Calculs de Charpente Métallique CM66 [PDF]

Zitiervorschau

Cours n°12 Structures en câbles

SOMMAIRE

1

HISTORIQUE DES CONSTRUCTIONS EN CÄBLES .......................................................... 3

2

NOTIONS DE STATIQUE GRAPHIQUE............................................................................... 4

3

................................................................................. 4

2.1

CORPS SOUMIS A DEUX FORCES

2.2

CORPS SOUMIS A TROIS FORCES................................................................................. 4

2.3

CORPS SOUMIS A QUATRE FORCES ............................................................................. 4

DYNAMIQUE DES FORCES ET POLYGONE FUNICULAIRE............................................ 5 3.1

DEFINITIONS ............................................................................................................... 5

3.2

EQUILIBRE D’UN CORPS SOLIDE.................................................................................. 7

3.4

MOMENT RESULTANT D’UN ENSEMBLE DE FORCES FI ................................................. 8 Cas 1 : Le dynamique est ouvert. ............................................................................ 8 Cas 2 : le dynamique est fermé ............................................................................... 9

3.5 4

5

FUNICULAIRE PASSANT PAR DEUX POINTS ................................................................ 10

STATIQUE DES FILS .......................................................................................................... 12 4.1

fil soumis à des charges concentrées....................................................... 12

4.2

fil soumis à des charges réparties ............................................................ 13

NOTION DE CÄBLE FUNICULAIRE ET MODE DE FONCTIONNEMENT D’UN CÄBLE.................................................................................................................................. 15

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6

INTERÊT DE LA PRECONTRAINTE D’UN CÂBLE .......................................................... 17

7

TECHNOLOGIE DES CÂBLES ........................................................................................... 18 7.1

LES DIFFERENTS TYPES DE CABLES.......................................................................... 18

7.2 DOMAINE D’EMPLOI : ................................................................................................... 21 7.3

PROTECTION CONTRE LA CORROSION : .................................................................... 22

7.4

MODULE D’ELASTICITE

7.5

CONTRAINTE ADMISSIBLE :....................................................................................... 22

: ........................................................................................... 22

L’art de dérouler un câble toronné d’après le manuel de la compagnie Roebling

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1

HISTORIQUE DES CONSTRUCTIONS EN CÄBLES

L’usage de câbles dans les constructions est très ancien. Des câbles de cuivre ont été retrouvés dans les ruines de Ninive, près de Babylone. Ces vestiges datent de 685 avant Jésus Christ. Un pont suspendu à des chaînes de fer aurait été construit en chine à Yunnan en l’an 65 dont on doit une description au jésuite allemand Athanase Kircher au XVIII ème siècle : « Ce pont qui a vingt chaînes, a vingt perches de long, qui font 140 pieds : l’on dit que quand beaucoup de personnes passent dessus, ou qu’il y a quelque grand fardeau, il branle si fort qu’il fait peur à ceux qui y sont… » Des câbles de bronze ont également été découverts dans les fouilles de Pompéi (an 79). On attribue également les premiers ponts suspendus à des chaînes de fer au moine tibétain Thang-stong-rgyal-po (1385-1464) dont le pont sur la rivière Paro. En Europe, le pont de Menai, au pays de Galles, réalisé entre 1818 et 1826 par Thomas Telford et Davies Gilbert, est un des premiers ouvrages modernes, comprenant un arrangement de barres métalliques de 2.90 m auquel est suspendu un platelage de bois de 176 m. La suspension en chaînes a finalement été remplacée par des câbles en 1941.

Le pont de Menai -1826- (Pays de Galles)

La production industrielle de câbles, faits d’arrangements de fils métalliques, date de 1832 en Angleterre (Wilson), puis de 1834 en Allemagne (A. Albert), et enfin se développe aux Etats Unis grâce à John A. Roebling vers 1850.

Allegheny Bridge(1829)

Brooklin Bridge (1883)

Deux ponts suspendus de John A. Roebling --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2001 Cours n°12 – Structures à câbles Page 3 / 22

2

NOTIONS DE STATIQUE GRAPHIQUE

La statique graphique est l’étude des conditions d’équilibre des corps au repos à partir de la mesure et du tracé des forces. Elle n’est plus guère utilisée aujourd’hui du fait des progrès du calcul numérique par ordinateur. Cependant il est utile au constructeur d’apprécier, par un moyen simple comme le dessin, le fonctionnement des pièces et le cheminement des forces. Le principe consiste à faire figurer sur une même épure les longueurs et les forces. Nous admettons par la suite que toute force est représentée par un vecteur glissant défini par sa ligne d’action (directrice) et son intensité (longueur du vecteur) ainsi que son orientation.

2.1 CORPS SOUMIS A DEUX FORCES Ces deux forces sont égales et opposées

A

B

2.2 CORPS SOUMIS A TROIS FORCES Les trois forces sont concourantes et l’une d’entre elles est égale à la somme vectorielle des deux autres.

A

2.3 CORPS SOUMIS A QUATRE FORCES On regroupe les forces deux à deux. La résultante en A doit être égale et opposée à la résultante en B. On appelle « droite de Cullman » la droite qui porte ces deux forces égales et opposées. Il y a trois droites de Cullman, car il y a trois façons de grouper ces quatre forces.

A

B

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3

DYNAMIQUE DES FORCES ET POLYGONE FUNICULAIRE

3.1

DEFINITIONS

Soit n forces coplanaires. Par un point A0 arbitraire, on mène A0 A1 équipollent à F1, puis A1A2 équipollent à F2, puis de proche en proche Ai-1 Ai équipollent à Fi, et enfin An-1An équipollent 1 à Fn. Le contour polygonal A0 An est appelé dynamique associé aux forces Fi. La forme du dynamique ne dépend pas du point A0 mais de l’ordre dans lequel on examine ces forces. P An A0

dynamique An-1 Fn-1

A1

F1

A2 F2 Ai Fi Le vecteur A0An est équipollent à la résultante des forces. Il ne dépend pas de l’ordre des forces Fi Par un pôle arbitraire P , on trace des droites liant P et l’extrémité des forces Fi du dynamique. Par un point arbitraire du plan a1 choisi sur F1, on trace successivement les droites a0a1, a1a2, parallèles à A0P et A1P, puis à l’intersection avec F2, a2a3, et ainsi de suite… F1 a0

a1

F2

funiculaire

a2

Fi

ai

ai+1 Fi+1

an-1

an F5

1

vecteurs équipollents = vecteurs parallèles, de même direction et de même intensité --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2001 Cours n°12 – Structures à câbles Page 5 / 22

Le contour polygonal a0an est appelé funiculaire 2associé au dynamique Ai et au pôle P. A tout dynamique, il correspond une infinité de funiculaires, le choix de a0 et P étant arbitraire. Tout système plan de forces est équivalent à un système de deux forces ayant pour ligne d’action le premier et le dernier côté du funiculaire et équipollents au premier et au dernier rayon polaires du dynamique, le premier rayon étant parcouru du dynamique vers le pôle, et le dernier rayon étant parcouru du pôle vers le dynamique. f0

Fi

fn

funiculaire

Le dynamique est ouvert si ses sommets A0 et An sont distincts. L’ensemble des n forces est alors réductible à une force Rn équipollente à A0An. A0 0 dynamique ouvert Rn

P n

An Si le dynamique est fermé : si A0 coïncide avec An. Les rayons a0-P et P-an sont confondus. Si o’ et n’ sont distincts, le funiculaire est ouvert et l’ensemble est réductible à un couple. F1

m2 2’

A0

A2 0 et 2

0’

d

P’

P

1’ m0

1 F2 A1

Funiculaire ouvert et dynamique fermé

Si o’ et n’ sont confondus, le funiculaire est fermé. L’ensemble des forces est réductible à zéro.

2

Le mot funiculaire vient du latin funiculus : petite corde. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2001 Cours n°12 – Structures à câbles Page 6 / 22

A0 A4 P

dynamique fermé

A1 A2

A3

Funiculaire fermé

Funiculaire et dynamique fermés

3.2 EQUILIBRE D’UN CORPS SOLIDE

Tout solide soumis à un ensemble de forces ou de réactions d’appui est en équilibre si l’on peut associer à ces forces un polygone dynamique et un polygone funiculaire qui soient tous les deux fermés. F1

GGGG

1’1’ 1’1’ 2’ F2

F3 3’

funiculaire fermé

1’

F3 0 et 3 dynamique fermé 2 F2

P

1 F1 A0 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2001 Cours n°12 – Structures à câbles Page 7 / 22

On peut choisir un funiculaire particulier, ayant son pôle situé à l’extrémité d’une des forces. On trouve alors la ligne de pression.

3.3 LIGNE DE PRESSION : C’est le funiculaire particulier pour lequel le pôle P du dynamique est confondu avec A0. La ligne de pression permet de visualiser le cheminement des forces dans la matière. A1 2’ 1’

a1

1 a2

3’

P A0

2

A2 3 A3

funiculaire particulier

dynamique

3.4 MOMENT RESULTANT D’UN ENSEMBLE DE FORCES FI Le moment en un point d’un ensemble de forces est égal au moment en ce point de leur résultante. Lorsque l’ensemble des forces est réductible à un couple, le moment se réduit au moment du couple. Cas 1 : Le dynamique est ouvert On trace le repère Gxy tel que Gx soit perpendiculaire à Rn, résultante des forces appliquées. Le moment de la résultante est égal à : r M = − R n b ' n bn

y

0’

m0

bn

x

funiculaire b’n mn n’

Rn

P A0

dynamique P’n

0

G

n An

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Le moment de la résultante Rn du funiculaire en G est égal au produit de cette résultante par la distance à l’axe GY. Les triangles P A0 An et bn m0 mn sont semblables. On en déduit la valeur du moment en G.

r M = −b ' b × R b' b m0 m n

=

P' P

A0 An r A0 An = R

M = − P' P × m0 m n Cas 2 : le dynamique est fermé On considère le cas où le funiculaire est ouvert (réductible à un couple), car sinon le moment est nul en tout point du plan. y m’o mn n’ - fn funiculaire ouvert f0 m0 G x 0’

P’ dynamique fermé

A0 et An 0 et n P P’ est la projection de P sur la parallèle à Gy passant par A0. PA0 est parallèle à f0. Les triangles PP’A0 et m0 m’0 mn sont semblables.

P ' P m0 m' 0 = A0 P m0 mn r A0 P = − f 0 r

Le moment est égal à M = − f 0 × m0 m' 0 = − P 'P × m0 m n

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3.5 FUNICULAIRE PASSANT PAR DEUX POINTS A 0’1

F1

0’2

Fn n’1

Oi

i’1

(D)

i’2

n’2

B

On

construction du funiculaire passant par A et B

On trace un dynamique de pôle P1, puis un funiculaire passant par A. le coté n’1 ne passe pas par B. On choisit une droite D passant par A. On construit l’intersection de n’1 avec D. On obtient le point On. De ce point on trace la droite On B. L’intersection avec Fn permet d’obtenir le côté du funiculaire n’2… De proche en proche, on construit le funiculaire déformé passant par A et B . Le pôle P2 est obtenu par intersection de P1 P2 parallèle à D et d’un rayon quelconque i2 du dynamique, parallèle à i’2. Cette construction permet de tracé le polygone d’équilibre d’un fil passant par deux points et soumis à des forces concentrées.

F1

P1

dynamique

P2

F2

(D’)

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Exemple : calcul d’une poutre isostatique de longueur L recevant une charge P au 1/3 de sa longueur

y>0 L/3

2L/3

L/3 -1’’

2L/3 2’’

B’ A

m-1

0’

B

x>0

1’

0’’

1’ ‘

Ra

A0 P’2

(D)

m0

P1 P2

dynamique

Rb A1

O1 Funiculaire fermé

(D’)

On choisit un pôle arbitraire P1. On trace le dynamique associé au pôle P1, puis le funiculaire associé 0’1’. Le point B’, intersection du rayon 1’ avec la réaction d’appui Rb, ne correspond pas avec l’extrémité de la poutre, on fait un changement de pôle par rapport à D, perpendiculaire à AB. On obtient le funiculaire 0’’1’’. Les réactions d’appuis sont trouvées en lisant les grandeurs P’2 A0 et A1P’2. La poutre est en équilibre sous P, Ra, Rb : le dynamique et le funiculaire doivent être fermés. La droite AB représente les côtés –1’’ et 2’’ du funiculaire associé à P2P’2. Le moment des forces de gauche à l’aplomb de la coupure (ou moment fléchissant) s’évalue simplement en mesurant m-1 mo (0) et en effectuant le produit des longueurs, affecté du signe moins. On retrouve facilement par le graphique le résultat donné par la RDM.

L P ' 2 P2 3 = 2P − m −1 m0 3 M = − P ' 2 P2 × m −1 m0 M=

2 PL 9

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4

STATIQUE DES FILS

Un fil est un solide à ligne moyenne infiniment souple et flexible. Tout moment de flexion provoque une déformation importante. L’équilibre d’un fil est obtenu par un tracé tel que l’équilibre des forces de gauche se résume à une traction dans le fil. Ce tracé est funiculaire de l’état de charge appliqué au fil. Le fil est considéré, en première approche comme inextensible. Sa longueur est invariable.

4.1 fil soumis à des charges concentrées La figure d’équilibre est une ligne brisée passant par les appuis. Cette ligne est confondue avec la ligne funiculaire particulière qui a la même longueur que le fil.

Exemple 1 : fil soumis à une charge concentrée

V1

a

b

T1

T2

dynamique

l H1 1

2 F

P’

P

f

F Le funiculaire donne la géométrie du fil de longueur L. La flèche est calculée à partir de la longueur du fil et la position de la charge. La valeur de la traction horizontale H est égale à PP’, distance du pôle à la force F.

T1 = T2 =

a² + f ² f b² + f ² f

P

b a+b

P

a a+b

L = a ² + f ² + b² + f ² H1 = H 2 = H =

Pab (a + b) f

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Exemple 2 : fil soumis à 2 charges concentrées

Câble =funiculaire l l

l

dynamique TA

F

F

A

B

F

H

P

f

TB F La longueur du fil L permet d’obtenir la flèche f. Le calcul du moment le long du fil permet de déterminer H.

f F Fl = ⇒H = H l f

L = l + 2 l² + f ² TA = F

l² + f ² f

= TB

Exemple 3 : fil soumis à n charges concentrées

Fi

0 H

P

dynamique

5 6

A

0’

funiculaire B 1’

5’ 2’

Fi

3’

4’

On trouve de proche en proche la ligne funiculaire, qui est aussi la forme d’équilibre du câble. La connaissance de L, longueur du fil, permet de connaître la forme d’équilibre.

4.2 fil soumis à des charges réparties On découpe les forces en une infinité de petites forces élémentaires et on est ramené au cas précédent. On trouve une courbe dynamique en choisissant P sur l’horizontale de A0, et une courbe funiculaire. La figure d’équilibre du fil est la courbe funiculaire. A l’abscisse x, correspond --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2001 Cours n°12 – Structures à câbles Page 13 / 22

le point A du dynamique repéré par l’angle alpha. A0A correspond à la somme des forces élémentaires p(x)dx comprises entre 0 et x. La valeur AAn/H est égale à la variation de l’angle de la tangente au polygone funiculaire, c’est à dire la courbure 1/R de la courbe funiculaire. d=H

P α

A0

dα fi+1 0i

p(x)dx

A 0i+1 p(x)dx

dα fi

An -H 0 x

x

0

0

H x

A0 A = ∑ p ( x)dx = ∫ p ( x)dx A A A A dy = tgα = 0 = 0 dx d A0 P d ² y 1 d A0 A p( x) = = (1) d ² x d dx d 1 p( x) p( x) = = R d H La courbure 1/R est égale à la densité de charge divisée par la composante horizontale de la traction du câble qui est constante. Si p est constant, la solution de l’équation différentielle (1) est une parabole.

Manuel publié par la compagnie Roebling pour promouvoir l’usage de ses câbles

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5

NOTION DE CÄBLE FUNICULAIRE ET MODE DE FONCTIONNEMENT D’UN CÄBLE

Galilée, en 1638, décrit la forme d’une chaine tendue comme celle d’une parabole. La description mathématique d’un câble soumis à ses charges de poids propre est due à Jacques Bernoulli (Bâles-1690). On considère un câble symétrique plan de longueur l et de flèche f, ancré à ses deux extrémités A et C. Il est soumis à une charge uniforme p, constante. Le point B est situé sur l’axe de symétrie de la figure. Les trois équations de la statique permettent de trouver la tension le long du câble. p(x) V T

∑F =0 (2) ∑ F = 0 (3) ∑ M = 0

(1)

y

x

M

y

R

B

α

HB

(1) ⇒ H = H B

x

(2) ⇒ V = px (3) ⇒ p

H

B

2

2

2

x x x − Vx + Hy = p − px 2 + Hy = − p + Hy = 0 2 2 2

p 2 x 2H C’est l’équation d’une parabole rapportée à son sommet B. L’équilibre des forces permet de définir la géométrie du câble. En désignant par R le rayon de courbure au sommet, l’équation devient : x2 y= 2R dy x px = = tgα = dx R H p d2y 1 = = 2 R H d x ( 4) y =

On retrouve ainsi l’équation différentielle établie à l’aide de la statique graphique au paragraphe précédent. Le rayon de courbure est obtenu en reportant f (flèche) et l (distance entre ses extrémités) dans l’équation du câble. Il est égal à :

R=

l2 8f

On en déduit que la composante horizontale H est constante tout le long du câble et égale l2 à : H = pR = p 8f --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2001 Cours n°12 – Structures à câbles Page 15 / 22

La force V croit du centre vers les extrémités du câble. D’après le théorème de Pythagore, la tension du câble T est égale à: V T = H 2 + V 2 = H 1 + ( ) 2 = H 1 + tgα 2 H dy x 8 f = = tgα = x dx R l 2

x T = H 1 + ( )2 R La tension du câble croit avec l’abscisse x. Elle est maximale aux extrémités du câble, c’est à dire aux ancrages A et C. La longueur du câble est obtenue, avec une approximation suffisante, grâce à la formule

8f suivante : L = l + 3l

2

32 f 4 − 5l 3

Câble surbaissé : On dit que le câble est surbaissé quand l’angle de la tangente aux extrémités est inférieur à 10 degrés. La tangente de l’angle est alors inférieure à : R tgα ≤ 0.176 α0

R2 0 ρe

ρe ≥ 175 kg / m2

e≥

f

175 = 0.07 m 2500 Vi

L’épaisseur de béton doit permettre de respecter le parfait enrobage des câbles de précontrainte.

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e ≥ 3Φ Φ = diamètre de la gaine

Si on utilise des câbles toronnés dont la gaine de protection à un diamètre de 7 cm environ, l’épaisseur ne peut être inférieure à 20 cm. Le poids au mètre carré est alors de 500 kg/m2. Il est supérieur à la sous pression due au vent. La tension des câbles est, en première approche, considérée comme constante (câble surbaissé). R vent

T = ( ρe + N ) R T = 560 × R . R=

-T

T

L2 8f

pe+N

68 2 = 192.67 m 8×3 T = 107895 kgf R=

En utilisant des câbles constitués de 7 torons T15 « super » de force utile (0.45 Frg) unitaire voisine de 12.5 tonnes par toron, on disposera un câble 7xT15 tous les 0.80 mètres. Ces câbles sont ancrés dans les bâtiments latéraux qui jouent le rôle de culées. Les câbles sont adhérents au béton de la couverture. Lorsque le vent soulève la couverture, la tension des câbles est partiellement transférée au béton ( le câble se détend, et son raccourcissement est gêné par le béton) et la variation de contrainte de compression du béton vaut :

R

VR e 175 × 192.67 ∆σ = = 17 kgf/cm2 20 × 100 ∆σ =

Cette variation de contrainte est très faible, et très inférieure à la résistance du béton en compression. Vent

∆P

∆P ∆σ

e>3 Φ

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2

LES STRUCTURES TEXTILES

Les membranes textiles sont très anciennes, car le Colisée, à Rome (80 av. JC), était sans doute couvert par un vélarium. Un grand nombre de projets ont été développés par Frei Otto (professeur à Yale, Berkeley et Stuttgart). Les membranes textiles sont les plus répandues. Les textiles les plus performants sont réalisés à base de Kevlar, et les plus courants sont en PVC. Le plan de coupe, généralement réalisé par ordinateur, dépend des dimensions de la structure lorsqu’elle est précontrainte. Il est donc déduit directement du calcul de la structure déformée. L’étude de la forme est conduite pour réduire les compressions et permettre leur reprise par la précontrainte de le structure. Ces structures sont mises en place sur des câbles de bordure, eux-mêmes reliés à des structures métalliques. Les câbles sont généralement en acier inoxydable ou en acier galvanisé (selon le budget). Il en est de même pour les pièces d’ancrage et de réglage : platines, ridoirs, visserie ou rivets. Un soin extrême doit être apporté dans le dessin des liaisons, avec les câbles et les charpentes pour réduire les concentrations d’efforts, et éviter une usure prématurée sur les charpentes. La résistance d’une toile PVC est d’environ 750 à 800 kg pour 5 cm. Elle est de 3000 kg pour 5 cm pour une toile en Kevlar. Il est donc nécessaire de prévoir des courbures prononcées lors de l’établissement du projet. Les rayons de courbure courants sont compris entre 5 à 8 m afin de limiter les tensions dans la toile. Le plan de coupe doit tenir compte des allongements de la toile sous la précontrainte. Le tracé d’ensemble des surfaces doit être soigneusement étudié pour éviter la formation de poches d’eau. Le problème principal des structures textiles reste tout de même leur durabilité Classement des structures textiles : On peut classer ces structures en 5 catégories : 1

1- Libres ou simples 2- Câbles de vallée 3- Arceaux rigides ou bordures rigides

2

4- Supports rigides ou point haut (mâts) 5- Structures gonflables

3

5

4

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2.1

LIBRES OU SIMPLES

Elles sont soit simplement suspendues et ancrées sur des points fixes, soit précontraintes par des câbles de lisière ancrés dans le sol.

Câble de retenue

2.2

CABLES DE VALLEE

Les points bas sont obtenus par mise en tension d’un câble de vallée, qui permet de créer une noue. La répétition d’une surface élémentaire permet de créer des vagues successives parallèles ou radiales. La toile est fortement précontrainte par les câbles mis en place sur les arêtes (AB) et les noues (CD). Les rives sont tenues par des poutres ou des points hauts et bas.

B D

A

C

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2.3

ARCEAUX RIGIDES OU BORDURES RIGIDES

Les surfaces sont tendues en faîtage et en rive sur des poutres rectilignes ou des arceaux rigides non coplanaires qui permettent de donner la forme de la toile. Ces poutres de rives peuvent être fléchies ou simplement comprimées. Elles sont souvent réalisées en treillis pour résister aux flexions importantes engendrées par la traction de la toile. Les rives peuvent aussi être constituées de câbles de lisières.

2.4

SUPPORTS RIGIDES OU POINT HAUT (MATS)

Les points hauts sont donnés par des selles d’appui. La toile est tendue en rive sur des câbles de lisière. Selle d’appui

2.5

SURFACES DE REVOLUTION

Elles sont supportées soit par un mât (axe), soit par des arceaux : les formes obtenues sont des hyperboloïdes de révolution, complets ou partiels.

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Portion de cylindre dont la génératrice est une hyperbole

2.6

PARAPLUIES

Ces toiles sont montées sur des ossatures rayonnantes, simples ou articulées. La stabilité horizontale est donnée par la répétition des formes ou l’accroche sur des parois en rive.

articulation toile

2.7

CARACTERISTIQUES DES TEXTILES PVC

Le type correspond au grammage du tissu. CH et TR signifient dans le sens de la trame et de la chaîne.

type

Résistance moyenne kN/5cm

Grammage >g/m2

Adhérence kN/5cm

1

CH TR CH TR CH TR CH TR CH TR

720

0.1

Large ur de soudu re >cm 3

1000

0.12

4

1200

0.12

5

1400

0.12

6

2000

0.12

8

2 3 4 5

3.0 3.0 4.2 4.0 5.5 5.2 5.0 6.5 8.0 8.5

Tenue des Réaction soudures au feu à 65°c kN/5cm CH TR CH TR CH TR CH TR CH TR

2.6 2.6 3.3 3.3 3.6 3.6 4.5 4.5 5 5

M2 M2 M2 M2 M2

Coefficient de sécurité : Il est pris égale à 4 en pleine toile et 5 dans les zones de couture ou de soudure Rayons maximaux : ils sont obligatoirement inférieurs à 70 m et couramment compris entre 5 et 15 m --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2000 Cours n°14 – Les membranes Page 12 / 23

Pente minimale : elle est de 20% pour assurer un bon écoulement des eaux de pluie Rayon des câbles de bordure : ces rayons ne doivent pas être supérieurs à 25 m Cas de charge : Poids propre + neige + précontrainte Poids propre + vent + précontrainte Le cas de rupture d’un élément de toile doit être examiné si la toile participe à la stabilité d’ensemble de la construction. Exemple du Stade de Toulouse (P Ferret, F Cardete et G Huet - architectes – Setec T.P.I. structures) :

Le Stadium de Toulouse Il s’agit d’une couverture en toile tendue, montée sur des arceaux parallèles espacés de 12 m, et prenant appui sur des consoles métalliques de 36 m. Pour que la structure soit stable tant au vent ( force dirigée vers le haut) qu’à la neige (force dirigée vers le bas) il faut que la surface ait des rayons de courbure de signe contraire (courbure de Gauss négative). La forme funiculaire proposée est un paraboloïde hyperbolique. On recherche les rayons de courbure à mettre en place. La toile ne doit jamais se détendre. Elle doit donc recevoir une précontrainte telle que la contrainte de traction dans les fibres soit toujours positive. Par ailleurs, la toile est très déformable dans le sens du biais, et l’on peut considérer que les cisaillements sont nuls. Poids propre + vent +précontrainte > 0 pour les arceaux dont la concavité est tournée vers le haut N1 R1

=−

N2 R2

=

p( x ) 2

Poids propre + neige + précontrainte > 0 pour les arceaux dont la concavité est tournée vers le bas Les courbures sont de signe contraire, et l’équation de membrane devient :

N1 N 2 − = p( x) R1 R2 On suppose, en première approche, que la rigidité de la trame est identique à celle de la chaîne. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2000 Cours n°14 – Les membranes Page 13 / 23

Le poids propre de la toile est de 2 kgf/m2. La charge de vent est prise égale à 175 kgf/m2, et est dirigée vers le haut. La précontrainte de la toile est désignée par ∆P . Arceau tendu N1 :

Tr 175 + ∆P) R = T max ≤ ( −1 + s 2

R

arceau

toile

f

Arceau comprimé N2 :

(1 −

175 + ∆P ) R = T min ≥ 0 2

6

12

12

6

Le coefficient de sécurité sur les soudures ou coutures est pris égale à 5.

175 − 1 = 86.8 kgf/m 2 T max = (86.8 + 87.5-1) R = 173.3 × R kgf/m ∆P ≥

toile

2f

f

Tr ≥ 5 × 173.3 × R = 866.5 kgf/m

f

Tr ≥ 43.3 × R kgf/5cm 20

tirant La toile est de type 5 (voir tableau des caractéristiques). Sa résistance est de 800 kgf pour 5 cm. Le rayon maximal est : toile

R

800 R max ≤ = 18.5 m que l’on arrondit à 18 m. 43.3 Tracé de la toile :

y=

x2 62 = = 1.00 m 2 R 2 × 18

tube

laçage

Au centre d’un panneau, la flèche minimale est de 1.00 m. En rive les arceaux auront une flèche de 2.00 m. Par ailleurs, la pente de la toile ne doit jamais être inférieure à 20% en rive pour permettre l’écoulement de l’eau. La hauteur de l’arceau métallique devra donc être supérieure à :

x 3 = = 0.17 R 18 α1 + α 2 = 0.17 + 0.2 = 0.37 tgα1 =

y

M R

H

H ≥ 0.37 × 6 ≈ 2.20 m O

f α

S

x

Ces valeurs sont augmentées de 10 % pour tenir compte de l’allongement de la toile sous charge, et éviter la formation de poches d’eau. On retiendra un arceau métallique de 2.40 m et une flèche des toiles de 1.2 m en travée. Les pentes initiales seront diminuées par l’allongement de la toile sous l’effet des charges de neige. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2000 Cours n°14 – Les membranes Page 14 / 23

R R f α1

f α2

6

6

3

LES STRUCTURES GONFLABLES

Les structures gonflables sont apparues en 1917 en Angleterre. Leur développement a surtout été militaire au USA entre 1946 et 1954 pour constituer des abris pour radars. Walter Bird, un ingénieur en aéronautique, a établi les premiers standards pour dimensionner ces structures. Plusieurs structures gonflables ont notamment été développées par Frei Otto et Bodo Rasch, s’inspirant des structures conçues pour les dirigeables dont ils étudièrent plusieurs projets : en 1970, l’équipe de Frei Otto, Kenzo Tange et Ove Arup imaginèrent la « ville dans l’antarctique », bulle de 2 km recouvrant une ville et la protégeant de la rigueur du climat. Conçu également par Frei Otto, le pavillon des USA à l’exposition 1970 à Osaka fut réalisé par une membrane elliptique de 142 m x 83 m supportée par des câbles.

3.1

EQUILIBRE D’UNE BULLE DE SAVON

R

p0

La tension dans la paroi de la bulle est donnée par la formule : N=

p0 R 2

Les tensions sont égales dans toutes les directions. Elles équilibrent la pression interne. Si celleci est constante, la bulle est une sphère parfaite --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ecole Spéciale d’Architecture Année 2000 Cours n°14 – Les membranes Page 15 / 23

3.2

EQUILIBRE DES ENVELOPPES SOUMISES A UNE PRESSION INTERNE

Le spinnaker, utilisé sur les bateaux de plaisance aux allures portantes, est un exemple de structure gonflable. Sa forme dépend de la coupe du tissus, du réglage des espars (hauteur et inclinaison du tangon, pièce métallique perpendiculaire au mât), et de la tension du bras et de l’écoute (cordes de retenue).

tangon vent

spi bras (au vent) et écoute

plusieurs coupes de spinnaker (radiales ou à lés horizontaux)

Les structures gonflables se prêtent à des coupes variées : les formes traditionnelles sont les demi sphères, les demi cylindres, les surfaces de révolution. La forme de base s’adapte aux pressions exercée (vent, neige partielle). Les structures gonflables sont généralement constituée de toiles PVC. La pression de gonflage est voisine de 50% de la pression dynamique maximale exercée par le vent. La vitesse de vent prise en compte dans les calculs est voisine de 130 km/h.

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Une enveloppe soumise à une pression interne po prend une forme d’équilibre qui correspond à la coupe du tissu. Elle peut ainsi résister à des charges uniformes inférieures ou égales à po en conservant sa forme d'équilibre.

p0

p

p

Si on charge cette enveloppe de façon dissymétrique (p0

N2 p0

2H

=

+

R r

F

N2

N2+F

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F = N1 = N 2 = po =

PoR pR = (3 + ν ) 2 16

p (3 + ν ) ≈ 0.41 p 8

Cette pression est voisine de la moitié de la pression du vent appliquée sur la toile. On en déduit alors la résistance à rupture minimale de la toile :

Tr = N 2 + F = 2 N 2 = poR = avec

R=

PR(3 + ν ) 8

r2 2H

En supposant une charge ascendante de vent de 175 kgf/m2, on obtient une pression de gonflage égale à 71.75 kgf/m2 que l’on arrondit à 75 kgf/m2 (750 Pascals ou 7.5 cm d’eau). Il s’agit de l’écart de pression par rapport à la pression atmosphérique. La couverture est en réalité elliptique : Grand axe : Petit axe :

2a = 88 m 2b = 57 m

N2 On l’assimile à un cercle 2r = 88 × 57 = 70.82 m 2

35.4 = 104.43m 2×6 T = 2 N 2 = 75 × 104.43 = 7832.25 kgf/m R=

p0

2H

-T

7832 T= = 392 kgf/ 5cm 20 TR ≥ 5 × 392 = 1960 kgf/ 5cm

r

N2

Il faudra utiliser soit une toile en Kevlar, soit une toile PVC renforcée par des câbles en acier, ce qui est la solution retenue par Jörg Schlaich. En périphérie, un anneau de compression est nécessaire pour conserver la forme de la toile et équilibrer les tractions de membrane. La traction à l’ancrage est égale à F = po × r ce qui donne une compression uniforme dans l’anneau de po × r 2 soit 94 tonnes. Cet anneau est constitué par un caisson en acier.

r

-2N2

Cette couverture légère ne pèse que 40 tonnes.

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les arènes de Nîmes

4

LES DEVELOPPEMENTS D’AVENIR

Les structures tendues sont généralement des structures économiques en matière, mais coûteuses, car leur technologie est complexe, les matériaux sont sophistiqués, les études sont délicates, et les phases de construction demandent un soin extrême, car la stabilité n’est généralement obtenue que lorsque la structure est achevée. Elles sont pourtant une voie d’avenir dans le domaine des grandes portées, car les structures classiques, handicapées par leur poids, ne deviennent plus réalisables. Elles présentent également un fort potentiel esthétique. Les performances des matériaux progressent toujours, tant en résistance (bétons de fibre, toiles en Kevlar), qu’en durabilité. Les technologies associées permettent également de fiabiliser le développement de structures gonflables, utilisables soit comme structures temporaires ou saisonnières, soit comme coffrages de coques en béton.

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