11.g.fiche Guide Ch1 [PDF]

Zitiervorschau

L-P-Bourguiba deTunis Chapitre 1 Fiche 1 Nombres complexes Résumé du cours

Prof :Ben jedidia chokri Classe :4 Math

Ecriture algébrique Tout élément z de C s’écrit de façon unique sous la forme z = a + ib, où a et b sont des réels. Et i un nombre vérifiant i2=-1. Ecriture trigonométrique Soit z un nombre complexe non nul tel que arg (z) ≡ θ [2π] .Alors z = z (cos θ + isin θ). Soit z un nombre complexe non nul tel z = a + ib, a et b des réels. Alors arg (z) ≡ θπ [2π] . si et seulement si, cos θ =

a a 2 + b2

Conjugué Soit z = a + ib et z’ = a’ + ib’, où a, a’, b et b’ sont des réels. Le conjugué de z est le nombre complexe z = a − ib.

Propriétés z + z = 2 Re(z) ; z + z = 2i Im(z) ; z z = (Re(z ))2 + (Im(z) )2 z = z , si seulement si, z est réel. z = − z , si seulement si, z est imaginaire.

et sin θ =

b a 2 + b2

Affixe d’un point, affixe d’un vecteur

(

)

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, u , v . L’affixe d’un point M (a,b) du plan est le nombre complexe z= a + ib noté Aff (M) ou ZM. On dit aussi que le point M (a,b) est l’image de z. Soit w un vecteur et M et N deux points tels que w = MN . Alors l’affixe du vecteur w est le nombre complexe z, noté Aff ( w ), vérifiant z = zN – zM.

* Soit w et w1 deux vecteurs tels que w1 est non nul. Les vecteurs w et w1 sont colinéaires, si et seulement si,

zw zw

est réel.

1

zw

Les vecteurs w et w1 sont orthogonaux, si et seulement si,

zw

est imaginaire.

1

Module d’un nombre complexe et Argument d’un nombre complexe non nul

(

)

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, u , v , soit z = a + ib et M (a,b) le point d’affixe z.

a 2 + b2

On appelle module de z le réel positif, noté z , défini par z = OM =

(

)

On appelle argument de z et on note arg (z) toute mesure de l’angle u, OM . . Pour tous points M et N d’affixes zM et zN, z N − z M = MN. Propriétés Soit deux nombres complexes z et z’.

z = 0, si seulement si, z = 0 z + z' ≤ z + z' ;

kz = k z , k ∈ R. 2

zz' = z z' ;

z = z;

1 1 = , z ≠ 0; z z

z' z' = ,z ≠ 0 ; z z

z = zz ;

n

zn = z , n ∈ * ;

1 zn

=

1 z

n

, z ≠ 0 et n ∈ Z

Soit z un nombre complexe non nul et k un réel non nul.

()

arg z ≡ − arg (z )[2π].

arg(− z) ≡ π + arg(z)[2π]. Si k > 0 alors arg (kz) ≡ arg (z) [2π] . Si k < 0 alors arg (kz) ≡ π + arg (z) [2π] Soit deux nombres complexes non nuls z et z’. 1  z'  arg (zz’) ≡ arg (z) + arg (z’) [2π] . arg  ≡ − arg(z) [2π] . arg  ≡ arg( z' ) − arg (z) [2π] . z z

arg (zn) ≡ n arg (z) [2π] , n ∈ . n Pour tout nombre complexe non nul z et tout entier n, z n = z (cos nθ + isin nθ).

Angles orientés et nombres complexes Théorème

(

)

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct O, u , v . Soit A, B, C et D des points d’affixes respectives zA, zB, zC et zD et tels que AB ≠ 0 et CD ≠ 0.

(

)

(

)

z −z  Alors u, AB ≡ arg (zB – zA) [2π] et u, AB ≡ arg  D C  [2π] .  zB − zA  Conséquence z D − z C CD = (cos θ + isin θ) avec AB, CD ≡ θ [2π] . z B − z A AB

(

)

Ecriture exponentielle d’un nombre complexe non nul Notation Pour tout réel θ, on note eiθ le nombre complexe cos θ + isin θ. Conséquences iθ

e = 1, e

i

π 2

= i, e

−i

π 2

= − i , e i π = − 1.

Pour tout réel θ et tout entier k, eiθ = ei(θ + 2kπ ). Pour tout réel θ, eiθ = 1 et eiθ = e −iθ et − eiθ = ei(θ + π ) . Propriétés Soit deux réels θ et θ’. eiθ .eiθ = ei(θ + θ') ,

1 eiθ

= e − iθ ;

ei θ ei θ'

( )

n = ei(θ − θ') ; eiθ = einθ , n ∈ Z .

Théorème et définition Tout nombre complexe non nul z, s’écrit sous la forme z = reiθ, où r = z et arg (z) = θ [2π] . L’écriture z = reiθ, r > 0 est appelée écriture exponentielle de z. Equation zn = a, n ≥ 1, a ∈ C*. Théorème et définition Soit a un nombre complexe non nul d’argument θ et n un entier naturel non nul. n

L’équation z = a admet dans C, n solutions distinctes définies par z k

k ∈ {0,1,..., n − 1}, où r est le réel strictement positif tel que r n = a . . Ces solutions sont appelées les racines nièmes du nombre complexe a.

 θ 2 kπ  i +  = re  n n  ,

Conséquence

(

)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct O, u , v . Lorsque n ≥ 3, les points images des racines nièmes d’un nombre complexe non nul sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon r tel que

r n = a . Les points images des solutions de l’équation z n = a eiθ . Résolution dans C, de l’équation az2 + bz + c = 0, a ≠ 0. Théorème Soit a, b et c des nombres complexes tels que a ≠ 0. L’équation az2 + bz + c = 0, admet dans C, deux solutions définies par : z1 =

−b+δ −b+δ et z 2 = , où δ est une racine carrée du discriminant ∆ = b2 – 4ac. 2a 2a

Conséquences Si z1 et z2 sont les solutions de az2 + bz + c = 0, a ≠ 0, alors az2 + bz + c = a (z – z1) (z – z2), z1 + z2 =

−b c et z1z 2 = . a a

Remarque : Déterminer les nombres complexes z1 et z2 tels que : b  z1 + z 2 = − a az² + bz + c = a (z – z1) (z – z2) équivaut à résoudre le système :  z .z = c  1 2 a Nombres complexes et trigonométrie Théorème Pour tout réel x et pour tout entier n, (cos x + isin x)n = cos (nx) + isin (nx). (Formule de Moivre). Pour tout réel x, cos x =

eix + e −ix eix + e −ix et sin x = (formules d’Euler). 2 2i

Formule Binôme de Newton Pour tous nombres complexes z et z’ et pour tout entier naturel (z+z’)n=

k =n

∑ Ckn z k z'n − k

k =0

Nombres complexes et transformations Translation – homothétie – rotation *forme complexe d’une translation →

Soit u un vecteur d’affixe b et M d’affixe z et M’ d’affixe z’.

M' = t u (M) ⇔ z' = z + b * Forme complexe d’une homothétie Soit A un point du plan complexe d’affixe a, k ∈ R*, M’ d’affixe z et M’ d’affixe z’. M’ = h(A ;k) (M) ⇔ (z’ – a) = k (z – a). * Forme complexe d’une rotation Soit ω le point du plan complexe d’affixe zω , M un point d’affixe z et M’ un point d’affixe z’ et θ un réel. Soit r(ω ; θ) la rotation de centre ω et d’angle θ. r(ω ; θ) (M) = M’ ⇔ z’ - zω = eiθ (z – zω).