Analisis Real 2: TURUNAN [PDF]

Zitiervorschau

BAB I TURUNAN/DIFFERENTATION

1.1. Turunan Fungsi Definisi 1.1.1: Misalkan I  R adalah interval fungsi f : I  R dan c  I , Bilangan real L dikatakan derivatif dari f di c jika diberikan sebarang bilangan   0 terdapat bilangan    ( , c)  0 sehingga untuk setiap x  I dengan C berlaku: f ( x)  f (c) xc

 L  .

Dalam hal ini dikatakan bahwa, f diferensiabel di c, dan L ditulis dengan f '(c) . Dengan kata lain, derivatif dari f di c diberikan oleh limit f ' (c)  lim

x c

f ( x)  f (c) xc

asalkan limitnya ada. Sebagai akibat ketunggalan limit fungsi, maka derivatif (jika ada) dari fungsi di suatu titik adalah tunggal. Catatan: Domain fungsi f

tidak harus berupa interval (karena titik c yang

diperlukan hanyalah elemen dari domain yang sekaligus titik limit dari domain tersebut). Hanya saja, akan lebih mudah bagi pembaca untuk memahami pengertian derivatif pada fungsi yang terdefinisi pada interval. Oleh karena itu, pembahasan dibatasi pada fungsi yang demikian. Contoh: 1. Jika f ( x)  x 2 untuk x  R , maka untuk setiap c  R , f ' (c)  lim

x c

f ( x )  f (c ) x2  c2  lim  lim ( x  c)  2c x c x  c x c xc

Dalam hal ini, fungsi f terdefinisi pada R dan f '( x)  2x untuk x  R . 2. Jika h( x )  x , x  R maka h tidak diferensiabel di 0. Karena untuk x  0 h( x)  h(0) x  1 jika   x0 x 1 jika

x0 h( x)  h(0) , sehingga lim tidak ada. x 0 x0 x0

1

Teorema 1.1.2: Jika fungsi f : I  R differensiabel di c  I , maka f kontinu di titik c. Bukti: Untuk sebarang x  I , x  c , diperoleh  f ( x )  f (c )  f ( x )  f (c )    ( x  c) xc  

Karena

f '(c) ada, maka dengan mengaplikasikan teorema perkalian limit

diperoleh





f ( x )  f (c )   lim ( f ( x)  f (c))   lim ( x  c )  f ' (c )  0  0  lim x c xc  x c  x c

Jadi lim f ( x)  f (c) , sehingga f kontinu di c. x c

Kekontinuan fungsi di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi h pada contoh 2 di atas kontinu di titik 0 tetapi h tidak diferensiabel di titik tersebut. Jadi, kekontinuan fungsi di suatu titik, bukan syarat cukup agar fungsi tersebut diferensiabel di titik tersebut. Teorema 1.1.3: Jika I  R adalah interval, c  I , dan fungsi f , g : I  R adalah fungsi-fungsi yang differensiabel di c, maka (a) Jika   R , maka fungsi  f differensiabel di c dan

(f ' )(c)  f ' (c) (b) Fungsi f  g differensiabel di c dan

( f  g )' (c)  f ' (c)  g ' (c) (c) (Aturan perkalian) Fungsi fg differensiabel di c dan

( fg )' (c)  f ' (c) g (c)  f (c) g ' (c) (d) (Aturan pembagian) Jika g (c)  0 , maka fungsi f / g differensiabel di c , dan f  f ' (c ) g (c )  f (c ) g ' (c )  ' (c)  ( g (c)) 2 g

2

Bukti: (a) Jika f ' (c)  lim

x c

 f ' (c)  lim x c

f ( x)  f (c) , maka xc

 f  ( x )   f  ( c ) xc

  f  ( x )    f  (c ) x c xc

 lim

 lim

  f ( x )  f (c ) 

x c

xc

  lim

f ( x )  f (c ) xc

x c

  f '(c) ..............................terbukti. (b) Misalkan p  f  g , maka p '(c)  lim x c

sehingga, p '(c)  lim x c

f

 g  '(c)  lim

p ( x )  p (c ) xc

f

 g  ( x )   f  g  (c ) xc

x c

 lim

 f ( x)  g  x     f  c   g  c   xc

x c

 lim

f ( x)  g  x   f  c   g  c  xc

x c

 lim

f ( x)  f  c   g  x   g  c  xc

x c

 lim x c

p ( x )  p (c ) xc

f ( x)  f  c  xc

 lim x c

g  x   g c  xc

 f '(c)  g '(c)...............................terbukti (c) Misalkan p  fg , untuk x  I , x  c , diperoleh

3

p ( x )  p (c ) f ( x ) g ( x )  f (c ) g (c )  xc xc f ( x ) g ( x )  f (c ) g ( x )  f (c ) g ( x )  f (c ) g (c )  xc f ( x )  f (c ) g ( x )  g (c )  g ( x )  f (c ) xc xc

Karena g kontinu di c, dengan teorema 1.1.2, maka lim g ( x)  g (c) . Karena f x c

dan g diferensiabel di c, dari teorema limit perkalian fungsi, disimpulkan bahwa lim

x c

p( x)  p(c)  f ' (c) g (c)  f (c) g ' (c) xc

Jadi p  fg diferensiabel di c dan ( fg )' (c)  f ' (c) g (c)  f (c) g ' (c) terbukti. (d) Misalkan q  f / g . Karena g diferensiabel di c, maka dengan teorema 1.1.2, g kontinu di c. Karena g (c)  0 , maka terdapat interval J  I dengan c  J sehingga g ( x)  0 untuk setiap x  J . Untuk x  J , x  c , diperoleh: q ( x )  q (c ) f ( x ) / g ( x )  f ( c ) / g ( c )  xc xc f ( x ) g (c )  f (c ) g ( x )  g ( x) g (c)( x  c) f ( x ) g (c )  f (c ) g ( c )  f ( c ) g ( c )  f ( c ) g ( x )  g ( x) g (c)( x  c) 

1 g ( x )  g (c )   f ( x )  f (c )  g (c )  f (c )   g ( x ) g (c )  xc x  c 

Dengan memanfaatkan kekontinuan dari g di c dan bahwa f dan g diferensiabel di c, disimpulkan bahwa q ( x )  q (c ) f ' (c ) g (c )  f (c ) g ' (c )  x c xc ( g (c)) 2

q' (c)  lim

f 

Jadi q  f / g diferensiabel di c dan  ' (c)  g 



f ' (c ) g (c )  f (c ) g ' (c ) ( g (c)) 2

terbukti.

Dengan induksi matematika teorema di atas dapat dikembangkan aturan diferensiasi berikut.

4

Akibat 1.1.4: Jika f1 , f 2 ,..., f n adalah fungsi-fungsi dari interval I ke R yang diferensiabel di c, maka (a) Fungsi f1  f 2  ...  f n diferensiabel di c, dan

 f1  f 2  ...  f n  '  c  

f1 '(c)  f 2 '(c)  ...  f n '(c) ,

(b) Fungsi f1 f 2 ... f n diferensiabel di c, dan

 f1 f 2 ... f n  '(c) 

f1 '(c ) f 2 (c )... f n (c )  f1 (c ) f 2 '(c )... f n (c )  ...  f1 (c) f 2 (c)... f n '(c )

f1  f 2  ...  f n maka (6.8) menjadi

Khususnya, jika

fn '(c)  n  f n (c) 

Catatan: Jika

n1

f n (c)

I  R adalah interval dan fungsi

f : I  R , kita telah

memperkenalkan notasi f ' untuk menyatakan fungsi yang domainnya adalah subset dari I dan nilainya di titik c adalah derivatif notasi lain yang kadang-kadang digunakan untuk

f '(c) dari f di titik c. Ada f ' ; sebagai contoh, ada yang

menulis Df untuk f ' . Oleh karena itu, bentuk sifat (b) dan (c) kadang-kadang ditulis dalam bentuk: D( f  g )  Df  Dg ,

D( fg )  Df .g  Dg. f

Ketika x adalah variabel bebas, dalam perkuliahan awal, pada umumnya f ' ditulis df / dx . Sehingga bentuk sifat (c) kadang-kadang ditulis dalam bentuk d  df   dg  ( f ( x) g ( x))   ( x)  ( g ( x))  f ( x)  ( x)  . dx dx dx    

Aturan Rantai

5

Teorema diferensiasi pada fungsi komposisi berikut dikenal sebagai “Aturan Rantai”. Teorema ini memberikan bentuk derivatif dari fungsi komposisi g  f . Jika f diferensiabel di c dan g diferensiabel di

f (c) , maka akan

ditunjukkan bahwa derivatif dari fungsi komposisi g  f

di c adalah (

g f )'  c   g '( f (c)) f '(c)  . Dalam hal ini dapat ditulis dengan (g f ) '  (g ' f )  f ' .

Ide dari aturan rantai didapat dari pengamatan bahwa g ( f ( x))  g ( f (c)) g ( f ( x))  g ( f (c)) f ( x)  f (c) .   xc f ( x )  f (c ) xc

Tetapi sayangnya faktor pertama dalam perkalian di atas dapat saja tidak f ( x)  f (c) bernilai 0 untuk nilai dari x

terdefinisi, yaitu pada saat penyebutnya

yang mendekati c dan hal ini merupakan suatu permasalahan. Hasil berikut akan mengatasi masalah tersebut.

Teorema 1.1.5 (Aturan Rantai) Misalkan I , J  R adalah interval-interval di dalam R,

g:I R

dan

f : J  R . Jika f diferensiabel di c  I dan g diferensiabel di f (c) , maka fungsi

komposisi g  f diferensiabel di c dan ( g  f )' (c)  g ' ( f (c))  f ' (c)

Bukti: Misalkan d = f(c) dan G didefinisikan pada I dengan  g ( y )  g (d ) ; yd  yd G( y)    g '(d ) ; yd 

Karena g diferensiabel di d, maka diperoleh lim G( y)  g ' (d )  G(d ) . Jadi, G y d

juga kontinu di d. Sekarang, karena f kontinu di c (dengan Teorema 1.1.2) dan f ( J )  I dari teorema komposisi fungsi kontinu, maka G  f kontinu di c, yaitu

6

lim G  f ( x)  lim G( y)  g ' ( f (c)) .

x c

y d

Selanjutnya dari definisi G diperoleh bahwa g ( y)  g (d )  G( y)( y  d ) untuk setiap y  I .

Oleh karena itu, jika x  J , x  c diperoleh g  f ( x)  g  f (c) f ( x)  f (c)  G  f ( x)  xc xc

Akibatnya diperoleh g  f ( x)  g  f (c)  g ' ( f (c))  f ' (c) . x c xc lim

Jadi, g  f diferensiabel di cI dan persamaan (6.10) dipenuhi. Jika g diferensiabel pada I dan f diferensiabel pada J, maka dengan Aturan rantai diperoleh

(g f ) '  (g ' f )  f ' ,

yang juga dapat ditulis sebagai

D( g  f )  (( Dg )  f )  Df .

Contoh: (a) Jika f : I  R diferensiabel pada I dan g ( y )  y n untuk

y  R, n  N , maka

g '( y )  ny n 1. Sehingga dengan Aturan rantai diperoleh ( g  f )' ( x)  g ' ( f ( x))  f ' ( x)

 f  '( x)  n( f ( x))

untuk x  I . Oleh karena itu diperoleh

n

n 1

f '( x) untuk semua

x  I.

(b) Misalkan f : I  R diferensiabel pada I, f ( x)  0 ,dan f '( x)  0 untuk x  I . Jika h( y)  1/ y untuk y  0 , maka h '( y )  1/ y 2 , y  0 . Sehingga diperoleh 1 f ' ( x)  ' ( x)  (h  f )' ( x)  h' ( f ( x)) f ' ( x)   untuk x  I . ( f ( x)) 2 f 

(c) Jika S ( x)  sin x dan C( x)  cos x untuk x  R maka S '( x)  cos x  C( x) dan C '( x)   sin x  S ( x) untuk x  R . Dengan menggunakan fakta ini dan definisi

7

tan x 

sin x , cos x

secx 

1 cos x

untuk x   2k  1  , k  N , maka dengan mengaplikasikan Aturan Pembagian, diperoleh D tan x 

(cos x)(cos x)  (sin x)(  sin x) 1   (sec x) 2 2 2 (cos x) (cos x)

dan D sec x 

0  1( sin x) sin x   (sec x)(tan x) 2 (cos x) (cos x) 2

untuk x   2k  1  , k  N .

Fungsi Invers Teorema 1.1.6 Misalkan I  R adalah interval dan fungsi

f : I  R monoton

murni dan kontinu pada I. Misalkan J  f (I ) dan g : J  R monoton murni dan merupakan fungsi invers kontinu dari f. Jika f diferensiabel di c  I dan f '(c)  0 , maka g diferensiabel di d  f (c) , dan g ' (d ) 

1 1  f ' (c) f ' ( g (d ))

Bukti: Untuk y  J , y  d didefinisikan H ( y) 

f ( g ( y ))  f ( g (d )) g ( y )  g (d )

Karena g : J  R monoton murni, maka g ( y)  g (d ) untuk y, d  J dengan y  d , sehingga H well-defined pada J. Juga karena d  f ( g (d )) , maka diperoleh H ( y) 

yd , g ( y )  g (d )

sehingga H ( y)  0 untuk y  J , y  d . Akan dibuktikan bahwa lim H ( y)  f ' (c) . Diberikan sebarang   0 . y d

Karena f diferensiabel di

c  g (d ) , maka terdapat

0  x  c  , x  I , berlaku

8

>0 sehingga untuk

f ( x )  f (c )  f ' (c )   . xc

Tetapi karena g kontinu di

d  f (c) , maka untuk  di atas, terdapat   0

sehingga untuk 0  y  d  , y  J berlaku g ( y )  g (d )   .

Karena

g

satu-satu

c  g (d ) ,

dan

diperoleh

g ( y)  c  

untuk

0  y  d  , y  J . Hal ini mengakibatkan H ( y )  f ' (c ) 

f ( g ( y ))  f ( g (d ))  f ' (c )   g ( y )  g (d )

apabila 0  y  d  , y  J . Karena   0 sebarang, maka lim H ( y)  f ' (c) . y d

Tetapi, telah diketahui sebelumnya bahwa H ( y)  0 untuk y  J , y  d . Karena g ( y )  g (d ) 1  yd H ( y)

untuk y  J , y  d , maka disimpulkan bahwa lim

y d

g ( y )  g (d ) 1 1 1  lim   y d H ( y) yd lim H ( y ) f ' (c ) y d

Jadi, g '(d ) ada dan nilainya sama dengan 1/ f '(c). Teorema 1.1.7 Misalkan I  R adalah interval dan fungsi f : I  R monoton murni pada I. Misalkan J  f (I ) dan g : J  R merupakan fungsi invers

dari

f. Jika f

diferensiabel pada I dan f '( x)  0 untuk x  I , maka g diferensiabel pada J, dan g '

1 f ' g

Bukti: Jika f diferensiabel pada I, menurut Teorema 6.1.3 maka f kontinu pada I. Sehingga dengan Teorema Invers Kontinu, fungsi invers g kontinu pada J. Selanjutnya dengan Teorema 1.1.6, maka persamaan g '

9

1 dipenuhi. f ' g

Catatan: Jika f : I  R dan g : J  R fungsi-fungsi yang monoton murni pada Teorema 1.1.7. Telah ditunjukkan bahwa jika f '( x)  0 untuk x  I , maka g diferensiabel pada J dan persamaan teorema 1.1.7 dapat ditulis sebagai g '( y) 

1 f ' g ( y)

untuk y J

atau dalam bentuk g ' f ( x) 

1 f '( x)

untuk x I.

Dapat juga ditulis dalam bentuk g '  x   1/ f  x  .

Contoh Misalkan n  N bilangan genap, I = [0, ) , dan f ( x)  x n untuk x  I . Dapat ditunjukkan bahwa f naik murni dan kontinu pada I, sehingga untuk y  J  [0, ) , fungsi invers g ( y )  y1/ n juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada J. Lebih lanjut, diperoleh

f '( x)  nx n 1 untuk x  I . Akibatnya, jika y  0 , maka

g '( y) ada, dan g ' ( y) 

1 1 1 1    ( n 1) / n . n  1 1 / n n  1 f ' ( g ( y )) n( g ( y )) n( y ) ny

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa g ' ( y) 

1 (1 / n) 1 untuk y  0 . y n

Tetapi, g tidak diferensiabel di 0.

1.2 Teorema Nilai Rata-rata Teorema Nilai Rata-Rata, yang menghubungkan nilai dari suatu fungsi dengan nilai dari derivatifnya, merupakan salah satu hasil analisis real yang banyak manfaatnya. Pada subbab ini akan dijelaskan teorema penting tersebut beserta beberapa contoh aplikasinya. Akan dimulai dengan melihat hubungan antara ekstrim relatif dari suatu fungsi dengan nilai dari derivatifnya. Ingat kembali bahwa fungsi f : I   dikatakan mempunyai maksimum relatif [atau minimum relatif] di c  I jika

10

terdapat persekitaran V  V (c) dari c sehingga f (c)  f ( x) [atau f (c)  f ( x) ] untuk semua x di dalam V  I . Fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di c  I jika f mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif di c.

Teorema 1.2.1 (Teorema Ekstrim Dalam) Misalkan c adalah titik dalam dari interval I dan f : I  R mempunyai ekstrim relative di c. Jika derivatif dari f di c ada, maka f '(c)  0 . Bukti: Akan dibuktikan untuk kasus f mempunyai maksimum relatif di c, sedangkan untuk kasus f mempunyai minimum relatif di c dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Andaikan f '(c)  0 , maka terdapat persekitaran V (c)  I sehingga f ( x )  f (c ) 0 xc

untuk x V (c), x  c .

Jika x V (c), x  c , maka diperoleh f ( x)  f (c)  ( x  c) 

f ( x)  f (c)  0. xc

Tetapi hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif di c. Jadi pengandaian f '(c)  0 salah. Andaikan f '(c)  0 , maka terdapat persekitaran V (c)  I sehingga f ( x)  f (c) 0 xc

untuk x V (c), x  c .

Jika x V (c), x  c , maka diperoleh f ( x)  f (c)  ( x  c) 

f ( x)  f (c)  0. xc

Hal ini juga kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif di c. Jadi pengandaian f '(c)  0 juga salah. Jadi, haruslah f '(c)  0 .

11

Akibat 1.2.2 Jika f : I  R kontinu pada interval I dan f mencapai ekstrim relatif di titik c di dalam I, maka berlaku salah satu derivatif dari f di c tidak ada atau nilainya sama dengan nol. Untuk memperjelas pemahaman akibat 1.2.2, perhatikan contoh berikut, jika

f ( x)  x pada I = [-1, 1], maka f mempunyai minimum relatif di x  0 ,

tetapi f tidak diferensiabel di x  0 . Teorema 1.2.3 (Teorema Rolle) Jika f kontinu pada interval tertutup I  [a, b] dan diferensiabel pada interval terbuka (a, b) , dengan f (a)  f (b)  0 , maka terdapat sedikitnya satu titik c di dalam interval terbuka (a, b) sehingga f '(c)  0 . (Lihat Gambar 1.2.1) Bukti: Jika f fungsi nol pada I, maka sebarang titik c di dalam (a, b) memenuhi kesimpulan dalam teorema. Oleh karena itu dianggap bahwa f bukan fungsi nol pada I. Jika perlu

Gambar 1.2.1 Teorema Rolle

gantikan

f dengan –f dan diasumsikan

f nilainya ada yang positif. Dengan

Teorema Maksimum-Minimum, fungsi f mencapai maksimum di suatu titik c  I dengan f (c)  0 . Karena f (a)  f (b)  0 , maka titik c haruslah berada di dalam

12

(a, b) . Menurut yang diketahui f '(c) ada. Karena f mempunyai maksimum relatif

di c, maka dengan Teorema Ekstrim Dalam 1.2.1, di simpulkan bahwa f '(c)  0 .

Berikut adalah hasil yang merupakan akibat dari Teorema Rolle, yang dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-rata. Teorema 1.2.4 (Teorema Nilai Rata-Rata) Jika f fungsi kontinu pada interval tertutup I  [a, b] dan diferensiabel pada interval terbuka (a, b) , maka terdapat sedikitnya satu titik c di dalam (a, b) sehingga f (b)  f (a)  f '(c)(b  a) .

Bukti: Perhatikan fungsi  yang didefinisikan pada I dengan ( x)  f ( x)  f (a) 

f (b)  f (a) ( x  a). ba

[Fungsi  adalah nilai dari selisih fungsi f dengan fungsi yang grafiknya adalah ruas garis yang menghubungkan titik (a, f (a)) dan (b, f (b)) ; lihat Gambar 1.2.2]. Dalam hal ini hipotesis dari Teorema Rolle dipenuhi oleh , karena  kontinu pada [a, b] , diferensiabel pada (a, b) , dan (a)  (b)  0 . Oleh karena itu, terdapat titik c di dalam (a, b) sehingga 0  ' (c)  f ' (c) 

f (b)  f (a) b  a.

Jadi f (b)  f (a)  f '(c)(b  a) . Interpretasi geometri dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah bahwa terdapat suatu titik pada kurva y  f ( x) sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar dengan garis yang melalui dua titik (a, f (a)) dan (b, f (b)) .

13

Dari Teorema Nilai Rata-rata, dapat diambil kesimpulan mengenai sifatsifat dari suatu fungsi dengan menggunakan informasi yang didapat dari derivatifnya. Hal ini dapat dilihat pada teorema berikut. Teorema 1.2.5 Jika f kontinu pada interval tertutup I  [a, b] , diferensiabel pada interval terbuka (a, b) , dan f '( x)  0 untuk x  (a, b) , maka f fungsi konstan pada I.

Bukti: Akan ditunjukkan bahwa f ( x)  f (a) untuk semua x [a, b] . Jika diberikan sebarang x [a, b] , x  a , maka dengan mengaplikasikan Teorema Nilai RataRata pada f pada interval tertutup I x  [a, x] terdapat titik c (yang bergantung pada x) di antara a dan x sehingga f ( x)  f (a)  f '(c)( x  a)

(x)

a

x

c

Gambar 1.2.2 Teorema Nilai Rata-rata.

14

b

Karena f '(c)  0 (dari hipotesis), maka disimpulkan bahwa

f ( x)  f (a)  0.

Karena x [a, b] diambil sebarang, maka f ( x)  f (a) untuk semua x [a, b] . Akibat 1.2.6 : Jika f dan g fungsi kontinu pada I  [a, b] , f '( x)  g '( x) untuk semua

diferensiabel pada (a, b) dan

x  (a, b) , maka terdapat konstanta C sehingga

f  x   g  x   C pada I.

Bukti: Didefinisikan

suatu

fungsi

h  x   f  x   g  x  , x  I sehingga

h '  x   f '  x   g '  x  . Karena

f '  x   g '  x  , maka

berdasarkan

h  x   C pada

teorema

1.2.5

 a, b  .

h '  x   0 , sehingga Dengan

demikian

f  x   g  x   C, x  I  a, b . Contoh: Diberikan dua fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan dengan g  x   3x2 , x 2, 2 dan f  x   3x2  4, x 2, 2 . Perhatikan bahwa f '  x   g '  x  , x 2,2 Teorema 1.2.7 Jika f : I  R diferensiabel pada I, maka (a) f naik pada I jika dan hanya jika f '( x)  0 untuk semua x  I . (b) f turun pada I jika dan hanya jika f '( x)  0 untuk semua x  I .

15

Bukti: (a) () Misalkan f '( x)  0 untuk semua x  I . Jika x1 , x2  I , dengan x1  x2 , maka dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f

pada interval J  [ x1 , x2 ]

terdapat titik c di antara ( x1 , x2 ) sehingga f ( x2 )  f ( x1 )  f '(c)( x2  x1 ) .

Karena f '(c)  0 dan x2  x1  0 , maka f ( x2 )  f ( x1 )  0 . Sehingga f ( x1 )  f ( x2 ). Karena x1  x2 adalah sebarang titik di dalam I, maka f naik pada I.

()

Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan naik pada I. Untuk sebarang c  I , jika x  c atau x  c untuk x  I , maka diperoleh f ( x)  f (c) /( x  c)  0 .

Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa f ' (c)  lim

x c

f ( x)  f (c)  0. xc

(b) ()

Misalkan f '( x)  0 untuk semua x  I . Jika x1 , x2  I , dengan x1  x2 , maka dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f

pada interval

J  [ x1 , x2 ] terdapat titik c di antara ( x1 , x2 ) sehingga f ( x2 )  f ( x1 )  f '(c)( x2  x1 ) .

Karena

f '(c)  0

dan

x2  x1  0 ,

maka

f ( x2 )  f ( x1 )  0 .

Sehingga

f ( x1 )  f ( x2 ). Karena x1  x2 adalah sebarang titik di dalam I, maka f turun

pada I.

16

()

Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan turun pada I. Untuk sebarang c  I , jika x  c atau x  c untuk x  I , maka diperoleh f ( x)  f (c) / ( x  c)  0 .

Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa

f '(c)  lim x c

f ( x )  f (c ) 0. xc

Fungsi f dikatakan naik murni pada interval I jika untuk sebarang titik x1 , x2  I , dengan x1  x2 maka f ( x1 )  f ( x2 ). Selanjutnya akan ditentukan syarat

cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrim relatif di titik dalam pada suatu interval. Kondisi tersebut lebih dikenal sebagai Uji Derivatif Pertama. Teorema 1.2.8 (Uji Derivatif Pertama untuk Ekstrim) Misalkan f fungsi kontinu pada interval I  [a, b] dan c titik dalam dari I. Jika f diferensiabel pada (a, c) dan (c, b) , maka: (a) Jika terdapat

persekitaran

(c  , c  )  I

sehingga

f '( x)  0

untuk

c    x  c dan f '( x)  0 untuk c  x  c   , maka f mempunyai maksimum

relatif di c. (b) Jika terdapat persekitaran (c  , c  )  I sehingga f '( x)  0 untuk c    x  c dan f '( x)  0 untuk c  x  c   , maka f mempunyai minimum relatif di c. Bukti: (a) Jika x  (c  , c) , maka menurut Teorema Nilai Rata-Rata terdapat titik cx  (c, x) sehingga f (c)  f ( x)  f '(cx )(c  x) . Karena f '(cx )  0 , maka f ( x)  f (c)

untuk

x  (c  , c) . Dengan cara yang sama (tunjukkan) akan diperoleh

f ( x)  f (c) untuk x  (c  , c  ) . Jadi f mempunyai maksimum relatif di c.

(b) Bukti menggunakan cara yang sama seperti pada (a).

17

Kebalikan dari Uji Derivatif Pertama 1.2.8 tidak benar. Sebagai contoh, fungsi f : R  R yang didefinisikan dengan  2 x 4  x 4 sin( 1x ) ; x  0 f ( x)   ; x0 0

mempunyai minimum global di x  0 tetapi f ' bernilai positif dan negatif di sekitar titik x  0 .

Ketaksamaan Salah satu kegunaan dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah untuk memperoleh beberapa ketaksamaan. Ketika informasi mengenai derivatif dari suatu fungsi diberikan, informasi tersebut dapat digunakan untuk mengambil kesimpulan mengenai beberapa sifat dari fungsi itu sendiri. Contoh : (a) Fungsi eksponensial f ( x)  e x mempunyai derivatif

f '( x)  e x untuk semua

x  R . Oleh karena itu f '( x)  1 untuk x  0 , dan f '( x)  1 untuk x  0. Dari

hubungan tersebut dapat digunakan untuk menurunkan ketaksamaan ex  1  x

untuk x  R

(*)

dengan kesamaannya akan diperoleh jika dan hanya jika x  0 . Jika x  0 , maka kedua ruas ketaksamaan bernilai 1. Jika x  0 , dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata 6.2.4 terhadap fungsi f pada interval [0, x] , maka terdapat c dengan 0  c  x sehingga e x  e0  ec ( x  0) .

Karena e0  1 dan ec  1 , maka e x  1  x untuk x  0 . Argumen yang sama juga digunakan untuk menghasilkan ketaksamaan yang sama untuk x  0. Jadi ketaksamaan (*) dipenuhi untuk semua x, dan kesamaan akan diperoleh hanya jika x0.

18

(b) Fungsi g ( x)  sin x mempunyai derivatif g '( x)  cos x untuk semua x  . Jelas bahwa 1  cos x  1 untuk semua x  . Akan ditunjukkan bahwa x  sin x  x

untuk semua x  0 .

(**)

Pertama, jika diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata terhadap g pada interval [0, x] , dengan x  0 , diperoleh sin x  sin 0  cos c( x  0)

untuk suatu c diantara 0 dan x. Karena sin0  0 dan 1  cos c  1 , maka x  sin x  x . Karena kesamaan dipenuhi untuk x  0 , maka ketaksamaan (**)

dipenuhi. (c) Jika  bilangan real sehingga 0    1 , a  0 dan b  0 , maka

a b1   a  (1   )b . Misalkan

g ( x)   x  x

untuk

x  0 , maka

(#)

g '( x)   (1  x 1 ) . Sehingga

g '( x)  0 untuk 0  x  1 dan g '( x)  0 untuk x  1 . Akibatnya, g ( x)  g (1)

untuk x  0 , dan g ( x)  g (1) jika dan hanya jika x = 1. Oleh karena itu, jika x  0 dan 0    1 , maka

x   x  (1   ) . Khususnya, jika diambil x  a b dan kedua ruas dikalikan dengan b, diperoleh ketaksamaan (#) yang kesamaannya dipenuhi jika dan hanya jika a = b.

Sifat Nilai Antara dari Derivatif Pada bagian ini akan dipelajari Teorema Darboux. Dimulai dengan jika f fungsi diferensiabel di setiap titik dari suatu interval I, maka fungsi

f'

mempunyai Sifat Nilai Antara. Hal ini berarti bahwa, jika f ' mempunyai nilai A dan B, maka f ' juga mengambil semua nilai diantara A dan B. Pembaca akan menyadari bahwa sifat ini merupakan salah satu konsekuensi dari kekontinuan

19

yang telah ditetapkan pada Teorema Nilai Antara Bolzano. Hal yang luar biasa adalah bahwa derivatif yang tidak kontinu juga dapat memenuhi sifat ini. Lemma 1.2.11

I  R adalah interval, f : I  R diferensial di c, maka:

Jika

(a) Jika f '(c)  0 , maka terdapat bilangan   0 sehingga f ( x)  f (c) untuk x  I dengan c  x  c   . (b) Jika f '(c)  0 , maka terdapat bilangan   0 sehingga f ( x)  f (c) untuk x  I dengan c    x  c. Bukti: (a) Karena lim

x c

f ( x)  f (c)  f ' (c)  0 , maka terdapat   0 sehingga untuk xc

0  x  c   , x  I , berlaku

f ( x )  f (c ) 0 xc .

Akibatnya, untuk x  I dengan x  c , maka diperoleh f ( x )  f (c )  ( x  c ) 

f ( x )  f (c )  0. xc

Jadi, jika x  I dengan c  x  c   , maka f ( x)  f (c) . (b) Bukti menggunakan cara yang sama dengan (a). Teorema 1.2.12 (Teorema Darboux) Jika f diferensiabel pada I  [a, b] dan k bilangan diantara f '(a) dan f '(b) , maka terdapat paling sedikit satu titik c  (a, b) sehingga f '(c)  k . Bukti: Misalkan f '(a)  k  f '(b) . Definisikan g pada I dengan g ( x)  kx  f ( x) untuk

x  I . Mudah difahami bahwa g kontinu pada I, sehingga ia mencapai maksimum pada I. Karena g '(a)  k  f '(a)  0 , maka dengan Lemma 1.2.11 (a) maksimum

20

dari g tidak terjadi di x  a . Serupa, karena g '(b)  k  f '(b)  0 , maka dengan Lemma 1.2.11 (b) maksimum dari g tidak terjadi di x = b. Oleh karena itu, g mencapai maksimum di suatu titik c  (a, b) . Akibatnya dengan Teorema 1.2.1 haruslah 0  g '(c)  k  f '(c) . Jadi f '(c)  k . Contoh : Fungsi g :  1,1  R yang didefinisikan dengan

1 ; x  0  g ( x )  0 ; x  0  1 ; x  0  jelas tidak memenuhi sifat nilai antara pada interval [-1,1]. Oleh karena itu, dengan Teorema Darboux, tidak ada fungsi f sehingga f '( x)  g ( x) untuk semua x [1,1] . Dengan kata lain, g bukan derivatif dari sebarang fungsi pada [-1,1].

1.3 Aturan L’Hospital Marquis Guillame Franqois L’Hospital (1661-1704) adalah pengarang buku kalkulus pertama, L’analyse des infiniment petits, yang diterbitkan pada tahun 1696. Dia mempelajari kalkulus diferensial dari Johann Bernoulli (16671748), saat pertama kali Bernoulli mengunjungi negaranya L’Hospital dan kemudian melanjutkannya melalui surat. Buku yang dikarangnya itu merupakan hasil studinya L’Hospital. Teorema limit, yang dikenal sebagai Aturan L’Hospital lebih dulu muncul dalam buku tersebut, meskipun pada kenyataannya teorema itu ditemukan oleh Bernoulli. Pada subbab ini akan dijelaskan teorema tersebut beserta hasil-hasilnya dan menunjukkan bagaimana teorema yang lain bisa diturunkan.

Bentuk Tak Tentu Jika A  lim f ( x) dan B  lim g ( x) dengan B  0 , maka x c

xc

lim

x c

f ( x) A  . g ( x) B

21

Tetapi, jika B=0 , maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil. Akan dilihat bahwa jika B=0 dan A  0 , maka limitnya tak berhingga (jika limitnya ada). Kasus A  0 , B=0 belum pernah diberikan sebelummnya. Pada kasus ini, limit dari pembagian f/g dikatakan tak tentu. Akan dilihat bahwa pada kasus ini limitnya bisa tidak ada atau dapat bernilai sebarang bilangan real, tergantung pada fungsi f dan g. Simbol 0/0 digunakan untuk menotasikan situasi tersebut. Sebagai contoh, jika  adalah sebarang bilangan real, dan jika didefinisikan f ( x)  x dan g ( x)  x , maka

lim

x 0

f ( x) x  lim  lim    . x  0 x 0 g ( x) x

Oleh karena itu bentuk tak tentu bisa saja menghasilkan sebarang bilangan real  sebagai limitnya. Bentuk tak tentu yang lain disajikan dengan simbol  / , 0  , 0 0 , 1 ,  0 , dan    . Tetapi perhatian akan lebih difokuskan pada bentuk 0/0 dan  / , karena bentuk yang lain biasanya dapat diturunkan dari kedua bentuk tak tentu tersebut dengan menggunakan manipulasi logaritma, eksponensial, atau aljabar.

Aturan L’Hospital Bentuk 0/0 Untuk menunjukkan bahwa kegunaan diferensiasi dalam konteks ini merupakan hal yang biasa dan bukan hal yang baru, akan diberikan terlebih dahulu hasil dasarnya dengan menggunakan definisi dari derivatif. Teorema 1.3.1 Misalkan f dan g terdefinisi pada [a, b] , f (a)  g (a)  0, dan misalkan g ( x)  0 untuk a  x  b . Jika f dan g diferensiabel di a dan g ' (a)  0 , maka limit dari f / g ada nilainya sama dengan f ' (a) / g ' (a) . Jadi, lim

xa

f ( x) f '(a )  . g ( x) g '(a)

22

Bukti:

Karena f (a)  g (a)  0, maka pembagian f ( x) / g ( x) dapat dituliskan

sebagai f ( x)  f (a ) f ( x) f ( x)  f (a ) xa   . g ( x)  g (a ) g ( x) g ( x)  g (a) xa

Dengan mengaplikasikan teorema pembagian limit diperoleh f ( x)  f (a ) lim f ( x) x a f '(a) xa lim   . x a g ( x) g ( x)  g (a) g '(a) lim x a xa

Catatan: Hipotesis f (a)  g (a)  0, sangat penting di sini. Sebagai contoh, jika f ( x)  x  2 dan g ( x)  5x  3 untuk xR, maka lim

x 0

f ( x) g ( x)



2 3

, sedangkan

f '(0) 1  . g '(0) 5

Dengan menggunakan cara yang sama, limit berikut dapat dicari x2  x 2  0  1 1   . x 0 sin 2 x 2 cos 0 2 lim

Untuk menentukan limit dimana f dan g tidak diferensiabel di a, diperlukan hasil yang yang lebih umum dari Teorema Nilai Rata-Rata. Teorema 6.3.2 (Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy) Jika f dan g kontinu pada [a, b] , diferensiabel pada (a, b) , dan g ' ( x)  0 untuk semua x  (a, b) , maka terdapat c  (a, b) sehingga f (b)  f (a) f ' (c )  . g (b)  g (a) g ' (c)

Bukti: Sebagaimana pembuktian Teorema Nilai Rata-Rata, didefinisikan suatu fungsi yang memenuhi Teorema Rolle. Pertama, karena g ' ( x)  0 untuk setiap x  (a, b) , maka dengan Teorema Rolle g (a)  g (b). Untuk x [a, b] , didefinisikan

23

h( x ) 

f (b)  f (a) ( g ( x)  g (a))  ( f ( x)  f (a)). g (b)  g (a)

Mudah difahami bahwa h kontinu pada [a, b] , diferensiabel pada (a, b) , dan h(a)  h(b)  0 . Oleh karena itu dengan Teorema Rolle, terdapat titik c  (a, b)

sehingga 0  h ' (c ) 

f (b)  f (a) g ' (c)  f ' (c). g (b)  g (a)

Karena g ' ( x)  0 , maka dengan membagi persamaan di atas dengan g ' (c) akan diperoleh hasil yang diinginkan.

Catatan: Teorema di atas mempunyai interpretasi geometri yang mirip dengan Teorema Nilai Rata-Rata 6.2.4. Fungsi f dan g dapat dipandang sebagai kurva dalam bidang dengan memakai persamaan parameter

x  f (t ), y  g (t )

dengan

a  t  b.

Sedangkan kesimpulan dari teoremanya yaitu terdapat titik ( f (c), g (c)) pada kurva untuk suatu c  (a, b) , sehingga gradien garis singgung di titik tersebut sama dengan gradien garis lurus yang melalui titik ( f (a), g (a)) dan ( f (b), g (b)) . Perhatikan jika g ( x)  x , maka Teorema Nilai Rata-rata Cauchy menghasilkan Teorema Nilai Rata-Rata 1.2.4. Berikut ini diberikan hasil utama yang lebih dikenal sebagai Aturan L`Hospital. Pembaca harus mengamati bahwa hal ini berbeda dengan Teorema 6.3.1, yaitu tidak diperlukan asumsi bahwa f diferensiabel di titik a.

Teorema 1.3.3 (Aturan L’Hospital) Jika f dan g fungsi kontinu pada [a, b] , diferensiabel pada (a, b) , f(a) = g(a) = 0, dan g ( x)  0 , dan g ' ( x)  0 untuk a  x  b , maka (a) Jika lim x a

f '( x) f ( x)  L untuk L  , maka lim  L. x  a g '( x) g ( x)

24

(b) Jika lim x a

f '( x) f ( x)   (atau   ), maka lim   (atau   ). x a g ( x) g '( x)

Bukti: (a) Diberikan sebarang   0 . Dari yang diketahui terdapat   0 sehingga untuk a  x  a   berlaku f ' ( x)  L  . g ' ( x)

.

Untuk sebarang x yang memenuhi a  x  a   diperoleh suatu titik c x (dengan Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy) sehingga a  cx  x dan f ( x ) f ' (c x )  . g ( x ) g ' (c x )

Karena

cx

memenuhi

a  cx  a   ,

dengan ketaksamaan sebelumnya

mengakibatkan f ' (cx ) f ( x) L   L  . g ( x) g ' (cx )

Karena hal ini benar untuk semua x dengan a  x  a   ,

maka dapat

disimpulkan lim

xa

f ( x)  L. g ( x)

(b) Hanya dibuktikan untuk kasus +. Diberikan sebarang K  0 . Terdapat   0 sehingga untuk a  x  a   berlaku f '( x) / g '( x)  K .

Untuk setiap x yang demikian, dapat diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy 1.3.2 untuk memperoleh c x sehingga a  cx  x  a   dan f ( x) f ' (c x )   K. g ( x ) g ' (c x )

25

Karena K sebarang, maka disimpulkan bahwa lim x a

f '( x) . g '( x)

Contoh:

lim x 2

x3  8 adalah bentuk tak tentu 0/0. x2

Maka





x3  8 ' x3  8 lim  lim x2 x  2 x2  x  2  ' 3x 2 x2 1  12  lim

Teorema 1.3.4 Misalkan f dan g fungsi kontinu dan diferensiabel pada

[b, ) , dan

lim f ( x)  lim g ( x)  0 dengan g ' ( x)  0 untuk x  b , maka x 

x 

lim

x 

f ( x) f ' ( x)  lim . g ( x) x   g ' ( x)

Bukti: Dengan mengambil t  1/ x , pada interval [0,1/ b] didefinisikan fungsi F dan G dengan  f ( 1t ) ; 0  t  1b F ( x)   ; t 0 0

dan  g ( 1t ) ; 0  t  1b G ( x)   . ; t 0 0

Perhatikan bahwa lim F (t )  lim f ( x) dan lim G(t )  lim g ( x). Selanjutnya fungsi F t 0

x

t 0

x

dan G memenuhi syarat hipotesis pada Teorema 1.3.3. Untuk 0  t  1b , dengan

26

Aturan Rantai 1.1.5 diperoleh F ' (t )  (1 / t 2 ) f ' (1 / t ) dan G ' (t )  (1 / t 2 ) g ' (1 / t ). Sehingga dengan Teorema 1.3.3 disimpulkan bahwa lim

x 

f ( x) F (t ) f '(1/ t ) f '( x)  lim  lim  lim . t  0 t  0 x  g ( x) G (t ) g '(1/ t ) g '( x)

Contoh (a) lim x 0

sin x cos x  lim  lim 2 x cos x  0. x  0 x 1/(2 x ) x0

Perhatikan bahwa penyebut tidak diferensiabel di x = 0 sehingga Teorema 1.3.1 tidak dapat diaplikasikan. (b) lim

x 0

(1  cos x) x

2

 lim

x 0

sin x . Pembagian pada limit kedua masih merupakan 2x

bentuk tak tentu 0/0. Sehingga aturan L’Hospital masih dapat digunakan. Akibatnya lim

(1  cos x)

x 0

x

2

 lim

x 0

sin x cos x 1  lim  . x  0 2x 2 2

(c) lim (e x  1) / x  lim e x / 1  1. Dengan cara serupa, lim x 0

x 0

x 0

ex  1  x x2

ex  1 1  . x 0 2 x 2

 lim

(d) lim(log x) /( x  1)  lim(1/ x) /1  1 . x0

x0

(e) Misalkan diketahui fungsi f dengan  cos x  1 ; x0  f ( x)   x . 0 ; x0

cos x  1  lim( sin x)  0  f (0) , maka f x 0 x 0 x

Karena lim f ( x)  lim x 0

Lebih lanjut, f juga diferensiabel di 0 dengan f '(0)  lim x 0

f ( x)  f (0) cos x  1 sin x  lim  lim   12 . 2 x  0 x  0 x0 x 2x

(f) Misalkan f diferensiabel dua kali di persekitaran dari c, hitung

27

kontinu di 0.

lim h 0

f (c  h)  ( f (c)  f '(c)h) . h2

Limit ini adalah bentuk tak tentu 0/0 (terhadap h), sehingga lim h 0

f (c  h)  ( f (c)  f '(c)h) f '(c  h)  f '(c)  lim 2 h  0 h 2h f ''(c  h) 1  lim  2 f "(c) h 0 2

Bentuk  /  Teorema 1.3.6 Jika f dan g diferensiabel pada (a, b) , lim f ( x)   dan lim g ( x)   , serta x a

x a

g ( x)  0 dan g ' ( x)  0 untuk a  x  b , maka :

(a) Jika lim

f '( x) f ( x)  L untuk L  R , maka lim  L. x  a g '( x) g ( x)

(b) Jika lim

f '( x) f ( x)   (atau   ), maka lim   (atau   ). x a g ( x) g '( x)

x a

x a

Bukti: (a) Diberikan sebarang 0    1/ 2 . Dari hipotesis terdapat   0 sehingga untuk a  x  a   berlaku f ' ( x)  L  . g ' ( x)

Dipilih c1 di dalam (a, a  ) , dan karena f mempunyai limit kanan di a, maka dapat dipilih c2 di dalam (a, c1 ) sehingga f ( x)  f (c1 ) untuk a  x  c2 . Selanjutnya didefinisikan fungsi F pada (a, c2 ) dengan F ( x) 

1  f (c1 ) / f ( x) 1  g (c1 )  g ( x)

28

untuk a  x  c2 .

Karena

g ' ( x)  0 untuk a  x  b , maka g ( x)  g (c1 ) untuk a  x  c2 . Dari

definisi fungsi F,

lim F ( x)  1 . Oleh karena itu terdapat titik c3 dengan xa

a  c3  c2 sehingga F (x) 1   untuk a  x  c3 . Jadi, jika a  x  c3 , maka

1 1   2. F ( x) 1  

Perhatikan bahwa f ( x) f ( x) F ( x) f ( x)  f (c1 ) 1     . g ( x) g ( x) F ( x) g ( x)  g (c1 ) F ( x)

Kemudian dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy 1.3.2, terdapat  di dalam ( x, c1 ) sehingga f ( x) f ' () 1   . g ( x) g ' () F ( x)

Karena a  x  c3  c 2  c1  a   , maka diperoleh f ( x) f ' ( ) 1 L   L g ( x) g ' ( ) F ( x )



f ' ( ) 1  LF ( x)  F ( x) g ' ( )

 f ' ()  1   L  L  LF ( x)  F ( x)  g ' () 

 (  L )2  2(1  L ).

Karena  > 0 sebarang, maka disimpulkan bahwa lim xa

(b) Buktinya ditinggalkan sebagai latihan.

29

f ' ( x) L. g ' ( x)

Terdapat suatu teorema yang sejalan dengan Teorema 1.3.6, yang berlaku untuk x   . Hasil ini diperoleh dari Teorema 6.3.6 dengan cara yang sama seperti ketika menurunkan Teorema 1.3.4 dari Teorema 1.3.3. Contoh (a) Misalkan I  (0, ) dan perhatikan lim(log x) / x . Jika diaplikasikan modifikasi x 

dari Teorema 1.3.6, maka lim(log x) / x  lim(1/ x) /1  0 . x 

x

(b) Misalkan I = R dan perhatikan lim x2 / e x . Dalam hal ini diperoleh x 

lim x2 / e x  lim2 x / e x  lim2/ e x  0 .

x 

(c)

Misalkan

I  (0, )

dan

x 

x 

perhatikan

lim(logsin x) / log x . x0

Dengan

mengaplikasikan Teorema 1.3.6 diperoleh cos x log sin x  x  lim  lim sin x  lim    cos x.    log x x 0 x 0 1 / x x 0  sin x 

Karena

lim x / sin x  1

x 0 

lim cos x  1 ,

dan

x 0 

maka

disimpulkan

lim(logsin x) / log x  1 .

x 0

Bentuk-bentuk Tak Tentu yang Lain Bentuk-bentuk tak tentu seperti 0  , 0 0 , 1 , 0 dan    dapat diperoleh dari bentuk tak tentu sebelumnya dengan menggunakan manipulasi aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi eksponensial. Contoh (a) Misalkan I  (0,  / 2) dan perhatikan 1  1 lim    x 0  x sin x  ,

yang mempunyai bentuk tak tentu    . Bentuk direduksi ke bentuk 0/0,

30

1  sin x  x 1 lim    lim  x 0  x sin x  x 0 x sin x

cos x  1  sin x 0  lim   0. x0 sin x  x cos x x0 2cos x  x sin x 2

 lim

(b) Misalkan I  (0, ) dan perhatikan lim x log x , yang mempunyai bentuk tak x 0

tentu 0  . Diperoleh lim x log x  lim x 0

x 0

log x 1/ x  lim  lim( x)  0. 1/ x x 0 1/ x2 x 0

(c) Misalkan I  (0, ) dan perhatikan lim x x , yang mempunyai bentuk tak tentu x 0

00 . Dengan mengingat kembali aturan pada kalkulus bahwa x x  e x log x ,

maka dari (b) dan kekontinuan fungsi y  e y untuk y  0 , diperoleh lim x x  e0  1.

x 0

(d) Misalkan I  (1, ) d an perhatikan lim (1  1/ x) x , yang mempunyai bentuk tak x 

tentu 1 . Karena (1  1/ x) x  e x log(11/ x )

(*)

dan log(1  1/ x) (1  1/ x) 1 ( x 2 ) 1  lim  lim 1, 2 x  x  x  1/ x 1  1/ x x

lim x log(1  1/ x)  lim

x 

maka dengan kekontinuan y  e y di y  0 , disimpulkan bahwa lim (1  1/ x) x = e. x 

1.4 Teorema Taylor Nilai fungsi dari suku banyak dapat ditentukan dengan melakukan sejumlah berhingga operasi penjumlahan dan perkalian. Tetapi terdapat beberapa fungsi lain seperti fungsi logaritma, eksponensial dan fungsi trogonometri yang nilainya tidak dapat ditentukan dengan mudah. Pada

subbab ini akan

diperlihatkan bahwa banyak fungsi yang dapat dihampiri oleh suku banyak, dan suku banyak tersebut sebagai pengganti fungsi asalnya dapat digunakan untuk

31

perhitungan apabila perbedaan diantara nilai fungsi asalnya dan hampirannya dengan suku banyak cukup kecil. Terdapat berbagai metode untuk meghampiri fungsi yang diberikan dengan suku banyak. Salah satu cara yang paling sering digunakan adalah dengan rumus Taylor. Nama ini diabadikan untuk menghormati seorang matematikawan Inggris, Brook Taylor (1685 – 1731). Teorema Taylor dapat dipandang sebagai perluasan dari Teorema Nilai Rata-Rata. Jika fungsi f mempunyai derivatif ke-n di titik x0 , tidak sulit untuk mengkonstruksi suku banyak berderajat n, Pn , sehingga Pn ( x0 )  f ( x 0 ) dan Pn( k ) ( x0 )  f ( k ) ( x 0 ) untuk k = 1,2,…, n. Kenyataanya suku banyak

Pn ( x)  f ( x 0 )  f '( x0 )( x  x0 ) 

f ''( x0 ) ( x  x0 )2  2!



f ( n ) ( x0 ) ( x  x0 )n n!

(*)

mempunyai sifat seperti ini. Suku banyak Pn ini disebut suku banyak Taylor ke-n untuk f di x0 . Suku banyak ini diharapkan akan menghampiri f di titik-titik dekat x0 , tetapi untuk mengukur keakuratan dari hampiran perlu informasi dari sisa Rn  f  Pn . Hasil berikut memberikan informasi demikian.

Teorema 1.4.1 (Teorema Taylor) Misalkan n  N , I  [a, b] , dan f : I  R sehingga f dan derivatif

f ', f ",

, f ( n)

kontinu pada I dan f ( n1) ada pada (a,b). Jika x0  I , maka untuk sebarang x  I terdapat titik c diantara x dan x0 sehingga f ''( x0 ) ( x  x0 ) 2 2! ( n 1) f ( n ) ( x0 ) f (c )  ( x  x0 ) n  ( x  x0 ) n 1 n! (n  1)!

f ( x)  f ( x 0 )  f '( x0 )( x  x0 )  

(**)

Bukti: Misalkan x  I dan J interval tertutup dengan titik ujung x dan x0 . Didefinisikan fungsi F pada J dengan F (t )  f ( x)  f (t )  ( x  t ) f '(t ) 

untuk t  J . Mudah difahami bahwa

32



( x  t )n ( n ) f (t ) n!

F '(t )  

( x  t )n ( n 1) f (t ) . n!

Jika didefinisikan G pada J dengan  x t  G(t )  F (t )     x  x0 

n 1

F ( x0 )

untuk t  J , maka G kontinu pada J, diferensiabel diantara x dan x0 , dan G( x0 )  G( x)  0 . Akibatnya menurut Teorema Rolle 1.2.3 terdapat titik c diantara

x dan x0 sehingga 0  G '(c)  F '(c)  (n  1)

( x  c) n F ( x0 ) . ( x  x0 )n 1

Oleh karena itu, F ( x0 )    

1 ( x  x0 ) n 1 F '(c) n  1 ( x  c) n 1 ( x  x0 ) n 1 ( x  c) n ( n ) f (c ) n  1 ( x  c) n n!

f ( n 1) (c) ( x  x0 ) n 1 (n  1)!

yang memberikan persamaan (**).

Jika Pn menotasikan suku banyak Taylor berderajat n (1) dari f , dan Rn untuk sisa, maka kesimpulan dari Teorema Taylor dapat dituliskan sebagai f ( x)  Pn ( x)  Rn ( x) dengan Rn diberikan oleh

Rn 

f ( n 1) (c) ( x  x0 ) n 1 (n  1)!

(***)

untuk suatu c diantara x dan x0 . Formula Rn disebut bentuk Lagrange (atau bentuk derivatif) dari sisa.

Aplikasi dari Teorema Taylor Suku sisa Rn

di dalam Teorema Taylor dapat digunakan untuk

mengestimasi error dari hampiran suku banyak Taylor Pn terhadap f. Jika nilai n ditentukan, maka keakuratan dari hampiran itu dapat dihitung. Sebaliknya, jika

33

keakuratan ditentukan lebih dahulu, maka nilai n dapat ditentukan. Contoh-contoh berikut menjelaskan keadaan ini. Contoh (a) Gunakan Teorema Taylor dengan n  2 untuk menghampiri

3

x  1 , x  1 .

Diambil fungsi f ( x)  ( x  1) , x0  0 dan n  2 . Karena f '( x)  13 ( x  1)  1

3

2

3

dan

f ''( x)   92 ( x  1)  3 , maka f '(0)  13 dan f ''(0)   92 . Jadi 5

f ( x)  P2 ( x)  R2 ( x)  1  13 x  19 x 2  R2 ( x) ,

dengan R2 ( x) 

8 f "(c) 3 5 x  (c  1) 3 x3 untuk suatu c diantara 0 dan x. Jika 3! 81

diambil x  0,3 , maka diperoleh hampiran P2 (0,3)  1,09 untuk

3

1,3 . Lebih

lanjut, karena dalam kasus ini c  0 , maka (c  1)   1 dan sehingga errornya 8

3

paling besar adalah 3

5 3 1 R2 (0,3)      0,17  102 . 81  10  600

Jadi, diperoleh

3

1,3  1,09  0,5 102 , yaitu diperoleh ketelitian sampai dua

tempat desimal. (b) Hampiri bilangan e dengan error kurang dari 105 . Ambil fungsi f ( x)  e x , x0  0 dan x = 1 di dalam Teorema Taylor. Akan ditentukan n sehingga Rn (1)  105 . Untuk melakukan ini, gunakan fakta bahwa f ( k ) ( x)  e x , f ( k ) (0)  1 untuk semua k  N, dan e x  3 untuk 0  x  1, maka suku banyak Taylor berderajat n adalah Pn ( x)  1  x 

x2  2!



xn , n!

dan sisa untuk x = 1 diberikan oleh Rn (1) 

ec (n  1)!

dengan 0  c  1 . Karena ec  3 , Rn (1)  105 jika dan hanya jika

3  105 . (n  1)!

Ketaksamaan terakhir ini dipenuhi untuk n = 8, sehingga diperoleh e  P8 (1)  1  1 

1  2!

34



1  2,71828 8!

dengan error kurang dari 105 .

Teorema Taylor dapat juga untuk menurunkan beberapa ketaksamaan.

Contoh: (a) Tunjukkan bahwa 1  12 x 2  cos x untuk semua x  R. Dengan f ( x)  cos x dan x0  0 di dalam Teorema Taylor diperoleh cos x  1  12 x 2  R2 ( x)

dengan R2 ( x) 

f "'(c) 3 sin c 3 x  x , 3! 6

dan c bilangan diantara 0 dan x. Jika 0  x   , maka 0  c   . Lebih lanjut, karena c dan x 3 positif, maka R2 ( x)  0 . Juga, jika   x  0 , maka   c  0. Karena c dan x 3 negatif, maka R2 ( x)  0 . Oleh karena itu, 1  12 x 2  cos x untuk x   .

Jika x   , maka 1  12 x 2  3  cos x dan ketaksamaan dengan sendirinya dipenuhi. Jadi ketaksamaan di atas dipenuhi untuk semua x  . (b) Untuk sebarang k  N, dan untuk semua x  0 , berlaku x  12 x 2 

 21k x 2 k  log(1  x)  x  12 x 2 

 2 k11 x 2 k 1 .

Karena derivatif dari log(1  x) adalah 1 (1  x) untuk x  0 , maka suku banyak Taylor untuk log(1  x) dengan x0  0 adalah Pn ( x)  x  12 x 2 

 (1) n 1 1n x n

dan sisanya diberikan oleh Rn ( x) 

(1)n c n 1 n 1 x n 1

untuk suatu c yang memenuhi 0  c  x . Jadi untuk sebarang x  0 dan n  2k (genap), maka

R2 k ( x)  0 .

Sedangkan untuk

R2 k 1 ( x)  0 . Akhirnya ketaksamaan di atas terbukti.

35

n  2k  1

(ganjil), maka