Algebran peruskurssi II: Turun yliopisto [version 28 May 2008 ed.] [PDF]

Zitiervorschau

Algebran peruskurssi II Turun yliopisto

Markku Koppinen

28. toukokuuta 2008

Alkusanat Algebran peruskurssi II tutustuttaa uusiin algebrallisiin systeemeihin: renkaisiin, kuntiin ja sisätuloavaruuksiin. Lisäksi tutkitaan syklisiä ryhmiä ja permutaatioryhmiä tarkemmin. Kurssi on suoraa jatkoa Algebran peruskurssiin I, jonka hallinta onkin välttämätöntä kurssin seuraamiselle. Tämäkin moniste noudattaa melko tarkoin Tauno Metsänkylän aikaisemmin kirjoittamaa. Suurimpana erona on sisätuloavaruuksien sijoittaminen tähän kurssiin. Käsittelyä on paikoin hiukan muutettu ja esimerkkejä on lisätty. Pykäliä 1.2.5, 1.2.6 ja 3.8 ei kurssilla ehkä ehditä käsitellä. Myös pykälien 3.5.1 ja 3.5.2 sekä luvun 4 tarkastelu saattaa jäädä pikaiseksi.

i

Sisältö 1 Syklisistä ryhmistä ja permutaatioryhmistä 1.1

1.2

Sykliset ryhmät . . . . . . . . . . . 1.1.1 Syklisen ryhmän aliryhmät 1.1.2 Alkion kertaluku . . . . . . Permutaatioryhmät . . . . . . . . . 1.2.1 Permutaatiot . . . . . . . . 1.2.2 Syklit . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Permutaatiomatriisit . . . . 1.2.4 Permutaation merkki . . . . 1.2.5 Cayleyn lause . . . . . . . . 1.2.6 Esimerkki: diedriryhmät . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

1 . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

2 Rengas 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

1 1 3 4 4 5 7 8 9 9

11

Renkaan määritelmä ja esimerkkejä . . . . Renkaan aritmetiikkaa . . . . . . . . . . . Renkaan yksiköt . . . . . . . . . . . . . . Alirengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rengashomomorsmit . . . . . . . . . . . Homomorsmin ydin. Renkaan ihanne . . Jäännösluokkarengas . . . . . . . . . . . . Homomoralause . . . . . . . . . . . . . . Osajoukon generoima ihanne . . . . . . . Polynomirenkaat . . . . . . . . . . . . . . Kokonaisalue. Karakteristika . . . . . . . 2.11.1 Polynomirengas yli kokonaisalueen

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

11 13 15 15 17 18 20 21 22 24 25 27

3 Kunta

29

3.1 3.2 3.3

29 32 34

Kunnan määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alikunta. Alkukunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kokonaisalueen osamääräkunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

SISÄLTÖ 3.4 3.5

3.6 3.7 3.8

iii

Laajennuskunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . Renkaan maksimaalinen ihanne . . . . . . . . . 3.5.1 Zornin lemma . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Maksimaalisten ihanteiden olemassaolo . Polynomien jaollisuus . . . . . . . . . . . . . . Kuntalaajennuksen konstruoiminen jaottomasta Vektoriavaruus yli mielivaltaisen kunnan . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . polynomista . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

4 Sisätuloavaruus 4.1 4.2 4.3 4.4

Sisätulo ja normi . . . . . . . . . . . . . . . . Ortonormaalikanta . . . . . . . . . . . . . . . GraminSchmidtin ortogonalisointimenetelmä Ortogonaalikomplementti ja -projektio . . . .

37 39 40 42 43 47 50

52 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

52 55 55 57

Luku 1

Syklisistä ryhmistä ja permutaatioryhmistä 1.1 Sykliset ryhmät Muistetaan, että yhden alkion generoimaa ryhmää sanotaan sykliseksi, ja että näillä on yksinkertainen luokittelu: Syklinen ryhmä on (isomoraa vaille) joko n alkion syklinen ryhmä Cn = hci = {1, c, . . . , cn−1 } missä cn = 1 (n ≥ 1), tai ääretön syklinen ryhmä C∞ = hci = {cm | m ∈ Z} missä cm :t ovat erisuuria.

1.1.1 Syklisen ryhmän aliryhmät Lemma 1.1.1 Olkoon G syklinen ryhmä G = hci ja olkoon H ≤ G. Jos H 6= {1}, niin H = hck i,

missä k on pienin sellainen luku > 0, että ck ∈ H . Todistus. Olkoon H 6= {1}. Silloin H sisältää jonkin alkion cn , missä n 6= 0. Myös (cn )−1 = 0 c−n ∈ H , joten H :ssa on alkio cn , missä n0 > 0. Väitteessä mainittu k on siis olemassa. Olkoon a ∈ H . Kirjoitetaan a = cm , m ∈ Z. Jakoalgoritmin mukaan m = qk + r, missä q, r ∈ Z ja 0 ≤ r < k . Nyt a = cqk+r = (ck )q cr , josta

cr = (ck )−q a ∈ H. Luvun k minimaalisuuden nojalla r = 0. Täten m = qk , ja siis a = cm = (ck )q ∈ hck i. Näin ollen H ⊆ hck i. Kääntäen, koska ck ∈ H , niin hck i ⊆ H . Siis H = hck i. 2

Seuraus 1.1.2 Syklisen ryhmän aliryhmät ovat syklisiä. 1

LUKU 1. SYKLISISTÄ RYHMISTÄ JA PERMUTAATIORYHMISTÄ

2

Esimerkki 1.1.3 Tarkastellaan ääretöntä syklistä ryhmää C∞ = hci. a) Aliryhmä H = hc4 , c6 i on lemman mukaan muotoa hck i, missä k > 0. Mikä k on? b) Entä yleinen tapaus: Jos m, n 6= 0, niin millä k :lla hcm , cn i = hck i? c) Entä millä k :lla hcm i ∩ hcn i = hck i?

Lause 1.1.4 Äärettömän syklisen ryhmän C∞ = hci kaikki aliryhmät ovat hck i

(1.1)

(k = 0, 1, 2, . . . ),

ja mitkään kaksi näistä eivät ole samoja (joukkoina). Todistus. Ryhmällä C∞ on joka tapauksessa mainitut ryhmät hck i aliryhminä, eikä lemman 1.1.1 mukaan muita aliryhmiä ole. On enää todistettava, etteivät aliryhmistä (1.1) mitkään ole samoja. Koska äärettömässä syklisessä ryhmässä alkiot cm ovat erisuuria, niin cm ∈ hck i = {cnk | n ∈ Z} 0

0

⇐⇒

k | m.

0

0

Niinpä, jos hck i = hck i, toisin sanoen sekä ck ∈ hck i että ck ∈ hck i, niin saadaan k | k ja k 0 | k . Jos lisäksi k, k 0 ≥ 0, seuraa k = k 0 . 2

Esimerkki 1.1.5 Ryhmän Z kaikki aliryhmät ovat nZ (n = 0, 1, 2, . . .). Äärettömän syklisen ryhmän aliryhmät 6= {1} ovat siis äärettömiä syklisiä ryhmiä, joten ne ovat keskenään isomorsia vaikka ovatkin eri aliryhmiä. Äärellisten syklisten ryhmien kohdalla tilanne on hiukan mutkikkaampi:

Lause 1.1.6 Syklisellä ryhmällä Cn = hci on jokaista n:n (positiivista) tekijää m kohti tarkalleen yksi aliryhmä, jonka kertaluku on m, nimittäin hck i = {1, ck , c2k , . . . , c(m−1)k },

(1.2)

missä k = n/m. Muita aliryhmiä Cn :llä ei ole. Todistus. Jos m | n (m > 0) ja merkitään k = n/m, niin (ck )m = cn = 1, joten hck i = {1, ck , c2k , . . . , c(m−1)k }. Alkiot 1, ck , c2k , . . . , c(m−1)k ovat erisuuria, koska eksponentit ovat < n. Täten #hck i = m. Olkoon H ≤ Cn mielivaltainen aliryhmä. Jos H = {1}, niin H = hcn/1 i, joten H on eräs aliryhmistä (1.2). Olkoon nyt H 6= {1}. Lemman 1.1.1 nojalla H = hch i, missä h > 0 on pienin sellainen luku, että ch ∈ H . Kirjoitetaan n = qh + r, 0 ≤ r < h. Koska

cr = cn−qh = cn (ch )−q = (ch )−q ∈ H, niin h:n minimaalisuuden johdosta r = 0. Siis h | n. Kun merkitään m = n/h, niin m | n ja h = n/m; näin ollen H on eräs aliryhmistä (1.2). 2

LUKU 1. SYKLISISTÄ RYHMISTÄ JA PERMUTAATIORYHMISTÄ

3

Seuraus 1.1.7 Jos p on alkuluku, niin syklisellä ryhmällä Cp on vain triviaalit aliryhmät. Esimerkki 1.1.8 Syklisellä ryhmällä C12 on lauseen mukaan vain kuusi aliryhmää: hci, hc2 i, hc3 i, hc4 i, hc6 i ja hc12 i = h1i = {1}. Toisaalta sillä on aliryhmät hci i, i = 0, . . . , 11. Selvitetään, mikä näistä on mikin ko. kuudesta aliryhmästä.

Esimerkki 1.1.9 Piirretään syklisen ryhmän C12 aliryhmien keskinäisiä sisältymisiä kuvaava ns. Hassen diagrammi.

1.1.2 Alkion kertaluku Kun G on mielivaltainen ryhmä, niin alkion a ∈ G generoima aliryhmä on syklinen: joko hai ' Cn jollain n:llä tai hai ' C∞ . Muistetaan, että aliryhmän hai kertalukua sanotaan alkion a kertaluvuksi ja merkitään ord(a):lla; siis (1.3)

ord(a) = #hai.

Näin ollen ord(a) on pienin eksponentti n > 0, jolla an = 1, jos tällaisia eksponentteja on; ord(a) = ∞, jos am 6= 1 kaikilla eksponenteilla m > 0.

Esimerkki 1.1.10 Ryhmässä R∗ on ord(1) = 1 ja ord(−1) = 2, ja ord(a) = ∞ kun a 6= ±1. Esimerkki 1.1.11 Lasketaan ryhmän Z∗21 alkioiden 2 ja 20 kertaluvut. µ

¶ cos α − sin α ∈ SL2 (R) antaa tason R2 kierron origon sin α cos α ympäri kulman α verran. (Tulkitaan Rα lineaarikuvauksen matriisiksi luonnollisen kannan suhteen.) Tietenkin (Rα )n = Rnα . Näin ollen esimerkiksi (Rπ/4 )8 = I (identiteettimatriisi), eikä I :tä saada millään pienemmällä positiivisella eksponentilla. Siis ord(Rπ/4 ) = 8.

Esimerkki 1.1.12 Matriisi Rα =

Esimerkki 1.1.13 Yhtälön xn = 1 kompleksilukuratkaisut ovat x = e2πik/n = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n)

(k = 0, 1, . . . , n − 1),

ns. n:nnet ykkösenjuuret. Kun merkitään

ζn = e2πi/n , niin n:nnet ykkösenjuuret voidaan kirjoittaa muodossa ζn k , missä k = 0, 1, . . . , n − 1. Ne muodostavat ryhmän C∗ aliryhmän, joka on syklinen ja kertalukua n, generoijana esimerkiksi ζn .

Esimerkki 1.1.14 Olkoon matriisi A ∈ GL3 (C) diagonalisoituva ja olkoot sen ominaisarvot 1, ζ3 , ζ4 . Mikä on ord(A)?

LUKU 1. SYKLISISTÄ RYHMISTÄ JA PERMUTAATIORYHMISTÄ

4

Lause 1.1.15 Olkoon G ryhmä ja a ∈ G. Jos ord(a) = n, niin ord(am ) =

n . syt(n, m)

(1.4)

Todistus. Merkitään d = syt(n, m) ja n = n1 d, m = m1 d. On osoitettava, että ord(am ) = n1 , toisin sanoen että (am )r = 1 ⇐⇒ n1 | r . Koska ord(a) = n, niin amr = 1 jos ja vain jos n | mr. Tämä on ekvivalentti ehdon n1 | m1 r kanssa. Koska syt(n1 , m1 ) = 1, väite seuraa. 2

Seuraus 1.1.16 Syklisessä ryhmässä Cn = hci on ord(cm ) =

n syt(n, m)

(m ∈ Z).

Seuraus 1.1.17 Syklisen ryhmän Cn = hci generoijia ovat tarkalleen ne alkiot cm , missä syt(n, m) = 1; niitä on siis ϕ(n) kappaletta.

Esimerkki 1.1.18 Lasketaan ryhmän Z∗9 alkioiden kertaluvut. Esimerkki 1.1.19 Osoitetaan, että jos ryhmän G alkion a kertaluku on pariton, niin hai = ha2 i. Esimerkki 1.1.20 Tarkastellaan uudestaan esimerkkiä 1.1.8. Esimerkki 1.1.21 Olkoon n, m > 0. Tarkastellaan syklistä ryhmää Cn . Seurauksen 1.1.16 mukaan ord(cm ) = n/ syt(n, m). Huomaa, että hcm i = {g m | g ∈ Cn }. Päätellään tästä, että

#{g ∈ Cn | g m = 1} = syt(n, m).

Esimerkki 1.1.22 Aliryhmäkriteerille todistettiin äärellisen ryhmän tapauksessa mukavampi muoto. Heikennetään nyt sen äärellisyysoletusta.

1.2 Permutaatioryhmät 1.2.1 Permutaatiot Muistetaan, että symmetriseksi ryhmäksi sanotaan joukon Jn = {1, . . . , n} kaikkien permutaatioiden muodostamaa ryhmää

Sn = {α : Jn → Jn | α on bijektio},

(1.5)

missä binäärioperaationa on kuvaustulo; siis permutaatioiden α ja β tulo αβ määritellään asettamalla (αβ)(j) = α(β(j)) (j ∈ Jn ). Ryhmien Sn aliryhmät ovat permutaatioryhmiä. Kun α ∈ Sn ja α(j) = kj (j = 1, . . . , n), merkitään µ ¶ 1 2 ... n α= , (1.6) k1 k2 . . . kn

LUKU 1. SYKLISISTÄ RYHMISTÄ JA PERMUTAATIORYHMISTÄ

5

missä k1 , k2 , . . . , kn ovat luvut 1, 2, . . . , n jossakin järjestyksessä. Jos α(j) = j , niin j on α:n kiintopiste. Huomaa, että jos α:n kiintopisteet ovat j1 , . . . , jr , niin α permutoi joukon Jn \ {j1 , . . . , jr } pisteitä. Sanomme kahta permutaatiota α ja β erillisiksi (tai alkiovieraiksi, disjoint), jos jokainen j ∈ Jn on ainakin toisen kiintopiste.

Lause 1.2.1 Erilliset permutaatiot α ja β kommutoivat, toisin sanoen αβ = βα. Todistus. Olkoon i ∈ Jn mielivaltainen. Pitää todistaa, että αβ(i) = βα(i). Koska α ja β ovat erilliset, niin i on jommankumman kiintopiste; voidaan olettaa, että α(i) = i, jolloin todistettava yhtälö tulee muotoon αβ(i) = β(i). Myös β(i) on jommankumman kiintopiste; jos se on α:n kiintopiste, niin yhtälö on voimassa; jos se on β :n kiintopiste, siis β 2 (i) = β(i), niin β(i) = i, joten yhtälöksi tulee α(i) = i, ja jälleen tämä on voimassa. 2

Esimerkki 1.2.2 Osoitetaan, että jos permutaatiot α ja β kommutoivat, niin on voimassa: Jos i on α:n kiintopiste, niin samoin ovat β(i) ja β −1 (i). Seuraa, että β permutoi α:n kiintopisteitä.

1.2.2 Syklit Tarkastellaan permutaatiota α : Jn → Jn . Kuvaamalla alkiota a1 ∈ Jn α:lla yhä uudelleen saadaan jono a1 , α(a1 ), α2 (a1 ), α3 (a1 ), . . . ; jos merkitään an = αn−1 (a1 ), niin α:n vaikutusta näihin alkioihin voidaan kuvata näin:

a1 7→ a2 7→ a3 7→ a4 7→ · · · .

(1.7)

Koska Jn on äärellinen, niin αi (a1 ) = αj (a1 ) joillain eksponenteilla i > j . Seuraa αi−j (a1 ) = a1 . Näin ollen jono (1.7) palaa jossain vaiheessa takaisin a1 :een, minkä jälkeen jono alkaa toistua.

Määritelmä 1.2.3 Olkoon σ ∈ Sn sellainen permutaatio, että se kuvaa a1 7→ a2 7→ · · · 7→ ar 7→ a1 , missä a1 , . . . , ar ovat eri alkioita, ja että Jn :n alkiot 6= a1 , . . . , ar ovat σ :n kiintopisteitä. Tällöin sanotaan, että σ on r-pituinen sykli tai lyhyesti r-sykli, ja merkitään

σ = (a1 a2 . . . ar ). Esimerkiksi S4 :ssä

µ α=

1 2

2 3 3 1

4 4

(1.8)

¶ = (1 2 3)

on 3-sykli, jonka ainoana kiintopisteenä on 4. Jokainen permutaatio α voidaan kirjoittaa erillisten syklien tulona: Kirjoitetaan ensin esimerkiksi alkiosta 1 alkava sykli (1 α(1) . . . αr (1)), missä αr+1 (1) = 1, sitten jostakin tässä esiintymättömästä alkiosta alkava uusi sykli, ja niin edelleen. Esimerkiksi µ ¶ 1 2 3 4 5 6 α= = (1 4 2)(3 6)(5). (1.9) 4 1 6 2 5 3

LUKU 1. SYKLISISTÄ RYHMISTÄ JA PERMUTAATIORYHMISTÄ

6

Tämä on permutaation α sykliesitys eli syklimuoto. Se on selvästikin yksikäsitteinen, paitsi että syklit voidaan kirjoittaa mihin järjestykseen tahansa ja kukin sykli voidaan aloittaa millä alkiollaan tahansa. Niinpä (1 4 2)(3 6)(5) = (3 6)(2 1 4)(5). Lisäksi 1-syklit jätetään yleensä kirjoittamatta; nehän ovat identiteettikuvauksia. Esimerkiksi (1 4 2)(3 6)(5) = (1 4 2)(3 6). Erityisesti 2-sykliä sanotaan transpositioksi.

Esimerkki 1.2.4 Syklit eivät ehkä kommutoi, elleivät ne ole erillisiä. Esimerkiksi (2 3)(1 2) = (1 3 2) mutta (1 2)(2 3) = (1 2 3).

Esimerkki 1.2.5 Kirjoitetaan S4 :n alkiot syklimuodossa. Etsitään S4 :n aliryhmä, joka on Kleinin neliryhmä.

Lause 1.2.6

(i) Ryhmä Sn on transpositioidensa generoima.

(ii) Ryhmän Sn generoivat jo sen n − 1 transpositiota (1 2), (2 3), (3 4), . . . , (n−1 n).

Todistus. Koska jokainen permutaatio on syklien tulo, väite (i) saadaan todistamalla, että jokainen sykli (a1 . . . ar ) on transpositioiden tulo. Kun r ≥ 3, niin (a1 a2 . . . ar ) = (a1 a2 . . . ar−1 )(ar−1 ar ).

(1.10)

Tämä nähdään tutkimalla, miten oikea puoli kuvaa kunkin alkioista a1 , . . . , ar ; kaikki muut Jn :n alkiothan ovat kummankin puolen kiintopisteitä. Nyt väite seuraa induktiolla r:n suhteen. Kun n ≤ 2, (ii) on triviaali. Olkoon n > 2. Kun a, b, c ∈ Jn ovat erisuuria, niin tutkimalla taas alkioiden kuvautumisia nähdään oikeaksi

(a b) = (a c)(c b)(a c).

(1.11)

Olkoon a < b. Jos a < b − 1, niin valitsemalla c = b − 1 saadaan

(a b) = (a b−1)(b−1 b)(a b−1). Väite (ii) seuraa tästä induktiolla (b − a):n suhteen.

2

Esimerkki 1.2.7 (1 3) = (1 2)(2 3)(1 2) = (2 3)(1 2)(2 3). Esimerkki 1.2.8 Jokainen transpositio (a b) voidaan esittää muotoa (1 c) olevien transpositioiden tulona, sillä (a b) = (1 a)(1 b)(1 a), kun a, b, 1 ovat erisuuria. Siis myös transpositiot (1 2), (1 3), . . . , (1 n) generoivat Sn :n. Permutaation α sanotaan olevan tyyppiä (r1 , . . . , rm ), jos sen syklien pituudet ovat r1 , . . . , rm . Esimerkiksi permutaation (1.9) tyyppi on (1, 2, 3).

LUKU 1. SYKLISISTÄ RYHMISTÄ JA PERMUTAATIORYHMISTÄ

7

Lause 1.2.9 Jos permutaatio α on tyyppiä (r1 , . . . , rm ), niin α:n kertaluku on (1.12)

ord(α) = pyj(r1 , . . . , rm ).

Todistus. Tarkastellaan ensin r-sykliä σ = (a1 . . . ar ). Selvästi σ r = 1 (identiteettikuvaus), mutta mikään alemmista potensseista σ 1 , . . . , σ r−1 ei ole 1. Näin ollen ord(σ) = r. Olkoon α:n sykliesitys α = σ1 · · · σm , missä σj on rj -sykli. Koska σj :t kommutoivat, niin k , ja saadaan αk = σ1k · · · σm αk = 1

⇐⇒

k =1 σ1k = · · · = σm

Tästä seuraa väite.

⇐⇒

r1 | k, . . . , rm | k

⇐⇒

pyj(r1 , . . . , rm ) | k.

2

Huomautus 1.2.10 Ryhmän Sn kukin konjugaattiluokka {τ ατ −1 | τ ∈ Sn } (α ∈ Sn ) koostuu kaikista samaa tyyppiä olevista permutaatioista. Tämä nähdään kirjoittamalla sykliesitys α = (a1 a2 . . . ap )(ap+1 . . . aq ) · · · ( . . . an ) (mukana 1-syklitkin) sekä Ã ! a1 a2 . . . ap ap+1 . . . aq . . . an τ= b1 b2 . . . bp bp+1 . . . bq . . . bn ja laskemalla näistä, että τ ατ −1 = (b1 b2 . . . bp )(bp+1 . . . bq ) · · · ( . . . bn ).

Esimerkki 1.2.11 Näytetään, että S4 :n tyyppejä (1) ja (2, 2) olevat alkiot muodostavat normaalin aliryhmän H4 .

1.2.3 Permutaatiomatriisit Permutaatioon α ∈ Sn liittyväksi permutaatiomatriisiksi sanotaan matriisia Pα = (pij )n×n , missä ( 1 jos i = α(j) (i, j = 1, . . . , n). pij = δi,α(j) = 0 jos i 6= α(j) (Tässä δik on Kroneckerin delta.) Lasketaan permutaatiomatriisien Pα ja Pβ tulo. Kun merkitään Pα Pβ = (qij ), niin

qij =

n X k=1

δi,α(k) δk,β(j) =

n X

δα−1 (i),k δk,β(j) = δα−1 (i),β(j) = δi,αβ(j) ,

k=1

josta

Pα Pβ = Pαβ

(α, β ∈ Sn ).

(1.13)

Erityisesti Pα Pα−1 = Pαα−1 = P1 = (δij ) = I , joten Pα on säännöllinen (eli Pα ∈ GLn (R)) ja Pα−1 = Pα−1 . Koska Pα−1 :n kohdassa (i, j) oleva alkio on δi,α−1 (j) = δα(i),j = δj,α(i) , niin

Pα−1 = Pα−1 = PαT .

Lause 1.2.12 Kuvaus Sn → GLn (R), α 7→ Pα , on injektiivinen ryhmähomomorsmi.

(1.14)

LUKU 1. SYKLISISTÄ RYHMISTÄ JA PERMUTAATIORYHMISTÄ

8

Todistus. Yhtälön (1.13) mukaan kuvaus on ryhmähomomorsmi. Injektiivisyys seuraa siitä, että Pα :n määritelmän nojalla Pα = I = (δij ) vain jos α = 1. 2

Seuraus 1.2.13 Permutaatiomatriisit Pα (α ∈ Sn ) muodostavat Sn :n kanssa isomorsen aliryhmän GLn (R):ssä.

Esimerkki 1.2.14 Ryhmän S3 alkioita 1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) vastaavat permutaatiomatriisit ovat à ! 1 0 0 0 1 0 , 0 0 1

Ã

0 1 0 1 0 0 0 0 1

!

à ,

0 0 1 0 1 0 1 0 0

!

à ,

1 0 0 0 0 1 0 1 0

!

à ,

0 0 1 1 0 0 0 1 0

!

à ,

0 1 0 0 0 1 1 0 0

! .

1.2.4 Permutaation merkki ¡ ¢ Lineaarialgebran kurssilla permutaatio tarkoitti jonoa α = k1 , . . . , kn , missä ki :t ovat µ ¶ luvut 1 ... n 1, . . . , n jossain järjestyksessä. Samaistamme tällaisen nyt kuvauksen α = ∈ Sn k1 . . . kn kanssa. Permutaation α merkki sign(α) määriteltiin jonossa esiintyvien inversioiden avulla. Determinantin määritelmän mukaan det(Pα ) =

X

sign(π)p1,π(1) · · · pn,π(n) .

π∈Sn

Koska pij = δi,α(j) , niin ainoa nollasta eroava termi summassa on se, jossa π = α−1 . Näin ollen det(Pα ) = sign(α−1 ). Silloin myös det(Pα ) = det(PαT ) = det(Pα−1 ) = sign(α).

Lause 1.2.15 Kun α ∈ Sn , niin det(Pα ) = sign(α). Seuraus 1.2.16 Kun α, β ∈ Sn , niin sign(αβ) = sign(α) sign(β). Täten sign : Sn → {1, −1} on ryhmähomomorsmi. Tässä {1, −1} tarkoittaa multiplikatiivisen ryhmän Z∗ aliryhmää. Permutaatio on parillinen tai pariton sen mukaan, onko sen merkki +1 vai −1.

Lause 1.2.17 Jos σ on r-sykli, niin sign(σ) = (−1)r−1 . Transpositiot ovat parittomia. Todistus. Jos τ on transpositio, niin Pτ saadaan identiteettimatriisista vaihtamalla kaksi pystyriviä; siis sign(τ ) = −1. Yhtälön (1.10) mukaan r-sykli voidaan kirjoittaa r − 1 transposition tulona, joten seurauksen 1.2.16 nojalla sen merkki on (−1)r−1 . 2

Seuraus 1.2.18 Jos α on tyyppiä (r1 , . . . , rm ), niin sign(α) = (−1)r1 −1 · · · (−1)rm −1 . Siis samaa tyyppiä olevilla permutaatioilla on sama merkki. Parillisten permutaatioiden joukolle käytetään merkintää

An = {α ∈ Sn | sign(α) = 1}.

(1.15)

LUKU 1. SYKLISISTÄ RYHMISTÄ JA PERMUTAATIORYHMISTÄ

9

Siis An = Ker(sign) £ Sn . Ryhmää An sanotaan n alkion alternoivaksi ryhmäksi. Kun n > 1, niin sign : Sn → {±1} on surjektio. Lagrangen lauseesta seuraa tällöin, että [Sn : An ] = 2. Toisaalta tapauksessa n = 1 on A1 = S1 = {1}.

Esimerkki 1.2.19 Mitkä S3 :n alkiot ovat aliryhmässä A3 ja mitkä sen toisessa sivuluokassa? Esimerkki 1.2.20 Määritetään ryhmän A4 alkiot.

1.2.5 Cayleyn lause Permutaatioryhmien merkitystä ryhmäteoriassa valaisee Cayleyn lause: Jokainen äärellinen ryhmä on isomornen jonkin permutaatioryhmän kanssa. Todistuksen idea on seuraava: Ryhmän G jokainen alkio g määrää bijektiivisen kuvauksen G → G, nimittäin vasemmalta kertomisen g :llä. Tarkemmin: Määritellään kuvaus

ψ : G → {f : G → G | f on bijektio},

ψ(g)(x) = gx ∀ g, x ∈ G.

Ryhmän ominaisuuksista seuraa, että ψ on hyvinmääritelty ja injektiivinen ryhmähomomorsmi (kun bijektiivisten kuvausten G → G joukkoa katsotaan ryhmänä kuvaustulon suhteen). Siis G ' Im(ψ), toisin sanoen G on isomornen joukon G eräiden permutaatioiden muodostaman ryhmän kanssa. Numeroimalla G:n alkiot g1 , . . . , gn voidaan katsoa, että kyseessä on joukon Jn = {1, . . . , n} permutaatiot. Todistuksen yksityiskohdat jäävät lukijan itse täydennettäviksi. Todistus antaa G ' H ≤ Sn , missä n = #G. Yleensä tämä n ei ole pienin mahdollinen.

Esimerkki 1.2.21 Määritetään jokin permutaatioryhmä, jonka kanssa C3 on isomornen. Esimerkki 1.2.22 Olkoon G = C2 × C4 (suora tulo). Etsitään n < 8, jolla G ' H ≤ Sn .

1.2.6 Esimerkki: diedriryhmät Sovelluksena permutaatioista todistamme seuraavaa tyyppiä olevien ryhmien olemassaolon.

Määritelmä 1.2.23 Diedriryhmä Dn (n ≥ 3) on ryhmä, jonka kertaluku on 2n ja joka on kahden sellaisen alkion a ja b generoima, että

an = 1,

b2 = 1,

bab = a−1 .

(1.16)

Ennen kuin todistamme sellaisen ryhmän olemassaolon, osoitamme, että jos Dn on olemassa, niin se on isomoraa vaille yksikäsitteinen. Koska Dn = ha, bi ja #Dn < ∞, niin Dn koostuu kaikista a:n ja b:n tuloista, sellaisista kuin 1 (tyhjä tulo), a, b, ab, ba, aba, . . . , aababbaa, . . . , ja niin edelleen. Ominaisuuksien (1.16) avulla kaikki tulot saadaan muotoon ai bj ; esimerkiksi

aaaababba = a4 baa = a4 a−1 ba = a4 a−1 a−1 b = a2 b.

LUKU 1. SYKLISISTÄ RYHMISTÄ JA PERMUTAATIORYHMISTÄ

10

Koska an = b2 = 1, niin lausekkeissa ai bj voidaan olettaa, että i ∈ {0, . . . , n − 1} ja j ∈ {0, 1}. Tällaisia alkioita ai bj tulee 2n kappaletta, ja koska #Dn = 2n, niin ne ovat erisuuria. Näin ollen jokaisella Dn :n alkiolla g on yksikäsitteinen esitys muodossa

g = ai bj

(i ∈ {0, . . . , n − 1}, j ∈ {0, 1}).

(1.17)

Näin kirjoitettujen alkioiden tulotkin tunnetaan määritelmän ehtojen pohjalta:

(ai b0 )(ar bs ) = ai+r bs ,

(ai b1 )(ar bs ) = ai a−r bbs = ai−r bs+1 ,

(1.18)

missä vielä eksponentit i + r ja i − r redusoidaan mod n ja eksponentti s + 1 mod 2. Nämä seikat jo merkitsevät, että Dn on isomoraa vaille yksikäsitteinen. (Tarkemmin päätelmä voitaisiin muotoilla näin: Jos G = ha0 , b0 i on toinen määritelmän ehdot täyttävä systeemi, niin edellä johdetut seikat (1.17) ja (1.18) pätevät sillekin. Kuvaus f : Dn → G, f (ai bj ) = a0i b0j , on ryhmäisomorsmi.) Nyt todistamme Dn :n olemassaolon. Tarkastellaan seuraavia Sn :n alkioita: µ ¶ µ ¶ 1 2 3 ... n 1 2 3 ... n α = (1 2 3 . . . n) = , β= . (1.19) 2 3 4 ... 1 n n−1 n−2 . . . 1 Merkitään G = hα, βi. Selvästi αn = β 2 = 1. Osoitetaan, että βαβ = α−1 eli että βαβα = 1. Laskemalla nähdään, että µ ¶ 1 2 3 . . . n−1 n βα = , n−1 n−2 n−3 . . . 1 n toisin sanoen βα kääntää alkioiden 1, . . . , n − 1 järjestyksen päinvastaiseksi. Siis (βα)2 = 1. Näin ollen α ja β toteuttavat ehdot (1.16). Kuten edellä tästä seuraa, että G:n alkiot voidaan kirjoittaa muodossa αi β j , missä i ∈ {0, . . . , n − 1} ja j ∈ {0, 1}. Siis #G ≤ 2n. Koska G:llä on aliryhmä hαi ' Cn , niin Lagrangen lauseen nojalla n | #G. Jos olisi #G < 2n, seuraisi #G = n ja G = hαi, ja siis β ∈ hαi. Mutta ei voi olla β = αi millään i:llä kun n ≥ 3; katso vaikka alkioiden 1 ja 2 kuvautumista. Näin ollen #G = 2n, joten G toteuttaaµDn :n määritelmän ¶ µ ehdot. ¶ ζn 0 01 Toinen realisaatio ryhmälle Dn on hA, Bi ≤ GL2 (C), missä A = , B = 10 , 0 ζn−1 ja ζn = e2πi/n . ......... Ryhmällä Dn on geometrinen havainnollistus mm. säännöllisen ......• ............................ ....• ...... ... ... ...... ...... ... . . . . . ... n-kulmion symmetriaryhmänä (eli peittoryhmänä ). Nimittäin, kun ..... . . . ... •.... ... ... ... ... ... kuvion tilanteessa (jossa n = 7) merkitään σ :lla tason kiertoa kul... ... ` .................................................. ... .. ..• ... .. O . ... . man 2π/n verran keskuksen O ympäri myötäpäivään ja ρ:lla tason . . ... .. . . . •.......... ... ...... ... ...... peilausta suoran ` suhteen, niin Dn ' hσ, ρi. Voidaan osoittaa, et.. ...... ... .• . . . . . ...... . . . . . . . . ............................. •. tä ryhmä hσ, ρi koostuu tarkalleen kaikista ko. monikulmion symmetriakuvauksista, ts. niistä tason isometrioista (eli etäisyydet säilyttävistä bijektioista), jotka pitävät monikulmion invarianttina.

Luku 2

Rengas 2.1 Renkaan määritelmä ja esimerkkejä Ryhmä on algebrallinen systeemi, jossa on määritelty yksi laskutoimitus. Monissa tutuissa systeemeissä on kaksi laskutoimitusta, yhteenlasku ja kertolasku; esimerkkejä sellaisista ovat Z ja R, tai vaikkapa reaalikertoimisten polynomien joukko (kertolaskuna polynomien kertominen). Määrittelemme nyt yleisen tällaisen systeemin, renkaan, joka käsittää erikoistapauksinaan edellä mainitut sekä lukuisan joukon muita tärkeitä systeemejä. Määritelmä on aksiomaattinen, ja teoria kehitetään aksioomien pohjalta.

Määritelmä 2.1.1 Kolmikko (R, +, ·) on rengas, jos + ja · ovat R:ssä määriteltyjä binäärioperaatioita (kutsutaan yleensä R:n yhteen- ja kertolaskuksi ) ja jos seuraavat ehdot ovat voimassa: R1. (R, +) on Abelin ryhmä;

(renkaan additiivinen ryhmä )

R2. a(bc) = (ab)c ∀ a, b, c ∈ R;

(kertolaskun assosiatiivilaki )

R3. on sellainen alkio 1 ∈ R, että 1 · a = a · 1 = a ∀ a ∈ R;

(renkaan ykkösalkio )

R4. a(b + c) = ab + ac,

(distributiivilait )

(a + b)c = ac + bc ∀ a, b, c ∈ R.

Jos kertolasku on lisäksi kommutatiivinen, toisin sanoen ab = ba ∀ a, b ∈ R, sanotaan, että R on kommutatiivinen rengas. Aksiooma R1 tuo renkaaseen nolla-alkion 0 ja alkioiden vasta-alkiot −a. Lisäksi R1:stä seuraa, että yhteenlasku on assosiatiivinen ja kommutatiivinen. Ryhmien yhteydessä nähtiin, että nolla-alkio on yksikäsitteinen, ja aivan samalla tavalla osoitetaan, että ykkösalkio on yksikäsitteinen. Aksioomat R2 ja R3 yhdessä ilmaisevat, että (R, · ) on monoidi. Joskus tarkastellaan myös renkaita, joissa ei ole ykkösalkiota.

11

LUKU 2. RENGAS

12

Esimerkki 2.1.2 (Lukurenkaat) Esimerkiksi Z, Q, R, C ovat renkaita tavallisten yhteen- ja kertolaskun suhteen, ykkösalkiona luku 1. Joukko Z[i] = {a+bi | a, b ∈ Z} on rengas C:n yhteenja kertolaskun suhteen, ns. Gaussin kokonaisluvut. Lukurenkaat ovat kommutatiivisia.

Esimerkki 2.1.3 (Matriisirenkaat) Reaalisten n×n-matriisien joukko Mn (R) on matriisien yhteen- ja kertolaskun suhteen rengas. Ykkösalkiona on identiteettimatriisi In . Muita matriisirenkaita ovat mm. Mn (Z), Mn (Q), Mn (C).

Esimerkki 2.1.4 (Funktiorenkaat) Funktiojoukko C(R) = {f : R → R | f jatkuva} on rengas funktioiden pisteittäisen yhteen- ja kertolaskun suhteen: Kun f, g ∈ C(R), niin funktiot f + g ∈ C(R) ja f g ∈ C(R) määritellään asettamalla

(f + g)(x) = f (x) + g(x),

(f g)(x) = f (x)g(x)

∀ x ∈ R.

(2.1)

Samalla tavoin muistakin funktiojoukoista saadaan renkaita, esimerkiksi joukosta

C[a, b] = {f : [a, b] → R | f jatkuva}.

Esimerkki 2.1.5 (Polynomirenkaat) Reaalikertoimisten polynomien joukko R[x] = {a0 + a1 x + · · · + an xn | n ≥ 0, ak ∈ R (k = 0, . . . , n)} on rengas operaatioiden (2.1) suhteen. Muita polynomirenkaita ovat mm. Z[x] ja Q[x], joissa polynomien kertoimet ovat kokonaislukuja tai rationaalilukuja.

Esimerkki 2.1.6 (Jäännösluokkarenkaat) Jäännösluokkien mod m joukko Zm on rengas jäännösluokkien yhteen- ja kertolaskun

a + b = a + b,

(2.2)

a · b = ab

suhteen. Nolla-alkiona on 0 ja ykkösalkiona 1. Tämä on äärellinen kommutatiivinen rengas. Siitä käytetään nimitystä jäännösluokkarengas modulo m. (Termi jäännösluokkarengas otetaan myöhemmin käyttöön yleisemmässäkin merkityksessä.)

Esimerkki 2.1.7 (Endomorsmirenkaat) Olkoon (G, +) Abelin ryhmä. Joukko End(G) = {f : G → G | f on ryhmähomomorsmi} on rengas (pisteittäisen) summan ja kuvaustulon suhteen:

(f + g)(a) = f (a) + g(a),

(f ◦ g)(a) = f (g(a))

∀ a ∈ G.

(2.3)

LUKU 2. RENGAS

13

Ykkösalkiona on identiteettikuvaus idG . Aksioomien tarkistaminen on hyvä harjoitustehtävä! Ryhmähomomorsmeja G → G sanotaan G:n endomorsmeiksi ja rengasta End(G) G:n endomorsmirenkaaksi. Aivan vastaavasti jokaiseen reaaliseen vektoriavaruuteen V liittyy endomorsmirengas

L(V, V ) = {f : V → V | f on lineaarikuvaus}, jossa operaatiot määritellään kuten (2.3):ssa. Usein merkitään L(V, V ) = EndR (V ).

Esimerkki 2.1.8 Joukon S kaikkien osajoukkojen parvesta P(S) saadaan rengas (P(S), 4, ∩), missä 4 on joukkojen symmetrinen erotus, A 4 B = (A \ B) ∪ (B \ A).

2.2 Renkaan aritmetiikkaa Koska (R, +) on Abelin ryhmä, niin yhteenlasku renkaassa noudattaa ryhmäteoriasta tuttuja sääntöjä. Kuten aina additiivisessa ryhmässä, alkioiden a ja b erotus on a − b = a + (−b). Alkioiden monikerrat na (n ∈ Z, a ∈ R) toteuttavat tietenkin tutut laskulait

(m + n)a = ma + na,

(mn)a = m(na),

n(a + b) = na + nb

(m, n ∈ Z, a, b ∈ R).

Kertolaskusäännötkin ovat samantapaiset kuin ryhmillä, paitsi että nyt kaikilla alkioilla ei ole käänteisalkiota; alkion a käänteisalkio a−1 määritellään ehdolla

aa−1 = a−1 a = 1.

(2.4)

Aivan samoin kuin ryhmillä osoitetaan (osoita!), että jos alkiolla on käänteisalkio, niin tämä on yksikäsitteinen. Alkion a potenssit an määritellään tavalliseen tapaan, kun n > 0, mutta negatiiviset potenssit a−n = (a−1 )n ovat määriteltyjä vain, kun a−1 on olemassa.

Esimerkki 2.2.1 Renkaassa R kaikilla alkioilla 6= 0 on käänteisalkio. Renkaassa Z vain alkioilla ±1 on käänteisalkio. Polynomirenkaassa R[x] vain vakiopolynomeilla 6= 0 on käänteisalkio. Yhteen- ja kertolaskuja kytkevät toisiinsa distributiivilait. Niistä saadaan induktiolla kaavat

a(b1 + · · · + bn ) = ab1 + · · · + abn , (a1 + · · · + an )b = a1 b + · · · + an b, ja yleisemmin

(a1 + · · · + am )(b1 + · · · + bn ) = a1 b1 + a1 b2 + · · · + am bn .

Lause 2.2.2 Olkoon R rengas. Kun a, b, c ∈ R, niin (i)

0 · a = a · 0 = 0,

(ii)

a(−b) = (−a)b = −(ab),

(−a)(−b) = ab,

LUKU 2. RENGAS (iii)

a(b − c) = ab − ac,

14

(a − b)c = ac − bc.

Todistus. Nyt 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a, ja vähentämällä puolittain 0 · a saadaan 0 · a = 0. Samoin todistetaan (i)-kohdan toinen väite. Yhtälöstä ab + a(−b) = a(b + (−b)) = a · 0 = 0 nähdään, että a(−b) on tulon ab vastaalkio, siis a(−b) = −(ab). Samoin todistetaan, että (−a)b = −(ab). Siis (−a)(−b) = −((−a)b) = −(−(ab)) = ab. Kohdan (iii) väitteet seuraavat nyt suoraan, esimerkiksi ensimmäinen: a(b−c) = a(b+(−c)) = ab + a(−c) = ab + (−(ac)) = ab − ac. 2 Yhden alkion joukko {a} muodostaa renkaan, kun määritellään a + a = a ja a · a = a. Tätä sanotaan nollarenkaaksi. Käytännössä usein oletetaan, etteivät tutkittavat renkaat R ole nollarenkaita. Tämä oletus on ekvivalentti sen ehdon kanssa, että renkaassa 1 6= 0, sillä jos 1 = 0, niin mielivaltainen alkio a on a = a · 1 = a · 0 = 0. Edellä mainittiin alkioiden monikerrat na (n ∈ Z, a ∈ R). Merkinnöissä 0a ja 1a voidaan 0 ja 1 ymmärtää joko Z:n tai R:n nolla- ja ykkösalkioiksi, mutta tästä ei aiheudu sekaannusta, sillä joka tapauksessa 0a = 0 ja 1a = a. Sama koskee tosiseikkaa (−1)a = −a. Selvyyden vuoksi renkaan nolla- ja ykkösalkiolle käytetään joskus merkintöjä 0R ja 1R .

Lause 2.2.3 Olkoon R rengas. Kun a, b ∈ R ja n, m ∈ Z, niin (i)

na = (n1R )a = a(n1R ),

(ii)

n(ab) = (na)b = a(nb),

(iii)

(ma)(nb) = (mn)(ab).

Todistus. Todistetaan (i)-kohdasta vain väite na = (n1)a ; toinen todistettaisiin samoin. Jos n = 0, niin väite on 0 = 0. Jos n > 0, niin na = a + · · · + a = 1a + · · · + 1a = (1 + · · · + 1)a = (n1)a. Negatiivinen monikerta määritellään (−n)a = n(−a) (tässä edelleen n > 0), joten väite (−n)a = ((−n)1)a tulee muotoon n(−a) = (n(−1))a. Tämä todistetaan samantapaisella laskelmalla kuin yllä käyttämällä sitä, että −a = (−1)a. Väite (ii) palautuu helposti kohtaan (i), ja (iii) taas palautuu kohtaan (ii). 2

Esimerkki 2.2.4 Renkaassa Zm on ka = ka, kun k, a ∈ Z. Esimerkki 2.2.5 Kun a, b ∈ R, niin (a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 . Jos a ja b kommutoivat, eli jos ab = ba, niin (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . Yleisemmin: kommutoiville alkioille a ja b on voimassa binomikaava µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n−1 n n−i i n n n (a + b) = a + a b + ··· + a b + ··· + abn−1 + bn . (2.5) 1 i n−1 (Analyysin kurssilla on varmaan esitetty tapauksessa R = R todistus, joka soveltuu tähän yleiseenkin tilanteeseen.)

LUKU 2. RENGAS

15

Esimerkki 2.2.6 Jos renkaassa R on 1 + 1 = 0 eli 2 · 1R = 0R , niin kommutoiville alkioille a ja b saadaan (a + b)2 = a2 + b2 , koska 2ab = (2 · 1R )ab = 0. Tällainen rengas on esimerkiksi Z2 .

2.3 Renkaan yksiköt Määritelmä 2.3.1 Renkaan R alkio u on R:n yksikkö (unit), jos sillä on käänteisalkio u−1 renkaassa R, toisin sanoen jos on sellainen u−1 ∈ R, että uu−1 = u−1 u = 1. Renkaan R yksiköiden joukosta käytetään merkintää R∗ .

Esimerkki 2.3.2

Z∗ = {1, −1}, Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0}, C∗ = C \ {0}, = {a ∈ Zm | syt(a, m) = 1}, Mn (R)∗ = GLn (R), End(G)∗ = Aut(G), missä End(G) on Abelin ryhmän G endomorsmirengas ja Aut(G) on G:n automorsmiryhmä. Z∗m

Esimerkki 2.3.3 Jos a ∈ R on nilpotentti, siis an = 0 jollain n:llä, niin 1 − a on R:n yksikkö. Nimittäin (1−a)(1+a+a2 +· · ·+an−1 ) = 1−an = 1 ja samoin (1+a+a2 +· · ·+an−1 )(1−a) = 1.

Lause 2.3.4 Kun R on rengas, niin (R∗ , · ) on ryhmä. Todistus. Koska 1 on yksikkö (käänteisalkiona 1), niin R∗ 6= ∅. Joukko R∗ on suljettu kertolaskun suhteen, sillä jos u, v ∈ R∗ , niin tulolla uv on käänteisalkio v −1 u−1 (päätellään kuten ryhmillä), joten uv ∈ R∗ . Näin ollen R:n kertolaskun restriktio antaa binäärioperaation R∗ × R∗ → R∗ . Koska tulo on assosiatiivinen koko R:ssä, niin se on assosiatiivinen R∗ :ssä. Selvästi 1R toimii myös R∗ :ssä ykkösalkiona. Kun u ∈ R∗ , niin myös u−1 ∈ R∗ , ja tietenkin u−1 on u:n käänteisalkio myös R∗ :ssä. 2 Ryhmää (R∗ , · ) sanotaan R:n yksikköryhmäksi.

2.4 Alirengas Määritelmä 2.4.1 Olkoon (R, +, · ) rengas. Osajoukkoa S ⊆ R sanotaan R:n alirenkaaksi, jos (i) S on rengas R:n yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden R × R → R restriktioiden suhteen, ja (ii) 1S = 1R .

Esimerkki 2.4.2 Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C; tässä jokainen rengas on sitä seuraavien (aito) alirengas. Jos S on R:n alirengas, niin (S, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä. Ryhmäteoriassa todistetun nojalla tästä seuraa esimerkiksi, että 0R ∈ S ja siis 0S = 0R . Vastaava ykkösalkioita koskeva ehto (ii) ei kuitenkaan seuraa oletuksesta (i), kuten seuraavasta esimerkistä nähdään; siksi se otettiin määritelmään ehdoksi. (Miksei ryhmien yhteydessä esitetty päätelmä nyt kelpaakaan todistamaan, että ehdosta (i) seuraisi 1S = 1R ?)

LUKU 2. RENGAS

16

Esimerkki 2.4.3 matriisirengasta R = M2 (R). Sen osajoukko S , jonka muodosµ Tarkastellaan ¶

a 0 tavat matriisit 0 0 (a ∈ R), täyttää ehdon (i), ja itse asiassa S on rengas, jonka ykkösalkiona µ ¶ 1 0 on 1S = 0 0 . Koska 1S 6= 1R = I , niin S ei ole R:n alirengas.

Esimerkki 2.4.4 Edellisen esimerkin merkitys tulee ehkä selvemmäksi yleisemmin tarkasteltuna: Renkaan R alkio e on idempotentti, jos e2 = e. Kun e on idempotentti, niin joukko eRe = {eae | a ∈ R} on rengas R:n kertolaskun suhteen, ykkösalkiona e. Seuraava alirengaskriteeri on käytännössä helpompi käyttää kuin määritelmä.

Lause 2.4.5 (Alirengaskriteeri) Olkoon R rengas. Osajoukko S ⊆ R on alirengas jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: (a)

1R ∈ S ,

(b)

a−b∈S

(c)

ab ∈ S

∀ a, b ∈ S ,

∀ a, b ∈ S .

Todistus. Jos S on R:n alirengas, niin se täyttää ko. ehdot triviaalisti. Kääntäen, ehdon (a) nojalla S 6= ∅ ja täten ehdosta (b) seuraa, että (S, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä (aliryhmäkriteeri). Ehto (c) sanoo, että R:n kertolaskun R × R → R restriktio antaa hyvinmääritellyn binäärioperaation S × S → S . Renkaan aksioomat R2R4 ovat nyt voimassa S :ssä, koska ne ovat voimassa koko R:ssä. 2

Esimerkki 2.4.6 Lukujoukot √ √ Z[ n ] = { a + b n | a, b ∈ Z}

(n = −1, ±2, ±3, . . .)

ovat C:n alirenkaita, ja ne ovat myös R:n alirenkaita kun n > 0. Tapauksessa n = −1 saadaan Gaussin kokonaisluvut (esimerkki 2.1.2). √ Renkaita Z[ n ] tarkasteltaessa oletetaan tavallisesti, että n on neliövapaa eli että n ei ole √ √ jaollinen minkään kokonaisluvun > 1 neliöllä. Silloin Z[ n1 ] 6= Z[ n2 ] kun n1 6= n2 .

Esimerkki 2.4.7 Polynomirengas R[x] on funktiorenkaan C(R) alirengas (esimerkit 2.1.4 ja 2.1.5). Samoin Z[x] ⊂ Q[x] ⊂ R[x] ovat alirenkaita.

Esimerkki 2.4.8 Kun V on reaalinen vektoriavaruus, niin (V, +) on Abelin ryhmä, ja esimerkistä 2.1.7 saadaan tämän endomorsmirengas End(V ). Samassa esimerkissä mainittu lineaarikuvausten muodostama endomorsmirengas EndR (V ) on renkaan End(V ) alirengas.

Esimerkki 2.4.9 Kokonaiskertoimiset matriisit muodostavat M2 (Z) = ½µ ¶¯ M2 (R):n alirenkaan ¾ ¯

{(aij )2×2 | aij ∈ Z}. Tällä taas on mm. alirenkaat

a b ¯ a, b, c, d ∈ Z , missä p ∈ Z. pc d ¯

LUKU 2. RENGAS

17

2.5 Rengashomomorsmit Määritelmä 2.5.1 Olkoot R ja R0 renkaita. Kuvausta f : R → R0 sanotaan homomorsmiksi tai rengashomomorsmiksi, jos se täyttää ehdot RH1. f (a + b) = f (a) + f (b) RH2. f (ab) = f (a)f (b)

∀ a, b ∈ R,

∀ a, b ∈ R,

RH3. f (1R ) = 1R0 . Ehto RH1 merkitsee, että f on ryhmähomomorsmi (R, +) → (R0 , +), ja tästä seuraa ryhmäteoriassa todistetun mukaan

f (0R ) = 0R0 ,

f (−a) = −f (a) ∀ a ∈ R.

(2.6)

Yksiköiden käänteisalkiot kuvautuvat niiden kuvien käänteisalkioiksi,

f (a−1 ) = f (a)−1

∀ a ∈ R∗ ,

(2.7)

sillä f (a)f (a−1 ) = f (aa−1 ) = f (1R ) = 1R0 ja samoin f (a−1 )f (a) = 1R0 .

Esimerkki 2.5.2 Identiteettikuvaus idR : R → R on homomorsmi R → R. Jos R on renkaan R0 alirengas, niin inkluusiokuvaus i : R → R0 , i(a) = a ∀ a ∈ R, on homomorsmi.

Esimerkki 2.5.3 Esimerkissä 2.4.3 inkluusiokuvaus S → R ei ole homomorsmi, koska se ei täytä ehtoa RH3. Samasta syystä nollakuvaus R → R0 , a 7→ 0 ∀ a ∈ R, ei ole homomorsmi ellei R0 ole nollarengas. Tämän esimerkin mukaan RH3 ei seuraa RH2:sta, toisin kuin ryhmien kohdalla olemme tottuneet. (Mikä seikka ryhmille esitetyssä todistuksessa pettää, jos yritettäisiin sen avulla todistaa, että RH3 seuraisi RH2:sta?)

Esimerkki 2.5.4 Kuvaus f : Z → Zm , f (a) = a, on rengashomomorsmi (m ≥ 1). Tapauksessa m = 1 kyseessä on nollakuvaus nollarenkaaseen.

Esimerkki 2.5.5 Kuvaus f : R[x] → R, f (a0 + a1 x + · · · + an xn ) = a0 , on rengashomomorsmi. Lause 2.5.6 Olkoon f : R → R0 rengashomomorsmi. (i) Jos S on R:n alirengas, niin f (S) on R0 :n alirengas. (ii) Jos S 0 on R0 :n alirengas, niin f −1 (S 0 ) on R:n alirengas.

Todistus. Nämä todistetaan suoraviivaisesti alirengaskriteeriin ja homomoraehtoihin RH1RH3 nojautuen. 2 Erityisesti Im(f ) on R0 :n alirengas. Se on R:n homomornen kuva.

LUKU 2. RENGAS

18

Määritelmä 2.5.7 Bijektiivistä rengashomomorsmia f : R → R0 sanotaan isomorsmiksi. Renkaat R ja R0 ovat isomorset, merkitään R ' R0 , jos on olemassa isomorsmi R → R0 . Aivan samoin kuin ryhmähomomorsmeille tai lineaarikuvauksille todistetaan:

Lause 2.5.8 Olkoot f : R → R0 ja g : R0 → R00 rengashomomorsmeja. (i) Kuvaus g ◦ f : R → R00 on homomorsmi. (ii) Jos f ja g ovat isomorsmeja, samoin on g ◦ f . (iii) Jos f on isomorsmi, samoin on sen käänteiskuvaus f −1 : R0 → R. Siis isomorsuudella on ekvivalenssirelaation ominaisuudet:

R ' R,

R ' R0 =⇒ R0 ' R,

R ' R0 , R0 ' R00 =⇒ R ' R00 .

Renkaiden, kuten ryhmienkin, yhteydessä käytetään seuraavia nimityksiä:

monomorsmi = injektiivinen homomorsmi, epimorsmi = surjektiivinen homomorsmi, endomorsmi = homomorsmi R → R, automorsmi = isomorsmi R → R.

Esimerkki 2.5.9 a) Näytetään, että kuvaus f : C → C, f (x + iy) = x − iy , on renkaan C automorsmi. b) Näytetään, että jos f : C → C on rengashomomorsmi, niin f (i) = ±i.

√

√

Esimerkki 2.5.10 Selvitetään renkaan Z[ n ] = {a + b n | a, b ∈ Z} endomorsmit, kun n on neliövapaa kokonaisluku 6= 0, 1 (esimerkki 2.4.6).

Esimerkki 2.5.11 Kun u ∈ R∗ , niin kuvaus R → R, a 7→ uau−1 , on R:n automorsmi. Näitä kutsutaan R:n sisäisiksi automorsmeiksi.

2.6 Homomorsmin ydin. Renkaan ihanne Määritelmä 2.6.1 Rengashomomorsmin f : R → R0 ydin on Ker(f ) = {a ∈ R | f (a) = 0}. Siis Ker(f ) on sama kuin f :n ydin katsottaessa f :ää pelkästään additiivisten ryhmien (R, +) ja (R0 , +) välisenä homomorsmina. Erityisesti Ker(f ) on ryhmän (R, +) aliryhmä. Ottamalla renkaiden kertolaskutkin huomioon saamme ytimelle toisenkin ominaisuuden: Kun a ∈ Ker(f ) ja r ∈ R, niin

f (ar) = f (a)f (r) = 0f (r) = 0,

f (ra) = f (r)f (a) = f (r)0 = 0.

Siis ar ∈ Ker(f ) ja ra ∈ Ker(f ). Muodostamme löydetyistä ominaisuuksista nyt seuraavan yleisen käsitteen.

LUKU 2. RENGAS

19

Määritelmä 2.6.2 Renkaan R osajoukkoa I sanotaan R:n ihanteeksi (tai ideaaliksi ), jos I1.

I on ryhmän (R, +) aliryhmä;

I2.

ra ∈ I

∀ r ∈ R, a ∈ I ;

I3.

ar ∈ I

∀ r ∈ R, a ∈ I .

Jos I toteuttaa ehdot I1 ja I2, se on R:n vasen ihanne, ja jos se toteuttaa ehdot I1 ja I3, se on R:n oikea ihanne ; näitä ei tässä monisteessa tutkita. Selvyyden vuoksi ihannetta voidaan kutsua 2-puoliseksi ihanteeksi. Kommutatiivisen renkaan tapauksessa käsitteillä ei ole eroa. Edellä olevista tarkasteluista saadaan:

Lause 2.6.3 Rengashomomorsmin f : R → R0 ydin Ker(f ) on R:n ihanne. Seuraava tulos ei enää kaivanne todistusta.

Lause 2.6.4 Rengashomomorsmi f on injektio jos ja vain jos Ker(f ) = {0}. Aliryhmäkriteerin nojalla ehto I1 on ekvivalentti sen kanssa, että I 6= ∅ ja että jos a, b ∈ I niin a − b ∈ I . Tästä saadaan seuraava lause.

Lause 2.6.5 (Ihannekriteeri) Olkoon R rengas ja I sen osajoukko. Silloin I on R:n ihanne jos ja vain jos seuraavat ehdot toteutuvat: (a)

I 6= ∅,

(b)

a−b∈I

(c)

ra ∈ I ja ar ∈ I

∀ a, b ∈ I , ∀ r ∈ R, a ∈ I .

Esimerkki 2.6.6 Renkaalla R on aina ns. triviaalit ihanteet {0} ja R. Esimerkki 2.6.7 Kun m ≥ 1, niin rengashomomorsmin Z → Zm , a 7→ a, ydin on mZ. Siis mZ on Z:n ihanne. (Tarkista sama ihannekriteerin avulla.) Syklisen ryhmän (Z, +) ' (C∞ , · ) aliryhmät tunnetaan: ne ovat sykliset aliryhmät mZ = hmi, missä m ≥ 0. Koska 0Z = {0} on sekin ihanne, niin seuraa, että Z:n tarkalleen kaikki ihanteet ovat mZ, m ≥ 0. Myös {0} saadaan rengashomomorsmin ytimenä; se on identiteettikuvauksen Z → Z ydin.

Esimerkki 2.6.8 Seuraavat joukot I ovat polynomirenkaan R[x] ihanteita. a) I = { p(x) ∈ R[x] | p(x):n vakiotermi on 0 }. b) I = { p(x) ∈ R[x] | p(c) = 0 }, missä c ∈ R ja p(c) tarkoittaa reaalilukua p(c) = a0 + a1 c + · · · + an cn , kun p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn . c) I = { am xm + am+1 xm+1 + · · · + an xn ∈ R[x] | n ≥ m }, missä m ≥ 0 on kiinteä.

LUKU 2. RENGAS

20

Ihannekriteerillä todistetaan helposti seuraava lause. (Vertaa ryhmäteorian vastaavaan tulokseen, joka koski normaaleja aliryhmiä.)

Lause 2.6.9 Olkoon f : R → R0 rengashomomorsmi. (i) Jos I on R:n ihanne, niin f (I) on renkaan f (R) ihanne. (ii) Jos I 0 on R0 :n ihanne, niin f −1 (I 0 ) on R:n ihanne. Renkaan R ihanne I ei ole alirengas paitsi jos I = R. Jos nimittäin 1 ∈ I , niin jokaiselle R:n alkiolle r saadaan r = r1 ∈ I . Hiukan vahvemmin: Jos ihanne I sisältää yksikön u, niin I = R, sillä silloin 1 = uu−1 ∈ I .

2.7 Jäännösluokkarengas Renkaan R:n ihanteella I on sivuluokat eli jäännösluokat a + I ryhmässä (R, +), a ∈ R. Koska (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, niin I on normaali aliryhmä ja jäännösluokat muodostavat ryhmän R/I . Teemme siitä nyt renkaan.

Lause 2.7.1 Olkoon I renkaan R ihanne ja olkoon R/I = {a + I | a ∈ R}. Yhtälöt (

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I (a + I)(b + I) = ab + I

(2.8)

(a, b ∈ R)

antavat hyvinmääritellyt binäärioperaatiot R/I × R/I → R/I , ja R/I on niiden suhteen rengas. Todistus. Ryhmäteoriassa todistetun mukaisesti (R/I, +) on ryhmä, nimittäin ryhmän (R, +) tekijäryhmä. (Tämä sisältää jo sen, että R/I :n yhteenlasku on hyvinmääritelty.) Koska (R, +) on Abelin ryhmä, niin samoin on (R/I, +). Näin ollen aksiooma R1 on voimassa R/I :lle. Osoitetaan, että R/I :n kertolasku on hyvinmääritelty. Olkoon a + I = a0 + I ja b + I = b0 + I , siis a = a0 + i1 ja b = b0 + i2 , missä i1 , i2 ∈ I . Silloin ab = (a0 + i1 )(b0 + i2 ) = a0 b0 + a0 i2 + i1 b0 + i1 i2 . Koska I on ihanne, niin tulot a0 i2 , i1 b0 ja i1 i2 kuuluvat I :hin, samoin siis kuuluu niiden summa. Näin ollen ab − a0 b0 ∈ I , joten ab + I = a0 b0 + I . Rengasaksioomat R2R4 R/I :ssä palautuvat suoraan R:n vastaaviin ominaisuuksiin, koska R/I :n operaatiot on määritelty jäännösluokkien edustajien avulla. Todetaan tässä vain esimerkkinä, että 1 + I toteuttaa ykkösalkio-ominaisuuden: Kun a ∈ R, niin

(1 + I)(a + I) = 1a + I = a + I,

(a + I)(1 + I) = a1 + I = a + I.

2

Määritelmä 2.7.2 Rengas R/I , jossa operaatiot on määritelty yhtälöillä (2.8), on R:n jäännösluokkarengas eli tekijärengas ihanteen I suhteen (engl. residue class ring, factor ring).

LUKU 2. RENGAS

21

Todistuksessa nähtiin, että R/I :n ykkösalkio on 1R/I = 1 + I . Ryhmäteoriasta tiedämme ennestään, että nolla-alkiona toimii 0R/I = 0 + I = I ja alkion a + I vasta-alkiona −(a + I) = −a + I . Jos a on R:n yksikkö, niin a + I on R/I :n yksikkö, jonka käänteisalkio on (a + I)−1 = a−1 + I . Jos R on kommutatiivinen rengas, niin samoin on R/I .

Esimerkki 2.7.3 Renkaan Z jäännösluokkarengas ihanteen mZ (m ≥ 1) suhteen on joukkona Z/mZ = {a + mZ | a ∈ Z} = { 0, 1, . . . , m−1 }, ja sen rengasoperaatiot ovat

a + b = a + b,

a · b = ab.

Kyseessä on siis aiemmin tuttu Zm , jäännösluokkarengas mod m. Tapauksessa m = 1 saadaan Z/mZ = { 0 } (nollarengas). Lisäksi tapauksessa m = 0 on voimassa Z/mZ = Z/{0} ' Z. Kun I on R:n ihanne, niin luonnollinen kuvaus R → R/I , a 7→ a+I , on rengashomomorsmi. Sitä sanotaan kanoniseksi tai luonnolliseksi homomorsmiksi. Lauseen 2.6.3 mukaan homomorsmin ydin on ihanne. Toisaalta kanonisen homomorsmin R → R/I ydin on I . Siis renkaan R ihanteet ovat samat kuin R:llä määriteltyjen rengashomomorsmien ytimet.

Esimerkki 2.7.4 Tarkastellaan R[x]:n ihannetta I = { am xm + am+1 xm+1 + · · · + an xn ∈ R[x] | n ≥ m } (esimerkki 2.6.8). Kuvaillaan jäännösluokkarengasta R/I .

2.8 Homomoralause Renkaille on voimassa vastaava homomoralause kuin ryhmille.

Lause 2.8.1 (Renkaiden homomoralause) Jos f : R → R0 on rengashomomorsmi, niin (2.9)

R/ Ker(f ) ' Im(f ).

Tarkemmin: homomorsmi f indusoi rengasisomorsmin F : R/ Ker(f ) −→ Im(f ),

F (a + Ker(f )) = f (a)

(a ∈ R).

(2.10)

Todistus. Merkitään K = Ker(f ). Koska f on erityisesti ryhmähomomorsmi (R, +) → (R0 , +), niin ryhmien homomoralauseen nojalla F on (hyvinmääritelty kuvaus ja) ryhmäisomorsmi (R/K, +) → (Im(f ), +). On enää todistettava, että F toteuttaa myös homomoraehdot RH2 ja RH3. Kun a, b ∈ R, niin F ((a + K)(b + K)) = F (ab + K) = f (ab) = f (a)f (b) = F (a + K)F (b + K),

LUKU 2. RENGAS

22

ja

F (1R/K ) = F (1R + K) = f (1R ) = 1R0 = 1Im(f ) . Kuten ryhmillä, homomoralause antaa viereisen kommutoivan diagrammin, missä π on kanoninen homomorsmi ja i on inkluusiokuvaus. Koska π on surjektiivinen, eli R/I on R:n homomornen kuva, todetaan, että R:n homomorset kuvat ovat isomoraa vaille samat kuin R:n jäännösluokkarenkaat.

2 R π

... ... ... ... .. ........

R/ Ker(f )

f

'

..... .

R0 ........ ... .... ... ... .

..... .

i

Im(f )

F

Esimerkki 2.8.2 Todetaan, että kuvaus f : Z → Zm , f (a) = a, on rengashomomorsmi ja tutkitaan sen indusoimaa isomorsmia.

Esimerkki 2.8.3 Osoitetaan, että Z10 /2Z10 ' Z2 , kun 2Z10 = {2a | a ∈ Z10 } = { 0, 2, 4, 6, 8 }. Esimerkki 2.8.4 Millainen isomorsmi saadaan rengashomomorsmista R[x] → R, p(x) 7→ p(0)? Entä homomorsmista R[x] → R, p(x) 7→ p(c)? (Katso esimerkkiä 2.6.8.)

Esimerkki 2.8.5 Aiemmin on tarkasteltu matriisirenkaita Mn (R) ja Mn (Z). Samalla tavalla voidaan muodostaa esimerkiksi Mn (Z2 ) = {(aij )n×n | aij ∈ Z2 = { 0, 1 } }, joka on rengas tavalliseen tapaan määriteltyjen matriisioperaatioiden suhteen. Todetaan, että kuvaus Mn (Z) → Mn (Z2 ), (aij ) 7→ (aij ), on rengashomomorsmi. Mitä homomoralause sanoo tässä tilanteessa?

Esimerkki muodostavat alirenkaan ½ µ2.8.6 ¶¯Renkaan M ¾ 2 (R) yläkolmiomatriisit ½µ ¶¯ ¾

a b ¯¯ 0 b ¯¯ 0 c ¯ a, b, c ∈ R , ja J = 0 0 ¯ b ∈ R on eräs sen ihanne (muttei M2 (R):n!). µ ¶ a b Kuvaus T2 (R)/J → R2 , 0 c + J 7→ (a, c), on ilmeisestikin bijektio. Millaisilla rengasoperaatioilla R2 on varustettava, että kuvaus olisi rengasisomorsmi? T2 (R) =

Esimerkki 2.8.7 Tarkastellaan ryhmän Cn = hci endomorsmirengasta End(Cn ) (esimerkki 2.1.7; huomaa että Cn on merkitty multiplikatiivisesti). Osoitetaan, että kuvaus ψ : Z → End(Cn ), ψ(k)(ci ) = cki , on surjektiivinen rengashomomorsmi. Päätellään, että End(Cn ) ' Zn .

2.9 Osajoukon generoima ihanne Kun S1 , . . . , Sk ovat renkaan R osajoukkoja, merkitään S1 + · · · + Sk = {r1 + · · · + rk | ri ∈ Si }. Seuraava tulos todistetaan helposti ihannekriteerillä.

Lause 2.9.1 Olkoon R rengas. (i) Jos I ja J ovat R:n ihanteita, niin samoin on I + J . Yleisemmin: Jos I1 , . . . , In ovat R:n ihanteita, niin samoin on I1 + · · · + In .

LUKU 2. RENGAS

23

(ii) Jos I ja J ovat renkaan R ihanteita, niin samoin on I ∩ J . Yleisemmin: Jos Ii (i ∈ I ) on T parvi R:n ihanteita, niin myös leikkaus i∈I Ii on R:n ihanne. Sanotaan, että renkaan R osajoukko S generoi ihanteen \ hSi = I.

(2.11)

S⊆I I on R:n ihanne

Edellisen lauseen mukaan hSi on ihanne. Se on suppein ihanne, joka sisältää S :n; toisin sanoen jos J on ihanne ja S ⊆ J , niin hSi ⊆ J . Kun S on äärellinen joukko, S = {a1 , . . . , ak }, merkitään hSi = ha1 , . . . , ak i ja sanotaan, että ihanne hSi on äärellisesti generoitu. Yhden alkion generoimaa ihannetta hai kutsutaan pääihanteeksi.

Esimerkki 2.9.2 Triviaalit ihanteet R ja {0} ovat pääihanteita: R = h1i ja {0} = h0i. Esimerkki 2.9.3 Renkaan Z ihanteet ovat pääihanteet hmi = mZ (m ≥ 0) (esimerkki 2.6.7). Esimerkki 2.9.4 Polynomirenkaassa R[x] alkion xm generoima pääihanne on hxm i = { am xm + am+1 xm+1 + · · · + an xn ∈ R[x] | n ≥ m }.

Lause 2.9.5 Jos rengas R on kommutatiivinen, niin (2.12)

ha1 , . . . , ak i = { r1 a1 + · · · + rk ak | ri ∈ R ∀ i }.

Todistus. Todistuksen pääkohdat ovat seuraavat: Ihannekriteerillä osoitetaan, että oikean puolen joukko on ihanne; koska se lisäksi sisältää alkiot ai , se siis sisältää ihanteen ha1 , . . . , ak i. Kääntäen osoitetaan, että jokainen ihanteen ha1 , . . . , ak i määritelmässä (2.11) esiintyvä I sisältää oikean puolen joukon. (Vertaa ryhmäteorian lauseeseen, jossa tarkasteltiin osajoukon generoimaa aliryhmää.) 2 Merkitään Ra = {ra | r ∈ R} ja aR = {ar | r ∈ R}. (Edellinen on vasen ja jälkimmäinen oikea ihanne.) Kommutatiivisen renkaan R tapauksessa siis (2.13)

ha1 , . . . , ak i = Ra1 + · · · + Rak .

Esimerkki 2.9.6 Esimerkin 2.9.4 ihanne on hxm i = xm R[x]. √

√

Esimerkki 2.9.7 a) Selvitetään, millainen on renkaan Z[ 10 ] ihanne I = h 10 i ja muodoste√ taan jäännösluokkarengas Z[ 10 ]/I . √ b) Sama ihanteelle I = h5, 10 i.

Määritelmä 2.9.8 Rengasta, jonka kaikki ihanteet ovat pääihanteita, sanotaan pääihannerenkaaksi, lyhennetään PIR (engl. principal ideal ring).

LUKU 2. RENGAS

24

Esimerkki 2.9.9 Esimerkki 2.6.7 osoittaa, että Z on PIR. Jos siis a1 , . . . , ak ∈ Z, niin on sellainen d ≥ 0, että

ha1 , . . . , ak i = hdi. Näytetään, että d = syt(a1 , . . . , ak ) jos jokin ai 6= 0, ja d = 0 jos a1 = · · · = ak = 0.

Esimerkki 2.9.10 Rengas Z[x] ei ole PIR, sillä esimerkiksi h2, xi ei ole pääihanne.

2.10 Polynomirenkaat Polynomirenkaita, kuten

R[x] = { a0 + a1 x + · · · + an xn | n ≥ 0, ai ∈ R ∀ i }, on käsitelty funktiorenkaina, siis polynomit on ajateltu reaalifunktioiksi (esimerkit 2.1.5, 2.4.7). Tällaisten polynomien rengasoperaatiot voidaan kirjoittaa seuraavaan muotoon: Kun p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ja q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm , niin (olettaen n ≤ m)

(

p(x) + q(x) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (an + bn )xn + bn+1 xn+1 + · · · + bm xm , p(x)q(x) = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 )x + (a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 )x2 + · · · + an bm xn+m .

(2.14)

Tämä johtaa abstraktimpaan tapaan tarkastella polynomeja: Emme ajattele polynomeja p(x) funktioina, missä x on reaalimuuttuja, vaan pelkästään muodollisina kirjoitelmina

p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ,

(2.15)

missä x on määräämätön (indeterminate), siis pelkkä symboli, ja määrittelemme tällaisille alkioille yhteen- ja kertolaskuoperaatiot kaavoilla (2.14). Näin syntyy rengas (aksioomat olisi tarkistettava), jota merkitään sitäkin R[x]:llä ja joka on isomornen em. funktiorenkaan R[x] kanssa. Teemme vielä seuraavan yleistyksen:

Määritelmä 2.10.1 Olkoon R kommutatiivinen rengas. Polynomirengas R[x] yli R:n on rengas R[x] = { a0 + a1 x + · · · + an xn | n ≥ 0, ai ∈ R ∀ i },

(2.16)

jossa yhtäsuuruus määritellään (olettaen n ≤ m)

a0 + a1 x + · · · + an xn = b0 + b1 x + · · · + bm xm ⇐⇒

a0 = b0 , a1 = b1 , . . . , an = bn , bn+1 = 0, . . . , bm = 0

(2.17)

ja jonka rengasoperaatiot määritellään kaavoilla (2.14). Tietenkin olisi ensin osoitettava, että R[x] todella on rengas. Aksioomien tarkistaminen on suoraviivainen tehtävä, ja sivuutamme sen tässä. Nolla-alkiona on vakiopolynomi 0 ja ykkösalkiona vakiopolynomi 1. Rengas R[x] on kommutatiivinen.

LUKU 2. RENGAS

25

Huomautus 2.10.2 Symbolin x voisi senkin jättää kirjoittamatta ja merkitä polynomeja a0 + a1 x+· · ·+an xn vaikkapa äärettöminä jonoina (a0 , a1 , . . . , an , 0, 0, . . . ) ja lausua rengasoperaatiot näiden avulla. On kuitenkin mukava säilyttää xk :t lausekkeissa, koska laskulait ovat silloin tutut. Kun vakiopolynomit a samaistetaan R:n alkioiden a kanssa, niin R on R[x]:n alirengas. Vaikkeivät R[x]:n alkiot olekaan funktioita, voidaan kuitenkin määritellä alkiot p(c) ∈ R, missä p(x) ∈ R[x] ja c ∈ R: Kun p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , niin asetetaan

p(c) = a0 + a1 c + · · · + an cn .

(2.18)

Tarkistamalla ehdot RH1RH3 todetaan: Kun c ∈ R on kiinnitetty, niin kuvaus

R[x] → R,

(2.19)

p(x) 7→ p(c),

on rengashomomorsmi.

Esimerkki 2.10.3 Olkoon R kommutatiivinen rengas. Tarkastellaan polynomeja p(x) = 1+x ja q(x) = 1−x. Niiden kertoimet kuuluvat Z:aan, joten p(x), q(x) ∈ Z[x]. Katsomme nyt kuitenkin, että p(x), q(x) ∈ R[x] tulkitsemalla kertoimina olevat kokonaisluvut n (nyt n = ±1) R:n alkioiksi n1R . (Tämä on yleinen menettely; sanotaan, että polynomeja p(x), q(x) tarkastellaan yli R:n.) Todetaan, että p(x) + q(x) = 2, p(x)q(x) = 1 − x2 . Jos R:ssä 2 6= 0 (tarkoittaa 2 · 1R = 1 + 1 6= 0), niin p(x) + q(x) 6= 0, mutta jos R:ssä 2 · 1R = 0, niin p(x) + q(x) = 0 (nollapolynomi).

Esimerkki 2.10.4 Polynomi x2 + x ∈ Z2 [x] ei ole nollapolynomi. Silti sen määräämä polynomikuvaus Z2 → Z2 , c 7→ p(c) = c2 + c, on nollakuvaus! Polynomien yhtäsuuruus (2.17) R[x]:ssä ei siis ole ekvivalentti funktioiden yhtäsuuruuden kanssa (vaikka tapauksessa R = R onkin).

Esimerkki 2.10.5 Tarkastellaan rengasta R[x]/hx3 − 1i. Merkitään I = hx3 − 1i. Kun f (x) ∈ R[x], niin x3 f (x) + I = f (x) + I ; siis lausekkeissa voidaan aina x3 korvata 1:llä. Esimerkiksi x7 + I = x3 · x3 · x + I = x + I ja x5 + 2x4 + 3x3 + 4x2 + 5x + 6 + I = 5x2 + 7x + 9 + I .

2.11 Kokonaisalue. Karakteristika Lukurenkailla on se tärkeä ominaisuus, että kahden luvun tulo on 0 vain, kun ainakin toinen tekijöistä on 0. Tätä käytetään mm. ratkaistaessa yhtälöitä, kuten

x4 = 1

⇐⇒

(x − 1)(x + 1)(x − i)(x + i) = 0

⇐⇒

x = ±1, ±i.

Samaa ominaisuutta ei ole kaikilla renkailla; esimerkiksi renkaassa Z12 on 3 · 4 = 0.

Esimerkki 2.11.1 Palautetaan mieleen, miten yhtälön x2 + bx + c = 0 ratkaisukaava C:ssä johdetaan.

LUKU 2. RENGAS

26

Esimerkki 2.11.2 Ratkaistaan renkaassa Z10 yhtälö x3 + x = 0. Määritelmä 2.11.3 Renkaan R alkiota a sanotaan nollanjakajaksi (zero divisor), jos a 6= 0 ja jos on sellainen b ∈ R, b 6= 0, että ab = 0 tai ba = 0 .

µ

12 Esimerkki 2.11.4 Koska 24 esimerkiksi renkaassa M2 (R).

¶µ

6 2 −3 −1

¶

µ =

¶ µ ¶ 00 1 2 , niin matriisi 2 4 on nollanjakaja 00

Esimerkki 2.11.5 Renkaassa Zm alkio a 6= 0 on nollanjakaja jos ja vain jos syt(a, m) > 1. Esimerkki 2.11.6 Jos renkaassa R ei ole nollanjakajia ja jos a2n = 1, niin an = ±1. Esimerkki 2.11.7 Idempotentti alkio e 6= 0, 1 (siis e2 = e) on nollanjakaja, koska e(1 − e) = 0. Määritelmä 2.11.8 Rengasta D sanotaan kokonaisalueeksi (integral domain), jos se ei ole nollarengas ja jos D1.

D on kommutatiivinen ja

D2.

D:ssä ei ole nollanjakajia. √

Esimerkki 2.11.9 Kaikki lukurenkaat (Z, Q, Z[ 10 ] jne.) ovat kokonaisalueita. Ne ovat nimittäin kokonaisalueen C alirenkaita, ja suoraan määritelmästä nähdään, että yleisestikin kokonaisalueen alirengas on kokonaisalue.

Esimerkki 2.11.10 Esimerkistä 2.11.5 seuraa: Jäännösluokkarengas Zm on kokonaisalue tarkalleen silloin kun m on alkuluku.

Esimerkki 2.11.11 Osoitetaan, että jos rengas R on kommutatiivinen ja jos jokaisella alkiolla 6= 0 on käänteisalkio, niin R on kokonaisalue. (Tällaisia renkaita kutsutaan kunniksi. Niitä tutkitaan seuraavassa luvussa.) Kokonaisalueessa D ei alkioilla 6= 0 ehkä ole käänteisalkioita, mutta silti on voimassa supistamislaki : Jos a ∈ D, a 6= 0, niin

ab = ac

=⇒

b=c

(b, c ∈ D).

(2.20)

Yhtälö ab = ac voidaan nimittäin kirjoittaa ekvivalenttiin muotoon a(b − c) = 0, josta seuraa b − c = 0, koska a ei ole nollanjakaja.

Esimerkki 2.11.12 Ratkaistaan yhtälö x3 + 10x = 0 renkaassa Z5 ja renkaassa Z7 . Kun p on alkuluku, niin Zp on kokonaisalue, jossa kuitenkin on voimassa p · 1 = 1 + · · · + 1 = p = 0, ja yleisemminkin p · a = 0. Siis kokonaisalueessa D saattaa olla nr = 0, missä n ∈ Z ja r ∈ D, vaikka n 6= 0 ja r 6= 0.

LUKU 2. RENGAS

27

Lause 2.11.13 Kun D on kokonaisalue ja n ∈ Z, niin seuraavat ehdot ovat ekvivalentit: (i)

n1D = 0;

(ii)

na = 0 jollain alkiolla a ∈ D, a 6= 0;

(iii)

na = 0 kaikilla alkioilla a ∈ D.

Todistus. Implikaatiot (iii) ⇒ (i) ⇒ (ii) ovat triviaalit, joten riittää todistaa (ii) ⇒ (iii). Oletetaan, että na = 0 jollain alkiolla a 6= 0. Mielivaltaiselle alkiolle b saadaan a(nb) = (na)b = 0, ja koska D:ssä ei ole nollanjakajia, niin nb = 0. 2

Määritelmä 2.11.14 Määritellään kokonaisalueen D karakteristika char(D): Jos on sellaisia positiivisia kokonaislukuja n, että n1D = 0, niin char(D) on näistä luvuista pienin. Jos n1D 6= 0 aina kun n ∈ Z \ {0}, niin char(D) = 0. Edellisen lauseen mukaan sama char(D) saataisiin, vaikka määritelmässä käytettäisiin 1D :n sijasta jotain muuta alkiota a 6= 0. Jos char(D) 6= 0, niin karakteristika on ykkösalkion (tai minkä tahansa muunkin alkion 6= 0) kertaluku ryhmässä (D, +). Jos char(D) = 0, niin alkioiden 6= 0 kertaluvut ovat = ∞.

Esimerkki 2.11.15 Jokaisen lukurenkaan karakteristika on 0. Jäännösluokkarenkaan Zp (p alkuluku) karakteristika on p.

Lause 2.11.16 Kokonaisalueen karakteristika on joko 0 tai alkuluku. Todistus. Oletetaan, että karakteristika char(D) = n ei olisi 0 eikä alkuluku. Silloin n olisi positiivinen kokonaisluku > 1 (D ei ole nollarengas, siis 1D 6= 0D ) ja voitaisiin hajottaa tuloksi n = n1 n2 , missä n1 , n2 ∈ Z ja 1 < n1 < n, 1 < n2 < n. Silloin 0 = n1D = n1 n2 1D = (n1 1D )(n2 1D ). Koska D:ssä ei ole nollanjakajia, niin n1 1D = 0 tai n2 1D = 0. Tämä olisi ristiriidassa n:n minimaalisuuden kanssa. 2

Esimerkki 2.11.17 Näytetään, että binomikertoimet

¡p¢

k ovat p:llä jaollisia, kun p on alkuluku ja 1 ≤ k ≤ p − 1. Päätellään tästä, että jos D on kokonaisalue ja char(D) = p, niin

(a + b)p = ap + bp

∀ a, b ∈ D.

(2.21)

Ratkaistaan sovelluksena yhtälö x3 + y 3 = 0 kokonaisalueessa D, jonka karakteristika on 3.

2.11.1 Polynomirengas yli kokonaisalueen Jos polynomissa p(x) = a0 +a1 x+· · ·+an xn ∈ R[x] on an 6= 0, niin kerrointa an sanotaan p(x):n johtavaksi kertoimeksi ja lukua n sanotaan p(x):n asteeksi (degree), merkitään n = deg p(x). Polynomi on pääpolynomi (monic polynomial), jos sen johtava kerroin on 1.

LUKU 2. RENGAS

28

Täydennetään vielä asteen määritelmää sopimalla nollapolynomin asteeksi deg(0) = −∞. (Symbolien ∞ ja −∞ käyttämiseen matemaattisissa kaavoissa on yleensä suhtauduttava varovaisesti. Tässä yhteydessä voidaan kuvitella, että −∞ on luku, joka on pienempi kuin kaikki reaaliluvut. Tietenkään −∞ itse ei ole reaaliluku!)

Lause 2.11.18 Jos D on kokonaisalue, niin myös D[x] on kokonaisalue. Lisäksi deg(p(x)q(x)) = deg p(x) + deg q(x)

∀ p(x), q(x) ∈ D[x].

(2.22)

Mahdollisten nollapolynomitapausten varalta sovitaan kaavassa (2.22), että kun a ∈ R, niin a + (−∞) = (−∞) + a = (−∞) + (−∞) = −∞.

Todistus. Oletetaan ensin, etteivät p(x) ja q(x) ole nollapolynomeja. Olkoot niiden johtavat kertoimet an ja bm . Tulossa p(x)q(x) esiintyvä korkein termi on an bm xn+m , sillä an bm 6= 0 koska D:ssä ei ole nollanjakajia. Siis yhtälö (2.22) on tällöin tosi. Samalla nähdään, ettei p(x)q(x) ole nollapolynomi; siis D[x]:ssä ei ole nollanjakajia. Koska D[x] on kommutatiivinenkin, se on kokonaisalue. Jos p(x) = 0 tai q(x) = 0, niin p(x)q(x) = 0 ja yhtälön (2.22) kumpikin puoli on −∞. 2

Esimerkki 2.11.19 Polynomirenkaat Z[x] ja R[x] ovat kokonaisalueita, ja samoin on Zp [x] kun p on alkuluku. Sen sijaan Z12 [x] ei ole kokonaisalue. Seuraus 2.11.20 Kun D on kokonaisalue, niin polynomilla p(x) ∈ D[x] on käänteisalkio renkaassa D[x] jos ja vain jos p(x) on vakiopolynomi p(x) = a ja a:lla on D:ssä käänteisalkio. Todistus. Oletetaan, että q(x) on p(x):n käänteisalkio. Siis p(x)q(x) = 1. Silloin deg p(x) + deg q(x) = deg(p(x)q(x)) = 0, joten deg p(x) = deg q(x) = 0. Siis p(x) ja q(x) ovat vakiopolynomeja, p(x) = a ja q(x) = b, ja ab = 1. Tämä todistaa väitteen yhteen suuntaan, ja toiseen suuntaan se on ilmeinen. 2

Luku 3

Kunta 3.1 Kunnan määritelmä √ Lukurenkaat, kuten Q, R, C, Z[ 10 ] ja niin edelleen, ovat kokonaisalueita, mutta monet niistä toteuttavat vahvemmankin ehdon: jokaisella alkiolla 6= 0 on renkaassa käänteisalkio. Kannattaa siis tutkia tällaisiakin systeemejä, ja taas kannattaa tehdä tämä aksiomaattisesti, sillä silloin saadaan mukaan yllä mainittujen lisäksi suuri määrä muitakin hyödyllisiä systeemejä.

Määritelmä 3.1.1 Kolmikkoa (K, +, · ) sanotaan kunnaksi (eld), jos K1.

(K, +, · ) on kommutatiivinen rengas, joka ei ole nollarengas, ja

K2. jokaisella K :n alkiolla 6= 0 on käänteisalkio K :ssa, eli K ∗ = K \ {0}. Muistamalla rengasaksioomat ja ryhmittelemällä ehdot toisin nähdään, että (K, +, · ) on kunta jos ja vain jos se toteuttaa ehdot K1'. (K, +) on Abelin ryhmä;

(kunnan additiivinen ryhmä )

K2'. (K \ {0}, · ) on Abelin ryhmä;

(kunnan multiplikatiivinen ryhmä )

K3'. a(b + c) = ab + ac,

(a + b)c = ac + bc ∀ a, b, c ∈ K .

(distributiivilait )

Jos luovutaan kertolaskun kommutatiivisuusvaatimuksesta, saadaan ns. vinokunta eli jakorengas (skew eld, division ring). Esimerkin 2.11.11 mukaan jokainen kunta on kokonaisalue. Tässä luvussa tavoitteena on johtaa kuntien perusominaisuuksia ja tutkia, miten kuntia voidaan konstruoida.

Esimerkki 3.1.2 Renkaat Q, R ja C ovat kuntia. Sen sijaan Z ei ole kunta. Esimerkki 3.1.3 Kaikkien rationaalifunktioiden joukko ½

R(x) =

¯ ¾ p(x) ¯¯ p(x), q(x) ∈ R[x], q(x) ei ole nollapolynomi q(x) ¯ 29

LUKU 3. KUNTA

30

on kunta funktioiden pisteittäisen yhteen- ja kertolaskun suhteen. Ajattelemme tässä sekä polynomit että rationaalifunktiot reaalifunktioiksi; huomaa, ettei rationaalifunktio ole määritelty niissä pisteissä, jotka ovat nimittäjän nollakohtia. Polynomirengas R[x] on kunnan R(x) alirengas, joka itse ei ole kunta.

Esimerkki 3.1.4 Kirjoitetaan jäännösluokkarenkaan Z2 = { 0, 1 } yhteenlasku- ja kertotaulut ja todetaan, että kyseessä on kunta.

Esimerkki 3.1.5 Määritellään joukossa K = {0, 1} oheiset ope-

+

0 1

·

0 1

raatiot. Koska kertolasku ei ole kommutatiivinen, niin (K, +, · ) ei ole kunta, ja koska 0 · 1 = 1, niin se ei ole edes rengas. Mutta mikä ehdoista K1'K3' jää toteutumatta?

0 1

0 1 1 0

0 1

0 1 0 1

Lause 3.1.6 Äärellinen kokonaisalue on kunta. Todistus. Olkoon D äärellinen kokonaisalue. Riittää todistaa, että jokaisella alkiolla a ∈ D, a 6= 0, on D:ssä käänteisalkio. Määritellään kuvaus f : D → D, f (x) = ax; siis f merkitsee alkiolla a kertomista. Supistamissäännön nojalla f on injektio: f (x) = f (y)

=⇒

ax = ay

=⇒

x = y.

Koska D on äärellinen, niin f :n injektiivisyydestä seuraa, että se on myös surjektio, sillä nythän #f (D) = #D. Siis on sellainen x ∈ D, että f (x) = 1. Tällöin ax = 1, ja kommutatiivisuuden johdosta myös xa = 1, joten x on a:n käänteisalkio. 2

Seuraus 3.1.7 Jäännösluokkarengas Zm on kunta jos ja vain jos m on alkuluku. Todistus. Koska Zm on äärellinen, niin väite seuraa lauseesta ja siitä, että esimerkin 2.11.5 mukaan Zm on kokonaisalue tarkalleen silloin kun m on alkuluku. 2 Jäännösluokkakunta Zp (p alkuluku) on esimerkki äärellisestä kunnasta.

Esimerkki 3.1.8 Kirjoitetaan jäännösluokkakunnan Z5 yhteenlasku- ja kertotaulut. Huomautus 3.1.9 Äärelliselle kunnalle, jonka kertaluku on alkulukupotenssi pk , käytetään merkintää GF (pk ). Se tulee saksankielisestä termistä Galois-Feld (engl. Galois eld), joka on jäänyt pois käytöstä. Algebran kurssilla osoitetaan, että jokaista alkulukupotenssia pk kohti on isomoraa vaille yksikäsitteinen kunta GF (pk ) ja ettei muita äärellisiä kuntia ole. Tässä kurssissa näytetään, miten GF (pk ) voidaan konstruoida. Koska kunta on rengas, siinä on määritelty yhteen-, vähennys- ja kertolaskut. (Vähennyslasku: a − b = a + (−b).) Jakolasku määritellään tavalliseen tapaan asettamalla

a = ab−1 b

(b 6= 0),

(3.1)

LUKU 3. KUNTA siis erityisesti

31

1 = b−1 (b 6= 0). Soveltamalla tavallisia renkaan laskulakeja todetaan, että b a c ac · = , b d bd

Osamäärillä

a c ad + bc + = b d bd

(3.2)

(b 6= 0, d 6= 0).

a a lasketaan siis samoin kuin murtoluvuilla. Huomaa myös, että = a. b 1

Esimerkki 3.1.10 Lasketaan kunnassa Z5 summat

1 1 1 3 + ja + . 2 4 2 4

Jos ei ole sekaannuksen vaaraa, kunnassa K (kuten renkaissakin) merkitään usein

1 + 1 = 2,

1 + 1 + 1 = 3,

...,

yleisesti n1K = n

∀ n ∈ Z.

Koska kunta K on kokonaisalue, sille on määritelty karakteristika char(K), ja tämä on joko 0 tai alkuluku (lause 2.11.16). Jos char(K) = p > 0, niin p · 1 = 0, joten yo. merkinnän mukaan K :ssa p = 0, ja yleisemmin, kun n ∈ Z, niin

n = 0 K :ssa

⇐⇒

p | n.

Jos char(K) = 0, niin K :ssa kaikki alkiot 0, 1, 2, 3, . . . ovat erisuuria, joten K on ääretön. Siis äärellisen kunnan karakteristika on alkuluku.

Esimerkki 3.1.11 Määritetään tämän pykälän esimerkkikuntien karakteristikat. Esimerkki 3.1.12 Ratkaistaan kunnassa K toisen asteen yhtälö x2 + bx + c = 0 olettaen, että char(K) 6= 2.

Lause 3.1.13 Kunnan K ainoat ihanteet ovat K ja {0}. Todistus. Ihanne I 6= {0} sisältää alkion a 6= 0; koska a on K :n yksikkö, niin I = K .

2

Esimerkki 3.1.14 Tutkitaan, onko seuraava lauseelle käänteinen väite tosi: Jos R on kommutatiivinen rengas, joka ei ole nollarengas, ja jos R:ssä on vain triviaalit ihanteet, niin R on kunta.

Esimerkki 3.1.15 Osoitetaan tarkasti, että jos f : K → R on rengasisomorsmi ja K on kunta, niin myös R on kunta. Kun K ja K 0 ovat kuntia, niin rengashomomorsmia K → K 0 sanotaan myös kuntahomomorsmiksi ja rengasisomorsmia K → K 0 sanotaan kuntaisomorsmiksi. Kuntaisomorsmi K → K on K :n (kunta-)automorsmi.

Lause 3.1.16 Jokainen kuntahomomorsmi f : K → K 0 on injektio ja indusoi siis kuntaisomorsmin K → Im(f ). Todistus. Koska f (1) = 1 6= 0, niin Ker(f ) 6= K . Lauseen 3.1.13 mukaan Ker(f ) = {0}.

2

LUKU 3. KUNTA

32

Tämän mukaan kunnan K homomorset kuvat ovat ' K . Yleensä renkailla homomorsmi R → R0 tuottaa R0 :n alirenkaaksi R:n homomorsen kuvan, jossa R:n ominaisuuksia saattaa kadota. Kunnilla sitä vastoin ei vastaavassa tilanteessa mitään ominaisuuksia katoa.

K

f

.... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ' ................. ....

K0 ...

⊆ Im(f )

Esimerkki 3.1.17 Osoitetaan, että kun char(K) = p on alkuluku, niin kuvaus fp : K → K,

fp (x) = xp ,

(3.3)

on kuntahomomorsmi. Lauseen 3.1.16 nojalla silloin K ' Im(fp ). Jos erityisesti K on äärellinen kunta, niin fp :n injektiivisyydestä seuraa myös surjektiivisuus, joten fp on K :n automorsmi. Yksinkertaisin tapaus tällaisesta on K = Zp ; tällöin kuitenkin fp on identiteettikuvaus! (Katso Fermat'n pikku lause Algebran peruskurssissa I).

3.2 Alikunta. Alkukunta Määritelmä 3.2.1 Kunnan (K, +, · ) osajoukkoa F sanotaan K :n alikunnaksi, jos F on kunta K :n yhteen- ja kertolaskuoperaatioiden K × K → K restriktioiden suhteen. Jos F on kunnan K alikunta, niin (F, +) on ryhmän (K, +) aliryhmä ja (F \ {0}, · ) on ryhmän (K \ {0}, · ) aliryhmä. Tästä seuraa erityisesti, että 0F = 0K ja 1F = 1K . Lisäksi char(F ) = char(K). Vertaamalla alikunnan ja alirenkaan määritelmiä nähdään, että F on K :n alikunta jos ja vain jos F on K :n alirengas, joka on kunta.

Esimerkki 3.2.2 Renkaat Q ja Z ovat R:n alirenkaita ja niistä Q on R:n alikunta. Lause 3.2.3 (Alikuntakriteeri) Kunnan K osajoukko F on K :n alikunta jos ja vain jos se täyttää seuraavat ehdot: AK1.

F :ssä on vähintään kaksi alkiota;

a − b ∈ F ∀ a, b ∈ F ; a AK3. ∈ F ∀ a, b ∈ F, b 6= 0. b Todistus. Jos F on K :n alikunta, se toteuttaa ehdot AK1AK3 triviaalisti. Oletetaan kääntäen, että ehdot AK1AK3 ovat voimassa. Oletus AK1 takaa, etteivät F ja F \ {0} ole tyhjiä, joten AK2:n ja AK3:n nojalla (F, +) on ryhmän (K, +) aliryhmä ja (F \ {0}, · ) on ryhmän (K \ {0}, · ) aliryhmä (aliryhmäkriteeri). Koska distributiivilait ovat voimassa koko K :ssa, ne ovat voimassa F :ssä. Näin ollen F on kunta. 2 AK2.

Esimerkki 3.2.4 Joukko √ √ Q( n ) = { a + b n | a, b ∈ Q}

( n neliövapaa kokonaisluku 6= 0, 1) √ on C:n alikunta, toisin sanoen se on eräs lukukunta. Jos n > 0, Q( n ) on myös R:n alikunta.

LUKU 3. KUNTA

33

Esimerkki 3.2.5 Jos char(K) = 2, kunnalla K on alikuntana {0, 1}. Huomaa, että −1 = 1. Esimerkki 3.2.6 Kuntahomomorsmin f : K → K kiintopisteiden joukko {a ∈ K | f (a) = a} on alikunta, ns. f :n kiintokunta.

Lause 3.2.7 Kunnan mielivaltaisten alikuntien leikkaus on alikunta. Todistus. Tämä seuraa suoraan alikuntakriteeristä.

2

Erityisesti kunnan K kaikkien alikuntien leikkaus \ K0 = F

(3.4)

F on K :n

alikunta

on K :n alikunta. Se on yksikäsitteinen suppein K :n alikunta, toisin sanoen jos F ⊆ K on alikunta, niin K0 ⊆ F . Siis K0 on alkukunta seuraavan määritelmän mielessä, ja se on ainoa K :n alikunta joka on alkukunta.

Määritelmä 3.2.8 Kunta on alkukunta (prime eld), jos sillä ei ole aitoja alikuntia. Lause 3.2.9 Kun K on alkukunta, niin (

K'

Zp

jos char(K) = p (alkuluku),

Q

jos char(K) = 0.

Todistus. Oletetaan ensin, että char(K) = p. Määritellään kuvaus f : Z → K,

f (n) = n1.

Tämä on rengashomomorsmi (tarkista). Ydin on Ker(f ) = pZ, sillä n1 = 0 jos ja vain jos p | n. Homomoralause antaa rengasisomorsmin Z/pZ ' Im(f ). Toisaalta Z/pZ = Zp on kunta, koska p on alkuluku. Silloin myös Im(f ) on kunta; siis se on K :n alikunta. Koska K oletettiin alkukunnaksi, niin Im(f ) = K . Näin ollen Zp ' K . Olkoon nyt char(K) = 0. Silloin K :n alkiot n1 ovat erisuuria (n ∈ Z). Määritellään kuvaus ³n´ n1 g : Q → K, g = (n, m ∈ Z, m 6= 0). m m1 Osoitetaan, että g on hyvinmääritelty. Ensinnäkin oikean puolen alkiot ovat määriteltyjä K :ssa, ¡n¢ riipu käytetystä rationaaliluvun koska nimittäjä on aina 6= 0. Toiseksi on näytettävä, ettei g m n 2 4 −6 0 m esityksestä (esimerkiksi 3 = 6 = −9 = · · · ). Kun m, m 6= 0, niin

n0 n = 0 (Q:ssa) m m

=⇒

nm0 = n0 m (Z:ssa)

=⇒

(nm0 )1 = (n0 m)1 (K :ssa)

n1 n0 1 = 0 (K :ssa). m1 m1 Siis g on hyvinmääritelty kuvaus. Se todetaan heti rengashomomorsmiksi laskulakien (3.2) n n avulla. Lisäksi se on injektio, sillä jos g( m ) = 0, niin n1 = 0, josta seuraa n = 0 ja siis m = 0. (Vaihtoehtoisesti voisi vedota siihen että Q on kunta.) Näin ollen on voimassa rengasisomorsmi Q ' Im(g). Silloin Im(g) on K :n alikunta, ja koska K on alkukunta, niin Im(g) = K . 2 =⇒

(n1)(m0 1) = (n0 1)(m1) (K :ssa)

=⇒

LUKU 3. KUNTA

34

Alkukunnilla on hyvin yksinkertainen luokittelu:

Seuraus 3.2.10 Kunnat Zp (p alkuluku) ja Q ovat tarkalleen kaikki alkukunnat (isomoraa vaille). Todistus. Lauseen nojalla muita alkukuntia ei ole (isomoraa vaille). Riittää vain todeta, että Zp ja Q todella ovat alkukuntia. Jos Zp :llä on alikunta F , niin 1Zp = 1 ∈ F . Silloin n1 ∈ F (n ∈ Z), ja koska Zp = { 0, · · · , p − 1 }, niin F = Zp . Jos Q:lla on alikunta F , niin F sisältää kaikki kokonaisluvut n = n1. Silloin se sisältää myös n kaikki osamäärät m (m 6= 0), joten F = Q. 2

Seuraus 3.2.11 Olkoon K kunta. Jos char(K) = p, niin K :n sisältämä alkukunta on ' Zp . Jos char(K) = 0, niin K :n sisältämä alkukunta on ' Q. Todistus. Kunnalla ja sen sisältämällä alkukunnalla on sama karakteristika.

2

Lauseen todistuksesta (tai suoraan) nähdään myös, mikä K :n sisältämä alkukunta on osajoukkona: Jos char(K) = p, niin K :n alkukunta on { n1 | n = 0, 1, . . . , p − 1}, ja jos char(K) = 0, n1 niin K :n alkukunta on { m1 | n, m ∈ Z, m 6= 0}.

Esimerkki 3.2.12 Äärellisen kunnan GF (pk ) sisältämä alkukunta on ' Zp . Koska nimittäin kunta on äärellinen, niin sen karakteristika on jokin alkuluku q . Silloin sillä on additiivinen aliryhmä {0, 1, . . . , q − 1}. Lagrangen lauseen mukaan q | pk . Siis q = p.

Esimerkki 3.2.13 Funktiokunnan R(x) (esimerkki 3.1.3) sisältämä alkukunta on Q.

3.3 Kokonaisalueen osamääräkunta Matematiikassa esiintyy usein seuraava probleema: On annettu systeemi A, jolta kuitenkin puuttuu jokin toivottu ominaisuus. Muutama esimerkki:

• Jollain polynomilla ei ole astelukunsa ilmoittamaa määrää nollakohtia käsiteltävässä kunnassa; esimerkiksi polynomilla x3 + 1 ∈ R[x] on R:ssä vain yksi nollakohta. • Annetun kokonaisalueen kaikilla alkioilla 6= 0 ei ole käänteisalkioita. • Tasossa kahdella eri suoralla on aina tarkalleen yksi yhteinen piste, paitsi yhdensuuntaisten suorien tapauksessa, ja olisi mukava, ettei tällaisia poikkeustapauksia olisi. Usein systeemiä onnistutaan laajentamaan, niin että haluttu ominaisuus saadaan voimaan: A:sta lähtien konstruoidaan systeemi B , jolla ko. ominaisuus on ja joka sisältää, vaikkei ehkä A:ta itseään, niin sen kanssa isomorsen alisysteemin A0 . Samaistamalla A ja A0 voidaan silloin katsoa,

LUKU 3. KUNTA

35

että B on A:n laajennus. Lisäksi pyritään yleensä löytämään laajennus, joka on jossain mielessä pienin mahdollinen. Esimerkiksi rationaalilukujen kunnan Q voisi kuvitella syntyneen tarpeesta laajentaa Z suuremmaksi renkaaksi, siten että kaikille alkioille 6= 0 saadaan käänteisalkiot. Konstruktio tehn dään tunnetusti niin, että joukkona Q määritellään kaikkien osamäärien m joukoksi (n, m ∈ Z, 0 n n m 6= 0), missä kaksi osamäärää m ja m0 katsotaan samaksi (samaistetaan), jos nm0 = mn0 ; ja ab · dc = ac rengasoperaatiot määritellään tutuilla kaavoilla ab + dc = ad+bc bd bd ; seuraavaksi osoitetaan, että näin muodostettu Q on kunta; lopuksi näytetään, että Z on isomornen Q:n muotoa n 1 olevista alkioista koostuvan alirenkaan kanssa. Tässä pykälässä suoritamme vastaavan konstruktion mielivaltaiselle kokonaisalueelle D: Rakennamme D:n osamääräkunnan Q(D), joka on D:n sisältävä kunta ja lisäksi sellaisena pienin mahdollinen. Menetelmä on sama, jolla Q muodostetaan Z:sta; samalla tämäkin tapaus tulee käsitellyksi tarkasti.

Q(D):n konstruointi joukkona Olkoon siis D kokonaisalue. Muodostetaan joukko

X = {(a, b) | a, b ∈ D, b 6= 0}

(3.5)

ja määritellään tässä joukossa relaatio ∼ seuraavasti:

(a, b) ∼ (c, d)

⇐⇒

ad = bc.

(3.6)

Näytetään, että tämä on ekvivalenssirelaatio. Reeksiivisyys ja symmetrisyys ovat selvät. Transitiivisuuden toteamista varten oletetaan, että

(a, b) ∼ (c, d) ja (c, d) ∼ (e, f ), missä siis a, b, c, d, e, f ∈ D ja b, d, f 6= 0. Silloin ad = bc ja cf = de. Kertomalla yhtälöt keskenään saadaan adcf = bcde, ja kun käytetään D:n kommutatiivisuutta ja supistamislakia, seuraa af = be, joten (a, b) ∼ (e, f ). (Tapaus c = 0 pitää käsitellä erikseen.) Siispä relaation ∼ ekvivalenssiluokat [(a, b)] muodostavat X :n partition. Sanomme näitä ekvivalenssiluokkia formaalisiksi osamääriksi, merkitsemme niitä

[(a, b)] =

a b

ja määrittelemme, että niiden joukko X/∼ on Q(D), siis o na ¯ ¯ Q(D) = ¯ a, b ∈ D, b 6= 0 . b

(3.7)

(3.8)

Relaation ∼ määritelmästä (3.6) nähdään, mitä yhtäsuuruus Q(D):ssä tarkoittaa:

c a = b d

⇐⇒

ad = bc.

(3.9)

(Voi katsoa, että siirtyminen joukosta X ekvivalenssiluokkien joukkoon Q(D) = X/∼ merkitseekin nimenomaan alkioiden samaistamista tällä säännöllä.)

LUKU 3. KUNTA

36

Binäärioperaatiot Q(D):ssä Määritellään joukossa Q(D) yhteen- ja kertolasku:

a c ad + bc + = , b d bd

a c ac · = . b d bd

(3.10)

On varmistuttava, että nämä ovat hyvin määritellyt. Ensinnäkin oikeilla puolilla bd 6= 0, sillä b 6= 0 ja d 6= 0 ja D on kokonaisalue; siis oikeiden puolien lausekkeet ovat määritellyt ja ∈ Q(D). Toiseksi pitää todeta, että oikeiden puolien lausekkeet eivät riipu alkioille ab ja dc käytetyistä esityksistä (ekvivalenssiluokkien edustajista). Todetaan tämä tässä vain yhteenlaskulle; kertolasku 0 0 käsiteltäisiin samoin. Olkoon ab = ab0 ja dc = dc 0 , jolloin siis ab0 = ba0 ja cd0 = dc0 . Väitetään, että

ad + bc a0 d0 + b0 c0 = , bd b0 d0 toisin sanoen että (ad + bc)b0 d0 = bd(a0 d0 + b0 c0 ). Tämä todetaankin helposti: vasen puoli on = (ab0 )dd0 + bb0 (cd0 ) = (ba0 )dd0 + bb0 (dc0 ) = oikea puoli.

Lause 3.3.1 Joukko Q(D) on kunta operaatioiden (3.10) suhteen. Sen osajoukko D0 =

on alirengas, ja kuvaus D → D0 , a 7→

a 1

na ¯ o ¯ ¯a∈D 1

, on rengasisomorsmi.

Todistus. Rengasaksioomien tarkistaminen Q(D):lle on suoraviivaista ja sivuutamme sen tässä (käy kuitenkin läpi esimerkiksi distributiivilaki). Tuloksena saadaan, että Q(D) on rengas, jonka nolla-alkiona on 01 ja ykkösalkiona 11 . Lisäksi Q(D) on kommutatiivinen, koska D on. 1 Jos ab 6= 01 , niin a1 6= b0 eli a 6= 0. Täten Q(D) sisältää alkion ab . Koska ab · ab = ab ab = 1 , niin ³ a ´−1 b = . (3.11) a b Näin ollen Q(D) on kunta. Muodostetaan kuvaus j : D → Q(D), j(a) = a1 . Se on rengasQ(D) homomorsmi (tarkista ehdot RH1RH3). Lisäksi j on injektio, sillä ..... . . . . . ..... j ............ yhtälöstä a1 = 1b seuraa a1 = b1 eli a = b. Saadaan siis, että . ⊆ ..... . . . . .. na ¯ o ..... ..... ¯ ..... . . . . . D ' Im(j) = ¯a∈D . ' 1 .... D D0 0 Samalla nähdään, että D = Im(j) on alirengas. 2

Määritelmä 3.3.2 Edellä konstruoitua kuntaa Q(D) sanotaan kokonaisalueen D osamääräkunnaksi tai jakokunnaksi (quotient eld, eld of fractions). On luonnollista samaistaa D ja D0 isomorsmin a 7→ a1 välityksellä; alkiota a1 yksinkertaisesti merkitään a:lla. Sanotaan myös, että D on upotettu kuntaan Q(D) (embedded). Koska formaalinen osamäärä ab voidaan kirjoittaa µ ¶−1 a (3.9) a1 (3.10) a 1 (3.11) a b samaistus = = · = · = ab−1 , b 1b 1 b 1 1

LUKU 3. KUNTA

37

ja koska alkiota ab−1 kunnassa Q(D) on merkitty ab :llä (katso (3.1)), niin formaaliset osamäärät a a b tulevat samaistetuiksi Q(D):ssä muodostettujen todellisten osamäärien b kanssa.

Huomautus 3.3.3 Lause sanoo erityisesti, että jokainen kokonaisalue D voidaan upottaa johonkin kuntaan, nimittäin osamääräkuntaansa Q(D). Tarkastellaan nyt sellaista tilannetta, että D on alun perinkin annettu jonkin kunnan K alirenkaana. Muodostetaan K :n osajoukko o na ¯ ¯ (3.12) KD = ¯ a, b ∈ D, b 6= 0 . b

K

Q(D) '

KD

..... ..... ..... ..... ..... ..... ....

D

Silloin KD on K :n alikunta ja kuvaus Q(D) → KD , ab 7→ ab , on isomorsmi; ensimmäinen ab on formaalinen osamäärä ja jälkimmäinen ab on K :ssa muodostettu todellinen osamäärä. (Sivuutamme todistuksen.) Näin ollen: Jos kokonaisalue D on kunnan K alirengas, niin osamääräkunta Q(D) voidaan muodostaa K :n sisällä (kun isomorset kunnat ajatellaan samaistetuiksi).

Esimerkki 3.3.4 Polynomirengas R[x] on kokonaisalue. Sen osamääräkunta on isomornen rationaalifunktioiden kunnan R(x) kanssa. Tarkemmin: Osamääräkunnan alkiot ovat formaalisia osamääriä p(x) q(x) , kun taas R(x):n alkiot määriteltiin joissakin R:n osajoukoissa määriteltyinä funktioina

p(x) q(x)

(esimerkki 3.1.3). Ilmeinen kuvaus näiden kuntien välillä on isomorsmi.

Esimerkki 3.3.5 Olkoon p alkuluku. Silloin Zp on kokonaisalue, joten lauseen 2.11.18 mukaan samoin on Zp [x]. Sillä on siis osamääräkunta ¯ ½ ¾ p(x) ¯¯ Zp (x) = p(x), q(x) ∈ Z [x], q(x) ei ole nollapolynomi . p q(x) ¯ Tätä sanotaan rationaalifunktioiden kunnaksi yli kunnan Zp . Se on esimerkki äärettömästä kunnasta, jonka karakteristika on p.

Esimerkki 3.3.6 Mikä on Gaussin kokonaislukujen renkaan osamääräkunta?

3.4 Laajennuskunta Määritelmä 3.4.1 Jos K on kunnan L alikunta, sanotaan, että L on kunnan K laajennuskunta tai kuntalaajennus (extension eld, eld extension). Kunnan L osajoukon S generoima alikunta K määritellään kuten vastaavat käsitteet aikaisemmin: \ K= L1 . (3.13) S⊆L1 L1 on L:n alikunta

Lauseen 3.2.7 nojalla K on alikunta.

Esimerkki 3.4.2 Kunnan L alkukunta on joukon {0, 1} (tai jopa tyhjän joukon) generoima alikunta.

LUKU 3. KUNTA

38

Usein kuntalaajennuksissa on kyse siitä, että annettuun kuntaan F halutaan liittää mukaan joitakin tiettyjä lisäalkioita, esimerkiksi jonkin polynomin nollakohtia.

Määritelmä 3.4.3 Olkoon F kunnan L alikunta ja S jokin L:n osajoukko. Joukon F ∪ S generoimalle L:n alikunnalle käytetään merkintää F (S). Siis

L ... ... ... .

F (S) ... ... ... .

F ⊆ F (S) ⊆ L.

F

Kuntaa F (S) sanotaan joukon S generoimaksi F :n laajennuskunnaksi (L:ssä) tai myös kunnaksi, joka saadaan liittämällä (adjoin) joukko S kuntaan F . Määritelmästä seuraa myös, että F (S) on L:n suppein alikunta, joka sisältää F :n ja S :n, eli että F (S) on suppein S :n sisältävä F :n laajennuskunta L:ssä. Jos S on äärellinen, S = {a1 , . . . , an }, merkitään F (S) = F (a1 , . . . , an ) ja sanotaan, että F (S) on kunnan F äärellisesti generoitu laajennus. Yhden alkion generoimaa laajennusta F (a) sanotaan yksinkertaiseksi. Huomaa, että jos a ∈ F , niin F (a) = F . On helppo osoittaa, että jokainen äärellisesti generoitu laajennus saadaan rakennetuksi peräkkäisistä yksinkertaisista laajennuksista, F (a1 , . . . , an ) = F (a1 )(a2 ) · · · (an ).

Esimerkki 3.4.4 Liittämällä rationaalilukujen kuntaan Q ⊆ R luku √ √ Q( 2 ) = {a + b 2 | a, b ∈ Q} (esimerkki 3.2.4).

√

2 saadaan R:n alikunta

Esimerkki 3.4.5 Jos reaalilukujen kuntaan R ⊆ C liitetään imaginaariyksikkö i, saadaan koko kompleksilukukunta: R(i) = C.

Huomautus 3.4.6 1) Kun D on kunnan L alirengas, ja siis kokonaisalue, niin D:n generoima alikunta on sama kuin L:n sisällä muodostettu D:n osamääräkunta { ab | a, b ∈ D, b 6= 0} (huomautus 3.3.3). 2) Osajoukon S ⊆ L generoiman alikunnan alkiot voidaan lausua seuraavalla tavalla. Ensin otetaan S :n generoima alirengas; se määritellään \ R, (3.14) D= S⊆L R on L:n alirengas

ja on helppo osoittaa, että se koostuu kaikista muotoa ±si1 · · · sin (n ≥ 0, sij ∈ S ) olevien tulojen summista, mukana tyhjä summa (tyhjä summa = 0, tyhjä tulo = 1). Nyt S :n generoima alikunta on em. LD . Edellä tarkasteltiin kunnan F laajennusta jonkin suuremman kunnan L sisällä. Vielä tärkeämmäksi kuntalaajennusten teoria osoittautuu tapauksissa, joissa tällaista kuntaa L ei ole ennalta annettuna. Silloin laajennuskunta on rakennettava, ja ensin on löydettävä jokin riittävän suuri ja yleinen joukko, jota konstruktiossa käytetään. (Vertaa kokonaisalueen D osamääräkunnan Q(D) rakentamiseen: Otettiin sopiva ja riittävän suuri joukko X , siirryttiin joukkoon X/∼ ja niin edelleen.)

LUKU 3. KUNTA

39

Esimerkki tästä on kompleksilukukunta C. Se voidaan ajatella muodostetuksi lähtemällä kunnasta R, johon halutaan liittää polynomin x2 + 1 nollakohta. Konstruktiota ei voi suorittaa minkään valmiin suuremman kunnan sisällä. Tutussa menettelyssä valitaan käytettäväksi joukko {(a, b) | a, b ∈ R}, josta tehdään kunta C määrittelemällä yhteen- ja kertolasku tutuilla kaavoilla (yleensä merkitään vielä i = (0, 1) ja (a, b) = a + bi), jolloin saadaan aikaan i2 = −1. Uusi kunta ei sisällä R:ää, mutta koska se sisältää R:n kanssa isomorsen alikunnan R0 = {(a, 0) | a ∈ R}, voidaan R ja R0 samaistaa (merkitsemällä a = (a, 0) = a + 0i kun a ∈ R) ja näin katsoa, että C on R:n laajennus. Kun on annettu kunta F ja polynomi p(x) ∈ F [x], jolla ei ole F :ssä nollakohtia, niin yleisestikin voidaan konstruoida F :n laajennuskunta F (a), jossa p(x):llä on nollakohta. Seuraavassa perehdymme siihen, miten tämä voidaan tehdä. Idea lienee monelle uusi. Esimerkiksi tapauksessa F = R ja p(x) = x2 + 1 kunta C tulee konstruoiduksi muodossa C ' R[x]/hx2 + 1i. Polynomit kytkeytyvätkin olennaisesti kuntalaajennuksiin; paitsi että niitä käytetään kuntalaajennusten konstruoinnissa, kääntäen kuntalaajennusten teoriaa sovelletaan tutkittaessa esimerkiksi polynomiyhtälöiden ratkaisemista. Tässä kurssissa esitetään perustuloksia kuntalaajennusten muodostamisesta ja sovelletaan niitä äärellisten kuntien konstruointiin. Lisää kuntalaajennusten teoriaa tulee Algebran kurssilla.

3.5 Renkaan maksimaalinen ihanne Määritelmä 3.5.1 Renkaan R ihannetta M sanotaan maksimaaliseksi, jos se on aito ihanne (siis M 6= R) ja jos mikään R:n ihanne I ei täytä ehtoa M ⊂ I ⊂ R. Toisin sanoen ihanne M on maksimaalinen jos ja vain jos se on aito ja on voimassa

M ⊆ I,

I on R:n ihanne

=⇒

I = M tai I = R.

Esimerkki 3.5.2 Renkaan Z8 ihanne h 2 i = { 0, 2, 4, 6 } on maksimaalinen, koska sen indeksi ryhmässä (Z8 , +) on 2.

Esimerkki 3.5.3 Renkaan R[x] ihanne hxi on maksimaalinen. Jos nimittäin I on sellainen ihanne, että hxi ⊂ I ⊆ R[x], niin I :ssä on jokin alkio a0 + a1 x + · · · + an xn = a0 + xq(x), missä a0 6= 0; koska xq(x) ∈ hxi, niin a0 ∈ I , ja seuraa I = R[x]. Esimerkki 3.5.4 Renkaan Z maksimaaliset ihanteet ovat ihanteet pZ, missä p on alkuluku. Tämä nähdään siitä, että Z:n ihanteet ovat muotoa mZ (m ≥ 0), ja kun m1 , m2 ≥ 0, niin

m1 Z ⊂ m2 Z

⇐⇒

m2 | m1 , m2 6= m1 .

Toisaalta Z/mZ on kunta tarkalleen silloin, kun p on alkuluku. Tässä on kyse yleisestä tosiseikasta:

LUKU 3. KUNTA

40

Lause 3.5.5 Olkoon R kommutatiivinen rengas ja I sen ihanne. Silloin R/I on kunta jos ja vain jos I on maksimaalinen ihanne. Todistus. Oletetaan ensin, että R/I on kunta. Koska kunnassa on ainakin kaksi alkiota, niin I 6= R, siis I on aito ihanne. Olkoon J sellainen ihanne, että I ⊆ J . Pitää osoittaa, että J = I tai J = R. Oletetaan, että J 6= I . Silloin on olemassa a ∈ J \ I . Koska a ∈ / I , niin a + I 6= I , toisin sanoen a + I 6= 0R/I . Koska R/I on kunta, niin (a + I):llä on käänteisalkio b + I , (a + I)(b + I) = 1 + I. Tästä saadaan ab + I = 1 + I , eli 1 = ab + i, missä i ∈ I . Mutta a ∈ J ja i ∈ I ⊆ J , joten ab + i ∈ J (J on ihanne). Näin ollen 1 ∈ J , ja seuraa J = R. Oletetaan nyt, että I on maksimaalinen ihanne. Jäännösluokkarengas R/I on joka tapauksessa kommutatiivinen rengas. Siinä on ainakin kaksi alkiota, koska I on aito. Pitää siis vain osoittaa, että sen mielivaltaisella alkiolla a + I 6= I on käänteisalkio. Kun a + I 6= I , niin a ∈ / I, joten summaihanne I + Ra sisältää I :n aidosti. (Katso lause 2.9.1.) Ihanteen I maksimaalisuuden nojalla I + Ra = R. Erityisesti 1 ∈ I + Ra, joten on sellaiset i ∈ I ja r ∈ R, että 1 = i + ra. Seuraa 1 + I = ra + I = (r + I)(a + I). Alkio r + I on siis (a + I):n käänteisalkio renkaassa R/I .

2

Näin ollen renkaiden maksimaalisten ihanteiden avulla saadaan kuntia. Seuraavaksi tarkoituksenamme on todistaa, että jokaisessa renkaassa (joka ei ole nollarengas) on maksimaalisia ihanteita, ja vielä vahvemmin, että jokainen aito ihanne sisältyy johonkin maksimaaliseen ihanteeseen. Emme tosin tule tarvitsemaan tätä kuntalaajennusten konstruoinnissa.

3.5.1 Zornin lemma Määritelmä 3.5.6 Relaatio ≤ joukossa A on osittainen järjestys (partial ordering), jos se täyttää seuraavat ehdot: J1. Kun a ∈ A, niin a ≤ a.

(reeksiivisyys )

J2. Kun a, b ∈ A ja sekä a ≤ b että b ≤ a, niin a = b.

(antisymmetrisyys )

J3. Kun a, b, c ∈ A ja a ≤ b ja b ≤ c, niin a ≤ c.

(transitiivisuus )

Jos lisäksi pätee J4. Kun a, b ∈ A, niin a ≤ b tai b ≤ a,

(vertailtavuus )

relaatiota ≤ sanotaan totaaliseksi tai täydelliseksi järjestykseksi. Joukkoa A varustettuna osittaisella järjestyksellä ≤ sanotaan osittain järjestetyksi joukoksi, ja jos myös J4 on voimassa, totaalisesti tai täydellisesti järjestetyksi joukoksi eli ketjuksi (chain). Relaatio a ≤ b voidaan lukea  a edeltää b:tä tai  b seuraa a:ta. Huomaa, että J1:n mukaan jokainen alkio edeltää ja seuraa itseään.

LUKU 3. KUNTA

41

Esimerkki 3.5.7 Tavallinen suuruusrelaatio x ≤ y on totaalinen järjestys R:ssä. Esimerkki 3.5.8 Jaollisuusrelaatio a | b on osittainen järjestys positiivisten kokonaislukujen joukossa Z+ . Miksei järjestys ole totaalinen? Miksei jaollisuusrelaatio ole osittainen järjestys Z:ssa? Jos (A, ≤) on osittain järjestetty joukko, niin samoin on jokainen A:n osajoukko relaation ≤ suhteen (oikeastaan sen restriktion suhteen).

Esimerkki 3.5.9 Sisältymisrelaatio A ⊆ B on osittainen järjestys annetun joukon X kaikkien osajoukkojen parvessa P(X). Piirretään tätä relaatiota kuvaava Hassen diagrammi, kun X = {1, 2, 3}. Tunnistetaan joitakin P(X):n osajoukkoja, jotka ovat totaalisesti järjestettyjä eli ketjuja.

Esimerkki 3.5.10 Piirretään osittain järjestettyä joukkoa (A, | ) kuvaava Hassen diagrammi, missä A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} (luvun 12 tekijät).

Esimerkki 3.5.11 Ryhmän G aliryhmät muodostavat osittain järjestetyn joukon aliryhmärelaation ≤ suhteen. Piirretään Hassen diagrammi syklisen ryhmän C12 aliryhmistä.

Määritelmä 3.5.12 Osittain järjestetyn joukon A alkiota m sanotaan maksimaaliseksi, jos m ei ole A:n minkään muun alkion edeltäjä, toisin sanoen jos on voimassa

m ≤ a, a ∈ A

=⇒

m = a.

Esimerkki 3.5.13 Reaalilukujen joukossa ei tavallisen järjestysrelaation suhteen ole maksimaalisia alkioita. Avoimessa reaalilukuvälissä (a, b) ei myöskään ole maksimaalisia alkioita, kun taas jokaisessa suljetussa välissä [a, b] on tarkalleen yksi maksimaalinen alkio b.

Esimerkki 3.5.14 Osoitetaan, että jos totaalisesti järjestetyssä joukossa on maksimaalinen alkio, niin se on yksikäsitteinen.

Esimerkki 3.5.15 Joukon X = {1, 2, 3} osajoukkojen parvessa on relaation ⊆ suhteen vain yksi maksimaalinen alkio, nimittäin X itse. Sitä vastoin sen aitojen osajoukkojen parvessa on kolme maksimaalista alkiota.

Esimerkki 3.5.16 Joukossa {1, 2, . . . , 9}, järjestettynä jaollisuusrelaation suhteen, maksimaaliset alkiot ovat 5, 6, 7, 8, 9. Esimerkki 3.5.17 Renkaan R idempotenttien alkioiden joukossa E = {e ∈ R | e2 = e} voidaan määritellä osittainen järjestys

e≤f

⇐⇒

ef = f e = e

(e, f ∈ E).

Ainoa maksimaalinen alkio E :ssä on 1. Sen sijaan joukon E \{1} maksimaalisten alkioiden määrä riippuu kyseisestä renkaasta; niillä onkin renkaiden rakenneteoriassa tärkeä asema.

LUKU 3. KUNTA

42

Esimerkki 3.5.18 Renkaan R aitojen ihanteiden joukossa, järjestettynä sisältymisrelaation suhteen, maksimaaliset alkiot ovat juuri määritelmän 3.5.1 mukaiset maksimaaliset ihanteet. Riittävän ehdon maksimaalisten alkioiden olemassaololle lausuu seuraava ns. Zornin lemma. Se voidaan todistaa joukkoteorian kuuluisan valinta-aksiooman avulla; itse asiassa valintaaksiooma on kääntäen johdettavissa Zornin lemmasta, joten näitä kahta voidaan pitää ekvivalentteina aksioomina, kun joukko-oppia kehitetään aksiomaattisesti. Otamme Zornin lemman käyttöön ilman todistusta. Tarvitsemme sitä varten vielä seuraavan käsitteen: Kun A on osittain järjestetty joukko ja S ⊆ A ja y ∈ A, niin y on S :n yläraja, jos

s≤y

∀ s ∈ S.

Esimerkki 3.5.19 Kun joukko Z+ järjestetään jaollisuusrelaation mukaan, niin osajoukolla S = {1, 2, . . . , 9} on ainakin yläraja 9! . Etsi sille jokin pienempikin yläraja.

Lause 3.5.20 (Zornin lemma) Olkoon A osittain järjestetty joukko 6= ∅. Jos A:n jokaisella totaalisesti järjestetyllä osajoukolla (ketjulla) on yläraja A:ssa, niin A:ssa on ainakin yksi maksimaalinen alkio.

3.5.2 Maksimaalisten ihanteiden olemassaolo Lause 3.5.21 Renkaassa R, joka ei ole nollarengas, on ainakin yksi maksimaalinen ihanne. Tarkemmin: Jokainen R:n aito ihanne sisältyy ainakin yhteen maksimaaliseen ihanteeseen. Todistus. Ensimmäinen väite seuraa toisesta, koska R:llä on aina aito ihanne {0}. Todistetaan siis jälkimmäinen väite. Olkoon I jokin aito ihanne. Tarkastellaan ihanteiden parvea P = { J | I ⊆ J, J on R:n aito ihanne}. Silloin I ∈ P , joten P ei ole tyhjä. Katsotaan P :tä osittain järjestettynä joukkona sisältymisrelaation ⊆ suhteen. Olkoon {Jγ | γ ∈ I} 6= ∅ jokin ketju P :ssä, siis totaalisesti järjestetty osajoukko. Osoitetaan, että sillä on P :ssä yläraja, ja tehdään tämä näyttämällä, että unioni S S γ∈I Jγ kelpaa ylärajaksi. Koska aina Jβ ⊆ γ∈I Jγ , niin osoitettavaksi jää vain, että unioni kuuluu P :hen. S Ensinnäkin I ⊆ γ∈I Jγ , koska jokainen Jγ sisältää I :n (yksikin riittäisi!). S S Toiseksi osoitetaan ihannekriteerin avulla, että γ∈I Jγ on ihanne. Olkoon a, b ∈ γ∈I Jγ . Silloin esimerkiksi a ∈ Jα ja b ∈ Jβ , missä α, β ∈ I . Koska parvi P on totaalisesti järjestetty, niin Jα ⊆ Jβ tai Jβ ⊆ Jα ; voidaan olettaa, että Jα ⊆ Jβ . Siis a, b ∈ Jβ , joten myös a − b ∈ Jβ S S (Jβ on ihanne). Näin ollen a − b ∈ γ∈I Jγ . Olkoon nyt r ∈ R ja a ∈ γ∈I Jγ . Silloin a ∈ Jα S jollain α:lla, ja siis ar, ra ∈ Jα ⊆ γ∈I Jγ . S Kolmanneksi on varmistettava, että ihanne γ∈I Jγ on aito. Mutta koska jokainen Jγ on aito, niin mikään niistä ei sisällä ykkösalkiota 1, eikä siis niiden unionikaan sisällä sitä. Näin ollen P toteuttaa Zornin lemman oletuksen, joten P :ssä on maksimaalinen alkio M . Tämä M on R:n maksimaalinen ihanne ja sisältää I :n. 2

LUKU 3. KUNTA

43

3.6 Polynomien jaollisuus Oletamme jatkossa, että K on kunta. Kuntalaajennuksia varten tutkimme K -kertoimisia polynomeja. Polynomirengas K[x] on kokonaisalue muttei kunta (lause 2.11.18 ja seuraus 2.11.20). Sillä osoittautuu olevan hyvin samantapainen algebrallinen rakenne kuin kokonaislukujen renkaalla Z. Polynomeille saadaan samanlainen jaollisuusteoriakin kuin kokonaisluvuille. Seuraavassa esitetään tämän teorian pääkohdat; useimmat asiat ovat tuttuja koulukurssista tapauksessa K = R.

Määritelmä 3.6.1 Olkoon a(x), b(x) ∈ K[x]. Jos a(x) = b(x)c(x), missä c(x) ∈ K[x], sanotaan, että polynomi a(x) on jaollinen polynomilla b(x); merkitään b(x) | a(x). Käytetään myös sanontoja: b(x) jakaa a(x):n, b(x) on a(x):n tekijä, a(x) on b(x):n monikerta.

Esimerkki 3.6.2 Renkaassa K[x] on voimassa (x − 1) | (x2 − 1). Renkaassa Z2 [x] (x + 1) | (x2 + 1), koska tässä renkaassa x2 + 1 = (x + 1)2 . Renkaassa R[x] (x + 1) - (x2 + 1). Olkoon R kommutatiivinen rengas ja olkoon p(x) kokonaiskertoiminen polynomi, p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ Z[x]. Kuten esimerkissä 2.10.3 sovittiin, p(x) määrää myös polynomin R[x]:ssä, kun kertoimet ai ∈ Z tulkitaan R:n alkioiksi ai 1R . Tätä R-kertoimistakin polynomia merkitään p(x):llä. (Tarkkaan ottaen kyseessä on rengashomomorsmi Z[x] → R[x].) Kun R = Zm , niin tämän mukaisesti kertoimista jätetään jäännösluokkamerkintä (yläviiva) yleensä kirjoittamatta, kuten edellisessä esimerkissä tehtiinkin. Siispä merkintä 2 + 5x − x3 ∈ Zm [x] tarkoittaa polynomia 2 + 5x + (−1)x3 . Huomaa, että esimerkiksi

Z2 [x]:ssä 2 + 5x − x3 = x − x3 = x + x3 , Z5 [x]:ssä 2 + 5x − x3 = 2 − x3 = 2 + 4x3 . Jaollisuusrelaatiolla on useita samoja perusominaisuuksia kuin kokonaislukujen tapauksessa; esimerkiksi aina a(x) | a(x) ja

a(x) | b(x), b(x) | c(x)

=⇒

a(x) | c(x),

a(x) | b(x), a(x) | c(x)

=⇒

a(x) | (b(x) + c(x)).

Eräät ominaisuudet ovat nyt hiukan toisenlaisia, esimerkiksi

a(x) | b(x), b(x) | a(x)

=⇒

a(x) = kb(x), missä k ∈ K \ {0}.

(Tämä liittyy siihen, että yksikköryhmät ovat Z∗ = {±1} ja K[x]∗ = K \ {0}.) Vertaa seuraavaa tulosta kokonaislukujen jakoalgoritmiin.

Lause 3.6.3 (Jakoalgoritmi) Jos a(x), b(x) ∈ K[x] ja b(x) 6= 0, niin on yksikäsitteiset sellaiset polynomit q(x), r(x) ∈ K[x], että a(x) = q(x)b(x) + r(x),

deg r(x) < deg b(x).

(3.15)

LUKU 3. KUNTA

44

Todistus. Valitaan joukosta S = { a(x)−k(x)b(x) | k(x) ∈ K[x] } polynomi r(x) = a(x) − q(x)b(x), jonka aste on pienin mahdollinen. Jos r(x) = 0, niin sen aste on −∞ ja (3.15) on siis voimassa. Olkoon nyt r(x) 6= 0. On näytettävä, että deg r(x) < deg b(x). Merkitään n = deg r(x) ja m = deg b(x), ja olkoot rn ja bm vastaavasti r(x):n ja b(x):n johtavat kertoimet. Jos nyt olisi n ≥ m, niin voitaisiin muodostaa polynomi

s(x) = r(x) −

rn · xn−m b(x), bm

jossa termien asteet ovat ≤ n, mutta jonka aste on jopa < n, koska n:nnen asteen termin kerroin on rn rn − · bm = 0. bm Toisaalta s(x) kuuluu joukkoon S , sillä se on

µ ¶ rn rn n−m n−m s(x) = (a(x) − q(x)b(x)) − ·x b(x) = a(x) − q(x) + ·x b(x). bm bm Tämä on vastoin r(x):n valintaa. Näin ollen n < m. Vielä on todistettava yksikäsitteisyys. Oletetaan, että myös

a(x) = q 0 (x)b(x) + r0 (x),

deg r0 (x) < deg b(x).

(3.16)

Vähentämällä yhtälöt (3.15) ja (3.16) toisistaan saadaan

r(x) − r0 (x) = (q 0 (x) − q(x))b(x). Yhtälön (2.22) nojalla

deg(r(x) − r0 (x)) = deg(q 0 (x) − q(x)) + deg b(x). Toisaalta deg(r(x) − r0 (x)) < deg b(x). Täytyy siis olla q 0 (x) − q(x) = 0 = r(x) − r0 (x). Siis q(x) = q 0 (x) ja r(x) = r0 (x). 2

Esimerkki 3.6.4 Renkaan Q[x] polynomeihin a(x) = 2x3 + x2 − x − 1 ja b(x) = x2 − 2 sovellettuna jakoalgoritmi antaa

2x3 + x2 − x − 1 = (2x + 1)(x2 − 2) + (3x + 1). Siis q(x) = 2x + 1 ja r(x) = 3x + 1. Entä jos tarkastellaan näitä polynomeja a(x) ja b(x) yli jonkin kunnan Zp ? Mieti, miksi saatu kaava pätee silloinkin. Kirjoita tulos erityisesti Z2 [x]:ssä ja Z3 [x]:ssä ja sievennä polynomit yksinkertaisempaan muotoon.

Esimerkki 3.6.5 Sovelletaan jakoalgoritmia Z5 [x]:n polynomeihin 3x2 + 1 ja 2x + 3.

LUKU 3. KUNTA

45

Muistetaan, että kun f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ∈ K[x] ja c ∈ K , niin merkitään

f (c) = a0 + a1 c + · · · + an cn ∈ K.

(3.17)

Sanotaan, että  x:n paikalle on sijoitettu c  tai on sijoitettu x = c ; f (c) voidaan lukea  f arvolla c . Tästä syntyy kaksikin tärkeää kuvausta: Pitämällä f kiinnitettynä saadaan polynomikuvaus

K → K,

c 7→ f (c).

(3.18)

Jos f (c) = 0, sanotaankin, että c on polynomin f (x) nollakohta tai yhtälön f (x) = 0 juuri. Toinen kuvaus saadaan pitämällä c kiinteänä:

K[x] → K,

f 7→ f (c).

(3.19)

Tämä oli esillä jo renkaiden yhteydessä; katso (2.19). Siellä mainittiin, että kyseessä on rengashomomorsmi. Tästä seuraa sijoitusperiaate: Kun K[x]:n polynomien toteuttamaan yhtälöön sijoitetaan x:n paikalle mikä tahansa K :n alkio c, niin saatu yhtälö toteutuu kunnassa K . Esimerkiksi jakoalgoritmin antamasta kaavasta a(x) = q(x)b(x) + r(x) seuraa

a(c) = q(c)b(c) + r(c)

∀ c ∈ K.

Lause 3.6.6 Olkoon f (x) ∈ K[x] ja c ∈ K . Silloin f (c) = 0

⇐⇒

(x − c) | f (x).

(3.20)

Todistus. Oletetaan ensin, että f (c) = 0. Jakoalgoritmin nojalla f (x) = q(x)(x − c) + r(x), missä deg r(x) < 1. Täten r(x) on vakiopolynomi, r(x) = r0 ∈ K . Kun nyt yhtälöön f (x) = q(x)(x − c) + r0 sijoitetaan x = c, saadaan r0 = f (c) = 0. Siis x − c jakaa f (x):n. Olkoon kääntäen f (x) = (x − c)q(x) jollain polynomilla q(x) ∈ K[x]. Sijoittamalla x = c saadaan f (c) = 0. 2

Esimerkki 3.6.7 Katsotaan uudestaan esimerkkiä 3.6.2. Seuraus 3.6.8 Polynomilla f (x) ∈ K[x] on kunnassa K korkeintaan astelukunsa ilmoittama määrä erisuuria nollakohtia. Todistus. Olkoot c1 , . . . , ck ∈ K f (x):n erisuuria nollakohtia. Silloin (x − c1 ) | f (x), joten f (x) = (x − c1 )g(x), missä g(x) ∈ K[x]. Koska f (c2 ) = 0, niin (c2 − c1 )g(c2 ) = 0, josta seuraa g(c2 ) = 0 (sillä c2 − c1 6= 0 ja K on kokonaisalue). Siis g(x) = (x − c2 )h(x), missä h(x) ∈ K[x], ja siis f (x) = (x − c1 )(x − c2 )h(x). Näin jatkamalla saadaan (x − c1 )(x − c2 ) · · · (x − ck ) | f (x). Lauseen 2.11.18 nojalla k ≤ deg f (x).

2

LUKU 3. KUNTA

46

Esimerkki 3.6.9 Näytetään, että kun p on alkuluku, niin polynomirenkaassa Zp [x] on xp−1 − 1 =

p−1 Y

(3.21)

(x − a).

a=1

Päätellään tästä lukuteorian Wilsonin lause : (p − 1)! ≡ −1 (mod p).

Huomautus 3.6.10 Yhtälöstä (3.21) (tai Fermat'n pikku lauseesta) seuraa myös, että polynomin f (x) = xp − x ∈ Zp [x] nollakohtia ovat kaikki kunnan Zp alkiot, toisin sanoen f (x) saa jokaisessa Zp :n pisteessä arvon 0 vaikkei olekaan nollapolynomi! Tämä, reaalisiin polynomeihin verrattuna uusi ilmiö, nähtiin jo esimerkissä 2.10.4. Siis kun p(x), q(x) ∈ K[x], niin saattaa olla p(c) = q(c) ∀ c ∈ K , vaikka p(x) 6= q(x); palauta mieleen, miten polynomien yhtäsuuruus määritellään.

Määritelmä 3.6.11 Polynomia f (x) ∈ K[x] sanotaan jaottomaksi (irreducible), jos f (x) ei ole vakiopolynomi eikä kahden positiivista astetta olevan polynomin tulo. Tällöin sanotaan myös, että f (x) on jaoton kunnan K suhteen (tai yli ) tai jaoton renkaassa K[x]. Kaikki 1. asteen polynomit ovat jaottomia. Lauseesta 3.6.6 saadaan heti seuraava yksinkertainen toteamus:

deg f (x) > 1, f (x):llä on nollakohta K :ssa

=⇒

f (x) ei ole jaoton K :n suhteen.

(3.22)

Esimerkki 3.6.12 Polynomilla x10 − 1 ∈ R[x] on nollakohta x = 1, joten se hajoaa tuloksi R[x]:ssä. Miten?

Esimerkki 3.6.13 Polynomi x2 + 1 on jaoton R:n suhteen: jos se ei olisi jaoton, niin sillä olisi ensimmäisen asteen tekijä x − c ∈ R[x] (huomaa että ax + b = a(x + ab ) ) ja siis nollakohta c ∈ R. (Toisaalta C:n suhteen x2 + 1 ei ole jaoton, koska x2 + 1 = (x − i)(x + i).) Soveltamalla tämän esimerkin päättelyä nähdään, että astetta 2 tai 3 oleville polynomeille implikaatio (3.22) voidaan kääntää:

deg f (x) = 2 tai 3, f (x):llä ei nollakohtia K :ssa

=⇒

f (x) on jaoton K :n suhteen. (3.23)

Vastaava ei päde polynomeille, joiden aste on ≥ 4. Esimerkiksi polynomilla x4 + 2x + 1 ∈ R[x] ei ole nollakohtia R:ssä, muttei se kuitenkaan ole jaoton yli R:n:

x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2 .

Esimerkki 3.6.14 Tutkitaan, onko x3 + 3x + 2 jaoton kuntien Z3 ja Z5 suhteen. Palauta mieleen koulukurssin menetelmä polynomin f (x) ∈ Q[x] rationaalisten nollakohtien löytämiseksi.

LUKU 3. KUNTA

47

Algebran peruslause sanoo, että jokaisella polynomilla f (x) ∈ C[x] \ C on nollakohta C:ssä; f (x) hajoaa siis 1. asteen tekijöihin C[x]:ssä. Algebran peruslause todistetaan usein kompleksifunktioiden teorian avulla. Alkeellisempiakin todistuksia on löydetty; esimerkiksi 2003 julkaistiin parin sivun todistus, joka käyttää kompleksisia vektoriavaruuksia ja matriiseja ja jonka voisi melkein jo tälläkin kurssilla esittää.

3.7 Kuntalaajennuksen konstruoiminen jaottomasta polynomista Polynomin f (x) ∈ K[x] generoima pääihanne on lauseen 2.9.5 mukaan

hf (x)i = { k(x)f (x) | k(x) ∈ K[x] }.

Lause 3.7.1 Polynomirenkaan K[x] ihanteet ovat pääihanteita, toisin sanoen K[x] on PIR. Todistus. Ensinnäkin {0} on pääihanne h0i. Olkoon I jokin ihanne 6= {0} ja olkoon b(x) 6= 0 polynomi I :ssä, jonka aste on mahdollisimman pieni. Näytetään, että I = hb(x)i. Koska b(x) ∈ I , niin hb(x)i ⊆ I . Kääntäen, jos a(x) ∈ I , niin jakoalgoritmi antaa a(x) = q(x)b(x) + r(x),

deg r(x) < deg b(x).

Nyt r(x) = a(x) −q(x)b(x) ∈ I , joten b(x):n valinnan nojalla r(x) = 0. Seuraa a(x) = q(x)b(x) ∈ hb(x)i. Siis I ⊆ hb(x)i. 2 Tulos osoittaa renkaiden Z ja K[x] analogisuutta. Myös Z on PIR (esimerkki 2.6.7); tämä seurasi syklisen ryhmän aliryhmiä koskevasta lemmasta 1.1.1, jonka todistus perustui Z:n jakoalgoritmiin ja oli hyvin samantapainen K[x]:lle juuri esitetyn todistuksen kanssa.

Lause 3.7.2 Jos p(x) on K[x]:n jaoton polynomi, niin hp(x)i on renkaan K[x] maksimaalinen ihanne. Todistus. Koska deg p(x) ≥ 1, niin hp(x)i ei sisällä vakiopolynomeja 6= 0 ja on siis aito ihanne. Olkoon J sellainen ihanne, että hp(x)i ⊆ J . On osoitettava, että J = hp(x)i tai J = K[x]. Lauseen 3.7.1 mukaan J on pääihanne, siis J = hb(x)i, missä b(x) ∈ K[x]. Koska p(x) ∈ hp(x)i ⊆ J = hb(x)i, niin p(x) = k(x)b(x) jollain polynomilla k(x) ∈ K[x]. Mutta p(x) oletettiin jaottomaksi; täten k(x) tai b(x) on vakiopolynomi 6= 0. Jos k(x) on vakio, k(x) = k0 ∈ K \ {0}, niin b(x) = k0−1 p(x) ∈ hp(x)i, joten J = hp(x)i. Jos taas b(x) on vakio, b(x) = b0 ∈ K \ {0}, niin se on K[x]:n yksikkö, ja seuraa J = K[x]. 2

Seuraus 3.7.3 Kun p(x) ∈ K[x] on jaoton polynomi, niin jäännösluokkarengas K[x]/hp(x)i on kunta. Todistus. Väite seuraa lauseista 3.5.5 ja 3.7.2

2

LUKU 3. KUNTA

48

Lauseen tilanteessa saadaan rengashomomorsmit

K[x] .....

K → K[x] → K[x]/hp(x)i,

missä ensimmäinen on kuvaus a 7→ a (K :n alkiot katsotaan K vakiopolynomeiksi) ja toinen on kanoninen homomorsmi. Yhdistetty kuvaus j : K → K[x]/hp(x)i, j(a) = a + hp(x)i,

kan.

......

K[x]/hp(x)i

.......... ....... ....... j ................. ...... ....... ....... ....... . . . . . . ....

'

......

.....

⊆ Im(j)

(3.24)

on kuntahomomorsmi. Näin ollen K ' Im(j). Kunnasta K[x]/hp(x)i saadaan K :n laajennuskunta samaistamalla K ja sen kanssa isomornen K[x]/hp(x)i:n alikunta Im(j). Samaistus tehdään j :n välityksellä; siis K :n alkiot a samaistetaan jäännösluokkiin j(a) = a + hp(x)i. Seuraavaksi näytämme, että tässä laajennuskunnassa polynomilla p(x) on nollakohta. Tarkastellaan ensin hiukan, mitä tämä väite tarkoittaa. Olkoon L kunnan K laajennuskunta ja olkoon q(x) ∈ K[x]. Silloin q(x) = b0 + b1 x + · · · + bm xm , missä bi ∈ K . Koska siis bi ∈ K ⊆ L, niin voidaan katsoa, että q(x) ∈ L[x]. Nyt saattaa olla q(c) = 0 jollain L:n alkiolla c; tällöin q(x):llä on L:ssä nollakohta c, joka ehkä ei kuulu K :hon. Seuraavassa lauseessa on huomattava, että kuntalaajennus käsittää samaistuksen j :n välityksellä ja että selvyyden vuoksi polynomien määräämätöntä merkitään y :llä.

Lause 3.7.4 Olkoon p(x) ∈ K[x] jaoton ja olkoon K[x]/hp(x)i seurauksen 3.7.3 mukainen K :n laajennuskunta. Polynomilla p(y) on kunnassa K[x]/hp(x)i nollakohta x + hp(x)i. Todistus. Merkitään I = hp(x)i. Silloin K :n ko. laajennuskunta on K[x]/I = { f (x) + I | f (x) ∈ K[x] }. Tarkastellaan ensin mielivaltaista polynomia q(y) ∈ K[y]. Kun q(y) = b0 + b1 y + · · · + bm y m , ¡ ¢ niin q(y) katsotaan polynomirenkaan K[x]/I [y] alkioksi samaistamalla sen kertoimet bi ∈ K jäännösluokkiin bi + I (kuvaus j ), siis

q(y) = (b0 + I) + (b1 + I)y + · · · + (bm + I)y m ∈

¡

¢ K[x]/I [y].

Tämä polynomi arvolla f (x) + I ∈ K[x]/I on

q(f (x) + I) = (b0 + I) + (b1 + I)(f (x) + I) + · · · + (bm + I)(f (x) + I)m = b0 + b1 f (x) + · · · + bm f (x)m + I ∈ K[x]/I, toisin sanoen q(f (x) + I) = q(f (x)) + I . Valitsemalla q(y) = p(y) ja f (x) = x saadaan

p(x + I) = p(x) + I = I = 0K[x]/I .

2

Millainen kunta K[x]/hp(x)i on? Merkitään I = hp(x)i ja d = deg p(x). Jäännösluokkarenkaana K[x]/I voidaan esittää muodossa

K[x]/I = { f (x) + I | f (x) ∈ K[x] } = { f (x) + I | f (x) ∈ D },

(3.25)

LUKU 3. KUNTA

49

missä D on jokin jäännösluokkien edustajisto. Kaikkien mahdollisten edustajistojen joukossa on yksi erityisen mukava, nimittäin

D = { r(x) ∈ K[x] | deg r(x) < d }.

(3.26)

Tämä nähdään seuraavasti. Ensinnäkin, kun mielivaltainen f (x) ∈ K[x] kirjoitetaan jakoalgoritmin mukaisessa muodossa f (x) = q(x)p(x) + r(x), missä deg r(x) < d, niin r(x) ∈ D ja f (x) + I = r(x) + I . Toiseksi, jos r1 (x), r2 (x) ∈ D, niin r1 (x) + I 6= r2 (x) + I , koska r1 (x) − r2 (x) ei voi olla jaollinen p(x):llä (aste < d). Täten K[x]/I = { r(x) + I | r(x) ∈ K[x], deg r(x) < d } (3.27) = { a0 + a1 x + · · · + ad−1 xd−1 + I | ai ∈ K ∀ i }. Jäännösluokkien r1 (x)+I ja r2 (x)+I summa ja tulo muodostetaan tavalliseen tapaan laskemalla ko. edustajien summa ja tulo; tulopolynomi r1 (x)r2 (x) palautetaan vielä muotoon a0 + a1 x + · · · + ad−1 xd−1 vähentämällä sopiva p(x):n monikerta esimerkiksi jakoalgoritmin avulla.

Esimerkki 3.7.5 Valitaan K = R ja p(x) = x2 + 1. Merkitään I = hp(x)i. Saadaan kunta R[x]/I = { a + bx + I | a, b ∈ R }, jossa operaatiot ovat ( (a + bx + I) + (a0 + b0 x + I) = (a + a0 ) + (b + b0 )x + I,

(a + bx + I)(a0 + b0 x + I) = (aa0 − bb0 ) + (ab0 + a0 b)x + I.

(3.28)

Tulokaava laskettiin näin:

(a + bx + I)(a0 + b0 x + I) = (a + bx)(a0 + b0 x) + I = aa0 + (ab0 + a0 b)x + bb0 x2 + I, ja lopuksi vielä käytettiin sitä, että bb0 x2 + I = −bb0 + I , sillä x2 + 1 ∈ I . Kaavat (3.28) ovat kuten C:n summa- ja tulokaava! Todellakin: kuvaus

R[x]/I → C,

a + bx + I 7→ a + bi,

on kuntaisomorsmi. Näin ollen C ' R[x]/hx2 + 1i. Alikunta { a + 0x | a ∈ R } ( = Im(j)) on isomornen R:n kanssa.

Esimerkki 3.7.6 Polynomi x2 + x + 1 on jaoton kunnan Z2 yli (tarkista), joten saadaan kunta (missä I = hx2 + x + 1i)

Z2 [x]/I = { a + bx + I | a, b ∈ Z2 } = { I, 1 + I, x + I, 1 + x + I }. Kyseessä on siis 4 alkion kunta GF (22 ). Kunta Z2 on sen alikuntana { I, 1 + I }. Jos kunnan Z2 [x]/I alkioita merkitään 0 = I , 1 = 1 + I , α = x + I , β = 1 + x + I , niin additiiviselle ja

LUKU 3. KUNTA

50

multiplikatiiviselle ryhmälle tulevat seuraavat taulut:

+

0

1

α

β

0 1 α β

0 1 α β

1 0 β α

α β 0 1

β α 1 0

·

1

α

β

1 α β

1 α β

α β 1

β 1 α

Esimerkiksi tulo αβ laskettiin näin:

αβ = x(1 + x) + I = x + x2 + I = −1 + I = 1 + I. Tarkistetaan vielä taulujen avulla, että α on polynomin x2 +x+1 nollakohta, kuten lauseen 3.7.4 mukaan pitää olla: α2 + α + 1 = β + α + 1 = 1 + 1 = 0. Seuraa myös, että x2 + x + 1 = (x − α)(x − ξ) kunnassa Z2 [x]/I , missä ξ on jokin kunnan alkio. Mikä ξ on? Vastaavanlainen konstruktio voidaan tehdä lähtien mistä tahansa polynomista q(x), joka on ¡ ¢ jaoton yli kunnan Zp . Jos deg q(x) = d, niin # Zp [x]/hq(x)i = pd (katso (3.27)). Tuloksena on silloin äärellinen kunta GF (pd ).

3.8 Vektoriavaruus yli mielivaltaisen kunnan Algebran peruskurssissa I käsiteltiin aksiomaattisesti vektoriavaruuksia yli R:n; aksioomat nimettiin V1V8. Tarkastelemme nyt tämän teorian luonnollista yleistystä. Olkoon K kunta. Vektoriavaruus yli kunnan K on joukko V , joka on varustettu sellaisilla kahdella operaatiolla, yhteenlaskulla V × V → V ja skalaarilla kertomisella K × V → V , että aksioomat V1V8 ovat voimassa, missä joka kohdassa R on korvattu kunnalla K . Valtaosassa reaalisten vektoriavaruuksien teoriaa skalaarikunnasta R ei käytetty hyväksi muuta kuin yleisiä kuntaominaisuuksia. Siksi koko se osa teoriaa pätee myös vektoriavaruuksille yli K :n (Tämän toteamiseksi pitäisi tietenkin koko teoria käydä uudestaan läpi.) Niinpä mm. seuraavat asiat ovat käytettävissä ja toimivat totutulla tavalla: aliavaruus, kanta, dimensio, suora summa, lineaarikuvaukset, matriisit, determinantit. Itse asiassa ainoat kohdat, jotka eivät yleisty vektoriavaruuksille yli mielivaltaisen kunnan ovat seuraavat.

• Sisätuloa (tai yleisemmin sisätuloavaruuksia, katso luku 4) koskevat asiat eivät yleisty. Ongelman muodostaa aksiooma (X, X) ≥ 0 (luku 4). Mainittakoon kuitenkin, että tärkeässä tapauksessa K = C sisätuloja pystytään käsittelemään, kunhan luvussa 4 esitettävään reaalisen tapauksen aksioomasysteemiin tehdään pari pientä muutosta.

LUKU 3. KUNTA

51

• Matriisien (tai lineaarikuvausten) ominaisarvojen yhteydessä käytettiin sitä, että polynomiyhtälöllä det(A − λI) = 0 on astelukunsa ilmoittama määrä juuria ko. skalaarikunnassa (ehkä yhtäsuuria). Näin ei ole yleisesti asianlaita. Tämänhän vuoksi lineaarialgebran kurssilla ominaisarvoja käsiteltiin yli C:n eikä yli R:n. Yleisenkin kunnan kohdalla on onneksi käytettävissä vastaava keino, kunnan ns. algebrallinen sulkeuma, josta tulee puhe Algebran kurssilla. Siksi tämä ongelma ei ole sittenkään kovin oleellinen. √ √ √ a, b ∈ Q} sisältää kunnan Q alirenkaanaan. Seuraa, että Q( n ) on vektoriavaruus yli Q:n, mis√ √ √ sä skalaarilla kertominen Q × Q( n ) → Q( n ) saadaan Q( n ):n kertolaskusta ja vektorien √ yhteenlasku on sama kuin Q( n ):n yhteenlasku. (Tarkista aksioomat V1V8!) Tällä vektoria√ varuudella yli Q:n on kantana {1, n }. (Osoita tämä kannan määritelmästä!) Siis sen dimensio √ on dimQ (Q( n )) = 2. √ Tätä voi käyttää esimerkiksi sen perustelemiseksi uudestaan, että Q( n ) on kunta. On nimittäin helppo todistaa seuraava yleinen tulos: Jos D on kokonaisalue, jolla on alirenkaana jokin kunta K , niin D on vektoriavaruus yli K :n, ja jos nyt dimK (D) < ∞, niin D on kunta! (Vihje todistusta varten: Seuraa lauseen 3.1.6 todistusta ja huomaa, että koska dimensio on äärellinen, niin erään lineaarikuvauksen injektiivisyydestä seuraa sen surjektiivisuus.)

Esimerkki 3.8.1 Olkoon n neliövapaa kokonaisluku 6= 0, 1. Rengas Q( n ) = { a + b n |

Esimerkki 3.8.2 Olkoon I = hp(x)i, missä p(x) ∈ K[x] on jaoton. Kunnalla K[x]/I on alikuntanaan K , joten se on myös vektoriavaruus yli K :n (vertaa esimerkkiin 3.8.1). Se, että alkioilla on yksikäsitteinen esitys muodossa a0 + a1 x + · · · + ad−1 xd−1 + I (ai ∈ K ) (katso (3.27)), merkitsee, että { 1 + I, x + I, . . . , xd−1 + I } on kanta K :n suhteen.

Huomautus 3.8.3 Zornin lemmaa tarvitaan todistettaessa, että mielivaltaisella vektoriavaruudella yli kunnan K on kanta. Meillähän kannan olemassaolo on tullut todistetuksi vain äärellisesti generoiduille eli äärellisulotteisille vektoriavaruuksille. (Tapauksessa K = R esitetty perustelu käy yleisellekin K :lle.) Todistuksen vaiheet ovat aivan lyhyesti esitettyinä seuraavat (vertaa lauseen 3.5.21 todistukseen). (1) Merkitään X :llä V :n kaikkien lineaarisesti riippumattomien osajoukkojen parvea, ja katsotaan sitä osittain järjestettynä joukkona sisältymisrelaation suhteen. (2) Todistetaan, että X :n jokaisella ketjulla on X :ssä yläraja, nimittäin ketjun jäsenten unioni; tässä pitää osata näyttää, että unioni on lineaarisesti riippumaton. (3) Siis Zornin lemman nojalla X :ssä on maksimaalinen alkio; todistetaan, että se on V :n kanta. Muuttamalla todistusta hiukan (miten?) saadaan osoitettua, että jokainen lineaarisesti riippumaton V :n osajoukko voidaan täydentää V :n kannaksi, ja myös, että jokainen V :n virittävä osajoukko voidaan redusoida V :n kannaksi.

Luku 4

Sisätuloavaruus 4.1 Sisätulo ja normi Avaruuksissa Rn määriteltiin vektorien sisätulo ja vektorin pituus : Kun x = (x1 , . . . , xn )T ja y = (y1 , . . . , yn )T , niin

(x, y) = x · y = x1 y1 + · · · + xn yn , q p |x| = (x, x) = x21 + · · · + x2n .

(4.1) (4.2)

Nyt haluamme yleistää nämä käsitteet muihinkin reaalisiin vektoriavaruuksiin, ja teemme sen asettamalla sisätulon eräät perusominaisuudet aksioomiksi:

Määritelmä 4.1.1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Olkoon annettuna kuvaus V × V → R; käytetään alkioparin (X, Y ) ∈ V ×V kuvalle merkintää (X, Y ) ∈ R. Tämä kuvaus on avaruudessa V määritelty sisätulo, jos se toteuttaa seuraavat ehdot: S1. (X, X) ≥ 0

∀ X ∈ V ; (X, X) = 0 ⇐⇒ X = θ;

S2. (X, Y ) = (Y, X) ∀ X, Y ∈ V ; S3. (X + Y, Z) = (X, Z) + (Y, Z) ∀ X, Y, Z ∈ V ; S4. (aX, Y ) = a(X, Y ) ∀ X, Y ∈ V, a ∈ R. Vektoriavaruus V varustettuna sisätulolla on sisätuloavaruus (inner product space).

Esimerkki 4.1.2 Avaruuden Rn sisätulo (4.1) toteuttaa aksioomat S1S4 ja on siis yleisen määritelmän mukainen sisätulo. Sitä sanotaan Rn :n tavalliseksi sisätuloksi tai standardisisätuloksi. Jatkossa Rn :n sisätulolla tarkoitetaan juuri tätä sisätuloa, ellei toisin mainita.

Esimerkki 4.1.3 Avaruudessa Rn voidaan kyllä määritellä muitakin sisätuloja. Jos A on säännöllinen n×n-matriisi, niin asettamalla (x, y)A = (Ax, Ay) saadaan toinen sisätulo ( , )A . (Tar52

LUKU 4. SISÄTULOAVARUUS

53

³

kista aksioomat.) Esimerkiksi matriisista A =

1 2 0 1

´

saadaan R2 :een sisätulo

(x, y)A = x1 y1 + 2x1 y2 + 2x2 y1 + 5x2 y2 .

Esimerkki 4.1.4 Äärellisulotteisen reaalisen vektoriavaruuden V kanta B = {B1 , . . . , Bn } indusoi V :lle sisätulon: (X, Y ) = (X, Y )B =

n X

kun X =

xi yi ,

i=1

n X

xi Bi ,

Y =

i=1

n X

yi Bi .

(4.3)

i=1

Esimerkki 4.1.5 Vektoriavaruudessa C[a, b] = {f : [a, b] → R | f jatkuva} on sisätulo Z (f, g) =

b

f (x)g(x) dx. a

(4.4)

Ehdot S2S4 on helppo tarkistaa, mutta S1:n täsmällinen perustelu on hiukan vaativampi. Ehtojen S3 ja S4 mukaan sisätulo on lineaarinen ensimmäisen tekijänsä suhteen. Sisätulon symmetrisyydestä (S2) seuraa lineaarisuus toisenkin tekijän suhteen. Siis sisätulo on bilineaarinen, eli

(a1 X1 + a2 X2 , b1 Y1 + b2 Y2 ) = a1 b1 (X1 , Y1 ) + a1 b2 (X1 , Y2 ) + a2 b1 (X2 , Y1 ) + a2 b2 (X2 , Y2 ). (4.5) Valitsemalla a = 0 ehdossa S4 saadaan myös

(θ, X) = (X, θ) = 0

∀ X ∈ V.

(4.6)

Määritelmä 4.1.6 Sisätuloavaruudessa vektorin X normi on kXk =

p (X, X) .

(4.7)

Avaruudessa Rn vektorin normi on sama kuin vektorin pituus (4.2).

Lause 4.1.7 Kun V on sisätuloavaruus, niin kXk = 0 ⇔ X = θ;

(i)

kXk ≥ 0

(ii)

kaXk = |a| kXk

(iii)

kX + Y k ≤ kXk + kY k

(iv)

|(X, Y )| ≤ kXk · kY k

∀X ∈V;

∀ a ∈ R, X ∈ V ; ∀ X, Y ∈ V

(kolmioepäyhtälö); (CauchynSchwarzin epäyhtälö).

∀ X, Y ∈ V

Todistus. Kohta (i) seuraa aksioomasta S1 ja normin määritelmästä, ja kohta (ii) saadaan näin: kaXk =

p

(aX, aX) =

p

p a2 (X, X) = |a| (X, X) = |a| kXk.

LUKU 4. SISÄTULOAVARUUS

54

Todistamme seuraavaksi CauchynSchwarzin epäyhtälön (iv). Jos Y = θ, niin kumpikin puoli on 0. Olkoon nyt Y 6= θ. Tarkastellaan vektoreita X + cY , c ∈ R. Koska (X + cY, X + cY ) ≥ 0, niin sisätulon bilineaarisuuden ja symmetrisyyden avulla saadaan

(X, X) + 2c(X, Y ) + c2 (Y, Y ) ≥ 0

∀ c ∈ R.

Vasen puoli on toisen asteen polynomi c:n suhteen (huomaa että (Y, Y ) 6= 0), joten epäyhtälön nojalla sen diskriminantti on ≤ 0, siis

(X, Y )2 ≤ (X, X)(Y, Y ). Väite (iv) seuraa tästä. CauchynSchwarzin epäyhtälön mukaan (X, Y ) ≤ |(X, Y )| ≤ kXk kY k, ja nyt käyttämällä sisätulon ominaisuuksia saadaan

kX + Y k2 = (X + Y, X + Y ) = (X, X) + 2(X, Y ) + (Y, Y ) ≤ kXk2 + 2kXk kY k + kY k2 ¡ ¢2 = kXk + kY k , josta kolmioepäyhtälö (iii) seuraa.

2

Esimerkki 4.1.8 Soveltamalla CauchynSchwarzin epäyhtälöä avaruuteen Rn saadaan µX n

¶2 xi yi

≤

µX n

i=1

x2i

¶µ X n

¶ yi2

∀ xi , yi ∈ R.

(4.8)

∀ f, g ∈ C[a, b].

(4.9)

i=1

i=1

Esimerkin 4.1.5 tapauksessa epäyhtälö taas saa muodon

µZ

¶2

b

fg

µZ

b

≤

a

a

¶µZ f2

b

¶ g2

a

CauchynSchwarzin epäyhtälö mahdollistaa vektorien välisen kulman määrittelemisen: Vektorien X, Y ∈ V , X, Y 6= θ, välinen kulma on se α, jolla

cos α =

(X, Y ) , kXk kY k

0 ≤ α ≤ 180◦ .

(4.10)

Normin avulla määritellään myös vektorien X, Y etäisyys

d(X, Y ) = kX − Y k.

(4.11)

Tämä tekee sisätuloavaruudesta ns. metrisen avaruuden. (Metrinen avaruus on joukko, jossa on määritelty muutaman tietyn aksiooman toteuttava pisteiden etäisyysfunktio.)

LUKU 4. SISÄTULOAVARUUS

55

4.2 Ortonormaalikanta Olkoon V sisätuloavaruus. Sen vektoreita X, Y sanotaan ortogonaalisiksi eli kohtisuoriksi, jos (X, Y ) = 0; tällöin merkitään X ⊥ Y . Vektorijoukko S ⊆ V on ortogonaalinen joukko, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Jos tämän lisäksi S :n jokaisen vektorin normi on 1, joukkoa sanotaan ortonormaaliseksi. Jos V :n kanta on ortonormaalinen, sitä sanotaan V :n ortonormaalikannaksi. Kuten Rn :ssä, kannan ortonormaalisuus on edullinen ominaisuus. Olkoon {Ei | i ∈ I} V :n P ortonormaalikanta. Kun X ∈ V ja X = i∈I xi Ei (missä vain äärellisen moni xi 6= 0), niin saadaan xj = (X, Ej ), ja siis X (X, Ei )Ei . (4.12) X= Jos lisäksi Y =

i∈I

P i∈I

yi Ei , niin (X, Y ) =

X

xi yi .

(4.13)

i∈I

Kun tähän sijoitetaan X :n ja Y :n lausekkeet (4.12), saadaan Parsevalin kaava

(X, Y ) =

X (X, Ei )(Y, Ei ).

(4.14)

i∈I

Kaavat (4.12)(4.14) johdetaan helposti laskemalla; kanta voi olla ääretön, mutta summissa on kuitenkin vain äärellisen monta termiä 6= 0, joten käsittely palautuu äärellisiin summiin. Aivan samoin kuin Rn :n tapauksessa todistetaan:

Lause 4.2.1 Jos vektorit Xj ovat keskenään ortogonaalisia ja 6= θ (missä j käy jonkin indeksijoukon J ), niin ne ovat lineaarisesti riippumattomia. Huomaa, että lineaarisen riippuvuuden määritelmässäkin esiintyvissä lineaarikombinaatioissa on vain äärellisen monta termiä (6= θ).

Seuraus 4.2.2 Ortonormaalinen vektorijoukko on lineaarisesti riippumaton.

4.3 GraminSchmidtin ortogonalisointimenetelmä Lineaarialgebran kurssissa näytettiin, miten annettu Rn :n vektorijoukko voidaan ortogonalisoida. Todistuksessa ei tarvittu esimerkiksi vektorien esitystä koordinaattivektoreina, vaan käytettiin vain vektoriavaruuden ja sisätulon yleisiä ominaisuuksia. Siksi todistus on sellaisenaan siirrettävissä tähän yleiseenkin tilanteeseen, ja saadaan seuraava lause. (Tarkista kuitenkin itse todistuksen yksityiskohdat!)

Lause 4.3.1 Kun X1 , . . . , Xm ovat sisätuloavaruuden V lineaarisesti riippumattomia vektoreita, niin on sellaiset keskenään ortogonaaliset vektorit Y1 , . . . , Ym , että L(X1 , . . . , Xm ) = L(Y1 , . . . , Ym ).

LUKU 4. SISÄTULOAVARUUS

56

Seuraus 4.3.2 Äärellisulotteisella sisätuloavaruudella on ortonormaalikanta. Todistus perustuu GraminSchmidtin menetelmään. Vektorit Yi konstruoidaan rekursiivisesti:

   Y1 = X1 ,   Yj = Xj −

j−1 P i=1

(Xj ,Yi ) (Yi ,Yi )

Yi

(j = 2, . . . , m).

(4.15)

Todistuksessa nähdään vieläpä, että L(X1 , . . . , Xh ) = L(Y1 , . . . , Yh ) kun h = 1, . . . , m. Jos vektorit Xi saavat olla keskenään lineaarisesti riippuvia, menetelmä toimii hiukan muutettuna. Silloin saattaa tulla tapauksia Yi = θ; nämä nollavektorit vain jätetään pois myöhemmin laskettavien Yj :den lausekkeista.

Huomautus 4.3.3 Helposti nähdään, että GraminSchmidtin menetelmä soveltuu myös numeroituvan vektorijoukon {X1 , X2 , . . . } ortogonalisointiin. Siis sisätuloavaruudella, jolla on numeroituva kanta, on ortonormaalikanta.

Esimerkki 4.3.4 Katsotaan polynomiavaruutta P4 = {a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 | ai ∈ R} C[−1, 1]:n aliavaruutena. Koska C[−1, 1] on sisätuloavaruus esimerkin 4.1.5 mukaisesti, sisätulona Z 1 (f, g) = f (x)g(x) dx, (4.16) −1

niin myös P4 on sisätuloavaruus saman sisätulon (4.16) suhteen. (Huomaa samalla yleisesti, että jos V on sisätuloavaruus ja U on aliavaruus, niin V :n sisätulon restriktio U × U → R on sisätulo U :lla; tarkista aksioomat.) Ortogonalisoidaan P4 :n kanta {1, x, x2 , x3 }. Merkitään X1 = 1, X2 = x, X3 = x2 , X4 = x3 . Nyt Y1 = X1 = 1 ja (X2 , Y1 ) Y2 = X2 − Y1 . (Y1 , Y1 ) R1 Tässä (X2 , Y1 ) = (x, 1) = −1 x · 1 dx = 0, joten

Y2 = X2 − 0 · Y1 = x. Samoin lasketaan, että

Y3 = X3 −

(X3 , Y2 ) 2/3 1 (X3 , Y1 ) Y1 − Y2 = x2 − · 1 − 0 · x = x2 − (Y1 , Y1 ) (Y2 , Y2 ) 2 3

ja

Y4 = X4 −

(X4 , Y2 ) (X4 , Y3 ) 2/5 3 (X4 , Y1 ) Y1 − Y2 − Y3 = x3 − 0 · 1 − · x − 0 · x2 = x3 − x. (Y1 , Y1 ) (Y2 , Y2 ) (Y3 , Y3 ) 2/3 5

Samalla tavalla voidaan ortogonalisoida avaruuden C[−1, 1] alkiot 1, x, x2 , x3 , x4 , . . . , ja tuloksena on polynomiavaruuden P ortonormaalikanta. Näin syntyvät polynomit ovat vakiokertoimia vaille ns. Legendren polynomit. Käyttämällä sisätulon (4.16) sijasta jotain muuta sisätuloa saadaan toisenlaisia ortogonaalipolynomien joukkoja. Tällaisilla on suuri merkitys mm. dierentiaaliyhtälöiden yhteydessä.

LUKU 4. SISÄTULOAVARUUS

57

4.4 Ortogonaalikomplementti ja -projektio Sisätuloavaruuden V aliavaruuden U ortogonaalikomplementti on

U ⊥ = {X ∈ V | X ⊥ Y ∀ Y ∈ U }.

(4.17)

Aliavaruuskriteerillä nähdään, että U ⊥ on aliavaruus. Aivan samoin kuin Rn :n tapauksessa todistetaan:

Lause 4.4.1 Kun V on sisätuloavaruus ja U sen äärellisulotteinen aliavaruus, niin V = U ⊕ U ⊥.

(4.18)

Todistuksen pääkohdat ovat seuraavat: Ensinnäkin S1:stä seuraa U ∩ U ⊥ = {θ}. Sen osoittamiseksi, että V = U + U ⊥ , valitaan U :lle ortonormaalikanta {E1 , . . . , Em } (seuraus 4.3.2). Jokainen V :n vektori X voidaan kirjoittaa muodossa X = Y + Y ⊥ , missä

Y =

m X (X, Ei )Ei ,

Y ⊥ = X − Y.

(4.19)

i=1

Silloin Y ∈ U , ja laskemalla osoitetaan, että Y ⊥ ∈ U ⊥ .

Määritelmä 4.4.2 Olkoon V sisätuloavaruus ja olkoon U sellainen aliavaruus, että V = U ⊕ U ⊥ . Kun vektori X ∈ V kirjoitetaan muodossa X = Y + Y ⊥ , missä Y ∈ U ja Y ⊥ ∈ U ⊥ , niin sanotaan, että Y on X :n ortogonaaliprojektio aliavaruudella U . Lauseen 4.4.1 todistuksesta saadaan, että X :n ortogonaaliprojektio aliavaruudella U on m X Y = (X, Ei )Ei ,

(4.20)

i=1

kun {E1 , . . . , Em } on U :n ortonormaalikanta. Samoin kuin Rn :n tapauksessa näytetään, että jos V = U ⊕ U ⊥ (U :n dimensio saa tässä olla mielivaltainen), niin U ⊥⊥ = U , ja siis eo. Y ⊥ on samalla X :n ortogonaaliprojektio aliavaruudella U ⊥.

Huomautus 4.4.3 Jos sallitaan dim U = ∞, niin esiintyy tapauksia, joissa U ⊕ U ⊥ ⊂ V ja U ⊂ U ⊥⊥ (aidot sisältymiset).

Esimerkki 4.4.4 Lasketaan funktion ex ∈ C[−1, 1] ortogonaaliprojektio p(x) aliavaruudella P4 sisätulon (4.16) suhteen. Perustellaan myös, että p(x) on (sisätulon (4.16) mielessä) paras ex :n approksimaatio korkeintaan astetta 3 olevien polynomien joukossa; tämä tarkoittaa, että jos q(x) ∈ P4 , niin kex − p(x)k ≤ kex − q(x)k.