Zbirka zadataka iz Osnova Elektrotehnike - Kola promenljivih struja [4] 9788674666210 [PDF]

Zitiervorschau

Универзитет у Београду – Електротехнички факултет Градимир Божиловић Драган Олћан Антоније Ђорђевић

ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ Четврти део

Кола променљивих струја Треће издање

Академска мисао Београд 2016.

ii

Кола променљивих струја

Градимир Божиловић, Драган Олћан, Антоније Ђорђевић ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ ОСНОВА ЕЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Четврти део Кола променљивих струја Треће издање Рецензенти др Владимир Петровић др Милан Илић Одлуком Наставно-научног већа Електротехничког факултета број 182/2 од 22. марта 2010. године ова књига је одобрена као наставни материјал на Електротехничком факултету у Београду. Издавачи Академска мисао Електротехнички факултет Београд Дизајн корица Зорица Марковић, академски сликар Штампа Академска мисао, Београд Тираж 500 примерака ИСБН 978-86-7466-624-1

НАПОМЕНА: Фотокопирање или умножавање на било који начин или поновно објављивање ове књиге у целини или у деловима није дозвољено без претходне изричите сагласности и писменог одобрења издавача.

Предговор Збирка задатака из Основа електротехнике, Кола променљивих струја, излази као четврти од четири дела збирке која је намењена предметима групе Основи електротехнике, који се предају по наставном плану прве године Основних академских студија електротехнике и рачунарства на Електротехничком факултету Универзитета у Београду. Ти предмети су Основи електротехнике 1 и 2, Практикум из Основа електротехнике 1 и 2, и Лабораторијске вежбе из Основа електротехнике. Овај помоћни уџбеник је проистекао из нарасле потребе за обједињеном збирком питања и задатака која са већ постојећим уџбеником „Основи електротехнике“ А. Ђорђевића (који је иницирао писање ове збирке) представља потребну и довољну литературу за предмете Основи електротехнике 1 и 2. Збирка у потпуности покрива градиво које се ради на вежбама, обезбеђује материјал за самостални рад студената, укључујући и проверу знања на задацима тежине испитних задатака и питања, а садржи и додатни материјал за проширивање знања. Као и уџбеник „Основи електротехнике“, збирка је подељена у четири дела. Први део покрива електростатичко поље, други део поља и кола сталних струја, трећи део збирке обухвата стална магнетска поља и променљива електромагнетска поља, а четврти део се бави колима временски променљивих струја. Задаци без звездице су уводни и основни, а заједно са тежим задацима, означеним једном звездицом, одговарају предметима Основи електротехнике 1 и 2. Задаци са две и три звездице представљају материјал за продубљивање знања, а део тих задатака је намењен и Практикумима из Основа електротехнике. Једноставнија питања и задаци покривају и тематске јединице које се обрађују на предмету Лабораторијске вежбе из Основа електротехнике. Аутори се захваљују рецензентима ове збирке, предавачима на предметима Основи електротехнике 1 и 2, професору др инж. Владимиру Петровићу и професору др инж. Милану Илићу, на корисним сугестијама. Београд, март 2010.

Аутори

iv

Кола променљивих струја

Предговор другом издању У овом издању су исправљене уочене грешке. Аутори се захваљује асистенту Слободану Савићу који је детаљно прочитао збирку и указао на неке од тих грешака. Београд, август 2013.

Аутори

Предговор трећем издању У овом издању су исправљене уочене грешке. Београд, август 2016.

Аутори

Садржај 1. Променљиве струје ............................................................................................................... 1 2. Елементи кола променљивих струја.................................................................................. 31 3. Једноставна кола простопериодичних струја ................................................................... 40 3.1. Временски домен ......................................................................................................... 40 3.2. Фазорски дијаграми ..................................................................................................... 58 3.3. Комплексни домен ....................................................................................................... 73 3.4. Трансфигурације ........................................................................................................ 100 3.5. Снаге............................................................................................................................ 110 4. Сложена кола простопериодичних струја....................................................................... 154 4.1. Кирхофови закони...................................................................................................... 154 4.2. Метод контурних струја ............................................................................................ 162 4.3. Метод потенцијала чворова ...................................................................................... 171 5. Теореме .............................................................................................................................. 182 5.1. Линеарност и суперпозиција..................................................................................... 182 5.2. Компензација.............................................................................................................. 185 5.3. Тевененова и Нортонова теорема ............................................................................. 192 5.4. Премештање генератора ............................................................................................ 209 5.5. Реципроцитет.............................................................................................................. 212 5.6. Четворополи ............................................................................................................... 214 5.7. Прилагођење по снази ............................................................................................... 221 5.8. Поправка фактора снаге ............................................................................................ 236 5.9. Симетрија и бисекција............................................................................................... 239 6. Кола са спрегнутим калемовима...................................................................................... 245 7. Трофазна кола.................................................................................................................... 286 8. Фреквенцијске карактеристике........................................................................................ 346 9. Прелазни режими .............................................................................................................. 367 Литература ............................................................................................................................. 383

vi

Кола променљивих струја

1. Променљивe струје

1

1. Променљиве струје 1. График алгебарског интензитета струје у функцији времена, за један референтни смер и усвојени почетни тренутак, приказан је на слици 1.1. (а) Написати израз за тај алгебарски интензитет. (б) Написати израз за алгебарски интензитет те струје када се T промени референтни смер, а почетни тренутак усвоји за касније од претходног 3 почетног тренутка.

Слика 1.1. РЕШЕЊЕ (а) Користећи се изразом за једначину праве кроз тачке A( x A , y A ) и B( x B , y B ) , ì ï - I, t Î (- ¥,0 ) ï yB - y A 3 ö ïæ é Tù y = yA + ( x - x A ) , добија се i (t ) = íç - 1 + t ÷ I , t Î ê0, ú . T xB - x A è ø ë 2û ï I ï æT ö , t Îç , ¥÷ ï 2 è2 ø î (б) Промена референтног смера уноси промену знака у алгебарски интензитет. Ново време t1 и претходно време t за посматрање задате струје повезани су релацијом

2

Кола променљивих струја

ì Tö æ t1 Î ç - ¥,- ÷ ï I, 3ø è ï T é T Tù ï 3I t = t1 + , па је нови израз за струју in (t1 ) = í- t1, t1 Î ê- , ú , што је приказано на 3 ë 3 6û ï T I ï æT ö t1 Î ç , ¥ ÷ ï - 2, è6 ø î слици 1.2. in I T/6 −T

T/2

T

t1

−T/2 −T/3 O −I/2 Слика 1.2.

2. Алгебарски интензитет струје дат је изразом i (t ) = I m cos wt , где је I m позитивна величина. Написати израз за алгебарски интензитет те струје према супротном p референтном смеру и почетном тренутку за раније од претходног. 3w РЕЗУЛТАТ pö æ Алгебарски интензитет струје одређен је изразом in (t1 ) = - I m cos ç wt1 - ÷ . 3ø è

3. Написати

у

каноничном

облику следеће простопериодичне величине: pö 2p ö æ æ (а) i (t ) = 2 sin wt A , (б) u (t ) = -15 2 cosç wt + ÷ V и (в) e(t ) = - sin ç wt + ÷ mV . 4ø 3 ø è è РЕШЕЊЕ Канонични облик простопериодичне величине је стандардни облик у коме се може написати свака простопериодична величина. На пример, уколико се ради са амплитудама, канонични облик напона u (t ) је u (t ) = U m cos(wt + q ) .

(3.1)

Уколико се ради са ефективним вредностима, канонични облик је u (t ) = U 2 cos(wt + q) .

(3.2)

1. Променљивe струје

3

2 ефективна вредност 2 ( U > 0 ), w кружна (угаона) учестаност ( w > 0 ), а q почетна фаза ( - p < q £ p ). Период 2p 1 w тог напона је T = , а учестаност f = = . T 2p w

У овим изразима је U m амплитуда напона ( U m > 0 ), U = U m

pö æp ö æ (а) На основу идентитета sin a = cosç - a ÷ = cosç a - ÷ , канонични облик задате 2ø è2 ø è pö æ простопериодичне струје гласи i (t ) = 2 cosç wt - ÷ A . Амплитуда те струје је I m = 2 A , 2ø è p ефективна вредност I = 2 A , а почетна фаза y = - . 2 (б) Како је - cos a = cos(a ± p) , задати напон се може написати у облику 3p ö æ u (t ) = 15 2 cosç wt - ÷ V . У извођењу смо одабрали знак минус уз p, да би почетна 4 ø è p фаза напона q = ± p била у стандардним границама - p < q £ p . 4 pö æ (в) На основу идентитета - sin a = cosç a + ÷ , израз за задату електромоторну силу 2ø è 7p ö æ добија облик e(t ) = cosç wt + ÷ mV . Међутим, почетна фаза електромоторне силе је 6 ø è 7p qe = > p . Да би се фаза довела у границе - p < qe £ p , потребно је одузети 2p . Тиме 6 5p почетна фаза постаје qe = , а канонични облик задате електромоторне силе је 6 5p ö æ e(t ) = cosç wt ÷ mV . Амплитуда те емс је Em = 1 mV , а ефективна вредност 6 ø è E=

2 mV . 2

4. Изрази за струју према истом референтном смеру и различитим почетним pö æ тренуцима су i (t ) = I m cos(wt + y ) = 6 cos ç100pt - ÷ A , односно 3ø è 7p ö æ i (t1 ) = I m cos(wt1 + y1 ) = 6 cos ç100pt1 + ÷ A , за време t, односно t1 , у секундама. 6 ø è Израчунати временски размак између почетних тренутака за посматрану струју. РЕШЕЊЕ Означимо са Dt временски интервал од почетног тренутка времена t до почетног тренутка времена t1 . Тада је t = t1 + Dt , па је i = I m cos(wt + y ) = I m cos (w(t1 + Dt ) + y ) = I m cos (wt1 + (wDt + y )) = I m cos(wt1 + y1 ) ,

где

4 је

Кола променљивих струја wD t + y = y 1

и

w = 100p s -1 .

Одавде

је

тражена

временска

разлика

7p p + y1 - y Dt = = 6 3 = 15 ms . w 100p k s = 15 ms + 20k ms , где је 50 периодична функција времена,

*Опште решење постављеног проблема је Dt = 15 ms + k = 0, ± 1, ± 2,... ,

јер

cos(wt + y )

је

æ æ 2 kp ö ö 2p cosçç wç t + = 20 ms . Решење Dt = -5 ms (за ÷ + y ÷÷ = cos(wt + y ) , са периодом T = w w ø è è ø k = -1 ) је по модулу најмање од свих решења.

*5. Две простопериодичне струје имају исту кружну учестаност и почетни тренутак, а различите амплитуде и почетне фазе. Доказати да је збир тих струја простопериодична струја исте кружне учестаности и одредити изразе за амплитуду и почетну фазу збира тих струја. РЕШЕЊЕ Напишимо

сабирке

у

каноничном

облику,

i1 (t ) = I1m cos(wt + y1 )

и

i2 (t ) = I 2m cos(wt + y 2 ) . Збир струја је i1 (t ) + i2 (t ) = i (t ) .

(5.1)

Претпоставимо да се тај збир може написати у каноничном облику, i (t ) = I m cos(wt + y ) . Потребно је да одредимо константне величине I m и y тако да једначина (5.1) постаје идентитет (важи за сваки тренутак t), чиме бисмо доказали да је i (t ) такође простопериодична струја. Једначине (5.1) сада постаје

I1m cos(wt + y1 ) + I 2m cos(wt + y 2 ) = I m cos(wt + y ) .

Развојем косинусна збира на основу идентитета cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b , добија се

(I1m cos y1 + I 2m cos y 2 )cos wt - (I1m sin y1 + I 2m sin y 2 )sin wt = I m cos y cos wt

- I m sin y sin wt . Да би тај израз био идентитет, мора бити I1m cos y1 + I 2m cos y 2 = I m cos y и

(5.2)

I1m sin y1 + I 2m sin y 2 = I m sin y .

(5.3)

Из једначина (5.2) и (5.3) добија се I m = I12m + I 22m + 2 I1m I 2m cos(y1 - y 2 ) ,

(5.4)

при чему се узима само позитивна вредност квадратног корена јер је I m ³ 0 . Даље је I cos y1 + I 2m cos y 2 и cos y = 1m Im

(5.5)

1. Променљивe струје

5

I sin y1 + I 2m sin y 2 sin y = 1m . Im

(5.6)

I sin y1 + I 2m sin y 2 Из израза (5.5) и (5.6) следи да је tgy = 1m . Период тангенсне I1m cos y1 + I 2m cos y 2 æ p pö функције је p и arctg x Î ç - , ÷ , aли се угао y налази у границама y Î (- p, p] . Стога è 2 2ø се при израчунавању почетне фазе y мора водити рачуна о знацима израза I1m sin y1 + I 2m sin y 2 и I1m cos y1 + I 2m cos y 2 , на основу којих се утврђује у ком квадранту се налази тражена угао y. Тако се добија I sin y1 + I 2m sin y 2 ì , I1m cos y1 + I 2m cos y 2 > 0 arctg 1m ï I1m cos y1 + I 2m cos y 2 ï p ï . y=í sgn (I1m sin y1 + I 2m sin y 2 ), I1m cos y1 + I 2m cos y 2 = 0 2 ï ïarctg I1m sin y1 + I 2m sin y 2 + p sgn (I sin y + I sin y )+ , I cos y + I cos y < 0 1m 1 2m 2 1m 1 2m 2 ïî I1m cos y1 + I 2m cos y 2

Постојање константних величина I m простопериодична, кружне учестаности w .

и y

потврђује да је и струја i (t )

6. Трансформисати збир напона u (t ) = u1 (t ) + u 2 (t ) , где је u1 (t ) = 2U1 sin wt , u 2 (t ) = 2U 2 cos wt , U1 > 0 и U 2 > 0 , у канонични облик. РЕШЕЊЕ pö æ У каноничном облику је u1 (t ) = 2U1 sin wt = 2U1 cosç wt - ÷ , док је напон u 2 (t ) 2ø è већ задат у каноничном облику. Ефективне вредности тих напона су U1 , односно U 2 , а p почетне фазе су q1 = - , односно q 2 = 0 . 2 На основу резултата претходног задатка је

u (t ) = U 2 cos(wt + q) , где је

U = U12 + U 22 + 2U1U 2 cos(q1 - q 2 ) = U12 + U 22 и q = -arctg

7. Поновити претходни задатак ако је U1 < 0 и U 2 < 0 .

U1 . U2

6

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ Канонични

облици

напона

су

сада

pö æ u1 (t ) = 2 U1 cosç wt + ÷ 2ø è

и

u 2 (t ) = 2 U 2 cos(wt + p) . Ефективна вредност збира је U = U12 + U 22 , а почетна фаза је q = -arctg

U1 U2

+ p , при чему је 0 < arctg

U1 U2


0. U2 2

Читаоцу се препоручује да задатак понови за случајеве када је (а) U1 > 0 и U 2 < 0 и (б) U1 < 0 и U 2 > 0 .

8. Израчунати амплитуду и почетну фазу напона u (t ) = (20 sin wt + 20 3 cos wt ) V . РЕЗУЛТАТ Амплитуда напона је U m = 40 V , а почетна фаза је q = -

p . 6

9. Израчунати

амплитуду и почетну 3p ö 5p ö æ æ u (t ) = U cos wt + U 2 cosç wt + ÷ + U cosç wt - ÷ V . 4 6 ø è ø è

фазу

напона

РЕЗУЛТАТ Разлажући косинусне функције као у задатку 5, добија се да је U m = U и q =

5p . 6

10. Испитати периодичност струје i (t ) = I m cos wt , где су I m и w позитивне константне величине. РЕШЕЊЕ Струја i (t ) је периодична ако постоји позитивно T за које је i (t ) = i (t + T )

(10.1)

за свако t. Најмањa константа T ( T > 0 ) за коју важи једначина (10.1) назива се основни период. Под периодом се обично подразумева основни период, а већи период од основног се посебно наглашава. Како је у задатом случају једначина I m cos wt = I m cos(wt + wT ) задовољена за wT = kp , где је k природан број ( k = 1, 2, ... ), струја је периодична, а основни период задате струје је T =

p . w

1. Променљивe струје

7

11. Испитати периодичност струје i (t ) = I m cos 3 (wt + y ) . РЕЗУЛТАТ Струја је периодична са периодом T =

2p . w

12. Испитати периодичност и одредити период струје i (t ) = I cos(wt ) +

I cos(pwt ) . p

РЕШЕЊЕ I I cos pwt = I cos(wt + wT ) + cos(pwt + pwT ) произилазе услови p p wT = 2k1p и wT = 2k 2 , где k1 и k 2 морају бити природни бројеви. Из услова I cos wt +

wT природан број, тада 2p wT не може бити природан број ни за једно k1 , јер је p ирационалан број. Одатле следи wT да k 2 = не може бити природан број, што противречи услову да k 2 мора бити 2 природан број. Стога посматрана струја није периодична, па се о њеном периоду не може ни говорити. Ако се период T одређује из услова wT = 2k1p , где је k1 =

13. Испитати периодичност U æ 1 ö u (t ) = ç1 + cos wt - cos 2wt ÷ . 2p è 3 ø

и

одредити

(основни)

период

напона

РЕШЕЊЕ Из

услова

периодичности

u (t ) = u (t + T )

добија

се

1 1 1 + cos wt - cos 2wt = 1 + cos(wt + wT ) - cos( 2wt + 2wT ) . Одавде је wT = 2k1p и 3 3 2k p k p wT = k 2 p , k1, k2 = 1, 2, 3,K , односно T = 1 = 2 . Очигледно је k 2 = 2k1 паран број, w w а k1 може узимати вредности k1 = 1, 2, 3,K . Најмања вредност је k1 = 1 , па се закључује да је задати напон периодичан са периодом T =

2p . w

14. Одредити учестаност (фреквенцију) струје дате изразом i (t ) = I m cos 2 (wt + y ) .

8

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ Из услова

I m cos 2 (wt + y ) = I m cos 2 (wt + y + wT ) , закључује се да је струја

периодична са периодом T =

p . w

Периодична струја обави један циклус када прође једном кроз све своје тренутне интензитете. Учестаност (фреквенција) је количник броја циклуса N и времена t у коме се ти циклуси обављају. Како је у току једног периода t = T и N = 1 , то је 1 w учестаност f = . У задатом случају фреквенција је f = . T p

15. Одредити учестаност U U u (t ) = U cos wt + cos 2wt + cos 3wt . 2 3

напона

задатог

изразом

РЕЗУЛТАТ Напон није периодичан, па се не може говорити о његовој фреквенцији.

16. Одредити основни период струје i (t ) = I 0 (| cos wt | + A | sin wt |) , при чему је A ¹ 1 . РЕШЕЊЕ Задата струја је аналитички представљена збиром две функције, i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) , где је i1 (t ) = I 0 | cos wt | и i2 (t ) = I 0 A | sin wt | . Период обе функције је исти, T = период задате струје такође T =

p , па је w

p . w

*Важи и општији став. Ако је функција i (t ) збир N периодичних функција ik (t ) , i (t ) =

N

å ik (t ) , и ако

k =1

је основни период свих функција ik (t ) исти (Т), тада је период

функције i (t ) такође Т. Другачије исказано, ако је учестаност свих функција ik (t ) иста (f), тада је f учестаност и функције i (t ) . **При томе је могуће да основни период функције i (t ) буде мањи од Т, односно да учестаност буде виша од f. Нека је, на пример, A = 1 , тада је i1 (t ) = I 0 | cos wt | и p i2 (t ) = I 0 | sin wt | . Период обе функције је T = . Међутим, основни период функције w p T i (t ) = i1 (t ) + i2 (t ) је T ¢ = = , а учестаност је f ¢ = 2 f . 2w 2

17. Одредити основни период напона u (t ) = U1 cos(12pft ) + U 2 sin (18pft ) .

1. Променљивe струје

9

РЕШЕЊЕ Задати напон је аналитички представљен збиром две функције, u (t ) = u1 (t ) + u 2 (t ) ,

где је u1 (t ) = U1 cos(12pft ) и u 2 (t ) = U 2 sin (18pft ) . Основни период прве функције је 1 1 T1 = (учестаност је f1 = 6 f ), а основни период друге функције је T2 = 6f 9f T 9 3 (учестаност је f 2 = 9 f ). Ти периоди су самерљиви јер је 1 = = рационалан број. T2 6 2 Функција u (t ) је такође периодична. Њен основни период задовољава једначину T = k1T1 = k 2T2 где су k1 и k 2 природни бројеви, који треба да буду најмањи могући. k k k k Даље је T = 1 = 2 , односно 1 = 2 . Најмањи заједнички садржалац за 6 и 9 је 6 9 6f 9f 1 K K K = 18 , па је k1 = = 2 и k2 = = 3 . Основни период напона u (t ) је T = . 9 6 3f Учестаност напона u (t ) је f =

1 = 3f . T

Учестаност напона u (t ) је највећа заједничка мера1 учестаности f1 и f 2 . *Важи и општији став. Ако је функција u (t ) збир N периодичних функција u k (t ) чије су учестаности f1 , f 2 ,..., f N самерљиве, онда је и функција u (t ) периодична. Учестаност функције u (t ) је највећа заједничка мера учестаности f1 , f 2 ,..., f N .

**18. Одредити период струје дате изразом i (t ) =

4I p

¥

å (-1) k =0

k

cos(2k + 1)wt . 2k + 1

РЕШЕЊЕ Задата струја има облик

i (t ) =

¥

å ik (t ) ,

k =0

где је

i k (t ) =

4I cos(2k + 1)wt (-1) k . p 2k + 1

Функција ik (t ) је периодична, а њена учестаност је f k = (2k + 1)

w = (2k + 1) f , где је 2p

w . Учестаности функција ik (t ) су f , 3 f , 5 f ,... и самерљиве су, а њихова највећа 2p w заједничка мера је f. Стога је учестаност задате струје f = , а основни период је 2p 1 2p T= = . f w f =

1

Нека су a и b реални бројеви. Највећи позитиван реалан број, m , такав да су

цели бројеви, назива се највећа заједничка мера бројева a и b .

a b и m m

10

Кола променљивих струја

***Израз

i (t ) =

4I p

¥

å (-1) k =0

k

cos(2k + 1)wt 2k + 1

представља развој у Фуријеов ред

симетричне поворке правоугаоних импулса. Као илустрација конвергенције тог реда, на слици 18.1 је приказана сума i N (t ) =

4I p

N

å (-1) k =0

k

cos(2k + 1)wt за I = 1 A , w = 2p ×10 6 s -1 2k + 1

i [A]

и N = 0 , 1, 2, 5, 10 и 100.

Слика 18.1.

**19. Поновити (а) i (t ) =

4I p

¥

å (-1) k =1

k

претходни

задатак

ако

4I cos(2k + 1)wt и (б) i (t ) = I 0 + 2k + 1 p

је ¥

å (-1) k =0

струја k

дата

изразом

cos(2k + 1)wt . 2k + 1

РЕЗУЛТАТ (а), (б) Основни период је исти као у претходном задатку, T =

20. Дате

су

функције

ì U0, t < 0 ï t (а) u (t ) = í , ïîU 0 e t , t ³ 0

1 2p = . w f

(

)

(б) u (t ) = U 0 e jwt + e - jwt ,

(в) u (t ) = U 0 (sin wt + cos 2wt ) и (г) u (t ) = U 0 e -at cos(wt + q ) , где су U 0 , w, t и a реалне константе и U 0 ¹ 0 , w ¹ 0 , t > 0 и a ³ 0 , док је j = - 1 имагинарна јединица. Које су од наведених функција периодичне, а које нису?

1. Променљивe струје

11

РЕШЕЊЕ (а) На слици 20.1 скицирана је функција ì U0, t < 0 ï t u (t ) = í за U 0 > 0 . Функција је ïîU 0 e t , t ³ 0 апериодична.

u

U0

O

t Слика 20.1.

(б) Будући

да

(

)

u (t ) = U 0 e jwt + e - jwt = 2U 0 cos wt

је

јер

важи 2 p . e ja = cos a + j sin a , функција је простопериодична са периодом T = w

идентитет

(в) Функција u (t ) = U 0 (sin wt + cos 2wt ) је периодична са периодом T =

2p , а w

скицирана је на слици 20.2. (г) Функција u (t ) = U 0 e -at cos(wt + q ) скицирана је на слици 20.3 за a > 0 , q = 0 и t > 0 . Функција је апериодична. Међутим, за a = 0 , функција се своди на 2p простопериодичну функцију, u (t ) = U 0 cos(wt + q) , чији је период T = . w

2p w

Слика 20.3.

Слика 20.2.

*21. Под којим условима важи идентитет U m e -at cos(wt + q ) = Re(c ) , где је c комплексан број, а остале величине су чисто реалне и позитивне? РЕШЕЊЕ Напишимо комплексни број c у експоненцијалном облику, c = c e jd ,

(21.1)

12

Кола променљивих струја

где

је

c =| c |

(

модул,

а

d = arg(c)

) ( Re (e (

аргумент

комплексног

)

1 cos(wt + q) = e j(wt + q ) + e - j(wt + q ) = Re e j(wt + q ) , то је 2 U m e - at cos(wt + q ) = U m e - at

j wt + q )

) = Re(U

m

e - at e j(wt + q )

броја.

Како

)

је

(21.2)

јер је U m e -at чисто реалан израз. Упоређујући (21.2) са изразом Re(c ) = Re(c e jd ) ,

види се да је U m e -at cos(wt + q) = Re(c ) када је c =| c |= U m e -at и d = arg(c) = wt + q , односно c = U m e -at e j(wt + q ) = U m e -at + j(wt + q ) .

(

Re e

**Задатак - j(wt + q )

има

) = Re(e

j(wt + q )

још

једно

) = cos(wt + q) .

c = U m e -at - j(wt + q ) ,

решење,

u 22. Одредити аналитички напона приказаног на слици 22.1.

израз

јер

је

T

U1 (1 α)T

t

O U2 αT

Слика 22.1. РЕШЕЊЕ Задати напон је периодична функција времена, са периодом Т. У току једног ìU , 0 < t < (1 - a ) T периода ( 0 £ t £ T ), аналитички израз за тај напон је u (t ) = í 1 . Напон îU 2 , (1 - a ) T < t < T је прекидна функција у тренуцима t = kT

и t = kT + (1 - a ) T , где је k цео број

( k = 0, ± 1, ± 2,... ). У тренуцима прекида напон није дефинисан, па је математички коректно представити га као на слици 22.2. У инжењерској пракси се, уместо означавања тачака прекида, функција често црта као на слици 22.1. То има физичког оправдања јер у пракси није могуће реализовати тренутни скок напона (због паразитних капацитивности у сваком реалном колу). Међутим, посматран на осцилоскопу, задати напон изгледа приближно као на слици 22.3 јер се на осцилоскопу брзе промене (транзиције) практично не виде.

1. Променљивe струје

13

u

T

U1 (1 α)T

t

O U2 αT

Слика 22.2. u

T

U1 (1 α)T

t

O U2 αT

Слика 22.3.

23. Одредити средњу вредност (у току једног периода) напона приказаног на слици 22.1. РЕШЕЊЕ Средња вредност произвољне интеграбилне функције u (t ) у интервалу од t1 до t 2 ( t 2 > t1 ) дефинише се изразом t

U sr =

1 2 u (t ) dt . t 2 - t1 ò

(23.1)

t1

Уколико другачије није назначено, средња вредност периодичне функције дефинише се за један период. У току једног периода ( 0 < t < T ), задати напон (слика 22.1) може се представити ìU , 0 < t < (1 - a ) T изразом u (t ) = í 1 . Напон је периодичан са периодом T . Средња îU 2 , (1 - a ) T < t < T 1 вредност напона је U sr = (U1 (1 - a ) T + U 2 aT ) = (1 - a )U1 + aU 2 . T

14

Кола променљивих струја 24. Одредити ефективну вредност напона приказаног на слици 22.1. РЕШЕЊЕ Ефективна вредност периодичне функције u (t ) дефинише се као T

U=

1 2 u (t ) dt Tò

(24.1)

0

и представаља средњеквадратну вредност те функције у току једног периода. Како је у ì U , 0 < t < (1 - a ) T задатом случају u (t ) = í 1 , то је тражена ефективна вредност î- U 2 , (1 - a ) T < t < T 1

æ æ (1- a ) T T öö2 ç1ç ÷÷ U = ç ç ò U12dt + ò U 22 dt ÷ ÷ = (1 - a )U12 + aU 22 . çT ç 0 (1- a ) T ÷ø ÷ø è è

25. Одредити ефективну вредност струје i (t ) = I m cos(wt + y ) . РЕШЕЊЕ 1

æ1T ö2 2 По дефиницији (24.1), ефективна вредност струје је I = ç ò I m cos 2 (wt + y ) dt ÷ , çT ÷ è 0 ø при чему је период струје T =

I 2 2p . , па је I = m = I m w 2 2

**Имајући у виду да је T ¢ =

T период функције cos 2 (wt + y ) , ефективна вредност 2 1

æ 1 T¢ ö2 2 струје се у овом случају може одредити и као I = ç ò I m cos 2 (wt + y ) dt ÷ . çT¢ ÷ è 0 ø

26. Одредити ефективну вредност струје i (t ) = I 0 + I m cos wt . РЕШЕЊЕ Задата струја је периодична са периодом T = ефективне

вредности

(24.1),

2p . Полазећи од дефиниције w добија се

1. Променљивe струје

I2 =

1 T

15

ò (I 0 + 2I 0 I m cos wt + I m cos

T

2

2

2

)

wt d t =

0

вредност I = I 02 +

1 æç 2 I2 ö I0T + m T ÷ , T çè 2 ÷ø

одакле

је

ефективна

I m2 . 2

27. Израчунати средњу и ефективну вредност периодичне струје приказане на слици 27.1.

Слика 27.1. РЕЗУЛТАТ Средња вредност је I sr = 1 A , а ефективна вредност је I = 2

3 A. 3

28. Израчунати средњу и ефективну вредност периодичне струје æ pt ö i (t ) = I max cos 2 ç + q ÷ , приказане на T è ø слици 28.1, ако је I max = 10 mA и T = 20 ms . Слика 28.1. РЕЗУЛТАТ Средња вредност је I sr = 5 mA , а ефективна вредност је I =

5 6 mA . 2

29. Напон на излазу једног усмерача дат је изразом u (t ) = U m cos 2pft , где је U m = 15 V и f = 50 Hz (слика 29.1). Израчунати период, ефективну вредност и средњу вредност овог напона.

16

Кола променљивих струја

u [V] 15

5 0

5 10 15 20 25 t [ms] Слика 29.1.

РЕЗУЛТАТ 1 = 10 ms , ефективна 2f 2U m U U = m » 10,61 V , а средња вредност је U sr = » 9,55 V . p 2 Основни

период

је

T=

вредност

напона

је

30. Одредити средњу и ефективну вредност периодичне струје интензитета I i (t ) = m t , 0 < t < T , и периода T . T РЕШЕЊЕ Задата струја је приказана на слици 30.1. Струја се скоковито мења у тренуцима t = kT , где је k цео број ( k = 0, ± 1, ± 2,... ). У пракси, међутим, није могуће реализовати тренутни скок струје због паразитних индуктивности у сваком реалном колу. Слика 30.1. Средња вредност струје је

I sr =

1 T

T

ò

0

Im I t dt = m , а ефективна вредност је T 2

1 ö2

æ 1T I2 3 I = ç ò m t 2 dt ÷ = Im . çT T2 ÷ 3 è 0 ø

*31. График периодичне струје периода T приказан је на слици 31.1 ( 0 < k < 1 ). У току једног периода (0 £ t £ T ) , задата струја се може представити изразом

1. Променљивe струје

17

pt ì ï I sin , 0 £ t < (1 - k ) T i (t ) = í m . Одредити средњу вредност и ефективну вредност те T ïî 0, (1 - k ) T < t £ T струје.

Слика 31.1. РЕШЕЊЕ T

Средња вредност струје је

I sr =

1 1 i (t ) d t = T T

ò 0

(1-k ) T

ò 0

I m sin

I pt dt = m (1 + cos kp) . T p

1 ö2

æ 1 (1-k ) T pt 1 - k sin 2kp I m2 sin 2 dt ÷ = I m . + Ефективна вредност струје је I = ç çT T ÷ 2 4p 0 è ø

ò

*32. На слици 32.1 приказана је струја регулатора јачине светлости (димера). У току једног периода (0 £ t £ T ) , задата струја се може представити изразом 0, ì ï 2pt 0 £ t < kT / 2 , ïï I m sin kT / 2 < t £ T / 2 T i (t ) = í T / 2 £ t < T (1 + k ) / 2 . Струја је симетрична периодична функција 0, ï ï I m sin 2pt , T (1 + k ) / 2 < t £ T ïî T времена, при чему је 0 £ k £ 1 . Одредити ефективну вредност те струје.

18

Кола променљивих струја

kT 2

Слика 32.1. РЕЗУЛТАТ Ефективна

вредност

струје

је

1 - k sin 2pk + . На слици 32.2 2 4p I (k ) приказан је график функције . Im I = Im

Читаоцу се препоручује да одреди средњу снагу пријемника чија је струја дата на слици 32.1 сматрајући да отпорност пријемника R не зависи од јачине струје. Слика 32.2.

*33. На слици 33.1 приказан је периодичан напон периода T , ограничаван („клипован“) до u = kU m , где је 0 < k < 1 . Напон u се, у току једног периода, може pt ì T ïU sin , 0 £ t £ t1 и (T - t1 ) £ t £ T , где је t1 = arcsin k . описати изразом u (t ) = í m T p ïî kU m , t1 < t < (T - t1 ) Одредити изразе за средњу и ефективну вредност овог напона.

1. Променљивe струје

19

Слика 33.1. РЕЗУЛТАТ Средња вредност напона је U sr = вредност напона је U = U m

Um æ æ ö 2ö ç 2ç1 - 1 - k ÷ + k (p - 2 arcsin k )÷ . Ефективна p è è ø ø

(

)

1æ 2 ö 2 2 ç pk - k 1 - k + 1 - 2k arcsin k ÷ . pè ø

¥

(-1) k +1 pö æ sin ç wt - ÷ k kø è k =1

**34. Одредити средњу вредност струје i (t ) = I m å једног периода. РЕШЕЊЕ

На слици 34.1 приказана је задата струја за I m = 1 A и w = 2p ×10 6 s -1 .

Слика 34.1.

у току

20

Кола променљивих струја Задатак се може решити користећи се теоремом да је средња вредност функције

f (t ) =

N

å f k (t )

k =1

у интервалу t Î (t1 ,t 2 ) , t 2 > t1 , једнака f sr =

N

å f ksr , где је

k =1

f ksr средња

вредност функције f k (t ) у том интервалу. Задата струја i (t ) има облик i (t ) =

¥

å ik (t ) ,

k =1

где је ik (t ) = I m

Свака функција ik (t ) је периодична са истим периодом T = периодична са истим периодом, T = Средња T

I ksr =

вредност k +1

1 (-1) Im T ò k 0

k +1

(-1) k k =1

å

струје

ik (t )

pö 1 æ sin ç wt - ÷ dt = kø T è

= ln 2 , то је I sr =

p , па је и струја i (t ) w

p . w T+

у

p wk

ò

p wk

Im

току

једног

периода

је

(-1) k +1 pö 2 I (-1) k +1 æ sin ç wt - ÷ dt = m . k k kø p è

На основу тога је средња вредност струје i (t ) , I sr = ¥

pö (-1) k +1 æ sin ç wt - ÷ . k kø è

¥

å I ksr =

k =1

2 I m ¥ (-1) k +1 . Како је å p k =1 k

2I m ln 2 . p

**35. Колика је средња вредност струје i (t ) =

¥ 2 sin kwt Im å p k =1 k

у току једног

периода? РЕШЕЊЕ Задата струја је облика i (t ) =

¥

å ik (t ) ,

k =1

где је ik (t ) =

2 sin kwt Im . Период задате p k

2p струје је T = . Средња вредност функције ik (t ) током тог временског интервала је w нула, па је средња вредност задате струје I sr = 0 . ***Задати израз је развој у Фуријеов ред поворке троугаоних импулса. Неколико парцијалних сума тог реда приказано је на слици 35.1.

21

i [A]

1. Променљивe струје

Слика 35.1.

36. Период периодичног напона u (t ) је Т, средња вредност напона је U sr , а ефективна вредност је U. Одредити период, средњу вредност и ефективну вредност збира u z (t ) = u (t ) + U 0 , где је U 0 = const . РЕШЕЊЕ Додавање константе не утиче на период, па је период функције u z (t ) једнак Т. Средња вредност збира једнака је збиру средњих вредности, па је U z sr = U sr + U 0 . Квадрат U z2 = =U

2

1 T

T

ефективне

ò (u(t ) + U 0 )

2

0

+ 2U 0U sr + U 02 ,

dt =

1 T

ò (u

T

2

вредности

)

(t ) + 2u (t )U 0 + U 02 dt =

0

збира

T

је

T

1 2 1 u (t ) dt + 2U 0 ò u (t ) dt + U 02 ò T T 0

0

2

па је тражена ефективна вредност U z = U + 2U 0U sr + U 02 .

37. Израчунати ефективну вредност напона u (t ) = (5 + 10 sinwt - 10 cos wt ) V . РЕШЕЊЕ æ p öö æ Задати напон се може представити у облику u (t ) = çç 5 - 10 2 cosç wt + ÷ ÷÷ V , па је 4 øø è è његова ефективна вредност U = 5 5 V » 11,2 V .

22

Кола променљивих струја **38. Одредити

период,

средњу

вредност

и

ефективну

вредност

струје

N

i (t ) = I 0 + å (I km1 cos kwt + I km2 sin kwt ) . k =1

РЕШЕЊЕ Период задате струје је T =

2p . w

Средња вредност струје је I sr = I 0 јер је средња вредност свих простопериодичних чланова нула. N æ ö Квадрат тренутне вредности струје је i (t ) = ç I 0 + å (I km1 cos kwt + I km2 sin kwt )÷ ç ÷ k =1 è ø

2

2

= I 02 + +

N

N

N

k =1

k =1

å I k2m1 cos 2 kwt + å I k2m 2 sin 2 kwt + 2 I 0 å (I km1 cos kwt + I km2 sin kwt )

k =1 N N

N N

å å (I km1I lm1 cos kwt cos lwt + I km2 I lm2 sin kwt sin lwt ) + å å I km1I lm2 cos kwt sin lwt ,

l =1 k =1 l ¹k

I2 =

квадрат ефективне вредности струје је

T

T

1 2 i (t ) dt . Даље је Tò

1 2 I 0 dt = I 02 , Tò

0

2p I k2m1

T

1 2 I km1 cos 2 kwt dt = Tò wT 0

а

l =1 k =1

2 ò cos kwt d (wt ) =

I k2m1

p = 2p 2

0

T

T

0

0

I k2m1 2

0

T

,

I k2m2 1 2 2 , I k w t t = sin d k m2 Tò 2 0

T

1 1 1 I km1 cos kwt dt = 0 , I km2 sin kwt dt = 0 , I km1I lm1 cos kwt cos lwt dt = 0 ( l ¹ k ), ò ò T T Tò 0

T

1 I km2 I lm2 sin kwt sin lwt dt = 0 Tò

T

(l ¹ k )

и

0

ефективна вредност задате струје I = I 02 +

1 I km1I lm2 cos kwt sin lwt dt = 0 , Tò

па

је

0

(

)

(

)

N 1 N 2 I km1 + I k2m2 = I 02 + å I k21 + I k22 , где å 2 k =1 k =1

2 2 и I k 2 = I km2 . 2 2 Резултати овог задатка важе и када N ® +¥ ако су испуњени услови конвергенције одговарајућих сума. је I k1 = I km1

**39. Израчунати ефективну вредност струје i (t ) = (10 sin wt + 5 sin 2wt + cos 3wt ) A . РЕЗУЛТАТ На основу резултата претходног задатка, ефективна вредност задате струје је I » 7,94 A .

1. Променљивe струје

23

æ pö p öö æ æ **40. Две струје су дате изразима i1 (t ) = çç 5 + 4 cosç ωt - ÷ + 2 cosç 2wt + ÷ ÷÷ A и 3ø 6 øø è è è æ p öö æ i2 (t ) = çç 3 - 5 cos wt - 3 cosç 2wt + ÷ ÷÷ A . Израчунати ефективну вредност струје i 4 øø è è одређене са i = i1 - i2 . РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност струје i је I » 6,84 A .

41. Простопериодична струја, ефективне вредности

I =4A

и учестаности

f = 100 Hz , има у тренутку t1 = 5 ms интензитет i1 = 2 2 A и опада. Формирати израз за интензитет ове струје у функцији времена и нацртати график те функције. РЕШЕЊЕ Општи израз за интензитет простопериодичне струје је облика i (t ) = I m cos(wt + y ) . Амплитуда

задате

струје

је

Im = I 2 = 4 2 A ,

а

кружна

учестаност

је

i æ1ö w = 2pf = 200p s -1 . Фаза струје у тренутку t1 је wt1 + y = arccos 1 = arccos ç ÷ , што Im è2ø даје две могућности: wt1 + y =

p p и wt1 + y = - . 3 3

Струја i (t ) опада у тренутку t1 , па фаза струје у том тренутку може бити p само wt1 + y = . Почетна фаза струје је 3 p p 2p y = - wt1 = - p = јер је wt1 = p , 3 3 3 па је израз за струју 2p i (t ) = 4 2 cos( 200pt - ) A , где је 3 време t у секундама. На слици 41.1 тражени график.

је

4 2

2 2

представљен -2 2

-4 2

Слика 41.1.

24

Кола променљивих струја

I = 50 mA у тренутку одређеном са t1 = 50 ms једнака је својој ефективној вредности и опада. Временска разлика између две суседне нуле струје је Dt = 100 ms . Написати израз за тренутни интензитет ове струје и графички га представити. 42. Простопериодична

струја

ефективне

вредности

РЕШЕЊЕ Општи

израз

за

простопериодичну

струју,

i (t ) = I m cos(wt + y ) ,

може

се

æ 2p ö представити у облику i (t ) = I 2 cosç (t + t) ÷ , где је I ефективна вредност струје, T T è ø период струје, а величина t се назива почетни тренутни став струје. Према датим временским разликама између две узастопне нуле, за период се добија T = 2Dt = 200 ms . У

тренутку

t1

је

æ 2p ö I = I 2 cosç (t1 + t) ÷ , T è ø

одакле

је

у

том

тренутку

2 2p p 2p p æ 2p ö cosç (t1 + t) ÷ = . Фаза струје у том тренутку је (t1 + t) = или (t1 + t) = - . T 4 T 4 T 2 è ø 2p p Струја опада у тренутку t1 , па фаза струје у тренутку t1 може бити само (t1 + t) = . T 4 Како је t1 = Израз

за

T p T T , то је почетни тренутни став струје t = - t1 = - = -25 ms . 4 4 2p 8 2p æ T ö i (t ) = I 2 cos ç t - ÷ , односно интензитет струје је T è 8ø

æ t 1ö i (t ) = 50 2 cos pçç - ÷÷ mA , што је графички представљено на слици 42.1. è 100 ms 4 ø

50 2

Слика 42.1.

1. Променљивe струје

43. На слици 43.1 приказан је график интензитета једне простопериодичне струје. Написати израз за интензитет те струје узимајући да је почетни тренутак одређен (а) тачком O1 ,

25

T/6

Im

T/4 O3

O2

O1

(б) тачком O2 и (в) тачком O3 .

Im

T Слика 43.1. РЕШЕЊЕ (а) Ако почетни тренутак одговара тачки O1 , тада је почетни тренутни став T (слика 43.2). 4 Израз за интензитет струје је 2p æ T ö pö æ i (t ) = I m cos ç t - ÷ = I m cosç wt - ÷ . T è 4ø 2ø è t=-

Слика 43.2.

t

26

Кола променљивих струја (б) За

почетни

тренутак одређен 7T тачком O2 је t = , па је тренутни 12 интензитет струје дат изразом 2p æ 7T ö 7p ö æ i (t ) = I m cos çt ÷ = I m cosç wt ÷ T è 12 ø 6 ø è 5p ö æ = I m cosç wt + ÷ (слика 43.3). 6 ø è

Слика 43.3. (в) За

почетни

i(t)

тренутак

одређен T тачком O3 (слика 43.4) је t = , па је 2 тренутни интензитет струје 2p æ T ö i (t ) = I m cos ç t + ÷ = I m cos(wt + p) . T è 2ø

Im τ T/2

T/2

O3 T/4 T/4

T/2

3T/4 T

t

Im

Слика 43.4.

44. Простопериодична струја је одређена изразом i (t ) = I 2 cos(wt + y ) . Одредити тренутке у којима ова струја мења смер. РЕШЕЊЕ Струја мења смер у тренуцима у којима је фаза струје wt k + y = 1ö æ ç k + ÷p - y 2ø k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,K , па је t k = è . w

p + kp , 2

1. Променљивe струје

45. Простопериодичне

27

струје

5p ö æ i1 (t ) = 20 cosç wt - ÷ mA 12 è ø

и

5p ö æ i2 (t ) = 25 sin ç wt - ÷ mA упоредити (а) по амплитуди и (б) по фази. 6 ø è РЕШЕЊЕ (а) По амплитуди се могу поредити само величине исте природе (струја са струјом, а напон са напоном). Поређење се обавља на основу количника максималних или ефективних вредности величина које се пореде. У задатом случају је I1m 20 mA = = 0,8 < 1 , па је струја i1 слабија од струје i2 . I 2 m 25 mA (б) По фази се могу поредити величине исте или различите природе, а поређење се обавља на основу фазне разлике (разлике фаза). При поређењу се величине које се пореде посматрају у каноничном облику, а фазна разлика a своди се на интервал 5p ö æ i1 (t ) = 20 cosç wt - ÷ mA и a Î (-p, p] . У конкретном примеру је 12 ø è 2p ö 4p ö 5p p ö æ æ æ i2 (t ) = 25 cosç wt - ÷ = 25 cosç wt ÷ mA = 25 cosç wt + ÷ mA , па је фазна 3 ø 3 ø 6 2ø è è è 13p < -p . Да би се фазна разлика струја i1 и i2 a = (wt + y1 ) - (wt + y 2 ) = y1 - y 2 = 12 11p разлика свела на интервал a Î (-p, p] , потребно је додати 2p , чиме се добија a = . 12 11p На основу те фазне разлике закључујемо да струја i1 фазно предњачи струји i2 за . 12

pö æ 46. Емс једног генератора је одређена изразом e1 = 220 cosç wt + ÷ V . Емс другог 6ø è генератора, e2 , има исту ефективну вредност, исту учестаност и исти почетни тренутак као емс e1 . Написати израз за емс e2 ако она (а) фазно заостаје за e1 за предњачи емс e1 за

2p , (б) фазно 3

p и (в) у противфази је са e1 . 2

РЕШЕЊЕ Амплитуда емс e2 је E 2 m = 220 V , а фазна разлика емс e1 и e2 је b = q1 - q 2 , где су q1 и q 2 почетне фазе ових емс. Одавде је q 2 = q1 - b . Да би се емс e2 довела на канонични облик, потребно је њену почетну фазу свести на интервал q 2 Î (-p, p] . (а) У овом случају је b1 =

2p p 2p p pö æ па је q 2 = = - и e2 = 220 cosç wt - ÷ V . 6 3 2 2ø 3 è

28

Кола променљивих струја

(б) Фазна разлика је b 2 = (в) Када q2 =

2p ö p p p 2p æ , па је q 2 = + = и e2 = 220 cosç wt + ÷V. 3 ø 2 6 2 3 è

су електромоторне

силе

у

противфази,

тада

је

b3 = p

па

је

p 5p 5p ö æ -p= и e2 = 220 cosç wt - ÷ V . 6 ø 6 6 è

47. Три простопериодичне струје имају исту учестаност 100 Hz . Амплитуда друге струје је 4 A и једнака је половини амплитуде треће струје. Ефективна вредност треће струје је пет пута већа од ефективне вредности прве струје. У тренутку t1 = 2 ms трећа струја расте и мења знак. Прва струја достиже своју амплитуду половину периода после 2p друге струје, а друга струја фазно предњачи трећој струји за . Написати изразе за 3 тренутне интензитете ових струја. РЕЗУЛТАТ Тражени

интензитети

струја

су

23 ö æ i1 = 1,6 cosç 200pt + p ÷ A , 30 ø è

7 ö 9 ö æ æ i2 = 4 cosç 200pt p ÷ A и i3 = 8 cosç 200pt - p ÷ A , где је време t у секундама. 30 10 è ø è ø

pö æ 48. Струју i1 = 3 cos wt A одузети од струје i2 = 4 cosç wt + ÷ A . 2ø è РЕШЕЊЕ Струја

i = i2 - i1

се може представити у облику

i = I m cos(wt + y ) , па је

pö æ I m cos(wt + y ) = 4 cosç wt + ÷ A + 3 cos(wt - p) A . Одавде је, према задатку 5, I m = 5 A и 2ø è y » 126,9 o .

49. Познати су напони ефективну

вредност

(в) u = u1 + u 2 .

и

pö æ u 2 = 10 sin ç wt + ÷ V . Израчунати 2ø è напона (а) u = u 2 - u1 , (б) u = u1 - u 2 и

u1 = 5 sin wt V

почетну

фазу

и

1. Променљивe струје

29

РЕШЕЊЕ (а) Разлика

задатих напона се може представити у облику p æ ö u = u 2 - u1 = 10 cos wt + 5 cosç wt + ÷ . Према задатку 5, амплитуда напона u је 2ø è U U m = 125 V » 11,2 V , па је тражена ефективна вредност U = m » 7,91 V . Почетна 2 фаза напона u се налази у првом квадранту и износи q » 26,57 o » 0,46 rad » 0,148p rad , па је канонични облик траженог напона u = 11,2 cos(wt + 0,148p ) V .

(б) У односу на претходни случај, промењен је само знак напона. Ефективна вредност напона је U » 7,91 V . Почетна фаза напона u се налази у трећем квадранту и износи q » -0,852p rad . (в) Ефективна вредност напона је U » 7,91 V . Почетна фаза се налази у четвртом квадранту и износи q » -0,148p rad .

50. За простопериодичну струју

i (t ) = I m cos(wt + y )

познато је

I m = 10 A ,

p . Одредити (а) колика је највећа брзина којом се струја мења и 6 (б) колика је струја у тренуцима највеће брзине промене. f = 50 Hz и y =

РЕШЕЊЕ di pö æ = -wI m sin (wt + y ) = wI m cosç wt + y + ÷ . dt 2ø è di A Амплитуда ове брзине је = wI m = 2pfI m = 1000p . Брзина промене достиже dt max s p pö æ максимум у тренуцима у којима је cosç wt1 + y + ÷ = 1 , односно wt1 + y + = 2kp , 2 2ø è 2p . k = 0, ± 1, ± 2, ... и у тим тренуцима струја расте. За задате податке је wt1 = 2kp 3 pö æ Брзина промене достиже минимум када је cosç wt 2 + y + ÷ = -1 , односно 2ø è p wt 2 + y + = (2k + 1)p , а у тим тренуцима струја опада. За задате податке је 2 p wt 2 = 2kp + . График струје је приказан на слици 50.1, а тренуци t1 и t 2 означени за 3 k = 0. (а) Брзина којом се струја мења је

(б) Интензитет струје при највећој брзини промене је нула.

30

Кола променљивих струја

wt1 = -

p 2

2p 3

5p 6 -

p 6

p wt2 = 3

p 2

Слика 50.1.

p

2. Елементи кола променљивих струја

31

2. Елементи кола променљивих струја 51. Која веза постоји између тренутног напона, u (t ) , и тренутне струје, i (t ) , (а) отпорника отпорности R, (б) калема индуктивности L и (в) кондензатора капацитивности C? Референтни смерови напона и струје су усклађени. РЕШЕЊЕ (а) За отпорник је, према ознакама на слици 51.1, u (t ) = Ri (t ) . Та веза је линеарна алгебарска релација (линеарна пропорционалност). (б) За калем је веза линеарна диференцијална релација, u (t ) = L

Слика 51.1.

Слика 51.2.

di (t ) (слика 51.2). dt

Слика 51.3.

(в) Релација за кондензатор (слика 51.3) дуална је релацији за калем, i (t ) = C

d u (t ) . dt

Читаоцу се препоручује да напише и инверзне релације: изрази струју отпорника и калема преко напона, а напон кондензатора преко струје.

52. Поновити претходни задатак ако су референтни смерови напона и струје неусклађени. РЕЗУЛТАТ (а) За отпорник је (слика 52.1) u( t ) = - Ri( t ) .

32

Кола променљивих струја

(б) За калем је (слика 52.2) u( t ) = - L

di( t ) . dt

(в) За кондензатор је (слика 52.3) i( t ) = - C

Слика 52.1.

du( t ) . dt

Слика 52.2.

Слика 52.3. i

53. Капацитивност кондензатора је С, а тренутни напон је pö æ u (t ) = U 2 cosç w t - ÷ . (а) Одредити тренутну струју, тренутну 6ø è снагу, средњу снагу и максималну електричну енергију кондензатора. Референтни смерови напона и струје су усклађени, као на слици 53.1. (б) Скицирати напон, струју, снагу и енергију кондензатора у функцији времена.

u

C

Слика 53.1.

РЕШЕЊЕ (а) Према референтним смеровима са слике 53.1, тренутна струја кондензатора је du pö pö æ æ i (t ) = C = -wCU 2 sin ç w t - ÷ = wCU 2 cosç w t + ÷ . Тренутна снага кондензатора dt 6ø 3ø è è pö pö æ æ је p (t ) = u (t )i (t ) = -wCU 2 sin ç 2w t - ÷ = wCU 2 cosç 2w t + ÷ , а средња снага је P = 0 . 3ø 6ø è è Тренутна електрична енергија кондензатора је WC (t ) =

1 2 pö æ Cu (t ) = CU 2 cos 2 ç w t - ÷ , а 2 6ø è

1 2 CU m , где је U m = U 2 . 2 (б) Тренутни напон, струја, снага и енергија кондензатора приказани су на слици 53.2. максимална вредност је WC max = CU 2 =

Читаоцу се оставља да провери да ли важи релација p (t ) =

dWC (t ) . dt

2. Елементи кола променљивих струја

33

Слика 53.2.

54. Напон кондензатора капацитивности C мења се у времену као u( t ) = U m (1 + cos wt ) , где су U m и w константне величине. Одредити изразе за тренутну оптерећеност и јачину струје кондензатора у односу на референтни смер усаглашен са референтним смером напона, као и тренутну и средњу снагу коју кондензатор прима од остатка кола. РЕШЕЊЕ Оптерећеност кондензатора је Q(t ) = CU (t ) = CU m (1 + cos wt ) . Јачина струје је du dQ(t ) i (t ) = C = = -CU m w sin wt . Тренутна снага кондензатора је dt dt 1 æ ö p (t ) = u (t ) i (t ) = -CU m2 w (1 + cos wt )sin wt = -CU m2 w ç sin wt + sin 2wt ÷ , а средња снага је 2 è ø P=

1 T

T

ò p(t ) dt = 0 . 0

Читаоцу се препоручује да одреди тренутну и максималну вредност електричне енергије кондензатора и графички представи резултате овог задатка. Како би гласили изрази за оптерећеност, струју, снагу и енергију кондензатора да су референтни смерови напона и струје неусаглашени? i 55. У периодичном режиму, тренутна струја калема индуктивности L је i (t ) = I 0 + I m cos wt , где су I 0 , I m и w константне величине. Одредити изразе за тренутни напон калема (при усаглашеним референтним смеровима напона и струје, као на слици 55.1), тренутну снагу, средњу снагу и тренутну магнетску енергију калема. Која релација постоји између тренутне снаге и тренутне магнетске енергије калема?

u

L

Слика 55.1.

34

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ

di = - LwI m sin wt , тренутна снага је dt p (t ) = u (t )i (t ) = - LwI m sin wt (I 0 + I m cos wt ) , а средња снага је P = 0 . Тренутна 1 1 магнетска енергија калема је Wm (t ) = Li 2 (t ) = L(I 0 + I m cos wt )2 , а између енергије и 2 2 dWm (t ) снаге важи релација p (t ) = . dt На слици 55.2 скицирани су струја, напон, снага и енергија калема у функцији времена за случај када је I 0 = I m . Напон

калема

је

u (t ) = L

Слика 55.2.

*56. Струја идеалног струјног генератора у колу приказаном на слици 56.1 је 0, t < 0 ì ïï 2 pt ig (t ) = í I 0 sin , 0 £ t < T , где је I 0 = 10 mA и T ï 0, t ³ T îï T = 2 ms . Отпорност отпорника је R = 100 W , а индуктивност калема је L = 100 mH . Одредити напоне и снаге струјног генератора, отпорника и калема у функцији времена.

Слика 56.1.

РЕШЕЊЕ У интервалу времена t Î (0, T ) , напон отпорника је u R (t ) = Rig (t ) = RI 0 sin 2 dig (t )

pt , T

pI 2pt = L 0 sin , а напон идеалног струјног генератора је dt T T pI pt 2pt u (t ) = u R (t ) + u L (t ) = RI 0 sin 2 + L 0 sin . Снага коју прима отпорник је T T T pt , снага коју прима калем је p R (t ) = u R (t )ig (t ) = Rig2 = RI 02 sin 4 T

напон калема је u L (t ) = L

2. Елементи кола променљивих струја

35

pI 02 pt 2pt sin 2 sin , а снага коју развија идеални струјни генератор T T T pt p 2pt ö 2 pt æ + L sin = p R (t ) + p L (t ) . Ван интервала је p I g (t ) = u (t )ig (t ) = I 02 ç R sin 2 ÷ sin T T T ø T è t Î (0, T ) сви напони и снаге једнаки су нули. p L (t ) = u L (t )ig (t ) = L

На слици 56.2 приказани су напони, а на слици 56.3 тренутне снаге.

Слика 56.2.

Слика 56.3. Да ли се отпорник стално понаша као пријемник? А калем? Како се понаша идеални струјни генератор?

**57. Струја идеалног струјног генератора у приказаном на слици 57.1 је 0, t < 0 ì ïï 2 pt ig (t ) = í I 0 sin , 0 £ t < T , где је I 0 = 10 mA и T ï 0, t ³ T ïî

колу

36

Кола променљивих струја

T = 2 ms . Отпорност отпорника је R = 100 W , а капацитивност кондензатора је C = 10 nF . Напон кондензатора је нула за t = 0 . Одредити напоне и снаге струјног генератора, отпорника и кондензатора у функцији времена.

Слика 57.1.

РЕШЕЊЕ У интервалу времена t Î (0, T ) , напон отпорника је u R (t ) = Ri (t ) = RI 0 sin 2

pt , а T

нула је ван тог интервала. 1 ig dt + U 0 , где је U 0 интеграциона константа. Cò Будући да је познато uC (0) = 0 , а да пре тренутка t = 0 у колу нема струје, напон кондензатора је нула и за t < 0 . Напон кондензатора се не може тренутно променити. У противном, струја кондензатора би требало да буде бесконачна (као и снага Напон кондензатора је uC (t ) =

кондензатора). Стога напон кондензатора остаје нула и за t = 0 + . На основу задатог услова uC (0) = 0 , напон кондензатора за t > 0 се сада може написати у облику t

одређеног интеграла, uC (t ) =

1 ig (t ¢) dt ¢ , где је текућа променљива интеграције Cò 0

означена са t ¢ како би се разликовала од горње границе интеграла. За t Î (0, T ) је uC (t ) =

t I æt T pt ¢ 1 2pt ö I 0 sin 2 dt ¢ = 0 ç sin ÷ . Пошто у колу нема струје за t > T , напон C è 2 4p T ø T Cò 0

I æT T 2pT ö I 0T sin . кондензатора је тада константан, uC (t ) = uC (T ) = 0 ç ÷= 2 4 p Cè T ø 2C Напон идеалног струјног генератора је u (t ) = u R (t ) + uC (t ) . У интервалу времена t Î (0, T ) , снага коју прима отпорник је p R (t ) = RI 02 sin 4

pt , T

I 02 æ t T 2pt ö 2 pt sin , а снага ç ÷ sin C è 2 4p T ø T p I g (t ) = u (t )ig (t ) = p R (t ) + pC (t ) . Ван

снага коју прима кондензатор је pC (t ) = uC (t )ig (t ) = коју развија идеални струјни генератор је интервала t Î (0, T ) све снаге су једнаке нули.

Напони елемената кола са слике 57.1 скицирани су на слици 57.2. Читаоцу се оставља да скицира снаге. Такође, читаоцу се препоручује да израчуна рад идеалног струјног генератора у интервалу времена t Î (0, T ) , рад претворен у топлоту у отпорнику, као и рад уложен на успостављање електричног поља у кондензатору. Каква веза постоји између ових радова?

2. Елементи кола променљивих струја

37

i

u umax ≈ 1,59 V

u ig

ig max = 10 mA

uR

uR max = uC max = 1 V

uC t T

0 Слика 57.2.

*58. У колу на слици 58.1 електромоторна сила идеалног напонског генератора је 0, t < 0 ìï e(t ) = í , где су E0 и t константне величине. Познати су и отпорност R ïî E0 1 - e - t / t , t ³ 0 и капацитивност С. Одредити струју идеалног напонског генератора.

(

)

Слика 58.1.

Слика 58.2.

РЕШЕЊЕ У односу на референтне смерове са слике 58.2, струја отпорника је 0, t < 0 0, t < 0 e(t ) ìï de ìï = í E0 = í CE0 -t / t . i R (t ) = , а струја кондензатора iC (t ) = C -t / t ,t ³0 e ,t >0 dt ï R ïî R 1 - e î t Струја идеалног напонског генератора је 0, t < 0 ì ï i (t ) = iR (t ) + iC (t ) = í E0 CE0 - t / t . Струја кондензатора и струја -t / t + e ,t >0 ïî R 1 - e t генератора имају скок (прекид) за t = 0 .

(

)

(

)

На слици 58.3 скицирана је задата електромоторна сила, као и струје у гранама задатог кола, под претпоставком да је t = 2 RC . Читаоцу се препоручује да одреди изразе за снаге свих елемената задатог кола.

38

Кола променљивих струја

E0 R CE0 t

Слика 58.3.

**59. У колу на слици 59.1 електромоторна сила ì 0, t < 0 идеалног напонског генератора је e(t ) = í , -t / t ,t >0 î E0 e где су E0 и t константне величине. Струја калема је нула за t = 0 . Познати су и отпорност R и индуктивност L. Одредити струје свих грана кола за t > 0 .

Слика 59.1.

РЕШЕЊЕ Струја отпорника је iR (t ) =

0, t < 0 e(t ) ìï = í E0 - t / t . ,t >0 R ïî R e

Између струје и напона калема (при усклађеним референтним смеровима) важи 1 интегрална релација iL (t ) = ò e dt + I 0 , где је I 0 интеграциона константа. У задатом L колу, напон калема једнак је емс генератора. Пре тренутка t = 0 , у колу нема побуде, па из услова iL (0) = 0 следи да је iL (t ) = 0 за t < 0 . Струја калема се не може тренутно променити (осим ако би напон калема био бесконачан, а тиме би бесконачна била и снага калема), па је и iL (0 + ) = 0 , без обзира на то што емс има скок за t = 0 . Струја t

калема за t > 0 дата је одређеним интегралом iL (t ) =

(

)

tE 1 e(t ¢) dt ¢ = 0 1 - e -t / t . ò L L 0

æt æ1 tö ö Струја идеалног напонског генератора је i (t ) = iR (t ) + iL (t ) = E0 çç + ç - ÷e -t / t ÷÷ . èL èR Lø ø Чему тежи струја отпорника, а чему струја калема када t ® +¥ ? Читаоцу се препоручује да одреди рад идеалног напонског генератора и утврди колики део тог рада иде на успостављање магнетског поља калема.

2. Елементи кола променљивих струја

39

0, t < 0 ì *60. Струја отпорника отпорности R = 100 W je i (t ) = í , где је -t / t - e -5t / t , t ³ 0 e I î 0 I 0 = 30 A и t = 5 ns (слика 60.1). Израчунати рад претворен у топлоту у интервалу

(

)

времена t Î (0,+¥) . I max » 16 A

tmax =

t ln 5 » 2 ns 4

Слика 60.1. РЕШЕЊЕ +¥

Рад претворен у топлоту је AJ =

ò Ri

0

2

(t ) dt =

4 RI 02 t = 120 mJ . 15

Читаоцу се оставља да скицира зависност снаге отпорника од времена. Овај пример симулира ефекте електростатичких пражњења до којих може доћи при руковању електронским уређајима. Иако је развијена количина топлоте релативно мала, довољна је да доведе до оштећења интегрисаних кола и других осетљивих компоненти.

40

Кола променљивих струја

3. Једноставна кола простопериодичних струја 3.1. Временски домен 61. Отпорник отпорности R = 100 W , калем индуктивности L = 10 mH и кондензатор капацитивности C = 500 pF везани су на ред и прикључени на идеалан напонски генератор простопериодичне електромоторне силе, као на слици 61.1. У колу је успостављена простопериодична струја ефективне вредности I = 10 mA , кружне p учестаности w = 10 7 s -1 и почетне фазе y = . Израчунати електромоторну силу 3 генератора.

Слика 61.1.

Слика 61.2.

РЕШЕЊЕ У каноничном облику, струја у колу је i (t ) = I 2 cos(wt + y ) . Према референтним смеровима са слике 61.2, напон отпорника је дат изразом u R (t ) = Ri (t ) = RI 2 cos(wt + y ) ,

u L (t ) = L

напон

калема

је

di (t ) pö æ = -wLI 2 sin (wt + y ) = wLI 2 cosç wt + y + ÷ , а напон кондензатора је dt 2ø è

3. Једноставна кола простопериодичних струја

41

1 1 1 pö æ i (t ) dt = I 2 sin (wt + y ) + U 0 = I 2 cosç wt + y - ÷ + U 0 , где је U 0 ò C wC wC 2ø è интеграциона константа. Види се да су напон калема и простопериодична компонента напона кондензатора у противфази, а у квадратури су са напоном отпорника. uC (t ) =

На

основу

другог

Кирхофовог

закона

e(t ) = u R (t ) + u L (t ) + uC (t )

је

pö 1 pö æ æ = RI 2 cos(wt + y ) + wLI 2 cosç wt + y + ÷ + 2 cosç wt + y - ÷ + U 0 . Условима 2 ø wC 2ø è è задатка дефинисано је да је електромоторна сила e(t ) простопериодична функција времена.

Стога

је

интеграциона

константа

U0 = 0 ,

па

је

1 ö pö æ æ e(t ) = RI 2 cos(wt + y ) + ç wL ÷ I 2 cosç wt + y + ÷ . wC ø 2ø è è pö æ Како је cosç wt + y + ÷ = - sin (wt + y ) и уводећи реактансу редне везе калема и 2ø è 1 кондензатора, X = wL , овај резултат се може написати у облику wC e(t ) = I 2 (R cos(wt + y ) - X sin (wt + y )) .

(61.1)

На основу резултата задатка 5, електромоторна сила је простопериодична функција

времена облика e(t ) = E 2 cos(wt + q ) . Међутим, уместо израза из тог задатка, ефективну вредност (Е) и почетну фазу ( q ) електромоторне силе одредићемо на следећи начин. Уведимо фазну разлику2 електромоторне силе и струје у колу на слици 61.1, f = q - y . Тада је e(t ) = E 2 cos(wt + y + f ) = E 2 (cos(wt + y )cos f - sin (wt + y )sin f) .

(61.2)

Упоређујући изразе (61.1) и (61.2), види се да је RI = E cos f и XI = E sin f . Одавде је 1 ö æ E = ZI , где је Z = R 2 + X 2 = R 2 + ç wL ÷ wC ø è

2

импеданса (привидна отпорност)

редне везе отпорника, калема и кондензатора, а f = arctg

X јер је R > 0 , па f може R

бити само у првом или четвртом квадранту. 1 = 200 W , X = -100 W (задата редна веза је wC p претежно капацитивна), Z = 100 2 W , E = 2 V и f = arctg(- 1) = - , па је 4 pö æ електромоторна сила e(t ) = 2 cosç wt + ÷ V . 12 ø è За задате податке је wL = 100 W ,

2

Грчко слово “фи” се пише и као j.

42

Кола променљивих струја

62. Отпорник проводности G = 5 mS , калем индуктивности и кондензатор L = 10 mH капацитивности C = 500 pF везани су паралелно и прикључени на идеалан струјни генератор простопериодичне струје, као на слици 62.1. У колу је успостављен простопериодичан напон u12 (t ) ефективне вредности U = 1 V , кружне учестаности p w = 10 7 s -1 и почетне фазе q = . Израчунати струју 6 струјног генератора.

Слика 62.1.

РЕШЕЊЕ Напон између чворова 1 и 2 има облик u12 (t ) = u (t ) = U 2 cos(wt + q) . У односу на референтни смер од чвора 1 ка чвору 2, струје пасивних елемената су 1 U 2 pö æ u (t ) d t + I 0 = cosç wt + q - ÷ + I 0 (где је L wL 2ø è du (t ) pö æ I 0 интеграциона константа) и iC (t ) = C = wCU 2 cosç wt + q + ÷ . Види се да су dt 2ø è простопериодична компонента струје калема и струја кондензатора у противфази, а у квадратури су са струјом отпорника. iG (t ) = Gu (t ) = GU 2 cos(wt + q ) , iL (t ) =

ò

На основу првог Кирхофовог закона је ig (t ) = iG (t ) + iL (t ) + iC (t ) . Аналогним резоновањем као у претходном задатку, долази се до закључка да је интеграциона 1 константа I 0 = 0 , па је ig (t ) = U 2 (G cos(wt + q) - B sin (wt + q)) , где је B = wC wL сусцептанса паралелне везе кондензатора и калема. Стога се струја генератора може написати у облику ig (t ) = I g 2 cos(wt + y ) . Уводећи фазну разлику струје ig (t ) и напона u (t ) , u = y - q = -f , и примењујући исти поступак као у претходном задатку, добијају се GU = I g cos u

једначине

1 ö æ Y = G + B = G + ç wC ÷ wL ø è 2

2

2

BU = I g sin u ,

и

одакле

је

I g = YU ,

где

је

2

адмитанса (привидна проводност) паралелне везе

æBö отпорника, калема и кондензатора, а u = arctgç ÷ јер је G > 0 , па u може бити само у èGø првом или четвртом квадранту.

3. Једноставна кола простопериодичних струја

43

1 = 10 mS , wC = 5 mS , B = -5 mS (задата паралелна веза је wL p претежно индуктивна), Y = 5 2 mS , I g = 5 2 mA и u = arctg(- 1) = - , па је струја 4 pö æ струјног генератора ig (t ) = 10 cosç wt - ÷ mA . 12 è ø За задате податке је

I 63. Између крајева редне везе отпорника отпорности R = 51 W и калема индуктивности L = 0,2 H прикључен је простопериодичан напон u = U m cos(wt + q ) , где је U m = 155 V , f = 50 Hz и q = p . Израчунати (а) импедансу редне везе отпорника и калема, (б) ефективну вредност и почетну фазу струје у колу и (в) ефективну вредност напона отпорника и напона калема. РЕШЕЊЕ (а) Импеданса

редне

везе

R

UR

L

UL

U

Слика 63.1.

отпорника

и

калема

је

Z = R 2 + (wL )2 = R 2 + (2pf L )2 » 81 W . (б) Ефективна вредност прикљученог напона је U =

Um 2

» 110 V , па је ефективна

U » 1,35 A . Фазна разлика напона U и струје I , за усаглашене Z референтне смерове као на слици 63.1, је wL 2pf L f = q - y = arctg = arctg = arctg 1,23 » 51o » 0,89 rad . Та фазна разлика је R R позитивна јер је коло индуктивно. Почетна фаза струје је па је тренутни интензитет струје y = q - f » p - 0,89 » 2,25 rad » 129° , вредност струје I =

i = 1,35 2 cos(100pt + 2,25) A . (в) Ефективна вредност напона између крајева отпорника је U R = Z R I = RI » 69,1 V , а ефективна вредност напона између крајева калема је U L = Z L I = wLI = 2pf LI » 85,1 V . Ефективна вредност прикљученог напона је U =

Um

» 110 V . Очигледно, U ¹ U R + U L . 2 Одавде се закључује да, у општем случају, други Кирхофов закон не важи за ефективне вредности напона дуж затвореног пута у колу.

44

Кола променљивих струја

64. Између крајева редне везе отпорника отпорности R = 20 W и кондензатора капацитивности C = 15 mF прикључен је простопериодичан напон ефективне вредности U = 110 V , учестаности f = 400 Hz и почетне фазе q = 0 . (а) Одредити тренутни интензитет струје у овом колу. (б) Израчунати ефективну вредност напона отпорника и напона кондензатора. (в) Израчунати фазну разлику напона кондензатора и напона U. РЕШЕЊЕ (а) Импеданса

редне

2

везе

отпорника

Слика 64.1.

и

кондензатора

је

2

æ 1 ö æ 1 ö ÷÷ » 33,2 W . Z = R2 + ç ÷ = R 2 + çç è wC ø è 2pf C ø

Ефективна

вредност

струје

је

U » 3,31 A . Фазна разлика напона U и струје I je, за усаглашене референтне Z 1 2pf C » -53o » -0,29p rad (угао f се налази у четвртом квадранту). смерове, f = arctg R I=

Почетна фаза струје је y = q - f » 0,29p rad , па је тренутни интензитет струје i = 3,31 2 cos(800pt + 0,29p) A . (б) Ефективна вредност напона отпорника је U R = Z R I = RI » 66,2 V . Ефективна вредност напона кондензатора је U C = Z C I =

1 1 I= I » 87,8 V . 2pf C wC

(в) За усаглашене референтне смерове (слика 64.1), фазна разлика напона и струје p кондензатора је fC = qC - y = - . Како је f = q - y , то је y = qC - fC = q - f . Фазна 2 разлика напона кондензатора и напона између крајева редне везе је a = qC - q = fC - f » -0,21p rad » -37o . Напон U C фазно заостаје за напоном U за 37o .

65. Отпорник отпорности R = 5 W и калем индуктивности везани су паралелно и прикључени на L = 20 mH простопериодичан напон ефективне вредности U = 220 V , p , као на слици 6 65.1. Израчунати (а) ефективну вредност и почетну фазу струје напоjне гране, (б) ефективне вредности струја паралелно везаних грана и (в) фазну разлику струје калема и струје напоjне гране. учестаности f = 50 Hz и почетне фазе q =

Слика 65.1.

3. Једноставна кола простопериодичних струја

45

РЕШЕЊЕ (a) Адмитанса (привидна проводност) паралелне везе отпорника и калема је 2

2

2

2

æ1ö æ 1 ö æ1ö æ 1 ö ÷÷ » 256 mS . Ефективна вредност струје напојне Y = ç ÷ +ç ÷ = ç ÷ + çç è R ø è wL ø è R ø è 2pf L ø гране (слика 65.1) је I = YU » 56,23 A . Фазна разлика струје I и напона U , за усаглашене референтне смерове (слика 65.1), је 1 2pf L u = -f = y - q = arctg » -38,5o » -0,21p rad јер се угао u налази у четвртом 1 R квадранту (коло је индуктивно). Почетна фаза струје је y = q + u » -0,05p rad , па је тренутни интензитет струје

(

)

напојне гране i = 56,32 2 cos 100pt[s ] - 0,05p A . (б) Ефективна вредност струје отпорника је I R = YRU =

U = 44 A . Ефективна R

1 U » 35 A . Како је I ¹ I R + I L , произилази да 2pf L у општем случају први Кирхофов закон не важи за ефективне вредности струја грана обухваћених једним пресеком. (в) За усаглашене смерове, фазна разлика струје калема и напона калема (слика p 65.1) је u L = y L - q = - . Фазна разлика струје напојне гране и напона између 2 прикључака мреже је u = y - q , одакле је q = y - u = y L - u L , па је тражена фазна вредност струје калема је I L = YLU =

разлика b = y L - y = u L - u » -0,29p rad . Струја I L фазно заостаје за струјом I за 0,29p rad .

66. Између крајева паралелне везе отпорника отпорности R = 30 W и кондензатора капацитивности C = 5 mF прикључен је простопериодичан напон ефективне вредности U = 110 V , фреквенције f = 800 Hz

I IR U

R

p . Израчунати (а) ефективне 4 вредности струја свих грана и (б) фазну разлику струје напојне гране и струје кондензатора. и

почетне

фазе

IC

q=

C

Слика 66.1.

РЕШЕЊЕ U » 3,67 A . Адмитанса R кондензатора је YC = wC = 2pfC » 25,1 mS , па је ефективна вредност струје кондензатора (а) Ефективна вредност струје отпорника је I R = YRU =

I C = YCU » 2,76 A .

Адмитанса

паралелне

везе

отпорника

и

кондензатора

је

46

Кола променљивих струја 2

æ1ö Y = ç ÷ + (wC )2 » 41,7 mS , èRø I = YU » 4,59 A . (б) Фазна

разлика

те

струје

је

ефективна

I

и

вредност

напона

струје

U

напојне

(слика

гране

66.1)

је

u = y - q = arctg(wRC ) » 37 » 0,21p rad , u > 0 јер је мрежа капацитивног карактера. o

Фазна разлика струје I C и напона U је uC = y C - q = b = y - yC = u -

p p , па је q = y - u = y C и 2 2

p » -0,29p rad . Струја I фазно заостаје за струјом I C за 0,29p rad . 2

67. Редна веза отпорника отпорности R = 4 W , калема индуктивности L = 10 mH и кондензатора капацитивности C = 20 mF прикључена је на простопериодичан напон ефективне вредности U = 100 V , кружне учестаности w = 2512 s -1 и p . Израчунати (а) ефективну 2 вредност и почетну фазу струје I и (б) ефективне вредности напона отпорника, напона калема и напона кондензатора. почетне фазе q = -

Слика 67.1.

РЕШЕЊЕ 2

1 ö æ (а) Импеданса редне RLC везе је Z = R 2 + ç wL ÷ » 6,57 W , па је ефективна wC ø è вредност струје

I=

U » 15,2 A . Како је Z

wL = 25,12 W

и

1 » 19,9 W , то је wC

1 » 5,22 W > 0 , па је задата веза претежно индуктивнa. За усаглашене референтне wC смерове (слика 67.1), фазна разлика напона U и струје I је 1 wL wC » 52,5o » 0,29p rad > 0 , па напон U фазно предњачи струји I . f = q - y = arctg R (За све пасивне пријемнике, при усаглашеним референтним смеровима напона и струје, p важи неједнакост j £ .) Почетна фаза струје I је y = q - f » -0,79p rad » -142,5o , а 2 тренутни интензитет струје је i (t ) = 21,43 cos(2512t - 2,49 ) A , где је време t у секундама. wL -

3. Једноставна кола простопериодичних струја (б) Ефективне

вредности

напона

47

елемената

су

U R = Z R I = RI » 60,9 V ,

1 I » 303 V . U L = Z L I = wLI » 382 V и U C = Z C I = wC

68. За мрежу простопериодичне струје са слике 68.1 познато је R , L , C и напон кондензатора u C (t ) = U C 2 cos(wt + q C ) . Одредити израз за напон u (t ) између прикључака мреже.

Слика 68.1.

РЕШЕЊЕ Фазна разлика напона и струје кондензатора (слика 68.1) је fC = qC - y = одакле је почетна фаза струје y = q C +

p , 2

p . Ефективна вредност струје кондензатора је 2

UC = wCU C , па је ефективна вредност струје задате мреже I = I C = wCU C . ZC Тренутни интензитет струје, у односу на референтни смер усаглашен са референтним pö æ смером напона, је i (t ) = I 2 cos(wt + y ) = wCU C 2 cosç wt + qC + ÷ . Фазна разлика 2ø è IC =

напона u (t ) и струје i (t ) је f = q - y = arctg

wL R

1 wC , па је почетна фаза напона

1 wL p wC . q = y + f = qC + + arctg 2 R 2

1 ö æ Импеданса редне везе је Z = R 2 + ç wL ÷ , па је ефективна вредност wC ø è 2

1 ö æ прикљученог напона U = ZI = wCU C R 2 + ç wL ÷ . Тренутни интензитет тог wC ø è 1 æ 2 wL ç 1 p æ ö wC напона је u (t ) = wCU C 2 R 2 + ç wL ÷ cosç wt + qC + + arctg wC ø ç 2 R è ç è

ö ÷ ÷. ÷ ÷ ø

69. Отпорник отпорности R, калем индуктивности L и кондензатор капацитивности C везани су на ред. (а) При којој учестаности је импеданса ове редне везе минимална? (б) Колика је та минимална импеданса?

48

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ 2

1 ö æ (а) Импеданса ове редне везе је Z = R 2 + ç wL ÷ . Импеданса има минимум w Cø è 1 1 = 0 , односно при кружној учестаности w = , којој одговара када је wL wC LC учестаност f =

1 2 p LC

.

(б) Минимална импеданса је Z min = R . I 70. За мрежу простопериодичне струје са слике

70.1 познато је R , L , C и u (t ) = U 2 cos(wt + q ) . Одредити израз за тренутни интензитет струје напојне гране.

U

R

L

C

Слика 70.1.

РЕЗУЛТАТ Тренутни интензитет струје је, према референтном смеру са слике 70.1, i (t ) = U 2

2 æ æ æ 1 ö 1 ö ö ö÷ æ + ç wC cosçç wt + q + arctgçç Rç wC ÷ ÷÷ . 2 wL ø wL ø ÷ø ÷ø è R è è è

1

71. У колу простопериодичне струје са слике 71.1 познато је R , L , C и струја калема i L (t ) = I L 2 cos(wt + y L ) . Одредити израз за струју струјног генератора ig (t ) .

Слика 71.1.

РЕШЕЊЕ Ефективна вредност напона између тачака A и B је U AB = Z L I L = wLI L , а његова почетна

фаза 2

q AB = q L = y L + f L = y L +

је

p . 2

Адмитанса

кола

је

2

1 ö æ1ö æ Y = ç ÷ + ç wC ÷ , па је ефективна вредност струје струјног генератора R w Lø è ø è 2

2

1 ö æ1ö æ I g = YU AB = wLI L ç ÷ + ç wC ÷ . Почетна фаза струје струјног генератора је wL ø èRø è æ æ 1 öö y g = q AB + u , где је u = arctgçç Rç wC ÷÷ . wL ø ÷ø è è

3. Једноставна кола простопериодичних струја Тренутни

интензитет

49

струје 2

струјног

(

генератора

је

)

æ 2 æ æ p 1 ö ö ö÷ æ wL ö ig (t ) = I g 2 cos wt + y g = I L 2 ç ÷ + w2 LC - 1 cosçç wt + y L + + arctgçç Rç wC ÷÷ . wL ø ÷ø ÷ø 2 è R ø è è è

(

)

72. Отпорник отпорности калем R = 10 W , индуктивности L = 6,4 mH и струјни генератор струје pö æ ig (t ) = 4,23 cosç 3140t[s] + ÷ A образују коло 4ø è простопериодичне струје приказано на слици 72.1. Колики је тренутни интензитет напона између крајева струјног генератора?

Слика 72.1.

РЕЗУЛТАТ

Тражени напон је u AB = 38 cos(3140t + 0,4p) V , где је време t у секундама. I 73. Коло простопериодичне струје састоји се од редне везе отпорника отпорности R = 30 W , калема индуктивности и идеалног напонског генератора емс L = 50 mH

R

UR

L

UL

E

pö æ e(t ) = 141 cosç 800t[s] + ÷ V (слика 73.1). Израчунати струју у 3ø è колу, напон отпорника и напон калема у тренутку p s. t1 = 200

Слика 73.1.

РЕШЕЊЕ За

емс

e(t ) = E 2 cos(wt + q ) ,

струја

у

колу

је

одређена

изразом

E p 2 cos(wt + q - f) , где је E » 100 V , q = , Z = R 2 + (wL )2 = 50 W и Z 3 wL 4 f = arctg = arctg » 53o » 0,295p rad (коло је индуктивно). Почетна фаза струје у R 3 E колу је y = q - f » 0,038p rad » 6o52' . Ефективна вредност струје у колу је I = = 2 A , Z p па је тренутни интензитет струје i (t ) = 2 2 cos 800t[s ] + 0,038p A . У тренутку t1 = s, 200 i (t ) =

(

)

i (t1 ) » 2,8 A , напон отпорника је u R (t1 ) = Ri (t1 ) = 60 2 cos(4p + 0,038p) V » 84 V , а напон pö æ калема је u L (t1 ) = Z L I 2 cosç wt1 + 0,038p + ÷ » -13,5 V . 2ø è

50

Кола променљивих струја

74. Отпорник отпорности R = 5 kW , кондензатор капацитивности и генератор емс C = 1 mF e(t ) = 100 sin 400t[ s] V образују коло

(

)

простопериодичне струје као на слици 74.1. За p тренутак t1 = s израчунати (а) интензитет струје у 200 колу, (б) напон отпорника и напон кондензатора, као и (в) тренутне снаге свих елемената у колу.

Слика 74.1.

РЕШЕЊЕ Емс генератора се може представити у облику e(t ) = E 2 cos(wt + q ) , где је E = 50 2 V , w = 400 s -1 и q = -

p . 2

(а) Импеданса кола је Z = Z R2 + Z C2 , где је Z R = R = 5 kW , Z C = Z » 5,59 kW . Ефективна вредност струје је I = струје I (слика 74.1) је f = arctg капацитивно).

Почетна

(

фаза

)

1 = 2,5 kW и wC

E » 12,65 mA . Фазна разлика емс E и Z

-ZC = arctg(- 0,5) » -26,57o » -0,148p rad (коло је ZR струје

је

y = q - f » -0,352p rad ,

па

је

кондензатора

је

i (t ) = 12,65 2 cos 400t[s ] - 0,352p mA . У тренутку t1 је i (t1 ) = 8 mA . (б) Напон

отпорника

је

u R (t1 ) = Ri(t1 ) = 40 V .

Напон

pö æ uC (t1 ) = Z C I 2 cosç wt1 + y - ÷ = -40 V . Емс генератора је e(t1 ) = u R (t1 ) + u C (t1 ) = 0 . 2ø è (в) Тренутна снага коју прима отпорник у тренутку t1 је p R = u R (t1 ) i (t1 ) = 320 mW . Тренутна снага коју прима кондензатор је pC = uC (t1 ) i (t1 ) = -320 mW . Тренутна снага коју развија идеални напонски генератор је pe = e(t1 ) i (t1 ) = 0 , што произилази и из теореме одржања тренутне снаге, pe = p R + pC .

3. Једноставна кола простопериодичних струја

51

75. За мрежу простопериодичне струје са слике pö æ 75.1 познато је u (t ) = 50 2 cosç 2000t[s ] + ÷ V и 6ø è pö æ i (t ) = 5 2 cosç 2000t[s ] + ÷ A . 2ø è отпорност R и капацитивност C .

Израчунати Слика 75.1.

РЕШЕЊЕ Ефективна вредност прикљученог напона је U = 50 V , ефективна вредност струје је U p = 10 W . Почетна фаза напона је q = , а почетна I 6 p p фаза струје је y = , па је фазна разлика напона и струје f = q - y = - . Како је 3 2 1 2 æ 1 ö Z 2 = R2 + ç и tg f = wC , из ових једначина се добија ÷ R è wC ø I = 5 A , па је импеданса кола Z =

æ pö R = Z cos f = 10 cosç - ÷ = 5 W è 3ø C » 57,7 mF .

76. За

мрежу

1 æ pö = Z sin f = 10 sin ç - ÷ = -5 3 W , wC è 3ø

76.1 познато је pö æ u (t ) = 100 cos 1000t[s] V и i (t ) = 10 cosç1000t[s] + ÷ A . 3ø è Израчунати (а) ефективне вредности напона отпорника и напона кондензатора, (б) отпорност R и капацитивност C и (в) снагу отпорника, снагу кондензатора и снагу коју прима цела мрежа у тренутку p t1 = s. 1000

(

са

-

и

одакле

је

слике

)

Слика 76.1.

РЕШЕЊЕ 2

2

æ 1 ö ö 2 2 æ 1 (а) Из израза Z 2 = R 2 + ç I ÷ , па произилази да између ÷ је (ZI ) = (RI ) + ç è wC ø è wC ø ефективних

вредности

напона

1 1 I U tg f = wC = wC = - C . R RI UR

постоји

веза

U 2 = U R2 + U C2 .

Такође

је

52

Кола променљивих струја

Ефективне вредности напона отпорника и кондензатора (слика 76.2) су U p UR = = U cos f и U C = U R tg f . Како је U = 50 2 V и f = - , то је 2 3 1 + tg f U R = 25 2 V » 35,4 V и U C = 25 6 V » 61,2 V .

(б) Ефективна

вредност

струје

I =5 2 A.

је

UR = 5 W . Импеданса I U 1 кондензатора је ZC = = C = 5 3 W , па је wC I 1 капацитивност кондензатора C = » 115 mF . wZ C Импеданса отпорника је Z R = R =

Слика 76.2. (в) У тренутку t1 =

pö p æ s је i (t1 ) = 10 cosç p + ÷ A = -5 A , u R (t1 ) = Ri (t1 ) = -25 V , 3ø 1000 è

pö p pö æ æ uC (t1 ) = Z C I 2 cosç wt1 + y - ÷ = 5 3 × 5 2 × 2 cosç p + - ÷ = -75 V и 2 3 2ø è ø è u (t1 ) = 100 cos p = -100 V (слика 76.2). Као провера, u R (t1 ) + uC (t1 ) = u (t1 ) . Тражене pC (t1 ) = uC (t1 )i (t1 ) = 375 W , p (t1 ) = u (t1 )i(t1 ) = 500 W , што се могло добити и из релације p = p R + pC .

снаге

су

p R (t1 ) = u R (t1 )i (t1 ) = 125 W

и

док

је

77. Редна веза отпорника отпорности R и кондензатора капацитивности C прикључена је на идеалан напонски генератор простопериодичне емс, ефективне 1 . Колика је енергија кондензатора у тренутку вредности Е и кружне учестаности w = RC када је снага Џулових губитака у отпорнику минимална? РЕШЕЊЕ Снага Џулових губитака у отпорнику је p R = Ri 2 (t ) . Минимум снаге је 0, а одговара тренуцима када је струја у колу нула. Фазна разлика напона и струје p посматране редне везе, при усаглашеним референтним смеровима, је f = - . У 4 тренуцима када је струја у колу нула, e = uC = E 2 cos f = E или e = uC = - E . Стога је 1 тада WC = CE 2 . 2

3. Једноставна кола простопериодичних струја

53

78. За коло са слике 78.1 познато је e(t ) = 100 sin 400t[ s] V , L = 25 mH и напон

(

)

калема у тренутку t1 =

p s , u L (t1 ) = 40 V . 800

Израчунати отпорност R .

Слика 78.1.

РЕШЕЊЕ

Емс генератора се може представити у облику e(t ) = Em cos(wt + q ) , где је Em = 100 V

и

q=-

p . 2

Према

ознакама

на

слици

78.1,

струја

у колу је

E wL i (t ) = m cos(wt + q - f ) , где је Z = R 2 + (wL )2 и f = arctg . Напон калема је Z R pö E p æ wt1 = , па је u L (t ) = wL m cosç wt + q - f + ÷ . У тренутку t1 је 2 Z 2ø è 2

wL ö wL æ wL ö E æp æ wL ö sin ç arctg u L (t1 ) = wL m cosç - arctg јер је ÷ = Em ÷ = Em ç ÷ , 2 Z R Z R è ø è ø è Z ø wL wL ö wL wL æ R sin ç arctg . Како је wL = 10 W , решавањем = = ÷= 2 2 2 R ø Z è R + (wL ) æ wL ö 1+ ç ÷ è R ø једначине

(wL )2 R 2 + (wL )2

u (t ) = L 1 Em

добија се

R = ± 150 W » ±12,25 W , а физички је

остварљиво R = 150 » 12,25 W . L 79. За коло простопериодичне струје са слике 79.1 познато је I = 0,2 A , w = 10 6 s -1 , L = 10 mH и R = 20 W . Израчунати тренутну електромоторну силу генератора и тренутну снагу коју развија та емс када је јачина струје у колу (а) једнака нули и расте, (б) једнака нули, али опада, (в) максимална и (г) минимална.

e

R i Слика 79.1.

РЕШЕЊЕ (а) Електромоторна сила генератора је e(t ) = Ri (t ) + L

di . Узимајући да је почетна dt

фаза струје y = 0 , тренутна струја у колу је i (t ) = I 2 cos wt (слика 79.2). Први извод di струје је = -wI 2 sin wt . Тренутак који одговара условима задатка (струја је нула и у dt

54

Кола променљивих струја

фази је пораста) означен је са t1 на слици 79.2. У том тренутку је wt1 = t1 =

3p , односно 2

di 3T = wI 2 . Напон , где је Т период. Тада је извод струје је максималан, dt |t = t1 4

отпорника је нула, електромоторна сила је e(t1 ) = 2wLI = 2 2 V , а тренутна снага коју развија емс је нула јер је струја нула. i T (б) У тренутку t 2 = струја у колу је нула и 4

t3=0

опада. Тада је e(t 2 ) = - 2wLI = -2 2 V , а тренутна снага коју развија емс је нула.

di dt t2

t4

t1 T

t

Слика 79.2. (в) Јачина струје је максимална у тренутку t3 = 0 . Тада је

di = 0 , односно dt |t =t3

напон калема је нула. Стога је e(t3 ) = RI 2 = 4 2 V , а снага коју развија идеални напонски генератор је p (t3 ) = e(t3 ) I 2 = 1,6 W . (г) Јачина струје у колу је минимална у тренутку у коме је wt 4 = p , односно t 4 =

(

)

T . 2

Тада је e(t 4 ) = - RI 2 = -4 2 V и p (t 4 ) = e(t 4 ) - I 2 = 1,6 W . Читаоцу се препоручује да одреди израз за електромоторну силу e(t ) и графички га представи.

80. Редна веза отпорника отпорности R , калема индуктивности L и кондензатора капацитивности C прикључена је на простопериодичан напон ефективне вредности U и кружне учестаности w (слика 80.1). Одредити израз за прикључени напон у тренуцима у којима оптерећеност кондензатора достиже максимум.

Слика 80.1.

РЕШЕЊЕ Оптерећеност кондензатора је простопериодична и дата је изразом Q(t ) = CuC (t ) = Qm cos(wt + qC ) . У тренутку када је оптерећеност максимална ( t1 ), фаза оптерећености је wt1 + qC = 2kp, k = 0, 1, 2, K Фаза струје кондензатора у тренутку t1 је p p = , јер је фазна разлика напона и струје и кондензатора, према 2 2 p смеровима са слике 80.1, fC = qC - y = - . 2 wt1 + y = wt1 + q C +

3. Једноставна кола простопериодичних струја

55

p , где је f = q - y . 2 Тренутни интензитет напона у тренутку t1 је 1 wL pö æ wC , то је u (t1 ) = U 2 cos(wt1 + q ) = U 2 cosç f + ÷ = -U 2 sin f . Како је sin f = 2ø Z è Фаза напона u (t ) у тренутку t1 је wt1 + q = wt1 + y + f = f +

æ 1 ö U 2ç - wL ÷ wC è ø . u (t1 ) = 2 1 ö æ R 2 + ç wL ÷ wC ø è Задатак се може решити и на други начин, полазећи од израза u = Ri + L

di 1 + idt . dt C ò

1 ö æ У простопериодичном режиму је u = RI 2 cos(wt + y ) - I 2 ç wL ÷ sin (wt + y ) . У wC ø è p тренутку t1 фаза струје је wt1 + y = , па је 2 æ p æ 1 ö 1 ö pö U æ u (t1 ) = I 2 çç R cos - ç wL ÷ . Пошто је I = , то је ÷ sin ÷÷ = - I 2 ç wL Z 2 è wC ø wC ø 2ø è è æ 1 ö U 2ç - wL ÷ è wC ø . u (t1 ) = 2 1 ö æ R 2 + ç wL ÷ wC ø è

81. Реални калем се може представити редном везом отпорника отпорности R = 5 W и идеалног калема индуктивности L = 20 mH , као на слици 81.1. Калем је прикључен на простопериодичан напон ефективне вредности U = 220 V и фреквенције f = 50 Hz . Колики је напон u у тренуцима у којима је емс самоиндукције максимална? РЕЗУЛТАТ

Слика 81.1.

У тренуцима када је емс самоиндукције максимална, интензитет прикљученог 2pfL напона је u (t1 ) = U 2 » -243,5 V . R 2 + (2pfL )2

56

Кола променљивих струја

82. За мрежу простопериодичне струје са слике 82.1 познато је

R = 40 3 W ,

1 = 40 W , wL = 20 W и U12 = 100 V . wC Израчунати (а) ефективну вредност напона U 13 и (б) фазну разлику напона U12 и U 23 .

Слика 82.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Тражена ефективна вредност напона је U13 = 25 13 V » 90 V . (б) Фазна разлика напона U12 и U 23 је a = q12 - q 23 = f12 - f23 = -

2p . 3

R, калем 83. Отпорник отпорности индуктивности L, кондензатор непознате капацитивности и простопериодичан генератор ефективне вредности емс E и кружне учестаности w повезани су у коло као на слици 83.1. Колика треба да буде капацитивност кондензатора C тако да ефективна вредност струје у колу буде иста при отвореном и при затвореном прекидачу П? РЕЗУЛТАТ Капацитивност кондензатора треба да буде 1 C1 ® ¥ или C 2 = . 2w 2 L

Слика 83.1.

84. Идеални калем и кондензатор везани су на ред и прикључени на

простопериодичан напон u (t ) = 20 sin (wt ) V , где је w = 105 s -1 , као на слици 84.1. pö æ Познат је напон калема u L (t ) = 10 cosç wt + ÷ V , а максимална енергија кондензатора је 2ø è WCm = 450 mJ . Израчунати индуктивност калема.

Слика 84.1.

Слика 84.2.

3. Једноставна кола простопериодичних струја

57

РЕШЕЊЕ

Тренутни напон кондензатора је (слика 84.2) uC (t ) = u (t ) - u L (t ) = 30 sin (wt ) V и у противфази је са напоном калема. Амплитуда напона кондензатора је U Cm = 30 V . Из 1 1 WCm = CU C2m добија се C = 1mF , па је Z C = = 10 W . Однос амплитуда напона 2 wC 100 U wL 1 mH . калема и кондензатора је Lm = = , одакле је индуктивност калема L = 1 3 3 U Cm wC Колика је импеданса редне везе калема и кондензатора, а колика фазна разлика напона и струје мреже са слике 84.1?

85. На слици 85.1 приказана је редна веза калема и кондензатора. Познат је напон кондензатора, u C (t ) = U 2 cos wt . Одредити израз за напон редне везе ако је w 2 LC = 2 . РЕЗУЛТАТ

Слика 85.1.

Напон редне везе је u (t ) = -U 2 cos wt .

86. На слици 86.1 приказана је паралелна веза калема и кондензатора, која је прикључена на извор простопериодичног напона. Позната је струја калема, iL (t ) = I 2 cos wt . Одредити израз за струју i (t ) у напојној грани ако је w 2 LC = 2 . РЕЗУЛТАТ

Слика 86.1.

Струја напојне гране је i (t ) = - I 2 cos wt .

87. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 87.1 напон калема је u L (t ) = 10 sin 1000t[s] V , а

(

)

струја i фазно заостаје за електромоторном силом е за

p . 3

Ефективна вредност напона калема је 2 пута већа од амплитуде напона кондензатора, а отпорност отпорника је R = 100 W . Одредити индуктивност L и капацитивност С.

Слика 87.1.

РЕЗУЛТАТ Индуктивност калема је L » 346 mH , а капацитивност кондензатора је C » 5,8 mF .

58

Кола променљивих струја

88. Полупроводничка диода се налази у колу у коме делују простопериодичне побуде кружне учестаности w. Да ли је у таквом колу могућ простопериодичан режим? РЕШЕЊЕ Веза између напона и струје диоде је нелинеарна, па је простопериодичан режим немогућ у таквом колу. На пример, ако је диода везана на идеалан простопериодичан струјни генератор, напон диоде је сложенопериодичан: периодична је функција времена, али се не може описати једном синусоидом. Аналогна ситуација постоји када је диода везана на идеалан простопериодичан напонски генератор: струја диоде је тада сложенопериодична функција времена.

89. Калем са феромагнетским језгром у коме је хистерезис изражен, налази се у колу у коме делују простопериодичне побуде кружне учестаности w. Да ли је у таквом колу могућ простопериодичан режим? РЕШЕЊЕ Феромагнетско језгро калема је нелинеарно, па се калем понаша као нелинеаран елемент. Веза између напона и струје таквог калема није линеарна диференцијална di једначина облика u = L (где је L константа). Простопериодичном напону не одговара dt простопериодична струја, већ сложенопериодична струја, и обрнуто, простопериодичној струји одговара сложенопериодичан напон. Стога је у таквом колу немогућ простопериодичан режим.

3.2. Фазорски дијаграми 1 = 10 W . wC (а) Нацртати фазорски дијаграм за ово коло. Усвојити да је почетна фаза струје нула. (б) Израчунати еквивалентну импедансу редне везе отпорника и кондензатора, разлику фаза електромоторне силе Е и струје I, као и ефективне вредности напона отпорника и кондензатора. 90. У колу простопериодичне струје са слике 90.1 је E = 100 V и R =

UR

За углове

R

O

R

=

I UR

E

C I Слика 90.1.

UC C

UC

E Слика 90.2.

Фазна оса

2. Једноставна кола простопериодичних струја

59

РЕШЕЊЕ (а) Фазорски дијаграм је скуп фазора који описују појаве (емс, напоне, струје, оптерећености) у колу простопериодичне струје. Најчешће се цртају за струје грана које се стичу у чворовима и за напоне који припадају затвореним путевима у колу. За цртање фазорског дијаграма потребно је усвојити референтне смерове, представити фазорима све величине учеснице у посматраној појави и формирати фазорску једначину која описује ту појаву (најчешће је то први или други Кирхофов закон). Фазорски дијаграм се може цртати на два начина. Први начин је на основу ефективних вредности и почетних фаза величина. Цртање фазорског дијаграма почиње од цртања фазне осе и она је овде неопходна. Други начин цртања фазорског дијаграма је на основу ефективних вредности и фазних разлика величина. Цртање почиње од фазорске величине према којој су дате (или познате) фазне разлике осталих величина. Фазна оса није потребна у овом случају, па се обично и не црта. Код кола простопериодичне струје, обично су ефективне вредности од већег интереса него тренутни интензитети, а фазне разлике значајније од почетних фаза (фазне разлике не зависе од избора почетног тренутка и не мењају се у времену), па се фазорски дијаграми најчешће цртају по другом начину. Фазорски дијаграми се цртају у два облика: поларном и полигоналном. У поларном облику сви фазори полазе из једне тачке (пола, односно, координатног почетка). У полигоналном облику фазори се надовезују један на други до затварања полигона фазора. Фазорски дијаграм на слици 90.2 цртан је по првом начину, и то у поларном облику. Фазор струје ( I ) је постављен дуж фазне осе јер је почетна фаза струје нула. Напон отпорника је у фази са струјом, почетна фаза тог напона је q R = y = 0 , па фазор U R мора бити паралелан фазору I . Почетна фаза напона кондензатора је qC = -

p , јер 2

p . (Фазор U C је нормалан на фазор 2 I .) С обзиром на то да се референтни смер за углове поклапа са математичким p у позитивним смером (слика 90.2), фазор U C је у односу на фазор I заротиран за 2 смеру кретања казаљке часовника. Дужине фазора U R и U C су исте, јер су ефективне напон кондензатора фазно заостаје за струјом за

вредности напона отпорника и кондензатора једнаке, U R = RI = U C = Према

другом

Кирхофовом

закону

је

I . wC

e(t ) = uC (t ) + u R (t ) ,

па

се

фазор

електромоторне силе добија као E = U C + U R . 2

æ 1 ö (б) На основу Питагорине теореме је U R2 + U C2 = E 2 , одакле је I R 2 + ç ÷ =E. è wC ø 2

Импеданса редне везе је Z =

E E æ 1 ö = R2 + ç ÷ = 10 2 W , па је I = = 5 2 A . I Z è wC ø

60

Кола променљивих струја

Разлика фаза емс и струје је q E - y = f = -

p . Ефективне вредности напона отпорника и 4

кондензатора су U R = U C = 50 2 V .

91. (а) За коло простопериодичне струје приказано на слици 91.1 нацртати фазорски дијаграм напона ако је почетна фаза електромоторне силе једнака нули. (б) Које је геометријско место врхова фазора напона отпорника ако се индуктивност L мења у границама 0 < L < +¥ ? UL L

E

R

UR

I Слика 91.1.

Слика 91.2.

РЕЗУЛТАТ (а) Фазорски дијаграм је приказан на слици 91.2. (б) Геометријско место врхова фазора U R је полукруг конструисан над фазором E као пречником (слика 91.2).

92. (а) За коло простопериодичне струје приказано на слици 92.1 нацртати фазорски дијаграм ако је почетна фаза електромоторне силе једнака нули. (б) Које је геометријско место врхова фазора напона отпорника ако се капацитивност мења у границама 0 < C < +¥ ? UC C

E

R

UR

I Слика 92.1.

Слика 92.2.

РЕЗУЛТАТ (а) Фазорски дијаграм је приказан на слици 92.2. (б) Геометријско место врхова фазора U R је полукруг конструисан над фазором E као пречником (слика 92.2).

2. Једноставна кола простопериодичних струја

61

93. За коло простопериодичне струје приказано на слици 93.1 познато је E = 5 V , U1 = 1 V и U 2 = 2 5 V . Израчунати ефективне вредности напона отпорника R2 и кондензатора.

Слика 93.1. РЕШЕЊЕ Према референтним смеровима и ознакама са слике 93.2, на слици 93.3 нацртан је фазорски дијаграм. U1 '

I

U2

U4

U2

E

U3 Слика 93.2.

Слика 93.3.

При цртању је погодно кренути од фазора струје I јер је струја иста за све елементе посматраног кола. Напон U1 је у фази са струјом I, па је фазор U 1 колинеаран са фазором I . Затим треба конструисати троугао који чине фазори E , U 1 и U 2 . За тај троугао су познате дужине страница. Коло је капацитивно, струја фазно предњачи електромоторној сили, па мора бити f < 0 . За тај троугао је, на основу косинусне 5 2 5 , па је sin f' = . Фазор 5 5 је ортогоналан. Из правоуглог троугла који

теореме, E 2 = U12 + U 22 + 2U1U 2 cos f' , одакле је cos f' = U 3 је колинеаран са фазором I , а фазор U 4 чине

фазори

U2,

U3

и

U4

добијају

се

тражене

ефективне

вредности,

U 3 = U 2 cos f' = 2 V и U 4 = U 2 sin f' = 4 V .

94. За мрежу простопериодичне струје са слике 94.1 познате су ефективне вредности напона U = 30 2 V , U 1 = 90 V и U 2 = 30 5 V . Израчунати ефективну

62

Кола променљивих струја

вредност напона између крајева отпорника ( U R ), ефективну вредност напона између крајева кондензатора ( U C ) и фазну разлику између напона и струје на приступу мреже. U1

U1

L

L

I

R U

UR U2

R

U

U2

C

UC

Слика 94.1.

C

Слика 94.2.

РЕШЕЊЕ За референтне смерове приказане на слици 94.2 нацртан је фазорски дијаграм напона и струје на слици 94.3. Према фазорском дијаграму је U 2 = U 12 + U 22 + 2U1U 2 cos a , те је cos a =

U 2 - U 12 - U 22 p 2 =. Како је a = - f 2 , (f 2 < 0 ) , то 2 2U1U 2 5

f

2 æp ö је cos a = cosç - f 2 ÷ = sin f 2 , па је sin f 2 = . Такође је 2 5 è ø 1 cos f 2 = 1 - sin 2 f 2 = , па су тражене ефективне вредности 5 напона U R = U 2 cos f 2 = 30 V и U C = U 2 sin f 2 = 60 V .

Из

једначине

cos f =

UR , U

фазна

разлика

напона

f2

Слика 94.3. U

и

струје

I

је

U 2 p f = ± arccos R = ± arccos = ± . Мрежа је индуктивна, што се види са фазорског U 2 4 p дијаграма (јер је U C < U1 ), па од два решења долази у обзир само f = . 4

95. За мрежу простопериодичне струје са слике 95.1 познато је R1 = 5 W , R2 = 20 W , U C = 10 3 V , а напон U C фазно заостаје за струјом I 2 за a =

p . 6

2. Једноставна кола простопериодичних струја Израчунати (а) ефективну вредност струје напојне гране и (б) фазну разлику између напона и струје на приступу мреже при усаглашеним референтним смеровима.

63 Слика 95.1.

РЕШЕЊЕ За оријентације и ознаке са слике 95.2 је I = I 1 + I 2 , U = U R 2 и U = U R1 + U C . Фазорски дијаграм на слици 95.3 нацртан је по другом начину, полазећи од фазора струје I 2 .

f f1 f2 = 0 Слика 95.3. Слика 95.2. p p p - a = , па је f1 = - . Такође је 2 3 3 U R1 U = 2 A и I2 = = 10 V , па је I1 = =1A . R1 R2

(а) Са фазорског дијаграма је U=

UC = 20 V и U R1 = U 2 - U C2 cos a

f1 =

Како је (слика 95.3) I 2 = I12 + I 22 + 2 I1I 2 cos f1 , то је ефективна вредност струје напојне гране I = 7 A » 2,65 A . (б) Из I = I 1 + I 2 је I 1 = I - I 2 , па је I12 = I 2 + I 22 - 2 I I 2 cos Ð(I , I 2 ) . Како је I 2 + I 22 - I12 2 7 2 7 » ±40,9° . Мрежа = . Одавде је f = arccos 7 2I I 2 7 је капацитивна, што се види са фазорског дијаграма, те је f < 0 , па у обзир долази само Ð(I , I 2 ) = f , то је cos f =

решење f » -40,9o .

64

Кола променљивих струја

96. За коло са слике 96.1 познате су ефективне вредности струја I = 5 A , I L = 12,5 A и I C = 8,5 A . Израчунати ефективну вредност струје отпорника I R . РЕЗУЛТАТ Тражена струја је I R = 3 A .

Слика 96.1.

97. Одредити прираштај ефективне вредности напона U 34 и прираштај фазне разлике напона U 34 и напона U12 = U када се кружна учестаност напона U са слике R 97.1 промени од wmin = до L 3 R 3 . При тој промени, ефективна L вредност напона U се не мења. w max =

U 13

Слика 97.1.

РЕШЕЊЕ Капацитивности кондензатора су једнаке, па је при свим кружним учестаностима 1 U = U 32 = U . На основу тога, за ефективне вредности важи релација U13 = U 32 = . 2 2 Напон U14 фазно предњачи напону U 42 за

2 2 произилази U14 + U 42 =U2 .

p и при томе је U 14 + U 42 = U . Одатле 2

2. Једноставна кола простопериодичних струја

65

На слици 97.2 је приказан фазорски дијаграм напона за задато коло. Почетак фазора напона калема U 14 и почетак фазора напона U 34 се за све кружне учестаности налазе на полукругу над фазором напона U као пречником. Дужина U фазора U 34 једнака је полупречнику тог полукруга, . 2 Ефективна вредност напона U 34 не зависи од кружне учестаности w , па јој је прираштај једнак нули, DU 34 = U 34 (w max ) - U 34 (w min ) = 0 . Слика 97.2. Фазна разлика напона U 34 и напона U зависи од кружне учестаности. Према фазорском

дијаграму

U 14 = U 34 + U 13 ,

је

(

)

односно

2 2 2 U14 = U 34 + U13 + 2U 34U13 cos Ð U 13 , U 34 . Са слике 97.2 је Ð(U 13 ,U 34 ) = b , па је

cos b =

2 U 14

2 - U 34

2 - U 13

2U 34U 13

. Како је U14 =

wLU R 2 + (wL )2

, добија се cos b =

2 æ R ö 1+ ç ÷ è wL ø

2

-1 .

При промени кружне учестаности w , фазна разлика b се мења од b = p за w = 0 до æ 1 ö 2p и b = 0 за w ® ¥ . За промену у задатим границама је b(wmin ) = arccosç - ÷ = è 2ø 3 æ1ö p b(wmax ) = arccosç ÷ = , па је прираштај фазне разлике напона U 34 и U è2ø 3 Db = b(wmax ) - b(wmin ) = -

p . 3

98. Капацитивност кондензатора у колу са 1 до слике 98.1 мења се од C min = wR 3 3 . Израчунати прираштај фазне разлике wR напона U 34 и напона U = U 12 . C max =

РЕЗУЛТАТ Тражени

прираштај p Da = a(Cmax ) - a (Cmin ) = - . 3

је

Слика 98.1.

66

Кола променљивих струја

99. За коло простопериодичне струје са слике 99.1 позната је отпорност отпорника R1 , импеданса калема Z L и однос ефективних вредности струја паралелних грана I1 = k , k > 0 . (а) Нацртати фазорски дијаграм за коло. (б) Колике треба да буду I2 отпорност отпорника R2 и импеданса кондензатора Z C тако да ефективна вредност напона U 34 буде највећа? (в) Колика је тада ефективна вредност напона U 34 ? (г) Колика је фазна разлика емс E и струје напојне гране?

Слика 99.1. Слика 99.2. РЕШЕЊЕ (а) За ознаке и оријентације са слике 99.2, на слици 99.3 је приказан фазорски дијаграм напона и струја у колу. (б) Са фазорског дијаграма се види да се крајеви фазора напона елемената кола налазе на кругу чији је пречник фазор E и да су фазори напона тетиве тог круга. Како је U 34 = U R1 - U R2

f

или U 34 = U C - U L , напон U 34 ће бити највећи ако је фазор U 34 пречник круга. То је испуњено ако је f1 - f 2 =

p 2

f2

f1

( f 2 < 0 ), јер је угао над

пречником прав. Одавде је f1 = f 2 + cos f1 = - sin f 2 и sin f1 = cos f 2 .

p , па је 2

Слика 99.3.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

67 I1 Z 2 = = k , где су Z1 I 2 Z1 U R1 R1I1 R1 = = и cos f1 = E Z1I1 Z1

Из односа ефективних вредности струја паралелних грана је и

Z2

импедансе

паралелних

грана.

Како

је

sin f 2 =

Z Z U C ZC R = , из cos f1 = - sin f 2 следи 1 = C , одакле је Z C = 2 R1 = kR1 . Z1 E Z2 Z1 Z 2

Даље је

Z L R2 Z = , одакле је R2 = 2 Z L = kZ L . Z1 Z1 Z 2

(в) Ефективна вредност напона U 34 је тада U 34 = E . (г) Фазна разлика емс f1 = arccos

E

и струје

I

је f = q - y = f1 - a . При овоме је

R1 ( f1 > 0 ). Z1

p , па је, због I1 = kI 2 , I = I12 + I 22 = I 2 1 + k 2 . Са 2 I1 k R k фазорског дијаграма је cos a = = , па је f = f1 - a = arccos 1 - arccos 2 I Z 1 1+ k 1+ k2 Фазна разлика струја I 2 и I1 је

100. У задатку 99 узети да је R1 = 3 W , Z L = 4 W , k = 2 и E = 100 V , па израчунати отпорност R2 , импедансу кондензатора, импедансе прве и друге гране, укупну импедансу коју види идеални напонски генератор, ефективне вредности свих струја, фазну разлику емс E и струје напојне гране I , као и фазну разлику емс E и напона U 34 . РЕЗУЛТАТ Тражене величине су R2 = 8 W , Z C = 6 W , Z1 = 5 W , Z 2 = 10 W , Z ul = 2 5 W , I1 = 20 A , I 2 = 10 A , I = 10 5 A , f = q E - y » 26,57 o и b = q E - q34 » 106,26o .

101. За коло простопериодичне струје приказано на слици 101.1 позната је ефективна вредност електромоторне силе Е, почетна фаза електромоторне силе q = 0 и фазна разлика струја I1 и I 2 , a = y1 - y 2 . Одредити ефективну вредност напона U 23 .

68

Кола променљивих струја

Слика 101.1.

Слика 101.2.

РЕШЕЊЕ На слици 101.2 нацртан је фазорски дијаграм за случај када су обе гране претежно капацитивне и a > 0 . Над фазором E као пречником конструисан је круг. Врхови фазора U 12 и U 13 леже на том кругу. Фазор U 12 је колинеаран са фазором I 1 , а фазор U 24 је нормалан на фазор I 1 . Фазор U 34 је колинеаран са фазором I 2 , а фазор U 13 је нормалан на фазор I 2 . Фазор траженог напона U 23 је U 23 = U 13 - U 12 . Са фазорског дијаграма се види да p . То је периферијски угао над тетивом U 23 . Из елементарне геометрије је 2 познато да је g = p - b . Угао d је централни угао над том тетивом, па је d = 2 g .

је b = a +

Симетрала тог угла је нормална на тетиву U 23 . Како је полупречник круга једнак

E , то 2

E d sin = E sin g = E sin b = E cos a . 2 2 Разматрајући и друге случајеве (када су обе гране претежно индуктивне, када је једна индуктивна, а друга капацитивна, као и када је a < 0 ), долази се до закључка да је тражена ефективна вредност U 23 = E cos a . је U 23 = 2

102. За коло простопериодичне струје приказано на слици 102.1 познато је R1 = 100 W , X L = 50 W , U L = 5 V , а напон U L фазно предњачи електромоторној сили Е за a = 60° . Израчунати ефективну вредност струје I. РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност струје је I » 193 mA .

Слика 102.1.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

69

*103. У колу простопериодичне струје са слике 103.1 је p e(t ) = E 2 cos(wt + q) , E = 100 V , w = 1000 s -1 , q = и 6 p L = 4 mH . У тренутку t1 = s напон калема је 6000 u L (t1 ) = -32 V . (а) Израчунати отпорност R. (б) Израчунати ефективне вредности струје у колу и напона свих елемената. (в) Израчунати фазну разлику електромоторне силе и струје у колу. (г) Нацртати фазорски дијаграм напона и струја.

Слика 103.1.

РЕШЕЊЕ (а) Напон калема је u L (t ) = U L 2 cos(wt + q L ) = wL Z = R 2 + (wL )2 и f = arctg је

E 2 pö æ cosç wt + q - f + ÷ , где је Z 2ø è

wL E 2 æ 5p ö . У тренутку t1 је u L (t1 ) = wL cosç - f ÷ . Одавде R Z è 6 ø

Z u L (t1 ) 3 R 1 wL =+ . У SI систему јединица, ова једначина се може написати у 2 Z 2 Z wLE 2

облику 8 R 2 - 50 6 R + 200 2 + 128 = 0 . Решења ове квадратне једначине су R1 » 10,35 W и R2 » 4,96 W . **Упоредити овај задатак са задатком 78. Зашто у задатку 78 постоји само једно решење, а у овом задатку постоје два решења за отпорност R? (б) Импеданса кола је Z1 = R12 + (wL )2 » 11,09 W или Z 2 = R22 + (wL )2 » 6,38 W . E У првом случају је ефективна вредност струје у колу I1 = » 9,02 A , ефективна Z1 вредност напона отпорника је U R1 = R1I1 » 93,27 V , а ефективна вредност напона калема E је U L1 = wLI1 » 36,06 V . У другом случају ефективне вредности су I 2 = » 15,69 A , Z2 U R 2 = R2 I 2 » 77,87 V и U L 2 = wLI 2 » 62,74 V . (в) Фазна разлика емс е и струје i је у првом случају f1 » 21,1° , а у другом f 2 » 38,9° . (г) Фазорски дијаграм је приказан на слици 103.2. **Задатак се може решити и на други начин, користећи се фазорским дијаграмом са слике 103.2. Тај дијаграм одговара фазорима заустављеним у t = 0 . Дужине фазора одговарају тренутку ефективним вредностима напона и струја. Слика 103.2.

70

Кола променљивих струја

Множењем дужина фазора са 2 , добијају се фазори чије дужине одговарају амплитудама напона и струја. Међутим, уместо множења, довољно је да променимо (смањимо) размеру цртежа 2 пута, тако да су дужине фазора у дијаграму са слике 103.2 једнаке одговарајућим амплитудама. Фазорски дијаграм у тренутку t1 може се добити ротацијом фазора са слике 103.2 за p угао wt1 = у смеру супротном од смера кретања казаљке часовника, задржавајући 6 исти положај фазне осе као на слици 103.2. Тиме се добија фазорски дијаграм на слици 103.3. Алтернативно, фазна оса на слици 103.2 се заротира у смеру кретања казаљке p часовника за wt1 = , без ротирања фазора, чиме се добија фазорски дијаграм на слици 6 103.4. UL 2

ф.o.

UR 2

UL 2 UR 2 E 2

I 2 wt1 + q

E 2

-wt1

I 2

wt1 + q L UL 2

О Слика 103.3.

u L (t1 ) Слика 103.4.

У дијаграму са слике 103.4, пројекција фазора U L 2 на фазну осу представља тренутни интензитет напона калема, u L (t1 ) = U L 2 cos(wt1 + q L ) . Како

је

f>0

wt1 + q L = wt1 + q - f +

(коло p , 2

је па

индуктивно), је

u L (t1 ) E 2

то

је

U L = E sin f .

æ 5p ö = sin f cosç - f÷ . 6 è ø

5p 5p ö ö æ 5p ö 1æ æ sin f cosç - f ÷ = çç sin + sin ç 2f одавде се ÷÷ , 6 6 ø ÷ø è 6 ø 2è è 5p ö u (t ) 5p æ sin ç 2f » -0,9525 . Та једначина ÷ = 2 L 1 - sin 6 6 E 2 è ø

5p ì arcsin (- 0,9525) » -1,262 rad =í , одакле је f1 » 0,369 rad 6 î- p - arcsin (- 0,9525) » -1,880 rad f 2 » 0,678 rad ( f 2 » 38,9° ). 2f -

Како

добија има

Даље

два

је је

једначина решења,

( f1 » 21,1° ) и

2. Једноставна кола простопериодичних струја

Како је sin f =

71

wL wL , то је импеданса кола Z = , одакле се добијају решења Z sin f

Z1 » 11,09 W и Z 2 » 6,38 W . Отпорност отпорника је R = Z 2 - (wL )2 , што даје R1 » 10,35 W и R2 » 4,96 W . **Задатак се може решити и на трећи начин, геометријски, полазећи од слике 103.5. Нацртајмо, најпре, фазор E 2 . Уцртајмо фазну осу тако да је угао између фазора E 2 и фазне осе q =

p , а затим заротирајмо фазну осу у смеру кретања казаљке часовника за 6

p . Уцртајмо круг над фазором E 2 као пречником. Ако фазор U L 2 цртамо 6 полазећи од координатног почетка, врх тог фазора мора лежати на левој половини круга. wt1 =

Уцртајмо пројекцију тог фазора на фазну осу, u L (t1 ) . Врх фазора U L 2 се мора налазити на правој која је нормална на фазну осу и пролази кроз тачку u L (t1 ) на фазној оси. Са слике 103.5 се види да та права сече круг у две тачке, односно постоје два решења за фазор U L 2 : U L1 2 и U L 2 2 . Транслирајмо те фазоре тако да им се врхови поклопе са врхом фазора E 2 . Сада се могу уцртати фазори U R1 2 и U R 2 2 . Почетак им је у координатном почетку, а врх у почетку фазора U L1 2 , односно U L 2 2 . Врхови фазора U R1 2 и U R 2 2 леже на десном полукругу. Угао између фазора U R1 2 и U L1 2 , односно U R 2 2 и U L 2 2 је прав. Са фазорског дијаграма се могу измерити углови f1 и f 2 , као и дужине фазора. На основу дужина фазора, добијају се ефективне вредности напона отпорника и калема. Импеданса кола се wL може израчунати из израза Z = , sin f отпорност из израза R = Z - (wL ) , а 2

U L1 2

U R1 2

E 2

-wt1

U L2 2 U R2 2

2

ефективна вредност струје из израза E I= . Z

U L2 2

U L1 2 u L (t1 )

Слика 103.5.

Тачке пресека круга и праве могу се одредити и аналитичком геометријом. Поставимо координатни систем Oxy тако да се x-оса поклапа са фазном осом (слика 2 , а центар круга је у тачки са координатама 2 2 sin (wt1 + q) . yc = E Једначина круга је 2

103.5). Полупречник круга је r = E xc = E

2 cos(wt1 + q) , 2

(x - xc )2 + ( y - yc )2 = r 2 .

Једначина праве је x = u L (t1 ) . Заменом у једначину круга,

72

Кола променљивих струја 2

2

ö ö æ æ 2 2 E2 добија се ç u L (t1 ) - E cos(wt1 + q )÷ + ç y - E sin (wt1 + q)÷ = . Решавањем ове ÷ ÷ ç ç 2 2 2 ø ø è è квадратне једначине по y, за задате бројне податке, добијају се решења y1 » 39,71 V и y2 » 82,76 V . Амплитуда напона калема је U L 2 = u L2 (t1 ) + y 2 , па је ефективна вредност тог напона U L1 » 36,06 V , односно U L 2 » 62,74 V . Ефективна вредност напона отпорника добија се из једначине U R = E 2 - U L2 , ефективна вредност струје из UL U wL , отпорност из R = R , док је f = arctg . wL I R **Читаоцу се препоручује да продискутује у којим границама мора да се налази u L (t1 ) , при истим осталим подацима као у тексту задатка, па да задатак има два решења, једно решење или ниједно решење. I=

*104. Фазорски дијаграм напона и струје једног кола простопериодичне струје је приказан на слици 104.1. Нацртати електричну шему тог кола. (I1+I2) E I

U2

I1

U12 U5

f

f2

f1

U3 U1

I2

U4

U6 O

Ig Слика 104.1. РЕЗУЛТАТ На слици 104.2 је приказана шема која одговара задатом фазорском дијаграму.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

73

Слика 104.2.

3.3. Комплексни домен pö æ 105. Интензитети простопериодичних струја су (а) i1 (t ) = -2 2 sin ç wt - ÷ A , 3ø è æ p öö æ и (в) i3 (t ) = -çç 6 cos wt + 2 6 sin ç wt - ÷ ÷÷ A , где је 6 øø è è

3p ö æ (б) i2 (t ) = 4 2 cosç wt - ÷ A 4 ø è

w = 100p s -1 . Представити ове струје комплексним изразима. РЕШЕЊЕ Комплексни

представник

i (t ) = I 2 cos(wt + y ) је I = Ie 3

(а) Струју

i1 (t )

треба

простопериодичне

jy

струје = I (cos y + j sin y ) = I ¢ + jI ¢¢ .

прво

довести

до

општег

дате

општим

изразом

(каноничног)

облика:

pö p 2p p ö pö æ æ ö æ æ i1 (t ) = -2 2 sin ç wt - ÷ = 2 2 sin ç wt - + p ÷ = 2 2 cosç wt + - ÷ = 2 2 cosç wt + ÷ A . 3 3 3 2 6ø è ø è ø è ø è

3

(

)

Имагинарна јединица је означена са j j = - 1 .

74

Кола променљивих струја

Ефективна вредност струје i1 (t ) је I1 = 2 A , а почетна фаза је y1 = p 6

(

p , па је комплексни 6

)

p pö æ A = 2ç cos + j sin ÷ A = 3 + j A . 6 6ø è На слици 105.1 је у комплексној равни уцртана тачка која одговара комплексној струји I 1 . Ова тачка се назива афикс.

представник I 1 = 2e

j

(б) Ефективна вредност и почетна фаза струје i2 (t ) су I 2 = 4 A и y 2 = комплексна струја I 2 = 4 e

-j

3p 4 A

3p , па је 4

3p 3p ö æ = 4 ç cos - j sin ÷A = -2 2 (1 + j) A . Афикс струје 4 4 ø è

I 2 приказан је на слици 105.1. (в) Ради бржег представљања комплексним представником, може се поћи од æ p öö æ разлагања где је i3 (t ) = -çç 6 cos wt + 2 6 sin ç wt - ÷ ÷÷ A = -(i3¢ (t ) + i3¢¢(t ) ) . 6 øø è è p p p 2p ö i3¢ (t ) = 6 cos wt A и i3¢¢ (t ) = 2 6 sin æç wt - ö÷ = 2 6 cos æç wt - - ö÷ = 2 6 cos æç wt ÷A. 6ø 6 2ø 3 ø è è è На

основу

тога

је

(

(

)

I 3 = - I 3' + I 3' ' ,

)

где

је

(

I 3' = 3 A

)

и

2p 2p ö æ I '3' = 2 3 A × ç cos - j sin ÷ = - 3 + j3 A . Сада је I 3 = - 3 - 3 - j3 = + j3 A , са 3 3 ø è афиксом као на слици 105.1. Im

I3 I3=3A y = p I1=2A 3 2 I1 p y1 = 0 6 Re 3p y2 = 4 I2=4A I2 Слика 105.1.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

75

- 2 sin wt

106. Одредити простопериодичну струју, кружне учестаности w , чији је комплексни представник (а) I = 1 A , (б) I = -1 A , (в) I = j A

2 cos wt

- 2 cos wt

и (г) I = - j A . РЕЗУЛТАТ Резултати су приказани у табели 106.1 и на слици 106.1 (на којој су струје изражене у амперима).

2 sin wt

Слика 106.1.

Табела 106.1. Случај

Задати представник

Експоненцијални облик I = e j0 A

Ефективна вредност I = 1A

Почетна фаза y=0

(а)

I = 1A

(б)

I = -1 A

I = e jp A

I = 1A

y=p

(в)

I = jA

j

I = 1A

p

I = e 2A (г)

I = -jA

-j

I = 1A

p

I = e 2A

y=

Временски облик i (t ) = 2 cos wt A i (t ) = - 2 cos wt A

p 2

y=-

i (t ) = - 2 sin wt A

p 2

i (t ) = 2 sin wt A

107. Комплексни претставници простопериодичних напона кружне учестаности w = 400p s -1

су

(

)

(а) U 1 = 50 1 - j 3 V ,

æ 50 æ 24 3 3 ö÷ ö÷ (в) U 3 = ç + 4ç 2 + j V. ç ç 3 - j4 1 - j 3 2 ÷ø ÷ø è è напона.

(

3p

) -j 2

(б) U 2 = 25 2 3 + j e

Написати

тренутне

V

и

интензитете

ових

РЕШЕЊЕ Ефективна

вредност

напона

U = mod (U ) = U = Re 2 (U ) + Im2 (U ) .

чији

је

комплексни

Почетна

фаза

представник напона

U

је је

76

Кола променљивих струја

Im(U ) ì arctg , Re(U ) > 0 ï Re(U ) ï p ï . Тренутни интензитет напона је q = arg(U ) = í sgn (Im(U )) , Re(U ) = 0 2 ï ïarctg Im(U ) + p sgn (Im(U )) , Re(U ) < 0 ïî Re(U ) u (t ) = U 2 cos(wt + q ) . До решења се може доћи користећи се теоремом из комплексне анализе за модул и аргумент производа два комплексна броја ( Z 1 и Z 2 ): mod (Z 1 Z 2 ) = mod (Z 1 ) × mod (Z 2 ) и arg(Z 1 Z 2 ) = arg(Z 1 ) + arg(Z 2 ) . (а) Ефективна

вредност

(

)

U 1 = 50 1 - j 3 V

напона

( ) Почетна фаза напона - 3 p q1 = arg (50(1 - j 3 )) = arg 50 + arg (1 - j 3 ) = 0 + arctg = - . Тренутни 1 3

U 1 = 50 1 - j 3 = 50 × 1 - j 3 = 50 × 2 = 100 V .

је U1

је

интензитет

pö æ напона је u1 (t ) = 100 2 cosç 400pt[s] - ÷ V . 3ø è (б) Ефективна

(

)

U 2 = 25 2 3 + j e

вредност -j

3p 2

= 25 2 × 3 + j × e

напона -j

3p 2

U2

је

= 25 2 × 2 × 1 = 50 2 V . Почетна фаза

3p ö æ æ - j 3p ö -j q 2 = argç 25 2 3 + j e 2 ÷ = arg 25 2 + arg 3 + j + argç e 2 ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø 1 æ 3p ö p 3p 4p = 0 + arctg + ç- ÷ = 0 + =. После свођења на интервал q 2 Î (- p, p] 6 2 3 3 è 2 ø 2p додавањем 2p , добија се q 2 = , па је тренутни интензитет напона 3 2p ö æ u 2 (t ) = 100 cosç 400pt[s] + ÷V. 3 ø è

напона

U2

је

(

)

(

)

(

)

(в) Комплексни напон U 3 се, рационализацијом имениоца, може довести до облика p

j 1+ j 3 3 + j4 U 3 = 50 - 24 + 8 + j6 3 = 8(1 + j) = 8 2e 4 V . На основу тога је U 3 = 8 2 V 4 25 p pö æ и q 3 = , па је u3 (t ) = 16 cosç 400pt[s] + ÷ V . 4 4ø è

2. Једноставна кола простопериодичних струја

77

108. Комплексни израз за напон, према усвојеном референтном смеру, је

(

)

U = -110 3 + j V . Одредити комплексни израз за овај напон према супротном референтном смеру. РЕШЕЊЕ Задатак ћемо урадити на два начина: у временском домену и у комплексном домену. Тренутни интензитет задатог напона је, у каноничном облику, 5p u (t ) = U 2 cos(wt + q ) , где је U = U = 220 V и q = arg(U ) = . Промена референтног 6 смера уноси промену знака, па је

u n (t ) = -U 2 cos(wt + q ) . Промена знака је

еквивалентна промени фазе за p , односно u n (t ) = U 2 cos(wt + q ± p) = U 2 cos(wt + q n ) . Предзнак испред p бира се тако да почетна фаза q n = q ± p буде у границама p - p < q n £ p . У задатом случају, q n = q + p = . 6 У комплексном домену, промена референтног смера се пресликава на промену знака (исто као у временском домену), па је комплексни представник задатог напона у

(

)

односу на супротан референтни смер U n = -U = U e ± jπ = 110 3 + j V = U n e jθ n , где је U n = 220 V = U и q n =

p = q+p. 6

109. Комплексни израз за напон према усвојеном почетном тренутку је

(

)

U = -110 3 + j V . Одредити комплексни израз за овај напон према почетном тренутку који је једну осмину периода касније од претходног почетног тренутка. РЕШЕЊЕ У каноничном облику, тренутни интензитет задатог напона према првом почетном тренутку је 5p u (t ) = U 2 cos(wt + q ) , где је U = 220 V и q = . 6 Кашњење почетног тренутка за Dt p одговара смени t (1) = t - Dtp , где је t (1) време мерено од новог почетног t =t

(1)

тренутка

(слика

109.1),

Слика 109.1.

односно

+ Dt p .

Према

задатим

((

подацима

) )

је

(

Dt p =

T p = . 8 4w

)

Стога

(

је

)

u (1) (t (1) ) = U 2 cos w t (1) + Dtp + q = U 2 cos wt (1) + wDtp + q = U 2 cos wt (1) + q(1) , где је q(1) = q + wDt p = повећала за wDt p .

7p . Закашњењем почетног тренутка за Dt p , почетна фаза се 12

78

Кола променљивих струја Комплексни

U (1) = U 2e jq

e

jwDt p

(1)

представник = U 2 e jq e

jwDt p

=U e

jwDt p

u (1) (t (1) )

напона

(

)

æ 2 2 ö÷ V = -110 3 + j ç +j ç 2 2 ÷ø è

p

(

j æ 2 2 ö÷ =e 4 =ç +j . Одавде је U (1) = -55 2 3 - 1 + j ÷ ç 2 2 ø è

је јер

је

( 3 + 1)) V .

Закашњење почетног тренутка за Dt p пресликава се у комплексном домену на множење са e

jwDt p

.

110. Комплексни израз за напон, према једном референтном смеру и почетном

(

)

тренутку, је U = -110 3 + j V . Израчунати комплексни израз за овај напон према супротном референтном смеру и почетном тренутку за осмину периода каснијем од првог почетног тренутка. РЕЗУЛТАТ

(

Тражени комплексни напон је U (1) = 55 2 3 - 1 + j

( 3 + 1))V .

111. Комплексни израз за струју према усвојеном референтном смеру и почетном

(

)

тренутку је I = 20 3 + j mA . Израчунати комплексни израз за ову струју према истом референтном смеру и почетном тренутку за четвртину периода ранијем од првог почетног тренутка. РЕШЕЊЕ Померање почетног тренутка раније за Dt r = -j

T пресликава се у комплексном 4

p

домену на множење са e - jwDt r = e 2 = - j . Стога је нови комплексни израз за струју

(

)

I (1) = 20 1 - j 3 mA .

112. Комплексни израз за струју према усвојеном референтном смеру и првом

( 3 + j) mA . Комплексни израз за ову струју према истом референтном смеру и другом почетном тренутку t1 је I = (1 + j 3 ) mA . Израчунати

почетном тренутку t 0 је I =

(1)

комплексни израз за ову струју према супротном референтном смеру и новом почетном 11 T тренутку t2 одређеном са Dt p 2 = t 2 - t0 = - Dt p1 , где је Dt p1 = t1 - t0 , Dtp1 £ , а Т је 2 2 период посматране струје.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

79

РЕШЕЊЕ На слици 112.1 квалитативно је представљено померање почетних тренутака. Временска оса означена са t u представља референтно (универзално) време у односу на које су одређени почетни тренуци t 0 , t1 и t2 .

Слика 112.1. На основу решења задатка 109 је I (1) = I e

jwDt p1

(1) . Како је I = I e jy и I (1) = I e jy ,

Dy p . Према задатим подацима је y = и 6 w T p p 2p = , па је Dy (1) = и Dtp1 = јер је w = . T 3 12 6

одавде је y (1) - y = Dy (1) = wDt p1 , па је Dtp1 = y (1)

11 T 11 = - T . С обзиром на промену 2 12 24 референтног смера, прираштај нове почетне фазе у односу на почетни тренутак t0 је Према услову задатка је

2p æ 11 ö p , па је нови комплексни израз за струју ç T÷= T è 24 ø 12

Dy ( 2) = p + wDt p 2 = p I

( 2)

= Ie

jDy ( 2 )

= 2e

j

p 6

e

Dt p 2 = -

j

p 12

mA = 2 e

j

p 4

mA = 2 (1 + j) mA .

***113. Простопериодичан

електромагнетски талас преноси се ваздушним m двожичним водом брзином c = 3 × 108 (слика 113.1). Ефективна вредност напона s таласа на почетку вода је U = 1 V , учестаност је f = 300 MHz , а почетна фаза је q = 0 . Извести израз за напон овог таласа у функцији пређеног пута (x).

Слика 113.1.

80

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ Према

условима

задатка,

(

напон

)

на

почетку

вода

је

u ( x = 0, t ) = U 2 cos(2pft + q) = 2 cos 0,6pt[ ns] V . На слици 113.2 приказан је напон дуж

вода у неколико узастопних тренутака времена, а на слици 113.3 напон у функцији времена у неколико узастопних тачака дуж вода.

O

x

t=0 t=T/2 t=T/4 t=3T/4 Слика 113.2.

Слика 113.3. Талас при простирању касни, а кашњење је Dt = t ® t - Dt = t -

x c

x . То кашњење одговара смени c

(слика 9702.1). Стога је, на одстојању x од почетка вода,

æ x öö 2pfx ö wx ö æ æ æ u ( x, t ) = U 2 cosçç 2pf ç t - ÷ ÷÷ = U 2 cosç 2pft ÷ = U 2 cosç wt ÷. c ø c ø è c øø è è è Кашњење доводи до смањења почетне фазе: пређеном путу x одговара промена wx почетне фазе за Dq = . Почетна фаза се смањи за 2p када талас пређе пут c 2pc c x=l= = = 1 m , који се назива таласна дужина. w f

2. Једноставна кола простопериодичних струја

81

Комплексни представник напона на одстојању x од почетка вода је U ( x) = Ue

-j

wx c

.

Како је U (0) = U комплексни представник напона на почетку вода, имамо да је U ( x ) = U ( 0) e

-j

wx c

. Кашњење у временском домену од Dt =

x c

пресликава се у

комплексном домену на множење са e - jwDt .

114. Задата је простопериодична струја i (t ) = 100 cos wt A , где је w = 10 3 s -1 . di (а) Одредити извод те струје по времену, . (б) Одредити комплексни представник тог dt извода. РЕЗУЛТАТ (а) Извод струје је

pö di æ = -105 sin wt As -1 = 105 cosç wt + ÷ As -1 . dt 2ø è

(б) Комплексни представник струје је I = 50 2 A , па је комплексни представник извода струје jwI = j 5 2 × 10 4 As -1 .

115. Комплексни представник простопериодичног напона је U = ( -1 - j 3 ) V , а кружна учестаност је w = 10 3 s -1 . (а) Одредити изразе за тренутни напон и интеграл напона по времену. (б) Одредити комплексни представник тог интеграла. РЕЗУЛТАТ 2p ö æ (а) Тренутни напон је u (t ) = 2 2 cosç wt ÷ V . У простопериодичном режиму се 3 ø è узима да је интеграл такође простопериодична величина, p p 2 5 æ ö æ ö -3 -3 ò u(t ) dt = 2 2 ×10 sinçè wt - 3 ÷ø Vs = 2 2 × 10 cosçè wt + 6 ÷ø Vs . (б) Комплексни представник интеграла је

U = ( - 3 + j) × 10 -3 Vs . jw

116. Колико је параметара потребно и довољно за описивање пријемника са слике 116.1 који је укључен у коло простопериодичне струје? Који су то параметри? Слика 116.1.

82

Кола променљивих струја

РЕШЕЊЕ Параметри (величине) којима се описује пријемник треба да буду потребни и довољни да се успостави једнозначна веза између простопериодичне струје и простопериодичног напона пријемника. Претпоставимо да су напон и струја, у временском домену, дати у каноничном

облику, u (t ) = U 2 cos(wt + q) и i (t ) = I 2 cos(wt + y ) , при усклађеним референтним смеровима. Веза између напона и струје је одређена ако се зна количник њихових U ефективних вредности, Z = (импеданса пријемника, која се назива и привидна I p отпорност, Z > 0 ), и разлика фаза, f = q - y . (Пријемник је пасиван, па је | f |£ .) 2 Параметри Z и f потребни су и довољни и у анализи кола помоћу фазора. Алтернативно, пријемник се може описати својом адмитансом (која се назива и I 1 привидна проводност), Y = = ( Y > 0 ), и фазном разликом струје и напона, U Z p u = y - q = -f ( | u |£ ). 2 У комплексном домену, представници напона и струје пријемника су U = U e jq и I = I e jy . Између тих представника постоји релација U = Z I , где је Z комплексна импеданса пријемника. Kомплексни параметар Z потребан је и довољан за описивање пријемника. Уместо комплексне импедансе, може се употребити комплексна адмитанса, 1 Y= . Z Комплексна импеданса се може приказати преко поларних или преко Декартових координата. У експоненцијалном облику фигуришу поларне координате, Z = Ze jf . Комплексни параметар Z одређен је помоћу два реална параметра која смо дефинисали у временском домену: Z = Z и arg(Z ) = f . Преко Декартових координата је Z = R + jX , где је R = Re(Z ) = Z cos f резистанса

(активна отпорност, R ³ 0 ), а X = Im(Z ) = Z sin f реактанса (реактивна отпорност) пријемника. И у овом случају је комплексна импеданса дефинисана помоћу два реална параметра (R и X). Из троугла отпорности са слике 116.2 је Z = R 2 + X 2 и f = arctg Im Z

X =Z | Z|

0

R

X R

Re

X . R

2. Једноставна кола простопериодичних струја

83

Слика 116.2.

Слика 116.3.

Комплексна адмитанса се може представити као Y = Ye ju = G + jB , где је Y = Y , u = arg(Y ) ,

G = Re(Y ) = Y cos u

(кондуктанса

или

активна

проводност)

и

B = Im(Y ) = Y sin u (сусцептанса или реактивна проводност). На слици 116.3 приказан је троугао проводности. Комплексна адмитанса је одређена паром реалних параметара: Y и u, или G и B. Између резистансе, реактансе, кондуктансе и сусцептансе важе релације -B -B G G R R = 2 = - BZ 2 , G = 2 R= 2 = 2 = GZ 2 , X = 2 = 2 = RY 2 и 2 2 2 G +B Y G +B Y R +X Z -X -X B= 2 = = - XY 2 . Важе и релације ZY = 1 и f + u = 0 . R + X 2 Z2 У сваком случају, пријемник је дефинисан помоћу два реална параметра. На основу релација наведених у решењу овог задатка, могуће је одабрати разне парове параметара. На пример, пријемник је дефинисан ако је познато Z ( Z > 0 ) и X, јер је тада R = Z 2 - X 2 (увек је R ³ 0 ); или ако су познати X и B (који морају бити супротног знака), јер је тада Z =

-X и R = Z 2 - X 2 . Међутим, ако су познати Z и R, тада је B

X = ± Z 2 - R 2 , па је потребан још један податак да би се једнозначно дефинисали параметри пријемника (на пример, податак о карактеру пријемника, односно да ли је пријемник претежно индуктиван или капацитиван).

117. Тренутна вредност струје пријемника у простопериодичном режиму је i (t ) = - 2 sin wt A , где је w = 10 3 s -1 , ефективна вредност напона пријемника је U = 5 V , а напон фазно заостаје за струјом за p/4. Референтни смерови напона и струје су усклађени. Израчунати комплексну импедансу и комплексну адмитансу пријемника. РЕШЕЊЕ pö æ У каноничном облику, тренутна струја је i (t ) = 2 cosç wt + ÷ A , па је комплексна 2ø è струја I = e

j

p 2

A = j A . Комплексни напон је U = 5e

j

p p -j 2e 4

V = 5 j V . Комплексна

p

импеданса

је p

Z=

-j U = 5e 4 W = 2,5 2 (1 - j) W . I

j 1 Y = = 0,2e 4 S = 0,1 2 (1 + j) S . Z

Комплексна

адмитанса

је

84

Кола променљивих струја

118. Комплексни изрази за струју и напон једног пријемника, према усаглашеним референтним смеровима, су I = (21+ j72 ) mA и U = (-9 + j12 ) V . Израчунати (а) карактеристике пријемника на бази отпорности и нацртати еквивалентну шему и (б) карактеристике пријемника на бази проводности и нацртати еквивалентну шему. Кружна учестаност је w = 10 3 s -1 . РЕШЕЊЕ U = (120 + j160 ) W . Резистанса I пријемника је R = Re(Z ) = 120 W , реактанса је X = Im(Z ) = 160 W , импеданса је X Z = mod (Z ) = 200 W , а фазна разлика напона и струје је f = arg(Z ) = arctg » 53,13o R » 0,93 rad . Пријемник је претежно индуктиван, јер је X > 0 , па се може еквивалентно представити редном везом отпорника и калема, као на слици 118.1. Отпорност X отпорника је R = 120 W , индуктивност калема је L = = 160 mH , а комплексна w импеданса пријемника се може написати и у облику Z = R + jwL . (а) Комплексна импеданса пријемника је

Z=

пријемник

I

R 120 Ω

X 160 Ω U

Слика 118.1.

Слика 118.2. (б) Комплексна

адмитанса

пријемника

је

пријемника је G = Re(Y ) = 3 mS , сусцептанса је

I = (3 - j4 ) mS . Кондуктанса U B = Im(Y ) = -4 mS , адмитанса је

Y=

Y = mod (Y ) = 5 mS , а фазна разлика струје и напона је u = arg(Y ) » -53,13o » -0,93 rad . На слици 118.2 је приказана еквивалентна шема пријемника. Отпорност отпорника је 1 1 R¢ = » 333 W , а индуктивност калема је L¢ = = 250 mH . Комплексна адмитанса G wB 1 1 пријемника је Y = + . R¢ jwL¢ Упоређујући слике 118.1 и 118.2, види се да је задати пријемник у оба случаја моделован једним отпорником и једним калемом, али су параметри отпорника и калема у те две еквивалентне шеме различити.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

85

119. На слици 119.1 приказана је редна веза отпорника отпорности Rr и реактивног елемента реактансе X r . Колики су параметри паралелне везе са слике 119.2 да би ове две мреже биле еквивалентне, ако је (а) Rr > X r ?

РЕШЕЊЕ Да би мреже са слика 119.1 и 119.2 биле еквивалентне, морају бити испуњени R 2 + X r2 R 2 + X r2 услови Rp = r и Xp = r . Види се да су реактивни елементи X r и X p Rr Xr истог карактера, али је X p ¹ X r , односно X p > X r . Такође је Rp > Rr . (а) Када је Rr > X r , тада је Rp » Rr и X p » r . Xr

120. За струјни генератор у колу простопериодичне струје, приказаном на слици 120.1, познато је Ig = 2 A , w = 103 s -1 и p . Адмитанса претежно капацитивног пријемника је 2 Y = 10 mS , а његова резистанса R = 60 W . Колики је yg = -

Слика 120.2.

комплексни напон U ? РЕШЕЊЕ Комплексна струја генератора је I g = - j2 A . Између адмитансе, резистансе и реактансе пријемника важи релација

1 2

= R 2 + X 2 , одакле је X = ±

1 2

- R 2 = ±80 W .

Y Y Пошто је пријемник претежно капацитиван, долази у обзир само X = -80 W , па је комплексна импеданса пријемника једнака

Z = R + jX = ( 60 - j80 ) W . Коначно је

U = - Z I g = (160 + j120 ) V .

121. Пријемник непознате импедансе прикључен је на простопериодичан напон ефективне вредности U = 100 V . У тренутку када је напон максималан, јачина струје пријемника је i (t1 ) = 10 mA и опада, а у тренутку када је јачина струје максимална,

86

Кола променљивих струја

напон је u (t 2 ) = 100 V . Референтни смерови напона и струје су усаглашени. Израчунати комплексну импедансу пријемника. РЕШЕЊЕ Усвојимо да је почетна фаза струје пријемника једнака нули. Тада је тренутна струја U пријемника i (t ) = 2 cos wt , а тренутни напон u (t ) = U 2 cos(wt + f) , где је Z Z p p импеданса, а f фазна разлика напона и струје пријемника ( - £ f £ ). 2 2 У тренутку када је јачина струје максимална, напон је u (t 2 ) = U 2 cos f , одакле је cos f =

U 2 . У тренутку када је напон максималан, струја је i (t1 ) = Z 2

Z = 10 kW . Извод струје у том тренутку је задатка, па следи да је f < 0 и sin f = -

2 cos(- f) , па је

wU 2 sin (- f) и негативан је према услову Z

2 . 2

Коначно, резистанса и реактанса пријемника су R = 5 2 kW и X = -5 2 kW , па је комплексна импеданса пријемника је Z = 5 2 (1 - j) kW .

122. У мрежи простопериодичне струје са слике 122.1 је R = 20 W . Ефективне вредности напона отпорника и кондензатора су U R = U C = 160 V . Израчунати (а) ефективну вредност напона U и (б) фазну разлику напона U и напона U C .

Слика 122.1. РЕШЕЊЕ (а) Ако је I

комплексна јачина струје у мрежи, тада је U R = Z R I = R I и

I 1 UC = ZC I = , где је Z R = R комплексна импеданса отпорника, а Z C = j wC jwC комплексна импеданса кондензатора. Ефективне вредности напона су UR I I U R = U R = R I = R I = RI и U C = U C = = , где је I = = 8 A ефективна j wC wC R вредност струје у мрежи. Из U R = U C следи R =

1 , па је комплексна импеданса wC

2. Једноставна кола простопериодичних струја

87

1 j мреже Z = Z R + Z C = R + = R= R(1 - j) = (20 - j20) W . Даље је U = Z I , па је j wC wC ефективна вредност напона мреже U = Z I = ZI = 160 2 V » 226 V . (б) У експоненцијалном облику је U C = U C e jq C и U = U e jq . На основу једначине разделника напона, комплексни напон кондензатора је U C =

ZC Z U = C U , па је Z R + ZC Z

U U e jq U j(q - q C ) Z (20 - j20) W = = = = = 1 + j . Тражена фазна разлика је e j q C U C UC e UC ZC - j20 W p a = q - qC = arg(1 + j) = . 4

123. За

мрежу са слике 123.1 познато је pö æ u (t ) = 220 2 cosç1000pt[s] - ÷ V и i (t ) = 11 cos 1000pt[s] A . 4ø è Написати израз за тренутни интензитет струје у колу ако се учестаност напона повећа два пута, а ефективна вредност и почетна фаза напона остану непромењене.

Слика 123.1.

РЕШЕЊЕ На кружној учестаности w = 1000p s -1 , комплексна импеданса кола је U Z = = 20(1 - j) W , па је отпорност R = 20 W , а реактанса кондензатора I 1 1 1 X == -20 W . Капацитивност кондензатора је C = = » 16 mF . wC w X 1000p × 20 На кружној учестаности w1 = 2 ×1000p = 2000p s -1 , отпорност је остала иста, R1 = R = 20 W ,

а

реактанса

кондензатора

је

X1 = -

1 1 X == = -10 W . w1C 2 wC 2

Комплексна импеданса кола је Z 1 = 10(2 - j) W . Фазна разлика напона и струје је X f1 = arctg 1 » -0,46 rad » -0,148p rad . Ефективна вредност напона и његова почетна R1 фаза се, по претпоставци, нису мењале, па је ефективна вредност струје U U I1 = = 4,4 5 A , где је модул импедансе Z1 = Z 1 = 10 5 W = . Почетна фаза струје I1 Z1 је

y1 = q - f1 = -0,102p rad » -18,4 o ,

(

)

i1 (t ) = 4,4 10 cos 2000pt[s] - 0,102p A .

па

је

тренутни

интензитет

струје

88

Кола променљивих струја

124. Редна веза два пријемника прикључена је на простопериодичан струјни генератор. Под овим околностима је кондуктанса претежно индуктивног првог пријемника G1 = 20 mS . Резистанса и реактанса другог пријемника су R2 = 20 W и X 2 = -40 W . Израчунати резистансу R1 и реактансу X 1 првог пријемника тако да за усаглашене референтне смерове напон између крајева редне везе пријемника фазно p заостаје за струјом пријемника за . 4 РЕШЕЊЕ G1

Резистанса редне везе пријемника је R = R1 + R2 = а реактанса је X = X 1 + X 2 = је f = q - y = -

- B1 G12

+

B12

+ X2 =

+

B12

B1 + X 2 G12 + G12 + B12

B12

(

)

(

p X , па је tg f = = -1 . 4 R

Заменом израза за X и R добија се једначину

-

(R2 +

вредности у SI

)

X 2 B12

G12

+ R2 =

(

G1 + R2 G12 + B12 G12

+

B12

),

) . Према услову задатка

- B1 + X 2 G12 + B12 = -1 , што даје квадратну G1 + R2 G12 + B12

(

- B1 + G1 (1 + G1 (R2 + X 2 )) = 0 .

)

Заменом

познатих

бројних

1 B1 - 6 × 10 - 4 = 0 . Решења ове 20 = -60 mS . Први пријемник је претежно индуктиван, па

систему јединица добија се B12 +

једначине су B1(1) = 10 mS и B1( 2)

је једино могуће решење B1 = B1( 2) = -60 mS . Резистанса и реактанса првог пријемника су R1 = 5 W и X 1 = 15 W .

125.

За део кола простопериодичне струје са слике 125.1 познато је pö pö æ æ u = 10 2 cosç wt + ÷ V , e1 = 10 2 cos wt V , e2 = 20 2 cosç wt + ÷ V , R = 100 W и 2ø 2ø è è X = 300 W . Колика је ефективна вредност струје I у колу?

Слика 125.1.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

89

РЕШЕЊЕ Комплексни изрази за задате величине су U = 10e E2 = I=

p j 20e 2

V = j20 V

U + E1 - E 2 Z

j

p 2

V = j10 V ,

E 1 = 10 V ,

и Z = R + jX = (100 + j300) W . Комплексна струја у колу је

= -(20 + j40 ) mA .

Ефективна

вредност

струје

у

колу

је

I = I = - (20 + j40) = 20 5 mA .

126. За део кола простопериодичне струје са слике 126.1 познато је R2 = 40 W , X 2 = 30 W , U1 = 20 V , U 2 = 10 V , а напон U 2 фазно предњачи напону U1 за a =

p . 2

Израчунати ефективну вредност напона између тачака A и B .

Слика 126.1 РЕШЕЊЕ Текстом задатка није прецизиран почетни тренутак за посматрање кола ( t 0 ), па се сме произвољно усвојити почетна фаза само једне простопериодичне величине. Почетне фазе осталих величина су тада одређене усвојеном почетном фазом и фазним разликама осталих величина према оној чија је почетна фаза усвојена. Нека је qU1 = 0 . Тада је U 1 = U 1 = 20 V , U2

p j = 10e 2

U 2 = U 2e

jqU 2

= U 2e

(

j qU1 + a

U1

=

(јер

је

a = qU 2 - qU1 ),

одакле

је

= j10 V .

Комплексна струја у колу је I = U2

)

U2 j10 = = 40(3 + j4 ) mA . Из односа R2 + jX 2 40 + j30

R 2 + jX 2 добија се R1 = 60 W и X 1 = -80 W . R1 + jX 1

Комплексни напон између тачака A и B је U AB = (R2 + jX 1 )I = (17,6 - j3,2) V . Тражена ефективна вредност је U AB = (17,6 - j3,2) » 17,9 V .

90

Кола променљивих струја

127. За коло са слике 127.1 је R2 = 10 W и X 2 = -30 W . Израчунати отпорност R1 тако да напон U 2 фазно заостаје за напоном U за a=

p . 6 Слика 127.1. РЕШЕЊЕ

U2 æU ö p R2 + jX 2 Из услова задатка следи argçç 2 ÷÷ = - . Како је = , то је 6 U R U ø è 1 + R2 + jX 2 æU ö X X2 p argçç 2 ÷÷ = arg(R2 + jX 2 ) - arg(R1 + R2 + jX 2 ) . Одавде је arctg 2 - arctg =- , R2 R1 + R2 6 èU ø односно arctg tg

X2 X tg a + tgb p = arctg 2 + . На основу идентитета tg (a + b ) = , уз R1 + R2 R2 6 1 - tg a tgb

p R 2 + X 22 = 3 , одавде се добија тражена отпорност, R1 = - 2 » 23,83 W . 3 R2 + X 2 3 I

128. Идеални калем индуктивности L = 1 mH , кондензатор капацитивности C = 100 pF и отпорник отпорности R = 2 W везани су на ред и прикључени на идеалан напонски генератор простопериодичне електромоторне силе учестаности f = 15,915 MHz , као на слици 128.1. Тренутна вредност напона кондензатора при којој долази до пробоја диелектрика је U max = 1 kV . Колика сме да буде ефективна вредност електромоторне силе генератора, а да не дође до пробоја?

L

E

C

UC

R Слика 128.1.

РЕШЕЊЕ Ефективна вредност струје у колу (слика 128.1) је I =

E 1 ö æ R 2 + ç wL ÷ wC ø è

податке је wL је I »

2

За задате

1 > R ), а сусцептанса

B=-

1 1 wL wL =- 2 = - 2 » -10 mS = , где је wLp wL Z R + (wL )2

Z = R 2 + (wL )2 » wL = 100 W импеданса калема. Одавде Rp =

(wL )

2

следи

да

је

отпорност

отпорника

= QL wL = QL2 R = 5 kW , где је QL =

R индуктивност Lp » L = 1 mH .

у

колу

са

слике

129.2

wL = 50 фактор доброте калема, а R

Еквивалентна кондуктанса паралелне везе кондензатора и реалног калема са слике 1 1 , а еквивалентна сусцептанса је Be = wC » 0 (коло је у 129.2 је Ge = wLp Rp антирезонанцији), па је еквивалентна адмитанса антирезонантног осцилаторног кола је Q =

Ye = Ge . Фактор доброте тог

1 wL = = QL . wRC R

Ефективна вредност напона паралелне везе U = I g / Ye = Rp I g , а ефективна вредност струје

калема

је

I=

U Z = I g » QL I g . Z R

На

основу

услова

задатка

је

I I g max = max = 20 mA . QL Задатак се може решити и применом комплексног рачуна. Струја калема у колу са 1 jwC слике 129.1 може се добити на основу једначине струјног разделника, I = I , 1 g Z+ jwC

2. Једноставна кола простопериодичних струја

где је Z = R + jwL . Узимајући да је wL I=

93

1 1 = 0 , следи да је I = I , одакле је jwCR g wC

1 wL I Ig = I g = QL I g , па је I g max = max . QL wCR R

130. За мрежу простопериодичне струје са слике 130.1 познато је R1 = 30 W , X 1 = 40 W , R2 = 60 W , X 2 = 80 W , G3 = 16 mS , B3 = 12 mS и U = 250 V . Израчунати ефективну вредност струје напојне гране. Слика 130.1. РЕШЕЊЕ 1 Комплексна импеданса трећег пријемника је Z 3 = = (40 - j30) W . Еквивалентна Y3 импеданса редне везе другог и трећег пријемника је Z 23 = Z 2 + Z 3 = (100 + j50) W . Ze =

Еквивалентна импеданса целе мреже је вредност струје је I =

Z 1 Z 23 = (25 + j25) W . Ефективна Z 1 + Z 23

U =5 2 A. Ze

131. Просто коло, приказано на слици 131.1, састоји се од идеалног напонског генератора и два пасивна пријемника. Да ли може бити U / E > 1 ако је емс генератора (а) стална и (б) простопериодична? Образложити одговоре или их поткрепити нумеричким примерима. Слика 131.1. РЕШЕЊЕ Ако горњи пријемник означимо са 1, а доњи са 2, онда је у случају једносмерних R1 R2 U струја, = = 1£ 1 јер су R1 и R2 реални ненегативни бројеви. У R1 + R2 E R1 + R2 Z1 U = може бити веће од 1 ако су E Z1 + Z 2 пример, ако је Z 1 = (100 + j100) W , а

случају простопериодичних струја, количник пријемници супротних Z 2 = - j100 W , тада је

карактера.

Као

Z1 U = = 2 >1. E Z1 + Z 2

94

Кола променљивих струја

132. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 132.1 познато је I g = 2 mA , R = 200 W и X 2 = 100 W . Напон калема је у фази са струјом генератора. Колика је реактанса X 1 ? РЕЗУЛТАТ

Слика 132.1.

Реактанса кондензатора је X 1 = -100 W .

133. За део кола простопериодичне струје приказан на слици 133.1 познате су ефективне вредности E = 10 V , Ig = 2 3 A

и

I 2 = 2 A . Импеданса кондензатора је

Z C = 5 W . Струја I g фазно предњачи електромоторној 2p , а електромоторна сила фазно заостаје за сили Е за 3 p струјом I 2 за . Израчунати ефективну вредност напона 2 U10 .

Слика 133.1.

РЕШЕЊЕ С обзиром на то да није дата ниједна почетна фаза, можемо усвојити да је почетна фаза електромоторне силе q = 0 , тако да је E = 10 V . Сада је почетна фаза струје 2p

(

)

j 2p струјног генератора y I g = , па је I g = 2 3e 3 A = - 3 + j3 A . Почетна фаза струје 3 p

I 2 је y 2 =

j p , па је I 2 = 2e 2 A = j2 A . 2

На основу првог Кирхофовог закона је I 10 = I g - I 2 = (- 3 + j) A . Комплексна импеданса

кондензатора

U 10 = E + Z C I 10 = (15 + j5 3 ) W .

-j

p

Z C = Z C e 2 = - jZ C = - j5 W ,

је

Ефективна

вредност

тог

па напона

је је

U10 = U 10 = 10 3 V .

134. За коло простопериодичне струје са слике 134.1 је, на учестаности f , познато L = 30 mH ,

C = 0,5 mF ,

X 1 = -400 W ,

X 2 = 400 W ,

R2 = 400 W ,

I1 = 50 2 mA

и

2. Једноставна кола простопериодичних струја

95

U 43 = 10 V . Израчунати прираштај ефективне вредности напона струјног генератора ако се учестаност повећа два пута ( f1 = 2 f ), а ефективна вредност струје I g остане иста. X1

I1 L

2

C

3 X2

R2

1

4 Ig, f Слика 134.1.

РЕШЕЊЕ На учестаности f је U 23 = X 1 I1 = 20 2 V . Кондуктанса, сусцептанса и адмитанса за

део

B23 = -

кола

између

2

тачака

и

3

су

G23 =

R2 R22

+

X 22

=

1 S, 800

X 1 1 2 2 2 S. + B23 = - 2 2 2 = S и Y23 = G23 X 1 R2 + X 2 800 800

Ефективна

вредност

кондензатора је Z C =

струје

генератора

је

I g = Y23U 23 = 50 mA .

Импеданса

1 U 43 = 10 4 s -1 . = 200 W , па је кружна учестаност w = Ig CZ C

Реактансе кондензатора и калема су X C = - Z C = -200 W и X L = wL = 300 W . Еквивалентна X 14 = X L -

резистанса,

реактанса

B23 + X C = -300 W 2 2 G23 + B23

и

и

импеданса

су

R14 =

G23 2 G23

2 + B23

= 400 W ,

2 2 Z14 = R14 + X 14 = 500 W , па је ефективна

вредност напона струјног генератора U14 = Z14 I g = 25 V . На

учестаности

f1 = 2 f

је

(1) = G23

+ (2 X 2 )2

= 0,5 mS

и

(1) G23 2X 2 1 2 (1) , па је R = = kW и - 2 = 4 mS 23 X 1 R + (2 X )2 (1) 2 (1) 2 65 G23 + B23 2 2 2 (1) B23 16 ==kW . Еквивалентна резистанса, реактанса и импеданса су (1) 2 (1) 2 65 G23 + B23

(1) B23 =-

(1) X 23

R2

R22

( ) ( )

( ) ( )

(1) (1) R14 = R23 = (1) Z14 =

2 kW , 65

(R ) + (X ) (1) 2 14

(1) 2 14

(1) (1) X 14 = 2wL + X 23 -

=

276,25 » 256 W . 65

1 16,5 = kW 2 wC 65

Ефективна

вредност

и напона

струјног

96

Кола променљивих струја

(1) (1) генератора је U14 = Z14 I g » 12,8 V , па је прираштај ефективне вредности напона (1) D U14 = U14 - U14 » -12,2 V .

R

L

135. У делу кола простопериодичне струје са слике 135.1 познато је E = 12 V , w = 103 s -1 и R се може мењати. L = 0,4 H . Отпорност Израчунати (а) капацитивност C тако да ефективна вредност струје генератора ( I ) не зависи од отпорности R и (б) ефективну вредност струје у колу за капацитивност одређену под (а).

C

E, ω

I

Слика 135.1. РЕШЕЊЕ (а) Комплексна адмитанса кола је Y = jwC +

(

)

wCR + j w 2 LC - 1 1 = . Квадрат wL - jR R + j wL

(wCR )2 + (w2 LC - 1) = (YE ) = R 2 + (wL )2

2

ефективне вредности струје генератора је I може I2 =

(wC )

2

(R

2

) (

2

R + (wL ) 2

2

представити

)E

+ (wL ) - 2w LC - 1 2

2

2

2

у

æ 2w LC - 1 ö÷ 2 = çç (wC )2 - 2 E . Ефективна вредност R + (wL )2 ÷ø è

R

(б) Ефективна вредност струје генератора је I =

ако је

познато је I R1 = 2 A , I C = I R1 / 3 и I 2 = 2 3 A , а струја I 2 p . Израчунати 3 (а) ефективну вредност струје напојне гране I и (б) фазну разлику напона U и струје I . a=

2w 2 LC = 1 , одакле је

E = 15 mA . 2wL

136. За део кола простопериодичне струје са слике 136.1

за

облику

2

струје генератора не зависи од отпорности 1 C= = 1,25 mF . 2w 2 L

фазно заостаје за напоном U

E 2 , који се

2. Једноставна кола простопериодичних струја

97 Слика 136.1.

РЕШЕЊЕ На слици 136.2 су приказане оријентације свих грана, а на слици 136.3 је приказан фазорски дијаграм. За углове I1

IC

f1 IR1

f2

a = f2

f

I IC

I1 I2

I2

U

IR2

IL

Слика 136.3.

Слика 136.2. (а) Према a = f2 = q - y 2 =

задатим p . 3

подацима

Такође

је

је

f1 = -arctg

I1 = I R21 + I C2 =

I 2 = I12 + I 22 + 2 I1I 2 cos Ð(I1 , I 2 ) , где је Ð(I1 , I 2 ) = -f1 + f 2 = струје напојне гране I = I12 + I 22 =

IC 1 p = -arctg =I R1 6 3 4 3 A. 3

Како

и је

p , то је ефективна вредност 2

2 39 A » 4,16 A . 3

(б) Према фазорском дијаграму је I R2 = I 2 cos f 2 = 3 A , I L = I 2 sin f 2 = 3 A и 2 3I L - IC 3 » 0,46 rad » 26,32o . f = arctg = arctg I R1 + I R2 2+ 3 Задатак се може решити и у комплексном домену. Усвојимо да је почетна фаза I R jp j напона U , q = 0 . Тада је I R1 = I R1 , I C = 1 e 2 = I R1 и I 2 = I 2 e - ja . Даље је 3 3 æ I = I R1 + I C + I 2 = çç 2 + 3 + è

æ 2 öö j çç - 3 ÷÷ ÷÷ A . è 3 øø

Ефективна

вредност

струје

је

98

Кола променљивих струја

2 39 A » 4,16 A . Фазна 3 2 -3 f = - arg(I ) = -arctg 3 » 26,32o . 2+ 3 I= I =

разлика

напона

U

и

струје

I

је

137. За део кола простопериодичне струје са слике 137.1 познате су ефективне вредности напона U R = 40 V , U C = 90 V и U = 50 V . Израчунати (а) ефективну вредност напона калема U L и (б) фазну разлику напона U и струје I у колу.

Слика 137.1.

Слика 137.2.

РЕШЕЊЕ (а) За референтне смерове напона и струје са слике 137.2 могу се нацртати фазорски дијаграми приказани на сликама 137.3 и 137.4. Са фазорских дијаграма је U 2 = U R2 + (U L - U C )2 ,

па

U L(1) = U C + U 2 - U R2 = 120 V ,

је

U L = U C ± U 2 - U R2 . што

одговара

Одавде слици

произилази 137.3,

U L( 2) = U C - U 2 - U R2 = 60 V , што одговара фазорском дијаграму на слици 137.4.

и

2. Једноставна кола простопериодичних струја

99 UR

UL

I

f

U

За UC>UL UL

За UL>UC

UC

UC

U f

Слика 137.4.

I UR Слика 137.3.

U L -UC . Према решењу UR 3 f(1) = arctg » 0,64 rad » 36,9o и 4

(б) Фазна разлика напона U и струје I је f = arctg претходног

дела

задатка

је

-3 » -0,64 rad » -36,9o . 4 Задатак се може решити и у комплексним рачуном. По другом Кирхофовом закону је U = U R + U L + U C . Комплексна струја кола је I = Ie jy , па се може писати f( 2) = arctg

Ue

j(ψ + f )

= U Re

једначине са e

jψ

jψ

+UL , Ue

реалне једначине,

pö æ j ç ψ+ ÷ 2ø è e

+ UC

pö æ j ç ψ- ÷ 2ø è e ,

одакле је, после скраћивања обе стране

= U R + j(U L - U C ) . Из ове комплексне једначине произилазе две U -UC U 2 = U R2 + (U L - U C )2 и tgf = L . На основу тога је UR jf

U L = U C ± U 2 - U R2 и f = arctg

U L -UC , што даје исте резултате као решавањем у UR

фазорском домену.

138. У колу простопериодичне струје са слике 138.1 је R2 = X 2 = - X 1 = 250 W , L = 50 mH и C = 0,5 mF . При затвореном прекидачу П ефективна вредност струје кондензатора С је I = 50 5 mA , а ефективна вредност напона пријемника R2 - X 2 је U = 10 5 V . Колике су ове ефективне вредности после отварања прекидача?

100

Кола променљивих струја

РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност струје генератора је I g = 50 mA , а кружна учестаност је w = 10 4 s -1 , па је при отвореном прекидачу I ¢ = 50 mA и U ¢ = 10 2 V . Слика 138.1.

3.4. Трансфигурације

је

139. За мрежу са слике 139.1 познато Z 1 = 10(3 - j) W , Z 2 = 10(1 + j) W ,

Z 3 = 40 W ,

Z 4 = - j20 W

и

Z 5 = 20(2 + j) W . Израчунати еквивалентну комплексну импедансу Z AB када прекидач P (a) отворен и (б) затворен.

је Слика 139.1.

РЕЗУЛТАТ Улазне комплексне импедансе су o) (а) Z (AB = Z 1 (Z 2 Å Z 3 ) = 2,5 (8 - j) W и

(

)

50 z) (б) Z (AB = Z 1 Z 2 Å Z 3 (Z 4 Å Z 5 ) = W. 3

140. Одредити еквивалентну импедансу мреже приказане на слици ако је R =

L . Кружна учестаност је w. C

РЕЗУЛТАТ

Слика 140.1.

Еквивалентна импеданса је Z AB = R .

141. Одредити комплексне улазне импедансе између прикључака 1 и 1' за мреже простопериодичне струје са слика 141.1-141.8 када су прикључци 2 и 2' (а) у празном ходу ( Z o ) и (б) у кратком споју ( Z ks ).

2. Једноставна кола простопериодичних струја

101

Слика 141.1.

Слика 141.2.

Слика 141.3.

Слика 141.4. C 1

2 L

L

1' Слика 141.5.

Слика 141.7.

2' Слика 141.6.

Слика 141.8.

РЕЗУЛТАТ 1 ö æ За мрежу са слике 141.1 је Z o = j ç wL ÷ и Z ks = jwL . wC ø è

102

Кола променљивих струја -j 1 ö æ За мрежу са слике 141.2 је Z o = j ç wL . ÷ и Z ks = w C w C è ø 1 ö w2 LC - 2 æ За мрежу са слике 141.3 је Z o = j ç wL . ÷ и Z ks = jwL 2 wC ø è w LC - 1

(

) )

1 ö - j 2w2 LC - 1 æ За мрежу са слике 141.4 је Z o = j ç wL . ÷ и Z ks = wC ø wC w2 LC - 1 è

(

1 wC и Z = - jwL . За мрежу са слике 141.5 је Z o = j ks 2 w2 LC - 1 2 - w LC wL -

1 ö æ w2 LC ç wL ÷ jwL wC ø è За мрежу са слике 141.6 је Z o = j и Z ks = - 2 . 2 w LC - 1 2w LC - 1 1 æ 1 ö 2jwL . За мрежу са слике 141.7 је Z o = j ç wL ÷ и Z ks = - 2 2 è wC ø w LC - 1 1 æ 1 ö 2jwL За мрежу са слике 141.8 је Z o = j ç wL . ÷ и Z ks = - 2 2 è wC ø w LC - 1

142. Полазећи од израза за трансфигурацију звезде у еквивалентан троугао, и обрнуто, извести изразе за трансфигурацију звезде три кондензатора у еквивалентан троугао (слика 142.1).

Слика 142.1. РЕШЕЊЕ Обрасци за трансфигурацију звезде у троугао гласе Z 23 = Z 2 + Z 3 + Z3 =

1 jwC3

Z Z Z 12 = Z 1 + Z 2 + 1 2 , Z3

Z Z Z2Z3 1 1 и Z 31 = Z 3 + Z 1 + 3 1 . Заменом Z 1 = , Z2 = Z1 jwC1 jwC 2 Z2 у

израз

за

Z 12

добија

и се

2. Једноставна кола простопериодичних струја

103

1 1 C3 jwC1 jwC 2 1 1 1 C1 + C2 + C3 1 1 Z 12 = + + = + + = , одакле је 1 jwC1 jwC2 jwC1C 2 jw jwC1 jwC2 C1C2 jwC3 очигледно да је пријемник комплексне импедансе Z 12 кондензатор капацитивности C12 =

C1C2 . На сличан начин се добија да је C1 + C2 + C3

C31 =

C3C1 . C1 + C2 + C3

Обрасци за трансфигурацију троугла у звезду гласе Z2 =

Z 23 Z 12 Z 12 + Z 23 + Z 31

и Z3 =

C23 =

Z1 =

C 2C3 C1 + C2 + C3

Z 12 Z 31 Z 12 + Z 23 + Z 31

и

,

Z 31 Z 23 1 1 , Z 23 = и . Заменом Z 12 = jwC12 jwC 23 Z 12 + Z 23 + Z 31

C23 1 1 . Тај пријемник у израз за Z 1 добија се Z 1 = jw C23C31 + C31C12 + C12C 23 jwC31 C C + C31C12 + C12C 23 C C је кондензатор капацитивности C1 = 23 31 = C12 + C31 + 12 31 . C 23 C 23 Z 31 =

C C C C Слично томе je C2 = C 23 + C12 + 23 12 и C3 = C31 + C23 + 31 23 . C31 C12

143. Израчунати еквивалентну капацитивност C24 мреже кондензатора приказане на слици 143.1 ако је Ci = i nF, i = 1,...,8 .

104

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ C9

C10

C11

C4

3

2

C5 4

C6 C7 Слика 143.1.

5

C8

Слика 143.2.

Трансфигурацијом звезде C1 - C 2 - C3 у троугао добија се мрежа са слике 143.2 у 1 1 којој је C9 = nF , C10 = nF и C11 = 1 nF . Трансфигурацијом паралелних веза C10 - C4 3 2 и C11 - C5 добија се мрежа са слике 143.3, у којој је C12 = 4,5 nF и C13 = 6 nF .

Слика 143.3.

Слика 143.4.

Трансфигурацијом троугла C13 - C6 - C8 у звезду добија се мрежа са слике 143.4 у којој је C14 = 16,5 nF , C15 = 22 nF и C16 = 22 nF . Еквивалентна капацитивност је C24 = C9 || ((C12 Å C14 ) || (C7 Å C15 ) Å C16 ) » 6,64 nF .

144. Кондензатори капацитивности C1 = C2 = 1 mF и отпорник отпорности R = 100 W везани су у троугао, као на слици 144.1. Израчунати импедансе звезде еквивалентне овом троуглу при кружној учестаности w = 10 4 s -1 .

2. Једноставна кола простопериодичних струја

105

Слика 144.1. РЕЗУЛТАТ Импедансе звезде су Z1 = ( 40 - j20 ) W , Z 2 = ( -20 - j40 ) W и Z 3 = ( 40 - j20 ) W . Да ли се ова звезда може физички реализовати?

145. Троугао који чине отпорник отпорности R = 1 W и два калема индуктивности L = 1 mH , приказан на слици 145.1, трансфигурисати у еквивалентну звезду. Кружна учестаност је w = 103 s -1 . 1

1

Z1

L 2 2 L

Z2

R 3

3

Z3

Слика 145.1. РЕЗУЛТАТ Импедансе грана еквивалентне звезде су Z 1 =

2+ j -1 + j2 W = Z3 и Z2 = W. 5 5

146. За мрежу са слике 146.1 познато је Z 1 = 15 W , Z 2 = - j3 W , Z 3 = 3(1 + j3) W , Z 4 = 3 W и Z 5 = j3 W . Израчунати комплексну улазну импедансу Z AB .

106

Кола променљивих струја

Слика 146.2.

Слика 146.1

РЕШЕЊЕ Мрежа са слике 146.1 може се представити као на слици 146.2. После трансфигурације троугла Z 2 - Z 4 - Z 5 у трокраку звезду Z 6 - Z 7 - Z 8 добија се коло на слици Z8 =

146.3

за

које

је

Z2Z4 = - j3 W . Z2 + Z4 + Z5

Z AB = Z 6 +

Z6 =

Z2Z5 =3W, Z2 + Z4 + Z5

Комплексна

(Z 7 + Z 3 )(Z 8 + Z 1 ) = (10,4 + j5,8) W . Z1 + Z 3 + Z 7 + Z 8

Слика 146.3.

Z7 =

улазна

Z4Z5 = j3 W Z2 + Z4 + Z5

и

импеданса

је

2. Једноставна кола простопериодичних струја

107

Слика 146.4. Задатак се може решити и трансфигурацијом трокраке звезде Z 3 - Z 4 - Z 5 у троугао Z 9 - Z 10 - Z 11 , као на слици 146.4. При томе је Z 9 = Z 4 + Z 5 + Z 10 = Z 3 + Z 4 +

Z4Z5 3 = (13 + j11) W , Z3 10

Z3Z 4 Z Z = 3(5 + j2 ) W и Z 11 = Z 3 + Z 5 + 3 5 = 6(- 1 + j2,5) W . Z5 Z4

Комплексна импеданса Z 11 указује на то да се приликом трансфигурације може

добити да резистанса буде негативна, R11 = Re(Z 11 ) = -6 W . Овакав пријемник се не може физички реализовати отпорницима, калемовима и кондензаторима, већ се морају употребити активни елементи. Ипак, основни услов трансфигурације (да се у остатку кола не мењају струје и напони) допушта употребу оваквих комплексних импеданси у прорачунске сврхе. Међутим, реални део еквивалентне импедансе између произвољног пара крајева мреже састављене од отпорника, калемова и кондензатора, мора бити ненегативан. Према слици 146.4 комплексна улазна импеданса је Z AB = Z 11 Z 2 Z 9 Å Z 1 Z 10 = (10,4 + j5,8) W .

(

)

147. На слици 147.1 је приказана електрична шема кола за мерење индуктивности Lx и отпорности Rx калемова великих отпорности на различитим учестаностима. Подешавањем отпорности R и капацитивности C струја амперметра A се доведе до нуле ( I A = 0 ). Одредити изразе за Lx и Rx .

108

Кола променљивих струја

Слика 147.1. РЕШЕЊЕ Трансфигурацијом трокраке звезде између чворова 0 , 1 и 3 (са звездиштем у Z 30 чвору 2 ) у троугао добија се шема са слике 147.2, према којој је I A = I 30 . Z 30 + Z A Када је I A = 0 , тада је и I 30 = 0 , што је испуњено ако

R + Z 13

R Z 13 ® ¥ , односно ако је R + Z 13

1 - 2 2 ö 2 1 1 æç 1 C w ÷ , добија се + 2 =- 2 2 +j = 0 . Како је Z 13 = ÷ Rx jwLx jwC wC çè w2CLx w C Rx ø Rx + jwLx

ö 1 1 æç 1 1 комплексна једначина R - 2 2 +j - 2 ÷ = 0 из које је R - 2 2 =0 и 2 ç ÷ wC è w CLx w C Rx w C Rx ø 1 1 1 - 2 = 0 , па су тражене величине Rx = и Lx = . При томе, треба 2 2 2 w CLx 2w 2 C w C R имати у виду да Z 10 ¹ 0 и Z 30 ¹ 0 у колу на слици 147.2.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

109

Слика 147.2.

148. Подешавањем отпорности и капацитивности у колу са слике 148.1, струја амперметра A је доведена на нулу ( I A = 0 ). Изразити учестаност f генератора преко параметара елемената кола.

Слика 148.1. РЕЗУЛТАТ Учестаност је f =

1 . 2pRC

110

Кола променљивих струја 149. За коло простопериодичне струје са слике 149.1 познато је Z 1 = Z 2 = j50 W ,

Z 3 = 25 W ,

Z 4 = Z 5 = 100 W ,

Z 6 = - j50 W ,

Z g = (15 - j35) W ,

Z p = (28 - j40) W ,

Z A = 2 W и I A = 0,25 A . Израчунати ефективну вредност електромоторне силе E .

Слика 149.1. РЕЗУЛТАТ Тражена ефективна вредност је E = 12,5 10 V .

3.5. Снаге 150. (а) Које се снаге дефинишу у колима са простопериодичним режимом? (б) За које од тих снага важи закон одржања? РЕШЕЊЕ (а) Посматрајмо мрежу са једним приступом, која се може састојати само од једног елемента, или од једне гране, а може бити и сложенија. Референтни смерови напона и струје су усклађени (слика 150.1). Нека су напон и струја дати изразима u (t ) = U 2 cos(wt + q) и i (t ) = I 2 cos(wt + y ) .

Слика 150.1. ·

Тренутна снага коју мрежа прима p (t ) = u (t ) i (t ) = 2UI cos(wt + q ) cos(wt + y ) . Јединица је W.

је

2. Једноставна кола простопериодичних струја

111

1 Средња (активна) снага коју мрежа прима је P = Tp

·

Tp

ò p(t ) dt = UI cos f , где 0

p је4 T p = , а f = q - y . Јединица је W. w ·

Реактивна снага коју мрежа прима је Q = UI sin f . Јединица је var.

·

Привидна снага мреже је S = UI . Јединица је VA.

·

Комплексна снага (комплексна привидна снага) коју мрежа прима је S = U I * . Јединица је VA.

Важе релације: P = S cos f , Q = S sin f , S = P 2 + Q 2 и S = Se jf = P + jQ , односно S =| S | , P = Re(S ) и Q = Im(S ) . Мрежа ради као пријемник ако је P > 0 ( 0 £| f |
0 , па у обзир долази само решење k r1 = 1 - k12 = 0,6 . Из једначина P1 = k1S1 и Q1 = kr1S1 , реактивна снага првог пријемника

је

k Q1 = P1 r1 = 6 kvar , па је комплексна k1

снага првог пријемника

S 1 = P1 + jQ1 = (8 + j6) kVA . Фактор снаге другог пријемника је k 2 = 1 - k r22 = 0 (пријемник се понаша као идеалан кондензатор), па је P2 = 0 , Q2 = -6 kvar и S 2 = - j6 kVA . По теореми одржања комплексне снаге, комплексна снага коју развија идеални напонски генератор у колу на слици 152.1 ( S E ) једнака је збиру комплексних снага које примају гране кола са пријемницима, S E = S 1 + S 2 . Одатле следи да је укупна комплексна снага оба пријемника S = S 1 + S 2 = 8 kVA = S E . Другачије формулисано, P = P1 + P2 = 8 kW и Q = Q1 + Q2 = 0 . Привидне снаге пријемника су S1 = 10 kVA и S 2 = 6 kVA , а привидна снага паралелне везе је S = 8 kVA . Очигледно је S ¹ S1 + S 2 , односно привидне снаге се не смеју сабирати у општем случају. Фактор снаге паралелне везе је k = P / S = 1 . Да ли би поступак решавања и резултат задатка били другачији да је задато да су пријемници везани на ред?

2. Једноставна кола простопериодичних струја

113 i

153. Пријемник комплексне импедансе Z = (1 + j 3 ) W прикључен је на простопериодичан напон ефективне вредности p U = 100 V , учестаности f = 50 Hz и почетне фазе q = (слика 2 153.1). Одредити израз за тренутну струју и тренутну снагу пријемника.

u

Z

Слика 153.1.

РЕШЕЊЕ Тренутни напон пријемника је u (t ) = U 2 cos(2pft + q) , а приказан је на слици 153.2. U = 50 A , где је Z = Z = 2 W . При Z усклађеним референтним смеровима, фазна разлика напона и струје је Im(Z ) p p f = arg( Z ) = arctg = arctg 3 = , па је почетна фаза струје y = q - f = . Тренутна Re( Z ) 3 6

Ефективна вредност струје пријемника је I =

вредност струје пријемника је дата изразом i (t ) = I 2 cos(2pft + y ) , а приказана је на слици 153.2.

Тренутна снага пријемника је p (t ) = u (t ) i (t ) = 2UI cos(2pft + q ) cos(2pft + y ) и такође је приказана на слици 153.2. 1 (cos(a + b ) + cos(a - b)) , тренутна снага се може 2 p (t ) = u (t ) i (t ) = UI cos(q - y ) + UI cos(4pft + q + y ) . Први члан,

На основу идентитета cos a cos b = написати

у

облику

константна величина P = UI cos(q - y ) = UI cos f , је средња (активна) снага (слика 153.2). Други члан је простопериодична функција времена учестаности f p = 2 f , а приказан је танком пуном линијом на слици 153.2. Тренутна снага је периодична функција времена 1 1 са периодом T p = = . fp 2 f

T=

Слика 153.2.

1 f

114

Кола променљивих струја

154. Пријемник из претходног задатка је представљен паралелном везом идеалног отпорника и калема, као на слици 154.1. Одредити тренутне струје и снаге тих елемената. Слика 154.1. РЕШЕЊЕ 1 1- j 3 = S = G + jB . Z 4 Комплексна адмитанса паралелне везе отпорника и калема са слике 154.1 има облик 1 1 1 Y= + . Упоређујући ова два израза, види се да је Rp = = 4 W , а G Rp jwLp Комплексна

Lp = -

адмитанса

задатог

пријемника

је

Y=

1 40 = mH . 2pfB p 3

Струја отпорника је у фази са напоном, њена ефективна вредност је

I a = GU = 25 A , а тренутна вредност је ia (t ) = I a 2 cos(2pft + q ) . Струја калема је у p ), њена ефективна вредност је 2 pö æ I r =| B | U = 25 3 A , а тренутна вредност је ir (t ) = I r 2 cosç 2pft + q - ÷ . 2ø è

квадратури са напоном (фазно заостаје за напоном за

Тренутна вредност струје напојне гране је i (t ) = ia (t ) + ir (t ) и иста је као у p . Доказ се може 6 извести на следећи начин. На основу идентитета cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b и узимајући у обзир да је y = q - f , струја напојне гране се може написати облику претходном задатку, i (t ) = I 2 cos(2pft + y ) , где је I = 50 A и y =

i (t ) = I 2 cos(2pft + q - f ) = I 2 (cos(2pft + q) cos f + sin (2pft + q )sin f) . Како је G = Y cos f ,

B = -Y sin f

и

pö æ sin a = cosç a - ÷ , 2ø è

добија

се

I = YU , да

је

pö æ i (t ) = GU 2 cos(2pft + q ) - BU 2 cosç 2pft + q - ÷ . Узимајући у обзир да је за претежно 2ø è индуктиван пријемник | B |= - B , коначно се добија pö æ i (t ) = GU 2 cos(2pft + q )+ | B | U 2 cosç 2pft + q - ÷ , што је и требало доказати. 2ø è Тренутне вредности струја у колу приказане су на слици 154.2, заједно са тренутним напоном.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

115

T=

1 f

Слика 154.2. Шемом на слици 154.1 представљено је растављање струје пријемника са слике 153.1 на активну и реактивну компоненту. Те компоненте се одређују у односу на напон, а при усклађеним референтним смеровима напона и струје. Активна компонента струје ( ia ) у фази је са прикљученим напоном и једнака је струји отпорника са слике 154.1. Ефективна вредност те струје је I a = I cos f . Реактивна компонента струје ( ir ) у квадратури је са прикљученим напоном, једнака је струји реактивног елемента (калема) на слици 154.1, а њена ефективна вредност је, у општем случају, I r = I | sin f | . (За претежно индуктиван пријемник је I r = I sin f , а за претежно капацитиван пријемник је I r = - I sin f .) Фазорски дијаграм који илуструје то растављање приказан је на слици 154.3. Тренутна снага отпорника са слике 154.1 је p R (t ) = u (t )ia (t ) = 2UI a cos 2 (2pft + q ) , а pö æ тренутна снага калема је p L (t ) = u (t )ir (t ) = 2UI r cos(2pft + q)cosç 2pft + q - ÷ . Те снаге су 2ø è приказане на слици 154.4 заједно са укупном снагом пријемника, p (t ) . Са слике је очигледно p (t ) = p R (t ) + p L (t ) , што мора бити на основу закона одржања рада и енергије.

p pR pL

P

0

t

Слика 154.3. Слика 154.4. Тренутна

снага

отпорника

p R (t ) = UI a + UI a cos (4pft + q) . 2

се

Константни

може члан

написати у

у

облику

овом

изразу,

116

Кола променљивих струја

PR = UI a = UI cos f = 2,5 kW , је средња снага отпорника са слике 154.1. Та снага је једнака средњој снази пријемника са слике 153.1 ( PR = P ). На слици 154.1 означене су снаге p R (t ) и PR , а простопериодични члан UI a cos 2 (4pft + q ) је нацртан танком пуном линијом.

Тренутна снага калема се може приказати у облику p L (t ) = UI r sin (4pft + 2q) .

Средња вредност те снаге је нула, а амплитуда, p Lm = UI r = UI sin f = 2,5 3 kW , једнака је реактивној снази пријемника са слике 153.1 ( p Lm = Q ). Каква би била еквивалентна шема пријемника из задатка 153 да је његова комплексна импеданса Z = (1 - j 3 ) W ? Читаоцу се препоручује да понови задатак за тај случај.

155. Пријемник из задатка 153 представљен је редном везом идеалног отпорника и калема (слика 155.1). Одредити тренутне напоне и снаге тих елемената.

Слика 155.1.

Слика 155.2.

РЕШЕЊЕ Параметри

еквивалентне

шеме

са

слике

155.1

су

Rr = Re( Z ) = 1 W

и

Im(Z ) 3 = H . Том шемом је представљено растављање напона пријемника са w 100p слике 153.1 на активну и реактивну компоненту (слика 155.2). Те компоненте се одређују у односу на струју (при усклађеним референтним смеровима напона и струје). Lr =

Напон отпорника (активна компонента напона) је ua (t ) = U a 2 cos(2pft + y ) , где је U a = U cos f = 50 V . Напон калема (реактивна компонента напона) је pö æ u r (t ) = U r 2 cosç 2pft + y + ÷ , где је U r = U sin f = 50 3 V . 2ø è Тренутна снага отпорника је p R (t ) = ua (t )i (t ) = 2U a I cos 2 (2pft + y ) , а средња снага је P = U a I = UI cos f = 2,5 kW . Тренутна снага калема је p L (t ) = -U r I sin (4pft + 2y ) .

2. Једноставна кола простопериодичних струја

117

156. Пријемник (реални калем), непознате отпорности R и индуктивности L, прикључен је на струјни генератор простопериодичне струје ефективне вредности

I g = 5,5 2 A

и

кружне

учестаности

w = 1000 s -1 (слика 156.1). У колу је успостављен простопериодични режим. Тренутна снага коју калем

(

)

прима је p (t ) = 1210 1 - 2 sin 2wt W . Израчунати параметре пријемника R и L , као и тренутну струју струјног генератора.

Слика 156.1.

РЕШЕЊЕ Нека је, према референтним смеровима са слике 156.2, напон пријемника u (t ) = U 2 cos(w t + q) , а струја i (t ) = ig (t ) = I g 2 cos(w t + y ) . Према решењу задатка 153, тренутна снага пријемника се може написати у облику p (t ) = UI g cos(q - y ) + UI g cos(2wt + q + y ) . Први члан у изразу за снагу је активна снага пријемника, P = UI g cos(q - y ) = UI g cos f , где је f = q - y фазна разлика напона и струје пријемника. Слика 156.2.

Имајући у виду да је UI g = S привидна снага пријемника, израз за тренутну снагу се може написати у облику p (t ) = P + S cos(2wt + 2y + f )

(156.1)

јер је q + y = 2y + f . Задати израз за тренутну снагу се може написати у облику æ ö p æ ö p (t ) = çç1210 + 1210 2 cosç 2wt + ÷ ÷÷ W . Упоређујући са изразом (156.1), закључује се да 2 è øø è је активна снага посматраног пријемника P = 1210 W , привидна снага S = 1210 2 VA , p а 2y + f = . 2 Како је P = RI g2 , то је отпорност пријемника R = снагу S = ZI g2 , импеданса пријемника је Z =

S I g2

P I g2

= 20 W . Из израза за привидну

= 20 2 W . Импеданса редне везе је

118

Кола променљивих струја

Z = R 2 + (wL )2 , па је реактанса пријемника X = + Z 2 - R 2 = 20 W ( X > 0 ). Из израза X = wL , индуктивност пријемника је L = Имајући у виду да је f = arctg

X = 20 mH . w

X p p pö æ = , следи y = , па је ig (t ) = 11cosç w t + ÷ A . R 4 8 8ø è

157. Између крајева редне везе отпорника, калема и кондензатора прикључен је простопериодичан напон кружне учестаности w . Доказати да важи релација Q = w (Wm max - We max ) , где је Q реактивна снага редне везе, Wm max максимална енергија магнетског поља калема, We max максимална енергија електричног поља кондензатора и w кружна учестаност. РЕШЕЊЕ Ако је I m амплитуда струје посматране редне везе, тада је реактивна снага те везе 1 2 1æ 1 ö 2 Q = XI m = ç wL ÷ I m , где је L индуктивност калема, а С капацитивност 2 2è wC ø 1 кондензатора. Максимална енергија магнетског поља калема је Wm max = LI m2 , а 2 2 CU Cm максимална енергија електричног поља кондензатора је We max = , где је 2 I I2 U Cm = m амплитуда напона кондензатора. Даље је We max = m2 , па је wC 2w C æ1 2 I2 ö - m2 ÷ = w (Wm max - We max ) , што је и требало доказати. Q = w ç LI m ç2 2w C ÷ø è IL 158. Напон између крајева паралелне везе калема индуктивности L и кондензатора капацитивности C је простопериодичан, кружне учестаности w . Показати да важи релација Q = w(Wm max - We max ) , где је Q реактивна снага паралелне везе калема и кондензатора, Wm max највећа енергија магнетског поља калема, We max највећа енергија електричног поља кондензатора, а w кружна учестаност.

L

C

U, ω Слика 158.1.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

119

РЕШЕЊЕ Полазећи

од

израза

за

реактивну

снагу

(

)

Q = - BU 2 ,

добија

се

1 ö 2 1 æ (wLI L )2 - wCU 2 = w LI L2 - CU 2 = w æç 1 LI L2m - 1 CU m2 ö÷ , па је Q = -ç wC ÷U = w w L L 2 è ø è2 ø Q = w(Wm max - We max ) , што је и требало показати.

159. Пасивни пријемник укључен је у коло простопериодичне струје. Ефективна вредност напона пријемника је U = 220 V , ефективна вредност струје пријемника је p , при усаглашеним референтним 6 смеровима за напон и струју. Израчунати активну (средњу) снагу, реактивну снагу, привидну снагу, фактор снаге и фактор реактивности пријемника. I = 20 A , а струја I фазно предњачи напону U за

РЕШЕЊЕ Фазна разлика напона и струје пријемника је f = q - y = -

p < 0 , па је пријемник 6

претежно капацитиван. Привидна снага пријемника је S = UI = 4,4 kVA . Активна (средња) снага пријемника је Реактивна снага је P = S cos f = UI cos f » 3,8 kW . Q = S sin f = UI sin f = -2,2 kvar . Фактор снаге пријемника је k = kr =

P = cos f » 0,866 , а фактор реактивности је S

Q = sin f = -0,5 . S

Читаоцу се оставља да провери да ли за израчунате величине важе релације Q = tg f , P = kS , Q = k r S и k 2 + k r2 = 1 . S 2 = P2 + Q2 , P

160. У односу на усклађене референтне смерове, тренутни напон пријемника у простопериодичном режиму је u(t ) = 50 sin wt V , а комплексна струја je I = ( -5 - j5) A . Израчунати тренутну, активну, реактивну и комплексну снагу пријемника. РЕШЕЊЕ

(

У каноничном облику, напон пријемника је u (t ) = 25 2 је

( ) 2 cosæçè wt - 34p ö÷ø A .

i (t ) = 5 2

Стога

је

) 2 cosæçè wt - p2 ö÷ø V , а струја

тренутна

снага

пријемника

3p ö pö æ æ p (t ) = 500cosç wt - ÷ cosç wt - ÷ W . Активна снага је P = 125 2 W , реактивна снага 2 4 ø è ø è је Q = 125 2 var , а комплексна снага је S = 125 2 (1 + j) VA .

120

Кола променљивих струја

161. У колу простопериодичне струје позната је тренутна струја пријемника, i (t ) = 10 sin wt A , и комплексни напон пријемника, U = 100 exp(- jp / 3) V . Референтни смерови напона и струје су усаглашени. Израчунати активну снагу, реактивну снагу, комплексну снагу, фактор снаге и фактор реактивности овог пријемника. РЕЗУЛТАТ Активна снага пријемника је P = 250 6 W , реактивна снага је Q = 250 2 var , комплексна снага је реактивности је k r =

S = 250 2 ( 3 + j) VA , фактор снаге је k =

3 , а фактор 2

1 . 2

162. Тренутна струјa пријемника у колу простопериодичне струје је i( t ) = -2 sin wt A , где је w = 103 s -1 , ефективна вредност напона пријемника је U = 10 V , а напон фазно заостаје за струјом за p/4 (при усклађеним референтним смеровима). Израчунати тренутну, активну, реактивну, привидну, и комплексну снагу пријемника. РЕЗУЛТАТ pö æ pö æ Тренутна снага је p (t ) = 20 2 cosç wt + ÷ cosç wt + ÷ W , средња снага је P = 10 W , 4 2ø è ø è реактивна снага је Q = -10 var , привидна снага је S = 10 2 VA , а комплексна снага је S = 10(1 - j) VA .

163. Комплексна импеданса пријемника у колу простопериодичне струје је Z = (20 + j10) W , а ефективна вредност струје пријемника је I = 10 A . Израчунати активну, реактивну, привидну и комплексну снагу овог пријемника. РЕШЕЊЕ Комплексна снага пријемника је S = U I * = Z I I * = Z I 2 = (2 + j1) kVA . Активна снага је

P = Re(S ) = Re(Z )I 2 = RI 2 = 2 kW , где је

пријемника.

Реактивна

снага

је

R = Re(Z ) = 20 W

резистанса

Q = Im(S ) = Im(Z )I 2 = XI 2 = 1 kvar ,

где

је

2

X = Im(Z ) = 10 W реактанса пријемника. Привидна снага је S = S = UI = ZI = 5 kVA .

164. Пријемник кондуктансе G = 0,8 S и сусцептансе B = 0,6 S прикључен је на pö æ идеалан простопериодичан струјни генератор струје ig (t ) = 2 sin ç wt - ÷ A . Колика је 3ø è активна, реактивна и привидна снага пријемника? Колики је фактор снаге, а колики фактор реактивности?

2. Једноставна кола простопериодичних струја

121

РЕШЕЊЕ Комплексна

импеданса

пријемника

Z=

је

1 = ( 0,8 - j0,6 ) W = R + jX , G + jB

ефективна вредност струје је Ig = 2 A , активна снага P = RIg2 = 1,6 W , реактивна снага R Q = XI g2 = -1,2 var , привидна снага S = ZI g2 = 2 VA , фактор снаге k = = 0,8 и фактор Z X реактивности k r = = -0,6 . Z

165. Комплексна импеданса пријемника у колу простопериодичне струје је Z = (20 + j10) W , а ефективна вредност напона пријемника је U = 100 V . Израчунати активну, реактивну, привидну и комплексну снагу овог пријемника. РЕШЕЊЕ 1 = (40 - j20) mS , кондуктанса је Z G = Re(Y ) = 40 mS , а сусцептанса B = Im(Y ) = -20 mS . Комплексна снага пријемника је Комплексна адмитанса пријемника је Y =

S = Y *U 2 = (400 + j200) VA . Активна снага је P = Re(S ) = GU 2 = 400 W , реактивна снага је Q = Im(S ) = - BU 2 = 200 var , а привидна снага је S = S = YU 2 = 200 5 VA .

166. Пријемник

комплексне

импедансе

Z = (1 - j) kW

прикључен

је

на

простопериодичaн напон ефективне вредности U = 100 V , учестаности f = 50 Hz и почетне фазе q = p / 2 . Израчунати тренутну, активну, реактивну и комплексну привидну снагу пријемника, фактор снаге и фактор реактивности. РЕЗУЛТАТ Тренутна снага је

p (t ) = 10 2 cos(wt + p / 2) cos(wt + 3p / 4) W , средња снага је

P = 5 W , реактивна снага је Q = -5 var , комплексна снага је S = (5 - j5) VA , фактор снаге је k =

2 2 , а фактор реактивности је k r = . 2 2

167. Претежно капацитивaн пријемник адмитансе Y = 2 mS и фактора снаге 3 прикључен је на простопериодичaн напон ефективне вредности U = 5 kV , 2 учестаности f = 50 Hz и почетне фазе q = - p / 3 . Израчунати активну, реактивну и привидну снагу пријемника. k=

122

Кола променљивих струја РЕЗУЛТАТ

Активна снага је P = 25 3 kW , реактивна снага је Q = -25 kvar , а привидна снага је S = 50 kVA .

168. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 168.1 је E = 5 kV , R = 500 W и снага отпорника PR = 18 kW . Израчунати комплексну снагу калема. РЕШЕЊЕ Из израза за снагу отпорника, ефективна вредност струје у колу, I =

PR = RI 2 , добија се

Слика 168.1.

PR = 6 A . Привидна R

снага задате редне везе је S = PR2 + QL2 = EI = 30 kVA , где је QL = S 2 - PR2 = 24 kvar реактивна снага калема. Комплексна снага калема је S L = jQL = j24 kVA .

169. Када се отпорник и кондензатор вежу редно, фактор снаге таквог пријемника је cos f = 0,8 . Колики је фактор снаге пријемника који се састоји од паралелне везе истог отпорника и истог кондензатора? РЕШЕЊЕ

Слика 169.1. Слика 169.2. У случају редне везе (слика 169.1), комплексна импеданса пријемника је 1 R wRC Z = R+ , па је фактор снаге cos f = = . jwC Z 1 + (wRC )2 При паралелној вези (слика 169.2), комплексна адмитанса пријемника је 1 G 1 Y = + jwC . Фактор снаге је cos f ¢ = cos u = = . Одавде је R Y 1 + (wRC )2

2. Једноставна кола простопериодичних струја

123

cos 2 f + cos 2 f ¢ = 1 . С обзиром на то да је фактор снаге ненегативан, решење ове квадратне једначине је cos f ¢ = 1 - cos 2 f = 0,6 .

170. Отпорник отпорности R и кондензатор непознате капацитивности везани су у једном случају на ред, а у другом паралелно и прикључени на напон познате ефективне вредности U и кружне учестаности w. (а) Колика је капацитивност кондензатора ако је фактор снаге исти у оба случаја? Колики је тај фактор снаге? (б) У ком су односу активне снаге отпорника у та два случаја? РЕШЕЊЕ (а) Једнакост фактора снаге исказана је једначином одакле је wRC = 1 , односно C =

wRC 1 + (wRC )2

=

1 1 + (wRC )2

,

2 1 . Фактор снаге је тада cos f = cos f ¢ = . 2 wR 2

æ 1 ö (б) Комплексна импеданса редне везе је Z r = R 2 + ç ÷ = R 2 , ефективна è wC ø вредност струје је I r =

U U U2 = , а активна снага отпорника је Pr = RI r2 = . Када су Zr R 2 2R

отпорник и кондензатор везани паралелно, активна снага отпорника је Pp = однос активних снага

U2 , па је R

Pr 1 = . Pp 2

R 171. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 171.1 позната је комплексна снага идеалног напонског генератора S E = (60 - j80) VA , кружна учестаност w = 10 4 s -1 и отпорност отпорника R = 15 W . Израчунати ефективну вредност електромоторне силе генератора и капацитивност кондензатора.

E

C

Слика 171.1.

РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност електромоторне силе је E = 50 V , а капацитивност је C = 5 mF .

172. Два пријемника, импеданси Z1 = 10 W и Z 2 = 30 W , везана су на ред. Реактанса првог пријемника је X 1 = 8 W , а фактор снаге другог пријемника је k 2 = 0,8 . У односу на усклађене референтне смерове, струја редне везе предњачи напону. Колика је еквивалентна комплексна импеданса ове редне везе?

124

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ Резистанса првог пријемника је R1 = Z12 - X 12 = 6 W , па је комплексна импеданса

тог пријемника Z 1 = (6 + j8) W . Резистанса другог пријемника је R2 = Z 2 k 2 = 24 W , а реактанса је X 2 = ± Z 22 - R22 = ±18 W , па је комплексна импеданса Z 2 = (24 ± j18) W . Еквивалентна комплексна импеданса редне везе је Z e = Z 1 + Z 2 . Према условима задатка, та импеданса је претежно капацитивна (јер струја предњачи напону), па у изразу за Z 2 у обзир долази само негативна реактанса, тако да је Z e = Z 1 + Z 2 = (30 - j10) W .

173. Активна и реактивна снага калема без језгра прикљученог на простопериодичан напон ефективне вредности U су P и Q . Колика је снага тог калема када се прикључи на сталан напон интензитета U ? Сматрати да је отпорност калема иста у оба случаја. РЕШЕЊЕ Губици постоје само у проводнику калема (жици), а моделују се редно везаном отпорношћу R . При сталном напону снага је Ps = Ps =

U2 , што се може написати као R

2 æ æ X ö2 ö U 2 R2 + X 2 æ U ö R2 + X 2 2ç = RI 1 + ç ÷ ÷ , где је X реактанса калема у = ç ÷ n ç èRø ÷ R R2 + X 2 è Z ø R ø è

æ æ Q ö2 ö простопериодичном режиму, одакле је Ps = Pç1 + ç ÷ ÷ . ç èPø ÷ ø è

174. За мрежу простопериодичне струје са слике 174.1 познате су ефективне вредности U = 100 2 V , U 2 = 100 V и I = 2,5 A . Резистанса и првог пријемника су R1 = 20 W и

реактанса

X 1 = 20 3 W . Израчунати (а) резистансу

R2

и

реактансу X 2 другог пријемника, (б) фактор снаге

Слика 174.1.

мреже и (в) фазну разлику напона U 2 и напона U . РЕШЕЊЕ (а) Импеданса другог пријемника је Z 2 = је Z1 =

U2 = 40 W , импеданса првог пријемника I

R12 + X 12 = 40 W , а импеданса редне везе првог и другог пријемника је

2. Једноставна кола простопериодичних струја

Z=

U = 40 2 W . I

Фазна

разлика

125

напона

и

струје

првог

пријемника

је

X p f1 = q12 - y12 = arctg 1 = . R1 3 Како је Z = може

(R1 + R2 )2 + ( X 1 + X 2 )2

представити

у

= R12 + X 12 + R22 + X 22 + 2(R1 R2 + X 1 X 2 ) , што се æR R X X ö Z = Z 12 + Z 22 + 2 Z1Z 2 çç 1 2 + 1 2 ÷÷ Z Z è 1 2 Z1 Z 2 ø

облику

= Z12 + Z 22 + 2 Z1Z 2 (cos f1 cos f 2 + sin f1 sin f 2 ) , то је Z = Z12 + Z 22 + 2 Z1Z 2 cos(f1 - f 2 ) . Одавде

је

cos(f1 - f 2 ) =

Z 2 - Z12 - Z 22 =0, 2 Z1Z 2

те

је

f1 - f 2 = ±

p , 2

односно

p p 5p p p . Због услова пасивности мора бити f 2 £ , па = - и f(22) = f1 + = 2 6 2 2 6 p (1) долази у обзир само решење f 2 = f2 = - . Резистанса и реактанса другог пријемника 6 f(21) = f1 -

су R2 = Z 2 cos f 2 = 20 3 W и X 2 = Z 2 sin f 2 = -20 W . R + R2 1 + 3 (б) Фактор снаге мреже је k = cos f = 1 = » 0,966 . Z 2 2 (в) Фазне разлике напона и струје су f = q13 - y13 и f 2 = q 23 - y13 , па је

(

)

b = q 23 - q13 = f 2 - f . Како је X = X 1 + X 2 = 20 3 - 1 > 0 , редна веза пријемника је претежно индуктивна, па је f = arccos

1+ 3 2 2

=

p p = 15° . Стога је b = - = -45o . 4 12

175. Кондензатор без губитака и реални калем без језгра везани су редно и укључени у коло простопериодичне струје. У калему постоје Џулови губици. Ефективна вредност напона кондензатора је U C = 100 V , ефективна вредност напона између крајева калема је U1 = 272 V , а ефективна вредност напона између крајева редне везе калема и кондензатора је U = 200 V . Израчунати фактор снаге ове редне везе. Слика 175.1. РЕШЕЊЕ У задатом калему постоје Џулови губици, па се калем може представити редном везом идеалног отпорника и идеалног калема, чиме се добија еквивалентна шема као на

126

Кола променљивих струја

слици

175.1.

На

основу

те

шеме

Z12 = R 2 + (wL )2 ,

је

æ 1 ö Z 22 = ç ÷ è wC ø

2

и

2

1 ö æ 2 2 2 2 2 2 Z 2 = R 2 + ç wL ÷ . Множењем ових израза са I добија се U1 = U R + U L , U 2 = U C w C è ø и

U 2 = U R2 + (U L - U C )2 .

Из

ових

једначина

UL =

је

U R = U 12 - U L2 = 160 V , па је фактор снаге редне везе cos j =

U12 + U 22 - U 2 = 220 V 2U 2

и

R UR = = 0,8 . Z U

176. Два пријемника су редно везана и прикључена на простопериодичан напон ефективне вредности U = 240 V (слика 176.1). При томе је реактанса другог пријемника X 2 = 40 W , сусцептанса првог пријемника 20 mS , сусцептанса редне везе првог и другог 3 пријемника B = 6,25 mS и реактивна снага првог пријемника Q1 = -540 var . Израчунати (а) резистансу B1 =

Слика 176.1.

R1 и реактансу првог пријемника X 1 и резистансу другог пријемника R2 и (б) фактор снаге ове редне везе. РЕШЕЊЕ (а) Реактивна снага редне везе првог и другог пријемника је Q = - BU 2 = -360 var , па је реактивна снага другог пријемника Q2 = Q - Q1 = 180 var . Ефективна вредност струје је

I=

Q2 = 1,5 2 A . Из израза X2

ефективна вредност напона првог пријемника је U1 = Импеданса првог пријемника је Z1 =

Q1 = - B1U12 ,

Q1 = 90 10 V . - B1

U1 = 60 5 W . Реактанса првог пријемника је I

X 1 = - B1Z12 = -120 W , па је резистанса првог пријемника

R1 = Z12 - X 12 = 60 W .

Импеданса редне везе првог и другог пријемника је Z =

U = 80 2 W . Како је I

Z 2 = (R1 + R2 )2 + ( X 1 + X 2 )2 ,

то

је

резистанса

другог

пријемника

R2 = - R1 + Z 2 - ( X 1 + X 2 )2 = 20 W . Резистанса другог пријемника се може израчунати и полазећи од привидне снаге посматране редне везе, S = UI = 360 2 VA . Активна снага првог пријемника је

2. Једноставна кола простопериодичних струја P1 = R1 I 2 = 270 W ,

па

се

127 S 2 = (P1 + P2 )2 + (Q1 + Q2 )2

из

P2 = - P1 + S 2 - Q 2 = 90 W . Резистанса другог пријемника је R2 = (б) Фактор снаге редне везе је k =

P2 I2

добија

= 20 W .

R + R2 2 P 2 = , односно k = 1 = . Z 2 S 2

177. Редна веза два пријемника прикључена је на простопериодичан напон ефективне вредности U = 240 V . Кондуктанса и сусцептанса првог пријемника су G1 = 40 mS и B1 = 80 mS , кондуктанса редне везе пријемника је G = 25 mS , активна снага другог пријемника је P2 = 1080 W , а струја редне везе фазно предњачи прикљученом напону, при чему су референти смерови напона и струје усаглашени. Израчунати (а) резистансу R2 и реактансу X 2 другог пријемника и (б) фазну разлику струје и прикљученог напона. РЕШЕЊЕ (а) Адмитанса првог пријемника је Y1 = G12 + B12 = 40 5 mS , па су реактанса и резистанса првог пријемника R1 =

G1 Y12

= 5 W и X1 = -

B1 Y12

= -10 W . Активна снага редне

везе је P = GU 2 = 1440 W , па је активна снага првог пријемника P1 = P - P2 = 360 W . Ефективна вредност струје у колу је пријемника

је

P R2 = 22 = 15 W . I

I=

Реактивна

P1 = 6 2 A . Резистанса другог R1 снага

првог

пријемника

је

Q1 = X 1I12 = -720 var . Како је привидна снага редне везе S = UI = 1440 2 VA , то је реактивна снага Q = ± S 2 - P 2 = ±1440 var . Струја у колу фазно предњачи прикљученом напону, па је редна веза пријемника претежно капацитивна и Q = -1440 var . Реактивна снага другог пријемника је Q2 = Q - Q1 = -720 var , па је реактанса другог пријемника X 2 =

Q2

= -10 W . I2 X X + X2 p (б) Фазна разлика напона и струје је f = arctg = arctg 1 = - , па је R R1 + R2 4

тражена фазна разлика u = -f =

p . 4

128

Кола променљивих струја U1

178. Редну везу два пријемника напаја идеалан струјни генератор простопериодичне струје ефективне вредности

R1, X1

I g = 25 2 mA . Познате су сусцептанса и

импеданса другог пријемника B2 = 400 mS и Z 2 = 5 kW , реактивна снага редне везе пријемника Q = -5 var и ефективна вредност напона првог пријемника U1 = 25 26 V . Израчунати (а) ефективну вредност напона струјног генератора и (б) активну и реактивну снагу коју развија струјни генератор.

U

Ig

R2, X2 Слика 178.1.

РЕШЕЊЕ (а) Реактанса другог пријемника је X 2 = - B2 Z 22 = -2 kW , а резистанса другог пријемника Q2 =

X 2 I g2

је

R2 = Z 22 - X 22 = 1 kW . Q1 I g2

другог

пријемника

је

= -2 kW .

Импеданса првог пријемника је

Z=

снага

= -2,5 var , па је реактивна снага првог пријемника Q1 = Q - Q2 = -2,5 var , а

реактанса првог пријемника је X 1 =

пријемника

Реактивна

R1 = Z12 - X 12 = 3 kW .

( R1 + R2 )2 + ( X 1 + X 2 )2

Z1 =

U1 = 13 kW , па је резистанса првог Ig

Импеданса

редне

везе

пријемника

је

= 4 2 kW , па је ефективна вредност напона струјног

генератора U = ZI g = 200 V . (б) Привидна снага струјног генератора је S = UI g = 5 2 VA , па су, на основу теореме одржања снаге, активна и реактивна снага коју развија струјни генератор R P = S cos j = S = 5 W и Q = -5 var . Z

179. Између крајева редне везе два пријемника прикључен је простопериодичан струјни генератор. Позната је активна снага редне везе P = 400 W , реактивна снага другог пријемника Q2 = -200 var , реактанса другог пријемника X 2 = -50 W , импеданса првог пријемника Z1 = 75 5 W и сусцептанса редне везе пријемника B = -5 mS . Израчунати резистансе R1 и R2 пријемника.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

129

РЕШЕЊЕ Ефективна вредност струје редне везе је I g = R=

Q2 = 2 A , па је резистанса те везе X2

X P = 100 W . Сусцептанса кола је B = - 2 , где је X реактанса редне везе, I g2 R +X2

одакле је X 2 +

X + R 2 = 0 . Заменом бројних вредности величина у SI систему је B

X 2 - 2 ×10 2 X + 10 4 = 0 , одакле је X = Реактанса

првог

пријемника

2 × 10 2 ± (4 - 4) × 10 4 = 100 W . 2 је

X 1 = X - X 2 = 150 W ,

а

резистанса

је

R1 = Z12 - X 12 = 75 W . Резистанса другог пријемника је R2 = R - R1 = 25 W .

180. За део кола простопериодичне струје са 1 6 слике 180.1 познато је G1 = mS , B1 = mS , 37 37 активна и реактивна снага редне везе првог и другог пријемника P12 = 0,12 mW и Q12 = -0,16 mvar , а 3p . 4 Израчунати ефективне вредности напона U1 , U 2 и U. напон U 2 фазно заостаје за струјом I

за

Слика 180.1. РЕШЕЊЕ 1 + j6 Комплексна адмитанса првог пријемника је Y 1 = G1 + jB1 = mS , комплексна 37 1 = (1 - j6) kW , па су резистанса и реактанса R1 = Re(Z 1 ) = 1 kW и импеданса је Z 1 = Y1 X 1 = Im(Z 1 ) = -6 kW .

За тражене ефективне вредности напона може се писати U1 = Z1 I , U 2 = Z 2 I и U = ZI , па треба израчунати Z 2 , Z и I . 3p . Како 4 X p референтни смерови нису усаглашени, то је f 2 = a + p = . Такође је tgj 2 = 2 = 1 и 4 R2 Фазна разлика напона U 2 и струје I (слика 180.1) је a = q 2 - y = -

130

Кола променљивих струја

Q X + X2 4 tg f = 12 = 1 = - . Из ових једначина се добија P12 R1 + R2 3

R2 = X 2 = 2 kW , те је

Z 2 = 2 2 kW . Импеданса редне везе пријемника је Z =

(R1 + R2 )2 + ( X 1 + X 2 )2

Из активне снаге редне везе пријемника добија се I =

= 5 kW .

P12 = 0,2 mA , па су R1 + R2

тражене ефективне вредности напона U1 = 0,2 37 V » 1,22 V , U 2 = 0,2 × 2 2 V » 0,56 V и U = 0,2 × 5 V = 1 V .

181. Два пријемника су везана на ред и прикључена на простопериодичан напон ефективне вредности U = 100 V , као што је приказано на слици 181.1. При томе је активна снага редне везе Pe = 60 W , реактивна снага првог пријемника Q1 = -30 var , фактор снаге првог пријемника k1 = 0,8 , ефективна вредност напона првог

Слика 181.1.

пријемника U1 = 50 V , а други пријемник је претежно капацитиван. Израчунати резистансе, реактансе и импедансе оба пријемника. РЕШЕЊЕ

Први пријемник је претежно капацитиван јер је Q1 < 0 , а његов фактор реактивности I=

је

sin f1 = - 1 - k12 = -0,6 .

Ефективна

вредност

струје

је

Q1 I = 1 A . Адмитанса првог пријемника је Y1 = = 20 mS , а сусцептанса је U1 sin f1 U1

Q B1 = - 12 = 12 mS , па је његова кондуктанса G1 = Y12 - B12 = 16 mS . Резистанса првог U1 G B пријемника је R1 = 12 = 40 W , а реактанса је X 1 = - 12 = -30 W , па је импеданса првог Y1 Y1 пријемника Z1 = R12 + X 12 = 50 W . Импеданса

редне

везе

пријемника

је

Ze =

U = 100 W , I

а

резистанса

је

P Re = 2 = 60 W , па је реактанса редне везе X e = ± Z e2 - Re2 = ±80 W . I Резистанса другог пријемника је R2 = Re - R1 = 20 W , а реактанса је X 2 = X e - X 1 . За реактансу постоје два решења: X 2 = 110 W (за X e = 80 W ) и X 2 = -50 W (за

2. Једноставна кола простопериодичних струја

131

X e = -80 W ). Други пријемник претежно капацитиван, па решење X 2 = 110 W отпада. Стога је импеданса другог пријемника Z 2 = R22 + X 22 = 10 29 W .

182. Два пријемника су везана паралелно и укључена у коло простопериодичне струје (слика 182.1) . Познате су резистанса и реактанса првог пријемника R1 = 18 W и X 1 = 24 W ,

реактивна

снага

другог

пријемника

Q2 = -81 var , реактивна снага паралелне везе пријемника Q = 135 var и ефективна вредност струје напојне гране I = 1,5 5 A . Израчунати резистансу, импедансу другог пријемника.

реактансу

и Слика 182.1.

РЕШЕЊЕ Реактивна снага првог пријемника је Q1 = Q - Q2 = 216 var , па је ефективна вредност струје првог пријемника I1 =

Q1 = 3 A . Импеданса првог пријемника је X1

Z1 = R12 + X 12 = 30 W , па је ефективна вредност прикљученог напона U = Z1 I1 = 90 V . S = UI = 135 5 VA . Активна снага је

Привидна снага паралелне везе је

P = S 2 - Q 2 = 270 W . Активна снага првог пријемника је P1 = R1 I12 = 162 W , па је активна снага другог пријемника P2 = P - P1 = 108 W . Комплексна снага другог пријемника је S = P2 + jQ2 = (108 - j81) VA = Y *2U 2 , па је комплексна

адмитанса

тог

Y2 =

пријемника

S* U

2

æ 40 ö =ç + j10 ÷ mS . è 3 ø

Комплексна

1 = (48 - j36) W . Њен модул је Z 2 = 60 W . импеданса другог пријемника је Z 2 = Y2 Резистанса

другог

X 2 = Im(Z 2 ) = -36 W .

пријемника

је

R2 = Re(Z 2 ) = 48 W ,

183. За мрежу са слике 183.1 позната је резистанса првог пријемника R1 = 5 kW , реактанса првог пријемника X 1 = 10 kW

и

комплексна

снага

мреже,

S = (5,6 - j0,8) VA , а струја I 2 фазно предњачи напону p . Израчунати ефективне вредности струја свих 4 грана кола. U за

а

реактанса

је

132

Кола променљивих струја Слика 183.1. РЕШЕЊЕ

Комплексна импеданса првог пријемника је Z 1 = (5 + j10) kW , а адмитанса је I 1 Y1 = = (40 - j80) mS . Из релације Y 2 = 2 и задате фазне разлике струје I 2 и напона Z1 U p U следи да је u 2 = arg(Y 2 ) = , па се комплексна адмитанса другог пријемника може 4 2 написати у облику Y 2 = Y2 (1 + j) . 2 Еквивалентна комплексна адмитанса паралелне везе пријемника је ö ö æ æ 2÷ ç 2÷ + j - 80 mS + Y2 Y e = Y 1 + Y 2 = ç 40 mS + Y2 , а комплексна снага је S = Y *eU 2 , па ÷ ÷ ç ç 2 2 ø ø è è 2 2 = 1 , па је Y = 100 2 mS . 2 7 2 40 mS + Y2 2 Даље је Y 2 = Y2 (cos u2 + j sin u2 ) = (100 + j100) mS , па је Y e = (140 + j20) mS .

1 је u = arg(Y e ) = - arg(S ) = arctg . Одавде је 7

- 80 mS + Y2

Ефективна вредност прикљученог напона је U = ефективне

вредности

струја

S Y *e

I1 = Y 1 U = 8 5 mA ,

=

S = 200 V , па су тражене Ye I 2 = Y 2 U = 20 2 mA

и

I = Y U = 20 2 mA .

184. Паралелна веза два пријемника је прикључена на простопериодичан напон. Позната је активна снага првог пријемника P1 = 162 W , ефективна вредност струје другог пријемника I 2 = 1,5 A , фактор снаге претежно капацитивног другог пријемника cos f 2 = 0,8 , ефективна вредност струје напојне гране I = 1,5 5 A и фактор снаге претежно индуктивне паралелне везе пријемника cos f = 0,4 5 . Израчунати фактор снаге првог пријемника и ефективну вредност прикљученог напона. РЕШЕЊЕ Активна и реактивна снага паралелне везе пријемника су P = P1 + P2 и Q = Q1 + Q2 , односно UI cos f = UI1 cos f1 + UI 2 cos f 2 и UI sin f = UI1 sin f1 + UI 2 sin f 2 . Одавде се добија

I12 = I 2 + I 22 - 2 I I 2 (cos f cos f 2 + sin f sin f 2 ) ,

I12 = I 2 + I 22 - 2 I I 2 cos(f - f 2 ) .

Пошто

sin f 2 = - 1 - cos 2 f 2 = -0,6 , то је I1 = 3 A .

је

односно

sin f = + 1 - cos 2 f = 0,2 5

и

2. Једноставна кола простопериодичних струја

133

Фактор снаге првог пријемника је cos f1 =

P1 P - P2 I cos f - I 2 cos f 2 = = = 0,6 , а S1 S1 I1

ефективна вредност прикљученог напона је U =

P1 = 90 V . I1 cos f1

185. Претежно капацитиван пријемник фактора снаге cos f1 = 0,6 и претежно индуктиван пријемник фактора снаге cos f 2 = 0,8 везани су паралелно и прикључени на простопериодичан напон. Ефективна вредност струје првог пријемника је два пута већа од ефективне вредности струје другог пријемника. Израчунати (а) фазну разлику струје напојне гране и напона између крајева паралелне везе пријемника и (б) фактор снаге паралелне везе пријемника. Слика 185.1. РЕШЕЊЕ (а) Нека је Y 1 = Y1 и Y 2 = Y2 . Како је I1 = Y1U , I 2 = Y2U и I1 = 2I 2 , то је Y1 = 2Y2 . Фактор реактивности првог пријемника је sin f1 = -0,8 , а другог пријемника sin f 2 = 0,6 , па је еквивалентна адмитанса паралелне везе пријемника са слике 185.1

Y = Y 1 + Y 2 = Y1 (cos f1 - j sin f1 ) + Y2 (cos f 2 - j sin f 2 ) = Y2 (2 + j) .

Паралелна

веза

пријемника је претежно капацитивна јер је Im(Y ) > 0 . Аргумент еквивалентне адмитансе 1 је u = arg(Y ) = arctg » 26,57° и једнак је фазној разлици струје и напона на приступу 2 мреже за референтне смерове са слике 185.1. (б) Фактор снаге паралелне везе пријемника је cos f = cos(- u) =

1 2

1 + tg u

=

2 5 » 0,894 . 5

186. За мрежу са слике 186.1 познате су ефективне вредности U = 220 V , I = 3 A , I1 = 1 A и I 2 = 2 A . Израчунати (а) активну и реактивну снагу коју прима мрежа и (б) фазну разлику напона U и струје I .

Слика 186.1.

134

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ (а) За референтне смерове са слике 186.1 је i = i1 + i2 . Представљајући сваку од

струја у општем облику i = I 2 cos(wt + q - f ) , на основу задатка 5 добија се I 2 = I12 + I 22 + 2 I1I 2 cos(f2 - f1 ) . Исти израз се може добити и из фазорског дијаграма и I 2 - I12 - I 22 1 2p = - , па је f 2 - f1 = ± и 3 2 I1I 2 2 p p p 2p 2p f 2 = f1 ± . Пошто је f1 = и f 2 £ , то је f 2 = f1 =- . 2 2 3 6 3

косинусне теореме. Одавде је cos(f2 - f1 ) =

Даље је sin f1 = 1 , cos f1 = 0 , sin f 2 = снага

које

мрежа

прима

1 3 и cos f 2 = , па су активна и реактивна 2 2

P = P1 + P2 = UI1 cos f1 + UI 2 cos f 2 = 220 3 W

и

Q = Q1 + Q2 = UI1 sin f1 + UI 2 sin f 2 = 0 . (б) За фазну разлику напона U и струје I важи tg f =

Q = 0 , па је f = 0 . Напон U P

и струја I су у фази.

187. За мрежу са слике 187.1 познате су резистанса и реактанса првог пријемника R1 = 16 W и X 1 = -12 W , активна снага другог пријемника P2 = 216 W , активна снага коју прима мрежа P = 360 W и ефективна вредност струје напојне гране I = 3 5 A . Израчунати комплексну импедансу другог пријемника, комплексну импедансу паралелне везе пријемника и фазну разлику струје I и напона U . Слика 187.1. РЕШЕЊЕ Активна снага првог пријемника је P1 = P - P2 = 144 W , па је ефективна вредност струје

првог

пријемника

I1 =

P1 =3A . R1

Импеданса

првог

пријемника

је

Z1 = R12 + X 12 = 20 W , па је ефективна вредност напона између крајева паралелне везе пријемника (слика 187.1) U = Z1 I1 = 60 V . Како је реактивна снага првог пријемника Q1 = X 1I12 = -108 var , а привидна снага паралелне везе пријемника S = UI = 180 5 VA , за реактивну снагу кола постоје два решења, Q = ± S 2 - P 2 = ±180 var . Реактивна снага другог пријемника је Q2 = Q - Q1 = -Q1 ± S 2 - P 2 . Прва могућност је Q2(1) = -Q1 + S 2 - P 2 = 288 var , када је други пријемник претежно

индуктиван.

Привидна

снага

другог

пријемника

је

тада

2. Једноставна кола простопериодичних струја

( )

2

S 2(1) = P 2 + Q2(1) I 2(1) =

S 2(1) U

135

= 360 VA , па је ефективна вредност струје другог пријемника

=6A.

Комплексна

снага

другог

пријемника

је

S (21) = P2 + jQ2(1) = (216 + j288) VA , па је комплексна импеданса другог пријемника Z (21) = Z (1) =

S (21)

( )

= (6 + j8) W = R2(1) + jX 2(1) . Комплексна

2 I 2(1) Z 1 Z (21) Z 1 + Z (21)

импеданса

паралелне

везе

је

= (8 + j4) W , а фазна разлика струје и напона на приступу мреже је

( )

u(1) = -f (1) = - arg Z (1) = -arctg

1 » -26,57° . 2

Друга могућност је Q2( 2) = -Q1 - S 2 - P 2 = -72 var , када је други пријемник претежно I 2( 2) = Z ( 2) =

капацитиван.

Тада

је

( )

S 2( 2) = P 2 + Q2( 2)

2

= 72 10 VA ,

па

је

S ( 2) S 2( 2) = 1,2 10 A , S (22) = (216 - j72) VA , Z (22) = 2 2 = (15 - j5) W = R2( 2) + jX 2( 2) , U I 2( 2)

( )

Z 1 Z (22) Z1 +

Z (22)

( )

= (8 - j4) W и u( 2) = - arg Z ( 2) = arctg

1 » 26,57° . 2

188. Два пријемника су везана паралелно и прикључена на простопериодичан напон почетне фазе q = -p / 2 , као на слици 188.1. При томе је активна снага првог пријемника P1 = 180 mW , ефективна вредност струје другог пријемника I 2 = 30 mA , фактор снаге другог пријемника cos f 2 = 0,6 ,

Слика 188.1.

ефективна вредност струје напојне гране I = 15 5 mA и фактор снаге паралелне везе пријемника cos f = 0,4 5 . Други пријемник, као и паралелна веза оба пријемника, претежно су индуктивни. Израчунати комплексне импедансе паралелно везаних пријемника ( Z 1 и Z 2 ) и комплексну струју напојне гране ( I ). РЕЗУЛТАТ Комплексне импедансе пријемника су Z 1 = (800 - j600) W и Z 2 = (300 + j400) W , а комплексна струја напојне гране је I = -(15 + j30) mA .

136

Кола променљивих струја

189. Три пријемника су везана паралелно и прикључена на простопериодичан напон ефективне вредности U = 40 V . Ефективна вредност струје напојне гране је I = 5 A , а резистанса и реактанса првог и другог пријемника су R1 = 20 W , X 1 = 20 W , R2 = 10 W и X 2 = -10 W . Израчунати резистансу и реактансу трећег пријемника ( R3 и X 3 ) тако да фактор снаге кола буде минималан. Колики је тада фактор снаге кола?

Слика 189.1. РЕШЕЊЕ Комплексне адмитансе паралелно везаних пријемника 1 1 1 1 Y1 = = = 25(1 - j) mS , Y2 = = = 50(1 + j) mS R1 + jX 1 20 + j20 R 2 + jX 2 10 - j10 Y3 =

1 = G 3 + jB3 , R3 + jX 3

па

је

комплексна

улазна

адмитанса

Y = Y 1 + Y 2 + Y 3 = 75 mS + G3 + j(25 mS + B3 ) . Адмитанса кола је Y = Фактор снаге кола је k = cos f = cos u =

су и кола

5 I = = 125 mS . U 40

G 75 mS + G3 = , а биће минималан ако је G3 = 0 125 mS Y

(јер мора бити G3 ³ 0 ), и износи k min = 0,6 . Из

једначине

(125 mS)2 = (75 mS)2 + (25 mS + B3 )2

произилази

B3 = -25 mS ± 100 mS , односно B3(1) = 75 mS и B3( 2) = -125 mS . Како је B3 ¹ 0 , то је и Y3 ¹ 0 , па је резистанса трећег пријемника R3 = се добија X 3(1) = -

1 B3(1)

=-

G3 Y32

= 0 . За реактансу трећег пријемника

40 1 1 1 W или X 3( 2) = - ( 2) = kW = 8 W . kW = 3 - 125 75 B3

190. Монофазни пријемник, три идеална амперметра и отпорник познате отпорности R0 повезани су као на слици 190.1 и прикључени на простопериодичан напон. Амперметри показују ефективне вредности струја пријемника

(I p ) ,

додатног

отпорника (I 0 ) , и напојне гране (I ) . Одредити израз за средњу снагу пријемника и фактор снаге пријемника.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

137

Z p , fp > 0

Z p ,fp Ip

R0

I0 I

U Слика 190.2.

Слика 190.1.

РЕШЕЊЕ За референтне смерове са слике 190.2, на слици 190.3 је приказан фазорски дијаграм, уз претпоставку да је пријемник претежно индуктиван. I0

U

I

fp

Ip fp

Ip

I

U

I0 Слика 190.3.

Слика 190.4.

Средња (активна) снага пријемника је P = UI p cos f p . Како је U = R0 I 0 , то је P = R0 I 0 I p cos f p . Како је

I = I 0 + I p , са фазорског дијаграма се види да је

I 2 = I 02 + I p2 + 2 I 0 I p cos f p ,

одакле

P=

(

)

је

I 0 I p cos f p =

R0 2 I - I 02 - I p2 . Фактор снаге пријемника је cos f p = 2

I 2 - I 02 - I p2

2 I 2 - I 02 - I p2 2I 0 I p

,

па

је

.

За претежно капацитиван пријемник фазорски дијаграм је приказан на слици 190.4. R И у овом случају се за активну снагу пријемника добија израз P = 0 I 2 - I 02 - I p2 . 2 Овакав поступак мерења монофазне активне снаге се назива метод три амперметра, а употребљава се уколико на располагању не постоји монофазни ватметар, или ако је потребно извршити мерење снаге на вишим учестаностима.

(

)

191. На слици 191.1 приказана је електрична шема за мерење средње снаге монофазног пријемника методом три волтметра. Позната је додата отпорност R0 и ефективне вредности напона које показују идеални волтметри, U , U 0 и U p . Извести изразе за активну снагу пријемника P и фактор снаге пријемника.

138

Кола променљивих струја R0

V0 U

V

Vp

U0

Z p ,fp

Up

Слика 191.1. РЕШЕЊЕ

Z p , fp > 0

fp Слика 191.3.

Слика 191.2.

(

)

Фазорски дијаграм, уз претпоставку да је пријемник претежно индуктиван f p > 0 , приказан је на слици 191.3. Активна снага пријемника је P = U p I cos f p . Како је I = то је P =

U pU 0 cos f p R0

. Са фазорског дијаграма је U 2 = U 02 + U p2 + 2U 0U p cos f p , па је

фактор снаге пријемника cos f p = P=

U 2 - U 02 - U p2 2R0

U0 , R0

U 2 - U 02 - U p2 2U 0U p

, а израз за активну снагу пријемника је

. Овај израз важи и за случај претежно капацитивног пријемника

(fp < 0), што се показује на сличан начин. 192. У делу кола на слици 192.1 позната је отпорност R и ефективне вредности струја I , I 0 и I p . Извести израз за активну снагу пријемника Rp .

2. Једноставна кола простопериодичних струја

Ip I

139

Rp

R I0

C Слика 192.1. РЕШЕЊЕ

Слика 192.3. Слика 192.2. Према оријентацијама са слике 192.2, на слици 192.3 је нацртани фазорски дијаграм. Активна снага пријемника је P = UI p = RI R I p . Са фазорског дијаграма је

(

)2 , одакле је

(

)

(

)

1 2 R I - I 02 - I p2 , па је P = I 2 - I 02 - I p2 , 2 2 што је, такође, израз за снагу по методи три амперметра (задатак 190). I C2 = I 02 - I R2 = I 2 - I R + I p

IRIp =

193. За коло простопериодичне струје са слике 193.1 познато је X 1 = -400 W , R2 = 400 W , X 2 = 400 W , C = 0,5 mF , L = 30 mH , I1 = 50 2 mA и U 43 = 15 V . Израчунати активну и реактивну снагу идеалног напонског генератора.

Слика 193.1.

РЕШЕЊЕ Ефективна вредност напона између чворова 2 и 3 је U 23 = I1 | X 1 |= 20 2 V . Импеданса паралелно везаних грана између чворова 2 и 3 је

140

Кола променљивих струја

Z 23 =

(R2 + jX 2 )( jX 1 ) = (400 - j400) W . R2 + j X 2 + j X 1

I 41 = I12 = I 34 =

Ефективна

вредност

струје

генератора

је

U 23 = 50 mA . Ефективна вредност напона калема је U 43 = U 34 = wLI 34 , Z 23

одакле је w = 10 4 s -1 . Комплексна импеданса калема је Z L = jwL = j300 W , а комплексна импеданса кондензатора везаног између тачака 1 и 2 је 1 ZC = = - j200 W . Комплексна импеданса коју види генератор је jwC Z e = Z C + Z 23 + Z L = (400 - j300 ) W = Re + jX e .

2 Активна снага идеалног напонског генератора је P = Re I 41 = 1 W , а реактивна снага 2 је Q = X e I 41 = -0,75 var .

194. За коло са слике 194.1 познато је G1 = 80 mS ,

B1 = 60 mS ,

R2 = 4 W ,

X 2 = -3 W , R3 = 3 W , X 3 = 4 W и средња снага другог пријемника P2 = 100 W . Израчунати (а) ефективну вредност напона струјног генератора, (б) активну и реактивну снагу која развија струјни генератор и (в) фактор снаге кола. I2 R2, X2 2 G1, B1

P

I3

3

R3, X3

1 Ig Слика 194.1.

U Слика 194.2.

РЕШЕЊЕ (а) Из израза за активну снагу другог пријемника, P2 = R2 I 22 , је I 2 =

P2 =5A. R2

Како није задата почетна фаза ниједне простопериодичне величине у колу, може се усвојити y 2 = 0 , па је I 2 = I 2 e jy 2 = 5 A .

Према оријентацијама са слике 194.2 је U 23 = Z 2 I 2 = (R2 + jX 2 )I 2 = 5(4 - j3) V ,

I3 =

U 23 U 23 = = - j5 A и I g = I 2 + I 3 = (5 - j5) A . Комплексни напон струјног Z3 R3 + jX 3

2. Једноставна кола простопериодичних струја

генератора је U = U 13 =

Ig Y1

141

+ U 23 = (30 - j85) V . Ефективна вредност напона струјног

генератора је U = U 13 = 25 13 » 90,14 V . (б) Комплексна снага коју развија струјни генератор је S I g = U I *g = (575 - j275) VA , активна

генератора

( )

Q = Im S I

g

је

( )

P = Re S I

g

= 575 W ,

а

реактивна

снага

је

= -275 var .

( ) = 125

(в) Привидна снага струјног генератора је S I g = mod S I g је фактор снаге k =

26 » 637,4 VA , па

P 2,3 = 26 » 0,9 . S 13

195. За део кола простопериодичне струје са слике 195.1 познато је R1 = 72 W , 1 S , активна снага 90 првог пријемника P1 = 5000 W , активна снага другог пријемника P2 = 750 W , реактивна L1 = 0,92 mH , C1 = 2 mF , R2 = 30 W , L2 = 10 mH , C 2 = 0,2 mF , G3 =

снага трећег пријемника Q3 = -570 var , а напон U 23 фазно заостаје за струјом I12 . Израчунати ефективну вредност напона U 13 .

Слика 195.1. РЕШЕЊЕ Из активне снаге другог пријемника P2 =

2 U 23 R2

добија се U 23 = P2 R2 = 150 V .

2 Активна снага трећег пријемника је P3 = G3U 23 = 250 W , па је активна снага паралелне

142

Кола променљивих струја

везе другог и трећег пријемника P23 = P2 + P3 = 1 kW . Ефективна вредност струје првог пријемника је I12 =

P1 25 = A. R1 3

Привидна снага паралелне S 23 = U 23 I12 = 1,25 kVA , па је

везе другог и реактивна снага

трећег пријемника је ове паралелне везе

2 2 Q23 = ± S 23 - P23 = ±750 var . Реактивна снага другог пријемника је Q2 = Q23 - Q3 = (± 750 + 570 ) var . Паралелна веза другог и трећег пријемника је

претежно капацитивна јер напон U 23

фазно заостаје за струјом

I12 , те је

Q23 = -750 var , што даје Q2 = - 750 + 570 = -180 var . Сусцептанса другог пријемника је B2 = B 2 = wC 2 -

Q2

2 U 23

= 8 mS . Будући да је (слика 195.1)

1 , добија се квадратна једначина по w : L2C2 w2 - L2 B2 w - 1 = 0 , чија су wL2

решења w1 = 5 ×10 4 s -1 и w2 = -10 4 s -1 . Мора бити w > 0 , па је w = 5 ×10 4 s -1 . Реактанса првог пријемника је X 1 = wL1 -

1 = 36 W , па је реактивна снага првог wC1

2 пријемника Q1 = X 1I12 = 2500 var . Активна, реактивна и привидна снага задатог дела

кола су P = P1 + P23 = 6 kW , Q = Q1 + Q23 = 1,75 kvar и S = P 2 + Q 2 = 6,25 kVA . Ефективна вредност напона између тачака 1 и 3 је U13 =

S = 750 V . I12

196. За коло са слике 196.1 познато је B1 = 0,12 S , Z1 = 5 W , R2 = 2 W , X 2 = -4 W , G3 = 0,3 S , B3 = -0,4 S и I g = 2 A . Израчунати ефективну вредност напона струјног генератора и фактор снаге кола. РЕЗУЛТАТ Тражена ефективна вредност је U13 » 12,65 V , а фактор снаге кола је cos f » 0,95 .

Слика 196.1.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

143

197. За коло простопериодичне струје са слике 197.1 је Z 1 = (1 + j) W , U 23 = -2,5 V , G2 = 0,2 S , B3 = 0,4 S , I g = 1 A и укупна реактивна снага сва три пријемника

Qe = 1 var .

Израчунати комплексни напон U 13 , комплексне импедансе другог и трећег пријемника, као и комплексну снагу идеалног струјног генератора. Слика 197.1. РЕШЕЊЕ Реактивна снага првог пријемника је Q1 = X 1 I g2 = 1 var , а реактивна снага трећег пријемника

је

2 Q3 = - B3U 23 = -2,5 var .

Реактивна

снага

другог

пријемника

је

2 Q2 = Qe - Q1 - Q2 = 2,5 var = - B2U 23 , па је B2 = -0,4 S . Комплексна импеданса другог 1 = (1 + j2 ) W . пријемника је Z 2 = G 2 + j B2

Комплексна

адмитанса паралелне везе другог и трећег пријемника је Ig Ig = 0,4 S , па је G3 = 0,2 S и Y 23 = G2 + G3 + j(B2 + B3 ) = , а њен модул је Y23 = U 23 U 23 1 Z3 = = (1 - j2 ) W . G3 + jB3 Комплексна струја струјног генератора је I g = Y 23U 23 = -1 A , па је напон између тачака 1 и 3, U 13 = U 23 + Z 1 I g = -(3,5 + j) V . Комплексна снага струјног генератора је S = U 13 I *g = (3,5 + j) VA .

198. Четири пријемника и струјни генератор образују коло простопериодичне струје као на слици 198.1. Познато је R1 = 15 W , X 1 = -35 W , R2 = 10 W , X 2 = 30 W ,

G3 = 50 mS ,

B3 = 50 mS ,

G4 = 12 mS , B4 = 16 mS и I 2 = 2 A . Израчунати (а) ефективну вредност напона струјног генератора и (б) активну и реактивну снагу коју развија струјни генератор. РЕЗУЛТАТ (а) Ефективна вредност напона је U14 = 400 V .

Слика 198.1.

144

Кола променљивих струја (б) Тражене снаге генератора су P = 960 W и Q = -1,28 kvar .

199. За део кола простопериодичне струје са слике 199.1 познато је C1 = 1,25 mF , R2 = 10 W , L2 = 5 mH , C 2 = 2,5 mF , R3 = 30 W , P2 = 250 W , Q3 = -2 kvar , а напон U 13 и струја I 23 су у фази. Израчунати ефективну вредност струје напојне гране ( I ) и фазну разлику напона U 13 и струје I .

Слика 199.1. РЕШЕЊЕ 2 Из P2 = R2 I12 = 250 W је I12 =

P2 = 5 A . Активна снага гране са другим и трећим R2

æ R ö пријемником је P23 = P2 + P3 = P2 çç1 + 3 ÷÷ = 1000 W . Како су напон U 13 и струја R 2ø è I12 = I13 у фази, то је Q23 = 0 , па је Q23 = Q2 + Q3 = 0 , одакле је Q2 = -Q3 = 2 kvar . Реактанса другог пријемника је X 2 = wL2 -

X2 =

Q2 2 I12

= 80 W . Пошто је (слика 199.1)

1 , добија се квадратна једначина L2C2 w2 - X 2C2 w - 1 = 0 , из које је wC 2

w1 = 2 ×10 4 s -1 и w2 = -4 ×10 3 s -1 . Физички прихватљиво решење је w = w1 = 2 ×10 4 s -1 . 2 Привидна снага гране са другим и трећим пријемником је S 23 = P232 + Q23 = 1 kVA ,

па је U13 =

S 23 1 = 200 V . Реактанса првог пријемника је X 1 = = -40 W , а његова I12 wC1

реактивна снага је Q1 =

2 U13 = -1 kvar . X1

2. Једноставна кола простопериодичних струја

145

Активна, реактивна и привидна снага целог кола су 2

P = P1 + P23 = 1000 W ,

2

Q = Q1 + Q23 = -1000 var и S = P + Q = 1000 2 VA , па је ефективна вредност струје напојне гране I =

S =5 2 A. U13

Фазна разлика напона U 13 и струје I је f = arctg

Q -1 p = arctg = - . Коло је P 1 4

претежно капацитивно.

200. У колу простопериодичне струје са слике 200.1 познато је G1 = 20 mS , Z 3 = ( 6 - j8 ) W и B1 = -50 mS , I 1 = ( -120 + j160 ) mA .

Привидна

снага

струјног генератора је S = 10 VA , а његова активна снага је три пута већа од активне снаге пријемника кондуктансе G1 . Струја i21 фазно предњачи напону u13 . Израчунати комплексну импедансу Z 2 другог пријемника, комплексну

Слика 200.1.

струју I g струјног генератора и фактор снаге генератора, k. РЕШЕЊЕ Aктивна снага пријемника кондуктансе G1 је PG1 = I 2 / G1 = 2 W , активна снага струјног генератора је P = 3PG1 = 6 W , а кондуктанса редне везе пријемника Z2 и Z3 је G23 = 2G1 = 40 mS . Комплексни напон генератора је U 13 = I 1 / G = ( -6 + j8) V , а његова ефективна

вредност

Q = ± S 2 - P 2 = ±8 var .

је

U13 = U = 10V . Реактивна

снага

Реактивна

снага

пријемника

генератора

сусцептансе

B1

је је

2

QB1 = - B1U = 5 var . Реактивна снага редне везе пријемника Z2 и Z3 је Q23 = Q - Q1 и ¢ = 3 var и Q23 ¢¢ = -13 var . Према услову задатка, редна за њу постоје два решења: Q23 веза пријемника Z2 и Z3 је претежно индуктивна, па у обзир долази само прво решење. ¢ / U 2 = -30 mS . Одавде је сусцептанса редне везе пријемника Z2 и Z3 , B23 = -Q23 Импеданса ове редне везе је Z 23 = 1 / ( G23 + jB23 ) = (16 + j12 ) W . Импеданса другог пријемника

је

Z 2 = Z 23 - Z 3 = (10 + j20 ) W.

Струја

струјног

генератора

I g = (G1 + G23 + j( B1 + B23 ) )U = (0,28 + j0,96) A , а фактор снаге k = P / S = 0,6 .

је

146

Кола променљивих струја

201. Три пријемника и струјни генератор образују коло простопериодичне струје приказано на слици 201.1. Познате су карактеристике првог и другог пријемника, R1 = 60 W , L1 = 10 mH , 100 C1 = 5 mF и R2 = 85 W , L2 = 8,5 mH , C2 = mF , 17 комплексна импеданса трећег пријемника, Z 3 = 5(3 + j8 ) W , активна снага другог пријемника, P2 = 5 W , и реактивна снага трећег пријемника, Q3 = 40 var . Напон u12 фазно заостаје за струјом i23 . Израчунати активну и реактивну снагу првог

Слика 201.1.

пријемника, P1 и Q1 . РЕШЕЊЕ Из

2 P2 = U12 / R2

2 Q3 = X 3 I23

је U12 = 5 17 V , а из 2

је

I23 = 1 A . Даље је

2

æ 1 ö æ I 1 1 ö 1 ÷÷ , одакле је wC 2 ÷÷ + çç wC2 Y2 = 23 = S и Y22 = çç = ±47,059 mS . U12 5 17 wL2 wL2 ø è R2 ø è Из услова да напон u12 фазно заостаје за струјом i23 следи да је други пријемник претежно капацитиван, па у обзир долази само позитивна сусцептанса. Последња једначина се може преуредити у квадратну једначину по кружној учестаности, чије је 1 позитивно решење w = 10 4 s -1 . Даље је Z2 = = (5 - j20) W , Y2 Z 23 = Z 2 + Z 3 = ( 20 + j20 ) W и U13 = Z23 I 23 = 20 2 V . Како је X 1 = wL1 је Z1 = 100 W , I13 =

1 = 80 W , то wC1

U13 2 2 2 = A , P1 = R1 I13 = 4,8 W и Q1 = X 1I13 = 6,4 var . Z1 5

202. Три пријемника су везана као на слици 202.1 и укључена у коло простопериодичне струје. Познато је 1 6 G1 = mS , B1 = mS , активна и реактивна снага редне везе 37 37 првог и другог пријемника P12 = 0,12 W и Q12 = -0,16 var , R3 = 3 kW , X 3 = 4 kW , напон U 2 фазно заостаје за струјом I1 за 3p p , а почетна фаза струје трећег пријемника ( I 3 ) је y 3 = . 4 4 Израчунати комплексну импедансу другог пријемника и комплексну јачину струје напојне гране ( I ).

Слика 202.1.

2. Једноставна кола простопериодичних струја

147

РЕЗУЛТАТ Тражене комплексне величине су Z 2 = 2(1 + j) kW и I = (-1,07 + j7,51) mA .

203. Два пријемника познатих карактеристика R1 = 60 W , L1 = 10 mH , C1 = 5 mF , R2 = 5 W , L2 = 2 mH и C 2 = 2,5 mF и пријемник познате отпорности R3 = 15 W и непознате индуктивности L3 везани су као на слици 203.1 и прикључени на идеалан напонски генератор простопериодичне електромоторне силе, амплитуде Em = 40 V и непознате учестаности f. Активна снага другог пријемника је P2 = 5 W , реактивна снага трећег пријемника Q3 = 40 var , а струја I 2 фазно касни за електромоторном силом Е. Колики су прираштаји активне и реактивне снаге које развија генератор када се f учестаност генератора смањи на f ¢ = , при чему амплитуда електромоторне силе 2 остане непромењена? R2

L2

C2

R3

L3

I2 R1

L1

C1

E, f

Слика 203.1. РЕЗУЛТАТ Прираштај активне снаге је DP » -6,3 W , а прираштај реактивне снаге је DQ » -38 var .

*204. За мрежу простопериодичне струје са слике 204.1 познате су ефективне вредности напона U R1 = 20 V , U C = 80 V и U = 100 V , комплексан напон претежно индуктивног пријемника импедансе Z , U Z = 60(- 1 + j) V , и активне снаге отпорника

PR1 = 20 W и PR2 = 60 W . Израчунати комплексне импедансе паралелних грана ( Z 1 и Z 2 ), комплексну улазну импедансу кола ( Z ul ), комплексну струју напојне гране ( I ), комплексни прикључени напон ( U ), активну и реактивну снагу мреже ( P и Q ) и фактор снаге мреже ( k ).

148

Кола променљивих струја

U R1

fZ f f1

U R2

U R2

U R1

f2

Слика 204.1. Слика 204.2. РЕШЕЊЕ Ако се пријемник импедансе Z замени редном везом отпорника отпорности R и калема реактансе X, фазорски дијаграм за мрежу приказан је на слици 204.2, где су U RZ и U XZ напони тог отпорника и калема. (Конструисање дијаграма почиње од фазора U и круга над тим фазором као пречником.) Како је PR1 = U R1 I1 и PR2 = U R2 I 2 , то су ефективне вредности струја паралелних грана I1 =

PR1 U R1

= 1 A и I2 =

PR2 U R2

= 1 A . Са

фазорског дијаграма је U 2 = U R22 + U C2 , па је U R2 = U 2 - U C2 = 60 V . Такође је cos f 2 =

U R2 U

= 0,6 и sin f 2 =

-U C = -0,8 . U

U = U R1 + U Z

Из

U Z2 = U 2 + U R21 - 2UU R1 cos f1 .

следи

U Z = U Z = 60 2 V , па се добија cos f1 = је

индуктиван,

па

је

и

та

грана

U 2 + U R21 - U Z2 2UU R1 у целини

Познато

је

= 0,8 . Пријемник импедансе Z

индуктивна,

те

је

f1 > 0

и

sin f1 = + 1 - cos 2 f1 = 0,6 . Са фазорског дијаграма је U XZ = U sin f1 = 60 V , па је sin f Z =

U XZ 2 p = , одакле је f Z = . UZ 2 4

Комплексна импеданса пријемника је Z = прве

гране

је

I1 =

UZ Z

= jA.

U Z jf Z e = 60(1 + j) W . Комплексна струја I1

Комплексна

импеданса

друге

гране

је

2. Једноставна кола простопериодичних струја

149

Z2 =

U (cos f 2 + j sin f 2 ) = 20(3 - j4) W . I2

I2 =

Z1 I = -1 A . Комплексна струја напојне гране је I = I 1 + I 2 = (- 1 + j) A . Z2 1

Из

једнакости

напона

Z1I 2 = Z 2 I1

је

Z Z Комплексна улазна импеданса је Z ul = 1 2 = Rul + jX ul = (70 - j10) W , а цело Z1 + Z 2 коло је претежно капацитивно. Комплексни прикључени напон је U = Z ul I = 20(- 3 + j4) V . Из комплексне улазне импедансе је cos f = кола

Rul X 70 = = 0,7 2 и sin f = ul = -0,5 2 , па су активна и реактивна снага Z ul Z ul 50 2 и P = UI cos f = 140 W Q = UI sin f = -20 var . Фактор снаге кола је

k = cos f = 0,7 2 » 0,99 . Фазна разлика напона U и струје I је f = arctg

X ul » -8,13o . Z ul

На основу I 2 = -1 A , односно y 2 = p , цео фазорски дијаграм је ротиран тако да се фазна оса поклопи са реалном осом комплексне равни.

*205. У

колу

простопериодичне

струје

приказаном на слици 205.1 је w = 10 5 s -1 , R = 20 W , L1 = 100 mH и L2 = 400 mH . Комплексна снага идеалног струјног генератора је S I g = (5 + j15) VA , а струја I 2 фазно предњачи 3p . Израчунати капацитивности C1 и 4 C2 , као и ефективну вредност струје генератора ( I g ).

струји I1 за

Слика 205.1.

РЕШЕЊЕ Усвојимо референтне смерове напона и струја као на слици 205.2. По теореми одржања активне снаге у колу, активна снага струјног генератора, PI g = Re( S I ) = 5 W , g

једнака је снази отпорника, одакле за ефективну вредност напона отпорника добијамо U R = RPI g = 10 V .

150

Кола променљивих струја

Слика 205.2.

Слика 205.3.

Фазорски дијаграм напона и струја кола приказан је на слици 205.3. Фазорски дијаграм је нацртан полазећи од фазора струје кондензатора, I 1 . Струје I1 и I 3 су у противфази, па је фазор струје калема, I 3 истог правца, али супротног смера у односу на фазор I 1 . Напон U1 је у квадратури са струјама калема и кондензатора, а фазор U 1 има смер надоле. Струја отпорника, I R = I 1 + I 3 може бити у фази са струјом I 3 (ако је wL1 < као што је приказано на слици 205.3, или у фази са струјом I1 (ако је wL1 >

1 ), wC1

1 ). У wC1

првом случају, фазор напона U = U R + U 1 = R I R + U 1 је у трећем квадранту, док се у другом случају овај фазор налази у четвртом квадранту. Према условима задатка, фазор струје I 2 је у другом квадранту и са фазором I 1 3p заклапа угао . Фазор напона калема L2 ( U 4 ) и фазор напона кондензатора C2 ( U 2 ) 4 нормални су на фазор I 2 , па је и збир U = U 4 + U 2 нормалан на I 2 . Стога фазор U мора бити у првом или трећем квадранту. С обзиром на то да смо већ закључили да фазор U мора бити у трећем или четвртом квадранту, очигледно је да се налази у трећем квадранту. Стога су струје I R и I 3 у фази. Са фазорског дијаграма видимо да напон U фазно заостаје за напоном U1 за

p , 4

одакле следи да су дужине фазора U 1 и U R једнаке, а да је U = U R 2 = 10 2 V . Како је паралелна веза L1 - C1 претежно индуктивна (напон U1 фазно предњачи 1 1 =- . струји I R ), то је еквивалентна сусцептанса ове везе B1 < 0 , па је B1 = wC1 wL1 R Одавде је C1 = 500 nF . Реактивна снага паралелне везе L1 - C1 је Q1 = - B1U12 = 5 var . Према теореми одржања реактивне снаге у колу, реактивна снага редне везе

L2 - C2

износи

2. Једноставна кола простопериодичних струја Q2 = Im(S I ) - Q1 = 10 var . g

X 2 = wL2 -

Еквивалентна

151

реактанса

ове

редне

везе

1 U2 = = 20 W , што даје C2 = 500 nF . wC2 Q2

Ефективна вредност струје генератора је I g =

S Ig U

= 500 5 mA .

*206. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 206.1 познато је E = 130 V , w = 108 s -1 , R = R1 = 1 kW , R2 = 2 kW и L2 = 10 mH . (а) Израчунати индуктивност L1 и капацитивност С тако да ефективне вредности струја I1 и I 2 буду једнаке, а да струја I 2 p фазно предњачи струји I1 за . (б) Колика је при томе 2 комплексна снага идеалног напонског генератора?

Слика 206.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Индуктивност је L1 = 20 mH , а капацитивност C = 5 pF . (б) Комплексна снага идеалног напонског генератора је S E = (6,5 + j1,3) VA .

*207. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 207.1 је E = 220 V , f = 50 Hz , R = 10 W , R1 = 50 W , R2 = 100 W , L1 = 250 mH и L2 = 500 mH . (а) Израчунати капацитивности кондензатора C1 и C2 тако да напон U 2 p фазно предњачи напону U1 за , а 2 реактивна снага идеалног напонског генератора буде једнака нули. (б) Колика је тада активна снага идеалног напонског генератора? РЕЗУЛТАТ (а) Капацитивности су C1 = C 2 » 14,42 mF . (б) Активна снага генератора је PE » 552,4 W .

Слика 207.1.

је

152

Кола променљивих струја

208. Јачина струје идеалног струјног генератора у колу простопериодичне струје pö æ приказаном на слици 208.1 је ig (t ) = 1,2 2 cosç wt - ÷ A , а електромоторна сила 3ø è идеалног напонског генератора касни за струјом струјног генератора за четвртину периода. Фактор снаге претежно индуктивног пријемника је k = 0,8 . Привидна снага пријемника и привидна снага идеалног напонског генератора су S Z = S E = 1 kVA . Израчунати ефективну вредност електромоторне силе генератора.

Ig

Z

E

Слика 208.1.

Слика 208.2.

Слика 208.3. РЕШЕЊЕ Задатак се може решити на основу фазорског дијаграма. Усвојимо референтне смерове струја као на слици 208.2. Цртање фазорског дијаграма (слика 208.3) почињемо од фазора E . Фазор струје I g заклапа са фазором E прав угао. Фазор струје I Z заклапа са фазором E угао f = arccos k » 36,9° , а дужина фазора I Z за сада није позната. Привидна снага пријемника је S Z = EI Z , а привидна снага идеалног напонског генератора је S E = EI E . Из једнакости тих снага следи I Z = I E . Напон и струја идеалног струјног генератора су у квадратури, па је активна снага идеалног струјног генератора нула. Из закона одржања снаге следи да је активна снага коју развија идеални напонски генератор једнака активној снази коју прима пријемник. Активна снага пријемника је PZ = EI Z cos f , а активна снага идеалног напонског генератора је PE = EI E cos f E . Из једнакости PZ = PE и I Z = I E , следи cos f = cos f E , одакле је f E = ±f . Ако је f E = f , тада је I E = I Z . Међутим, из првог Кирхофовог закона је I E = I Z + I g , па је немогуће да буде I E = I Z јер је I g = 1,2 A ¹ 0 . Остаје само друга могућност, f E = -f , па фазор I E лежи као на слици 208.3. Са слике 208.3 се види да су дужине фазора I Z и I E одређене релацијом 1 I E = I Z + I g , односно I Z sin f = I E | sin f E | = I g , одакле је I Z = I E = 1 A . 2 Сада из S E = EI E = 1 kVA следи да је тражена ефективна вредност E = 1 kV .

2. Једноставна кола простопериодичних струја

153

209. Три пријемника, комплексних импеданси Z 1 = (500 - j500) W , Z 2 = (700 + j100) W и Z 3 = (125 + j375) W , и два генератора, простопериодичних струја ефективних вредности I g1 = 40 mA и непознате I g2 , образују коло као на слици 209.1. Преклопник П је у положају 1. По пребацивању преклопника П у положај 2, 2 VA , а активна 2 снага свих пријемника се повећа два пута у односу на снагу када је преклопник у положају 1. Израчунати фазну разлику струја I g1 и I g2 и комплексну снагу трећег пријемника када привидна снага другог пријемника је S 2 =

Слика 209.1.

је преклопник у положају 1. РЕШЕЊЕ Када је преклопник П у положају 2, ефективна вредност струје другог пријемника је S2 = 10 10 mA , а ефективна вредност струје другог струјног генератора је I2 = Z2 I g2 = I 2

Z1 + Z 2 Z1

= 40 2 mA . Када је преклопник у положају 1, два струјна генератора

се могу заменити једним еквивалентним генератором струје I g = I g1 + I g2 . Тада је активна снага пријемника два пута мања него када је преклопник у положају 2, што 2 2 I g2 = 40 mA . Из косинусне теореме се добија cos a = , где је a 2 2 3p фазна разлика између струја I g1 и I g2 , односно a = ± . Тражена комплексна снага 4 трећег пријемника је S ¢3 = Z 3 I g2 = (0,2 + j0,6) VA . значи да је I g =

154

Кола променљивих струја

4. Сложена кола простопериодичних струја 4.1. Кирхофови закони 210. За коло простопериодичне струје са слике 210.1 познато је Z 1 = 10 W , Z 2 = j5 W ,

Z4 = 4 W,

E 2 = j2 V ,

E 3 = j0,5 V ,

Z 5 = - j7 W , E4 = j V

и

I g = (0,2 - j0,1) Α . Израчунати струје свих грана и напон струјног генератора. Слика 210.1. РЕШЕЊЕ Задато коло има nč = 3 чвора и ng = 5 грана, а тражене величине су I1 ,

I2 ,

I3 ,

I4

и U I g (према оријентацијама и ознакама са слике 210.2). Број независних једначина по првом Кирхофовом закону је nč - 1 = 2 . За чвор 1 је - I 1 + I 2 + I 3 = 0 , а за чвор 2 је -I 3 + I g + I 4 = 0 . Слика 210.2. Број независних једначина по другом Кирхофовом закону је ng - nč + 1 = 3 једначине. Једначине за одабране контуре су: за контуру S1 , - Z 1 I 1 - Z 2 I 2 - E 2 = 0 , за

4. Сложена кола простопериодичних струја контуру

S2 ,

155

E 4 - Z 1 I 1 - E 3 - (Z 4 + Z 5 )I 4 = 0

U I + (Z 4 + Z 5 )I 4 - E 4 = 0 .

и

за

контуру

S3 ,

g

Из

прве

четири

једначине

се

добија

I 1 = -0,1(1 + ј) Α ,

I 2 = -0,2(1 + ј) Α ,

I 3 = 0,1(1 + ј) Α и I 4 = (- 0,1 + ј0,2 ) Α . Из једначине за контуру S 3 је U I g = -(1 + ј0,5) V .

211. За коло са слике 211.1 познато је I g = 10(1 + j) mΑ , E 1 = j20 V , E 4 = j10 V , Z 1 = j0,5 kW ,

Z 2 = 1 kW ,

Z 4 = (0,4 - j0 ,7 ) kW и Z 5 = (0,3 + j0 ,4 ) kW .

Израчунати комплексне снаге које развијају идеални генератори и установити да ли раде као генератори или као пријемници.

Слика 211.1.

РЕШЕЊЕ Ради израчунавања комплексних снага генератора у колу са слике 211.1 потребно је израчунати комплексне струје напонских генератора и комплексни напон струјног генератора. За оријентације са слике 211.2, једначине по Кирхофовим законима гласе: за чвор 1 , I 1 + I 2 + I g = 0 , за чвор 2 , - I g + I 4 + I 5 = 0 , за контуру S1 , E 1 + Z 1 I 1 - Z 2 I 2 = 0 , за контуру S 2 , E 4 - Z 4 I 4 + Z 5 I 5 = 0 и за контуру S 3 , U Ig - Z 5 I 5 + Z 2 I 2 = 0 .

Слика 211.2.

Из прве четири једначина добијају се комплексне струје грана, I 1 = -20(1 + ј) mΑ ,

I 2 = 10(1 + ј) mΑ , I 4 = 10(- 1 + ј2 ) mΑ и I 5 = 10(2 - ј) mΑ . Из једначине за контуру S 3 добија се комплексни напон струјног генератора, U I g = - ј5 V . Комплексне снаге које развијају генератори су

S E1 = - E 1 I 1* = 0,4(1 + ј) VA ,

S E = E 4 I *4 = 0,1(2 - ј) VA и S I = U I I *g = -0,05(1 + ј) VA . 4 g g Активне снаге које развијају идеални напонски генератори су позитивне: PE1 = Re S E = 0,4 W > 0 и PE4 = Re S E = 0,2 W > 0 , па они раде као генератори. 1 4

( )

( )

Активна снага коју развија струјни генератор је негативна, PI g = Reæç S I ö÷ = -50 mW < 0 , è gø па тај генератор ради као пријемник.

156

Кола променљивих струја

212. За коло са слике 212.1 познато је Z 1 = 100 W , Z 2 = (70 + j10 ) W , Z 3 = (30 - j10 ) W , Z 4 = - j20 W ,

Z 5 = j40 W ,

E = (20 + j8) V

и

I g = j0 ,5 Α . Израчунати укупну активну снагу свих пријемника у колу.

Слика 212.1. РЕШЕЊЕ Како у задатом колу нема паралелно везаних грана, може се употребити двоиндексна конвенција за напоне и струје. По Кирхофовим законима, за чвор 1 је I 12 + I 13 + I 14 = 0 , за чвор 2 је - I 12 - I 32 + I 24 = 0 , за чвор 3 је - I 13 - I g + I 32 = 0 ; за затворени пут 1 - 2 - 4 - 1 је - Z 1 I 12 - E - Z 5 I 24 + Z 4 I 14 = 0 , за затворени пут 1 - 3 - 2 - 4 - 1 је

- Z 2 I 13 - Z 3 I 32 - Z 5 I 24 + Z 4 I 14 = 0

и

за

затворени

пут

1- 3 - 4 -1

је

- Z 2 I 13 - U 34 + Z 4 I 14 = 0 . По теореми одржања снаге, активна снага свих пријемника једнака је збиру активних снага које развијају генератори. Из првих пет једначина, струја идеалног напонског генератора је I 12 = (- 50 - ј90 ) mΑ . Из једначине за затворени пут 1 - 3 - 4 - 1

следи напон струјног генератора U 34 = (- 3,6 + ј11,2) V . Активна снага свих пријемника у колу је

( ).

Pp = Re(S E ) + Re S I

g

Како је

* S E = - E I 12 = (1,72 - ј1,4 ) VA и S I = U 34 I *g = (5,6 + ј1,8) VA , то је тражена активна g

снага Pp = 1,72 + 5,6 = 7,32 W .

213. За коло са слике 213.1 је

E = 10 V ,

I g = (2 + j6 ) mΑ , Z 1 = (4 - j2 ) kW , Z 2 = 5(1 + j) kW ,

Z 3 = 5(3 + j) kW ,

а

амперметар

је

идеалан.

Израчунати колико је показивање амперметра и колике су активне снаге које развијају генератори.

I 13

РЕЗУЛТАТ Комплексна струја амперметра је = (1 + ј5) mΑ . Амперметар показује ефективну

вредност

те

струје,

4. Сложена кола простопериодичних струја

157 Слика 213.1.

I13 = I 13 = 1 + ј5 mΑ = 26 mΑ » 5,1 mΑ .

Комплексна струја напонског генератора је I 42 = (4 + ј2 ) mΑ , па он развија активну

(

)

снагу PE = Re E I *42 = 40 mW и ради као генератор. Комплексни напон струјног

(

)

генератора је U 12 = ј20 V , па он развија активну снагу PI g = Re U 12 I *g = 120 mW и ради као генератор. Генератори развијају укупну активну снагу Pg = PE + PI g = 160 mW .

214. За

коло

Z 4 = 150(3 - j) W ,

са

слике

214.1

Z 6 = - j250 W ,

познато

је

E 2 = - j60 V ,

Z 1 = 400 W ,

Z 2 = 100(1 - j3) W ,

I g 3 = 20(2 + j3) mΑ ,

E = 20 V ,

E 4 = 10(7 + j3) V и I g 5 = - j40 mΑ . Израчунати E 6 тако да буде I = 50 mΑ .

Слика 214.1. РЕЗУЛТАТ По Кирхофовим законима је I = је E 6 = 5(11 + ј2 ) V .

E - E6 E + E4 E E - E2 , одакле + - I g3 + + I g5 + Z1 Z2 Z4 Z6

Z1 215. За мрежу простопериодичне струје са слике 215.1 познато је Z 2 = j10 W , Z 3 = 10(1 - j5) W , E 2 = 1,5(1 - j3) V ,

E 4 = (3 - j4 ) V

и

I g = 0,1(2 + j) Α . Израчунати E 3 тако да напон U 23 буде једнак нули.

E4

2 E3

1

4 Ig

Z3

Z2 3

U

E2

158

Кола променљивих струја Слика 215.1. РЕШЕЊЕ За затворени

пут

4- 2-3- 4

је,

E 4 - U 23 - Z 2 I 34 - E 2 = 0 , одакле је: I 34 Кирхофовом

закону

за

чвор

3

је

по другом Кирхофовом закону, E 4 - U 23 - E 2 = = 50(1 - j3) mΑ . По првом Z2

I 32 = - I g - I 34 = (- 250 + j50 ) mΑ .

Како

је

U 23 = - Z 3 I 32 + E 3 , то је E 3 = U 23 + Z 3 I 32 = Z 3 I 32 = j13 V јер је U 23 = 0 .

Z1 ,

216. Четири пријемника импеданси Z 2 , Z 3 и Z 4 , индикатор5 I

унутрашње импедансе Z I и генератор емс

E , образују мост као на слици 216.1. Извести услов равнотеже моста. РЕШЕЊЕ Мост је у равнотежи ако је струја гране са индикатором I једнака нули, I 24 = 0 . Између напона и струје индикатора важи релација U 24 = Z I I 24 . Стога је U 24 = 0 када је I 24 = 0 .

Слика 216.1.

Ако је мост у равнотежи, по Кирхофовим законима је Z 2 I 23 = Z 4 I 43 , I 12 = I 23 и I 14 = I 43 . Одавде се добија

Z 1 I 12 = Z 3 I 14 ,

Z1 Z 2 = , што представља услов Z3 Z4

равнотеже моста. Тај услов се често пише у облику Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3 .

217. У напојној дијагонали моста налази се струјни генератор струје I g , а у мерној дијагонали моста је амперметар A унутрашње импедансе Z A (слика 217.1). Мост је у равнотежи. Показати да ће, ако струјни генератор и амперметар замене места (слика 217.2), напон између чворова 1 и 3 бити једнак нули.

5

Примери индикатора су галванометар, амперметар, волтметар и слушалице.

4. Сложена кола простопериодичних струја

159

Слика 217.2. Слика 217.1. РЕШЕЊЕ У колу на слици 217.1 је U 24 = 0 и I 24 =

U 24 = 0 јер је мост у равнотежи: ZA

Z1Z 4 = Z 2 Z 3 . Коло са слике 217.2 је такође мост у коме је грана 2 - 4 напојна, а грана 1 - 3 мерна дијагонала. Како је и у овом колу Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3 , мост је у равнотежи, па је U13 = 0 и I13 =

U13 = 0 , што је и требало показати. ZA

218. На слици 218.1 је приказан Хејов мост за мерење индуктивности Lx и отпорности

Rx

реалног

калема.

Подешавањем отпорности R1 и R2 мост се доводи у равнотежу. Извести изразе за Lx и Rx сматрајући да су познати сви остали параметри означени на слици 218.1.

Слика 218.1.

160

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ Имајући у виду слику 216.1, у посматраном случају је Z 1 = Rx + jwLx , Z 2 = R ,

Z 3 = R1 и Z 4 = R2 +

(Rx + jwLx )æçç R2 +

1 . Из услова равнотеже моста, jwC

Z 1 Z 4 = Z 2 Z 3 , односно

L 1 ö ÷ = RR1 , добијају се две реалне једначине: Rx R2 + x = RR1 и C jwC ÷ø

è Rx R1CR wL x R 2 = 0 . Из тих једначина је Lx = и Rx = w 2 CR2 Lx . wC 1 + (wR2 C )2 реални калем R1 2 Lx

219. За мерење индуктивности Lx и отпорности Rx калемова већих отпорности употребљава се Максвелов мост, чија је шема приказана на слици 219.1. Подешавањем отпорности R и капацитивности С мост се доводи у равнотежу. Извести изразе за Lx и Rx .

Rx

1

R2 3

R

РЕЗУЛТАТ При равнотежи моста је Rx + jwLx = RR1 , одакле jе Lx = CR1 R 1 + jwC R2

C U,ω Слика 219.1.

R и Rx = 1 R . R2 I 220. У циљу мерења активне снаге индуктивног пријемника, формирано је коло према шеми са слике 220.1. Инструменти се могу сматрати идеалним. Капацитивност кондензатора C се подеси тако да ефективна вредност струје напојне гране буде минимална, I min . Показати да је активна снага пријемника одређена са P = EI min .

4

I

A

E ω

C

V

Z p , fp > 0

Слика 220.1.

РЕШЕЊЕ Активна снага пријемника је, према слици 220.2, P = EI p cos f p . Према првом Кирхофовом

закону

је

I = IC + Ip ,

где

је

I C = j wC E

и

4. Сложена кола простопериодичних струја

Rp - jX p E E Ip = = =E . Z p Rp + jX p Z p2

Одавде

161

је

æ Rp jX p I = E ç j wC + 2 - 2 ç Zp Zp è 2

2

ö ÷ , ÷ ø

односно

ææ

2ö 2 Rp ö÷ æç X p ö÷ ÷ + wC I (C ) = E ç . Функција I 2 (C ) је квадратна по wC и има 2 ÷ ÷ ç Z2 ÷ ç Z çè p ø è p ø ÷ è ø Xp Rp E Rp минимум када је wC = 2 , па је I min = E 2 . Како је I min = = I p cos f p , то је Zp Zp Zp Zp 2

2çç

активна снага пријемника P = EI min , што је и требало показати.

Z p , fp > 0

Слика 220.2.

fp

Слика 220.3. До истог закључка се може доћи и користећи се фазорским дијаграмом, приказаним на слици 220.3. Како је I C = jwC E , то се, због I = I C + I p , врх фазора I налази на полуправој на којој лежи фазор I C , од тачке А за I C = 0 , до ¥ , за I C ® ¥ . Са фазорског дијаграма је очигледно да је дужина фазора I најмања када се он по правцу поклапа са фазором емс E . Тада је I min = I = I p cos f p , a aктивна снага пријемника je P = EI p cos f p = EI min .

221. За коло са слике 221.1 познато је Z = 200(1 + j10 ) W , Z 1 = 20(1 + j5) W и Z 2 = 100 W . Израчунати отпорност R3 тако да струја I1 фазно заостаје за емс E за

p . 2

162

Кола променљивих струја

Слика 221.1.

Слика 221.2.

РЕШЕЊЕ На слици 221.2 су приказане оријентације грана кола и ознаке струја грана, имајући у виду симетрију у колу. По Кирхофовим законима, за чвор 1 је I = I 1 + I 2 , за чвор 2 је I 1 = I 2 + I 3 , за затворени пут 1 - 2 - 4 - 1 је E - Z I - Z 1 I 1 - Z 2 I 2 = 0 и за затворени пут

1 - 2 - 3 - 1 је - Z 1 I 1 - R3 I 3 + Z 2 I 2 = 0 . По услову задатка је E = I 1 (a + jb ) , где је a = 0 , а Z I - Z1 I1 , што заменом у b > 0 . Из једначине за затворени пут 1 - 2 - 3 - 1 је I 3 = 2 2 R3 једначине за чворове 1 и 2 даје I 2 =

æ R3 + Z 1 R + Z1 I 1 и I = I 1 çç1 + 3 R3 + Z 2 è R3 + Z 2

ö ÷ . Заменом у ÷ ø добија се

једначину за затворени пут 1 - 2 - 4 -1 Z (2 R3 + Z 1 + Z 2 ) + R3 (Z 1 + Z 2 ) + 2 Z 1 Z 2 E = I1 , што се може представити у облику R3 + Z 2 E=

R3 (2 R + R1 + R2 ) + R(R1 + R2 ) + 2 R1R2 - XX 1 + j( X (2 R3 + R1 + R2 ) + X 1 (R + R2 + R3 )) I1 . R3 + Z 2

Упоређивањем са релацијом E = I 1 (a + jb ) , из постављених услова ( a = 0 и b > 0 ) XX 1 - 2 R1R2 - R(R1 + R2 ) » 331 W и b > 0 , па је E = jb I 1 . је R3 = 2 R + R1 + R2

4.2. Метод контурних струја 222. За

коло

Z 1 = 50(4 + j3) W ,

са

слике

222.1

Z 2 = 25(1 + j4 ) W ,

познато

је

Z 3 = - j150 W ,

E 1 = 20(3 + j4 ) V , Z 4 = 100 W ,

E 6 = j20 V ,

Z 5 = - j50 W

и

4. Сложена кола простопериодичних струја

163

Z 6 = j50 W . Израчунати комплексне струје свих грана кола и комплексне снаге које развијају идеални напонски генератори.

Слика 222.1.

Слика 222.2.

РЕШЕЊЕ За задато коло је nk = ng - nč + 1 = 6 - 4 + 1 = 3 , па су на слици 222.2 одабране три основне контуре. Систем једначина по методу контурних струја је:

(Z 2 + Z 3 + Z 6 )I I + (Z 2 + Z 3 )I II + Z 2 I III = E 6 , (Z 2 + Z 3 )I I + (Z 2 + Z 3 + Z 4 + Z 5 )I II + (Z 2 + Z 5 )I III = 0 , Z 2 I I + (Z 2 + Z 5 )I II + (Z 1 + Z 2 + Z 5 )I III = E 1 .

Изражавајући величине у SI систему јединица, систем једначина постаје 25 I I + (25 - j50 )I II + (25 + j100 )I III = j20 ,

(25 - j50)I I + (125 - j100)I II + (25 + j50)I III = 0 , (25 + j100)I I + (25 + j50)I II + (225 + j200)I III = 60 + j80 .

Из ових једначина, комплексне контурне струје су I I = 100(1 - j2 ) mA , I II = 50 mA и I III = 50(5 + j2 ) mA .

Струје

грана

кола

су

I 12 = I I + I II + I III = 100(4 - j) mA ,

I 13 = - I III = -50 (5 + j2 ) mA , I 14 = - I I - I II = 50(- 3 + j4 ) mA , I 23 = I II + I III = 50(6 + j2 ) mA , I 24 = I I = 100(1 - j2) mA и I 34 = I II = 50 mA .

* Комплексне снаге које развијају генератори су S E = - E1 I 13 = (23 + j14 ) VA (ради 1

као генератор) и S E6 =

E 6 I *24

= (- 4 + j2 ) VA (ради као пријемник).

164

Кола променљивих струја 223. За коло са слике 223.1 познато је E 1 = 4(- 1 + j) V , E 3 = 16 V , E 5 = j8 V ,

Z 1 = (1 - j0 ,5) kW ,

Z 2 = j0 ,5 kW ,

Z 4 = - j0 ,25 kW ,

Z 5 = 0,25(3 - j) kW

и

Z 6 = 0,25(1 + j) kW . Израчунати укупну активну снагу свих пријемника у колу.

Слика 223.1.

Слика 223.2.

РЕШЕЊЕ Активна снага свих пријемника у колу је, по теореми одржања снаге, једнака збиру активних снага које развијају генератори. Број независних контура задатог кола је nk = ng - nč + 1 = 3 . На слици 223.2 су приказане три основне контуре одабране тако да генератори буду у спојницама. Систем једначина по методу контурних струја је:

(Z 1 + Z 2 + Z 4 + Z 6 )I I + (Z 4 + Z 6 )I II - (Z 2 + Z 4 )I III = E1 , (Z 4 + Z 6 )I I + (Z 4 + Z 6 )I II - Z 4 I III = E 3 , - (Z 2 + Z 4 )I I - Z 4 I II + (Z 2 + Z 4 + Z 5 )I III = E 5 .

Контурне

струје

I I = -(12,8 - j3,2) mA ,

су

I II = (62,4 - j1,6) mA

и

I III = (- 1,6 - j14,4 ) mA . Струје генератора су I 31 = I I , I 32 = I II и I 14 = I III . Активне снаге

(

које

)

развијају

Pg 3 = Re E 3 I *32 = 988,4 mW

и

генератори

(

су

)

(

)

Pg1 = Re E1 I *31 = 64 mW ,

* Pg 5 = Re E 5 I 14 = -115,2 mW . Активна снага свих

пријемника је P = Pg1 + Pg 2 + Pg 3 = 947,2 mW .

224. За

коло

са

слике

224.1

познато

је

Z 1 = 5(1 - j3) W ,

Z 2 = 5(1 + j2 ) W ,

Z 3 = 10(2 - j) W , Z 4 = 25(1 + j) W , Z 5 = 25(3 + j) W , I 21 = 0,4(1 + j3) A и I 42 = 0,4(2 + j) A . Израчунати електромоторне силе E 1 и E 2 .

4. Сложена кола простопериодичних струја

165

Слика 224.1.

Слика 224.2.

РЕШЕЊЕ Ради решења применом методa контурних струја, изабране су nk = ng - nč + 1 = 3 елементарне контуре (окца) као на слици 224.2. При томе је I I = I 21 и I II = I 42 . Систем једначина по методу контурних струја је: ( Z 1 + Z 3 ) I 21 - Z 3 I 42 = E1 ,

- Z 3 I 21 + (Z 2 + Z 3 + Z 4 )I 42 - Z 4 I III = E 2 , - Z 4 I 42 + (Z 4 + Z 5 )I III = 0 .

Из последње једначине је I III = 0,2(1 + j) A , из прве једначине је E 1 = 20(1 + j) V , а из друге једначине је E 2 = 10(1 + j) V . Z1 225. За коло са слике 225.1 је E 1 = j2 V , E 4 = j V , I g = 0,1(1 + j) A ,

Z2 Z3

Ig

Z 2 = 2,5(1 + j) W ,

Z 1 = j5 W ,

Z 3 = (3 + j4 ) W

E1

1

и

Z 4 = (4 - j7 ) W .

Израчунати струје свих грана кола и напон струјног генератора.

3 Слика 225.1.

Z4

2

E4

166

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ

Слика 225.2. На слици 225.2 су приказане три контуре изабране тако да грана са струјним генератором буде спојница. Једначине по методу контурних струја су I I = I g , Z 1 I g + (Z 1 + Z 2 + Z 4 )I II + Z 4 I III = E 1 + E 4

и

Z 4 I II + (Z 3 + Z 4 )I III = E 4 .

Из

ових

једначина је I I = 0,1(1 + j) A , I II = 0,1(1 + j) A и I III = 0,1(-2 + j) A . Струје грана кола су I 1 = I I + I II = 0,2(1 + j) A ,

I 2 = I II = 0,1(1 + j) A ,

I 4 = I II + I III = 0,1(-1 + j2) A .

Напон

I 3 = - I III = 0,1(2 - j) A

струјног

генератора

и је

U 31 = - Z 3 I 3 - Z 2 I 2 = -(1 + j) V .

226. За коло са слике 226.1 је E = (13 + j9 ) V , I g1 = 40(1 - j6 ) mA , I g 2 = j0,5 A ,

Z 1 = 100(1 + j) W , Z 3 = 10(3 - j) W , Z 4 = - j20 W и Z 5 = 40 W . Израчунати комплексну

струју идеалног напонског генератора и комплексне напоне идеалних струјних генератора.

Слика 226.1.

Слика 226.2.

4. Сложена кола простопериодичних струја

167

РЕШЕЊЕ У колу су изабране три основне контуре тако да идеални струјни генератори буду у спојницама, као на слици 226.2. Једначине по методу контурних струја су I I = I g1 , I II = I g 2

и

- (Z 4 + Z 5 )I I - Z 5 I II + (Z 1 + Z 4 + Z 5 )I III = E .

I III = 10(11 + j7 ) mA .

Комплексна

I 31 = + I III = 10(11 + j7 ) mA .

струја

Комплексни

напони

Из

треће

напонског струјних

једначине

генератора генератора

је је су

U 21 = Z 1 I 31 - E + Z 3 I 23 и U 24 = Z 4 I 14 + U 21 , при чему је I 23 = I I + I II = 40(1 + j6,5) mA

и I 14 = I III - I I = 10(7 + j31) mA , па је U 21 = (- 5,2 + j16,4 ) V и U 24 = (1 + j15) V .

227. За коло са слике 227.1 познато је Z 1 = j100 W , Z 2 = 50(1 - j) W , Z 3 = 50(4 - j3) W ,

Z 4 = 50(2 - j3) W , Z 6 = 100 W , E 5 = 100 V ,

Z 5 = j50 W ,

E 2 = 50(1 - j) V ,

E 6 = j200 V

I g = 0,16(1 - j3) Α .

и

Израчунати

ефективну вредност напона идеалног струјног генератора. РЕЗУЛТАТ Комплексни напон струјног генератора је U = -8(1 - j3) V , па је тражена ефективна вредност

Слика 227.1.

U = - 8(1 - j3) V = 8 10 V .

228. За коло са слике 228.1 познато је E 2 = 2,5(4 - j) V , E 6 = j20 V , I g = 50(5 + j) mΑ ,

Z 1 = 50(4 + j3) W , Z 4 = 100 W ,

Z 2 = j100 W ,

Z 5 = - j50 W

и

Z 3 = - j150 W , Z 6 = j50 W .

Израчунати ефективне вредности идеалних напонских генератора и идеалног струјног генератора. РЕЗУЛТАТ Тражене I12 = 0,1 5 Α , U 54 = 10 61 V .

ефективне

струја напона

вредности

I 23 = 0,05 5 Α

су и Слика 228.1.

168

Кола променљивих струја 229. За коло са слике 229.1 је E 1 = 10(1 + j) V , I g = j0,2 A , Z 1 = 200(1 - j) W ,

Z 2 = 100(1 + j) W , Z 3 = 100(1 + j3) W , Z 4 = 50(1 + j6 ) W и Z 5 = 50(3 + j2 ) W . Израчунати комплексне снаге које развијају идеални генератори. 1

Z5

Z3

E1

2 Z1

4 Ig

Z2

3

Z4

Слика 229.1. РЕШЕЊЕ Трансфигурацијом реалног напонског генератора генератор струје I e =

E1 - Z1

у реални струјни

E1 j = A и импедансе Z 1 , а затим трансфигурацијом троугла Z 1 20

Z1 - Z 2 - Z 3 у звезду , коло са слике 229.1 може се приказати као на слици 229.2, при чему Z8 =

је

Z6 =

Z2Z3 = j100 W , Z1 + Z 2 + Z 3

Z7 =

Z1Z 3 = 200 W Z1 + Z 2 + Z 3

и

Z1Z 2 = 40(2 - j) W . Z1 + Z 2 + Z 3

Слика 229.2. За систем независних контура са слике 229.2 је, по методу контурних струја, - (Z 7 + Z 8 )I e + (Z 4 + Z 8 )I g + (Z 4 + Z 5 + Z 7 + Z 8 )I III = 0 , одакле је I III = 10(6 - j7 ) mA .

4. Сложена кола простопериодичних струја Напон

између

крајева

169

идеалног

струјног

генератора

Ig

је

U 24 = - Z 5 I III + Z 4 (I e - I III ) + Z 6 I g = (- 48 + j28,5) V . Комплексна снага коју развија струјни генератор је S I = U 24 I *g = (5,7 + j9,6 ) VA . g Z5

1

U13 Z3

E1

2 Z1

4 Ig

Z2

3

Z4 Слика 229.3.

Напон између чворова 1 и 3 је U 13 = - Z 4 (I II + I III ) - Z 5 I III = 20(1 - j) V . Струја идеалног напонског генератора је, према слици 229.3, I 1 =

U 13 + E 1 Z1

= 50(2 + j) mA , па

овај генератор развија комплексну снагу S E1 = E 1 I 1* = 0,5(3 + j) VA .

230. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 230.1 је E1 = (11 - j10) V , E 2 = j14 V , E 4 = j4 V ,

E 6 = (2 - j1,5) V ,

I 2 = (200 + j200) mA ,

Z 1 = (10 - j20) W ,

Z 2 = (30 + j10) W ,

Z 5 = j20 W

и

Z 6 = (10 - j5) W . Израчунати комплексну импедансу трећег пријемника.

Слика 230.1.

РЕШЕЊЕ Одаберимо систем фундаменталних контура тако да гране 2 и 3 буду спојнице, као на слици 230.2. Једначине по методу контурних струја гласе (Z 2 + Z 1 ) I k1 + Z 1 I k3 = E 2 + E1 , (Z 5 + Z 6 ) I k2 - Z 6 I k3 = E 6 и Z 1 I k1 - Z 6 I k2 + (Z 3 + Z 6 + Z 1 )I k3 = - E 6 + E 4 + E1 .

Из

прве

једначине

је

170

Кола променљивих струја

I k3 =

E 2 + E1 - (Z 2 + Z 1 ) I k1 = 100 mA . Z1

I k2 =

E 6 + Z 6 I k3 = - j200 mA . Из треће једначине по методу контурних струја добија Z5 + Z6

се Z 3 =

Из

друге

једначине

је

сада

- E 6 + E 4 + E1 - Z 1 I k1 + Z 6 I k2 - Z 6 - Z 1 = - j20 W I k3

Слика 230.2.

231. За коло простопериодичне струје приказано на слици 231.1 познато је 10 w = 105 s -1 , Z 1 = j5 W , Z 2 = 10 W , R4 = 4 W , C4 = mF , Z 5 = (1 + j2) W , 7 I1 = I g3 = 0,1 2 A и E4 = 1 V . Струја I g3 фазно заостаје за електромоторном силом E4 p p за , а струја I1 фазно заостаје за струјом I g3 за . Почетна фаза струје I 2 је 4 2 p y 2 = - . (а) Одредити комплексну струју I 4 . (б) Утврдити да ли се идеални напонски 2 генератор E1 понаша као генератор или као пријемник.

Слика 231.1. РЕЗУЛТАТ (а) Тражена струја је I 4 = (-140 + j120) mA . (б) Активна снага коју развија генератор E1 је PE1 = 0,2 W > 0 , па се тај уређај понаша као генератор.

4. Сложена кола простопериодичних струја

171

4.3. Метод потенцијала чворова 232. За коло са слике 232.1 познато је E 1 = 2(1 + j6 ) V , I g = 40(1 + j3) mA , E 3 = - j34 V ,

Z 1 = 100(2 + j) W , Израчунати

Z 2 = 10(3 - j4 ) W

(а) комплексни

Z 3 = 100 W .

и

напон

U AB ,

(б) комплексне струје грана и (в) комплексне снаге које примају гране и комплексне снаге свих елемената кола. РЕШЕЊЕ (а) По методу потенцијала чворова је, узимајући чвор В за референтни, добијамо E3 E1 - Ig Z1 Z3 V A = U AB = = (4 + j8) V . 1 1 1 + + Z1 Z 2 Z 3 (б) Комплексне I2 =

струје

грана

су

Слика 232.1. I1 =

U AB - E1 = - j20 mA , Z1

U AB U + E3 = (- 80 + j160) mA и I 3 = AB = (40 - j260 ) mA . Z2 Z3

(в) Комплексна снага коју прима грана 1 је S 1 = U AB I 1* = (- 160 + j80) mVA . Грана

прима активну снагу P1 = Re(S 1 ) = -160 mW < 0 и у целини понаша се као генератор.

Реактивна снага коју грана прима је Q1 = Im(S 1 ) = 80 mvar . Генератор E1 у првој грани развија комплексну снагу S E1 = - E1 I 1* = (240 - j40 ) mVA . Генератор развија активну снагу

PE1 = Re( S E ) = 240 mW > 0

(ради

1

QE1 = Im(S E ) = -40 mvar . 1

Комплексна

као снага

генератор) пријемника

и

реактивну у

тој

снагу

грани

је

S Z = Z 1I12 = (80 + j40) mVA , па је активна снага пријемника PZ1 = Re( S Z ) = 80 mW , а 1 1 реактивна снага пријемника QZ1 = Im(S Z ) = 40 mvar . Биланс снага у грани је 1 P1 = - PE1 + PZ1 , односно -160 mW = -240 mW + 80 mW , и Q1 = -QE1 + QZ1 , односно 80 mvar = 40 mvar + 40 mvar . Комплексна снага гране

2

је

S 2 = U AB I *2 = (960 - j1280) mVA = S Z = Z 2 I 22 , 2

активна снага је P2 = 960 mW = PZ 2 > 0 , а реактивна снага је Q2 = -1,28 var = QZ 2 . Грана у целини ради као пријемник.

172

Кола променљивих струја За грану 3 је S 3 = U AB I *3 = (- 1,92 + j1,36 ) VA , P3 = -1,92 W < 0 (грана у целини

ради као генератор) и SE = 3

E 3 I *3

Q3 = 1,36 var . Генератор

E3

развија комплексну снагу

= (8,84 - j1,36 ) VA и ради као генератор јер је PE3 = 8,84 W > 0 . Реактивна

снага коју развија тај генератор је QE3 = -1,36 var . Комплексна снага пријемника у трећој грани је S Z = Z 3 I 32 = 6,92 VA , па је PZ 3 = 6,92 W и QZ 3 = 0 . 3 Грана S4 =U

* AB I g

4,

са

идеалним

= (1120 - j160) mVA .

струјним

Струјни

генератором,

генератор

прима

прима

снагу

активну

снагу

PI g = 1,12 W > 0 и ради као пријемник. Реактивна снага коју прима струјни генератор је QI g = -0,16 var . По теореми одржања снаге, збир снага које примају све гране кола мора бити једнак нули, S 1 + S 2 + S 3 + S 4 = 0 , што је заиста испуњено. Који је метод погоднији за решавање кола са слике 232.1: метод потенцијала чворова или метод контурних струја? Зашто?

233. За коло са слике 233.1 познато је I g1 = 50(1 + j2 ) mΑ , I g4 = 40(1 + j1,5) mΑ , E 3 = - j60 V ,

E 5 = 10(7 + j3) V ,

E 7 = 10(3 + j) V ,

Z 1 = - j100 W ,

Z 2 = 400 W ,

Z 3 = 100(1 - j3) W , Z 5 = 150(3 - j) W , Z 6 = j500 W и Z 7 = - j250 V . Израчунати струје свих грана и комплексне снаге свих елемената кола.

Слика 233.1. РЕШЕЊЕ По методу потенцијала чворова, усвајајући чвор E E E I g1 + 3 + I g4 - 5 + 7 Z3 Z5 Z7 VA = = 20 V . 1 1 1 1 1 + + + + Z2 Z3 Z5 Z6 Z7

B

за референтни, је

4. Сложена кола простопериодичних струја

173

Комплексне струје грана, рачунате у референтном смеру од тачке A ка тачки B , су V - E3 V V + E5 I 2 = A = 50 mA , I3 = A = 40(- 4 + j3) mA , I5 = A = 40(4 + j3) mA , Z2 Z5 Z3 I6 =

V - E7 VA = - j40 mA и I 7 = A = 40(1 - j) mA . Z6 Z7

Напони идеалних струјних генератора су U g1 = U 1B = V A + Z 1 I g1 = 5(6 - j) V и U g4 = U AB = V A = 20 V , па су комплексне снаге које развијају струјни генератори SI

g1

= U g1 I *g1 = (1 - j3,25) VA и S I = U g 4 I *g4 = (0,8 - j1,2) VA . Комплексне снаге које g4

развијају SE = 5

идеални

E 5 I *5

примају

напонски

генератори

= (14,8 - j3,6) VA и S E = 7 пријемници

су

- E 7 I *7

2

= (4 - j12) VA , S Z = Z 5 I 5 5

SZ = Z7 I7 7

2

= - j0,8 VA .

SI

g1

2

3

= (-0,8 - j1,6) VA . Комплексне снаге које

S Z = Z 1 I g1 1

SZ = Z3 I3 3

S E = - E 3 I *3 = (7,2 - j9,6) VA ,

су

2

= - j1,25 VA ,

SZ = Z2 I2

2

2

= (18 - j6) VA , S Z = Z 6 I 6 6

2

= 1 VA ,

= j0,8 VA и

Као провера, збир комплексних снага које развијају генератори је + S I + S E + S E + S E = (23 - j19,25) VA и једнак је збиру комплексних снага g4

3

5

7

које примају пријемници, S Z + S Z + S Z + S Z + S Z + S Z = (23 - j19,25) VA . 1

2

3

5

6

7

234. У колу са слике 234.1 је E = (13 + j9 ) V , I g = j0,5 A ,

Z 1 = 100(1 + j) W ,

Z 3 = 10(3 - j) W ,

Z 4 = - j20 W

Z 2 = 10(7 + j) W , и

Z 5 = 40 W .

Израчунати (а) комплексне напоне свих грана кола и (б) комплексне снаге свих генератора. РЕШЕЊЕ (а) Једначине по методу потенцијала чворова за задато коло су: æ 1 1 ö 1 ç ÷ ç Z + Z ÷V1 - Z V 3 = Ig , 3ø 2 è 2 æ 1 1 ö 1 ç ÷ ç Z + Z ÷ V 2 - Z V 3 = -I g , 5ø 4 è 4 -

æ 1 1 1 1 1 ö E ÷V3 = V1 V 2 + çç + + . ÷ Z2 Z4 Z Z Z Z 2 4ø 1 è 1

Слика 234.1.

174

Кола променљивих струја Из ових једначина је V 1 = (3,8 + j7,4 ) V , V 2 = (2,8 - j7,6) V и V 30 = (9 - j9 ) V .

Одавде су напони грана U 12 = V 1 - V 2 = (1 + j15) V , U 13 = V 1 - V 3 = (- 5,2 + j16,4 ) V и U 23 = V 2 - V 3 = (- 6,2 + j1,4 ) V . (б) Струја

напонског

комплексне SI

g

= U 12 I *g

генератора

снаге

је

генератора

I 30 =

V3 - E = -(110 + j70 ) mA , Z1

S E = - E I *30 = (2,06 + j0,08) VA

па

су и

= (7,5 - j0,5) VA .

Који је метод погоднији за решавање кола са слике 233.1: метод потенцијала чворова или метод контурних струја? Z p , fp > 0 235. На слици 235.1 је приказана електрична шема за мерење резистансе Rp и реактансе

X p претежно индуктивног

пријемника. Отпорност R и капацитивност C се мењају све док струја индикатора (амперметра A ) не постане I a = 0 . Одредити изразе за Rp и X p сматрајући познатим w, R и С. РЕШЕЊЕ Грана са индикатором не садржи генератор, па је U 30 = 0 када је I a = 0 . Користећи се методом потенцијала чворова и узимајући чвор означен са 0 за референтни, добија се систем једначина æ 1 ö 1 1 E ç + + jwC ÷ V 1 - jwCV 2 V3 = , ç Zg Zp ÷ Zp Zg è ø æ1 ö - jwCV 1 + ç + 2 jwC ÷ V 2 - jwCV 3 = 0 , èR ø -

æ 1 1 1 ö÷ V 1 - jwCV 2 + ç + jwC + V =0. ç Zp Zp Za ÷ 3 è ø

Слика 235.1.

4. Сложена кола простопериодичних струја

175

D Изражено преко детерминанти, решење овог система једначина је U 30 = V 3 = 3 , где је D 1 1 + + jwC Zg Zp

- jwC

- jwC

1 + 2 jwC R

D=

-

1 Zp

-

1 Zp

- jwC

детерминанта

матрице

система

1 1 + jwC + Zp Za

- jwC

1 1 + + jwC Zg Zp

- jwC

E Zg

- jwC

1 + 2 jwC R

0

- jwC

0

линеарних једначина, а D 3 =

-

1 Zp

кофактор. Пошто је

ö æ ç - w2C 2 + 1 æç 1 + 2 jwC ö÷ ÷ = 0 . ç Zp è R ø ÷ø è Како је E ¹ 0 , јер за E = 0 не би било струје у колу, па ни могућности мерења, то је D ¹ 0 , то из услова U 30 = 0 следи D 3 = 0 , а одатле

E Zg

1 + 2 j wC 1 1 1 2 æ ö - w2 C 2 + . Резистанса ç + 2 jwC ÷ = 0 . Одавде је Z p = R 2 2 = 2 2 + j Zp è R wC w C w C R ø пријемника је Rp = Како је

1 2

2

w C R

, а реактанса је X p =

2 . wC

2 > 0 , то је метод применљив само за претежно индуктивне пријемнике wC

( f p > 0 ). Задатак се може решити и на други начин. Када се подеси да је I a = 0 , по првом Кирхофовом закону је

Z p , fp > 0

I2 = Ip

(слика 235.2). По обрасцу за струјни 1 I j wC разделник је I p = , па је 2 Zp + j wC æ ö ç ÷ ç ÷ 1 U 30 = I ç R ÷=0. 2 ö÷ 2 2æ ç çç Z p + ÷÷ w C ç jwC ø ÷ø è è

Како

Слика 235.2.

176

Кола променљивих струја

1 =0. æ 2 ö 2 2 ÷ w C çç Z p + jwC ÷ø è 1 2 = Rp + jX p , Одавде је Z p = 2 2 + j wC w C R 2 1 па је Rp = 2 2 и X p = . wC w C R

је I ¹ 0 , то је R -

Z4 236. За коло са I g = 25(- 2 + j5) mA , Z 2 = j20 W , Израчунати

слике 236.1 је E = (1+ j2 ) V ,

Z 3 = 80 W Z1

U 30 = (- 1,2 + j5,6) V .

и

1

0

Z 4 = - j40 W .

тако

да

РЕЗУЛТАТ Комплексна импеданса пријемника је Z 1 = 20(3 - j) W .

буде

Z2

E Ig

2

Z1

првог

Z3

3 Слика 236.1.

237. За коло са слике 237.1 познато је I g = j50 mA , Z 1 = 100(1 + j) W , Z 3 = j200 W ,

Z 4 = 300 W , Z 5 = (58 - j56 ) W и Z p = 50(3 + j4 ) W . Користећи се методом потенцијала

чворова, израчунати Z 2 тако да буде U p = (- 3,15 + j10,8) V . РЕЗУЛТАТ Тражена комплексна импеданса је Z 2 = - j600 W .

Слика 237.1.

238. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 238.1 познато је

L = 2 mH , w = 106 s -1 , E = 2 V и I g = 7 mA . Електромоторна сила идеалног напонског генератора и струја идеалног R1 = 1 kW ,

R2 = 2 kW ,

C1 = 1 nF ,

C2 = 2 nF ,

струјног генератора су у фази. Израчунати комплексне снаге ових генератора.

4. Сложена кола простопериодичних струја

177

Слика 238.1. РЕЗУЛТАТ Комплексна снага идеалног напонског генератора је S E = 0 , а комплексна снага идеалног струјног генератора је S I = (14 - j28) mVA . g

239. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 239.1 познато је w = 106 s -1 ,

I g = 10 mA ,

R1 = R2 = 100 W ,

L1 = 200 mH , L2 = 50 mH и C1 = C2 = 10 nF . Израчунати активну снагу отпорника R2 и реактивну снагу калема L2 .

Слика 239.1.

РЕШЕЊЕ Једначине

по методу потенцијала чворова ö æ 1 1 1 çç + V = Ig , + jwC1 ÷÷ V 1 - jwC1V 2 R j L j w L1 3 w 1 ø è 1

за

коло

са

слике

239.1

су

ö æ 1 - jwC1V 1 + çç jwC1 + + jwC 2 ÷÷ V 2 - jwC2 V 3 = 0 , jwL2 ø è ö æ 1 1 1 V 1 - jwC 2 V 2 + çç + + jwC 2 ÷÷V 3 = 0 . Заменом бројних вредности адмитанси jwL1 ø è R2 jwL1 у mS и струје у mA, добијају се једначине (10 + j5)V 1 - j10V 2 + j5V 3 = 10 , -

- j10 V 1 + 0V 2 - j10V 3 = 0

и

j5 V 1 - j10V 2 + (10 + j5)V 3 = 0 , где су потенцијали у

волтима. Сопствена адмитанса другог чвора је нула, што олакшава решавање система једначина. Из друге једначине је V 3 = -V 1 . Заменом у трећу добија се V 2 = jV 1 , па је из прве једначине V 1 = 0,5 V . Стога је V 2 = j0,5 V и V 3 = -0,5 V . 2

V Комплексна снага отпорника R2 је S R = 3* = 2,5 mVA , па је његова активна 2 R2 снага PR2 = 2,5 mW . Комплексна снага калема L2 је S L = 2 реактивна снага тог калема QL2 = 5 mvar .

V2

2

( jwL2 )*

= j5 mVA , па је

178

Кола променљивих струја

Уочимо да се троугао L1 - C1 - C2 не може трансфигурисати у еквивалентну звезду 1 1 јер је jwL1 + + = 0 , нити се звезда C1 - L2 - C2 може трансфигурисати у jwC1 jwC2 1 + jwC2 = 0 . еквивалентни троугао јер је jwC1 + jwL2

240. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 240.1 је E = 100 mV , w = 108 s -1 , L = 1mH и C = 100 pF . (а) Израчунати отпорност R тако да снаге отпорника буду једнаке. (б) Колика је при томе комплексна снага идеалног напонског генератора?

Слика 240.1. РЕЗУЛТАТ (а) Отпорност треба да буде R = 100 W . (б) Комплексна снага идеалног напонског генератора је S E = 50 mVA . 1 241. За коло простопериодичне струје са слике 241.1 познато је L = 30 mH , C = 0,5 mF , p X 1 = -400 W , Z 2 = 400 2 W и f 2 = . При 4 затвореном

прекидачу

П

је

I1 = 50 2 mA

C

I1 A E,

Z2

X1

и

2

U 21 = 10 V . Амперметар је идеалан. Израчунати прираштај средње снаге другог пријемника по отварању прекидача. РЕЗУЛТАТ Решавањем кола када је прекидач затворен, добија се да је ефективна вредност струје пријемника Z 2 , I 2 = 50 mA , па је његова средња снага P2 = 1 W .

2

П L 4

3 Слика 241.1.

Кружна учестаност је w = 10 4 s -1 . Када је прекидач отворен, средња снага пријемника Z 2 је P2¢ » 0,61 W , па је тражени прираштај снаге DP2 » -0,39 W .

4. Сложена кола простопериодичних струја

179

*242. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 242.1 је E = 2 V , w = 1010 s -1 , R1 = R2 = R3 = 50 W , L1 = L2 = 5 2 nH и C1 = C3 = 2 pF . Израчунати отпорност R4 и капацитивност C2 тако да снага отпорника R3 буде нула. Израчунати колике су при томе снаге отпорника R1 , R2 и R4 . РЕЗУЛТАТ Тражена отпорност је R4 = 100 W , а капацитивност C2 = 2 2 pF .

је

Снаге

отпорника су PR1 = 20 mW и PR2 = PR4 = 10 mW .

Слика 242.1.

**243. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 243.1 је E = 2 V , w = 10 9 s -1 , L1 = 50 2 nH и L2 = 100 nH . Израчунати отпорност R и капацитивност C тако да је снага отпорника везаног у чвор 3 једнака нули. Израчунати снаге свих осталих отпорника у том случају.

Слика 243.1. РЕШЕЊЕ Задато коло се може нацртати и као на слици 243.2. Једначине по методу потенцијала чворова за то коло гласе: Y 0V 1 -

V1 jwL1 V1 jwL2

V2 jwL1

-

V3 jwL2

+ Y 0V 2 + Y 0V 3 -

=

V4 jwL2 V4 jwL1

E , R

(243.1)

=0,

(243.2)

= 0,

(243.3)

180

Кола променљивих струја

-

V2

-

jwL2

V3 jwL1

+ Y 0V 4 = 0 ,

(243.4)

где је усвојено да је почетна фаза емс нула, а Y0 =

1 1 1 + + + jwC . R jwL1 jwL2

(243.5) 1

R

L2

L1

C E R

3

0

C

C

2

R C

L1

R

L2

4 Слика 243.2. Да би снага отпорника везаног у чвор 3 била нула, треба да буде V 3 = 0 . Из једначине Y 0V 2 = V2

(243.3)

V1 jwL1

+

V4 jwL2

је =

сада V1

2jwL1

,

L1 2 V1 = V . Из L2 2 1 V1 односно . V2 = 2jwL1Y 0

V4 =-

(243.2) Из

добија (243.4)

се је

2 , односно V 2 = -Y 0 jwL1V 1 . Да би ова два резултата била у 2 1 1 складу, мора бити - Y 0 jwL1 = , односно Y 0 = ± = ±10 mS . Из (243.5) се 2jwL1Y 0 2 wL1 jwL2

= Y 0 V 4 = -Y 0 V 1

1 види да је Re(Y 0 ) = > 0 . Стога у обзир долази само горњи знак, а тражена отпорност је R

4. Сложена кола простопериодичних струја

R = 100 W .

Из

(243.5)

следи

и

Im(Y 0 ) =

181 1 1 + + jwC = 0 , jwL1 jwL2

одакле

је

C = 10 (1 + 2 ) pF . E 2 Сада је V 2 = - jV 1 , па се из (243.1) добија V 1 = = 1 V . Снага отпорника 2 2 2 везаног у чвор 1 је PR (1) = 10 mW . Даље је V2 = V4 = V , па су снаге отпорника 2 везаних у чвор 2, односно чвор 4, PR ( 2) = PR ( 4) = 5 mW .

182

Кола променљивих струја

5. Теореме 5.1. Линеарност и суперпозиција 244. За коло са слике 244.1 позната је отпорност отпорника R1 = 1 kW и активна снага тог отпорника, PR1 = 2,5 W . Ако се ефективна вредност струје струјног генератора повећа за 10%, за колико процената ће се променити (а) ефективна вредност струје отпорника R1 и (б) активна снага тог отпорника?

Слика 244.1.

РЕШЕЊЕ У колу са слике 244.1 делује само једна побуда, па се на напоне и струје тог кола може применити теорема пропорционалности. Комплексна струја отпорника R1 ( I 12 ) пропорционална је струји струјног генератора, I 12 = a I g , где је a бездимензиона константна величина. Пропорционалност важи и између ефективних вредности струја I12 и I g , I12 = aI g , где је a = a модул константе пропорционалности. Пре повећања струје струјног генератора, ефективна вредност струје отпорника је I12 =

PR1 R1

= 50 mA . Када се ефективна вредност струје I g повећа за 10%, и ефективна

¢ = 55 mA . вредност струје I12 се повећа за 10%, на I12 Пропорционалност не важи за снаге, јер је снага пријемника сразмерна квадрату ефективне вредности струје. При повећању ефективне вредности струје генератора за 10%, активна снага отпорника се повећа за 21%.

5. Теореме

183

I коло са слике 245.1 познато је 1 R1 = R2 = wL = = 10 W , E = 20 V и I g = - j2 A . wC Израчунати струју I .

R1

1

L

245. За

Ig 2

C

R2 3

4

E

Слика 245.1. РЕШЕЊЕ На

суперпозиције је E I E , I g = I E , I g = 0 + I E = 0, I g = I ¢(E ) + I ¢¢ I g , где је I ¢(E ) = = (1 - j) A (слика R1 + jwL jwL 245.2) и I ¢¢ I g = I = (1 - j) A (слика 245.3), па је I = (2 - j2) A . R1 + jwL g

(

) (

основу

) (

)

теореме

( )

( )

Слика 245.2.

Слика 245.3.

Да ли би се теорема суперпозиције могла применити да су познате (а) само ефективне вредности емс Е и струје I g и (б) да је, осим ефективних вредности, позната и фазна разлика емс напонског генератора и струје струјног генератора?

246. За коло са слике 245.1 показати да се напон кондензатора може изразити као U 34 = a1 E + a 2 I g и одредити комплексне константне величине a1 и a 2 . РЕШЕЊЕ Ако усвојимо чвор 4 за референтни, једначине по методу потенцијала чворова за æ 1 1 ö 1 çç + ÷÷V 1 - V 2 = I g , V 2 = -E и коло са слике 245.1 гласе R1 è R1 jwL ø

184

Кола променљивих струја

E - Ig æ 1 ö R2 1 ç ÷ . Како је V + + jwC ÷V 3 = - I g . Из друге и треће једначине је V 3 = 1 R2 2 çè R2 ø + jwC R2 U 34 = V 3 , имамо U 34 = a2 = -

R2 I g 1 1 = -0,5 + j0,5 и E, па је a1 = 1 + jwR2C 1 + jwR2C 1 + jwR2C

R2 = (-5 + j5) W . 1 + jwR2C

1 = 10 W и E = E (1) = 2 V . wC електромоторна сила промени на

247. За коло слике 245.1 познато је R1 = R2 = wL = Израчунати E=E

( 2)

прираштај

струје

I

када

се

= j2 V .

РЕШЕЊЕ Прираштај електромоторне силе је D E = E ( 2) - E (1) = 2(-1 + j) V . На основу теореме линеарне зависности одзива од побуде, комплексна струја I се може приказати у облику I = a E + b , где је I ¢ = a E одзив на побуду идеалним напонским генератором, а I ¢¢ = b одзив на побуду струјним генератором. Одавде је D I = aD E , где је a=

1 = (50 - j50) mS . Стога је прираштај струје DI = j200 mA . R1 + jwL

5. Теореме

185

5.2. Компензација 248. За коло са слике 248.1 познато је Z 1 = 50(4 + j3) W , Z 2 = 25(1 + j4) W , Z 3 = - j150 W , Z 4 = 100 W , Z 5 = - j50 W и Z 6 = j50 W . По затварању прекидача P прираштај струје првог пријемника је DI 1 = 0,1(1 - j) A . Израчунати прираштај струје шестог пријемника, D I 6 .

Слика 248.1. РЕШЕЊЕ По теореми компензације, грана са прекидачем се може заменити струјним P отворен ì 0, компензационим генератором (слика 248.2) струје I gk = í (z) . На основу î I 7 , P затворен

(

)

теореме линеарне зависности одзива од побуде је D I 1 = I 1(z ) - I 1(о ) = I ¢1 I gk = I 7(z) = a I (z) 7 , где је a комплексна бездимензиона величина која зависи само од пасивних елемената у колу. Решавањем кола са слике 248.3 добија се I (z) 7 = -0,4 A и DI 6 = 0,1(- 4 + j5) A .

186

Кола променљивих струја

I gk = I 7(z)

Слика 248.3. Слика 248.2.

је

249. За коло са слике 249.1 познато Z 1 = 20(1 + j7 ) W , Z 2 = 40(3 - j2 ) W ,

Z 3 = 40(2 + j3) W и Z 4 = 20(7 - j9 ) W . При отвореном прекидачу P позната је струја I (о ) = 20 mA . Израчунати струју 1

I 1(z ) при затвореном прекидачу P . Слика 249.1. РЕШЕЊЕ На основу теореме компензације, формирано је коло са слике 249.2 за које је (o) ì E k = í- Z 1 I 1 , P отворен . По теореми суперпозиције је P затворен î 0,

(

)

(

)

I 1 E1, E 4 , I g , E k = I ¢1 E1, E 4 , I g + I ¢¢1 (E k ) ,

I ¢¢1 (E k ) = a E k .

а

по

теореми

пропорционалности

је

5. Теореме

187

У појединачним стационарним стањима у колу је ( ( ) о) о I 1 = I ¢1 E1, E 4 , I g + I ¢¢1 - Z 1 I 1 и

( ) ( ) I 1(z ) = I 1 (E1, E 4 , I g ) , па је прираштај

2

Z4

Ek

Z5

Z2

струје услед затварања прекидача P D I 1 = I 1(z ) - I 1(о ) = - I ¢¢1 - Z 1 I 1(о ) .

(

Z3

1

)

E1

Ig

E4

4

3 Слика 249.2.

На слици 249.3 је приказано коло у коме делује само компензациона емс E k = - Z 1 I 1(о ) = -0,4(1 + j7 ) V , па је I ¢¢1 = -D I 1 =

- Z 1 I 1(о ) = (10 - j30) mA . Струја Z 2 (Z 3 + Z 4 ) Z2 + Z3 + Z4

при затвореном прекидачу P је I 1(z ) = I 1(о ) + D I 1 = (10 + j30) mA . I ¢¢1 = -D I 1

Z3

E k = - Z 1 I 1(о )

Z4

Z5

Z2

Слика 249.3.

250. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 250.1 познато је w = 106 s -1 , R = 100 W , L = 300 mH , C1 = 10 nF и C2 = 5 nF . Реактивна снага калема L је QL = 3 kvar , ефективна вредност напона пријемника импедансе Z је U Z = 100 V , а тај p напон фазно заостаје за струјом генератора за . Израчунати (а) ефективну вредност 2 струје струјног генератора и (б) комплексну снагу тог генератора.

188

Кола променљивих струја

Слика 250.2.

Слика 250.1.

РЕШЕЊЕ (а) Претпоставимо да је почетна фаза струје струјног генератора једнака нули. Тада -j

p

је I g = I g , па је U Z = U Z e 2 = - j100 V . По теореми компензације, пријемник Z можемо заменити компензационим напонским генератором електромоторне силе E k = U Z , као на слици 250.2. За окца оријентисана као на тој слици, једначине по æ 1 1 ö 1 1 ÷÷ I k1 методу контурних струја гласе çç jwL + + I k2 + I = 0, jwC1 jwC 2 ø jwC1 jwC 2 k 3 è -

æ 1 1 ö ÷ I + R I k 3 = E k и I k 3 = I g . Сопствена импеданса прве контуре I k1 + çç R + jwC1 jwC1 ÷ø k 2 è

је jwL +

1 1 + = 0 , па из прве и треће једначине следи I k 2 = 2 I k 3 = 2 I g . jwC1 jwC 2

Заменом у другу једначину по методу контурних струја, добија се ææ ö 2 ö QL ÷÷ I g - E k ÷ . Како је I k1 =| I k1 |= I k1 = jwC1 ç çç 3R + = 10 A , то се одавде ç ÷ j w C wL 1ø èè ø добија квадратна једначина 13I g2 - 4 I g - 9 = 0 . Једно решење те једначине је I g(1) = 1 A , a 9 друго I g(2) = - A . Пошто мора бити I g ³ 0 , у обзир долази само прво решење, па је 13 тражена ефективна вредност струје струјног генератора I g = 1 A , одакле је I g = 1 A . ææ ö 2 ö ÷÷ I g - E k ÷ = (1 + j3) A , па је (б) Прва контурна струја је I k1 = jwC1 ç çç 3R + ç ÷ jwC1 ø èè ø напон идеалног струјног генератора (слика 250.2) U Ig = E k - jwL I k1 = (900 - j400) V , а комплексна снага струјног генератора је S I = (900 - j400) VA . g

Уочимо да се троугао L - C1 - C2 не може трансфигурисати у еквивалентну звезду 1 1 јер је jwL + + =0. jwC1 jwC 2

5. Теореме

189

*251. На слици 251.1 је приказано разгранато коло простопериодичне струје за које је w = 10 6 s -1 , R1 = 100 W , R = 300 W , L1 = 300 mH , C1 = 10 nF , C 2 = 5 nF , привидна снага калема индуктивности L1 S L1 = 3 kVA и ефективна вредност напона U 3 = 100 V . Напони U и U 3 су у фази. Израчунати активну снагу коју развија генератор емс E . Слика 251.1. РЕШЕЊЕ На основу теореме компензације, формирано је коло са слике 251.2, за које је E k = U 3 и I gк = jwCU = I 42 . За контуре са те слике, једначине по методу контурних струја

су

æ 1 1 ö ÷ I + R1 I III = E k I + ç R1 + jwC1 I çè jwC1 ÷ø II

æ 1 1 ö 1 1 ÷÷ I I + jçç wL1 I II I =0, j w j w w C w C C C 2 III 1 2ø 1 è I III = I gk .

и

Замењујући бројне

вредности

величина у SI систему јединица, добија се - I II + 2 I III = 0 , - jI I + (1 - j)I II + I III =

Ek 100

I III = I gk . (Сопствена импеданса прве контуре је нула.) Текстом задатка није прецизиран почетни тренутак, па се може усвојити почетна фаза једне простопериодичне величине. Усвајајући да је почетна фаза напона U , qU = 0 , добија се U = U , па је тада

E k = U 3 = U 3 = 100 V

L1

1

2

II C1

C2

3

и

I gk = jwCU = jwCU = jI gk . Из прве и треће једначине по методу контурних струја је I II = 2 I III = j2 I gk . Из

III

IIII

Ek

R1

друге једначине је jI I = j3I gk + 2 I gk - 1 . Из привидне снаге калема L1 , S L1 = wL1 I I2 , је S I I2 = L1 = 10 A 2 . wL1

4

Igk

и

190

Кола променљивих струја Слика 251.2.

(

(

)

) (

)

Из једначине jI I = 2 I gk - 1 + j3I gk произилази 2 I gk - 1 2 + 3I gk 2 = I I2 , односно 2 (1) = 1 A и I (2) = - 9 A . Физички могуће 13I gk - 4 I gk - 9 = 0 . Решења ове једначине су I gk gk 13

решење је I gk = 1 A (јер ефективна вредност не може бити негативна), па је I gk = j A . Напон струјног компензационог генератора је U 24 = E k + jwL1 I I , где је, из друге

једначине по методу контурних струја, I I = (3 - j) A . Стога је U 24 = 100(4 + j9 ) V . Комплексна SI

gк

= U 24 I *gk

( )

снага

коју

= 100(9 - j4 ) VA .

развија Активна

компензациони снага

коју

струјни

развија

генератор

је

E

је

генератор

2 PE = Re S I gk + RI gk = 1,2 kW .

252. За коло простопериодичне струје приказано на слици 252.1 је E = (10 - j20) V и Z 1 = (400 - j300) W . Када је прекидач П отворен, тада је I 1o = -(10 + j20) mA и I o4 = - j8 mA . Израчунати комплексну струју четвртог пријемника после затварања прекидача П. Слика 252.1. РЕШЕЊЕ На основу теореме компензације, део кола који се састоји од идеалног напонског генератора, пријемника Z1 и прекидача, може се заменити компензационим напонским генератором, као на слици 252.2. Електромоторна сила генератора је E ok = E - Z 1 I 1o = (20 - j15) V када је прекидач П отворен, а E zk = E = (10 - j20) V затворен.

када је прекидач

Z3 Z4 Ek

Z2

Z5

I4

Z7

Z8

Z6 Слика 252.2.

На основу теореме пропорционалности је I 4 = a E k , па је струја при затвореном прекидачу I z4 =

E zk E ok

I o4 = (-3,2 - j6,4) mA .

Колика је струја I 1z ?

5. Теореме

191

253. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 253.1 познато је I g1 = 60(2 + j) mA , E 3 = - j30 V ,

E 4 = 10(3 + j2) V ,

Z 1 = j500 W ,

Z 3 = 200(3 - j4) W ,

Z 4 = 100(3 + j20) W , Z 5 = 100(3 + j4) W и прираштај комплексне снаге коју развија идеалан струјни генератор I g1 по пребацивању преклопника П из положаја (1) у положај (2) D S I = 0,6(-3 + j4) VA . Израчунати g1

Слика 253.1.

комплексну струју I g2 . РЕЗУЛТАТ Комплексна струја струјног генератора је I g2 = -(80 + j40) mA .

254. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 254.1 је E = (100 - j100) V ,

w = 103 s -1 ,

L = 10 mH , C = 100 mF и R1 = R2 = 5 W , а прекидач П је отворен. Затим се прекидач затвори и успостави се нови устаљени режим, у коме је позната струја I C = j A .

Слика 254.1.

Израчунати прираштај комплексног напона U 2 од устаљеног режима када је прекидач отворен, до устаљеног режима када је прекидач затворен. РЕЗУЛТАТ Прираштај комплексног напона је DU 2 = (2,5 - j2,5) V .

255. За коло са слике 255.1 познато је Z 3 = 200(3 - j4 ) W , Z 4 = 100(3 + j20 ) W ,

Z 5 = 100(3 + j4 ) W , Z = 100(2 + j5) W и I g 2 = -10(2 - j) mA . Прекидач П је отворен и у

колу је успостављен простопериодичан режим. По затварању прекидача P и успостављању новог простопериодичног режима, познат је прираштај напона DU 14 = (4 + j3) V . Израчунати комплексну снагу коју развија струјни генератор I g 2 по затварању прекидача P .

192

SI

g2

Кола променљивих струја

РЕЗУЛТАТ Тражена снага = (240 + j20 ) mVA .

Ig1

Z5

1

Z1

4

је

E2

2

3

П Z Z4

5

E6

Z2

Ig2

6

Z3 Слика 255.1. Z2

*256. За коло простопериодичне струје приказано на слици 256.1 је E1 = (60 + j80) V , Z 2 = 25 W , и

Ig Z6

Z 7 = - j100 W . Када је

прекидач П затворен, познат је комплексни напон U 13 = (25 + j22,5) V .

1

Прираштај комплексног напона U 32 по отварању прекидача DU 32 = (10 - j25) V .

Z5

E6

Z 3 = - j150 W , Z 4 = 100 W , Z 5 = - j50 W , Z 6 = j50 W

Z7

2

Z3 Z1

Z4

4 П

П је Израчунати

комплексну импедансу Z 1 .

3

E1 Слика 256.1.

РЕЗУЛТАТ Комплексна импеданса је Z 1 = (200 + j150) W .

5.3. Тевененова и Нортонова теорема 257. У колу приказаном на слици 257.1 је E = 10 V , w = 1000 s -1 , q E = p / 4 , Ig = 2 A , y Ig = - p / 2 , R = 10 W , L = 10 mH и C = 100 mF . Израчунати параметре Тевененовог генератора за прикључке А и В.

5. Теореме

193 C

L A

E

R

Ig

C B

Слика 257.1. РЕЗУЛТАТ 1 ö æ Импеданса редне везе L - C је Z LC = j ç wL ÷ = 0 , а мрежа се понаша само као wC ø è идеални

напонски

генератор

електромоторне

E = 10e jp / 4 V .

силе

Стога

је

електромоторна сила Тевененовог генератора је E TBA = E = 10e jp / 4 V , а импеданса је Z TAB = 0 .

258. У мрежи простопериодичне

струје

са

слике

258.1 је

Ig = -j A

и

1 = 10 W . Нацртати Тевененов генератор за ову мрежу и израчунати његове wC параметре. R=

Слика 258.1.

Слика 258.2.

РЕЗУЛТАТ Тевененов генератор је приказан на слици 258.2, а његови параметри су E T = (-4 + j2) V и Z T = (2 - j6) W .

259. За коло са слике 259.1 познато је Z 1 = 10 W , Z 2 = 30 W , Z 3 = - j10 W ,

Z 4 = j50 W и Z = 5(1 + j2 ) W . Идеални амперметар A показује ефективну вредност струје I = 4 mA . Израчунати ефективну вредност струје струјног генератора I g .

194

Кола променљивих струја

Слика 259.1.

Слика 259.2.

РЕШЕЊЕ На слици 259.2 је приказано коло без гране са амперметром, у односу на коју ћемо применити Тевененову теорему. Напон празног хода је Z 1 (Z 2 + Z 3 ) - Z 3 (Z 1 + Z 4 ) U ¢ AB = I g , па је E T = U ¢ AB = I g × 2,5(- 1 + j) W . Када се Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 анулира

дејство

струјног

генератора

Z T = Z ¢ AB =

(Z 1 + Z 3 )(Z 2 + Z 4 ) = 2,5(5 - j3) W .

( I g = 0 ),

добија

се

Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4

Са слике 259.3 је ET -3 + j4 I= = I g , па је ефективна ZT + Z 25 вредност струје струјног генератора 25 I Ig = I g = = 20 mA . - 3 + j4

Слика 259.3.

260. Напон између тачака А и В једног кола простопериодичне струје мери се волтметром чија је улазна импеданса чисто капацитивна и износи Z V = - j10 kW . Волтметар показује ефективну вредност напона U ¢ = 20 kV . Колика је ефективна вредност напона U AB када се волтметар уклони, ако је еквивалентна импеданса кола између тачака А и В једнака Z = j5 kW ?

5. Теореме

195

РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност напона је U AB = 10 kV .

*261. За коло простопериодичне струје приказано на слици 261.1 познато је E = (13 + j9) V , I g = - j0,15 A , Z 1 = (100 + j100) W , Z 2 = (30 - j10) W , Z 3 = (70 + j10) W , Z 4 = 40 W , Z 5 = - j20 W и w = 10 4 s -1 . (а) Израчунати комплексну снагу идеалног струјног генератора када је прекидач П отворен. (б) Израчунати капацитивност кондензатора тако да после затварања прекидача П идеални струјни генератор развија само реактивну снагу.

Слика 261.2.

Слика 261.1. РЕШЕЊЕ Задатак се може решити увођењем Тевененовог генератора у односу на тачке 2 и 4. Електромоторна сила Тевененовог генератора се добија на основу шеме са слике 261.2. E Z1 По методу потенцијала чворова је U 31 = = (3 - j) V , па је напон 1 1 1 + + Z1 Z 2 + Z 3 Z 4 + Z 5 æ Z2 Z4 ö ÷ U 31 = -(2 + j) V = E T . празног хода између тачака 2 и 4, U 24 = çç ÷ è Z2 + Z3 Z4 + Z5 ø

196

Кола променљивих струја Z1 Z2

1

2

Z3

Z4

3 Z5

Ze

4

Слика 261.3. Слика 261.4. Импеданса Тевененовог генератора једнака је еквивалентној импеданси мреже са слике 261.3. Трансфигурацијом троугла који чине пријемници Z1 , Z 2 и Z 3 у звезду, добија се мрежа као на слици 261.4, у којој је Z8 =

Z2Z3 = (8 - j6) W Z1 + Z 2 + Z 3

и

Z9 =

Z7 =

Z1Z 2 = 20 W , Z1 + Z 2 + Z 3

Z 3Z1 = (40 + j20) W , Z1 + Z 2 + Z 3

па

је

Z 24 = Z 8 Å (Z 7 Å Z 4 ) || (Z 9 Å Z 5 ) = (32 - j6) W = Z T .

(а) Када је прекидач П отворен, уместо кола са слике 261.1, сада имамо коло са слике 261.5. Напон струјног генератора је U o = Z T I g + E T = -(2,9 + j5,8) V , па је комплексна снага коју развија струјни генератор S go = U o I *g = (0,87 - j0,435) VA .

Слика 261.5.

Слика 261.6.

(б) При затвореном прекидачу задато коло се може заменити колом са слике 261.6, у ET + Ig ZT коме је U z = U 24 = . У SI систему, активна снага коју развија струјни 1 + jwC ZT 0,87(1 - 10wC ) . Услов PI g = 0 је задовољен ако је 1 + 12wC + 1060w2C 2 1 - 10wC = 0 , односно C = 10 mF .

(

)

генератор је Pgz = Re U z I *g =

5. Теореме

197

**Друга могућност је да 1 + 12wC + 1060w2C 2 ® +¥ , односно C ® +¥ , при чему је струјни генератор кратко спојен, па је тада S gz = 0 .

262. За коло са слике 262.1 познато је Ig = jA , Z 1 = 100(1 + j) W ,

Z 2 = 10(7 + j) W ,

Z 3 = 10(3 - j) W ,

Z 4 = - j20 W и Z 5 = 40 W . Израчунати емс E 1 тако да струјни генератора развија

снагу S I g = 6(5 - j) VA . РЕЗУЛТАТ

Тражена емс је E1 = (- 2 + j14) V . Слика 262.1.

263. У колу Z 1 = Z 2 = 200 W ,

са

слике 263.1 је Z 3 = Z 4 = j100 W ,

Z p = 20(1 - j3) W и I p = I 24 = 0,1(1 + j2 ) A .

Израчунати електромоторну силу E . РЕЗУЛТАТ

Тражена емс је E = 10(3 - j) V .

Слика 263.1.

264. Израчунати параметре Нортоновог генератора за мрежу приказану на слици 264.1 ако је I g1 = j2 A , ig 2 (t ) = 2 2 cos wt A ,

Z1 = 10 W , фактор

снаге k1 = 0,8 , а пријемник је претежно капацитиван, и Z 2 = (8 + j6) W .

198

Кола променљивих струја Слика 264.1.

РЕЗУЛТАТ Параметри Нортоновог генератора су I gN21 = (1,75 + j1,75) A и Y N = 62,5 mS .

C

265. У колу приказаном на слици 265.1 је E = - j10 V , w = 10 4 s -1 , L = 10 mH и C = 1mF . Израчунати комплексну струју отпорника.

E

1 I

РЕШЕЊЕ L R Усвојимо чвор 2 за референтни. На основу метода 2 æ 1 1ö + ÷÷ V 1 = jwC E . На потенцијала чворова је çç jwC + Слика 265.1. j wL R ø è 1 основу задатих података је wC = , па је V 1 = jwRC E . wL V Струја отпорника је I = 1 = jwC E = 100 mA и не зависи од R отпорности R. Струја отпорника се може одредити и заменом остатка кола у односу на отпорник R Нортоновим генератором. Струја кратког споја између чворова 1 и 2 је I ks = jwC E . Еквивалентна импеданса између прикључака 1 и 2 је бесконачна. Стога се, у односу на отпорник, остатак кола понаша као идеалан струјни генератор. Да ли се струја отпорника може одредити применом Тевененове теореме? Читаоцу се препоручује да задатак реши и тако што ће грану E - C трансфигурисати у реалан струјни генератор.

266. У колу приказаном на слици 266.1 је I g = 10 mA , w = 10 4 s -1 , L = 10 mH и C = 1mF . Израчунати комплексни напон отпорника. РЕЗУЛТАТ Комплексни U = jwL I g = j1 V .

напон

отпорника

је

Слика 266.1.

267. За мрежу са слике 267.1 је Z 1 = j12 W , Z 2 = - j8 W , Z 3 = - j10 W , Z 4 = j10 W и R = 20 W , а активна снага отпорника је PR = 80 W . Израчунати ефективну вредност прикљученог напона U .

5. Теореме

199

Слика 267.2.

Слика 267.1. РЕШЕЊЕ Ефективна вредност струје отпорника је I R =

PR =2A. R

У односу на отпорник R, остатак кола се не може заменити Тевененовим генератором, јер су параметри тог генератора бесконачни. Замењујући напон U компензационим генератором, према слици 267.2, напон празног хода је æ Z3 Z1 ö ÷ U ® ¥ јер је Z 3 + Z 4 = 0 . Уочимо да је и струја I 3 E T = U ¢ AB = çç ÷ è Z 3 + Z 4 Z1 + Z 2 ø бесконачна, I 3 =

U ® ¥ . Унутрашња импеданса Тевененовог генератора ( Z T ) је Z3 + Z4

Z Z Z Z такође бесконачна, Z T = Z ¢ AB = 1 2 + 3 4 ® ¥ . Z1 + Z 2 Z 3 + Z 4 Међутим, за прикључке А и В се може наћи Нортонов генератор. Адмитанса тог 1 генератора је Y N = = 0 , па је Нортонов генератор идеалан. Струја Нортоновог ZT генератора једнака је струји кратког споја између прикључака А и В, I gN = I ks (слика U 267.3). Струја компензационог генератора је I = . На основу (Z 1 || Z 3 ) Å (Z 2 || Z 4 ) једначине

струјног

разделника

æ Z3 Z4 I ks = I 1 - I 2 = çç è Z1 + Z 3 Z 2 + Z 4

је

I1 =

Z3 I Z1 + Z 3

и

I2 =

Z4 I, Z2 + Z4

па

је

ö U ÷ = Y e U , где је Y e = - j0,1 S . Струја ÷ Z1Z 3 Z2Z4 ø + Z1 + Z 3 Z 2 + Z 4

отпорника у колу на слици 267.1 је I R = I AB = I gN = I ks , па је I R = Ye U , одакле је U = 20 V .

200

Кола променљивих струја Z1

I1

I2

Z2

A Iks B Z3

I3

I

I4

Z4

Ek=U Слика 267.3.

Слика 267.4.

Задато коло (слика 267.1) може се решити и применом метода контурних струја. За независне контуре са слике 267.4 систем једначина по том методу гласи:

(R + Z 2 + Z 4 )I I + (Z 2 + Z 4 )I II + Z 4 I III = 0 , (Z 2 + Z 4 )I I + (Z 1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 )I II + (Z 3 + Z 4 )I III = 0 , Z 4 I I + (Z 3 + Z 4 )I II + (Z 3 + Z 4 )I III = U ,

при чему је I I = I R . Заменом бројних вредности познатих величина у SI систему јединица и решавањем система једначина добија се j10 I R = U , па је U = U = j10 I R = 20 V .

268. За

коло

Z 2 = 50(3 - j4 ) W ,

са

слике

268.1

Z 3 = 50(3 - j2 ) W ,

познато

I g = 0,16(1 - j3) A ,

је

Z 4 = j50 W ,

Z 5 = 100 W ,

E 5 = j200 V . Израчунати ефективну вредност струје другог пријемника. 1

Z2

2

Z4 Ig

Z5

Z1 E4

4

Z3 Слика 268.1.

E5

3

Z 1 = j100 W ,

E 4 = 100 V

и

5. Теореме

201

РЕШЕЊЕ 1 I2

Z2

2

Ee1

Ze2

Z1

Ee2

4

3

Z3 Слика 268.2.

Применом трансфигурација на основу Тевененове теореме, добија се коло са слике E Z + E6 Z 4 E e2 = 4 5 и E e1 = Z 1 I g = 16(3 + j) V , =0 268.2, за које је Z4 + Z5 Z e2 = I2 =

Z4Z5 = 20(1 + j2 ) W . Z4 + Z5

Комплексна

E e1 + E e 2 = 0,1(1 + j) A , Z 1 + Z 2 + Z e2 + Z 3

па

је

струја тражена

другог ефективна

пријемника вредност

је струје

I 2 = 0,1 2 A . Z2 269. За коло познато је E 4 = 0,6(1 + j) V ,

Z 1 = 4(3 + j) W ,

Z 3 = 8(2 - j) W ,

Z 5 = 12(2 - j) W .

Нортоновом струју I 5 .

са слике 269.1 I g = 50(2 + j) mA ,

E 5 = 40(7 - j) mV , Z 2 = 8(4 + j3) W ,

Z 4 = 20(1 + j) W

и

Користећи

се

теоремом,

израчунати

I5 Z4

Ig

Z5

Z1 E4

E5

Z3 Слика 269.1.

РЕШЕЊЕ Карактеристике Нортоновог генератора према грани 5 одређују се на основу шема на сликама 269.2 и 269.3. Нортонов генератор је приказан на слици 269.4. Са слике 269.2 Z1 E је I gN = I g + 4 = 10(5 + j) mA . Са слике 269.3 је Z1 + Z 2 + Z 3 Z4

202

ZN =

Кола променљивих струја Z 4 (Z 1 + Z 2 + Z 3 ) = 4(4 + j3) W . Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4

суперпозиције, I 5 =

Z N I gN - E 5 Z N + Z5

Према

слици 269.5 је,

применом

= 10(1 + j2 ) mA .

Слика 269.2.

Слика 269.3.

Слика 269.4. Слика 269.5.

270. За коло простопериодичне струје са слике 270.1 познато је I g = (7 + j9 ) mA , E 4 = 0,6(1 + j) V , E 5 = 40(7 - j) mV ,

Z 4 = 20(1 + j) W

Z 3 = 50 W ,

и Z 5 = 12(2 - j) W .

Израчунати струје у делу кола десно од тачака А и В.

Слика 270.1.

теореме

5. Теореме

203

РЕШЕЊЕ На слици 270.2 је приказан део кола лево од тачака А и В. Уочимо да је импеданса Тевененовог генератора је бесконачна, па се за ту мрежу не може формирати Тевененов генератор.

Слика 270.3. Слика 270.2. Комплексна адмитанса Нортоновог генератора за мрежу са слике 270.2 је Y N = Y AB = 0 , а струја Нортоновог генератора је I gN = (I ks )AB = I g = (7 + j9 ) mA . Нортонов генератор постоји у посматраном случају и идеалан је струјни генератор. Заменом дела кола лево од тачака А и В са слике 270.1 Нортоновим генератором, добија се коло као на слици 270.3. Примењујући суперпозицију, за коло са слике 270.3 је Z 4 I gN + E 4 - E 5 I 5 = I ¢5 I gN + I ¢¢5 (E 4 ) + I ¢¢¢5 (E 5 ) , односно I 5 = = 10(1 + j2 ) mA . По Z4 + Z5

( )

првом Кирхофовом закону је I 4 = I gN - I 5 = -(3 + j11) mA .

**271. За коло са слике 271.1 познато је E 1 = (13 + j9 ) V , I g = j0,5 A , Z 1 = 100(1 + j) W ,

Z 2 = 10(7 + j) W , Z 3 = 10(3 - j) W , Z 4 = - j20 W и Z 5 = 40 W . Израчунати комплексне струје свих грана кола применом Тевененове теореме и теореме суперпозиције.

РЕШЕЊЕ На слици 271.2 је приказано коло после раскидања прве гране. При раскидању гране кола треба водити рачуна о томе да у остатку кола струје и напони не постану бесконачни, јер би то онемогућило одређивање Тевененовог генератора према тачкама прекида гране.

Слика 271.1.

204

Кола променљивих струја

После кидања једне гране коло се, обично, драстично редукује, што олакшава Ig (Z 2 + Z 4 )I g = = j250 mA , решавање кола. Према слици 271.2 је (I 3 )ph = Z2 + Z3 + Z4 + Z5 2

(I 5 )ph = -(I 3 )ph , (I 2 )ph = - I g + (I 3 )ph = -

Ig

= - j250 mA , (I 4 )ph = -(I 2 )ph и (I1 )ph = 0 . 2 Напон између тачака прекида је I (U AB )ph = - E1 + Z 3 (I 3 )ph + Z 2 (I 2 )ph = - E1 + (Z 3 - Z 2 ) g = -(8 + j19) V . 2 Z1

А

Z2

2

E

B

(I1)0 1

(I2)0

Z3 (I3)0

(I4)0

(I5)0

4

Z4

Z5

Слика 271.3. Слика 271.2. На слици 271.3 је приказано коло у коме делује само генератор емс -E E = E AB = (U AB )ph . У том колу је (I 1 )0 = = (110 + j70 ) mA , ( Z 2 + Z 3 )(Z 4 + Z 5 ) Z1 + Z2 + Z3 + Z4 + Z5 (Z 4 + Z 5 )(I1 )0 (I 2 )0 = (I 3 )0 = = (40 + j10) mA и (I 4 )0 = (I 5 )0 = (I1 )0 - (I 2 )0 = (70 + j60) mA . Z2 + Z3 + Z4 + Z5 По

теореми

суперпозиције

I 1 = (I 1 )ph + (I 1 )0 = (110 + j70 ) mA ,

је

I = (I )ph + (I )0 ,

I 2 = (40 - j240) mA ,

I 4 = (70 + j310) mA и I 5 = (70 - j190) mA .

па

су

струје

грана

I 3 = (40 + j260) mA ,

272. Од n = 30 једнаких реалних струјних генератора, сваки комплексне струје I g = 60 mA и комплексне унутрашње адмитансе Y g = (80 - j60) mS , везано је по p у паралелу, а затим су ове паралелне групе генератора везане редно и прикључене на отпорник отпорности R = 9 kW . Израчунати p тако да ефективна вредност напона пријемника буде највећа и одговарајућу снагу.

5. Теореме

205

РЕЗУЛТАТ nRI g

Ефективна вредност напона пријемника је U =

и има

2

(

)

ö æn çç + pRGg ÷÷ + pRBg 2 p ø è максимум за p = 6 . При томе је Pmax =

2 U max » 299,5 W . R

273. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 273.1 је Z 1 = 200(1 + j) W , Z 2 = 10(3 - j4) W и Z 3 = 100 W . Када је преклопник П у положају (0), позната је струја I 3(0) = -

40 (15 + j48,5) mA . Када је преклопник П у положају (1), 13

познато је I 3(1) = - j340 mA . Израчунати струју I 3( 2) када је преклопник у положају (2).

Слика 273.1. РЕЗУЛТАТ Тражена струја је I 3( 2) =

)

(

Z1 + Z 3 I (0) - I 3(1) + I 3(1) = (40 - j260) mA . Z1Z 3 3 Z1 + Z 3 + Z2 I1

274. За коло са слике 274.1 је Z 1 = 20(1 + j7 ) W , Z 2 = 40(3 - j2 ) W , Z 3 = 80 W ,

Z 5 = 20(7 - j9 ) W ,

Z 4 = j120 W , Z 6 = 500 W

и

E 1 = 5(1 - j) V . Када је преклопник

P

у положају

(1) ,

преклопника P у положај (2 ) ?

Z3

2

Z1 П (1)

Z5

A (2)

B

Z6

Z2 E5

E1

струја првог

пријемника је I 1 = 20(1 + j2,5) mA . Колика је активна снага генератора емс E1 по пребацивању

1

4

Z4 Слика 274.1.

Ig

3

206

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ Део кола са преклопником P и генератором E1 може се заменити компензационим

напонским

генератором

емс

Ek ,

као

на

слици

274.2.

При

овоме

је

Када

је

ìï E (1) = 0, P у (1) E k = í (k2) . ïî E k = E1 P у (2 ) Z3

I1

Z1 A

Z5

Z6

Z2 Ek

E5

B

Ig

Z4

Слика 274.3.

Слика 274.2. Применом

суперпозиције

је

(

)

(

)

I 1 E 5 , I g , E k = I ¢1 E 5 , I g + I ¢¢1 (E k ) .

(

)

( )

преклопник у положају (1) , тада је I 1(1) = I ¢1 E 5 , I g + I ¢¢1 Ek(1) , а када је у положају (2 ) ,

(

)

( )

( 2) I 1(2 ) = I ¢1 E 5 , I g + I ¢¢1 Ek . На основу теореме пропорционалности је I ¢¢1 (E k ) = a E k , где је a комплексна величина (по природи адмитанса) која зависи само

тада

је

( )

од пасивних елемената у колу, па је I ¢¢1 Ek(1) = 0 јер је Ek(1) = 0 . Прираштај струје због

( )

промене емс компензационог генератора је D I 1 = I 1(2 ) - I 1(1) = I ¢¢1 Ek( 2) = I ¢¢1 (E1 ) .

На слици 274.3 је приказано коло у коме делује само генератор E1 , при чему је Z (Z + Z 4 + Z 5 ) E1 Ze = 2 3 = 40(2 - j) W , па је D I 1 = = - j50 mA . Сада је Z2 + Z3 + Z4 + Z5 Z1 + Z e

( )

2 2 * I 1( ) = 20 mA , те је PE1 = Reæç E1 I 1( ) ö÷ = Re(100(1 - j) mVA ) = 0,1 W . è ø Задатак се може решити и на други начин, применом Тевененове теореме и теореме компензације. Комплексна импеданса Тевененовог генератора на слици 274.4 је Z T = Z e + Z 1 = 100(1 + j) W . Када је прекидач

у положају (1), односно када је E (k1) = 0 , тада је I 1(1) =

-E T , па је E T = - Z T I 1(1) . Када је ZT

прекидач у положају (2), тада је E (k2) = E1 , па

5. Теореме

207

E - ET E 2 = 1 + I 1(1) = 20 mA I 1( ) = 1 ZT ZT PE1 = 0,1 W .

је

Слика 274.4.

и

*275. За коло простопериодичне струје са слике 275.1, прекидачима П , П1 и П 2 се успостављају различита стања. (1) Када је прекидач П затворен, а прекидачи П1 и П 2 отворени, познати су струја I ¢ AB = 1 A и напон U ¢12 = 5(2 + j) V . (2) При отвореним прекидачима П и П 2 , а затвореном прекидачу П1 , познати су напони U ¢¢ AB = 10(2 - j) V и U ¢¢12 = (8 + j) V . (3) Када се, при отвореном прекидачу П и затвореном прекидачу П1 , затвори и прекидач П 2 , у коло се укључује пријемник адмитансе Y 2 = 20(1 - j2) mS и успостави напон U ¢¢¢12 = (12 + j) V . Израчунати ефективну вредност струје струјног генератора, I g .

Слика 275.1. РЕШЕЊЕ Део кола десно од мреже N може се, по теореми компензације, заменити компензационим напонским генератором, као на слици 275.2. Емс тог генератора је ì 0, П затворен ï Е k = íU ¢¢ AB , П и П 2 отворени, П1 затворен . ïU ¢¢¢ î AB П отворен, П1 и П 2 затворени По теореми линеарне зависности одзива од побуде, за коло на слици 275.2 је m U 12 = а Е k + U 12 , где je

m U 12

последица

дејстава свих генератора у мрежи N, док је а је бездимензиона комплексна константа.

1

2

N

A

Разграната мрежа са генераторима

Ek B

Слика 275.2.

208

Кола променљивих струја

Мрежа N се, у односу на остатак кола десно од те мреже, може заменити Нортоновим генератором, чиме се добија коло као на слици 275.3. Струја Нортоновог генератора је I gN = I ksAB = I ¢ AB = 1 A . m У првом устаљеном стању, када је прекидач П затворен, је U ¢12 = U 12 = 5(2 + j) V ,

јер је тада Е k = U ¢ AB = 0 .

Слика 275.3. У другом устаљеном стању, када су отворени прекидачи П и П 2 , а затворен прекидач

П1 , по методу потенцијала чворова је

U ¢¢ AB =

I gN + I g 1 1 + Z N Z1

. Тада је

m U ¢¢12 = аU ¢¢ AB + U 12 .

У трећем устаљеном стању, при отвореном прекидачу П , а затвореним I gN + I g m . прекидачима П1 и П 2 , је U ¢¢¢ AB = и U ¢¢¢12 = аU ¢¢¢ AB + U 12 1 1 + +Y2 Z N Z1 Из Ig =

ових

једначина

је

U ¢¢¢ AB =

U ¢¢¢12 - U ¢12 U ¢¢ AB = 10(2 + j) V U ¢¢12 - U ¢12

и

Y 2U ¢¢ AB U ¢¢¢ AB - I gN = j0,5 A . Ефективна вредност струје струјног генератора је U ¢¢ AB - U ¢¢¢ AB

I g = I g = 0,5 A .

5. Теореме

209 Z 1 = 50(1 + j) W ,

276. За коло простопериодичне струје на слици 276.1 је

Z 2 = - j10 W , Z 3 = 10(1 + j3) W , Z 4 = 10 W , Z 5 = j10 W , Z 7 = - j50 W и E 6 = - j30 V . При затвореном прекидачу П познат је напон U 23 = 0 . Израчунати комплексну импедансу Z 6 тако да при отварању прекидача П прираштај комплексног напона између тачака 1 и 2 буде DU 12 = (8,48 + j3,36) V .

Слика 276.1. РЕЗУЛТАТ Тражена импеданса је Z 6 = (30 + j40) W .

5.4. Премештање генератора 1 *277. На слици 277.1 је приказано коло простопериодичне струје за које је познато E1 = (20 + j20) V , I g = j0,2 A , Z 1 = (400 - j400) W , Z 2 = (100 - j100) W , Z 3 = (100 + j300) W , Z 4 = (160 - j120) W

и Z 5 = j40 W . Израчунати комплексне

E1

Z5

Z3 2

Z1

4 Ig

Z2

снаге које развијају идеални генератори. 3

Z4

Слика 277.1. РЕШЕЊЕ Ради израчунавања снаге генератора потребно је израчунати струју напонског генератора и напон струјног генератора. На слици 277.2 је приказано коло после премештања генератора. При том премештању, струје грана кола се нису промениле. Међутим, променили су се напони између чвора 1 и осталих чворова у колу, па је зато горњи чвор означен са 1' .

210

Кола променљивих струја

1'

E1 Z5

E1

Z3 Z1 2 Z2

Ig

Ig

3

4

Z4 Слика 277.2.

Даљим трансфигурацијама добија се коло на слици 277.3. При томе је E 2 = Z 2 I g - E1 = 0 и E 3 = E1 + Z 4 I g = (44 + j52) V . Према слици 277.3 је I5 =

E3 Z2 + Z3 = (110 + j130) mA , I 1 = I = (- 30 + j70) mA и Z (Z + Z 3 ) Z1 + Z 2 + Z 3 5 Z4 + Z5 + 1 2 Z1 + Z 2 + Z 3

I 3 = I 1 - I 5 = -(140 + j60 ) mA .

Напон између крајева идеалног струјног генератора са слике 277.1 је U 24 = Z 5 I 5 - Z 3 I 3 = (-9,2 + j52,4) V .

1'

I5

Z5

I3

Комплексне снаге које развијају

Z3

генератори су S E = E1 I 1* = (0,8 - j2 ) VA 1 и S I = U 24 I *g = (10,48 + j1,84) VA . g

Z1 E2 E3

I1

Z2

3

Z4 Слика 277.3.

5. Теореме

*278. За коло са слике 278.1 је

211

R1 = R2 = wL1 = wL2 =

1 1 = = 100 W , wC1 wC2

E1 = 100 V и E 2 = (100 + j100) V . Израчунати напон U 21 .

Слика 278.1.

Слика 278.2.

РЕШЕЊЕ 1 , па се цела грана може wC 2 заменити само идеалним напонским генератором. Класичан метод потенцијала чворова се не може применити на коло са слике 278.1 јер у колу постоје две гране са идеалним напонским генераторима које нису везане за исти чвор. Међутим, премештањем генератора E1 „кроз” чвор 1, добија се коло са слике 278.2, у коме постоји само једна грана са идеалним напонским генератором. То коло се може решити методом потенцијала чворова. Усвојимо чвор 0 за референтни. Једначине за коло гласе V 2 = - E 2 Редна веза L2 - C2 је у резонанцији јер је wL2 =

æ 1 æ 1 ö E E 1 ö 1 1 ÷V 2 + ç + - çç + + + jwC1 ÷÷V 3 = - 1 - 1 . ÷ ç R1 jwL1 è R1 R2 ø è R1 R2 jwL1 ø V 2 = (-100 - j100) V и V 3 = (-150 - j50) V .

и

Из

њих

је

С обзиром на то да је генератор E1 премештен „кроз” чвор 1, а не кроз чвор 3, потенцијал чвора 3 (у односу на референтни чвор 0) исти је у оба кола. Стога је у колу са V 1 = V 3 + E1 = (-50 - j50) V , па је тражени напон слике 278.1 U 21 = V 2 - V 1 = (-50 - j50) V .

212

Кола променљивих струја

5.5. Реципроцитет *279. За коло простопериодичне струје са слике 279.1 познато је Z = j500 W , Z 1 = 18 W ,

Z 2 = j24 W ,

Z 3 = - j60 W

и

Z 4 = 30 W . Посматрајући струјни генератор и прикључке С и D, одредити комплексну трансфер импедансу (преносну импедансу) и проверити теорему реципроцитета (узајамности).

Слика 279.1. РЕШЕЊЕ У колу са слике 279.1 делује само један генератор ( I g ). Комплексна трансфер импеданса

дефинише

U CD = Z 3 I 3 - Z 1 I 1 =

се

као

Zt =

U CD . Ig

Према

слици

279.2

је

Z 2 Z 3 - Z1Z 4 Z 2 Z 3 - Z1Z 4 I , па је Z t = = 3(4 + j3) W . Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 g Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4

На слици 279.3 је представљено коло после укључивања струјног генератора између тачака С и D, при чему су тачке А и В у празном ходу. Трансфер импеданса у овом U¢ случају је Z ¢ t = AB . Према слици 279.3 је Ig U ¢ AB = - Z 4 I 2 + Z 3 I 3 = Z ¢t =

Z 2 Z 3 - Z1Z 4 I . Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4 g

Z 2 Z 3 - Z1Z 4 = 3(4 + j3) W . Z1 + Z 2 + Z 3 + Z 4

Трансфер

импеданса

је

5. Теореме

I1

213 Z1

Z2

C UCD D I3

B Z3

Z4 U ¢AB

Z

A

Ig

Слика 279.2.

Слика 279.3.

Како је Z t = Z ¢ t , теорема узајамности је проверена.

280. За коло са слике 280.1 је E = j100 V , Z 1 = (10 + j20) W , Z 2 = (10 - j20 ) W , Z 3 = - j20 W , Z 4 = j20 W и Z 5 = j60 W . (а) Посматрајући емс E и струју I 5 , израчунати комплексну трансфер адмитансу. (б) Израчунати комплексну снагу пријемника импедансе Z 5 .

Слика 280.1.

Слика 280.2.

РЕШЕЊЕ (а) Користећи се теоремом реципроцитета, а ради лакшег израчунавања струје I 5 , формирано је коло са слике 280.2, за које је Z3 E I ¢5 = = 200(3 - j4 ) mA , I ¢1 = I ¢ = (1,6 - j1,2) A , Z Z Z Z Z1 + Z 3 5 Z5 + 1 3 + 2 4 Z1 + Z 3 Z 2 + Z 4

214

Кола променљивих струја

I ¢2 =

Z4 Z2 + Z4

I ¢5 = (- 1,6 + j1,2 ) A

и

I ¢6 = I 5 = - I ¢1 + I ¢ 2 = (- 3,2 + j2,4 ) A .

Трансфер

I адмитанса је Y t = 5 = (24 + j32) mS . E (б) Комплексна снага петог пријемника је S Z = j960 VA . 5

5.6. Четворополи **281. Одредити импедансне параметре мреже са два приступа приказане на слици 281.1.

Слика 281.1.

Слика 281.2.

РЕШЕЊЕ Између напона и струја четворопола који се састоји од отпорника, калемова и кондензатора (евентуално и контролисаних генератора), према смеровима са слике 281.2, важе релације U 1 = z11 I 1 + z12 I 2 ,

(281.1)

U 2 = z 21 I 1 + z 22 I 2 ,

(281.2)

где су z ij , i, j = 1,2 импедансни параметри (z-параметри) четворопола, који одговарају резистансним параметрима мрежа сталних струја. Релације (281.1) и (281.2) се могу z12 ù é I 1 ù éU ù é z компактно написати у матричном облику као ê 1 ú = ê 11 ú ê ú , односно U z z 22 û ë I 2 û ë 2 û ë 21 éz éU ù [U] = [Z][I ] , где је [U] = ê 1 ú , [Z] = ê 11 U ë 2û ë z 21 реципрочна, важи z12 = z 21 . Реципрочна је

z12 ù éI ù и [I ] = ê 1 ú . Уколико је мрежа z 22 úû ëI 2 û свака мрежа која се састоји само од

отпорника, калемова и кондензатора. При томе, калемови могу бити у међусобној спрези. U Импедансни параметри се одређују као z ij = i , i, j = 1,2 . То одговара I j I = 0, k ¹ j k побуди мреже на једном приступу идеалним струјним генератором (тест генератором),

5. Теореме

215

при чему је други приступ отворен (слике 281.3 и 281.4), одређивању напона на приступима и дељењу тих напона струјом тест генератора. 1 I1 Igt

2 Мрежа без независних генератора

U1

1'

1

U2

Мрежа без независних генератора

U1

2'

I2 2

1'

Слика 281.3.

U2

Igt

2'

Слика 281.4.

Када се мрежа са слике 281.1 побуди према шеми са слике 281.3, тада је 1 1 ö æ jwL2 jwL2 ç ÷ jwL2 j w C w j C ÷I и U2 = U 1 = ç jwL1 + I , па је z11 = jwL1 + и ç 1 gt 1 ÷ gt 1 - w2 L2C w + j L j w L + ç 2 ÷ 2 j wC ø j wC è jwL2 z 21 = . Када се задата мрежа побуди према шеми са слике 281.4, добија се 1 - w2 L2C z 22 =

jwL2 2

1 - w L2 C

и z12 =

jwL2 1 - w2 L2 C

. Као провера, z12 = z 21 .

Шта се дешава са импедансним параметрима ако је коло L2 - C у антирезонанцији?

**282. Одредити адмитансне параметре мреже са два приступа приказане на слици 281.1. РЕШЕЊЕ Струје четворопола са слике 281.2 могу се изразити преко напона као I1 = y U1 + y U 2 , 11 12

(282.1)

I 2 = y U1 + y U 2 , 21 22

(282.2)

где су y , i, j = 1,2 адмитансни параметри (y-параметри) четворопола, који одговарају ij

кондуктансним параметрима мрежа сталних струја. Релације (282.1) и (282.2) се могу y ù éU ù éI ù éy 12 компактно написати у матричном облику као ê 1 ú = ê 11 ú êU 1 ú , односно I y y ë 2 û êë 21 22 úû ë 2 û y ù éy 12 . За реципрочне мрежe је y = y . [I ] = [Y ][U] , где је [Y] = ê 11 ú 12 21 y y êë 21 22 úû Ii , i, j = 1,2 . То одговара U j U = 0, k ¹ j k побуди мреже на једном приступу идеалним напонским генератором (тест генератором), Адмитансни параметри се одређују као y = ij

216

Кола променљивих струја

при чему је други приступ кратко спојен (слике 282.1 и 282.2), одређивању струја на приступима и дељењу тих струја електромоторном силом тест генератора. 1 I1 Et

I2 2

1 I1

Мрежа без независних генератора

U1

1'

Мрежа без независних генератора 2'

1'

Слика 282.1. Између импедансних и é z11 z12 ù é y11 y12 ù é1 0ù . ú= êz úê ë 21 z 22 û êë y 21 y 22 úû êë0 1 úû

I2 2 U2

Et

2'

Слика 282.2. адмитансних

параметара

важи

релација

Када се мрежа са слике 281.1 побуди према шеми са слике 282.1, добија се 1 1 1 1 . Када се мрежа са слике и y =I1 = E и I2 = E , па је y = 11 12 jwL1 jwL1 t jwL1 t jwL1 ö æ 1 1 281.1 побуди према шеми са слике 282.2, добија се I 2 = çç + + jwC ÷÷ E t и j L j L w w 1 2 ø è 1 1 1 1 I1 = E , па је y = + + j wC и y = =y . 2 21 12 jwL1 t jwL1 jwL2 jwL1 Колики су адмитансни параметри ове мреже када је коло L2 - C у антирезонанцији? Читаоцу се препоручује да адмитансне параметре одреди и на основу резултата éy задатка 281 и релације ê 11 êë y 21

y ù éz 12 = 11 y úú êë z 21 22 û

z12 ù z 22 úû

-1

.

**283. Одредити импедансне и адмитансне параметре мрежа са два приступа приказаних на сликама 141.1-141.8. РЕЗУЛТАТ é1 - w2 LC ê За мрежу са слике 141.1 је [Z] = ê jwC 1 ê ê jwC ë

é 1 1 ù ê ú jwC ú и [Y] = ê jwL 1 ú ê 1 ú ê - j wL j wC û ë

é1 - w2 LC За мрежу са слике 141.2 је [Z] = ê jwC ê êë jwL

ù é j wC jwL ú и [Y] = ê ú ê- jwC jwL úû êë

1 ù jwL ú ú. 1 - w2 LC ú jwL úû -

- jwC ù 1 - w2 LC ú . ú jwL úû

5. Теореме

За

217

мрежу

са

é 1 - w2 LC ê ê jwL 2 - w2 LC [Y] = ê 1 êê 2 ëê jwL 2 - w LC

(

За

мрежу

(

мрежу

é1 - w2 LC ê jwL [Y] = ê ê 1 ê jwL ëê

За

мрежу

é1 - w2 LC ê jwL [Y] = ê ê ê - jwC êë

)

)

са

141.3

је

ù 1 ú jwC ú 1 - w2 LC ú ú jwC ûú

и

је

é1 - w2 LC ê j wC [ Z] = ê ê ê jwL êë

ù ú ú 1 - w2 LC ú ú jwC úû

и

ù ú jwL 2 - w2 LC ú ú. 1 - w2 LC ú ú 2 jwL 2 - w LC ûú 1

(

)

(

са

é jwC 1 - w2 LC ê 1 - 2w2 LC [Y] = êê jw3 LC 2 ê êë 1 - 2w2 LC

За

-

)

(

слике

é1 - w2 LC ê j wC [ Z] = ê ê 1 ê w C j ëê

)

слике

141.4

j wL

ù ú 1 - 2w LC ú ú. jwC 1 - w2 LC ú 1 - 2w2 LC ûú jw3 LC 2 2

(

слике

)

141.5

је

1 ù ú jwL ú . 1 - w2 LC ú ú jwL ûú

é 1 - w2 LC ê ê jwC 2 - w2 LC [Z] = ê 1 ê ê 2 ëê jwC 2 - w LC

(

)

(

)

ù ú jwC 2 - w2 LC ú ú 1 - w2 LC ú ú 2 jwC 2 - w LC ûú

и

ù ú 1 - 2w LC ú jwL 1 - w2 LC ú ú 1 - 2w2 LC úû

и

(

1

)

(

)

-

са

слике

ù - jwC ú ú. 1 - w2 LC ú ú jwL úû

(

141.6

је

é jwL 1 - w2 LC ê 1 - 2w2 LC [Z] = ê ê jw3 L2C ê êë 1 - 2w2 LC

)

jw3 L2C

-

2

(

)

218

Кола променљивих струја

За

мрежу

é 1 - w2 LC ê 2jwL [Y] = ê ê 1 + w2 LC ê2jwL êë

За

мрежу

é1 - w2 LC ê 2jwL [Y] = ê ê1 + w2 LC ê ëê 2jwL

са

слике

141.7

је

é1 - w2 LC ê 2jwC [ Z] = ê ê1 + w2 LC ê ëê 2jwC

1 + w2 LC ù ú 2jwC ú 1 - w2 LC ú ú 2jwC ûú

и

1 + w2 LC ù ú 2jwC ú 1 - w2 LC ú ú 2jwC ûú

и

1 + w2 LC ù ú 2jwL ú . 1 - w2 LC ú ú 2jwL úû

-

са

слике

141.8

је

é 1 - w2 LC ê 2jwC [ Z] = ê ê 1 + w2 LC ê2jwC ëê

-

1 + w2 LC ù ú 2jwL ú . 1 - w2 LC ú ú 2jwL ûú

Импеданса Z o одређена у задатку 141 је улазна импеданса гледано у први приступ када је други приступ отворен, па важи Z o = z11 . Импеданса Z ks је улазна импеданса гледано у први приступ када је други приступ кратко спојен, па је Z ks =

1 . y 11

**284. Одредити импедансне и адмитансне параметре мреже са два приступа приказане на слици 284.1.

Слика 284.1.

Слика 284.2.

РЕШЕЊЕ Између напона и струја четворопола који се састоји од отпорника, калемова кондензатора и независних генератора (евентуално и контролисаних генератора), према ознакама и референтним смеровима са слике 284.2, важе релације U 1 = z11 I 1 + z12 I 2 + U 10 ,

(284.1)

5. Теореме

219

U 2 = z 21 I 1 + z 22 I 2 + U 20 ,

(284.2)

односно I 1 = y U 1 + y U 2 + I 10 , 11 12

(284.3)

I 2 = y U 1 + y U 2 + I 20 . 21 22

(284.4)

Релације (284.1) и (284.2) се могу написати у матричном облику као éU 10 ù éU 1 ù é z11 z12 ù é I 1 ù éU 10 ù êU ú = ê z ú ê I ú + êU ú , односно [U] = [Z][I ] + [U 0 ] , , где је [U 0 ] = êU ú . z ë 2 û ë 21 22 û ë 2 û ë 20 û ë 20 û éI ù éy Матрични облик релација (284.3) и (284.4) је ê 1 ú = ê 11 ë I 2 û êë y 21

y ù éU ù é I ù 12 1 + 10 , односно y úú êëU 2 úû êë I 20 úû 22 û

éI ù [I ] = [Y][U] + [I 0 ] , где је [I 0 ] = ê 10 ú . ë I 20 û Параметри z ij , i, j = 1,2 одређују се тако што се анулирају независне побуде у мрежи, а онда примени исти поступак као за мрежу без независних генератора. На исти начин се одређују и параметри y , i, j = 1,2 . Параметри U 10 и U 20 су напони приступа ij

када су оба приступа у празном ходу, а параметри I 10 и I 20 су струје приступа када су оба приступа у кратком споју. За мрежу са слике 284.1 jwL2 jwL2 ù é ê jwL1 + ú 2 1 - w L2C 1 - w2 L2C ú [Z] = ê , а jwL2 jwL2 ú ê ê ú 2 1 - w2 L2C û ë 1 - w L2C

је,

на

основу

на

основу

задатка

задатка

282

281, је

1 é 1 ù ê j wL ú jwL1 1 ú. [Y] = ê 1 1 ê- 1 + + j wC ú êë jwL1 jwL1 jwL2 úû Када се оба приступа мреже оставе у празном ходу, у мрежи нема струје, па је éEù U 2 = U 20 = 0 , а U 1 = U 10 = E , тако да је [U 0 ] = ê ú . Када се оба приступа кратко споје, ë0û E ù é ê- jwL ú E E 1ú тада је I 1 = I 10 = и I 2 = I 20 = , па је [I 0 ] = ê jwL1 jwL1 ê E ú êë jwL1 úû Читаоцу се оставља да покаже да за произвољан четворопол са независним генераторима важи релација [I 0 ] = -[Y ][U 0 ] , као и да провери ту релацију на примеру мреже са слике 284.1.

220

Кола променљивих струја

**285. Мрежа означена са А на слици 285.1 састоји се од пријемника и независних струјних и напонских генератора. Позната је електромоторна сила E ¢ = (8 + j6) V . Када је прекидач П отворен, познато је U 1( o ) = j10 V и I (2o) = (2 - j) A . Када је прекидач затворен, познато је I 1( z) = -(4 + j3) A и I (2z) = (1 + j) A . Израчунати струју I 1 када је прекидач затворен, а електромоторна сила генератора се анулира ( E ¢¢ = 0 ). 1 I1

П

I2 2

A

U1

E

1'

2' Слика 285.1.

РЕШЕЊЕ За четворопол (мрежу А) са слике 285.1 важе релације (284.3) и (284.4). Мрежа је реципрочна јер не садржи контролисане генераторе, па је y = y . Упоређујући слике 12

21

285.1 и 284.2, види се да је E = U 2 . Када је прекидач П отворен, једначине (284.3) и (284.4) постају 0 = y U 1(o) + y E ¢ + I 10 ,

(285.1)

(o) ¢ I (o) 2 = y12U 1 + y 22 E + I 20 .

(285.2)

12

11

Када се прекидач затвори, тада важи I 1(z) = y E ¢ + I 10 ,

(285.3)

I (z) 2 = y

(285.4)

12

22

Одузимањем y

E ¢ + I 20 . (285.3)

од

(285.1)

добија

се

- I 1(z) = y U 1(o) , 11

одакле

је

I (z) = - 1(o) = (0,3 - j0,4) S . На сличан начин се из (285.2) и (285.4) добија 11 U1

(z) I (o) (z) (o) 2 - I 2 = -(0,2 + j0,1) A . I (o) I = y U , одакле је y = 2 2 12 1 12 U 1(o)

Када је прекидач затворен, а емс је E ¢¢ = 0 , тада важе релације I 1 = I 10 ,

(285.5)

I 2 = I 20 .

(285.6)

5. Теореме

221

Из (285.4) и (285.6) се добија I 1(z) - I 1 = y E ¢ , одакле је I 1 = I 1(z) - y E ¢ = -(3 + j) A . 12 12 Читаоцу се препоручује да задатак реши и применом теорема: замени грану са ì 0, П отворен прекидачем компензационим струјним генератором струје I gk = í (z) , а î I 1 , П затворен затим примени теореме суперпозиције и реципроцитета.

5.7. Прилагођење по снази 286. За мрежу простопериодичне струје са слике 286.1 познато је R2 = 12 W , X 2 = 22 W и U = 100 V . Израчунати отпорност R1 тако да активна снага мреже буде највећа и ту највећу активну снагу. Сматрати да се при промени отпорности R1 ефективна вредност напона U не мења.

Слика 286.1.

РЕШЕЊЕ Комплексна струја мреже је I = I= I =

U

(R1 + R2 )2 + X 22

U , а ефективна вредност те струје је R1 + R 2 + jX 2

. Активна снага мреже је P = (R1 + R2 )I 2 =

(R1 + R2 )U 2 (R1 + R2 )2 + X 22

Активна снага је позитивна за све отпорности R1 и има један максимум (слика 286.2).

250 200 P [W]

150 100 50 0

0

10

20

30 R1 [W]

Слика 286.2.

40

50

.

222

Кола променљивих струја

Активна снага кола је највећа када је услов Pmax =

максимума

R1 = X 2 - R2 = 10 W .

даје

(

)

dP dP X 2 - (R1 + R2 )2 U 2 = 0 . Како је = 2 , то 2 dR1 dR1 (R1 + R2 )2 + X 22 Највећа

(

активна

снага

)

кола

је

2

U » 227 W . 2 X2

Читаоцу се препоручује да понови задатак ако је R2 = 30 W .

287. Пријемник је прикључен на реални напонски генератор као на слици 287.1. Познати су параметри тог генератора E и Z g = Rg + jX g . Потребно је на пријемнику

Z p , fp Rp , X p

развити највећу активну (средњу) снагу. (а) Одредити потребну резистансу Rp и реактансу X p пријемника. (б) Ако није могуће независно подешавати параметре Rp и реактансу X p , већ је аргумент комплексне импедансе

Слика 287.1.

пријемника f p константан ( f p < p / 2 ), колика треба да буде импеданса пријемника Z p да би његова активна снага била максимална? (в) Уколико је пријемник чисто резистиван (реактансе X p = 0 ), колика треба да буде његова резистанса Rp ? РЕШЕЊЕ (а) Ако је комплексна импеданса пријемника Z p = Rp + jX p , тада је активна снага пријемника

Pp =

Rp I p2

Rp E

=

2

Zg + Zp

2

=

Rp E 2

(Rg + Rp ) 2 + (X g + X p ) 2

.

Збир

реактанси

(X g + X p ) у овом изразу смањује активну снагу, па је, у циљу постизања максималне активне снаге, потребно да буде

X g + X p = 0 , одакле је реактанса пријемника

Xp = -Xg .

( )

Сада је Pp Rp =

E2 Rp + 2 Rg +

Rg2

. Снага је максимална када је израз у имениоцу

Rp

минималан, односно када је Rp = Rg . Комплексна импеданса пријемника треба да буде E2 Z p = Rg - jX g = Z *g . Активна снага пријемника је Pp = . max 4Rg

( )

5. Теореме

223

(б) Уколико је задат (и константан) аргумент комплексне импедансе пријемника, f p , тада је Z p = Z p cos f p + j sin f p . Активна снага пријемника је одређена изразом

(

Pp =

)

Z p E 2 cos f p

(

Z g2 + Z p2 + 2 Z g Z p cos fg - f p

)

,

E 2 cos f p

( )

Pp Z p =

(

)

Z p + 2 Z g cos f g - f p +

Z g2

који

се

. Из услова

Zp

може

dPp

написати

у

облику

= 0 произилази Z p = Z g , одакле је

dZ p

(

)

( )max =

E 2 cos f p

комплексна импеданса пријемника Z p = Z g cos f p + j sin fp . Највећа активна снага пријемника, под овим околностима, је Pp

(

(

2 Z g 1 + cos fg - f p

))

.

(в) Уколико је пријемник чисто резистиван, тада је Z p = Rp , односно f p = 0 , па се на

основу

(Pp )max =

претходне

(

E2

2 Z g 1 + cos fg

)

тачке

задатка

добија

Rp = Z g ,

односно

Z p = Zg

и

.

288. За коло са слике 288.1 познато је

E = 50(3 - j) V ,

Z 1 = Z 2 = 200 W

и

Z 3 = Z 4 = j100 W . На пријемнику импедансе Z p треба развити највећу активну снагу. Израчунати комплексну импедансу пријемника и највећу активну снагу ако је (а) Z p = Rp + jX p , (б) Z p = Z p cos f p + j sin f p и задат cos f p = 0,8 и (в) Z p = Rp .

(

)

Слика 288.2.

Слика 288.1.

224

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ Параметри Тевененовог генератора у односу на пријемник Z p (слика 288.2) су

æ Z3 Z Z Z Z Z1 ö ÷ E = 50(- 1 + j3) V и Z T = 1 4 + 2 3 = 80(1 + j2 ) W . E T = çç ÷ Z1 + Z 4 Z 2 + Z 3 è Z 2 + Z 3 Z1 + Z 4 ø Задатак се даље решава на основу задатка 287. 2

( )max = 4ERT

(а) У општем случају је Z p = Z *T = 80(1 - j2 ) W и Pp

T

= 78,125 W .

(

)

(б) Ако је фиксиран фактор снаге пријемника, тада је Z p = Z p cos f p + j sin f p . Ако

(

)

је пријемник претежно индуктиван, тада је Z p = Z T cos f p + j sin f p = 8 5 (8 + j6 ) W , а

( )max » 29,5 W .

активна снага је Pp

(

)

Ако је пријемник претежно капацитиван, тада је

( )max » 68,1 W .

Z p = Z T cos f p - j sin f p = 8 5 (8 - j6 ) W и Pp

(б) Ако је пријемник чисто резистиван, тада је

(Pp )max » 48,3 W .

Z p = Rp = Z T = 80 5 W

и

289. За коло простопериодичне струје са слике 289.1 познато је E 1 = (13 + j9 ) V , E 6 = -2(7 + j2 ) V ,

Z 2 = 10(7 + j) W , Z 4 = - j20 W ,

Z 1 = 100(1 + j) W , Z 3 = 10(3 - j) W ,

Z 5 = 40 W

и

Z 6 = 4(2 + j9) W . Отпорност променљивог отпорника се налази у границама R Î [60, 100] W и највећа допустива ефективна вредност струје у њему је I max = 0,1 A . Израчунати отпорност променљивог отпорника тако да се на њему развије највећа активна снага и ту највећу активну снагу. Слика 289.1. РЕШЕЊЕ 2 Активна снага отпорника је P = RI 24 , од интереса је само струја I 24 , па је за решавање задатка погодно применити Тевененову теорему. Искључивањем гране 2 - 4 из кола са слике 289.1 добија се коло са слике 289.2. На основу метода потенцијала

5. Теореме

чворова,

225

за

коло

са

слике

289.2

је

æ 1 1 1 ç çZ + Z +Z + Z +Z 2 3 4 5 è 1

ö E ÷U 13 = 1 ÷ Z1 ø

и

æ Z4 Z2 ö ÷U 13 , па је E ¢ T = U 24 = -(2 + j) V . U 24 = çç ÷ è Z4 + Z5 Z2 + Z3 ø Трансфигурацијом троугла Z1 - Z 2 - Z 3 у звезду Z 7 - Z 8 - Z 9 добија се мрежа са

слике 289.3, при чему је Z 7 = 20(2 + j) W , Z 8 = 2(4 - j3) W и Z 9 = 20 W , па је Z ¢T = Z 24 = Z 8 +

(Z 4 + Z 7 )(Z 5 + Z 9 ) = (32 - j6) W . Z4 + Z5 + Z7 + Z9

Z7

Z9

Z8 2

4

Z4 Слика 289.2.

Z5

Слика 289.3.

На слици 289.4 је приказано коло добијено после замене остатка кола са слике 289.1 у односу на грану 2 - 4 Тевененовим генератором. То коло се може даље упростити уводећи Тевененов генератор према отпорнику променљиве отпорности. Тиме се добија коло са слике 289.5, где је E T = - E 6 + E ¢ T = 3(4 + j) V и Z T = Z ¢ T + Z 6 = 10(4 + j3) W = RT + jX T .

226

Кола променљивих струја

Слика 289.5.

Слика 289.4. Ефективна вредност струје отпорника је I =

ET = ZT + R

максимално допустиве струје је I £ I max . Једначина

ET

(R + RT )2 + X T2

. Из услова

I = I max је задовољена за

2

æ E ö R1,2 = - RT ± çç T ÷÷ - X T2 , односно за R1 = -160 W или R2 = 80 W . Физички è I max ø прихватљиво решење је R = 80 W . Услов I £ I max је испуњен ако је R ³ 80 W . Максимална активна снага на отпорнику R развија се када је R = Z T = 50 W . За R Î [60, 100] W функција P(R ) је монотоно опадајућа (слика 289.6). Узимајући у обзир да мора бити R ³ 80 W , следи да је отпорност за коју је снага максимална R = 80 W . Максимална снага је Pmax = 0,8 W .

Слика 289.6.

290. За мрежу са слике 290.1 познате су реактансе X L1 = 60 W , X L 2 = 50 W , X C1 = -40 W и X C 2 = -50 W . Отпорност променљивог отпорника се може мењати у

5. Теореме

227

границама R Î [20, 50] W , а максимална допустива ефективна вредност струје отпорника

је (I R )max = 2 A . Израчунати отпорност R и ефективну вредност прикљученог напона ( U ) тако да се на отпорнику развије највећа активна снага. Колика је при томе комплексна снага целе мреже?

Слика 290.1. Слика 290.2. РЕШЕЊЕ Заменимо прикључени напон на слици 290.1 идеалним напонским генератором емс E = U (слика 290.2). За тако добијено коло не може се одредити Тевененов генератор у односу на отпорник R, јер је Z T = Z eAB =

jX L1 jX C1

j( X L1 + X C1 )

+

jX L 2 jX C 2

j( X L 2 + X C 2 )

® ¥ , па се коло

мора решити на други начин. По методу контурних струја, према слици 290.2, добија се систем једначина j( X L 2 + X C 2 )I I + j( X L 2 + X C 2 )I II + jX L 2 I III = U ,

j( X L 2 + X C 2 )I I + j( X L1 + X L 2 + X C1 + X C 2 )I II + j( X L 2 + X C1 )I III = 0 и jX L 2 I I + j( X L 2 + X C1 )I II + (R + j( X L 2 + X C1 ))I III = 0 .

Ако се усвоји почетна фаза напона qU = 0 , тада је U = U , па заменом бројних вредности величина у SI систему јединица систем једначина по методу контурних струја постаје j50 I III = U , j20 I II + j10 I III = 0 и j50 I I + j10 I II + (R + j10 )I III = 0 . Уочимо U . да струја отпорника не зависи од његове отпорности, I R = I III = j50 W Активна снага отпорника је PR = RI R2 и максимална је када су истовремено R и I R

максимални. Из (I R )max = 2 A , следи U = 50 I III = 50(I R )max = 100 V , па је I III = - j2 A . Из друге једначине по методу контурних струја је

I II = -

I III 2

= j A . Како је

228

Кола променљивих струја

R Î [20,50] W , произилази (PR )max = 200 W .

да је Rmax = 50 W , па је максимална снага отпорника

Из последње једначине система по методу контурних струја је I I =

1 (10 + j) A , па је 5

комплексна снага задате мреже S U = U I *I = 20(10 - j) VA . Читаоцу се препоручује да снагу отпорника израчуна и тако што ће одредити Нортонов генератор у односу на тај отпорник.

291. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 291.1 познато је L = 1 mH и C = 100 nF . R = 100 W , Ефективне вредности електромоторних сила идеалних напонских генератора су E1 = E2 = 10 V , кружна учестаност је w = 105 s -1 , а електромоторна сила E2 фазно заостаје за електромоторном силом p E1 за Dq = . Израчунати отпорност 2 отпорника Rp тако да средња снага тог

Слика 291.1.

отпорника буде максимална. Колика је та максимална снага? РЕЗУЛТАТ Тражена отпорност је Rp = 100 W , а максимална снага је Pmax = 0,25 W .

292. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 292.1 познато је E = 10 V , I g = 0,1 A , L = 50 mH , C = 10 nF , R = 100 W и w = 106 s -1 . Струја струјног p генератора фазно предњачи електромоторној сили напонског генератора за . 2 (а) Израчунати отпорност отпорника Rp тако да средња снага овог отпорника буде максимална. (б) Колика је та снага? (в) Колика је при томе комплексна снага струјног генератора?

5. Теореме

229 L

РЕЗУЛТАТ

R

(а) Тражена отпорност је Rp = 100 2 W . (б) Максимална снага је Pmax » 0,207 W . (в) Комплексна снага коју струјни генератор S I » -(0,354 + j0,854) VA .

E

развија је

C

Ig

Rp

Слика 292.1.

g

293. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 293.1 позната је ефективна вредност електромоторне силе генератора E = 1 mV , отпорност R = 50 W , индуктивност L = 2,5 mH , капацитивност C = 1 nF и кружна учестаност w = 2 × 107 s -1 . (а) Колика треба да буде отпорност отпорника Rp да би средња снага овог отпорника била максимална? (б) Колика је та снага? (в) Колика је при томе комплексна снага реалног напонског генератора који је представљен редном везом идеалног напонског генератора и отпорника R?

Слика 293.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Отпорност треба да буде Rp = 25 W . (б) Максимална снага је Pmax = 2,5 nW . (в) Комплексна снага генератора је S g = 3,75 nVA .

294. За коло простопериодичне струје приказано на слици 294.1 је E = 1 mV , w = 107 s -1 ,

R = 100 W , L1 = 60 mH , L2 = 20 mH и C = 100 pF . Израчунати индуктивност Lx и отпорност Rx тако да средња снага отпорника Rx буде максимална, као и ту максималну снагу.

Слика 294.1.

230

Кола променљивих струја РЕЗУЛТАТ Тражена индуктивност је Lx = 150 mH , а отпорност Rx = 100 W . Максимална снага

отпорника је Pmax = 2,5 nW .

295. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 295.1 познато је E = 10 V , Z 1 = - j2 W , Z 2 = Z 4 = j2 W , Z3 = 2 W ,

Z5 = -j W

и

Z6 =1W .

Израчунати отпорност отпорника R тако да снага овог отпорника буде максимална. Колика је та максимална снага? Слика 295.1.

РЕЗУЛТАТ Средња снага отпорника има максимум када је R » 0,743 W , а тај максимум је Pmax » 1,69 W .

296. У колу простопериодичне струје са слике 296.1 је E = 35 kV , f = 685 kHz , Z g = (150 + j0) W и Z p = (200 - j300) W . Израчунати индуктивност L и капацитивност С тако да активна снага генератора буде максимална, као и ту максималну снагу.

Слика 296.2. Слика 296.1. РЕШЕЊЕ 1 » (1,538 + j2,308) mS = Gp + jBp . Комплексна адмитанса пријемника је Y p = Zp Коло са слике 296.1 може се представити као на слици 296.2, при чему је Gp Bp + wC Z e = j wL + -j = Re + jX e , где је 2 2 2 Gp + Bp + wC Gp + Bp + wC 2

(

)

(

)

w = 2pf » 4,304 × 10 6 s -1 кружна учестаност генератора. Да би се између генератора ( E , Z g ) и пријемника импедансе Z e остварио максималан пренос активне снаге, мора бити испуњен услов Z e = Z *g = 150 W , односно Re = 150 W и X e = 0 .

5. Теореме

231

Из услова Re = 150 W =

Gp2

Gp

следи Bp + wC = ±2,808 mS . Горњем знаку + Bp + wC 2

(

)

одговара C » 116 pF . Доњем знаку одговара негативна капацитивност, па то решење одбацујемо. Из услова X e = 0 = wL -

Bp + wC

добија се L » 63,6 mH . Gp2 + Bp + wC 2

(

)

Максимална активна снага коју развија генератор је Pmax =

E2 » 2,04 MW . То је, 4 Re

истовремено, активна снага коју прима пријемник на слици 296.1. Коло са слике 296.1 представља упрошћено коло за прилагођење средњоталасне антене првог програма Радио Београда.

297. За коло простопериодичне струје са слике 297.1 је E = 200 V , f = 1 MHz , Z g = (50 + j0) W и Z p = (25 - j50) W . Израчунати индуктивност L и капацитивност C тако да активна снага генератора буде максимална, као и ту максималну снагу.

Слика 297.1.

РЕШЕЊЕ Да би било остварено прилагођење по снази, комплексна импеданса коју види Z e = Z *g = 50 W = Rg . Како је Rp - j wL + X p 1 1 Ye = = j wC + = j wC + , где је Z p = Rp + jX p , добијају се Ze jwL + Z p Rp2 + wL + X p 2 услови

генератор

треба

да

буде

(

(

Rp 1 = , Rg Rp2 + wL + X p 2

(

wC =

(297.1)

)

wL + X p

. Rp2 + wL + X p 2

(

(

)

)

(297.2)

)

)

1 - X p ± Rp ( Rg - Rp ) , односно L1 » 11,94 mH и L2 » 3,98 mH . Из w 1 wL + X p (297.2) је C = . Првом решењу за индуктивност одговара C1 » 3,183 nF . w Rg Rp

Из (297.1) је L =

Другом решењу одговара C2 » -3,183 nF < 0 , па то решење отпада (јер одговара калему у оточној грани, а не кондензатору). Стога су тражени параметри L » 11,94 mH и C » 3,183 nF .

232

Кола променљивих струја

Максимална снага пријемника је Pmax =

E2 = 200 W . 4 Rg

*298. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 298.1 ефективна вредност електромоторне силе генератора је E = 10 V , комплексна импеданса генератора је Z g = (4 + j0) W , а учестаност f се може мењати. (а) Одредити отпорности R1 и R2 , индуктивност L и капацитивност С тако да буду испуњени следећи услови: (1) активна снага коју прима део кола десно од тачака А и В је максимална при свим учестаностима и (2) при учестаности f = f 0 = 1 kHz средње снаге отпорника R1 и R2 су једнаке. (б) Израчунати средње снаге ових отпорника при учестаностима f1 = 100 Hz и f 2 = 10 kHz . РЕЗУЛТАТ (а) Тражени параметри кола су R1 = R2 = 4 W . L » 636,6 mH и C » 39,79 mF . (б) При

учестаности

f1

средње

снаге

отпорника R1 и R2 су 6,188 W и 0,0619 W , респективно. При учестаности снаге су 0,0619 W и 6,188 W .

f 2 одговарајуће Слика 298.1.

Коло са слике 298.1 је скретница у звучној кутији са два звучника.

299. За коло простопериодичне струје са слике 299.1 је E = (30 - j10) V , Z 1 = Z 2 = 1 kW и Z 3 = Z 4 = j500 W .

Фактор

снаге

претежно

капацитивног пријемника Z p је k = 0,8 . Одредити импедансу Z p пријемника тако да његова активна снага буде максимална. Колика је та максимална снага?

Слика 299.1.

РЕЗУЛТАТ Импеданса пријемника је Pmax » 0,545 W .

Z p = 400 5 W , а његова максимална снага је

5. Теореме

233

300. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 300.1 познато је E = 10 V , I g = 1 A , Z 1 = (5 - j5) W и Z 3 = (10 + j20) W . Струја идеалног струјног генератора фазно

заостаје

за

електромоторном силом идеалног p напонског генератора за . Израчунати реактансу X 2 2 другог (чисто реактивног) пријемника тако да активна снага идеалног струјног генератора буде минимална. Колика је при томе комплексна снага тог генератора?

Слика 300.1.

РЕШЕЊЕ Усвојимо да је почетна фаза струје идеалног струјног генератора једнака нули. Тада је I g = I g = 1 A и E = jE = j10 V . Ако чвор 2 узмемо за референтни, једначина по методу 1 1 где је Y 1 = и B2 = . Z1 X2 0,1 + B2 + j0,1 Заменом бројних вредности одавде добијамо V1 = V , где је B2 у 0,01 + (0,1 + B 2 ) 2 сименсима. Комплексна снага идеалног струјног генератора је

потенцијала чворова гласи

(

(Y 1 + jB2 ) V 1 = Y 1 E + I g

)

S I g = U 32 I *g = V 1 + Z 3 I g I *g = V 1 I *g + Z 3 I g2 , па је активна снага тог генератора дата изразом PI g (B2 ) = 10 +

0,1 + B2

0,01 + (0,1 + B2 ) 2

W . Одређивањем првог извода и испитивањем

функције PI g (B2 ) закључујемо да она има минимум када је B2 = -0,2 S , па је тражена реактанса X 2 = 5 W . При томе је S I = (5 + j25) VA . g

301. За коло са слике 301.1 познато је

Z 1 = 10(3 + j) W ,

Z 2 = 20(4 + j3) W ,

Z 3 = 20(2 - j) W и Z 4 = 50(1 + j) W . Када је прекидач P у положају (1) , идеални

амперметар ( A ) показује ефективну вредност струје I A = 50 mA . Колика треба да буде комплексна импеданса Z p тако да се по пребацивању преклопника P у положај (2 ) на пријемнику развије максимална активна снага? Израчунати ту максималну снагу.

234

Кола променљивих струја Z2

A

П (2)

(1) E4 Ig

Z1

Zp Z4

IA A

B

Z3

0

Слика 301.1. РЕШЕЊЕ Користећи се Нортоновом теоремом може се формирати коло као на слици 301.2. Комплексна адмитанса Нортоновог генератора је, према слици 301.1, 1 1 YN = + = 4(4 - j3) mS = GN + jBN . Ефективна вредност струје Z 4 Z1 + Z 2 + Z 3 Нортоновог генератора је I gN = I gN = I A = 50 mA . A П (1) IgN

(2)

Up

YN Yp B Слика 301.2.

Комплексна адмитанса пријемника је Y p = Gp + jBp , па је активна снага пријемника (слика 301.2) Pp =

GpU p2

овом изразу члан

(Bp + BN ) 2

= Gp

I gN YN +Yp

2

, одакле је Pp =

2 Gp I gN

(Gp + GN ) 2 + (Bp + BN ) 2

. У

смањује активну снагу пријемника, па треба да буде

( )

Bp + BN = 0 , односно Bp = - BN = 12 mS . Израз Pp Gp =

има максимум за Gp = GN = 16 mS .

2 Gp I gN

(Gp + GN )

= 2

2 I gN

Gp + 2GN +

2 GN Gp

5. Теореме

235

Под условима прилагођења по снази, комплексна адмитанса пријемника је 1 Y p = Y *N = 4(4 + j3) mS . Комплексна импеданса пријемника је Z p = = 10(4 - j3) W . Yp 2

( )max = 4IGgN

Највећа активна снага пријемника је Pp

= 39,0625 mW .

N

Претходни изрази могу се довести до облика Z p = Z *T и

2

ET (Pp )max = 4R

, који

T

произилазе из примене Тевененове теореме. 1 302. У колу простопериодичне струје на Z C = 20 W , слици 302.1 је E = 100 V , Z L = 30 W и R3 = 10 W . При отвореном прекидачу П фактор снаге генератора је k = 3 13 / 13 . (а) Израчунати отпорности отпорника R1 и R2 тако да ефективна

I

ZC R1

E

ZL

П

3

вредност напона U 34 при отвореном прекидачу П буде минимална. (б) Израчунати отпорност пријемника Rp тако да по

R3

затварању прекидача П активна снага буде максимална и ту пријемника Rp

Слика 302.1.

( )

Rp

4 R2

2

максималну снагу. РЕЗУЛТАТ (а) Тражене отпорности су R1 = R2 = 20 W , (б) Отпорност пријемника је Pp » 40,57 W .

Rp = 5 10 W , а његова максимална снага је

236

Кола променљивих струја

5.8. Поправка фактора снаге 303. Претежно индуктивни монофазни пријемник фактора снаге cos f p = 0,8 прикључен је на простопериодичан напон ефективне вредности U = 230 V и учестаности f = 50 Hz , при чему је активна снага пријемника P = 2,5 kW . Затварањем прекидача П паралелно пријемнику прикључује се кондензатор. Израчунати капацитивност C кондензатора тако да фактор снаге паралелне везе пријемника и кондензатора буде cos f = 0,95 . Сматрати да се прикључивањем кондензатора не мења ефективна вредност напона U.

Z p , fp > 0

Слика 303.1.

РЕШЕЊЕ За оријентације са слике 303.1, фазорски дијаграм је приказан на сликама 303.2 и 303.3. Прикључивањем кондензатора, при истом фактору снаге cos f , паралелна веза пријемника и кондензатора може бити претежно индуктивна (слика 303.2) или претежно капацитивна (303.3), што зависи од капацитивности прикљученог кондензатора.

fp

f

f

fp

Слика 303.2. Са дијаграма је

Слика 303.3.

tg f =

I p sin f p - I C I p cos f p

= tg f p -

IC . Како је I p cos f p

I C = wCU

и

wCU 2 P , то је tg f = tg f p . Одавде је тражена капацитивност додатог U P P кондензатора C = tg f p - tg f . wU 2 I p cos f p =

(

)

5. Теореме

237

За случај претежно индуктивне паралелне везе ( f > 0 ) је tg f =

1 - cos 2 f , па је cos f

C » 63 mF . За случај претежно капацитивне везе ( f < 0 ) је tg f = -

1 - cos 2 f cos f

и

C » 162 mF . Које је од ова два решења технички погодније? Задатак се може решити и на други начин. Пријемник је претежно индуктиван, па му је фактор реактивности пријемника је

Qp =

k pr kp

k pr = + 1 - k p2 = + 1 - cos 2 f p = 0,6 . Реактивна снага

P = 1,875 kvar . По прикључивању кондензатора, фактор

реактивности паралелне везе пријемника и кондензатора (фактор реактивности напојног вода) Q=

је

k r = ± 1 - k 2 = ± 1 - cos 2 f = ±0,312 ,

а

реактивна

снага

је

kp

P = ±0,82 kvar , јер се паралелним додавањем не мења активна снага мреже са k слике 303.1, ни радни режим пријемника. Како је Q = Qp + QC , а QC = -2pfCU 2 , добија се C =

Qp - Q

. Одавде је C » 63 mF за претежно индуктивну паралелну везу и 2pfU 2 C » 162 mF за претежно капацитивну паралелну везу. fp

304. (а) За пријемник из претходног задатка, израчунати капацитивност кондензатора тако да се оствари потпуна поправка фактора снаге. (б) Колике су привидне снаге мреже са слике 303.1 пре и после прикључивања кондензатора? (в) Колико пута се, прикључивањем кондензатора, смањи ефективна вредност струје I?

Слика 304.1.

РЕШЕЊЕ (а) Сада је cos f = 1 и tg f = 0 , па је C =

P wU 2

tg f p » 113 mF . Одговарајући фазорски

дијаграм приказан је на слици 304.1. (б) Привидна снага мреже са слике 303.1 пре прикључивања кондензатора је P S (o) = = 3,125 kVA . По прикључивању кондензатора је Q = 0 , па је cos f p S (z) = P = 2,5 kVA . (в) Са фазорског дијаграма на слици 304.1 је

Ip I

=

вредност струје прикључака мреже смањи се 1,25 пута.

1 = 1,25 , односно ефективна cos f p

238

Кола променљивих струја До истог резултата се може доћи и на основу привидне снаге. Пре прикључења

кондензатора је Ip I

=

S (o) S

(z)

=

S (o) = UI p , по прикључењу кондензатора је

S (z) = UI , па је

1 . cos f p

305. Индуктивни пријемник, отпорности Rp и индуктивности Lp , прикључен је на напојни вод као на слици 305.1. Одредити капацитивност кондензатора C који треба везати паралелно пријемнику тако да струја у напојном воду и напон буду у фази (за усаглашене референтне смерове). Колики је тада фактор снаге ове паралелне везе, а колике су улазна реактанса и резистанса мреже?

Zp fp

Слика 305.1.

Слика 305.2.

РЕШЕЊЕ За оријентације са слике 305.2, фазорски дијаграм је приказан на слици 304.1. Са U U фазорског дијаграма је I C = I p sin f p . Како је I C = wCU , I p = = и 2 2 Z p Rp + wLp

(

sin f p =

wLp Rp2

( )

+ wLp

2

=

wLp Zp

, то је капацитивност кондензатора C =

Lp Z p2

=

)

Lp R p2

( )2

+ wLp

.

Како је под овим околностима f = 0 , то је фактор снаге паралелне везе пријемника и кондензатора (фактор снаге напојног вода) cos f = 1 . Због f = 0 , улазна импеданса U мреже је чисто реална, Z ul = Rul . Како је Z ul = , према фазорском дијаграму је I Z Z cos f U p p p Z ul = = = = Rp 1 + tan 2 f p , те је Rul = Rp 1 + tan 2 f p . 2 I p cos f p cosf p cos f p

(

)

(

)

Задатак се може решити и комплексним рачуном. Комплексна улазна адмитанса мреже са слике 305.1 по прикључењу кондензатора је æ Rp wLp ö 1 Y ul = + j wC = 2 + j ç wC - 2 ÷ . Како је I = Y ul U , то ће струја I и напон ç Rp + jwLp Zp Z p ÷ø è

5. Теореме

239

U бити у фази ако је Im(Y ul ) = 0 , односно wC -

wLp Z p2

= 0 , одакле је C =

околностима, комплексна улазна адмитанса је реална, Y ul = Gul = компонента

струје Z p2

æ1ö = Rul = Reçç ÷÷ = è Y ø Rp

306. Пријемник

Rp2

I + Rp

X p2

=

је Z p cos f p cos 2 f p

комплексне

нула.

Улазна

(

Rp Z p2

Lp Z p2

. Под тим

, а реактивна

резистанса

је

)

= Rp 1 + tg 2 f p .

импедансе

Z = (10 + j10) W

простопериодичан напон ефективне вредности U = 1 kV

прикључен

је

на

и кружне учестаности

-1

w = 500 s . (а) Колика је капацитивност паралелно прикљученог кондензатора којим се остварује потпуна поправка фактора снаге? Колика је при томе (б) активна снага пријемника, (в) комплексна снага кондензатора и (г) ефективна вредност струје прикључака ове паралелне везе? РЕЗУЛТАТ (а) Капацитивност кондензатора је C = 100 mF . (б) Активна (средња) снага пријемника је P = 50 kW . (в) Комплексна снага кондензатора је S C = - j50 kVA . (г) Ефективна вредност струје је I = 50A .

5.9. Симетрија и бисекција

307. За коло са слике 307.1 познато је Z 1 = 10 W , Z 2 = j20 W , Z 0 = 10(1 + j) W и E1 = j250 V .

Израчунати

комплексну снагу пријемника импедансе Z 0 . Слика 307.1.

240

Кола променљивих струја

РЕШЕЊЕ Задато коло има једну раван симетрије (осу симетрије јер је коло планарно), па се може представити као на слици 307.2, при чему је пријемник Z 3 замењен редном везом два пријемника двоструко комплексне импедансе

Z3 , а пријемник Z 0 паралелном 2

везом два пријемника комплексне импедансе 2Z 0 .

Z3 2

Z3 2

Слика 307.2. Због симетрије, у гранама коју пресеца оса симетрије нема струје, па се те гране могу раскинути. Тиме се добијају два идентична кола, представљена на слици 307.3, па је довољно решавати само једно од тих кола. Са слике 307.3 је I 2 =

E1 = (4 + j3) A . Струја пријемника Z 1 + Z 2 + 2Z 0

Z0

I 0 = I 24 = 2 I 2 = 2(4 + j3) A , па је тражена комплексна снага S Z 0 = Z 0 I 02 = (1 + j) kVA .

је

5. Теореме

241

Z3 2

Z3 2

Слика 307.3.

308. За коло са слике 308.1 познато је I g = j0,4 A , E = -20 V , Z 4 = - j70 W , Z 5 = j100 W

и

Z = 20 W .

Израчунати

ефективну вредност струје пријемника Z 4 . РЕШЕЊЕ Коло има једну осу симетрије, па се може представити као на слици 308.2. У гранама које пресеца оса симетрије нема струје, па се, после њиховог раскидања, добија коло са слике 308.3.

Слика 308.1. Применом Нортонове и Тевененове теореме, коло се може даље упростити као на I (Z 5 + 2Z ) g - E 2 слици 308.4, односно 308.5, па је I 4 = = 32(+ 3 + j4) mA . Ефективна Z 4 + Z 5 + 2Z вредност ове струје је I 4 = I 4 = 0,16 A .

242

Кола променљивих струја

Z2 2

Z2 2

Z2 2 Z3

Ig

Ig

2

2

E1

Ig 2

Z1 I4

Z4 E Z5 2Z

Слика 308.3. Слика 308.2. Ig 2

I4

Z4

(Z 5 + 2Z )

Ig 2

-E

Z 5 + 2Z

Слика 308.5. Слика 308.4.

5. Теореме

243

309. За коло са слике 309.1 познато је Z 1 = j100 W , Z 2 = - j50 W , Z 3 = 10(1 + j2 ) W ,

Z 4 = 20(2 - j) W ,

Ig = 2 A,

и

E 1 = j120 V

E 4 = 100 V .

Израчунати ефективну вредност струје другог пријемника, I 2 . РЕШЕЊЕ Коло са слике 309.1 се може представити као на слици 309.2, чиме се добија коло са једном равни (осом) антисиметрије. Слика 309.1. Ig

Ig Ig E1 2

Z1 2

E1 2

Z1 2

I2 Z2

E1 2

Z1 2

Z2

I2 Z2

Z3

Z3

E4

Z3

E4 2Z5

E4

2Z5

Z4

2Z5

Z4 Z4 Оса антисиметрије Слика 309.2.

Слика 309.3.

244

Кола променљивих струја

Све тачке кола које се налазе на оси антисиметрије су на истом потенцијалу, па се могу кратко спојити, чиме се добија коло на слици 309.3. Са те слике је Z E E1 Z 1 Ig + 3 4 2 2 Z3 + Z4 = (0,8 - j0,6 ) A , па је I 2 = I 2 = 1 A . I2 = Z3Z4 Z1 + Z2 + 2 Z3 + Z4

310. У

колу

са

слике

(1)

310.1,

у

устаљеном стању када је E x = 10 V и () E y1 = j5 V , познате су струје I 1(1) = -(70 + j72,5) mA и I (31) = 50(3 - j) mA . Израчунати струје I (2 ) и I (2 ) у устаљеном 1

3

( ) стању када је E x = 5 V и E y2 = -5 V . (2 )

Слика 310.1. РЕШЕЊЕ

(

)

( )

I 1 E x , E y = I ¢1 (E x ) + I ¢¢1 E y и I 3 E x , E y = I ¢3 (E x ) + I ¢¢3 E y . По теореми пропорционалности је I ¢1 (E x ) = a1 E x , I ¢¢1 E y = a 2 E y , I ¢3 (E x ) = a 3 E x и I ¢¢3 E y = a 4 E y , где су a1 , a 2 , a 3 и a 4 комплексне По

( ) ( )

теореми

суперпозиције

( )

је

( )

величине, по природи проводности, које зависе само од комплексних импеданси (односно адмитанси) пријемника у колу. Због симетрије је a1 = - a 2 и a 3 = a 4 , па је

(

)

(

)

I 1 = a1 E x - E y и I 3 = a 3 E x + E y .

(

)

(

)

За посматрана устаљена стања у колу је I 1(1) = a1 E (x1) - E (y1) , I 1(2 ) = a1 E (x2 ) - E (y2 ) ,

(

)

(

)

I 3(1) = a 3 E (x1) + E (y1) и I 3(2 ) = a 3 E (x2 ) + E (y2 ) .

(2 ) (2 ) E (x2 ) - E (y2 ) (1) (2) = E x + E y I (1) = 0 . Одавде следи I 1(2 ) = (1) ( 27 j86 ) mA I I = + и 1 3 3 E x - E (y1) E (x1) + E (y1)

6. Кола са спрегнутим калемовима

245

6. Кола са спрегнутим калемовима 311. На слици 311.1 приказано је танко торусно језгро, средњег обима l = 50 mm и површине попречног пресека S = 10 mm 2 , на коме су равномерно и густо намотана два намотаја, један преко другога, по целом обиму торуса. Језгро се може сматрати линеарним, релативне пермеабилности m r = 1000 , а бројеви завојака калемова су N1 = 100 , односно N 2 = 20 . Губици у жици и језгру су занемарљиви. Први намотај је прикључен на струјни генератор простопериодичне струје ефективне вредности I g = 2 mA , учестаности f = 100 kHz и почетне фазе y g = p / 2 . За прикључке другог R = 100 W . У колу је успостављен простопериодичан режим. Израчунати тренутне напоне примара и секундара ( u11' и намотаја везан је отпорник отпорности

u 22' ), тренутну струју отпорника и средњу снагу отпорника.

Слика 311.2.

Слика 311.1. РЕШЕЊЕ Еквивалентна шема система са слике 311.1 приказана је на слици 311.2. Индуктивност

примарног

намотаја је

L1 =

m r m 0 N12 S » 2,51 mH , l

а

индуктивност

246

Кола променљивих струја

m r m 0 N 22 S » 100,5 mH . Имајући у виду смерове мотања, l ознаке прикључака и усвојене референтне смерове струја, међусобна индуктивност је mm NN S |L | L12 = L21 = r 0 1 2 » 502,7 mH > 0 . Коефицијент спреге је k = 12 = 1 (спрега је l L1L2

секундарног намотаја је L2 =

савршена). Између напона и струја спрегнутих калемова на слици 311.1 важе релације U 1 = jwL1 I 1 + jwL12 I 2 ,

(311.1)

U 2 = jwL21 I 1 + jwL2 I 2 .

(311.2)

Према

тој

слици

је

I 1 = I g = jI g

и

- R I 2 = jwL21 I g + jwL2 I 2 , одакле је I 2 = -

I2 = -

U2 , R

па

једначина

даје

jwL12 I » (4,52 - j2,85) mA . R + jwL2 g

Из једначине (311.1) се добија комплексни 2 2 æ ö w L12 ÷ I = Z 11' I g » (- 2,26 + j1,43) V , U 1 = ç jwL1 + ç + jwL2 ÷ø g R è Z 11' = jwL1 +

(311.2)

напон где

примара, је

2 w2 L12 = (713 + j1128,8) W еквивалентна импеданса коју види струјни R + jwL2

генератор. Ефективна вредност тог напона је U1 » 2,67 V , почетна фаза је q1 » 2,58 rad , а тренутни напон примара је u1 (t ) = U1 2 cos(2pft + q1 ) . Из релације k =

| L12 | L1L2

= 1 следи

L1 L = 12 . Деобом једначине (311.1) са (311.2) L12 L2

U 1 L1 I 1 + L12 I 2 L12 N1 = = = = 5 , без обзира на то чиме је секундар U 2 L12 I 1 + L2 I 2 L2 N2 U 1 L12 L затворен. (Релација = = 1 важи за сваки савршени трансформатор, при U2 L2 L12

добија се

референтним смеровима као на слици 311.2.) Одавде је U 2 » 0,534 V , q 2 » 2,58 rad , а тренутни напон секундара је u 2 (t ) = U 2 2 cos(2pft + q 2 ) . Ефективна вредност струје секундара је I 2 = I 2 » 5,34 mA , почетна фаза је y 2 » -0,56 rad , а тренутна струја је i2 (t ) = I 2 2 cos(2pft + y 2 ) . Средња снага отпорника је P = RI 22 » 2,85 mW .

6. Кола са спрегнутим калемовима

247

l 312. За савршени трансформатор са слике 312.1 познати су бројеви завојака примара и секундара ( N 1 и N 2 ), средњи обим (l), површина попречног пресека (S), пермеабилност феромагнетског језгра које се сматра линеарним (m) и напон примара, u1 (t ) = U 1 2 cos wt . Одредити изразе за тренутне вредности струје примара када је секундар у празном ходу и напона секундара када је секундар затворен пријемником комплексне импедансе Z ( Z ¹ 0 ). Губици у трансформатору су занемарљиви.

N1 u1

N2

i1

u2

S Слика 312.1.

РЕЗУЛТАТ Када је секундар у празном ходу, тренутна струја примара је i1 (t ) =

U1l 2 sin wt

wm N12 S (струја магнетисања језгра). Када је секундар затворен пријемником, тренутни напон N секундара је u 2 (t ) = - 2 U 1 2 cos wt , без обзира на то колика је комплексна импеданса N1 пријемника ( Z ¹ 0 ).

313. Површина попречног пресека танког торусног језгра, приказаног на слици 313.1, је S = 2 cm 2 , средњи обим је l = 10 cm , а релативна пермеабилност је m r = 1000 . На језгро је равномерно и густо намотан намотај са N = 100 завојака. Језгро је обухваћено проводником у коме постоји простопериодична струја ig , амплитуде I m = 200 A , фреквенције f = 50 Hz и почетне фазе y = p / 2 . Губици у језгру и жицама су занемарљиви. Одредити комплексну струју кратко спојених прикључака намотаја.

248

Кола променљивих струја

r

l

S

N

ig

Слика 313.2.

i2

Слика 313.1. РЕШЕЊЕ У

еквивалентној

шеми

на

слици

313.2

је

L2 =

m rm0 N 2 S » 25,1 mH , l

а

m r m 0 NS » -251 mH . Секундар је кратко спојен, па је U 22' = 0 . Из једначине l L 1 jI (311.2) следи да је I 2 = - 21 I g = I g = m = j 2 A . L2 N N 2 L12 = L21 = -

314. Поновити претходни задатак ако је отпорност намотаја R = 10 W . РЕШЕЊЕ Отпорност намотаја се моделује отпорником, као на слици 314.1. Једначина по другом Кирхофовом закону за секундарно коло гласи - R I 2 - jwL2 I 2 - jwL21 I g = 0 , одакле је I 2 = -

jwL21 I g R + jwL2

» (-0,69 + j0,54) A . Ефективна вредност струје је I 2 » 0,88 A ,

а почетна фаза y » 2,47 rad .

Слика 314.1. Да ли би на резултат задатка утицали Џулови губици у проводнику који је прикључен на струјни генератор?

6. Кола са спрегнутим калемовима

249

315. У дугачком праволинијском проводнику постоји простопериодична струја i (t ) = I m sin wt . Одредити комплексни напон U 11' између отворених прикључака правоугаоне жичане контуре приказане на слици 315.1. Праволинијски проводник и контура леже у равни цртежа. Средина је ваздух. РЕЗУЛТАТ Тражени U 11' = -

Слика 315.1. напон

је

wm 0 I m 2 c+a b ln . c 4p

316. У веома дугачком праволинијском проводнику (слика 316.1) постоји простопериодична струја i1 (t ) = 10 cos wt A , где је w = 106 s -1 . Проводник лежи у равни цртежа. У истој равни се налази правоугаони кратко спојени завојак димензија a = 0,1 m и Растојање између b = 50 mm . праволинијског проводника и завојка је Отпорност завојка је c = 10 mm . R = 0,6 W , а индуктивност L = 360 nH . Израчунати ефективну вредност струје завојка ( I 2 ) и фазну разлику струја i2 и

Слика 316.1.

i1 . Систем се налази у вакууму. РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност струје завојка је I 2 » 0,24 A , а тражена фазна разлика је 2p y 2 - y1 » . 3

317. За коло простопериодичне струје приказано на слици 317.1 усвојити једно стабло, уцртати одговарајући систем независних контура и написати систем једначина по Кирхофовим законима у редукованом облику. Кружна учестаност је w.

250

Кола променљивих струја

Слика 317.1.

Слика 317.2.

РЕЗУЛТАТ Стабло и одговарајући систем независних контура приказани су на слици 317.2. Једначине по Кирхофовим законима гласе: ·

чвор 1: - I 1 - I 2 + I 3 = 0 ,

·

чвор 2: I 1 - I 4 - I 6 = 0 ,

·

чвор 3: - I 3 + I 4 + I 5 = 0 ,

·

контура 1: I 4 = I g 4 ,

·

контура 2:

·

контура 3: E1 - jwL1 I 1 - jwL15 I 5 - R3 I 3 - jwL5 I 5 - jwL51 I 1 - R5 I 5 -

1 I 2 + R2 I 2 - E 2 + R5 I 5 + jwL5 I 5 + jwL51 I 1 + R3 I 3 = 0 , jwC 2

1 I - jwL6 I 6 - E 6 = 0 , j wC 6 6

где је L15 = L51 = k L1L5 .

318. За коло са слике 318.1 познато је R1 = 100 W , w = 10 4 s -1 , E = 200 V , R2 = 300 W , L1 = 40 mH , L2 = 90 mH , k = 0,5 и Израчунати C = 250 nF . (а) ефективну вредност струје у колу, (б) ефективне вредности напона елемената кола и (в) комплексну снагу сваког елемента кола.

Слика 318.1.

6. Кола са спрегнутим калемовима

251

РЕШЕЊЕ (а) По другом

Кирхофовом закону, за коло 1 E - R1 I - jwL1 I - jwL12 I I - jwL2 I - jwL12 I - R2 I = 0 , jwC

са

слике

318.1

где

је је

E . 1 ö æ R1 + R2 + jç w(L1 + L2 + 2 L12 ) ÷ wC ø è Текстом задатка није прецизиран почетни тренутак за коло, па се може усвојити да је почетна фаза емс q E = 0 , што даје E = E = 200 V . Одавде је I = 80(4 - j3) mA . L12 = - k L1 L2 = -30 mH . Комплексна струја је I =

Ефективна вредност струје у колу је I = 80(4 - j3) mA = 0,4 A . (б) Напони

елемената

кола

U 23 = jwL1 I + jwL12 I = 8(3 + j4 ) V U 34 = 160 V ,

су

U 12 = R1 I = 8(4 - j3) V

U 23 = 40 V ,

U 34 =

U 45 = jwL2 I + jwL12 I = 48(3 + j4 ) V

и

и

и

U12 = 40 V ,

1 I = 32(- 3 - j4 ) V j wC

U 56 = R2 I = 24(4 - j3) V и U 56 = 120 V .

U 45 = 240 V

и и

(в) Комплексна снага коју развија генератор S E = E I * = 16(4 + j3) VA . Комплексне снаге

које примају остали елементи

у колу су

S L1 = U 23 I * = jw(L1 + L12 )I 2 = j16 VA ,

S R = U 12 I * = R1I 2 = 16 VA , 1

S C = U 34 I * =

1 2 I = - j64 VA , jwC

S L 2 = U 45 I * = jw(L2 + L12 )I 2 = j96 VA и S R = U 56 I * = R2 I 2 = 48 VA . 2

319. У колу простопериодичне струје са слике 319.1 је ig (t ) = 0,2 cos wt A , e(t ) = 10 sin wt V , w = 10 4 s -1 , L1 = 2 mH , L2 = 5 mH и k = 10 / 10 . Израчунати ефективну вредност напона идеалног струјног генератора.

Слика 319.1.

РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност напона струјног генератора је U = 2,8 2 V .

320. За мрежу приказану на слици 320.1 је L = 100 mH , k = 0,5 и w = 1000 s -1 . Колика је еквивалентна индуктивност између прикључака 1 и 2? РЕЗУЛТАТ Еквивалентна индуктивност је Le = L(1 - k 2 ) = 75 mH .

Слика 320.1.

252

Кола променљивих струја

321. Познате су индуктивности L1 и L2 и коефицијент спреге (k) спрегнутих калемова приказаних на слици 321.1. Колика је еквивалентна индуктивност између тачака А и В? РЕЗУЛТАТ

Слика 321.1.

Еквивалентна индуктивност је L AB = (1 - k 2 ) L1 .

322. Одредити еквивалентну индуктивност спрегнутих калемова приказаних на слици 322.1 ако је L1 = L2 = L и k = 1 . РЕЗУЛТАТ

Слика 322.1.

Еквивалентна индуктивност је Le = L .

323. Колика је еквивалентна индуктивност мреже калемова приказане на слици (а) 323.1 и (б) 323.2, ако је L = 1 mH и k = 1 ?

Слика 323.1.

Слика 323.2.

РЕЗУЛТАТ (а) Еквивалентна индуктивност мреже са слике 323.1 је L AB = L / 5 = 0,2 mH . (б) Еквивалентна индуктивност мреже са слике 323.2 је L AB = L = 1 mH . k L L 324. Израчунати еквивалентну индуктивност мреже приказане на слици 324.1 ако је L = 500 mH и k = 1. РЕЗУЛТАТ Еквивалентна индуктивност је Le = 1 H .

L

Слика 324.1.

6. Кола са спрегнутим калемовима

253

325. За мрежу калемова приказану на слици 325.1 је L = 100 mH и k = 1 . Израчунати еквивалентну индуктивност те мреже. РЕШЕЊЕ Еквивалентна индуктивност паралелне везе два савршено спрегнута калема је L , па је тражена индуктивност Le = L / 2 = 50 mH .

Слика 325.1.

326. У мрежи простопериодичне струје приказаној на слици 326.1 је 1 wL = = 4 kW и k = 0,25 . wC Израчунати еквивалентну комплексну импедансу између тачака А и В. РЕЗУЛТАТ Еквивалентна Z AB = - j500 W .

Слика 326.1. импеданса

је

327. За мрежу простопериодичне струје приказану на слици 327.1 је k =1 и R = 300 W , L = 1,5 mH , w = 10 5 s -1 . Израчунати еквивалентну комплексну импедансу мреже. РЕЗУЛТАТ Еквивалентна Z AB = (75 + j75) W .

импеданса

је

Слика 327.1.

328. У колу на слици 328.1 је ig (t ) = 2 2 sin wt A ,

w = 10 3 s -1 ,

L1 = L2 = 100 mH ,

k =1

и

R = 0,1 kW . Нацртати фазорски дијаграм свих напона и струја означених на слици.

Слика 328.1.

254

Кола променљивих струја

РЕЗУЛТАТ Комплексне струје и напони означени на слици 328.1 су I g = - j2 A = I 1 , I 2 = ( -1 + j) A ,

Im

U2

U 2 = ( -100 + j100) V = -U 1 .

2

Фазорски дијаграм је приказан на слици 328.2.

0

Re Ig

1

U1

Слика 328.2.

329. За мрежу приказану на слици 329.1 је I g = j2 A , w = 1000 s -1 , L = 100 mH и k = 0,5 . Одредити параметре еквивалентног Нортоновог генератора између тачака А и В. k A A РЕЗУЛТАТ Параметри Нортоновог Ig L L IgN YN генератора су I gN = j A и Y N = - j10 mS .

B

B

Слика 329.1.

330. За мрежу приказану на слици 330.1 је E = j2 V , w = 1000 s -1 , L = 100 mH и k = 2 / 2 . Одредити параметре еквивалентног Нортоновог генератора између тачака А и В. k A A РЕЗУЛТАТ Параметри Нортоновог генератора су E L L IgN YN I gN = -20 2 mA Y N = - j20 mS .

и B Слика 330.1.

B

6. Кола са спрегнутим калемовима

255

331. За мрежу простопериодичне струје приказану на слици 331.1 је Ig = 10 mA , p , L = 10 mH и k = 1 . 2 Израчунати параметре Нортоновог генератора у односу на прикључке А и В. w = 105 s -1 ,

yg = -

Слика 331.1.

РЕЗУЛТАТ Параметри Нортоновог генератора су I gNAB = - j10 mA и Y NAB = - j2 mS . Читаоцу се препоручује да одреди и параметре еквивалентног Тевененовог генератора, и то на два начина: (а) одређујући напон празног хода и еквивалентну импедансу и (б) трансфигурацијом Нортоновог генератора.

332. За мрежу простопериодичне струје приказану на слици 332.1 је I g = - j A , w = 10 6 s -1 , L = 100 mH , k = 1 генератора за прикључке А и В.

и

C = 20 nF . Израчунати параметре Нортоновог

k Ig

C

L

A

A IgN

L

YN

B

B

Слика 332.1. РЕЗУЛТАТ Параметри Нортоновог генератора су I gN = j A и Y N = j10 mS .

333. За

мрежу

простопериодичне

струје

приказану

6 -1

e( t ) = 200 cos wt V , w = 10 s , L = 100 mH , k = 2 / 2 параметре Нортоновог генератора за прикључке А и В. k A E

C

L

L

IgN B

Слика 333.1. РЕЗУЛТАТ

и

на

слици

333.1

је

C = 20 nF . Израчунати A YN B

256

Кола променљивих струја Параметри Нортоновог генератора су I gN = j2A и Y N = - j20 mS .

*334. Познате су индуктивности ( L1 и L2 ) и коефицијент спреге (k) спрегнутих калемова приказаних на слици 334.1. Колике треба да буду индуктивности La , Lb и Lc мреже приказане на слици 334.2 да би она била еквивалентна мрежи на слици 334.1?

Слика 334.1.

Слика 334.2.

РЕШЕЊЕ Између напона и струја мреже на слици 334.1 важе релације U 1 = jwL1 I 1 + jwL12 I 2 ,

(334.1)

U 2 = jwL21 I 1 + jwL2 I 2 ,

(334.2)

где је L12 = L21 = k L1L2 . За мрежу на слици 334.2 важе релације U 1 = jw(La + Lc )I 1 + jwLc I 2 ,

(334.3)

U 2 = jwLc I 1 + jw(Lb + Lc )I 2 .

(334.4)

Релација (334.3) ће бити идентична релацији (334.1), а релација (334.4) идентична релацији (334.2) ако је La = L1 - L12 , Lc = L12 и Lb = L2 - L12 . **Читаоцу се оставља да покаже да су импедансни параметри (z-параметри) мреже са слике 334.1 z11 = jwL1 , z12 = z 21 = jwL12 и z 22 = jwL2 .

*335. На основу претходног задатка, извести услове под којима су мреже на слици 334.1 и 335.1 еквивалентне.

Слика 335.1.

6. Кола са спрегнутим калемовима

257

РЕШЕЊЕ Трансфигурацијом звезде La - Lb - Lc са слике 334.2 у троугао Ld - Le - Lf са слике (L - L )(L - L12 ) L L 335.1 добија се да је Ld = La + Lb + a b = L1 + L2 - 2 L12 + 1 12 2 Lc L12 2 2 L L - L2 L L L L - L12 L L - L12 = 1 2 12 , Le = La + Lc + a c = 1 2 и Lf = 1 2 . Lb L2 - L12 L12 L1 - L12

На шта се своде еквивалентне шеме са слика 334.2 и 335.1 када је L1 = L2 , а k ® 1 ? **Читаоцу се препоручује да одреди y-параметре мрежа са слика 334.1 и 335.1, па на основу тога идентификује индуктивности калемова са слике 335.1.

**336. За мрежу са слике 336.1 одредити еквивалентни Т-четворопол.

Слика 336.1. РЕШЕЊЕ Према ознакама и оријентацијама са слике 336.2 је, по другом Кирхофовом закону, 1 U 1 - jwkL I 1 - jwL I 1 + jwkL(I 1 + I 2 ) - jwL(I 1 + I 2 ) + jwkL I 1 (I + I 2 ) = 0 и jwC 1 1 U 2 - jwL(1 - k )I 2 - jwL(I 1 + I 2 ) + jwkL I 1 (I + I 2 ) = 0 . Ове једначине се могу jwC 1 1 ö 1 ö æ æ U 1 = j ç wL(2 - k ) ÷ I 1 + j ç wL(1 - k ) ÷I , wC ø wC ø 2 è è 1 ö 1 ö æ æ U 2 = j ç wL(1 - k ) ÷ I 1 + j ç wL(2 - k ) ÷I . wC ø wC ø 2 è è

написати

у

облику

258

Кола променљивих струја 1

I1

kL

L

K1

(1 k)L k L

I2 2

K2

U1

U2 C I1 I2

1

2 Слика 336.2.

На слици 336.3 приказан је Т-четворопол за који је U 1 = (Z 1 + Z 3 ) I 1 + Z 3 I 2 и 1 ö æ Z 3 = j ç wL(1 - k ) и ÷ wC ø è Z 1 = Z 2 = jwL , што одговара мрежи приказаној на слици 336.4. Читаоцу се оставља да покаже да су импедансни параметри мреже са слике 336.1 1 ö 1 ö æ æ z11 = z 22 = j ç wL(2 - k ) ÷ и z12 = z 21 = j ç wL(1 - k ) ÷. wC ø wC ø è è L L 1 2

U 2 = Z 3 I 1 + (Z 2 + Z 3 ) I 2 .

Поређењем

се

добија

(1 k)L C Слика 336.3. 1

2 Слика 336.4.

337. За мрежу приказану на слици 337.1 је L1 = L2 = L = 100 mH ,

R = 100 W , k = 1 и w = 1000 s -1 . Колики треба да буду параметри Re и Le да би мрежа на слици 337.2 била еквивалентна оној на слици 337.1?

Слика 337.1.

Слика 337.2.

6. Кола са спрегнутим калемовима

259

РЕШЕЊЕ jwLR = jwL || R . jwL + R Поређењем са сликом 337.2 види се да је Re = R = 100 W и Le = L = 100 mH . Еквивалентна импеданса

мреже са слике 337.1 је

Z=

338. Поновити претходни задатак ако је L1 = 400 mH , L2 = 100 mH , R = 100 W ,

k = 1 и w = 1000 s -1 . РЕЗУЛТАТ L Тражени параметри су Re = 1 R = 400 W и Le = L1 = 400 mH . L2 У еквивалентној шеми на слици 337.2, отпорност Re је пресликана отпорност потрошача. Струја калема Le је струја магнетисања језгра.

339. За коло простопериодичне струје са слике 339.1 је E = 10 V , wL = 1 W , k = 1 и Z p = (1 - j) W .

Израчунати

ефективне

вредности напона и струје пријемника, као и активну снагу пријемника.

Слика 339.1.

РЕШЕЊЕ У односу на пријемник, остатак кола се може заменити Тевененовим генератором ефективне вредности електромоторне силе ET = E = 10 V и импедансе

(

)

Z T = jwL 1 - k 2 = 0 . Ефективна вредност напона пријемника је U p = ET = E = 10 V . ET Ефективна вредност струје пријемника је I p = = 5 2 A , а активна снага ZT + Zp

( )

пријемника је Pp = Re Z p I p2 = 50 W . Да је ефективна вредност напона пријемника једнака ефективној вредности електромоторне силе, могли смо да закључимо и на основу тога што је спрега савршена, U N па између комплексних напона примара и секундара важи релација 1 = ± 1 , где знак U2 N2 зависи од избора референтних смерова и смерова мотања калемова. У посматраном примеру, примар и секундар су идентични, па су им бројеви завојака исти ( N1 = N 2 ). U Стога је 1 = 1 . U2

260

Кола променљивих струја

**Активна снага пријемника се може израчунати и на други начин. По закону одржања енергије, активна снага пријемника у колу на слици 339.1 једнака је активној снази идеалног напонског генератора (јер је активна снага спрегнутих калемова нула). Према задатку 334 и референтним смеровима са слике 339.2, импедансни параметри мреже коју чине спрегнути калемови са те слике су z11 = jwL , z12 = z 21 = - jwL и z 22 = jwL . Идеални

напонски 2 z12

генератор

E2 Ze

2

U1

k

I2 2 L2 U2

L1

1'

2' Слика 339.2

еквивалентну

импедансу

2 2

w L Z e = z11 = j wL + = (1 + j) W , z 22 + Z p j wL + Z p PE = Re( Z e )

види

1 I1

па

је

активна

снага

генератора

= 50 W .

340. За коло простопериодичне струје са слике 340.1 је E = 100 V , R = wL = 50 W , а спрега је савршена. Израчунати снагу отпорника и ефективну вредност струје генератора.

Слика 340.1.

РЕЗУЛТАТ Снага отпорника је PR = 200 W , а ефективна вредност струје генератора је IE = 2 2 A .

*341. За коло са слике 341.1 2 , R, L и C. LC Израчунати коефицијент спреге k тако да ефективна вредност напона U буде што већа.

познато је I g , w =

Слика 341.1. РЕШЕЊЕ Према ознакама на слици 341.2 је L12 = -kL , па једначине по Кирхофовим законима 1 гласе U = jwL I + jwL12 I g + jwL I g + jwL12 I + R I g , - jwL I - jwL12 I g + I =0 и jwC C

6. Кола са спрегнутим калемовима

Ig = I + IC .

Из

I = (- 1 + 2k )I g .

последње Заменом

Z = R + j2 2 k (1 - k )

две у

261

једначине

прву

је

једначину

w2 LC (1 - k )I g

= 2(1 - k )I g w 2 LC - 1 добија се U = Z I g , где IC =

и је

L еквивалентна импеданса коју види струјни генератор. C

Квадрат ефективне вредности напона струјног генератора је U 2 = Z 2 I g2 . Из услова dU 2 1 = 0 добија се 2k (1 - k )(1 - 2k ) = 0 . За k = 0 и k = 1 је U = RI g , а за k = је dk 2 L 1 U = Ig R2 + > RI g , па је решење k = . 2 2C

Слика 341.2.

Слика 341.3.

Еквивалентна импеданса се може одредити и тако да се спрегнути калемови у задатом колу замене еквивалентном шемом из задатка 334. Тиме се добија коло приказано на слици 341.3, а еквивалентна импеданса коју види струјни генератор је æ 1 ö ÷ jwL(1 - k )çç jwkL + w j C ÷ø 2L è . = R + j2k (1 - k ) Z = R + jwL(1 - k ) + 1 C jwL(1 - k ) + jwkL + jwC

342. На танком торусу од картона, полупречника средњег круга rsr = 5 cm , површине попречног пресека S = 1,5 cm 2 , равномерно и густо су, један преко другог, по целој дужини торуса, намотана два намотаја. Примарни намотај има N1 = 1500 завојака, а секундарни N 2 = 1000 завојака (слика 342.1). Отпорност намотаја секундара је R2 = 20 W . Између крајева примарног намотаја прикључен је струјни генератор простопериодичне струје ефективне вредности

I g = 0,1 A

и кружне учестаности

w = 105 s -1 . Између крајева секундарног намотаја прикључена је редна веза кондензатора капацитивности С и отпорника отпорности R = 80 W . (а) Израчунати капацитивност С тако да ефективна вредност струје у секундарном намотају буде највећа. (б) Израчунати колика је при томе ефективна вредност напона између крајева секундарног намотаја.

262

Кола променљивих струја

Слика 342.1. РЕШЕЊЕ (а) На слици 342.2 приказана је еквивалентна шема кола са слике 342.1. Индуктивност секундара је

1 R1

Ig

N 22 S = 0,6 mH , а 2prsr међусобна индуктивност примара и секундара је N N S L12 = m 0 1 2 = 0,9 mH . 2prsr L2 = m 0

Једначина

по

другом

R2

k L1

L2

1'

C

2

U2

I2

R

2' Слика 342.2.

Кирхофовом

закону

за

секундарно коло гласи - jwL12 I g 1 - jwL2 I 2 - jwL12 I g - R2 I 2 I 2 - R I 2 = 0 , одакле је I 2 = . jwC 1 ö æ R + R2 + j ç wL2 ÷ wC ø è wL12 I g Ефективна вредност струје секундарног кола је I 2 = и има 2 1 æ ö (R + R2 )2 + ç wL2 - ÷ wC ø è 1 1 1 максимум када је wL2 = 0 , односно за C = 2 = mF . wC w L2 6 (б) Ефективна вредност струје секундара, под условом одређеним под (а), је wL12 I g I 2 max = = 90 mA , па је ефективна вредност напона између крајева секундарног R + R2 2

æ 1 ö намотаја U 2 = I 2 max R 2 + ç ÷ =9V. è wC ø

6. Кола са спрегнутим калемовима

263

343. За коло са слике 343.1 је R = 5 W , L1 = L2 = 5 mH ,

L3 = 4 mH ,

k=

5 5

и

w = 103 s -1 . Почетна фаза напона U 21 је p q 21 = , а ефективна вредност струје калема 4 L3 је I 3 = 5 A . (а) Израчунати комплексну Слика 343.1.

импедансу Z тако да напон калема L2 буде једнак нули. (б) Колики је напон U у том случају? РЕЗУЛТАТ (а) Комплексна импеданса је Z = j8 W . (б) Комплексни напон је U = -(35 + j51) V .

*344. У колу са слике 344.1 је U = 120 V , w = 10 4 s -1 , L1 = L2 = 4 mH , k = 0,5 и R = 10 W . (а) Израчунати комплексну снагу сваког елемента кола. (б) Нацртати фазорски дијаграм напона и струја. (в) Колика је комплексна улазна адмитанса између тачака 1 и 3?

Слика 344.1.

Слика 344.2.

РЕШЕЊЕ За оријентације са слике 344.2 је, по првом Кирхофовом закону за чвор 2, -I + I 1 + I 2 = 0 . По другом Кирхофовом закону за контуру S1 је U - jwL1 I - jwk L1 L2 I 1 - jwL2 I 1 - jwk L1 L2 I = 0 ,

а

за

контуру

S2

је

R I 2 - jwL2 I 1 - jwk L1 L2 I = 0 , где је L12 = k L1 L2 = 2 mH . Заменом бројних вредности познатих величина у SI систему добијају се једначине - I + I 1 + I 2 = 0 , I + I 1 = - j2 и I 2 - j4 I 1 - j2 I = 0 .

Решавањем

I 1 = 0,5(- 3 + j) A и I 2 = 3(1 - j) A .

ових

једначина

добија

се

I = 0,5(3 - j5) A ,

264

Кола променљивих струја Напони

елемената

кола

U 12 = jwL1 I + jwL12 I 1 = 30(3 + j) V

су

U 23 = jwL12 I + jwL2 I 1 = R I 2 = 30(1 - j) V .

(а) Комплексне снаге које примају елементи су

и

S L1 = U 12 I * = 30(2 + j9 ) VA ,

S L2 = U 23 I 1* = 30(- 2 + j) VA , и S R = U 23 I *2 = 180 VA . Комплексне снаге које примају индуктивно спрегнути калемови имају и реалан део, што је последица чињенице да магнетско поље потиче од струје оба калема. Укупна комплексна снага спрегнутих калемова је S L = S L1 + S L2 = j300 VA и чисто је имагинарна, јер у калемовима нема губитака. (б) Фазорски дијаграм напона и струја приказан је на слици 344.3, при чему је поклопљена фазорска раван и раван комплексних бројева тако да се фазна оса поклапа са позитивним делом реалне осе. Im jωL1I jωL12I1 I1 I1

U 12 = U L

1

O

α

I

f

I1

U 23 = U L = U R

β

jωL2I1 jωL2I1

2

Re

U jωL12I

I2

ф.о.

I2 Слика 344.3.

I æ 125 ö (в) Комплексна улазна адмитанса је Y ul = = ç12,5 - j ÷ mS . На слици 344.4 је U è 6 ø приказана еквивалентна шема пријемника коју „види“ прикључени напон. Параметри елемената те шеме су Re =

6000 10 3 = 80 W и Le = 4 = 4,8 mH . 12,5 10 ×125

Да ли се може формирати и еквивалентна шема у виду редне везе? Који су елементи у тој редној вези и колики су им параметри? Са фазорског дијаграма (слика 344.3) види се да је фазна разлика напона и струје p π калема L1 мања од , a = q L1 - y < , а 2 2 фазна разлика напона и струје калема L2 p π , b = q L 2 - y1 > , што је 2 2 последица индуктивне спреге ових калемова. већа од

Слика 344.4.

6. Кола са спрегнутим калемовима

265

*345. У колу са слике 345.1 је R1 = 20 W , R2 = 20 W , L1 = 4 mH , L2 = 9 mH , k =

2 , 3

10 mF , U = 13 V и w = 10 4 s -1 . Израчунати (а) ефективне вредности струја свих 3 грана, (б) ефективне вредности напона свих елемената кола, (в) комплексне снаге свих елемената кола, (г) комплексну улазну импедансу мреже и (д) нацртати фазорски дијаграм напона и струја. C2 =

Слика 345.1. РЕШЕЊЕ

I2

U R2

U L2

R2

L2

A

U C2 C2

B

k

I1 I

R1

L1

U R1

U L1

S1 S2

U, ω Слика 345.2. (а) За оријентације са слике 345.2, по првом Кирхофовом закону за чвор А је I = I1 + I 2 . По другом Кирхофовом закону за контуру S1 је U - R1 I 1 - jwL1 I 1 - jwL12 I 2 = 0 ,

а

за

контуру

S2

је

1 I = 0 , где је L12 = k L1 L2 = 4 mH . Заменом jwC 2 2 бројних вредности величина у SI систему јединица, једначине по Кирхофовим U - R2 I 2 - jwL2 I 2 - jwL12 I 1 -

266

Кола променљивих струја

(20 + j40)I 1 + j40 I 2 = 13 и добија се I 1 = 50(2 - j3) mA ,

законима постају I 1 + I 2 - I = 0 , Решавањем ових једначина I = 25(3 - j11) mA .

I1 = I 1 = 50 13 mA ,

Ефективне вредности струја су

j40 I 1 + (20 + j60 )I 1 = 13 . I 2 = -25(1 + j5) mA

и

I 2 = I 2 = 25 26 mA

и

I = I = 25 130 mA . (б) Комплексни

напони

елемената

U L2 = jwL2 I 2 + jwL12 I 1 = (17,25 + j1,75) V и U C2 = напона

су

U R = R1 I 1 = (2 - j3) V , 1

U L1 = jwL1 I 1 + jwL12 I 2 = (11 + j3) V ,

U R2 = R2 I 2 = -0,5(1 + j5) V ,

вредности

су

U R1 = 13 V ,

1 I = 0,75(- 5 + j) V . Ефективне jwC 2 2 U R2 = 0,5 26 V ,

U L1 = 130 V ,

U L2 = 300,625 » 17,34 V и U C2 = 0,75 26 V . (в) Комплексне снаге су S U = U I * = (0,975 + j3,575) VA , S R = R1I12 = 0,65 VA , 1

S L1 = U

* L1 I 1

= 0,65(1 + j3) VA , S R2 =

R2 I 22

= 0,325 VA , S L2 = U

* L2 I 2

= 0,65(- 1 + j3,25) VA и

j 2 S C = U C I *2 = I 2 = - j0,4875 VA . 2 2 wC 2

(г) Комплексна улазна импеданса је U Z ul = = (12 + j44 ) W . На слици 345.3 је приказана I еквивалентна редна веза коју „види“ напон, при чему је Re = 12 W и Le = 4,4 mH . Читаоцу се препоручује да одреди еквивалентну шему у виду паралелне везе.

Слика 345.3. (д) Слика 345.4 приказује фазорски дијаграм напона и струја. Са фазорског π π дијаграма се види да је a = q L1 - y1 < и b = q L2 - y 2 > . 2 2 Са фазорског дијаграма се види и да у колу долази до појаве пренапона: дужина фазора напона U L 2 већа је од дужине фазора прикљученог напона U , U L2 » 17,34 V > 13 V = U .

6. Кола са спрегнутим калемовима

267

UC UR

2

UR

1

UL

2

UL

2

1

f

Слика 345.4.

346. Одредити ефективну вредност струје I и комплексну снагу генератора у колу са слике 346.1. Познато је Е, w, R, L, C и k ¹ 1 . РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност струје је I = 0 , а комплексна снага коју развија генератор је 2 ö E æ 1 ç SE = j - wC ÷÷ . 2 çè wL(1 - k ) ø

C

L E

I

k

R

L

C

Слика 346.1.

347. Два намотаја, индуктивности L1 = 20 mH и L2 = 50 mH , занемарљивих отпорности, на језгру од неферомагнетског материјала, отпорник отпорности R = 50 3 W и кондензатор капацитивности C = 1 mF везани су у коло као на слици 3 . Између крајева 1 и 2 2 прикључен је простопериодичан напон ефективне вредности U = 200 V и кружне 347.1. Коефицијент индуктивне спреге намотаја је k =

учестаности w = 10 4 s -1 . Одредити магнетску енергију кола у тренуцима када је тренутна вредност прикљученог напона једнака половини његове максималне вредности.

268

Кола променљивих струја

РЕЗУЛТАТ Магнетска енергија је Wm1 = 15 mJ или Wm2 = 0 .

Слика 347.1.

348. На слици 348.1 приказана је мрежа простопериодичне струје за коју је познато R = 50 W , L = 100 nH и k = 0,5 . Израчунати C = 10 pF , учестаност при којој фазна разлика напона U и струје I p износи . 2

Слика 348.1.

РЕШЕЊЕ p , мора бити испуњен услов Re( Z ) = 0 2 (уз Im(Z ) > 0 ), где је Z еквивалентна импеданса задате мреже. Активна снага мреже Да би фазна разлика напона и струје била

тада је P = Re( Z ) I 2 = 0 . Са друге стране, активна снага мреже једнака је збиру активних снага елемената. Како у мрежи постоји само један отпорник, снага тог отпорника мора да буде нула. Одатле следи да струја отпорника мора да буде нула. У односу на посматрану мрежу, заменимо остатак кола компензационим струјним генератором струје I gk = I (слика 348.2).

Слика 348.2.

Слика 348.3.

Применимо Тевененову теорему у односу на отпорник R. Струја отпорника је ET IR = = 0 и биће нула ако је E T = 0 . Електромоторна сила Тевененовог R + ZT

6. Кола са спрегнутим калемовима генератора

напону празног хода у шеми æ 1 ö ÷ I . Та емс је нула када је w = E T = U ph = çç jwL(1 + k ) + j C ÷ø gk w è f =

једнака

269

је

са

слике 1

LC (1 + k )

348.3,

, односно

1 w = » 130 MHz . Тада је Z = jwL(1 + k ) , па је Re( Z ) = 0 и Im(Z ) > 0 . 2p 2p LC (1 + k )

Читаоцу се оставља да реши задатак и на други начин, тако да покаже да је комплексна улазна импеданса мреже са слике 348.1 æ R - jwkL 1 ö ÷÷ Z = jwL(1 + k ) + çç jwL(1 + k ) + и да је чисто имагинарна ако је C j w ø R + j wL + 1 è jwC 1 w= . LC (1 + k )

349. У колу простопериодичне струје са слике 349.1 је Ig = 25 130 mA , R1 = 20 W , wL1 = 40 W , R2 = 20 W , wL2 = 60 W и wL12 = 40 W . Израчунати отпорност R тако да ефективна вредност напона идеалног струјног генератора буде већа од ефективне вредности напона сваког од осталих елемената кола.

Слика 349.1.

Слика 349.2.

РЗУЛТАТ Према ознакама и референтним смеровима на слици 349.2 U 12 = ( R1 + jwL1 ) I 1 + jwL12 I 2 = ( R2 + jwL2 ) I 2 + jwL12 I1 , где је wL12 = +40 W ,

је и

I g = I 1 + I 2 . Одатле је I 1 » (0,00769 - j0,011538)U 12 , I 2 » (-0,00192 - j0,00962)U 12 и I g » (+0,00577 - j0,021158)U 12 , те је U12 = 13 V , I1 » 180,3mA и I 2 » 127,5mA . Ефективне вредности напона елемената кола су U R1 = 3,6 V , U R 2 » 2,55V , U L1 » 11,40V и U L2 » 13,73V . Ако усвојимо да је U 12 = U12 = 13 V , тада је I g = (75 - j275) mA . Напон струјног генератора је U I = U 32 = U 12 + R I g . Из фазорског дијаграма напона и струја g

за задато коло може се закључити да је увек U Ig > U R . Према услову задатка треба да буде U Ig > 13,73 V , одакле је R > 7,6 W .

270

Кола променљивих струја

350. У циљу мерења индуктивности и међусобне индуктивности спрегнутих калемова формирано је коло простопериодичне струје приказано на слици 350.1. У равнотежном стању је струја амперметра А доведена на нулу. Одредити индуктивност L1 и модул међусобне индуктивности L12 сматрајући познатим R1 , R2 , R3 , R4 и C4 и f.

Слика 350.1. РЕШЕЊЕ Према референтним смеровима и ознакама са слике 350.1 је I A = 0 , I = I 1 + I 3 , æ 1 ö ÷ I + R3 I 3 = 0 . Одавде је I 1 = I 4 , - (R1 + R2 + jwL1 ) I 1 - jwL12 I = 0 и - çç R4 + jwC4 ÷ø 4 è æ 1 ö ÷ I = R3 I 3 . Деобом ове две çç R4 + j C4 ÷ø 1 w è (R1 + R2 )R3 + jwR3 (L1 + L12 ) = - L12 - jwR4 L12 , одакле је C4

(R1 + R2 + jw(L1 + L12 )) I 1 = - jwL12 I 3 једначине

добија

се

и

R + R4 L12 = -C4 R3 (R1 + R2 ) и L1 = - 3 L12 . Према слици 350.1 је L12 = - L12 , па је R3 L12 = C 4 R3 (R1 + R2 ) и L1 = C 4 (R1 + R2 )(R3 + R4 ) .

*351. За магнетско коло приказано на слици 351.1 познато је l1 = l 2 = 0,5 m , l3 = 0,2 m , S1 = S 2 = 15 cm 2 и S 3 = 30 cm 2 . Материјал од кога је начињено језгро може се сматрати линеарним, релативне пермеабилности m r = 5000 . На средњем стубу језгра налазе се два намотаја, са N1 = 120 завојака, односно N 2 = 130 завојака. Отпорности намотаја су R1 = R2 = 0,3 W . Губици у језгру су занемарљиви. Магнетско расипање је, такође, занемарљиво. (а) Нацртати еквивалентну електричну шему овог трансформатора и израчунати индуктивности. (б) Ако се примар трансформатора прикључи на простопериодичан напон учестаности f = 50 Hz и ефективне вредности U = 2 V , а секундар кратко споји, израчунати ефективне вредности струја примара и секундара.

6. Кола са спрегнутим калемовима

l1

271

l2

1

1

N1 1'

R1

l3 S 3

R2

k

2

L2

L1

2 N2

S1

2'

1'

2' S2

Слика 351.1.

Слика 351.2.

РЕШЕЊЕ (а) Еквивалентна електрична шема трансформатора приказана је на слици 351.2. Она се састоји од спрегнутих калемова, чији је коефицијент спреге k = 1 (јер је магнетско расипање занемарљиво), и отпорника који моделују губитке у намотајима. Да бисмо израчунали сопствену индуктивност првог намотаја ( L1 ), замислимо да је примар прикључен извор константне струје I1 , а да је секундар отворен (у празном ходу). Магнетско коло трансформатора може се анализирати помоћу аналогног електричног кола, приказаног на слици 351.3. Слика 351.3. Магнетске

релуктансе

у

том

колу

су

Rm1 =

l1 » 5,3 × 10 4 H -1 , m r m 0 S1

l2 l3 » 5,3 × 10 4 H -1 ( Rm1 = Rm2 због симетрије) и Rm3 = » 1,06 × 10 4 H -1 . m rm0 S2 m r m 0 S3 Магнетски флукс кроз средњу грану магнетског кола је N1 I1 N1I1 , магнетски флукс кроз први намотај је N1F 3 , а F3 = = 1 Rm3 Å Rm1 || Rm2 Rm3 + Rm1 2 NF сопствена индуктивност првог намотаја је L1 = 1 3 » 0,388 H . При томе је магнетски I1 Rm2 =

флукс кроз други намотај (према оријентацијама намотаја са слике 351.2) једнак N 2 F 3 , N F па је међусобна индуктивност L12 = 2 3 » 0,420 H = L21 . На сличан начин се одређује I1 и сопствена индуктивност другог намотаја, L2 » 0,455 H .

272

Кола променљивих струја

Слика 351.4. (б) Када се секундар трансформатора кратко споји, а примар прикључи на напон U (слика 351.4), једначине по другом Кирхофовом закону су U = R1 I 1 + jwL1 I 1 + jwL12 I 2 и 0 = R2 I 2 + jwL21 I 1 + jwL2 I 2 .

Из

тих

једначина

је

I1 =

U R1 + jwL1 +

=

2 w2 L12 R2 + jwL2

U (R2 + jwL2 ) - jwL12 2 (јер је L12 - L1 L2 = 0 због k = 1 ) и I 2 = I 1 , одакле је R2 + jwL2 R1 R2 + jw(L1R2 + L2 R1 )

I1 = 3,55 A и I 2 = 3,27 A . **Читаоцу се оставља да објасни због чега се нумерички разликују резултати за U и преко струју примара израчунати преко израза I 1 = 2 w2 L12 R1 + jwL1 + R2 + jwL2 U (R2 + jwL2 ) . Да ли повећање броја важећих цифара при прорачуну R1 R2 + jw(L1 R2 + L2 R1 ) индуктивности побољшава слагање резултата? Колики би били резултати овог задатка да су сопствене индуктивности исте, али да је k = 0,98 ? I1 =

*352. Трансформатор описан у претходном задатку везан је у коло као на слици 352.1. Отпорност отпорника је R = 230 W , а реактанса кондензатора је X = -300 W . Генератор је простопериодичан, учестаности f = 50 Hz . (а) Израчунати комплексну електромоторну силу генератора тако да комплексна оптерећеност кондензатора буде Q = -(1 + j) mC . (б) Израчунати комплексну снагу генератора. Занемарити губитке у намотајима трансформатора.

6. Кола са спрегнутим калемовима

273

Слика 352.1.

Слика 352.2.

РЕШЕЊЕ (а) Еквивалентна шема је приказана на слици 352.2. Индуктивности у тој шеми су L1 » 0,388 H , L2 » 0,455 H и L12 » 0,420 H . Комплексна струја кондензатора је I 2 = jwQ = j2pf Q » 0,314(1 - j) A , па је комплексни напон секундарног намотаја

U 12 = (R + jX )I 2 » -(22 + j166,5) V .

Из Кирхофових закона следи I 1 = I 2 + I 3 и U 12 = jwL2 I 3 + jwL12 I 1 , одакле је I1 =

U 12 + jwL2 I 2 » -(0,442 + j0,083) A jw(L2 + L12 )

и

I 3 = I 1 - I 2 » (-0,756 + j0,231) A .

Електромоторна сила генератора је E = U 12 + jwL1 I 1 + jwL12 I 3 » -(42,3 + j320) V . Како је магнетски флукс исти кроз сваки завојак примара и секундара, електромоторна сила генератора се може одредити и на основу релације N + N2 E = 1 . U 12 N2 (б) Комплексна SE =

E I 1*

снага

идеалног

напонског

генератора

је

» (45,4 + j138) VA .

Као провера, активна снага генератора мора бити једнака снази отпорника, PR = RI 22 = 45,4 W .

353. На торусу од картона налази се намотај са N 2 = 1000 завојака (слика 353.1), намотаних равномерно и густо по целом торусу. Индуктивност намотаја је L2 = 30 mH , а отпорност R2 = 20 3 W . Између крајева намотаја везан је претежно индуктиван 3 . Контура са 2 простопериодичне струје ефективне вредности I g = 4 A пријемник

фактора

снаге

cos f p =

струјним

генератором

и кружне учестаности

w = 2000 s -1 обухвата торус N1 = 300 пута. Израчунати (а) комплексну импедансу

274

Кола променљивих струја

пријемника Z p тако да његова активна снага буде највећа и (б) највећу активну снагу овог пријемника. 1

Ig

N2 R2 N1 L2

1'

R1 2 2' Zp Слика 353.1.

РЕШЕЊЕ (а) Систем са слике 353.1 може се представити еквивалентном шемом као на слици 353.2. Сопствена индуктивност секундарног намотаја сразмерна је са N 22 , а међусобна индуктивност примара и секундара сразмерна је са N1 N 2 , са истим коефицијентом сразмерности. На основу тога је L12 = 1 R1

N1 L2 = 9 mH . N2 R2

k

ZT

2

2 Ip

Ig

L1

L2

Zp

1'

ET

Zp

2'

2'

Слика 353.2.

Слика 353.3.

У односу на пријемник, остатак кола се може заменити Тевененовим генератором

(

)

(слика 353.3), чија је емс E T = jw L12 I g , а импеданса Z T = R2 + jwL2 = 20 3 + j3 W . Ефективна вредност емс Тевененовог генератора је ET = wL12 I g = 72 V , а модул импедансе је Z T = 40 3 W . Пошто је задат фактор снаге пријемника, активна снага пријемника ће бити

(

(

)

)

максимална када је Z p = Z T , односно када је Z p = Z T cos f p + j sin f p = 20 3 + j 3 W , где је sin f p = + 1 - cos 2 f p =

1 јер је пријемник претежно индуктиван. 2

(б) Ефективна вредност струје пријемника је I p =

(

)

ET ZT + Zp

активна снага пријемника Pp = Rp I p2 = 64,8 2 - 3 W » 17,4 W .

(

)

= 0,3 3 - 3 2 A , па је

6. Кола са спрегнутим калемовима

275

354. За коло са слике 354.1 познато је L = 5 mH , k = 0,8 , E = 6 V и w = 10 4 s -1 . Израчунати отпорност R тако да се на том отпорнику развије највећа активна снага. Колика је та снага?

Слика 354.1. РЕШЕЊЕ Применом Тевененове теореме може се формирати коло са j 1 слике 354.2, при чему је Z T = wL(1 + k ) и E T = E . Из услова 2 2 1 R = Z T добија се R = wL(1 + k ) = 45 W . 2 Максимална активна снага је PR max =

E2 = 0,1 W . 4wL(1 + k ) Слика 354.2.

355. У колу са слике 355.1 познато је Е, w , L, k ¹ 1 и R0 . Одредити отпорност отпорника R тако да се на њему развија највећа активна снага. РЕЗУЛТАТ Тражена отпорност је R =

R0 æ R0 1+ ç ç 2 è wL 1 - k

(

)

ö ÷ ÷ ø

2

.

Слика 355.1.

356. У колу са слике 355.1 познато је Е, w , L, k = 1 , R0 и R. Одредити комплексну снагу генератора. РЕШЕЊЕ

Према ознакама са слике 356.1 је L12 = L , па је E = jwL I 1 + jwL I 2 = jwL(I 1 + I 2 ) ,

R I p = jwL I 2 + jwL I 1 = jwL(I 1 + I 2 ) , I 0 = I 2 + I p , I = I 1 + I 2 + I p и E - R0 I 0 - R I p = 0 . Одавде је I p =

E E j ö æ1 , I 0 = 0 , I 2 = - I p = - и I = I 1 , па је I = ç ÷E. R R è R wL ø

276

Кола променљивих струја Активна

снага

отпорника

R

је

E . Генератор развија комплексну R j ö 2 æ1 снагу S E = E I * = ç + ÷E . R w Lø è Читаоцу се препоручује да упореди овај задатак са задатком 337. PR = RI p2 =

I0

2

I E

R0 k

L

L

R

I1

I2

Ip

Слика 356.1.

357. У приказаном

колу простопериодичне струје на слици 357.1 је E = 2 V ,

w = 10 7 s -1 , I g = 30 mA , q E - y g = p , R = 10 W , L = 10 mH , k = 1 и C = 1 nF . Израчунати колика треба да буде отпорност пријемника Rp да би средња снага тог пријемника била максимална. Колика је та максимална снага? РЕЗУЛТАТ Оптимална отпорност пријемника 400 Rp = W, а максимална снага 3 Pp max = 30 mW .

Слика 357.1.

је је

*358. За коло са слике 358.1 познато је I g = - j100 nA , w = 108 s -1 , R1 = 100 W , L1 = L2 = 2 mH , k = 0,5 и C1 = 25 pF . Израчунати отпорност R2 и капацитивност C 2 тако да се на отпорнику R2 добије највећа активна снага.

Слика 358.1.

6. Кола са спрегнутим калемовима

277

РЕШЕЊЕ

Слика 358.2. Ради упрошћавања, коло се може представити као на слици 358.2, при чему је Ig E= = -40 mV . Међусобна индуктивност калемова је L12 = -k L1 L2 = -1 mH , па је jwC1 међусобна комплексна импеданса jwL12 = - j100 W . За коло са слике 358.2 је, по другом Кирхофовом закону за контуру S1 , æ E - ç R1 + ç è

æ 1 ö ö÷ ÷ I - jwL12 I 2 = 0 , j çç wL1 wC1 ÷ø ÷ø 1 è

æ - jwL12 I 1 - ç R2 + ç è у

SI

за

контуру

æ 1 ö ö÷ ÷ I = 0, j çç 200 wC2 ÷ø ÷ø 2 è

одакле

8(2 - j) × 10 -6 . æ 1 ö ÷ 20 + R2 + j çç 240 wC2 ÷ø è

Активна снага отпорника R2 је PR2 =

R2 I 22

=

- 4 ×10 -7 - (1 - j2 )I 1 + - jI 2 = 0

је,

у

(

R2 8 × 5 × 10 - 6

(20 + R2 )

2

æ 1 члан çç 240 wC 2 è

ö ÷÷ ø

је

SI

и

јединицама,

)

2

æ 1 ö ÷ + çç 240 wC 2 ÷ø è

2

. Види се да

2

у имениоцу смањује активну снагу, па је ради постизања

максималне снаге потребно да буде 240 C2 =

S2

æ 1 ö ö÷ ÷ I = 0 . Заменом бројних вредности познатих величина j çç wL2 wC2 ÷ø ÷ø 2 è

систему јединица добијају се једначине

æ - j100 I 1 - ç R2 + ç è I2 =

а

1 1 = 0 , односно = 240 , одакле је wC 2 wC 2

1 nF » 41,7 pF . Да би активна снага била максимална, потребно је да буде 24

(

)

2

dP2 4 ×10 -5 = 0 , јер функција P2 (R2 ) = има само један максимум као екстремум за dR2 (20 + R2 )2 R2 > 0 . Одавде произилази 20 + R2 - 2 R2 = 0 , па је R2 = 20 W .

278

Кола променљивих струја Струја у секундарном колу је I 2 = 200(2 - j) nA , а ефективна вредност јој

је I 2 = I 2 = 200 5 nA , па је активна снага P2 = R2 I 22 = 4 pW . Задатак се, на други начин, може решити користећи се Тевененовом теоремом. На сликама 358.3 и 358.4 су представљена кола за одређивање карактеристика Тевененовог генератора.

Слика 358.3.

Слика 358.4. Према слици 358.3 је E T = (U AB )ph = jwL12 I 1 =

æ Према слици 358.4 је - ç R1 + ç è је

L12 = -k L1 L2 .

Z T = (Z ul )AB =

Ut = jwL2 It

- jwk L1L2 E æ 1 ö ÷ R1 + jçç wL1 w C1 ÷ø è

= 8(- 2 + j) mV .

æ 1 ö ö÷ ÷ I - jwL12 I t = 0 и U t = jwL2 I t + jwL12 I 1 , па j çç wL1 wC1 ÷ø ÷ø 1 è Из

претходне

( jwL12 )2 æ 1 ö ÷ R1 + j çç wL1 wC1 ÷ø è

две

= (20 + j240) W .

једначине

је

6. Кола са спрегнутим калемовима

279

Слика 358.5 приказује просто коло еквивалентно задатом колу. На отпорнику R2 ће се развити највећа снага ако је пријемник 1 Z 2 = R2 + прилагођен по снази на j wC 2 Тевененов генератор, односно ако је Z 2 = Одавде је R2 = 20 W C2 =

Z *T .

A I2 ET

C2 Z2

ZT

1 R2 = (20 - j240 ) W , те је jwC 2 и

1 = 240 W , wC 2

1 nF » 41,7 pF . 24

Максимална

снага отпорника је (P2 )max =

па

R2

B

је

Слика 358.5.

активна

ET2 = 4 pW . 4 RT

359. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 359.1 је I g = 1 mA , w = 10 8 s -1 ,

R1 = R2 = 50 W ,

L1 = L2 = 10 mH

и

C1 = C 2 = 10 pF .

Израчунати

коефицијент спреге (k) при коме је снага отпорника R2 максимална, као и ту максималну снагу.

Слика 359.1.

Слика 359.2. РЕШЕЊЕ Паралелна веза идеалног струјног генератора и отпорника на слици 359.1 може се заменити редном везом идеалног напонског генератора и отпорника, као на слици 359.2, при чему је E = R1 I g = 50 mV . С обзиром на то да је

280

Кола променљивих струја

1 1 = wL2 = = X = 1 kW и L12 = kL1 , једначине спрегнутих кола гласе: wC1 wC 2 E E = R1 I 1 + jkX I 2 , 0 = R2 I 2 + jkX I 1 , одакле је I 2 = . Снага отпорника æ R1 R2 ö jç + kX ÷ è kX ø

wL1 =

R2 је максимална када је ефективна вредност ове струје максимална, односно када је E k = 0,05 . Тада је I 2 = = 0,5 mA и PR2 = 12,5 pW . 2 R1 Задатак се може решити и користећи се теоремом прилагођења по снази. Треба израчунати комплексну импедансу коју види реални напонски генератор E - R1 и изједначити је са R1 .

360. За коло са слике 360.1 познато је I g , L, k = 1 , C и R. Одредити кружну учестаност w тако да фазна разлика струје I g и напона кондензатора U C буде p . Колика је тада ефективна вредност напона 3 UC ? a=

Слика 360.1.

РЕЗУЛТАТ Кружна учестаност је w =

RI g 3 , а ефективна вредност напона је U C = . RC 2

361. За коло са слике 361.1 познато је I g , w и L . Одредити коефицијент спреге k тако да струјни генератор развија само реактивну снагу и одредити комплексну снагу струјног генератора у том случају.

6. Кола са спрегнутим калемовима

281

Слика 361.1. Слика 361.2. РЕШЕЊЕ У колу које напаја струјни генератор активна снага се развија само на отпорнику R . Уколико је струја отпорника једнака нули ( I R = 0 ), тада је из PR = RI R2 и снага отпорника једнака нули, па генератор развија само реактивну снагу. Према оријентацијама са слике 361.2, за контуру S је - jwL I + jwkL I g = 0 . Такође је U 12 = jwkL I g = jwL I g - jwkL I = U 14 . Из прве једначине је I = k I g , па се заменом у другу једначину добија k = 1 - k 2 , односно k 2 + k - 1 = 0 . Решења ове квадратне једначине су k1, 2 = k=

-1± 5 . Како k Î [0,1] , то је једино физички прихватљиво решење 2

- 1+ 5 . 2 Напон струјног генератора је U = U 12 = jwkL I g = jw

коју развија струјни генератор је S I g = U I *g = jw

-1 + 5 L I g . Комплексна снага 2

-1+ 5 2 LI g . 2

*362. Одредити ефективне вредности струје I и напона U AB у колу са слике 362.1 ако је познато Е, w, L и k ¹ 1 .

282

Кола променљивих струја

Слика 362.1. Слика 362.2. РЕШЕЊЕ Усвојимо ознаке и оријентације као на слици 362.2. Између напона и струја важе релације U 1 = jwL1 I 1 + jwL12 I 2 + jwL13 I 3 , U 2 = - jwL12 I 1 - jwL2 I 2 - jwL23 I 3 и U 3 = jwL31 I 1 + jwL32 I 2 + jwL3 I 3 , где је L12 = L21 = k12 L1 L2 , L23 = L32 = -k 23 L2 L3 и L31 = L13 = -k31 L3 L1 . L1 = L2 = L3 = L , k12 = k 23 = k31 = k , L12 = L21 = kL , L23 = L32 = -kL , L31 = L13 = -kL , U 1 = E , U 2 = 0 , I 2 = I , U 3 = U AB и I 3 = 0 , па се једначине спрегнутих кола своде на E = jwL I 1 + jwkL I , У

задатом

случају

0 = - jwkL I 1 - jwL I I1 =

(

E

jwL 1 - k

2

362.1)

је

и U AB = - jwkL I 1 - jwkL I -k E

и I=

)

(слика

(

j wL 1 - k

2

)

Из прве две једначине се добија

-k E . Заменом у трећу једначину добија се U AB = . 1+ k

На основу тога су тражене ефективне вредности I =

(

kE

wL 1 - k 2

)

и U AB =

kE . 1+ k

*363. За коло са слике 363.1 познате су комплексне емс E1 = j20 V и E 2 = -20 V , отпорности R1 = 10 W , R2 = 5 W , R3 = 15 W и R = 2 W , као и реактансе X L1 = 20 W , X C1 = -10 W ,

X L2 = 25 W ,

X C 2 = -30 W ,

X L3 = 5 W ,

XL = 5 W

и

X C = -25 W .

Коефицијенти спреге намотаја су k1 = 0,75 и k 2 = 0,8 . Израчунати ефективну вредност напона U AB . РЕЗУЛТАТ Комплексни

напон

U AB = U AB = 3,5 26 V .

је

U AB = 3,5 (5 - j) V ,

а

ефективна

вредност

му

је

6. Кола са спрегнутим калемовима

283

A

B

E1 R1

E2

R2 C1

k2

L1

R

L3

L2

C

L

C2

R3

k1 Слика 363.1. A

B L

364. Одредити кружну учестаност w тако да ефективна вредност струје генератора у колу са слике 364.1 буде највећа. Познато је Е, R, C, L и k. Колика је тада ефективна вредност напона U AB ?

k L

k

РЕЗУЛТАТ Кружна

k L

R учестаност

је

w=

ефективна вредност напона је U AB max

2 , (1 + k )LC

а C

wL =k E. R

E

Слика 364.1.

**365. У колу са слике 365.1 је R3 = 50 W ,

L1 = L2 = 100 mH ,

E1 = - E 2 = 10 2 V ,

L3 = 200 mH ,

Израчунати снаге отпорника PR1 и PR3

4 -1

w = 10 s

R = 50 W ,

R1 = 25 W ,

k12 = k13 = k 23 = 1 . и ефективну вредност напона U 41 када је и

прекидач П (а) отворен и (б) затворен. РЕЗУЛТАТ (а) Када је прекидач отворен, PR1 » 0,5 W , PR3 » 0,5 W и U 41 » 88,4 mV » 0 . (б) Када је прекидач затворен, PR1 = 0 , PR3 » 2 W и U 41 » 7,07 V . Трансформатор приказан на слици 365.1 назива се хибридни трансформатор и употребљава се у телекомуникационој техници.

284

Кола променљивих струја

Слика 365.1.

**366. Реални напонски генератор, електромоторне силе

E

и унутрашње

импедансе Z , прикључен је на примар идеалног трансформатора преносног односа N1 : N 2 као на слици 366.1. Одредити параметре Тевененовог генератора (слика 366.2) у односу на прикључке секундара трансформатора. Z

1

N1:N2

ZT

2

E

2

ET

1'

2'

Слика 366.1.

2' Слика 366.2.

РЕШЕЊЕ За идеални трансформатор, према оријентацијама на слици 366.3, важе релације U1 U2

=

N1 , N2

I1 N =- 2 . I2 N1

(366.1)

(366.2)

Слика 366.3. Када је секундар у колу са слике 366.1 у празном ходу ( I 2 = 0 ), струја примара је N I 1 = 0 , па је U 1 = E и U 2 = 2 E1 = E T . Када се анулира побуда, односно када се N1

6. Кола са спрегнутим калемовима

285

идеални напонски генератор замени кратким спојем, тада је U 1 = - Z I 1 , па је U N2 еквивалентна импеданса гледано у секундар трансформатора Z e = 2 = 22 Z = Z T . I2 N1

***367. Израчунати еквивалентну импедансу између прикључака 1 и 2 мреже приказане на слици 367.1. Позната је отпорност R = 150 W , а преносни односи идеалних трансформатора су 1:1.

Слика 367.1.

Слика 367.2.

РЕШЕЊЕ Ако се на мрежу прикључи тест генератор, као на слици 367.2, према једначинама U3 U1 I I (366.1) и (366.2) је = 1 , 1 = -1 , = 1 и 3 = -1 . Очигледно је I 2 = I 3 , па је U2 I2 U4 I4 I 1 = - I 2 = - I 3 = I 4 . Из првог Кирхофовог закона је I = I 1 - I 3 = 2I 1 . Из другог Кирхофовог закона је R I 1 + U 1 = E t и - R I 4 + U 4 = 0 . Сабирајући ове две једначине и водећи рачуна о томе да је I 1 = I 4 , добија се U 1 + U 4 = E t . Из другог Кирхофовог закона је и -U 2 + U 3 = E t , одакле следи -U 1 + U 4 = E t јер је U 1 = U 2 и E U 3 = U 4 . Из ових једначина се добија U 1 = 0 и U 4 = E t , па је I 1 = t . R E E R Коначно је I = 2 t , па је улазна импеданса мреже Z ul = t = = 75 W . R I 2 Мрежа са слике 367.1 је упрошћена шема антенског симетризатора.

286

Кола променљивих струја

7. Трофазна кола 368. Симетричан трофазни генератор директног редоследа фаза и симетричан трофазни пријемник образују уравнотежено трофазно коло приказано на слици 368.1. Ефективна вредност електромоторне силе генератора је E = 230 V , почетна фаза емс E A је нула, а комплексна импеданса пријемника је Z = (20 + j10) W . Нацртати фазорски дијаграм напона и струја за ово коло.

Слика 368.1.

РЕШЕЊЕ На слици 368.2 означени су референтни смерови напона и струја. Прикључци генератора су означени великим словима, а прикључци пријемника малим словима. Систем електромоторних сила је симетричан и директан, па су ефективне вредности емс E A = E B = EC = E , а фазне разлике две узастопне емс су 2p q B - q A = q C - q B = q A - qC = , 3 имајући у виду да су фазне разлике сведене на интервал (- p, p] .

Слика 368.2.

Комплексни представник емс E A је E A = Ee jq A = E јер је q A = 0 . У фазорском дијаграму на слици 368.3, фазор те електромоторне силе лежи дуж фазне осе (која се поклапа са позитивним делом реалне осе комплексне равни). Комплексни представник емс

EB

је

E B = E Ae

-j

2p 3

= Ee

-j

2p 3

,

а

комплексни

представник емс

EC

је

7. Трофазна кола

E C = E Be

-j

2p 3

287

= E Ae

-j

4p 3

= E Ae

j

2p 3

= Ee

j

2p 3

. Фазори

EB

и

EC

могу се добити

ротацијом фазора E A око координатног почетка, у смеру кретања казаљке часовника (систем директан, па свака наредна емс фазно заостаје за претходном), за по

2p (слика 3

368.3). Комплексни напони грана генератора (фазни напони генератора) су U AO = E A , U BO = E B и U CO = E C , а фазори тих напона се поклапају са одговарајућим фазорима електромоторних сила, па фазоре емс надаље нећемо цртати. Трофазни систем емс је симетричан, па је U AO + U BO + U CO = 0 .

Слика 368.3. Први комплексни линијски (међуфазни) напон је U AB = U AO - U BO = E A - E B . Одговарајући фазор се може добити сабирањем фазора U AO и -U BO користећи се паралелограмом (или надовезивањем фазора), а може се добити и повезивањем врхова фазора U AO и U BO на основу релације U AO = U BO + U AB (слика 368.4). Фазори напона U BC и U CA могу се конструисати на сличан начин или се могу добити 2p . Напони U AB , 3 редоследа, односно

ротацијом фазора U AB , у смеру кретања казаљке часовника, за по U BC

и

U CA

U BC = U AB e

-j

је U AB + U BC

2p 3

образују

симетричан

и U CA = U BC e + U CA = 0 .

-j

2p 3

систем j

директног

2p

= U AB e 3 . Збир комплексних линијских напона

288

Кола променљивих струја Са слике 368.4 је очигледно да се комплексни линијски напони могу изразити преко

фазних

напона j

p

генератора -j

U AB = U AO 3e

као

p

j

p

j

j

p 6

= E 3e

j

p 6

,

5p

U BC = U BO 3e 6 = E 3e 2 и U CA = U CO 3e 6 = E 3e 6 . Читаоцу се оставља да ове релације изведе аналитички.

Слика 368.4. Комплексна импеданса пријемника се може написати у облику Z = Ze jf , где је 1 Z = 10 5 W и f = arctg » 26,57° . 2 Комплексна струја прве фазе пријемника (прва фазна струја пријемника) је I ab

U ab

U 3e U = = AB = AO Z Z Z

j

p 6

= I ab e jy ab = 2,3

( 3 + 6 + j (2

))

3 - 3 A » (17,78 + j1,07) A ,

E 3 p » 17,82 A и y ab = q AO + - f = q AB - f » 3,43° , где је q AB почетна Z 6 фаза линијског напона U AB . Фазор I ab је приказан на слици 368.5. На сличан начин где је I ab =

могу се добити друга и трећа комплексна фазна струја пријемника и нацртати одговарајући фазори ( I bc и I ca ). Систем фазних струја пријемника је симетричан и директан, при чему важе релације I ab + I bc + I ca = 0 .

I bc = I abe

-j

2p 3

,

I ca = I bc e

-j

2p 3

= I ab e

j

2p 3

и

7. Трофазна кола

289 Im

UCA=Uca

UAB=Uab

UCO Ica ab

Iab

O

UAO

Re ф.o.

Ibc UBO

UBC=Ubc

Слика 368.5. Комплексна прва линијска струја је I Aa = I ab - I ca . Ово је, због везе генератора у звезду, истовремено и струја прве фазе генератора, I Aa = I OA . Одговарајући фазор се може конструисати сабирањем фазора I ab и - I ca или надовезивањем на фазор I ca тако

да

I Aa = I ab 3e

се -j

p 6

добије =

U AO

p j 3e 6

фазор

3e

-j

p 6

I ab =

(слика

368.6).

Очигледно

је

3U AO

. Фазна разлика напона U AO и струје Z Z I Aa је f. До овог закључка се може доћи и трансфигурацијом пријемника из троугла у звезду. На сличан начин се добијају и комплексне струје I Bb и I Cc , односно одговарајући фазори. Струје I Aa , I Bb и I Cc чине симетричан директан трофазни систем. Задато коло је уравнотежено јер сви напони (линијски и фазни) и све струје (линијске и фазне) образују симетричан систем истог редоследа фаза. Због везе пријемника у троугао фазни напони пријемника једнаки су одговарајућим линијским

290

Кола променљивих струја

напонима, а линијске струје су 3 пута веће од одговарајућих фазних струја пријемника p и фазно заостају за од одговарајућих фазних струја пријемника. 6 Читаоцу се препоручује да понови задатак ако електромоторне силе чине инверзан I - I Bb систем. Такође, читаоцу се препоручује да докаже да је I ab = Aa и слично за 3 преостале две фазне струје пријемника.

Слика 368.6.

369. Три идеална напонска генератора, чије емс чине трофазни симетричан директан систем, везана су у звезду, као што је приказано на слици 369.1. Ефективна вредност емс је Е, а почетна фаза емс E A је p / 2 . Нацртати фазорски дијаграм напона ове звезде и израчунати комплексне напоне U AB , U BC и U CA , као и ефективне вредности напона U AB ,

A B C EA

EB

EC O

Слика 369.1.

7. Трофазна кола

291

U BC и U CA . РЕЗУЛТАТ Тражени фазорски дијаграм приказан је на слици 369.2. Комплексни напони су U AB = E exp(- j5p/6) , U BC = E 3 exp( j0) и U CA = E exp( j5p/6) , а ефективне вредности напона су U AB = U CA = E и U BC = 3 E . UCA

UAO

UCO EC

EA

EA O

UAB UBC UBO EB ф.o. Слика 369.2.

370. У трофазном колу приказаном на слици 370.1 је E A = j kV , Z g = (1 + j) W , Z v = (1 + j) W , Z p = (2 + j) W , а електромоторне силе чине симетричан директан систем. Израчунати струју I C .

292

Кола променљивих струја

Слика 370.1. РЕШЕЊЕ Задато коло је уравнотежено, па је потенцијал звездишта пријемника исти као потенцијал звездишта генератора. Стога је тражена струја EC IC = = - 80 3 + 60 + j 60 3 - 80 A » (- 198,6 + j23,9) A , где је Zg + Zv + Zp

(

j

) (

)

2p

E C = E Ae 3 . Читаоцу се препоручује да израчуна струје I A и I B и нацрта фазорски дијаграм напона и струја.

371. У трофазном колу приказаном на слици 371.1 је E A = 240 V , Z g = (1 + j) W , Z v = (1 + j) W ,

Z vN = (2 + j2) W ,

Z p = (10 + j10) W , а електромоторне силе чине

симетричан инверзан систем. Израчунати струје I B и I N .

7. Трофазна кола

293

Слика 371.1. РЕЗУЛТАТ 2p Тражене струје су I B = (10 - j10) exp( j ) A » (3,66 + j13,66) A и I N = 0 . 3

372. Симетричан трофазни пријемник, комплексне фазне импедансе Z = (3 + j4) W , везан у звезду, прикључен је на несиметричан трофазни генератор, као на слици 372.1. Познати су линијски напони U AB = U = 240 V и U BC = j240 V . (а) Израчунати ефективне вредности фазних струја и фазних напона пријемника. (б) Нацртати фазорски дијаграм напона и струја задатог кола.

Слика 372.1.

РЕШЕЊЕ (а) По другом Кирхофовом закону мора бити U AB + U BC + U CA = 0 , одакле је

трећи линијски напон U CA = -(U AB + U BC ) . На основу теореме напонске компензације,

коло лево од тачака А, В и С може се заменити као на слици 372.2. Напоне између свих парова тачака А, В и С потпуно дефинишу компензациони генератори емс E k1 = U AB и

E k2 = U BC . Трећи компензациони генератор, чија је емс E k3 = U CA = -(E k1 + E k2 ) ,

стога није потребан. Осим тога, постављање три компензациона генератора би, без потребе, направило петљу која садржи само идеалне напонске генераторе. Та петља је дозвољена, јер је E k1 + E k2 + E k3 = 0 , али је неодређена: у контури коју образују та три генератора, може постојати произвољна струја (коначне јачине).

294

Кола променљивих струја A E k1 = U AB

a

UAB B

E k3 = U CA

E k2 = U BC

Z b

Z

UBC C

o Z

c

Слика 372.2. За коло са слике 372.2, узимајући чвор о за референтни, по методу потенцијала 1 (U - U BC ) 1 U Z AB чворова је VB == - (U AB - U BC ) = - (1 - j) = -80(1 - j) V . 3 3 3 Z Пријемник је везан у звезду, па су фазне струје пријемника једнаке одговарајућим U +V B линијским струјама. Стога је I Ao = AB = 16(2 - j) A , па је I Ao = I Ao = 16 5 A . Z На сличан начин се добија I Bo = 3,2(1 + j7 ) A , I Bo = 16 2 A , I Co = -3,2(11 + j2) A и I Co = 16 5 A . Фазни

напони

U Ao = 80 5 V ,

пријемника

су

U Bo = 80(-1 + j) V

U Ao = Z I Ao =

U (2 + j) = 80(2 + j) V , 3

( U Bo = 80 2 V )

и

односно

U Co = -80(1 + j2) V

( U Co = 80 5 V ). (б) Фазорски дијаграм линијских напона и струја приказан је на слици 372.3, а на слици 372.4 је приказан фазорски дијаграм фазних струја и напона пријемника.

7. Трофазна кола

295

Im UBC U Ao

U Bo UCA

ICo

IBo

O

UAB IAo

Re ф.o.

U Co Слика 372.4.

Слика 372.3.

373. За мрежу отпорника са слике 373.1 познато је R1 = R2 = R3 = 15 W , R4 = R6 = 30 W , R5 = 12 W и R7 = R8 = 6 W . Мрежа је прикључена на симетричан инверзан трофазни систем линијских напона ефективне вредности U = 1200 V . Израчунати ефективну вредност струје отпорника R4 .

Слика 373.1.

РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност струје отпорника R4 је I 4 = 10 A .

374. За трофазно коло са слике 374.1 Y = 4(3 - j4) mS , познато је E1 = jE = j100 V ,

E 2 = -2 E = -200 V

E 3 = E (1 + j) = 100(1 + j) V .

и

Израчунати

ефективне вредности фазних пријемника и линијских струја.

струја

РЕЗУЛТАТ Ефективне вредности фазних струја пријемника

су

I A1B1 = 2 5 A ,

I B1C1 = 2 10 A и I C1 A1 = 2 A . Ефективне вредности линијских струја су I AA1 = 2 2 A , I CC1 = 2 17 A .

I BB1 = 2 29 A

и

Слика 374.1.

296

Кола променљивих струја

375. Симетричан трофазни пријемник, фазне импедансе Z = 5(3 - j4) W , везан у звезду, прикључен је на трофазни генератор чији међуфазни (линијски) напони образују директан симетричан систем (слика 375.1). Први комплексни линијски напон је U AB = U = 400 V . Израчунати комплексне струје пријемника и њихове ефективне вредности. Im

UBC

UCO

ICO UBO IBO

IAO UCA

O UAO

Re ф.o.

UAB Слика 375.2.

Слика 375.1.

РЕШЕЊЕ Због симетрије, линијске струје образују директан симетричан систем. Задати трофазни систем је уравнотежен јер и фазни напони, и линијске струје образују симетричне системе истог редоследа фаза (директног). На слици 375.2 приказан је фазорски дијаграм напона и струја. Са тог дијаграма се види да су комплексни фазни p

напони

-j U 200 U AO = AB e 6 = ( 3 - j) V , 3 3

пријемника p

p

-j -j U U 200 400 U BO = BC e 6 = ( 3 + j) V и U CO = CA e 6 = j V . Комплексне фазне 3 3 3 3 U 4 æ ö струје пријемника су I AO = AO = 1,6ç 3 + 3 + j4- 3 ÷A , Z 3 è ø U BO U CO 4 æ ö æ8 ö I BO = = -1,6ç 3 3 + j 4 + 3 ÷ A и I CO = = -1,6ç 3 - 2 j 3 ÷ A , а њихове Z 3 Z è ø è3 ø 16 ефективне вредности су I AO = I BO = I CO = 3 A » 9,24 A . 3

(

(

)

)

376. Фазни напони трофазног вода чине симетричан инверзан систем. Тренутна вредност првог фазног напона је u A = 300 cos 2pft V , где је f = 50 Hz . Израчунати комплексни линијски напон U BC . РЕЗУЛТАТ Линијски напон је U BC = j150 6 V .

7. Трофазна кола

297

*377. На слици 377.1 приказан је трофазни пријемник са четири прикључка који је везан на трофазни генератор. (а) Извести израз за тренутну снагу тог пријемника у простопериодичном режиму. (б) Показати да је у уравнотеженом колу тренутна снага пријемника константна и одредити ту снагу.

Слика 377.1. РЕШЕЊЕ (а) Према теореми компензације, трофазни генератор са слике 377.1 може се заменити са три идеална напонска генератора као на слици 377.2. Нека су фазни напони вода

u AO = U AO 2 cos(wt + q A ) ,

u BO = U BO 2 cos(wt + q B )

и

uCO = U CO 2 cos(wt + qC ) , а нека су струје проводника вода (које су истовремено струје

компензационих генератора) i A = I A 2 cos(wt + q A - f A ) , i B = I B 2 cos(wt + q B - f B ) и

iC = I C 2 cos(wt + qC - fC ) . По теореми одржања снаге, тренутна снага коју прима трофазни пријемник једнака је збиру тренутних снага које развијају компензациони генератори, односно p (t ) = ek1i A + ek2i B + ek3iC = u AO i A + u BO i B + uCO iC . Заменом израза за напоне и струје, и 1 применом релације cos(wt + q )cos(wt + q - f) = (cos(2wt + 2q - f ) + cos f ) , добија се 2 p(t ) = U AO I A cos(2wt + 2q A - f A ) + U BO I B cos(2wt + 2q B - f B ) + U CO I C cos(2wt + 2qC - fC ) +U AO I A cos f A + U BO I B cos f B + U CO I C cos f C . Овај резултат се може написати у облику p (t ) = P + pf (t ) , где је члан P = U AO I A cos f A + U BO I B cos f B + U CO I C cos fC сталан и представља средњу (активну) снагу пријемника. Тај члан се може написати као P = PA + PB + PC , где су PA = U AO I A cos f A , PB = U BO I B cos f B и PC = U CO I C cos f C средње снаге компензационих напонских генератора. Други сабирак, pf (t ) = U AO I A cos(2wt + 2q A - f A ) + U BO I B cos(2wt + 2q B - f B ) + U CO I C cos(2wt + 2qC - fC ) , простопериодична је функција времена (кружне учестаности 2w ), а назива се флуктуирајућа снага.

298

Кола променљивих струја

ek1 = u AO

ek2 = u BO

ek3 = uCO

Слика 377.2. (б) У уравнотеженом трофазном колу сви напони и све струје образују симетричне системе истог редоследа фаза. Тада је pf (t ) = 0 , па је тренутна снага p (t ) = P = 3PA = 3U AO I A cos f и не зависи од времена. Ефективне вредности линијских напона су U AB = U BC = U CA = U . Ефективне вредности линијских струја су I A = I B = I C = I . Сада се тренутна снага трофазног U пријемника може написати у облику p (t ) = 3UI cos f , јер је U AO = U BO = U CO = . 3 A 378. На слици 378.1 приказан је трофазни пријемник са три прикључка који је везан на трофазни генератор. Извести израз за тренутну снагу тог пријемника у простопериодичном режиму (а) преко фазних напона вода и линијских струја и (б) преко линијских напона вода и линијских струја.

B трофазни генератор

C

трофазни пријемник

O Слика 378.1. РЕШЕЊЕ (а) Према теореми компензације, трофазни генератор са слике 378.1. може се заменити са три идеална напонска генератора као на слици 378.2. Тренутна снага пријемника је p (t ) = u AO i A + u BO i B + uCO iC . Истим поступком као у претходном задатку, тренутна снага пријемника се може приказати у облику p (t ) = P + pf (t ) , где је P = U AO I A cos f A + U BO I B cos f B + U CO I C cos fC средња (активна) снага пријемника, а

7. Трофазна кола

299

pf (t ) = U AO I A cos(2wt + 2q A - f A ) + U BO I B cos(2wt + 2q B - f B ) + U CO I C cos(2wt + 2qC - fC ) флуктуирајућа снага. Ти изрази су исти као у претходном задатку.

iA

A ek1 = u AO

uAO

uAB iB

B uCA

ek2 = u BO

uBO

трофазни пријемник

uBC iC

C uCO

ek3 = uCO

O Слика 378.2. Ако је трофазно коло уравнотежено, тада је pf (t ) = 0 , па је тренутна снага p (t ) = P = 3PA = 3U AO I A cos f = 3UI cos f . (б) По првом Кирхофовом закону је i A + i B + iC = 0 јер у нултом проводнику нема

струје. Одавде је iC = -i A - i B , па је p (t ) = (u AO - uCO ) i A + (u BO - uCO ) iB . Линијски напони су u AC = u AO - u CO и u BC = u BO - u CO , одакле је p (t ) = u AC i A + u BC i B . Средња снага пријемника је P =

1 T

T

ò p(t ) dt = 0

T

T

0

0

1 1 u AC i A dt + ò u BC i B dt . Како је за Tò T

простопериодичан напон u (t ) и простопериодичну струју i (t ) , истих учестаности, T

1 ui dt = UI cos(q - y ) , где је U ефективна вредност напона, I ефективна вредност Tò 0

струје, q почетна фаза напона, а y P = U AC I A cos(q AC - y A ) + U BC I B cos(q BC - y B ) .

379. Изразити комплексну снагу трофазног пријемника са четири прикључка преко напона и струја означених на слици 379.1 (а) у општем случају и (б) ако је трофазни систем уравнотежен.

почетна

фаза

струје,

то

је

300

Кола променљивих струја Слика 379.1.

РЕШЕЊЕ (а) Према теореми компензације, мрежа која се налази лево од прикључака пријемника може се заменити са три идеална напонска генератора (слика 379.2). Стога је, у општем случају, комплексна снага пријемника S = U A I *A + U B I *B + U C I *C = P + jQ . (б) Ако је трофазни систем уравнотежен, комплексне снаге сва три компензациона генератора су исте, па је комплексна снага пријемника S = 3U A I *A = P + jQ .

E k1 = U A

E k2 = U B

E k3 = U C

Слика 379.2.

380. Изразити комплексну снагу трофазног пријемника са три прикључка преко напона и струја означених на слици 380.1 (а) у општем случају и (б) ако је трофазни систем уравнотежен.

Слика 380.1. РЕШЕЊЕ (а) На основу решења задатка 372, мрежа на коју је прикључен пријемник може се заменити компензационим напонским генераторима као на слици 380.2. По теореми одржања комплексне снаге, снага коју прима трофазни пријемник једнака је снази коју развијају компензациони генератори, S = E k1 I *A - E k2 I *C = U AB I *A - U BC I *C . Како је, по

7. Трофазна кола

301

Кирхофовим законима, I A + I B + I C = 0 и U AB + U BC + U CA = 0 , снага пријемника се може написати и као S = U BC I *B - U CA I *A и S = U CA I *C - U AB I *B . Ови изрази су општи и не зависе од тога да ли је трофазни систем симетричан или није, као ни од тога да ли је директан или инверзан. IA

A E k1 = U AB

UAB трофазни пријемник

IB

B UCA E k2 = U BC

UBC IC

C

Слика 380.2. (б) Ако је трофазни систем са слике 380.1 уравнотежен и директан, на основу фазорског дијаграма са слике 368.6 добија се дијаграм са слике 380.3. На основу тога је æ pö jç f + ÷ e è 6ø

æ pö jç f - ÷ e è 6ø

p æ jp - j ö÷ 6 S = UI + UI = UI e ç e + e 6 ÷ = UI e jf 3 , где је U ç ÷ è ø ефективна вредност линијског напона, а I ефективна вредност струје. Како је

= U AB I *A

- U BC I *C

j

p

-j

jf ç

p

-j

p

U AB I *A = UI e jfe 6 , то је UI e jf = U AB I *Ae 6 , па је S = 3U AB I *Ae 6 .

f+

p 6

f-

p f+ 6

f-

p 6

p 6 Слика 380.4.

Слика 380.3.

За инверзан систем, фазорски дијаграм је приказан на слици 380.4, а комплексна снага пријемника је S = U

* AB I A

- U BC I *C

= UI e

jf

3 = S = 3U

p j * 6 AB I A e

.

302

Кола променљивих струја Читаоцу се препоручује да изрази комплексну снагу пријемника преко напона U AB

и струје I B , односно I C .

A 381. Симетричaн трофазни пријемник, приказан на слици 381.1, прикључен је на симетричан директан трофазни систем напона. При томе је u AB = 2000 cos wt V и i A = 100 cos wt A . Израчунати активну, реактивну и комплексну снагу трофазног пријемника.

iA

Z

Z O

B

Z C Слика 381.1.

РЕШЕЊЕ На слици 381.2 приказани су фазори напона и струје I A . Са слике се види да напон u AO фазно заостаје за напоном u AB за p / 6 . Фазна разлика напона u AO и струје i A је f = -p / 6 . Стога је активна снага трофазног пријемника P = 3 U AB I A cos f = 150 kW , његова реактивна снага је Q = 3 U AB I A sin f = -50 3 kvar , комплексна снага

а је

S = 50 3 ( 3 - j) kVA .

Слика 381.2.

382. Симетричан трофазни пријемник, приказан на слици 382.1, прикључен је на симетричан директан трофазни систем напона. При томе је u AB = 1000 cos wt V и i A = 100 cos(wt - p / 3) A . Колика је активна, реактивна и комплексна снага трофазног пријемника?

7. Трофазна кола

303

-

p 3

Слика 382.1.

Слика 382.2. РЕШЕЊЕ Претпоставимо да је пријемник везан у звезду и означимо звездиште са О, као на слици 381.1. Са фазорског дијаграма на слици 382.2 види се да напон u AO фазно заостаје за напоном u AB за p / 6 , док је фазна разлика напона u AO и струје i A једнака

f = p / 6 . Стога је P = 75 kW , Q = 25 3 kvar и S = 25 3 ( 3 + j) kVA . Z iA A 383. Симетричан трофазни пријемник, приказан на слици 383.1, прикључен је на симетричан инверзан трофазни систем напона. При томе је u AB = 2000 cos wt V и i A = -100 sin wt A . Колика је активна, реактивна и комплексна снага трофазног пријемника?

Z B

O

Z C Слика 381.1.

304

Кола променљивих струја

РЕШЕЊЕ Са слике 383.2 се види да је f = -p / 3 . Активна снага је

UBC

IA UBO

P = 50 3 kW , реактивна снага је Q = -150 kvar , а комплексна снага је S = 50 3 (1 - j 3 ) kVA .

UAB

UAO O

ф.o. UCO

UCA Слика 383.2.

384. Симетричан трофазни пријемник, приказан на слици 384.1, прикључен је на симетричан инверзан трофазни систем напона. При томе је u BC = 2000 sin wt V и i A = 100 sin wt A . Колика је активна, реактивна и комплексна снага трофазног пријемника? РЕЗУЛТАТ Активна снага

је

P=0,

реактивна

снага

је

Q = -100 3 kvar , а комплексна снага је S = - j100 3 kVA . Слика 384.1.

385. Симетричан трофазни пријемник, приказан на слици 385.1, прикључен је на симетричан директан трофазан систем напона. При томе је p u AB = 400 2 cos( wt + ) V и 3 5p i A = 20 sin(wt + ) A . Израчунати 6 активну, реактивну и комплексну снагу пријемника.

Слика 385.1.

7. Трофазна кола

305

РЕЗУЛТАТ Активна снага је P = 6 2 kW , реактивна снага је Q = -2 6 kvar , а комплексна снага је S = 2 6 ( 3 - j) kVA .

386. Симетричан трофазни пријемник везан је у троугао и прикључен на трофазни вод. Импеданса једне гране пријемника је Z = (10 + j10) W . Ефективна вредност линијског напона на воду је U = 1 kV , а линијски напони чине симетричан директан систем. Израчунати ефективну вредност струја проводника вода, активну снагу пријемника, комплексну снагу пријемника, фактор снаге пријемника и фактор реактивности пријемника. РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност струја проводника вода је I = 50 6 A , активна снага пријемника је P = 150 kW , комплексна снага је S = 150 (1 + j) kVA , фактор снаге је k = 2 / 2 , а фактор реактивности је k r = 2 / 2 .

387. Три идеална напонска генератора, чије емс чине трофазни симетричан директан систем, везана су у звезду, као што је приказано на слици 387.1. Ефективна вредност емс је E = 20 kV . На овај генератор везан је симетричан трофазни пријемник, импеданси Z AB = Z BC = Z CA = (1 - j) kW . Израчунати активну снагу, реактивну снагу и комплексну снагу пријемника.

Слика 387.1. РЕШЕЊЕ Ефективна вредност линијског напона је U = E 3 , па је комплексна снага S =3

U2

= (1,8 - j1,8) MVA , одакле је активна снага P = 1,8 MW и реактивна снага Z* Q = -1,8 Mvar .

388. Симетричан трофазни претежно капацитиван пријемник, импедансе гране Z = 300 W и фактора снаге k = 0,8 , прикључен је на симетричан трофазни генератор као на слици 388.1. Ефективна вредност електромоторне силе генератора је E = 10 kV . Колике су активна и реактивна снага пријемника?

306

Кола променљивих струја

РЕЗУЛТАТ Активна P=k

9E Z

2

снага

пријемника

је

= 2,4 MW , а реактивна снага је

Q = - 1- k2

9E 2 = -1,8 Mvar . Z

Слика 388.1.

389. Симетричан трофазни пријемник, приказан на слици 389.1, прикључен је на симетричан трофазни генератор директног редоследа фаза. Познати су струја 3p ö æ i1 = 40 6 cosç wt - ÷ A и напон 4 ø è pö æ u AC = -400 2 sin ç wt - ÷ V . Израчунати 6ø è комплексну фазну импедансу пријемника и комплексну снагу пријемника ако је пријемник везан (а) у троугао и (б) у звезду.

A

B

i1 cиметричан трофазни пријемник

C Слика 389.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Ако је пријемник везан у троугао, комплексна импеданса сваке гране пријемника

је Z = 5 2 (1 + j) W .

5 2 (1 + j) W . 3 Без обзира на начин везивања пријемника, комплексна снага пријемника је (б) Ако је пријемник везан у звезду, тада је Z =

S = 24 2 (1 + j) kVA .

7. Трофазна кола

307

*390. У колу са слике 390.1 електромоторне силе образују симетричан трофазни систем. Импедансе проводника вода ( Z v ) међусобно су једнаке, а пријемник је симетричан. Када је прекидач П отворен, комплексна снага пријемника је S o = (10 + j4) kVA . Колика је комплексна снага пријемника када се прекидач П затвори?

Слика 390.1.

РЕШЕЊЕ Када је прекидач П отворен, задато коло је уравнотежено. Тачке О и 0 су на истом потенцијалу, па се могу кратко спојити. Тиме се добијају три проста кола, која имају заједничку тачку, па се могу анализирати независно једно од другог. Уместо да анализирамо сва три кола, довољно је да анализирамо само једно коло, приказано на слици 390.2 (свођење на једну фазу). Комплексна јачина струје у колу са слике 390.2 је E1 . То је, истовремено, струја једне фазе пријемника са слике 390.1. I1 = Zv + Z Комплексна снага пријемника у колу са слике 390.2 је 2

S1 = Z I 1 =

ZE2 Zv +Z

2

.

Због

симетрије, ефективне вредности све три фазне струје пријемника са слике 390.1 су исте, па је комплексна снага пријемника када је прекидач П o

отворен, S = 3S 1 =

3Z E 2 Zv + Z

2

Слика 390.2.

.

Када је прекидач П затворен, коло са слике 390.1 изгледа као на слици 390.3, где је 3 Z e = Z Å (Z || Z ) = Z . Део кола лево од тачака 1 и 2 може се заменити Тевененовим 2 2p 2p j ö÷ 3 E 2 + E3 E1 æç - j 3 = E1 e + e 3 ÷ = E1 (без обзира генератором емс E T = E T21 = E1 2 2 çç ÷ 2 è ø на то да ли је систем електромоторних сила директан или инверзан) и импедансе 3 Z T = Z v Å (Z v || Z v ) = Z v . Стога је јачина струје пријемника импедансе Z e , 2

308

I 12 =

Кола променљивих струја ET ZT + Ze

=

пријемника S z = Z e I 12

E1 Zv +Z са

2

=

3Z E

, па је комплексна снага тог пријемника (једнака снази слике

2

2Zv +Z

2

=

390.1

када

је

прекидач

затворен),

1 o S = (5 + j2) kVA . 2

Слика 390.3.

A

*391. У колу са слике 391.1 линијски напони образују симетричан директан трофазни систем. Комплексне линијске импедансе напојног вода су Z v = (1 + j) W ,

Zv

Z

Zv

Z

UAB B

а комплексне импедансе грана пријемника су Z = (2 - j5) W . Затварањем прекидача П долази до кратког споја прикључака друге и треће фазе пријемника, при чему се линијски напони не мењају. Израчунати прираштај активне снаге пријемника услед затварања прекидача П ако је ефективна вредност струје кратког споја

0

UBC

П Zv

C

Z пријемник Слика 391.1.

I k = 100 2 A .

РЕШЕЊЕ Када је прекидач П отворен, коло је уравнотежено, па су ефективне вредности фазних струја пријемника међусобно једнаке. Пријемник је везан у звезду, па су линијске струје једнаке одговарајућим фазним струјама пријемника, а ефективна -j

p

U AB e 6 вредност им је I o = I 1o =

3 Zv +Z

=

U 3Zv +Z

=

U 5 3W

, где је U = U AB . Активна 2

снага пријемника при отвореном прекидачу П је P o = 3R I 1o .

7. Трофазна кола

309 I1

I1 2

Када је прекидач П затворен, због симетрије, струје у колу су расподељене као на слици 391.2. Други линијски напон је I1 ö I1 ö æ æ U BC = Z v çç I k + ÷÷ + Z v çç I k - ÷÷ = 2 Z v I k . Стога 2ø 2ø è è

Ik -

I1 2

Ik

је U BC = U BC = 2 Z v I k = 400 V . Ik +

I1 2

I1 2 Слика 391.2.

По теореми компензације, може се формирати коло као на слици 391.3. Према теореми суперпозиције је I 1 E k1 , E k 2 , I gk = I 1 (E k1 , E k 2 ,0 ) + I 1 0,0, I gk , где је

(

(

)

)

(

)

I 1 (E k1 , E k 2 ,0 ) = I 1o , а I 1 0,0, I gk = D I 1 прираштај струје прве гране пријемника настао услед затварања прекидача. Слични изрази се могу формирати и за струје I 2 и I 3 . Zv

I1

Z

Zv

I2

Z

DI 1

E k1 = U AB

E k2 = U BC

DI 2

0 I gk = I k

Zv

I gk = I k

Z

I3

DI 3

Слика 391.3.

Слика 391.4.

Када у колу са слике 391.3 делује само компензациони струјни генератор, добија се коло као на слици 391.4. Мост у том колу је у равнотежи јер је Z v Z = Z Z v , па је DI 1 = 0 . На основу једначине струјног разделника је D I 2 = -D I 3 =

I 1 = I 1o + D I 1 = I 1o =

U AB e

-j

p 6

3 (Z v + Z )

=

U BC e

j

2p p -j 3 e 6

3 (Z v + Z )

j

=

Zv Zv + Z

I k . Сада је

p

2Z v I k e 2

3 (Z v + Z )

, па је

I1 = I 1 =

80 3

A.

310

Кола променљивих струја

Слично томе је I 2 = I o2 + D I 2 = -

I3 =

- U CA

p -j e 6

3 (Z v + Z )

-

U BC e

Zv + Z

Ik =

p 6

3 (Z v + Z ) j

Zv

-j

j

+

p 2

Zv Z I e 1 1 Ik = v k = I 1 = I 1o и Zv +Z 2 3 (Z v + Z ) 2

p

Z v I ke 2

3 (Z v + Z )

=

1 1 I 1 = I 1o . 2 2

Када је прекидач П затворен, тада је 2 1 æ o 2 1 o 2 1 o 2ö 3 P = Rçç I 1 + I 1 + I 1 ÷÷ = R I 1o = P o = 6,4 kW , где је R = Re(Z ) = 2 W . При 4 4 2 ø 2 è P o = 3R I 1o

отвореном прекидачу је

2

= 12,8 kW , па је прираштај активне снаге

1 DP = P - P o = - P = -6,4 kW . 2 Задатак се може решити и на други начин. Када је прекидач П затворен, коло са слике 391.1 може се представити као на слици 391.5. Упоређујући ту шему са шемом на слици 390.3, види се да је у колу са слике 391.5 струја прве фазе пријемника -j

p

1 U AB e 6 јер је, на основу фазорског дијаграма 368.4, емс E1 у колу са слике I1 = 3 Zv +Z 390.1 једнака

1 3

-j

p

U AB e 6 , где је U AB напон у колу са слике 391.1. На основу

1 једначине струјног разделника, у колу са слике 391.5 је I 2 = I 3 = I 1 . Даље је 2 U 3 ö æ I 4 = 12 и U 12 = U AB - (Z v + Z )I 1 - Z I 2 = U AB - ç Z v + Z ÷ I 1 , па је Zv 2 ø è -j

Ik = I2 -I4 = j

U e 3 Zv +Z I 1 = j AB 2 Zv 2Z v

p 6

На основу резултата претходног задатка, активна снага трофазног пријемника, када је прекидач П отворен, је

( )

P o = Re S o =

2 Re( Z )U AB 2 Zv +Z

. Одавде је U AB = 2 Z v I k = 400 V . I1

Z

I4 Zv

1 I2

Z

I3

Z

E k1 = U AB

= 12,8 kW .

Када је прекидач затворен, тада је 1 P = P o , па је тражени прираштај снаге 2 DP = -6,4 kW .

Zv

2

0

Ik

E k2 = U BC Zv

Слика 391.5.

7. Трофазна кола

311

392. Симетричан трофазни пријемник, чија је импеданса сваке фазе Z = 100 W , прикључен је на симетричан директан систем линијских напона ефективне вредности U = 400 V и учестаности f = 50 Hz , као на слици 392.1. При затвореном прекидачу П, фазна разлика 5p напона U AB и струје I1 је . (a) Израчунати 6 прираштај активне снаге и прираштај реактивне снаге пријемника изазван отварањем прекидача П. (б) Колика је фазна разлика напона U AB и струје I1 при отвореном прекидачу П, а колика ефективна вредност напона између прикључака отвореног прекидача? Сматрати да се при примени стања прекидача линијски напони не мењају.

Слика 392.1.

РЕШЕЊЕ (а) Линијски напони чине директан систем. Стога и фазне струје пријемника ( I AB , I BC и I CA ) чине директан систем. Из фазорског дијаграма са слике 392.2 добија се да је p аргумент комплексне импедансе пријемника f = - . Комплексна адмитанса сваке 3 1 - jf гране пријемника је Y = e = 5 1 + j 3 mS . Када је прекидач П затворен, Z

(

)

(

)

комплексна снага трофазног пријемника је S = 3U 2 Y * = 2,4 1 - j 3 kVA .

312

Кола променљивих струја

5p 6

Слика 392.2. Када је прекидач П отворен, еквивалентна адмитанса између тачака С и А je 3 Y CA = Y , па je комплексна снага трофазног пријемника 2 3 S ' = U 2 Y * = 1,2 1 - j 3 kVA . Прираштај активне снаге је DP = -1,2 kW , а прираштај 2

(

)

реактивне снаге је DQ = 1,2 3 kvar . 3 (б) Када је прекидач П отворен, тада је I 1 = Y CA U CA = I CA , где је I CA струја 2 треће фазе пријемника, што је приказано на фазорском дијаграму на слици 392.3. Са тог дијаграма се види да је фазна разлика између напона U AB и струје I 1 једнака p. Напон између прикључака отвореног прекидача је U BB ' = U BC - U B 'C . На основу 1 1 1 једначине разделника напона, U B 'C = U AC = - U CA , па је U BB ' = U BC + U CA . На 2 2 2 3 U = 200 3 V . основу слике 392.3 је U BB ' = 2

7. Трофазна кола

313

1 U 2 CA

1 U 2 CA

Слика 392.3.

393. Симетричан трофазни генератор занемарљиво мале унутрашње импедансе и симетричан трофазни пријемник везани су у коло као на слици 393.1. Када је прекидач П затворен, комплексна снага пријемника је S z = (12 + j6) kVA . Колика је та снага када се прекидач отвори? РЕЗУЛТАТ Комплексна снага пријемника при отвореном прекидачу је S o = (6 + j3) kVA .

394. Симетричан трофазни генератор занемарљиво мале унутрашње импедансе и симетричан трофазни пријемник везани су у коло као на слици 394.1. При томе је комплексна снага пријемника S = (36 - j18) kVA . Колика је та снага ако се прва електромоторна сила промени на E A = 0 , док друге две електромоторне силе остану непромењене?

Слика 393.1.

Слика 394.1.

314

Кола променљивих струја РЕЗУЛТАТ Када је E A = 0 , комплексна снага пријемника је S ¢ = (20 - j10) kVA .

395. Симетричан трофазни генератор занемарљиво мале унутрашње импедансе и симетричан трофазни пријемник везани су у коло као на слици 395.1. Електромоторне силе чине инверзан систем. При томе је комплексна снага пријемника S = (36 + j18) kVA . Израчунати снагу пријемника ако се прве две електромоторне силе промене на

E A = E B = 0 , док трећа

електромоторна силе остане непромењена. РЕЗУЛТАТ Када се промене прве две емс, комплексна снага пријемника је S ¢ = (8 + j4 ) kVA .

Слика 395.1.

Z 396. Симетричан трофазни генератор занемарљиво мале унутрашње импедансе и симетричан трофазни пријемник везани су у коло као на слици 396.1. Када су преклопници П1 и П 2 у положају 1, комплексна снага пријемника је S 1 = (20 + j10) kVA . Колика је та снага када се (а) оба преклопника пребаце у положај 2 и (б) преклопник П1 пребаци у положај 3, а преклопник П 2 је у положају 2?

2

3

1 П1 2

Z Z

1 П2 EA

EB

EC Слика 396.1.

РЕЗУЛТАТ (а) Када су оба преклопника у положају 2, комплексна снага трофазног пријемника је S 2 = (90 + j45) kVA . (б) Када је први преклопник у положају 3, а други у положају 2, комплексна снага је S 3 = (45 + j22,5) kVA .

397. Термогени пријемници отпорности R1 = 10 W , R2 = 11 W и R3 = 22 W су прикључени на трофазну мрежу симетричних напона директног редоследа фаза као на слици 397.1. После прекида неутралног проводника (отварањем прекидача П), установи се прираштај ефективне вредности напона отпорника отпорности R2 : DU 2 = -6,1 V . Одредити прираштаје ефективних вредности напона отпорника R1 и R3 . Ако су отпорници направљени тако да могу да издрже повећање средње (активне) снаге од 10%, а затим у њима долази до прекида, утврдити шта ће се догодити са отпорницима после прекида неутралног проводника.

7. Трофазна кола

315

Слика 397.1. РЕШЕЊЕ Нека

су

напони

фаза

напојног

вода

UA,

U B = U A exp( - j2p / 3)

и

U C = U A exp( j2p / 3) . Када је прекидач затворен, ефективне вредности напона отпорника су U1 = U 2 = U 3 = U A . Када је прекидач отворен, потенцијал звездишта О отпорника (у односу на тачку 0) може се одредити методом потенцијала чворова, из U U U æ 1 1 1 ö ÷ V = A + B + C , односно V » U A (0,1346 - j0,1665) . + + једначине çç ÷ R3 R R R R R 2 3ø 1 2 è 1 Напон отпорника R2 је U ¢ 2 = U B - V , па је из услова задатка U A » 109,7V . Даље је DU 1 » -13,0V и DU 3 » 23,3V . Под овим околностима, отпорник R3 ће прегорети, а ефективне вредности напона на друга два отпорника постају U 1¢¢ » 90,5V , односно U 2¢¢ » 99,5V , тако да отпорници остају неоштећени.

*398. У трофазном колу са слике 398.1 линијски напони U AB , U BC и U CA образују директан симетричан трофазни систем. Аргументи комплексних импеданси пријемника p p су f1 = - и f2 = . Када је прекидач П затворен, амперметар A1 показује ефективну 4 4 вредност струје I1 = 6 A , а амперметар A 2 показује I 2 = 9 A . Амперметри су идеални. Израчунати ефективне вредности линијских струја I A , I B и I C после отварања прекидача П. Линијски напони се не мењају при отварању прекидача П .

316

Кола променљивих струја

Слика 398.1. РЕШЕЊЕ (а) Када је прекидач П затворен, трофазни систем је уравнотежен. Тада је p

j I U AB = Z 2 I 45 = Z 2 2 e 6 . 3 p

Такође

j

p

j

p

U AB = U 10 3e 6 = Z 1 I 10 3e 6 .

је

Одавде

је

p

j j Z1 1 I 2 I p . Даље је f1 - f 2 = y 2 - y1 = - , што даје Z 2 2 e 6 = Z 1 I 1 3e 6 , па је = 2 Z 2 3 I1 3

Z1 Z2

=

1 3

I 2 e jy 2

pö æ jç y 2 + ÷ 2ø è I1e

=

1 . 2j

(б) Када је прекидач П отворен, прекида се трећа фаза пријемника везаног у p æZ ö I j U троугао. Тада је I A = I 45 + I 10 = AB + I 1 = I 1 ç 1 3 e 6 + 1÷ = 1 4 + 3 - j3 , односно çZ2 ÷ 4 Z2 è ø

(

I A = I A = 3 7 + 2 3 A » 9,7 A .

Друга -j

I B = - I 45 + I 56 + I 20

U U e = - AB + AB Z2 Z2

I B = 3 13 A » 10,8 A .

Трећа -j

I C = - I 56 + I 30

2p 3

U e = - AB Z2

2p 3

+ I 1e

j

2p 3

=

+ I 1e

линијска -j

2p 3

=-

(

струја

(

))

I1 3 3 +2+ j2 3 -3 , 4

линијска I1 2

)

( 3 - 1 + j 3 ), па је I

је односно

струја

C

= 3 7 - 2 3 A » 5,6 A .

је

7. Трофазна кола

317

399. Електромоторне силе у колу простопериодичне струје приказаном на слици 399.1 образују инверзан симетричан трофазни систем. Позната је ефективна вредност електромоторне силе Е и комплексне импедансе Z g , Z v и Z p . Одредити комплексну снагу пријемника (а) када су оба прекидача отворена, (б) када је затворен само прекидач П1 и (в) када су затворена оба прекидача. Одредити и ефективну вредност струје I када је прекидач П1 затворен, а прекидач П2 (г) отворен и (д) затворен.

Слика 399.1. РЕЗУЛТАТ (а) Када су

оба

прекидача

отворена,

комплексна

снага

пријемника

је

2

S=

E Zp . | Z g + Z v + Z p /3 |2 (б) Када је прекидач П1 затворен, а П2 отворен, тада је S =

E2 Z p / 2 | Z g + Z v + Z p /3 |2

.

(в) Када су оба прекидача затворена, комплексна снага пријемника је S = 0 . (г) Када је прекидач П1 затворен, а П2 отворен, ефективна вредност струје првог прекидача је I =

E 3 . 2| Zg + Zv |

(д) Када су оба прекидача затворена, тада је I =

E . | Zg + Zv |

318

Кола променљивих струја A A1

400. Линијски напони трофазног кола са слике 400.1 образују симетричан систем. Између карактеристика пријемника и кружне учестаности генератора постоји веза wRC = 1 . Амперметри су идеални. При отвореном прекидачу П показивање амперметра A1 веће је од показивања амперметра A 2 . Одредити редослед фаза А, В, С, као и прираштај, у процентима, показивања амперметара по затварању прекидача П. Сматрати да се при затварању прекидача линијски напони не мењају.

R П R

A2

C

B C 0

Слика 400.1. A

I1 A1

EA R

EC

П

O

EB

R

B C

C

A2

I2

0 Слика 400.2. РЕШЕЊЕ Узмимо да је генератор везан у звезду (слика 400.2). Електромоторне силе фаза генератора су E A = E (усвајамо да је почетна фаза нула), E B = E a и E C = E a 2 , где је æ 2p ö æ 2p ö a = expç - j ÷ ако је систем директан, а a = expç j ÷ ако је систем инверзан. Када је 3 ø è è 3 ø прекидач П отворен, потенцијал звездишта О се може добити методом потенцијала

7. Трофазна кола

319

E E A EB + + C R - jR R чворова. За директни систем потенцијал је V = » (0,6196 - j0,1268)E 1 1 1 + + R - jR R 1 јер је = - jR , док је за инверзни систем V » (-0,4196 - j0,4732)E . За директни jwC E -V E A -V E E » 0,401 и I2 » C = 1,496 . За R R R R E E инверзни систем је I1 » 1,496 и I 2 » 0,401 . Према услову задатка, I1 > I 2 , па је R R систем инверзан. систем струје амперметара су I1 =

E , па су тражени прираштаји показивања R амперметара -33% и 149% у односу на стање када је прекидач отворен (-50% и 60% у односу на стање када је прекидач затворен). Читаоцу се препоручује да понови задатак ако се у другој фази пријемника са слике R 400.1, уместо кондензатора, налази калем индуктивности L = . w Када је прекидач П затворен, I1 = I2 =

401. Електромоторне силе трофазног генератора са слике 401.1 чине симетричан систем. Ефективна вредност електромоторне силе је E = 1,5 kV . Импеданса сваке фазе напојног вода је 1 Z v = (1 + j) W . Импедансе грана 2 пријемника су Z 1 = - j W , Z 2 = 1 W и Z 3 = j2 W . Израчунати комплексну снагу генератора.

Слика 401.1.

РЕШЕЊЕ Трансфигурацијом пријемника из троугла у звезду, добија се коло као на слици Z 3 Z1 Z1Z 2 1 401.2, у коме је Z 4 = = (1 - j) W , Z 5 = = - (1 + j) W и Z1 + Z 2 + Z 3 Z1 + Z 2 + Z 3 2 Z6 =

Z2Z3 Z1 + Z 2 + Z 3

= (1 + j) W .

320

Кола променљивих струја

1

Zv

Z4

I1

2

Zv

Z5

I2

3

Zv

Z6

I3

E1

O

O'

E2

E3 Слика 401.3.

Слика 401.2.

Како је Z v + Z 5 = 0 , коло се може упростити као на слици 401.3. Снага генератора је

S = U 12 I 1* + U 32 I *3 =

2 U 12

(Z v + Z 4 )

*

+

2 U 23

(Z v + Z 6 )*

= (6,3 + j0,9) MVA

где

U 12 = U 23 = E 3 без обзира на то да ли је систем емс директан или инверзан.

402. У колу на слици 402.1 електромоторне силе трофазног генератора чине симетричан директан систем. Позната је кружна учестаност w, ефективна вредност међуфазног (линијског) напона генератора U, отпорност R, индуктивност L и сачинилац спреге k ¹ 1 . Одредити капацитивност С тако да трофазни генератор развија само активну снагу и одредити ту активну снагу.

Слика 402.1.

је

7. Трофазна кола

321

РЕШЕЊЕ Коло са слике 402.1 може се представити као на слици 402.2. Активна снага пријемника развија се само на 2

æU ö çç ÷÷ U2 3ø è отпорницима и износи P = 3 . = R R Да би генератор развијао само активну снагу, потребно је да реактивна снага пријемника буде једнака нули,

(

)

Q = Im U AB I 1* + U BC I *2 + U CA I *3 = 0 .

Слика 402.2.

I Према слици 402.2 је U AB = jwL I 1 + jwkL I 2 , U BC = jwL I 2 + jwkL I 1 и U CA = 3 jwC U - kU BC U - kU AB , I 2 = BC и јер је L12 = kL . Из ових једначина је I 1 = AB 2 jwL 1 - k j wL 1 - k 2

(

æ 2+k I 3 = jwCU CA . Реактивна снага пријемника је Q = U 2 ç ç 2 è wL 1 - k 2+k капацитивност C = . 2 w L 1- k 2

(

(

(

)

)

)

ö - wC ÷ , па је тражена ÷ ø

)

403. Трофазни симетричан струјни генератор, ефективне вредности фазне струје I и кружне учестаности w, отпорници отпорности R, спрегнути калемови индуктивности L и коефицијента спреге k и кондензатор непознате капацитивности С образују коло као на слици 403.1. Одредити капацитивност С тако да генератор развија само активну снагу. РЕШЕЊЕ На слици 403.2 приказан је део пријемника у коме постоји реактивна снага. Међусобна индуктивност калемова је L12 = -kL , па је U AO = jwL I A - jwkL I C , U BO =

IB jwC

и U CO = jwL I C - jwkL I A . Комплексна снага коју прима овај део кола је

æ 1 ö S = U AO I *A + U BO I *B + U CO I *C = jwLI 2 çç 2 + k ÷÷ , било да је систем директан или 2 w LC ø è 1 . Активна снага генератора је инверзан. Из услова Q º Im(S ) = 0 следи C = 2 w L(2 + k ) P = 3RI 2 .

322

Кола променљивих струја

Слика 403.2.

Слика 403.1.

404. Три простопериодична струјна генератора истих ефективних вредности струје I и истих кружних учестаности w образују симетричан трофазни генератор директног редоследа фаза. Тај генератор напаја трофазни пријемник познатих параметара R, L и k ( k ¹ 1 ) и непознате капацитивности C, као на слици 404.1. Одредити капацитивност С тако да трофазни генератор развија само активну снагу и одредити ту активну снагу. IgA РЕЗУЛТАТ Капацитивност је дата изразом 2+k C= , а активна снага w2 L 1 - k 2

(

)

IgB

R

L R k

генератора је P = 3RI 2 . **Да ли је веза три идеална струјна генератора на слици 404.1 регуларна? Шта би се догодило да се један идеални струјни генератор замени кратким спојем?

IgC трофазни генератор

C

L R трофазни пријемник Слика 404.1.

405. У колу простопериодичне струје на слици 405.1 познати су отпорност R, капацитивност C, индуктивност L, коефицијент спреге k и ефективне вредности емс генератора E1 = E 2 = E3 = E . Електромоторне силе генератора чине директан 1 . Одредити ефективну симетричан трофазни систем. Кружна учестаност је w = LC

7. Трофазна кола

323

вредност напона U, ефективну вредност струје I и активну снагу коју развија трофазни генератор.

Слика 405.1. РЕШЕЊЕ Према референтним смеровима са слике 405.2 је I2 = IC - I L .

Како

w=

је

1 LC

,

то

је

I L = IC ,

па

j wL I L + је

1 I =0 j wC C

I2 = 0 .

и

Такође је

1 U 12 + U 31 U 3 + j 3 2 IL = = = = 12 . Напон између тачака 7 и 8 је jwL jwL jwL 4jwL kU 12 3kE U = U 78 = jwkL I L = 3 + j 3 , а његова ефективна вредност је U = . 4 2 U 52

(

U 12 + U 51

(

)

)

Слика 405.2.

324

Кола променљивих струја За спрегнуте калемове у трећој грани пријемника је U 64 = jwL I 64 + jwkL I и

jwkL I 64 + 2 jwL I = 0 . Одавде је I = -

k I 64 и I 64 = 2

U 64 æ k2 ö ÷ jwLç1 ç ÷ 2 è ø

где је U 64 = U 31 . Ефективна вредност струје секундара је I = Како

I2 = 0 ,

је

то је

активна

снага

kU 64

, па је I = -

kE 3 2-k

коју развија

(

jwL 2 - k

2

)

,

C . L

2

трофазни генератор

P = PR = RI 22 = 0 .

406. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 406.1 познати су отпорност R, капацитивност С, индуктивност L, коефицијент спреге k и ефективне вредности емс трофазног генератора E1 = E 2 = E3 = E . Електромоторне силе генератора чине директан симетричан систем. Кружна учестаност је w =

1

. Одредити LC ефективну вредност напона U12 , ефективну вредност струје I и активну снагу коју развија трофазни генератор.

Слика 406.1. РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност напона је U12 = kE 3 , ефективна вредност струје је I=

3 2

kE 4R 2 +

(

)

2 L 1- k 2 C

, а активна снага генератора је P =

9 RE 2 . 2 L 4R 2 + 1 - k 2 C

(

)

7. Трофазна кола

325

407. Електромоторне силе генератора приказаног на слици 407.1 чине инверзан симетричан трофазни систем. Ефективна вредност емс је E = 400 V . Комплексне импедансе генератора и пријемника су Z g = (10 + j10) mW , односно Z = (1 + j0,5) W . Израчунати комплексну снагу пријемника и комплексне снаге које развијају гране генератора када је прекидач П (а) затворен и (б) отворен. A Z

Zg П

E1 Z

B

E3

0

Zg

Zg

Z E2

пријемник C

генератор Слика 407.1. РЕШЕЊЕ Усвојимо да је почетна фаза емс -j

p

j

E1 једнака

-

p . Тада су комплексне 3

p

електромоторне силе E1 = Ee 3 , E 2 = Ee 3 и E 3 = - E . (а) Затворени прекидач одговара нормалном режиму рада кола. Због симетрије, коло је уравнотежено. Трансфигурацијом пријемника из звезде у троугао, добија се коло као на слици 407.2, где је Z t = 3Z = (3 + j1,5) W . То коло има три чвора. Ако чвор В усвојимо за референтни, једначине по методу потенцијала æ 2 æ 1 E - E3 2 ö÷ 1 ö÷ ç , + + V A -ç VC = 1 çZ ÷ ç ÷ Zt Z Zt Zg è g ø è g ø æ 1 æ 2 - E2 + E3 1 ö÷ 2 ö÷ . Решење овог -ç + V +ç + V = ç Zg Zt ÷ A ç Zg Zt ÷ C Zg è ø è ø

чворова

система

гласе

је

326

Кола променљивих струја

VA=

1 Zt (2 E 1 - E 2 - E 3 ) = Z t E 1 3 Zg + Zt Zg + Zt

јер

2 E1 - E 2 - E 3 = 3E1 - (E1 + E 2 + E 3 ) = 3E1 због E1 + E 2 + E 3 = 0 и V C = Јачине струја грана пријемника су I t1 =

је Z t E2 . Zg + Zt

V VA E1 E2 , I t2 = - C = = Zt Zg + Zt Zt Zg + Zt

и

V C -V A E3 E + E2 . Јачине струја грана генератора су =- 1 = Zt Zg + Zt Zg + Zt E -V A E1 I g1 = 1 = = I t1 , I g2 = I t2 и I g3 = I t3 , што је исто као када би свака грана Zg Zg + Zt

I t3 =

генератора и одговарајућа грана пријемника сачињавале просто коло. За задате бројне податке је I t1 = I t2 = I t3 =

E Zg + Zt

» 118,8 A , комплексне снаге

2 које примају гране пријемника су S t1 = S t2 = S t3 = Z t I t1 » (42,33 + j21,16) kVA , а снага

целог пријемника је S = S t1 + S t2 + S t3 » (126,98 + j63,49) kVA . Снаге грана пријемника S » (42,33 + j21,16) kVA . Комплексне 3 снаге грана генератора су, у овом случају, једнаке комплексним снагама грана пријемника са слике 407.2, односно S g1 = S g2 = S g3 » (42,33 + j21,16) kVA .

са слике 407.1 су, због симетрије, S 1 = S 2 = S 3 =

Читаоцу се препоручује да коло са слике 407.1 реши методом потенцијала чворова (узимајући чвор 0 за референтни) или методом контурних струја. **Читаоцу се такође препоручује да покаже да се исти резултат за снагу пријемника добија ако се генератор са слике 407.1 трансфигурише у симетричну звезду, при чему је ефективна вредност емс E у звезди једнака , а комплексна 3 Zg импеданса Z gz = . Колике су почетне 3 фазе емс у звезди? Слика 407.2. (б) Отворени прекидач симулира квар у трећој грани генератора. Коло тада поприма облик као на слици 407.3. То коло се може решити методом потенцијала чворова, усвајајући чвор 0 за референтни. Одговарајућа једначина гласи

7. Трофазна кола

327

æ 2 - E1 + E 2 1ö ç + ÷V B = , а њено решење је V B » (0,3 + j230,0) V . Струје грана су ç Zg +Z Z ÷ Zg +Z ø è E1 + V B V IA = » (111,66 - j171,62) A , I B = B » (92,25 + j183,89) A и Zg + Z Z IC =

E2 -V B Zg + Z

I B » 205,74 A S=Z S g1 =

(

I A2

» (203,91 + j12,27) A , а њихове ефективне вредности су I A » 204,75 A , и

)

I C » 204,28 A .

Комплексна

снага

трофазног

+ I B2 + I C2 » (125,98 + j62,99) kVA . Комплексне снаге грана E1 I *A - Z g I A2 » (81,36 - j4,78) kVA и S g2 = E 2 I *C - Z g I C2 » (44,62 +

пријемника

је

генератора су j67,77) kVA .

Из ових резултата се види да се, услед прекида треће гране генератора, стање у пријемнику врло мало променило, али су гране генератора несиметрично оптерећене. Читаоцу се оставља да задатак реши у случају када емс генератора чине директан систем. **Читаоцу се препоручује да коло са слике 407.1 реши и у случају таквог квара, да прекидач П остаје затворен, али је емс треће гране једнака нули. Шта се дешава са струјама у гранама генератора ако би при томе Z g ® 0 ? Слика 407.3.

408. Три идеална напонска генератора, чије емс чине симетричан директан трофазни систем, везана су у звезду, као што је приказано на слици 408.1. Ефективна вредност емс је E = 10 kV . На овај генератор прикључен је несиметричан трофазни пријемник импеданси Z AB = 1 kW , Z BC = (1 - j) kW и Z CA = (2 + j) kW . Израчунати активну снагу, реактивну снагу и комплексну снагу пријемника.

Слика 408.1.

РЕЗУЛТАТ Активна снага пријемника је P = 570 kW , реактивна снага је Q = -90 kvar , а привидна снага је S = (570 - j90) kVA .

328

Кола променљивих струја

409. У трофазном колу приказаном на слици 409.1 електромоторне силе чине директан симетричан систем. Линијски напон је U = 1 kV , кружна учестаност w = 10 3 s -1 , а импедансе грана пријемника су Z R = Z L = Z C = 1 kW , Почетна фаза емс E1 је нула. Одредити тренутни потенцијал звездишта пријемника.

Слика 409.1.

РЕЗУЛТАТ æ 3 ö÷ 2p ö æ Потенцијал тачке О је v(t ) = ç1 + 2 cosç wt + ÷ kV . ÷ ç 3 3 ø è ø è Читаоцу се препоручује да израчуна и тренутне јачине струја свих грана кола.

410. У трофазном колу приказаном на слици 410.1 електромоторне силе генератора чине инверзан симетричан систем. Ефективна вредност електромоторне силе је E = 240 V , а учестаност је f = 50 Hz . Пријемник се састоји од отпорника отпорности R = 100 W , калема индуктивности 1 L= H и кондензатора капацитивности p 100 C= mF . Израчунати активну и реактивну снагу p пријемника када је прекидач П (а) затворен и (б) отворен.

Слика 410.1.

РЕШЕЊЕ j

2p

Усвојимо да је почетна фаза емс E1 једнака нули. Тада је E1 = E , E 2 = Ee 3 и E 3 = Ee

-j

2p 3

.

Комплексне

импедансе

грана

пријемника

су

Z R = R = 100 W ,

1 Z L = jwL = j100 W и Z C = = - j100 W , па је Z R = Z L = Z C = R = 100 W . jwC (а) Када је прекидач П затворен, тачке 0 и 4 су кратко спојене. Ефективне вредности E струја све три гране пријемника су једнаке, I14 = I 24 = I 34 = = 2,4 A . Комплексне R снаге коју примају отпорник, калем и кондензатор су, редом,

7. Трофазна кола

2 S R = Z R I14 =

2 S C = Z C I 34 =

E12

329

=

Z *R E12

Z *C

E2 = 576 VA , R

= - j576 VA .

2 S L = Z L I 24 =

Комплексна

E12 Z *L

снага

пријемника

S = S R + S L + S C = 576 VA . Активна снага пријемника је

реактивна снага је Q = Im(S ) = 0 .

= j576 VA

и је

P = Re(S ) = 576 W , а

(б) Када је прекидач отворен, задато коло се може решити методом потенцијала чворова. Ако усвојимо чвор 0 за референтни, тада важи једначина E E æ1 ö 1 çç + + jwC ÷÷ V 4 = 1 + 2 + jwC E 3 из које је V 4 = E1 - jE 2 + jE 3 = (1 + 3 ) E . R jwL è R jwL ø Комплексне I 24 =

струје

грана

E2 -V 4 E æ 3 æ3 öö = ç + jç + 3 ÷ ÷ ç ZL Rè 2 è2 ø ÷ø

пријемника и

I 34 =

су

I 14 =

E1 - V 4 E 3 =, ZR R

E3 - V 4 E æ 3 æ3 öö = ç - jç + 3 ÷ ÷ , па је ç ZC Rè 2 è2 ø ÷ø

2 2 2 комплексна снага пријемника S = Z R I14 + Z L I 24 + Z C I 34 =

снага пријемника је P = 1728 W , а реактивна Q = 0 .

3E 2 = 1728 VA . Активна R

Да ли се струја отпорника (када је прекидач П затворен) може израчунати применом Тевененове теореме? А применом Нортонове теореме?

411. Симетричан претежно индуктиван трофазни пријемник прикључен је на трофазни систем симетричних линијских напона ефективне вредности U = 400 V и учестаности f = 50 Hz . При томе је активна снага пријемника P = 36 kW , а фактор снаге k = 0,6 . Израчунати капацитивности кондензатора које треба укључити код трофазног пријемника, као на слици 411.1, тако да фактор снаге на напојном воду, испред везе пријемника и кондензатора, буде k ¢ = 0,8 .

330

Кола променљивих струја

Слика 411.1. РЕШЕЊЕ Пријемник се може представити троуглом. Активна снага сваке фазе пријемника је P Pf = = GU 2 = 12 kW , где је G кондуктанса једне фазе пријемника. Реактивна снага је 3 1- k2 = - BU 2 = 16 kvar , где је В сусцептанса једне фазе пријемника. Према k слици 411.1, свакој фази пријемника паралелно је прикључен кондензатор. Активна снага те паралелне везе је Pf а реактивна снага је Qf = Pf

Qf¢ = -(wC + B ) U 2 = -wCU 2 + Qf = ± Pf

1 - k ¢2 = ±9 kvar . k¢

Одавде

је

C=

Qf - Qf¢ . wU 2

Прво решење је C1 » 139 mF а друго C2 » 497 mF . Које је од ова два решења технички прихватљивије?

*412. Генератори електромоторних сила E1 , E 2 и E 3 , кружне учестаности w и ефективне вредности емс Е, образују инверзан симетричан трофазни систем. Сматрајући познатим кружну учестаност w и отпорност R, одредити индуктивност калема и капацитивност кондензатора у колу са слике 412.1 тако да сваки од три идеална напонска генератора развија само активну снагу. Колике су, при томе, те активне снаге генератора?

7. Трофазна кола

331

Слика 412.1.

Слика 412.2.

РЕШЕЊЕ j

2p

Комплексне електромоторне силе генератора су E1 , E 2 = E1e 3 и E 3 = E1e Према оријентацијама са слике 412.2, линијске струје ö æ E - E 2 E 3 - E 1 E 1 ç æç 3 3 ö÷ æç 3 3 ö÷ ÷ = +j I1 = I L - I R = 1 , ç ÷ ç ç R jwL 2 è è R wL ø è R wL ÷ø ÷ø ö ö E - E 2 E 2 æç æ ç wC 3 + 3 ÷ + 3 j æç wC - 1 ö÷ ÷ I 2 = I C - I L = jwC (E 2 - E 3 ) - 1 = ç ÷ wL ø j wL 2 çè è wL ø ÷ø è E - E1 E ææ 3 3 ö÷ ö÷ ö æ I3 = I R - IC = 3 - jwC (E 2 - E 3 ) = 3 ç ç - wC 3 ÷ + j ç 3wC . ç R 2 çè è R R ÷ø ÷ø ø è Комплексне снаге које 2 ææ E çç 3 3 ö÷ æç 3 3 ö÷ ö÷ S 1 = E 1 I 1* = -j , ç ÷ ç 2 çè è R wL ø è R wL ÷ø ÷ø

развијају

генератори

-j

2p 3

.

су

и

су

E 2 æç æç 3 ö÷ 1 ö ö÷ æ S 2 = E 2 I *2 = wC 3 + - 3 j ç wC и ÷ 2 çè çè wL ÷ø wL ø ÷ø è E 2 æç æ 3 3 ö÷ ö÷ ö æ S 3 = E 3 I *3 = . Да би сваки генератор развијао само ç - wC 3 ÷ - j çç 3wC 2 çè è R R ÷ø ÷ø ø è активну снагу, потребно је да буде је wL =

1 = R 3 , па је wC

L=

3 3 3 1 = 0 , wC = 0 и 3wC = 0 . Одавде R wL R wL

R 3 w

и C=

1 wR 3

. Ефективне вредности струја

332

генератора

Кола променљивих струја

су

PE1 = PE 2 = PE 3 =

I1 = I 2 = I 3 =

E . R

Генератори

развијају

активне

снаге

E2 . R

Слика 412.3. Задатак се може решити и на други начин, користећи се фазорским дијаграмом. За E - E2 референтне смерове као на слици 412.2 је I L = 1 , I C = jwC (E 2 - E 3 ) и jwL E - E1 IR = 3 . Фазорски дијаграм је приказан на слици 412.3. Фазна разлика струја I L и R I C је p / 3 . Да би генератор E 2 развијао само активну снагу, струја I 2 = I C - I L мора 1 да буде у фази са емс E 2 , а то је могуће само ако је I C = I L , односно wL = . Слично wC томе струја I 1 = I L - I R мора да буде у фази са емс E1 , што је могуће само ако је I R = I L 3 , односно wL = R 3 . Тада је испуњен и услов да је I 3 = I R - I C у фази са I E емс E 3 . Ефективне вредности струја су I1 = I 2 = I 3 = I L = I C = R = , па су активне 3 R снаге генератора PE1 = PE 2 = PE 3 =

E2 . R

7. Трофазна кола

333

1 I1

референтним

C

R

C

L

E1

*413. Електромоторне силе E1 , E 2 и E 3 образују директан симетричан трофазни систем, кружне учестаности w и ефективне вредности Е. Симетрични трофазни пријемник је везан у звезду, као на слици 413.1. Параметри пријемника су R, L и C, а коефицијент индуктивне спреге је k ¹1. Одредити комплексну снагу коју развија трофазни генератор. РЕШЕЊЕ Према

R

k 2 I2

0

L k 4

E2

k 3 I3

C

R

L

E3 Слика 413.1.

смеровима

са

слике 413.1 је æ ö 1 1 U 14 = jwL I 1 + jwkL I 2 + jwkL I 3 + I + R I 1 = çç R + + jwL ÷÷ I 1 + jwkL(I 2 + I 3 ) . j wC 1 j w C è ø æ 1 ö ÷ I . На сличан начин се добија Како је I 2 + I 3 = - I 1 , то је U 14 = çç R + jwL(1 - k ) + w j C ÷ø 1 è æ æ 1 ö 1 ö ÷÷ I 2 и U 34 = çç R + jwL(1 - k ) + ÷I . U 24 = çç R + jwL(1 - k ) + w w j C j C ÷ø 3 è ø è На основу ових једначина, за посматрани симетрични пријемник може се увести 1 циклична импеданса, Z cik = R + jwL(1 - k ) + , са циљем да се задати пријемник j wC замени еквивалентним симетричним пријемником у коме нема спрегнутих елемената, као на слици 413.2. Та еквиваленција важи без обзира на то да ли је трофазни систем уравнотежен или није. R

C

L

1

1

Zcik

k R

C

L k 4

2

2

Zcik

k R

C

L

3

3 Слика 413.2.

Zcik

4

334

Кола променљивих струја

Заменом задатог пријемника еквивалентним пријемником, добија се коло као на слици 413.3. Узимајући чвор 0 као референтни, за то коло је, по методу потенцијала чворова, 1 (E 1 + E 2 + E 3 ) Z V 4 = cik . Задати систем 3 Z cik електромоторних сила је симетричан, па је E1 + E 2 + E 3 = 0 и V 4 = 0 . Слика 413.3. Линијске струје су I 1 =

E E E1 - V 4 E = 1 , I 2 = 2 и I 3 = 3 , па је комплексна Z cik Z cik Z cik Z cik

снага коју развија трофазни генератор S g = E1 I 1* + E 2 I *2 + E 3 I *3 =

3E 2 Z *cik

.

Читаоцу се оставља да реши коло са слике 413.1 без увођења цикличне импедансе. **Да ли би еквиваленција са слике 413.2 важила и да је изведен прикључак за звездиште (чвор 4)? 1 R I 1 E1 C L *414. На слици 414.1 приказано L је уравнотежено трофазно коло. k Електромоторне силе образују 2 C директан систем, кружне 0 k учестаности w и ефективне k I 3 E2 R вредности Е. Параметри пријемника I2 су R, L и C, а коефицијент R C индуктивне спреге је k ¹1. L 3 Одредити комплексну снагу пријемника. E3 РЕШЕЊЕ Слика 414.1. Напони пријемника су, према слици 414.1, æ ö æ ö 1 1 + jwL ÷÷ I 1 + jwkL I 2 + jwkL I 3 , U 23 = çç R + + jwL ÷÷ I 2 + jwkL I 1 + jwkL I 3 U 12 = çç R + w j C j w C è ø è ø æ ö 1 и U 31 = çç R + + jwL ÷÷ I 3 + jwkL I 2 + jwkL I 1 . Како је U 12 + U 23 + U 31 = 0 , одавде је j w C è ø æ ö 1 çç R + + jw(1 + 2k )L ÷÷ (I 1 + I 2 + I 3 ) = 0 , па је I 1 + I 2 + I 3 = 0 , јер струје I 1 , I 2 и I 3 jwC è ø

7. Трофазна кола

335

образују симетричан систем. Напони пријемника се сада могу написати у облику æ ö æ ö 1 1 U 12 = çç R + + jw(1 - k )L ÷÷ I 1 , U 23 = çç R + + jw(1 - k )L ÷÷ I 2 и j w C j w C è ø è ø æ ö 1 U 31 = çç R + + jw(1 - k )L ÷÷ I 3 . Ако се уведе циклична импеданса j w C è ø 1 , задати симетрични пријемник се j wC еквивалентним симетричним пријемником без спрегнутих калемова. Z cik = R + jwL(1 - k ) +

може

заменити

Коло са слике 414.1 сада поприма облик као на слици 414.2. Фазне струје пријемника U U E - E3 E - E2 су I 1 = 12 = 1 , I 2 = 23 = 2 Z cik Z cik Z cik Z cik U 31 E 3 - E1 и I3 = = , па је комплексна снага Z cik Z cik S = U 12 I 1* + U 23 I *2 + U 31 I *3 =

9E 2 Z *cik

. Слика 414.2.

415. Нацртати шему везивања монофазног ватметара за мерење активне снаге трофазног пријемника. РЕШЕЊЕ Идеални монофазни ватметар је инструмент са четири прикључка, чији је симбол приказан на слици 415.1. Прикључци 1 и 2 су напонски. Импеданса између тих прикључака је бесконачна, као код идеалног волтметра. Прикључци 3 и 4 су струјни, а импеданса између њих је нула, као код идеалног амперметра. На слици 415.1, прикључци 1 и 2 су изоловани од прикључака 3 и 4. Међутим, у пракси, прикључци 1 и 3 су често међусобно кратко спојени у самом инструменту.

Слика 415.1.

Ватметар мери средњу вредност производа напона u12 и струје i34 , односно P = u12 i34 . Тачке уз прикључке ватметра дефинишу референтне смерове струје и напона. У простопериодичном режиму, показивање ватметра се може изразити преко комплексних

представника

напона

и

струје

као

(

)

P = Re U 12 I *34 ,

P = U12 I 34 cos f , где је f фазна разлика напона u12 и струје i34 .

односно

336

Кола променљивих струја

На основу резултата задатка 380, активна снага трофазног пријемника који има три прикључка, може се измерити помоћу два ватметра, везана као на слици 415.2 (Аронова спрега). Ако су показивања ватметара P1 , односно P2 , активна снага пријемника је P = P1 + P2 . Ватметри се могу везати и према шемама на сликама 415.3 и 415.4. IA

A

Слика 415.2.

W1

UAB IB

B

UCA

W2

трофазни пријемник

UBC C

IC Слика 415.3.

Слика 415.4.

Активна снага трофазног пријемника који има четири прикључка, може се, на основу задатка 379, измерити помоћу три ватметра, везана као на слици 415.5. При томе је активна снага пријемника P = P1 + P2 + P3 , где су P1 , P2 и P3 показивања ватметара.

Слика 415.5.

7. Трофазна кола

337

416. Два идеална ватметра везана су у коло као на слици 416.1. Показивања ватметара су P1 , односно P2 . Линијски напони образују симетричан инверзан трофазни систем. Одредити активну и реактивну снагу пријемника, као и фактор снаге пријемника. Слика 416.1. РЕШЕЊЕ Показивања

ватметара

су

P1 = U AB I A cos(q AB - y A ) = UI cos a

и

P2 = U CB I C cos(qCB - y C ) = UI cos b , где је U = U AB = U BC = U CA ефективна вредност линијског напона, а I = I A = I B = I C ефективна вредност струје, јер је коло p уравнотежено. Са фазорског дијаграма приказаног на слици 416.2 је a = f и 6 ö æ 3 pö p pö 1 p æ æ b = f + , па је P1 = UI cosç f - ÷ = UI ç cos f cos + sin f sin ÷ = UI ç cos f + sin f ÷ . ÷ ç 2 2 6ø 6 6ø 6 è è ø è pö æ Слично томе, P2 = UI cosç f + ÷ = UI 6ø è

æ 3 ö 1 ç cos f - sin f ÷ . ç 2 ÷ 2 è ø

Збир показивања ватметара је P1 + P2 = 3UI cos f = S cos f = P , односно активна снага пријемника је P = P1 + P2 Разлика показивања ватметара је P1 - P2 = UI sin f = снага пријемника Q = 3 (P1 - P2 ) .

S 3

sin f =

Q 3

, па је реактивна

338

Кола променљивих струја

Слика 416.2. До истог резултата се може доћи и применом комплексних израза. Показивања ватметара су

(

P1 = Re U AB I *A -j

p

U AB = 3U A0 e 6 ,

)

и

(

)

P2 = Re U CB I *B . Како је, према слици 416.2, j

p

U CB = 3U C 0e 6

и

U A0 I *A = U B 0 I *B = U C 0 I *C =

S , 3

то

је

p p p æ æ ö æ p -j j j ö÷ ö÷ ç S ç -j6 ç ÷ 6 e e + P1 + P2 = Reç 3U A0e 6 I *A + 3U C 0 e 6 I *C ÷ = Reç ç ÷÷ ÷ = Re(S ) = P ç ÷ ÷ ç 3ç è ø è øø è

и

p p p öö æ S æ - jp æ ö j -j ç e 6 - e j 6 ÷ ÷ = Reæç - jS ö÷ = Q . P1 - P2 = Reç 3U A e 6 I *A - 3U C e 6 I *C ÷ = Reçç ÷ ç ç ÷ ÷ ÷÷ ç 3ç 3ø 3 è è ø è øø è

Фактор снаге пријемника је k = cos f =

P = S

P1 + P2

(P1 + P2 )2 + 3(P2 - P1 )2

=

1 æ1- x ö ÷÷ 1 + 3çç è1+ x ø

2

,

P где је x = 2 . P1

417. За уравнотежено трофазно коло приказано на слици 417.1 позната су два показивања ватметра W: када је преклопник П у положају (2), показивање је P1 = 500 W , а када је преклопник у положају (3), показивање је P2 = 1500 W . Трофазни систем је директан. Одредити активну и реактивну снагу пријемника.

7. Трофазна кола

339

РЕЗУЛТАТ Активна снага пријемника је P = P1 + P2 = 2 kW , а реактивна снага пријемника је Q = 3 (P2 - P1 ) = 3 kvar . Пријемник је претежно индуктиван.

Слика 417.1.

418. Ефективне вредности линијских напона симетричног директног трофазног система на који је прикључено коло приказано на слици 418.1 су U = 400 V , импедансе грана претежно капацитивног симетричног пријемника су Z = 160 W , а фактор снаге је k = 0,8 . Колика је снага коју мери идеални ватметар W?

Слика 418.1.

РЕШЕЊЕ

Показивање ватметра је P = U AB I1 A cos(q AB - y1 A ) = U AB I1A cos(a ) , где је a фазна разлика напона U AB и струје I1 A . На слици 418.2 приказан је фазорски дијаграм напона и струја посматраног трофазног кола под претпоставком да је почетна фаза линијског p напона U AB нула. Са фазорског дијаграма је a = p + + f ( f < 0 јер је пријемник 6 претежно

капацитиван)

и

I1 A = I12 3 ,

па

је

показивање

ватметра

æ 7p ö 3 cos ç + f ÷ . Како је пријемник претежно капацитиван, то је cos f = 0,8 и è 6 ø 3 sin f = -0,6 ( f = -arctg » -36,9° и a » 173,1° ), па је 4 7p 7p æ 7p ö cos ç + f ÷ = cos cos f - sin sin f = -0,4 3 - 0,3 » -0,993 и P = -300 4 + 3 W . 6 6 è 6 ø P =U

U Z

(

)

340

Кола променљивих струја

До резултата се може доћи и користећи се комплексним рачуном. Показивање U U ватметра је P = Re U AB I 1*A . Према слици 418.1 је I 1 A = - AB + CA , па је Z Z

(

)

* æ - U CA ö ö÷ æU ÷÷ . P = Reç - U AB çç AB ç ÷ Z ø ø è è

U BC = Ue

-j

2p 3

Комплексни

линијски

U CA = Ue

и

-j

4p 3

напони

,

U AB = U ,

су

па

је

* æ 4p ö ö ç U 2 æç ÷ -j æ U2 ö ÷ 3 ç÷ P = Re ç = 1 e Re 3 + j 3 (cos f + j sin f )÷ = -300 4 + 3 W . ÷ * ç ç ÷ ÷ ÷÷ çç Z ç è 2Z ø è ø è ø

(

)

(

)

UCA

I12 I31

O UAB

I1A

ф.о.

I12 I23 UBC Слика 418.2.

419. Ради мерења активне и реактивне снаге трофазног симетричног претежно индуктивног пријемника, формирано је коло приказано на слици 419.1. Пријемник је прикључен на симетричан директан систем трофазних напона. Одредити активну и реактивну снагу трофазног пријемника у функцији показивања P1 и P2 идеалних ватметара.

7. Трофазна кола

341 1

W1

A UAB

Z W2

B

C

UBC R 4

0

R

Z

Z

2

3 Слика 419.1. РЕШЕЊЕ UCA UB4 На слици 419.2 приказан је фазорски дијаграм напона и струја. Активна снага трофазног пријемника је P = 3U10 I10 cos f , а реактивна снага је Q = 3U10 I10 sin f , где је f фазна разлика напона U10 и струје I10 пријемника.

U10 I30

U A4 = U B 4 + U AB

I10 UAB

O I10

UCA U30 UBC

U20

U4C

I20 UB4 1 U B 4 = U 4C = U BC 2 Слика 419.2. Показивање првог ватметра је, према слици 419.1, P1 = U A4 I A1 cos a , где је a фазна разлика напона U A4 и струје I A1 ( I A1 = I 10 ). Са фазорског дијаграма на слици 419.2 је p p 3 = U10 3 cos = U10 и a = f , па је показивање првог ватметра 6 6 2 1 3 P1 = U10 I10 cos f = P . Активна снага трофазног пријемника је P = 2P1 . 2 2

U A4 = U AB cos

Показивање другог ватметра је P2 = U13 I B 2 cos b , где је b фазна разлика напона U13 p ( U 13 = -U CA ) и струје I B 2 ( I B 2 = I 20 ). Са фазорског дијаграма је b = + f , па је 2

342

Кола променљивих струја

Q æp ö P2 = U10 3 I10 cosç + f ÷ = - 3U10 I10 sin f = . 2 3 è ø

Реактивна

снага

трофазног

пријемника је Q = - 3P2 . Задатак се може решити и на други начин, користећи се комплексним изразима. Имајући у виду фазорски дијаграм са слике 419.2, показивање првог ватметара је æ3 æ3 ö æ1 ö P * ö P1 = Re U A4 I *A1 = Reç U 10 I 10 ÷ = Reç S 10 ÷ = Reç S ÷ = , а показивање другог è2 ø è2 ø è2 ø 2

(

ватметра је

)

p ææ ö j ö÷ æ j ö çç ÷ Q P2 = Re U AC I *B 2 = Reç ç 3U 10 e 2 ÷ I *20 ÷ = Re j 3 S 20 = Reçç S ÷÷ = . ç ÷ 3 3 ç ÷ è ø ø èè ø

(

)

(

)

На основу тога је активна снага пријемника P = 2P1 , а реактивна снага је Q = - 3P2 . Читаоцу се оставља да размотри случај када је пријемник претежно капацитиван.

420. За уравнотежено трофазно коло приказано на слици 420.1 позната је ефективна вредност директних линијских напона U = 400 V , импеданса једне фазе пријемника Z = 100 W и фактор снаге k = 0,6 . Пријемник је претежно индуктиван. Израчунати показивање ватметра.

Слика 420.1.

РЕЗУЛТАТ Показивање ватметра је P » -628 W .

*421. Три идентична кратка соленоида постављена су у вакууму тако да им се осе секу под углом од 120° , као на слици 421.1. Соленоиди су на истом одстојању од координатног почетка. Када у првом соленоиду постоји стална струја јачине I0 = 1 A , вектор магнетске индукције соленоида у координатном почетку је B1 = B0 i x , где је B0 = 1 mT . (а) Одредити струје соленоида потребне да би се у координатном почетку добило обртно магнетско поље индукције B(t ) = B0 које ротира у математички позитивном смеру угаоном брзином w = 10 2 rad/s . Струје I1 , I 2

2p 3

Слика 421.1.

2p 3

7. Трофазна кола

343

p . (б) Да ли се 6 исто обртно поље може добити само помоћу соленоида 1 и 2? Ако може, колике су потребне струје соленоида? (в) Да ли се обртно поље може добити помоћу соленоида 1 и 2 који стоје под правим углом? и I 3 чине симетричан трофазни систем, а почетна фаза струје I1 је y1 =

РЕШЕЊЕ B T При сталној струји је, према условима задатка, B0 = aI 0 , где је a = 0 = 10 - 3 I0 A константна величина. pö æ (а) Тренутна струја првог соленоида је i1 (t ) = I m cosç wt + ÷ , где је I m непозната 6ø è амплитуда струје, а w кружна учестаност. Струја другог соленоида је p 2p ö p 2p ö æ æ i2 (t ) = I m cosç wt + m ÷ , а струја трећег соленоида је i3 (t ) = I m cosç wt + ± ÷ , где 6 3 ø 6 3 ø è è горњим знацима одговара директан трофазни систем струја, а доњим знацима инверзан p

2p

j mj 2 систем. Одговарајући комплексни представници струја су I 1 = I me 6 , I 2 = I 1e 3 2 ±j

2p 3

и I 3 = I 1e . У односу на референтне смерове са слике 421.1, тренутни интензитети магнетских pö æ B1 (t ) = ai1 (t ) = aI m cosç wt + ÷ , индукција соленоида су 6ø è p 2p ö p 2p ö æ æ B2 (t ) = ai2 (t ) = aI m cosç wt + m ÷ , односно B3 (t ) = ai3 (t ) = aI m cosç wt + ± ÷. 6 3 6 3 ø è ø è Растављањем на компоненте у Декартовом координатном систему добија се pö p 2p ö æç 1 3 ö÷ æ æ B1 (t ) = aI m cosç wt + ÷ i x , B 2 (t ) = aI m cosç wt + m iy и ÷ ç- ix + ÷ 6ø 6 3 øè 2 2 è è ø p 2p ö æç 1 3 ö÷ æ B 3 (t ) = aI m cosç wt + ± iy . ÷ ç- ix ÷ 6 3 øè 2 2 è ø

Резултантна

магнетска

B(t ) = B1 (t ) + B 2 (t ) + B 3 (t ) = Bx (t )i x + B y (t )i y , где је Bx (t ) = B1 (t ) 3 (B2 (t ) - B3 (t )) . 2 Комплексни представници

индукција

је

1 (B2 (t ) + B3 (t )) и 2

B y (t ) =

Декартових

компоненти

резултантне

магнетске

1 3 (B 2 - B3 ) , где су B1 = a I 1 , B 2 = a I 2 и индукције су B x = B1 - (B 2 + B 3 ) и B y = 2 2 B 3 = a I 3 комплексни представници индукција B1 (t ) , B2 (t ) , односно B3 (t ) . На слици 421.2 приказани су фазори B1 , B 2 и B 3 ако струје соленоида (а тиме и магнетске индукције) чине директан симетричан трофазни систем. С обзиром на то да је

344

Кола променљивих струја

1 (B + B3 ) = - 1 B1 , па је B x = 3 B1 . Са слике 421.2 се 2 2 2 2 æ pö види да је B 2 - B 3 = 3 B1 expç - j ÷ , што се може и аналитички показати, па је è 2ø B1 + B 2 + B 3 = 0 , имамо да је

By =

3 3 æ pö B expç - j ÷ = - j B1 . 2 1 2 2 è ø

3 3a pö pö æ æ B1 (t ) = I m cosç wt + ÷ = Bm cosç wt + ÷ 2 2 6ø 6ø è è 3 æ T ö 3a p p ö 3a pö pö æ æ æ B y (t ) = B1 ç t - ÷ = I m cosç wt + - ÷ = I m sin ç wt + ÷ = Bm sin ç wt + ÷ . 2 è 4ø 2 6 2ø 2 6ø 6ø è è è На

основу

тога

је

B x (t ) =

и

Слика 421.3.

Слика 421.2. Интензитет

резултантног вектора магнетске индукције је 3 a 2 2 B(t ) = Bx2 (t ) + B y2 (t ) = I m = B0 , па је амплитуда струје соленоида I m = I 0 = A , 2 3 3 2 A . Тангенс угла a (t ) између вектора резултантне 3 B y (t ) pö æ = tg ç wt + ÷ . Разматрајући знаке индукције и x-осе (слика 421.3) је tg a (t ) = 6ø Bx (t ) è p функција B x (t ) и B y (t ) , очигледно је a(t ) = wt + , што значи да вектор B(t ) ротира у 6 а ефективна вредност I =

математички позитивном смеру угаоном брзином w = w , па је w = 100 s -1 . Читаоцу се оставља да размотри случај када струје соленоида чине инверзан систем и да покаже да тада вектор B(t ) ротира у математички негативном смеру угаоном брзином w = w . (б) Ако постоје само соленоиди 1 и 2, онда је B y (t ) =

Bx (t ) = B1 (t ) -

1 B2 (t ) 2

и

3 B2 (t ) . Да би се добило исто обртно поље као у случају (а), треба да буде 2

7. Трофазна кола æ Bx (t ) = B0 cosç wt + è 2 B2 (t ) = B y (t ) = 3

345 pö ÷ 6ø 2

и

pö æ B y (t ) = B0 sin ç wt + ÷ . 6ø è

pö æ B0 sin ç wt + ÷ 6ø 3 è

i 2 (t ) =

B1 (t ) = B x (t ) +

и

pö 1 pö 2 æ æ = B0 cosç wt + ÷ + B0 sin ç wt + ÷ = B0 cos wt , 6ø 6ø 3 3 è è

Одавде

па

је

i1 (t ) =

је 1 B2 (t ) 2

2 3 cos wt A 3

2 3 æ pö sin ç wt + ÷ A . 3 6ø è

(в) Ако соленоиди стоје као на слици 421.4, тада је Bx (t ) = B1 (t ) и B y (t ) = B2 (t ) , па су

потребне струје соленоида pö pö æ æ i1 (t ) = cosç wt + ÷ A и i2 (t ) = sin ç wt + ÷ A . 6ø 6ø è è

Слика 421.4.

и

346

Кола променљивих струја

8. Фреквенцијске карактеристике 422. У колу приказаном на слици 422.1 је E = 1 V , 1 R1 = R2 = w0 L = = 1 W и w0 = 10 4 s -1 . Скицирати w0 C зависности снага отпорника од кружне учестаности генератора (w). Слика 422.1. РЕШЕЊЕ Снага отпорника R1 је P1 =

R1E 2

, а снага отпорника R2 је P2 = R12 + (wL )2

Те снаге, у функцији учестаности, приказане су на слици 422.2. 1,0 P2 0,8

0,6

0,4

P1

0,2

0,0

0,1

1

/

10 0

Слика 422.2.

R2 E 2 R22

æ 1 ö +ç ÷ è wC ø

2

.

8. Фреквенцијске карактеристике

347

*423. За коло из претходног задатка скицирати U1 U2 количнике и у зависности од кружне E E учестаности генератора (w), где су U1 и U 2 ефективне вредности напона отпорника (слика 423.1).

L

C

E R1

U1 R 2

U2

Слика 423.1.

РЕШЕЊЕ Тражени

U2 = E

количници

R2 æ 1 ö R22 + ç ÷ è wC ø

2

=

су

w w0 2

U1 = E

R1 R12 + (wL )2

=

1 æ w 1 + çç è w0

ö ÷÷ ø

2

и

. Ти количници представљају преносне (трансфер)

U/E

æ w ö ÷÷ 1 + çç è w0 ø функције од улаза, на који је прикључен идеални напонски генератор, до излаза, који су на отпорницима. Трансфер функције су приказане су на слици 423.2 у линеарној размери, на слици 423.3 у лог-лин размери, а на слици 423.4 у лог-лог размери.

Слика 423.2. **На слици 423.4, са десне стране, дата је и скала у децибелима. Преносна функција U R1 U R2 одговара филтру пропуснику ниских учестаности, а филтру пропуснику E E високих учестаности. У пропусном опсегу преносна функција филтра је релативно равна и близу је 1 ( 0 dB ). Гранична учестаност оба филтра је w0 . На граничној учестаности

348

Кола променљивих струја

преносна функција филтра пада на -3 dB . У непропусном опсегу преносна функција опада за 20 dB по декади. 1,0 U2 /E 0,8

0,6 U1 /E

0,4

0,2

0,0

0,1

1

/

10 0

U/E

Слика 423.3.

Слика 423.4.

*424. У колу на слици 424.1 електромоторна сила генератора је простопериодична, ефективне вредности E = 1 V , а кружна учестаност w се може мењати. Отпорности отпорника су R1 = R2 = 100 W . (а) Израчунати снагу отпорника R2 када w ® +¥ . (б) Израчунати индуктивност калема (L) тако да при w0 = 103 s -1 снага отпорника R2 буде два пута мања

Слика 424.1.

8. Фреквенцијске карактеристике

349

него у случају (а). (в) Скицирати зависност ефективне вредности напона оба отпорника од кружне учестаности за 10 2 s -1 < w < 10 4 s -1 . РЕШЕЊЕ (а) Када w ® +¥ , калем се понаша као отворена веза (прекид). Ефективна вредност напона отпорника R2 је U 2 =

U2 R2 E = 0,5 V па је PR2 (+¥) = 2 = 2,5 mW . R1 + R2 R2

(б) Према условима задатка, при w0 = 103 s -1 треба да буде U 2 = 0,5 U2 =

2 V . Како је 2

R2 || jwL E , следи L = 50 mH . R1 Å R2 || jwL

(в) Напони отпорника у функцији кружне учестаности приказани су на слици 424.2 у лог-лин размери. Читаоцу се препоручује да слику 424.2 нацрта и у лог-лог размери. 1,0

U1 , U2 [V]

0,8 U1

0,6 0,4

U2

0,2 0,0 100

1000

10000

−1

[s ] Слика 424.2.

R *425. Редно осцилаторно коло, отпорности R = 50 W , индуктивности L = 6 mH и капацитивности C = 23 pF , прикључено је на идеалан простопериодичан напонски генератор, ефективне вредности емс E = 1 V (слика 425.1). При којој учестаности генератора (а) снага отпорника има максимум, (б) ефективна вредност напона кондензатора има максимум и (в) ефективна вредност напона калема има максимум? Колики су ти максимуми?

E

I

L C UC Слика 425.1.

UL

350

Кола променљивих струја

РЕШЕЊЕ (а) Према референтним смеровима са слике 425.1, комплексна струја у колу је E I( f ) = . Ефективна вредност те струје је æ 1 ö ç ÷ R + j ç 2pfL 2pfC ÷ø è E

I( f ) =

æ 1 ö ÷ R 2 + çç 2pfL 2pfC ÷ø è PR ( f ) = RI 2 ( f ) =

имају f1 =

2p LC

,

а

RE 2 æ 1 ö ÷ R 2 + çç 2pfL 2pfC ÷ø è

максимум 1

2

када

је

2

снага

отпорника

је

. Ефективна вредност струје и снага отпорника

2pfL -

1 =0, 2pfC

односно

» 13,548 MHz . Максимална снага је PR max =

при

учестаности

E2 = 20 mW . R

(б) Ефективна вредност напона кондензатора је I( f ) E . Учестаност при којој напон има максимум UC ( f ) = = 2 2pfC æ ö 1 ÷ 2pfC R 2 + çç 2pfL 2pfC ÷ø è dU C може се одредити решавањем једначине = 0 . Једна нула извода је за нулту df учестаност, при чему је U C (0) = E . Та тачка је локални минимум функције U C ( f ) . Друга нула је за f ® +¥ , када је U C (+¥) = 0 , што је глобални минимум. Трећа нула је f2 =

1 2p

1 R2 - 2 » 13,516 MHz , када напон има максимум, U C max » 10,23 V . LC 2 L

(в) Ефективна U L ( f ) = 2pfLI ( f ) =

вредност 2pfLE æ 1 ö ÷ R 2 + çç 2pfL 2pfC ÷ø è

напона 2

је

. На сличан начин као у тачки (а), добија се

да је максимум напона при учестаности

максимум је U L max » 10,23 V .

калема

f3 =

1 R 2C 2 2p LC 2

» 13,581 MHz . Тај

8. Фреквенцијске карактеристике

351

*426. Паралелно осцилаторно коло, отпорности R = 5 kW , индуктивности L = 6 mH и капацитивности C = 23 pF , прикључено је на идеалан простопериодичан струјни генератор, ефективне вредности струје I g = 1 mA (слика 426.1). При којој

Слика 426.1.

учестаности генератора (а) снага отпорника има максимум, (б) ефективна вредност струје калема има максимум и (в) ефективна вредност струје кондензатора има максимум? Колики су ти максимуми? РЕШЕЊЕ (а) Према референтним смеровима са слике 426.1 је U ( f ) =

Ефективна вредност напона,

Ig

U( f ) =

æ 1 ö ÷ + ç 2pfC 2 ç 2pfL ÷ø R è 1

учестаности P( f ) =

f1 =

1 2p LC

» 13,548 MHz ,

Ig æ 1 1 ö ÷ + j çç 2pfC R 2pfL ÷ø è

.

, има максимум при

2

U max = RI g = 5 V .

Снага

отпорника,

U 2( f ) , има максимум када је ефективна вредност напона максимална. R

Максимум снаге је PR max = RI g2 = 5 mW . (б) Ефективна U( f ) IL( f ) = = 2pfL 2pfL f2 =

1 2p

вредност Ig æ 1 ö ÷ + çç 2pfC 2 p fL ÷ø R è 1

2

калема

је

. Та ефективна вредност има максимум за

2

1 1 » 13,513 MHz , I L max » 9,80 mA . LC 2 R 2C 2

(в) Ефективна I C ( f ) = 2pfCU ( f ) =

вредност 2pfCI g æ 1 ö ÷ + ç 2pfC 2 ç 2pfL ÷ø R è 1

f3 =

струје

1 2p LC -

L2 2R 2

струје 2

.

Њен

кондензатора максимум

је

» 13,584 MHz . Тај максимум је I C max » 9,80 mA .

при

је

учестаности

352

Кола променљивих струја

**427. Редно осцилаторно коло, приказано на слици 427.1, прикључено је на извор простопериодичног напона U. Индуктивност калема је L = 6 mH , а капацитивност кондензатора је C = 23 pF . (а) Колика је резонантна учестаност кола? (б) Скицирати преносну U функцију TR = R у зависности од учестаности ако је U Q-фактор кола 1, 10 и 100.

Слика 427.1.

РЕШЕЊЕ (а) Комплексна

импеданса

кола

је

1 ö æ Z = R + j ç wL ÷. w Cø è 1 w0 L =0, w0 C

При

учестаности

w0 1 = » 13,548 MHz је па је 2p 2p LC 1 w0 L w0 C f = arg( Z ) = arctg = 0 . Стога су при тој учестаности напон и струја на R приступу овог осцилаторног кола у фази (фазна резонанција). При истој учестаности, f0 =

функција f0 =

1 ö æ Z =| Z |= R 2 + ç wL ÷ wC ø è

1 2p LC

2

има минимум ( Z = R) , па је учестаност

истовремено и учестаност амплитудске резонанције.

(б) При резонанцији, фактор доброте кола са слике 427.1 је Q =

w0 L 1 = , R w0 CR

QR 1 и C= . Преносна функција се сада може написати у облику w0 w0 QR U R R 1 1 = TR = R = = = . На 2 2 2 U Z 1 æ ö æ ö æ ö f w w0 f R 2 + ç wL ÷ ÷ - 0 ÷÷ 1 + Q 2 çç 1 + Q 2 çç ÷ wC ø è w w f f ø è 0 ø è 0

одакле је L =

слици 427.2 приказана је та преносна функција за Q = 1 , Q = 10 и Q = 100 . Учестаност је нормализована на f 0 , а оса учестаности је логаритамска.

353

TR

8. Фреквенцијске карактеристике

Слика 427.2. ***Коло са слике 427.1 је филтар пропусник опсега учестаности. Централна 1 . учестаност филтра је f 0 = 2p LC Граничне

учестаности

филтра

су

оне

при

којима

је

2 TR ( f 0 ) » 0,707 TR ( f 0 ) , где је TR ( f 0 ) = 1 . Те учестаности се добијају 2 f f 1 1 2 , из које следи - 0 = ± . Сменом = решавањем једначине 2 2 f0 f Q æ f f ö - 0 ÷÷ 1 + Q 2 çç f ø è f0 f x x= добија се једначина x 2 m - 1 = 0 , чија су позитивна решења f0 Q TR ( f ) =

x1,2 = 1 +

1 4Q

2

m

1 . 2Q

Одавде

је

доња

гранична

учестаност

филтра

æ æ 1 1 ö÷ 1 1 ö÷ f1 = f 0 ç 1 + , а горња f 2 = f 0 ç 1 + + . На слици 427.2 означене су 2 2 ç ç 2Q ÷ 2Q ÷ 4Q 4 Q è ø è ø граничне учестаности за случај када је Q = 10 . f Î [ f1 , f 2 ] . Ширина f Df 1 Df = f 2 - f1 = 0 . Релативан пропусни опсег је = . f0 Q Q Пропусни

опсег

филтра

је

пропусног

опсега

је

Филтар је утолико селективнији (пропусни опсег му је ужи), уколико му је фактор доброте већи.

354

Кола променљивих струја

*428. У колу приказаном на слици 428.1 је E = 1 V , L = 1 mH , C = 10 nF и R = 10 W . Одредити аналитички израз за ефективну вредност напона U и скицирати је у функцији кружне учестаности генератора ( w ).

Слика 428.1. РЕЗУЛТАТ Ефективна вредност напона је U =

ER æ wL ö R 2 + çç ÷÷ è 1 - w2 LC ø

2

, а скицирана је на слици

428.2.

Слика 428.2. ***Коло са слике 428.1 је филтар непропусник опсега учестаности. Централна 1 учестаност филтра је f 0 = . 2p LC

8. Фреквенцијске карактеристике

355

*429. За мрежу са слике 429.1 је L = 1 mH , C = 10 nF и R = 1 W . (а) При којој учестаности су напон и струја на приступу мреже у фази? **(б) При којој учестаности импеданса мреже има максимум?

Слика 429.1. РЕШЕЊЕ (а) Комплексна

еквивалентна адмитанса æ 1 R wL Y = jwC + = + j ç wC 2 ç R + jwL R 2 + (wL )2 R + (wL )2 è

мреже са слике 429.1 је ö ÷ . Напон и струја су у фази ако је ÷ ø wL комплексна адмитанса чисто реална, односно када је wC = 0 . Ова 2 R + (wL )2 једначина има три решења. Једно решење је w1 = 0 , што одговара сталној струји (када нема смисла говорити о фазама). Друга два решења су w 2,3 = ±

1 R2 , од којих LC L2

физички у обзир долази само горњи знак, и то под условом да је R < једино ненулто решење w2 =

L . Стога је C

1 R2 L . , за R < C LC L2

Ако уведемо ознаке w0 =

1 LC

= 10 7 s -1 и

w0 L 1 = = Q0 = 10 , добијено R w0 RC

1

R 1 w0 RC = w0 1 » 0,995 w0 . w0 L Q02

решење се може написати у облику w2 =

LC

1-

w » 0,995 w0 » 1,58 MHz . 2p **Учестаност при којој су напон и струја мреже са слике 429.1 у фази, назива се учестаност фазне антирезонанције. Одговарајућа учестаност је f =

356

Кола променљивих струја 120 100

|Z| [W]

80 60 40 20 0

0

5M

10M

15M

20M

-1

w [s ]

Слика 429.2. (б) Комплексна импеданса мреже је Z = је Z = Z =

R 2 + (wL )2

(1 - w LC ) + (wRC ) 2

добија

се 1+

wa =

да

2

модул

1 R + jwL = . Модул те импедансе Y 1 - w2 LC + jwRC

(слика 429.2). Програмом за симболичку алгебру

2

комплексне

2 R 2C C - R2 L L =w 0 LC

1+

2 Q02

-

импедансе 1 Q02

има

максимум

када

је

» 0,99995w0 » 1,59 MHz .

Учестаност при којој модул комплексне импедансе мреже са слике 429.1 има максимум, назива се учестаност амплитудске антирезонанције. L1 *430. За мрежу са слике 430.1 одредити све резонантне и антирезонантне кружне учестаности уколико је L1 = 100 nH , L2 = 400 nH и C = 1 nF .

C

L2

Слика 430.1. РЕШЕЊЕ Резонантне кружне учестаности реактивне мреже су оне учестаности при којима је улазна импеданса мреже Z (wr ) = 0 , односно када Y (wr ) ® ¥ . Антирезонантне су оне кружне учестаности при којима Z (wa ) ® ¥ , односно Y (wa ) = 0 .

8. Фреквенцијске карактеристике Улазна

импеданса

357 мреже

са

слике

430.1

је

2

æ L + L2 - w L1 L2 C 1 ö ÷÷ = jw 1 . Резонантне учестаности су wr1 = 0 Z (w) = jwL1 Å çç jwL2 || jwC ø 1 - w2 L2 C è 1 1 и wr2 = » 111,8 ×10 6 s -1 . Решење wr3 = одбацујемо јер је L1L2 L1 L2 C C L1 + L2 L1 + L2 1

негативно. Антирезонантне учестаности су wa1 =

L2 C

= 50 × 10 6 s -1 и wa2 ® +¥ .

На слици 430.2 приказан је модул улазне импедансе мреже са слике 430.1, Z (w) = Z (w) = w

L1 + L2 - w2 L1 L2 C 1 - w2 L2 C

, у функцији кружне учестаности.

200 180 160 140 |Z| [W]

120 100 80 60 40 20 0

wr1

wa1

0

50M

wr2

wa2

100M

150M

200M

250M

-1

w [s ]

Слика 430.2.

*431. За мрежу са слике 431.1 одредити све резонантне и антирезонантне кружне учестаности уколико је L = 1mH , C1 = 30 nF и C 2 = 10 nF . Слика 431.1. РЕЗУЛТАТ Резонантне кружне учестаности су wr1 = антирезонантне учестаности су wa1 = 0 и wa2 =

1

L(C1 + C 2 ) 1 LC 2

= 5 × 10 6 s -1 и wr2 ® +¥ , а

= 10 7 s -1 .

358

Кола променљивих струја

*432. За мрежу са слике 432.1 одредити све резонантне и антирезонантне кружне учестаности уколико је C = 1 nF , L1 = 30 mH и L2 = 10 mH . Слика 432.1. РЕЗУЛТАТ Резонантне

кружне

учестаности

антирезонантне учестаности су wa1 =

wr1 = 0

су 1

(L1 + L2 ) C

и

wr2 =

1 L2 C

= 10 7 s -1 ,

а

= 5 ×10 6 s -1 и wa2 ® +¥ .

*433. За мрежу са слике 433.1 одредити све резонантне и антирезонантне кружне учестаности уколико је L = 40 mH и C1 = C 2 = 1 nF . РЕЗУЛТАТ Резонантне wr2 ® +¥ .

Антирезонантне 1

wa2 = L

учестаности

C1C 2 C1 + C 2

=

су

wr1 =

учестаности

1 LC 2

Слика 433.1.

= 5 × 10 6 s -1

и

wa1 = 0

и

су

2 ×10 7 s -1 . 2

*434. За мрежу са слике 434.1 одредити све резонантне и антирезонантне кружне учестаности ако је L1 = 10 nH , L2 = 2 nH , C1 = 100 nF и C 2 = 100 pF .

Слика 433.1. РЕШЕЊЕ Еквивалентна адмитанса мреже је Y (w) =

jwC1

+

jwC 2

= jB . Сусцептанса 1 - w L1C1 1 - w2 L2C 2 у функцији кружне учестаности приказана је на слици 434.2. Нуле адмитансе дају 2

8. Фреквенцијске карактеристике

антирезонантне

учестаности,

359

wa1 = 0 ,

wa2 =

1

(L1 + L2 ) C1C2 C1 + C 2

» 9,13 × 108 s -1

wa3 ® +¥ . Из услова Y (w) ® ¥ , добијају се резонантне 1 1 wr1 = » 3,16 × 10 7 s -1 и wr2 = » 2,24 × 10 9 s -1 . L1C1 L2C2

и

учестаности,

**Мрежа са слике 434.1 моделује практичну ситуацију када се паралелно вежу два реална кондензатора у циљу филтрирања напајања брзих електронских кола. Паралелна веза кондензатора се примењује и да би се прецизније реализовала потребна капацитивност комбиновањем капацитивности из стандардне серије. Са слике 434.2 се види да паразитне индуктивности имају знатан и неповољан утицај. 10 8 6 4 B [S]

2 0 -2 -4 -6 -8

wr1

wa1

-10 1M

10M

wa2

100M

wr2

1G

wa3

10G

-1

w [s ]

Слика 434.2.

*435. За мрежу са слике 435.1 одредити све резонантне и антирезонантне кружне учестаности уколико је L1 = 40 nH , L2 = 1 nH , C1 = 100 pF и C 2 = 25 pF . РЕЗУЛТАТ Резонантне учестаности су w r1 = 0 , 1 wr2 = = 10 9 s -1 и wr3 ® +¥ . Антирезонантне L1 L2 (C1 + C2 ) L1 + L2 учестаности су wa1 =

1 L1C1

= 5 ×108 s -1 и wa2 =

1 L2 C 2

= 2 ×10 9 s -1 .

Слика 435.1.

360

и

Кола променљивих струја

C

*436. За мрежу са слике 436.1 одредити све резонантне антирезонантне кружне учестаности уколико је

k L2

L1 = 20 nH , L2 = 40 nH , k = 1 / 2 и C = 0,1 nF .

L1

Слика 436.1. РЕЗУЛТАТ Еквивалентна импеданса мреже је Z = jw кружне учестаности су w r1 = 0 и wr2 = учестаности су wa1 =

(L + L 1

1

2

)

2

(

- 2k L1 L2 C

)

(

)

1 - w L1 + L2 - 2k L1 L2 C 1

L1 1 - k =

(

L2 - w2 1 - k 2 L1 L2 C

2

)C

. Резонантне

= 10 9 s -1 , а антирезонантне

2 9 -1 10 s и wa2 ® +¥ . 2

На шта се своди израз за еквивалентну импедансу мреже када C ® +¥ ? Читаоцу се препоручује да понови задатак ако је k = 1 (а) за задате индуктивности и (б) ако је L1 = L2 = 40 nH .

*437. За мрежу са слике 437.1 одредити све резонантне и антирезонантне учестаности ако је L1 = L2 = L = 100 mH , k = 0,5 и C1 = C2 = C = 10 nF . Слика 437.1. РЕЗУЛТАТ Еквивалентна импеданса мреже је Z = =

4 2

(

) jwC (1 - w LC ) 2

2

w L 1 - k C - 2w LC + 1 2

1

и

2

f r2 =

f a2 =

1 2p (1 - k ) LC 1

2p LC

(

)

w4 L1L2 1 - k 2 C1C2 - w2 (L1C1 + L2C2 ) + 1

. Резонантне учестаности су f r1 =

» 225 kHz ,

а

антирезонантне

(

jwC1 1 - w2 L2C2

)

1 2p (1 + k ) LC

учестаности

су

» 130 kHz f a1 = 0 ,

» 159 kHz и f a3 ® +¥ .

Читаоцу се препоручује да за чисто реактивне мреже из задатака 430-437 скицира улазне реактансе у функцији кружне учестаности и покаже да су те реактансе монотоно

8. Фреквенцијске карактеристике

361

растуће функције учестаности. Да ли исти закључак важи и за мрежу са слике 429, која има губитке?

*438. Скицирати фреквенцијску зависност резистансе и реактансе реалног отпорника чија је еквивалентна шема приказана на слици 438.1. Параметри елемената су L = 2 nH , C = 200 fF и (а) R = 10 W и (б) R = 10 kW . Слика 438.1. РЕЗУЛТАТ (а) За отпорник мале отпорности, тражене фреквенцијске карактеристике су приказане на слици 438.2. Од паразитних ефеката, доминира индуктивност. (б) За отпорник велике отпорности, фреквенцијске карактеристике су приказане на слици 438.3. Од паразитних ефеката, доминира капацитивност. 100 80

R X

60 40 R, X [W]

20 0 -20 -40 -60 -80 -100 100k

1M

10M

100M f [Hz]

Слика 438.2.

1G

10G

362

Кола променљивих струја 12k R X

10k 8k

R, X [W]

6k 4k 2k 0 -2k -4k -6k 100k

1M

10M

100M

1G

10G

f [Hz]

Слика 438.3.

**439. На слици 439.1 приказана је еквивалентна шема реалног кондензатора која моделује губитке у несавршеном диелектрику кондензатора. Капацитивност кондензатора је C p = 100 mF , а тангенс угла губитака је tg d = 0,001 при учестаности f = 100 Hz . (а) Израчунати отпорност отпорника у тој еквивалентној шеми. (б) Како зависи тангенс угла губитака од учестаности сматрајући да параметри Rp и C p еквивалентне шеме не зависе од учестаности?

1 wRp

wC p Слика 439.1.

Слика 439.3. 1 Rp Слика 439.2.

РЕШЕЊЕ (а) Комплексна

адмитанса мреже са слике 439.1 је æ ö 1 1 ÷ , а приказана је фазорским дијаграмом на слици Y= + jwC p = jwC p ç1 + ç ÷ Rp j w R C p p è ø æ 1 439.2. Овај израз се може написати у облику Y = jwC e , где је C e = C p ç1 + ç j wR p C p è

ö ÷ ÷ ø

8. Фреквенцијске карактеристике

363

еквивалентна (комплексна) капацитивност кондензатора, која је приказана фазорским дијаграмом на слици 439.3. Угао губитака (d) дефинисан је сликом 439.2 или 442.3. Усваја се да је d > 0 . Преко тог угла, комплексна капацитивност се може написати у облику C e = C p (1 - j tg d ) , па је комплексна адмитанса Y = jwC p (1 - j tg d ) . Реални део комплексне капацитивности је Re(C e ) = C p , а имагинарни део је Im(C e ) = -C p tg d , па је tg d = -

Im(C e ) Re(C e )

. Такође важе

p Re(Y ) 1 = , где је Q = wRp C p фактор доброте кондензатора, и d = - u , 2 Im(Y ) Q где је u = -f аргумент комплексне адмитансе.

релације tg d =

Очигледно, tg d =

1 1 , одакле је Rp = » 15,9 kW . wR p C p wC p tg d

(б) Под претпоставкама наведеним у задатку, учестаности.

tg d

је обрнуто сразмеран

**440. На слици 440.1 приказана је еквивалентна шема реалног кондензатора која моделује губитке у проводницима кондензатора. Капацитивност кондензатора је C r = 3,9 mF , а тангенс угла губитака је tg d = 0,01 при учестаности f = 100 kHz . (а) Израчунати отпорност отпорника у тој еквивалентној шеми. (б) Како зависи тангенс угла губитака од учестаности сматрајући да параметри Rr и C r еквивалентне шеме не зависе од учестаности?

Cr Rr

Слика 440.1.

РЕШЕЊЕ (а) Комплексна импеданса мреже са слике 440.1 је 1 1 Re( Z ) (1 + jwRr C r ) , па је тангенс угла губитака tg d = = wR r C r , Z = Rr + = jwC r jwC r Im(Z ) tg d одакле је Rr = » 4 mW . wC r (б) Тангенс угла губитака линеарно расте са учестаношћу. Читаоцу се оставља да за кондензатор из претходног задатка одреди еквивалентне параметре за модел са слике 440.1, као и да за кондензатор из овог задатка одреди еквивалентне параметре за модел са слике 439.1. Ако те еквиваленције треба да важе у ширем опсегу учестаности, одредити зависност капацитивности и отпорности од учестаности.

364

Кола променљивих струја

*441. Одредити фреквенцијску зависност резистансе и реактансе реалног кондензатора чија је еквивалентна шема приказана на слици 441.1. Параметри те шеме су C = 1mF , L = 1 nH и R = 1 W . Слика 441.1. РЕЗУЛТАТ X = wL -

R = 1 W , а реактанса је

Резистанса је

учестаностима испод резонантне ( f r =

1 wC

(слика 441.2). При

1

» 5 MHz ), кондензатор је претежно LC капацитиван, а изнад резонантне учестаности је претежно индуктиван. 10 R X

R, X [W]

5

0

-5

-10 10k

100k

1M

10M

100M

1G

f [Hz]

Слика 441.2. **442. На слици 442.1 приказана је еквивалентна шема реалног калема која моделује губитке у проводницима калема. Параметри те шеме су L = 220 nH и R = 4 W . (а) Колики је тангенс угла губитака калема при учестаности f = 200 MHz ? (б) Под претпоставком да су параметри L и R у еквивалентној шеми независни од учестаности, како зависе тангенс угла губитака и фактор доброте калема од учестаности?

L R

Слика 442.1. РЕШЕЊЕ (а) Комплексна импеданса мреже са слике 442.1 је Z = R + jwL , а тангенс угла Re( Z ) R 1 губитака је tg d = = = » 0,0145 . Im(Z ) wL Q

8. Фреквенцијске карактеристике

365

(б) Тангенс угла губитака је обрнуто сразмеран учестаности. Фактор доброте калема је линеарно сразмеран учестаности. ***При високим учестаностима, када је површински (скин) ефекат изражен, отпорност калема расте сразмерно квадратном корену из учестаности, па је фактор доброте сразмеран квадратном корену из учестаности. Шема са слике 442.1 може моделовати и губитке услед вихорних струја и хистерезиса у феромагнетском језгру калема под претпоставком да се реални калем може сматрати линеарним елементом. И у том случају отпорност R зависи од учестаности.

*443. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 443.1 позната је ефективна вредност електромоторне силе генератора E = 10 V , кружна учестаност w = 106 s -1 и капацитивност кондензатора C = 10 nF . Израчунати отпорност отпорника R тако да напон U буде у противфази са електромоторном силом Е. Колика је тада ефективна вредност напона U?

Слика 443.1.

Слика 443.2. РЕШЕЊЕ Задатак ћемо решити методом пропорционалних величина. Пођимо од напона U . Према ознакама на слици 443.2 је, редом, I 5 = jwCU , U 2 = U + R I 5 = (1 + jwRC )U , I 4 = jwCU 2 = jwC (1 + jwRC )U , I 3 = I 4 + I 5 = jwC (2 + jwRC )U , U 1 = U 2 + R I 3 = (1 + jwRC (3 + jwRC ))U , I 2 = jwCU 1 = jwC (1 + jwRC (3 + jwRC ))U , I 1 = I 2 + I 3 = jwC (3 + jwRC (4 + jwRC ))U и

366

Кола променљивих струја E = U 1 + R I 1 = (1 + jwRC (6 + jwRC (5 + jwRC )))U . Последњи

израз

се

може

написати

(

у

облику

)

E = aU ,

где

је

a = 1 + 6 jwRC - 5(wRC )2 - j(wRC )3 = 1 - 5(wRC )2 + j 6wRC - (wRC )3 . Да би напон U и емс Е били у противфази, потребно је да комплексни коефицијент пропорционалности a

буде

чисто

реалан

и

негативан,

односно

Re( a ) = 1 - 5(wRC )2 < 0

и

Im(a ) = 6wRC - (wRC )3 = 0 . Ако је R = 0 , тада је Im(a ) = 0 , али је Re( a ) = 1 > 0 , па то решење не долази у обзир. Ако је (wRC )2 = 6 , тада је Im(a ) = 0 и Re( a ) = -29 < 0 , па је решење R =

6 E » 245 W . При томе је ефективна вредност напона U = » 345 mV . wC 29

Читаоцу се оставља да скицира модул и аргумент преносне функције

U у E

зависности од учестаности. Коло са слике 443.1 представља померач фазе који се користи у неким електронским осцилаторима.

444. У колу простопериодичне струје приказаном на слици 444.1 познато је E = 1 V , R = 1 kW и C = 100 nF . Одредити учестаност генератора при којој је напон U у фази са електромоторном силом Е. Колика је тада ефективна вредност напона U? РЕШЕЊЕ За коло jwRC

са слике 444.1 је U = . Ако је wRC = 1 , односно E 1 - (wRC )2 + 3 jwRC 1 U 1 f = » 1,59 kHz , тада је = . Напон U је у 2pRC E 3 Слика 444.1. фази са електромоторном силом Е, а његова E 1 ефективна вредност је U = = V . 3 3 Читаоцу се оставља да скицира зависност ефективне вредности напона U и фазне разлике напона U и емс Е од учестаности. Коло са слике 444.1 користи се у неким електронским осцилаторима (са Виновим мостом).

9. Прелазни режими

367

9. Прелазни режими 445. У колу приказаном на слици 445.1 електромоторна сила генератора је стална, E = 100 V , а индуктивност је L = 1 mH . Прекидач П се затвори у тренутку t = 0 . Колика је јачина струје калема у тренутку t = 10 ms ?

Слика 445.1.

РЕШЕЊЕ По затварању прекидача ( t > 0 ), напон калема једнак је електромоторној сили di 1 генератора, па важи релација L = E . Одавде је i (t ) = ò E dt + I 0 , где је I 0 dt L интеграциона константа. Преласком са неодређеног на одређени интеграл, добија се t

i (t ) =

1 E dt ' + I 0 ( t > 0 ), где је са t ' означена текућа променљива интеграције, како би Lò 0

се разликовала од горње границе интеграла. Константа I 0 се одређује на основу почетног услова. Пре затварања прекидача ( t < 0 ) у колу нема струје. Струја калема се не може тренутно променити по затварању 1 прекидача, па је i (0 + ) = 0 , одакле је I 0 = 0 . Сада је i (t ) = Et ( t > 0 ). Посебно, за L t = 10 ms је i = 1 A .

446. У

колу

приказаном

на

слици

446.1

је

-1

e( t ) = E 2 cos(wt + q ) , где је E = 100 V , w = 1000 s , и L = 1 mH . Прекидач П се затвори у тренутку t = 0 . Колика је максимална, а колика минимална тренутна јачина струје калема за t > 0 ако је (а) q = 0 , (б) q = - p / 2 и (в) q = p / 4 ?

Слика 446.1.

368

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ Пре затварања прекидача у колу нема струје. На основу решења претходног задатка, t

по затварању прекидача је i (t ) =

1 E 2 (sin (wt + q) - sin (q)) ( t > 0 ). e(t ' ) dt ' = ò L wL 0

E 2 E 2 pö æ sin wt = cosç wt - ÷ , односно струја је wL wL 2ø è простопериодична функција времена. Стога је минимална тренутна вредност струје (а) Ако је q = 0 , тада је i (t ) =

imin = -

E 2 E 2 = -100 2 A , а максимална imax = = 100 2 A . wL wL

(б) Ако је q = - p / 2 , тада је i (t ) =

E 2æ æ pö æ p öö E 2 çç sin ç wt - ÷ - sin ç - ÷ ÷÷ = (1 - cos wt ) . wL è è 2ø è 2 ø ø wL

Минимална тренутна вредност струје је imin = 0 , а максимална imax = (в) За

q = p/4

је

i (t ) =

E 2æ æ pö pö 2 ö÷ æ p ö ö E 2 æç æ çç sin ç wt + ÷ - sinç ÷ ÷÷ = cos ç wt - ÷ . wL è è 4ø 4 ø 2 ÷ø è 4 ø ø wL çè è

Минимална тренутна вредност струје је imin = максимална imax =

2E 2 = 200 2 A . wL

(

(

)

E 2 æç 2 ö÷ -1 = -100 1 + 2 A , а ç wL è 2 ÷ø

)

E 2 æç 2 ö÷ 1= 100 2 - 1 A . ç wL è 2 ÷ø

447. Калем индуктивности L = 1 mH , идеалан напонски генератор и прекидач П везани су као на слици 447.1. Електромоторна сила генератора је биполарна периодична поворка правоугаоних импулса приказана на слици 447.2. Прекидач се затвори у тренутку (а) t = 0 и (б) t = 3 ms . Скицирати зависност јачине струје калема од времена.

Слика 447.1.

Слика 447.2.

9. Прелазни режими

369

РЕЗУЛТАТ Јачина струје у функцији времена приказана је на слици 447.3. Пуна линија одговара случају (а), а испрекидана случају (б). Слика 447.3.

448. Поновити претходни задатак ако је електромоторна сила униполарна периодична поворка правоугаоних импулса, као на слици 448.1, а прекидач се затвори у тренутку t = 0 . 30

e [V]

i [A]

20

10

10 0

1

2

3

4

5

6

t [ms]

0

Слика 448.1.

1

2

3

4

5

6

t [ms]

Слика 448.2.

РЕЗУЛТАТ Струја калема је приказана на слици 448.2.

449. Генератор константне електромоторне силе E = 10 V , отпорник отпорности R = 100 W , калем индуктивности L = 1 mH и прекидач П везани су као на слици 449.1. Прекидач се затвори у тренутку t = 0 . Извести диференцијалну једначину за јачину струје у колу за t > 0 и решити је.

Слика 449.1.

РЕЗУЛТАТ Када је прекидач затворен, на основу другог Кирхофовог закона се добија di di( t ) R E E - Ri - L = 0 , одакле следи тражена диференцијална једначина, + i( t ) = . dt dt L L Опште решење ове једначине је i (t ) = ih (t ) + ip (t ) , где је ih (t ) = Ke -t / t решење хомогене L временска константа. За партикуларно R E решење најлакше је узети решење из стационарног стања, ip (t ) = . Стога је R E i (t ) = Ke - t / t + . Пре затварања прекидача струја калема је нула, па је почетни услов R

једначине, K интеграциона константа, а t =

370

Кола променљивих струја

i (0 + ) = 0 . i (t ) =

(

На

основу

)

(

тога

је

K =-

)

E , R

па

је

тражено

решење

E 1 - e - tR / L = 0,1 1 - e - t / t A , где је t = 10 ms , t > 0 . R

450. Идеалан струјни генератор, калем индуктивности L = 1 mH и отпорник отпорности R = 100 W везани су у коло као што је приказано на слици 450.1. Струја генератора је константна и једнака I 0 = 1 A за -¥ < t < 0 . У тренутку t = 0 , струја генератора пада на нулу (слика 450.2). Извести диференцијалну једначину за струју калема за t > 0 , решити је и скицирати струју калема у функцији времена.

Слика 450.1.

Слика 450.2.

Слика 450.3. РЕШЕЊЕ У стационарном стању за t < 0 напон калема је нула, па је струја калема i (t ) = I 0 . То је истовремено и почетни услов. За t > 0 струја генератора је нула. Генератор се понаша као отворена веза, па остаје само просто коло које се састоји од отпорника и di калема. Диференцијална једначина за то коло је хомогена, L + Ri = 0 , а њено опште dt

9. Прелазни режими

решење је i (t ) = Ke i (t ) = I 0 e

-

t t

-

t t

371

, где је t = L / R . Из почетног услова i (0 + ) = I 0 је K = I0 , па је

, t > 0 . Струја калема у функцији времена скицирана је на слици 450.3.

451. Идеалан струјни генератор, калем индуктивности L = 1 mH и отпорник отпорности R = 100 W везани су у коло као што је приказано на слици 451.1. Струја генератора је нула за -¥ < t < 0 , а онда има скок на I 0 = 1 A , после чега остаје константна (слика 451.2). Извести диференцијалну једначину која описује ово коло за t > 0 , решити је и скицирати струју калема у функцији времена.

Слика 451.1.

Слика 451.2.

РЕШЕЊЕ Паралелна веза идеалног струјног генератора и отпорника може се трансфигурисати у реални напонски генератор емс e(t ) = Rig и отпорности R. За t > 0 , емс је константна, E = RI 0 , па је коло потпуно исто као коло на слици 449.1 по затварању прекидача, тако di да је и диференцијална једначина је истог облика, L + Ri = RI0 . За t < 0 у колу нема dt струје, почетни услов је исти као у задатку 449.1, i (0 + ) = 0 , па је тражено решење tR æ - ö÷ ç i (t ) = I 0 ç1 - e L ÷ , што је приказано на слици 451.3. ç ÷ è ø

372

Кола променљивих струја 1,0 0,8 0,6 i

[A] 0,4 0,2 0,0

0,0

5,0

10,0

15,0 t [µs]

20,0

25,0

30,0

Слика 451.3. 452. У колу на слици 452.1 електромоторна сила генератора је стална, E = 200 V , отпорност отпорника је R = 1 kW , а индуктивност калема је L = 1 mH . Прекидач П је затворен и у колу је успостављено стационарно стање. У тренутку t = 0 прекидач П се отвори. (а) Извести диференцијалну једначину за струју калема за t > 0 и решити је. (б) Израчунати наелектрисање протекло кроз калем од момента отварања прекидача до успостављања новог стационарног стања.

Слика 452.2.

Слика 452.1. РЕШЕЊЕ

E , у односу на референтни смер надоле. Када се R прекидач отвори, остаје само просто коло које се састоји од калема и отпорника (слика di 452.2). Диференцијална једначина за то коло је L + Ri = 0 , почетни услов је dt (а) За t < 0 струја калема је i =

R

E E - t -10 6 t[ s ] = 0,2 A , па је решење i (t ) = e L = 0,2e A за t > 0 . R R DF Li (0) (б) Протекло наелектрисање је q = = = 200 nC . R R

i (0 + ) =

9. Прелазни режими

373

453. Идеалан струјни генератор сталне струје Ig , отпорници отпорности R , калем индуктивности L и прекидач П везани су као на слици 453.1. Прекидач је отворен за -¥ < t < 0 , а онда се затвори у тренутку t = 0 . Одредити израз за струју калема за t > 0 . RT i L

ET

Слика 453.2. Слика 453.1. РЕШЕЊЕ За t < 0 струја калема је i =

Ig

. Када се прекидач затвори, идеални струјни 2 генератор и њему паралелно везан отпорник могу се заменити Тевененовим генератором Ig параметара ET = RI g и RT = R (слика 453.2). Уз почетни услов i (0 + ) = , решење 2 Ig 2 - e - tR/ L , t > 0 . диференцијалне једначине за то коло гласи i( t ) = 2

(

)

454. У колу приказаном на слици 454.1 је R = 100 W и L = 2 mH . Јачина струје струјног генератора је независна од времена, I g = 200 mA . Прекидач П је отворен до

Слика 454.1.

тренутка t = 0 и у колу је успостављено стационарно стање, а затим се прекидач затвори. Израчунати струју калема у функцији времена за t > 0 . РЕШЕЊЕ У стационарном стању за t < 0 , струја калема је i = добија се просто коло као на слици Ig коло уз почетни услов i (0 + ) = 2 t = 20 ms .

Ig

. Када се прекидач затвори, 2 452.2. Решавањем диференцијалне једначине за то æ tö , добија се i (t ) = -100 expç - ÷ mA , t > 0 , где је è tø

374

Кола променљивих струја

455. У колу на слици 455.1 електромоторна сила генератора је константна, E = 1 V , отпорности отпорника су R1 = R2 = 1 W , а индуктивност калема је L = 10 mH . Прекидач П је затворен и у колу је успостављено стационарно стање. Прекидач П се отвори у тренутку t = 0 . Одредити напон u (t ) за t >0.

Слика 455.1.

РЕЗУЛТАТ Тражени t=

напон

је

u (t ) =

E 2

t (R + R ) t æ æ - ö÷ - 1 2 ö÷ ç ç t V, t > 0 , L 1 + e = 0 , 5 1 + e ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø

где

је

L = 5 ms . R1 + R2

456. За коло са слике 456.1 позната је струја идеалног струјног генератора ig (t ) = I m cos(wt + y ) и капацитивност кондензатора С. Прекидач П је затворен до тренутка t = 0 , а онда се отвори. Одредити напон u (t ) у функцији времена.

ig

П

C

u

Слика 456.1.

РЕШЕЊЕ Задато коло је дуално колу са слике 446.1, па су поступци решавања оба задатка слични. У колу са слике 456.1 је u (t ) = 0 за t < 0 , па је кондензатор неоптерећен. По t

отварању прекидача је u (t ) =

1 I 2 (sin (wt + y ) - sin (y )) , t > 0 . ig (t ' ) dt ' = ò C wC 0

Колика треба да буде почетна фаза струје да би, по затварању прекидача, у колу наступио простопериодичан режим?

457. Идеалан напонски генератор, кондензатор капацитивности C = 100 nF и отпорник отпорности R = 100 W везани су у коло као што је приказано на слици 457.1. Електромоторна сила генератора је нула до тренутка t = 0 , а онда има скок на E0 = 100 V , после чега остаје константна (слика 457.2). Извести диференцијалну једначину која описује ово коло за t > 0 , решити је и скицирати струју кондензатора у функцији времена.

9. Прелазни режими

Слика 457.1.

375

Слика 457.2.

Слика 457.3.

РЕШЕЊЕ Диференцијалну једначину је погодно формирати по напону кондензатора (слика du 457.3). Из другог Кирхофовог закона је e - Ri - uC = 0 . Даље је i = C C . dt Комбинацијом ових једначина добија се тражена диференцијална једначина, du RC C + uC = e . Њено опште решење за t > 0 је uC ( t ) = K exp( - t / t ) + E0 , где је dt

t = RC = 10 ms . Почетни услов је u (0 + ) = 0 , па је K = - E0 и uC ( t ) = E0 (1 - exp( - t / t )) . E Коначно је струја кондензатора i( t ) = 0 exp( - t / t ) , што је приказано на слици 457.4. R

Слика 457.4.

458. У колу приказаном на слици 458.1 кондензатор је оптерећен, а прекидач П се затвори у тренутку t = 0 . Отпорност R и капацитивност C су познати. У ком тренутку ће енергија кондензатора опасти за 75% почетне енергије?

Слика 458.1.

376

Кола променљивих струја РЕШЕЊЕ Од тренутка затварања прекидача П, напон кондензатора се мења као

u( t ) = U 0 e - t / RC , где је U 0 напон пре затварања прекидача. Енергија кондензатора је 1 1 w( t ) = Cu( t )2 = CU 02 e -2t / RC , а опадне на 1/4 почетне енергије у тренутку t = RC ln 2 . 2 2

459. У колу са слике 459.1 позната је стална електромоторна сила генератора Е, отпорност R и капацитивност C. Прекидач П је отворен у интервалу времена -¥ < t < 0 , а затворен за 0 < t < +¥ . Извести и решити диференцијалну једначину за напон кондензатора за t > 0 .

Слика 459.1.

РЕШЕЊЕ У стационарном стању када је прекидач отворен, напон кондензатора је нула. Када се прекидач затвори, генератор и отпорници се могу заменити Тевененовим генератором електромоторне силе E T = E / 2 и отпорности RT = R / 2 . Тиме се добија просто коло као на слици 457.1, за које је диференцијална једначина решење је uC (t ) =

2t æ Eç RC 1 e 2 çç è

du C 2 E + uC = . Њено dt RC RC

ö ÷ ÷÷ . ø

460. У колу на слици 460.1 емс је константна, E = 200 V , отпорност је R = 1 kW , а капацитивност је C = 100 mF . Прекидач П је затворен за -¥ < t < 0 , а онда се отвори. Извести диференцијалну једначину за ово коло за t > 0 и решити је. Одредити струју кондензатора по затварању прекидача.

Слика 460.1.

Слика 460.2.

РЕШЕЊЕ Када је прекидач затворен, напон кондензатора је u C = E / 2 , t < 0 . Када се прекидач отвори, добија се просто коло. За референтне смерове са слике 460.2,

9. Прелазни режими

377

диференцијална једначина за то коло гласи

du C 1 E + uC = , t > 0 . Почетни услов је dt RC RC

E , па је напон кондензатора по отварању прекидача 2 æ 1 ö æ 1 ö t = 100 ms , t > 0 . Струја uC (t ) = E ç1 - e - t / RC ÷ = 200 ç1 - e - t / t ÷ V , где је è 2 ø è 2 ø du E - t / RC кондензатора по отварању прекидача је i (t ) = C C = e = 0,1e - t / t A . dt 2R uC (0 + ) =

461. У колу на слици 461.1 емс је константна, E = 200 V , отпорност је R = 1 kW , а капацитивност је C = 100 mF . Прекидач П је отворен за -¥ < t < 0 , а онда се затвори. (а) Извести диференцијалну једначину за ово коло за t > 0 и решити је. (б) Одредити јачину струје кондензатора по затварању прекидача.

Слика 461.1.

Слика 461.2.

РЕШЕЊЕ Када се затвори прекидач, у односу на кондензатор остатак кола се може заменити Тевененовим генератором електромоторне силе E / 2 и отпорности R / 2 , као на слици du C E 2 461.2. Диференцијална једначина за то коло гласи uC = + . Почетни услов је dt RC RC E uC (0 + ) = E , па је решење uC (t ) = 1 + e - 2t / RC = 100 1 + e - t / t V , t > 0 , где је 2 t = 50 ms . Јачина струје кондензатора по затварању прекидача је E i (t ) = - e - 2t / RC = -200 e - t / t mA . R

(

462. У колу на слици 462.1 познато је R, C и стална струја струјног генератора I g . Прекидач П је затворен до тренутка t = 0 , а онда се отвори. Извести диференцијалну једначину за напон u (t ) за t > 0 и решити је.

)

Ig

(

П

)

R

C

Слика 462.1.

u

378

Кола променљивих струја

РЕШЕЊЕ Када је прекидач отворен, применом првог Кирхофовог закона на горњи чвор Ig u du u du добија се једначина - I g + + C = 0 , односно + = . Опште решење R dt dt RC C æ t ö хомогене једначине је u h = K expç ÷ , а партикуларно решење (из стационарног è RC ø стања) је u p = RI g . Опште решење диференцијалне једначине је t ) + RI g . За t < 0 је u = 0 , па је почетни услов u (0 + ) = 0 . Сада је RC æ æ t öö K = - RI g , па је u (t ) = RI g çç1 - expç ÷ ÷÷ , t > 0 . è RC ø ø è

u = u h + u p = K exp( -

463. У колу на слици 463.1 је ig (t ) = I m cos(wt - p / 4) и wRC = 1 .

ig

Позната је отпорност R . Прекидач П је затворен до тренутка t = 0 , а онда се отвори. Извести диференцијалну једначину за напон u (t ) за t > 0 и решити је.

П

R

C

u

Слика 463.1.

РЕШЕЊЕ На основу решења претходног задатка, диференцијална једначина је æ Решење хомогене једначине, u h = K expç è у претходном задатку. Као партикуларно решење, узмимо R jwC комплексном домену, U = Ig 1 R+ j wC I g = Im u p = RI m

2 æ pö expç - j ÷ , 2 è 4ø

па

је

ig du u + = . dt RC C

t ö + ÷ , и почетни услов, u (0 ) = 0 , исти су као RC ø решење из простопериодичног режима. У =

R 2 æ pö I g = RI g expç - j ÷ , 1 + jwRC 2 è 4ø U=

RI m æ pö expç - j ÷ . 2 è 2ø

где

Стога

2 pö 2 æ cosç wt - ÷ = RI m sin wt . 2 2 2 è ø

На основу почетног услова је K = 0 , па је тражени напон u (t ) = RI m

2 sin wt . 2

је

је

9. Прелазни режими

379

464. У колу приказаном на слици 464.1 је E = 7 V , I g = 2 mA (екситације су сталне), R1 = 1 kW , R2 = 2 kW и C = 6 mF . Прекидач П је отворен и у колу је успостављено стационарно стање. Прекидач П се затвори у тренутку t = 0 . Одредити напон кондензатора у функцији времена по затварању прекидача и израчунати проток кроз кондензатор од момента затварања прекидача до успостављања стационарног стања.

Слика 464.1. РЕЗУЛТАТ æ æ t öö Напон кондензатора је uC (t ) = çç 6 - 2 expç - ÷ ÷÷ V, t > 0 , где је t = 4 ms , а проток је è t øø è

(

( ))

q = C u (+ ¥ ) - u 0 + = 12 mC .

465. У колу приказаном на слици 465.1 је E = 5 V , I g = 2 mA (екситације су сталне), R1 = 1 kW , R2 = 2 kW и C = 5 mF . Прекидач П је затворен и у колу је успостављено стационарно стање. Прекидач П се отвори у тренутку t = 0 . Одредити напон кондензатора у функцији времена по отварању прекидача и израчунати проток кроз кондензатор од момента отварања прекидача до успостављања стационарног стања.

Слика 465.1. РЕЗУЛТАТ æ æ t öö Напон кондензатора је uC (t ) = çç - 4 + 6 expç - ÷ ÷÷ V, t > 0 , где је t = 10 ms , а проток è t øø è је q = -30 mC .

*466. Диелектрик плочастог кондензатора је хомоген и несавршен, релативне пермитивности e r и специфичне проводности s . Кондензатор је оптерећен прикључивањем на напонски генератор сталне електромоторне силе (слика 466.1), па је

380

Кола променљивих струја

у тренутку t = 0 одвојен од извора. У ком тренутку ће оптерећеност кондензатора бити два пута мања него за t = 0 ? Колико је пута, при томе, смањена електрична енергија кондензатора? У шта се претворила „изгубљена“ електрична енергија кондензатора?

Слика 466.1.

Слика 466.2.

РЕШЕЊЕ Ако је S површина електрода кондензатора, а d растојање између њих, еквивалентна шема кондензатора је паралелна веза идеалног кондензатора капацитивности C = e r e 0 S / d и отпорника отпорности R = d / (sS ) , као на слици 466.2. Када је кондензатор одвојен од извора, идеални кондензатор и отпорник чине просто коло. Временска константа тог кола је t = RC = e r e 0 / s . Напон и оптерећеност кондензатора опадну на половину почетне вредности у тренутку t = t ln 2 , при чему је WC (0) / WC (t ) = 4 . „Изгубљена“ електрична енергија претворила се у Џулове губитке у диелектрику кондензатора, AJ (t ) = WC (0) - WC (t ) .

***467. У колу приказаном на слици 467.1 је R = 1 W , L = 100 mH и C = 1mF . Прекидач П је отворен, а оптерећеност кондензатора је Q0 = 10 mC . Прекидач П се затвори у тренутку t = 0 . (а) Показати да је, по затварању прекидача, напон

кондензатора функција времена облика uC (t ) = U 0 e -at cos(wt + q ) и одредити реалне

константне величине U 0 , a, w и q. (б) Нацртати графике струје у колу и напона свих елемената у функцији времена.

9. Прелазни режими

381

П Q0 i C

uC

R

uR

L Слика 467.1.

uL Слика 467.2.

РЕШЕЊЕ (а) За оријентације као на слици 467.2, по другом Кирхофовом закону је du uC (t ) + u R (t ) + u L (t ) = 0 . Везе између напона и струје су: за кондензатор i (t ) = C C , за dt di отпорник u R (t ) = Ri (t ) и за калем u L (t ) = L . Из ових једначина се добија dt di uC (t ) + Ri(t ) + L = 0 . Заменом струје преко напона кондензатора, добија се dt диференцијална једначина за напон кондензатора, LC

d 2 uC 2

d t

+ RC

duC + u C (t ) = 0 . dt

(467.1)

Ова диференцијална једначина је другог реда, са константним коефицијентима. Не улазећи у њено решавање, показаћемо да, за задате податке, израз uC (t ) = U 0 e -at cos(wt + q )

(467.2)

представља њено решење. Диференцирањем (467.2) добија се d 2uC dt 2

(

duC = U 0 e - at (- a cos(wt + q) - w sin (wt + q)) и dt

)

= U 0 e - at a 2 cos(wt + q) + 2aw sin (wt + q) - w2 cos(wt + q) . Замена у (467.1) даје

(( (

)

)

)

U 0 e -at LC a 2 - w2 - aRC + 1 cos(wt + q) + wC (2aL - R ) sin (wt + q) = 0 . Ова једначина ће бити задовољена ако је истовремено

(

)

LC a 2 - w2 - aRC + 1 = 0 и

(467.3)

wC (2aL - R ) = 0 .

(467.4)

Из једначине (467.4) следе две могућности. Прва је w = 0 . Заменом у (467.3), добија се a 2 LC - aRC + 1 = 0 . За задате податке, ова квадратна једначина по a има два конјуговано-комплексна решења, што не одговара условима задатка. Друга могућност је a=

R R 2C = 5000 s -1 . Заменом у (467.3) добија се - LCw2 + 1 = 0 , одакле је 4L 2L

382

Кола променљивих струја

w=± w=

1 R2 - 2 . LC 4 L

Физички,

у

обзир

долази

само

w > 0,

па

је

w 1 R2 - 2 » 9,9875 × 10 4 s -1 , односно f = » 15,896 kHz . 2p LC 4 L

Q0 , а струја калема C је i (t ) = 0 . Непосредно по затварању прекидача, напон кондензатора и струја калема се Пре затварања прекидача ( t < 0 ), напон кондензатора је uC (t ) =

нису могли тренутно променити, па су почетни услови за коло uC (0 + ) = i (0 + ) = 0 . Како је i (0 + ) = 0

следи

i (t ) = C tg q = -

Q0 = 10 V и C

du C = CU 0 e - at (- a cos(wt + q ) - w sin (wt + q)) , из услова dt

a , w

одакле

произилазе

два

решења

за

угао

q:

æ aö æ aö q1 = arctgç - ÷ = -0,05 rad » 0 и q 2 = arctgç - ÷ + p » p . Сада услов uC (0 + ) = 10 V даје è wø è wø uC (0 + ) = U 0 cos q , одакле се добијају два идентична решења: за q1 = 0 је U 01 = 10 V , а за q 2 = p је U 02 = -10 V , од којих ћемо усвојити први облик ( q = 0 и U 0 = 10 V ). Овим смо доказали да је (467.2) решење (467.1) и израчунали све тражене константе. Да ли би израз (467.2) био решење једначине (467.1) да је R ³ 2

L ? C

(б) На слици 467.3 скицирани су напони свих елемената и струја у колу, за t > 0 . Све величине имају облик пригушене синусоиде (квазипериодичне величине). 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

uC

uR

0 t uL i Слика 467.3.

Литература

383

Литература [1] М. Ранојевић: „Основи електротехнике – наизменичне струје“, Грађевинска књига, Београд, 1961. [2] Б. Поповић: „Основи електротехнике 2“, Грађевинска књига, Београд, 1978. [3] Б. Поповић, А. Ђорђевић: „Основи електротехнике 3: Збирка питања и задатака са кратким теоријским уводима“, Грађевинска књига, Београд, 1979. [4] Ј. Сурутка, М. Ђекић: „Основи електротехнике, IV део: Наизменичне електричне струје“, Технички факултет, Чачак, 2000. [5] Х. Божиловић, Г. Божиловић и Ж. Спасојевић: „Збирка задатака из Основа електротехнике: Електромагнетизам, Наизменичне струје“, Научна књига, Београд, 1983. [6] Г. Божиловић: „Задаци из Основа електротехнике“, Научна књига, Београд, 1982. [7] А. Ђорђевић, Г. Божиловић и Б. Нотарош: „Збирка решених испитних задатака из Основа електротехнике, II део“, Електротехнички факултет, Академска мисао, Београд, 1997. [8] А. Ђорђевић, „Основи електротехнике, 4. део, Кола променљивих струја“, Академска мисао, Београд, 2007.