2 Ejer [PDF]

Zitiervorschau

5. En un informe (que se supone es correcto) sobre sueldos de empleados del estado en todo el país, una empresa de estudios de mercados publica la siguiente tabla: Empleados(%) Sueldos($)

Clase A 10% $2500

Clase B 25% $1500

Clase C 35% $500

Clase D 30% $200

Y concluye diciendo que " la media de los sueldos en todo el país es $1175" a) ¿Qué comentario le merece el informe? Si no está de acuerdo con el informe, ¿Cuál será la corrección? b) ¿Es la medida en este caso el promedio representativo?, si no está de acuerdo, ¿Cuánto es el promedio correcto? a) Media correcta ¿ 0.1 ( 2500 ) +0.25 ( 1500 ) +0.35 ( 500 )+ 0.30(200)

¿ $ 860 Se puede afirmar que la media del informe es incorrecta. b) La media no es representativa porque hay valores extremos que la afectan ($2500 y $500) Lo mejor es usar la Mediana = Me $500

6. Un teléfono celular recibió 70 llamadas de menos de 3 minutos, promediando 2.3 minutos, 40 llamadas de menos de 10 minutos pero no menos de 3 minutos, promediando 6.4 minutos, y 10 llamadas de al menos 10 minutos, promediando 15 minutos. Calcule la duración promedio global por llamada que recibió el celular. Duración promedio:

¿

70 ( 2.3 minutos ) + 40 ( 6.4 minutos )+ 10(15 minutos) 70+ 40+10

x´G=

567 120

x´G=4.725 minutos

7. Cuatro fábricas A,B,C y D, producen un mismo tipo de objeto. La fábrica B produce el doble de C, la D 10% menos que la C y la A el 60% menos que la B. Si los costos de producción (en dólares) por cada unidad del objeto de estas

fábricas son respectivamente: 0.2, 0.3, 0.2 y 0.5, calcule el precio medio de venta si se sabe que las fábricas ganan 20% por unidad vendida.

Suponiendo una producción para: c= 100 Costo Prod. C/unidad 0.2 0.3 0.2 0.5

A=80 B=200 C=100 D=90 POR LO TANTO FABRICA A :

Analizamos un objeto

V= Venta C= costo de producción U= utilidad

V= C+U V= 0.2+0.20(0.20) V= 0.24 (Precio de venta de cada unidad de la fabrica A)

POR LO TANTO FABRICA B :

V= C+U V= 0.3+0.20(0.3)

V=0.36 POR LO TANTO FABRICA C :

V= C+U V= 0.2+0.20(0.20)

V=0.24 POR LO TANTO FABRICA D :

V= 0.5+0.20(0.5) V=0.60 PRECIO MEDIO DE VENTA =

0.24+0.36+ 0.24+0.60 4 =0.36

8.

El sueldo medio de los obreros de una fábrica es de $286.

a) ¿Qué porcentajes de hombres y de mujeres trabajan en la fábrica si sus sueldos medios respectivos son $300 y $260? b) Si el 60% de los obreros tienen menos de 30 años y percibe el 20% del total de los sueldos, ¿Cuánto es el sueldo medio de los obreros de al menos 30 años? a) m = # de hombres , n = # de mujeres

300 ( m) +260(n) =286 m+n 300 m+ 260 n=286 m+286 n 14 m=26 7 m=13 n m=13 k m=7 k

%HOMBRES=

%MUJERES=

m 13 k 13 k = .100 %= .100 %=65 % Total 13 k +7 k 20 k

n 7k 7k = .100 %= .100 %=35 % Total 13 k +7 k 20 k

… 16,16, 16,16, … , 16, 16, 17, 17

Dos “17”

Trece “16”

La nota mínima para el quinto superior = 16

9. Los sueldos en una empresa varían de $300 a $800 distribuidos en forma simétrica en 6 intervalos de igual amplitud, con el 15%, 20% y 30% de casos en el primer, segundo y tercer intervalo respectivamente. a) dibuje el polígono de frecuencias e ubique en el gráfico los diferentes indicadores de tendencia central. b) Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior, ¿a partir de que sueldo se paga el impuesto? c) Si se aplica una bonificación a los sueldos localizados en el cuarto inferior, ¿hasta qué sueldo recibe bonificación? d) Si la empresa tiene 180 trabajadores, ¿a cuántos de ellos, no se aplica los impuestos y la bonificación? Hallando amplitud (A) 300+5A= 800 5A= 500 A=100 Sabiendo que es simétrico tenemos : [ Li−¿ L >¿ ¿ [ f

xi

hi

Hi

350

0.15

0.15

[

450

0.20

0.35

[

550

0.30

0.65

[

650

0.20

0.85

[

750

0.15

1

-

1

300−400>¿ 400−500>¿ 500−600>¿ 600−700>¿ 700−800>¿ Total

A) Dibuje el polígono de frecuencias e ubique en el grafique los diferentes indicadores de que tendencia central

a) como los sueldos están distribuidos de manera simétrica

→ ´x =M e =M o=

300+800 =550 2

b) Si se aplica un impuesto a los sueldos localizados en el cuarto superior ¿a partir de que sueldo se paga el impuesto?

Q 3=Li +

( 0.75−H i−1 ) ( A) hi

Q3=600+

( 0.75−0.65 ) (100) 0.20

Q 3=650. El cuarto superior es la parte sombreada de azul del gráfico: Es decir se paga el impuesto a partir del sueldo s/. 650 c).Si se aplica una bonificación a los sueldos en el cuarto inferior¿hasya que sueldo recibe la bonificación?

Q 1=Li +

( 0.25−H i −1 ) ( A)

Q1=400+

hi

( 0.25−0.15 ) (100) 0.20

Q1=450.

El cuarto inferior es la parte sombreada de rojo del gráfico: Se recibe la bonificación hasta el sueldo s/. 450 d)Interpolando para el impuesto: [600−300>¿ 0.20

650 700−600 0.20 = 700−650 x 100 0.20 = 50 x x=0.10 Y para la bonificación : [400−500>¿ 0.20

450

a) Salario medio = 0,10(165)+0,60(225)+225(0,2)+0,1(255) Salario medio = s/.204

→

0,60 x = → x=12 210−180 210−204

%Est. Con salario superior al salario medio = 0,12+0,20+0,10=0,42 %Est. Con salario superior al salario medio = 42% 10. Un conjunto de n artículos cuyos valores de venta serán de 5$, en el 20%de los casos $7 en el 25% de los casos y 10$ en el resto de casos tienen un costo de producción fijo de $k. Halle el valor de k si se quiere hacer una inversión mínima y si se supone que la inversión es: a) Igual a la suma de todas las utilidades b) Igual a la suma de los cuadrados de todas las utilidades

  

N artículos

20% 25% 55%

$5 $7 $10

a) Hallamos la mediana Por simple de observación, quien tiene mas de la mitad es $10 Por lo tanto :

m e=$ 10 Silainversion es minima y la inversion es la suma de las utilidades , osea Suma de utilidades ¿ ( 5−k ) + ( 7−k ) +(10−k ) K=m e=$ 10 b) Aquí la inversión seria: Inversión = ( 5−k )2 + ( 7−k )2 + ( 10−k )2y para que esta sea mínima k ´x Por lo tanto= 0.20(50) + 0.25(7) + 0.55(10) = $8.25 K= $8.25

11. Cinco personas que viven en los lugares, A, B, C, D y E separadas a las distancias en Km, como se indica en la figura que sigue, planean reunirse en algún lugar por determinar. Determine el lugar de reunión de manera que el costo total del transporte sea mínimo, si el costo de cada transporte es proporcional a) Al recorrido b)

Al cuadrado del recorrido

Distancias

Lugares

10

15

B

A

3

C

5

D

E

Resolviendo: a) Sea P el punto de reunión .Si A = origen de coordenadas = A=0 B=15 C=35

D=28 E=33

El costo es mínimo si “P” es la mediana de los 5 valores: 0,15,28,33,35 “P” = 28 Por lo tanto deben reunirse en el punto D, ubicado a 28 km de A b) Aquí el costo total es mínimo si P es la media de los 5 valores : 0,15,28,33,35

P=

0+15+ 28+33+35 =22.2 km 5 Deben reunirse a 22.2 km del punto A

12. Los pobladores de 6 pueblos: A, B, C, D, E, F ubicados a lo largo de la carretera marginal de la selva y en la línea recta, desean construir una escuela para todos los alumnos de la zona. Si la población escolar es :5% de A, 20% de B a 15 km. De A, 30%deCa 20km.de B, 20% de D a 15 km de C, 10% de E a 8 km .de D y 15% de F a 6 km. de E. ¿En qué lugar debe construirse la escuela de manera que? a) El total de las distancias sea mínima? b) El costo total del transporte sea mínimo, si el costo del transporte es proporcional al cuadrado de la distancia.

a) Hallando las coordenadas de los puntos, tomando “A” como origen:

A=0, B=15, C=35, D=50, E=58, F=64 Ordenando: 0, 15, 35, 50, 58, 64 Sea “P” el punto de construcción del colegio:

P=M o =Punto C => P=35 La escuela debe estar en el punto “C” a 35km de A

b) Aquí debido al costo de transporte .:

P= x´ =0,05 ( 0 ) +0,20 ( 15 ) +0,30 ( 35 ) +0,20 ( 50 ) +0,10 ( 58 ) +0,15(64 ) ´x =38,9 km La escuela debe construirse a 38,9km de A

13. Si la población de una cantidad fue de 10, 000 habitantes en 1965, de 40, 000 en 1985 y de 640, 000 en el 2005, calcule el incremento promedio de la población de la ciudad cada 20 años.

Año 1965 1985 2005

Població n 10000 40000 640000

´x G= √ 4.16= √ 64=8 vecescada 20 años

14. Si un ahorro de $100 acumula intereses anuales variables de 3%, 5% y 8%, respectivamente, durante 3 años, calcule:

a) El monto de ahorro por año b) Las tasas de crecimiento y promedio de las tasas de crecimiento del ahorro en los tres años. c) ¿A cuánto asciende el porcentaje promedio de crecimiento del ahorro? a)

1er año: s/.100+3%(100)=s/.103 2do año: s/.103+5%(103)=s/.108,15 3er año: s/.108,15+8%(108,15)=s/.116,802

b) Tazas de rendimiento: 1er año:

103 =1,03 100

2do año:

108,15 =1.05 103

3er año: s

116,802 =1,08 108,15

´x G= √3 ( 1,03 ) ( 1,05 ) (1,08)=1,05313 c)

% de promediodel crecimiento del ahorro=

3 % +5 %+ 8 % =5,3 % 3

15. Si la producción de azúcar en el 2001 bajo 20% con relación al año 2000 y si en 2002 aumento en 20% con respecto al 2001, calcule la tasa promedio del crecimiento de la producción.

Año

Producción

2000

100 Tasa

2001

80

2002

96

Asumiendo Producción Año 2000=100

Tasas:

Año

Tasa

2000

-

2001

80/100 = 0.8

2002

96/80 =1.2

Tasa promedio del crecimiento de la producción =

x G´ = √ 0.8 x 1.2=0.9798 %

16. Si durante cuatro meses consecutivos los precios de un articulo fueron $500,$550,$440 y $462 respectivamente ,¿es la variación promedio de precios con respecto al primer mes igual al – 1.67% .Si no es así ¿Cuánto es?

Mes

Precio

1

500 Tasa =

550 =1.1 550

2

550

3

440

Tasa =

4400 =0.8 550

4

462

Tasa =

462 =1.05 440

3 Tasa promedio = √ ( 1.1 )( 0.8 )( 1.05 ) =0.974 %

550−500 x 100=10 % 500

400−500 x 100=−12 % 500 4620−500 x 100=−7.6 % 500 10−12−7.6 =−3.2 % 3 17. El crecimiento de la población estudiantil en la U, con respecto al semestre 2006-1 fue como sigue: Aumento 10% en el 2006-2, aumento 20%en el 20071, y bajo en 15%en el semestre 2007-2. Calcule la tasa promedio y el porcentaje promedio de crecimiento en los tres semestres. Semestre

Población

Tasa de cambio

Logaritmo

2006-1

100

-

-

2006-2

106

1.06

0.025306

2007-1

127.2

1.20

0.07918

2007-2

108.12

0.85

-0.07058

Sumatoria

0.033906

Caso promedio

√3 ( 1.06 ) x ( 1.2 ) x (0.85)=1.026 Porcentaje promedio de crecimiento:

antilog

=2.2% ( 1.026 3 )

18. Tres automóviles recorrieron 200km cada uno. Si el rendimiento de cada uno fue de 50, 45 y 60 kilometres por galón ¿es el rendimiento promedio igual a 51.67km por galón?

200+ 200+200 ´x H = 200 200 200 + + 50 45 60 ´x H =

600 11.778

´x H = 50.94 El rendimiento no es igual a 51.67; el rendimiento es 50.94

19. Tres mecanógrafas escriben 40, 50 y 80 palabras por minuto, si cada una de ellas escribe un mismo texto, calcule la velocidad media de palabras por minuto.

60+60+60 ´x H = 60 60 60 + + 40 50 80 180 ´x H = 1380 400 ´x H = 52,2 20. Tres obreros utilizaron 480, 360, 240 minutos respectivamente para hacer cierto número de objetos del mismo tipo. Si utilizaron 0.8, 1, 1.5 minutos respectivamente por objeto, calcule el tiempo promedio empleado por objeto.

480+360+ 240 240 ´x H = 480 +360+ 0.8 1.5 ´x H =

1080 1120

´x H =0.96 21. Una estación de servicio automotriz gasta $500 en latas de aceite que cuestan $10 la docena; $500 en latas que cuestan $12.5 la docena; $500 más en latas que cuestan $20 la docena y $500 en otras que cuestan $25 la docena. a. calcule el costo promedio por docena de las latas de aceite

500+500+500+500 ´x H = 500 500 500 500 + + + 10 12.5 20 25

´x H =

2000 135

´x H = 14.8148 b. en promedio, ¿Cuántas docenas se compró?

500 500 500 500 + + + 25 Promedio Docena = 10 12.5 20 4 Promedio Docena =

135 4

Promedio Docena = 33.75 22. Durante los días lunes, martes, miércoles, jueves y viernes, una persona A compro 70 acciones cada día de la compañía C&P. otra persona B invirtió diariamente S/1800 para comprar acciones de dicha compañía. Si los precios, en soles, de las acciones cada día fueron como sigue: Lunes

20

Martes

22.5

Miércoles

24

Jueves

25

viernes

30

a) Determine el costo promedio por acción para cada una de las dos personas A:

´x H =

B:

70(20+22.5+24 +25+30) 70∗5

´x H

1800∗5 1800 1800 1800 1800 1800 + + + + 20 22.5 24 15 30 ´x H =

8505 350

´x H =

9000 377

=

´x H = 24.3

´x H = 23.87

b) ¿Quién consiguió el menor costo promedio por acción? La persona B

38. Una propiedad de la media dice que si x1, x2,…,xn son n valores positivos de una variable cuantitativa x con media X y si la función f(x) es cóncava hacia n

1 arriba, entonces, f (´x ) ≤ ∑ f ( x ) utilizando la propiedad indicada pruebe n i=1

que ´x H ≤ x donde

´x H =

n n

∑ x1 i=1

´x H =

es la media armónica de las datos.

i

n 1 1 1 1 + + + …+ x1 x 2 x 3 xn n

log ( ´x H ) =¿

1 ∑ log( x¿¿ i)≤ log(´x )¿ ¿ n i=1

log ( x´ ¿¿ H )≤ log ( x´ ¿¿ H )¿ ¿ ´x H ≤ x´ 39. Laboratorio de computación. Con referencia a la hoja de datos que tuene en el apéndice B del texto. Elija la variable INGRESOS y halle.

2300 2780 3000 4000 4500 2800 7000

1200 3900 5200 5300 3800 2500 4200

5200 2700 3100 2450 3500 4100 2300

2580 3500 3200 9000 2600 3790 3200

1580 3200 2800 2110 3250 4500 6200

5000 4700

1500 8000

1900 1000

4100 2880

7000 7500

Calcule la media, la mediana, la moda y los cuartiles de los datos sin agrupar. MEDIA

MEDIANA

MODA

3798.2222

3250

3200

CUARTILE S 1000 2600 3250 4500 9000

a. Determinar el número de intervalos para organizar los datos en distribución de frecuencia, y obtenga la distribución de frecuencia. Rango = Valor máximo – valor minimo =9000-1000=8000 K= # de intervalos = 1+3.3log(45 ) = 6.5… = 7 A= amplitud =

FRECUENCIA

INGRESOS

ABSOLUTA

R 8000 = =1142.86 K 7

Fi

xi

hi

Hi

x i∗f i

¿

6

6

1571.43

0.13

0.13

7500

¿

17

23

2714.29

0.38

0.51

30000

¿

9

32

3857.15

0.2

0.71

38500

¿

7

39

5000.01

0.16

0.87

31500

¿

1

40

6142.87

0.02

0.89

22000

¿

3

43

7285.73

0.07

0.96

6500

¿

2

45

8428.59

0.04

1

22500

TOTAL

1

1208500

b. Calcule la media, la mediana, la moda de los datos agrupados. Media :

´x =

∑ x i . f i =¿ n

´x =

1208500 =26855.56 45

Mediana:

n −f −1 2 i Me=l i +c =¿ fi

[ ]

Me=2142.86+1142.86

[

22.5−17 = 2841.27 9

]

Moda:

Mo=l i +c

[

f i−f i−1 =¿ ( f i−f i−1 ) +(f i−f i+1)

]

Mo=2142.86+1142.86

[

9−17 =3666.67 ( 9−17 ) +(9−7)

]

c. Grafique el polígono de frecuencias y ubique en la gráfica los promedios. hi 0.38 0.2 0.16 0.13 0.07

I

0.04 0.02

1000 2142.86

3285.72 4428.58 5571.44 6714.3 7857.16

9000.02 ´x =26855.56 Me=2841.27

Mo=3666.67