Aide Mémoire Algèbre Linéaire [PDF]

Zitiervorschau

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle Opérations sur les vecteurs

Angle entre 2 vecteurs   Si u et v sont 2 vecteurs de  n alors

Addition de vecteurs    u+v v  u

⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ a2 ⎟ + ⎜ b2 ⎟ = ⎜ ⎜  ⎟ ⎜  ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ an ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎝ Soustraction de vecteurs  ⎛ a1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛  u  v ⎜ a ⎟ ⎜ b ⎟ ⎜   v ⎜ 2 ⎟ −⎜ 2 ⎟ =⎜ u−v  ⎜  ⎟ ⎜  ⎟ ⎜ u ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ an ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎝ Multiplication par un scalaire ⎛ a1 ⎞ ⎛ ka1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a2 ⎟ ⎜ ka2 ⎟ ⎜ k = ⎜ ⎟ ⎜  ⎟    ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u ku ⎝ an ⎠ ⎝ kan ⎠ Multiplication scalaire    u ⋅v = u ⋅  u ⎛ u1 ⎞ ⎛  ⎜ ⎟ ⎜ θ v ⎜  ⎟ ⋅⎜ ⎜⎝ un ⎟⎠ ⎜⎝ Multiplication vectorielle      u × v = u ⋅ v sin(θ ) n   ⎛ u1 ⎞ ⎛ v1 ⎞ i j ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ u2 ⎟ × ⎜ v2 ⎟ = u1 u2 ⎜ u ⎟ ⎜ v ⎟ v1 v2 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ Norme d’un vecteur ⎛ u1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎜  ⎟ = u1 + u2 + ...+ un ⎜⎝ un ⎟⎠

a1 + b1 ⎞ ⎟ a2 + b2 ⎟ ⎟  ⎟ an + bn ⎠

l'angle entre les deux vecteurs est donnés   u ⋅v par: cos(θ ) =   u v Projection

a1 − b1 ⎞ ⎟ a2 − b2 ⎟ ⎟  ⎟ an − bn ⎠

  La projection d'un vecteur u sur un vecteur v     u ⋅v  est donné par: u v = projv u =  2 v v

()

Les bases

Considérons un ensemble B = {u1 ,u2 ,...,um } d'un sous-espace vectoriel V alors:

 v cos(θ )

B est linéairement indépendant si λ1u1 + λ2u2 + ...+ λ mum = 0 possède exactement une solution

v1 ⎞ ⎟  ⎟ = u1v1 + ...+ un vn vn ⎟⎠

B est générateur de V si pour tout y ∈V, l'équation λ1u1 + λ2u2 + ...+ λ mum = y possède au moins une solution.

 k u3 v3

⎛ u2 v3 − u3v2 ⎜ = ⎜ u3v1 − u1v3 ⎜ u v −u v 2 1 ⎝ 1 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

B est une base, si B est un ensemble linéairement indépendant et générateur de V

Sous-espace vectoriels

Un sous-ensemble V de  n est un sous-espace vectoriel si:     u + v ∈V pour tout u,v ∈V et   λ u ∈V pour tout u ∈V et λ ∈

Opérations sur les matrices Addition et soustraction de matrices

⎛ a11 ... a1n ⎜  ⎜  ⎜⎝ am1 ... amn

⎞ ⎛ b11 ... b1n ⎟ ⎜  ⎟ ±⎜  ⎟⎠ ⎜⎝ bm1 ... bmn

⎞ ⎛ a11 ± b11 ... a1n ± b1n ⎟ ⎜   ⎟ =⎜ ⎟⎠ ⎜⎝ am1 ± bm1 ... amn ± bmn

aLi → Li si a ≠ 0 Li ↔ L j

Multiplication par un scalaire

⎛ a11 ... a1n ⎜ k⎜   ⎜⎝ am1 ... amn

⎞ ⎛ ka ... ka1n 11 ⎟ ⎜  ⎟ =⎜  ⎟⎠ ⎜ kam1 ... kamn ⎝ Multiplication de matrices

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠

aLi + bL j → Li si i ≠ j et a ≠ 0

Le produit est définie seulement lorsque la dimension des matrice a la forme: Am× p Bp×n = Cm×n dans ce cas, on a: ⎛ a11 ... a1 p ⎜  ⎜  ⎜ am1 ... amp ⎝

⎞⎛ b ... b1n 11 ⎟⎜  ⎟⎜  ⎟ ⎜ b p1 ... b pn ⎠⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠

Méthode de Gauss Les opérations suivantes sur les lignes d’une matrice augmenté ne change pas l’ensemble des solutions du système Li + aL j → Li si i ≠ j

⎞ ⎛ c11 ... c1n ⎟ ⎜  ⎟ =⎜  ⎟⎠ ⎜⎝ cm1 ... cmn

⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠

carrés de même dimension, alors det(AB) = det(A)det(B) det(AT ) = det(A) 1 det(A −1 ) = det(A)

p

avec cij = ∑aik bkj k=1

Transposé d’une matrice T

Propriétés du déterminant Si A et B sont des matrices

Si A est une matrice, alors sa transposé (dénoté A ) est la matrice obtenu en inversant les lignes et les colonnes de A

Normalisation de vecteurs  u  u

Si A est une matrice carré, alors on appelle matrice

Théorème du rang Si A est une matrice m × n, alors:

inverse (dénoté A −1 ) une matrice tel que

rang(A) + nullité(A) = n

Matrice inverse

AA −1 = A −1 A = I Base de span, Im et Ker

Si A est une matrice carré, alors la matrice adjointe dénoté adj(A) est la matrice formé des cofacteurs Cij sous forme de matrice.

Une base de span est obtenu en applicant la méthode de Gauss au vecteur placé horizontalement

Si A est une matrice carré tel que det(A) ≠ 0, alors 1 T A −1 = adj(A)] dans le cas d'une matrice [ det(A)

Une base de ker est obtenu en résolvant le système d'équation Ax = b

⎛ a b ⎞ 2 × 2 on obtient: ⎜ ⎝ c d ⎟⎠

−1

1 ⎛ d −b ⎞ = ad − bc ⎜⎝ −c a ⎟⎠

Un base de Im est obtenu en applicant la méthode de Gauss à la matrice tranposé

Opérations sur le déterminant

Calcul du déterminant

Li + cL j → Li avec i ≠ j ne change pas la valeur

a b = ad − bc c d

du déterminant

Si A est une matrice carré, alors on appelle mineur de A pour à la position i, j (dénoté M ij ) le déterminant de la matrice e

Li ↔ L j avec i ≠ j change le signe du déterminant cLi → Li multiplie le déterminant par c

e

obtenu en enlevant la i ligne et la j colonne. Équations d’une droite en 2 dimensions

Si A est une matrice carré, alors on appelle cofacteur de A pour la position i, j la valeur

Équation fonctionnelle: y = mx + b avec m =

Cij = (−1)i+ j M ij

est la pente et b la valeur initiale

Si A est une matrice carré de dimension n × n avec n ≥ 3, alors on définit le déterminant comme étant:

Équation normale: ax + by + c = 0 avec (a,b) un vecteur normale à la droite

n

det(A) = ∑aik Cik en utilisant la i e ligne k=1

n

det(A)=∑ akj Ckj en utilisant la j e colonne

Δy Δx

 ⎛ x ⎞  Équation vectoriel: ⎜ = tv + P avec v un ⎟ ⎝ y ⎠ vecteur directeur et P un point de la droite

k=1

Théorème de la matrice inverse Si A est une matrice de dimension n × n,

alors les énoncés suivant sont équivalent: (a) La matrice A est inversible (b) det(A) ≠ 0 (c) ker(A) = {0} (d) Im(A) =  n (e) rang(A) = n (f) nullité(A) = 0 (g) Les colonnes de A forment une base de  n (h) Ax = b a une unique solution

 ⎛ v1 ⎞ ⎧ x = v1t + p1 Équation paramétrique: ⎨ avec v = ⎜ ⎟ ⎜⎝ v2 ⎟⎠ ⎩ y = v2t + p2 ⎛ p1 ⎞ un vecteur directeur et ⎜ ⎟ un point de la droite. ⎜⎝ p2 ⎟⎠

Équation symétrique:

 ⎛ a ⎞ x − p1 y − p2 = avec v = ⎜ a b ⎝ b ⎟⎠

⎛ p1 ⎞ un vecteur directeur et ⎜ ⎟ ⎜⎝ p2 ⎟⎠

Distance entre un point et une droite en deux dimensions ⎛ p ⎞ Si ax + by + c = 0 est une droite et ⎜ ⎟ est un point, alors la plus courte distance entre la droite et le ⎝ q ⎠

point est:

ap + bq + c a2 + b2

Droites en 3 dimensions   Équation vectorielle: x = tv + P, t ∈

Plans en 3 dimensions ! ! ! Équation vectorielle: x = tu + kv, t, k ∈"

⎧ x = tv1 + p1 ⎪ Équation paramétrique: ⎨ y = tv2 + p2 , t ∈ ⎪ z = tv + p 3 3 ⎩

⎧ x = tu1 + kv1 + p1 ⎪ Équation paramétrique: ⎨ y = tu2 + kv2 + p2 , t, k ∈" ⎪ z = tu + kv + p 3 3 3 ⎩

Équation symétrique:

x − p1 y − p2 z − p3 + + v1 v2 v3

⎛ v ⎞  ⎜ 1 ⎟ avec v = ⎜ v2 ⎟ est un vecteur directeur, et ⎜ v ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎛ p1 ⎞ ⎜ ⎟ P = ⎜ p2 ⎟ est un point de la droite. ⎜ p ⎟ ⎝ 3 ⎠

Distance entre un point et une droite en 3 dimensions Si P est un point de la droite, u un vecteur

directeur de la droite, et Q un point quelconque alors la plus courte distance entre Q et la droite est donné par:   PQ − PQu

Distance entre 2 droites Pour trouver la distance entre deux droites

parallèles, on trouve la plus courte distance entre un point de la première droite et le deuxième droite. Si les deux droites ne sont pas parallèle, alors on utilise la formule:    PQ ⋅ u × v   où P est un point de la u×v

(

)

première droite, Q est un point de la  deuxième droite, u est un vecteur directeur  de la première droite, et v un vecteur directeur de la deuxième droite.

Équation normale: ax + by + cz + d = 0 ⎛ u ⎞ ⎛ v ⎞ ! ⎜ 1 ⎟ ! ⎜ 1 ⎟ avec u = ⎜ u2 ⎟ , v = ⎜ v2 ⎟ sont des vecteurs ⎜ u3 ⎟ ⎜ v3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ directeurs ⎛ a ⎞ ! n = ⎜ b ⎟ est un vecteur normal et ⎜ ⎟ ⎝ c ⎠ ⎛ p1 ⎞ ⎜ ⎟ P = ⎜ p2 ⎟ est un point de la droite. ⎜ p3 ⎟ ⎝ ⎠

Distance entre un point et un plan

⎛ p ⎞ Si ax + by + cz + d = 0 est un plan et P = ⎜⎜ q ⎟⎟ est ⎜⎝ r ⎟⎠ un point de la droite, alors la plus courte distance entre le plan et le point est donné par: ap + bq + cr + d a2 + b2 + c2

Quelques propriétés de l’inverse et transposé

(AT )T = A (A + B)T = AT + BT (AB)T = BT AT (A −1 )−1 = A (AB)−1 = B −1 A −1