Zbirka riješenih zadataka iz teorije konstrukcija : skripta [PDF]

Zitiervorschau

UNIVERZITET “DžEMAL BIJEDIû” U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET

Viši asistent mr. sc. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 SKRIPTA

Mostar, 2006.

PT A

UNIVERZITET “DžEMAL BIJEDIû” ” U MOSTARU GRAĈEVINSKI EVINSKI FAKULTET

RI

ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

SKRIPTA

Mostar, 2006.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Viši asistent ü, dipl.inž.graÿ. dipl.inž.gra mr. sc. Rašid Hadžoviü,

Naziv: Zbirka riješenih zadataka Teorija konstrukcija 1 Skripta Autor:

Tehniþki urednici:

PT A

mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ. viši asistent Graÿevinskog fakulteta Univerziteta “Džemal Bijediü” u Mostaru

Gra ÿevinskog fakulteta Sanjin Jahiü,, student 4. godine Graÿ Graÿevinskog Kompjuterska obrada:

Sanja Topuz, student 4. godine Graÿ Gra ÿevinskog fakulteta Graÿevinskog

RI

Gra ÿevinskog fakulteta Sanjin Jahiü,, student 4. godine Graÿ Graÿevinskog Izrada crteža i teksta:

Studenti II. godine Graÿ Gra ÿevinskog fakulteta – generacija 2005./’06. Graÿevinskog

SK

Štampa:

In – Copy d.o.o. Mostar

Sponzorirano:

Service Learning Project: Increasing Community Impact and Educational Outcomes in Higher Education

Website: http://www.americancouncils.org.yu/alumni/servicelearning/scriptbook.htm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

evinskog fakulteta Sanja Topuz, student 4. godine Graÿevinskog

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A RI SK

=DKYDOQLFD    =DKYDOMXMHPVH$PHULFDQ&RXQFLOVXQDXND]DQRM SRGUåFL NUR] SURMHNDW 6HUYLFH /HDUQLQJ NRML VH SRND]DR NNDR YHRPDXVSMHåDQLSRPRJDRMHGDVWXGHQWLPRJXGDXUDGH YHRPDXVSMHåDQLSRPRJDRMHGDVWXGHQWLPRJXGDXUDGHQHåWR NRULVQRL]DVHEHL]D]DMHGQLFX   ,ZRXOGOLNHWRWKDQNWRWKH$PHULFDQ&RXQFLOVIRU WKHVXSSRUWWKURXJK6HUYLFH/HDUQLQJSURMHFWZKLFKZDVYHU WKHVXSSRUWWKURXJK6HUYLFH/HDUQLQJSURMHFWZKLFKZDVYHU\ VXFFHVVIXO DQG KHOSHG VWXGHQWV WR GR VRPHWKLQJ XVHIXO  IIRU WKHPVHOYHVDQGIRUWKHFRPPXQLW\

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET Teorija konstrukcija 1 emer. prof. dr. Ognjen Jokanoviü, dipl.inž.graÿ. viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PT A

Nastavni plan i program: ¾ Statika konstrukcija. Proraþunske šeme. enja konstrukcija. Oslonci ravanskih konstrukcija. ¾ Optereüenja enja, transverzalnih sila i momenata ¾ Unutrašnje i vanjske sile. Povezanost izmeÿu optereüenja, savijanja. ka stabilnost nosaþa. nosa ¾ Statiþka odreÿenost sistema. Kinematiþka ¾ Statiþki odreÿeni sistemi. ¾ Puni nosaþi.Prosta i.Prosta greda. Konzola. Grede sa prepustom. ki i kinematiþ kinemati þki naþini na ini rješavanja uticajnih linija. ¾ Uticajne linije za sve pune nosaþe. Statiþki kinematiþki i. Uticajne linije kod Gerberovih nosaþ nosa þa. ¾ Gerberovi nosaþi. nosaþa. ¾ Luk sa tri zgloba. Uticajne linije lukova sa tri zgloba. i. Uticajne linije rešetkastih nosaþ nosa þa. ¾ Rešetkasti nosaþi. nosaþa. ¾ Virtuelna pomjeranja. Virtuelni rad. ¾ Energetske teoreme. Literatura: Ĉorÿee Solovjev:Statika konstrukcija I (1. i 2. dio), Milan Ĉuriü:Statika konstrukcija

RI

Uslov izlaska na ispit: Taþno uraÿeni eni i predati programski zadaci, a primljeni od predmetnog asistenta. Potpis predmetnog nastavnika. Obaveza studenata je da redovno i kontinuirano rade programske zadatk zadatke i predaju u datim rokovima, a krajni rok ispunjenja obaveze je do po poþetka junsko-julskih ispitnih rokova (taþan an datum odreÿuje odreÿ ÿuje predmetni asistent). Aktivnosti na predavanjima i vježbama: razrada i prezentacije zadataka, doma domaüe zadaüe, diskusija na predavanjima Zalaganje studenata tokom godine utiþe uti e na ocjenu iz pismenog dijela ispita.

SK

Evidencija pohaÿ poha ÿanja nastave: Tokom nastave vodi se evidencija o prisustvu studenata, tako pohaÿanja da svaki student koji bude neopravdano odsutan više od tri puta, ne ostvaruje pr pravo na potpis sljedeüoj školskoj godini pohaÿati nastavu. predmetnog nastavnika i/ili asistenta i obavezan je u sljede Naþin in polaganja ispita: Pismeni i usmeni dio ispita. sm Pismeni dio ispita se polaže parcijalno i integralno. Ispit se smatra položenim, ako je student dobio 55 bodova i više. Na ocjenu utiše broj bodova, koje je student ostvario zalaganjem na z nastavi. Usmeni dio ispita se polaže nakon položenog pismenog dijela.Ukoliko student ne položi pol usmeni dio ispita iz dva pokušaja, obavezan je ponovo polagati pismeni dio ispita. Vrijeme polaganja Vri usmenog dijela ispita odreÿuje nastavni professor. Konsultacije se održavaju u kabinetu predmetnog asistenta u predviÿenom periodu.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Predmet: Predmetni nastavnik: Predmetni asistent:

SK

RI

PT A

Teorija konstrukcija 1 je predmet II. godine studija na Graÿ Gra ÿevinskom fakultetu i izu Graÿevinskom izuþava statiþki odreÿene sisteme. Na osnovu dosadašnjeg iskustva ocijenio sam da uobiþajeni uobi ajeni naþ na þin izvoÿenja izvo vježbi, naþin pisanje po tabli sa kratkim objašnjenjima, maksimalno angažuje studente u prepisivanju zadataka ýesto sa table i ne ostavlja im vremena da diskutuju o zadatku. ý esto u nedostatku vremena, u želji da mehani þki dosadan proces. Da bi uuþinak se uradi veüii broj zadataka, prepisivanje sa table postaje mehaniþ mehaniþki vježbi bio bolji, uz saglasnost predmetnog profesora, odluþio odlu io sam da interaktivnom metodom im lakše razumijevanje gradiva. Nakon teorijskih predavanja svaki st studentima omoguüim student dobija zadatak, koji je obavezan uraditi i onda ga prezentirati na vježbama vježbama pred kolegama i in studenti su aktivni tokom cijele godine, jer direktno predmetnim asistentom. Na ovaj naþin uþestvuju student je obavezan estvuju u nastavnom procesu – vježbama. Pored prezentacije zadatka stude eno na predavanjima, a da bi mogao odgovoriti na pitanja koja mogu imati i teoretsko znanje steþeno in student za uspješno prezentiran zadatak i kvalitetne odgovore na postaviti prisutni. Na ovaj naþin pitanja prisutnih, dobija ocjenu koja je dio ocjene iz pismenog dijela iispita iz predmeta Teorija konstrukcija 1. Ovim naþinom inom rada sa studentima, došao sam do saznanja da aktivno uuþešüe studenata u nastavnom procesu omoguüuje uje bolje razumijevanje teoretskih osnova pomenutog predmeta, jer je interesovanje studenata prisutno tokom cijele godine. U toku jedne školske godine novim sistemom rada, na vježbama se obradi mnogo ve veüi broj zadataka, nego što je bio inom rada. sluþaj sa uobiþajenim naþinom U sklopu projekta Service Learning pod pokroviteljstvom American CouncilsCouncils-a uraÿena je ova zbirka-skripta. Glavni cilj ovog projekta je bio da studenti budu aktivno ukljuþeni u rad i da mogu kontinuirano pratiti predavanja. U sklopu ovog projekta studenti su tr trebali jedan zadatak, pored prezentacije i objašnjenja zadatka na vježbama iiz predmeta Teorija konstrukcija 1, uraditi koristeüii kompjuterske programe MS Word i Autocad. Korištenje kompjuterskih programa MS Word i Autocad-a predstavlja dobru osnovu za budu buduüe inženjere. Kroz ovaj jedan zadatak studenti uþ uuþe þe da koriste kompjutersku tehniku koja üe im biti potrebna u buduüem radu. U zbirci-skripti se nalaze zadaci ura uraÿeni na «školski naþin» iz izuþavanih oblasti. Zadaci su složeni prema oblastima. Ova skripta je plod zajedni zajedniþkog rada studenata i predmetnog asistenta. Cilj ove skripte je da se omogu omoguüi studentima lakše razumijevanje i potrebni kontinuitet saznanja iz predmeta Teorija konstrukcija 1. budu knjige namijenjene za studente i inženjere u praksi. Ova skripta je najava buduüe Prilikom mog boravka u SAD-u 2004./'05. u programu JFDP (Junior Faculty Development Program) stekao sam dragocjena iskustva, koja üu pokušati ugraditi u novu knjigu. Mostar, septembra 2006. godine

Autor

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PREDGOVOR

SK

RI

Uvod ............................................................................................ ...........................01 Prosti nosaþii ............................................................................... ...........................09 Gerberovi nosaþii ....................................................................................................22 Lukovi na tri zgloba ...............................................................................................34 Rešetkasti nosaþii ....................................................................................................60 Ispitni zadaci ...........................................................................................................67 .................................................................................................................78 Literatura .................................................................................................................7

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Sadržaj

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

SADRŽAJ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PT A

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

RI

UVOD

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

1

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

UVOD

Elementi nosaþa su: 1) Štapovi 2) Kruti uglovi 3) Oslonci

θ

RI

popreþnih Štapovi su prave ili krive linije koje se nalaze u geometrijskim mjestima težišta popre presjeka nekog nosaþa. popreþnih a. Ukoliko su dimenzije popreþ popre þnih presjeka male u odnosu na dužinu štapova, tako da štap može da primi samo aksijalno optereüenje, optere zovemo ga prostim štapom. Ako popreþni optereüenja pored aksijalnih ni presjek ima dimenziju da može da primi i druga optere zovemo ga greda. Štapovi mogu biti spojeni zglobno ili kruto.

θ

θ θ

Kruta veza

SK

Zglobna veza

θ

ývor taþka vor je taþ ta þka u kome se spajaju 2 ili više štapova ili je to slobodan ilil oslonjen kraj proraþun i brojanje štapa. Sa brojem þvorova vorova raste i broj štapova i krutih uglova i zbog toga prora elemenata se otežava, a nama je cilj da to brojanje smanjimo i na taj naþin da smanjimo sebi proraþun. un. Strukturno linijske nosaþe nosaþe dijelimo na rešetkaste i pune nosaþe. nosaþ nosaþ sastoji se samo od prostih štapova i oslonaca. Rešetkasti linjski nosaþ Puni nosaþ nosa je nosaþ nosaþ sastavljen od štapova greda i prostih štapova i oslonaca sa ili bez krutih uglova.

a) MOMENTNI ZGLOB je zglobna veza dvaju krutih ploþa. Kod ovog zgloba ploþa I relativno rotira u odnosu na nepokretnu ploþu II oko meÿupola koji se nalazi u zglobu (i obratno). Ova veza onemoguüuje relativno pomjeranje krajeva ploþe, ali omoguüuje njihovo rotiranje. Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

δ

ZGLOBOVI

2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

Skup taþaka meÿusobno povezanih u jednu cjelinu zovemo nosaþ. Zadatak nosaþa je da obezbijedi nepomjerljivost izvjesnih taþaka meÿusobno i u odnosu na stalne taþke u prostoru. To se najþešüe postiže pravilnim komponovanjem više linijskih nosaþa þa koji svaki za sebe ima ograniþenu obezbjeÿuju enu ulogu da samo obezbijedi stabilnost u svojoj ravni, a svi zajedno obezbje prostornu stabilnost. Nosaþi koji obezbjeÿuju uju samo nepomjerljivost u svojoj ravni zovemo ravnim linijskim nosaþima, dok nosaþi koji onemoguüvaju vaju nepomjerljivost u prostoru zovemo prostornim linijskim nosaþima.

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

b) POPREýNI ZGLOB je veza dvaju krutih ploþa I i II koja onemoguüuje osovinsko razmicanje i relativno rotaciju dodirnih presjeka, a omoguüuje popreþno (transverzalno) pomjeranje. Meÿupol O12 se nalazi u beskonaþnosti, a zglob je zamišljen kao veza dva beskonaþno mala paralelna štapa zglobno vezanaza dodirne presjeke, a takoÿe i generalisano linijsko pomjeranje. 12 II

RI

c) PODUŽNI ZGLOB je veza izmeÿu ploþa onemoguüuje relativnu rotaciju i u ploþ plo þa I i II koja onemogu popreþno no razmicanje dodirnih presjeka, a omoguüuje omogu uje podužno relativno pomjeranje istih. Meÿupol O12 nalazi se u beskonaþnosti nosti na pravcu dodirnih presjeka. Zamišljen je kao veza dva beskonaþno popreþnih no mala paralelna štapa u pravcu popreþ popre þnih dodirnih presjeka.

SK

δ

OSLONCI

a) POKRETNI OSLONAC je spoljna veza koja spre spreþava pomjeranje taþke oslanjanja, dok oslonjenog presjeka. To joj dopušta pomjeranje upravno na pravac oslanjanja, a i rotaciju oslonje ploþe I koji se nalazi na pravcu oslanjanja. odreÿuje odre uje položaj apsolutnog pola oslonjene plo

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

3

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

δ

PT A

I

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PT A

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

VANJSKE I UNUTRAŠNJE SILE

Vanjske sile mogu biti: a) Aktivne, koje su izazvane vanjskim faktorima, bilo dodirom bilo djel djelovanjem na odstojanju (npr. gravitaciona sila). b) Reaktivne, koje su izazvane aktivnim silama i predstavljaju otpore od oslonaca i uklještenja. Optereüenja enja na konstrukciju mogu biti: - koncentrisana (dimenzije t, kg, kN, tj. dimenzije sila) - raspodjeljena duž osovine štapa (dimenzije t/m, kg/m, kN/m, tj. dimenzije sila/dužina) U prirodi ne postoje linijska optereüenja veü samo površinska (dimenzije sila/površina) i zapreminska (dimenzije sila/zapremina). Postoje još i: - koncentrisani spregovi – momenti (dimenzije tm, kgm, kNm, tj. dimenzija sila × dužina) - raspodjeljeni spregovi – momenti (dimenzija sila × dužina/dužina) Zbirka riješenih zadataka – Skripta 4 Uvod

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

UKLJEŠTENJE kao oslonac onemoguüuje onemogu ta svako pomjeranje oslonjene taþke, kao i odgovarajuüeg rotaciju odgovarajuü odgovaraju üeg popreþnog popreþnog presjeka. popreþ

SK

c)

RI

b) NEPOKRETNI OSLONAC je oslonac koji spreþava ava svako linearno pomjeranje oslonjene uje rotaciju iste. To definiše položaj apsolutnog pola oslonjene ploþe plo I koji mora taþke, a omoguüuje biti u oslonjenoj taþki A.

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

Ako koncentrisana sila djeluje u presjeku 1 pod nekim uglom Į, ona ustvari ne djeluje u presjeku 1 osovine nosaþa nego u presjeku 2 na udaljenosti h/2ctgĮ. Idealizujuüi nosaþ njegovom osovinom prinuÿeni smo da ili to imamo u vidu ili da djeluje u presjeku 1, ali da dodamo i spreg M. Ph Ph M = ⋅ sin α ⋅ ctgα = ⋅ cos α 2 2

h/2

α

1

α

a)

1

b)

M

1

2

e

α

g [kN/m']

1

2

g [kN/m'] M α

RI

2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

P

Prema naþinu djelovanja dijelimo ih na: - nepokretna i - pokretna takoÿer i na: - direktna i - indirektna.

Raþunska optereüenja odreÿuju se na bazi stvarnih podataka o nosaþu, stalnom optereüenju i funkciji nosaþa, kao i na osnovu važeüih propisa za odreÿene vrste konstrukcija. Taj dio statiþkog proraþuna koji prethodi samom iznalaženju sile u popreþnim presjecima nosaþa zovemo ANALIZOM OPTEREûENJA. ENJA. Prema propisima optereüenja se mogu dijeliti i prema vrstama objekata: - optereüenje zgrada, - optereüenje drumskih mostova, - optereüenje željezniþkih mostova itd. Ili prema znaþaju i uþestalosti na: - glavna, - dopunska, - naroþita, a prema uticaju na stvarno stanje napona uslijed eventualnih vibracija dijelimo ih na: - statiþka i - dinamiþka.

h/2

P

α

Po dužini djelovanja optereüenja mogu biti: - stalna: sopstvena težina nosaþa i elementi konstrukcije koji funkcionalno moraju stalno biti prisutni, te snijeg u podruþjima gdje se pojavljuje, - povremena (korisno optereüenje): vjetar, ljudi, vozila, teret u skladištima, zemljotres itd.

SK

2

PT A

Sliþno tome i raspodjeljeno optereüenje pod nagibom daje pri redukciji na osovinu nosaþa dopunske raspodjeljene spregove intenziteta

m= g × e × cosĮ

P

h

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

1

2

5

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

UNUTRAŠNJE SILE

x r p

p dF

(1)

F

³

=

M

R

dF

³

R =

M

p r dF

(2)

F

z

pdF

teži presjeka izraženi su preko napona Presjeþna sila R i moment poslije redukcije sile R na težište formulama (1) i (2). Sile u presjeku preko komponenata su:

³σ

=

x

dF

RI

N

F

³τ

=

T

xz

dF

F

M

=

³σ

xz

dF

F

SK

Smatramo da nema torzionog momenta Mx i momenta oko ose z, Mz. Šematski prikazano:

N

N

T

T

M

N

T

T

M T

M

N

N

POGLED

N ED PO

N

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

POGLED

GL

T

T

N

M

M

M

M

M T

6

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

y

PT A

Dejstvo vanjskih sila na nosaþ izaziva deformaciju istog i pojavu unutrašnjih sila u presjecima kao rezultante napona. U otpornosti materijala se govori o naponima, ali moramo naglasiti da se ne može govoriti o naponima, ako nije taþno definisana ravan (zamišljen presjek nosaþa) i taþka u toj ravni. Najþešüe se govori o naponima u taþkama presjeka upravnog na osovinu nosaþa na odreÿenom mjestu osovine, ali ne mora uvijek biti tretiranje napona u presjecima upravnim na osovinu veü i presjecima pod odreÿenim uglom razliþitim od 90°. U statici linijskih nosaþa smatramo da su optereüenja i osa nosaþa u istoj ravni. Ako tretiramo unutrašnje sile u nekom nekom presjeku nosaþa, izraziüemo ih preko napona u presjeku upravnom na osovinu, pa üe i naponi biti u ravni nosaþa.

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

N – normalna sila – komponenta rezultante unutrašnje sile R u pravcu x – ose (na osovini nosaþa). Pozitivna je kada zateže svoj dio štapa. T – transverzalna sila – komponenta rezultante unutrašnje sile R u pravcu z – ose (normalna na osovinu nosaþa). Pozitivna je kada ima tendenciju da obrüe dio štapa oko drugog kraja u smjeru kazaljke na satu. M – momenat savijanja oko ose y, My. Pozitivan je kada izaziva zatezanje donje strane nosa no þa.

SK

RI

Pri statiþkom ispitivanju jedne konstrukcije odreÿuju se izvjesni uticaji, koje vanjsko optereüenje ili izvjesna sredina vrši na konstrukciju. Pod tim uticajima podrazumijevamo: reakcije oslonaca, oslonaca, horizontalni potisak luka ili lanþanog nosaþa, napadne momente, transverzalne i normalne sile u jednom presjeku, ugibanje pojedinih taþaka konstrukcije i dr. Sve ove veliþine koje mi ispitujemo, zovemo uticaji i obilježavamo ih sa Z. U sluþaju nepokretnih optereüenja uticaje u nosaþu tj. u nekom odreÿenom presjeku, možemo odrediti pomoüu veü poznatih metoda statiþkog proraþuna. Na osnovu dobiveih vrijednosti unutrašnjih sila možemo naüi ekstremne veliþine momenata i transverzalnih sila. Ali ako na nosþa djeluje pokretno optereüenje, onda se u nosaþu ekstremne vrijednosti unutrašnjih sila pojavljaju u razliþitim presjecima nosaþa u zavisnosti od kretanja sile. Da bi lakše odredili vrijednosti uticaja od pokretnog pokretnog optereüenja koristimo se koncentrisanom jediniþnom silom od 1kN koja se kreüe po nosaþu s lijeva na desno ili obrnuto. Udaljenost te jediniþne sile od jednog oslonca (npr. od oslonca A) se oz oznaþava sa x, dok je ukupna dužina nosaþa L. Kretanje sile po nosaþu izaziva uticaje u svim presjecima nosaþa, pa prema tome i za neki odreÿeni presjek možemo da bez ikakvih problema odredimo vrijednosti unutrašnjih sila, odnosno da nacrtamo uticajnu liniju odreÿenog presjeka na nosaþu. Znaþi, uticajna linija je linija þije ordinate, izmjerene ispod optereüenja, daju veliþinu traženog uticaja od jediniþne sile od 1 kN u presjeku, za koji je ta linija ko konstruisana. Površian koju zaklapa uticajna linija sa horizontalom zove se uticajna površina. Osobine uticajnih linija

Traženi uticaj od optereüenja na nosaþu dobije se pomoüu superpozicije. Uticajne linije crtaju se samo za jedan odreÿeni pravac optereüenja, a mi prouþavamo uticajne linije od vertikalnog optereüenja. Moramo razlikovati dijagrame unutrašnjih sila nosaþa od uticajnih linija, jer se dijagrami unutrašnjih sila crtaju za neko odreÿeno optereüenje, dok se uticajne linije crtaju za neki odreÿeni presjek. Oblici uticajnih linija

Oblik uticajne linije zavisi od konstrukcije nosaþa i od naþina optereüenja, pa prema tome taj oblik može biti pravolinijski, poligonalni ili krivolinijski. Kod svih statiþki odreÿenih nosaþa uticajne linije su prave, dok su kod statiþki neodreÿenih nosaþa to krive linije drugog ili višeg stepena. Za sluþaj direktnog optereüenja uticajne linije su prave, a za sluþaj indirektnog optereüenja uticajne linije su poligonalne oblika. Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

7

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Opüenito o uticajnim linijama

PT A

UTICAJNE LINIJE

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

Ako se sila nalazi u þvoru onda se uticajna linija od indirektnog oslanjanja ne razlikuje od uticajne linije direktnog oslanjanja. Konstruisanje uticajnih linija

Za konstrukciju uticajnih linija postoje dva naþina: - statiþki - kinematiþki.

Kinematiþki naþin Ovaj naþin se zasniva na principu virtualnih pomjeranja (princip Lagrange-a). Prema ovom principu ako se neki materijalni sistem nalazi u ravnoteži pod uticajem sila koje na njega djeluju, onda zbir radova pri svakom virtualnom pomjeranju mora biti jednak nuli.

Za primjenu ovog principa dati se sistm odbacivanjem odbacivanjem izvjesnih veza pretvara u kinematiþki lanac (mehanizam) te se pomoüu principa virtualnih pomjeranja dobije jednaþina za traženi uticaj, a neposredno se dobije oblik uticajne linije. linije.

RI

Integracija uticajnih linija

SK

Z = P×Ș Koncentrisane sile: • P – zadata koncentrisana sila na nosaþu • Ș – ordinata ispod koncentrisane sile P na uticajnoj liniji Ravnomjerno kontinuirano optereü optere üenje: Z=q×F optereüenje • q – vrijednost optereüenja • F – uticajna površina ispod optereüenja Nejednako podjeljeno optereüenje optere enje (trouglasto ili trapezasto): Z = qt × F • qt – vrijednost optereüenja u težištu uticajne površine ispod optereüenja • F – uticajna površina ispod optereüenja enje spregom: Z = M × tgĮ Optereüenje • M – vrijednost sprega (momenta) • Į – ugao uticajne linije na mjestu na kome napada sp spreg. Pošto je uticajna linija za reakciju proste grede pprava linija, to znaþi da veliþina reakcije od sprega ostaje konstantna ma gdje se nalazio spreg. Uticaj je pozitivan, ako i spreg i nacrtana uticajn uticajna linija (bilo koja uticajna linija) okreüu u istom smjeru, a negativan ako su im smjerovi okretanja ra razliþiti. ne vrijednosti uticaja Graniþne

U zavisnosti od sistema uticajne linije mogu biti istog i razliþitog predznaka. Ako su uticajne površine razliþitog predznaka, mjesto na uticajnoj liniji gdje se mijenja predznak zove se nulta taþka. U zavisnosti od položaja optereüenja na nosaþu, integracija uticajne linije se vrši tako da se optereüenje množi sa predznakom koji ima uticajna površina. Zbirka riješenih zadataka – Skripta Uvod

8

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

Statiþki naþin Sila od 1 kN se postavi na nosaþ u nekom proizvoljnom položaju na odstojanju x od neke stacionarne taþke nosaþa (oslonac). Smatrajuüi optereüenje nepokretnim, odreÿujemo tražene statiþke veliþine koje se izražavaju u vidu neke jednaþine koja sadržava x koji je promjenljiva veliþina. Ponekad je potrebno postavljati silu od 1kN na nekoliko razliþitih taþaka nosaþa i za svaki položaj pisati odgovarajuüu jednaþinu, jer uticajna linija može imati nekoliko dijelo dijelova, koji odrediti odjednom za cijeli imaju razliþite jednaþine. Pa prema tome, uticajna linija se ne može odrediti nosaþ, veü se mora ispitivati dio po dio nosaþa.

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

RI

NOSAýI PROSTI NOSAý NOSA ýI

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

9

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PRIMJER 1: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE A H =20 kN ¦ X=0 A V = 8,17 kN -A H +P2 =0 ¦ Y=0

BV =5,83 kN

PT A

4 A V +BV +P1 -q1 ⋅ 4-(q 2 -q1 ) ⋅ =0 2 M =0 ¦ A

NORMALNE SILE N A = N dole = -A V = -8,17 kN 2 N desno = N 3lijevo = -A H = -20 kN 2 N1 = N lijevo =0 kN 2 N B = N 3dole = -BV = -5,83 kN

RI

N 3desno = N 4 = -P2 = -20kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

4 2 BV ⋅ 4+P2 ⋅ 3-q1 ⋅ 4 ⋅ 2-((q2 -q1 ) ⋅ ) ⋅ 4 ⋅ -P1 ⋅ 3=0 2 3

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE TA =T2dole = -A H = -20 kN T1 =T2lijevo = P1 = 10 kN

T2desno = P1 +A V =18,17 kN T3lijevo = -BV = -5,83 kN

SK

TB =T3dole =T3desno =0kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA M A =M B =M1 =M 3 =M 4 =0 M dole = A H ⋅ 3 = 60 kNm 2 M lijevo = P1 ⋅ 3 = 30 kNm 2

M desno = P1 ⋅ 3-A H ⋅ 3 = -30 kNm 2 M max = A v ⋅ 3,2346-A H ⋅ 3+

3,23462 3,23463 P1 ⋅ 6,2346-q1 ⋅ = 2 6 = 2,2 kNm DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

10

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PRIMJER 2: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

¦ X=0

A H =10 kN

AH - P = 0

A V =3,83 kN

PT A

¦ Y=0

BV =9,83 kN

-A V - q ⋅ 3+BV =0 ¦ M A =0

NORMALNE SILE

2 2 +A H ⋅ =9,78 kN 2 2

RI

N A =A V ⋅

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

32 BV ⋅ 6-P ⋅ 5-q ⋅ =0 2 2 cos cosĮ= 2 2 sinĮ sin Į= sinĮ= 2

2 2 2 +A H ⋅ +q ⋅ 3 ⋅ =14,02 kN 2 2 2 N1desno = N1gore = N B = N 2 = N 3 = 0 kN

SK

N1dole = A V ⋅

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE

TA =A H ⋅

2 2 -A V ⋅ = 4,36 kN 2 2

T1dole = A H ⋅

2 2 2 -A V ⋅ -q ⋅ 3 ⋅ =0,12 kN 2 2 2

T3 = T1gore = P = 10 kN

T1desno =TBlijevo = -A V -q ⋅ 3= -9,83 kN TBdesno =T2 =0 kN DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

11

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA

M A = M B = M 2 = M 3 = 0 kNm M1dole =A H ⋅ 3-A V ⋅ 3-q ⋅

32 =9,5 kNm 2

PT A

M1gore =P ⋅ 2=20 kNm M1desno =BV ⋅ 3=9,83 ⋅ 3=29,5 kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

REAKCIJE ¦ X=0

BH +P-(q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅

RI

¦ Y=0

2 )=0 2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PRIMJER 3: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

BH =2,0 kN A V =10,0 kN BV =2,0 kN

§ 2· A V + BV - ¨¨ q ⋅ 3 2 ⋅ ¸¸ =0 2 © ¹ 2 2 2 sinĮ= 2 cosĮ=

¦ M B =0

SK

A V ⋅ 3-P ⋅ 3=0

NORMALNE SILE N A = N1desno = 0kN

N1dole = N gore = -A V = -10 kN 2

2 = -7,08 kN 2 N 3desno = N lijevo = -P-Bh = -12 kN 4 N dole =N 3gore = -A V ⋅ 2

N gore =N B = N 5 = -BV = -2 kN 4

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

12

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

TRANSVERZALNE SILE

TA = T1desno =A V =10 kN T1dole = T2gore = 0 kN 2 = -7,07 kN 2 2 2 T3gore = -A V ⋅ +q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ = 9,90 kN 2 2 2 T3desno = T4lijevo = - A V +q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ =2 kN 2 TB = T5gore = -BH = -2 kN T5dole = T4gore =-BH -P = -12 kN

PT A

T2 dole = -A V ⋅

MOMENTI SAVIJANJA

M A = M B =0 M1 = M 2 =A V ⋅ 3=30 kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

1,7682 =23,75 kNm 2 2 M 3 =q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ =36 kNm 2 2 M 4 = -A V ⋅ 3+q ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 6 ⋅ =42 kNm 2 M 5 =BH ⋅ 3= 6 kNm

RI

M max =A V ⋅1,75 +4 ⋅

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 4: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutraš unutrašnjih sila N, T i M.

2 Q1 =q1 ⋅ =4 kN 2 Q 2 =q 2 ⋅ 6=12 kN 2 Q3 =q 3 ⋅ =4 kN 2

REAKCIJE

¦ X=0... ¦ Y=0... ¦M

A

=0...

A H =0

A H =0 kN

- Q1 - Q 2 - P- Q 3 + A v + Bv = 0

A V =20,0 kN

1 2 Q1 ⋅ ⋅ 2 - Q 2 ⋅ 3 - P ⋅ 3 + Bv ⋅ 6 - Q3 ⋅ (6 + ) = 0 3 3 Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

BV =20,0 kN

13

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

NORMALNE SILE

N3dole =NB = -Bv = - 20 kN N1 =NA =N2 =0

PT A

N3 =N4 =0

TRANSVERZALNE SILE TAlijevo = -Q1 = - 4 kN TAdesno = -Q1 + A v = 16 kN T2lijevo = TAdesno - q 2 ⋅ 3=10 kN T2desno = T2lijevo - P = -10kN TBlijevo = T2desno - q 2 ⋅ 3 = -16kN TBdesno = TBlijevo + Bv = 4 kN

RI

T1 =T4 =0

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

SK

MOMENTI SAVIJANJA

2 = -2,67 kNm 3 2 3 Mmax =M2 = -Q1 ⋅ ( + 3) +Av ⋅ 3 - q2 ⋅ 3⋅ = 36,34 kNm 3 2 2 M3desno,lijevo = -Q3 ⋅ = - 2,67 kNm 3 dole MB = M3 = M1 = M4 =0 MA = -Q1 ⋅

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

14

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PRIMJER 5: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE:

A H =0 kN

¦ X=0

A V =34,0 kN

A H =0

M A =68,0 kNm

¦ Y=0

PT A

-A V +q ⋅ 4+P =0 ¦ M A =0

NORMALNE SILE:

N A =A V =34 kN=N1dolje N1lijevo =N desno =0 2

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

SK

N 3desno =N 4 =0

RI

N gore =N 3dole =P =10 kN 2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

M A -q ⋅ 4 ⋅ 2-P ⋅ 2=0

TRANSVERZALNE SILE: TA =-A H =0kN=T1dole T1lijevo =A V =34 kN

T3desno = T4 =-P =-10 kN

T2desno =A V - q· 4=10 kN T2gore =T3dole = 0kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

15

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA:

MA =M1 =68 kNm M3 = -P ⋅ 2 = -20 kNm M2 =MA -AV ⋅ 4+q ⋅ 4 ⋅ 2= -20 kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

M4 =0kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

PRIMJER 6: unutrašn sila N, T i M. Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih REAKCIJE

SK

RI

¦ X=0

-A H +q 2

¦ Y=0

3 =0 2

A H = 6, 0 kN A V =1,8 kN BV =4,2 kN

A v +BV =q1 ⋅ 3 ¦ M A =0 - BV ⋅ 5 + q1 ⋅ 3 ⋅1,5+q 2

cosĮ=sinĮ=

3 2 ⋅ 3=0 2 3

2 2

NORMALNE SILE

N A = N1gore = -A V = -1,8 kN

2 = -2,97 kN 2 3 N1desno =N lijevo =A H -q 2 =0 2 2 N B = N gore = -BV ⋅ 2

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

16

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

TRANSVERZALNE SILE TA =-A H = -6 kN q2 ⋅ 3 =0 kN 2 T1desno = -A V =-1,8 kN T1gore =-A H +

T2gore =TB = BV ⋅

2 =2,97 kN 2

PT A

T2lijevo =BV =4,2kN

MOMENTI SAVIJANJA MA =MB =0kNm q2 ⋅ 3 1 ⋅ ⋅ 3= -12 kNm 2 3 M2 =-2 ⋅ BV =-8,40kNm M1 = -AH ⋅ 3+

SK

=-12,81 kNm

q2 ⋅ 3 1 q ⋅ 0,92 = ⋅ ⋅ 3+ 1 2 3 2

RI

MMAX = -AH ⋅ 3-AV ⋅ 0,9+

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

PRIMJER 7:

unutrašnjih sila N, T i M. Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašn

REAKCIJE

¦ X=0

A H =20,0 kN

A H =P

A V =15,33 kN

¦ Y =0

BV =0,67 kN

AV-4q+BV=0 ¦ M A=0 -BV ·6+4q·4-P·3= 0

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

17

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

NORMALNE SILE N gore A =N 3 =0 N desno =N1lijevo =A V A

2 2 2 +A H -P = 2 2 2

=10,84kN N lijevo =N1desno =0 2

PT A

N B =N dole 2 =BV =0,67kN

TRANSVERZALNE SILE TAdesno =-A V

2 2 2 +A H -P = 2 2 2

TAgore =T3 =20kN TB =T2dole =0 T2lijevo =BV =0,67kN

RI

=-10,84kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

SK

T1desno =BV -4q=-15.33kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA M A = 3P = 60kNm

M 1 = P + 2 AH − 2 AV = 29,34kNm MB = M2 = 0

M min = 0, 056kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

18

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PRIMJER 8: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

A H =20,0 kN

=0,707 cosĮ=sinĮ=0,707

A V =36,67 kN BV =16,67 kN

¦ x=0 A =5 ⋅ q ¦ y=0 P+B -A =0 ¦ M =0 B ⋅ 3-5 ⋅ q ⋅ 2,5=0

PT A

H

V

NORMALNE SILE

N A =A H =20kN=N1desno N1dole =-A V =-36,67kN=N gore 2 N desno =N 3lijevo =-A H +5q=0 2 2 =11,79kN 2

SK

RI

N B =N 3desno =BV ⋅

V

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

A

V

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE TA =A V =36,67kN=T1desno T1dole =A H =20kN

T2gore =A H -5q=20-20=0

T2desno =-A V =-36,67kN=T3lijevo TB =-BV ⋅

2 =-11,79kN 2

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

19

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA

M A =0kNm M1 =A V ⋅ 3=110kNm M 2 =A V ⋅ 3-q ⋅ 5 ⋅ 2,5+P ⋅ 5=160kNm M 3 =BV ⋅ 3=50kNm

PT A

M B =0kNm

PRIMJER 9: unutrašnjih sila N, T i M. Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih REAKCIJE A H =0 kN

ȈX=0 X=0 ǹ H =0

Ȉ M A =0 ȈM

A V =90,0 kN BV =60,0 kN

P ⋅ 4-Ǻ 4-ǺV ⋅1+Q ⋅1=0

ȈY=0 Y=0

RI

ǹ V -ǺV -Q=0 -P+ǹ -P+

; sinα = 2 2 2 cosβ =0,8 ; sinβ =0,6

SK

cosα = 2

D= 42 +32 = 16+9= 25=5 m Q=q ⋅ D=4 ⋅ 5=20 kN

NORMALNE SILE

ǹv v⋅ 2 N A = N1desno = ǹ

2

= 63,64 kN

N1lijevo = N 2 = P ⋅ 2

= 7,07 kN 2 N1dole =N 3gore = -P+ ǹvv = 80kN -P+ǹv v ⋅ 0,6-q ⋅ D ⋅ 0,6 = -48 kN N 3desno = -Ǻv N lijevo = -Ǻv v ⋅ 0,6= -36 kN 4 N B = N dole = Ǻv = 60 kN 4

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

20

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

TRANSVERZALNE SILE

TA = T1desno = -ǹV ⋅ 2

2

T1lijevo = T2 = -P ⋅ 2

= -7,07 kN

2

= -63,64 kN

T1dole = T3gore = 0 kN T3desno = ǺV ⋅ 0,8+q ⋅ D ⋅ 0,8 = 64 kN TB = T4dole = 0 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

T4lijevo = ǺV ⋅ 0,8 = 48 kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA

RI

M A =M B =M 2 =M 4 =0 kNm M 1desno =A V ⋅ 3=270 kNm M 1lijevo =-P ⋅1=-10 kNm

SK

M 1dole =M 3 =-A V ⋅ 3-P ⋅1=280 kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Prosti nosaþi

21

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

RI

GERBEROVI NOSAýI NOSA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

22

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

2 2 =-10kN=NJ 2

SK

NH=-10 NC=-CH

000idio :x=0...BH=0 :y=0...-Bv+Dv+S1-S2=0 BV=12,692 kN :MA=0...Dv13+4S110S2=0 DV=7,692 kN

2 2 -CV =-10 2 kN=NJg 2 2

TRANSVERZALNE SILE TA=-AH=0=TE TEd=AV=5kN=TFl TdF=5-S1=-20kN=TlG 2 TH=-10 2 =-10=TIl 2 TId=-10+20=10kN=TJ TC=0kN=TIg TB=-BV=-12,692kN=TKl TdK=-12,692+S1=12,308kN=TLl TdL=12,308-S2=-7,692kN=TDd TD=0

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

23

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

NORMALNE SILE NA=AV=5kN=NEgo NdE=0=NG=0 NFd=S1=25kN NB=0=ND NId=-S2= -20kN

00idio :x=0...CH=10 kN :y=0...-Cv+S2-10=0 CV=10 kN 2 2 2 ⋅ 2 +3S2=0 :Mc=0... -10 2 4-0 2 2 S2=20 kN

AH=0 AV=5 kN S1=25 kN CH=10 kN CV=10 kN S2=20 kN BH=0 BV=12,692 kN DV=7,692 kN

RI

REAKCIJE I-dio :x=0...AH=0 :y=0...Av-S1+20=0 AV=5 kN :MA=0...20•5+S1•4=0 S1=25 kN

PT A

PRIMJER 1: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PT A

MOMENTI SAVIJANJA MA=0 kNm ME=AH2=0 kNm MF=AV4=20 kNm MG=AV5-S11=0 kNm MH=0 2 MI=-10 2 1 =-10 kNm 2 MJ=-20+20= 0 kNm MC=0kNm MB=0kNm MK=-BV4=-50,768 kNm ML=-BV10+S16=23,08 kNm MD=0

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI

PRIMJER 2: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

S = 10 2 kN DH' = 0 Dv' = 0 Cv = 24 kN Bv = 93,6 kN Av = 47,6 kN AH = 50 kN

Dati nosaþ rastavimo na pojedine nosaþe i rješavamo. ¦MD = 0 ¦Y = 0 Dv' + S -10 2 = 0 Dv' = 0

SK

-10 2 ⋅ 2 2 + S ⋅ 2 2 = 0 S = 10 2 kN ¦X =0 DH' = 0

¦X =0

GH – 60 = 0 GH = 60 ¦ Mg = 0

− 60 ⋅ 2 + 5Cv = 0 Cv = 24 kN ¦Y = 0

Cv – Gv = 0 Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

24

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

Gv = 24 kN

¦M

A

=0

2 2 2-10 2 ⋅ 2 - 5Bv + 60 ⋅ 3 + 24 ⋅ 7 + 32 ⋅ 5 = 0 2 2 Bv = 93,6 kN ¦Y = 0 2 + Av + 32 = 0 2

Av = 47,6 kN ¦X =0

AH + 10 – 60 = 0 AH = 50 kN NORMALNE SILE

2 2 - Ah ⋅ = 2 2 NA = - 69,02 kN 2 NBL = - AH - S ⋅ = -60 kN 2 NBD = - 60 kN NF = - Cv = - 24 kN

RI

NA = - Av ⋅

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

24 – 93.6 -10 2 ⋅

PT A

-10 2 ⋅

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE:

2 2 - Ah ⋅ = -1,7 kN 2 2 2 2 TE = Av ⋅ - S = -15,84 kN - Ah ⋅ 2 2 THD = Bv - q ⋅ 4 - Cv = 37,6 kN

SK

TA = Av ⋅

2 + q ⋅ 2 = 53,6 kN 2 2 + q ⋅ 2 - Bv = -40 kN TBD = Av - S ⋅ 2 TG = - Cv = -24 kN TFdolje = 60 kN

TBL = Av - S ⋅

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

25

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

RI

PRIMJER 3: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. unutraš EV=0 DV=12,5 kN AV=8 kN S1=8 kN BH=0 BV=4,3 kN CV=1,2 kN

SK

nosaþa nosaþ Šema rastavljanja nosaþa

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

26

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

MB = Av ⋅ 5 - AH ⋅ 3 - 3S – 1S + 2q = 64 kNm MG = Av ⋅ 7 - AH ⋅ 3 - 5S – 1S + q ⋅ 4 ⋅ 2 - 93,6 ⋅2 = 0 MF = - 60 ⋅ 2 = - 120 kNm

PT A

ME = Av ⋅ 2 - AH ⋅ 2 = -4,8 kNm MH = Av ⋅ 3 - AH ⋅ 3 - S 2 = -27,2 kNm

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

REAKCIJE

¦ X =0 … G2H=0 ¦ Y =0 … -G2V+EV=0 Ÿ EV= G2V=0 ¦ M E=0 … G2V·3=0 Ÿ G2V=0

N=0 N=0 N=0 N=-8 kN

RI

NORMALNE SILE

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

¦ X =0 … G1H-G2H=0 Ÿ G1H= G2H=0 ¦ Y =0 … -G1V-10+DV=0 Ÿ DV=12,5 kN 10 ¦ M D=0 … -10·1+ G1V·4=0 Ÿ G1V·4=10 , G1V= 4 , G1V=2,5 kN ¦ X =0 … AH=0 ¦ Y =0 … AV-q·4+S1=0 Ÿ AV=16-8=8 kN 32 ¦ M E=0 … -q·4·2+ S1·4=0 Ÿ S1·4=32, S1= 4 , S1=8 kN ¦ X =0 … BH=0 ¦ Y =0 … BV- S1+CV+G1V=0 Ÿ BV=8-1,2-2,5=4,3 kN 6 ¦ M E=0 … -5- S1·2+CV·5+G1V·6=0 Ÿ CV·5=5+16-15 , CV= 5 =1,2 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

SK

TRANSVERZALNE SILE

T=0 TG2=10 kN TD=10 kN TG1=10-DV=10-12,5= -2,5 kN TS=-q·4+AV=-16+8= -8 kN

TA=q·4-S1=16-8=8 kN TG2=-G1V=2,5 kN=TCdesno TCdesno=-G1V-CV=3,7 kN=TSdesno TSlijevo=TCdesno+S1=4,3 kN=TBdesno TBlijevo=TBdesno-4,3=0=T4

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

27

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA

PT A

2. dio MG2=0 MD=-GV1·4= -10 kNm MG1=0 MS=-q·4·2+AV·4=-32+32=0

3. dio MA=0 M3=S1·2-q·2·1=16-8=8 kNm MG2=0 MC=-S1·3+BV·5+5=2.5 kNm 4. dio MB=-S1·2+CV·5+GV2·6=5 kNm M4=BV·2-S1·4+CV·7+GV2·8=5 kNm MS=GV2·4+CV·3=13,6 kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

S1=15 kN AV=5 Kn AH=10 kN EV=2,5 kN DV=12,67 kN BV=10,23 kN CV=13,6 kN BH=0

SK

RI

PRIMJER 4: unutraš Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

REAKCIJE

™ MA = 0 -10 ⋅ 2 +S1 ⋅ 4 − 20 ⋅ 2 =0 S1 ⋅ 4 = 40 + 20 S1 = 15 kN ™Y=0 S1 + Av − 20 = 0 Av = 20 − 15 Av = 5 kN ™X=0 A H=10 kN

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

28

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

1. dio M=0

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

™ M G2 = 0 −10 + EV ⋅ 4 = 0 Ev = 2,5 kN ™Y=0 Ev − G2 v = 0

G2 v ⋅ 4 + Dv ⋅ 3 − q ⋅ 4 ⋅ 2 = 0 Dv ⋅ 3 = −2,5 ⋅ 4 + 6 ⋅ 4 ⋅ 2 Dv = 12, 67 kN ™Y=0

Dv + G2 v + G1v − 24 = 0 G1v = −12, 67 − 2,5 + 24 G1v = 8,83 kN ™X=0 H H G2 = G1 = 0

C v ⋅ 5 = 15 + 8,83 ⋅ 6

RI

™ MB = 0 v − G1 ⋅ 6 + C v ⋅ 5 − S1 ⋅ 1 = 0

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

™ M G1 = 0

PT A

G2 v = 2,5 kN ™X=0 H G2 = 0

C v = 13,60 KN ™Y=0 v Bv − 15 + C v − G1 = 0

Bv = 15 − 13,6 + 8,83

SK

Bv = 10,23KN ™X = 0 H G1 = BH = 0

NORMALNE SILE

N A = AV = 5KN = N1gore N1lijevo = − AH = −10 KN = N3, N s1 = − S1 = −15KN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

29

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

TRANSVERZALNE SILE T A = − AH = −10 KN = T1

gore

lijevo

= − AV = −5 KN = T2

T2

lijevo

= − AV + 20 = −5 + 20 = 15 KN = T3

T3

lijevo

=0

TB = BV = 10,23KN = T4

desno desno

lijevo

PT A

T1

T4

desno

= BV − S 2 = 10,23 − 15 KN = −4,47 = TC

TC

desno

= G1 = 8,83KN = TG1

V

V

T5 = G1 − q ⋅ 1 = 8,83 − 6 = 2,83KN V

lijevo

TD

lijevo

= G1 − q ⋅ 3 = 8,83 − 6 ⋅ 3 = −9,17 KN

V

TD

desno

= −G2 + 6 ⋅ 1 = −2,5 + 6 = 3,5 KN

V

V

TG2 = −G2 = −2,5 KN = TE desno

=0

SK

RI

TE

lijevo

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

T6 = G1 − q ⋅ 2 = 8,83 − 6 ⋅ 2 = −3,17 KN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA

™MA = 0 M 1 = − AH ⋅ 2 = −10 ⋅ 2 = −20 KNm

M 2 = − S1 ⋅ 2 = 15 ⋅ 2 = −30 KNm M3 = 0

MB = 0

M 4 = BV ⋅ 1 = 10,23KNm V

M C = −G1 ⋅ 1 = −8,83KNm M G1 = 0

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

30

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

1 = 8,83 − 3 = 5,83KNm 2 V M 6 = G1 ⋅ 2 − q ⋅ 2 ⋅ 1 = 8,83 ⋅ 2 − 6 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5,66 KNm v

M 5 = G1 ⋅ 1 − q ⋅ 1 ⋅

V

M D = G2 ⋅ 1 − q ⋅ 1 ⋅

1 1 = 2,5 − 6 ⋅ 1 ⋅ = −0,5 KNm 2 2

M G2 = 0 l

M8 = 0

1,472 = 6,5 KNm 2 0,58 0,58 ⋅ 0,58 − q ⋅ 0,58 ⋅ = 2,5 ⋅ 0,58 − 6 ⋅ 0,58 ⋅ = 0,44 KNm 2 2

M max ( X =1, 472) = G1 ⋅ 1,472 − q ⋅ 1,472 ⋅ V

RI

M max( X =0,58) = G2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

V

PT A

M E = −10 KNm = M 8

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 5: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

S1= 6,66 kN Ļ AV = 1,66 kN Ĺ S2= 26,66 kN Ĺ FV = 6,66 kN Ĺ BH = 8 kN ĸ EV = 28,67kN Ļ CV = 20kN Ĺ BV = 6,66kN Ļ

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

31

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

™ X = 0 ... FH = 0 ™Y = 0 ... FV – S2 + 20kN = 0 ™MF = 0 ... 20kNÂ4m –S2Â3m =0 S2= 26,66 kN FV = 6,66 kN

PT A

REAKCIJE ™ X = 0 ... AH = 0 ™ Y = 0 ... AV–S1+5kN = 0 ™ MA = 0 ... – S1Â3m + 5Â4m = 0 S1= 6,66 kN AV = 1,66 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

™ X = 0 ... QÂ0,707 – GH = 0 GH = 8 kN ™ Y = 0 ... GV – RE + S2 -10kN - QÂ0,707 = 0 ™ MG = 0 ... -10kNÂ6m + S2Â5m – REÂ2 – 16kNm = 0 EV = 28,67 kN GV = 20 kN

NORMALNE SILE

RI

™ X = 0 ... BH = GH = 8 kN ™ Y = 0 ... –BV+S1+RC-GV= 0 ™ MB = 0 ... –GVÂ5m + RCÂ4m+ S1Â3m = 0 CV = 20 kN BV = 6,66 kN

SK

NAdolje = AV = 1,66 kN NS1 = 6,66kN NBd = BH = NGl = 8 kN NGgore = GHÂ0,707-GV Â0,707 = -8,49 kN NS2 = -26,66 kN NEd = GH – 8 kN= 0

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

32

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

TRANSVERZALNE SILE

RI

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

TAdolje = 1,66 kN TS1l = 1,66 kN TS1d = 1,66-6,66 = 5 kN TBl = -BV = -6,66 kN TS1d = 0 TCd = RC = 20 kN TGl = 20 kN TGD = 20-GV = 0 TGgore = GHÂ0,707+GVÂ0,707 = 19,798 kN TEdolje = 14Â1,41 - 8Â1,41 = 8,48 kN TEd = GV – RE -8 = -16,65 kN TS2l = -16,65 kN TS2d = -16,65 +26,66 = 10 kN TFd = 6,66 kN = TS2l TS2d = -16,65+26,66 = 20 kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA

SK

MA = 0 MS1gore = AVÂ3m = 5 kNm MS1dolje = -BVÂ3m = -20 kNm = MC MEdolje = GVÂ2m + GHÂ2 m-16 kNm MEdolje = 40kNm MEdesno = -10kNÂ1m= -10 kNm MS2l = FVÂ3m = 20 kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Gerberovi nosaþi

33

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

RI

LUKOVI NA TRI ZGLOBA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

34

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PRIMJER 1: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE: ¦ y=0 -A V +Bv=0

¦ x=0

A H -BH -P=0

M G =0 BV ⋅ 3-BH ⋅ 2=0 desno

¦ M A =0 7 ⋅ BV -2 ⋅ BH -2 ⋅ P=0 AH = 35, 0 kN

PT A α = 45D cos α = 0, 707  sin α = 0, 707

AV = 10, 0 kN

BH = 15, 0 kN

NORMALNE SILE

N1 = 0 = N Adole N Adesno = P − AH = -15 kN = N Glijevo

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

BV = 10, 0 kN

= 0, 707 BV − 0, 707 BH = N Ggore = N lijevo 2

SK

N B = - BV = N 2dole

RI

= -3,53 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE T1 = P = 20 kN = TA dole

TAdesno = - AV = -10 kN = TGlijevo

TGgore = − 0, 707 BV − 0, 707 BH = = -17, 68 kN = T2lijevo

TB = BH = 15 kN = T2dole

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

35

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA M A = P ⋅ 2 = 40 KNm M1 = M1 = 0

PT A

M 2 = - BH ⋅ 5 = -75 KNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

PRIMJER 2: Za dati nosaþ i optereüenje enje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

¦x =0 A = B ¦y=0 A =P ¦ M = 0 P⋅6 + B H

H

AH = 60,0 kN AV = 20,0 kN BH = 60,0 kN BV = 0 kN MA = 240,0 kNm

V

A

H

⋅2− MA = 0

= 0 P ⋅ 6 + 2 ⋅ BH − M A = 0 M Gdesno 1

SK

RI

REAKCIJE

NORMALNE SILE

N A = AV = 20kN = N Gdole 1

N Gdesno = − AH = −60kN = N Dlijevo 1 N Ddesno = N C = 0

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

36

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

TRANSVERZALNE SILE

TA = − AH = TGdole = −60kN 1 TGdesno = − AV = −20 = TDlijevo = TDdesno = TC 1 TEdesno = 0 TDdole = BH = 60 = TGgore 2

PT A

TB = 0

MOMENTI SAVIJANJA M A = 240kNm M G1 = M G2 = M B = 0 M Dlijevo = −80kNm M Ddesno = 2 ⋅ P = −40kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

RI

M Ddole = − BH ⋅ 2 = −120kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

PRIMJER 3: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutraš unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE ™X=0.......AH=BH ™Y=0.......AV+BV-Q=0 ™MA=0.......BV·8-B·2-Q·2=0 ™MGD=0.....BV·4-BH·5=0

AH = 5, 0 kN AV = 13, 75 kN BH = 5, 0 kN BV = 6, 25 kN

Q=q·5=20KN sinĮ=0,6

cosĮ=0,8 Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

37

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

NORMALNE SILE

NA=-AH·cosĮ-AV·sinĮ = -12,25 kN NGL=NA+Q·sinĮ = -0,25 kN NB=-BV=-6,25 kN N l2 =-BH·cosĮ-BV·sinĮ =

PT A

N l2 = -7,75KN=NGD

TRANSVERZALNE SILE

SK

RI

TA=-AH·sinĮ+AV·cosĮ = 8 kN TGl =TA-Q·cosĮ = -8 kN TB=BH= 5 kN T2l =- BV·cosĮ+BH·sinĮ = -2 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA DIJA

MOMENTI SAVIJANJA

MA=0 MB=0 Mmax=AV·2-AH·1,5-4·2,5·1 Mmax =10 kNm M2=-BH·2= -10 kNm

DIJAGRAMI MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

38

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PRIMJER 4: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

PT A

™X=0...AH=BH ™Y=0...AV+BV+q·2=0 ™MA=0….BV·9+BH·1-q·2·1=0 ™MG1d=0…B =0…BV·3-BH·4=0

AH = 0, 615 kN → AV = 8,82 kN ↓

BH = 0, 615 kN ←

cosĮ = 0,6

sinĮ = 0,8

NORMALNE SILE N A = N1dole = AV = 8,82kN N1lijevo = N 2 = 0 N1desno = N Glijevo = − AH = −0, 615kN N B = −1, 025kN

RI

N B = N Gdole = − cos α ⋅ BH − sin α ⋅ BV

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

BV = 0,82 kN ↑

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

SK

TRANSVERZALNE SILE

TA = T1dole = − AH = −0, 615kN T2 = T1lijevo = 2q = 8kN

T1desno = − AV + 2q = −0,82kN T1desno = TGlijevo

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

39

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA M A = M B = MG = M2 = 0

M 1dole = −4 AH = −2, 46kNm M 1lijevo = 2q = 8kNm

PT A

M 1desno = 8 − 4 Ah = 5,54kNm

PRIMJER 5: unutrašnjih sila N, T i M. Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih REAKCIJE

RI

:x=0...AH+BH=P :y=0...AV+BV=8q :MGd=0… BV ⋅ 8 + BH ⋅ 4 − P ⋅ 4 − q ⋅ 8 ⋅ 4 = 0  :MA=0...Bv·11-q·8·7=0 AH=8,72kN AV=11,63 kN BV=20,36 kN BH =31,28 kN

H=36,86g" cosH=3/5 ; sinH=4/5

SK

NORMALNE SILE

N A = − AV ⋅ sin α − Ah ⋅ cos α = 14,54 14,54kN kN N B = − BV ⋅ sin α + Bh ⋅ cos α = 2, 47kN N Gdesno = N1lijevo = N 5 = N1dole = = − AH = −8, 72kN

N1desno = N 2lijevo = − AH + P = 31, 28kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

40

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

TRANSVERZALNE SILE

TA = − Ah ⋅ sin α + AV ⋅ cos α = 0kN TB = − BV ⋅ cos α − Bh ⋅ sin α = 37, 44kN T2desno = 3q = 12kN T2lijevo = 12 − BV = 8,36kN TGdesno = AV = 11, 64kN

PT A

T1dole = T5 = P = 40kN

MOMENTI SAVIJANJA

Mmax= Bv ⋅ ( 3 + 2, 09 ) + Bh ⋅ 4 −

q ⋅ ( 3 + 2, 099 )

Mmax=176,94 kNm do M 2 =Bv ⋅ 3+Bh ⋅ 4=189,23 kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

2

2

SK

RI

M1do =-40 ⋅ 4=160 kNm M GL =Av ⋅ 5-Ah ⋅ 4-q ⋅ 2 ⋅1=15,27 kNm M de2 = -q ⋅ 3 ⋅1,5 = -18 kNm M lijevo = -18+BV ⋅ 3 + BH ⋅ 4 = 168,2 kNm 2

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

41

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

¦ X = 0 AH + BH = 12 ¦ Y = 0 AV – Bv +Cv = q ⋅ 3 ¦ M = 0 Cv ⋅ 10 + q ⋅ 3 ⋅ 3.5 −q ⋅ 3 ⋅ 8.5 − B A

H

CV ⋅ 3 − q ⋅ 4, 24 ⋅ 2,12 = 0 − AH ⋅ 5 = 0

NORMALNE SILE

AH=0 kN AV=6 kN BH=12 kN BV= 6 kN CV=12 kN

RI

M G1 = 0 MG2 = 0

⋅ 3 − BV ⋅ 4 = 0

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

REAKCIJE

PT A

PRIMJER 6: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M.

DOLE N A = −Va = −6 kN = N G 2 ,

N

DESNO G1

=

N

LIJEVO 1

=0 ,

, N = B = 6 kN = N DESNO N 1 = − AH − BH = 0 − 12 = −12 kN DESNO LIJEVO N 1 = N G1 DOLE

1

V

SK

B

2

DESNO N C = −CV ⋅ 2 = −8, 49 kN = N G1

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

42

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

TRANSVERZALNE SILE

T

= 0,

A

T

DOLE G2

=0 ,

T G 2 = AV = 6 kN = T 1 , DOLE T = − B = −12 kN = T 1 , DESNO

LIJEVO

B

H

2 T C = −CV ⋅ 2 = −8.45 kN , 2

T

G1

DESNO

= −CV ⋅

2 + q ⋅ 4.24 = 8, 45 kN 2

, LIJEVO

T G1

= −CV + q ⋅ 3 = −12 + 4 ⋅ 3 = 0

PT A

=0

T

MOMENTI SAVIJANJA M A = 0 , MB = 0 , MC = 0 ,

M G2 = 0 ,

M G1 = 0

= A ⋅ 4 = 6 ⋅ 4 = 24 kNm M DOLE M 1 = − BH ⋅ 2 = −24 kNm DESNO M 1 = AV ⋅ 4 − BH ⋅ 2 = 0 LIJEVO

M2=

V

ql 2 4 ⋅ 4.242 = = 9 kNm 8 8

RI

1

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 7: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. unutraš Σx = 0 AH–BH=0 AH=BH=3,33 kN

ΣM A = 0 BVÂ7+BHÂ2–20Â8=0 Σy = 0 -AV+BV=P AH=3,33 kN AV=1,90 kN BH=3,33 kN BV=21,90

cos α = 0, 6;sin α = 0,8 Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

43

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

NORMALNE SILE

PT A

NA=1,9Â0,8+3.33Â0,6=3,51kN N1d=3,33 kN NCdole=-1,90 kN N2dole=-1,9-20= -21,20 kN NB=- Bv= -21,20 kN

TRANSVERZALNE SILE

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

SK

RI

TA=-1,90Â0,6+3,33Â0,8=1,52 kN T1d=-1,90 kN TCdole=-3,33 kN T2d =P=20 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA M A = M B = MC = 0

M 1 = − AV ⋅ 3 + AH ⋅ 4 = 7, 62kNm M 2dole = BH ⋅ 2 = 6, 667 kNm

M 2gore = 6, 667 − P ⋅1 = 13,33kNm M 2desno = − P ⋅1 = −20kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

44

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PRIMJER 8: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE

NORMALNE SILE

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

AH=8,33 kN :X=0 AV=0 kN AH=BH BH=8,33 kN :Y=0 BV=20,0 kN AV+BV=5q :MB=0 8·AV+6·AH-4·5·2,5=0 MLG=0 3·AV=0 cos α = 0, 6;sin α = 0,8

RI

NB=BH NB=8,33 kN N1=BV-5q=0 NA=0 N desno =AH·cosH$-5kN 2

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

SK

TRANSVERZALNE SILE

TA=AH TA=8,33 kN T2=-AH·sinH T2=-8,33·0,8=6,66 kN TG1=BH TG1=8,33 kN TB= -Bv T1D=0

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

45

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

RI

PRIMJER 9: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti i nacrtati uticajne linije za reakcije reakcij i za date presjeke 1 i 2 unutrašnjih sila N, T i M. PRESJEK 1

I POLJE 2”x”0 REAKCIJE Ȉx = 0 AH = BH

II POLJE 0”x”2 REAKCIJE Ȉx = 0 AH = BH

III POLJE 2”x”6 REAKCIJE Ȉx = 0 AH = BH

Ȉy = 0 Av + Bv = 1

Ȉy = 0 Av + Bv = 1

Ȉy = 0 Av + Bv = 1

ȈMA = 0 Bv  6 + BH  2 + x = 0

ȈMA = 0 Bv  6 + BH  2 - x = 0

ȈMGl = 0 Av  2 – AH  5 = 0

AH = BH = -2x»13 Av = 1 + 3»26 x Bv = - 3x» 26

AH = BH = 2x» 13 Av = 1 – 3x» 26 Bv = 3x» 26

ȈMB = 0 Av  6 – AH  2 – P(6 –x) = 0

AH = BH = (6 – x) » 13 tgĮ = 0.333 ĺ tgĮ = 0.333 ĺ Av = 5(6 – x) » 26 H = AH = BH = 4/ 13 = 0.3077 H = AH = BH = 4/ 13 = 0.3077 Bv = 1 – (5(6 – x) » 26) Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

46

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

MA=MB=MG=0 M2=AH · 4,0 M2=8,33 · 4,0= 33,22 kNm M1=By·5,0-20·2,5 M1=20·5,0-20·2,5= 50 kNm MS=20·5,0-4·2,5·1,25 = 37,5 kNm

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PRESJEK 1 M = - AH Â 3.5 M(x = 0) = 0 M(x = 2) = - 1.08

PRESJEK 1 M = - AH Â 3.5 M(x = 2) = - 1.08 M(x = 6) = 0

T = - Bv cosĮ – BH sinĮ T(x = 0) = 0 T(x = 2) = 0. 369

T = Av cosĮ – AH sinĮ T(x = 0) = 0.8 T(x = 2) = 0.43

T = Av cosĮ – AH sinĮ T(x = 2) = 0.43 T(x = 2) = 0

N = - Bv sinĮ + BH cosĮ N(x = 0) = 0 N(x = 2) = - 0.1077

N = Av sinĮ + AH cosĮ N(x = 0) = 0.6 N(x = 2) = 0.7077

N = Av sinĮ + AH cosĮ N(x = 2) = 0.7077 N(x = 6) = 0

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI

UTICAJNE LINIJE ZA REAKCIJE

UTICAJNE LINIJE ZA P PRESJEK 1

SK

PRESJEK 2

PT A

PRESJEK 1 M = Bv  6 – BH  1.5 M(x = 0) = 0 M(x = 2) = - 0.923

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

47

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

II POLJE 0”x”2 REAKCIJE AH = BH = 2x» 13 Av = 1 – 3x» 26 Bv = 3x» 26

PRESJEK 2 M = Bv  3 – BH  3 M(x = 0) = 0 M(x = 2) = - 0.23

III POLJE 2”x”3 REAKCIJE Ȉx = 0 AH = BH Ȉy = 0 Av + Bv = 1 ȈMGl = 0 Av  2 – AH  5 = 0 ȈMB = 0 - Av  6 + AH  2 + (6 –x) = 0 AH = BH = 6 - x» 13 Av = 5(6 –x)» 26 Bv = 1 - 5(6 –x)» 26 PRESJEK 2 M = Bv  3 – BH  3 M(x = 2) = - 0.23 M(x = 3) = 0. 577

PRESJEK 2 M = Bv  3 – BH  3 M(x = 2) = 0.23 M(x = 0) = 0

IV POLJE 3”x”6 REAKCIJE AH = BH = 6 - x» 13 Av = 5(6 –x)» 26 Bv = 1 - 5(6 –x)» 26

PRESJEK 2 M = Av  3 – AH  5 M(x = 3) = 0. 577 M(x = 6) = 0

T = - Bv T(x = 2) = 0,23 T(x = 0) = 0

T = - Bv T(x = 0) = 0 T(x = 2) = - 0.23

T = - Bv T(x = 2) = - 0.23 T(x =3) = - 0.423

T = Av T(x = 3) = 0.577 T(x =6) = 0

N = BH N(x = 2) = - 0,3077 N(x = 0) = 0

N = BH N(x = 0) = 0 N(x = 2) = 0.3077

N = BH N(x = 2) = 0.3077 N(x = 3) = 0.23

N = AH N(x = 3) = 0.23 N(x = 6) = 0

SK

RI

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

I POLJE 2”x”0 REAKCIJE AH = BH = - 2x» 13 Av = 1 + 3x» 26 Bv = - 3x» 26

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

UTICAJNA LINIJA ZA PRESJEK 2

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

48

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PRIMJER 10: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE ™MA=0…BvÂ8-12Â1,5-12Â3,5=0 BvÂ8=18+42 Bv=7,5 kN ™X=0…12-AH=0

PT A

™Y=0…Av+Bv=12 Av=12-7,5 AH = 12, 0 kN ← AV = 4,5 kN ↑

V=S1

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

BV = 7, 5 kN ↑

tgĮ=0,66 ™Y=0… tgȕ=0,4 V=HtgĮ+Htgȕ=H(tgĮ+tgȕ)=1,06H ™X=0… S2cosȕ=S3cosĮ = H

12

S2

RI

S3

-----Į-----ȕ------

™MGD=0…

V=1,06H 12

H

SK

12

HtgĮ H 4,5

Htgȕ

7,5

BvÂ5+HtgȕÂ5-HÂ5=0 H(tgȕ-1)= -7,5 H=12, 5 kN HtgĮ=8,33 kN Htgȕ=5 kN k V=13,33 kN

NORMALNE SILE

NA= AV + HtgĮ = 12,83 kN = N1dol N1gor= AV·0,705+HtgĮ·0,705+H·0,705 – AH·0,705 = 9,43 kN = NGl NB= BV·0,705+ Htgȕ·0,705+H·0,705 = 17,68 kN = NGd NA-C=S3= -H/cosĮ= -15,02 kN NB-C=S2= -H/cosȕ= -13,46 kN NC-G=V=S1= -13,33 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

49

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

TRANSVERZALNE SILE

TA=AH – H = 12-12,5 = -0,5 kN TA = T1dol T1gor=Av·0,705+HtgĮ·0,705+12·0,70512·0,705= 8,72 kN T2=T1gor – 4·1,5·1,41= 0,25 kN Tx = 0 => Mmax x= 2,18 m

PT A

TGl=T1gor – 12·1,41 = -8,25 kN

MOMENTI SAVIJANJA

M1=AH·2-H·2=24-25= -1 kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

M2=Av·1,5+HtgĮ·1,5+12·3,5-12,5·3,56·0,75·2= 8,49 kNm

RI

Mmax(x=2,18m)=8,5 kNm

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 11: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutraš unutrašnjih sila N, T i M. REAKCIJE =0 ¦ X = 0; M Gdesno 1

¦ Y = 0; M ¦M = 0

gore G2

=0

A

AV = − 33 kN ; AH = 19,33 kN BV = 11 kN ; BH = −7,33 kN CV = 2 kN

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

50

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

NORMALNE SILE N B = B H = 7,33 kN N G1

lijevo

N G1

dolje

NG2

gore

G2

G1

N N = − q ⋅ 3 = −12 kN

= NB = BV + RC = 13 kN = N G1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

dolje

NG2

desno

NG2

dolje

= NN = N A = AV = 33 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

N = − q ⋅ 3 = −12 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE

TB = BV = 11 kN = T

lijevo G1

TC = RC = 2 kN = TC

TG1

desno

TG1

dolje

= − BH = −7,33 kN

T

gore

=T

TG1

BH

TG 2

gore

TG 2

lijevo

TN

desno

TG 2

dolje

= TG1

kN

dolje

= 20 kN = + q ⋅ 3 = 12 kN = TA = − AH = −19,33 kN

dolje

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

51

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA MA =0 = BV ⋅ 2 = 22 kNm

MC = 0

M G2 MN

desno

desno

= − q ⋅ 4 ⋅ 1,5 = −18 kNm = MN

lijevo

= −.q ⋅ 4 ⋅ 1.5 = −18 kNm

MM

desno

= RC ⋅ 3 = 6 kNm

MK = 0

MM

lijevo

= − M + 6 = −4 kNm

M G2

lijevo

= 20 ⋅ 2 = 40 kNm

M G2

dolje

= − AH ⋅ 3 = −58 kNm

= −22 kNm

MA =0

RI

M G1

dolje

PT A

M G1 = 0

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

SK

PRIMJER 12: Za dati sistem hale i optereüenje vjetrom odrediti vrijednosti unutrašnjih sila i nacrtati dijagrame istih.

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

52

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

M G1

M G2 = 0

lijevo

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

REAKCIJE ¦x = 0 …

AH + BH + q1 ⋅ 4 + q1 ⋅ 5 ⋅ sin α + q2 ⋅ 4 + q2 ⋅ 5 ⋅ sin α = 0

¦y = 0…

AV + BV − q1 ⋅ 5 ⋅ cos α + q2 ⋅ 5 ⋅ cos α = 0

¦M

A

AH = 23,36kN AV = 8, 38kN

= 0…

BV ⋅ 8 − q1 ⋅ 4 ⋅ 2 − q2 ⋅ 4 ⋅ 2 − q1 ⋅ 5 ⋅ sin α ⋅ 5,5 − q1 ⋅ 5 ⋅ cos α ⋅ 2 −

BH = 18, 64kN BV = 16,38kN

PT A

− q2 ⋅ 5 ⋅ sin α ⋅ 5,5 + q2 ⋅ 5 ⋅ cos α ⋅ 6 = 0

NORMALNE SILE NA = N1 = N2dole = AV = 8,38kN N2desno = AH ⋅ cosα + AV ⋅ sinα − q1 ⋅ 4 ⋅ cosα N2desno = N3 = NGlijevo N2desno = N3 = NGlijevo = 10,91kN NB = N6 = N5dole = −BV = −16,38kN

N5lijevo = −BV ⋅ sinα − BH ⋅ cosα + q2 ⋅ 4 ⋅ cosα N5lijevo = NGdesno

RI

N5lijevo = NGdesno = −18,34kN

TRANSVERZALNE SILE TA = AH = 23, 36 kN

TB = BH = 18, 64 kN T6 = BH − q2 ⋅ 2 = 14, 64 kN

T1 = AH − q1 ⋅ 2 = 15, 36 kN

T5dole = BH − q2 ⋅ 4 = 10, 64 kN

T2 = AH − q1 ⋅ 4 = 7, 36 kN

T2desno = A H ⋅ sin α − AV ⋅ cos α − q1 ⋅ 4 ⋅ sin α

SK

T2desno = −2, 29 kN

T3 = T2desno − q1 ⋅ 2, 5 = −12, 29 kN TGlijevo = T3 − q1 ⋅ 2, 5 = − 22, 29 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

T5lijevo = BH ⋅ sin α − BV ⋅ cos α − q2 ⋅ 4 ⋅ sin α T5lijevo = −6, 72 kN T4 = T5lijevo − q2 ⋅ 2, 5 = −11, 72 kN TGdesno = T4 − q2 ⋅ 2, 5 = −16, 72 kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

53

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

M Gdesno = 0 … q1 ⋅ 5 ⋅ 2,5 + q2 ⋅ 4 ⋅ 5 − BH ⋅ 7 + BV ⋅ 4 = 0

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA

MA = 0

MB = 0

22 M 1 = AH ⋅ 2 − q1 ⋅ = 38, 77 kNm 2 M 1 = 38, 72 kNm

M 3 = AH ⋅ 5,5 − AV ⋅ 2 − q1 ⋅ 4 ⋅ 3,5 − q1 ⋅ M 3 = 43, 24 kNm

52 = AH ⋅ 7 − AV ⋅ 4 − q1 ⋅ 4 ⋅ 5 − q1 ⋅ = 0 2

2,52 M 4 = − BH ⋅ 5,5 + BV ⋅ 2 + q2 ⋅ 4 ⋅ 3,5 + q2 ⋅ 2 M 4 = −35,52 kNm M Gdesno = 0

SK

RI

M

lijevo G

2,52 2

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

42 M 2 = AH ⋅ 4 − q1 ⋅ = 61, 43 kNm 2

PT A

22 = −33, 26 kNm M 6 = − BH ⋅ 2 + q2 ⋅ 2 42 = −58,57 kNm M 5 = − BH ⋅ 4 + q2 ⋅ 2

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

PRIMJER 13: unutrašn sila N, T i M. Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

54

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

REAKCIJE

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

4 5 3 cosĮ = 5

sinĮ =

™X = 0…. AH = BH ™Y = 0…. BV – AV = q · 7 ™MA = 0.. BV · 10 – q · 7 · 10,5 = 0 MG1d = 0.. BV · 5 + BH · 4 = q · 7 · 5,5

AH = 0,875 kN AV = 0,7 kN BH = 0,875 kN BV = 14,7 kN

™X = 0…

PT A

Ravnoteža taþke A:

S2cosĮ – AH + S1cosĮ = 0

3 3 S2 + S1 = 0,875 Ň· 5 3 5 5 S2 + S1 = 1,4583

S2sinĮ - S1sinĮ – AV = 0

4 4 S2 - S1 = 0,7 5 5 S2 - S1 = 0,875

Ravnoteža taþke B:

(2)

S1 = 0,292 kN S2 = 1,167 kN

S3cosĮ - S4cosĮ + BH = 0 3 3 S4 - S3 = 0,875 Ň· 5 3 5 5 (3) S4 - S3 = 1,4583

SK

™X = 0…

4

RI

Izraþunamo jednaþine (1) i (2): S2 = 0,875 + S1 0,875 + S1 + S1 = 1,4583 2S1 = 0,5833

Ň· 5

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

™Y = 0…

(1)

™Y = 0…

-S3sinĮ - S4sinĮ + BV = 0 4 4 S3 + S4 = 14,7 Ň· 5 4 5 5 (4) S3 + S4 = 18,375

Izraþunamo jednaþine þine (3) i (4): S4 =1,4583 + S3 S3 + S3 + 1,4583 = 18,375 2 S3 = 16,9167

S3 = 8,458 kN S4 = 9,916 kN

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

55

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

NORMALNE SILE

Nd3 = S1cosĮ + S2cosĮ = 0,8754 kN NG = Nl7 = 0,8745 kN Nd7 = S1cosĮ +S2cosĮ +S3cosĮ = 5,95 kN N6 = N5 = 5,95 kN N4 = 0 kN

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

NS1 = -0,292 kN NS2 = 1,167 kN NS3 = -8,458 kN NS4 = -9,916 kN N1 = S1cosĮ = 0,1752 kN N2 = Nl3 = 0,1752 kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE

Td5 = q · 1 = 2 kN Tl5 = q· 1 – S4sinĮ = -5,9328 kN T6 = q· 4 – S4sinĮ = 0,0672 kN Td7 = q· 7 - S4sinĮ = 6,068 kN

SK

RI

T1 = S1sinĮ = 0,2336 kN T2 = T3 = Tl3 = 0,2336 kN Td3 = S1sinĮ – S2sinĮ = - 0,7 kN TG = Tl7 = - 0,7 kN T4 = 0 kN

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

MOMENTI SAVIJANJA

M1 = 0 kNm M2 = S1sinĮ · 3 = 0,7 kNm M3 = S1sinĮ · 6 = 1,4 kNm MlG = S1sinĮ · 8 – S2sinĮ · 2 = 0 kNm M4 = 0 kNm 2 M5 = - q · 1 =-2·1 = -1 kNm 2 2 Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

56

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

M6 = - q · 4

2

2

+ S4sinĮ · 3 = - 16 + 9,916 ·

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

4 · 3 = -16 + 23,8 = - 7,8 kNm 5

2 M7 = - q · 7

+ S4sinĮ · 6 = - 1,4 kNm 2 MdG = - q · 7 · 5,5 + S4sinĮ · 8 + S3sinĮ · 2 = - 77 + 63,46 + 13,53 = 0 kNm 2

+ S4sinĮ · 2.966 = 7.799 kNm

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

2 Mmax = - q · 3.966

DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

PRIMJER 14: Za dati nosaþ i optereüenje odrediti reakcije i nacrtati dijagrame unutrašnjih sila N, T i M. unutraš REAKCIJE

SK

RI

¦ Χ = 0 ... AH + BH – P = 0 ¦ Υ = 0 ... AV + BV – q·9 = 0 ¦ Μ A= 0 ... BV ·10 + BH·10-

q ⋅ 9 ⋅ 8,5 = 0 MGd = 0...BV·6+BH ⋅4 − q ⋅ 9 ⋅ 4,5 = 0

AH = 9, 2 kN AV = 16, 2 kN BH = 10,8 kN BV = 19,8 kN

Sile u þvorovima þvorovima ýVOR VOR B

¦Χ = 0

BH + S2Âcos α - S1Âcos α = 0

¦Υ = 0

BV – S2Âsin α - S1 ⋅ sin α = 0 (2)

(1)

3 = 0,6 5 4 sin α = = 0,8 5 cos α =

0,6·S2 = S1·0,6 – 10,8 Ÿ S2 = S1 – 18 Ÿ S2 = 3,37 kN BV - 0,8·( S1 – 18) – S1·0,8 = 0 BV – 0,8·S1 + 14,4 – 0,8·S1 = 0 Ÿ S1= 21,37 kN Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

57

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

ýVOR A

¦Χ = 0

AH – S3·0,8 + S4·0,8 = 0

(1)

¦Υ = 0

AV - S4·0,6 – S3·0,6 = 0

(2)

3 = 0,6 5 4 cos α = = 0,8 5

sin α =

NS2 = − 3,37 kN ; NS3 = − 19,25 kN ;

RI

NS4 = 7,75 kN N1L = S1·0,6 = 12,82 kN ; N1d = 0 N2d = N1l N2l = N2d – S2·0,6 = 10,80 kN N2l = NGdesno N5dole = S3·0,6 = 11,55 kN N5dole = N3gore= N4 N3dole = N5dole + S4·0,6 = N3dole = 16,2 kN = NGgore

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

NORMALNE SILE NS1 = − 21,37 kN ;

PT A

(2) S4 + S3= 27 Ÿ S4 = 7,75 kN (1) 9,2 - S3·0,8 – 0,8·( -S3 + 27) = 0 Ÿ S3 = 19,25kN

DIJAGRAM NORMALNIH SILA

TRANSVERZALNE SILE

T1d = 0 ;

4 = −17,096 kN 5 T2d = T1l + 4·6 = 6,904kN

SK

T1l= -S1·

T2l = T2d- S2·

4 = 4, 208 kN 5

TGd = T2d + 3·4 = 16,208 kN T5dole = S3·0,8 = 15,4 kN T4gore = T5dole T4dole = T5 – 20 = − 4,6kN T3gore = T4dole T3dole = T4dole – S4·0,8 = T3dole = − 10,8kN = TGgore

DIJAGRAM TRANSVERZALNIH SILA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

58

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

MOMENTI SAVIJANJA

MB = 0 ; M1 = 0 ; MG = 0 ; M5 = 0 ; MA = 0 M2desno = S1·sin α ·6 – 24·3 = M2desno = 30,57kNm 4 M4gore = S3· ⋅ 3 = 46, 2 kNm 5 4 5

Mmax= S1 ⋅ 0,8 ⋅ 4, 274 − q

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

M3gore = S3· ⋅ 6 − 20 ⋅ 3 = 32, 4 kNm 4.2742 2

Mmax= 36,53 kNm DIJAGRAM MOMENATA SAVIJANJA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Lukovi na tri zgloba

59

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

RI

REŠETKASTI NOSAýI NOSA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosaþi

60

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

Definisanje optereüenja:

II

RI

I

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

PRIMJER 1: Odrediti reakcije i sile u zadatim štapovima rešetke.

SK

Q = 4 kN» m’ Â 3 m = 12 kN Ȉxx = 0 Ȉyy = 0 ȈMD = 0

DH = 0 Dv + Ev – Q = 0 Ev Â3 3 – Q Â 1.5 = 0

Ȉx = 0 Ȉy = 0

FH = 0 Ev + Fv – Q = 0 Ev = 12.00 kN Dv = 6.00 kN Fv = 6.00 kN

REAKCIJE Ȉx x=0

Ȉy = 0 ȈMB = 0

2 2 − RC ⋅ =0 2 2 2 2 + RC ⋅ =0 RA − Q − P ⋅ 2 2 2 2 − RA ⋅15 − RC ⋅ 4, 24 + P ⋅ 3 ⋅ + P ⋅9⋅ + Q⋅6 = 0 2 2 RB − P ⋅

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosaþi

RA = 13,32 kN RB = 10,68 kN RC = 43,40 kN

61

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

REAKCIJE U ŠTAPOVIMA U2, D8, D10 I O2 RITTEROVOM METODOM ýVOR F

D9 = 3 2 kN D11 = 3 2 kN

PRESJEK I-I

Ȉy = 0

RB  3 – O2  3 = 0 - Fv  3 + U2  3 = 0 2 2 − Fv + Rc ⋅ − D8 ⋅ =0 2 2

RI

ȈMI = 0 ȈMII = 0

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

Ȉy = 0

2 =0 2 2 =6 2

PT A

2 − D11 ⋅ 2 2 + D11 ⋅ D9 ⋅ 2 D9 ⋅

Ȉx = 0

SK

O2 = 10,68 kN U2 = 6,00 kN D8 = 34,91 kN

3º ýVOR VOR C

Ȉy = 0… - D8

2 2 2 - D10 + RC 2 2 2

=0

D10 =8,49 kN

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosaþi

62

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

REAKCIJE

PT A

PRIMJER 2: Odrediti reakcije i sile u oznaþenim štapovima pomoüu Riterove metode.

AV = 56 kN BH = 60 kN CH = 40 kN

Ȉx=0 BH - CH – 20 = 0 BH - CH = 20 kN CH = 40 kN

RI

Ȉy = 0 AV – 6 – 12 – 12 – 6 – 20 = 0 AV – 56 = 0 AV = 56 kN

SK

Ȉ MC = 0 - AV • 10 + 6 • 8 + 12 • 6 + 12 • 4 + 6 • 2 – 20 • 4 + 20 • 2 + BH • 7 = 0 BH = 60 kN RITEROVA METODA

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosaþi

63

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

SILE U ŠTAPOVIMA ȈM1 = 0

8 68

Ȉy = 0

13

- D4 •

Ȉx = 0

O3 •

8 68

8 68

+ D4 •

+ D4 •

− 96 − D4 •

O3 =

13

2

13 2 13

+ U4 = 0

=0

+ 96 = 0

2 · § ¨ − 96 − D4 • ¸ 13 ¸ ¨ • 26 + ¨ ¸ 8 ¨ ¸ 68 © ¹

SK

8

2

13

RI

O3 •

3

PT A

2

56 – 6 – 12 – 12 + O3 •

-56 • 6 + 6 • 4 + 12 •2 + U4 • 3 = 0 -336 + 24 + 24 + U4 • 3 = 0 -288 + U4 • 3 = 0 U4 • 3 = 288 288 U4 = 3

2 68

U4 = 96 kN

- D4 •

3 13

=0

68

D4 = 2,06 kN

O3 = - 100,12 kN

Ȉy=0

Ȉx=0

- O3 •

8 68

+ O4 •

8 68

=0

- O3 •

O3 = O4 O3 = -100,12 kN O4 = -100,12 kN

2 68

+ O4 •

2 68

- V4 – 6 = 0

- V4 – 6 = 0

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosaþi

V4 = - 6 kN

64

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

cos Į =

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PT A

PRIMJER 3: Odrediti reakcije i sile u oznaþenim štapovima pomoüu Riterove metode.

¦x = 0 Ÿ Α ¦y =0ŸΑ ¦Μ

B

H

= 24 kN

V

+ΒV = 20 kN ŸΒV = 12KN

= 0 Ÿ−ΑV ⋅ 6 + 20 ⋅ 6 − 6 ⋅ 6 −12 ⋅ 3 = 0 Ÿ ΑV =

2 ⋅ 3 + 6 ⋅ 3 = 0 Ÿ S1 ⋅ 6 ⋅ 2 2 ¦ Μ1 = 0 Ÿ S X ⋅ ⋅ 6 − 6 ⋅ 3 = 0 Ÿ S X ⋅ 6 ⋅ 2 2 ¦ Μ 3 = 0 Ÿ S1 ⋅ ⋅ 3 − 12 ⋅ 3 − S 2 ⋅ 3 − S X ⋅ 2

SK

¦ Μ = 0 Ÿ 2S ⋅ 2

AV = 8,0 kN AH = 24,0 kN BV = 12,0 kN

RI

SILE U ŠTAPOVIMA

−120 + 36 + 36 −48 Ÿ ΑV = 8 kN Ÿ ΑV = −6 −6

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

REAKCIJE

1

2 = − 18 Ÿ S1 = − 3 2 kN 2 2 = 18 kN Ÿ S X = 3 2 kN 2 2 54 ⋅ 3 = 0 Ÿ S2 = = S 2 = − 18 kN −3 2

ýVOR VOR B

2 2 2 − SX ⋅ = 0 Ÿ 12 − S3 ⋅ − 3 = 0 Ÿ S3 = 9 2 kN 2 2 2 2 2 2 ¦ x = 0 Ÿ S4 + 6 + S3 ⋅ − S X ⋅ = 0 Ÿ S4 = −6 − S3 ⋅ + 3 Ÿ S4 = −12 kN 2 2 2

¦ y = 0 Ÿ −12 − S ⋅ 3

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosaþi

65

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PT A

Dobiveni smjerovi sila u štapovima S1,S2,S3 i S4

PRIMJER 4: Odrediti reakcije i sile u oznaþenim štapovima pomoüu Riterove metode.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

REAKCIJE

:x=0...Ah+Bh-P=0 :y=0...Av-Bv-q·4=0 :MA=0...-Bv·8+P·4-q·4·2=0 

MGdesno=0...-BV·4-P·3+Bh·7=0

RI

cos α = 0,37;sin α = 0,93 cos β = 0,8;sin β = 0, 6 cos α1 = 0, 707;sin α1 = 0, 707

Ah= 8 kN Av= 22 kN Bv= 6 kN Bh= 12 kN

SK

SILE U ŠTAPOVIMA

PRESJEK I-I

ΣM 1 = 0 Ÿ U 3 ⋅ cos α ⋅ 3,5 + BH ⋅ 5,5 − BV ⋅ 2 − P ⋅1,5 = 0 U3=-18,53kN 

ΣM 2 = 0 Ÿ O3 ⋅ cos β ⋅ 2 + O3 ⋅ sin β ⋅ 2 + P ⋅ 2 + BH ⋅ 2 − BV ⋅ 2 = 0 O3=-18,57kN 

Σy = 0 Ÿ − Bv + O3 ⋅ sin β − U 3 ⋅ sin α − V3 = 0 V3=-0,08kN  PRESJEK II-II 

Σx = 0 Ÿ D3 ⋅ cos α1 − O3 ⋅ cos β − P = 0 D3=-7,27kN Zbirka riješenih zadataka – Skripta Oblast: Rešetkasti nosaþi

66

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

SK

RI

ISPITNI ZADACI

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Ispitni zadaci

67

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO-IZVOĈAýKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

(obavezno koristiti trouglove): trouglove 2) Dati kontinuirani nosaþ pretvoriti u Gerberov nosaþ tako da (obavezno aj optereüenja; optereüüenja; a) su krajnje reakcije A=0 i G=0 za dati sluþaj b) se pojavi momenat savijanja u svakom dijelu nosaþa nosaþa za dati sluþaj nosaþ sluþaj optereüenja, sluþ optere c) Nacrtati uticajne linije za dati presjek na nosaþima ima iz a) i b)

RI

3) Za dati nosaþ i optereüenje enje odredite sile u oznaþenim oznaþenim štapovima. Metoda po izboru studenta. oznaþ

SK

optereüüenje odrediti: 4) Za dati nosaþ i optereüenje nosa þa i reakcije. a) šemu rastavljanja nosaþ nosaþa b) Nacrtati dijagram momenata; momenata c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno). Jediniþna kreüe nosaþa ABC Jediniþ Jedini þna sila se kreü kre üe po dijelu nosa

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoü trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja üe se smatrati nevažeüim. 4)sve dužine su date u metrima [m] Student:_____________________________ Broj indeksa:_________________________

Mostar,januar/februar 2006.

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžoviü dipl.inž.graÿ.

______________________________

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

1) Za dati nosaþ i optereüenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila M, T i N, te odrediti grafiþkim naþinom uticajne linije T1 i N1 za zadati presjek 1.

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDI » U MOSTARU GRA!EVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO – IZVO!A"KI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

PT A

1) Za dati nosa i optere!enje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila.

SK

3) Za dati nosa i optere!enje enje odrediti: a) šemu rastavljanja nosa a i reakcije. momenata; b) Nacrtati dijagram momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 (sila se kre!e od A do B).

Napomena: 1) ZBI=zadnji =zadnji broj indeksa; 2)List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja !ee se smatrati nevaže!im; 3) sve dužine su date u metrima [m] nevaže

Student:________________________

Zadatke zadao: v. asst. mr. Rašid Hadžovi! dipl.inž.gra".

Broj indeksa:______________

_________________________________

Mostar, septembar/oktobar 2005.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI

2) Za dati nosa i optere!enje odredite sile u ozna enim štapovima (metoda prema izboru studenta).

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO – IZVOĈAýKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA 3.00

1) Za dati nosaþ i optereüenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila i odrediti Mmax.

3.00

3.00

P=2xZBI [kN]

4.00

PT A

q=4xZBI [kNm]

3.00 3.00

3.00

RI

2) Za dati nosaþ i optereüenje odredite sile u oznaþenim štapovima Riterovom metodom.

3.00

3) Za dati nosaþ i optereü optere optereüenje üenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosaþa nosaþa i reakcije. nosaþ b) Nacrtati dijagram momenata i transverzalnih sila sila; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno). (Sila se kreüe kreüe po dijelu nosaþa kreü nosaþa ABCD, a presjeci se nalaze na udaljenostima a i b.)

SK

q=6xZBI [kN/m]

E

P=2xZBI [kN]

2.00

Presjek 1:

M=10xZBI [kNm]

P=4xZBI [kN]

A

2.00

D

[kN/m] =2xZBI [kN/m] q=2xZBI q

3.00

1.00

2.00

a=__________ m

Presjek 2: B

C 3.00

b=__________ m

1.50

2.50

Student:__________________

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžoviü dipl.ing.graÿ.

Broj indeksa:______________

_________________________________

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoü trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja üe se smatrati nevažeüim. 4) sve dužine su date u metrima [m]

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

4.00

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO – IZVOĈAýKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

2) Na dati nosaþ unijeti zglobove tako da: a) se u svim dijelovima nosaþaa pojavi moment savijanja; b) u krajnjim osloncima reakcije budu jednake nuli, i da je reakcija C = 0. c) Nacrtati uticajne linije za dati presjek na nosaþima nosa ima iz a) i b)

SK

RI

3) Za dati nosaþ i optereüenje enje odredite sile u oznaþenim oznaþenim štapovima (metoda prema izboru oznaþ studenta).

4) Za dati nosaþþ i optereüenje optereüenje odrediti: optereü a) šemu rastavljanja nosaþa nosa i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno).

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoü trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja üe se smatrati nevažeüim. 4) sve dužine su date u metrima [m] Zadatke zadao: Student:__________________ asst. Rašid Hadžoviü dipl.inž.graÿ. Broj indeksa:______________

Mostar, septembar/oktobar 2002.

____________________________

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

1) Za dati nosaþ i optereüenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila i odrediti Mmax.

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO IZVOĈAýKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA 1) Za dati nosaþ i optereüenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila.

PT A

3.00

M=10xZBI

2.00

2.00

3.00

RI

2) Za dati nosaþ i optereüenje enje odredite sile u oznaþenim oznaþenim štapovima (metoda prema izboru oznaþ studenta).

SK

3) Za dati nosaþþ i optereüenje optere odrediti: a) šemu rastavljanja nosaþa nosa a i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata i transverzalnih sila sila; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno). a=

q=4xZBI

b=

P=10xZBI 2

2.00

1

P=4XZBI

2.00

q=2xZBI

2.00

1.00

2.00

4.00

1.00

1.00

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoü trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja üe se smatrati nevažeüim. 4) sve dužine su date u metrima [m] Student:__________________

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžoviü dipl.ing.graÿ.

Broj indeksa:______________

________________________________

Mostar, juni/juli 2006.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

3.00

q=4xZBI

P=2xZBI

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET KONSTRUKTIVNO IZVOĈAýKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA 1) Za dati nosaþ i optereüenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila.

4.00

P=10xZBI kN

3.00

2.00

2.00

3.00

3.00

RI

2.00

2.00

2.00

2.00

2) Za dati nosaþ i optereüenje enje odredite sile u oznaþenim oznaþenim štapovima (metoda prema izboru oznaþ studenta).

2.00

2.00

2.00

2.00

2.00

2.00

2.00

2.00

q=6xZBI kN/m'

2.00

SK

3) Za dati nosaþ i optereüenje optere odrediti: nosa þa i reakcije. a) šemu rastavljanja nosaþ nosaþa b) Nacrtati dijagram momenata momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno).

2.00

P=4xZBI kN

2.00

2.00

2.00

P=2xZBI kN P=ZBI 1.00

3.00

1.00

1.00

1.00

2.00

2.00

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoü trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja üe se smatrati nevažeüim. 4) sve dužine su date u metrima [m] Student:__________________

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžoviü dipl.inž.graÿ.

Broj indeksa:______________

________________________________

Mostar, juni/juli 2006.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

4.00

PT A

q=4xZBI kN/m'

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET HIDROTEHNIýKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

PT A

1) Za dati nosaþ i optereüenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila M, T i N, te odrediti grafiþkim naþinom uticajnu liniju M1 u zadatom presjeku 1.

RI

3) Za dati nosaþ i optereüenje enje odredite sile u oznaþenim oznaþenim štapovima pomo oznaþ pomoüu Riterove metode.

SK

optereüenje odrediti: optereü 4) Za dati nosaþ i optereüenje nosa a i reakcije. a) šemu rastavljanja nosaþa momenata b) Nacrtati dijagram momenata; c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 i za reakciju _____(zadaje se naknadno). Jediniþ Jedini þna sila se kreü kre üe po dijelu nosa Jediniþna kreüe nosaþa ABC

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoü trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja üe se smatrati nevažeüim. 4)sve dužine su date u metrima [m] Student:_____________________________ Broj indeksa:_________________________

Mostar,januar/februar 2006.

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžoviü dipl.inž.graÿ.

______________________________

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

2) Dati kontinuirani nosaþ pretvoriti u Gerberov nosaþ tako da (obavezno (obavezno koristiti trouglove): trouglove a) se pojavi reakcija momenat savijanja u svim dijelovima ima nosaþa nosa za dati sluþaj aj optereüenja; optere no smjenjuju primarni i sekundarni dijelovi nosaþa nosaþa nezavisno od datog optereüenja, nosaþ optere b) naizmjeniþno ima iz a) i b) c) Nacrtati uticajne linije za dati presjek na nosaþima

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 HIDROTEHNIýKI ODSJEK

PISMENI DIO ISPITA

PT A

1) Za dati nosaþ i optereüenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila i uticajnu liniju M1 u zadatom presjeku 1.

SK

enje odrediti: 3) Za dati nosaþ i optereüenje a) šemu rastavljanja nosaþa nosa a i reakcije. b) Nacrtati dijagram momenata; momenata c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2 (sila se kreüe od A do B).

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja üe se smatrati nevažeüim; 3) sve dužine su date u metrima [m] Student:________________________

Zadatke zadao: v. asst. mr. Rašid Hadžoviü dipl.ing.graÿ.

Broj indeksa:______________

_________________________________

Mostar, januar/februar 2006.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI

2) Za dati nosaþ i optereüenje odredite sile u oznaþenim enim štapovima (metoda prema izboru studenta).

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET HIDROTEHNIýKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

RI

enje odredite sile u oznaþenim ozna enim štapovima pomoü pomo pomoüu üu Riterove metode. 2) Za dati nosaþ i optereüenje

SK

3) Za dati nosaþ i optereü optere optereüenje üenje odrediti: a) šemu rastavljanja nosaþa nosaþa i reakcije. nosaþ b) Nacrtati dijagram momenata; momenata c) Nacrtati uticajne linije za date presjeke 1 i 2.

Student:__________________ Broj indeksa:______________ Mostar, septembar/oktobar 2006.

Presjek 1 a=_______ m Presjek 2 b=________ m

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžoviü,dipl.inž.graÿ. _________________________________

Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoü trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja üe se smatrati nevažeüim. 4) sve dužine su date u metrima [m]

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

PT A

1) Za dati nosaþ i optereüenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila i odrediti “T1” uticajnu liniju u datom presjeku 1.

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET HIDROTEHNIýKI ODSJEK TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

PISMENI DIO ISPITA

PT A

1) Za dati nosaþ i optereüenje nacrtati dijagrame unutrašnjih sila M, T i N, te odrediti grafiþkim naþinom uticajnu liniju M1 u zadatom presjeku 1.

SK

3) Za dati nosaþ i optereüenje enje odrediti: nosa a i reakcije. a) šemu rastavljanja nosaþa b) Nacrtati dijagram momenata i transverzalnih sila sila; c) Nacrtati uticajne linije za date presjek 1 (Jedini (Jediniþna sila se kreüe po dijelu nosaþa ABC)

Student:_____________________________ Broj indeksa:_________________________

Zadatke zadao: v.asist. mr. Rašid Hadžoviü dipl.inž.graÿ.

______________________________ Napomena: 1) ZBI=zadnji broj indeksa; 2)Crtanje dijagrama obavezno uz pomoü trouglova; 3) List sa pitanjima obavezno ispuniti i predati uz rješenja, u suprotnom rješenja üe se smatrati nevažeüim. 4)sve dužine su date u metrima [m]

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

RI

2) Za dati nosaþ i optereüenje odredite sile u oznaþenim enim štapovima pomoüu pomo u Riterove metode.

mr. Rašid Hadžović, dipl.inž.građ.

LITERATURA:

RI

Ĉorÿee Solovjev: Statika konstrukcija 1 (1. i 2. dio) Milan Ĉuriü:: Statika konstrukcija Prof. Adnan Çakıro÷lu Stati÷i – Cilt 1 lu i Prof. Dr. Enver Çetmeli: Yapi Stati R.C. Hibbeler: Structural Analysis

SK

1. 2. 3. 4.

viši asistent mr. Rašid Hadžoviü, dipl.inž.graÿ.

PT A

UNIVERZITET «DŽEMAL BIJEDIû» U MOSTARU GRAĈEVINSKI FAKULTET TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

Zbirka riješenih zadataka – Skripta Literatura

78