Analyse Schaum Jason ANALYSE MATH [PDF]

Zitiervorschau

SERIE SCHAUM

2.77 - \ Z 3 b

THEORIE ET A PPLICATIONS DE L’

ANALYSE MURRAY R. SPIEGEL Rensselaer Polytechnic Institute

Huitième tirage

Groupe McGraw-Hill : Auckland - Beyrouth - Bogota - Hambourg - Johannesburg - Lisbonne Londres - Madrid - Mexico - Montréal - New-Delhi - New York Panama - - Paris -- San Juan - Sao Paulo - Singapour - Sydney - Tokyo Toronto. 1982

ISBN France 2-7042-0002-5 ISBN Canada 0-07-084392-9 Théorie e t applications de l'ANALYSE est traduit de : Theory and problems of ADVANCED CALCULUS, by Murray R. Spiegel Copyright O McGraw-Hill Inc. New York, 1973 Copyright O McGraw-Hill, Paris, 1973, pour la traduction française

les

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La Loi du 1 1 mars IS51 n'autorisant, aux termes des alindas 2 et 3 de l'Article 41, d'une part, que coptes ou reproductions strictement rdservdes B I'usege privé du copiste et non destindes b une

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utilisation collective. et, d'autre part, que les analyses et les courtes citation8 dans un but d'exemple

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et d'illustration, toute representation ou reproduction inidgrale, ou partielle. faite sana le coneentement de l'auteur ou de ses ayants-droit ou ayants-cause, est illicite (alinda le' de I'Anicie 40). Cette reprdsentation ou reproduction. par quelque procddd que ce eolt. con(ltltueralt donc une contref a g o o sanctionnee par lea Articles 425 at suivsnta du Code Pdnal.

McGraw-Hill. 28, rue Beaunier, 7501 4 Paris

Préface

Le terme Analyse peut avoir plusieurs significations : pour certains, il représente une formalisation théorique du calcul élémentaire, c’est-à-dire exposé avec des théorèmes et des démonstrations rigoureux ; pour d’autres, il s’agit de toute une série de questions considérées comme importantes mais aussi comme trop difficiles pour être abordées dans le cadre d’un cours élémentaire. Nous avons tenté, dans la conception de cet ouvrage, d’établir un compromis raisonnable entre ces interprétations extrêmes, afin qu’il puisse servir à un grand nombre de lecteurs. Les premiers chapitres portent sur le rappel et l’extension des concepts fondamentaux déjà présentés dans les cours élémentaires et devraient être utiles à ceux qui les auraient oubliés ou voudraient se “rafraîchir” la mémoire à leur sujet. Ils peuvent aussi fournir une “base” commune à des étudiants ayant suivi des préparations différentes. Les derniers chapitres présentent divers sujets avancés qui sont essentiels au savant, à l’ingénieur au mathématicien, s’il désire se créer une compétence dans le domaine scientifique auquel il se destine. Ce livre a été conçu pour être utilise: soit comme supplément aux manuels déjà existants, soit comme un manuel “à part entière”. I1 devrait également servir à ceux qui poursuivent des études de physique, d’ingénieurs, ou dans les nombreux domaines où les méthodes mathématiques approfondies sont employées. Chaque chapitre commence par un énoncé clair des définitions, principes et théorèmes donnés avec des exemples pour les expliquer et les décrire. Ils sont suivis de problèmes résolus et supplémentaires de difficulté croissante. Les problèmes résolus servent à illustrer et déveiopper la théorie à concentrer l’attention sur les points délicats sans lesquels l’étudiant se sent continuellement sur un terrain incertain, et à fournir la répétition des résultats de base si nécessaire à un enseignement efficace. De nombreuses démonstrations de théorèmes et déductions de résultats fondamentaux se trouvent parmi ces problèmes résolus. Le grand nombre de problèmes supplémentaires suivis de réponses permet une révision complète de la matière de chaque chapitre. Les sujets couvrent le calcul intégral et différentiel des fonctions à une ou plusieurs variables et leurs applications. Les méthodes vectorielles, qui se prêtent si aisément à une notation concise, et à des interprétations géométriques et physiques, sont introduites très tôt et utilisées chaque fois qu’elles peuvent contribuer à la motivation et à la compréhension. Des sujets spéciaux traitent des intégrales curvilignes et de surface, et des théorèmes sur les intégrales, les séries, les intégrales généralisées (ou impropres), les fonctions bêta et gamma, et les séries de Fourier. On trouvera également des chapitres sur les intégrales de Fourier, les intégrales elliptiques et les fonctions d’une variable complexe, qui doivent se montrer extrêmement utiles pour la poursuite des études avancées d’ingénieur, de physique ou de mathématiques. L’ouvrage contient bien plus de matière qu’il ne pourrait être inclus dans la plupart des cours, ceci afin de le rendre d’un usage plus souple, afin d’en faire un livre de référence encore plus utile et de stimuler l’intérêt du lecteur dans les sujets traités. M.R. SPIEGEL

Table des matières

Page Chapitre i

LES NOMBRES.

......................................

1

Ensembles. Nombres réels. Représentation décimale des nombres réels. Représentation gécmétrique des nombres réels. Opérations sur les nombres réels. Inégalités. Valeur absolue des nombres réels. Exposants et racines. Logarithmes. Fondements axiomatiques des nombres réels Ensembles d e points. Intervalles. Dénombrabilité. Voisinages. Points d’accumulation. Bornes. Théorème d e Bolzano-Weienstrass. Nombres algébriques et transcendants. Nombres complexes. Forme trigonométrique des nombres complexes. Raisonnement par recurrence. Chapitre 2

FONCTIONS, LIMITES ET CONTINUlTE.

......................

20

Fonctions. Graphe d’une fonction. Fonctions bornées. Fonctions monotones. Fonctions réciproques Maxima et minima. Exemples d e fonctions. Fonctions élémentaires limites. Limites à droite et à gauche. Théorèmes sur les limites. Définition de l’infini. Limites usuelles. Continuité. Continuité à droite et à gauche. Continuité sur un intervalle. Théorèmes de continuité. Continuité par morceaux. Continuité uniforme. Chapitre 3

SUITES.

...........................................

41

Définition d’une suite. Limite d’une suite. Théorème sur les limites de suites. Suites divergentes. Suites monotones, bornées. Borne supérieure et borne inférieure d’une suite. Limite supérieure. Limite inférieure. Intervalles emboités. Critère de Cauchy. Séries. Chapitre 4

DERIVEES..

..........................................

57

Définition d’une dérivée. Dérivées à droite et à gauche. Dérivabilité sur u n intervalle. Dirivabilité par morceaux. Interprétation géométrique d’une dérivée. Différentielles. Règles d e dérivation. Dérivées des fonctions élémentaires. Dérivées d’ordre supérieure. Théorème de Rolle. Théorème des accroissements finis et généralisation de Cauchy. Formule d e Taylor. Dévelop pements usuels. Règles de l’Hospital. Applications. Chapitre 5

INTEGRALES.

.......................................

80

Définition d’une intégrale (définie). Ensemble de mesure nulle. Propriétés des intégrales définies. Théorèmes de la moyenne pour les intégrales. Primitives. Théorème fondamental du calcul intégral. Intégrales définies, dont les limites d’intégration sont variables. Changement de variable dans les intégrales. Intégration des fonctions élémentaires. Méthodes d’intégrations. Intégrales impropres. Méthodes numériques de calcul des intégrales définies. Applications. Chapitre 6

DERIVEES PARTIELLES.

................................

1O1

Fonctions d e plusieurs variables. Variables dépendantes et indépendantes. Domaine d’une fonction. Repère orthogonal d e l’espace. Voisinages. Domaines. Limites. Limites doubles. Continuité. Continuité uniforme. Dérivées partielles. Dérivées partielles d’ordre supérieur. Différentielles. Théorèmes sur les différentielles. Différentiation des fonctions composées. Théorème d’Euler sur les fonctions homogènes. Fonctions implicites. Jacobiens. Dérivées partielles à l’aide des jacobiens. Théorèmes sur les jacobiens. Transformations. Coordonnées curvilignes. Théorèmes des accroissements finis et formule de Taylor. Chapitre 7

VECTEURS.

.........................................

Vecteurs et scalaires. Algèbre des vecteks. Règles de calcul de l’algèbre des vecteurs. Vecteurs unitaires. Vecteurs unitaires orthogonaux. Composantes d’un vecteur. Produit scalaire. Produit

134

Page vectoriel. Produit mixte et double produit vectoriel. Approche axiomatique de l’analyse vectorielle. Fonctions vectorielles. Limites, continuité et dérivées des fonctions vectorielles. Interprétation éométrique de la dérivée vectorielle. Gradient, divergence et rotationnel. Formules utilisant Interprétation vectorielle des jacobiens. Coordonnées curvilignes orthogonales. G r e dient, divergence, rotationnel et laplacien en coordonnées curvilignes orthogonales. Coordonnées Curvilignes particulières. Chapitre 8

APPLICATIONS DES DERIVEES PARTIELLES.

.....................

161

Applications géométriques. Plan tangent à une surface. Droite normale à une surface. Droite tangente à une courbe. Plar, normal à une couibe. Enveloppes. Dérivées selon des directions D é rivation sous le signe d’intégration. Maxima et minima. Maxima et minima liés : méthode des multiplicateurs de Lagrange. Applications au calcul d’erreurs. Chapitre 9

INTEGRALES MULTIPLES.

....................................

180

intégrales doubles. Calcul des intégrales par itération. Intégrales triples. Transformations des intégrales multiples. Chapitre IO

INTEGRALES CURVILIGNES, INTEGRALES DE SURFACE ET THEOREMES DU CALCUL INTEGRAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195

Intégrales curvilignes. Notation vectorielle des intégrales curvilignes. Calcul des intégrales curvilignes. Propriétés des intégrales curvilignes. Courbes simples fermées. Domaines simplement connexes ou multiplement connexes. Théorème de Green dans le plan. Conditions pour qu’une intégrale a m i ligne soit indépendante du chemin d’intégration. Intégrales de surface. Théorème sur la divergence. Théorème de Stokes. Chapitre I I

SERIES.

.................................................

224

Convergence et divergence d’une série. Propriétés fondamentales des séries. Séries particulières : Séries géométriques. Série de Riemann. Critères de convergence et de divergence des séries à termes positifs : Critère de la comparaison, critère du quotient, critère de l’intégrale. Critère pour une série alternée. Convergence absolue et semi-convergence. Règle de d’Alembert. Règle de Cauchy. Critère de Raabe. Critère de Gauss. Théorème sur les séries absolument convergentes. Suites et séries de fonctions. Convergence uniforme. Critères particuliers pour la convergence uniforme des séries. Critère de Weierstrass. Critère de Dirichlet. Théorèmes sur les séries uniformément convergentes. Séries de puissances. Théorèmes sur les séries de puissances. Opérations sur les séries de puissances. Développement des fonctions en séries de puissances. Quelques exemples importants de séries de puissances. Sujets particuliers. Fonctions définies par des séries. Fonctions de Bessel et hypergéométriques. Séries à termes complexes. Séries de fonctions de plusieurs variables. Séries doubles. Produits infinis. Sommabilité. Séries asymptotiques. Chapitre 12

INTEGRALES GENERALISEES (OU IMPROPRES).

...................

260

Définition d’une intégrale impropre. Intégrales impropres de première espèce. Intégrales impropres particulières de première espèce : Intégrale d’exponentielle. Intégrale “p”, de première espèce. Critères de convergence pour les intégrales impropres de première éspèce. Critère de la comparaison. Critère du quotient. Critère de comparaison avec des séries. Convergence absolue et semiconvergence. Intégrales généralisées de deuxième espèce. Valeur principale de Cauchy. Intégrales impropres particulières de deuxième espèce. Critères de convergence pour les intégrales généralisées de seconde espèce. Intégrales impropres de troisième espèce. Intégrales impropres dépendant d’un paramètre. Convergence uniforme. Critères particuliers pour la convergence uniforme des intégrales. Critère de Weierstrass. Critère de Dirichlet. Théorèmes sur les intégrales uniformément convergentes. Calcul d’intégrales définies. Transformée de Laplace. Intégrales multiples impropres. Chapitre 13

FONCTIONS GAMMA ET BETA.

................................

Fonction gamma. Table des valeurs et graphe de la fonction gamma. Formule asymptotique pour r (n). Résultats divers utilisant la fonction gamma. Fonction béta. Intégrales de Dirichlet.

285

Page Chapitre 14

SERIES DE FOURIER.

.......................................

298

Fonctions périodiques. Séries de Fourier. Conditions de Dirichlet. Fonctions paires et impaires. Séries de Fourier en cosinus ou sinus. Egalité de Parseval. Dérivation et intégration des séries de Fourier. Notation complexe pour les séries de Fourier. Problèmes des conditions aux limites. Fonctions orthogonales. Chapitre 15

lNTEGRALES DE FOURIER.

..................................

32 1

L’intégrale de Fourier. Formes équivalentes du théorème sur l’intégrale de Fourier. Transformée de Fourier. Egalité de Parseval pour les intégrales de Fourier. Théorème de convolution. Chapitre 16

INTEGRALES ELLIPTIQUES.

..................................

33 1

L’intégrale elliptique incomplète de première espèce. L’intégrale elliptique incomplète de deuxième espèce. L’intégrale elliptique incomplète de troisième espèce. Formes de Jacobi pour les intégrales elliptiques. Intégrales réductibles des intégrales elliptiques. Fonctions elliptiques de Jacobi. Transformation de Landen. Chapitre 1 7

FONCTIONS D’UNE VARIABLE COMPLEXE..

.........................

Fonctions. Limites et continuité. Dérivées. Equations de Cauchy-Reemann. Intégrales. Thé@ rème de Cauchy. Formules intégrales de Cauchy. Séries de Taylor. Points singuliers. Pôles. Séries de Laurent. Résidus. Théorème des résidus. Calcul des intégrales définies.

INDEX..

..........................................................

345

CHAPITRE 1

Les Nombres ENSEMBLES La notion d’ensemble, de classe ou de collection d’objets ayant des caractéristiques spécifiques est fondamentale en mathématiques. Par exemple, on parie de l’ensemble de tous les professeurs d’université, de l’ensemble de toutes les lettres A , B , C , D , . . . , 2 de l’alphabet, etc. Une partie d’un ensemble est appelée un sous-ensemble de celui-ci. Par exemple A , B , C est un sousensemble de A , B , C , D , . . . , 2. L’ensemble form4 d’aucun élément est appelé l’ensemble vide. NOMBRES REELS Les types suivants de nombres sont déjà familiers aux étudiants.

1. Les Entiers naturels 1 , 2 , 3 , 4 , . . . appelés aussi entiers positifs, sont utilisés pour compter les éléments /d’un ensemble. Les symboles ont varié avec le temps, par exemple les Romains b et le produit a . b (ou a b ) de deux entiers utilisaient I, II, III, IV, . . . La somme a naturels a et b sont encore des entiers naturels. On exprime ceci souvent en disant que l’ensemble des entiers naturels est stable pour les opérations d’addition et de multiplication, ou qu’il satisfait la propriété d e fermeture pour ces opérations.

+

2. Les Entiers négatifs et zéro sont notés respectivement par -1, -2, - 3 , . . . et O e t permettent de résoudre des équations comme x b = a , où a et b sont deux entiers naturels quelconques. Ceci conduit à l’opération de soustraction (inverse de l’addition) et l’on écrit x = u -. b. L’ensemble des entiers positifs et négatifs, et zéro, est appelé l’ensemble des entiers relatifs.

+

2 5 3. Les nombres rationnels ou fractions, tels que - -- . . . permettent de résoudre des équa3’ 4’ tions du type bx = a pour tout entier u e t b, où b # O. Ceci nous conduit à la division, U

opération inverse de la multiplication, et l’on écrit x = - (ou x = a f b ) où a est le numéb rateur et b le dénominateur. L’ensemble des entiers relatifs est un sous-ensemble des nombres. rationnels, puisque les entiers relatifs correspondent aux nombre rationnels où b = 1.

4. Les Nombres irrationnels, tels que

6et

T,

sont ceux qui ne se sont pas rationnels, c’est-àU

dire qu’on ne peut pas les écrire sous la forme - (appelé quotient de a par b ) où a e t b b sont des entiers et b # O. L’ensemble des nombres rationnels et irrationnels est appelé l’ensemble des nombres réels. REPRESENTATION DECIMALE DES NOMBRES REELS. Tout nombre réel peut s’exprimer sous forme décimale, par exemple 17/10 = 1,7 ; 9/100 = 0,09 ; 1 / 6 = 0,16666. . . Dans le cas d’un nombre rationnel, son expression décimale est finie, ou infinie et 1 périodique à partir d’un certain rang, par exemple- = 0,142857 142857 142. . . Dans le cas des nom7 bres irrationnels, tels que f i = 1,41423. . . ou T = 3,14159. . . , le développement est infini e t sans période. On peut toujours considérer un développement décimal comme infini, par exemple le nombre 1,375 est le même que 1,3750000. . . . ou 1,3749999. . . . Pour indiquer la récurrence décimale, nous

1

inscrirons parfois des points au-dessus des chiffres du cycle périodique, par exemple - = O , i 4 2 8 5 + ; 7

2

Analyse

-19 _ - 3,16. 6 Le système décimal utilise les dix chiffres O, 1, 2, . . . , 9. I1 est possible de construire des systèmes de représentation des nombres avec plus ou moins de chiffres, par exemple le système binaire utilise seulement O et 1 (cf. les problèmes 3 2 et 33).

REPRESENTATION GEOMETRIQUE DES NOMBRES REELS. La représentation géométrique des nombres réels, comme points d’une droite, est appelée l’axe réel, comme sur la figure ci-dessous. Cette représentation est bien connue des étudiants. A chaque nombre réel, il correspond un unique point de la droite et réciproquement, c’est-à-dire qu’il existe une bijection entre l’ensemble des nombres réels et l’ensemble des points de la droite. On utilisera donc indifféremment les nombres ou les points.

3

- _4

-77

3

fi

e n -

I

-5

-3

-4

-2

O

-1

I

1

2

3

4

5

Fie. 1-1

L’ensemble des nombres réels à la droite de O est appelé l’ensemble des nombres positifs et celui à la gauche de O, l’ensemble des nombres négatifs, e t O n’appartient ni à l’un ni à l’autre. Entre deux nombres rationnels quelconques (ou irrationnels) sur la droite, il existe une infinité de nombres rationnels (et irrationnels). Ceci nous amène à dire que l’ensemble des nombres rationnels (ou irrationnels) est partout dense, dans l’ensemble des nombres réels.

OPERATIONS SUR LES NOMBRES REELS. Soient a , b , c appartenant à l’ensemble R des nombres réels, alors Stabilité de ces opérations 1. a + b et a b appartiennent à R 2. a + b = b + a Commutativité de l’addition 3.a + (b + c) = ( a + b) + c Associativité de l’addition Commutativité de la multiplication 4. a b = bu Associativité de la multiplication 5. a ( b c ) = ( a b ) c Distributivité 6. a ( b + c ) = ab + ac 7 . a f O = O + a = a , 1 .a = a . 1 = a O est appelé l’élément neutre de l’addition et 1 celui de la multiplication. 8. Quel que soit a , il existe un nombre réel x , tel que x 4- a = O , x est appelé l’inverse de a pour l’addition et noté a. 9. Quel que soit a # O, il existe un nombre réel x , tel que a x = 1, x est appelé l’inverse de a pour la multiplication et noté a- ou i / a . Ceci nous permet de calculer avec les règles usuelles d’algèbre. En général chaque ensemble, tel que R , dont les éléments vérifient les règles ci-dessus est appelé un corps.

LES INEGALITES Si a - b est un nombre positif, on dit que a est plus grand que b ou que b est plus petit que a et on écrit respectivement a > b ou b < a , si on peut avoir a = b, on écrit a Z b ou b < a. Géométriquement, si a > b le point de l’axe réel correspondant à a est à la droite du point correspondant à b. Exemples : 3 < 5 ou 5 ou égal à 3 .

>3

, -2

< -1

ou - 1

> -2

;x

3 signifie que x est un nombre plus petit que 3

Si a , b , c sont des nombres réels donnés, alors : Trichotomie 1. O n a a > b, a = b ou a < b Transitivité 2. Si a > b et b > c, alors a > c 3. Si a > b, alors a c > b c 4.Si a > b e t c > O, alors ac > bc 5. Si a > b e t c < O, alors ac < be

+

+

Chapitre l/Les nombres.

VALEUR ABSOLUE DES NOMBRES REELS La valeur absolue d’un nombre réel a, notée par ) a l , est égale à a si a Exemples : 1-51 = 5, 1+2/ = 2,

1. 2. 3. La

1-21

= 2,

I-&]

> O,

a si a

EXPOSANTS ET RACINES Le produit a . a . . .a d’un nombre réel a, p fois par lui-même est noté posant et a la base. On a les règles suivantes : ap.aq

=

ap+s

< O et O si a = O

= &, 101 = O.

lube.. .ml = la1 /bj le( * . . Imj ou lab1 = la/ lb[ lu+b/ d j a l + l b ~ ou l a + b + c + . . . +mj i l a ~ + I b l + i e I + . . . + ] m l la- bj 2 la/ - lb/ distance entre deux points (nombres réels) a et b de l’axe réel est la - bi = Ib

1.

3

3,

(UP).

=

up,

-.

ai.

où p est appelé l’ex-

upr

Celles-ci sont possibles pour tout nombre réel, pourvu que la division par zéro soit exclue. En particulier, en écrivant 2 respectivement avec p = q et p = O, nous sommes conduits aux définitions a0 = i et a - 4 = i / a q . Si a?’ = N, où p est un entier positif, a est appelée la racine phe de N et notée I1 peut y avoir plus d’une racine phe réelle de N . Par exemple, puisque 22 = 4 et (-2)2 = 4, 2 et -2 sont deux racine carrées réelles de 4. I1 est d’usage de noter la racine carrée positive par fl= 2 et celle négative par -fl= - 2. Si p et q sont deux entiers positifs, on définit ap’q =

w.

LOGARITHMES = N,p est appelé le logarithme de N dans la base a et noté p = log,N. Si a et N sont Si positifs et a # 1, il existe une unique valeur réelle de p . On a les règles suivantes :

3.3 En pratique deux bases sont utilisées ; le système décimal utilisant la base a = 10, le systhme népérien à base a = e = 2,71828. . .

LES FONDEMENTS AXIOMATIQUES DES NOMBRES REELS Les nombres réels peuvent être construits logiquement, en partant d’un ensemble d’axiomes ou de vérités considérées comme évidentes, usuellement basées sur l’expérience, comme les opérations 1.9, Page 2. Si on suppose connu l’ensemble des entiers naturels muni des opérations d’addition et de multiplication (bien qu’il soit possible d’y revenir, plus tard avec la notion d’ensemble), on trouve que les assertions 1-6, Page 2 sont vérifiées, avec R comme ensemble des entiers naturels, mais pas 7-9. En prenant 7 et 8 comme hypothèses supplémentaires, on introduit les nombres -1, -2, -3, . . . et O et en prenant 9 on introduit les nombres rationnels.

4

Analyse

Les opérations sur les nombres ainsi que celles nouvellement obtenues peuvent être définies en adoptant les axiomes 1-6,où R est maintenant l’ensemble des entiers. Celles-ci conduisent aux démonstrations des règles telles que (-2) (-3) = 6 , -(-4) = 4, (O) ( 5 ) = O, etc. . . , lesquelles sont considérées comme importantes en mathématiques élémentaires. On peut aussi introduire la notion d’ordre ou d’inégalité pour les entiers positifs, et ensuite pour les nombres rationnels. Par exemple si a , b , c , d sont des entiers positifs nous dirons que alb > c/d si et seulement si ad > bc, et de façon analogue pour des entiers négatifs. Une fois que nous avons l’ensemble des nombres rationnels et les règles d’inégalités les concernant, on peut les ordonner géométriquement comme points de l’axe réel, comme on l’a déjà indiqué. On peut alors montrer qu’il existe des points de la droite qui ne peuvent pas être représentés par des nombres rationnels (tels que fl, , etc. . .). Ces nombres irrationnels peuvent être définis de différentes façons, l’une est d’utiliser l’idée de Dedekind des coupures (cf. problème 34). On peut donc montrer que les règles usuelles d’algèbre s’appliquent aux nombres irrationnels, et qu’il n’y a pas d’autres nombres réels.

ENSEMBLES PONCTUELS, INTERVALLES Un ensemble de points (nombres réels) localisé sur l’axe réel est appelé un ensemble ponctuel de dimension 1. L’ensemble des points x tel que a < x < b est appelé un intervalle fermé et noté [ a , b ] . L’ensemble a < x < b est appelé intervalle ouvert et noté ( a , b ) ou ] a , b [ . Les ensembles a < x < b et a < x < b notés respectivement par ( a , b ] et [ a , b ) sont appelés des intervalles semi-ouverts ou semi-fermés. Le symbole x , qui peut représenter un nombre ou un point quelconque d’un ensemble, est appelé une variable, Les nombres donnés a ou b sont appelés des constantes. L’ensemble des x tel que ( x , < 4 c’est-à-dire : -4 < x < 4 est l’intervalle ouvert (-4 , 4). Exemple : L’ensemble x > a peut aussi être représenté par a < x < 00. Un tel ensemble est dit un intervalle infini ou non borné. De même - 0 0 < x < 00 représente l’ensemble de tous les nombres réels x.

DENOMBRABILITE Un ensemble est dit dénombrable si ses éléments peuvent être placés en bijection avec les entiers naturels. Exemple :

Les entiers naturels pairs 2, 4. 6 , . . . forment un ensemble dénombrable, car on a la bijecjection suivante : Ensemble donné Entiers naturels

2

4

6

8

...

5 5 5 5 ... 1 2 3 4

Un ensemble est infini s’il peut être placé en bijection avec l’un de ses sous-ensembles. L’ensemble des nombres rationnels est dénombrable, par contre, celui des nombres irrationnels est infini, mais pas dénombrable (cf. les problèmes 17-20). Le nombre d’éléments d’un ensemble est appelé son cardinal. Le cardinal d’un ensemble dénombrable est désigné par Ho (la lettre hébreu aleph zéro). L’ensemble des nombres réels (ou tout ensemble en bijection avec lui) a pour cardinal C, appelé la puissance du continu.

Chapitre l/Les nombres.

5

VOISINAGES L’ensemble des points x tel que lx - ai a. L’ensemble de tous les points x tel que O pelé un 6 -voisinage épointé du point a .

< 6 où 6 > O, est appelé un &-voisinage du point < ,x -- al < 6 dans lequel x = a est exclu, est ap-

POINTS D’ACCUMULATION Un point d’accumulation d’un ensemble de nombres est un nombre 1 tel que tout 6-voisinage épointé de 1 contient des éléments de l’ensemble. En d’autres termes, pour 6 > O, même petit, il existe un élément x de l’ensemble, distinct de 1, vérifiant Ix - 11 < 6. En considérant des valeurs de 6 de plus en plus petites, on voit qu’il y a une infinité de valeurs de x possibles. Un ensemble fini ne peut pas avoir de points d’accumulation. Un ensemble infini peut ou non en avoir. L’ensemble des entiers naturels n’a pas de points d’accumulation, par contre, celui des nombres rationnels en a une infinité. Un ensemble contenant tous ses points d’accumulation est dit un ensemble fermé. L’ensemble des nombres rationnels n’est pas fermé car, par exemple, le point d’accumulation fl n’appartient pas à cet ensemble (cf. problème 5). Cependant, l’ensemble O < x < 1 est fermé.

BORNES Si pour tous les nombres x d’un ensemble, il existe un nombre M tel que x < M, l’ensemble est dit borné supérieurement e t M est appelé un majorant. De même, si x 2 m , l’ensemble est dit borné inférieurement et m est appelé un minorant. Si pour tout x , on a m < x < M , l’ensemble est dit borné. Si M est un nombre tel qu’aucun élément de l’ensemble ne soit pius grand que M, mais qu’il existe au moins un élément dépassant M .- E pour tout E > O, alors &Z est appelée la borne supérieure de l’ensemble. De même s’il n’y a pas d’éléments de l’ensemble plus petit que E , mais s’il e pour tout E > O alors E est appelée la borne existe au moins un élément plus petit que inférieure de l’ensemble.

+

THEOREME DE BOLZANO-WEIERSTRASS Tout ensemble infini borné a au moins a n point d’accumulation. La démonstration est donnée dans le problème 23 du chapitre 3.

NOMBRES ALGEBRIQUES ET TRANSCENDANTS Un nombre x qui est solution d’une équation polynômiale

où a, # O , a , , az , . . . , a, sont des entiers et n un entier positif (appelé le degré de l’équation) est dit un nombre algébrique. Un nombre qui ne peut pas s’exprimer comme solution d’une équation polynâmiale à coefficients entiers est dit transcendant. Exemples :

-23 et fi sont

solutions respectivement de 3x - 2 = O et xz - 2 = O, ce sont des nombres

algébriques.

On peut montrer que les nombres rr et e sont transcendants. On ne sait toujours pas si des nombres tels que err ou e + rr sont algébriques ou non. L’ensemble des nombres algébriques est dénombrable (cf. problème 23)’ mais celui des nombres transcendants ne l’est pas.

6

Analyse

LES NOMBRES COMPLEXES

+

Comme il n’existe pas de nombres réels x vérifiant l’équation polynômiale x 2 1 = O ou d’équations similaires, on introduit l’ensemble des nombres complexes. On peut considérer un nombre complexe comme étant de la forme a ib, où a et b sont des nombres réels nommés respectivement la partie réelle et la partie imaginaire, et i = est appelée l’unité imaginaire. Deux nombres complexes a ib et c id sont égaux si et seulement si a = c et b = d . On peut considérer les nombres réels comme un sous-ensemble des nombres complexes avec b = O. Le nombre complexe O i0 correspond au nombre réel O. La valeur absolue ou module de a ib est définie par la ibi = Le complexe conjugué de a ib est par définition a - ib. Le complexe conjugué du nombre z est souvent noté 2. L’ensemble des nombres complexes obéit aux règles 1-9 de la page 2 et constitue un corps. En effectuant les opérations sur les nombres complexes, on peut calculer comme dans l’algèbre des nombres réels, en remplaçant i2 par -1. Les inégalités pour les nombres complexes ne sont pas définies. Du point de vue d’un fondement axiomatique des nombres complexes, il est préférable de considérer un nombre complexe comme un couple ordonné ( a , b ) de nombres réels a et b vérifiant certaines règles oDérationnelles équivalentes à celles ci-dessus. Par exemple on définit ( a , b) ( c , d ) = (a T c , b d ) , ( a , b ) ( c ,d ) = ( a c - bd, ad bc), m ( a , b ) = ( m a , m b ) , etc. On trouve alors que ( a , b ) = a (1 , O ) b ( 0 , 1) et on l’identifie avec a ib où i désigne l’élément ( O , 1). FORME TRIGONOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES Si on choisit des échelles réelles sur deux axes perpendiculaires X‘OXet Y’OY (l’axe des x et celui des y ) comme dans la figure 1.2 , on peut repérer chaque point du plan, déterminé par ces droites, par un couple ordonné de nombres ( x , y) appelés coordonnées cartésiennes du point ; des exemples de localisation de tels points sont indiqués par P , Q , R , S et T sur la figure 1.2.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

d m .

+

Y

Y

-- 4

Pt3,4)

3

&(-3,3)

-- 2 --

1

T(2,6,0)

X‘ -I4

-‘3

-I2

Li O

3

i

1 X

X’

X

O

-- - 1 ~ ( - 2 , 6 , -1,s

j

-- - 2

‘S(2, -2)

-- - 9

Y’

Y’

Fig. 1-2

Fig. 1-3

Puisqu’un nombre complexe x + iy peut être considéré comme un couple ordonné ( x , y ) on peut représenter de tels nombres par des points du plan xy appelé le plan complexe ou diagramme d’Argand. En se référant à la figure 1.3. ci-dessus on voit que x = pcoscp et y = psincp où p = = lx iyl et cp appelé l’argument (ou l’amplitude), est l’angle que fait la droite OP avec l’axe positif OX, il s’ensuit que z =x iy = p(cos4 i sin 4) (2)

d

w

+

+

+

est appelée la forme trigonométrique d’un nombre complexe, où p et cp sont les coordonnées polaires. I1 est parfois commode d’écrire ciscp au lieu de cosrp i sincp.

+

\

7

Chapitre 1 / k s nombres.

+

+

Si xi = X I iyi = p,(cos+, i sin+,) et x z = xz on peut montrer que x122 = P I P 2 { cos ($1 + $2) + i sin ($1 + $2) 1 21 Pi = { cos ($1 - $2) + i sin ($1 - $2) 1 Pz

22

zn

= {p(cos+

+ i sin

+ iy2

= p2(cos+,

+ i sin$) (3)

(4)

= pn(cosn+ + i Sinn+)

+)}n

(5)

où n est un nombre réel quelconque. L’équation est parfois appelée la formule de Moivre, on peut l’utiliser pour déterminer les racines d’un nombre complexe. Par exemple, si n est un entier positif,

d’où il s’ensuit qu’il y a en général n valeurs distinctes de z ’ h . Plus tard (chapitre il), nous montrerons que ei’+’= coscp + isin cp où e = 2,71828, . . Ceci est la formule d‘Euler.

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Le principe de raisonnement par récurrence est une propriété importante des entiers positifs. I1 est spécialement utilisé pour démontrer des résultats compliqués sur tous les entiers positifs, lorsqu’il est connu par exemple, que les résultats sont vrais pour n = 1, 2, 3 et qu’ils sont supposés vrais pour tous les entiers positifs. La méthode de démonstration procède de la façon suivante :

1.Démontrer la proposition pour n = 1 (ou un autre entier positif). 2. Supposer la proposition vraie pour n = h , où h est un entier positif quelconque. 3. De l’hypothèse 2, en conclure que la proposition est encore vraie pour n = h + 1. Ceci est la partie de la démonstration établissant la récurrence, ce qui peut être difficile ou impossible. 4.Puisque la proposition est vraie pour n = 1 (d’après l), elle le reste pour n = 1 + 1 = 2 1 = 3, etc. . . et donc vraie pour tout entier positif. (d’après 3) et n = 2

+

PROBLEMES RESOLUS OPERATIONS SUR LES NOMBRES 1.

2 1 Si x = 4,y = 15, z = - 3 , p = -, q = --et 6 3

(4 P ( W ) , (4 ( P Q ) Y , (4 X(P 4- 4.

+

+

I“

=

3 évaluer (a) x + ( y f x ) , 4’

( b ) (x+y)

+ x,

z ( Y + X ) = 4 [ 1 5 + (-3)] = 4 + 12 = 16 ( b ) ( x + ? J ) x = (4+ 15) (-3) = 19-3 = 16 Le fait que ( a ) et ( b ) soient égaux iilustre la règle d’associativité de l’addition. (CL)

(c)

+

p(qy) =

(d) (pq)r =

g{(-g)($)}

+

= ( =(2)(-$) 2 4 = -J12 6 ?) 2 4(3L) = -x = (-I)(&) 9 4 = -3 36 = -2 12

{(g>(-&)>(q)= (-&)($)

Le fait que ( a ) et (c) soient égaux illustre la règle d’associativité de la multiplication. ( e ) x ( p + q ) = 4 ( -~Q) = 4(6 -&) = 4($) = Autre méthode : la distributivité.

x ( p + q ) = xp

y

+ xq =

=2 (4)(3)

+ (4)(-~) =

83 - 46

= 63 - 2a = 53 = 2

en utilisant

8

2.

Analyse

O

Expliquez pourquoi on ne peut pas considérer ( a ) - ( b ) O

(a)

(b)

3.

01 comme des nombres.

Si on définit a / b comme un nombre (s'il existe) tel que dx = a, alors O / O est ce nombre x tel que Ox = O. Or ceci est vrai pour tout nombre. Puisque O / O ne représente pas un unique nombre il est indéfini. Comme dans ( a ) , si on définit 1/0 comme ce nombre (s'il existe) x tel que Ox = 1, on conclut que ce n'est pas un nombre. De ce fait la division par zéro n'a pas de sens.

Simplifiez

*

+

5% 6 - ( X - 3)(2 - 2) - x.- 2 - 2x - . (z - 3)(X + - 2+1

2'X2

x2-5x+6 x2-2x-3

en simplifiant par le facteur non nul (x - J), c'est-à-dire x # 3.

Pour x = 3, la fraction n'est pas définie.

NOMBRES RATIONNELS ET IRRATIONNELS 4.

Démontrez que le carré d'un entier impair est impair.

+

Tout nombre impair s'écrit sous la forme 2m 1. Comme (2m pair 4m' 4m = 2(2m2 f 2m) augmenté de 1, on a le résultat

+

5.

+ 1)2

= 4m2

+ 4m + 1 est égal au nombre

Prouvez qu'il n'existe pas de nombre rationnel dont le carré est égal à 2. Soit p/q un nombre rationnel dont le carré vaut 2, où nous supposons que p/q est irréductible, c'est-à-dire 1 (on dit aussi que p et q sont premiers entre que p et q n'ont pas de diviseurs communs entiers autre que eux). Alors (p/q)' = 2 , p 2 = 2 q 2 et p 2 est pair. p est pair, car s'il était impair, p 2 le serait aussi (cf. problème 4), ainsi on peut écrire p = 2m. Remplaçons p = 2 m dans p 2 = 2qs il s'ensuit que q' = 2m' et donc y 2 est pair et q aussi. p et q ont alors le facteur 2 en commun, ce qui contredit l'hypothèse que p et q sont premiers entre eux. I1 n'existe donc pas de nombres rationnels dont le carré est égal à deux.

*

6.

Montrez que l'on peut trouver des nombres rationnels dont les carrés sont arbitrairement voisins de 2. Nous nous restreignons aux nombres rationnels positifs. Comme (1)' = 1 et (2)' = 4, nous devons choisir des nombres rationnels entre 1 et 2 par exemple 1,l ; 1,2 ; 1,3, . . . , 1 , 9 . . Puisque (1,4l2 = 1,96 et (1,s)' = 2,25, on considère les nombres rationnels entre 1,4 et 1,s (par exemple : 1,41, . . . , 1,491. En continùant ainsi, on obtient des approximations rationnelles de plus en plus voisines de 2, par exemple (1,414213562)2 est plus petit que 2 et (1,414213563)' plus grand.

7.

+

+

+

Soit l'équation aO x n a l x n - l . . . a, = O où a, , a , , . . . ,a, sont des entiers et a, # O , a, O . Montrez que si cette équation a une racine rationnelle p / q , alors p divise a, e t q divise a,.

+

Soit p / q une telle racine, en remplaçant dans l'équation proposée et en la multipliant par qn , on obtient aop"

ou en divisant par p

+ aipn-1q + + ." + a,,-ipq"-l + anqa = a, q" ,p"-' + a i p - z q + + q"-' = - P azpn-2q2

"'

O

(11

an-1

Comme le terme de gauche de (2) est un entier, le terme de droite est aussi un entier. Alors comme p et an. De la même façon, en transposant le premier terme de ( 1 ) et en divisant par q , on montrerait que q divise a0. q sont premiers entre eux, et que p ne divise pas q n , il divise donc

9

Chapitre 1/Les nombres.

8.

flf fln’est pas un nombre rationnel. Soit x = fi+ 6, alors x2 = 5 + 2.\/6,x2 - 5 = 2 6 e t

Prouvez que

+

en élevant au carré : x4 - 1 0 . x ~ i = O. Les seules racines rationnelles possibles de cette équation sont I1 d’après le problème 7, et elles ne la vérifient pas. il s’ensuit que f i q u i satisfait cette équation, n’est pas un nombre rationnel.

9.

Prouvez qu’il existe toujours un nombre rationnel strictement compris entre deux autres nombres rationnels. Soient a et b deux nombres rationnels, alors

9

est un nombre rationnel entre a et b. a + b en additionnant a de chaque côté,2a < a b et a < 2 . a + b a + b De même en ajoutant b de chaque côté,a 6 < 2 b et < b , alors a < < b. 2 2 r Pour prouver que a + b est un nombre rationnel, soient a =-etP b = -, où p , q , r , s sont des en2 4 S tiers et q # O , s # O . Pour le démontrer, supposons que a

O, c’est-à-dire x < 4 et x > - 3. Ceci est possible, donc L’inégalité est donc vérifiée pour l’ensemble des x vérifiant - 3 < x < 4.

2ème cas : x - 4

12

Si a

>O

et b 2 O prouvez que i / 2 ( a

-

3

< x < 4.

+ b ) 2- .\/ab.

Une méthode de démonstration souvent utilisée consiste à supposer le résultat démontré et d’en déduire par des opérations un résultat dont on sait qu’il est vrai. En remontant les étapes (en supposant que ceci Soit possible) on démontre ainsi ce résultat.

+ >

Dans ce problème on commence par le résultat demandé et on obtient sucessivement a b 2fi 4ab ou a2 - 2ab b2 2 O c’est-à-dire ( a - b ) 2 >/ O, ce qui est bien vrai, d’où le résultat en remontant les étapes. (a

+

+ b)2

Autre méthode :

Comme

(6&I2 > O on a a - 2@ + b > O ou 112 (a + b ) 2 .\/ab

al + a 2 + . . . + a , , 2 d a l a 2 , , . a, où a l , . . . , a, sont des entiers posin tifs ou nuls. Le côté gauche et le côté droit sont respectivement appelés la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des nombres a , . . . , a,. Ce résultat peut être généralisé à

13. Si a l , a2 , . . . ,a, et b , , b , , . . . , b, sont des nombres réels quelconques, démontrez l’inégalité de Schwarz (Uibi

+

u2b2

+ ..’ + u,b,)2

Pour tout nombre réel A , nous avons (a,x

5 (u:

+ a; + + ai)(bS + b; + .” + b2,) ’.’

+ b$ + ( a z x+ bz)z +

’ ..

+ (a,h + b,)’

2

O

En développant et en groupant il s’ensuit A2h2 où

+ 2Cx + Bz

A z = a : + a i + . . . + a 2 , , BZ = b : + b i + . . . + b ? ,

2

(11

O

C = aibi+azbz+...+a,b,

Mainténant (1) s’écrit :

B2

C2

(2)

10

Analyse

Mais la dernière inégalité est vérifiée pour tout

h

B2 c2 -A’ A2

réel si et seulement si

O ou

c2 < A ~ B ’ ,ce

qui donne l’inégalité proposée en utilisant (2).

1 2

1 4

14. Prouvez q u e - + - + - + .

1

1 8

. . + 2n - 1 < 1 pour

4+ $ + Q +

Soit

s,

Alors

&Sn =

=

1 En soustrayant -S 2

il

1 = 2

> 1.

1 + 2n-i

...

+Q+

tout entier n

1 1 + 2n-’+ 2”

’..

- -1 d’où Sn 2“’

= 1

-

1 2n-1

=

(8)-3

< 1 pour

tout n.

EXPOSANTS, RACINES ET LOGARITHMES 15. Evaluez chacune des expressions suivantes :

27 (s) = x . Alors

(c)

10g2/3

(d)

(logab) (lo& a) = u

$

($)’ =

=

(;I3

ou x = - 3 .

Soient log, b = x , iogba = y , où a , b

>0

et a , b # 1 .

Alors ax = b ; bY = a et u = xy . Comme (ax)Y = a x y = bY = a on a : axY = a l ou xy = 1, d’où le résultat demandé.

16. Si M

> O , N> O

et

Soient l o h M = x

a et

-M _- - a*_ N

>O,

log,N = y -

a+-y

a‘

M

a # 1 , prouvez que log, - = logaM - log,N. N Alors ax = M , aY = N et aussi M OU l ü g a z = x - 2/ = lûg,M - log, N

mais

.

DENOMBRABILITE 17. Prouvez que l’ensemble des nombres rationnels compris entre O et 1 est dénombrable. Ecrivons les fractions de dénominateur 2 , puis 3 , 1

2

telles que - , T ,

. . . en

considérant comme équivalentes des fractions

r,e t en ne les comptant qu’une fois. Alors il existe une bijection avec l’ensemble des entiers 3

naturels définie de la façon suivante : Nombres rationnels

0 1

$1 52

s 1 : $ ;i i I- a

.’.

Entiers rationnels 3 4 5 6 7 8 9 ... Alors l’ensemble des nombres rationnels entre O et 1 est dénombrable et a pour cardinalité

(cf. Page 4).

18. Si A et B sont deux ensembles dénombrables, montrez que l’ensemble formé des éléments appartenant à A ou B est aussi dénombrable. Comme A est dénombrable, il existe une bijection entre A et les entiers naturels, notons ses éléments par

al , a2 , a3 , . . . de même, notons ïes éléments d e B par b l , b2 , b3 . . .

ler cas : Supposons les éléments de A distincts des éléments de B , alors l’ensemble des éléments de A ou B est dénombrable puisque l’on peut établir la bijection suivante A ou B

Entiers naturels

.al

bi

a2

b2

a3

bs

$ $ $ $ $ $ 1

2

3

4

5

6

...

2ème Cas : S’il y a des éléments communs à A et B, o n ne les compte qu’une fois comme dans le problème 17, alors l’ensemble des éléments appartenant à A ou B (ou les deux) est dénombrable.

Chapitre l/Les nombres.

11

L’ensemble formé des éléments appartenant à A ou B (ou les deux) est appelé la réunion de A et B et noté A U B (ou A iB). A

L‘ensemble formé des éléments appartenant à la fois à A et B est appelé l’intersection de A et B, et noté et B sont dénombrables alors A n B l’est aussi.

n B (ou A B ) . Si A

L’ensemble des éléments appartenant à A m a s pas à B est noté A - B. Si on pose l’ensemble des éléments qui ne sont pas dans B on peut écrire A - B = A B , Si A , B sont dénombrables, il en est de même pour A - B.

19. Prouvez que l’ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable. Considérons tous les nombres rationnels x > 1. A un tel nombre rationnel nous pouvons associer le nombre 1/x de (O, 1), c’est-à-dire il existe une bijection entre l’ensemble de tous les nombres rationnels > 1 et ceux de (O, 1), et ces derniers forment un ensemble dénombrable d’après le problème 17, il s’ensuit que l’ensemble des nombres rationnels 1 est aussi dénombrable. Du problème 18, il découle que l’ensemble de tous les nombres rationnels positifs est dénombrable comme réunion des deux ensembles dénombrables : celui des rationnels entre O et 1, et ceux plus grands que 1. On peut conclure que l’ensemble de tous les nombres rationnels est dénombrable (cf. problème 59).

>

20. Prouvez que l’ensemble des nombres réels de [O, 11 n’est pas dénombrable.

.

Tout nombre réel de [O, 11 a une expression décimale O, a l a 2 a 3 . . où a l , a 2 , . . . sont des chiffres O, 1, 2 . . . , 9 Nous supposerons que les nombres dont le développement décimal est fini tel que 0,7324 s’écrivent 0,7324000 . . . ou encore 0,7323999 . . . Si [O, 13, est dénombrable on peut donc le placer en bijection avec l’ensemble des entiers naturels de la façon suivante : 1 2 3

-

t)

t)

0,aii ai2 a13 ai4 . . . qa,,

a22 a23 a24

...

0,ani an2 a53 ai4 . . .

Nous formons maintenant un nombre O , b l bz b3 b4 . . . où b l # a l l , b z f az2 , b 3 # a 3 3 , b , # a4 , et où tous les b au-delà d’un certain rang ne sont pas tous des 9. Ce nombre, qui est dans [O, 11, est différent de tous les nombres de la liste ci-dessus et n’est pas dans cette liste, ce qui contredit l’hypothèse faite sur [O, 11. De cette contradiction, il découle que les nombres réels de [O, 11 ne peuvent pas être placés en bijection avec l’ensemble des entiers naturels, c’est-à-dire que l’ensemble des nombres réels de [O, 11 n’est pas dénombrable.

POINTS D’ACCUMULATION, BORNES ET THEOREME DE BOLZANO-WEIERSTRASS. 1 1 1 21. ( a ) Prouvez que l’ensemble infini des nombres 1 ,- - - . . . est borné. ( b ) Déterminez la 2’3’4 borne supérieure (b. sup.) et la borne inférieure (b. inf.) de cet ensemble. (c) Démontrez que O est un point d’accumulation de cet ensemble. ( d ) Cet ensemble est-il fermé ? ( e ) Cet ensemble vérifie-t-il le théorème de Bolzano-Weierstrass ? (a)

Comme tous les nombres de cet ensemble iont plus petits que 2 et plus grands que - 1 (par exemple), lensemble est borné, 2 est un majorant et - 1 un minorant. 3 On peut trouver un majorant plus petit (par exemple : -1 et un minorant plus grand (par exemple : 2 1

- 2). (b)

Comme aucun élément de l’ensemble n’est plus grand que 1 et comme il existe au moins un élément de cet ensemble dépassant 1 - E (à savoir 1) pour tout E > O, nous voyons que 1 est la borne supérieure de cet ensemble. Comme il n’y a pas d’éléments de cet ensemble plus petit que O et comme il en existe au moins

+

un plus petit que O E , pour tout E > O (nous pouvons toujours choisir dans ce but le nombre l / n , où n est un entier plus grand que l/e), on voit que O est la borne inférieure de cet ensemble.

12

Analyse (c)

(d)

(e)

Soit x un élément quelconque de cet ensemble. Comme nous pouvons toujours trouver un nombre x tel que O < 1x1 < 6 , pour tout nombre 6 > O (par exemple nous pouvons choisir x comme étant le nombre l / n où n est un entier positif plus grand que l/S), nous constatons que O est un point d’accumulation de cet ensemble. En appliquant ceci, nous voyons que tout 6 - voisinage épointé de zéro contient des éléments de cet ensemble, aussi peîit que soit 6 > O. L’ensemble n’est pas fermé car O est un point d’accumulation qui n’appartient pas à cet ensemble. Comme l’ensemble est borné et infini, il doit (d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass) avoir au moins un poiint d’accumulation. Nous en avons trouvé un, ce qui illustre bien le théorème.

NOMBRES ALGEBRIQUES ET TRANSCENDANTS 22. Prouvez que + f l e s t un nombre algébrique.

.i/z+6,

fi.

Soit x = Alors x - fi= En élevant au cube les deux côtés et en simplifiant, nous 1). trouvons x 3 + 9 x - 2 = 3 f i ( x 2 Alors en élevant au carré les deux côtés et en simplifiant, nous trouvons ~6 - 9x4 - 4 x 3 f 27x2 3 6 ~ 23 = O .

+

+

Comme c’est une équation à coefficierits entiers il s’ensuit que un nombre algébrique.

v+0,

qui est une solution, est

23. Démontrez que l’ensemble des nombres algébriques est dénombrable. Les nombres algébriques sont solutions d’équations polynômiales de la forme aoxn

où a.

, a l , . . . , a, sont entiers. lal I -t . . . + lan[ Soit P = laOl i-

+ alxn-1

. . . an = O

+

n. Pour une valeur quelconque donnée de P il n’y a qu’un nombre fini d’équations polynômiales possible et donc un nombre fini, de nombres algébriques positifs. Ecrivons tous les nombres algébriques correspondant à P = 1 , 2 , 3 , 4 , . . . sans répétition. L’ensemble de tous ces nombres algébriques peut être placé en correspondance bijective avec l’eisemble des entiers naturels, et est donc dénombrable.

NOMBRES COMPLEXES

24. Effectuez les opérations

- 6 + 5i = 4 - 6 + ( - 2 + 5 ) i = - 2 + 3 i ( b ) (- 7 + 3 i ) - (2-4i) = - 7 + 3i - 2 + 4i = - 9 + 7i (C) (3 - 2 i ) ( l + 3i) = 3(1 + 3i) - 2i(1 + 3i) = 3 + 9i - 2i - 6i2 = 3 + 9i - 2i + 6 = -5+5i - 5 + 5i , 4 + 3i - (-5 + 5i)(4 + 3i) - -20 - 15i + 20i + 15P (4 q - 4 - 3 i 4+3i 16 - 9i2 16 + 9 (a) (4-2i)

+ (-6+5i)

= 4 - 2i

- -- 3 5 + 5 i -

25

(el

i+i’+i3+i4+i5 l+i

( f ) 13 -4il ,4 t-3il

25.

-

5(-7+i) = - --7+ - i 1 25

i-1

5

5

+ (i’)(i)+ (i2)2+ (i2)’i -l+i

= d ( 3 ) ’ + (-4)’

d

m

i - 1- i

+ 1+ i

l+i

= (5)(5) = 25

Si z1 et z2 sont deux nombres complexes, démontrez que Iz1z21= (zl I Iz2 I. Soient z = x 1 jXlZ2l

= -

-

+ iy, et

z2 = x 2

+ i y z . Alors

9

+ 7i

13

Chapitre 1/Les nombres.

26. Résolvez x3

-

2x

-

4 = O.

En utilisant le problème 7, les racines rationnelles possibles sont f 1 , f 2 , f 4. A l'essai, nous trouvons que x = 2 est une racine. Alors l'équation donnée s'écrit : (x - 2) (x2 2x 2) = O. Les solutions d e l'équa-b+dbz - 4 a ~ tion du second degré ax2 bx c = O sont x = . Pour a = 1 , b = 2 , c = 2 ceci donne - 2 + 4 C T -2f-2f2i2a x = --lfi. 2 2 2 Les solutions sont 2 , - 1 i , - 1 i .

+

+

+

+

-

+

FORME TRIGONOMETRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES ( a ) 3 i3i, ( b )-1

27. Exprimez sous forme trigonométrique

+fi, ( c ) - 1,( d ) - 2 - 2

h3 46 O

Fig. 1-4

(a)

d-

Argument cp = 45' = n/4 radians ; module p =

= 3 6 . Alors

+ 3 i = cos 9 + i sin 9)= 3fi(cos n/4 + i sin n/4)= 3 f i cis n/4 = 3 f i 2 . Alors = Argument cp = 120" = 2n/3 radians ; module p = d(- 1)Z + (0 - 1 + q 3 i = 2 (cos 2 n/3 + i sin 2 n / 3 ) = 2 cis 2n/3 = 2 e z W Argument cp = 180' = n radians ; module p = d(-1)z 4- (0)z = 1 . Alors 1 = 1 (cos n + i sin n) = cis = e*i 3

(b) (c)

i~

-

(d)

28. Evaluez ( a ) ((a)

J(-

Argument cp = 240' = 4 n/3 radians ; module p = 2)2 4- (- 2 f i ) 2 = 4. Alors 2 - 2 f i = 4 (cos 4 n/3 i sin 4 n / 3 ) = 4 cis 4 n/3 = 4 e4niP

1 + J3

+

i)"

, ( b ) (- 1 + i)1/3 .

D'après le problème 27 ( b ) et la formule de Moivre,

+

+

(-1 f Gi)'O = COS 2 ~ / 3 i sin 21~/3)]'O = 21°(c0s201~/3 i sin 201~/3) = 1024[cos (21~/3 61~) i sin (2?r/3 6x)] = 1024(cos 2 ~ / 3 i sin 21~/3) = 1024(-+ &\/3i) = -512 512\/3i

+

+

i = COS 135' ( b ) -1 Alors (-1 + i ) l / S =

+

+

+ i sin 135')

=

+

fi[cos (135'

+

+

+ k . 360') + i sin (135' + k

360°)]

(fi),/, [cos (135' + k.360' 3

+

sin (l35O

+3k.360'

Les résultats pour k = O , 1 , 2 sont 45' + i sin 45O), COS 165' + i sin 165O),

%(cos

COS 285O

+ i sin 285')

Les résultats pour k = 3 , 4 , 5 . , . sont les répétés d e ceux-ci. Ces racines complexes sont représentées géométriquement dans le plan complexe par les points P l , P2 , P 3 sur le cercle d e la figure 1.5.

Fig. 1-5

eniI4

~

i

14

Analyse

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE 29. Démontrez que 1’

+ 2’ + 3’ + 4’ + . . . + n2 = -16n ( n

1 Le résultat est vrai pour n = 1 , car 12 = - ( i ) 6 Supposons le résultat vrai pour n = k , alors 11

En additionnant ( k l2

+ 1)2 de chaque côté.

+ Z 2 + 3* + . . . + k2 + ( k + 1)’

4- 1).

+ i ) ( 2 . 1 + I) = i .

(i

+ 22 + 3 2 + . . . + kz

-i 1) ( 2 n

+ 1) ( 2 k + 1)

1 =-k(k

6

+ + ( k + 1)2 = ( k + l ) [ + k ( 2 k+ 1) + k + 11 + + 6 ) = Q ( k + l ) ( k + 2 ) ( 2 k+ 3)

+ +

= Q k ( k 1 ) ( 2 k 1) = Q(k 1)(2k’ 7 k

+

Ce qui montre le résultat pour n = k 1 , s’il est vrai à l’ordre n = k . Comme il est vrai pour n = 1 , il s’ensuit qu’il le reste pour n = 1 1 = 2 et pour n = 2 1 = 3 . . . c’est-à-dire pour tout entier positif n .

+

30. Montrez que l’on peut mettre (x

+

y ) en facteurs dans x n - y n

Le résultat est vérifié pour n = 1 , car

x1

- y1 = x

-

,

pour tout entier positif n .

y ,

Supposons-le vrai à l’ordre n = k , c’est-à-dire supposons que x - y soit en facteur dans sidérons xk+l - yk+l = X k t l - xky + %ky - y k + l = x k ( x - y) y(xk - yk)

xk

-

yk

. Con-

+

Le premier terme de droite a (x Alors x k + l

-

-

y ) en facteur, et le second aussi, d’après l’hypothèse de récurrence.

yk+ 1 a aussi (x

Comme ( x i - y ’ ) a (x (x - y ) en facteur, etc. . .

-

-

y ) en facteur.

y ) en facteur, il s’ensuit que (9- y 2 ) a (x

-

y ) en facteur, x3

-

y3 a

31. Démontrez l’inégalitéde Bernoulli (1 + x)‘

> 1 + nx pour n = 2 , 3 , . . . si x. > - 1 , x Le résultat est vrai pour n = 2 , car ( 1 + x ) 2 = 1 + 2x + x2 > 1 t 2 x . Supposons-le vérifié à l’ordre n = k , c’est-à-dire (1 + x ) k > 1 4- kx . Multiplions les deux côtés par 1 + x (qui est positif car x > - 1). Alors nous avons (1 + X ) k + l > (1 + x ) (1 + k x ) = 1 + ( k + 1 ) x + kx* > 1 + ( k + 1 ) x

Le résultat subsiste donc à l’ordre n = k

# O.

+ 1.

Mais comme le résultat est vrai pour n = 2 , il le reste pour n = 2 4- 1 = 3 . entier supérieur ou égal à 2.

.

,

Remarquons que le résultat est faux pour n = 1 , Néanmoins le résultat modifié (1 est vrai pour n = 1 , 2 , 3 , . , .

et donc pour tout

+ x)n

2 1

+ nx

PROBLEMES DIVERS 32. Démontrez que tout entier positif P pzut s’exprimer de manière unique sous la forme P = a02, a, 2,. . . a, où les valeurs de a sont égales à O ou 1.

+

+

+

+

E n divisant P par 2 , nous trouvons P / 2 = a02n-1

+ a l 2n-2 + . . . + a,- + a , / 2 .

Alors a, est le reste (O ou 1 ) obtenu en divisant P par 2 et il est unique.

+

+

+

,.

a l 2n-2 , . . a,Soit P1 la partie entière P / 2 . Alors P1 = ao2n-1 En divisant P , par 2 , on voit que a,est le reste (O ou 1) de la division de P, par 2 et il est unique.

En continuant de cette façon, l’on détermine toutes les valeurs de a, de façon unique, comme étant égales à O ou à 1.

33. Ecrivez le nombre 2 3 sous la forme du problème 3 2 . La détermination des coefficients s’effectue de la façon suivant?.

0

Reste 1

Chapitre 1/Les nombres. Les coefficients sont 1 O 1 1 1. Contrôlons : 23 = 1 . 2 4

15

+ O . 23 -t 1 . 22 + 1 . 2 + 1 .

Le nombre 101 11 est dit le représentant de 23 en base deux (ou binaire).

34. Dededkind a défini une coupure, section ou partition de l’ensemble des nombres rationnels comme une séparation de tous les nombres rationnels en deux classes ou ensembles nommés L (la classe de gauche) et R (celle de droite) ayant les propriétés suivantes : I. Les classes sont non vides (c’est-à-dire qu’il y a au moins un élément dans chaque classe). II. Tout nombre rationnel est dans l’une des deux classes. III. L et R ont une intersection vide. Prouvez chacune des propriétés suivantes : I1 n’y a pas de plus grand nombre dans L et de plus petit nombre dans R . I1 est possible d’avoir pour L un plus grand nombre, mais pas de plus petit nombre dans R. Quel type de nombres définit la partition dans ce cas ? I1 est possible que R ait un plus petit nombre et que L n’ait pas de plus grand nombre. Quel type de nombres définit la partition dans ce cas ? I1 est possible que L n’zit pas de plus grand élément et R de plus petit. Que définit la partition dans ce cas ?

< b. ; on ne peut pas avoir a < b car

Soit a le plus grand nombre rationnel de L , et b le plus petit de R. Alors on a a = b ou a

On ne peut pas avoir a = b car les deux classes sont disjointes d’après le problème 9 , 1 / 2 (a b ) serait un nombre rationnel plus grand que a (et alors il appartiendrait à R ) et plus petit que b (et il appartiendrait à L ) , mais, par définition, un nombre rationnel ne peut pas appartenir à la fois à L et R .

+

Supposons, par exemple, que L contienne le nombre 2/3 et que tous les autres nombres de L soient plus petits, puisque R contient tous les nombres rationnels plus grands que 2/3. Dans ce cas la coupure définit le nombre 2/3. Un argument similaire, en remplaçant 2/3 par un autre nombre quelconque, montre que, dans ce cas, une coupure définit un nombre rationnel. Supposons, par exemple, que L contienne tous les nombres rationnels plus petits que 2/3 et R ceux plus grands que 2/3. Cette coupure définit le nombre rationnel 2/3. Par un argument similaire on montre que ces coupures définissent toujours un nombre rationnel. Par exemple, soit L l’ensemble de tous les nombres rationnels négatifs et tous les rationnels positifs de carré plus petit que 2 , et R l’ensemble des nombres rationnels positifs dont le carré est supérieur à 2. Nous pouvons montrer que si a est un nombre quelconque de la classe L , il existe toujours un nombre de L plus grand que lui, de même si b est un nombre de R , il existe toujours un nombre plus petit de R (cf. problème 106). Une classe de ce type définit un nombre irrationnel. De ( b ) , ( c ) , ( d ) il s’ensuit que toute coupure du système des nombres rationnels appelée coupure de Dedekind, définit un nombre rationnel ou irrationnel. En utilisant les coupures de Dedekind, nous pouvons définir les opérations (addition, multiplication, etc. . .) sur les nombres irrationnels.

16

Analyse

PROBLEMES SUPPLEMENTAIRES OPERATIONS SUR LES NOMBRES 35. Soient

x =

-

3, y = 2, z = 5 , a = 312

b = - 114. Calculez

et

R é p . ( a ) 2200 , ( b ) 3 2 , ( c ) - 51/41 , ( d ) 1

36. Trouvez l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles les équations suivantes sont vérifiées. Justifiez les différentes étapes de la démonstration. ( a ) 4{(2 - 2 )

( b ) - -1 - = 8-2

+ 3 ( 2 x - 1)} + 2 ( 2 +~ 1) = 1

12(2

+2) - 2

(c) \/x2+8x+7-f2==1:+1

1 4

2-2

1 Réponse : ( a ) 2 , (b) 6 , - 4 , (c) - 1 , 1 , ( d ) - 2 ' 2

37. Démontrez que (2

- 4(2 -Y)

+

z

Y (z- Y)(Y - 4

(Y - z ) ( z - 2)

+

= O

en donnant le domaine de définition.

NOMBRES RATIONNELS ET IRRATIONNELS 38. Trouvez les développements décimaux de

(b)

( a ) 317,

Réponse 6.

: ( a ) 0,428571

)

( b ) 2,2360679.. .

39. Montrez qu'une fraction de dénominateur 17 et de numérateur 1 2 3 , . . . , 16 a 16 chiffres dans la partie )

)

périodique de son développement décimal. Existe-t-il des relations entre l'ordre des chiffres d e son développement ?

6, ( b ) f i sont irrationnels. ( b ) fi+ .\/3 + flsont des nombres irrationnels. Montrez que ( a ) f i -

40. Prouvez que 4 1.

(a)

z,

4 2. Déterminez un nombre rationnel positif dont le carré diffère de 7 à 0,000001 près. 43. Démontrez que tout nombre rationnel s'exprime sous forme décimale périodique. 44. Trouvez les valeurs de ( a ) 2xa- 5%'- 9%

x pour lesquelles

+ 18 = O,

Réponse : (a) 3, - 2 , 3 / 2

( b ) 3x3

+ 4%'- 352 + 8

( b ) 8 / 3 , -2 2 fi (c) 4(5

45. Si m n'est pas un carré parfait, démontrez que a 4 6. Démontrez que

= O, (c) x4- 21x2+ 4 = O.

* fi), 4(-5 0) f

+ b fi = c -I- d fisi et seulement si a = c

i+fi+fi-

12\/6-2fi+146-7 11 1 - ~ + 6 -

INEGALITES 47. Trouvez l'ensemble des valeurs x par lesquelles les inégalités suivantes sont vérifiées. 1 3 X (a)+2 5, ( b ) + + 2 ) 5 24, ( c ) 12+21 < IZ-51, (1' > x+3 x 22 Réponse : ( a ) O < x 5 8, ( b ) -6 Ix S 4, (c) x < 3 / 2 , ( d ) x > 3 , -1 < x < -9, ou 2: < -2

wl.

+ IyI + 1x1, ( c ) 1% -YI Prouvez que pour tout nombre réel x , y , z , x 2 + y 2 + z z > xy i- yz + zx. Si a2 + b2 = 1 et c2 + d2 = 1 , montrez que ac + bd < 1 .

48. Démontrez

49. 50.

51. Si x

(a)

Iz

+y/ S

> O , montrez

1x1

+1~1,

que x n f l

( b ) Ix 3. Y +

21

5 1x1

1 > x n ++ xnt 1 X"

52. Montrez que pour tout a # O , la

+ -1a1

2 2.

2 1x1 - lu/.

où n est un entier positif.

et b = d.

Chapitre 1/Les nombres.

53. Montrez que dans l’inégalité de Schwarz (problème 13), il y a l’égalité si et seulement si p = 1 , 2 , 3 , . . . , n où k est une constante quelconque. 54. Si al , a2 , a3 sont positifs, prouvez que +(ai + a2 + u3) 2 QZZG.

EXPOSANTS, RACINES ET LOGARITHMES 55. Evaluez ( a ) 4logg8, ( b ) 4 loglis(&),

’

( d ) 3-2 lopû 5 ,

(e)

a, = kb,

17

,

(-8)”’”- (-27)-2/3.

Réponse : ( a ) 64, ( b ) 7/4, (c) 50 000, (cl) 1/25, ( e ) -7/144

56 Démontrez 57. Démontrez

(0) log,MN

b

b b a

+ log,N,

= log#

( b ) log,MY = r log,M en indiquant s’il y a des restrictions.

= a en donnant les restrictions.

DENOMBRABILITE 58. ( a ) Démontrez qu’il existe une bijection entre les points de l’intervalle [O, 11 et ceux de [- 5, - 31. ( b ) Quel est le cardinal de ces ensembles ? Réponse : ( b ) C, la puissance du continu.

5 9.

( a ) Montïez que l’ensemble des nombres rationnels est dénombrable. ( b ) Quelle est la cardinalité de cet ensemble ? Réponse : ( b ) Ho .

6O. Montrez que l‘ensemble ( a ) des nombres réels ( b ) des nombres irrationnels est’ non dénombrable. 61. L’intersection de deux ensembles A et B , notée A n B ou AB, est l’ensemble de tous les éléments appartenant à la fois à A et B . Montrez que si A et B sont dénombrables, il en est de même de leur intersection.

62. Montrez qu’une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable. 63. Démontrez que le cardinal de l’ensemble des points intérieurs à un carré est égal au cardinal de l’ensemble des points sur ( a ) un côté, ( b ) les quatre côtés. (c) Quelle est la cardinalité dans ce cas ? ( d ) Y a-t-il un résultat analogue pour un cube ? Réponse : (c) O .

POINTS D’ACCUMULATION, BORNES ET THEOREME DE BOLZANO-WEIERSTRASS 64, Soit l’ensemble des nombres 1.1,l. 0,9. 1,Ol. 0,99. 1,001. 0,999,. . .

( a ) est-il borné ? ( b ) cet ensemble a-t-il une borne supérieure et une borne inférieure ? Si oui, déterminez-les (c) cet ensemble a-t-il des points d’accumulation ? Si oui, trouvez-les.

Réponse : ( a ) oui. ( b ) borne supérieure = 1,l ; borne inférieure = 0,9. (c) 1 , ( d ) oui. - 0,9. 0,9. - 0,99. 0,99. - 0,999. 0,999. Répondez aux questions de l’exercice précédent. Réponse : ( a ) oui. ( b ) borne supérieure = 1 , borne inférieure = - 1. (c) 1, - 1, ( d ) non. Donnez un exemple d’ensemble qui a : ( a ) 3 points d’accumulation. ( b ) O point d’accumulation. ( a ) Démontrez que tout point de l’intervalle ]O, l[ est un point d’accumulation. ( b ) Existe-t-il des points d’accumulation de cet ensemble qui n’y appartiennent pas ? Justifiez votre réponse.

65. Soit l’ensemble 66. 67.

2n , n = 1 , 2 , 3 , . . . ( a ) S a-t-il des points #accumulation ? ( b ) S est-il fermé ? ( a ) Donnez un exemple d’ensemble qui a des points d’accumulation et qui n’est pas borné. ( b ) Ceci contredit-il le théorème de Bolzano-Weierstrass ? Expliquez.

68. Soit S l’ensemble des nombres rationnels de (O, 1) d e dénominateur 69.

NOMBRES ALGEBRIQUES ET TRANSCENDANTS 70. Démontrez que les nombres

(a)

fi- fi ( b ) fi + fi + fi -4fi’

sont algébriques.

71. Prouvez que l’ensemble des nombres transcendants de (O, 1) n’est pas dénombrable. 72. Démontrez que tout nombre rationnel est algébrique, mais que tout nombre irrationnel n’est pas nécessairement algébrique.

NOMBRES COMPLEXES. FORME TRIGONOMETRIQUE 73. Effectuez les opérations suivantes

:

(a)2(5 - 3i) - 3(-2

+ i ) + 5(i - 3),

+-4 +103 i ’ Rép.

(a)

1 -4i,

( b ) -9 -46i,

(c)

$-si,

( d ) -1,

(e)

8, (f) 9 - gi

( b ) (3 - 2i)3, (c)

5 3 - 4i

18

Analyse

74. Si

z1 , 2 2 sont des nombres complexes, démontrez que ( a )

, (b) I Z : ~=

1z1)2

en précisant

les rectrictions apportées.

75. Démontrez ( a ) 121+ Z Z / 5 /xi/ + / z z \ , ( b ) /zi+ zz + 231 5 /zi/+ / Z Z / + / Z S \ , (c) 121 - 221 2 lzil - /zzl. 1 Réponse : 3 ,-, - 1 f i 76. Trouvez les solutions de 2x4 - 3x3 - 7x2 - 8x + 6 = O. 2

z2 . Construire les droites O P , et OP2 d'origine O. Montrez que z1 zz peut être représenté par un point P J , où OP, est la diagonale du parallélogramme de côtés OP, et OP,. Ceci est appelé la règle du parallt5logramme d'addition des nombres complexes. Les nombres complexes peuvent donc être considérés (et aussi à cause d'autres propriétés) comme des vecteurs du plan. Interprétez géométriquement les inégalités du problème 75.

7 7 . Soient P, , P, deux points du plan complexe représentant les nombres complexes z1 et

+

78.

79. Exprimez sous forme trigonométrique (ou polaire) (e) - S i . Réponse : ( a ) 6 cis n / 6 ( b ) 2 f i c i s

80. Evaluez 81.

:. (a)

CO COS

+i

25'

: (a) 3

+ 3i,

G

5n/4 ( c ) 2 cis 5 ? /3

sin 25')]

COS

( d ) 5 cis O ( e ) 5 cis 3 r / 2

12 cis 16' l l O o j ] , ( b ) (3 cis 44') ( 2 cis 62')

+ i sin

110'

(d) 5 ,

( b ) - 2 - 2 i , (c) 1 - &i,

'

Réponse : ( a ) - 5*+ S a i , ( b ) - 2i Déterminez toutes les racines et représentez-les graphiquement : (a) (4@+ 4@i)i/3, ( b ) (-p, (c) (fi - iy3,fd) ci4. (a) 2 cis 15O, 2 cis 135O, 2 cis 255' ( b ) cis 3 6 O ) cis 108O, cis 180' = -1, cis 252'' cis 324O (c) cis l l O o , cis 230'' fi cis 350' ( d ) cis 22,5O, cis 112,5O, cis 202,5', cis 292,5O Démontrez que - 1 @i est un nombre algébrique.

Rép.

fi

fi

+

82. 83. Si z1 = p i

+

(cos q l i sin q , ) (= pi cis q l ) et z 2 = p2 cis cpz , démontrez ( a ) zlz2 = p l p z cis ( b ) z1/z2 = ( p l / p z ) cis ($Il - 4,). interprétez géométriquement les résultats.

(41

+ 42)

RECURRENCE Démontrez les assertions suivantes : 84.

1

+ 3 + 5 + . ' . + (2n-1)

1 1 85. - + - + - + . . . + 1.3 3.5 5.7 (a d) ( a 2d) 86. a

+

+ + + +

1 87. 1-2.3

+-

=

".

n2

1 - - n (2n - 1)(2n 1) 2n 1 [a (n - l)d] = i n p a

+ +

+

1

1

1 2-3.4

3.4.5

+

+

"'

+

n(n+l)(n+2)

+ (n - l)d]

+

-

n(n 3) 4(n+l)(n+2)

- 1) r f l + ar + ar2 + . . . + = a(r" r-1 ' 89. l3 + 23 + 33 + . . . + rk3 = gnP(n+1)2 5 + (4n - 1) 5"+' 90. l ( 5 ) + 2(5)' + 3(5)3 + ... + n(5)"-' = 16 9 1. x2n-1 + y2n-1 est divisible par x + y pou1 n = 1 , 2 , 3 . . . 88. a

+ i sin 4)" = cos n @ + i sin n$ . Peut-on prouvez ceci si n est rationnel ? + S)x x # O, 22n, 2 4 s , 4 + cos x + cos 2x + + cos nx = sin2 (n sinfrx '

92. (cos $I 93.

"

94. sinx

9 5.

(a

où

+ #x x z 0,-22,, I4,) .. . + sinnx = cos 2-sincost (n x = U n + c i Q"-'b + CzQ"-2bz + . + c-' ab"-' + b"

+ sin22 +

+ b)" c,'

,

f

...

$2

)

* *

=

n! n(n - i ) ( n - 2) . . . (n - r + 1 ) r! r!(n-I

)

!

=

C';-y.

ici p ! = p ( p -- 1 ) . . . 1 et O ! = 1

(par définition). Ceci est appelé la formule du binôme. Les coefficients Cz = 1 , CA = n , pelés les coefficients du binôme. C&,est aussi écrit (f) .

= n ( n - I ) , . . . , C; = 1 sont ap2!

Chapitre 1/Les nombres.

19

PROBLEMES DIVERS 96. Exprimez chacun des entiers suivants (écrit dans le système décimal) dans la base indiquée entre parenthèses ( a ) 87 (deux) : ( b ) 64 (trois) : (c) 1736 (neuf) ;

97.

Réponse : ( a ) 1010111, ( b ) 2101, (c) 2338 Si un nombre s‘écrit 144 en base 5, quel est ce nombre dans la base ( a ) 2 , ( b ) 8 ? Réponse : ( a ) 110001 , ( b ) 61.

98. Démontrez que tout nombre rationnel p / q entre O et 1 peut s’exprimer sous la forme I ) = a ’ +a z -

Q

2

2

+

...

a + ... + -2 2”

où les éléments q ( i = 1 , . . . , n , . . .) valent O ou 1 et dont le développement est fini ou non. La représentation O , a l a 2 . . . a, . . est appelée la forme binaire du nombre rationnel. (indication : multipliez les deux membres par 2 et considérez les restes).

.

99. Exprimez 2/3 dans les bases ( a ) 2 , ( b ) 3 , (c) 8 , ( d ) 10. Réponse : ( a ) 0,1010101 . . . , ( b ) 0,2 ou 0,2000. . . , (c) 0,5252. . . , ( d ) 0,6666.. . 100. Si un nombre s’écrit 11,01001 en base 2, quel est ce nombre en base 10 101. Dans quelle base a-t-on 3

+ 4 = 12 ?

?

Réponse : 3,28125.

Réponse : 5 .

102. En base 12, on doit ajouter deux symboles t et e pour désigner les “chiffres” dix et onze respectivement. En Réponse : 2e5t .

utilisant ces symboles, représentez le nombre 5 110 (en base 10) dans la base 12.

103. Trouvez le nombre rationnel dont le développement décimal est 1,636363.. .

Réponse : 18/11.

104. Considérons m’nombre en base 10 formé de six chiffres. Si le dernier chiffre est Ôté et placé devant le premier, le nouveau nombre est trois fois plus grand. Trouvez le nombre original.

105.

Réponse : 428571.

Montrez que l’ensemble des nombres rationnels forme un corps.

106. En utilisant comme axiomes les relations 1-9, page 2, montrez que ( a ) (- 3) (O) = O , ( b ) (- 2) (+ 3) = - 6 , (c) (- 2) (- 3 ) = 6 . 107. ( a ) Si x est un nombre rationnel dont le carré est plus petit que 2, montrez que x

+

(2 - x2)/10 est plus grand qu’un tel nombre. ( b ) Si x est un nombre rationnel dont le carré est plus grand que 2, trouvez en fonction de x un rationnel plus petit que x mais dont le carré est plus grand que 2.

108. Montrez maintenant comment l’on pourrait utiliser les coupures de Dedekind pour définir - d% (4 (fi)(d-%(4 fim. (a) di + fi, ( b )

CHAPITRE 2

Fonctions, limites et continuité

FONCTIONS Une application est une loi établissant une correspondance entre les éléments de deux ensembles. Dans l’immédiat, nous ne considèrerons que des ensembles de nombres réels. Si, à chaque valeur de la variable x, il correspond une unique valeur de la variable y, nous dirons que y est une fonction de x et noterons y = f ( x ) , y = G ( X ) . . , les lettres f , G désignent la fonction et f ( a ) , G ( a ) . . . la valeur de la fonction au point x = a . L’ensemble des valeurs auquel appartient x est appelé le domaine de définition ou simplement le domaine de la fonction ; on dit que x est la variable initiale et y l’image de x par la fonction. S’il correspond plus d’une valeur d’y à chaque valeur de x, on dit que l’on a une application multivoque (ou une multi-application). Comme une application multivoque peut être considérée comme une famille de fonctions nous supposerons maintenant que les fonctions sont univoques, sauf indications contraires.

+

Exemple: 1. A chaque nombre x de [- 1 , 11, nous associons le nombre y = x2 , alors cette correspondance entre x et xz définit une fonction f. Le domaine de f est [- 1 , 11, la valeur de f au point x est y = f ( x ) = x2. Par exemple f ( - 1) = (- 1)2 = 1 , et 1 est la valeur de la fonction au point x = - 1.

+

2. A chaque année t après 1800, on peut associer le nombre P des habitants en France. La correspondance entre P et t définit une fonction, notée F, et l’on écrit P = F ( t ) . 3. Si y 2 = x où x > O , à chaque x correspondent deux valeurs d’y. On a une application multivoque de x. Nous pouvons la considérer comme deux fonctions f et g , où f ( x ) = et g(x) = - &.

6

Bien qu’une fonction soit souvent définie au moyen d’une formule comme dans les exemples 1 et 3, ce n’est pas*toujours le cas, (comme dans l’exemple 2). Par abus de langage, nous dirons souvent la fonction f ( x ) au lieu de la fonction f, dont la valeur en x est f ( x ) . Cette distinction ne doit jamais être oubliée.

GRAPHE D’UNE FONCTION Le graphe d’une fonction définie par y = f ( x ) est une représentation géométrique de la fonction et peut être obtenu en représentant dans un repère orthogonal, les points de coordonnées (x , y ) où Y = f(x)

FONCTIONS BORNEES S’il existe une constante M telle que f ( x ) < M pour tout x du domaine de définition de f (,par exemple un intervalle), on dit que f ( x ) est bornée supérieurement (ou majorée) sur cet ensemble et M est appelée un majorant de la fonction. De même s’il existe une constante m telle que f ( x ) 2 rn.pour tout x d’un intervalle, f ( x ) est dite bornée inférieurement (ou minorée) et m est appelée un minorant. Si m B f ( x ) d M sur un intervalle, on dit que f ( x ) est bornée. Souvent pour indiquer qu’une fonction est bornée, nous écrirons If(x)l < P.

Chapitre 2/Fonctions, limites et continuités

21

+

Exemples : 1. f ( x ) = 3 ix est bornée sur [- 1 , 11. 4 est un majorant (ou tout nombre plus grand). 2 est un minorant (ou tout nombre plus petit). 2. f ( x ) = l / x n’est pas bornée sur (0’4)’ car en choisissant x suffisamment voisin de zéro, f ( x ) peut être aussi grand que l’on veut ; il n’y a pas de majorant. Cependant, 1/4 est un minorant (ou tout nombre plus petit que 1/4).

Si f ( x ) a un majorant, elle a une borne supérieure ; de même si f ( x ) a un minorant, elle a une borne inférieure. (cf. le chapitre 1 pour ces définitions).

FONCTIONS MONOTONES Une fonction est dite croissante sur un intervalle si pour tous points x 1 , x2 de cet intervalle tel que x1 < x2 , on a f ( x l ) < f ( x 2 ) . Si f ( x i ) < f ( x 2 ) la fonction est dite strictement croissante. De même si f(xl ) 2 f ( x z) quand x1 < x2 , f ( x ) est décroissante et si f ( x l ) > f ( x 2 ) , f est strictement croissante.

INVERSION DE FONCTIONS. FONCTIONS RECIPROQUES Si y est une fonction de x , notée par f ( x ) , alors x peut s’exprimer comme image réciproque de x = f ‘ ( y ) . En échangeant x et y on peut considérer y = f - ’ ( x ) ; en général f - ‘(x) est une application multivoque (c’est-à-dire que l’image réciproque d’un point contient plusieurs éléments) que l’on peut considérer comme une famille de fonctions ; chacune d’elles est appelée une section ou détermination. 11 est souvent commode de choisir l’une de ces déterminations, appelée détermination principale, et de la noter f-l(x) . f - l ( x ) est l’image réciproque de x par l’application f. y

, on écrit

Exemple :

La fonction y = sin x nous amène à considérer y = sin-1x qui est une multi-application, puisqu’à tout x de l’intervalle [- 1 , 11 il correspond plusieurs valeurs de y . En restreignant à l’intervalle [- 77/2 , 77/21 , par exemple y = sin-1x s’écrit y = Arc sin x , on a alors une fonction réciproque (ou inverse) et par exemple Arc sin (- 1/2) = - 77/6.

+

MAXIMUMS et MINIMUMS Si x, est un point d’un intervalle tel que f ( x ) < f ( x o ) [OU f ( x ) 2 f ( x o)I pour tout x de cet intervalle, alors on dit que f ( x ) possède un maximum absolu (respectivement un minimum absolu) sur cet intervalle, au point x = x, , de valeur f ( x o ) . Si ceci est vérifié seulement sur un ô - voisinage épointé de x, , où ô > O (c’est-à-dire pour tout x vérifiant O < Ix - x, I < ô ) , on dit que f ( x ) a un maximum relatif (ou un minimum relatif) en xo .

EXEMPLES DE FONCTIONS 1. Les fonctions polynômes sont de la forme :

f ( x ) = uoxn +

UIX’-’

+

+ an-ix +

(1)

Un

où a, , . . . , a, sont des constantes et n un entier positif appelé le degré de la fonction polynôme si a , f O . Le théorème fondamental de l’algèbre dit que toute équation polynômiale f ( x ) = O a au moins une racine dans l’ensemble des nombres complexes. Nous pouvons alors démontrer que toute équation de degré n a exactement n racines, dans l’ensemble des nombres complexes (en comptant une racine de multiplicité r comme r racines).

2. Les fonctions algébriques sont les fonctions y = f ( x ) satisfaisant une équation de la forme po(x)p?

+ pl(x)y”-l +

+ Pn-i(X)

où ‘ p o ( x ), . . . ,p , (x) sont des polynômes en x.

Y

+ Pn(X)

= O

(2)

22

Analyse

Si la fonction peut s’exprimer comme le quotient de deux polynômes, c’est-à-dire f ( X ) = P ( X ) / Q( X ) où P ( X ) , Q ( X ) sont des fonctions polynômes, f ( X ) s’appelle une fonction (algébrique) rationnelle, sinon elle est dite irrationnelle.

3. Les fonctions transcendantes sont celles qui ne sont pas algébriques, c’est-à-dire ne satisfaisant pas d’équations de la forme (2).

EXEMPLE§ DE FONCTION§ TRANSCENDANTES Les fonctions suivantes s’appellent des fonctions transcendantes élémentaires.

1 . La fonction exponentielle : f(x) = ax , a f O, 1. Pour ses propriétés, cf. page 3. 2. La fonction logarithme : f ( x ) = logax, a f O, 1. Elle est l’inverse de l’exponentielle. Si a = e =,& ,71828 f etdilappelée la base népérienne des logarithmes, nous écrivons f ( x ) = logex = Log x , appelé le logarithme népérien de x . Pour ses propriétés, cf. page 3. 3. Fonctions trigonométriques : 1 . 1 sin x 1 cos x -sin x , cos x, tg 3t = -, cosec x = - , sec x = - ,cotgx = - cos x sin x cos x tg x sin x La variable x est généralement exprimée en radians ( n radians = 180’). Pour x réel, sin x et cos x sont compris entre - 1 et 1. On a les formules suivantes : 1 + tg2x = cos2x

1

* cos x sin y

sin (- x) = - sin x

sin’x

+ cos2x = i

sin (x

f

y ) = sin x cos y

cos (x

f

y ) = cos 3t cos y T sin x sin y

tg (x

f

y) =

i

1 + cotg2x=- sin2 x

cos (-

tg x f tg y 1 T tgx t g y

x) = cos x

tg (-x) = - t g x

4. Fonctions trigonométriques inverses : Les fonctions trigonométriques inverses, avec leurs principales propriétés, sont les suivantes : ( a ) y = Arc sin

x,(- n / 2 < y G n/2)

( b ) y = Arc cos x,(O < y < n) (c) y = Arc tg x,(- n/2 < y < n/2)

< y < n/2 ( e ) y = (l/cos x)-’ = Arc cos l/x,(O < y < n ) ( f ) y = Arc cotg x = n/2 - Arc tg %,(O < y < n ) ( d ) y = (l/sin x)-

= Arc sin l / x , ( - n/2

5 . Les fonctions hyperboliques sont définies au moyen des fonctions exponentielles.

- e-x

ex

(a) shx =

( b ) ch x =

. ex

2 s h x ex - e - ’ - _1 - 2 c h x ex e-x c h x ex e-x (0 coth x = sh x ex - e - ”

- -1 -

2

+ ePx

+ +

2 s h x - ex - e - x (c) th x =chx ex e-x

+

Elles possèdent les propriétés suivantes : 1

Ch2X - Sh’x = 1

1 - th2x =

ch2x

1

coth’x

-1

sh2x

Chapitre Z/Fonctions, limites et continuités

th ( x k y ) =

th x I th y

1

* thx thy

th (-

X)

23

= - th 3~

6 . Fonctions hyperboliques inverses : Si x = sh y , alors y = Arg sh x est la fonction inverse de sh x. La liste suivante donne les principales valeurs des fonctions hyperboliques inverses en fonction du logarithme népérien et les domaines pour lesquels ils sont réels ( a ) Arg sh x = Log ( x

+d

x ), pour tout x

(d)

(L)-’ = Log (-+ sh x

1x I

X

( b )k r g ch x = Log ( x (c) Arg th

f

d m ), x 2 1

l f x (-), 1-x

1

x =-Log 2

1x1

O , il existe 6 > O (dépendant de e ) tel que X-f

x

I f ( x ) - 11 < e quand O < lx - xo I < 6 . Nous disons aussi que f ( x ) tend vers 1 quand x: tend vers x o e t écrivons f ( x ) + 1 quand x -+ x o .

En d’autres termes, ceci signifie que lorsque nous calculons la valeur absolue de la différence entre f ( x ) et 1 , elle est aussi petite que nous le désirons en choisissant x suffisamment voisin de x o (c’est-à.dire que la valeur absolue de la différence entre x et x o est suffisamment petite mais non nulle car nous excluons x = x o ) . Exemple :

x2

sixf2

. Alors, quand x tend vers 2, f(x) tend vers 4. Nous prévoyons O six=2 que lim f(x) = 4. Pour démontrer ceci nous devons voir si la définition ci-dessus de la limite Soit f(x) = . X e

(avec 1 = 4) est vérifiée. Pour cette démonstration, cf. problème 10 . Notons que lim f(x) # f(2), c’est-à-dire que la limite de f(x), quand x

+

2, n’a pas la

2‘X

même vaieur que f(2), car f(2) = O. Cette limite serait en fait 4,même si f(x) n’était pas définie au point x = 2 .

Si une fonction possède une limite, elle est unique (c’est-à-dire que c’est la seule) (cf. problème

17).

LIMITES A DROITE ET A GAUCHE Dans la définition d’une limite, nous n’avons pas fait de restrictions sur la façon dont x approche x o . il sera parfois préférable de restreindre la façon dont x tend vers x o . En considérant x et x o comme des points de l’axe réel où x o est fixé, alors x peut tendre vers x o par la droite. ou par la gauche. Nous distinguons ces limites respectivement en écrivant x x: et x -+ x i

.

-f

Si

lim f ( x ) = I ,

x+xo+

et

lirn x-ixo-

f(x)= 1, , nous dirons respectivement que I, et I, sont les limi-

+

O)) et f ( x ; ) tes à droite e t 6 gauche de f ( x ) en x o , et nous les noterons par f ( x ’ , ) (ou f ( x o (ou f ( x o - O)) . . . Les “ e , 6 ” de la définition de la limite de f ( x ) , quand x x: (ou x + xi) sont les mêmes que pour x -+ x o , excepté le fait que l’on se restreint respectivement aux x > xo) , (ou x < x o ) . Nous avons lim f ( x ) = 1 si et seulement si lim f ( x ) = lim+ f ( x ) = I . -+

x+xo

X’XO

x+xo

24

Analyse

THEOREMES SUR LES LIMITES

On a des résultats similaires pour les limites à droite et à gauche.

LIMITES INFINIES I1 peut arriver que, quand x tend vers x o , f ( x ) croisse ou décroisse sans rester bornée. Dans 00 ou lim f ( x ) = - m. Les ce cas, il est d’usage d’écrire respectivement lim f ( x ) =

+

x’xo

+

x+xo

symboles 00 (écrit aussi w) et - 00 sont appelés respectivement plus l’infini et moins l’infini, mais l’on doit insister sur le fait qu’ils ne sont pas des nombres. De façon précise, nous disons que lirn f ( x ) = 00 si pour toute constante M > O , il

+

x’xo

existe un nombre 6 > O (dépendant en général de M ) tel que f ( x ) > M pour tout x vérifiant O < (x - xo 1 < 6 . De même nous disons que lim f ( x ) = si pour tout M > O , il existe

6

>O

tel que

x-, x o

f ( x ) < - M quand O

< ix - x0i < 6 .

Les mêmes remarques s’appliquent quand x -, x: ou x -, x i . Souvent nous désirons examiner le comportement d’une fonction quand x croît ou décroît indéfiniment. Dans ces cas il est commode d’écrire respectivement x + 00 ou x + - 00. 00 si, quel que soit E > O, Nous dirons que lim f ( x ) = 1, ou que f(x) + 1 quand x +=

+

X++-

+

il existe un nombre N > O (dépendant en général de E ) tel que I f ( x ) - II peut formuler de façon similaire la définition de lirn f ( x ) . x

N.

On

+-a

EXEMPLES IMPORTANTS DE LIMITES 1. iim-

sin x

x

z-O

= 1,

lim

1 - cosx 2

5-0

= O

+

lim (1 x)*/~= e 5-0+

ex- 1

3. limz+o

x

= 1,

x-1

lim2-1

Logx

= 1

CONTINUITE Soit f ( x ) une fonction définie au voisinage d’un point x = xo. La fonction f ( x ) est dite continue en x o si lim f ( x ) = f ( x O ). La continuité de f ( x ) en xo implique les trois conditions suix’xo

vantes :

Chapitre Z/Fonctions, limites et continuités

1.

25

lirn f ( x ) existe et est égale à 1 . X’XO

2. f ( x o ) existe aussi (c’est-à-dire f est définie en point xo). 3.1 = f ( x , ) . La continuité de f ( x ) en xo est équivalente à la forme

lim x+x 0

x2

si

f ( x ) = f ( lirn x) . x’xo

x # 2

, d’après l’exemple de la page 2 3 , lim f ( x ) = 4 , mais f ( 2 ) = O O si x = 2 X’ 2 donc lim f ( x ) # f(2) ; la fonction n’est donc pas continue au point 2 .

Exemples : 1. Si f ( x ) = x’

,

2

2. Si f ( x ) = x2 pour tout x , alors iim f ( x ) = f(2) = 4 ; f est continue en 2. x+ 2

Les points où f ( x ) n’est pas continue sont appelés des points de discontinuité de f ( x ) . On dit que f ( x ) est discontinue en ces points. Pour construire le graphe d’une fonction continue, le crayon n’a pas besoin de quitter le papier, ce qui n’est pas le cas pour une fonction discontinue, car il y a généralement des sauts. Naturellement ceci n’est qu’une remarque et non pas une définition de la continuité ou de la discontinuité. Nous dirons aussi, conformément à la définition ci-dessus, que f ( x ) est continue en x = xo si pour tout E > O, il existe 6 > O ,‘tel que l f ( x ) - f ( x o ) i < E quand Ix - xoI < 6. Notons que ceci est simplement la définition de la limite avec 1 = f ( x o ) ,mais sans la restriction x # x o (qui n’est plus nécessaire ici). CONTINUITE A DROITE ET A GAUCHE Si f ( x ) n’est définie que pour x 2 xo , la définition ci-dessus n’est pas applicable. Nous dirons donc que f(x) est continue à droite en xo si lim+ f ( x ) = f ( x o ), c’est-à-dire si f ( x A ) = f ( x O ). x’x

De même f ( x ) est continue à gauche en x o si peut écrire ces définitions avec

E

O

lim

x+x

0

f ( x ) = f ( x o ) , c’est-à-dire f ( x ; ) = f ( x O ) . On

e t 6.

CONTINUITE SUR UN INTERVALLE On dit qu’une fonction f ( x ) est continue sur un intervalle, si elle est continue en tout point de cet intervalle. En particulier si f(x) est définie sur l’intervalle fermé [ a , b ] alors f ( x ) est continue sur cet intervalle si et seulement si lim f ( x ) = f ( x o ) pour a < x o < b , x’xo

lim f(x) = f ( a )

et

lim f ( x ) = f ( b ) . x+b-

X+U+

THEOREMES DE CONTINUITE Théorème 1. Si f ( x ) et g ( x ) sont continues en xo, il en est de même des fonctions f ( x ) + l?@) , f ( x ) - g ( x ) , f ( x ) g ( x ) et

f ( x ) , la dernière

g(x) logues pour la continuité sur un intervalle.

seulement si g ( x o ) # O . Résultats ana-

Théorème 2. Les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle borné : ( a ) les fonctions polynômes ; ( b ) sin x et cos x ; ( c ) ax , a > O. Théorème 3. Si y = f ( x ) est continue en x = xo et z = g ( y ) est continue en y = y o avec y o = f ( x o ) alors la fonction z = g [ f ( x ) ]appelée la composée de f et g, est continue en x = x o . On résume ceci en disant que la composée de deux applications continues est continue.

26

Analyse

Théorème 4.

Si f est continue sur un intervalle borné et fermé elle est bornée sur cet in-

tervalle. Théorème 5 . Si f est continue en x o et si f ( x Q )> O (ou f ( x o ) < O) il existe un intervalle de centre x o sur lequel f ( x ) > O (ou f ( x ) < O). Théorème 6 . Si f est continue sur un intervalle et strictement croissante (ou strictement décroissante), elle admet une fonction réciproque f- continue et strictement de même sens que f. Théorème 7. Si f est continue sur [ a , b ] et si f ( a ) = A , f ( b ) = B , pour tout nombre C entre A et B , il existe au moins un nombre c de [ a , b ] tel que f ( c ) = C (Théorème dei valeurs intermédiaires). Théorème 8. Si f est continue sur [ a , b ] et si f ( a ) , f ( b ) sont de signes contraires, il existe au moins un nombre c de ( a , b ) tel que f ( c ) = O. C’est un corollaire du théorème 7. Théorème 9. Si f est continue sur un intervalle fermé borné, alors f atteint ses bornes sur cet intervalle (c’est-à-dire qu’il existe au moins un point x de l’intervalle, tel que f ( x ) = M , si M désigne la borne supérieure de f. De même pour la borne inférieure m. De plus f prend toutes les valeurs comprises entre m et M , en un ou plusieurs points. Théorème 10. Si f est continue sur un intervalle fermé borné, et si M et m désignent respectivement sa borne supérieure et sa borne inférieure, il existe au moins un point x de l’intervalle pour lequel f ( x ) = M ou f ( x ) = m (Corollaire du théorème 9). CONTINUITE PAR MORCEAUX On dit qu’une fonction est continue par morceaux sur un intervalle [ a , b ] si cet intervalle peut être sous-divisé en un nombre fini d’intervalles, sur lesquels f est continue et possède des limites à droite et à gauche. Une telle fonction a un nombre fini de points de discontinuité. La figure 2.1. nous donne graphiquement un exemple de fonction continue par morceaux sur [ a , b ] . Les points de discontinuité sont : x 1 , x 2 , x 3 et x 4 .

* ; *l

I

I

; < ,

,

,

I

l

I

I

l

l

I I

X

I

I

I

I

Fig. 2-1

CONTINUITE UNIFORME Soit f continue sur un intervalle I. Donc pour tout point x o de I et pour tout E > O , il existe 6 > O (qui dépend en général de E et du point x o choisi), tel que { f ( x ) - f ( x o ) I < E , quand / x - x o / < 6 . Si nous pouvons trouver, pour E donné, un même 6 pour tous les points de l’intervalle (c’est-à-dire que 6 ne dépend que de e , et non pas du point de x o ) , nous disons que f est uniformément continue sur cet intervalle,. Ou encore, on dit que f est uniformément continue sur un intervalle I si pour tout E > O , il existe 6 > O tel que : i f ( x l )- f(x2)I < E quand lxl - x21 < 6 où x1 , x 2 appartiennent à I. Si f est continue sur un intervalle fermé borné, elle est uniformément Théorème. continue sur cet intervalle.

Chapitre Z/Fonctions, limites et continuités

27

PROBLEMES RESOLUS FONCTIONS

x

2

f(x)

O

3

4

5

8

5

6 9

7

8

2

8

5

O

,

5

7,5

2,75

2,75

2. Soit g ( x ) = (x - 2) (8 - x) pour 2 < x < 8 . ( a ) Quelle est la différence entre le graphe de g et celui de la fonction f du problème 1 ? ; ( b ) quelle est la borne supérieure et la borne inférieure de g ? (c) g atteint-il ses bornes sur le domaine de définition ? ( d ) répondez aux questions ( b ) et (c) pour la fonction f du problème 1. (a)

(b) (c)

(d)

Le graphe de g est le même que celui du problème 1, excepté fes deux points ( 2 , O ) et (8,O) pour lesquels g n’est pas définie. La borne supérieure de g est 9, et la borne inférieure est O. La borne supérieure est atteinte au point x = 5 , mais pas la borne inférieure, car il n’y a pas de points x du domaine de g pour lesquels g ( x ) = O . Comme dans ( b ) , la borne supérieure de f est 9, la borne inférieure est O. La borne supérieure de f est atteinte au point x = 5 , et la borne inférieure aux points x = 2 et x = 8 . Nolons qu’une fonction, telle que f , qui est continue sur un intervalle fermé borné atteint ses bornes sur cet intervalle. Par contre, une fonction (telle que g) qui n’est pas continue sur un intervalle fermé borné n’atteint pas forcément ses bornes. Cf. problème 34.

3. Soit f ( x ) =

(a)

1 O

x

x

est un nombre rationnel ( a ) Calculez f ( 2 / 3 ) , f(- 5 ) , f(1,41423) , f(dg est un nombre irrationnel

f(2/3) = 1 car 2/3 est un nombre rationnel = 1 car - 5 est un nombre rationnel f(- 5 ) f(1,41423) = 1 car 1,41423 est un nombre rationnel = 0 car f i e t un nombre irrationnel. La figure 2.3 nous donne le graphe. I1 semblerait que ce soit deux fonctions constantes, égales respectivement à O et à 1,

f(n (b)

si si

f(4 1

O

X

y

4. Soit f la fonction du problème 1, ( a ) construisez le graphe de f - ’ ( x ) pour tout

”’.

( a ) Le figure graphe 2.2 de du yproblème = f(x) ou 1. Pour x =obtenir f-’(y)leestgraphe donnédepar la

y = f- (x) , nous devons simplement échanger l’axe des x avec celui des y. Après avoir orienté les axes de façon habituelle, nous obtenons le graphe de la fig. 2.4. ( b ) Nous avons y = (x - 2) (8 - x) ou xz - lox -t 16 + y = O . En résolvant cette équation du second degré, nous obtenons

+

= 10 f d l 0 0 - 4(16 y ) = 5 f 2 y = f-l(x) = 5 f 4C-T

x = f-’(y)

alors

; ( b ) Don-

3c

’ ( x ) et montrez que c’est une

nez une expression de f fonction multivoque.

z

4 E .

Fig. 2-4

49-x

Dans le graphe, A P représente la courbe d’équation y = 5 + d G e t BP celle d’équation y = 5 Alors gour chaque valeur de x dans O Q x < 9, f- 1(x) prend deux valeurs. Ceci se voit graphiquement, car toute droite verticale entre P et A B coupe le graphe en deux points.

+d G

Les fonctions y = 5 et y = 5 - d z r e p r é s e n t e n t les deux branches de f-’(x). Le point où les deux branches se coupent (c’est-à-dire, où elles ont la même valeur) est un point de branchement, c’est le point de coordonnées x = 9, y = 5.

+ -

5 . ( a ) Prouvez que g ( x ) = 5 ,/9 - x est strictement décroissante sur [0,9] ; ( b ) Est-elle décroissante sur cet intervalle ? (c) g admet-elle une fonction réciproque (ou inverse) ? (a)

(b) (c)

>

4 -

-t2dk

>

d

E

d

+

G

Si y = 5 f alors y - 5 = ou en élevant au carré x = - 16 1Oy - y2 = (y - 2) (8 - y ) et x est bien une vraie fonction de y , En général, toute fonction strictement décroissante (ou croissante) admet une fonction inverse (cf. théorème 6, page 26). L’on peut interpréter graphiquement les résultats de ce problème à l’aide de la figure du problème 4.

6 . Construisez les graphes des fonctions le plus grand entier x . (a)

>

9 - x2 , g est strictement décroissante si (x ) g(x ) uand x 1 < x 2 . Si x 1 < x 2 alors 9 - x1 >5 ce qui montre que g est strictement décroisante. >d G , 5 + Oui, car toute fonction strictement décroissante est décroissante, car si g(xl) g(xz) on a aussi g(xl) 2 g(x2). Par contre, la réciproque est fausse.

(a)

{

f ( x ) = x sin ilx, x > O x=o’

Nous avons tracé le graphe sur la figure 2.5. Comme Ix sin l/xl < x , le graphe est compris entre les droites y = x et y = - x. Remarquons que f(x) = O quand sin l / x = O ou l/x = m n , rn = 1 , 2 , 3 , . . . c’est-à-dire x = l / n , 1 / 2 n , 1 / 3 7 , . . . La courbe oscille indéfiniment entre x = l / n et x = O.

p’

- f (4 -

J,

-

2 I

-s

l

-2

l

-

-1

- _.

-

-

-

I 1

i 2

I 5

I 4

I 5

Z

Chapitre 2/Fonctions, limites et continuités

29

'

7. ( a ) Construisez le graphe de f ( x ) = tg x ; ( b ) celui de f - ( x ) = tg- ' x ; (c) montrez graphiquement que f - ( x ) est une application multivoque ; ( d ) indiquez les valeurs possibles de f - ' ( x ) ; ( e ) en déduire f - ' ( - 1).

'

Le graphe de f(x) = tg x apparaît sur la figure 2.7. If-w=t g

Fig. 2-7

s i Y = f ( x ) = tg

X I

-1

x

Fig. 2-8

alors x = f-'(Y) = tg-'y.

Alors son graphe est obtenu en échangeant l'axe des

x et celui des y dans le graphe de (a). Le résultat, après l'orientation habituelle des axes, apparaît sur

la figure 2.8. Dans la figure 2.8 de ( b ) , chaque droite verticale rencontre le graphe en une infinité de points. f-'(x) est donc multivoque, avec une infinité de branches. Pour définir f - ' ( x ) comme une véritable fonction, il est clair, d'après le graphe, que l'on doit se restreindre à un intervalle par exemple : - n/2 < f- (x) < n / 2 , n/2 < f-'(x) < 3 n / 2 , etc. . . . Dans le premier intervalle (- n / 2 < f-'(x) < 7r/2), o n a f-'(x) = Arctg x , c'est la fonction réciproque (ou inverse) de la fonction tg x définie sur (- n / 2 , n / 2 ) , Arctg (- 1) = - n/4.

vG+ 1

8. Démontrez que

x + l

Jx+ 1 aiors

,x#-l,

est une fonction algébrique irrationnelle.

+

+

1)2y2 - 2 ( x + 1 ) y + 1 - x = O , (x i) y - i = ou en élevant au carré ( x x + l qui est une équation polynômiale en y , dont les coefficients sont des polynômes en x . f est donc une fonction algébrique. Cependant elle n'est pas le quotient de deux polynômes. C'est une fonction algébrique irrationnelle, Si y = -

9. Si f ( x ) = ch x = 1/2 (e" + e- " )

, démontrez que l'on peut choisir comme détermination Drincipale de la fonction inverse, ch-l x = Arg chx = Log(x x > 1.

Si

y

+

= &(e* e - = ) ,

elr

+ Jm),

- eye" + 1 =

O,

en résolvant comme une équation d u second degré, nous trouvons

+dy2 - 1 x = f Log01

+d s )

ou

ch-'y

1

= f Log01

+d

nous pouvons aussi l'écrire :

m

+ pour la détermination principale et en remplaçant y par x nous avons ch-'x + J;2gl). Le choix de x 2 1 est nécessaire pour que la fonction inverse soit réelle.

En choisissant le si ne Arg ch x = Log(x

LIMITES

IO. Si (a)

(a) f(x) = x 2

, (b) f(x)=

I

x2,x f 2

O ,x=2

, démontrez que lim f(x) = 4

Nous devons montrer que, étant donné E > O , il existe 6 O < Ix - 21 < 6 implique lx2 - 41 < E .

X'2

>O

(dépendant en g h é r a l de

E)

tel que

=

30

Analyse Choisissons 6 S 1 tel que O < Ix - 21 < 1 ou 1 < x < 3, x # 2. Alors /x2-4/ = I(x-2)(%+2)1 = Ix-21 / x + 2 1 < 61x+ 21 < 56.


O tel que If(x) - 11 < e quand O ou n >!( ) l i p . Choisissons N ='?/I)!( np nF E C (dépendant de e ) , il s'ensuit que 1-1 < E pour tout n > N , ce qui prouve que lirn = O. np Nous devons montrer que pour tout

E

> O,

>O

45

il existe

N

ICI

(2)

n-t-

5 . Démontrez que lirn 1 n-*m

tout n

2 --

3

Nous devons montrer que pour Donc

>N .

1

15 $.(5

5

+ 2.10n + 3.

+ 3.10")

+ 2-10"

+3 >

ion

-

$1

2

= 13(5

3.10"

l/e,

>

'

>O

E

+3

quelconque, il existe

ion)

7/3e-5,


N , si nous

-

( lim 3 + 7In

=

2n5- 4n2 3n7 n3 - 10

peut être plus grand que tout nombre

O = 3

o

(comparez avec le problème 5 )

SUITES MONOTONES BORNEES 2n - 7 ( a ) est croissante, 3n + 2 majorée, (c) minorée, ( d ) bornée, ( e ) a une limite. { u n } est croissante si u n + 2 u n , pour n = 1 , 2 , 3 , . , . Maintenant

15. Démontrez que la suite de terme général un = (b) (a)

-,

48

Analyse

+

2 ( n 1) - 7 2n - 7 3 ( n + 1 ) + 2 à-3n + 2

si et seulement

+

si

2n-5 2n-7 23n+5 3n+2

-

+

( 2 n - 5 ) (3n 2) 2 (2n - 7) (3n 5 ) , 6n2 - l l n - 10 à 6 n 2 - l l n - 3 5 , c'est-à-dire - 10 2 - 35, ce qui est vrai, En remontant les étapes des inégalités, nous constatons que la suite { u n } est croissante, même, comme - 10 - 3 5 , elle est strictement croissante. ou

>

(b)

En écrivant quelques termes de la suite, nous avons l'intuition que 2 est un majorant (par exemple). Pour le démontrer, nous devons vérifier que un < 2. Si (2n - 7)/(3n -I-2) < 2 alors 2n - 7 < 6 n 4 ou - 4n < 11 , ce qui est vrai, D'où le résultat en remontant les étapes. Comme la suite est croissante, le premier terate - 1 est un minorant, c'est-à-dire u n à - 1 pour tout n = 1 , 2 , 3 , . . . Tout nombre inférieur à - 1 est aussi un minorant. 2 Comme la suite est majorée, et minorée, elle est bornée. Nous pouvons écrire, par exemple,lu,I pour tout n . Comme toute suite monotone (croissante ou décroissante) bornée a une limite, la suite donnée est bien 2 - 7/n - 2 2n-7Gonvergente. En fait lim lim -- n-im 3n 2 3 2/n 3 '

+

(c)

(d)

(e)

+

+

16. Soit la suite { u n } définie par la formule de récurrence : = f i n, u1 = 1 . (a) Démontrez que lim un existe ; ( b ) Trouvez cette limite. n = 31/2+1/4, . , . . Les termes de la suite sont u1= l, uz = & = 3lI2, u3 = (a) -i-

- -

(b)

comme on peut le démontrer par récurrence Le &me est donné par un = 3 1/2+1/4f * (Chapitre 1). Il est clair que u n t l > un , La suite est donc croissante. D'après le problème 14, Chapitre 1 , un < 3 l = 3 , c'est-à-dire un est majorée. D'où un est bornée (car minorée par O). Comme la suite est croissante, bornée, elle est donc convergente. nous avons x = 4/3x et x = 3 Soit x = limite demandée. Comme lim un+ = lim fifl, (L'autre possibilité x = O , est exclu$%- u n ly.'" - 3.-mlim (1-112") = 31 = t1/2n-i = lim 3 1-112" Autre méthode : lim $'2' '/"

&

n-

w

ll-+

m

17. Vérifiez les résultats énoncés dans le tableau suivant :

I

Suite 2 , 1,9, 1 , 8 , 1 , 7 , . . . , 2 - ( n - l ) / l O . .

.

1, - 1, 1, - l , . . . , ( - lY-1 , . . . 1 2

1 1 3 4

-,--,-,

--51 , , . , ( -

-1, $ 2 , - 3 ,

I

I Croissante I Décroissante 1

Convergente

Non

Non

Oui

Non

Oui

Non

Non

Non

Oui

Non

Non

Oui (O)

Oui

Oui

Non

Oui (7) 2

2

"'3(1 - 1/10n), . . . + 4 , - 5 , . . . , ( - l)"n,. .. I

0 , 6 , 0 , 6 6 , 0,666,,

1

+ i),,. .

i)+l/(n

Bornée

I

Non

I

I

Non

I

Non

I

I

Non

I

-

18. Démontrez que lim n-i

D'après la formule du binôme, si n est un entier positif (cf. problème 95, Chapitre 1) , (1

Soit

+

2)"

1

- 2) + n(n- 1) + nx + -x2 + n(n- l)(n 3! 2! x3

x = Un, un = (ï+;)"

= i

+ n ;1+ - n(n-2 ! 1) n2 +

= 1+1+-1-2!

*'.

:>;!(

+-I--

+ . . . + -:!( 1 - -

""

Comme et

il s'ensuit que

lim

z em

BORNE SUPERIEURE , BORNE INFERIEURE, LIMITE SUPERIEURE, LIMITE INFERIEURE. 20. Trouvez Dour la s u i t e 2 -2, -1, 1, -1, 1,-1, . . . ( a ) la borne supérieure, ( b ) la borne inférieure, (c) lim. sup. (lirn) et ( d ) lim. inf. (Lm). (a)

borne supérieure = 2, car tous les termes sont inférieurs ou égaux à 2, et au moins un terme (le premier) est plus grand que 2 - E pour tout E > O.

(b)

borne inférieure = - 2, car tous les termes de la suite sont plus grands ou égaux à - 2 et au moins un terme (le second) est plus petit que - 2 E pour tout E > O. = 1, car une infinité de termes de la suite sont plus grands 1 - E pour tout E O lim. sup. ou (à savoir tous les 1 de la suite) et seulement un nombre fini plus grand que 1 E pour tout E O (à savoir le premier terme). lim. inf. ou &= - 1, car une infinité de termes sont plus petits que - 1 4- E pour tout E > O (à O savoir tous les - 1 de la suite) et seulement u n nombre fini plus petit que - 1 - E pour tout E (à savoir le deuxième terme).

(c)

(d)

+

> >

+

>

21. Trouvez pour les suites du problème 17 ( a ) borne supérieure, ( b ) borne inférieure, (c) lim. sup.

(iim) et

( d ) lim. inf. (iim). -

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous : b. sup.

Suite

. ., 2 - (n-l)/lO . . . 1, -1, . ., (-1p-1, . . .

2, 1,9, 1,8,1,7,

I

1, -1,

*

8, -&, *, -6, . . ., (-1)*-1/(n+1), . . 0,6, 0,66, 0,666,. . . , 2/3(1 - l/lOn>,. . . -1, $2, -3, $4, -5, . . ., (-l)"n, . . . *

h. inf.

2

aucune

1

-1

*

-*

Q

6

aucune

aucune

lim sup ou lim -m

I

lim inf ou lim -m

1

-1

O

O

8

Q

+-

-m

4

50

Analyse

INTERVALLES EMBOITES

22. Démontrez qu’à tout ensemble d’intervalles emboîtés [a, , b , ] , n = 1 , 2 , 3 , . , , il correspond un unique nombre réel. Par définition des intervalles emboîtés, anCl

2

a,,

b,+l

< b,,

IL

= 1, 2 , 3 , . ..

lim (a, - b,)= O .

et

n+

Ca

Alors al < a, < b, < b , et les suites {a,} ,{ b,} , sont bornées et respectivement croissante et décroissante et donc convergentes vers a et b. Pour montrer que a = b et le résultat cherché, remarquons que

Maintenant pour

E

> O donné, nous pouvons trouver lb - b,L!

ainsi, d’après ( 2 ) , Ib - al


N ,

I b n - & ! < €13, la,-al < €13 est quelconque, nous avons b - a = O ou a = b.

€13,

< E . Comme E > 0

(3)

23. Démontrez le théorème de Bolzano-Weierstrass (cf. page 5 ) . Supposons que l’ensemble donné, infini et borné, soit contenu dans l’intervalle [ a , b ] . Partageons cet intentall en deux intervalles égaux. L’un au moins des deux intervalles (noté [u , b , ] ) contient une infinité de points. En divisant [a,, b , ] ) en deux intervalles égaux, nous obtenons un autre intervalle \a2 , b 2 ] contenant une infinité de points. En continuant ainsi nous obtenons une suite d’intervalles [a, , b,] emboîtés et tels que b i - ai = ( b - a ) / 2 , b2 - aL = ( b , - ai)/2 = ( b - a)/Z2, . . ., b, - a, = ( b - a)/2“

-

nous en déduisons que lim ( b , - a,) = O . n+

L’ensemble des intervalles emboîtés, d’après le problème 22, correspond à un nombre réel, qui est un point d’accumulation. Ce qui démontre le théorème.

CRITERE DE CONVERGENCE DE CAUCHY 24. Démontrez le critère de Cauchy, énoncé page 43. Condition nécessaire : tel que

Supposons que la suite {u,} converge vers I . Mors, pour tout e > O , il existe N

< ~ / 2 pour tout p > N et q > N , nous obtenons

( u p - 11

Donc, pour p

>N

lup-

=

lLsl

l(UP -

I)

et

+ ( I - uq)i

luq - 11

5

/ u p- 21

< €12

+ Il-

pour tout


N

+ €/2

=

e

Condition suffisante : Soit E > O , supposons que ( u p - uql < e pour p , 4 > N. Alors tous les nombres , . . . sont dans un intervalle borné, c’est-à-dire l’ensemble est infini et borné. D’après le théorème de Bolzano- Weierstrass il a donc un point d’accumulation que nous noterons (I, Si a est le seul point d’accumulation, on a donc le résultat voulu et lim u, = a .

U N ,U N +

n+

b

>

m

Supposons qu’il existe deux points d’accumulation distincts, a et b et que, u (cf. figure 3.1.). Par définition des points d’accumulation, nous avons :

< ( b - a)/3 - b( < ( b - a)/3

lup - al

pour une infinité de valeurs de p

luq

pour une infinité de valeurs de q

Alors comme

b

-a

= (b - uq)

Ib - a ) = b - a

+ (uq - u p ) + ( u p - a ) , nous avons - u p ( + lup - uql + lup - al

< Ib

(1) (2)

*b-a*

-ka, 3

3

1

(3)

- .

b

a

Fig. 3-1

En utilisant (1) et ( 2 ) nous voyons que lup - uq I > ( b - a ) / 3 pour une infinité de valeurs de P et 4 , ce qui contredit l’hypothèse que ( u p - uql < E pour p , 4 > N et tout e > O. 11 n’y a donc qu’un point d’accumulation et le théorème est démontré.

Chapitre 3/Suites

51

SERIES INFINIES

25. Démontrez que la série infinie (appelée série géométrique)

(a)

< 1 , ( b ) diverge si Ir1 2 1. u + ar + + . . . + urn-1 ur + ar* + + urn-' + ar"

converge vers d ( 1 - r ) si Ir/ =

S,

Soit

Ur2

rS, =

Alors

En soustrayant

=

(1- r ) S n

- ar"

U

a(1 - r") = ___

s, (a)

Si

a(1 - r") iim ___ - - a

/?*I < 1, niim S, = - 9 Si Ir1

Ib)

> 1 , lim

1-r

1-T

n-+m

(d'après le problème 7).

1-r

S, n'existe pas (cf. problème 44).

w-

26. Démontrez que le terme général d'une série convergente tend nécessairement vers zéro. nous avons un = S, S, = u 1 + u 2 + . . , + un , SnP1 = u 1 + u 2 + . . . + u n - l Comme

- Sn-l

.

Si la série converge vers S , alors lim un =

lim (S,

nit m

ni)

=

n-

m

n-

1 - 1 4-1 - 1 3. 1 - 1

27. Démontrez que la série

- lim Sn-l = S - S = O

lim S,

m

m m

+ ... =

'

(- l ) n - est divergente. n= 1

lère Méthode : lim (- 1)" # O , en fait elle n'existe pas. Alors d'après le problème 26 la série ne peut pas converger, n-+-

donc elle diverge. 2ème Méthode :

+ 1, 1 - 1 + 1 - 1 , . . .

La suite des sommes partielles est 1 , 1 - 1, 1 - 1 comme cette suite n'a pas de limite, la série diverge.

PROBLEMES DIVERS u1

28. Si lim un = I, démontrez que nlim -t-

+ u2 + . . . +

+ 1. Nous devons montrer que

Soit un = un

-

vl+wz+"'+vn

-

n

ainsi w1

I

Comme

$,mm

+

+vz n ' ' . +'Un

un = O , il existe IWP+ll

+

1s

"'

n

m

vPAi+vP+2+

+


N

52

Analyse

lim (1

29. Démontrez que Soit

Alors

(1

n-t

+ n + n2)lln

+ n + n 2 ) 1 / n= 1 4-un

> 1+

1+n+n2

=1

m

Comme lirn un = O et n-)=

où un P O

n(n - l ) ( n - 2)

3!

3

Un

.

Maintenant, d'après la formule du binôme

+

6(n2 n)

ou

lim un = O . Donc

lim (1 + T Z + ~ *= ) "lim ~ (1+ u n ) = 1.

n-t-

n-+ m

n em

U

30. Démontrez que lim - = O pour toutes constantes a . n + m n! Le résultat sera démontré, si nous montrons que lirn n+poser a # O .

n!

= O (cf. problème 39). Nous pouvons sup-

= O. Si n est suffisamment grand, disons n > 2 la1 , et si nous choisisson n N = [2lal + 11, c.est-à-dire N = le plus grand entier < 2)al + 1 , alors Soit

laln un = -

n!

.

un+, Alors Un

UN+I UN

'z'1

% < 2, 1

En multipliant ces inégalités, nous obtenons

31. L'expression

a,

%-I

Un

UN

(gnpN

< (iln-, OU

2

un


N ,

lim a, = lim b , = I ,

et

n+=

montrez que

O , et 6 est indépendant de n , démontrez que lim (a, cos ne

n+=

, +

sultat reste-t-il vrai quand 6 dépend de n ? 1 60. Soit un =-{i (- i),}, n = i , 2 , 3 , . 2

+

61. Montrez que

- niln
N et lim

n-* 03

, n = 1 , 2 , 3 , , . . est décroissante a, = A

n-* =

lu,(

< IV,/

et

=?1 (1 + fi) .

de limite e [Indication : Montrez que

-

, lim b , = B , montrez que A > B . nq

lim v, = O , montrez que iim un = O .

n+-

1

70. Montrez que lim n+m

un+ /un

n

n+=

(1 +-+-+ 1 2

1 3

. . . +-)= 1 n

O ,

+

+

, est un ensemble d'intervalles emboîtés cri = (1 l/n)" et b , = (1 l/n)" définissant le nombre e . ~c 72. Montrez que toute suite monotone (croissante ou décroissante) bornés ü : ~ + LL.

71. Démontrm qiie [a,, , D.? J , 7

.

ûü

73. Vérifiez la valeur de chacune des fractions continues suivantes : (a) 3

1 1 + -+ g1 . . .= 2+ 3+

#3+vT5)

(c) a

1 1 1 +- -... b+ a+ b+

=

1 1 1 1 ... = 1 (d) 2- 2- 2- 2-

;+dF;

56

Analyse

74. Exprimez

6, ( c ) fi, et

(a) 1741251, ( b )

( d ) 3,14159 sous forme de fractions continues. 1 1 1 1 (c) 2 -2+ 4+ 2+ 4+

+

1 1 1 1 1 1 1 Rép. (a)- - - - - - 1+2+3+1+5+1+2

(b) 1

+

1 1 1 1

- - -.. 1+ 2+ i+ 2+

(d)3

+

- I . .

1

1

1

1

1

1

7+ 1 5 f 1+ 25+ 7+ 4

[Indication : dans ( b ) en ajoutant et soustrayant le plus grand entier plus petit que f i (à savoir 1), on obtient 1 1 fi = l + ( f i - l ) = 1 + l l ( 6 - 1) -

+

(fi+ 1)/2

+

Alors en additionnant et soustrayant le plus grandentier dans (fi 1)/2 (à savoir l ) , on obtient

De même dans fi+ 1 (A savoir 2 ) , on obtient =

fi+1

=

2+(\/3-1)

1

2 +

= 2 +

l l ( 6- 1)

1

(d3+ 1)/2

après apparaissent les mêmes nombres. 1 1 +-a21+. . . ,a , > O , a3 + a4 +

75. Etant donnée la fraction continue al

dont la n ème approximation est P, /Q, ,

démontrez les assertions suivantes et donnez-en des exemples.

+

(a)P n = n n P n - 1 Pn-2, Qn = ( b ) P n Q n - i - Pn-iQ, = (-l)"-'

anQn-1

+

Qn-2

(c) Les approximations successives sont alternativement plus grandes et plus petites que la fraction continue.

( d ) Les approximations d'ordre impair sont plus petites que la fraction continue, mais sont croissantes ; celles d'ordre pair sont plus grandes que la fraction continue, mais elles sont décroissantes. (e) La fraction continue est toujours convergente.

76. ( a ) Démontrez que si Pn/Qn et Pn+ problème 75, alors proche à deux décimales.

Rép.

/en+sont deux approximations successives de la fraction continue du 1 ( b ) Trouvez la première approximation 6 , qui l ' a p ( b ) 26/15

+

77. Soit{u,}

une suite telle que = a un+ 1 bu, , où a et b sont des constantes. C'est une équation de récurrence du deuxième ordre en u n . ( a ) En supposant que un = rn soit solution, où r est une constante, montrez que r satisfait l'équation r 2 - ar - b = O ; ( b ) En utilisant ( a ) montrez qu'une solution de l'équation de récurrence (appelée solution générale) est de la forme un = A r : + B r i , où A , B sont des constantes arbitraires et r l , r2 les solutions ,supposées différentes de r2 - ar - b = O ; (c) dans le cas où r l = r2 montrez que la solution générale est un = ( A B n ) r r .

+

7 8 . Trouvez les solutions des équations de récurrence suivantes, qui vérifient les conditions données : = 2 ~ , ++ ~324, , u 1 = 3 , ( a ) un+:! - u n t i iun , u 1 = 1 , u 2 = 1 (comparez au problème 34) ; ( b )

+

u2 = 5 ; ( c ) u n + 2 4 ~ , + -~ 4 , , u 1 = 2 , u 2 = 8. R é p . ( a ) la même qu'au problème 34, (- 1)n-l ( b ) U, = 2(3)'-1 (c) U, = ïi. 2" ,

+

1 79. ( a ) Montrez qi?e la némeapproximation de la fraction continue 1 +-1 1+ 1 + . . . est

Ti 1

(1

[Indications : utilisez le problème 341. ( b ) En utilisant la limite d e ( a ) , quand n

80. Etudiez les problème 73

+JJ)n+1

- (1

- &),+I

1

(1

+ fi),- (1 - 6)"

+

m

, trouvez la valeur de la fraction continue.

( a ) - ( d ) en trouvant d'abord les nèmesapproximations.

CHAPITRE 4

Dérivées

DEFINITION DE LA DERIVEE Soit f ( x ) une fonction définie en un point quelconque xo de ( a , b ) . La dérivée de f ( x ) en x = xo est, par définition,

si cette limite existe. La dérivée peut aussi être définie de façon différente mais équivalente, par exemple :

On dit qu’une fonction est dérivable au point x = xo , si elle a une dérivée en ce point (c’est-àdire f ‘ (xo) existe). Si f est dérivable en xo, elle est continue en ce point, Cependant la réciproque n’est pas nécessairement vraie (cf. problèmes 3 et 4).

DERIVEES A DROITE ET A GAUCHE On dit que f ( x ) est dérivable à droite en x = xo , et on appelle dérivée à droite de f en x o .

si cette limite existe. Remarquons que dans ce cas h (= A x ) est restreint aux valeurs positives tendant vers zéro. De même, la dérivée à gauche de f ( x ) en xo est

f.‘(xo)

=

lim f ( x o + h) - f ( x 0 ) h

h-O-

si cette limite existe. Dans ce cas h est restreint aux valeurs négatives qui tendent vers zéro. Une fonction f ( x ) est dérivable en x = xo si et seulement si fl ( x o ) = fL (xo) .

DERIVABILITE SUR UN INTERVALLE On dit qu’une fonction est dérivable sur un intervalle, si elle est dérivable en tout point de cet intervalle, En particulier si f ( x ) est définie sur un intervalle fermé [ a , b ] , alors f ( x ) est dérivable sur cet intervalle si et seulement si f ’ ( x o ) existe en tout point xo de ] a , b[ et si f l ( u ) et f-’ ( b ) existent. Si une fonction a une dérivée continue, on dit qu’elle est continûment dérivable.

DERIVABILITE PAR MORCEAUX On dit qu’une fonction f ( x ) est dérivable par morceaux sur [ a , b ] si f ’ ( x ) est continue par morceaux. On donne un exemple de fonction continue par morceaux graphiquement, page 26.

58

Analyse

INTERPRETATION GEOMETRIQUE DE LA DERIVEE Soit APQB (fig. 4-1 ci-dessous) la courbe représentant le graphe de y = f ( x ) . Le quotient

est la pente de la droite joignant P à Q sur la courbe. Quand Ax

-+

O cette droite tend vers la tangente y

PS 6 la courbe, au point P. Alors

est la pente de la tangente à la courbe au point

P.

IY

/ / /

M X 20

Fig. 4-1

Fig. 4-2

L’équation de la tangente à la courbe y = f ( x ) au point Y

;Y

= x o est

- f ( x 0 ) = f ’ ( x 01 ( x - xo)

(7)

Un exemple de fonction continue en un point et non dérivable en ce point, nous est donné graphiquement par la figure 4.2.Dans ce cas, il existe deux demi-tangentes PM et PN au point P. Les pentes de ces demi-tangentes sont respectivement f: (x,,) e t ( x o) .

fi

DIFFERENTIELLES Soit Ax = àx l’accroissement donné à x . Alors Ay

=

f(x+AX)

- f(x)

(8)

est l’accroissement de y = f ( x ) . Si f ( x ) est continue et a une dérivée première continue dans un intervalle’ alors Ay

où

E

-+

O , quand

Ax

-+

O.

= f ’ ( X ) A x 4- € A x On dit que l’expression

f’(Z)dX

4- r d x

(9)

~

dy

=

Chapitre 4/Dérivées

59

f’(x)dx

(10 ) est la différentielle de y = f ( x ) (ou la partie principale de A y ) . Remarquons qu’en général Ay # d y . Cependant si Ax = dx est petit, d y est une approximation de A y (cf. problème 11).La quantité dx, qui est la différentielle de x, et d y ne sont pas nécessairement petits ; à. partir des définitions (8) et (lo), nous écrirons souvent

Nous insistons sur le fait que dx et d y ne sont pas les limites de Ax et A y , quand Ax + O , car ces limites sont nulles, tandis que celles de dx et dy ne le sont pas nécessairement, On peut aussi se donner d x , et définir d y d’après (lo), c’est-à-dire pour un x donné, d y est une variable dépendant de la détermination de la variable indépendante dx. Le segment SR représente géométriquement d y au point x = x o sur la figure 4.1. ci-dessus, tandis que le segment QR représente A y .

REGLES DE DERIVATION Si f , g et h sont des fonctions dérivables, on a les règles suivantes de calcul. d

1. d-{f(x) x

+g(x)}

d 2. &f(z)

- g(x)} =

3,

=

d

d + &J(x)

=

f’(x)

d d &p) - &g(x)

=

f’(4-

-f(x) dx

+

g’(x) g’(4

d {cf(x)}= cdxf(x) d dx = c~’(x où) C est une constante quelconque

De même si

y = f(u)

où

= g ( V ) et 2( = h(X), alors dy - dy du dv dx d u dv dx U

_._._

Les règles (12) et (13) sont celles de dérivation de composées de fonctions

7. Si y = f(x), alors x = f - I ( y ) ; et

8. Si x = f ( t ) et

d y l d x et

d x l d y sont liés par la relation

y = g ( t ) , alors

On a les mêmes règles pour les différentielles. Par exemple,

60

Analyse

DERIVEES DES FONCTIONS ELEMENTAIRES Nous supposerons dans ce qui suit que u est une fonction dérivable de x ; si u = x , alors du/dx = 1 . Les fonctions réciproques ont été définies au chapitre 2.

d 1. -(C) dx 2.

d dx

-COSU

du u = c o s u -ax =

-sinu-

du dx

log, e d u -u dx

d 11. -&au

d = -Log dx

= a"L0ga- du dx

14. 15.

d

=

Arccos u =

d dx

= shu

du dx

d 21. - t h u dx

- -- ch2u dx

d 22. -cothu dx

=

23.

d 1 -(-) dx chu

24.

d -(-) dx

25.

1

du

d w dx

1 sh u

d arg

dx d 26. -arg dx d 27. -arg dx

d du 12. - eu = eu dx dx d 13. d x Arcsin u

du dx

a>0, a # l

1 du u= -u dx

1

= chu

chu

du ' + s i u > l [-siu Ax+O

f(")(x)

(Ax),

, si cette limite existe,

88. Complétez la démonstration analytique, mentionnée à la fin du Prob. 40.

89.

f ( x ) est la fonction du problème 3 8 , montrez quef(") (O)= O pour n = 1 , 2 , 3 , . . . ( b ) Ecrivez la série de Taylor, avec un reste, de cette fonction et montrez que f ( x ) = R,. (c) Expliquez pourquoi R , ne tend pas vers zéro, quand n +. et donnez-en les conséquences. ( a ) Si

90. Trouvez les maximums et minimums relatifs de f ( x ) = x x , x

>G

.

R é p . f ( x ) a un minimum relatif pour x = e-1.

Y+22y1

91. Une particule traverse respectivement le demi-plan I avec la vitesse constante I/, et le demi-plan II avec la vitesse constante V2 (cf. Figure 4.7). Montrez que, pour aller du point P au point Q , le plus rapidement possible, la particule doit suivre le chemin PAQ , où A est tel que

(sin 6,)/(sin 6,)=

vi/u2

demi-plan 11 vitessev2 Fig. 4-7

Chapitre 4lDérivées

79

ai est infinitésimale si elle tend vers zéro. Soient a ,p deux variables infinitésimales, on dit que ai est infinitésimale d'ordre supérieur (ou égale) à. 0,si lim a/p = O (ou lim ai/p = 1 # O . Démontrez que, lorsque x + O, ( a ) sinZ2x et (1 - cos 3 x ) sont infinitésimales de même ordre. ( b ) (x'- S h 3 X ) est infinitésimale d'ordre supérieur à {x - Log(1 + x ) - 1 + COS x } .

92. On dit qu'une variable

lim 93. Pourquoi ne peut-on pas utiliser la règle de L'Hospital pour montrer que x+o 91, chapitre 2 ) ?

x z sin i / x = O (cf. problème sin x

94. Peut-on utiliser la règle de L'Hospital pour calculer la limite de la suite un = n 3 ë n 2 , n = 1 , 2 , 3 , . . . ? Expliquez.

9 5 . Si

est une meilleure a est une racine approchée de l'équation f ( x ) = O, montrez qu'en général, a - f(') approximation (Méthode de Newton). [Indication : Supposez que la racine réelle soit a h, donc f ( a h ) = O . Alors utilisez le fait que pour h petit, on a approximativement f ( a h) = f(a) h f'(a)].

+

+

f'o

+

+

96. Appliquez successivement le problème 95 pour obtenir les racines positives de ( b ) 5sin x = 4 x

97. Notons

à 3 décimales.

Rép.

D l'opérateur dldx , c'est-à-dire

(a) x 3 - 2x2 - 2x - 7 = O ,

( a ) 3,268 ; ( b ) 1,131

Dy

dy/dx

, d'où

Dky

dky/dxk

. Démontrez

la formule de

Leibnitz

+

Dn(uv) = (D"zL)w CA (D"-'u)(Dv) n

où Cn = $ )

+ C,'

+

( D " - 2 u ) ( D 2 ~ ) ...

dx"

f'(xo) =

...

+ UD"V

sont les coefficients du binôme (cf. problème 95, Chapitre 1).

d" (xzsin x) = {xz - n(n - 1)) sin (z + nn/2) 98. Démontrez que -

99. Si

+ C i (D"-'u)(D'v) +

+

2nz cos (Z nrr/2).

f" ( x o ) = . , , = f t Z n )(x,,) = O mais

dans un voisinage du point x = x o

. On

f ( 2 n f 1 ) ( x o ) # O , étudiez le comportement de f ( x ) dit dans ce cas que x o est un point d'inflexion.

loo. Soit f ( x )

deux fois dérivables dans ( a , b ) et supposons que f ' ( a ) = f ' ( b ) = O . Démontrez qu'il existe au 4 { f ( b ) - f ( a ) } . Donnez-en une interprétation physique, moüis un t de (a , b ) tel que lf"(t>I 2 (b avec la vitesse et l'accélération d'une particule.

-

CHAPITRE 5

Intégrales

DEFINITlON D’UNE INTEGRALE L’introduction d’une intégrale est souvent motivée par le désir de calculer l’aire limitée par une courbe y = f ( x ) , l’axe des x et les droites x = a, x = b (cf. fig.ure 5.1).

Y

3 I

=T I

1

I

I I

I I l

o

.

I I

I

I I

.

I

I I

l I I

1 5

X

Cependant, on peut donner une définition abstraite. Partageons l’intervalle [ a , b ] en n sousintervalles d’extrémités les points x1 , x 2 , . . . , x,- choisis arbitrairement. Dans chacun des intervalles ( a , xl) , (xi , x2), . . ,(x,- , b ) , prenons des points t1 , t 2 , . . . , 4, . Formons la somme :

Géométriquement, cette somme représente l’aire de tous les rectangles de la figure ci-dessus. Maintenant augmentons le nombre n de points de la subdivision de telle façon que chaque + 0 , Si la somme (1) ou (2) a une limite, quand n + 0 0 , qui ne dépend pas du choix de la subdivision, nous noterons cette limite a3tk

b,

J f ( 4 dx a

qui s’appelle l’intégrale définie (ou plus simplement l’intégrale) de f ( x ) entre a e t b. On dit souvent que le symbole f ( x ) d x est l’intégrande, que [ a , b ] est le domaine d’intégration e t a , b les limites d’intégration ( a étant la limite inférieure d’intégration et b la limite supérieure).

Chapitre S/htégraies

81

La limite ( 3 ) existe quand f ( x ) est continue (ou continue par morceaux) dans [ a , b j (cf. problème 35). Lorsque cette limite existe, on dit que f ( x ) est intégrable au sens de Riemann ou simplement intégrable dans [ a , b ] . Géométriquement, la valeur de cette intégrale représente l’aire limitée par la courbe y = f ( x ) , l’axe des x et les droites verticales x = a et x = b seulement si f ( x ) 2 O . Si f ( x ) prend des valeurs positives et négatives, l’intégrale représente la somme algébrique des aires audessus et en dessous de l’axe de x , en considérant comme positives les aires au-dessus de l’axe des x et négatives celles en dessous de l’axe des x .

ENSEMBLES DE MESURE NULLE On dit qu’un ensemble de points sur l’axe des x, est de mesure nulle, si la somme des longueurs d’intervalles contenant tous ses points peut être rendue arbitrairement petite (c’est-à-dire plus petite que tout nombre donné E , positif). Nous pouvons montrer (cf. problème 6) que tout ensemble dénombrable de points de l’axe réel est de mesure nulle. En particulier, l’ensemble des nombres rationnels, qui est dénombrable (cf. problèmes 17 et 59, chapitre l), est de mesure nulle. Le théorème suivant sur l’intégrale de Riemann est important. Théorème. Soit f ( x ) une fonction bornée sur [ a , b ] . Alors f ( x ) d x existe si et seulement

lb

si l’ensemble des points de discontinuité de f ( x ) est de mesure nulle.

PROPRIETES DES INTEGRALES Soient f ( x ) et g ( x ) deux fonctions intégrables sur [ a , b ] ,alors : b

2. S ab A f ( z ) d x

=

~ l ~ f ( x ) d où x A est une constante quelconque.

en supposant que f ( x ) soit intégrable sur [ a , c ] et [ c , b ] . 4.

J ba f ( x ) d x

6. Si pour a

=

x

-iaf(x)dx

b, m 5 f ( x ) -M

où m et M sont des constantes, alors

b

?@-a)

J f(x)dx

5

M(b-a)

a

7. Si pour a 5 x

1.b ,

f(x) Ig(x)

alors

THEOREMES DE LA MOYENNE POUR LES INTEGRALES 1 . Premier théorème de la moyenne. point de ( a , b ) tel que

Si f ( x ) est continue sur [ a , b ] , alors il existe un

82

Analyse

2. Généralisation du premier théorème de la moyenne. Si f ( x ) et g ( x ) sont continues sur [ a , b ] et si g ( x ) a un signe constant dans cet intervalle, alors il existe un point t de ( a , b ) tel que (5) Jb f(x)g(x)dx = f(D J b g ( 4 dx a

Si g ( x ) = 1 , on retrouve (4).

3. Deuxième théorème de la moyenne. Si f ( x ) et g ( x ) sont continues sur [ a , b ] et si g ( x ) est une fonction positive décroissante, alors il existe un point 5 de ( a , b ) tel que Jb

f ( x )g(x)dx: = s(a)

J‘f(x) dx

(6)

Si g ( x ) est une fonction positive croissante, alors il existe un point

lb

que

f ( x )g(x) dx

=

t

de ( a , b ) tel

g ( b ) J b f(x) dx

(7)

5

4. Généralisation du deuxième théorème de la moyenne. Si f ( x ) et g ( x ) sont continues sur [ a , b ] et si g ( x ) est croissante ou décroissante et non nécessairement positive, comme dans (3), alors il existe un point t de ( a , b ) tel que

Ce résultat est encore valable, si on remplace la continuité par l’intégrabilité. PRIMITIVES Soit f ( x ) une fonction, alors toute fonction F ( x ) telle que F ’ ( x ) = f ( x ) s’appelle une primitive ou une intégrale indéfinie de f ( x ) . I1 est clair que, si F ( x ) est une primitive (ou une intégrale indéfinie) de f ( x ) , F ( x ) c est aussi une primitive de f ( x ) , où c est une constante quelconque, car [ F ( x ) c ] ’ = F ’ ( x ) = f ( x ) . De fait, toutes les primitives d’une fonction diffèrent d’une constante. Souvent nous utilisons le symbole J f ( x ) d x pour noter une intégrale indéfinie de f ( x ) .

+

+

Exemple : Si F ’ ( x ) = x2 , alors F ( x ) = J x z dx = x 3 / 3

+c

est une primitive de x2

.

THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL INTEGRAL ) une fonction teiie que ~ ’ ( x = ) f ( x ) (c’est-àSi f ( x ) est continue sur [ a , b ] et si ~ ( x est dire que F ( x ) est une primitive de f ( x ) ) , alors

Jbf(x)dx

= F(b) - F(a)

Cet important théorème nous permet de calculer, directement, sans revenir grale, quand nous connaissons une primitive de la fonction.

1 2

Exemple :

Pour calculer

x2dx,

remarquons que

(9)

la définition, une inté-

? i

F ’ ( x ) = x2 , F ( x ) = x3/3

nous obtenons

Car c disparaît toujours. Nous écrirons donc plus simplement

+ c,

et

Chapitre S/Intégrales

83

INTEGRALES AVEC LIMITES VARIABLES D’INTEGRATION Une primitive peut s’exprimer comme une intégrale définie, dont la limite supérieure d’intégration est variable, en écrivant f(x) ax = J Z f ( x ) d x + c il s’ensuit que

J

Comme une intégrale ne dépend que des limites d’intbgration, nous pouvons utiliser une variable quelconque comme symbole d’intégration. Par exemple

f(x)dx

=

Lb

f(t)dt =

J bf ( u ) du a

etc. Pour cette raison, la variable s’appelle une variable muette. On écrit aussi (11)’par exemple, SOUS la forme

& _r’f(t)dt

f(x)

=

(12)

Ce résultat peut aussi se généraliser au cas où les deux limites d’intégration sont variables, dor s nous obtenons

dt

Exemple :

=

sin x d ( x )

sin x 2 d(x’)

dx

3:

CIX

22

-

2 sin x 2 - sin x X

CHANGEMENT DE VARIABLE DANS LES INTEGRALES f ( x ) d x n’est pas immédiat à l’aide des fonctions élémentaires, le résultat

Si le calcul de

peut être obtenu en changeant la variable x en t , au moyen d’une transformation x = g ( t ) . Le théorème fondamental nous permet de faire ce calcul d’après la formule

J f ( x )dz

=

J f(c/(t))

dt

(14)

où après avoir obtenu la primitive de droite, nous remplaçons t par sa valeur en fonction de x , c’est-à-dire t = g- ( x ) , en supposant que g- 1 existe. Ce résultat est analogue à la règle de dérivation des fonctions composées (cf. page 59). Le théorème correspondant pour les intégrales est

où g ( a ) = a et g ( p ) = b , c’est-à-dire a = g-1 ( a ) , 0 = g- ( b ) . Ce résultat est certainement vrai si f ( x ) est continue sur [ a , €11 et si g ( t ) a une dérivée continue dans [ a ,01 .

INTEGRALES DES FONCTIONS ELEMENTAIRES Les rksultats suivants peuvent se démontrer en dérivant les deux côtés pour aboutir à une identité. Dans chaque cas, on devrait ajouter une constante c (que nous n’avons pas écrite, ici). +1

2.

3.

du Jy

= Log lu1

sinu du

=

-COSU

4. 5. -6.

cosz! d u

J tg

1(

=

sinzc

di! = Log

cotg u d u = Log’sinu~

,

84

Analyse

cotg u

21.

s

du zu = th u

22.

s

sh2 u

23.

J

du

-

coth u

= -

I I;

= Log tg

9.

10.

du

scos2u -- Q

u

J”” sin2 u

cotg u

11.

s

12.

J

=

ud?!cos u

=-

cotg u sin u

s

coth u

1

=

sh u

Arc sin-

du

1 sin u

>O,

28,s

du

-=-

a

- - Arccotg

OU

’

u-a

1

s

30,s

ch u du = sh u

=

du _- _ Arccos - a2 a

1

31.sJ-

Log ch u

du

coth u d u = Log / s h u du

ch u du

sh u

=

=

1

32.

sd

m du

3 4 . s e m cos bu du

- Arc cotg (ch u )

a

1 ~

cos

(I)

- 3

2

+ Jmül

Log lu

u __ = : d a Z - u2

3 3 . s P sin bu d u =

Arctg (sh u )

1

U

=“dm2

s ss-

a

- ou -

udu2

a2

20.

COS-

a

u2

f-

19.

U

ou - Arc

+JET

Log lu

=

du 1 U + a2 =-a Arctg -

27,s

a# 1

e U d u = eu

1 7 , s t h u du

18.

U

a

--

al‘ a Log a

-

ch u

du =.--

du

1

1

-

sh u du = ch u

15.

16.

th u du = ch u

cos u

-du =

1 3 , s a U d u =14.

-

~

eau (a sin bu

-+- a’2

Arcsin

- b cos b u )

+ bZ eQU ( a cos bu + b sin b u ) = a2 + b2 a2

METHODES PARTICULIERES D’INTEGRATION 1.

Intégration par parties.

où u = f ( x ) et u = g(x). Le résultat correspondant pour les intégrales sur un intervalle [ a , b ] est certainement vrai si f ( x ) et g ( x ) sont continues et admettent des dérivées continues sur [ a , b ] (cf. problèmes 18 à 20). 2.

Fractions rationnelles. Si

P(X) est Q (4

une fraction rationnelle, où P ( x ) et Q (x) sont deux

polynômes, dont le degré de P ( x ) est plus petit que celui de Q(x), nous pouvons l’écrire A Ax B où comme la somme de fractions rationnelles de la forme (ax b)” (ax2 bx c)“ r = 1 , 2 , 3 , . . . qui peuvent toujours être intégrées au moyen des fonctions élémentaires.

+

Exemple 1 : Exemple 2 :

32 - 2 - - A 42-3 (42 - 3 ) ( 2 f ~ 5)3

52’- x

(X2

+2

+ 2%+ 4 ) ’ ( X

- 1)

-

-t

B ~

(2Xf5)3

+

+

A + z TD T

Ax+B Cz+D ( ~ ~ + 2 ~ + x4 2)+ ~2 x + 4

E +-2-1

+

+

Chapitre S/Intégrales

85

Les constantes A , B , C , etc . se trouvent en mettant les fractions au même dénominateur et en égalisant les coefficients des x de même puissance o u en utilisant des méthodes particulières (cf. problème 21).

3.

Les fonctions rationnelles en sin x et cos x peuvent toujours s’intégrer au moyen des fonctions élémentaires par le changement de variables tg x/2 = u (cf. problème 22).

4.

On emploie souvent des méthodes particulières qui dépendent de la forme de l’intégrande.

INTEGRALES IMPROPRES Si le domaine d’intégration [ a , b ] n’est pas fini ou si f ( x ) n’est pas définie ou n’est pas bornée en un ou plusieurs points de [ a , b ] , alors l’intégrale de f ( x ) sur ce domaine s’appelle une intégrale impropre. Dans de tels cas, nous pouvons définir les intégrales en utilisant des opérations appropriées sur les limites. Exemple 1 :

lm dx

= lim Me-=

SM*

M

-

+ x2

lim

[Arctg

M+-

xl0

71

= lim Arctg M = M-t2

Comme cette limite n’existe pas, nous disons donc que l’intégrale diverge (c’est-à-dire ne converge pas).

Pour plus de détails sur les intégrales impropres, voir le chapitre 1 2 . METHODES NUMERIQUES DE CALCUL DES INTEGRALES Les méthodes numériques de calcul des intégrales s’utilisent dans le cas où les intégrales ne peuvent être évaluées exactement. Les méthodes numériques suivantes sont basées sur la subdivision de l’intervalle [a , b ] en n intervalles égaux de longueur Ax = ( b - a ) / n . Pour simplifier, nous noterons f ( a . + k A x ) = f ( x k )par yk , où k = O , 1 , 2 , . . . , n . Le symbole x signifie “approximativement égal”. En général, l’approximation s’améliore quand n augmente.

1 Méthodes des rectangles. ibf(X)dî. A x { y o + y i + y z + . . . +yn-i} ou A x { y i + y z + ? ~ 3 +. . . + y n } L’interprétation géométrique est évidente d’après la figure de la page 80.

2.

(16)

Méthodes des trapèzes. Jb

AX

f(x) dx

y ( y 0

+ 2y1+ 2ga + . + 2yn-1 + yn} * *

Ceci s’obtient en prenant la moyenne des approximations dans (16). Géométriquement, on remplace la courbe y = f ( x ) par un ensemble de segments qui l’approxime.

3.

I’ -

Méthode de Simpson.

f(x)dx

AX

+

+ + 2y4 + 4y5+ . . . + 2yn-2 + 4yn-1 + yn}

3 { y 0 4y1-t2 y ~ 4

. ~ 3

(18)

Ceci s’obtient en divisant [ a , b ] en un nombre pair d’intervalles égaux (c’est-à-dire n est pair), et en approximant f ( x ) par 1 équation du second degré définie par chaque triplet de points successifs xo , x 1 , x 2 ; x 1 , x2 , x 3 ;. . . ; xpt- , x,, x,, . Géométriquement, on remplace la c0urbe.y = f ( x ) par un ensemble d’arcs paraboliques l’approximant.

4. La formule de Taylor peut parfois être utilisée, comme dans le problème 26.

86

Analyse

APPLICATIONS L’utilisation de l’intégrale comme la limite d’une somme nous permet de résoudre plusieurs problèmes physiques ou géométriques de détermination d’aires, de volumes, de longueurs, de moments d’inertie, de centre de gravité, etc.

PROBLEMES RESOLUS DEFINITION D’UNE INTEGRALE 1 . Si f ( x ) est continue sur [ a , b ] démontrez que

Comme f ( x ) est continue, la limite existe indépendamment de la subdivision choisie (cf. problème. 35). Partageons donc l’intervalle [ a , b ] en n sous-intervalles égaux de longueur égale à eY = ( b - a ) / n (cf. figure 5.1., page 80). Soit

t k = a + k ( b - a)/n, k = 1,2, . . .,n. Alors k ( b - a)

,,-,-

n - ~ m k=l

2. Exprimez lim‘ n-tTi

2 f(k)

n k=l

n

k=l

sous forme d’une intégrale.

Posons a = O , b = 1 dans le problème 1. Alors

3. ( a ) Exprimez

l’

x’dx comme la limite d’une somme et utilisez ce résultat pour calculer cette

intégrale. ( b ) Interprétez, géométriquement, le résultat. (a)

Si f ( x ) = x 2 , dors f ( k / n ) = (k/n)’ = k 2 / n 2 , D’où, d’après le problème 2

Ceci peut s’écrire, en utilisant le problème 29 du chapitre 1,

.(O

1

XZdX

=

ce qui est le résultat demandé. 1

(b)

R e m a r q u e : En utilisant le théorème fondamental du calcul intégral, nous constatons q u e l x ’ d x = [x3/3)]A = 13/3 - û 3 / 3 = 1 / 3 . 1 L’aire limitée par la courbe y = x 2 , l’axe des x et la droite x = 1 est égale à -. 3

La limite demandée s’écrit : 1 lim ;n-tz 1 i/n 1 2/n

‘I +

+- +

+

...

+-I + , 1

1

n/n

=

l i m 1- 2 ”n-m

n

k=l

- JI”-O l + x en utilisant le problème 2 et le théorème fondamental du calcul intégral.

1

1

+k/n

= [Log(l + x ) ] ; = L o g 2

Chapitre S/Intégrales

5 . Démontrez que

‘i n +

lim - sin -

n+rn

n

2t sin-

Posons a = O , b = t , f ( x ) = sin x dans le Problème 1. iim t 2 sin kt =

n-m

n

n Alors

ltsinzdz =

n

k=i

1 -coat

+ . . . + sin

n

87

1-cost

d’où 1 iim n

n-m

en utilisant le fait que

2

kt = 1 - cost sin t

n

k=l

sin t lim -- O . njm n

ENSEMBLES DE MESURE NULLE 6. Démontrez qu’un ensemble dénombrable est de mesure nulle. Soit cet ensemble, dont les points sont notés x t , x 2 , x g , x 4 , . . . et supposons que des intervalles de longueurs plus petites que ê / 2 , ê/4, ~ / ,8ê / 1 6 , . . . contiennent ces points, où E est un nombre positif quelconque. Alors la somme des longueurs des intervalles est plus petite que ê / 2 + ê/4 + ê/8 + , . . = E (soient E 1 a = 2 et r = - dans le problème 25 ( a ) du chapitre 3), ce qui montre que l’ensemble est de mesure nulle. 2

PROPRIETES DES INTEGRALES 7. ( a ) Si f ( x ) est continue sur [ a , b ] et si m montrez que m(b-a)

< f ( x ) < M , où m et M b

j- f ( x ) d x

5

sont des constantes, dé-

M(b-a)

5

a

( b ) Interprétez géométriquement, le résultat de la partie ( a ) . (a)

Nous avons

f ( t kA)X k 5

m A X k

MAxr

k = 1,2,...,n

En sommant de k = 1 à k = rn est en utilisant le fait que n

2

AXk

=

( X i - a )

k=l

+

(Xz-21)

+ ... + ( b - Z n - 1 )

= b-a

il s’ensuit que

Et en faisant tendre n vers 00 et chaque Ax, vers zéro, nous en déduisons le résultat cherché. (b)

lY

Supposons que f ( x ) 2 O et continue sur [ a , b ] (voir le graphe de f ( x ) sur la figure 5 . 2 ) . Géométriquement, il est évident que : l’aire ABCD c’est-à-dire,


O , dont o n a tracé le graphe sur la figure d u problème 7 ( b ) , nous pouvons interpréter J f ( x ) d x

comme l’aire d u domaine limité par la courbe y = f ( x ) , l’axe des x , les droites x = a et x = b . Géométriquement, cette aire devrait être égale à celle du rectangle de base b - a et de hauteur f([) par une certaine valeur de t comprise entre a et b .

THEOREME FONDAMENTAL DU CALCUL INTEGRAL.

1 1 . Si F ( x ) = J x f ( t ) d t ,

où f ( x ) est continue sur [ a , b ] , démontrez que F ’ ( x ) = f ( x

a

= f(5) est compris entre x et x h ) , d’après le premier théorème d e la moyenne pour les in égrales (Pro(où blème 10). Si x est u n point intérieur à [ a , b ] , F ( x h) - F ( x ) F’(z) = lim - hlim f(5) = f(4 h-O h -0 car f est continue. Si x = a ou x = b , nous utilisons respectivement les limites à droite et à gauche, et le résultat est encore valable dans ces cas.

+

+

Chapitre S/Intégrales

89

12. Démontrez le théorème fondamental du calcul intégral. D’après le problème 1 1, si F (x) est une fonction quelconque, dont la dérivée est f(x), nous avons F(z) = où

c

X h d t

+

c

est une constante aribraire (cf. la dernière ligne du problème 2 2 , chapitre 4). Comme F ( a ) = c , il s’ensuit que F ( b ) =

lb

f ( t )d t

+ F(a)

lb

f ( t )d t = F ( b ) - F ( a ) .

ou

F(x) = ( f ( t ) d t

13. Si f ( x ) est continue sur [ a , b ] montrez que

est continue sur [ a , b ]

Si x appartient à (a , b ) alors, comme au problème 11, lim F ( z

h-O

+ h) - F ( z )

= Lim hf([) = O -0

et F (x) est continue. Si x = a ou x = b , nous utilisons respectivement les limites B droite et à gauche, pour montrer que F ( x ) est continue en x = a et x = b , Autre méthode : D’après les problèmes 11 et 3 du chapitre 4, il s’ensuit que F ‘ ( x ) existe et donc F ( x ) est continue.

CHANGEMENT DE VARIABLE ET METHODES PARTICULIERES D’INTEGRATION

14. Démontrez le résultat (14), page 83, par changement de variable dans l’intégrale. Soient F ( s ) = i i f ( z ) dx

G(t) =

et

l

f { g ( t ) } g’(t) d t ,

Alors

dF = f(x)dx, dG = f { d t ) ) g ’ ( t ) d t .

Comme

d x = g ’ ( t ) d t , il s’ensuit que f(z) dz = f { g ( t ) } g ’ ( t ) d t

F(x) = G(t)

où

z = g(t).

ainsi

d F ( s ) = dG(t), d’où

+ c.

Et x = a , t = a ou F ( a ) = G ( a ) + c . Mais F ( a ) = G ( a ) = O , d’où c = O . D o n c F ( x ) = G ( t ) . Comme x = b quand t = 0,nous avons

ce qui achève la démonstration.

15. Calculez : dx

( d ) s 2 - ” th 2’-’ dx (a)

Première méthode : Soit

x2 f 4x - 6 = u. Alors (2x 4- 4) dx = d u , (x

LJ 2

s i n u du

=

1 --cosu+ 2

c

+ 2 ) d x =-21 du =

et l’on obtient par l’intégrale

1 --cos(z*+~z-~) 2

+c

Deuxième méthode : J(xf2)

(b)

sin(z2+4x-6)dr

Soit Log x = u

.

= + ~ s i n ( z Z + 4 z - 6 ) d ( z P + 4 ~ - 6= ) -+cos(x2+4x-6)

dx

Alors - = du et pour l’intégrale X

J cotg u d u = Loglsin u / +

c = Logjsin(Log x)l

+ c.

+c

90

Analyse (c)

Première méthode : dx

d(x+ 2 x 3 - 2) 1 En posant x --= 2

Alors

dx

-

= du

, ceci devient

u

= Arc sin-+ u

= Arc sin

+ 2) ( 3 - x )

(x

-1

= Arc sin 0,2

dx 42514

c = Arc sin

512

dx

JI+>

s

dx

- (x-&)2

(y) C.

($) - Arc sin (- $>

+ Arc sin 0,6

Deuxième méthode : 1 3 Posons x - = u , comme dans la première méthode. Alors quand x = - 1 , u = - - ; et quand x = 1 , 2 2 1 u = d’où, d’après le problème 14

-

-2 ’

s_:

-

dx

dx

- (x - *)Z

42514

+ Arcsin 0,6

= Arcsin 0,2 (d)

2 ) dx = du et 2-’dx

= u . Alors -2’-’(Log

Soit 2l-’

=

- 312

=-

-1l Soit u = Arcsin x 2

. Alors

1

du =

2xdx =

2 4 1

‘IJ2

D’où

16. Montrer que

x Arc sin x 2

d -

=

iJ

=

q-

l;x2

L’intégrale s’écrit :

( x Z + x + 1 ) - 1 / 2 d ( x 2 + x + 1 )-fLoglx++

- 2x 2

1 dx =- [(Arc sin

4

dx

Ji

1 + c =-(Arcsin 4

du = - z u 2

2

+

dZiGG’2 du

2 Log 2

2x d x

x (“g

Soit y = Log x

ainsi l’intégrale s’écrit :

et l’intégrale devient :

+c

x2)?

=

4

(Arc sin

ir

=-

n2

144

*

dx

Jd ( x + + 2

I

+4(X+$)~ +3 +

0

dx [ ( x - 1)2

+

31312

.

Soit x - i =

d u 6tg u , dx =-6cos2u .

1 -7 n .Alors l’intégrale devient fi

c2

$1 y:,2

--1 4)3/2 6 ’

u = Arctg O = O ; quand x = 2 , u = Arctg---

17. Calculez

’

[

= Arcsin

+c.

th u du = -Log(ch 2’-’) 2 Log 2

2 Log 2

(e)

du

J*IZ

Quand x = 1 ,

:

XI3 *

,% = dy . Quand x = e , y X

= 1 , quand x = e2 , y = 2. Alors l’intégrale s’écrit

91

Chapitre S/Intégrales

18. Trouvez S x f l Log x dx si ( a ) n # - 1 , ( b ) n = - 1 . (a)

Utilisez l'intégration par parties, en posant u = Log x , dv = x"dx , ainsi du = (dx)/x , v = x n C 1 / ( n I Alors Jx"Logxdx=

(b)

[

xn+l nS1 Log x -

=

fvdv

UV-

&

n t l dx n + i ' F

1 Log x d (Log x ) = - (Log x ) ~ c 2

+

dx = !

X

=

Judv

+ 1).

19. Trouvez j'3-

.

dx

.

= y , 2x 4- 1 = y2

Soit 14-

Alors dx = y dy et l'intégrale s'écrit s 3 Y . y dy. En intégrant par

parties avec u = y , dv = 3Y dy ; alors du = dy , v = 3y/(Log 3), et nous obtenons S 3 Y . y d y = j ' u d v = uv -

20. Calculez

[ l x

u = Log (x

Posons

S

21. Calculez

Log ( x

+

s

3y

(Log 3)*

+c

3) d x .

+ 3 ) , dv = x

x Log(x+3)dx =

dy=---y . 3y Log 3

Log 3

X2

dx dx Alors du = v=D'où, en intégrant par parties, x+3' 2 .

2

6-x

(x- 3 ) ( 2 x + 5 )

En décomposant la fraction en fractions élémentaires, nous avons

(5 - 3

+

) ( 2 ~ 5)

-

-x A+- 3 -

B 2x+5'

Première méthode : Pour déterminer les constantes A et B , nous multiplions les deux côtés de l'égalité précédente par (x - 3) (2x 5) et nous obtenons

+

6-2

+

= A ( 2 ~ + 5 ) B(z-3)

D'où, en identifiant 5.4 - 3 B = 6, 2 A

.I'

(X

+

- 3 ) ( 2 ~ 5 ) dx

+B

= -1

= 5 A - 3B

6-1:

OU

A = 3/11, B = -17/11.

et

(11

Alors 17 22 L o g 1 b + 5 i + c

3

+

+ (2A+B)%

o g I x5 - 3 1 - - 11 = S - d2 x- +3 S - - d x = - L22

Deuxième méthode : En dorinant des valeurs particulières à x , dans l'égalité (1), par exemple x = 3 et x = - 5/2 , nous trouvonsA = 3/11 et B = - 17/11.

22. Calculez

j'5 + dx3 cos x

en posant u = tg x / 2

.

D'après la figure 5.3, nous voyons que sin 212 =

U ~

cos X I 2 =

1

~

rn

7% 1 Fig. 5-3

92

Analyse 11+UZ' du X / 2 du = l + U Z . u2

Alors cosx = cos2x/2 - sin2x/2 = dx

dx = 2

OU

COSz

L

1 U2 =-Arctg-+ 2

D'où l'intégrale s'écrit

23. Calculez

x=

Soit x =

c = - A21r c t g

cos2x dx. sinx

+

Alors

X-y.

(a- y) sin y

x sin x

-

d(cosy)

-

ï

=

sin y

Posons x = n/2

et

-

du

O

dsin x

24. Montrez que

y siny

[Arctg(cosy)] ? i - I = n 2 / 2 - ~

- X

1 f coszy

d'où 21 = n / 2

(+g;)+c

ax

=

-.4 ?r

y , nous obtenons

I = n/4

.

On peut utiliser la même méthode pour démontrer que pour toutes valeurs réelles de m , nous avons

1

TI^

sin"x dx sinmx cosmx

+

X

= 4

(cf. problème 94).

Remarque : Ce problème et le problème 23 montrent que des intégrales peuvent être calculées sans trouver leurs primitives

METHODES NUMERIQUES DE CALCUL DES INTEGRALES

25. Calculez, approximativement,

1

dx

, , T 3

en utilisant ( u ) la méthode des trapèzes,

( b ) la mé-

thode de Simpson où l'intervalle [O, 11 est divisé en n = 4 intervalles égaux.

+

Soit f ( x ) = 1/( 1 x 2 ) . En utilisant la notation de la page 85, nous trouvons A x = ( b - a ) / n = ( 1 - 0)/4 = O, Alors, en prenant 4 décimales, nous avons : y o = f ( 0 ) = 1,000, y i = f(0,25) = 0,9412, y z = f ( 0 , 5 0 ) = 0,8000, y 3 = f(0,75) = 0,6400, y 4 = f( I ) = 0,5000. (a)

Ax

-{yo

2

La méthode des trapèzes donne

4- 2yi -k 2y2

0,25 + 2 y 3 + y4} = 2 (1,0000 + 2(0,9412) + 2 (0,8000) + 2 (0,6400) -t 0,500} = 0,7828 .

Chapitre S/Intégrales (b)

93

La méthode de Simpson donne

{yo + 4yi + 21/2 + 4 ~ + 3 y4) = 3 Ax

O 25 3 {l,OOOO + 4(0,9412) + 2(0,8000) + 4(0,6400) + 0,5000)

= 0,7854.

0,7854.

La vraie valeur est : n/4

26. ( a ) Calculez, approximativement , l’erreur maximale.

l1

8’dx , en utilisant la formule de Taylor et ( b ) calculez

Comme dans le problème 28, chapitre 4, nous trouvons x4

23

XE

e2 = 1 + x + - + - + - + 2! 3!

4!

x5eE 5!

O < [ < %

Alors, en remplaçant x par x 2 ,

Et en intégrant de O à 1

=

+-9 r 4 ! + E

1+;+*+*

=

1,4618

+E

D’où l’erreur maximale est inférieure à 0,0021 et la valeur de l’intégrale exacte à deux décimales est 1,46. En utilisant plus de termes de la formule de Taylor, o n obtient un résultat plus près de la valeur exacte de l’intégrale.

APPLICATIONS

27. Trouvez ( a ) l’aire et ( b ) le moment d’inertie par rapport à l’axe des y du domaine du plan xy limité par la courbe y = 4 - x2 et l’axe des x . (a)

Partageons le domaine en rectangles, comme dans la figure, page 80. La figure 5.4 nous montre un rectangle de cette forme. Mors l’aire demandée

= lim n-oo

k=l

f(ck) A X ~

n

= lim n-im

2 (4-E;)Axlc k=l

93.5

= J-:(4-xp)

dx

=

32 -

3

Fig. 5-4 (b)

En le supposant de densité unité, le moment d’inertie de part et d’autre de l’axe des y d u rectangle particulier, indiqué sur la figure 5.4, est @ ( g k ) Atk . Alors le moment d’inertie demandé

= lim n-x

n

n

2 [ t f ( t k )Axk k=l

=

iim n-x

128 16

2 6; (4 - )6: k=l

Axk

94

Analyse

28. Trouvez la longueur de l’arc de la parabole y = x 2 de x = O à x = l . La longueur demandée de l’arc

=

1’dl +

=

l ‘ d m d x

( d y / d x ) 2d x

=

i

’

d

w

d

x

=

29. Trouvez le volume engendré par le domaine du problème 27, tournant autour de l’axe des x )1

= lim

Le volume demandé

n-Lo

2 ~y,kAxk = k=l

T

$:

,

(4 - x ’ ) ~d x = 512~/15.

PROBLEMES DIVERS 30. Si f ( x ) et g ( x ) sont continues sur [ a , b ] démontrez l’inégalité de Schwarz pour les intégrales : b

Nous avons

pour toutes valeurs réelles de h . D’où, d’après le problème 13 du chapitre 1, en utilisant (1 ) avec

nous trouvons Cz

< A Z B 2 ,ce qui prouve le résultat

. -

demandé.

31. Démontrez l’équation (8)’ page 82, du second théorème de la moyenne, sous les hypothèses d’existence et de continuité de g ’ ( x ) sur [ a , b ] et avec les autres hypothèses. Soit F ( x ) = l x f ( t ) d t . Alors en intégrant par parties,

l e r Cas :g(x) est croissante, c’est-à-dire g’(x) 2 O . Alors, d’après la généralisation du premier théorème de la moyenne (cf. page 82), nous avons

1’

g f ( x )F ( X )d x

où

E

=

F ( t ) Jb

d ( z )d z

=

Fk) [ d b ) - d a ) ]

appartient à ( a , b ) . Ainsi Jb

f ( x )g(x) d z

- F ( t )[ d b ) - d a ) ]

=

d b )F(b)

=

s ( a ) F ( 5 ) + g ( b ) [ F ( b )- F(01

2eme Cas : g ( x ) est décroissante, c’est-à-dire g’(x)

O , quelconque, nous pouvons prendre chaque Ax, assez petit pour que M , - mk < ~ / ( -b a ) . Il s’ensuit que


-1.

si p

A>

40. En utilisant la définition, montrez que

Rep.

(x2-4x)dx.

Jb

ezdx

=

eb - e".

41. Etudiez directement le problème 5, en utilisant le problème 94 d u chapitre 1 42. Démontrez que lim n-)w

43. Montrez que

lim

,+

{+ -+ ... + &G-F \/n?s2a 1

2=, n n2+ k2x2

Arctg

si ~ Z O .

X

PROPRIETES DES INTEGRALES 44. Démontrez

( a ) la propriété 2,

( b ) la propriété 3 de la page 81.

45. Si

f ( x ) est intégrale sur ( a , c ) et

46. Si

f ( x ) e t g ( x ) sont intégrables sur [ a , b ] et si f ( x )

47. Démontrez que 1 48. Montrez que

- cos x

li*-dzl

2

x 2 / n pour

s

lb

( c , b ) démontrez que

O

O, s’appelle un 6-voisinage rectangulaire du point ( x , , y ) ; O < Ix - x o I < 6 , O < Iy - y , 1 < 6 qui ne contient pas le point ( x , , y , ) s’appelle un 1-voisinage rectangulaire, épointé de ( x o , y , ) . On peut < 6 * est u n 6utiliser d’autres formes de voisinage, par exemple ( x - x,)’ (y voisinage circulaire au point ( x , , y , ) [aussi appelé &boule de centre ( x , , y , )].

+

On dit qu’un point ( x , , y , ) est un point d’accumulation d’un ensemble S si tout 6voisinage épointé de ( x , , y , ) contient au moins un point de S . Comme dans le cas des ensembles de dimension un, tout ensemble infini et borné possède au moins un point d’accumulation (cf. pages 5 et 50, le théorème de Bolzano-Weierstrass). On dit qu’un ensemble est ferme, s’il contient tous ses points d’accumulation.

DOMAINES On dit au’un point P appartenant à un ensemble S est un point intérieur à S , s’il existe un 6-voisinage de P ne contenant que des points de S. On dit qu’un point P , n’appartenant pas à S , est un point extérieur à S , s’il existe un &-voisinage de P ne contenant aucun point S . Un p o i n t P appartenart à S est un point frontière de S , si tout &-voisinage de P contient des points de S et des points n’appartenant pas à S. On dit qu’un ensemble S est connexe, si deux points quelconques de S peuvent être joints par un chemin constitué d’un nombre fini de segments de droites. Un domaine est un ensemble connexe constitué de ses points intérieurs et éventuellement de points frontières. Un domaine fermé est un domaine contenant tous ses points frontières. Un domaine ouvert ne contient que ses points intérieurs. Les figures 6.1.(u), ( b ) et ( c ) nous montrent quelques exemples de domaines.

X

X

Le domaine rectangulaire de la figure 6.1. ( a ) , contenant sa frontière, représente l’ensemble des points a < x < b , c < y < d ce qui est une extension naturelle de l’intervalle fermé [ a , b ] en dimension un. L’ensemble a < x < b , c < y < d correspond à l’intérieur du précédent (c’està-dire que l’on a Ôté la frontière). Dans les domaines des figures 6.1. ( a ) et 6.1. ( b ) , toute courbe simple fermée (qui ne se recoupe pas) à l’intérieur du domaine peut se contracter en un point, qui est aussi dans le domaine. On dit que de tels domaines sont simplement connexes et que la courbe est homotope à un point. Cependant, dans la figure 6.1. (c), une simple courbe fermée ABCD entourant un des “trous” du domaine ne peut pas être homotope à un point intérieur au domaine. De tels domaines ne sont pas simplement connexes.

LIMITES Soit f ( x , y ) une fonction définie sur un 6-voisinage épointé de ( x , , y , ) (c’est-à-dire f ( x , y ) peut ne pas être définie en ( x , , y , ) ) . On dit que 1 est la limite de f ( x , y ) quand x tend vers x, et y vers y, [ou, quand ( x , y ) tend vers ( x , , y , ) ] et l’on écrit lim f ( x , y ) = 1 [ o u x +xo

Y-+Y,

Chapitre 6/Dérivées partielles

> O, il existe un nombre 6 > O [dépendant et de ( x o ,y o ) , en général], tel que I f ( x , y ) - Il < E quand O < lx-xo 1 < 6 et O < / y - y o I < 6 . Si nous le désirons, nous pouvons utiliser un voisinage circulaire O < (x - x o ) 2 + ( y - y. ) 2 < ô 2 , f ( x , y ) = I l si, quel que soit le nombre

lim

(2.Y)

de

E

103

+

E

(xo I Y o )

au lieu d’un voisinage rectangulaire. 3xy si b , y ) f (1, 2 )

. Quand x + 1 et y + 2 [ou (x , y ) + (1, 2 ) ] f(x, y ) tend O si ( x , y ) = (1, 2 ) vers 3.(1). ( 2 ) = 6 et nous pensons bien que lim f ( x , y ) = 6. Pour démontrer ceci nous devons

Exemple : Soit f ( x , y ) =

x- 1 Y - 2

montrer que la définition ci-dessus est vérifiée avec 1 = 6. Une telle démonstration peut être donnée par l’emploi d’une méthode analogue à celle du problème 4. Remarquons que lirn f ( x , y ) f f( 1, 2 ) car f( 1, 2 ) = O. La limite serait en fait égale à 6, même X’l

Y’2

si f(x , y ) n’était pas définie en (1, 2 ) . Donc l’existence de la limite de f ( x , y ) quand ( x , y ) + ( x o , y o ) ne dépend pas de l’existence d’une valeur de f ( x , y ) en ( x o , y o ) .

Remarquons, d’abord, pour que

lim (x 9 Y )

-+

f(x , y ) existe il faut que cette limite ait la même

(xo Y01 9

valeur quelle que soit la façon dont (x , y ) tend vers (xo , y o ) . Il s’ensuit, que si deux approches différentes donnent des valeurs différentes, la limite n’existe pas (cf. problème 7 ) . Ceci implique, comme dans le cas des fonctions d’une variable, que si la limite existe, elle est unique. Les notions de limites à droite et à gauche, pour les fonctions d’une variable, s’étendent facilement aux fonctions de plusieurs variables. Arctg ( y l x ) = n / 2 ;

Exemple 1 : lim

lim Arctg ( y l x ) = - n/2. x-o-

x -O+ Y 3 1

’Y

Exemple 2 : lim

1

Arctg ( y i x ) n’existe pas, car les deux limites de l’exemple 1 donnent des résultats dif-

X’O

Y‘l

férents.

En général, les théorèmes sur les limites, les concepts de l’infini, etc., pour les fonctions d’une variable (cf. p. 24) s’appliquent aussi bien aux fonctions de plusieurs variables, avec des modifications adéquates.

LIMITES DOUBLES Les limites doubles lim x-0

1

lim f ( x , y )

Y-Y0

\

iim f ( x , y ) !

[notées aussi, respectivement

lirn lirn f ( x , y ) et lim lim f ( x , y ) ] ne sont pas nécessairement égales. Bien qu’elles doivent x-0

Y+YO x-xo

Y-YO

être égales si lirn f ( x , y ) existe, leur égalité ne nous garantit pas l’existence de cette dernière limite. X‘X0

Y’YO

-)

Exemple : Si f ( x , y ) = - ’, alors lim (iim X - Y = lim (1) = i et iim Qim X+Y X’O y+o x + Y x-O yeo -0 x + Y lirn (- 1) = - 1. D’où les limites doubles ne sont pas égales et donc, lim f ( x , y ) n’existe pas. Y+O

X-t

O

Y-0

CONTINUITE Soit f (x , y ) définie dans un 6-voisinage de (xo, y o ) [(c’est-à-dire f ( x , y ) doit être définie aussi bien en (xo , y o ) qu’au voisinage de ce point]. On dit que f(x , y ) est continue en (xo, y o ) si pour tout E > O, il existe 6 > O [dépendant, en général, de E et (xo , y o ) ] tel que I f ( x , y ) - f ( x o , y. )I < E quand lx - xo 1 < 6 et Iy - y. 1 < 6. Remarquons que les trois conditions suivantes doivent être satisfaites pour que f ( x , y ) soit continue en ( x o , y o ) :

104

Analyse

1.

f ( x , y) = 1, c’est-à-dire la limite existe, quand ( x , y )

lim

+

( x o , y. ).

( X > Y ) + ( X o’Y0)

2. f ( x o , y o ) doit exister, c’est-à-dire f ( x , y ) est définie en ( x o , y o ) . 3. 1 = f ( x 0 Y o ) . Si on le désire, on peut écrire ceci de façon suggestive lim f ( x , y ) = f(1im x, lirn y ) . 1

x+x0 Y+YO

X+XO

Y+YO

f ( x , y ) n’est pas continue en (1, 2 ) . Si nous redéfinissons la fonction de façon que f ( x , y ) = 6 pour (x , y ) = (1, 2 ) , alors la fonction devient continue en (1, 2 ) .

Si une fonction n’est pas continue en un point ( x o , y o ) on dit qu’elle est discontinue en ce point, qui s’appelle un point de discontinuité. Si, comme dans l’exemple ci-dessus, il est possible de donner une valeur à la fonction au point de discontinuité, tel que la nouvelle fmction soit continue, on dit que l’on a prolongé par continuité l’ancienne fonction. On dit qu’une fonction est continue sur un domaine D du plan x y , si elle est continue en tout point de D. On peut étendre de nombreux théorèmes sur la continuité des fonctions d’une variable aux fonctions de plusieurs variables, avec des modifications appropriées.

CONTINUITE UNIFORME Dans la définition de la continuité de f ( x , y ) en ( x o , y o ) , 6 dépend de f, et en général de ( x o , y o ) . Si, dans un domaine D, nous pouvons trouver un 6 qui ne dépende que de E et non d’un point particulier ( x o , y o ) de D [c’est-à-dire que le même 6 convient pour tous les points de DI,alors nous dirons que f ( x , y ) est uniformément continue dans D. Comme dans le cas des fonctions d’une variable, on peut démontrer que toute fonction continue sur un domaine fermé borné est uniformément continue dans ce domaine.

DERIVEES PARTIELLES On appelle dérivée partielle d’une fonction de plusieurs variables indépendantes par rapport à l’une d’elles, la dérivée ordinaire de cette fonction par rapport à cette variable, en considérant les autres variables comme des constantes. Les dérivées partielles de f ( x , y ) par rapport à x et à y se notent, respectivement,-

af [ou ax

fk

, f:

( x , y)] et

Sf [ou aY

fi , fi ( x , y ) ] .

Par définition

quand ces limites existent.

af ( x o , y o ) = f: ( x o , y o ) et af ( x o , y o ) = ax

aY

fi ( x o , y 0 ) désignent

res-

pectivement les valeurs des dérivées partielles par rapport à x, et à y , au point ( x o , y o ) .

+

+

Exemple : Si f(x, y) = 2x3 3 3 9 , alors f : = df/& = 6 2 3y2 et f i ( 1 , 2 ) = 6(1)’ 3(2)2 = 18, f:(1,2) = 6(1)(2) = 12.

+

fi

= af/ay =

~ X Y .Donc,

Si une fonction f admet des dérivées partielles af/ax, aflay continues dans un domaine, alors f est continue dans ce domaine. Cependant, l’existence seule des dérivées partielles n’implique pas la continuité de f (cf. problème 9).

105

Chapitre 6/Dénvées partielles

DERIVEES PARTIELLES D’ORDRE SUPERIEUR Si f ( x , y ) admet des dérivées partielles en tout point ( x , y ) d’un domaine, alors ôf/ôx et a f / ô y sont elles-mêmes des fonctions de x et y qui peuvent aussi avoir des dérivées partielles. Ces dérivées secondes se notent :

fiYi

fy,

fy,

Si et sont continues, alors f y y = et l’ordre de dérivation est sans importance ; autrement elles peuvent ne pas être égales (cf. problèmes 13 et 43).

fi;

fil

Exemple : Si f ( x , y ) = 2 x 3 -k 3 x y 2 (cf. l’exemple précédent), alors = 12x, = 6x, Dans ce cas : f,:(l, 2 ) = 12, f l Y ( l , 2 ) = 6 , f & ( i , 2 ) = f ” (1, 2) = 12.

fly= 6y = f;,.

Y,

On peut définir de façon similaire les dérivées d’ordre supérieur. Par exemple

a3f ax2

f,

111

-

ay

est la dérivée de f prise une fois par rapport à y , puis deux fois par rapport à x.

DIFFERENTIELLES Soient Ax = dx et A y = dy les accroissements donnés respectivement à x et y . Alors A2

= f ( x + A x , y + A y ) - f ( x , y ) = Af

(8)

est l’accroissement de z = f ( x , y ) . Si f ( x , y ) possède des dérivées partielles premières continues dans un domaine, alors

où e l et

e 2 tendent vers zéro quand Ax et- A y tendent vers zéro (cf. problème 14). L’expression dz

82

= -dx aX

a2 + -dy aY

OU

df

=

af -dx dX

+ -aYafd y

(5)

s’appelle la différentielle totale ou simplement la différentielle de z ou f , ou la partie principale de Az ou Af. En général, Az # dz. Cependant, si Ax = dx et Ay = dy sont “petits’’, alors dz est une bonne approximation de Az (cf. problème 15). Les quantités dx et d y , appelées respectivement les différentielles de x et y , ne sont pas nécessairement petites. Si f est telle que A f (ou Az) puisse s’exprimer sous la forme (4), où e l et e2 tendent vers zéro quand Ax et A y tendent vers zéro on dit que f est différentiable en ( x ,y ) . La simple exisn’implique pas la différentiabilité de f ; cependant la continuité de f : et tence de f k et suffit (bien que cette condition soit légèrement plus restrictive que celle nécessaire). Dans le cas où et sont continues dans un domaine D, nous disons que f est continûment différentiable dans D.

fi

fb

fk

fb

THEOREMES DE DIFFERENTIATION Dans ce qui suit, nous supposons que toutes les fonctions possèdent des dérivées partielles continues dans un domaine D, c’est-à-dire les fonctions sont continûment différentiables dans D.

1. Si x = f(xi, xz,

. . ., xn), df

alors

af = -dx1 8x1

af + -dxz ax,

+

* * *

af + -dx, ax,

où les variables x1 , x 2 , . . , ,x, sont indifféremment indépendantes ou dépendantes d’autres variables (cf. problème 20). Ceci généralise le résultat ( 5 ) . Dans (6), souvent nous utilisons z à la d ace de f.

111

fyx2

106

Analyse

2. Si f ( x l ,x 2 , . . . , x,) = c, une constante, alors df = O. Remarquons que dans ce cas, xl, x 2 ,. . . , x, ne peuvent pas être toutes des variables indépendantes.

+ Q(x , y) dy

(ou, brièvement,P dx + Q dy) est la différentielle ap aQ d’une fonction f ( x , y) si et seulement si - = -. Dans ce cas, P d x Q dy est dite ay ax différentielle exacte.

3. L’expression P ( x , y) d x

+

4. L’expression P ( x , y , z ) dx

+ Q (x , y , z)dy + R ( x , y , z)dz (ou, brièvement,P d x +

aQ + R d z ) est la différentielle d’une fonction f ( x , y , z ) si et seulement si-ap = -, ay ax a s - aR aR ap - -- - =Dans ce cas P d x + Q dy t: R dz est dite différentielle exacte. az ay ’ a~ a2

l2Jy

,

Les démonstrations des théorèmes 3 et 4 sont obtenues simplement par des méthodes des chapitres suivantes (cf. chapitre 10, problèmes 13 et 30).

DIFFERENTIATION DES FONCTIONS COMPOSEES Soit z = f ( x , y) où x = g ( r , s),y = h ( r , s) aussi z est une fonction de r et s. Alors

on a

a u -ark

au axl -

axl drk

+ -axz au - +ax2 ark

...

du a X n + -dx, - ark

k = 1,2,. .. , p

En particulier, si x l ,x 2 ,. . . , x, ne dépendent que de la variable s, alors

du ds

-

au dxi axi ds

d-u dxP + ... + au dxn + -ûx2 ds axn d s

(9)

Ces résultats s’utilisent souvent pour transformer les dérivées par rapport à un ensemble de variables en d’autres. Les dérivées d’ordre supérieur s’obtiennent par applications successives de ces règles.

THEOREME D’EULER ET FONCTIONS HOMOGENES On dit qu’une fonction F ( x l , x 2 , . . . ,x n ) est homogène de degré p si, pour toutes valeurs du paramètre A, et pour la constante p , nous avons l’identité F ( x x ~X ,X Exemple : F ( x , y ) = x 4 F ( A ~xY) , =

~ ,, ,

.,Xxn)

+ 2xy3 - 5y4

. . .,~ n ) -

(10)

est une fonction homogène de degré 4, car

+ 2 ( ~ 4 ( x 2 / )-3

( ~ 4 4

= XPF(xi,X Z ,

5 ( x ~ ) 4

=

x4(24

+ 2 ~ y -3

5y4)

=

x4

qz, y)

Théorème d’Euler : Si une fonction F(xl , x 2 ,. . . , x,) est homogène de degré p , alors (cf. problème 25)

Chapitre 6/Dénvées partielles

107

FONCTIONS IMPLICITES En général, une équation de la forme F ( x , y , z ) = O définit une variable, par exemple z, comme une fonction des deux autres variables x et y , On dit que z est une fonction implicite de x et y , pour distinguer ceci du cas d’une fonction explicite f , où z = f ( x , y ) vérifiant F [ x : Y f ( x , Y11 = o. La différentiation des fonctions implicite n’est pas difficile pourvu que l’on se souvienne quelles sont les variables dépendantes et indépendantes. 9

9

JACOBIENS Si F ( u , u ) et G ( u , u ) sont différentiables dans un domaine, le déterminant jacobien ou brièvement le jacobien de F et G, par rapport à u et u est le déterminant fonctionnel du second ordre défini par I

aF aF -I

au av aG aG _ au av

De même, le déterminant d’ordre 3

est le jacobien de F, G et H , par rapport 2 u, u et w. On peut facilement généraliser ceci.

DERIVEES PARTIELLES UTILISANT LES JACOBIENS Les jacobiens sont souvent utiles pour calculer les dérivées partielles de fonctions implicites. Par exemple, considérons les équations simultanées

F ( x , y , u , v ) = O,

G(x,y,h,v) = O

en général, nous pouvons considérer u et u comme des fonctions de x et y . Dans ce cas, nous avons (cf. problème 31)

a(F,G ) 8th - --a(x,V) ax a(F,G ) ’ a(% v )

a(F,G ) a(Y,v) au - -aY a(F,G)’

w,G )

dv ax

-

a(% v)

a(F, G ) a ( u , x ) av a(% Y ) - -- __ -a(F,G) ’ aY a(F, G ) a(% v ) a(% v )

Ces idées s’étendent facilement, d’où si nous considérons les équations simultanées

F ( u , v , w , x , y ) = O,

G(u,v, W , X ,y ) = O,

H(u,v,w,x,y) = O

nous pouvons, par exemple, considérer u, u et w comme des fonctions de x et y . Dans ce cas

v,G , H ) au -

ax

- -

a(x,v, w )

a(F, G , H ) ’ a(% v,w )

- - dY

a(F,G , H ) v , Y) a(F, G, H ) a(% v , w)

avec des résultats analogues pour les autres dérivées partielles (cf. problème 33).

108

Analyse

THEOREMES SUR LES JACOBIENS Nous supposerons dans ce qui suit, que toutes les fonctions sont continûment différentiables. 1. Une condition nécessaire et suffisante pour que les équations P ( u , u , x , y , z ) = O, G( u , u , x , y , z ) = O puissent être résolues par rapport à u et u (par exemple) est que

a(F, G) a(u, u)

ne soit pas identiquement nul dans un domaine D.

On démontre des résultats analogues pour m équations à n inconnues, oh m

< n.

2. Si x e t y sont des fonctions de u et u, tandis que u et u sont des fonctions de r et s,

Ceci est un exemple de règle de composition par les jacobiens. Ces résultats se généralisent (par exemple, cf. problèmes 114 et 116). 3. Si u = f ( x ,y ) et u = g ( x , y ) alors, pour qu’il existe une relation fonctionnelle de la forme @ ( u ,u) = O entre u et u il faut et il suffit que a ( u ~

’ 9

Y)

soit identiquement nul. Résultats

analogues pour IZ fonctions 2 n variables. D’autres propriétés des jacobiens apparaissent au chapitre 7 , avec une interprétation vectorielle.

TRANSFORMATIONS En général, l’ensemble des équations

x = F(u,w) y = G(u,v)

définit une transformation ou application, qui établit une correspondance entre des points des plans uu et xy. Si, 6 chaque point du plan uu il correspond un unique point du plan xy, et inversement, nous disons que l’application (ou transformation) est bijective. 11 en est ainsi, si F et G sont continûment différentiables avec un jacobien non identiquement nul dans un domaine. Dans ce cas (dans lequel nous nous placerons toujours sauf indication contraire), on dit que les équations (1O) définissent une application (ou transformation) continûment différentiable. En général, l’image d’un domaine fermé D du plan xy est, par la transformation ( I O ) , un domaine fermé D’ du plan uu. Alors, si AA,, et AA,, désignent, respectivement, les aires de ces domaines, nous pouvons montrer que

(ou AA,,) tend vers zéro, Le jacobien de droite dans ( I l ) s’appelle le jacobien de la transformation ( I O ) . oh la limite est prise quand AA,,

Si nous résolvons ( I O ) en u et u, nous obtenons la transformation u = f ( x , y), u = g(x , y ) a ( u , u) a@ Y ) qui s’appelle la transformation inverse de (1O). Les jacobiens et -de ces transforma,Y ) a ( u u) tions sont réciproques l’un de l’autre (cf. problème 45). Donc si un jacobien est différent de zéro dans un domaine, l’autre l’est aussi. 9

9

Les propriétés ci-dessus s’étendent aux transformations en dimensions trois ou plus. Nous nous occuperons encore de ces questions au chapitre 7, oh l’étude se fait, plus simplement, au moyen des notations et interprétations vectorielles.

Chapitre 6/Dénvées partielles

109

COORDONNEES CURVILIGNES Si ( x , y ) désigne les coordonnées cartésiennes d’un point du plan x y , nous pouvons penser que ( u , v ) sont des coordonnées caractérisant le même point, car en connaissant ( u , v ) nous pouvons déterminer ( x , y ) d’après ( 1 O ) . Les coordonnées ( u , Y ) s’appellent des coordonnées curvilignes du point. Exemple : Les coordonnées polaires ( p , @ )d’un point correspondent au cas u = p , v = les équations ( 1 0 ) de la transformation s’écrivent x = p cos @, y = p sin 4.

4. Dans ce cas

Pour les coordonnées curvilignes, en dimension supérieure, voir le chapitre 7 .

THEOREME DES ACCROISSEMENTS FINIS ET FORMULE DE TAYLOR 1. Théorème des accroissements finis. Si f ( x , y) est continue sur un domaine fermé et si elle admet des dérivées partielles à l’intérieur du domaine (c’est-à-dire à l’exclusion des points frontières), alors f ( z o + h , y o + k ) - f ( z o , y o ) = hf:(xo+eh,yo+ek)

+ kf;(Xo+eh,yo+ek)

Parfois, ceci s’écrit aussi en posant h = Ax = x - x o et h = A y = y 2.

O < e < 1 (1.2) - yo.

Formule de Taylor. Si f ( x , y ) admet des dérivées partielles, d’ordre n, continues dans un dol)eme existent dans le domaine ouvert, alors maine fermé et si les dérivées partielles ( n

+

n!

où R,, qui est le reste des n termes, s’écrit

et où nous utilisons la notation opérationnelle

= h2fZz(xo,yo)

a

+ 2hkf:b,(xo,yo) +

+ h ->”a

k2fi:(X0,yo)

(152

par la formule du binôme. aY Parfois, l’équation ( 1 3 ) s’écrit en posant ‘h = Ax = x - xo et h = A y = y - y o . Remarquons que (12) est un cas particulier de (13)’ où n = O. Dans le cas où lim Rn = O pour tout (x , y ) d’un domaine ce résultat peut être utilisé pour

etc., où nous développons formellement ( h

n -t-

obtenir un développement de f ( x ) en série entière double en (x - x o ) et (y - y o ) convergente dans ce domaine, qui s’appelle le domaine de convergence. Cette série s’appelle une série de Taylor de deux variables. On peut aussi étendre ces résultats aux fonctions de trois variables ou plus.

110

Analyse

PROBLEMES RESOLUS

FONCTIONS ET GRAPHES

kPO. (a) /(-2,3)

(c)

= (-2)3 - 2(-2)(3)

f ( x 7 y + k ) - f(zyy) k-

+ 3(3)’

= ‘{[z3 - 2x(y

+ 12 + 27

k

7

= 31

+

+ + + + + +

k) 3(y k)’] - [x3- 2xy 3y2]} k 1 (x3- 2xy - 2 k ~ 3y2 6ky 3k2 - x3 2xy - 3y2) = k

1 = 7-(-2kx

2.

= -8

f(x, Y + k ) - f(x, Y)

(b) f

1. s i f(x,y) = x3-2xy+3y2, calculez ( a ) f(-2,3);

+ 6ky + 3k2)

=

+

+ + 3k.

- 2 ~ 6y

Donner le domaine de définition des fonctions suivantes pour qu’elles soient réelles et indiquez ces domaines sur un graphe. (a) f ( x , y ) = Log { ( ~ ~ - X ~ - Y ~ ) ( X ~ + Y ~ - ~ ) } La fonction est définie et réelle pour tous les points (x , y ) vérifiant

+

(16 - X’ - y2)(x* y’-

4)

> O, c-à-d 4
O tel que I f ( x , y ) - f(1, 211 < E quand Ix - II < 6,Iy - 21 < 6.

( a ) a une limite quand x

+

1 et y

+

2, ( b ) est continue en (1,2).

> O,

il

< 56

112

Analyse D’après le problème 4 , il s’ensuit que lirn f ( x , y ) = 5 , donc la limite n’a rien à voir avec la valeur en (1, 2). X’ 1

(a)

y-2

(b)

Comme lirn f ( x , y ) = 5 et f( 1, 2) = O, il s’ensuit que lim f ( x , y ) # f( 1, 2). Donc la foncticn est X’l

X’l

Y 2’

Y+’L

discontinue en (1, 2).

7.

x2 - y2 x2+y2

Etudiez la continuité de f(x,ÊI) =

Si x

+

O et y

+

O sur la droite du plan x y , d’équation y = rnx, alors le long de cette droite

lim

r-O

52

- y2

5

+y

= lim z-O

x 2 - m2x2 s 2 +

m222

= lirn =-O

x’(1 - m2) %y1 m‘)

#-O

+

-

1-m2

1 +m*

Comme la limite de la fonction dépend de la façon dont elle tend vers (O , O) (c’est-à-dire la pente m de la droite), la fonction ne peut pas être continue en ( O , O). Autre méthode :

-}

52

= *iirn = i -O 22

Comme 2lim (iirn -0 U-r052+

et &!+O lim

(.-.go i;:} lim

n’existe pas. Ainsi f ( x , y ) ne peut pas être continue en ( O , O).

= -1 ne sont pas égaies*Oiirn f ( x , y ) Y ”O

DERIVEES PARTIELLES 8.

Si f ( x , y ) = 2 x 2 - x y tir de la définition.

= lim h-O

fi

[2(XO

+ y 2 , calculez,

( a ) ôflôx et ( b ) ôflay en ( x o , y , ) directement à par-

+ h)Z - + h)yo + Il:](50

pxa-

xovo

+ Y01

h

Comme les limites existent en tout point (x, , .vol nous pouvons écrire 2 y lesquelles sont aussi des fonctions de x et y .

=x

+

fi(x ,y ) = fi = 4 x - y . f Y’ ( x , y ) =

Remarquons que formellement f: ( x , , y,).s’obtient en dérivant f ( x , y ) par rapport à x , y étant supposé constant, et en posant x = x o , y = y,. De meme f;(xo, y,) s’obtient en dérivant f ( x , y ) par rapport à y , x étant supposé constant. Ce procédé qui en pratique donne souvent le résultat cherché, n’est pas toujours correct (cf. problème 9). On étudiera si les dérivées partielles sont continues.

Chapitre 6/Dénvées partielles

9;

Soit f ( x , y ) = existent, mais

(b)

Soient x

-+

+ y 2 ) si

( x , y ) f ( O , O) . Démontrer que ( a ) sinon (21) f ( x , y ) est discontinue en ( O , O).

xy/(x2

O et y

-+

+

fi( O , O) et f b ( O , O)

mx 2

O le long de la droite y = mx du plan x y . Alors lim f ( x , y ) = lim

x + O x2

x-, O

m

1 13

+ m2xZ

-

Y-+O

ainsi la limite dépend de la manière dont elle tend vers ( O , O) et n'existe donc pas ; il s'ensuit

i m2 que f ( x , y ) n'est pas continue en ( O , O). Remarquons que, contrairement à ce qui se passe pour les fonctions d'une variable, l'existence des dérivées partielles en un point n'implique pas la continuité en ce point. Remarquons aussi que, si

(x,y)f (O,O),

f: =

- x2y

y3 (x2+y2)2'

fi

~

ne peuvent pas être calculés en posant simplement x = O et Voir la remarque à la fin du problème 5 ( b ) , chapitre 4.

y

53

- xy2

= @-qjFjz

et

= O dans les expressions de

= 3x2

+ y2

ex@ 2xy

+ eZv2.2y

= 3x2

+ 2xy

ex@ y2

+ eZ@ 2y

.

f:(o,o),

fL(0,O)

f: et f'Y '

DZUIS ce cas = On a cette égalité, car les dérivées partielles secondes existent et sont conXY tinues en tout point (x , y7 d'un domaine D. Quand ceci n'est pas .vrai, nous pouvons avoir4 X Y f (cf. par exemple, problème 43).

11

Montrez que U ( x , y , z ) = (x2

#yx

+ y z + z 2 )- '/'

satisfait l'équation aux dérivées partielles de

Laplace Nous supposons ici que ( x , y , z) # ( O , O , O). Alors

114

Analyse

Y

12. Si z = x 2 Arctg

X

a22 en , calculez ax ay

(1,1).

On peut écrire ce résultat z" (1, i ) = 1. XY

Remarque : Dans ce calcul, nous avons utilisé la continuité de z" en (1, 1) (cf. la remarque à la XY du problème 9).

ftyet fl:

13. Si f ( x , y) est définie dans un domaine D et si point de D , montrer que f:y = en ce point.

fyx

fin

existent et sont continues en un

Soit (x,, y , ) un point de D. Considérons

G = f(zo+ h, YO+ k ) - f(xo, YO+ k ) Posons

= f(x + h, Y) - f ( x ,Y)

(1) +(%Y)

(2)

(3) G = $(xo, Y O + ~ ) $(~o,Yo)

Alors

+ f(~o,l/o) = f(x, y + k ) - f ( x ,y)

f(xo+ h, yo)

$(x, y)

( 4 ) G = $(xo+ h, go)

- $(XO,YO)

En appliquant le théorème des accroissements finis pour les fonctions d'une variable (cf. page 61) à ( 3 ) et (4, nous obtenons

+

+ +

+ +

+

= k $ ; ( x o , y. el k ) = kCfi O.

+

+ f Y' A y + .el Ax + e2 A y , ce qui

D'où Af = fxr Ax

1 15

f i dx + f Yr d y s'appelle la différentielle de f

fid x + f Y' d y + el d x + e z d y .

(ou z ) ou la partie principale de Af (ou Az),

15. Si 2 = f ( x , y ) = x 2 y - 3 y , calculez ( a ) Az, ( b ) dz, (c) calculez Az et d z si x = 4, y = 3, Ax = - 0,01, Ay = 0,02, ( d ) comment pouvez-vous déterminer f ( 5 , 1 2 , 6 , 8 5 ) , autrement que par le calcul direct ?' Solution : (a) A2 = f ( x + AX, 1/ + ALI) - f(x, Y) = ((5 + AX)'(Y + AU) - 3(Y + AY)} - {x2y- 3y) = 2x21 AT + (X' - 3) AY + (A~)'Y 2x Ax Ay

+

P

+ (Ax)' Ay I

( A) (B) La somme ( A ) est la partie principale de Az et la différentielle de z , c'est-à-dire d z . D'où (b)

+ (x2-3)A2/ = 2xydx + ( ~ ' - 3 ) d y az Autre méthode : dz = -dx + -dy = 2xy dx + - 3) dy aY ax A2 = f ( x + Ax, Y + AU) - f ( ~Y), = f(4 - 0,01, 3 + 0,02) - f ( 4 , 3 ) d2

= ~XYAX a2

(2'

(C)

= {(3,99)'(3,02) - 3(3,02)} - {(4)2(3)- 3(3)} = 0,018702

dz

=

+

~ X Y ~ X(5'-3)

= 2(4)(3)(-0,01}

dy

+ (4'-3)(0,02)

= 0,02

Remarquons que, dans ce cas, AZ et dz sont-approximativement égaux, ceci est dû au fait que hx = d x et A y = d y sont suffisamment petits. (d)

+

+

+

Nous devons calculer f ( x A x , y A y ) quand x Ax = 5,12 et y 4- A y = 6,85. Nous choisissons donc x = 5, hx = 0,12, y = 7, A y = - 0,15. Comme Ax et A y sont petits, nous utilisons le fait que f ( x 4- Ax , y A y ) = f ( x ,y ) Az est approximativement égal à f ( x , y ) -t dz, c'est-à-due z -t dz, et nous obtenons

+

+

z = f ( x , y) = f(5,7) = (5)'(7) dz = 2xy dx

+ (2'-

- 3(7) =

3) dy = 2(5)(7)(0,12)

154

+ (5'-

3)(-0,15)

= 5,l.

Alors la valeur demandée est, approximativement, 154 -l- 5 , l = 159,l. Par le calcul direct, on obtient la valeur 159,01864.

16. ( a ) Soit U = x2eJ"x. Calculez d u . ( b ) Montrez que ( 3 x 2 y - 2 y 2 ) d x -k ( x 3 - 4xy 4- 6 y 2 ) dy peut s'écrire comme la différentielle exacte d'une fonction q!~( x , y ) et trouvez cette fonction. (a)

1ère méthode :

Alors

dU

= -dx au ax

+ -dy au aY

=

(2xeYjs- yeY/T)dx

+

xey/z d y

2ème méthode :

(b)

lère méthode : Supposons que (3x'y-2y')dx Alors

(1)

a+ a%

-

+ ( x 3 - 4 x y + 6 y Z ) dy = 32'16 - 2yz,

(2)

= d+

a+ dx = as

a+ + -dy. au

a= x3 - 4xy + 6y' aY

116

Analyse D’après ( I ) , en intégrant par rapport à x, y étant constant, nous obtenons f$ = x 3 y - 2xy*

+FQ)

où F Q ) désigne la “constante” d’intégration. En substituant ceci dans ( 2 ) , il s’ensuit que

+ F’Q)

x 3 - 4xy

+ 6y2 d’où F ’ b ) = 6 y 2 , c’est-à-dire F Q )

= x 3 - 4xy

La fonction demandée est donc q5 = x 3 y - 2 x y 2

= 2y3

c.

+ 2 y 3 4- c, où c est une constante arbitraire.

Remarquons que, d’après le théorème 3, t a g e 106, l’existence d’une telle fonction est assurée, car 6y , alors = 3x2 - 4y = partout. Si apiay f si P = 3x2y - 2y2 et Q = x 3 - 4Xy aQ/ax, cette fonction n’existe pas et l’expression donnée ne sera pas une différentielle exacte.

+

amy

@/ax

2ème méthode : ( 3 2 ’ ~- 2 ~ ’ )d x

+

+

+ ( x 3- 4x16 + 6~’)d y

+

= ( 3 ~ ’ yd x X’ d u ) - (2y’dx 4 ~ dyy ) 6 y e d g = d ( x a y ) - d ( 2 x y e ) + d(2y3) = d ( x 3 y - 2 x y 2 + 2 y 8 ) = d ( x * y - 2xy’ 2y3 c)

+ +

La fonction demandée est donc x 3 y - 2xy2

+ 2y3 + c.

Cette mLthode de groupement des termes, basée sur la mise en évidence des termes de la différentielle exacte, est plus directe que la première. Naturellement, avant d’essayer d’appliquer une méthode, on devra déterminer à quels moments l’expression donnée admet une différentielle exacte, en utilisant le théorème 3, page 106 ; voir le dernier paragraphe de la première méthode.

DIFFERENTIATION DES FONCTIONS COMPOSEES

17. Soient z = f ( x , y ) et x = @ ( t )y, = $ ( t ) où f , c p , $J sont supposées différentiables. Démontrez que

En utilisant les résultats du probleme 14, nous avons AZ = lim lim -

& = dt

car, quand

At

+

At

At-0

At-0

O, nous avons AX + O, ~y

O,

-+

el

O,

e2 +

Ax O, -+ At

d x Ay d t ’ At

dy dt ‘

- -+

2

18. Si z = exY , x = t cos t , y = t sin t, calculez dzl dt en t = ~ / 2 . dz dt

az dd- ~x tx

+

az d y

dt

=

(y’eZ”’)(- t sin t

E n t = n/ 2, x = O , y = n/2. Alors dzl

dt

+ cos t ) + (2xyezuz)(tcos t + sin t).

= (n2/4) (- n/2) t=n/2

Autre méthode. En substituant x et y , nous obtenons z = e‘sin2tc0st

+ (0)(1) = - n3/8. et nous dérivons.

19. Si z = f ( x , y ) où x = $ ( u , u) et y = $J ( u , u), montrez que

(a)

D’après le problème 14, en supposant que f , f$ , $ soient différentiables, nous avons

* au

(b)

AZ = lim -

=

AU-O

lim

AU

Au-O

{gg

az AU a y AU

+ - - + e l - + s , -

Ax Au

Lerésultat se démontre, comme pour (a), en remplaçant

az d x

20. Démontrez que dz =-

ax

+ -aYa2d y

Au

=

--

Au par Av et en faisant tendre Av vers zéro.

si x et y dépendent de plusieurs variables.

Supposons que x et y dépendent de trois variables u , v , w (par exemple). Alors (1) dx

= xkdu

+ x h d v + x:,dw

(2) d y

= y:du

+ y:dv + y L d w

Chapitre 6/Dérivées partielles

en utilisant des généralisations évidentes du problème 19.

21. Si T = x 3 - x y aT aP

+ y3,x

= p cos Cp, y = p sin Cp, calculez ( a ) aT/ap, ( b ) aT/a@.

aTax aTay - -+ - = a s ap ay ap

aT _ a+

aTaX -f ax a+

a T ay ay a+

=

-

( 3 ~ y)(cos+) ~ (3x2-y)(-p

+

sin+)

(3y2-x)(sin+)

+

(3~’-x)(p cos+)

Ceci peut s’étudier directement en substituant x et y dans T.

+ 2s,

22. Si ü = z sin ( y / x ) , où x = 3r2 (b)was.

=

-

au

(b) - = as

{

+5 42zcos

--“yz cos x

+ { ( z cos :)(3)(4) + 4r sin -Y2 x

$)}(6r)

( z cos:)(-

2

uay -aaxu- aas +x - - a+ au -as-

=

{( cos:)(-$))@)

-

-f :2 cos; y -

y = 4r - 2s3, z = 2r2 - 3s2, calculez ( a ) au/ar,

+ (sin

:)(4r)

auaz az as

4-

z

((

+ (sin

z cos 9(i)}(-6s2)

:)(-6s)

6s2z cos y - 6s sin-Y X z

23. Si x = p cos Cp, y = p sin Cp, montrez que En utilisant les notations abrégées des dérivées partielles, nous avons V; =

V’@ =

+ ~ i y =; V: Vxxi + V y y i = V:

VX ’ X ’P

cos

4

+ V;

(- p sin

$1

sin

+

4

~ i ( cos p 4)

En divisant les deux membres de l’égalité ( 2 ) par p , nous obtenons

1 V; P

Alors, d’après (i) et ( 3 ) , nous avons

2 -21 ( v ; ) ~ =

Chapitre 6/Dénvées partielles

28. Si x = 2 r

-

s et y = r

+ 2s,

En résolvant x = 2r - s, y = r

Aiors

ariax =

215,

asiax =

fonction des dérivées par rapport a r et s,

a y ax

+ 2s par rapport à r et s : r = ( 2 x + y ) / 5 , s = ( 2 y - x ) / S .

- 115, ariay = i l s ,

au

-

-

ax

2

a2u

- en

calculez

119

aw

1

asiav =

au ar

au as

ar a x

as as

a2u

21s. Donc, nous avons

=

-2 a_u - -iau 5 ar

5 as

aw

z

en supposant que u admette des dérivées partielles secondes continues.

FONCTIONS IMPLICITES ET JACQBIENS 29. Si U = x3y, trouvez ôU/at si ( 2 ) x5 y = t, (2) x2

+

+ y3 = t2.

Les équations (1) et ( 2 ) définissent x et y comme des fonctions implicites de t. Alors, en dérivant par rapport à t, nous obtenons

+ dy/dt

(3) 5 z 4 ( d x / d t )

= 1

(4) 2z(dx/dt)

+ 3y2(dy/dt) =

2t

Résolvons simultanément ( 3 ) et ( 4 ) , par rapport à dxldt et dyldt, nous trouvons

-dd xt _ Pilors

1

i t zY:

1

-

dU au dd xt + as dt = -

dY

3y2-2t 15z4gz- 22 '

g& ay d t

= (

=

dt

3

x

3y2- 2 t ~ ( ~

1 :t it 1 +~

-

10~~t-22 15x4y2- 22:

1024t - 22 (z3)(15z4y2-2x)* ~ ~ ~ ~ -

~

~

)

30. Si F ( x , y , z ) = O défini z comme une fonction implicite de x et y dans un domaine D du plan scy, démontrez que ( a ) W a x = -. F i / F i et ( b ) az/ay = - F I / F i , où F i f O. Comme z est une fonction de x et y , d z

Donc

dF

aF ax

= -dx

az ax

= -dx

+ -auazd y .

+ -aF dy + dl4

Comme x et y sont indépendantes, nous avons

d'où le résultat cherché. Si o n le désire, on peut écrire les équations (1) et ( 2 ) sous la forme demandée.

31. Si

F(X,

y , U , U ) = O et G ( X , y , U , U ) = O, calculez ( a ) W a x , ( b ) W a y , ( c ) aulax, ( d ) av/ay.

En général les deux équations définissent les variables dépendantes u et Y comme des fonctions (implicites) des variables indépendantes x et y . En utilisant les notations habituelles nous avons (1) dF (2)

dG

= FLdx = Gidx

+ F i d y -t F : d u + F : d v + G i d , + GLdu + G i d v

= O = O

Ainsi, comme u et Y sont des fonctions de x et y , (3) d u

= ddx

+ u:dy

( 4 ) dv

= 'v:dx

+ vldy.

120

Analyse En substituant (3) et ( 4 ) dans ( 1 ) et ( 2 ) , il s’ensuit que (5)

= =

dF

( 6 ) dG

(F: (GA

+ FLui + F1v:)dx + + GAuL + G:v:)dz +

(Fi (GJ

+ FAub, + F 1 v ; ) d y + GLU: + G!,v:)dy

=

O O

=

Comme x et y sont indépendantes, les coefficients de dx et dy dans ( 5 ) et ( 6 ) sont nuls. Nous obtenons (FLU: F:v: = - F : FLu: F:v: = - F: (’) {G:ui GLvl, = -G!, (’) )GLUA GLv: = -Gk

+ +

+ +

La résolution de (7) et (8) donne

, noté

Le déterminant fonctionnel

a(F, G) ou J acu, v )

(z),

est le jacobien de F e t G par

rapport à u et v et nous le supposons non nui. Remarquons qu’il est possible de donner des règles mnémotechniques pour écrire les dérivées partielles demandées eri termes de jacobiens (cf. aussi problème 33).

32. Si u2 - u = 3~

+y

et u - 2v2 = x - 2y, trouvez ( a ) W a x , ( b ) a u l a x , ( c ) a u l a y , ( d ) aulay.

lère méthode : Dérivons les équations données par rapport à x , en considérant u et v comme des fonctions de x et y , nous obtenons au ax 1-12v = ___ 1 - 8uv

(1) 2u-

La résolution donne

ax

4vas

av

= 1

au av ( 4 ) - - 4vaY aY

= -2

au

av - = 3

(2) -

az

as

-

= 2u - 3 ax

1 -8uv.

En dérivant par rapport à y , nous avons (3)

et la résolution donne

*

-

au

2u-

-

av = 1 JY

-2-4~ 1 - 8uv ’

av - - 4 ~- 1

ay 1 - 8uv Naturellement nous avons supposé que 1 - 8uv f O. aY

~

2ème méthode : Les équations données sont F = u 2 d’après le problème 3 1 ,

- U - 3x

W ,G) au -ax

,V) - -J ( X -

a ( F ,G ) v)

-

*

-

- y = O, G = u

12 5 1 - ; :11 1 1 2y F: FL GL G:

-

- 2u2

l r4’,1 -4’v

en supposant 1 - 8uv # O. On obtient de la même façon les autres dérivées partielles.

-

-

- x

+ 2y

-1-12?)

1-8uv

= O. Alors

Chapitre 6/Dérivées partielles

12 1

D’après ces trois équations à cinq variables, nous pouvons (au moins théoriquement) déterminer trois variables en fonction des deux autres. Donc trois variables sont dépendantes et deux sont indépendantes. Si nous avions demandé de calculer avlay, cela supposerait que nous sachions que v est une variable dépendante et y une variable indépendante, mais on ne saurait pas quelle est l’autre variable indépendante. Cependant, la notation particulière

a:i

-

x

indique que nous avons obtenu avlay en gardant x constant, c’est-à-

dire x est l’autre variable indépendante. ( a ) La différentiation des équations données par rapport à y, en gardant x constant, donne (1)

F~u:+F:w:+F:,w:+F:

= O

G:u;+G:w:+G;w:+G:

(2)

+ HLW; + H ;

(CI) H : ~ ; +H : ~ :

= O

= O

En résolvant simultanément pour v b , nous obtenons

1 Fi F i Fh

Les équations ( I ) , ( 2 ) et (3) s’obtiennent aussi en différentiant comme dans le problème 31. La méthode des jacobiens est très suggestive pour écrire immédiatement les résultats comme le montrent

avI

-

donne comme résultat l’opposé du quoay x tient de deux jacobiens, dont le numérateur contient la variable indépendante y , et le dénominateur la variable v à la même place. Avec ce plan, nous avons ce problème et le problème 31. Observons que le calcul de

34. Si z 3

- xz - y

a%

= O, montrez que - ax ay

-

3x2

+x

( 3 Z 2 - x)3 ’

Dérivons par rapport à x, en laissant y constant et en se souvenant que z dépend des variables indépendantes x et y , nous trouvons

Dérivons par rapport à y , en laissant x constant, nous trouvons

Dérivons ( 2 ) par rapport à x et en utilisant ( l ) ,nous obtenons

Le résultat s’obtient aussi en dérivant (1) par rapport à y et -en utilisant ( 2 ) .

35. Soient u = f ( x , y ) et u = g ( x y ) , où f et g sont continûment différentiables dans un certain domaine D. Démontrez la propriété suivante : Pour qu’il existe une relation fonctionnelle entre u et u de la forme Q ( u , u ) = O il faut et il suffit que le jacobien de f et g s’annule, c’est-àa ( u , U) = o. dire ’ Y) )

122

Analyse Condition nécessaire. Nous devons prouver que s’il existe une relation @ ( u, v ) = O, alors le jacobien acu, v) = - O. Pour démontrer ceci, remarquons que a(x, Y ) d+ = & d u +:dw = +:(uLda: u h d y ) +:(w:ds w: d y ) = (@hui++;vk)da: (+:uk++hvk)dy = O

-

+

Alors

(1)

$LUL

+ #;w;

+

+

= O

(2)

+

+Lu;

+

+ q5;w;

= O

@L

Donc et @ ne peuvent pas être identiquement nulles, car dans ce cas, il n’existerait pas de relation fonctionnelle, ce qui est contraire à l’hypothèse. Il s’ensuit donc, d’après (1) et ( 2 ) ,que I

I

Condition suffisante. Nous devons montrer que, si le jacobien

acu = - O, acx, Y ) VI

alors il existe, entre u et

Y,

une relation fonctionnelle de la forme @ ( u ,v ) = O. Supposons d’abord que u: = O et u; = O. Dans ce cas le jacobien est identiquement nul et u est une constante c1, on a donc la relation triviale u = c1. Supposons, maintenant, que nous n’avons pas à la fois u: = O et ub = O ; par exemple, supposons uk # O. Nous pouvons, d’après le théorème 1, page 108, résoudre en x l’équation u = f ( x , y ) pour obtenir x = F ( u , y ) ; d’où il s’ensuit que

D’après ( 3 ) )u:FL = 1 et u:F$ t u; = O ou (5)

Mais, par hypothèse

-=

I

flY

l

ux vY

= - u b / u k . En utilisant ceci, ( 4 ) devient

- u1X vfY

f

O , ainsi (6) devient : dv = v: FL du. Ceci

signifie essentiellement, en se référant à ( 2 ) que a v / ô y = O, donc que v ne dépend pas de y , mais seulement de u, c’est-à-dire Y est une fonction de u, ce qui équivaut à dire qu’il existe une relation fonctionnelle $ ( u , v ) = o.

36.

Si u =

X f Y

et u = Arctg x iArctg y , trouvez

a(u ,u)

1 - xy Y)’ Existe-t-il une relation fonctionnelle entre u et u ? si oui, trouvez cette relation. 7

D’après le problème 35, comme le jacobien est identiquement nul dans un domaine, on peut trouver une relation entre u et Y . Nous voyons que tg v = u, c’est-à-dire @ ( u ,v ) = u - tg v = O. Nous pouvons montrer ceci directement en résolvant, par exemple, par rapport à x l’une des équations et en remplaArctg y , nous çant x par la valeur trouvée, dans l’autre équation. Par exemple, comme Y = Arctg x trouvons Arctg x = v - Arctg y et donc

+

x = tg ( v - Arctg y ) = Alors, en substituant ceci dans u = (x

tg v - tg (Arctg y ) 1 + t g v *tg(Arctgy)

--

tgv-y i+ytgv’

+ y)/(i - x y ) et en simplifiant, nous trouvons u = tg v.

123

Chapitre 6/Dénvées partielles

37. ( a ) Si x = u - u

+ w, y

= u2 - u2 -

w 2 et z = u 3

+ u, calculez

le jacobien a ( x , Y

9 2 )

acu. u ,

( b ) expliquez la signification du fait que ce jacobien ne s’annule pas.

ee

w)

( b ) Les équations données peuvent se résoudre simultanément pour u, Y, w en fonction de x, y , z dans u n domaine 1) si le jacobien n’est pas nul dans D.

TRANSFORMATIONS, COORDONNEES CURVILIGNES 38. Soit D le domaine du plan x y limité par les droites d’équation x y = 6, x - y = 2 et y = O. ( a ) Déterminez le domaine D’ du plan uu, image du domaine D par la transformation a(x Y ) x = u + v, y = u - u. ( b ) Calculez-

+

9

a(u, VI

des aires de D et D’.

. (6) Comparez

le résultat de ( b ) avec le rapport

( c ) Le domaine D , en sombre sur la figure 6.6. ( a ) ci-dessous, est un triangle limité par les droites x -k y = 6 , x - y = 2 et y = O qui sont respectivement tracées en noir, avec des tirets et en pointillés.

1

2

7

Fig. 6-6

La droite x f y = 6 se transforme en ( u -k v)+ (u - v) = 6, c’est-à-dire 2u = 6 ou u = 3, qui est une droite (en pointillés sur le plan U V de la figure 6.6. ( b ) .

+

De même, x - y = 2 devient (u v) - ( u - v) = 2 ou v = 1 qui est une droite (en tirets dans le plan De la même façon y = O devient u - v = Q ou u = v, qui est une droite, en noir dans le plan uv. Le domaine cherché est limité par les droites u = 3, v = 1 et u = v (indiqué en sombre sur la figure 6.6. ( b ) ) .

UV).

=

2

( c ) L’aire du triangle D est 4, tandis que celle du triangle D’ est 2. Donc le rapport des aires est 4/2 = 2, en accord avec la valeur du jacobien de ( b ) . Comme,dans ce cas, le jacobien est constant, les aires des domaines D du plan xy sont deux fois plus grandes que celles des domaines D correspondants du plan u v.

124

Analyse

+

39. Soit D le domaine du plan xy limité par les courbes d’équations x 2 y2 = a 2 , x 2 + y 2 = b 2 , x = O et y = O, où O < a < b. ( a ) Déterminez le domaine D’, image de D par la transfor@ < 2n. ( b ) Etudiez ce qui se passe quand mation x = p cos @, y = p sin @, où p > O, O a(P , a = O. (c) Calculez a(x y ) . ( c i ) Calculez a ( P 4) Y)

< @F

9

(a)

9

Le domaine D (en sombre sur la figure 6.7. ( a ) ci-dessus) est limité par x = O (en pointiilés),y = O (en pointillés et tirets), x2 y2 = a’ (en tirets), x2 y 2 = a’ (en tirets), x2 y’ = b2 (en noir). Par la transformation donnée, x 2 y 2 = a2 et x2 y 2 = b 2 , devient p2 = a2 et p2 = b2 ou respectivement p = a et p = b. Ainsi, x = O, a < y < b devient qj = n / 2 , a < p < b ; y = O, a < x < b devient @J = O, a < p b. Le domaine cherché D’ est en sombre sur la figure 6.7. ( b ) ci-dessus.

+

+

+

+

+

Autre méthode : En utilisant le fait que p est la distance à l’origine O du plan xy et 9 est la mesure de l’angle fait avec l’axe des x, il est clair que le domaine demandé est a < p < b, O < @J < n/2, comme il est indiqué sur la figure 6.7.(b). ( b ) Si a = O, le domaine D devient u n quart de disque de rayon b (borné par 3 côtés) tandis que D’ reste un rectangle. Ceci est dû au fait que le point x = O, y = O a pour image p = O et qî est indéterminée et la transformation n’est pas bijective en ce point, qui s’appelle parfois u n point singulier.

=

p(cos*+

+ sin2+)

=

P

( d ) D’après le problème 45 ( b ) , nous avons, en posant u = p , v = qj,

Ceci peut s’obtenir directement par dérivation. Remarquez que, d’après les jacobiens de ces transformations, il est clair que p = O (c’est-à-dire x = O, y = O) est u n point singulier.

THEOREMES DES ACCROISSEMENTS FINIS. FORMULE DE TAYLOR 40. Démontrez le théorème des accroissements finis pour les fonctions de deux variables. Soit F ( t ) = f ( x o f ht, y. f k t ) . D’après le théorème des accroissements finis pour les fonctions d’une variable

F(1) - F ( 0 ) = F’(e)

O

O)

, y ) pour la fonction du problème précédent et expliquez pourquoi cette limite (si

elle existe) est ou n’est pas égaie à f:(o ,O).

67. Si f ( x , y) = Rép. (a) &(T

68.

+

(z - Y) sin (3% 216)) calculez ( a ) f& ( b ) fi, (c) fi),( b ) Q ( 2 T - 3 f i ) ~( C > $ ( T f i - 2), ( d ) # ( T ! / 3

+

f&

(d)

fi;,

(el

f&

(f) fi: en (O, 8/3). 4- 1)

+ 3)1 ( e ) $ ( h f if i), (f)

( a ) Montrez, en dérivant directement, que 2 = xy tg(y/x) vérifie l’équation x(az/ax) 4- y(az/ay) = 22 si (x , y ) f (O , O), ( b ) Etudiez la partie ( a ) pour tous les autres points (x , y ) en supposant que z = O en ( O , O).

69. Vérifiez que ‘:f

.f:’

= pour les fonctions (a) ( 2 x - y)/(x -yi) , ( b ) x tg xy et ( c ) ch (y 4- cos x). Indiquez les points excehionn& possibles et étudiez ces points.

70. Montrez que z

= Log{(x - al2

+ O, - b ) 2 ) satisfait l’équation a2z/ax2 + a2z/ay2 = O sauf en ( a , b ) . 9

130

Analyse

71. Montrez que z x =

o.

= x cos ( y / x )

+ tg (y/x) satisfait X'Z;,

+2

+

x y ~ y~2 z i~Y = O excepté aux points où

Indiquez les points exceptionnels possibles.

DIFFERENTIELLES 73. Si z = x 3 - xy + 3y2, calculez

(a) AZ et ( b ) dz où x = 5 , y = 4, Ax = - 0,2, Ay = 0 , l . Expliquez pourquoi Az et dz sont approximativement égaux. (c) Trouvez Az et dz si x = 5 , y = 4, Ax = - 2, Ay = 1. Réponse. ( a ) - 11,658 ; ( b ) - 12,3 ; (c) Az = - 66, dz = - 123.

5 74. Calculez approximativement d ( 3 , 8 ) 2

+

2( 2, 1)3 en utilisant les différentielles.

Réponse : 2,Ol.

75. Trouvez d F et dG .si

(a) F(x,y) = x3y

xy2 Logotlx).

+

- 42y2 + 8y3,

+

( b ) G(x, y, Z) = 8syaz3- 3x2yz, (c) F ( x , y) =

Rép. (a) (3x2y- 4y2)dx (x3 - 8xy 24y2) dy ( b ) (8y2z3- 6 2 ~ 2dx ) (162yz3- 32%) dy (24xy2z2- 3x2y)dz (c) { y 2 h d ~ / x > - ~dx 2 > (2xy Log(y/x)+ xy} dy

+

+

+

+

76. Montrez que

( a ) d(UV) = U d V VdU, ( b ) d(U/V) = ( V d U - U dV)/V2, (c) d(1og U ) = (dU)/U, (d) d(Arctg V) = d V/(1 4- V2),oÙ U et V sont des fonctions différentiables de plusieurs variables.

77. Déterminez si chacune des fonctions suivantes est la différentielle exacte d'une fonction et, dans ce cas, trouvez cette fonction.

+

+

(a) ( 2 2 ~ ' 3y cos 32) dx (2x*y ( b ) (6xy - y2) dx (2xeg - x2) dy (c) (z3- 3 y ) d ~ ( 1 2 ~ ' 3x)dy

+ +

Réponse : ( a ) x2y2

-

+y

+ sin 32) dy + 3XZ2dZ + c,

sin 3x

( b ) n'existe pas, (c) xz3

+ 4y3 - 3xy + c

DIFFERENTIATION DE FONCTIONS COMPOSEES 78. ( a ) Si U ( x , y , z) = 2x2 - y z + xz2, x = 2 sin t, y = t 2 - t

+ 1, z = 3e-',

trouvez dU/dt en t = O. ( b ) Si H ( x , y ) = sin (3x - y ) , x 3 2y = 2t3, x - y 2 = t2 3t, trouvez dH/dt. 12t 9x2 - 6 t 2 4- 6x2f 18 cos (3x - y ) Réponse : ( a ) 24, ( b ) 36t y 6x2y 2

+

(

79. Si F ( ~ ,=~ (ex ) + y)~(y-zx), (d) a2Flav2, (e)

a2F/aU

80. Si U = x2F(y/x), montrez que,

81. Si x

= u cos

(Y

- Y sin

(Y

=

+

SOUS

82. Montrez que si x

= p cos

4,

+

)

3v, y = U + 2v,calculez(d aF/au, ( b ) aF/av, (c) a2F/au2, Rép. (a) 7, ( b ) -14, (c) 14, (d) 112, (e) -49

= 1.

certaines restrictions sur F, x(aU/ax) 4-y ( a U / a y ) = 2U.

et y = u sin a (avlax)2

+

+

zu-

u = 2, v

où

av,

+

+v

cos a, où

+ (aV/ayy

y = p sin

(Y

est une constante, montrez que

= (aV/du)2

+ (aV/av)%

4, les équations

83. Utilisez le problème 82 pour montrer que par la transformation

x = p cos

4,

y = p sin

4, l'équation

Chapitre 6/Dérivées partielles

13 1

FONCTIONS IMPLICITES ET JACOBIENS 84. Si F ( x , y ) = O, montrez que dyldx = - FklF;.

+

8 5 . Calculez ( a ) dyldx et ( b ) d 2 y / d x 2 si x 3 y 3 - 3 x y = O. Réponse. ( a ) ( y - x 2 ) / ( y 2 - x ) , ( b ) - 2 x y / ( y 2 - x ) ~ du

av

Y3

3xu2v2

+4

+

2x2 3y3 ’ @) 32uv2 y

86. Si

xuz

+ v = y 3 , 2yu

87. Si

u =

f ( x , y ) , v = g ( x , y ) sont dérivables, montrez que - - f - - = 1. Expliquez clairement quelles

x v 3 = 4 x , trouvez

-

(0)-

ax

( b ) -. aY

Réponse : ( a )

-

6x2uvz

+

2y

+

av ax

au ax ax au

ax av

sont les variables que l’on considère indépendantes dans chaque dérivée partielle.

88. Si f ( x , y , r , s)

= O, g ( x , y , r , s) = 0, montrez que

ay

ay as

ar

-+ar ax as ax

= 0, en indiquant quelles sont les va-

riables indépendantes. Quelle notation pourriez-vous utiliser pour indiquer que les variables sont indépendantes ?

89. Si F ( x , y )

= O, montrez que

90. Calculez a ( F ’

92. Si et

=x

v =x

et, dans ce cas, trouvez-la.

+

93. Si F

Fzx(F;)’ - 2 F i V F k F I (PLI3

UV,

+ 3y2 - z 3 , G = 2x2yz, et H

u = Arc sin x f Arc sin y et Y,

-

si F ( u , v) = 3u2 -

acu, v)

91. Si F

Td2Y = dx

f

F;,,(F;)’

G ( u , v ) = 2uv2 4- v3. Réponse. 24u2v

= 22’ - x y , évaluez

d

a ( x , Y , z)

T + yd-,

+

16uvz

- 3v3

en (1, - 1, O). Réponse : 10

déterminez s’il existe une relation entre u

+

= xy 3- y z zx, G = x z 4- y 2 z 2 , et H = x 4- y 4- z , déterminez s’il existe une relation entre F, G et H , et, dans ce cas, trouvez-la. Réponse : H 2 - G - 2F = O.

94. (a) Si x

= f(u, v , w),y = g ( u , v , w), et z = h ( u , v , w), montrez que

a(x’

’) # acu, v ,’ w)

95. Si f ( x , y , z )

a c x , y , z ) a c u , v , w) = 1 pourvu

a c u , v , w)a ( x t y , W )

O. ( b ) Donnez une interprétation du résultat de ( a ) en termes de transformations.

= û et g(x , y , z ) = O , montrez que - dx - - -a u , 8) a(Y, 4

-

dY

dx

.____ a(f 8)

a(f,d

9

a(x, Y)

2)

en donnant les conditions sous lesquelles le résultat est vrai.

96. Si x

+ y’

= u, y

+ zz

= v, z

+ x 2 = w,

trouvez (

ax

u

azx

) ( ~b ) ~( c ),

aZx au av

en suiposant que les équations

définissent x, y et z comme des fonctions deux fois différentiables de u, v et w. 16y’Z - 8x2 - 3 2 ~ ’ ~ ’ 1 6 ~ -’ 8~ ~ -z 3 2 ~ ’ ~ ’ 1 Rép. ( a ) 1 8xyx ’ ( b ) (1 8x2143 ’ (4 (1 8Xy#

+

+

+

9 7 . Etablissez et démontrez un théorème analogue à celui du problème 35 dans le cas où v = g(x, y , z ) , w = h ( x y , z ) .

u = f ( x ,y , z),

I

TRANSFORMATIONS, COORDONNEES CURVILIGNES 98. Etant donnée la transformation x = 2u + v, y = u - 3v. (a) soit D le domaine du plan x y limité par les droites x = O, x = 1, y = O, y = 1. Tracez le domaine D , image de D , par la transformation donnée. a(x Y ) acuI v ) ( c ) Comparez le résultat de ( b ) avec les rapports des aires de D et D’. Réponse ( b ) - 7 . ( b ) Calculez -.

99.

+

+

x = alu a2v, y = b l u b2v (a,bz - a 2 b , # O) les droites et les cercles du plan x y se transforment respectivement en cercles et droites du plan U V . ( b ) Calculez le jacobien J de cette transformation et expliquez ce que signifie J = O.

( a ) Montrez que, par la transformation linéaire

132

Analyse

100. Soient

x = cos u ch v, y = sin u sh v. ( a ) Montrez qu'en générai les courbes u = a et v = b, du plan U V

1 :lu 1 :;1

se transforment, respectivement en hyperboles et cercles du plan x y . ( b ) Calculez -. ( c ) Calculez a ( u " ) . Réponse : ( b ) sin'u /m/

ch'v

+ cos'u

+

cos' u sh'v).

+

+

x = 2u 3v - w , y = u - 2v w , z = 2u - 2v w. ( a ) Tracez le domaine D' du plan uvw, image du domaine D,limité par x = O, x = 8, y = O, y = 4,z = O, z = 6. ( b ) Calculez acx y , z ) (c) Comparez le résultat de ( b ) avec le rapport des volumes de D et D'. Réponse : ( b ) 1. a ( u , v , w)'

101. Etant donnée la transformation '

+

sh2v, (c) l/(sin2u ch'v

I

102. Etant donnée la transformation, en coordonnées sphériques,x = r sin 0 cos @, y où r 2 - @ < 27r. Décrivez les surfaces de coordonnées ( a ) r - O, O 5 -0 5 - n, O 5

= r sin 6 sin @, z = r cos 8 , = a, ( b ) 0 = b, et ( c ) @ = c, où a, b, c sont des constantes quelconques. Réponse : ( a ) sphères, ( b ) cônes, ( c ) plans.

103.

a ( x Y 2 ) = ,2 sin 6 . Vérifiez que pour la transformation en coordonnées sphériques du problème 1 0 2 , J = a(r,@,@) ( b ) Discutez le cas où J = O. 1

(a)

9

THEOREMES DES ACCROISSEMENTS FINIS ET FORMULE DE TAYLOR X + Y _ x + y - 2 2 x+y+e(x+y-2)7

104. Démontrez que Log-

O

< e < 1, où > 0, y > o.

1 n), et de leurs carrés. 105. Développez f ( x , y ) = sin x y en fonction de (x - 1) et ( y - 2 Réponse : 1 - hr'(1:- 1)' - +r(z- l ) ( y - 4). - +(Y - &)*

106. Développez f ( x , y )

=TXY 2

en fonction de ( x - 1) et ( y f 1) et de leur carré et calculez le reste.

+ 1) + 6(1:- 1)' + 6(1:- l ) ( y + 1) + + 1)' + e(z - l)]+ 3[1 + e(z - 1)Ia - 10[1 - e(y + 1)12 + 12[1 - [1e(y++e(x1)][1 - 1)16

Rép. 1 - 3(x - 1) - 2(tj

(tj

où

O O)

3. ( x o , y,) n’est ni un maximum ni un minimum relatif si A < O. Si A < O, on dit parfois que ( x , , y,) est un point selle. 4. Si A = O, on ne peut pas conclure (dans ce cas il est nécessaire de faire une étude plus approfondie).

MAXIMUMS ET MINIMUMS LIES : METHODE DES MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE On cherche les maximums ou les Minimums relatifs d’une fonction F ( x , y , z ) lorsque les variables x , y , z , sont liées pax la contrainte $ ( x , y , z ) = O. S’il existe de tels points, on dit que l’on a des maximums ou minimums liés. Pour cette étude, on construit la fonction auxiliaire.

G ( x , y , z ) = F(x,?r,z) + A+(X,Y,z)

(24

vérifiant les conditions

qui sont des conditions nécessaires pour obtenir un maximum ou un minimum relatif. Le paramètre h, indépendant de x, y et z,s’appelle un multiplicateur de Lagrange. Cette méthode peut se généraliser. Si nous désirons trouver les maximums ou minimums relatifs d’une fonction F ( x l , x 2 , . . . , x,,) lorsque les variables sont liées par les contraintes@,(x, , . , , ,x,) =O, 42 ( x , , . . . , x,,) = O,. . . . , q i k ( x 1 , ., . , x n ) = O, nous formons la fonction auxiliaire

G ( x I ,X Z ,

. . ., x,) =

F

+ Al+l + Az+2 +

:. *

+ Ak+k

(28)

assujettie aux conditions (nécessaires)

De même, on appelle les paramètres A, cateurs de Lagrange.

, A, , . . . , A,, indépendants de x l , x 2 , . . . , x,, des multipli-

APPLICATION AU CALCUL D’ERREURS La théorie des différentielles permet d’obtenir les erreurs d’une fonction de x , y , z, etc. connaissant les erreurs en x , y , z , etc. . . Voir problème 28.

. . en

Chapitre 8/Applications élémentaires du calcul différentiel

165

PROBLEMES RESOLUS PLAN TANGENT ET DROITE NORMALE A UNE SURFACE 1.

Trouvez les équations ( a ) du plan tangent et ( b ) de la droite normale à la surface x ’ y z + 3 y 2 = 2x2’ - 82 au point (1,2, - 1). L’équation de la surface est F = x’yz (1, 2, - 1) est

(a)

V F ( 1, 2,

=

No

+ 3y2 - 2xz’ + 82 = O.

- 1) =

(22yz - 2z2)i = -6i ilj

+

+

+

(2%

Un vecteur normal à la surface en

+ 6y)j +

(x2y- 422

+ 8)klc1,2,

-1)

14k

D’après la figure 8.1, page 161:

+

r = x i + y j zk. Le vecteur joignant O au point (1, 2, - 1) du plan tangent est ro = i 2j - k. Le vecteur r - ro = (x - 1 ) i 4- ( y - 2)j + (z + 1)k est dans le plan tangent et donc perpendiculaire à No. Le vecteur joignant O à u n point quelconque ’(x, y , z) du plan tangent est

+

L’équation demandée est donc

+

(r - ro) NO = O c.i.d. {(z - 1)i (y - 2)j 4- ( z -6(2 - 1) l l ( y - 2 ) 1 4 ( ~ +1) = O OU

+

(b)

+

+

+ l)k}

{-6i

6% - l l y

+ l l j + 14k)

- 14%+ 2 =

= O O

+

Soit r = x i yj zk le vecteur joignant O à u n point quelconque (x , y , z ) d e la normale No. Le vecteur d’origine O et d’extrémité le point (1, 2, - 1) sur la normale est le vecteur ro = i -k 2j - k. Le vecteur r - ro = (x - 1)i O, - 2 ) j (z l ) k est colinéaire à No. Il s’ensuit que

+ +

+

( r - r o ) h NO = O

c.à.d.

ce qui est équivalent aux équations 11(2- 1) = -6(y-2),

+ 1 4 ( ~ - 2 ) = l l ( ~ l),

1 4 ( 2 - 1 ) = -6(z+ 1)

ou encore x - 1-6

-

y-2 = & 14

11

qui est la forme habituelle de l’équation d’une droite de l’espace. Si o n pose chacun de ces quotients égal au paramètre t, nous obtenons l’équation paramétrique de la droite z = 1

2.

- 6t,

y = 2

+ llt,

z = 14t

-1

Quels sont les points d’intersection de la droite normale du problème 1( b ) et du plan 3 y - 22 = 1 0 ?

x

+

Par substitution dans l’équation paramétrique du problème 1 ( b ) , nous obtenons 1 - 6 t f 3(2

+ 1 1 t ) - 2(14t - 1) = 10

Alors x = 1 - 6 t = 7, y = 2 -k i l t = - 9, z = 1 4 t

3.

Montrez que la surface x’ - 2yz de surfaces x z i1 = (2 - 4a)y2

- 1

OU

t =- 1

= - 15 et le point demandé est (7, - 9,

+ y 3 = 4 est perpendiculaire à chaque élément + uz2 au point d’intersection (1, - 1, 2).

Les équations de deux surfaces peuvent s’écrire sous la forme F = Alors

22

- 2yz + YS

V F = 2xi

-4

= 0

+ (3y2-2z)j

et

-

2yk,

G = x2 + 1 - (2-4a)ya - uz’ = O VG = 2xi - 2(2-4a)gj - 2uzk

- 15).

de la famille

166

Analyse

D’où les normales aux deux surfaces en (1, - 1, 2) sont Ni = 2i - j 2k, NS = 2i

+

Comme N , . N2 = (2) (2) - 2(2 - 40) - (2)(4a) pour tout a, ce qui donne le résultat demandé.

4.

+ Z(2 -4n)J - 4uk N, et N, sont perpendiculaires

O, il s’ensuit que

L’équation d’une surface en coordonnées sphériques est F ( r , 8 ,Cp) = O où nous supposons que F est continûment dérivable. ( a ) Trouvez l’équation du plan tangent à cette surface au point ( r , 8, , Cp,). ( b ) Trouvez l’équation du plan tangent à la surface r = 4 cos 8 au point ( 2 6 77/4,37r/4).(c) Trouvez l’équation de la droite normale à la surface de ( b )au point indiqué. (a)

Le gradient de @ s’écrit, en coordonnées curvilignes orthogonales

où

(voir Pages 141, 142). Et en coordonnées sphériques u , = r , uz = 8, u 3 = $, h , = 1, h, = r, h , = r sin 8 et r = x i + yj zk = r sin û cos q5i r sin û sin 4j r cos Bk. Donc sine sing j cos6 k ei = s i n e cosg i cos e sin @ j - sin e k e2 = cos 8 cos + i l. e3 = - s i n g i cosgj et aF --el 1 aF --e31 aF V F = -el ar r as r sin s ag

+

+

+

+ +

+ +

+

+

Comme à la page 161, l’équation demandée est (r - ro) , VF(P) = O . En substituant (1) dans (21, nous obtenons

sin 8, sin 4,

+ --(P) 1 ôF ro a0

COS

Bo sin q5,

+

cos 4, --tP)/j aF sin eo aq5

1 aF + { ~ ( p cos ) ûo - -ro 30 Notons respectivement par A , B, C les expressions entre les accolades, ainsi V F ( P ) = A i 4-Bj 4-Ck, nous voyons que l’équation demandée est A ( x - x ) B ( y - y,) C(z - 2,) = O. Elle peut aussi P s’écrire en coordonnées sphériques, en utilisant les equations de transformation de x , y et z dans ces coordonnées.

+

(b)

NOUSavons

F = r - 4 cos8

Comme ro = 2

-i

+ j.

= O. Alors

6 Bo = n/4,

+

dFlar = 1, aFl& = 4 sin e, aF/dg = 0

4, = 3n/4, nous obtenons, d’après (a),

VF(P)=Ai+Bj+ Ck=

D’a rès les équations de transformation, le point donné a pour coordonnées cartésiennes, 2), et donc r - ro = ( x fi)i O, - fi)j 4- ( z - 2)k. D’où l’équation demandée du plan est - ( x O, - fi) = O ou y - x = 2 f i et en coordonnées sphériques, elle devient r sin 6 sin 4 - r sin 0 cos 4 = 2.\/2:

(-

&

+

+

+ 6) +

+

+

En coordonnées cartésiennes l’équation r = 4 cos 6 devient x 2 y2 (z - 2), = 4 et on peut déterminer le plan tangent à partir de ceci, comme dans le problème 1. Cependant, dans d’autres cas, l’équation cartésienne peut être plus difficile à obtenir et la méthode de la partie ( a ) est plus facile à utiliser.

167

Chapitre 8/Applications élémentaires du calcul différentiel (c)

L‘équation de la droite normale est X

+

--

h

-y

- f i

-1

-2 - 2 -O

1

ou x + y = O , z = 2

DROITE TANGENTE ET PLAN NORMAL A UNE COURBE 5.

Trouvez les équations ( a ) de la droite tangente et ( b ) du plan normal à la courbe x = t -cos t, y = 3 sin 2 t , z = i cos 3 t au point où t = K . 2 Le vecteur joignant O (cf. figure 8.2, page 162) à un point quelconque de C est R = ( t - cos t ) i -k (a) (3 4- sin 2t)j 4- (1 cos 3t)k. Le vecteur tangent à C au point t = est donc

+

+

2

+

To

=

dR ( t = dt

”)= (1 2

+ sin t ) i + 2 c o s 2 t j

-

3 sin 3tkc,=xn) =

n

Le vecteur d’origine O et d’extrémité le point où t = - est r, = 2

71

2’ -!- 3j

2i - 2j

+ 3k

+ k.

Le vecteur joignant O à un point quelconque (x, y , z) de la droite tangente est r = x i 1 Alors r - r, = (x - - 7r) i 4- O, - 3)j 2 mandée est

+ (z - 1) k,

+ yj 4- zk.

et T, sont colinéaires, ainsi l’équation d a

i ( r - r o ) ATO = O,

x -

c.à.d.

1

-77

y - 3 z - 1 c’est-à-dire -= -= -ou encore sous forme paramétrique x = 2t 2 -2 3 (b)

2

7r

+-, 2

y =3

- 2t, z

= 3t+ 1.

+ yj + zk le vecteur joignant O à un point (x, y , z) du plan normal. ro = Ili + 3 j f k désigne 2 71 1 . le vecteur d’origine O et d’extrémité le point où t = -. Le vecteur r - ro = (x --n)i + O, - 3)j + (z - 1)k 2 2 Soit r = xi

est dans le plan normal. Il est donc perpendiculaire à T,. L’équation demandée est (r - ro) . T = O ou 1 2(x - -7r) - 2 ( y - 3) 3(z - 1) = o. 2

6.

+

Trouvez les équations ( a ) de la droite tangente et ( b ) du plan normal à la courbe 3 x 2 y - 2, 2 x 2 - x 2 y = 3 au point (1,-- 1, 1). (a)

+y2z =

Cette courbe est l’intersection de deux surfaces d’équations F = 3x2y

+ 16% + 2

G = 2x2 - xZl/- 3 = O

= O,

Les normales, respectives, à chacune de ces surfaces, au point P(1, - 1, 1) sont NI =

V F ( P ) = 6xyi

+ (3x2+2yx)j t yzk

Nz = V G ( P ) = (22-2xy)i - x’j

+ 2xk

=

-6i

= 4i - j

Alors

To = NIA NZ = ( - 6 i + j + k )

A

(4i-j t2k)

= 3i

+j +k + 2k

+ 16j + 2k

est le vecteur tangent à la courbe en P. D’où d’après le problème 5 ( a ) , la relation suivante donne l’équation de la droite tangente

+ +

(r - ro) A TO = O OU {(x - 1)i (y 1)j f (x - l)k} A (3i x - l - y + l - x - l c.à.d. -- - ou ~ = 1 + 3 t ,y=16t-1, 3 16 2

(b)

Comme dans le problème 5 ( b ) , le plan normal a pour équation ( T - ro) TO = O OU { ( s - 1)i (y 1)j

-

+

+

+ 16j + 2k)

= O

~ = 2 t + 1

+ + + ( x - l)k} (3i + 16j + 2k} 1) = O 3%+ 16y + 22 -11

= O

c.à.d. 3 ( ~ - 1 ) 16(y+1) 2(2Ou Les résultats de ( a ) et ( b ) s’obtiennent aussi en utilisant respectivement les équations (7) et (10)de la p. 162.

168

7.

Analyse

Etablissez l’équation (IO), page 162. Supposons que la courbe soit définie par l’intersection de deux surfaces d’équations F ( x , y , z) = O et G ( x , y , z ) = O où F et G sont continiiment dérivables. Les normales à chacune de ces surfaces au point P, sont, respectivement N, = V F ( P ) et N, = VG(P), alors T, = N, A N, = V F ( P ) A V G ( P ) est un vecteur tangent à la courbe en P. D’où l’équation du plan normal (r - ro) . T, = O. Comme

l’équation demandée est donc

ENVELOPPES 8.

Montrez que l’enveloppe de la famille $ ( x , y , a) = O, si elle existe s’obtient en résolvant simultanément les équations $ = O et $: = O. Supposons que x = f(a)et y = g ( a ) désignent l’équation paramétrique de l’enveloppe. Alors $cf(a), g(a), a ) = O et en dérivant par rapport à a (si

4 , f et g possèdent des dérivées continues), nous obtenons

d

&’(a) + &’(.) + = 0 (1) La pente, de chaque courbe de la famille @ ( x , y , a) = O en ( x , y ) est donnée par $ i d . dy = O Y dY = $ ou La pente de l’enveloppe en ( x , y ) est - = - - - g ‘ ( a ) . En tout point où l’enveloppe dx q),, dx d x l d a - f’(a) et un élémenf de la famille sont tangents, nous avons

+4

-+.

En comparant ( 2 ) avec (i), nous voyons que @:

9.

Trouvez l’enveloppe de la famille x sin a les résultats. (a) (a)

+y

cos

01

= 1. ( b ) Illustrez géométriquement

D’après le problème 8, l’enveloppe, si elle existe, s’obtient en résolvant simultanément les équations, @ ( x, y , a ) = x sin a y sin a - i = O et y , a ) = x cos a - y cos a = O. 11 s’ensuit que x = sin û, y = cos a ou xz y2 = 1.

/y

+

,~L(x,

(b)

= O. Ce qui termine la démonstration.

+

Cette famille est une famille de droites, dont certaines sont indiquées sur la figure 8.3 , L’enveloppe est le cercle x 2 f y*= 1. Fig. 8-3

10. Trouvez l’enveloppe de la famille de surfaces z = 2 a x - a 2 y . . En généralisant le problème 8, l’enveloppe, si elle existe, s’obtient en résolvant simultanément les équations

X

D’après ( 2 ) , a = - , Alors, en remplaçant Y est l’enveloppe demandée.

(Y

par cette valeur dans ( 1 ) nous trouvons x 2 = y z , ce qui

Chapitre 8/Applications élémentaires du calcul différentiel

+ @y - ~$3.

11. Trouvez l’enveloppe de la famille de surfaces, à deux paramètres z = auc

L’enveloppe de la ,famille F ( x , y , z , a , fi) = O, si elle existe, s’obtient en éliminant a e t les équations F = O, F a = O et F = 0 (cf. problème 43), c’est-à-due P F = z - ~ ~ x - p y + a p = O,

FA = - z + P

= O,

Fa = - y + a

169

fi entre

= O

Donc /3 = x , a = y et nous avons z = xy.

DERIVEES SELON DES DIRECTIONS 12. Trouvez la dérivée de F = x 2 y z 3 selon la direction de la courbe x = e - u , y = 2 sin u z = u - cos u au point P où u = O. Le point P correspondant à u = O est (1, 1, - 1). Alors V F = 2xyz3i z2z3j 3xzyz2k = -2i - j

+

+

+ 3k

+ 1,

en P

désigne u n vecteur tangent à la courbe en P et dr = du -

+ (2 s i n u + 1)j + (u - cosu)k} i + 2 c o s u j + (1 + sinu)k = -i + 2j + k

d -{e-.i du -@-u

est le vecteur unitaire tangent de cette direction T, =

Alors la dérivée selon cette direction = Comme ceci

en P

- i + 2 j + k

&-

VF*To =

(-2i-

=

j + 3k)

-

=

fi

est positif, F est croissante dans cette direction.

13. Montrez que le plus grand taux de variation de F , c’est-à-dire le maximum de la dérivée selon une direction est obtenu dans la direction de VF et a même module que vF.

-dF_ - V F

dr

dr

- est la projection de V F dans la direction de -.

Cette projection est maximum quand ds ds ds V F et drlds ont la même direction e t le même sens. Donc la valeur maximum de d F / d s s’obtient dans la direction de V F et a pour module IVFI.

14. ( a ) Trouvez la dérivée de U = 2 x 3 y - 3 y 2 z dans la direction définie par P(1, 2, - 1) et Q ( 3 , - 1, 5). ( b ) Dans quelle direction passant par P cette dérivée est-elle maximum ? (c) Quel est le module du maximum de cette dérivée selon une direction ? ( a ) V U = 6x*yi

+ (2x3- 6yz)j - 3y2k =

12i

Le vecteur joignant P à Q = (3 - 1)i

+ 14j - 12k en P.

+ (-1

Le vecteur unitaire parallèle à PQ = T =

+ [5 - (-l)]k 2i - 33 + 6k

= 2i - 3j

- 2)j

d(2)’+(-3)’+

Alors la dérivée selon la direction de PQ en P = (12i

- 2i - 3j 7

(6)*

+ 14j - 12k)

*

+ 6k.

+ 6k .

(2i-3;+6k)

- -90 7

c’est-à-dire U est décroissante dans cette direction. ( b ) D’après le problème 13, cette dérivée est maximum dans la direction 12i -t 14j (c) D’après le problème 13, la valeur du maximum de cette dérivée est 112i

4144

+

196

+ 144 = 22.

- 12k.

+ 14j - 12kl =

Lfi. 2

170

Analyse

DERIVATION SOUS LE SIGNE D'INTEGRATION 15. Démontrez la formule de Leibnitz de dérivation sous le signe d'intégration.

En prenant la limite quand Aa nous obtenons

16. Si

+(a)

=

cux Jazsin dz,

+

O et en utilisant le fait que les fonctions possèdent des dérivées continues,

calculez $'(a)où a

+ O.

D'après la formule de Leibnitz, dx C O S ~ Xd x

_- -

7r

dF1'

+

sin(a-2)

sin ( a a ) d a da ( a )

2 sin2 - sina' +a a

2 sin as

sin2

a

(Y

>1

&- (2)-

da

a'

calculez

-

3 sinas

- 2 sin 2 a

dx

L = ( 2 - cos x )

(cf. problème 6 2 , chapitre 5).

Chapitre 8/Applications élémentaires du calcul différentiel

17 1

INTEGRATION SOUS LE SIGNE D’INTEGRATION

18. Démontrez le résultat (181,page 163,du calcul d’une intégrale double par deux intégrations simples successives. Considérons la fonction (1) $ ( a )

=

ly{1‘

f ( x ,a ) da

D’après la formule de Leibnitz,

Comme d’après ( 2 ) $ ( a ) = O, nous avons c = O dans (2). Nous en déduisons de (1) et (2) avec c = O

et nous obtenons le résultat demandé en posant

19. Montrez que

[

nLog

(’

- ‘Os ’)dx

(Y

= b.

= ~ L o g (i-~

I““) si a, b > 1.

a+d C 1

a - cosx

D’après le problème 62, chapitre 5,

7

1-

’

> 1.

a

En intégrant le membre de gauche par rapport à a, de a à b, il s’ensuit que

et en intégrant à droite par rapport à

(Y

de u à b, nous trouvons

ce qui donne le résultat demandé.

MAXIMUMS ET MINIMUMS 20. Démontrez la propriété suivante : Pour que f ( x , y ) possède un extrémum relatif en ( x , , y , ) il faut que fi(., , y , ) = O et f i ( x , , y , ) = O. Si f ( x o , y , ) est une valeur extrémale pour f ( x , y ) , alors elle est aussi un extrémum,pour f ( x , y , ) et f ( x o , y ) . Pour qu’il existe respectivement des extrémums en x = x, et y = y , il faut que f x ( x , , y , ) = O, f y ( x o , y , ) = O (en utilisant les résultats sur les fonctions d’une variable).

21. Soit f ( x , y ) continue et possédant des dérivées partielles continues, au moins jusqu’à l’ordre deux, dans un domaine O contenant le point ( x , , y,). Montrez la propriété suivante : Pour que f ( x o , y , soit un maximum relatif il suffit que A = (x, , yo) f ~ , ( x o ,y,) - ( ~ , ) 2 ( x o ,y,) >O et fi;2 ( x , ’ Y , ) < o. D’après la formule de Taylor (cf. page log), en utilisant le fait que f x ( x o , y , ) = O, f;(xo , y,) = O, nous

fzx

avons

f(xo

+ h, + k ) - f(so,yo) ?JO

+ 2hkf:L + k’f:;) (1) + Oh, y , + 6 k ) où O < 6 < 1. En faisant

= i(h2f::

où les dérivées secondes de droite sont calculées au point (x, apparaître les carrés dans le membre de droite de ( l ) ,nous trouvons

172

Analyse Mais, par hypothèse, il existe un voisinage de ( x o , y o ) sur lequel entre parenthèses est positive, car {'2 > O par hypothèse.

fi2

(fi,)'

Y

+ h, YO + k)

~ ( X O

fi2 < O. Ainsi la somme des termes D'où il s'ensuit que

5 f(xo, go)

pour h et k suffisamment petits, Ceci établit que f ( x o , y o ) est un maximum relatif. De même on peut établir une condition suffisante pour avoir un minimum relatif.

+

22. Trouvez les maximums et minimums relatifs de f ( x , y ) = x 3 y 3 - 3x - 1 2 y i20. f: = 3 x 2 - 3 = O quand x = f 1, = 3y2 - 12 = O quand y = k 2 ; alors les points P(1, 2 ) ,

fi

Q(-

1, 2), R ( l , - 2 ) , S(- 1, - 2 ) sont des points critiques.

flX= 6 x , fiy = 6 y , f:,

fx2

= O. Alors A = 4 2 f"2 Y

-

= 36 x y ,

> O et (ou fy2) > O ; donc on obtient un minimum relatif en P. en Q(- 1, 2 ) , A < O et Q n'est ni un maximum, ni un minimum relatif. en R (1, - 2), A < O et R n'est ni un maximum, ni un minimum relatif. en S(- 1, - 2), A > O et fi2(ou f f f 2 )< O, donc on obtient un maximum relatif en S. Y en P(1, 2 ) , A

Donc, la valeur minimum de f ( x , y ) est atteinte en P et vaut 2 , tandis que la valeur maximum, égale à 38, est atteinte en S. Q et R sont des points selles.

23. Une boîte rectangulaire ouverte au-dessus a un volume de 32 m3. Quelles doivent être ses dimensions pour que sa surface totale soit minimum ? Si x , y , z désignent les longueurs des arêtes (cf. figure 8 . 4 ) , alors ( 1 ) le volume de la boîte = V = x y z = 3 2 , ( 2 ) l'aire de la boîte = S = x y 2yz 2xz mais, comme d'après ( 1 ) z = 3 2 / x y ,

+

s

8S = az

64

64

X

Y

= zy+-+64

+

Fig. 8-4

as = z = 0 quand (3) ~ Z ~ / = f i 4 , au

22

64

- = ~O quand ( 4 ) x y 2 = 6 4

?d

En comparant les équations ( 3 ) et (4), nous trouvons y = x , ainsi x 3 = 6 4 , donc x = y = 4 et z = 2 128 128 128 Pour x = y = 4 , A = s ~ x s ~ (yS X Y ) ~= - i > 0 et S:x = -> O. 11 s'ensuit que les x3 dimensions 4 m x 4 m x 2m donnent la surface minimum.

(7) (7)

MAXIMUMS ET MINIMUMS LIES. MULTIPLICATEURS DE LAGRANGE 24. Considérons F ( x , y , z ) astreinte à la condition G ( x , y , z ) = O. Montrez que est une condition nécessaire pour que F ( x , y , z ) possède un extrémum.

FLGY- FYG: = O

Comme G ( x , y , z ) = O, nous pouvons considérer que z est une fonction de x et y , c'est-à-dire z = f ( x , y ) . Pour que F ( x , y , f ( x , y ) ) possède un extrémum il faut que les dérivées partielles de z par rapport à x et y soient nulles. Ce qui donne (1) F i Fidx = O (2) F i FLz'y = O Comme G(x , y , z ) = O, nous avons aussi ( 3 ) C i f Giz:= O ( 4 ) GY 4- G;.zy= O D'après ( 1 ) et (3), nous obtrnons ( 5 ) F i G i - F,'G: = O, et d'après (2) et ( 4 ) , nous obtenons ( 6 ) F;G: - s f G ; = O.

+

Nous en déduisons donc de ( 5 ) et (6) que

+

F L G ; - GLFL = O.

Chapitre d/Applications élémentaires du calcul différentiel

173

25. En se référant au problème précédent, montrez que la condition trouvée est équivalente aux conditions $\ = O, $) = O où $ = F hG et h est une constante.

+

Si @:,=,O, trouvons F , G ~

F k 4- AG: = O. Si 4; = O, F i 4- AG;

- f i y ~ :=

= O en éliminant A entre ces deux équations nous

O.

h es; u n multiplicateur de Lagrange. On peut aussi considérer, de façon équivalente q5 = ?F I @;

= O, @ y =

o.

26. Trouvez la plus petite distance de l’origine à l’hyperbole x 2

+

+G

où

+

6xy 7 y 2 = 2 2 5 , z = O. Nous devons trouver la valeur minimum de x 2 y’ (qui est le carré d e la distance de l’origine à un point quelconque du plan x y ) , où x et y vérifient x 2 8 x y i7y2 = 225.

+ +

+ 8xy 4- 7 y 2 -

Pour appli uer la méthode des multiplicateurs de Lagrange, nous considérons q5 = x 2 225 4- h ( x 2 y ). Alors

+ ’iL

+; +:

= 2s

= ûx

+ $y + 2xx + 14y + 2hy

= O = O

ou ou

+ 4y + (hf7)y

(4

( h i 1)z

= O

(2)

4s

= O

D’après ( 1 ) et (Z), comme (x , y ) # ( O , O), nous avons

1

1

h:,

c.à.d.

= O,

h2+8h-9

= O

ou

h

= 1,-g

+

l e r cas : A = 1. D’après (1) ou (Z), x = - 2 y et par substitution dans x 2 8xy -l-7 y 2 = 225 il s’ensuit que - 5 y 2 = 2 2 5 , ce qui est impossible, donc il n’existe pas d e solution réelle.

+

+

2éme cas : h = - 9, d’après ( 2 ) ou ( 2 ) ) y = 2x et par substitution dans x 2 8xy 7 y 2 = 225 il s’ensuit que 4 5 x2 = 225. Donc x 2 = 5 , y2 = 4 x 2 = 2 0 d’où x 2 y 2 = 2 5 . La plus petite distance est donc fi= 5.

+

27. ( a ) Trouvez les valeurs maximum et minimum de x 2 x2/4

+ y 2 / 5 + z 2 / 2 5 = 1 et z

=x

+

+

y’ z 2 assujetties aux conditions ( b ) Donnez une interprétation géométrique du

+ y.

résultat de ( a ) . Nous devons trouver les extrémums de F = xz

2

x2

+ y’ + z2

où x , y et z vérifient q51 = --bL f-1=O 4 5 25 et g2 = x -k y - z = O. Utilisons les deux multiplicateurs de Lagrange A , , A, et considérons la fonction

(a)

G = F

+ h l + l + h2+2

= xz

) + (z + y - z 1

+ y2 + 9 + h 1 ( $ + 5y2+ g - i

A,

En écrivant que les dérivées partielles de G par rapport à x, y , z sont nulles, nous trouvons

G: = 2~

+ -+2x xi

A,

= O,

GI = 2y

+2hiy + A, 5

= O, G: = 22

2x1 z +- h, 25

= O

(1)

La résolution de ces équations donne

+

y - z = O, nous obtenons en divisant par A,, supposé D’après la deuxième condition restrictive, x différent de zéro (ceci est vrai, car sinon nous aurions x = O, y = O e t z = O qui ne vérifient pas la première condition imposée), le résultat 25 5 = O X I + ~ 2Xi+10 2hif50

+-

+-

En multipliant des deux côtés par 2 ( h 1 4- 4) (A1 4- 5 ) ( h , 4- 2 5 ) et en simplifiant, il s’ensuit que 17h:

d’où A, =

- 10 OU - 75/17.

+ 245X, + 750

= O

ou

(A,+

+

10)(17h1 75) = O

174

Analyse l e r Cas : A, = - 10.

71 X,, y

D’après (Z), x =

1

5

=2 h2 ’ z = 6- h2 ‘ Par substitution dans la première condition, x2/4 + y 2 / 5

z2/25 = 1, nous trouvons hi = 180/19 ou A, =

?

6

+

t/s1i9 Ce qui donne deux points critiques :

(Zrn9,3W9,5rn),

-3m, -5dm-5)

(-2Jm75,

La valeur de x2 -i y 2 -k z2 correspondant à ces points critiques est (20 4- 45

+

125)/19 = 10.

2ème Cas : hl = - 75/17. 34 h ,y 7 2

D’après (Z), x = x2/4

+ y 2 / 5 + z2/25 =

=-

17 7 h, , z

17 28 X,.

=

Par substitution dans la première condition,

1, nous trouvons h, = t 140/( 17 ( 4 0 I m 6 , -35/&Z,

5 / m ) ,

fi), ce qui donne les points

+

+

+

+

-5Ia) 25)/646 = 75/17.

(-4O/m 35/&, ,

1225 z2 correspondante est (1600 D’où 10 est la valeur maximum et 75/17 la valeur minimum.

La valeur de x 2 4- y 2

critiques :

+

( b ) Comme x 2 y2 z2 représente le carré de la distance de l’origine ( O , O , O) à un point ( x , y , z) le problème est équivalent à la détermination de la plus grande et de la plus petite distance de l’origine à la y2/5 z2/25 = 1 et du plan z = x y . Comme cette courbe courbe, intersection de lelli soide x2/4 est une ellipse, .\/10 et sont donc les longueurs des demi-axes respectivement supérieur et inférieur de cette ellipse. Le fait que les valeurs maximum et minimum soient données par - h l dans les deux cas est plus que pure coincidence : en fait, en multipliant les équations (1) successivement par x , y et z et en additionnant, nous obtenons ces valeurs,

;/7-5ji7

2x2

+

+

+

x2 x2z + -j+ x , x + 2y2 + y + h2y + 222 + 25 x i

= 0

2xi22

c.à.d. Alors, en utilisant les conditions imposées, nous trouvons x2 Le problème 76 donne une généralisation de ceci.

+ y’ + z2

h 1‘

=

APPLICATIONS AU CALCUL D’ERREURS

28. T = 2n

désigne la période d’un pendule simple de longueur 1. Calculez ( a ) l’erreur absolue et ( b ) l’erreur relative commises sur T , sachant que 1 = 2m et g = 9,8 m/s2, si les valeurs exactes sont 1 = 1,95 m et g = 9’81m/s2. (a)

T = 2n

g-’/2. Alors dT

= ( Z R ~ - ’ / ~ ) ( ~ I - d‘ l/ )~

+ ( Z R P ) ( - & ~ - ~ / d~ g )

= 2-d l -

4%

7rG

dg

+

(11

l’erreur sur g = Ag = dg = 0,Ol ; l’erreur sur 1 = A l = d l = - 0,OS A T est l’erreur absolue sur T , ce qui est approximativement égale à dT. Nous obtenons d’après ( 1 )

La valeur de T pour 1 = 2, g = 9,8 est T = 2n

X

2,85 secondes.

Donc la valeur de T devient 2,SS - 0,04 = 2,81 secondes. (b)

dT L’erreur relative de T = -= T

- O04 = 2,81

Autre méthode : comme Log T = Log 2n

-d _T -_ 1-

1 + -21 Log 1 - -Log 2

- 0,OS ) - - (::il) (-

dl - _1_d _ g- 1 2 1 2 g 2 comme précédemment. Remarquons que 1 erreur relative sur T = - erreur 2 T

1,3 %. g on a - - 1,3 %.

( 2 ) s’écrit aussi :

1 relative sur 1 - - erreur relative sur g. 2

Chapitre S/Applications élémentaires du calcul différentiel

1 75

PROBLEMES DIVERS 29. Calculez

ilLyx dx.

Pour calculer cette intégrale, nous utilisons la fonction suivante :

D'après la formule de Leibnitz

$((Y)

En intégrant par rapport à a , (a 1).

= Log

+

Log ( a

$((Y) =

+

1)

+ C.

Mais comme $ ( O ) = O, C = O, d'où

La valeur de l'intégrale est donc $ ( l ) = Log 2. On peut justifier ici l'application de la formule de Leibnitz car, si on pose F ( x , a) = l),O Log x F(O , a ) = O, F(1, CU) = a, alors F ( x , a ) est continue en x et a pour 0 < x < i et a > 0. (XQ-

< x < 1,

30. Trouvez les constantes a et b qui réalisent un minimum pour la fonction ~ ( ab ),

ST{sin x -

=

+

(ax2 bx))zcix

O

Pour avoir un minimum il faut que ôF/au = O, a F / a b = O. En calculant ces dérivées, nous obtenons ,r aF = i r & { a i n x - ( a x 2 + bx)}*dx = -2 J x2{sinx - ( a z z + bx)} dx = 0 O

aF ab

=

1v a

=

s { s i n x - ( a s 2 +bx))'dx

- 2 i r x { s i n x - ( a x * + bx)}dx

=

O

Nous en déduisons

{

+

a ~ ~ * x 4 d xb J r ~

~

~

+ xb

x3dx

=

l ~r x 2dd x x =

xrxzsinxdx irxsinxdx

OU

En résolvant ce système pour u et b , nous trouvons a = 2o 1i3

320 1i5

-0,40065,

----

b = 240 -1

12 -z

1,24798

On peut montrer que, pour ces valeurs, F ( u , b ) est vraiment un minimum en utilisant les conditions suffisantes de la page 164. On dit que le polynôme ux2

+ bx

est la plus petite approximation au carré de sin x sur ( O ,

T).

Ces idées invoquées ici sont importantes dans plusieurs branches des mathématiques et de leurs applications.

176

Analyse

PROBLEMES SUPPLEMENTAIRES

PLAN TANGENT ET DROITE NORMALE A UNE SURFACE. 31. Trouvez les équations ( a ) du plan tangent et ( b ) de la droite normale à la surface ( 2 , - 4, 5).

2-2

x2

+ y’

= 42 en

- y + 4 - 2 - 5

= 5, ( b ) 7 - -2 - -1 *

Rép. (a) x - 2 y - 2

32. Si z = f ( x , y ) , montrez que les équations du plan tangent et de la droite normale au point P ( x o , y. , zo) sont resuectivement

33. Montrez que l’angle aigu y entre l’axe des conque satisfait l’équation trigonométrique

z et la normale à la surface F ( x

i/cos 7 = J ( F : ) ~

,Y ,

z ) = O en un point quel-

+ (F;)’ + (F;)~/IF;I.

34. F ( p , $, z ) = O désigne l’équation d’une surface en coordonnées cylindriques, où F est une fonction dérivable. Montrez que les équations ( a ) du plan tangent et ( b ) de la droite normale au point P ( p o , zo) sont respectivement y-y0 2-20 x-xo --A(x - 2 0 ) + B ( y - yo) + C(z - 20) = O et B

A

xo = p o cos $,,

où

A

=. F

y0

= p o sin 1

c

et 1

~ ( Pcos ) qo - - B , (P)sin P

B

= F’(P) sin P

+ -1P F ~ ( P )cos

c=

35. Utilisez le problème 34 pour trouver l’équation du plan tangent à la surface nz = pq5 au point de coordonnées p = 2 , $ = ~ / 2z ,= 1. Vérifiez le résultat en utilisant des coordonnées cartésiennes. Rép. 2~ - ~ J J 2n.2 = O

+

DROITE TANGENTE ET PLAN NORMAL A UNE COURBE 36. Trouvez les équations ( a ) de la droite tangente et ( b ) du plan normal à la courbe

x = 6 sin t, y = 4 cos 3t, z = 2 sin 5 t au point où t = n/4. x-3* 2+fi - yS2fi -Rép. (a)( b ) 31: 6y 52 = 26@. 3 -6 -5 L’intersection des surfaces x y z = 3 et x2 - y’ i2z2 = 2 définit une courbe de l’espace. Trouvez les équations ( a ) de la droite tangente et ( b ) du plan riormal à cette courbe au point (1, 1, 1). 22-1 -1 - 2-1 Rép. (a)-3 - y, (a) 31:-y-22 = O 1

-

- -

~

37.

+ +

-

-

ENVELOPPES 38. Trouvez l’enveloppe de chacune des familles suivantes de courbes du plan respondants. (a)y = ax

- 2, ( b )

2 2

xy et construisez les graphes cor-

y* +a = 1. 1-

Rép. (a)x 2 = 4 y ; ( b ) X + Y = 11, 1 : - y = ‘-1

39. Trouvez l’enveloppe de la famille de droites vérifiant la propriété suivante coupée par l’axe des x et des y , est une constante a. Réponse. x 2 I 3

: la lon ueur du segment de droite,

+ y2I3 = azf3

40. Trouvez l’enveloppe d’une famille de cercles dont les centres décrivent la parabole y

= x2 et passant par le sommet de cette parabole. (Indication : prenez un point quelconque ( a ,a’) sur la parabole). Rép. x 2 = - y 3 / ( 2 y 1)

+

41. Trouvez l’enveloppe des normales (appelée la développée) à la parabole y = x 2 / 2 et construisez son graphe. Rép. 8 ( y - 1 ) 3 = 2 7 x 2

177

Chapitre 8/Applications élémentaires du calcul différentiel

42.

Trouvez l'enveloppe des familles de courbes suivantes :

= 1,

(a) a ( x - y ) - a%

Rép. ( a )

43. 44.

42

= (x-

( b ) y' = z'+

y)',

(b) (z-

+ ya

a)'

= 2az

2x2

Montrez que si l'enveloppe d'une famille de surfaces à, deux paramètres F ( x , y , z , a , 6) = O existe, elle s'obtient en éliminant a et /3 dans les équations F = O, Fa = O , F i , = o.

+

Trouvez l'enveloppe de ces familles à deux paramètres ( a ) z = a x /3y - a' - fi2 et ( b ) x cos a 7 = a où cos' a cos2 /3 cos' y = i et a est une constante.

+

z cos

Rép. ( a ) 42 = x'

+

+ y',

+ z2 = a

( b ) x 2 4- y'

+ y cos /3 +

.

DERIVEES SELON DES DIRECTIONS

45.

- 1, 1) et (3, 1, ( b ) Dans quelle direction cette dérivée est-elle maximum ? (c) Quelle est la valeur de ce maximum ? ( a ) Trouvez la dérivée de U = 2xy - z2 dans la direction définie par les points (2,

Rép. ( a ) 10/3, ( b )

46.

- 2i + 4j - 2k, ( c ) 2

- 1).

6

La température en un point quelconque ( x , y ) du plan xy est donnée pai f = 1 0 0 x y / ( x 2 + y ' ) . Ca) Trouvez la dérivée au point ( 2 , 1) dans la direction faisant un angle de 60" avec l'axe des x positifs. ( b ) Dans quelle direction, à partir de ( 2 , 1), cette dérivée est-elle maximum ? (c) Quelle est la valeur de ce maximum ? Rép. ( a ) 1 2 G - 6 ; ( b ) dans la direction faisant un angle de IT - Arctg 2 avec l'axe dex x positifs, ou dans la direction - i 2j ; (c) 1 2 G

+

47.

Montrez que si F ( p , 4 , z ) est continûment dérivable, le maximum de la dérivée de F , selon une direction

(%y + $($y + (%y

en un point quelconque,est

DERIVATION SOUS LE SIGNE D'INTEGRATION

-.

(Yx2 dx, calculez d@ da

48.

Si @ ( a )s= ûc: J

49.

( a ) Si F ( a ) = l a A r c t g

Rép.

2 2

A

1

Etant donné

5 1.

Démontrez que

52.

Démontrez que

53.

Montrez que

1 1 1 -cos - - -cos a' 2 6

dF (5)dx, calculez par la formule de Leibnitz. ( b ) Vérifiez le résultat de ( a ) par intéda

gration directe. Rép. ( a ) 2a Arctg a - 1 Log (a'

50.

sin ax' dx

x p dx =

1

1 p+ l' p > -

+

1~

dx

1).

1, montrez que

cos x) dx = TLog (1

cos x

+

+ 2)dx

+

ILp

(Logx)m d x = ((-l)'"m! p+ l)m+l,

Y); je!

=

lai,

m = 1,2,3, .

..

< 1.

.

Etudiez le cas ]al= 1.

59iT

INTEGRATION SOUS LE SIGNE D'INTEGRATION

54.

Vérifiez que

1'{J'

55. A partir du résultat

(a' - x') & } d a ('"(a

=

- sin x) dx =

l'{1' - } ziTa, (a'

xz)d a dx.

montrez que, pour toutes constantes a et b, on a

JO

{ ( b - sin x)' - ( a - sin x)'} dx

=

2 i ~ ( b '- u')

12

178

Analyse

56. Utilisez le résultat

1

57. (a) Utilisez le résultat

oUO O.

x

y

+ z = 6,

Rép. valeur maximum = 108 en x = 1, y = 2, -z = 3.

59. Quel est le plus grand volume de parallélé idède rectangle que l’on peut inscrire dans l’ellipsoïde x2/9

+ y z / 1 6 + 2’136

= 1 ?

Rép. 6 4 3

+

60. (a) Trouvez les valeurs maximum et minimum de

x2 y’ relatives à la condition 3x’ (b) Donnez une interprétation géométrique de ces résultats. Rép. valeur maximum = 70, valeur minimum = 20.

+ 4xy

4-6x’ = 140.

61. Résolvez le problème 23 en utilisant les multiplicateurs de Lagrange. 62. Montrez que dans un triangle quelconque ABC, il existe un point p tel que P Â 2 et que P soit l’intersection des médianes. 63.. (a) Montrez que les valeurs maximum et minimum de f ( x , y ) = x’

+

+ PBa + z’ soit un minimum

+

xy y’ dans le carré unité O O, b > O

est 3

67. Trouver le volume de l’ellipsoïde 11x’

d

+ 9y’

e

a

. 4- 15x’ - 4xy -k lOyz - 20xz = 80. Rép. 64rr&/3.

APPLICATIONS AU CALCUL D’ERREURS 68. Le diamètre d’un cylindre droit à base circulaire mesure 6

f 0,03 cm et sa hauteur 4 I0,02 cm. Quelle est la plus grande (a) erreur absolue et (b) erreur relative faite en calculant ce volume ? Rép. (a) 1,7 cm3, (b) 1,5 %.

69. Les côtés d’un triangle mesurent 12 m et 15 m et font un angle de 60’. Si les longueurs sont exactes à 1 % près, et la mesure de l’angle à 2 % près, trouvez le maximum de l’erreur absolue et celui de l’erreur relative en calculant ( a ) l’aire et ( b ) le côté opposé de ce triangle. Rép. (a) 2,501 m’, 3,21 % ; ( b ) 0,287 m, 2,08 %. PROBLEMES DIVERS 70. Si p , 4 , z désignent les coordonnées cylindriques,~,b des constantes quelconques positives et n un entier positif, montrez que les surfaces pn sin n@ = a et p n cos nq3 = b sont perpendiculàires le long de leurs courbes d’intersection.

Chapitre 8/Applications élémentaires du calcul différentiel

71. Trouvez l'équation

(a) du plan tangent et ( b ) de la droite normale à la surface 8r&$ = nz au point de ordonnées r = 1, 8 = r/4, @ = r l 2 , ( r , 8 , 4 ) désignant les coordonnées sphériques.

R é p . ( a ) 4x

- ( n 2 + 4 7 ) y + (4n--a2)Z =

x -~'fi,( b ) -4

CO-

- z-fil2 - -0' - 47

y-fiI2 ir2+47i

72. (a) Montrez que la plus petite distance%dupoint ( a , b , c) au plan A x

1

179

f

+ Bb + Cc + D Y A 2 + B' + C2

B y -k Cz

f

D = O est

Au

-

( b ) Trouvez la plus petite distance de (1, 2 , - 3) au plan 2x

3y f

62

= 20. R é p . (b) 6 .

73. La formule où p est une constante, donne le potentiel V en coordonnées sphériques ( r , 8 , 4) d'une distribution de charges. Montrer que le maximum en ce point de la dérivée selon une direction est : pd/sin2e 4 cos2 e

+

74. Montrez que

1'xm

- 2"

r3

si m

= Log(=)

dx

> O,

>

n

O . Pouvez-vous étendre ce résultat au cas

m > - l , n > - l ?

75.

+

>

>


O

( a ) Trouvez des conditions suffisantes pour que w = f(x , ( b ) Examinez les maximums et minimums de w = xz y

+

[Indication : pour ( a ) utilisez (c'est-à-dire est définie positive) si :

CHAPITRE 9

Intégrales multiples

INTEGRALES DOUBLES Soit F ( x , y ) définie sur un domaine fermé @ du plan xy (cf. figure 9.1). Partageons O en n-sous-domaines A@, d'aire A A , , k = 1, 2, , . . , n. Soit ( t , , 7,) un point quelconque A@,. Formons la somme

Considérons

. où la limite est prise sur un nombre n (tendant vers l'in-

l

fini) de sous-domaines de A@,, dont chaque diamètre tend vers zéro. Si cette limite existe, elle est notée

JJ F ( x ,Y) d A

a

b Fig. 9-1

(3)

63

et appelée l'intégrale double de F ( x , y) sur le domaine@

.

On peut démontrer que cette limite existe si F ( x , y ) est continue (ou continue par morceaux) dansa.

METHODE D'ITERATION Si O est tel que chaque droite parallèle à l'axe des y rencontre sa frontière en deux points au plus (comme dans la figure 9.1), alors on peut écrire les équations des deux courbes ACB et ADB bordant O, respectivement y = f , ( x ) et y = f 2 ( x ) , où f , et f2 sont deux fonctions réelles définies et continues sur [ a , b ] . Dans ce cas, on peut calculer l'intégrale double (3), en choisissant pour A@, des rectangles de côtés parallèles aux axes et d'aire AA, . Alors (3) s'écrit

où l'intégrale entre parenthèses est d'abord calculée (en prenant x constant), puis en intégrant par rapport à x, de a à b. Le résultat ( 4 ) montre qu'une intégrale double peut être calculée en l'expri mant sous la forme de deux intégrales simples, appelées intégrales répétées.

Chapitre 9/Intégrales multiples

18 1

Si O est tel que chaque droite parallèle à l’axe des x rencontre sa frontière au maximum en deux points (comme dans la figure 9.1), alors les équations des courbes CAD et CBD peuvent s’écrire respectivement x = gl ( y ) e t x = g 2 (y) e t nous trouvons

1

F ( x , g ) d x dy Si l’intégrale double existe, ( 4 ) et ( 5 ) prennent la même valeur (voir, plus loin, le problème 17). En écrivant une intégrale double, on peut utiliser l’une ou l’autre des formes ( 4 ) e t ( 5 ) suivant celle qui est appropriée. On peur échanger l’ordre des intégrations. Si O n’est pas du type indiqué dans la figure ci-dessus, on peut généralement le subdiviser en sous-domaines O, ,O, , . . . de ce type. Alors l’intégrale double sur O est la somme des intégrales doubles sur Ol,O, , . . .

lNTEGRALES TRIPLES Les résultats précédents peuvent facilement se généraliser à des domaines fermés en dimension trois. Par exemple, considérons une fonction F ( x , y , z ) définie sur un domaine fermé @, en dimension trois. Partageons O en n-sous-domaines AOk de volume A V k , h = 1, 2, , . , , n. Soit (tk,q k , Ck) un point quelconque de A m k . Considérons alors

où le nombre n de sous-divisions tend vers l’infini de telle façon que le diamètre de chaque sousdomaine tende vers zéro. Si cette limite existe, elle est notée

02

et appelée l’intégrale triple de F ( x ,y , z ) sur O . Cette limite existe si F ( x , y , z ) est continue (ou continue par morceaux) dans O. Si nous construisons une grille formée de plans parallèles aux plans x y , y z e t xz, le domaine O est alors recouvert par des parallélépipèdes rectangles. Dans ce cas, on peut exprimer l’intégrale triple sur O, donnée par (7),comme une intégrale de la forme :

(où l’intégrale du milieu doit être calculée en premier) ou la somme de telles intégrales. On peut intervertir l’ordre d’intégration sans changer le résultat. Ceci se généralise en dimension supérieure.

CHANGEMENT DE VARIABLES DANS LES INTEGRALES MULTIPLES

a,

Pour calculer une intégrale multiple sur un domaine il est souvent plus commode d’utiliser des coordonnées curvilignes (considérées aux chapitres 6 et 7) que des coordonnées cartésiennes.

Désignons par ( u , u ) les coordonnées curvilignes des points du plan. Ce seront les images des points ( x , y ) du plan x y par les transformations d’équation x = f ( u , u ) , y = g ( u , u). Dans ce cas, l’image du domaine O du plan xy est un domaine O’ du plan UV. Alors on a

dx- -ax _ au av azj

9

au av

est le jacobien de x , y par rapport à u , u (cf. chapitre 6). De même, si ( u , u , w ) désignent les coordonnées curvilignes des points en dimension trois, ils vérifient les équations x = f ( u , u , w),y = g(u , u , w),z = h ( u , u , w ) et l’on peut écrire

ax -ax - ax _ au av aw au dy dy au av a~ a2 -

au

a2

a2

av aw

est le jacobien de x , y z par rapport à u u , w. Les résultats (9) et ( i l ) correspondent à un changement de variables pour les intégrales doubles et triples. Ceci se généralise aisément en dimension supérieure.

PROBLEMES RESOLUS INTEGRALES DOUBLES 1.

( a ) Tracez le domaine O du plan xy limité par les courbes y = x 2 , x = 2, y = 1.

( b ) Donnez une interprétation physique de

JJ (x’+ y21 dx du. 03

(c)

Calculez l’intégrale double en ( b ) .

(a)

Le domaine demandé a est indiqué sur la figure 9.2 de la page suivante. Comme x2 4- y z est le carré de la distance du point (x , y ) à ( O , O), nous pouvons considérer que l ’ i n 6 grale double représente le moment d’inertie par rapport à l’origine du domaine O supposé de densité unité. On peut aussi considérer que l’intégrale double représente la masse du domaine O , en supposant que la densité varie comme x2 -t y z .

(b)

Chapitre 9/Intégrales multiples

183

Y v=4---------

O Fig. 9-2

(c)

Fig. 9-3

lère méthode : L’intégrale double peut s’exprimer, par itération :

=

105 L’intégration par rapport à y (x restant constant) de y = 1 à y = x2, correspond formellement à sommer dans une colonne verticale (cf. figure 9.2). L’intégration suivante, par rapport à x, de x = 1 à x = 2 correspond à l’addition des contributions de toutes les colonnes verticales entre x = 1 et x = 2..

2ème méthode : L’intégrale double peut aussi s’exprimer, par itération, de la façon suivante :

Dans ce cas, la colonne verticale d u domaine a de la figure 9.2. ci-dessus est remplacée par la colonne horizontale de la figure 9.3. Alors, l’intégration par rapport à x ( y restant constant) de x = à x = 2 correspond formellement à sommer dans cette colonne horizontale. L’intégration suivante-par rapport à y de y = 1 à y = 4 correspond à l’addition des contributions de toutes ces colonnes horizontales entre y = 1 et y = 4.

6

2.

Trouvez le volume du domaine commun aux cylindres x 2

+ y’

= u2 et x 2

+ z2

= u2.

Le volume demandé = 8 fois le volume du domaine indiqué sur la fig. 9.4 z dy dx

Fig. 9-4 Pour nous aider à comprendre cette intégrale, remarquons que z d y d x correspond au volume d’une colonne indiquée en sombre sur la figure, En gardant x constant et en intégrant par rapport à y d e y = O à y = d m , ceci correspond à l’addition des volumes de toutes ces colonnes dans une section parallèle au plan yz, ceci nous donne le volume de cette section, Finalement, en intégrant par rapport à x de x = O à x = a, nous trouvons la somme des volumes de ces sections dans le domaine, ce qui nous donne le volume cherché.

184

3.

Analyse

Trouvez le volume du domaine limité par x = X+Y, ~ = 6 x, = O , y=O, x = O

zl

z=6

I

Le volume demandé = volume du domaine de la figure 9.5 = ~ =

=

o

~

~- (zz +{ y )6} d v d z

f k 6 - x ) ~-

6-r

21

==O

/

=

J

Fig. 9-5

X

g ( 6 - x ) * d z = 36

S=O

+

Dans ce cas, le volume d’une colonne (indiquée en clair sur la figure), correspond à (6 -(x y ) } dy dx. Les limites d’intégration sont donc obtenues en intégrant sur le domaine a de la figure. En gardant x constant l’intégration par rapport à y de y = O à y = 6 - x (obtenus de z = 6 et z = x y ) correspond à la somme de toutes les colonnes d’une section parallèle au plan yz.Finalement, l’intégration par rapport à x, de x = O à x = 6, correspond à l’addition des volumes de ces sections e t donne le volume cherché.

+

TRANSFORMATION DES INTEGRALES DOUBLES 4. Justifiez l’équation (9)’ page 182, par changement de variables dans une intégrale double.

21

En coordonnées cartésiennes, l’intégrale double de F ( x ,y ) sur le domaine a’ (en sombre, sur la figure 9.6.) est

J l F ( x , y ) dx dy.

NOUS

pouvons aussi calculer cette inggrale

a

double en considérant une grille formée pàr une famille de courbes, en coardonnées curvilignes u et v, construites sur le domaine a , comme il est indiqué sur la figure. Soit P un point quelconque de coordonnées ( x , y ) ou ( u , v) où x = f(u, v ) e t y = g ( u , v). Le vecteur r de O à P est r = xi yj = f(u , v)i g ( u , v)j. Les vecteurs tangents aux courbes de coordonnées respectives u = c1 et v = c2 où c1 et c2 sont des constantes, sont respectivement ar/av et &/au. Alors l’aire du domaine A CD de la figure 9.6

+

+

O

ainsi, L’intégrale double est la limite de la somme

prise sur le domaine

où

@’

maine

(D

en entier, On vérifie alors que la limite est

est le domaine d u plan uv qui est l’image par la transformation x = f(u , v ) , y = g ( u , v ) du do@

.

Une autre méthode de justification de la méthode de changement de variables ci-dessus utilise les intégrales curvilignes et la formule de Green dans le plan (cf. chapitre 10, problème 32).

Chapitre 9/Lntégrales multiples

5.

Si u = x 2 - y2 et

D'après l'identité

ZI = Zxy,trouvez

(2'

+

a ( x , y ) / ô ( u , u ) en fonction

185

de u et u.

+

= (x2- y2)2 ( 2 2 ~ )nous ~ avons

+

= u'

(d+y')'

v2

et

2 2

+

y2

=

dFT7

Alors, d'après le problème 45 d u chapitre 6

Autre méthode : Résolvez les équations données en x et y par rapport à u et v et calculez directement le jaco bien.

6. Trouvez le moment d'inertie par rapport à l'origine du domaine du plan x y limité par x2 - y 2 = 1 x2 - 'y = 9, x y = 2, x y = 4 supposé de densité unité.

jw Il\

2'

-y'

=

g

u=l

u=9

2

Fig. 9-7

Par la transformation x 2 - y' = u, 3 x y = v le doniaine donné a , du plan xy (en sombre sur la figure 9.7. (a)), a pour image le domaine a (en sombre sur la figure 9.7. ( b ) ) , d u plan UV. Alors le moment d'inertie demandé

où nous avons utilisé le résultat d u problème 5.

domine

Remarquons que les limites d'intégration pour le a' peuvent être trouvées directement à partir du domaine a d u plan x y , sans construire le domaine c~ . Dans ce cas, nous utilisons une grille comme dans le problème 4. Les coordonnées ( u t v ) sont des coordonnées curvilignes, appelées dans ce cas coordonnées hyperboliques.

7.

Calculez

x2

+ y2

JJ d

x v d x dy, où O est le domaine du plan x y limité par x 2

+ 'y

= 4 et

a

= 9.

+

La présence de x 2 y' suggère d'utiliser des coordonnées polaires ( p , @) où x = p cos @,y = p sin @ (cf. problème 38, chapitre 6). Par cette transformation, l'image du domaine a (fig. 9.8. (a)) est le domaine 0 ' (fig. 9.8. (6)).

186

Analyse

l

=

/z*+ye

(4 a(x, Y )

Comme --

a(P

, $1

Nous pouvons car, pour $ fixée, p 4, de $ = O à $ = représente l’aire dA

8.

9

ou P = 3

Fig. 9-8

- p , il s’ensuit que

aussi écrire immédiatement les limites d’intégration de a’, en observant le domaine @ , varie de 2 à 3 à l’intérieur du secteur de la figure 9.8. ( a ) . L’intégration par rapport à 27r, nous donne alors la contribution de tous les secteurs, Géométriquement pdpd$ indiquée en noir sur la figure 9.8. (a).

la lemniscate Trouvez l’airep2 du=domaine, a2 cos 2@* du plan x y , limité par * p d p d #

a

4 $ B f 4 Spa= om p d p d p

=

4&:1k]

p=0

p

-.,CS-

Ici, la courbe est donnée directement en coordonnées polaires ( p ,$). En donnant à $ des valeurs différentes et en calculant le p correspondant, nous trouvons le graphe de la lemniscate (cf. figure 9.9.). L’aire demandée (en utilisant la symétrie du graphe) est

.-

=

a

m

2

/

//

\ \ r$

/

= - u/4

Fig. 9-9

m

dp

Bf4

u2 cos2p dp

=

[

a2 sin2+

=

u2

INTEGRALES TRIPLES 9. ( a ) Dessiner le domaine @ à trois dimensions

limité par x + y + z = a ( a > O), x = O, y = 0 , z = o. ( b ) Donner une interprétation physique à l’expression

JJJ (x2+ y24- z2)dx d y dz 0

(c) Calculer l’intégrale triple de la question ( b ) . ( a ) Le domaine

0

est représenté par la figure 9.10.

+

X

Fig. 9-10

( b ) Puisque x2 4- y 2 z2 est le carré de la distance d’un point quelconque (x , y , z ) au point ( O , O , O) on peut considérer l’intégrale triple comme représentant le moment d’inertie du domaine a par rapport à l’origine (en supposant une densité égale à l’unité).

Chapitre 9/Intégrales multiples

1 87

On peut aussi considérer l'intégrale triple comme représentant la masse du domaine si la densité varie comme x 2 y* 22.

+

(c)

+

L'intégrale triple peut s'exprimer comme des intégrales répétées. (x'

+ y2 +

22)

sa

=

z=o

dx dy dx a-1-y

f-'l;2~ y=o

-

4 y*?

+

dydx

3 r=o

s:=,l;,"(x*(a + l:o -+

=

- 2) - x*y

d ( a - x)y -

=

zzyz

2

( a - x)2/2

y3

+ ( a - x3-

y)3

( a - %)y3 - y4 ( a - x - y)' -

~

3

4

12

) d Y dx

ly=? a-*

L'intégration par rapport à z ( x et y restant constants) de z = O à z = a - x - y correspond à la sommation des moments d'inertie (ou des masses) correspondantes à chacun des cubes d'une colonne verticale, L'intégration suivante par rapport à y de y = O à y = a - x (en gardant x constant) correspond à l'addition des contributions de toutes les colonnes verticales contenues dans une tranche parallèle au plan y z . Enfin, l'intégration par rapport à x de x = O à x = a équivaut à sommer les contributions de toutes les tranches parallèles au plan yz. Bien que l'intégration ci-dessus ait été faite dans l'ordre z, y , x , il est clair que n'importe quel ordre convient et que le résultat final doit être le même.

10. Chercher ( a ) le volume et ( b ) le centre d'inertie du domaine limité par le cylindre parabolique z = 4 - x 2 et les plans x = O, y = O, y = 6,z = O en supposant la densité constante et égale à u , Le domaine

03

est représenté par la figure

9.1 1. (a)

Volume cherché =

( - S S d x dy dz 02 4-22

dx dy

dx

Fig. 9-11

(b)

Masse totale = puisque

CJ

l:o ilo lLrz

a d2 d y

dx = 32 û en tenant compte du résultat de la question (a),

est constant. Ensuite

y = Moment total par rapport au plan Masse totale

yz

-

s,z,i:o

J::=2 0x dz Masse totale

dz

-

240 320

-

3 4

188

Analyse

u = Moment total par rapport au plan xz

-

Masse totale

-

z =

- -

96u = 32u

-

256u/5 32u

Masse totale

Moment total par rapport au plan xy

-

Masse totale

3

Masse totale 8

3

-

8 5

Le centre d’inertie est ainsi le point de coordonnées -4, 3, 5 -. Remarquer qu’on aurait pu prévoir par raison de symétrie la valeur de p.

TRANSFORMATION DES INTEGRALES TRIPLES 11. Justifier l’équation (il), page 182, pour le changement de variables dans une intégrale triple. 2

Y

X.

Fig. 9-12 Par analogie avec le problème 4, o n construit un système de surfaces coordonnées (coordonnées curvilignes) qui subdivisent le domaine a en sous-domaines, dont un exemple type est A a (voir fig. 9.12). Le vecteur r d’origine O et d’extrémité P est Y

= zi

+ yj + zk

= f ( u ,w,w)i

+ g(u, w,w ) j + h(u,w,w)k

en supposant que les équations de transformation sont : x = f(u , v , w), y = g ( u , v , w ) et z = h(u , Y , w). Les vecteurs tangents aux courbes coordonnées correspondant à l’intersection de paires de surfaces coordonnées sont donnés par &/au, ar/av, ar/ôw. Ainsi le volume du domaine élémentaire A a de la figure 9.12. est donné approximativement par

L’intégrale triple de F ( x , y , z ) sur tout le domaine a est la limite de la somme

On vérifie alors que cette limite est donnée par

où a ’ est le domaine de l’espace uvw dont le domaine a est l’image dans la transformation. Une autre méthode pour justifier la formule ci-dessus de changement de variables dans les intégrales triples utilise le théorème de Stokes (voir problème 84, chapitre 10).

12. Exprimer

sss

Chapitre 9/Intégrales multiples

189

F ( x , y , z ) dx dy dz dans un système de coordonnées ( a ) cylindriques, ( b ) sphériques.

a

(a)

Les équations de passage aux coordonnées cylindriques sont x = p cos $, y = p sin $, z = z. Comme dans le problème 39, chapitre 6, on a a(x, y , z ) / a ( p , $ , z ) = p. Ensuite, d’après le problème 11, l’intégrde triple devient

sss

G(P,@,

4 P dp d$ dz

8’

où a‘ est le domaine de l’espace p , @ , z correspond à a et où G ( p , $ , z )

(b)

Les équations de passage en coordonnées sphériques sont données par

x =

F ( p cos $, p sin @,z).

r sin 8 cos $ y , = r sin 8 sin @,

z = r cos 8.

D’après le problème 103, chapitre 6, on a problème 11, l’intégrale triple devient

Ifs

a(x , y , z ) / a ( r , 8 , $) = r2 sin 8. Ensuite, d’après le

H ( r , e, +) r2sin e d r de d@

O31

où a’ est le domaine de l’espace r , 6 , $ correspondant à r sin 8 sin @, r cos 8).

03,

et où H ( r , 8 , $)

F ( r sin 8 cos $,

13. Chercher le volume du domaine situé au-dessus du plan x y est limité par le paraboloïde z = x2 y2 e t le cylindre x 2 y2 = a 2 .

+

+

Le volume est très aisément trouvé en utilisant les coordonnées cylindriques. Dans ce système de coordonnées les équations du paraboloïde et d u cylindre sont respectivement z = p2 et p = a. Alors Volume cherché = = 4 fois le volume représenté sur la fig. 3.13.

= 4

sT“salro p

+=O

= 4sT12f $=O

dz dp d+

p=o

p3dpd+ p=o

Fig. 9-13

L’intégration par rapport à z ( p et $ restant constants) de z = O à z = p2 revient à sommer les volumes des cubes élémentaires (indiqués par dv) dans une colonne verticale allant du plan x y au paraboloïde. L’intégration suivante par rapport à p (@restant constant), de p = O à p = a revient à sommer toutes les colonnes dans le domaine en forme de coin. Enfin l’intégration par rapport à @ revient à additionner les colonnes de toutes les régions en forme de coin. L’intégration peut aussi être faite dans un autre ordre : le même résultat est bien sûr obtenu. On peut aussi calculer l’intégrale en déterminant le domaine O3’ dans l’espace p , @ , z image de a dans le passage aux coordonnées cylindriques.

14.

( a ) Chercher le moment d’inertie par rapport à l’axe des z du domaine donné dans le problème 13, en supposant que la densité est égale à une constante u. ( b ) Chercher le rayon de giration. Le moment d’inertie par rapport à l’axe des z est donné par (a)

190

Analyse Le résultat peut s'exprimer en fonction de la masse M du domaine, puisque, d'après le problème 13, 71

M = volume x densité = - x a4 u si bien que 1, = 2

na6a

3

=

n a6 2~ 3 na4 *

=

2MaZ 3

Remarquer que dans le calcul de l'intégrale I,, on peut considérer op dz dp d$ comme étant la masse d'un volume cubique élémentaire, p2 . ap dz dp d$ comme étant le moment d'inertie de cette masse par rapport à l'axe des z et l [ J p 2 , op dz dp d$ comme le moment total d'inertie par rapport à l'axe des z , 0 Les limites d'intégration sont établies comme dans le problème 13. (b)

Le rayon de giration est la valeur K , telle que MK 2 =

5 Ma',

c.à.d. K 2 =

5

a'

ou K = a m .

La signification physique de K est la suivante : si toute la masse M était concentrée dans une mince couche cylindrique de rayon K , le moment d'inertie de cette couche par rapport à l'axe du cylindre serait I, .

+

+

15. ( a ) Chercher le volume du domaine limité par-dessus par la sphère x 2 y' z2 = a' e t y 2 ) cos2 a, où a est une constante telle que par dessous par le cône zz sin2 a = ( x 2 O < a G 7r. ( b ) A partir du résultat de la question ( a ) , déduire le volume de la sphère de rayon a. Dans un système de coordonnées sphériques l'équation de la sphère est r = a et celle du cône est

+

8 =

(Y. Ceci peut se voir soit directement soit en utilisant les équations de transformations : x = r sin 8 cos $, y = r sin 6' sin @, z = r cos 8. Par exemple, z 2 sin2 (Y = ( x 2 i- y * ) cos2 (Y devient, en utilisant ces équations ,

r2 cos2 e sin'

c'est-à-dire

a

=

+

r2 sin2e sin2@) cos4 (Y = r2 sin2e cos' 01

( r 2 sin2e cos2 @

r2 cos2 e sin2a

d'où l'on tire tg 0 = k tg a et par conséquent 8 = a ou 19 = n - a. Il suffit de considérer l'une des deux solutions, par exemple 6' = a. (a1

Volume cherché

= 4 fois le volume (ombré) ceprésenté sur la figure 9.14. sin e d r de dp

=

CS7''Sa 3

a3 - -2(n 1 3

$=O

s i n e de dp

g=o

- cos f f )

L'intégration par rapport à r (8 et $ restant constants) de r = O à r = a revient à sommer les volumes élémentaires (tels que celui qui est représenté par dv) dans une colonne s'étendant de r = O à r = a. L'intégration suivante par rapport à 8 (en gardant 6' constant) de 6' = O à 8 = n/4 revient à sommer les volumes de toutes les colonnes dans la région en forme de coin. Enfin, l'intégration par rapport à $ revient à additionner les volumes de toutes les régions en forme de coin.

(b)

En faisant a = n, on obtient ainsi le volume de la sphère: 2r;a3 -(1 3

- cosr;) =

4 3 ,'

-,a3

Chapitre 9/Intégrales multiples

191

16. ( a ) Chercher le centre d’inertie du domaine donné dans le problème 15. ( b ) Utiliser le résultat obtenu en ( a ) pour trouver le centre d’inertie d’un hémisphère.

-

(a)

- -

Le centre d’inertie (x, y , z ) est, par raison de symétrie, donné par X =

z =

y=

O et

Moment total par rapport au plan xy-- .f.f.f Z 0 d V Masse totale IIS 0 d V

Etant donné que z = r cos 0 et que u est constant, le numérateur est donné par

s‘” sa

-

sin e cos e de dg

ou4

&=O

3 IT u

Le dénominateur, obtenu en multipliant le résultat du problème 1 5 ( a ) par a3 ( i - cos (Y). D’OÙ finalement : z =

(b)

En faisant

(Y

= n/2,on obtient

4nm4sin2(Y 37;ua3(l - COS^) =

U,

est donné par

+ cosff).

= -3a ( l 8

a.

PROBLEMES DIVERS 17. Démontrer les égalités suivantes : ( a )

(b)

8=0

J‘{il&$

1

dy

En échangeant x et y dans l’intégrale (a), on a

l’{f 5

H d x } d y = 1

et ensuite en multi-

pliant les deux membres par - 1, on obtient immédiatement ( b ) , Cet exemple montre que le changement de l’ordre d’intégration ne peut pas toujours donner le même résultat. Une condition suffisante pour que l’on puisse permuter les variables d’intégration est que l’intégrale double ait un sens sur le domaine d’intégration correspondant. Dans le cas présent, l’intégrale doubleJf

3d x dy,

(x

+ YI3

où a est le domaine O

O.

’ où a

a et de hauteur b, par rapport à son .Rép. $ Ma2

est le domaine limité par les sphères x 2 4- y’ -k z 2 = a

et

(b) Donner une interprétation ph3sique de l’intégrale de la question ( a )

Chercher le volume du domaine limité, en dessus par la sphère r = 2a cos 8, en dessous par le cône @ = QI,où Rép. n a3 (1 - cos4 a ) (b) Discuter le cas cos (Y = n/2.

< Q < n/2.

4

13

194

Analyse

45. Chercher le centre d'inertie d'une coquille hémisphérique ayant

a pour rayon de surface externe, et b pour rayon de surface interne en supposant que la densité ( a ) est constante, ( b ) varie comme le carré de la distance à la base, Discuter le cas a = b. En prenant l'axe des z comme axe de symétrie : (0) X = p = O, Z = 28 (a4 - b 4 ) / ( a 3- b 3 ) ; ( b ) Z = y = O , Rép. z =

;

(a6 - b 6 ) / ( a 5 -

b5)

PROBLEMES DIVERS

46. Chercher la masse d'un cylindre droit à base circulaire de rayon a et de hauteur

b , en supposant que la densité varie comme le carré de la distance à un point situé sur la circonférence de la base. n az bk (9 az 4- 2 b z ) , où k = constante de proportionnalité. Rép.

47. Chercher

( a ) le volume et ( b ) le centre d'inertie du domaine limité en haut par la sphère x z f y z et en bas par le plan z = b, où a > b > O, en supposant la densité constante. Rép. ( a ) n ( 2 a 3 - 3a2b f b 3 ) ; ( b ) Y = = O , Z = (a f b)'/(2a f b )

f zZ

= a'

5

48. Une sphère de rayon

a est percée d'un trou cylindrique de rayon b, l'axe du cylindre coïncidant avec un diamètre de la sphère. Démontrer que le volume restant de la sphère est $ n [a3 - (aZ - b z ) 3 / z ] .

49. Une courbe fermée simple, contenue dans un plan, tourne autour d'un axe situé dans son plan et n'ayant aucun point commun avec la courbe. Démontrer que le volume du solide engendré est égal à l'aire de la section plane limitée par la courbe donnée multipliée par la longueur de l'arc parcouru par le centre d'inertie de la section plane, (Théorème de Pappus et Guldin).

50. Utiliser le problème 49 pour chercher le volume engendré par la rotation d'un cercle xz b

51.

>a >O

autour de l'axe des x .

f (y

- b)' = a',

Rép. 2n az b

Chercher le volume du domaine limité par les cylindres hyperboliques x y = 1, xy = 9, xz = 4, xz = 3 6 , [Indication : poser x y = u , xz = v, yz = w]. Rép. 6 4

yz = 25, y z = 49.

52. Chercher l'intégrale JlJJ1

- (xz/aZ

+ y 2 / b z f z Z / c z ) dx dy dz, où a est le domaine intérieur

l'ellipsoide

G2

x z / a 2 -k y 2 / b Z

sphériques].

53.

54.

f z z / c z = 1. [Indication Rép. n2 abc.

: poser

x =

au, y =

Soit a le domaine défini par l'inéquation xz f xy f y'

bv, z = cw. Utiliser ensuite les coordonnées

< 1, démontrer

la relation

Jf

e-(22tzYtYz)

27r dx dy = -(,

fi a [Indication : poser x = u cos (Y - v sin (Y, y = u sin (Y f v cos (Y et choisir (Y de manière à éliminer le terme xy de la fonction à intégrer, Ensuite poser u = a p cos @, v = b p sin 4 , où a et b sont convenablement choisis] Démontrer la relation problème 18).

iz

... f

1 F ( x )dx" = (rL- i)! ~

Jz

(x - U ) " - ' F ( ~ )du pour n = 1, 2 , 3

. . . (voir

CHAPITRE 10

Integrales curvilignes, integrales de surface et théorèmes du calcd intégral

Y

Soit C une courbe du plan xy joignant le point A ( a , , b , ) au point B(a, , b, ) (voir figure 10.1). Soient P ( x , y ) et Q (x , y ) deux fonctions (univoques) définies pour tout point de C. Formons une subdivision de C en n parties en choisissant ( n - 1) points de C, donnés par ( X I 3’1 1’ ( x 2 3 , * * (xn-1 Y-, 1 ) Posons Axk = - X k - 1 et Xe = yk - Y k - 1 , k = 1 ’ 2 . . 9 n OU (al , b l ) ( x o , y 0 ), ( a 2 b,) (x,,Y,) et supposons les points (& , q k ) pris sur C entre les points

-

9

où A , , A ,

7

et A , sont des fonctions de x , y

/ ( L T 1’ v r + 1)

(t,?7,)

@k+V

B ( w bn)

&+J

(XW l/r)

(XI,

th)

A ( u ~bi),

1

l

l

al

. a2

et z .

On peut définir d’autres types d’intégrales curvilignes dépendant de courbes particulières. Par exemple, si As, désigne la longueur de l’arc de courbe C sur la figure ci-dessus et d’extrémités alors ( x k y k ) et ( x k + l yk+ 1 9

7

9

s’appelle l’intégrale curviligne de U ( x , y ) le long de C , Il est possible d’en faire des extensions 2 trois dimensions (ou davantage).

X

196

Analyse

NOTATION VECTORIELLE DES INTEGRALES CURVILIGNES Il est souvent commode d’exprimer une intégrale curviligne sous forme vectorielle tant pour en avoir une signification physique ou géométrique que pour en donner une notation condensée. Par exemple, on peut mettre l’intégrale curviligne ( 3 ) sous la forme

lA1dx

+

+ Azdy + A s d z

=

(Ali + A2j + Ask) (dxi + dyj

+ dzk)

(5)

+

A,j A , k et dr = dx i + d y j t dz k. L’intégrale curviligne (2) est un cas où A = A l i particulier de l’intégrale ( 3 ) dans lequel z = O. Si 3, chaque point (x , y , z ) nous faisons correspondre une force F agissant sur un objet (c’està-dire si on définit un champ de forces), alors

F.dr représente physiquement le travail total accompli en déplaçant l’objet sur la courbe C .

CALCUL DES INTEGRALES CURVILIGNES Si l’équation de la courbe C dans le plan z = O est donnée par y = f(x) , l’intégrale curviligne (2) se calcule en remplaçant y par f ( x ) et dy par f ’ ( x ) d x dans l’expression sous le signe somme et l’on obtient l’intégrale curviligne

que l’on calcule ensuite de la manière habituelle. De la même manière, si la courbe C est donnée par x = g ( y ) , alors dx = g ’ ( y ) d y et l’intégrale

Si l’on se donne C sous forme paramétrée x = 4 ( t ) , y = JItz

P W ) ,W

) +’Pl d t

)I

( t ) ,l’intégrale curviligne devient

+ Q{+(t), N >W ) d t

(9)

où t , et t, désignent respectivement les valeurs de t correspondant aux points A et B . On peut dans l’intégration utiliser des combinaisons des méthodes ci-dessus. Des méthodes similaires sont utilisées pour le calcul d’intégrales curvilignes le long de courbes de l’espace.

PROPRIETES DES INTEGRALES CURVILIGNES Les intégrales curvilignes ont des propriétés analogues à celles des intégrales ordinaires. Par exemple :

1.

S, P ( X , Z Jd)x + Q(x,y) du

=

$, P ( x , ~ ) d x+ S, Q ( X , Y ) d Y

Ainsi le renversement du sens de parcours du chemin d’intégration change le signe de l’intégrale curviligne.

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral. ( a 2 ,b l )

3.

Pdx ia,,,,)

+ Qdy

s

( a s .b3)

=

Pdx

(al,b,)

+

Qdy

+

s

( u s ,b , )

(ag, b î )

Pdx

1 97

+ Qdy

où ( a 3 , b 3 ) est un autre point de C. Des propriétés similaires sont valables pour les intégrales curvilignes dans l’espace.

COURBES SIMPLES FERMEES. DOMAINES SIMPLEMENT CONNEXES OU MULTIPLEMENT CONNEXES. Une courbe simple fermée est une courbe fermée qui ne se recoupe nulle part. Mathématiquement, une courbe du plan xy est définie par les équations paramétriques x = @ ( t ), y = $ ( t ) où @ et $ sont univoques et continues sur un intervalle t , < t < t, . Si 6 ( t ,) = @ (t,) et $ ( t , ) = $ ( t , ) , on dit que la courbe est fermée. Si @ ( u ) = @ ( u ) et $ ( u ) = $ ( u ) uniquement quand u = u (excepté dans le cas particulier où u = t , et u = t,) , la courbe est fermée et ne se recoupe nulle part (en d’autres termes, n’a pas de points multiples) et ainsi est une courbe simple fermée. On suppose en plus, sauf quand il est spécifié autrement, que @ et $ sont différentiables par morceaux sur l’intervalle t , < t < t, . Si un domaine plan est tel que toute courbe fermée peut être réduite à un point par déformation continue sans sortir du domaine, alors le domaine est dit simplement connexe ; dans le cas contraire, il est dit multiplement connexe (voir page 102 du chapitre 6). Quand on fait varier le paramètre t de t , à t,, la courbe plane est parcourue dans un certain sens. Pour des courbes du plan xy, nous conviendrons de dire que la courbe est parcourue dans le sens positif (resp. négatif) si une personne se déplaçant sur la courbe dans ce sens avec sa tête dans la direction des z positifs, voit le domaine enclos par la courbe toujours à sa gauche (resp. à sa droite). Si nous regardons de haut en bas une courbe fermée simplement du plan xy, ceci revient à dire que le parcours de la courbe se fait dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, tandis que le parcours dans le sens des aiguilles d’une montre donne conventionnellement le sens négatif.

FORMULE DE GREEN DANS LE PLAN Théorème : Soient P , Q , a P / a y , a&/& des fonctions univoques et continues définies sur un domaine simplement connexe O dont la frontière est une courbe fermée simple C . Alors

6

Pdx

+

Qdy

=

s al ( g - g ) d x d y

(10)

où l’on use du symbole pour indiquer que C est fermée et décrite dans le sens positif. Ce théorème est ég&ement vrai pour des domaines limités par deux ou plusieurs courbes fermées (c’est-à-dire des domaines multiplement connexes). Voir problème 10.

CONDITIONS POUR QU’UNE INTEGRALE CURVILIGNE SOIT INDEPENDANTE DU CHEMIN D’INTEGRATION Théorème 1.

P d x + Q d y soit indépendante du chemin j,’ joignant un point quelconque du domaine a A un autre point quelconque du même domaine est Une condition nécessaire et suffisante pour que

que l’on ait dans O

où l’on suppose ces dérivées partielles continues dans O .

198

Analyse

+ +

La condition (11) est également la condition pour que P d x Q d y soit une différentielle exacte, c’est-à-dire qu’il existe une fonction $(x , y ) telle que P d x Q d y = d$. Dans un tel cas, si les extrémités de la courbe sont les points (xi , y l ) et ( x 2 , y 2 ) , la valeur de l’intégrale curviIigne est donnée par

En particulier si (11) est vérifiée et si C est fermée, on a x, = x 2 , y l = y z

g P d x

+

=

Qdy

et

O

Pour les démonstrations et les théorèmes qui s’y rapportent, voir Problèmes il-13. Théorème 2 . Une condition nécessaire et suffisante pour que

s,

A , dx

du chemin C joignant deux points quelconques du domaine

+ A,dy + A,dz

a est

soit indépendante

que dans Q l’on ait

dAi - aAz aA3 aAi dA, aA3 - - ay ax ax a2 a2 JY où l’on suppose ces dérivées partielles continues dans 9 . On peut exprimer de façon concise ces résultats en notation vectorielle. Si A = A i ~

(14)

, + A2j + A 3 k

l’intégrale curviligne peut s’écrire

s,

A . dr et la condition (14)est équivalente à la condition V A A = O

Si A représente un champ de force F qui s’exerce sur un objet, ce résultat revient à affirmer que le travail effectué en déplaçant l’objet d’un point à un autre est indépendant du chemin reliant deux points si et seulement si V A A = O . Un tel champ de force est appelé souvent champ conservatif. La condition (14) [ou la condition équivalente V A A = O.] est aussi la condition pour que A , dx A 2 d y A , d z [ou A . dr] soit une différentielle exacte,c’est-à-dire qu’il existe une fonction $(x , y , z ) telle que A , dx A 2 d y A , d z = d# . Dans un tel cas si les extrémités de la courbe C sont les points (xi , y 1 , z l ) et ( x 2 , y 2 , z 2 ) , la valeur de l’intégrale curviligne est’donnée par

+

+

+

+

( x z . Y*,2 2 )

(X2>Y2,z 2 )

A-dr (il.Y l . t l )

d+

=

=

+(XZ,YZ,ZZ) - + ( ~ I , ~ I , z I )

(Z1,Yl3Z1)

En particulier si C est fermé et que V A A = O , on obtient $A.dr

=

O

INTEGRALES DE SURFACE Soient S une surface à deux faces et O sa projection sur le plan xy comme il est indiqué sur la figure ci-contre 10.2. Supposons que l’équation de S soit donnée par z = f ( x , y ) , où f est univoque continue en (x , y ) sur 0. Effectuons une partition de CI) en n sous-domaines d’aires AA, , , p = 1 , 2 , . , , , n et élevons une colonne verticale sur chacun de ces sous-domaines coupant S sur une aire AS, .

2

Fia. 10-2

(15)

.

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

Soit

#I(X

199

y , z ) une fonction univoque et continue en tout point de S . Formons la somme

c dt,’ n

, q, É), est un point quelconque de AS, O , Si la limite de ( 1 7 ) existe quand n + Cp(x y , z ) sur S et est notée où (É,

AS’,

~

+

Jj-

(17)

ASP

rlp’

P=l

. Augmentons n

indéfiniment de sorte que chaque

, la limite est appelée intégrale de surface de

d X 9 Y7

2)

dS

(18)

S

1

l

- A A , , où y,

est l’angle entre la normale à S et la lcos Y, direction positive de l’axe z , la limite de la somme (17) peut s’écrire Puisque approximativement, AS, =

La quantité

lcOs 1 1

Y,

03

est donnée par

Alors, en supposant que z = f ( x , y ) ait des dérivées continues (ou continues par morceaux) dans O , (19) peut s’écrire sous la forme suivante : 03

+(x,y,xl2(-)/ ,

dy

(21)

Dans le cas où l’équation de S est donnée par F ( x , y , z ) = O, (21) peut aussi s’écrire

Les résultats (21) ou (22) p e u v k t être utilisés pour calculer (18). Dans ce qui précède on a supposé que S est telle que toute parallèle à l’axe des z ne rencontre S qu’en un seul point au plus. Dans le cas où S n’est pas de ce type, on peut d’ordinaire subdiviser S en surfaces S , , S , , . . . de ce type. Alors l’intégrale de surface sur S est définie comme la somme des intégrales de suriace sur S , , S , , . . , Les résultats choisis ici sont valables quand S est projetée sur un domaine CD du plan x y . Dans certains cas il est préférable de projeter S sur les plans yz ou xz . L’intégrale (18) peut alors être calculée en aodifiant convenablement les formules (21) et (22).

THEOREME D’OSTROGRADSKI (ou THEOREME DE LA DIVERGENCE) Soit S une surface fermée, frontière d’un domaine de volume V . Choisissons comme sens positif de la normale à la surface, le sens qui va de l’intérieur du domaine à l’extérieur, et désignons par a ,/3 , y les angles que fait cette normale avec la direction des x , y , z , positifs respectivement. Alors, si A , , A , , A , sont des fonctions continues ayant des dérivées partielles continues dans le domaine, le théorème de la divergence s’exprime ainsi :

qui peut aussi s’écrire

200

Analyse

Sous forme vectorielle avec A = A i s’écrire simplement

+ A , j + A, k

et n = cos ai

+- cos /3j + cos y k , ceci peut

Ce théorème, appelé théorème de la divergence ou théorème d’Ostrogradski, ou encore théorème de Green dans l’espace, s’énonce comme suit : L’intégrale de surface de la composante normale d’un vecteur A prise sur une surface fermée est égale 5 l’intégrale de la divergence de A prise dans le volume enclos par la surface.

THEOREME DE STOKES Soit S un domaine superficiel à deux faces limité par une courbe fermée simple C. Considérons une normale à S, orientée comme positive si elle est sur une face de la surface, et négative si elle est sur l’autre face. Le choix du sens positif de la normale à la surface est arbitraire mais doit être convenu d’avance. Appelons sens positif de C, le sens de parcours d’un observateur qui, se déplaçant sur le bord de C , avec sa tête dirigée dans le sens de la normale positive, voit la surface à sa gauche. Alors si A , A , , A sont des fonctions univoques, continues, et possédant des dérivées partielles continues dans un domaine contenant S , on a

($-

+ $)cosp : A = A , i + A 2 j + A , k et

Sous forme vectorielle, en posant ceci s’exprime simplement de la manière suivante :

+ 11

(g-

= cos a

i

+ cos oj + cos y k ,

Ce théorème, appelé théorème de Stokes, s’énonce comme suit : l’intégrale curviligne de la composante tangentielle d’un vecteur A prise le long d’une courbe simple fermée C est égale à l’intégrale de surface de la composante normale de rot A prise sur une surface quelconque S ayant pour bord la courbe C . A noter que si nous avons comme cas particulier V A A = O dans l’équation (27)’ nous retrouvons l’équation (16).

PROBLEMES RESOLUS INTEGRALES CURVILIGNES 1. Calculer

L:::)

(x2 - y ) d x

+ (y2 + x) dy

le long ( a ) d’une ligne droite joignant le point

(O, 1) au point (1,2)’ ( b ) de la ligne droite joignant le point (O, 1) au point (1, 1) et ensuite de la ligne droite allant du point (1, 1) au point (1,2), (c) de la parabole x = t, y = t2 1.

+

(a)

L’équation de la droite joignant le point (O, 1) au point (1, 2 ) dans le plan xy est y = x f 1 . Alors dy = dx et l’intégrale curviligne est égale à

l:,

{xz - ( x + l ) ) d x

+ { ( z + 1)’ + z } d x

= i 1 ( 2 z 2 + 2 x )dx = 513

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral. (b)

20 1

Le long de la droite joignant les points ( O , 1) et (1, 1), on a y = 1, dy = O et l'intégrale curviligne est égale à

K0

1)dx

(2'-

+ (1+ Z)(O)

=

s.'

(z2- 1)dx

= -2/3

Le long de la ligne droite allant de (1, 1) à (1, 2) on a x = 1, d x = O et l'intégrale curviligne est égale à

Alors la valeur cherchée de cette intégrale est (c)

- 2/3

+

10/3 = 813 .

Puisque t = 0 au point (O, i ) et t = i au point (1, 2), l'intégrale curviligne est égale à

Lo (t2

- (t'+ l)} d t

+

((t2

+ 1)' + t }2t d t

=

+ + 2t2+ 2t - 1)dt

[ A . dr

A = (3x2 - 6yz)i + (2y + 3xz)j + (1 - 4xyz2)k, calculer à (1, 1 , 1) le long des chemins suivants C :

2. Si

(a)

= 2

(2t5 4t3

'C

de ( O , O , O)

x = t , y = t Z , z = t 3 .

( b ) Les segments de droite joignant ( O , O , O) à (O , O , l), puis ( O , O , 1) à (O , 1 , 1) eJ enfin (0,171) à (1,171). (c) La ligne droite allant du point ( O , O , O ) au point (1, 1 , 1).

s,

=

A dr 9

+ (2y 4- 3xz)j + (1- 4zyx')k)

(332 - 6yz) dx

= (a)

( ( 3 x 2- 6yz)i

(dxi

+ dy j + dx k)

+ (2y + 3x2) dy + (1- 4xyZ') dz

x = t , y = t2 , z = t3 , les points (O , O , O) et (1 , 1 , 1) correspondent à t = O et t = 1 resSi pectivement. Alors

s,A*dr

i:o

+ (2t2+ 3(t)(t3)}d ( t 2 ) + ( 1 - 4 ( t ) ( t 2 ) ( t 3 ) d' }( t 3 )

(3t' - 6(t2)(t3)} dt

=

(3t2- 6t5) d t

+ ( 4 t 3+ 6t5)dt + ( 3 t 2- 12t") d t

=

2

Autre méthode : Le long de C , A = ( 3 t2 - 6 t 5 ) i d r = (i -i 2tj 3 t 2 k ) d t . Alors

+

JA-dr

(b)

=

+ (2t2 + 3t4)j + (1

i*

(3t2- 6t5)dt

+

(4t3

- 4f9)k et

r = xi

+ 6t') dt + (3t2- let")

dt

+ y j + z k = ti 4- t2j + t 3 k , =

2

Le long de la ligne droite de ( O , O , O ) à ( O , O , 1 ) , x = O , y = O , dx = O , dy = O tandis que z varie d e O à 1 . Alors l'intégrale le long d e cette partie du chemin d'intégration est égale à

I:,

(3(0)'- 6(0)(2)}0

+ (2(0) + 3(0)(~)}0+ {l - 4(0)(0)(~~)}d~

=

I:,

dx

= 1

Le long de la ligne droite de ( O , O , 1 ) à ( O , 1 , 1) , x = O , z = 1 , dx = O , dz = O tandis que y varie de O à 1. Alors l'intégrale le long d e cette partie du chemin d'intégration est égale à

s,1,

{3(0)' - 6(~)(1)}0+ ( 2 +~ 3(0)(1)}dy

+

( 1 - ~(O)(Y)(~)~}O

=

j-I0 2YdY

= 1

Le long de la ligne droite de ( O , 1 , 1 ) à ( 1 , 1 , l ) , y = 1 , z = 1 , dy = O , dz = O x varie de O à 1. Alors l'intégrale le long de cette partie du chemin est

s:,

(32'- 6(1)(1)}dz

+ (2(1) + 3z(1)}0 + (1 - 42(1)(1)'}O

En additionnant, on trouve

=

f1 (392- 6) dz ==O

l A . d r = l + 1 - 5 = - 3 .

tandis que

= -5

292

Analyse (c)

La ligne droite joignant ( O , O , O) à (1 , 1 , 1) est donnée sous forme paramétrique par x = t , y = t , z = t . Alors

1

A-dr =

J:o( 3 t Z - 6 t 2 ) d t + ( 2 t + 3 t 2 ) d t + (1 - 4 t 4 ) d t

= 6/5

3. Chercher le travail effectué en déplaçant une particule une seule fois le long d’une ellipse C dans le plan xy , sachant que l’ellipse a pour centre l’origine, pour demi-grand axe et pour demi-petit axe, respectivement, 4 et 3, ainsi qu’il est indiqué sur la figure 10’3, et sachant que le champ de force est donné par =

F

(3~-4y+2x)i

+

(4x+2y-3x2)j

+

+

+

Dans le plan z = O , on a F = (3x - 4y)i (4x 2y)i et d r = d x i -k dyj si bien que le travail effectué est donné par

$F

dr

=

s,

((32 - 4y)i

= i(3x-4y)dx

+ (42 + 2y)j - 4y2k}

(2~~-4y~+Z~)k -

4y2k, r = zii-yj

@ d c o s t I

3sintj

+

(dxi d y j)

+ (4~+2y)dy

Choisir pour équation paramétrique de l’ellipse les expressions x = 4 cos t , y = 3 sin t où t varie de O à 2n (voir figure 10.3). Alors l’intégrale curviligne est égale à

i:

{3(4 cos t ) - 4(3 sin’t)}.(- 4 sin t } d t

-

1:

(48 - 30 s i n t c o s t ) d t

=

+

{4(4 cos t )

Fig. 10-3

+ 2(3 sin t)}{3 cos t } d t

(48t - 15 sin2t)1:

=

96n

Sur l’ellipse, nous avons choisi comme sens positif de parcours, le sens contraire des aiguilles d’une montre, comme cela est indiqué sur la figure 10.3. Si C avait été parcouru dans le sens des aiguilles d’une montre (sens négatif), la valeur de l’intégrale aurait été - 96n.

4. Calculer

y ds le long de la courbe C donnée par y = 2

6 de x = 3 à x = 2 4 .

2//

THEOREME DE GREEN DANS LE PLAN

F

fL---___________

5 . Démontrer le théorème de Green dans le plan sachant que C est une courbe fermée coupée par toute parallèle à l’un ou l’autre des axes de coordonnées en deux points au plus. Posons y = Y l ( x ) et y = Y 2 ( x ) pour équations des courbes AEB et AFB respectivement (voir la figure 10.4 ci-jointe). Si (D est le domaine limité par C, nous avons

A

DB

e ------ A---

j

O

E

I

Fig. 10-4

P ( r , Y , ) ]dx

j

b

a

2

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral. Alors

f

(1)

= --ss%dxdy

Pdx

C

De manière analogue, posons x = respectivement. Alors

Co

X,b)

et

x = X 2 b ) , pour équations des courbes EAF et EBF

D'où

En ajoutant (1) et (2), o n obtient

= ss($-z)dxdy.

i P d t +'Qdy

Co

6. Vérifier le théorème de Green dans le plan pour l'intégrale

$ (2xy - x2)dx + (x+ y2) d y

où C est la courbe fermée, frontière du domaine limité par y et y 2 = x .

=

x2

Les courbes planes y = x 2 et y' = x se coupent aux points ( O , O) et (1, 1). Le sens positif de parcours de C est indiqué sur la figure 10.5. Le long de y = x 2 , l'intégrale curviligne est égale à {(2x)(x2)- x'} dx 3- {Z

+ (x')'}

d(~')=

(2x3

+ x' + Zx5)dx

Fig. 10-5

= 716

Le long de y 2 = x , l'intégrale curviligne est égale à

JOl

{ ~ ( Y ' ) ( Y ) - (Y')'} d ( y 2 )

+

{Y'

+ Y'}

dy

=

J0

+

(4y4 - 2 ~ ' 2 ~ ' )dy

= -17/15

Enfin, l'intégrale curviligne cherchée est égale à 7 / 6 - 17/15 = 1/30.

=

fs

- J-JY -

s,& fi

(1-2r)dxdy

+

- 2xy)lg=,2

=

f 0

=

1'

( l - 2x) dy [lx

(x"' - 2x3/' - x2 + 2x3) dx = 1/30

D'où la vérification d u théorème de Green.

Etendre la démonstration du théorème de Green dans le plan donnée au problème 5 aux courbes C que des parallèles à l'un ou l'autre des axes de coordonnées peuvent couper en plus de deux points. Considérons une courbe fermée C telle que celle qui est montrée sur la figure 10.6 ci-contre, et que des parallèles à l'axe O x ou à l'axe Oy peuvent couper en plus de deux points. En traçant la ligne S T le domaine est divisé en deux domaines et (u qui sont d u type considéré au problème 5 et pour lesquels le théorème de Green s'applique, c'est-à-dire

V

Fig. 10-6

203

204

Analyse (1)

J

Pdx

+ Qdv

= If(z-$)dxdy,

STUS

(2)

J P d x + Q dy

= l f ( g - g ) d x d y

SVTS

9 1

*2

En additionnant les membres de gauche de (1) et (2), on obtient, en omettant d’écrire la forme différentielle P dx 4- Q d y dans chaque cas, =

I J + J STUS

-As

=

en utilisant le fait q u e s

J + J + J + J= J + J

ST

SVTS

ST

TUS

SVT

TS

TUS

SVT

=

J TUSVT

En additionnant les membres de droite de (1) et (2), et omettant l’expression sous le signe somme, on n

obtient

n

n

n

n

n

J J + J J =J J *l

où a est la réunion de a l et

*2

1

Alors

P dx 4- Q d y =

-) ss (2aY

a

TUSVT

dx dy

a2

.

et le théorème est démontré.

Un domaine m tel que c e h i qui est considéré ici et au problème 5 , dans lequel toute courbe fermée contenue dans a peut être réduite à un point de façon continue est appelé domaine simplement connexe. Un domaine qui n’est pas simplement connexe est dit multiplement connexe. Nous avons démontré ici que le théorème de Green dans le plan s’applique à des domaines simplement connexes limités par des courbes fermées. Dans le problème 10 le théorème est étendu aux domaines multiplement connexes. Pour des domaines simplement connexes plus compliqués il peut être nécessaire de construire plus d’une ligne telle que ST pour établir le théorème.

8. Démontrer que l’aire d’un domaine plan limité par une courbe fermée simple C est donnée par

zf 1

xdy -y dx. Q =x

Pour appliquer le théorème de Green, posons P = - , y ,

A =

où A est l’aire cherchée. Ainsi :

. Alors

f4 x d y - y d x .

9. Chercher l’aire de l’ellipse. x = a cos 0 , y = b sin 8

.

$1 2T

Aire

=

+$xdy

- ydx

2h

=

a.b(cos2e

=

+ sin2@)de

(acose)(bcose)de- (bsine)(-asine)de

=

+xznabde

=

rab

1 o. Démontrer que le théorème de Green dans le plan est valable également dans un domaine multiplement connexe m tel que celui qui est indiqué sur la figure 10.7. Le domaine ombré (D montré sur la figure est multiplement connexe puisqu’il existe des courbes fermées continues dans (D qui ne peuvent être réduites à un point par déformation continue sans sortir du domaine, comme on l’observe en considérant par exemple une courbe entourant la frontière DEFGD . La frontière a ,qui se comK pose de la frontière extérieure A H J K L A et de la frontière intérieure DEFGD, doit être parcourue dans le sens positif, c’est-à-dire tel qu’un 01 I voyageur se déplaçant sur la frontière dani ce sens voit toujours ie domaine à sa gauche. On peut constater que les sens positifs de parcours Eig. 10-7 sont ceux qui sont indiqués dans la figure ci-contre. Afin d’établir le théorème, traçons une ligne, telle que A D , appelée coupure transversale reliant les frontières intérieure et extérieure. Le domaine limité par ADEFGDALKJHA est simplement connexe. et le théorème de Green est valable dans ce domaine. Alors

0

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

205

=

Pdx+Qdy

a Mais l’intégrale du premier membre de cette équation peut s’écrire, en sous-entendant la fonction sous le signe - somme, ADEFGDALKJHA

s + s + s + s

AD

puisque

DEFCD

ID LA =

DA

ALKJHA

=

s + s

DEFGD

ALKJlfA

Alors si C, est la courbe ALKJHA , C, est la courbe DEFLD et C est la frontière

-

de a ’ ,comprenant C, et C2 (parcourues dans le sens positif), en remarquant que conséquent,

s., +&, =s,

et,par

CAS OU L’INTEGRALE CURVILIGNE EST INDEPENDANTE DU CHEMIN D’INTEGRATION

1 1 . Soient P ( x , y ) et Q (x , y ) deux fonctions continues ayant des dérivées partielles du premier ordre continues en tout point d’un domaine simplement convexe O. Démontrer qu’une condition né-

Jc P adx.+

cessaire et suffisante pour que

Q dy = O

sur tout chemin fermé C dans

a est que

aP/ay = aQ/ax identiquement dans

La condition est suffisante : Supposons aP/ay = a Q / a x . Alors d’après le théorème de Green, on a $Pdx+

où

O

=

Qdy

ss(z-$)dxdy

=

O

O

est le domaine limité par la courbe C .

La condition est nécessaire : Supposons que l’on ait

k

+ Q d y = O sur tout

Pdx

. En particulier,

aP/ay # aQlax en un point quelconque de m au point ( x o ,y o ) .

chemin fermé C dans

(D

supposons que l’on ait

et que l’on ait aussi aP/ay

-

aQ/ax > O

Par hypothèse, aP/ay et aQ/ax sont continues dans m , si bien qu’il existe nécessairement un domaine r contenant le point ( x o , y o ) comme point intérieur sur lequel ôP/ay - aQ/ax > O . Si r est la frontière de r , alors d’après le théorème de Green, on a

en contradiction avec l’hypothèse que

§P d x + Q d y = O

sur tout chemin fermé dans

0

. .Ainsi

aQ/ax - aP/ay ne peut pas être positif. De la même façon, on peut démontrer que aQ/ax - aP/ay ne peut pas être négatif, et il s’ensuit qu’il doit être identiquement nul, c’est-à-dire ôP/ôy = aQ/& identiquement dans O .

12. Soient P et Q deux fonctions définies comme dans le problème 11. Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que

sB

P dx

+ Q dy

soit indépendante du chemin d’intégration

dans Q joignant les points A et B est que aP/ôy = aQ/ôx identiquement dans O . La condition est suffisante :

Si aP/ay = aQ/ax alors d’après le prob. 11,

s P d x + Q d y

= O A

ADBEA

(voir figure 10.8). De ceci, en omettant pour être bref la forme différentielle Pdx Q d y , on a

+

i’ +

/‘=O.

J

J

ADB

BEA

’

[=-

J

ADB

(‘= [ e t p- a r s u i t e J(‘

J J BEA AEB

c1

=

f Jc2

Fig. 10-8

206

Analyse

La condition est nécessaire. Si l’intégrale est indépendante du chemin d’intégration, alors, pour tout chemin C, et C, dans 0 ,on a

LI=& J

J

=

ADB

et

AEB

J

ADBEA

= O

Il s’ensuit de ces équations que l’intégrale sur tout chemin fermé dans CD est nulle, et par suite, d’après le problème 11, que aP/ay = aQ/ax .

13. Soient P et Q deux fonctions définies comme dans le problème 11. ( a ) Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que P d x + Q dy soit une différentielle totale exacte d’une fonction $(x , y ) est que l’on ait aP/ay = a Q / a x . B

P dx

( b ) Démontrer que dans un tel cas sont deux points quelconques. (a)

+Q

B

dy =

A

d4 = 4 ( B ) - 4 ( A ) où A et B

La condition est nécessaire. Si P d x

a@ + Q d y = d @=-dxa@ ax +-aY dy

est une diffé-

rentielle totale exacte, alors (1) ô@/ax= P I (2) a@/ay= Q . Alors, en dérivant (1) et (2) par rapport à y et x respectivement, on obtient aP/ay = aQ/ax puisque par hypothèse, les dérivées partielles sont continues. La condition est suffisante. D’après le problème 12, si aP/ay = aQ/ax , alors

+

JPdx Q dy est indépendante du chemin joignant deux points. En particulier, soient deux points ( a , b ) et ( x , Y ) et posons par définition +,Y)

=

Pdx

flz’y)

*

Fig. 10-9

+ Q dy

fa, b )

s

=

( = + A = , Y)

Pdx+Qdy

IZ,Y)

+

Puisque cette dernière intégrale est indépendante du chemin joignant ( x , y ) à ( x Ax , y ) nous pouvons choisir pour chemin d’intégration une ligne droite joignant ces points (voir figure 10.9) si bien que dy = O . Alors d’après le théorème de la moyenne pour les intégrales +(x +Ax, Y) Ax

-

=

+(x,Y)

J Ax

IL. t Ar, y )

~ ù x= ~ ( x + s ~ x , y ) o < s < i

(=,y)

En faisant tendre Ax vers zéro et passant à la limite, nous obtenons a$/ax = P . De la même façon, on peut montrer que a$/ay = Q . Il s’ensuit de là que (b)

Soient A = ( x i , y l )

P dx

et

+ Q dy

=

dx

a+ dy +aY

B = ( x , , y , ) deux points.

= dg.

D’après la partie ( a )

(?,Y)

d x , ~ ) =

Pdx fa, bl

Alors, sous-entendant la forme différentielle P d x

LB

. (

=*, I l L )

= lqsY 1)

Q ~ Y

+ Q d y , on a

ia,b)

(rlsyl)

(X2.Y2)

=

+

-

= d%

-

&I,YI)

= g(B) - $(A)

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

14. ( a ) Démontrer que

-y

(1(;)4)(6xy2

3 ) dx

207

+ ( 6 x 2 y - 3 x 3 ~ dy ~ ) est indépendante du chemin

joignant le point (1,2 ) au point (3, 4). ( b ) Calculer l’intégrale de la question ( a ) . (a)

P = 6 x y 2 - y 3 , Q = 6 x 2 y - 3xy2 . Alors aP/ay = 1 2 x y - 3 y 2 = aQ/ax et d‘après le problème 12, l’intégrale curviligne est indépendante d u chemin d’intégration.

(b)

Première méthode

.

Puisque l’intégrale curviligne est indépendante du chemin d’intégration, choisissons un chemin quelconque joignant ( 1 , 2) e t (3, 4) , par exemple le chemin composé de la ligne droite joignant (1, 2 ) et ( 3 , 2 ) (le long de laquelle y = 2, dy = O) et ensuite de la ligne droite joignant ( 3 , 2 ) à ( 3 , 4) (le long de laquelle x = 3 , d x = O ) . Alors l’intégrale cherchée est égale à

1:1

(24%- 8) dx

+

i:,

(5416- 9y2)d y = 80

+ 156

= 236

Deuxième méthode.

--

”= 6 x y 2

y 3 , ( 2 ) -= a4 6 x 2 y - 3 x y 2 . aY D’après ( i l , on a 4 = 3 x 2 y 2 - x y 3 fb).D’après ( 2 ) , il vient 4 = 3 x 2 y 2 - x y 3 g ( x ) . Ces deux expressions pour @ ne peuvent être égales que si f(y)= g ( x ) = c, c étant une constante. D OU $ 3x2 y 2 - x y 3 c . Alors, d’après le problème 13 , Puisque

= --a Q n o u s devons avoir ( 1 )

ay ax

+

ax

-

t

+

= [ 3 x 2 y 2 - x z j 3 + c ] : ~ : ~= ~ 236 Noter que dans ce calcul la constante arbitraire c peilt être omise. Voir aussi problème 16, page 115. Nous aurions pu également remarquer que (6xy‘ - y3) dx

+ ( 6 % ’ ~- 3%~’)dy

+

= (62y’dx + 6x’y d y ) - (y3dx 3 ~ y d’ u ) = d(3xZy2) - d(xy3) = d(3X‘y’ - xy3)

+c. sin x - y 2 e x ) dx + (x2 sin x - 2 y e X )dy

d’où il s’ensuit clairement que @ = 3 x 2 y 2 - x y 3

15. Calculer x2/3

f

+ y213

=

( x 2 y cos x a213

+ 2xy

sur l’hypocycloïde

.

P = x 2 y c o s x f 2xy sin x - y 2 e X , Q = x2sin x - 2 y e X . Alors aP/ay = x’cos x 4- 2x sin x - 2yeX = aQ/ax , si bien que d’après le problème 11, l’intégrale cur= a2I3 , est nulle. viligne sur tout chemin fermé, en particulier sur l’hypocycloïde x2I3 +

INTEGRALES DE SURFACE 16. Si y est l’angle entre la normale à la surface S en un point (x , y , z ) de cette surface et la direction des z positifs, démontrer que

selon que l’équation de S est z = f ( x , y ) ou F ( x y z ) = O. Si l’équation d e la surface S est F ( x , y , z ) = 0,une normale à S au point ( x , y , z ) est donnée par grad F = F x i F b j F i k . Alors

+

+

grad F . k = lgrad FI

1

cos y ou

Fi =

+ fl; + fl:

cos y

Dans le cas où l’équation est z = f ( x , y ) on peut écrire F ( x , y , z ) = z - f ( x , y ) = O , d’où l’on tire

F ! ~= - z x , F’Y = - z y , F: = i

pour trouver finalement

208

Analyse

iJ

U ( x , y , z ) dS où S sur la surface du paraboloïde z = 2 - ( x 2

17. Calculer

au-dessus du plan x y et où U ( x , y , z ) est égal à interprétation physique dans chacun des cas.

( a ) 1, ( b ) x 2

+ y2)

+ y 2 , ( c ) 32. Donner une

L’intégrale cherchée est égale h

ss

+ z? + Xi dx dy

U ( Z ,y, Z) 4 1

(1)

(D

où a est la projection de S sur le plan xy donnée par x2 + y 2 = 2, z = o . Puisque z: = - 2x , zi = - 2 y , (1) peut s’écrire

jj V(x, x ) 41+ 42’ + 4y’ dx dy y,

(2)

@

(a)

Si U ( x , y , z ) = 1 , (2) devient

ss

\/l+ 4x2

+ 4y2d x dy X-

m

Fig. 10-10

Pour calculer cette intégrale, on passe aux coordonnées polaires ( p ,@) . Alors l’intégrale devient

Physiquement, ceci pourrait représenter l’aire de la surface S, ou !a masse de S en supposant la densité égale à l’ur (b)

Si

U ( x ,y , z ) = x2

+ y 2 , (2) devient

[[(x2 f y 2 ) 4 1 + 4x2 f 4y2 dx dy

f’TS@m m=o

p=o

p3dPid 1f4p

p

dg

1497 = 30

où l’intégration par rapport à p est effectuée en faisant le changement de variable

ou en coordonnées polaire

4-

=u

.

Physiquement, ceci pourrait représenter le moment d’inertie de S par rapport à l’axe des z si on s u p pose le solide S de densité uniforme 1, ou la masse de S en supposant la densité variable, égale à x 2 f y’ . (c)

Si U(x , y , z ) = 32 , (2) devient

[f 3x41 + 4x2 + 4y’ dx dy

=

-0--

ss

312 - (x’ t y’)}

41 + 42’ + 4y2 dx dy

Co

ou en coordonnées polaires

Physiquement, ceci pourrait représenter l’aire de la surface S, ou la masse de S en supposant la densité ég à l’unité.

18. Chercher l’aire de la portion de surface d’un hémisphère de rayon a située à l’intérieur d’un cylindre droit à base circulaire ayant ce rayon pour diamètre. Les équations de l’hémisphère et du cylindre (voir figure 10.11) sont respectivement x2 y2 z 2 = u2 (ou z = d u 2 - x2 - y 2 ) et (x - 4 2 1 2 y 2 = a2/4 (ou x2 y2 = a x a .

+

+

+

+

Puisque

Y 1

zx

=

q-

-X

et

2:

=

d-’

-Y 2

Fig. 10-11

nous avons

.

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

=

Aire de la surface cherchée

2

ssd

v dx dy

= 2

ss

a a2

a

0

- T z - y2

209

dx dy

Deux méthodes de calcul sont possibles. Première méthode : On fera usage des coordonnées polaires. Puisque x 2 y 2 = ax devient en coordonnées polaires p = a cos @ , l'intégrale s'écrit

+

2a21ii'z (1 - sin$) d$

=

=

(r-2)~~

z

d

Deuxième méthode : L'intégrale est égale à

=

Arc sin

2 a l

d

x

En posant x = a tg2 0 , cette intégrale devient

Remarquons que les intégrales ci-dessus sont en fait impropres et doivent être traitées par des méthodes appropriées de passage à la limite (Voir problème 18, chapitre 5, et aussi le chapitre 12).

19. Chercher le centre d'inertie de la surface donnée dans le problème 17. Par raison de symétrie, X = 7 = O

et

JJ z dS

i =

ss dS

+ J.f \/l + 4x2 + 4y2d x dy CD

.fs z \ / l + 4xZ 4y2 dx dy

- eJ

Le numérateur et le dénominateur peuvent s'obtenir à partir des résultats (c) et ( a ) respectivement du pro3 7 ~ 1 1 0- 111 blème 17 et rious obtenons ainsi z = -13n/3 130 '

A . n dS,

20. Calculer 2x

2i

+ 2y + z = 6

A

où

= xy

i

-

x2 j

+ (x + z ) k , S est la portion du plan

contenu dans le premier octant, et n est le vecteur unité normal à S .

+

+

Une normale à S est donnée par grad(2x 2y z - 6) = 2i 2' f k - 2i 2 j k . 2 j k et ainsi n =

+

+ +

22

+

2'2

+

+ +

12 -

+ (x + z)k} ( 2 i + J i + 5 2xy - 2x2 + ( x + z ) 3 2xy - 22' + + 6 - 2 2 - 2y) 3 2 2 -22'~ x - 2y + 6

A *n = {xyi - x2j

-

(X

3 L'intégrale de surface cherchée est par conséquent Fig.10-12

14

210

Analyse

+ 6 ),

2 ~ -y 2%' - x - 2y 3

=

Js

( 2 ~ ~ - 2 ~3' - ~ - 2 y + 6

)d-

dx dy

03

=

[f

+ + 2' dx dy

( 2 ~ 2 1 - 2 ~3 ' - ~ - 2 ~ + 6 ) ~ i 2Z2

.

03

21. En traitant des intégrales de surface nous nous sommes retreints à ne considérer que les surfaces à deux faces. Donner un exemple d'une surface qui ne soit pas à deux faces. Prendre une bande de papier telle que ABCD comme le montre la figure 10.13 ci-jointe. Tordre la bande de telle manière que les points A et B viennent en D et C respectivement, comme il est indiqué sur la figure ci-contre. Si n est la normale positive au point P à la surface, nous voyons que lorsque n se déplace le long de la surface son sens positif est inversé quand le point P est atteint d e nouveau. Si l'on essayait de colorier une seule face de la surface o n la trouverait entièrement coloriée. Cette surface, appelée bande de Mcebius,est un exemple de surface A une face. On appelle parfois de telles surfaces, des surfaces non-orientables. Une surface à deux faces est orientable.

A

C

B

D

Fig. 10-13

THEOREME DE LA DIVERGENCE 22. Démontrer le théorème de la divergence.

Fig. 10-14

Soit S une surface fermée telle que toute parallèle à l'un ou à l'autre des axes de coordonnées coupe S en deux points au plus. Supposons que les équations des parties inférieure et supérieure, S, et S, soient z = f,(x , y ) et z = f2 (x , y ) respectivement. Désignons par 03 la projection de la surface sur le plan xy . Considérons les

Pour la portion supérieure S, , d y dx = cos y, dS, = k . n2 dS, aigu yz avec k .

puisque la normale n2 à S, fait un angle

Chapitre lO/Integrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

211

Pour la portion inférieure S , , d;i d x = - cos y i d S , = - k . n i d S , puisque la normale n1 à S , fait un angle obtus avec k . JfA~(z,y,f?)dgdx = A3 k n2 dS, Alors

-

ff

a

3,

si bien que

s

(1)

=

JJJ$dV Y

(:(.A3k.ndS S

De la même façon, en projetant S sur les autres plans de coordonnées,

f'f d l i * n S

=

(:('Ajj*ndS S

En additionnant membre à membre les équations 1),(2) et (3), il vient

ou

On peut étendre le théorème aux surfaces que des parallèles aux axes de coordonnées peuvent couper en plus de deux points. Pour établir cette extension, o n subdivise le domaine spatial limité par S en sous-domaines dont les frontières sont rencontrées en deux points au plus par les parallèles aux axes de coordonnées. La méthode est analogue à celle qui a été employée dans la démonstration du théorème de Green pour le plan.

23. Vérifier le théorème sur la divergence pour le champ de vecteurs A = (2x sur le domaine limité par x = O , x = 1 , y ' = O , y = 1,z = O , z = 1.

- z)i

+ xzy j - x z 2 k

A . n dS où S est la sur-

Nous calculons d'abord l'intégrale face du cube indiquée sur la figure 10.15.

Face DEFG : n = i , x = 1 . Alors

[f A - n d S

=

DEFG

=

1'1' Ji1i'

( ( 2 - xii

ffA-ndS

9

i dy d x

Y

(2-2)

Face A B C 0 : n = - i , x = O .

+ j - 2k)

dy d2

= 3/2

D'où

= X

ÀBCO

zddydz

= i/2

Fig. 10-15

212

Analyse

Face A B E F : n = j , y = 1 . D'où

FaceOGDC:

n=-i,y=O.

D'OÙ

Jf A - n d S

i'i'

=

((22 - z)i

- xz'k}

9

= O

(-j) d s dz

OGDC

Face DCDE : n = k , z = 1 . D'où

Jf

A n dS

BCDE

=

1'i'

((2%- 1)i

Face AFGO : n = - k , z = O .

D'où

If

A n dS

+ xZyj- zk}

s.' 1'

=

(2xi - x"j}

AFGO

=

k dx dy

*

s.' s.'

(-k) d z dy

- xdxdv

= -112

= O

En ajoutant membre à membre les contributions aux faces, il vient

= $.

AnndS = $ + . & + Q + û - & + O

puisque

l'l'l' + (2

=

J fVJ V - A d V

=

x 2 - 2 x 2 ) drc dy dx

11 6

Le théorème sur la divergence est vérifié dans ce cas.

24. Calculer

11 .

r n dS, où S est une surface fermée.

S

D'après le théorème sur la divergence, on a

=

+ a za ; j + za k ) * ( z i + y j + z k ) d V

JfJ(ii V

=

=

JJJ-(g+,+g)ilv Y

=

3JJJdV

3V

V

où V est le volume enclos par la surface S

25. Calculer

jJ' xzzdy dz + (x2y -

23)

dz dx

+ ( 2 x y + y 2 z ) dx dy , où s est la surface totale

du domaine hémisphérique limité par z = ,/a2 - x - y et z = O ( a ) en appliquant le théorème sur la divergence (théorème d'Ostrogradski), ( b ) directement . (a)

Puisque

d y dz = dS cos

JJ S

CY

, dz dx = dS cos fl , dx d y = dS cos y , l'intégrale peut s'écrire

1s

+ (x'y - cos p + (2xy + y'z) cos y } dS = ( x 2 y - z3)j + (2xy f y2z)k et n = cos 01 i + cos fl j f

(xz2

cos a:

23)

où A = x z 2 i f porté par la normale dirigée vers l'extérieur.

Alors, d'après le théorème de la divergence l'intégrale est égale à

où V est le domaine limité par l'hémisphère et le plan xy

A * ndS

S

cos y k

.

est le vecteur unité

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

2 13

En utilisant les coordonnées sphériques, comme dans le problème 15, chapitre 9, cette intégrale est égale à

(b)

Si S,

ss

est la surface convexe du domaine hémisphérique et S, est la base ( z = O), alors o n peut écrire

(%*y- 2 )dx d x

fa

fa

{xZ@

- x 2- x2

- z 3 } dx d x

El

z 3 } dz dx

du dx

En ajoutant les contributions de S, et S, à l’intégrale de surface, il vient xz

dx d x

dx

Puisque, par raison de symétrie, toutes ces intégrales sont égales il vient, en utilisant les coordonnées polaires,

=

y’d-dydx

1 2 S T f 2 s a p2 s i n 2 $ d m p d p d G m=o

= 2na5 5

p=o

THEOREME DE STOKES 26. Démontrer le théorème de Stokes. Soit S u n domaine superficiel qui se projette sur les plans xy , y z et xz sur des domaines dont les frontières sont des

courbes fermées simples, comme il est indiqué sur la fig. 10.16. Supposons S représenté par z = f ( x , y ) ou x = g b , z ) ou y = h ( x , z ) , où f ,g , h sont des fonctions univoques, continues et différentiables. Nous devons démontrer que

=

ss

[V

A

(A~i+Azj+Aak)] n d S

S

où C est la frontière (ou bord) de S .

Considérons d’abord l’intégrale

Js 9

Fig. 10-16 [V

A

(Ali)] * n dS.

i

j

k

a -a a _

ax ay az Ai O O

IV

A

(Ali)] - n dS

= ( c n 9 j - *n*k)dS

(1)

ay

+ +

Si z = f ( x , y ) est pris pour équation de S, le rayon vecteur de tout point de S est r = x i y j z k = x i -t ar aZ k = j 4-af ar k . Mais - est un vecteur tangent à S et par conséy j 4- f ( x , y ) k si bien que - = j aY aY aY aY quent perpendiculaire à n, d’où

+-

Portons ce résultat dans (1), nous obtenons

ou

aA aA a aF D’autre part, sur S I o n a A ( x , y , 2 ) = A , [ x , y , f ( x , y)] = F ( X , y ) d’aù 1i - 2 2= -et a z ay a y [ V A ( A i i ) ] . n d S = -a F n . k d S = - - dx dy

,

:z

JY

D’où

IJ

a~

(2) devient

[VA (Aii)].ndS = J J - g d z d y

a où a est la projection de S sur le plan xy . D’après le théorème de Green pour le plan, cette dernière intégrale S

vaut

F dx où

la valeur de A avoir

r

est la frontière de

a3

. Puisque

en tout point ( x , y ) de

r la valeur de F

est la même que

, en tout point ( x , y , z ) d e C et puisque dx est la même pour les deux courbes, nous devons AFdx

ou encore

JJ [V

A

=

$Aldx

( A 1 i ) l . n dS

= $Aidx

S

De même, en projetant sur les autres plans de coordonnées

D’où par addition membre à membre

JS(VnA)*ndS = S

Le théorème est encorexvalable pour des domaines superficiels S qui ne satisfont pas aux restrictions imposées ci-dessus. Supposons, en effet, que le domaine superficiel S puisse être subdivisé en domaines superficiels S , , S , , . . . S k avec pour frontières C, , C, , . . . , C, qui satisfassent aux restrictions ci-dessus. Alors le théorème de Stokes est valable pour chacun de ces sous-domaines. En ajoutant ces intégrales de surface, o n obtient l’intégrale de surface totale sur S. En ajoutant les intégrales curvilignes correspondantes sur les bords C, , C, , . . . , ck o n obtient l’intégrale curviligne sur C .

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

2 15

27. Vérifier le théorème de Stokes pour le champ de vecteurs A = 3yi - xzj + y z 2 k , où S est la y’ limité par le plan 2 = 2 , et où C est le bord du domaine surface de paraboloïde 22 = x 2 superficiel S .

+

Le bord C de S est u n cercle d’équations x 2 i- y 2 = 4 ,z = 2 , et d’équations paramétriques x = 2 cos t , y = 2 sin t , z = 2 , où O < t < 277 On a $A*dr

-

= $3ydx =

xzdy

+ yz’dz

1:

3(2 sin t ) ( - 2 sin t ) d t - ( 2 cos t)(2)(2 cos t ) d t

= JzT(12 sin2t

+ 8 cos2 t ) dt

1a

a x ay

a 1 az

3y -xz

y22

l i

Comme o n a aussi

v

A

A =

1

= 207

j

Y

k l

= (z2+z)i - (z$3)k X’

1

Fig. 10-17

et

D’OÙ

En passant aux coordonnées polaires, celle-ci devient

28. Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que fermée C est que l’on ait identiquement V A A = O . Note : V A A = O est une autre notation pour rot A = O La condition est suffisante.

Supposons que l’on ait $A.dr

v

A

&

A . dr

=

O pour toute courbe

,

A = O , Alors d’après le théorème de Stokes, il vient

= l f ( V AA)*ndS = O S

La condition est nécessaire. Supposons que l’on ait

f

A . d r = O sur tout chemin fermé C , et supposons que l’on ait V

A

A # O en

u n point P . Alors en supposant q u e V A A est continu, il existe u n domaine admettant P comme point intérieur, dans lequel V A A f O . Soit S u n domaine superficiel contenu dans ce domaine dont la normale n en tout point de la surface a le même sens que v A A , c’est-à-dire v A A = a n où a est une constante positive. Soit C le bord d e S , Il vient alors d’après le théorème d e Stokes = [f(VA A).ndS = a [ f n * n d S > û ce qui contredit l’hypothèse que Il s’ensuit que V

A

4

S

S

A . d r = O et montre que V

A

A =O.

A = O est également une condition nécessaire et suffisante pour qu’une intégrale curviligne

A . d r soit indépendante du chemin joignant les points P, et P2 .

21 6

Analyse

v A = grad @ .

29. Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que Note : La notation A = V 4 est une autre notation pour

La condition est suffisante : Si A = p. 1 5 8 .

v@

alors

v AA=V

A

A

A = O est que l’on ait A = V @

V @ = O d’après le problème 80, chapitre 7,

La condition est nécessaire : Si V A A = O, alors d’après le problème 2 8 ,

A . dr A . dr = O sur tout chemin fermé et par suite $ L est indépendant du chemin joignant deux points quelconques. Soient ( a , b , c) et (x , y , z) ces deux points. Posons, par définition,

Alors

Puisque cette dernière intégrale est indépendante du chemin d’intégration joignant (x , y , z) et (x + A x , y , z ) , o n peut choisir pour chemin le segment de droite joignant ces points, si bien que d y et dz sont nuls. Alors d x + A s , u, 4 Ax

s

L

- &,Y,4

(=+AZ,Y,X)

Aidx

=

Ai(x+OAx,y,x)

OY”

S

(Sl, Y 1. Zl)

31. ( a ) Démontrer que F

Z’)

-

(73.b.C)

= (2xz3

s(=l’yl”l) =

2 17

A 3 d z sous le signe somme, il vient

@(.%

-

Y 2 > 4

@ ( X i , YI, X I )

(a.b,c)

+ 6y)i + (6x - 2yz)j + ( 3 x 2 z 2- y 2 ) k est un champ de forces

conservatif. ( b ) Calculer Jc F . dr où C est n’importe quel chemin allant du point (1,-1, 1) au point (2, 1, -1). ( c ) Donner une interprétation physique des résultats. (a)

Un champ de forces est conservatif si l’intégrale curviligne

i

F . dr est indépendante du chemin d’inté-

gration C joignant deux points quelconques. Une condition nécessaire et suffisante pour que F soit conservatif est que V A F = O , i

Puisque, ici

V

A

a a ait ax 22x3 f 6y 6x 2yx 322x2- y2 a -

=

F

a@ = 2xx3 (1) -

k

j

aX

-

*

+

6y = 6x - 2yx (2) ax aY De ces équations, on obtient respectivement

+

+

F est conservatif.

= O,

(3)

a@ ax

+

= 3x2x2 - y2

@ = x2z3 GXY f i ( y , Z ) @ 6 % -~ y’% J ~ ( zZ ,) @ = 2’2 - Y2Z + f 3 @ > Y) Celles-ci sont cohérentes si flU, , z ) = - y 2 z f c , f 2 ( x , z ) = x 2 z 3 c , f 3 ( x , y ) = 6xy cas on a $J = x 2 z 3 f 6xv - v 2 z c . D’où, d’après le problème 3 0 ,

+

[Z,l, - 1 )

J

=

F-dr

r2z3

+

+ 6r.y - y2x + c

+-

c

auquel

( 2 1 -1)

~ ~ l ~ =~ l 15 , l ~

(1, -1,l)

D’une autre manière, on peut remarquer que

+ 3 2 ’ x 2 d x ) + ( 6 y d r + 6 x d y ) - (2yzdy + y’dz) + d(6x.y) - d ( y 2 z ) = d(&2 + G z ~ / - +

F * d r = (2rz3dx

= d’où l’on tire

d(z2z3)

U’Z

C)

4.

Deuxième méthode : Puisque l’intégrale est indépendante d u chemin, on peut prendre n’importe quel chemin pour la calculer, en particulier, on peut choisir comme chemin d’intégration la ligne brisée comprenant le segment de droite joignant le point (1, -1, 1) au point (2, -1, l ) , le segment de droite joignant le point (2, -1, 1) au point (2, 1, 1) et enfin le segment de droite joignant le point (2, 1, 1) au point (2, 1, -1). Le résultat est alors

S.=, 2

(2x - 6 ) dx

+

J*

(12-2y)dy

+

-1

(122’-1)dx

=

15

y=-1

où la première intégrale est obtenue à partir d e l’intégrale curviligne en posant y = - 1, z = 1, d y = O, dz = O ; la seconde intégrale est obtenue en faisant x = 2, z = 1, d x = O, dz = O ; et la troisième intégrale en posant x = 2, y = 1, d x = O, dy = O . (c)

Physiquement

F . dr représente le travail effectué en déplaçant u n objet du point (1, -1, 1 ) au

point (2, 1, -1) le long de C. Dans u n champ de forces conservatif, le travail effectué est indépendant du chemin C joignant ces points.

PROBLEMES DIVERS 32. ( a ) Si x = f ( u , u ) , y = g ( u , u ) définit une transformation qui applique un domaine O du plan xy sur un domaine (D’du plan uu , démontrer l’équation suivante

218

Analyse

( b ) Interpréter géométriquement le résultat obtenu dans ( a ) . (a)

Si la courbe C que l’on suppose simple et fermée est la frontière du domaine a , alors d’après le problème 8, on a

a Avec la transformation donnée, l’intégrale du membre de droite de (1) devient

où C’est la transformée de C dans le plan U V (Nous supposons la transformation telle que C soit aussi une courbe fermée simple). D’après le théorème de Green, si a‘ est le domaine du plan U V limité par la courbe C, le membre de droite de l’équation ( 2 ) est égal à

où nous avons introduit les signes de valeur absolue pour nous assurer que le résultat est non négatif comme l’est

1s

dxdy

.

m

En général, on peut montrer que (voir problème 8 3 )

(b)

L’intégrale

LJ

d x d y et l’intégrale

[ j 1-

du du représentent l’aire du domaine a , la première

exprimée en coordonnées rectangulaires, la seconde en coordonnées curvilignes.

i

(a)

Ona

a -

V A F =

as

j

k

a a ay a2

= 0

dans toute région ne contenant pas l’origine (O, O ) ,

-Y 2 -O x2 + u2 x2 + u2

(b)

$F . d r = Alors

$- y d x++ x d y . XZ

y2

Posons x = p cos

dx = - p sin

et par suite

d+

+ dp cos +,

-ydxlxdy x2 y2

+

4,y

= p sin

4 , où ( p , 4) sont des coordonnées polaires

dy = p cos + d+

+ dp sin +

= d+ = d

Pour une courbe fermée ABCDA [voir fig. 10.18 ci-dessous] entourant l’origine 4 = O en A et 4 = 217 après un tour complet en revenant en A , Dans ce cas, l’intégrale cuwiligne vaut

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

2 19

(b) Fig.10-18

Pour une courbe fermée PQRSP [Voir fig. 10.18 ( b ) ci-dessus] n’entourant pas l’origine,

P et q5 =

4=

en

après un tour complet en revenant en P , Dans ce cas, l’intégrale curviligne vaut f ) o d Q = O . Puisque F = Pi

+ Q j , l’équation

$0

V

F = O est équivalente à aP/ay = aQ/ax et ce résultat semble

A

contredire ceux du problème 11. Cependant, il n’y a aucune contradiction puisque P = -y x2

X

+ y2

et

Q =- x2 t y2 n’ont pas de dérivées continues dans tout domaine contenant le point (O, O) et c’est ce que l’on avait supposé dans le problème 11.

34. Si on note div A la divergence d’un champ de vecteurs A au point P, montrer que JJ A - n dS divA

=

lim

AS

aV

AV- O

où A V est levolume enfermé par la surface AS et où la limite s’obtient en réduisant A V au point €? D’après le théorème de la divergence,

JJJ div A dV

= JJA-ndS AS

AV

D’après le théorème de la moyenne pour les intégrales, le membre de gauche peut s’écrire drA

-

(iIZT dV

= d r A AV

AV

où div A est une valeur intermédiaire entre le maximum et le minimum de div A dans AV, Alors SJA-ndS

-

div A = Passant à la limite quand AV au point P ; d’où

+

AS

AV

-

O de façon que P soit toujours intérieur à A V , div A approche la valeur div A

JJ”A - n dS

div A

=

lim

AV-O

AS

AV

Ce résultat peut être pris comme point de départ pour définir la divergence de A , et de là o n peut déduire - l a propriété y compris le théorème sur la divergence. On peut aussi utiliser ceci pour étendre le concept de divergence aux systèmes de coordonnées autres que les coordonnées rectangulaires (voir p. 142). Physiquement (JI’JA

. n dS > / A V représente le flux ou le débit net par unité de volume du champ

AS

d e vecteurs A à travers la surface S . Si div A est positif dans le voisinage d’un point P , cela signifie que le débit est positif et l’on appelle P une source. De la même manière, si div A est négatif dans le voisinage de P , le débit est en fait un débit entrant et o n dit que P est u n puits. Si dans u n domaine il n’y a ni sources ni puits, alors div A = O et A est appelé u n champ solénoïdal .

220

Analyse

PROBLEMES SUPPLEMENTAIRES INTEGRALES CURVILIGNES

i:’,> +

35. Calculer

+ O, - x ) d y

y)dx

sur ( a ) la parabole y 2 = x , ( b ) u n segment de droite, (c) une

ligne brisée composée du segment de droite joignant (1, 1) à (1, 2) puis du segment de droite allant de (1, 2 ) à ( 4 , 2 ) , ( d ) la courbe donnée par les équations paramétriques x = 2t2 4- t 1 , y = t2 1. Rép. ( a ) 3 4 / 3 ; ( b ) 11 ; ( c ) 14 ; ( d ) 3 2 / 3 . Calculer (2x - y 4)dx (5y 3x - 6 ) dy sur un triangle du plan xy ayant pour sommets les points Rép. 12 ( O , O ) ( 3 , O), ( 3 , 2 ) parcouru dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

+

36.

i

+

+

+

+

37. Calculer l’intégrale curviligne du problème précédent sur u n cercle de rayon égal à 4 et dont le centre est au point (O, O).

38.

(a)

Rép. 6 4 n

Si F = ( x 2 - y 2 ) i

+ 2xyj,

calculer

F

. dr

sur la courbe C du plan xy d’équation y = x 2

du point (1, O) au point ( 2 , 2 ) . ( b ) Interpréter physiquement le résultat obtenu.

39. Calculer

L

( 2 x -t y ) d s où C est la courbe du plan xy donnée par x 2

du point (3, 4) au point ( 4 , 3 ) sur le plus court chemin. Rép.

40. On donne F

41.

= (3x

-

2y)i

+ (y + 2z)j - x 2 k , calculer

JT

-

x,

Rép. ( a ) 124/15.

+ y 2 = 25 et s est l’abscisse curviligne,

15.

F

,

du point (O, O, O) au point (1, 1, 1 )

dr

où C est un chemin constitué de ( a ) la courbe x = t , y = t 2 , z = t 3 , ( b ) u n segment d e droite joignant ces points, (c) la ligne brisée composée du segment de droite de (O, O, O) à (O, 1, O) puis du segment allant de (O, 1, O) à (O, 1, 1) et enfin du segment allant d e (O, 1, 1) à (1, 1, l ) , ( d ) la courbe x = zz , z = y 2 . Rép. ( a ) 23/15, ( b ) 5 / 3 ; ( c ) O , ( d ) 1 3 / 3 0 . Si T est le vecteur unité tangent à une courbe C (plane ou dans l’espace) et F est u n champ d e force donné,

L

démontrer que, moyennant des conditions appropriées,

F

. dr

F . T ds où s est l’abscisse curviligne.

=

Interpréter physiquement et géométriquement le résultat.

THEOREME DE GREEN DANS LE PLAN. INDEPENDANCE DE L’INTEGRALE RELATIVEMENT AU CHEMIN D’INTEGRATION 42. Vérifier le théorème de Green dans le plan pour l’intégrale

$

.(x2 - x y 3 ) d x

carré ayant pour sommets les points (O, O), ( 2 , O), ( 2 , 2 ) , (O, 2).

+ (y2 - 2 x y ) d y

où C est u n

Rép. valeur commune = 8 .

43. Calculer les intégrales curvilignes ( a ) d u problème 3 6 et ( b ) du problème 37 en utilisant le théorème de Green. 44. ( a ) Soit C une courbe fermée simple limitant un domaine d’aire égale à A . Démontrer que si a l , a2, a,, b,, b,, b , sont des constantes, on a l’égalité

$

+

(a,% aZy

+ a,)ds + ( b ~+z bzy + b3)dy

= ( b t - az)A

( b ) Sous quelles conditions l’intégrale curviligne de ( a ) sur n’importe quel chemin C fermé simple sera-t-elle nulle ? Rép. ( b ) a? = b , .

+

= a2l3 . x2/3 [Indication : les équations paramétriques sont x = a c o s 3 t , y = a sin3t, O

45. Chercher l’aire d u domaine limité par l’hypocycloïde

46. On donne

x = p cos

I$ et y = p sin I $ . Démontrer que

47. Vérifier le théorème de Green dans le plan pour l’intégrale tière d u domaine enclos par les cercles x 2

48.

(a)

t

+ y’

Démontrer que l’intégrale 4 ( 2 ~ , ” < 2 x y - y 4

= 4

joignant (1, O) et (2, 1). ( b ) Calculer l’intégrale en ( a ) .

Rép.

3n a2/8 ,

p2 dI$ et interpréter.

f+

( x 3 - x 2 y ) dx

et x 2

+ 3 ) dx

< 2n],

y 2 = 16.

.

, où C est la fron-

Rép. Valeur commune = 12077.

(x2 - 4xy3)dy

Rép. ( b ) = 5

+ xy2dy

est indépendante du chemin

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

49. Calculer l’intégrale

Jc:

22 1

( 2 x y 3 - y 2 cos x ) dx 4- (1 - 2y sin x 4- 3 x 2 y 2 ) d y sur la parabole 2x = ny2 du

point (O, O) au point ( 7 r / 2 , 1 ) .

n2/4.

Rép.

50. Calculer l’intégrale curviligne du problème précédent sur u n parallélogramme ayant pour sommets les points ( O , O), ( 3 , O ) , ( 5 , 21, ( 2 , 2).

51.

O.

Rép.

+

+

Démontrer que la forme différentielle G = ( 2 x 2 xy - 2 y 2 ) dx (3x2 4- 2 x y ) dy n’est pas une différentielle exacte. ( b ) Démontrer que eYix G / x est la différentielle exacte d’une fonction @ et déterminer @ . (c) Chercher une solution de l’équation différentielle ( 2 x 2 4- x y - 2 y 2 ) d x ( 3 x 2 4- 2 x y ) d y = O . Rép. ( b ) @ = ey/X(x2 2 x y ) c , (c) x 2 2xy cëyh = O . (a)

+

+

+

+

+

INTEGRALES DE SURFACE 52.

(a)

Calculer l’intégrale de surface d s ( x 2

par z = O

et

z = 3.

+ y 2 ) d S , où S est la surface du cône z 2

( b ) x = O , y = O et x 2

+ y2

+

2x -t y 22 = 16 limitée par ( a ) x = O , y = O , x = 2 , y = 3 = 64. Rép. ( a ) 9 , ( b ) 2 4 ~ .

54. Chercher l’aire de la portion de la surface d u paraboloïde

22 = x 2

+ y 2 , extérieure au

57.

d-,

y ~ ( 65 1). z2 = 3 ( x 2

+ y 2 ) découpée

par le paraboloïde z = x 2

+y2.

6n.

56. Chercher l’aire de la surface du domaine commun aux deux cylindres Rép.

cône z =

x2

16 a 2 .

+

+ y 2 = a*

et

x2

+ z2 = az .

+

-z tg a = Déterminer l’aire d e la portion de sphère x 2 yz z 2 = u2 intérieure au cône m , O < a n / 2 . ( b ) Utiliser le résultat de ( a ) pour trouver l’aire d’un hémisphère. (c) Expliquer pourquoi en posant a = T formellement dans le résultat obtenu en ( a ) on obtient l’aire totale de la sphère. Rép. (a) 2na2(1 - cos a ) , ( b ) 2na2 (prendre la limite pour a -+ r i z ) . (a)


, (b)4 2 . (a)

z tg a =

Jw,

+

LE THEOREME DE LA DIVERGENCE 60. Vérifier le théorème de la divergence pour le champ de vecteurs A = ( 2 x y + z ) i + y 2 j - ( x + 3 y ) k sur Rép. valeur commune = 2 7 . le domaine limité par 2 x 4- 2y + z = 6 , x = O, y = O , z = O , F . n d S , où F = (z2 - x ) i - x y j

61. Calculer l’intégrale

par zc= 4 - y 2 , x = O et x = 3 , et le plan x y

62. Calculer l’intégrale

LI

A . n d S , où

A = (2x

,

Rép.

+

L s x d y dz

+y

et S est la surface du domaine limité

16

+ 3z)i - (xz

de la sphère de centre : le point ( 3 , - 1, 2 ) et de rayon 3.

63. Déterminer la valeur d e l’intégrale

+ 3zk -t y ) j

+ b2 + 2 z ) k

Rép.

dz dx 4- z dx d y ,

et S est la surface

108n où S est la surface du domaine

y 2 = 9 et les plans z = O et z = 3 , ( a ) en utilisant le théorème de la dilimité par le cylindre x 2 Rép. 8 1 ~ vergence, ( b ) directement,

222

Analyse

64. Calculer l’intégrale

[ /‘4xz

d y dz - y 2 dz dx f y z d x d y , où S est la surface du cube limité par x = O ,

JSJ

y = O , z = O , x = 1 , y = 1 , z = 1 ( a ) directement, ( b ) d’après le théorème de Green dans l’espace (théorème de la divergence).

65. Démontrer que l’on a h J ( V 66. Démontrer que l’on a

ss S

A ) . n dS = O sur toute surface fermée S ,

A

n dS = O , où n est la normale extérieure à une surface fermée quelconque S .

67. Soit n le vecteur unité porté par la normale à une surface fermée quelconque S limitant un domaine V montrer la relation

; dé-

JJl

div n d V = S

V

THEOREME DE STOKES 68. Vérifier le théorème de Stokes pour le champ de vecteurs A rieur d’équation x 2 f y 2

+ z2 = 9

- z 2 k , où S est l’hémisphère supéRép. valeur commune = 9 n .

= 2yi f 3xj

et où C est son bord.

69. Vérifier le théorème de Stokes pour le champ de vecteurs A = O, f z ) i - x z j

f y 2 k , où S est la surface du domaine du premier octant limité par 2x z = 6 et y =2 et extérieure ( a ) au plan x y , ( b ) au plan y = 2, (c) au plan 2x + z = 6 et C est la frontière correspondante Rép. La valeur commune est ( a ) - 6, ( b ) - 9, (c) - 18.

+

Jl(v

70. Calculer l’intégrale

*d

cône z = 2 -

A

A ) . n dS, où A = (x - z ) i

située au-dessus du plan xy

71. Soit V un domaine limité par la surface fermée 72.

(a)

.

S et B =

+ ( x 3 4- y z ) j - 3 x y 2 k et S

Rép. 12 n .

V

Démontrer que le champ de vecteurs F = (2xy f 3 ) i

A

+

A , démontrer la relation S J ’ B .

+ ( x 2 - 4z)j - 4 y k

miner une fonction q5 telle que l’on ait F = V q5, (c) Calculer allant du point (3, -1, 2 ) au point ( 2 , 1, - 1 ) . 3x constante, ( c ) 6 . Rép. ( b ) q5 = x 2 y - 4 y z

+

est la surface du

Jc

ndS= O.

S

est conservatif. ( b ) Déter-

F . dr , où C est un chemin quelconque

73. Soit

C un chemin quelconque allant d’un point quelconque de la sphère x z f y z 4-z 2 = a2 à un point quelconque de la sphère x 2 f y 2 f z 2 = b 2 . Démontrer que si l’on se donne le champ de vecteurs

F = 5 r 3 r , où r = x i

+ y j + z k , alors on a la relation

74. Dans le problème 7 3 , calculer l’intégrale Rép.

n

Lb

F . dr = b5 - a5

,

F . dr dans le cas où F = f ( r ) r , où f ( r ) est supposbe continue.

r f ( r ) dr

75. Chercher s’il existe une fonction I$ telle que l’on ait F = V d , où

:

F = ( x z - y)i i( x 2 y f z3)j f ( 3 x z 2 - x y ) k . (cos z - x 2 e - v ) j - y sin z k . Dans le cas oh cette fonction existe, la déterminer. ( b ) F = 2xe-Yi Rép. ( a ) q5 n’existe pas, ( b ) (I = x2e-Y iy cos z f cre .

(a)

+

76. Résoudre l’équation différentielle ( z 3 Rép. x z 3 - 2x2y

+ 3y2 f

- 4 x y ) d x -i ( 6 y - 2 x 2 ) d y f (3xz2

+

1)dz = O .

z = constante.

PROBLEMES DIVERS 77. Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que l’intégrale sur toute courbe fermée simple C dans un domaine

03 (où a2

continues d’ordre deux, au moins) est que l’équation-

ax

dy -

au d x aY

soit nulle

U est continue et possède des dérivées partielles

4--- - 0 soit vérifiée. ay2

78. Vérifier le théorème de Green pour un domaine multiplement connexe contenant deux “trous” (voir problème 1C

223

Chapitre lO/Intégrales curvilignes, intégrales de surface et théorèmes du calcul intégral.

+

79. Si

+

Pdx Qdy n’est pas une différentielle exacte mais que p(Pdx Q d y ) soit une différentielle exacte où p est une fonction de x et y , alors p est appelé facteur intégrant. ( a ) Démontrer que si F et G sont des fonctions de x seul, alors ( F y 4- G ) d x -k d y a un facteur intégrant p, fonction d e x seul, et d é t é r m i n e r y , Qu,e doit-on supposer sur F et G ? ( b ) Utiliser la question ( a ) pour trouver la solution d e l’équation différentielle xy = 2 x + 3 y . Rép. ( a ) p = eJF(xpx( b ) y = c x 3 - x , où c est une constante quelconque.

80. Chercher l’aire de la portion de la surface de la sphère x 2 Rép. 277a.

81. Si

+ y* + ( z - a)2 = a2 intérieure au paraboloïde z = x 2 + y 2 .

f(r) est une fonction continue différentiable de r = dx24- y 2 iz 2 , démontrer la relation

82. Démontrer la relation

LJ

V A (qh)dS = O où @ est une fonction scalaire continue différentiable de la position et

n est le vecteur unité d e la normale à une surface S et dirigée vers l’extérieur.

83. Etablir l’équation (3), problème 32, en utilisant le théorème de Green dans le plan. [Indication : considérer le domaine fermé a du plan xy ay,ant une frontière C et supposer que, par la transformation et C sont transformés en a et C’respectivement dans le plan U V . Démontrer d’abord que x = f ( u , v ) , y = g ( u , v), Q ( x , y ) d y où aQ:ay = F ( x , y ) . Montrer ensuite qu’au signe près, cette dernière

, v ) , g ( u , v)]

former cette dernière intégrale en l’intégrale double

1

+ a;dv .

[$du

IJ

ag

Enfin utiliser le théorème de Green pour trans-

1-1

F [f(u , v ) , g ( u , v)]

a’

a ( u , v)

du dv

.

x = f(u , 1i , w ) , y = g(u , v , w ) , z = h ( u , Y , w ) définissent une transformation qui applique un domaine de l’espace xyz sur le domaine 0 de l’espace u v w , démontrer, en utilisant le théorème de Green, la relation

84. Si O

dans laquelle G ( u , v , w ) 3 F [ f ( u , v , w ) , g ( u , v , w ) , h ( u , Y , w)]. Etablir des conditions suffisantes pour que le résultat soit valable. Voir le problème 83.

85.

( a ) Démontrer qu’en général l’équation r = r(u , v ) représente géométriquement une surface. ( b ) Discuter la signification géométrique de u = c 1 , v = c2 où c1 et c2 sont des constantes. (c) Démontrer que 1’élé.ment d’arc sur cette surface est donné par

+ 2 F d u d v + Gdv2 ûr ar = ~ ‘ z .

ds2 = Edu’

.-

où

86.

E = & ar au au’

G

(a)

En se référant au problème 85, montrer que l’élément d’aire est donné par dS = d

(b)

Déduire de la question ( a ) que l’aire de la surface r = r(u , v ) est donné par

[Indication : utiliser le fait que (A x B)

87.

.-

ar au a v ’

. (C

1 $l= d(s &) x

X

,

(-$ x &)

n

d

[ J d m i

u dv

.

du d v .

S

et utiliser ensuite l’identité

x D) = ( A . C) ( B . D) - ( A . D) ( B . C).

+


1 . La somme des n premiers termes est

a(1 - F) =

+ ar + ar2 + . . . , où a e t r sont des constantes, converge vers

1 - r

(voir problème 25, chapitre 3).

225

Chapitre 1 l/Séries

2.

1 1 1 - + - - . . . où p est une constante, con,& np 1P 2P 3P 1 et diverge pour p < 1 . La série avec p = 1 est appelée série harmonique.

“

La série de Riemann verge pour p

>

1 -

+

=

+

CRITERES DE CONVERGENCE ET DE DIVERGENCE DE§ SERIES NUMERIQUE§. 1.

Critère par comparaison pour des séries de termes non négatifs. Convergence. Soit u, > O pour tout n > N et supposons que Cu, converge. Alors si l’on a O < u , < u, pour tout n > N , E un converge également. Remarquer que y1 > N signifie que la propriété est vïaie à partir d’un certain terme. Le plus souvent N = 1 . Exemple : Puisque

I

1

-< - et que C

+1

2,

2n

1 converge, 2n

il en est de même de C

1 2n+ 1

*

Divergence : Soit un 2 O pour tout n > N et supposons que E u, diverge. Alors si un 2 u, pour tout n > N , C u , diverge également. Exemple : Puisque

2.

1 >-n1 Log n

et que

1 E” -diverge,

n=2

il

m

il en est de même de

C

n=2

1 -

Log n

Critère du quotient pour des séries de termes non négatifs. (a)

un - A # O ou Si u , 2 O et un 2 O et si lim n+-

CO,

alors C u , et C u, sont

U,

toutes deux convergentes, ou toutes’-deux divergentes. ( b ) Si A = O dans ( a ) et que Z u, converge, il est de même de C un . (c) Si A = CO dans ( a ) et que C u, diverge, il en est de même de Z u , . Ce critère se déduit du critère par comparaison et en est souvent une forme alternative très utile. En particulier, en prenant un = l/nP , nous obtenons à partir des propriétés connues de la série de Riemann, le théorème suivant : Théorème 1. Soit lim npu, = A

Alors

,

n-t,

( i ) C u , converge si p ( i i ) C u , diverge si p Exemple :

1.

> 1 et A fini. < 1 et A # O C 4n3

2. C

3.

n -

n d -log n + l

(A peut être infini).

n -- 1 lim nz ___ converge puisque n-)m 4n3-2 4‘

diverge puisque

Critère intégral pour des séries de termes non négatifs. Si f ( x ) est positive, continue et monotone décroissante pour x 2 N et si elle est 1 , N + 2 , . . . alors Z un converge ou diverge telle que f ( n ) = u , , avec n = Ar, N selon que

4”

f(x)dx

+

= lim

M

f ( x ) converge ou diverge. En particulier on peut avoir

M+-

N = 1 , comme cela est souvent vrai en pratique. Exemple :

On appelle série alternée une série dans laquelle les termes successifs sont alternativement positifs ou négatifs.

4. Critère de convergence pour les séries alternées.

15

226

Analyse

Pour qu’une série alternée converge, il suffit (mais n’est pas nécessaire) que les deux conditions suivantes soient réalisées (voir problème 25) :

ln,+ll

(a)

< Iu,I

pour

lim un = O

(b)

(ou

n+m

n 2 1.

-

lim Iu,I = O ) . n+

3

1 1 1 1 (- 1 y - 1 nous avons Pour la série 1 - -7 7 - ... 2 n=l n - (- 1 y - 1 1 1 1 = n+l.Alors pour n 2 1 , /u,+ll G , lun/ = - , n n On a de plus lim luni = O . D’où la convergence de la série.

+7

Exemple :

+

lU,l.

n+,

Théorème 2. Si on arrête au n-ième terme la sommation d’une série alternée convergente satisfaisant aux conditions ( a ) et ( b ) , l’erreur numérique faite sur la somme est inférieure à la valeur arxoiue du ( n 1)-ième terme.

+

Exemple :

5.

1 Si on arrête au quatrième terme la sommation de la série 1 2 1 l’erreur faite est inférieure à - = 0 , 2 . 5

1 1 1 --+ - .

-+

3

4

5

Séries absolument convergentes et séries semi-convergentes, La série C un est dite absolument convergente si C lu, converge. Si C un converge mais que C lu, 1 diverge, alors la série C un est dite semi-convergente.

Théorème 3. Si C lu, I converge, alors C un converge. En d’autres termes, une série absolument convergente est convergente (voir problème 17). 1 Exemple 1 : la série 7

1 1 1 1 1 +32 - 2 + 7 + 22 5 62 -

-

.,.

convergente, puisque la série des valeurs absolues Exemple 2 : la série 1

-

est absolument convergente, donc 1 + 31 + 321 + 31 + . . . converge. 12

1 + -1 - -1 + . . . converge, mais la série

Ainsi la série

2

3

4

1 1 -2

+ -31 - -41 + . . . est

1 -+ 2

1 -i

1 + -1 + 3

4

. . . diverge.

semi-convergente.

Tous les critères utilisés pour les séries de termes non négatifs peuvent être utilisés comme critères de convergence absolue. 6.

Règle de d’Alembert.

Supposons que lim n+

m

la série C un ( a ) converge (absolument) si L < 1. ( b ) diverge si L > 1 , Si L = 1 , le critère est en défaut.

7.

Règle de Cauchy.

I 1

- existe et soit L , cette limite ; alors un

existe et soit L cette limite. Alors la série Xun

Supposons que lim n+-

(a)

converge (absolument) si L

.

< 1.

( b ) diverge si L > 1 Si L = 1 le critère est en défaut.

8.

Critère de Raabe. lirn

n-i

m

n (1 -

(Aussi appelé règle de Duhamel, et de Darboux). Supposons que

lyl)

existe, et soit L cette limite. Alors la série Xun

converge (absolument) si L > 1 . ( b ) diverge ou est semi-convergente si L

(a)

< 1.

Chapitre 1l/Sénes

227

Si L = 1 , le critère est en défaut. On utilise ce critère dans le cas douteux du critère de d’Alembert.

9.

Critère de Gauss.

y1

Si

alors la série X u n

L c = 1 - - - -tn , où ic,l n n2

N ,

( a ) converge (absolument) si L > 1 . ( b ) diverge ou est semi-convergente si L < 1 . On utilise ce critère quand le critère de Raabe est en defaut.

THEOREMES SlJR LES SERIES ABSOLUMENT CONVERGENTE§ Théorème 4. Une série absolument convergente le reste lorsque l’on modifie l’ordre de sommation de ses termes ; de plus la somme de cette série modifiée est égale à la somme de la série initiale. Toutefois, il n’en est pas de même pour une série semi-convergente ; on peut dans une série semiconvergente modifier l’ordre des termes de telle sorte que la s6rie modifiée diverge, ou encore qu’elle converge vers tout nombre fixé à l’avance (voir problème 7 6 ) . Théorème 5 . La somme, la différence et le produit de deux séries absolument convergentes sont absolument convergentes. Les opérations peuvent être effectuées comme pour les sommes finies.

SUITES ET SERIES DE FONCTIONS CONVERGENCE UNIFORME Soit { u n(x)} , n = 1, 2, 3, . . . une suite de fonctions définies sur [ a , b ] . On dit que la suite converge vers la fonction F , ou a pour limite la fonction F sur [ a , b ] si pour tout e > O et pour tout x sur [ a , b ] , on peut faire correspondre N > O tel que /u,(x) - F ( x ) l < E pour tout n > N . Dans ce cas on écrit lim u, (x) = F ( x ) . Le nombre N peut dépendre aussi bien de x n+

-

que de E . S’il ne dépend que de E e t non de x , on dit que la suite converge uniformément vers F sur [ a , b ] ou est uniformément convergente sur [ a , b ] . On dit que la série de fonctions -,-

2

n=l

Un($)

=

Ui($)

+

u2(x)

+

2c3(x)

+

...

(3)

est convergente sur [ a , b ] si la suite des sommes partielles {S, (x)} , n = 1 , 2 , 3 , . . . où [ a , b ] . Dans ce cas, on écrit

S,(x) = u1 (x) 4- u 2 ( x ) + . . . + u , ( x ) , est convergente sur lim S,(x) = S ( x ) et on appelle S(x)la somme de la série. n-i

-

Il s’ensuit que C u , ( x ) converge vers S ( x ) sur [ a , b ] si pour tout E. > O et tout x sur [ a , b ] on peut trouver N > O tel que IS, (x) - S ( x ) 1 < e pour tout n > N . Si N ne dépend que de E et non de x , la série est dite uniformément convergente sur [ a , b ] . Puisque S ( x ) - S,(x) = R , ( x ) est le reste de la série après le n-ième terme, on peut dire de façon équivalente que C u, (x) est uniformément convergente sur [ a , b ] si pour tout e > O on peut faire correspondre un nombre N ne dépendant que de e (donc indépendant de x) tel que jR,(x) 1 < E pour tout n > N et tout x sur [ a , b ] .

228

Analyse

Ces definitions peuvent être modifiées pour s’appliquer à d’autres intervalles que [ a , b ] , par exemple à ] a , b [ (c’est-à-dire a < x < b ) . Le domaine de convergence (absolue ou uniforme) d’une série est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la série de fonctions converge (absolument ou uniformément).

CRITERES PARTICULIERS POUR LA CONVERGENCE UNIFORME DES SERIES 1.

Critère de Weierstrass. Si on peut trouver une suite de constantes positives M , , M , , M , , telles que sur un certain intervalle on ait

n = 1,2,3,.,.

lu,(x)i M, Z M , converge

(a)

(b)

alors 2 u, ( x ) est uniformément et absolument convergente sur cet intervalle. Exemple :

2

n=i

cos nx

-est uniformément et absolument convergente sur [O, 2711 puisque l’on a n2

Ce critère fournit une condition suffisante mais non nécessaire pour la convergence uniforme, c’est-à-dire qu’une série peut être uniformément convergente sans que le critère puisse s’appliquer . A cause de ce critère, on peut être conduit à croire qu’une série uniformément convergente doit être absolument convergente, et inversement. Cependant, ces deux propriétés sont indépendantes, c’est-à-dire qu’une série peut être uniformément convergente sans être absolument convergente, et inversement. Voir problèmes 30, 123.

2.

Critère de Dirichlet. Supposons que : ( a ) la suite { aA} soit une suite monotone décroissante de constantes positives tendant vers zéro ( b ) il existe une constante P telle que pour a < x < b , l’on ait , l u , ( x ) -k u2(x) f

. . . + un(x)I < P

pour tout n

>N .

Alors la série

aiui(x)

+ u2u2(x) +

est uniformément convergente pour a

* * *

=

2 a,u,(x)

11 = 1

R , pour une certaine constante R appelée rayon de convergence de la série. Pour 1x1 = R , la série peut aussi bien converger que diverger. L’intervalle 1x1 < R ou - R < x < R , avec inclusions possibles des extrémités, s’appelle l’intervalle de convergence de la série. Quoique le critère de d’Alembert réussisse souvent pour obtenir cet intervalle, il peut être en défaut et en ce cas on doit faire appel à d’autres critères (voir problème 22). Les deux cas particuliers R = O et R = 03 correspondent le premier au cas où la série ne converge que pour x = O ; le second, au cas où la série converge pour tout x (voir problème 25). Lorsque nous parlerons, dans la suite, de série entière convergente, cela signifiera, sauf indication contraire, que R > O .

+

230

Analyse

THEOREMES SUR LES SERIES ENTIERES Théorème 9. Une série entière converge uniformément et absolument dans tout intervalle strictement contenu dans l’intervalle de convergence. Théorème 10. Une série entière peut être dérivée ou intégrée terme à terme sur tout intervalle strictement contenu dans l’intervalle de convergence. De même, la somme d’une série convergente entière est continue sur tout intervalle strictement contenu dans l’intervalle de convergence. Ceci se déduit immédiatement du théorème 9 et des théorèmes sur les séries uniformément convergentes des pages 228 e t 229. On peut étendre ces théorèmes à des intervalles contenant les extrémités de l’intervalle de convergence grâce aux théorèmes suivants : Théorème 1 1.

Théorème d ’Abel. Quand une série entière converge jusques e t y compris en l’extrémité d’un intervalle de convergence, l’intervalle d’uniforme convergence contient également cette extrémité. Théorème 12.

Théorème limite d’A bel.

m

Si

unxn converge en x = x o qui peut être un point intérieur ou une extrémité de il

=O

l’intervalle de convergence, alors

li-{goanxn)

x-xo

=

n=o g { l iX‘X0m

9

n=O

ünxn]

(10)

ünx;

Si x o est une extrémité de l’intervalle, on doit utiliser x x o ou 3t + x i dans (10) selon que x o est l’extrémité gauche ou droite de l’intervalle de convergence. Ceci se déduit immédiatement du théorème 11 et du théorème 6 sur la continuité des sommes des séries uniformément convergentes. +

OPERATIONS SUR LES SERIES ENTIERES Dans les théorèmes suivants nous supposons que les séries entières sont convergentes dans un intervalle. Théorème 13. On peut ajouter ou retrancher terme à terme deux séries entières pour toute valeur de x appartenant à l’intersection de leurs intervalles de convergence. Théorème 14.

c m

On peut multiplier deux séries entières par exemple

c

m

anxn e t

bnxn , pour obtenir

m

c,xn

où

n= O

le résultat étant valable pour tout x à l’intérieur de l’intervalle commun de convergence. Théorème 15. m

m

b n x n où bo # O, le quotient n= O peut s’écrire comme une série entière qui converge pour x suffisamment petit. unxn par la série entière

Si on divise la série entière

n=O

Chapitre 1l/Séries

Théorème 16. m

Si

y =

m

2 fl=

23 1

u,xn , alors en y substituant x

b,yn

=

, on peut obtenir les coefficients

n= O

O

b, en fonction des a, , On appelle souvent ce procédé, inversion d’une série.

DEVELOPBEMENT DE FONCTIONS EN SERIES ENTIERES Supposons que f ( x ) e t ses dérivées f f ( x ), f f ’ ( x ) ,. . . . f‘“)(x) existent et soient continues dans l’intervalle fermé a < x < b et que f ( “ + ’ ) ( x ) existe dans l’intervalle ouvert a < x < b . Nous avons vu dans les précédents chapitres (voir pages 6 1 et 9 5 ) que

où R,,le reste, est donné sous l’une ou l’autre des deux formes

f(n+1)(€) ’ (forme de Cauchy) n ! (x- @‘(x - a) qui se trouve entre a e t x , est en général différent dans les deux formes. €2,

où t , lim

n-tm

=

Quand x varie, t varie également en général. Si pour tout x et tout t dans [ a , b ] nous avons R, = O , alors (12) peut s’écrire f”’(a) f ( x ) = f ( a ) t ’ ( a ) ( $ - a ) --(x-a)2 f ”2(a) (x-a)3 ... (15) 3 ! !

+

+

+

+

Cette série s’appelle la série ou le développement de Taylor de f ( x ) . Dans le cas où a = O , elle est souvent désignée sous le nom de série ou développement de Mac Laurin. Pour des problèmes impliquant de tels développements, voir aussi le chapitre 6. On pourrait être tenté de croire que si toutes les dérivées de f ( x ) existent au point x = a , le développement (15) est valable. En fait ceci n’est pas nécessairement le cas, car bien que l’on puisse formellement obtenir la série du membre de droite de l’équation (151, la série résultante peut ne pas converger vers f ( x ) . Pour un exemple de ceci, voir le problème 104. Les conditions exactes sous lesquelle la série de Taylor d’une fonction converge vers cette fonction sont obtenues dans le cadre de la théorie des fonctions d’une variable complexe (voir chapitre 17).

QUELQUES EXEMPLES IMPORTANTS DE SERIES ENTIERES On emploie fréquemment, dans la pratique, les séries suivantes, convergentes vers la fonction donnée dans l’intervalle indiqué.

1. s i n x

-

2. cosx

-

7 *

-

x3

-

3!

x5 +5!

x2

x7

-

7! xfi

3. ex

- 1 - - + - - x1 2! 4! 6 ! x‘ x3 = l + x + - + - + 2! 3!

4.

LogIl+xl

x’ x3 = x - - +2 - - -3+

5.

@Op/=/

= x

x4

4

+

$n-l

...(-l)“-’ (2%. - 1)!

+ . . *(-l)n-l--

x2n-?

( 2 n - 2) !

+ ...

-m 1.

Chapitre 1 1 /Séries Sommons de n = 1 à

M

- 1,

u2

+ us + + u,

237

il vient

5

..’

Si f ( x ) est strictement décroissant, les signes d’égalité dans (1) peuvent être supprimés. lim Jl”%x)dx

Si

M+-

u1

+ u2 +

+ un

* * *

existe et vaut S , on voit d’après l’inégalité de gauche dans (1) que

est monotone croissante et admet S pour borne, si bien que E u n converge.

lim i M f ( x ) d x n’est pas bornée, on voit d’après l’inégalité de droite dans (1) que X u n diverge.

Si

M+-

Ainsi la démonstration est complète.

12. Donner une illustration géométrique de la démonstration du problème 11. Géométriquement, u 1 + u2 + . . , + un est l’aire totale des rectangles ombrés indiqués sur la figure 11-1, tandis que u2 . . . uMM-lest l’aire totale des rectangles ombrés et non ombrés. L’aire sous la courbe y = f ( x ) de x = 1 à x = M a une valeur intermédiaire entre les deux aires données ci-dessus. Cela illustre ainsi le résultat (1) du problème 11.

u1

+

+

+

Fig. 11-1

“ 1

--, p

13. Etudier la convergence des séries suivantes : ( a )

cn m

(c)

2

(a)

1

5 ne-n2 .

; (d)

Log n

Considérons

m

= constante ; ( b )

1

n n 2 + i ’

1

,T”-$-

M

=

Si p


1,

1 , lim

x1-P

-

x p dx = M1-p -

M+m

lim

=

1 - p

M1-P - 1

M+m

00,

- 1

où p f 1 .

si bien que l’intégrale, et par suite la série, diverge.

--

1 - p

M1-P

M

[El1= 1 - p

P - 1

, si bien que l’intégrale, et par suite la série, converge. et

lim Log M =

CO,

si bien que l’intégrale, et par

M+-

suite la série, diverge. Ainsi, la série converge si p (b)

lim

M+-

verge (c)

iim M-+-

>1

LMe 2l = lim [ M+-

,T”--

Log ( x 2

et diverge si p

+ l)]:

= lim

M-im

< 1.

{i Log ( M 2 + 1 ) - 3Log 2) =

dx - 1i.m [Log (Log XI]:= lirn {Log(Log M ) - Log(Log 2)) = x Logx M+m M-+=

00

03

et la série di-

et la série diverge.

Remarquer que, quand la série converge, la valeur de l’intégrale correspondante n’est pas (en général) la même que la somme de la série. Toutefois, on peut obtenir des sommes approchées d’une série de manière excellente en utilisant les intégrales. Voir problème 70.

238

Analyse

14. Démontrer la double inégalité suivante : 4

1 x 1 < -+-. < . = , n2+1 2 4

2

D’après le problème 11, on déduit que M*P

c’est-à-dire

m

-

2

m

Puisque

2

,=,

7

r

M-l

2n2 + 1

iim




i

et par suite la série converge.

24. Etudier la convergence de la série

($1+ (31+ (-1 2.4

La règle d e d'Alembert est en défaut puisque

1-3.5 204.6

+

.. .

+

( -

1 . 3 . 5 . .. ( 2 n - 1) 2 * 4 6 . . . (2%)

2=

+ ....

1 . De même, le cri-

tère de Raabe est en défaut, puisque

Cependant, en utilisant la division,

si bien que la série diverge d'après le critère de Gauss.

16

242

Analyse

SERlES DE FONCTlONS 25. Pour quelles valeurs de x, les séries suivantes convergent-elles ?

(a)

un

-

Xn- 1

-En supposantx # n . 3n

O (si x = O , la série converge), nous avons

'

Xn n.3" ( n + i ) . 3 " + 1 * ~= /

Alors la série converge si

IX l < 1 et 3

n ~

I

X

/

"

-/

1x1

7

lx l > 1 . Si 1x1 - 1 , c'est-à-dire, si x = F 3 , le -

diverge si

3

3

critère est en défaut. " 1 n=13n

Si x = 3 , la série devient 2 - = Si x =

-

"

la série devient

7

2

n=l

-31 n = 1 -.n1

Cette série diverge.

(-1)n-l - 1 2 -3n 3 n-1

(-1)n-l

n

et la série converge.

L'intervalle de convergence est donc -3 < x < 3 . La série diverge à l'extérieur de cet intervalle. Remarquer que la série converge absolument pour - 3 < x < 3 . Pour x = - 3 , la série est semiconvergente. (- 1In- l X 2 n - 1

(b)

Procédons comme dans la partie ( a ) avec un =

( 2 n - 1) !

. Alors

(2n - 1)!

5 2

= nlim xz = lim = O + m (2n+ 1)(22)(2n-l)! n - r m (2n 1)(2n)

--

+

Ainsi la série converge (absolument) pour tout x , c'est-à-dire que l'intervalle de convergence (absolue) est < x < -.

+

Cette limite est infinie si x # a . Alors la série converge seulement pour x = a . (d)

Un

=

n(x - 1)" 2"(3n- 1) '

iim n-rm

Unti

1 -I Uni-1

+

(n i ) ( x - 1)"f' =2"+'(3% 2) '

=

Un

1

+

Alors

+

iim ( n 1)(3n- l ) (-~1) 2n(3n -k 2)

n-rm

1 lql==

lx - II 2

- 11 < 2 et diverge pour / x - 11 > 2 . Le critère est en défaut pour Ix - 11 = 2 , c'est-à-dire x - 1 = i 2 ou x

Ainsi la série converge pour

IX

= 3 et x = - 1 .

n x , laquelle diverge puisque le terme de rang 3n - 1 m

Pour x = 3 la série devient pas vers zéro.

n=l

Pour x = - 1 , la série devient pas vers zéro.

n=l

(-i)nn , laquelle 3n - 1

Alors la série converge seulement pour Ix

n ne tend

diverge également puisque le n-ième ne tend

- 11 < 2 , c'est-à-dire - 2

1 . Le critère est en défaut s i 1x1 = 1 la série converge ; si x = - 1 , la série diverge. Ainsi la série converge pour - 1 < x < 1 .

.

Si x = 1

244

Analyse

28. Etudier la convergence uniforme de la série donnée dans le problème 27 dans l’intervalle. ( b ) - < x < ’ (c) - 0’99 < x < 0’99’ ( d ) - 1< x < 1, (a) - < x < (e) O < x < 2 .

+

(a)

+,

+

+

D’après le problème 27, S,(x) = 1 - x n , S(x) = linï S,(x) = 1 si n +.converge dans cet intervalle. On a Reste après le n-ième terme = R,,(z) = S (s ) - S,(z)

< x < 3 ; ainsi la

= 1 - (1-2“)

La série sera uniformément convergente dans cet intervalle, si étant donné faire comprendre un nombre N dépendant de E , mais non de x, tel que IR,(x)l n > N . Par ailleurs

n Log 1x1 < Log

quand

puisque la division par Loglx1 (qui est négatif puisque 1x1
>-N,

Ainsi puisque N est indéLog 1x1 Log pendant de x, la série est uniformément convergente dans l’intervalle. Log f Log E Dans ce cas 1x1 < Log 1x1 < Log et n > -2 -- N , si bien que la série est égaLog (XI Log (+) lement uniformément convergente dans l’intervalle - < x
1 ?

CRITERE INTEGRAL 66. Examiner la convergence des séries suivantes

c n "z= 2i

2Log (Log

"1

n Log n m

:

(a) div., ( b ) conv., (c) conv., ( d ) conv., (e) div., (f) div.

Rép. *

1 n(Log n)P

67. Démontrer que

z

68. Démontrer que

9 z" -< 8 "=l

1 3 n

, où

p est une constante, (a) converge si p

1 et ( b ) diverge si p

< 1.

+

2 n3I2 n i / * - 2 2 71 3 ; uniformément convergente pour 1x1 < r < 3 ; ( b ) uniformément conv. pour tout x ; ( c ) conv. pour x 2. 0 , non uniformément convergente pour x 2 O , mais uniformément O. conv. pour x > r sin n x Si ~ ( x = ) Z: -, démontrer que : n=l n3 m cos nx ) O ; ( c ) ~ ' ( x )= Z: -est continue partout. ( a ) F ( x ) est continue pour tout x ; ( b ) iim ~ ( x =

>

91.

92. Démontrer que

x"(*

X'

+-+-+ 3.5

cos6x

cos42

m

n=l

=

-)dX

5.7

TI2

o.

sin nx a des dérivées de tous ordres pour tout x réel. sh n r

93. Démontrer que F ( x ) = 2

n= 1

94. Examiner la suite u n ( x ) =

-

1

1

+ x2n

, n = 1 , 2 , 3 , . . . , du point de vue de la convergence uniforme.

95.

SERIES ENTIERES 96. ( a ) Démontrer que (b)

x2 x4 + x) = x - + 33 - + 2 4 2 = 1 -L +1 -L 4- . . . . 2 3 4

Log (1

Démontrer que

Log

1 = 1 + x

[Indications : utiliser le fait que

97. Démontrer que Arc sin 98. Calculer du calcul.

99. Calculer Rép.

x =x

( a ) Jr112e-x2 d x ,

1 -x

+ x2 - x3 + . . .

3 1 3 x 5 1 3 5x7+ + -21 x+- 4- -3 2.4 5 2.4.6 1 (b)

J1 1 -

O

Rép.

.. .

X

x dx

et intégrer].

, - l < x < l . " '

avec trois décimales exactes, en justifiant chaque étape

( a ) 0,461 ; ( b ) 0,486.

( a ) sin 40"

, ( b ) cos 65',

( a ) 0,643 ; ( b ) 0,423 ; ( c )

(c) tg 12" avec trois décimales exactes. 0,213.

100. Vérifier les développements 4, 5 et 6 de la page 231.

101. En multipliant les séries représentant sin 102. Montrer que

x et cos x, vérifier que 2 sin x cos x = sin 2x.

,

econs = e

-ma1 5.

sa2, x

>a

f M ( x ) d x converge,

(b)

alors

Lm ,

f ( x a)dx est uniformément et absolument convergente sur l'intervalle al 6 a

Exemple : Puisque

lcos7 - 5-

dx

et que

- x2+1

x2+1

sm-

dx

O

x2+ 1

converge, il s'ensuit que

--

s O

cos a x x2+1

< O$.

dx est uni-

formément et absolument convergente pour toute valeur réelle de a.

Comme dans le cas des séries, il est possible pour une intégrale d'être uniformément convergente sans être absolument convergente et inversement.

2. Critère de Dirichlet, Supposons que ( a ) $(x) soit une fonction positive monotone décroissante tendant vers O quand x (b)

+=

00

1 [ ' f ( x , a)dxl < P pour tout u > a et al < a 6 % . * a

S , - = f ( x' a ) $ ( x ) d x

Alors l'intégrale

est uniformément convergente pour al

< a < a2.

THEOREMES SUR LES INTEGRALES UNIFORMEMENT CONVERGENTES Théorème 6 .

Si f ( x , a ) est continue pour x gente pour al G a

< a 2 , alors

>a

@ ( a= )

et al

lim

+(a)

=

si

f ( x , a)dx est uniformément conver-

ff ( x , a ) d x est continue sur al < a 6 a2.En particulier, a

si a. est un point quelconque de l'intervalle al a i u o

< a 2 , et

< a < a 2 , on peut

lim i a f ( x , a ) dx

.CY'U"

=

yro^

écrire

f(x, 4 dx

Si a. est l'une des extrémités de l'intervalle [al , a 2 ] ,on utilise la limite à gauche.

(9)

droite ou la limite

? i

Théorème 7. par rapport ci a de a l à a2 pour Sous les conditions du théorème (6)' on peut intégrer @(a) obtenir

qui correspond à un changement dans l'ordre d'intégration. Théorème 8. Si f ( x ,a ) est continue et possède une dérivée partielle continue par rapport à a pour x

et al

< a < a2 et s i L m

dx converge uniformément sur al

< a < 0 2 , alors si a

>a

ne dépend

pas de a, on a Si a dépend de or, on modifie aisément le résultat (voir règle de Leibnitz, page 163).

Chapitre 12/Intégrales généralisées (ou impropres)

267

CALCUL D’INTEGRALES DEFINIES Le calcul des intégrales définies qui sont impropres peut se faire de multiples façons. Un procédé utile consiste à introduire un paramètre placé de manière appropriée dans l’intégrale et ensuite à dériver ou intégrer par rapport au paramètre, en utilisant les propriétés ci-dessus de la convergence uniforme.

TRANSFORMEES DE LAPLACE La transformée de Laplace d’une fonction F ( x ) est définie par

f(s) = = - c ( F ( ~ )=) J m e - s z ~ ( z ) d s

1 s-a

(12)

et elle est l’analogue des séries entière comme on le voit en remplaçant e-S par t si bien que e-sx = tx. La plupart des propriétés des séries entières s’appliquent également aux transSormées de Laplace. La table ci-contre donnant quelques transformées de Laplace est utile. Dans chaque cas a est une constante réelle. Une application utile des transformées de Laplace est la résolution des équations différentielles (voir problèmes 34-36).

sin ax

xn n = 1,2,3,.. .

s2

+ a2

n! p + 1

s>a s>o

s>o

INTEGRALES MULTIPLES IMPROPRES (OU GENERALISEES) Les définitions et les résultats acquis pour les intégrales simples impropres peuvent être étendus aux intégrales multiples impropres.

PROBLEMES RESOLUS INTEGRALES IMPROPRES 1. Classer les intégrales impropres suivantes suivant leurs espèces : 1 - cos x

dx

dx

1

+ tgx

Seconde espèce (fonction sous le signe somme non bornée à x = O et x = - 1). Troisième espèce (la borne d’intégration est infinie et la fonction à intégrer n’est pas bornée quand tg x = - 1). Celle-ci est une intégrale propre (la fonction à intégrer n’est pas bornée pour x = 2 , mais cette valeur est extérieure à l’intervalle d’intégration 3 =G x < IO). Première espèce (les bornes d’intégration sont infinies mais la fonction à intégrer est bornée). 1 - cos x - _1 en appliquant la règle de l’Hospital). Celle-ci est une intégrale propre (puisque lim

1

268

2.

Analyse

dx

Montrer comment transformer l’intégrale impropre de seconde espèce

en une intégrale impropre de première espèce ; ( b ) en une intégrale propre. dx

J‘-”,S Considérons l’intégrale , le

devient

Y

dY

. Quand

S

E +

où O

< E < 1, disons.

Posons 2 - x =

1 Alors l’intégrale Y

-,

Of, nous voyons que la considération de l’intégrale donnée est

1

équivalente à la considération de l’intégrale

-

-

dY

qui est une intégrale impropre de première

espèce. En posant 2 - x = v 2 dans l’intégrale de (a), celle-ci devient 2 du

J

ainsi à considérer l’intégrale 2

J77-7qui est

0

1

dv

&J;r+r

,

Nous sommes conduits

une intégrale propre.

D’après ce qui précède, nous voyons qu’une intégrale impropre de première espèce peut être transformée en une intégrale impropre de deuxième espèce, et inversement (en fait, ceci peut toujours se faire). Nous voyons aussi qu’une intégrale impropre peut être transformée en une intégrale propre (ceci ne peut pas toujours se faire).

INTEGRALES IMPROPRES DE PREMIERE ESPECE 3. Démontrer le critère de comparaison pour la convergence des intégrales impropres de première espèce. Puisque O d f(x)

< g ( x ) pour x

2 a, on a en utilisant la propriété 7, page 81,

Mais, par hypothèse, la dernière intégrale existe. Ainsi lim b-

z

lb

f(x) dx existe, et par conséquent

f ( x ) d x converge.

4. Démontrer le critère du quotient ( a ) de la page 262. Par hypothèse lim quand x

>

f(x) - A > O.

Alors étant donné g(x) N. Ainsi pour x 2 N,nous avons A -

Alors

S

f (2) 5 A g(x)

+

e

OU

lm

o n peut trouver N tel que

+c)gjx)

> O.

g ( x ) d x converge, alors d’après l’inégalité de droite de (1),

lim Si

> O,

( A - c ) g ( z ) 5 f(z) 9 ( A

Il n’y a aucune restriction de généralité en choisissant A - E

Si

E

n+=

lm

b+-

Lb

f ( x ) d x existe, et ainsi

Ja

f ( x ) d x converge.

g ( x ) d x diverge, alors d’après l’inégalité de gauche de ( 1 )

lim b+-

Lb

f(x)dx =

m

et ainsi

Jnm

f ( x ) d x diverge.

Pour les cas où A = O et A = 00, voir problème 41. Comme o n le voit dans ce problème et le problème précédent, il y a en général une nette ressemblance entre les démonstrations pour les séries e t les démonstrations pour les intégrales impropres.

Chapitre 12/Intégrales généralisées (ou impropres)

5.

xdx

u3

Etudier la convergence des intégrales suivantes : ( a )

=

269

22-1

( a ) Méthode 1 : Pour x grand, la fonction à intégrer est approximativement x / 3 x 4 = 1 / 3 x 3 .

Puisque

X

+ 5x2 +

3x4

1

5 -

1

-dx :J converge (intégrale puissance 3 1 x3

et

3x3

x dx

d’après le critère de comparaison que

L 3 X 4

+ 5x2 +

1

avec p = 31, il s’ensuit

.

converge également.

Remarquer que le but de l’examen du comportement de la fonction à intégrer pour x grand, est d’obtenir une integrale de comparaison convenable.

converge,

/lf

1

X

Méthode 2 : Soit f ( x ) = 3x4

+

+

5x2

1

, g ( x ) = - Puisque lim x3‘

x-h

f(x)

1

g(x)

3

-= - , et

que

1-

g(x)dx

( x ) d x converge également d’après le critère d u quotient.

Noter que dans la fonction de comparaison g ( x ) , nous avons omis le facteur 1/3. On aurait pu, cependant, tout aussi bien le conserver. Méthode 3 : lim x 3 X+

X

+ 5x2 +

(3x4

1

)

=

1

- . D’où, d’après le théorème 1, page 262, la convergence 3

de l’intégrale donnée.

( b ) Méthode 1 : Pour x grand, la fonction à intégrer est approxbativement x 2 / @

Pour n

> 2,

x2 4 x

- 1

+1

Méthode 2 : Soit f ( x ) =

> =

1

-

1

*

-

x

Puisque 2

x2 - 1 J

,

q

’

g(x) =

-.1

Lm:

.-a

x2

diverge, j 2 4x6

Alors, puisque lim x+-

X

= l/x.

- 1

+

dx diverge également.

16

f(x)

- = 1, et dx)

q u e L - g ( x ) d x diverge,

^-

Jz

f ( x ) d x diverge également.

Méthode 3 : Puisque lim x

= 1, l’intégrale donnée diverge d’après le théorème 1, page 262.

Remarquer que la méthode 1 peut exiger (et cela est ainsi souvent) qu’on cherche un facteur convenable dans l’inégalité (dans le cas présent 1/2, ou n’importe quelle constante inférieure à 1/2) avant d’appliquer le critère de comparaison. Les méthodes 2 et 3 , cependant, n’exigent rien de tel.

6.

Démontrer que lim x 2

1-

e-x

ëx2 = O

dx converge.

(d’après la règle de l’Hospital ou par toute autre méthode). Alors d’après le théorème 1,

X+

avec A = O et p = 2 , l’intégrale donnée converge. Comparer avec le problème 1 0 ( a ) , Chapitre 11.

7.

Etudier la convergence des intégrales suivantes : (a)

Jm-=

x f a

-= m .

( a ) limmex x-f

Log x

dx, où a est une constante positive ; ( b ) J

x + a

m

1 - cos x

D’où d’après le théorème 1, page 262, avec A =

dx.

X2

O

m,

p = 1, la divergence de l’intégrale

donnée.

La première intégrale d u membre de droite converge [voir problème l(e)].

270

Analyse = O, la seconde intégrale du membre de droite converge d’après

Puisque iim x3/’ X-

le théorème 1, page 262, avec A = O et p = 3 / 2 . Ainsi l’intégrale donnée converge.

8. Etudier la convergence des intégrales suivantes : (a) (a) Posons x =

e-Y

*

- x

X 3 f X 2

-dx. X6-b

1

converge ; d’où la

dy converge,

(y-) 6- y

= lim y - y = O. Alors l’intégrale donnée converge d’après le théorème 1,

Y-

Y-

page 262, avec A = O et p = 2.

( b ) Ecrivons l’intégrale donnée comme suit :

0 x3

+ xz

x6

l

-s

my3

la première intégrale, celle-ci devient tégrale converge.

X-ki

s

dy.

Méthode 1 : - 5 e - y pour y P 1. Alors, puisque Y convergence de l’intégrale donnée.

Puisque iim x3

-

Z d x , (b)

-4-7 L-

- y. Alors l’intégrale devient

Méthode 2 : lim y 2

sy

(

)

x ~ 6 ~ x 1 2=

+

-

‘“x3 dx i-

dx. En posant x =

2

dy. Puisque

Y 6 + 1

O

+ x2

lim y 3 Y-

(

6:

2

3 +

- y dans

) = 1, cette in-

1, la seconde intégrale converge.

Ainsi l’intégrale donnée converge.

CONVERGENCE ABSOLUE ET SEMI-CONVERGENCE POUR LES INTEGRALES IMPROPRES DE PREMIERE ESPECE

9.

Démontrer que

If(x)l dx converge, c’est-à-dire qu’une intégrale ab-

f(x)dx converge si

solument convergente est convergente. Nous avons - V ( x ) l

Si

J,

f(x)

5

V ( x ) l , c’est-à-dire O

,.-

J

Ji

nm

I f ( x ) l d x converge, il s’ensuit que

~ f ( x ) l d xqui converge, nous voyons que

[f(x)

5 f(x) + If(x)ls

+

2 If(x)l. Alors

I f ( x ) l ] d x converge. Par suite, en retranchant

f ( x ) d x converge. JI

10. Démontrer que

dx converge.

Méthode 1 : pour x 2 1. Alors d’après le critère de comparaison, puisque queJ

cos x 1 7 1 dx

-dx

converge, c’est-à-dire

converge, il s’ensuit

converge absolument, et par suite converge d’après

le théorème 9. Méthode 2 : Puisque lim x 3 / 2 Y”

et p = 3 / 2 , que

1x2) cos x

JLI~),

= lim X”

C L X

1

= O, il s’ensuit, d’après le théorème 1, page 262, avec A = O

converge, et par suite

d x converge (absolument).

Chapitre 12/Intégrales généralisées (ou impropres)

11. Démontrer que

4--

27 1

dx converge.

si=x

Puisquel

1

sin x -

sin x

X

est continue sur 0

O

273

et n

> O et

D'où la convergence de l'intégrale.

.r'

x r n - l ( l - x ) n - l dx ( a ) converge si l'on

(b) diverge dans les autres cas.

Pour m > i et n 2 1 simultanément, l'intégrale converge car la fonction à intégrer est continue sur O < x < 1. Ecrivons l'intégrale comme suit : 112 5"1

- (1 -z)"-Idz 1

+

l,* 1

xm-l'(l

x p - l dx

Si O < m < i et O < x < 1, la première intégrale converge puisque iim x x+o+ en utilisant le théorème 3(i), page 264, avec p = 1 - m et a = O. De même, la seconde intégrale converge puisque

~

. xm-l - ~

(1 - x y - 1 = 1 ,

lim (1 - x ) ~ - xm-l ~ . (1 - xln-l = 1, e n

X'l-

utilisant le théorème 4(i), page 264, avec p = 1 - n et b = 1. Ainsi l'intégrale donnée converge si m > O et n > O simultanément. (b)

Si m

< O,

iim x . xrn-'(i - x ) ~ - ' =

W.

D'où la divergence de la première intégrale d e (i), quelle

x+o+

que soit la valeur de n , d'après le théorème 3(ii), page 264, avec p = 1 et a = O. De même, la seconde intégrale diverge si n < O quelie que soit la valeur de m , et le résultat cherché s'ensuit. Quelques propriétés intéressantes de l'intégrale donnée, appelée fonction béta, sont considérées au chapitre 13.

1 sin - dx est semi-convergente.

17. Démontrer que

x

1 En posant x = -, l'intégrale devient

résultat cherché s'ensuit d'après le problème 12.

Y

INTEGRALES IMPROPRES DE TROISIEME ESPECE 18. Si n est un nombre réel, démontrer que si n < O.

e-

d x (a) converge si n

>O

et ( b ) diverge

Ecrivons l'intégrale comme suit

(a)

Si n

> 1, la première intégrale dans (1) converge puisque la fonction à intégrer est continue sur O < x < 1. Si O < n < 1, la première intégrale dans (1) est une intégrale impropre de seconde espèce en x = O.

hiisque lim x l - n . xn-l x+ot

ëX=

1, l'intégrale converge d'après le théorème 3(i) avec p = 1 - n et a = O.

Ainsi la première intégrale converge pour n > O. Si n > O, la seconde intégrale dans ( 1 ) est une intégrale impropre de première espèce. Puisque lim x z . x n - l e-x = O (par la règle de l'Hospital ou autrement), cette intégrale converge d'après le

x +-

théorème l(i), page 262, avec p = 2. Ainsi la seconde intégrale converge également pour n pour n > O.

> O,

et par suite l'intégrale donnée converge 18

274

Analyse (b)

Si n

< O, Si n

la première intégrale de (1) diverge, puisque lim x , xn-' x+o+

< O,

-

e-'

la seconde intégrale de (1) converge puisque lim x . x " - l e-'

= O [Théorème l ( i ) page

x-+ m

2621.

[Théorème 3(ii), page 2641

03

Puisque la première intégrale dans (1) diverge tandis que la seconde intégrale converge, leur somme diverge également, c'est-à-dire l'intégrale donnée diverge si n < O. Quelques propriétés intéressantes de l'intégrale donnée, appelée fonction gamma, sont étudiées au chapitre 13.

CONVERGENCE UNIFORME DES INTEGRALES IMPROPRES 19. ( a ) Calculer $(a)= s w a ë a xdx pour a

> O.

O

> a l 2 O. 1 pour a > O.

( b ) Démontrer que l'intégrale en ( a ) converge uniformément verr 1 pour a (c)

Expliquer pourquoi l'intégrale ne converge pas uniformémeni vers

(0)

+(a)

lim ~ b a e - ~ ~=d xlim

=

b-r

b*

l i

[

-e-as

l i

Il0

=

Ainsi l'intégrale converge vers 1 pour tout a (b)

lim 1 - e - f f b =

1 si @ > O .

b-x

> O.

Méthode 1 : utilisant la définition. L'intégrale converge uniformément vers 1 sur a 2 a l 2 0 si pour tout dépendant de E mais non de a, telle que Il - d i e - ,

Puisque Il -

lu

cye-asdxI

= 11 - ( i - e - * " ) I

dx

1
O,

e pour tout u

e-aiu


N.

pour tc

1 1 >In - = N , E

ffl

le résultat s'en déduit.

Méthode 2 : utilisant le critère de Weierstrass. Puisque lim x z . ae-, = O pour a 2 al

> O,

on peut choisir Iae-OLXl

X -*m

pour x suffisamment grand, disons x 2 x o . En prenant M ( x ) =-

1

X2

O,

X

lo-;

converge,

et remarquant que

il s'ensuit que l'intégrale donnée est uniformément convergente vers 1 pour a 2 al (c)

m

> O.

Quand al O, le nombre N défini dans la première méthode de ( b ) tend vers 4- 00, si bien que l'intégrale ne peut pas être uniformément convergente pour (11> O. -f

4-

20. Si $(a)

f ( x , a) dx est uniformément convergente pour al

continue sur cet intqrvalle. Soit

+(a) =

f ( % , a )d x

+ R(u,4,

WU,^ =

où

I

< a < az,démontrer

que $(a)est

f(x,cu) dx.

*'

Alors

+(a

+ h)

+(a

=

+4

1"

f(x,

-

+((Y)

Ainsi

I +(a + h ) - d a ) I

+ IL) dx + R(u, + h) et par suite = f ( f ( s , + h ) - f ( x , dx + R(U,a + h) - EZ (Y

(Y

(Y

f 1 f(x,

(Y

(Y)}

,A)

+ h ) - j(x,a ) ' dx + , R(u, + h ) 1 + 1 R ( Na, ) 1 (Y

Puisque l'intégrale est uniformément convergente sur al < a < az on peut, pour chaque E > indépendant de a tel que pour u > N 1 R(u, I L ) 1 < E / 3 , 1 R(% 1 < 4 3 Puisque f ( x , a) est continue, o n peut trouver S > O correspondant à chaque e > O tel que (Y

+

(Y)

(1) O, trouver N (2)

275

Chapitre 12/Intégrales généralisées (ou impropres)

En utilisant (2) et ( 3 ) dans ( l ) ,on voit que / @ ( a-t h ) - @ ( a )< [ E pour Ih 1

< 6 , si bien que @ ( a i ) est con-

tinue. Remarquons que dans cette démonstration on suppose que a et a -hisont tous deux dans l'intervalle

a.

< < a2. Ainsi si a = a l , par exemple, h > O et on suppose la continuité à droite. (Y

Remarquer également l'analogie de cette démonstration avec celle qui a été donnée pour les séries. D'autres propriétés des intégrales uniformément convergentes peuvent être démontrées de la même façon.

Montrer que lin1 l % c e - a r d z a-O+

+

12(;iy+

ee-ax

\

lim i * a ë a r d s =

a+n+

(Oa( iim L

)

dx. ( b ) Expliquer le résultat en

(a)

lim 1 = 1 d'après le problème ( a ) .

a30+

= l * O d x = O. On en déduit ainsi le résultat cherché.

ae-a*)dz

a-to+

L-

Puisque @ ( a = )

a 2 O (voir problème 19), il n'y a

dx n'est pas uniformément convergente pour

aucune garantie pour que @ ( a )soit continue pour a 2 O. Ainsi lim @ ( a )peut ne pas être égale à @(O). oi+O+

22. ( a ) Démontrer que

1;-

e V a x cos rx d x =

a pour a a2 t r2

>O

et toute valeur réelle de r,

( b ) Démontrer que l'intégrale en ( a ) converge uniformément et absolument pour a où O < a < b et tout r.

< a! < b,

(a)

D'après la formule d'intégration 34, page 84, on a

(b)

La convergence absolue et uniforme se déduit immédiatement du critère de Weierstrass, en remarquant que le-oix cos r x l

< e-"

et que

e-"'

dx converge.

CALCUL D'INTEGRALES DEFINIES

1

TI2

23. Démontrer que

71

Log sin x dx = - - Log 2. 2

L'intégrale donnée converge (problème 4 2 0 ) . En posant x = 7r/2 - y , il vient

1

FI2

Z

Alors

=

i F J 2 L o gsin x dx = 1""Log cos y dy =

21 = iT"(Logsin x

Log cos x dx

+ Log cos x ) dx = 1 " f o g ( sin 227 tlx )

= i " e o g sin 2x dx -

f" Log 2 dx

= 1""Log sin 2x dx -

En posant 2x = v, il vient x r J 2 L o g sin 2 x d x = =

J L o g sin v dv & ( I f Z)

=

Z

=

${ XT'Î,og sin v

dv

+

(en posant v = rr - u dans la dernière intégrale).

276

Analyse

s," x Log sin x d x = --Log 2 'r7

24. Démontrer que

2.

Posons x = n - y. Alors, en utilisant les résultats du problème précédent,

=

J

OU J

=

X l L o g s i n x dx

(77

x ) Log sin x dx

7i2

= -2 Log 2.

25. ( a ) Démontrer que @ ( a )=

10

dx x ' + a

71

( b ) Montrer que @ ( a )= -

est uniformément convergente pour a Z 1.

(c) Calculer

2qz*

( d ) Démontrer que

(a)

IV-

iV(77-u)Logsinudu =

_Jo1(22f:),,+i

s-

dx (x'

0

+

n/2

=

COSw

1)" 1 0 3 . 5 . . . ( 2n-1) 2.4.6 . . . (2n)

de =

x

2'

< -pour a 2

1 1 Le résultat se déduit du critère de Weierstrass, puisque converge. x'+a-x'+1

(c) D'après ( b ) ,

n

L-.%

=-

En dérivant les deux membres par rapport à a, on a

- J m m-dx

=

lX&&)dX

le résultat étant justifié par le théorème 8, page 266, puisque gente pour

(Y

2 1 (car

(x'

l

+ a)'

En passant à la limite pour a


b.

F(u) G(z - u ) d u

N(z) =

est appelée convolution de F et G, et s’écrit F * C .

82.

-’ {(s

.

(a)

Chercher 6

(c)

Résoudre l’équation à intégrale Y ( x ) = x

Rép. ( a )

$

( b ) Résoudre Y ” ( x ) f Y ( x ) = R ( x ) , Y ( 0 ) = Y ’ ( 0 ) = O.

(sin x - x cos x ) , ( b ) Y ( x ) =

+

sx

Y ( u ) sin ( x - u)du. [Indication : Utiliser le problème 811

O

fR ( u ) sin ( x

- u ) du,

(c) Y ( x ) =

X

-k X 3 / 6

O

83. Soient f(x), g ( x ) et g ’ ( x ) des fonctions continues dans tout intervalle fini g’(x)

< O.

a

O quand les valeurs de la fonction sont connues pour 1 < n < 2 (ou dans tout autre intervalle de longueur unité) (voir table ci-dessous). En particulier si n est entier positif, on a r ( n + 1) = n !

n = 1,2,3,

4! Exemples : F(2) = l ! = 1, r ( 6 ) = 5 ! = 120, r ( 5 ) - 133)

21

-

...

(3)

12.

On peut montrer (problème 4) que

La formule de récurrence (2) est une équation aux différences finies dont l'intégrale ( 1 ) est solution. En prenant (1) comme définition de r ( n ) pour n > O, on peut généraliser la fonction gamma pour n < O en utilisant l'équation (2) sous la forme

+

r(n 1) n Voir problème 7, par exemple. Ce procédé s'appelle un prolongement analytique.

r(n) =

TABLE DES VALEURS ET GRAPHE DE LA FONCTION GAMMA n

W

l,oo 1,lO 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,oo

1,0000 0,9514 0,9182 0,8975 0,8873 0,8862 0,8935 0,9086 0,9314 0,9618 1,0000

rinl

Fig. 13-1

n

286

Analyse

FORMULE ASYMPTOTIQUE POUR r ( n ) Si n est grand, les difficultés inhérentes au calcul de r ( n ) sont évidentes. Un résultat utile dans un tel cas est fourni par la relation

+

r(n i) = G n n e-n e@/12(n+l) o < e < i (6) Pour les applications pratiques, le dernier facteur, qui est très proche de 1 pour n grand, peut être omis. Si n est entier, on peut écrire n!

-

-

Knnne-n

(7)

..

où le signe signifie “est approximativement égal 2 . , pour n grand”. On appelle quelquefois cette formule : approximation factorielle de Stirling ou formule asymptotique pour n !

RESULTATS DIVERS CONCERNANT LA FONCTION GAMMA x

r(x)r(l-x) = sin XT En particulier si z = 3,

O O.

Voir problème 16, chapitre 12.

Chapitre 13/Fonctions gamma et beta

287

La fonction bêta est reliée à la fonction gamma par la relation

Voir problème 11. Un grand nombre d'intégrales peuvent être calculées à l'aide des fonctions bêta et gamma. Deux résultats utiles sont les suivants :

valable pour rn

> O et n > O

(voir problèmes (10) et (13)) ét

Voir problème 17.

INTEGRALES DE DIRICHLET Si V désigne le domaine limité dans le premier octant par la surface

(--) + ( x

p

f ) q

y:(

+

= 1

et par les plans de coordonnées, alors si toutes les constantes sont positives, on a

Des intégrales de ce type s'appellent intégrales de Dirichlet et sont souvent utiles pour le calcul d'intégrales multiples (voir problème 21).

PROBLEMES RESOLUS

LA FONCTION GAMMA 1. Démontrer les relations suivantes : (a)I'(n 1) = nr(n), n > O; ( b ) r ( n+ 1) = n ! , n = 1,2,3, . . . .

+

(a) r ( n + 1)

= ~ ~ z n e - ' d z= =

iim M-m

=

iim

iim00 J " ' z n e - i d r

M-t

{

{-iMne-M

+

Mi) m

(b)

lW 1 Jrn 1

[(z*)(-e-*)] y -

r(i) = J * e - = d z

=

lim Mi) m

O

Posons n = 1, 2, 3 , .

n

zn-le-zdz

J Mr ( n +

. . dans

dz

(-e-Z)(nzn-l)

e-=dz

=

=

nr(n) si n > û

lim (1-e-M)

= 1.

M-, m

1) = n r ( n ) . Alors, il vient

r(2)= l r ( 1 ) = 1, r(3)= 2r(2) = 2 - 1 = 2!, r(4) = 3r(3) = 3 * 2 ! = 3 !

En général

r(n +

1 ) = n! si n est entier positif.

288

Analyse

2.

Evaluer chacune des expressions suivantes :

3.

Calculer chacune des intégrales suivantes : = r(4) = 3! = 6

(a) l w x ' e - ' d x

f w x E e - ' s d z . Posons 2 x = y. Alors l'intégrale devient

(b) .

O

4. Démontrer que

r(4)

= S w x - l J ~ e - ' d Z i En posant x = u z , cette intégrale devient 2

5.

r(;) = fi

du

= 2

(g) =

6

en utilisant le problème 31, chapitre 12.

Calculer chacune des intégrales suivantes : A-

(cl

1

Jd O

dx

x

Posons - Log x = u. Alors x = e-".

Quand x = 1, u = O ; quand x = O, u = 09

L'intégrale devient

6.

Calculer Jm

x m e-nx" dk où m , I I , a sont des constantes positives.

Posons axn = y . L'intégrale devient

7.

Calculer ( a ) F(- 1/2), ( b ) r(- 5 / 2 ) . On utilise la généralisation de la fonction gamma aux valeurs négatives, définie par

r(n)= r(nn+

1)

Chapitre 13/Fonctions gamma et beta

( b ) En posant n = -

Alors

8.

r(- 5 / 2 ) =

Démontrer q u e l

1

1/21 - 2,157---r(- 3/2) = w- 312 - 312

2 et utilisant (a), il vient W-3/2) - 5/2

=

447 3 .

_ _ 6. 15

x" (Log x ) dx~ =

(- l ) " n !

+

(rn

où

est un entier positif et rn

II

l)"+l

En posant x = e F Y , l'intégrale devient (- 1 ) " i intégrale devient

y n e-("

dy. Si ( m

+')y

Comparer avec le problème 50, Chapitre 8,page 177.

9.

289

+

> - 1.

1)y = u , cette dernière

\

Une particule est attirée par un point 0 fixe avec une force inversement proportionnelle à sa distance au point O . Si la particule est lâchée à partir d'une position où elle est au repos, trouver le temps qu'il lui est nécessaire pour atteindre le point O. Supposons qu'au temps t = O la particule soit située sur l'axe des x au point x = a gine. Alors d'après la loi de Newton

où m est la masse de la particule et k

>O

dx dt

dv

dx

et soit O l'ori-

est une constante de proportionnalité.

Soit -= v , la vitesse de la particule. Alorsmu-

>O

k = --

d2x dv - dv = - -dt2 dt dx

dt

mu2

ou

5

L!? = v

'

- - -k Logxf

2

.-dv dx

et ( i ) devient

C

après intégration. Puisque v = O au point x = a, o n trouve c = k Log a. Alors

@ !!

2

a

= k Log X

ou

où l'on a choisi le signe moins puisque x est décroissant quant t augmente. On trouve ainsi que le temps T mis par la particule pour aller de x = a à. x = O est donné par dx

GKdS

=

Posons Log a/x = u ou x = a e - u . Cette expression devient

LA FONCTION BETA dT/2

10. Démontrer que : (a) B(m,n) = B(n,m), ( b ) B(m,n) = 2 J

0

0 d8.

O

(a)

(b)

En utilisant la transformation x = 1 - y , o n a

En utilisant la transformation x = sin28, o n a TI2

B(m,n) =

J'Z"-'

(1 - x ) " - ' d x

=

(sinzO)"-'

(cosz o ) " - ~2 sin o cos 8 do

o COS^"-^ o de 19

290

Analyse

En posant z = x2, on a r(m) =

iw

~ " - ~ e - ' d= z 2~wx2m-1e-s2dx.

Passons aux coordonnées pdaires, x = p cos @ ,y = p sin 4 . Il vient p2(-+n)

- 1 e - ~ zCOSZm - 1

Q, sin2n-1

+ d p d+

en utilisant les résultats du problème 10. De là, le résultat demandé s'ensuit. Le raisonnement ci-dessus peut être rendu plus rigoureux en utilisant une méthode de passage à la limite comme dans le problème 31, Chapitre 12.

12. Calculer les intégrales suivantes : z4(l-

(a)

X ) ~ ~ X=

,

(c)

syj4d

B(5,4)

=:

r(5)~ ( 4 )- __ 4 ! 3! 8! r(9)

1 = 280

En posant x = 2v, l'intégrale devient

m d y . En posant y 2

= a 2 x ou y = a

fil'intégrale

devient

O

x3'* (1 - x)'" dx =

B(5/2,3/2)

= uSr(5/2)r(3/2) - & r(4)

-

16

Ceci se déduit immédiatement des problèmes 10 et 11.

(a)

Posons 2 m - 1 = 6, 2n - 1 = O, c'est-à-dire m = 7/2, n = 1/2 dans le problème 13. Alors l'intégrale demandée a la valeur

_-

r ( 7 m r(1m- 5n 2 r(4) 32 *

Chapitre 13/Fonctions gamma et beta

-1

= 4, 2 n - 1 = 5, l’intégrale demandée a la valeur

(b)

Posons 2 rn

(c)

L’intégrale donnée = 2 [R’2cos4

r w 2 ) r(3) - 8 2r(11/2) 315.

0 dû.

O

2 r ( 1 / 2 ) r ( 5 / 2 ) - 371 8 . 2r(3)

Ensuite, en posant 2rn - 1 = O, 2 n - 1 = 4 dans le problème 13, la valeur est

p dB = ( a ) sinP 8 de = ~ n ’ 2 c o s 8

15. Démontrer que (b)

1. 3 . 5 . . . ( p - l ) n - si p est entier positif pair, 2

2.4.6 ...p

2 . 4 . 6 . . . ( p - 1) si p est entier positif impair. 1 . 3 . 5 . ..p Du problème 13 avec 2 m - 1 = p , 2 n

(a)

291

- 1

= O, on tire

Si p = 2r, l’intégrale est égale à

r(r+&)r(S)- ( r - ~ ) ( r - ~ ) . . . + r ( + ) * r (a >( 2 ~ - 1 ) ( 2 ~ - 3 ) . . . 1 ~- 1 ’3 ’ 5 . . . ( 2 r - l)z 2 r ( r - 1). . . 1 + 1) = 2r + 1, l’intégrale est égale à

2r(2r-2)...2

2 r(r

(b)

Si p

Dans les deux cas,

s‘/’

s

C O S ~ Qde,

(b)

cosp 8 dû, comme on le voit en posant 0 = n/2 - q5.

O

f” sin3û cos2e do,

(a)

On déduit du problème 15 que l’intégrale est égale à

(b)

L’intégrale est égaie à

s

277

(c)

sinse do.

O

O

O

2

=In’’

O

T/2

16. Calculer (a)

sinp 6 dû

2*4.6...2r

2

1 . 3 . 5 71 - 571 --[comparer 2.4.6 2 32

avec le probleme 14(a)].

On peut également utiliser la méthode d u problème 14(b). (c)

L’intégrale donnée est égale à

17. Etant donné que En posant

JO -

-= y l + x

yp-’

4-

d x =-

7T

~f~

X

1’

18. Calculer

xP-1

sinse de

sin p n

’

= ( 4

1 * 3 * 5 * 7 ~ ) - 35a 64, 2.4-6-82

montrer que

r(p)r(l -12)

n

= -o ù O < p < l .

sin p n

ou x = y , l’intégrale donnée devient 1 -Y

(1- y)-pdy

= B(p, 1- p ) = T ( p )l’(1- p ) et le résultat en découle.

dY -

l f y 4 ’

7 1 -314 Posons y 4 = x . Alors l’intégrale devient dx = 4 sin (n/4) avec p = 114. Le résultat peut également s’obtenir en posant y 2 = tg 6 .

-7 1 f i d’après le problème 17 4

292

.

Analyse

1677

x q m " d x = -

19. Montrer que

9fi'

En posant x 3 = 8y ou x = 2 y 1 l 3 , l'intégrale devient

FORMULE DE STIRLING 20. Montrer que pour rz grand, rz ! = & n" e V n approximativement. On a

Lz fonction n Log x - x a u n maximum relatif pour x = n, comme on le montre aisément par un calcul élémentaire. Ceci nous amène à faire la substitution x = n y . Alors ( 1 ) devient

+

-

%,

-n

J-1. "

Log ( 1 + Y / " ) - Y

dy

Jusqu'ici l'analyse est rigoureuse. Les étapes suivantes dans lesquelles nous procédons formellement peuvent être rendues rigoureuses par des passages aux limites convenables, mais les démonstrations deviennent compliquées et nous les omettrons. Dans (2) utilisons le résultat Log (1+,z) avec x = y i n . Alors en posant y = &v,

o n trouve

Pour n grand, une bonne approximation est donnée par

+

r ( n i) =

nn e-n

fi J-*e - v 2 / 2 dw = @ Z n ne-n x

Il est intéressant de noter que de ( 4 ) on peut également tirer le résultat ( 1 3 ) de la page 286, voir problème 74.

INTEGRALES DE DIRICHLET

WI

où V est le domaine du premier octant limité par la sphère xz y z f 2 2 = 1 e t les plans coordonnées.

+

Posons x z = u , y'

1

- 8

sss

= v , z z = w. Alors

u(a/2)-1 v u ' p ~ 2 ~ - w 1 (y/2)-1

d u d v dw

(1)

'li

+ +

où 9 est le domaine de l'espace uvw limité par le plan u v w = 1 et les plans U V , vw, uw comme il est indiqué sur la figure 13.2. Alors

Fig. 13-2

Chapitre 13/Fonctions gamma et beta

293

si bien que (2) devient

où nous avons utilisé la relation ( y / 2 ) i'(yj2) = r ( y / 2

+

1).

L'intégrale calculée ici est u n cas spécial de l'intégrale de Dirichlet ( 2 0 ) , page 287. Le cas général peut être traité de la même manière.

22. Chercher la masse du domaine limité par x' (5

=

x2

+ y'

-i z' = u2 sachant que la densité est

y' 2'.

La masse cherchée est = 8 la sphère x'

+ y'

-t z'

= a'

lLl

.x'yzzz dx dy dz, où V est le domaine du premier octant limité par

et les plans coordonnées.

Dans l'intégrale de Dirichlet ( 2 0 ) , page 287, posons b = c = a, p = 4 = r = 2 et CY = Alors le résultat cherché est

0= y

=

3.

PROBLEMES DIVERS

Posons x 4 = y . Alors l'intégrale devient

On déduit du problème 17 avec p = 1/4, r ( 1 / 4 ) r ( 3 / 4 ) = 7rfld'oÙ

24. Démontrer la formule de duplication : Soit

Z =

iT"

2'P-l

r(p)r(p

sin'px dx, J =

l'on tire le résultat demandé.

+ f ) = flr (2p).

XTJa

sin2p2x dx.

294

Analyse Posant 2x = u, o n trouve

J

Mais

=

Lr”

=

( 2 sin x cos x)%Pd x

2’p

IR’’

sinzPx coszpx d x

Alors, puisque I = J , on a

et le résultat demandé s’ensuit.

al2

-

25. Montrer que

{ r ( 1/4)} -~

4 G Considérons les égalités suivantes :

-

comme dans le problème 23.

En posant a s i n 812 = sin @ dans cette dernière intégrale, celle-ci devient

@

f i L Ri -’ zsin’d @ v

d’où l’on déduit le résultat requis.

où l’on a inversé l’ordre d’intégration et utilisé le problème 22, chapitre 12. Posons u’ = v dans la dernière intégrale. Il vient, d’après le problème 17,

La substitution de ( 2 ) en (1) fournit l e résultat demandé.

27. Calculer

Lmcos

x2 dx.

En posant x’ = y , l’intégrale devient d’après le problème 26.

du

=

L( 7r 2 2 r(6)C O S d 4

=

Cette intégrale et l’intégrale correspondante pour sinus [voir problème 68(a)] s’appellent les intégrales de Fresnel.

Chapitre 13/Fonctions gamma et beta

295

PROBLEMES SUPPLEMENTAIRES LA FONCTION GAMMA 28.

Calculer

(a)

r(m)

Calculer

( a ) i = ~ ~ e - ~ (db )z J, m z 6 ë B r d x , (c) ~ a z 2 e - 2 z z d x . Rép.

31. Montrer que I * c d t

(a) 24, ( b ) -3/128,

7/21,

( a ) 24, ( b ) -, 80 243

(c) 6 16

s>O.

(in$)n-ldx,

32. Démontrer que r ( n ) =

34. Calculer (a) i'(-

-$,

=

fi

Rép.

(c) r(1/2) r(3/2) r(5/2).

8~'"

Rép. (a) 30, ( 6 ) 16/105, (c)

29.

,

( b ) r(3)r(3'2)

2r(4)r(3) '

n>0.

(c) QI'(+) (b)

r(-

35. Démontrer que lim r ( x ) =

CQ

1/31.

Rép. ( a ) ( 1 6 6 ) / 1 0 5 , ( b ) - 3r(2/3).

où m = O, 1, 2, 3 , .

.

X-f-

(-l)'"2" fi 36. Démontrer que si m est u n entier positif, r(-m + 4) = 1 * 3 ' 5 '. (2m - 1) Log x dx est un nombre négatif (elle est égale à - y où y = 0 , 5 7 7 2 1 5 . . . 37. Démontrer que r'(1) = [me-x O '

est appelée la constante d'Euler comme dans le problème 49, chapitre 11).

LA FONCTION BETA 38. Calculer

( a ) B(3, 5 ) ,

39. Chercher la valeur de Rép.

( b ) B(3/2, 2),

r z ( l- x ) ~ ~ (xb ),

(a)

(a)

43. Calculer

(a)

44.

Démontrer que

45. Démontrer que

w dx,

(c)

Jz(4 - z2)3/2d z .

2T

sin4e cos4 e de, ( b )

s,"

d

Rép. ( a ) 1/105, ( b ) 4/15,

( a ) 1/60, ( b ) T B , (c) 3a

b/2

42. Calculer

(c) B(1/3, 2/3).

sin5e de,

cos6 e de.

Rép. ( a ) 3 ~ / 2 5 6 , ( b ) 5a/8

( b ) J b l 2 cos5 e sin2e de.

Rép. ( a ) 16/15, ( b ) 8/105

lT" -de

(a)

1

x dx

=

r/fi*

= 3fiJ

(C)

2n/fi

296

Analyse ezz -dx

=

+

46. Démontrer que

ae3= b

2ii

> O.

a, b

où

3\/3a2'3b't3 2R

47. Démontrer que

[Indication : Dériver par rapport à b dans le problème 461.

48. Utiliser la méthode du problème 31, chapitre 12, pour justifier la méthode utilisée dans le problème 11.

INTEGRALES DE DIRICHLET 49. Chercher la masse du domaine du plan x y limité par est u =

fi.R é p .

x

+y

x2 -+a2

y2 b2

'11/24.

50. Chercher la masse du domaine limité par l'ellipsoïde le carré de la distance au centre. R é p .

= 1, x = O, y = O sachant que la densité z2 += c2

abc k (a2 4- b2 + cz), 30 'II

51. Chercher le volume du domaine limité par

1 sachant que la densité varie comme

k = constante de proportionnalité.

x213 4- y 2 1 3 4- z213 = 1. R é p . 4'II/35.

52. Chercher le centre d'inertie du domaine du premier octant limité par Rép. X = 7 = Y = 211128.

+ ym

53. Montrer aue le volume du domaine limité par x m

x213

f zm = am où

y213 4- z213 = 1.

m.> O est donné par

54. Montrer que le centre d'inertie du domaine du premier octant limité par x m

y m -k z m = n m , où m

est donné par

PROBLEMES DIVERS

55. Démontrer que

Jb (x

a)P

+ + 1)

= ( b - a)P+q+'B(p 1, q

( b - 2)' dx

[Indication : poser x - a = (b - a)y.

l'

56.

- s)(z - 3) dz.

$(7

où

p > -1, q > -1

R é p . ( a ) a, ( b )

{r(1'4)1z

3 G

57. 58. Démontrer que

B(m,n)

[Indication : Poser y = x / ( l

59. Si O

< p < 1 démontrer

$1' +

=

dx

B(mln,

+

rm(l T

r+Y g

sin2m-l

HI2

m,n

> O.

1

'II

tgPOdO = -

que

-

: poser x =

où

+ x)].

60. Démontrer que

61. Démontrer que

2"-'

X)m+n

( a sinle

cosln-l

8

de

-

+ bcosZe)"+" -

x

P'II'

cos 2 où rn, n et r sont des constant es positives.

) ~ + ~

B(m,n) 2anbm

où

m,n > O.

[Indication : poser x = sin2 O dans le problème 60 et choisir r convenablement].

62. Démontrer que

x'$

1

1

1

= ~ + 2 +f 3

et b > a.

> O,

Chapitre 13/Fonctions gamma et beta

63. Démontrer que pour m

297

..

= 2, 3 , 4 , .

sin- sin’ 27’ sin-3iT ... sin- ( m- 1 ) ~ = 2% m m m m 2m-1 [Indication : Utiliser l’identité x m - 1 = ( x - 1) ( x - a,) (x - a 2 ) .. . ( x membres par x - 1, et considérer la limite pour x -+ 11. 7

64. Démontrer que

jin/zLog sin

a,-,),

diviser les deux

- n / 2 Log 2 en utilisant le problème 63.

x dx =

[Indication : prendre le logarithme du résultat d u problème 6 3 et mettre la limite pour m d’intégrale définie].

65. Démontrer que

(A)

(): ($+2) -

r - r -

:

17

=

66. Démontrer queJO

Log r ( x ) d x =

f

fi

*

(a),page

2861.

Log (271).

[Indication : prendre le logarithme du résultat du problème 6 5 et faire tendre in vers

67.

sous forme

(2iT)(m-1)/2

[Indication : élever au carré le membre de gauche et utiliser le problème 6 3 et l’équation 1

-+ m

-1.

lSTdX sin x

( a ) Démontrer que

i T = 2 r ( p ) sin ( p i ~ / 2’) O < p < l .

( b ) Discuter les cas où p = O et p = 1.

68. Calculer

s i n x 2 dx,

(a)

(b)

O

69. Démontrer que

s,-

Log x

xp-1

l + x dx =

J ~ ( X= )

C-

x cosx3 dx.

R é p . (a)

&a, (b)

3fi:(l/3)

O

70. Montrer que 71. Soit

sw dx =

--

-

fi

(- 1)” (X/2)P+Z”

+

712

712

sin pn

cotg p n , O