac˘a A2 este eveniment elementar, afirmat¸ia este demonstrat˘a. Dac˘a A2 este eveniment compus se continu˘a rat¸ionamentul anterior. Cˆampul fiind finit, rezult˘a c˘a exist˘a un eveniment elementar An 6= ∅ astfel ˆıncˆat An ⊂ An−1 ⊂ . . . ⊂ A1 . P3. Fie { E, K } un cˆamp finit de evenimente. Orice eveniment al acestui cˆamp se poate scrie ca reuniune finit˘a de evenimente elementare. Fie B un eveniment compus (dac˘a B este un eveniment elementar atunci afirmat¸ia este demonstrat˘a). Exist˘a, conform propriet˘a¸tii P2, un eveniment elementar A1 ∈ K ¸si un eveniment B1 ∈ K astfel ˆıncˆa B = A1 ∪ B1 , B1 = B \ A1 cu A1 ∩ B1 = ∅. Dac˘a B1 este eveniment elementar, afirmat¸ia este demonstrat˘a. Dac˘a B1 nu este eveniment elementar, exist˘a evenimentul elementar A2 ¸si un eveniment B2 ∈ K astfel ˆıncˆat B1 = A2 ∪ B2 ¸si deci B = A1 ∪ A2 ∪ B2 ¸si rat¸ionamentul se continu˘a. Deci B = A1 ∪ A2 ∪ . . . Ak , unde Ai , i = 1, k sunt evenimente elementare. P4. Reuniunea tuturor evenimentelor elementare ale lui K este E. ˆIntr-adev˘ar, fie E = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ As . Presupunem c˘a ˆın cˆampul finit de evenimente mai exist˘a un eveniment elementar An 6= Aj , j = 1, s. Atunci An ∩ E = An = An ∩ (A1 ∪ . . . ∪ As ) = (An ∩ A1 ) ∪ . . . ∪ (An ∩ As ) = ∅ conform P1.

ˆ mp de probabilitate Ca

11

Nu de put¸ine ori de un real folos ne va fi descompunerea unui eveniment ˆıntr-o reuniune de evenimente incompatibile dou˘a cˆate dou˘a. Definit¸ia 1.1.5 Fie { E, K } un cˆamp finit de evenimente ¸si A1 , A2 , . . . , An ∈ K. Spunem c˘a familia de evenimente A1 , A2 . . . An formeaz˘ a un sistem complet de evenimente dac˘a: a) ∀Ai 6= ∅, i = 1, n; b) Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j, i, j = 1, n; c)

n [

Ai = E.

i=1

Observat¸ia 1.1.2 Mult¸imea tuturor evenimentelor elementare ata¸sate unei experient¸e formeaz˘a un sistem complet de evenimente. Exemplul 1.1.2 S˘a se verifice care din urm˘atoarele submult¸imi ale lui P(E) (P(E) mult¸imea p˘art¸ilor lui E) sunt cˆampuri finite de evenimente ¸si, ˆın caz afirmativ, s˘a se precizeze evenimentele elementare: 1. Dac˘a E = {1, 2, 3} ¸si K = {∅, {1}, {2, 3}, {1, 2, 3}}, atunci { E, K } este cˆamp finit de evenimente deoarece satisface cele dou˘a axiome ale Definit¸iei 1.1.4. Evenimentele elementare sunt {1} ¸si {2,3}. Observ˘am c˘a evenimentele elementare nu sunt submult¸imi ale lui E formate dintr-un singur element nu este corect˘a. ˆIn exemplul prezentat un eveniment elementar este format dintr-un singur element, iar cel˘alalt eveniment este format din dou˘a elemente. 2. Dac˘a E = {1, 2, 3} ¸si K = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} = P(E) atunci { E, K } este un cˆamp finit de evenimente. Evenimentele elementare sunt {1}, {2}, {3}. 3. Dac˘a E = {1, 2, 3} ¸si K = {{1}, {2}, {1, 3}, {1, 2, 3}} nu este un cˆamp finit de evenimente deoarece, de exemplu {2} = {1, 3} ∈ / K sau {1} ∪ {2} = {1, 2} ∈ / K.

1.2

Cˆ amp finit de probabilitate

Fie o experient¸˘a ¸si un eveniment A legat de aceasta. Repet˘am experient¸a de n ori ˆın condit¸ii identice. Not˘am cu m num˘arul de realiz˘ari ale evenimentului A. Rezult˘a c˘a n − m reprezint˘a num˘arul de nerealiz˘ari ale lui A. Definit¸ia 1.2.1 Num˘arul

m n se nume¸ste frecvent¸a relativ˘a a evenimentului A. fn =

Observat¸ia 1.2.1 Frecvent¸a relativ˘a variaz˘a de la o experient˘a la alta, avˆand un caracter experimental. Deoarece 0 6 m 6 n rezult˘a 0 6 fn 6 1, n ∈ IN .

12

ˆ mp de probabilitate Ca

Observat¸ia 1.2.2 Frecvent¸a relativ˘a fn depinde de n, num˘arul de repet˘ari ale experimentului. Multe experient¸e prezint˘a o stabilitate a frecvent¸elor relative ˆın sensul c˘a pe m˘asur˘a ce num˘arul n ia valori mari, frecvent¸a relativ˘a oscileaz˘a ˆın jurul unei anumite valori ¸si se apropie din ce ˆın ce mai mult de aceast˘a valoare. Valoarea poate fi adesea intuit˘a. De exemplu, dac˘a ˆıntr-o urn˘a sunt trei bile negre ¸si una alb˘a, la un num˘ar mare de extract¸ii ale unei bile din urn˘a, cu repunerea bilei extrase ˆınapoi, ¸sansele de extragere ale unei bile negre sunt de trei ori mai mari decˆat cele ale unei bile albe ¸si deci, pentru valori mari ale lui n, ˆın cazul celor dou˘a evenimente frecvent¸ele relative se vor stabiliza ˆın jurul valorilor 3/4 ¸si respectiv 1/4. Aceast˘a stabilitate a frecvent¸elor relative, verificat˘a prin observat¸ii ¸si confirmat˘a ˆın practic˘a, este una din legile cele mai importante ale experient¸elor aleatoare. Legea a fost formulat˘a pentru prima dat˘a de Bernoulli ˆın teorema care ˆıi poart˘a numele ¸si este forma slab˘a a legii numerelor mari (Capitolul 4, Teorema 4.2.2). Definirea probabilit˘a¸tii peste un cˆamp finit de evenimente se poate face ˆın mod clasic ¸si axiomatic. Definit¸ia clasic˘a a probabilit˘a¸tii se poate folosi ˆın cazul ˆın care experient¸a aleatoare are un num˘ar finit de cazuri posibile ¸si toate egal probabile, adic˘a la un num˘ar mare de efectu˘ari ale experient¸ei, fiecare caz are aceea¸si ¸sans˘a de a se realiza. Consider˘am, de exemplu, experient¸a care const˘a ˆın aruncarea unui zar pe o suprafat¸˘a neted˘a. Dac˘a zarul este perfect cubic ¸si omogen, atunci fiecare din fet¸e are aceea¸si ¸sans˘a de a apare, frecvent¸ele relative ale fiec˘areia dintre ele variaz˘a ˆın jurul lui 1/6. ˆIn cazul ˆın care zarul nu ar fi omogen, atunci una sau mai multe fet¸e ar fi favorizate. a ¸si evenimentele legate de aceasta astfel ˆıncˆ at toate eveniDefinit¸ia 1.2.2 Fie o experient¸˘ mentele s˘a fie egal posibile. Fie evenimentul A legat de aceast˘ a experient¸˘ a. Numim probabilitatea evenimentului A num˘ arul m P (A) = n dat de raportul dintre num˘arul m al cazurilor favorabile realiz˘ arii evenimentului A ¸si num˘ arul n al cazurilor egal posibile. Ment¸ion˘am c˘a orice prob˘a care conduce la realizarea unui eveniment A reprezint˘a ”un caz favorabil evenimentului A”. Observat¸ia 1.2.3 Definit¸ia clasic˘a a probabilit˘a¸tii, formulat˘a pentru prima dat˘a de Laplace, este nesatisf˘ac˘atoare din punct de vedere logic deoarece reduce definit¸ia probabilit˘a¸tii la problema cazurilor egal posibile care nu a putut fi definit˘a din punct de vedere matematic, ci numai ilustrat˘a. ˆIn cazul zarului neomogen, definit¸ia clasic˘a a probabilit˘a¸tii nu poate fi aplicat˘a. Riguros vorbind, zarul neomogen ¸si nesimetric este singurul caz real deoarece construirea unui zar perfect este imposibil˘a. Un alt incovenient al definit¸iei apare ˆın cazul ˆın care num˘arul cazurilor posibile este infinit deoarece ˆın aceast˘a situat¸ie probabilitatea, calculat˘a dup˘a definit¸ia clasic˘a, este foarte mic˘a sau egal˘a cu zero.

ˆ mp de probabilitate Ca

13

ˆIn sfˆar¸sit, definit¸ia clasic˘a a probabilit˘a¸tii nu poate fi admis˘a deoarece nu pote fi aplicat˘a ˆın studiul fenomenelor sociale, neputˆandu-se determina num˘arul cazurilor posibile. Observat¸ia 1.2.4 Leg˘atura existent˘a ˆıntre frecvent¸a relativ˘a unui eveniment ¸si probabilitatea sa este profund˘a. De fapt atunci cˆand calcul˘am probabilitatea unui eveniment ne baz˘am pe frecvent¸ele relative. Exemplul 1.2.1 Se arunc˘a un zar de dou˘a ori. Mult¸imea rezultatelor posibile ale experient¸ei care const˘a ˆın perechile de numere ce apar pe zar ˆın cele dou˘a arunc˘ari este E = {11, 12, . . . , 16, 21, 22, . . . , 26, 31, . . . , 66} , |E| = 62 = 36, unde |E| noteaz˘a num˘arul de elemente ale mult¸imii E. Toate rezultatele posibile sunt echiprobabile, deci probabilitatea unui eveniment A, P (A), este egal˘a cu num˘arul elementelor din mult¸imea A ˆımp˘art¸it la num˘arul elementelor din E. Presupunem c˘a vom p˘astra fat¸a zarului ce cont¸ine un punct alb˘a, iar celelalte fet¸e le vom colora ˆın negru. Not˘am cu AN evenimentul ca la prima aruncare a zarului s˘a obt¸inem fat¸a alb˘a, iar la cea de-a doua aruncare o fat¸a˘ neagr˘a a zarului. Avem AN = {12, 13, 14, 15, 16}. Rezult˘a P (AN ) =

5 . 36

Analog, f˘acˆand notat¸iile ˆın acela¸si fel, avem: P (AA) =

1 5 25 , P (N A) = , P (N N ) = . 36 36 36

Presupunem c˘a au fost ¸sterse numerele de pe fet¸ele zarului ¸si au r˘amas culorile. Mult¸imea rezultatelor posibile, ˆın acest caz, este E = {AA, AN, N A, N N } cu probabilit˘a¸tile corespunz˘atoare. Observ˘am c˘a ˆın acest ultim caz, evenimentele AA, AN, N A, N N sunt elementare ¸si formeaz˘a un sistem complet de evenimente. Propriet˘ a¸ti ale probabilit˘ a¸tii: P1. ∀A ∈ K : 0 6 P (A) 6 1; P2. P (E) = 1; P3. P (∅) = 0; P4. ∀A, B ∈ K, A ∩ B = ∅ : P (A ∪ B) = P (A) + P (B); P5. ∀A, B ∈ K, B ⊂ A : P (A \ B) = P (A) − P (B); P6. ∀A ∈ K

¯ = 1; : P (A) + P (A)

P7. ∀A, B ∈ K, B ⊂ A : P (B) 6 P (A). Primele trei propriet˘a¸ti sunt evidente. Demonstr˘am proprietatea P4. Dac˘a din cele n cazuri posibile, m sunt favorabile lui A ¸si p favorabile lui B, atunci P (A) =

p m , P (B) = . n n

ˆ mp de probabilitate Ca

14

Dac˘a A ∩ B = ∅, atunci num˘arul cazurilor favorabile lui A ∪ B este m + p, deci rezult˘a proprietatea P4. Aceast˘a proprietate poate fi extins˘a ˆın sensul c˘a dac˘a A1 , A2 , . . . , An ∈ K, evenimente incompatibile dou˘a cˆate dou˘a, adic˘a Ai ∩ Aj = ∅, ∀i 6= j, atunci P(

n [

Ai ) =

i=1

n X

P (Ai ).

i=1

Demonstrat¸ia rezult˘a utilizˆand metoda induct¸iei matematice. Demonstr˘am proprietatea P5. Scriem A = (A \ B) ∪ B ¸si atunci (A \ B) ∩ B = ∅, deci, conform propriet˘a¸tii P4, P (A) = P ((A \ B) ∪ B) = P (A \ B) + P (B) ⇒ P (A \ B) = P (A) − P (B). Mai general, avem: ∀A, B ∈ K :

P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B).

(1.1)

ˆIntr-adev˘ar, scriem A = (A \ B) ∪ (A ∩ B). Deoarece (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅ avem, conform propriet˘a¸tii P4, P (A) = P (A \ B) + P (A ∩ B). Rezult˘a formula (1.1). ¯ folosind P2. Proprietatea P6 se obt¸ine din P4 punˆand B = A, Pentru a demonstra proprietatea P7 folosim P5. Dac˘a B ⊂ A atunci P (A \ B) = P (A) − P (B) > 0 ¸si deoarece, conform P1, P (A \ B) > 0 rezult˘a proprietatea dorit˘a. Definit¸ia 1.2.3 Un sistem finit de evenimente { E, K } asociat unei experient¸e aleatoare cu un num˘ar finit de cazuri egal posibile ˆımpreun˘ a cu probabilit˘ a¸tile acestor evenimente formeaz˘ a un cˆamp finit de probabilitate notat { E, K, P }. Odat˘a introdus˘a not¸iunea de probabilitate, putem defini dou˘a not¸iuni importante ˆın teoria probabilit˘a¸tilor ¸si anume not¸iunea de probabilitate condit¸ionat˘a ¸si de independent¸˘a ˆın probabilitate a evenimentelor. Uneori trebuie s˘a calcul˘am probabilitatea unui eveniment A legat de un eveniment B, ˆın ipoteza c˘a evenimentul B s-a realizat. Pentru aceasta restrˆangem mult¸imea evenimentelor care realizeaz˘a evenimentul A la cele care realizeaz˘a ¸si evenimentul B, deci restrˆangem E la B. Pentru ca aceast˘a restrict¸ie s˘a aib˘a sens este necesar ca evenimentul B s˘a fie de probabilitate nenul˘a. Fie { E, K, P } un cˆamp finit de probabilitate ¸si A, B ∈ K, P (B) 6= 0. Definit¸ia 1.2.4 Numim probabilitatea evenimentului A condit¸ionat˘a de evenimentul B (notat PB (A) sau P (A|B)) probabilitatea de realizare a evenimentului A ˆın ipoteza c˘a evenimentul B s-a realizat, probabilitate definit˘a prin P (A|B) =

P (A ∩ B) . P (B)

(1.2)

Observat¸ia 1.2.5 Fie m num˘arul cazurilor favorabile lui B, p num˘arul cazurilor favorabile lui A ¸si q favorabile lui A ∩ B. Din cele m cazuri favorabile lui B, q sunt favorabile

ˆ mp de probabilitate Ca

15

¸si lui A sau, ceea ce este acelasi lucru, din cele p cazuri favorabile lui A, q sunt favorabile ¸si lui B. Avem m p q P (B) = , P (A) = , P (A ∩ B) = . n n n ˆIn ipoteza c˘a B s-a realizat, r˘amˆan m cazuri posibile, din care q favorabile lui A. Deci q q n = P (A ∩ B) . P (A|B) = = m m P (B) n Aceasta ar putea constitui o ”justificare” a relat¸iei (1.2). Observat¸ia 1.2.6 Dac˘a presupunem c˘a P (A) 6= 0, atunci P (B|A) =

P (A ∩ B) . P (A)

(1.3)

Observat¸ia 1.2.7 Din relat¸iile (1.2) ¸si (1.3) ret¸inem P (A ∩ B) = P (B)P (A|B) ¸si P (A ∩ B) = P (A)P (B|A). Fie { E, K, P } un cˆamp finit de probabilitate ¸si A, B ∈ K. Definit¸ia 1.2.5 Evenimentele A ¸si B sunt independente (ˆın probabilitate) dac˘a probabilitatea ca unul s˘a se realizeze nu depinde de faptul c˘a cel˘ alalt s-a realizat sau nu, altfel spus P (A ∩ B) = P (A)P (B). (1.4) Teorema 1.2.1 Evenimentele A ¸si B cu P (A)P (B) 6= 0 sunt independente dac˘a ¸si numai dac˘ a are loc una din relat¸iile: a) P (B|A) = P (B); b) P (A|B) = P (A); ¯ = P (B); c) P (B|A) ¯ = P (A). d) P (A|B) Demonstrat¸ie. Ar˘at˘am c˘a cele patru relat¸ii sunt echivalente cu relat¸ia (1.4) din definit¸ie. ˆIn acest fel se justifica ¸si sensul Definit¸iei 1.2.5. Presupunem c˘a are loc a). Atunci, deoarece P (B|A) = rezult˘a P (A ∩ B) = P (A)P (B), adic˘a (1.4).

P (A ∩ B) P (A)

ˆ mp de probabilitate Ca

16 Reciproc, dac˘a P (A ∩ B) = P (A)P (B) ¸si deoarece P (B|A) =

P (A ∩ B) P (A)P (B) = = P (B) P (A) P (A)

rezult˘a a). Cum relat¸ia (1.4) este simetric˘a ˆın A ¸si B, rezult˘a c˘a (1.4) este echivalent˘a cu b). Demonstr˘am c˘a ¯ (B) P (A¯ ∩ B) = P (A)P (1.5) ¯ (B) atunci deoarece este echivalent˘a cu (1.4). ˆIntr-adev˘ar, dac˘a P (A¯ ∩ B) = P (A)P ¯ ¯ A ∩ B = B \ A avem P (B \ A) = P (A)P (B) sau P (B) − P (A ∩ B) = (1 − P (A))P (B) echivalent cu P (B) − P (A ∩ B) = P (B) − P (A)P (B), ¯ Vom avea P (A¯ ∩ B) = deci (1.4). Invers, presupunem (1.4) ¸si lu˘am ˆın locul lui A pe A. ¯ (B), adic˘a (1.5). Deci c) este echivalent cu (1.5) care este echivalent cu (1.4), P (A)P rezult˘a c˘a c) este echivalent cu (1.4). Echivalent¸a lui d) cu (1.4) rezult˘a ˆın mod analog. Definit¸ia 1.2.6 Date evenimentele A1 , A2 , . . . , An , vom spune c˘a sunt independente dac˘ a probabilitatea oric˘arei intersect¸ii finite de evenimente este egal˘ a cu produsul probabilit˘a¸tilor evenimentelor intersectate, adic˘a dac˘a P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ . . . ∩ Aik ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Aik ) oricare ar fi 1 6 i1 6 i2 6 . . . 6 ik 6 n. Observat¸ia 1.2.8 Din definit¸ie rezult˘a c˘a dac˘a trei evenimente sunt independete dou˘a cˆate dou˘a nu rezult˘a c˘a sunt independente ˆın totalitatea lor. Exemplul lui S.N.Bernstein ne va ilustra acest lucru. Consider˘am un tetraedru omogen cu fet¸ele colorate astfel: una ˆın alb, una ˆın negru, una ˆın ro¸su ¸si a patra ˆın toate cele trei culori. Aruncˆand tetraedrul pe o mas˘a el se aseaz˘a pe una din fet¸e; ne intereseaz˘a probabilitatea aparit¸ei fiec˘arei culori ¸si independent¸a evenimentelor corespunz˘atoare. Not˘am cu A1 evenimentul care const˘a ˆın aparit¸ia culorii albe, A2 evenimentul care const˘a ˆın aparit¸ia culorii negre ¸si A3 evenimentul care const˘a ˆın aparit¸ia culorii ro¸sii. Avem: P (A1 ) = P (A2 ) = P (A3 ) =

1 2

deoarece pentru fiecare culoare sunt patru cazuri posibile ¸si dou˘a favorabile (fat¸a cu culorea respectiv˘a ¸si fat¸a cu cele trei culori). Se constat˘a c˘a 1 P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 ∩ A3 ) = P (A2 ∩ A3 ) = , 4 dar P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) =

1 1 6= P (A1 )P (A2 )P (A3 ) = . 4 8

ˆ mp de probabilitate Ca

1.3

17

Metode de num˘ arare

Calculul probabilit˘a¸tilor conduce adesea la num˘ararea diferitelor cazuri posibile. Capitolul din algebr˘a referitor la permut˘ari, aranjamente ¸si combin˘ari este foarte util ˆın aceast˘a situat¸ie. ˘ rii. Presupunem c˘a avem dou˘a situat¸ii A ¸si B, situat¸ia A Principiul multiplica se poate realiza ˆın m moduri, iar situat¸ia B ˆın k moduri. Num˘arul de moduri ˆın are se poate realiza A ¸si B este m × k. Mai general, presupunem c˘a avem r > 2 situat¸ii. ˆIn prima situat¸ie putem face m1 alegeri, ˆın a doua m2 ,. . ., ˆın a r-a situat¸ie mr alegeri, deci ˆın total m1 × m2 × . . . × mr . Exemplul 1.3.1 Care este num˘arul situat¸iilor care apar aruncˆand dou˘a zaruri? Pentru primul zar sunt 6 situat¸ii, pentru al doilea 6 situat¸ii, ˆın total 6 × 6 situat¸ii. ˆIn continuare vom face distinct¸ie ˆıntre o mult¸ime cu o ordine determinat˘a de dispunere a elementelor sale, numit˘a mult¸ime ordonat˘a ¸si o mult¸ime ˆın care nu ne intereseaz˘a ordinea elementelor. ˘ ri: Fie o mult¸ime A cu n elemente. Elementele acestei mult¸imi se pot orPermuta dona ˆın mai multe moduri. Fiecare mult¸ime ordonat˘a care se formeaz˘a cu cele n elemente ale mult¸imii A se nume¸ste permutare a elementelor acelei mult¸imi. Num˘arul permut˘arilor cu n elemente este n! = 1 × 2 × . . . × n. Aranjamente: Fie o mult¸ime A cu n elemente. Submult¸imile ordonate ale lui A, avˆand fiecare cˆate k elemente, 0 6 k 6 n, se numesc aranjamente de n luate cˆate k. Num˘arul aranjamentelor de n luate cˆate k se noteaz˘a Akn = n(n − 1) . . . (n − k + 1). Exemplul 1.3.2 ˆIn cˆate moduri este posibil s˘a facem un steag tricolor dac˘a avem la dispozit¸e pˆanz˘a de steag de cinci culori diferite ? Dou˘a steaguri tricolore care au acelea¸si culori se deosebesc dac˘a ordinea culorilor este diferit˘a. Deci ne intereseaz˘a cˆate submult¸mi de cˆate trei elemente se pot forma cu elementele unei mult¸imi de cinci elemente, ˆın submult¸mi interesˆandu-ne ordinea elementelor. Deci sunt A35 = 5 × 4 × 3 = 60. ˘ ri: Fie o mult¸ime A cu n elemente. Submult¸imile lui A avˆand fiecare cˆate k Combina elemente, 0 6 k 6 n, ˆın care nu ne intereseaz˘a ordinea elementelor, se numesc combin˘ari de n luate cˆate k. Num˘arul combin˘arilor de n luate cˆate k se noteaz˘a Akn . k! Exemplul 1.3.3 Pentru un joc, cinci fete ¸si trei b˘aiet¸i trebuie s˘a formeze dou˘a echipe de cˆate patru persoane. ˆIn cˆate moduri se pot forma echipele ? ˆIn total sunt 8 copii cu ajutorul c˘arora trebuie f˘acute dou˘a grupe a cˆate patru copii. Studiem ˆın cˆate moduri se poate forma o grup˘a de 4, cealalt˘a formˆandu-se din copiii r˘ama¸si. Nu intereseaz˘a num˘arul de fete sau de b˘aiet¸i din grup˘a ¸si nici ordinea lor, ci numai num˘arul de grupe care se pot forma. Acest num˘ar este Cnk =

C54 + C53 × C31 + C52 × C32 + C51 × C33 = C84 = 70.

ˆ mp de probabilitate Ca

18

1.4

Moduri de selectare a elementelor

Presupunem c˘a o urn˘a cont¸ine m bile, marcate de la 1 la m, din care se extrag n bile ˆın anumite condit¸ii. Vom num˘ara, ˆın fiecare situat¸ie, num˘arul cazurilor posibile. Evident n 6 m. 1. Selectare cu ˆıntoarcerea bilei extrase ˆın urn˘ a ¸si ordonare. Extragem n bile pe rˆand, fiecare bil˘a fiind pus˘a ˆınapoi ˆın urn˘a ˆınainte de urm˘atorea extragere, ˆınsemnˆand num˘arul bilelor ˆın ordinea ˆın care apar (intereseaz˘a ordinea bilelor ˆın n-uplul extras). Conform principiului multiplic˘arii, ˆın care m1 = m2 = . . . = mn = m, num˘arul n-uplurilor este mn . 2. Selectare f˘ ar˘ a ˆıntoarcerea bilei ˆın urn˘ a ¸si cu ordonare. Proced˘am ca ¸si ˆın cazul ˆıntˆai, dar dup˘a fiecare extragere bila obt¸inut˘a este pus˘a la o parte, aceast˘a operat¸ie fiind echivalent˘a cu extragerea simultan˘a din urn˘a a n bile. Obt¸inem n-upluri (a1 , a2 , . . . , an ). Regula de multiplicare se aplic˘a astfel: pentru a1 avem m posibilit˘a¸ti, pentru a2 avem m − 1 posibilit˘a¸ti,. . .,pentru an avem m − n + 1 posibilit˘a¸ti, ˆın total m × (m − 1) × . . . × (m − n + 1) = Anm . Caz particular: dac˘a m = n, atunci num˘arul cazurilor posibile este n!. 3. Selectare cu ˆıntoarcerea bilei ˆın urn˘ a ¸si f˘ ar˘ a ordonare. Extragem n bile, una dup˘a alta, fiecare fiind repus˘a ˆın urn˘a ˆınainte de a realiza urm˘atoarea extragere. Nu ¸tinem seama de ordinea bilelor ˆın mult¸imea format˘a. Pot n exista ¸si repetit¸ii. Num˘arul cazurilor posibile este Cn+m−1 , deoarece ar fi ca ¸si cum am extrage simultan dintr-o urn˘a care cont¸ine n + m − 1 bile (numerotate de la 1 la m, unele din ele putˆandu-se repeta) n bile, f˘ar˘a s˘a ne intereseze ordinea. Dup˘a ultima extragere secvent¸ial˘a ˆın urn˘a vor r˘amˆane m − 1 bile. ar˘ a ˆıntorcerea bilei ¸si f˘ ar˘ a ordonare. 4. Selectare f˘ Bilele sunt extrase una dup˘a alta, f˘ar˘a a pune bila extras˘a ˆınapoi; este acela¸si lucru cu a spune c˘a extragem n bile dintr-o dat˘a ¸si form˘am submult¸imi de n elemente, ˆın n . total Cm Caz particular: determinarea num˘arului de permut˘ari a m elemente care se disting prin grupuri de culori, adic˘a avem m1 elemente de culoarea c1 , m2 elemente de culoarea c2 ,. . . , mr elemente de culoarea cr . Culorile sunt distincte, dar bilele de aceea¸si culoare nu se disting ˆıntre ele. m1 + m2 + . . . + mr = m. m1 Num˘arul cazurilor posibile : Cm moduri de alegere a pozit¸iilor bilelor de culoare c1 , m2 mr Cm−m1 moduri de alegere a pozit¸iilor bilelor de culoare c2 ,. . . , Cm−m moduri 1 −...−mr−1

ˆ mp de probabilitate Ca

19

de alegere a pozit¸iilor bilelor de culoarea cm (de fapt m−m1 −m2 −. . .−mr−1 = mr ¸si avem, de fapt, o singur˘a posibilitate), ˆın total, ¸tinˆand seama de regula multiplic˘arii, mr m1 m2 Cm Cm−m1 . . . Cm−m = 1 −...−mr−1

1.5

=

(m − m1 )! (m − m1 − . . . − mr )! m! · ... = m1 ! (m − m1 )! m2 ! (m − m1 − m2 )! (m − m1 − . . . mr )! mr−1 !

=

m! . m1 ! m2 ! . . . mr !

Definit¸ia axiomatic˘ a a probabilit˘ a¸tii

Not¸iunile de probabilitate ¸si de cˆamp finit de probabilitate se pot prezenta ¸si sub form˘a axiomatic˘a. Definit¸ia 1.5.1 Se nume¸ste probabilitate (m˘asur˘a de probabilitate) o funct¸ie definit˘a pe un cˆamp finit de evenimente { E, K } cu valori reale care satisface urm˘atoarele axiome: a) P (A) > 0,

∀A ∈ K;

b) P (E) = 1; c) P (A ∪ B) = P (A) + P (B)

∀A, B ∈ K, A ∩ B = ∅.

Observat¸ia 1.5.1 Axioma c) din definit¸ie se extinde prin recurent¸˘a la orice num˘ar finit de evenimente incompatibile dou˘a cˆate dou˘a, deci dac˘a Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j, i, j = 1, n, atunci n n [ X P ( Ai ) = P (Ai ). i=1

i=1

Definit¸ia clasic˘a a probabilit˘a¸tii satisface toate axiomele definit¸iei date ¸si, de asemenea, oricare din propriet˘a¸tile prezentate anterior pentru probabilitate poate fi obt¸inut˘a din definit¸ia axiomatic˘a. ˆIntr-adev˘ar, P1. P (∅) = 0. Deoarece E ∪ ∅ = E ¸si E ∩ ∅ = ∅ rezult˘a c˘a P (E ∪ ∅) = P (E) + P (∅), adic˘a P (∅) = 0. P2. P (A \ B) = P (A) − P (A ∩ B). Deoarece (A\B)∪(A∩B) = A ¸si (A\B)∩(A∩B) = ∅ rezult˘a P (A\B)+P (A∩B) = P (A). P3. Pentru orice A, B ∈ K, A ⊂ B are loc relat¸ia P (A) 6 P (B). ˆIntr-adev˘ar, ¸tinˆand seama de P2 ¸si de faptul c˘a A ⊂ B avem 0 6 P (B \ A) = P (B) − P (B ∩ A) = P (B) − P (A). Deci P (B) − P (A) > 0 sau P (B) > P (A).

ˆ mp de probabilitate Ca

20

P4. Pentru orice A ∈ K are loc inegalitatea 0 6 P (A) 6 1. ˆIntr-adev˘ar,∅ ⊂ A ⊂ E ¸si, folosind P3, avem P (∅) 6 P (A) 6 P (E) sau 0 6 P (A) 6 1. Definit¸ia 1.5.2 Se nume¸ste cˆamp finit de probabilitate un cˆamp finit de evenimente {E, K} pe care am definit o probabilitate P . Se noteaz˘ a {E, K, P }. Observat¸ia 1.5.2 Definit¸iile probabilit˘a¸tilor condit¸ionate ¸si a independent¸ei evenimentelor r˘amˆan acelea¸si ¸si atunci cˆand construirea teoriei pobabilit˘a¸tilor se realizeaz˘a folosind metoda axiomatic˘a. Observat¸ia 1.5.3 Dac˘a E este reuniune finit˘a de evenimente elementare, fie E = {A1 , A2 , . . . , An }, atunci orice eveniment A ∈ K, A 6= ∅ pote fi scris ca o reuniune finit˘a de evenimente elementare, conform P3 din Capitolul 1.1, adic˘a A = Ai1 ∪ Ai2 ∪ . . . ∪ Aik , unde Aij este un eveniment elementar, j = 1, k. Atunci conform Observat¸iei 1.5.1 obt¸inem P (A) = P (Ai1 ) + . . . + P (Aik ). Deci pentru a cunoa¸ste probabilitatea unui eveniment oarecare din K este suficient s˘a cunoa¸stem probabilitatea tuturor evenimentelor elementare care-l compun. Probabilitatea unui astfel de eveniment A este suma probabilit˘a¸tilor evenimentelor elementare ce-l compun. Evident, probabilit˘a¸tile evenimentelor elementare satisfac condit¸iile P (Ai ) > 0, i = 1, n,

(1.6)

P (A1 ) + P (A2 ) + . . . + P (An ) = P (E) = 1.

(1.7)

Deci, fiind date toate evenimentele elementare care compun E, familia K este perfect determinat˘a ¸si deci cˆampul de probabilitate mai depinde de alegerea a n numere (probabilit˘a¸tile evenimentelor elementare) care satisfac condit¸iile (1.6) ¸si (1.7). ˆIn cazul particular cˆand evenimentele elementare sunt echiprobabile P (A1 ) = P (A2 ) = . . . = P (An ) =

1 , n

k ¸si dac˘a A = Ai1 ∪ Ai2 ∪ . . . ∪ Ain , obt¸inem P (A) = , deci ajungem astfel la definit¸ia n clasic˘a a probabilit˘a¸tii. Observat¸ia 1.5.4 ˆIn definit¸ia axiomatic˘a a probabilit˘a¸tii condit¸ia pus˘a cazurilor posibile de a fi egal probabile este superflu˘a. Un exemplu celebru, dat de D’Alembert, ilustreaz˘a aceasta. Se arunc˘a dou˘a monede simultan. Exist˘a trei cazuri posibile care nu sunt echiprobabile: A evenimentul ca pe ambele monede s˘a apar˘a banul, B evenimentul ca pe ambele monede s˘a nu apar˘a banul, C evenimentul ca pe una din monede s˘a apar˘a banul, iar pe cealalt˘a nu. Probabilit˘a¸tile evenimentelor A, B, C nu sunt 1/3. 1 1 1 P (A) = , P (B) = , P (C) = , 4 4 2

ˆ mp de probabilitate Ca

21

deoarece evenimentul C este compus din dou˘a situat¸ii: pe una din monede s˘a apar˘a banul iar pe cealat˘a nu, ¸si invers. Cele dou˘a cazuri care compun evenimentul C ar fi evidente dac˘a monedele nu s-ar arunca simultan, ci una dup˘a alta. Cele dou˘a monede pot fi nedistinse din punct de vedere fizic ¸si deci cele trei cazuri prezentate de D’Alembert sunt de fapt cele trei cazuri care se pot distinge.

1.6

Formule probabilistice

Probabilitatea unei reuniuni de evenimente. Dac˘a {E, K, P } un cˆamp finit de probabilitate atunci oricare ar fi A, B ∈ K are loc relat¸ia P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

(1.8)

Facem observat¸ia c˘a vom demonstra formulele folosind definit¸ia axiomatic˘a a probabilit˘a¸tii. Deoarece A ∪ B = A ∪ (B \ A) ¸si A ∩ (B \ A) = ∅, avem P (A ∪ B) = P (A ∪ (B \ A)) = P (A) + P (B \ A) dar, conform propriet˘a¸tii P2 din Capitolul 1.5, P (B \ A) = P (B) − P (B ∩ A) ¸si deci rezult˘a (1.8). Relat¸ia se poate extinde ¸si ˆın cazul a n evenimente P(

n [

n X

Ai ) =

i=1

P (Ai ) −

i=1

n X

n−1

P (Ai ∩ Aj ) + . . . + (−1)

i,j=1,i 0; b) m(∅) = 0; [ X c) m( Ai ) = m(A) pentru (Ai )i∈I ⊂ K cu Ai ∩ Aj = ∅ i 6= j i, j ∈ I, iar I o i∈I

i∈I

mult¸ime cel mult num˘arabil˘ a de indici. Observat¸ia 1.8.2 Axioma c) se nume¸ste axioma aditivit˘a¸tii complete a m˘asurii m. ˆIn aceast˘a axiom˘a intervine o reuniune num˘arabil˘a de evenimente, lucru despre care se poate ∞ [ vorbi numai ˆın cazul ˆın care cˆampul de evenimente este infinit. Introducem Ai ca fiind i=1

evenimentul care const˘a ˆın realizarea a cel put¸in unuia din evenimentele A1 , A2 , . . . , An , . . .. ∞ \ Analog, evenimentul Ai const˘a ˆın realizarea tuturor evenimentelor A1 , A2 , . . . , An . . .. i=1

Acceptarea axiomei c) este justificat˘a; ea reprezint˘a o extindere natural˘a a propriet˘a¸tii corespunz˘atoare din cˆampurile finite de evenimente. Observat¸ia 1.8.3 Cˆand An+1 = An+2 = . . . = ∅ se obt¸ine aditivitatea finit˘a a m˘asurii m(

n [

i=1

Ai ) =

n X

m(Ai ).

i=1

Observat¸ia 1.8.4 Din mult¸imea funct¸iilor de evenimente care satisfac axiomele a)-c) intereseaz˘a numai acelea pentru care m(E) < ∞, E fiind evenimentul cert. a m(E) < ∞ atunci pentru orice eveniment A avem m(A) < ∞. Propozit¸ia 1.8.1 Dac˘ ¯ = m(A)+m(A) ¯ = m(E) < ∞. Demonstrat¸ie. Deoarece A∪ A¯ = E, A∩ A¯ = ∅ ⇒ m(A∪ A) ¯ > 0 ⇒ m(A) 6 m(E) < ∞ ⇒ m(A) < ∞. Dar m(A)

ˆ mp de probabilitate Ca

32

Definit¸ia 1.8.3 Fie un cˆamp infinit de evenimente { E, K }. Se nume¸ste probabilitatea evenimentului A ∈ K, m˘asura m(A) pentru care m(E) = 1 Definit¸ia 1.8.4 Se nume¸ste funct¸ie de probabilitate acea m˘asur˘ a a evenimentelor definit˘ a pe cˆampul infinit de evenimente {E,K} care satisface proprietatea m(E) = 1. Definit¸ia 1.8.5 Se nume¸ste cˆamp borelian (infinit) de probabilitate un cˆamp infinit de evenimente { E, K } pe care s-a definit o funct¸ie de probabilitate P. Un cˆamp infinit de probabilitate se noteaz˘ a { E, K, P }. Problema cum trebuie determinat˘a probabilitatea unui eveniment nu poate fi rezolvat˘a ˆın general deoarece ea depinde ˆın mod esent¸ial de natura fenomenului studiat. Exemplul 1.8.1 De exemplu, ne vom referi la probabilit˘a¸tile geometrice. Fie E ⊂ IRn un domeniu. Un punct M ∈ E, luat la ˆıntˆamplare, se nume¸ste punct aleator. Fie o submult¸ime A ⊂ E. Prin m˘asura lui A putem ˆınt¸elege lungimea, aria sau volumul lui A. Dac˘a admitem ipoteza c˘a ˆın cazul ˆın care A, B ⊂ E ¸si m(A) = m(B) ⇒ A = B sunt echivalente din punct de vedere al ariei, indiferent de forma domeniilor A ¸si B, putem scrie P (M ∈ A) = km(A) unde k este un factor constant. Pentru ˆıntreg domeniul E avem evenimentul sigur, deci P (M ∈ E) = 1 = km(E) de unde k=

1 m(E)

¸si deci obt¸inem probabilitatea P (M ∈ A) =

m(A) . m(K)

ˆIn cazul considerat, dac˘a A nu are decˆat un num˘ar finit de puncte, P (M ∈ A) = 0. Exemplul 1.8.2 Vom ar˘ata cum se pote construi o funct¸ie de probabilitate pentru orice mult¸ime num˘arabil˘a E = {e1 , e2 , . . . , en , . . .}. Fiec˘arui punct ei ˆıi ata¸sa˘m un num˘ar pi satisf˘acˆand condit¸iile ∞ X ∀i ∈ IN ∗ : pi > 0, pi = 1 i=1

Fie K = P(E) ¸si A o submult¸ime a lui E. Definim X X P (A) = pi = P (ei ) ei ∈A

ei ∈A

Constat˘am imediat c˘a { E, K, P } este un cˆamp infinit de probabilitate. D˘am un exemplu de cˆamp de probabilitate.

ˆ mp de probabilitate Ca

33

Exemplul 1.8.3 Fie B corpul borelian generat de mult¸imea p˘art¸ilor deschise de pe axa real˘a IR ¸si o funct¸ie f definit˘a pe E ∈ B cu valori ˆın IR, integrabil˘a ˆın raport cu m˘asura Lebesque [vezi 22] ¸si care ˆındepline¸ste condit¸iile Z f (x) > 0, f (x)dx = 1. E

Se verific˘a imediat c˘a { E, K, P } este un cˆamp borelian de probabilitate, unde K = {A ∩ E, A ∈ B}, iar

Z P (A) =

f (x)χA (x)dx E

pentru A ∈ K, unde

 χA (e) =

1, 0,

ˆIn particular, dac˘a f este continu˘a, punem

dac˘a e ∈ A, dac˘ ae∈ / A, Z

P (A) =

f (x)dx. A

Se demonstreaz˘a c˘a P satisface toate axiomele probabilit˘a¸tii. Astfel de funct¸ii se pot g˘asi. De exemplu 1 1 − x2 √ f (x) = sau f (x) = e 2. π(1 + x2 ) 2π ˆIn cˆampurile infinite de probabilitate se p˘astreaz˘a not¸iunile ¸si propriet˘a¸tile din cˆampurile finite de probabilitate. 1. Probabilitatea condit¸ionat˘a se define¸ste plecˆand de la relat¸ia P (A|B) =

P (A ∩ B) , dac˘a P (B) 6= 0. P (B)

Se poate demonstra c˘a tripletul { E, K, PB } este un cˆamp borelian de probabilitate. ˆIntr-adev˘ar, – P (A|B) > 0 deoarece P (A ∩ B) > 0 ¸si P (B) > 0. – Dac˘a A = E atunci, deoarece E ∩ B = B, rezult˘a P (E|B) =

P (B) = 1. P (B)

– Dac˘a (Ai )i∈I ⊂ K este o familie cel mult num˘aarbil˘a de evenimente incompatibile dou˘a cˆate dou˘a, atunci ¸si evenimentele (A ∩ Ai )i∈I sunt incompatibile dou˘a cˆate dou˘a ¸si [ [ P ( (B ∩ Ai )) P (B ∩ ( Ai )) \ i∈I i∈I = = P ( Ai |B) = P (B) P (B) i∈I

ˆ mp de probabilitate Ca

34 X =

P (B ∩ Ai )

i∈I

=

P (B)

X

P (Ai |B).

i∈I

2. Formula probabilit˘a¸tii totale ¸si formula lui Bayes r˘amˆan valabile dac˘a consider˘am sisteme complete de evenimente num˘arabile. Fie (Ai )i∈I ⊂ [ K o familie cel mult Ai = E ¸si P (Ai ) 6= num˘arabil˘a de evenimente incompatibile dou˘a cˆate dou˘a cu i∈I

0, i ∈ I, atunci P (A) =

X

P (Ai )P (A|Ai )

i∈I

¸si

P (Ai )P (A|Ai ) P (Ai |A) = X P (Aj )P (A|Aj )

i ∈ I.

j∈I

Definit¸ia 1.8.6 Se spune c˘a evenimentele (An )n∈IN ⊂ K sunt independente dac˘a orice num˘ ar finit de evenimente din acest ¸sir este independent. Exist˘a ¸si propriet˘a¸ti noi ale funct¸iei de probabilitate P cum ar fi urm˘atoarele: Propozit¸ia 1.8.2 Fie (An )n∈IN ∗ ⊂ K ¸si P o funct¸ie de probabilitate. Atunci [ X P( An ) 6 P (An ). n∈IN ∗

n∈IN ∗

Demonstrat¸ie. Introducem un ¸sir de evenimente din K ˆın felul urm˘ator: A01 = A1 A02 = A2 \ A1 A0n+1

= An+1 \ (

n [

Aj ).

j=1

Evenimentele (A0n )n∈IN ∗ prin modul ˆın care au fost construite sunt incompatibile dou˘a cˆate dou˘a; ˆın plus A0n ⊆ An , n ∈ IN ∗ . Demonstr˘am c˘a [ [ An . A0n = n∈IN ∗

Evident

[ n∈IN ∗

A0n ⊂

[

n∈IN ∗

An .

n∈IN ∗

Demonstr˘am incluziunea contrar˘a. Fie e ∈ n pentru care e ∈ An0 ; rezult˘a deci e ∈ A0n0 ⊂

[

An ¸si n0 cel mai mic num˘ar natural

n∈IN ∗

[ n∈IN ∗

A0n ,

ˆ mp de probabilitate Ca

35 [

An ⊂

n∈IN ∗

[

A0n

n∈IN ∗

adic˘a ceea ce trebuia de demonstrat. De aici rezult˘a c˘a [ [ X X P( An ) = P ( A0n ) = P (A0n ) 6 P (An ) n∈IN ∗

n∈IN ∗

n∈IN ∗

n∈IN ∗

datorit˘a propriet˘a¸tilor de aditivitate ¸si monotonie a probabilit˘a¸tii. Propozit¸ia 1.8.3 Inegalitatea lui Boole. Dac˘a (Ai )i∈I ⊂ K este o mult¸ime cel mult num˘ arabil˘ a de evenimente, atunci \ X P ( Ai ) > 1 − P (A¯i ). i∈I

i∈I

Demonstrat¸ie. Din relat¸iile lui De Morgan avem [ \ Ai = ( A¯i ) i∈I

i∈I

deci

\ [ [ P ( Ai ) = P ( A¯i ) = 1 − P ( A¯i ) i∈I

dar

i∈I

i∈I

[ X P ( A¯i ) 6 P (A¯i ) i∈I

i∈I

¸si obt¸inem inegalitatea dorit˘a. Definit¸ia 1.8.7 Un ¸sir de evenimente (An )n∈IN ∗ este ascendent (descendent) dac˘a Aj ⊂ (⊃)Ai pentru j < i, i, j ∈ IN ∗ , i 6= j. Propozit ¸ia 1.8.4 Fie (An )n∈IN ∗ un ¸sir descendent de evenimente din K. Dac˘a A = \ An , atunci ∗ n∈IN \ lim P (An ) = P ( An ) = P (A). n→∞

n∈IN ∗

Demonstrat¸ie. a) Consider˘am cazul ˆın care A = ∅. Trebuie s˘a ar˘at˘am c˘a lim P (An ) = 0.

n→∞

Deoarece (An )n∈IN ∗ este un ¸sir descendent, putem scrie An = (An \ An+1 ) ∪ (An+1 \ An+2 ) ∪ . . . ¸si deci An apare ca o reuniune de evenimente incompatibile, c˘aci (An+k \ An+k+1 ) ∩ (An+s \ An+s+1 ) = ∅

ˆ mp de probabilitate Ca

36 dac˘a k 6= s ¸si obt¸inem P (An ) =

∞ X

∞ X P (Ai \ Ai+1 ) = (P (Ai ) − P (Ai+1 )),

i=n

iar seria

i=n ∞ X

P (Ai \ Ai+1 ) = P (A1 )

i=1

este convergent˘a, deci restul seriei converge la zero cˆand n → ∞, deci lim P (An) = 0. n→∞

b) Consider˘am cazul A 6= ∅. Vom introduce evenimentele Cn = An \ A, n ∈ IN ∗ , care reduc acest caz la cazul precedent. S¸irul (Cn )n∈IN ∗ este un ¸sir descendent ¸si deoarece ∞ \ Cn = ∅, rezult˘a, conform cazului a) c˘a n=1

lim P (Cn ) = 0

n→∞

Dar P (Cn ) = P (An \ A) = P (An ) − P (A) ¸si deci lim P (An ) = P (A).

n→∞

Propozit ¸ia 1.8.5 Fie (An )n∈IN ∗ un ¸sir ascendent de evenimente din K. Dac˘a A = [ An , atunci ∗ n∈IN [ lim P (An ) = P ( An ) = P (A). n→∞

n∈IN ∗

Demonstrat¸ie. Trecem la evenimentele complementare; ¸sirul (A¯n )n∈IN ∗ este descendent, ∪ se transform˘a ˆın ∩ ¸si se aplic˘a propozit¸ia 1.8.4. Definit¸ia 1.8.8 Fie (π) o proprietate descris˘a de o propozit¸ie formulat˘a ˆıntr-un cˆamp borelian de probabilitate {E, K, P }. Dac˘a toate evenimentele elementare care nu implic˘a proprietatea (π) formeaz˘ a un eveniment de probabilitate nul˘a atunci vom spune c˘a (π) este adev˘arat˘ a aproape sigur. Observat¸ia 1.8.5 ˆIn cˆampuri infinite de probabilitate pot exista evenimente diferite de evenimentul imposibil ¸si care s˘a aib˘a probabilitatea nul˘a. Exemplul 1.8.4 Fie un ceas ¸si presupunem c˘a acele sale se opresc la ˆıntˆamplare. S˘a se determine probabilitatea ca minutarul s˘a se opreasc˘a ˆın dreptul uneia din cele 12 cifre ale cadranului este nul˘a. Aceata rezult˘a din observat¸ia c˘a probabilitatea ca minutarul s˘a se opreasc˘a ˆıntr-un segment al circumferint¸ei cadranului este proport¸ional˘a cu lungimea acestuia. Ori cele 12 cifre ale cadranului alc˘atuiesc o mult¸ime format˘a din 12 puncte ale circumferint¸ei, fiecare din acestea fiind asimilat cu un segment de o lungime nul˘a. Evident, nu este exclus ca minutarul s˘a se opreasc˘a ˆın dreptul unei cifre. Proprietatea ”minutarul nu se opre¸ste ˆın dreptul unei cifre a cadranului ” este o proprietate aproape sigur˘a.

ˆ mp de probabilitate Ca

1.9

37

Probleme propuse

Problema 1.1 Se joac˘a un joc. Partida este considerat˘a cˆa¸stigat˘a de primul dintre cei doi juc˘atori care cˆa¸stig˘a trei jocuri. Dac˘a jocul se ˆıntrerupe la scorul de 2-1, cum trebuie ˆımp˘art¸it˘a miza? Solut¸ie. La prima vedere s-ar p˘area c˘a miza trebuie ˆımp˘art¸it˘a ˆın trei p˘art¸i egale ¸si c˘a¸stig˘atorul ia dou˘a p˘art¸i. Corect este ca miza s˘a fie ˆımp˘art¸it˘a proport¸ional cu probabilitatea pe care o are fiecare juc˘ator de a cˆa¸stiga partida, dac˘a acesta ar fi continuat. S˘a presupunem c˘a se mai joac˘a dou˘a jocuri (indiferent de rezultatul primului joc). Not˘am cu 1 dac˘a juc˘atorul a cˆa¸stigat partida ¸si cu 0 dac˘a a piedut-o. Prin notat¸ia (1, 0) ˆınt¸elegem c˘a primul juc˘ator a cˆa¸stigat prima partida iar al doilea nu a piedut a doua partid˘a. Sunt urm˘atoarele posibilit˘a¸ti: (1, 1), (1, 0), (0, 1) ¸si (0, 0), din care rezult˘a c˘a primul juc˘ator, care conduce cu 2-1, are trei ¸sanse ¸si al doilea una singur˘a. Miza trebuie ˆımp˘art¸it˘a ˆın patru p˘art¸i egale ¸si primul juc˘ator ia trei p˘art¸i, iar al doilea o parte. Problema 1.2 Un student are de r˘aspuns la n ˆıntreb˘ari, c˘arora trebuie s˘a le asocieze r˘aspunsul corect dintre n r˘aspunsuri indicate. Stabilit¸i probabilitatea ca studentul s˘a r˘aspund˘a la: a) prima ˆıntrbare; b) primele dou˘a ˆıntreb˘ari; c) cel put¸in o ˆıntrebare. Indicat¸ie. a) num˘atul cazurilor posibile: n!, num˘arul cazurilor favirabile (n − 1)!, probabilitatea c˘autat˘a: 1/n; b) 1/(n − 2)!; c) dac˘a not˘am cu Ai evenimentul c˘a studentul r˘aspunde corect la ˆıntrebarea i, evenimentul c˘autat este A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An . Folosind formula (1.9) obt¸inem: 1 − 1/2! + 1/3! − . . . + (−1)n−1 1/n!. Problema 1.3 Evenimentul A const˘a ˆın aparit¸ia cel put¸in o dat˘a a fet¸ei 5 aruncˆand un zar de 4 ori, iar evenimentul B const˘a ˆın aparit¸ia fet¸ei 5 cel put¸in de dou˘a ori, aruncˆand de 18 ori cˆate dou˘a zaruri. Care din cele dou˘a evenimente este cel mai probabil? Indicat¸ie. Se poate interpreta aparit¸ia fet¸ei 5 a unui zar ca o urn˘a cu dou˘a st˘ari, una 5 4 5 4 ¯ ”fat¸a cu cu 5” cu probabilitatea q = 5/6. P (A) = ( ) , P (A) = 1 − ( ) . Deoarece 6 6 arunc˘arile sunt independete, ˆın loc s˘a arunc˘am de 18 ori cˆate dou˘a zaruri, putem arunca 36 de zaruri o singur˘a dat˘a. ¯ = ( 5 )36 + 36 1 ( 5 )35 . P (B) 6 6 6 Avem

5 41 ( )35 ¯ P (B) 6 < 7( 5 )31 < 1. = 6 ¯ 5 6 P (A) ( )4 6

Problema 1.4 Un calculator este format din n componente. Probabilitatea ca o component˘a i s˘a se nu defecteze ˆın perioada de timp T este pi , i = 1, n. Componentele se

ˆ mp de probabilitate Ca

38

defecteaz˘a independent unele de celelalte. S˘a se calculeze probabilitatea ca ˆın perioada de timp T calculaterul s˘a se defecteze. (Defectarea unei componente conduce la oprirea calculatorului.) Solut¸ie. Cacul˘am probabilitatea evenimentului contrar, adic˘a ˆın perioada de timp T calculatorul s˘a funct¸ioneze. Aceasta ˆınseamn˘a c˘a toate componentele s˘a nu se defecteze, n n Y Y iar probabilitatea acestui eveniment este pi . Probabilitatea c˘autat˘a va fi 1 − pi . i=1

i=1

Problema 1.5 Un circuit electric are patru relee a c˘aror funct¸ionare este egal probabil˘a (funct¸ioneaz˘a ¸si se pot defecta independent unul de cel˘alalt), montate dup˘a Figura 1.1. Calculat¸i probabilit˘atea ca ˆıntre punctele A ¸si B s˘a nu circule curentul. Solut¸ie. Nto˘am cu Ai evenimentul ”releul Ri este defect”. Curentul nu circul˘a atunci cˆand se realizeaz˘a evenimentul ((A1 ∪ A2 ) ∩ A4 ) ∪ A3 = (A1 ∩ A4 ) ∪ (A2 ∩ A4 ) ∪ A3 . Cum orice releu poate fi ˆın dou˘a pozit¸ii, ˆınchis sau deschis, rezult˘a c˘a num˘arul cazurilor posibile este 24 = 16. Probabilitatea c˘autat˘a este 2 · 4/16 − 8/16 − 3 · 2/16 + 1/16. Problema 1.6 Trei mesaje sunt transmise pe un canal de comunicare, pe fiecare dintre ele putˆand fi transmis cu o anumit˘a exactitate. Transmiterea unui mesaj poate conduce la unul din urm˘atoarele evenimente: a) A1 = { mesajul este transmis ˆıntr-o form˘a corect˘a }. b) A2 = { mesajul este part¸ial eronat }. c) A3 = { mesajul este complet eronat }. Probabilit˘a¸tile evenimentelor A1 , A2 , A3 sunt date ¸si anume egale cu p1 , p2 ¸si p3 , (p1 + p2 + p3 = 1). Considerˆand c˘a transmiterea corect˘a sau eronat˘a a unui mesaj nu este influent¸at˘a de modul de transmitere a celorlalte (independent¸a evenimentelor), s˘a se g˘aseasc˘a probabilit˘a¸tle urm˘atoarelor evenimente: i) A = { toate mesajele sunt transmise corect }. ii) B = { cel put¸in un mesaj s˘a fie complet eronat }. iii) C = { cel put¸in dou˘a mesaje sunt part¸ial sau complet eronate }. Solut¸ie. Not˘am urm˘atoarele evenimente astfel: A11 = { primul mesaj transmis este corect }, A12 = { al doilea mesaj transmis este corect }, A13 = { al treilea mesaj transmis este corect }, A21 = { primul mesaj transmis este part¸ial eronat }, A22 = { al doilea mesaj transmis este part¸ial eronat }, A23 = { al treilea mesaj transmis este part¸ial eronat }, A31 = { primul mesaj transmis este complet eronat },

ˆ mp de probabilitate Ca

39

A32 = { al doilea mesaj transmis este complet eronat }, A33 = { al treilea mesaj transmis este complet eronat }. Avem P (A11 ) = P (A12 ) = P (A13 ) = p1 , P (A21 ) = P (A22 ) = P (A23 ) = p2 , P (A31 ) = P (A32 ) = P (A33 ) = p3 . Evenimentul A ˆınseamn˘a c˘a primul mesaj transmis este corect ¸si al doilea mesaj transmis este corect ¸si al treilea mesaj transmis este corect, adic˘a A = A11 ∩ A12 ∩ A13 ¸si deoarece evenimentele sunt independente (conform presupunerii f˘acute) avem P (A) = p31 . Complementarul evenimentului B este: toate mesajele sunt sau corecte sau part¸ial eronate, deci B = (A11 ∪A12 )∩(A21 ∩A22 )∪(A31 ∩A32 ). Probabilitatea acestui eveniment este (p1 + p2 )3 , iar P (B) = 1 − (p1 + p2 )3 . Evenimentul C este compus din reuniunea evenimentelor: (primul mesaj este corect ¸si al doilea mesaj este part¸ial sau complet eronat ¸si al treilea mesaj este part¸ial sau complet eronat) sau (primul mesaj este part¸ial sau complet eronat ¸si al doilea mesaj este corect ¸si al treilea mesaj este part¸ial sau complet eronat) sau (primul mesaj este part¸ial sau complet eronat ¸si al doilea este part¸ial sau complet eronat ¸si al treilea mesaj este corect) sau (toate cele trei mesaje sunt part¸ial sau complet eronate), adic˘a C = (A11 ∩ ((A22 ∪ A32 ) ∩ (A23 ∪ A33 ))) ∩ ((A21 ∪ A31 ) ∩ A12 ∩ (A23 ∪ A33 )) ∩ ((A21 ∪ A31 ) ∩ (A22 ∪ A32 ) ∩ A31 ) ∪ ((A21 ∪ A31 ) ∩ (A22 ∪ A32 ) ∩ (A23 ∪ A33 )). Probabilitatea acestui eveniment este P (C) = 3(p2 + p3 )2 p1 + (p2 + p3 )3 . Problema 1.7 Un mesaj important este transmis simultan pe n canale de comunicat¸ie ¸si repetat pe fiecare canal de k ori pentru a u¸sura recept¸ionarea sa corect˘a. Probabilitatea ca ˆın timpul transmisiei unui mesaj acesta s˘a fie eronat este p ¸si nu depinde de transmiterea altor mesaje. Fiecare canal de comunicat¸ie poate fi ”blocat” cu zgomote cu probabilitatea q; un canal ”blocat” nu poate transmite nici-un fel de mesaje. S˘a se calculeze probabilitatea evenimentului A = { un mesaj este transmis sub form˘a corect˘a m˘acar odat˘a }. Solut¸ie. Introducem evenimentul: B = { un mesaj este transmis pe un canal de comunicat¸ie f˘ar˘a nici o eroare m˘acar odat˘a }. Pentru ca s˘a aib˘a loc evenimentul B mai ˆıntˆai canalul nu trebuie s˘a fie ”blocat” cu zgomote ¸si apoi m˘acar unul din cele k mesaje transmise nu trebuie s˘a fie eronat (contrar evenumentului c˘a toate cele k mesaje transmise sunt eronate). Obt¸inem P(B) = (1−q)(1−pk). Probabilitatea evenimentului A, eveniment care ˆınseamn˘a c˘a evenimentul B s-a produs m˘acar odat˘a pe un canal, este P (A) = 1 − (1 − P (B))n = 1 − (1 − (1 − q)(1 − pk ))n . Problema 1.8 Un mesaj format din cifrele 0 ¸si 1 este transmis. Fiecare simbol poate fi transmis eronat cu probabilitatea p (este schimbat ˆın contrarul s˘au cu probabilitatea q). Pentru sigurant¸a˘, mesajul este transmis de dou˘a ori; informat¸ia este considerat˘a corect˘a dac˘a ambele mesaje coincid. S˘a se calculeze probabilitatea ca mesajul s˘a nu fie corect, ˆın ciuda faptului c˘a cele dou˘a mesaje transmise sunt identice. Solut¸ie. Evenimentul ca mesajul s˘a nu fie corect este contrar evenimentului c˘a ambele mesaje sunt corecte. Probabilitatea ca un mesaj transmis s˘a fie corect este (1 − p)n , probabilitatea ca ambele mesaje s˘a fie corecte este (1 − p)2n , iar probabilitatea c˘autat˘a este 1 − (1 − p)2n . Problema 1.9 Fie opt canale de transmitere a informat¸iei care funct¸ioneaz˘a independent. Presupunem c˘a un canal este activ cu probabilitatea 1/3. S˘a se calculeze probabilitatea ca la un moment dat s˘a fie mai mult de ¸sase canale active.

ˆ mp de probabilitate Ca

40

Solut¸ie. Pentru i = 1, . . . , 8 fie Ai evenimentul: ”canalul i este activ”. Num˘arul canalelor active este egal cu num˘arul de realiz˘ari ale evenimentelor Ai , i = 1, . . . , 8, ˆın opt experient¸e Bernoulli cu p = 1/3. Atunci probabilitatea ca mai mult de ¸sase canale s˘a fie active este P (k = 7) + P (k = 8) = C87 (1/3)7 (2/3) + C88 (1/3)8 = 0, 0024 + 0, 00015 = 0, 00259

Problema 1.10 Un bloc de 100 de bit¸i este transmis pe un canal de comunicat¸ie binar cu probabilitatea de eroare pe bit 10−3 . S˘a se g˘aseac˘a probabilitatea ca blocul s˘a cont¸in˘a trei sau mai mult de trei erori. R:1.5 · 10−4 . Problema 1.11 Un asamblor de calculatoare folose¸ste circuite din trei surse: A, B ¸si C. Ele pot fi defecte cu probabilit˘a¸tile de respectiv 0,001, 0,005 ¸si 0,01. Dac˘a se ia un circuit la ˆıntˆımplare ¸si se constat˘a c˘a este defect, care este probabilitatea ca el s˘a provin˘a de la sursa A sau B. Solut¸ie. Fie A1 evenimentul ca circuitul s˘a provin˘a de la sursa A, A2 de la sursa B ¸si A3 s˘a provin˘a de la sursa C. Fie D evenimentul ca circuitul folosit s˘a fie defect, iar D|Ai , i = 1, 2, 3 evenimentul ca circuitul folosit s˘a fie defect ¸stiind c˘a el provine de la sursa A, B ¸si respectiv C. Avem P (D|A1 ) = 0, 001, P (D|A2 ) = 0, 005, P (D|A3 ) = 0, 01 Folosind formula lui Bayes (1.12) obt¸inem P (A1 |D) = 1/16, P (A2 |D) = 10/16. Deoarece evenimentele A1 |D ¸si A2 |D sunt incompatible, rezult˘a P (A1 ∪ A2 |D) = P (A1 |D) + P (A2 |D) = 11/16 = 0, 6875.

Problema 1.12 Multe sisteme de comunicat¸ie pot fi modelate ˆın felul urm˘ator: mai ˆıntˆai utilizatorul introduce 0 sau 1 ˆın sistem ¸si semnalul corespunz˘ator este transmis; ˆın al doilea rˆand ia o decizie asupra a ceea ce s-a introdus ˆın sistem pe baza semnalului receptionat. Presupunem c˘a utilizatorul transmite 0 cu probabilitatea 1 − p ¸si 1 cu probabilitatea p ¸si c˘a cel ce receptioneaz˘a ia o decizie eronat˘a cu probabilitatea ε. Pentru i = 0, 1 fie Ai evenimentul c˘a la intrare s-a introdus i ¸si Bi evenimentul c˘a decizia celui ce receptioneaz˘a a fost i. S˘a se calculeze probabilit˘a¸tile P (Ai ∩ Bj ) pentru i = 0, 1 ¸si j = 0, 1. Presupunem c˘a probabilit˘a¸tile ca la intrare s˘a se transmit˘a 0 sau 1 sunt egale cu 1/2. S˘a se calculeze probabilitatea evenimentului B1 . Dar probabilitatea de a se fi transmis 0 ¸stiind c˘a s-a receptionat 1? Dar probabilitatea de a se fi transmis 1 ¸stiind c˘a s-a receptionat 1? Solut¸ie.

ˆ mp de probabilitate Ca

41

Se obt¸in probabilit˘a¸tile P (A0 ∩ B0 ) = (1 − p)(1 − ε) P (A0 ∩ B1 ) = (1 − p)ε P (A1 ∩ B0 ) = pε P (A1 ∩ B1 ) = p(1 − ε). Evenimentele A1 ¸si A2 formeaz˘a un sistem complet de evenimente pentru spat¸iul de select¸ie E = {0, 1}. Pentru a calcula probabilitatea evenimentului B1 aplic˘am formula probabilit˘a¸tii totale: P (B1 ) = P (A0 )P (B1 |A0 ) + P (A1 )P (B1 |A1 ) = 1/2ε + 1/2(1 − ε) = 1/2. Aplicˆand formula lui Bayes obt¸inem probabilit˘a¸tile (pe care le-am mai numit posteori); P (B1 |A0 )P (A0 ) ε/2 = =ε P (B1 ) 1/2 P (B1 |A1 )P (A1 ) (1 − ε)/2 P (A1 |B1 ) = = = 1 − ε. P (B1 ) 1/2

P (A0 |B1 ) =

Dac˘a ε este mai mic decˆat 1/2 atunci este mai probabil ca la intrare s˘a avem 1 decˆat 0 dac˘a la ie¸sire s-a primit semnalul 1. Problema 1.13 Un sistem const˘a dintr-o unitate central˘a ¸si trei unit˘a¸ti periferice. Sistemul funct¸ioneaz˘a la capacitate optim˘a dac˘a unitatea central˘a ¸si dou˘a unit˘a¸ti periferice funct¸ioneaz˘a. S˘a se calculeze probabilitatea ca sistemul s˘a funct¸ioneze la capacitate optim˘a presupunˆand c˘a defectarea unit˘a¸tilor se face independent una de cealalta. Solut¸ie. Definim urm˘atorele evenimente: A-unitatea central˘a funct¸ioneaz˘a; Bi -unitatea periferic˘a i funct¸ioneaz˘a, unde i = 1, 2, 3. Evenimentul F -dou˘a sau mai multe unit˘a¸ti periferice funct¸ioneaz˘a ˆınseamn˘a c˘a toate trei unit˘a¸tile periferice funct¸ioneaz˘a sau exact dou˘a unit˘a¸ti periferice funct¸ioneaz˘a. Astfel: ¯3 ) ∪ (B1 ∩ B ¯2 ∩ B3 ) ∪ (B ¯1 ∩ B2 ∩ B3 )∪ F = (B1 ∩ B2 ∩ B ∪(B1 ∩ B2 ∩ B3 ). Observ˘am c˘a evenimentele de mai sus din paranteze sunt indepandente ˆıntre ele ¸si deci ¯3 ) + P (B1 )P (B ¯2 )P (B3 )+ P (F ) = P (B1 )P (B2 )P (B ¯1 )P (B2 )P (B3 ) + P (B1 )P (B2 )P (B3 ) = +P (B = 3(1 − a)2 a + (1 − a)3 unde s-a presupus c˘a fiecare periferic se defecteaz˘a cu probabilitatea egal˘a cu a, astfel ˆıncˆat ¯i ) = a. Evenimentul ”sistemul funct¸ioneaz˘a la capacitate optim˘a” P (Bi ) = 1 − a ¸si P (B este A ∩ F . Dac˘a presupunem c˘a unitatea central˘a se defecteaz˘a cu probabilitatea p, atunci: P (A ∩ F ) = P (A) P (F ) = (1 − p)P (F ) = (1 − p)3(1 − a)2 a + (1 − a)3 . Fie a = 10%, atunci toate cele trei periferice sunt funct¸ionale (1 − a)3 = 72, 9% din timp iar dou˘a sunt funct¸ionale ¸si una defect˘a 3(1 − a)2 a = 24, 3% din timp. Astfel dou˘a sau

ˆ mp de probabilitate Ca

42

mai multe, periferice funct¸tioneaz˘a 97, 2% din timp. Presupunem c˘a unitatea central˘a nu este foarte bun˘a, ¸si anume p = 20%, atunci sistemul funct¸ioneaz˘a la capacitate optim˘a numai 77, 8% din timp, aceasta datorit˘a faptului c˘a unitatea central˘a se defecteaz˘a. Presupunem c˘a s-a introdus ˆın sistem o a doua unitate central˘a identic˘a cu prima, adic˘a p = 20% ¸si sistemul funct¸ioneaz˘a la capacitate optim˘a dac˘a m˘acar una din cele dou˘a unit˘a¸ti centrale funct¸ioneaz˘a. S˘a calcul˘am cˆat la sut˘a din timp funct¸ioneaz˘a sistemul ˆın acest caz. Definim evenimentele Ai -unitatea central˘a i = 1, 2 funct¸ioneaz˘a. Evenimentul ”sistemul funct¸ioneaz˘a la capacitate optim˘a” este, ˆın acest caz, (A1 ∩F )∪(A2 ∩F ). Atunci P [(A1 ∩ F ) ∪ (A2 ∩ F )] = P (A1 ∩ F ) + P (A2 ∩ F )− −P [(A1 ∩ F ) ∩ (A2 ∩ F )] = P (A1 ) P (F ) + P (A2 ) P (F ) − P (A1 ∩ A2 ∩ F ) = = P (A1 ) P (F ) + P (A2 ) P (F ) − P (A1 ) P (∩A2 ) P (∩F ) = = 2(1 − p)3(1 − a)2 a + (1 − a)3 − (1 − p)2 3(1 − a)2 a + (1 − a)3 = 93, 3% Aceasta a condus la o cre¸stere de 15.5% a timpului de funct¸ionare fat¸a˘ de cazul ˆın care sistemul funct¸iona cu o singur˘a unitate central˘a. Problema 1.14 Un sistem de comunicat¸ie transmite informat¸ie bimar˘a pe un canal care introduce la transmiterea unui bit erori aleatoare cu probabilitatea ε = 10−3 . Fiecare bit este transmis de trei ori ¸si ˆın funct¸ie de semnalul majoritar recept¸ionat se decide informat¸ia ca fiind cea transmis˘a. S˘a se calculeze probabilitatea ca decizia luat˘a s˘a fie incorect˘a. Solut¸ie. Cel ce recept¸ioneaz˘a va lua o decizie eronat˘a dac˘a canalul introduce dou˘a sau mai multe erori. Dac˘a privim fiecare transmitere ca o experient¸˘a Bernoulli ˆın care realizarea evenimentului corespunde introducerii unei erori, atunci probabilitatea de a se produce dou˘a sau mai multe erori ˆın trei experient¸e Bernoulli este P [k > 2] = C32 (0, 001)2 (0, 999) + C33 (0, 001)3 ≈ 3 × 10−6

Problema 1.15 O informat¸ie telegrafic˘a const˘a din semnale ”liniut¸e” ¸si ”puncte”. ˆIn medie se deformeaz˘a 2/5 din semnalele cu ”puncte” ¸si ”liniut¸e”. Este cunoscut c˘a semnalele ”puncte” ¸si ”liniut¸e” se ˆıntˆalnesc ˆın raportul 5/3. S˘a se determine probabilitatea ca: a) primind un semnal consacrat, acesta s˘a fie ”punct” ¸si b) probabilitatea ca el s˘a fie ”liniut¸˘a”. Solut¸ie. Not˘am cu A evenimentul de primire a semnalului ”punct”, iar prin B evenimentul de primire a semnalului ”liniut¸˘a”. Se pot considera urm˘atoarele ipoteze: H1 este transmis semnalul ”punct”, H2 este transmis semnalul ”liniut¸a˘”. Avem 5 P (H1 ) = , P (H1 ) + P (H2 ) = 1. P (H2 ) 3 deci

3 5 P (H1 ) = , P (H2 ) = 8 8

ˆ mp de probabilitate Ca

43

¸si

3 1 2 2 P (A|H1 ) = , P (A|H2 ) = , P (B|H1 ) = , P (B|H2 ) = . 5 3 5 3 Folosind formula probabilit˘a¸tii totale obt¸inem: P (A) =

53 31 1 52 32 1 + = , P (B) = + = . 85 83 2 85 83 2

Avem cele dou˘a probabilit˘a¸ti: a) P (H1 |A) =

P (H1 )P (A|H1 ) 3 = , P (A) 4

b) P (H2 |B) =

P (H2 )P (B|H2 ) 1 = . P (B) 2

44

ˆ mp de probabilitate Ca

Capitolul 2 Variabile aleatoare discrete 2.1

Definit¸ia ¸si clasificarea variabilelor aleatoare

Una din not¸iunile fundamentele ale teoriei probabilit˘a¸tilor este cea de variabil˘a aleatoare. Teoria clasic˘a a probabilit˘a¸tilor opereaz˘a, ˆın principal, cu evenimente, iar teoria modern˘a prefer˘a, unde este posibil, s˘a studieze variabile aleatoare. Fie { E,K,P } un cˆamp borelian de probabilitate care a fost definit ˆın Capitolul 1.8. Definit¸ia 2.1.1 Funct¸ia X : E → IR se nume¸ste variabil˘a aleatoare dac˘a ∀x ∈ IR

{e ∈ E | X(e) < x} ∈ K.

(2.1)

Pentru simplitate, vom nota {e ∈ E | X(e) < x} = {X < x}. Observat¸ia 2.1.1 Nu este obligatoriu X(E) = IR, deci X(E) ⊆ IR; X(E) reprezint˘a mult¸imea valorilor variabilei aleatoare. Dup˘a propriet˘a¸tile mult¸imii valorilor variabilei aleatoare, adic˘a dup˘a propriet˘a¸tile mult¸imii X(E), clasific˘am variabile aleatoare astfel: • variabile aleatoare de tip discret, dac˘a X(E) este cel mult num˘arabil˘a; dac˘a X(E) este finit˘a, variabila aleatoare se nume¸ste discret˘a simpl˘a, iar dac˘a X(E) este infinit˘a, dar num˘arabil˘a, variabila aleatoare se nume¸ste discret˘a cu o infinitate de valori. • variabile aleatoare de tip continuu, dac˘a X(E) este o mult¸ime infinit˘a de numere reale. Exemple de variabile aleatoare discrete: • variabile aleatoare ale c˘arei valori reprezint˘a num˘arul de apeluri zilnice primite la o central˘a telefonic˘a, • variabila aleatoare ale c˘arei valori reprezint˘a num˘arul de ruperi de fire la o ma¸sin˘a de cusut, 45

46

Variabile aleatoare discrete • variabila aleatoare ale c˘arei valori reprezint˘a num˘arul de puncte ap˘arute pe o fat¸˘a a zarului, la aruncarea unui zar.

Exemple de variabile aleatoare de tip continuu: • timpul de funct¸ionare a unui aparat, pˆan˘a la prima defectare, • m˘arimile erorilor comise la efectuarea m˘asur˘atorilor, • viteza unei particule, care se modific˘a ˆın funct¸ie de ciocnirile cu alte particule. ˆIn fiecare din aceste exemple, unui fenomen, supus unor circumstant¸e aleatoare, i se asociaz˘a un num˘ar real, deci se stabile¸ste o corespondent¸a˘ ˆıntre spat¸iul de select¸ie E convenabil ales ¸si IR. ˆIn practic˘a, de multe ori este dificil s˘a g˘asim valorile acestor corespondent¸e, dar e posibil s˘a determin˘am ”cˆat de des” sunt luate ele. Astfel, ˆın ultimul exemplu, putem aprecia cu ce probabilitate viteza X a particulei este mai mic˘a decˆat 0,1, deci putem calcula P ({ e ∈ E | X(e) < 0, 1 }). Definit¸ia 2.1.2 Funct¸ia F : IR → [0, 1] definit˘ a prin F (x) = P ({ e ∈ E | X(e) < x})

(2.2)

se nume¸ste funct¸ie de repartit¸ie. Determinarea pentru orice x ∈ IR a probabilit˘a¸tii cu care X ia valori mai mici ca x, ˆınseamn˘a definirea funct¸iei de repartit¸ie.

2.2

Variabile aleatoare discrete simple

Condit¸ia (2.1) din Definit¸ia 2.1.2 are loc ˆıntotdeauna ˆın cazul variabilelor aleatoare discrete, alegˆand eventual un cˆamp borelian convenabil. ˆIn cest caz putem spune c˘a: a. Definit¸ia 2.2.1 Fie { E, K, P } un cˆamp de probabilitate cu E cel mult num˘arabil˘ Se nume¸ste variabil˘a aleatoare orice aplicat¸ie X definit˘a pe mult¸imea evenimentelor elementare cu valori ˆın mult¸imea numerelor reale IR. Ilustr˘am trecerea de la eveniment la variabil˘a aleatoare. Exemplul 2.2.1 Consider˘am o experient¸a˘ ¸si un eveniment A legat de aceasta. ˆIn loc de evenimentul A putem considera funct¸ia χA care ia valoarea 1 dac˘a s-a realizat A ¸si 0 dac˘a ¯ adic˘a dac˘a A ⊂ E, A ∈ K: s-a realizat A, χA : E → {0, 1}  1, dac˘a e ∈ A χA (e) = 0, dac˘a e ∈ / A. Funct¸ia χA se nume¸ste indicatoarea evenimentului A (variabila aleatoare a evenimentului A).

Variabile aleatoare discrete

47

Aceast˘a idee poate fi extins˘a ˆın sensul c˘a putem considera o experient¸a˘ ¸si legat de aceasta un sistem complet de evenimente (Ai )16i6n . Definim funct¸ia X pe acest sistem complet de evenimente convenind s˘a-i atribuim valoarea n − j ˆın cazul ˆın care s-a realizat evenimentul Aj , j = 1, n. Astfel, variabila aleatoare X s-a definit prin relat¸ia:  n − j, dac˘a e ∈ Aj X(e) = 0, ˆın rest pentru j = 1, n. Fie tabelul

 X:

cu pi > 0, i = 1, n,

n X

x 1 x2 . . . x n p1 p2 . . . pn

 (2.3)

pi = 1. Numerele xi se numesc valorile variabilei aleatoare,

i=1

iar pi probabilit˘a¸tile cu care variabila aleatoare ia aceste valori. Tabelul 2.3 se nume¸ste tabloul de repartit¸ie al variabilei aleatoare X. Facem convent¸ia ca ˆın tabloul de repartit¸ie s˘a se treac˘a valorile variabilei aleatoare distincte, iar valorile luate cu probabilitatea 0 s˘a nu fie trecute. Observat¸ia 2.2.1 Fie xk o valoare a variabilei aleatoare X. Valorii xk ˆıi corespunde, ˆın general, o mult¸ime de evenimente elementare. Rezolvˆand ecuat¸ia xk = X(e) ˆın raport cu e obt¸inem e = X −1 (xk ), ˆın general, o funct¸ie multivoc˘a, deci la un xk pot corespunde mai multe valori ale lui e. Reuniunea acestora formeaz˘a un eveniment Ak al cˆampului (k 6 n). Deoarece valorile xk sunt diferite, evenimentele Ak sunt incompatibile dou˘a cˆate dou˘a ¸si formeaz˘a un sistem complet de evenimente. Observ˘am c˘a pk = P (Ak ) = P ({e ∈ E | X(e) = xk }) ¸si

n X k=1

pk =

n X k=1

P (Ak ) = P (

n [

Ak ) = P (E) = 1.

k=1

Deci dat˘a o variabil˘a aleatoare, putem s˘a-i ata¸sam un sistem complet de evenimente. Reciproca afirmat¸iei este tocmai Exemplul 2.2.2. Exemplul 2.2.2 Consider˘am experient¸a care const˘a ˆın aruncarea unui zar omogen. Fie variabila aleatoare X care ia ca valori num˘arul de puncte ap˘arute pe fat¸a zarului. S˘a se scrie tabloul de repartit¸ie al acestei variabile aleatoare. Mult¸imea evenimentelor elementare este {1, 2, 3, 4, 5, 6} ¸si ea coincide, ˆın acest caz, cu E ! 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 . X: 6 6 6 6 6 6 Dac˘a consider˘am evenimentele A ¸si B legate de aceea¸si experient¸˘a ¸si anume A evenimentul care const˘a ˆın obt¸inerea unui num˘ar par de puncte, iar B evenimentul care const˘a ˆın

48

Variabile aleatoare discrete

obt¸inerea un num˘ar impar de puncte ¸si definim variabila aleatoare Y care ia valoarea 0 dac˘a am obt¸inut un num˘ar par de puncte ¸si 1 dac˘a am obt¸inut un num˘ar impar de puncte, atunci A ¸si B formeaz˘a un sistem complet de evenimente ¸si putem defini variabila aleatoare Y astfel: ! 0 1 1 1 . Y : 2 2 Exemplul 2.2.3 Consider˘am o experient¸a˘ care const˘a ˆın extragerea a trei bile, cˆate una din fiecare din urnele U1 , U2 , U3 ce cont¸in respectiv 2 bile albe ¸si 3 negre, 3 bile albe ¸si 5 negre, 8 bile albe ¸si 2 negre. Definim variabila aleatoare X care ia ca valori num˘arul de de bile albe obt¸inute la o extragere. Se cere tabloul de reparit¸ie a lui X. Not˘am cu Ai ¸si A¯i evenimentul de a extrage o bil˘a alb˘a, respectiv neagr˘a din urna Ui , i = 1, 3. Variabila aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3 dup˘a cum s-au extras respectiv 0, 1, 2, 3 bile albe. Observ˘am c˘a evenimentele Ai sunt independente ¸si incompatibile dou˘a cˆate dou˘a. Atunci putem calcula P ({X = 0}) = P (

3 \

i=1

A¯i ) =

3 Y

P (A¯i ) = 0, 075,

i=1

P ({X = 1}) = P ((A1 ∩ A¯2 ∩ A¯3 ) ∪ (A¯1 ∩ A2 ∩ A¯3 ) ∪ (A¯1 ∩ A¯2 ∩ A3 )) = 79 = P (A1 )P (A¯2 )P (A¯3 ) + P (A¯1 )P (A2 )P (A¯2 ) + P (A¯1 )P (A¯2 )P (A3 ) = = 0, 395, 200 P ({X = 2}) = P ((A1 ∩ A2 ∩ A¯3 ) ∪ (A1 ∩ A¯2 ∩ A3 ) ∪ (A¯1 ∩ A2 ∩ A3 )) = = P (A1 )P (A2 )P (A¯3 ) + P (A1 )P (A¯2 )P (A2 ) + P (A¯1 )P (A2 )P (A3 ) = P ({X = 3}) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) =

41 = 0, 41, 100

3 = 0, 12, 25

Tabloul de repartit¸ie este  X:

0 1 2 3 0, 075 0, 395 0, 41 0, 12

 .

De cele mai multe ori ˆın calcule este suficient s˘a cunoa¸stem valorile pe care le ia o variabil˘a aleatoare ¸si probabilit˘a¸tile respective. Dar, ˆın general, cunoa¸sterea acestor date nu este suficient˘a pentru determinarea complet˘a a variabilei aleatoare, a¸sa cum se va vedea ˆın exemplul urm˘ator. Exemplul 2.2.4 Consider˘am experient¸a care const˘a ˆın aruncarea unui zar. Legat de aceasta ne imagin˘am un joc: celui care arunc˘a zarul i se acord˘a 1 punct dac˘a apare una din fet¸ele cu 1 sau 2 puncte, 2 puncte dac˘a apare una din fet¸ele cu 3 sau 4 puncte, 3 puncte dac˘a apare una din fet¸ele cu 5 sau 6 puncte. Dac˘a not˘am cu X variabila aleatoare

Variabile aleatoare discrete

49

care ia ca valori num˘arul de puncte obt¸inute de juc˘ator la o aruncare a zarului, obt¸inem o variabil˘a aleatoare avˆand repartit¸ia: ! 1 2 3 1 1 1 . X: 3 3 3 Se consider˘a alt joc ˆın care se acord˘a 1 punct dac˘a apare una din fet¸ele cu 1 sau 6 puncte, 2 puncte dac˘a apare una din fet¸ele cu 2 sau 5 puncte, 3 puncte dac˘a apare una din fet¸ele cu 3 sau 4 puncte. Obt¸inem analog o variabil˘a aleatoare Y cu repartit¸ia ! 1 2 3 1 1 1 . Y : 3 3 3 Variabilele aleatoare discrete simple X ¸si Y definite ˆın acest exemplu nu sunt egale, dar au acela¸si tablou de repartit¸ie. ˆIntr-adev˘ar, X(6) = 3 ¸si Y (6) = 1. Experient¸a care const˘a ˆın aruncarea zarului genereaz˘a un cˆamp de probabilitate. Pe mult¸imea evenimentelor elementare ale lui E, X ¸si Y sunt definite astfel: X(1) = 1, X(2) = 1, X(3) = 2, X(4) = 2, X(5) = 3, X(6) = 3; Y (1) = 1, Y (2) = 2, Y (3) = 3, Y (4) = 3, Y (5) = 2, Y (6) = 1. S˘a determin˘am sistemul complet de evenimente generat de fiecare din cele dou˘a variabile aleatoare discrete simple. Variabila aleatoare discret˘a simpl˘a X determin˘a A1 = {1, 2}, A2 = {3, 4}, A3 = {5, 6}, iar variabila aleatoare discret˘a simpl˘a Y determin˘a B1 = {1, 6}, B2 = {2, 5}, B3 = {3, 4}. Rezult˘a c˘a cele dou˘a sisteme complete de evenimente sunt diferite ¸si deci numai aparent variabilele aleatoare discrete simple coincid. Orice variabil˘a aleatoare simpl˘a dat˘a prin tabloul s˘au de repartit¸ie se poate reprezenta grafic prin poligonul s˘au de repartit¸ie: pe axa absciselor se trec valorile variabilei aleatoare, iar pe axa ordonatelor probabilit˘a¸tile. Pentru o variabil˘a aleatoare discret˘a simpl˘a se poate introduce funct¸ia de repartit¸ie care este o funct¸ie scar˘a dat˘a de relat¸a:  0, dac˘a x 6 x1 ,     p , dac˘a x1 < x 6 x2 ,  1   p1 + p2 , dac˘a x2 < x 6 x3 , F (x) = . . .     p + . . . + pn−1 , dac˘a xn−1 < x 6 xn ,    1 1, dac˘a xn < x. ˆIn aceast˘a definit¸ie am presupus, pentru simplitate, x1 < x2 < . . . < xn . Graficul acestei funct¸ii este prezentat ˆın Figura 2.1.

50

Variabile aleatoare discrete

Vom insista mai mult asupra propriet˘a¸tilor funct¸iei de repartit¸ie ˆın Capitolul 3. S˘a studiem F ˆın unul din punctele de discontinuitate, fie x = x2 . Pentru δ ∈ IR+ oricˆat de mic, avem F (x2 + δ) = P ({X < x2 + δ}) = p1 + p2 astfel ˆıncˆat lim F (x) = p1 + p2 . Mai mult x&x2

F (x2 ) = P ({X < x2 }) = p1 ¸si F (x2 − δ) = P ({X < x2 − δ}) = p1 . Rezult˘a c˘a funct¸ia de repartit¸ie este continu˘a la stˆanga. Funct¸ia de repartit¸ie poate fi scris˘a restrˆans cu ajutorul funct¸iei unitate (treapta unitate)  0, dac˘a x 6 0, u(x) = . 1, dac˘a x > 0, Functia generalizat˘ a delta δ(t) (distribut¸ia Dirac) este definit˘a cu ajutorul funct¸iei unitate astfel: Z x u(x) = δ(t) dt ∞

¸si deci F (x) = p1 u(x) + p2 u(x − x1 ) + . . . + pn u(x − xn ) =

n X

pk u(x − xk ),

k=1

unde pk = P ({X < xk }). Putem introduce ¸si ˆın cazul discret (pentru cazul continuu se poate consulta Capitolul 3) funct¸ia densitate de probabilitate ¸tinˆand seama de leg˘atura dintre funct¸ia unitate ¸si distribut¸ia Dirac. Astfel, ¸tinˆand seama de faptul c˘a (vezi Capitolul 3.2, Formula (3.9)): Z x

F (x) =

f (t) dt −∞

obt¸inem densitatea de probabilitate pentru variabile aleatoare discrete f (x) =

n X

pk δ(x − xk ).

k=1

Aceast˘a densitate de probabilitate este o funct¸ie generalizat˘a (o distribut¸ie). Operat¸ii cu variabile aleatoare discrete simple. Deoarece variabila aleatoare discret˘a simpl˘a este o funct¸ie definit˘a pe mult¸imea evenimentelor elementare cu valori reale, putem vorbi de suma ¸si produsul a dou˘a variabile aleatoare discrete simple ca ¸si la funct¸ii. Astfel, dac˘a e este un eveniment elementar ¸si X ¸si Y sunt definite pe aceea¸si mult¸ime de evenimente elementare, avem (X + Y )(e) = X(e) + Y (e),

Variabile aleatoare discrete

51

(XY )(e) = X(e)Y (e). X este o nou˘a variabil˘a aleatoare definit˘a Dac˘a Y (e) 6= 0 oricare ar fi evenimentul e, cˆatul Y prin relat¸ia X X(e) ( )(e) = . Y Y (e) Produsul unei variabile aleatoare X cu o constant˘a real˘a c este o nou˘a variabil˘a aleatoare cX definit˘a prin relat¸ia (cX)(e) = cX(e). Acest produs poate fi interpretat ¸si ca produsul lui X cu variabila aleatoare constant˘a identic egal˘a cu c (Y (e) = c, ∀e ∈ E). Dac˘a X(e) > 0, ∀e ∈ E, iar α ∈ IR fixat, definim X α ca o nou˘a variabil˘a aleatoare definit˘a prin (X α (e) = (X(e))α . ˆIn cazul ˆın care α ∈ IN se poate renunt¸a la condit¸ia X(e) > 0, ∀e ∈ E, variabila aleatoare poate fi interpretat˘a ca produsul lui X cu el ˆınsu¸si. Fie variabilele aleatoare X ¸si Y avˆand tabelele de repartit¸ie   x1 x2 . . . x m X: , p1 p2 . . . pm   y1 y2 . . . yn Y : . q1 q2 . . . qn Fie A1 , A2 , . . . , Am respectiv B1 , B2 , . . . , Bn sistemul complet de evenimente generat de variabila aleatoare X, respectiv Y . Avem, evident P (Ai ) = pi , i = 1, m, P (Bj ) = qj , j = 1, n. Variabila aleatoare X + Y ia valoarea xi + yj pe submult¸imea Ai ∩ Bj , dac˘a aceast˘a intersect¸ie este nevid˘a. Dac˘a Ai ∩ Bj = ∅, variabila aleatoare X + Y ia valoarea xi + yj cu probabilitatea zero ¸si deci aceasta nu apare ˆın tabel. Dac˘a not˘am P (Ai ∩ Bj ) = pij , i = 1, m, j = 1, n atunci tabelul de repartit¸ie al variabilei aleatoare X + Y va fi   x1 + y1 x1 + y2 . . . x1 + yn . . . xm + yn . X +Y : p11 p12 ... p1n ... pmn Pentru produs vom avea  XY :

x1 y1 x1 y2 . . . x1 yn . . . xm yn p11 p12 . . . p1n . . . pmn

ˆIn ambele cazuri tabelul de repartit¸ie are cel mult mn coloane.

 .

52

Variabile aleatoare discrete

Observat¸ia 2.2.2 ˆIn cazul particular Y = a = const.,deoarece pij = P ({X = xi , Y = a}) = P ({(X = xi ) ∩ E}) = P ({X = xi }) = pi avem

 a+X :

a + x1 a + x2 . . . a + xm p1 p2 ... pm

 ,

¸si la fel  aX :

ax1 ax2 . . . axm p1 p2 . . . pm

 .

Observat¸ia 2.2.3 Definit¸ia sumei de variabile aleatoare discrete simple se poate extinde la un num˘ar finit de variabile aleatoare simple. De exemplu, dac˘a       xi yj zk X: , i = 1, m, Y : , j = 1, n, Z : , k = 1, l, pi qj rk atunci

 X +Y +Z :

xi + y j + z k pijk

 , i = 1, m, j = 1, n, k = 1, l.

Exemplul 2.2.5 Probabilitatea extragerii unei bile albe dintr-o urn˘a este p. Din aceast˘a urn˘a se fac dou˘a extrageri, punˆandu-se bila ˆınapoi ˆın urn˘a dup˘a extragere. Se consider˘a variabilele aleatoare X1 ¸si X2 , prima reprezentˆand num˘arul de bile albe obt¸inute la prima extragere ¸si a doua num˘arul de bile albe de la a doua extragere. S˘a se scrie tabloul de repartit¸ie al variabilelor aleatoare discrete simple X1 , X2 , X1 + X2 , X1 X2 . Dac˘a

 X1 :

0 1 q p



 ,

X2 :

atunci

 X1 + X2 :

0 1 q p

 , q = 1 − p,

0 1 2 2 q 2pq p2

 ,

deoarece P ({X1 + X2 = 0}) = P ({X1 = 0, X2 = 0}) = P ({X1 = 0})P ({X2 = 0}) = q 2 , P ({X1 + X2 = 1}) = P ({X1 = 1, X2 = 0} ∪ {X1 = 0, X2 = 1}) = 2pq, P ({X1 + X2 = 2}) = P ({X1 = 1, X2 = 1}) = P ({X1 = 1})P ({X2 = 2}) = p2 , P ({X1 + X2 = 0}) = P ({X1 = 0, X2 = 0}) = q 2 . La fel,

 X1 X2 :

0 1 2 2pq + q p2

 ,

deoarece P ({X1 X2 = 0}) = P ({X1 = 0, X2 = 0} ∪ {X1 = 1, X2 = 0) ∪ {X1 = 0, X2 = 1}) = 2pq + q 2 , P ({X1 X2 = 1}) = P ({X1 = 1, X2 = 1}) = p2 .

Variabile aleatoare discrete

53

Propozit¸ia 2.2.1 Fiind date variabilele aleatoare     yj xi X: , i = 1, m; Y : , j = 1, n, pi qj iar pij probabilit˘ a¸tile definite de suma ¸si produsul celor dou˘a variabile aleatoare. Au loc relat¸iile: n m X X pi = pij , qj = pij . j=1

i=1

Demonstrat¸ie. Efectuˆand experient¸a c˘areia ˆıi sunt asociate variabilele aleatoare, Y ia ˆın mod sigur una din valorile y1 , y2 , . . . , yn . Dac˘a X ia valoarea xi , rezult˘a c˘a evenimentul {X = xi } se realizeaz˘a ˆımpreun˘a cu unul din evenimentele {Y = y1 }, . . . , {Y = yn }. Deci {X = xi } = {X = xi } ∩ ({Y = y1 } ∪ {Y = y2 } ∪ . . . {Y = yn }) = = ({X = xi } ∩ {Y = y1 }) ∪ ({X = xi } ∩ {Y = y2 }) ∪ . . . ∪ ({X = xi } ∩ {Y = yn }). De aici rezult˘a c˘a pi = P ({X = xi }) =

n X

P ({X = xi , Y = yj }) =

j=1

n X

pij .

j=1

La fel se demonstreaz˘a cea de-a doua relat¸ie. Observat¸ia 2.2.4 Dac˘a consider˘am ¸si variabila aleatoare discret˘a simpl˘a   zk Z: , k = 1, l, rk atunci pentru probabilit˘a¸tile sumei (produsului) celor trei variabile aleatoare discrete simple au loc relat¸iile l X

pijk = pij· ;

k=1

m X i=1

pijk = p·jk ;

n X

= pi·k ;

j=1

Independent¸a variabilelor aleatoare discrete simple. Definit¸ia 2.2.2 Dou˘a variabile aleatoare se numesc independente dac˘ a probabilitatea ca una din variabile s˘a ia o valoare nu depinde de valoarea luat˘a de cea de a doua variabil˘a aleatoare. Observat¸ia 2.2.5 Dac˘a X ¸si Y sunt astfel de variabile aleatoare atunci dou˘a evenimente de forma {X = xi } ¸si {Y = yj }, i = 1, m, j = 1, n, sunt independente. ˆIn general, putem da definit¸ia:

54

Variabile aleatoare discrete

Definit¸ia 2.2.3 Variabilele aleatoare discrete simple X, Y, Z, . . . sunt independente dac˘ a evenimentele {X = xi }, {Y = yj }, {Z = zk }, . . . i = 1, m, j = 1, n, k = 1, l sunt independente ˆın totalitatea lor. Observat¸ia 2.2.6 Dac˘a variabilele aleatoare     xi yj X: , i = 1, m, Y : , j = 1, n, pi qj sunt independente, atunci pij = P ({X = xi , Y = yj }) = P ({X = xi })P ({Y = yj }) = pi qj . La fel pentru trei variabile aleatoare discrete simple. ˆIn cazul acesta   xi + y j X +Y : , i = 1, m, j = 1, n; p i qj   xi y j XY : , i = 1, m, j = 1, n. pi qj Exemplul 2.2.6 Suma a dou˘a variabile aleatoare discrete simple independente X, Y, Z = X + Y , poate fi obt¸inut˘a astfel: P ({Z = k}) = P ({X + Y = k}) = X X = P ({X = i, Y = k − i}) = P ({X = i})P ({Y = k − i}), i

i

sumarea referindu-se la toate valorile ˆıntregi ale lui X, mai mici decˆat k. Dac˘a not˘am cu p(i) = P ({X = i}), q(j) = P ({Y = j}), r(k) = P ({Z = k}), obt¸inem r(k) =

k X

p(i)q(k − i) =

i=0

k X

p(k − j)q(j),

j=0

acestea reprezentˆand produsul de convolut¸ie a lui p ¸si q. Propozit¸ia 2.2.2 Variabilele aleatoare simple X ¸si Y sunt independente dac˘a ¸si numai dac˘ a evenimentele {x0 < X < x} ¸si {y 0 < Y < y} sunt independente, oricare ar fi x, x0 , y, y 0 ∈ IR. Demonstrat¸ie.Presupunem c˘a X ¸si Y sunt independente. Deoarece [ {x0 < X < x, y 0 < Y < y} = {X = xi , Y = yj } x0 5] = 1 − P [N < 5] = 1 −

n 1 1 1 1o = 0, 00366 e−α = 1 − e−1 1 + + + + k! 1! 2! 3! 4!

4 X λk k=0

Exemplul 2.5.2 O fabric˘a produce becuri ¸si d˘a 2 % rebut. S˘a se aproximeze probabilitatea ca ˆıntr-o cutie de 100 de becuri s˘a obt¸inem cel mult trei becuri defecte? Presupunˆand indepependent¸a, avem de-a face cu o variabil˘a aleatoare repatizat˘a binomial cu p = 0, 02 ¸si n = 100. Dac˘a dorim s˘a calcul˘am probabilitatea cu ajutorul schemei binomiale, dup˘a calcule laborioase obt¸inem 3 X

k C100 (0, 2)k (0, 98)100−k = 0, 859.

k=0

Dac˘a aproxim˘am X cu o variabil˘a aleatoare repartizat˘a Poisson, λ = 100 × 0, 02 = 2, 3 X 2k e−2 k=0

k!

= 0, 857.

Urm˘atorul exemplu justific˘a trecerea la limit˘a ¸si alegerea parametrului λ. Exemplul 2.5.3 Un generator de particule emite particule ˆın unitatea de timp. Care este probabilitatea ca ˆın intervalul t s˘a apar˘a k impulsuri ? t Pentru n suficient de mare ˆımp˘art¸im [0, t] ˆın intervale de lungime , ˆıncˆat ˆın fiecare n interval s˘a existe cel mult un impuls. Probabilitatea ca ˆıntr-un interval de timp de lungime t wt t s˘a fie ˆınregistrat un impuls este ≈ w = p (se observ˘a c˘a −→ 0, pentru n → ∞, n n n

Variabile aleatoare discrete

75

ceea ce justific˘a ˆınc˘a o dat˘a denumirea de eveniment rar). Probabilitatea ca ˆın intervalul [0, t] s˘a fie ˆınregistrate k impulsuri este dat˘a de schema lui Bernoulli Cnk (

wt k wt n−k (wt)k −wt ) (1 − ) −→ e pentru n → ∞ cu λ = wt. n n k!

Repartit¸ia geometric˘ a. Spre deosebire de variabila aleatoare binomial˘a care apare cˆand fix˘am un num˘ar de repet˘ari ale unei experient¸e care poate consta ˆın realizarea sau nerealizarea evenimentului A ¸si num˘ar˘am num˘arul de realiz˘ari ale acestuia, ˆın cazul variabilei geometrice num˘ar˘am num˘arul m de efectu˘ari ale experient¸ei (experient¸e de tip Bernoulli, adic˘a independente ¸si repetate ˆın acelea¸si condit¸ii) pˆan˘a la prima realizare a evenimentului A. ˆIn acest caz variabila aleatoare X ia valorile X = k, k = 1, 2, . . . , m, . . . ¸si avem P ({X = k}) = pq k−1 , q = 1 − p, k = 1, 2, 3, . . . , unde P (A) = p este probabilitatea de realizare a evenimentului A. ˆIn acest caz F (k) = P ({X < k}) =

k−1 X

pq j−1 = p

k−2 X

0

pq j = p

j 0 =0

j=1

1 − g k−1 = 1 − q k−1 , 1−q

unde q = 1 − p. Uneori ne intereseaz˘a M 0 = M − 1, num˘arul de repet˘ari ale experient¸ei pˆan˘a la reu¸sita ei: P [M 0 = k] = P [M = k + 1] = (1 − p)k p, k = 0, 1, 2, . . . Variabila aleatoare X va lua valoarea 1 dac˘a evenimentul se realizeaz˘a ˆın cadrul primei experient¸e ¸si deci P ({X = 1}) = p; X va lua valoarea 2 dac˘a evenimentul A nu s-a realizat la prima experient¸˘a, dar se realizeaz˘a la a doua experient¸˘a, P ({X = 2}) = P (A¯ ∩ A) = ¯ (A) = (1−p)p = qp. Analog, P ({X = 3}) = P (A∩ ¯ A∩A) ¯ ¯ (A)P ¯ (A) = q 2 p P (A)P = P (A)P etc. Avem, evident ∞ X

P ({X = k}) =

k=1

∞ X

pq k−1 = p

k=1

1 = 1. 1−q

Calcul˘am media ¸si dispersia variabilei aleatoare. M [X] =

∞ X

kpq

k=1

=p

k−1

=p

∞ X k=1

kq

k−1

∞ d X k q )= =p ( dq k=1

d q p 1 [ ]= = , dq 1 − q (1 − q)2 p

¸tinˆand seama de propriet˘a¸tile seriilor de puteri pentru |q| < 1. D2 [X] = M [X 2 ] − (M [X])2 ,

76

Variabile aleatoare discrete 2

M [X ] =

∞ X

2

k pq

k−1

=p

∞ X

k=1

=p

2 k−1

k q

k=1

∞ d X k kq = =p dq k=1

d q 2−p 2−p [ ] = p = , dq (1 − q)2 p3 p2

¸si deci D2 [X] =

2−p 1 q − 2 = 2. 2 p p p

ˆIn Figura 2.5 a) ¸si b) desen˘am densitatea de probabilitate generalizat˘a pentru diferite valori ale lui p. Exemplul 2.5.4 Calculatorul A transmite un mesaj calculatorului B printr-o linie telefonic˘a. Mesajul este codat astfel ˆıncˆat B detecteaz˘a cˆand se produc erori ˆın cursul transmiterii mesajului. Dac˘a B detecteaz˘a o eroare cere calculatorului A retransmiterea mesajului. Dac˘a probabilitatea ca transmiterea mesajului s˘a fie eronat˘a este q = 0, 1, care este probabilitatea ca mesajul s˘a necesite mai mult de dou˘a transmisii. Fiecare transmitere a mesajului urmeaz˘a o repartit¸ie binomial˘a cu probabilitatea ca mesajul s˘a fie corect p = 1 − q. Experient¸ele se repet˘a pˆan˘a cˆand prima transmisie este corect˘a. Probabilitatea ca mesajul s˘a necesite mai mult de dou˘a transmisii este P ({X > 2}) = q 2 = 10−2 . Exemplul 2.5.5 Fie N num˘arul de apeluri pe care le face un calculator spre un terminal pˆan˘a cˆand terminalul are un mesaj gata de a fi transmis. Dac˘a presupunem c˘a terminalul produce mesaje care formeaz˘a un ¸sir de experient¸e care urmeaz˘a legea binomial˘a, atunci N are o repartit¸ie geometric˘a. Aflat¸i media variabilei aleatoare care ia ca valori num˘arul de apeluri. Presupunem p = 0, 4. M [X = N ] =

∞ X k=1

kpq k−1 =

1 = 2, 5 p

Aceasta nu este o valoare pe care o poate lua N . Afirmat¸ia ”N este egal˘a cu 2.5 ˆın medie” nu are sens. Sensul afirmat¸iei este c˘a media aritmetic˘a a unui num˘ar mare de experient¸e va fi aproape de 2.5. Repartit¸ia binomial˘ a cu exponent negativ. Se spune c˘a variabila aleatoare X are repartit¸ie binomial˘a cu exponent negativ, cu parametrii m ¸si p, (m = 1, 2, . . . , 0 < p < 1), dac˘a X poate lua valorile m, m + 1, m + 2, . . . iar m−1 m k−m p q , q = 1 − p. P ({X = k}) = Ck−1 Acest˘a repartit¸ie apare ˆın modele de tipul urm˘ator: s˘a presupunem c˘a s-a efectuat un num˘ar de observat¸ii independente, ˆın cursul fiec˘arei observat¸ii evenimentul A (de exemplu nefunct¸ionarea unui subansamblu al unui aparat) poate s˘a se produc˘a cu probabilitatea p. Observat¸iile continu˘a pˆan˘a cˆand evenimentul se produce de m ori ¸si se caut˘a probabilitatea pentru ca aceasta s˘a se produc˘a exact ˆın decursul a k observat¸ii (k > m).

Variabile aleatoare discrete

77

Evenimentul {X = k} se scrie ca intersect¸ie a dou˘a evenimente: ˆın primele k −1 observat¸ii evenimentul A se produce de m − 1 ori ¸si ˆın observat¸ia k se produce evenimentul A. Din m−1 m k−m schema lui Bernoulli se deduce c˘a probabilitatea primului eveniment este Ck−1 p q iar probabilitatea celui de-al doilea eveniment este egal˘a cu p. Deci m−1 m−1 k−m m−1 m k−m P ({X = k}) = pCk−1 p q = Ck−1 p q .

Numele acestei repartit¸ii provine din faptul c˘a probabilitatea c˘autat˘a este coeficient ˆın dezvoltarea ˆın serie a lui ∞ ∞ X X 1 q m−1 k−m m−1 m k−m ( − )−m = pm (1 − q)−m = pm Ck−1 q = Ck−1 p q . p p k=m k=m

Observ˘am c˘a definirea acestei variabile aleatoare este corect˘a deoarece P ({X = k}) > ∞ X m−1 m k−m 0 ¸si Ck−1 p q = 1. k=m

Pentru a calcula media ¸tinem seama c˘a (1 − x)

−m

=

∞ X

m−1 k−m Ck−1 x ¸si deci

k=m ∞ X xm C m−1 xk dac˘a |x| < 1, = (1 − x)m k=m k−1 ∞ X

m−1 k−1 Ck−1 x =

k=m

(2.9)

d xm mxm−1 ( ) = dac˘a |x| < 1, dx (1 − x)m (1 − x)m+1

adic˘a M [X] =

∞ X

m−1 m k−m kCk−1 p q

m −m+1

=p q

∞ X

m−1 k−1 kCk−1 q = pm q −m+1

k=m

k=m

M [X] =

mq m−1 m = , m+1 p p

m . p

Pentru calculul dispersiei folosim 2

M [X ] =

∞ X

k

2

m−1 m k−m Ck−1 p q

m −m+1

=p q

k=m

∞ X

k 2 q k−1 .

k=m

Pentru a calcula ultima sum˘a ˆınmult¸im (2.9) cu x ¸si deriv˘am ∞ X k=m

m−1 k−1 x = k 2 Ck−1

d mxm mxm−1 (m + x) [ ] = , dx (1 − x)m+1 (1 − x)m+2

deci M [X 2 ] =

m(m + q) , p2

iar D2 [X] =

mq . p2

78

2.6

Variabile aleatoare discrete

Funct¸ia generatoare

ˆIn problemele ˆın care apar variabile aleatoare nenegative se utilizea˘a funct¸ia generatoare a variabilei aleatoare X, GX (z) care se define¸ste prin relat¸ia GX (z) =

∞ X

pk z k ,

(2.10)

k=0

unde P ({X = k}) = pk , k = 0, 1, 2, . . .. Deci cunoscˆand probabilit˘a¸tile pk putem deter∞ X mina funct¸ia generatoare. Deoarece pk = 1, seria de puteri (2.10) converge pentru k=0

|z| 6 1. Pentru |z| < 1 seria de puteri se poate deriva terman cu termen ¸si obt¸inem: (j) GX (z)

=

∞ X

n(n − 1) . . . (n − j + 1)pj z

(n−k)

=

∞ X

k=j

Cnj j!pj z (n−k) .

k=j

Dac˘a ˆın relat¸ia de mai sus facem z = 0 obt¸inem (j)

GX (0) = j!pj sau pj =

1 (j) G (0). j! X

Aceasta ne arat˘a c˘a putem determina toate probabilit˘a¸tile pk cu ajutorul funct¸iei genera(j) toare. Din acest˘a cauz˘a GX se nume¸ste funct¸ie generatoare. ˆIn particular, punˆand z = 1 ˆın G0X ¸si ˆın G00X obt¸inem: M [X] = G0X (1), M [X 2 ] = G0X (1) + G00X (1). Exemplul 2.6.1 Funct¸ia generatoare pentru variabila aleatoare Poisson cu parametru λ este dat˘a de GX (z) =

∞ X λk k=0

k!

−λ k

e

z =e

−λ

∞ X (λz)k k=0

k!

= e−λ eλz = eλ(z−1) .

Primele dou˘a derivate ale lui GX (z) sunt date de G0X (z) = λeλ(z−1) ; G00X (z) = λ2 eλ(z−1) . De aici rezult˘a media ¸si dispersia variabilei aletoare Poisson M [X] = λ D2 [X] = λ2 + λ − λ2 = λ.

Variabile aleatoare discrete

2.7

79

Probleme propuse

Problema 2.1 Se define¸ste variabila aleatoare   −1 0 1 X: . 1/3 1/3 1/3 S˘a se scrie tabloul de repartit¸ie al variabilelor aleatoare X 2 , X + X 2 , X + X 3 . Indicat¸ie. P ({X 2 = 0}) = P ({X = 0}) = 1/3, P ({X 2 = 1}) = P ({X = 1} ∪ {X = −1}) = 1/3 + 1/3 = 2/3.   0 1 2 X : . 1/3 2/3   −1 0 1 2 2 X +X : . 0 1/3 0 2/3   −2 −1 0 1 2 3 X +X : . 1/3 0 1/3 0 1/3 Problema 2.2 Fie

 X:

0 1 2 3 4 0, 15 0, 45 0, 20 0, 15 0, 05

 .

S˘a secalculeze: a) valoarea medie a variabilei aleatoare X ¸si momentul init¸ial de ordin 2; b) dispersia; c) momentul centrat de ordin 3. Indicat¸ie. 5 5 X X 2 x2i pi = 3, 4. xi pi = 1, 5, M [X ] = a) M [X] = 1

1

b) Not˘am m = M [X] = 1, 5, D2 [X] = M [(X − m)2 ].   −1, 5 −0, 5 0, 5 1, 5 2, 5 X −m: . 0, 15 0, 45 0, 20 0, 15 0, 05   0, 25 2, 25 6, 25 X −m: . 0, 65 0, 30 0, 05 D2 [X] = M [(X − m)2 ] = 1, 15 sau D2 [X] = M [X 2 ] − (M (X))2 . 5 X b) M [(X − m)3 ] = (xi − m)3 pi , 1

 3

(X − m) :

(−1, 5)3 (−0, 5)3 (0, 5)3 (1, 5)3 (2, 5)3 0, 15 0, 45 0, 20 0, 15 0, 05

astfel ˆıncˆat M [(X − m)3 ] = 0, 75. Problema 2.3 Fie X o variabil˘a aleatoare repartizat˘a binomial.

 .

80

Variabile aleatoare discrete a. S˘a se atate c˘a

pk (n − k + 1)p (n + 1)p − k = =1+ pk−1 kq kq

b. S˘a se atate c˘a a. implic˘a:(1) P ({X = k}) este maxim˘a pentru kmax = [(n+1)p], unde [x] este partea ˆıntreag˘a a lui x; (2) dac˘a (n + 1)p este un ˆıntreg, atunci maximum este atins ˆın kmax ¸si kmax − 1. Indicat¸ie. b. Impunem condit¸iile pk /pk−1 > 1, pk+1 /pk < 1. Problema 2.4 Fie X o variabil˘a aleatoare repartizat˘a geometric. S˘a se calculeze P ({X > k}) ¸si P ({Xeste un num˘ar par}). Indicat¸ie. P ({X > k}) = 1 − P ({X < k}) − P ({X = k}) = 1 − (1 − q k−1 )pq k−1 = q k ; ∞ ∞ ∞ X X
X 1 p P {X = 2k} = = . P ({X = 2k}) = pq 2k−1 = 2 1 − q 1 + q k=1 k=1 k=1 Problema 2.5 S˘a se arate c˘a variabila aleatoare geometric˘a are proprietatea de pierdere a memoriei P ({X > k + j|X > j}) = P ({X > k}), ∀j, k > 0 ˆIn ce sens are loc pierdera memoriei?


P (X > k + j) ∩ (X > j) Indicat¸ie. P ({X > k + j}|{X > j}) = = q k . Pierderea P ({X > j}) memoriei are loc ˆın sensul c˘a probabilitatea realiz˘arii unui eveniment, legat de o experient¸a˘ Bernoulli, dup˘a k + j − 1 nerealiz˘ari, ¸stiind c˘a nu s-a realizat dup˘a j efectu˘ari ale experient¸ei, depinde numai de k.

Problema 2.6 Fie X o variabil˘a aleatoare repartizat˘a geometric. S˘a se calculeze P ({X = k | X 6 m}). Indicat¸ie. q k−1 p/(1 − q m ), 1 6 k 6 m. Problema 2.7Fie X o variabil˘a aleatoare repartizat˘a binomial. a. S˘a se atate c˘a

pk (n − k + 1)p (n + 1)p − k = =1+ pk−1 kq kq

b. S˘a se atate c˘a a. implic˘a:(1) P ({X = k}) este maxim˘a pentru kmax = [(n+1)p], unde [x] este partea ˆıntreag˘a a lui x; (2) dac˘a (n + 1)p este un ˆıntreg, atunci maximum este atins ˆın kmax ¸si kmax − 1. Indicat¸ie. b. Impunem condit¸iile pk /pk−1 > 1, pk+1 /pk < 1. Problema 2.4 Fie X o variabil˘a aleatoare repartizat˘a geometric. S˘a se calculeze P ({X > k}) ¸si P ({Xeste un num˘ar par}). Indicat¸ie. P ({X > k}) = 1 − P ({X < k}) − P ({X = k}) = 1 − (1 − q k−1 )pq k−1 = q k ; ∞ ∞ ∞ X X
X 1 p P = . {X = 2k} = P ({X = 2k}) = pq 2k−1 = 2 1−q 1+q k=1 k=1 k=1

Variabile aleatoare discrete

81

Problema 2.8 Comparat¸i aproximat¸ia obt¸inut˘a cu variabila Poisson cu probabilitatea binomial˘a pentru k = 0, 1, 2, 3 ¸si n = 19, p = 0, 1; n = 20, p = 0, 05; n = 100, p = 0, 01. Problema 2.9 Fie X o variabil˘a aleatoare repartizat˘a Poisson. S˘a se arate c˘a pentru λ < 1, P ({X = k}) este maxim ˆın k = 0; pentru λ > 1, P ({X = k}) este maximum pentru [λ]; dac˘a λ este ˆıntreg pozitiv, P ({X = k}) este maximum pentru λ = k ¸si k = λ − 1. Problema 2.10 Calculat¸i media ¸si dispersia unei variabile aleatoare discrete care ia valorile {1, 2, . . . , n} cu aceea¸si probabilitate. 1 Indicat¸ie. P ({X = k}) = , k = 1, 2, ..., n.. n Problema 2.11 S˘a se calculeze probabilit˘a¸tile marginale pentru urm˘atorii vectori aleatori bidimensionali: X \Y -1 0 1

−1 0 1/6 0 0 1/3 1/6 0

1 1/6 0 1/6

X \Y -1 0 1

−1 0 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9

1 1/9 1/9 1/9

X \Y -1 0 1

−1 0 0 0 0 1/3 1/3 0

1 1/3 0 0

S˘a se calculeze probabilit˘a¸tile evenimentelor A = {X 6 0}, B = {x 6 Y } ¸si C = {X = −Y }. Indicat¸ie. ˆIn toate cazurile P ({X = −1}) = P ({X = 0}) = P ({X = 1}) = 1/3, P ({Y = −1}) = P ({Y = 0}) = P ({Y = 1}) = 1/3. Problema 2.12 Un mesaj necesit˘a X unit˘a¸ti de timp pentru a fi transmis, unde X este o variabil˘a aleatoare repartizat˘a geometric cu pj = (1 − α)αj−1 , j = 1, 2, . . .. Un singur nou mesaj este transmis ˆıntr-o unitate de timp cu probabilitatea p ¸si nici un mesaj cu probabilitatea 1 − p. Fie K num˘arul de mesaje noi care apar de-a lungul transmiterii unui singur mesaj. S˘a se calculeze probabilitatea P ({X = k}). S˘a se calculeze M [X] ¸si D2 [X]. (1 − α) pα Indicat¸ie. P ({X = k}) = ( )k . α(1 − α(1 − p)) 1 − α(1 − p) Problema 2.13 Num˘arul total de defecte care apar la un circuit urmeaz˘a o distribut¸ie Poisson cu parametrul λ. Presupunem c˘a fiecare defect apare ˆıntr-o anumit˘a regiune R cu probabilitatea p ¸si c˘a aparit¸ia unui defect este independent˘a de aparit¸ia altor defecte. S˘a se determine probabilitatea ca num˘arul de defecte Y care apar ˆın regiunea R s˘a fie j. Indicat¸ie. Folosind ecuat¸ia (2.8) avem P ({Y = j}) =

∞ X k=0

P ({Y = j/X = k})P ({X = k}).

82

Variabile aleatoare discrete

Defectele care apar ˆın fiecare moment pot fi considerate ca experient¸e Bernoulli care se realizeaz˘a cu succes dac˘a defectul este ˆın regiunea R. Dac˘a num˘arul total de defecte este X = k, atunci num˘arul de defecte care apar ˆın regiunea R urmeaz˘a o repartit¸ie Bernoulli de parametrii k ¸si p: P ({Y = j|X = k}) = Ckj pj (1 − p)k−j , 0 6 j 6 k. Atunci P ({Y = j}) =

∞ X k=j

k! λk pj (1 − p)k−j e−λ = j!(k − j)! k!

∞ (λp)j e−λ X ((1 − p)λ)k−j (λp)j e−λ (1−p)λ (λp)j −λp = = e = e . j! (k − j)! j! j! k=j

Astfel Y este o variabil˘a aleatoare repartizat˘a Poisson cu media λp.

Capitolul 3 Variabile aleatoare continue 3.1

Funct¸ia de repartit¸ie a unei variabile aleatoare unidimensionale

ˆIn cele ce urmeaz˘a {E, K, P } este un cˆamp borelian de probabilitate, not¸iune care a fost definit˘a ˆın Capitolul 1.8. Definit¸ia 3.1.1 Funct¸ia X : E→IR se nume¸ste variabil˘a aleatoare dac˘ a ∀x ∈ IR,

{e ∈ E|X(e) < x} ∈ K.

(3.1)

Pentru simplificare vom nota {X < x} = {e ∈ E|X(e) < x}. Aceast˘a condit¸ie are loc totdeauna ˆın cazul unei variabile aleatoare discrete (alegˆand eventual un cˆamp borelian convenabil). Din definit¸ie ¸si din propriet˘a¸tile lui K (de a fi ˆınchis la complementar˘a, reuniuni ¸si intersect¸ii num˘arabile), fiecare din mult¸imile {X 6 x}, {X > x}, {X > x}, {a 6 X < b}, {a < X 6 b}, {a < X < b}, {a 6 X 6 b}, ∀x, a, b ∈ IR,

(3.2)

apart¸ine lui K, dac˘a (3.1) are loc ¸si reciproc, apartenent¸a la K a oric˘arei mult¸imi (3.2) implic˘a (3.1). Pentru exemplificare, s˘a demonstr˘am c˘a pentru orice x ∈ IR, urm˘atoarele dou˘a afirmat¸ii sunt echivalente: i. {X < x} ∈ K; ii.{X 6 x} ∈ K. S˘a demonstr˘am (i) ⇒ (ii). Putem scrie {X 6 x} =

∞ \

{X < x + 1/n}.

n=1

Din (i) avem {X < x + 1/n} ∈ K ¸si din faptul c˘a familia K este ˆınchis˘a la intersect¸ii num˘arabile, rezult˘a c˘a {X 6 x} ∈ K. Pentru implicat¸ia (ii) ⇒ (i), observ˘am c˘a {X < x} =

∞ [

{X 6 x − 1/n},

n=1

83

84

Variabile aleatoare continue

iar {X 6 x − 1/n} ∈ K. Echivalent¸a {X < x} ∈ K ⇔ {X > x} ∈ K, ∀x ∈ R, rezult˘a din faptul c˘a {X 6 x} = {X > x} ¸si axioma a) din definit¸ia cˆampului borelian. Exemplul 3.1.1 Dac˘a E = IR, iar K este cel mai mic corp borelian ce cont¸ine toate intervalele (a, b), ∀a, b ∈ IR, elementele lui K se numesc mult¸imi boreliene. Orice funct¸ie f : IR → IR continu˘a este o variabil˘a aleatoare, deoarece contraimaginea unei mult¸imi deschise este o mult¸ime deschis˘a. Se poate demonstra c˘a acest rezultat se p˘astreaz˘a ¸si ˆın cazul mult¸imilor boreliene (contraimaginea unei mult¸imi boreliene este borelian˘a). Urm˘atoarele propozit¸ii ne arat˘a c˘a operat¸iile uzuale cu funct¸ii, aplicate variabilelor aleatoare, au ca rezultat tot variabile aleatoare. Propozit¸ia 3.1.1 Fie X o variabil˘a aleatoare ¸si c ∈ IR, atunci urm˘atoarele funct¸ii: 1. X + c; 2. cX; 3. |X|; 4. X 2 ; 5. 1/X; sunt variabile aleatoare. Demonstrat¸ie. Vom transforma convenabil relat¸ia (3.1) ˆın fiecare caz ¸si vom folosi faptul c˘a X este variabil˘a aleatoare. 1.{X + c < x} =  {X < x − c} ∈ K, ∀x ∈ IR. {X > x/c}, dac˘a c < 0 ∈ K. 2.{cX < x} = {X < x/c}, dac˘a c > 0 Dac˘a c = 0, afirmat¸ia este imediat˘a. 3.{|X| < x} = {X < x} √ ∩ {X > −x} ∈ K. 2 4.{X < x} =  {|X| < x} ∈ K, ∀x > 0.  {X < 0} ∩ {X > 1/x}, dac˘a x < 0 1 {X < 0}, dac˘a x = 0 ∈ K. 5.{ < x} =  X {X < 0} ∪ {X > 1/x}, dac˘a x > 0 Propozit¸ia 3.1.2 Dac˘ a X ¸si Y sunt variabile aleatoare, atunci: 1. X − Y ; 2. X + Y ; 3. XY ; 4. X/Y ; 5. max(X, Y );

Variabile aleatoare continue

85

6. min(X, Y ); sunt variabile aleatoare. Demonstrat¸ie. Toate afirmat¸iile 2-6, decurg din prima. S˘a demonstr˘am 1. Folosind num˘arabilitatea mult¸imii Q ¸si faptul c˘a ˆıntre dou˘a numere reale exist˘a cel put¸in un num˘ar rat¸ional putem scrie: ! ∞ [ {X − Y < x} = {X < Y + x} = ({X < rn } ∩ {rn − x < Y }) ∈ K, n=1

unde rn ∈ Q. Pentru 2, observ˘am c˘a X + Y = X − (−Y ), iar pentru XY , afirmat¸ia rezult˘a din 1 identitatea XY = [(X + Y )2 − (X − Y )2 ]. 4 4 este o consecint¸a˘ a afirmat¸iei precedente ¸si a Propozit¸iei 3.1.1. Ultimele dou˘a afirmat¸ii rezult˘a din egalit˘a¸tile: 1 max(X, Y ) = (X + Y + |X − Y |), 2 1 min(X, Y ) = (X + Y − |X − Y |). 2 Definit¸ia 3.1.2 {Xi }, i ∈ I este o familie de variabile aleatoare independente, dac˘a pentru orice J ⊂ I, J finit˘ a ¸si orice familie {Bj }, j ∈ J de mult¸imi boreliene (vezi Exemplul 3.1.1) are loc: \ Y P ({ Xj−1 (Bj )}) = P ({Xj−1 (Bj )}). j∈J

j∈J

Propozit¸ia 3.1.3 Fie {Xi } , i ∈ I o familie de variabile aleatoare independente ¸si fi : IR → IR o familie de funct¸ii continue. Atunci familia {fi ◦ Xi } constituie o familie de variabile aleatoare independente. Demonstrat¸ie. Pentru orice J ⊂ I finit˘a, are loc: Y \ \ P ({Xj−1 (fj−1 (Bj ))}). P ({ (fj ◦ Xj )−1 (Bj )}) = P ({ Xj−1 ◦ fj−1 (Bj )}) = j∈J

j∈J

j∈J

Deoarece fj este o funct¸ie continu˘a, contraimaginea unei mult¸imi boreliene este de asemenea borelian˘a, iar afirmat¸ia rezult˘a din faptul c˘a Xj este variabil˘a aleatoare. Definit¸ia 3.1.3 Funct¸ia F : IR → [0, 1], definit˘a prin F (x) = P ({X < x}) se nume¸ste funct¸ia de repartit¸ie a variabilei aleatoare X.

(3.3)

86

Variabile aleatoare continue

Dac˘a se particularizeaz˘a definit¸ia ˆın cazul unei variabile aleatoare discrete, se obt¸ine funct¸ia ˆın scar˘a dat˘a ˆın Capitolul 2.2. Propozit¸ia 3.1.4 Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate: 1. Dac˘a x1 < x2 , atunci F (x1 ) 6 F (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ IR; 2. F (x − 0) = F (x), ∀x ∈ IR (F este continu˘ a la stˆanga); 3. lim F (x) = 0; x→−∞

4. lim F (x) = 1; x→+∞

Demonstrat¸ie. 1. Observ˘am c˘a {X < x2 } = {X < x1 } ∪ {x1 6 X < x2 }, iar cele dou˘a evenimente sunt incompatibile. Aplicˆand probabilitatea peste ultima relat¸ie, g˘asim F (x2 ) = P ({X < x2 }) = F (x1 ) + P ({x1 6 X < x2 }) > F (x1 ), deoarece din definit¸ie, P ({x1 6 X < x2 }) > 0. 2. Fie xn un ¸sir cresc˘ator la x. Avem: {X < x} = {X < x1 } ∪ (

∞ [

{xn 6 X < xn+1 }).

n=1

Aplicˆand probabilitatea, g˘asim F (x) = F (x1 ) +

∞ X (F (xn+1 ) − F (xn )) n=1

deci seria precedent˘a este convergent˘a ¸si are ca sum˘a limita ¸sirului de sume part¸iale. F (x) = F (x1 ) + lim (F (x2 ) − F (x1 ) + F (x3 ) − F (x2 ) + . . . + F (xn+1 ) − F (xn )) = n→∞

= lim F (xn+1 ) = F (x − 0). n→∞

3. Dac˘a xn este un ¸sir descresc˘ator la −∞, atunci {X < x} = {x1 6 X < x} ∪ (

∞ [

{Xn+1 6 X < xn }).

n=1

Aplicˆand probabilitatea, rezult˘a F (x) = F (x) − F (x1 ) +

∞ X n=1

de unde lim F (xn+1 ) = 0. n→∞

(F (xn ) − F (xn+1 )),

Variabile aleatoare continue

87

4. Se constat˘a c˘a {X 6 ∞} = {X < x1 } ∪ (

∞ [

{xn 6 X < xn+1 }),

n=1

unde xn este un ¸sir cresc˘ator la +∞. Procedˆand ca mai sus, g˘asim 1 = lim F (xn ). n→∞

Observat¸ie. Dac˘a x1 < x2 , atunci P ({x1 6 X < x2 }) = F (x2 ) − F (x1 ). Afirmat¸ia rezult˘a folosind demonstrat¸ia punctului 1. Folosind relat¸ia dintre probabilitatea unui eveniment ¸si cea a evenimentului contrar, mai rezult˘a P ({X > x}) = 1 − F (x). Observat¸ie. Se poate demonstra c˘a, reciproc, orice funct¸ie F : IR → IR avˆand propriet˘a¸tile 1-4, este funct¸ia de repartit¸ie a unei variabile aleatoare, pe un anumit cˆamp de probabilitate, de aceea vom spune c˘a aceste propriet˘a¸ti reprezint˘a o caracterizare a funct¸iei de repartit¸ie. De exemplu putem lua E = (0, 1) ¸si K corpul borelian generat de intervalele deschise ale lui E, iar P m˘asura Lebesgue [ 22 ] pentru care vom schit¸a modul de construct¸ie. Not˘am cu [ D = { (ai , bi )|(ai , bi ) ∩ (aj , bj ) = ∅, I ⊆ IN }, ∀ai , bi ∈ (0, 1). i∈I

Elementele lui D se numesc mult¸imi deschise. Definim aplicat¸ia P0 : D → [0, 1], [ X P0 ( (ai , bi )) = (bi − ai ), ∀ai , bi ∈ (0, 1). i∈I

i∈I

Se observ˘a c˘a dac˘a I are un singur element, condit¸ia de mai sus devine: P0 (a, b) = b − a, ∀a, b ∈ (0, 1) formul˘a care d˘a lungimea intervalului (a, b); deci m˘asura Lebesgue a unei reuniuni num˘arabile de intervale disjuncte este suma lungimilor lor. Seria din membrul al doilea are ¸sirul sumelor part¸iale sn m˘arginit. ˆIntr-adev˘ar, ordonˆand intervalele din ¸sirul sumelor part¸iale, putem presupune 0 6 a1 < a2 < . . . an ¸si bn 6 1. Atunci sn =

n X i=1

(bi − ai ) 6

n X i=1

(bi − ai ) +

n−1 X (ai+1 − bi ) = bn − a1 6 1 − 0 = 1. i=1

Fie K cel mai mic corp borelian (se poate ar˘ata c˘a exist˘a), care cont¸ine D, pe care ˆıl not˘am K; aplicat¸ia P0 poate fi prelungit˘a la o probabilitate pe K, astfel ˆıncˆat s˘a aib˘a loc ∀D ∈ D, P (D) = P0 (D).

88

Variabile aleatoare continue

Fie F o funct¸ie care satisface condit¸iile propozit¸iei precedente; pentru simplificare s˘a presupunem c˘a F este strict monoton˘a ¸si continu˘a (deci este inversabil˘a) ¸si not˘am X = F −1 . Atunci F este funct¸ia de repartit¸ie a variabilei aleatoare X. ˆIntr-adev˘ar, P ({y ∈ (0, 1)|X(y) < x}) = P ({y ∈ (0, 1)|F −1 (y) < x}) = = P0 ({y ∈ (0, 1)|y < F (x)}) = F (x) − 0 = F (x), unde P este m˘asura Lebesgue introdus˘a anterior. Propozit¸ia 3.1.5 Pentru orice variabil˘a aleatoare X, are loc P ({X = x}) = F (x + 0) − F (x). Demonstrat¸ie. Fie x1 > x2 > . . . xn > xn+1 > . . . un ¸sir convergent la x. Atunci are loc {X > x} = {X = x} ∪ {X > x1 } ∪ (

∞ [

{xn+1 6 X < xn }).

n=1

Aplicˆand probabilitatea, g˘asim 1 − F (x) = P ({X = x}) + 1 − F (x1 ) + lim (F (x1 ) − F (x2 ) + . . . + F (xn ) − F (xn+1 )) = n→∞

= P ({X = x}) + 1 − lim F (xn ) = P ({X = x}) + 1 − F (x + 0). n→∞

Deci afirmat¸ia este adev˘arat˘a. Din propozit¸ia precedent˘a deducem c˘a urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: i. P ({X = x}) = 0; ii. F este continu˘a ˆın x. Propozit¸ia 3.1.6 O funct¸ie de repartit¸ie are o mult¸ime cel mult num˘arabil˘ a de puncte de discontinuitate de prima spet¸˘ a. Demonstrat¸ie. Fiind monoton˘a, funct¸ia de repartit¸ie F nu poate avea decˆat discontinuit˘a¸ti de prima spet¸a˘ (deci ˆın orice punct x ∈ R, exist˘a F (x − 0) = F (x) ¸si F (x + 0) finite). Deoarece 0 6 F (x) 6 1, F nu poate avea un salt mai mare ca 1/2, cel mult trei salturi 1 cuprinse ˆıntre 1/4 ¸si 1/2, iar ˆın general cel mult 2n − 1 salturi cuprinse ˆıntre 21n ¸si 2n−1 . Renumerotˆand, obt¸inem mult¸imea salturilor cel mult num˘arabil˘a. O variabil˘a aleatoare cu funct¸ie de repartit¸ie continu˘a va fi numit˘a variabil˘a aleatoare continu˘ a. Dac˘a X este o variabil˘a aleatoare continu˘a, iar A este o mult¸ime cel mult num˘arabil˘a, atunci probabilitatea ca X s˘a ia valori ˆın A este nul˘a, adic˘a P ({e ∈ E|X(e) ∈ A}) = P ({X −1 (A)}) = 0. Definit¸ia 3.1.4 Fie X o variabil˘a aleatoare cu funct¸ia de repartit¸ie F ¸si q ∈ IN ∗ ; numerele ci , i = 1, . . . q − 1 definite prin i i F (ci ) 6 , F (ci + 0) > q q se numesc q-cvantile .

Variabile aleatoare continue

89

q-cvantilele sunt unic determinate dac˘a F este continu˘a ¸si strict cresc˘atoare ca solut¸ii ale ecuat¸iei i F (ci ) = , i = 1 . . . q − 1. q Pentru q = 2 se obt¸ine mediana, pe care o vom nota me ¸si care se caracterizeaz˘a prin 1 1 F (me ) 6 , F (me + 0) > , 2 2

(3.4)

iar ˆın cazul continuit˘a¸tii lui F ,

1 F (me ) = . 2 Pentru q = 4 se obt¸in cvartilele, pentru q = 10,decilele etc. Funct¸ia de repartit¸ie condit¸ionat˘ a. ˆIn cˆampul de probabiliatate {E, K, P } consider˘am A ∈ K, cu proprietatea P (A) 6= 0. Reamintim c˘a ˆın Capitolul 1.2 s-a definit not¸iunea de probabilitate condit¸ionat˘a prin formula P (A ∩ B) , ∀B ∈ K. P (B|A) = PA (B) = P (A) Definit¸ia 3.1.5 Dat˘a o variabil˘a aleatoare X, numim funct¸ie de repartit¸ie condit¸ionat˘a de evenimentul A, funct¸ia dat˘a de F (x|A) = P ({X < x}|A) =

P ({X < x} ∩ A) . P (A)

Toate propriet˘a¸tile funct¸iei de repartit¸ie se p˘astreaz˘a; ment¸ion˘am F (+∞|A) = 1; F (−∞|A) = 0. S˘a demonstr˘am urm˘atoarea formul˘a P ({a 6 X < b}|A) = F (b|A) − F (a|A).

(3.5)

ˆIntr-adev˘ar, dac˘a a < b avem {X < a} ⊂ {X < b} ¸si P ({a 6 X < b}|A) =

P (({X < b} ∩ A) \ ({X < a} ∩ A)) P ({a 6 X < b} ∩ A) = = P (A) P (A)

P ({X < b} ∩ A) − P ({X < a} ∩ A) = F (b|A) − F (a|A). P (A) Ne intereseaz˘a ˆın continuare, pentru numeroasele aplicat¸ii practice, unele cazuri particulare ale evenimentului A. =

1. Dac˘a A = {X < a} ¸si F (a) = P ({X < a}) 6= 0, atunci  F (x) P ({X < x} ∩ {X < a})  , dac˘a x 6 a = F (x|A) = F (a)  P ({X < a}) 1, dac˘a x > a.

90

Variabile aleatoare continue Deci obt¸inem

  F (x) , F (x|{X < a}) = F (a)  1,

dac˘a x 6 a

(3.6)

dac˘a x > a.

ˆIn Figura 3.1 sunt ilustrate cele dou˘a funct¸ii. 2. Fie A = {a 6 X < b} astfel ca P (A) = F (b) − F (a) 6= 0. Deducem imediat c˘a  0, dac˘a x 6 a,    F (x) − F (a) , dac˘a a < x 6 b, F (x|{a 6 X < b}) = (3.7)  F (b) − F (a)   1, dac˘a x > b. Demonstr˘am urm˘atoarea formul˘a, care se dovede¸ste util˘a ˆın aplicat¸ii. ˆIn ipotezele precedente are loc P (A|{a 6 X < b}) =

(F (b|A) − F (a|A))P (A) . F (b) − F (a)

(3.8)

Aceasta rezult˘a imediat P (A|{a 6 X < b}) = =

P (A ∩ {a 6 X < b}) = P ({a 6 X < b})

P ({a 6 X < b}|A)P (A) (F (b|A) − F (a|A))P (A) = . F (b) − F (a) F (b) − F (a)

ˆIn ultima relat¸ie s-a folosit (3.5).

3.2

Densitatea de probabilitate. Repartit¸ia normal˘ a

Fie {E, K, P } un cˆamp borelian de probabilitate. Consider˘am o clas˘a de variabile aleatoare X pentru care exist˘a o funct¸ie f : IR → IR+ cu un num˘ar finit de puncte de discontinuitate de prima spet¸a˘, ce satisface relat¸ia Z x f (t)dt, (3.9) F (x) = −∞

unde F (x) este funct¸ia de repartit¸ie a variabilei X. Funct¸ia f se nume¸ste densitate de probabilitate. Dac˘a f este continu˘a ˆın x ∈ IR, atunci F este derivabil˘a ˆın x ¸si F 0 (x) = f (x). Acest lucru rezult˘a imediat dac˘a se aplic˘a teorema de medie ˆın integrala Riemann ¸si continuitatea lui f . ˆIntr-adev˘ar, R x+∆x f (t)dt F (x + ∆x) − F (x) = lim x = f (x). lim ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x

Variabile aleatoare continue

91

Dac˘a a, b ∈ IR ¸si F este continu˘a, atunci P ({a 6 X < b}) =

Rb a

f (x)dx.

Dac˘a ˆın relat¸ia (3.9) trecem la limit˘a pentru x tinzˆand la ∞ ¸si folosim faptul c˘a lim F (x) = 1, x→∞ deducem Z +∞

f (t)dt = 1.

(3.10)

−∞

Reciproc, dac˘a o funct¸ie f : IR → IR+ , cu un num˘ar finit de puncte de discontinuitate de prima spet¸a˘, satisface (3.10), atunci ea este integrabil˘a pe orice interval de forma (−∞, x), ∀x ∈ IR, deoarece Z

Z

x

+∞

f (x)dt 6 −∞

f (t)dt = 1 −∞

¸si funct¸ia F : IR → IR, definit˘a prin Z

x

F (x) =

f (t)dt, −∞

satisface condit¸iile propozit¸iei (3.1.4), deci este o funct¸ie de repartit¸ie, dac˘a ¸tinem cont de observat¸ia f˘acut˘a dup˘a aceast˘a propozit¸ie. Repartit¸ia uniform˘ a. Vom nota cu X : U (a, b) o variabil˘a aleatoare uniform repartizat˘a pe intervalul (a, b), ∀a, b ∈ IR, dac˘a densitatea de probabilitate este dat˘a de ( f (x) =

1 , dac˘a a 6 x 6 b b−a 0, ˆın rest.

Se constat˘a imediat c˘a este ˆındeplinit˘a condit¸ia (3.10). Funct¸ia de repartit¸ie este dat˘a de    0, x x−a , F (x) = f (t)dt =  −∞  b−a 1, Z

dac˘a x 6 a, dac˘a a < x 6 b, dac˘a x > b.

Graficele celor dou˘a funct¸ii sunt reprezentate ˆın figurile 3.2 ¸si 3.3. Exemplul 3.2.1 Dac˘a efectu˘am m˘asur˘atori de precizie, iar rezultatul este cuprins ˆıntre k ¸si k + 1 unit˘a¸ti, convenind s˘a-l aproxim˘am cu k + 1/2, comitem o eroare care poate fi presupus˘a uniform repartizat˘a pe intervalul (−1/2, 1/2), deci are densitatea  f (x) =

1, 0,

dac˘a x ∈ [−1/2, 1/2], ˆın rest.

92

Variabile aleatoare continue

Repartit¸ia normal˘ a. Variabila aleatoare X este distribuit˘a normal cu parametrii m ∈ IR, σ > 0 ¸si vom nota X : N (m, σ 2 ), dac˘a are densitatea de probabilitate (x−m)2 1 − 2σ 2 , f (x) = √ e ∀x ∈ IR. (3.11) 2πσ Observ˘am c˘a f (x) > 0. Pentru calculul integralei din condit¸ia (3.10) facem schimbarea x−m de variabil˘a y = ¸si obt¸inem σ Z ∞ Z ∞ Z ∞ (x−m)2 y2 1 1 − 2 2σ dx = √ f (x)dx = √ e e− 2 dy = 1. 2πσ −∞ 2π −∞ −∞

Pentru calculul ultimei integrale vezi Anexa 3. Dac˘a m = 0 ¸si σ = 1, repartit¸ia se mai nume¸ste normat˘a ¸si are densitatea 1 − x2 √ (3.12) f (x) = e 2. 2π Graficul este cunoscut sub numele de ”clopotul lui Gauss”. Se constat˘a c˘a acesta este 1 simetric fat¸a˘ de dreapta x = m, pentru x = m funct¸ia f are maxim egal cu f (m) = √2πσ , iar punctele m ± σ sunt puncte de inflexiune. Pentru σ constant ¸si m variabil, graficul se transleaz˘a corespunz˘ator. Dac˘a m este constant, iar σ variabil se constat˘a c˘a punctul de maxim variaz˘a invers proport¸ional ˆın raport cu σ. ˆIn Figura 3.4 se poate constata cum variaz˘a densitatea ˆın funct¸ie de σ. Funct¸ia de repartit¸ie F are graficul dat de Figura 3.5 ¸si se poate determina numeric, dac˘a se cunosc valorile funct¸iei lui Laplace , care se define¸ste prin Z z x2 1 e− 2 dx, ∀z ∈ IR. Φ(z) = √ 2π 0 Se verific˘a u¸sor c˘a Φ(−z) = −Φ(z) , ceea ce permite tabelarea funct¸iei doar pentru valori pozitive. Mai observ˘am c˘a are loc relat¸ia Z z x2 1 1 lim √ e− 2 dx = . (3.13) z→∞ 2 2π 0 S˘a exprim˘am funct¸ia de repartit¸ie cu ajutorul funct¸iei lui Laplace. ˆIn integrala F (x) = Rx t−m = u ¸si obt¸inem f (t)dt facem schimbarea de variabil˘ a −∞ σ 1 F (x) = √ 2πσ 1 =√ ( 2π

Z

0

2

u e− 2 du +

Z

−∞

Z

x−m σ

2

u e− 2 σdu =

−∞ x−m σ

u2

e− 2 du) =

0

1 x−m + Φ( ). 2 σ

ˆIn ultima egalitate s-a folosit relat¸ia (3.13). Se obt¸ine astfel formula F (x) =

x−m 1 + Φ( ). 2 σ

(3.14)

Variabile aleatoare continue

93

Din (3.14), folosind faptul c˘a P ({a 6 X < b}) = F (b) − F (a), deducem P ({a 6 X < b}) = Φ(

a−m b−m ) − Φ( ). σ σ

Probabilitatea ca abaterea fat¸a˘ de m, notat˘a |X − m| s˘a nu dep˘a¸seasc˘a  > 0, este dat˘a de  P ({|X − m| < }) = 2Φ( ). σ Regula celor 3σ. O variabil˘a normal repartizat˘a X : N (m, σ 2 ) ia valori semnificative ˆın intervalul (m − 3σ, m + 3σ). ˆIntr-adev˘ar, P ({|X − m| > 3σ}) = 1 − P ({|X − m| < 3σ}) = 1 − 2Φ(3) = 0, 0027, valoare care ˆın unele situat¸ii poate fi neglijat˘a. Exemplul 3.2.2 Durata de funct¸ionare a unei baterii este o variabil˘a aleatoare, notat˘a X, repartizat˘a normal N (m, σ 2 ), unde m = 120 zile reprezint˘a timpul mediu de funct¸ionare, iar σ = 10 zile reprezint˘a abaterea fat¸a˘ de medie (aceste not¸iuni vor fi introduse ¸si studiate ¸si ˆın cazul continuu ˆın Capitolul 3.4). Determinat¸i a. probabilitatea ca bateria s˘a funct¸ioneze cel put¸in 100 de zile; b. probabilitatea ca bateria s˘a funct¸ioneze ˆıntre 100 ¸si 150 de zile; c. intervalul de timp ˆın care se poate presupune c˘a bateria funct¸ioneaz˘a aproape sigur. a. P ({X > 100}) = 1 − P ({X < 100}) = 1 − F (100) = 1 − ( 12 + Φ( 100−120 )) = 10 1 + Φ(2) = 0, 97725; 2 b. P ({100 6 X 6 150}) = Φ( 150−120 ) − Φ( 100−120 ) = Φ(3) + Φ(2) = 0, 9759; 10 10 c. Aplicˆınd regula celor 3σ, g˘asim intervalul c˘autat de forma |X − m| < 3σ, deci bateria funct¸ioneaz˘a aproape sigur ˆıntre 90 ¸si 150 zile. Exemplul 3.2.3 Repartit¸ia erorilor accidentale de m˘asurare. Alte tipuri de erori decˆat cele datorate aproxim˘arilor (ˆın cazul m˘asur˘atorilor de precizie) sunt cele accidentale. Not˘am cu X eroarea comis˘a la efectuarea unei m˘asur˘atori, care este o variabil˘a aleatoare. Dac˘a valoarea exact˘a a m˘arimii este r, prin efectuarea a n m˘asur˘atori obt¸inem valorile r1 , r2 , . . . , rn aproximative ¸si erorilor ek = r − rk , k = 1, . . . n. S˘a determin˘am o funct¸ie derivabil˘a, f , care s˘a fie densitatea de probabilitate a variabilei X. Probabilitatea ca eroarea s˘a fie cuprins˘a ˆın intervalul [ek , ek + hk ], k = 1, . . . , n, cu hk suficient de mic poate fi aproximat˘a cu f (ek )hk , iar ˆın cele n m˘asur˘atori independente este produsul p(r) = h1 f (e1 )h2 f (e2 ) . . . hn f (hn ) = h1 h2 . . . hn f (r − r1 ) . . . f (r − rn ). Legea numerelor mari (care va fi studiat˘a am˘anunt¸it ˆın Capitolul 4) ne permite s˘a lu˘am ca valoare cea mai probabil˘a media aritmetic˘a, notat˘a r¯ =

1 (r1 + . . . rn ). n

Deci r¯ este un punct de maxim pentru p(r). Not˘am cu g(r) = f (r − r1 ) . . . f (r − rn ). Din condit¸ia p0 (¯ r) = 0, rezult˘a g 0 (¯ r) = 0. Are loc

g 0 (r) = g(r)

n X f (r − r1 ) . . . f (r − ri−1 )f 0 (r − ri )f (r − ri+1 ) . . . f (r − rn ) i=1

f (r − r1 ) . . . f (r − rn )

=

94

Variabile aleatoare continue =

n X f 0 (r − ri ) i=1

f (r − ri )

.

Din definit¸ia mediei, rezult˘a (¯ r − r1 ) + . . . + (¯ r − rn ) = 0, deci

n X (¯ r − rk ) = 0. Putem k=1

atunci scrie

 n  0 n n X X g 0 (r) X f 0 (r − rk ) f (r − rk ) 0= = −c (r − rk ) = − c(r − rk ) . g(r) f (r − rk ) f (r − rk ) k=1 k=1 k=1 Punem condit¸ia ca termenul general al sumei s˘a se anuleze. Aceasta conduce la ecuat¸ia diferent¸ial˘a f 0 (x) = cx f (x) x2 cu solut¸ia f (x) = ke 2 . S˘a determin˘am constantele k ¸si c, astfel ca f (x) s˘a fie o densitate 1 de probabilitate. Punˆand condit¸ia (3.10), g˘asim c < 0, k > 0. Dac˘a not˘am σ 2 = − , c 1 g˘asim k = √ σ ¸si 2π x2 1 − 2 2σ f (x) = √ . e 2πσ c

Deci erorile accidentale de m˘asurare se repartizeaz˘a dup˘a legea N (0, σ 2 ). Constanta 1 h = √2πσ se nume¸ste precizia m˘asur˘atorii. Exemplul 3.2.4 O variabil˘a aleatoare X este repartizat˘a normal N (0, σ 2 ). Dat un interval (α, β), cu α < 0, β > 0, s˘a determin˘am valoarea σ, astfel ca probabilitatea P ({X ∈ (α, β)}) s˘a fie maxim˘a. Are loc evident ! Z β Z α 2 2 σ σ t t β α 1 e− 2 dt − e− 2 dt . P ({α < X < β}) = Φ( ) − Φ( ) = √ σ σ 2π 0 0 Anul˘am derivata ˆın raport cu σ a integralei cu parametru ¸si g˘asim   2 2 β2 α2 1 − α2 − β2 √ e 2σ (− 2 ) − e 2σ (− 2 ) = 0. σ 2σ 2π Deducem

s σ=

β 2 − α2 . 2(ln β − ln |α|)

ˆIn practic˘a apar des situat¸ii ˆın care o variabil˘a aleatoare continu˘a este suma dintre o variabil˘a aleatoare discret˘a ¸si o variabil˘a aleatoare continu˘a. Ca aplicat¸ie a formulei probabilit˘a¸tii totale se poate deduce densitatea de probabilitate.

Variabile aleatoare continue

95

Exemplul 3.2.5 Fie X o variabil˘a aleatoare discret˘a care are repartit¸ia:   xi X: , i = 1, . . . n pi ¸si Y o variabil˘a aleatoare continu˘a care are densitatea de probabilitate f (x). S˘a determin˘am densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare Z = X + Y , dac˘a X ¸si Y sunt independente. Consider˘am sistemul complet de evenimente Ai = {X = xi }, i = 1, . . . n ¸si s˘a exprim˘am funct¸ia de repartit¸ie a variabilei aleatoare Z. ! n [ FZ (x) = P ({X + Y < x}) = P ({X + Y < x} ∩ Ai ) = i=1

=

n X

P ({Y + xi < x})P (Ai ) =

i=1

n X

pi P ({Y < x − xi }).

i=1

Prin derivare g˘asim fZ (x) =

n X

pi fY (x − xi ).

i=1

Exemplul 3.2.6 O variabil˘a aleatoare continu˘a are densitatea de probabilitate f1 (x) cu probabilitatea p1 ¸si densitatea de probabilitate f2 (x) cu probabilitatea p2 , cu p1 + p2 = 1. G˘asit¸i expresia densit˘a¸tii de probabilitate ¸si a funct¸iei de repartit¸ie a variabilei X. Consider˘am sistemul complet de evenimente Ai , i = 1, 2, unde evenimentul Ai reprezint˘a faptul c˘a X are densitatea de probabilitate fi . Atunci funct¸ia de repartit¸ie este dat˘a de F (x) = P ({X < x}) = P (A1 )P ({X < x}|A1 ) + P (A2 )P ({X < x}|A2 ) = = p1 F1 (x) + p2 F2 (x). Funct¸ia de densitate este atunci f (x) = p1 f1 (x) + p2 f2 (x). Densit˘ a¸ti de probabilitate condit¸ionate. Fie X o variabil˘a aleatoare continu˘a ¸si A ∈ K, cu probabilitatea P (A) 6= 0. Presupunem c˘a X are densitatea de probabilitate f , atunci densitatea de probabilitate a lui X, condit¸ionat˘ a de A este dat˘a ˆın punctele ei de continuitate de derivata funct¸iei de repartit¸ie condit¸ionat˘a f (x|A) = F 0 (x|A). 1. Dac˘a A = {X < a}, prin derivarea formulei (3.6) se obt¸ine   f (x) , dac˘a x 6 a, f (x|A) = F (a)  0, dac˘a x > a. 2. Dac˘a A = {a 6 X < b} prin derivarea relat¸iei (3.7) g˘asim  f (x)  , dac˘a a < x 6 b, f (x|{a 6 X < b} = F (b) − F (a)  0, ˆın rest.

(3.15)

(3.16)

96

Variabile aleatoare continue

Exemplul 3.2.7 Fie X : N (m, σ 2 ). S˘a determin˘am f (x|{|X − m| 6 kσ}). Observ˘am c˘a P ({|X − m| 6 kσ}) = 2Φ(k) ¸si ˆınlocuim ˆın (3.16). Deci  (x − m)2   − 1   √ 2σ 2 , dac˘a |x − m| 6 kσ e 2πσ2Φ(k) f (x|{|X − m| 6 kσ}) = .     0, ˆın rest Exemplul 3.2.8 Fie T variabila aleatoare care d˘a timpul de funct¸ionare pˆan˘a la prima defectare. S˘a determin˘am F (x|{T > t}) ¸si f (x|{T > t}). Observ˘am c˘a P ({T > t}) = 1 − F (t), probabilitate care va fi definit˘a ca funct¸ie de fiabilitate ˆın Capitolul 3.7. G˘asim  F (x) − F (t)   , dac˘a x > t,  1 − F (t) F (x|{T > t}) =    0, dac˘a x < t. f (x|{T > t}) =

f (x) =Z 1 − F (t)

f (x) +∞

, x > t.

f (x)dx t

Formula probabilit˘ a¸tii totale. Formula lui Bayes. Vom da versiunea continu˘a a formulelor prezentate ˆın Capitolul 1.6. Consider˘am evenimentul {X = x} unde X este o variabil˘a aleatoare continu˘a, deci admite funct¸ie de repartit¸ie continu˘a. Atunci avem P ({X = x}) = 0. ˆIn unele situat¸ii putem totu¸si defini P (A|{X = x}), ˆın sensul existent¸ei urm˘atoarei limite P (A|{X = x}) = lim P (A|{x 6 X < x + ∆x}) = ∆x→0

= lim

∆x→0

f (x|A)P (A) (F (x + ∆x|A) − F (x|A))P (A) = . F (x + ∆x) − F (x) f (x)

ˆIn ¸sirul de egalit˘a¸ti s-a folosit formula (3.8). Dac˘a integr˘am pe IR relat¸ia P (A|{X = x})f (x) = f (x|A)P (A) obt¸inem

Z

Z

+∞

+∞

P (A|{X = x})f (x)dx = −∞

f (x|A)P (A)dx = −∞

= P (A)(F (+∞|A) − F (−∞|A)) = P (A). Relat¸ia obt¸inut˘a se nume¸ste formula probabilit˘ a¸tii totale ˆın cazul continuu ¸si este Z +∞ P (A) = P (A|{X = x})f (x)dx. (3.17) −∞

Formula lui Bayes ˆın cazul continuu este P (A|{X = x})f (x) f (x|A) = R +∞ . P (A|{X = x})f (x)dx −∞

Variabile aleatoare continue

97

Exemplul 3.2.9 Densitatea de probabilitate a defect˘arii unei valve radio ˆın momentul deschiderii este q(v). Voltajul V este aleator ¸si are repartit¸ie N (m, σ 2 ). S˘a g˘asim probabilitatea evenimentului A, care semnific˘a faptul c˘a la momentul deschiderii valva s-a defectat. Vom folosi formula (3.17) Z +∞ Z +∞ (v−m)2 1 P (A) = q(v)f (v)dv = √ q(v)e− 2σ2 dv. 2πσ −∞ −∞

3.3

Funct¸ia de repartit¸ie multidimensional˘ a. Transform˘ ari

Fie {E, K, P } un cˆamp borelian de probabilitate ¸si X1 , . . . , Xn , variabile aleatoare. Definit¸ia 3.3.1 Funct¸ia notat˘a (X1 , . . . , Xn ) : E → IRn , definit˘a prin (X1 , . . . , Xn )(e) = (X1 (e), . . . , Xn (e)), se nume¸ste variabil˘a aleatoare n-dimensional˘a. Pentru (x1 , . . . , xn ) ∈ IRn , not˘am {X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn } =

n \

{Xi < xi }

i=1

¸si observ˘am c˘a acesta este un element al lui K. Definit¸ia 3.3.2 Funct¸ia F : IRn → IR, definit˘a prin F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P ({X1 < x1 , . . . , Xn < xn }), se nume¸ste funct¸ie de repartit¸ie n dimensional˘a. F˘ar˘a a intra ˆın detalii de demonstrat¸ie, amintim c˘a pentru funct¸ia de repartit¸ie n-dimensional˘a au loc propriet˘a¸tile: 1. F este nedescresc˘atoare ˆın fiecare argument; 2. F este continu˘a la stˆanga ˆın fiecare argument; 3. F (+∞, . . . , +∞) = 1; 4. Pentru orice k = 1, . . . n, are loc lim F (x1 , . . . , xk , . . . , xn ) = 0, ∀x1 . . . , xk−1 , xk+1 . . . , xn ∈ IR.

xk →−∞

Numai satisfacerea acestor propriet˘a¸ti, nu implic˘a faptul c˘a F este funct¸ie de repartit¸ie, pentru o variabil˘a aleatoare n-dimensional˘a. Pentru ai , bi i = 1, . . . n se poate ar˘ata c˘a P ({a1 6 X1 < b1 , . . . , an 6 Xn < bn }) =

98

Variabile aleatoare continue = F (b1 , . . . , bn ) −

n X

pi +

i=1

n X

pij −

i 1, 2 fX (x) = fY (y) = y2 x  0, 0, ˆın rest ˆın rest.

Variabile aleatoare continue

103

√ O m˘asur˘a pentru calitatea funct¸ion˘arii dispozitivului este U = XY . S˘a determin˘am densitatea de probabilitate a lui U . Facem schimbarea de variabile √  U = XY V =X definit˘a pe domeniul D cu inversa



x=v 2 y = uv

definit˘a pe domeniul ∆ ¸si avˆand iacobianul J(u, v) = −  fXY (x, y) =

1 , x2 y 2

2u . Din condit¸ia de independent¸˘a v

dac˘a x, y > 1, ˆın rest,

0,

iar fU V (u, v) =

2 . u3 v

Reprezent˘am grafic cele dou˘a domenii. Densitatea marginal˘a este Z

Z

∞

fU (u) =

u2

fU V (u, v)dv = 1

−∞

2 ln u dv = 4 3 , ∀u > 1. 3 uv u

Exemplul 3.3.7 (Limitatorul). Fie funct¸ia   −b, dac˘a x 6 −b, x, dac˘a − b < x 6 b, g(x) =  b, dac˘a x > b. S˘a determin˘am funct¸ia de repartit¸ie a variabilei aleatoare Y = g(X), unde X este o variabil˘a aleatoare cu funct¸ia de repartit¸ie FX . Dac˘a y 6 −b evenimentul g(X) < y nu se realizeaz˘a pentru nici un x, deci FY (y) = 0. Dac˘a −b < y 6 b, FY (y) = FX (y). Dac˘a b < y, FY (y) = 1. Exemplul 3.3.8 Repartit¸ia normal˘a n-dimensional˘a. Consider˘am funct¸ia definit˘a de √ det A −1/2(X−M )t A(X−M ) e , (3.24) f (x1 , . . . , xn ) = (2π)n/2 unde A = (aij )i,j=1...n este o matrice simetric˘a, deci A = At ¸si care are proprietatea c˘a forma p˘atratic˘a XX (X − M )t A(X − M ) = aij (xi − mi )(xj − mj ) i

j

104

Variabile aleatoare continue

este pozitiv definit˘a. X ¸si M reprezint˘a:    x1    X =  ...  , M =  xn

 m1 ..  . .  mn

Presupunem pentru ˆınceput c˘a m1 = . . . = mn = 0. Reamintim c˘a ˆın acest caz exist˘a o matrice ortogonal˘a H (cu proprietatea HH t = In , unde In este matricea unitate), pentru care forma p˘atratic˘a are forma canonic˘a X t AX =

n X

λi yi2 ,

i=1

unde λi sunt valorile proprii ale lui A, care ˆın cazul nostru sunt strict pozitive. Dup˘a cum ¸stim det A = λ1 . . . λn . S˘a verific˘am satisfacerea condit¸iei (3.19). Facem schimbarea de variabile X = HY ¸si observ˘am c˘a determinantul funct¸ional D(x1 , . . . , xn ) D(y1 , . . . , yn ) = det H = 1 deoarece H este o matrice ortogonal˘a. Avem atunci Z

n X

Z

− 12

...

e

aij xi xj dx1 . . . dxn =

i=1

IRn

Z =

n X

Z

− 12

...

e

λi yi2 det Hdy1 . . . dyn =

i=1

IRn

i=1

Facem ˆın ultima integral˘a substitut¸ia yi = Z

n Z Y

∞

− 12 λi yi2

e −∞

√zi λi

1 dyi = √ λi

∞

1

2

e− 2 λi yi dyi .

−∞

¸si g˘asim

Z

∞

e

z2 − 2i

∞

√ 2π dzi = √ . λi

Efectuˆand calculele obt¸inem n Y i=1

r

n

n

(2π) 2 2π (2π) 2 =√ . =√ λi λ1 . . . l n det A

Dac˘a revenim la cazul general, prin substitut¸ia X − M = Y , situat¸ia se reduce la satisfacerea condit¸iei m1 = . . . = mn = 0. Semnificat¸ia coeficient¸ilor matricei A ¸si unele propriet˘a¸ti vor fi studiate ˆın Capitolul 3.5. Vom da cazuri particulare ale legii normale. Variabila aleatoare normal˘ a bidimensional˘ a.

Variabile aleatoare continue

105

Dac˘a variabilele marginale X, Y sunt independente, atunci densitatea de probabilitate bidimensional˘a are o form˘a foarte simpl˘a −1 1 f (x, y) = e 2 2πσx σy



(y−my ) (x−mx )2 + 2 2 σx σy

2



.

(3.25)

Dac˘a D = [a, b] × [c, d] ⊂ IR2 , atunci    b − mx a − mx d − my c − my P ({(X, Y ) ∈ D}) = Φ( ) − Φ( ) Φ( ) − Φ( ) . σx σx σy σy S˘a consider˘am un domeniu Dk delimitat de elipsa de egal˘ a probabilitate, adic˘a elipsa ˆın ale c˘arei puncte densitatea de probabilitate este constanta k > 0. Elipsa are ecuat¸ia (y−my )2 (x−mx )2 + = k 2 . Observ˘am c˘a semiaxele elipsei sunt a = kσx , b = kσy . Atunci are 2 σx σy2 loc k2

P ({(X, Y ) ∈ Dk }) = 1 − e− 2

(3.26)

Aceasta rezult˘a imediat dac˘a facem ˆın integrala dubl˘a schimbarea de variabile de forma  x − mx = ρσx cos θ 0 < ρ 6 k, θ ∈ [0, 2π). y − my = ρσy sin θ Dup˘a efectuarea calculelor obt¸inem Z Z Z 2π Z k ρ2 σx σy dθ e− 2 ρdρ, f (x, y)dxdy = 2πσx σy 0 Dk 0 de unde (3.26). Exemplul 3.3.9 Repartit¸ia Rayleigh Dac˘a σx = σy = σ ¸si mx = my = 0, distant¸a R a unui ”punct aleator” (X, Y ) la origine are repartit¸ia Rayleigh. ˆInlocuind ˆın (3.25), densitatea de probabilitate are forma f (x, y) =

2 1 − 12 x2 +y σ2 . e 2πσ 2

Facem schimbarea de variabile  x = r cos θ y = r sin θ

r > 0 θ ∈ [0, 2π)

¸si densitatea de probabilitate a variabilei (R, Θ) este fRΘ (r, θ) =

r − r22 e 2σ , 2πσ 2

iar densitatea marginal˘a a variabilei R este f (r) =

r − r22 e 2σ . σ2

106

Variabile aleatoare continue

Variabila aleatoare normal˘ a tridimensional˘ a. Dac˘a variabilele marginale X, Y, Z sunt independente, densitatea de probabilitate este f (x, y, z) =



1

− 12

3

(2π) 2 σx σy σz

e

(y−my )2 (x−mx )2 (z−mz )2 + + 2 2 2 σx σy σz



.

La fel ca ˆın cazul bidimensional probabilitatea ca variabila (X, Y, Z) s˘a ia valori ˆıntrun elipsoid Dk , pe a c˘arui suprafat¸a˘ densitatea ia valori constante, elipsoid de egal˘ a probabilitate, este r 2 − k2 P ({(X, Y, Z) ∈ DK }) = 2Φ(k) − ke 2 . π Elipsoidul are semiaxele a = kσx , b = kσy c = kσz . Operat¸ii cu variabile aleatoare continue. Vom deduce formule de calcul pentru densit˘a¸tile de probabilitate ale sumei, diferent¸ei, produsului ¸si cˆatului de variabile aleatoare continue. Vom alege de fiecare dat˘a transform˘ari convenabile ¸si vom utiliza formula (3.22). Suma de variabile aleatoare continue. Fie (X, Y ) o variabil˘a aleatoare continu˘a cu densitatea de probabilitate fXY . Consider˘am transformarea:  u=x+y , v=x care admite inversa



x=v y =u−v

¸si iacobianul J(u, v) = −1. Din (3.22) deducem c˘a densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare (U, V ) este fU V (u, v) = fXY (v, u − v)| − 1|. Luˆand densitatea marginal˘a, g˘asim Z ∞ fU (u) = fXY (v, u − v)dv. (3.27) −∞

Dac˘a X ¸si Y sunt independente fXY (v, u − v) = fX (v)fY (u − v) ¸si densitatea sumei este produsul de convolut¸ie al densit˘a¸tilor fX , fY , adic˘a Z ∞ fU (u) = fX (v)fY (u − v)dv. (3.28) −∞

Exemplul 3.3.10 S˘a determin˘am suma de variabile aleatoare independente repartizate 1 uniform pe intervalul (a, b). Densitatea de probabilitate are valoarea b−a pe intervalul [a, b] ¸si 0 ˆın rest. Vom folosi (3.28). Z

+∞

fX+Y (x) = −∞

1 f (y)f (x − y)dy = b−a

Z

x−b

f (x − y)dy. x−a

Variabile aleatoare continue

107

In ultima integral˘a facem schimbarea de variabil˘a x − y = t, ¸si obt¸inem Z x−a 1 fX+Y (x) = f (t)dt. b − a x−b Comparˆınd x − a ¸si x − b cu a ¸si b obt¸inem  0,    x−2a , (b−a)2 fX+Y = 2b−x  2, (b−a)   0,

x < 2a 2a > x < a + b . a + b 6 x < 2b x > 2b

Graficul densit˘a¸tii de probabilitate este dat de Figura 3.11. Diferent¸˘ a de variabile aleatoare continue. Consider˘am transformarea



cu inversa



u=x−y v=x x=v , y =v−u

iar fU V (u, v) = fXY (v, v − u). Densitatea marginal˘a a diferent¸ei este Z ∞ fXY (v, v − u)dv, fU (u) = −∞

iar ˆın caz de independent¸˘a Z

∞

fU (u) =

fX (v)fY (v − u)dv. −∞

Produs de variabile aleatoare. Consider˘am transformarea



cu inversa

u = xy , v=x



x=v y = uv

¸si iacobianul J(u, v) = v1 . Densitatea de probabilitate este u 1 fU V (u, v) = fXY (v, ) . v |v| Deducem

Z fU (u) =

∞

u dv fXY (v, ) , v |v| −∞

(3.29)

108

Variabile aleatoare continue

iar ˆın caz de independent¸˘a Z

∞

fU (u) =

fX (v)fV

 u  dv

−∞

v

|v|

.

(3.30)

Cˆ atul a dou˘ a variabile aleatoare continue. Consider˘am transformarea



cu inversa



u = xy v=y x = uv y=v

¸si iacobianul J(u, v) = v. Se obt¸ine densitatea de probabilitate Z ∞ fU (u) = fXY (uv, v)|v|dv, −∞

care ˆın caz de independent¸˘a devine Z

∞

fU (u) =

fX (uv)fY (v)|v|dv.

(3.31)

−∞

Probabilit˘ a¸ti ¸si funct¸ii de repartit¸ie condit¸ionate. Dac˘a X, Y sunt variabile aleatoare discrete, not¸iunile de probabilit˘a¸ti condit¸ionate au fost definite prin ˆın Capitolul 2.4. Fie X este o variabil˘a aleatoare discret˘a, iar Y o variabil˘a aleatoare continu˘a; definim funct¸ia de repartit¸ie a lui Y condit¸ionat˘a de X prin FY (y|xk ) =

P ({Y < y, X = xk }) P ({X = xk })

dac˘a P ({X = xk }) > 0. Dac˘a funct¸ia de repartit¸ie condit¸ionat˘a este derivabil˘a, definim densitatea de probabilitate prin formula fY (y|xk ) =

d FY (y|xk ). dy

Pentru A ∈ K , are loc Z P ({Y ∈ A|X = xk }) =

fY (y|xk )dy. A

ˆIn cazul ˆın care X, Y sunt independente, se obt¸in imediat FY (y|x) = FY (y); fY (y|x) = fY (y).

Variabile aleatoare continue

109

Exemplul 3.3.11 ˆIntr-un canal de comunicat¸ie intrarea este o variabil˘a X, care poate lua valorile +1 volt , −1 volt cu aceea¸si probabilitate. Ie¸sirea Y = X + N unde N este ”zgomotul” ce poate fi considerat o variabil˘a aleatoare repartizat˘a uniform pe intervalul (−2, 2). S˘a determin˘am probabilitatea P ({X = 1, Y < 0}). Folosind formula probabilit˘a¸tilor condit¸ionate, avem P ({X = 1, Y < y}) = P ({Y < y}|{X = 1})P ({X = 1}) = FY (y|1)P ({X = 1}). Funct¸ia de repartit¸ie a lui Y condit¸ionat˘a de {X = 1} este FY (y|1) = P ({N + 1 < y}) = P ({N < y − 1}) = FN (y − 1), unde FN este funct¸ia de repartit¸ie a variabilei   0, x+2 , FN (x) =  4 1,

uniforme, care are expresia x 6 −2, −2 6 x 6 2, 2 < x.

Deci FY (y|1) = P ({Y < y|X = 1}) = y+1 , −1 6 y 6 3, iar probabilitatea c˘autat˘a este 4 11 1 astfel P ({X = 1}|{Y < 0)}) = 4 2 = 8 . Fie (X, Y ) o variabil˘a aleatoare bidimensional˘a continu˘a cu densitatea de probabilitate fXY continu˘a ¸si fX 6= 0 densitatea marginal˘a continu˘a. Definim funct¸ia de repartit¸ie a variabilei Y condit¸ionat˘a de {X = x} prin limita urm˘atoare, dac˘a exist˘a P ({Y < y, x 6 X < x + h}) FY (y|x) = lim = h→0 P ({x 6 X < x + h})

R y R x+h −∞

x

fXY (x0 , y 0 )dx0 dy 0

R x+h x

fX (x0 )dx0

.

Folosind teoreme de medie pentru cele dou˘a integrale, g˘asim Ry fXY (x, y 0 )dy 0 FY (y|x) = −∞ . fX (x) Prin derivare obt¸inem densitatea de probabilitate fY (y|x) =

fXY (x, y) . fX (x)

Dac˘a X, Y sunt independente, au loc fY (y|x) = fY (y), FY (y|x) = FY (y). Analog se deduce

Rx

fXY (x0 , y)dx0 . fY (y) Prin derivare obt¸inem densitatea de probabilitate condit¸ionat˘a FX (x|y) =

−∞

fX (x|y) =

fXY (x, y) . fY (y)

(3.32)

110

Variabile aleatoare continue

Exemplul 3.3.12 Fie variabila aleatoare (X, Y ) cu densitatea  −x −y 2e e , 0 6 y 6 x < +∞, fXY (x, y) = 0, ˆın rest. S˘a determin˘am densit˘a¸tile de probabilitate condit¸ionat˘a. Pentru ˆınceput afl˘am densit˘a¸tile marginale Z x

fX (x) =

2e−x e−y dy = 2e−x (1 − e−x ), 0 6 x < +∞

0

¸si

Z

+∞

fY (y) =

2e−x e−y dx = 2e−2y , 0 6 y < +∞.

y

Folosind formulele precedente, avem fX (x|y) = ¸si

2e−x e−y = e−(x−y) , y 6 x 2e−2y

2e−x e−y e−y fY (y|x) = −x = , 0 6 y 6 x. 2e (1 − e−x ) 1 − e−x

Formula probabilit˘a¸tii totale ¸si formula lui Bayes se pot generaliza ¸si ˆın acest caz. Relat¸ia (3.32) poate fi scris˘a sub forma fXY (x, y) = fY (y|x)fX (x) ¸si aplicˆand definit¸ia probabilit˘a¸tii marginale, obt¸inem formula probabilit˘ a¸tii totale: Z +∞ fY (y|x)fX (x)dx fY (y) = −∞

¸si formula lui Bayes fY (y|x) =

fX (x|y)fY (y) . fX (x)

ˆIn practic˘a intervin ¸si alte tipuri de probabilit˘a¸ti condit¸ionate. L˘as˘am ca exercit¸ii, stabilirea urm˘atoarelor formule. Dac˘a evenimentul ce condit¸ioneaz˘a este {X < x} ¸si FX (x) 6= 0 avem FY (y|{X < x}) = Rx

fY (y|{X < x}) =

FXY (x, y) , FX (x)

f (x0 , y)dx0 −∞ XY . R +∞ R x f (x0 , y 0 )dx0 dy 0 −∞ −∞ XY

Dac˘a evenimentul care condit¸ioneaz˘a este {x1 6 X < x2 } ¸si FX (x1 ) 6= FX (x2 ) avem FXY (x2 , y) − FXY (x1 , y) , FX (x2 ) − FX (x1 ) R x2 fXY (x, y)dx fY (y|{x1 6 X < x2 }) = x1 . FX (x2 ) − FX (x1 )

FY (y|{x1 6 X < x2 }) =

Variabile aleatoare continue

3.4

111

Valori caracteristice ale unei variabile aleatoare

Medii ¸si momente. Definit¸ia 3.4.1 Dac˘a X este o variabil˘a aleatoare avˆand funct¸ia de repartit¸ie F (x), numim medie, num˘arul dat de Z ∞ M [X] = xdF (x). (3.33) −∞

Integrala din (3.33) este de tip Riemann-Stieltjes (vezi Anexa 1). Dac˘a X are densitate de probabilitate continu˘a f (x), atunci integrala din definit¸ie se reduce la o integral˘a Riemann ¸si avem Z ∞ M [X] = xf (x)dx (3.34) −∞

S˘a observ˘am c˘a integrala improprie din definit¸ie s-ar putea s˘a nu fie convergent˘a. De exemplu, variabila aleatoare repartizat˘a Cauchy, cu densitatea de probabilitate f (x) =

1 , x ∈ IR π(1 + x2 )

nu are medie, deoarece integrala (3.34) este divergent˘a. Reamintim c˘a o variabil˘a aleatoare este continu˘a, dac˘a are funct¸ia de repartit¸ie continu˘a. Mai general, dac˘a F are c1 , . . . , cn puncte de discontinuitate (evident de prima spet¸a˘), media se obt¸ine exprimˆand integrala Stieltjes (vezi Anexa 1) ca o sum˘a dintre o integral˘a Riemann ¸si o sum˘a de salturi. Z ∞ M [X] = f (x)dF (x) = −∞

Z

∞

xf (x)dx + −∞

n X

ck (F (ck + 0) − F (ck − 0)).

k=1

Exemplul 3.4.1 S˘a determin˘am media variabilei aleatoare repartizate normal N (m,σ 2). √ Facem ˆın integral˘a schimbarea de variabil˘a y = x−m ¸si obt¸inem 2σ Z ∞ Z ∞ √ 1 2√ (m + 2σy)e−y 2σdy = M [X] = xf (x)dx = √ 2πσ −∞ −∞ r Z ∞ Z ∞ 2 1 2 m −y 2 σ (− e−y )0 dy = m, =√ e dy + π ∞ 2 π ∞ deoarece ultima integral˘a este 0. Dac˘a X are media m ¸si admite densitate de probabilitate nesimetric˘a, cele dou˘a arii determinate de x = m pot fi neegale. Astfel dac˘a X reprezint˘a o caracteristic˘a numeric˘a studiat˘a ˆıntr-o colectivitate statistic˘a, are ˆınt¸eles afirmat¸ia c˘a majoritatea indivizilor au caracteristica X mai mic˘a decˆat media. Reg˘asim ¸si ˆın cazul continuu acelea¸si propriet˘a¸ti pentru medie, pe care le-am ˆıntˆalnit ˆın cazul discret.

112

Variabile aleatoare continue

Propozit¸ia 3.4.1 Dac˘ a X ¸si Y sunt variabile aleatoare ce au medii, atunci X + Y are medie ¸si M [X + Y ] = M [X] + M [Y ]. (3.35) Demonstrat¸ie. Vom demonstra aceast˘a propozit¸ie ˆın cazul particular ˆın care X ¸si Y au densit˘a¸ti de probabilitate fX , respectiv fY . Folosind densitatea de probabilitate a sumei, (3.27), avem Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ M [X + Y ] = xdx fXY (y, x − y)dy = dy xfXY (y, x − y)dx. −∞

−∞

−∞

−∞

Ultima egalitate se datoreaz˘a posibilit˘a¸tii de a schimba ordinea de integrare. ˆIn ultima integral˘a facem schimbarea de variabil˘a x − y = z ¸si obt¸inem Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ M [X + Y ] = dy (y + z)fXY (y, z)dz = ydy fXY (y, z)dz+ −∞

Z

Z

∞ −∞

−∞

Z

∞ −∞

Z

∞ −∞

−∞

∞

zfX (z)dz = M [X] + M [Y ].

yfY (y)dy +

fXY (y, z)dy =

zdz

+

−∞

−∞

Proprietatea se poate extinde pentru un num˘ar finit de variabile aleatoare. Propozit¸ia 3.4.2 Dac˘ a X ¸si Y sunt variabile aleatoare independente ce admit medii, atunci produsul XY are medie ¸si M [XY ] = M [X]M [Y ].

(3.36)

Demonstrat¸ie. Vom folosi formula care define¸ste densitatea produsului de variabile aleatoare (3.30), presupunˆand c˘a X ¸si Y au densit˘a¸ti de probabilitate fX , fY .   Z ∞ Z ∞ x dy xdx fX (y)fY M [XY ]) = . y |y| −∞ −∞ ˆIn ultima integral˘a facem schimbarea x = yz ¸si invers˘am ordinea de integrare. G˘asim   Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞ x dx dy xfX (y)fY M [XY ] = = dy yzfX (y)fY (z)dz = y |y| −∞ −∞ −∞ −∞ = M [X]M [Y ]. Dac˘a o variabil˘a aleatoare nu are medie, alte caracteristici numerice care studiaz˘a ”tendint¸a central˘a” sunt modul ¸si mediana. Mediana a fost definit˘a de (3.4) ¸si ea exist˘a pentru orice variabil˘a aleatoare. De exemplu, ˆın cazul repartit¸iei Cauchy, datorit˘a simetriei fat¸a de axa Oy, mediana este me = 0, iar ˆın cazul repartit¸ei normale este m. Definit¸ia 3.4.2 mo se nume¸ste modul pentru variabila aleatoare X cu densitatea de probabilitate f (x), dac˘a este un punct de maxim pentru f (x).

Variabile aleatoare continue

113

O variabil˘a aleatoare poate fi unimodal˘ a, bimodal˘ a etc, dup˘a cum densitatea de probabilitate are unul sau mai multe puncte de maxim local. Media unei transform˘ ari de variabil˘ a aleatoare. Dac˘a X este o variabil˘a aleatoare, iar y = Ψ(x) este o tansformare de clas˘a C 1 , inversabil˘a, media variabilei Y = Ψ(X) dac˘a exist˘a, este dat˘a de formula Z

+∞

M [Y ] =

Ψ(x)fX (x)dx.

(3.37)

−∞

Aceasta rezult˘a dac˘a facem ˆın integrala care define¸ste media Z

+∞

M [Y ] =

yfY (y)dy −∞

schimbarea de variabil˘a ¸si aplic˘am relat¸ia (3.23), unde Φ este transformarea invers˘a. Exemplul 3.4.2 Dac˘a X : U (0, 2π), s˘a determin˘am media variabilei Y = cos X. Aplicˆand formula (3.37), avem Z

2π

M [Y ] =

cos x 0

1 dx = 0. 2π

Reamintim c˘a dac˘a X este o variabil˘a aleatoare, num˘arul νk = M [X k ], k ∈ IN (dac˘a exist˘a), se nume¸ste moment init¸ial de ordin k. Momentul init¸ial de ordin k se calculeaz˘a dup˘a formula Z ∞

νk =

xk f (x)dx,

(3.38)

−∞

dac˘a variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate f . Aceast˘a formul˘a rezult˘a dac˘a aplic˘am (3.37) variabilei Ψ(x) = X k . Observ˘am c˘a ν1 = M [X]. Momentul centrat de ordin k se define¸ste prin µk = M [(X − M [X])k ]. Dac˘a X are densitatea de probabilitate f , atunci folosind din nou (3.37), momentul centrat are expresia Z ∞

µk =

(x − ν1 )k f (x)dx.

−∞

ˆIntre momentele init¸iale ¸si cele centrate au loc relat¸iile urm˘atoare, care se demonstreaz˘a f˘ar˘a dificultate: k k X X i i i (3.39) Cki µk−i ν1i . µk = (−1) Ck νk−i ν1 ; νk = i=0

i=0

Reamintim c˘a µ2 se nume¸ste dispersie sau variant¸˘ a ¸si se noteaz˘a D2 [X], iar D[X] se nume¸ste abaterea medie p˘atratic˘ a. Aceste caracteristici au acelea¸si propriet˘a¸ti ca ˆın cazul discret, demonstrat¸ia lor nefiind dificil˘a.

114

Variabile aleatoare continue

Exemplul 3.4.3 S˘a calcul˘am momentele centrate ale repartit¸iei normale N (m, σ 2 ). Avem Z ∞ (x−m)2 1 µk = √ (x − m)k e− 2σ2 dx, σ 2π −∞ √ ˆın care facem schimbarea de variabil˘a x − m = 2σy , deci √ Z (σ 2)k ∞ k −y2 µk = √ y e dy. π −∞ Dac˘a integr˘am prin p˘art¸i obt¸inem √   Z (σ 2)k 1 −y2 k−1 +∞ k − 1 ∞ k−2 −y2 µk = √ − e y y e dy = −∞ + 2 2 π −∞ √ Z (k − 1)(σ 2)k ∞ k−2 −y2 √ = y e dy = (k − 1)σ 2 µk−2 , 2 π −∞ deoarece prima expresie se anuleaz˘a la limit˘a. Deducem din relat¸ia de recurent¸˘a precedent˘a  µ2k+1 = 0 . µ2k = (k − 1)!!σ 2k ˆIn particular, pentru k = 2, obt¸inem D2 [X] = σ 2 . Reg˘asim, ¸si ˆın cazul variabilelor aleatoare continue, inegalitatea lui Cebˆa¸sev, cu ajutorul c˘areia putem aprecia gradul de ˆımpr˘a¸stiere a valorilor variabilei; inegalitatea va constitui un important instrument de lucru ˆın cazul Legii numerelor mari (Capitolul 4). Propozit¸ia 3.4.3 (Inegalitatea lui Cebˆa¸sev) Dac˘a variabila aleatoare X este continu˘ a cu media m ¸si dispersia σ 2 , atunci are loc σ2 , ∀ > 0, 2

P ({|X − m| < }) > 1 − sau echivalent P ({|X − m| > })
0.

Demonstrat¸ie. Dispersia este dat˘a de Z ∞ Z m− Z 2 2 2 σ = (x − m) f (x)dx = (x − m) f (x)dx + −∞

−∞

Z

+∞

+

(3.40)

m+

(x − m)2 f (x)dx+

m−

(x − m)2 f (x)dx.

m+

Din faptul c˘a x 6∈ (m − , m + ), rezult˘a (x − m)2 > 2 ¸si dispersia poate fi minorat˘a prin Z m−  Z ∞ 2 2 σ > f (x)dx + f (x)dx = −∞

m+

Variabile aleatoare continue

115 

= deoarece

R∞ −∞

2

Z



m+

1−

f (x)dx , m−

f (x)dx = 1. Ultima parantez˘a se poate scrie σ 2 > 2 (1 − P ({|X − m| < })),

care este echivalent˘a cu relat¸ia (3.40).

.

Exemplul 3.4.4 Timpul mediu de r˘aspuns al unui calculator este de 15 secunde pentru o anumit˘a operat¸ie, cu abaterea medie p˘atratic˘a 3 secunde. Estimat¸i probabilitatea ca timpul de r˘aspuns s˘a se abat˘a cu mai put¸in de 5 secunde fat¸a˘ de medie. Vom folosi inegalitatea lui Cebˆa¸sev. Avem P ({|X − 15| > 5}) 6

9 = 0, 36. 25

Reamintim c˘a momentul absolut de ordin k pentru o variabil˘a aleatoare se define¸ste prin formula βk = M [|X|k ]. Dac˘a X are densitatea de probabilitate f , atunci momentul absolut este dat de formula Z ∞ |x|k fX (x)dx.

βk = −∞

Observ˘am c˘a existent¸a momentelor absolute de ordin k, antreneaz˘a existent¸a momentelor init¸iale de ordin k, deoarece Z ∞ Z ∞ k x f (x)dx 6 |x|k f (x) < ∞, −∞

−∞

iar din presupunerea f˘acut˘a, a doua integral˘a este convergent˘a. De asemenea, dac˘a exist˘a moment absolut de ordin k, exist˘a momente absolute de orice ordin l 6 k. ˆIntr-adev˘ar, Z ∞ Z Z l l |x| f (x)dx = |x| f (x)dx + |x|l f (x)dx 6

6

−∞

|x| 1

Z 6

|x|>1

Z l

6

|x| 1

|x|k f (x)dx.

|x| f (x)dx + |x|>1

Prima integral˘a este finit˘a datorit˘a domeniului de integrare, iar a doua din presupunerea f˘acut˘a. Inegalitatea lui Cebˆa¸sev poate fi generalizat˘a pentru momente absolute de orice ordin k ∈ IN , ˆın sensul urm˘ator: dac˘a variabila aleatoare X are moment absolut de ordin k, atunci M [|X − m|k ] , ∀ > 0, (3.41) P ({|X − m| < }) > 1 − k sau echivalent M [|X − m|k ] . P ({|X − m| > }) < k

116

Variabile aleatoare continue

Propozit¸ia 3.4.4 (Inegalitatea lui Schwarz) Dac˘a variabilele aleatoare X ¸si Y au momente absolute de ordin 2, atunci XY are moment absolut de ordin 2 ¸si p β2 (XY ) 6 β2 (x)β2 (y). (3.42) Demonstrat¸ie. Pentru orice λ ∈ IR, inegalitatea M [(|X| + λ|Y |)2 ] > 0 este evident˘a. Efectuˆand calculele avem M [(X + λY )2 ] = λ2 M [X 2 ] + 2λM [|XY |] + M [Y 2 ] > 0, ¸si folosind semnul funct¸iei de gradul al doilea, inegalitatea precedent˘a este adev˘arat˘a dac˘a discriminantul ∆ 6 0, ceea ce revine la M [|XY |2 ] 6 M [X 2 ]M [Y 2 ]. De unde, dup˘a extragerea radicalului g˘asim (3.42). Obser˘am c˘a, ˆın acelea¸si ipoteze, rezult˘a ¸si p |M [XY ]| 6 M [X 2 ]M [Y 2 ]. Definit¸ia 3.4.3 Fie X ¸si Y dou˘ a variabile aleatoare pentru care exist˘a momentele absolute de ordinul al doilea. Num˘arul definit de Cov[X, Y ] = M [(X − M [X])(Y − M [Y ])] se nume¸ste covariant¸a variabilelor X ¸si Y , iar num˘arul dat de formula ρ[X, Y ] =

Cov[X, Y ] , D[X]D[Y ]

(3.43)

dac˘ a D[X] 6= 0, D[Y ] 6= 0, se nume¸ste coeficient de corelat¸ie. Variabilele aleatoare X ¸si Y se numesc necorelate dac˘ a M [XY ] = M [X]M [Y ].

Observ˘am c˘a dac˘a X ¸si Y sunt independente, din Propozit¸ia 3.4.2 rezult˘a c˘a sunt necorelate. Se pot da exemple care s˘a ilustreze c˘a reciproca afirmat¸iei precedente nu este adev˘arat˘a, adic˘a pot exista variabile aleatoare necorelate f˘ar˘a ca ele s˘a fie independente. Dac˘a X ¸si Y sunt variabile aleatoare continue care admit momente absolute de ordinul al doilea, dispersia sumei se calculeaz˘a dup˘a formula D2 (X + Y ) = D2 (X) + D2 (Y ) + 2Cov[X, Y ]. Aceast˘a formul˘a se generalizeaz˘a u¸sor ˆın cazul a n variabile. Din formula (3.43) rezult˘a imediat c˘a ρ[X, X] = 1, iar ρ[X, Y ] = 0 dac˘a ¸si numai dac˘a X ¸si Y sunt necorelate.

Variabile aleatoare continue

117

Propozit¸ia 3.4.5 Pentru oricare dou˘a variabile X ¸si Y , care admit coeficient de corela¸tie, este satisf˘acut˘ a inegalitatea |ρ[X, Y ]| 6 1. (3.44) [X] Demonstrat¸ie. Consider˘am variabilele aleatoare X 0 = X−M ,Y 0 = D[X] inegalitatea lui Schwarz. Rezult˘a p |M [X 0 Y 0 ]| 6 M [X 02 ]M [Y 02 ].

Y −M [Y ] D[Y ]

¸si le aplic˘am

R˘amˆane s˘a observ˘am c˘a ρ[X, Y ] = M [X 0 , Y 0 ] = ¸si c˘a M [X 02 ] =

D2 [X] D2 [X]

M [(X − M (X))(Y − M (Y ))] D[X]D[Y ]

= 1. Dup˘a efectuarea ˆınlocuirilor, se obt¸ine formula(3.44).

Propozit¸ia 3.4.6 Pentru oricare dou˘a variabile aleatoare, ce admit coeficient de corela¸tie, urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: 1. |ρ[X, Y ]| = 1; 2. exist˘a a, b ∈ IR, nesimultan nule ¸si c ∈ IR , astfel ˆıncˆ at relat¸ia aX + bY + c = 0 are loc aproape sigur (adic˘a P ({aX + bY + c = 0}) = 1). Vom schit¸a demonstrat¸ia. ˆIntr-un sens afirmat¸ia este imediat˘a; anume dac˘a are loc aX +bY +c = 0 aproape sigur ¸si presupunem b 6= 0, g˘asim m, n ∈ IR astfel ca Y = mX +n. Observ˘am imediat c˘a  1, dac˘a m > 0 ρ[X, Y ] = −1, dac˘a m < 0. Reciproc, dac˘a X 0 = 0

0

X−M [X] ,Y 0 D[X] 0

Y −M [Y ] , D[Y ] 0 2 ˆ

=

atunci sunt evidente urm˘atoarele relat¸ii

ρ[X, Y ] = M [X Y ] = 1 ¸si M [(X ± Y ) ] = 0. Intr-un cadru mai general decˆat cel prezentat ˆın acest curs (vezi [22]), se poate ar˘ata c˘a din ultima egalitate rezult˘a c˘a X 0 ± Y 0 = 0 aproape sigur, deci: X − M [X] Y − M [Y ] =± . D[X] D[Y ] Schimbˆand eventual notat¸iile, din ultima egalitate deducem 2. Not¸iunea de moment poate fi extins˘a la variabile aleatoare multidimensionale. Definit¸ia 3.4.4 Dac˘a (X1 , . . . , Xn ) este o variabil˘a aleatoare n-dimensional˘a cu densitatea de probabilitate fX1 ...Xn , numim moment init¸ial de ordinul (k1 . . . kn ) num˘arul Z Z k1 kn νk1 ...kn = M [X1 , . . . , Xn ] = . . . xk11 . . . , xknn fX1 ...Xn (x1 , . . . xn )dx1 . . . dxn . IRn

Definit¸ia 3.4.5 Dac˘a X ¸si Y sunt dou˘a variabile aleatoare n-dimensionale, matricea de elemente Cov[Xi Yj ], i = 1, . . . n, j = 1, . . . n. se nume¸ste matricea de covariant¸a˘.

118

Variabile aleatoare continue

Medii condit¸ionate. Dac˘a X este o variabil˘a aleatoare cu densitatea de probabilitate f ¸si A ∈ K, definim media lui X condit¸ionat˘a de A Z +∞ M [x|A] = xf (x|A)dx (3.45) −∞

unde f (x|A) este densitatea de probabilitate a lui X condit¸ionat˘a de A. Exemplul 3.4.5 Fie T variabila aleatoare care d˘a timpul de funct¸ionare pˆan˘a la prima defectare. S˘a determin˘am media lui T , condit¸ionat˘a de faptul c˘a sistemul a funct¸ionat pˆan˘a la momentul t. Folosind un rat¸ionament asem˘an˘ator cu cel pentru deducerea formulei (3.15), deducem f (x) f (x|{T 6 t}) = R +∞ , x 6 t. f (x)dx t Atunci cu ajutorul relat¸iei (3.45), obt¸inem R +∞

xf (x)dx M [T |{T 6 t}] = Rt +∞ . f (x)dx t Dac˘a X ¸si Y sunt dou˘a variabile aleatoare cu densit˘a¸tile de probabilitate fX , fY definim mediile condit¸ionate prin formulele Z +∞ M [Y |x] = yfY (y|x)dy −∞

Z

+∞

M [X|y] =

xfX (x|y)dx, −∞

dac˘a exist˘a. Se poate arata c˘a mediile condit¸ionate sunt de fapt variabile aleatoare, care admit la rˆandul lor medie, ce se exprim˘a prin formulele integrale ale mediei totale. Z +∞ M [Y ] = M [Y |x]fX (x)dx −∞

Z

+∞

M [X] =

M [X|y]fY (y)dy. −∞

S˘a deducem prima egalitate. Z +∞ Z M [Y |x]fX (x)dx = −∞

Z

+∞

=

yfY (y|x)dy = −∞

+∞

ydy −∞

+∞

fX (x)dx −∞

Z

Z

+∞

fY (y|x)fX (x)dx. −∞

Dac˘a folosim (3.32) ¸si densitatea de probabilitate marginal˘a, deducem c˘a ultima formul˘a reprezint˘a chiar M [Y ].

Variabile aleatoare continue

119

Exemplul 3.4.6 Num˘arul de ”client¸i” care ajunge la ”o stat¸ie de deservire” ˆıntr-un interval de timp t este o variabil˘a aleatoare Poisson cu parametrul βt. Timpul necesar deservirii fiec˘aruia este o variabil˘a exponent¸ial˘a, T , cu parametrul α, deci are densitatea de probabilitate  αe−αt , dac˘a t > 0 f (t) = (α > 0). 0, dac˘a t < 0 S˘a determin˘am repartit¸ia variabilei N , care d˘a num˘arul de client¸i ce ajung ˆın timpul T al deservirii unui client, media ¸si dispersia, ˆın ipoteza c˘a sosirile client¸ilor sunt independente de timpul de deservire. Aplic˘am formula probabilit˘a¸tii totale Z +∞ Z +∞ (βt)k −βt −αt P ({N = k}) = P ({N = k}|{T = t})fT (t)dt = e αe dt = k! −∞ 0 αβ k = k!

Z

+∞

tk e−(α+β)t dt.

0

F˘acˆand schimbarea de variabile r = (α + β)t ¸sirul de egalit˘a¸ti poate fi continuat, αβ k k!(α + β)k+1

Z

+∞ 0

αβ k α r e dr = = (α + β)k+1 α+β k −r



β α+β

k .

Deci N este o variabil˘a aleatoare geometric˘a. Dac˘a se produce {T = t}, variabila condit¸ionat˘a este Poisson, cu paramertul βt. Rezult˘a c˘a media ¸si dispersia au aceea¸si valoare ¸si anume βt. Pentru calculul mediei lui N putem folosi formula mediei totale Z +∞ Z +∞ M [N ] = M [N |t]fT (t)dt = βtfT (t)dt = βM [T ]. 0

Z

+∞

2

M [N ] =

0

Z

+∞

2

M [N |t]fT (t)dt = 0

(βt + β 2 t2 )fT (t)dt = βM [T ] + β 2 M [T 2 ].

0

S˘a mai observ˘am c˘a T fiind variabil˘a exponent¸ial˘a M [T ] = 2 M [N ] = αβ D2 [N ] = αβ 2 + αβ .

3.5

1 , α

D2 [T ] =

1 . α2

Deci

Funct¸ia caracteristic˘ a a unei variabile aleatoare

ˆIn acest capitol am v˘azut c˘a densitatea de probabilitate a sumei de variabile aleatoare independente este produsul de convolut¸ie al densit˘a¸tilor de probabilitate, dar analitic este uneori dificil de aplicat acest rezultat. Un instrument mai comod este funct¸ia caracteristic˘a, pe care o vom utiliza ¸si la determinarea momentelor unei variabile aleatoare. Fie X o variabil˘a aleatoare continu˘a avˆand densitatea de probabilitate fX .

120

Variabile aleatoare continue

Definit¸ia 3.5.1 Numim funct¸ie caracteristic˘a asociat˘ a variabilei aleatoare X, funct¸ia ϕ : IR → C, definit˘a prin Z ∞ itX ϕ(t) = M [e ] = eitx fX (x)dx. −∞

Tinˆand cont c˘a eiy = cos y + i sin y cu y ∈ IR , eitX reprezint˘a o variabil˘a aleatoare bidimensional˘a cu componentele (cos tX, sin tX). Deoarece |eitx | = 1, funct¸ia caracteristic˘a exist˘a pentru orice variabil˘a aleatoare ce admite densitate de probabilitate. Vom mai nota ϕX (t), pentru a pune ˆın evident¸a˘ c˘arei variabile aleatoare i se asociaz˘a funct¸ia caracteristic˘a. Definit¸ia funct¸iei caracteristice reprezint˘a transformata Fourier aplicat˘a funct¸iei absolut integrabile fX ; o formul˘a de inversare va fi formulat˘a ˆın prezent¸a condit¸iei suplimentare de absolut˘a integrabilitate a funct¸iei caracteristice, ˆın Teorema 5.3 din acest capitol. Propozit¸ia 3.5.1 Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt adev˘arate : 1. ϕ(0) = 1; 2. |ϕ(t)| 6 1; 3. ϕ(−t) = ϕ(t); 4. ϕ(t) este uniform continu˘ a pe IR. Demonstrat¸ie. 1. ¸si 2. sunt evidente. 3. S˘a calcul˘am Z Z ∞ −itx e ϕ(x)dx = ϕ(−t) =

eitx f (x)dx −∞

−∞

Z

∞

∞

eitx f (x)dx = ϕ(t).

= −∞

4. Pentru a ar˘ata c˘a ϕ este uniform continu˘a, s˘a calcul˘am: Z ∞ Z ∞ itx ihx |ϕ(t + h) − ϕ(t)| = e (e − 1)f (x)dx 6 |eihx − 1|f (x)dx. −∞

Deoarece

R∞ −∞

−∞

f (x)dx = 1, pentru orice  > 0, exist˘a A suficient de mare astfel ˆıncˆat Z f (x)dx < /4,

>

|x| A

iar din continuitatea exponent¸ialei exist˘a h suficient de mic ˆıncˆat |eihx − 1| < /2. Atunci putem scrie Z A Z ihx |ϕ(t + h) − ϕ(t)| 6 |e − 1|f (x)dx + f (x)dx < . −A

>

|x| A

Observat¸ie. Urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente : o funct¸ie caracteristic˘a este real˘a; f (−x) = f (x); F (x) = 1 − F (−x), unde F ¸si f sunt funct¸iile de repartit¸ie, respectiv de densitate de probabilitate. Egalit˘a¸tile dintre funct¸iile precedente au loc ˆın

Variabile aleatoare continue

121

cazul cel mai general cu except¸ia unei mult¸imi de probabilitate nul˘a (deci aproape sigur). Demonstr˘am afirmat¸ia ˆın cazul ˆın care f este continu˘a. Ar˘at˘am, mai ˆıntˆai, c˘a ultimele dou˘a afirmat¸ii sunt echivalente. Avem F 0 (x) = (1 − F (−x))0 ⇒ f (x) = f (−x). Reciproc, dac˘a f (x) = f (−x) Rx R∞ R −∞ F (x) = −∞ f (t)dt = 1 − x f (t)dt = 1 + −x f (−u)du = R −x = 1 − −∞ f (u)du = 1 − F (−x). ˆIn ce prive¸ste echivalent¸a primelor dou˘a relat¸ii se observ˘a imediat c˘a Z ∞ Z ∞ itx f (x) = f (−x) =⇒ ϕ(t) = e f (x)dx = e−itx f (x)dx = ϕ(−t) = ϕ(t). −∞

−∞

Se poate ar˘ata, ˆın prezent¸a unor rezultate suplimentare ¸si care nu sunt cuprinse ˆın acest curs, c˘a din faptul c˘a ϕ este real˘a, rezult˘a f (x) = f (−x). Propozit¸ia 3.5.2 1. Dac˘a Y = aX + b, cu a, b ∈ IR, atunci ϕY (t) = eitb ϕX (at); 2. Dac˘a X ¸si Y sunt independente, atunci ϕX+Y = ϕX ϕY . Demonstrat¸ie.     1. ϕY (t) = M [eity ] = M e
it(aX+b) = eitb M
eitaX = eitb ϕX (at). 2. ϕX+Y (t) = M eit(X+Y ) = M eitX eitY = ϕX (t)ϕY (t). Cunoa¸sterea funct¸iei caracteristice permite calculul momentelor init¸iale, dup˘a cum rezult˘a din urm˘atoarea teorem˘a. Teorema 3.5.1 Dac˘a o variabil˘a aleatoare admite moment absolut de ordin n, n ∈ IN , atunci funct¸ia caracteristic˘ a este de n ori derivabil˘a ¸si are loc : νk =

ϕ(k) (0) , k = 1, . . . n. ik

Demonstrat¸ie. Deriv˘am formal de k ori sub integrala cu parametru din definit¸ia funct¸iei caracteristice. G˘asim dup˘a major˘ari Z ∞ (k) k ϕ (t) = i xk eitx f (x)dx, −∞

iar

Z

∞ −∞

x e f (x)dx 6 βk 6 βn , ∀k = 1, . . . n, k itx

deci derivatele exist˘a. Dac˘a ˆın formula de derivare lu˘am t = 0, g˘asim ϕ(k) (0) = ik νk .

122

Variabile aleatoare continue

Teorema 3.5.2 Dac˘a X este o variabil˘a aleatoare continu˘ a care admite momente absolute de orice ordin, atunci funct¸ia caracteristic˘ a admite dezvoltare ˆın serie de puteri de forma ∞ X (it)k ϕ(t) = νk . k! k=0 Demonstrat¸ie. ˆInlocuim ˆın definit¸ia funct¸iei caracteristice dezvoltatea ˆın serie a exponent¸ialei ¸si g˘asim Z ∞ ϕ(t) = eitx ϕ(x)dx = Z

∞ −∞



−∞

 itx (itx)n−1 (itx)n ixθ 1+ + ... + + e f (x)dx = 1! (n − 1)! n! = ν0 +

it (it)n−1 ν1 + . . . + νn−1 + Rn . 1! (n − 1)!

Majorˆand restul obt¸inem Z Z |t|n ∞ n (it)n ∞ n itθ x e f (x)dx 6 |x| f (x)dx < ∞. |Rn | = n! −∞ n! −∞ Se observ˘a c˘a lim Rn = 0, deci afirmat¸ia este adev˘arat˘a. n→∞

Teorema 3.5.3 (Formula de inversiune) Fie X o variabil˘a aleatoare avˆand ϕ ¸si F , respectiv, funct¸ia caracteristic˘ a ¸si funct¸ia de repartit¸ie. Dac˘a x1 , x2 , cu x1 < x2 sunt puncte de continuitate ale lui F , atunci are loc Z c −itx1 1 e − e−itx2 F (x2 ) − F (x1 ) = lim ϕ(t)dt. (3.46) c→∞ 2π −c it Demonstrat¸ie. Observ˘am c˘a pentru c ∈ IR, funct¸ia de sub integral˘a este continu˘a, dac˘a o definim ˆın t = 0 prin e−itx1 − e−itx2 lim = (x2 − x1 )ϕ(0). t→0 it De asemenea, funct¸ia are un majorant integrabil, deci integrala Z c −itx1 e 1 − e−itx2 Ic = ϕ(t)dt 2π −c it este convergent˘a. Consider˘am cazul particular ˆın care X are densitate de probabilitate f ¸si ˆınlocuim ˆın integrala precedent˘a pe ϕ Z c Z ∞ −itx1 1 e − e−itx2 itz Ic = e f (z)dzdt. 2π −c −∞ it Prin schimbarea ordinii de integrare (posibil˘a deoarece ˆın raport cu z avem absolut˘a convergent¸a˘, iar ˆın raport cu t integrarea se face pe interval finit), g˘asim  Z ∞ Z c it(z−x1 ) e − eit(z−x2 ) 1 dt f (z)dz = Ic = 2π −∞ it −c

Variabile aleatoare continue 1 = 2π

Z

Z

∞ −∞

0 −c

123

eit(z−x1 ) − eit(z−x2 ) dt + it

Z

c 0

 eit(z−x1 ) − eit(z−x2 ) dt f (z)dz. it

ˆIn prima integral˘a f˘acˆand schimbarea t → −t, obt¸inem  Z ∞ Z c −e−it(z−x1 ) + e−it(z−x2 ) + eit(z−x1 ) − eit(z−x2 ) 1 Ic = dt f (z)dz = 2π −∞ it 0  Z Z  1 ∞ c sin t(z − x) sin t(z − x2 = − dtf (z)dz π −∞ 0 t t Alegem un δ > 0 astfel ˆıncˆat x1 + δ < x2 − δ ¸si descompunem integrala pe domeniile : (−∞, x1 − δ), (x1 − δ, x1 + δ), (x1 + δ, x2 − δ), (x2 − δ, x2 + δ), (x2 + δ, ∞). Reamintim formula lui Dirichlet [10] :  Z 1 c sin αt 1/2, lim dt = −1/2, c→∞ π 0 t

dac˘a α > 0 dac˘a α < 0

unde limita este uniform˘a ˆın raport cu α. Pe intervalul (−∞, x1 − δ), avem z − x2 < z − x1 < −δ < 0, deci  Z  1 c sin t(z − x1 ) sin t(z − x2 ) − dt → 0, dac˘a c → ∞ π 0 t t ¸si cum integrala este uniform m˘arginit˘a ˆın raport cu c, putem comuta integrala cu limita ¸si obt¸inem  Z x1 −δ Z c  1 sin t(z − x1 ) sin t(z − x2 ) − dtf (z)dz → 0, dac˘a c → ∞ (3.47) π 0 t t −∞ ¸si analog Z ∞ x2 +δ

1 π

Z c 0

sin t(z − x1 ) sin t(z − x2 ) − t t

 dtf (z)dz → 0, pentru c → ∞.

(3.48)

Pe intervalul (x1 + δ, x2 − δ) folosind formula lui Dirichlet ¸si convergent¸a uniform˘a ˆın raport cu α, deducem  Z x2 −δ Z c  1 sin t(z − x1 ) sin t(z − x2 ) − lim dtf (z)dz = c→∞ x +δ π 0 t t 1  Z x2 −δ  sin t(z − x1 ) sin t(z − x2 ) − = dtf (z)dz = F (x2 − δ) − F (x1 + δ). (3.49) t t x1 +δ Pe intervalele (x1 − δ, x1 + δ) ¸si (x2 − δ, x2 + δ), integralele pot fi majorate respectiv, dac˘a folosim din nou formula lui Dirichlet, cu 2(F (x1 + δ) − F (x1 − δ)), 2(F (x2 + δ) − F (x2 − δ)).

(3.50)

124

Variabile aleatoare continue

Pentru orice  > 0, din (3.47) ¸si (3.48) exist˘a c astfel ˆıncˆat ∀c > c are loc Z ∞ Z c   1 sin t(z − x ) sin t(z − x ) 2 1 − f (z)dz 6 π t t −∞ 0 6 /3 + /3 + F (x2 − δ) − F (x1 + δ)/3 + 2(F (x1 + δ)− −F (x1 − δ) + F (x2 + δ) − F (x2 − δ)). ˆIn inegalitatea de mai sus au intervenit ¸si relat¸iile (3.49) ¸si (3.50). Deoarece x1 ¸si x2 sunt puncte de continuitate pentru F lim(F (x1 + δ) − F (x1 − δ)) = lim(F (x2 + δ) − F (x2 − δ)) = 0.

δ→0

δ→0

Trecˆand apoi la limit˘a pentru c → ∞ , g˘asim formula (3.46 ). Aceast˘a teorem˘a ne permite s˘a stabilim o corespondent¸˘a biunivoc˘a ˆıntre funct¸iile de repartit¸ie ¸si cele caracteristice, dup˘a cum rezult˘a din urm˘atoarea teorem˘a. Teorema 3.5.4 (Teorema de unicitate) Funct¸ia de repartit¸ie este unic determinat˘a de funct¸ia sa caracteristic˘ a. Demonstrat¸ie. ˆIn teorema precedent˘a facem pe x1 s˘a tind˘a la ∞, x1 r˘amˆanˆand punct de continuitate. Deoarece lim F (x1 ) = 0, g˘asim x1 →−∞

Z F (x2 ) = lim

c

lim

x1 →−∞ c→∞

−c

e−itx1 − e−itx2 ϕ(t)dt it

∀x1 , x2 puncte de continuitate ale lui F . Teorema 3.5.5 Dac˘a funct¸ia caracteristic˘ a este absolut integrabil˘ a pe IR, adic˘a Z ∞ |ϕ(t)|dt < ∞, −∞

atunci F are derivat˘a simetric˘a pe IR, deci ∀x ∈ IR , exist˘a F (x + h) − F (x − h) = Fs0 (x), h→0 2h lim

¸si Fs0 (x) = f (x) ˆın orice punct de continuitate a lui f . Demonstrat¸ie. Pentru orice dou˘a puncte de continuitate ale lui F , are loc din formula de inversiune Z ∞ −itx1 e − e−itx2 1 ϕ(t)dt, F (x2 ) − F (x1 ) = 2π −∞ it

Variabile aleatoare continue

125

deoarece folosind ipoteza, funct¸ia din membrul al doilea este integrabil˘a. Presupunˆand c˘a x1 = x − h, x2 = x + h, atunci : Z ∞ 1 sin th −itx F (x + h) − F (x − h) = 2h e ϕ(t)dt. 2π −∞ th Deoarece

sin th th 6 1,

avem

−itx sin th e ϕ(t) 6 |ϕ(t)|, ∀h ∈ IR, th

¸si lim e−itx

h→0

sin th = e−itx . th

ˆIntr-un cadru mult mai general decˆat cel prezent, se poate demonstra un criteriu de convergent¸a˘ dominat˘a a lui Lebesgue [22], ˆın baza c˘aruia putem trece la limit˘a sub integral˘a ¸si g˘asim Z ∞ F (x + h) − F (x − h) 1 0 Fs = lim e−itx ϕ(t)dt. (3.51) = h→0 2h 2π −∞ S˘a demonstr˘am c˘a Fs0 este continu˘a; ˆıntr-adev˘ar |Fs0 (x 1 = π

Z

1 + h) − Fs (x)| 6 2π

Z

th 2 sin |ϕ(t)|dt = 2 −∞ ∞

Z th th sin |ϕ(t)|dt + 1 sin |ϕ(t)|dt. 2 π |t|>A 2 |t|6A

Pentru  > 0 putem alege A suficient de mare ˆıncˆat Z 1 |ϕ(t)dt < /2. π |t|>A Prima integral˘a poate fi f˘acut˘a < /2, dac˘a alegem h suficient de mic, deci |Fs0 (x + h) − Fs0 (x)| < , de unde rezult˘a continuitatea. Reamintim c˘a ˆın orice punct de continuitate pentru f , are loc F 0 (x) = f (x), de unde afirmat¸ia teoremei, deoarece derivata simetric˘a coincide cu derivata. Relat¸ia (3.51) constituie formula de inversare, care exprim˘a densitatea de probabilitate cu ajutorul funct¸iei caracteristice. Vom demonstra ˆın continuare teorema lui Bochner, care d˘a o descriere complet˘a a funct¸iilor caracteristice, acest rezultat fiindu-ne necesar la studiul proceselor stochastice stat¸ionare.

126

Variabile aleatoare continue

Definit¸ia 3.5.2 Funct¸ia ϕ : IR → IR, continu˘ a, se nume¸ste pozitiv definit˘a pe IR, dac˘a ∀t1 , . . . , tn ∈ IR ¸si z1 , . . . , zn ∈ C, ∀n ∈ IN , are loc n X n X

ϕ(tj − tk )zj zk > 0.

k=1 j=1

Cˆateva propriet˘a¸ti decurg imediat din definit¸ie. 1. ϕ(0) > 0. ˆIntr-adev˘ar pentru n = 1, t1 = 0, z1 = 1, afirmat¸ia este evident˘a. 2. ϕ(−t) = ϕ(t), ∀t ∈ IR. Aceasta rezult˘a dac˘a lu˘am n = 2, t1 = 0, t2 = t, z1 , z2 ∈ C. 06

2 X 2 X

ϕ(tk − tj )zk zj = ϕ(0 − 0)z1 z1 + ϕ(0 − t)z1 z2 + ϕ(t − 0)z2 z1 + ϕ(t − t)z2 z2 =

k=1 j=1

= ϕ(0)(|z1 |2 + |z2 |2 ) + ϕ(−t)z1 z2 + ϕ(t)z1 z2 , ¸si deci ϕ(−t)z1 z2 + ϕ(t)z1 z2 ∈ IR. Dac˘a lu˘am ϕ(−t) = α1 + iβ1 , , z1 z2 = γ + iδ

ϕ(t) = α2 + iβ2 , z1 z2 = γ − iδ,

rezult˘a α1 δ + β1 γ − α2 δ + β2 γ = 0, ∀γ, δ, deci obt¸inem α1 = α2 ¸si β1 + β2 = 0. 3. |ϕ(t)| 6 ϕ(0). ˆIn inegalitatea de la punctul precedent, fie z1 = ϕ(t), z2 = −|ϕ(t)|, atunci deducem 2ϕ(0)|ϕ(t)|2 − |ϕ(t)|2 |ϕ(t)| − |ϕ(t)|2 |ϕ(t)| > 0, De unde, dac˘a |ϕ(t)| 6= 0 rezult˘a ϕ(0) > |ϕ(t)|, iar dac˘a |ϕ(t)| = 0, din prima proprietate deducem din nou afirmat¸ia. Teorema 3.5.6 (Bochner-Hincin) O funct¸ie ϕ(t) continu˘ a, cu condit¸ia ϕ(0) = 1 este o funct¸ie caracteristic˘a, dac˘a ¸si numai dac˘a este pozitiv definit˘a. Demonstrat¸ie. Dac˘a ϕ este funct¸ie caracteristic˘a pentru o variabil˘a aleatoare cu densitatea de probabilitate f , are loc Z ∞

ϕ(t) =

eitx f (x)dx.

−∞

S˘a demonstr˘am c˘a este pozitiv definit˘a. Avem n X n X k=1 j=1

Z =

∞

n X n X

−∞ k=1 j=1

ϕ(tj − tk )zj zk =

n X n Z X k=1 j=1

Z eix(tk −tj ) f (x)zk zj dx =

∞ −∞



∞

e

ix(tk −tj )

f (x)dxzk zj

=

−∞ n X k=1

! eitk x zk

n X j=1

! e−itj x zj

f (x)dx =

Variabile aleatoare continue

127

n 2 X itk x = e zk f (x)dx > 0. −∞ Z

∞

k=1

Reciproc. Pentru Z > 0, consider˘am funct¸ia Z ZZ Z 1 pZ (x) = ϕ(u − v)e−iux eivx dudv. 2πZ 0 0 Dac˘a scriem integrala dubl˘a ca limit˘a a sumelor Riemann corespunz˘atoare ¸si folosim pozitiva definire a lui ϕ, rezult˘a c˘a pZ > 0. Facem ˆın integrala dubl˘a schimbarea de variabile  t=u−v z=u cu inversa



u=z v = z − t.

Domeniul [0, Z] × [0, Z] din Figura 3.12 este dus ˆın domeniul reprezentat ˆın figur˘a 3.13. Se obt¸ine imediat  Z Z 1 |t| pZ (x) = 1− ϕ(t)e−itx dt. 2π −Z Z S˘a demonstr˘am c˘a pZ (x) este integrabil˘a pe R. Vom reface ˆın acest scop o demonstrat¸ie datorat˘a lui Yu Linnik, pe acest caz particular. Not˘am Z x G(x) = pZ (z)dz −x

¸si ˆınlocuim pZ , dup˘a care schimb˘am ordinea de integrare. Obt¸inem  Z xZ Z 1 |t| G(x) = ϕ(t)e−itz dtdz. 1− 2π −x −Z Z ˆIntroducˆand funct¸ia

deducem

(  1− p(t) = 0,

1 G(x) = 2π

Z

Z

Z

x

p(t) −Z

e

|t| Z

 ϕ(t),

−itx

−x

|t| 6 Z , |t| > Z

1 dzdt = π

Z

Z

p(t) −Z

sin tx dt. t

Datorit˘a faptului c˘a pZ > 0, rezult˘a c˘a G este nedescresc˘atoare. Pentru asigurarea integrabilit˘a¸tii este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a G este m˘arginit˘a. ˆIntroducem funct¸ia auxiliar˘a Z 1 2u G(x)dx G1 (u) = u u ¸si observ˘am c˘a G(u) G1 (u) > u

Z

2u

dx = G(u). u

128

Variabile aleatoare continue

Deoarece G1 majoreaz˘a G, pentru m˘arginirea lui G este suficient s˘a ar˘at˘am marginirea lui G1 . S˘a calcul˘am Z 2u Z Z Z Z 1 sin tx 1 − cos tx 2u G1 (u) = p(t) dtdx = p(t) u dt = πu u t πu −Z t2 −Z Z Z 1 1 = p(t) 2 (cos ut − cos2ut)dt = πu −Z t Z Z Z Z (sin ut )2 2 2 (sin ut)2 2 dt − dt. = p(t) p(t) πu −Z t2 πu −Z t2 Fie M = sup |p(t)|. Atunci Z Z Z ∞ 2 (sin ut)2 (sin ut)2 p(t) dt 6 2M udt, πu −Z t2 u2 t 2 −∞ iar

2 u

Z

(sin ut )2 M 2 p(t) dt 6 2 t π −Z Z

Z

∞ −∞

(sin v)2 dv. v2

ˆIntegralele din membrul al doilea sunt convergente. Deci m˘arginirea este asigurat˘a. Se constat˘a c˘a Z ∞ 1 p(t)e−itx dt pZ (x) = 2π −∞ 1 adic˘a 2π pZ este transformata Fourier a funct¸iei p. Folosind formula de inversiune pentru funct¸ia p continu˘a (vezi [10]), rezult˘a c˘a   Z ∞ 1 |t| 1 1− ϕ(t) = pZ (x)eitx dx, ∀|t| 6 Z. 2π Z 2π −∞

ˆIn particular, pentru t = 0,

Z

∞

pZ (x)dx = ϕ(0) = 1, −∞

iar funct¸ia pZ fiind continu˘a ¸si integrabil˘a pe IR, constituie o densitate de probabilitate pentru o variabil˘a aleatoare, care are funct¸ia caracteristic˘a asociat˘a p. Observ˘am c˘a pentru Z → ∞, funct¸ia p(t) converge uniform la ϕ, pe fiecare interval m˘arginit. De aici, folosind convergent¸a ˆın repartit¸ie Capitolul 4, rezult˘a c˘a ϕ este o funct¸ie caracteristic˘a.

3.6

Variabile aleatoare continue clasice ¸si leg˘ aturile dintre ele

Vom enumera principalele repartit¸ii continue ¸si vom studia propriet˘a¸tile lor. Un instrument important pentru aceasta este funct¸ia caracteristic˘a, ce a fost studiat˘a anterior. Pentru ˆınceput vom calcula funct¸ia caracteristic˘a a repartit¸iei normale N (m, σ 2 ), dat˘a de (3.11).

Variabile aleatoare continue

129

Propozit¸ia 3.6.1 Funct¸ia caracteristic˘ a a repartit¸iei normale este ϕ(t) = eimt −

t2 σ 2 2 .

(3.52)

. Demonstrat¸ie. Reamintim c˘a densitatea de probabilitate a repartit¸iei normale este f (x) = √

(x−m)2 1 e− 2σ2 2πσ

pe care o√ˆınlocuim ˆın expresia funct¸iei caracteristice. Facem schimbarea de variabil˘a x − m = 2σy ¸si obt¸inem Z ∞ Z ∞ √ (x−m)2 1 1 2 itx − 2σ 2 ϕ(t) = √ e e dx = √ eitm−y +ity 2σ dy = π −∞ 2πσ −∞ t2 σ 2

eitm− 2 √ = π

Z

∞

tσ 2 e−(y− 2 i) dy = eimt −

t2 σ 2 2 .

−∞

ˆIn particular, dac˘a X este o variabil˘a repartizat˘a N (0, 1), funct¸ia sa caracteristic˘a este t2

ϕ(t) = e− 2 . Folosind Propozit¸ia 3.5.2 determin˘am comod repartit¸ia sumei de variabile aleatoare normale. Teorema 3.6.1 Dac˘a Xk : N (mk , σk2 ), k = 1, . . . n, sunt variabile aleatoare independente, n n X X atunci variabila aleatoare X1 + . . . + Xn este repartizat˘ a N( mk , σk2 ). k=1

k=1

Demonstrat¸ie. Funct¸ia caracteristic˘a a sumei este produsul funct¸iilor caracteristice n Y ϕX1 +...+Xn (t) = eimk t −

t2 σk2 2

=

k=1



n X

t2 n  X  mk − k=1 it  2 k=1 

 σk2      ,

=e

n n X X care corespunde ˆın mod unic variabilei repartizate N ( mk , σk2 ). k=1

k=1

130

Variabile aleatoare continue

Propozit¸ia 3.6.2 Dac˘ a Xk , k = 1, . . . n, sunt variabile aleatoare independente repartizate 2 normal N (m, σ ), atunci media lor aritmetic˘a n

1X Xk n k=1 este repartizat˘ a N (m,

σ2 ). n

Demonstrat¸ie. Din Teorema 3.6.1 suma este repartizat˘a N (nm, nσ 2 ). S˘a calcul˘am funct¸ia de repartit¸ie a variabilei aleatoare notat˘a n

1X X= Xk . n k=1 Avem FX = P ({X < x}) = P ({

n X

Xk < nx}).

k=1

Prin derivare g˘asim densitatea de probabilitate 2

(nx−nm)2 − (x−m) 1 1 σ2 − 2 2nσ fX (x) = √ e n= √ σ e 2n , 2πnσ 2π √n

de unde afirmat¸ia propozit¸iei. S˘a definim funct¸ia caracteristic˘a ˆın cazul multidimensional. Dac˘a variabila aleatoare n-dimensional˘a are densitatea de probabilitate fX1 ...Xn , atunci funct¸ia caracteristic˘a este Z ϕ(t1 , . . . , tn ) =

Z ... IRn

n X t k xk −i k=1 e f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .

Relat¸ia poate fi pus˘a sub forma Z ϕ(t1 , . . . , tn ) =

Z e−iT

... IRn

tX

f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn ,

   t1 x1     unde X =  ...  ¸si T =  ... . S˘a determin˘am funct¸ia caracteristic˘a pentru tn xn variabila aleatoare normal˘a n-dimensional˘a, mai ˆıntˆai pentru cazul m1 = . . . = mn = 0. Reamintim c˘a densitatea de probabilitate este dat˘a de (3.24) √ det A − 1 X t AX 2 f (x) = . n e (2π) 2 

Variabile aleatoare continue

131

Dac˘a ˆınlocuim ˆın expresia funct¸iei caracteristice, obt¸inem √ Z Z 1 t det A t ... eiT X− 2 X AX dx1 . . . dxn . ϕ(t1 , . . . , tn ) = 2 (2π) n IRn Facem transformarea Portogonal˘a X = HY , pentru care forma p˘atratic˘a de la exponent are forma canonic˘a j=1 lj yj2 , cu lj > 0 (aceste transform˘ari au fost explicate ˆın detaliu la repartit¸ia normal˘a n-dimensional˘a ˆın 3.3 ). Not˘am U = H −1 T = H t T . Atunci, se observ˘a c˘a T t X = (HU )t HY = U t H t HY = U t Y. Cu aceasta funct¸ia caracteristic˘a devine √ ϕ(t1 , . . . , tn ) =

det A

(2π)

√ =

n X

Z Z

lj yj2

j=1

IRn n

(2π)

− 12

e

2 n

det A Y 2 n

iU t Y

j=1

Z

∞

1

dy1 . . . yn =

2

eiuj yj − 2 λj yj dyj .

−∞

|l |

j reprezint˘a funct¸ia caracteristic˘a pentru o variabil˘a Ultima integral˘a ˆınmult¸it˘a cu √2π 1 aleatoare repartizat˘a N (0, lj ), deci folosind (3.52), avem

ϕ(t1 , . . . , tn ) = e

− 12

u2 j j=1 lj

Pn

Reamintim c˘a matricea formei p˘atratice se modific˘a  l1 0 . . . t  0 l2 . . . H AH = 0 0 ...

.

dup˘a legea  0 0 , ln

unde lj > 0, sunt valorile proprii ale matricei A. Prin inversare g˘asim  1  0 ... 0 l1 H −1 A−1 H =  0 l12 . . . 0  , 0 0 . . . l1n deci ˆın ultima integral˘a recunoa¸stem c˘a exponentul este urm˘atorul produs de matrice n X u2j j=1

lj

= U t (H −1 A−1 H)U =

= T t H(H −1 A−1 H)H −1 T = T t A−1 T (s-a folosit faptul c˘a U = H t T ). G˘asim forma final˘a 1

ϕ(t1 , . . . , tn ) = e− 2 T

t A−1 T

.

132

Variabile aleatoare continue

Se demonstreaz˘a c˘a dac˘a vectorul M 6= 0, atunci printr-o schimbare de variabile, funct¸ia caracteristic˘a devine 1 t −1 t ϕ(t1 , . . . , tn ) = eiT M − 2 T A T . Generalizˆand la cazul n-dimensional Teorema 3.5.1, se poate demonstra c˘a derivatele part¸iale ale lui ϕ ˆın raport cu ti genereaz˘a momentele variabilelor aleatoare marginale. Astfel   1 ∂ϕ M [Xh ] = (0, . . . , 0), i ∂th  2  ∂ ϕ 1 (0, . . . , 0). M [Xh Xk ] = 2 i ∂th ∂tk S˘a determin˘am momentele variabilei aleatoare normale n-dimensionale, mai ˆıntˆai ˆın cazul m1 = . . . = mn = 0. !   n X 1 t −1 1 ∂ϕ M [Xh ] = (0, . . . , 0) = ie− 2 T A T a−1 (0, . . . , 0) = 0, hk tk i ∂th k=1 1 M [Xh Xk ] = 2 i =

− 21 T t A−1 T

i2 e

n X

a−1 hk th

n X



∂ϕ ∂th ∂tk

 (0, . . . , 0) = !

−1 a−1 hk tk + ahk e

− 12 T t A−1 T

(0, . . . , 0) = a−1 hk .

k=1

h=1

Dac˘a (m1 , . . . , mn ) 6= (0, . . . , 0), 1 M [Xh ] = i



∂ϕ ∂th

 (0, . . . , 0) =

mh + i

! a−1 hk tk

ϕ(t1 , . . . , tn )(0, . . . , 0) = mh ,

k=1

1 M [Xh Xk ] = 2 i =

n X

(mh + i

n X k=1



∂2ϕ ∂th ∂tk

a−1 hk tk )(mk + i



n X

(0, . . . , 0) = ! a−1 hk tk ) ϕ(t1 , . . . , tn )+

h=1

−1 +a−1 hk ϕ(t1 , . . . , tn )(0, . . . , 0) = mh mk + ahk .

Se obt¸in imediat egalit˘a¸tile M [(Xh − mh )] = 0, M [(Xh − mh )2 ] = M [(Xh2 )] − m2h = a−1 hh , Cov[Xh , Xk ] = M [(Xh − mh )(Xk − mk )] = M [Xh Xk ] − mh mk = a−1 hk . Deci A−1 este matricea de covariant¸˘a a variabilei normale n-dimensionale. Pe baza acestei observat¸ii ˆın cazul 2-dimensional, repartit¸ia normal˘a poate fi scris˘a sub o form˘a mai comod˘a. Not˘am: M [X1 ] = m1 , M [X2 ] = m2 D2 (X2 ) = σ22 D2 (X1 ) = σ12 ,

Variabile aleatoare continue

133

Cov[X1 , X2 ] = ρσ1 σ2 ¸si g˘asim

 −1

A

=

σ12 ρσ1 σ2 ρσ1 σ2 σ22 ,



de unde, prin inversare, g˘asim 1 A= (1 − ρ2 )σ12 σ22



σ22 −ρσ1 σ2 −ρσ1 σ2 σ12

De aceea densitatea de probabilitate se poate scrie:  (x1 −m1 )2 1 − − 1 2(1−ρ2 ) σ12 p f (x1 , x2 ) = e 2πσ1 σ2 1 − ρ2



2ρ(x1 −m1 )(x2 −m2 ) σ1 σ2

+

(x2 −m2 )2 σ22

 .

(3.53)

Exemplul 3.6.1 Variabila aleatoare (X, Y, Z) este normal repartizat˘a ¸si are matricea de covariant¸˘a   1 0, 2 0, 3  0, 2 1 0, 4  . 0, 3 0, 4 1 S˘a determin˘am densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare marginale (X, Z). Observ˘am pentru aceasta c˘a matricea de covariant¸a˘ este   1 0, 3 . 0, 3 1 Deci mX = mZ = 0, ρ = 0, 3, σ1 = σ2 = 1 ¸si ˆınlocuind ˆın (3.53), obt¸inem densitatea de probabilitate c˘autat˘a. Vom enunt¸a un rezultat care stabile¸ste leg˘atura dintre convergent¸a funct¸iilor caracteristice ¸si cele de repartit¸ie, de mare utilitate practic˘a. Demonstrat¸ia acestui rezultat se g˘ase¸ste de exemplu ˆın [10] ¸si este f˘acut˘a ˆıntr-un cadru mai general. Teorema 3.6.2 Dac˘a ¸sirul de funct¸ii caracteristice ϕn converge pentru orice t la ϕ(t) = t2

e− 2 , atunci ¸sirul funct¸iilor de repartit¸ie corespunz˘ atoare Fn satisface: Z x u2 1 1 lim Fn (x) = e− 2 = + Φ(x). n→∞ 2π −∞ 2 Reamintim c˘a

1 2

+ Φ(x) este funct¸ia de repartit¸ie a variabilei aleatoare normale normate.

Repartit¸ia χ2 (”hi p˘ atrat”). Funct¸ia f : IR → IR, definit˘a prin f (x) =

n 1 −1 − 2σx2 2 x e , 0 6 x < ∞, n ∈ IN , σ > 0 n 2 σ n Γ( 2 ) n 2

134

Variabile aleatoare continue

R∞ este o densitate de probabilitate. Prin substitut¸ia y = 2σx2 integrala 0 f (x)dx se reduce n la 2 2 σ n Γ( n2 ). Pentru funct¸ia Γ ¸si propriet˘a¸tile ei, vezi Anexa 3. Aceast˘a repartit¸ie a fost descoperit˘a de Helmert ¸si pus˘a ˆın valoare de Pearson. n se nume¸ste num˘ ar de grade de libertate. Vom nota X : H(n, σ). Funct¸ia caracteristic˘a este dat˘a de n

ϕ(t) = (1 − 2σ 2 ti)− 2 . R ˆIntr-adev˘ar, calcul˘am integrala ϕ(t) = ∞ f (x)eitx dx ¸si obt¸inem −∞ 1 ϕ(t) = n n n 2 2 σ Γ( 2 ) 1 = n n n 2 2 σ Γ( 2 )

Z

∞

Z

∞

x

n

eitx− 2σ2 x 2 −1 dx =

0 n

x

x 2 −1 e− 2σ2 (1−2σ

2 ti)

dx.

0

ˆIn ultima integral˘a facem schimbarea x2 (1 − 2σ 2 ti) = y; atunci integrala precedent˘a 2σ devine n  2 Z ∞ n n 2σ 2 2 2 σn n −1 −y 2 y e dy = ), n Γ( 2 2 1 − 2σ ti (1 − 2σ ti) 2 2 0 de unde se obt¸ine imediat afirmat¸ia. Pentru calculul momentelor, vom deriva funct¸ia caracteristic˘a. Avem n ϕ0 (t) = inσ 2 (1 − 2σ 2 ti)− 2 −1 , n

ϕ00 (t) = i2 n(n + 2)σ 4 (1 − 2σ 2 ti)− 2 −2 , .. . n

ϕ(k) (t) = ik n(n + 2) . . . (n + 2k − 2)σ 2k (1 − 2σ 2 ti)− 2 −k . Folosind apoi Teorema 3.5.1, g˘asim 1 ν1 = ϕ0 (0) = nσ 2 , i ν2 =

1 00 ϕ (0) = n(n + 2)σ 4 , i2 .. .

1 (k) ϕ (0) = n(n + 2) . . . (n + 2k − 2)σ 2k . ik Urm˘atoarea teorem˘a este un important instrument de lucru ˆın statistica matematic˘a. νk =

Teorema 3.6.3 Dac˘a X1 , . . . , Xn sunt variabile aleatoare independente, repartizate N (0, σ 2 ), atunci variabila aleatoare n X Xk2 k=1

este repartizat˘ a H(n, σ).

Variabile aleatoare continue

135

Demonstrat¸ie . S˘a determin˘am pentru ˆınceput funct¸ia caracteristic˘a a variabilei aleatoare Xk2 , k = 1 . . . n. Pentru aceasta s˘a-i determin˘am mai ˆıntˆai densitatea de probabilitate. Avem Z √x √ √ y2 2 2 FXk2 (x) = P ({Xk < x}) = P ({− x < Xk < x}) = √ e− 2σ2 dy, x > 0. 2πσ 0 Prin derivare, g˘asim fXk2 (x) = √

1 − x √ e 2σ2 , x > 0, 2πσ x

care se constat˘a a fi o densitate de probabilitate pentru o variabil˘a aleatoare H(1, σ), deci are funct¸ia caracteristic˘a dat˘a de 1

ϕk (t) = (1 − 2σ 2 ti)− 2 . Folosind acum faptul c˘a funct¸ia caracteristic˘a a sumei este produsul funct¸iilor caracteristice, obt¸inem n Y 1 n (1 − 2σ 2 ti)− 2 = (1 − 2σ 2 ti)− 2 , ϕ(t) = k=1

care este funct¸ia caracteristic˘a a unei variabile aleatoare H(n, σ). Folosind din nou funct¸ia caracteristic˘a a sumei, se poate demonstra urm˘atoarea teorem˘a. Teorema 3.6.4 Dac˘a Xi : H(ni , σ), i = 1, 2, atunci X1 + X2 : H(n1 + n2 , σ). ˆIn practic˘a intereseaz˘a determinarea unor probabilit˘a¸ti de forma P ({X > δ}), unde X : H(n, 1), deoarece se verific˘a imediat c˘a dac˘a X : H(n, σ), atunci variabila aleatoare X : H(n, 1). σ2 Exist˘a tabele ˆıntocmite pentru diferite valori ale lui δ ¸si ale num˘arului de grade de libertate n, care au ca rezultate ariile din Figura 3.14. Cˆand num˘arul de grade de libertate este foarte mare, se folose¸ste comportarea la limit˘a a ¸sirului de variabile aleatoare repartizate χ2 . Teorema 3.6.5 Dac˘a X : H(n, σ), atunci variabila aleatoare X − nσ 2 √ 2nσ 2 este asimptotic normal˘a N (0, 1), pentru n → ∞.

136

Variabile aleatoare continue

Demonstrat¸ie . S¸irul funct¸iilor caracteristice este ϕn (t) = e

√n

−it

√n n t 2 (1 − 2σ i √ )− 2 = e−it 2 (1 − 2πσ 2

r

2

t2

n

2

2 −n it) 2 . n

2t − 2 Calcul˘am limita lui |ϕn (t)| ) , pentru n → ∞ ¸si g˘asim e− 2 . Funct¸ia ϕn (t) poate p n= (1+ n p fi scris˘a sub forma (cos t 2 −i sin t n2 )(cos n2 θn −i sin n2 θn )ρn , unde (cos θn +i sin θn )ρn = q 1 − n2 it. Pentru n suficient de mare,

r θn = − arctan

2 t. n

Deci argumentul num˘arului complex ϕn (t) poate fi luat de forma r √ n n 2 yn = −t + arctan t . 2 2 n q Notˆand x = n2 , avem de calculat lim

x→0

arctan tx − tx x2

t2

care este 0. Deci lim ϕn (t) = e− 2 . n→∞

Aceast˘a teorem˘a permite ca la un num˘ar mare de grade de libertate s˘a se foloseasc˘a tabelele funct¸iei lui Laplace. ˆIn teoria select¸iei, ne intereseaz˘a s˘a determin˘am repartit¸ia dispersiei (privit˘a ca variabil˘a aleatoare) a unei select¸ii provenind dintr-o colectivitate guvernat˘a de variabila aleatoare normal˘a. ˆIn acest scop sunt necesare urm˘atoarele rezultate. Teorema 3.6.6 Fie Xk , k = 1, . . . n, variabile aleatoare independente repartizate N(0,1), iar n X ajk Xk , ajk ∈ IR, j = 1, . . . s, s ∈ IN , s < n, lj (X1 , . . . Xn ) = k=1

variabile aleatoare independente de tip N (0, 1). Atunci variabila aleatoare Q=

n X k=1

Xk2

−

s X

lj2 , s < n,

j=1

este repartizat˘ a H(n − s, 1). Demonstrat¸ie. Variabilele aleatoare li ¸si lj cu i 6= j, sunt independente, deci n n X X M [li lj ] = M [li ]M [lj ] = M [ aik Xk ]M [ ajk Xk ] = 0, k=1

k=1

Variabile aleatoare continue

137

deoarece media este aditiv˘a ¸si M [Xk ] = 0. Pe de alt˘a parte n n X X 2 ail ajm Xm Xl ] = M [li lj ] = M [ aik ajk Xk + l,m=1

k=1

=

n X

aik ajk M [Xk2 ] =

k=1

n X

aik ajk ,

k=1

M [li2 ]

deoarece M [Xm Xl ] = M [Xm ]M [xl ] = 0. Analog,

=

n X

a2ik = 1, ∀i = 1, . . . , s.

k=1

Sistemul celor s vectori (a11 , . . . , an1 ), . . . , (as1 , . . . , asn ) este ortogonal ¸si poate fi deci completat la o baz˘a ortonormat˘a. Not˘am matricea corespunz˘atoare cu A = (aij ) i, j = 1, . . . , s, care este deci ortogonal˘a ¸si au loc prin urmare n X

a2jk

= 1,

k=1

n X

aik ajk = 0, ∀i, j = 1, . . . , n.

k=1

Introducem notat¸iile lr (x1 , . . . , xn ) =

n X

ark xk , r = s + 1, . . . , n,

k=1

¸si fie L matricea coloan˘a cu componentele li , i = 1, . . . n. Atunci are loc L = AX, unde X este vectorul n-dimensional cu componentele xi . Un simplu calcul ne arat˘a c˘a n X

lk2 (x1 , . . . , xn )

=

Q=

n X

Xk2 −

k=1

Xk2 .

k=1

k=1

Deci

n X

s X j=1

lj2 =

n X

lk2 (x1 , . . . , xn ).

k=s+1

Mai observ˘am c˘a variabila aleatoare n-dimensional˘a L obt¸inut˘a printr-o transformare ortogonal˘a asupra lui X, variabila aleatoare cu componentele Xi , i = 1 . . . n, independente, are componentele independente; rezult˘a c˘a variabilele ls+1 , . . . , ln sunt independente, repartizate N (0, 1). Afirmat¸ia rezult˘a din Teorema 3.6.3. Teorema 3.6.7 (Cochran) Dac˘a Qi (x1 , . . . , xn ), i = 1, . . . s, sunt forme p˘atratice respectiv de rangurile r1 , . . . , rs , ¸si X1 , . . . , Xn sunt variabile aleatoare independente, repartizate N (0, 1), astfel ˆıncˆ at s n X X Qi (X1 , . . . , Xn ) = Xj2 , i=1

j=1

atunci condit¸ia necesar˘ a ¸si suficient˘a ca Qi s˘ a fie variabile aleatoare independente este ca r1 + . . . + rs = n.

138

Variabile aleatoare continue

Demonstrat¸ie. Pentru ˆınceput s˘a presupunem c˘a Qi sunt independente. Dac˘a Qi este o form˘a p˘atratic˘a de rang ri , atunci poate fi scris˘a ca sum˘a de ri p˘atrate de variabile aleatoare normale normate, deci Ps din Teorema 3.6.3 fiecare Qi este repartizat˘a H(ri , 1), iar suma lor este repartizat˘a H( i=1 ri , 1), deoarece din ipotez˘a Qi sunt independente. Pe n X de alt˘a parte, Xj2 : H(n, 1). R˘amˆane s˘a observ˘am c˘a funct¸ia de repartit¸ie este unic˘a, j=1

deci

s X

rj = n.

j=1

Reciproc. Dac˘a Qi (X1 , . . . , Xn ) sunt forme p˘atratice ¸si r1 + . . . rn = n exist˘a o matrice ortogonal˘a A astfel ˆıncˆat s n X X Qi (x1 , . . . , xn ) = lk2 , 

i=1



k=1

l1  ..  unde L =  .  = AX. Fiecare form˘a p˘atratic˘a Qi este sum˘a de ri p˘atrate li , repartiln zate N (0, 1) (obt¸inute printr-o transformare ortogonal˘a de variabile normal repartizate), deci Qi sunt repartizate H(ri , 1) . Se verific˘a u¸sor c˘a sunt ¸si independente. Repartit¸ia Student. Spunem c˘a variabila aleatoare X este repartizat˘a Student cu n grade de libertate, dac˘a are densitatea de probabilitate Γ( n+1 ) f (x) = √ 2 n πnΓ( 2 )



x2 1+ n

− n+1 2

, ∀x ∈ IR

Vom nota X : S(n). S˘a verific˘am mai ˆıntˆai c˘a f este o densitate de probabilitate. Observ˘am c˘a din paritatea funct¸iei Z ∞ Z ∞ f (x)dx = 2 f (x)dx. −∞

0

Facem schimbarea de variabil˘a x = Z

∞ 0



x2 1+ n

ˆIn ultima integral˘a substitut¸ia − 12

dy = 12 t

(1 − t) Z

− 23

√

ny, dup˘a care g˘asim

− n+1 2

y2 1+y 2

dx =

√

Z

∞

n

(1 + y 2 )−

n+1 2

dy.

0

= t, ne duce la funct¸ia Beta vezi Anexa 3. ˆIntr-adev˘ar,

dt, ¸si

2Γ( n+1 ) √ 2 f (x)dx = √ n n πnΓ( 2 ) −∞ ∞

=

Z

1

(1 − t) 0

n+1 2

3 1 −1 t 2 (1 − t)− 2 dt = 2

Γ( n+1 ) n 2 n B( , 1) = 1. 1 Γ( 2 )Γ( 2 ) 2

Variabile aleatoare continue

139

Momentele repartit¸iei Student. Funct¸ia f fiind par˘a, media este 0, deci momentele init¸iale coincid cu cele centrate, iar toate cele de ordin impar sunt nule. − n+1  Z ∞ 2 ) Γ( n+1 x2 2k 2 µ2k = ν2k = x f (x)dx = √ x 1 + dx. n πnΓ( n2 ) −∞ −∞ √ Folosind substitut¸ia x = ny, reducem, ca mai ˆınainte, la o integral˘a Beta ¸si obt¸inem Z

∞

2k

nk Γ(k + 12 )Γ( n2 − k) n µ2k = √ , dac˘a − k > 0. n Γ( 2 ) 2 π Folosind propriet˘a¸tile funct¸iei Γ n n n n Γ( ) = ( − 1) . . . ( − k)Γ( − k), 2 2 2 2 1 1 1 1 Γ(k + ) = (k − ) . . . Γ( ), 2 2 2 2 G˘asim µ2k =

nk 1.3. . . . (2k + 1) . (n − 2)(n − 4) . . . (n − 2k)

Un caz particular ˆıl constituie n = 1, cˆand reg˘asim repartit¸ia Cauchy. Urm˘atorul rezultat de comportare la limit˘a a unui ¸sir de variabile aleatoare repartizate Student este utilizat mult ˆın statistic˘a. Teorema 3.6.8 Dac˘a f este densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare repartizate Student, atunci x2 1 lim f (x) = √ e− 2 . n→∞ 2π Demonstrat¸ie. Vom folosi formula lui Legendre (vezi [10]). Pentru orice a > 0 are loc √ 1 π Γ(a)Γ(a + ) = 2a−1 Γ(2a). 2 2 Pentru a ar˘ata c˘a

Γ( n+1 ) 1 lim √ 2 n = √ , n→∞ nΓ( 2 ) 2

vom analiza separat cazurile n par ¸si n impar. Reamintim formula lui Wallis 22n (n!)4 . n→∞ n((2n)!)2

π = lim

Dac˘a n = 2k, lu˘am ˆın formula lui Legendre a = k ¸si obt¸inem √ √ Γ(k + 21 ) πΓ(2k) π(2k − 1)! √ √ = √ = = 2kΓ(k) 22k+1 Γ2 (k) 2k 22k−1 2k((k − 1)!)2

140

Variabile aleatoare continue √

=

π(2k)!k 2 √ . 22k−1 2k(k!)2 2k

Din formula lui Wallis, ultimul ¸sir are aceea¸si comportare la limit˘a cu ¸sirul √ 2k 2 π2 k √ √ 2k−1 2 2k πk2k care, pentru k → ∞, tinde evident la √12 . Dac˘a n = 2k + 1, folosind din nou formula lui Wallis, obt¸inem Γ(k + 1) k!22k−1 (k − 1)! √ p = = 2k + 1Γ(k + 12 ) (2k + 1)πΓ(2k) 22k−1 2k(k!)2 1 =p → √ , pentru k → ∞. 2 (2k + 1)π(2k)! Deci pentru un num˘ar mare de grade de libertate, se utilizeaz˘a tabelele legii normale. Pentru repartit¸ia Student exist˘a tabele care determin˘a, pentru n = 1, . . . 30, valorile P ({|X| > δ}) = α, adic˘a ariile ha¸surate din figur˘a 3.15. De asemenea exist˘a tabele pentru calculul funct¸iei de repartit¸ie Z x

f (t)dt,

F (x) = −∞

adic˘a de determinare a ariilor din Figura 3.16, pentru x > 0. Pentru x < 0, se folosesc acelea¸si tabele, dar ¸tinem seama de Z −x Z x Z ∞ F (−x) = f (t)dt = − f (−t)dt = f (t)dt = 1 − F (x). −∞

−∞

x

Teorema 3.6.9 Fie X ¸si Y variabile aleatoare independente repartizate N (0, σ 2 ) ¸si H(n, σ) respectiv; atunci variabila aleatoare X r Y n este repartizat˘ a S(n). Demonstrat¸ie. Variabila aleatoare bidimensionl˘a (X, Y ) are densitatea f (x, y) = √ Facem schimbarea

1 π2

n+1 2

n

σ n+1 Γ( n2 )

y 2 −1 e−

x2 +y 2σ 2

 u(x, y) =      

− ∞ < x < ∞, 0 6 y < ∞.

sx

v(x, y) = y

y n .

Variabile aleatoare continue

141

Atunci densitatea de probabilitate a variabilei (U, V ) devine g(u, v) = √

1 πn2

n+1 2

σ n+1 Γ( n2 )

v

n−1 2

−

e

2 ( un +1)v 2σ 2

.

Densitatea marginal˘a a lui U este Z

∞ 0

1 g(u, v)dv = n+1 √ n πn2 2 σ n+1 Γ( ) 2

Z

∞

n−1 2 ( u +1)v − n 2 v 2 e 2σ dv =

0

n+1  n+1  n+1 ) Γ( ) 2 − 1 u 2 2 = √ 2 n 1+ , n+1 n+1 n πnΓ( )   √ n 2 2 2 πn2 2 σ n+1 Γ( ) 1 + u 2  n   2σ 2 Γ(

u2 ( + 1)v aceasta datorit˘a schimb˘arii de variabil˘a n 2 = t. 2σ Consecint¸˘ a. Dac˘a variabilele aleatoare independente X1 , . . . , Xn+1 sunt repartizate 2 N (0, σ ), atunci variabila aleatoare r

Xn+1 X12 + . . . + Xn2 n

: S(n).

Demonstrat¸ia este imediat˘a, dac˘a se folose¸ste faptul c˘a X12 + . . . + Xn2 este repartizat˘a H(n, σ). Teorema 3.6.10 Fie X1 , . . . , Xn variabile aleatoare independente repartizate X 1 + . . . Xn N (0, σ) ¸si X = . Atunci variabila aleatoare n p X y = n(n + 1) v uX u n t (Xj − X)2 j=1

este repartizat˘ a S(n − 1). Demonstrat¸ie. Alegem aij ∈ IR astfel ˆıncˆat matricea  a11 . . . a1n  a21 . . . a2n   A =  ...  a(n−1)1 . . . a(n−1)n √1 . . . √1n n

     

142

Variabile aleatoare continue

s˘a fie ortogonal˘a ¸si consider˘am transformarea    y1  y2       ..  = A   .   yn

x1 x2 .. .

   . 

xn

Dup˘a cum am v˘azut mai ˆınainte, variabilele aleatoare Yj , j = 1, . . . n, sunt independente ¸si repartizate N (0, σ). Avem de asemenea Y12 + . . . + Yn2 = X12 + . . . + Xn2 ¸si dac˘a ˆınmult¸im ultima linie a matricei A cu X yn X=√ . n Deci Y12

+ ... +

2 Yn−1

n X

=

Xj2

n X − nX = (Xj − X)2 . 2

j=1

j=1

Atunci variabila aleatoare c˘autat˘a poate fi scris˘a sub forma Y =

p n(n − 1)

X n X

=r 2

(Xj − X)

Yn Y12

j=1

2 + . . . + Yn−1 n−1

,

iar din consecint¸a precedent˘a aceasta este repartizat˘a S(n − 1). Se poate ar˘ata c˘a variabila aleatoare r

Xn X12 + . . . + Xn2 n

este de asemenea repartizat˘a S(n − 1). Repartit¸ia Snedecor. Are densitatea de probabilitate dat˘a de  f (x) =

n1 n2

 n21

Γ Γ

n1 2

n1 +n2
2

Γ






n2 2


x

n1 −1 2

n1 1+ x n2

− n1 +n 2 2

, 0 6 x < ∞,

unde n1 , n2 ∈ IN se numesc grade de libertate. Vom nota o variabil˘a aleatoare repartizat˘a Snedecor prin S(n1 , n2 ). Prin schimbarea de variabil˘a n1 x n2 n1 = y, 1+ x n2

Variabile aleatoare continue

143

R∞ integrala −∞ f (x)dx este redus˘a la o integral˘a Beta ¸si folosind propriet˘a¸tile funct¸iei Beta (Anexa 3) deducem imediat c˘a funct¸ia de mai sus este o densitate de probabilitate. Momentele init¸iale ale repartit¸iei Snedecor se obt¸in prin calcul direct
Z ∞    n21 − n1 +n 2 2 2 n Γ n1 +n n1 n1 k 21 −1 2

νk = x x 1+ x dx = n2 n2 Γ n21 Γ n22 0  k Γ(k + n21 )Γ( n22 − k) n2

, = n1 Γ n21 Γ n22 dac˘a facem aceea¸si schimbare de variabil˘a ca mai sus.T ¸ inˆand cont de propriet˘a¸tile funct¸iei Gama, g˘asim  k n1 (n1 + 2) . . . (n1 + 2k − 2) n2 n2 νk = , k< . n1 (n2 − 2)(n2 − 4) . . . (n2 − 2k) 2 ˆIn particular g˘asim n2 ν1 = n2 − 2 ν2 =

n1 + 2 n22 n1 (n2 − 2)(n2 − 4)

(3.54)

n32 (n1 + 2)(n1 + 4 ν3 = 2 . n1 (n2 − 2)(n2 − 4)(n2 − 6) Teorema 3.6.11 Fie X1 , X2 dou˘a variabile aleatoare independente, care sunt repartizate S(n1 , n2 ). Atunci variabila aleatoare n2 X1 : S(n1 , n2 ). n1 X2 Demonstrat¸ie. Not˘am cu U variabila din enunt¸ ¸si determin˘am funct¸ia de repartit¸ie   X1 n1 FU (x) = P ({U < x}) = P < x , X2 n2 iar prin derivare g˘asim

n1 n1 fU ( x). n2 n2 Mai departe vom folosi formula care d˘a densitatea cˆatului de variabile aleatoare (3.31) xz n1 Z ∞ z n2 − −1 − −1 1 e 2z 2 e 2 (xz) 2 zdz, fU (x) = n + n 1 2     0 n1 n2 Γ 2 2 Γ 2 2 z(1 + x) care prin substitut¸ia = t, devine 2 n1   n1 + n2 − 1 Z ∞ − 1 1 2t 2 2 fU (x) = n + n x2 e−t dt = 1 2  1+x 1+x 0 n1   n2  Γ 2 2 Γ 2 2 fU (x) =

144

Variabile aleatoare continue 

 n1 + n2 n1 + n2 n1 Γ −1 − 2 2 . = n  n x 2 (1 + x) 1 2 Γ Γ 2 2 n1 Dac˘a facem schimbarea de variabil˘a x = y, se obt¸ine densitatea de probabilitate Snen2 decor. Consecint¸˘ a. Dac˘a variabilele aleatoare independente Xj , j = 1, n1 , Yk , k = 1, n2 , sunt repartizate N (0, σ), atunci variabile aleatoare n2 X12 + . . . Xn21 n1 Y12 + . . . + Yn22 este repartizat˘a S(n1 , n2 ). Dac˘a variabila aleatoare X este repartizat˘a S(n1 , n2 ), variabila 1 aleatoare ln X are densitatea de probabilitate 2
   n21 − n1 +n 2 2 2 Γ n1 +n n n1 1 n1 x 2x 2

e 1+ e f (x) = 2 . (3.55) n2 n2 Γ n21 Γ n22 O variabil˘a aleatoare avˆand aceast˘a densitate se nume¸ste Fisher. Repartit¸ia Gama. Se verific˘a imediat c˘a funct¸ia f (x) =

1 −x m−1 e x , x > 0, m > 0, Γ(m)

este o densitate de probabilitate. Momentele init¸iale de ordin k sunt Z ∞ Γ(m + k) 1 e−x xm−1+k dx = νk = = m(m + 1) . . . (m + k − 1). Γ(m) 0 Γ(m) Momentele centrate, dup˘a particularizarea formulelor (3.39), sunt µ2 = ν2 − ν12 = m(m + 1) − m2 = m, µ3 = ν3 − 3ν2 ν1 + 2ν13 = 2m. Funct¸ia caracteristic˘a este dat˘a de ϕ(t) = (1 − it)−m , care se obt¸ine din 1 ϕ(t) = Γ(m)

Z

∞

itx −x m−1

e e x 0

1 dx = Γ(m)

Z

∞

e(it−1)x xm−1 dx,

0

prin substitut¸ia (it − 1)x = y. Folosind produsul funct¸iilor caracteristice se deduce u¸sor c˘a dac˘a Xi este repartizat˘a Gama cu parametrul mi , i = 1, 2, atunci suma este repartizat˘a Gama cu parametrul m1 + m2 .

Variabile aleatoare continue

145

Exemplul 3.6.2 Repartit¸ia Erlang S˘a determin˘am repartit¸ia sumei de n variabile aleatoare independente, repartizate exponent¸ial, cu parametrul λ. Funct¸ia caracteristic˘a a repartit¸iei exponent¸iale este λ ϕ(t) = . λ − it Sumei de variabile exponent¸iale ˆıi corespunde funct¸ia caracteristic˘a n  λ ϕn (t) = , λ − it iar aceasta corespunde variabilei aleatoare cu densitatea de probabilitate f (x) =

λe−λx (λx)n−1 , x > 0. (n − 1)!

S˘a determin˘am funct¸ia de repartict¸ie a variabilei Erlang. Z x λn−1 F (x) = y n−1 λe−λy dy. (n − 1)! 0 Integr˘am prin p˘art¸i ¸si avem λn−1 F (x) = (n − 1)!



Z −y n−1 eλy |x0

+

(n − 1)y 0

(λx)n−1 −λx λn−2 =− e + (n − 1)! (n − 2)! Repetˆınd integrarea prin p˘art¸i, g˘asim F (x) = 1 −



x

Z

x

k=0

e

dy

=

y n−2 λe−λy dy.

0

n−1 X (λx)k

k!

n−2 −λy

eλx .

Recunoa¸stem ˆın suma precedent˘a primii n termeni ai unei repartit¸ii Poisson. Leg˘atura dintre aceste dou˘a repartit¸ii va fi evident¸iat˘a la procese Poisson. Repartit¸ia Beta. Este definit˘a prin densitatea de probabilitate xm−1 (1 − x)n−1 , B(m, n)

f (x) =

0 6 x 6 1, m > 0, n > 0.

Momentele sunt date de νk = ˆIn particular avem

m(m + 1) . . . (m + k − 1) . (m + n)(m + n + 1) . . . (m + n + k − 1)

m(m + 1) m , ν2 = , m+n (m + n)(m + n + 1) mn µ2 = ν2 − ν12 = . 2 (m + n) (m + n + 1)

ν1 =

146

3.7

Variabile aleatoare continue

Fiabilitate

ˆIn sensul cel mai larg , fiabilitatea reprezint˘a proprietatea unui dispozitiv de a-¸si ˆındeplini funct¸ia specific˘a ˆın condit¸ii de exploatare date. O analiz˘a complet˘a a fiabilit˘a¸tii ne pune ˆın evident¸a˘: -fiabilitatea precalculat˘a, care se evalueaz˘a pornind de la concept¸ia dispozitivului ¸si a componentelor sale; -fiabilitate tehnic˘a (nominal˘a) determinat˘a ˆın urma ˆıncerc˘arilor ˆın condit¸ii de fabric˘a; -fiabilitate de exploatare, determinat˘a de condit¸iile reale de exploatare, cu luarea ˆın considerare a act¸iunii complexe a tuturor factorilor ce influent¸eaz˘a funct¸ionarea. Fiabilitatea poate fi exprimat˘a cantitativ prin parametrii de fiabilitate. Determinarea lor se face ˆın practic˘a ˆın urma prelucr˘arii statistice a datelor. Cel mai frecvent utilizat˘a este probabilitatea funct¸ion˘arii f˘ar˘a defect¸iune ˆıntr-un interval de timp. Intervalul de timp ˆın care sistemul funct¸ioneaz˘a f˘ar˘a defect¸iuni este o variabil˘a aleatoare pe care o not˘am cu T. Definit¸ia 3.7.1 Numim funct¸ie de fiabilitate sau reliabilitate funct¸ia R : IR+ → [0, 1] definit˘ a prin R(t) = P ({T > t}). Observ˘am c˘a 1 − R(t) este funct¸ia de repartit¸ie, care ˆın sensul fiabilit˘a¸tii m˘asoar˘a probabilitatea ca pˆan˘a la momentul t s˘a apar˘a o defect¸iune. Funct¸ia F (t) = 1 − R(t) se mai nume¸ste funct¸ie de nesigurant¸˘ a. ˆIn strˆans˘a leg˘atur˘a cu propriet˘a¸tile funct¸iei F (t), putem enunt¸a pe cele ale lui R. 1. R(0) = 1; 2. lim R(t) = 0; t→∞

3. t1 < t2 =⇒ R(t1 ) > R(t2 ); 4. Dac˘a f este densitatea de probabilitate pentru variabila T , f (t) = −R0 (t). ˆIn Figura 3.17 sunt reprezentate cele dou˘a funct¸ii. Observ˘am c˘a la momentul init¸ial funct¸ia de fiabilitate este maxim˘a, iar nesigurant¸a minim˘a ¸si dac˘a t → ∞ se produce fenomenul invers. Vom presupune c˘a se poate preciza o funct¸ie, numit˘a rat˘ a de defectare ¸si notat˘a r, cu proprietatea c˘a r(t)∆t este probabilitatea ca ˆın intervalul (t, t + ∆t) s˘a apar˘a o defect¸iune, dac˘a pˆan˘a la momentul t, dispozitivul a funct¸ionat . Condit¸ia din definit¸ie este o probabilitate condit¸ionat˘a : r(t)∆t = P ({t 6 T < t + ∆}| {T > t}) = =

P ({t 6 T < t + ∆t}) = P ({T > t})

F (t + ∆t) − F (t) R(t + ∆t) − R(t) =− . R(t) R(t)

ˆIn ultima relat¸ie ˆımp˘art¸im prin ∆t ¸si trecem la limit˘a pentru ∆t → 0. Dac˘a aceast˘a limit˘a exist˘a, g˘asim ecuat¸ia diferent¸ial˘a −

R0 (t) = r(t), R(t)

Variabile aleatoare continue

147

cu condit¸ia init¸ial˘a R(0) = 1, care are ca solut¸ie R(t) = e−

Rt 0

r(s)ds

.

(3.56)

Exemplul 3.7.1 Rata de defectare a unui utilaj este r(t) = 0, 1. Cu ce probabilitate dispozitivul funct¸ioneaz˘a cel put¸in 10 ore ? ˆInlocuim ˆın (3.56) r(t) = 0, 1 ¸si observ˘am c˘a dispozitivul funct¸ioneaz˘a cel put¸in 10 ore este evenimentul {T > 10}, deci Z − R(10) = e

t

0, 1ds 0

= e−1 = 0, 368

ˆIn practic˘a sunt utilizate o parte din repartit¸iile continue prezentate anterior, dar ¸si altele specifice. Repartit¸ia exponent¸ial˘ a. are densitatea de probabilitate  −µt  µe , dac˘a t > 0, f (t) = (µ > 0).  0, dac˘a t < 0, Se verific˘a imediat c˘a f este o densitate de probabilitate. Funct¸ia de fiabilitate este Z ∞ R(t) = f (s)ds = eµt , t

iar rata de defectare r(t) = −

R0 (t) =µ R(t)

este deci constant˘a. Aceast˘a repartit¸ie este utilizat˘a pentru dispozitive care ”nu ˆımb˘atrˆanesc”. Repartit¸ia Weibull. Are densitatea de probabilitate  α  λαtα−1 e−λt , dac˘a t > 0, (λ, α ∈ R+ ). f (t) =  0, dac˘a t < 0 Funct¸ia de fiabilitate este

α

R(t) = e−λt , iar rata de defectare r(t) = λαtα−1 . Pentru α = 1 se reg˘ase¸ste repartit¸ia exponent¸ial˘a, iar pentru α = 2 se obt¸ine repartit¸ia Rayleigh. Faptul c˘a rata este o funct¸ie polinomial˘a, face s˘a modeleze mai bine diferitele situat¸ii practice; de aceea repartit¸ia Weibull este des utilizat˘a.

148

Variabile aleatoare continue

Pentru diferite valori ale lui α, ˆın Figura 3.18 sunt reprezent˘ari grafice ale densit˘a¸tii de probabilitate, iar ˆın Figura 3.19 ¸si 3.20 ale ratelor ¸si funct¸iilor de fiabilitate. ˆIn general variat¸ia defect¸iunilor unui dispozitiv se poate ˆımp˘art¸i ˆın trei perioade. 1. perioada init¸ial˘a ˆın care apar defect¸iuni datorate erorilor de fabricat¸ie ¸si se face rodajul (copil˘aria); 2. perioada de funct¸ionare care ˆıncepe dup˘a rodaj, cˆand num˘arul defect¸iunilor scade, r˘amˆanˆand practic constant (maturitatea), pentru care se poate utiliza distribut¸ia exponent¸ial˘a; 3. perioada ın care intensitatea de defectare cre¸ste continuu, datorit˘a uzurii (b˘atrˆanet¸ea). Componentele unui dispozitiv pot fi legate ”ˆın serie”, sau ”ˆın paralel”. Vom analiza modul de determinare a fiabilit˘a¸tii pentru fiecare situat¸ie ˆın parte. Legare ˆın serie. Spunem c˘a un dispozitiv are n componente legate ˆın serie, dac˘a defectarea uneia, atrage nefunct¸ionarea ˆıntregului sistem. Convenim s˘a vizualiz˘am prin schema de la Figura 3.21. Presupunem c˘a fiecare component˘a Ci , i = 1, . . . n, se poate defecta indiferent de celelalte, cu rata de defectare ri ¸si funct¸ia de fiabilitate Ri . Dac˘a T , respectiv Ti , i = 1, . . . , n semnific˘a timpul de funct¸ionare pˆan˘a la prima defectare a sistemului, respectiv a componentei Ci , atunci evident {T > t} =

n \

{Ti > t}

i=1

¸si aplicˆand probabilitatea pentru evenimente independente g˘asim Z tX n − ri (s)ds n n Y Y 0 i=1 R(t) = Ri (t) = e = i=1

i=1

Z tX n − ri (s)ds 0 i=1 =e . Deci rata de defectare este r(t) =

n X

ri (t).

i=1

Observ˘am c˘a T = min{T1 , . . . , Tn }. Legare ˆın paralel. Un dispozitiv are n componente legate ˆın paralel, dac˘a acesta poate funct¸iona, chiar dac˘a una din componente se defecteaz˘a. Sistemul nu funct¸ioneaz˘a dac˘a fiecare din componente nu funct¸ioneaz˘a; presupunem c˘a acestea se pot defecta independent una de alta. Atunci obt¸inem {T < t} =

n \

{Ti < t}

i=1

Variabile aleatoare continue

149

¸si dac˘a aplic˘am probabilitatea 1 − R(t) =

n Y

(1 − Ri (t)) .

i=1

Observ˘am c˘a T = max{T1 , . . . , Tn }. ˆIn acest caz nu putem g˘asi o expresie simpl˘a a ratei de defectare a sistemului. ˆIn practic˘a aceste moduri de alc˘atuire apar combinat. Reprezent˘am acest lucru ˆın Figura 3.22. Exemplul 3.7.2 ˆIn schema al˘aturat˘a componentele Ci funct¸ioneaz˘a independent, cu aceea¸si funct¸ie de fiabilitate. S˘a determin˘am funct¸ia de fiabilitate a sistemului. Dispozitivul funct¸ioneaz˘a la momentul t, dac˘a {T > t} = ({T1 > t} ∩ {T3 > t}) ∪ ({T1 > t} ∩ {T4 > t}) ∪ ∪ ({T2 > t} ∩ {T4 > t}) . Calcul˘am acum probabilitatea acestei reuniuni, folosind independent¸a R(t) = R1 (t)R3 (t) + R1 R4 (t) + R2 (t)R4 (t) − R1 (t)R3 (t)R4 (t)− −R1 (t)R2 (t)R4 (t) − R1 (t)R2 (t)R3 (t)R4 (t) + R1 (t)R2 (t)R3 (t)R4 (t) = = 3R12 (t) − 2R13 (t).

150

Variabile aleatoare continue

PROBLEME PROPUSE Problema 3.1 O variabil˘a aleatoare X are repartit¸ia dat˘a de ”legea triunghiului dreptunghic” pe intervalul (0, a), a > 0 (vezi Figura 3.24). G˘asit¸i : a. densitatea de probabilitate; b. funct¸ia de repartit¸ie; c. probabilitatea ca variabila aleatoare X s˘a ia valori ˆın intervalul (a/2, a); d. media ¸si dispersia. Solut¸ie a. Scriem dreapta cu t˘aieturile (a, 0) ¸si (a/2, 0) ¸si g˘asim  x 2   (1 − ), x ∈ (0, a), a a f (x) =   0, x∈ / (0, a) ;  x 6 0,   0,     x x (2 − ), 0 < x 6 a, b. F (x) = a a       1, x > 0. a a 1 c. P ({X ∈ ( , a)}) = F (a) − F ( ) = ; 2 2 4 a 2 a2 d. M [X] = , D [X] = . 3 18 Problema 3.2 Determinat¸i funct¸ia de repartit¸ie a variabilei aleatoare X, repartizat˘a 1 Cauchy, deci cu densitatea de probabilitate f (x) = π(1+x x ∈ IR. 2) , R: F (x) =

1 π

arctan x + 12 .

Problema 3.3 O variabil˘a aleatoare X are repartit¸ia Simpson sau ”legea triunghiului isoscel” pe un interval (−a, a), a > 0. G˘asit¸i a. densitatea de probabilitate; b. funct¸ia de repartit¸ie. R: Graficul este dat de Figura 3.25  x 1   (1 − ), 0 < x < a,   a a     1 x a. f (x) = (1 + ), −a < x < 0, ;   a a       0, |x| > a.

Variabile aleatoare continue

b. F (x) =

151

 0, x 6 0,         1 2 1  2    a (x + a) + 2a2 (x − a ), −a < x 6 0,   x2 1 1   + (x − ),   2 a 2a       1,

06x a.

Problema 3.4 Determinat¸i media ¸si dispersia variabilei aleatoare exponent¸iale, avˆand densitatea de probabilitate  −λx  λe , x > 0, f (x) =  0, x < 0. 1 1 , D2 [X] = 2 . λ λ Problema 3.5 Determinat¸i media ¸si dispersia repartit¸iei Laplace, cu densitatea de λ probabilitate f (x) = e−λ|x| , λ > 0, ∀x ∈ IR. 2 2 R: M [X] = 0, D2 [X] = 2 . λ Problema 3.6 Determinat¸i media ¸si dispersia variabilei aleatoare repartizat˘a uniform pe intervalul (a, b). (a − b)2 a+b , D2 [X] = . R: M [X] = 2 12 Problema 3.7 O variabil˘a aleatoare este repartizat˘a normal N (m, σ 2 ). S˘a aproxim˘am X pe un interval (α, β) cu legea uniform˘a, dac˘a m, σ r˘amˆan constant¸i. Solut¸ie. Folosim problema precedent˘a ¸si egal˘am mediile ¸si abaterile medii p˘atratice R: M [X] =

α+β β−α √ =σ = m, 2 2 3 √ √ de unde α = m − σ 3, β = m + σ 3. Problema 3.8 O variabil˘a aleatoare X : N (m, σ 2 ) poate avea parametrii m = 2, σ = 2 cu probabilitatea 0,4 sau m = 2, σ = 1 cu probabilitatea 0,6 determinat¸i densitatea de probabilitate. Solut¸ie . Folosim generalizarea formulei probabilit˘a¸tii totale, din 3.2. Avem (x−2)2 0, 6 (x−2)2 0, 4 f (x) = √ e− 8 + √ e− 2 . 2 2π 2π

Problema 3.9 ˆIntr-o sect¸ie se produc articole care corespund calitativ, dac˘a satisfac o anumit˘a proprietate m˘asurabil˘a printr-o caracteristic˘a numeric˘a. Se observ˘a unele deviat¸ii

152

Variabile aleatoare continue

de la normele impuse, care sunt repartizate normal, cu media m = 0 ¸si abaterea σ. La controlul de calitate se elimin˘a acele produse ale c˘aror deviat¸ii dep˘a¸sesc m˘arimea ∆. Determinat¸i probabilitatea evenimentului A ” un articol este respins”. R : P (A) = P ({|X| > ∆}) = 1 − 2Φ( ∆ ). σ Problema 3.10 Fie α, a > 0 ¸si n ∈ IN . Determinat¸i a ¸si α astfel ca funct¸ia fn (x) = axn e−α

2 x2

, x>0

s˘a fie o densitate de probabilitate pentru o variabil˘a aleatoare cu media m. Solut¸ie. Punem condit¸iile Z

+∞

Z n −α2 x2

ax e

+∞

dx = 1,

0

axn+1 e−α

2 x2

dx = m

0

¸si g˘asim a=

) 2αn+1 1 Γ( n+2 2 , α = n+1 n+1 . m Γ( 2 ) Γ( 2 )

Problema 3.11 Un mesaj este a¸steptat printr-un canal de comunicat¸ie. Momentul T la care mesajul este primit este aleator ¸si are funct¸ia de densitate f (t). La un moment dat τ , se observ˘a c˘a mesajul nu a ajuns ˆınc˘a. Determinat¸i densitatea de probabilitate φ a timpului care r˘amˆane pˆan˘a la recept¸ionarea mesajului, Θ. Solut¸ie . Fie A evenimentul ”mesajul nu a fost recept¸ionat pˆan˘a la momentul τ ”. Folosind formula lui Bayes, g˘asim  f (t)   Rτ , t > τ,  f (t) 1 − 0 f (t)dt fA (t) = = P (A)    0, t < τ. Deoarece Θ = T − τ , rezult˘a     φ(t) =

  

f (t) Rτ , 1 − 0 f (t)dt

t > 0,

0,

t < 0.

Problema 3.12 Un sistem de comunicat¸ie accept˘a un voltaj pozitiv V la intrare, iar la ie¸sire un voltaj Y = αV + N , unde α = 10−2 , iar N este o variabil˘a aleatoare normal˘a cu m = 0, σ = 2. Ce valoare trebuie s˘a ia V , astfel ca la ie¸sire voltajul s˘a fie pozitiv cu sigurant¸a 1 − ,  = 10−6 . Solut¸ie . Punem condit¸ia ca P ({Y < 0}) = 10−6 ¸si g˘asim 1 P ({Y < 0}) = P ({αV + N < 0}) = P ({N < −αV }) = − Φ 2



αV σ

 .

Variabile aleatoare continue

153

De aici g˘asim c˘a V = 950, 6. Problema 3.13 Legea evenimentelor rare ˆın plan. Un semnal luminos se poate produce aleator cu densitatea λ, pe cadranul unui osciloscop. G˘asit¸i repartit¸ia R, care d˘a distant¸a de la semnal, la cel mai apropiat ”vecin”, media ¸si dispersia. Solut¸ie . Evenimentul {R < r} ˆınseamn˘a c˘a cel put¸in un semnal se produce ˆın interiorul discului de raz˘a r. Num˘arul mediu de aparit¸ii ˆın acest disc este πr2 λ, deci 2 P ({R < r}) = 1 − P ({R > r}) = 1 − e−πr λ , r > 0, dac˘a generaliz˘am rat¸ionamentul de 2 la legea Poisson. Densitatea de probablitate, este f (r) = 2πλre−πr λ , r > 0. Aceast˘a repartit¸ie este repartit¸ia Rayleigh. (4 − π) 1 M [R] = √ , D2 [R] = . 4πλ 2 λ Analog se poate deduce repartit¸ia evenimentelor rare ˆın spat¸iu, care are densitatea de 4 3 probabilitate f (r) = 4πr2 λe−λ 3 πr , r > 0, unde r este raza unei sfere alese convenabil. Problema 3.14 ˆIn timpul funct¸ion˘arii unui calculator, defect¸iunile pot ap˘area la momente aleatoare. Timpul T ˆın care acesta funct¸ioneaz˘a f˘ar˘a defect¸iuni, urmeaz˘a o lege exponent¸ial˘a cu parametru ν, adic˘a φ(t) = νe−νt , ν > 0. Dac˘a o defect¸iune apare este imediat ˆındep˘artat˘a ˆıntr-un interval de timp t0 , dup˘a care calculatorul funct¸ioneaz˘a din nou. Not˘am cu Z intervalul de timp ˆıntre dou˘a defect¸iuni. Aflat¸i P ({Z > 2t0 }). Solut¸ie. Avem Z = T + t0 ¸si funct¸ia de repartit¸ie este F (t) = P ({Z < t}) = P ({T < t − t0 }) = FT (t − t0 ). Prin derivare

 0

F (t) = fT (t − t0 ) =

νe−ν(t−t0 ) , t > t0 . 0, t 2t0 }) = e−νt0 . Problema 3.15 Timpul T ˆıntre dou˘a defect¸iuni ale unui calculator, urmeaz˘a o lege exponent¸ial˘a cu parametru λ. Rezolvarea unei anumite probleme necesit˘a funct¸ionarea f˘ar˘a defect¸iuni a componentelor pentru un timp τ ; dac˘a o defect¸iune apare ˆın timpul rezolv˘arii, problema poate fi reluat˘a. Fie Θ variabila aleatoare care reprezint˘a intervalul de timp ˆın care problema va fi rezolvat˘a. S˘a determin˘am repartit¸ia ¸si media variabilei aleatoare Θ. Solut¸ie. Dac˘a problema a fost rezolvat˘a ˆın intervalul τ , ˆınseamn˘a c˘a T > τ ¸si R(τ ) = P ({T > τ }) = e−τ λ , pe care o not˘am p. Evenimentul contrar se produce cu probabilitatea 1 − p. Dac˘a problema a fost rezolvat˘a ˆın intervalul ((n − 1)τ, nτ ), aceasta ˆınseamn˘a c˘a au survenit defect¸iuni ale calculatorului ˆın intervalele (0, τ ), (τ, 2τ ), . . . ((n − 2)τ, (n − 1)τ ) ¸si aceasta se ˆıntˆampl˘a cu probabilitatea p(1 − p)n−1 . Variabila c˘autat˘a este   nτ Θ: p(1 − p)n−1 τ . p Problema 3.16 Durata viet¸ii unui circuit integrat normal este dat˘a de o lege exponent¸ial˘a cu rata α, iar a unui circuit rebut 1000α. Probabilitatea de a extrage un care are media

154

Variabile aleatoare continue

circuit integrat normal dintr-un lot este p. G˘asit¸i probabilitatea ca alegˆınd un circuit la ˆıntˆamplare, acesta s˘a funct¸ioneze dup˘a t secunde. Presupunem c˘a fiecare este testat t secunde. Pentru ce valoare a lui t, 99% dintre circuite sunt bune. Solut¸ie . Fie B evenimentul de a ”alege un circuit normal”, R de a ”alege un circuit rebut”, iar C de a ”alege un circuit care s˘a funct¸ioneze dup˘a t secunde”. Are loc, dac˘a folosim formula probabilit˘a¸tii totale P (C) = pe−αt + (1 − p)e−1000αt . Calcul˘am PC (B) cu formula lui Bayes ¸si din condit¸ia PC (B) 1 (1 − p)99 t= ln . 999α p

=

0, 99, avem

Problema 3.17 Variabila aleatoare (X, Y ) are densitatea de probabilitate f (x, y). Exprimat¸i probabilit˘a¸tile urm˘atoarelor evenimente: 1.{X > Y }, 2.{X > |Y |} 3.{|X| > Y } 4.{Y − X > 1}. Z +∞ Z +∞ f (x, y)dx; dy Solut¸ie 1. P ({X > Y }) = y −∞ Z +∞ Z x 2. P ({X > |Y |}) = dx f (x, y)dy; 0 −x Z 0 Z −x Z +∞ Z x 3. P ({|X| > Y }) = dx f (x, y)dy + dx f (x, y)dy; −∞ −∞ 0 −∞ Z +∞ Z +∞ f (x, y)dxdy. dx 4. P ({Y − X > 1}) = −∞

x+1

Domeniile de integrare sunt reprezentate mai jos. Problema 3.18 Variabila aleatoare X are repartit¸ia exponent¸ial˘a cu densitatea f (x) = λe , x > 0. S˘a determin˘am condit¸iile ˆın care variabila aleatoare Y = eX are medie ¸si dispersie. Z +∞ Z +∞ x −λx Solut¸ie. M [Y ] = e λe dx = λ e−(λ−1)x dx. Pentru λ > 1, exist˘a media −λx

0

0

λ egal˘a cu . Pentru λ 6 1, integrala din definit¸ia mediei este divergent˘a. Pentru λ−1 λ λ > 2, M [Y 2 ] = ¸si deci exist˘a dispersie, iar dac˘a λ 6 2 aceasta nu exist˘a. λ−2 Problema 3.19 Variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate f (x) =

1 π π cos x, x ∈ (− , ); 2 2 2

calculat¸i media ¸si dispersia variabilelor aleatoare X ¸si Y = | sin X|. Z π π2 1 2 1 1 2 Solut¸ie. M [X] = 0, D [X] = − 2, M [Y ] = | sin x| cos xdx = , D2 [Y ] = . 4 2 − π2 2 12 Problema 3.20 Variabilele aleatoare X ¸si Y au repartit¸ii exponent¸iale f1 (x) = λe−λx , x > 0; f2 (x) = µe−µy , y > 0.

Variabile aleatoare continue

155

Determinat¸i densitatea de probabilitate f (x, y) ¸si funct¸ia de repartit¸ie F (x, y) pentru variabila aleatoare bidimensional˘a (X, Y ), dac˘a X, Y sunt independente. Solut¸ie.

  0 f (x, y) =



x 6 0 sau y 6 0,

λµe−(λx+µy) , x > 0 ¸si y > 0;

  0, F (x, y) =



x 6 0 sau y 6 0,

(1 − e−λx )(1 − e−µy) , x > 0 ¸si y > 0.

Problema 3.21 Variabila aleatoare (X, Y ) este repartizat˘a constant ˆın p˘atratul de latur˘a a, pe care ˆıl not˘am D ¸si nul˘a ˆın afar˘a. Determinat¸i f (x, y) ¸si F (x, y), funct¸iile de densitate marginale f1 (x), f2 (y). Stabilit¸i dac˘a X ¸si Y sunt independente. Solut¸ie.

 1   2 , (x, y) ∈ D, a f (x, y) =   0, (x, y) ∈ / D;                  F (x, y) =

0,

x 6 0 sau y 6 0,

xy , 0 6 x 6 a, a2

y , a       x   ,   a       1,

¸si 0 6 y 6 a,

x > a ¸si 0 < y 6 a, 0 < x 6 a ¸si y > a, x > 0 ¸si y > a;

 1   , x ∈ (0, a), a fX (x) =   0, x ∈ / (0, a);

 1   , y ∈ (0, a) a fY (y) =   0, y ∈ / (0, a).

Problema 3.22 Funct¸ia f (x, y) este constant˘a ˆın interiorul unui cerc de raz˘a r ¸si nul˘a ˆın afar˘a. Determinat¸i raza r astfel ca f (x, y) s˘a fie o densitate de probabilitate pentru o variabil˘a aleatoare bidimensional˘a (X, Y ), fX (x), fY (y), fX (x|y), fY (y|x). Calculat¸i Cov[X, Y ]. Solut¸ie. C˘aut˘am densitatea de probabilitate de forma  f (x, y) =

h, x2 + y 2 < r2 , 0, x2 + y 2 > r2 .

156

Variabile aleatoare continue

Punem condit¸ia ca 1 =  fX (x) =

RR

q 2

f (x, y)dxdy = hπr . Deci r =

√ 2h r2 − x2 , |x| < r, 0, |x| > r;

 fY (y) =

 

2h 0,

1 . πh

p

r2 − y 2 , |y| < r, |y| > r;

p r2 − y 2 , p |x| > r2 − y 2 ; √ |y| < r2 − x2 , √ |y| > r2 − x2 . RR Avem imediat M [X] = M [Y ] = 0, D[X] = D[Y ] = 2r . M [XY ] = xyf (x, y)dxdy = 0. Deci Cov[X, Y ] = 0. 1 p , f (x, y) = fX (x|y) = 2 r2 − y 2  fY (y) 0,  1 , f (x, y)  √ 2 fY (y|x) = = 2 r − x2  0, fX (x)

|x|
1.

1 − |y|, |y| < 1, 0, |y| > 1,

care sunt repartizate Simpson.  

1 f (x, y) , fX (x|y) = = 2(1 − |y|)  0, fY (y)  1 f (x, y)  , fX (x|y) = = 2(1 − |x|)  0, fX (x)

|x| < 1 − |y| |x| > 1 − |y|; |y| < 1 − |x| |y| > 1 − |x|.

X ¸si RY nu sunt independente, dar nici corelate. M [X] = M [Y ] = 0, iar M [XY ] = R +∞ +∞ xyf (x, y)dxdy = 0. Cov[X, Y ] = 0. −∞ −∞ Problema 3.24 Variabila aleatoare (X, Y ) este uniform repartizat˘a ˆın interiorul unui cerc de raz˘a r = 1 cu interiorul D. G˘asit¸i media ¸si dispersia variabilei Z = XY . Z Z Z Z 1 1 1 2 Solut¸ie. M [XY ] = xydxdy = 0; D [XY ] = x2 y 2 dxdy = . π π 8 D D Problema 3.25 O variabil˘a aleatoare (X, Y ) este uniform repartizat˘a ˆıntr-un p˘atrat de latur˘a 1. G˘asit¸i media ¸si dispersia variabilei XY .

Variabile aleatoare continue

157

1 Solut¸ie. Pentru c˘a X ¸si Y sunt independente M [XY ] = M (X)M (Y ) = ; D2 [XY ] = 4 1 . 144 2 Problema 3.26 Variabilele X ¸si Y sunt legate prin Y = 2 − 3X ¸si mx = −1, DX = 4. 2 G˘asit¸i my , DY , Cov[X, Y ], ρ[X, Y ]. R: M [Y ] = M [2 − 3X] = 2 − 3(−1) = 5;D2 [Y ] = (−3)2 4 = 36. Din M [X 2 ] = D2 [X] + M 2 [X], deducem M [X 2 ] = 5 Cov[X, Y ] = M [X(2 − 3X]) + 1 × 5 = −12 −12 = −1. ρ[X, Y ] = D[X]D[Y ] Problema 3.27 Variabilele aleatoare X, Y, Z au mediile mx , my , mz ¸si matricea de covariant¸˘a   D[ X] Cov[X, Y ] Cov[X, Z]     [  Cov[X, Y ] . D Y ] Cov[Y, Z]     [ Cov[X, Z] Cov[Y, Z] D Z] G˘asit¸i media ¸si dispersia variabilei U = aX − bY + cZ − d, a, b, c, d ∈ IR. R: M [U ] = a mx − b my + c mz − d, D2 [U ] = a2 D[ X] + b2 D[ Y ] + c2 D2 [Z] − 2 a b Cov[X, Y ] + 2 a c Cov[X, Z] − 2 b c Cov[Y, Z]. Problema 3.28 X, Y sunt variabile aleatoare independente X : N (1, 4), Y : U (0, 2). G˘asit¸i M [X + Y ], M [XY ], M [X 2 ], M [X − Y 2 ], D2 [X + Y ], D2 [X − Y ]. R: M [X + Y ] = 2, M [XY ] = M [X]M [Y ] = 1, M [X 2 ] = 5, M [X − Y 2 ] = 1 13 − , D2 [(X + Y )] = D2 [(X − Y )] = . 3 3 Problema 3.29 Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare bidimensionale normale este 1 1 − 1.28 ((x−2)2 −1,2(x−2)(y+3)+(y+3)2 ) . f (x, y) = e 1, 6π Calculat¸i covariant¸a variabilelor marginale. R: Cov[X, Y ] = 0, 6. Problema 3.30 Un voltmetru ˆınregistreaz˘a cea mai mare dintre dou˘a tensiuni V1 , V2 . Variabilele V1 , V2 sunt independente ¸si au aceea¸si densitate f (v). G˘asit¸i media variabilei V = max{V1 , V2 }. Z +∞ Z v1 Z +∞ Z v2 Solut¸ie. m = x1 dv1 f (v2 )dv2 + v2 f (v2 )dv2 f (v1 )dx1 . −∞

−∞

−∞

−∞

158

Variabile aleatoare continue

Capitolul 4 Probleme la limit˘ a ˆın teoria probabilit˘ a¸tilor Baza teoretic˘a a statisticii matematice, care confer˘a garant¸ii asupra valabilit˘a¸tii studiului statistic al fenomenelor aleatoare, se sprijin˘a pe propriet˘a¸tile de convergent¸˘a ale ¸sirurilor de variabile aleatoare. Prezent˘am principalele tipuri de convergent¸˘a ¸si unele propriet˘a¸ti ale ¸sirurilor de variabile aleatoare referitoare la acestea.

4.1

Convergent¸a ˆın probabilitate

Fie { E, K, P } un cˆamp de probabilitate, {Xn }n∈IN un ¸sir de variabile aleatoare, X o variabil˘a aleatoare, toate definite pe {E, K, P }. Definit¸ia 4.1.1 S¸irul {Xn }n∈IN converge ˆın probabilitate c˘ atre X (vom folosi notat¸ia prob

{Xn } −→ X) dac˘a ∀ε > 0 : lim P ({e ∈ E | |Xn (e) − X(e) | > ε}) = 0

(4.1)

∀ε > 0 : lim P ({e ∈ E | |Xn (e) − X(e) | 6 ε}) = 1.

(4.2)

n→∞

sau, echivalent, n→∞

Observat¸ia 4.1.1 Se poate defini ¸si convergent¸a ˆın probabilitate a ¸sirului de variabile aleatoare {Xn }n∈IN c˘atre constanta c deoarece orice constant˘a este un caz particular de variabil˘a aleatoare. Propriet˘ a¸ti ale convergent¸ei ˆın probabilitate. Propozit¸ia 4.1.1 Limita unui ¸sir de variabile aleatoare convergent ˆın probabilitate este unic˘ a aproape sigur. prob

Demonstrat¸ie. Ar˘at˘am c˘a dac˘a exist˘a dou˘a variabile aleatoare X ¸si Y astfel ˆıncˆat {Xn } −→ prob

X, {Xn } −→ Y atunci P ({X 6= Y }) = 0. Fie ε < | X − Y | = | X − Xn + Xn − Y | 6 | X − Xn | + | Xn − Y | 159

˘ Probleme la limita

160 de aici rezult˘a

ε ε { | X − Y | > ε} ⊆ { | X − Xn | > } ∪ { | Xn − Y | > }, 2 2 deci

ε P ({ | X − Y | > ε} 6 P ({ | X − Xn | > })+ 2 ε +P ({ | Xn − X | > }). 2 prob

prob

Deoarece {Xn } −→ X ¸si {Xn } −→ Y rezult˘a, trecˆand la limit˘a, ε 0 6 P ({ | X − Y | > ε}) 6 lim P ({ | X − Xn | > })+ n→∞ 2 ε + lim P ({ | Xn − Y | > }) = 0 n→∞ 2 deci P ({| X − Y | > ε}) = 0. prob

prob

prob

Propozit¸ia 4.1.2 Dac˘ a {Xn } −→ X, {Yn } −→ Y ¸si a, b ∈ IR atunci {aXn + bYn } −→ aX + bY . Demonstrat¸ie. Fie ε > 0. Urmˆand un rat¸ionament analog cu cel folosit ˆın proprietatea precedent˘a, putem scrie P ({|(aXn + bYn ) − (aX + bY )| > ε}) = P ({|a(Xn − X) + b(Yn − Y )| > ε}) 6 ε ε 6 P ({|a||Xn − X| > }) + P ({|b||Yn − Y | > }). 2 2 prob

prob

T ¸ inˆand seama c˘a {Xn } −→ X ¸si {Yn } −→ Y ¸si trecˆand la limit˘a obt¸inem lim P ({|(aXn − bYn ) − (aX + bY )| > ε}) = 0

n→∞ prob

adic˘a {aXn + bYn } −→ aX + bY .

4.2

Legea numerelor mari (forma slab˘ a)

Un tip de probleme la limit˘a, bazat pe not¸iunea de convergent¸˘a ˆın probabilitate, cu semnificat¸ie de maxim˘a important¸a˘ asupra leg˘aturii dintre conceptele de baz˘a ale teoriei probabilit˘a¸tii ¸si not¸iunile empirice, este cel cunoscut sub denumirea de legea numerelor mari. Aceasta este un ansamblu de rezultate privind convergent¸a c˘atre 1 a probabilit˘a¸tilor unui ¸sir de evenimente depinzˆand de un num˘ar crescˆand de factori aleatori.

˘ Probleme la limita

161

Teorema 4.2.1 Fie (Yn )n∈IN un ¸sir de variabile aleatoare admit¸ˆ and valori medii ¸si dispersii finite ¸si fie M [Yn ] = Mn < ∞, D2 [Yn ] = σn2 < ∞. Dac˘ a exist˘a o constant˘ a M astfel ˆıncˆ at lim Mn = M ¸si lim σn2 = 0,

n→∞

atunci

n→∞

(4.3)

prob

{Yn } −→ M. Demonstrat¸ie. Observ˘am c˘a pentru orice ε > 0 ε ε {|Yn − M | > ε} ⊆ {|Yn − Mn | > } ∪ {|Mn − M | > }. 2 2 Putem scrie ε ε P ({|Yn − M | > ε}) 6 P ({|Yn − Mn | > }) + P ({|Mn − M | > }). 2 2 Aplicˆand inegalitatea lui Cebˆa¸sev variabilei aleatoare Yn obt¸inem P ({|Yn − Mn | > ε}) 6

D2 [Yn ] σn2 = . ε2 ε2

(4.4)

(4.5)

Deorece lim Mn = M rezult˘a c˘a ∀ε > 0, ∃ N (ε) ∈ IN astfel ˆıncˆat ∀n > N (ε) inegalitatea n→∞ ε |Mn − M | > devine imposibil˘a, adic˘a 2 ∀n > N (ε) : P ({|Mn − M | > ε}) = 0. Trecˆand la limit˘a ˆın (4.4), ¸tinˆand seama de (4.5) ¸si de ipotezele (4.3) rezult˘a lim P ({|Yn − M | > ε}) = 0.

n→∞

Teorema 4.2.2 (forma slab˘a a teoremei lui Jacob Bernoulli)

Sn Prima formulare: Dac˘a A un eveniment caracterizat prin P (A) = p 6= 0 ¸si frecvent¸a n relativ˘ a de realizare a evenimentului A ˆın primele n probe ale unui ¸sir infinit de probe independente, atunci Sn ∀ε > 0 : lim P ({| − p| > ε}) = 0 n→∞ n sau, echivalent, Sn ∀ε > 0 : lim P ({| − p| 6 ε}) = 1. n→∞ n A doua formulare: Dac˘a {Xn }n∈IN un ¸sir de variabile aleatoare independente astfel n 1X ˆıncˆ at Xn : Bi(n, p), n ∈ IN , atunci ¸sirul de variabile aleatoare { Xk }n∈IN converge ˆın n k=1 n 1X prob probabilitate c˘atre p, adic˘a { Xk } −→ p. n k=1

˘ Probleme la limita

162

Demonstrat¸ie. Demonstr˘am teorema lui Bernoulli sub cea de-a doua form˘a. Not˘am n

1X Xk Yn = n k=1 ¸si ¸tinem seama c˘a M [Yn ] =

n n 1X 1 1 X 2 npq pq M [Xk ] = np = p, D2 [Yn ] = 2 D [Xk ] = 2 = , n k=1 n n k=1 n n

deci lim M [Yn ] = p ¸si lim D2 [Yn ] = 0, ceea ce arat˘a c˘a ipotezele Teoremei 4.2.1 sunt n→∞ n→∞ n 1X prob satisf˘acute, deci { Xk } −→ p. n k=1 Observat¸ii. 1. Prima formulare a teoremei lui Bernoulli constituie justificarea teoretic˘a a apropierii f˘acute ˆıntre conceptele de frecvent¸˘a relativ˘a ¸si probabilitate a unui eveniment. Ea exprim˘a faptul c˘a pentru ¸siruri foarte mari de probe orice diferent¸˘a sensibil˘a ˆıntre frecvent¸a relativ˘a a unui eveniment ¸si probabilitatea sa devine foarte improbabil˘a. Deci convergent¸a frecvent¸elor relative c˘atre probabilitatea evenimentului nu trebuie ˆınt¸eleas˘a ca o convergent¸˘a numeric˘a obi¸snuit˘a; nu rezult˘a din teorema de mai sus ¸si nici nu este intuitiv acceptabil˘a ideea c˘a odat˘a cu cre¸sterea num˘arului de probe valorile frecvent¸elor relative sunt, obligatoriu, mai apropiate de probabilitate. 2. Cele dou˘a formul˘ari decurg una din cealalt˘a dac˘a ¸tinem seama c˘a frecvent¸a absolut˘a de realizare a lui A ˆın n probe. Fie Xn o variabil˘a aleatoare repartizat˘a Bi(n, p). n n X Sn 1X Xk , atunci Dac˘a not˘am Sn = Xk ¸si deci = n n k=1 k=1 lim P ({|

n→∞

Sn − p| > ε}) = 0 n

ceea ce nu ˆınseamn˘a altceva decˆat c˘a n

1X prob { Xk } −→ p. n k=1 3. Rezultatul teoremei constituie justificarea teoretic˘a a definit¸iei not¸iunii de estima¸tie a unui parametru al unei repartit¸ii, not¸iune de mare important¸˘a ˆın statistica matematic˘a. Teorema 4.2.3 (Cebˆa¸sev) Dac˘a (Xn )n∈IN este un ¸sir de variabile aleatoare independente dou˘ a cˆate dou˘a, avˆand dispersiile m˘arginite de o aceea¸si constant˘ a D2 [Xn ] 6 c2 , n ∈ IN,

˘ Probleme la limita

163

atunci ∀ε > 0 : lim P ({| n→∞

n

n

n

n

1X 1X Xk − M [Xk ]| > ε}) = 0 n k=1 n k=1

sau, echivalent, 1X 1X ∀ε > 0 : lim P ({| Xk − M [Xk ]| 6 ε}) = 1, n→∞ n k=1 n k=1 adic˘ a are loc convergent¸a ˆın probabilitate a ¸sirul de variabile aleatoare, n

{

1X prob (Xk − M [Xk ])} −→ 0. n k=1

n

1X Demonstrat¸ie. Dac˘a Yn = (Xk − M [Xk ]) atunci n k=1 n

n

n

1X 1X 1X (Xk − M [Xk ])] = M [Xk ] − M [Xk ] = 0 M [Yn ] = M [ n k=1 n k=1 n k=1 ¸si deoarece variabilele aleatoare Xn sunt independente dou˘a cˆate dou˘a, rezult˘a (Xk − M [Xk ]) sunt independente dou˘a cˆate dou˘a ¸si deci

D2 [Yn ] = D2 [

n n n 1 X 2 1X 2 1X (Xk − M [Xk ])] = 2 D [Xk − M [Xk ]] = D [Xk ]. n k=1 n k=1 n k=1

Aplicˆand inegalitatea lui Cebˆa¸sev variabilei aleatoare Yn ¸si ¸tinˆand seama de ipotezele problemei, putem scrie P ({|

n n n 1X 1X 1 X 2 nc2 c2 Xk − M [Xk ]| > ε}) 6 2 2 D [Xk ] < 2 2 = 2 n k=1 n k=1 n ε k=1 nε nε

¸si deci

n

lim P ({|

n→∞

n

1X 1X c2 = 0. Xk − M [Xk ]| > ε}) 6 lim n→∞ nε2 n k=1 n k=1

Teorema 4.2.4 (Markov) Dac˘ a variabilele aleatoare X1 , X2 , . . . , Xn , . . . au proprietatea c˘ a: n X 2 D [ Xi ] i=1 n2

atunci are loc legea numerelor mari.

→ 0, n → ∞,

˘ Probleme la limita

164

Demonstrat¸ie. Trebuie demonstrat c˘a ¸sirul {Xn }n∈IN verific˘a relat¸ia: n

n

1X 1X ∀ε > 0 : lim P ({| Xk − M [Xk ]| 6 ε}) = 1. n→∞ n k=1 n k=1 Aplic˘am inegalitatea lui Cebˆa¸sev pentru variabilele aleatoare: Y =

n n n X X X 1 Xi /n, D2 [Y ] = D2 [ Xi /n] = 2 D2 [ Xi ] → 0, n → ∞. n i=1 i=1 i=1

Deci D2 [Y ] < ∞ ¸si atunci are loc inegalitatea lui Cebˆa¸sev: P (|Y − M [Y ]| 6 ε) > 1 −

n 1 1 2X D [ Xi ]. ε2 n2 i=1

n 1 2X D [ Xi ] → 0, dac˘a n → ∞. Trecˆand la limit˘a ˆın inegalitatea precedent˘a, n2 i=1 obt¸inem afirmat¸ia teoremei.

Dar

Observat¸ia 4.2.1 ˆIn cazul particular cˆand variabilele aleatoare sunt independente, condi¸tia din enunt¸ se scrie: n X D2 [Xi ] i=1

→ 0, n → ∞. n Teorema 4.2.5 (Hincin) Dac˘a {Xn }n∈IN este un ¸sir de variabile aleatoare independente dou˘ a cˆate dou˘a urmˆand aceea¸si repartit¸ie ¸si avˆand dispersii finite, atunci n

1X Xk − M | > ε}) = 0. lim P ({| n→∞ n k=1 unde M = M [Xn ], n ∈ IN. Demonstrat¸ie. Dac˘a variabila aleatoare {Xn }n∈IN urmeaz˘a aceea¸si repartit¸ie, rezult˘a D2 [Xn ] = σ 2 , n ∈ IN , ceea ce implic˘a satisfacerea ipotezelor Teoremei lui Cebˆa¸sev. Observat¸ie. Acest rezultat fundamenteaz˘a teoretic procesul uzual de aproximare a mediei caracteristicii studiate a unei populat¸ii statistice prin media atitmetic˘a a valorilor observate. ˆIntr-adev˘ar, dac˘a X1 , X2 , . . . Xn , . . . sunt privite ca valori potent¸iale ale unei variabile aleatoare X obt¸inute printr-un ¸sir de probe independente, atunci teorema arat˘a c˘a media aritmetic˘a a acestora converge c˘atre M = M [X]. Ca un caz particular al teoremei lui Cebˆa¸sev se obt¸ine teorema lui Poisson. Teorema 4.2.6 (Poisson) Fie A un eveniment a c˘arui probabilitate de realizare variaz˘a pe parcursul unui ¸sir de probe independente, astfel ˆıncˆ at la proba de rang k, P (A) = Sn frecvent¸a de realizare a evenimentului A ˆın primele n probe. pk , k = 1, 2, . . . ¸si fie n Atunci Sn p1 + p2 + . . . + pn lim P ({ | − | > ε}) = 0. n→∞ n n

˘ Probleme la limita

165

Demonstrat¸ie. Definim, pentru fiecare k = 1, 2, . . . n, . . . variabila aleatoare Xk ce ia valorile 1 sau 0 dup˘a cum A se realizeaz˘a sau nu ˆın proba de rang k. ˆIn consecint¸a˘, Xk este definit˘a   0 1 Xk : . 1 − pk pk Notˆand cu Sn num˘arul de realiz˘ari ale lui A ˆın primele n probe, se constat˘a n

Sn 1X fn (A) = = Xk . n n k=1 Deoarece X1 , X2 , . . . Xn , . . . sunt variabile aleatoare independente ¸si deoarece 1 M [Xk ] = pk , D2 [Xk ] = M [Xk2 ] − M [Xk ]2 = pk − p2k = pk (1 − pk ) 6 , 4 rezult˘a c˘a ¸sirul {Xn }n∈IN verific˘a ipotezele Teoremei lui Cebˆa¸sev ¸si deci lim P ({ |

n→∞

Sn p1 + p2 + . . . + pn − | > ε}) = n n n

n

1X 1X Xk − M [Xk ] | > ε)} = 0. = lim P ({ | n→∞ n k=1 n k=1

4.3

Aproxim˘ ari pentru repartit¸ii discrete

Reamintim c˘a o variabil˘a aleatoare binomial˘a care ia n valori pote fi scris˘a ca o sum˘a de n variabile aleatoare X1 , X2 , . . . Xn ,   0 1 Xk : , k = 1, n. 1−p p Atunci Y =

n X

Xk este o variabil˘a aleatoare repartizat˘a binomial, Bi(n; p). Am v˘azut c˘a

k=1

o variabil˘a aleatoare binomial˘a, Bi(n; p), pentru valori mari ale lui n poate fi aproximat˘a cu o variabil˘a aleatoare Poisson, dac˘a p este suficient de mic astfel ˆıncˆat np = λ = constant. Vom ar˘ata c˘a o variabil˘a aleatoare binomial˘a, Bi(n; p) poate fi aproximat˘a cu o variabil˘a aleatoare repartizat˘a normal pentru orice valoare fixat˘a a lui p ¸si pentru n suficient de mare. De exemplu, arunc˘am un ban de 100 de ori. Ne intereseaz˘a probabilitatea ca s˘a obt¸inem fat¸a care cont¸ine banul de 50 de ori. R˘aspunsul 50 p = C100

1 2100

=

100! 1 50!50! 2100

este nesatisf˘ac˘ator deoarece nu ne d˘a nici o idee asupra m˘arimii probabilit˘a¸tii. Nu putem stabili dac˘a aceast˘a probabilitate este ˆın jurul lui 1/2 sau 1/10 sau 1/50. Dificultatea apare ˆın calculul lui n! pentru n suficient de mare.

˘ Probleme la limita

166

Problema care se pune este de a g˘asi o alt˘a funct¸ie h(n) care s˘a constituie o bun˘a aproximare ˆın pentru n! (o bun˘a aproximare ˆın sensul c˘a n! ¸si h(n) s˘a creasc˘a aproape la n! fel de repede odat˘a cu n, sau |n! − h(n)| s˘a fie mic cˆand n cre¸ste sau lim = 1). n→∞ h(n) Definit¸ia 4.3.1 Fie f, g : IR → IR. Spunem c˘a f ¸si g sunt asimptotic egale ¸si not˘am f ∼ g dac˘a f (n) lim = 1. n→∞ g(n) Relat¸ia ”f ¸si g sunt asimptotic egale ” este o relat¸ie de echivalent¸a˘ pe mult¸imea funct¸iilor neidentic nule. Propriet˘a¸tile de reflexivitate, simetrie ¸si tranzitivitate rezult˘a imediat. De exemplu, un polinom ˆın variabila n este asimptotic egal cu termenul s˘au dominant. ˆIn cele ce urmeaz˘a vom ˆıncerca s˘a g˘asim o funct¸ie h(n) astfel ˆıncˆat n! = 1. n→∞ h(n) lim

Expresia unei astfel de funct¸ii este sugerat˘a de formula lui Stirling (vezi Anexa 2) n √ √ h(n) = ( )n n 2π. e Pare mai nepl˘acut s˘a calcul˘am h(n) decˆat n!, dar este mult mai u¸sor deoarece puterile sunt mai lesne de calculat. S˘a aplic˘am ˆın cazul exemplului dat 50 p = C100

1 100! 1 = , 200 50!50! 2100

√ √ )100 100 2π 1 ( 100 100 100 10 1 2100 1 e √ √ p∼ = ( ) = = 2100 50 )100 50 2π ( 50 50 2π 2100 5 2π 2100 e 1 = √ = 0, 0797884 ≈ 0, 08. 5 2π Teorema 4.3.1 (teorema local˘a Moivre-Laplace). Presupunem 0 < p < 1 ¸si q = 1 − p iar k − np , 0 6 k 6 n. xn,k = √ npq

(4.6)

Dac˘ a M o constant˘ a pozitiv˘ a arbitrar˘ a fixat˘a, atunci pentru acei k pentru care |xn,k | 6 M avem

2

Cnk pk q n−k

xn,k 1 ∼√ e− 2 . 2πnpq

(Convergent¸a este ˆın raport cu n ¸si este uniform˘a relativ la k.)

(4.7)

˘ Probleme la limita

167

Demonstrat¸ie. Din

k − np xn,k = √ npq √ √ rezult˘a k = np + npq xn,k , adic˘a n − k = nq − npqxn,k . Deoarece |xn,k | 6 M avem  √ npq k    =1+ xn,k → 1 ¸si deci k ∼ np, np np√ (4.8) npq n−k   =1− xn,k → 1 ¸si deci n − k ∼ nq.  nq nq Folosind formula lui Stirling putem scrie √ √ r ( ne )n n 2π 1 n k k n−k k n−k √ ϕ(n, k), √ p q Cn p q ∼ k √ √ ∼ √ n−k n−k k k(n − k) 2π ( e ) k 2π( e ) n − k 2π unde

np nq n−k nn pk q n−k = ( )k ( ) . n n−k k (n − k) k n−k Deoarece k ∼ np ¸si n − k ∼ nq rezult˘a c˘a ϕ(n, k) =

Cnk pk q n−k ∼ √

1 ϕ(n, k). 2πnpq

Demonstr˘am ˆın continuare c˘a ϕ(n, k) ∼ e−

x2n,k 2 .

Folosim dezvoltarea ˆın serie Taylor a lui ln(1 + x) ln(1 + x) = x −

x2 xn + . . . + (−1)n−1 + . . . 2 n

pentru |x| < 1

¸si obt¸inem √ √ k − npqxn,k npqxn,k np k np ln( ) = k ln( ) ∼ k ln( ) = k ln(1 − )= k k k k √ npq npq = k(− xn,k − 2 x2n,k − . . .), k 2k √ n − k + npqxn,k nq n−k nq ln( ) = (n − k) ln( ) ∼ (n − k) ln( )= n−k n−k n−k √ √ npqxn,k npq npq = (n − k) ln(1 + ) = (n − k)( xn,k − x2 + . . .), n−k n−k 2(n − k)2 n,k deoarece √ √ npq npq | xn,k | < 1 ¸si | xn,k | < 1 k n−k sunt safisf˘acute pentru n suficient de mare pentru care |xn,k | < M . Deci √ npq np k nq n−k npq ln ϕ(n, k) = ln( ) + ln( ) ∼ k(− xn,k − 2 x2n,k − . . .)+ k n−q k 2k

(4.9)

˘ Probleme la limita

168 √

npq npq xn,k − x2 + . . .) = n−k 2(n − k)2 n,k npq 2 npq √ √ = (− npqxn,k − xn,k − . . .) + ( npqxn,k − x2 + . . .) = 2k 2(n − k) n,k +(n − k)(

=

npq 2 1 1 n2 pq xn,k (− − ) + ... = − x2 + . . . 2 k n−k 2k(n − k) n,k

Justific˘am de ce neglij˘am termenii din dezvoltare de grad mai mare decˆat doi pentru n → ∞. Cˆand n este suficient de mare, cele dou˘a cantit˘a¸ti din (4.9) sunt mai mici decˆat 2/3 ¸si prin urmare Lema A2.1 din Anexa 2 este aplicabil˘a ¸si contribut¸ia acestora la cele dou˘a serii este m˘arginit˘a de √ √ npq npq 3 k| xn,k | = (n − k)| xn,k |3 . k (n − k) Deoarece pq < 1 ¸si |xk | 6 M aceasta nu dep˘a¸se¸ste 2

3

n3 3 n2 M + M 3, 2 k (n − k)2 care ˆın mod evident tinde la zero cˆand n → ∞ datorit˘a relat¸iilor (4.8). Astfel, folosind aceste relat¸ii, rezult˘a x2n,k n2 pq ln ϕ(n, k) ∼ xn,k = − . 2npnq 2 Aceasta este echivalent˘a cu x2n,k − ϕ(n, k) ∼ e 2 ¸si de aici rezult˘a (4.7). Observat¸ia 4.3.1 Aproximarea este utilizat˘a dac˘a n este suficient de mare astfel ˆıncˆat np > 5 ¸si n(1 − p) > 5.

4.4

Convergent¸a ˆın repartit¸ie. Teorema limit˘ a central˘ a

Unele probleme ˆın teoria probabilit˘a¸tilor impun studierea unor sume cu un num˘ar foarte mare de variabile aleatoare. Teorema limit˘a central˘a stabile¸ste condit¸iile ˆın care repartit¸ia limit˘a a sumelor considerate este normal˘a. Teorema 4.4.1 (Moivre-Laplace) Fie A un eveniment care are probabilitatea de realizare p = P (A) ˆıntr-un ¸sir de probe independente. Dac˘a Sn este num˘arul de realiz˘ ari ale lui A ˆın n probe, atunci oricare ar fi a ¸si b, a < b, Z b x2 1 Sn − np 6 b}) = √ (4.10) lim P ({a 6 √ e− 2 dx. n→∞ npq 2π a

˘ Probleme la limita

169

Demonstrat¸ie. Fie k o valoare posibil˘a a lui Sn astfel ˆıncˆat Sn = k ˆınseamn˘a Sn − np = xn,k √ npq conform relat¸iei (4.6). Atunci probabilitatea evenimentului din dreapta formulei (4.10) este X X P ({Sn = k}) = Cnk pk q n−k . a δ}) = Fn (x0 ) + P ({|Xn − X| > δ}) = 0, prob

¸si ¸tinˆand seama c˘a {Xn } −→ X, adic˘a lim P ({|Xn − X| > δ}) = 0,

n→∞

rezult˘a F (x0 − δ) 6 lim Fn (x0 ). n→∞

Analog F (x0 + δ) > lim Fn (x). n→∞

Rezult˘a lim Fn (x0 ) = F (x0 ).

n→∞

Observat¸ie. Reciproca acestei teoreme nu este adev˘arat˘a. Ilustr˘am aceasta printr-un exemplu. Fie variabila aleatoare ! 0 1 1 1 X: 2 2 ¸si variabila aleatoare Y = 1 − X. Variabilele aleatoare X ¸si Y au aceea¸si funct¸ie de repartit¸ie. ˆıntr-adev˘ar, ! 0 1 1 1 Y : 2 2    0 dac˘a x 6 0 1 FX (x) = FY (x) = dac˘a 0 < x 6 1   2 1 dac˘a x > 1 ¸si |Y − X| = |1 − 2X| = 1 indiferent de valoarea variabilei aleatoare X. Definim ¸sirul de variabile aleatoare {Xn }n∈IN unde Xn = Y . Rezult˘a c˘a {Xn }n∈IN converge ˆın repartit¸ie c˘atre X. Deoarece |Xn − X| = 1 rezult˘a c˘a {Xn }n∈IN nu converge ˆın probabilitate c˘atre X. Exist˘a totu¸si un caz particular ˆın care se poate stabili ¸si leg˘atura invers˘a.

˘ Probleme la limita

172 rep

prob

Teorema 4.4.3 Dac˘a C este o constant˘ a real˘ a ¸si dac˘a {Xn } −→ C, atunci {Xn } −→ C. Demonstrat¸ie. Punˆand X = C am definit o variabil˘a aleatoare a c˘arei repartit¸ie este   c C: . 1 Deci funct¸ia de repartit¸e a variabilei aleatoare X este  0, dac˘a x 6 c, F (x) = 1, dac˘a x > c. Fie ε > 0. Atunci P ({| Xn − c | > ε}) = 1 − P ({c − ε < Xn < c + ε}) = = 1 − P ({Xn < c + ε}) + P ({Xn < c − ε + 0}) 6 1 − Fn (c + ε) + Fn (c − ε + 0) Punctul x = c este punct de discontinuitate pentru F ¸si F (c + α) − F (c − α) = 1, deci P ({|Xn − c| > ε}) 6 F (c + α) − F (c − α) − Fn (c + ε) + Fn (c − ε + 0). Dar c + ε ¸si c − ε + 0 sunt puncte de continuitate ale lui F ¸si, prin ipotez˘a, lim Fn (x) n→∞

= F (x) pentru orice punct de continuitate x a lui F , deci lim Fn (c + ε) = F (c + ε),

n→∞

lim Fn (c − ε + 0) = F (c − ε + 0) = F (c − ε),

n→∞

¸si deci lim P ({|Xn − C| > ε}) = 0

n→∞

ceea ce exprim˘a convergent¸a ˆın probabilitate a lui Xn c˘atre C. Vom da acum o formulare mai general˘a a teoremei Moivre-Laplace. Not˘am cu Sn = X1 + X2 + . . . + Xn , n > 1, unde Xj , j = 1, n, sunt variabile aleatoare independente Bernoulli. S¸tim c˘a M [Xj ] = p, D2 [Sn ] = npq, j = 1, n, ¸si pentru orice n, M [Sn ] = np, D2 [Sn ] = npq. Not˘am

n

Xj∗ =

Sn − M [Sn ] 1 X ∗ Xj − M [Xj ] , Sn∗ = =√ X . D[Xj ] D[Sn ] n j=1 j

(4.15)

˘ Probleme la limita

173

Sn∗ este o variabil˘a aleatoare ¸si se nume¸ste variabil˘a aleatoare normalizat˘a. Avem pentru fiecare j ¸si n M [Xj∗ ] = 0, D2 [Xj∗ ] = 1. M [Sn∗ ] = 0, D2 [Sn∗ ] = 1. Transformarea liniar˘a care duce Xj ˆın Xj∗ sau Sn ˆın Sn∗ are ca scop aducerea lor la o variabil˘a aleatoare cu media 0 ¸si dispersia 1. Fiecare Sn∗ este o variabil˘a aleatoare care ia ca valori k − np . xn,k = √ npq Aceasta este tocmai xn,k din Teorema Moivre-Laplace ¸si P ({Sn∗ = xn,k }) = Cnk pk q n−k , 0 6 k 6 n. Dac˘a utiliz˘am funct¸ia de repartit¸ie corespunz˘atoare P ({Sn∗ < x}) = Fn (x), iar dac˘a F este funct¸ia de repartit¸ie normal˘a standard, atunci teorema Moivre-Laplace se poate scrie sub o form˘a mai elegant˘a ¸si anume lim Fn (x) = F (x).

n→∞

Observat¸ie. Teorema poate fi extins˘a ˆın urm˘atorul sens: fie {Xn }n∈IN un ¸sir de variabile aleatoare independente avˆand aceea¸si repartit¸ie care nu trebuie s˘a fie specificat˘a. Trebuie, ˆın schimb, ca M [Xj ] = m < ∞ ¸si D2 [Xj ] = σ 2 < ∞. Teorema lui Laplace are loc ¸si ˆın aceste condit¸ii. Teorema 4.4.4 Pentru sumele Sn ˆın condit¸iile generalizate de mai sus ¸si pentru a < b are loc Z b x2 Sn − nm 1 √ lim P ({a < 6 b}) = √ e− 2 dx. (4.16) n→∞ σ n 2π a Exist˘a ˆıns˘a o situat¸ie ˆın care teorema limit˘a central˘a are o demonstrat¸ie banal˘a. Este cazul ˆın care variabilele aleatoare {Xn }n∈IN sunt normale ¸si independente. Atunci Sn = X1 + X2 + . . . + Xn este tot o variabil˘a aleatoare normal˘a cu media nm ¸si dispersia nσ 2 conform Teoremei 3.6.2. Exemplul 4.4.1 Determinarea volumului unei select¸ii bernoulliene care s˘a permit˘ a aplicarea legii numerelor mari. Legea numerelor mari (Teorema 4.2.2) afirm˘a c˘a lim P ({|fn (A) − p| > ε}) = 0,

n→∞

unde fn (A) este frecvent¸a relativ˘a de realizare a evenimentului A ˆın primele n probe independente. fn (A) =

Sn k = unde Sn = X1 + X2 + . . . + Xn , Xi : Bi(n, p), i = 1, n, n n

˘ Probleme la limita

174 M[ P ({|

Sn Sn pq ] = p, D2 [ ] = , n n n

D2 [ Snn ] Sn pq − p|}) > 1 − = 1 − 2, 2 n ε nε

Sn pq − p| > ε}) < 2 < δ, n nε δ fiind dat, relat¸ia ne permite s˘a determin˘am o margine inferioar˘a pentru volumul select¸iei n, deoarece pq pq pq 1 < δ implic˘a n > 2 ¸si max 2 = , 2 p δε nε δε 4δε2 P ({|

adic˘a

1 . 4δε2 Aceast˘a margine inferioar˘a este mai mult decˆat este necesar pentru a putea aplica Teorema Moivre-Laplace. Sn Sn − np P ({| − p| > ε}) = P ({| | > ε}) = n n r r Sn − np n n Sn − np = P ({| √ |>ε }) = 1 − P ({| √ |6ε }) = npq pq npq pq r r r r n n n n ) − F (−ε )] = 1 − 0, 5 − Φ(ε ) + 0, 5 − Φ(ε ) = 1 − [F (ε pq pq pq pq r n = 1 − 2Φ(ε )

n>

z2 . 4ε2

ˆIntr-adev˘ar, dac˘a lu˘am ε = 0, 02 ¸si δ = 0, 05 obt¸inem, conform Legii numerelor mari n>

1 = 125000. 4 × 0, 05 × (0, 02)2

Folosind Teorema lui Moivre-Laplace, Φ(z) = n>

(1, 96)2 = 2401. 4(0, 02)2

1 − 0, 05 = 0, 475, adic˘a z > 1, 96 ¸si deci 2

˘ Probleme la limita

175

Exemplul 4.4.2 O tensiune constant˘a, dar necunoscut˘a, trebuie s˘a fie m˘asurat˘a. Fiecare m˘asur˘atoare Xj se face cu o eroare Nj fat¸a˘ de valoarea exact˘a v. Eroarea Nj are media egal˘a cu zero ¸si dispersia egal˘a cu 1 microvolt. Xj = v + Nj Presupunem c˘a eroarea este o variabil˘a aleatoare independent˘a. Cˆate m˘asur˘atori sunt necesare ca media m˘asur˘atorilor s˘a fie cu cel mult ε = 1 mai mare decˆat valoarea exact˘a cu o probabilitate de 0,99? Fiecare m˘asur˘atoare Xj are v ¸si dispersia 1, astfel ˆıncˆat folosind legea numerelor mari obt¸inem: 1 1 1 − 2 = 1 − = 0, 99. nε n Aceasta implic˘a n = 100. Astfel dac˘a repet˘am m˘asur˘atorarea de 100 de ori ¸si calcul˘am media ˆın mod normal ˆın 99% din situat¸ii media obt¸inut˘a va diferi cu cel mult 1 microvolt de valoarea exact˘a. Exemplul 4.4.3 Pentru a estima probabilitatea unui eveniment A, se efectueaz˘a un ¸sir de experient¸e Bernoulli ¸si se observ˘a frecvent¸a relativ˘a a evenimentului A. De cˆate ori trebuie repetat evenimentul A astfel ˆıncˆat cu o probabilitate de 0, 95 frecvent¸a relativ˘a s˘a difere de p = P (A) cu 0, 01? Fiind experient¸e Bernoulli, media m = p ¸si dispersia D2 [X] = p(1 − p). Evident c˘a p(1 − p) 6 1/4 pentru 0 6 p 6 1. Atunci rezult˘a P (|fn (A) − p| > ε) 6

D2 [X] 1 6 . nε2 4nε2

Pentru ε = 0, 01 obt¸inem

1 4nε2 Rezolv˘am ¸si obt¸inem n = 50000. Aceast˘a evaluare s-a obt¸inut utilizˆand inegalitatea lui Cebˆa¸sev care d˘a ni¸ste evalu˘ari destul de grosiere. Vom obt¸ine o alt˘a evaluare utilizˆand Sn Teorema Moivre-Laplace. Deoarece fn (A) = obt¸inem: n r Sn − np Sn n | < ε}) = 1 − 2Φ(ε ) P ({| − p| < ε}) = P ({| n n p(1 − p) 1 − 0, 95 =

Aceast˘a probabilitate nu poate fi calculat˘a deoarece p este necunoscut. Mai mult, deoarece p p(1 − p) 6 1/4pentru 0 6 p 6 1, avem p(1 − p) 6 1/2, deci Φ(x) descre¸ste cˆand argumentul cre¸ste. √ P (|fn (A) − p| > ε) < 1 − 2Φ(2ε n) √ Vrem ca probabilitatea de mai sus s˘a fie egal˘a√cu 0,95. Aceasta implic˘a Φ(2ε n) = (1 − 0, 95)/2 = 0, 25. Din tabele obt¸inem 2ε n = 1, 95. Rezolvˆand, obt¸inem n = (0, 98)2 /ε2 = 9506.

˘ Probleme la limita

176

Exemplul 4.4.4 S˘a se determine num˘arul minim de arunc˘ari ale unei monede care s˘a asigure cel put¸in cu o probabilitate de 0,9 ca diferent¸a dintre frecvent¸a relativ˘a obt¸inut˘a ¸si probabilitatea de aparit¸ie a unei fet¸e s˘a fie mai mic˘a ˆın valoare absolut˘a decˆat 0,2. Folosind Teorema 4.2.2 obt¸inem, 1 P ({|fn (A) − | < 0, 2}) > 0, 9. 2

(4.17)

Conform Exemplului 4.4.4 avem ε = 0, 2, δ = 1 − 0, 9 = 0, 1 ¸si deci n>

1 1 = = 62, 5, n > 63. 2 4δε 4 × 0, 1 × (0, 2)2

Cel put¸in 63 de arunc˘ari asigur˘a P ({|

S63 1 − | < 0, 2}) > 0, 9. 63 2

Putem determina intervalul ˆın care variaz˘a frecvent¸a relativ˘a astfel ˆıncˆat (4.17) s˘a fie satisf˘acut˘a ¸si deci frecvent¸a absolut˘a pentru un anumit n 6 63, |

k 1 k − | < 0, 2 ⇐⇒ 0, 3 < < 0, 7 ⇐⇒ n × 0, 3 < k < n × 0, 7. n 2 n

Dac˘a n = 63 rezult˘a 18 < k < 44. Deci din 63 arunc˘ari, num˘arul arunc˘arilor reu¸site este cuprins ˆıntre 18 ¸si 44, atunci (4.17) este satisf˘acut˘a, adic˘a am determinat intervalul ˆın care se situeaz˘a num˘arul cazurilor favorabile aparit¸iei unei aceleia¸si fet¸e, aceasta avˆand loc cu probabilitatea de cel put¸in 0,9. Exemplul 4.4.5 Un zar se arunc˘a de 1200 de ori. S˘a se determine probabilitatea minim˘a ca num˘arul de aparit¸ii ale fet¸ei cu i puncte, i fixat, s˘a fie cuprins ˆıntre 150 ¸si 250. Dar ˆıntre 100 ¸si 250 ? Constat˘am c˘a p = |

1 ¸si n = 1200. Deci 6 1 1 k 1 k − | < ε ⇐⇒ −ε< < +ε 1200 6 6 1200 6

echivalent cu 200 − 1200 × ε < k < 200 + 1200 × ε. S˘a cercet˘am dac˘a aceast˘a situat¸ie este compatibil˘a cu datele problemei, adic˘a dac˘a sistemul  200 − 1200ε = 150, 200 + 1200ε = 250, are solut¸ie. Se obt¸ine ε =

1 50 = . ˆın al doilea caz, sistemul devine 1200 24  200 − 1200ε = 100, 200 + 1200ε = 250,

˘ Probleme la limita

177

1 1 1 ¸si este incompatibil, obt¸inˆand, din fiecare ecuat¸ie, ε1 = ¸si ε2 = . Pentru ε1 = 12 24 12 1 obt¸inem intervalul (150, 250). Cum obt¸inem intervalul (100, 300), iar pentru ε2 = 24 P ({100 < alegem ε =

Sn Sn 1 < 250}) > P ({150 < < 250}) > 1 − , 1200 1200 24

1 ¸si deci 24 δ=

1 1 = 1 = 0.12. 2 4ε n 4 242 1200

Deci, cu probabilitatea de cel put¸in 0,88, num˘arul de aparit¸ii ale unei fet¸e a zarului cu i puncte este ˆın intervalul (150, 250) dac˘a arunc˘am zarul de 1200 ori. Pe de alt˘a parte, ¸tinˆand seama de regula celor 3σ de la repartit¸ia normal˘a, Sn − np P ({−3 < √ 6 3}) = 0, 9973, npq ceea ce ˆınseamn˘a c˘a probabilitatea ca num˘arul de aparit¸ii ale unei fet¸e a zarului s˘a fie ˆın intervalul (161, 239) este de 0.9973. Se poate calcula exact probabilitatea ca num˘arul de √ aparit¸ii ale unei fet¸e s˘a fie cuprins ˆıntre 100 ¸si 250. Deorece np = 200 ¸si npq = 12, 91 obt¸inem P ({100 < Sn < 250}) = P ({−100 < Sn − np < 50}) = = P ({−

100 Sn − np 50 < √ < }) = 12, 91 npq 12, 91

Sn − np < 3, 873}) = F (3, 873) − F (−7, 75) = P ({−7, 75 < √ npq ¸si ¸tinˆand seama de Relat¸ia (3.14) din Capitolul 3, P ({100 < Sn < 250}) = Φ(3, 873) + Φ(7, 75) = = 0, 499946 + 0, 499997 = 0, 9999943, rezultat ˆın concordant¸˘a cu cel anterior. Exemplul 4.4.6 S˘a se calculeze probabilitatea opririi simultane a trei ma¸sini din zece care lucreaz˘a independent ˆıntr-o fabric˘a ˆın cazul ˆın care probabilitatea defect˘arii unei ma¸sini este p = 0, 2. Num˘arul de ma¸sini defecte este o variabil˘a aleatoare cu repartit¸ie binomial˘a:   k , k = 1, 10 X: Cnk (0, 2)k (0, 8)10−k Se cere probabilitatea 3 P10,3 = C10 (0, 2)3 (0, 8)7 = 0, 2.

˘ Probleme la limita

178 Folosind Teorema 4.3.1 putem aproxima 3 − 10 x10,3 = q 3 = −0, 21 10 12 12 ¸si obt¸inem 1

3 (0, 2)3 (0, 8)7 ∼ q C10

2π 12 12 10

e−

(0,21)2 2

≈ 0, 246.

Diferent¸a 0,246-0,2=0,046 este considerat˘a ca o aproximat¸ie cu eroare mare. (Am v˘azut c˘a aplic˘am formula dac˘a np > 5 ¸si nq > 5, dar ˆın cazul acesta np = 10 × 0, 2 = 2 < 5.) Dac˘a am avea 25 de ma¸sini ¸si calculam probabilitatea opririi simultane a opt ma¸sini (observ˘am c˘a np = 25 × 0, 2 = 5 ¸si nq = 25 × 0.8 = 20 > 5), atunci 8 (0, 2)8 (0, 8)17 = 0, 06234. P25,8 = C25

Conform Teoremei 4.3.1 x25,8 = √ 8 C25 (0, 2)8 (0, 8)17 ∼ √

8 − 25 × 0, 2 = 1, 5, 25 × 0, 2 × 0, 8

(1,5)2 1 e− 2 = 0, 06475. 2π × 0, 2 × 0, 8

Diferent¸a 0, 06475 − 0, 06234 = 0, 00241 de ordinul miimilor este considerat˘a satisf˘ac˘atoare din punct de vedere practic. Exemplul 4.4.7 O central˘a electric˘a trebuie s˘a deserveasc˘a o ret¸ea de 10000 de becuri medii. Probabilitatea aprinderii unui bec ˆıntr-o noapte de iarn˘a, care constituie perioada de vˆarf a consumului de energie electric˘a, este de 0,7. S˘a se fac˘a analiza economic˘a necesar˘a proiect˘arii centralei. Pentru a determina capacitatea centralei pot fi adoptate criterii diferite: • s˘a construim centrala astfel ˆıncˆat ˆın orice moment cele 10000 de becuri s˘a funct¸ioneze; • s˘a se determine capacitatea centralei astfel ˆıncˆat cu o probabilitate suficient de mare, consumul obi¸snuit s˘a fie asigurat cu energia necesar˘a bunei funct¸ion˘ari. Fie X o variabil˘a aleatoare care ia ca valori num˘arul de becuri care pot fi aprinse ˆıntr-o noapte. Aceast˘a variabil˘a aleatoare are o repartit¸ie binomial˘a cu n = 10000, p = 0, 7, M [X] = np = 7000, D2 [X] = npq = 2100, D[X] = 45, 83 ≈ 46,

˘ Probleme la limita

179

P ({|X − M [X]| 6 k × 46}) > 1 −

2100 1 k2 − 1 = 1 − = . k 2 2100 k2 k2

Pentru k = 2 obt¸inem

3 = 0, 75. 4 Dac˘a centrala se construie¸ste pentru o capacitate de 7092 becuri atunci, cu o probabilitate de cel put¸in 0,75, funct¸ionarea ei este normal˘a. Rezultatul nu este convenabil. La fel, P ({|X − 700| 6}) >

k = 3, P ({|X − 7000| 6 138}) >

8 = 0, 89; 9

15 = 0, 94. 16 Dac˘a construim centrala pentru o capacitate de 7184 becuri medii atunci, cu probabilitatea de cel put¸in 0,94, funct¸ionarea va fi normal˘a. S˘a determin˘am capacitatea centralei astfel ˆıncˆat cu o probabilitate de 0,99 funct¸ionarea s˘a fie normal˘a. Folosim Teorema Moivre-Laplace cu a = −∞. k = 4, P ({|X − 7000| 6 184}) >

Sn − np P ({ √ 6 b}) = 0, 999 = F (b) = 0, 5 + Φ(b) npq 0, 5 + Φ(b) = 0, 999 ⇐⇒ Φ(b) = 0, 499 ⇐⇒ b = 3, 09 S − 10000 × 0, 7 √n 6 3, 09 10000 × 0, 7 × 0, 3 Sn = 7142 se nume¸ste coeficient de simultaneitate ¸si este indicat s˘a se fac˘a construct¸ia centralei pentru el. Dac˘a centrala se construie¸ste pentru 10000 de becuri medii, cu o probabilitate de 0.99, un num˘ar de 10000-7142=2858 becuri r˘amˆan nefolosite. Exemplul 4.4.8 O fabric˘a are ˆın stoc 1660 tone dintr-o materie prim˘a. ¸stiind c˘a zilnic se consum˘a ˆın medie 13,33 t cu abaterea 1,2 t, cu ce probabilitate aceast˘a cantitate ajunge pentru 4 luni. Not˘am cu Xi variabila aleatoare care ia ca valori consumul zilei i, i = 1, 120. Avem M [Xi ] = 13, 33, D[Xi ] = 1, 2. ˆIn 120 de zile se consum˘a X =

120 X

Xi . Ne afl˘am ˆın cazul general ˆın care nu se cunoa¸ste

i−1

repartit¸ia variabilei aleatoare Xi . S˘a determin˘am P ({X < 1660}). √ √ M [X] = nm = 120 × 13, 33 = 1599, 6, D[X] = nσ 2 = nσ = 13, 1, P ({X < 1660}) = P ({

X − 1599, 6 1660 − 1599, 6 < }) = 0, 5 + Φ(4, 6) = 0, 999. 13, 1 13, 1

Se poate deci presupune c˘a aproape sigur cantitatea de materie prim˘a este suficient˘a.

˘ Probleme la limita

180

Exemplul 4.4.9 O surs˘a radioactiv˘a este modelat˘a dup˘a o lege Poisson ¸si emite 30 particule/or˘a. Care este probabilitatea ca ˆın 10 minute s˘a fie emise cel mult 10 particule ? Not˘am X =

10 X

Xi , unde Xi sunt variabile aleatoare repartizate Poisson ¸si indepen-

i=1

dente. Din condit¸iile λ = M [X] =

10 X

M [Xi ] = nM [Xi ]

i=1

¸si deci M [Xi ] =

λ ¸si n λ = D2 [X] =

10 X

D2 [Xi ] = nD2 [Xi ],

i=1

λ , unde λ este parametrul repartit¸iei Poisson ce trebuie determinat din n 1 condit¸ia λ = 30 6 = 5 particule/10 minute. Dup˘a (4.16) adic˘a D2 [Xi ] =

X − nλ 10 − 5 10 − λ P ({X 6 10}) = P ({ √ q n 6 √ }) = 0, 5 + Φ( √ ) = 0, 98713. 5 λ n nλ Exemplul 4.4.10 Fie {Xn }n∈IN un ¸sir de variabile aleatoare independente √ ! √ 0 n − n 1 2 1 , P ({X1 = 0}) = 1, n = 2, 3 . . . . Xn : 1− n n n S˘a se arate c˘a {Xn }n∈IN se supune Legii numerelor mari. Verific˘am condit¸iile Teoremei 4.2.1. M [Xn ] = 0, D2 [Xn ] = M [Xn2 ] − (M [Xn ])2 , ! 0 1 2 2 Xn2 : , M [Xn2 ] = 2, D2 [Xn ] = 2 1− n n prob

Conform Teoremei 4.2.1, {Xn } −→ 0. Dac˘a not˘am n

1X Yn = Xk , n k=1 atunci n 2(n − 1) 1 2n − 1 1 X 2 D [Xk ] = + 2 = →0 M [Yn ] = 0, D [Yn ] = 2 2 n k=1 n n n2 2

deci lim P ({|Yn − M [Yn ]| < ε}) = 1

n→∞

⇐⇒

prob

{Yn } −→ 0.

˘ Probleme la limita

4.5

181

Leg˘ atura dintre convergent¸a ¸sirurilor funct¸iilor de repartit¸ie ¸si convergent¸a ¸sirurilor funct¸iilor caracteristice

Teorema 4.5.1 Fie Fn un ¸sir de funct¸ii de repartit¸ie ¸si F o funct¸ie de repartit¸ie. Dac˘a Fn → F ˆın orice punct de continuitate a lui F , rezult˘ a c˘a pentru orice f : IR → IR continu˘ a ¸si m˘arginit˘ a are loc Z Z lim f (x)dFn (x) = f (x)dF (x) n→∞

IR

IR

Demonstrat¸ie. Fie M = sup |f (x)| ¸si fie a, b puncte de continuitate ale lui F ˆıncˆat x∈IR

F (a) 6 ε ¸si 1 − F (b) 6 ε. Deoarece pe un interval ˆınchis [a, b] orice funct¸ie continu˘a este ¸si uniform continu˘a, alegem punctele de continuitate ale lui F , xk cu 0 6 k 6 s astfel ˆıncˆat a = x0 < x 1 < . . . < x s = b ¸si |f (x) − f (xk )| 6 ε, ∀x ∈ [xk , xk+1 ], 0 6 k 6 s − 1. Introducem funct¸ia auxiliar˘a de salturi fε definit˘a astfel:  f (xk ), dac˘a xk 6 x < xk+1 , fε (x) = 0, dac˘a x < x0 , x > xs ,

0 6 k 6 s − 1.

Are loc, evident, |f (x) − fε (x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. Pentru orice funct¸ie de repartit¸ie G are loc Z fε (x)dg(x) = IR

s−1 X

f (xk )(G(xk+1 ) − G(xk )).

k=0

Deoarece ˆın x = xk , 0 6 k 6 s, F este continu˘a, lim Fn (x) = F (x) ¸si deci n→∞

Z fε (x)dFn (x) = lim

lim

n→∞

n→∞

IR

=

s−1 X

s−1 X

f (xk )(Fn (xk+1 ) − F (xk )) =

k=0

Z f (xk )(F (xk+1 ) − F (xk )) =

fε (x)dF (x), IR

k=0

deci

Z

Z fε (x)dFn (x) =

lim

n→∞

IR

fε dF (x). IR

(4.18)

˘ Probleme la limita

182 De asemenea avem Z

Z

a

|f (x) − fε (x)|dF (x) = IR

Z

Z

b

+ Z

Z

b

|f (x)|dF (x) + Z

|f (x) − fε (x)|dF (x) 6 b

Z

a −∞

∞

|f (x) − fε (x)|dF (x) + a

6

|f (x) − fε (x)|dF (x)+ ∞

a

Z

a

6M

|f (x)|dF (x) 6 b

b

dF (x) + −∞

∞

|f (x) − fε (x)|dF (x) + Z

∞

|f (x) − fε (x)|dF (x) + M a

dF (x) = b

= M F (a) + ε(F (b) − F (a)) + M (1 − F (b)). Dac˘a ¸tinem seama de (4.18), g˘asim Z |f (x) − fε (x)|dF (x) 6 (2M + 1)ε.

(4.19)

IR

Din convergent¸a ˆın repartit¸ie, pentru n suficient de mare, avem |Fn (a) − F (a)|
x0 ,  1, dac˘a x 6 x0 ,   x0 − x 1− , dac˘a x0 6 x 6 x0 + η, f2 (x) = η   0, dac˘a x > x0 + η. Avem, evident, Z

Z

x0 −η

f1 (x)dF (x) > IR

dF (x) = F (x0 − η) > F (x0 ) − ε, −∞

Z

Z

x0 +η

dF (x) = F (x0 + η) 6 F (x0 ) + ε,

f2 (x)dF (x) 6 −∞

IR

¸si analog pentru Fnk

Z Z

Z IR

IR

f1 (x)dFnk (x) 6 Z f2 (x)dFnk (x) >

x −∞

dFnk (x) = Fnk (x0 ),

x −∞

dFnk (x) = Fnk (x0 ).

Pentru n suficient de mare, conform teoremei 4.4.1, Z Z f1 (x)dFnk (x) − f1 (x)dF (x)| < ε, | Z

IR

| IR

Z f2 (x)dFnk (x) −

IR

f2 (x)dF (x)| < ε. IR

Din ultimele ¸sase relat¸ii deducem F (x0 ) − 2ε 6 Fnk (x0 ) 6 F (x0 ) + 2ε. Deoarece ε > 0 este arbitrar˘a rezult˘a lim Fn (x0 ) = F (x0 ).

n→∞

˘ Probleme la limita

184

Teorema 4.5.3 Dac˘a ¸sirul {Fn } de funct¸ii de repartit¸ie converge ˆın repartit¸ie c˘atre func¸tia F ˆın toate punctele de continuitate ale lui F , atunci ¸sirul {ϕn } al funct¸iilor caracteristice corespunz˘ atoare converge (uniform pe orice interval m˘arginit) la funct¸ia caracteristic˘ a ϕ corespunz˘ atoare lui F . Demonstrat¸ie. Deoarece

Z

eitx dFn (x) ¸si ϕ(t) =

ϕn (t) = IR

Z

eitx dF (x) IR

¸si funct¸ia eitx este continu˘a ¸si m˘arginit˘a pe IR. Conform Teoremei 4.5.2 rezult˘a lim ϕn (t) = ϕ(t)

n→∞

(se poate demonstra ¸si convergent¸a uniform˘a). Teorema 4.5.4 Dac˘a ¸sirul {ϕn }n∈IN ∗ de funct¸ii caracteristice converge pentru orice t ∈ IR atoare conla ϕ continu˘ a pe IR, atunci ¸sirul {Fn }n∈N ∗ de funct¸ii de repartit¸ie corespunz˘ verge c˘atre o funct¸ie de repartit¸ie F ; ˆın plus, ϕ este funct¸ia caracteristic˘ a corespunz˘ atoare lui F . Demonstrat¸ie. Din Teorema 4.5.1 exist˘a un sub¸sir {Fnk }k∈IN ∗ care converge la o funct¸ie F nedescresc˘atoare, continu˘a la stˆanga ˆın toate punctele de continuitate ale lui F . S˘a demonstr˘am c˘a F este o funct¸ie de repartit¸ie. Presupunem, prin absurd, c˘a F (−∞) > 0 F (+∞) < 1 ¸si δ = F (+∞) − F (−∞) < 1. Fie ε > 0 ales arbitrar astfel ˆıncˆat ε < 1 − δ. Deoarece ϕn → ϕ ¸si ϕn (0) = 1, rezult˘a c˘a ϕ(0) = 1 ¸si deoarece ϕ este continu˘a pe IR putem lua τ > 0 suficient de mic ˆıncˆat Z τ 1 ε ε | ϕ(t)dt| > 1 − > δ + . (4.21) 2τ −τ 2 2 De asemenea putem alege x0 >

4 τε

dac˘a K > 0 suficient de mare, ˆıncˆat Z ε dFnk (x) < δ + , dac˘a k > K δk = Fnk (x0 ) − Fnk (−x0 ) = 4 |x| x0 , ¸tinˆand seama de faptul c˘a | sin(τ x) 6 1 avem Deci

Z

Z

τ

| −τ

ϕnk x(t)dt| 6 | Z

Z [

+| x>x0

6

Z [

|x| x0

eitx dt
}) r l=n+1

¸si cum seria din (4.23) este convergent˘a, rezult˘a c˘a restul seriei converge la zero ¸si deci lim P (Bnr ) = 0.

(4.24)

n→∞

Fie B r = B 1

S

B2

S

B3

S

. . . ¸si cum P (B) 6

∞ X

P (B r ) rezult˘a, conform (4.24) c˘a P (B) =

r=1

0, unde de fapt B este mult¸imea evenimentelor pentru care Xn nu converge la X. prob

a.s.

Se poate demonstra c˘a dac˘a {Xn }n∈IN −→ X atunci {Xn }n∈IN −→ X ¸si deci rep {Xn }n∈IN −→ X. Un alt rezultat, datorat lui E. Borel, face parte din legea numerelor mari (forma tare) ¸si reformuleaz˘a, ˆıntr-o manier˘a ˆınt˘arit˘a, afirmat¸ia cont¸inut˘a ˆın teorema lui Bernoulli. Teorema 4.6.2 (Borel) Fie A un eveniment care are probabilitatea de realizare p = P (A) Sn ˆıntr-un ¸sir de probe independente ¸si fie frecvent¸a relativ˘ a de realizare a evenimentului n A din n probe. Atunci are loc convergent¸a aproape sigur˘a a ¸sirului frecvent¸elor relative Sn c˘atre p. n Sn a.s. −→ p. n Demonstrat¸ie. Conform Teoremei 4.5.1 este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a seria ∞ X

P ({|

n=1

Sn 1 − p| > }) n r

(4.25)

este convergent˘a, oricare ar fi r ∈ IN ∗ . Pentru aceasta vom observa, ca ¸si la inegalitatea lui Cebˆa¸sev, c˘a putem stabili urm˘atoarea inegalitate pentru orice variabil˘a aleatoare X pentru care exist˘a M [(X − M [X])4 ] P ({|X − M [X]| > ε}) 6

4.7

1 M [(X − M [X])4 ]. ε4

Convergent¸a ˆın medie

Definit¸ia 4.7.1 S¸irul de variabile aleatoare {Xn }n∈IN converge ˆın medie de ordinul r c˘ atre variabila aleatoare X dac˘a exist˘a momente absolute M [|Xn |r ], n ∈ IN ¸si M [|X|r ] ¸si dac˘ a lim M [|Xn − X|r ] = 0, n→∞

r

¸si scriem {Xn }n∈IN −→ X

˘ Probleme la limita

187

Teorema 4.7.1 Dac˘a ¸sirul de variabile aleatoare {Xn }n∈IN converge ˆın medie de ordinul r c˘ atre variabila aeatoare X atunci converge ˆın probabilitate c˘atre X. Demonstrat¸e. Folosim inegalitatea analog˘a inegalit˘a¸tii lui Cebˆa¸sev, dar pentru momentul centrat de ordin r, Relat¸ia (3.41): P ({|Xn − X| > ε}) 6

M [|Xn − X|r ] εr

rezult˘a c˘a deoarece are loc (4.22) atunci lim P ({|Xn − X| > ε}) = 0.

n→∞

Observat¸ie. Dac˘a r = 2 convergent¸a ˆın medie de ordinul doi se nume¸ste convergent¸˘ a ˆın medie p˘atratic˘ a. Concluzie. a.s.

{Xn }n∈IN −→ X prob rep =⇒ {Xn }n∈IN −→ r X =⇒ {Xn }n∈IN −→ X . {Xn }n∈IN −→ X

˘ Probleme la limita

188

4.8

Probleme propuse

Problema 4.1 Se dau variabilele aleatoare independente X1 , X2 , . . . , Xn , . . ., unde Xn ia valorile −na, 0, na, a ∈ IR+ cu probabilit˘a¸tile: a) p1 = 1/2n2 , p2 = 1 − 1/n2 , p3 = 1/2n2 , b) p1 = 1/2n , p2 = 1 − 1/2n−1 , p3 = 1/2n . Satisfac aceste ¸siruri {Xn }n∈IN legea numerelor mari? Solut¸ie. a)   −na 0 na Xn : , n = 1, 2, . . . , 1/2n2 1 − 1/n2 1/2n2 M [Xn ] = 0, M [X 2 ] = a2 , D2 [X] = M [X 2 ] = a2 < ∞. S¸irul {Xn }n∈IN satisface legea numerelor mari, folosind Teorema lui Cebˆa¸sev. b)   −na 0 na Xn : , n = 1, 2, . . . , 1/2n 1 − 1/2n−1 1/2n M [Xn ] = 0, M [X 2 ] = n2 a2 /2n−1 , D2 [X] = M [X 2 ] − (M [X])2 = n2 a2 /2n−1 < ∞. ˆIntrucˆat D2 [Xn ] nu este constant˘a nu se poate aplica Teorema lui Cebˆa¸sev. Se aplic˘a Teorema lui Hincin. Problema 4.2 Fie ¸sirul de variabile aleatoare independente {Xn }n∈nn . Xn ia valorile: −n, −(n − 1), . . . , −1, 0, 1, . . . , n − 1, n cu probabilit˘a¸tile: P (|Xn | = k) =

1 2 1 1 1 , k = 1, n, P (Xn = 0) = 1 − (1 + 3 + 3 + . . . + 3 ). 3 3k 3 2 3 n

Se aplic˘a ¸sirului {Xn }n∈nn legea numerelor mari? Solut¸ie. Tabloul de repartit¸ie al variabilei aleatoare Xn este:  −n . . . −1 0 1 2 ... Xn : 1 1 2 1 1 1 . . . 3 1 − 3 (1 + 23 + 33 + . . . + n3 ) 13 312˙ 3 . . . 3n3

n 1 3n3

M [Xn ] = 0, n = 1, n D2 [Xn ] = M [Xn2 ] =

n n X 1 2X1 2 k2 3 = < (1 + ln n). 3k 3 k=1 k 3 k=1

Pentru majorare am utilizat egalitatea: 1+

1 1 1 + + . . . + = ln n + C + εn , lim εn = 0 n→∞ 2 3 n

iar C este constanta lui Euler cu C ≈ 0.577. Vom aplica Teorema lui Markov: n X n 1 2X D [ Xi ] = n2 i=1

D2 [Xi ]

i=1

n2


ε) 6 ελ2 t

190

˘ Probleme la limita

Problema 4.9 Num˘arul mesajelor care sosesc la un canal de comunicat¸ie este o variabil˘a aleatoare Poisson cu media de 10 mesaje/secund˘a. Folosind teorema limit˘a central˘a s˘a se estimeze probabilitatea ca mai mult de 650 de mesaje s˘a ajung˘a ˆıntr-un minut. Indicat¸ie. Se utilizeaz˘a Exercit¸iul 4.4.9.

Capitolul 5 Procese stochastice In studiul unor probleme fizice sau tehnologice apar fenomene care se desf˘a¸soar˘a ˆın timp ¸si care se numesc procese. S˘a d˘am cˆateva exemple. 1. ˆIn modelul atomului de hidrogen, datorat lui Bohr, electronul se poate plasa pe una din orbitele admisibile; la un moment dat t, definim variabila aleatoare X(t), care ia valoarea i, dac˘a electronul se g˘ase¸ste pe orbita i. 2. Num˘arul de impulsuri care se produc ˆın intervalul (0, t) la o central˘a telefonic˘a este o variabil˘a aleatoare pe care o not˘am X(t). 3. Dac˘a mi¸scarea unei particule depinde de circumstant¸e ˆıntˆampl˘atoare, de exemplu de ciocnirea cu alte particule, atunci ˆın fiecare moment t, viteza V (t) sau pozit¸ia X(t) sunt variabile aleatoare. 4. Un semnal aleator este o und˘a electric˘a, sonor˘a etc. ce traverseaz˘a un anumit mediu la un moment dat ¸si pe care ˆıl not˘am cu X(t). Un semnal poate fi condit¸ional determinist dac˘a se cunoa¸ste expresia analitic˘a a undei; de exemplu X(t) = sin(ωt + φ) , unde φ este o variabil˘a aleatoare. ˆIn fiecare din exemplele precedente se pune ˆın evident¸a˘ o familie de variabile aleatoare {X(t)}, cu t ∈ T, T ⊂ IR, care define¸ste un proces stochastic.

5.1

Lant¸uri Markov

Fie {E, K, P } un cˆamp borelian de probabilitate. Definit¸ia 5.1.1 Familia de variabile aleatoare X(t) : E → IR, unde t ∈ T ⊂ IR, se nume¸ste proces stochastic. Dac˘a T = IN procesul se nume¸ste lant¸. Ne ocup˘am ˆın detaliu de lant¸uri cu un num˘ar finit de valori. Fie S o mult¸ime finit˘a, ale c˘arei elemente le numim st˘ari, numerotate ˆıntr-un mod bine-definit ¸si care reprezint˘a mult¸imea tuturor valorilor pe care le pot lua variabilele aleatoare X(n). Vom nota X(n) = Xn . Presupunem cunoscute probabilit˘a¸tile pi = P ({X0 = i}), ∀i ∈ S, 191

192

Procese stochastice

pe care le vom numi probabilit˘ a¸ti init¸iale ale lant¸ului. Evident X pi = 1. i∈S

Definit¸ia 5.1.2 Lant¸ul {Xn }, n ∈ IN se nume¸ste lant¸ Markov dac˘ a are loc P ({Xn+1 = in+1 }|{Xn = in , . . . , X0 = i0 }) = P ({Xn+1 = in+1 }|{Xn = in }).

(5.1)

Egalitatea (5.1) este cunoscut˘a sub numele de proprietatea Markov ¸si se interpreteaz˘a intuitiv prin aceea c˘a lant¸ul p˘astreaz˘a asupra trecutului amintirea cea mai recent˘a, deci trecutul este ˆın ˆıntregime rezumat ˆın starea din ultimul moment cunoscut. Se poate demonstra echivalent¸a dintre condit¸ia (5.1) ¸si relat¸ia : ∀ t0 < t1 < . . . tn < tn+1 ∈ IR, P ({Xtn+1 = in+1 }|{Xtn = in , . . . , Xt0 = i0 }) = P ({Xtn+1 = in+1 }|{Xtn = in }).

(5.2)

Relat¸ia (5.2) corespunde situat¸iei ˆın care schimbarea st˘arilor nu se face la momente echidistante de timp. Propozit¸ia 5.1.1 Dac˘ a {Xn }, n ∈ IN este un lant¸ Markov, are loc urm˘atoarea formul˘a de calcul: P ({Xn = in , . . . , X0 = i0 }) = pi0

n Y

P ({Xt = it }|{Xt−1 = it−1 }).

(5.3)

t=1

Demonstrat¸ie. Vom folosi probabilitatea unei intersect¸ii. P ({Xn = in , . . . , X0 = i0 }) = P ({X0 = i0 } ∩ {X1 = i1 } ∩ . . . ∩ {Xn = in }) = = P ({X0 = i0 })P ({X1 = i1 }|{X0 = i0 })P ({X2 = i2 }|{X1 = i1 , X0 = i0 }) . . . P ({Xn = in }|{Xn−1 = in−1 , . . . , X0 = i0 }) = = P ({X0 = i0 })P ({X1 = i1 }|{X0 = i0 })P ({X2 = i2 }|{X1 = i1 }) . . . . . . P ({Xn = in }|{Xn−1 = in−1 }). Ultima relat¸ie s-a obt¸inut folosind proprietatea Markov; scris˘a condensat este de fapt relat¸ia (5.3). Definit¸ia 5.1.3 Probabilit˘ a¸tile date de formula p(t, it−1 , it ) = P ({Xt = it }|{Xt−1 = it−1 }), t = 1, . . . n, se numesc probabilit˘a¸ti de trecere. Definit¸ia 5.1.4 Un lant¸ Markov se nume¸ste omogen dac˘ a p(t, it−1 , it ) nu depinde explicit de t, deci are loc p(t, it−1 , it ) = p(it−1 , it ) ˆ caz contrar, procesul se nume¸ste neomogen. In

Procese stochastice

193

Vom nota aceste probabilit˘a¸ti cu pit−1 ,it . Pentru un lant¸ Markov omogen, relat¸ia (5.3) devine n Y P ({Xt = it , . . . X0 = i0 }) = pi0 pit−1 ,it . (5.4) t=1

In cazul unui lant¸ Markov omogen, vom introduce notat¸ia pij = P ({Xt+1 = j}|{Xt = i}), i, j ∈ S.

(5.5)

Matricea P = (pi,j ) se nume¸ste matrice de trecere. Propozit¸ia 5.1.2 Matricea de trecere a unui lant¸ Markov omogen satisface relat¸iile :  ∀i, j ∈ S  pX ij > 0, . pij = 1, ∀i ∈ S  j∈S

Demonstrat¸[ ie. Prima afirmat¸ie este evident˘a. Pentru a doua s˘a observ˘am c˘a evenimentul sigur E = {Xt+1 = j} ¸si c˘a j∈S

1=P

[

!

!

{Xt+1 = j} |{Xt = i}

j∈S

=

X

P ({Xt+1 = j}|{Xt = i}) =

j∈S

X

pij .

j∈S

O matrice ce satisface aceste dou˘a propriet˘a¸ti se nume¸ste stochastic˘ a. Se poate u¸sor demonstra c˘a produsul a dou˘a matrice stochastice este o matrice stochastic˘a. Un lant¸ Markov este caracterizat de probabilit˘a¸tile init¸iale ¸si de trecere. Am v˘azut c˘a dac˘a se cunosc probabilit˘a¸tile init¸iale ¸si de trecere se pot determina pentru orice n, probabilit˘a¸tile care caracterizeaz˘a un lant¸ stochastic, adic˘a P ({Xt = it , Xt−1 = it−1 , . . . , X0 = i0 }), t = 0, 1, . . . , n. Reciproc, se poate demonstra c˘a dac˘a pi , i ∈ S, este un ¸sir cu propriet˘a¸tile X pi > 0 , pi = 1 i∈S

¸si (pij ), i, j ∈ S, este o matrice cu propriet˘a¸tile : pij > 0 ,

X

pij = 1,

j∈S

atunci exist˘a un corp borelian ¸si un lant¸ Markov omogen, cu mult¸imea st˘arilor S, cu pi probabilit˘a¸ti init¸iale ¸si pij probabilit˘a¸ti de trecere.

194

Procese stochastice

Exemplul 5.1.1 Dou˘a urne au urm˘atoarea component¸a˘ : Ua are 4 bile albe ¸si 6 bile negre Un are 5 bile albe ¸si 5 bile negre Alegem la ˆıntˆamplare o urn˘a ¸si din ea o bil˘a, pe care o punem ˆınapoi ˆın urn˘a; dac˘a bila este alb˘a extragem urm˘atoarea bil˘a din Ua , iar dac˘a e neagr˘a din Un ¸si continu˘am procedeul. Este un exemplu de lant¸ Markov omogen, cu probabilit˘a¸tile init¸iale p1 = p2 = 12 , deoarece alegerea urnelor este egal probabil˘a; definim st˘arile S1 se extrage o bil˘a din urna Ua S2 se extrage o bil˘a din urna Un ¸si ilustr˘am prin urm˘atoarea diagram˘a: Matricea de trecere este

 P =

0, 4 0, 6 0, 5 0, 5

 .

Exemplul 5.1.2 Intr-o urn˘a sunt a bile albe ¸si b bile negre. Se efectueaz˘a un ¸sir infinit de extrageri astfel ˆıncˆat dup˘a fiecare extragere se pun ˆınapoi dou˘a bile de aceea¸si culoare cu cea extras˘a. Fie Xk num˘arul de bile la momentul k. Definim probabilit˘a¸tile de trecere  i   1 − , dac˘a j = i,   a+b+k     i P ({Xk+1 = j}|{Xk = i}) = , dac˘a j = i + 1,   a+b+k       0, dac˘a j 6= i, i + 1. Num˘arul de bile din urn˘a la momentul k+1 depinde numai de num˘arul de bile din urn˘a aflate la momentul k, nefiind necesar ˆıntreg istoricul. Probabilit˘a¸tile de trecere depind efectiv de momentul ˆın care s-a desf˘a¸surat extract¸ia, deci e un lant¸ Markov neomogen. Dat un lant¸ Markov omogen, ne propunem s˘a determin˘am probabilit˘a¸tile P ({Xn+m = j}|{Xm = i}), n ∈ IN , (n)

pe care le numim probabilit˘ a¸ti de trecere dup˘a n pa¸si. Definim prin recurent¸a˘ pij , dup˘a formulele  (1)  pij = pX ij (n+1) (n) (1) (5.6) = pik pkj n ∈ IN ∗ .  pij k∈S

Sub form˘a matriceal˘a, relat¸iile (5.6) devin: P (n) = P × . . . × P = P n .

Procese stochastice

195

Propozit¸ia 5.1.3 Pentru orice n ∈ IN are loc (n)

pij = P ({Xn+m = j}|{Xm = i}), m ∈ IN .

(5.7)

Demonstrat¸ie. Vom demonstra prin induct¸ie. Observ˘am c˘a pentru n = 1, g˘asim definit¸ia probabilit˘a¸tilor de trecere date de (5.5). Presupunem c˘a (5.7) are loc pentru n ∈ IN ¸si s˘a determin˘am X P ({Xn+1+m = j}|{Xm = i}) = P ({Xn+m+1 = j, Xn+m = k}|{Xm = i}), k∈S

aceasta deoarece {Xn+m = k}, k ∈ S, formeaz˘a un sistem complet de evenimente ¸si are loc formula probabilit˘a¸tii totale (vezi Exemplul 6.6, Capitolul 1). Aplicˆand ˆın continuare formula probabilit˘a¸tii condit¸ionate ¸si proprietatea Markov, ultimul membru este X P ({Xn+1+m = j, Xn+m = k}|{Xm = i}) = k∈S

=

X P ({Xn+m+1 = j} ∩ {Xn+m = k} ∩ {Xm = i}) = P ({Xm = i}) k∈S

=

X P ({Xn+m+1 = j} ∩ {Xn+m = k} ∩ {Xm = i}) · P ({X n+m = k} ∩ {Xm = i}) k∈S P ({Xn+m = k} ∩ {Xm = i}) = P ({Xm = i})

=

X

P ({Xn+m+1 = j}|{Xn+m = k, Xm = i})P ({Xn+m = k}|{Xm = i})

k∈S

=

X

P ({Xn+m+1 = j}|{Xn+m = k})P ({Xn+m = k}|{Xm = i}) =

k∈S

=

X

p1kj P ({Xn+m = k}|{Xm = i}).

k∈S

Folosind ipoteza inductiv˘a ultimul membru este X (n) (1) (n+1) pik pkj = pij . k∈S

Deci afirmat¸ia este dovedit˘a. Dac˘a ˆıntr-un lant¸ Markov omogen se cunosc probabilit˘a¸tile init¸iale ¸si matricea de trecere, atunci probabilitatea ca la momentul n ∈ IN sistemul s˘a se afle ˆın starea i, i ∈ S, probabilitate pe care o vom nota pi (n), este dat˘a de formula pi (n) =

X j∈S

pj (n − 1)pji .

(5.8)

196

Procese stochastice

ˆIntr-adev˘ar, la momentul n pi (n) = P ({Xn = i}) = P

{Xn = i} ∩

[

!! {Xn−1 = j}

=

j∈S

=P

[

! ({Xn = i} ∩ {Xn−1 = j})

=

X

j∈S

P ({Xn−1 = j})P ({Xn = i}|{Xn−1 = j})

j∈S

=

X

pj (n − 1)pji .

j∈S

Exemplul 5.1.3 Un calculator poate fi privit ca un sistem S care se poate afla ˆıntr-una din urm˘atoarele st˘ari: S1 calculatorul funct¸ioneaz˘a normal; S2 calculatorul prezint˘a unele deregl˘ari, dar poate executa programe; S3 calculatorul prezint˘a unele deregl˘ari ¸si rezolv˘a un num˘ar limitat de probleme; S4 calculatorul nu funct¸ioneaz˘a. La momentul init¸ial calculatorul funct¸ioneaz˘a, deci se afl˘a ˆın starea S1 cu probabilitatea 1 ¸si se poate presupune c˘a el trece ˆın celelalte st˘ari cu probabilit˘a¸tile indicate de urm˘atoarea schem˘a Deci matricea de trecere este  0, 3 0, 4 0, 1 0, 2  0 0, 2 0, 5 0, 3  . P =  0 0 0, 4 0, 6  0 0 0 1 

S˘a determin˘am probabilit˘a¸tile st˘arilor la momentul n = 2. Deoarece la momentul init¸ial calculatorul funct¸ioneaz˘a, probabilit˘a¸tile init¸iale sunt p1 = 1, p2 = p3 = p4 = 0. Folosind (5.8) g˘asim p1 (1) = 0, 3; p2 (1) = 0, 4; p3 (1) = 0, 1; p4 (1) = 0, 2 ¸si p1 (2) = 0, 09; p2 (2) = 0, 2; p3 (2) = 0, 27; p4 (2) = 0, 44. Propozit¸ia 5.1.4 Pentru orice m, n ∈ IN are loc (m+n)

pij

=

X k∈S

(n) (m)

pik pkj .

(5.9)

Procese stochastice

197

Demonstrat¸ie. Demonstr˘am prin induct¸ie dup˘a m. Pentru m = 1 reg˘asim (5.7). Inlocuind m cu m + 1, s˘a evalu˘am ! X X X (n+m+1) (n+m) (1) (n) (m) (1) pij = pik pkj = pil plk pkj = k∈S

=

X l∈S

k∈S

(n)

pil

X k∈S

(m) (1)

plk pkj =

l∈S

X

(n) (m+1)

pil plj

.

l∈S

Relat¸ia (5.9) se nume¸ste relat¸ia Chapman-Kolmogorov. Matriceal ea se scrie P (m+n) = P (m) P (n) . Cu ajutorul matricei de trecere putem exprima probabilitatea aparit¸iei unor st˘ari la momente nesuccesive. Exemplul 5.1.4 Dac˘a avem un lant¸ Markov omogen cu matricea de trecere P , s˘a determin˘am P ({X10 = l, X8 = k, X5 = j}|{X1 = i}). Folosind formula probabilit˘a¸tii unei intersect¸ii ¸si proprietatea Markov, avem P ({X10 = l, X8 = k, X5 = j, X1 = i}) = P ({X1 = i}) =

P ({X1 = i})P ({X5 = j}|{X1 = i})P ({X8 = k}|{X5 = j})P ({X10 = l}|{X8 = k}) = P ({X1 = i}) (4) (3) (2)

= pij pjk pkl .

198

Procese stochastice

Exemple de lant¸uri Markov omogene. Exemplul 5.1.5 Mers la ˆıntˆamplare pe segmentul [0, l] [11]. a. cu bariere absorbante; o particul˘a se deplaseaz˘a pe o ax˘a orientat˘a ocupˆand doar punctele de abscis˘a 0, 1, . . . l. La fiecare moment particula r˘amˆane imobil˘a dac˘a se afl˘a ˆıntr-unul din punctele 0 sau l ¸si face un pas la dreapta cu probabilitatea p sau la stˆanga cu probabilitatea q. Matricea de trecere este   1 0 0 ... 0 0 0  q 0 p ... 0 0 0     P =  ... ... ... ... ... ... ... .  0 0 0 ... q 0 p  0 0 0 ... 0 0 1 b. cu bariere reflectante; dac˘a particula ajunge respectiv l − 1. Matricea de trecere este  0 1 0 ... 0  q 0 p ... 0   P =  ... ... ... ... ...  0 0 0 ... q 0 0 0 ... 0

ˆın 0 sau l, este ”reflectat˘a” ˆın 1, 0 0 ... 0 1

0 0 ... p 0

   .  

Exemplul 5.1.6 Un model din teoria a¸stept˘arii [11]. O ”stat¸ie” de deservire poate servi client¸ii la momentele 0, 1, 2, . . .. Num˘arul de client¸i care sosesc ˆın intervalul (n, n + 1) este o variabil˘a aleatoare notat˘a Xn . Presupunem c˘a Xn sunt variabile aleatoare independente ¸si identic repartizate  Xn :

k pk

+∞ , k=0

∞ X

pk = 1

k=0

¸si c˘a exist˘a un loc de a¸steptare pentru cel mult m client¸i, num˘ar ˆın care se include ¸si clientul care este servit. Client¸ii care ajung ˆın stat¸ie ¸si g˘asesc m client¸i, pleac˘a f˘ar˘a a fi servit¸i. Fie Yn num˘arul de client¸i prezent¸i la momentul n, ˆın care se include ¸si clientul care este servit. Yn este un lant¸ Markov cu st˘arile 0, 1, . . . m. Yn+1 este egal cu num˘arul client¸ilor la momentul n, mai put¸in cel servit la momentul n (dac˘a exist˘a) plus num˘arul client¸ilor care sosesc ˆın intervalul (n, n + 1), dac˘a rezultatul nu dep˘a¸se¸ste m ¸si este egal cu m ˆın caz contrar. Deci  1 6 Yn 6 m, 0 6 Xn 6 m + 1 − Yn ,  Yn − 1 + Xn , dac˘a Xn , dac˘a Yn = 0, 0 6 Xn 6 m − 1, Yn+1 =  m, ˆın rest.

Procese stochastice

199

Deoarece Yn+1 depinde doar de Yn , iar variabilele aleatoare Xn ¸si Yn sunt independente, rezult˘a c˘a Yn este un lant¸ Markov. S˘a determin˘am matricea de trecere. Not˘am cu pm = pm + pm−1 + . . . p0j = P ({Yn+1 = j}|{Yn = 0)}  P ({Xn = j}) = pj , dac˘a 0 6 j 6 m − 1, = P ({Xn > m}) = pm , dac˘a j = m; pij = P ({Yn+1 = j}|{Yn = i}) =  dac˘a i − 1 6 j 6 m − 1,  P ({Xn = j + 1 − i}) = pj−i+1 , P ({Xn > m + 1 − i}) = pm+1−i , dac˘a j = m, =  0, ˆın rest. Rezult˘a matricea   p0 p1 p2 . . . pm−1 pm  p0 p1 p2 . . . pm−1 pm     0 p0 p1 . . . pm−2 pm−1    .  .. .. .. .. .. ..  . . . .  . .     0 0 0 . . . p1 p2 0 0 0 . . . p0 p1 Exemplul 5.1.7 Un model din teoria stocurilor. [11] O marf˘a este stocat˘a pentru a putea satisface cererile ˆıntˆampl˘atoare. Completarea eventual˘a a stocului se face la momentele 0, 1, 2, . . ., iar cererea ˆın intervalul (n, n + 1) este o variabil˘a aleatoare Xn , cu repartit¸ia  ∞ ∞ X k Xn : , pk = 1. pk k=0 k=0

Presupunem c˘a Xn sunt independente. Dac˘a la un moment oarecare n > 0 cantitatea de marf˘a stocat˘a nu este mai mare decˆat m unit˘a¸ti, atunci se procur˘a instantaneu o cantitate de marf˘a care ridic˘a stocul la M unit˘a¸ti, M ∈ IN . Dac˘a ˆıns˘a cantitatea de marf˘a dep˘a¸se¸ste m unit˘a¸ti, atunci nu se ˆıntreprinde nimic. Fie Yn stocul imediat ˆınainte de reˆımprosp˘atarea eventual˘a de la momentul n. Observ˘am c˘a  max{Yn − Xn , 0}, dac˘a m < Yn 6 M, Yn+1 = max{M − Xn , 0}, dac˘a Yn 6 m. Se arat˘a c˘a Yn este un  pM  pM  .  .  .   pM   pm+1   pm+2  .  .. pM

lant¸ Markov cu matricea de trecere pM −1 . . . pM −m pM −1 . . . pM −m .. .. .. . . . pM −1 . . . pM −m pm . . . p1 pm+1 . . . p2 .. .. .. . . . pM −1 . . . pM −m

 pM −m−1 pM −m−2 . . . p0 pM −m−1 pM −m−2 . . . p0  .. .. .. ..   . . . .   pM −m−1 pM −m−2 . . . p0  . p0 0 ... 0   p1 p0 ... 0  .. .. .. ..  . . . .  pM −m−1 pM −m−2 . . . p0

200

Procese stochastice

(Matricea are primele m linii identice). S-a folosit notat¸ia pl = pl + pl+1 + . . . , dac˘a m < l 6 M. Dat un lant¸ Markov omogen ne intereseaz˘a comportarea la limit˘a a probabilit˘a¸tilor de (n) trecere peste n pa¸si pij . (n)

Definit¸ia 5.1.5 Dac˘a pentru orice i, j ∈ S ¸sirul pij n ∈ IN este convergent independent de i, lant¸ul Xn se nume¸ste ergodic. Teorema 5.1.1 (Teorem˘a de ergodicitate). Fie (Xn ), n ∈ IN , un lant¸ Markov cu matricea de trecere P = (pij ), i, j ∈ S. Urm˘atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: (s) 1. exist˘a s ∈ IN ∗ ¸si o stare j0 ∈ S astfel ˆıncˆ at pij0 > 0 ∀i ∈ S; (n)

2. exist˘a lim pij = p∞ , j ∈ S, ∀i ∈ S. j n→∞

Demonstrat¸ie. 2. =⇒ 1. Afirmat¸ia este imediat˘a; observ˘am c˘a X X (n) p∞ = lim pij = 1. j n→∞

j∈S

j∈S

Exist˘a deci j0 ∈ S astfel ˆıncˆat p∞ sirului j0 > 0, deci de la un rang s termenii ¸ (s)

pij0 > 0, ∀i ∈ S. 1. =⇒ 2. Pentru orice j ∈ S s˘a consider˘am ¸sirurile (n)

pj (n)

Ar˘at˘am c˘a pj

(n)

(n)

pj(n) = min pij .

= max pij ,

i∈S

i∈S

(5.10)

este necresc˘ator; ˆıntr-adev˘ar folosind (5.6) (n+1)

pij

=

X

(1) (n)

(n)

pil plj 6 pj

l∈S

X

(1)

(n)

pil = pj

, ∀i ∈ S,

l∈S

deci

(n+1)

pj

(n)

6 pj .

Analog rezult˘a c˘a pj(n) este nedescresc˘ator, deci p(n+1) > p(n) . j j (n)

Deoarece cele dou˘a ¸siruri sunt ¸si m˘arginite (1 > pj not˘am

> p(n) > 0) ele sunt convergente; s˘a j

(n)

∞ (n) p∞ j = lim pj , pj = lim pj . n→∞

n→∞

Procese stochastice

201

R˘amˆane s˘a mai ar˘at˘am c˘a p∞ = p∞ a demonstr˘am c˘a j . Pentru aceasta s˘ j (n)

(n)

lim max |pij − plj | = 0.

n→∞ i,l∈S

Folosind relat¸ia (5.6), pentru n > s, cu s dat din ipoteza 1 X (s) (n−s) (n) pij = pir prj , r∈S

rezult˘a

(n)

(n)

pij − plj =

X (s) X (s) (n−s) (n−s) (pir − plr )prj = uil (r)prj , r∈S

r∈S

(s) pir

(s) plr .

unde am introdus notat¸ia uil = − S˘a not˘am cu S + mult¸imea acelor st˘ari din S − pentru care uil (r) > 0 ¸si cu S mult¸imea acelor st˘ari din S pentru care uil (r) < 0. Avem evident S = S + ∪ S − . Deoarece X (s) X (s) pir = plr = 1, r∈S

rezult˘a c˘a

X

uil (r) =

r∈S

deci

r∈S

X

uil (r) +

r∈S +

X

uil (r) = 0,

r∈S −

uil =

r∈S +

S˘a demonstr˘am c˘a are loc

X

X

|uil (r)|.

r∈S −

X

uil (r) < 1.

(5.11)

r∈S +

Presupunem c˘a starea j0 din ipoteza 1 apart¸ine lui S + ; atunci X (s) X (s) X (s) X (s) uil (r) = (pir − plr ) = pir − plr 6 r∈S +

r∈S +

61− (s)

deoarece 0 < plj0 6

X

r∈S +

X

(s)

r∈S +

(s)

plr 6 1 − plj0 < 1

r∈S + (s)

plr . Aceea¸si evaluare se obt¸ine dup˘a un rat¸ionament analog ˆın

r∈S +

cazul ˆın care j0 ∈ S − . Deoarece (5.11) are loc pentru orice i, l ∈ S, rezult˘a X u = sup uil (r) < 1. i,l∈S

r∈S +

Revenim la suma ce trebuia majorat˘a ¸si folosim (5.10) X X (n) (n) (n−s) (n−s) pij − plj = uil (r)prj − |uil (r)|prj 6 r∈S +

r∈S −

202

Procese stochastice 6

X

(n−s)

uil (r)pj

r∈S +

−

X

(n−s)

uil (r)p(n−s) 6 u(pj j

− p(n−s) ). j

r∈S −

Cum inegalitatea are loc pentru orice i, l ∈ S, rezult˘a c˘a (n)

(n−s)

pj − p(n) 6 u(pj j

− p(n−s) ). j

Aplicˆand aceast˘a inegalitate de [ ns ] ori, unde [ ], semnific˘a partea ˆıntreag˘a a num˘arului ns , deducem c˘a n (n) (n) sup |pij − plj | = |pj − pj | 6 u[ s ] i,l∈S

iar

n lim u[ s ] = 0.

n→∞

De aici rezult˘a c˘a

(n)

pj = pj = lim pij n→∞

¸si aceast˘a limit˘a o not˘am p∞ j . Important¸a acestei teoreme este ˆınsemnat˘a, deoarece pe baza ei putem analiza stabilitatea ˆın timp a unor procese aleatoare. Exemplul 5.1.8 Consider˘am urm˘atorul proces Markov: mult¸imea st˘arilor are 3 elemente ¸si dac˘a la un moment dat este luat˘a o anumit˘a stare, la momentul urm˘ator se trece ˆın oricare din celelalte dou˘a cu aceea¸si probabilitate. Matricea de trecere este evident   0 21 12    1  1   P =  2 0 2 .   1 1 0 2 2 Observ˘am c˘a

   P =   2

1 2

1 4

1 4

1 4

1 2

1 4

1 4

1 4

1 2

     

satisface condit¸ia 1 din teorema precedent˘a, pe care o vom numi condit¸ie de ergodicitate. Fiind matrice simetric˘a ea admite valorile proprii reale λ1 = 1, λ2,3 = − 12 ¸si forma diagonal˘a   1 0 0 D =  0 − 21 0  . 0 0 − 21 Fie S matricea ortogonal˘a de schimbare de baz˘a, care are forma  1  1 1 √

   S=  

√ 2

√

√1 3

− √12

√1 6

√1 3

0

√2 6

3

6

   .  

Procese stochastice

203

Ridicˆand la puterea n matricea P = SDS t , rezult˘a  1 1   n lim P =   n→∞ 

3

3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

   .  

Mai sus s-a folosit faptul c˘a Dn are pe diagonal˘a puterea a n -a a elementelor de pe diagonala lui D. Deci dup˘a un num˘ar foarte mare de pa¸si se poate presupune c˘a fiecare stare este luat˘a cu acelea¸si ¸sanse. Exemplul 5.1.9 Fie un lant¸ Markov cu dou˘a st˘ari ¸si diagrama asociat˘a ˆın Figura 5.3. Obsev˘am c˘a matricea de tranzit¸ie este de forma 

1−α α β 1−β

 .

S˘a studiem comportarea la limit˘a a matricei de tranzit¸ie. Putem scrie     1 1−α−β β α α −α P = + . −β β α+β β α α+β Se constat˘a u¸sor c˘a 1 P = α+β n



β α β α



(1 − α − β)n + α+β



α −α −β β

 .

Matricea de tranzit¸ie dup˘a n pa¸si tinde pentru n → +∞ la   1 β α . α+β β α Dac˘a cele dou˘a st˘ari sunt luate init¸ial cu probabilit˘a¸tile p0 , 1 − p0 , se constat˘a c˘a pentru β α , α+β . Deci dup˘a un num˘ar foarte mare de pa¸si n → +∞ probabilit˘a¸tile de stare sunt α+β probabilit˘a¸tile nu depind de starea init¸ial˘a. Dac˘a analiz˘am mersul la ˆıntˆamplare cu bariere absorbante, pentru l = 2, g˘asim   1 0 0 P = q 0 p  0 0 1 iar P n = P, ∀n ∈ IN . Observ˘am c˘a nu este ˆın deplinit˘a condit¸ia de ergodicitate; se poate totu¸si aprecia c˘a la un num˘ar foarte mare de pa¸si particula r˘amˆane imobil˘a, fiind absorbit˘a de bariere.

204

5.2

Procese stochastice

Procese Markov continue. Procese Poisson

Procese Poisson. ˆIn unele situat¸ii practice, f˘acˆand observat¸ii asupra unui eveniment aleator ne poate interesa de cˆate ori s-a produs acesta ˆıntr-un interval de timp ; de exemplu num˘arul de impulsuri care apar la o central˘a telefonic˘a ˆıntr-un interval de timp, num˘arul de ”client¸i” care solicit˘a un produs ˆıntr-o ”stat¸ie de deservire”, num˘arul de vehicule care traverseaz˘a un pod, etc. Pentru orice t ∈ IR, not˘am cu X(t) num˘arul de produceri ale evenimentului ˆın intervalul (0, t); evident variabila aleatoare X(t) ia valori ˆın IN . Facem urm˘atoarele presupuneri: 1. observat¸iile ˆıncep la momentul init¸ial t = 0, deci X(0) = 0; 2. pentru orice momente de timp 0 < t1 < t2 < t3 < t4 , variabilele aleatoare X(t2 ) − X(t1 ) ¸si X(t4 ) − X(t3 ) sunt independente (proces cu cre¸steri independente); 3. repartit¸ia variabilei aleatoare X(t + s) − X(t), t > 0, s > 0, depinde doar de s, lungimea intervalului ¸si nu de t; 4. probabilitatea ca un singur eveniment s˘a se produc˘a ˆın intervalul (t, t + ∆t), pentru ∆t suficient de mic este aproximativ proport¸ional˘a cu lungimea intervalului, deci de forma λ∆t + o(∆t). Probabilitatea ca mai mult de un eveniment s˘a se produc˘a ˆın intervalul (t, t + ∆t) este o(∆t).(Prin o(∆t)s-a notat o cantitate ce depinde doar de ∆t ce satisface o(∆t) lim = 0.) Not˘am pk (t) = P ({X(t) = k}). Fie ∆t suficient de mic; la momentul ∆t→0 ∆t t + ∆t, X(t) ia valoarea k ˆın urm˘atoarele dou˘a moduri: a. X(t) = k ¸si nici un eveniment nu se produce ˆın intervalul (t, t + ∆t); b. X(t) = k − 1 ¸si un eveniment se produce ˆın (t, t + ∆t). Deoarece din ipoteza 2, variabilele aleatoare X(t + ∆t) − X(t) ¸si X(t) sunt independente, probabilitatea evenimentului dat de a este pk (t)(1 − λ∆t), iar cea a evenimentului dat de b este pk−1 (t)λ∆t ¸si cum evenimentele de la a ¸si b sunt independente pk (t + ∆t) = pk (t)(1 − λ∆t) + pk−1 (t)λ∆t. Relat¸ia se scrie sub forma echivalent˘a pk (t + ∆t) − pk (t) = −λpk (t) + λpk−1 (t) k = 1, 2, 3 . . . ∆t Cˆand ∆t → 0, g˘asim ecuat¸ia diferent¸ial˘a p0k (t) = −λpk (t) + λpk−1 (t).

(5.12)

Pentru k = 0, p−1 (t) = 0 ¸si ecuat¸ia (5.12) devine p00 (t) = −λp0 (t) cu solut¸ia evident˘a p0 (t) = Ae−λt . Din ipoteza 1 avem condit¸ia init¸ial˘a X(0) = 0, care determin˘a ˆın mod unic solut¸ia p0 (t) = e−λt .

Procese stochastice

205

Pentru k = 1, ecuat¸ia (5.12) devine p01 (t) = −λp1 (t) + λe−λt , care este o ecuat¸ie liniar˘a cu solut¸ia p1 (t) = λte−λt . Procedˆand recursiv ˆın acest mod, g˘asim (λt)k −λt e , k = 0, 1, 2. . . . k! Constat˘am c˘a pentru fiecare t ∈ IR, X(t) este o variabil˘a aleatoare repartizat˘a Poisson cu parametru λt. pk (t) =

Matricea de tranzit¸ie cu un pas. (λt)j−i −λt e , j > i. pij (t) = P ({j − i evenimente au loc ˆın t secunde}) = (j − i)! Matricea P este   2 −λt e−λt λte−λt (λt)2!e ...   . P (t) =  −λt −λt  0 e λte ...  ... ... ... ... Intervalul aleator dintre dou˘ a evenimente succesive ˆıntr-un proces Poisson. Dac˘a ˆın cadrul unui proces Poisson un eveniment se produce la momentul t, iar urm˘atorul la momentul t + τ , τ este o variabil˘a aleatoare. S˘a-i determin˘am densitatea de probabilitate. Pentru aceasta determin˘am mai ˆıntˆai funct¸ia de repartit¸ie. Avem P ({τ > x}) = e−λx . {τ > x} exprim˘a faptul c˘a nici un eveniment nu are loc ˆın intervalul (t, t+x). Deci funct¸ia de repartit¸ie este 1 − λe−λx , x > 0, iar prin derivare g˘asim f (x) = λe−λx , x > 0, care este repartit¸ia exponent¸ial˘a. Aceast˘a densitate caracterizeaz˘a intervalul aleator de timp dintre dou˘a produceri succesive de evenimente ale unui proces Poisson. S˘a observ˘am c˘a P ({τ > t + t0 }|{τ > t0 }) = Z

∞

λ =

P ({τ > t0 + t}) = P ({τ > t0 })

e−λs ds

+t Zt0∞ = e−λt = P ({τ > t}), λ e−λs ds t0

ceea ce semnific˘a faptul c˘a procesul Poisson este un proces Markov. Observ˘am c˘a probabilitatea ca ˆın intervalul (0, t) s˘a se produc˘a exact un eveniment este λte−λt , deoarece este urmat˘a o lege Poisson cu parametrul λt.

206

Procese stochastice

Exemplul 5.2.1 Impulsurile care se recept¸ioneaz˘a la o stat¸ie se primesc cu rata de 15 pe minut. S˘a determin˘am probabilitatea ca ˆıntr-un minut s˘a se recept¸ioneze 5 impulsuri astfel: 3 impulsuri s˘a ajung˘a ˆın primele 10 secunde ¸si 2 impulsuri ˆın ultimile 15 secunde. 15 Obt¸inem λ = 60 = 14 ¸si P ({X(10) = 3, X(60) − X(45) = 2}) = P ({X(10) = 3})P ({X(60) − X(45) = 2}) = = P ({X(10) = 3})P ({X(60 − 45) = 2}) =

2 − 15 10 3 − 10 e 4 15 e 4 4 4

3!

2!

.

Momentul de producere al unui eveniment ˆıntr-un proces Poisson. Ne intereseaz˘a, pe de alt˘a parte, urm˘atorul eveniment: ¸stiind c˘a ˆın intervalul (0, t) s-a produs exact un eveniment, ce densitate de probabilitate are momentul de producere, pe care ˆıl not˘am cu s, 0 6 s 6 t. s este o variabil˘a aleatoare continu˘a a c˘arei densitate de probabilitate o not˘am cu g. S˘a determin˘am funct¸ia de repartit¸ie. F (s) = P ({X(s) = 1}|{X(t) = 1}) =

P ({X(s) = 1, X(t) = 1}) = P ({X(t) = 1})

P ({X(s) = 1, X(t) − X(s) = 0}) P ({X(s) = 1, X(t − s) = 0} e−λs λse−λ(t−s) s = = = . −λt P ({X(t) = 1}) P {X(t) = 1}) e (λt) t Densitatea de probabilitate este atunci g(s) =

1 , 0 6 s 6 t, t

care este densitatea de probabilitate a repartit¸iei uniforme; deci producerea ˆın intervalul (0, t) a unui singur eveniment se face dup˘a legea uniform˘a. Exemplul 5.2.2 Doi client¸i ajung la o stat¸ie ˆıntr-o perioad˘a de dou˘a minute. S˘a determin˘am probabilitatea ca ambii s˘a ajung˘a ˆın primul minut. Timpii fiind repartizat¸i uniform ¸si independent, rezult˘a c˘a probabilitatea este 14 . Timpul la care s-a produs evenimentul n ˆıntr-un proces Poisson. Aparit¸ia unui ”client” la o ”stat¸ie de deservire” este supus legii Poisson cu parametrul λ. Dac˘a stat¸ia se ˆınchide dup˘a aparit¸ia clientului n s˘a determin˘am densitatea de probabilitate pentru timpul T ˆın care stat¸ia r˘amˆane deschis˘a. Fie Ti timpul dintre sosirea clientului i − 1 ¸si a clientului i (T1 este timpul de la deschidere pˆan˘a la sosirea primului client). Avem deci T = T1 + . . . + Tn , unde {T < t} semnific˘a faptul c˘a stat¸ia s-a ˆınchis pˆan˘a la momentul t, deci au ap˘arut cel put¸in n client¸i, iar probabilitatea este dat˘a de legea Poisson cu parametrul λt P ({T < t}) =

∞ X (λt)k k=n

k!

e−λt .

Procese stochastice

207

Prin derivare g˘asim fT (t) =

∞  X k=n

(λt)k−1 λ(λt)k λk − k! k!

 e−λt =

λ(λt)n−1 −λt e (n − 1)!

care este o densitate de probabilitate pentru variabila numit˘a repartit¸ia Erlang. Exemplul 5.2.3 Num˘arul de semnale emise de un radar este un proces Poisson cu parametrul λ. Dac˘a n semnale au fost observate ˆın intervalul (0, t) s˘a determin˘am probabilitatea evenimentului {k particule au fost emise ˆın (0, τ )} cu τ < t. P ({k semnale emise ˆın (0, τ ) | n semnale emise ˆın (0, t)}) = =

P ({k semnale emise ˆın (0, τ ) ¸si n − k semnale emise ˆın (τ, t)}) = P ({n semnale emise ˆın (0, t)}) =

e−λτ (λτ )k e−λ(t−τ ) (λ(t−τ ))n−k k! (n−k)! (λt)n −λt e n!

= Cnk

 τ k  t

1−

τ n−k . t

Exemplul 5.2.4 Semnalul telegrafic aleator. Fie T (t) un proces care ia st˘arile ±1 cu aceea¸si probabilitate la momentul init¸ial. T (t) ˆı¸si schimb˘a polaritatea odat˘a cu sosirea unui semnal dintr-un proces Poisson cu parametrul α. Reprezent˘am o traiectorie ˆın Figura 5.4. S˘a calcul˘am probabilit˘a¸tile evenimentelor {T (t) = ±1}. Ne ocup˘am pentru ˆınceput de evenimentul {T (t) = 1}. Folosind formula probabilit˘a¸tii totale avem P ({T (t) = 1}) = P ({T (t) = 1}|{T (0) = 1})P ({T (0) = 1})+ +P ({T (t) = 1}|{T (0) = −1})P ({T (0) = −1}). Calcul˘am probabilit˘a¸tile condit¸ionate. Not˘am cu A = { ˆın intervalul (0, t) se produce un num˘ar par de schimb˘ari } ¸si cu B = { ˆın intervalul (0, t) se produce un num˘ar impar de schimb˘ari } P ({T (t) = 1}|{T (0) = 1}) = P (A) =

+∞ X (λt)2j j=0

(2j)!

eλt =

e−λt λt (e + e−λt ) = 2

1 = (1 + e−2λt ). 2 1 P ({T (t) = 1}|{T (0) = −1}) = P (B) = (1 − e−2λt ). 2 1 Deoarece P ({T (0) = 1}) = P ({T (0) = −1}) = 2 , rezult˘a dup˘a ˆınlocuiri c˘a evenimentele {T (t) = ±1} au probabilitatea 12 .

208

Procese stochastice

Procese de na¸stere-moarte. Vom modela ˆın continuare urm˘atoarea situat¸ie practic˘a ce apare ˆın teoria a¸stept˘arii. Consider˘am un sistem format dintr-un ”fir de a¸steptare” format˘a din n ”client¸i” ¸si o persoan˘a care serve¸ste. Spunem c˘a sistemul se afl˘a ˆın starea Sn dac˘a sunt n ”client¸i” la coad˘a, inclusiv cel servit (dac˘a exist˘a). Din starea Sn sunt posibile doar dou˘a tranzit¸ii: - la starea Sn−1 dac˘a un client a fost servit ¸si p˘ar˘ase¸ste coada; - la starea Sn+1 dac˘a un client este ˆınc˘a servit ˆın timp ce un nou client se a¸seaz˘a la coad˘a. Consider˘am un proces care descrie comportarea cozii ˆın timp. La momentul t, dac˘a sistemul precedent se afl˘a ˆın starea Sn , vom nota X(t) = n. Se obt¸ine astfel un proces Markov. Facem urm˘atoarele ipoteze: 1. Dac˘a sistemul este ˆın starea Sn , poate realiza tranzit¸ii la Sn−1 sau la Sn+1 , n > 1 (de la S0 este posibil˘a doar S1 ). 2. Probabilitatea unei tranzit¸ii Sn → Sn+1 ˆıntr-un interval scurt ∆t este αn ∆t parametrul αn se nume¸ste parametru de ”na¸stere”¸si facem ipoteza c˘a depinde de starea Sn . 3. Probabilitatea unei tranzit¸ii Sn → Sn−1 ˆıntr-un interval de lungime ∆t este βn ∆t parametru βn se nume¸ste parametru de ”moarte”. Probabilitatea ca ˆın intervalul (t, t + ∆t) s˘a aib˘a loc mai mult de o tranzit¸ie este 0. Sistemul se afl˘a ˆın starea Sn la momentul t + ∆t ˆın urm˘atoarele situat¸ii: a. La momentul t se afl˘a ˆın starea Sn ¸si nici o tranzit¸ie nu are loc ˆın intervalul (t, t+∆t) cu probabilitatea (1 − αn ∆t)(1 − βn ∆t), care poate fi aproximat˘a cu 1 − αn ∆t − βn ∆t. b. Fiind ˆın starea Sn−1 la momentul t are loc o tranzit¸ie la starea Sn ˆın intervalul (t, t + ∆t) cu probabilitatea αn−1 ∆t. c. La momentul t sistemul se afl˘a ˆın starea Sn+1 ¸si o tranzit¸ie la starea Sn are loc ˆın (t, t + ∆t) cu probabilitatea βn+1 ∆t. Not˘am Pn (t) = P ({ X(t) se afl˘a ˆın starea Sn }) ¸si facem ipoteza c˘a c˘a Pn (t) este o funct¸ie derivabil˘a cu derivat˘a continu˘a. Atunci Pn (t + ∆t) = Pn (t)(1 − αn ∆t − βn ∆t) + αn−1 ∆tPn−1 (t) + βn+1 ∆tPn+1 (t), n > 1, P0 (t + ∆t) = P0 (t)(1 − α0 ∆t) + β1 ∆tP1 (t). Imp˘art¸ind prin ∆t Pn (t + ∆t) − Pn (t) = −(αn + βn )Pn (t) + αn−1 Pn−1 (t) + βn+1 Pn+1 (t), n > 1, ∆t P0 (t + ∆t) − P0 ∆t = −α0 P0 (t) + β1 P1 (t). ∆t Dac˘a ∆t → 0, obt¸inem Pn0 (t) = −(αn + βn )Pn (t) + αn−1 Pn−1 (t) + βn+1 Pn+1 (t), P00 (t) = −α0 P0 (t) + β1 P1 (t).

n > 1,

Procese stochastice

209

Vom da solut¸ii pentru aceste ecuat¸ii diferent¸iale ˆın cazul ˆın care Pn (t) nu depinde de t; ˆın acest caz sistemul precedent devine  (αn + βn )Pn = αn−1 Pn−1 + βn+1 Pn+1 , n > 1, α0 P0 = β1 P1 , ¸si se rezolv˘a prin recurent¸a˘. Se obt¸ine solut¸ia α0 P0 β1 α0 α1 = P0 β1 β2

P1 =

P2 . .. . α0 α1 . . . αn−1 P0 Pn = β1 β2 . . . β n Deoarece sistemul trebuie s˘a se afle ˆıntr-o stare, suma probabilit˘a¸tilor precedente trebuie s˘a fie 1, deci   α0 α0 α1 P0 1 + + + . . . = 1. β1 β1 β2 Exemplul 5.2.5 Intr-o ”stat¸ie” sosesc ”client¸i” dup˘a legea Poisson cu parametrul λ, iar timpul de servire este o lege exponent¸ial˘a cu parametrul pozitiv µ, 0 < λ < µ. Dac˘a este aglomerat¸ie se formeaz˘a o coad˘a, iar starea sistemului la momentul X(t) este un proces de na¸stere -moarte cu parametrii αn = λ ¸si βn = µ. Particularizˆand ecuat¸iile precedente ¸si notˆand ρ = µλ g˘asim λ P1 = P0 µ   2 λ P0 = ρ2 P0 P2 = µ . .. .  n λ Pn = P0 = ρn P0 µ Punem condit¸ia

1 = 1, ρ < 1. 1−ρ De aici rezult˘a P0 = 1 − ρ. Deducem Pn = (1 − ρ)ρn , pentru n = 0, 1, . . ., care este repartit¸ia geometric˘a.S˘a particulariz˘am aceast˘a situat¸ie. Pentru a evita aglomerat¸ia dintr-o stat¸ie de deservire, client¸ii a¸sezat¸i la coad˘a ar trebui s˘a nu dep˘a¸seasc˘a num˘arul 5, cu probabilitatea 0,99. Sosirile au loc dup˘a o lege Poisson cu parametrul λ = 1, 5 client¸i pe minut. Dac˘a deservirea se face dup˘a o lege exponent¸ial˘a, cˆat de repede trebuiesc ace¸stia servit¸i ? S˘a determin˘am deci µ. Probabilitatea ca cel put¸in 5 client¸i s˘a fie la coad˘a este P0 (1 + ρ + ρ2 + . . .) = P0

p=

∞ X n=5

(1 − ρ)ρn = ρ5 ; ρ =

λ . µ

210

Procese stochastice

Pentru ca aceast˘a probabilitate s˘a fie 1-0,99 =0,01, punem condit¸ia ρ5 6 0, 1 de unde g˘asim µ > 9, 12. Deci ar trebui servit¸i cel put¸in 10 client¸i ˆın medie pe minut pentru a evita aglomerat¸ia.

5.3

Procese stochastice stat¸ionare

ˆIn unele situat¸ii st˘arile precedente ale unui sistem exercit˘a un puternic efect asupra st˘arilor viitoare. ˆIn general dac˘a procesele au fost considerate f˘ar˘a postact¸iune (procese Markov), se pot face unele corect˘ari ˆın alegerea st˘arilor. De exemplu, dac˘a consider˘am o schimbare ˆın pozit¸ia unei particule ˆın procesul de difuzie, considerat ca proces f˘ar˘a postact¸iune, aceasta ˆınseamn˘a c˘a se neglijeaz˘a inert¸ia particulei. Situat¸ia se poate corecta introducˆand ˆın conceptul de stare ¸si viteza particulei, al˘aturi de coordonatele pozit¸iei. ˆIn cazul cel mai general Hincin a izolat o clas˘a important˘a de procese stochastice cu postact¸iune, numite procese stat¸ionare. Acestea se ˆıntˆalnesc ˆın fenomenele acustice, teoria semnalelor etc. Fie {X(t)}, t > 0, un proces stochastic. Definit¸ia 5.3.1 Numim funct¸ie de repartit¸ie n−dimensional˘a funct¸ia dat˘a prin formula F (x1 , . . . , xn , t1 , . . . , tn ) = P ({X(t1 ) < x1 , . . . , X(tn ) < xn }) pentru orice t1 , . . . , tn , n ∈ IN . Presupunem c˘a funct¸ia de repartit¸ie n-dimensional˘a satisface urm˘atoarele dou˘a condit¸ii: -condit¸ia de simetrie F (xi1 , . . . , xin , ti1 , . . . , tin ) = F (x1 , . . . , xn , t1 , . . . , tn ),

(5.13)

pentru orice permutare i1 , . . . , in a mult¸imii 1, . . . , n, -condit¸ia de compatibilitate; dac˘a m < n F (x1 , . . . , xm , t1 , t2 , . . . , tm ) = = F (x1 , . . . , xm , ∞, . . . , ∞, t1 , . . . , tm , tm+1 , . . . , tn ), m + 1 6 j 6 n.

(5.14)

Kolmogorov a demonstrat c˘a aceste funct¸ii de repartit¸ie caracterizeaz˘a complet un proces stochastic, ˆın sensul c˘a dat˘a o familie de funct¸ii ce verific˘a condit¸iile 1-4, din Capitolul 3.3 ¸si satisface (5.13), (5.14), exist˘a un cˆamp borelian de probabilitate ¸si un proces stochastic care admite aceste funct¸ii, ca funct¸ii de repartit¸ie n-dimensionale (vezi [9]). Prin analogie cu cazul variabilelor aleatoare n-dimensionale, se poate introduce not¸iunea de densitate de probabilitate, care se va nota f (x1 , . . . , xm , t1 , t2 , . . . , tm ). Dac˘a procesul este cu valori discrete, analogul ˆıl constituie p(x1 , . . . , xm , t1 , t2 , . . . , tm ) = P ({X1 (t1 ) = x1 , X2 (t2 ) = x2 , . . . , Xn (tn ) = xn })

Procese stochastice

211

Exemplul 5.3.1 Fie Xn un lant¸ de variabile aleatoare identic, independent repartizate, cu p = 12 , atunci P ({X1 (t1 ) = x1 , X2 (t2 ) = x2 , . . . , Xn (tn ) = xn }) = 2−n . Valori caracteristice ale unui proces. Fie X(t) un proces aleator. Media mX (t) este definit˘a prin Z

+∞

mX (t) = M [X(t)] =

xf (x, t)dx, −∞

unde f (x, t) este densitatea de probabilitate a variabilei X(t). Autocorelat¸ia RX (t1 , t2 ) este definit˘a prin Z

+∞

Z

+∞

RX (t1 , t2 ) = M [X(t1 )X(t2 )] =

xyf (x, y, t1 , t2 )dxdy, −∞

−∞

unde f (x, y, t1 , t2 ) este densitatea de probabilitate de dimensiune doi a procesului. Autocovariant¸a CovX (t1 , t2 ) este definit˘a drept covariant¸a variabilelor X(t1 ) ¸si X(t2 ), CovX (t1 , t2 ) = M [(X(t1 ) − mX (t1 ))(X(t2 ) − mX (t2 ))]. Leg˘atura dintre cele dou˘a funct¸ii este imediat˘a ¸si const˘a ˆın CovX (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t2 ). Dispersia (variant¸a) lui X(t) este dat˘a de formula D2 [X(t)] = M [(X(t) − mX (t))2 ] = CovX (t, t). Coeficientul de corelat¸ie este definit de CovX (t1 , t2 ) p . CovX (t1 , t1 ) CovX (t2 , t2 )

ρX (t1 , t2 ) = p

Exemplul 5.3.2 Fie X(t) = A cos 2πt, unde A este o variabil˘a aleatoare. S˘a determin˘am valorile caracteristice. mX (t) = M [A cos 2πt] = M [A] cos 2πt; RX (t1 , t2 ) = M [A cos 2πt1 A cos 2πt2 ] = M [A2 ] cos 2πt1 cos 2πt2 ; CovX (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t2 ) = (M [A2 ] − M 2 [A]) cos 2πt1 cos 2πt2 = = D2 [A] cos 2πt1 cos 2πt2 .

212

Procese stochastice

Procese multiple. Dou˘a procese X(t), Y (t) se numesc independente dac˘a ∀ k, j ¸si orice alegere t1 , . . . , tk ¸si t01 , . . . t0j , variabilele aleatoare multidimensionale (X(t1 ), . . . , X(tk )) ¸si 0 0 (Y (t1 ), . . . Y (tj )) sunt independente. Corelat¸ia ˆıncruci¸sat˘ a RXY (t1 , t2 ) este definit˘a prin RXY (t1 , t2 ) = M [X(t1 )Y (t2 )]. Procesele X(t) ¸si Y (t) se numesc ortogonale dac˘a RXY (t1 , t2 ) = 0, ∀t1 , t2 . Covariant¸a ˆıncruci¸sat˘ a CovXY (t1 , t2 ) este definit˘a prin CovXY (t1 , t2 ) = M [(X(t1 ) − mX (t1 ))(Y (t2 ) − mY (t2 ))] = RXY (t1 , t2 ) − mX (t1 )mY (t2 ). Procesele se numesc necorelate dac˘a CovXY (t1 , t2 ) = 0, ∀t1 , t2 . Exemplul 5.3.3 Fie X(t) = cos(ωt + Θ) ¸si Y (t) = sin(ωt + Θ) unde Θ este o variabil˘a aleatoare repartizat˘a uniform pe [−π, +π]. S˘a determin˘am covariant¸a ˆıncruci¸sat˘a. Ar˘at˘am c˘a media procesului X(t) este 0. Z π 1 mX (t) = M [cos(ωt + θ)] = cos(ωt + x)dx = 0. 2π −π Analog rezult˘a c˘a media procesului Y (t) este 0. RXY (t1 , t2 ) = M [cos(ωt1 + Θ) sin(ωt2 + Θ)] = 1 1 1 = M [− sin(ω(t1 − t2 )) + sin(ω(t1 + t2 ) + 2Θ)] = − sin(ω(t1 − t2 )) 2 2 2 deoarece M [sin(ω(t1 + t2 ) + 2Θ)] = 0. Definit¸ia 5.3.2 Procesul X(t) se nume¸ste stat¸ionar ˆın sens restrˆans dac˘ a ∀t1 , . . . , tn ∈ IR+ , n ∈ IN , u ∈ IR+ are loc F (x1 , . . . xn , t1 + u, . . . , tn + u) = F (x1 , . . . , xn , t1 , . . . , tn ).

(5.15)

Relat¸ia (5.15) se interpreteaz˘a astfel: funct¸iile de repartit¸ie n-dimensionale nu depind de cre¸sterea timpului. Dac˘a ˆın (5.15) d˘am lui n valoarea 2, g˘asim c˘a funct¸iile de repartit¸ie bidimensionale depind numai de diferent¸a t2 − t1 . Deoarece ˆın practic˘a lucrul cu funct¸iile de repartit¸ie este dificil se pune problema ˆınlocuirii lor cu alte caracteristici ¸si anume cu momentele. Dac˘a X(t) are dispersie finit˘a ¸si X(t) este stat¸ionar ˆın sens restrˆans g˘asim: 1.M [X(t + u)] = M [X(t)] = M [X(0 + t)] = M [X(0)] = m; 2.D2 [X(t + u)] = D2 [X(t)] = D2 [X(0)] = σ 2 ; 3.M [(X(t + u)X(t))] = M [(X(u)X(0))]. Ca o prim˘a consecint¸˘a a acestor propriet˘a¸ti, observ˘am c˘a ˆın cazul proceselor stat¸ionare putem presupune m = 0 ¸si σ = 1, ceea ce revine la considerarea procesului normalizat, X(t) − m . adic˘a σ

Procese stochastice

213

Definit¸ia 5.3.3 Procesul X(t) este stat¸ionar ˆın sens larg dac˘a au loc condit¸iile 1-3. Definit¸ia 5.3.4 Numim funct¸ie de corelat¸ie a unui proces stat¸ionar ˆın sens larg coeficientul de corelat¸ie al variabilelor aleatoare X(t) ¸si X(t + u). Deci funct¸ia de corelat¸ie are expresia R(u) =

M [X(t + u) − M [X(t + u)]]M [X(t) − M [X(t)]] p . D2 [X(t)]D2 [X(t + u)]

Dac˘a facem ipoteza m = 0 ¸si σ = 1 din condit¸ia de a fi stat¸ionar rezult˘a c˘a funct¸ia de corelat¸ie depinde doar de u ¸si are expresia R(u) = M [(X(u)X(0))]. Definit¸ia 5.3.5 Un proces stat¸ionar se nume¸ste continuu dac˘ a are loc M (X(t + u) − X(t))2 → 0, pentru u → 0. Propozit¸ia 5.3.1 Dac˘ a X(t) este un proces continuu, atunci au loc: 1. P ({ |X(t + u) − X(t) | > ε}) → 0, dac˘ a u → 0; 2. lim R(u) = 1; u→0

3. R(u) este continu˘ a. Demonstrat¸ie. 1. Din inegalitatea lui Cebˆa¸sev , rezult˘a P ({|X(t + u) − X(t)| > ε}) = P ({|X(t + u) − X(t) − M [(X(t + u) − X(t))]| > ε}) 6 D2 [(X(t + u) − X(t))] , ε care din definit¸ia continuit˘a¸tii tinde la 0, dac˘a u → 0. 2. Se observ˘a imediat c˘a 6

M (X(t + u) − X(t))2 = 2(1 − R(u)) → 0, dac˘a u → 0, de unde afirmat¸ia 2. 3. Folosind inegalitatea lui Cauchy are loc |R(u + ∆u) − R(u)| = |M [(X(u + ∆u)X(0))] − M [(X(u)X(0))]| = p = |M [(X(0)(X(u + ∆u) − X(u))]| 6 M [X 2 (0)]M [(X(u + ∆u) − X(u))2 ] → 0, dac˘a ∆u → 0. Teorema 5.3.1 (Teorema lui Hincin) Funct¸ia real˘ a R(u) este o funct¸ie de corelat¸ie pentru un proces stat¸ionar continuu dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a o funct¸ie de repartit¸ie F (x) astfel ˆıncˆ at Z ∞ R(u) = cosux dF (x). −∞

214

Procese stochastice

Demonstrat¸ie. S˘a presupunem mai ˆıntˆai c˘a R(u) este o funct¸ie de corelat¸ie pentru un proces stat¸ionar continuu. Din proprietatea precedent˘a R(u) rezult˘a continu˘a ¸si m˘arginit˘a. S˘a ar˘at˘am c˘a este ¸si pozitiv definit˘a. Pentru orice numere reale u1 , u2 , . . . , un din IR ¸si η1 , . . . , ηn ∈ C unde n ∈ IN , are loc ! n n X n X X 0 6 M | ηk X 2 (uk )| = M ηi η j X(ui )X(uj ) = i=1 j=1

k=1

=

n X n X R(ui − uj )ηi η j . i=1 j=1

Deoarece R(0) = 1 din teorema Bochner-Hincin are loc reprezentarea Z

∞

eiux dF (x),

R(u) = −∞

unde F este o funct¸ie de repartit¸ie. Deoarece R este o funct¸ie real˘a, rezult˘a afirmat¸ia. Reciproc, s˘a ar˘at˘am c˘a dac˘a Z ∞ R(u) = cosux dF (x), −∞

exist˘a un proces stat¸ionar X(t) cu funct¸ia de corelat¸ie R(u). Fie n ∈ IN , t1 , t2 , . . . , tn ¸si variabila aleatoare n-dimensional˘a normal repartizat˘a X(t1 ), . . . X(tn ) cu M [X(t1 )] = . . . = M [X(tn )] = 0, D2 [(X(t1 ))] = . . . = D2 [(X(tn ))] = 1, avˆand funct¸iile de corelat¸ie R(ti − tj ) = M [X(ti )X(tj )]. Deoarece forma p˘atratic˘a n X n X

R(ti − tj )ui uj

i=1 j=1

este pozitiv definit˘a, se pot defini funct¸iile de densitate − fn (u1 , . . . , un , t1 , . . . , tn ) = An e

n X n X i=1 j=1

R(ti − tj )ui uj , An ∈ IR.

Se verific˘a u¸sor c˘a funct¸iile de repartit¸ie asociate satisfac condit¸iile de simetrie ¸si compatibilitate, deci definesc un proces stochastic, care rezult˘a stat¸ionar.

Procese stochastice

215

Exemplul 5.3.4 Consider˘am procesul de forma Z(t) = X(t) cos λt + Y (t) sin λt, λ ∈ IR, unde X(t), Y (t) sunt procese necorelate, deci M [XY ] = M [X)M [Y ] ce satisfac M [X] = M [Y ] = 0, D2 [X] = D2 [Y ] = 1. S˘a ar˘at˘am c˘a Z(t) este un proces stat¸ionar. Pentru aceasta s˘a calcul˘am funct¸ia de corelat¸ie R(u) = M [X(t + u)X(t)] = = M [X cos λ(t + u) + Y sin λ(t + u))(X cos λt + Y sin λt)] = = M [(X 2 cos λt cos λ(t + u) + XY (sin λ(t + u) cos λt + cos λ(t + u) sin λt)+ +Y 2 sin λt sin λ(t + u)] = cos λ(t + u) cos λt + sin λt sin λ(t + u) = cos λu. Alegem

  0, 1 , f (x) =  2 1,

Avem atunci

Z

x 6 −λ −λ < x 6 λ . x>λ Z

∞

cos λu =

λ

cos uxdF (x) = −∞

cos uxdF (x), −λ

de unde ˆın virtutea teoremei rezult˘a c˘a procesul este stat¸ionar. Exemplul 5.3.5 Consider˘am procesul X(t) =

n X

bk Zk (t),

k=1

unde

n X

b2k = 1, iar Zk (t) = Xk (t) cos λk t+Yk sin λk t, λk ∈ IR. Xk (t), Yk (t) sunt preocese

k=1

ce satisfac M [Xk ] = M [Yk ] = 0, D2 [Xk ] = D2 [Yk ] = 1, k = 1, n M [Xi Xj ] = M [Yi Yj ] = 0, i 6= j, M [Xi Yj ] = 0, i, j = 1, n. Calculˆand funct¸ia de corelat¸ie, g˘asim R(u) =

n X

b2k cos λk u,

k=1

de unde rezult˘a c˘a procesul este stat¸ionar, asociat funct¸iei de repartit¸ie F care are salturi de m˘arimea 21 b2k ˆın punctele ±λk . In literatura de specialitate F se nume¸ste spectru; dac˘a F este funct¸ie de salturi, procesul se nume¸ste cu spectru discret. Slutsky a demonstrat c˘a orice proces cu spectru discret este reprezentabil sub forma celui din exemplul precedent.

216

Procese stochastice

PROBLEME PROPUSE

Problema 4.1 Fie In procesul Bernoulli identic ¸si independent repartizat. Calculat¸i P ({I1 = 1, I2 = 0, I3 = 0, I4 = 1}). R: p2 (1 − p)2 . Problema 4.2 Fie Dn = 2In − 1 unde In este procesul din problema precedent˘a. Calculat¸i media ¸si dispersia. Solut¸ie mX (n) = M [2In −1] = 2M [In ]−1 = 2p−1 D2 [Dn ] = D2 [2In −1] = 22 D2 [In ] = 4p(1 − p). Procesul reprezint˘a de fapt schimbarea pozit¸iei unei particule care se mi¸sc˘a ˆın linie dreapt˘a f˘acˆınd salturi de ±1 la fiecare unitate de timp. Problema 4.3 Fie X un num˘ar ales la ˆıntˆımplare din [0, 1] ¸si fie dezvoltarea lui ˆın +∞ X baza 2, x = bn 2−n , bn ∈ {0, 1}. Definim Xn = bn , n ∈ IN . Calculat¸i P ({X1 = 0}) ¸si n=1

P ({X1 = 0, X2 = 1}). Solut¸ie. X1 = 0, dac˘a 0 6 X 6 12 , deci cu probabilitatea 12 . Iar P ({X1 = 0, X2 = 1}) este 14 , deoarece 14 6 X 6 12 . Problema 4.4 Un calculator este inspectat la momentele t1 , t2 , t3 ¸si se poate afla ˆın una din urm˘atoarele st˘ari: s1 funct¸ioneaz˘a normal; s2 are un num˘ar neglijabil de erori, care nu impiedic˘a calculatorul s˘a funct¸ioneze; s3 are erori considerabile, dar rezolv˘a limitat probleme; s4 nu funct¸ioneaz˘a. La momentul init¸ial calculatorul este ˆın starea s1 iar matricea de tranzit¸ie este   0, 5 0, 3 0, 2 0  0 0, 4 0, 4 0, 2  . P =  0 0 0, 3 0, 7  0 0 0 1 Asociat¸i diagrama ¸si aflat¸i probabilit˘a¸tile de stare dup˘a fiecare din cele trei inspect¸ii. Solut¸ie. Probabilit˘a¸tile de stare init¸ial˘a sunt (1, 0, 0, 0), deoarece init¸ial calculatorul funct¸ioneaz˘a. Apoi p1 (1) = 0, 5, p2 (1) = 0, 3, p3 (1) = 0, 2, p4 (1) = 0 p1 (2) = 0, 25, p2 (2) = 0, 27, p3 (2) = 0, 28, p4 (2) = 0, 2 p1 (3) = 0, 125, p2 (3) = 0, 183, p3 (3) = 0, 242, p4 (3) = 0, 450.

Procese stochastice

217

Diagrama este urm˘atoare Problema 4.5 O particul˘a se deplaseaz˘a aleator, s˘arind cˆate o unitate la dreapta sau stˆanga, dup˘a diagrama de mai jos. G˘asit¸i probabilitatea ca dup˘a patru pa¸si particula s˘a nu fie mai dep˘artat˘a cu o unitate fat¸˘a de origine. Init¸ial particula se afl˘a ˆın origine. R: ˆInsum˘am probabilit˘a¸tile, ca la momentul 4, particula s˘a se afle ˆın st˘arile S−1 , S0 , sau S1 ¸si g˘asim 0,693. Problema 4.6 Fie X(t) = cos(ωt + Θ) unde Θ este repartizat˘a uniform pe (−π, +π). S˘a determin˘am media, autocorelat¸ia ¸si autovariant ¸a. R +π 1 Solut¸ie mX (t) = M [cos(ωt + Θ)] = 2π cos(ωt + x)dx = 0; π Cov = R X+π(t11 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) = M [cos(ωt1 + θ) cos(ωt2 + θ)] 1 1 (cos(ω(t − t )) + cos(ω(t + t ) + 2x)) dx = cos(ω(t 1 2 1 2 1 − t2 )). 2π π 2 2 Problema 4.7 Fie Xn un lant¸ de variabile normale independente, identic repartizate, cu media m ¸si dispersia σ 2 . Determinat¸i matricea de covariant¸˘a la momentele t1 , . . . , tk ¸si densitatea de probabilitate.  1 i=j 2 Solut¸ie CX (ti , tj ) = σ δij unde δij = 0 i 6= j f (x1 , . . . , xk , X1 , . . . , Xk ) = fX (x1 )fX (x2 ) . . . fX (xk ) = k X

=

i=1 1 e (2πσ 2 )k/2

(xi − m)2 2σ 2

.

Problema 4.8 Un proces Y (t) const˘a dintr-un semnal dorit X(t) la care se adaug˘a zgomotul N (t), deci Y (t) = X(t) + N (t). G˘asit¸i corelat¸ia ˆıncruci¸sat˘a dintre cele dou˘a procese, presupunˆınd c˘a X(t), N (t) sunt independente. Solut¸ie Folosind independent¸a variabilelor X(t) ¸si N (t), g˘asim RXY (t1 , t2 ) = M [X(t1 )Y (t2 )] = M [X(t1 )(X(t2 ) + N (t2 ))] = = M [X(t1 )X(t2 )] + M [X(t1 )N (t2 )] = = RXY (t1 , t2 ) + M [X(t1 )]M [N (t2 )] = RXY (t1 , t2 ) + mX (t1 )mN (t2 ). Problema 4.9 ˆIn ziua 0 exist˘a 2 becuri noi de rezerv˘a. Probabilitatea de a schimba un bec este p, iar probabilitatea de a nu schimba este q = 1 − p. Fie Yn num˘arul de becuri necesar la sfˆar¸situl zilei n. Determinat¸i matricea de tranzit¸ie dup˘a un pas ¸si dup˘a n pa¸si, probabilit˘a¸tile de stare la momentul n ¸si comportarea lor la limit˘a. Solut¸ie St˘arile procesului sunt 2,1,0, iar diagrama corespunz˘atoare este Matricea de tranzit¸ie cu un pas este   1 0 0 0  P = p 1−p 0 p 1−p iar probabilit˘a¸tile de stare la momentul init¸ial sunt 0, 0, 1. Dup˘a n pa¸si

218

Index

p22 (n) = P ({ nici un bec nou nu e necesar ˆın n zile}) = q n ; p21 (n) = P ({ un bec nou este necesar ˆın n zile}) = Cn1 pq n−1 ; p20 (n) = 1 − p22 (n) − p21 (n); Matricea de tranzit¸ie dup˘a n pa¸si este   1 0 0 1 − qn qn 0 . Pn =  n n−1 n−1 1 − q − npq npq qn Trecˆınd la limit˘a pe fiecare element al matricei g˘asim matricea   1 0 0  1 0 0 . 1 0 0 Probabilit˘a¸tile de stare la momentul n sunt date de produsul   1 0 0 1 − qn qn 0  (0 0 1)  n n−1 n−1 1 − q − npq npq qn iar la limit˘a se obt¸ine (1 0 0). Interpretarea evident˘a este c˘a dup˘a un num˘ar foarte mare de pa¸si procesul devine ”stat¸ionar” ¸si r˘amˆan 0 becuri de rezerv˘a.

Index

Index matricea de covariant¸˘a, 121 repartit¸ia Fisher , 148 coeficient de corelat¸ie, 119 corelat¸ia variabilelor, 119

momentele init¸iale, 147 momentele init¸iale ale repartit¸iei Gama, 149 momentele repartit¸iei Beta, 150 momentele repartit¸iei Student, 142 momentele variabilei aleatoare normale ndimensionale, 135

densitate de probabilitate, 91 densitate de probabilitate n-dimensional˘a, normal˘a normat˘a, 93 100 densitate marginal˘a de probabilitate, 101 q-cvantile, 88 densitatea de probabilitate condit¸ionat˘a, 97 Repartit¸ia Beta, 150 formula de inversiune, 125 repartit¸ia Erlang, 149 formula lui Bayes, 98, 113 repartit¸ia exponent¸ial˘a, 152 formula probabilit˘a¸tii totale, 113 repartit¸ia lognormal˘a, 104 formula probabilitat¸ii totale, 98 repartit¸ia normal˘a, 93 formulele integrale ale mediei totale, 121 repartit¸ia normal˘a n-dimensional˘a, 106 funct¸ia caracteristic˘a a repartit¸iei Gama, 149 repartit¸ia Rayleigh, 108 funct¸ia caracteristic˘a a repartit¸iei normale , repartit¸ia Snedecor, 147 132 repartit¸ia Student , 142 funct¸ia de repartit¸ie, 85 repartit¸ia uniform˘a, 92 funct¸ie caracteristic˘a, 123 repartit¸ia uniform˘a n-dimensional˘a, 102 funct¸ie de fiabilitate, 150 repartit¸ia Weibull, 152 funct¸ie de repartit¸ie n dimensional˘a, 99 funct¸ie de repartit¸ie condit¸ionat˘a, 89 teorema Bochner-Hincin, 129 funct¸ie marginal˘a de repartit¸ie, 101 teorema lui Bochner, 128 funct¸ie pozitiv definit˘a, 129 teorema lui Cochran, 141 funct¸iei lui Laplace, 94 variabil˘a aleatoare, 83 legare ˆın paralel, 154 variabil˘a aleatoare n-dimensional˘a, 99 legare ˆın serie, 153 variabil˘a aleatoare continu˘a, 88 variabile aleatoare independente, 85 media, 114 variabile necorelate, 119 media condit¸ionat˘a, 121 mediana, 89 medii condit¸ionate, 121 modul, 115 moment centrat de ordin k, 116 moment pentru variabil˘a aleatoare multidimensional˘a, 120 219