39 Chapitre3 2018 [PDF]

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Chapitre 3 : La correction des systèmes asservis : I- Introduction : On a vu, dans le chapitre précédent, que l'étude du comportement et donc des performances d'un système asservi repose sur trois points essentiels :  La stabilité : c'est le point primordial : le système pouvant être soumis aux perturbations et aux variations des paramètres internes [dues aux échauffements (température) et/ou aux vieillissements (âge)…], il faut assurer la stabilité avec une marge de gain et de phase suffisantes.  La rapidité : liée à la bande passante du système.  La précision : Elle est donnée par l'écart par rapport à des entrées typiques (bornées).Pour maitriser séparément chacun des aspects évoqués, il est donc nécessaire d'adopter des stratégies de correction qui réalisent des modifications locales de la réponse du système afin de réaliser les exigences de cahier des charges. II- Structure des correcteurs : 2.1 : structure série : (ou en cascade) : En pratique les correcteurs sont insérés dans la chaine directe du système, afin de travailler avec des signaux de faible énergie (économie énergétique), ces correcteurs placés à la sortie des comparateurs ont pour objectif de délivrer le signal de commande u(t) afin de garder les exigences de précision et de stabilité exigées par le cahier des charges. Figure 1

Le correcteur corrige l'erreur Є(t) et cherche la commande u(t) convenable du système afin de garder la précision, stabilité et rapidité souhaitées. 2.2 : structure parallèle : Exemple : Figure 2

2.3 : types des correcteurs série :On distingue trois correcteurs classiques (Voir Figure 1)  Action proportionnelle notée(P) : C(p)=Kc : soit u(t)=Kc.Є(t) : le correcteur à un gain statique Kc. 1 1  Action intégrale : notée (I ou ∫ ): C(p)= 𝑇𝑖.𝑝 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑈(𝑗𝑤) = 𝑗𝑤𝑇𝑖 ∗ Є(𝑗𝑤)𝑑𝑜𝑛𝑐: 1

𝑡

𝑢(𝑡) = 𝑇𝑖 ∫0 Є(𝜏). 𝑑𝜏  Action Dérivée : notée D : C(p)=jw.Td donc :𝑈(𝑗𝑤) = 𝑗𝑤. 𝑇𝑑. Є(𝑗𝑤)𝑑𝑜𝑛𝑐 ∶ 𝑑Є(𝑡) 𝑢(𝑡) = 𝑇𝑑. 𝑑𝑡 Année Scolaire 2017-2018 Asservissement chap : 3

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CPGE-Agadir PROF : MR KOUDAIR BOUBKER TSI-SPE SI-GE Le correcteur doit apporter tout ce qui manque la fonction de transfert du système non corrigé en B.O (G(p))pour que l'ensemble [Correcteur et système de fonction de transfert corrigé en Boucle ouverte Gc(p)=C(p).G(p)] se comporte comme souhaité (ou exigé par le cahier des charges), c'est au concepteur de choisir chacune des actions dont il a besoin afin de choisir la fonction de transfert de correcteur C(p) réalisable physiquement . Dans un correcteur réel on peut trouver la combinaison entre les trois actions élémentaires citées avant, le correcteur le plus complet c'est PID [Proportionnel Intégral Drivée], on trouve aussi le correcteur PI, le correcteur PD il existe aussi autres correcteur spécifiques ou à action locale tel que : Avance de phase et Retard de phase. 2.4 : Correcteur par action proportionnelle : La fonction de transfert d'un tel correcteur C(p)=K et u(t)=K.Є(t) en raison des effets contradictoires, il est nécessaire de choisir la valeur optimale de K par compromis entre les critères. La stabilité étant une condition incontournable, elle est souvent choisie critère prépondérant de réglage, on choisit aussi K qui assure une précision donnée et une marge de phase de la FTBO corrigée notée Gc(p) : on prend en général Mφ=45 à 60 degré. Exemple : Soit le système non corrigé dont la FTBO notée G(p) inséré dans une boucle à retour unitaire 𝟏 𝟏 𝟏 (F(p)=1 voir figure1) : on prend 𝑮(𝒑) = 𝒑 ∗ (𝟏+𝟎.𝟏𝒑) ∗ (𝟏+𝟎.𝟐𝒑) Etape 1 : Observation des performances de système non corrigé : la FTBO du système non corrigé G(p) dont le diagramme de Bode et donné par la figure suivante :

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CPGE-Agadir PROF : MR KOUDAIR BOUBKER TSI-SPE SI-GE Donc le système est stable, précis (Єp=0 : Classe 1) on suppose que le cahier des charge exige une marge de phase : Mφ=45 degré. Choix de la valeur de gain de correcteur K :  Valeur limite de K :Kmax : sur diagramme de Bode (page précédente) :Si Kdb≥23.5dB le système devient instable :En effet, dans ce cas la courbe de gain passerais au-dessus de point critique pour w0dB) soit Kmax=14,12. Pour garder la stabilité il faut : 0 < 𝐾 < 𝐾𝑚𝑎𝑥  pour avoir Mφ=45degré =Arg(Gc(jw0db)+180 donc w0db doit être réglée a 2.8 rd/s et pas 1 rd/s Or pour w0dB=2.8rad/s on lit que le gain de G(jw0)=-10.6db et pas zéro , le correcteur doit assurer une remonter de digramme de Bode de 10,6dB soit 20log(K)=10,6dB ce qui donne K=3.38 .  La fonction de transfert du système corrigé devient :

Gc(p) = K. G(p) =

3.33 [𝑝 ∗ (1 + 0.1𝑝) ∗ (1 + 0.2𝑝)]

Réponse indicielle en boucle fermée : Conclusion : Un correcteur P améliore la rapidité du système et la précision en boucle fermée

Mais il diminue la stabilité (il peut rendre le système instable si k dépasse une valeur limite Kmax) et accroit le dépassement. 1

2.5 : Correcteur PI : le plus utilisé : C(p)=𝐾𝑖 (1 + 𝑇𝑖𝑝) = 𝐾𝑖 ∗

1+𝑇𝑖.𝑝 𝑇𝑖𝑝

avec Ki gain statique de

correcteur et Ti cste de temps de correcteur. 1 𝑡 Le signal de commande système : u(t)=𝐾𝑖 ∗ Є(𝑡) + 𝑇𝑖 ∫0 Є(𝜏) . 𝑑𝜏 b- Diagramme de Bode d'un correcteur PI :

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CPGE-Agadir PROF : MR KOUDAIR BOUBKER TSI-SPE SI-GE Ce correcteur n'influence pas sur la phase système aux hautes fréquences : pour 1 𝑤𝑠𝑦𝑠(0𝑑𝐵) = 10𝑤𝑖 = 𝑇𝑖 : La phase retirée par le correcteur est 6 degré. [-90-Arctg(10)=-5.71] Exemple de choix d'un PI : La FTBO du système non corrigé est G(p)=

𝟏

(𝟏+𝟓𝒑)𝟐

(inséré dans une

boucle fermée a retour unitaire F(p)=1) .Le cahier des charges exige : Une erreur de position Єp=0, une bande passante BP≥0.4 rd/s (rapidité) et une marge de phase Mφ≥45degré (ξbf ≤0.45du système ce qui limite le dépassement à 20 %). Observations du système non corrigé : G(p) sa FTBO : G(p) ne possède pas d'action intégrale donc Єp non nulle : pour assurer :Єp=0(Système de classe 0) il faut une action intégrale :d’où la nécessité de l'action I. Le digramme de Bode de la FTBO du système non corrigé est :

Choix de correcteur : Le cahier des charges exige wsys(corrigée)=w0db≥0.4dB avec une marge de phase ≥45 degré , en tenant compte l’effet de correcteur il faut choisir la marge de phase ≥45+6=51deg Soit Mφ=51 degré ce qui exige que φ(sys-corrigé)=-129 degré .A ce point 𝑟𝑑 𝑤 ≈ 0.42 𝑒𝑡 𝐺𝑑𝐵 = −14.7 𝑒𝑡 𝑛𝑜𝑛 0𝑑𝐵 𝑠 𝑟𝑑 On Prend par exemple : 𝑤𝑐 = 𝑤0𝑑𝐵 = 𝑤(𝑠𝑦𝑠 − 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑔é) = 0.42 𝑠 𝟏

𝒘𝒄

Choix de Ti : 𝒘𝒊 = 𝑻𝒊 = 𝟏𝟎 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝑻𝒊 = 𝟐𝟑. 𝟖 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅𝒆 Choix de Ki : Le gain K assure la remontée de diagramme de Bode (gain) vers le haut afin d'avoir : 𝑤𝑐0 |1 + 𝑗( 𝑤𝑖 )| |𝐺𝑐(𝑗𝑤𝑐0)| = |𝐶(𝑗𝑤𝑐0) ∗ 𝐺(𝑗𝑤𝑐0)| = |𝐾. ∗ |𝐺(𝑤𝑐0)|| = 1 𝑗𝑤𝑐0 ( ) 𝑤𝑖 Soit : 𝐾.

√1+(0.42∗23.8)2 23.8∗0.42

1

∗ (1+(0.42∗5)2 ) = 1 𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝐾 = 5.38 prenons par exemple K=5.

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La fonction de transfert de notre correcteur est :

1 + 23.8𝑝 23.8𝑝 𝟏+𝟐𝟑.𝟖𝒑 𝟏 La fonction de transfert corrigée est : Gc(p)=𝟓 ∗ 𝟐𝟑.𝟖𝒑 ∗ (𝟏+𝟓𝒑)𝟐 𝐶(𝑝) = 5 ∗

Réponse indicielle en boucle fermée : En résumé : Le correcteur type PI :  Améliore la précision.



Mais : il diminue la stabilité (par perte de phase) et ralentit le système par diminution de la bande passante.

Remarque : Si on veut simplement diminuer l'erreur sans changer la classe du système, il suffit de limiter l'augmentation de gain aux très basses fréquences : c'est une action locale : c’est le cas d’un 𝟏+𝑻𝒊.𝒑 Correcteur à retard de phase. Dans ce cas : C(p)=𝒂. 𝟏+𝒂𝑻𝒊.𝒑 avec a>1. Exemple : Considérons un système de FTBO (non corrigé, en boucle a retour unitaire) G(p)=

𝐾

𝑝 10

3

(1+( ))

Cahier des charges : on souhaite avoir une erreur statique en boucle fermée Єp=5%, tout en ayant une marge de phase Mφ=45 (ξbf=0.45). La classe du système (α=0) : Erreur statique non nulle ; le gain K est réglable. Etape 1 : réglage de gain K : on veut une marge de phase Mφ=45. 𝐾 Comme : G(jw)= 3 soit : 𝑀𝜑 = 180 + 𝐴𝑟𝑔(𝐺(𝑗𝑤𝑐0𝑑𝐵) = 45 𝑑𝑒𝑔𝑟é soit : 𝑗𝑤 (1+(

10

))

180-3Arct (wc0dB/10)=45 ce qui donne wc0=10rd/s. 𝟑

𝑲

Or |𝑲. 𝑮(𝒋𝒘𝒄𝟎𝒅𝑩| = 𝟏 𝒔𝒐𝒊𝒕 ∶ (√𝟏+(

𝒘𝒄𝟎𝒅𝑩 𝟐 ) 𝟏𝟎

𝟑

= 𝟏 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝑲= (𝟏 + 𝟏)𝟐 = 𝟐. 𝟖 [Kdb=8.9dB] Avec cette

) 1

valeur de K : Calculons l'erreur de position : Єp=1+𝐾 = 0.26 = 26% : La précision constatée ne répond pas au cahier des charges pour la diminuer il faut jouer sur la valeur de a de correcteur : donc : le gain statique de la fonction corrigé sera : K'=a.K donc : l'erreur statique de système corrigé sera : 1 Є𝑝 = 1+𝐾′ On veut sa valeur 5% ce qui donne K'=19 donc a=19/K=6.8 (a en dB=16.7dB). Année Scolaire 2017-2018

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CPGE-Agadir PROF : MR KOUDAIR BOUBKER TSI-SPE SI-GE Etape 2 : Détermination de Ti : On a wc0dB=10rd/s pour que le correcteur n'influence pas sur la marge 1 de phase il suffit de prendre : 𝑤𝑖 = 𝑇𝑖 ≪ 𝑤𝑐0𝑑𝐵 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑇𝑖 = 10𝑠 . 𝟏+𝟏𝟎𝒑

Finalement la fonction de correcteur est : 𝑪(𝒑) = 𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏+𝟔𝟖𝒑 et l'expression de la FTBO du système corrigé est :

Gc(p)= 𝑪(𝒑) ∗ 𝑮(𝒑) = 𝟏𝟗 ∗

(𝟏+𝟏𝟎𝒑) (𝟏+𝟔𝟖𝒑)

∗

𝟏

𝒑 𝟑 𝟏𝟎

(𝟏+ )

2.6 : Correcteur type PD : On modifie avec ce type de correcteur le comportement du système au voisinage de la pulsation de coupure wc0dB de la FTBO afin d'avoir : - Une stabilité du système qui ne possède pas une marge de phase suffisante. - Une rapidité du système (par action sur le gain du correcteur) sans toucher la stabilité du système. La fonction de transfert du correcteur est : C(p)=Kd(1+Td.p) soit : le signal de commande : 𝑑Є(𝑡)

𝑢(𝑡) = 𝐾𝑑. Є(𝑡) + 𝐾𝑑. 𝑇𝑑. 𝑑𝑡 On note que cette fonction est irréalisable physiquement .Le correcteur PD réel a pour fonction de 𝟏+𝑻𝒅.𝒑 𝟏+𝒂𝑻𝒅.𝒑 transfert : C(p)=𝑲𝒅. 𝟏+𝒃.𝑻𝒅.𝒑 avec b1. 2.6.1 : Etude de correcteur PD : Diagramme de Bode de : C(p)= Kd(1+Td.p) :

Exemple de calcul : 0.5 - Prenons le système non corrigé (bouclé à retour unitaire) : 𝐺(𝑝) = 𝑝(1+𝑝)(1+2𝑝) . -

Le cahier des charges impose : temps de réponse à 5% :tr5% 𝑤0𝑑𝐵 donc Augmentation de la rapidité. Mφ=45 (Respect de cahier des charges)  Sur la réponse indicielle on observe que : tr5%≤12s Donc avec ce correcteur on répond aux exigences de cahier des charges. Réponse indicielle en boucle fermée : En résumé : un correcteur PD : Augmente la stabilité (par ajout de phase), et augmente la rapidité du système par augmentation de la bande passante.

Mais : n'améliore pas la précision, amplifie les signaux de faible fréquences (bruits de mesure). 2.6.2 : Etude de correcteur : A avance de phase : Un correcteur PD présente un gain élevé aux fréquences hautes, ce qui est gênant parce que, dans cette bande de fréquences, on a surtout du bruit électrique et pas de signal utile. Dans la pratique, on limite donc le gain aux fréquences hautes, ce qui nous donne le correcteur à avance de phase usuel. (C’est-à-dire qu'on réalise une action locale de correcteur). Le correcteur à avance de phase est une forme approchée du correcteur PD qui est physiquement irréalisable 1+𝑎𝑇𝑑.𝑝 (condition de causalité non vérifiée). Sa fonction de transfert est : 𝐶(𝑝) = 𝐾𝑑. 1+𝑇𝑑.𝑝 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 > 1. Diagramme de Bode : de correcteur à avance de phase :

La phase de correcteur : φc=𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑎𝑤𝑇𝑑) − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑤𝑇𝑑) pour calculer φcmax (phase maximale 𝑑𝜑𝑐 𝑎.𝑇𝑑 𝑇𝑑 ajoutée par le correcteur) : 𝑑𝑡 = 1+(𝑎𝑇𝑑𝑤)2 − 1+(𝑤.𝑇𝑑)2 = 0 cette fonction s'annule pour a=1 et 1

pour : 𝑎𝑤 2 . 𝑇𝑑2 = 1 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑤𝑚𝑎𝑥 = 𝑤𝑚(𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑞𝑢𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝜑𝑐𝑚𝑎𝑥): 𝑤𝑚 = 𝑇𝑑. Année Scolaire 2017-2018

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√𝑎

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A cette pulsation : C (jwm)=

𝟏+𝒋√𝒂 𝟏

𝟏+𝒋. 𝟎.𝟓 𝒂

=

𝟐𝒂+𝒋(𝒂−𝟏).√𝒂 𝒂+𝟏

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𝒂−𝟏

soit : 𝐬𝐢𝐧(𝝋𝒄𝒎𝒂𝒙) = 𝒂+𝟏 et le module de

C(jwm)=√𝑎 : la pulsation wm est bien (sur l'axe des pulsation en log) est au milieu de segment définit par : w1=1/Td.a et w2=1/Td . 𝑎−1 1+sin(𝜑𝑐𝑚𝑎𝑥) Donc : sin(𝜑𝑐𝑚𝑎𝑥) = 𝑎+1 ce qui donne la valeur de a : 𝑎 = 1−sin(𝜑𝑐𝑚𝑎𝑥) : connaissons la valeur de φcmax on trouve la valeur de la constante a. exemple : a 1 3 5 6 8 9 10 12 14 0 30 41.8 45.6 51.1 53.1 54.9 57.8 60.1 𝜑𝑐𝑚𝑎𝑥(𝑑𝑒𝑔𝑟é) Réglage d'un correcteur à avance de phase :  On cherche la pulsation w0db du système non corrigé (suivant le temps de réponse exigé).  On cherche la marge de phase initiale du système : Mφini=180+φ(G(jw0db).  On calcul la valeur de φmax que le correcteur doit apporter et par suite on tire la valeur de a. 1 En imposant w0db=wm= 𝑇𝑑. 𝑎 ce qui permet de déterminer Td. √



Finalement on trouve Kd en imposant : |𝐺𝑐(𝑗𝑤0𝑑𝑏| = |𝐾𝑑. (

1+𝑎.𝑇𝑑.𝑝 1+𝑇𝑑.𝑝

∗ 𝐺(𝑗𝑤0𝑑𝑏)| = 1

Exemple : on reprend le même système vu en cas de correcteur PD : 0.5 - le système non corrigé (bouclé à retour unitaire) : 𝐺(𝑝) = 𝑝(1+𝑝)(1+2𝑝) . -

Le cahier des charges impose : temps de réponse à 5% :tr5%4Td, l'expression de C(p) devient : C(p)=𝑲.

(𝟏+𝑻𝟏.𝒑)(𝟏+𝑻𝟐.𝒑) 𝑻𝒊.𝒑

(1) avec :

𝑇1 + 𝑇2 = 𝑇𝑖 𝑒𝑡 𝑇1. 𝑇2 = 𝑇𝑖. 𝑇𝑑



Si Ti