Bestimmung der lokalen Entropieproduktion in turbulenten Stromungen und deren Nutzung zur Bewertung konvektiver Transportprozesse [PDF]

Zitiervorschau

Bestimmung der lokalen Entropieproduktion in turbulenten Str¨omungen und deren Nutzung zur Bewertung konvektiver Transportprozesse

Vom Promotionsausschuss der Technischen Universit¨at Hamburg-Harburg zur Erlangung des akademischen Grades Doktor Ingenieur genehmigte Dissertation von

Fabian Kock aus Buchholz i.d.N. 2003

1. Gutachter: 2. Gutachter:

Prof. Dr.-Ing. Heinz Herwig Prof. Dr.-Ing. Stephan Kabelac

Weitere Gutachter:

Prof. Dr.-Ing. Rudolf Eggers Prof. Dr.-Ing. Monika Ivantysynova

Tag der m¨unlichen Pr¨ufung: 28. August 2003

Berichte aus der Strömungstechnik

Fabian Kock

Bestimmung der lokalen Entropieproduktion in turbulenten Strömungen und deren Nutzung zur Bewertung konvektiver Transportprozesse

.

Shaker Verlag Aachen 2003

Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar. Zugl.: Hamburg-Harburg, Techn. Univ., Diss., 2003

.

Copyright Shaker Verlag 2003 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Printed in Germany.

ISBN 3-8322-2058-5 ISSN 0945-2230 Shaker Verlag GmbH • Postfach 101818 • 52018 Aachen Telefon: 02407 / 95 96 - 0 • Telefax: 02407 / 95 96 - 9 Internet: www.shaker.de • eMail: [email protected]

Vorwort Was ist denn dieses kostbare Etwas in unserer Nahrung, das uns vor dem Tode bewahrt? Das ist leicht ” zu beantworten. Jeder Vorgang, jedes Ereignis, jedes Geschehen - man kann es nennen, wie man will, - kurz alles, was in der Natur vor sich geht, bedeutet eine Vergr¨oßerung der Entropie jenes Teiles der Welt, in welchem es vor sich geht. Damit erh¨oht ein lebender Organismus ununterbrochen seine Entropie - oder, wie man auch sagen k¨onnte, er produziert positive Entropie - und strebt damit auf den gef¨ahrlichen Zustand maximaler Entropie zu, der den Tod bedeutet. Er kann sich ihm nur fernhalten, d. h. leben, indem er seiner Umwelt fortw¨ahrend negative Entropie entzieht - welches etwas sehr Positives ist, wie wir gleich sehen werden. Das, wovon ein Organismus sich ern¨ahrt, ist negative Entropie. Oder, um es etwas weniger paradox auszudr¨ucken, das Wesentliche am Stoffwechsel ist, dass es dem Organismus gelingt, sich von der Entropie zu befreien, die er, solange er lebt, erzeugen muss.“ [ Schr¨odinger 1951] In diesem Zitat wird mit der Entropieproduktion der zentraler Begriff der vorliegende Dissertation beschrieben. Die Arbeit entstand in den Jahren 1999 bis 2003 w¨ahrend meiner T¨atigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Arbeitsbereich Technische Thermodynamik der Technischen Universit¨at Hamburg-Harburg. F¨ur die Unterst¨utzung und Anregungen, die ich w¨ahrend dieser Zeit von vielen Seiten erfahren habe, m¨ochte ich mich an dieser Stelle bedanken. Mein erster Dank gilt meinem Doktorvater Prof. Dr.-Ing. Heinz Herwig. In anregenden Gespr¨achen konnte er mir eine Vielzahl richtungweisender Hinweise geben und u¨ ber manche H¨urde hinweghel¨ fen. Herrn Prof. Dr.-Ing. Stephan Kabelac sei f¨ur die bereitwillige Ubernahme des Koreferats gedankt. Meinen Kollegen Wilson Casas, Marc H¨olling, Andreas Moschallski, Torge Pfafferott, Stefan Wischhusen und Mario W¨orner sowie Ole Engel, Bruno L¨udemann, Robert M¨ockel, Matthias Wittschke, Tobias Kockel, Tim Jaguttis und Prof. Dr.-Ing. Gerhard Schmitz bin ich tief verbunden f¨ur die Atmosph¨are gegenseitiger Unterst¨utzung und Freundschaft im Arbeitsbereich, in welchem zu arbeiten und zu forschen eine Freude war. Hervorzuhebender Dank gilt hier meinem Kollegen Oliver Hausner f¨ur die anregenden Gespr¨ache und die angenehme Zeit in der wir ein B¨uro teilen konnten. Mein besonderer Dank gilt meiner Lebensgef¨ahrtin Isabella Longas und der kleinen Elisa, die mich w¨ahrend der langen Zeit mit viel Geduld und Verst¨andnis begleiten und mir diesen Weg in besonders angespannten Situationen durch Anteilnahme und Ausgleich erleichtern konnten. Meinen Eltern danke ich f¨ur die M¨oglichkeiten und Wege, die sie mir er¨offnet haben.

Hamburg im Juni 2003

Inhaltsverzeichnis

Nomenklatur

x

I

Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x

II

Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

III

Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

IV

Typographische Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xv

1

Einleitung

1

2

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

5

2.1

Grundlagen der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.1.1

Definitionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.1.2

Der erste Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.3

Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Bewertungskriterien auf Basis des ersten Hauptsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.1

Der W¨arme¨ubergangskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2.2

Der Druckverlust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2.3

Die Wirkungsgrad-NTU-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Bewertungskriterien auf Basis des zweiten Hauptsatzes . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.1

Exergie und Anergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3.2

Entropieproduktion und Exergieverlust . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3.3

Entropieproduktion durch W¨armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.4

Entropieproduktion durch Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2

2.3

v

2.3.5

Konventionelle Second Law Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Entropieproduktion in Str¨omungen 3.1

29 35

Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.1.1

Einschr¨ankungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.2

Die teilchenfeste und ortsfeste Betrachtungsweise . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.3

Konstitutive Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.1.4

Das Turbulenzproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2

Massenerhaltung (Kontinuit¨atsgleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.3

Impulsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.4

Energiegleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.4.1

Mechanische Energie der Mittleren Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.4.2

Mechanische Energie der Schwankungsbewegung . . . . . . . . . . . . . .

47

3.4.3

Thermische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Die Transportgleichung der Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

3.5.1

Zeitmittelung der Transportgleichung der Entropie . . . . . . . . . . . . . .

52

3.5.2

L¨osungsstrategien zur Ermittlung der Entropieproduktionsterme . . . . . . .

60

3.5

4 Modelle und numerische Aspekte 4.1

4.2

4.3

63

Stand der Technik der differentiellen Second Law Analysis . . . . . . . . . . . . . .

64

4.1.1

Lokale Entropieproduktion in laminaren Str¨omungen . . . . . . . . . . . . .

64

4.1.2

Lokale Entropieproduktion in turbulenten Str¨omungen . . . . . . . . . . . .

67

Das k − ε Turbulenzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

4.2.1

Modell zur Ermittlung der Reynoldsspannungen . . . . . . . . . . . . . . .

70

4.2.2

Modell zur Ermittlung der turbulenten W¨armestromdichten

. . . . . . . . .

73

Modellgleichungen der Entropieproduktionsraten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.3.1

Entropieproduktion durch direkte Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.3.2

Entropieproduktion durch molekulare W¨armeleitung . . . . . . . . . . . . .

76

4.3.3

Entropieproduktion durch turbulente Dissipation . . . . . . . . . . . . . . .

76

vii 4.3.4 4.4

Entropieproduktion durch turbulente W¨armeleitung . . . . . . . . . . . . . .

79

Numerische Aspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.4.1

4.5

5

Validierung: Lokale Entropieproduktionsraten in einer beheizten turbulenten Kanalstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Wandfunktionen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.5.1

Zeitgemittelte Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.5.2

Zeitgemittelte Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

4.5.3

Entropieproduktionsrate durch direkte Dissipation . . . . . . . . . . . . . .

88

4.5.4

Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung

. . . . . . . . . .

93

4.5.5

Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation

. . . . . . . . . . . .

97

4.5.6

Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung . . . . . . . . . . . 100

4.5.7

Die Wandfunktionen auf einen Blick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Anwendungs- und Simulationsbeispiele 5.1

5.2

81

107

Lokale Entropieproduktionsraten in Rohrstr¨omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.1

Laminare Rohrstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.1.2

Turbulenter Rohrstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Optimierungsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.1

Turbulente Rohrstr¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.2

Turbulente Rohrstr¨omung mit Wendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6

Zusammenfassung

133

7

Ausblick

137

A Hilfsfunktionen in den Grundgleichungen

139

1.1

Terme in der Differentialgleichung f¨ur die mechanische Energie der mittleren Bewegung (ME ∗ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

1.2

Terme in der Differentialgleichung f¨ur die mechanische Energie der Schwankungsbewegung (MES ∗ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

viii 1.3

Terme in der Differentialgleichung f¨ur die thermische Energie (T E ∗ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

x

Nomenklatur I Formelzeichen Symbol Einheit Bedeutung a∗

m2 s

Temperaturleitf¨ahigkeit a∗ =

A∗

m2

Fl¨ache

c∗

m s

Geschwindigkeit

c∗

m s

Geschwindigkeitsvektor

c∗p

J kg K

spezifische isobare W¨armekapazit¨at

Cε1

-

Konstante im k − ε Turbulenzmodell Cε1 = 1, 44

Cε2

-

Konstante im k − ε Turbulenzmodell Cε2 = 1, 92

Cµ

-

Konstante im k − ε Turbulenzmodell Cµ = 0, 09

C+

-

universelle Konstante in der turbulenten Wandschicht C + = 5, 0

CΘ+

-

universelle Konstante in der turbulenten Wandschicht CΘ+ = 13, 7 Pr2/3 − 7, 5

Dk∗

W m3

molekulare Diffusion der kinetischen Energie der Schwankungsbewegung

∗ DkΘ

K2 s

molekulare Diffusion der Varianz der Temperaturschwankungen

∗ DM

W m3

molekulare Diffusion der kinetischen Energie der mittleren Bewegung

DS∗

W Km3

molekulare Diffusion der spezifischen Entropie

η∗

kg ms

dynamische Viskosit¨at

ε∗

m2 s3

λ∗ ∗ c∗p

Dissipationsrate der kinetischen Energie der Schwankungsbewegung

I Formelzeichen

xi

ε∗Θ

K2 s

Dissipationsrate der Varianz der Temperaturschwankungen

E∗

J

Energie

F∗

N

Kraftvektor

g∗

m s2

Gravitationskonstant g ∗ = 9, 81

h∗

J kg

spezifische Enthalpie h∗ = u∗ + p∗ v ∗

H∗

J

Enthalpie =m∗ (u∗ + p∗ v ∗ )

k∗

m2 s2

kinetische Energie der Schwankungsbewegung =

∗ kΘ

K2

Varianz der Temperaturschwankungen = T ∗2 /2

κ

-

von Karman-Konstante =0,41

κΘ

-

universelle Konstante zur Berechnung der turbulenten W¨armestromdichten =0,48

L∗

m

charakteristische L¨ange

λ∗

W mK

W¨armeleitf¨ahigkeit

m∗

kg

Masse

n∗

m

wandnormaler Abstand

n+

-

dimensionsloser wandnormaler Abstand =

ν∗

m2 s

kinematische Viskosit¨at

p∗

Pa

Druck

P∗

W

mechanische Leistung

Φ∗

W m3

Dissipation der kinetischen Energie der mittleren Bewegung (Dissipationsfunktion)

q˙∗

W m2

W¨armestromdichte = Q A∗

Q∗

J

W¨arme

Q˙ ∗

W

W¨armestrom

∗

kg m3

Dichte

s∗

J K kg

spezifische Entropie

˙∗

m s2

1 2




u∗2 + v ∗2 + w ∗2



n∗ u∗τ ν∗

xii S∗

J K

Entropie

S˙ ∗

W K

Entropiestrom

∗ S˙ PRO, D

W Km3

spezifische Entropieproduktionsrate durch molekulare Dissipation

∗ S˙ PRO, D

W Km3

spezifische Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation

∗ S˙ PRO, W

W Km3

spezifische Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung

∗ S˙ PRO, W

W Km3

spezifische Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung

t∗

s

Zeit

∗ Tkal

K

kalorische Mitteltemperatur =

∗ TDG

W m3

Druck-Geschwindigkeits-Korrelation

∗ TDk

W m3

turbulente Diffusion der kinetischen Energie der Schwankungsbewegung

∗ TDkΘ

K2 s

turbulente Diffusion der Varianz der Temperaturschwankungen

∗ TDM

W m3

turbulente Diffusion der kinetischen Energie der mittleren Bewegung

∗ TDS

W Km3

turbulente Diffusion der spezifischen Entropie

∗ TPRO

W m3

Produktion von kinetischer Energie der Schwanungsbewegung

∗ TPROΘ

K2

TΦ∗

W m3

Dissipation der kinetischen Energie der Schwankungsbewegung

Tτ∗

K

Reibungstemperatur =

τ∗

N m2

Schubspannung

u∗

J kg

spezifische innere Energie

u∗

m s

Geschwindigkeit in x∗ -Richtung

u∗τ

m s

Schubspannungsgeschwindigkeit u∗τ =

U∗

J

innere Energie

v∗

m s

Geschwindigkeit in y ∗ -Richtung

v∗

m3 kg

spezifisches Volumen

s

1 A∗ u∗m

 A∗

T ∗ u∗ dA∗

Produktion der Varianz der Temperaturschwankungen

∗ −q˙w ∗ c∗p u∗τ

 τw∗ /∗

II Dimensionslose Kennzahlen w∗

m s

Geschwindigkeit in z ∗ -Richtung

W∗

J

Arbeit

x∗

m

x-Koordinate

y∗

m

y-Koordinate

y+

-

dimensionsloser Wandabstand y + =

z∗

m

z-Koordinate

II

xiii

y ∗ u∗τ ν∗

Dimensionslose Kennzahlen

Abk¨urzung Definition

∗ ∗ + S˙ PRO, S˙ PRO, W W ∗ ∗ ∗ + S˙ PRO, D + S˙ PRO, + S˙ W  W

Name

Be

∗ S˙ PRO, D

cf

2

Ecτ

u∗2 τ c∗p Tτ∗

Eckert-Zahl

Nu

q˙w∗ L∗ λ∗ ∆T ∗

Nußelt-Zahl

Pr

c∗p η ∗ λ∗

Prandtl-Zahl

Prt

νt∗ a∗t

turbulente Prandtl-Zahl

Re

u∗m L∗ ν∗

Reynolds-Zahl

Reτ

u∗τ L∗ ν∗

Reynolds-Zahl gebildet

dp∗ D ∗ dx∗ ∗ u∗2 m

Bejan-Zahl Widerstandsbeiwert

mit der Schubspannungsgeschwindigkeit

xiv

III Indizes Index

Bedeutung

i

Z¨ahlindize =x, y, z

j

Z¨ahlindize =x, y, z

kin

kinetisch

m

gemittelt

pot

potentiell

PRO

Produktion

Q

W¨arme

t

turbulent

u

Umgebung

w

Wand

x

x-Richtung

y

y-Richtung

z

z-Richtung

∞

im Unendlichen



Schwankungsbewegung mittlere Bewegung

+

Entdimensionierung in Wandkoordinaten

IV Typographische Konventionen

IV

xv

Typographische Konventionen

Zur Erh¨ohung der Lesbarkeit dieses Dokuments und zur Vermeidung von Unklarheiten werden einige typographische Konventionen eingef¨uhrt. • Programmnamen werden in Courier-Schrift geschrieben: CFX • Dimensionsbehaftete Gr¨oßen werden durch einen hochgestellten ∗ gekennzeichnet: T ∗ • Neue Fachbegriffe werden kursiv dargestellt: Entropie • Die Gleichungen werden im Allgemeinen durchgehend nummeriert, wobei die erste Zahl das Kapitel kennzeichnet: (2.14) • Abweichung von dieser Konvention werden f¨ur diese Arbeit wichtige Gleichungen durch eine gesonderte Nomenklatur hervorgehoben: XI ∗ . Ein Oberstrich kennzeichnet dabei eine zeitgemittelte Gleichung. Gleichungen ohne Oberstrich stellen nicht zeigemittelte Gleichungen dar. Alle Gleichungen, die dieser Nomenklatur folgen, sind zus¨atzlich durch Rahmen vom u¨ brigen Text hervorgehoben.

Kapitel 1 Einleitung Die Entwicklung von Methoden zur numerischen Berechnung von W¨arme¨ubergangsprozessen in turbulenten Str¨omungen ist in den letzten Jahrzehnten Gegenstand intensiver Forschung. Diese Methoden haben heute einen Stand erreicht, mit dem sie eine hinreichend genaue Vorhersage der Str¨omungsund W¨arme¨ubergangsverh¨altnisse in industriellen Anwendungen erm¨oglichen. Hierbei haben insbesondere die Weiterentwicklung von Modellen zur Beschreibung der Turbulenz und die Verwendung von hoch entwickelten numerischen Methoden, wie zum Beispiel unstrukturierten Gittern, zur Verbesserung der Berechnung von W¨arme¨uberg¨angen in Apparaten mit nahezu beliebig komplizierten Geometrien gef¨uhrt.

Abbildung 1.1: Berechnung der Str¨omung und des W¨arme¨uberganges in einem industriellem Rohrb¨undelw¨arme¨ubertrager (Abbildung mit freundlicher Genehmigung von ANSYS CFX)

2

Einleitung

Diese Entwicklung hat es erm¨oglicht, dass heute die Berechnung von industriellen Apparaten in der Energie- und W¨armetechnik zum Stand der Technik geh¨ort. In Abbildung 1.1 wird beispielhaft das Ergebnis einer numerischen Berechnung des W¨arme¨uberganges in einem industriellem Rohrb¨undelw¨arme¨ubertrager durch Darstellung der Stromlinien und Temperaturen verdeutlicht. Die Modelle zur Beschreibung des physikalischen Verhaltens turbulenter Str¨omungen mit und ohne W¨armetransport und deren L¨osung mit Hilfe numerischer Methoden werden unter dem Begriff Computational Fluid Dynamics, oder kurz CFD, zusammengefasst. Alle industriell zur Anwendung kommenden CFD Programmpakete verwenden physikalische Modelle, welche auf dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik (Energieerhaltungssatz) basieren. Mit Hilfe dieser Modelle verfolgt die Energietechnik das Ziel, Verfahren und Apparate zu entwickeln, welche die vorhandenen Energieressourcen m¨oglichst effizient zu nutzen wissen. Aber gerade dieses Ziel kann bei alleiniger Nutzung des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik in dem Entwicklungsprozess nicht erreicht werden. Eine Bestimmung der Effizienz der Nutzung von Energieressourcen in einem thermischen Apparat, wie zum Beispiel einen W¨arme¨ubertrager oder einen Dampferzeuger, kann nur bei gleichzeitiger Verwendung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik geschehen. Mit Hilfe des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik kann die Menge an frei verf¨ugbarer Arbeit, auch Exergie genannt, an die Menge der produzierten Entropie gekoppelt werden. Aus diesem Grund vernichtet ein thermischer Apparat weniger Exergie, wenn in ihm weniger Entropie produziert wird. Oder mit anderen Worten: Der Apparat produziert weniger Anergie. Die Menge an produzierter Entropie ist somit direkt an die totale Effizienz des thermischen Apparates gekoppelt und erm¨oglicht eine Aussage u¨ ber den notwendigen Einsatz von Prim¨arenergie. Diese fundamentalen Erkenntnisse haben bis heute keinen Einzug in den Entwicklungsprozess eines thermischen Apparates mit Hilfe von kommerziellen CFD Programmpaketen gefunden. Die Ergebnisse der CFD Berechnung werden genutzt, um zum Beispiel den Druckverlust und den W¨armeu¨ bergangskoeffizienten eines thermischen Apparates zu bestimmen. Durch eine alleinige Nutzung dieser Informationen kann aber keine Aussage u¨ ber die thermodynamische G¨ute des Apparates oder u¨ ber die effiziente Nutzung der Energieressourcen erfolgen. Die Erforschung und Entwicklung von Maßnahmen zur Verbesserung des W¨arme- und Stoff¨uber¨ ganges bei konvektiven Ubertragungsprozessen ist weltweit Gegenstand intensiver Forschung. Dabei werden sehr unterschiedliche Ans¨atze verfolgt, wie z.B. der Einsatz von Wirbeln in der Str¨omung, die gezielte Erzeugung von Instationarit¨aten oder eine geschickte Oberfl¨achenmanipulation. Allen getroffenen Maßnahmen gemeinsam ist, dass sie erst mit Hilfe sinnvoller Bewertungskriterien bez¨uglich ihrer Wirksamkeit beurteilt werden k¨onnen. Genau dies ist aber bis heute ein hervorzuhebender Schwachpunkt von sehr vielen Untersuchungen zum W¨arme- und Stoff¨ubergang. Eine Aussage wie durch das Einbringen von Turbulatoren hat der W¨arme¨ubertrager einen zweimal besseren ” W¨arme¨ubergang bei einem viermal h¨oheren Druckverlust“ ist nicht quantifizierbar, da die beiden betrachteten Gr¨oßen W¨arme¨ubergang und Druckverlust zwei physikalisch unterschiedliche Gr¨oßen sind.

3 Es fallen bei einer CFD-Analyse eines turbulenten W¨arme¨uberganges immer wertvolle Informationen an, welche auf einfache Weise zur Bestimmung der thermodynamischen Effizienz und damit als Bewertungskriterium, herangezogen werden k¨onnen. So sind bei der numerischen Berechnung eines turbulenten W¨arme¨ubergangsprozesses die Geschwindigkeiten, Temperaturen und zus¨atzliche Informationen u¨ ber die Turbulenz stets als Feldgr¨oßen bekannt. In dieser Arbeit soll untersucht werden, wie diese Feldinformationen zur Berechnung der Entropieproduktion in turbulenten Str¨omungen und W¨armetransportprozessen genutzt werden k¨onnen. Die Entropieproduktion soll dabei am Ende als Feldinformation zur Verf¨ugung stehen und eine geometrisch lokale Aussage u¨ ber die thermodynamische Effizienz eines thermischen Apparates erm¨oglichen. Hierzu sollen Modelle zur Berechnung der lokalen Entropieproduktionsraten entwickelt werden, welche die bekannten Informationen nach der eigentlichen Berechnung der Geschwindigkeits-, Temperatur- und Turbulenzfelder nutzen. Das Ziel wird sein, diese Modelle in ein kommerzielles CFDProgrammpaket zu implementieren. Am Ende dieser Arbeit wird an Beispielen aufgezeigt, wie mit Hilfe der zus¨atzlichen Informationen, auf Basis des zweiten Hauptsatzes, auf einfache und anschauliche Weise in Parameterstudien von komplexen W¨arme¨ubergangsprozessen die thermodynamisch g¨unstigste Konfiguration gefunden werden kann. Diese Arbeit kann also als Versuch angesehen werden, Erkenntnisse aus der Thermodynamik, der numerischen Str¨omungsmechanik und der numerischen W¨arme¨ubertragung zu kombinieren. Diese Interdisziplin¨are Herangehensweise ist in Abbildung 1.2 angedeutet.

Numerische Quantifizierung der lokalen Entropieproduktion

Numerische Strömungsmechanik (CFD)

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

Numerische Wärmeübertragung (CFD)

Thermodynamik

Abbildung 1.2: Lokale Entropieproduktion konvektiver Transportprozesse als interdisziplin¨are Aufgabenstellung

4

Einleitung

In Kapitel 2 werden, ausgehend von den Haupts¨atzen der Thermodynamik, die Grundlagen der thermodynamischen Bewertung beschrieben. Es wird der Zusammenhang zwischen der Entropieproduktion (Irreversibilit¨aten) und dem Verlust an frei verf¨ugbarer Arbeit (Exergieverlust) aufgezeigt und erl¨autert, wie dieser zur Bewertung thermodynamischer Apparate herangezogen werden kann. Diese Art der Bewertung ist in der Literatur auch unter dem Begriff Second Law Analysis, also als eine Analyse auf der Basis des zweiten Hauptsatzes, bekannt. In dieser Arbeit soll f¨ur diese Art der Bewertung der englische Begriff verwendet werden. In Kapitel 2 wird der Stand der Technik der konventionellen Second Law Analysis vorgestellt werden. In Kapitel 3 dieser Arbeit wird, ausgehend von den grundlegenden Theorien aus Kapitel 2, beschrieben, wie die Entropieproduktion in Str¨omungen auf der Basis von Transportgleichungen berechnet werden kann. Ein besonderer Schwerpunkt soll hier auf den Einfluss von Turbulenz auf die lokalen Entropieproduktionsraten gelegt werden. In dieser Arbeit wird die Turbulenz auf der Basis von zeitgemittelten Gr¨oßen beschrieben. Aufbauend auf diesem Ansatz wird eine zeitlich gemittelte Transportgleichung f¨ur die Entropie in turbulenten Str¨omungen hergeleitet. Die zur L¨osung dieser Transportgleichung notwendigen Modelle werden in Kapitel 4 beschrieben. Es wird vorgestellt, wie Entropieproduktionsraten in turbulenten Str¨omungen mit Hilfe von Techniken der numerischen Str¨omungsmechanik berechnet werden k¨onnen. Im Laufe der Modellierung wird sich herausstellen, dass eine Berechnung der Entropieproduktionsterme mittels zeitlich gemittelter Transportgleichungen nur durch die Verwendung spezieller Wandfunktionen zu sinnvollen Ergebnissen f¨uhrt. In Kapitel 5 wird die Anwendbarkeit der im Laufe dieser Arbeit entwickelten Modelle an anschaulichen Beispielen vorgestellt. Lokale Entropieproduktionsraten werden in laminaren und turbulenten Str¨omungen berechnet. An einem Optimierungsproblem wird gezeigt, inwiefern die vorgestellten Modelle auch in der Lage sind, in komplexen Geometrien Aussagen u¨ ber die lokalen Entropieproduktionsraten zu gewinnen. Am Beispiel dieses Problems soll erl¨autert werden, inwiefern die Methoden der lokalen Entropieproduktionsberechnungen zur Bewertung konvektiver Transportprozesse verwendet werden k¨onnen.

Kapitel 2 Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse In der Einleitung wurde erl¨autert, dass diese Arbeit als interdisziplin¨are Aufgabe der grundlegenden ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen Thermodynamik, Str¨omungsmechanik und W¨arme¨ubertragung angesehen werden kann. Dieses Kapitel soll der ersten Disziplin, der Thermodynamik, gewidmet werden. In [ Baehr 2002] wird die Thermodynamik als allgemeine Energielehre definiert. Der Inhalt dieser Lehre basiert auf zwei fundamentalen S¨atzen: dem ersten und dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Die vorliegende Arbeit baut auf diesen fundamentalen Gesetzten auf und setzt voraus, dass diese bekannt und akzeptiert sind. Dennoch sollen Grundbegriffe der Thermodynamik hier noch einmal vorgestellt werden, da die weiteren Untersuchungen aus ihnen folgen. Aufbauend auf dem ersten und zweitem Hauptsatz der Thermodynamik werden Methoden vorgestellt, mit denen die Bewertung eines thermodynamischen Prozesses erfolgen kann. Es wird aufgezeigt, wo die Schw¨achen konventioneller Bewertungen auf der Basis des ersten Hauptsatzes liegen. In einem Literaturr¨uckblick werden außerdem etablierte Bewertungskriterien auf Grundlage des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik vorgestellt und deren Grenzen aufgezeigt. Alle Betrachtungen werden sich hierbei auf die Thermodynamik eines Reinstoffes beschr¨anken.

2.1

Grundlagen der Thermodynamik

Die Thermodynamik befasst sich mit Energieumwandlungen und den Zusammenh¨angen zwischen den Eigenschaften der Stoffe. Die klassische Thermodynamik untersucht Gleichgewichtszust¨ande ¨ makroskopischer Systeme sowie Zustandstands¨anderungen beim Ubergang von einem Gleichgewichtszustand in einen anderen, die mit einer Zu- beziehungsweise Abfuhr von W¨arme und/oder mechanischer Energie (Arbeit) verbunden sind. Der Zustand eines thermodynamischen Systems im Gleichgewicht wird durch einen Satz thermodynamischer Zustandsgr¨oßen (Temperatur, Druck, Volumen, Energie, Entropie, Enthalpie u. a.) beschrieben, die durch Zustandsgleichungen miteinander verkn¨upft sind. Hierbei ist bei einem einphasigen Fluid bereits ein Satz von genau zwei Zustandsgr¨oßen zur Festlegung des thermodynamischen Zustandes hinreichend.

6

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

An dieser Stelle sollen zun¨achst f¨ur diese Arbeit wichtige Definitionen erl¨autert werden. F¨ur vertiefende Betrachtungen sei auf Standardwerke der Thermodynamik, zum Beispiel [ Baehr 2002], verwiesen, aus der Teile der folgenden Definitionen und Erl¨auterungen stammen.

2.1.1 Definitionen Jede thermodynamische Analyse beginnt mit der Definition eines Bereiches, der den zu untersuchenden Raum abgrenzt. Dieser Bereich wird das thermodynamische System genannt. Das System ist u¨ ber reale oder imagin¨are Grenzen zu der Umgebung abgegrenzt. Diese Grenze wird Systemgrenze genannt. Diese Systemgrenzen d¨urfen sich bewegen. Die Variablen eines Systems werden Zustandsgr¨oßen des Systems genannt. Zustandsgr¨oßen in der Thermodynamik sind zum Beispiel die Temperatur T ∗ , der Druck p∗ , die Dichte ∗ , aber auch die ¨ innere Energie U ∗ . Andert eine Zustandsgr¨oße bei der Teilung oder dem Zusammenf¨ugen von Systemen ihren Wert proportional zur Masse, so handelt es sich um eine extensive Zustandsgr¨oße. Beh¨alt eine Zustandsgr¨oße bei der gedachten Teilung (oder der Zusammenf¨ugung) von Systemen ihren Wert, ¨ so handelt es sich um eine intensive Zustandsgr¨oße. Die Anderung des thermodynamischen Gleich¨ gewichts beruht auf einer Anderung der intensiven Zustandsgr¨oßen. Extensive Zustandsgr¨oßen sind zum Beispiel die Masse, das Volumen und die innere Energie. Zu den intensiven Zustandsgr¨oßen geh¨oren zum Beispiel die Dichte, die Temperatur und der Druck. Neben den intensiven Zustandsgr¨oßen k¨onnen auch spezifische Gr¨oßen definiert werden. Diese Gr¨oßen sind auf die Masse eines Systems bezogen, wie zum Beispiel die spezifische innere Energie u∗ = U ∗ /m∗ . Auch die spezifischen Gr¨oßen bleiben bei der Teilung eines Systems unver¨andert und verhalten sich diesbez¨uglich wie intensive Zustandsgr¨oßen. Sie unterscheiden sich von den intensiven Zustandsgr¨oßen aber dadurch, dass sie nicht treibende Kr¨afte von Zustands¨anderungen sein k¨onnen [ Hahne 2000]. Die Grenzen eines geschlossenen Systems sind f¨ur Materie undurchl¨assig. Aus diesem Grund bleibt die Stoffmenge in einem geschlossenen System konstant. Das Volumen muss nicht notwendigerweise konstant bleiben, da sich die Systemgrenzen bewegen d¨urfen. Auf der anderen Seite bezeichnet man ein System, welches mit der Umgebung Stoffmengen austauschen kann, ein offenes System. In den Ingenieurwissenschaften vorkommende offene Systeme sind oft durch weitgehend r¨aumlich feste Grenzen zur Umgebung hin abgegrenzt. Durch das offene System fließt dann ein Stoffstrom. Ein solches System wird auch als Kontrollraum bezeichnet. Der Fluss von Materie ist nur ein Transportmechanismus, welcher in den Ingenieurwissenschaften an den Grenzen eines Systems auftreten kann. Das System kann mit der Umgebung u¨ ber die Systemgrenzen hinweg auch Arbeit und W¨arme austauschen. Wie sp¨ater gezeigt werden soll, f¨uhrt ein W¨armestrom, welcher u¨ ber die Grenzen eines Systems tritt auch immer einen Fluss von Entropie mit sich. Systeme, welche mit der Umgebung weder Materie noch Arbeit oder W¨arme austauschen, werden als isolierte Systeme bezeichnet. Ein isoliertes System muss damit auch immer ein geschlossenes System sein. Kann ein System mit der Umgebung Materie austauschen, tritt ein Transport von

2.1 Grundlagen der Thermodynamik

7

W¨arme u¨ ber die Grenzen aber nicht auf, so spricht man von einem adiabaten System. An dieser Stelle wurden bereits die Begriffe Arbeit, W¨arme und Entropie benutzt, um die Eigenschaften von verschiedenen Systemen voneinander abzugrenzen. Eine Kenntnis dieser Begriffe wird zwar erwartet, soll aber nicht notwendigerweise vorausgesetzt werden. Eine Definition dieser Begriffe erfolgt in den Abschnitten 2.1.2 und 2.1.3. In dieser Arbeit soll es um die Entropieproduktion in Str¨omungen gehen. Die Abgrenzung von Str¨omungen mit Hilfe von Systemgrenzen kann notwendigerweise nur durch offene Systeme geschehen. Die Herleitung der fundamentalen Gesetze soll aber der Anschaulichkeit wegen zun¨achst f¨ur geschlossene System erfolgen und sp¨ater auf offene Systeme erweitert werden.

2.1.2 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik Der erste Hauptsatz der Thermodynamik beschreibt das Prinzip von der Erhaltung der Energie. Eine Erhaltung von Energie kann nur beschrieben werden, wenn vorausgesetzt wird, dass Energie in verschiedenen Formen auftreten kann und sie von einer Form in eine andere u¨ bertreten kann. Nach den Betrachtungen des ersten Hauptsatzes sind alle Formen von Energie gleichberechtigt und eine Transformation kann in beliebiger Weise von einer Form in eine andere geschehen. Eine Einschr¨ankung der m¨oglichen Umwandlungen erfolgt durch das andere fundamentale Gesetz der Thermodynamik, den zweiten Hauptsatz. In dieser Arbeit sollen elektrische, chemische und nukleare Energieformen unber¨ucksichtigt bleiben. Eine Erweiterung des Energiesatzes der Mechanik wird zu den Definitionen der inneren Energie und der W¨arme als m¨ogliche Formen von Energie, beziehungsweise des Energietransportes f¨uhren.

Mechanische Energien Kinetische Energie Die kinetische Energie ist eine wichtige Energieform der Mechanik. Sie l¨asst sich aus dem zweiten Newtonschen Axiom, dem Impulssatz herleiten. Nach dem Impulssatz ist eine ¨ auf einen Massepunkt wirkende Kraft F ∗ gleich der zeitlichen Anderung des Impulses. Durch eine Multiplikation mit dem Geschwindigkeitsvektor und der Integration der Bewegung eines Massepunk¨ tes entlang seiner Bahnlinie erh¨alt man die Anderung der kinetischen Energie des Massepunktes: d (m∗ c∗ ) dr ∗ = c∗ F ∗ = ∗ F ∗ , ∗ dt dt  2  2 ∗ ∗ ∗ ∗  ⇔m F dr ∗ , c dc = c∗

1

1

∗ ∗ ∗ ⇒ Ekin 2 − Ekin 1 = m

 1  ∗2 c − c∗2 = 1 2 2

(2.1) (2.2) 

2 1

F ∗ dr ∗ .

(2.3)

8

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

¨ Die Anderung der kinetischen Energie eines Massepunktes zwischen zwei Zust¨anden ist somit gleich dem Integral des Produktes aus Kraft und Weg. Dieses Integral wird auch Arbeit genannt:  2 ∗ F ∗ dr ∗ . = (2.4) W12 1

Die kinetische Energie eines Massepunktes a¨ ndert sich damit durch Zu- oder Abf¨uhren von Arbeit. Gleichung (2.3) stellt bereits eine spezielle Form des Energieerhaltungssatzes dar. Die mechanische Arbeit in Gleichung (2.4) h¨angt von der Gestalt der Bahn und von der Gr¨oße und Richtung des Kraftvektors w¨ahrend des Durchlaufens der Bahn ab, den ein Massepunkt vom Zustand 1 zum Zustand 2 durchl¨auft. Die Arbeit geh¨ort damit zu den Prozessgr¨oßen. Ihr Wert ist keine Zustandsgr¨oße, wie etwa die Temperatur, der Druck oder auch die kinetische Energie, welche vom Weg unabh¨angig und nur durch die Endzust¨ande bestimmt sind.

Potentielle Energie F¨ur den Fall, dass sich ein Massepunkt durch ein zun¨achst in Gr¨oße und Richtung konstantes Kraftfeld bewegt, erh¨alt man eine weitere Form von Energie, welche nur von den Endzust¨anden abh¨angig ist. Der Kraftvektor ist gegeben durch ∗ F ∗ = −grad Epot (r∗ ) .

(2.5)

Durch Integration von (2.5) zum Beispiel im Gravitationsfeld der Erde erh¨alt man nach Gleichung ¨ (2.4) die Anderung der potentiellen Energie: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Epot 2 − Epot 1 = m g (z2 − z1 ) = W12 .

(2.6)

Arbeit Wie gezeigt wurde, beschreibt der Begriff Arbeit ein Mittel der Umwandlung von Energie. Arbeit ist hierbei als eine Form des Energietransportes u¨ ber die Grenzen des Kontrollraumes definiert, welche die M¨oglichkeit beinhaltet, ein Gewicht in einem Gravitationsfeld anzuheben. Das Heben eines Gewichtes in einem Gravitationsfeld ist das Resultat der Wirkung einer Kraft entlang eines Weges. Der thermodynamische Arbeitsbegriff beinhaltet die Definition aus der Mechanik. Eine Betonung lag hier aber auf dem Wort M¨oglichkeit. Der Energietransport in Form von Arbeit ist in der Thermodynamik nicht durch ein Anheben von einem Gewicht in einem Gravitationsfeld gekennzeichnet, sondern nur durch die Auswirkung, die sie ebenso auf das Anheben eines Gewichtes haben k¨onnte. Die beiden bisher untersuchten Energieformen lassen sich durch das Zu- oder Abf¨uhren von Arbeit a¨ ndern. Die beiden Energieformen kinetische Energie und potentielle Energie in einem konservativen Kraftfeld sind Zustandsgr¨oßen, die Arbeit ist keine Zustandsgr¨oße. Sie ist eine Prozessgr¨oße. Insgesamt k¨onnen die bisher gemachten Bemerkungen in dem Energieerhaltungssatz der Mechanik zusammengefasst werden: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Ekin 2 − Ekin 1 + Epot 2 − Epot 1 = W12 .

(2.7)

2.1 Grundlagen der Thermodynamik

9

Innere Energie und Enthalpie Bisher wurde nur die Bewegung von Massepunkten in konservativen Kraftfeldern, wie dem Gravitationsfeld der Erde untersucht und ein Erhaltungssatz f¨ur die mechanische Energie hergeleitet. In der Thermodynamik gibt es aber weitere Formen von Energie. So ist es prinzipiell auch m¨oglich mit der Energie, die zum Beispiel siedendes Wasser in sich birgt, ein Gewicht in einem Gravitationsfeld anzuheben, das heißt Arbeit zu verrichten. Aus diesem Grund wird der mechanische Energieerhaltungssatz durch folgende Postulate erweitert [ Baehr 2002]: 1. Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgr¨oße Energie. 2. Die Energie ist eine Erhaltungsgr¨oße. Sie kann sich nur durch Energietransport u¨ ber die Systemgrenzen a¨ ndern. Neben der potentiellen und kinetischen Energie gibt es also noch eine Form von Energie. Sie enth¨alt die Translations-, Rotations- und Schwingungsenergie der Molek¨ule im System sowie deren intermolekulare Potentiale. Diese extensive Zustandsgr¨oße wird im Folgenden innere Energie U ∗ des ¨ Systems genannt. Die Anderungen dieser Energieform sollen in dieser Arbeit rein thermischer Na¨ tur sein. Chemische oder nukleare Anderungen sollen unber¨ucksichtigt bleiben. Die innere Energie ∗ ∗ U ∗ wird oft zusammen mit der potentiellen Energie Epot und der kinetischen Energie Ekin unter der ∗ Gesamtenergie E eines Systems zusammengefasst: ∗ ∗ E ∗ = U ∗ + Epot + Ekin .

(2.8)

Die spezifische innere Energie u∗ = U ∗ /m∗ ist nur von zwei anderen thermodynamischen Zustandsgr¨oßen abh¨angig, zum Beispiel der Temperatur T ∗ und dem Druck p∗ : u∗ = u∗ (T ∗ , p∗ ) .

(2.9)

Eine f¨ur offene Systeme hilfreiche Definition ist die der Enthalpie. In ihr werden die innere Energie und das Produkt aus Druck und Volumen zu einer neuen Gr¨oße zusammengefasst. Wie die innere Energie ist auch die spezifische Enthalpie h∗ eine Zustandsgr¨oße: h∗ = h∗ (T ∗ , p∗ ) = u∗ + p∗ · v ∗

(Definitionsgleichung) .

(2.10)

W¨arme Bis hier wurden bestimmte Energieformen als Zustandsgr¨oßen eines Systems vorgestellt und die Arbeit als eine Prozessgr¨oße eingef¨uhrt, mit deren Hilfe Energie u¨ ber die Grenzen des Systems treten kann. Es existiert aber noch eine andere Prozessgr¨oße, mit welcher ein Energietransport stattfinden ¨ kann. Nach dem Ubertreten dieser Prozessgr¨oße a¨ ndert sich ebenfalls die innere Energie des Systems.

10

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

Diese Prozessgr¨oße soll als W¨arme bezeichnet werden. Sie kann als diejenige Energie definiert werden, die nicht als Arbeit und bei offenen Systemen zus¨atzlich nicht mit einem Stoffstrom die Systemgrenzen u¨ berschreitet. Die W¨arme ist diejenige Form des Energietransportes, die alleine aufgrund einer Temperaturdifferenz zwischen zwei Systemen die gemeinsame Systemgrenze u¨ berschreitet. Die W¨arme wird mit dem Formelzeichen Q abgek¨urzt. Wie sp¨ater bei den Ausf¨uhrungen zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik gezeigt werden soll, ist ein W¨armetransport auch immer mit einem Entropietransport gekoppelt. Die W¨arme kann damit auch als diejenige Form des Energietransportes bezeichnet werden, die mit einem Entropietransport verbunden ist. In der Abbildung 2.1 sind zur Verdeutlichung dieses Sachverhaltes die Unterschiede zwischen den Energieanteilen eines Systems und den beiden Formen des Energietransportes dargestellt. Energietransport über die Systemgrenze

Energieanteile im System: Innere Energie Kinetische Energie Potentielle Energie .. .

Wärme (entropiebehaftet)

Arbeit (entropielos)

Sytemgrenze

Abbildung 2.1: Energieanteile [ Herwig 2002]

und

Formen

des

Energietransportes

Energiebilanzgleichung fur ¨ geschlossene Systeme An dieser Stelle sind alle hier zu behandelnden thermodynamischen Energieformen bekannt und es wurden zwei Prozessgr¨oßen eingef¨uhrt, mit deren Hilfe sich durch einen Transport von Energie u¨ ber die Systemgrenzen die innere Energie eines Systems a¨ ndern kann. F¨ur ein geschlossenes System k¨onnen die bisher gemachten Betrachtungen zu einer Energiebilanzgleichung, dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, zusammengefasst werden. Die Energie¨anderung, die ein geschlossenes System w¨ahrend eines Prozesses erf¨ahrt, ist gleich der Energie, die w¨ahrend des Prozesses die Systemgrenzen in den Formen von W¨arme und Arbeit u¨ berschreitet [ Baehr 2002]: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Q∗12 + W12 = U2∗ − U1∗ + Ekin 2 − Ekin 1 + Epot 2 − Epot 1 .

(2.11)

2.1 Grundlagen der Thermodynamik

11

Energiebilanzgleichung fur ¨ offene Systeme In dieser Arbeit sollen konvektive Transportprozesse, das heißt Str¨omungen untersucht werden. Notwendigerweise muss man deshalb die Bilanzgleichungen f¨ur ein offenes System aufstellen, in dem Energie in Form von Arbeit, W¨arme und mit einem Stoffstrom die Systemgrenzen u¨ berschreiten kann. F¨ur dieses System ersetzt man zur Herleitung der Energiebilanzgleichung das ortsfeste offene System durch ein geschlossenes System mit bewegten Systemgrenzen. Damit kann die Energiebilanz f¨ur ein geschlossenes System, Gleichung (2.11), angewandt werden. Mit der Division durch ein Zeitintervall ∆t∗ erh¨alt man f¨ur den Grenzwert ∆t∗ → 0 die Leistungsbilanz des Kontrollraumes:   ∂E ∗ c∗2 c∗2 2 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ h − m ˙ h − Q˙ ∗12 − P12 + g + g = m ˙ + z + z . (2.12) 2 2 2 1 1 1 ∂t∗ 2 2 Aufgrund der Division durch ein Zeitintervall kann hier nicht mehr von Energien und Arbeiten gesprochen werden. Die Formen des Energietransportes u¨ ber die Systemgrenzen sind in diesem Fall W¨arme pro Zeitintervall und Arbeit pro Zeitintervall. Diese werden als W¨armestrom Q˙ ∗ und Leistung P ∗ bezeichnet. Die innere Energie wird durch die Enthalpie ersetzt, da die Einschiebearbeit p∗ · v ∗ zus¨atzlich zu ber¨ucksichtigen ist.

Energiebilanzgleichung fur ¨ station¨are Fließprozesse Wenn sich der Zustand des offenen Systems mit der Zeit nicht a¨ ndert, so spricht man von einem station¨aren Fließprozess. In diesem station¨aren Fließprozess verschwinden alle Zeitableitungen, insbesondere gilt m ˙ ∗zu = m ˙ ∗ab . Die Leistungsbilanz des Kontrollraumes ist dann:

   c∗2 c∗2 ∗ =m ˙ ∗ h∗2 + 2 + g ∗ z2∗ − h∗1 + 1 + g ∗ z1∗ . (2.13) Q˙ ∗12 + P12 2 2 Mit Hilfe der Gleichungen (2.12) oder (2.13) lassen sich nun die u¨ ber die Systemgrenzen eines offenen Systems tretenden Energiestr¨ome, also der W¨armestrom und die Leistung, aus den Zustandsgr¨oßen der ein- und austretenden Massenstr¨ome bestimmen. In dieser Energiebilanzgleichung sind die W¨arme und die Arbeit oder der W¨armestrom und die Leistung, gleichwertig. Fundamentale Unterschiede zwischen diesen beiden Formen des Energietransportes werden erst durch den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik aufgezeigt.

2.1.3 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik Die Natur lehrt uns, dass nicht alle Prozesse und nicht alle Energieumwandlungen, die der erste Hauptsatz zul¨asst, m¨oglich sind. Das kann durch ein sehr anschauliches Beispiel verdeutlicht werden: Es kann nie ein Energietransport in Form von W¨arme von einem k¨alteren zu einem w¨armeren ¨ K¨orper stattfinden, wenn nicht gleichzeitig eine andere damit zusammenh¨angende Anderung auftritt.

12

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

Dieser Satz ist bereits eine Formulierung des zweiten Hauptsatzes nach [ Clausius 1854]. Ein wichtiger Begriff in diesem Zusammenhang ist der der Irreversibilit¨at: Wenn ein System, welches einen Prozess durchlaufen hat, wieder in seinen Anfangszustand gebracht werden kann, ohne dass ¨ Anderungen an der Umgebung zur¨uck bleiben, so ist der Prozess reversibel. Ist der Anfangszustand ¨ jedoch nicht ohne eine bleibende Anderung der Umgebung wieder herstellbar, so spricht man von einem irreversiblen Prozess. Alle in der Natur auftretenden Prozesse sind irreversibel. Sie verlaufen von selber nur in eine Richtung und der Anfangszustand kann nur durch einen gewissen Aufwand, das heißt ein Zuf¨uhren von Energie, wiederhergestellt werden. Diese Aussagen des zweiten Hauptsatzes lassen sich durch eine Gr¨oße quantifizieren: die Entropie. Dieser Begriff wurde von [ Clausius 1865] eingef¨uhrt. Er f¨uhrte das willk¨urliche Formelzeichen S f¨ur das Verh¨altnis von W¨arme zur absoluten Temperatur ein. Den Begriff Entropie leitete er aus dem griechischen ab: ... ich denke es ist besser f¨ur diese Gr¨oßen, welche wichtig f¨ur die Wissenschaft sind, Namen aus ” den alten Sprachen zu nehmen, da sie dann ohne Ver¨anderung in die modernen Sprachen eingef¨uhrt werden k¨onnen. Ich schlage den Namen f¨ur die Gr¨oße S als Entropie vor, abgeleitet aus dem griechischen Wort τoπη = Ver¨anderung. Ich habe aus einem bestimmten Grund das Wort Entropie gew¨ahlt, da es dem Wort Energie a¨ hnlich ist und beide Gr¨oßen durch ihre physikalische Signifikanz sehr eng verwandt sind und a¨ hnlich klingende Namen mir als Vorteilhaft erscheinen“ [ Clausius 1865]. Eine quantitative Formulierung des zweiten Hauptsatzes kann durch folgende Postulate geschehen, in welchen die Existenz der Zustandsgr¨oße Entropie begr¨undet wird, ihre Eigenschaften festgelegt und ihre Relation zur thermodynamischen Temperatur bestimmt wird [ Baehr 2002]: 1. Jedes System besitzt eine extensive Zustandsgr¨oße Entropie S ∗ 2. Die Entropie eines Systems a¨ ndert sich (a) durch W¨armetransport u¨ ber die Systemgrenze (Entropietransport u¨ ber die Systemgrenze) (b) durch Stofftransport u¨ ber die Systemgrenze (c) durch irreversible Prozesse im Inneren des Systems (Entropieproduktion) 3. Die mit der W¨arme dQ∗ u¨ ber die Systemgrenze transportierte Entropie ist ∗ dSQ =

dQ∗ , T∗

(2.14)

wobei T ∗ die thermodynamische Temperatur an der Stelle der Systemgrenze ist, an der dQ∗ u¨ bergeht. Die thermodynamische Temperatur ist eine universelle, nicht negative Temperatur. 4. Die durch irreversible Prozesse im Inneren des Systems erzeugte Entropie ist niemals negativ, sie verschwindet nur f¨ur reversible Prozesse des Systems.

2.1 Grundlagen der Thermodynamik

13

In diesen Postulaten wird die u¨ ber die Systemgrenzen transportierte Entropie als das Verh¨altnis aus W¨armestrom zur thermodynamischen Temperatur definiert. Entropie kann nur mit W¨arme oder einem Stoffstrom u¨ ber die Grenzen eines offenen Systems transportiert werden. Mittels Arbeit, be¨ ziehungsweise mechanischer Leistung wird niemals Entropie transportiert. Mit Hilfe dieser Uberlegungen l¨asst sich die Unterscheidung von mechanischer Leistung und einem W¨armestrom nach dem ersten Hauptsatz besser Verstehen: Ein Energietransport in Form von W¨arme ist stets von einem Entropietransport begleitet, ein Energietransport mittels Arbeit oder mechanischer Leistung ist dagegen stets entropielos, siehe auch Abbildung 2.1. Durch die oben zitierten Postulate lassen sich f¨ur die Bewertung von thermodynamischen Prozessen wichtige Folgerungen ableiten. So unterliegt die mit W¨arme oder Stoffstr¨omen transportierte Entropie keinerlei Einschr¨ankungen. Dagegen lassen sich die in dem System auftretenden Irreversibilit¨aten durch den Entropiebegriff quantifizieren: Die durch irreversible Prozesse in dem System erzeugte Entropie ist niemals negativ und sie ist umso gr¨oßer je gr¨oßer die Wirkung der Irreversibilit¨aten ist. Ein reversibler Prozess, das heißt ein Prozess welcher ohne Irreversibilit¨aten verl¨auft, produziert keine Entropie. Wenn der Wert der in dem System produzierten Entropie bestimmt ist, liegt ein direktes Maß f¨ur die in diesem System auftretenden Irreversibilit¨aten vor und damit auch ein direktes Maß f¨ur die thermodynamische G¨ute des Prozesses. F¨ur ein offenes System lassen sich die Postulate des zweiten Hauptsatzes damit wie folgt quantifizieren: Q˙ ∗ ∂S ∗ ∗ = + m ˙ ∗ · s∗ − m ˙ ∗ · s∗ + S˙ PRO . ∗ ∗ ∂t T aus Systemgrenze ein Die Aussagen dieser Gleichung werden in Abbildung 2.2 verdeutlicht.

P* Systemgrenze

.

Q*1

.*

.

Q*2 . T *2 Q*2 000 111

.*

Q1 T *1

111 000 000 111 000 111 000 111

m1 , s1*, T1*

.*

SPRO

. 111 000 000 111 000 111 000 111

.

m2*, s2* , T2*

T*

W 111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 Q*W 000 111 000 111 000 * 111

.

Tu*

TW . Q*W

Abbildung 2.2: Entropiebilanzen an einem offenen System

(2.15)

14

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

Nach Gleichung (2.15) und den Veranschaulichungen in Abbildung 2.2 kann die Entropie mit einem Stoffstrom in ein System ein- und austreten und zusammen mit einem W¨armestrom in ein System hinein oder heraus transportiert werden. Dieser an einen W¨armestrom gebundene Entropiestrom ist unabh¨angig vom Stofftransport und kann sowohl u¨ ber feste W¨ande (gebundene Systemgrenzen) als auch u¨ ber den Ein- und Austritt des Stoffstromes (freie Systemgrenzen) treten, wenn die Temperaturen an diesen gebundenen und freien Systemgrenzen von der Umgebungstemperatur Tu∗ abweichende Werte aufweisen. Die Richtung dieses Entropiestromes ist von der Richtung des W¨armestromes und damit vom Temperaturgradienten an den Systemgrenzen (gebundenen und freien) abh¨angig. Dieser Entropiestrom kann auch dem Stoffstrom entgegen fließen. Der konvektiv mit dem Stoffstrom transportierte Entropiestrom kann nur u¨ ber die freien Systemgrenzen ein- oder austreten. Dieser Strom ergibt sich als das Produkt aus Massenstrom und der intensiven Zustandsgr¨oße der spezifischen Entropie. Die Entropiebilanz ergibt sich somit als eine Bilanz aus Zustands- und Prozessgr¨oßen. Die Zustands¨anderungen am Ein- und Austritt ergeben sich als eine Folge der Pro∗ ∗ zessgr¨oßen S˙ Q und S˙ PRO , welche entweder u¨ ber die Systemgrenzen fließen oder in dem System selber produziert werden. Durch eine Ver¨anderung der Prozessf¨uhrung k¨onnen sich somit auch die Zust¨ande am Austritt a¨ ndern. Fließen nur ein Stoffstrom und ein W¨armestrom durch den Kontrollraum und ist der Prozess zudem station¨ar, so vereinfacht sich die Entropiebilanzgleichung zu: m ˙ ∗ (s∗2 − s∗1 ) =

Q˙ ∗ ∗ +S˙ PRO . T∗



(2.16)

∗ S˙ Q

¨ Eine Anderung der Entropiestr¨ome zwischen Ein- und Auslass erfolgt somit durch Entropietransport ∗ , und durch einen im Innern des Systems produrch W¨arme¨ubergang u¨ ber die Systemgrenzen, S˙ Q ∗ ∗ ˙ = Q˙ ∗ /T ∗ duzierte Entropiestrom, SPRO . Der mittels W¨armestrom transportierte Entropiestrom S˙ Q beinhaltet wiederum den Strom u¨ ber die gesamte Systemgrenze, das heißt sowohl die freien als auch die festen Grenzen. Wie bereits gezeigt wurde, ist die produzierte Entropie oder der Entropieproduktionsstrom ein Maß f¨ur die Irreversibilit¨aten des Prozesses. Es gibt nun eine ganze Reihe von Ursachen f¨ur diese Irreversibilit¨aten. Eine (unvollst¨andige) Auflistung von Irreversibilit¨aten ist: • W¨arme¨ubertragung u¨ ber finite Temperaturdifferenzen • Fluidreibung • chemische Reaktionen • Mischen von Fluiden unterschiedlicher Konstitution oder Zust¨ande • Festk¨orperreibung • Elektrischer Fluss durch einen Widerstand

2.2 Bewertungskriterien auf Basis des ersten Hauptsatzes

15

• Unelastische Deformation • Magnetisierung oder Polarisierung mit Hysterese In dieser Arbeit soll es nur um die Entropieproduktion in einphasigen Fluiden ohne chemische Reaktionen, das heißt um eine Betrachtung der ersten beiden Irreversibilit¨atsursachen, W¨arme¨ubertragung u¨ ber finite Temperaturdifferenzen und Fluidreibung, gehen. Wie sp¨ater gezeigt werden wird, kann mittels dieser eine Bewertung eines Transportprozesses in der W¨arme- und Stoff¨ubertragung geschehen. Bevor jedoch eine genauere Betrachtung dieser Irreversibilit¨atsursachen und ihre Berechnung in einem str¨omenden Fluid erfolgt, soll zun¨achst ein R¨uckblick auf konventionelle Bewertungskriterien von W¨arme¨ubergangsprozessen erfolgen. Es werden die Grenzen dieser Bewertungskriterien aufgezeigt und schließlich ein Bewertungskriterium auf der Basis des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik vorgestellt.

2.2

Bewertungskriterien auf Basis des ersten Hauptsatzes

Unter Konventionellen Bewertungskriterien werden hier Verfahren verstanden, welche auf dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik aufbauend, konvektive Transportprozesse der W¨arme- und Stoffu¨ bertragung bewerten. Insbesondere im Bereich der W¨arme¨ubertrager, um die es hier im Speziellen gehen soll, gibt es eine Reihe von Bewertungskriterien. Die verbreitesten Kenngr¨oßen sind der W¨arme¨ubergangskoeffizient und der Druckverlust. Ein ebenfalls sehr oft eingesetztes Verfahren ist die Wirkungsgrad-NTU-Methode. Bei einem W¨arme¨ubertrager handelt es sich um einen facettenreichen Apparat der Ingenieurwissenschaften. In ihm soll ein Energietransport in Form von W¨arme von einem Fluidstrom zu einem anderen stattfinden. Die Fluidstr¨ome sind dabei durch eine materielle Wand von einander getrennt. ¨ Uber diese Wand wird W¨arme vom Fluidstrom h¨oherer Temperatur auf den Fluidstrom mit niedrigerer Temperatur u¨ bertragen. Die Entwicklung eines W¨arme¨ubertragers beinhaltet nicht nur die Berechnung des W¨arme¨ubergangsverhaltens, sondern auch eine Bestimmung der Pumpleistung, welche erforderlich ist, um das Fluid durch den Apparat zu f¨ordern. Berechnungs- und Konstruktionshinweise sind jenseits der Aufgabenstellung dieser Arbeit. Ausf¨uhrliche Hinweise finden sich unter anderem in [ VDI-W¨armeatlas 2002], [ Kays und London 1964] und [ Hausen 1976].

2.2.1 Der W¨armeubergangskoeffizient ¨ Der W¨arme¨ubergangskoeffizient α∗ ist ein empirischer Ansatz zur Beschreibung des W¨arme¨uberganges an festen Systemgrenzen, zum Beispiel einer Trennwand, in ein Fluid hinein oder aus diesem heraus. Es wird angenommen, dass der W¨armestrom direkt proportional zu der Temperaturdifferenz

16

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

zwischen der Grenzfl¨ache und dem Fluid in ausreichendem Abstand von der Wand ist. ∗ ) , Q˙ ∗ = α∗ A∗ (Tw∗ − T∞

(2.17)

∗ um die Temperatur des Fluides in auswobei es sich bei Tw∗ um die Wandtemperatur und bei T∞ reichendem Abstand von der Trennwand handelt. Bei gleicher Temperaturdifferenz kann bei einem h¨oheren W¨arme¨ubergangskoeffizienten somit ein gr¨oßerer W¨armestrom fließen. Man kann damit bewertend sagen, dass der W¨arme¨ubergang desto besser ist, je h¨oher der W¨arme¨ubergangskoeffizient ist.

In Abbildung 2.3 ist f¨ur den Fall einer konstanten Temperaturdifferenz zwischen Trennwand und Fluid der Verlauf der Temperaturprofile in dem Fluid bei verschiedenen W¨arme¨ubergangskoeffizienten aufgetragen. F¨ur den Fall der konstanten Temperaturdifferenz erkennt man, dass ein h¨oherer

y* . qw*

steigendes

α*

TW*

8

T*

Abbildung 2.3: Temperaturprofile und W¨arme¨ubergangskoeffizient α∗ an einer festen Wand bei konvektivem W¨armetransport

W¨arme¨ubergangskoeffizient durch einen h¨oheren Temperaturgradienten an der Wand gekennzeichnet ist. Dieser Temperaturgradient an der Wand ist aber genau ein Maß f¨ur den Wandw¨armestrom. Denn mit Hilfe des Fourierschen W¨armeleitungsansatzes (direkt an der Wand ist aufgrund der Haftbedingung die Fluidgeschwindigkeit gleich Null und es liegt nur W¨armeleitung vor) erh¨alt man q˙w∗ =

dT ∗ Q˙ ∗ = −λ∗ ∗ . ∗ A dy

(2.18)

Einen besseren W¨arme¨ubergang erh¨alt man nach diesen Betrachtungen, wenn man den Wandw¨armestrom erh¨oht, das heißt der normale Temperaturgradient an der Wand gr¨oßer wird. Eine andere M¨oglichkeit w¨are bei konstantem Wandw¨armestrom die Temperaturdifferenz zwischen Wand und Fluid zu vergr¨oßern. Technisch ließen sich diese beiden M¨oglichkeiten zur Verbesserung des W¨armeu¨ berganges durch das gezielte Einbringen von Wirbeln erreichen. Ein a¨ hnliches Resultat wird durch eine Erh¨ohung der Turbulenz in dem Fluid erzielt. Durch beide Maßnahmen erh¨oht man den Impulsund damit auch den konvektiven W¨armetransport senkrecht zur Trennwand. Alle diese Maßnahmen sind aber immer mit einem gewissen Aufwand verbunden. Dieser Aufwand kann in einer weiteren Gr¨oße, dem zus¨atzlichen Druckverlust zusammengefasst werden.

2.2 Bewertungskriterien auf Basis des ersten Hauptsatzes

17

2.2.2 Der Druckverlust Die Druckdifferenz, welche ben¨otigt wird, um einen Fluidstrom durch einen W¨arme¨ubertrager zu f¨ordern, ist im Allgemeinen eine komplizierte Funktion von Str¨omungs- und Geometrieparametern. Der Druckverlust des in Abbildung 2.4 skizzierten Rohrb¨undelw¨arme¨ubertragers kann als Folge von Verwirbelungen in den Einlassbereichen und der Integration der Wandschubspannungen an den Rohrinnenw¨anden aufgefasst werden. Die Wandschubspannung ergibt sich in einem Newtonschen Fluid

p* < p* 2

1

p*

p1*

2

* τw

Abbildung 2.4: Druckverlust in einem Rohrb¨undelw¨arme¨ubertrager

durch das Produkt aus der dynamischen Viskosit¨at und dem wandnormalen Geschwindigkeitsgradienten: τw∗ = η ∗

du∗ . dy ∗

(2.19)

Dieser Zusammenhang ist f¨ur verschiedene Wandschubspannungen in Abbildung 2.5 skizziert. Wenn man nun die Betrachtungen aus dem Abschnitt 2.2.1 u¨ ber den W¨arme¨ubergangskoeffizienten in Erinnerung ruft, so wird klar, dass eine Verbesserung des W¨arme¨ubergangs in aller Regel mit einer Vergr¨oßerung des Druckverlustes bezahlt werden muss. Will man nach Abbildung 2.3 den W¨arme¨ubergang verbessern, das heißt den Temperaturgradienten an der Wand vergr¨oßern, so geht das immer mit einer Vergr¨oßerung des Geschwindigkeitsgradienten nach Abbildung 2.5 einher. Eine Vergr¨oßerung des Geschwindigkeitsgradienten an der Wand bewirkt eine Erh¨ohung der Wandschubspannung und damit eine Vergr¨oßerung des Druckverlustes. Beide Gr¨oßen h¨angen also eng miteinander zusammen und m¨ussen bei der Bewertung der Gesamtanlage ber¨ucksichtigt werden. Bei einer Bewertung des W¨arme¨uberganges mittels W¨arme¨ubergangskoeffizienten und Druckverlust m¨ussen zwei physikalische Gr¨oßen miteinander verglichen werden, welche unterschiedliche physikalische Einheiten besitzen. Gerade dies ist ein bekanntes Problem in der Bewertung von W¨arme¨ubertragern und macht eine Quantifizierung der G¨ute problematisch:

18

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

y* steigendes τ *

u*W =0

w 8

u*

∗ Abbildung 2.5: Geschwindigkeitsprofile und Wandschubspannung τW an einer festen Wand bei konvektivem Stofftransport

besserer W¨arme¨ubergang h¨oherer Druckverlust 

α∗ ∆p∗



W m2 K



[Pa]

???

Es bleibt unklar, welche quantitativen Auswirkungen Maßnahmen zur Verbesserung des W¨armeu¨ berganges, zum Beispiel das Einbringen von Wirbeln oder eine Erh¨ohung der Turbulenz haben. Denn diese Maßnahmen erh¨ohen auch immer den Druckverlust und damit den Aufwand, der durch Pumpen und Gebl¨ase geleistet werden muss. Durch diese Methoden kann keine thermodynamische Bewertung des Gesamtsystems erfolgen.

2.2.3 Die Wirkungsgrad-NTU-Methode Eine ebenfalls sehr weit verbreitete Auslegungs- und Bewertungsmethode von W¨arme¨ubertragern ist die Wirkungsgrad-NTU-Methode. An dieser Stelle soll nur die prinzipielle Vorgehensweise vorgestellt und das Augenmerk auf die Art der Bewertung gelegt werden. Eine n¨ahere Beschreibung dieser Methode findet sich in [ Kays und London 1964] oder [ Holman 1992]. ¨ Die Methode beruht auf der Anzahl der Ubertragungseinheiten (englisch: Number of Transfer Units), oder kurz NTU: NTUi =

k ∗ A∗ . ˙∗ W i

(2.20)

˙∗ = m In Gleichung (2.20) bezeichnen k ∗ den W¨armedurchgangskoeffizienten und W ˙ ∗ · c∗p, i den i ∗ W¨armekapazit¨atsstrom des Fluides i. Der W¨armedurchgangskoeffizient k ist a¨ hnlich dem W¨armeu¨ bergangskoeffizienten ein empirischer Ansatz. Dabei wird unterstellt, dass der W¨armestrom von einem Fluid, u¨ ber eine Trennwand in ein anderes Fluid direkt proportional zu der Temperaturdifferenz zwischen den Fluiden in ausreichendem Abstand von der Trennwand ist. Der Wirkungsgrad eines W¨arme¨ubertragers ist in dieser Bewertungsmethode als das Verh¨altnis

2.2 Bewertungskriterien auf Basis des ersten Hauptsatzes

19

vom tats¨achlich u¨ bertragenen W¨armestrom zum maximal m¨oglichen W¨armestrom definiert: =

tats¨achlich u¨ bertragener W¨armestrom . maximal m¨oglicher W¨armestrom

(2.21)

Der tats¨achlich u¨ bertragene W¨armestrom kann aus einer Enthalpiebilanz an einem Fluidstrom ermittelt werden: entweder aus der Zunahme an Enthalpie des k¨alteren Fluides oder aus der Abnahme an Enthalpie des w¨armeren Fluides. Der maximal zu u¨ bertragene W¨armestrom ergibt sich zu:   ∗ ˙ ∗ T∗ Q˙ max = W min ein, heiss − Tein, kalt

.

(2.22)

Damit kann der Wirkungsgrad eines W¨arme¨ubertragers mit Hilfe von Temperaturdifferenzen ausgedr¨uckt werden: =

∗ ∆Tmin F luid , ∗ ∆Tmax

(2.23)

∗ wobei ∆Tmin F luid die Temperaturdifferenz zwischen Ein- und Auslass des Fluides mit dem geringe∗ versteht man die maximale im W¨arme¨ubertrager auftreren W¨armekapazit¨atsstrom ist. Unter ∆Tmax tende Temperaturdifferenz.

In [ Kays und London 1964] finden sich empirische Tafeln, in denen f¨ur eine Reihe von W¨armeu¨ bertragerbauarten f¨ur bekannte Werte von NTU der Wirkungsgrad des W¨arme¨ubertragers nach Gleichung (2.23) aufgetragen ist. Mit Hilfe dieser Tafeln k¨onnen jedoch nur Aussagen u¨ ber die G¨ute eines W¨arme¨ubertragers im Sinne der Ausnutzung der zur Verf¨ugung stehenden Temperaturdifferenzen getroffen werden. Einen Wirkungsgrad der Gr¨oße Eins erreicht man nach dieser Methode, wenn die Gr¨adigkeit des W¨arme¨ubertragers zu Null verschwindet. Das ist nur theoretisch m¨oglich und erfordert eine unendlich große W¨arme¨ubertragungsfl¨ache. Mit der Vergr¨oßerung der W¨arme¨ubertragungsfl¨ache steigt aber auch der Druckverlust, da an den festen W¨anden die so genannte Haftbedingung gilt, welche zus¨atzliche Schubspannung hervorruft, siehe dazu auch die Anmerkungen in Abschnitt 2.2.2. Die Wirkungsgrad-NTU-Methode kann damit als einseitiges thermisches Bewertungskriterium verstanden werden, in dem die von Pumpen und Verdichtern aufzubringenden technischen Arbeiten und Investitionskosten f¨ur die W¨arme¨ubertragungsfl¨achen unber¨ucksichtigt bleiben. Es sind aber gerade diese technischen Arbeiten, die f¨ur die Bewertung eines W¨arme¨ubertragers als Bauteil eines Gesamtsystems ber¨ucksichtigt werden m¨ussen. Es wurde gezeigt, welche Methoden herangezogen werden, um konvektive Transportprozesse der W¨arme- und Stoff¨ubertragung im konventionellen Sinne auf Basis des ersten Hauptsatzes zu bewerten. Es wurden zwei Bewertungskriterien allgemeiner Art, der W¨arme¨ubergangskoeffizient und der Druckverlust, vorgestellt und aufgezeigt, dass sich mit ihnen eine ganzheitliche Bewertung nicht quantifizieren l¨asst. Des Weiteren wurde mit der Wirkungsgrad-NTU-Methode eine spezielle Bewertungsmethode von W¨arme¨ubertragern vorgestellt. Diese Methode ber¨ucksichtigt nur die thermischen Energiestr¨ome in einem W¨arme¨ubertrager, Druckverluste werden dabei v¨ollig außer Acht gelassen.

20

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

Es zeigt sich, dass die vorgestellten Bewertungsmethoden auf empirischen Ans¨atzen oder nur auf dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik basieren und eine quantitative Gesamtbewertung im Sinne des dargestellten Zusammenspiels von W¨arme¨ubergang und Druckverlust nicht m¨oglich sind. Aus diesem Grunde wird in dieser Arbeit ein Bewertungskriterium auf der Basis der zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik verwendet. Mit diesem lassen sich die zwei physikalisch unterschiedlichen Gr¨oßen Druckverlust und W¨arme¨ubergang auf eine gemeinsame physikalische Gr¨oße zur¨uckf¨uhren. Eine Einf¨uhrung in die Bewertungsmethoden nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik soll in dem folgenden Abschnitt erfolgen.

2.3

Bewertungskriterien auf Basis des zweiten Hauptsatzes (Second Law Analysis)

In diesem Abschnitt soll der fundamentale Zusammenhang zwischen Irreversibilit¨aten, also von Entropieproduktion, und der Vernichtung von frei verf¨ugbarer Arbeit, also Exergie, aufgezeigt werden. Dieses Prinzip wird auch als das Gouy-Stodola Theorem bezeichnet.

2.3.1 Exergie und Anergie Zum besseren Verst¨andnis dieses Bewertungskriteriums, m¨ussen zun¨achst einmal neue Begriffe eingef¨uhrt werden. In den Ausf¨uhrungen zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, in Abschnitt 2.1.3 wurde bereits erw¨ahnt, dass die Umwandlung von W¨arme in Arbeit bestimmten Grenzen unterliegt. Diese Einschr¨ankung der m¨oglichen Umwandlungen k¨onnen durch die Definition der Begriffe Exergie und Anergie quantifiziert werden: Energie = Exergie + Anergie ,

(2.24)

hierbei sind Exergie :=Anteil der Energie, der sich mit reversiblen Prozessen unbeschr¨ankt in alle anderen Energieformen umwandeln l¨asst.

(2.25)

Anergie :=Verbleibender Energieanteil, der sich nicht in andere Energieformen umwandeln l¨asst.

(2.26)

In Zusammenhang mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik, dem Energieerhaltungssatz, erh¨alt man aus (2.24) die Aussage, dass bei allen Prozessen die Summe aus Exergie und Anergie konstant bleibt. Wohlgemerkt, nur die Summe bleibt konstant. Es kann aber immer zu einem Verlust an Exergie und einem Gewinn an Anergie kommen.

2.3 Bewertungskriterien auf Basis des zweiten Hauptsatzes

21

Zu den Energieformen, die sich unbeschr¨ankt in reversiblen Prozessen in jede andere Energieform umwandeln lassen, geh¨oren die mechanischen Energien wie die kinetische und potentielle Energie. Ein Energietransport in Form von mechanischer und elektrischer Arbeit l¨asst ebenfalls eine Umwandlung in jede Energieform zu. Diese Energieformen und Formen des Energietransportes bestehen zu 100% aus Exergie. Da reale Prozesse immer irreversibel sind, verringert sich jedoch der Vorrat an Exergie bei der Energieumwandlung in der Natur. Dieser Anteil an verloren gegangener Exergie wird als Exergieverlust bezeichnet. Mit den Definitionen (2.25) und (2.26) lassen sich mit Hilfe des zweiten Hauptsatzes folgende Schlussfolgerungen ziehen [ Baehr 2002]: 1. Bei allen irreversiblen Prozessen verwandelt sich Exergie in Anergie. 2. Nur bei reversiblen Prozessen bleibt die Exergie konstant. 3. Es ist unm¨oglich, Anergie in Exergie zu verwandeln. Diesen Schlussfolgerungen kann man entnehmen, dass alle technischen Verfahren Exergie verbrauchen. So verbrauchen alle Verfahren, die das menschliche Leben angenehm machen, wie zum Beispiel Heizen, K¨uhlen, die Herstellung und Bearbeitung von Stoffen, das Bef¨ordern von Lasten, sogar die biologischen Vorg¨ange in dem menschlichen K¨orper selbst, Exergie. Die Exergie wird thermodynamischen Prozessen zum Beispiel durch nat¨urliche Energiequellen, das heißt mittels der Verwendung von Prim¨arenergie, zur Verf¨ugung gestellt. Diese Prim¨arenergie kann fossilen oder nuklearen Ursprungs sein, aber auch Wasserkraft und Sonnenstrahlung sind Prim¨arenergiequellen. Es besteht damit ein enger Zusammenhang zwischen Exergieverlust und Verbrauch an Prim¨arenergie. Es ist heutzutage eine der Hauptaufgaben des Energietechnikers, den Verbrauch an Prim¨arenergie m¨oglichst gering zu halten. Diese Aufgabe kann nur erreicht werden, wenn der Exergieverlust in einem technischen Prozess m¨oglichst gering ist. Das thermodynamische Ideal eines reversiblen Prozesses, das heißt eines Prozesses ohne Exergieverlust, l¨asst sich jedoch nicht verwirklichen. Bei der technisch und wirtschaftlich g¨unstigsten Variante wird stets ein gewisses Maß an Exergieverlust zugelassen. Diese Arbeit soll ein Werkzeug bereitstellen, mit deren Hilfe auf einfache Weise diese Exergieverluste auch in Apparaten mit komplexen Geometrien bestimmt werden k¨onnen. Bevor aber der enge Zusammenhang zwischen Exergieverlust und Entropieerzeugung aufgezeigt wird, soll zun¨achst vorgestellt werden, warum die W¨arme eine Form des Energietransportes darstellt, welcher immer einen Anergieanteil besitzt.

Exergie und Anergie der W¨arme Es wurde bereits mehrmals darauf hingewiesen, dass der Umwandlung des Energietransportes in Form von W¨arme in andere Formen von Energie bestimmten Einschr¨ankungen unterliegt. Unter der Exergie der W¨arme versteht man denjenigen Energieanteil der W¨arme, welcher sich unter den gegebenen Umgebungsbedingungen in jede andere Energieform, also auch in mechanische und elektrische Energie, umwandeln l¨asst.

22

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

An dieser Stelle ist der Begriff der Umgebung von Relevanz. Das betrachtete System wird mit seinen Systemgrenzen von der Umgebung getrennt. In den beiden vorgestellten Haupts¨atzen tauchten zwar Energie- und Entropiestr¨ome auf, welche u¨ ber die Systemgrenzen treten, es wurden aber keinerlei Bemerkungen zu den Umgebungsbedingungen gemacht. Eine entscheidende Aussage des zweiten Hauptsatzes ist aber die Festlegung der Richtung des Flusses von W¨arme. W¨arme kann hiernach ohne einen Aufwand an Exergie nur von einem h¨oheren zu einem tieferen Temperaturniveau fließen. Hier muss auch das Temperaturniveau der Umgebung betrachtet werden. Ohne einen gewissen Aufwand an Exergie kann in ein System nur W¨arme fließen, wenn die Systemgrenzen eine Temperatur aufweisen, die geringer als die der Umgebung sind. Diese Feststellung lassen sich auf allgemeine Kreisprozesse erweitern und den Exergie- und Anergieanteil der W¨arme ermitteln. Betrachtet wird eine reversibel arbeitende W¨armekraftmaschine. In dieser Maschine wird keine Exergie vernichtet. Die W¨armekraftmaschine soll nach Abbildung 2.6 W¨arme an die Umgebung abgeben. Die Systemgrenze soll sich dabei auf demselben Temperaturniveau befinden wie die Umgebung. Dies ist nach den Einschr¨ankungen, die der zweite Hauptsatz der Thermodynamik bez¨uglich der Richtung des W¨armeflusses vorgibt, im Grunde nicht m¨oglich, soll aber hier den Grenzwert der maximal m¨oglichen Leistungserzeugung der W¨armekraftmaschine verdeutlichen. * Q*1 = EQ1 + A*Q1

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

*

T1

P *= EQ*

00000 11111 11111 Wärmekraftmaschine 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 (reversibel) 00000 11111

Q*u = A*Q Tu* Umgebung

Abbildung 2.6: Reversibel arbeitende W¨armekraftmaschine

In die W¨armekraftmaschine soll der W¨armestrom Q˙ ∗1 bei einer Temperatur von T1∗ eintreten. Dieser ∗ W¨armestrom besteht zu einem Teil aus Exergie E˙ Q und zu einem Teil aus Anergie A˙ ∗Q : ∗ Q˙ ∗1 = E˙ Q1 + A˙ ∗Q1 .

(2.27)

2.3 Bewertungskriterien auf Basis des zweiten Hauptsatzes

23

Die Maschine verwandelt einen Teil des W¨armestromes in Nutzarbeit (die Leistung P ∗ ) und gibt einen W¨armestrom Q˙ ∗u bei Umgebungstemperatur Tu∗ an die Umgebung ab. Dieser W¨armestrom soll keine Exergie mehr enthalten, da er sich auf dem selben Temperaturniveau wie die Umgebung befindet. W¨arme besteht bei Umgebungstemperatur nur aus Anergie. Eine Exergiebilanz liefert somit: ∗ = −P ∗ . E˙ Q1

(2.28)

Q˙ ∗1 = −P ∗ − Q˙ ∗u .

(2.29)

Die Energiebilanzgleichung lautet: Der Abw¨armestrom Q˙ ∗u kann unter der Annahme einer reversible arbeitenden Maschine (keine Entropieproduktion in der Maschine) mit Hilfe des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik bestimmt werden: Q˙ ∗ Q˙ ∗ (2.30) 0 = ∗1 + ∗u . T1 Tu Eine L¨osung des Gleichungssystems (2.27)-(2.30) ergibt den Exergieanteil des eintretenden W¨armestromes Q˙ ∗1 zu  T∗ ∗ = 1 − u∗ · Q˙ ∗1 . (2.31) E˙ Q1 T1 Der Anergieanteil des eintretenden W¨armestromes Q˙ ∗1 ist: T∗ A˙ ∗Q1 = u∗ · Q˙ ∗1 . T1

(2.32)

Die hier gemachten Schlussfolgerungen gelten nicht nur f¨ur reversibel arbeitende W¨armekraftmaschinen sondern gelten allgemein f¨ur die Exergie- und Anergieanteile von W¨armestr¨omen. Der Exergieanteil eines W¨armestromes ist hiernach umso h¨oher, je h¨oher das Temperaturniveau ist, auf dem die W¨arme u¨ bertragen wird, oder je niedriger die Umgebungstemperatur ist. An der Umgebungstemperatur kann der Energietechniker im Allgemeinen nicht viel a¨ ndern. Nach diesen Betrachtungen sollte er aber darauf achten, dass W¨arme auf einem m¨oglichst hohem Temperaturniveau in eine W¨armekraftmaschine eintritt (um den Exergieanteil der W¨arme m¨oglichst hoch zu setzten) und dass W¨arme auf einem m¨oglichst niedrigem Temperaturniveau aus der Maschine austritt (um den Exergieanteil der W¨arme m¨oglichst niedrig zu halten). In diesem Abschnitt wurde gezeigt, dass Energieumwandlungen Einschr¨ankungen unterworfen sind und es verschiedene Qualit¨aten von Energie gibt. Die Exergie ist der Anteil der Energie, welcher beliebig in andere Formen umgewandelt werden kann. Alle nat¨urlichen und technischen Prozesse sind mit einem Verlust an Exergie verbunden. Der Exergieverlust wird in der Technik durch einen Verbrauch an Prim¨arenergie ausgeglichen. Dieser sollte m¨oglichst gering sein. Eine verantwortungsvolle Nutzung der Prim¨arenergieressourcen ist hierbei eine Hauptaufgabe der Energietechnik. Im n¨achsten Abschnitt soll gezeigt werden, welcher enge Zusammenhang zwischen dem Exergieverlust und der Entropieproduktion besteht. Bei Kenntnis der in einem Prozess produzierten Entropiestr¨ome k¨onnen Aussagen u¨ ber die Exergieverluste gemacht werden, welche ein direktes Bewertungskriterium des Prozesses darstellen.

24

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

2.3.2 Entropieproduktion und Exergieverlust Der Zusammenhang zwischen der in einem System produzierten Entropie und dem Verlust an Exergie kann anschaulich durch folgende Betrachtungen erhalten werden. Das in Abbildung 2.7 dargestellte System gibt Energie in Form von W¨arme u¨ ber eine festen Systemgrenze bei der Umgebungstemperatur Tu∗ ab. Diese Annahme kann a¨ hnlich wie in den Betrachtungen zur Exergie der W¨arme in Abschnitt 2.3.1 wieder als Grenzfall angesehen werden, in dem noch ein W¨armestrom aus dem System heraustritt. Die Systemgrenze wird willk¨urlich durch ein Gebiet gezogen, in dem u¨ berall an den Grenzen die Temperatur gleich der Umgebungstemperatur ist. In der Natur k¨onnen W¨armestr¨ome nur bei Vorhandensein einer Temperaturdifferenz auftreten. Diese Temperaturdifferenzen sollen in dieser Betrachtung im Innern des Systems auftreten.

. m* , s* 1

h1*,

1

000 111 111 000 000 111 000 111 000 111

c*2 1 , g*z* 1 2

111 000 * 000 111 000P 111 000 111 000 111 000 111 000 111

.

* SPRO

T* 0000 1111 0000u 1111

.

m2*, s2* 1111 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

*2 h2*, c2 , g*z2* 2

1111 0000 0000 1111 000 111 000 111 000 Q * 111 000 111 000 111 000 T * 111

.

.u

Q* Abbildung 2.7: Thermodynamisches System mit Irreversibilit¨aten

Alle anderen Systemgrenzen sind adiabat, W¨armestr¨ome k¨onnen u¨ ber sie nicht ausgetauscht werden. Im Innern des Systems sollen Prozesse auftreten, die ohne einen Aufwand an Arbeit nicht mehr umkehrbar sind. Es gibt damit Irreversibilit¨aten im Innern des Systems. Die Energie- und Entropiebilanzen f¨ur dieses System sind (erster und zweiter Hauptsatz der Thermodynamik):   ∂E ∗ c∗2 c∗2 2 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ + g + g = m ˙ + z + z (2.33) h − m ˙ h − Q˙ ∗ − P ∗ , 2 2 2 1 1 1 ∂t∗ 2 2 ∂S ∗ Q˙ ∗ ∗ =− ∗ +m ˙ ∗1 · s∗1 − m ˙ ∗2 · s∗2 + S˙ PRO . (2.34) ∗ ∂t Tu Ein Aufl¨osen von Gleichung (2.34) nach Q˙ ∗ und Einsetzen in Gleichung (2.33) ergibt f¨ur die Leistung P ∗:   c∗2 c∗2 P∗ = m ˙ ∗1 h∗1 + 1 + g ∗ z1∗ − Tu∗ s1 − m ˙ ∗2 h∗2 + 2 + g ∗ z2∗ − Tu∗ s2 2 2 ∂ ∗ ∗ ∗ ∗ ˙∗ − ∗ (E − Tu S ) − Tu SPRO . (2.35) ∂t

2.3 Bewertungskriterien auf Basis des zweiten Hauptsatzes

25

∗ Die von dem System maximal abzugebende Leistung Pmax kann unter sonst gleichen Bedingungen nur erreicht werden, wenn die Irreversibilit¨aten im Innern des Systems verschwinden, das heißt ∗ S˙ PRO = 0 gilt. Ein irreversibles System hat im Vergleich zu diesem (fiktiven) reversiblen System eine geringere Leistungsabgabe. Die Differenz aus der Leistungsabgabe des reversibel arbeitenden Systems zu dem irreversibel arbeitenden System ist der Exergieverluststrom:

∗ ∗ PV∗ erlust = Pmax − P ∗ = Tu∗ Sprod .

(2.36)

Der Exergieverluststrom eines beliebigen thermodynamischen Systems ist somit gleich der mit der Umgebungstemperatur multiplizierten in dem System produzierten Entropie. Dieser Zusammenhang wird auch das Gouy-Stodola-Theorem genannt [ Gouy 1889], [ Stodola 1910]. Durch Kenntnis der Entropieproduktionsrate in dem System ist somit immer der Exergieverlust des Systems bekannt und es kann ermittelt werden, wie groß der Prim¨arenergieverbrauch des Systems ist. Wenn in einem System wenig Entropie produziert wird, so ist damit auch der Exergieverlust und schließlich der Prim¨arenergieverbrauch gering. Um aber die Entropieproduktion in einem System m¨oglichst gering zu halten, m¨ussen die Gr¨unde f¨ur die Entropieproduktion n¨aher untersucht werden. Wenn diese bekannt sind, k¨onnen Maßnahmen entwickelt werden, die Entropieproduktion zu verringern. Es werden nun zun¨achst zwei Entropieproduktionsursachen n¨aher untersucht. Im Abschnitt 2.1.3 wurden bereits weitere Ursachen von Irreversibilit¨aten vorgestellt. In dieser Untersuchung soll es aber nur um die Entropieproduktion in einem Reinstoff ohne Phasenwechsel und chemischen Reaktionen gehen. Aus diesem Grund gilt es nur zwei Ursachen n¨aher zu untersuchen: Die Entropieproduktion durch W¨armeleitung und die Entropieproduktion durch Dissipation.

2.3.3 Entropieproduktion durch W¨armeleitung Die Entropieproduktion durch W¨armeleitung kann am anschaulichsten durch ein einfaches Beispiel erl¨autert werden. Gegeben seien nach Abbildung 2.8 zwei R¨aume A und B, welche durch eine diatherme Wand von einander getrennt sind. Beide R¨aume sind durch eine adiabate Wand von der Umgebung abgeschlossen. Die in den R¨aumen befindlichen Fluide sollen sich auf unterschiedlichen konstantem Temperaturniveau befinden, wobei immer TA∗ > TB∗ gelten soll. In der Wand f¨allt die Temperatur TA∗ auf TB∗ ab. Aufgrund des Temperaturgef¨alles zwischen den beiden R¨aumen str¨omt der W¨armestrom Q˙ ∗A von Raum A in den Raum B. Der im Raum B ankommende W¨armestrom ist nach dem Energieerhaltungssatz dem Betrage nach gleich dem vom Raum A austretenden W¨armestrom. Die R¨aume A und B sind ausreichend groß und der W¨armestrom beeinflusst die Temperaturen nicht. Nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik k¨onnen f¨ur die Einzelsysteme A und B die Entropiebilanzgleichungen aufgestellt werden, siehe Abschnitt 2.1.3. In beide R¨aume fließt nur mit W¨arme transportierte Entropie herein (beziehungsweise heraus). Es gibt keine konvektive transportierten Entropiestr¨ome und außerdem sollen in den Einzelsystemen keine, das heißt weder in Raum A, noch

26

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 adiabat 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 Raum B Raum A 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 diatherm 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 T > T 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 T 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 . . 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 . Q = −Q 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 Q 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 . dQ. 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 dS = 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000 11111111111111 T 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 . . 00000000000000 . 11111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000 >S S 11111111111111 00000000000000S 11111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 00000000000000 11111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111111111111 * A

* B

* B

*

A

*

*

B

A

*

* prod

* AQ

*

*

*

BQ

AQ

Abbildung 2.8: Entropieproduktion durch W¨armeleitung Raum B, Irreversibilit¨aten auftreten. Q˙ ∗ ∂SA∗ ∗ = S˙ AQ = A , ∗ ∂t TA∗ ∂SB∗ Q˙ ∗ Q˙ ∗ ∗ = S˙ BQ = B = A . ∗ ∗ ∂t TB TB∗

(2.37) (2.38)

Diese Entropiestr¨ome sind streng genommen zeitabh¨angig. Da die R¨aume aber als sehr groß ange¨ nommen werden, k¨onnen die Anderungen der Temperaturen und der W¨armestr¨ome vernachl¨assigt werden. In dem isolierten Gesamtsystem kann keine Entropie aus dem System austreten, weder mit W¨armenoch mit Massenstr¨omen. Der gesamte Entropiestrom ist gleich dem Entropieproduktionsstrom und die Entropiebilanzgleichung lautet: ∗ ∂SA+B ∗ ∗ ∗ = S˙ irr = S˙ AQ + S˙ BQ , ∂t∗  1 1 T ∗ − TA∗ ˙ ∗ − ∗ = B∗ Q . = Q˙ ∗A TA∗ TB TA · TB∗ A

(2.39)

In dem Gesamtsystem tritt ein (nach Definition immer positiver) Entropieproduktionsstrom auf. ¨ Durch die hier gemachten Uberlegungen wird nebenbei auch die Richtung des W¨armestromes festgelegt: W¨arme kann ohne gewissen Energieaufwand nur von einem hohen zu einem tiefen Temperaturniveau fließen. Die an diesem einfachen Beispiel gemachten Erl¨auterungen k¨onnen auch auf kompliziertere, nichtisolierte Systeme u¨ bertragen werden. So tritt auch innerhalb eines Fluides, in dem Temperaturunterschiede herrschen ein Entropieproduktionsstrom auf. Das Ergebnis der Entropiebilanz wird immer zeigen, dass sobald in dem System Temperaturdifferenzen auftreten, Entropie produziert wird.

2.3 Bewertungskriterien auf Basis des zweiten Hauptsatzes

27

Bei dem Vorhandensein von Temperaturgradienten kommt es immer zu einem W¨armestrom, der die Temperaturdifferenzen auszugleichen versucht. Der Physiker James Clerk Maxwell hat zwar einen imagin¨aren D¨amonen erschaffen, der W¨arme von einem niedrigerem zu einem h¨oheren Temperaturniveau transportiert, und mit diesem Gedankenexperiment Wissenschaftler jahrelang besch¨aftigt [ Baeyer 1998]. Dieser D¨amon w¨urde aber den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verletzten. Dieser Prozess des Temperaturausgleichs ist somit immer irreversibel und damit mit einem Entropieproduktionsstrom verbunden. Der Entropieproduktionsstrom ist umso geringer, je geringer die Temperaturdifferenzen sind, siehe Gleichung (2.39). Der Energietechniker, der versucht den Verbrauch an Prim¨arenergie m¨oglichst gering zu halten, sollte also die Temperaturdifferenzen in seinem Apparat m¨oglichst gering halten. Das k¨onnte zum Beispiel durch einen Apparat mit großen geometrischen Ausmaßen erreicht werden. In diesem Apparat w¨urde aber die andere Quelle der Irreversibilit¨aten erh¨oht zum Tragen kommen: die Dissipation.

2.3.4 Entropieproduktion durch Dissipation Unter Dissipation versteht man die Umwandlung von kinetischer Energie (reine Exergie) in innere Energie, welche eine Temperaturerh¨ohung zur Folge hat. Dieser Vorgang ist immer irreversibel. Man kann diese Tatsache auf den Hintergrund der statistischen Theorie der W¨arme verstehen. In dieser ¨ Theorie wird die Aquivalenz von der Temperatur und der mittlerer kinetischer Energie der Molek¨ule eines Fluides erkl¨art. Diese kinetische Energie ist ungerichtet. Die Teilchen bewegen sich zuf¨allig mal schneller, mal langsamer, mal in die eine, mal in die andere Richtung. Die kinetische Energie des Kontinuums hingegen ist gerichtet und mit ihrer Hilfe kann zum Beispiel ein Gewicht in einem Schwerefeld angehoben und somit Arbeit verrichtet werden. Geht somit diese gerichtete (man k¨onnte auch sagen geordnete) kinetische Energie des Kontinuums in ungerichtete (man k¨onnte auch sagen ungeordnete) kinetische Energie u¨ ber, so ist dies immer irreversibel und mit einer Produktion von Entropie verbunden. Selbst wenn keine Kenntnisse u¨ ber die statistische Theorie der W¨arme vorhanden sind, kann die Entropieproduktion durch Dissipation an einem einfachen Beispiel erl¨autert und mit den bisher vorgestellten Grundlagen hergeleitet werden. Gegeben sei nach Abbildung 2.9 ein mit einem hochviskosen Fluid (zum Beispiel Honig) gef¨ullter Raum, in dem sich eine rotierende Scheibe befindet. Zum Antrieb der Scheibe ist die Leistung P ∗ erforderlich. Die Systemgrenze sei so gew¨ahlt, dass die Temperatur an der Grenze gerade gleich der Umgebungstemperatur Tu∗ sei. Aus dem System tritt ein W¨armestrom Q˙ ∗ aus. Stellt man f¨ur dieses (station¨are) System den ersten und zweiten Hauptsatz der Thermodynamik auf, so erh¨alt man: P ∗ = Q˙ ∗ , Q˙ ∗ ∗ S˙ PRO = ∗ . Tu

(2.40) (2.41)

28

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

P*

1111Tu 0000 0000 1111 0000 1111 0000 1111 0000 1111

*

.*

Q

.

Q* TU*

11 00 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11

Tu*

Abbildung 2.9: Entropieproduktion durch Dissipation

Der Entropieproduktionsstrom ist damit proportional zu der Antriebsleistung der Scheibe: P∗ ∗ = ∗ . S˙ PRO Tu

(2.42)

Das vorgestellte Experiment kann an einem infinitesimal kleinen Raum wiederholt werden. Es werden sich die gleichen Verh¨altnisse einstellen und der Entropieproduktionsstrom in diesem infinitesimal kleinem Raum ist immer gleich der dissipierten mechanischen Leistung dividiert durch die lokale thermodynamische Temperatur. Dieser infinitesimal kleine Raum kann auch ein Fluidelement eines str¨omenden Fluides sein. Die lokal dissipierte mechanische Energie ist dann immer gleich der lokalen Entropieproduktionsrate multipliziert mit der lokalen thermodynamischen Temperatur. Die hier bereits angesprochenen Auswirkungen, welche die Dissipation auf ein infinitesimales Fluidelement hat, werden in Kapitel 3 noch genauer untersucht, wo es im Speziellen um die Entropieproduktion in Str¨omungen gehen wird. Der Energietechniker versucht, den Verbrauch an Prim¨arenergie m¨oglichst gering zu halten. Er sollte versuchen, die Dissipation von kinetischer Energie zu minimieren. Bei der Dissipation geht die Energie einer geordneten Bewegung in die Energie einer ungeordneten Bewegung u¨ ber. Die Dissipation ist immer mit einem Exergieverlust verbunden. Die Dissipation kann zum Beispiel durch einen kleinen Apparat oder m¨oglichst wenig Verwirbelungen in einer Str¨omung erreicht werden. Durch

2.3 Bewertungskriterien auf Basis des zweiten Hauptsatzes

29

diese Maßnahme w¨urde aber die Entropieproduktion durch W¨armeleitung steigen und einen h¨oheren Exergieverlust bedeuten, siehe Abschnitt 2.3.3. Der Energietechniker steht somit vor einem Optimierungsproblem: Alle Maßnahmen, die die Entropieproduktion durch W¨armeleitung verringern, vergr¨oßern die Entropieproduktion durch Dissipation. Bis hier wurde der Zusammenhang zwischen Entropieproduktion und Exergieverlust vorgestellt. Es wurde aufgezeigt, dass eine gewissenhafte Nutzung der Prim¨arenergieressourcen nur durch eine Verringerung der Entropieproduktion erreicht werden kann. Die Entropieproduktion soll in dieser Arbeit als Bewertungskriterium f¨ur Prozesse der W¨arme- und Stoff¨ubertragung herangezogen werden. Zwei Prozesse k¨onnen dann in Bezug auf ihre Entropieproduktion untersucht werden. Ein Prozess, welcher weniger Entropie produziert, ist aus exergetischer Sicht g¨unstiger. Ob dieser Prozess auch aus wirtschaftlicher Hinsicht Vorteile mit sich bring, soll nicht Gegenstand dieser Untersuchung sein. Es gibt aber Hinweise darauf, dass ein Prozess, welcher weniger Exergie vernichtet, auch o¨ konomische Vorteile in sich birgt [ London 1982]. Eine Untersuchung thermodynamischer Prozesse im Hinblick auf ihre Entropieproduktion oder Exergievernichtung wird auch Second Law Analysis, das heißt eine Analyse auf Basis des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik, genannt. Es gibt eine ganze Reihe von Untersuchungen zu diesem Thema. Im n¨achsten Abschnitt sollen einige von ihnen vorgestellt werden. Es soll insbesondere aufgezeigt werden, wo diese Untersuchungen scheitern und damit eine Motivation f¨ur die hier vorgestellte Arbeit geben.

2.3.5 Konventionelle Second Law Analysis Unter konventioneller Second Law Analysis sollen hier Untersuchungen verstanden werden, welche auf Basis einer globalen Bilanzierung der Entropiestr¨ome nach Gleichung (2.15) Aussagen u¨ ber Irreversibilit¨aten erm¨oglichen. In diesen Untersuchungen werden meist durch die Kenntnisse der mittleren Zustandsgr¨oßen an den Ein- und Austritten und den u¨ ber die festen Systemgrenzen fließenden Entropiestr¨omen die Entropieproduktionsstr¨ome berechnet. Dabei bleiben die Entropiestr¨ome u¨ ber die freien Systemgrenzen und turbulente Transporterscheinungen in allen Arbeiten unber¨ucksichtigt. Einige Untersuchungen wenden die Bilanzgleichung (2.15) auch f¨ur lokale Untersuchungen an. Hier werden jedoch immer u¨ ber den Ein- und Austritt des finiten Kontrollvolumens gemittelte Zustandsgr¨oßen herangezogen. Es handelt sich damit um eine eindimensionale Betrachtungsweise. Zudem benutzten diese Arbeiten oft empirische Gleichungen zur Ermittlung der Zustandsgr¨oßen. Dabei finden oft empirische Beziehungen f¨ur den Druckverlust und die Nußelt-Zahl Anwendung. Diese Beziehungen gelten immer nur f¨ur spezielle Probleme und lassen Einlaufeffekte oft ganz außer acht. Aus diesen Gr¨unden stellen diese Untersuchungen genau genommen keine Berechnungen der lokalen Entropieproduktion dar. Sie sollen deshalb unter die konventionelle Second Law Analysis fallen. Die Second Law Analysis wird seit l¨angerer Zeit als ein Bewertungskriterium genutzt. Einen ausf¨uhrlichen, wenn auch veralteten Literaturr¨uckblick findet man in [ Drost und Zaworski 1988].

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Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

An dieser Stelle sollen die zahlreichen Untersuchungen der letzten Jahre systematisch klassifiziert werden, wobei die Arbeiten, welche lokale Entropieproduktionen in Str¨omungen auf der Basis von partiellen Differentialgleichungen untersuchen, zun¨achst unbeachtet bleiben sollen, da ihnen das n¨achste Kapitel gewidmet ist. Die meisten Arbeiten zur Second Law Analysis befassen sich mit der Bestimmung von Irreversibilit¨aten in thermodynamischen Systemen oder deren Komponenten. Es gibt eine ganze Reihe von Ans¨atzen, mit denen diese Irreversibilit¨aten identifiziert werden k¨onnen. In [ Rosen 1998] werden diese Ans¨atze systematisch klassifiziert und in f¨unf Gruppen eingeteilt: Exergie-Analysen, Physikalische-Exergie-Analysen, Exergieverbrauch-Analysen, Negentropie-Analysen und die Entropie-Analysen. Wobei zwischen der Exergie und der physikalischen Exergie unterschieden wird, welche keine Exergie¨anderungen aufgrund chemischer Vorg¨ange beinhalten soll. Unter dem Verbrauch von Negentropie versteht der Autor hierbei nichts anderes als die Entropieproduktion. Es wurde bereits gezeigt, dass der Exergieverlust und die Entropieproduktion ineinander u¨ berf¨uhrbar sind und im Grunde keine unterschiedlichen Informationen u¨ ber die Irreversibilit¨aten enthalten. Aus diesem Grund soll hier nicht nach Exergie- und Entropieproduktionsanalysen unterschieden werden. Eine Klassifizierung soll hier vielmehr nach der Art der Anwendung und der hierbei verwendeten Methoden erfolgen. Doch zun¨achst sollen die grundlegenden Untersuchungen n¨aher betrachtet werden.

Grundlegende Untersuchungen Die grundlegenden Arbeiten zur Berechnung und Identifikation von Irreversibilit¨aten in thermodynamischen Systemen stammen von [ Bejan 1977], [ Sekulic 1986], [ Arpaci 1989] und [ Gaggioli 1983]. Nahezu jede Untersuchung zum Thema Second Law Analysis zitiert die Arbeiten [ Bejan 1977], [ Bejan 1978a], [ Bejan 1979], [ Bejan 1980], [ Bejan 1982] oder neuere Untersuchungen auch [ Bejan 1996]. Alle diese Arbeiten zeigen auf, wie aus der Berechnung der Entropieproduktion in beliebigen thermodynamischen Prozessen Irreversibilit¨aten identifiziert werden k¨onnen und erl¨autern den Vorteil dieser Methoden gegen¨uber Analysen auf der Basis des ersten Hauptsatzes. [ Hesselgreaves 2000] vergleicht herk¨ommliche Arbeiten u¨ ber die Second Law Analysis und geht insbesondere auf die verschiedenen Arten der Entdimensionierung von Entropieproduktionsraten ein.

Thermodynamische Untersuchungen von Gesamtsystemen Diese Gruppe von Untersuchungen besch¨aftigt sich mit der Bestimmung von Irreversibilit¨aten und Verlusten in thermodynamischen Gesamtsystemen. Sie verfolgen das Ziel, durch Kenntnis der Irreversibilit¨aten M¨oglichkeiten zur Verbesserung eines thermodynamischen Gesamtprozesses aufzuzeigen, ohne explizit eine Optimierungsstudie auszuf¨uhren. Diese M¨oglichkeiten beinhalten zum Beispiel neue Anordnungen der Komponenten des Systems, Ver¨anderungen der Gr¨oße der Komponenten oder der Art der Komponenten. So behandelt [ Nuwayhid et al. 2000] die Berechnung der Entropieproduktion durch globale Bilanzierung in thermoelektrischen Ger¨aten und zeigt auf, wie durch die Kenntnis der Irreversibilit¨aten

2.3 Bewertungskriterien auf Basis des zweiten Hauptsatzes

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eine Maximierung der Leistungsabgabe erfolgen kann. Eine Ermittlung der Irreversibilit¨aten auf Basis einer globalen Bilanz eines mit einem Sonnenkollektor betriebenen Absorptionsk¨alteprozesses findet sich in [ Anand 1984]. [ Assad 2000] berechnet die Irreversibilit¨aten eines magneto-hydrodynamischen Kraftwerks. Die Irreversibilit¨atsursachen werden identifiziert und eine Minimierung dieser durch eine geeignete Prozessf¨uhrung vorgeschlagen.

Optimierungsstudien thermodynamischer Gesamtsysteme Eine große Gruppe konventioneller Arbeiten zur Second Law Analysis besch¨aftigt sich mit der Optimierung thermodynamischer Systeme. [ Linhoff 1986] untersucht generelle Minimierungsmethoden der Entropieproduktion in der Energietechnik. Eine thermodynamische Optimierung von Energiespeichersystemen findet sich in [ Bejan 1978b]. Hier werden auf der Basis einer globalen Entropiebilanz und der Anwendung des idealen Gasgesetzes sensible W¨armespeichersysteme auf eine Minimierung der Irreversibilit¨aten untersucht. Anwendung finden hierbei die maximale Speichertemperatur und die F¨ullzeit. Es zeigt sich, dass das eine Optimierung nach der maximal zu speichernden W¨armemenge nicht notwendigerweise gleich dem Minimum der Entropieproduktion sein muss. Der erste und der zweite Hauptsatz liefern also unterschiedliche Optima. Die Optimierung eines K¨alteprozesses wird in einer Arbeit von [ Shiba und Bejan 2001] behandelt. Insbesondere werden hier die Entropieproduktionsraten in dem Gegenstromw¨arme¨ubertrager der Anlage durch Kenntnis der thermodynamischen Zustandsgr¨oßen am Ein- und Auslass ermittelt. Diese Studie zeigt, wie eine Optimierung der Gesamtanlage im Hinblick auf eine Minimierung der Leistungsaufnahme durch eine Ver¨anderung der Geometrie und Prozessgr¨oßen erfolgen kann.

Thermodynamische Untersuchungen von Komponenten Diese Studien untersuchen die Bestimmung von Irreversibilit¨aten in Komponenten von thermodynamischen Systemen. Es werden die Ursachen der Irreversibilit¨aten aufgezeigt und quantifiziert, ohne jedoch eine Optimierung der Komponenten vorzunehmen. An dieser Stelle sollen vor allem Komponenten aus der Energietechnik, insbesondere W¨arme¨ubertrager genannt werden. [ Farina und Donatini 1993] entwickeln eine Methode zur Bestimmung der Verluste aufgrund von erzwungener Konvektion in gek¨uhlten Gasturbinenschaufeln. Es werden die Exergieverluste als Funktion der Turbineneinlasstemperatur dargestellt. [ Chen und Huang 1988] untersuchen Bewertungskriterien f¨ur W¨arme¨ubertrager, in welchen Oberfl¨achenmanipulationen zur Verbesserung des W¨armeu¨ berganges eingesetzt werden. Mit Hilfe von globalen Entropiebilanzen und der Anwendung von empirischen Ans¨atzen zur Bestimmung der Druckverluste und der Nußelt-Zahlen k¨onnen nach einer Entdimensionierung der Parameter Kriterien zur Bewertung der Oberfl¨achen im Hinblick auf Irreversibilit¨aten gefunden werden. In den Arbeiten [ Ogulata et al. 1999] und [ Ogulata und Doba 1998] werden Messungen des W¨arme¨uberganges und des Druckverlustes an einem Kreuzstromw¨armeu¨ bertrager vorgestellt. Mit Hilfe gemessener Dr¨ucke und Temperaturen an den Ein- und Ausl¨assen wird durch eine globale Bilanzierung der Zustandsgr¨oße Entropie, die Entropieproduktion in dem

32

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

W¨arme¨ubertrager f¨ur verschiedene Betriebzust¨ande ermittelt. Eine ganze Reihe von Arbeiten ermittelt die Entropieproduktion durch W¨armeleitung und durch Dissipation in laminaren Str¨omungen [ S¸ahin 1998b], [ S¸ahin 1998a], [ S¸ahin 1999] und [ S¸ahin 2000]. In diesen Untersuchungen werden auf der Basis einer Bilanzierung der auf einem finiten Rohrabschnitt ein- und austretenden Entropiestr¨ome Irreversibilit¨aten berechnet und identifiziert. Zur Bestimmung des Druckes und der Temperatur in den Rohrabschnitten werden empirische Gleichungen f¨ur den Druckverlust und den W¨arme¨ubergang in ausgebildeten laminaren Str¨omungen herangezogen. Den Exergieverlust in einem Wirbelrohr konnte [ Saidi und Yazdi 1999] durch eine Bilanzierung der ein- und austretenden Entropiestr¨ome ermitteln. [ San und Jan 2000] konnte durch eine solche Bilanzierung einen Gegenstromw¨arme¨ubertrager bez¨uglich seiner thermodynamischen Wirksamkeit bewerten. Von einer Bewertung verschiedener Querschnittsformen von Kan¨alen durch eine Berechnung der Entropieproduktionsraten durch W¨armeleitung und Dissipation handelt die Arbeit von [ Sekulic et al. 1997]. Durch eine abschnittsweise Bilanzierung von Kanalquerschnitten erh¨alt man die Entropieproduktionsraten. Hierbei m¨ussen die thermodynamischen Zust¨ande in den Kanalabschnitten bekannt sein. Dieses erfolgt durch eine Anwendung empirischer Formeln f¨ur die Druckverluste und Nußelt-Zahlen der untersuchten Kanalgeometrien. Die Str¨omung ist laminar und ausgebildet. In der Arbeit von [ Yuan und Kou 2001] werden die Irreversibilit¨aten aufgrund von Dissipation in einem Gegenstromw¨arme¨ubertrager vernachl¨assigt. In Verbindung mit der Wirkungsgrad-NTU-Methode erfolgt durch die Entropieproduktion durch W¨armeleitung eine Bewertung des W¨arme¨ubertragers.

Optimierungsstudien thermodynamischer Komponenten Eine weitere Gruppe konventioneller Second Law Analysis, welche auch in j¨ungerer Zeit verbreitete Anwendung findet, sind Methoden zur Optimierung von Komponenten thermodynamischer Systeme. Hierbei soll sich in diesem R¨uckblick vor allem auf die Optimierung von W¨arme¨ubertragern und deren Komponenten konzentriert werden. [ Ordonez und Bejan 2000] untersucht eine Optimierung eines Plattenw¨arme¨ubertragers, welcher im Gegenstrom betrieben wird. Durch eine globale Bilanz und die Anwendung des idealen Gasgesetzes kann der Entropieproduktionsstrom durch alleinige Kenntnisse der Zust¨ande am Ein- und Auslass des W¨arme¨ubertragers bestimmt werden. Durch eine Ver¨anderung der Kanalquerschnitte und der W¨arme u¨ bertragenden Fl¨achen k¨onnen die Irreversibilit¨aten minimiert werden. [ Bejan 1977] untersucht in seiner richtungweisenden Arbeit Irreversibilit¨aten in Gas-Gas Gegenstromw¨arme¨ubertragern und berechnet die Entropieproduktion durch die Anwendung einer globalen Bilanzierung der Entropie und Zuhilfenahme des idealen Gasgesetzes. Er f¨uhrt eine dimensionslose Kennzahl, die Entropieproduktionszahl Ns ein. Mit ihrer Hilfe lassen sich Optimierungsans¨atze f¨ur diese Art von W¨armeu¨ bertragern gewinnen. In [ Bejan 1978a] werden die Kenntnisse aus dieser Arbeit auf Optimierungsstudien von beliebigen W¨arme¨ubertragern erweitert. Teile dieser Arbeit finden sich auch in [ Bejan 1996] wieder. Hier wird die Methode der Entropieproduktionsminimierung auf andere Komponenten, wie K¨altemaschinen, Isolations- und Energiespeichersysteme erweitert. Eine direkte Anwendung dieser Methode findet sich auch in [ Sarangie und Chowdhury 1982], in der ein Gegenstromw¨arme¨ubertrager optimiert wird. [ Huang 1987] wendet die Second Law Analysis auf die Op-

2.3 Bewertungskriterien auf Basis des zweiten Hauptsatzes

33

timierung von W¨arme¨ubertragungsfl¨achen mit Turbulenzgeneratoren an. Mit Hilfe einer globalen Entropiebilanz und der Anwendung von empirischen Gleichungen f¨ur den Druckverlust und den W¨arme¨ubergang kann die Entropieproduktion in einem W¨arme¨ubertrager als Funktion der ReynoldsZahl bestimmt, und ein Optimum ermittelt werden. [ Lin und Lee 1998] machen a¨ hnliche Untersuchungen unter Anwendung anderer empirischer Gleichungen. [ Nag und Mukherjee 1987] untersuchen eine thermodynamische Optimierung einer Rohrstr¨omung mit konstanter Wandtemperatur. Durch eine differentielle Bilanzierung der Entropie in finiten Rohrabschnitten und der Anwendung des idealen Gasgesetzes, kann eine Wand-Fluidtemperaturdifferenz gefunden werden bei welcher die Entropieproduktion minimal ist. In den Arbeiten von [ Prasad und Shen 1993a], [ Prasad und Shen 1993b], [ Zimparov 2000], [ Zimparov und Vulchanov 1994] und [ Zimparov 2001] wird dieser differentielle Ansatz f¨ur die Optimierung von Maßnahmen zur Erh¨ohung des W¨arme¨uberganges angewendet. [ Saboya und da Costa 1999] k¨onnen unter Vernachl¨assigung des Druckverlustes, aus einer globalen Entropiebilanz die Irreversibilit¨at aufgrund des W¨armeu¨ berganges in W¨arme¨ubertragern bestimmen. Die Untersuchung wendet sowohl den Wirkungsgrad als eine Bewertungsmethode auf der Basis des ersten Hauptsatzes, als auch die Entropieproduktion an. F¨ur verschiedene W¨arme¨ubertragerkonfigurationen wird die Entropieproduktion u¨ ber der An¨ zahl der Ubertragungseinheiten dargestellt. Es kann somit ein thermodynamisches Optimum ermittelt werden. Mit der thermodynamischen Optimierung in Hinblick auf eine Minimierung der Irreversibilit¨aten von Rippen besch¨aftigen sich die Arbeiten von [ Sara et al. 2001] und [ Sasikumar und Balaji 2002]. Beide Arbeiten basieren auf der Ermittlung der Entropiestr¨ome durch Kenntnis der Temperaturen und der Dr¨ucke. Diese werden durch empirische Ans¨atze zur Berechnung des Druckverlustes und des W¨arme¨uberganges in diesen Geometrien ermittelt. In [ Vargas et al. 2001] f¨uhrt eine globale Entropiebilanzierung zu einer Optimierung eines Gegenstromw¨arme¨ubertragers einer Flugzeugklimaanlage. In dieser Arbeit werden wiederum die thermodynamischen Zustandsgr¨oßen unter Zuhilfenahme des idealen Gasgesetzes und empirischer Formeln f¨ur den Druckverlust und den W¨arme¨ubergang ermittelt. Eine globale Bilanzierung liefert dann die ein- und austretenden Entropiestr¨ome und durch Kenntnis der Entropietransportstr¨ome schließlich die Entropieproduktionsstr¨ome. Durch eine Ver¨anderung von Gesamtvolumen, Gewicht, Mach-Zahl, Einlassquerschnitt und der Druckverh¨altnisse in der Kabine k¨onnen Optimierungsans¨atze ermittelt werden. In einer Untersuchung von [ Zubair et al. 1987] werden die Entropieproduktionsraten zur Optimierung eines W¨arme¨ubertragers, welcher von zwei Phasen durchstr¨omt wird, angewendet. Die Entropieproduktionsraten werden aus den globalen Bilanzen des zweiten Hauptsatzes ermittelt.

¨ Okonomische Optimierungsans¨atze thermodynamischer Systeme Es gibt viele Arbeiten, welche versuchen, Kenntnisse aus der Thermodynamik und den Wirtschaftswissenschaften zu verbinden. Somit gelingt ihnen nicht nur eine thermodynamische Optimierung nach einer Minimierung von Irreversibilit¨aten, sondern eine Minimierung der Summe aus Anschaffungs- und Betriebskosten. Allen diesen Arbeiten gemein ist, dass die Irreversibilit¨aten wirtschaftlichen bewertet werden m¨ussen. Diese Bewertungen k¨onnen sich nat¨urlich im Laufe der Zeit a¨ ndern, da zum Beispiel die Preise f¨ur Rohstoffe oder Betriebsmittel großen Schwankungen unterlegen sind. Einige Arbeiten, die

34

Grundlagen der Bewertung thermodynamischer Prozesse

hier erw¨ahnt werden sollen, sind [ Zubair et al. 1987], [ Shuja et al. 1999b], [ Oliveira et al. 1994], [ London 1982], [ Kim et al. 1997], [ Maisseu und Voß 1995] und [ Brodyansky 1994].

Sonderbereiche Neben den F¨allen, in denen Analysen auf der Basis des zweiten Hauptsatzes zur Bewertung und Optimierung von thermodynamischen Systemen eingesetzt werden, gibt es Arbeiten, die sich mit Sonderbereichen der Entropieproduktion befassen. Hier sollen nur einige erw¨ahnt werden. [ Arpaci und Selamet 1987] ermittelt die Entropieproduktion in laminaren Flammen. Von diesen Autoren stammt auch eine Arbeit zu der Entropieproduktion durch Strahlung [ Arpaci 1985]. Eine hier nicht n¨aher einzuordnende Arbeit untersucht die numerische Entropieproduktion durch den Diskretisierungsfehler in der numerischen L¨osung von Str¨omungen [ Grasso 1997]. Allen hier vorgestellten Arbeiten (bis auf die letzte Gruppe) gemein ist, dass sie die Entropieproduktion oder die Exergieverluste in thermodynamischen Systemen oder deren Komponenten auf der Basis einer globalen Entropiebilanz nach Gleichung (2.15) ermitteln. Es k¨onnen nur durch Kenntnis der thermodynamischen Zustandsgr¨oßen am Ein- und Auslass Aussagen u¨ ber die Gr¨oße der Irreversibilit¨aten gewonnen werden. In einigen Arbeiten finden zudem das ideale Gasgesetz oder empirische Gleichungen zur Bestimmung des Druckverlustes und des W¨arme¨uberganges Anwendung. Es k¨onnen so auch im Innern des Systems oder der Komponente Aussagen u¨ ber die Irreversibilit¨aten gewonnen werden. Die große Schw¨ache dieser Ans¨atze liegt aber in den verwendeten empirischen Gleichungen, welche oft nur f¨ur eingeschr¨ankte Anwendungen und Zust¨ande g¨ultig sind. So k¨onnen mit diesen Ans¨atzen oftmals keine Einlaufeffekte oder Austrittsverluste untersucht werden. Allen hier pr¨asentierten Arbeiten gemeinsam ist auch, dass sie nur f¨ur Systeme mit festen Systemgrenzen und f¨ur Durchstr¨omungen anwendbar sind. Es k¨onnen keine thermodynamischen Prozesse, welche zum Beispiel eine Umstr¨omung von K¨orpern beinhalten, untersucht werden. Aus diesen Gr¨unden soll im n¨achsten Kapitel versucht werden, aus einer differentiellen Betrachtungsweise auf der Basis von partiellen Differentialgleichungen Entropieproduktionsraten zu bestimmen. Mit diesem Ansatz ist es m¨oglich, in beliebigen Geometrien mit freien oder festen Systemgrenzen Irreversibilit¨aten zu bestimmen. Dieser Ansatz beinhaltet zudem keine empirischen Gleichungen oder Stoffgesetze. Damit k¨onnen auch beliebige Str¨omungsvorg¨ange untersucht werden und somit auch Ein- und Austrittseffekte erfasst und beliebige (zun¨achst inkompressible) Fluide untersucht werden.

Kapitel 3 Entropieproduktion in Str¨omungen Die Behandlung der fundamentalen S¨atze und physikalischen Gesetzte der Thermodynamik war Thema des vorangegangenen Kapitels. Dieses Kapitel soll den anderen beiden Disziplinen dieser Arbeit, der Str¨omungsmechanik und der W¨arme¨ubertragung gewidmet werden. Hierbei sollen zun¨achst deren Grundgleichungen dieser Disziplinen beschrieben werden. Eine weiterf¨uhrende Herleitung dieser Gleichungen ist zum Beispiel in [ Herwig 2002] dargestellt. Ein wichtiges physikalisches Ph¨anomen in der Str¨omungsmechanik und der W¨arme¨ubertragung ist das der Turbulenz. Ihr Wesen wird beschrieben und es wird vorgestellt, wie ihre Modellierung auf der Basis von Zeitmittelungen geschieht. Schließlich wird eine Transportgleichung f¨ur die Entropie in turbulenten Str¨omungen hergeleitet. Diese Transportgleichung erm¨oglicht die lokale Identifikation von Entropieproduktionsraten. Die Beschreibung des Entropietransportes auf der Basis von partiellen Differentialgleichung erm¨oglicht eine Bilanzierung an einem infinitesimalen Kontrollvolumen. Dieses Vorgehen birgt einige entscheidende Vorteile gegen¨uber der konventionellen Second Law Analysis in sich. Diese werden am Ende dieses Kapitels n¨aher erl¨autert. Eine L¨osung der Transportgleichung kann durch Anwendung von Methoden der numerischen Str¨omungsmechanik erreicht werden. Hierzu m¨ussen weitere Modelle in die Transportgleichung der Entropie implementiert werden. Dieses wird das Thema des Kapitels 4 sein. Zun¨achst folgen die Grundgleichungen der Bewegung von kontinuierlichen Fluiden.

3.1

Vorbemerkungen

Die Str¨omungsmechanik befasst sich mit der Beschreibung des kinematischen und dynamischen Verhaltens von Fluiden. Unter dem Begriff Fluid werden sowohl Fl¨ussigkeiten als auch Gase zusammengefasst. Der Unterschied des Verhaltens eines Fluides im Vergleich zu einem Festk¨orper besteht in seinem Verhalten beim Aufbringen von a¨ ußeren Kr¨aften und der daraus entstehenden Verformung. W¨ahrend in einem Festk¨orper bei dem Aufpr¨agen einer konstanten Scherkraft stets endliche Verformungen auftreten, zeigt ein Fluid st¨andig anwachsende Verformungen. In Festk¨orpern ist die Verformung oft proportional zu der aufgepr¨agten Scherkraft, w¨ahrend sie in Fluiden proportional zu der

36

Entropieproduktion in Str¨omungen

Verformungsgeschwindigkeit ist. In Fluiden kann somit die Wirkung der Kr¨afte nicht mehr eindeutig an Ort und Zeit identifiziert werden. Aus diesem Grunde geht man von der in Festk¨orpern u¨ blichen k¨orper- oder teilchenfesten Betrachtungsweise auf die so genannte ortsfeste Betrachtungsweise u¨ ber.

3.1.1 Einschr¨ankungen Die in dieser Arbeit betrachteten Fluide sollen den Gesetzen eines Kontinuums folgen. Ihre physikalischen Gr¨oßen sollen eine kontinuierliche Verteilung in Raum und Zeit aufweisen. In dieser Arbeit wird unterstellt, dass alle Stoffgr¨oßen des Fluides, also unter anderem die dynamische Viskosit¨at, die W¨armeleitf¨ahigkeit und die spezifische W¨armekapazit¨at konstante Werte im gesamten betrachteten Bereich aufweisen. Dieses konstante Stoffverhalten soll in dieser Arbeit insbesondere auch f¨ur die Dichte des Fluides gelten. Treten in dem Feld keine nennenswerten Dichte¨anderungen auf, spricht man von einer inkompressiblen Str¨omung. Dies ist zun¨achst eine Eigenschaft des Str¨omungsfeldes und nicht des Fluides. Die thermodynamische Eigenschaft, dass die Dichte eine Funktion des Druckes und der Temperatur ist, ist nur die notwendige Eigenschaft daf¨ur, dass in einem Fluid Dichte¨anderungen auftreten k¨onnen. Erst wenn diese Dichte¨anderungen tats¨achlich in erheblichem Maße auftreten, spricht man von einer kompressiblen Str¨omung. Diese Dichte¨anderungen treten in Str¨omungen aber erst in der N¨ahe der Schallgeschwindigkeit oder bei dem Vorhandensein großer Temperaturdifferenzen auf. Das Ph¨anomen der Schallgeschwindigkeit soll in dieser Arbeit jedoch unber¨ucksichtigt bleiben. Es wird zudem in erster N¨aherung eine konstante Fluid-Dichte angenommen, obwohl Str¨omungen mit W¨arme¨uberg¨angen untersucht werden sollen und somit auch Temperaturdifferenzen im Fluid auftreten. Eine weitere Einschr¨ankung f¨ur die folgenden Grundgleichungen und insbesondere die Transportgleichung f¨ur die Entropie ist, dass in dieser Arbeit nur das Verhalten von einphasigen Fluiden ohne chemische Reaktionen untersucht werden soll. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass diese Arbeit auf den Grundgleichungen der Hydrodynamik aufbaut. Das ist ein Teilgebiet der Str¨omungsmechanik, welches sich mit dem Verhalten von Str¨omungen bei relativ niedrigen Geschwindigkeiten befasst. Es kommen keine Dichte¨anderungen vor, beziehungsweise k¨onnen diese vernachl¨assigt werden.

3.1.2 Die teilchenfeste und ortsfeste Betrachtungsweise Unter den Grundgleichungen der Str¨omungsmechanik werden die mathematischen Formulierungen des Erhaltungsprinzips f¨ur Masse, Impuls und Energie verstanden. Diese Erhaltungss¨atze werden an Kontrollvolumen im Fluid aufgestellt. In der Str¨omungsmechanik sind diese Kontrollvolumen infinitesimal kleine Volumenelemente des Fluides. Im Gegensatz zu der Festk¨orpermechanik, in der diese Kontrollvolumen in Ruhe sind und bleiben oder in ihrer Bewegung verfolgt werden, ist es in der Str¨omungsmechanik u¨ blich, diesen Kontrollraum an einem festen Ort zu belassen. In der

3.1 Vorbemerkungen

37

Str¨omungsmechanik ist man im Allgemeinen nicht an der Bewegung einzelner Fluidteilchen interessiert sondern an dem Verhalten des Fluides an einem festen Ort zu einer bestimmten Zeit. Diese ortsfeste Betrachtungsweise wird auch Eulersche Betrachtungsweise genannt, im Gegensatz zu der teilchenfesten oder Lagranschen Betrachtungsweise der Festk¨orpermechanik. Die ortsfeste Betrachtungsweise erm¨oglicht eine mathematische Formulierung der Erhaltungsgleichungen f¨ur Masse, Impuls und Energie in einem einzigen Koordinatensystem. Die in dieser Arbeit vorgestellten Gleichungen sollen eine Bilanzierung an einem infinitesimalen Volumenelement eines Fluides in dieser ortsfesten Betrachtungsweise in einem kartesischen Koordinatensystem erm¨oglichen. Ausgangspunkt f¨ur alle folgenden Bilanzgleichungen ist ein infinitesimales Massenelement ∆m∗ , welches das Volumen ∆V ∗ ausf¨ullt. In einem kartesischen Koordinatensystem kann dieses Volumenelement als ein Quader mit den Kantenl¨angen ∆x∗ , ∆y ∗ ∆z ∗ beschrieben werden: ∆m∗ = ∗ ∆V ∗ = ∗ ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ .

(3.1)

Bilanzen f¨ur Masse, Impuls und Energie, welche bez¨uglich eines Massenelementes ∆m∗ aufgestellt ¨ werden, sind zun¨achst teilchenfest. Einen Ubergang zu der ortsfesten Betrachtungsweise erh¨alt man erst, wenn Zeitableitungen des teilchenfesten Koordinatensystems in ein ortsfestes Koordinatensystem u¨ berf¨uhrt werden. F¨ur diese Zeitabh¨angigkeit einer beliebigen physikalischen Gr¨oße G∗ gibt es in der ortsfesten Betrachtungsweise zwei Ursachen. Zum einen ver¨andert sich die physikalische Gr¨oße an einem bestimmten Ort mit der Zeit t∗ . Bliebe ein Fluidteilchen f¨ur alle Zeiten an dem selben Ort, das heißt im Grenzfall ohne Str¨omung, so w¨urde sich die Gr¨oße G∗ weiterhin mit der Zeit a¨ ndern. Zum anderen ver¨andert sich G∗ durch das Vorhandensein eines Str¨omungsfeldes. So wird ein Teilchen aufgrund der Str¨omung zu einem anderen Ort bewegt, an dem andere physikalische ¨ ¨ Verh¨altnisse wirken. An einem festen Ort erscheint diese Anderung ebenfalls wie eine Anderung mit der Zeit. Die gesamte Zeitabh¨angigkeit ist die Addition der Abh¨angigkeit von der Zeit und der ¨ Anderung der physikalischen Verh¨altnisse an einem Ort aufgrund der Str¨omung. Die zu untersuchende Zeitableitung der Gr¨oße G∗ wird in der teilchenfesten Betrachtungsweise mit DG∗ /Dt∗ bezeichnet. Eine Zeitableitung in der ortsfesten Betrachtungsweise ∂G∗ /∂t∗ beinhaltet ¨ ¨ nur die Anderungen an einem festen Ort und erfasst somit nur die erste Ursache einer Anderung. ∗ ∗ ∗ Zus¨atzlich a¨ ndert sich eine physikalische Gr¨oße G weil die Ortsableitungen ∂G /∂xi von Null ¨ der verschieden sind und ein Teilchen in der Zeit ∂t∗ den Weg ∂x∗i zur¨uckgelegt hat. Diese Anderung ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ physikalischen Gr¨oße ∂G = (∂G /∂xi ) ∂xi kann pro Zeiteinheit ∂t in kartesischen Koordinaten geschrieben werden als ∂G∗ ∗ 1 ∂G∗ ∗ ∂x = u . ∂x∗i i ∂t∗ ∂x∗i i

(3.2)

¨ Die Anderung einer physikalischen Gr¨oße ist in der ortsfesten Betrachtungsweise unmittelbar an ¨ wird auch als konvektive die Str¨omungsgeschwindigkeiten u∗i gekoppelt. Diese Art der Anderung ¨ Ableitung bezeichnet. Zusammen mit der zeitlichen Ableitung kann die Anderung einer beliebigen physikalischen Gr¨oße G∗ in der ortsfesten Betrachtungsweise in kartesischen Koordinaten folgen-

38

Entropieproduktion in Str¨omungen

dermaßen beschrieben werden: lokale Ableitung

DG∗ ∗

Dt  

  ∂G∗ = ∗

∂t

teilchenfeste Betrachtungsweise



konvektive Ableitung

  ∂G∗ ∂G∗ ∂G∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ . ∂x  ∂x ∂x 

(3.3)

ortsfeste Betrachtungsweise

In der ortsfesten Betrachtungsweise k¨onnen die beiden Ursachen der Ver¨anderung direkt als lokale und als konvektive Ableitung identifiziert werden. Alle im Folgenden verwendeten Bilanzgleichungen werden in dieser ortsfesten Betrachtungsweise vorgestellt werden. Die mit den konvektiven Ableitungen verbundenen Terme k¨onnen dann als die Differenz aus den ein- und ausstr¨omenden Gr¨oßen an dem ortsfesten infinitesimalem Kontrollvolumen interpretiert werden. Die Bilanzen f¨ur Masse, Impuls und Energie k¨onnen zun¨achst einmal f¨ur ein beliebiges Fluid unter beliebigen Str¨omungverh¨altnissen aufgestellt werden. In diese allgemeinen Bilanzgleichungen kann dann ein fluidspezifisches Verhalten eingesetzt werden. Wie schon erw¨ahnt sollen die Bilanzgleichungen f¨ur den Fall eines inkompressiblen Fluides aufgestellt werden. Die Dichte ∗ kann somit in allen Betrachtungen als eine Konstante angesetzt werden. Das weitere fluidspezifische Verhalten kann mit Hilfe so genannter konstitutiver Gleichungen beschrieben werden, welche die Zusammenh¨ange zwischen dem in der Impulsbilanz enthaltenen Spannungstensor und dem Geschwindigkeitsfeld, sowie zwischen den in der Energiebilanz enthaltenen Vektor der W¨armestromdichte und dem Temperaturfeld beschreiben. Weiterhin soll in dieser Arbeit das Verhalten turbulenter Str¨omungen untersucht werden. Zur Beschreibung dieser Str¨omungsverh¨altnisse bedarf es bestimmter Methoden zur Ermittlung der turbulenten Schwankungsbewegungen. In dieser Arbeit soll die Methode der Zeitmittelung der Bilanzgleichungen angewendet werden. Diese beiden Schritte, das heißt die Beschreibung des spezifischen Fluidverhaltens und die Beschreibung der Turbulenz, soll in dieser Arbeit direkt auf die allgemeinen Bilanzgleichungen angewendet werden. F¨ur eine detaillierte Herleitung allgemein g¨ultiger Bilanzgleichungen f¨ur Masse, Impuls und Energie sei auf [ Herwig 2002] verwiesen.

3.1.3 Konstitutive Gleichungen Durch die folgenden beiden Modellannahmen werden fluidspezifische Verhaltensweisen beschrieben. Werden diese Modellans¨atze in die allgemeinen Bilanzgleichungen eingesetzt, so gelten diese nat¨urlich auch nur f¨ur Fluide, welche dieses Fluidverhalten aufweisen. In der Energietechnik h¨aufig vorkommende Fluide sind zum Beispiel Luft oder Wasser. Diese beiden Fluide verhalten sich in sehr guter N¨aherung nach dieses Modellannahmen. Diese Modellannahmen werden auch als konstitutive Gleichungen bezeichnet.

3.1 Vorbemerkungen

39

Newtonsches Fluidverhalten Die Impulsbilanz beschreibt den Zusammenhang zwischen den an einem Fluidelement angreifenden inneren und a¨ ußeren Kr¨aften und den Tr¨agheitskr¨aften. Wie sp¨ater gezeigt werden soll, geh¨oren die Schubspannungen zu den a¨ ußeren Kr¨aften. Diese Schubspannungen τij∗ sollen in den hier zu untersuchenden Fluiden proportional zu den Verformungsgeschwindigkeiten ∂u∗i /∂x∗i sein. Der Proportionalit¨atsfaktor wird als dynamische Viskosit¨at η ∗ bezeichnet. Formelm¨aßig ausgedr¨uckt l¨asst sich dieses Fluidverhalten wie folgt beschreiben:  τij∗ = η ∗

∂u∗j ∂u∗i + ∗ ∂x∗j ∂xi

.

(3.4)

Fluide, deren Schubspannungsverhalten Gleichung (3.4) folgt, werden auch Newtonsche Fluide genannt.

Fouriersches W¨armeleitungsverhalten Eine Energiebilanz wurde bereits in Abschnitt 2.1.2 in Gleichung (2.12) f¨ur einen offenen Kontrollraum aufgestellt. Wie sp¨ater gezeigt werden soll, kann diese Bilanzierung auch an einem infinitesimalem Volumenelement eines Fluides aufgestellt werden. Zur Schließung des Gleichungssystems wird aber ein Zusammenhang zwischen dem Vektor der W¨armestromdichte q˙∗ und dem Temperaturfeld ben¨otigt. Wie in den Erl¨auterungen zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in Abschnitt 2.1.3 erw¨ahnt wurde, k¨onnen W¨armestr¨ome nur bei dem Vorhandensein von Temperaturgradienten auftreten. Unterstellt man nun eine Richtungsunabh¨angigkeit (Isotropie) f¨ur diese W¨armeleitung, so kann ein einfacher linearen Zusammenhang zwischen dem Vektor der W¨armestromdichte q˙∗ und dem Temperaturgradienten grad T ∗ formelm¨aßig wie folgt ausgedr¨uckt werden: q˙∗ = −λ∗ grad T ∗ .

(3.5)

Der Proportionalit¨atsfaktor in Gleichung (3.5) wird als die W¨armeleitf¨ahigkeit λ∗ bezeichnet. Das Minuszeichen ber¨ucksichtigt, dass ein W¨armestrom stets in Richtung abnehmender Temperaturgradienten fließt. Ein W¨armeleitungsverhalten nach Gleichung (3.5) wird auch Fouriersches W¨armeleitungsverhalten genannt.

3.1.4 Das Turbulenzproblem Turbulente Str¨omungen zeichnen sich durch starke und weitgehend unregelm¨aßige schwankende Str¨omungsgeschwindigkeiten, Dr¨ucke und Temperaturen aus. In Abbildung 3.1 ist ein typischer zeitlicher Verlauf einer Geschwindigkeitsmessung an einem Ort dargestellt.

40

Entropieproduktion in Str¨omungen

Geschwindigkeit u (t,* x,* y,* z*)

Momentangeschwindigkeit u*= u*+ u*’ schwankende Geschwindigkeit u*’ (t,* x,* y,* z*)

*

zeitgemittelte Geschwindigkeit u* (x,* y,* z* ) *

Zeit t *

Abbildung 3.1: Zeitabh¨angigkeit der Geschwindigkeitsmessung an einem festen Ort (x∗ , y ∗ , z ∗ ) in einer turbulenten Str¨omung

Dieser Verlauf entsteht durch die in turbulenten Str¨omungen auftretenden Wirbel. Wird eine Gr¨oße G∗ an einem festen Ort gemessen, so erscheint ihr zeitlicher Verlauf aufgrund der vorbeistr¨omenden Wirbel als stark schwankende Gr¨oße. Diese schwankende Gr¨oße kann u¨ ber eine Zeitspanne ∆t∗ gemittelt werden. Die sich daraus ergebene Gr¨oße ist eine zeitgemittelte Gr¨oße, welche definitionsgem¨aß zeitunabh¨angig ist. Dieser zeitliche Mittelwert soll im Folgenden durch einen hochgestellten waagerechten Strich gekennzeichnet werden: G∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ ) :=

1 ∆t∗



t∗1 +∆t∗

t∗1

G∗ (t∗ , x∗ , y ∗ , z ∗ ) dt∗ .

(3.6)

Die Differenz der zeitgemittelten Gr¨oße G∗ zu dem Momentanwert G∗ (t∗ ) ist die Schwankungsgr¨oße. Diese soll durch einen hochgestellten Strich  gekennzeichnet werden: G∗ (t∗ , x∗ , y ∗ , z ∗ ) := G∗ (t∗ , x∗ , y ∗ , z ∗ ) − G∗ (x∗ , y ∗ , z ∗ )

.

(3.7)

In Abbildung 3.1 ist am Beispiel der Geschwindigkeit die Bedeutung der zeitgemittelten und der Schwankungsgr¨oße verdeutlicht. In dieser Arbeit sollen keine detaillierten Untersuchungen der turbulenten Strukturen in Str¨omungen und deren Einfluss auf die Entropieproduktion untersucht werden. Es soll nur das Verhalten der Gr¨oßen im zeitlichen Mittel untersucht werden. Da zudem in dieser Arbeit Str¨omungen von Fluiden mit konstanten Stoffwerten untersucht werden sollen, ist es m¨oglich, die so genannte konventionelle Mittlung nach den Gleichungen (3.6) und (3.7) auf alle Str¨omungsgr¨oßen anzuwenden [ Herwig 2002]. Die Geschwindigkeiten u∗ , v ∗ , w ∗ , der Druck p∗ , die Temperatur T ∗ und die spezi-

3.1 Vorbemerkungen

41

fische Entropie s∗ werden in eine zeitgemittelte und eine schwankende Gr¨oße aufgeteilt: u∗ = u∗ + u∗ , ∗

v =

v∗

+v

∗

(3.8)

,

(3.9)

w ∗ = w ∗ + w ∗ ,

(3.10)

p∗ = p∗ + p∗ ,

(3.11)

∗

T =

T∗

+T

∗

,

(3.12)

s∗ = s∗ + s∗ .

(3.13)

Aus den Definitionen der zeitgemittelten und Schwankungsgr¨oßen, Gleichungen (3.6) und (3.7), lassen sich unmittelbar einige Rechenregeln herleiten. So gilt f¨ur die Mittelwertbildung zweier beliebiger abh¨angiger Variablen a∗ und b∗ : a∗ = a∗ , a∗

+

b∗

=

a∗

+

(3.14) b∗

a∗ · b∗ = a∗ · b∗ , ∂a∗ ∂x∗i

=

∂a∗ ∂x∗i

a∗ = 0 .

,

,

(3.15) (3.16) (3.17) (3.18)

Im Folgenden sollen die zeitlich gemittelten Bilanzgleichungen f¨ur die Masse, den Impuls, die Energie und die Entropie f¨ur den Fall einer turbulenten Str¨omung mit konstanten Stoffwerten vorgestellt werden. Die Turbulenz wird durch eine Aufteilung aller Str¨omungsgr¨oßen in eine zeitgemittelte und eine Schwankungsgr¨oße nach den Gleichungen (3.8) bis (3.13) modelliert. Eine anschließende Anwendung der Zeitmittelung und der Rechenregeln (3.14) bis (3.18) f¨uhrt zu den hier vorgestellten Gleichungen. Die durch diese Zeitmittelung entstehenden Grundgleichungen werden h¨aufig auch als RANS bezeichnet. Diese Abk¨urzung steht f¨ur den englischen Ausdruck Reynolds Averaged NavierStokes. Unter der Navier-Stokes-Gleichung versteht man die Erhaltungsgleichung f¨ur Masse und Impuls mit der Verwendung der konstitutiven Gleichung (3.4) f¨ur die Schubspannungen. Durch die Zeitmittelung enthalten die Bilanzgleichungen Korrelationen aus Schwankungsgr¨oßen, das heißt turbulente Zusatzterme. Diese sind zus¨atzliche Unbekannte des Gleichungssystems, so dass insgesamt mehr Unbekannte als Gleichungen vorhanden sind. Dieses Ph¨anomen wird auch als das Schließungsproblem bei der Berechnung von turbulenten Str¨omungen bezeichnet. Zur L¨osung des Gleichungssystems m¨ussen neue Gleichungen f¨ur die turbulenten Zusatzterme gefunden werden. Diese Gleichungen lassen sich nicht aus den Grundgleichungen herleiten, sondern sind Folge einer so genannten Turbulenzmodellierung. Diese Modellgleichungen zur Schließung des Gleichungssystems und insbesondere die Modellbildung zur Beschreibung turbulenter Entropieproduktionsterme ist Thema des Kapitels 4. Zun¨achst aber soll die Vorstellung der Grundgleichungen erfolgen.

42

3.2

Entropieproduktion in Str¨omungen

Massenerhaltung (Kontinuit¨atsgleichung)

Die Grundaussage der Massenerhaltung ist, dass die Masse ∆m∗ in jedem Fluidelement des Volumens ∆V ∗ erhalten bleibt. Es gilt in der teilchenfesten Betrachtungsweise: D∆m∗ D (∗ ∆V ∗ ) = =0 . (3.19) ∗ Dt Dt∗ Wird das Fluidelement durch einen Quader mit den Kantenl¨angen ∆x∗ , ∆y ∗ , ∆z ∗ beschrieben, so ¨ gilt nach dem Ubergang in die ortsfeste Betrachtungsweise und der Zeitmittelung von Gleichung (3.19) f¨ur ein Fluid mit unver¨anderlicher Dichte ∗ in kartesischen Koordinaten: ¨ KONTINUIT ATSGLEICHUNG : ∂u∗ ∂v ∗ ∂w ∗ + + =0 . ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

3.3

(K ∗ )

Impulsgleichungen

Wird das Newtonsche Axiom der Mechanik (das Tr¨agheitsprinzip) auf ein infinitesimales Volumenelement eines Fluides angewandt, so erh¨alt man die Impulsgleichungen. Nach diesem Axiom ist die ¨ zeitliche Anderung des Impulses eines K¨orpers gleich der Summe aller an ihm angreifenden Kr¨afte. F¨ur ein Fluidelement der Masse ∆m∗ = ∗ ∆V ∗ = ∗ ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ heißt das im teilchenfesten Koordinatensystem: Dv ∗  ∗ ∗ ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ ∗ = Fi . (3.20) Dt i ∗

i , die auf das Fluidelement wirken. Zum einen gibt es VolumenEs gibt zwei Arten von Kr¨aften F kr¨afte, die am gesamten Volumen angreifen. Dazu geh¨oren zum Beispiel die Schwerkraft, Zentrifugalkr¨afte oder Lorenz-Kr¨afte. Bis auf die Schwerkraft sollen diese Volumenkr¨afte in dieser Arbeit unber¨ucksichtigt bleiben. Die andere Art der Kr¨afte sind so genannte Oberfl¨achenkr¨afte, die nach dem Schnittprinzip der Mechanik an den Oberfl¨achen eines Fluidvolumens angreifen. Geht man wieder von einem quaderf¨ormigen Volumenelement aus, so greifen an allen sechs Oberfl¨achen Normal¨ und Tangentialkr¨afte an. Durch den Ubergang zu einem infinitesimalen Fluidelement werden aus diesen Oberfl¨achenkr¨aften Spannungen. Diese werden formal in einen so genannten Spannungstensor mit neun Komponenten, von denen aus Symmetriegr¨unden nur sechs verschieden sind, gebracht. Die Kr¨afte ergeben sich aus dem Produkt einer Spannung mit der zugeh¨origen Fl¨ache. Von den im Spannungstensor auftretenden Normalspannungen ist es in der Str¨omungsmechanik u¨ blich, den thermodynamischen Druck abzuspalten, so dass der Spannungstensor zu dem deviatorischen Spannungstensor τij∗ wird. Der Druck wird dann in der Impulsbilanz zu einer zus¨atzlichen Oberfl¨achenkraft. Die

3.3 Impulsgleichungen

43

Spannungen dieses Tensors m¨ussen in einen Zusammenhang mit den Scherraten in der Str¨omung gebracht werden, um eine L¨osung des Gleichungssystems zu erm¨oglichen. Nur so kann gew¨ahrleistet werden, dass die Anzahl der Unbekannten nicht die der Gleichungen u¨ berschreitet. In dieser Arbeit soll das schon vorgestellte Newtonsche Fluidverhalten, Gleichung (3.4), gelten. Im Verlauf der weiteren Herleitung wird Gleichung (3.20) durch das Fluidvolumen geteilt, f¨ur die Schubspannungen das Newtonsche Fluidverhalten, Gleichung (3.4), unterstellt und in die ortsfeste Betrachtungsweise u¨ berf¨uhrt. Nach dem Einsetzen der Aufspaltung in zeitgemittelte und Schwankungsgr¨oßen, Gleichungen (3.8) bis (3.11), und der anschließenden Zeitmittelung und Anwendung der Regeln (3.14) bis (3.18) treten turbulente Zusatzterme in Form von Korrelationen der schwankenden Geschwindigkeiten auf. Diese k¨onnen als Gradienten zus¨atzlicher Spannungen interpretiert wer∗ den und sind auch als der Reynoldsche Spannungstensor τij∗ = −∗ u∗ i ui bekannt. Die turbulenten Zusatzterme werden dann formal auf die rechte Seite der Impulsgleichungen geschrieben. Insgesamt ergeben sich f¨ur ein Newtonsches Fluid in einem ortsfesten kartesischen Koordinatensystem nach diesen Schritten folgende zeitgemittelte Impulsgleichungen: x-I MPULSGLEICHUNG : ∗

 2 ∗ ∂ u Du∗ ∂p∗ ∂ 2 u∗ ∂ 2 u∗ ∗ ∗ ∗ =  g − + η + + x Dt∗ ∂x∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2   ∂u∗2 ∂u∗v ∗ ∂u∗ w ∗ ∗ + + − ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(XI ∗ )

y-I MPULSGLEICHUNG : ∗

 2 ∗ ∂ v Dv ∗ ∂p∗ ∂ 2v ∗ ∂ 2v ∗ ∗ ∗ ∗ =  g − + η + + y Dt∗ ∂y ∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2   ∗ ∗ ∂v u ∂v ∗2 ∂v ∗w ∗ − ∗ + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(Y I ∗ )

z-I MPULSGLEICHUNG : ∗

 2 ∗ ∂ w Dw ∗ ∂p∗ ∂ 2 w∗ ∂ 2 w∗ ∗ ∗ ∗ =  g − + η + + z Dt∗ ∂z ∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2   ∂w ∗ u∗ ∂w ∗v ∗ ∂w ∗2 ∗ − + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(ZI ∗ )

44

3.4

Entropieproduktion in Str¨omungen

Energiegleichungen

In Abschnitt 2.1.2 wurde die Energieerhaltung in Form des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik, Gleichung (2.12), vorgestellt. Diese Aussage soll nun auf ein infinitesimales Volumenelement eines inkompressiblen Fluides erweitert werden. F¨ur dieses Fluidelement der Masse ∆m∗ = ∗ ∆V ∗ = ∗ ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ gilt in einem teilchenfesten Koordinatensystem folgende Energiebilanz:  D 1 (3.21) ∗ ∆x∗ ∆y ∗ ∆z ∗ ∗ u∗ + v ∗2 = P ∗ + Q˙ ∗ . Dt 2 In [ Herwig 2002] ist eine ausf¨uhrliche Herleitung der Energiegleichung beschrieben. Hier sollen nur kurz die Schritte beschrieben werden, die zu einer Energiebilanzgleichung an einem infinitesimalen Volumenelement eines Fluides in der ortsfesten Betrachtungsweise f¨uhren. Zun¨achst wird eine spezifische Gesamtenthalpie H ∗ = h∗ + 1/2 v ∗2 = u∗ + p∗ /∗ + 1/2 v ∗2 definiert und in Gleichung (3.21) eingesetzt. Anschließend wird ein Ausdruck f¨ur die mechanische Leistung P ∗ gefunden. Diese ist die Arbeit der angreifenden Kr¨afte pro Zeiteinheit. Der W¨armestrom Q˙ ∗ ist die effektiv pro
Zeitein heit in das Volumenelement ein- oder austretende W¨arme. Diese kann mittels Q˙ ∗ = −div q˙∗ ∆V ∗ als Differenz der ein- und austretenden W¨armestromdichten q˙∗ in den drei Raumrichtungen ermittelt werden. F¨ur diese W¨armestromdichten kann wieder eine konstitutive Gleichung in Form des Fourierschen W¨armeleitungsansatzes (3.5) eingesetzt werden. Wenn die Gleichung f¨ur die Gesamtenthalpie nun durch ∆V ∗ dividiert und in die teilchenfeste Betrachtungsweise gebracht wird, erh¨alt man die Transportgleichung f¨ur die Gesamtenthalpie H ∗ [ Herwig 2002]. Die physikalische Aussage dieser Gleichung ist nichts anderes als die Anwendung des Energieerhaltungssatzes, Gleichung (2.12), auf ein infinitesimales Fluidelement. Diese Gleichung braucht an dieser Stelle nicht explizit vorgestellt zu werden. Hier soll vielmehr die Aufspaltung dieser Gesamtenthalpie in mechanische und thermische Energie erfolgen. Die mechanische Energie besteht ihrerseits aufgrund der Zeitmittelung aus zwei Anteilen: der mechanischen Energie der mittleren Bewegung und der mechanischen Energie der Schwankungsbewegung. Die Transportgleichung f¨ur die Gesamtenthalpie ist die Summe der Einzelenergiegleichungen. Die Anmerkungen zur Herleitung der Energiegleichung f¨ur die Gesamtenergie werden an dieser Stelle gemacht, weil die Energiegleichung f¨ur die thermische Energie nur aus der Differenz der Gesamtenthalpie und der mechanischen Energie erhalten werden kann. Eine Transportgleichung f¨ur die mechanische Energie kann aus der Impulsgleichung hergeleitet werden, indem wie in Gleichung (2.3) die Impulsgleichungen (XI ∗ ) bis (ZI ∗ ) mit den entsprechenden Geschwindigkeitskomponenten multipliziert und anschließend addiert werden. Nach einer Aufspaltung aller Terme in zeitlich mittlere und Schwankungsterme entsprechend (3.8) bis (3.11), einer Zeitmittelung und der Anwendung der Rechenregeln (3.14) bis (3.18) erh¨alt man die Energiegleichungen f¨ur die mechanischen Energien der mittleren und der Schwankungsbewegung. Die Terme in den so entstanden Energiegleichungen k¨onnen physikalisch interpretiert werden. Die Abbildung 3.2 verdeutlicht den Energietransport in einer turbulenten Str¨omung auf dem Hintergrund

3.4 Energiegleichungen

45

der Modellvorstellung von zeitlich mittleren und Schwankungsgr¨oßen. In dieser Modellvorstellung wandert die Energie von gr¨oßeren Skalen zu immer kleineren Skalen: von der mechanische Energie der mittleren Bewegung (große Skalen) u¨ ber die mechanische Energie der Schwankungsbewegung (mittlere Skalen) zu der thermischen Energie (kleine Skalen). Diese kann nach der statistischen Theorie der Thermodynamik auch als ungeordnete Schwankungsbewegung von Molek¨ulen aufgefasst werden, w¨ahrend die mechanischen Energien der mittleren und der Schwankungsbewegung noch kinetische Energien im makroskopischen Sinne, also von kontinuierlichen Fluidballen beschreiben.
   


  


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Abbildung 3.2: Energiekaskade einer turbulenten Str¨omung. Modellvorstellung des Energietransportes der zeitgemittelten Energiegleichungen

Die Betrachtungen zum Energietransport sind in dieser Arbeit insofern wichtig, als dass die Dissipationen, welche in beiden mechanischen Energiegleichungen als Senken auftreten, zu der Entropieproduktion beitragen, siehe Abschnitt 2.3.4. Durch Kenntnis dieser beiden Terme w¨are in Verbindung mit der absoluten o¨ rtlichen Temperatur die lokale Entropieproduktion aufgrund von Dissipation bekannt. An dieser Stelle muss noch einmal ausdr¨ucklich darauf hingewiesen werden, dass es sich bei der Energiekaskade und den drei Energiegleichungen aufgrund der Zeitmittelung um ein Modell des

46

Entropieproduktion in Str¨omungen

Energiehaushaltes einer turbulenten Str¨omung handelt. In der Natur tritt so etwas wie eine direkte oder eine indirekte Dissipation nicht auf. In turbulenten Str¨omungen findet ein kontinuierlicher ¨ Ubergang der Wirbel zu immer kleineren Skalen statt, bis diese schließlich eine ungeordnete Bewegung von Molek¨ulen, das heißt thermische Energie darstellen. Die Unterscheidung von direkter und indirekter Dissipation ist aber aufgrund der weiten Verbreitung von Berechnungen turbulenter Str¨omungen auf der Basis der zeitgemittelten Gleichungen ein hilfreiches Mittel zur Ermittlung der Entropieproduktion. Die zeitgemittelten Energiegleichungen lauten f¨ur ein infinitesimales Volumenelement eines Newtonschen, inkompressiblen Fluides unter Annahme der Fourierschen W¨armeleitung in der ortsfesten Betrachtungsweise in kartesischen Koordinaten:

3.4.1 Mechanische Energie der Mittleren Bewegung M ECHANISCHE E NERGIE DER M ITTLEREN B EWEGUNG :   ∂p∗ Dp∗ ∗ D
∗ 2 ∗ ∗ 2 + w∗ 2 = u + v − ∗ + DM − Φ∗ 2 Dt∗ ∂t∗ Dt   + ∗ u∗ gx∗ + v ∗ gy∗ + w ∗ gz∗

(ME ∗ )

∗ ∗ − TPRO . − TDM

∗ ∗ ∗ ∗ Die Terme DM , TDM und TPRO sind im Anhang in ausf¨uhrlicher Form dargestellt. Der Term DM ∗ beschreibt die molekulare Diffusion und der Term TDM die turbulente Diffusion von mechanischer Energie der mittleren Bewegung. Der Term TP∗ RO kann als Produktion von kinetischer Energie der Schwankungsbewegung interpretiert werden. Er ist in der Gleichung (ME ∗ ) eine Senke und stellt eine Quelle in der Gleichung f¨ur die mechanische Energie der Schwankungsbewegung dar. Dieser Zusammenhang ist anschaulich in der Abbildung 3.2 dargestellt.

Eine weitere Senke ist die bereits beschriebene direkte Dissipation Φ∗ . Diese direkte Dissipation ist die Arbeit der angreifenden Kr¨afte pro Zeiteinheit. Die an einem Fluidelement angreifenden Kr¨afte sind die Scherkr¨afte, welche in einem Newtonschen Fluid u¨ ber den Newtonschen Schubspannungsansatz (3.4) ermittelt werden k¨onnen. Eine Arbeit pro Zeiteinheit und pro Volumen erh¨alt man durch Multiplikation dieser (deviatorischen) Schubspannungen mit den Schergeschwindigkeiten:   ∗ ∂u∗j ∂u∗i ∂u∗i ∗ ∂ui ∗ ∗ Φ = τ ij ∗ = η + ∗ ∂xj ∂x∗j ∂xi ∂x∗j    2  ∗ 2  2 ∂u∗ ∂v ∗ ∂w ∗ =η 2 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ 2  ∗ 2   ∗  2 ∂u ∂v ∗ ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∂w ∗ + + + + + + . (3.22) ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗

3.4 Energiegleichungen

47

Gleichung (3.22) stellt die Dissipationsfunktion eines Newtonschen Fluides in kartesischen Koordinaten dar. Durch Kenntnis der Geschwindigkeitsgradienten kann an jedem Ort in der Str¨omung der Anteil der mechanischen Energie ermittelt werden, welcher direkt in thermische Energie u¨ bergeht. Dieser Zusammenhang wird im Folgenden bei der Berechnung der lokalen Entropieproduktion Anwendung finden.

3.4.2 Mechanische Energie der Schwankungsbewegung Definiert man analog zu der mechanischen Energie eine mechanische Ener
der mittleren Bewegung gie der Schwankungsbewegung mit k ∗ = 1/2 u∗2 + v ∗2 + w ∗2 , so kann f¨ur diese Termgruppe aus den Transportgleichungen f¨ur die schwankenden Geschwindigkeiten u∗ , v ∗ und w ∗ eine Transportgleichung hergeleitet werden [ Herwig 2002]: M ECHANISCHE E NERGIE DER S CHWANKUNGSBEWEGUNG :

∗

Dk ∗ ∗ ∗ = Dk∗ − TDk + TPRO − TΦ∗ . Dt∗

(MES ∗ )

In der Modellvorstellung der Bewegung einer turbulenten Str¨omung mit zeitlich mittleren Gr¨oßen und Schwankungsgr¨oßen stellt k ∗ den Anteil der mechanischen Energie dar, welcher in der turbulen∗ ∗ ten Bewegung des Fluides enthalten ist. Die Terme Dk∗ , TDk und TPRO k¨onnen wieder dem Anhang entnommen werden. Sie beschreiben die molekulare und turbulente Diffusion sowie die Produktion von mechanischer Energie der Schwankungsbewegung. Ein Blick auf die Gleichungen (ME ∗ ) und ∗ (MES ∗ ) offenbart, dass der Term TPRO in beiden Gleichungen mit unterschiedlichem Vorzeichen auftritt. Der Term selber ist immer positiv. Die Produktion von turbulenter kinetischer Energie ist eine Senke in der Energiegleichung der mittleren Bewegung und eine Quelle in der Energiegleichung der Schwankungsbewegung. Dieser Zusammenhang kann anschaulich auch der Abbildung 3.2 entnommen werden. Der Term TΦ∗ stellt die Dissipation von mechanischer Energie der Schwankungsbewegung, das heißt die indirekte Dissipation dar, siehe auch Abbildung 3.2. Dieser Term ist wie in Gleichung (ME ∗ ) die Arbeit pro Zeiteinheit und Volumen an einem infinitesimalen Fluidelement, wobei es sich in diesem Fall um die Arbeit der turbulenten Scherkr¨afte handelt. Diese turbulenten Scherkr¨afte sind die Spannungen aufgrund der Schwankungsgeschwindigkeiten, welche nicht mit den Zusatztermen in den zeitgemittelten Impulsgleichungen (XI ∗ ) bis (ZI ∗ ), das heißt den Reynoldsspannungen verwechselt werden d¨urfen. Werden diese mit den (turbulenten) Schergeschwindigkeiten multipliziert,

48

Entropieproduktion in Str¨omungen

so erh¨alt man die indirekte Dissipation:   ∂u∗ ∂u∗ ∂u∗ j i i TΦ∗ = η ∗ + ∗ ∗ ∂xj ∂xi ∂x∗j   2  ∗ 2  ∗ 2  ∂v ∂w ∂u∗ = η∗ 2 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗  ∗  2  ∗ 2  2 ∂u ∂v ∗ ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∂w ∗ + . + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗

(3.23)

Sind mit Hilfe einer Turbulenzmodellierung die Gradienten der Schwankungsgeschwindigkeiten bekannt, so kann die indirekte Dissipation an jedem Punkt im Str¨omungsfeld berechnet werden. Durch die Kenntnis der indirekten Dissipation ist eine weitere Quelle der Entropieproduktion bekannt.

3.4.3 Thermische Energie Nach Abbildung 3.2 wird die mechanische Energie in jeder Str¨omung direkt und u¨ ber den Umweg der turbulenten Schwankungsbewegung in thermische Energie u¨ berf¨uhrt. Eine Transportgleichung f¨ur die thermische Energie kann durch Subtraktion der mechanischen Energie von der Gesamtenthalpie H ∗ ermittelt werden. Von dieser Gesamtenthalpie wird die spezifische Enthalpie h∗ mit h∗ = H ∗ − 1/2 v∗ abgespalten. Dieser Gleichung kann unter Anwendung des vollst¨andigen Differentials f¨ur ein inkompressibles Fluid  ∗  ∗ ∂h ∂h DT ∗ Dp∗ Dh∗ = + , Dt∗ ∂T ∗ p Dt∗ ∂p∗ T Dt∗ DT ∗ 1 Dp∗ = c∗p ∗ + ∗ ∗ , (3.24) Dt  Dt in eine Energiegleichung in Form einer Temperaturgleichung u¨ berf¨uhrt und anschließend zeitlich gemittelt werden. Die so entstandene zeitgemittelte Energiegleichung in der Temperaturform lautet in der ortsfesten Betrachtungsweise in kartesischen Koordinaten f¨ur ein inkompressibles, Newtonsches Fluid unter Annahme der Fourierschen W¨armeleitung: T HERMISCHE E NERGIE : ∗ c∗p

∂ 2T ∗ ∂ 2 T ∗ ∂ 2T ∗ + + + Φ∗ + TΦ∗ ∗2 ∗2 ∗2 ∂x ∂y ∂z  ∗ ∗ ∂u T ∂v ∗T ∗ ∂w ∗T ∗ ∗ − ∗ c∗p + + . + TDG ∗ ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z

DT ∗ =λ∗ Dt∗



(T E ∗ )

∗ Der Term TDG kann dem Anhang entnommen werden. Er beschreibt eine Druck-GeschwindigkeitsKorrelation, das heißt einen Zusammenhang zwischen den schwankenden Geschwindigkeiten und dem schwankenden Druck.

3.5 Die Transportgleichung der Entropie

49

Die in Abbildung 3.2 dargestellten Dissipationsterme sind in der Gleichung f¨ur die thermische Energie in Form der direkten Dissipation Φ∗ und der indirekten Dissipation TΦ∗ enthalten. Diese Dissipationsterme entstehen erst durch die Aufteilung der Gesamtenergie in die beiden mechanischen Energien und die thermische Energie. In der Gleichung f¨ur die Gesamtenthalpie H ∗ gibt es so etwas wie die Dissipation nicht. Die Gleichung f¨ur die zeitgemittelte thermische Energie enth¨alt auch Terme, welche die Diffusion von thermischer Energie, das heißt W¨armeleitung, beschreiben. Dies sind aufgrund der Aufteilung in zeitlich gemittelte und Schwankungsgr¨oßen die molekulare W¨armeleitung in Form der   ∗ und die turbulenten W¨armestromdichten ∗ c∗p u∗ W¨armestromdichten −λ∗ ∂ 2 T ∗ /∂x∗2 i i T . Da in dieser Arbeit nur Fluide mit konstanten Stoffwerten untersucht werden sollen, ist die Gleichung (T E ∗ ) nicht mit der Impulsgleichung oder den mechanischen Energiegleichungen gekoppelt und kann bei geeigneter Modellierung der turbulenten W¨armestromdichten nach einer Ermittlung ¨ des Geschwindigkeitsfeldes gel¨ost werden. Ahnlich verh¨alt es sich mit der Entropie. Auch diese Gleichung ist nicht mit den Impuls- und Energiegleichungen gekoppelt und kann nach der Ermittlung der Geschwindigkeits- und Temperaturfelder gel¨ost werden. Eine ausf¨uhrliche Herleitung der Transportgleichung f¨ur die Entropie soll diesen Zusammenhang verdeutlichen. Außerdem soll in dieser Herleitung insbesondere auf die Ermittlung der Entropieproduktionsterme auf der Basis von partiellen Differentialgleichungen eingegangen werden.

3.5

Die Transportgleichung der Entropie

In der Literatur findet sich keine systematische Herleitung einer zeitgemittelten Transportgleichung f¨ur die Entropie. In [ Drost und White 1991b] erfolgt zwar eine Berechnung der lokalen Entropieproduktionsstr¨ome auf der Basis von zeitgemittelten partiellen Differentialgleichungen in einem turbulenten Freistrahl, jedoch findet keine systematische Herleitung dieser zeitgemittelten Gleichung statt. Aus diesem Grund bleibt in dieser Arbeit eine wichtige Entropieproduktionsursache unber¨ucksichtigt. Im Gegensatz zu den in der Literatur bekannten und in den Abschnitten 3.2 bis 3.4 deshalb nur kurz vorgestellten zeitgemittelten Gleichungen f¨ur die Massen-, Impuls und Energiebilanz soll aus diesem Grund eine ausf¨uhrliche Herleitung der zeitgemittelten Transportgleichung f¨ur die Entropie durch eine Zeitmittelung der (zeitabh¨angigen) momentanen Transportgleichung erfolgen. Es soll dabei der Transport der spezifischen Entropie s∗ = S ∗ /m∗ untersucht werden. Ausgangspunkt f¨ur diese Herleitung ist die Gibbschen Relation: T ∗ ds∗ = dh∗ −

1 ∗ dp . ∗

(3.25)

Im Folgenden sollen alle Betrachtungen f¨ur den Spezialfall eines einkomponentigen Materials gelten, bei dem keine chemischen Reaktionen und keine Phasen¨anderungen auftreten. Ausgehend von Gleichung (3.25) kann durch Bilanzierung an einem infinitesimalen Kontrollraum die materielle

50

Entropieproduktion in Str¨omungen

¨ Anderung beschrieben werden: T∗

Ds∗ Dh∗ 1 Dp∗ = − ∗ ∗ . ∗ ∗ Dt Dt  Dt

(3.26)

Mit Hilfe der Bilanzgleichung f¨ur die Enthalpie ∗


 Dp∗ Dh∗ = Φ∗ − div q˙∗ − ∗ , Dt∗ Dt

(3.27)

siehe dazu [ Herwig 2002] und die Anwendung der Energiebilanz (2.12) auf ein infinitesimales Kon¨ trollvolumen und die Anmerkungen in Abschnitt 3.4.3, kann die momentane Anderung der spezifischen Entropie in der teilchenfesten Betrachtungsweise wie folgt beschrieben werden: ∗


 Φ∗ 1 Ds∗ = ∗ − ∗ div q˙∗ ∗ Dt T T

.

(3.28)

¨ Auf der linken Seite von Gleichung (3.28) kann die Anderung der spezifischen Entropie s∗ in dem finiten Kontrollraum identifiziert werden. In der Eulerschen (ortsfesten) Betrachtungsweise kann dieser Term entsprechend Gleichung (3.3) geschrieben werden. Es sei hier noch einmal ausdr¨ucklich darauf hingewiesen, dass es sich bei Gleichung (3.28) um eine Bilanzgleichung f¨ur momentane, das heißt nichtzeitgemittelte Gr¨oßen handelt. Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung (3.28) beinhaltet die momentane (zeitabh¨angige) Dissipation Φ∗ . Dieser Term kann also als die Entropieproduktion durch Dissipation von kinetischer Energie identifiziert werden. ¨ Wenn man sich die Uberlegungen zu der Entropieproduktion durch W¨armeleitung in Abschnitt 2.3.3 in Erinnerung ruft, welche auch f¨ur die Bilanz an einem infinitesimalen Kontrollraum gelten, so beschreibt der letzte Term in Gleichung (3.28) nach Abbildung 2.8 sowohl den Entropietransport durch Leitung (schraffierter Teil des Entropietransportes in Abbildung 2.8 ) als auch den Entropieproduktionsstrom aufgrund finiter Temperaturgradienten (dunkel hinterlegter
Teil  des Entropietransportes in Abbildung 2.8). Durch folgende Umformung des Terms 1/T ∗ · div q˙∗ in einem kartesischen Koordinatensystem k¨onnen diese beiden Mechanismen von einander getrennt werden:  


 q˙y∗ ∂T ∗ q˙∗ q˙x∗ ∂T ∗ q˙z∗ ∂T ∗ 1 ∗  = div div q ˙ + + + T∗ T∗ T ∗2 ∂x∗ T ∗2 ∂y ∗ T ∗2 ∂z ∗  

  Diffusion

(3.29)

Entropieproduktion durch W¨armeleitung


Der Term div q˙∗ /T ∗ beinhaltet dann nur noch den Entropietransport aufgrund von Leitung (Diffusion). Die Transportgleichung der spezifischen Entropie s∗ lautet in der Eulerschen (ortsfesten)

3.5 Die Transportgleichung der Entropie

51

Betrachtungsweise in kartesischen Koordinaten schließlich:  ∗

 ∗ ∗ ∗ ∗ q ∂s∗ ∗ ∂s ∗ ∂s ∗ ∂s + u + v + w = −div ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T∗     Konvektion

Diffusion

Φ∗ + ∗ T

 Entropieproduktion durch Dissipation

∗  q˙y∗ ∂T ∗ q˙x ∂T ∗ q˙z∗ ∂T ∗ − ∗2 + + . T ∂x∗ T ∗2 ∂y ∗ T ∗2 ∂z ∗  

(3.30)

Entropieproduktion durch W¨armeleitung

Die Gleichung (3.30) ist in der dargestellten Form ohne Informationen u¨ ber diese Dissipation Φ∗ und die W¨armestromdichten q˙i∗ nicht l¨osbar. Mit Hilfe konstitutiver Gleichung lassen sich aber Zusammenh¨ange zwischen diesen Gr¨oßen und den Feldgr¨oßen Geschwindigkeit und Temperatur finden, so dass die Gleichung (3.30) bei Kenntnis des Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes l¨osbar wird. Die erste konstitutive Gleichung ist der Newtonsche Schubspannungsansatz, Gleichung (3.4). Mit seiner Hilfe l¨asst sich die Dissipation in einem Fluid mit Newtonschem Spannungsverhalten durch Kenntnis der Geschwindigkeitsgradienten berechnen. Denn analog zu Gleichung (3.22) f¨ur die Dissipation der mittleren Bewegung l¨asst sich ein Term entwickeln, welcher die momentane o¨ rtliche Dissipation beschreibt. Dieser ist a¨ hnlich dem der direkten Dissipation, mit dem Unterschied, dass die momentanen o¨ rtlichen Geschwindigkeitsgradienten ben¨otigt werden. Zur Berechnung der W¨armestromdichten wird wieder der Fouriersche Ansatz der W¨armeleitung (3.5) herangezogen. Mit Hilfe dieser beiden konstitutiven Ans¨atze l¨asst sich der Transport von Entropie in kartesischen Koordinaten in einem Newtonschen Fluid mit konstanten Stoffwerten wie folgt beschreiben:  ∗

∗ ∗ ∗ ∂s∗ ∗ ∂s ∗ ∂s ∗ ∂s + u + v + w = ∂t∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗   Konvektion

    ∂ 1 ∂T ∗ 1 ∂T ∗ 1 ∂T ∗ ∂ ∂ λ∗ + + ∂x∗ T ∗ ∂x∗ ∂y ∗ T ∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T ∗ ∂z ∗

  Diffusion

  2  ∗ 2  ∗ 2  ∂v ∂w ∂u∗ +η 2 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ 2  ∗ 2    ∗ 2 ∂v ∗ ∂w ∗ ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∂u + + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗

  ∗

Entropieproduktion durch Dissipation

52

Entropieproduktion in Str¨omungen +

λ∗ T ∗2



∂T ∗ ∂x∗



2 +

∂T ∗ ∂y ∗ 



2 +

∂T ∗ ∂z ∗

2  .

(3.31)



Entropieproduktion durch W¨armeleitung

Gleichung (3.31) stellt die schon in Abschnitt 2.1.3 dargestellte Bilanzgleichung f¨ur die Entropie, Gleichung (2.15), an einem infinitesimal kleinem Kontrollraum in einem Fluid mit dem beschriebenen Stoffverhalten dar. Die konvektiv und durch Leitung ein- und austretenden Entropiestr¨ome befinden sich im Gleichgewicht mit den Entropieproduktionsstr¨omen. Der Gleichung (3.31) kann weiterhin entnommen werden, dass es sich bei den Produktionstermen um wirkliche Quellen und keine Senken handelt, da diese Terme offensichtlich immer positiv sind.

3.5.1 Zeitmittelung der Transportgleichung der Entropie Gleichung (3.31) ist sowohl f¨ur eine laminare als auch f¨ur eine turbulente Str¨omung g¨ultig, da bis zu diesem Punkt außer den konstitutiven Gleichungen keine weiteren Modelle angewendet wurden. In turbulenten Str¨omungen muss dabei aber beachtet werden, dass es sich bei allen Gr¨oßen, also der Entropie s∗ , der Temperatur T ∗ und den Geschwindigkeiten u∗ , v ∗ und w ∗ um momentane, das heißt um zeitabh¨angige Gr¨oßen handelt. Wenn diese Gr¨oßen zu jeden Zeitpunkt bekannt sind, kann die Transportgleichung f¨ur die Entropie (3.31) gel¨ost werden. Insbesondere k¨onnen dann zu jeden Zeitpunkt die Entropieproduktionsstr¨ome ermittelt werden. Das ist aber ohne eine aufwendige Rechnung, also der Anwendung einer so genannten Direkten numerischen Simulation nicht m¨oglich. Oft gen¨ugt es aber, Kenntnis u¨ ber die Vorg¨ange im zeitlichen Mittel zu erhalten. Aus diesem Grunde wurden in den Abschnitten 3.2 bis 3.4 auch die Gleichungen f¨ur den Impuls und die innere Energie im zeitlichen Mittel hergeleitet. Ein analoger Ansatz soll an dieser Stelle eine zeitlich gemittelte Transportgleichung f¨ur die Entropie ergeben. Alle Transportgr¨oßen in Gleichung (3.31) werden wieder durch zeitlich mittlere und Schwankungsgr¨oßen ersetzt, siehe Gleichungen (3.8) bis (3.13).

Zeitmittelung des konvektiven Entropietransportes Werden die Ans¨atze (3.8) bis (3.13) in den konvektiven Anteil von Gleichung (3.31) eingesetzt und zeitlich gemittelt, so folgt: ∂s∗ ∂s∗ ∂s∗ ∂s∗ ∂s∗ ∂s∗ ∂s∗ ∂S + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ = ∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∂t∗ ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ∂s∗ ∂s∗ ∂s∗ + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ . ∂x ∂y ∂z

(3.32)

3.5 Die Transportgleichung der Entropie

53

In inkompressibler Str¨omung gilt außerdem

 ∂s∗ ∂s∗ ∂s∗ ∂u∗ ∂v ∗ ∂w ∗ ∂u∗s∗ ∂v ∗s∗ ∂w ∗ s∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ = + + − s∗ ∗ + s∗ ∗ + s∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂u∗s∗ ∂v ∗s∗ ∂w ∗ s∗ + + . (3.33) = ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ Gleichung (3.33) kann als der zeitlich mittlere Entropietransport aufgrund der turbulenten Schwankungsbewegung, das heißt als turbulenter konvektiver Entropietransport interpretiert werden. u∗

Zeitmittelung des diffusiven Entropietransportes Die Aufteilung der Temperatur in eine zeitlich mittlere und eine Schwankungsgr¨oße f¨uhrt auf folgenden Term f¨ur den zeitlich mittleren diffusiven Entropietransport:

    ∂ 1 ∂T ∗ 1 ∂T ∗ 1 ∂T ∗ ∂ ∂ λ∗ + ∗ + ∗ = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂x T ∂x ∂y T ∂y ∂z T ∂z 

     ∂ T ∗ + T ∗ ∂ T ∗ + T ∗ 1 1 ∂ + ∂x∗ ∂y ∗ T ∗ + T ∗ ∂y ∗ T ∗ + T ∗     ∂ T ∗ + T ∗ 1 ∂  . + ∗ ∂z T ∗ + T ∗ ∂z ∗

∂ λ  ∗ ∂x ∗



(3.34)

Gleichung (3.34 ) soll an dieser Stelle nicht weiter umgeformt werden. Eine Vereinfachung ist ohne die Vernachl¨assigung bestimmter Korrelationen aus Schwankungs- und mittleren Gr¨oßen nicht m¨oglich. Es wird aufgrund der folgenden Erl¨auterungen einsichtig werden, dass eine genaue Beschreibung dieser Terme in dieser Arbeit nicht notwendig ist. Es soll hier nur auf die physikalische Interpretation der Terme hingewiesen werden: In turbulenten Str¨omungen gibt es einen Entropietransport aufgrund von molekularen und turbulenten W¨armestr¨omen. Im Hinblick auf die Erl¨auterungen zu der Bilanzgleichung der Entropie (2.15) in Abschnitt 2.1.3 sei an dieser Stelle noch einmal gesagt, dass diese Termgruppe alle Entropiestr¨ome beschreibt, welche zusammen mit W¨armestr¨omen u¨ ber die Bilanzgrenzen treten. Die Bilanzgrenzen k¨onnen feste Grenzen, wie W¨ande oder auch freie Systemgrenzen, wie zum Beispiel die Grenzen eines finiten Fluidelementes sein. An festen W¨anden verschwindet aufgrund der Haftbedingung der Entropietransport aufgrund turbulenter W¨armestr¨ome. An allen anderen Systemgrenzen muss dieser Termgruppe jedoch Beachtung geschenkt werden, da sie nicht notwendiger Weise verschwindet, wenn sie u¨ ber die Oberfl¨ache des Kontrollvolumens aufsummiert werden.

Zeitmittelung der Entropieproduktion durch Dissipation Bei dem Versuch, einen Ausdruck f¨ur die Entropieproduktion durch Dissipation von kinetischer Energie zu finden, st¨oßt man auf das Problem, dass ein zeitabh¨angiger Term, namentlich die Temperatur

54

Entropieproduktion in Str¨omungen

T ∗ , im Nenner des Ausdruckes steht. Das erschwert die Anwendung der Regeln f¨ur die Zeitmittelung. F¨ur diesen Term soll zun¨achst eine Reihenentwicklung gefunden werden, mit deren Hilfe eine Zeitmittelung der Entropieproduktion auf einfache Weise m¨oglich wird. Eine Reihenentwicklung der reziproken Temperatur um die mittlere Temperatur (das heißt f¨ur T ∗ = 0) ist:



   ∗ 2  ∗ 3 1 1 T T 1 T ∗ 1   = − ± .... . = ∗ 1− ∗ + ∗ T ∗ + T ∗ T ∗ 1 + TT ∗ T T T∗ T∗

(3.35)

Die Reihenentwicklung soll nach dem zweiten Term abgebrochen werden. Es wird im Folgenden einsichtig werden, dass dieses Vorgehen berechtigt ist, wenn Korrelationen h¨oherer Ordnung vernachl¨assigt werden sollen. Eine zeitgemittelte Entropieproduktion durch Dissipation von kinetischer Energie in Newtonschen Fluiden kann nun wie folgt beschrieben werden: 

Φ∗ T∗

=

1 T∗

   2  2  2  ∂(u∗ + u∗ ) ∂(v ∗ + v ∗) ∂(w ∗ + w ∗) T ∗ + + 1 − ∗ · η∗ 2 ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T   2 2 ∂(u∗ + u∗ ) ∂(v ∗ + v ∗ ) ∂(u∗ + u∗ ) ∂(w ∗ + w ∗ ) + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗   2 ∂(v ∗ + v ∗) ∂(w ∗ + w ∗) + + . (3.36) ∗ ∗ ∂z ∂y

Nach dem Ausmultiplizieren der Terme und der Anwendung der Regeln zur Zeitmittelung, Gleichungen (3.14) bis (3.18), erh¨alt man nach Umsortieren folgenden Ausdruck (eine Fortsetzung der Gleichung folgt auf der n¨achsten Seite): 

Φ∗ T∗



  2  ∗ 2  ∗ 2  ∂u∗ ∂v ∂w η∗ · 2 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T∗   2   ∗ 2 2 ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∗ ∂w ∗ ∂u ∂v ∗ + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗ =

  2  ∗ 2  ∗ 2  η∗ ∂u∗ ∂v ∂w + ∗· 2 + + ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z ∗ T  ∗   ∗ 2  2 2 ∂u ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∂v ∗ ∂w ∗ + + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗

3.5 Die Transportgleichung der Entropie  

55

2  ∂w ∗ 2 ∂z ∗ T∗  ∗  ∗ 2  ∗ 2 ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∗ ∂w ∗ + + T ∗ + + T ∗ + + T ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y   ∗ ∂u∗ ∗ ∂v ∗ ∗ ∂w ∗ ∂u ∂v ∂w + 4 T ∗ ∗ · + T ∗ ∗ · + T ∗ ∗ · ∂x ∂x∗ ∂x ∂x∗ ∂x ∂x∗   ∂u∗ ∂u∗ ∂u∗ ∂u∗ ∂v ∗ ∂v ∗ ∗ ∗ ∗ · +T · +T · +2 T ∂y ∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂x∗   ∂v ∗ ∂v ∗ ∗ ∂w ∗ ∂w ∗ ∂w ∗ ∂w ∗ ∗ ∗ +2 T · T · +T · ∂z ∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂y ∗   ∂u∗ ∂v ∗ ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∗ ∂w ∗ ∗ ∗ ∗ · +T · +T · +2 T ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗   ∂u∗ ∂v ∗ ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∗ ∂w ∗ ∗ ∗ ∗ +2 T · +T · +T · . ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗ −

η∗

· 2 T ∗



∂u∗ ∂x∗ ∗ 2

2



+ T ∗

∂v ∗ ∂y ∗

2



+ T ∗

(3.37)

Die erste (nicht grau hinterlegte) Termgruppe in Gleichung (3.37) enth¨alt nur zeitlich mittlere Gr¨oßen. Diese braucht keiner weiteren Vereinfachung unterzogen werden. Die beiden grau hinterlegten Termgruppen in Gleichung (3.37) enthalten Schwankungsgr¨oßen. Hierbei treten in der hellgrauen Termgruppe in Gleichung (3.37) zum einen Tripelkorrelationen der Schwankungsgr¨oßen und zum anderen Kreuzkorrelationen der schwankenden Temperatur und Geschwindigkeitsgradienten auf. Diese Korrelationen werden durch das Quadrat der mittleren thermodynamischen Temperatur dividiert. Die dunkelgrau hinterlegten Schwankungsgr¨oßen werden nur durch die einfache mittlere thermodynamische Temperatur dividiert. Die hellgrauen Tripelkorrelationen und Kreuzkorrelationen der schwankenden Temperatur und Geschwindigkeitsgradienten k¨onnen als klein gegen¨uber den Schwankungsgr¨oßen in der dunkelgrau hinterlegten Termgruppe angesehen werden, da sie aufgrund von Kopplungseffekten zwischen den schwankenden Geschwindigkeits- und Temperaturfeldern entstehen und Effekte h¨oherer Ordnung darstellen. Zudem werden diese Terme durch eine h¨ohere Ordnung der mittleren thermodynamischen Temperatur dividiert. Diese ist in der Gr¨oßenordnung der Umgebungstemperatur, das heißt weit entfernt vom absoluten Nullpunkt. Aus diesen beiden Gr¨unden sollen die hellgrau hinterlegten Terme im Folgenden als klein gegen¨uber den anderen vernachl¨assigt werden. An dieser Stelle wird deutlich, dass es durchaus berechtigt war, die Reihenentwicklung (3.35) nach dem zweiten Term abzubrechen, da eine Reihenentwicklung h¨oherer Ordnung Korrelationen der Schwankungsbewegungen von h¨oherer Ordnung ergibt, welche durch immer h¨ohere Potenzen der mittleren Temperatur dividiert werden. Damit wird die Entropieproduktionsrate aufgrund der Dissipation von kinetischer Energie in der

56

Entropieproduktion in Str¨omungen

zeitgemittelten Form zu: 

Φ∗ T∗



  2  ∗ 2  ∗ 2  ∂u∗ ∂v ∂w η∗ · 2 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T∗ 2   ∗   ∗ 2 2 ∂u ∂v ∗ ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∂w ∗ + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗ =

  2  ∗ 2  ∗ 2  η∗ ∂u∗ ∂v ∂w · 2 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T∗  ∗   ∗ 2  2 2 ∂u ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∂v ∗ ∂w ∗ + + + + + + . ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗

+

(3.38)

Die Termgruppen in Gleichung (3.38) erlauben folgende physikalische Interpretation: Die erste Termgruppe mit Gradienten des mittleren Geschwindigkeitsfeldes entspricht der direkten (viskosen) Dissipation Φ∗ , Gleichung (3.22), dividiert durch T ∗ . Die zweite Termgruppe mit Gradienten des schwankenden Geschwindigkeitsfeldes ist die indirekte (turbulente) Dissipation TΦ∗ , Gleichung (3.23), dividiert durch T ∗ . Die beiden Dissipationen treten auch in dem Modell des Energietransportes in Abbildung 3.2 auf. Es macht somit durchaus Sinn, dass die Terme, welche die Dissipationsvorg¨ange in einer turbulenten Str¨omung modellieren auch in der zeitlich gemittelten Transportgleichung f¨ur die Entropie auftreten. Nur so bleibt das gesamte Modell zur Beschreibung der turbulenten Vorg¨ange durch zeitgemittelte Gr¨oßen in sich konsistent.

Zeitmittelung der Entropieproduktion durch W¨armeleitung Im Folgenden werden die mittleren und die Schwankungsgr¨oßen in den Anteil der Entropieerzeugung durch W¨armeleitung in Gleichung (3.31) eingesetzt, zeitgemittelt und vereinfacht. Vorher muss aber wieder ber¨ucksichtigt werden, dass in dieser Termgruppe das Quadrat der Temperatur im Nenner erscheint. Hierf¨ur soll zun¨achst wieder eine Reihenentwicklung um T ∗ = 0 gefunden werden:    ∗ 2 T 1 1 1 T ∗ = ∓ .... . 1−2 ∗ +3  2 = ∗2  ∗ 2 T T∗ T T ∗2 1 + TT ∗ T ∗ + T ∗ 1

(3.39)

Die Reihenentwicklung soll wieder nach dem zweiten Term abgebrochen werden. Aus den folgenden Betrachtungen wird wieder klar werden, dass ein solches Vorgehen berechtigt ist, wenn Korrelationen aus Schwankungsgr¨oßen von h¨oherer Ordnung vernachl¨assigt werden sollen. Eine zeitlich gemittelte Entropieproduktion durch W¨armeleitung nach Gleichung (3.31) kann mit Hilfe der Reihenentwicklung (3.39) beispielhaft f¨ur eine Raumrichtung wie folgt beschrieben wer-

3.5 Die Transportgleichung der Entropie den: λ∗ T ∗2



∂T ∗ ∂x∗

2 

57

  2 

   1 T ∗  ∂ T ∗ + T ∗  1−2 ∗ · = · ∂x T T ∗2 

  ∗ 2  ∗ 2 ∂T ∂T 1 ∂T ∗ ∂T ∗ T ∗ ∗ =λ · + +2 ∗ . 1−2 ∗ · ∂x∗ ∂x∗ ∂x ∂x∗ T T ∗2 λ∗

Nach dem Ausmultiplizieren und Umsortieren der Terme folgt:   2  2  ∗ 2 ∂T ∗ ∂T ∗ λ 1 ∂T ∂T ∗ ∂T ∗ λ∗ · ∗2 · + +2 ∗ = ∗ ∗ ∗ T ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x∗ T ∗2   2  2 T ∗ ∂T ∗ T ∗ ∂T ∗ T ∗ ∂T ∗ ∂T ∗ . −2 ∗ −2 ∗ −4 ∗ ∂x∗ ∂x∗ T T T ∂x∗ ∂x∗

(3.40)

(3.41)

Unter Ber¨ucksichtigung der Rechenregeln f¨ur die Zeitmittelung, insbesondere unter Beachtung, dass das Zeitmittel des Produktes aus einer mittleren Gr¨oße und einer Schwankungsgr¨oße zu Null verschwindet, ergibt sich:   2  2  ∗ 2 ∂T ∗ ∂T ∗ ∂T 1 λ∗ ∗ λ · ∗2 · + = T ∂x∗ ∂x∗ ∂x∗ T ∗2   2 T ∗ ∂T ∗ T ∗ ∂T ∗ ∂T ∗ −2 ∗ − 4 . (3.42) ∂x∗ T T ∗ ∂x∗ ∂x∗   In Gleichung (3.42) verbleiben noch die Tripelkorrelation T ∗ /T ∗ · (∂T ∗ /∂x∗ )2 und die Korrelati    on T ∗ /T ∗ · ∂T ∗ /∂x∗ · (∂T ∗ /∂x∗ ). Hier wird deutlich, dass ein Abbruch der Reihenentwicklung (3.39) nach dem zweiten Term durchaus seine Berechtigung hatte. Eine Reihenentwicklung h¨oherer Ordnung w¨urde an dieser Stelle nur zu Korrelationen noch h¨oherer Ordnung f¨uhren. Im Folgenden sollen auch die u¨ brig gebliebenen Tripelkorrelationen gegen¨uber den anderen Termen als klein angesehen und daher vernachl¨assigt werden. Unter diesem Gesichtspunkt wird die Entropieerzeugung durch W¨armeleitung in der zeitgemittelten Form zu:

λ∗ ·

1 T ∗2



∂T ∗ ∂x∗

2  ∗ 2  ∂T ∗ ∂T + ∂y ∗ ∂z ∗   ∗ 2  ∗ 2  2 ∂T ∗ ∂T ∂T λ∗ = · + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T ∗2 

2

+

λ∗ + · T ∗2



∂T ∗ ∂x∗

2

 +

∂T ∗ ∂y ∗

2

 +

∂T ∗ ∂z ∗

2  .

(3.43)

58

Entropieproduktion in Str¨omungen

Eine physikalische Interpretation von Gleichung (3.43) soll nicht ausbleiben: Die ersten drei Summanden auf der rechten Seite k¨onnen als die Entropieproduktionsrate aufgrund W¨armeleitung aufgrund finiter Temperaturgradienten des mittleren Temperaturfeldes gedeutet werden. Die letzten drei Summanden auf der rechten Seite k¨onnen als die Entropieproduktionsrate aufgrund W¨armeleitung aufgrund finiter Temperaturgradienten des schwankenden Temperaturfeldes gesehen werden. Wobei noch einmal deutlich gesagt werden muss, dass es sich hierbei um eine Modellbeschreibung einer turbulenten Str¨omung handelt. In der Realit¨at existiert kein mittleres und kein schwankendes Temperaturfeld. In turbulenten Str¨omungen ist die Temperatur an einem festes Ort stark zeitabh¨angig. Die Aufteilung in zeitlich mittlere und Schwankungsgr¨oßen hat sich aber als hilfreiches Modell erwiesen, diese zeitabh¨angigen Vorg¨ange zu beschreiben.

Die zeitgemittelte Transportgleichung fur ¨ die Entropie auf einen Blick Im letzten Abschnitt wurde, ausgehend von der Transportgleichung f¨ur die (momentane) spezifische Entropie s∗ , durch systematische Anwendung der Regeln zur Zeitmittelung eine zeitlich gemittelte Transportgleichung f¨ur die zeitlich gemittelte Entropie s∗ hergeleitet. Wie auch bei den Impulsgleichungen, (XI ∗ )-(ZI ∗ ), und den Energiegleichungen, (ME ∗ ), (MES ∗ ), (T E ∗ ), enth¨alt diese Transportgleichung turbulente Zusatzterme, welche den Entropietransport und die Entropieproduktion aufgrund der turbulenten Schwankungsbewegungen beschreiben. Auf der folgenden Seite ist die gesamte zeitgemittelte Transportgleichung f¨ur die Entropie dargestellt. Terme, welche die Produktion von Entropie beschreiben, sind dabei durch eine graue Schattierung gekennzeichnet.

3.5 Die Transportgleichung der Entropie

59

¨ DIE E NTROPIE : Z EITGEMITTELTE T RANSPORTGLEICHUNG F UR  ∗ ∗ ∗ ∂s ∂s ∂s ∂s + u∗ ∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ = ∗ ∂t∗ ∂x ∂y ∂z  

¨ zeitliche Anderung und Konvektion

 ∗

∂u∗s∗ ∂v ∗ s∗ ∂w ∗ s∗ + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗   TT∗ S :=turbulenter



     ∂ T ∗ + T ∗ ∂ T ∗ + T ∗ 1 1 ∂ + ∗ ∂x∗ ∂y T ∗ + T ∗ ∂y ∗ T ∗ + T ∗     ∂ T ∗ + T ∗ 1 ∂  + ∗ ∂z T ∗ + T ∗ ∂z ∗  

∂ −λ  ∗ ∂x ∗

Transport



∗ +T ∗ :=molekulare DS DS

und turbulente Diffusion

  2  ∗ 2  ∗ 2  ∂u∗ ∂v ∂w η∗ · 2 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T∗   ∗ 2   ∗ 2 2 ∂v ∗ ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∂w ∗ ∂u + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗

  S˙ ∗

PRO, D

:=Entropieproduktion

durch direkte Dissipation

  2  ∗ 2  ∗ 2  ∂u∗ ∂v ∂w η∗ + ∗ 2 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T  ∗ 2  ∗ 2  ∗ 2  ∂u ∂u ∂v ∂v ∗ ∂w ∗ ∂w ∗ + + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗  

∗ S˙ PRO, :=Entropieproduktion D

S˙ ∗

λ∗ + T ∗2

PRO, W



∂T ∗ ∂x∗

2



∂T ∗ + ∂y ∗ 

:=Entropieproduktion

λ∗ + T ∗2



∂T ∗ ∂x∗

2



2 +

∂T ∗ ∂z ∗

2  

durch molekulare W¨armeleitung



∂T ∗ + ∂y ∗ 

∗ S˙ PRO, :=Entropieproduktion W

durch indirekte Dissipation

2

 +

∂T ∗ ∂z ∗

2  

durch turbulente W¨armeleitung

(S∗ )

60

Entropieproduktion in Str¨omungen

3.5.2 L¨osungsstrategien zur Ermittlung der Entropieproduktionsterme Die Berechnung der Entropieproduktionsraten in Gleichung (S∗ ) kann auf zwei Arten geschehen: Eine direkte Berechnung der Entropieproduktionsstr¨ome (grau hinterlegte Terme in Gleichung (S∗ )) oder durch einen indirekten Weg u¨ ber die Entropietransportstr¨ome. Diese Bilanz ist am Beispiel einer beheizten turbulenten Rohrstr¨omung in Abbildung 3.3 verdeutlicht, in welcher die ein- sowie austretenden Entropiestr¨ome und die Entropieproduktionsstr¨ome gekennzeichnet sind.

.

qw*.A*w Tw*

.

qw*= const * DS1

.

.*

S1*

.

* TTS1

00000 11111 11111 00000 00000 00000 11111 * 11111 00000 00000 11111 DS1 11111 00000 11111 00000 11111

T

T1* 1

* SPRO

* DS2

.*

SPRO

.

SPRO

S2*

.

* SPRO

* TTS2

11111 00000 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111 00000 11111

* TDS2

2 T2*

Abbildung 3.3: Entropiebilanz am Beispiel einer turbulenten beheizten Rohrstr¨omung

Die in Abschnitt 2.2 beschriebene konventionelle Second Law Analysis berechnet in einer Bilanzierung des Kontrollraumes durch Kenntnis der ein- und austretenden Entropietransportstr¨ome die Entropieproduktionsstr¨ome. Dieses Prinzip kann auf ein infinitesimales Kontrollvolumen erweitert werden. In Form der beschriebenen partiellen Differentialgleichung wird diese Bilanz dann zu: ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ˙∗ ˙∗ ˙∗ + S˙ PRO, S˙ PRO, D  + SPRO, W + SPRO, W  = ∆S − ∆TT S − ∆DS − ∆TDS . D

(3.44)

Eine Bilanzierung nach Gleichung (3.44) ist nichts anderes als die Anwendung des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik f¨ur offene Systeme, Gleichung (2.15), auf ein infinitesimales Kontrollvolumen. Durch Kenntnis der ein- und austretenden Entropiestr¨ome kann nur die Summe aller Entropieproduktionsstr¨ome ermittelt werden. Eine Identifikation der Ursache ist nicht m¨oglich. Soll eine Identifikation erfolgen, so bedarf es weiterer Gleichungen, um die vier unbekannten Entropieproduktionsstr¨ome aus einer Bilanzierung nach Gleichung (3.44) zu bestimmen. Ein anderes Problem bei der Berechnung der Entropieproduktionsstr¨ome mittels Gleichung (3.44) ist, dass alle u¨ ber die Systemgrenzen fließenden Entropietransportstr¨ome bekannt sein m¨ussen. Das

3.5 Die Transportgleichung der Entropie

61

ist im Fall von festen Systemgrenzen, wie etwa W¨anden bei Kenntnis des Wandw¨armestromes und der Wandtemperatur, nat¨urlich m¨oglich. Probleme ergeben sich aber an den freien Systemgrenzen, an denen das Fluid in den Kontrollraum tritt oder diesen verl¨asst. An diesen freien Systemgrenzen m¨ussen auch die Entropiestr¨ome aufgrund eines molekularen und turbulenten Transports von ∗ , bekannt sein. Diese Terme bleiben in alEntropie, das heißt die Terme ∆TT∗ S , ∆DS∗ und ∆TDS len Bilanzen in den in Abschnitt 2.2 erw¨ahnten Arbeiten zur konventionellen Second Law Analysis unber¨ucksichtigt. Das ist nur bei Str¨omungen ohne große Umlenkungen oder Wirbel und geringen Temperaturgradienten gerechtfertigt, da sich in diesem Fall diese Terme in der Bilanz nahezu aufheben. Je st¨arker die Str¨omung verwirbelt ist, desto weniger gleichen sich die turbulenten Gr¨oßen am Ein- und Austritt des betrachteten Kontrollvolumens. Damit fallen die Terme, welche den turbulenten Entropietransport beschreiben, nicht notwendigerweise aus der Bilanz heraus. Eine Bestimmung der Entropieproduktionsstr¨ome durch die Bilanz (3.44) ist nur m¨oglich, wenn alle Terme, welche den Entropietransport u¨ ber die Systemgrenzen beschreiben bekannt sind. Hierzu muss aber insbesondere auch der turbulente Entropietransport bekannt sein. Dazu m¨ussen neue Modelle aufgestellt werden, da der turbulente Entropietransport in der Literatur nicht bekannt ist. Aus den beschriebenen Gr¨unden soll in dieser Arbeit der direkte Weg eingeschlagen werden: Eine Berechnung der Entropieproduktionsstr¨ome auf der Basis von partiellen Differentialgleichungen, ∗ ∗ ˙∗ ˙∗ das heißt der Terme S˙ PRO, , S˙ PRO, D  , SPRO, W und SPRO, W  . Dieses Vorgehen hat eine Reihe von D Vorteilen, die hier kurz erl¨autert werden sollen. Zum einen k¨onnen direkt alle vier Ursachen der Entropieproduktion identifiziert werden. Das ist bei den konventionellen Second Law Analysen nicht m¨oglich. Zum anderen k¨onnen aufgrund der Verwendung von partiellen Differentialgleichungen lokale Entropieproduktionsraten bestimmt werden. Dies kann, wie sp¨ater gezeigt wird, ein sehr hilfreiches Mittel zur Bestimmung der Effizienz eines w¨armetechnischen Apparates sein. Die Kenntnis der lokalen Entropieproduktionsraten erm¨oglicht des Weiteren auch eine Integration dieser Gr¨oßen u¨ ber einen großen Kontrollraum. Nur durch diese Integration der lokalen Entropieproduktionsraten kann der Exergieverlust eines gesamten Apparates bestimmt werden, da wie gezeigt wurde, im Allgemeinen eine Bilanzierung der u¨ ber die Systemgrenzen tretenden Entropiestr¨ome nicht zu dem richtigen Ergebnis f¨uhrt, wenn die turbulenten Entropietransportstr¨ome unber¨ucksichtigt bleiben. Ein Nachteil der Bestimmung der lokalen Entropieproduktionsraten ist, dass eine Kenntnis des Geschwindgkeits- und Temperaturfeldes von N¨oten ist. Aber gerade das ist bei der Anwendung moderner Methoden der Str¨omungsmechanik, das heißt von Computational Fluid Dynamics (CFD) stets der Fall. In einem der eigentlichen Berechnung des Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes nach∗ ∗ ˙∗ ˙∗ geschalteten Analyse (Postprozess) k¨onnen die Terme S˙ PRO, , S˙ PRO, D  , SPRO, W und SPRO, W  beD stimmt werden. Hierzu m¨ussen jedoch auch die turbulenten Schwankungsgr¨oßen u∗ , v ∗ w ∗ und T ∗ bekannt sein. Das ist im Allgemeinen nicht der Fall und auch nicht n¨otig, da CFD Methoden Modelle zur Beschreibung dieser Schwankungsgr¨oßen enthalten. Diese Modelle m¨ussen jetzt auf die Entropieproduktionsraten erweitert werden, um eine Berechnung dieser aus alleiniger Kenntnis der

62

Entropieproduktion in Str¨omungen

zeitlich mittleren Geschwindigkeits-, Temperatur- und Turbulenzfelder zu erm¨oglichen. Diese Erweiterung bekannter Turbulenzmodelle auf die Berechnung von Entropieproduktionsraten soll Thema des n¨achsten Kapitels sein. Der Vollst¨andigkeit halber folgt noch ein Hinweis zu laminaren Str¨omungen: In der Herleitung der Transportgleichung f¨ur die (momentane) spezifische Entropie s∗ wurde davon ausgegangen, dass es in der betrachteten Str¨omung turbulente Schwankungen in den Geschwindigkeiten, dem Druck und der Entropie gibt. Bis hier wurden jedoch keine weiteren Modelle zur Beschreibung dieser turbulenten Schwankungen in die Gleichungen eingesetzt. Aus diesem Grunde kann die hier hergeleitete Transportgleichung mit folgender Einschr¨ankung auch f¨ur laminare Str¨omungen angewendet werden: In laminaren Str¨omungen gibt es keine Schwankungsbewegungen, alle Str¨omungsgr¨oßen verhalten sich im Grunde wie die (modellhaften) zeitgemittelten Gr¨oßen. Wenn in der zeitgemittelten Transportgleichung f¨ur die Entropie alle Schwankungsterme gestrichen werden und die zeitgemittelten Terme durch die (momentanen) Werte der laminaren Str¨omung ersetzt werden, so erh¨alt man die Transportgleichung der Entropie f¨ur eine laminare Str¨omung. Das gilt insbesondere auch f¨ur die Terme, welche die Entropieproduktion beschreiben. Es wurde gezeigt, dass in der zeitgemittelten turbulenten Str¨omung die Entropieproduktion durch vier Terme erfasst werden kann. In einer lami∗ ∗ und S˙ PRO, in Gleichung (S∗ ), wobei die naren Str¨omung w¨aren dies nur zwei: Die Terme S˙ PRO, D W

zeitgemittelten Geschwindigkeiten u∗i und die zeitgemittelte Temperatur T ∗ durch die momentanen Geschwindigkeiten u∗i und Temperatur T ∗ der laminaren Str¨omung ersetzt werden m¨ussen.

Kapitel 4 Modelle und numerische Aspekte zur Berechnung der lokalen Entropieproduktion Im vorangegangenen Kapitel konnte durch eine systematische Herleitung eine partielle Differentialgleichung gefunden werden, mit deren Hilfe Entropieproduktionsstr¨ome in turbulenten Str¨omungen berechnet und eindeutig identifiziert werden k¨onnen. Im Verlauf der Herleitung hat sich gezeigt, dass durch die Zeitmittelung der Gleichungen turbulente Zusatzterme entstehen. Diese sind zus¨atzliche Unbekannte des Gleichungssystems und es gibt insgesamt mehr Unbekannte als Gleichungen. Das gleiche Problem tritt auch bei den Grundgleichungen, den Impuls- und Energiegleichungen auf. F¨ur diese Gleichungen ist dieses Problem als das Schließungsproblem bei der Berechnung von turbulenten Str¨omungen bekannt. F¨ur diese zeitgemittelten Grundgleichungen gibt es eine ganze Reihe von Modellans¨atzen zur L¨osung der unbekannten turbulenten Zusatzterme. Diese Modellans¨atze k¨onnen nicht aus den Grundgleichungen hergeleitet werden, enthalten aber zumindest in Teilaspekten eine Zusatzinformation aufgrund von Modellvorstellungen bez¨uglich der Turbulenz und ihrer Wirkung auf die mittleren Str¨omungsgr¨oßen. Aus diesem Grund werden diese Modellans¨atze Turbulenzmodelle genannt. Ihre Aufstellung wird unter dem Begriff Turbulenzmodellierung zusammengefasst. Eine sehr weit verbreitete und in allen kommerziellen Werkzeugen zur Berechnung turbulenter Str¨omung zur Anwendung kommende Modellgr¨oße ist die so genannte Wirbelviskosit¨at ηt∗ . Mit Hilfe dieser Gr¨oße lassen sich in Verbindung mit weiteren Modellgleichungen die turbulenten Zusatzterme in den Grundgleichungen l¨osen. In dieser Arbeit sollen als weitere Modellgleichungen die (Modell-) Transportgleichungen f¨ur die turbulente kinetische Energie k ∗ und deren (modellierte) Dissipationsrate ε∗ herangezogen werden. Dieses Turbulenzmodell ist unter dem Namen k − ε Modell bekannt. Es gilt als eines der weitest verbreiteten und meist dokumentierten und getesteten Turbulenzmodelle. Aus diesem Grund sollen die Modellvorstellungen dieses Turbulenzmodelles bez¨uglich der Turbulenz auf die unbekannten Gr¨oßen in den Entropieproduktionstermen erweitert werden. Diese Erweiterung des k − ε Turbulenzmodelles soll das zentrale Thema dieses Kapitels sein. Es werden weiterhin die Modellans¨atze dieses Turbulenzmodelles vorgestellt werden, um einen besseren Eindruck f¨ur die in ihm enthaltenen Modellvorstellungen bez¨uglich der Turbulenz und ihrer Wirkung

64

Modelle und numerische Aspekte

auf die mittleren Str¨omungsgr¨oßen zu bekommen. Zun¨achst erfolgt aber ein R¨uckblick auf bisherige Arbeiten zu differentiellen Ans¨atzen zur Berechnung der Entropieproduktionsraten in turbulenten Str¨omungen. Im Gegensatz zu der in Abschnitt 2.3.5 betrachteten konventionellen Second Law Analysis befassen sich diese Arbeiten mit der direkten Berechnung und Auswertung lokaler Entropieproduktionsraten auf der Basis partieller Differentialgleichungen und sollen aus diesem Grunde unter dem Begriff differentielle Second Law Analysis zusammengefasst werden.

4.1

Stand der Technik der differentiellen Second Law Analysis

Seit Beginn der Etablierung von numerischen Methoden zur Berechnung von Str¨omungen und W¨arme¨uberg¨angen (CFD) in den 90er Jahren gibt es Versuche, den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in diese Methoden einzubinden, um Aussagen u¨ ber die lokalen Entropieproduktionsraten zu erhalten. An dieser Stelle sollen Arbeiten vorgestellt werden, welche auf der Basis von partiellen Differentialgleichungen direkt die lokalen Entropieproduktionsraten bestimmen. Damit grenzen sich diese Arbeiten von denen in Abschnitt 2.3.5 ab. In diesen Arbeiten wurden zwar teilweise auch Methoden zur lokale Entropieproduktion vorgestellt, diese basierten aber alle auf eindimensionalen Ans¨atzen, welche die Entropieproduktion im Prinzip u¨ ber eine Bilanzierung der ein- und austretenden Entropiestr¨ome, siehe Gleichung (3.44), bestimmten. Die im Folgenden vorgestellten Arbeiten berechnen alle direkt die Entropieproduktionsraten auf der Basis von Differentialgleichungen, welche a¨ hnlich den grau hinterlegten Termen in Gleichung (S∗ ) sind. Der Großteil dieser Arbeiten befasst sich mit der lokalen Entropieproduktion in laminaren Str¨omungen. Dabei werden sowohl erzwungene Str¨omungen als auch die freie Konvektion in Bezug auf die lokale Berechnung der Entropieproduktion untersucht. Es gibt nur eine geringe Anzahl von Arbeiten zur Berechnung der lokalen Entropieproduktionsraten in turbulenten Str¨omungen. Bis auf eine kurz vor der Fertigstellung dieser Arbeit ver¨offentlichten Schrift [ Wang et al. 2003], enthalten die hier vorgestellten Literaturstellen keine systematische Herleitung der turbulenten Entropieproduktionsraten und beinhalten daher nicht alle in Abschnitt 3.5 vorgestellten Terme.

4.1.1 Lokale Entropieproduktion in laminaren Str¨omungen [ Abu-Hiljleh et al. 1999] stellen eine Methode zur Berechnung der lokalen Entropieproduktionsraten aufgrund nat¨urlicher Konvektion von Luft um einen horizontalen Zylinder vor. In dieser Arbeit werden die Entropieproduktionsraten in zylindrischen Koordinaten aufgestellt und zwischen der Entropieproduktion aufgrund von Dissipation von kinetischer Energie und aufgrund von W¨armeleitung u¨ ber finite Temperaturdifferenzen unterschieden. Die Terme entsprechen den Termen S˙ ∗ PRO, D

∗ und S˙ PRO, in Gleichung (S∗ ) in zylindrischen Koordinaten. Es werden Berechnungen bei verschieW denen Zylinderdurchmessern und Rayleigh-Zahlen erstellt. Die ermittelten lokalen Entropieproduk-

4.1 Stand der Technik der differentiellen Second Law Analysis

65

tionsraten werden u¨ ber das gesamte Str¨omungsfeld integriert und u¨ ber die Rayleigh-Zahl mit dem Zylinderdurchmesser als Parameter aufgetragen. Es zeigt sich, dass gr¨oßere Zylinder bei gleicher Rayleigh-Zahl trotz h¨oherer Dissipationsraten aufgrund der geringeren Temperaturgradienten eine geringere Entropieproduktion aufweisen. In [ Abu-Hijleh und Heilen 1999] ist im Prinzip die gleiche Arbeit dargestellt, mit dem Unterschied, dass zus¨atzlich lokale Entropieproduktionsraten vorgestellt werden. Es kann gezeigt werden, dass diese an der oberen Fl¨ache des Zylinders ein Minimum aufweisen. Von demselben Autor stammt auch eine Arbeit zur lokalen Entropieproduktionsberechnung an einem horizontalen Zylinder mit w¨armeleitenden Rippen. Es werden dieselben Gleichungen zur lokalen Entropieproduktion vorgestellt und verwendet, um eine optimale Konfiguration von Rippenzahl und Rippenh¨ohe im Sinne der Minimierung der Entropieproduktion zu erhalten. Eine Fortf¨uhrung dieser drei Arbeiten findet sich in [ Abu-Hijleh 2002], in welcher der Einfluss einer por¨osen Schicht auf der Zylinderoberfl¨ache auf die Entropieproduktion untersucht wird. Es wird gezeigt, dass die Entropieproduktion mit zunehmender Schichtdicke abnimmt. Von der Ermittlung der lokalen Entropieproduktion einer erzwungenen laminaren Str¨omung um einen beheizten Zylinder handelt eine Arbeit von [ Benedetti und Sciubba 1993]. In dieser Arbeit wird mit Hilfe eines kommerziellen Programms die Str¨omung und das Temperaturfeld um den beheizten Zylinder berechnet. Mit der Kenntnis dieser Gr¨oßen wird die lokale Entropieproduktion mittels partieller Differentialgleichungen berechnet und in der Form von Isolinien dargestellt. Die ∗ und Gleichungen, welche die Entropieproduktion beschreiben, sind im Prinzip die Terme S˙ PRO, D ∗ ∗ ˙ S in Gleichung (S ). PRO, W

In [ Cheng und Huang 1989] zeigt sich ein großer Vorteil der differentiellen Second Law Analysis. Die lokale Entropieproduktion kann durch Kenntnis der Geschwindigkeits- und Temperaturgradienten in einer Kanal-Einlaufstr¨omung ermittelt werden, ohne dass, wie etwa in der konventionellen Second Law Analysis n¨otig, auf empirische Gleichungen zur¨uckgegriffen werden muss. In einer sp¨ateren Arbeit dieser Autoren [ Cheng und Ma 1994] werden das Geschwindigkeits- und Temperaturfeld in einem beheizten Kanal mit berippten W¨anden auf der Grundlage von Potentialfunktionen berechnet. Diese Feldinformation wird genutzt, um die Entropieproduktion aufgrund von Dissipation ∗ ∗ und W¨armeleitung aufgrund finiter Temperaturgradienten mit Hilfe der Terme S˙ PRO, und S˙ PRO, D W

in Gleichung (S∗ ) zu berechnen. Es werden Isolinien gleicher Entropieproduktion in dem Kanal dargestellt. Es zeigt sich, dass die Entropieproduktion an den Rippenenden am gr¨oßten ist.

[ Demirel et al. 1997] und [ Demirel 1999] stellen f¨ur ein finites Volumen in der ortsfesten Betrachtungsweise die Entropiebilanz in einer laminaren Str¨omung auf und erhalten so Ausdr¨ucke f¨ur die lokalen Entropieproduktionsraten aufgrund von Dissipation und W¨armeleitung u¨ ber endliche Temperaturgradienten. Die erhaltenen Ausdr¨ucke gleichen den Termen f¨ur die Entropieproduktion der ∗ ∗ und S˙ PRO, in Gleichung (S∗ ). Mit Hilfe dieser Gleichungen ist es den mittleren Gr¨oßen S˙ PRO, D W Autoren m¨oglich, die lokale Entropieproduktion in laminaren Couette-Str¨omungen zu bestimmen, wobei zus¨atzlich zu den in der vorliegenden Arbeit vorgestellten Modellen, der Temperatureinfluss auf die Stoffwerte ber¨ucksichtigt wird.

66

Modelle und numerische Aspekte

In [ Narusawa 1999] wird die Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten aufgrund freier Konvektion in einem rechtwinkligen Hohlraum vorgestellt. Die Gleichungen basieren wieder auf der An∗ wendung der Entropiebilanz an einem ortsfesten Kontrollvolumen. Diese f¨uhrt auf die Terme S˙ PRO, D ∗ ∗ ˙ und S in Gleichung (S ). Dabei handelt es sich bei den mittleren Geschwindigkeits- und TemPRO, W

peraturfeldern nicht um die zeitlich mittleren, sondern um die momentanen Werte der laminaren Str¨omung. Eine interessante Anwendung der differentiellen Second Law Analysis f¨ur laminare Str¨omungen ∗ ∗ und S˙ PRO, findet sich in [ Paoletti et al. 1989]. Hier werden auf der Basis der Terme S˙ PRO, D W

in Gleichung (S∗ ) f¨ur eine laminare Str¨omung die lokalen Entropieproduktionsraten in kompakten W¨arme¨ubertragern berechnet. Mittels Isolinien von Entropieproduktionsraten aufgrund Dissipation und W¨arme¨ubertragung und ihres Quotienten, l¨asst sich der W¨arme¨ubertrager lokal bez¨uglich seiner thermodynamischen Effizienz bewerten. Mit der lokalen Entropieproduktion in einem laminaren Prallstrahl befasst sich die Arbeit von ∗ ∗ und S˙ PRO, in Gleichung (S∗ ) auf [ Ruocco 1997]. Wieder werden die bekannten Terme S˙ PRO, D W das Geschwindigkeits- und Temperaturfeld einer laminaren Str¨omung angewandt und erm¨oglichen so eine farbliche Darstellung der lokalen Entropieproduktionsraten im laminaren Prallstrahl. Damit kann eine optimale Paarung von Fluid und Wandmaterial gefunden werden, bei dem die Entropieproduktion minimal wird. ∗ ∗ und S˙ PRO, In den Arbeiten [ Sciubba 1996] und [ Sciubba 1997] werden auch die Terme S˙ PRO, D W

in Gleichung (S∗ ) zur lokalen Entropieproduktionsberechnung vorgestellt und ihre Anwendbarkeit an einer laminaren Umstr¨omung eines beheizten Rippenrohres aufgezeigt. Es wird die lokale Entropieproduktion in Form der so genannten Bejan-Zahl dargestellt. Diese beschreibt das Verh¨altnis der lokalen Entropieproduktion durch W¨
armeleitung zu der gesamten Entropieproduktion, in lamina∗ ∗ ∗ rer Str¨omung also Be = S˙ PRO, / S˙ PRO, + S˙ PRO, . Weiterhin k¨onnen aufgrund der finiten W D W Volumendiskretisierung die lokalen Entropieproduktionsraten auf leichte Weise u¨ ber das gesamte Str¨omungsfeld integriert werden. Somit kann ein optimaler Rippenabstand ermittelt werden. Die Berechnung der lokalen Entropieproduktionsraten in [ Shuja et al. 1999a] basiert ebenfalls auf ∗ ∗ den Termen S˙ PRO, und S˙ PRO, in Gleichung (S∗ ). Diese Arbeit verdeutlicht einen weiteren wichtiD W gen Vorteil der differentiellen Second Law Analysis: Es k¨onnen lokale Entropieproduktionsraten der Str¨omung um einen beheizten Block, welcher die vereinfachte Geometrie eines elektrischen Bauteils auf einer Platine darstellen soll, ermittelt und in der Form von Isolinien dargestellt werden. Die konventionelle Second Law Analysis erm¨oglicht keine Berechnung der Entropieproduktionsraten in Umstr¨omungen. Nach einer Integration der lokalen Entropieproduktionsraten u¨ ber das betrachtete Gebiet kann die gesamte Entropieproduktion f¨ur den Block und f¨ur verschiedene Fluide berechnet und so eine thermodynamisch optimale Konfiguration des Problems ermittelt werden. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass alle Arbeiten zur differentiellen Second Law Analysis in laminaren Str¨omungen auf die in Abschnitt 3.5.2 beschriebene Strategie zur¨uckgreifen und ∗ eine direkte Berechnung der lokalen Entropieproduktionsraten auf der Basis der Terme S˙ PRO, und D

4.1 Stand der Technik der differentiellen Second Law Analysis

67

∗ in Gleichung (S∗ ) erfolgt. Diese Terme k¨onnen in laminaren Str¨omungen direkt nach KenntS˙ PRO, W nis der Geschwindigkeits- und Temperaturfelder gel¨ost werden. Die vorgestellten Arbeiten zeigen auch die Vorteile, die eine differentiellen Second Law Analysis gegen¨uber dem konventionellen Ansatz hat: Es k¨onnen Entropieproduktionsraten in beliebigen Geometrien und Str¨omungsverh¨altnissen, wie zum Beispiel Einlaufstr¨omungen, ermittelt werden. Außerdem k¨onnen Entropieproduktionsraten in Umstr¨omungen nur auf der Basis dieses differentiellen Ansatzes geschehen.

Alle bisher vorgestellten Arbeiten beschr¨anken sich auf laminare Str¨omungen, was die Anzahl der Anwendung dieser Methoden auf technische Probleme jedoch sehr eingrenzt. Der n¨achste Abschnitt soll sich aus diesem Grund mit Arbeiten zur lokalen Entropieproduktionsberechnung in turbulenten Str¨omungen befassen.

4.1.2 Lokale Entropieproduktion in turbulenten Str¨omungen Es gibt eine Reihe von Arbeiten, welche sich mit der lokalen Entropieproduktion aufgrund von Dissipation und W¨armeleitung in turbulenten Str¨omungen eines inkompressiblen, einkomponentigen Fluides befassen. Alle Arbeiten basieren auf der in Abschnitt 3.1.4 vorgestellte Zeitmittelung zur Modellierung der turbulenten Schwankungsbewegungen. In keiner dieser Arbeiten erfolgt jedoch eine systematische Herleitung der zeitgemittelten Transportgleichung f¨ur die Entropie, siehe Abschnitt 3.5.1. Trotzdem werden in diesen Arbeiten teilweise Terme vorgestellt, welche die Entropieproduktion aufgrund turbulenter Schwankungsbewegungen beschreiben. [ Arpaci 1987] gelangt, ausgehend von der Gibbschen Relation, Gleichung (3.25), zu dem Ausdruck f¨ur die momentane Entropieproduktion in turbulenten Str¨omungen, Gleichung (3.30). Die Arbeit konzentriert sich vor allem auf die Entropieproduktion durch schwankende Temperaturgra∗ ∗ ur die Variation der dienten, Term S˙ PRO, W  in Gleichung (S ). Mittels einer Transportgleichung f¨ ∗2 Temperaturschwankungen T kann durch die Annahme eines lokalen Gleichgewichts (Produkti∗ on=Dissipation) ein Ausdruck f¨ur S˙ PRO, W  hergeleitet werden, welcher durch Kenntnis der turbulen∗ ∗ ∗ ∗ ten W¨armestromdichten  cp ui T berechnet werden kann. [ Brizuela 1993] stellt die numerische Berechnung der Entropieproduktion in der Spaltstr¨omung eines Radialverdichters vor. Dabei wird wegen der Annahme einer nahezu isothermen Str¨omung die Entropieproduktion aufgrund von W¨armeleitung nicht behandelt. Es wird ein Term vorgestellt, welcher die Entropieproduktion aufgrund von Dissipation in turbulenten Str¨omungen beschreibt. Hierbei wird angenommen, dass die Dissipation in turbulenten Str¨omungen durch einen Ausdruck entsprechend Gleichung (3.22) beschrieben werden kann, wobei die molekulare Viskosit¨at η ∗ durch die effektive Viskosit¨at η ∗ + ηt∗ ersetzt wird. Dieses Vorgehen setzt ein lokales Gleichgewicht von Dissipation und Produktion voraus, was, wie gezeigt werden soll, in der N¨ahe von festen W¨anden nicht zutrifft und f¨ur die Berechnung der Entropieproduktion in Spaltstr¨omungen zumindest fragw¨urdig ist. In [ Drost und White 1991b] und [ Drost und White 1991a] werden auf der Basis der Berechnung

68

Modelle und numerische Aspekte

von turbulenten Str¨omungen mittels eines kommerziellen CFD-Programms lokale Entropieproduktionsraten in einem turbulenten Prallstrahl vorgestellt. Die Grundgleichung zur Beschreibung der lokalen Entropieproduktionsrate ist eine partielle Differentialgleichung, in welcher drei Termgruppen identifiziert werden k¨onnen: Entropieproduktion aufgrund W¨armeleitung durch mittlere Temperaturgradienten und durch direkte und indirekte Dissipation von kinetischer Energie. In den Betrachtungen wird die Entropieproduktion durch W¨armeleitung u¨ ber schwankende Temperaturgradienten außer Acht gelassen, da keine systematische Herleitung einer zeitgemittelten Transportgleichung erfolgt. Auch in dieser Arbeit wird die Entropieproduktion durch indirekte Dissipation durch die Annahme eines lokalen Gleichgewichts von Dissipation und Produktion angen¨ahert, was zumindest in der N¨ahe der festen Wand wie gesagt fragw¨urdig ist. [ Natalini und Sciubba 1994] verwenden die lokale Entropieproduktionsrate zur Optimierung von luftgek¨uhlten Gasturbinenschaufeln. In dieser Arbeit wird die turbulente Str¨omung um die Gasturbinenschaufel mit dem k − ε Turbulenzmodell berechnet. Die Gleichung zur Berechnung der lokalen ∗ ∗ und S˙ PRO, in Gleichung (S∗ ), die Raten Entropieproduktionsraten enth¨alt nur die Terme S˙ PRO, D W aufgrund der turbulenten Schwankungsbewegung werden ohne Kommentar außer Acht gelassen. In [ Selamet und Arpaci 1990] findet sich eine der wenigen Untersuchungen zur Entropieproduktion in turbulenten Grenzschichten. Es werden jedoch keine Unterscheidungen bez¨uglich der Entropieproduktion durch mittlere und Schwankungsgr¨oßen dargestellt. Es werden nur die universellen ∗ ∗ und S˙ PRO, in GleiVerl¨aufe der direkten Entropieproduktionsraten, das heißt die Terme S˙ PRO, D W

chung (S∗ ), in Wandn¨ahe durch universelle Wandgesetzte f¨ur die zeitgemittelte Geschwindigkeit und die zeitgemittelte Temperatur hergeleitet. In [ Perng und Chu 1995] wird eine Gleichung zur Berechnung der zeitgemittelten lokalen Entropieproduktionsraten in turbulenten Str¨omungen vorgestellt. In dieser Gleichung wird zur Ermittlung der turbulenten Produktionsraten ein lokales Gleichgewicht zwischen Produktion und Dissipation unterstellt. Somit k¨onnen diese Gr¨oßen durch Kenntnis der mittleren Geschwindigkeits- und Temperaturfelder sowie zus¨atzlicher turbulenter Gr¨oßen in Form der Wirbelviskosit¨at und der turbulenten Temperaturleitf¨ahigkeit berechnet werden. Diese Gleichungen werden verwendet, um die lokale Entropieproduktion der Umstr¨omung einer Gasturbinenschaufel zu berechnen und Ans¨atze f¨ur die Optimierung zu erhalten. Es liegen zwei Arbeiten vor, in denen auf alle vier Entropieproduktionsursachen, das heißt die Ter∗ ∗ ∗ ∗ ˙∗ me S˙ PRO, , S˙ PRO, , S˙ PRO, D  und SPRO, W  in der Gleichung (S ) detailliert eingegangen wird. So D W k¨onnen durch eine Zeitmittelung in [ Moore 1983] genau diese Termgruppen identifiziert werden. Die turbulenten Zusatzterme werden durch ein einfaches Turbulenzmodell, welches das Gleichgewicht von Produktion und Dissipation unterstellt, berechnet. Auf dieser Basis werden Entropieproduktionsraten in turbulenten Grenzschichten berechnet. Eine der detailiertesten Arbeiten zur Entropieproduktion, oder in diesem konkreten Fall Exergieverlustes, in turbulenten Str¨omungen findet sich in [ Wang et al. 2003]. Diese Arbeit wurde kurz vor Fertigstellung dieser Schrift ver¨offentlicht. Sie enth¨alt detaillierte Angaben zum lokalen Exergiever-

4.2 Das k − ε Turbulenzmodell

69

lust auf der Basis einer finiten Volumendiskretisierung in turbulenten Scherstr¨omungen eines new∗ ∗ , S˙ PRO, , tonschen, inkompressiblen Fluids. In dieser Arbeit werden prinzipiell die Terme S˙ PRO, D W ∗ ∗ ∗ ˙ ˙ S  und S  aus der Gleichung (S ) in der Form von Exergieverlusten dargestellt. Der zur PRO, D

PRO, W

Berechnung des Exergieverlustes durch indirekte Dissipation erforderliche Reynoldsspannungstensor wird durch ein Turbulenzmodell f¨ur kleine Reynolds-Zahlen in Rohrstr¨omungen ermittelt. Dieses Turbulenzmodell wird zur Ermittlung des Exergieverlustes durch schwankende Temperaturgradienten erweitert. In der Hauptstr¨omung, das heißt in nicht wandnahen Regionen, k¨onnen die turbulenten Zusatzterme durch die Annahme eines lokalen Gleichgewichtes von Produktion und Dissipation beschrieben werden. In der Wandn¨ahe gelten die Gleichungen des speziellen Turbulenzmodelles. Auf diese Weise k¨onnen in dieser Arbeit wandnahe Verl¨aufe des lokalen Exergieverlustes f¨ur alle vier Termgruppen in einer turbulenten Rohrstr¨omung mit konstantem Wandw¨armestrom dargestellt wer∗ den. Aufgrund des verwendeten Turbulenzmodelles weisen die modellierten Terme S˙ PRO, D  und ∗ S˙ PRO, W  an der Wand Werte von Null auf. Die Literaturrecherche hat ergeben, dass durchaus eine Notwendigkeit besteht, Modellgleichungen zur Beschreibung der lokalen Entropieproduktionsraten in turbulenten Scherstr¨omungen herzuleiten. Denn der Großteil der Arbeiten zur lokalen Berechnung turbulenter Entropieproduktionsraten beachtet die turbulenten Zusatzterme gar nicht, nur teilweise oder missachtet den entscheidenden Einfluss von festen W¨anden und nimmt im gesamten Str¨omungsfeld ein lokales Gleichgewicht von Produktion und Dissipation an. Aus diesem Grunde sollen im Folgenden Modellgleichungen zur Be∗ ∗ ∗ ∗ ˙∗ , S˙ PRO, , S˙ PRO, schreibung der Terme S˙ PRO, D  und SPRO, W  aus der Gleichung (S ) in turbulenten D W Scherstr¨omungen hergeleitet werden. Die turbulenten Zusatzterme sollen hierbei auf der Basis eines Wirbelviskosit¨atsmodelles, namentlich des k − ε Turbulenzmodelles, berechnet werden. In dieser Arbeit soll weiterhin ein besonderes Augenmerk auf den Verlauf der Entropieproduktionen in der N¨ahe von festen W¨anden erfolgen, was schließlich zu universellen Wandfunktionen f¨ur die Entropieproduktionsraten in turbulenten Str¨omungen f¨uhren wird. Bevor aber diese Modellgleichungen hergeleitet werden, m¨ussen zun¨achst einleitende Worte zu der Behandlung der turbulenten Zusatzterme in den zeitgemittelten Grundgleichungen aus Kapitel 3 erfolgen. Hier soll im Speziellen auf das in dieser Arbeit verwendete Wirbelviskosit¨atsmodel, das k − ε Turbulenzmodell, eingegangen werden.

4.2

Das k − ε Turbulenzmodell

Im Literaturr¨uckblick u¨ ber die differentielle Second Law Analysis in turbulenten Str¨omungen wurde deutlich, dass bez¨uglich der turbulenten Zusatzterme in den zeitgemittelten Gleichungen Modellannahmen gemacht werden m¨ussen. Das trifft nat¨urlich in erster Linie auch f¨ur die turbulenten Zusatzterme in den Impulsgleichungen (XI ∗ ) bis (ZI ∗ ) und den Energiegleichungen (ME ∗ ), (MES ∗ ) und (T E ∗ ) zu. Denn die Kenntnis der zeitgemittelten Geschwindigkeits- und Temperaturfelder ist die notwendige Bedingung zur Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten.

70

Modelle und numerische Aspekte

Zur Schließung des Gleichungssystems aus Kontinuit¨ats-, Impuls und Energiegleichung werden f¨ur diese unbekannten Turbulenzgr¨oßen zus¨atzliche Modellgleichungen eingef¨uhrt. Diese Modellgleichungen lassen sich nicht aus den allgemeinen Grundgleichungen herleiten, enthalten aber zumindest in Teilaspekten Zusatzinformationen aufgrund von Modellvorstellungen bez¨uglich der Turbulenz und ihrer Wirkung auf die mittleren Str¨omungsgr¨oßen. Es gibt eine Vielzahl von solchen Turbulenzmodellen, siehe unter anderem [ Wilcox 1998], [ Speziale und So 1998]. Da diese Arbeit als ein erster Versuch angesehen werden kann, systematisch Methoden zu untersuchen, lokale Entropieproduktionsraten in turbulenten Str¨omungen zu berechnen, sollen hier keine exotischen Turbulenzmodelle zum Einsatz kommen. Es soll hier vielmehr gezeigt werden, wie diese Produktionsterme mit Hilfe des wohl am weitesten verbreiteten Turbulenzmodelles, dem k − ε Turbulenzmodell, ermittelt werden k¨onnen. Die Modellvorstellungen bez¨uglich der Turbulenz sollen systematisch auf die turbulenten Entropieproduktionsterme angewendet werden. Das gilt insbesondere auch f¨ur die Behandlung wandnaher Regionen, in denen das k − ε Turbulenzmodell von so genannten universellen Wandfunktionen Gebrauch macht. Zun¨achst sollen die Modellgleichungen des k − ε Turbulenzmodelles vorgestellt und ihre Bedeutung bez¨uglich der Turbulenz kurz erl¨autert werden. F¨ur weitergehende Herleitungen sei auf [ Wilcox 1998], [ Speziale und So 1998], [ Gersten und Herwig 1992] oder [ Schlichting und Gersten 1997] verwiesen.

4.2.1 Modell zur Ermittlung der Reynoldsspannungen ∗ In diesem Abschnitt soll die Modellierung der turbulenten Zusatzterme τij∗ = −∗ u∗ i uj in den Impulsgleichungen (XI ∗ ) bis (ZI ∗ ) mit Hilfe des k − ε Turbulenzmodelles vorgestellt werden. Diese Terme ber¨ucksichtigen die Wirkung der turbulenten Schwankungsbewegung auf die Str¨omung. In einfachen Scherstr¨omungen kann davon ausgegangen werden, dass ein entscheidender Aspekt f¨ur die Entstehung von Turbulenz und ihre Aufrechterhaltung die Existenz von Geschwindigkeitsgradienten ist. Aus diesem Grund ist bis heute ein 1872 von J. Boussinesq vorgeschlagener Ansatz sehr verbreitet. In diesem Ansatz wird die so genannte Wirbelviskosit¨at ηt∗ eingef¨uhrt und die Entstehung der zus¨atzlichen turbulenten Reynoldsspannungen den mittleren Geschwindigkeitsgradienten zugeschrieben:   ∂u∗j ∂u∗i 2 ∗ ∗ τij := ηt + ∗ − δij ∗ k ∗ . (4.1) ∂x∗j ∂xi 3

Nach diesem Ansatz werden die turbulenten Reynoldsspannungen analog zu den viskosen Spannungen eines newtonschen Fluides, siehe Gleichung (3.4), modelliert. Ein entscheidender Unterschied ist aber, dass es sich bei der Wirbelviskosit¨at ηt∗ um keinen Stoffwert sondern um eine Str¨omungsgr¨oße handelt. Diese beschreibt die Turbulenzeigenschaften von Str¨omungen und nimmt innerhalb des Str¨omungsfeldes sehr unterschiedliche Werte an. Insbesondere muss sie an festen W¨anden zu Null werden, da an diesem Ort keine Schwankungsgr¨oßen existieren. Die gesamte Wirkung der Turbulenz wird in diesem Modell durch eine skalare Feldgr¨oße, die Wirbelviskosit¨at ηt∗ , erfasst. Das Schließungsproblem hat sich jetzt auf die Berechnung dieser Modell-

4.2 Das k − ε Turbulenzmodell

71

¨ gr¨oße verlagert. Dimensionsanalytische Uberlegungen helfen bei ihrer Ermittlung: Die modellm¨aßige Beschreibung der kinematischen Wirbelviskosit¨at νt∗ = ηt∗/∗ kann nur durch Gr¨oßen erfolgen, die ¨ und Z EIT vorkommen, da dierein kinematischer Natur sind, in denen nur die Dimensionen L ANGE se Gr¨oße selbst von kinematischer Natur ist. Diese Dimensionsanalyse f¨uhrt unter anderem zu dem 2 ¨ Ergebnis, dass νt∗ (Dimension L ANGE /Z EIT) durch die kinetische Energie der Schwankungsbewe2 2 2 ¨ ¨ gung k ∗ (Dimension L ANGE /Z EIT ) und deren Dissipationsrate ε∗ (Dimension L ANGE /Z EIT3 ) beschrieben werden kann: νt∗ = Cµ

k ∗2 , ε∗

(4.2)

wobei es sich bei Cµ um einen reinen konstanten Zahlenwert handelt, welcher in vielen Anwendung einen Wert von Cµ = 0, 09 zugewiesen bekommt. Zur Bestimmung der Wirbelviskosit¨at (und damit der Reynoldsspannungen nach Gleichung (4.1)) m¨ussen nun die turbulente kinetische Energie der Schwankungsbewegung k ∗ und deren Dissipationsrate ε∗ in dem gesamten Str¨omungsfeld bekannt sein. Das k − ε Turbulenzmodell beschreibt gerade dieses modellhafte Verhalten dieser Gr¨oßen. Eine physikalische Gleichung zur Beschreibung der turbulenten mechanischen Energie der Schwankungsbewegung wurde mit Gleichung (MES ∗ ) bereits vorgestellt. In dieser Gleichung wurde die Dissipationsrate mit TΦ∗ abgek¨urzt. Spaltet man von dieser physikalischen indirekten Dissipationsrate einige Terme ab, so erh¨alt man die so genannte Pseudo-Dissipation“ ∗ ε∗ : ”

 ∗ ∗ ∂u ∂v ∂v ∗ ∂w ∗ ∂w ∗ ∂u∗ ∗ ε∗ := TΦ∗ − η ∗ 2 + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗  ∗ 2  ∗ 2  ∗ 2  ∂u ∂v ∂w + + + (4.3) ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ Eine Definition nach Gleichung (4.3) erscheint zun¨achst einmal willk¨urlich. Im Folgenden wird sich aber zeigen, dass sie im Zuge der Herleitung von Modellgleichungen f¨ur k ∗ und ε∗ durchaus Sinn macht. Aus den zeitgemittelten Impulsgleichungen (XI ∗ ) bis (ZI ∗ ) und der Gleichung f¨ur die mechanische Energie der Schwankungsbewegung (MES ∗ ) kann durch geeignete Kombination von Termen eine physikalische Transportgleichung f¨ur ∗ ε∗ hergeleitet werden. Die beiden physikalischen Gleichungen f¨ur k ∗ und ε∗ enthalten aber immer noch unbekannte turbulente Zusatzterme, das heißt die Schwankungsgr¨oßen u∗ i . Das Gleichungssystem ist immer noch nicht geschlossen. Zu deren Schließung werden Modellgleichungen f¨ur diese Gr¨oßen erstellt. Details zu deren Herleitung finden sich zum Beispiel in [ Speziale und So 1998]. Bei der turbulenten kinetischen Energie handelt es sich um eine skalare Gr¨oße. Allgemein gibt es bei der Bilanzierung einer solchen skalaren Gr¨oße an einem infinitesimalen Kontrollvolumen in der ortsfesten Betrachtungsweise folgende Mechanismen: ¨ Anderung mit der Zeit + Konvektion = Diffusion + Produktion − Dissipation

(4.4)

72

Modelle und numerische Aspekte

Die linke Seite von Gleichung (4.4) kann f¨ur das Modell f¨ur k ∗ durch die Abk¨urzung Dk ∗ /Dt∗ erfasst werden, siehe Gleichung (3.3). Zur Modellierung der Diffusion, Produktion und Dissipation kommt jetzt die oben noch willk¨urlich erscheinende Definition 4.3 zum Tragen. Vergleicht man diese Definition der Pseudo-Dissipation“ ∗ ∗ und die Termgruppen in der physikalischen Transportglei” chung f¨ur die mechanische Energie der Schwankungsbewegung, Gleichung (MES ∗ ), so erkennt man folgenden Zusammenhang:  2 ∗ ∂ 2 k∗ ∂ 2 k∗ ∂ k Dk∗ − TΦ∗ = η∗ + + . (4.5) − ∗ ε∗

  ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

  physikalische molekulare Diffusion und turbulente Dissipation modellierte molekulare Diffusion und Pseudo-Dissipation“ ”

Durch diese rein mathematische Umformung kann die molekulare Diffusion durch einen weit verbreiteten Ansatz f¨ur die Leitung skalarer Gr¨oßen ersetzt werden. Dieser Ansatz ist analog zum Newtonschen Schubspannungsansatz (3.4) oder dem Fourierschen W¨armeleitungsansatz (3.5). Die indirekte Dissipation wird durch die Pseudo-Dissipation“ ∗ ε∗ approximiert. Der Grund f¨ur diese ma” thematische Umformung ist nun einleuchtend. Die Terme Dk∗ und TΦ∗ brauchen nicht mehr explizit modelliert zu werden, sie werden in Form von k ∗ und ∗ ε∗ ausgedr¨uckt. ∗ ∗ Die modellhafte turbulente Diffusion TDk m von k in der physikalischen Transportgleichung ∗ (MES ) wird ebenfalls durch den f¨ur Leitung u¨ blichen Ansatz mit der Wirbelviskosit¨at ηt∗ als Diffusionskonstante ausgedr¨uckt:  2 ∗ ∂ k ∂ 2k∗ ∂ 2k∗ ∗ ∗ := η + + TDk . (4.6) m t ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2 ∗ ist die Summe der ProDie Produktion von kinetischer Energie der Schwankungsbewegung TPRO dukte aus Reynoldsspannungen mit den mittleren Geschwindigkeitsgradienten. F¨ur die Reynoldsspannungen in der Modellgleichung f¨ur k ∗ findet der Wirbelviskosit¨atsansatz Anwendung und die ∗ modellhafte Produktion TPRO m kann geschrieben werden als :   2  ∗ 2  ∗ 2  ∂u∗ ∂v ∂w ∗ ∗ + + TPRO m := ηt 2 ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗  ∗ 2  ∗ 2  ∗ 2  ∂u ∂u ∂v ∂v ∗ ∂w ∗ ∂w ∗ + + + + + + . (4.7) ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗

Insgesamt ergibt sich nach diesen Betrachtungen also folgende Modellgleichung f¨ur die mechanische Energie der Schwankungsbewegung: k-M ODELLGLEICHUNG : ∗

Dk ∗ = (η ∗ + ηt∗ ) Dt∗



∂ 2k∗ ∂ 2k∗ ∂ 2k∗ + + ∗2 ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z

∗ ∗ ∗ . + TPRO m− ε

(KM ∗ )

Bis hier ist die einzige Unbekannte in Gleichung (KM ∗ ) die Pseudo-Dissipation“ ∗ ε∗ . Auch f¨ur ” diese Gr¨oße kann entsprechend den allgemeinen Regeln des Transportes einer skalaren Gr¨oße nach

4.2 Das k − ε Turbulenzmodell

73

(4.4) eine Transportgleichung hergeleitet werden. In dieser Gleichung k¨onnen wieder Termgruppen als Diffusion, Produktion und als Dissipation interpretiert werden. F¨ur die Diffusion wird wieder der f¨ur die Leitung skalarer Gr¨oßen u¨ bliche Ansatz gemacht. Die physikalische Richtigkeit des Produktionstermes und der Dissipation der Dissipation ist nat¨urlich fragw¨urdig. Da sich das Modell aber in vielen technischen Anwendungen bew¨ahrt hat, soll es auch in dieser Arbeit ohne Modifikationen verwendet werden. ε-M ODELLGLEICHUNG : ∗

Dε∗ = (η ∗ + ηt∗ ) Dt∗



∂ 2 ε∗ ∂ 2 ε∗ ∂ 2 ε∗ + + ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

+ Cε 1

ε∗ ∗ ε∗2 TPRO m − Cε 2 ∗ ∗ ∗ k k

(EM ∗ )

Die Modellkonstanten in Gleichung (EM ∗ ) sind Cε 1 = 1, 44 und Cε 2 = 1, 92. Die beiden Modellgleichungen f¨ur die turbulenten Gr¨oßen k ∗ und ε∗ , (KM ∗ ) und (EM ∗ ), bilden zusammen mit den Gleichungen f¨ur die Wirbelviskosit¨at ηt∗ , (4.1) und (4.2), den zeitgemittelten Impulsgleichungen (XI ∗ ), (Y I ∗ ) und (ZI ∗ ) sowie der Kontinuit¨atsgleichung (K ∗ ) ein geschlossenes Gleichungssystem zur Bestimmung der mittleren Geschwindigkeiten u∗ , v ∗ , w ∗ , dem Druck p∗ , der turbulenten kinetischen Energie k ∗ und deren Dissipationsrate ε∗ .

4.2.2 Modell zur Ermittlung der turbulenten W¨armestromdichten Mit der bis hier vorgestellten Modellgleichung ist es m¨oglich, isotherme turbulente Str¨omungen zu berechnen. In dieser Arbeit sollen aber die Produktionsraten der Entropie ermittelt werden. Diese sind von der thermodynamischen Temperatur abh¨angig. Aus diesem Grund ist es notwendig, auch die zeitgemittelte thermische Energiegleichung (T E ∗ ) zu l¨osen. Auch diese Gleichung enth¨alt tur∗ bulente Zusatzterme in Form der turbulenten W¨armestromdichten q˙i∗ = ∗ cp u∗ i Tj . Diese Terme ber¨ucksichtigen die Wirkung der turbulenten Schwankungsbewegung auf die Temperaturverteilung in der Str¨omung. In einfachen Scherstr¨omungen kann analog zu den turbulenten Schubspannungen in Abschnitt 4.2.1 davon ausgegangen werden, dass ein entscheidenden Aspekt f¨ur die Entstehung von Turbulenz und ihre Aufrechterhaltung im Fall der turbulenten W¨armestromdichten die Existenz von Temperaturgradienten ist. Aus diesem Grund wird zur Beschreibung dieser turbulenten W¨armestromdichten ein zu dem Boussinesq-Ansatz, Gleichung (4.1), analoger Ansatz gemacht: q˙∗ = −λ∗t grad T ∗ .

(4.8)

Gleichung (4.8) a¨ hnelt dem Fourierschen Ansatz der W¨armeleitung (3.5) mit dem entscheidenden Unterschied, dass es sich bei λ∗t , der turbulenten W¨armeleitf¨ahigkeit, wieder um eine Str¨omungsgr¨oße handelt. Das Schließungsproblem wird damit wieder auf die Ermittlung der skalaren Feldgr¨oße λ∗t verlagert. Diese Gr¨oße soll in dieser Arbeit nicht analog zu der Berechnung der Wirbelviskosit¨at ηt∗

74

Modelle und numerische Aspekte

u¨ ber zus¨atzliche Differentialgleichungen bestimmt werden. Es w¨are im Hinblick auf die Model∗ lierung der Entropieproduktion durch schwankende Temperaturgradienten, Term S˙ PRO, W  in Glei∗ chung (S ), sicherlich hilfreich, eine den Reynoldsspannungen analoge Modellierung von λ∗t mit ∗ der Varianz der Temperaturschwankungen kΘ = T ∗ /2 und deren Dissipationsrate ε∗Θ zu verfolgen [ Speziale und So 1998]. Ein solches Turbulenzmodell ist aber in kommerziellen CFD Programmen nicht weit verbreitet und soll aus diesem Grund nicht verwendet werden. Sehr verbreitet hingegen ist die Modellierung der turbulenten W¨armeleitf¨ahigkeit, beziehungsweise der turbulenten Temperaturleitf¨ahigkeit a∗t = λ∗t /(∗ c∗p ), mit Hilfe der so genannten turbulenten Prandtl-Zahl Prt : Prt :=

νt∗ . a∗t

(4.9)

Eine Modellierung nach Gleichung (4.9) macht sich den passiven Charakter des Temperaturfeldes zu Eigen. Wie in Kapitel 3 gezeigt wurde, sind das Geschwindigkeits- und Temperaturfeld in inkompressiblen Str¨omungen gegenseitig nicht gekoppelt. Das Temperaturfeld kann als eine Folge des Geschwindigkeitsfeldes und der thermischen Randbedingungen angesehen und somit nach einer Kenntnis des Str¨omungsfeldes gel¨ost werden. Im Bezug auf die Turbulenz kann gesagt werden, dass die turbulente W¨arme¨ubertragung weitgehend durch das turbulente Str¨omungsfeld bestimmt wird, die Temperatur sich somit wie ein passiver Skalar verh¨alt. In nahezu allen kommerziellen CFD-Programmen werden die turbulenten W¨armestromdichten in Gleichung (T E ∗ ) u¨ ber die turbulente W¨armeleitf¨ahigkeit, Gleichung (4.8), und die turbulente Prandtl-Zahl, Gleichung (4.9), bestimmt, wobei diese zus¨atzlich oft konstant angenommen wird: Prt = 0, 9 .

(4.10)

∗ Die Druck-Geschwindigkeits-Korrelation TDG aus Gleichung (T E ∗ ) wird im Allgemeinen vernachl¨assigt und die Modellgleichung f¨ur die thermische Energie in der Temperaturform wird mit Verwendung der modellhaften indirekten Dissipation ∗ ε∗ zu:

T -M ODELLGLEICHUNG : ∗ c∗p

DT ∗ = (λ∗ + λ∗t ) Dt∗



∂ 2T ∗ ∂ 2 T ∗ ∂ 2T ∗ + + ∂x∗2 ∂y ∗2 ∂z ∗2

+ Φ∗ + ∗ ε∗

(T M ∗ )

Gleichung (T M ∗ ) stellt zusammen mit (4.9), beziehungsweise (4.8) und der Kontinuit¨atsgleichung (K ∗ ), den zeitgemittelten Impulsgleichungen (XI ∗ ), (Y I ∗ ) und (ZI ∗ ) sowie den Modellgleichungen f¨ur die turbulente kinetische Energie (KM ∗ ) und deren Dissipationsrate (EM ∗ ) ein geschlossenes Gleichungssystem dar, deren L¨osung die zeitgemittelte Temperatur ist. An dieser Stelle ist es nun m¨oglich, die mittleren Geschwindigkeits- und Temperaturfelder sowie die kinetische Energie der turbulenten Schwankungsbewegung und deren (modellhafte) Dissipationsrate in turbulenten Str¨omungen zu bestimmen. Im Folgenden sollen nun die Modellans¨atze des k − ε

4.3 Modellgleichungen der Entropieproduktionsraten

75

Turbulenzmodelles auf die Berechnung der lokalen Entropieproduktionsraten erweitert werden. Das ∗ ∗ ˙∗ ˙∗ , S˙ PRO, Ziel sollen Modellgleichungen f¨ur die Terme S˙ PRO, D  , SPRO, W und SPRO, W  in Gleichung D (S∗ ) sein.

4.3

Modellgleichungen der Entropieproduktionsraten

Im Folgenden wird das Ziel verfolgt, in einer den eigentlichen L¨osungen der zeitgemittelten NavierStokes- und thermischen Energie-Gleichungen nachgeschalteten Analyse des zeitgemittelten Geschwindigkeits-, Temperatur und Turbulenzfeldes die vier Entropieproduktionsraten zu bestimmen. Diese Analyse soll dabei eine reine Auswertung mit Hilfe der bekannten Geschwindigkeiten u∗ , v ∗ , w ∗ , der mittleren Temperatur T ∗ sowie der kinetischen Energie der Schwankungsbewegung k ∗ und deren Dissipationsrate ε∗ sein. Es sollen keine weiteren Differentialgleichungen gel¨ost werden, so dass die Berechnung der Entropieproduktionsraten in einem reinen, so genannten Postprozess der CFD-L¨osung erfolgen kann. ∗ Es wird sich zeigen, dass die Entropieproduktionsraten aufgrund der mittleren Gr¨oßen, also S˙ PRO, D ∗ und S˙ , diese Bedingungen bereits erf¨ullen und keiner weiteren Modellierung bed¨urfen. Die PRO, W

∗ ˙∗ turbulenten Schwankungsgr¨oßen in den turbulenten Entropieproduktionsraten S˙ PRO, D  und SPRO, W  m¨ussen hingegen einer Turbulenzmodellierung unterzogen werden.

In diesem Abschnitt werden zun¨achst die Modellgleichungen f¨ur vollturbulente Bereiche des Str¨omungsfeldes vorgestellt. Es wird sich zeigen, dass diese Gleichungen in unmittelbarer N¨ahe zu festen W¨anden nicht mehr g¨ultig sind und aus diesem Grund modifiziert werden m¨ussen. Diese Modifikation ist bei einer L¨osung dieser Gleichungen auf der Basis einer finiten Volumendiskretisierung des Str¨omungsfeldes auch aus numerischen Gr¨unden unerl¨asslich, wie in Abschnitt 4.4 gezeigt werden soll. Deshalb erfolgt in Abschnitt 4.5 eine systematische Herleitung von Wandfunktionen f¨ur die ¨ Entropieproduktionsraten auf der Basis asymptotischer Uberlegungen.

4.3.1 Entropieproduktion durch direkte Dissipation Die zeitgemittelte spezifische Entropieproduktionsrate durch direkte Dissipation nach Gleichung (S∗ ) ist: E NTROPIEPRODUKTIONSRATE DURCH DIREKTE D ISSIPATION :   2  ∗ 2  ∗ 2  η∗ ∂u∗ ∂v ∂w ∗ := · 2 + + S˙ PRO, D ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T∗  ∗  2  ∗ 2  2 ∂u ∂u∗ ∂w ∗ ∂v ∂v ∗ ∂w ∗ + + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗

(SD ∗ )

76

Modelle und numerische Aspekte

Eine Ermittlung dieser Gr¨oße ist bei Kenntnis der mittleren Geschwindigkeiten u∗ , v ∗ und w ∗ und der Temperatur T ∗ ohne weitere Modellierung m¨oglich. Diese Gr¨oßen sind bei der Berechnung eines Str¨omungs- und Temperaturfeldes mit Hilfe von CFD-Programmen immer bekannt und die Auswertung von Gleichung (SD ∗ ) kann in einem der eigentlichen L¨osung der zeitgemittelten Navier-Stokesund thermischen Energiegleichung nachgeschalteten Postprozess erfolgen. Spezielle Modifikationen von (SD ∗ ) in wandnahen Bereichen des Str¨omungsfeldes werden Thema des Abschnitts 4.5 sein.

4.3.2 Entropieproduktion durch molekulare W¨armeleitung In Gleichung (S∗ ) wurde die Entropieproduktionsrate durch W¨arme¨ubertragung u¨ ber mittlere Temperaturgradienten (molekulare W¨armeleitung) als ¨ E NTROPIEPRODUKTIONSRATE DURCH MOLEKULARE W ARMELEITUNG :     2 2 2 ∗ λ ∂T ∗ ∂T ∗ ∂T ∗ ∗ S˙ PRO, := + + W ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T ∗2

(SW ∗ )

identifiziert. Alle Gr¨oßen in Gleichung (SW ∗ ) k¨onnen ohne weitere Modellierung in einem Postprozess nach der Berechnung des Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes bestimmt werden. Spezielle Modifikationen von (SW ∗ ) in wandnahen Bereichen des Temperaturfeldes werden in Abschnitt 4.5 behandelt.

4.3.3 Entropieproduktion durch turbulente Dissipation Die zeitgemittelte spezifische Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation ist nach Gleichung (S∗ ):   2  ∗ 2  ∗ 2  η∗ ∂u∗ ∂v ∂w ∗ ˙ SPRO, D := ∗ 2 + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ T  ∗ 2  ∗ 2  ∗ 2  ∂v ∗ ∂w ∗ ∂w ∗ ∂u ∂u ∂v + , + + + + + ∂y ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂y ∗ =

η ∗ TΦ∗ . T∗

(4.11)

Bei der Berechnung von Str¨omungen unter Anwendung des k − ε Turbulenzmodelles bleiben die ¨ Schwankungsterme in Gleichung (4.11) Unbekannte. Bereits bei den Uberlegungen zu der Trans∗ portgleichung f¨ur ε wurde aber eine f¨ur den Aspekt der turbulenten Entropieproduktion entscheidende N¨aherung vorgenommen: Die Ersetzung der turbulenten Dissipationsrate TΦ∗ durch die Pseudo” Dissipation“ ∗ ε∗ . Soll auch in der Gleichung (4.11) die turbulenten Dissipationsrate TΦ∗ im Zuge einer Modellierung durch ∗ ε∗ ersetzt werden, so muss zun¨achst sicher gestellt werden, dass diese

4.3 Modellgleichungen der Entropieproduktionsraten

77

beiden Gr¨oßen in technischen Str¨omungen a¨ hnliche Werte aufweisen. In [ Mathieu und Scott 2000] wird dargestellt, dass diese beiden Gr¨oßen im Grenzfall unendlicher Reynolds-Zahlen identisch sind, Abweichungen also asymptotisch klein sind. F¨ur den Fall endlicher Reynolds-Zahlen lassen sich aus Beispielrechnungen hilfreiche Schlussfolgerungen ziehen: Auf der Basis der Gleichungen des k − ε Turbulenzmodelles wird eine adiabate turbulente Rohrstr¨omung bei vier Reynolds-Zahlen Re = ∗ u∗m D ∗ /η ∗ berechnet. Alle ReynoldsZahlen weisen Werte u¨ ber der kritischen Reynolds-Zahl von Re=2300 auf. Es zeigt sich, dass f¨ur alle Reynolds-Zahlen nach einer Einlaufl¨ange von etwa 30-50 Durchmessern die Str¨omung als ausgebildet angesehen werden kann. In einem Querschnitt dieses ausgebildeten Bereiches kann die gesamte integrale Dissipationsrate auf zwei Arten bestimmt werden:

1. Als dimensionsloser Verlust an mechanischer Energie pro L¨angeneinheit, siehe Gleichung (ME ∗ ): L≡

η ∗ V˙ ∗ 4 Re ∗ u∗m D ∗ ∗ u∗τ D ∗ d p∗ = mit Re = ; Reτ = 2 ∗ ∗2 ∗4 ∗ ∗ d x  uτ A η η∗ Reτ

(4.12)

mit dem Druckverlust pro L¨angeneinheit dp∗ /dx∗ , der Schubspannungsgeschwindigkeit u∗τ und dem Volumenstrom V˙ ∗ . 2. Als (entdimensioniertes) Fl¨achenintegral der direkten Dissipation Φ∗ , Gleichung (3.22), und der modellhaften indirekten Dissipation ∗ ε∗ : D≡

η∗ 1 ∗ ∗2 u∗2 τ A

 Φ∗ dA∗ + A



∗ ε∗ dA∗

.

(4.13)

A

In der Abbildung 4.1 sind die Auswertungen von L und D f¨ur vier Reynolds-Zahlen der Berechnungen mit dem k − ε Turbulenzmodell und die Daten einer direkten numerischen Simulation (DNS) von [ Eggels et al. 1994] aufgetragen. Der Abbildung kann f¨ur kleine Reynolds-Zahlen eine Abweichung zwischen den Termen L und D von etwa 10% entnommen werden. Diese Abweichungen werden bei großen Reynolds-Zahlen geringer. Die Abweichungen zwischen der Auswertung der Terme L und D f¨ur die DNS-Daten und der Rechnung mit dem k − ε Turbulenzmodell k¨onnen bei den relativ niedrigen Reynolds-Zahlen, bei denen die DNS-Daten vorliegen, als Effekt kleiner Reynolds-Zahlen (A) interpretiert werden. Bei kleinen Reynolds-Zahlen ist das k − ε Turbulenzmodell nur noch bedingt anwendbar, da die Modellgleichungen f¨ur hohe Reynolds-Zahlen entwickelt wurden. Der Abbildung kann weiterhin entnommen werden, dass auch bei der Auswertung der Terme L und D f¨ur die Daten der DNS eine Abweichung auftritt. Dies kann als systematischer Fehler (B) in der Ann¨aherung der turbulenten Dissipation TΦ∗ durch die Pseudo-Dissipation“∗ ε∗ interpretiert werden. ”

78

Modelle und numerische Aspekte 0.2 Re−Effekt (A) systematischer Fehler (B) 0.15

Re−Effekt (A)

0.1

L

0.05

D

0 5300 10000

20000

Re

40000

Abbildung 4.1: Vergleich des Verlustes an mechanischer Energie und des Integrals der modellierten direkten und indirekten Dissipation


: berechneter Verlust an mechanischer Energie L =


4 Re Re2τ

  : berechnetes Integral der modellierten direkten und indirekten Dissipation D =≡

η∗ 1 ∗ ∗2 u∗2 τ A



A

Φ∗ dA∗ +



A

∗ ε∗ dA∗



 : DNS Daten von [ Eggels et al. 1994] f¨ur L bei Re=5300  : DNS Daten von [ Eggels et al. 1994] f¨ur D bei Re=5300

Aus den Betrachtungen zu Abbildung 4.1 folgt also, dass auch bei endlichen Reynolds-Zahlen die modellhafte indirekte Dissipation ∗ ε∗ eine sehr gute N¨aherung f¨ur die physikalische indirekte Dissi∗ pation TΦ∗ darstellt. Aus diesem Grund kann in der Modellierung von S˙ PRO, D  auch die physikalische ∗ ∗ Dissipation durch  ε ersetzt werden. Das hat den entscheidenden Vorteil, dass ε∗ bei einer Berechnung des Str¨omungsfeldes auf der Basis des k − ε Turbulenzmodells immer als Feldgr¨oße bekannt ∗ ist und S˙ PRO, ur die D  wiederum in einem Postprozess ermittelt werden kann. Die Modellgleichung f¨ Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation heißt also: E NTROPIEPRODUKTIONSRATE DURCH TURBULENTE D ISSIPATION : η ∗ ∗ ε∗ ∗ S˙ PRO, ∗ D  := T

(SD ∗ )

∗ Auf die Behandlung von S˙ PRO, D  in wandnahen Bereichen soll wieder in dem Abschnitt 4.5 eingegangen werden. Zusammenfassend enth¨alt die Modellierung der Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation folgende Annahmen:

4.3 Modellgleichungen der Entropieproduktionsraten

79

¨ 1. Aquivalenz der physikalischen turbulenten Dissipationsrate TΦ∗ und der turbulenten Dissipati∗ ∗ onsrate  ε des k − ε Turbulenzmodelles. 2. N¨aherungsannahmen in der ε∗ -Gleichung (EM ∗ ).

4.3.4 Entropieproduktion durch turbulente W¨armeleitung Die vierte Ursache der Entropieproduktion bedarf wieder einer Modellierung der turbulenten Schwankungsgr¨oßen. Die Entropieproduktionsrate durch W¨armeleitung u¨ ber schwankende Temperaturgradienten ist nach Gleichung (S∗ ):  2  ∗ 2  ∗ 2  λ∗ ∂T ∗ ∂T ∂T ∗ ˙ SPRO, W  := + + . (4.14) ∗ ∗ ∗2 ∂x ∂y ∂z ∗ T In Gleichung (4.14) sind die Temperaturschwankungen Unbekannte des vorgestellten Gleichungs∗ systems. Eine der Modellierung der anderen turbulenten Entropieproduktionsrate S˙ PRO, D  analoge Vorgehensweise verbietet sich. Denn wie in Abschnitt 4.2.2 schon dargestellt wurde, sind Turbulenzmodelle, welche die turbulente W¨armeleitung auf der Basis von zwei zus¨atzlichen Differentialglei∗ = T ∗2 /2 und deren Dissipatichungen, namentlich der Varianz der Temperaturschwankungen kΘ onsrate ε∗Θ , berechnen, nicht sehr weit verbreitet. Trotzdem lohnt sich im Zuge der Modellierung der unbekannten Temperaturschwankungen in Gleichung (4.14) ein Blick auf die (physikalische) Trans∗ [ Speziale und So 1998]: portgleichung von kΘ ∗ DkΘ ∗ ∗ = Dk∗Θ − TDk + TPRO − ε∗Θ . Θ Θ ∗ Dt

(4.15)

∗ In Analogie zu Gleichung (MES ∗ ) beschreibt Dk∗Θ die molekulare Diffusion, TDk die turbulente Θ ∗ ∗ ∗ Diffusion, TPROΘ die Produktion von kΘ und εΘ die Dissipationsrate. Dieser Term lautet im Detail:  2  ∗ 2  ∗ 2  ∂T ∗ ∂T ∂T ε∗Θ = a∗ , (4.16) + + ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

mit der molekularen Temperaturleitf¨ahigkeit a∗ = λ∗ /(∗ c∗p ). Bei einem Blick auf die Gleichung (4.14) f¨allt sofort der enge Zusammenhang des Termes ε∗Θ mit der Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung auf. Diese kann wie folgt beschrieben werden: ∗ S˙ PRO, W =

∗ c∗p ε∗Θ T ∗2

.

(4.17)

∗ Bei einem Vergleich mit der anderen turbulenten Entropieproduktionsrate S˙ PRO, D  , Gleichung ∗ (SD ), f¨allt wiederum die Analogie von Geschwindigkeits- und Temperaturfeld in inkompressiblen Str¨omungen auf. Der passive Charakter des Temperaturfeldes in dieser Art Str¨omungen wirkt sich bis auf die Beschreibung der Entropieproduktionsraten aus. Es kann also an diesem Punkt zumindest gesagt werden, dass die bisherigen Modellans¨atze Sinn machen und keinen Widerspruch zu dem Verst¨andnis der Turbulenz in der zeitgemittelten Form darstellen.

80

Modelle und numerische Aspekte

Wenn die Gr¨oße der turbulenten Dissipationsrate ε∗Θ bekannt w¨are, w¨are die Modellierung von ∗ ˙ SPRO, W  an dieser Stelle beendet. Wie aber bereits angedeutet, ist diese Gr¨oße im Allgemeinen als Feldgr¨oße nicht zug¨anglich. Es muss also versucht werden, die turbulente Dissipationsrate ε∗Θ mit Hilfe geeigneter Annahmen mit der Modellierung der turbulenten W¨armestromdichten auf Basis der turbulenten Prandtl-Zahl, siehe Abschnitt 4.2.2, in Einklang zu bringen. Bei diesem Schritt hilft die ∗ Annahme eines lokalen Gleichgewichts zwischen der Produktion und der Dissipation von kΘ weiter. ∗ ∗ von k in Gleichung (4.15) ist: Die physikalische Produktion TPRO Θ Θ ∗ TPRO = −u∗ T ∗ Θ

∂T ∗ ∂T ∗ ∂T ∗ − v ∗ T ∗ ∗ − w ∗T ∗ ∗ . ∂x∗ ∂y ∂z

(4.18)

Auch hier f¨allt wieder die Analogie zu der Produktion von kinetischer Energie der Schwankungsbewegung (MES ∗ ) auf. Denn diese konnte als die Summe aus den Produkten der Reynoldsspannungen mit den mittleren Geschwindigkeitsgradienten identifiziert werden. In der Gleichung (4.18) stehen Terme, welche als die Summe aus den Produkten der turbulenten W¨armestromdichten mit den mittleren Temperaturgradienten interpretiert werden k¨onnen. Diese turbulenten W¨armestromdichten ∗ = a∗ ∂T /∂x∗ und der Annahwerden mit Hilfe des Boussinesq-¨ahnlichen Ansatzes (4.8) −u∗ t i i T ∗ ∗ me einer konstanten turbulenten Prandtl-Zahl Prt = νt /at = 0, 9 modelliert. Die Annahme von ∗ = ε∗Θ (lokales Gleichgewicht) ergibt dann: TPRO Θ  2  ∗ 2  ∗ 2  ∂T ∂T ∂T ∗ νt∗ ∗ εΘ = + + . (4.19) Prt ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ Die modellierte Dissipation der Varianz der Temperaturschwankungen nach Gleichung (4.19) kann nun in die Gleichung f¨ur die Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨arme¨ubertragung, Gleichung (4.17), eingesetzt werden. Nach geringen Umformungen erh¨alt man mit a∗t nach Gleichung (4.9) schließlich: ¨ E NTROPIEPRODUKTIONSRATE DURCH TURBULENTE W ARMELEITUNG :  2  ∗ 2  ∗ 2  ∗ ∗ ∗ ∂T ∂T ∂T at λ ∗ + + S˙ PRO, W = ∗ ∗ a T ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗

(SW ∗ )

Der Gleichung (SW ∗ ) kann entnommen werden, dass die Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung sehr eng an die Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung, Gleichung (SW ∗ ), gebunden ist. Der Unterschied zwischen diesen beiden Termen besteht nur im Faktor a∗t /a∗ , welcher in wandfernen Regionen Werte in der Gr¨oßenordnung von 100 oder sogar gr¨oßer aufweisen kann. Es zeigt sich also sp¨atestens hier, dass eine Vernachl¨assigung dieses Terms zu großen Fehlern in der Ermittlung der lokalen Entropieproduktionsraten f¨uhrt. Zusammenfassend sind die Annahmen der Modellierung der Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨arme¨ubertragung: ∗ ∗ 1. ein Boussinesq-Ansatz f¨ur −u∗ i T im Produktionsterm TPROΘ ,

4.4 Numerische Aspekte

81

∗ 2. lokales Gleichgewicht, das heißt die Produktion TPRO ist gleich der Dissipation ε∗Θ , Θ

3. eine konstante turbulente Prandtl-Zahl Prt .

4.4

Numerische Aspekte

Die Modellierung der Entropieproduktionsraten ist an dieser Stelle nun soweit fortgeschritten, dass alle vier Terme in einem Postprozess einer CFD-L¨osung berechnet werden k¨onnen. Die Information, welche in der Berechnung von turbulenten W¨arme¨uberg¨angen mit dem k − ε Turbulenzmodell zur Verf¨ugung steht, ist ausreichend f¨ur eine nachgeschaltete Entropieproduktionsanalyse. Die bisher gemachten Modellierungsans¨atze k¨onnen somit einer ersten Validierung unterzogen werden. Hierf¨ur sind aber detaillierte Daten u¨ ber die turbulenten Schwankungsbewegungen erforderlich. Diese Daten k¨onnen entweder aus Hitzdrahtmessungen stammen oder aus der Verarbeitung von Daten einer direkten numerischen Simulation (DNS). Bei der DNS handelt es sich um eine numerische Str¨omungsberechnung auf der Basis der vollst¨andigen (nicht zeitgemittelten) Navier-StokesGleichungen unter der Ber¨ucksichtigung, dass das numerische Gitter und die Zeitschrittweiten alle turbulenten Schwankungsbewegungen ohne eine Turbulenzmodellierung erfassen. Aufgrund des großen numerischen Aufwandes k¨onnen heute nur Str¨omungen mit moderaten Reynolds-Zahlen einer DNS unterzogen werden [ Herwig 2002]. Zu dem Zeitpunkt der Fertigstellung dieser Arbeit existieren DNS-Daten einer turbulenten beheizten Kanalstr¨omung bei einer Reynolds-Zahl von Re = 13981 [ Kawamura et al. 1999]. Zur Validierung der bisher vorgestellten Modellans¨atze werden Rechnungen unter Verwendung des k− Turbulenzmodelles unter den selben Geometrie-, Str¨omungs- und thermischen Randbedingungen dieser DNS erstellt und mit den Ergebnissen dieser DNS verglichen. Die Ergebnisse werden zeigen, dass aufgrund numerischer Aspekte die Entropieproduktionsraten in unmittelbarer N¨ahe zu festen W¨anden einer weiteren Modellierung unterzogen werden m¨ussen.

4.4.1 Validierung: Lokale Entropieproduktionsraten in einer beheizten turbulenten Kanalstr¨omung Zur Validierung der Modelle liegen Daten einer DNS einer turbulenten beheizten Kanalstr¨omung vor. Die Reynolds-Zahl bezogen auf die Kanalh¨ohe ist Re = 2H ∗ u∗m /ν ∗ = 13981. Mit der Schubspan nungsgeschwindigkeit u∗τ = τw∗ /∗ ergibt sich f¨ur diesen Fall eine auf die halbe Kanalh¨ohe H ∗ bezogene Reynolds-Zahl von Reτ = u∗τ H ∗ /ν ∗ = 395. Zur Ermittlung der Entropieproduktionsrate aufgrund turbulenter Dissipation wird in der Auswertung der DNS-L¨osung die turbulente Dissipation TΦ∗ durch die Dissipation ∗ ε∗ approximiert, da keine Daten von TΦ∗ vorliegen. Die Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨arme¨ubertragung der DNS-L¨osung kann durch direktes Auswerten der Gleichung (4.14) erfolgen, da die turbulenten W¨armestromdichten im Datensatz der DNS-L¨osung enthalten sind. In der Auswertung der Berech-

82

Modelle und numerische Aspekte

nung mit dem k − ε Turbulenzmodell wird hierzu die Modellgleichung (SW ∗ ) verwendet. Die Werte der lokalen spezifischen Entropieproduktionsraten werden entdimensioniert u¨ ber dem dimensionslosen Wandabstand y + = u∗τ y ∗ /ν ∗ dargestellt. Zur Entdimensionierung wird unter der Ber¨ucksichtigung einer Liste von Einflussgr¨oßen folgender Ansatz gew¨ahlt: ν ∗ a∗ (Tw∗ /Tτ∗ )2 + ˙∗ S˙ PRO, , i = SPRO, i ∗ u∗2 τ λ

(4.20) 

 ∗

0.8

PRO, W

DNS Kawamura 99 k−ε Model

1

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

+ PRO, D ′

0.2

200

300

DNS Kawamura 99 k−ε Model

S

0 0

y+ 400

0.2

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

100

200

300

y+ 400

200 +

300

400

y

0.15

0 0

100

DNS Kawamura 99 k−ε Model

+

100

SPRO, W′

0 0

DNS Kawamura 99 k−ε Model

S+

1

+

SPRO, D

mit der Wandtemperatur Tw∗ und der Reibungstemperatur Tτ∗ = −q˙w∗ / ρ∗ c∗p uτ . Den Abbildungen

0 0

100

200

300

y+ 400

Abbildung 4.2: Entropieproduktionsraten in einer turbulenten beheizten Kanalstr¨omung, DNS Ergebnisse nach [ Kawamura et al. 1999] und Modellgleichungen auf Basis des k − ε Turbulenzmodells (Gleichungen (SD ∗ ), (SW ∗ ), (SD ∗ ) und (SW ∗ ). Pr = 0, 71, Re = 13981. kann entnommen werden, dass die vorgestellten Modellgleichungen in wandfernen Bereichen weniger als 2% Abweichungen von den Daten der direkten numerischen Simulation aufweisen. Zumindest ∗ ∗ f¨ur die Entropieproduktionsraten aufgrund der mittleren Werte, das heißt S˙ PRO, und S˙ PRO, , ist D W ¨ diese Ubereinstimmung unter dem Aspekt einer korrekten CFD-L¨osung unerl¨asslich, denn sie spie¨ gelt nur die Ubereinstimmung der Gradienten der mittleren Geschwindigkeiten und Temperaturen

4.4 Numerische Aspekte

83

¨ wieder. Wenn diese Werte keine Ubereinstimmung mit den DNS-Daten zeigen w¨urden, m¨ussten die Werte f¨ur die mittleren Geschwindigkeiten und Temperaturen auf ihre Korrektheit u¨ berpr¨uft werden. ∗ ˙∗ Der Vergleich der turbulenten Entropieproduktionsraten, S˙ PRO, D  und SPRO, W  , zeigt in wandfer+ nen Bereichen, das heißt bei großen Werten von y , ebenfalls eine Abweichung von weniger als 2 %. Insbesondere wird bei der Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨arme¨ubertragung der Modellansatz auf der Basis von der Gleichheit von Produktion und Dissipation best¨atigt.

Diese Validierungsrechnungen zeigen, dass die Modellans¨atze f¨ur alle vier Entropieproduktionsraten in den wandfernen Bereichen um weniger als 2% von den Auswertungen der DNS-Daten abweichen. Die Modellans¨atze basieren in den wandfernen Bereichen auch auf der Annahme großer Reynolds-Zahlen, insbesondere gilt dies f¨ur die Annahme der Gleichheit von Produktion und Dissipation in der Modellierung der Entropieproduktionsrate aufgrund von turbulenter W¨armeleitung. Es ist deshalb um so erfreulicher, dass die Modellans¨atze auch bei der moderaten Reynolds-Zahl, bei ¨ welcher die DNS-Daten vorliegen, eine gute Ubereinstimmung zeigen.

1

Wandnächste Zelle

+

SPRO, D

In den Bereichen in unmittelbarer Wandn¨ahe m¨ussen die Modelle einer Modifizierung unterzogen werden. In diesen Bereichen gilt unter anderem nicht mehr die Gleichheit von Produktion und Dissipation. Weiterhin ist eine Anpassung der Modellgleichungen in den wandnahen Bereichen auch aus numerischen Aspekten unerl¨asslich, wie in den folgenden Betrachtung in Abbildung 4.3 des wand+ gezeigt werden soll. nahen Verlaufs der obigen Validierungsrechnung f¨ur S˙ PRO, D

0.8

Integral der Entropieproduktionsrate in der wandnächsten Zelle der DNS−Lösung (schraffierte Fläche)

0.6 0.4 Integral der Entropieproduktionsrate in der wandnächsten Zelle der k−ε− Modell−Lösung (schattierte Fläche)

0.2 0 0

10

20

30

40 y+ 50

Abbildung 4.3: Entropieproduktionsrate aufgrund direkter Dissipation in einer turbulenten beheizten Kanalstr¨omung, DNS Ergebnisse nach [ Kawamura et al. 1999] und Modellgleichungen auf Basis des k − ε Turbulenzmodells (Gleichung (SD ∗ ) in unmittelbarer Wandn¨ahe

84

Modelle und numerische Aspekte

Die Auswertung der DNS-Daten zeigt, dass die Entropieproduktionsrate in unmittelbarer Wandn¨ahe einen sehr großen Gradienten aufweist. Innerhalb eines dimensionslosen Wandabstandes von ∆y + = 30 a¨ ndert sich die Entropieproduktionsrate um 98%. Um den Verlauf der Entropieproduktionsrate in diesem Bereich mit den vorgestellten Modellgleichungen wiedergeben zu k¨onnen, m¨usste dieser durch eine Vielzahl finiter Volumenelemente diskretisiert werden, in denen die entsprechenden Differentiale gel¨ost werden m¨ussten. Die Diskretisierung in der vorgestellten Validierungsrechnung ist nicht ausreichend, um diesen steilen Gradienten wiederzugeben. Es wurde in Abschnitt 3.5.2 bereits dargestellt, dass durch Integration der lokalen Entropieproduktionsraten auch globale Aussagen u¨ ber die Entropieproduktion gewonnen werden k¨onnen. Es wurde erl¨autert, dass die in dieser Arbeit vorgestellten Modellgleichungen zur Entropieproduktionsberechnung in einem der eigentlichen Berechnung des Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes nachgeschalteten Postprozess erfolgen k¨onnen. Eine Berechnung des Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes erfolgt dabei u¨ blicherweise auf der Basis einer so genannten finite Volumendiskretisierung, in der das zu untersuchende Str¨omungsfeld in eine endliche Anzahl finiter Volumenelemente aufgeteilt wird und die in Kapitel 3 vorgestellten Grundgleichungen gel¨ost werden. Eine Ermittlung der gesamten Entropieproduktionsrate in diesem Str¨omungsfeld kann auf der Basis der vorgestellten Modellgleichungen sehr einfach durch eine Integration der mit dem Volumen des finiten Volumens multiplizierten spezifischen Entropieproduktionsrate erfolgen. Abbildung 4.3 verdeutlicht anschaulich den großen Fehler, der durch dieses Vorgehen in dem am der Wand liegenden finiten Volumen auftreten w¨urde. Die integrale Entropieproduktionsrate der Auswertung der DNS-Daten ist in Abbildung 4.3 u¨ ber dieses wandnahe Volumen als schraffierte Fl¨ache dargestellt. Eine Multiplikation der spezifischen Entropieproduktionsrate der Modellgleichungen mit dem Volumen der finiten Zelle ergibt auf dem verwendeten numerischen Gitter einen Wert, welcher der schattierten Fl¨ache entspricht. Der Fehler dieser Vorgehensweise ist betr¨achtlich. Er betr¨agt u¨ ber 98%! Das ist umso bedenklicher, als dass gezeigt wurde, dass ein Großteil der Entropieproduktionsraten gerade in der unmittelbaren N¨ahe von festen W¨anden auftritt und obwohl es sich nur um einen sehr kleinen Bereich handelt, die Gesamtl¨osung im Zuge einer globalen Entropieproduktionsrate dominierend beeinflusst.

4.5

Wandfunktionen

Die hohen Gradienten der Entropieproduktionsraten in unmittelbarer Wandn¨ahe sind vor allem mit den hohen Gradienten der mittleren Geschwindigkeiten und Temperaturen in diesen Bereichen zu begr¨unden. Dieses aber ist ein bekanntes Problem bei der Berechnung von turbulenten Str¨omungen auf der Basis einer finiten Volumendiskretisierung [ Launder und Spalding 1974]. Ein L¨osungsansatz f¨ur die Berechnung turbulenter Str¨omungen in der N¨ahe von festen W¨anden bei hohen Reynolds-Zahlen ist das Anwenden von so genannten Wandfunktionen. Durch diese Wandfunktionen wird das asymptotische Verhalten von turbulenten Str¨omungen f¨ur y + → 0 und y + → ∞ f¨ur Reτ → ∞ wiedergegeben. Mit Hilfe dieser Wandfunktionen lassen sich Werte f¨ur die Geschwindigkeiten und Turbulenzgr¨oßen sowie die Temperatur in der unmittelbaren N¨ahe von festen W¨anden wiedergeben. Es kann da-

4.5 Wandfunktionen

85

durch auf eine extrem feine Diskretisierung in diesen Regionen verzichtet werden, da die Werte in den Volumenmittelpunkten der an W¨anden liegenden finiten Volumen durch diese Wandfunktionen und nicht durch die L¨osung der in Kapitel 3 dargestellten Differentialgleichungen berechnet werden. F¨ur die Geschwindigkeiten, Turbulenzgr¨oßen und die Temperatur sind diese universellen Wandfunktionen bekannt und finden in kommerziellen CFD-Programmen Anwendung. Ausf¨uhrliche Darstellungen zu ihrer Herleitung finden sich in [ Schlichting und Gersten 1997], [ Gersten und Herwig 1992] oder [ Herwig 2002]. Die theoretischen Grundlagen der Herleitungen dieser universellen Wandfunktionen sollen in dieser Arbeit auf die Entropieproduktionsraten erweitert werden. Das Ziel sollen Wandfunktionen f¨ur alle vier Entropieproduktionsraten sein, mit deren Hilfe man korrekte Werte in den an den W¨anden liegen Kontrollvolumina in einer finiten Volumendiskretisierung des Str¨omungsfeldes erh¨alt. Im Laufe der Herleitung der Wandfunktionen f¨ur die Entropieproduktionsraten werden die Wandfunktionen f¨ur die Geschwindigkeiten und die Temperatur ben¨otigt. Aus diesem Grund sollen diese zun¨achst vorgestellt werden. Danach folgt eine ausf¨uhrliche Herleitung der Wandfunktionen + + + ˙+ f¨ur die vier Entropieproduktionsraten S˙ PRO, , S˙ PRO, , S˙ PRO, D  und SPRO, W  . D W

4.5.1 Zeitgemittelte Geschwindigkeiten Aufgrund der so genannten Haftbedingung sind die mittlere Geschwindigkeit und alle Schwankungsgr¨oßen direkt an der Wand gleich Null. Weil an der Wand die Wirbelviskosit¨at ebenfalls Null ist, gilt direkt an der Wand das Newtonsche Reibungsgesetz τw∗ = η ∗ (∂u∗ /∂n∗ ), mit der molekularen Viskosit¨at η ∗ und dem wandnormalen Abstand n∗ . Die Wirbelviskosit¨at w¨achst als Folge der gr¨oßer werdenden Schwankungsgeschwindigkeiten mit zunehmenden Wandabstand an und es kommt aus diesem Grund in turbulenten Str¨omungen zu einer zus¨atzlichen Abweichung von dem linearem Anstieg des Geschwindigkeitsprofils. F¨ur den Fall einer Str¨omung zwischen zwei unendlichen ebenen Platten, von denen eine in Ruhe ist, w¨ahrend sich die andere mit einer konstanten Geschwindigkeit ¨ bewegt (Couette-Str¨omung) lassen sich aus den Uberlegungen der dann geltenden konstanten Schubspannungsverteilung universelle Verl¨aufe f¨ur das Geschwindigkeitsprofil herleiten [ Herwig 2002]. Dabei wird zwischen zwei Schichten unterschieden: Einer Wandschicht, in welcher der molekulare Impulsaustausch zusammen mit dem turbulenten Austausch auftritt und einem vollturbulenten Bereich, in welchem die turbulenten Effekte dominieren. In einer asymptotischen Betrachtung k¨onnen diese beiden Schichten als die Grenzwerte f¨ur n+ → 0 und f¨ur n+ → ∞ angesehen werden. In der Wandschicht ist es u¨ blich, alle Gr¨oßen in so genannten Wandkoordinaten darzustellen. Diese folgen aus einer Entdimensionierung. Alle Gr¨oßen, welche auf der Basis der Einflussgr¨oßen der Wandschicht entdimensioniert werden, werden durch ein hochgestelltes +“ gekennzeichnet. Die ” Einflussgr¨oßen in der Wandschicht sind die Wandschubspannung τw∗ , die Dichte ∗ , die molekulare Viskosit¨at η ∗, die wandparallele (mittlere) Geschwindigkeit u∗ und der wandnormale Abstand n∗ . Eine Entdimensionierung des wandnormalen Abstandes erfolgt hierbei mit der charakteristischen Geschwindigkeit der wandnahen Schicht [ Herwig 2002]. Diese charakteristische Geschwindigkeit ist  die so genannte Schubspannungsgeschwindigkeit u∗τ = τw∗ /∗ . Der dimensionslose Wandabstand

86

Modelle und numerische Aspekte

ist dann: n+ =

n∗ u∗τ ∗ . η∗

(4.21)

Die dimensionslose Geschwindigkeit in der wandnahen Schicht ist: u+ =

u∗ . u∗τ

(4.22)

¨ Uberlegungen zu den Verl¨aufen der Wirbelviskosit¨at und asymptotische Betrachtungen f¨uhren in der Wandschicht auf folgende Geschwindigkeitsverl¨aufe f¨ur n+ → 0 und n+ → ∞ [ Herwig 2002]: u+ = n + 1 u+ = ln n+ + C + κ

f¨ur n+ → 0 ,

(4.23)

f¨ur n+ → ∞ ,

(4.24)

mit der so genannten Karman-Konstante κ = 0, 41 und der Integrationskonstante C + = 5 f¨ur glatte W¨ande. Die Gleichungen (4.23) und (4.24) bilden den universellen Geschwindigkeitsverlauf turbulenter Str¨omungen in Wandn¨ahe ab. Insbesondere Gleichung (4.24) wird h¨aufig auch als das logarithmische Wandgesetz bezeichnet. CFD-Programme, welche auf der finiten Volumendiskretisierung der Grundgleichungen beruhen, bauen auf der Kenntnis der bekannten universellen Verl¨aufe der Geschwindigkeit auf. Insbesondere wird bei der Standardform des k − ε Turbulenzmodelles vorausgesetzt, dass sich der Mittelpunkt des an der Wand liegenden Kontrollvolumens in der vollturbulenten Schicht befindet und sich die Geschwindigkeit gem¨aß Gleichung (4.24) verh¨alt. Es muss dabei unter allen Umst¨anden gesichert sein, dass sich der Mittelpunkt des an der Wand liegenden finiten Volumens auch in dieser vollturbulenten Schicht befindet. Als formale Grenze zwischen der Wandschicht und dem vollturbulenten Bereich kann dabei der Schnittpunkt der Gleichungen (4.23) und (4.24) mit n+ ur glatte W¨ande su = 11, 6 f¨ herangezogen werden. Die Wandfunktionen f¨ur die Geschwindigkeit, Gleichungen (4.23) und (4.24), werden im Folgenden zur Ermittlung von Wandfunktionen f¨ur die Entropieproduktionsraten Anwendung finden.

4.5.2 Zeitgemittelte Temperatur F¨ur eine Ermittlung von Wandfunktionen der Entropieproduktionsraten werden neben den Geschwindigkeiten universelle Ausdr¨ucke des Verhaltens der mittleren Temperatur in wandnahen Schichten f¨ur n+ → 0 und f¨ur n+ → ∞ ben¨otigt. Eine Ausf¨uhrliche Herleitung der Wandgesetze f¨ur die turbulente W¨arme¨ubertragung findet sich in [ Gersten und Herwig 1992]. Die prinzipielle Vorgehensweise ist a¨ hnlich der Herleitung der Wandgesetze f¨ur die Geschwindigkeiten. Auch der Verlauf der mittleren Temperatur kann durch ein Zwei-Schichten-Modell approximiert werden: Einer Wandschicht, in welcher die molekulare W¨armeleitung zusammen mit dem turbulenten Austausch auftritt und einem vollturbulenten Bereich, in welchem die turbulenten W¨armestromdichten u¨ berwiegen. In Analogie

4.5 Wandfunktionen

87

zur Schubspannungsgeschwindigkeit u∗τ f¨uhrt eine Liste von Einflussgr¨oßen zur charakteristischen Temperatur der turbulenten Wandschicht, der so genannten Reibungstemperatur Tτ∗ , welche negative Werte annehmen kann: Tτ∗ = −

q˙w∗ ∗ c∗p u∗τ

.

(4.25)

T ∗ − Tw∗ , Tτ∗

(4.26)

Die dimensionslose zeitgemittelte Temperatur lautet dann T+ = mit der Wandtemperatur Tw∗ . In dieser Arbeit soll die Einschr¨ankung gemacht werden, dass nur Fluide mit mittleren molekularen Prandtl-Zahlen von der Gr¨oßenordnung von Eins auf Entropieproduktionsraten untersucht werden sollen. Dieses Vorgehen ist im Gesamtkonzept keine große Einschr¨ankung, da kommerzielle CFD-Programme aufgrund ihrer Modelle f¨ur die turbulenten W¨armestromdichten dieser Randbedingung unterliegen. F¨ur diesen Fall lauten die universellen Verl¨aufe der dimensionslosen zeitgemittelten Temperatur: T + = Pr n+ 1 T+ = ln n+ + CΘ+ (Pr) κΘ

f¨ur n+ → 0 , +

f¨ur n → ∞ ,

(4.27) (4.28)

mit der Konstanten κΘ = κ/0, 87 und CΘ+ (Pr) = 13, 7 Pr2/3 − 7, 5 ,

(4.29)

f¨ur Pr > 0, 5 [ Gersten und Herwig 1992]. Diese universellen Verl¨aufe der Geschwindigkeit und der Temperatur in Wandn¨ahe werden im Folgenden bei der Herleitung der Wandfunktionen f¨ur die Entropieproduktionsraten herangezogen. Aufgrund der a¨ hnlichen Herangehensweise werden zun¨achst wieder die Entropieproduktionsraten aufgrund der mittleren Gr¨oßen, also S˙ ∗ und S˙ ∗ ermittelt, um dann mit Hilfe asymptoPRO, D

PRO, W

∗ ¨ tischer Uberlegungen Wandfunktionen f¨ur die turbulenten Entropieproduktionsraten S˙ PRO, D  und ∗ S˙ PRO, herzuleiten. W

Auch f¨ur die Entropieproduktionsraten erweist es sich als zweckm¨aßig, universelle Verl¨aufe in dimensionsloser Darstellungsweise zu ermitteln. Eine solche dimensionslose Darstellung der Entropieproduktionsraten wurde bereits in der Validierungsrechnung in Abschnitt 4.4.1 aufgezeigt. Diese soll an dieser Stelle noch einmal dargestellt werden, da sie im Folgenden f¨ur alle Wandfunktionen der Entropieproduktionsraten verwendet werden soll: ν ∗ a∗ (Tw∗ /Tτ∗ )2 + ˙∗ S˙ PRO, . i = SPRO, i ∗ u∗2 τ λ

(4.30)

88

Modelle und numerische Aspekte

4.5.3 Entropieproduktionsrate durch direkte Dissipation Die Entropieproduktion durch direkte Dissipation kann, wie in Abschnitt 4.3.1 gezeigt wurde, gem¨aß Gleichung (SD ∗ ) ermittelt werden. In der unmittelbaren N¨ahe zu festen W¨anden dominieren die wandnormalen Gradienten der wandparallelen Geschwindigkeiten und die Entropieproduktionsrate kann in diesem Bereich in sehr guter N¨aherung durch η∗ ∗ = ∗ S˙ PRO, D T



∂u∗ ∂n∗

2 (4.31)

beschrieben werden. Mit der Entdimensionierungsvorschrift nach Gleichung (4.30) kann diese in Abh¨angigkeit von der Wandkoordinate n+ in dimensionsloser Darstellung wie folgt geschrieben werden: 

∗

+ S˙ PRO, = D

Ecτ TTw∗ τ

1+

Tτ∗ + ∗T Tw

∂u+ ∂n+

2 ,

(4.32)

 ∗ ∗ mit der Eckert-Zahl Ecτ = u∗2 τ / cp Tτ . F¨ur eine Herleitung der Wandfunktionen der Entropieproduktion durch Dissipation der kinetischen Energie der mittleren Bewegung k¨onnen die asymptotische Betrachtungen der Geschwindigkeitsund Temperaturverl¨aufe, Gleichungen (4.23) und (4.24) sowie (4.27) und (4.28) in die Gleichung (4.32) eingesetzt werden. Die asymptotischen Wandfunktionen lauten dann: ∗

+ S˙ PRO, = D

Ecτ TTw∗ 1+

+ =
S˙ PRO, D

Tτ∗ ∗ Tw

1+

τ

Pr n+

Tτ∗ ∗ Tw

f¨ur n+ → 0 ,

(4.33)

f¨ur n+ → ∞ .

(4.34)

∗




Ecτ TTw∗ τ

1 κΘ

log(n+ ) + CΘ+



κ2 n+2

Die Gleichungen (4.33) und (4.34) bilden die Asymptoten der Entropieproduktion durch Dissipation des mittleren Geschwindigkeitsprofiles ab. Die Gleichungen sind nicht stetig und bei einer Implementierung als bereichsweise definierter Wandfunktion ergeben sich zus¨atzliche Schwierigkeiten. Die formalen Schnittpunkte der Asymptoten des Geschwindigkeits- und Temperaturprofils, Gleichung (4.23), (4.24) sowie (4.27) und (4.28), weisen nur bei der Bedingung Pr ≈ 1 Werte von gleicher Gr¨oßenordnung auf. F¨ur gr¨oßere Prandtl-Zahlen ist die Wandschicht des Temperaturprofiles kleiner als die Wandschicht des Geschwindigkeitsprofiles und f¨ur eine Implementierung der Wandfunktionen in der Form nach den Gleichungen (4.33) und (4.34) m¨ussten Bereiche definiert und Fallunterscheidungen nach der Gr¨oße der Prandtl-Zahl vorgenommen werden. In [ Churchill und Usagi 1972] findet sich eine Beschreibung zur Ermittlung einer Funktion mit Hilfe der Kenntnis zweier Asymptoten und einem Wert zwischen den Asymptoten in der Gr¨oßenordnung von Eins. Wird dieses Verfahren auf die obigen Asymptoten angewendet, so ergibt sich

4.5 Wandfunktionen

89

folgende Funktion: ∗

+ = S˙ PRO, D

Ecτ TTw∗ 1+

Tτ∗ ∗ Tw

· Pr n+   τ

1 + 
1+

Tτ∗ ∗ Tw




1+ 1 κΘ

Tτ∗ ∗ Tw

Pr n+

log(n+ ) + CΘ+

p 1/p 

κ2 n+2

 

,

(4.35)

Der Exponent p muss dabei so angepasst werden, dass die Funktion (4.35) durch einen Punkt von der Gr¨oßenordnung Eins verl¨auft. Hierzu wird die schon vorgestellte Auswertung der DNS-Daten von [ Kawamura et al. 1999] herangezogen. In der Abbildung 4.4 sind diese DNS-Daten zusammen mit drei Funktionen nach Gleichung (4.35) dargestellt, wobei dem Exponent Werte von p = −1, p = −10 und p = −100 zugewiesen werden. Das hat zur Folge, dass die N¨aherungsfunktion durch eine Reihe von Werten der DNS-Daten verl¨auft.

S+PRO, D

1.2

DNS p=−1 p=−10 p=−100

1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

10

20

30

Abbildung 4.4: Entropieproduktion durch Dissipation gie der mittleren Bewegung nach und Ausgleichsfunktionen nach [ Churchill und Usagi 1972], Reτ = Pr = 0, 71, Ecτ = 0, 01

40 n+ 50 der kinetischen Ener[ Kawamura et al. 1999] der Methode von 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01,

Der Abbildung ist zu entnehmen, dass durch die Ausgleichsfunktion nach der Methode von [ Churchill und Usagi 1972] die Asymptoten f¨ur n+ → 0 und n+ → ∞ sehr gut abgebildet werden. Wenn man sich aber die Betrachtungen zu den numerischen Aspekten in Abschnitt 4.4 in Erinnerung ruft, sollten die Wandfunktionen aber gerade dazu dienen, den Verlauf der Entropieproduktionsraten in unmittelbarer Wandn¨ahe f¨ur endliche Werte von n+ besser abzubilden. Aufgrund der unterschiedlichen Vorzeichen der Steigungen der Asymptoten (an der Wand kann die Steigung der Asymptote je nach thermischer Randbedingung positiv oder negativ sein, die Steigung der Asymptoten f¨ur

90

Modelle und numerische Aspekte

n+ → ∞ ist hingegen immer negativ) kann die Methode von [ Churchill und Usagi 1972] in diesem Fall keine befriedigende L¨osung des Verlaufes der Entropieproduktionsraten in Wandn¨ahe liefern. In diesem Abschnitt soll eine Wandfunktion f¨ur die Entropieproduktionsraten in Wandn¨ahe f¨ur Werte von 0 < n+ < 100 gefunden werden. Wie eben gezeigt werden konnte, kann das nicht durch eine reine Anpassung der asymptotischen Verl¨aufe erfolgen. Es sollen hier aus diesem Grund em¨ pirische Funktionen auf der Basis asymptotischer Uberlegungen gefunden werden, wobei eventuell auftretende Modellkonstanten durch die Anpassung von Daten aus einer direkten numerischen Simulation erfolgen sollen. Die Form der Entropieproduktion gem¨aß der Auswertung der direkten numerischen Simulation, siehe Abbildung 4.4, a¨ hnelt der Gaußschen-Normalverteilung:   + (4.36) = AD exp −bD (n+ − aD )2 . S˙ PRO, D Im Folgenden soll versucht werden, eine stetige Funktion der Form (4.36) zu finden, welche die asymptotischen Randbedingungen nach den Gleichungen (4.33) und (4.34) erf¨ullen. Diese Randbedingungen sollen im einzelnen sein:  +  T∗ + S˙ PRO, n = 0 = Ecτ w∗ , D Tτ + dS˙ PRO, D = −Ecτ Pr , dn+ |n+ =0 + d2 S˙ PRO, D =0 . + dn+2 |n+ =0,75·nsu

(4.37) (4.38) (4.39)

Die Gleichung (4.39) stellt einen halbempirischen Ansatz zur Ermittlung einer universellen Funktion der Entropieproduktionsrate in Wandn¨ahe dar. Nach diesem Ansatz liegt der Wendepunkt der Entropieproduktion bei 3/4 der Dicke der Wandschicht f¨ur die Geschwindigkeit, welche formal durch den Schnittpunkt n+ su = 11, 6 der Gleichungen (4.23) und (4.24) gegeben ist. Dieses Verhalten kann der Auswertung der DNS-Daten entnommen werden. Die beiden anderen Randbedingungen, Gleichungen (4.37) und (4.38), sind exakte Randbedingungen, welche sich aus der Asymptote f¨ur n+ → 0, Gleichung (4.33), ergeben. Die Konstanten AD , aD und bD der Gleichung (4.36) k¨onnen durch Einsetzen der Bedingungen (4.37) bis (4.39) bestimmt werden: −9PrTτ∗ n+2  sτ , ∗ ∗ ∗ 8 Tw∗ − 12n+ Tw∗2 − 3n+ sτ PrTτ + 8 sτ PrTw Tτ  ∗ ∗ ∗ Tw∗2 − 3n+ 8 Tw∗ − 12n+ sτ PrTw Tτ sτ PrTτ + 8 bD = , ∗ +2 18 Tw nsτ ∗   T AD = Ecτ w∗ exp bD a2D . Tτ aD =

(4.40) (4.41) (4.42)

In der Abbildung 4.5 ist f¨ur den in Abschnitt 4.4.1 vorgestellten Fall einer Validierungsrechnung die Entropieproduktionsrate in unmittelbarer Wandn¨ahe durch den halbempirischen Ansatz nach Glei-

4.5 Wandfunktionen

91

chung (4.36) mit den Konstanten nach Gleichungen (4.40) bis (4.42) f¨ur Fluide mit den PrandtlZahlen Pr = 0, 71 und Pr = 5 dargestellt.

1

S+

S+PRO, D

DNS Wandfunktion

PRO, D

1.2

1.2

DNS Wandfunktion

1

0.8

0.8

Pr=5

Pr=0,71

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0 0

10

20

30

40 n+ 50

0 0

10

20

30

40 n+ 50

Abbildung 4.5: Entropieproduktion durch Dissipation der kinetischen Energie der mittleren Bewegung nach [ Kawamura et al. 1999] und halbempirische Wandfunktion (links: Pr = 0, 71, Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Ecτ = 0, 01; rechts: Pr = 5, Reτ = 180, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Ecτ = 0, 01)

Der Abbildung kann entnommen werden, dass das Verhalten der Entropieproduktion durch direkte Dissipation in dem untersuchten Bereich von 0 < n+ < 50 sehr gut wiedergegeben wird. Die Abweichungen belaufen sich in einem kleinen Bereich von 10 < n+ < 20 auf maximal 20%. Ein Vergleich mit DNS-Daten bei einer h¨oheren Prandtl-Zahl in der Abbildung 4.5 zeigt, dass das + an der Wand durch die halbempirische Wandfunktion wiederasymptotische Verhalten von S˙ PRO, D gegeben wird. Insbesondere folgt die Wandfunktion dem bei h¨oheren Prandtl-Zahl zun¨achst positiven und bei h¨oheren Werten von n+ negativen Gradienten, welcher auch in den DNS-Daten beobachtet werden kann. Dieses Verhalten begr¨undet sich in der bei h¨oheren Prandtl-Zahlen kleiner werdenden Wandschicht der Temperatur. Bei hohen Prandtl-Zahlen a¨ ndert sich die Temperatur in einem kleinen Bereich. Hieraus folgt, dass die Entropieproduktion in der dargestellten Form bei etwa n+ ≈ 3 ein Maximum aufweist. Das Ziel dieser Untersuchungen zu dem wandnahen Verhalten der Entropieproduktionsraten war, eine bessere Approximation der mittleren Entropieproduktionsrate in einem an der Wand liegenden finiten Volumen zu finden, siehe Abschnitt 4.4.1, und die Ausf¨uhrungen zu Abbildung 4.3. Es wurde gezeigt, dass durch den halbempirischen Ansatz nach Gleichung (4.36) der Verlauf der Entropieproduktionsrate durch direkte Dissipation in diesem Bereich sehr gut wiedergegeben werden kann. F¨ur eine bessere Approximation des mittleren Wertes in dem Kontrollvolumen muss Gleichung (4.36)

92

Modelle und numerische Aspekte

u¨ ber das Kontrollvolumen integriert und anschließend durch das Volumen dividiert werden. In der eindimensionalen Betrachtung der Wandschicht entspricht dies einer Integration u¨ ber den Wandabstand n+ mit anschließender Division durch den zweifachen Wandabstand des Mittelpunktes des finiten Volumens. Somit kann ein mittlerer Wert der Entropieproduktionsrate durch direkte Dissipation als Funktion des dimensionslosen Wandabstandes n+ erhalten werden. Eine solche Integration und Division von Gleichung (4.36) sieht im Detail wie folgt aus:  2n+c "  +  2 # + 1 + dn = S˙ PRO, n = · AD · exp −bD n+ − aD D, m 2n+ 0 c $ "

 #   π 1 AD · erf bD 2n+ bD aD − erf − bD aD . (4.43) c − 2 bD Der wandnormale dimensionslose Abstand des Mittelpunktes des an der Wand liegen Kontrollvolumens ist n+ c .

0.5

DNS Mittelwert der Wandfunktion

0.4

0.6

S+PRO, D, m

S+PRO, D, m

In Abbildung 4.6 sind f¨ur die Prandtl-Zahlen Pr = 0, 71 und Pr = 5, 0 als Funktion des wandnormalen Abstandes des Kontrollvolumens n+ ur die hier c die mittleren Entropieproduktionsraten f¨ vorgestellte Wandfunktion und Ergebnisse aus direkten numerischen Simulationen dargestellt. Die obere Integrationsgrenze ist ein Maß f¨ur die Gr¨oße des an der Wand liegenden Kontrollvolumens. Der Mittelpunkt des Kontrollvolumens liegt bei n+ c . Durch den halbempirischen Ansatz nach Gleichung

DNS Mittelwert der Wandfunktion

0.5 0.4

0.3

Pr=5

Pr=0,71

0.3 0.2

0.2

0.1 0 0

0.1 20

40

60

+ 80 nc 100

0 0

20

40

60

80 n+ 100 c

Abbildung 4.6: Mittlere Entropieproduktion durch Dissipation der mittleren Geschwindigkeiten als Funktion des wandnormalen Abstandes des Kontrollvolumens n+ c . (4.36) und dessen Integration nach Gleichung (4.43) ist es somit m¨oglich, f¨ur ein an festen W¨anden liegendes Kontrollvolumen einen mittleren Wert der Entropieproduktionsrate zu bestimmen, welcher unabh¨angig von der Gr¨oße des Kontrollvolumens und der Prandtl-Zahl um maximal 15% von Daten einer direkten numerischen Simulation abweicht. Gleichung (4.43) stellt im Folgenden die Bestimmungsgleichung f¨ur die Entropieproduktionsrate in an W¨anden liegenden Kontrollvolumina dar, und

4.5 Wandfunktionen

93

bildet zusammen mit der Gleichung (SD ∗ ) das Modell zur Berechnung der Entropieproduktionsraten durch direkte Dissipation in turbulenten Scherstr¨omungen.

4.5.4 Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung Die Entropieproduktionsrate aufgrund molekularer W¨armeleitung kann in der Hauptstr¨omung in wandfernen Bereichen durch Gleichung (SW ∗ ) bestimmt werden. In den Ausf¨uhrungen zu den numerischen Aspekten in Abschnitt 4.4.1 konnte deutlich gemacht werden, dass aufgrund der hohen Gradienten in wandnahen Schichten die Modellgleichungen angepasst werden m¨ussen. Das trifft ∗ zu. auch auf die Entropieproduktionsrate S˙ PRO, W Im Folgenden wird zun¨achst untersucht, welche Gr¨oßenordnung die Temperaturgradienten in Wandn¨ahe haben. Beispielhaft soll eine ausgebildete Rohrstr¨omung mit konstanter Wandw¨armestromdichte betrachtet werden. An der Wand betr¨agt der wandnormale Temperaturgradient q˙∗ ∂T ∗ = w∗ , ∂n∗ λ

(4.44)

mit der Koordinate n∗ normal zur Wand. Der Temperaturgradient in Hauptstr¨omungsrichtung s∗ betr¨agt: q˙∗ πD ∗ 4q˙w∗ ∂T ∗ = w∗ ∗ = . ∗ ∂s m ˙ cp Re η ∗c∗p

(4.45)

Das Verh¨altnis der Temperaturgradienten ist: ∂T ∗ /∂s∗ 4 4λ∗ 4 = . = = Re η ∗c∗p Re · Pr Pe ∂T ∗ /∂n∗

(4.46)

Damit kann in Wandn¨ahe bei großen Peclet-Zahlen Pe die Entropieproduktionsrate durch nicht-normale Temperaturgradienten im Vergleich der Entropieproduktionsrate durch wandnormale Temperaturgradienten vernachl¨assigt werden. Die Entropieproduktionsrate durch wandnormale Temperaturgradienten wird im Folgenden n¨aher untersucht und Wandfunktionen zu ihrer Berechnung hergeleitet. Weiterhin soll wiederum eine Gleichung zur Bestimmung der mittleren Entropieproduktionsrate in einem an der Wand liegenden Kontrollvolumen als Funktion des dimensionslosen Wandabstandes ermittelt werden. Die Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung betr¨agt unter der Voraussetzung hoher Peclet-Zahlen in dimensionsloser Darstellung nach Gleichung (4.30): ν ∗ a∗ (Tw∗ /Tτ∗ )2 + ∗ SPRO, = S˙ PRO, , W ∗ W u∗2 τ λ
+ 2 =




∂T ∂n+

Pr 1 +

Tτ∗ + ∗T Tw

2 .

(4.47)

94

Modelle und numerische Aspekte

Werden in die Gleichung (4.47) die asymptotischen Verl¨aufe der zeitlich gemittelten Temperatur in Wandn¨ahe, Gleichungen (4.27) und (4.28), eingesetzt, so erh¨alt man die asymptotischen Verl¨aufe der Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung f¨ur n+ → 0 und n+ → ∞: + =
S˙ PRO, W + = S˙ PRO, W

Pr Tτ∗ ∗ Pr Tw

1+

Pr

κ2Θ

n+2

n+

2


1+

Tτ∗ ∗ Tw

1


1 κΘ

log(n+ ) + CΘ+

2

f¨ur n+ → 0 ,

(4.48)

f¨ur n+ → ∞ .

(4.49)

F¨ur die beiden Asymptoten kann nach der Methode von [ Churchill und Usagi 1972] wieder eine Funktion gefunden werden, wobei der Exponent q wiederum durch eine Auswertung von Daten der direkten numerischen Simulation von [ Kawamura et al. 1999] ermittelt werden muss: Pr + =
S˙ PRO, 2 · W Tτ∗ 1 + T ∗ Pr n+ w   q 1/q
2 Tτ∗ + 1 + Pr n ∗ Tw    . (4.50) 1 + 

2   ∗ κ2Θ n+2 1 + TTτ∗ κ1Θ log(n+ ) + CΘ+ w

+

SPRO, W

Die Ausgleichsfunktionen nach Gleichung (4.50) sind f¨ur q = −1, q = −10 und q = −100 zusammen mit den DNS-Daten von [ Kawamura et al. 1999] in der Abbildung 4.7 dargestellt. 1

DNS p=−1 p=−10 p=−100

0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

10

20

30

40 n+ 50

Abbildung 4.7: Entropieproduktion durch molekulare W¨armeleitung nach [ Kawamura et al. 1999] und Ausgleichsfunktion nach der Methode von [ Churchill und Usagi 1972], Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Pr = 0, 71

Der Abbildung ist zu entnehmen, dass durch die Ausgleichsfunktion nach der Methode von [ Churchill und Usagi 1972] die Asymptoten f¨ur n+ → 0 und n+ → ∞ sehr gut wiedergegeben

4.5 Wandfunktionen

95

werden. Es tritt aber wie bei den Ausf¨uhrungen zu der Entropieproduktionsrate durch direkte Dissipation in Abschnitt 4.5.3 wieder das Problem auf, dass in dieser Untersuchung eine N¨aherung der Entropieproduktionsrate in Wandn¨ahe f¨ur etwa 11, 6 < n+ < 100 gesucht wird. Durch die Methode von [ Churchill und Usagi 1972] kann in diesem Zusammenhang keine geeignete Funktion gefunden werden. Aus diesen Gr¨unden soll f¨ur die Entropieproduktionsrate aufgrund molekularer W¨armeleitung wieder ein halbempirischer Ansatz analog zu Gleichung (4.36) zu der gesuchten Funktion f¨uhren: "  2 # + S˙ PRO, = AW · exp −bW n+ − aW . (4.51) W Die Konstanten AW , bW und aW werden so gew¨ahlt, dass die Funktion folgende Bedingungen erf¨ullt:  +  + S˙ PRO, n =0 =Pr , (4.52) W + dS˙ PRO, W

dn+ d2 S˙ +

|n+ =0

PRO, W

dn+2

|n+ =0.75·n+ sT

= − 2Pr2

Tτ∗ , Tw∗

=0 ,

(4.53) (4.54)

wobei n+ sT der Schnittpunkt der Gleichungen (4.27) und (4.28) ist, das heißt die formale Grenze der Wandschicht des Temperaturprofils. Die Gleichungen (4.52) und (4.53) erf¨ullen die Randbedingungen der Asymptoten (4.48) exakt. Die Bedingung (4.54) ist halbempirisch. Aus ihr folgt, dass der Wendepunkt der Entropieproduktion durch mittlere Temperaturgradienten bei 3/4 der formalen Grenze n+ sT der Wandschicht der Temperatur liegt. Mit Hilfe der Bedingungen (4.52) bis (4.54) k¨onnen die Konstanten aus Gleichung (4.51) bestimmt werden: aW = bW = AW

4Tw∗ 4Tw∗

− −

−9 Pr Tτ∗ n+2  sT ∗ ∗ Pr Tτ∗ + 4 Tw∗2 − 6n+ sT Pr Tw Tτ  + Pr Tτ∗ + 4 Tw∗2 − 6nsT Pr Tw∗ Tτ∗ 9 Tw∗ n+2 sT  2

12n+ sT 12n+ sT

 = Pr exp bw aw

(4.55) (4.56) (4.57)

Die halbempirische Wandfunktion nach Gleichung (4.51) ist f¨ur die Prandtl-Zahlen Pr = 0, 71 und Pr = 5 zusammen mit den Auswertungen der DNS-Daten von [ Kawamura et al. 1999] in Abbildung 4.8 dargestellt. Der Abbildung ist zu entnehmen, dass f¨ur ein Fluid mit der Prandtl-Zahl Pr = 0, 71 der Fehler in der Berechnung mit der halbempirischen Wandfunktion im Bereich von 0 < n+ < 30 maximal 18% betr¨agt. Die halbempirische Wandfunktion f¨allt f¨ur gr¨oßere Werte von n+ jedoch sehr stark ab und weist eine gr¨oßer werdende Abweichung zu den Daten der direkten numerischen Simulation auf. Dieses Verhalten kann aber als unkritisch betrachtet werden, da die Entropieproduktion f¨ur große n+ gegen Null geht, und in der im Folgenden betrachteten Integration zur Entropieproduktion kaum beitr¨agt.

Modelle und numerische Aspekte

1 0.8

6

DNS Wandfunktion

5

S

+

SPRO, W

DNS Wandfunktion

+ PRO, W

96

4 0.6 3

Pr=0,71

Pr=5

0.4

2

0.2 0 0

1 10

20

30

40 n+ 50

0 0

10

20

30

40

+

n

50

Abbildung 4.8: Entropieproduktion durch molekulare W¨arme¨ubertragung nach [ Kawamura et al. 1999] und halbempirische Wandfunktion (links: Pr=0,71, Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01; rechts: Pr=5, Reτ = 180, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01) Der Abbildung 4.8 kann ebenfalls entnommen werden, dass die halbempirische Wandfunktion das Verhalten der Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung auch bei gr¨oßeren PrandtlZahlen sehr gut wiedergibt. Insbesondere folgt die Wandfunktion dem Verlauf der DNS-Daten in unmittelbarer Wandn¨ahe im Bereich 0 < n+ < 10. Durch die Wandfunktion kann ein Maximum der Entropieproduktionsrate bei n+ ≈ 3 ermittelt werden, was mit den DNS-Daten u¨ bereinstimmt. In dem an der Wand liegenden Kontrollvolumen soll ein u¨ ber das an der Wand liegende Kontrollvolumen gemittelter Wert f¨ur die Entropieproduktionsrate gefunden werden. Zu diesem Zweck wird die Gleichung (4.51) integriert und durch den wandnormalen Abstand des Kontrollvolumens dividiert:  + 1 + n = +· S˙ PRO, W, m 2nc



"  2 # + dn = AW · exp −bW n+ − aW 0 $ 
 #  π "
 1 . AW · erf bW 2n+ bW aW − erf − bW aW c − 2 bW (4.58) 2n+ c

wobei n+ c wiederum der wandnormale Abstand des Mittelpunktes des an der Wand liegenden Kontrollvolumens ist. Mit Gleichung (4.58) kann f¨ur beliebige Werte des wandnormalen Abstandes n+ die mittlere Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung in dem Bereich 0 < n+ < 2 n+ c ermittelt werden. In Abbildung 4.9 sind f¨ur die Prandtl-Zahlen Pr = 0, 71 und Pr = 5, 0 u¨ ber den wandnormalen Abstand eines an der Wand liegenden Kontrollvolumens die mittleren Entropieproduktionsraten f¨ur die hier vorgestellte Wandfunktion, Gleichung (4.58), und die Ergebnisse aus direkten numerischen

4.5 Wandfunktionen

97

Simulationen nach [ Kawamura et al. 1999] dargestellt. Den Abbildungen ist zu entnehmen, dass in

0.3

1.6

PRO, W, m

DNS Mittelwert der Wandfunktion

0.2

DNS Mittelwert der Wandfunktion

1.4

S+

S+

PRO, W, m

0.4

1.2 1 0.8

Pr=0,71

Pr=5

0.6 0.1

0.4 0.2

0 0

20

40

60

80 n+ 100 c

0 0

20

40

60

+ 80 nc 100

Abbildung 4.9: Mittlere Entropieproduktion durch molekulare W¨armeleitung als Funktion des wandnormalen Abstandes des Kontrollvolumens n+ c . dem gesamten betrachteten Bereich von 11, 6 < n+ c < 100 die Mittelwerte der halbempirischen Wandfunktion bei beiden betrachteten Prandtl-Zahlen um nicht mehr als 6% von den Daten der direkten numerischen Simulation abweichen. Durch den halbempirischen Ansatz nach Gleichung (4.51) und dessen Integration nach Gleichung (4.58) ist es somit m¨oglich, f¨ur ein an festen W¨anden liegendes Kontrollvolumen einen mittleren Wert der Entropieproduktionsrate zu bestimmen, welcher unabh¨angig von der Gr¨oße des Kontrollvolumens und der Prandtl-Zahl um maximal 6% von Daten einer direkten numerischen Simulation abweicht. Gleichung (4.58) stellt im Folgenden die Bestimmungsgleichung f¨ur die Entropieproduktionsrate in an W¨anden liegenden Kontrollvolumina dar, und bildet zusammen mit Gleichung (SW ∗ ) das Modell zur Berechnung der Entropieproduktionsraten durch direkte Dissipation in turbulenten Scherstr¨omungen.

4.5.5 Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation ∗ Die Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation S˙ PRO, D  kann in wandfernen Bereichen ∗ durch die Gleichung (SD ) bestimmt werden. Diese Modellgleichung basiert auf der Annahme der Gleichheit der turbulenten Dissipationsrate TΦ∗ und der Dissipationsrate ∗ ε∗ . Diese Gleichheit ist in unmittelbarer Wandn¨ahe nicht mehr gegeben. Zudem wurde bereits gezeigt, dass die Tempera¨ tur in unmittelbarer Wandn¨ahe sehr großen Anderungen unterliegt und somit das bisherige Modell der Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation in an der Wand liegenden Kontrollvolumina angepasst werden muss, siehe Abbildung 4.2. Diese Modifikation soll wieder auf der Basis

98

Modelle und numerische Aspekte

von asymptotischen Betrachtungen zum Verhalten der Einflussgr¨oßen in unmittelbarer Wandn¨ahe f¨ur n+ → 0 und f¨ur n+ → ∞ geschehen. Eine dimensionslose Form nach Gleichung (4.30) der Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation ist: ν ∗ a∗ (Tw∗ /Tτ∗ )2 + ˙∗ S˙ PRO, , D  = SPRO, D  ∗ u∗2 τ λ ∗

=

Ecτ TTw∗ ε+ 1+

τ Tτ∗ ∗ Tw

T+

,

(4.59)

ur mit der entdimensionierten modellhaften turbulenten Dissipationsrate ε+ = ∗ ε∗ η ∗/ (∗2 u∗4 τ ). F¨ die Dissipationrate ε+ sind in unmittelbarer Wandn¨ahe universelle Verl¨aufe bekannt, welche in den k − ε Turbulenzmodellen f¨ur hohe Reynolds-Zahlen implementiert sind. Diese universellen Wandfunktionen sind im Einzelnen [ Gersten und Herwig 1992]: ε+ = 0, 15 1 ε+ = κn+

f¨ur n+ → 0 ,

(4.60)

+

f¨ur n → ∞ .

(4.61)

Zusammen mit dem asymptotischen Verhalten der zeitgemittelten Temperatur, Gleichungen (4.27) und (4.28), kann aus dem Verhalten der turbulenten Dissipationsrate in unmittelbarer Wandn¨ahe, Gleichungen (4.60) und (4.61), eine unstetige Funktion ermittelt werden, welche nach Gleichung (4.59) das universelle Verhalten der Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation in Wandn¨ahe wiedergibt. Ein Vergleich mit DNS-Daten zeigt aber, dass auf diesem Weg der Verlauf der Entropieproduktionsrate in der Wandschicht nicht sehr gut angen¨ahert werden kann. Aus diesem Grund wird f¨ur die Wandschicht ein anderes Modell f¨ur die Entropieproduktionsrate herangezogen. Zusammen mit dem asymptotischen Verlauf in der vollturbulenten Schicht ergibt sich durch einfaches Aneinanderf¨ugen der beiden Asymptoten am gew¨ahlten Punkt n+ ur su = 11, 6 folgendes Modell f¨ Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation:

+ S˙ PRO, D =

      

∗

0, 15Ecτ TTw∗ κn+

"

Ec

T∗ 1+ T τ∗ w




∗ Tw τ T∗ τ

τ

+ 1 log(n+ )+CΘ κΘ

f¨ur

n+ < 11, 6

f¨ur

n+ ≥ 11, 6 .

(4.62) #

Die Gleichung (4.62) braucht keiner Gl¨attung unterzogen zu werden, da ein Vergleich mit den Auswertungen von DNS-Daten von [ Kawamura et al. 1999] in der Abbildung 4.10 zeigt, dass die Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation in der N¨ahe von n+ = 11, 6 ein Maximum aufweist.

DNS Wandfunktion

0.3

0.25

S+PRO, D′

99

+

SPRO, D′

4.5 Wandfunktionen

0.25

0.2

0.2 Pr=0,71

0.15

0.15

0.1

0.1

0.05

0.05

0 0

DNS Wandfunktion

0.3

20

40

60

80 n+ 100

0 0

Pr=5

20

40

60

80 n+ 100

Abbildung 4.10: Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation nach [ Kawamura et al. 1999] und Wandfunktion (links: Pr = 0, 71, Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Ecτ = 0, 01; rechts: Pr = 5, Reτ = 180, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Ecτ = 0, 01)

Die Wandfunktion der Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation stimmt in dem betrachteten Bereich von 0 < n+ < 100 recht gut mit den Daten der direkten numerischen Simulation u¨ berein. Insbesondere zeigt sich, dass die Annahme einer konstanten Entropieproduktionsrate in der Wandschicht (n+ < 11, 6) eine sehr gute N¨aherung des physikalischen Verhaltens darstellt. Zur Ermittlung einer mittleren Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation in an der Wand liegenden finiten Kontrollvolumina muss Gleichung (4.62) u¨ ber das Kontrollvolumen integriert und durch das Volumen des finiten Volumens dividiert werden. In der eindimensionalen Betrachtungsweise der Wandschicht kann dieser mittlere Wert f¨ur ein Kontrollvolumen mit einem wandnormalen Abstand von n+ c wie folgt ermittelt werden:   ∗  n+su  2 n+c ∗ Ecτ TTw∗  + T 1 w + + + τ "
# dn  S˙ PRO, D , m n = +  0, 15Ecτ ∗ dn + ∗ 2nc Tτ 0 n+ su κn+ 1 + TTτ∗ κ1Θ log (n+ ) + CΘ+ w

1 Tw∗ + = 0, 15 Ecτ ∗ nsu 2 n+ T c

τ T∗  Tw∗2 1 + + Ecτ ∗2 · log 1 + τ∗ log(2 n+ c )+C Tτ κ Tw  .  T∗  + − log 1 + τ∗ log(n+ . (4.63) ) + C su Tw Mit Gleichung (4.63) kann f¨ur beliebige Werte des wandnormalen Abstandes n+ die mittlere Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation in dem Bereich 0 < n+ < 2 n+ c ermittelt werden. In Abbildung 4.11 sind f¨ur die Prandtl-Zahlen Pr = 0, 71 und Pr = 5, 0 u¨ ber den wandnormalen Ab-

100

Modelle und numerische Aspekte

stand n+ ur c eines an der Wand liegenden Kontrollvolumens die mittleren Entropieproduktionsraten f¨ die hier vorgestellte Wandfunktion, Gleichung (4.63), und die Ergebnisse aus direkten numerischen Simulationen von [ Kawamura et al. 1999] dargestellt. Der Abbildung kann entnommen werden, dass

0.14

0.25

+

SPRO, D′, m

DNS Mittelwert der Wandfunktion

+

SPRO, D′, m

0.16

0.12

DNS Mittelwert der Wandfunktion

0.2

0.15

0.1

Pr=5

Pr=0,71

0.08 0.1 0.06 0.04 0

20

40

60

80

n+c 100

0.05 0

Abbildung 4.11: Mittlere Entropieproduktion pation als Funktion des des Kontrollvolumens n+ c .

20

40

60

+ 80 nc 100

durch turbulente Dissiwandnormalen Abstandes

anden der Mittelf¨ur den hier betrachteten Bereich 11, 6 < n+ c < 100 von wandnormalen Abst¨ punkte von an W¨anden liegenden Kontrollvolumina die Wandfunktion (4.63) f¨ur beide untersuchten Prandtl-Zahlen Werte liefert, die um h¨ochstens 17% von den Werten der DNS-Daten abweichen. Die Gleichung (4.63) stellt somit zusammen mit der Gleichung (SD ∗ ) die Modellgleichungen f¨ur die Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation in turbulenten Scherstr¨omungen dar.

4.5.6 Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung In Fluidregionen weit entfernt von festen W¨anden kann die Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung mittels Gleichung (SW ∗ ) beschrieben werden. In wandnahen Regionen gilt jedoch die Modellannahme des Gleichgewichts zwischen Dissipation und Produktion nicht mehr und die Modellgleichung muss f¨ur jene Kontrollvolumina, welche unmittelbar an festen W¨anden angrenzen, modifiziert werden. Diese Modifikation soll in Anlehnung an die Betrachtungen zu der Entropieproduktionsrate aufgrund turbulenter Dissipation wieder unter dem Gesichtspunkt einer asymptotischen Analyse des universellen Verhaltens der mittleren Temperatur und der Dissipation der Varianz der Temperaturschwankungen erfolgen. In unmittelbarer Wandn¨ahe dominieren bei hohen Peclet-Zahlen die wandnormalen Temperaturgradienten, siehe Anmerkungen in Abschnitt 4.5.4. Die Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung kann nach Gleichung (4.30) in entdimensionierter Form wie folgt geschrieben wer-

4.5 Wandfunktionen

101

den: ν ∗ a∗ (Tw∗ /Tτ∗ )2 + ˙∗ S˙ PRO, , W  = SPRO, W  ∗ u∗2 τ λ ε+ Θ =
2 , ∗ 1 + TTτ∗ T +

(4.64)

w

mit der entdimensionierten Dissipationsrate der Varianz der Temperaturschwankungen + ∗ ∗ ∗2 ∗2 ε+ onnen Θ = εΘ ν / (Tτ uτ ). Bei Kenntnis des universellen Verlaufes dieser Dissipationsrate εΘ k¨ mit den schon vorstellten Wandfunktionen der mittleren Temperatur, Gleichungen (4.27) und (4.28), L¨osungen der Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung f¨ur n+ → 0 und n+ → ∞ gefunden werden. Leider existieren solche universellen Untersuchungen f¨ur die Wandschicht nicht. Aus diesem Grund wird nach der Auswertung von Daten von direkten numerischen Simulationen bei einer Reihe von verschiedenen Prandtl-Zahlen die Dissipationsrate der Varianz der Temperaturschwankungen in der ¨ Wandschicht als konstant angenommen. Dieses Vorgehen ist analog zu den Uberlegungen zum asymptotischen Verhalten der Dissipationsrate ε+ in der Wandschicht, siehe Abschnitt 4.5.5. Im vollturbulenten Bereich soll weiterhin ein Gleichgewicht zwischen der Produktion und der Dissipation bestehen. Wenn weiter angenommen wird, dass die wandnormalen Temperaturgradienten dominieren (Pe → ∞), so kann f¨ur diesen Bereich die Dissipationsrate ε+ Θ wie folgt beschrieben werden, siehe Gleichung (4.19):  νt∗ 1 ∂T + ε+ , Θ = ∗ + ν Prt ∂n ∗ ν κΘ 1 . (4.65) = t∗ ν κ κ2Θ n+2 In erster N¨aherung kann angenommen werden, dass die dimensionslose Wirbelviskosit¨at νt∗ /ν ∗ im vollturbulenten Bereich linear mit dem Wandabstand n+ w¨achst [ Gersten und Herwig 1992]. Zu¨ sammen mit den Uberlegungen zur Wandschicht ergibt sich damit folgendes asymptotisches Verhalten der Dissipationsrate ε+ Θ: ε+ Θ = 0, 15 Pr 1 ε+ Θ = κΘ n+

f¨ur n+ → 0 ,

(4.66)

f¨ur n+ → ∞ .

(4.67)

In Anlehnung zu den Bemerkungen zur Entropieproduktionsrate aufgrund turbulenter Dissipation in Abschnitt 4.5.5 k¨onnte aus dem Verhalten der Dissipationsrate ε+ ahe, Θ in unmittelbarer Wandn¨ Gleichungen (4.66) und (4.67), zusammen mit dem asymptotischen Verhalten der zeitgemittelten Temperatur, Gleichungen (4.27) und (4.28), eine unstetige Funktion ermittelt werden. Diese gibt das universelle Verhalten der Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung in Wandn¨ahe wieder. Ein Vergleich mit DNS-Daten zeigt aber wieder, dass auf diesem Weg der Verlauf der Entropieproduktionsrate in der viskosen Unterschicht nicht sehr gut angen¨ahert werden kann. Aus diesem

102

Modelle und numerische Aspekte

Grund wird f¨ur die Wandschicht ein anderes Modell f¨ur die Entropieproduktionsrate herangezogen. Zusammen mit dem asymptotischen Verlauf in der vollturbulenten Schicht ergibt sich in Analogie zu Gleichung (4.63) durch einfaches aneinanderf¨ugen der beiden Asymptoten am gew¨ahlten Punkt n+ sT folgendes Modell f¨ur Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung:

+ S˙ PRO, W =

   

0, 15 Pr

  




T∗ κΘ n+ 1+ T τ∗ w


1

+ 1 log(n+ )+CΘ κΘ



f¨ur

n+ < n+ sT ,

f¨ur

n+ ≥ n+ sT ,

(4.68)

wobei n+ sT wieder die Grenze der Wandschicht der Temperatur darstellen soll, welcher formal als Schnittpunkt der Gleichungen (4.27) und (4.28) ermittelt werden kann. Dieser ist n+ ur sT = 12, 1 f¨ = 7, 3 f¨ u r Pr = 5. Pr = 0, 71 und n+ sT

S+

0.2

PRO, W

DNS Wandfunktion

+

SPRO, W ′

0.25

′

In der Abbildung 4.12 ist die unstetige Wandfunktion der Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung, Gleichung (4.68), f¨ur die beiden Prandtl-Zahlen Pr = 0, 71 und Pr = 5 zusammen mit den Auswertungen von DNS-Daten von [ Kawamura et al. 1999] dargestellt. Der Abbil-

DNS Wandfunktion

1

0.8

0.15 Pr=0,71

0.6

0.1

Pr=5

0.4 0.05 0 0

0.2 20

40

60

80 n+ 100

0 0

20

40

60

80 n+ 100

Abbildung 4.12: Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung nach [ Kawamura et al. 1999] und Wandfunktion (links: Pr=0,71, Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01; rechts: Pr=5, Reτ = 180, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01) dung kann entnommen werden, dass die Wandfunktion (4.68) bei einer Prandtl-Zahl von Pr = 0, 71 keiner Gl¨attung unterzogen werden muss, da die DNS-Daten am gew¨ahlten Punkt n+ sT ebenfalls ein Maximum aufweisen. F¨ur gr¨oßere Prandtl-Zahlen bildet die Wandfunktion keinen ausgepr¨agten Maximalwert mehr aus. Die Werte weichen im gesamten betrachteten Bereich von n+ aber bis zu 100% von den Werten der direkten numerischen Simulation ab. Da aber im Sinne des Gesamtkonzeptes einer Auswertung von CFD-Daten in einem Postprozess keine andere Wandfunktion f¨ur die

4.5 Wandfunktionen

103

Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung gefunden werden kann, m¨ussen diese Abweichungen in Kauf genommen werden. Bemerkenswert ist jedoch, dass f¨ur beide Prandtl-Zahlen die Werte der Entropieproduktionsraten der Wandfunktion (4.68) direkt an der Wand (n+ → 0) sehr ¨ gute Ubereinstimmung mit den DNS-Daten zeigen. Das Ziel, welches mit der Herleitung von Wandfunktionen verfolgt wird, ist die Ermittlung von mittleren Entropieproduktionsraten durch turbulente W¨armeleitung in einem an der Wand liegenden finiten Kontrollvolumen. Hierzu muss Gleichung (4.68) wieder u¨ ber das Kontrollvolumen integriert und durch das Volumen des finiten Volumens dividiert werden. In der eindimensionalen Betrachtungsweise der Wandschicht ergibt sich folgender mittlerer Wert f¨ur das Kontrollvolumen mit dem wandnormalen Abstand n+ c :    n+  2 n+c sT   1 1 + +

  = + 0, 15 Prdn+ + dn+ S˙ PRO, W , m n ∗ 2nc 0 n+ κΘ n+ 1 + TTτ∗ κ1Θ log (n+ ) + CΘ+ sT w   1 1 1 + = + − 0, 15 Pr n .   sT Tτ∗ Tτ∗ + + 2 n+ + log n+ + log (2 n+ c c ) + CΘ sT + CΘ T∗ T∗ w

w

(4.69) Gleichung (4.69) stellt die Bestimmungsgleichung f¨ur die mittlere Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung in einem an W¨anden liegenden Kontrollvolumen in Abh¨angigkeit des wandnormalen Abstandes des Kontrollvolumens dar. In der Abbildung 4.13 sind f¨ur die Prandtl-Zahlen Pr = 0, 71 und Pr = 5, 0 u¨ ber den wandnormalen Abstand n+ c eines an der Wand liegenden Kontrollvolumens die mittleren Entropieproduktionsraten f¨ur die hier vorgestellte Wandfunktion, Gleichung (4.69), sowie die Ergebnisse aus direkten numerischen Simulationen von [ Kawamura et al. 1999] dargestellt. Der Abbildung kann entnommen werden, dass f¨ur kleinere Prandtl-Zahlen die Ergebnisse der Wandfunktion u¨ ber und f¨ur gr¨oßere Prandtl-Zahlen unter den Werten einer direkten numerischen Simulation liegen. Die Abweichungen betragen bei der Prandtl-Zahl Pr = 5 bei kleinen Wandabst¨anden u¨ ber 40%, nehmen jedoch mit zunehmendem Wandabstand ab. Da wie schon angedeutet im Sinne der Gesamtarbeit auf einfache Weise keine andere Wandfunktion gefunden werden kann, stellt die Gleichung (4.69) zusammen mit der Gleichung (SD ∗ ) die Modellgleichungen f¨ur die Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung in turbulenten Scherstr¨omungen dar.

104

Modelle und numerische Aspekte

0.12

1

DNS Mittelwert der Wandfunktion

′

DNS Mittelwert der Wandfunktion

PRO, W , m

S+PRO, W′, m

0.14

S+

0.8

0.1

0.6 Pr=5

Pr=0,71

0.08

0.4

0.06

0.2

0.04 0

20

40

+ 80 nc 100

60

0 0

20

40

60

+ 80 nc

100

Abbildung 4.13: Mittlere Entropieproduktion durch turbulente W¨armeleitung als Funktion des wandnormalen Abstandes des . Kontrollvolumens n+ c

4.5.7 Die Wandfunktionen auf einen Blick ¨ Zum Zwecke der besseren Ubersichtlichkeit werden die Wandfunktionen aller vier Entropieproduktionsraten an dieser Stelle noch einmal aufgef¨uhrt.

E NTROPIEPRODUKTIONSRATE DURCH DIREKTE D ISSIPATION :

 +  AD + S˙ PRO, n = D, m 2

$


 #  π "
 · erf bD 2n+ bD aD − erf − bD aD c − bD

−9PrTτ∗ n+2  sτ ∗ ∗ 8 − + 8 Tw∗2 − 3n+ sτ PrTw Tτ  ∗ ∗ − + 8 Tw∗2 − 3n+ 8 sτ PrTw Tτ bD = 18 Tw∗ n+2 sτ   T∗ AD = Ecτ w∗ exp bD a2D Tτ aD =

Tw∗ Tw∗

∗ 12n+ sτ PrTτ ∗ 12n+ sτ PrTτ

(SDW )

4.5 Wandfunktionen

105

¨ E NTROPIEPRODUKTIONSRATE DURCH MOLEKULARE W ARMELEITUNG : $ 
# "
     π AW + n+ = · erf bW 2n+ bW aW − erf − bW aW S˙ PRO, c − W, m 2 bW

aW = bW =

4Tw∗ − 4Tw∗ −

−9 Pr Tτ∗ n+2  sT ∗ ∗ Pr Tτ∗ + 4 Tw∗2 − 6n+ sT Pr Tw Tτ  + ∗ ∗2 Pr Tτ + 4 Tw − 6nsT Pr Tw∗ Tτ∗ 9 Tw∗ n+2 sT  2

(SW W )

12n+ sT 12n+ sT

 AW = Pr exp bw aw

E NTROPIEPRODUKTIONSRATE DURCH TURBULENTE D ISSIPATION :

 + 1 T∗ + n = S˙ PRO, 0, 15Ecτ w∗ n+  D ,m 2n+ T su c

τ  Tw∗2 1 T∗  + + Ecτ ∗2 · log 1 + τ∗ log(2 n+ c )+C Tτ κ Tw .   T∗  + − log 1 + τ∗ log(n+ su ) + C Tw

¨ E NTROPIEPRODUKTIONSRATE DURCH TURBULENTE W ARMELEITUNG :   + 1 + = S˙ PRO, 0, 15 Pr n+ W , m n sT 2 n+ c + T∗ τ

∗ Tw

1 −   + + log n+ sT + CΘ

1 Tτ∗ ∗ Tw

+ + log (2 n+ c ) + CΘ

(SD  W )

 (SW  W )

106

Modelle und numerische Aspekte

Kapitel 5 Anwendungs- und Simulationsbeispiele Nach den Herleitungen und Erl¨auterungen in den Kapiteln 3 und 4 k¨onnen Entropieproduktionsraten in turbulenten Scherstr¨omungen eines einkomponentigen Newtonschen Fluides berechnet und eindeutig identifiziert werden. Diese lokalen Entropieproduktionsraten k¨onnen in einem Postprozess einer CFD-Analyse einer beliebigen Geometrie und unter beliebigen Str¨omungsbedingungen erfolgen, unter der Bedingung, dass die Str¨omung selber auf der Basis eines Wirbelviskosit¨atsmodelles, welches zudem eine Modellierung der turbulenten Dissipationsrate ∗ ε∗ besitzt, berechnet werden kann1 . Hierzu werden die Modellgleichungen (SD ∗ ), (SW ∗ ), (SD ∗ ) und (SW ∗ ), und deren Modifikationen in den an W¨anden liegenden finiten Kontrollvolumina durch die Wandfunktionen (SDW ), (SW W ), (SD  W ) und (SW  W ) in eine FORTRAN-Routine des kommerziellen CFD-Programmpakets CFD4.4 implementiert. Mit Hilfe dieser FORTRAN-Routine stehen dem Anwender in der ∗ ∗ ˙∗ ˙∗ Auswertung der CFD-Daten die Gr¨oßen S˙ PRO, , S˙ PRO, atzliche D  SPRO, W und SPRO, W  als zus¨ D Feldinformationen zur Verf¨ugung. Durch die Aufstellung der Modellgleichungen zur Berechnung der Entropieproduktionsraten in der finiten Volumendiskretisierung und insbesondere durch die Herleitung von universellen Wandfunktionen ist es dem Anwender m¨oglich, auf einfache Weise die gesamte Entropieproduktion in einem Str¨omungsfeld durch Integration zu bestimmen. In diesem Kapitel sollen einige Berechnungsbeispiele mit dem kommerziellem CFD-Programmpaket CFX4.4 unter Implementierung der entwickelten FORTRAN-Routine vorgestellt werden. In diesen Simulationsbeispielen werden zun¨achst am Beispiel von laminaren und turbulenten Rohrstr¨omungen die Anwendbarkeit der Modelle vorgestellt, wobei die Ergebnisse in diesen einfachen F¨allen mit analytischen L¨osungen beziehungsweise mit empirischen Korrelationen verglichen wer1 Bis hier basieren alle Herleitungen auf dem k−ε Turbulenzmodell. Die Modelle zur Berechnung der Entropieproduktionsraten k¨onnen ebenfalls bei Str¨omungsberechnungen auf der Basis des k − ω Turbulenzmodelles verwendet werden. Auch mit diesem Turbulenzmodell k¨onnen die Wirbelviskosit¨at und die turbulente Dissipationsrate bestimmt werden. Bei der Verwendung von Reynolds-Stress-Modellen sind sogar die turbulenten W¨armestromdichten bekannt und eine Modellierung der Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung kann entsprechend vereinfacht werden, siehe Abschnitt 4.3.4.

108

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

den k¨onnen. Die zweite Gruppe der Beispiele besch¨aftigt sich mit Optimierungsproblemen der W¨arme¨ubertragung. In einem ersten Beispiel soll hierbei zun¨achst wieder die Richtigkeit der Modelle mit analytischen L¨osungen auf der Basis von empirischen Korrelationen verglichen werden. Bei dem letzten Simulationsbeispiel handelt es sich um die Optimierung einer Anwendung, f¨ur die keine analytischen L¨osungsans¨atze vorliegen. An Hand dieses Beispiels k¨onnen die Vorteile der neuen Modelle zur Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten aufgezeigt werden. Denn durch einfache Auswertung bekannter Feldinformationen der CFD-Berechnung einer komplexen dreidimensionalen Str¨omung mit W¨arme¨ubergang kann gezeigt werden, wie hilfreich die Berechnung der lokalen Entropieproduktionsraten bei der Optimierung von Apparaten der W¨armetechnik sein kann.

5.1

Lokale Entropieproduktionsraten in Rohrstr¨omungen

In den ersten beiden Simulationsbeispielen soll die Anwendbarkeit der entwickelten Modelle an einfachen Geometrien aufgezeigt werden. Hierbei soll sich auf Innenstr¨omungen konzentriert werden. Aus diesem Grund werden im Folgenden Entropieproduktionsraten in laminaren und turbulenten Rohrstr¨omungen untersucht.

5.1.1 Laminare Rohrstr¨omung Das erste Beispiel soll verdeutlichen, dass die vorgestellten Modelle mit einer einfachen Modifikation auch auf laminare Str¨omungen angewendet werden k¨onnen. Diese Modifikationen sind im Einzelnen: 1. Die zeitlich mittleren Geschwindigkeiten und Temperaturen entsprechen den (laminaren) Momentanwerten in den Gleichungen f¨ur die Entropieproduktionsraten durch molekulare Effekte in den Gleichungen (SD ∗ ) und (SW ∗ ). 2. Es gibt keine Entropieproduktionsraten durch turbulente Schwankungsbewegungen. Die Gleichungen (SD ∗ ) und (SW ∗ ) bleiben unber¨ucksichtigt. 3. Keine Wandfunktionen; die Gleichungen (SDW ), (SW W ), (SD  W ) und (SW  W ) kommen also nicht zum Einsatz, da diese auf den Modellans¨atzen des k −ε Turbulenzmodelles basieren.

Problemstellung Als Beispiel wird eine ausgebildete laminare beheizte Rohrstr¨omung gew¨ahlt. Diese Str¨omung ist unter dem Namen Hagen-Poiseuille Str¨omung bekannt. F¨ur diese Str¨omung sollen lokale Entropieproduktionsraten bestimmt werden. F¨ur die Hagen-Poiseuille Str¨omung gibt es analytische L¨osungen

5.1 Lokale Entropieproduktionsraten in Rohrstr¨omungen

109

der Impulsgleichungen (XI ∗ ) bis (ZI ∗ ) sowie der thermischen Energiegleichung in der Temperaturform, Gleichung (T E ∗ ). Die Gleichungen werden im Fall der Rohrstr¨omung in Zylinderkoordinaten aufgestellt und das Problem der laminaren Str¨omung kann in zwei Koordinaten beschrieben werden: der axialen Richtung x∗ und der radialen Koordinate r ∗ . Mit Hilfe des Geschwindigkeits- und Temperaturprofils k¨onnen die lokalen Entropieproduktionsprofile f¨ur den Fall der Hagen-Poiseuille Str¨omung auf analytische Weise durch Differentiation dieser Profile bestimmt werden. Diese analytische L¨osung soll an dieser Stelle mit den Auswertungen von CFD-L¨osungen einer ausgebildeten laminaren beheizten Rohrstr¨omung verglichen werden. In dieser Auswertung werden die bekannten Feldinformationen u¨ ber die Geschwindigkeit und die Temperatur genutzt, um in einem Postprozess die Entropieproduktionsraten zu bestimmen.

Analytische L¨osung des Problems Die Geschwindigkeits- und Temperaturprofile lauten f¨ur die hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildete Str¨omung in Zylinderkoordinaten, [ Bejan 1984]:   ∗ 2  r u∗ (r ∗ ) = 2 u∗m 1 − , (5.1) R∗   4  ∗ 2  r q˙∗ R∗ 3 1 r ∗ + − , (5.2) T ∗ (r ∗ ) = Tw∗ − w ∗ λ 4 4 R∗ R∗ mit dem Rohrradius R∗ , der mittleren Geschwindigkeit u∗m , der Wandtemperatur Tw∗ und der Wandw¨armestromdichte q˙w∗ . Durch Kenntnis des Geschwindigkeits- und Temperaturprofils k¨onnen nach den Gleichungen (SD ∗ ) und (SW ∗ ) die lokalen Entropieproduktionsraten u¨ ber den Rohrquerschnitt ermittelt werden. Diese Entropieproduktionsraten werden hier dimensionslos dargestellt, wobei eine Entdimensionierung mit ∗2 ∗ λ∗ Tkal /q˙w∗2 erfolgen soll. In dieser Vorschrift ist Tkal die kalorische Mitteltemperatur in dem betrachteten Rohrquerschnitt. Bei großen Peclet-Zahlen k¨onnen die axialen Temperaturgradienten gegen¨uber den radialen Gradienten vernachl¨assigt werden, siehe (4.46). Außerdem soll bei der Bestimmung der Entropieprodukti∗ zwischen der lokalen Temperatur T ∗ und der thermodynaonsraten die Temperaturdifferenz T ∗ −Tkal ∗ im Vergleich zur lokalen Temperatur als klein angesehen werden. Das mischen Mitteltemperatur Tkal ist durchaus berechtigt, da es sich bei allen Temperaturen um thermodynamische Temperaturen handelt, welche im Allgemeinen mehrere Hundert Kelvin betragen k¨onnen. Damit erh¨alt man folgende analytische L¨osungen f¨ur die dimensionslosen Entropieproduktionsprofile in einen Rohrquerschnitt, siehe [ Bejan 1996]: ˜ PrEc 2 , S˙ PRO, D = 16 2 r ˜ Nu   2 , S˙ PRO, W = 2r − r 3

(5.3) (5.4)

110

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

 ∗ ∗  ∗ ∗ ∗ ∗ ˜ ˜ = u∗2 mit Pr = c∗p η ∗ /λ∗ , Ec m / cp Tkal , Nu = q˙ R / (λ Tkal ). Den analytischen L¨osungen der Entropieproduktionsraten in einer beheizten Hagen-Poiseuille Str¨omung kann entnommen werden, dass die Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung bei dieser Art der Entdimensionierung genau eine Funktion ergibt, welche den Wert Eins an der Rohr˜ Nu ˜2 wand annimmt. Die Entropieproduktionsrate durch Dissipation ist vom Parameter Π = 16 Pr Ec/ abh¨angig.

Numerische L¨osung des Problems F¨ur eine numerische L¨osung des Problems werden CFD-Rechnungen im hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeten Bereich von beheizten Hagen-Poiseuille Str¨omungen ausgewertet. Eine Ermittlung von lokalen Entropieproduktionsraten kann durch Auswertung der Feldinformationen der Geschwindigkeit und der Temperatur in einem Postprozess erfolgen. Die analytischen L¨osungen zeigen, dass die Entropieproduktionsraten im hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeten Bereich ˜ Nu ˜ 2 abh¨angen. Aus diesem Grund wird eine Reihe von zehn nur von dem Parameter Π = 16 Pr Ec/ CFD-Rechnungen erstellt, wobei folgende Kennzahlen konstant sind: Tabelle 5.1: Dimensionslose Kennzahlen der Simulationen Re =

u∗m R∗ ν∗

500

Pr = 1

c∗p η ∗ λ∗

˜ = Nu

∗ R∗ q˙w ∗ λ∗ Tkal

0,068

˜ wird in zehn Simulationen von Ec ˜ = 2, 94 · 10−4 bis Ec ˜ = 29, 4 · 10−4 variiert, Die Kennzahl Ec so dass sich insgesamt zehn Parameter Π ergeben. Die Geometrie ist zweidimensional und hat eine Ausdehnung von 100 Rohrdurchmessern in Hauptstr¨omungsrichtung. In der Rohrmitte gilt eine Symmetrierandbedingung. Am Einlass gelten DirichletRandbedingungen f¨ur die Geschwindigkeit und die Temperatur. Am Auslass gelten Dirichlet-Randbedingungen f¨ur den Druck und Neumann-Randbedingungen (Null-Gradient in Hauptstr¨omungsrichtung) f¨ur die Geschwindigkeiten und die Temperatur. Das numerische Gitter besteht f¨ur alle Rechnungen aus 20 finiten Volumen in radialer Richtung und 500 finiten Volumen in Hauptstr¨omungsrichtung. Eine Auswertung erfolgt in einem Rohrquerschnitt im hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeten Bereich.

Vergleich der L¨osungen In der Abbildung 5.1 sind die analytischen L¨osungen der Entropieproduktionsraten nach den Gleichungen (5.3) und (5.4) zusammen mit den Auswertungen nach den Gleichungen (SD ∗ ) und (SW ∗ )

5.1 Lokale Entropieproduktionsraten in Rohrstr¨omungen

111

der vorgestellten Reihe von CFD-Rechnungen dargestellt. Der Abbildung kann entnommen werden,

1.4 1.2

10

Analytische Loesung CFD

Analytische Loesung CFD 8

SPRO, D

SPRO, W

1 0.8 0.6

6

∼ ∼ 2 Parameter: Π=16 Pr Ec / Nu

4

0.4 2 0.2 0 0

0.2

0.4

r

0.6

0.8

1

0 0

0.2

0.4

r

0.6

0.8

1

Abbildung 5.1: Entropieproduktionsraten in einer beheizten Hagen-Poiseuille Str¨omung als Funktion des Rohrradius. Analytische L¨osung nach Gleichungen (5.3) und (5.4) und Auswertung von CFDRechnungen nach den Gleichungen (SD ∗ ) und (SW ∗ ).

dass die Entropieproduktionsraten durch molekulare W¨armeleitung aufgrund der Entdimensionierung f¨ur alle F¨alle identisch sind und insbesondere an der Wand bei r = 1 einen Wert von Eins aufweisen. Die Auswertungen der CFD-Rechnung ergeben f¨ur alle F¨alle Werte, die u¨ ber den gesamten Rohrquerschnitt einen Fehler von weniger als 2,4% aufweisen. ˜ Nu ˜2 Die Entropieproduktionsraten durch direkte Dissipation sind vom Parameter Π = 16 Pr Ec abh¨angig und weisen an der Wand ein Maximum von Π auf. Die Auswertungen der CFD-Rechnungen zeigen erst bei gr¨oßeren Werten von Π an der Wand wahrnehmbare Abweichungen von der analytischen L¨osung (5.3) in einer Gr¨oßenordnung von maximal 1,6%. Steigt der Parameter Π u¨ ber 1/16, so u¨ bersteigt die Entropieproduktionsrate durch direkte Dissipation die Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung. Durch dieses einfache Beispiel sollten zwei Punkte verdeutlicht werden. Zum einen k¨onnen die in dieser Arbeit vorgestellten Modelle der Entropieproduktionsraten unter den oben genannten Einschr¨ankungen auf laminare Str¨omungen angewendet werden. Zum anderen sollte gezeigt werden, dass durch eine einfache Auswertung bekannter CFD-Daten eines Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes lokale Entropieproduktionsraten bestimmt werden k¨onnen. Mit Hilfe dieser lokalen Raten k¨onnen die Ursachen der Entropieproduktion eindeutig bestimmt werden und somit kann auf einfache Weise eine Konfiguration gefunden werden, in welcher die beiden Entropieproduktionsursachen Werte gleicher Gr¨oßenordnung aufweisen.

112

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

5.1.2 Turbulenter Rohrstr¨omung Das zweite Beispiel ist eine Erweiterung des im letzten Abschnitt beschriebenen Falls auf eine turbulente Str¨omung. In diesem Beispiel sollen lokale Entropieproduktionsraten in einer ausgebildeten turbulenten beheizten Rohrstr¨omung berechnet werden. F¨ur den Fall einer turbulenten beheizten Rohrstr¨omung Fall gibt es keine analytische L¨osung in Form einer algebraischen Gleichung, da f¨ur die Geschwindigkeits-, Temperatur und Turbulenzgr¨oßen keine einfachen analytischen L¨osungen existieren. Eine Validierung der Ergebnisse aus einer Auswertung von CFD-Daten kann aber dennoch erfolgen, wenn empirische Beziehungen f¨ur den Druckverlust und den W¨arme¨ubergang herangezogen werden. Mit Hilfe dieser empirischen Beziehungen lassen sich zumindest u¨ ber den Rohrquerschnitt integrierte Entropieproduktionsraten ermitteln. Diese integralen Werte werden in diesem Beispiel mit den aufsummierten Werten der Auswertung einer CFD-Rechnung verglichen.

Problemstellung Als Beispiel wird eine turbulente beheizte Rohrstr¨omung gew¨ahlt. Um den Vergleich mit den oben erw¨ahnten empirischen Korrelationen zu gew¨ahrleisten, wird die Str¨omung in einem hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeten Bereich untersucht. Die Reynolds-Zahl Re = u∗m D ∗ /ν ∗ soll mit Re = 105 weit u¨ ber der kritischen Reynolds-Zahl von Rekrit = 2300 dieser Str¨omung liegen.

Empirische L¨osung des Problems Die Entropieproduktionsraten m¨ussen f¨ur diesen Fall einer turbulenten Str¨omung u¨ ber den Umweg einer Bilanzierung nach Gleichung (3.44) der ein- und austretenden Entropiestr¨ome gefunden werden. ¨ Aufgrund der im Vergleich zur absolute Temperatur geringen Anderung der kalorischen Temperatur, kann die Differenz zwischen den diffusiv ein- und austretenden Entropiestr¨omen vernachl¨assigt ∗ werden (Terme ∆DS∗ und ∆TDS in Gleichung (3.44)). Da die Str¨omung zudem eine ausgepr¨agte Hauptstr¨omungsrichtung aufweist, kann weiterhin die Differenz zwischen den ein- und austretenden turbulenten Entropiestr¨omen vernachl¨assigt werden (Term ∆TT∗ S in Gleichung (3.44)). Mit diesen Einschr¨ankungen kann u¨ ber die Entropiebilanzgleichung (3.44) die Entropieproduktionsrate der turbulenten Rohrstr¨omung bestimmt werden: ∗ =m ˙ ∗ ds∗ − dSPRO

q˙w∗ πD ∗dx∗ , T ∗ + ∆T ∗

(5.5)

mit der spezifischen Entropie s∗ , der Wandw¨armestromdichte q˙w∗ , der thermodynamischen Mittel∗ temperatur des Rohrquerschnitts Tkal und der Temperaturdifferenz zwischen der thermodynamischen

5.1 Lokale Entropieproduktionsraten in Rohrstr¨omungen

113

∗ Mitteltemperatur des Rohrquerschnitts und der Wand ∆T ∗ = Tw∗ − Tkal . Mit der kanonischen Beziehung f¨ur inkompressible Fluide, siehe Gleichung (3.27)

ds∗ dh∗ 1 dp∗ = T∗ ∗ + ∗ ∗ dx∗ dx ρ dx

(5.6)

m ˙ ∗ dh∗ = q˙w∗ πD ∗ dx∗

(5.7)

und

kann Gleichung (5.5) u¨ ber den Rohrquerschnitt integriert werden und die spezifische Entropieproduktion pro L¨angeneinheit Rohr wird zu:  m ˙ ∗ dp∗ q˙w∗ πD ∗∆T ∗ ∗ , (5.8) dA∗ = − ∗ ∗ + ∗2 S˙ PRO ρ Tkal dx∗ Tkal (1 + τ ) A∗ ∗

mit der dimensionslosen Temperaturdifferenz τ = ∆T assigt man nun diese Temperatur∗ . Vernachl¨ Tkal differenz, also die Temperaturdifferenz zwischen Wand und Fluid bezogen auf die Mitteltemperatur, so wird Gleichung (5.8) zu:  m ˙ ∗ dp∗ q˙w∗ πD ∗∆T ∗ ∗ S˙ PRO dA∗ = − ∗ ∗ + . (5.9) ∗2 ∗ ρ T Tkal ∗ A kal dx Mit der Nußelt-Zahl Nu = q˙w∗ D ∗ /(λ∗ ∆T ∗ ) und dem Widerstandsbeiwert cf = 2 dp∗ /dx∗ ·D ∗ / (∗ u∗2 m) wird Gleichung (5.9) in einer Rohrstr¨omung zu:  8m ˙ ∗3 cf qw∗2 D ∗2 π ∗ dA∗ = − 2 ∗ ∗2 ∗5 + . (5.10) S˙ PRO ∗2 π Tkal ρ D λ∗ Tkal Nu A∗

  

 Entropieproduktionsrate durch Dissipation

Entropieproduktionsrate durch W¨armeleitung

Mit Hilfe von Gleichung (5.10) k¨onnen die u¨ ber einen Rohrquerschnitt integrierten Entropieproduktionsraten in einer beheizten turbulenten Rohrstr¨omung bestimmt werden, wenn empirische Gleichungen f¨ur die Nußelt-Zahl Nu und den Widerstandsbeiwert cf vorliegen. Die Gleichung (5.10) liefert die Entropieproduktionsraten pro L¨angeneinheit in W/mK. F¨ur den Fall einer hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeten Rohrstr¨omung liegen sehr gut dokumentierte empirische Gleichungen vor. Diese sind zum Beispiel [ Bird et al. 1960]: Nu = 0, 023 · Re0,8 Pr0,4 ,

(5.11)

cf = 0, 316 · Re−0,25 .

(5.12)

Somit ist die Formulierung der Berechnung der Entropieproduktionsraten aufgrund von Dissipation und W¨armeleitung auf der Basis empirischer Gleichungen abgeschlossen. Die Nachteile einer solchen Formulierung wurden bereits in Abschnitt 3.5.2 ausf¨uhrlich diskutiert. So k¨onnen durch Gleichung (5.10) die Entropieproduktionsraten durch molekulare und turbulente Effekte nicht unterschieden werden. Des Weiteren ist eine L¨osung der Gleichung nur m¨oglich, wenn empirische Daten f¨ur die Nußelt-Zahl und den Widerstandsbeiwert bekannt sind. Das ist im Allgemeinen nur f¨ur einfache Str¨omungsprobleme der Fall.

114

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

Numerische L¨osung des Problems In diesem Abschnitt soll die numerische L¨osung des Problems vorgestellt werden. Eine solche numerische L¨osung ist auf der Basis der in dieser Arbeit vorgestellten Modelle zur Entropieproduktionsberechnung und deren Implementierung in das kommerzielle CFD-Programmpaket CFX4.4 einfach zu realisieren. Durch eine in das CFD-Programmpaket CFX4.4 eingebundene FORTRAN-Routine k¨onnen in einem der Berechnung der Geschwindigkeits- Temperatur und Turbulenzfelder nachgeschalteten Postprozess in jedem finiten Volumen des diskretisierten Feldes lokale Entropieproduktionsraten nach den Gleichungen (SD ∗ ), (SW ∗ ), (SD ∗ ) und (SW ∗ ) berechnet werden. In dieser FORTRAN-Routine ist ebenfalls die Modifikation der Raten auf der Basis der Wandfunktionen (SDW ), (SW W ), (SD  W ) und (SW  W ) implementiert. Im Fall dieses konkreten Beispiels wird eine turbulenten beheizten Rohrstr¨omung von Wasser mit Hilfe des CFD-Programmpakets CFX4.4 berechnet. Die Stoffwerte k¨onnen der Tabelle 5.2 entnommen werden. Die turbulenten Zusatzterme werden auf der Basis des k − ε Turbulenzmodelles berechnet, siehe Abschnitte 4.2.1 und 4.2.2. Der Durchmesser des Rohres ist D ∗ = 0, 0127 m. Die mittlere Str¨omungsgeschwindigkeit betr¨agt u∗m = 7, 9 m/s. Damit ergibt sich eine Reynolds-Zahl von Re = 105 . Es wird eine konstante Wandw¨armestromdichte von q˙w∗ = 105 W/m2 aufgepr¨agt. Aus Gr¨unden der Vergleichbarkeit mit der empirischen L¨osung, Gleichung (5.10), werden an dieser Tabelle 5.2: Stoffwerte von Wasser η∗ 1002 · 106

∗ kg ms

998, 21 mkg3

λ∗ 598, 4 · 10−3

c∗p W mK

J 4181 kgK

Stelle nur die Ergebnisse in einem hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeten Bereich darge∗ = 305 K. Aus stellt. In diesem Rohrquerschnitt betr¨agt die thermodynamische Mitteltemperatur Tkal  ∗ der CFD-Rechnung erh¨alt man f¨ur die Schubspannungsgeschwindigkeit uτ = τw∗ /∗ in diesem ausgebildeten Bereich u∗τ = 0, 38 m/s und f¨ur die Reibungstemperatur Tτ∗ = −0, 063 K. Aus einer Auswertung der CFD-Daten ermittelt man die Temperatur an der Rohrwand in diesem Rohrquerschnitt als Tw∗ = 308, 6 K. Im Folgenden sollen f¨ur die beschriebene CFD-Rechnung die lokalen Entropieproduktionsraten dargestellt werden. Wie beschrieben erh¨alt man diese durch einfaches Auslesen der Daten ein einem Postprozess durch Einbindung einer FORTRAN-Routine. Diese Entropieproduktionsraten sollen hier wieder dimensionslos u¨ ber den entdimensionierten Rohrradius r dargestellt werden. Eine Entdimen∗2 sionierung soll, wie im Fall der laminaren Rohrstr¨omung in Abschnitt 5.1.1 mit λ∗ Tkal /q˙w∗2 vollzogen werden. Die Ergebnisse sind in der Abbildung 5.2 dargestellt. Der Abbildung kann entnommen wer-

5.1 Lokale Entropieproduktionsraten in Rohrstr¨omungen

0.25

0.25 CFD

CFD 0.2

SPRO, W

SPRO, D

0.2 0.15 0.1 0.05 0 0

0.15 0.1 0.05

0.2

0.4

r

0.6

0.8

0 0

1

0.4

r

0.6

0.8

1

0.4

r

0.6

0.8

1

CFD

CFD 0.04

SPRO, W′

0.04

SPRO, D′

0.2

0.05

0.05

0.03 0.02

0.03 0.02 0.01

0.01 0 0

115

0.2

0.4

r

0.6

0.8

1

0 0

0.2

Abbildung 5.2: Dimensionslose Entropieproduktionsraten in einer beheizten turbulenten Rohrstr¨omung als Funktion des Rohrradius. Auswertung von CFD-Rechnungen nach den Gleichungen (SD ∗ ), (SW ∗ ), (SD ∗ ) und (SW ∗ ), sowie der Wandfunktionen (SDW ), (SW W ), (SD  W ) und (SW  W ).

den, dass im Vergleich zu den Entropieproduktionsraten im Fall der laminaren Rohrstr¨omung in Abbildung 5.1 in dieser turbulenten Str¨omung der Hauptanteil der Entropieproduktion durch molekulare Effekte in unmittelbarer Wandn¨ahe entsteht. In der hier untersuchten Rohrstr¨omung ergibt sich aufgrund der Entdimensionierung f¨ur die Entropieproduktionsrate aufgrund von viskoser Dissipation an der Wand ein Wert von ∗2 ∗ ∗2 ∗ ∗ ∗2 S˙ PRO, D|w = u∗4 τ  λ Tkal / (Tw η q˙w ) = 0, 37. Dieser Wert wird in dem an der Wand liegenden Kontrollvolumen nicht erreicht, da in dieser Abbildung die mittleren Werte der finiten Kontrollvolumina dargestellt sind, siehe auch die Ausf¨uhrungen in Abschnitt 4.4. Aufgrund der Entdimensionierung ergibt sich auch in der turbulenten Rohrstr¨omung f¨ur die Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung an der Wand ein Wert von S˙ PRO, W |w = 1. In der Auswertung der Abbildung 5.2 wird dieser Wert in dem an der Wand liegenden Kontrollvolumen nicht erreicht, da es sich bei diesem Wert bereits um die mittlere Entropieproduktionsrate in dem an der Wand liegenden finiten Volumen handelt, siehe auch die Ausf¨uhrungen in Abschnitt 4.4. Unter den gegebenen Randbedingungen zeigt sich, dass in dieser turbulenten Rohrstr¨omung die

116

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

Entropieproduktionsraten durch turbulente Effekte etwa gleiche Gr¨oßenordnungen aufweisen wie die entsprechenden Raten durch molekulare Effekte.

Vergleich der L¨osungen Ein Vergleich der Auswertung der CFD-Daten und der empirischen L¨osung, Gleichung (5.10), ist nur f¨ur die u¨ ber einen Rohrquerschnitt integrierten Werte m¨oglich. Die vorgestellte Art der Entropieproduktionsberechnung erm¨oglich aber nicht zuletzt durch die Einf¨uhrung geeigneter Wandfunktionen eine einfache Integration der CFD-Daten. In der Tabelle sind die u¨ ber den Rohrquerschnitt integrierten Werte der CFD-Rechnung eingetragen. Zum Vergleich sind die Werte der empirischen L¨osung nach Gleichung (5.10) dargestellt. ¨ Ein Vergleich der Daten zeigt gute Ubereinstimmung in den Entropieproduktionsraten durch Dissipation und W¨armeleitung. Die Annahmen in der Herleitung der empirischen L¨osung (5.10) erweisen sich f¨ur diesen Fall also als gerechtfertigt. Des Weiteren konnte in dieser Beispielrechnung gezeigt werden, dass durch die Anwendung der in dieser Arbeit erstellten Modelle und deren Implementierung in eine FORTRAN-Routine auf sehr einfache Weise lokale Entropieproduktionsraten in turbulenten Str¨omungen bestimmt werden k¨onnen. Im Laufe dieses Beispieles hat sich gezeigt, dass eine solche Berechnung auf der Basis bekannter CFD-Daten weniger Schwierigkeiten bereitet als etwa eine Berechnung durch empirische Gleichungen, welche dem betrachteten Fall entsprechend angepasst werden m¨ussen und unter Umst¨anden bei komplexen Str¨omungen problematisch sein k¨onnen. Tabelle 5.3: Entropieproduktionsraten pro L¨angeneinheit, Auswertung von CFDDaten und empirische L¨osung nach Gleichung (5.10)  A∗

CFD

Gleichung (5.10)

5.2

∗ dA∗ S˙ PRO, D

0,095 W/mK

 A∗

∗ ∗ S˙ PRO, D  dA

0,088 W/mK

 A∗

∗ dA∗ S˙ PRO, W

0,153 W/mK

 A∗

∗ ∗ S˙ PRO, W  dA

0,056 W/mK

= 0,18 W/mK

= 0,21 W/mK

0,15 W/mK

0,19 W/mK

Optimierungsprobleme

In den vorangegangenen beiden Beispielen konnte gezeigt werden, dass mit Hilfe der entwickelten Modelle und deren Implementierung in eine FORTRAN-Routine des kommerziellen CFD-Programmes

5.2 Optimierungsprobleme

117

CFX4.4 auf einfache Weise in einem Postprozess lokale Entropieproduktionsraten in laminaren und turbulenten Str¨omungen berechnet und eindeutig identifiziert werden k¨onnen. Die folgenden beiden Beispiele sollen abschließend verdeutlichen, wie diese Entropieproduktionsraten zur Bewertung von W¨arme¨ubergangsprozessen herangezogen werden und als sehr einfaches und anschauliches Werkzeug zur Optimierung verwendet werden k¨onnen.

5.2.1 Turbulente Rohrstr¨omung Bei diesem Beispiel handelt es sich wieder um eine ausgebildete turbulenten Rohrstr¨omung mit konstanter Wandw¨armestromdichte. In diesem Fall soll jedoch nicht nur eine Rechnung sondern eine Reihe von Rechnungen bei verschiedenen Geometrien untersucht werden. Ziel dieser Optimierung soll sein, f¨ur eine gegebene Liste von Randbedingungen eine optimale Geometrie zu bestimmen, bei welcher die gesamte Entropieproduktionsrate in der Str¨omung minimal wird. Zur L¨osung dieses Problems kann wieder die L¨osungen auf der Basis von empirischen Gleichungen f¨ur den Druckverlust und den W¨arme¨ubergang, Gleichung (5.10), verwendet werden. Diese empirischen L¨osungen sollen wieder mit den Ergebnissen von einer Reihe von CFD-L¨osungen verglichen werden.

Problemstellung Dieses erste Optimierungsproblem soll an dem Beispiel einer einfachen Geometrie angewandt werden. Da bereits im letzten Beispiel die turbulenten Rohrstr¨omung untersucht wurde, soll der in Abbildung 5.3 skizzierte Fall im Hinblick auf die Entropieproduktion untersucht werden.

. 2 q*w=100 000 W/m

. m* =1 kg/s

u*

T* *

D

L* Tkal* 1=300 K

Tkal* 2=310 K Abbildung 5.3: Problemstellung

118

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

In diesem Problem soll 1 kg/s Wasser in einem zylindrischem Rohr von 300 K auf 310 K erhitzt werden. Hierbei steht eine konstante Wandw¨armestromdichte von q˙w∗ = 100 000 W/m2 zur Verf¨ugung. Die Str¨omung sei hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildet. Aufgrund der gegebenen Randbedingungen ist die w¨arme¨ubertragende Fl¨ache π D ∗ L∗ festgelegt. Der Durchmesser D ∗ und die Rohrl¨ange L∗ sind in diesem Problem nicht bestimmt. Die Ermittlung eines optimalen Durchmessers soll hier auf Basis einer Second Law Analysis geschehen. Man kann sich leicht vorstellen, dass durch ein langes Rohr mit kleinem Durchmesser die Temperaturgradienten in Wandn¨ahe verringert werden. Damit sinkt die Entropieproduktionsrate aufgrund von W¨armeleitung. In dem Maße, in dem der Durchmesser aber verringert wird, steigt aufgrund des vorgegebenen Massenstroms der Druckverlust und damit die Entropieproduktionsrate aufgrund von Dissipation von kinetischer Energie. In der Summe soll nun der Durchmesser gefunden werden, bei welchem die gesamte Entropieproduktionsrate minimal wird. In [ Bejan 1996] findet sich genau das hier beschriebene Beispiel wieder. Das Ergebnis soll hier noch einmal kurz dargestellt werden.

Empirische L¨osung des Problems Bei diesem Beispiel kann zur Berechnung der Entropieproduktionsraten wieder die Gleichung (5.10) herangezogen werden, da in diesem Fall dieselben Vereinfachungen gemacht werden k¨onnen, siehe dazu auch die Ausf¨uhrungen in Abschnitt 5.1.2. Zur L¨osung dieses Optimierungsproblems muss die Gleichung (5.10) nur u¨ ber die Rohrl¨ange integriert werden, um die gesamte Entropieproduktionsrate in dem Rohrabschnitt zu erhalten:  ∗  8m ˙ ∗4 c∗p cf Tkal 2 q˙∗2 D ∗2 πL∗ ∗ S˙ PRO dV ∗ = − 3 ∗2 ∗6 ∗ · ln . (5.13) + ∗ w ∗ ∗ ∗ π ρ D q ˙ T λ Nu Tkal 1 Tkal ∗ V w kal 1 2 F¨ur die Nußelt-Zahl Nu und dem Widerstandsbeiwert cf k¨onnen wieder die empirischen Gleichungen (5.11) und (5.12) eingesetzt werden. Bei bekannter Reynolds-Zahl Re = u∗m D ∗ /ν ∗ kann aus Gleichung (5.13) unter den bekannten Randbedingungen die gesamte Entropieproduktionsrate der turbulenten Rohrstr¨omung in dem untersuchten Rohrabschnitt bestimmt werden. In der Abbildung 5.4 ist dieses Ergebnis dargestellt. Der Abbildung kann entnommen werden, dass die Entropieproduktionsrate aufgrund von W¨armeleitung bei steigenden Reynolds-Zahlen abnimmt. Dieses Ph¨anomen entspricht den Vor¨uberlegungen dieses Abschnittes. Gr¨oßere Reynolds-Zahlen bedeuten unter den gegebenen Randbedingungen l¨angere Rohre mit kleineren Durchmessern. Dementsprechend nimmt die Entropieproduktionsrate durch Dissipation bei steigenden Reynolds-Zahlen zu. Ein Minimum in der Entropieproduktion kann bei einer Reynolds-Zahl von etwa Re = 80 000 beobachtet werden.

Numerische L¨osung des Problems Im Folgenden sollen, die bereits entwickelten Modelle zur Entropieproduktionsberechnung in turbulenten Str¨omungen auf das geschilderte Optimierungsproblem angewandt werden. Es werden numerische Berechnungen der hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeten turbulenten Rohrstr¨omung f¨ur sieben Reynolds-Zahlen erstellt. Durch das Einbinden der FORTRAN-Routine in das

5.2 Optimierungsprobleme

119

3

10

2

10

1

*

∫ SPRO dV in W/K

10

0

*

10

−1

10

S*PRO, D + S*PRO, w S* PRO, D S*PRO, W

−2

10

−3

10

3

10

Re

opt

4

5

10

10

≈ 80 000

6

10

Re

Abbildung 5.4: Optimale Reynolds-Zahl einer beheizten turbulenten Rohrstr¨omung durch Auswertung von Gleichung (5.13)

kommerzielle CFD-Programm CFX4.4 k¨onnen die lokalen Entropieproduktionsraten f¨ur alle sieben Simulationen bestimmt werden. Aufgrund der entwickelten Wandfunktionen und deren Implementierung in die FORTRAN-Routine ist es auf einfache Weise m¨oglich die integralen Entropieproduktionsraten im gesamten betrachteten Str¨omungsgebiet zu bestimmen.

Vergleich der L¨osungen In der Abbildung 5.5 sind die gesamte Entropieproduktion aus der Auswertung der CFD-Rechnung und der empirischen L¨osung nach Gleichung (5.13) aufgetragen. Der Abbildung kann entnommen ¨ werden, dass f¨ur mittlere und hohe Reynolds-Zahlen beide Ergebnisse eine sehr gute Ubereinstimmung aufweisen. Insbesondere liegt bei beiden L¨osungen das Minimum der Entropieproduktion bei einer Reynolds-Zahl von etwa Re = 80 000. Bei kleinen Reynolds-Zahlen liegt die empirische L¨osung bis zu einer Gr¨oßenordnung u¨ ber der numerischen L¨osung. Aufgrund der relativ großen finiten Kontrollvolumen an der Rohrwand bei kleinen Reynolds-Zahlen (siehe Abschnitt 4.5) sind die Fehler f¨ur die Wandfunktionen der numerischen L¨osung bei kleinen Reynolds-Zahlen am gr¨oßten. Zum anderen wird in der empirischen L¨osung der Temperaturdifferenz zwischen Wand und Fluid vernachl¨assigt. Das ist bei kleinen Reynolds-Zahlen nicht mehr zul¨assig. Wie man Gleichung (5.8) entnehmen kann, wird die Entropieproduktion geringer, wenn diese Temperaturdifferenz in Betracht gezogen wird.

120

Anwendungs- und Simulationsbeispiele 3

10

Bejan CFD Modellgleichungen

∫ S*PRO d V*

2

10

1

10

0

10 3 10

4

5

10

10

6

10

Re

Abbildung 5.5: Vergleich der numerischen und empirischen L¨osung Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die vorgestellten Modelle und deren Implementierung in eine FORTRAN-Routine zur Berechnung mit dem kommerziellem CFD-Programmpaket CFX4.4 zur Berechnung der Entropieproduktion in turbulenten Str¨omungen mit speziellen Wandfunktionen f¨ur die Entropieproduktion sehr gut geeignet sind, um lokale Entropieproduktionsraten in turbulenten Str¨omungen zu berechnen. Insbesondere eine Ermittlung globaler Entropieproduktionsraten ist durch die verwendeten Modelle auf der Basis einer finiten Volumendiskretisierung des Str¨omungsfeldes unter Ber¨ucksichtigung von Wandfunktionen auf einfache Weise m¨oglich und zeigt im Vergleich mit empirischen L¨osungen nahezu identische Ergebnisse.

5.2.2 Turbulente Rohrstr¨omung mit Wendel Nachdem die Anwendbarkeit der entwickelten Modelle zur Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten f¨ur Optimierungsprobleme der W¨arme¨ubertragung im vorangegangenen Abschnitt f¨ur ein Beispiel mit einfachen Geometrie- und Str¨omungsbedingungen erfolgreich eingesetzt werden konnte, soll dieses nun folgende abschließende Anwendungsbeispiel weitere Vorteile der in dieser Arbeit entwickelten Modelle aufzeigen. Mit den entwickelten Modellen und deren Implementierung in eine FORTRAN-Routine k¨onnen lokale Entropieproduktionsraten in beliebig komplexen Str¨omungen und komplizierten Geometrien berechnet werden. Die einzige Einschr¨ankung f¨ur die Anwendbarkeit dieser FORTRAN-Routine ist, dass die turbulenten Zusatzterme in dem zu untersuchenden Str¨omungsund Temperaturfeld erfolgreich mit dem k − ε Turbulenzmodell berechnet werden k¨onnen.

5.2 Optimierungsprobleme

121

Problemstellung Das abschließende Optimierungsproblem soll also ein Beispiel mit komplexer Geometrie und komplexer dreidimensionaler turbulenter Str¨omung sein. Als Weiterf¨uhrung der bisher vorgestellten Beispiele soll wieder eine Rohrstr¨omung untersucht werden. Um diese beiden Anforderungen in Einklang zu bekommen, wird die Optimierung einer turbulenten Rohrstr¨omung mit Wendel untersucht. Diese Rohrwendel ist ein in der Technik weit verbreitetes Mittel, um den W¨arme¨ubergang zu verbessern. Dazu wird in ein Rohrst¨uck mittig ein verdrilltes Band eingebracht, um der Str¨omung einen Drall aufzupr¨agen, siehe Abbildung 5.6. Durch das verdrillte Band erh¨oht sich der Impuls10

D*

L=* 15 .5 D

*

q* w

2D

*

Abbildung 5.6: Beheizte Rohrstrecke mit Rohrwendel austausch senkrecht zur Hauptstr¨omungsrichtung. Dadurch wird der Transport von warmem Fluid von der beheizten Wand in den Hauptstrom gef¨ordert. Dies hat zur Folge, dass die Wand-Fluid∗ Temperaturdifferenz ∆T ∗ = Tw∗ −Tkal sinkt. Dadurch steigt die Nußelt-Zahl Nu= (q˙w∗ D ∗ )/(λ∗∆T ∗ ). Das Einbringen einer Rohrwendel hat damit einen verbesserten W¨arme¨ubergang zur Folge. Aufgrund der Erh¨ohung des Impulsaustausches vergr¨oßert sich jedoch auch immer der Druckverlust, siehe dazu auch die Anmerkungen in Abschnitt 2.2.2. Alle Maßnahmen zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges ziehen immer einen gr¨oßeren Druckverlust nach sich. Bei dem gew¨ahlten Beispiel handelt es sich also um ein klassisches Optimierungsproblem: Wie stark muss der Band verdrillt sein, damit der W¨arme¨ubergang und der Druckverlust im Zusammenspiel eine thermodynamisch optimale Konfiguration abgeben? Aus den einleitenden Bemerkungen dieser Arbeit im Abschnitt 2.3 wird deutlich das dieses Problem sehr anschaulich durch die Berechnung der Entropieproduktionsraten, also durch eine Second Law Analysis gel¨ost werden kann. Durch

122

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

diesen Ansatz werden die Gr¨oßen besserer W¨arme¨ubergang und Druckverlust auf eine gemeinsame Gr¨oße gebracht, und es kann ein thermodynamisches Optimum, welches mit der geringsten Entropieproduktion definiert sei, gefunden werden.

Stand der Technik [ Oulette und Bejan 1980] haben mit Hilfe von N¨aherungsl¨osungen den Fall der Entropieproduktionsberechnung in Rohren mit Turbulenzgeneratoren, wie verdrillten B¨andern, untersucht. Sie haben ∗ ˙∗ als Bewertungskriterium die Vergr¨oßerungs-Entropieproduktionszahl NS,a = S˙ PRO, a /SPRO, 0 eingef¨uhrt. Diese setzt die Entropieproduktion einer Konfiguration mit Maßnahmen zur Verbesserung des W¨arme¨ubergangs in das Verh¨altnis zu der Entropieproduktion in der originalen (unverbesserten) Konfiguration. Eine Vergr¨oßerungs-Entropieproduktionszahl von kleiner als eins bedeutet, dass die Konfiguration mit Maßnahmen zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges thermodynamisch vorteilhaft ist und im Vergleich zu der originalen Konfiguration Exergie einspart. [ Oulette und Bejan 1980] haben ermittelt, dass NS,a im Fall des W¨arme¨ubergangs in Rohren mit verdrillten B¨andern haupts¨achlich von dem Irreversibilit¨ats-Verteilungsverh¨altnis der originalen Konfiguration ∗ ˙∗ angt. F¨ur alle F¨alle, in denen Φ0 < 0, 25 gilt, ist das Einbringen von Φ0 = S˙ PRO, D /SPRO, W abh¨ verdrillten B¨andern in das Rohr von Vorteil. Das Verh¨altnis Φ0 selber h¨angt stark von den Randbedingungen Massen- und Wandw¨armestromdichte ab. Geht Φ0 gegen Null, wird also weitaus mehr Entropie durch den W¨arme¨ubergang produziert, so sind st¨arkere Verdrillungen vorteilhaft. Das ist insofern einleuchtend, als dass dadurch der Impuls- und Energieaustausch erh¨oht wird und somit die Temperaturgradienten in der Str¨omung sinken, was mit einer Verkleinerung der Entropieproduktionsrate einhergeht. Sobald Φ0 einen gewissen, nicht n¨aher genannten Wert u¨ berschreitet, spielt die Dissipation eine wichtigere Rolle und eine geringere Verdrillung des Bands ist von Vorteil. [ Oulette und Bejan 1980] haben aus der Nußelt-Zahl und dem Druckverlust, welche aus Messungen bestimmt wurden, die Vergr¨oßerungs-Entropieproduktionszahl n¨aherungsweise ermitteln k¨onnen. Es konnten keine lokalen Aussagen u¨ ber die Entropieproduktionsraten gemacht werden. Mit Hilfe der in der vorliegenden Arbeit entwickelten Modellgleichungen, ist man nun aber in der Lage, auch f¨ur diese komplizierte turbulente Str¨omung lokale Entropieproduktionsraten zu ermitteln. Diese k¨onnen u¨ ber das gesamte betrachtete Kontrollvolumen integriert werden und somit als Bewertungskriterium dienen. Durch Darstellungen der lokalen Entropieproduktion k¨onnen zudem hilfreiche Informationen u¨ ber das Zusammenspiel von W¨arme¨ubergang und Druckverlust gefunden werden, so dass weitere Aussagen u¨ ber die G¨ute der Konfiguration gefunden werden k¨onnen. Das im Folgenden vorgestellten Anwendungsbeispiel lehnt sich an eine Studie von [ Zhang et al. 1997] an. In dieser Studie werden der W¨arme¨ubergang und der Druckverlust in einem Rohr mit einer Reihe von Rohrwendeln experimentell ermittelt. Die Messungen werden an einem Rohr mit einem Durchmesser von D ∗ = 25, 4 mm durchgef¨uhrt. Die Teststrecke besteht aus einem L∗ = 15, 5 · D ∗ = 393, 7 mm langem elektrisch beheiztem Rohr. Durch Einbringen von Isolationsmaterial wird die axiale W¨armeleitung in der Teststrecke minimiert. In der Teststrecke wird in axialer

5.2 Optimierungsprobleme

123

Richtung an 10, in Umfangsrichtung an jeweils 4 Stellen der Druckverlust und die Wandtemperatur gemessen (insgesamt 40 Messstellen). Vor der Teststrecke befindet sich ein Str¨omungsgleichrichter und eine Einlaufstrecke mit einer L¨ange von 10 Rohrdurchmessern. Bei dem Fluid handelt es sich um Luft.

Numerische L¨osung des Problems In Anlehnung an diesen Versuchsaufbau von [ Zhang et al. 1997] werden mit dem CFD-Programmpaket CFX4.4 eine Reihe von Simulationen bei verschiedenen Geometrierandbedingungen durchgef¨uhrt. Der zu optimierende Parameter der Studie ist die Anzahl der 360◦ -Verdrillungen der Wendel auf der beheizten Rohrstrecke. Hierzu wird der dimensionslose Parameter D ∗ /L∗w eingef¨uhrt, wobei es sich bei D ∗ um den (konstanten) Rohrdurchmesser und bei L∗w um die axiale L¨ange einer 360◦ -Verdrillung der Rohrwendel handelt. Neben Rechnungen mit verschiedenen Verdrillungen der Wendel wird eine reine Rohrstr¨omung ohne Wendel berechnet. In diesem Fall sei der Parameter D ∗ /L∗w = 0. Je gr¨oßer der Parameter D ∗ /L∗w wird, desto st¨arker ist die Rohrwendel verdrillt. In allen Simulationen gelten die konstanten Stoffwerte von Luft nach Tabelle 5.4. Die Luft tritt mit einer mittleren Str¨omungsgeschwindigkeit von u∗m = 31, 75 m/s und einer Temperatur von 298,15 K in ein Rohr mit einem Durchmesser von D ∗ = 25.4 mm ein. Die Reynolds-Zahl betr¨agt somit Re = 51 000. Nach einer Rohrl¨ange von 10 Durchmessern ist in die Mitte des Rohres eine Wendel eingebracht. An dieser Stelle gilt die Haftbedingung f¨ur die Geschwindigkeiten und adiabate Randbedingung f¨ur die Temperatur. Die L¨ange des Rohrst¨uckes mit verdrilltem Band betr¨agt 15,5 Durchmesser. Der Auslass folgt nach einer L¨ange von zwei Durchmessern, welcher durch eine konstante Druck-Randbedingung (Null-Gradient f¨ur alle anderen Gr¨oßen) abgebildet ist. Auf der Rohrstrecke, in der sich das verdrillte Band befindet wird eine konstante Wandw¨armestromdichte von q˙w∗ = 8 200W/m2 aufgepr¨agt. An allen anderen W¨anden gelten adiabate Randbedingungen. Alle Rand-, Prozess- und Geometrie-Bedingungen werden bis auf die Anzahl der 360◦ -Verdrillungen der Rohrwendel auf der Heizstrecke konstant gehalten. Es werden insgesamt 12 Rechnungen durchgef¨uhrt, wobei die Anzahl der 360◦ -Verdrillungen der Wendel auf der Rohrstrecke von einer auf sechs 360◦ -Umdrehungen erh¨oht wird. Des weiteren wird eine Rechnung ohne Rohrwendel durchgef¨uhrt. Dies sei der Fall 0“ ohne Optimierungsmaßnahme, also eine klassische turbulente beheizte ” Rohrstr¨omung. F¨ur jeden Fall werden die vier identifizierten Entropieproduktionsursachen im beTabelle 5.4: Stoffwerte von Luft ν∗

∗ 2

1, 58 · 10−5 ms

1, 1685 mkg3

λ∗ 26, 06 · 10−3

c∗p W mK

J 1007 kgK

heizten Teil des Berechnungsfeldes u¨ ber das Volumen integriert. Der Druckverlust wird nur u¨ ber den

124

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

beheizten Teil des Berechnungsfeldes (der Teil in dem sich die Wendel befindet befinden) ermittelt. ∗ ˙∗ F¨ur den Fall 0“ ergibt sich als Irreversibilit¨ats-Verteilungsverh¨altnis Φ0 = S˙ PRO, D /SPRO, W = ” 0, 0731. Nach den Betrachtungen in der Arbeit von [ Oulette und Bejan 1980] kann das Einbringen von Rohrwendeln also von Vorteil sein.

Ergebnisse Im Folgenden sollen die Ergebnisse der Analyse von CFD-Daten dieser Parameterstudie vorgestellt werden. Die CFD-Studien werden mit dem kommerziellen CFD-Programmpaket CFX 4.4 erstellt, wobei zur Berechnung der Entropieproduktionsraten wieder die entwickelte FORTRAN-Routine eingebunden wird. Die in den CFD-Rechnungen ermittelten konventionellen Bewertungskriterien, also W¨arme¨ubergang und Druckverlust, werden mit Messdaten von [ Zhang et al. 1997] verglichen.

W¨armeubergang ¨ und Druckverlust Aufgrund der komplexen Str¨omungsverh¨altnisse in diesem Anwendungsbeispiel ergeben sich lokal stark variierende Wandschubspannungen und Wandtemperaturen. Um aus diesen Werten globale Aussagen u¨ ber den Druckverlust und den W¨arme¨ubergang zu erhalten, werden in der Analyse der CFD-Daten aus diesen lokalen Werten durch arithmetische Mittelwertbildung globale Nußelt-Zahlen Nu und Widerstandsbeiwerte cf ermittelt: q˙∗ D ∗ 1  ∗i  , ∗ ∗ i i λ Tw, i − Tkal, i 1 1 dp∗i . cf = i i dx∗i 0, 5 ∗ u∗2 m

Nu =

(5.14) (5.15)

In der Abbildung 5.7 sind diese globalen Nußelt-Zahlen Nu und Widerstandsbeiwerte cf bezogen auf die entsprechenden Werte einer ausgebildeten turbulenten beheizten Rohrstr¨omung aus den Analysen der CFD-Daten und den Messungen von [ Zhang et al. 1997] aufgetragen. Der Abbildung kann entnommen werden, dass sowohl die Nußelt-Zahlen als auch die Widerstandsbeiwerte der CFD¨ Daten und der Messungen eine gute Ubereinstimmung zeigen. Die Nußelt-Zahlen der Messungen von [ Zhang et al. 1997] weisen f¨ur die betrachteten Versuche eine h¨ohere Steigung bei Verst¨arkung der Verdrillung der Wendel auf. Dies kann durch die Schwierigkeit, der Einhaltung der thermischen Randbedingung einer konstanten Wandw¨armestromdichte im Versuch erkl¨art werden. Insbesondere f¨allt auf, dass beide bezogenen Gr¨oßen f¨ur den Fall D ∗ /L∗w = 0 (keiner Rohrwendel) Werte sehr nahe bei Eins aufweisen. Die Str¨omung kann in diesem Fall als nahezu ausgebildet angesehen werden. Bei der Betrachtung von Abbildung 5.7 wird das große Problem konventioneller Bewertungskriterien auf der Basis von Nußelt-Zahl und Druckverlust wieder anschaulich: Sowohl die Nußelt-Zahl als auch der Druckverlust steigen mit gr¨oßer werdenden Parameter D ∗ /L∗w stetig an und es kann aus der alleinigen Betrachtung von Abbildung 5.7 nicht entschieden werden, welche geometrische

5.2 Optimierungsprobleme

125

1.8 1.7

10 CFD Zhang et al, 1997

9

CFD Zhang et al, 1997

8

1.6

7

cf / cf 0

Nu / Nu

0

1.5 1.4 1.3

5 4

1.2

3

1.1 1 0

6

2 0.05

0.1

0.15

*

0.2

D / L*w

0.25

0.3

0.35

0.4

1 0

0.05

0.1

0.15

*

0.2 *

0.25

0.3

0.35

0.4

D / Lw

Abbildung 5.7: Bezogene Nußelt-Zahlen und Widerstandsbeiwerte als Funktion des Verdrillungsparameters D ∗ /L∗w der Rohrwendel. Ergebnisse aus CFD-Berechnungen und Messungen von [ Zhang et al. 1997]. Nu0 = 0, 023 Re0,8 Pr0,4 , cf 0 = 0.316 Re−0.25

Ausf¨uhrung eine optimale Konfiguration darstellt. So erreicht bei D ∗ /L∗w = 0, 37 (sechs 360◦ Verdrillungen auf der Rohrstrecke) die Nußelt-Zahl einen Wert, der das etwa 1,7fache des Wertes des Referenzfalls ohne Rohrwendel entspricht. In diesem Fall betr¨agt der Druckverlust das etwa neunfache des Rohrst¨uckes ohne Turbulenzgenerator. Mit diesem Vergleich kann ohne ein eindeutiges Bewertungskriterium zun¨achst keine Aussage u¨ ber die G¨ute der Maßnahme zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges getroffen werden. Deshalb soll an dieser Stelle wieder die Entropieproduktionsrate als Bewertungskriterium herangezogen werden.

Entropieproduktionsraten Durch die Einbindung einer FORTRAN-Routine k¨onnen f¨ur alle zw¨olf vorgestellten Geometrien die lokalen Entropieproduktionsraten bestimmt werden. Aufgrund der Formulierung der Modellgleichungen in der finiten Volumenmethode und insbesondere durch die in Abschnitt 4.5.7 vorgestellten Wandfunktionen k¨onnen diese lokalen Entropieproduktionsraten u¨ ber das gesamte Str¨omungsgebiet integriert werden: Die lokalen Raten werden u¨ ber die Rohrstrecke integriert, indem der Wert einer lokalen Entropieproduktionsrate mit dem entsprechenden Volumen des finiten Volumens multipliziert und u¨ ber alle finiten Volumen aufsummiert wird. Mit Hilfe der Modellgleichungen und deren Implementierung in eine FORTRAN-Routine kann somit f¨ur beliebige Geometrien, die Entropieproduktionsrate einer nicht ausgebildeten Str¨omung ermittelt werden, ohne a priori Kenntnisse u¨ ber den W¨arme¨ubergang oder den Druckverlust in Form von empirischen Gleichungen zu besitzen. ∗ In der Abbildung 5.8 ist diese globalen Entropieproduktionsraten S˙ PRO, , bezogen auf die Entro-

126

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

∗ pieproduktionsrate einer Rohrstrecke ohne Rohrwendel S˙ PRO, oßerungs-Entropie0 , also die Vergr¨ produktionszahl NS,a, aufgetragen. Die Entropieproduktionsrate sinkt zun¨achst mit steigender Ver-

1.06 CFD

NS,a=S*PRO, i / S*PRO, 0

1.04 1.02 1 0.98 0.96 0.94 0.92 0

0.05

0.1

0.15

0.2

D* / L*

0.25

0.3

0.35

0.4

w

Abbildung 5.8: Entropieproduktionsraten in der Rohrstrecke u¨ ber dem Optimierungsparameter D ∗ /L∗w . drillung der Rohrwendel um bei etwa D ∗ /L∗w = 0, 19 (das entspricht etwa drei 360◦ -Verdrillungen auf der Rohrstrecke) ein Minimum von NS,a = 0, 93 zu erreichen. Bei der Verwendung von zweieinhalb 360◦ -Verdrillungen auf einer L¨ange von 15,5 Durchmessern werden bei diesen hydrodynamischen und thermischen Randbedingungen (Massenstrom, Wandw¨armestromdichte, Fluideigenschaften) 7,5% weniger Entropie produziert, was nach dem Gouy-Stodola Theorem gleichbedeutend mit einer Einsparung von 7,5% Exergie ist. Steigt der Parameter D ∗ /L∗w ausgehend von diesem Punkt weiter an, so spielt die Entropieproduktionsrate durch Dissipation eine immer st¨arker werdende Rolle und die Entropieproduktionsrate steigt und erh¨alt ab etwa D ∗ /L∗w = 0, 3 (also etwa f¨unf 360◦ -Verdrillungen auf der Rohrstrecke) Werte, welche u¨ ber denen der Rohrstrecke ohne Wendel liegen. Ab f¨unf 360◦ -Verdrillungen auf einer L¨ange von 15,5 Durchmessern ist die Maßnahme zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges im Sinne der Optimierung thermodynamisch nicht mehr vorteilhaft. Durch die erh¨ohte Dissipation wird in diesem Fall mehr Entropie produziert als durch die verbesserte W¨arme¨ubertragung eingespart wird. In Abschnitt 3.5.2 wurden die Vorteile einer lokalen Entropieproduktionsberechnung im Vergleich zu einer globalen Bilanzierung eingehend dargelegt. An dieser Stelle soll an dem betrachteten Beispiel noch einmal deutlich gemacht werden, dass eine globale Bilanzierung nach Gleichung (3.44) in komplexen turbulenten Str¨omungen schwierig ist und Vereinfachungen, welche etwa bei der ausge-

5.2 Optimierungsprobleme

127

bildeten turbulenten Rohrstr¨omung in Abschnitt 5.2.1 gemacht wurden, nicht zul¨assig sind. Die Entropieproduktionsrate der untersuchten Rohrstrecke kann in einer globalen Bilanz nach Gleichung (3.44) wie folgt ermittelt werden:    ∗ ∗ dV ∗ = m ˙ ∗ (s∗2 − s∗1 ) − A∗ ∆TT∗ S − DS∗ dV ∗ − TDS dV ∗ . (5.16) S˙ PRO V∗

V∗

V∗

Die Differenz aus den konvektiv ein- und austretenden Entropiestr¨omen kann unter Anwendung des idealen Gasgesetzes wie folgt beschrieben werden:  T∗ p∗ ˙ ∗ c∗p ln 2∗ − R∗ ln 2∗ . (5.17) m ˙ ∗ (s∗2 − s∗1 ) = m T1 p1 Im Anwendungsbeispiel der ausgebildeten turbulenten beheizten Rohrstr¨omung in Abschnitt 5.2.1 wurde die Differenz aus den u¨ ber die Ein- und Austrittsquerschnitte fließenden diffusiven Entropietransportstr¨ome und des turbulenten Entropietransportes vernachl¨assigt. Der verbleibende diffusive Entropiestrom war nur der molekular mit der Wandw¨armestromdichte q˙w∗ in das Fluid eintretende Entropiestrom. Werden auch f¨ur dieses Anwendungsbeispiel diese Vereinfachungen gemacht, so erh¨alt man folgende N¨aherungsgleichung zur Bestimmung der globalen Entropieproduktionsrate:    q˙w∗ T∗ p∗ ∗ S˙ PRO dV ∗ = m ˙ ∗ c∗p ln 2∗ − R∗ ln 2∗ − dA∗ . (5.18) ∗ T p T ∗ ∗ V Aw w 1 1 Gleichung (5.18) erm¨oglicht keine Identifizierung der Entropieproduktionsursachen. Durch folgende Annahme k¨onnen auch diesbez¨uglich Aussagen gemacht werden [ Baehr 2002]: Diese Annahme beruht auf einer eindimensionalen Betrachtungsweise, in der angenommen wird, dass die Wandw¨armestromdichte nicht bei der lokalen Wandtemperatur Tw∗ in das Fluid eintritt, sondern bei der (lokalen) thermodynamischen Mitteltemperatur. Der damit eintretende Entropiestrom ist  ∗ damit gr¨oßer als A∗ Tq˙w∗ dA∗ , denn er enth¨alt zus¨atzlich die Entropieproduktion aufgrund des Tempew w raturgef¨alles in der Wandschicht, siehe Abbildung 5.9. In dieser Betrachtungsweise wird dieser Teil

T* * Tkal

11 00 00 11 * 00 Tw11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 11 00 * * 11 T(r) 11 00 00 11 00 r* 11

dQ*

Abbildung 5.9: Temperaturprofil in einem Fluid im Kanalquerschnitt bei W¨armezufuhr u¨ ber die Kanalwand

128

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

des gesamten Entropieproduktionsstromes als von außen transportierte Entropie aufgefasst. Die in der Bilanzgleichung (5.18) auftretende Entropieproduktionsrate enth¨alt in guter N¨aherung dann nur ¨ noch die durch Dissipation erzeugte Entropie. Mit dieser Uberlegung und ihrer Anwendung auf die Bilanz (5.18) k¨onnen die Entropieproduktionsraten nach ihrer Ursache identifiziert werden: 

∗

p ∗ ∗ S˙ PRO, ˙ ∗ R∗ ln 2∗ , D dV = −m p1 V∗   ∗ q˙w∗ ∗ ∗ ∗ ∗ T2 ˙ SPRO, W dV = m ˙ cp ln ∗ − dA∗ . ∗ T T ∗ ∗ V Aw w 1

(5.19) (5.20)

Durch Addition der Gleichungen (5.19) und (5.20) erh¨alt man die gesamte Entropieproduktionsrate nach Gleichung (5.18). In der Abbildung sind die Ergebnisse der Auswertungen von CFD-Daten auf der Basis der eindimensionalen globalen Bilanzierung nach (5.19) und (5.20) zusammen mit den integrierten Werten der lokalen Entropieproduktionsraten der CFD-L¨osung aufgetragen. Bei diesen Integrationen ∗ ∗ werden die molekularen und turbulenten Entropieproduktionsursachen (S˙ PRO, + S˙ PRO, D  sowie D ∗ ∗ ˙ ˙ S +S  ) zusammengefasst, da die eindimensionale Bilanz nach den Gleichungen (5.19) PRO, D

PRO, D

und (5.20) eine Unterscheidung zwischen diesen Ursachen nicht erm¨oglicht. Der Abbildung kann

0.1

0.2 CFD Bilanzgleichung

0.09

CFD Bilanzgleichung 0.18

∫ S*PRO, W dV* in W/K

0.07 0.06

*

∫ SPRO, D dV in W/K

0.08

0.05

*

0.04 0.03 0.02

0.16

0.14

0.12

0.1

0.01 0 0

0.05

0.1

0.15

*

0.2

D / L*w

0.25

0.3

0.35

0.4

0.08 0

0.05

0.1

0.15

*

0.2

D / L*w

0.25

0.3

0.35

0.4

Abbildung 5.10: Entropieproduktionsraten aufgrund von Dissipation und W¨armeleitung in der Rohrstrecke u¨ ber dem Parameter D ∗ /L∗w entnommen werden, dass bei der Ermittlung der Entropieproduktionsraten in einer globalen Bilanz nach Gleichung (5.18) im Falle von komplexen Str¨omungen die Terme, welche den turbulenten Entropietransport sowie den Entropiestrom u¨ ber die freien Systemgrenzen beschreiben, offenbar nicht vernachl¨assigt werden d¨urfen. Bei steigender Verdrillung der Rohrwendel wird die Struktur des Str¨omungsfeldes immer komplexer und die Werte der N¨aherungsformeln (5.19) und (5.20) weichen immer st¨arker von den integralen Werten der lokalen Entropieproduktionsraten ab. Insbesondere f¨allt

5.2 Optimierungsprobleme

129

auf, dass eine Vernachl¨assigung der u¨ ber die freien Systemgrenzen ein- und austretenden Entropiestr¨ome f¨ur diesen Satz an Randbedingungen offenbar auch im Fall einer relativ simplen turbulenten Rohrstr¨omung ohne Rohrwendel (also D ∗ /L∗w = 0) falsche Ergebnisse liefert. Durch dieses Anwendungsbeispiel konnte deutlich gezeigt werden, dass eine direkte Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten bei komplexen Str¨omungen unerl¨asslich ist, auch wenn im Endeffekt nur Interesse an globalen Werten besteht. Bleiben die turbulenten Entropietransportterme und die u¨ ber die freien Systemgrenzen ein- und austretenden Entropiestr¨ome (sowohl molekulare als auch turbulente) in einer globalen Bilanz unber¨ucksichtigt, so k¨onnen die Produktionsterme in einer globalen Bilanz nicht korrekt bestimmt werden. Zwei weitere Vorteile der Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten auf Basis der in dieser Arbeit entwickelten Modellgleichungen sollen zum Ende dieses Anwendungsbeispiels vorgestellt werden. Einer dieser Vorteile ist die M¨oglichkeit zur eindeutigen Bestimmung der Ursachen der Entropieproduktionsrate. In Abbildung 5.11 sind die vier Entropieproduktionsursachen u¨ ber dem Parameter D ∗ /L∗w aufgetragen. Die Entropieproduktionsraten aufgrund der turbulenten Schwankungsbewegun0.14

S*PRO, D S*PRO, D′ * SPRO, W S*PRO, W′

S*PRO, i dV* in W/K

0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

D* / L*w

0.25

0.3

0.35

0.4

Abbildung 5.11: Entropieproduktionsursachen in der Rohrstrecke u¨ ber dem Parameter D ∗ /L∗w gen liegen in allen untersuchten F¨allen u¨ ber den entsprechenden Werten des molekularen Transports. Insbesondere f¨allt auf, dass sich die Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung in dem untersuchten Parameterbereich als die dominierende Entropieproduktionsursache ausweist. Dieses Ph¨anomen ist auch insofern bemerkenswert, als dass diese Art der Entropieproduktion in vorherigen

130

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

Arbeiten u¨ ber lokale Entropieproduktion in turbulenten Str¨omungen oft außer Acht gelassen wurde, siehe dazu auch den Literaturr¨uckblick in Anschnitt 4.1. Die Entropieproduktionsrate durch viskose und turbulente Dissipation steigt mit wachsendem D ∗ /L∗w , wohingegen die Entropieproduktionsrate durch molekulare und turbulente W¨armeleitung sinkt. Die Entropieproduktionsrate durch molekulare W¨armeleitung sinkt bei Zunahme der Verdrillungen jedoch nicht stark ab. Das ist insofern einleuchtend, als dass die Hauptursache dieser Entropieproduktion durch den Temperaturgradienten an der beheizten Wand vorgegeben wird. Dieser ist in dieser Untersuchung durch die Randbedingung einer konstanten Wandw¨armestromdichte aber f¨ur alle F¨alle gleich. Somit kann sich diese Entropieproduktionsrate nicht stark durch das Einbringen von verdrillten B¨andern a¨ ndern. Gegenteiliges trifft f¨ur die Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung zu. Diese weist kein ausgepr¨agtes Maximum an der beheizten Wand auf und ist u¨ ber den gesamten Str¨omungsquerschnitt etwa gleich verteilt. Eine Auswirkung der Rohrwendel ist ein Absenken der Temperaturgradienten in der Hauptstr¨omung und damit eine Verringerung dieser Entropieproduktionsrate. Der zweite noch zu erl¨auternde Vorteil bei der Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten ist die M¨oglichkeit durch die vorhandenen Feldinformationen lokal wertvolle Informationen u¨ ber die Ursachen von Irreversibilit¨aten zu erhalten. Es besteht die M¨oglichkeit in jedem beliebigen Schnitt des Berechnungsgebietes die Feldfunktion Entropieproduktionsrate darzustellen, und ihre Ursache zu identifizieren. Eine solche einfache Darstellung wird durch einfaches Einbinden einer FORTRANRoutine in das kommerziellen CFD-Programmpaket CFX4.4 erm¨oglicht. Der Postprozessor dieses Programmpakets erm¨oglicht dann die direkte Darstellung der Entropieproduktionsraten. Die gr¨oßten Entropieproduktionsraten treten jedoch an W¨anden auf. Sie sind dort um Gr¨oßenordnungen h¨oher als im u¨ brigen Feld. Eine Schnittdarstellung ist aus diesem Grund nicht sehr anschaulich. Eine hilfreiche Information ist die Darstellung des lokalen Verh¨altnisses der Entropieproduktion durch W¨armeleitung zu der gesamten lokalen Entropieproduktion, auch Bejan-Zahl genannt. Diese ist beschr¨ankt: 0 < Be < 1 Be =

∗ ∗ + S˙ PRO, S˙ PRO, W W ∗ ∗ ∗ ˙∗ ˙ S˙ PRO, + S + S + S˙ PRO, PRO, D  W D PRO, W

.

(5.21)

Die Bejan-Zahl ist in den Abbildungen 5.12 und 5.13 f¨ur den Fall ohne Rohrwendel und f¨ur den Fall D ∗ /L∗w = 0, 18 (also dem Minimum der globalen Entropieproduktion bei drei Verdrillungen auf der Rohrstrecke) dargestellt. Durch die Darstellung der lokalen Entropieproduktion als Bejan-Zahl k¨onnen die Ursachen auf den ersten Blick identifiziert werden. Ist die Bejan-Zahl gleich Eins, so dominiert die Entropieproduktion durch W¨armeleitung, ist sie gleich Null, dominiert die Dissipation von kinetischer Energie. Man erkennt, das die Bejan-Zahl f¨ur den Fall ohne Rohrwendel in weiten Teilen des Rohrabschnittes relativ große Werte Nahe Eins annimmt. Das ist ein Hinweis darauf, dass Maßnahmen zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges sinnvoll w¨aren. Im Fall mit drei 360◦ -Verdrillungen der Wendel auf der Rohrstrecke, weist die Bejan-Zahl in den einzelnen Schnitten Zahlen im gesamten Bereich

5.2 Optimierungsprobleme

131

von Null bis Eins auf. Es dominiert also weder die Entropieproduktionsrate durch W¨armeleitung noch die durch Dissipation. F¨ur die gegebenen Randbedingungen kann dieser Fall im Hinblick auf die Entropieproduktionsursachen als ausgeglichen angesehen werden. Durch eine st¨arkere Verdrillung steigt die Entropieproduktionsrate durch Dissipation und die Maßnahme zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges ist im Sinne der Optimierung thermodynamisch nicht mehr sinnvoll, da sie mehr Exergie vernichtet. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass die Modelle zur lokalen Entropieproduktionsberechnung und deren Implementierung in eine FORTRAN-Routine des kommerziellen CFD-Programmpakets CFX4.4 ohne weiteres auch f¨ur komplexe Str¨omungen und W¨arme¨uberg¨ange angewendet werden k¨onnen. Durch die FORTRAN-Routine k¨onnen in der Analyse der CFD-Ergebnisse im Postprozessor direkt die lokalen Entropieproduktionsraten ermittelt und eindeutig identifiziert werden. Eine Integration dieser lokalen Raten ist durch die Implementierung der Wandfunktionen f¨ur die Entropieproduktionsraten auf einfache Weise m¨oglich und bedarf keiner weiteren Schritte. Die entwickelten Modelle weisen sich als hilfreich bei der Bewertung von Maßnahmen zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges aus. Insbesondere kann durch die lokale Darstellung der Entropieproduktionsraten in Form der lokalen Bejan-Zahl auf den ersten Blick ermittelt werden, ob und in welchen geometrischen Bereichen Maßnahmen zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges thermodynamisch sinnvoll sind.

Abbildung 5.12: Lokale Bejan-Zahl in diversen Schnitten f¨ur den Fall ohne Turbulenzgenerator

132

Anwendungs- und Simulationsbeispiele

Abbildung 5.13: Lokale Bejan-Zahl in diversen Schnitten f¨ur den Fall mit drei 360◦ -Verdrillungen der Wendel auf der Rohrstrecke

Kapitel 6 Zusammenfassung In dieser Arbeit wird dargestellt, wie Erkenntnisse aus den drei wichtigen Disziplinen der Energietechnik, namentlich der Thermodynamik, der numerischen Str¨omungsmechanik und der numerischen W¨arme¨ubertragung zusammengef¨uhrt werden k¨onnen, um ein Werkzeug zu schaffen, mit welchem konvektive Impuls- und W¨arme¨ubertragungsprozesse bewertet werden k¨onnen. In einer ausf¨uhrlichen Darstellung der Grundlagen der Thermodynamik wird erl¨autert, dass als ein solches allgemeing¨ultiges Bewertungskriterium die Entropieproduktion herangezogen werden kann. Denn eine alleinige Bewertung auf der Basis des Energieerhaltungssatzes und Kenngr¨oßen wie etwa dem Druckverlust oder der Nußelt-Zahl k¨onnen W¨arme¨ubertragungsprozesse nicht eindeutig bez¨uglich ihrer Wirksamkeit bewertet werden. Erst durch die Einf¨uhrung der Entropie beziehungsweise der Entropieproduktionsrate k¨onnen solche Prozesse bez¨uglich ihrer thermodynamischen G¨ute im Sinne eines Verbrauches von Prim¨arenergie bewertet werden. Nach den einf¨uhrenden Erkl¨arungen zu den Bewertungskriterien und der Begr¨undung der Wahl der Entropieproduktionsrate, wird in dieser Arbeit ein ausf¨uhrlicher Literaturr¨uckblick u¨ ber diese Art des Bewertungskriteriums vorgestellt. In der Literatur sind Bewertungskriterien auf der Basis der Bestimmung von Entropieproduktionsraten als Second Law Analysis bekannt. Im Laufe dieses Literaturr¨uckblicks werden die M¨angel von konventionellen Techniken der Second Law Analysis erl¨autert. Denn alle diese Techniken bestimmen Entropieproduktionsraten u¨ ber eine globale Bilanzierung des zu bewertenden Apparates. Bei dieser Bilanzierung m¨ussen Vereinfachungen gemacht werden, da im Allgemeinen in turbulenten Str¨omungen nicht alle ein- oder austretenden Entropiestr¨ome bekannt sind. Des Weiteren beruhen diese konventionellen Techniken meist auf der Implementierung von empirischen Gleichungen f¨ur Druckverluste und W¨arme¨uberg¨ange, was ihre Benutzung insofern a priori auf eine limitierte Anzahl von Anwendungen einschr¨ankt. Aus diesem Grunde wird in dieser Arbeit ausgehend von der Gibbschen Relation auf systematische Weise eine allgemeine Transportgleichung f¨ur die spezifische Entropie in turbulenten konvektiven Str¨omungen eines inkompressiblen Newtonschen Fluides mit Fourierschen W¨armeleitungsverhalten hergeleitet. Diese Transportgleichung ist eine partielle Differentialgleichung. In dieser k¨onnen Term-

134

Zusammenfassung

gruppen, welche Entropieproduktionsraten beschreiben eindeutig identifiziert werden. Es zeigt sich, dass der Entropieproduktion in turbulenten Str¨omungen vier Ursachen zugeschrieben werden k¨onnen: Entropieproduktion aufgrund molekularer und turbulenter Dissipation sowie Entropieproduktion aufgrund molekularer und turbulenter W¨armeleitung. Ein großer Vorteil in der Beschreibung des Entropietransportes auf Basis dieser partiellen Differentialgleichung liegt darin, dass zur Bestimmung der Produktionsraten die partielle Differentialgleichung nicht explizit gel¨ost werden muss. Die sie beschreibenden Gr¨oßen k¨onnen durch Kenntnis des Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes in einem Postprozess berechnet werden. Diese Art der Berechnung von Entropieproduktionsraten ist in der Literatur bekannt. In einem R¨uckblick werden Ans¨atze dieser so genannten differentiellen Second Law Analysis vorgestellt. Eine große Schw¨ache aller vorgestellten Arbeiten ist aber das Fehler einer ausf¨uhrlichen und sinnvollen Beschreibung des Turbulenzph¨anomens im Hinblick auf die Entropieproduktionsraten. Die in dieser Arbeit hergeleitete Transportgleichung f¨ur die spezifische Entropie wird einer in der Turbulenzmodellierung und numerischen Str¨omungsmechanik h¨aufig angewandten Zeitmittelung in Analogie zu den Reynolds Averaged Navier-Stokes- (RANS) Gleichungen unterzogen. Im Zuge dieser Zeitmittelung wird ausf¨uhrlich erl¨autert, welche Termgruppen als klein gegen¨uber anderen vernachl¨assigt werden k¨onnen. Eine Modellierung der durch die Zeitmittelung auftretenden turbulenten Zusatzterme in den Entropieproduktionsraten erfolgt in dieser Arbeit in Anlehnung an das weit verbreitete k −ε Turbulenzmodell. Eine Validierung der auf diese Weise hergeleiteten Modelle erfolgt in einem Vergleich mit der Auswertung von Daten einer direkten numerischen Simulation, in welcher alle turbulenten Entropieproduktionsraten direkt zug¨anglich sind. Im Laufe dieser Validierung wird deutlich gemacht, dass die Modellgleichungen in der N¨ahe von festen W¨anden aufgrund der dort auftretenden hohen Gradienten in den Geschwindigkeiten, Temperaturen und Turbulenzgr¨oßen einer weiteren Modifizierung unterzogen werden m¨ussen. Diese Modifizierung f¨uhrt in dieser Arbeit schließlich zu der Herleitung von universellen Wandfunktionen f¨ur die Entropieproduktionsraten. Diese Herleitung geschieht wiederum in Anlehnung an die bekannten universellen Wandfunktionen der Geschwindigkeiten, der Temperatur und der Turbulenzgr¨oßen, welche in der numerischen Str¨omungsmechanik und im Speziellen bei der Verwendung des k − ε Turbulenzmodelles weite Verbreitung finden. Eine solche Herleitung erfolgt auf der Basis asymptotischer Analysen und einem empirischen Abgleich mit den Daten aus direkten numerischen Simulationen. Die in dieser Arbeit auf diese Weise entwickelten Wandfunktionen erm¨oglichen die Bestimmung der universellen Verl¨aufe der Entropieproduktionsraten in Wandn¨ahe und durch Integration dieser, die Berechnung der mittleren Entropieproduktionsraten in an W¨anden liegenden finiten Kontrollvolumen im Postprozess einer CFD-Analyse. Die in dieser Arbeit vorgestellten Modellgleichungen zur Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten und deren Modifizierung mittels Wandfunktionen in unmittelbarer N¨ahe zu festen W¨anden werden in eine FORTRAN-Routine implementiert. Diese Routine kann direkt in das kommerzielle CFD-Programmpaket CFX4.4 eingebunden werden und erm¨oglicht somit die Ausgabe lokaler Entropieproduktionsraten im Postprozess der CFD-Rechnung. Der Anwender dieser Routine muss

135 außer der Kenntnis der Einschr¨ankungen des k − ε Turbulenzmodelles u¨ ber kein weitergehendes Wissen verf¨ugen, um lokale Entropieproduktionsraten in turbulenten Str¨omungen in beliebigen Geometrien bestimmen zu k¨onnen. Aufgrund der Art der Formulierung aller Modellgleichungen und im Speziellen durch die Einf¨uhrung von universellen Wandfunktionen l¨asst sich durch einfaches Aufsummieren die gesamte globale Entropieproduktionsrate in einem beliebigen Kontrollraum bestimmen. Die Modellgleichungen haben damit gegen¨uber den Methoden der konventionellen Second Law Analysis den deutlichen Vorteil, dass sie a priori keinen Einschr¨ankungen bez¨uglich der Art der Str¨omung, des W¨arme¨uberganges oder der Geometrie unterliegen.

136

Zusammenfassung

Zum Abschluss werden in dieser Schrift vier Simulations- und Anwendungsbeispiele vorgestellt. Alle diese Beispiele basieren auf CFD-Rechnungen mit dem kommerziellen Programmpaket CFX4.4 mit Einbindung der hier entwickelten FORTRAN-Routine zur Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten. Die Beispiele verdeutlichen einerseits die allgemeine Anwendbarkeit der hier entwickelten Modellgleichungen auf eine Reihe unterschiedlicher Str¨omungen und zeigen deutlich, dass sie auch zur Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten in komplexen Str¨omungen geeignet sind, in welchen die Techniken der konventionellen Second Law Analysis zum Scheitern verurteilt sind. Andererseits wird durch die vorgestellten Beispiele ein wesentliches Ziel dieser Arbeit deutlich gemacht: Die Entwicklung eines universell einsetzbaren Werkzeugs zur Bewertung konvektiver Transportvorg¨ange der Impuls- und W¨arme¨ubertragung. Mit Hilfe der in dieser Arbeit entwickelten Modelle lassen sich zum Beispiel Maßnahmen zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges in komplexen Geometrien durch die Berechnung der Entropieproduktionsraten lokal sehr genau bez¨uglich ihrer thermodynamischen Wirksamkeit im Sinne des Verbrauches von Prim¨arenergie bewerten und k¨onnen somit im Zusammenspiel mit der numerischen Str¨omungsmechanik als hilfreiches Werkzeug in der Entwicklung von Apparaten der Energietechnik angesehen werden.

Kapitel 7 Ausblick Mit Hilfe der in dieser Arbeit entwickelten Modelle und deren Implementierung in eine FORTRANRoutine eines kommerziellen CFD-Programms steht dem Anwender ein allgemein einsetzbares Werkzeug zur Berechnung lokaler Entropieproduktionsraten zur Verf¨ugung. In den Anwendungsbeispielen wurde aufgezeigt, wie Entropieproduktionsraten in Apparaten mit Maßnahmen zur Verbesserung des W¨arme¨uberganges ermittelt werden k¨onnen. Diese Arbeit hat nur den Grundstein der Bewertungskriterien aufgezeigt und hat sich auf die Modellierung der Entropieproduktionsraten konzentriert. In nachfolgenden Arbeiten k¨onnte auf Basis der Kenntnisse der Entropieproduktionsraten eine o¨ konomische Bewertung von thermischen Apparaten erfolgen. In der Regel wird das o¨ konomische Verst¨andnis eines Ingenieurs durch die Feststellung des finanziellen Wertes einer Entwicklung ausgedr¨uckt: zum Beispiel in Cent pro kWh oder in Euro pro kW. Eine Weiterentwicklung wird im Allgemeinen dadurch bewertet, wieviel sie pro Jahr an Betriebskosten einspart und welche Anschaffungskosten f¨ur sie von N¨oten sind. Wie bei dieser Entscheidung die Berechnung der Entropieproduktionsraten hilfreich sein kann, wird zum Beispiel in [ Georgescu-Rogen 1971], [ London 1982] und [ Kim et al. 1997] dargestellt. Am Beispiel eines Kondensators wird in [ London 1982] ein o¨ konomischer Bewertungsprozess ausgef¨uhrt: Beginnend mit einer Darstellung der relevanten Irreversibilit¨aten werden sowohl die Entropie- als auch die Energiestr¨ome als Funktionen der Betriebsbedingungen formuliert. F¨ur die einzelnen Entropieproduktionsraten werden finanzielle Mittel veranschlagt. Auf diese Weise kann deutlich aufgezeigt werden, ob und inwieweit eine gewisse Maßnahme finanzielle Einsparung bringen kann. In allen diesen Arbeiten m¨ussen die Irreversibilit¨aten eines thermischen Apparates in Form von Entropieproduktionsraten bekannt sein, um anschließend o¨ konomische Bewertungen ausf¨uhren zu k¨onnen. Die vorliegende Arbeit kann also dazu dienen, diese Entropieproduktionsraten zu berechnen und zu identifizieren. Die finanzielle Bewertung spezieller Entropieproduktionsursachen kann das Forschungsthema zuk¨unftiger Arbeiten sein. Eine weitere Anwendung f¨ur die in dieser Arbeit hergeleiteten Modelle liegt in der o¨ kologischen Bewertung von thermodynamischen Prozessen. Diesen Ansatz wird zum Beispiel in [ Maisseu und Voß 1995] und [ Tassios 2000] dargestellt. In der vorliegenden Arbeit wird in Kapitel

138 2 deutlich aufgezeigt, dass jeder nat¨urliche und technische Prozess mit einer Zunahme an Entropie verbunden ist. Eine Ermittlung der Entropieproduktionsraten mit Hilfe der in dieser Arbeit hergeleiteten Modelle kann zumindest Wege aufzeigen auf welche Weise und in welchem Maße diese Entropieproduktionsraten in technischen Prozessen minimiert werden k¨onnen. Diese Entropieproduktion ist immer mit einer Vernichtung von frei verf¨ugbarer Arbeit, also Exergie, verbunden. Der Exergieverlust kann technischen Prozessen nur durch einen Verbrauch von Prim¨arenergie ausgeglichen werden. Eine Minimierung der Entropieproduktionsraten f¨uhrt somit also zu einer direkten Einsparung von Prim¨arenergie und damit auch zu einer Verringerung der Emission von klimabeeinflussenden Abgasen. Nachfolgende Arbeiten k¨onnten in dieser Richtung untersuchen, inwieweit durch die in dieser Arbeit hergeleiteten Modelle tats¨achlich technische Prozesse aus o¨ kologischer Sicht bewertet werden k¨onnen und inwiefern dadurch Wege aufgezeigt werden k¨onnen, den Verbrauch an Prim¨arenergie zu verringern.

Anhang A Hilfsfunktionen in den Grundgleichungen 1.1

Terme in der Differentialgleichung fur ¨ die mechanische Energie der mittleren Bewegung (ME ∗ )

MOLEKULARE

TURBULENTE

D IFFUSION :

 ∗  ∗  ∂ ∂u∗2 ∂u ∂w ∂v ∗ ∂u∗ ∗ DM = η∗ + v∗ + ∗ + w∗ + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x ∂z  ∗2  ∗  ∗  ∂v ∂v ∂v ∂ ∂u∗ ∂w ∗ ∗ ∗ + w + ∗ + u + + ∂y ∂y ∗ ∂x∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∂y ∗  ∗2  ∗  ∗ . ∗ ∂ ∂w ∂w ∂v ∂u ∂w ∗ ∗ ∗ + ∗ + u + + + v ∂z ∂z ∗ ∂x∗ ∂z ∗ ∂z ∗ ∂y ∗

(A.1)

D IFFUSION :

∗ = ∗ TDM

 ∂
∗ ∗2 u u + v ∗ u∗ v ∗ + w ∗ u∗ w ∗ ∂x∗  ∂
∗ ∗ ∗ u u v + v ∗ v ∗2 + w ∗ v ∗ w ∗ ∗ ∂y  ∂
∗ ∗ ∗ ∗ v ∗ w ∗ + w ∗ w ∗2 u u w + v ∂z ∗

(A.2)

P RODUKTION :

∂u∗ ∂v ∗ ∂w ∗ ∗ TPRO = −∗ u∗2 ∗ + u∗v ∗ ∗ + u∗ w ∗ ∗ ∂x ∂x ∂x ∂u∗ ∂v ∗ ∂w ∗ ∗ ∗ ∗2 ∗ ∗ +u v +v +v w ∂y ∗ ∂y ∗ ∂y ∗  ∗ ∗ ∂u ∂v ∂w ∗ +u∗ w ∗ ∗ + v ∗ w ∗ ∗ + w ∗2 ∗ ∂z ∂z ∂z

(A.3)

140

1.2

Hilfsfunktionen in den Grundgleichungen

Terme in der Differentialgleichung fur ¨ die mechanische Energie der Schwankungsbewegung (MES ∗ )

MOLEKULARE

D IFFUSION : Dk∗ = η ∗



  ∂ 2
∗ ∗2  ∂2
∂2
k u + ∗2 k ∗ v ∗2 + ∗2 k ∗ w ∗2 ∂x∗2 ∂y ∂z   2 ∗ ∗ ∂ 2 v ∗ w ∗ ∂ 2 w ∗ u∗ ∂ u v + + 2 ∂x∗ ∂y ∗ ∂y ∗ ∂z ∗ ∂z ∗ ∂x∗

D IFFUSION : # # # ∂ " ∗ ∗ ∂ " ∂ " = u (p + ∗ k ∗ ) + ∗ v ∗ (p∗ + ∗ k ∗ ) + ∗ w ∗ (p∗ + ∗ k ∗ ) ∗ ∂x ∂y ∂z

(A.4)

TURBULENTE ∗ TDk

P RODUKTION :

1.3

∂u∗ ∂v ∗ ∂w ∗ ∗ = −∗ u∗2 ∗ + u∗ v ∗ ∗ + u∗ w ∗ ∗ TPRO ∂x ∂x ∂x ∗ ∗ ∗ ∂u ∂v ∂w + u∗v ∗ ∗ + v ∗2 ∗ + v ∗w ∗ ∗ ∂y ∂y ∂y  ∂u∗ ∂v ∗ ∂w ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2 + v w + w +u w ∂z ∗ ∂z ∗ ∂z ∗

(A.5)

(A.6)

Terme in der Differentialgleichung fur ¨ die thermische ∗ Energie (T E )

D RUCK -G ESCHWINDIGKEITS -KORRELATION : ∗ TDG = u∗

∂p∗ ∂p∗ ∂p∗ + v ∗ ∗ + w ∗ ∗ ∗ ∂x ∂y ∂z

(A.7)

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Abbildungsverzeichnis 1.1

Berechnung der Str¨omung und des W¨arme¨uberganges in einem industriellem Rohrb¨undelw¨arme¨ubertrager (Abbildung mit freundlicher Genehmigung von ANSYS CFX)

1

Lokale Entropieproduktion konvektiver Transportprozesse als interdisziplin¨are Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.1

Energieanteile und Formen des Energietransportes [ Herwig 2002] . . . . . . . . . .

10

2.2

Entropiebilanzen an einem offenen System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2

2.3

2.4 2.5

∗

Temperaturprofile und W¨arme¨ubergangskoeffizient α an einer festen Wand bei konvektivem W¨armetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Druckverlust in einem Rohrb¨undelw¨arme¨ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

∗ τW

Geschwindigkeitsprofile und Wandschubspannung an einer festen Wand bei konvektivem Stofftransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.6

Reversibel arbeitende W¨armekraftmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.7

Thermodynamisches System mit Irreversibilit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.8

Entropieproduktion durch W¨armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.9

Entropieproduktion durch Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.1

Zeitabh¨angigkeit der Geschwindigkeitsmessung an einem festen Ort (x∗ , y ∗ , z ∗ ) in einer turbulenten Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Energiekaskade einer turbulenten Str¨omung. Modellvorstellung des Energietransportes der zeitgemittelten Energiegleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.3

Entropiebilanz am Beispiel einer turbulenten beheizten Rohrstr¨omung . . . . . . . .

60

4.1

Vergleich des Verlustes an mechanischer Energie und des Integrals der modellierten direkten und indirekten Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

3.2

150

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

4.2

Entropieproduktionsraten in einer turbulenten beheizten Kanalstr¨omung, DNS Ergebnisse nach [ Kawamura et al. 1999] und Modellgleichungen auf Basis des k − ε Turbulenzmodells (Gleichungen (SD ∗ ), (SW ∗ ), (SD ∗ ) und (SW ∗ ). Pr = 0, 71, Re = 13981. 82

4.3

Entropieproduktionsrate aufgrund direkter Dissipation in einer turbulenten beheizten Kanalstr¨omung, DNS Ergebnisse nach [ Kawamura et al. 1999] und Modellgleichungen auf Basis des k − ε Turbulenzmodells (Gleichung (SD ∗ ) in unmittelbarer Wandn¨ahe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

Entropieproduktion durch Dissipation der kinetischen Energie der mittleren Bewegung nach [ Kawamura et al. 1999] und Ausgleichsfunktionen nach der Methode von [ Churchill und Usagi 1972], Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Pr = 0, 71, Ecτ = 0, 01 . .

89

Entropieproduktion durch Dissipation der kinetischen Energie der mittleren Bewegung nach [ Kawamura et al. 1999] und halbempirische Wandfunktion (links: Pr = 0, 71, Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Ecτ = 0, 01; rechts: Pr = 5, Reτ = 180, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Ecτ = 0, 01) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91

Mittlere Entropieproduktion durch Dissipation der mittleren Geschwindigkeiten als Funktion des wandnormalen Abstandes des Kontrollvolumens n+ c . . . . . . . . . . .

92

Entropieproduktion durch molekulare W¨armeleitung nach [ Kawamura et al. 1999] und Ausgleichsfunktion nach der Methode von [ Churchill und Usagi 1972], Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Pr = 0, 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

Entropieproduktion durch molekulare W¨arme¨ubertragung nach [ Kawamura et al. 1999] und halbempirische Wandfunktion (links: Pr=0,71, Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01; rechts: Pr=5, Reτ = 180, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.9

Mittlere Entropieproduktion durch molekulare W¨armeleitung als Funktion des wandnormalen Abstandes des Kontrollvolumens n+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4.10 Entropieproduktionsrate durch turbulente Dissipation nach [ Kawamura et al. 1999] und Wandfunktion (links: Pr = 0, 71, Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Ecτ = 0, 01; rechts: Pr = 5, Reτ = 180, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01, Ecτ = 0, 01) . . . . . . . . . . . . . . .

99

4.11 Mittlere Entropieproduktion durch turbulente Dissipation als Funktion des wandnormalen Abstandes des Kontrollvolumens n+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.12 Entropieproduktionsrate durch turbulente W¨armeleitung nach [ Kawamura et al. 1999] und Wandfunktion (links: Pr=0,71, Reτ = 395, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01; rechts: Pr=5, Reτ = 180, Tτ∗ /Tw∗ = 0, 01) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.13 Mittlere Entropieproduktion durch turbulente W¨armeleitung als Funktion des wandnormalen Abstandes des Kontrollvolumens n+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

151

5.1

Entropieproduktionsraten in einer beheizten Hagen-Poiseuille Str¨omung als Funktion des Rohrradius. Analytische L¨osung nach Gleichungen (5.3) und (5.4) und Auswertung von CFD-Rechnungen nach den Gleichungen (SD ∗ ) und (SW ∗ ). . . . . . . . . 111

5.2

Dimensionslose Entropieproduktionsraten in einer beheizten turbulenten Rohrstr¨omung als Funktion des Rohrradius. Auswertung von CFD-Rechnungen nach den Gleichungen (SD ∗ ), (SW ∗ ), (SD ∗ ) und (SW ∗ ), sowie der Wandfunktionen (SDW ), (SW W ), (SD  W ) und (SW  W ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.3

Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.4

Optimale Reynolds-Zahl einer beheizten turbulenten Rohrstr¨omung durch Auswertung von Gleichung (5.13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.5

Vergleich der numerischen und empirischen L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.6

Beheizte Rohrstrecke mit Rohrwendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.7

Bezogene Nußelt-Zahlen und Widerstandsbeiwerte als Funktion des Verdrillungsparameters D ∗ /L∗w der Rohrwendel. Ergebnisse aus CFD-Berechnungen und Messungen von [ Zhang et al. 1997]. Nu0 = 0, 023 Re0,8 Pr0,4 , cf 0 = 0.316 Re−0.25 . . . . . . 125

5.8

Entropieproduktionsraten in der Rohrstrecke u¨ ber dem Optimierungsparameter D ∗ /L∗w . 126

5.9

Temperaturprofil in einem Fluid im Kanalquerschnitt bei W¨armezufuhr u¨ ber die Kanalwand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.10 Entropieproduktionsraten aufgrund von Dissipation und W¨armeleitung in der Rohrstrecke u¨ ber dem Parameter D ∗ /L∗w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.11 Entropieproduktionsursachen in der Rohrstrecke u¨ ber dem Parameter D ∗ /L∗w . . . . 129 5.12 Lokale Bejan-Zahl in diversen Schnitten f¨ur den Fall ohne Turbulenzgenerator . . . . 131 5.13 Lokale Bejan-Zahl in diversen Schnitten f¨ur den Fall mit drei 360◦ -Verdrillungen der Wendel auf der Rohrstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

152

ABBILDUNGSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis 5.1

Dimensionslose Kennzahlen der Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.2

Stoffwerte von Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.3

Entropieproduktionsraten pro L¨angeneinheit, Auswertung von CFD-Daten und empirische L¨osung nach Gleichung (5.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4

Stoffwerte von Luft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123