Calcul Diferential Integral Costas [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ Departamentul de Matematică

Ana COSTAȘ, Galina RUSU

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL Suport de curs

Aprobat de Consiliul Calității al USM

CEP USM Chișinău, 2018

CZU 517.9(075.8) C 75

Recomandată de Departamentul de Matematică și de Consiliul Facultății de Matematică și Informatică

Recenzenți: Vasile NEAGU, dr. hab., prof. univ. Gheorghe RUSU, dr., conf. univ.

Lucrarea Calcul diferenţial și integral are un caracter didactic și este destinată studenților de la Ciclul I, Licență, din domeniile generale de studii TEHNOLOGII ALE INFORMAȚIEI ȘI COMUNICAȚIILOR; INGINERIE, TEHNOLOGII DE PRELUCRARE, ARHITECTURĂ ȘI CONSTRUCȚII, dar și tuturor celor care necesită cunoștințe fundamentale de Analiză matematică.

Descrierea CIP a Camerei Naționale a Cărții Costaş, Ana. Calcul diferenţial şi integral: Suport de curs / Ana Costaş, Galina Rusu; Universitatea de Stat din Moldova, Facultatea de Matematică şi Informatică, Departamentul de Matematică. – Chişinău: CEP USM, 2018. – 352 p.: tab. Referinţe bibliogr. p.: 347-348. – 50 ex. ISBN 978-9975-142-73-1. 517.9(075.8) C 75 ISBN 978-9975-142-73-1

© A. Costaș, G. Rusu, 2018 © USM, 2018

3

1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.

3. 3.1. 3.2. 3.3. 4. 4.1. 4.2.

CUPRINS PREFAȚĂ …………………………………………. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE ............ Funcții de două variabile..………...…...………......... Spațiul .………………………………………….. Funcții de variabile. Limită și continuitate …….... Derivate parțiale și diferențiabilitate ……………….. Derivata după direcție. Gradientul funcției……..….. Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior ..……………………………………………. Extreme locale. Extreme condiționate………..…….. Metoda celor mai mici pătrate…………………........ Bibliografie recomandată ……………………....….. Exerciții și probleme pentru lucrul individual ........... SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII ………………………………………….. Noțiune de serie numerică. Exemple………………. Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergență …………………….…………………… Serii cu termeni arbitrari. Serii absolut convergente ..……………………………..….……… Șiruri și serii de funcții………………… .…….. Serii de puteri…………………………..………. Dezvoltarea unei funcții în serie de puteri. Seria Taylor. Seria Maclaurin…………………….…..…. Aplicații ale seriilor………………...…………..…… Serii Fourier. Dezvoltarea unei funcții în serie Fourier……………………………………….…….... Bibliografie recomandată …………………..…….... Exerciții și probleme pentru lucrul individual ........... INTEGRALE IMPROPRII ………….…………… Integrale improprii de speţa I…………………….….. Integrale improprii de speța II…………….....……… Funcțiile și ale lui Euler………..………..…….. Bibliografie recomandată ……………..……..…….. Exerciții și probleme pentru lucrul individual …….. INTEGRALE MULTIPLE ………………...……. Integrale duble…………………………...………… Integrale triple……………………………………… Bibliografie recomandată ……………………….....

5 7 8 17 20 27 39 44 52 75 82 84 95 96 110 119 126 131 137 143 147 163 164 174 175 185 192 195 196 199 200 221 229

3.1. Integrale improprii de speţa I…………………….….. 175 3.2. Integrale improprii de speța II…………….....……… 185 3.3. Funcțiile și ale lui Euler………..………..…….. 192 Bibliografie recomandată ……………..……..…….. 195 4 CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL Exerciții și probleme pentru lucrul individual …….. 196 4. Exerciții INTEGRALE MULTIPLE ………………...……. 199 și probleme pentru lucrul individual ….…. 230 4.1. Integrale duble…………………………...………… 200 5. INTEGRALE CURBILINII …………………..... 234 4 4.2. CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL Integrale triple……………………………………… 221 5.1. Integrale curbilinii de speța I…………………...….. 235 Bibliografie recomandată 229 5.2. Integrale curbilinii de speța ………………………..... II……………………… 246 Exerciții și probleme pentru lucrul individual ….…. 230 Bibliografie recomandată ……………………...….. 259 5. Exerciții INTEGRALE CURBILINII …………………..... 234 și probleme pentru lucrul individual …….. 260 5.1. Integrale curbilinii de speța I…………………...….. 235 6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL 5.2. ÎNTÂI Integrale curbilinii de speța II……………………… 246 ………………………………………...…… 265 Bibliografie recomandată 259 6.1. Exemple de probleme ce ……………………...….. conduc la noțiunea de Exerciții și probleme pentru lucrul individual …….. 260 ecuație diferențială ……………………...…………. 266 6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL 6.2. Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Noțiuni ÎNTÂI ………………………………………...…… 265 generale……………………………….……………. 271 6.1. Exemple de probleme ce conduc la noțiunea de 6.3. Ecuații diferențiale cu variabilele separabile………. 277 ecuațiediferențiale diferențialăomogene ……………………...…………. 266 6.4. Ecuații și ecuații reductibile la 6.2. eleEcuații diferențiale de ordinul întâi. Noțiuni ………………………………………….………. 281 generale……………………………….……………. 271 6.5. Ecuații diferențiale liniare și ecuații reductibile la 6.3. eleEcuații diferențiale cu variabilele separabile………. 288 277 ………………………………………………….. 6.4. Ecuații Ecuațiicudiferențiale și ecuații reductibile la 296 6.6. diferențialăomogene totală exactă …………..…… ele ………………………………………….………. 281 Bibliografie recomandată …………………...…….. 300 6.5. Exerciții Ecuații șidiferențiale liniare și ecuații reductibile la probleme pentru lucrul individual ……. 301 ele ………………………………………………….. 288 7. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN 6.6. SUPERIOR Ecuații cu diferențială totală exactă …………..…… 296 ……………………………………….. 304 Bibliografie recomandată …………………...…….. 300 7.1. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior. Ecuații ce Exerciții și probleme pentru…………..…………… lucrul individual ……. 305 301 permit micșorarea ordinului 7. ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDIN 7.2. Ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordin SUPERIOR ……………………………………….. 312 304 superior.……...………………………...…………... 7.1. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior. Ecuații ce 7.3 Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene de ordin permit micșorarea ordinului …………..…………… 325 305 superior……………..………………….………...… 7.2. Aplicaţiile Ecuaţii diferenţiale liniare omogene ecuaţiilor de ordin 7.4 seriilor la rezolvarea superior.……...………………………...…………... 312 diferenţiale ………..…………………….….……… 339 7.3 Bibliografie Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene de ordin recomandată ……………...………….. 343 superior……………..………………….………...… 325 Exerciții și probleme pentru lucrul individual ……. 344 7.4 BIBLIOGRAFIE Aplicaţiile seriilor la rezolvarea ecuaţiilor …….……..….…………...……. 347 diferenţiale ………..…………………….….……… 350 339 ANEXE ………………………………..…………. Bibliografie recomandată ……………...………….. 343 Exerciții și probleme pentru lucrul individual ……. 344 BIBLIOGRAFIE …….……..….…………...……. 347 ANEXE ………………………………..…………. 350

5

PREFAȚĂ Calculul Diferenţial și Integral este una dintre cele mai importante ramuri ale matematicii moderne, având o largă dezvoltare atât în interiorul ei cât şi în alte domenii ale ştiinţei. Calculul Diferenţial și Integral are o problematică vastă şi variată, pornind de la probleme structurale deterministe şi până la modele continue, evolutive sau aleatoare, ceea ce înseamnă analiza procesului de trecere la limită, folosit în definirea şi studiul derivatelor, integralelor şi multor altor concepte fundamentale ale ştiinţei, care permit descrierea matematică a mişcării, creşterii, măsurii etc. Înţelegerea Calculul Diferenţial și Integral este un fapt de cultură şi educaţie, deoarece disciplinează gândirea, conturează intuiţia prin raţionament, contribuie la modelarea matematică a multor fenomene fizice, chimice, biologice, economice etc. Lucrarea Calculul Diferenţial și Integral are un caracter didactic și este destinată studenților de la Ciclul I Licență de la Domeniile generale de studii TEHNOLOGII ALE INFORMAȚIEI ȘI COMUNICAȚIILOR; INGINERIE, TEHNOLOGII DE PRELUCRARE, ARHITECTURĂ ȘI CONSTRUCȚII, dar și tuturor celor care necesită cunoștințe fundamentale de Analiză Matematică. Materialul este organizat în 7 capitole. Acestea acoperă cunoștințele aferente noțiunilor fundamentale ale Calculului Diferenţial și Integral: funcţie de mai multe variabile; limită, continuitate, diferenţiabilitate a funcţiei de mai multe variabile; serie numerică; serie de funcții; serie de puteri; integrală improprie, dublă, triplă, curbilinie; ecuaţie

6

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

diferenţială de ordinul întâi; ecuaţie diferenţială de ordin superior etc. Fiecare capitol însumează atât un rezumat teoretic cu referire la noțiunile studiate, proprietățile și aplicabilitatea acestora, cât și multiple probleme ce conduc la noțiunile considerate, metode de rezolvare a problemelor tipice, exemple rezolvate etc. La sfârșitul fiecărui capitol sunt propuse exerciții și probleme spre rezolvare. În majoritatea cazurilor condițiile se referă la câte 10 itemi, ceea ce permite organizarea lucrului individual al studenților. După parcurgerea materialului expus în lucrare studenții trebuie să fie capabili: - să cunoască și să definească conceptele de bază ale Calculului Diferenţial și Integral; - să stabilească relaţiile dintre noile noţiuni şi cele studiate în cadrul cursului liceal; - să clasifice noțiunile și proprietăţile studiate în cadrul cursului; - să prezinte interpretarea geometrică, fizică, economică etc. a unor noţiuni studiate în cadrul cursului; - să implementeze cunoştinţele teoretice la rezolvarea problemelor din alte domenii ale matematicii şi informaticii, a problemelor cu caracter teoretic şi practic; - să utilizeze rezultatele şi metodele Calculului Diferenţial și Integral în studiul unor probleme cu caracter general din diverse domenii de cercetare ale activităţii profesionale; - să optimizeze metodele de rezolvare a problemelor prin aplicarea procedeelor, metodelor sau a tehnicii adecvate, studiate în cadrul cursului.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 1.1. Funcții de două variabile 1.2. Spațiul 1.3. Funcții de variabile. Limită și continuitate 1.4. Derivate parțiale și diferențiabilitate 1.5. Derivata după direcție. Gradientul funcției 1.6. Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior 1.7. Extreme locale. Extreme condiționate 1.8. Metoda celor mai mici pătrate 









Cunoașterea noţiunilor de funcţie de mai multe variabile; limită în punct, continuitate, derivată parțială de ordinul întâi și superior, derivată după direcție, gradient, diferențială de ordinul întâi și superior, extrem local, extrem condiționat pentru o funcție de mai multe variabile. Cunoașterea și aplicarea proprietăţilor principale ale funcţiilor de mai multe variabile. Interpretarea geometrică și fizică a derivatelor parţiale, derivatei după direcţie și a gradientului funcției. Aplicarea algoritmului de determinare a extremelor locale și globale ale funcţiilor de două variabile. Propunerea metodelor de rezolvare a problemelor de optimizare cu caracter aplicativ.

7

8

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

1.1. Funcții de două variabile Funcţiile de o singură variabilă nu pot descrie toate fenomenele și procesele ce au loc în natură. Multe dintre acestea sunt caracterizate de o interdependenţă a mai multor factori. Spre exemplu: - Aria a unui dreptunghi cu laturile de lungimi și , se calculează conform formulei adică este definită de perechea de numere pozitive - Conform Legii lui Ohm, intensitatea a curentului electric se calculează după regula

unde

este

tensiunea aplicată, iar este rezistența circuitului; - Funcția de producție Cobb-Douglas stabilește dependența volumului al produsului fabricat de: cheltuielile de capital, resursele (cheltuielile) de muncă, parametrul al productivității muncii, care corespunde tehnologiei aplicate și de cota , a capitalului în venit. Astfel de dependenţe conduc la apariţia noţiunii de funcţie de mai multe variabile. Pentru simplitatea expunerii, vom defini mai întâi funcția de două variabile. Definiţia 1.1.1. Dacă fiecărei perechi ordonate de numere reale din mulțimea i se pune în corespondență un număr real binedeterminat (după o lege ), atunci vom spune că pe mulțimea este definită funcția de două variabile . Mărimile variabile și se numesc variabile independente (argumente), iar se numește funcție de aceste variabile. Mulțimea se numește domeniul de definiție al funcției Se notează cu

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Domeniulde dedefiniție definițieeste estepredefinit predefinitsau sausesedetermină determină Domeniul Domeniul de definiție este predefinit sau se determină folosindaceleaşi aceleaşiraţionamente raţionamentecaca șișiînîncazul cazul funcţiei funcţieide deoo folosind folosind aceleaşi raţionamente ca și în cazul funcţiei de o singurăvariabilă. variabilă. singură singură variabilă. Exemplul 1.1.1. 1.1.1. Este evident evident căcă Exemplul Este Exemplul Este numere evidentreale căx expresia 1.1.1. are aresens senspentru pentruorice oricedouă două expresia numere reale x expresia are sens pentru orice două numere reale x și . Astfel și . Astfel și . Astfel Exemplul1.1.2. 1.1.2. Exemplul Exemplul 1.1.2. Expresia are sens sens pentru pentru toate toate perechile perechile Expresia are Expresia de numere reale, are sens toate inegalitatea perechile carepentru verifică de numere reale, care verifică inegalitatea de numere Astfel reale, care verifică inegalitatea Astfel Astfel Exemplul1.1.3. 1.1.3. Exemplul Exemplul 1.1.3. sens pentru pentru toate toate perechile perechile sens sens pentru toate perechile verifică inegalitatea dublă verifică inegalitatea dublă verifică inegalitatea dublă

Expresia are Expresia are Expresia are de numere numere reale, reale, care care de de numere adică reale, care adică adică

Într-un sistem sistem cartezian cartezian rectangular rectangular de de coordonate, coordonate, Într-un Într-un sistem cartezian rectangular de coordonate, fiecărei perechi perechi ordonate ordonate de numere numere reale reale îiîi fiecărei de fiecărei perechi ordonate de numere reale îi corespundeunivoc univocun unpunct punct alalplanului planului Dinaceste aceste corespunde . .Din corespunde univoc un punct al planului . Dinpoate aceste considerente, domeniul dedefiniție definiție uneifuncții funcții considerente, domeniul de alalunei poate fifi considerente, de definiție uneiplanul funcții poatecare fi identificat cu cudomeniul mulțime de puncte punctealdin din identificat oo mulțime de planul care identificat cu o mulțime de puncte din planula domeniului care deseorisesenumește numește interpretare geometrică deseori interpretare geometrică a domeniului deseori se numește interpretare geometrică a domeniului dedefiniție definițiealalfuncției funcțieide dedouă douăvariabile. variabile. de de definiție al funcției de două variabile. Definiţia 1.1.2. 1.1.2. Fie Fie funcția funcția Mulțimea Definiţia Mulțimea Definiţia 1.1.2. Fie funcția Mulțimea numește grafic grafic sese numește se numește grafic funcției alalfuncției al funcției Cașișiînîncazul cazuldomeniului domeniuluide dedefiniție, definiție,graficul graficulfuncției funcției Ca Ca și în cazul domeniului de definiție, graficul funcției poatefifiidentificat identificatcu cuoomulțime mulțimede depuncte punctedin dinspațiul spațiul poate poate fi identificat cu o mulțime de puncte din spațiul (deregulă, regulă,oosuprafață). suprafață). (de (de regulă, o suprafață).

9 9

9

10

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 1.1.4. Pentru funcția interpretarea geometrică a domeniului de definiție este planul , iar graficul funcției este suprafața din figura 1.1.1., numită paraboloid circular.

Figura 1.1.1. Exemplul 1.1.5. Pentru funcția interpretarea geometrică a domeniului de definiție reprezintă discul mărginit de cercul de rază cu centrul în originea de coordonate (figura 1.1.2.), iar graficul ei este semisfera reprezentată în figura 1.1.3.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Figura 1.1.2.

Figura 1.1.3. Exemplul 1.1.6. Să se determine și să se reprezinte geometric domeniul de definiție al funcției 1.

2.

Soluție: 1. Domeniul de definiţie al funcţiei

este mulţimea

Pentru a reprezenta în planul cartezian rectangular de coordonate mulţimea , vom studia semnul expresiei

Obținem:

11

12

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

ceea ce în planul punctul (1,0) de rază

reprezintă un cerc cu centrul în . Iar

reprezintă un cerc cu centrul în punctul (0,1) de rază . Reprezentăm geometric cele două cercuri. Astfel planul este divizat în 4 submulţimi de puncte. Considerând câte un punct arbitrar din fiecare submulţime, haşurăm domeniul, pentru care se verifică inegalitatea

Ținând cont de faptul că expresia este numitorul unei fracţii, deci este diferită de zero, am cu linie întreruptă. reprezentat cercul Astfel obţinem mulțimea hașurată din figura 1.1.4. în calitate de domeniu de definiție al funcției

Figura 1.1.4. 2. Domeniul de definiţie al funcţiei Din condiția:

este mulțimea

obținem sistemul

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Reprezentăm dreptele: și Reprezentăm dreptele: și ultima dintre ele cu linie întreruptă. Obţinem şase ultima dintre ele cu linie întreruptă. Obţinem şase submulţimi. Iar prin raționamente similare cazului precedent submulţimi. Iar prin raționamente similare cazului precedent obținem cele două mulțimi haşurate în figura 1.1.5. în obținem cele două mulțimi haşurate în figura 1.1.5. în calitate de domeniu de definiție al funcției calitate de domeniu de definiție al funcției

Figura 1.1.5. Figura 1.1.5. Pentru funcţiile de două variabile construirea Pentru funcţiile de două variabile construirea graficului funcţiei este deseori destul de complicată, iar graficului funcţiei este deseori destul de complicată, iar însăşi suprafaţa este greu de “imaginat”. Una dintre însăşi suprafaţa este greu de “imaginat”. Una dintre metodele de studiere a “comportării” funcţiei se bazează pe metodele de studiere a “comportării” funcţiei se bazează pe construirea liniilor de nivel. Noţiunea de linie de nivel este construirea liniilor de nivel. Noţiunea de linie de nivel este pe larg aplicată în geodezie, cartografie, la alcătuirea hărţilor pe larg aplicată în geodezie, cartografie, la alcătuirea hărţilor sinoptice, dar şi la descrierea diferitor câmpuri fizice (al sinoptice, dar şi la descrierea diferitor câmpuri fizice (al temperaturilor, al presiunilor etc.). temperaturilor, al presiunilor etc.). Definiţia 1.1.3. Se numește linie de nivel a funcției Definiţia 1.1.3. Se numește linie de nivel a funcției mulțimea tuturor punctelor planului mulțimea tuturor punctelor planului coordonatele cărora verifică relația unde coordonatele cărora verifică relația unde este o constantă arbitrară. este o constantă arbitrară.

13 13

14

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Cu ajutorul liniilor de nivel este comod de analizat caracterul, deseori complicat, al suprafeţei definite de funcţia De obicei, numerele se iau în progresie aritmetică. Din poziţia reciprocă a liniilor de nivel putem trage concluzii despre forma suprafeţei. Acolo unde liniile de nivel sunt mai „dense”, funcţia variază mai „repede”, şi invers. Exemplul 1.1.7. Pentru funcția liniile de nivel sunt descrise de ecuația: sau Observăm că pentru liniile de nivel ale funcției constituie mulțimea cercurilor cu centrul în punctul și raza Pentru avem doar punctul Pentru , linii de nivel nu există. În figura 1.1.6. sunt reprezentate liniile de nivel pentru valorile și ale lui

Figura 1.1.6. Astfel putem construi suprafața, care reprezintă graficul funcției (figura 1.1.7.).

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Figura 1.1.7.

Figura 1.1.8.

15

16

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 1.1.8. Să se construiască liniile de nivel pentru funcţia : 1.

2.

Soluție: 1. Liniile de nivel ale funcţiei sunt dreptele unde este o constantă (figura 1.1.8.). 2. Liniile de nivel ale funcţiei determină din relaţia pentru orice numere reale pentru nu există. Pentru avem doar punctul liniile de nivel sunt descrise de ecuația

și

se Așa cum linii de nivel

iar pentru

ceea ce în planul cartezian reprezintă frontiera pătratului cu latura de lungime (figura 1.1.9.).

Figura 1. 1.9.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

1.2. Spațiul 1.2. Spațiul Fie un număr natural nenul fixat. Notăm prin Fie un număr natural nenul fixat. Notăm prin mulțimea tuturor sistemelor ordonate de mulțimea tuturor sistemelor ordonate de numere reale, adică numere reale, adică În dependență de interpretarea geometrică, elementele În dependență de interpretarea geometrică, elementele se numesc puncte și se notează cu mulțimii se numesc puncte și se notează cu mulțimii sau vectori și se notează cu sau vectori și se notează cu Numerele de regulă, Numerele de regulă, coordonate. coordonate. Numim distanță dintre punctele Numim distanță dintre punctele numărul real numărul real

se numesc se numesc și și

și r un număr Definiţia 1.2.1. Fie un punct din spațiul Definiţia 1.2.1. Fie un punct din spațiul și r un număr real pozitiv. Mulțimea se real pozitiv. Mulțimea se numește bilă deschisă cu centru în de rază Mulțimea numește bilă deschisă cu centru în de rază Mulțimea se numește bilă închisă se numește bilă închisă cu centru în de rază cu centru în de rază Definiţia 1.2.2. Se numește vecinătate a punctului orice Definiţia 1.2.2. Se numește vecinătate a punctului orice bilă deschisă cu centru în de rază bilă deschisă cu centru în de rază Fie o mulțime din Fie o mulțime din Definiţia 1.2.3. Punctul se numește punct interior al Definiţia 1.2.3. Punctul se numește punct interior al mulțimii dacă există o vecinătate a sa, care se include mulțimii dacă există o vecinătate a sa, care se include în mulțimea adică există (figura 1.2.1.). în mulțimea adică există (figura 1.2.1.). Mulțimea tuturor punctelor interioare ale mulțimii Mulțimea tuturor punctelor interioare ale mulțimii se numește interiorul mulțimii și se notează cu . se numește interiorul mulțimii și se notează cu .

17 17

18 18

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Mulțimea se numește deschisă, dacă ea constă doar Mulțimea se numește deschisă, dacă ea constă doar din puncte interioare. din puncte interioare.

Figura 1.2.1. Figura 1.2.1. Definiţia 1.2.4. Punctul se numește punct aderent al Definiţia 1.2.4. Punctul se numește punct aderent al mulțimii , dacă orice vecinătate a sa conține puncte din mulțimii , dacă orice vecinătate a sa conține puncte din adică (figura 1.2.2.). adică (figura 1.2.2.). Mulțimea punctelor aderente ale mulțimii se Mulțimea punctelor aderente ale mulțimii se numește închiderea mulțimii și se notează cu . numește închiderea mulțimii și se notează cu . Mulțimea se numește închisă, dacă ea coincide cu Mulțimea se numește închisă, dacă ea coincide cu închiderea sa. închiderea sa. Definiţia 1.2.5. Punctul se numește punct de Definiţia 1.2.5. Punctul se numește punct de frontieră al mulțimii , dacă orice vecinătate a sa conține frontieră al mulțimii , dacă orice vecinătate a sa conține atât puncte care aparțin mulțimii cât și puncte care nu atât puncte care aparțin mulțimii cât și puncte care nu aparțin mulțimii (figura 1.2.2.). aparțin mulțimii (figura 1.2.2.). Mulțimea punctelor de frontieră ale mulțimii se Mulțimea punctelor de frontieră ale mulțimii se numește frontiera mulțimii și se notează cu . numește frontiera mulțimii și se notează cu .

Figura 1.2.2. Figura 1.2.2.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Definiţia 1.2.6. Punctul se numește punct de acumulare al mulțimii , dacă orice vecinătate a sa conține cel puțin un punct din diferit de Definiţia 1.2.7. Mulțimea , se numește mărginită, dacă ea se include într-o bilă. O mulțime mărginită și închisă din se numește mulțime compactă. Definiţia 1.2.8. Mulțimea se numește conexă, dacă pentru orice două puncte există o funcție continuă astfel încât și Orice mulțime deschisă și conexă se numește domeniu. Definiţia 1.2.9. Se numește diametru al mulțimii

numărul

Definiţia 1.2.10. Dacă oricărui număr natural i din atunci vom se pune în corespondență un punct spune că este definit șirul de puncte din notat cu Definiţia 1.2.11. Punctul din spațiul limita șirului dacă șirul

se numește În acest caz

se numește convergent către A. Se notează

sau

Teorema 1.2.1. Fie

când și

Atunci

19

20

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

1.3. Funcții de

variabile. Limită și continuitate

Definiţia 1.3.1. Fie o mulțime din Dacă fiecărui punct din mulțimea i se pune în corespondență un număr real binedeterminat (după o lege ), atunci vom spune că pe mulțimea este definită funcția de variabile sau Mărimile variabile se numesc variabile independente (argumente), iar - funcție de aceste argumente. Mulțimea se numește domeniu de definiție al funcției Exemplul 1.3.1. este o funcție de 3 variabile. Domenul ei de definiție, în cazul în care nu este definit, este Exemplul 1.3.2.

este o funcție de 3

variabile. Domeniul ei de definiție este

La studierea funcțiilor de mai multe variabile se aplică același aparat matematic folosit în cazul funcţiei de o singură variabilă. În cele ce urmează vom defini noțiunile de limită și continuitate pentru funcțiile de mai multe variabile. iar un punct de Fie acumulare al mulțimii

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Definiţia 1.3.2. (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857, matematician francez) Numărul real b se numește limită a în punctul , funcției dacă pentru orice număr există un număr astfel încât pentru orice punct , inegalitatea implică inegalitatea . Se notează: sau

Definiţia 1.3.3. (Heinrich Eduard Heine, 1821-1881, matematician german) Numărul real b se numește limită a funcției în punctul , dacă pentru orice șir de puncte din care converge către converge șirul respectiv de valori ale funcției către b. Definițiile 1.3.2. și 1.3.3. sunt echivalente. Exemplul 1.3.3. Să se calculeze: 1.

2.

3.

4.

Soluție: 1.

21

22

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

2. Notăm și

și

. Pentru

rezultă că

Am utilizat limita remarcabilă: 3. atunci când

și

Rezultă că obținem

4. Utilizând

Ținând cont de faptul că, pentru orice două numere reale are loc obținem: atunci când

și

Astfel am obținut că nu există.

Exemplul 1.3.4.

Într-adevăr, șirurile de puncte către punctul

, când

şi

tind

. Pentru acestea obținem

1. FUNCȚII FUNCȚII DE DE MAI MAI MULTE MULTE VARIABILE VARIABILE 1.

dar dar

fapt fapt

demonstrează că că limita limita demonstrează Proprietăți: Proprietăți: Fie Fie

și și Atunci există: există: Atunci

ce ce

nu există. există. nu

există există

a) a) b) b) c) c) d) d)

,,

Definiţia 1.3.4. 1.3.4. Vom Vom spune spune că că funcția funcția are limita limita Definiţia are în punctul punctul ,, dacă dacă pentru pentru orice orice ,, în astfel încât încât pentru pentru oricât de de mare, mare, există există un un număr număr astfel oricât implică inegalitatea inegalitatea orice punct punct implică orice (respectiv (respectiv .. Deoarece în în cazul cazul funcțiilor funcțiilor de de mai mai multe multe variabile variabile Deoarece calcularea limitei limitei în în punct punct nu nu este este deloc deloc simplă, simplă, pentru pentru calcularea studiul comportării comportării funcției funcției de de două două variabile variabile vom vom folosi folosi studiul limitele iterate. iterate. limitele Pentru simplitatea simplitatea expunerii expunerii considerăm considerăm funcția funcția de de Pentru două variabile variabile unde două unde fixați. –– fixați. Pentru orice orice fixat, fixat, este oo Pentru este funcție de de oo singură singură variabilă variabilă Presupunem Presupunem că că există există și și este este funcție finită și Atunci vom vom finită și Atunci cu cu

23 23

24

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

spune că există limita iterată a funcției care se notează

în punctul

În mod similar se definește și Teorema 1.3.1. Dacă în punctul și există limitele

există

și

atunci există și limitele iterate și ambele egale cu Reciproca teoremei 1.3.1. nu este adevărată. Exemplul 1.3.5. Considerăm

Atunci

dar limita

nu există (exemplul 1.3.4.). Exemplul 1.3.6. Considerăm

Atunci

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

25

Utilizând Teorema 1.3.1., deoarece valorile limitelor iterate sunt distincte, obținem că nu există. Fie al mulțimii

și

un punct de acumulare

Definiţia 1.3.5. Funcția se numește continuă în punctul , dacă în acest punct funcția are limită și această limită coincide cu valoarea funcției în , adică Funcția se numește continuă pe mulțimea dacă ea este continuă în fiecare punct al mulțimii .

,

Exemplul 1.3.7. Funcția este continuă în orice punct continuă în punctul deoarece

și nu este dar limita

nu există (exemplul 1.3.4.). Sunt adevărate afirmaţii similare cazului funcţiei de o singură variabilă. Teorema 1.3.2. Suma, diferenţa, produsul şi câtul (cu divizor nenul) a două funcţii continue pe o mulțime este o funcţie continuă pe această mulțime. Teorema 1.3.3. Fie funcţia continuă pe un domeniu din are loc relația Dacă în punctele , atunci există cel puțin un punct astfel încât .

26

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Teorema 1.3.4. (I, Karl Weierstrass, 1815-1897, matematician german) Orice funcție continuă pe o mulțime compactă este mărginită pe această mulțime, adică există constantele și astfel încât Definiţia 1.3.6. Numărul se numește margine superioară a funcției pe mulțimea dacă: a) , b) astfel încât Se notează

.

Numărul se numește margine inferioară a funcției pe mulțimea dacă: a) , astfel încât b) Se notează

.

Teorema 1.3.5. (II, Weierstrass) Orice funcție continuă pe o mulțime compactă își atinge pe această mulțime marginea inferioară și marginea superioară, adică există astfel încât și unde Definiţia 1.3.7. Funcția se numește uniform continuă pe mulțimea , dacă pentru orice număr există astfel încât pentru orice două puncte inegalitatea implică . Teorema 1.3.6. (Georg Cantor, 1845-1918, matematician german) Orice funcție continuă pe o mulțime compactă este uniform continuă pe această mulțime.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

1.4. Derivate parțiale și diferențiabilitate Pentru simplitatea expunerii, considerăm mai întâi cazul funcţiei de două variabile. Fie funcția şi un punct interior al domeniului său de definiție Considerăm că argumentul primeşte o creştere , iar argumentul rămâne constant. Atunci funcţia z primeşte o numită creştere creştere . În mod parţială după a funcţiei în punctul analog, dacă argumentul este constant, iar y primeşte o creştere funcţia z primeşte o creştere , numită creştere parţială după y a funcţiei . Atribuind lui o creştere , iar lui y o creştere , funcţia z primeşte o creştere , numită creştere totală a funcţiei în punctul . În general, (spre exemplu, pentru funcția ). Definiţia 1.4.1. Se numeşte derivată parţială în raport cu x valoarea a funcţiei în punctul limitei cu condiţia că această limită există. Se notează:

sau

În mod analog se defineşte derivata parţială în raport cu a funcţiei în punctul : Derivatele de mai sus se numesc derivate parţiale de ordinul întâi ale funcţiei .

27

28

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 1.4.1. Să se determine derivata parțială în raport cu a funcției în punctul Soluție:

Din definiţia derivatelor parţiale rezultă că la calcularea derivatei parţiale în raport cu , variabila se consideră constantă, iar la calcularea derivatei parţiale în raport cu , variabila se consideră constantă. Acest fapt ne permite să folosim regulile şi formulele de derivare ale funcţiilor de o singură variabilă pentru determinarea derivatelor parțiale ale funcției de mai multe variabile. Exemplul 1.4.2. 1. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei sunt:

2. Derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei sunt: 3. Pentru funcția

:

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

29

În mod similar sunt definite derivatele parţiale de ordinul întâi pentru funcţia de m variabile. o funcție de m variabile şi un al domeniului de definiție

Fie punct interior Atunci

se numește creştere parţială a funcţiei în punctul a argumentului . corespunde creșterii

, ce

Definiţia 1.4.2. Se numeşte derivată parţială în raport cu a funcţiei în argumentul punctul

cu condiţia că

valoarea limitei

această limită există. Se notează: este viteza Din definiția de mai sus rezultă că de variație a funcției în punctul în direcția axei Exemplul 1.4.3. Să se determine derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei în punctul . Soluție: Determinăm mai întâi derivatele parţiale ,

,

, ,

.

.

30

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Atunci:

,

.

Definiţia 1.4.3. Funcţia se numeşte diferenţiabilă în punctul dacă creşterea ei totală în acest punct poate fi reprezentată sub forma , unde și sunt numere reale, iar sunt funcții de și , care tind spre zero atunci când Partea liniară a creşterii , adică expresia , se numeşte diferenţială totală (de ordinul întâi) a funcţiei în punctul şi se notează cu Astfel . Exemplul 1.4.4. Funcția diferențiabilă în punctul

este întrucât

( ). Teorema 1.4.1. (condiția necesară de diferențiabilitate) Dacă funcţia este diferențiabilă în punctul , atunci există derivatele parțiale

şi

Creşterile ale argumentelor se numesc diferenţiale ale acestor argumente şi se notează cu . Astfel, dacă este diferențiabilă în punctul atunci

.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

31

Exemplul 1.4.5. Să se determine diferenţiala totală a funcţiei Soluție:

Obţinem: obținem

Deoarece atunci când

și

,

adică

formulă folosită deseori pentru aproximative a unor expresii.

calcularea

valorii

Exemplul 1.4.6. Să se calculeze valoarea aproximativă a expresiei: 2. 1. Soluție: 1. Considerăm funcţia = . Atunci

Determinăm

, , ,

și obținem 2. Considerăm funcţia

Determinăm:

. Atunci

32

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

și obținem:

În mod similar se definește noțiunea diferențiabilitate pentru funcţia de m variabile. Fie definiție

de

o funcție de m variabile şi un punct interior al domeniului său de Atunci

se numește creştere totală a funcţiei în punctul a argumentelor corespunde creșterilor .

, ce

Definiţia 1.4.4. Funcţia se numeşte diferenţiabilă în punctul dacă creşterea ei totală poate fi reprezentată sub forma

unde

, sunt numere reale, iar sunt funcții de care tind spre zero atunci când

Teorema 1.4.2. (condiția necesară de diferențiabilitate) Dacă funcţia este diferențiabilă în punctul , atunci ea are derivate parțiale în

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

punctul

în

raport

cu fiecare argument

şi

Teorema 1.4.3. (condiția suficientă de diferențiabilitate) are într-o vecinătate a Dacă funcția punctului derivate parțiale în punctul în și aceste raport cu fiecare argument derivate parțiale sunt funcții continue în punctul atunci funcția este diferențiabilă în punctul Expresia

se numeşte diferenţiala totală a funcţiei

în punctul

Exemplul 1.4.7. Să se determine diferenţiala totală a funcţiei 1. 2. Soluție: 1. . Atunci

2.

Înlocuim expresiile obţinute în formula: şi obţinem:

33

34 34

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 1.4.8. Să se arate că funcţia Exemplul 1.4.8. Să se arate că funcţia verifică relaţia: verifică relaţia: Soluție: Aflăm derivatele parţiale de ordinul întâi: Soluție: Aflăm derivatele parţiale de ordinul întâi:

Atunci Atunci

În cele ce urmează, considerăm funcţia , În cele ce urmează, considerăm funcţia , unde . Atunci z este funcţie de t. Dacă unde . Atunci z este funcţie de t. Dacă și iar funcţiile funcția are derivate parțiale continue și iar funcţiile funcția are derivate parțiale continue și sunt la rândul lor derivabile cu derivate continue pe și sunt la rândul lor derivabile cu derivate continue pe un interval, atunci funcţia are derivată în raport cu şi un interval, atunci funcţia are derivată în raport cu şi . . Dacă , unde . Dacă , unde . Atunci z este funcţie de u şi v. În condiţiile în care derivatele Atunci z este funcţie de u şi v. În condiţiile în care derivatele parţiale există, le putem determina după formulele parţiale există, le putem determina după formulele , . , . În mod similar se procedează în cazul funcției de mai În mod similar se procedează în cazul funcției de mai multe variabile. multe variabile. Fie Spunem că Fie Spunem că ecuația definește implicit pe y ca funcție de x ecuația definește implicit pe y ca funcție de x

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

pe dacă pentru orice singură soluție în raport cu verifică relația Spre exemplu, ecuaţia

ecuația notată

are o Funcția defineşte

. implicit funcţia Nu orice funcţie definită implicit poate fi definită explicit, adică scrisă sub forma . Spre exemplu, . Cu toate acestea, în anumite condiții, derivata lui y în raport cu x se poate determina explicit ca funcție de și Teorema 1.4.4. Fie funcţia continuă implicit de ecuaţia și fie funcţii continue într-o vecinătate a punctului Atunci

definită şi

.

Demonstraţie. Atribuim variabilei independente x creşterea . Atunci y va primi creşterea , adică valorii îi corespunde valoarea funcţiei . Atunci , de unde . Partea stângă a egalităţii reprezintă creşterea totală a unei funcţii de două variabile şi , unde tind spre zero când . , Obţinem de

sau

unde .

35

36

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Trecând la limită când există și

, obţinem că

■

.

În mod analog, dacă o ecuaţie defineşte implicit o funcţie de două variabile x, y, atunci derivatele parţiale ale lui se determină după formula ,

.

Exemplul 1.4.9. Să se determine derivatele parțiale de ordinul întâi , ale funcției definite implicit de ecuația: 1. 2. Soluție: 1. Aflăm derivatele parţiale ale funcţiei

şi obţinem: şi 2.

, Atunci

,

,

,

.

Definiţia 1.4.5. O dreaptă se numeşte tangentă la suprafaţa de pe suprafaţă, în punctul dacă ea este tangentă la o curbă ce se află pe această suprafaţă şi care trece prin punctul . Deoarece prin trec o infinitate de astfel de curbe, atunci şi tangente pot fi o infinitate. Dacă există şi cel puțin una este nenulă, atunci toate tangentele se află într-un plan, numit plan tangent la suprafaţă în .

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Menţionăm că în punctele în care cel puțin una dintre derivatele nu există, sau toate sunt egale cu 0, planul tangent poate să nu existe. De exemplu, în vârful planul tangent la suprafața conică nu există. Teorema 1.4.5. Pentru ca în punctul , ce aparține suprafeţei să existe plan tangent, este necesar şi suficient ca funcţia să fie diferenţiabilă în acest punct. Definiţia

1.4.6. Se numește normală la suprafaţa în punctul dreapta, ce trece prin punctul și este perpendiculară pe planul tangent, dus la suprafaţă în punctul . Dacă

suprafaţa este definită de ecuaţia atunci: - Ecuaţia planului tangent la suprafaţă în punctul , care nu este punct singular, este

- Ecuaţia normalei la suprafaţă în punctul este

Dacă suprafaţa este dată de ecuaţia , atunci: - Ecuaţia planului tangent la suprafaţă în punctul , unde , care nu este punct singular, este );

37

38

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

- Ecuaţia normalei la suprafaţă în punctul este

Exemplul 1.4.10. Să se scrie ecuația planului tangent și a normalei la suprafața în punctul : 1.

;

2. Soluție: 1. Determinăm: şi obținem: ecuaţia planului tangent la suprafaţa

în punctul

ecuaţia normalei la suprafaţa punctul 2. Determinăm: şi obținem: ecuaţia planului tangent la suprafaţa

în punctul

ecuația normalei la suprafaţa

în punctul

Exemplul 1.4.11. Să se scrie ecuația planului tangent la suprafața perpendicular dreptei

în

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

39

Soluție: Fie punctul de tangență. Punctul aparține suprafeței de ecuație de unde rezultă că Vectorul normal al planului tangent în este unde În Vectorul director al dreptei este acest caz Din condiție rezultă că vectorii și sunt coliniari, ceea ce implică

adică

Atunci Astfel am obținut punctul de tangență Ecuația planului tangent este:

și .

sau 1.5. Derivata după direcție. Gradientul funcției Fie funcția de două variabile definită pe mulțimea și un punct interior al acestei mulțimi. Derivatele parţiale ale funcţiei exprimă viteza variaţiei funcţiei de-a lungul axelor de coordonate și Dar prezintă interes variația funcţiei într-o directie dată, diferită de cele menționate. De exemplu, dacă este definit câmpul scalar al temperaturilor, adică dacă este dată temperatura în orice punct al unei plăci plane (în mod analog ar putea reprezenta temperatura într-un punct arbitrar al unui corp), legea de distribuţie a căldurii depinde esenţial de viteza variaţiei temperaturii în toate direcţiile. Admitem că dreapta este trasată prin punctul în direcția determinată de vectorul unitar (versorul) , unde

. Considerăm

40

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

pe dreapta

punctul

. Astfel segmentul

are lungimea figura 1.5.1.). Funcția

(a se vedea obține creșterea

unde

.

Figura 1.5.1. Dacă limita raportului

, când

ea se numește derivata funcției după direcția

există, atunci în punctul

și se notează prin

. Deci,

prin definiție avem: Această mărime exprimă viteza variației funcției punctul după direcția . Dacă funcția este diferențiabilă în punctul atunci

în

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

și obținem: În cazul direcției determinate vectorul dacă și sunt unghiurile formate de vectorul și respectiv coordonatele

, cu axele

atunci versorul său va avea și , care, de

regulă, se numesc cosinuși directori ai vectorlui Pentru funcția , diferențiabilă în punctul derivata după direcția se calculează după formula: unde Întrebare: În ce direcţie valoarea derivatei în punctul dat este cea mai mare? Fără a leza generalitatea, considerăm funcția de două şi variabile diferențiabilă în punctul vectorul și Atunci

cu și - unghiurile formate de acesta cu axele respectiv. Notăm: , .

41

42

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

unde

este

versorul lui și

iar

este produsul scalar al vectorilor ia valoarea maximă atunci când

. Evident, , adică

. Astfel, valoarea maximă a

derivatei este iar direcţia în care aceasta se obține este determinată de care se numește gradientul

vectorul funcției

în punctul

Definiţia 1.5.1. Fie funcția diferențiabilă în punctul . Se numește gradient al funcției în punctul vectorul, coordonatele căruia sunt egale cu derivatele parțiale ale funcției calculate în punctul sau Se notează: Gradientul determină direcția, iar modulul său mărimea vitezei maximale de creștere (de variație) a funcției în punct. Derivata funcției în punctul după direcția gradientului său în acest punct este egală cu modulul gradientului în punctul Exemplul 1.5.1. Să se calculeze derivata funcției în punctul după direcția vectorului dacă , . Să se afle gradientul acestei funcții în punctul . Să se calculeze derivata funcției după direcția gradientului său în punctul .

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Soluție: Ținând cont de formula derivatei după o direcție, calculăm derivatele parțiale ale funcției în punctul :

Aflăm coordonatele și cosinusurile directoare ale vectorului

Obținem Determinăm gradientul și calculăm modulul său în punctul : Exemplul 1.5.2. În orice punct al unei bile (cu excepția centrului) temperatura este invers proporțională distanței până la centrul bilei, care este considerat originea sistemului de coordonate. În punctul temperatura este a) Să se determine viteza de variație a temperaturii în punctul în direcția punctului b) Să se arate că în orice punct al bilei creșterea cea mai mare a temperaturii este în direcția originii de coordonate. Din condiția

Soluție: rezultă

Deci

a) Determinăm coordonatele și cosinușii directori ai vectorului

43

44

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Determinăm valorile derivatelor funcției punctul

în

. Atunci viteza de variație a temperaturii în punctul în direcția punctului este:

b) Fie un punct arbitar al bilei. Creșterea cea mai mare a temperaturii este în direcția gradientului în punctul . care este un vector orientat spre originea de coordonate, întrucât . 1.6. Derivate parțiale și diferențiale de ordin superior Ca și în paragraful precedent, pentru simplitatea expunerii, considerăm mai întâi cazul funcţiei de două variabile. Fie funcţia care posedă într-un derivate parţiale de ordinul întâi: domeniu , care fiind la rândul lor funcţii de două variabile, pot avea şi ele derivate parţiale. Derivatele parţiale în raport cu x şi y ale funcţiilor , dacă ele există, se numesc derivate parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei şi se notează astfel:

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

sau sau sau sau care Definiția 1.6.1. Fie funcția posedă derivate parțiale de ordinul întâi în orice punct al unei vecinătăți a punctului Dacă funcția are în punctul

derivată parțială în raport cu

atunci această derivată se numește derivată argumentul parțială de ordinul al doilea în raport cu argumentele și în ordinea dată, în punctul M. Se notează

În mod analog se definesc derivatele parțiale de ordinul . Se numește derivată parțială de ordinul a funcției în raport cu argumentele funcția

Derivatele parţiale de ordin superior în raport cu diferite variabile se numesc derivate parțiale mixte. De exemplu,

,

,

sunt derivate parțiale mixte.

45

46 46

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul Exemplul 1.6.1. 1.6.1. Să Să se se determine determine derivatele derivatele parțiale parțiale

și și

ale .. ale funcției funcției Soluție: Soluție: Determinăm Determinăm mai mai întâi întâi derivatele derivatele parțiale parțiale de de ordinul ordinul întâi: întâi: ,, ,, apoi apoi

.. Observăm .. Acest Observăm că că Acest rezultat rezultat nu nu este este întâmplător, întâmplător, dar dar nu nu este este nici nici „regulă” „regulă” pentru pentru orice orice funcţie. funcţie. Exemplul Exemplul 1.6.2. 1.6.2. Fie Fie funcţia funcţia

Determinăm Determinăm

pentru pentru orice orice

și și pentru Determinăm pentru orice orice Determinăm derivata parțială după în punctul aa funcției derivata parțială după în punctul funcției

Deci, Deci,

În În mod mod analog analog se se arată arată că că ..

Atunci Atunci ca ca

..

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Teorema 1.6.1. (Hermann Schwarz, 1843-1921, matematician german) Dacă într-o vecinătate oarecare a punctului există derivatele parţiale mixte ale funcţiei , care sunt continue în punctul , atunci ele sunt egale în acest punct, adică Din teorema de mai sus rezultă: și ale funcţiei sunt 1. Dacă derivatele parţiale continue pe un domeniu , atunci pe acest domeniu. 2. Dacă funcţia admite pe domeniul derivate parţiale până la ordinul k inclusiv, continue pe , atunci derivatele mixte de ordinul , care diferă numai prin ordinea derivărilor efectuate, etc. coincid. De exemplu, Afirmațiile de mai sus, inclusiv teorema Schwarz, sunt juste și pentru funcţiile de 3 şi mai multe variabile. Exemplul 1.6.3. Să se determine derivatele parțiale de ordinul al doilea ale funcției 1. 2. Soluție: 1. Aflăm derivatele parţiale de ordinul întâi: ,

. Atunci derivatele parţiale de ordinul al doilea sunt:

47

48

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

2. Aflăm derivatele parţiale de ordinul întâi:

Obținem:

În cele ce urmează vom defini noțiunea de diferențială de ordinul al doilea.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Definiția 1.6.2. O funcție se numește de ori diferențiabilă într-un punct dacă toate derivatele ei parțiale de ordinul există și sunt diferențiabile în acest punct. Considerăm funcţia de variabile independente și , diferenţiabilă într-o vecinătate a punctului și de două ori diferențiabilă în punctul . Diferențiala de ordinul întâi într-un punct arbitrar are forma şi depinde atât de și cât şi de și Definiția 1.6.3. Se numește diferenţială de ordinul al doilea a funcţiei în punctul diferențiala a funcției , determinată în totală în punctul următoarele condiții: se consideră funcție doar de variabilele și adică și se consideră constante;

- la determinarea diferențialelor totale ale funcțiilor

şi se aplică aceleași creșteri determinarea lui . Se notează cu sau Astfel, . Atunci

și

ca și pentru

Adică , sau

. Simbolic se mai scrie

.

49

50

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Similar se definește noțiunea de diferențială de ordinul al doilea pentru funcții de mai multe variabile. De exemplu pentru funcția de trei variabile diferențiala de ordinul al doilea în punctul are forma:

Diferenţiala de ordinul n se definește inductiv ca diferențiala totală de la diferențiala de ordinul , adică Dacă aceasta există, atunci în cazul unei funcții de două variabile are loc:

Exemplul 1.6.4.

Să se scrie diferenţiala de ordinul al

doilea pentru funcţia: Soluție: Folosind rezultatul din exemplul 1.6.3. obținem:

sau

Teorema 1.6.2. (formula Taylor, Brook Taylor, 16851731, matematician englez) Fie funcția diferențiabilă de ori într-o Atunci pentru vecinătate a punctului orice punct din această vecinătate are loc formula:

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

unde

este un punct de pe segmentul

adică iar în

diferențialele Dacă în expresia înlocuim expresiile notăm cu pentru și deschidem parantezele, atunci obținem un care se numește polinom Taylor polinom de . Polinomul de ordinul al funcției în punctul Taylor are proprietatea că valoarea sa și toate derivatele sale respective până la ordinul în punctul sunt egale cu valoarea și respectiv derivatele funcției în punctul Pentru din formula Taylor obținem formula Lagrange a creșterilor finite:

În cazul funcției de două variabile formula Taylor are forma:

51

52

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

. Exemplul 1.6.5. Să scriem formula Taylor pentru funcția în vecinătatea punctului până la ordinul . Pentru aceasta determinăm:

Atunci

, 1.7. Extreme locale. Extreme condiționate Fie funcţia domeniu , iar al domeniului

definită pe un un punct interior

se numeşte Definiţia 1.7.1. Punctul punct de maxim (minim) local al funcției , dacă există o vecinătate V a lui astfel încât pentru din are loc orice . Punctele de maxim şi cele de minim local se numesc puncte de extrem local ale funcției. Valorile funcţiei în punctele de maxim şi cele de minim local se numesc maxime locale, respectiv minime locale ale funcţiei.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Minimele şi maximele locale ale funcţiei se mai numesc extreme locale ale funcţiei. Exemplul 1.7.1. Fie funcţia Punctul deoarece pentru orice .

. este punct de minim local, avem

Teorema 1.7.1. (condiţii necesare de existenţă a este punctului de extrem local) Dacă punct de extrem local al funcției și există derivata parţială în punctul a funcției în raport cu argumentul

,

atunci

Demonstraţie. Într-adevăr, dacă Atunci singură variabilă

, pentru care

local. Conform teoremei Fermat

este funcţie de o este punct de extrem

■

Punctul în care toate derivatele parţiale de ordinul întâi se anulează, se numeşte punct staţionar. Punctul în care derivatele parţiale se anulează sau cel puţin una nu există, se numeşte punct critic. Reciproca teoremei de mai sus nu este valabilă. De , exemplu, pentru funcţia şi , dar punctul nu este punct de extrem local. Graficul acestei funcţii este o suprafață, numită “şa”, iar - punct de tip “şa” (figura 1.7.1.).

53

54

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Figura 1.7.1. În cele ce urmează vom prezenta condiții suficiente pentru ca un punct staționar să fie punct de extrem local. Vom considera mai întâi cazul funcției de două variabile. Fie funcţia şi un punct, în care există şi sunt continue derivatele parţiale de ordinul al doilea. Notăm cu , numită matricea hessiană (Otto Hesse, 1811-1874, . matematician german) a funcției în punctul Notăm ,

, unde

Teorema 1.7.2. (condiții suficiente de extrem local) Fie un punct staționar al funcției Fie funcția diferențiabilă într-o vecinătate a punctului și este de două ori diferențiabilă în punctul

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

55

1) Dacă și atunci este un punct de minim local; 2) Dacă și atunci este un punct de maxim local; 3) Dacă , atunci nu este punct de extrem local (este punct de tip „şa”). Dacă

, atunci nu putem afirma nimic despre (este necesar un studiu suplimentar).

Teorema de mai sus poate fi demonstrată folosind formula Taylor pentru funcţii de două variabile. Exemplul 1.7.2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei 1. . Soluție: 1. I. Determinăm derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcţiei: , II. Determinăm punctele staționare, rezolvând sistemul

Avem două puncte staţionare şi III. Determinăm derivatele parţiale de ordinul al doilea:

.

IV. Aplicăm teorema 1.7.2. fiecărui punct staționar, obținut în punctul II, și stabilim natura lor.

56

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

a)

Matricea

hessiană

în

punctul

este

. . Astfel nu este punct de extrem local. b) Matricea hessiană în

punctul

este

cu Astfel

este punct de minim local.

2. I. Aflăm derivatele parţiale de ordinul întâi: . II. Aflăm punctele staţionare, rezolvând sistemul

Astfel am obţinut punctele staţionare: şi III. Aflăm derivatele parţiale de ordinul al doilea:

.

IV. Pentru punctul

şi

ceea ce înseamnă că punctul extrem local.

nu este punct de şi

Pentru punctul

ceea ce înseamnă că punctul

este punct de minim local.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Definiţia 1.7.1. poate fi “tratată” şi în felul următor. Definiţia 1.7.1. poate fi “tratată” şi în felul următor. Fie, de exemplu, . Atunci Fie, de exemplu, . Atunci creşterea funcţiei este creşterea funcţiei este şi şi - dacă pentru creşterile mici - dacă pentru creşterile mici ale argumentelor, atunci este punct de ale argumentelor, atunci este punct de maxim local; maxim local; pentru creşterile mici - dacă pentru creşterile mici - dacă ale argumentelor, atunci este punct de ale argumentelor, atunci este punct de minim local. minim local. Exemplul 1.7.3. Să se determine punctele de extrem local Exemplul 1.7.3. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei . ale funcţiei . Soluție: Determinăm derivatele parțiale ale funcţiei: Soluție: Determinăm derivatele parțiale ale funcţiei: , , Rezolvăm sistemul Rezolvăm sistemul . . Punctul este punct staţionar. Punctul este punct staţionar. Determinăm derivatele parţiale de ordinul al doilea: Determinăm derivatele parţiale de ordinul al doilea: Atunci Atunci

, , . Deci, nu putem afirma . Deci, nu putem afirma

nimic despre acest punct. nimic despre acest punct. Vom aplica raționamentele de mai sus. Creşterea Vom aplica raționamentele de mai sus. Creşterea funcţiei în punctul este: funcţiei în punctul este: atunci atunci

. Observăm că dacă . Observăm că dacă adică adică , atunci , atunci

, , iar dacă iar dacă adică adică

57 57

58

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Astfel nu este punct de extrem local, dar este punct de tip „şa”. În mod similar cazului funcției de două variabile se procedează și în cazul funcţiei de m variabile , și anume: I. Determinăm derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției. , rezolvând sistemul: II. Aflăm punctele staţionare

III. Determinăm derivatele parțiale de ordinul al doilea în punctul IV. Aplicăm următoarea teoremă pentru a stabili natura . fiecărui punct staţionar Teorema 1.7.3. (condiții suficiente de extrem local) Fie un punct staționar al funcției . Fie funcția diferențiabilă într-o vecinătate a punctului și de două ori diferențiabilă în punctul - Dacă , pentru orice nu toate egale cu zero, atunci este punct de minim local; - Dacă , pentru orice nu este punct de maxim local; toate egale cu zero, atunci - Dacă nu își păstrează semnul în raport cu atunci nu este punct de extrem local. Exemplul 1.7.4. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei . Soluție: Determinăm derivatele parțiale ale funcţiei:

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Rezolvăm sistemul

.

Astfel obținem punctele staționare: Determinăm derivatele parţiale de ordinul al doilea:

În punctul

avem

expresie care nu păstrează semnul la variația lui nu este punct de extrem local. În concluzie În punctul avem

pentru

nu toate nule. În este punct de minim local.

concluzie

O metodă mai simplă de stabilire a naturii punctului staționar este aplicarea criteriului Silvester, și anume: Pentru fiecare punct staţionar formăm matricea hessiană:

59

60

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

. Determinăm minorii principali: ,

. , atunci este punct de - Dacă minim local. , atunci este - Dacă punct de maxim local. , iar semnele lor variază altfel decât în - Dacă toţi cazurile de mai sus, atunci nu este punct de extrem local. , atunci este nevoie de cercetat Dacă măcar un suplimentar acest punct. Exemplul 1.7.5. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei . Soluție: Determinăm derivatele parțiale ale funcției , ,

Rezolvăm sistemul Punctul este punct staţionar. Determinăm derivatele parţiale de ordinul al doilea: .

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Matricea hessiană în punctul

este .

Minorii principali sunt: . Deci

este punct de

minim local. Observație. Dacă la rezolvarea problemei din exemplul 1.7.4. aplicăm criteriul Silvester, obținem

fapt ce confirmă că În același timp

este punct de minim local. și

ceea ce nu ne permite să stabilim natura punctului. În concluzie: metoda utilizării diferențialei de ordinul al doilea a fost mai efectivă. La rezolvarea unor probleme practice, ce țin de determinarea extremelor funcţiei, variabilele independente sunt „legate” printr-o relaţie funcţională. Presupunem că se cere de determinat punctele de extrem ale funcţiei, de exemplu de două variabile , unde variabilele x şi y sunt legate prin relaţia . În acest caz punctele de extrem sunt numite puncte de extrem local condiţionat. În acest caz este evident că numai o variabilă (fie x) este

61

62

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

independentă, iar cealaltă - y (prin relaţia ) este dependentă. Problema despre punctele de extrem poate fi rezolvată înlocuind în valoarea lui y exprimată prin x (dacă este posibil), determinată din relaţia , obţinând astfel z o funcţie de o singură variabilă x şi studiind-o la extrem prin metode cunoscute. Exemplul 1.7.6. Să se determine punctele de extrem condiţionat ale funcţiei cu legătura . Soluție: Din condiţia rezultă că , de unde . Pentru funcţia avem: . Uşor se arată că este punct de minim local pentru funcţia este punct de minim local condiționat

iar

pentru funcţia cu legătura . Problema poate fi rezolvată prin altă metodă, fără a exprima y prin x (metodă convenabilă mai ales în cazul când exprimarea lui y prin x este dificilă sau chiar imposibilă). Din relaţia obținem . În punctele de extrem local avem obținem

, de unde

. Derivând după x ambele părţi ale

relaţiei

, obţinem

ultima relaţie cu

şi adunând-o

. Înmulţind la penultima, obţinem sau

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

- egalitate justă pentru orice punct de extrem. Alegem

astfel încât

, de unde

. Astfel obţinem sistemul

cu trei necunoscute x, y şi . Relațiile din acest sistem reprezintă condiţii necesare pentru extremele condiţionate. Pentru a determina dacă punctele găsite sunt puncte de extrem este necesar un studiu suplimentar. Observăm că părţile stângi ale ecuaţiilor sistemului de mai sus sunt derivate parţiale ale funcţiei de trei variabile , numită funcţia Lagrange (Joseph-Louis Lagrange, 17361813, matematician și astronom francez), iar multiplicator Lagrange. Astfel, pentru a determina punctele de extrem condiţionat ale funcţiei , cu legătura , alcătuim funcţia auxiliară Lagrange . Apoi determinăm punctele staţionare ale funcţiei F, şi respectiv - punctele staţionare condiţionate ale funcţiei un punct staţionar al Teorema 1.7.4. Fie funcţiei cu condiţia și fie punctul staționar corespunzător al funcţiei Lagrange .

63

64

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

şi funcții continue în punctul , respectiv , împreună cu derivatele lor până la ordinul al doilea inclusiv.

Fie

Fie

.

este punct de maxim local - Dacă , atunci condiţionat; - Dacă , atunci este punct de minim local condiţionat pentru funcţia . Metoda de determinare a punctelor de extrem local condiţionat, expusă mai sus, se numeşte metoda multiplicatorilor Lagrange. Să rezolvăm exemplul 1.7.6., folosind metoda multiplicatorilor Lagrange. Funcţia Lagrange este . Derivatele ei parţiale sunt:

. Determinăm punctele staţionare ale funcţiei

Deci,

este punct staţionar al funcţiei este punct staţionar condiţionat al funcţiei . și

, iar

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

,

de

unde

rezultă

că

este punct de minim local condiţionat al funcţiei . Exemplul 1.7.7. Să se determine extremele condiţionate ale funcţiei cu legătura Soluție: Funcţia Lagrange este: unde

. Aflăm derivatele ei parţiale de ordinul întâi: , , Aflăm punctele staţionare, rezolvând sistemul:

65

66

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Astfel am obţinut punctele staţionare ale funcţiei şi

:

.

Aflăm derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei : . Pentru punctul

ceea ce înseamnă că condiţionat al funcţiei Pentru punctul

este punct de maxim local ,

este un punct de minim ceea ce înseamnă că local condiţionat al funcţiei Cercetarea punctelor staționare ale funcției Lagrange poate fi realizată și cu ajutorul diferenţialei de ordinul al doilea. Exemplul 1.7.8. Să se determine extremele condiţionate ale cu legătura funcţiei Soluție: Funcţia Lagrange este: Aflăm derivatele ei parţiale de ordinul întâi: , , Aflăm punctele staţionare, rezolvând sistemul:

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

. . Astfel obținem punctele staţionare ale funcţiei : Astfel obținem punctele staţionare ale funcţiei : şi . şi . Aflăm derivatele parţiale de ordinul al doilea ale Aflăm derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei : funcţiei : . . Ținând cont de legătura Ținând cont de legătura și, respectiv, și, respectiv, Atunci Atunci ceea ce înseamnă că ceea ce înseamnă că condiţionat al funcţiei condiţionat al funcţiei

obținem: obținem:

este punct de maxim local este punct de maxim local

ceea ce înseamnă că este un punct ceea ce înseamnă că este un punct local condiţionat al funcţiei local condiţionat al funcţiei Dacă este dată funcţia de m Dacă este dată funcţia de m definită pe un domeniu definită pe un domeniu sistem de legături sistem de legături

unde sunt funcţii definite pe unde sunt funcţii definite pe funcţia Lagrange funcţia Lagrange

de minim de minim variabile variabile şi un şi un

, se alcătuieşte , se alcătuieşte

67 67

68

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

, apoi se găsesc punctele staţionare ale funcţiei F şi respectiv punctele staţionare condiţionate ale funcţiei . Cercetarea lor la extrem se face cu ajutorul diferenţialei de ordinul al doilea. În cele ce urmează ne vom preocupa de determinarea celei mai mari valori şi celei mai mici valori ale unei funcţii de două variabile definite pe un domeniu închis şi mărginit (adică determinarea extremelor globale ale funcției). Fie funcţia continuă pe un domeniu închis Conform teoremei I Weierstrass funcţia şi mărginit îşi atinge valorile maximă şi minimă pe acest domeniu. Fie funcția , care posedă derivate parţiale finite în (cu excepţia, posibil, a unui număr finit de puncte). Conform proprietăţilor funcţiei continue, pentru a găsi cea mai mare şi cea mai mică valori ale funcţiei pe domeniul se procedează analog cazului funcţiei de o singură variabilă. Se ia în consideraţie că aceste valori pot fi atinse atât în punctele de extrem local care aparţin interiorului domeniului cât şi pe frontiera lui. Deci, se determină punctele “suspecte la extrem”, care aparţin lui (punctele critice), apoi se calculează valorile funcţiei în aceste puncte. La pasul următor se cercetează funcţia pe frontiera domeniului, găsind valorile funcției în punctele critice condiţionate. În final se determină cea mai mare valoare şi cea mai mică valoare dintre toate valorile funcţiei în punctele critice și punctele critice condiționate și respectiv obținute. Se notează

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Exemplul 1.7.9. Să se determine cea mai mare valoare şi cea mai mică valoare a funcţiei pe discul . Soluție: Determinăm punctele staționare, rezolvând sistemul .

Avem un punct critic (0,0), care

aparţine domeniului şi . Cercetăm funcţia pe frontiera domeniului care este . Determinăm punctele critice ale cercul funcţiei Lagrange care sunt eventualele puncte de extrem condiţionat ale funcţiei Determinăm derivatele parţiale ale funcţiei . Rezolvăm sistemul

.

Obţinem următoarele puncte staţionare ale funcţiei

şi respectiv punctele staţionare condiţionate ale funcţiei : . Calculăm

.

Comparând valorile obţinute cu

, obținem

că cea mai mare valoare a funcţiei pe domeniul dat este , iar cea mai mică este

, adică

69

70

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 1.7.10. Să se determine valorile cea mai mare şi cea mai mică ale funcţiei pe domeniul

mărginit de curbele:

Soluție: Domeniul reprezintă mulţimea de puncte, mărginită de triunghiul, laturile căruia au drept suport axele de coordonate şi dreapta (figura 1.7.2.).

Figura 1.7.2. Aflăm punctele staţionare ale funcţiei situate în interiorul domeniului Determinăm derivatele parţiale de ordinul întâi: , Rezolvăm sistemul

, care Astfel am obţinut punctul staţionar aparţine domeniului Cercetăm funcţia pe frontiera domeniului care este triunghiul Vom cerceta fiecare latură a triunghiului Ținând cont de faptul că laturile triunghiului sunt descrise de funcții simple, este mai comod să înlocuim expresiile

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

respective respective în în formula formula funcției funcției ,, decât decât să să cercetăm cercetăm funcțiile funcțiile Lagrange corespunzătoare. Lagrange corespunzătoare. Aici Aici Atunci Atunci Obţinem Obţinem punctul punctul Atunci Atunci

Aici Aici

Obţinem Obţinem punctul punctul ::

Atunci Atunci

Aici Aici

Obţinem Obţinem punctul punctul Calculăm Calculăm valoarea valoarea funcţiei funcţiei în în fiecare fiecare dintre dintre punctele punctele domeniului obţinute, inclusiv în punctele domeniului obţinute, inclusiv în punctele

Concluzie: Concluzie:

Exemplul Exemplul 1.7.11. 1.7.11. Albiile Albiile aa două două râuri râuri au au forma forma curbelor curbelor date de ecuațiile și Se intenționează date de ecuațiile și Se intenționează aa construi un canal rectiliniu, care să unească construi un canal rectiliniu, care să unească aceste aceste albii. albii. Să Să se determine lungimea minimă a canalului. se determine lungimea minimă a canalului.

71 71

72

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Soluție: Vom considera distanță dintre două curbe, cea mai mică lungime a segmentului cu extremitățile pe aceste curbe. În acest caz, dacă este un punct arbitrar de pe curba atunci distanța de la punctul la dreapta se calculează după formula Ne interesează valoarea minimă a acestei expresii, în Pentru simpificarea calculelor vom condiția Astfel trebuie determina valoarea minimă a funcției să determinăm valoarea minimă a funcției cu

legătura

unde

În acest caz funcția Lagrange este Atunci . Rezolvăm sistemul

.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

Obţinem punctul staţionar Obţinem punctul staţionar respectiv, punctul staţionar respectiv, punctul staţionar funcţiei funcţiei Aflăm derivatele parţiale Aflăm derivatele parţiale funcţiei : funcţiei :

al funcţiei al funcţiei condiţionat condiţionat

73 73

şi şi al al

de ordinul al doilea ale de ordinul al doilea ale . .

Pentru punctul Pentru punctul

ceea ce înseamnă că este punct de minim local ceea ce înseamnă că este punct de minim local condiţionat al funcţiei Atunci distanța minimă dintre cele condiţionat al funcţiei Atunci distanța minimă dintre cele două curbe (lungimea minimă a canalului) este două curbe (lungimea minimă a canalului) este

Exemplul 1.7.12. O întreprindere comercializează două Exemplul 1.7.12. O întreprindere comercializează două tipuri de marfă în cantitățile și respectiv. Funcția tipuri de marfă în cantitățile și respectiv. Funcția iar funcția costului este iar funcția costului este profitului este Să se profitului este Să se determine cantitățile de marfă care asigură profitul maxim. determine cantitățile de marfă care asigură profitul maxim. Soluție: În acest caz Soluție: În acest caz

pe pe

Pentru a rezolva problema, studiem la extrem global Pentru a rezolva problema, studiem la extrem global funcția P. Pentru aceasta rezolvăm sistemul funcția P. Pentru aceasta rezolvăm sistemul

Astfel am obţinut punctul staţionar: Astfel am obţinut punctul staţionar:

74

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Determinăm

Atunci ceea ce

implică faptul că local.

este unicul punct de maxim

Astfel am obținut că profitul maxim va fi asigurat de cantitățile de marfă

și

Exemplul 1.7.13. O fabrică de lactate a planificat, pentru o anumită perioadă, producerea a 100 tone de iaurt, utilizând două procedee tehnologice diferite. Costul de producție a tone de iaurt, folosind primul procedeu tehnologic este u.m., iar costul de producție a tone de iaurt, folosind cel de-al doilea procedeu tehnologic este u.m. Să se determine cantitățile de iaurt produse prin intermediul fiecărui procedeu tehnologic, care asigură costul total de producție minim. Soluție: Costul total de producție este Condiția de a produce în total 100 de tone de iaurt, implică Pentru a rezolva problema trebuie să determinăm extremele condiționate ale funcției cu legătura În acest caz funcția Lagrange este

Atunci . Rezolvăm sistemul

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

. Obţinem punctul staţionar al funcţiei şi, respectiv, punctul staţionar condiţionat al funcţiei Aflăm derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcţiei : . Pentru punctul

ceea ce înseamnă că este punct de minim local condiţionat al funcţiei Astfel am obținut cantitățile și , care asigură costul total de producție minim. 1.8. Metoda celor mai mici pătrate Deseori în urma unor cercetări experimentale se obțin date de tipul celor din tabelul de mai jos:

Să admitem că trebuie determinată dependența analitică dintre mărimile și Fiecărei perechi de numere din tabel îi punem în corespondență un punct din planul cartezian de coordonate . Să admitem că ele sunt plasate în apropierea unei drepte, (figura 1.8.1.). Este firesc să considerăm că în această situație mărimile și se află aproximativ într-o

75

76

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

dependență liniară care se va prezenta prin relația:

Figura 1.8.1. Vom numi dependență teoretică dintre și . Astfel, oricărei abscise îi corespund două valori ale ordonatei - una teoretică și alta tabelară . Numim diferențele , abateri sau devieri ale datelor experimentale de la cele teoretice. Pentru totalitatea de puncte formăm suma pătratelor devierilor pe verticală a punctelor de la dreapta : Valoarea acestei sume depinde de valorile parametrilor și Vom determina valorile parametrilor și astfel încât punctele să fie situate cât mai aproape de dreapta Metoda celor mai mici pătrate constă în determinarea valorilor lui și , pentru care valoarea

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

funcției de două variabile este minimă. Determinăm derivatele parțiale ale funcției

Egalându-le cu zero, obținem sistemul:

numit sistemul normal al metodei celor mai mici pătrate. soluția acestui sistem. Fie Determinăm derivatele parțiale de ordinul al doilea ale funcției

Atunci

deoarece există cel puțin

un

Conform teoremei 1.7.2. punctul staționar este punct de minim local al funcției iar este ecuația dreptei căutate. Dreapta se numește dreaptă de regresie și se spune că aceasta liniarizează optim datele experimentale.

77

78

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

1.8.1. Să determinăm dependența liniară care liniarizează optim datele statistice din următorul tabel: Exemplul

Soluție: Pentru următorul tabel:

comoditatea

4

0

1

4

16

-1

0

1,5

4

12

calculelor,

completăm

Aplicăm metoda celor mai mici pătrate și formăm sistemul normal: Rezolvând acest sistem obținem: . Prin urmare, . Uneori datele sugerează că funcția de ajustare este o funcție pătratică, hiperbolică sau de altă natură, cazuri în care se procedează analog pentru stabilirea și rezolvarea sistemelor normale de ecuații. Pentru funcția pătratică normal de ecuații are forma:

sistemul

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

79

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

79

iar pentru funcția hiperbolică

sistemul normal de

ecuații are forma: iar pentru funcția hiperbolică

sistemul normal de

ecuații are forma:

Exemplul 1.8.2. În tabelul de mai jos este indicată populația Republicii Moldova pe parcursul unei perioade de Exemplul 1.8.2. În tabelul de din maitabel jos după este oindicată 20 de ani. Să se ajusteze datele funcție populația Republicii Moldova pe parcursul unei perioade de liniară și după o funcție hiperbolică și să se determine 20 de ani. se ajusteze datele datele din tabel după o funcție funcția careSă ajustează mai eficient din tabel. liniară și după o funcție hiperbolică și să se determine Populația, Populația, funcția care ajustează mai eficient datele din tabel. 1 3655614 11 3572703 Populația, Populația, 2 3649930 12 3567512 13 3655614 11 3572703 3644070 13 3563685 24 3649930 12 3567512 3635112 14 3560430 35 3644070 13 3563685 3627812 15 3559541 46 3635112 14 3560430 3618312 16 3559497 57 3627812 15 3559541 3607435 17 3557634 68 3618312 16 3559497 3600436 18 3555159 79 3607435 17 3557634 3589936 19 3553056 8 3600436 18 3555159 10 3581110 20 3550852 9 3589936 19 3553056 10 3581110 20 3550852 Soluție: Cu scopul de de ajustare a Soluție: Cu scopul de tabel: de ajustare a tabel:

a determina funcția liniară datelor, completăm următorul a determina funcția liniară datelor, completăm următorul

80

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 210

3655614 3649930 3644070 3635112 3627812 3618312 3607435 3600436 3589936 3581110 3572703 3567512 3563685 3560430 3559541 3559497 3557634 3555159 3553056 3550852 71809836

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 2870

3655614 7299860 10932210 14540448 18139060 21709872 25252045 28803488 32309424 35811100 39299733 42810144 46327905 49846020 53393115 56951952 60479778 63992862 67508064 71017040 750079734

Utilizând datele din tabel, alcătuim sistemul normal de ecuații Rezolvând acest sistem obținem: și, respectiv, Cu scopul de a determina funcția hiperbolică

1. FUNCȚII FUNCȚII DE DE MAI MAI MULTE MULTE VARIABILE VARIABILE 1.

de ajustare ajustare aa datelor, datelor, completăm completăm următorul următorul tabel: tabel: de

11 22 33 44 55 66 77 88 99 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 18 18 19 19 20 20

3655614 3655614 3649930 3649930 3644070 3644070 3635112 3635112 3627812 3627812 3618312 3618312 3607435 3607435 3600436 3600436 3589936 3589936 3581110 3581110 3572703 3572703 3567512 3567512 3563685 3563685 3560430 3560430 3559541 3559541 3559497 3559497 3557634 3557634 3555159 3555159 3553056 3553056 3550852 3550852

11 0.5 0.5 0.3333 0.3333 0.25 0.25 0.2 0.2 0.1667 0.1667 0.1429 0.1429 0.125 0.125 0.1111 0.1111 0.1 0.1 0.0909 0.0909 0.0833 0.0833 0.0769 0.0769 0.0714 0.0714 0.0667 0.0667 0.0625 0.0625 0.0588 0.0588 0.0556 0.0556 0.0526 0.0526 0.05 0.05

11 0.25 0.25 0.1111 0.1111 0.0625 0.0625 0.04 0.04 0.0278 0.0278 0.0204 0.0204 0.0156 0.0156 0.0123 0.0123 0.01 0.01 0.0083 0.0083 0.0069 0.0069 0.0059 0.0059 0.0051 0.0051 0.0044 0.0044 0.0039 0.0039 0.0035 0.0035 0.0031 0.0031 0.0028 0.0028 0.0025 0.0025

3655614 3655614 1824965 1824965 1214690 1214690 908778 908778 725562.4 725562.4 603052 603052 515347.86 515347.86 450054.5 450054.5 398881.78 398881.78 358111 358111 324791.18 324791.18 297292.67 297292.67 274129.62 274129.62 254316.43 254316.43 237302.73 237302.73 222468.56 222468.56 209272.59 209272.59 197508.83 197508.83 187002.95 187002.95 177542.6 177542.6

210 210

71809836 71809836

3.5977 3.5977

1.5962 1.5962

13036684.69 13036684.69

Utilizând datele datele din din tabel, tabel, alcătuim alcătuim sistemul sistemul normal normal Utilizând de ecuații ecuații de Rezolvând acest acest sistem sistem obținem: obținem: Rezolvând

81 81

82

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

și, respectiv,

Pentru a verifica care dintre funcții ajustează mai eficient datele din tabelul inițial, vom calcula valoarea funcției în fiecare caz. În cazul funcției liniare:

În cazul funcției hiperbolice:

În concluzie, funcția liniară este cea care ajustează mai eficient populația Republicii Moldova pe parcursul celor 20 de ani considerați. Bibliografie recomandată 1. Bunu I. Matematici economice. - Chișinău: Editura

ASEM, 2012, p. 107-140. 2. Crăciun I. Analiză matematică. Calcul diferențial. Iași, 2011, p. 243-440. 3. Păltineanu G. Analiză matematică. Calcul diferențial. București: Ed. AGIR, 2002, p. 128-182.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

4. Stănăşilă O. Analiză matematică. Ediţia definitivă. – Bucureşti: Ed. Floarea Darurilor, 2014, p. 109-190. 5. Stewart J. Calculus. Early Transcendentals. 5th edition. Centgage Learning, 2016, p. 849-980. 6. Fihtengolț G.M. Bazele analizei matematice, vol. I. – Chișinău: Ed. Lumina, 1970, p. 217-276.

83

84

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exerciții și probleme pentru lucrul individual 1.1. Să se determine și să se reprezinte grafic domeniul de definiție al funcției : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

.

1.2. Să se construiască liniile de nivel pentru funcţia : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

10.

.

1.3. Să se calculeze sau să se demonstreze că nu există:

1.4. Să se determine derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcției : 1. 2.

85

86

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

.

1.5. Să se determine diferenţiala totală a funcției : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

.

1.6. Utilizând diferențiala totală, să se calculeze aproximativ valoarea expresiei: 1. 2. 3. 4. 5.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

6. 7. 8. 9. 10. 1.7. Să se determine derivatele parţiale de ordinul întâi ale funcţiei definite implicit prin: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 1.8. Să se scrie ecuaţia planului tangent şi a normalei la suprafaţa în punctul :

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

87

88

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

8. 9. 10. 1.9. Să se calculeze derivata funcţiei gradientului său în punctul

după direcţia

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.10. Să se determine derivatele parţiale de ordinul al doilea ale funcției : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

9. 10.

.

1.11. Să se arate că funcția 1.

verifică relația indicată:

,

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

,

10. 1.12. Să se scrie diferențiala de ordinul al doilea pentru funcția în punctul 1. 2. 3. 4. 5. 6.

89

90

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

7. 8. 9. 10. 11.

.

1.13. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.14. Să se determine extremele condiţionate ale funcţiei cu legătura 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

8. 9. 10. 1.15. Să se determine valorile cea mai mică şi cea mai mare (extremele globale) ale funcţiei pe domeniul închis mărginit de curbele date: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1.16. Să se demonstreze că suprafeţele punctul tangent comun.

și sunt tangente în şi să se determine ecuaţia planului

1.17. Să se scrie ecuaţia planului tangent la suprafaţa dată, paralel planului dat:

91

92

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

1. 2. 1.18. Să se scrie ecuaţia planului tangent la suprafaţa ce trece prin punctul

paralel

dreptei 1.19. Să se scrie ecuaţia planului tangent la suprafaţa dată, perpendicular dreptei date: 1. 2. 1.20. Pentru suprafaţa să se scrie ecuaţia planului tangent, care conţine dreapta

1.21. Să se scrie ecuaţia normalei la suprafaţa

perpendicular planului 1.22. În ce puncte ale elipsoidului

normala

la suprafaţă formează cu axele de coordonate unghiuri congruente? 1.23. Să se determine derivatele funcţiei direcţia indicată:

în punctul

în

în direcția razei, ce

1. formează cu axa

un unghi de

1. FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE

în direcţia

2.

normalei

în punctul în direcția razei, ce formează cu toate axele de coordonate unghiuri congruente; în direcţia razei, ce formează cu axele de coordonate unghiuri, respectiv; măsurile cărora sunt egale cu exterioare duse la cercul

3.

4.

în direcţia gradientului

5. funcţiei

în punctul

1.24. Să se determine unghiul dintre gradienţii funcţiei punctele şi

în

1. 2. 1.25. Să se determine măsura unghiului dintre gradienţii funcţiilor , în punctul 1.26. Să se demonstreze că măsura unghiului dintre gradienţii funcţiilor

, în punctul infinit.

tinde către zero, când

tinde către

1.27. Să se determine distanţa dintre curba şi dreapta dată:

93

94

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

1. 2. 3. 1.28. Să se determine punctul din planul , suma pătratelor distanţelor de la care până la dreptele să fie minimă. 1.29. În planul să se determine un punct, suma pătratelor distanţelor de la care până la planele să fie minimă. 1.30. Să se determine distanţa de la punctul

până

la curba 1.31. Consumul de combustibil într-o întreprindere pe parcursul a cinci ani este prezentat în următorul tabel: Anul Consumul (unit. conv.)

2010 2011 2012 2013 2014

Să se determine dreapta de regresie și cu ajutorul ei să se prognozeze consumul de combustibil pentru anul 2015.

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII 2.1. Noțiune de serie numerică. Exemple 2.2. Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergență 2.3. Serii cu termeni arbitrari. Serii absolut convergente 2.4. Șiruri și serii de funcții 2.5. Serii de puteri 2.6. Dezvoltarea unei funcții în serie de puteri. Seria Taylor. Seria Maclaurin 2.7. Aplicații ale seriilor 2.8. Serii Fourier. Dezvoltarea unei funcții în serie Fourier 

 

 

Cunoașterea noţiunilor de serie numerică; șir de funcții; serie de funcții; serie de puteri; serie Taylor; serie Maclaurin; serie Fourier; serie numerică convergentă, semiconvergentă, absolut convergentă, divergentă. Cunoașterea metodelor de calcul al sumei unor serii numerice. Cunoașterea și aplicarea proprietăţilor seriilor numerice, seriilor de puteri, seriilor de funcții, seriilor Fourier. Cunoașterea și aplicarea criteriilor de convergență a seriilor numerice. Identificarea metodelor de rezolvare a problemelor ce se referă la determinarea razei și domeniului de convergenţă, dezvoltarea funcţiilor în serii de puteri, în serii Fourier.

95

96

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

2.1. Noțiune de serie numerică. Exemple În secolul V î.Hr. filozoful grec Zenon din Eleea formula așa-numitul paradox despre Ahile și broasca țestoasă: să ne imaginăm o întrecere între celebrul atlet Ahile şi rivalul său mai lent - o broască ţestoasă. Să presupunem că Ahile are o viteză de două ori mai mare decât cea a țestoasei, iar țestoasa are un avans de 1 km faţă de Ahile. Oricine ar trage concluzia că parcurgând 2 km Ahile va ajunge ţestoasa. Zenon însă afirma altceva: în timp ce Ahile parcurge distanța de 1 km, ţestoasa va fi la 1 km şi jumătate distanță de la punctul de pornire a lui Ahile, iar când Ahile va parcurge

km, broasca va fi la

km de la

punctul de pornire a lui Ahile şi aşa mai departe, astfel că niciodată Ahile nu va reuşi să întreacă broască ţestoasă. Din punctul de vedere a lui Zenon, paradoxul constă în faptul că alergătorul mai rapid nu-l poate depăși niciodată pe cel mai lent aflat în față, deoarece el trebuie să ajungă întâi într-un punct în care cel din față fusese deja. Din punct de vedere matematic, distanța care trebuie parcursă de Ahile pentru a ajunge broasca țestoasă este: adică este suma unui număr infinit de numere reale. În acest paragraf vom analiza existența valorii finite a sumei unei astfel de expresii. Mai întâi însă vom menționa câteva noțiuni ce țin de șirurile numerice. Se numeşte şir numeric o funcţie definită pe mulţimea numerelor naturale (sau pe o submulţime a ei) cu valori în mulţimea numerelor reale . Dacă notăm cu

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

, atunci şirul numeric definit de funcţia poate fi sau sau mai succint notat cu . Termenul se numeşte termen general sau termen de rang n al şirului. Exemplul 2.1.1. Șiruri numerice: 1. 2. 3. 4. Un şir se numeşte: mărginit superior, dacă există un număr real astfel ; încât mărginit inferior, dacă există un număr real astfel ; încât mărginit, dacă este mărginit superior și inferior. Şirurile 1, 2 și 3 din exemplul 2.1.1. sunt mărginite, iar şirul 4 este mărginit inferior și nu este mărginit superior. Un şir numeric se numeşte: strict crescător, dacă strict descrescător, dacă crescător, dacă descrescător, dacă monoton, dacă șirul este crescător sau descrescător; strict monoton, dacă șirul este strict crescător sau strict descrescător. Şirurile 2 şi 4 din exemplul 2.1.1. sunt crescătoare, şirul 1 este descrescător, iar şirul 3 nu este monoton.

97

98

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

dacă:

Numărul real

se numeşte limită a şirului

,

Se notează: Dacă șirul are limită finită, atunci se numeşte convergent. În caz contrar șirul se numeşte divergent. Orice şir crescător şi mărginit superior este convergent. Orice şir descrescător şi mărginit inferior este convergent. Orice şir monoton şi mărginit este convergent. Definiţia 2.1.1. Fie un șir de numere reale. Se numeşte serie numerică o expresie de forma Se notează: Numerele se numesc termeni ai seriei, iar se numeşte termen general sau termen de rang n al seriei. Exemplul 2.1.2. Serii numerice: (seria armonică);

(seria Dirichlet, armonică generalizată);

(seria geometrică); ;

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Suma a primilor termeni ai seriei se numeşte sumă parţială de rang a acestei serii şi se notează cu . Astfel:

al sumelor parţiale ale Definiţia 2.1.2. Dacă șirul este convergent și , atunci se seriei spune că seria este convergentă, iar numărul S se numeşte suma acestei serii. Se notează: Dacă șirul este divergent, atunci se spune că seria dată este divergentă. Expresia

se numește restul seriei.

Exemplul 2.1.3. Să se calculeze suma seriei (dacă există).

Soluție: 1. Conform formulei pentru suma primilor termeni ai progresiei geometrice,

99

100

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Atunci este convergentă și

Astfel am obținut că seria

Observăm că seria de mai sus descrie distanța parcursă de Ahile din paradoxul lui Zenon. Astfel, cu toate că procesul de sumare este infinit, valoarea sumei este finită, egală cu 2. 2. ...

Atunci obținut că seria

Astfel am este convergentă și

3. Să scriem mai întâi fracția sumă de fracții simple:

sub formă de Atunci

implică de unde obținem: adică

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

. Atunci

Iar Astfel am obținut că 4. Metoda I. Amplificăm expresia

cu

și obținem:

Scăzând parte cu parte expresiile

și

obținem:

101

102

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Atunci

iar Astfel am obținut

Metoda II. Observăm că Atunci

Iar Ținând cont de formula determinăm consecutiv:

Presupunem că

,

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Atunci

Astfel, utilizând metoda inducției matematice, am demonstrat că Atunci Astfel Exemplul 2.1.4. 1. Seria

este divergentă, deoarece

este divergentă, deoarece , 2. Seria dacă este impar, însă , dacă este par. Deci nu există limita şirului sumelor parțiale. 3. Seria este divergentă, deoarece

iar 4. Considerăm seria Pentru această serie reprezintă suma termenilor unei progresii geometrice cu primul termen şi cu raţia Așa cum, pentru

103

104

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

avem: - dacă

, atunci

- dacă

atunci

- dacă

atunci

Pentru implică

. ceea ce și

pentru

pentru Deci, seria geometrică către suma numai dacă 5. Seria armonică

este convergentă .

este divergentă.

Într-adevăr, putem scrie:

Observăm că: .... ,

... Evident că subșirul

este divergent ceea ce înseamnă că șirul este divergent. Deci seria armonică este divergentă. Exemplul 2.1.5. Să se scrie numărul fracție ordinară. Soluție: Observăm că

sub formă de

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Astfel, utilizând rezultatul obținut în punctul 4 al exemplului precedent, obținem:

Exemplul 2.1.6. Considerăm mulțimea Cantor, construită după cum urmează: din segmentul extragem intervalul apoi din fiecare dintre segmentele rămase extragem intervalele din mijloc

și

și

ș.a.m.d. (figura 2.1.1.). Mulțime Cantor se numește mulțimea punctelor segmentului rămase.

Figura 2.1.1. Vom arăta că suma lungimilor tuturor intervalelor, extrase în procesul de construire a mulțimii Cantor, este egală cu 1, obținând astfel că lungimea totală a intervalelor, care formează mulțimea Cantor este egală cu zero, chiar dacă conține o infinitate de puncte. Într-adevăr, la pasul întâi extragem un interval de lungime

la pasul al doilea extragem 2 intervale fiecare de

lungime

ș.a.m.d. Astfel obținem că lungimea totală a

intervalelor extrase este:

105

106

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Utilizând rezultatul obținut în exemplul 2.1.4., obținem Exemplul 2.1.7. Considerăm mulțimea, numită covorul lui Sierpiński (Wacław Franciszek Sierpiński, 1882-1969, matematician polonez), construită în felul următor: un pătrat cu latura de lungime 1 se divizează în 9 pătrate cu latura de lungime

și se extrage pătratul din mijloc, apoi

fiecare dintre cele 8 pătrate rămase se divizează în cu latura de lungime

pătrate

extrăgându-se pătratul din mijloc,

ș.a.m.d. (figura 2.1.2.).

Figura 2.1.2. Vom arăta că suma ariilor pătratelor extrase este egală cu , astfel obținând că covorul lui Sierpinski este de arie egală cu Într-adevăr, la pasul întâi extragem un pătrat cu aria la pasul al doilea extragem aria egală cu

pătrate fiecare dintre care are

ș.a.m.d. Astfel obținem că suma ariilor

tuturor pătratelor extrase este:

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

În mod similar exemplului precedent obținem:

Teorema 2.1.1. (criteriul necesar de convergenţă) Dacă este convergentă, atunci . seria Demonstraţie. Fie seria convergentă este S. Atunci .

şi suma ei

Deci

■ Consecință. Dacă

, atunci seria

este

divergentă. Condiţia

din teorema 2.1.1. nu este

suficientă pentru convergenţa seriei. De exemplu, termenul general al seriei armonice verifică această condiţie, dar seria este divergentă. A cerceta convergenţa unei serii înseamnă a determina dacă ea este convergentă sau este divergentă. Exemplul 2.1.8. Să se cerceteze convergenţa seriei cu termenul general 1. Soluție: 1. Întrucât dată este divergentă. 2. Întrucât

2. ,

seria

107

108

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

, seria dată este divergentă. Exemplul 2.1.9. Seria armonică generalizată divergentă pentru

este

deoarece

Mai târziu vom demonstra: Seria armonică generalizată (seria Dirichlet, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859, matematician german)

este divergentă pentru

și este

convergentă pentru Teorema 2.1.2. (criteriul general Cauchy) Seria este convergentă dacă și numai dacă pentru orice număr astfel încât pentru orice există un număr și orice are loc: Exemplul 2.1.10. Seria

este convergentă.

Pentru demonstrație vom aplica criteriul general Cauchy. Observăm că:

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Deci, pentru orice pentru orice

există și pentru orice

astfel încât are loc:

este convergentă atunci şi Teorema 2.1.3. Seria numai atunci când este convergentă seria obţinută prin suprimarea sau adăugarea unui număr finit de termeni. au fost înlăturaţi Demonstraţie. Fie că din seria termeni, suma cărora este egală cu , şi ei se află printre primii termeni ai acestei serii. Atunci, pentru , , unde sunt sumele parţiale ale seriei , iar sunt sumele parţiale ale seriei noi obţinute. Deoarece limitele şi

există şi sunt finite simultan. Deci

seria şi seria obținută sunt convergente simultan. În mod similar se demonstrează afirmația teoremei în cazul adăugării unui număr finit de termieni.

■

şi . Se numeşte sumă a Fie seriile seriilor date, seria cu termenul general Se numeşte produs dintre seria şi numărul seria cu termenul general . Teorema 2.1.4. Dacă seriile convergente şi , convergente şi seriile ,

şi

sunt , atunci sunt , şi:

109

110

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

2.2. Serii cu termeni pozitivi. Criterii de convergență Definiţia 2.2.1. Seria , unde numeşte serie cu termeni pozitivi.

se

Teorema 2.2.1. O serie cu termeni pozitivi este convergentă dacă și numai dacă șirul sumelor parțiale este mărginit. Teorema 2.2.2. (criteriul de comparaţie cu inegalități) şi două serii cu termeni pozitivi. Fie Fie că există un rang astfel încât pentru orice a) Dacă seria

este convergentă, atunci este ; convergentă şi seria b) Dacă seria este divergentă, atunci este . divergentă şi seria Demonstraţie. Ținând cont de teorema 2.1.3., nu vom restrânge generalitatea dacă vom considera Notăm şi sumele parţiale ale seriilor şi cu respectiv. Așa cum termenii acestor serii sunt pozitivi, rezultă că şirurile sumelor parţiale: şi sunt crescătoare. a) Fie seria convergentă . Atunci există limita finită Întrucât , , rezultă că şirul este mărginit și crescător, iar conform este convergentă. Mai mult, teoremei 2.2.1., seria suma ei este mai mică decât suma seriei . b) Dacă seria este divergentă, atunci Întrucât adică seria

, rezultă că este divergentă.

,

■

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Când se aplică acest criteriu, comparaţia se face cu o serie ’’etalon’’, a cărei natură este cunoscută. În calitate de serie ’’etalon’’ deseori se ia seria geometrică sau seria Dirichlet. Exemplul 2.2.1. Să se cerceteze convergenţa seriei Întrucât pentru

Soluție:

, din

avem

rezultă divergenţa seriei

divergenţa seriei armonice .

, din divergenţa seriei armonice

Întrucât

rezultă divergenţa seriei

.

Exemplul 2.2.2.. Să se cerceteze convergenţa seriei . Soluție:

Întrucât

are

pentru

loc

relaţia

, atunci din convergenţa seriei geometrice rezultă convergenţa seriei Întrucât pentru

.

are loc relaţia ,

atunci

din

convergenţa

seriei

utilizând

teorema 2.1.3. și criteriul de comparație cu inegalități, rezultă convergenţa seriei

.

Teorema 2.2.3. (criteriul de comparație la limită) Fie că pentru seriile cu termeni pozitivi şi există . Dacă:

111

112

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

, atunci seriile şi au aceeaşi natură de convergenţă; b) şi seria este convergentă, atunci este convergentă şi seria ; c) şi seria este divergentă, atunci este divergentă şi seria . a)

și vom spune că termenii . Se notează .

Dacă echivalenţi când

sunt

Exemplul 2.2.3. Să se cerceteze convergenţa seriei . Soluție: Notăm cu termenul general al seriei date şi cu termenul general al seriei Dirichlet cu Întrucât din convergenţa rezultă convergenţa seriei

seriei Dirichlet cu date.

Exemplul 2.2.4. Să se cerceteze convergenţa seriei , când

Soluție: Întrucât din convergenţa seriei Dirichlet

rezultă

convergenţa seriei date. Teorema 2.2.4. (criteriul d’Alembert, Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783, matematician francez) Fie că există limita pentru seria cu termeni pozitivi . a) Dacă

, atunci seria

b) Dacă

atunci seria

este convergentă; este divergentă.

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Demonstraţie. a) Fie astfel încât există Fie Prin

Atunci există un număr Conform definiției limitei, pentru

încât

pentru orice

Atunci urmare

Examinăm seriile cu termeni pozitivi și Întrucât , seria geometrică este convergentă. Din criteriul de comparaţie cu inegalități și teorema 2.1.3. deducem convergenţa seriei și, . respectiv, convergenţa seriei Atunci există un număr natural pentru orice . Deci

b) Fie

, încât şi seria

este divergentă (conform criteriului necesar de convergenţă), de unde rezultă divergenţa seriei

■

.

Dacă în teorema 2.2.4. atunci nu se poate trage nici o concluzie despre natura seriei Exemplul 2.2.5. Să se cerceteze convergenţa seriei Soluție: Avem

şi

.

Întrucât

, seria dată este convergentă.

113

114

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 2.2.6. Să se cerceteze convergenţa seriei ;

;

.

Soluție: de unde rezultă că seria

este divergentă.

, de

unde rezultă că

seria

este convergentă.

, de unde este divergentă.

rezultă că seria

Teorema 2.2.5. (criteriul radical Cauchy) Fie că pentru există limita seria cu termeni pozitivi

a) Dacă b) Dacă

, atunci seria atunci seria

este convergentă; este divergentă.

Demonstraţie. a) Fie şi un număr care verifică condiţia . Atunci există un număr natural N încât pentru orice de unde rezultă că , Examinăm seriile: , și Întrucât , seria convergentă şi deci sunt convergente şi seriile și .

este

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

b) Dacă

, atunci există un număr natural

, astfel

încât pentru orice şi deci nu este verificat criteriul necesar de convergenţă. Rezultă că seria

■

este divergentă. Dacă în teorema 2.2.5., concluzie despre natura seriei

nu se poate trage nici o

Exemplul 2.2.7. Să se cerceteze convergenţa seriei . Soluție: Întrucât seria dată este convergentă. Exemplul 2.2.8. Să se cerceteze convergenţa seriei . Soluție: Întrucât

seria

dată

este

divergentă. Teorema 2.2.6. (criteriul integral Cauchy). Fie seria cu termeni pozitivi și fie o funcţie nenegativă continuă şi descrescătoare pe , care verifică condiţia

Fie

Atunci seria este convergentă atunci și numai atunci când este convergent șirul Demonstraţie. Ținând cont de faptul că este aria dreptunghiului cu baza și înălțimea este aria dreptunghiului cu baza și

115

116

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

înălțimea

iar

subgraficului funcției pe funcţiei rezultă că pentru orice

este aria , din monotonia avem:

şi deci:

. Dacă șirul este convergent, atunci şirul , deci, şi şirul este convergent. În acest caz seria este convergentă. este divergent, atunci din Dacă șirul inegalitatea de mai sus rezultă că , ceea ce implică divergența seriei

şi

■

.

Exemplul 2.2.9. Să se cerceteze convergenţa seriei Dirichlet . Soluție:

Funcţia

este

descrescătoare pe intervalul ,

continuă,

monoton

şi verifică condiţia

Atunci Deoarece șirul și divergent pentru

este convergent pentru atunci și seria Dirichlet

este convergentă pentru pentru

şi este divergentă

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Exemplul 2.2.10. Să se cerceteze convergenţa seriei ; Soluție:

este continuă,

Funcţia

monoton descrescătoare pe intervalul condiţia , Atunci

şi verifică

Întrucât șirul este divergent, conform criteriului integral Cauchy, divergentă este și seria . Funcţia este descrescătoare pe intervalul , Atunci

continuă, monoton şi verifică condiţia

Întrucât șirul este convergent, conform criteriului integral Cauchy, convergentă este și seria . Teorema 2.2.7. (Criteriul Raabe-Duhamel, Joseph Ludwig Raabe, 1801-1859, matematician elvețian, JeanMarie Duhamel, 1624-1706, matematician francez) Fie că pentru seria cu termeni pozitivi există limita . a) Dacă b) Dacă Dacă natura seriei

atunci seria , atunci seria

este convergentă; este divergentă.

nu se poate trage nici o concluzie despre

Exemplul 2.2.11. Să se cerceteze convergenţa seriei .

117

118

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Soluție: Avem

, şi

, de unde

, ceea ce înseamnă că seria dată este divergentă. Criteriul Raabe-Duhamel este o completare a criteriului D’Alembert și reprezintă o regulă ’’mai fină’’ de studiere a convergenței seriei. Exemplul 2.2.12. Să se cerceteze convergenţa seriei Bertrand (Joseph Louis François Bertrand, 1822-1900, matematician francez) Soluție:

, avem

Pentru

că

ceea ce implică faptul că nu este verificată condiția necesară de convergență. Astfel pentru și seria Bertrand este divergentă. Pentru

notăm cu

Atunci

Conform criteriului de și

comparație la limită obținem că pentru seria Bertrand este divergentă. Pentru există cu

Notăm

Atunci Întrucât

iar seria

este divergentă, conform criteriului de comparație la limită obținem că pentru Bertrand este divergentă.

și

seria

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

există

Pentru

astfel încât

Notăm cu Atunci Întrucât

iar seria

este

convergentă, conform criteriului din criteriul de comparație la limită obținem că pentru și seria Bertrand este convergentă. Pentru vom aplica criteriul integral Cauchy. Funcţia

este

descrescătoare pe intervalul , Atunci

continuă,

monoton

şi verifică condiţia

Întrucât șirul este convergent pentru și divergent pentru atunci pentru și seria Bertrand este convergentă pentru şi este divergentă pentru 2.3. Serii cu termeni arbitrari. Serii absolut convergente Definiţia 2.3.1. O serie în care oricare doi termeni vecini au semne diferite se numeşte serie cu termeni de semne alternante sau serie alternantă. Dacă primul termen al unei serii alternante este pozitiv, atunci ea poate fi scrisă astfel: unde Dacă primul termen al unei serii alternante este negativ, atunci ea poate fi scrisă în forma

119

120

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

unde Este evident că seria este convergentă atunci şi numai atunci, când este convergentă seria . Deaceea vom studia numai convergenţa seriei alternante de forma . Exemplul 2.3.1. Serii alternante: 1.

,

2. Teorema 2.3.1. (criteriul Leibniz, Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716, matematician și filozof german) verifică Dacă termenii seriei alternante condiţiile: , adică șirul este 1. monoton descrescător; , 2. atunci această serie este convergentă şi suma S a seriei nu . întrece primul termen, adică Demonstraţie. Termenul general al şirului sumelor parţiale de rang par este , Este evident că acest şir este crescător şi mărginit inferior, deoarece . Deci există . Întrucât

,

atunci

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

, adică seria

Astfel, convergentă. Relaţia

este

rezultă din

■ Exemplul 2.3.2. este convergentă, deoarece sunt

a) Seria

verificate ambele condiții ale criteriului Leibniz: , şi

,

.

este convergentă, deoarece sunt

b) Seria

verificate ambele condiții ale criteriului Leibniz: şi

, Exemplul

2.3.3.

Seria

este

convergentă, deoarece sunt verificate ambele condiții ale criteriului Leibniz: 1. ceea ce implică faptul

Atunci că șirul

este monoton descrescător.

, Exemplul 2.3.4. Seria

ceea ce implică este convergentă,

deoarece sunt verificate ambele condiții ale criteriului Leibniz:

121

122

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

1. Pentru a demonstra că șirul

este descrescător, Întrucât

considerăm funcția

obținem funcția este descrescătoare pe este descrescător.

că

deci șirul

2. Exemplul

2.3.5.

Să

studiem

convergența

seriei

Observăm că

Prin raționamente similare exemplului 2.3.4. se demonstrează că seria

este convergentă. Seria

fiind divergentă, divergentă este și seria inițială

Definiția 2.3.2. Seria cu termeni arbitrari se numește absolut convergentă dacă este convergentă seria Teorema 2.3.2. Convergența absolută a unei serii implică convergența acestei serii. şi suma termenilor Demonstraţie. Notăm cu pozitivi şi, respectiv, suma modulelor termenilor negativi care se află printre primii termeni ai seriei , iar cu şi sumele parţiale ale seriilor şi, respectiv, . Atunci

şi

.

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Şirurile

şi

cu termeni pozitivi sunt crescătoare.

Astfel din existenţa limitei rezultă existenţa limitelor

şi

Deoarece , rezultă că seria

■

este convergentă. Exemplul 2.3.6. Să se cerceteze convergenţa seriei Soluție: Ținând cont de faptul că Conform

obținem:

criteriului

de

comparație cu inegalități, din convergenţa seriei rezultă

convergenţa

seriei

,

iar

teoremei 2.3.2, și convergenta seriei

conform

.

Teorema 2.3.3. (criteriul Dirichlet) Seria este convergentă, dacă: 1. sumele parţiale ale seriei sunt mărginite (adică astfel încât , ), este monoton şi . 2. șirul este convergentă.

Exemplul 2.3.7. Seria Într-adevăr, considerăm

,

.

1. Cercetăm şirul sumelor parţiale ale seriei

: .

Amplificăm ambele părți ale egalității cu

și obținem:

123

124

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

şi

De unde rezultă că 2. Şirul

este descrescător şi

.

Conform criteriului Dirichlet, seria convergentă. Convergența seriei

,

este

nu poate fi stabilită prin

raționamentele din exemplul 2.3.5. Teorema 2.3.4. (criteriul Abel, Niels Henrik Abel, 18021829, matematician norvegian) Seria este convergentă, dacă: este monoton şi mărginit, 1. şirul este convergentă.

2. seria Exemplul

2.3.8.

convergentă.

este

Seria

Într-adevăr,

considerăm

. 1. Șirul

este monoton şi mărginit.

2. Seria

este convergentă (exemplul 2.3.4.).

Conform criteriului Abel, seria este convergentă.

,

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Definiţia 2.3.3. Dacă seria este convergentă, iar este divergentă, atunci seria se seria numeşte semiconvergentă. Exemplul 2.3.9. este absolut convergentă (exemplul

1. Seria 2.3.5.). 2. Seria

este semiconvergentă, deoarece ea este

convergentă (exemplul 2.3.2.), iar seria armonică alcătuită din valorile absolute ale termenilor ei, este divergentă. 3. Seria este semiconvergentă. Într-adevăr, în exemplul 2.3.6. am stabilit că seria

este

convergentă. În mod similar se demonstrează că și seria este convergentă. Întrucât

Deoarece

seria

este

divergentă,

iar

seria

este convergentă, divergentă va fi și seria Teorema 2.3.5. (Dirichlet) În rezultatul schimbării locurilor termenilor unei serii absolut convergente, se obține o nouă serie, care este convergentă către aceeași sumă ca și seria inițială. Teorema 2.3.6. (Riemann) În rezultatul schimbării locurilor termenilor unei serii semiconvergente se poate obține o serie, care are în calitate de sumă orice număr, sau se poate obține o serie divergentă.

125

126

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 2.3.10. Considerăm seria semiconvergentă

sumele ei parțiale și cu Notăm cu serii (mai târziu vom demonstra că ).

suma acestei

Permutăm termenii seriei astfel încât după fiecare termen pozitiv să urmeze doi termeni negativi:

Pentru sumele parțiale ale seriei obținute avem:

.

și Astfel șirul

. al sumelor parțiale ale seriei

obținute este convergent către

când

. Deci seria

obținută are o nouă limită, egală cu 2.4. Șiruri și serii de funcții Definiția 2.4.1. Dacă fiecărui număr natural i se pune în corespondență o funcție , atunci vom spune că este definit șirul de funcții . Exemplul 2.4.1.

este un șir

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

de funcții Dacă șirul numeric Definiția 2.4.2. Fie este convergent (divergent) atunci vom spune că șirul de funcții este convergent (divergent) în punctul Exemplul 2.4.2. Șirul

este convergent în

deoarece șirul de valori ale funcțiilor în

punctul

este convegent. Definiția 2.4.3. Vom spune că șirul de funcții punctual convergent pe către când dacă

este funcția

pentru orice Definiția 2.4.4. Vom spune că șirul de funcții uniform convergent pe către când dacă pentru orice , astfel încât și un număr natural

este funcția există

Se notează: Teorema 2.4.1. Șirul de funcții convergent pe către funcția și numai dacă

este uniform dacă

Teorema 2.4.2. Convergența uniformă pe o mulțime a unui șir de funcții implică convergența punctuală a șirului de funcții pe această mulțime către aceeași funcție. Reciproca teoremei 2.4.2. nu este adevărată.

127

128 128 128

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL DIFERENȚIAL ȘI ȘI INTEGRAL INTEGRAL CALCUL

Exemplul Exemplul 2.4.3. 2.4.3. Șirul Șirul Exemplul 2.4.3. Șirul convergent către convergent pe pe către convergent pe către este către esteuniform uniformconvergent convergent pe pe către este uniform convergent pe către

este este punctual punctual este punctual dar dar nu nu dar nu deoarece deoarece deoarece

Definiția Definiția 2.4.5. 2.4.5. Se Se numeşte numeşte serie serie de de funcţii funcţii ooo expresie expresie de de Definiția 2.4.5. Se numeşte serie de funcţii expresie de , unde forma unde forma ,, unde forma .. . Exemplul 2.4.4. Exemplul 2.4.4.Serii Seriide defuncții: funcții: Exemplul 2.4.4. Serii de funcții: 1. 1. 1. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 4. 4. 4. 5. 5. 5. seria Pentru seria de de funcții funcții Pentru ooo valoare valoare concretă concretă seria de funcții Pentru valoare concretă se transformă într-o serie numerică ,, se transformă transformă într-o într-o serie serie numerică numerică se , care poate fifi convergentă sau divergentă. Dacă seria care poate convergentă sau divergentă. Dacă seria care poate fi convergentă sau divergentă. Dacă seria numerică este se numerică este convergentă, convergentă, atunci atunci se numerică este convergentă, atunci se numeşte punct de convergenţă al seriei de funcții. numeşte punct punct de de convergenţă convergenţă al al seriei seriei de de funcții. funcții. numeşte Mulţimea tuturor punctelor de convergenţă a seriei Mulţimea tuturor tuturor punctelor punctelor de de convergenţă convergenţă aa seriei seriei de de Mulţimea de funcții se numeşte domeniu de convergenţă al acestei serii. funcții se se numeşte numeşte domeniu domeniu de de convergenţă convergenţă al al acestei acestei serii. serii. funcții Se spune că o serie este convergentă (punctual Se spune spune că că oo serie serie este este convergentă convergentă (punctual (punctual Se convergentă) pe o mulţime , dacă convergentă) pe pe oo mulţime mulţime dacă ea ea este este convergentă) ,, dacă ea este convergentă în fiecare punct al acestei mulţimi. convergentă în în fiecare fiecare punct punct al al acestei acestei mulţimi. mulţimi. convergentă Pentru fiecare valoare fixată din Pentru fiecare fiecare valoare valoare fixată fixată aaa variabilei variabilei din Pentru variabilei din domeniul de convergenţă al seriei de funcții suma seriei domeniul de de convergenţă convergenţă al al seriei seriei de de funcții funcții suma suma seriei seriei domeniul numerice obţinute este un număr. Când variază, variază numerice obţinute obţinute este este un un număr. număr. Când Când variază, variază, variază variază şi şi numerice şi valoarea acestei sume, adică în domeniul de convergenţă valoarea acestei acestei sume, sume, adică adică în în domeniul domeniul de de convergenţă convergenţă valoarea

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

este o funcţie. Notăm această funcţie cu , Ca și în cazul seriilor numerice, sumele se numesc sume parţiale de rang ale seriei de funcții. – Dacă notăm cu Întrucât pentru o restul acestei serii, atunci serie convergentă rezultă că suma seriei

, Exemplul 2.4.5. Să se determine domeniul de convergenţă al seriei . reprezintă suma termenilor unei Soluție: Seria progresii geometrice cu primul termen 1 şi cu raţia Această serie este convergentă atunci şi numai atunci când . Deci domeniul de convergenţă al seriei date este intervalul

şi suma ei este

Ținând cont de rezultatul obținut în punctul 1 și de faptul că convergență al seriei

obținem

că

domeniul

de

este Pentru

obținem

ceea ce, conform criteriului Cauchy, implică convergența seriei. Pentru obțimem și respectiv divergența nu verifică seriei. Pentru termenul general condiția necesară de convergență a seriei. Astfel am obținut că domeniul de convergență al seriei este

129

130

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Se spune că seria este majorată pe mulţimea , dacă există o serie numerică convergentă cu termeni pozitivi, încât este majorată de seria

Exemplul 2.4.6. Seria pe intervalul

, deoarece

,

Definiţia 2.4.6. Se spune că seria de funcții este uniform convergentă pe mulțimea dacă pe această mulțime este uniform convergent șirul sumelor parțiale Teorema 2.4.3. (criteriul Weierstrass) Dacă seria de este majorată pe mulţimea , atunci ea este funcții uniform convergentă pe această mulţime. Exemplul

2.4.7.

este

Seria

convergentă pe intervalul majorată

pe

acest

(exemplul 2.4.6.). Exemplul 2.4.8.

, deoarece ea este

interval

de

Seria

seria este

convergentă pe intervalul

Întrucât

a

determina . Atunci

uniform

, deoarece ea este

majorată pe acest interval de seria pentru

uniform

seria

și

majorantă,

. Într-adevăr, considerăm

obținem

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Teorema 2.4.4. (transfer de continuitate) Dacă termenii sunt funcţii continue pe segmentul seriei de funcții şi această serie este uniform convergentă pe , atunci suma a ei este o funcţie continuă pe acest segment. este uniform Teorema 2.4.5. Dacă seria de funcții convergentă pe către suma şi termenii sunt funcții continue pe acest segment, atunci: . Teorema 2.4.6. (transfer de derivabilitate) Fie seria de punctual convergentă pe către funcții suma , funcţiile , sunt continue pe împreună cu derivatele lor și seria derivatelor este uniform convergentă pe atunci funcţia este derivabilă pe acest segment, şi are loc egalitatea . 2.5. Serii de puteri Definiţia 2.5.1. Fie un șir de numere reale. Se numeşte serie de puteri o serie de funcții de forma

unde

este o variabilă reală.

Despre seria se spune că este centrată în punctul Printr-o schimbare de variabilă seria ia forma care se numește serie de puteri centrată în punctul . Este

131

132

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

evident că prin schimbarea de variabilă de la o serie centrată în orice punct se poate trece la o serie centrată în origine, deaceea în continuare vom restrânge teoria generală la cazul seriilor centrate în origine. Teorema 2.5.1. Dacă seria de puteri este convergentă într-un punct , atunci ea este absolut convergentă în orice punct care verifică condiţia este uniform . Mai mult, seria convergentă pe Dacă însă seria este divergentă într-un punct , atunci ea este divergentă şi în orice punct , care verifică condiţia . Demonstraţie. Fie seria convergentă în , . Conform adică este convergentă seria numerică criteriului necesar de convergenţă, când . sunt mărginiţi, adică Astfel, termenii seriei , există un număr real , astfel încât Scriem seria în forma: Ținând cont de faptul că concluzionăm că termenii seriei

,

sunt pozitivi şi inferiori termenilor respectivi ai seriei care este convergentă pentru orice serie geometrică cu rația

).

(fiind o

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Astfel, conform criteriului de comparație cu inegalități, seria este convergentă, iar seria este absolut convergentă. Mai mult, pentru orice Seria este convergentă. Conform teoremei Weierstrass, obținem convergența uniformă pe a seriei . Atunci seria Fie seria divergentă este divergentă pentru orice valoare care verifică condiţia , deoarece în caz contrar seria ar fi convergentă în

■

Din teorema Abel rezultă că există un număr pozitiv este convergentă în orice astfel încât seria şi este divergentă în orice . În acest caz intervalul se numeşte interval de convergenţă, iar numărul se numeşte rază de convergenţă a seriei de puteri. În cazul în care seria este convergentă numai în , se spune că raza de convergenţă a seriei este egală cu zero. Dacă însă această serie este convergentă în orice real, atunci se spune că raza de convergenţă este , iar intervalul de convergenţă este , formată Să examinăm în continuare seria din valorile absolute ale termenilor seriei.

133

134

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Pentru fiecare valoare a variabilei seria este o serie numerică cu termeni pozitivi. Aplicând criteriul d’Alembert de convergenţă, obținem este convergentă Pentru seria pentru orice valoare a variabilei ceea ce înseamnă că raza de convergenţă în acest caz este . Pentru seria este convergentă atunci când , adică , şi este divergentă dacă , adică . Deci raza de convergenţă a seriei este , sau

Dacă aplicăm criteriul Cauchy de convergenţă, atunci obţinem:

Notă. Determinarea domeniului de convergență al unei serii de puteri presupune determinarea intervalului de convergență și studierea convergenței seriei la capetele intervalului de convergență. Exemplul 2.5.1. Să se determine raza, intervalul şi domeniul de convergenţă a seriei

.

Soluție: Determinăm raza de convergenţă Intervalul de convergenţă este . Pentru a determina domeniul de convergenţă trebuie să cercetăm convergenţa seriei în extremităţile şi ale intervalului de convergenţă.

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

obținem

Pentru

seria

alternantă

care este convergentă, conform criteriului Leibniz. Pentru

obținem

seria

armonică

, care este divergentă. Astfel am obținut că domeniul de convergenţă al seriei date este Exemplul 2.5.2. Să se determine domeniul de convergenţă al seriei . Soluție: Întrucât , rezultă că seria dată este convergentă numai în Exemplul 2.5.3. Să se determine raza, intervalul şi domeniul de convergenţă ale seriei

.

Soluție: Prin schimbarea de variabilă centrată în origine, cu raza de

obținem seria convergentă unde obținem că

şi intervalul de convergență . De Astfel, intervalul de

convergență al seriei

este

Pentru a determina domeniul de convergenţă rămâne să cercetăm convergenţa seriei date în extremităţile intervalului de convergenţă. Pentru

obţinem seria numerică

este convergentă. Pentru

obținem seria numerică

care deasemenea este convergentă.

care

135

136

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Deci domeniul de convergenţă al seriei date este Exemplul 2.5.4. Să se determine raza, intervalul şi domeniul de convergenţă ale seriei

.

Soluție: Prin schimbarea de variabilă

obținem seria:

cu raza de convergentă

şi intervalul de

. De unde obținem că

convergență

Astfel, intervalul de convergență al seriei

este

Pentru a determina domeniul de convergenţă rămâne să cercetăm convergenţa seriei date în extremităţile intervalului de convergenţă. Pentru obţinem seria armonică generalizată divergentă

.

Pentru

obţinem seria numerică alternantă

. Seria obținută este convergentă, întrucât verifică condițiile criteriului Leibniz. Astfel, domeniul de convergenţă al seriei este are raza Teorema 2.5.2. Dacă seria de puteri de convergenţă , atunci suma acestei serii este o funcţie continuă pe segmentul oricare ar fi are raza Teorema 2.5.3. Dacă seria de puteri de convergenţă şi suma ei este , atunci această serie poate fi integrată termen cu termen pe oricare segment

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Teorema 2.5.4. Dacă seria de puteri are raza de convergenţă , atunci ea poate fi derivată termen cu termen pe segmentul oricare ar fi Seria obținută este de asemenea convergentă. Exemplul 2.5.5. Să se determine suma seriei de puteri

Soluție:

1.

În exemplul 2.4.5.

a

Seria

fost

stabilit

că

are raza de

convergență Conform teoremei 2.5.3. ea poate fi Atunci integrată termen cu termen. Fie Iar 2. Seria

are raza de convergență

Conform

teoremei 2.5.4. ea poate fi derivată termen cu termen. Fie

Atunci

Iar Din condiția

rezultă

și respectiv 2.6. Dezvoltarea unei funcții în serie de puteri. Seria Taylor. Seria Maclaurin Fie funcția definită în punctul , care posedă derivate până la ordinul inclusiv într-o vecinătate a punctului . Să găsim un polinom de grad n astfel încât

137

138

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

. Este de așteptat, ca acest polinom să ”aproximeze” funcția în vecinătatea punctului . Căutăm polinomul sub forma , sunt necunoscuți și vor fi unde coeficienții determinați din condițiile de mai sus. Avem , ,

,

. Astfel, , de unde Polinomul gradul n al funcției

se numește polinom Taylor de . în punctul

Exemplul 2.6.1. Pentru funcția polinoamele Taylor:

cu

...

, avem

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII 2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Dacă Dacă

este diferența dintre și , atunci este diferența dintre și , atunci . Termenul se numește rest. . Termenul se numește rest. Una din reprezentările lui este Una din reprezentările lui este , unde este un punct , unde este un punct situat între și , numită forma Lagrange a restului. situat între și , numită forma Lagrange a restului. Atunci Atunci se numește formula Taylor a funcției în punctul se numește formula Taylor a funcției în punctul În cazul particular obținem În cazul particular obținem

. .

numită formulă Maclaurin (Colin Maclaurin, 1698-1746, numită formulă Maclaurin (Colin Maclaurin, 1698-1746, matematician scoțian). matematician scoțian). Dacă funcţia posedă derivate de orice ordin în Dacă funcţia posedă derivate de orice ordin în şi , atunci trecând la limită, când şi , atunci trecând la limită, când în egalitatea în egalitatea obţinem obţinem

numită serie Taylor a funcţiei în vecinătatea punctului numită serie Taylor a funcţiei în vecinătatea punctului . . În cazul când obţinem seria Maclaurin: În cazul când obţinem seria Maclaurin: În cele ce urmează vom scrie seria Taylor (Maclaurin) În cele ce urmează vom scrie seria Taylor (Maclaurin) pentru unele funcții elementare în punctul pentru unele funcții elementare în punctul Seria Taylor pentru în punctul Seria Taylor pentru în punctul

139 139

140 140

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Pentru Pentru aa scrie scrie seria seria Taylor Taylor pentru pentru această această funcţie funcţie calculăm derivatele ei în punctul : calculăm derivatele ei în punctul : ,, .., ;; .., .. Deoarece, (( -- arbitrar), Deoarece, pentru pentru orice orice arbitrar), restul restul ,, când când

obţinem: obţinem:

sau sau

În În cele cele ce ce urmează urmează vom vom indica indica domeniile domeniile de de convergență convergență fără fără argumentări. argumentări. Seria Seria Taylor Taylor pentru pentru funcţia funcţia

.. ...; ...;

Obţinem: Obţinem:

sau sau Seria Seria Taylor Taylor pentru pentru funcţia funcţia ...; ...; ... ...

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

141

Obţinem: , sau Seria Taylor pentru funcţia este o constantă reală.

, unde ..., …

Obţinem seria Taylor pentru funcţia numeşte şi serie binomială:

..., ... , care se

sau În cazul

obținem:

sau Seria Taylor pentru funcţia . Folosind formula de mai sus, integrăm ambele părţi ale acestei egalităţi pe segmentul : , și obținem

142

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

sau Prin trecere la limită cu

obținem

sau Seria Taylor pentru funcţia

.

Integrând pe segmentul

, egalitatea ,

obţinem:

sau Prin trecere la limită cu

obținem

sau Seria Taylor pentru

, din seria binomială

Întrucât obţinem

Înlocuind t cu

.

obținem

,

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

143

Integrând această egalitate pe segmentul obținem: ,

sau Seria Taylor pentru Deoarece

. , obţinem ,

, sau Seria Taylor pentru funcţiile hiperbolice shx şi chx. Deoarece shx

şi chx

,

obţinem: , sau

sau 2.7. Aplicații ale seriilor Aproximarea funcţiilor cu polinoame Taylor. Fie funcţia este dezvoltată în seria Taylor

144

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

cu intervalul de convergenţă . Atunci pentru orice , unde are loc relaţia este restul, care în forma Lagrange se calculează după formula

,

fiind o

şi . Întrucât când , valoare între obţinem o formulă de aproximare a funcţiei cu un polinom Taylor:

Eroarea în relaţia de mai sus nu întrece mărimea . Exemplul 2.7.1. Să se determine polinomul Taylor care aproximează funcţia pe segmentul cu exactitatea . Soluție: Seria Taylor (Maclaurin) a funcţiei este , . Întrucât

, obţinem

,

, Determinăm valoarea lui necesară.

care asigură exactitatea

;

.

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Rezultă

că

145

,

, cu exactitatea Calculul valorilor aproximative ale funcţiei (ale expresiei). Fie că trebuie să calculăm o valoare aproximativă a funcţiei în punctul dat Dacă punctul aparţine domeniului de convergenţă al seriei Taylor a acestei funcţii, atunci o valoare aproximativă a lui poate fi calculată folosind faptul că , eroarea căreia nu întrece mărimea . Exemplul 2.7.2. Să se calculeze cu exactitatea valoarea aproximativă a numărului . Soluție: Vom calcula valoarea funcţiei în punctul . Folosim seria Taylor a acestei funcţii: . Pentru

obţinem: .

Inegalitățile:

şi

implică .

Alegem numărul

astfel încât

:

, , , . Deci

146 146

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 2.7.3. Să se calculeze cu exactitatea Exemplul 2.7.3. Să se calculeze cu exactitatea valoarea aproximativă a numărului . valoarea aproximativă a numărului . Soluție: Soluție: Folosind seria binomială, obţinem: Folosind seria binomială, obţinem:

Al treilea termen al seriei alternante obţinute este Al treilea termen al seriei alternante obţinute este inferior lui , rezultă că toţi termenii care îl urmează pot fi inferior lui , rezultă că toţi termenii care îl urmează pot fi . neglijaţi. Obţinem: . neglijaţi. Obţinem: Calculul valorilor aproximative ale integralei definite Calculul valorilor aproximative ale integralei definite . Dacă funcţia este dezvoltată în serie Taylor şi . Dacă funcţia este dezvoltată în serie Taylor şi segmentul de integrare se include în intervalul de segmentul de integrare se include în intervalul de convergenţă, atunci valoarea integralei este convergenţă, atunci valoarea integralei este egală cu suma seriei, care se obţine la integrarea termen cu egală cu suma seriei, care se obţine la integrarea termen cu termen a seriei Taylor a acestei funcţii. termen a seriei Taylor a acestei funcţii. Exemplul 2.7.4. Să se calculeze cu exactitatea Exemplul 2.7.4. Să se calculeze cu exactitatea valoarea aproximativă a integralei . valoarea aproximativă a integralei . Soluție: Primitiva funcţiei de integrare nu se exprimă prin Soluție: Primitiva funcţiei de integrare nu se exprimă prin funcţii elementare. Descompunem în serie de puteri funcţia funcţii elementare. Descompunem în serie de puteri funcţia . Avem de unde . Avem de unde , , Integrând pe , obţinem: Integrând pe , obţinem:

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

. Aplicaţia seriilor la calculul limitelor unor funcții. Unele limite se calculează mai uşor dacă în prealabil funcţiile din expresia de sub semnul limitei sunt dezvoltate în serie de puteri. Exemplul 2.7.5. Să se calculeze limita

.

Soluție:

2.8. Serii Fourier. Dezvoltarea unei funcții în serie Fourier Funcțiile periodice reprezintă o clasă importantă de funcții, care descriu multiple fenomene oscilatorii, cum ar fi: mișcarea motorului cu aburi, fenomenul curentului alternativ, fenomenul propagării sunetului și luminii etc. Cele mai simple funcții periodice sunt sinusoidele: , unde

este frecvența, iar

este

perioada. Cu ajutorul acestor sinusoide pot fi formate și

147

148

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

altele, de frecvență diferită. De exemplu, cu funcțiile periodice

putem forma funcția periodică , (fiecare termen având perioadele:

cu perioada ).

Este justificată întrebarea: Poate oare o funcție periodică , de perioadă , să fie reprezentată sub formă de sumă a unui număr finit sau infinit de mărimi sinusoidale de tipul de mai sus? Vom arăta că pentru unele funcții răspunsul la această întrebare este afirmativ. Mai mult decât atât, există o clasă destul de mare de astfel de funcții, cu condiția, că în descompunere să fie o infinitate de sinusoide:

Dacă admite o astfel de reprezentare, geometric acest lucru poate fi reprezentat astfel: graficul funcției periodice se obține prin suprapunerea unui șir de sinusoide. Dacă vom interpreta fiecare mărime sinusoidală mecanic ca o oscilație armonică, atunci vom spune, că oscilația compusă, caracterizată de , se descompune în oscilații armonice. Notând variabilă

sau

cu perioada

, obținem o funcție de :

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Folosind formula sinusului sumei, putem scrie:

Partea dreaptă a egalității de mai sus se numește serie trigonometrică. Observăm că pentru orice : ; ;

:

:

–

;

149

150

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Fie că funcția periodică , cu perioada , admite reprezentarea (1). Să determinăm coeficienții . Fie că funcția este integrabilă pe . Integrăm egalitatea (1) termen cu termen (considerăm acest lucru posibil) și obținem:

și, ținând cont de calculele de mai sus, obținem: sau Pentru a determina coeficienții , înmulțim egalitatea (1) cu și integrăm termen cu termen ambele părți (considerăm acest lucru posibil):

Obținem: . Astfel, , înmulțim (1) cu Pentru a determina coeficienții și integrăm termen cu termen ambele părți (considerăm acest lucru posibil). Obținem:

sau

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Coeficienții din (2), (3), (4) se numesc coeficienți Fourier (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830, matematician, fizician și filozof francez), iar seria trigonometrică cu coeficienții calculați după formulele (2), (3), (4), se numește serie trigonometrică Fourier a funcției date. am presupus La calcularea coeficienților posibilă integrarea termen cu termen a seriei, fapt care nu întotdeauna este permis. Acest lucru este posibil, de exemplu, în cazul când seria din partea dreaptă a egalității (1) este uniform convergentă. De aceea, în general, chiar pentru o funcție integrabilă, nu putem scrie semnul ”=” între și seria Fourier asociată ei. Se notează (funcției

îi corespunde seria Fourier respectivă).

În cele ce urmează vor fi formulate condiții care garantează convergența seriei Fourier asociată funcției . În cazul convergenței seriei Fourier vom vedea cu ce este egală suma a seriei Fourier, în particular, când ea este egală cu . Definiția 2.8.1. O funcție se numește monotonă pe porțiuni pe , dacă segmentul poate fi divizat într-un număr finit de intervale pe fiecare dintre care, funcția este monotonă. Evident, dacă este monotonă pe porțiuni pe și mărginită pe , atunci poate avea un număr finit de puncte de discontinuitate de speța I (figura 2.8.1.).

151

152

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Figura 2.8.1. Teorema 2.8.1. (Dirichlet) Dacă funcția periodică cu perioada , este monotonă pe porțiuni și mărginită pe , atunci seria Fourier asociată funcției , este convergentă în orice punct al segmentului . În punctele în care funcția este continuă, suma a seriei obținute este egală cu valoarea funcției în punctul respectiv. În punctele de discontinuitate ale funcției suma seriei este egală cu media aritmetică a limitelor laterale ale funcției, în punctele respective. Adică, dacă este punct de discontinuitate a funcției , atunci: . Această teoremă arată că clasa funcțiilor ce admit descompunere în serie trigonometrică Fourier este destul de largă, fapt ce le permite o aplicație largă în multe ramuri ale matematicii, fizicii, tehnicii. Exemplul 2.8.1. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia , definită pe și prelungită prin periodicitate de perioadă pe întreg Soluție: Graficul funcției reprezintă un număr infinit de arce parabolice (figura 2.8.2.).

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Funcția

Figura 2.8.2. verifică condițiile teoremei Dirichlet.

Calculăm

,

— , . Astfel,

.

Seriile Fourier pot fi utilizate la calcularea sumei unor serii numerice, înlocuind valori concrete ale lui De exemplu, folosind dezvoltarea de mai sus și punând în descompunere , obținem respectiv: , Funcțiile periodice

. cu perioada

au proprietatea: ,

,

adică: integrala unei funcții periodice pe orice segment de lungimea perioadei are întotdeauna una și aceeași valoare.

153

154

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 2.8.2. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia definită pe și prelungită prin periodicitate de perioadă Soluție: Prelungim funcția

pe întreg definită pe

astfel încât să se verifice condițiile teoremei Dirichlet. Calculăm:

.

.

. Astfel, obținem seria Fourier asociată funcției date: . Conform teoremei Dirichlet, obținem:

Graficul sumei constă dintr-o infinitate de segmente și o infinitate de puncte izolate pe axa (figura 2.8.3.).

Figura 2.8.3. Astfel, Pentru

. , obținem cunoscuta serie Leibniz:

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII 2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

În cele ce urmează vom cerceta funcțiile pare și În cele ce urmează vom cerceta funcțiile pare și funcțiile impare. funcțiile impare. Amintim că dacă este o funcție pară, integrabilă pe Amintim că dacă este o funcție pară, integrabilă pe segmentul , atunci , iar segmentul , atunci , iar . dacă este o funcție impară, atunci . dacă este o funcție impară, atunci Dacă este o funcție pară și admite dezvoltare în serie Dacă este o funcție pară și admite dezvoltare în serie Fourier, atunci produsul este o funcție Fourier, atunci produsul este o funcție impară, iar produsul este o funcție pară și au impară, iar produsul este o funcție pară și au loc relațiile: loc relațiile: . . Astfel, în seria Fourier a unei funcții pare figurează Astfel, în seria Fourier a unei funcții pare figurează numai cosinusuri. numai cosinusuri. Dacă este o funcție impară și admite dezvoltare în Dacă este o funcție impară și admite dezvoltare în serie Fourier, atunci produsul este o funcție serie Fourier, atunci produsul este o funcție pară, iar produsul este o funcție impară și au pară, iar produsul este o funcție impară și au loc relațiile: loc relațiile:

. . Astfel în seria Fourier a unei funcții impare figurează Astfel în seria Fourier a unei funcții impare figurează numai sinusuri. numai sinusuri. Exemplul 2.8.3. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia Exemplul 2.8.3. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia definită pe și prelungită prin definită pe și prelungită prin periodicitate de perioadă pe întreg periodicitate de perioadă pe întreg Soluție: Funcţia este impară, deci seria Fourier, ce-i Soluție: Funcţia este impară, deci seria Fourier, ce-i , corespunde, conține numai sinusuri: , corespunde, conține numai sinusuri:

155 155

156

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

. Astfel . Fie în continuare o funcție periodică cu perioada , în general diferită de . Să descompunem această funcţie în serie Fourier. Punem este o funcție de argument

. Atunci

periodică cu perioada . Deci, ea poate fi

: dezvoltată în serie Fourier pe segmentul

. Punem

, atunci: , cu . Revenind la x prin

și

, obținem:

. Deci, unde sus.

se calculează folosind formulele de mai

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Toate proprietățile menționate pentru funcțiile periodice cu perioada sunt valabile și pentru funcțiile periodice cu perioada . Exemplul 2.8.4. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia definită pe și prelungită prin periodicitate de perioadă pe întreg Soluție: În acest caz

,

.

.

. Astfel Dezvoltarea unei funcții în serie Taylor sau Fourier ale permite aproximarea funcției date cu sumele parțiale seriilor respective. În cazul seriilor Taylor funcția este aproximată de polinoame Taylor, iar în cazul seriilor Fourier, funcția se aproximează de polinoame trigonometrice. Fie funcția definită pe . Să evaluăm eroarea comisă când funcția este înlocuită cu altă funcție . Ca măsură a erorii putem considera mărimea numită abaterea maximă dintre și

157

158 158

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

. Deseori însă se consideră o altă măsură a erorii, și anume . Deseorimedie însă se consideră ,ounde altă măsură a erorii, și anume abaterea pătratică abaterea medie pătratică , unde . . Definiția 2.8.2. Funcțiile Definiția 2.8.2. Funcțiile

se numesc polinoame trigonometrice de ordinul , . se numesc polinoame trigonometrice de ordinul , . Este „curioasă” aproximarea cu polinoame Este cu polinoame trigonometrice„curioasă” a funcției ,aproximarea periodică cu perioada . Mai trigonometrice a funcției , periodică cu perioada . Mai ales, este interesant care polinoame trigonometrice ales, esteo abatere interesant careminimă. polinoame trigonometrice generează pătratică generează abatere pătratică minimă. Sumao parțială Suma parțială a seriei Fourier a adeseriei Fourier ordinul n. a de ordinul n. Teorema 2.8.2. Teorema. Dacă 2.8.2. . Dacă atunci: atunci:

funcției , se mai numește sumă Fourier funcției , se mai numește sumă Fourier este integrabilă pe Fie că funcția este integrabilă pe Fie că funcția este suma Fourier de ordinul a funcției este suma Fourier de ordinul a funcției

unde minimul din partea dreaptă se consideră după toate unde minimultrigonometrice din partea dreaptă consideră toate. polinoamele de gradsemai mic sau după egal cu polinoamele grad mai mic sau egal cu .a suntde coeficienții seriei Fourier Dacă trigonometrice sunt coeficienții seriei Fourier a Dacă funcției , atunci are loc inegalitatea: funcției , atunci are loc inegalitatea: numită inegalitatea Bessel (Friedrich Wilhelm Bessel, numită inegalitatea Bessel (Friedrich Wilhelm Bessel, 1784-1846, matematician german). 1784-1846, matematician german).

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

Astfel, abaterea medie pătratică dintre și este cea mai mică abatere medie pătratică dintre și oricare polinom trigonometric de grad mai mic sau egal cu ). Demonstrație. Avem:

=

. Deci, valoarea

–

dacă polinom trigonometric Atunci

este minimală, , adică în calitate de se consideră suma Fourier .

159

160 160

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

deci deci

■■

..

Din Dininegalitatea inegalitateaBessel Besselpoate poatefifidemonstrată demonstratărelația: relația: , , numită numită egalitatea egalitatea

lui lui Parseval Parseval (Marc-Antoine (Marc-Antoine Parseval, Parseval, 1755-1836, 1755-1836, matematician francez). matematician francez). Exemplul Exemplul 2.8.5. 2.8.5. Să Să se se scrie scrie seria seria trigonometrică trigonometrică Fourier Fourier șiși egalitatea egalitatealui luiParseval Parsevalpentru pentrufuncția: funcția:

prelungită prelungităprin prinperiodicitate periodicitatede deperioadă perioadă

pe peîntreg întreg șiși

Să Să se se deducă deducă sumele sumele seriilor seriilor numerice: numerice: ..

Soluție: Soluție:Graficul Graficulfuncției funcției este estereprezentat reprezentatînînfigura figura2.8.4. 2.8.4.

Figura Figura2.8.4. 2.8.4. .. Funcția este pară. Deci Funcția este pară. Deci Calculăm Calculăm

;; ..

Obținem Obținem Egalitatea EgalitateaParseval Parsevaleste: este:

..

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

sau . Obținem:

.

Ușor se poate obține și:

. Fie o funcție definită pe . Deseori este util ca funcția să fie dezvoltată în serie Fourier după cosinusuri sau după sinusuri. Astfel, se prelungește pe , astfel încât funcția obținută , să fie pară sau impară pe intervalul , în dependență de problema pusă, apoi se prelungește prin periodicitate de perioadă pe întreg . Fie, că trebuie să dezvoltăm funcția în serie după cosinusuri. Deci, trebuie să fie pară. Prelungim funcția pe prin paritate după cum urmează: (figura 2.8.5.).

Figura 2.8.5. Dacă funcția verifică condițiile Dirichlet pe intervalul , atunci va îndeplini aceste condiții pe

161

162 162

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

intervalul intervalul cu cu

. Obținem: . Obținem:

Atunci, pe intervalul Atunci, pe intervalul

, ,

. .

în punctele de continuitate în punctele de continuitate , cu coeficienții determinați mai , cu coeficienții determinați mai

sus. sus. În mod similar se procedează când se cere dezvoltarea În mod similar se procedează când se cere dezvoltarea după sinusuri: (a se vedea după sinusuri: (a se vedea figura 2.8.6.). figura 2.8.6.).

Deoarece Deoarece

Figura 2.8.6. Figura 2.8.6. este impară, este impară,

, cu , cu . . avem avem

Astfel, în orice punct de continuitate pe Astfel, în după orice sinusuri punct dea funcției continuitate pe descompunerea : descompunerea după sinusuri a funcției : . . Exemplul 2.8.6. Să se dezvolte în serie Fourier după Exemplul 2.8.6. Să se dezvolte în serie Fourier după sinusuri funcția , prelungită prin sinusuri funcția , prelungită prin imparitate, apoi prin periodicitate de perioadă pe întreg imparitate, apoi prinimpar periodicitate de perioadă Soluție: Prelungind pe funcția , pe întreg Soluție: Prelungind impar pe funcția ,

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

obținem:

cu

graficul

reprezentat în figura 2.8.7.

Figura 2.8.7. Calculăm Deci, pe

. :

.

Bibliografie recomandată 1. Crăciun I. Analiză matematică. Calcul diferențial. – Iași, 2011, p. 35-106. 2. Păltineanu G. Analiză matematică. Calcul diferențial. – București: Ed. AGIR, 2002, p. 9-71. 3. Stănăşilă O. Analiză matematică. Ediţia definitivă. – Bucureşti: Ed. Floarea Darurilor, 2014, p. 58-107. 4. Stewart J. Calculus. Early Transcendentals. 5th edition. Centgage Learning, 2016, p. 701-792. 5. Fihtengolț G.M. Bazele analizei matematice, vol. II. – Chișinău: Ed. Lumina, 1970, p. 3-105.

163

164 164

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exerciții și probleme pentru lucrul individual Exerciții și probleme pentru lucrul individual 2.1. Să se determine sumele parțiale 2.1. Să se determine sumele parțiale numerice: numerice: 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9. 10. 10.

și suma și suma

a seriei a seriei

2.2. Să se demonstreze divergența seriei, utilizând criteriul 2.2. Să se demonstreze divergența seriei, utilizând criteriul necesar de convergență: necesar de convergență: 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7.

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

8. 9. 10. 2.3. Să se studieze convergența seriei, utilizând criteriul de comparație cu inegalități: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2.4. Să se studieze convergența seriei, utilizând criteriul de comparație la limită: 1. 2. 3.

165

166

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2.5. Să se studieze convergența seriei, utilizând criteriul d’Alembert: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

2.6. Să se studieze convergența seriei, utilizând criteriul radical Cauchy: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2.7. Să se studieze convergența seriei, utilizând criteriul Raabe-Duhamel: 1. 2. 3. 4. 5.

167

168 168

CALCUL CALCUL DIFERENȚIAL DIFERENȚIAL ȘI ȘI INTEGRAL INTEGRAL

2.8. 2.8. Să Să se se studieze studieze convergența convergența seriei: seriei: 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7. 8. 8. 9. 9. 10. 10. 2.9. 2.9. Să Să se se determine determine domeniul domeniul de de convergență convergență al al seriei seriei de de funcții: funcții: 1. 1. 2. 2.

;; ;;

3. 3. 4. 4.

;;

5. 5.

;;

;;

6. 6.

;;

7. 7.

;;

8. 8. 9. 9.

;; ;;

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

10.

.

2.10. Să se determine domeniul de convergență al seriei de puteri: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2.11. Folosind derivarea sau integrarea termen cu termen, să se calculeze suma seriei de puteri: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

169

170

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

7. 8. 9. 10. 2.12. Să se dezvolte în serie Taylor după puterile lui funcția indicând domeniul de convergență: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 2.13. Să se dezvolte în serie Taylor în vecinătatea punctului funcția inclusiv indicând domeniul de convergență al seriei: 1. 2. 3.

,

4. 5.

, ,

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII 2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

2.14. Să se calculeze cu exactitatea 2.14. Să se calculeze cu exactitatea expresiei expresiei 4. 1. 4. 1. 5. 2. 5. 2. 6. 3. 6. 3. 2.15. Să se calculeze cu exactitatea 2.15. Să se calculeze cu exactitatea integralei: integralei: 1. 1.

4. 4.

2. 2.

5. 5.

3. 3.

6. 6.

valoarea valoarea

.

. valoarea valoarea

2.16. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia definită pe 2.16. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia definită pe intervalul și prelungită prin periodicitate de intervalul și prelungită prin periodicitate de perioadă pe să se indice intervalele, pe care suma perioadă pe să se indice intervalele, pe care suma seriei Fourier este egală cu ; să se determine suma seriei în seriei Fourier este egală cu ; să se determine suma seriei în punctul indicat : punctul indicat : 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5. 6. 6. 7. 7.

171 171

172

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

2.17. Fie funcția

Să se dezvolte în serie Fourier funcţia , prelungită: a) prin paritate b) prin imparitate, apoi prin periodicitate de perioadă pe . Să se construiască graficul funcţiei sumă a seriei. 2.18. Să se dezvolte în serie de sinusuri funcţia , prelungită prin imparitate, apoi prin periodicitate de perioadă pe : 1. 2. 3. 4. 5. 2.19. Să se dezvolte în serie de cosinusuri funcţia , prelungită prin paritate, apoi prin periodicitate de perioadă pe : 1. 2. 3. 4. 5. 2.20. Fie funcţia

2. SERII NUMERICE. ȘIRURI ȘI SERII DE FUNCȚII

definită pe segmentul Să se dezvolte în serie de sinusuri, funcția prelungită prin imparitate, apoi prin periodicitate de perioadă pe . b) definită pe segmentul Să se dezvolte în serie de sinusuri, funcția prelungită prin imparitate, apoi prin periodicitate de perioadă 4 pe . c) definită pe segmentul Să se dezvolte în serie de cosinusuri, funcția prelungită prin paritate, apoi prin periodicitate de perioadă 4 pe .

a)

1.21. Să se dezvolte în serie Fourier funcţia: 1. 2. 3. 4. 5. 6. prelungită prin periodicitate pe întreg

173

174

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

3. INTEGRALE IMPROPRII

3.1. Integrale improprii de speţa I 3.2. Integrale improprii de speța II 3.3. Funcțiile

 



 

și

ale lui Euler

Cunoașterea noţiunilor de integrală improprie de prima şi a doua speţă. Cunoașterea și aplicarea proprietăților integralelor improprii de prima şi a doua speţă. Cunoașterea și aplicarea metodelor de calcul a integralelor improprii de prima şi a doua speţă. Cunoașterea și aplicarea criteriilor de convergenţă a integralelor improprii. Identificarea posibilității de aplicare a proprietăților funcțiilor și ale lui Euler la calcularea valorii sau exprimarea prin valorile acestora a unor integrale, inclusiv neexprimabile prin funcții elementare.

3. INTEGRALE IMPROPRII

3.1. Integrale improprii de speţa I Conceptul de integrală definită în sensul lui Riemann (Bernhard Riemann, 1826-1866, matematician german), studiat în liceu, are în vizor funcții definite și mărginite pe un segment. Acesta însă s-a dovedit a fi insuficient pentru rezolvarea unor probleme mai complexe. În cele ce urmează vom generaliza noţiunea de integrală atât în cazul funcțiilor definite pe intervale nemărginite, cât și în cazul funcțiilor nemărginite pe segment. Se obțin așa numitele integrale improprii sau generalizate. Prin analogie cu seriile numerice, pentru care convergența sau divergența erau definite cu ajutorul limitei șirului sumelor parțiale, vom defini convergența sau divergența unor integrale improprii cu ajutorul unui procedeu de trecere la limită. În acest paragraf vom analiza cazul în care funcția este definită pe un interval nemărginit. Definiţia 3.1.1. Fie funcția definită pe intervalul și integrabilă în sens Riemann pe orice segment . Simbolul

se numește integrală improprie de

speţa I a funcției pe limita superioară infinită). Dacă există și este finită

(integrală improprie cu , atunci integrala

se numește convergentă, funcția improprie se numește integrabilă (în sens impropriu sau generalizat) pe , iar valoarea integralei improprii este, prin definiție, egală cu valoarea acestei limite. În caz contrar (dacă limita nu există sau există, dar nu este finită) integrala improprie

se numește divergentă.

175

176

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Deci, prin definiție: Exemplul 3.1.1. Integrala improprie

este

convergentă, deoarece

Integrala improprie

însă, este divergentă, deoarece

Prin analogie cu integrala definită, pentru o funcție continuă, nenegativă , integrala poate fi interpretată ca fiind aria improprie trapezului curbiliniu (nemărginit ca domeniu) mărginit de dreapta , axa şi graficul funcţiei (figura 3.1.1.).

Figura 3.1.1. În mod similar se definește și integrala improprie cu limita inferioară infinită: Integrala improprie cu ambele limite infinite se definește astfel:

3. INTEGRALE IMPROPRII

unde . Exemplul 3.1.2.

este convergentă.

deci

este divergentă întrucât

Exemplul 3.1.3.

nu există. Exemplul 3.1.4

În definiția integralei

este important să se

observe că variabilele și converg către și respectiv independent una de cealaltă. Dacă însă variabilele și tind spre și respectiv "cu aceeași viteză", mai exact, dacă există și este finită

atunci

integrala

improprie

se

numește

convergentă în sensul valorii principale (Cauchy), iar valoarea acestei limite se numește valoare principală a integralei improprii.

177

178

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Se notează cu

Este evident că orice integrală improprie convergentă este convergentă și în sensul valorii principale, nu și viceversa. Exemplul 3.1.5. Integrala este divergentă, deoarece nu există. Totodată această integrală este convergentă în sensul valorii principale:

Exemplul 3.1.6. Să se cerceteze convergența integralei Soluție: Pentru Pentru

În concluzie:

este divergentă pentru

și

convergentă pentru . În cele ce urmează vom menționa unele proprietăți ale integralelor improprii de speța I. Pentru simplitatea

3. INTEGRALE IMPROPRII

expunerii vom considera integrala improprie cu limita superioară infinită, celelalte tipuri având aceleași proprietăți. 1. Formula lui Newton – Leibniz (Isaac Newton, 1642-1721, matematician, astronom, fizician englez). Dacă funcția este continuă pe și este o primitivă a ei, atunci , .

unde

2. Liniaritatea. Dacă integralele improprii și

sunt convergente, atunci pentru și integrala

este

convergentă și are loc: . 3. Integrala

este convergentă, dacă și numai

dacă pentru orice convergentă. Are loc

este

integrala

4. Dacă integrala

este convergentă, atunci .

5. Integrarea prin părţi. Dacă și sunt funcții derivabile și continue împreună cu derivatele lor pe , atunci unde ,

179

180 180

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

în presupunerea că doi dintre cei trei termeni ai în presupunerea că doi dintre cei trei termeni ai egalității de mai sus sunt convergenți. egalității de mai sus sunt convergenți. 6. Schimbarea de variabilă. Dacă funcția este 6. Schimbarea de variabilă. Dacă funcția este continuă pe , iar este continuă, derivabilă, continuă pe , iar este continuă, derivabilă, strict monotonă pe și strict monotonă pe și , , . atunci . atunci Funcția poate fi nemărginită pe Funcția poate fi nemărginită pe iar poate fi atât finit cât și infinit. iar poate fi atât finit cât și infinit. 7. Integrarea inegalităților. Dacă 7. Integrarea inegalităților. Dacă intervalul și și intervalul și și sunt convergente, atunci sunt convergente, atunci . . Exemplul 3.1.7. Exemplul 3.1.7.

Exemplul 3.1.8. Exemplul 3.1.8.

pe pe

. .

3. INTEGRALE IMPROPRII

Astfel integrala

este divergentă.

Exemplul 3.1.9. Să se demonstreze, că . este adevărată inegalitatea

Soluție: Pentru dublă:

.

Atunci

Ca și în cazul seriilor numerice, pentru integralele improprii pot fi formulate criterii de convergență a acestora. Criterii de convergență a integralelor improprii de speța I din funcții nenegative. Fie o funcție nenegativă pe

reprezintă

, atunci integrala

o funcție monoton crescătoare de variabilă . Problema existenței limitei finite a funcţiei pentru se rezolvă simplu pe baza teoremei despre limita funcției monotone: Pentru convergența integralei improprii

, este

necesar și suficient ca funcția să fie mărginită superior (adică să existe un număr real , astfel încât ). Teorema 3.1.1. (criteriul de comparație cu inegalități) Dacă pe un careva interval , atunci convergența integralei improprii implică convergența integralei improprii

181

182

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

. Divergența integralei improprii implică divergența integralei improprii Demonstraţie. Fie integrala convergentă Atunci

.

,

, de

■

unde rezultă afirmaţia teoremei.

Teorema 3.1.2. (criteriul de comparație la limită) Fie Dacă există , atunci pentru convergența integralei integralei

din

rezultă convergența din divergența

, iar pentru

, rezultă divergența

integralei

integralei

. Astfel, pentru ambele integrale ori sunt convergente, ori sunt divergente simultan. În caz particular, dacă , atunci

, adică

pentru şi

ori

sunt convergente, ori sunt divergente simultan. Deseori pentru comparație se consideră integrala (exemplul 3.1.6.). Exemplul 3.1.10. Să se cerceteze convergența integralei improprii Soluție:

iar integrala este convergentă (exemplul 3.1.6.,

).

3. INTEGRALE IMPROPRII

Astfel, conform teoremei 3.1.1., integrala este convergentă. Exemplul 3.1.11. Să se cerceteze convergenţa integralei . Soluție:

.

convergentă ( inegalități rezultă

că

Întrucât

este

), din criteriul de comparație cu este convergentă și integrala

. Exemplul 3.1.12. Să se cerceteze convergenţa integralei

Soluție: 1. Pentru

iar integrala

,

este convergentă. Din criteriul de comparație la limită rezultă convergenţa integralei

.

2. Ținând cont de limita remarcabilă ,

pentru

iar integrala

este

divergentă, din criteriul de comparație la limită rezultă divergenţa integralei

.

Teorema 3.1.3. Dacă integrala convergentă, atunci este convergentă . Reciproca teoremei 3.1.3. nu este adevărată.

și

este integrala

183

184 184

CALCUL CALCUL DIFERENȚIAL DIFERENȚIAL ȘI ȘI INTEGRAL INTEGRAL

Definiția Definiția numește numește

3.1.2. 3.1.2. absolut absolut

Integrala se Integrala improprie improprie se convergentă, dacă este convergentă convergentă, dacă este convergentă ..

integrala integrala Dacă Dacă oo integrală integrală improprie improprie este este convergentă, convergentă, dar dar nu nu este absolut convergentă, atunci ea se numește este absolut convergentă, atunci ea se numește semiconvergentă. semiconvergentă. Exemplul Exemplul 3.1.13. 3.1.13. Să Să se se cerceteze cerceteze convergenţa convergenţa absolută absolută aa .. integralei integralei Soluție: are .. Integrala Soluție: Pe Pe are loc loc Integrala este este convergentă. convergentă. Astfel, Astfel, conform conform criteriului criteriului de de comparație comparație cu cu inegalități, inegalități, concluzionăm concluzionăm că că şi şi integrala integrala este este convergentă. convergentă. Conform Conform definiției, definiției, integrala integrala este este absolut absolut convergentă. convergentă. Exemplul 3.1.14. Exemplul 3.1.14. Să Să se se cerceteze cerceteze convergenţa convergenţa absolută absolută aa .. integralei integralei Soluție: Soluție:

Aplicăm Aplicăm

metoda metoda

integrării integrării

prin prin

părți părți

și și

obținem: obținem: .. În În exemplul exemplul 3.1.13. 3.1.13. am am stabilit stabilit că că integrala integrala

este este convergentă, convergentă, de de

unde unde rezultă rezultă că că şi şi integrala integrala iniţială iniţială convergentă. convergentă.

este este

Să Să arătăm arătăm însă însă că că integrala integrala

divergentă. divergentă.

este este

Într-adevăr, Într-adevăr,

şi şi

,, de de unde unde rezultă rezultă că că ..

3. INTEGRALE IMPROPRII

este convergentă (se demonstrează

Integrala

prin raționamente similare cazului valoarea expresiei

), iar

nu este finită. Astfel, integrala

este divergentă. Ținând cont de faptul că pe , conform criteriului de comparație cu inegalități, obținem divergenţa integralei

. În

rezultat, concluzionăm că integrala

este

semiconvergentă. 3.2. Integrale improprii de speța II Definiţia 3.2.1. Fie funcția Punctul se numește punct singular pentru funcţia , dacă funcția este nemărginită pe dar este mărginită pe orice interval de forma unde (figura 3.2.1.).

Figura 3.2.1. Definiţia 3.2.2. Fie b un punct singular pentru funcția şi fie integrabilă în sens Riemann pe orice

185

186

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

segment

. Simbolul

se

numește integrală improprie de speţa II a funcției pe (integrală improprie cu limita superioară punct singular). Dacă există și este finită atunci

integrala

improprie

se

numește

convergentă, funcția se numește integrabilă pe iar valoarea integralei improprii prin definiție este egală cu valoarea acestei limite. În caz contrar integrala improprie se numește divergentă. Deci, prin definiție:

În mod similar se definește integrala improprie cu limita inferioară punct singular, adică dacă este punct singular pentru funcția care este integrabilă Riemann pe orice segment definim: . În caz general, segmentul poate conține câteva puncte singulare în vecinătatea cărora funcția este nemărginită, iar pe fiecare segment fără puncte singulare, funcția fiind mărginită și integrabilă. Pentru simplitate, fie că avem un singur punct singular în interiorul segmentului , atunci definim:

3. INTEGRALE IMPROPRII

187

Exemplul 3.2.1. Să se cerceteze convergenţa integralei improprii Soluție: Pentru funcția singular. Atunci

este un punct

. La calcularea limitei de mai sus am utilizat regula L’Hospital. Astfel,

integrala

improprie

este

convergentă. Exemplul 3.2.2. Să se cerceteze convergenţa integralei improprii

.

Soluție: Pentru funcția

cu

,

este punct

singular. Pentru

.

Pentru

. În concluzie, integrala convergentă pentru .

improprie de speța II este și este divergentă pentru

188

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Să observăm că pentru

este o integrală

Riemann, deci convergentă. Astfel integrala convergentă pentru .

este

și este divergentă pentru

Pentru integralele improprii de speţa II au loc proprietăţi, formule şi metode de calcul similare cazului integralelor improprii de speţa I. Exemplul 3.2.3. Să se calculeze Soluție:

În

efectuăm schimbarea de

integrala

variabilă

și obținem .

Astfel de unde rezultă că Teorema 3.2.1. (criteriul de comparație cu inegalități) Fie funcțiile nenegative integrabile pe orice interval . Dacă pe , atunci din convergența integralei

3. INTEGRALE IMPROPRII

rezultă

convergența

divergența

integralei

,

integralei

rezultă

iar

189

din

divergența

.

integralei

Teorema 3.2.2. (criteriul de comparație la limită) și există

Fie Atunci

din

pentru

.

convergența

integralei

rezultă convergența integralei

, iar , rezultă

din divergența integralei

pentru

divergența integralei

. și

integralele

Astfel, pentru

ori sunt convergente, ori sunt divergente simultan. În particular, dacă

pentru şi

, atunci

adică

,

ori sunt

convergente, ori sunt divergente simultan. Pentru comparație se ia o funcție concretă, deseori funcția

.

Exemplul 3.2.4. Să se cerceteze convergența integralei improprii

.

Soluție: Pentru funcția de sub simbolul integralei, este unicul punct singular pe

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

190

. este

integrala

convergentă

Deoarece

(exemplul

3.2.2.,

), conform criteriului de comparație la limită, rezultă că şi integrala dată este convergentă. Exemplul 3.2.5. Să se cerceteze convergența integralei .

improprii

Soluție: Pentru funcția de sub simbolul integralei, este unicul punct singular pe

. Deoarece integrala (

este convergentă

), conform criteriului de comparație la limită,

rezultă că şi integrala dată este convergentă. Suplimentar cazurilor analizate anterior, pot fi întâlnite integrale improprii în care atât intervalul de integrare este nemărginit, cât și funcția este nemărginită. În asemenea cazuri, reprezentăm integrala ca sumă a mai multor integrale improprii fie de speța I, fie de speța II, și studiem convergența fiecăreia dintre ele, suma fiind convergentă în cazul convergenței tuturor integralelor termeni ai sumei. Exemplul 3.2.6. Să se cerceteze convergența integralei . Soluție: Să observăm mai întâi că în acest caz intervalul de integrare este nemărginit și funcția de sub simbolul integralei are în calitate de punct singular Vom scrie integrala dată în forma:

3. INTEGRALE IMPROPRII

unde este o integrală improprie de speța II, iar este o integrală de speța I. Integrala este convergentă conform criteriului de comparație la limită, deoarece ,

iar

convergentă (exemplul 3.1.6.,

este ).

Integrala este convergentă conform criteriului de comparație la limită, deoarece iar convergentă (exemplul 3.2.2., În

concluzie,

convergentă ca convergente.

este

). este

integrala

sumă

de

două

integrale

improprii

Exemplul 3.2.7. Să se cerceteze convergența integralei . Soluție: În exemplul 3.1.14. a fost arătat că integrala de speța I este convergentă. este de speța II cu

Integrala

Întrucât

singular pentru funcția iar

punct când

conform criteriului de comparație la

limită obținem că integrala

este convergentă.

191

192

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

În concluzie: integrala mixtă

este convergentă.

Această integrală se numește integrala lui Dirichlet și se poate demonstra că valoarea ei este egală cu 3.3. Funcțiile Fie

și

și

ale lui Euler

două numere reale pozitive. Considerăm , care se numește integrala

integrala

lui Euler de speța I, este convergentă pentru orice

și

Funcția se numește funcția Beta a lui Euler (Leonhard Euler, 1707-1783, matematician, fizician, astronom, inginer elvețian). Funcția Beta este pozitivă, infinit derivabilă și are următoarele proprietăți: 1. 2. 3. Fie

un număr real pozitiv. Considerăm integrala Scriem această integrală ca sumă de două

integrale: Întrucât

conform

criteriului de comparație la limită pentru integrale improprii

3. INTEGRALE IMPROPRII

de speța II, integrala

193

este convergentă pentru

. este convergentă pentru

Integrala

real. Într-adevăr: considerăm

orice

,

Atunci este convergentă,

Deoarece integrala

conform criteriului de comparație la limită pentru integrale improprii de speța I, și integrala

este

convergentă.

este

Astfel,

convergentă pentru Oricărui număr un număr real,

integrala

și

îi putem pune în corespondență anume valoarea integralei

Definim astfel funcția care se numește funcție Gamma a lui Euler, iar integrala se numește integrala lui Euler de speța II. Funcția Gamma este pozitivă, convexă, infinit derivabilă și are următoarele proprietăți: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

.

194

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Datorită proprietății 3 se consideră că funcția Gamma generalizează noțiunea de factorial pe numere reale pozitive. Aceasta este o componentă a mai multor distribuții de probabilitate, deci are o aplicare vastă în statistică și combinatorică. Exemplul 3.3.1. Utilizând proprietățile funcției Gamma să calculăm

valoarea

(Siméon Denis francez).

integralei Poisson,

Poisson

1781-1840,

matematician

Prin raționamente similare celor utilizate pentru definirea funcției Gamma se demonstrează că Exemplul 3.3.2. Utilizând proprietățile funcțiilor Beta și Gamma să se calculeze valorile integralelor 1. 2. 3. 4. Soluție: 1.

2.

3. INTEGRALE IMPROPRII

3.

4.

Funcțiile neelementare Beta și Gamma sunt considerate funcții speciale fundamentale, care permit calcularea sau exprimarea prin valorile acestora a multor integrale, inclusiv celor care nu se exprimă prin funcții elementare. Bibliografie recomandată 1. Dănet C.P. Analiză matematică. Calcul integral. https://www.scribd.com/ , p. 42-55. 2. Stănăşilă O. Analiză matematică. Ediţia definitivă. – Bucureşti: Ed. Floarea Darurilor, 2014, p. 191-204. 3. Fihtengolț G.M. Bazele analizei matematice, vol. II. – Chișinău: Ed. Lumina, 1970, p. 108-130.

195

196

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exerciții și probleme pentru lucrul individual 3.1. Să se calculeze valoarea integralei improprii de speța I: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 3.2. Să se calculeze valoarea integralei improprii de speța II: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

3. INTEGRALE IMPROPRII

9. 10. 3.3. Să se cerceteze convergența integralei improprii de speța I: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 3.4. Să se cerceteze convergența integralei improprii de speța II: 1. 2. 3. 4. 5.

197

198

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

6. 7. 8. 9. 10. 3.5. Utilizând proprietățile funcțiilor Beta și Gamma să se calculeze valoarea integralei: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

4. INTEGRALE MULTIPLE

4. INTEGRALE MULTIPLE

4.1. Integrale duble 4.2. Integrale triple

    

Cunoașterea noţiunilor de integrală dublă și integrală triplă. Cunoașterea și aplicarea proprietăților integralelor duble și integralelor triple. Cunoașterea și aplicarea metodelor de calcul a integralelor duble și triple. Aplicarea metodei de schimbare a variabilelor în integralele multiple. Identificarea posibilității de rezolvare a problemelor cu conţinut geometric, fizic, mecanic etc., utilizând integralele multiple.

199

200

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

4.1. Integrale duble Ca și în cazul integralei definite a funcției de o singură variabilă, există o serie de probleme, ce conduc la noțiunea de integrală multiplă (dublă, triplă etc.). Problemă. Considerăm un corp cilindric, mărginit de suprafața , planul și suprafața cilindrică cu generatoarele paralele axei , directoarea căreia este frontiera domeniului închis şi mărginit din planul (figura 4.1.1.). Să se determine volumul acestui corp.

Figura 4.1.1. un domeniu închis și mărginit de arie . Fie Numim diviziune a domeniului o mulțime finită de submulțimi ale lui , fiecare două dintre care nu au puncte interioare comune și reuniunea cărora este adică

4. INTEGRALE MULTIPLE

Mulțimile se numesc elementele diviziunii. O diviziune se poate obține, de exemplu, prin construirea unei rețele de drepte paralele axelor de coordonate (figura 4.1.2.).

Figura 4.1.2. Considerăm o diviziune a aria domeniului În domeniului . Fie considerăm un punct arbitrar . fiecare domeniu Atunci valoarea reprezintă volumul unui corp (figura 4.1.3.). cilindric cu baza și înălțimea Atunci suma reprezintă volumul unui corp format din ’’coloane’’ (figura 4.1.4.). Este clar că aproximează volumul al corpului dat și această aproximare este cu atât mai bună cu cât mai mici sunt ariile elementelor diviziunii

201

202 202

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Figura 4.1.3. Figura 4.1.3.

Figura 4.1.4. Figura 4.1.4. Utilizând raționamentele de mai sus, vom defini integrala dublă. Fie în domeniul deînchis mărginit al Utilizând raționamentele mai şisus, vom defini integrala dublă. Fie în domeniul închis şi mărginit al

4. INTEGRALE MULTIPLE

planului definită funcția mărginită . Procedând ca și mai sus, alcătuim suma numită sumă integrală Riemann a funcției corespunzătoare diviziunii a domeniului și modului de alegere a punctelor Fie

diametrul mulțimii

Notăm cu

Definiția 4.1.1. Nimărul se numește limita sumelor atunci când dacă integrale pentru orice diviziune a domeniului

și orice mod de alegere a

punctelor Dacă această limită există și este finită, atunci funcția se numește integrabilă pe domeniul , iar valoarea limitei se numește integrala dublă a funcției pe domeniul Se notează:

unde respectiv, este element de arie, iar domeniu de integrare. Deci,

este

Astfel, volumul corpului cilindric, descris mai sus, poate fi determinat utilizând formula

203

204

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Teorema 4.1.1. Orice funcție continuă pe un domeniu închis și mărginit este integrabilă pe Proprietăți ale integralei duble: 1. Dacă funcţia este integrabilă pe domeniul , iar este o constantă, atunci și funcția este integrabilă pe domeniul și are loc

2. Dacă funcțiile și atunci și funcțiile

sunt integrabile pe domeniul , sunt integrabile pe domeniul și

3. Dacă este o diviziune a domeniului și integrabilă pe fiecare dintre domeniile este integrabilă pe domeniul și

4. Dacă funcția

și este , atunci

este integrabilă pe domeniul , pentru orice atunci

și

unde S este aria domeniului . 5. Teorema despre valoarea medie a integralei duble. Dacă este integrabilă pe domeniul și pentru orice atunci există astfel încât

4. INTEGRALE MULTIPLE

unde S este aria domeniului . Mai mult, dacă funcția este continuă, atunci există încât 6. Dacă funcția este integrabilă pe domeniul și , pentru orice atunci

7. Dacă funcțiile

și sunt integrabile pe domeniul , pentru orice atunci

8. Dacă funcția este integrabilă pe domeniul domeniul este integrabilă și funcția și

, atunci pe

, astfel încât Domeniul plan mărginit de: , , , se numeşte regulat (figura 4.1.5.)

Fie funcțiile continue , în direcţia axei

și

Figura 4.1.5.

205

206

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

În mod similar, se defineşte domeniul regulat în , direcţia axei , adică mărginit de curbele: , , , unde , pentru orice , şi sunt continue pe (figura 4.1.6.).

Figura 4.1.6. Fie un domeniu regulat în direcţia axei . Fie că pentru orice fixat există integrala și există integrala

din

atunci

se numește integrală iterată a funcţiei pe domeniul În această expresie mai întâi se calculează integrala din paranteze, în raport cu y (x fiind considerată constantă). Deseori se scrie sub forma: . Prin raționamente similare se definește și integrala iterată direcţia axei

pe un domeniu regulat în , scrisă și sub forma

4. INTEGRALE MULTIPLE 4. INTEGRALE MULTIPLE

Exemplul 4.1.1. Exemplul 4.1.1.

Teorema 4.1.2. Fie un dreptunghi mărginit de dreptele: Teorema 4.1.2. Fie un dreptunghi mărginit de dreptele: , , , Dacă funcția este integrabilă , , , Dacă funcția este integrabilă pe domeniul și pentru orice există integrala pe domeniul și pentru orice există integrala atunci există și integrala iterată atunci există și integrala iterată și are loc egalitatea: și are loc egalitatea:

Demonstraţie: Divizăm segmentul în părţi, iar Demonstraţie: Divizăm segmentul în părţi, iar în părţi, notând cu în părţi, notând cu punctele de diviziune. Prin ele punctele de diviziune. Prin ele ducem drepte paralele la axele şi . Atunci este ducem drepte paralele la axele şi . Atunci este , , divizat în dreptunghiuri , , divizat în dreptunghiuri (figura 4.1.7.). (figura 4.1.7.).

Notăm: Notăm: punct punct singură variabilă singură variabilă

Figura 4.1.7. Figura 4.1.7. , . Fixăm un , . Fixăm un , atunci este o funcţie de o , atunci este o funcţie de o şi . Întrucât funcţia şi . Întrucât funcţia

207 207

208

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

este integrabilă pe rezultă că funcţia este integrabilă pe . Integrând pe segmentul obținem: . Notăm

. Atunci .

Sumând în raport cu de la Înmulţind cu de la la

Valoarea . Fie

, obţinem:

obținem:

la

şi sumând în raport cu

reprezintă aria diagonala dreptunghiului

a dreptunghiului și

Atunci şi

Dar

■

Teorema 4.1.3. Fie un dreptunghi mărginit de dreptele: , , , Dacă funcția este integrabilă pe domeniul și pentru orice există integrala

4. INTEGRALE MULTIPLE

atunci există și integrala iterată și are loc egalitata:

Teorema 4.1.4. Fie funcția definită, mărginită și integrabilă pe domeniul regulat în direcția axei . Dacă pentru orice există integrala atunci

există

și

integrala

și

Teorema 4.1.5. Fie funcția definită, mărginită și integrabilă pe domeniul regulat în direcția axei . Dacă pentru orice există integrala atunci

există

și

integrala

și

Deseori pentru a calcula integrala dublă pe un domeniu arbitrar, acesta se divizează în domenii regulate în direcția uneia dintre axele de coordonate (figura 4.1.8.) În cazul unui domeniu regulat atât în direcția axei cât și în direcția axei dacă funcția verifică condițiile teoremelor 4.1.4. și 4.1.5., atunci integralele iterate sunt egale, adică poate fi schimbată ordinea integrării.

209

210

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Figura 4.1.8. Exemplul 4.1.2. Să se schimbe ordinea integrării: 1. 2. Soluție: 1. Reprezentăm domeniul de integrare în planul de coordonate (figura 4.1.9.).

Figura 4.1.9. și

Avem

iar Astfel obținem

și Atunci

.

4. INTEGRALE MULTIPLE

2. Reprezentăm domeniul de integrare în planul cartezian de coordonate (figura 4.1.10.).

Figura 4.1.10. Din relația rezultă că

rezultă .

Întrucât Din relația

rezultă Atunci integrala dată poate fi scrisă ca sumă a două integrale

Exemplul 4.1.3. Să se calculeze integrala dublă:

Soluție: Reprezentăm în planul cartezian domeniul (figura 4.1.11.).

Figura 4.1.11.

211

212

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Domeniul

este regulat în direcția axei

Exemplul 4.1.4. Să se calculeze integrala dublă:

Soluție: Reprezentăm domeniul (figura 4.1.12.).

regulat în direcția axei

Figura 4.1.12. Atunci:

4. INTEGRALE MULTIPLE 4. INTEGRALE MULTIPLE

Exemplul4.1.5. 4.1.5.Să Săse secalculeze calculeze Exemplul

unde unde

este triunghiul triunghiul cu cu vârfurile vârfurile este

.. Soluție: Reprezentăm Reprezentăm înîn planul planul cartezian cartezian de de coordonate coordonate Soluție: triunghiul (figura4.1.13.). 4.1.13.). triunghiul (figura

Figura4.1.13. 4.1.13. Figura Ecuaţia dreptei dreptei este: iar ecuaţia ecuaţia dreptei dreptei Ecuaţia este: , , iar este: Domeniul este esteregulat regulatînîndirecția direcțiaaxei axei și: și: este: Domeniul

.. Schimbul de de variabile variabile în în integrala integrala dublă. dublă. Fie Fie înîn planul planul Schimbul definitefuncțiile: funcțiile: careaplică aplică definite , ,care biunivoc domeniul domeniul din din planul planul domeniul din din biunivoc înîn domeniul planul adicăoricărui oricăruipunct punct cu cucoordonatele coordonatele din planul , , adică din

213 213

214

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

îi corespunde un singur punct din și invers. În cele ce urmează vom determina modul de “schimbare” a ariilor la aplicația dată. Divizăm domeniul în domenii dreptunghiulare cu o rețea de drepte paralele axelor de coordonate și . Liniile din domeniul , ce corespund acestor drepte, împart la rândul lor domeniul în dreptunghiuri curbilinii (figura 4.1.14.).

Figura 4.1.14. Examinăm în planul dreptunghiul de arie , mărginit de dreptele , , , . Atunci . Fie că punctele se aplică respectiv în . Atunci: , cu , ; , cu , ; , cu , ; , cu , . Fie funcțiile care admit derivate parțiale continue pe domeniul Atunci, , , , ,

4. INTEGRALE MULTIPLE

, ,

Fie general, considera că

, . aria dreptunghiului curbiliniu . În . Pentru simplitatea expunerii vom este paralelogram. Atunci

. Notăm

, numit determinant funcțional al

funcțiilor și sau jacobian (Jacobi, Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804-1851, matematician german) transformării definite de Astfel, . Fie pe domeniul definită și integrabilă funcția în . Fiecărei valori a funcției domeniul îi corespunde aceeași valoare a funcției în domeniul , unde . Fie Examinăm sumele integrale ale funcției z în domeniul . Atunci

Obținem astfel formula pentru schimbarea de variabile în integrala dublă:

215

216

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 4.1.6. Să se calculeze

Soluție: Domeniul

nu este simplu (figura 4.1.15.).

Figura 4.1.15. Efectuăm schimbarea de variabile, care va transforma şi domeniul în altul mai simplu. Notăm . Domeniul . Atunci din planul este pătratul determinat de dreptele . Jacobianul transformării este:

Atunci

. Un interes deosebit prezintă trecerea la coordonatele polare în integrala dublă: , .

4. INTEGRALE MULTIPLE

Atunci, Obținem

Exemplul 4.1.7. Să se calculeze

Soluție: Domeniul figura 4.1.16.

este coroana circulară reprezentată în

Figura 4.1.16. Observăm că și Atunci

217

218

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 4.1.8. Să se calculeze

Soluție: Să observăm că adică domeniul coroana circulară reprezentată în figura 4.1.17.

este

Figura 4.1.17. Pentru

obținem

,

. Observăm că adică Atunci

iar

Aplicații ale integralei duble: 1. Dacă integralei

pe domeniul

atunci valoarea

4. INTEGRALE MULTIPLE

este aria domeniului , adică

2. Volumul corpului cilindric, mărginit de suprafața , planul și suprafața cilindrică cu generatoarele paralele axei , iar directoarea - frontiera domeniului , este:

3.

Fie o placă neomogenă a cărei densitate pe domeniul este Atunci masa plăcii este:

4.

Momentele statice ale figurii materiale. Fie dată figura materială și densitatea de distribuție a masei în domeniul . Se numește moment static al unui sistem de puncte materiale față de o dreaptă suma produselor maselor, concentrate în aceste puncte, la distanțele lor până la această dreaptă. Momentele statice ale figurii plane în raport cu axele și sunt:

5.

Centrul de greutate al figurii plane materiale are coordonatele:

6.

Momentele de inerție. Moment de inerție al unui punct material cu masa m, faţă de un punct este egală cu

219

220 220

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

, unde r este distanța până la punctul . , r este distanța până la punctul Momentul unde de inerție al unui sistem de puncte materiale. Momentul de inerție al unui sistem de puncte materiale este: este: Momentele de inerție ale figurii plane față de axele și Momentele de inerție ale figurii plane față de axele și sunt egale cu: sunt egale cu: Momentul de inerție al figurii plane în raport cu originea Momentul de inerție al figurii plane în raport cu originea de coordonate este egal cu de coordonate este egal cu Exemplul 4.1.9. Să se determine aria domeniului plan Exemplul 4.1.9. Să se determine aria domeniului plan mărginit de elipsa mărginit de elipsa Soluție: Soluție: Efectuăm schimbarea de variabile Efectuăm schimbarea de variabile Atunci Atunci Ecuația Ecuația Calculăm Calculăm

, .

,

.

implică implică

Să observăm că pentru obținem formula de Să observăm că pentru obținem formula de calcul a ariei cercului de rază calcul a ariei4.1.10. cercului rază Exemplul Să de se determine volumul corpului Exemplul 4.1.10. Să se determine volumul corpului mărginit de suprafețele mărginit suprafețele Soluție: de Corpul mărginit de cele două paraboloide eliptice Soluție: Corpul mărginit de cele4.1.18. două paraboloide eliptice date este reprezentat în figura date este reprezentat în figura 4.1.18.

4. INTEGRALE INTEGRALE MULTIPLE MULTIPLE 4.

Figura 4.1.18. 4.1.18. Figura Proiecția corpului corpului pe pe planul planul și deci deci domeniul domeniul de de Proiecția și integrare este este discul discul mărginit mărginit de de cercul cercul de de rază rază cu cu centrul centrul integrare în originea originea de de coordonate: coordonate: în

Ținând cont cont de de faptul faptul că că domeniul domeniul este este un un disc, disc, este este Ținând comod să să trecem trecem la la coordonate coordonate polare. polare. Atunci Atunci obținem: obținem: comod

4.2. Integrale Integrale triple triple 4.2. Noțiunea de de integrală integrală triplă triplă se se introduce introduce prin prin Noțiunea raționamente similare similare cazului cazului integralei integralei duble. duble. Se Se consideră consideră raționamente în spațiu spațiu domeniul domeniul mărginit mărginit şi şi închis închis și și funcția funcția în definită pe pe .. Domeniul Domeniul se divizează divizează în în domenii definită se domenii de volume volume respectiv. În În de ,, respectiv. fiecare domeniu domeniu se consideră consideră un un punct punct arbitrar arbitrar fiecare se Se formează formează suma suma integrală integrală .. Se Se notează notează cu cu cel cel mai mai mare mare dintre dintre diametrele diametrele acestor acestor Se părți și și se se consideră consideră părți

221 221

222

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Dacă această limită există, este finită și nu depinde de diviziunea domeniului V şi de modul de alegere a punctelor , atunci valoarea ei se numește integrala triplă a funcţiei pe domeniul și se notează cu

sau

unde

respectiv

, este element de volum. Astfel,

În cazul integralei triple sunt juste proprietăți similare integralei duble. Un domeniu spațial mărginit şi închis se numește regulat în direcția axei , dacă: a) Orice dreaptă paralelă axei , dusă printr-un punct interior al domeniului intersectează frontiera domeniului cel mult în două puncte; b) Domeniul se proiectează pe planul într-un domeniu regulat ; c) Orice parte a domeniului , secționată de un plan paralel unuia dintre planele de coordonate, de asemenea posedă proprietățile a) și b). Paralelipipedul dreptunghic, elipsoidul, tetraedrul sunt exemple de domenii spațiale regulate. Fie domeniul mărginit de jos de suprafața , iar de sus de suprafața . Considerăm că domeniul este proiecția domeniului spațial pe planul și că este mărginit de: . Atunci

4. INTEGRALE MULTIPLE 4. INTEGRALE MULTIPLE

sau sau se numește integrală iterată triplă a funcției pe sedomeniul numește integrală iterată triplă a funcției pe domeniul Integrala triplă a funcției integrabile pe domeniul Integrala funcțieicuintegrabile pe domeniul spațial regulattriplă estea egală integrala iterată a acestei spațial regulat este egală cu integrala iterată a acestei funcții pe acest domeniu, adică funcții pe acest domeniu, adică

Exemplul 4.2.1. Să se calculeze integrala triplă Exemplul 4.2.1. Să se calculeze integrala triplă

Soluție: Proiecţia domeniului pe planul Soluție: Proiecţia (figura domeniului triunghiul 4.2.1.). pe planul triunghiul (figura 4.2.1.).

Ecuația dreptei Ecuația dreptei

Figura 4.2.1. Figura 4.2.1.. Atunci este este . Atunci

este este

223 223

224

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Prin raționamente similare cazului integralei duble, pentru schimbarea de variabile în integrala triplă, se consideră două sisteme spațiale de coordonate şi . Fie în sistemul domeniul spațial . Considerăm aplicația biunivocă

a domeniului pe careva domeniu este unitate de volum în spațiul corespunzător din , atunci, este considerate. Astfel, obținem:

din , iar

jacobianul

. Dacă este volumul , unde transformării

4. INTEGRALE MULTIPLE

unde

,

Prezintă interes trecerea la: a) coordonate cilindrice: , , . În acest caz orice punct din spațiu este identificat prin cele două coordonate polare ale proiecției sale pe planul și coordonata carteziană . Atunci

unde b) coordonate sferice: În acest caz poziția punctului în spațiu este determinată de trei numere: , unde este distanța de la punctul până la originea de coordonate (numită raza vectoare a punctului ), este unghiul dintre raza vectoare a punctului și direcția pozitivă a axei , iar este unghiul dintre proiecția razei vectoare a punctului pe planul și direcția pozitivă a axei , măsurat în direcție pozitivă. Pentru orice punct în spațiu se consideră , . , Atunci

225

226

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

și

unde

.

Exemplul 4.2.2. Să se calculeze integrala triplă:

Soluție: Vom trece la coordonatele cilindrice: , , . . Proiecția pe planul Atunci . domeniului este discul Atunci , , şi

a

4. INTEGRALE MULTIPLE

Exemplul 4.2.3. Să se calculeze integrala triplă:

Soluție: Deoarece , suprafața dată reprezintă o sferă cu centrul în

de rază . Deoarece

obținem corpul reprezentat în figura 4.2.2.

Figura 4.2.2. Vom folosi coordonatele sferice. , , Atunci:

,

.

227

228

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Aplicații ale integralei triple: 1. Volumul al unui corp în spațiul

2. Masa este:

unui corp material

este:

de densitate

3. Momentele statice ale unui corp material de densitate , în raport cu planele de coordonate sunt:

4. Coordonatele centrului de greutate ale corpului material cu densitatea sunt:

unde este masa corpului. 5. Momentele de inerție ale unui corp material față de planele de coordonate sunt:

4. INTEGRALE MULTIPLE

Bibliografie recomandată 1. Stănăşilă O. Analiză matematică. Ediţia definitivă. – Bucureşti: Ed. Floarea Darurilor, 2014, p. 233-271. 2. Stewart J. Calculus. Early Transcendentals. 5th edition, Centgage Learning, 2016, p. 981-1054. 3. Fihtengolț G.M. Bazele analizei matematice, vol. II. – Chișinău: Ed. Lumina, 1970, p. 240-303; 344-371.

229

230

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exerciții și probleme pentru lucrul individual 4.1. Să se calculeze integrala iterată: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 4.2. Să se reprezinte domeniul de integrare și să se schimbe ordinea de integrare în integrala iterată: 1. 2. 3. 4.

4. INTEGRALE MULTIPLE

5. 6. 7. 8. 9. 10. 4.3. Să se calculeze integrala dublă pe domeniul : 1. 2. 3. 4. 5. 6. este triunghiul cu vârfurile

7. ,

,

.

este paralelogramul cu vârfurile

8. ,

,

9.

, :

10.

,

,

231

232

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

4.4. Să se calculeze integrala dublă, folosind schimbul de variabile: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 4.5. Să se calculeze ariile domeniilor, mărginite de liniile: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

4. INTEGRALE MULTIPLE

4.6. Să se calculeze volumul corpului mărginit de suprafeţele: 1. 2. 3. 4. 5.

233

234

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

5. INTEGRALE CURBILINII

5.1. Integrale curbilinii de speța I 5.2. Integrale curbilinii de speța II

  





Cunoașterea noţiunilor de integrală curbilinie de speța I și speța II. Cunoașterea și aplicarea proprietăților integralelor curbilinii de speța I și speța II. Cunoașterea și aplicarea metodelor de calcul a integralelor curbilinii de speța I și speța II. Identificarea funcției, diferențiala totală a căreia reprezintă expresia de sub simbolul integralei curbilinii de speța II. Identificarea posibilității de rezolvare a problemelor cu conţinut geometric și fizic, utilizând integralele curbilinii.

5. INTEGRALE CURBILINII

5.1. Integrale curbilinii de speța I Multiple noțiuni din fizică (masa arcului plan, lucrul mecanic, circulația unui câmp vectorial, energia unui sistem termic etc.) conduc la noțiunea de integrală curbilinie. Problema determinării masei arcului plan. Fie în planul un arc AB şi fie cunoscută densitatea liniară în orice punct . Se cere de determinat masa m a arcului de curbă AB. Cu punctele vom diviza arbitrar arcul AB în arce (figura 5.1.1.).

Figura 5.1.1. Pe fiecare dintre arcele considerăm câte un . În cazul punct arbitrar cu densitatea respectivă unei diviziuni suficient de fine, considerăm că pe arcul densitatea este constantă, egală cu . Notăm cu . Atunci masa arcului lungimea arcului este . Prin urmare, masa întregului arc AB este . Eroarea comisă la calcularea masei este cu atât mai mică cu cât mai mici vor fi lungimile Notăm cu Atunci

235

236

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

sau În cele ce urmează vom defini integrala curbilinie de speţa I. Fie o curbă plană definită parametric pe un segment adică există funcțiile continue astfel încât oricărei valori îi corespunde un punct . Ecuațiile se numesc ecuații parametrice ale curbei . O curbă se consideră orientată în direcția creșterii parametrului. De regulă, punctele şi se numesc capetele curbei, iar curba se notează Curba se numește simplă (fără puncte multiple), dacă aplicația este bijectivă. Dacă doar punctul coincide cu punctul atunci curba se numește închisă sau contur. Curba se numește netedă pe , dacă funcțiile sunt continue împreună cu derivatele lor și Curba se numește netedă pe porțiuni pe , dacă este netedă pe cu excepția unui număr finit de puncte. Considerăm o diviziune a segmentului Notăm cu lungimea segmentului unde Curba se numește și cu rectificabilă (posedă lungime), dacă este finit unde

5. INTEGRALE CURBILINII

este o diviziune arbitrară a curbei . Numărul se numește lungimea curbei

(figura 5.1.2.).

Figura 5.1.2. Orice curbă netedă este rectificabilă. Considerăm o funcţie definită pe curba netedă L. Prin raționamente similare celor de mai sus, considerăm o diviziune a segmentului și un punct arbitrar arcul Definim suma integrală

de pe

, unde

este lungimea arcului

Definiţia 5.1.1. Dacă

unde

există, este finită şi nu depinde de diviziunea curbei nici , atunci valoarea de modul de alegere a punctelor ei se numeşte integrală curbilinie de speţa I a funcţiei pe curba . Se notează cu

Deci, prin definiție:

237

238

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

În integrala

se numește element de lungime, iar drum de integrare. În mod similar poate fi definită integrala curbilinie a unei funcţii definită pe o curbă spațială :

O funcție definită pe curba de-a lungul acesteia, dacă

se numește continuă pentru

Dacă această condiție se îndeplinește în toate orice punctele curbei, cu excepția unui număr finit de puncte, atunci funcția se numește continuă pe porțiuni de-a lungul curbei Teorema 5.1.1. Dacă funcția este continuă (continuă pe porțiuni) pe curba netedă (netedă pe porțiuni) , atunci integrala curbilinie de speța I a funcției pe curba există. Proprietăţi ale integralei curbilinii de speţa I 1.

2.

5. INTEGRALE CURBILINII

3.

unde c este constantă. 4. Dacă drumul de integrare , atunci

este divizat în porţiunile

Calcularea integralei curbilinii de speţa I. Calcularea integralei curbilinii de speţa I se reduce la calcularea unei integrale definite. Fie o funcție definită și continuă pe curba netedă Pentru simplitatea expunerii, considerăm în planul curba definită de ecuaţia , , unde funcţiile şi sunt continue pe segmentul , atunci şi

Într-adevăr, Atunci lungimea segmentului este (figura 5.1.3.). Conform teoremei Lagrange: cu

. În

, de unde

cazul unei diviziuni suficient de fine implică

ceea ce

de unde rezultă (1).

239

240

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Figura 5.1.3. Dacă

este o curbă plană definită în mod parametric: , iar funcțiile

continue pe

Dacă , atunci

şi

atunci

sunt şi

este o curbă definită prin coordonate polare: sunt continue, , unde funcțiile

5. INTEGRALE CURBILINII

Dacă L este o curbă spaţială definită în mod unde funcțiile

parametric:

sunt

continue împreună cu derivatele, atunci

Exemplul 5.1.1. Să se calculeze

unde este arcul de curbă abscisă , . Soluţie:

, situat între punctele de

.

. Atunci

Exemplul 5.1.2. Să se calculeze

unde Soluţie:

este

conturul .

triunghiului

,

unde

241

242

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Pe segmentul

Pe segmentul și

Pe segmentul

, și

avem:

avem:

avem:

În final obținem

Exemplul 5.1.3. Să se calculeze

unde L este petala lemniscatei Bernoulli situată în cadranul I (figura 5.1.4.).

Figura 5.1.4.

,

și

5. INTEGRALE CURBILINII

Soluţie: Avem

, ,

și

Exemplul 5.1.4. Să se calculeze integrala

unde

este segmentul cu extremitățile în punctele şi .

Soluţie: Ecuaţia canonică a dreptei , iar ecuațiile parametrice ale dreptei , , Obţinem

, ,

, ,

sunt: , .

. Aplicaţii ale integralei curbilinii de speţa I: 1. Lungimea unei curbe rectificabile este egală cu integrala curbilinie din funcția unitate de-a lungul acestei curbe, adică

243

244

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

2. Dacă este densitatea de masă de-a lungul curbei şi ρ este continuă pe , atunci - masa arcului material (firului) este

- momentele statice ale arcului în raport cu axele de coordonate sunt:

- coordonatele centrului de greutate ale arcului sunt: , - momentele de inerție ale arcului în raport cu axele de coordonate sunt:

- momentul de inerție în raport cu originea de coordonate este:

Din definiția 5.1.1. rezultă că integrală curbilinie de speţa I a funcţiei pe curba exprimă valoarea numerică a ariei suprafeței cilindrice de generatoarea paralelă axei , ce trece prin punctele curbei (figura 5.1.5).

5. INTEGRALE CURBILINII

Figura 5.1.5 Exemplul 5.1.5. Să se calculeze aria suprafeței pe care o din cilindrul . taie cilindrul Soluţie: Observăm că aria suprafeței, tăiate de cilindrul din cilindrul este egală cu integrala curbilinie de speța I pe curba plană definită de de la funcția, care reprezintă diferența funcțiilor definite de cilindrul adică și calculelor vom defini curba obținem:

. Pentru comoditatea prin coordonate polare și

245

246

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

5.2. Integrale curbilinii de speța II Problema determinării lucrului mecanic al unei forţe. Fie că unui punct material care se mişcă de-a lungul unei curbe simple plane din punctul spre punctul , i se care variază ca mărime şi ca direcţie, adică aplică forţa . Să se determine lucrul al forţei la deplasarea punctului din punctul spre punctul Divizăm curba

cu punctele

, în direcţia de la

la

Notăm vectorul

cu

. Fie mărimea forţei în punctul . Se cunoaşte că în cazul când este un segment de dreaptă, .

atunci lucrul poate fi determinat astfel: Produsul

scalar

aproximativ pe arcul , Atunci

poate

fi

considerat

. Deci, .

. Punem

(figura 5.2.1.).

Figura 5.2.1. Fie că

lucrul

.

5. INTEGRALE CURBILINII 5. INTEGRALE CURBILINII

Atunci şi Atunci şi sau Eroarea va sau Eroarea va fi cu atât mai mică cu cât în mai mici părţi va fi divizat arcul fi cu, atât adicămai mică cu cât. în mai mici părţi va fi divizat arcul , adică . Deci, Deci, La definirea integralei curbilinii de speţa II se folosesc La definireadeintegralei speţa IIsimplă se folosesc raţionamentele mai sus.curbilinii Fie ode curbă plană raţionamentele de mai sus. Fie o curbă simplă plană rectificabilă Fie că pe curba sunt rectificabilă Fie că pe curba sunt definite funcțiile şi . Considerăm o diviziune definite funcțiile şi . Considerăm o diviziune a segmentului aarcul segmentului arcul

și un punct arbitrar și un punct arbitrar

de pe de pe

Fie Fie

, , unde este lungimea arcului unde este lungimea arcului Definim suma integrală Definim suma integrală

.

. există, este finită şi nu Definiţia 5.2.1. Dacă există, este finită şi nu Definiţia 5.2.1. Dacă depinde de diviziunea curbei nici de modul de alegere a depinde de diviziunea curbeivaloarea nici de modul de alegere a punctelor , atunci ei se numeşte integrală valoarea se numeşte integrală punctelor curbilinie de speţa ,IIatunci a funcţiei peeicurba . curbilinie de speţa Se notează cu II a funcţiei pe curba . sau sau Se notează cu Astfel Astfel

247 247

248

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Dacă este un arc de curbă spațial, analog poate fi definită noțiunea de integrală curbilinie de speța II a funcțiilor pe curba : Fie o curbă închisă. Vom considera sens pozitiv de parcurgere a curbei plane direcția de parcurgere a curbei, în care domeniul mărginit de este situat în stânga. Integrala pe conturul se notează cu Teorema 5.2.1. Dacă funcțiile , și sunt continue (continue pe porțiuni) pe curba simplă netedă (netedă pe porțiuni) , atunci integrala curbilinie de speța a doua a funcției pe curba există și are loc:

în cazul curbei spațiale, definite în mod parametric;

în cazul curbei plane, definite în mod parametric;

în cazul curbei plane definite de funcția

,

5. INTEGRALE CURBILINII

Proprietăţi ale integralei curbilinii de speţa II 1. Dacă drumul de integrare va fi de la la , atunci integrala curbilinie îşi va schimba semnul, adică:

2. Dacă drumul de integrare atunci

este divizat în porţiunile .

Exemplul 5.2.1. Să se calculeze integrala curbilinie: - arcul de curbă

, unde punctul

la punctul

Soluţie: Avem

de la

. . Obţinem că

,

. Exemplul 5.2.2. Să se calculeze integrala curbilinie de speța II:

unde

este arcul astroidei (figura 5.2.2.) .

Figura 5.2.2.

249

250

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Soluție:

,

.

Atunci

Exemplul 5.2.3. Să se calculeze integrala curbilinie: , unde: a) este arcul parabolei de la la b) este arcul parabolei de la la Soluție: În figura 5.2.3. sunt reprezentate curbele de integrare în ambele cazuri.

Figura 5.2.3. a) b) Am obținut acelaşi rezultat, fapt care nu este întâmplător. Exemplul 5.2.4. Să se calculeze integrala curbilinie:

unde:

5. INTEGRALE CURBILINII

este segmentul de dreaptă de la la ; de la la . b) este arcul de curbă Soluție: În figura 5.2.4. sunt reprezentate curbele de integrare în ambele cazuri.

a)

Figura 5.2.4. a)

b)

Observăm că valorile integralei în cele două cazuri sunt diferite. Astfel, valoarea integralei depinde de drumul de integrare. Fie domeniul mărginit de curbele , , , (figura 5.2.5.). Conturul constă din curbele şi segmentele şi paralele axei

251

252

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Figura 5.2.5. Fie pe domeniul definită funcţia împreună cu derivata parţială

, continuă

. Atunci:

Să analizăm acum cazul în care domeniul , mărginit de curbele: , (figura 5.2.6.).

este ,

5. INTEGRALE CURBILINII

Figura 5.2.6. Fie pe domeniul definită funcţia împreună cu derivata sa parțială

, continuă

. În mod similar se

demonstrează:

Scăzând ultimele egalităţi, obținem:

Astfel are loc: Teorema 5.2.2. Dacă domeniul , închis şi mărginit, poate fi divizat într-un număr finit de domenii regulate, iar funcțiile , ,

,

sunt continue pe acest domeniu, atunci

are loc formula lui Green (George Green, 1793-1841, matematician și fizician englez).

este frontiera lui parcursă în sens pozitiv. Formula Green are loc și în cazul unui domeniu mărginit, a cărui frontieră este netedă pe porțiuni. unde

253

254

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Cu ajutorul formulei lui Green poate fi calculată aria domeniului . Într-adevăr, dacă , , atunci

Dacă însă

și

, atunci

Din ultimele două formule se obține și

După cum am observat în exemplul 5.2.3., valoarea integralei curbilinii a unei funcții, calculată pe două curbe distincte, care unesc punctele A și B, poate avea aceeași valoare. Sunt cazuri în care valoarea integralei curbilinii nu depinde de drumul de integrare. În cele ce urmează vom stabili condiții de independenţă a valorii integralei curbilinii de drumul de integrare. Definiţia 5.2.2. Domeniul se numeşte simplu conex, dacă orice porţiune a planului, mărginită de un contur închis din , de asemenea se înclude în . Teorema 5.2.3. Fie un domeniu închis, mărginit şi simplu conex, şi fie funcţiile continue pe acest domeniu. Atunci următoarele condiţii sunt echivalente: 1.

5. INTEGRALE CURBILINII

unde este un contur neted pe porțiuni, ce se include în domeniul ; 2. Pentru orice puncte și din integrala curbilinie

nu depinde de drumul de integrare care se include în domeniul ; 3. Există o astfel de funcţie diferențiabilă , definită pe , astfel încât ; Mai mult, pentru orice curbă netedă pe porțiuni din domeniul are loc:

4.

pentru orice

Demonstraţie: Vom arată că . În domeniul considerăm două arce arbitrare şi (figura 5.2.7.).

Figura 5.2.7. Trebuie de demonstrat că

255

256

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Din condiţia 1 avem:

, de unde

. Trebuie să arătăm că există funcţia , astfel încât . Pentru aceasta fixăm punctul şi considerăm un punct variabil din domeniul (figura 5.2.8.).

Figura 5.2.8. Considerăm integrala

care depinde numai de punctul , adică de coordonatele lui . Notăm această integrală cu şi vom arăta că această funcţie este funcţia căutată, adică . Este suficient de demonstrat că Demonstrăm prima egalitate:

şi

.

5. INTEGRALE CURBILINII

unde

257

este punctul din teorema despre valoarea medie a

integralei mod similar se demonstrează că

.

. Să arătăm că

. Fie Avem

, iar a doua după x, avem: şi

.

. Derivând prima ecuaţie după

,

Deoarece

. În

Deci,

sunt continue, atunci şi

şi

. ,

sunt

continue şi, ca derivate parţiale mixte, conform teoremei Schwarz, sunt egale. De unde rezultă că . Fie

şi

.

un contur închis ce se include

. Să

arătăm că

Fie , domeniul mărginit de . Folosind formula lui Green avem

258

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Dacă funcţiile

şi

sunt continue împreună cu derivatele

sale parţiale

,

şi

, atunci, conform teoremei

5.2.3., este diferenţiala totală a unei funcţii şi valoarea integralei depinde numai de punctele iniţial şi cel final ale curbei de integrare. În acest caz integrala se scrie simplu: , sunt coordonatele punctului iniţial, iar - coordonatele punctului final. Cel mai simplu este să alegem în calitate de drum de integrare linia frântă , cu cu sau linia frântă . Considerăm linia frântă . Atunci, unde

. Exemplul 5.2.5. Să se arate că expresia de sub simbolul integralei este diferenţiala totală a unei funcții, să se determine această funcție, apoi să se calculeze integrala:

5. INTEGRALE CURBILINII

Soluție: şi

. Deci, .

Expresia reprezintă diferenţiala unei funcţii determinată după formula

, care poate fi .

Considerăm

și obținem

Atunci valoarea integralei este . Bibliografie recomandată 1. Dănet C.P. Analiză matematică. Calcul integral. https://www.scribd.com/ , p. 56-67. 2. Stănăşilă O. Analiză matematică. Ediţia definitivă. – Bucureşti: Ed. Floarea Darurilor, 2014, p. 211-224. 3. Stewart J. Calculus. Early Transcendentals. 5th edition, Centgage Learning, 2016, p. 701-792. 4. Fihtengolț G.M., Bazele analizei matematice, vol. II. – Chișinău: Ed. Lumina, 1970, p. 217-235.

259

260

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exerciții și probleme pentru lucrul individual 5.1. Să se calculeze integrala curbilinie de speța I: 1.

cuprins între punctele

este arcul și

este segmentul de dreaptă

2.

cu

și 3.

este arcul

4.

este arcul

5.

cuprins între punctele

este arcul și

este segmentul de dreaptă cuprins

6. între punctele 7.

și este partea cardioidei , situată în cadranele I și II.

8.

este arcul lemniscatei

9.

este arcul curbei

10.

situat în I

este arcul elipsei cadran

5.2. Să se determine lungimea spațial), determinat de: 1. 2.

a arcului

(plan sau

5. INTEGRALE CURBILINII

3. 4. 5. 5.3. Să se determine masa arcului plan densitatea : 1.

este segmentul cu extremitățile

2.

este arcul parabolei

, cu

3.

este arcul parabolei

, cu

(sau ) cu ,

, ,

,

,

,

4. 5. 5.4. Să se calculeze integrala curbilinie de speța II: este arcul parabolei 1. punctul

la punctul este arcul

2.

de la în

direcția creşterii lui x. 3.

este arcul

4.

este arcul

5.

la punctul este arcul cercului la punctul

la punctul

de la punctul de

261

262

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

6. 7.

este segmentul cu extremitățile și este arcul cercului

8.

este elipsa

9.

este arcul astroidei

10.

este arcul cicloidei

5.5. Folosind formula Green, să se calculeze integralele curbilinii după conturile închise parcurse în sens pozitiv: 1.

este cercul

2.

este elipsa

3.

este

4.

este elipsa

5. este cercul 6.

este conturul triunghiului cu vârfurile

7. 8.

este cercul este cercul

5. INTEGRALE CURBILINII

9. este cercul 10.

este frontiera domeniului, mărginit de segmentul și de arcul parabolei trece prin punctele și

, cu , ce

5.6. Să se demonstreze că expresia de sub simbolul integralei este diferențiala totală, a unei funcții care trebuie determinată, apoi să se calculeze integrala curbilinie pe arcul : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 5.7. Utilizând integrala curbilinie de speța I, să se determine aria figurii mărginite de liniile: 1. 2. 3.

; ; și

;

263

264

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

4. 5.8. Să se determine lucrul forței deplasarea punctului material de-a lungul arcului , , dacă: a) este arcul de curbă ; . b) este arcul de curbă

la cu

5.9. Să se găsească lucrul forței la deplasarea punctului material de la punctul , la : a) de-a lungul liniei frânte cu , ; b) de-a lungul semicercului ; c) de-a lungul liniei frânte cu .

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI 6.1. Exemple de probleme ce conduc la noțiunea de ecuație diferențială 6.2. Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Noțiuni generale 6.3. Ecuații diferențiale cu variabilele separabile 6.4. Ecuații diferențiale omogene și ecuații reductibile la ele 6.5. Ecuații diferențiale liniare și ecuații reductibile la ele 6.6. Ecuații cu diferențială totală exactă 

Cunoașterea noţiunilor de bază ale teoriei ecuaţiilor diferenţiale ordinare.



Cunoașterea formelor de scriere a ecuaţiilor diferenţiale cu variabile separabile, omogene, liniare, Bernoulli, cu diferenţială totală exactă.



Aplicarea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale cu variabile separabile, omogene, liniare, Bernoulli, cu diferenţială totală exactă și reductibile la acestea.



Identificarea rolului și aplicarea ecuaţiilor diferenţiale în studiul unor procese din fizică, chimie, biologie, economie etc.

265

266

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

6.1. Exemple de probleme ce conduc la noțiunea de ecuație diferențială Multiple procese din fizică, chimie, biologie, economie etc. sunt descrise de modele matematice, care conțin funcții necunoscute și derivatele acestora. Vom prezenta câteva probleme, soluționarea cărora conduce la astfel de descrieri. aerul conține Problema 1. Într-o odaie de volum 200 0,15% de bioxid de carbon ( ). Un climatizor transportă într-un minut în odaie 20 de aer, ce conține 0,04% de . Presupunând că climatizorul scoate din odaie aceeași cantitate de aer omogenizat, să se determine peste cât timp aerul din odaie va conține 0,05% de în Soluție. Fie funcția ce indică cantitatea de odaie, exprimată în în momentul de timp Atunci va fi cantitatea de în odaie peste minute. în aerul transportat în odaie timp de Cantitatea de Timp de

minute va fi minute cantitatea de adică va fi raport cu adică aerul scos

din odaie

în odaie se va modifica neesențial, unde este un infinit mic în Cantitatea de din timp

de

minute

va

fi

Atunci

Trecem la limită cu și obținem Pentru a determina funcția egalitatea de mai sus, scriem:

care verifică

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

unde

este o constantă reală, care ulterior va fi determinată. Ținând cont de faptul că în momentul inițial de timp în odaie era de cantitatea de

avem că Această condiție implică sau Pentru ca aerul din odaie să conțină 0,05% de cantitatea acestuia trebuie să fie Astfel, condiția

implică (minute).

Problema 2. Evoluția în timp a populației. Fie, în În momentul de timp o populație biologică condiții ideale se presupune că viteza de creștere a populației biologice într-un moment de timp este direct proporțională cu mărimea populației în acest moment de timp. Să se determine dependența funcțională a mărimii populației biologice în dependență de timp. Soluţie. Fie funcția ce indică mărimea populației biologice în momentul de timp Atunci unde este coeficientul de proporționalitate. Prin raționamente similare celor utilizate pentru soluționarea problemei precedente obținem:

267

268

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Problema 3. Determinarea temperaturii unui corp. Fie un corp cu temperatura în momentul de timp . Să se determine plasat într-un mediu cu temperatura legea care descrie dependența dintre temperatura a corpului și momentul de timp . Soluţie. Din fizică se cunoaște, că viteza de răcire a corpului este direct proporțională cu diferența dintre temperatura corpului și temperatura mediului în care este plasat. Deoarece funcția este descrescătoare, utilizând sensul mecanic al derivatei, obținem:

unde

este coeficient de proporționalitate. Ținând cont de faptul că în momentul de timp temperatura rezolvarea acestei probleme constă în determinarea funcției încât: Prin raționamente similare celor utilizate pentru soluționarea problemei 1 obținem: Problema 4. Determinarea ecuației curbei plane după unele proprietăți ale acesteia. Fie o curbă din planul , pentru care ordonata punctului de intersecție cu axa a tangentei duse la ea într-un punct arbitrar, este egală cu dublul ordonatei punctului de tangență. Să se determine ecuația curbei . Soluție: Fie graficul funcției și un punct arbitrar al liniei. Ecuația tangentei la în punctul este (figura 6.1.1.).

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Y

X Figura 6.1.1. Ordonata punctului de intersecție cu axa tangentei duse la este condiția problemei obținem Observăm că pentru este adevărată, iar pentru unde rezultă că

a Din

egalitatea de mai sus obținem

de

Astfel am obținut că există

o infinitate de curbe care verifică condiția problemei. Definiția 6.1.1. Se numește ecuație diferențială o ecuație care conține una sau mai multe variabile independente, o funcție necunoscută de aceste variabile și derivate ale acestei funcții. Dacă funcția necunoscută depinde de o singură variabilă, atunci ecuația se numește ecuație diferențială ordinară. Ordinul cel mai mare al derivatelor, care se conțin în ecuația diferențială, se numește ordinul ecuației diferențiale. În cele ce urmează, vom studia doar ecuații diferențiale ordinare. Fie o funcție continuă pe domeniul său de definiție. O ecuație diferențială de ordinul cu

269

270

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

variabila independentă și funcția necunoscută are forma , unde derivate ale funcției necunoscute

sunt

Definiția 6.1.2. Se numește soluție a ecuației diferențiale pe intervalul orice funcție , care este definită și posedă pe intervalul derivate până la ordinul inclusiv și care verifică ecuația dată pentru . Graficul funcției se numește curbă integrală a ecuației diferențiale. Exemplul 6.1.1. Pentru ecuația diferențială funcțiile și sunt soluții pe intervalul . Mai mult, orice funcţie de forma , unde sunt constante arbitrare, este soluţie a ecuaţiei date. 6.1.2. Pentru ecuaţia , orice funcţie de forma , este soluție pe intervalul

Exemplul

diferenţială

Exemplul 6.1.3. Pentru ecuaţia diferenţială , este soluţie pe

orice funcţie de forma și pe

iar

este soluție pe intervalul

A rezolva o ecuație diferențială înseamnă a determina toate soluțiile ei. Deseori soluțiile ecuației diferențiale se determină prin integrări. Astfel, se mai spune că o ecuație diferențială se integrează. O ecuație diferențială, rezolvarea căreia se reduce la determinarea primitivelor unor funcții, se numește integrabilă prin cuadraturi. Menționăm, că nu orice ecuație diferențială se integrează prin cuadraturi.

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

6.2. Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Noțiuni generale Definiţia 6.2.1.. Se numește ecuație diferențială de ordinul întâi, ecuația de forma , unde este variabila independentă, este funcția necunoscută, este derivata ei, iar este o funcție definită pe un . domeniu Dacă ecuaţia poate fi rezolvată în raport cu , atunci putem scrie . Deseori este considerată ecuația diferențială echivalentă ei, anume sau, mai general, . În exemplele din paragraful precedent am observat că o ecuație diferențială poate avea o infinitate de soluții. Pentru a identifica o soluție concretă a ecuației diferențiale, este necesară o condiție inițială, care presupune că pentru o a lui x este dată prealabil valoarea a lui valoare astfel încât . Din punct de vedere geometric, determinarea soluției ecuației diferențiale cu condiția inițială se reduce la determinarea curbei integrale care trece prin punctul . Definiția 6.2.2. Se numește problemă Cauchy a ecuației diferențiale , problema determinării soluțiilor . acestei ecuații, care verifică condiția inițială Exemplul 6.2.1. Fie problema Cauchy . Funcţiile , sunt soluții ale ecuaţiei . Să determinăm valoarea lui astfel încât . Obținem Astfel este soluția problemei Cauchy.

271

272

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Teorema 6.2.1. (de existență și unicitate a problemei Cauchy): Fie ecuaţia diferențială . Dacă funcțiile şi sunt definite și continue pe un domeniu iar , atunci într-o vecinătate a punctului există o singură soluție a ecuației care verifică condiția inițială . Geometric aceasta semnifică, că prin punctul trece o singură curbă integrală (figura 6.2.1.)

Figura 6.2.1. Teorema de mai sus are un caracter local: ea garantează existența și unicitatea unei soluții într-o vecinătate a lui . În acest caz, punctul se numește punct de existență și unicitate al ecuației . Punctul de existență, pentru care în orice vecinătate nu se respectă condiția de unicitate este numit punct singular al ecuației . Dacă mulțimea punctelor singulare conține o curbă, atunci aceasta este numită curbă integrală singulară, iar soluția respectivă – soluție singulară.

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

6.2.2. Fie ecuaţia . Funcţia este definită și continuă împreună cu în toate punctele planului derivata parţială . Astfel, pentru orice condiţie iniţială dată există o singură soluţie a acestei ecuaţii.

Exemplul

Exemplul

6.2.3.

Fie

ecuaţia

Funcţia

este continuă în orice punct din planul , dar funcţia

nu este continuă în nici un

punct de pe axa ). Vom arăta, că prin orice punct de pe axa trec cel puțin două curbe integrale. Funcția , este soluție a ecuației diferențiale. În afară de aceasta este soluție, care nu nici pentru o poate fi obținută din soluţia valoare a lui Există mai multe soluții ale acestei ecuații, , oricare ar fi care verifică condiția inițială real, printre care: (figura 6.2.2.)

Figura 6.2.2. (figura 6.2.3.)

Figura 6.2.3.

273

274

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

(figura 6.2.4.)

Figura 6.2.4. (figura 6.2.5.)

Figura 6.2.5. Astfel, în orice punct de pe axa este încălcată unicitatea soluției. Dacă însă vom considera punctul , atunci într-o vecinătate mică a lui există o singură curbă integrală a ecuației diferențiale care trece prin punctul

,

Definiția 6.2.3. Familia de funcții se numește soluție generală a ecuației diferențiale pe domeniul dacă pentru orice punct de existență și unicitate a soluției problemei Cauchy

există o valoare a lui astfel încât funcția este soluție a ecuației diferențiale condiția inițială .

și verifică

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Uneori soluția generală a ecuației se obține în formă implicită diferențiale . În acest caz se numește integrală generală a ecuației diferențiale pe domeniul Definiția 6.2.4. Se numește soluție particulară a ecuației pe domeniul orice soluție diferențiale , care se obține din cea generală pentru o valoare a constantei . Prin analogie, se numește integrală particulară a ecuației diferențiale pe domeniul Din punct de vedere geometric, soluția generală reprezintă o familie de curbe integrale, care depinde de parametrul , iar soluția particulară reprezintă o curbă din această familie. Soluțiile singulare nu sunt soluții particulare. Astfel, de regulă, se numește soluție singulară a ecuației diferențiale , orice soluție, care nu este soluție particulară. Exemplul 6.2.4. În exemplul 6.2.3. am stabilit că pentru ecuaţia diferenţială soluție generală, iar

, este o soluție singulară.

este

Sensul geometric al ecuației diferențiale Fie că verifică condițiile teoremei de existență și unicitate în a soluției problemei Cauchy. Ecuația definește în fiecare punct valoarea , adică panta tangentei la curba integrală (soluția generală) în acest punct. Din aceste considerente se spune că ecuaţia definește un câmp de direcții. Pentru

275

276

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

a-l construi este necesar de prezentat direcția tangentei în . Totalitatea acestor direcții orice punct (segmente) ilustrează geometric “tabloul” câmpului de direcții. În acest context, problema integrării ecuației diferențiale poate fi formulată astfel: să se determine curba, pentru care tangenta în orice punct al ei are direcția, identică cu direcția câmpului în acest punct. Această tratare a ecuației diferențiale generează o metodă grafică de rezolvare a ecuației diferențiale. Pentru construirea curbelor integrale se folosesc izoclinele. Definiția 6.2.5. Se numește izoclină locul geometric al punctelor planului , în care tangentele la curbele integrale au una și aceeași direcție . Din definiție rezultă că familia izoclinelor ecuației diferențiale este determinată de ecuațiile , unde este parametru. Dacă ia valori numerice apropiate, pot fi determinate izocline ”dese”, care ar permite construirea aproximativă a curbelor integrale. Exemplul 6.2.5. Să se integreze cu ajutorul izoclinelor ecuația diferențială . Soluție. Familia izoclinelor este: (figura 6.2.6.)

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Figura 6.2.6. În cele ce urmează vom examina câteva tipuri de ecuații diferențiale ordinare, integrabile în cuadraturi. 6.3. Ecuații diferențiale cu variabilele separabile Definiția 6.3.1. Se numește ecuație diferențială cu variabilele separabile o ecuație de forma: unde sunt funcții reale date. Fie funcțiile definiție. În cazul

și

funcții continue pe domeniul lor de putem scrie: și

– o ecuație cu

variabilele separate. De unde obținem - integrala generală a ecuației. Dacă însă în domeniul de definiție al funcției există astfel încât atunci pe domeniul de definiție al funcției funcția este soluție a ecuației

277

278

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 6.3.1. Să se rezolve ecuațiile diferențiale:

. Soluție.

1.

Putem

scrie

sau

. Atunci – soluția generală. Pentru

sau

.

Prin verificare obținem că

este

putem scrie:

Atunci sau

soluție a ecuației diferențiale date. Astfel am obținut – soluția generală.

Atunci

– integrala generală. 4. Putem scrie

sau

, unde

. Atunci

sau

– soluție generală.

Prin verificare obținem că este soluție a ecuației date. Mai mult, este soluție singulară (nu rezultă din soluția generală nici pentru o valoare a lui ). O ecuație diferențială de forma

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

279

este o ecuație cu variabilele separabile, care se integrează, separând variabilele, prin raționamente similare celor expuse mai sus. Exemplul 6.3.2. Să se rezolve ecuaţia diferențială cu variabilele separate . Soluție. Integrăm ambele părți ale egalității date și obținem –

sau integrala generală a ecuației date.

Notă: Deseori la integrare constanta poate fi scrisă sub forma :

, sau

,

,

etc.

Exemplul 6.3.3. Să se rezolve ecuaţiile diferențiale cu variabilele separabile 1. 2. Soluție. 1.

Prin verificare ne convingem că și funcția este soluție a ecuației diferențiale date, de unde rezultă soluţia generală . 2.

280

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Observăm că este soluție a ecuației inițiale și obținem integrala generală: Exemplul 6.3.4. Să se rezolve problema Cauchy ; 1. 2. Soluție. 1.

Soluția particulară o determinăm din condiția inițială: - integrală particulară, soluția problemei Cauchy. 2. Scriem:

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

281

Soluția particulară o determinăm din condiția inițială:

–

Obţinem soluția problemei Cauchy.

6.4. Ecuații diferențiale omogene și ecuații reductibile la ele Definiția 6.4.1. Ecuația diferențială se numește omogenă, dacă funcția este omogenă de gradul zero, adică Dacă

este o ecuație diferențială omogenă, . Întrucât

atunci putem scrie: ,

atunci

putem

. De unde rezultă că

nota și

. Ecuația inițială ia forma: sau , care reprezintă o ecuație cu variabilele separabile. Exemplul 6.4.1. Să se rezolve ecuația Soluție.

Putem

scrie verifică condiția

Notăm ecuația dată, obținem:

și

. iar . . Înlocuind în

282

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Pentru

obținem . observăm că

sau pentru

obținem soluția Astfel, obținem – integrala generală a ecuației diferențiale

date. Notă: Uneori ecuația omogenă poate fi scrisă sub forma , unde și sunt funcții omogene de același grad, adică și . În acest caz, avem

, iar funcția

este omogenă de grad zero. Exemplul 6.4.2. Să se rezolve ecuația 1. 2. 3. Soluție. 1.

și

omogene de gradul 1. Pentru . Notăm

sunt funcții obținem

și obținem

și

.

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Revenind la notația

, obținem – integrala generală a ecuației

diferențiale date. 2. Efectuăm substituţia

Atunci

și

- integrala generală. sunt funcții 3. și omogene de gradul 2. Astfel ecuația dată este omogenă. Pentru obținem

Punem

și obținem

283

284

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Prin înlocuire în ecuația

a valorilor lui

pentru care ne convingem de faptul că acestea sunt soluții. În final obținem integrala generală: Prin verificare ne convingem că nu sunt soluții. Astfel, revenind la variabila inițială, obținem: integrala generală a ecuației diferențiale date. Exemplul 6.4.3. Să se rezolve problema Cauchy. Soluție. Prin verificare ne convingem că ecuația dată este omogenă. Împărțim ambii membri la și obținem: Punem

de unde

Determinăm integrala particulară din condiţia iniţială: de unde

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Exemplul 6.4.4. Să se rezolve ecuația diferențială Ecuația dată este omogenă. Observăm că este mai ’’comod’’ să considerăm

funcţie de

şi

Atunci

și Obţinem:

Dacă

Prin verificare ne convingem că adică soluție este și funcția

este soluție,

este integrală generală, iar

Astfel este soluție singulară.

Unele ecuații diferențiale reductibile la ecuații omogene. Fie ecuația

(dacă

cu

, atunci ecuația este deja omogenă). Dacă

, realizăm schimbarea de variabile , unde

este soluție a

285

286

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

, care conduce la ecuația

sistemului omogenă

.

Dacă

și

, atunci . Obținem: .

Cu ajutorul substituției , care implică relația , obținem o ecuație cu variabilele separabile . Observăm că

, ecuația inițială are

care se integrează direct.

forma

Exemplul 6.4.5. Să se rezolve problema Cauchy 1. 2. Soluție. 1. Calculăm Rezolvăm sistemul Efectuăm substituţia considerând Obținem omogenă. Notăm

funcţie de variabila . de unde

- ecuaţie și obținem

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

integrala generală. Determinăm soluţia particulară, folosind condiţia iniţială: - soluția problemei

sau Cauchy. 2. Pentru

obținem

În acest caz: Efectuăm substituţia

Atunci

și

este ecuaţie cu variabilele separabile și

Din condiţia Astfel am obținut soluția problemei Cauchy.

, obținem: -

287

288

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

6.5. Ecuații diferențiale liniare și ecuații reductibile la ele Definiția 6.5.1. Fie și q funcții continue pe un interval Se numește ecuație diferențială liniară de ordinul I ecuația liniară în raport cu funcția necunoscută y și derivata ei: . Dacă , atunci ecuația se numește ecuație liniară omogenă, altfel se numește ecuație liniară neomogenă. Ecuația diferențială se numește ecuația liniară omogenă, asociată ecuației liniare . Ecuațiile liniare omogene fapt, ecuații cu variabilele separabile:

sunt, de

. Prin verificare ne convingem că funcția este soluție a ecuației și obținem soluția generală Una dintre metodele de rezolvare ale ecuațiilor liniare este metoda Bernoulli (Jacob Bernoulli, 1654-1705, matematician și fizician elvețian). Soluția se caută sub forma unde și sunt funcții necunoscute. Atunci . Înlocuind în ecuația inițială, obținem: . Alegem o funcție , astfel încât

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

omogenă

cu

o

, care este o soluție

ecuație liniară . Atunci

și variabilele, determinăm respectiv

Separând și

Exemplul 6.5.1. Să se rezolve problema Cauchy: . Soluție. Căutăm soluția sub forma . De unde . Înlocuind în ecuația inițială, obținem: . Determinăm funcția

Considerăm

din condiția:

.

sau

Atunci

. Astfel

sau – soluția generală a

ecuației date. Determinăm soluția particulară din condiția inițială : – problemei Cauchy.

soluția

289

290

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

O altă metodă de rezolvare a ecuațiilor liniare este metoda Lagrange (metoda variației constantei). Fie soluția generală a ecuației omogene , asociate ecuației liniare neomogene . Căutăm soluția generală a ecuației liniare neomogene . Pentru a determina sub forma înlocuim această funcție în ecuația inițială. În exemplul de mai sus,

ecuația

omogenă asociată este:

Prin verificare ne convingem că funcția asemenea este soluție a ecuației omogene.

de

este soluția generală a ecuației

Astfel omogene asociate. Considerăm

. Atunci

. Să determinăm

. Înlocuim

și

în

ecuația inițială:

.

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Atunci

sau

291

–

,

soluția generală a ecuației inițiale. Exemplul 6.5.2. Să se rezolve ecuaţiile liniare: 1. . Soluție. 1. Căutăm soluţia sub forma Atunci: Punem condiţia

și obținem sistemul

. Rezolvăm prima ecuaţie a sistemului: Considerăm și înlocuim în a doua ecuaţie a sistemului . Astfel, soluţia generală este:

sau

2. Putem scrie Ecuaţia dată nu este liniară în raport cu și În acest caz este mai comod de considerat funcție de Întrucât Obținem - ecuaţie liniară în raport cu Considerăm

şi

și obținem

292

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

De unde rezultă sistemul: Rezolvăm prima ecuaţie: Considerăm A doua ecuaţie a sistemului devine:

- soluţia generală a

Astfel am obținut ecuației date.

Exemplul 6.5.3. Să se rezolve problema Cauchy

Soluție.

și obținem

Punem

Obţinem sistemul: Rezolvăm prima ecuaţie a sistemului: Determinăm soluţia particulară: Considerăm:

și obținem: și

Astfel am obținut soluţia generală condiția inițială

. Din obținem

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

- soluţia particulară. Definiția 6.5.2. Fie și funcții nenule continue pe un interval . Se numește ecuație Bernoulli, o ecuație de forma: . Pentru ecuația Bernoulli poate fi scrisă sub . forma , care implică Prin substituția , obținem - ecuație

diferențială liniară. Ecuația Bernoulli poate fi rezolvată și prin metoda substituției Bernoulli sau prin metoda variației constantei. Exemplul 6.5.4. Să se rezolve ecuaţia Bernoulli Soluție. Putem scrie: Vom rezolva ecuaţia prin 3 metode. I metodă. Efectuăm substituţia: . Obţinem

sau

adică de unde - ecuaţie

liniară faţă de și Obţinem:

Fie

Punem condiţia: Rezolvăm prima ecuaţie:

Considerăm

Înlocuind în ecuaţia a doua obținem:

293

294

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Astfel

.

Prin verificare ne convingem că este soluție singulară a ecuației date. II metodă. Căutăm soluţia sub forma: Obținem

Punem condiţiile: Rezolvăm prima ecuaţie a sistemului: Considerăm

și rezolvăm ecuaţia a doua a

sistemului:

Prin verificare stabilim că și

este soluție.

Astfel am obținut, III metodă (de variaţie a constantei). Ecuaţia omogenă asociată ecuaţiei iniţiale este de unde obținem sau

soluţia generală a ecuaţiei omogene. Căutăm

soluţia ecuaţiei neomogene sub forma

. Atunci

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Înlocuindu-le în ecuaţia inițială obținem:

.

–

, obținem

Pentru

Atunci

sau .

Deci,

.

Prin verificare stabilim că este soluție, ceea ce implică este soluție singulară a ecuației. Definiția 6.5.3. Fie și funcții continue pe un interval .Se numește ecuație Riccati (Jacopo Francesco Riccati, 1676-1754, matematician venețian), o ecuație de forma: . În caz general ecuația Riccati nu poate fi integrată în cuadraturi. Dacă însă se cunoaște o soluție particulară atunci prin substituția ecuația Riccati se reduce la o ecuație Bernoulli. Exemplul 6.5.5. Să se rezolve ecuaţia Riccati

Soluție. Prin verificare ne convingem că și obținem

soluție. Notăm și respectiv Notăm ia forma:

este

Atunci

ecuație Bernoulli. iar ecuația Bernoulli

- ecuație liniară. Vom rezolva această

ecuație prin metoda variației constantei.

295

296

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Ecuația liniară omogenă asociată acesteia, soluția generală

Considerăm

Obținem

are .

și respectiv Revenind consecutiv la variabilele inițiale

obținem

integrala generală. 6.6. Ecuații cu diferențială totală exactă Definiția 6.6.1. Fie și pe un domeniu nevid

două funcții definite și continue Ecuația diferențială de forma , se numește ecuație cu diferențială totală exactă, dacă partea stângă a ecuaţiei reprezintă diferențiala totală a unei funcții continue și diferențiabile pe domeniul

În acest caz soluția generală a ecuației va avea formă implicită , unde este o constantă arbitrară. Teorema 6.6.1. Fie și două funcții definite și continue împreună cu derivatele parțiale de ordinul întâi pe un domeniu simplu conex Ecuația diferențială este o ecuație cu diferențială totală dacă și numai dacă, are loc condiția Euler: . O metodă de determinare a funcției a fost prezentată în paragraful 5.2. Integrale curbilinii de speța II.

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

297

În cele ce urmează vom prezenta altă metodă de determinare a funcției . Presupunem că reprezintă diferențiala totală a funcției , adică:

Fie obținem:

. Integrând prima egalitate după , , unde este o

funcție arbitrară necunoscută, care nu depinde de Derivând ultima relație după , obținem

.

de unde, înlocuind în a doua ecuație a sistemului, obținem: . și

Astfel, integrala generală a ecuației este .

Prin raționamente similare putem demonstra formula . Exemplul 6.6.1. Să se rezolve ecuaţiile diferențiale 1. ; 2. Soluție. 1. Ținând cont de notațiile de mai sus, . Atunci și pe , ceea ce implică faptul că ecuația dată este cu diferențiala totală exactă. Considerăm . Atunci

298

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

și integrala generală . 2. Avem:

, . Adică

existența unei funcții

, ceea ce implică

astfel încât

Din prima ecuație

Înlocuim

în cea de-a doua ecuație și obținem:

iar integrala generală

Astfel, este

Exemplul 6.6.2. Să se rezolve problema Cauchy Soluție. Avem: Astfel, Considerăm

. Integrala generală are forma:

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

.

Soluţia problemei Cauchy este: Factor integrant. Fie ecuația

nu este ecuație cu diferențială totală În unele cazuri ecuația dată poate fi redusă la o ecuație cu diferențiala totală, prin înmulțirea ambilor termeni cu o funcție adică devine o ecuație cu diferențiala totală. Funcția nenulă se numește factor integrant. Dacă este factor integrant al ecuației, atunci . Astfel determinarea funcției se reduce la rezolvarea unei ecuații diferențiale cu derivate parțiale, care este complicată. În unele cazuri particulare factorul integrant (dacă există) poate fi determinat mai simplu. Fie factorul integrant funcție doar de Atunci . Dacă

obținem doar de

atunci

- depinde de unde obținem

În mod similar, dacă factorul integrant doar de

obținem - depinde doar de

este funcție

iar dacă atunci din ecuația de mai sus

obținem Uneori factorul integrant se caută sub forma etc.

299

300

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 6.6.3. Să se rezolve ecuația diferențială . Soluție.

,

;

, . nu depinde de

Deoarece

– factor integrant. Înmulțim ecuația inițială cu

și obținem: - ecuație cu

diferențială totală exactă. Aici Considerăm

Astfel am obținut că generală a ecuației.

,

.

. Atunci

este integrala

Bibliografie recomandată Filipov A.F. Culegere de probleme de ecuaţii diferenţiale. – Moscova: Nauka, 2000, p. 6-29. 2. Glavan V., Guţu V., Stahi A. Ecuaţii diferenţiale prin probleme. – Chişinău: Universitas, 1993, p. 5-48. 3. Stewart J. Calculus. Early Transcendentals. 5th edition, Centgage Learning, 2016, p. 587-650. 4. Vrabie Ioan I. Differential equations. – NEW JERSEY: World Scientific, 2004, p. 11-121. 1.

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

Exerciții și probleme pentru lucrul individual 6.1. Să se rezolve ecuaţiile diferenţiale cu variabilele separabile sau problema Cauchy: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 6.2. Să se rezolve ecuaţiile diferențiale omogene: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

301

302

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

6.3. Să se rezolve ecuaţiile reductibile la ecuaţii omogene: 1. 2. 3. 4. 5. 6.4. Să se rezolve ecuaţiile diferențiale liniare sau problemele Cauchy: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 6.5. Să se rezolve ecuaţiile Bernoulli: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

6. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

8. 9. 10.

6.6. Să se rezolve ecuaţiile cu diferenţială totală exactă sau problemele Cauchy:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10.

303

304

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR 7.1. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior. Ecuații care permit micșorarea ordinului 7.2. Ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordin superior 7.3. Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene de ordin superior 7.4. Aplicaţiile seriilor la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale  







Cunoașterea noţiunilor de bază ale teoriei ecuaţiilor diferenţiale de ordin superior. Identificarea tipurilor ecuaţiilor diferențiale de ordin superior: care permit micșorarea ordinului, liniare omogene/neomogene cu coeficienți constanți. Stabilirea legăturii dintre dependenţa liniară a funcţiilor şi wronskianul funcțiilor. Construirea sistemului fundamental de soluţii pentru ecuaţiile liniare omogene cu coeficienţi constanţi. Aplicarea metodei variaţiei constantelor şi a metodei coeficienţilor nedeterminaţi (cazul cvasipolinoamelor) pentru determinarea soluţiei generale a ecuaţiei liniare neomogene cu coeficienți constanți.

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

7.1. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior. Ecuații ce permit micșorarea ordinului Definiţia 7.1.1. Se numeşte ecuaţie diferenţială ordinară de ordinul n o ecuaţie diferenţială de forma unde este variabila independentă, este funcţia necunoscută, iar este o funcţie definită pe un domeniu . Dacă ecuaţia (1) poate fi rezolvată în raport cu atunci această ecuaţie poate fi scrisă în forma Definiţia 7.1.2. Se numeşte problemă Cauchy pentru ecuaţia diferențială problema care constă în determinarea soluţiei acestei ecuaţii, care satisface condiţiile iniţiale ..., Teorema 7.1.1. (de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei Cauchy) Dacă funcţia şi derivatele ei parţiale în raport cu variabilele sunt continue pe un domeniu care conţine punctul atunci există o vecinătate a punctului , astfel încât în această vecinătate există o singură soluție a problemei Cauchy

În condițiile acestei teoreme, oricărui oricărui sistem de numere ,

– fixat și

305

306

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

i se asociază o soluţie de forma

.

Definiţia 7.1.3. Familia de funcţii se numeşte soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale pe domeniul dacă pentru de existență și unicitate

orice punct

a problemei (2) există valorile , astfel constantelor

încât

ale funcţia

este soluţie a problemei Cauchy (2). Definiţia 7.1.4. Se numeşte soluţie particulară a ecuaţiei pe domeniul diferenţiale orice soluţie a acestei ecuaţii care se obţine din soluţia generală pentru valori concrete ale constantelor În unele cazuri, printr-o substituție reușită sau prin intermediul unor transformări, ordinul ecuaţiei diferenţiale poate fi micşorat. Vom examina câteva dintre aceste cazuri. Această 1. Ecuaţii diferenţiale de forma ecuaţie poate fi rezolvată prin integrări consecutive. La fiecare integrare se rezolvă o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi. Într-adevăr,

întrucât

obţinem

Aceasta este o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi în raport cu funcţia necunoscută Rezolvăm această ecuaţie: În mod similar obţinem Repetând acest proces

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

de ori, obţinem funcţia ecuaţiei

, care este soluţia generală a

Exemplul 7.1.1. Să se rezolve ecuaţia diferenţială Soluție. Aplicând raţionamentele expuse mai sus, obţinem consecutiv:

,

2. Ecuaţii diferenţiale care nu conţin în mod explicit funcţia necunoscută. Ecuaţiile de acest tip au forma Ele pot fi reduse la ecuaţii diferenţiale de ordinul cu ajutorul substituţiei Într-adevăr, . Obţinem , care este o ecuaţie diferenţială de ordinul Rămâne de rezolvat această ecuaţie, de determinat , apoi de determinat din ecuaţia diferenţială Exemplul 7.1.2. Să se rezolve ecuaţia diferenţială Întrucât din ecuaţia dată Soluție. Notăm obţinem consecutiv:

,

,

,

Determinăm funcţia din egalitatea

Obținem consecutiv: - soluție generală.

307

308

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exemplul 7.1.3. Să se rezolve ecuaţia Soluţie. Notăm Obţinem:

. - ecuaţie

Obţinem:

Bernoulli. Punem

. Cerem ca să avem: Rezolvăm prima ecuaţie a sistemului:

Considerăm

De unde:

Avem:

, de unde

și

- soluţia generală. 3. Ecuaţii diferenţiale care nu conţin în mod explicit variabila independentă. Fie ecuaţia diferenţială de forma , unde este funcţia necunoscută de variabila x, care nu se conţine explicit în această ecuaţie. Această ecuaţie poate fi redusă la o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi folosind substituţia . Într-adevăr, avem Înlocuind expresiile pentru şi în ecuaţia , obţinem ecuaţia diferenţială de ordinul întâi faţă de funcţia necunoscută Rămâne să rezolvăm ecuaţia obţinută şi apoi să determinăm din relaţia .

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Exemplul 7.1.4. Să se rezolve ecuaţia diferenţială Soluție. Fie Atunci Obţinem sau Revenind la notația inițială, obținem

Prima

ecuaţie are soluţia iar a doua: Observăm că soluţia rezultă din , ultima fiind soluţie generală a ecuaţiei date. Substituţia poate fi aplicată pentru micşorarea ordinului ecuaţiei de ordin mai mare decât unu Exemplul 7.1.5. Să rezolve problema Cauchy Soluție. Ecuaţia dată nu conţine variabila independentă . Notăm Obţinem ecuaţia:

Atunci Astfel, obținem:

309

310

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

. Deoarece este soluția problemei Cauchy. 4. Ecuaţii diferenţiale cu partea stângă omogenă. Fie că partea stângă este în ecuaţia omogenă de gradul în raport cu variabilele , adică verifică egalitatea Substituţia reduce ecuaţia dată la una de ordinul necunoscută Într-adevăr:

,

,

faţă de funcţia ,…,

Introducând aceste expresii în ecuaţia iniţială şi ţinând cont de omogenitate, obţinem consecutiv

diferenţială de ordinul Dacă acestei ecuaţii, atunci obţinem:

- ecuaţie cu funcţia necunoscută este soluţia generală a

, unde sau ecuaţiei.

,

de

- soluţia generală a

Exemplul 7.1.6. Să se rezolve ecuaţia diferenţială

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Soluție. Întrucât partea stângă a ecuaţiei date este o funcţie omogenă de gradul 2 în raport cu şi Folosim substituţia . Cum şi avem succesiv: Funcţia este soluţie a ecuaţiei obţinute. Din ea obţinem soluţia a ecuaţiei iniţiale. Presupunând că obţinem Introducând această funcţie în substituţia obţinem consecutiv:

Exemplul 7.1.7. Să se rezolve problema Cauchy Soluție. Întrucât partea stângă a ecuaţiei date este o funcţie omogenă de gradul 2 în raport cu şi Observăm că este o soluţie a ecuaţiei date. Dar ea nu verifică condiţiile iniţiale date. Deci, ecuaţia poate fi scrisă Notăm

sub forma:

obţinem ecuaţia de tip Bernoulli: cu soluția generală Revenind la notația inițială, obținem . Astfel, am obținut soluţia problemei Cauchy: .

și

311

312

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

7.2. Ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordin superior Definiţia 7.2.1. Se numeşte ecuaţie diferenţială liniară de ordinul ecuaţia de forma (1) unde este variabila independentă, sunt funcţii continue pe careva interval , este funcţia necunoscută, iar sunt derivatele ei. Dacă atunci ecuaţia (1) se numeşte liniară omogenă. Altfel, ecuația se numeşte liniară neomogenă. Ecuaţia se numeşte ecuaţie neomogene (1).

omogenă

asociată

ecuației

sunt Teorema 7.2.1. Dacă funcţiile soluţii ale ecuaţiei omogene (2), atunci orice combinație este soluţie a liniară a funcțiilor acestei ecuaţii. Demonstraţie. Fie omogene (2). Atunci au loc egalităţile:

soluţii ale ecuaţiei

Fie (4) o combinaţie liniară a funcţiilor Înlocuind (4) în (2), obţinem

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Astfel am demonstrat că (4) este soluţie a ecuaţiei

■

omogene (2). Dependenţa liniară a funcţiilor.

se numește Definiţia 7.2.2. Sistemul de funcţii liniar dependent pe intervalul dacă există numerele reale nu toate egale cu zero, astfel încât . Dacă relația implică

atunci sistemul de funcţii se numeşte liniar independent.

Din definiția 7.2.2. rezultă că funcţiile şi sunt liniar dependente dacă - o constantă. Derivând ambele părţi ale ultimei egalităţi, obţinem echivalent cu Definiţia 7.2.3. Fie funcţiile interval I, atunci determinantul

sau şi

derivabile pe un

se numeşte determinant Wroński sau wronskian al funcţiilor şi (Józef Maria Hoene-Wroński, 1776-1853, matematician polonez).

313

314

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Teorema 7.2.2. Fie funcţiile interval Dacă funcţiile şi intervalul , atunci

şi derivabile pe careva sunt liniar dependente pe .

În general, pentru sistemul de funcţii derivate până la ordinul inclusiv,

se numeşte wronskian al funcţiilor

care au

Are loc:

Teorema 7.2.3. Fie funcţiile derivabile, până la ordinul inclusiv, pe un interval Dacă sistemul de este liniar dependent pe intervalul , funcţii atunci . liniar Demonstraţie. Fie sistemul de funcţii dependent. Atunci conform definiţiei există numerele nu toate egale cu zero, încât are loc egalitatea . Derivând de ori această egalitate, obţinem un sistem de ecuaţii algebrice liniare şi omogene cu necunoscute :

Întrucât acest sistem are soluţii nenule, determinantul este nul.

■

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Consecinţă. Dacă wronskianul pe intervalul atunci aceste funcţii sunt liniar independente. Exemplu 7.2.1. Să se cerceteze dependenţa liniară a sistemului de funcţii: Soluţie. Construim wronskianul funcţiilor

. Astfel, sistemul de funcţii este liniar independent pe Notă. Dacă sistemul de funcţii este liniar independent, nu rezultă că (sau dacă nu rezultă că funcţiile respective sunt liniar dependente). şi

Exemplul 7.2.2. Fie funcţiile

. Arătăm că aceste funcţii sunt . Atunci pe liniar independente. Fie intervalul avem , iar pe intervalul avem . Determinăm wronskianul lor

Teorema 7.2.4. Fie funcţiile intervalul ale ecuaţiei omogene

soluţii pe .

315

316

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Funcţiile sunt liniar independente pe intervalul dacă și numai dacă Demonstraţie. 1) Dacă , atunci sistemul de funcţii este liniar independent. 2) Fie sistemul de funcţii liniar independent şi funcţiile acestui sistem sunt soluţii ale ecuaţiei omogene (4). . Vom demonstra că Presupunem contrariul, fie că există , astfel încât Atunci sistemul de ecuaţii liniare în raport cu : necunoscutele

are soluţii netriviale. Fie

o soluţie

netrivială a acestui sistem. Funcţia este soluţie a ecuaţiei omogene care verifică condiţiile iniţiale : Aceste condiţii iniţiale sunt verificate şi de soluţia trivială a ecuaţiei. Conform teoremei de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei Cauchy soluţiile şi coincid, adică Din

ultima , relaţie rezultă dependenţa liniară a funcţiilor ceea ce contrazice ipoteza. Afirmaţia teoremei este demonstrată.

■

Definiţia 7.2.4. Se numeşte sistem fundamental de soluţii al ecuaţiei omogene

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

pe intervalul , orice sistem liniar independent de soluţii pe intervalul ale acestei ecuaţii. ale ecuaţiei Astfel, sistemul de soluţii omogene, care verifică relaţia este sistem fundamental de soluţii al acestei ecuaţii. Teorema (despre structura soluţiei generale a ecuaţiei este un diferenţiale liniare omogene) Dacă sistem fundamental de soluţii pe intervalul al ecuaţiei omogene , atunci soluţia generală a acestei ecuaţii are forma unde

sunt constante arbitrare.

Demonstraţie. Dacă funcţiile ecuaţiei omogene

sunt soluţii ale

, este soluţie a acestei atunci funcţia ecuaţii pentru orice valori ale constantelor Rămâne de demonstrat că orice soluţie , a ecuaţiei omogene date, care verifică condiţiile iniţiale obţinută din constantelor. Întrucât funcţiile independente, de ecuaţii cu necunoscutele

, poate fi pentru careva valori ale sunt liniar deci sistemul

317

318

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

are

o

soluţie

unică.

Notăm Soluţia

această

soluţie şi

cu

soluţia

, verifică aceleaşi condiţii iniţiale. Din teorema de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei Cauchy rezultă că aceste soluţii coincid: Astfel,

este soluţia generală a

■

ecuaţiei omogene. Ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordinul coeficienţi constanţi

cu

Definiţia 7.2.5. Se numeşte ecuaţie diferenţială liniară omogenă de ordinul cu coeficienţi constanţi ecuaţia de , forma unde sunt constante reale. Ecuaţia dată este un caz particular al ecuaţiei . Astfel, teoria expusă mai sus este valabilă şi în cazul ecuațiilor cu coeficienţi constanţi. Pentru a determina soluţia ei generală este suficient să identificăm un sistem fundamental de soluţii şi să scriem soluţia generală sub forma , sunt constante reale arbitrare. unde Căutăm o soluţie particulară a ecuaţiei sub forma , unde este o constantă. Pentru a determina această constantă înlocuim funcţia în ecuația .

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Obţinem Întrucât

319

. , obținem

este soluţie particulară a ecuaţiei atunci şi numai atunci când numărul este soluţie a ecuaţiei , numită ecuaţie caracteristică a ecuaţiei diferenţiale . Polinomul se numește polinom caracteristic al ecuaţiei diferenţiale . Gradul ecuaţiei caracteristice este n şi prin urmare (ţinând cont de multiplicitate) polinomul ei caracteristic are n rădăcini reale sau complexe Fie că toate rădăcinile polinomului caracteristic sunt numere reale şi distincte. În acest caz funcțiile sunt soluţii ale ecuaţiei Funcţia

Determinantul Wroński al acestor soluţii este

320

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Ultimul determinant din aceste egalităţi se numește determinantul Vandermonde. Întrucât şi avem că Astfel sistemul de soluţii este liniar independent şi deci este sistem fundamental de soluţii pe al ecuaţiei omogene. Soluţia generală a acestei ecuaţii este Exemplul 7.2.3. Să se determine sistemul fundamental de soluţii şi soluţia generală ale ecuaţiei diferenţiale Soluţie. Ecuaţia caracteristică şi rădăcinile fundamental de soluţii este generală are forma

are Deci sistemul iar soluţia

Fie că toate rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt este rădăcină reală de numere reale, iar multiplicitatea a polinomului caracteristic. Atunci soluţii coincid în sistemul de funcţii şi în locul lor în sistemul fundamental de soluţii considerăm , care sunt soluţii ale funcţiile ecuaţiei omogene. Sistemul de funcții obținut este liniar independent. Exemplul 7.2.4. Să se determine sistemul fundamental de soluţii şi soluţia generală ale ecuaţiei Soluție. Ecuaţia caracteristică are rădăcina de multiplicitatea 3 şi rădăcinile simple . Deci sistemul fundamental de soluţii este

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

iar soluţia

generală are forma

Fie că ecuaţia caracteristică are o rădăcină complexă simplă . Atunci printre rădăcinile polinomului caracteristic este şi conjugata ei . În acest caz sistemul de soluţii conţine două funcţii complexe . Folosind formulele lui Euler, obținem , Soluțiile funcțiile:

și

. sunt înlocuite cu

care, conform Teoremei 2.2.1., de asemenea sunt soluții ale ecuației diferențiale omogene. Exemplul 7.2.5. Să se determine sistemul fundamental de soluţii şi soluţia generală ale ecuaţiei are Soluţie. Ecuaţia caracteristică şi . Aceste rădăcinile complexe rădăcini determină două soluţii complexe şi înlocuite în sistemul fundamental de soluţii cu şi Soluţia generală a ecuaţiei date este . Dacă ecuaţia caracteristică are rădăcina complexă de multiplicitatea , atunci ea are şi rădăcina

321

322

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

de aceeaşi multiplicitate. În acest caz sistemul de soluţii conţine m soluţii complexe egale de forma şi tot atâtea soluţii de forma În sistemul fundamental de soluţii ele sunt înlocuite cu

Exemplul 7.2.6. Să se determine sistemul fundamental de soluţii şi soluţia generală a ecuaţiei Soluţie. Ecuaţia caracteristică are rădăcinile complexe şi Deci sistemul fundamental de soluţii este: iar soluţia generală: . Exemplul 7.2.7. Să se determine sistemul fundamental de soluţii şi soluţia generală a ecuaţiei Soluție. Ecuaţia caracteristică este: Am obținut: Soluţia generală este:

și

sau Ecuaţii diferenţiale liniare omogene de ordinul cu coeficienţi constanţi. Fie ecuaţia liniară de ordinul al doilea: , unde şi sunt constante reale. Ecuaţia caracteristică a . acestei ecuaţii este

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

1. Dacă ecuaţia caracteristică are două rădăcini reale distincte: şi atunci sistemul fundamental de soluţii este iar soluţia generală este 2. Dacă

, atunci sistemul fundamental de soluţii este iar soluţia generală are forma ; 3. Dacă atunci sistemul fundamental de soluţii este iar soluţia generală este Exemplul 7.2.8. Să se rezolve ecuațiile diferențiale liniare omogene de ordinul al doilea cu coeficienți constanți sau problemele Cauchy 1. 2. 3. 4. 5. 6. . Soluție. 1. Ecuaţia caracteristică asociată este: cu rădăcinile și . Soluţia generală este: . 2. Ecuația caracteristică este: Soluţia generală este: Determinăm soluţia particulară din condiţiile iniţiale: Atunci

.

323

324

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Astfel,

, de unde obţinem soluţia particulară

3. Ecuaţia caracteristică este: Soluţia generală este: 4. Ecuaţia caracteristică este: două rădăcini egale: Soluţia generală este: . Determinăm soluţia particulară:

. şi are sau

Astfel, soluţia particulară este 5. Ecuaţia caracteristică asociată este: Obținem Ecuaţia are două rădăcini complexe de forma Avem . Atunci Soluţia generală este: sau 6. Ecuaţia caracteristică respectivă este: Soluţiile sunt complexe cu Soluţia generală este: sau

şi

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Determinăm soluţia particulară din condiţiile iniţiale: .

Soluţia particulară este: 7.3. Ecuaţii diferențiale liniare neomogene de ordin superior Teorema 7.3.1. (despre structura soluţiei generale a ecuaţiei diferenţiale liniare neomogene) Soluţia generală a ecuaţiei liniare neomogene este egală cu suma unei soluţii particulare a ei şi a soluţiei generale a ecuaţiei omogene asociate ei. o soluţie particulară a ecuaţiei Demonstraţie. Fie neomogene, soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate ei. Vom demonstra că este soluţia generală a ecuaţiei neomogene. Au loc relațiile: ,

Înlocuind

în ecuaţia neomogenă, obţinem

325

326

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Deci

este soluţie a ecuaţiei

. Rămâne de demonstrat că orice soluţie a ecuaţiei . neomogene are forma Fie o soluţie arbitrară a ecuaţiei neomogene. Atunci este soluţie a ecuaţiei omogene , deoarece

Rezultă

adică

că

■ Din

cele

demonstrate

mai sus este soluţie

rezultă că generală a

ecuaţiei neomogene. Dacă notăm soluţia generală a ecuaţiei neomogene cu , soluţia particulară a ecuaţiei neomogene cu şi . soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate cu Atunci putem scrie .

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei liniare neomogene. Metoda Lagrange (de variație a constantelor) Cazul . Fie ecuaţia diferenţială liniară neomogenă de . ordinul al doilea Ecuaţia omogenă asociată acestei ecuaţii este . Dacă este un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei omogene, atunci soluţia generală a acestei ecuaţii are forma . Căutăm o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene de forma , unde şi sunt funcţii continue, derivabile pe careva interval, și care trebuie determinate.

.

Cerem Atunci iar

. Înlocuim ultimele relații în ecuația inițială și obținem , de unde . Astfel obţinem iar pentru a determina sistemul

şi

, trebuie să rezolvăm

327

328

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Acest sistem are o singură soluţie, deoarece este un sistem fundamental de soluţii şi, deci, wronskianul este nenul. Dacă şi este soluţia sistemului de mai sus, atunci şi . Înlocuind aceste funcţii în , obţinem o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Exemplul 7.3.1. Să se determine o soluţie particulară şi soluţia generală ale ecuaţiei diferenţiale 1. 2. 3. . Soluție. 1. Ecuaţia omogenă asociată ecuaţiei date este Ecuaţia caracteristică a ei are rădăcinile şi Deci este un sistem fundamental de soluţii iar este soluţia generală a ecuaţiei omogene. Căutăm o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene în forma . Determinăm și din sistemul

Rezolvând acest sistem obținem: respectiv

,

.

Astfel, soluţia particulară a ecuaţiei neomogene este , iar soluţia generală are forma . 2. Determinăm soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate.

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Ecuaţia caracteristică este Soluţiile ecuaţiei omogene sunt: Pentru a determina soluţia particulară, care are forma rezolvăm sistemul:

Avem:

329

330

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Astfel, şi

3. . Ecuația caracteristică a ecuației liniare omogene asociate este: Soluţiile ecuaţiei omogene asociate sunt: . Adică Pentru a determina rezolvăm sistemul:

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Considerăm Obţinem: un sistem fundamental de Caz general. Fie soluţii al ecuaţiei omogene asociate ecuaţiei neomogene. Atunci soluţia generală a ecuaţiei omogene asociate este . Căutăm o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene în forma , unde sunt funcţii, care posedă derivate continue pe intervalul și care verifică sistemul

Sistemul dat are o singură soluţie, deoarece determinantul lui este wronskianul funcţiilor şi care este

331

332

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

soluţia sistemului.

nenul. Fie Atunci

Teorema 7.3.2. (proprietatea soluţiilor particulare ale ecuaţiilor diferențiale liniare neomogene) Dacă este soluţie particulară a ecuaţiei neomogene este o

atunci soluţie particulară a ecuaţiei

Ecuaţii liniare neomogene cu coeficienţi constanţi. Definiția 7.3.2. Se numește ecuație diferențială liniară neomogenă de ordinul cu coeficienți constanți, o ecuație de forma , unde sunt constante reale, este o funcție continuă pe intervalul , este variabilă independentă, iar este funcția necunoscută. Ecuația este

ecuației . Astfel, afirmaţiile despre ultima ecuație sunt valabile și pentru ecuația dată. Particularitatea acestei ecuații permite ca în unele cazuri soluția particulară să fie determinată prin metode speciale. un

caz

particular

al

Metoda coeficienților nedeterminați. Fie că termenul liber al ecuației neomogene are forma , unde și sunt polinoame de variabilă Vom spune în acest caz, că are formă specială (cvasipolinom).

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Sunt adevărate următoarele afirmații: 1) Dacă nu este rădăcină a polinomului caracteristic , atunci o soluție particulară a ecuației neomogene are forma , unde și sunt polinoame de grad, egal celui mai mare dintre gradele polinoamelor și . Coeficienții acestor polinoame se determină prin metoda coeficienților în ecuaţia nedeterminați, înlocuind . 2) Dacă este rădăcină de multiplicitatea a polinomului caracteristic, atunci o soluție particulară a ecuației neomogene poate fi căutată în forma unde și verifică condițiile de mai sus. Exemplul 7.3.2. Să se determine o soluție particulară și soluția generală a ecuației diferențiale . Soluție. Ecuația omogenă asociată are ecuația caracteristică , rădăcinile căreia sunt și . Deci, soluția generală a ecuației . omogene asociate este Partea dreaptă a ecuației neomogene are formă de . Atunci: este polinom cvasipolinom: de gradul I, , și . Întrucât este rădăcină de multiplicitatea 1 a polinomului caracteristic, o soluție particulară a ecuației neomogene date poate fi căutată în forma . Pentru a determina coeficienții și

333

334

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

înlocuim Obținem consecutiv:

în ecuaţia iniţială.

, Ultima

egalitate

este

, echivalentă

. sistemul

cu

. Deci

, care are soluția

este o soluție particulară a ecuației date, iar soluția generală are forma . Exemplul 7.3.3. Să se rezolve ecuaţiile liniare neomogene cu coeficienţi constanţi (cu partea dreaptă specială). 1. 2. 3. Soluție. 1. Determinăm .

Determinăm . Partea dreaptă este un polinom de gradul 1. Astfel iar numărul este rădăcina simplă a ecuaţiei caracteristice. Căutăm sub forma Să determinăm A şi B prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi. Adică găsim şi înlocuim în ecuaţia iniţială:

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Cerem ca Deci, În final, 2. Determinăm este:

. Ecuaţia caracteristică a ecuației omogene

Atunci, Determinăm Numărul caracteristice. Căutăm Atunci

. Partea dreaptă este nu este rădăcina ecuaţiei

sub forma

sau Înlocuim

în ecuaţia inițială:

De unde: .

.

335

336

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Obţinem sistemul şi Atunci 3. Determinăm

. Ecuaţia caracteristică este: cu

Atunci, Partea dreaptă este: cu şi Soluţia particulară este sumă a soluţiilor particulare ale ecuaţiilor şi Determinăm soluţia particulară a ecuaţiei Întrucât nu este rădăcina a ecuaţiei caracteristice, căutăm soluţia particulară sub forma Determinăm Înlocuim în ecuaţie: soluția particulară a ecuației Determinăm soluţia particulară a ecuaţiei Partea dreaptă este un polinom. Numărul 0 nu este rădăcină a polinomului caracteristic. Căutăm Determinăm Înlocuim în ecuaţie:

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Atunci Astfel, Am obținut soluţia particulară a ecuaţiei iniţiale: și respectiv soluţia generală a ecuaţiei iniţiale: Exemplul 7.3.4. Să se rezolve problema Cauchy 1. 2. Soluție. 1. Determinăm . Ecuaţia caracteristică este: Atunci, Partea dreaptă are forma - constante. Observăm că nu este rădăcina ecuaţiei caracteristice. Căutăm sub forma Atunci Înlocuim

Cerem:

. în ecuaţia iniţială și obținem:

337

338

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Am obținut:

, de unde

Determinăm soluția particulară din condiția inițială:

Astfel

, iar

este soluţia problemei Cauchy. 2. Polinomul caracteristic: şi

Partea dreaptă are forma: Soluţia particulară a ecuaţiei date este suma soluţiilor particulare ale ecuaţiilor: și Determinăm soluţia particulară a ecuaţiei

.

Avem că este rădăcina simplă a ecuaţiei caracteristice. Căutăm Atunci Înlocuim în ecuaţie:

Găsim soluţia particulară a ecuaţiei

.

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

nu este rădăcină a polinomului caracteristic, deaceea Găsim Înlocuim

în ecuaţie:

În final, soluţia particulară a ecuaţiei iniţiale este: iar soluţia generală este: Să găsim soluția particulară:

. Astfel,

şi soluţia particulară cu condiţiile iniţiale date

este: 7.4. Aplicaţiile seriilor la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale 1.Determinarea soluţiei problemei Cauchy în formă de serie Taylor. Considerăm problema Cauchy ; Presupunem că soluţia a acestei probleme există şi poate fi dezvoltată în serie Taylor: Pentru a determina această soluţie rămâne să determinăm valorile Avem şi , iar din ecuaţia dată găsim . Pentru a găsi ,

339

340

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

derivăm în raport cu variabila ambele părţi ale ecuaţiei : şi înlocuim în egalitatea obţinută condiţiile iniţiale şi valoarea deja găsite. În rezultat obţinem: . În mod similar determinăm

etc.

Exemplul 7.4.1. Să se determine primii trei termeni nenuli ai soluţiei problemei Cauchy , Soluție: Calculăm valorile

Înlocuind aceste valori în , obţinem suma primilor trei termeni nenuli ai soluției: Metoda expusă poate fi aplicată şi la rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de ordinul întâi. 2. Rezolvarea problemei Cauchy pentru o ecuaţie diferenţială liniară prin metoda coeficienţilor nedeterminaţi. Fie problema Cauchy pentru o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul al doilea , Căutăm soluţia problemei în formă de serie de puteri

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Pentru a găsi coeficienţii acestei serii determinăm seriile de puteri ale funcţiilor şi , le înlocuim în ecuaţia diferenţială. Egalând coeficienţii de pe lângă aceleaşi puteri ale lui , obţinem un sistem de ecuaţii, necunoscutele căruia sunt coeficienţii seriei căutate. Deoarece , folosind condiţiile iniţiale, obţinem şi . Având valorile primilor doi coeficienţi ai seriei, ceilalţi se găsesc din sistemul obţinut anterior. Menţionăm că seria obţinută este o soluţie a problemei Cauchy în intersecţia domeniului său de convergenţă şi a domeniilor de convergenţă ale seriilor de puteri ale funcţiilor şi Exemplul 7.4.2. Să se determine soluţia problemei Cauchy ; în formă de serie de puteri. Soluție: Căutăm soluţia problemei date în forma Din condiţiile iniţiale obţinem Calculând derivata a doua

şi înlocuind cele obţinute în ecuaţia diferenţială, obţinem

Efectuăm reducerea termenilor asemenea:

341

342

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

şi egalând cu zero toţi coeficienţii acestei egalităţi, obţinem sistemul:

De unde rezultă ...,

...

Înlocuind aceste valori ale coeficienţilor, obţinem Această egalitate poate fi scrisă şi în forma

Partea dreaptă a acestei egalităţi este dezvoltarea în şi deci soluţia problemei

serie de puteri a funcţiei Cauchy date este

,

3. Determinarea soluţiei generale a ecuaţiei diferenţiale liniare. Căutând soluţia ecuaţiei liniare sub forma unei serii de puteri şi notând , , putem obţine soluţia generală a acestei ecuaţii, în care şi sunt constante arbitrare. Exemplul 7.4.3. Să se rezolve ecuaţia diferenţială Soluție: Căutăm soluţia ecuaţiei date în forma

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Găsind derivatele necesare şi înlocuindu-le în ecuaţia dată, obţinem . Atunci: ..., Notând

şi

, obţinem:

..., , ,

...

Și soluţia generală a ecuaţiei date în forma:

.

Bibliografie recomandată Filipov A.F. Culegere de probleme de ecuaţii diferenţiale. – Moscova: Nauka, 2000, p. 34-60. 2. Glavan V., Guţu V., Stahi A. Ecuaţii diferenţiale prin probleme. – Chişinău: Universitas, 1993, p. 68-103. 3. Stewart J. Calculus. Early Transcendentals. 5th edition, Centgage Learning, 2016, p. 1141-1169.

1.

343

344

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

Exerciții și probleme pentru lucrul individual 7.1. Să se rezolve ecuaţiile diferenţiale ce admit micșorarea ordinului sau problema Cauchy: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 7.2. Să se rezolve ecuaţia liniară omogenă cu coeficienţi constanţi sau problema Cauchy: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

.

7.3. Să se rezolve ecuaţia liniară neomogenă cu coeficienţi constanţi (cu partea dreaptă specială) sau problema Cauchy: 1. 2. 3.

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

4. 5. 6. 7. 8. 9. . 10. 7.4. Să se rezolve ecuaţia diferenţială prin metoda variaţiei constantelor (metoda Lagrange) sau problema Cauchy: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 7.5. Să se determine dezvoltarea în serie Taylor după puterile lui x a soluţiei ecuaţiei diferenţiale, cu condiţiile iniţiale date: 1. 2. 3. 4.

, , ,

, ,

,

345

346

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

BIBLIOGRAFIE Bibliografie de bază 1.

Barbu V. Ecuaţii diferenţiale. – Iaşi: Editura Junimea, 1985.

2.

Bunu I. Matematici economice. – Chișinău: Editura ASEM, 2012.

3.

Ceban D., Şubă. A. Probleme de ecuaţii diferenţiale ordinare. – Chișinău: CEP USM, 2001.

4.

Crăciun I. Analiză matematică. Calcul diferențial. Iași, 2011.

5.

Dănet C.P. Analiză matematică. Calcul integral. https://www.scribd.com/ , p. 42-55.

6.

Fihtengolț G.M. Bazele analizei matematice, vol. I-II. – Chișinău: Ed. Lumina, 1970.

7.

Glavan V., Guţu V., Stahi A. Ecuaţii diferenţiale prin probleme. – Chişinău: Universitas, 1993.

8.

Păltineanu G. Analiză matematică. Calcul diferențial. București, 2002.

9.

Stănăşilă O. Analiză matematică. Ediţia definitivă. – Bucureşti: Ed. Floarea Darurilor, 2014.

10. Stewart J. Calculus. Early Transcendentals. 8th edition, Centgage Learning, 2016. 11. Vrabie Ioan I. Differential equations. – World Scientific: NEW JERSEY, 2004.

347

Bibliografie suplimentară 1. Ceban D. Ecuaţii diferenţiale ordinare. – Chișinău: CEP USM, 2001. 2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1-2. – Москва: Изд. Высшая Школа, 1981. 3. Flondor P., Stănăsilă O. Lecţii de Analiză Matematică, Ed. ALL, Bucureşti, 1993. 4. Gheorghin N., Precupeanu T. Analiza Matematică, – Bucureşti: Ed. Didactică şi Pedagogică, 1970. 5. Halanay A. Ecuaţii diferenţiale. – Bucureşti: Editura didactică şi pedagogică, 1973. 6. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический Анализ, т. 1 и 2. – Москва: Изд. Московского Университета, 1985. 7. Micula Gh., Pavel P. Ecuaţii diferenţiale şi integrale prin probleme şi exerciţii. – Cluj-Napoca: Editura Dacia, 1989. 8. Moroşanu G. Ecuaţii diferenţiale. Aplicaţii. – Bucureşti: Editura Academiei, 1989. 9. Nicolescu M., Dinculeanu N., Marcus S. Analiza Matematică, vol. I-III. – Bucureşti: Ed. Didactică şi Pedagogică, 1971. 10. Никольский С.М. Курс математического анализа, т. 1-2. – Москва: Изд. Наука, 1983. 11. Precupeanu A. Bazele Analizei Matematice. – Iaşi: Ed. Universităţii „Al. I. Cuza”, 1993. 12. Roşculeţ M. Analiza Matematică, vol. I, II. – Bucureşti: Ed. Didactică şi Pedagogică, 1978. 13. Vrabie I. Ecuatii diferenţiale. – Bucureşti: Editura Matrix-Rom, 1999.

348

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

14. Зорич В.А. Математический анализ, часть 1 и 2. – Москва: Изд. Наука, 1981, 1984. Culegeri de probleme recomandate 1. 2.

3.

4. 5. 6.

7. 8.

9.

Arama L., Morozan T. Culegere de probleme de calcul diferenţial şi integral. – Bucureşti: Ed. Tehnică, 1978. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – Москва: Изд. Наука, 1977. Budianu Gh., Mihailescu V., Popa A. Culegere de probleme de Analiză Matematică. – Bucureşti: Ed. Didactică şi Pedagogică, 1993. Bunu I. Matematici economice. – Chișinău: Ed. ASEM, 2012. Corlat A. Problemar la analiza matematică. – Chişinău: CEP USM, 2004. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – Москва: Изд. Наука, 1977. Filipov A.F. Culegere de probleme de ecuaţii diferenţiale. Moscova, 2000. Виноградова М.А., Олейник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. – Москва: Изд. Московского Университета, 1988. Виноградова М.А., Олейник С.Н., Садовничий В.А. Математический Анализ в задачах и упражнениях. – Москва: Изд. Московского Университета, 1991.

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Unele limite remarcabile

Anexa 1.

349

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL

350

Derivatele unor funcții elementare 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Anexa 2.

7. ECUAȚII DIFERENȚIALE DE ORDIN SUPERIOR

Primitivele unor funcții elementare

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10. 11. 12. 13.

14.

Anexa 3.

351

Ana COSTAȘ, Galina RUSU

CALCUL DIFERENȚIAL ȘI INTEGRAL Suport de curs

Machetare computerizată: Maria Bondari Bun de tipar 21.12.2018. Formatul 60 x 84 1/16. Coli de tipar 22,0. Coli editoriale 27,5. Comanda 31 (01/19). Tirajul 50 ex. Centrul Editorial-Poligrafic al USM str. Al.Mateevici, 60, Chișinău, MD 2009