Zbirka zadataka iz matematike za 1. razred srednjih škola 9958105780 [PDF]

Zitiervorschau

lzJAa(': IF "SV}[TLOSl ". d J i 11;tjl:l\ l1J sr-:Jst\ a

Lt\()d ZJ lI~I,i\)(;lif..L·

Dirc::kwr: Scfik. Zl'PCEV!C

PREDGOVOR R pA(qAf) b) (pvq)vr pv(qvr) c) pv(qAf) (pvq)A(pvr) d) pA(qvr) C> (pAq)V(pAr) e) (pVq)Ap p f) (pAq)Vp p 1.43. Dokazati istinitost slijedecih (formula) iskaza (De Morganovi zakoni)!':

1.23. Fonniraj implikaciju p => q, datih iskaza p i q, ako je: a) p: xEN; q: XEZ b) p: x>5. q: x>-3 e) p: 4+I~S, q: 2·0~O 1.24. Odrcdi istinitqsnu vrijcdnost date implikacije: b) XEZ => XEQ a) xEN => XEQ c) x>O => x>-l d) 1+3~5 => 3>7 Izracunaj: 1.25.a) l T =>.1 1.26.a) l (T=> T)v.1.

a) l(PAq) clpvlq) c) (lTA.1) =>.1 c) clT=>.l) => T

b) T=>l.l b) (.l=> T)A l.l

d) d)

T => (..LA l.1) C-L=>T)=>( l.iA.l)

1.44. Dokazati istinitost slijedeCih formula: a) l(pAlp) b) l(lp)p

1.27. Kako definisemo ekvivaleneiju dva iskaza? 1.28. Sastavi istinitosnu tab lieu ekvivaleneije iskaza p i q. 1.29. Formiraj ekvivalcnciju datih iskaza A i B: a) A: 3(x+I~2)x3)=>(x-l'"1) 0 x AAC

Popuniti date tabliee za date vrijednosti varijable x: 1.35;-.'_ _ _ _ _ _'-;~~-~~--~~~-~-~-~~

pvq

Aka su A, B i C rna koji iskazi, a A, B i C njihove negacije) dati slozeni iskaz F napisati u disjunktivnam obliku:

e) (lpvq) p e) (p=>q) (lq=> lp)

Jr)' :

b)

f----~

o

I

1

o

L----'_-L._.l b)

A 0

B 0

0

I

0

I I

I

0

I

0

1

I

B

F(AoBq

0 I

I

I i

Bl

F(A , I O· 0

I

O.J

FCA, B) I I

I 0 I

0

i

I

J

I" Aug\lstl1~ De tvlorga!~ (1806. ~ 18? I.) - jr st,otsli mattmatiCar i logica, Nctacan iskaz je oznacen sa 0, a tacan sa 1.

2"

7

I' !

1.53.' Ako su A, B i C ma koji iskazi, a slozeni iskaz F(A, B, C) odreden

!,

Ij" i·1

\>-j

I

I

L

datom tabelom, napisati F(A, B, C) u obliku formule: a) b) C A B A B FrA,B,Cf 0 0 0 0 0 €l 0 I 0 0 II 0 0 0 I ! 0 0 I 0 I J 0 I 0 0 I 0 I I I I 0 0 I 0 I I 0 I I I I I I I I I

I

C 0 I 0 I 0 I 0 I

F(A, B, I 0 I 0 I 0 I I

,

J

2. OSNOVNI ELEMENT! TEORIJE SKUPOVA 2. I. Sta se podrazumijeva pod poj mom "skup"? 2.2. Staje element nekog skupa? 2.3. Kako se oznacavaju skupovi?

Navredi sve elemente datog skupa A ako je: 2.4.a) A = {·5, -4, 0, 4) b) A={a, b, c, x) c) A ""{O, I} d) A ={T,-L} 2.5.a) A={xlxEN Ax 2N ,f(x)~2x+2, N~( 1,2,3,4, .,., n, n+l, ... }. Odrediti domenu i kodomcllu funkcije. 2.93. Na skupu N dataje funkcija f(x) ~ 3x-I. Odrediti : f(IO), f(ll). f(l), f(2), f(3), 2.94. Aka je na skupu Z data funkeija f(x) ~ 5x-7, odrediti [(-3), frO), f(5), f(f(I», f([(·2». 2.95. Na skupu A~{2, 3, -4, ·5, 10} data jefunkeija Odrediti f(2),

f(-4),

f(lO),

f(f(3»,

f

f(f(-5»,

=

23 -4 -5 10) ( 32-·5 -4 2 .

f(f(f(2»).

2.96. Dataje funkcija f: R -l> R, f(x) ~ 2x+l, (Rje skup svih realnih brojeva). b) f(-3) c) f(5) d) f(f(2) Odrediti: a) f(O) 2.97. Ako je data funkeija f(x) = 5x+2 u skupu Z, odrediti x iz uvjeta: a) f(x) ~ 7 b) f(x) = 2 c) f(x) ~ 12 d) f(x) ~-13 2.98. Dataje fUllkeija {: Z -.;> Z formulom [(x) ~-5x+1 u skupu A = (-3 ,0,2,4,1'1). Odrediti [(A). 2.99. Aka su date funkeije f: N -.;> N, f(x) ~ x+2 i g: N -.;> N, g(x) = 3x-l, odrediti: a) fog b) gof c) fof d) gog 2.100. Date su funkeije na skupu Z fonnulama f(x) = x+3, g(x) ~ 2x-l, h(x)~x-5.0dredlti: a) (fog)oh b) fo(goh) 2 2.10 l. U skupu R date su fUllkeijc [ormulama: f(x) ~ x' - 3, g(x) = x +5. b) go f Odrediti: a) fog 2.102. Kakva funkcija se nazi va sirjektivna funkcij!l (sirjekdja)? 14

I

2.I05.Datajefunkeijaf:A-l>B,f= ( 4

2 5

3 6

4 7

5 8

6) 9 ,gdjeje

A~{I, 2, 3, 4, 5, 6}, B~{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Utvrditi da lije data [unkcija injekcija. Zasto ova funkcija nije sirjekcija?

2.106. Za kakvu funkeiju kaielllo daje bijekcija?

1 2

3

4

5

4

5

6

7

2.107. Dataje funkcija f: A -l> B, f~ ( 3

A~{ I, 2, 3, 4, 5, 8}, B~{3, 4, 5, 6, 7, IO}. Utvrditi daje data funkcija bijekcija. 2.108. Koja funkcija ima inverznu funkciju?

2.109. Stajc iuverzna funkcija rl(x) (bijektivne) funkeije f(x)?

I

A~{2,

7 ,gdJeJe

A ~ {2, 3, 4, -5, 7, 8}, nije sirjekcija? 2.104. Za kakvu funkciju kaielllo daje injektivna funkcija iii injekcija?

xpy XS;y.

a) Pokazati daje relacija p relleksivna, antisimet"-icna j tranzitivna (tj. daje relaeija poretka). b) Nacrtati gt:afreJacije p. c) Sastaviti tablicu reIacije p. 2.89. Kada za relaeUu peAxB kazemo daje funkcija sa Au B? 2.90. Nekaje data funkcija f: A -> B, gdje je A~( 1,2,3,4,5,6, 7, 8, 9},

8) ..

2 3 4 -5 7 ( 7 -5 7 3 8

2.110. Datajc bijekcija f: A -l> B, f~ ( 3

2 4

3 5

4 6

5 7

8) 10 ,gdje su

A ~ (1,2,3,4,5, 8} i B ~ (3,4,5,6,7, 10}. Odrediti inverznu funkciju 2.111. Ako je [(x) ~ 3x·l funkeija definisana u skupu realnih brojeva R, odrediti njenu inverznu funkciju flex). 2.112. Odrediti inverznu funkciju [I(X) date fllnkcije [(x) ako je: a) [(x)

~

3-x

c)

b) f(x)~ IOx+5

f(x)

[I.

= x -3 x+5

2.113. U skupu realnih brojeva R date su funkcije (koje su bijekcije) . 2x+3 Od d" formlilallla: [(x) = 3x+ I I g(x) = - - . re Itr: 5 a) ['I (x) b) g.I(X)

c)

(r' 0 g-I)(X)

2.114. Aka je f(x) ~ x, odrediti f([([(2000»). 2.115.Akojef(x)=3x-l, odrediti [(x). 2.1 16. Odrediti frO) ako je 3 f(x) + f(5x) ~ x-4. 2.117. Dataje funkcija f(x) ~ x-5. Odrediti funkciju g(x) ako je f(3-g(x» ~ 2x+ 1. 2.118. Ako jef(x) ~ x+ I i f(3x+2+g(x» ~ x+6, odrediti g(x). 2.119. Ako je [(x) ~ ax'+bx+c, dokazati da za svako x vrijedi: f(x+3) - 3f(x+2) + 3f(x+ I) - f(x) ~ O. 2.120. Staje binarna operacija u skupu A? 2.121. Nekaje u skupu N definisana operacija Odrediti: a) 2*3 b) 3*5 c) I *8 2.122. Sta nazivarno algebarska struktura.

* ovako: x*y

=:

d) (2*4)*5

x+y+ 3. e) (3*4)*(2*5)

15

3. 3.1.

SKUPOVI Prirodni brojevi

BROJEVA

(N )

I!i. Odrediti zbir prirodnih brojeva: aJ 11+24 b) 524+112 c) 317+2246 112_0drediti razliku prirodnih brojeva: [;a) 38-23 b) 145-119 c) 5147 - 3132 Odrediti proizvod (produkt) prirodnih brojeva: b) 15·100 c) 245·1000 \!:4.a) 15·4 b) 124· 17 c) 735·233 I

133.a) 8·10

d) 5784+3425 d) 2487-439

d) 943·10000 d) 784453 I

h Koristeci se zakonima asocijacije i komutacije izracunati: d.5·a) 2+237+8+13 b) 117+459+23+1 I c) 52+4314+18+116 b) 215+81+245+185+155 3.6.a) 34+112+338+188+162 c) 144+731+300+156+169 d) 11+127+500+89+173 b) 4·19·25 c) 125.4.8.25 3.7.a) 2-4·5·25 38.a) ].8·5·25 b) 4·8·25·3 c) 2·8·50· 125· I I [9. IZIacunati vrijednost datog izraza: a) (72+6)·5 b) (J 9-11)-4 c) 3{2+53)+(57-43)-2 3.10. Kakav broj nazivamo prostim? 3. I I. Odrediti proste [aktore datih brojeva: a) 36 b) 210 c) 770 d) 273 e) 25194 3.12. Kakav broj nazivamo najveci zajedniCki djeHlac datih brojeva? 3.13. Odrediti najveci zajednicki djelilac brojeva (NZD): a) 18 i 54 b) NZD(300, 400)~? c) NZD(120, 240, 330)~? 3. I 4. Kada kaiemo da su dva broja uzajamno prosti brojevi? 3.15. Koji od datih parova brojeva su uzajanmo prosti: a) 3il2 b) 12i25 c) 99i 16 d) 100i33? 3.16. Koji broj zovemo najmanji zajednicki sadriilac datih brojeva? 3. I 7. Odrediti najmanji zajednicki sadriilac (NZS) datih brojeva: b) NZS(J2, 8) c) NZS(J4, 15) d) NZS(I I, 23) a) NZS(3, IS) 3.18. Koliki je ostatak nakon dijeljenja broja a sa b ako je: a) a~7, ~3 b) a~155, ~14 c) a~3425, b~26 d) a~888, b~233? 3.19. Za svaka dva prirodna broja a i b postoje brojevi q i r tako da vrijedi a=bq+r. Aka su dati brojevi a i b, odrediti q j t:: a) a=17, ~3 b) a~34, ~27 c) a~345,~45 d) a~12, ~70. 3.20. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 10, 100 i 1000.

3.21. UtHditi koji od datih brojeva su djeljivi sa 2: 17, 423, 72848, 3564, 82101,IQ403052? 3.22. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 3." 3.23. Meau datim brojevima prona,;i one brojeve koji nisu djeljivi sa 3 : 5004, 90204, 2368, 480015" 4001, 201102. 723, 3.24. Ispitaj djeljivost datih brojeva sa 3 ne izvrSavajuCi operaciju dijeljenje: b) 14040 c)7230012 d) 1013313 a) 5460 3.25. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog broja sa 9. 3.26. lspitaj djeljivost datih brojeva sa 9: . a) 40410 b) 902403 c) 90079 d) 71901162 3.27. Odredi kriterij djeljivosti prirodnog breja sa 5. 3.28. Koji od datih brojeva nisu djeljivi sa 5: 74300 5425, 14532, 601805, 2503004, ,331105? 3.29. Doka.zi; Prirodan broj je djeljiv sa 5 ako mUje. cifrajedinica djeljiva sa 5. 3.30. Ako se kvadrat rna kog nepamog broja umanJI zaJedan, dobIvem broJ je djeIjiv sa 8. Dokazati. . .. . 3.31* Dokazatidaje suma prirodnih brojeva od I do. 1000 djeljIva sa brojem 143. 3.32.* Dokaii: Ako je bar jedan [aktor pnrodnog bro)a a d)eljIV sa nebm prirodnim brojem, ondaje i broj a djeljiv sa tim prirodnim brojem. 3.33. lspitaj da lije izraz 43·15·37 djeIjiv sa 5. . 3.34. Zbir tri uzastopna prirodna broja uvijekje djeljiv sa 3. DokazatI! . 3.35. Proizvod dva uzastopna pama broja uvijekje djeljiv sa 8. Dokazati! 3.36. Razlika kvadrata dva uzastopna nepama broja djeljivaje sa 8. Dokazatt! 3.37. Dokazati da, ako je zbir tri broja djeljiv sa 6, ondaje i zbir njihovih kubova djeIjiv sa 6. . ' . . .. 3.38. Dokazati daje zbir kubova tri uzastopna pnrodna braja djeljlv sa 9. . . n 3 -n 3.39.*a) Akoje nEN, tadaje - 6 - EN. Dokazatr! ,

b) Akoje nE NI ~}, tadaje

n'-n-J2

n-3

. k '1 EN. Do azatl.

c) Akoje p prost broj i p>3, dokazati daje broj p'-I djeljiv sa 24.

3.40. Ako su a i b prirodni brojevi,dokazati daje aq(a+b) paran broj. 3.41. Dokazati daje za svaki prirodan broj n; izraz n(n'-I)(n'-5n+26) djeIjiv sa 120. 4 3 , ... k' '. d 3.42. Dokazati daje izraz n +2n +1 In +10n dJeIJIV sa 24 za sva I pnro an

~n.

,

...

'.

.

3.43. Dokazati daje izraz n3+3n -0--3 djeljIV sa 48 za svakI neparan broj n. ~4.* Skup svih prostih brajevaje beskonacan. Dokazatt!

17

la bl $Ial

3.2.' Cijeli brojevi (Z) Odreditj zbir (razliku) cije lih brojeva:

~

.45.a) 3+(4)

346a) 5-(-6) '. f 4 ;.a) -8-(-6)+(-1)

; b) -3+(-7)

c) -6+11+(-5)

b) --4-(-2) c) -8 - (-7) b) 14-(-12)-(+22)

c) -6-(-24H2-(-I3)

{J .~i.2t Kolika je vrijcdnDst

izraz3 x+y-z aka je: aJ x~-Ly~-2;,z=-3. b) x"'-10 vo2 Z~O 3.44.0dreditia-ba~oje: " , a) a=15, b=I9, b) a=56, b=-23,

V

-!

d) 4+27+(-30)+(-2) d) -2-(-11)-3

c) x~-5.y~-3,z~2 c) a=-9, b=-13.

.Izrac,unat!. vr.ije~nost datog izraza (izvrsavajuci naznacena mnozel~a, sabiranja,

dlJelJenJa): (iSO_a) (-3)-(4) b) (-I}C-I I) c) (-2)·(+9) 0:5:,,) 5(-1)(-3) b) (-3)(-7)2 c) (-6) (-2)+(-3)(-S) (!.):'\ (-8):(-4) b) (-12):6 c) 28:(-7) ()),. 15·(-1):(-3) b) (-12):(-4)·(-2) oj (-18):(-2)+(-1)-(-8) d) 100(-20)+(-3) 3',5~. ~,ij~sijednacinu: a) x+5=2 b) 17+x=15 3.5S. Staje apsolutna vrijednost cijelog broja? 3.56. Koji (cijeli) brojevi imaju apsolutnu vrijednost 5? QUU . 2 ..L-'1l1 00 19

18

Prosirivanjem-datih razlomaka sa odabranim brojevima dovesti razlomke na zajednicki nazivnik: I 2 3.8I.a) 5"'"7

3

3.82.0)

I

lzracunati vrijednost datog izraza:

4

b)

7'4

b)

3' 5"'

5

2' 4';;

3

5

II

c)

237 30 c)

8'4

Saberi (oduzmi) date racionalne brojeve (razlomke): I 3 571 -+c) -+-+4 4 6 6 6 7 5 4 2 5 c) ---+9 9 3 3 3 2 7 4 b) .J..5. +~~ c) ~_~_ 50

_2

3.85.a) -+--9 9 9

d8~) ~+~

''---

"

5

19 b)

3

19 19

d)

I 17 3 5' 15'20

753

"6'"4'"8

~ +lI.

c)

-+-+2

I

18 28 3 4 c) - + - - 25 50 75

12 8 6 23 8

b) -+--S 10 20 2

27

9

8 c) 8-3 5 c) -+10

b) 3-7

b) 2.-2 15

d)

25

4

3

3.92.a) 6·4 /_','

4

3.94.a)

b) 14 25 75 7 b)

2-3 5

c) 10

2 6

25 5 2 2

5" 7

12 3.95.a) 25:4

b) 27: ~ 16 4 27 5 b) 16 16 b)

~: 10 5

64 8 c) 27 9

6 5

c)

7:9

c) 6:1;

9

(5-i}6

25 4

b)

(3-n~

b)

3 ( 5\ 28: 1+ ) 3

b)

3.104.*a)

5

1

2

8

3+

I

3

8--52 4

d) ::-~.3..~ 14 3 -1 9 4 30 d) - ' - ' 28 3 II

2 10 3

d)

2

3

8-+5.1 -10.2-

d) 2._1

d)

21

3

.2.

-4

-2

5

d)

-12{~-2)

c)

(5-J.1~

c)

i:UI-S)

4) 3

c)

(3.3 + ~4)1(.3.2 -I)

b)

-+_.---

II 13

15 6 26 25

4 5

(~+~):(.4._ 20) 2

5

9

2

I

2

3

3 2 23

11

27

12--63-:5b)

I) I 3 1 2 3 ( 28:14+13:22+13.911+4:12.37 3.105.*a) - I 2 67--47·7 7

3.106.*

6143 251 24: - - - : -+6-: 9 20: 2- + 25-: 1-7 9 21 4 15 7 35 2 14 2 + 7 2 : 53· -- 22--: 221-: 4---1 3 15 3 9' 3

[G~ +~})-G+~)l48:G: ~)

.:::3 2 :2

d) 12: -3 4

~(2-~) 13 II

5

I--~

d) 2.

T

4 4

b)

15

II

2 5 14 c) - ' - ' 7 6 II 6 . 7- .33 c) _ II 6 14

b)

d) - - - - 16 48 64 d)

( 25) d) 2l16-

5

d) - + - - II 22 33

3

(7-Hs

3 5 d) 16-···

.!.! _.J..5. + 2..l. 25 25 9 3

c)

4

Podijeli racionalne brojeve:

(3.9",~) 12 3 '-.../

4 3 b) 7 4

5{4+~)

b) 2-·3

-+-+-

Pomnozi date racionalne brojeve:

2 3 5 4 16 10

b)

3 5 I d) 14 14 14 8 5 14 d) - - + - - 23 23 23

31 31 31 20

(2+~J4

d)

6 23 7' 28

3.107.*

G~+~:-n54~:H:~~)

3.108. Rijesiti datujednacinu:

4

b) 4+5x=--

7

.

I

c) -2x+·--=3

2

3.109. Zbir dva racionaln" broja je racionalan loroj. Dokazi!

20

21

3.1 10. Poredaj po yelieini date racionalne brajeve: 3

1 i li

200 -tl

-5

. ' 3' 9' 27' , 300' 3.1 II. Kolika decin\ala imaju brajevi: b) -17,13 c) 531,112 a) 5,22001

,

500

3.126.

900

d) 0,1200078?

Napisi dati razlomak U obliku decimalnog broja: 4 3 b) }2 c) -3U 12.a) 10 100 10 4 1 c) b) .1. 3.1 13.a) 7 5 2

d) d)

4

e)

100

2

e)

3

3.127.

IzvrSi naznacene operacije sa datim decimalnim 3Jl(').,a) 5,2+4,8 . b) 0,9+1l,13 . :017.a) 15,13+14,87 b) 23,16+13,14 3_118.a) 2,3·5,1 b) 11,7·6,18 )UIJ.a) 101,56·0;762 b) 0,374·34,57 QJ.?O.a) 4:2,3 b) 3,5:4 3 ..I21.a) 145,24:5,18 b) 872, I I :5,3

25

3.123

16

3

H-1HS6

4,6+2~' .

3

l

,. j'6)..1.+1364'0124

25

'

.,

8

(R= QUI)

Realni brojevi

J5

flo

J3

J2

d)

.ft7

J5

m

da su i brojevi

~-OI25 7'

'

16-.!2. , 25

7

b)

II

0,725+0,6+·-+_~--c--,1LlQ..o 25 I 3' 0,128.6 -0,0345: 25

4

6

3! +2,5 4,6-2! ] [ ] _3_ _ .~__3. ·52 : -~+57

[ 2,5-1~

( ,

'

a) b) c) 3.133. Odrediti manjll pribliznu vrijednost rGalnog broja

24

(68-3~) 5.5. ( 13,75+9!c}I2 6ij' , 5 6 I 3_'I24.a) -',-----'Cf-- + 26 ..·

3,J25.a)

29 _.'3.1.4:02 ( 35 7) ,

20

=4,795831 5... sa tacnoseu do O,O!. 3.134. Zadani sll realni brojevi a=7,34212 i b=2,39132. Odrediti prvih pet manjih apmksimacija zbira a+b. 3.135. * Aka za pozitivne brojeve a, b, CEQ vrijedi fa + Jb = c, dokazati

[G- ~~):1'25+(%- ~:)(0,358-0,108)] (1O,3-8~H

l

J2

1,2: 36 + 1,2 : 0,25 -12.): I 69 .

'13 l--15 .) ·15

Q,2 - I, 7): 0,003

3.132. Dokazati da dati brojevi nisu racionalni:

(7-6,35):6,5+9,9

(

3.4.

1 2 44 + 1.I2). ~ . - 20

12~ + 114.2+ + 61 ~)

3.129. Sta su iracionalni brojevi? 3.130. Koje brojeve nazivamo realni brojevi? 3.131. Na brojnoj pravoj odrediti tacku kojoj odgovara broj: b) c) a)

brojevima: c) 4,12-3,1+4,22 c) 11,32+5,7-21,62 c) 333,6·8,44 c) 22,105-3,94 c) 24,5:3,1 c) 566,399:43,15

Izracwmti wijednost izraza: 3_122.a)

3.128.

34

Napisi dati decimalan braj u obliku razlomka: d) 4,25 eJ 1,9 3.1 14.a) 0,5 b) 0,75 c) 1,2 3.l15.a) 45,25 b) 0,33333 ... c) 2,454545 ... d) 5,23363636 ...

[20.0,1 + (?20. 0,43): 0,26 - 217.2%)-(31,5:

r

7 1000

1 1_:(17,+06-0005)1'1,7 4,75+7-2' ) ) J [ 5 40 ~~~=..:..!.~+ :0,25 5 1 23 5 +1--1.33:4 6 3 30 7

b)

3,75+2!c _ _-,,-2

2.'3.+15] 4'

10

[2~-I,875 2,75"I~ 'iI

fa

i

Jb,

racionalni.

4.2.

4.

ALGEBARSKIIZRAZI

1 MonomL Sabiranje. oduzimanje i mnozenje monoma 4.2 .•

4.18. !'Ita je to monom?

4.1. Stepeni sa prirodnim izlozioeem (eksponentom) 4. I. Sta nazivamo aIgebarski izraz? 4.2. Kako se definise n'ti stepen realnog broja a? Izvrsiti naznacene operacije sa stepenirna: 4.3.a) 2' b) 5' c) (.2)' d) 4.4.a) (-II)' b)!O' c) 25' d) 4 b) 4 2 4 4 4.5.a) 3'.3 c) 5.5 3 5' d) 4.6.a) a'·a' b) b3 b' c) x·x'·x' d) 4.7.a) 4':4' b) SIO:8' c) 10 30 :10' d) 4.8.a) a2·a4x:a3x b) b6n·b311:b5n c) x7n·xJIl:x5n d) 4.9.a) (2')' b) (3')' c) (_l l )' d) 4.1O.a) (a')' b) (a")5 c) (b s), d) Izracunati vrijednost datog izraza: 4.1 La) (lOO·S)' b) (l00·1 I)' 4.12.a) 5'·2' b) 25 4.44

3)4 4. 13.a) ( "5

(5)'

. 2"

( '"4 (75)'

POL I NOM I

(_3)4 (0,1), 10',10'-10 12 a".a".a' a24: a'

e) ( ..fi)' e) (0,01)' e) 72J ,io·7 e) x 'x 'x e) X 2J :X IO

,,

X2J:XIO'X8

[(-1),]2 [(_a)']'

e) [-(-10)'1' e) [-(-x)']'

c) (lOA)' c) 12S28'

d) (10002)' d) 0,25 3 16 1

.

4.19. Sta nazivamo k0cf:ijent, a :ita glavna velicina manama? 420 Napisi koeficijeL, i g!a"vnu velicinu manama: . . a) 6ax' b) 37a5b c) -I24x"y' d) b'x'y' 4.21. Sta su slieni manami? 4.22. Sta je stepen manama? .) 4.23. Napisi stepen datag monoma: a) 2x' b) 7a'b' c) 5xy' d) ISa'xj Izvrsi sabiranje (oduzimanje) datih monama: 4.24.a) 5x+I Ix b) 3ax:lOa~ c)44a'b+6a'b 2ax+9ax-7ax b) Ilax+2ax-3ax 42Sa) •. 424242 4.26.a) 3a'b-a'b-9a'b b) 8a b c+2a b c-a b c Uprostiti dati izraz: 4.27.a) 2axy+5axy- 11 axy 4.28;a) 3b'xy+4a2x+5b2xy-a2x

d) 8ax'-3ax' c) 3a'x'-Sa'x'+4a'x' c) a'x'y'+3a'x'y'

b) 8a'x-3a'y+2a'x-Sa'y b) 2ax'y+5a'I+6ax'y+ 7 a'i

(~~)' 'UJ

8)2 b) l25

c) 4.14. Dati izraz napisati u obliku stepena sa izloziocem x:'

IY a) 3-'"

18"'

12' c) _

b) 9x

2]X

d)

12"' ·4'

3'

Izracunati vrijednost datog izraza za datu vrijednost varijable ako je: c) -5x1+40, x=2 4.15.a) 3x'-2x+1, x=o b) 2x'-4x+IO, x=I

x'-x:~,5,X=l

3

b) a'+b :0,25,a=I,b=2 (x+I) 3a 4 4. I 7. lzvrsi naznacene operacije: a) (a")3.(a")' b) (x")':(x'r 4.16.a)

IzvrSi mnozenje datih monama: . 436 a) (5a)·(3a') b) (-ax}{9b'x) " ,b') 4.37.a) (3a'b}{2a b) (-2a,'x) -(4a2b'4) x 3 b) 12a x·2b'x3 4.38.a) 7a bx·3ab'x' Uprostiti izraze: 4.39.a) x·5x'+2x'.4x+I5x4 4.40.a) 5a"·2a3+3a2·a21l-4a3n

24

c) (6a'x}{b2x') c) (11 a'x)-(5ab 6x7) c) a!lcx·15ab3 cx6

b) Sa2bAab'-7a'b·b'+I1aV b) (3ax'y')'·(2a' xy')2

25

!

4.2.2.

4~~drediti razliku, P(x)-Q(x), datih polinoma:

e

Po[iJ1om u jedJ10j varijabli

. . /1 a) PJCx) = -3x\-4x'+5x+7

.-

4.41. Kako definisemo polinom

II

varijabli x?

4.42. Koji polinom se naziva binom?

d) P,(x) = 2x',",'+3,,'+2x-l

4.43. Definisi trinom. 4.44. Staje stepen poJinoma? Odredi stepen datog polinoma: 4.45.a) 8x'-23x+54b) Ilx3-25x+44 4.46.a) 128 b) 50x34 -2x"+500 4.47. Kada kaiemo da su dva polinomajednaka?

c) -2x'-13x-x-5 c) 300x6!+18x45_x,n+6x

Odrediti vrijt;dnost pararnetra m taka da vrijedijednakost: 4.48.a) 5x2_2x+4 = 5x'+mx+4 b) -34x 3+2x'-3m = -34x'+2x'+15 2 b) 6x3+5x'-9 = 2mx'+5x'-9 4.49.a) rnx +4x+ 7 = 2x'+4x+7 2 4.50.a) 8x'-mx+ll=8x'+IOx+ll b) 4x 3+3mx -4x-81 =4x3 +12,'-4,-81 4.51. Odrediti vrijednost polinoma za datu vrijednost varijabJe x: a) ,,'+5,2_ 1 zax=-I b) 2x'_2x3 +x 2_6x+3 za x=2. , Napisati polinomc u sreaenom obliku po opadajucim cksponcntima: 4.52.a) 2x3 +3x'-6x+ 12x3+ 7x' -15-2x' b) 3x-2x3 +8x+2x' -6x'+3-2x'+7x3 2 3 4.53.a) x'+2x' -2x'+x-1+2x'-x _3x +5 b) x 3 -2x2-3x+x'-6x3+5x+3x2+7x' Osloboditi se zagrada i srediti polinome: 4.54.a) (-9x2+5x-4l) + (l4x'-4x+40) - (-2x'-3x+3) 2 b) (3x'+2x'-4x+ I) + (x'+5x'-6x+4x'+5x-l) - (3x'_x _x+ 11) 3 2 c) (8x'-3x +x +2x-7) _ (2x'-3x'+9x'+ 3x-15) - (8x'+2x2-1Ix+x'-3x'+7) d) (-4x'+5x'-2x 2+2x+13) + (2x'-3x'+8x-4x'+55) - (x'+4x'-2x'-7x+7)

4.2.3.

Sahiranje, o¥ul,imanje i mnoi;enje polilloma

4.55. Odrediti zbir, P(x)+Q(x), datih polinoma: a) P,(x) ~ -3x'+4x'+5x-1 b) P,(x) = llx'+3x-8 c) P,(x) = -4x'+x'-2x 2+4x+11 2 d) Pix) ';' 8x"-2x'+x +x-3 Sabrati date pol iname: 4.56.a) x'+5x+ II i 3x'+ 3x·8 4.57.a) 2x3-2x' -2x+ 1,4x' -2x'+5x-7 Ilx5_ 2x4+xJ+ 2x 2_x+ 10 4.58.

26

, b) PzCx) = 4x-+3x-5 c) P,(x) = -2x'-xl-2x'+x+4

Q,(x) = 2x'-x3+5,'+9. 5 Qj(x) == x -4x4 +2x3 +3x2 +16. Q,(x) = 5x4 _4x'+3x2+2. Q3(X) = 7x3+4x'-2x+4.

b) 3x2+4x+5 i -x 2+6x+3 2 bj -2x +2x+15, 6x 3+x+23 5:x 6 +x·1_3x 3_;.,:2+4x+2.

i Q,(x)= x'-x'+2x'+1.

·Q()~2'43.3226 J 5X X -x + x + x + .

i Q,(x)= -5x'-x'+6x'+I1. 2 i Ql(X)= -2x'+4x -x-3.

Oduzeti date polinome: b) 3x'+x+4 i -2x'+3x+5 4.60.a) 5x'+2x+18 i 3,'+3x-8 b) 7x2+3x+5, 3x3+2x+3 4.61.a) 4x'-2x'+7x+l •. '_5,,'+·,,_3 6 4.62. 20x'-16x'+3x'+12x'-3x+l i -4x -6x'-3x'+ lOx'-4x+2. Odrediti zbir P(x)+(l(x) i razliku P(x)-Q(x), datih palinorna: Q(x) = 2x'+4x·2. 2 b) P(x)= 4x3-2x'-6x+4 , Q(x)=x'-x +3x-5. c) PCx) = 3x4-5x'+4x'+4x-2 , Q(x) = 2x'-2x'+4x;2.

4 63.a) P(x)'''' 2x3-3x'+7x+ I , .

Osloboditi se zagrada i srediti polinorne: b) (6x+1)·(4x-3) 4.64.3) (x-3)-(2x+ 1) 4.6S.a) (x-3)·(x+3) b) (2x+5)·(2x-5) 2 4.66.a) (3X'+2x+4)·5x b) (-4x'+2x-lpx 4.67.a) (x2+2x-1)·(3x+l) b) (-x2+x+3)'(2x-S) 2 3 4.68.3) (3x3 +2x2-x+l)-(x-3) b) (2x +x +3x_2)-(3x_2) 2 4.69.3) (x'+2x-1)·(x2-x+l) b) (-x ~+2x+3}(x'-2x+3) 2 '2 4.70.a) (-x'+5x2+2x-3}Cx'-I) b) (4x'+2x -x-2)·(2x +5) 2 4.71.a) (i'+2x'-2x+l){x+l) b) (3x'-x'-x'+I)·(x -x+3) 2 4.72.a) (2x'_x'+2x2+x_I).(2x2+3x_S) b) (x'+2x -x+4H3x'-x+l) 4.73. Odrediti proizvod, P(x)'Q(x), datog polinoma monomom: a) P(x) = _x'+4x2+5x_l i Q(x) = 2x' b) P(x) = 2x2+x-3 Q(x) = -2x', c) PCx) = _3x'+x'_x 2+4x+5 Q(x) = 11~·'. d) P(x) = x'_2x3+x2+2x_l i Q(x) ~ 2x'. 4.74. Odrediti proizvod, P(x)-Q(x), datih polinoma : 2 a) P(x) = -3x'+x'+5x-2 i Q(x) = 2x +5x-3 2 b) P(x) = 3X2+X-3 Q(x)= -2x -4x+2 2 3 2 i Q(XT x +5x-4 c) P(x)"; _3x'+X _x +4x+5 d) P(x) = 2x'+x'+3x-2 i Q(x)= 2X'+X2+X-3 4.75. Odrediti polinom P(x)=3x'+bx+c ako je P(0)=5, P(l)=4 i P(-3)=32. 4.76.* Akoje f(x)=3x'+12x-l, odrediti f(x+l). 4.77* Akoje f(x+l)=2x'+1Ix-6, odrediti f(x). 2 3 4,78.* Odrediti [(x) akoje [(x_2)=x +8x -12x+3.

27

4.2.4.

a~3.

4.99. Pix) = -x' +2x'-4x'+2x-I, 4.100. P(x) = 2x'-2x' -3x'+4x2+5, 4.101. Pix) = x6 _2x5_x'+4x'+ 11 x'-x+2,

Dijeljenje polinoma. N ule polinoma. Bezoulova ,. teorema.

a =-2.

a=-4.

llornerova6~shet.na

4,79.a) 4.80.a) 4.81.a) 4.82.a) 4.83.a) b) 4.84.a) b)

Pomocu Euklidovog 7' algoritma odrediti najve';u zajednicku mjeru (NZM(A, B» datih polinama A(x) i B(x) ako je: :

Izvrsiti dijeljenje datih polinoma i odrediti njihov kolicnik Q(x) i ostatak R(x), ako je: (x';4x-5):(X-I) b) (2x'-x-15):(x-3) (4x,+;x+3):(x+l) b) (6x'-32x'+13x-15):(x-5) (R; -~ +3;-:-I):(x-5) b) (-3x5-2x'+x 3_x'+I):(x_2) (x;x -3x -4x+l): (x'-x+2) b) (x'-3x 3+5):(x'_2) (6x -5x'-3x 3+3x-l):(2x 2_3x+l) (2x'-13x'+28x'-24x3+12x'-llx+6):(x'_5x+6) (l2x'-x'+4x3-x-2):(3x2_x+2) 7 (2x +x'-2x'+8x'-3x3-I Ox'+x+3):(x3+x'-2x+3)

4.102. 4.103. 4.104. 4.105.

2oo

Odrediti zajednicke nule datih polinorna A(x). i B(x), ako je: 4.109. A(x)=x'+2x-3 ; B(x)~x'-6x+5. 4 3 ') 3 ? 4.110. A(x)=x +6x +17x-+24x+ 12 B(x)=x -2x--13x-IO.

Ako su dati polinomi A(x) i B(x), pomocu Homerove sheme odrediti kolicnik Q(x) i ostatak R(x) ako je: B(x) = x-I. 4.89. A(x) = x'-2x3+4x2_llx+5, 4 4.90. A(x) = x +8x3_x+ II, B(x) = x+5. 4.91. A(x) = x'-x'+3x'+IOx-l, B(x) = x-2. 7 4.92. A(x) = x +x'+x'-2x+6, B(x) = x+4.

,;i

Pomocu Hornerove sheme dati polinom P(x) razviti po stepenima od (x+a) ako je: a =2 4.96. P(x) = 4x'+2x'-x 2+5x+ 16 a =4.97. P(x) = x'+4x'+6x+4, ' 4.98. P(x) = 2x'+3x'-2x+6, a = I.

i.

5* Etie-line 82ZOut (I73G-J7SJ), li"ancuskl fT'3.';"~Tl0 i abc = 3, dokazati da vruedi nejednakost: (a+ b + e)] -aJ -b] -e' ;: 72.

5.136. Dokazati da za ma koje realne brojeve a i b vrijedi: a' + b'.;: ab .

b 2, b+-;;;:

5.149.* Neka su a, b i nejednakost:

a'(b+c)

Dokazivanje nekih nejednakosti

5 · 138 . D O'azatl k . d a vrlJe "d'I:

1

a b +c 3. __ + ___ __ 2 __ b+c a+c a+b 2

a+b+c

'" a( a +1b + c + d) a '+d' - 2(a b+bc+cd - b'-c2 )=0, d okazatl. da vflJcdl: 2 2 2

1

2

a, b, c pazitivni brojevi za kaje vrijedi a+b+c;; 3. Dokazati

5.134. * Aka realni brojevi a,b,c i d zadovoUavaju uvjet:

Sll

x+y+z

y+z' z+x

da vrUedi nejednakost: - - + - - + - - ; : -. I+a I+b I+c 2 5.148. Dokazati da za realne pozitivne brojeve a, b i c vrijedi nejednakost

5.133. * Ako je ab+by+cz=O, dokazati daje

5.135.* Ako

z~

--+--+.--~---.

5.132. * Ako je abc=l, dokazati daje

~P...?. j;;b . 2

Razni zadaci 2

5. I 51. * Ako za realne brojeve a, b i c \'fijedi a+b+c = 0 i a +b'+c' = I, '1 2 '1) 2 2 ) '+b" , odrediti: a) ab+ac+bc b) a'b +a'c+b c c a ~c . 5.152. Ako brojevi min nisu djeljivi sa 3, dokazati daje tada broj m'+n'+1 djeljiv sa 3. , 1 ,. .. d -" 20 -5 19 55 18 +5' 17 ). 53.* Odredlt! vfIJe· nost .tzraza x-'11 ~))X +) x - x ~x -'"

+55''''!0

~

+2)-

,

za x = 54. 43

42

.).D"t.~UOKaza[JaaJe

I,

L' +2>7 djeljivosa 100.

5.155.* Odrediti svc nenegativne cijele brojeve x i y koji zadovoljavaju jednacinu (>..y-7)' ~ x2

+1.

6.

G E 0 MET R I J A U R A V N I

Dt'ije razlicite tacke lIvijek pripadaju jednoj i sarno jednojpravoj Smka prava sadrii bar dvije tacke. Posfoje trl lacke kaje nisu na istoj pral'Oj. 1}f nekofinearne lacke pripadajujednoj i samo jedno} r«vlIi. \ Aksioma 5: Smka ravan sadril bar tri nekolinearne tacke.. Aksioma 6: Pastoje ce!irl {aeke koje nisu u iSloj ravni. Aksioma 7: Ako dvije laeke pral'e pripadaju ravni,onda src ta(ke Ie prove pnjJadaju toj ravni. Aksioma 8: Airo'dvije ravni imajlljednu :::ajednicku tacku,fada imaju wjedniiku pravu. Aksioma 9 (afaioma parale/nos!i): Svakom tackom-van date prove prolazi lacnojedna prova Aksioma 1: Aksioma 2: Aksioma 3: Aksioma 4:

kojaje paralei1t(J sa da!om pravom. j AkslOma 10: sv.aka locka 0 na pravo) p dijeli skup lacaka prare na dm dije/a tako da: aJ ako (acke.-i i B pripada)u raznim dijelovima,lada lacka 0 lezi izmedu A i B. b) aka (aeke Ai B pripada)u islam dijelu prave,fada sejedno ad ovih !ocaka nalazi izme(7u druge tacke i locke 0. Aksioma 11 :Sf:WCG pravo p ravni dijeJi lu rQl'Gn no dl1ije oblasti zo koje vrijedi.' a) Ako locla::A i B koje nisu na pra)'oj p pripadaju islo) oblasti lada prava p ne sijeec dlff AB. ,b)~ ~~ko locke Ai B koje nisu no pravo) p, pripadaju ra::nim aC/astima, lado pral\{1 p sijeec

I

I

~

------_.

--~.-~.--.~.-

6.1. Sta je goometrijska figura? 6.2. ~avedj rnekoliko geometrijskih figura. 6.3. Sta je plalltimetrija? 6.4< ~ta Sll omovni pojmovi?Navedi osnovne pojmove u geometriji. 6.5. Staje definicija? 6.6, Sta nazlvamo aksioma? 6.7. Staje tea.-ema? 6.8. Sta se vrS! u dokazll teoreme? 6,9. Koje aks:iome poznajes?

..

6 10. Kako se oznacavaju tacke j prave I ravni? 6:11. Kakav odnos mogu imati dvije ta~ke? 6.12. Za kakve tacke kazemo da su kolmeame, a za kakve da su neko!inearne? 6.13.Kada kaiemo da su tri (iii vise) tacke komplaname? Za kakve tacke kazemo da su nekomplaname? 6.14. Kilkav odnos mogu imati dvije prave? 6.15. Kakav odnos rnogu irnati dvije ravni? 6. I 6.- Kakav odnos mogu imati tacka i prava? 6.17. Kakav odnos mogu imati tacka i ravan? 6.18. Nacrtaj rna koju pravu a.Odredi tacku Ana pravoj a i tacku B van prave a. 6.1 9. Kakav odnos mogu irnati prava i ravan? 6.20. Dvije razlicite prave a i b mogu irnati najvise jednu zajednicku tacku. Dokazati. 6.21. Nacrtaj dvUe prave a i b koje se sijeku. Presjecnu tacku pravih oznaci sa S. Odredi tacku Ana pravoj a, tacku B na pravoj b i tacku C koja ne pripada ni jednoj od datih pravih. . .. 6.22. Ako su A, B, C i D cetiri razlicite tacke ravni, koliko pravih je odredeno ovim tackama? Napisi te prave. 6.23. Neka su a, b i c tri razlicite prave u ravni. Koliko zajednickih tataka mogu imati eve tri prave? 6.24. Datje skup od 5 tacaka. Koliko najvise razlicitih pravih mogu adrediti ove tacke? 6.25. Kada kaiemo da prava leii u ravni? 6.26. Koja geometrijska figura se nazi va poluprava? 6.27. Staje dui? 6.28. Kako se definise poluravan? 6.29. Sta nazivamo poluprostor? 6.30. Ravanje odredena sa dvije prave koje se sijeku. Dokazati. 6.31. Ravanje odredena sa jed nom pravom i jed nom tackom van prave. Dokazati. 6.32. Kada kaiemo da su dvije prave paralelne? 6.33. Ravan je odredena sa dvije paralelne prave. Dokazati. 6.34. Ako su dvije prave a i b paraleine sa trecom pravorn c, onda su one parale!ne i medu sobom. Dokazati! 6.35. Navedi teoreme 0 odredenasti ravni. 6.36. Sta tvrdi aksioma paralelnasti? 6.37. KoUka najvise ravni u prostoruje odredeno sa dvijb prave koje se sijeku i tri nekolinearne tacke? Koje su to ravni? (Uvedi iznake pravih i tacaka(). 6.38. KoUka najviSe ravnije adredeno sa cetiri nekamplaname taeke? 6.39. Svaka prava koja ne pripada ravni ima sa tom ravrii najvisejednu zajednicku tacku. Dokazati. 6.40. Datje skup ad cetiri tacke {A, E, C, DJ pri cemu tacka C pripada duii AB. Dokazati da se ravni ABD i ACD poklapaju. 6.41. Kalika najvise ravni je odredeno sa cdiri paralelne prave?

45

44

6.71. Aka su dvije visine trouglajednake, trougao je jednakokraki. Dokazati. 6.72. Tezisna dliZ koja odgovara hlpotenuzi pravouglog trouglajednakaje polovini

6.42. Koliko najvise pivni je odrea-eno sa 5 tacaka, od kojih nikoje tri nisu kafineame, a nikoje cetiri nisu komplaname? 6.43. Kako se definjse ugao? 6A4, Objil51li pojJl10Ve isprulcnog, flultog j punog ugla.

hipotenuze. Dokazati.

6.45~ Koje uglove nazivamo susjedni?

6.46~ Sta su naporedni uglovi?

6.47. Staje pravi ugao? 6.48. Mogu Ii naporedni uglovi biti: a) oba ostra b) oba prava c) oba tupa 6.49. Dvije prave se sijekll i gradejedan ugao od 40°. Koliki su ostali uglovi loji su odreaeni oV1m pravirn? 6.50. Kada ka.zemo da su dvije prave nonnalne? 6.5 L Sta je simetrala ugla? 6.52.iZracunaj ugao izmedu simetrala dva naporedna ugla. 6.53. Staje simetrala duZi?

?

6.73. Spajanjem sredista stranica trougla, nastaju cetiri podudarna trougla. Dokazatit 6.74. Ako iz rna kaje tacke osnovice jednakokrakog trougla povucemo nonnale na njegove krake, zbir tih normala je stalan i jednak visini koja odgovara kraku. Dokazati. 6.75. Primjenom padudamosti trouglova odrediti sirinu rijeke ne pre!azeci na drugu njenu obalu. 6.76. Ako su a i b katete i c hipotenuza pravouglog trougla, dokazati nejednakost: 2 ab+bc+ca $: c •

6.2. Kru:mica i krug. Centralni i periferijski ugao. 6.1. Pooudamost (KO,NGRUENTNOST, SUKLADNOST) tronglova 6.54. '!ADC i LlBCD upisane su kruznice ciji su radijusi, red am, r, rl i r1. Dokazati da vrijedi jednakost: 1'+[r+r2"" he . 6.90. Objasni pojam centralnog i periferijskog ugla. 6.91. Centralni ugao je dva puta ve6i od perfferijskog ugla nad istim lukom. Dokazati. 6.92. Staje tetivni cetverougao? 6.93. Supratni uglovi tetivnog cetverougla su suplementni. DokazatL 6.94. Aka su a i b katete, a c hipotenuza i r radijus upisane kruinice

t

•

pravouglog trougla, dokazati da vrijedi

a+b-c

r ~ .::.:~---=2

6.69. Dokazati: Svaka tacka na simetrali duz; jednako je udaljena ad krajeva te dutL : 6.70. Dokazati: Svaka tacka na simetrali uglajednakoje uda\jena od krakova tog ugla.' 47 46

6.4. 6.95. Periferijski ugao nad nekim lukomje 36 0 • Koji dio kfllznice je taj luk? 6.96. Koliki je periferijski ugao nad lukomjednakim

~ 20

krJznice?

6.97. Tetiva dijeli kruZnicu na kruzne lukove cijije odnDs 3:5. Koliki su centralni uglovi nad ovim lukovima? 6.98. Jedan ostar ugao pravouglog trougla je 32°. Pod kojim se lIg10m vidi svaka kateta trougla iz centra opisane kruznicc? 6.99. Ako se dvije jednak'e tetive kruznice sijeku u nekoj tacki, tada su dijelovi jedne jednaki dijelovima druge tetive. Dokazati. 6. I 00. Ugao koji odreduje tetiva sa tangentom u jednoj kraj'1ioj tacki tetive jednak je periferijskom uglu nad tom tetivom. Dokazati. 6. WI. Dat je tangentni cetverougao ABCD. Ako je 0 srediste opisane krllZnice ovog cetverougla, dokazati daje leak vo je graficko znacenje parametra n kod funkcije y = kx+n? 7.17. Kadaje funkc;ja y = kx+n rastuca? 7.18. SW je nula funkeije? Kolikaje nula funkeije y = kx+n?

7.40. Nacrtati grafik i ispitati tok funkeij~:5

I

I

e) y=6x+50 c) y=-4x+6

x

x

7.41. Odrediti wak funkcije:

2

-7

.

x

cJ y=-x-2 3

2 d) y=-x+4. 5

..

7.22.a) y=-x-4

b) y=-4x+5

e) y=-2x-6

d)

4

5

y~-'-x+-

5 4 vrijednost koefIcijenta a tako da prava y=ax-3 prode tack om (I, 8). vrijednost koet)cijellta k tako da praya y=kx+5 prode tackom (2, 13). vrijednost za'n tako da prava y=x+n prode kroz tacku (0, -6). vrijednost parametra n tako da praya y=2x-n prode tackom A(-l, 5). vrUednos! parametra a tako da prava x+y-a=O prode tackom M(I, I). vrijednost parametra m tako da praya mx·3y+I=0 prode kroz tacku

Oi!rediti OOrcditi OOrediti Odrediti Oarediti Odrediti AP,O). 7.29. Primi graficki funkciju y = kx+n aka je: a) lc=3,n=·3 b) k=·2,1l=3 c) k=0,5,n=-I d) k=-I,n=1 7.30. Za koliko opadne vrijednost funkcije y = -3x+2 kada x naraste od -I do 4? 7.31. Za 'KoUka apadne vrijednost funkcije y = -2x+8 kada x naraste od 1 do 5 ? 7.32. Za 'koliko poraste vrijednost funkcijc y = x+15 kada x naraste ad -3 do 10 ? 7.33. Za fu:nliko poraste vrijednost funkcije Y""" 3x-6 kada x naraste ad 2 do 8?

'[uk"

7.43. U kojim kvadrantima se nalaze grafici

dJ y = -

-10 x

X

3

b) y=2x-I

10

cJ y=-

b) y = -

a) y=-

x

-I d) y=x

4 y=-

c)

b)y=-

.

drediti '"'Y funkcije Y = - aka se x promu em sa 7.42. O x

7.2I.a) y=x+3

7.23. 7.24. 7.25. 7.26. 7.27. 7.28.

_1 a) y--

x

Naertati grafik i ispitati tok funkcije:

1

k x

Funkcija y = kx+n. Tok i grafik

Odrediti nulu date funkeije: 7.19.&) y=5x-11 bJ y=-x+7 7.20·&1 y~.6x+12 b) y=3x-15

t.

7.38. Rada fUl1keija y =- raste?

7.37. [ma 11 funkClJa y --,-;: nulu.

7.1.

f?

n cIJa Y

1

6 na .

k' -1

= _ _ kadase

x

parametar k mijenja? ~. P 'kazati graficki zavisnost visine p 7.44. Ako je poznata povrsma trapeza • pn

trapeza h i njegave srednje linije m (h 7.45. Aka je J(x) =

S'

=-;;;>-

odrediti J(f( -2)).

Nacrtati graf.k date funkcije: 7.46. oJ a

Y=I~I-2

0 y=~-~

7.47*a)

Y=I~I

b)

-I

Y=fxI

c)

y=2 -\~

c) y=2I

x- 11-l xl+3x (;7

;.

66

Poka;;:i da date jednacine nemaju rjeSenja (da su proti>::jecne): 14) 8 18 aJ 30x-16 = 25x+44+5x b) 2(1-x)+3x - 11-(-x+ 7

-~-4 4

(~+2

" )·8=4x-l1 8.19.a)

LIN EAR N E JED N A C I N E (jednadzhe) , 3. J. Objasni pojmove jednakosti~ identiteta j jednacine!

Rijesiti navedene jednacine:

S>..:-. Pronadi identitete:

x=3 b) x'-9 = 0 c) a'-4 = (a-2)(a+2) 83. Zasto se jednacina naziva i usJovna jednakost? 3A. Kuko.se dijde jednacine prema broju nepoznatih? EL5. Kako dijelimo jednacine prema stepenu nep02nate? 8.£. Sta je rjeserUe jednai'ine? J)

3

d) a _2a'= a'(a-2)

Pro\jeri da lije dati broj x rjesenje datejednacine: ?7.a) x=O,5x+7=22x+7 b) X=-1,3x-4=_7x c) X=2,x+l=2x_1 7-3x 1+3x 5+2x x :>.8.a) x=-3, --=7+x b) x=-3,-=2(4+x) c) x=5, --=6-4 4 3 5 fL? Sia znaci rUesldjednJj~inu?

8. I I. Kada kazemo da su dvije jednacine ekvivalentne? 8.12. Navedi osobine ekvivalentnihjednacina.

Poka:1i da slijedece jednacine imaju beskanaena mnoga rjesenja; 5x-3 = 4x-l +x·2 0) 2(5-3x) = 8-6x+2 c) I O-(x+ 1) = 2(4-x)+ I +x. 4(x-2)+5=3x-(3.x)

b)

3

, + ---.. 10x-l 10x-l 5 -I- ~X ------ - _ _ ::::35-x 5

~+~=5x-~

b)

2 \.

7

b) 12-4: