4 Analyse Systèmes 2020 [PDF]

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Commande des systèmes linéaires Chapitre 4 : Analyse des systèmes

Objectifs généraux  Utiliser les techniques d’analyse des systèmes dynamiques linéaires et invariants  Déterminer la réponse d’un système linéaire à des entrées typiques  Évaluer les caractéristiques d’une réponse en régime permanent et en régime transitoire  Étudier la stabilité d’un système

Prof. Aoufoussi

Chapitre 4 : Analyse des systèmes

1

Chapitre 4 : Analyse des systèmes Sommaire 1:Généralités 1.1: Pourquoi ? 1.2: Quoi ? 1.3: Comment ? 2: Réponse temporelle 2.1: Généralités 2.2: Signaux typiques 2.3: Calcul de la réponse 2.4: Exemples: Système du 1er ordre, système du second ordre et système d’ordre supérieur 3: Performances 3.1: Précision statique 3.2: Précision dynamique 3.3: Rapidité 4: Analyse de la stabilité 4.1: Généralités 4.2: Méthode de Routh Hurwitz 4.3: Méthode des lieux des racines 2

1: Généralités 1.1: C’est pourquoi ? L’analyse des systèmes permet de répondre aux besoins suivants: - Mieux comprendre le comportement dynamique d’un système; - Comparer les différents systèmes en ayant évaluer leurs performances - Établir le cahier de charge d’un système de commande. - Concevoir un système de commande qui répond au mieux au cahier de charge et le tester.

1.2: C’est quoi ? Évaluer les principales propriétés du système : stabilité, précision et rapidité.  Stabilité - Un système est instable, si une faible perturbation l'écarte faiblement de sa position d'équilibre. - Un système est asymptotiquement stable, si après une perturbation il revient à sa position d’équilibre

Y(t)

Instable

Stable

3

1: Généralités  Rapidité La rapidité d'un système asymptotiquement stable se mesure par la durée de son régime transitoire.

 Précision Y(t)

consigne

Y(t) Erreur statique

Erreur dynamique

1.3: C’est comment? - Étudier la stabilité du système en utilisant les techniques appropriées. - Évaluer les caractéristiques de la réponse du système à des signaux typiques (impulsion, échelon, rampe, parabole) à savoir : la rapidité et la précision.

Chapitre 4 : Analyse des systèmes

4

2: Réponse temporelle 2.1 : Généralités La réponse temporelle d’un système est l’ensemble des valeurs en fonction du temps de ses variables d’état et/ou de ses sorties, produites par une variation déterminée de ses grandeurs d’entrée et/ou sous l’effet de ses conditions initiales non nulles. Outre l’étude de la stabilité, il est nécessaire de calculer et d’analyser les caractéristiques de la réponse d’un système, en boucle ouverte et plus particulièrement en boucle fermée (voir schéma ci après à titre d’exemple), à des entrées typiques (l’impulsion de Dirac, l’échelon unitaire, la rampe, le signal parabolique, etc.)

Perturbations Ref(t)

εn

Régulateur

u(t)

Actionneur

m(t)

Y(t)

Procédé

Capteur Chapitre 3: Analyse des systèmes échantillonnés

5

2: Réponse temporelle 2.2: Signaux typiques A

A.dt → 1 dt t

La réponse impulsionnelle du système donne exclusivement son régime transitoire. Elle permet d’étudier la stabilité et la rapidité du système. En revanche, elle ne donne aucune indication sur la précision du système. L’impulsion de Dirac est difficile à réaliser expérimentalement.

6

2: Réponse temporelle u (t)

2.2.2: Échelon u (t) R

t

0

La réponse obtenue, dite réponse indicielle, donne simultanément le régime transitoire et le régime permanent. Elle permet l’étude de la rapidité, la stabilité, la précision et la qualité. Le spectre fréquentiel de l’échelon est également large. La réponse indicielle peut être obtenue expérimentalement pour un système stable.

7

2: Réponse temporelle 2.2.3: Rampe r(t) Pente R

t 0

Ce signal permet d’étudier la réponse d’un système à un signal qui varie linéairement dans le temps. 2.2.4 Entrée parabolique

t 0

Ce signal est plus rapide qu’une rampe. Prof. Aoufoussi

Chapitre 4 : Analyse des systèmes

8

2: Réponse temporelle 2.3 : Calcul de la réponse 2.3.1: Équations différentielles Soit un système dynamique linéaire continu régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

Système

On montre que si le système est stable, il existe un régime permanent : avec:

gain statique du système

Problème : Solution générale de l’équation différentielle ?

Solution générale 9

2: Réponse temporelle  Solution générale de l’équation sans second membre (u = 0): régime libre

⇒ ⇔

r est racine de l’équation suivante, dite équation caractéristique : /4.8/

2 cas se présentent :

10

2: Réponse temporelle

La solution relative aux conditions initiales correspond au régime libre du système étudié (excitation nulle). - Si les conditions initiales sont nulles : ⇒

le système est au repos.

- Si les conditions initiales sont non nulles : ⇒

le système, abandonné à lui-même, évolue sous l’effet des conditions initiales.

11 La solution homogène permet l’étude de la stabilité et la rapidité du système.

2: Réponse temporelle  Étude de la stabilité : Lemme :

car Le système est donc stable. L’allure de la réponse générale est illustrée par la figure ci-contre: Lemme :

car Système est donc instable.

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Chapitre 4 : Analyse des systèmes

12

2: Réponse temporelle  Solution particulière de l’équation avec second membre (u ≠ 0) : régime forcé

⇒ En somme, la solution particulière possède la même forme que l’excitation dans les 3 cas particuliers étudiés. La solution particulière correspond au régime forcé du système dynamique. Elle permet de renseigner, dans le cas où le système est stable, sur la précision. 13

2: Réponse temporelle  Solution générale de l’équation avec second membre : régime transitoire et régime permanent

Si le système est stable, on a :

Régime transitoire : superposition du régime libre et du régime forcé Le régime permanent coïncide, dans le cas avec le régime forcé.

Régime transitoire

tp

des systèmes stables,

Régime permanent

temps 14

2: Réponse temporelle 2.3.2: Fonction de transfert (ou Matrice de transfert) Soit le système de fonction de transfert F(s). Sa réponse y(t) pour u(t),(U(s) donné) s’écrit :

2.4 : Exemples 2.4.1: Système du 1er ordre  Définition : Un système du 1er ordre est régi par une équation différentielle linéaire à coefficients constants du 1er ordre, soit: Fonction de transfert : Pôle du système : Prof. Aoufoussi

⇒ Chapitre 4 : Analyse des systèmes

15

2: Réponse temporelle  Effet des conditions initiales : On applique la transformée de Laplace à l’équation différentielle du système, on obtient : ⇒ 1 0.9 0.8

0

τ

2. τ

3. τ

4. τ

5. τ

yn(t)

1

0.37

0.14

0.05

0.02

0.01

0.6

yn

t

0.7

0.5 0.4 0.3 0.2

 Réponse impulsionnelle

0.1 0

0

5

10

15

20

temps

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Chapitre 4 : Analyse des systèmes

16

25

2: Réponse temporelle  Réponse indicielle ⇒ t≥0

⇒

⇒

⇒

t

0

τ

yn(t)

0

0.63

2.τ

3.τ

4.τ

5.τ

0.86 0.95 0.98 0.99 τ

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Chapitre 4 : Analyse des systèmes

3.τ 17

2: Réponse temporelle  Réponse en vitesse

u(t)

0

τ

2.τ

3.τ

4.τ

⇒

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Chapitre 4 : Analyse des systèmes

18

5τ

t

2: Réponse temporelle 2.4.2: Système du 2ème ordre  Description du système : 

Équation différentielle



Fonction de transfert

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2: Réponse temporelle 

Pôles du système : ⇒

3 cas à distinguer selon que : 𝜉𝜉 2 −1 ′ ∆= 2 𝜔𝜔𝑛𝑛

< 0,

∆′ = 0 𝑜𝑜𝑜𝑜 ∆′ > 0

−1 < 𝜉𝜉 t0 ,

umax et ymax valeurs fixes

Les définitions 1 et 2 sont équivalentes pour les systèmes linéaires invariants représentés par une fonction de transfert de type : et impliquent donc que les pôles de G(z) soient à partie réelle négative.

 Conditions de stabilité

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Chapitre 3: Analyse des systèmes échantillonnés

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4 : Analyse de la stabilité

0

Plan s Zone instable

Zone stable

jω

σ

Cette règle s’applique également aux systèmes en boucle fermée. Le point de départ est l’équation caractéristique du système en boucle fermée. La condition de stabilité en boucle fermée nécessite que toutes les l’équation caractéristique soient à partie réelle strictement négative. +

racines

+

de

+

-

Équation caractéristique du système en boucle fermée.

4 : Analyse de la stabilité 4.2: Critère de Routh Hurwitz L’étude de la stabilité se ramène donc à examiner le positionnement des pôles dans le plan complexe par rapport à l’axe imaginaire pur. Lorsque les coefficients de D(s) sont réels, ce qui est le cas en pratique pour des systèmes asservis, le critère de Routh Hurwitz permet de savoir si le polynôme D(z) a ses racines instables sans pour autant calculer lesdites racines. 4.2.1: Enoncé du théorème On considère un système de fonction de transfert rationnelle de type :

Le critère prévoit de construire le tableau à (n+1) lignes, dit tableau de Routh Hurwitz, ci-après.

Le nombre de solutions de l’équation caractéristique à partie réelle positive est égale au nombre de changements de signe associés aux éléments de la première colonne du tableau de Routh – Hurwitz. Le système est instable s’il y a changement de signes. Il est stable dans le cas 38 contraire.

4 : Analyse de la stabilité Ligne 1 2

Colonnes an

an-2 an-4 an-6

…

an-1 an-3 an-5 an-7

…

3

b1

b2

b3

…

…

4

c1

c2

c3

…

…

5

d1

d2

d3

…

…

…

…

…

…

…

…

n+1

w1

…

…

…

…

…

…

etc.

4 : Analyse de la stabilité 4.2.2: Exemples Exemple 1 : Étudier la stabilité du système en en boucle ouverte défini par :

S5

1

3

1

S4

4

2

1

S3

(4*3-1*2)/4=5/2

(4*1 -1*1)/4=3/4

0

S2

(2*5/2-4*3/4)/(5/2)=4/5

(5/2*1 – 4*0)/(5/2) = 1

0

S1

( (4/5)*(3/4) –(5/2)*1)/(4/5)=-19/8

0

0

S0

(-19/8 -0.4/5)/(-19/8)=1

0

0

La première colonne du tableau de Routh Hurwitz a 2 changements de signe. L’équation caractéristique présente 2 racines à partie réelle positive. Le système est donc instable.

4 : Analyse de la stabilité Exemple 2 : Application à un système en boucle ouverte avec un paramètre variable (k variable).

S3

1

6

S2

4+k

1+8*k

S1

(6*(4+k) – (1+8*k))/(4+k) =(23 – 2*k)/(4+k)= A

0

S0

(A*(1+8*k) – 0*(4+K))/A= 1+8*k

0

Pour que le système soit stable, il faut que tous les éléments de la première colonne aient le même signe, positif en l’occurrence. La condition de stabilité du système se traduit par k doit vérifier le système d’inéquations suivant : 4+k>0  23 – 2*k > 0  1 + 8*k > 0

Tout calcul fait, on trouve : Prof. Aoufoussi

-1/8 < k < 23/2

Chapitre 4 : Analyse des systèmes

41

4 : Analyse de la stabilité Exemple 3 : Application à un système en boucle fermé

+ -

Solution:

42

4 : Analyse de la stabilité 4.2.3: Limites de la méthode de Routh Hurwitz Parmi les limites de la méthode de Routh Hyrwitz, on peut citer : •

Le polynôme doit être à coefficients réels.

•

La méthode n’est pas applicable au système avec retard.

•

Le premier élément de la ligne est nul.

•

Tous les éléments d’une ligne sont nuls.

•

Elle ne renseigne pas sur le degré de stabilité.

On examinera les solutions apportées aux 3 dernières limitations.

43

4 : Analyse de la stabilité 1er Cas: Le premier élément d’une des lignes du tableau de Routh-Hurwitz est nul.

Exemple : On applique la méthode de Routh Hurwitz au polynôme G(s) suivant :

44

4 : Analyse de la stabilité 2ème Cas: Tous les éléments d’une ligne du tableau de Routh-Hurwitz est nul.

Tableau de Routh-Hurwitz :

S3

1

-4

S2

3

-12

S1

0

0

S0

Solution : a) former l’équation auxiliaire à partir des éléments de la rangée du tableau de Routh Hurwirz qui est immédiatement au dessus de celle dont les éléments sont nuls. 3S2 -12 = 0 b) Dériver l’équation auxiliaire : on obtient l’équation 6s – 0 c) Remplacer les éléments nuls de la rangée du tableau Routh-Hurwitz par les coefficients de la dérivée de l’équation auxiliaire ainsi obtenu et poursuivre l’application de la méthode.

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S3

1

-4

S2

3

-12

S1

6

0

S0

-12

Chapitre 4 : Analyse des systèmes

45

4 : Analyse de la stabilité 3ème Cas: Degré de stabilité (reprendre l’exemple 2)

jω

La méthode de Routh-Hurwitz permet de déterminer le nombre de racines d’un polynôme P(s) à partie réelle > 0.

0

σ

jω

− σ0

Pour ce faire, on effectue le changement de variable suivant:

0

σ

Degré de stabilité

On applique le critère de Routh Hurwitz à:

Exercice : Déterminer le nombre de racines à partie réelle supérieure à -1 du polynôme : 46

4 : Analyse de la stabilité 4.3: Méthode des lieux des racines 4. 3.1: Généralités  Pourquoi ? Pour des besoins d’analyse ou de conception d’un système de commande, il est nécessaire d’étudier les performances du système, dont notamment sa stabilité, lorsque un ou plusieurs paramètres changent.

 Quoi ? La méthode du lieu des racines est une étude basée sur la représentation graphique, dans le plan complexe , des racines de l’équation caractéristique du système en boucle fermée lorsque un paramètre (gain en l’occurrence) change.

Avec:

Elle permet d’obtenir rapidement cette représentation graphique et de caractériser le comportement dynamique du système examiné (stabilité en l’occurence). 47

4 : Analyse de la stabilité Définition:

Exemple 1: Système bouclé Équation caractéristique en boucle fermée: Lieu des racines ? Im

Kc = ∝ Kc = 1/2 Kc = 0 x -3

x Kc = 1

-2 x

j

Kc = 0 x -1 Kc = 1 Kc = ∝

Re -j 48

4.4: Stabilité 4 : Analyse de la stabilité Exemple 2:

Système bouclé

-

Équation caractéristique en boucle fermée:

Soit: L’équation étant du 3ème degré, le calcul des racines n’est pas aussi systématique. On peut utiliser les méthodes numériques appropriées (méthodes de Newton, Muller) pour résoudre l’équation caractéristique pour chaque Kc et tracer ainsi le lieu des racines. En fait, le tracé du lieu des racines pour Kc variable pose donc problème dès que l’équation caractéristique est d’ordre supérieur à 2.. La solution consiste à utiliser la méthode du lieu des racines, développé par Evans (1948), pour tracer l’allure dudit lieu. Tel est l’objet du présent paragraphe. 49

4 : Analyse de la stabilité 4. 3.2: Relations de base

Ce qui revient à dire que les deux conditions suivantes doivent être satisfaites :

Relation de phase :

Relation d’amplitude:

Im

Exemple:

Re

4 : Analyse de la stabilité 4. 3.3 : Règles du tracé du lieu des racines Pour tracer le lieu des racines, l’équation caractéristique doit être mise sous la forme:

Avec: On utilise les règles pratiques établies par (EVANS) en 1948 ci-après: Règle 1: Nombre de branches Le nombre des branches qui caractérisent le lieu des racines est égal au nombre de pôles de G(s). Règle 2: Symétrie par rapport à l’axe des réels Le lieu des racines est symétrique par rapport à l’axe réel.

Règle 5: Points de l’axe réel appartenant au lieu des racines Un point s de l’axe réel appartient qui compte à sa droite un nombre total impaire de pôles réels et de zéros réels appartient au lieu des racines

4 : Analyse de la stabilité Règle 6: Asymptotes Le lieu des racines possède (n-m) asymptotes formant une étoile régulière: les angles de ces asymptotes avec l’axe des réels sont donnés par :

Le centre de l’étoile, dit aussi centre gravité, est égal à la somme des pôles moins la somme des zéros, divisé par le nombre de pôles – le nombre de zéros, soit: Règle 7: Points de séparation sur l’axe réel Les points dans lesquels le lieu des racines se séparent de l’axe des réels, dits points de séparation, coïncident avec les racines de l’équation :

Règle 8 : Intersection avec l’axe des imaginaires Les intersections du lieu des racines avec l’axe imaginaire peuvent être déterminés en utilisant l’une des procédures suivantes :

- Appliquer la méthode de Routh Hurwitz.

52

4 : Analyse de la stabilité

53

4 : Analyse de la stabilité Règle 9: Directions d’arrivée

54

4 : Analyse de la stabilité Racines de l’équation caractéristique

1 5 10 20 50 100

55

4 : Analyse de la stabilité 4.3.4: Applications de la technique du lieu des racines Exemple 1:

 Équation caractéristique en boucle fermée:

 Pôles et zéros de G(s): - Pôles de G(s) :

- Zéros de G(s) :

Il n’y a pas de pas zéros finis:

Tous les zéros sont situés à l’infini :

4 : Analyse de la stabilité  Tracé du lieu des racines : Règle 1 : le lieu des racines présente 3 branches puisque l’équation caractéristique est de degré 3 (n=3). Règle 2:

Symétrie par rapport à l’axe des réels.

Règle 5 : Points de l’axe des réels faisant partie du lieu des racines:

57

4 : Analyse de la stabilité

Règle 7: Points de séparation sur l’axe réel Ces points correspondent aux racines l’équation faisant partie du lieu des racines, :

avec :

Tout calcul fait, on trouve :

58

4 : Analyse de la stabilité Résoudre l’équation : Soit : Tout calcul fait, on trouve :

Autre méthode: Routh Hurwitz

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Chapitre 4 : Analyse des systèmes

59

4 : Analyse de la stabilité Im

j,ωc = √3 rad/sec kc =14

asymptote

1

kc =0

Points d’intersection avec l’axe imaginaire

α1

kc = ∞ -2

-1

-1/3 0

Re

asymptotes

cg =-1,1

α1 =-0,6268

-j.ωc = - √3 rad/sec kc =14

Lieu des racines de 1 + Kc/((0,5.S+1).(3.S+1)(S+1)) =0 Prof. Aoufoussi

Chapitre 4 : Analyse des systèmes

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4 : Analyse de la stabilité Exemple 2:

-

 Équation caractéristique en boucle fermée:

Ou

 Pôles et zéros de G(s): - Pôles de G(s) :

n=3

p=-1, pôle triple.

- Zéros de G(s) :

Il n’y a pas de pas zéros finis:

Les 3 zéros sont situés à l’infini :

m=0

4 : Analyse de la stabilité  Tracé du lieu des racines Règle 1: Nombre de branches = 3. Règle 2: Symétrie par rapport à l’axe réel.

Règle 5: Points de l’axe des réels faisant partie du lieu des racines

Règle 6: Asymptotes Le lieu des racines possède 3 asymptotes formant une étoile régulière: les angles de ces asymptotes avec l’axe des réels sont donnés par :

4 : Analyse de la stabilité Le centre gravité a pour abscisse:

Règle 7: Points de séparation sur l’axe réel Ces points correspondent aux racines l’équation faisant partie du lieu des racines, :

avec :

A noter que -1 appartient au lieu des racines

Résoudre l’équation :

Tout calcul fait, on trouve :

63

4 : Analyse de la stabilité Notons que la relation des phases s’écrit dans le cas présent: Im

kc = ∞

kc =0 60° p=-1 60°

0

Re

cg =-1

64

4 : Analyse de la stabilité Exemple 3:

Régulateur P.I

 Équation caractéristique en boucle fermée: Avec: Soit:

 Pôles et zéros de G(s): - Pôles de G(s) :

- Zéros de G(s) : Les 3 autres sont situés à l’infini :

4 : Analyse de la stabilité  Tracé du lieu des racines Règle 1: Nombre de branches = 3. Règle 2: Symétrie par rapport à l’axe réel.

Règle 5: Points de l’axe des réels faisant partie du lieu des racines

Règle 6: Asymptotes Le lieu des racines possède n-m=4-1=3 asymptotes formant une étoile régulière: les angles de ces asymptotes avec l’axe des réels sont donnés par :

4 : Analyse de la stabilité Le centre gravité a pour abscisse:

Règle 7: Points de séparation sur l’axe réel Ces points correspondent aux racines l’équation faisant partie du lieu des racines, :

avec :

4 : Analyse de la stabilité  Résoudre l’équation :

Avec:

Tout calcul fait, on trouve :

C(s)

Gain ultime

P

64

PI

51

Pulsation ultime 1,7320

Le régulateur P.I réduit la stabilité du système en boucle fermée 68

4 : Analyse de la stabilité Im

kc = ∞

kc =0 60° p=-1 60°

0

Re

cg =-1

69

4 : Analyse de la stabilité Exercice 1:

Tracer le lieu des racines du système à retour unitaire suivant :

Exercice 2:

Idem pour le système à retour unitaire de fonction de transfert :

4 : Analyse de la stabilité Exercice 3:

Soit le système représenté par le diagramme fonctionnel suivant :

-

Tracer le lieu des racines pour chacun des contrôleurs qui suivent :

Quel est l’effet de l’action intégrale ? Commenter.

71

4 : Analyse de la stabilité Exercice 4:

Tracer le lieu des racines du système en boucle fermée étudié précédemment (exemples 2 et 3) en utilisant un régulateur PID

Régulateur P.I.D

Quel l’effet de l’action dérivée ? Commenter ?

Travaux dirigés Exercice 5:

On considère le système représenté par la figure suivante :

yref(s)

d(s) ε(s)

+ Kc

y(s)

1/s² (1 + k.s)

Déterminer les valeurs de Kc et k pour que le taux de dépassement pour une réponse unitaire soit de 50 % et le temps de réponse à 5% soit 15 secondes.

Exercice 6: La fonction de transfert d’un système est donnée par : F(s) = K1/s². On désire compenser ce système par un contrôleur (voir figure 2) de type : Gc(s)=(s+z)/(s+p) ( avec |z |< |p|) de sorte que le système en boucle fermée ait les spécifications suivantes:  le temps de réponse du système à 10% soit inférieure à 4 secondes (Tr ≤ 4 sec)  le facteur de dépassement soit inférieur à 30% pour une entrée de type échelon (x ≤ 30%) 1) Déterminer les valeurs de z, p et K1 en utilisant la technique du lieu des racines 2) Analyser la précision du système. Conclure. d(s) yref(s)

+

ε(s)

Gc(s)

F(s)

+

y(s)

-

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Chapitre 4 : Analyse des systèmes

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