Zbirka riješenih zadataka i problema iz matematike sa osnovama teorije i ispitni zadaci [1. izd. ed.] 9788601009974, 8601009972 [PDF]
136 15 21MB
Croatian Pages 420 [212] Year 1988
![Zbirka riješenih zadataka i problema iz matematike sa osnovama teorije i ispitni zadaci [1. izd. ed.]
9788601009974, 8601009972 [PDF]](https://vdoc.tips/img/200x200/zbirka-rijeenih-zadataka-i-problema-iz-matematike-sa-osnovama-teorije-i-ispitni-zadaci-1-izdnbsped-9788601009974-8601009972-g652638410de1a.jpg)
- Author / Uploaded
- Behdžet A. Mesihović
Datei wird geladen, bitte warten...
Zitiervorschau
Behdžet A. MESIHOVIĆ šefket Z. ARSI.ANAGIĆ
ZBIRU RIJESENIH ZADATAU l PROBLEMA IZ MATEMATIKE SA OSNOVAMA TEORIJE l ISPITNI ZADACI -
OSNO VIMATEMATIKE LINEAR NA ALGEBRA A NALITIČKA GEOMETRIJA POLINOMI DIFERE NCIJAlNIIINTEGRAlNI RA ČUN - FUN KCIJA JEDNE PROMJENLJIVE
,
SADR2AJ
PREDGOVOR l.
1.1.
1.2.
1.3.
2.
. . . .
. . . .
.
.
.
. . . . . . .
.
. . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . .
.
.
. . . .
OSNOVI MATEMATIKE . . . . Osnovni pojmovi matematičke logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . .· . . . . . . . Zadaci ............... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . Rje�nja ....................... . • . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . Skup, relacija, runkcija, operacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · . · · · Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . .. . Rje�nja.............. Osnovne osobine skupa realnih brojeva i njegovih podskupova .................. . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . Rje�nja.... KOMPLEKSNI BROJEVI ... Zadaci . . . . . . . . . . . . . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . .
9 9 ,10 ll 12 17 20 22 25 29 38 39 44
. . . . . . . . . .
3
.
3.
OETERMINANTE l SISTEMI LINEARNIH JEDNACINA Zadaci .......... . Rje�nja ...... .......... .
50 52 57
4.
VEKTORSKA ALGEBRA Zadaci .............. . Rješenja ............. .
65 68 75
5.
REALNA FUNKCIJA REALNE PROMJENLJIVE ......... . Zadaci .... . Rje�nja .......... .
6. 6.1.
GRANICNI PROCESI . Nizovi i granični procesi. .
6.2.
6.3.
7.2.
7.3.
.
. . .
. . . . . . Zadaci . . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . Granična vrijednost runkcije. Zadaci . . . . . . . . . . . . . . Rje�nja........ Neprekidnost runkcije . . . . . .
Zadaci Rješenja
7. 7.1.
.
. . . .
.
.
. . . . .
.
.
.
•
.
.
. . . . . .
•
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . .
86 88 94
. . . . . . .
. . . . .
.
• . .
•
. . . .
. .
.
.
.
. . . . . . •
.
. . . . . . • . .
• . . . . . .
.
. .
. .
. . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
.
.
•
. . . . • . . .
. . .
.
•
. . . . . . .
.
. . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . •
.
. . .
. .
.
.
• . . . . .
•
. . . .
. . .
. . . . .
.
. . .
.
.
. . . . .
. . . . .
.
. . . • . . . . . .
. . .
. . . . .
.
.
.
. . . .
. . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . .
. . .
.
.
. .
DIFERENCIJALNI RACUN . Definicija izvoda i njegovo geometrijsko značenje. Lijevi i desni izvod runkcije ....... . . . . . . . . . . . . . . . . Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . · · · Rje!enja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Osnovne teoreme o izvodima. Izvodi osnovnih elementarnih runkcija.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadaci . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • . . . . . Izvod i direrencj i al . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . Zadaci .. .. . . . . . . . . . . . . . . . Rješenja . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104 104 106 109 118 120 128 133 135 141 148 148 148 149 150 151 154 156 157 160
5
7.4. 7.5 7.6. 7.7. 7.8. 8 9. 9 l. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 10. 10. 1. 10.2. 10.3. 10.4. 10.). l o.6.
6
:
Osnovne teoreme diferencijalnog računa 1 njihova primjena . . . . Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ·. . . . . . . . . . . . Rješenja . . . . . . o • • o . • • . . . · · Tejlorov polinom i Tejlorova o r u a . . . . · · · · · · · · . · ·· Zadaci . .... .... ... . . . . . . . . . . . . . . · .. ' t n st i e : r · · . . v ie st f n c j . . · · · · · · · · . . . Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konvcksnost, konkavnost i prevojne tačke. Asimptote grafika funkcije Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . o • o o Opšta shema ispitivanja funkcija i crtanje grafika funkcija . . . o • • o • • . o • Zadaci . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . Rješenja . . . . o • • • • • • o . o • o • • • • • • • • • • • • • • o • • • o •
f �i
����� �
::::::::
k� ���� ; J d�� i � k i � :
POLINOMI . . Zadaci . . . . . . . Rješenja . . . . . .
. o . o .
• • • • • •
. . .
..
o
. .
• • • • • • • • • •
o
• • • • • • • • • • • • • • • • •
·
. . . .
· · ·
· · ·
. .
·
.
• • • • • •
. . .
.
. . . .
.
: : ::::::::::
. .
.
. . .
. . . .
o
. . . . o
. . . . o
• • •
.
• • • • • •
• • • • • •
• • • • •
o
. ·
• • • •
• • • •
o o
o
•
•
o
• •
• • • • • • • • • • • • • • • •
o
o
o
. o
• • • •
•
o
o
.
.
• • • •
o
. o
• • •
ANALITICKA GEOMETRIJA U PROSTORU . . . o o • • • • • • • • • • • • • • • Vektor položaja. Rastojanje dvije tačke. Podjela duži u datoj razmjeri . . • . o • o • • • • • Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . o • • • Rješenja ... . . . . . ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • • • Jednačina ravni. Rastojanje tačke od ravni. Međusobni položaj dvije ravni. . ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadaci . . . Rješenja . . . . . . . . . o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Jednačina prave. Rastojanje tačke od prave. Međusobni položaj dvije prave... . .. . . Zadaci . . . Rješenja . . Ravan i prava. . o • Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . Površi (površme) drugog reda . Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . o o .
..
• • • •
.
.
.
• • • • • • • • • •
...
. . . . . . . . . . . .
. . o .
o
•
... ••••• .... o
.
.
. .
. . . . . . . .
o
•
o
• • • • • • •
• • • • • • • • • • • • • .
o o
. o
• • • • •
• • • • • • • •
o . . . . .
o o
• •
o
• • •
• • • • • •
• • • •
..
o
•
.
.
. . . . .
o .
o
. o
•
o
• • •
o o
...
• • • • • • o
o
• • • • •
• • • • • • • •
• • • • • • • • • •
o
•
• • • • • • • • • • • • • • •
• •
• • •
o
o
• • • • • •
• • • •
. . . . . . . . o o o o
o
o
•
o
• • •
• • • • •
• • • • • • •
o .
o .
INTEGRALNI RACUN .. Neodređeni integral i njegove osobine . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • • • •• • • o • ' • . . . . . . . . . . o . o . o • • • • • Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • • • • o • o . o . o • • • • Integracija me10dom zamjene. Parcijalna integracija . . . . . . o • • • • • o • o • • • • Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • o • • • • • • o . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . o • o • • • Imegracija racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • • o • o • o • • • • o • • • • • • • o • . . . . . . . o . o • • • • • Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • • • • • • • • o • • • • • Imegracija iracionalnih funkcija i diferencijalnog binoma. Ojlerove smjene . . . o • o • • • • • . . . . o • • • • • • • . . . . . . . . . Zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . o • • • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integracija trigonometrijskih i drugoh transcedentnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zadaci . . . . . . . . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o • • • • Određeni integral. Njutn-Lajbnicova formula. Metod zamjene promjenljive i parcijalna integracija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........... ......... ..... Zadaci . . . . . . . . o • • o . . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • o . o • • • o • • • • o . • Rješenja . . . . . . . . o • o • • o • o • o • o • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • o • • • • • • • • o • •
162 163 167 169 170 172 175 175 179 181 181 183 184 185 186 194 196 200 204 204 204 206 207 208 211 213 214 217 220 221 223 225 227 230 234 234 235 236 236 236 240 246 247 247 249 250 251 255 256 259
. . . o • • • • • Nesvojstveni integral . . ........... ... · . · · · · · · Zadaci Rješenja . . . o • • • • 10.8. Primjene određenog integrala . . . . . . o • • • 10.8.1. Površina ravnog lika . . Zadaci ..... .......... . ........ Rješenja .. . 10.8.2. Zapremina rotacionog tijela .. .... . ........... · Zadaci .. ... .... . Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . · . . · . . · · · · · · 10.8.3. Dužina luka krive . . . • . o • o • o • • • • • • • • Zadaci . . . . . . · · · · · · · · · · · · · Rješenja . . . . . . . . . . . . . . o • • • • • • • • • o • 10.8.4. Komplanacija obrtnih površi . o • o • • • • • •
10.7.
Zadaci Rješenja
ll. l l .l.
. . .
.
. . . · · · · · · · ·
. . . .
. ·
..
· .
· o ·
13.
• • • • • • •
·
... KRIVINA KRIVIH U RAVNI ....... ta Krivina i poluprečnik krivint. Evoluta i evolven · · · · · · · · · · · · Zadaci Rješenja ... .
12.
·
• •
.. MATRICE l LINEARNE FORME ..... Zadaci· .... . Rješenja ... . ZADACI SA PISMENIH ISPITA Ekonomski fakultet u Mostaru Arhitektonski fakultet u Sarajevu. . Mašinski fakultet u Mostaru .... . Mašinski fakultet u Sarajevu . . . . . . . Elektrotehnički [akultet u Sarajevu. . . Građevinski fakuhel u Sarajevu . . . . . Građevinski fakultet u Mostaru... . LITERATURA.
.
.
.
.
. .
.
.
o
• •
282 283 285 289 289 290 292 293 294 295 296 297 298 299 299 300 303 303 304 305 307 310 328 350 350 358 360 3 72 381 390 393 419
. . · . · · · · · · · · ·
265 26 7 �74 7
t. OSNOVI
'
l
MATEMATIKE
1.1. OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 1. Pod sudom (ili iskazom) podrazumijevamo suvislu deklarativnu izjavu, koja se
u pogledu istinitosti podvrgava principu isključenja trećeg i kontradikcije, tj. koja (izjava) ima jednu i samo jednu vrijednost istinitosti; sud je, dakle, ili istinit ili neistinit.
2.
O p e r a c i j a sa sudovi m a : 2.1. Konjunkcija. Ako s u p i q sudovi, tada j e p 1\ q oznaka za sud "p i q".
2.2. Disjunkcija. Ako su p i q sudovi, tada je pVq oznaka za sud "p ili q". 2.3. Implikacija. Ako su p i q sudovi, tada je p=>q oznaka za sud "Ako je p,
onda je q", tj. "p je dovoljan (uslov) za q" ili, pak, "q je potreban (uslov) za p". Znak =>čitat ćemo "implicira" ili "povlači".
2.4. Ekvivalencija. Ako su p i q sudovi, tada je p=q oznaka za sud "p je onda i
samo onda ako je q", tj. "p je potreban i dovoljan (uslov) za q" ili "p je ekvivalentno sa q". Tablica istinitosti gornjih operacija sa sudovima:
p
q
p 1\q
pVq
l
l
l
l
l o o
o l o
o o o
l o l
p=>q
p=q
o
l
o o
gdje p= l, tj. q=O znači da je p istinit, tj. q neistinit sud. 2.5. Negacija. Ako je p sud, onda "lp označava sud "nije p" ili "ne p". Znak "l čitat ćemo kao "non" (latinski non= ne). U literaturi ćemo za negaciju suda p susresti još oznake: non p, p, p'. Sud non p biće istinit (neistinit) onda i samo onda ako je p neistinit (istinit).
3. Neka je p neka formula algebre sudova koja zavisi od parametra (varijable) x, tada ('1x) p znači "za svaki x je p". Simbol 't;/ se zove univerzalni kvantifikator i podsjeća na prvo slovo "A" od njemačkog alle= svi ili engleskog all= svi. " Slično (3x) p označava "postoji x tako da je p , a 3 predstavlja egzistencijalni kvantifikator (potiče od njemačkog "es gibt" ="ima" ili engleskog "exists"= "postoji"). 9
9. Ispitaj tok istinitosti formule:
Isto tako (3!x) p označava ,.postoji samo jedno x takvo da je p", tj. x je vezano sa kvantdikatorom 3.
A=
a) A=p=(q::.r), B=q::.(p=r);
ZADACI
b) ((pAq)-=q)=(q::.p);
a) (p::.q)-=(q'::.p');
2. Ispitaj tok istinitosti formula:
b) (p::.q)::.q;
A= ((p=q) 1\ (q=:.r))::.(p=r).
e) (p::.(q::.r))=(q=(p=r)).
RJ EŠENJA
e) (p=q)V(r'::.s).
3. Dokaži ove jednakosti: a) pAq=qAp, pVq=qVp,·p=q=q=p (komutativnost konjunkcije, disjunk cije i ekvivalencije);
•
t. Dokaz ćemo p rove sti na osnovu tablice istinitosti za datu formulu: a)
J
e) p !\p= p, p Vp=p (konjunkcija i disjunkcija su idempotentne);
b) p l
J
e) ll p=p (involutivnost negacije);
g) p Vl = l , p 1\O =O (l je nulti elemenat za disjunkciju, a O za konjunkciju).
e)
4. Provjeri ove jednakost i:
a) non (\ix)P (x)=(3x)non P(x);
e) non ((\ix)non P(x))=(3x)P(x);
b) non (3x)P (x)= (\ix)non P (x); d) non((3x)non P (x))=(\7'x)P(x).
5. Neka N označava skup prirodnih brojeva. Koja je od navedenih tvrdnji istinita, a koja nije: b) (3yeN)('ilxeN)xq) A(q=>r) p=r A l
l
l
l
l
o
l
o
o o o
o
o l o o
l o o l o o o l o o o
or
A=B('ix) (x E AxE 8).
Ova definicija je u skladu sa S= {xix E S J
o
10. a) Implikacija p::.(q=r) je netačna al::o i samo ako je p= l i (q=r)•O, tj. formula A =p-(q-r) j e netačna ako i samo ako je paq= l Ar=O. Na isti način (prostom zamjenom slova p i q) dobije se da je B•q=(p=r) netačno al::o o samo ako je q=p=l ArooO. Dakle, A=B je tačno za S\•e vrijednosti istinitosti sudova p, q, r.
l
Jednakost skupova definiše se na sljedeći način:
l
tj. A je ta ut ologija.
p q
or
AcB-('ix)(xEA=xEB).
l o
o
Ako svaki elemenat skupa A pripada i skupu B, tada se k aže da je A podskup od B (ili da je B nadskup od A), što se zapisuje kao AcB (ili B=>A), tj. prema simbolima matematičke logike
o o
l
o
l
o
l
5. �je oznaka za prazan skup, tj. skup koji nema nijednog elementa. Na primjer, � je skup realnih brojeva koji su rješenja jednačine x2 + l =O. Osim toga, za svaki skup A je �eA. Vodeći računa o definiciji inkluzije i operacija ekvivalencije i implikacije, lako je dokazati:
A=BAcBABcA. 6. Neka su A i B skupovi; tada definišemo operacije nad skupovima:
6.1.
Unija skupova
A i B:
or AUB= {xixEAVxEB).
l
o
6.2.
Presjek skupova
A i B: or
An B= {xix EA AxEB). 6.3.
Razlika (diferencija) skupova
A i B:
1.2. SK UP, RELACIJA, FUNKCIJA, OPERACIJA l. Kan1or*, osnivač 1eorije skupova, pojam skupa objašnjava na ·sljedeći način:
"Izvjesni, jasno odvojeni i individualizirani objekti naše intuicije ujedinjeni u jednu cjelinu čine skup". Skup prihva1amo kao osnovni pojam.-* 2.
Ako je x elemenal skupa S, onda ćemo pisati xE S; u suprotnom, x if S ili x nonE S. U tom smislu S= {xixE s:, što čitamo kao "S je skup elemenata x koji imaju osobinu da x pripada skupu S". Uopštavajući takav pristup, kažemo da skup S sadrži one elemente x koji imaju svojstvo P (x)(-x E S), tj. S= {xl P(x) : . što treba da znači ..S je skup svih elemenata x koji imaju svojstvo
P(x)".
• Georg Cantor (1845-1918), njemački matematičar, osnivač moderne teorije skupova. •• Teorija skupova neć e ovdje biti tretirana kao formalizirana deduktivna teorija, već samo neformalno
kao takozvana .,klasična" ili .,naivna" teorija skupova. Vidjeti o tome: Đuro Kurepa, Teorija skupova. Skolska knjiga, Zagreb, 1951.
12
6.4. Ako je
Acl, skup A'� {xjxi/AAxEJl
nazivamo komplementom skupa A u odnosu na skup I. 7. Part itivni skup
P(A) skupa A je skup svih podskupova od A, tj. P(A)�{BiBcAj.
Primjer: Neka je A={l, 2, 3J, tada je:
P(A)={�. {l}, {2}, {3}, {1, 2:, {2, 3J, {1, 3), A). 8. Uređen par elemenata a i b je (a,b)�{{a},
{a, b)),
13
gdje se a naziva prva koordinata (komponenta ili projekcija) i b druga koordina ta uređenog para (a, b). Na osnovu ove definicije dokazuje se da je (a,
b)=(c,
14.
d)=(a=c) 1\(b=d).
f
j:X-+ Y;j:(x, y), xeX, ye Y; X-+ Y;
Analogno se definiše uređena n-torka (a1,
. • .
Neka su X i Y dva neprazna skupa. Preslikavnje ili funkcija j skupa X u skup Y je pravilo prema kome se svakom xeX pridružuje jedno i samo jedno ye Y. Tu činjenicu zapisujemo na jedan od slijedećih načina:
, a.) koja se označava, takođe, sa (a" ... , a.).
gdje
Gornja definicija funkcije može se kraće zapisati:
('itaeA) ('i:fbeB)(a, b)eA x B .
or
j:X-+ Y=('i1xeX)(3!ye Y)j(x)=y.
Analogno, za kakav god konačan broj (ne nužno različitih skupova)
Moguća je slijedeća veza između funkcije i relacije:
A1, A1, ... , A. je A1 x A2 x ... xA.� {(a1, a1, ... , a.)l a1 eA11\a2eA 21\ ...
Relacija feX x Y je funkcija j :X-+ Y ako i samo ako su ispunjeni uslovi:
...1\a.eA.}.
(J)
Ako je A1 = A2= ... = A.=A, umjesto A xA x . . . xA pišemo A".
10. Neka je Q e A x B, tada je Q (binarna) relacija u skupu A x B. Ako je A= B,
(x, y)� Q=x non Qy.
l l . Neka je Q e S x S, tada su moguća svojstva relacije Q, na primjer:
(2) 15.
.
18. Preslikavanje j koje je l- l i na zove se bijekcija. Ako su X i Y konačni. onda se za bijekciju f:X-+ Y kaže da je per mutacija. 19. Ako jef:A-+B i g :B-+e, onda je složeno preslikavanje gf:A-+ e (ili kompozici ja preslikavanjafi g) definisana sa ('i1x E A) (gf) (x)=g (f (x)).
13. Binarna relacija koja je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna zove se relacija
(djelimičnog, parcijalnog) uređenja. Relacija uređenja najčešće se označava sa ;;; ili sa � . Za skup S u kome je definisana relacija ;;; (parcijalnog) uređenja kaže se da je (parcijalno) uređen tom relacijom. Ako je skup S uređen relacijom ;;; koja ima osobinu ('ita, beS) (a ;;;b)V(b ;;;a), kaže se da je S tom relacijom totalno (potpuno) uređen.
• Renatus Canesius je latinsko ime i prezime francuskog matematičara i r,1ozofa Dekana (Renć
14
(x)).
f (a)=f (b)::.a=b, onda sef naziva uzajamno jednoznačno (preslikavanje) ili injekcija, ili l- l preslikavanje (sa X u Y).
12. Binarna relacija Q u S je relacija ekvivalencije ako je refleksiv-na, simetrična i tranzitivna. Takva relacija se često označava sa �.
Descartes, 1596- 1650).
i
Neka je j:X-. Y !\A eX, tada je j (A)= {y (3xeA)y=f
16. Neka je/:X-+ Y. Ako je/(X)= Y, tada kažemo da je f preslikavanje skupa X na skup Y i li da je j surjekcija (ili preslikavanje na).
l 1.2. simetričnost: ('ita, beS)aQb=:.bQa;
tranzitivnost: ('ita, b, ce S)aQb1\bQc=:.aQc.
(x, y)ejl\(x, z)ej::.y=z; U {xl(x, y )ej ) =X.
17. Ako važi implikacija
1 1 .1. ref/e ksivnost: ('ita E S)aQa;
11.4.
naziva original (nezavisno promjenljiva),
X se naziva definicioni skup (ili domen) preslikavanja.
A xB� {(a, b)i aeA 1\beBJ, t j.
11.3. antisimetričnost: ('ita, b E S)agb 1\bga::.a=b;
x
y =j (x) s/ika (zavisno promjenljiva), a
9. Neka su A i B skupovi, tada je Dekartov (Kartezijev)* proizvod tih skupova
onda se kaže da je Q relacija u skupu A. Umjesto (x, y) E Q uobičajeno je pisati xQy. Slično
se
x�f(x), xeX,j(x)=ye Y,
20.
Preslikavanjef:X-+X definisano saf(x)=x za svako preslikavanjem skupa X.
xeX naziva se identičkim
21. Ako je /:X-+X i ako postoji preslikavanje F1 :f(X)-.X takvo da su složena preslikavanjafF' iF'/ identička preslikavanja, tj. takva da je ('i:fyef(X))f(f-1 (y))=y 1\('i:fxeX)F' (f(x))=x, tada preslikavanje /-1 nazivamo inverznim preslikavanjem preslikavanja f. 22. Ako je f :X-+ Y obostrano jednoznačno preslikavanje, tada postoji inverzno 1 preslikavanje F :f(X) --.X i ono je jedinstveno. 15
23.
Nek a je S, x , yEX. Sa l je označen neutralni element multiplika cije u polju Elem ente iz X zovemo vektorima, elemente iz skalarima, operaciju + skupa X vek torsko s ab iranj e, operacija (a, x)-ax množenja vektora xEX skalarom aE. 29. Neka s u (A, o) (B, •) grupo idi. Ako postoj i bijekcija (preslikavanje 1- l i na) l: A-+ B t ako d a vrijedi
3° egzistencija neutralnog ili jediničnog elementa :
d
28.
tijelo, neutralni "l" neutralni l multi plikaciju. Vektorskim prostorom ili linearnim prostorom nad tijelom (tt>, +, ) nazivamo Abelo vu grupu X= {x, y , . . . } , u kojoj je definisano mno ženj e s elementima iz tt>, tj. ('itxEX)('IfaEtt>) cuEX.
2° asocijativnost: ('ita, b , e E S)(aob)o e= ao(boc);
4°
27. Komutacivno tijelo je polje. Uob ičaj ene su oznake (G,·) za grupu, (R, +, ·) za prsten , (tt>, +, · ) za e em enat za "0" j e elemenat za adiciju +, je
grupa ako vr ji ede osobine:
('ita, bES)(3!cES)aob=c;
lo imernost:
l
o.
•
2. Dokazati De Mor ganove• for mu le:
(AUB)'=A'()B', (A()B)'=A'UB'.
3. Ako su A, Bc S i A'=C,A, B'=C,A, d okaz ati : b) (A')'=A;
e) AUA'=S, A()A'=�;
• Augustus de Morgan (t806-1871), engleski matemaučar ! Zt-trta rijdtnth zadalika
1 logića . r
17
d) A cB=A'=>B'-=>AUB=B-=>A()B=A;
f) AUB=S-=>A'cB-=>B'cA.
e) A()B=�-=>AcB'-=>BcA';
4. Dokazati (Dedekind)*:
(AUB)()(BUC)()(CUA)= (A()B)U(B()C)U (C()A).
b) A()(B�C)=(A()B)�(A()C);
e) (A�B)�C=A�(B�C);
f) A�B=[A\.(A()B)]U[B\.(A()B)];
a) (AUB)xC=(AxC)U(BxC);
b) (A()B)x(C()D)=(AxC)()(BxD);
a) A= {l,
f) S=
7. Iz A�X=A=X=�. Dokazati.
' 2m m, + l
13. S= {/:X
);
e)
(N, + ), (Z, +) , (Q, + ), (R, +);
cx+d
a
e,
i) (R'
}
d, xeR, ad-bc= 1 ;
..
-+Xl!je bijekcija} i
0), a0b=a2b2.
('VJ, gE S)f(x)og (x)=f(g (x)). Dokazati da je (S, o ) grupa.
14. a) Neka je nZ= {n- z l ze ZHn E N). Ispitati da tijelo ili polje. Isto pitanje važi i za strukture:
j). gdje je N skup prirodnih brojeva i
a lb�(3k E N) b= ka (a, bEN).
a, beN;
a:b(mod m}XEA'}c>B'c A';
a)X=R, cf)= R iliX=R", cf)=R (nE N) i vrijedi
(Vx, yE R")x+ y = (xt + Yt• xl+ J2, . .., x. + y.) 1\A.x = (A.x., A.xl, . . . , A.x.), A.ER, x = (x1 Xl, . . ., x. )ER" . b)cf)=C,X=C, c)X=C,cf)=R, d)X je skup svih polinoma stepena �n, c/)=R. 19. Skup G čine funkcije
J. (x)=x, /2 (x)= 1 /x, h, (x}=x/(x- 1 ),
J3 (x)=l-x,
h(x)=l/( 1 -x),
a operacija o definisana je kao u zadatku 12. e). Napišite Kelijevu* tablicu kompozicije za grupoid (G, grupa!
o
Pokazati da su (R, + ), (R ": , · ) grupe koje su izomorfne. (Primjedba:f:R-.R+ definisati saf(x)=2x.)
22.
Dokazati da u komutativnoj grupi G vrijedi:
f) AUB=S=A'()B'=�:J_A'c:B=B'cA.
4. Neka
a=xEA,
b=x EB,
c=xEC
i
formule
a=(a vb) fl(b v e) fl(e v a),
ekvivalentna sa formulom a=� u algebri sudova.
5. a) Proizlazi iz definicije simetrične razlike na osnovu komutativnosti unije.
b) Dokažimo prvo A()(B'\C)=(A()B)'\(A()C). Postupak nastaviti kao u prethodnom zadatku. 6.
a) (x, y)E(AUB)xC=xeAUBAyEC=
=(xeAVxeB)AyEC�(xeAAyeC)V(xeB Ay eC) =(x,y)eAxC V(x,y)EB x C=(x, y)E(A x C)U(B x C). gdje niz ekvivalencija slijedi na osnovu:
definicije Dekanovog proizvoda, definicije unije, distribucije proizvoda i definicije unije, respektivno. Slično se dokazuju i ostale formule.
) i dokažite da je to
(Va, bEG)(VnEZ)(ab)"=a"b".
je
�=(a flb)V(bAc)V(eAa). Tada je Dedekindova formula, prema definiciji jednakosti skupova,
/5(x}=(x - l)/x,
20. Neka je P (S) partitivni skup skupa S i 6. simetrična razlika skupova. Dokazati da je (P (S}, 6.) grupa.
21.
e) A()B=�=(xeA=>xjB)=AcB'=BcA'=AcB';
fl
prema
v.
definicije Dekartovog
7. Pretpostavimo da je Xf�. tj. neka postoji xeX. Tada postoje dvije mogućnosto: t• xEXAxeA=>xjAAX, 2• xeXAxjA=>xeAAX, što je kontradiktorno sa AM =A, te pretpostavka i fl,! otpada. Dakle, X=�.
8. a) =je relacija ekvivalencije na skupu relanih brojeva, , �- �su relacije poretka; b) e: je relacija poretka na P (S); e) = je relacija ekvivalencije u skupu brojeva A e: R; d)
ll u skupu pravih iz R1 je relacija ekvivalencije;
f) relacija poretka; l
g) (a, b)= l =>(b,a)= l:
,
e)
.L
je simetrična;
h) relacija ekvivalencije;
.•
9.]1:y>-+-[(b-a)y+a+b](yE[ -l, l) ..... [a, b]).
RJESENJA 1. Sve formule se na osnovu definicija jednakosti skupova i operacija n, U svode na dokazivanje analognih formula u algebri sudova. Npr.:
d) xeAU(A()B)=xEAV(xeA flxEB}c>xEA; e) xeAU(B()C)=xEAV(xeB fixeC)=
=(xeAVxeB) fl(xEA v xEC)=xE(AUB)()(AUC).
Primjedba: Uporedite ovaj zadatak sa zadatkom 1.1.3!
•
Arthur Cayley (1821- 1895), engleski matema!ičar.
20
2 10. a) Skup svih preslikavanja {f:A>-+8) ={(a, a, a),(a,a, b), (a, b, a), (a, b, b),(b, a, a), (b, a, b), (b,b,a), (b, b, b)},gdje je svaka uređena trojka, u s tvari, (((l ),/(2),/(3)). Sva preslikavanja, osim (a,a, a) i (b, b, b), jesu surjekcije, nema injekcija ni bijelccija; b) u ovom slučaju ima 33=27 preslikavanja. Preslikavanja (((l),f(2),f(3))e{(a, b, e), (a, e, b), (b,a, e), (b, e, a), (e, a,b),(e, b, a)} su surjek tivna i injektivna, tj. bijektivna; e) irna 31=9 preslikavanja . Nema surjekcija, injekcije su (((1),/(2))e {(a, b), (a, e), (b, a), (b, e), (e, a), (e, b)}.
11. yef(AUB)=(3xeAUB)y=f(x)=(3xeA)V (3xeB)
y=f(x)=((3xeA)y=f(x))V((3xe B)y=f(x)}c>(yef(A))V (yef(B)}c>yef(A)U/(8); yef(A()B)=(3xEA()B)y=f(x) I
·
n
()
n- k) n
k= O
23. Dokazati nejednakost l l
n- m
n) = 2"' ( · k m
l
--
('t:fn eN)--+--+ . . + > l. n+ l n + 2 3n+ l
24.
a) Nekaje xk>O z a k = l , n * i
I x1 ;;;; n;
(I "
1
x
O xk = l , tadaje
1
n
---l
l
l
(harmonijska sredina),
Prema tome,
Formula ( l ) dokazana je u 1.1, zadatak l.a).
3. a)
x. x2 Xt x 1 + x 2 + . . . + x.
n
Pretpostavimo suprotno, tj. daje J'i =� racionalan broj i da su p, q relativno prosti cijeli brojevi.
q
Tada je 2 ={lfq2, tj. {l= 2q2 • Odatle se vidi da je p djeljiv brojem 2, tj. p= 2k, k eN . Na osnovu toga je q2 =2k2, pa se zaključuje da je i q djeljivo brojem 2, što je protivno pretpostavci da su p i q relativno prosti brojevi. Dakle, J2' Q.
b) ?retpostavimo da je J2+JJ=re Q. Tada je (JJ)2 = (r-, 'll' ili 3=r- 2rj2+ 2, odnosno
- r-J
� � Q. · J2 =--e Q, što je nemoguće jer prema a) v2 2r
J-2=r1-2,
- '• J2 =3 ili
što je nemoguće, jer su r1/3 ili r1- 2 racionalni brojevi. Prema tome, pretpostavka da
tO'••x=c0a1a2
28
• . • • • •
a,b1b2
. . •
b,, b, . . . b,
a., b, . . .b,,
to• (lO•- t )x = c.a, . . . a,b, . .b,- c0a, . . . a,
ili
x= • Nadalje znak k= l , n znači isto što i k= l, 2, . . . , n.
su JJ'i ili
2 +ji racionalni brojevi otpada, pošto nas je dovela do protivrječnosti (v'l e Q). 4. Neka je x=c0, a1a2 . . . a,b1b2 ...b, beskonačan periodičan decimalni broj. gdje a;(i= Ul i b1(j=T,ii) predstavljaju cifre u decimalnom zapisu broja .x. Sad je
tj.
(aritmetička sredina),
s
e) Pretpostavka da je 3J2= r1 ili 2 +ji =r 2 , gdje u r,, r1 e Q povlači da je
to• x =c.a,a2
-+-+ . . . +
A.
Neka je pex3 +l =0, q =.x +y=O (.x, ye R).
Tada je p'e.x3+ l fO, q'=x+yfO.
k=!
= n=x =x2 = . . . =x.= 1).
k =l k=! b) Neka je x1>0, k=� i H" =
2.
što je i trebalo dokazati.
( m = (n + m) k r-k r ;
n
n-,. 2.
l
q'ex+ yf O=>(x f - y)=>(x3f -yl)=>(x3 +l fO), tj. ( l ) (q'=p'}=(p=>q),
Dokazati: a)
l l U skupu R:A = {xlx�J2), !!= {xix �2), inf A =min A = , s u p A =J2, max A ne postoje.
a ) 427/99,
z
10'(10' - 1 )
b) 23('f)j99,
(zeZ). e) 19616/9900.
29
S.
a) Karak1eris1ične vrijednos1i su {-l, H:
b) t• a l A l z - ii � I ;
g ) Jz-il � ! ;
l < Jz J � 3 ;
13. Izračunati sve vrijednosti korijena iz kompleksnog broja ili riješiti odgovaraju ću binomnu jednačinu:
i) -Tt l ) , C = { zj Re z + Im z E; l ) . U kompleksnoj ravni predočiti A()B()C, AUB, BUC, A()(BUC), (AUB)'.
4. Objasniti geometrijsko značenje relacija: b ) lzi ;;; Re z + l ;
e) l z i E:; Im z + l ;
d) l z - i J - I z + i l �8.
z3 (1, 1), z4 (1, J)), zs( -2, D·
15. Dokazati identitete:
(0,
·- 1
k•O
l+
l
1 - i, z3 = 2 - 3,5i, z4 = - 8i.
i;
2°
16.
ZI
9. 10.
b) lzl = lz + l l, z/; =i;.
-4iz- 7 -4i =O.
Izračunati z=Vt i nacrtati sve njegove vrijednosti u ravni kompleksnih brojeva.
i=}
ifJ.
Grafički 11. Odrediti sve vrijednosti i izraziti ih pomoću vrijednosti predstaviti rješenje zadatka za n= 2, 3, 4, 5, 6. . 12. Izračunati cos2x, sin 2x, cos3x, . . . , cosnx, sinnx (n EN) u zavisnosti od cosx i sinx. ·
-- ) 2k + l
2n
n+ l ;
a+ . s. 1
m
a. a
18. Polazeći od Eulerovih formula
19. e) z2
)
Odrediti Rez, lm z, JzJ,Argz, akoje z = ( l +i)", n EN.
2coscx=e'"+e-'•, 2i sin
zEC,
k
n a)" = 2"cos"-cls-. 2 2 Da li isti identitet vrijedi za n E Z?
z1 = l + i J3, z2 = l + � .
a) z + l zJ = l +i;
+l) (x2 - 2x cos !44° + l );
k�1
('lin E N) ('eta ER) (l +cos
1 -i;
Izračunat i - . z 2 Odrediti tako daje:
l, E=cis (2njn );
2k1t ) +l . n (� - 2xcos 2n+ l
17. Provjeri identitet:
trigonometrijski oblik.
8. Dati su brojevi
(
d) x2"+ 1 - l = (x - l )
3o -1 - i J3. Napisati ih u trigonometrijskom obliku. b) Kompleksne brojeve .J o i 2• pomnožiti neposredno i poslije prelaska u o
(
e) �·+ l = n x2-2xcos
l),
7. a) Dati su kompleksni brojevi: l
·-1
n-
b) x2"- l = (x2 - l ) D x2-2xcos� + l ; n k� l
Naći tačke koje odgovaraju kompleksnim brojevima i odrediti njihov položaj u kompleksnoj ravni:
z1 =i, z2 =
=O, k= t\ k= O,
Dokazati da su rješenja jednačine z"- l z EN. Dati geometrijsko značenje tog rezultata.
n
a) xs - l = (x - l ) (x2 - 2x cos 72°
a) Jz-2I + Jz + 2 l � 6 ;
5. Odrediti kompleksne brojeve koji odgovaraju tačkama: z1 ( l , O)_. z2
6.
14.
b) x6
ex = ei•_ e-i•,
izraziti kao linearne kombinacije sinusa i kosinusa višestrukih u�lova: 3 3 sin x, cos x; sin4 x; cos4 x; sins x, cos5 x; sin2·" x, cos2" x; sin2"+ J x, cos2" + J x.
Provjeriti da struktura
(C'\{0}, o ) gdje je operacija o a·b ('ita, bEC)aob=T ·
predstavlja Abelovu grupu . 20. Ako je
JaJ=JbJ = l ; ab:f -1, dokazati da je z= la+b +ab realan broj .
21. Odrediti četvrto tjeme paralelograma ako su zl> z , z3 tri njegova uzastopna 2 tjemena. 22. Ako su zl> z3 dva naspramna vrha kvadrata u kompleksnoj ravni, odrediti ostale vrhove.
41
40 ,
23. Izračunati sume:
A= l +G)cose+(;)cos 26+ . . . +(:)cos ne; B =G) sin 6+(;) sin 2e + . . . + (:) sinne.
24. Ako je n E N, izračunati: 2 a) s. =G) - 3 G)+3 G)-33 G)+ . . . ; b) S = 1 -3(;)+32(:)-33 (;)+ . . 2 25. Izračunati zbir: sin nx sin x sin 2x . . . +--. S.= l +-+--+ 2 sin x sin x sin" x 26. Pokazati da se korijeni jednačine l'= i (z-2if mogu izraziti u obliku 1t k=O, l, 2, 3. Zk=i+ctg(4k+ 1)6, Riješiti jednačinu z4=i(z+2f. . 27. Po e riješiti jednačinu n (cos k6+isin ke)= I . 28. Dati geometrijski tumačenje jednačine: z- 1 1 =2; b) �z�5 +2il =l. a) � z- l z+ l 29. Dokazati: a)
{zECjz3=_ I . .fi
(I
+i)}={�( 2 v2�+ v2fi)+ �2 (v�2- ·v2fi)..r.
-�Cfl-A)- � (A+ A}· -�+� i};
b) {zeejz"'=i}={ ±�()2+Ji+iJ2=72),
±i(-J2-.fi+i.Ji+J2)}. 30. Neka je z1 =x+6i, z2=x+(5xj6-l)i, gde je XER. Re (z1 z2 )= O. . .. (l+ i)" 2i"-1 (nEZ). 31. ProvJentt rezultat (I +i)"- 2 •
42
. = - 2l + ;.Jj . Izračunati : T a) (a+ bx + cx2)(a + bx2 +ex); b) (a+ b) (a +bx)(a + bx2); e) (a+bx+cxlf+(a+bx2+cx?; d) (axl+ bx)(bx2 +ax).
32. Neka Je x
lzl-z=l +2i; b) lzl+z=2+i.
33. Riješiti jednačine : a) 34.
(3-i)x+(4+2i)y=2+6i, (4+2i)x- (2+ 3i)y=5 +4i; b) (2+ i) x + (2-i)y=6, (3 + 2i)x + (3- 2i) y= 8 ; e) x+ yi-2z= 10, x-y+2iz=20, ix+3iy- (l +i)z=30; d) (l +i)x+(l +2i)y+(l +3i)z+(l +4i)t= l +Si, (3-i)x+ (4-2i)y+ (l+ i)z+4it = 2-i, (x, y, z, t)ER4. Riješiti sistem jednačina:
a)
11t+ 12�. +i)(! +iJ3) ( os a i sin a)=2\IL 'l cis 12 ' b) C7��Yo =29(1-iJ3); e) ( 1 - �-i r=(2-J3)·l; (-J +iJ3)1 S + (-J-i)J)IS 64 d) (J - j)10 (l+ifO - .
35. Provjeriti rezultate: a) (l
c
+
n . n+ l xsin-xfsin-· S= I• sm. kx=sm-2 2 2' n+ l n x T= I coskx= cos --xsin-xjsin-· 2 2 2' n 2 b) I ( ) cos (I + k) x = 2" cos• 2 cos 2 2 x; k•O k n)sin(I +k)x=2"cos•2sin n+2 x; ( I k •�o 2 2 ;, n x (n+2)x e) L. (- t)• ( ) cos ( l + k) x =2" sin" - cos k 2 . 2 ; kEO . X . (n+2)X-Il1t · ;,L. ( - l )k (ll) sm k (l +k)x = 2" sm" 2 sm 2 ; ;, n cos(n + l ) xsinnx 2 n cos(n+l)xsinnx d) ;, . , L. SlO kx =-2smx 2 2 2 sin x . k=t k�tL. COS kX=-+
36. Provjeriti sumacione formule:
x
a)
·�· •
bl
11 +
mt-
Izračunati x ako je
k=O
•
--
.
2
43
37. Dokazati formule :
kn � b) n sin -= v2n + 1/2"; . l 2n+ l• t
•-l kn a) n sin-=.fn/2"-1; t•t
2n
Vl
38. a) Odrediti i rješenje zapisati u algebarskom obliku. (Uputstvo: rijditi jednačinu :xS - l =O algebarski). b) Izračunati cos 18°, sin 18°. 39.
Neka su u i
-u+v
! - Uli
11
kompleksni brojevi, takvi da je
.
.
.
(uv:f l ) ČISlO 1magmaran.
RJEšENJA
l ul= lvl= l. Dokazati da je
l l Ji ll ll
ll ll 1. a) o, s. s, i"' +2kll{keZ), - Sl; 2"
l
4
ll. Kako je r= 1- 1 1 - 1 , q>•arg ( - l )•ll, to su sve vrijednosti
lijevo
e) s- {x, .Y}Ir +l :;i4}- {(x, .Ylllxl �2 "1>'1 �J4-r }. tj. unutrdnjost kružnice i kružnica poluprečnika.2 sa centrom u koordinatnom početku; !) S• {{x, y)p < x2 +l �9), tj. dio ravni izmedu koncentričnih kružnica poluprečnika l i 3 sa centrom u koordinatnom početku i tačke na kružnici poluprečnika 3; g) S• {(x, y)lr+(.Y-1}':;1}, tj. tačke unutar i na krumici poluprcčnika l sa centrom u tački (0, l}; 1) sve tačke kompleksne ravni; j) dto ravni u prvom kvadrantu između poluprave y=xjj (x�O) i .)' - ose.
l . . 4. a) Unutra!nJOSI 1 tačke na er1ps1. r + = l ; 9 5
b) tačka parabole 1=2x+ l i onaj dio ravni određen tom parabolom, koji početak.
ne
sadro koord10atni
s. U op!tem slučaju postoji 1 - l preslikavanje skupa tača.ka Gausove• ravni u skup kompleksnih
A (x, y) •.=; z=x+iy. Prema tome, odgovarajući kompleksni brojevi
z2 •1, z,-1 +l, z4= l +ijj, z, =2+�.
b) (l +1)(1 -1)•2;
• - Carl Friedrich Gaus (1777 - 1 855), njemački matematičar.
44
su: z1•l,
ll+2kll -. 17 - • date sa oo.•cis-v , k•O, n - 1 . n
. 2kll .e J Sve vn dnostt. V' •r.l su: Olt•cis-, k•O, n - 1 . n -
--
ll P rema tome, (0) x, son Jx• (�)cwxsinx-sin,x 3cos2xsin x-sin•x. se:
l' Za
�
" --+2h
a) CD,•ficis -4-3--, k=-0,-2, lJ.. k=O. x,=cis kl•-
•
:XJ•
-
1111
18.
� -e
se 8
' • ' - Je'"'e- .;+ 3e'e - •• • - e->x' e-
(3
_
s , lJ.
•·o
t•O
k
k
t •O
(n- k)
2n CO$
1 2 "+
(-tr·•
2 " ;
sin (2n-2k+ l)x.
k
Operaci ja je interna na asocijativna je, neutralm elemenat inverzni elemenat za a je 4/a (a +O), vrijedi komutativnost, te je odgovor potvrdan. Pošto je aa=lal2 = l i bb=IW • l , lO je a+b l+ab b + (bb) + b ( ) 2 Re(a+b) := ·---• l ' • l l' eR, Jtoje i trebalo dokazati. l +ab 1 +ab l +abl l +ab ll način Po�to je jal = lbl = l, to je a•cis a, b•cis Zato a-P costt+cosP+i(sin a+sinp) cos-2 - eR, (ab + - l •a+P•arg(a·b)f'Jt). l+cos(a+P)+isin(a+Pl cos-a+ P o
C,
a+
a
je 2e C;
aa
�.
e j
..:_ __:_ _ _ __: ..:. . ___
_ _ _
--
1)
2 'i:.' ( - lr ••
--
3, .
Vz•O
=
20. l način
--1n=2·-· n (l -cos-knn )-n=221·-·• ·-•n sin2 -, 2n 2n tj.2 , - n sin-itd. b Dobija analogno polazeći od d. 1 5.d ). 32.
33.
e)
e)
X
36.
e)
•·o
se
x>•-
•
•••
a' - 1
se
•·o
e j
U
·-•
•·o
n
pa
·-•
48
l
•·o
se
•·•
1•1
za
•-
•- •
•· •
49
LINEARNIH JEDNACINA 3. DETERMINANTE I SISTEMI
Za determinanw n-tog reda vrijede slijedeće formule:
Z.
(3)
a,. Au + a,2A,2+ . . . +a._A,. = o.. D.
{
(4)
auAt1+auA21+ . . . +a.lA.1=ol1D, l , i=j, O·1 = ' O, iii
gdje je
1.
Kronekerov• simbol. For� ula (3) za k= i naziva se razvoj determinance D po k-toj vrsti; specijalno za . k = l = l, (3) se svod1 na (2). Formula (4) za k=j predstavlja razvoj determinante D po k-toj koloni.
broj rminantom n-tog reda nazivamo Neka su alj (i, j= i,n) dati brojevi. Dete koji se predstavlja sljedećom shemom:
a11
a12
i=GJ.
(k, j= G),
(k,
·
a�o
Neke osobine determinante:
3.
(i) v:ijedno�t d�terminante se ne mijenja pri njenoj transpoziciji, tj. ako vrste .
razmtJene mJesta sa odgovarajućim kolonama i obmuto.
(l)
(ii) Ako dvije vrste (kolone) razmijene položaj, determinanta mijenja znak.
a.1
a112
a
••
(iii) Ako su dvije vrste (kolone) determinante jednake, onda je D=O.
.
_ tna objašnjenja. a za čiju su definiciju potrebna doda . ( l, n) redn1 brOJ vrste, i = je gdje nte, mina . . nazivaJ·U se element i deter . . BroJievi 0y rmmanta n-tog u kojoj se taj elemenat nalaz1. Dete j (= Gl redni broj kolone i n kolona. reda (za svako n E N) ima n vrsta anta enta ai} deter� nante ( l ) je . det�rmin elem a t . l . Minor ili subdeterminant 1 vrste He m vanJc precn e dobiJ (l) (n_ t )-vog reda koja se iz determinante 1 +�1 Du - označava ) l (lJ= A Broj D11 • j-te kolone i označava se sa . enta aiJ. . brOJ kofa kwr (algebarski komplement) elem laJ vo upra ) koju obrazuje broj a11 je 1.2. Determinanta prvog reda (n= l (n�2 ) nazivamo broj : reda n-tog m anto rmin a 1 1 • Oete
(iv) Det�� inant � se množi brojem ako se jedna i samo jedna vrsta (kolona) pomnož1 t1m broJem. (Kolona, tj. vrsta se množi brojem tako da joj se svi elementi pomnože tim brojem.) (v) Ako su elementi jedne vrste (kolone) proporcionalni elementima neke druge vrste (kolone), tada je D = O.
�
(2)
D =a11 A11 +a12 A12+ . . . a• •A ••,
( l ). gdje smo sa D označili determinantu
se a) Primjenom ove definicije dobije
l
au
al 2
l
=au au - al 2a2t•
1
�
vii) osobine superpozicije: zbir dvije determinante reda n koje imaju (n- l ) . JCdnakth vrst� ( olona) i (možda) različitu i-tu vrstu (kolonu) jednak je . . . determmantt čtJa Je i-ta vrsta jednaka zbiru i-tih vrsta determinanti sabiraka' a preostale vrste ostaju nepromijenjene (kao kod sabiraka).
1 l
(5)
�
••
place (1749
1827), francuski
. • •
x. = b a.1x1 + a.2x2 + . . . +a••
•.
Rješenjem sistema (5) nazivamo bilo koju uređenu n-torku brojeva , tako da je �2
(�l ,
�
gdje se , nte naJveće zasluge pnpadaJU Laplasu 1, 2, . . . , n. Za definiciju. determma : mu teore formulisao slijedeću koji je oko matematičar, r.zičar i astronom . -
Pierre Simon La
, x.),
a21Xt +o22x2 + . . . + o2.x. =b2
inante n-tog refa ekvivalentna sa b) Može se dokazati da je definicija determ D= I ±a1h · a212 . . . a.1 j1, j2, , j. sk�pa indek a sumiranje vrši po svim �rmutac ama
•
• . .
a11x1 +al2x2+ . . . +a1.x.=b1
za n = 2,
alt an a11 °12 ° 13 a21 022 a23 a21 a22 a23 =a11 032 033 -a12 031 o31 a32 a33 za n = 3 itd.
1772.
�
4. Sistem od n line�h a/gebarskih jednačina sa n nepoznatih (x" x2, gdje su a;1 (i, j= l , n) i b1(i= Gl dati brojevi, zapisujemo u obliku
Primjedba:
l
(vi) Determinanta ne mijenja vrijednost ako se jednoj vrsti (koloni) doda druga vrsta (kolon�) prethodno pomnožena nekim brojem. (Vrsti dodajemo vrstu tako da na nJene elemente dodamo odgovarajuće elemente druge vrste.)
• . . .
�.),
anl;t +ai21;2+ . . . +a,.l;. =b" za i= G.
Sistem (5) je sag/asan (kompatibilan) ako postoji bar jedno rješenje tog sistema; u suprotnom se kaže da je sistem nesuglasan (protivrječan).
' Leopold
Kronc:cker (1823-
�·
50 ,
1891 ).
njemački matematičar.
51
Determinantom sistema (5) nazivamo detenninantu D koja za i-tu vrstu ima
koeficijente i-te jednačine sistema (5), a za j-tu kolonu koeficijente uz j-tu
233
3.
Riješiti nejednačinu : X
nepoznatu xr
Determinantom nepoznate x1 nazivamo determinantu D1U= G), koja se dobije iz determinante D sistema (S) kada se njena j-ta kolona (tj. kolona uz nepoznatu x1) zamijeni kolonom na desnoj strani sistema je9načina, tj. kolo nom formiranom od slobodnih članova b1, b2, . . , b" sistema (5). .
S.
Kramerovo* pravilo : Ako za detenninantu .
DJ
xl = fi
U=
J,
D sistema (5) vrijedi D -:f O, tada je
-
Dd O za bar jedno j (=G), tada je sistem (S) nesaglasan. D=O i D1 = 0 za svako j= G moguće je da sistem (5) ima
slučaju ili beskonačno mnogo rješenja ili da nema rješenja. Za precizniji odgovor potreb no je dodatno istraživanje.
6. Sistem linearnih jednačina (5) naziva se homogenim ako su svi slobodni članovi jednaki nuli. Ako je determinanta sistema D -:f O, tada iz (Kramerova pravila) 5. slijedi da je trivijalno rješenje (x" . . . , x.)= (0, . , O) jedinstveno rješenje sistema (
J
X
n)
jedinstveno rješenje sistema (S).
U
0
X
a a b b =a(b-a)(c-b)(d-e). e e e d
l
z l
z2
.
z2
z e) l
Z
z Z
zZ z
• Gabriel Cramer (1704- 1752), švajcarski matematičar.
52
2 JJ2 , . 41t
z2 l . . z , gdJe Je z= --+•-·
. Z=CIS- . , gd'je je 3
S3 •
1.
s.
Izračunati Vandermondovu• determinar�tu :
Tada je D.=cosn9 (neN). Dokazati!
• �-·
a) trougaonu determinantu
O O O ,
b) dijagonalnu determinantu
O O
a11 O O a21 O
a
O
••
9. Dokazati da je D eR, gdje je
i a
D= i
i
a
b jj , J=l=i; (a, b, c e C).
e
e
10. Neka su dati funkcija x�--+f(x) i dvije tačke A (a, f(a)), B (b, f(b)) njenog grafika. Pokazati da je l
X
y
1 a f(a) =0, jednačina tetive kroz tačke A i B. l
b f(b)
ll. Izračunati determinantu a) 5 l l l l 5 l 5 l 5 l
b)
l l l l 5 . Uopštiti rezultat na determinantu reda n čiji su elementi a"=x, a,J= a (i+j).
Dokazati da je determinanta (n+ 1)-vog reda D• • • =
O b1 akoje au = l, i= l, n+ l;
1•1
aiJ =xJ _ 1 ; i=l,;i;j=2, n+ l ; ifj; • Vandermonde A.
54
14. Neka je a11=0(i=G), a ostali elementi determinante n-tog reda jednaki su 1 . Dokazati
Koristeći definiciju determinante, izračunati:
O a11 O a11 a11 O a31 a32 a33
12.
13. Data je tridijagonalna determinanta D.= JalJI • tako da je: a11 =cosa, au=2 cos 9; a1_ 1 • 1 = a1•1_ 1 = l (i =2./i).
T. (1736- t796), francuski ma1ema1ičar.
15. Riješiti sistem jednačina: a) 2x1 - x1 -x3=4
b) x+2y-z= l
e) x+2y-z=2
d) x + y + z+t = O
3x1 + 4x2 - 2x3 = l l 3x1 - 2x2+4x3= l l ;
2x- y-z=O - x + 2y=0;
2x-y-z=0 - x + 2y = l ; 3x-5y+z-3t=l x+6y+3z-7t=2 2x-y-4z+5t=6.
16. Odrediti a e R za koje je sistem linearnih jednačina saglasan i riješiti ga: a) (a-l)x+z=O b) x + y+az+t= l e) x+ y+z=a (a+ ! ) x - ay - z = - 1 x+2y+t=O x+(l +a)y+z=2a y+az= l ; x+t=a x+ y + ( l +a)z=O; ax+z= l ; d) ax+y + z + u = l
x + ay+z+u=a x + y+az+u=al x + y+z+au=a3;
e) x + y+z=6
ax+4y+z=5 6x+(a+2)y+2z= 13.
17. Odrediti a, beR za koje je dati sistem jednačina saglasan i riješiti ga: e) ax+ y+z=4 a) ax+2z=2 b) ax+by+z= l 5x+2y= l x+by+z=3 x+aby+z=b x+2by+z=4. x+by+az = l ; x - 2y+bz=3; 18. Riješiti sistem homogenih jednačina (A. eR): a) 2x+A.y-3z=O
3x -y+5z=O x-2y+(A.+ 7)z=0;
d) 3x- y+z=O
A.x -y+2z=0 x + A.y + (A. + l)z=O;
b) 2x+y-4z=0
3x+5y-7z=O - 4x- 5y- 6z=0; .. Gd 2x+3y-z- t = O x - y -2z-4t=O 3x+y+3z-2t=0 6x+3y-7t=0.
e) x+2y=0
(A.+3)y+z=O x + A.z=O;
55
Provjeriti da sistem
2x1 - 3x2 +4x3 - 3x4 = 0 3x1-x2+ 1 1x3 - 1 3x4=0 4x1 +5x2 - 7x3-2x4=0 13x1- 25x2 +x3 + 1 lx4=0 ima rješenje x1 = x1 = x3 = x4 = l. Da li se bez računanja rrlože 1 vrditi da li je determinanta sistema jednaka nuli (ili je različita od nule)?
20. Dokazati da sistem
ax +by+cz+dt = O bx- ay+dz- ct== O cx-dy-az+bt=O dx +cy-bz-at=O
21.
ima jedinstveno rješenje ako su a, b, e, d ER i (a, b,
Riješiti sistem jednačina: a) x + y+z=a,
e,
d) i= (0, O, O, 0).
b) - x + y+z+t=a,
b) P(- 1 )==0, P(1)==4, P(2)=3, P(3)=6;
e) grafik funkcije y== P(x) prolazi kroz tačke (0, 1), (1, - l ), (2, 5), (3, 37); d) grafik funkcije x P(y) prolazi kroz tačke (5, 0), (- 13, 2), (- l O, 3), (- 2, ==
Riješiti jednačine: a)
x - 3 x+2 x - 1 =0; x+2 x - 4 X x - 1 x+4 x - 5
b)
( ) ( i)
sin x +
�
4
sin x·
l
e)
d)
l -x 2-x l
=0;
e)
al al a, al
56
treba daje:
4.
ko na prvu determinante dodamo ostale kolone, determinanla ne mijenja vrijednost' prema teoremi 3 (vi). Stoga je:
D=
.
J2-2 ; =
'
cosx sin x
a
4
---
l-a
x" X xl l al af a: l al ai � =0; ......... . ........ l a. a! . . . a••
�
�
a2
a3
a.+a.+1-x
l. vrstu
od 2.' i 3. vl"$le)
sinx cosx
a. +l a.+ t a. + t
a1 +a1-x aJ a2+a3 - x al
�� : :l - l: �H� J: � �� =-x2+-3>2x..,. x2+2x-3
l
D, ·
D, •
b lb
4 l 3 l
l
4
D, •
o
o
l b
l b lb 4 4
l
:l"' :\ :l=
�
sistem, prema (l) za D ;o O-=--(o - l)b;oO ""'ajl AbjO
(.x, y, z)•
( 2b- l
b b(o -l )' ,
b{a -1)
).
2
Krameru, ima jedinstveno rjeknJe
j se da sistem ima beskonačno mnogo e (iii) Za o s i Ab•.!, je D=-D,=- D1=D3 =0. Pokazu
2
rjeknja.
• SarTUs, P. F.
(1789 - 1861 ).
sistem je protivrječan.
A+7
pa zbog toga (vidi derllliciju i teor-emu 6) homogeni sistem ima samo trivijalno rjekn'e J za _ A f{ -7, l}, lJ. tada JC (.x, y, z)• (0, O, O) jedinstveno rjeknje sistema. A = 7 sistem se svodi na Za 2.x-7y-3z-O} {2.x-7y-3z•O 3.x-
y+5z=0 =O
.x-2y
•
.x-2y
-o
(gdjeje posljednja jednačina posljedica prve dvije:
.
5 (2.x- 7y- 3z)+5 (3.x- y+Sz)•0-19 (.x- 2y)•O)
Dalcle, za A= - 7 sistem ima beskonačno mnogo rje�nja:
(\fyER)(.x, y, z) (2y, y, Za A= J slično se dobij e
(\fy ER)(.x, y, z)=
( - 2Y, y, �). 19
b) Determina.nta sistema je svako z eR.
e) Za AE {- 2, -
- y).
19
D•O,
te sistem ima netrivijalna rje�nja
(x, y, z)=(l3z/7, 2zf1, z)
za
l) sistem ima netrivijalna rješenja:
, �� =: � l
A
l+A
1 - 2 (A2-4A-2)•0-Ae {2±J6J.
Samo za ove vrijednosti A sistem ima netrivijalna rjeknja. Odrediti ih.
(ii) Za a •l Abj .!, je D =0 A D, jO, te je sistem protivrječan.
(\fzER)(.x, y, z)... (2-z, 2, z) (iv) Za b mO je D= O, D,= l jO,
-2
e) U ovom slučaju je
b \= 4ob +3+8b-4b-6ab-4
2b \: 2b •4b- 2ab-l. (Prema Sarusovu • pravilu)
-,
5 .. (A + 7) (A 1 )
-t
l
d) Iz Df O2b,
-(a -1) ,
2ab-4b+ l
D= 13
(A= -2)(\fz)(.x, y, z)• (2z, -z, z) (A= - 1 ) (\fz ) (.x y, z)•(z, z/2, z).
-(a- l)b,
=t
3� 18. a) Determinanta sistema je 2 A -
3 -1 -1 2 l - l - 2 -4 D= _ = -6 D.,+3D"-OD.> + ( - 7 ) D.. · - 6·55+3·33 - 7 ( - 33), 3 l 3 2 6 3 o -7 tj. o
...o.
.. = - 33 fO,
To znači da dati homogeni sistem ima netrivijalna rjeknj a. Kako je Đ netrivijalna rjeknja dobiju iz sistema
lr + 3y- Z=< t
(*) .x- y-2z=4t
}
to se
3.x+ y+3z=2t
6 =D.. = - 33,
sa tri nepoznate .x, y, z za proizvoljnu vrijednost
,-
t.
Determinanta tog sistema je
a determinante nepoznatih
6,�- t -D. �
55
6 , � t D.2�33t
6 , = 22t
...(.x, y, z, t)•
Gl, -t, -�t. r).
(za svako
teR).
,
.. 'h 19• PoSto siste · m 1ma netrtVtJa1m fJCŠCDJ3. to je D•O. Ukoliko bi bilo suprotno D#'O. onda bi prema ·
·
·
Kramerovu pravilu sistem imao jedinstveno, trivijalno rje!enje
62 ,
(.x1, x2, x,, x.) • (0, O, O, 0).
63
u prve tri · d koeficijenata iz prve tri jednae.inc formata 3 x 3 sastavlJena 0 . . ći lcao pot' zvoljnu vn;,. dnost. Zatim Po!to je detcrminanta ��" • "' x x UZimaJU x. r . 'ed � ..-•· . . č a.ne po x... ,, '' nepoznate, nJcollt prve tn J n 1·nu· rtu Jcdna će tv al u, t preos ava ol provjeriti da tako dobijeno ri*nje zadov J
- +ll +cl+d')fO. 20. Oeterminanta�sistema je D - (a'
+ck, 21. a) (x, y, z)• 3 (a+b+c, a+ bk'
a+bk +ck'). . metodom.
, emo sve t Na drugi način se dob )e ako saber ili' najzad, Rje!enje se mofe dobiti Kramerov1m k sa treću a k' sa 1 žir u g to smo dru čine, ili saberemo sve jednačine po� j edoa k• 8 t�eću sa Je'. Pri tome se ćtnu pomnol l na drugu JCd saberemo jednačine polto smo O. s k' primjenjuje uslov l +k+
po;;��
4. VEKTORSKA ALGEBRA
t.
l
, . . · .. · ačine 1 dobili ,JCdnačmu metod Ih sabrau sve JCdn erov Kram gdje je s•a+ b+c+ d. Primijeniti . . 2(x+ y+z +r)- s. . . . t. ' n čioe te odredJU a edn )=-3, moguće je dobili tn J 9,f(2 1) ./(l}=l a:f( uslov ":' 22. a) Iz tri data na stepe g drugo J ru pomom nepoznata koeficijenta, pa je traže
b)
(x, y, z, r)--(s- 2a, s- 2b, s-2c, s-'ld) 4
.
Y'" P, (x)=ar+bx+c. čina Iz datih uslova dobije se sis1em jedna
a + b+c• - 1 } a - b +e= 9 -(a, b, c)�(l, -5, 3), 4a+ 2b+ c• - 3
b)
23. al
y• p (x)•x'- 5x+ 3;
e) y=3xl- Sx2 +1; d) x=I- 3/-Sy+S. y•2.xl-Sx'+7; ostalih, dobije se dtjagonalna 2 lklt, k E; N· e) ako se prva vrsta oduzme od svih lt x=-· b) x = ±-+ •
6 J' svodi na determinanca, 1alco da se jednačina O. I , 2, . , n- l } . O=xd -x)= . (n-1 . . . x) (2 . . x) l ( -x .. ..jCŠIII DovoljnO JC zakljUČili a da se ne ·IZf.ačuna determinaoca. , r mofe t za je Primjedba: Jednačina e) se Tako na. korije . l n-to ste · OJ onda ima tačno n � a. da se radi o algebarskoj jedoačl� )-va kolon ;,. dnake prva i (k+2 'r su J·O; . a .... nu l, J . Jr mmanta .JCdn deter data n} k l {o • E; • . ' : ·•. etermmantu . x . sračunau d j t · ma, polioo izaciju faktor • 1 t' a • ce .JC • zapis Jasno. otknva1ućl sve nule, mogu Koristiti to u d) i e) te dokazau:
..
��
d) konjeni su x1:sa.,
x1:=al, . . ., �.=a
•.
.
��
AB, gdje su A i B respektivno A i B, tj. mjerni broj duži AB � � .--. ---+ nazivamo modu/om ili intenzitetom vektora AB =a u oznaci l al =j ABI. Pravac na kome se nalaze tačke A i B naziva se pravac ili nosač vektora a. Smjer od A ka B (određen je strelicom kod B) nazivamo smjerom vektora a. Dva vektora a i b su jednaka, tj. a =b ako i samo ako imaju jednake intenzitete, početak i kraj vektora
....
a.
Rastojanje tačaka
...
2.
�
...
-+
...
paralelne pravce i isti smjer.
.... ...
nula vektor O (l OI = 0). � -+ _. .... Vekt1:>r BA = - a nazivamo suprotnim vektorom vektora a= AB. .... --+ -. � Neka su a = AB i b= BC dati vektori, ti. b je postavljen tako da ima početak u ... -.. -. krajnjoj tački vektora a. Tada je --:-:2' Ac;= e-t zbir vektora a i b. Na taj način (pravilo
3. Vektor kod koga se krajnja i početna tačka poklapaju je 4.
ej.
-+
--+
Vektorom AB = a smatraćemo orijentisanu duž
-+
trougla za sabiranje): ...
.....
... -+
....
-+
(* ) (t'a, b)(3e)e=a+b. Lako se dokazuju slijedeće osobine sabiranja v ektora : 4
....
.....
....,.
a+b=b+a,... ... -+ ..." .... � (ii) (a+b)+e=a+(b+e), .... ... ... (iii) a+O=a, .... ... (iv) a + (-a)=O, .... ... ... gdje su a, b i e bilo kakvi vektori (tj. s.kup V svih vektora je Abelova grupa u (i)
...
odnosu na operaciju sabiranja vektora).
S. Oduzimanje vektora se definiše jednakošću ...
-+
Jf-+ a-b= a+(- b).
....
Ako
se
...
.
-+
vektori a i b dovedu na zajednički početak tako da je _,.
._.
-+
i
...
-+
-+
6. Proizvod broja k (ER) i vektora a, u oznaci
(i) intenzitet
lk ;l = lk l l;l,
...
�
....
.___.
a=AB i b=AD,
a - b...= DB, gdje je četvorougao ABCD ... konstruisan nad vektorima a i b (pravilo paralelograma). onda je
a+b=AC
....
paralelogram
...
ka, jeste vektor za koji je:
...
(ii) pravac je pravac vektora a,
64
1 Zbtrk_a
ri,ieknih zadat1b
65
....
da li je ru vektora a već prema tome (iii) smjer je isti ili suprotan smje
k ... .... _.. P okazati da vektori -+ m , n, p takođe obrazuju bazu. Naći -+ koordinate vektora x u -+ .... .... 0dnosu na bazu (m, n, p). __,.
m
-+
69
68 ,
--;
-;.
.... ....
-.
....
....
.. ..
26. Izračunati � (a, e)= 9, gdje je
12. a) Isto kao u prethodnom zadatku, ako je m = a+2b-e, n = a - b, -t
....
_,. _,.
....
..,
...,.
p=2b+3e, x =a+b+e.
13. 14.
(a, b, e) po bazi (m, n, p).
b) Razložiti vektore baze
....
.... .... ....
_,. _,.
.... �
Ako su a, b, e komplanami, tada su komplanami i vektori a+b, b+e, ...,.
...,.
...,.
....
Ispitati da li je vektor d=a_-2b+e linearna kombinaCIJa vektora : ...,.
....
-+
�
...
_,.
� _,
ll
....
....
e+a.
....
a+b, 3a+e; b) 3a-b-e, a+b-e, . gdje su a, b, e nekomplanami vekton. 15. Ako su A1, B., C1 redom sredine strana BC, CA, AB trokuta ABC, dokazati: a) 2AB + 3BC +CA = 2C1C, b) AA1 +BB, +CC1 = 0. a)
� � �
---+
---+
_,..
---;
16. Izračunati vrijednost skalara ---+ ___,.
17.
._.,. __.....
---+
._..
---+
....
a
� �
a=AB ·CD+AC · DB+AD·BC, gdje su A, B, C, D tačke u prostoru. Neka su date tačke M1 i M Na duži M,M2 2•
vrijedi:
....
....
(l)
20. Odrediti silu
F ako je
�
...
...,.
....
_,
�
Koji ugao zat araju vektori ..... �
30.
..,.
..."
(a- 2b).L(2a +b).
odrediti tačku
M,
takvu da
34.
.
.
•
a= ( l , l, m), b= (l, ...
vrijednost broja m.
36.
'+
_..,
u=2i + 3j - 6k. vektori a = (u, l , -2), b = (- l , �
.
-?
�
70
_"
....
..
...
...
...
37.
3, v) __"
MN,
k, tako da vektori a = (- 1 , 3, 2), b=(2, k, -4), c = (k, 12, 6) budu komplanarni. Za veće nađeno k vektor a razložiti po pravcima vektora b i e. Odrediti parametar
-.
�
_,.
---t- ...,
.__" ....
..."
_"
..
ABCD i visinu koja odgovara strani ABC ako je B (2, O, - l), C( - l, - 2, l), D (2, O, 0). Ako su zadane tri tačke A (r.); B(r2). C (r3), dokazati da je površina ll ABC A (l,
- l , 0),
..
t
...
...
..
....
....
...,.
-t
....
P= 2 lr1 xr2+r1 x r3+r3x r.j.
Na pravcu vektora 8i +9j- 12k od tačke M (2, - l, 7) nanesena je duž tako da je IMNI =34. Odrediti koordinate tačke N.
25.
-+ ....
l, m+ l), e = ( l , - l , m) nisu komplanami ni za koju realnu
1t
24.
�
...
Pokazati da vektori ...
Odrediti parametre kolinearni.
..,
...
Odrediti rastojanje ravni od koordinatnog početka.
23.
tako da su
(;+b).L(2;-b)
- 1, 1), C (1 , 3, - 2). Odrediti ort normale na ravni određenoj ovim trima tačkama.
Ox i Oy, a sa osom Oz obrazuje dva puta veći ugao,
v,
ako je istovremeno
35. Odrediti zapreminu tetraedra
--.
i
b
33. Dat• su vekton položaJa a= OB, b = OB, e = OC tačaka A ( l , l , - 2), B (2,
21. Odrediti jedinični vektor koji obrazuje jednake uglove s koordinatnim osama
u
i
32. Dokazati adicioni teorem sa sinus i kosinus koristeći proizvode vektora.
... .. -.. 2n .. -.. 2n -.. IFI =6, a= � (i, f)= ) · �= �u. F)= ) · �(k, F)= 4 .
�
;
a=2i +j- k, b = -i +j -1k.
- l, 3), c = (3, 2, 1).
..
_..,
29. Dijagonale paralelograma su ortogonalne ako i samo ako je paralelogram romb.
�
22. Odrediti jedinične vektore kolinearne vektoru
...
aa+�b+ ye=O, a+�+y =O, (a, �. Y):/: (0, O, 0).
....
....
�
...
dokazati da im krajevi leže na jednoj pravoj ako i samo ako je
,..
R =a+b+e vektora a=(2, 3, -2), b=(l,
... .....
... ... ...
Odrediti veličinu i pravac rezu1tante
_"
...
31. Izračunati površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima
l M1 M l =A, gdje je A dati pozitivan broj. IMM2 1 . Posebno odredi srednju tačku S duži M1M2• 18. Odrediti koordinate težišta trougla ABC (u prostoru). 19.
a=Si- 12j, b = -4i + 3j +2k -.;6. r; 27. Ako je..J; = JO i projekcija tog vektora na osi � a.= - 5,6, odrediti ugao J (j)= � (u, a) između tog vektora i ose. 28. Neka su dati vektori a, b, e. Ako su vektori dovedeni na zajednički početak, ....
_... _,. _,.
.... .... ....
38 ·
a) Odrediti komponentu vektora b) Za
; nonnalnu na vektor ;.
ll ABC se zna IABI =2, ICAI =3, a= � (AB, AC)=�.
3 Odrediti ugao između visine i težišne linije povučenih iz vrha
A
ABC. ---+ ---+ --+ ---+ U llABC dato je IABj=2, jACj=5, �(AB, AC)= 1t · 3 Izračunati ugao između težišnica povučenih iz vrhova A i B.
trougla
39. Izračunati zapreminu paralelepipeda konstruisanog nad vektorima _" _,.
-+
....
-+ P==a+b+e, q=a+b-e, r =a-b+c . . . Odred111 orijentaciju trijedra (p, q, r) ako je trijedar (a, b, e) desne orijentacije. ....
-+
-+
-+ -+
-+
-+
.. ... ...
... .... ...
.
71
....
40. Neka je a = ( l , l , l), b = ( l , 2, 0), c = (l, l, ....
....
- 1 ).
.... --. a) Izračunati a · (2b+a); cos� (a - b, a+b); pr; _ -;; (b- 2b). ....
--+
....
-.
....
.... ....
....
�
b) Naći komponentu vektora a normalnu na b-c. �
e)
..
. . .... .... 13b+4c) ortogonalm Pokazati da su vektori (2a-b+e, 2a-5b+6c, l la... ... i da čine bazu. ... ....
...
.
u odnosu na bazu zadanu u e). . . .. . .. IZraza težišne liDIJe trougla ABC. Izračunali Vrijednost
..... d) Naći koordinate svakog od vektora
41. Neka su
-+
-+
�
a, b, e
-+ -+
....
gdje su
u
...
.... .... .... .... .... a = u + 2v, b= 5u- 4v,
56. Neka su u, ....
....
v) ako je a .Lb.
4S. Ako je simetrala ugla trougla normalna na suprotnu stranu, trougao je jednakokraki. Dokazati.
...
...
.....
.....
..
.
--t
---+
e), y= � (e, a). Dokazati da je jednakost ....
t
coscx cosy l cos� coscx l cosy cos�
b, �. -i'M'A+Ai>·Mii. M'A ·'MC -MĐ · Mii =M'A·('Mv+vc DA). = Ai·i =Ai·ĐA -o0) (Vx e R)/(x+p)=/(x).
Tada kažemo da je J periodična funkcija i da je pozitivan broj
f
Ako postoji najmanji (pozitivan) broj naziva osnovni period funkcije f
gdje su X y bilo .. . . . likavanje f:X Y, Ih nkCIJU � li funkcije realne � smo definisa pojmom realne 1. U glavi l pozaba � mo se diJelu , onda pod ovom drukčije U kakvi skupovi . R Ako ne kažemo realne m kad su X� y e slučaje funkciju tj. nljive, realnu promje - amo nadalje zumiJev podra . f e pOJmOm funkcij'
�:
....
•
.
�
) y=f(x), y=f(x) . (vx e X e R ) (3lye Y e fzadana formulom . samo da Je funkcija cemo y rw za funkciju f:X-+ eksplicitno . . . · dnakost oblika e uslovima za J Pod odredemm
YeR) F (x,y) = O (x eXeR, ye li itno. funkciju y=f(x) imp c . . r.' kažemo da definiše J R 1' nazivamo gra e R y=!(x) E eX x y) čije ravni \ tačaka" G = {·(x, Skup čku u Dekartovoj ·ka" oznacava ta vdje "tac O Y. X-+ _ funkcije" J: y) koordinate parOVI (x, . .ako ena odozgo na E (eX) Funkcija Jje ogranič R ... . . X . e . J . 4. Neka J , (3M e R) (VX E E) / (x) /(x) (i) (iv) x < y =>f(x) ?J(y) ) ; ajuća (ii) x < y=>f(x) . . de za svako x y E E; tada kažemo da je .. ('') - Y_ . CIJe (1v) vnJe strogo implika gdje . • . ' .l (iii) kažemo da je funkcija tom slucaJU (') U E a n na monoto
se T
[nT, (n+ l ) T). gdje je n e Z, (nfO).
ye
�
T, koji je period funkcije J, tada
Ako je/periodična s osnovnim periodom T, dovoljno je poznavati njen grafik u nekom intervalu širine T, npr. [0, T) (il i uopšte u [a, a+ T)). Potpun grafik se dobije sukcesivnim pomjeranjem na sve intervale oblika
promjenljive.
2. Umjesto iskaza
p periodfunkcije
12·
naziva se eliminacija parametra e.
Neka je f: [a, bJ-+ [A, B] strogo monotona i sirjekcija. Tada postoji inverzno preslikavanje } 1 :[A, B]-+[a, b] koje je sirjektivno i strogo monotono na [A, B] (u istom smislu kao i j).
�eka jej:X-+ O), dokazati daje
f(x + Y) +f(x- y) =2f(x)f(y).
10. Ispitati da li su slijedeće funkcije ograničene (u datim oblastima): l xl - 8 2x+ l a) f(x)=-+2 x- l, x>O; b)f(x)= �, xeR- c)f(x)=- xeR· X x- + 4 ' x2+2' '
lt.
d) f(x)=tfxl- 3x+2, x< - l ; e)f(x)=arc tg(lnx+xl -.!_+2), xeR+.
Odrediti f(x) ako je:
a) f(x+ l ) = x2 - 3x+2;
G)
e) �
( ) (x: )
X
b)f x +.!.. =x2+.2._; x x2
= x + fi+? (x>O);
1 =x2.
d)/
12. Dokazati da su slijedeće funkcije monotone na datom razmaku�
a) f(x)=x2, x�O; e) /(x)=tgx, x e
[
]
b)J(x)=sinx x e - � � · ' 2' 2 '
(-�, �}
d)f(x)=2x+sinx, x e R ;
e) /(x)=x1, x � O ; f)f(x)=cosx, x e [O, rt]; g) /(x)=ctgx, x e (O, rt); h)f(x)=e-x, x e R .
13• Neka su q> (x), lj! (x) i f(x) monotono rastuće funkcije. Dokazati da vrijedi •mplikacija
Ako jef(x)=ax2 +bx+c, dokazati da je
6. Da li su jednake funkcije:
funkcija :
.Jx.
3. Funkcija y = sgn x definisana je na slijedeći način: xO.
4.
7. Ako je funkcija x-+/(x) definisana na [0, lJ, odrediti oblast definisanosti
b) f(x)=X
X
•
1
h (x)= l ;
d) f(x)=sin2x+cos2x i h (x) = l ;
q> (x)�(x) � lj! (x) =q> (q> (x)) �(f(x)) � lj! (lj! (x)). 14• Odrediti intervale monotonosti slijedećih funkcija: a) /(x)=ax+b; b)f(x)=ax2+bx+c;
e)f(x)=a" (a>O). 89
88 ..
,
15. Odrediti q> (q> (x)), lj! (lj! (x)), q> (lj! (x)) i lj! (q> (x)) ako je :
q>(x } =
{
O, x �O. , (x)= > O, ljl X, X -
{
_
O, x�O. >0 X2 , X -
23.
•
. (x)) . . . )/ 16. Neka jef. (x)=/lf( . . � n
puta
Odrediti f.(x) akojef(x)=
24.
jiX
l +�
.
e)
h) f(x)= q> (x)+ O);
-x, x e ( - 1 , 0),
fl f(x)=- (e"+e-"), x e R; , (ili xeR0); g)f(x)=-=!__ 2 e"+e-x' x , - oo < x < l , h ) f(x)= x2, l �x�4, 2", 4 < x < oo ;
x1+ l); k)f( x)= log. (x+J"
f)
{
- , x=f= - l ; e)f(x) = - (e" -e-")' x e R · d) f(x) =1 +x 2
g)f(x)=ln lxl; i) f(x)= ql (x)- q> ( - x);
f)f(x)= - 1 :
e) /(x)=ixl;
f(x) =
l-x
b) f(x) = (a" +a-..)/2;
f(x)= J l + x + � - J l - x+x 1;
J4-
Odrediti inverznu funkciju funkcije
a) f(x)=x3, x e R ;
17. Ispitati koja je od datih funkcija parna, odnosno neparna: a) f(x)= .x5 + 2x3- 7x;
date funkcije:
[- 2, O] 3Xt-+.ft (x)= J4- x1 ; [0, 2) 3 xt-t/2 (x) = xl. Pokazati da svaka od funkcija .ft , f2 ima inverznu funkciJ·u i odredit t. 1· 11 .
l b) q>(x)= sgnx, \j!(x)= -; X
a) q> (x)=x \ ljl (x)=2 ":
e)
22. Neka su
Y
j
b) odrediti oblast defi nisanost i funkci e
e) ispitati parnost funkcije y = y (x);
d) odrediti y = y (x =
-
3 );
e) odredi inverznu funkciju funkcije y= y (x). . · · 26. U sliJ.edeć·un zadac1ma · e,1mm tsa1 ·1 parametar e i naći direktnu zavi snost izmeđ u . X l y:
� ( i) ( }
a) X = 1 2 - 2t + l , y = t2 - t - 2;
e) x=sinc-cosc+ l, y=tg r -
,
b) x = (e' + e-'), Y "" t + e';
+ctg c - i
91
27.
Dokazati slijedeće identitete:
33.
b) arc tgx + arcctgx =2 ; a) arc sm x +arc cos x = 2 ; x , (x:f ± l ); g x==arct arcsin d) in e) arct gx== arcs xl l J l + x2 xch y±c hxs h y; e) ch (x ±Y) =cb xch y±s h x sh y; sh (x ±y) ==sh f) (ch x±s hx)" =ch nx± shnx, (neN ). vnih elementarnih funkcija: 28. 1° Nacrtaj grafike osno 1.1. .x' (re R) (stepena funkcija); 1.2. a< (a> O) (eksponencijalna funkcija); log. x (a> O) (logaritamska funkcija); onometrijske funkcije); 1.3. sinx, cosx, tgx, ctgx (sec x, cosecx) (trig trijske funkcije); ome arc sin x, arc cos x, arc tg x, arc ctgx, (cikl ; 1.4. sh x, ch x, th x, ct h x (hiperbolne funkcije) cije). funk a (are x h arct arsh x, arch x, arth x, y==f(x), nacrtati grafike cije funk rne enta 2° Primjenjujući grafike elem funkcija: 2.3. y=JJ(x) ; 2.2. y=V (x)!; 2.1. y= f x) ; (x- a), (aeR). 2.4. y=lnf(x); 2.5. y=sgnf(x); 2.6. y=f cije Nacrtati grafike funkcija: 29. Neka su y=f(x) i y=g (x) elementarne funk . f(x) d) y=f(g (x)). ; e) y= b) y=f(x)· g (x); g (x) a) y=f (x)± g (x); metarski: 30. Nacrtati grafik funkcije y==f(x) zadane para ca); a) x=a cost , y=a sin t, t e [O. 2n) (kružni b) x=a cos t, y=b sint, t e [O, 2n] (elipsa); (cikloida); e) x = a(t- sin t), y=a (l- cost ) (astroida); d) x=a cos3 t, y=a sin3 t (hiperbola). e) x==a ch t, y=b sh 1 cija : 31. Nacrtaj grafike slijedećih funk y=6 cosx +8s inx; a) y= Jl +x + 2 Jx- Ji+x- 2 Jx; b) l e) y=arcsinsinx; csin--; e) y= ! x - 3 1 - lxl ; d) y=ar x - 1 f) x = lt + q - 2, y == t2 - 3 . formulom 32. Nacrtati grafik funkcije zadane l y==arctg l . x 1t
.
�;
:
92
1t
34.
35.
36.
Odrediti osnovni period funkcije: l . a) y=sm4x; b) y= cos(3nxf4); e) y=tg(3x+ n); 2 e) Y=ltsx+ctg2xj; d) y= in2 (x- 1/2); � f) y=smx+cos2x; g) y=cos2xsin6x.
Pokazati da su slijedeće funkcije neperiodične: 3o y= sinxcos v2x. 1 ° y=sinx2; 2o y=tg�.. r:;x Odrediti oblast definisanosti funkcije: a) y=ctg2xjsin (x/3); b)y=�; e) y= (sinx- 2 sin2 xtll•; · (xl2 - l )+arccos ( l - xf2); d) y=arccos (3-x)·' e ) y - arcsm f) y=lncosx; g)y=Jinsinx.
Odrediti skup vrijednosti funkcije:
( 3)
4 x; a) y = 1 - 2 lcosx!; b) y=sinx+sin x+� · e) Y - sm · • x+cos •
_
- 1t- larc tg xl ; d) y=(l +sinx)jsinx; e) y=arccos jxl· f) y g) y=cosarcsinx; h) y= arc tg (2x/(xl + 1 ). 37. Koja od f kcija je parna, odnosno neparna ili ni parna ni ne Pa rna.. � a) y=x+smx; b) y=r-cosx; e) y=sinxtgx·· d ) y= ( 1 -x2)cos x; e) y= (l +cos x)ctgx; f) y= ( l +sin x)jsin x· �) y=cos(x+ l); h) y=sin5x+cos3x; i) y=arcsinx2 '. J) y=�arc cos (- x); k) y= arccos lx l; l) y= jare tgxj; . m) y -arccos(cosx); n) y=cos (arccosx)· o) y - arc sm x +arccosx. · ff, maxJ, mmf(ako · 38. Odrediti skup/, 10 postoje): a) Y=4sin2 x- 12sinx+5; b) y = v'l/2-sin x ; cosx e) Y ; d)y=ti x +ctgl x; l +cosx e) := �osx tgx; f) y = arc tg (lfx); g) y= arc tg jxj . 39• Ispitah monotonost funkcija: a) Y= l/cosx, xe [ - rr, rrJ 1 xl +2; b) y=sin(l/x), x�2/3rc; 7t •
•
•
•
•
•
•
Y=arctg(I/x) · d) y=arccos lx l ; e) y=sin (x/JI +r)· Y=cos(xzf(l +xl)); g) y=arctgx-x. Nacrtat1' grafik funkcije: a) Y=sin x+ J3 cosx,· b) y = 2 sin (3x+rc); e) y=jcosxj; e)
•
f)
40•
,
•
93
d) y==tgxctgx; e) y == sinx i y = JJ - cos2 x; f) y=cos(sinx); g) y = 2s n .< ; h) y=log�sinx; i) y==arccoscosx; j) y==arctglx- JI; k) y= � da za Ako slijedeće definicije funkcija vrijede za x >O, produžiti definiciju, tako bude: x�O - funkcija b) nepama; nacrtati grafik takve funk:Cije: a) parna; 3o y= l/Jl + t!f x; 2° y=ctgx; t• y = l +sinx; 4° y= arccos2x; 5 ° y=ar ctg(x - 1 ) .
i
41.
RJESENJA
l.
l
-l);
a) E,= {xjx+ ;OO) =R'\{ b) E,= {xj2r-x- l �O}={x12 (x-l)(x+�o}
-nu[l.
+ool: ={xlx�-�vx� l}=(-oo. e) E,= {.xjr-4>0)=(-oo, -2)U(2, +oo); d) E,={xj.x+2>0)(){xjx-2>0) =(2, +oo); e) f)
E.=
{xjcosr �O}={xl-�+2klt�r��+2klt,
R j
J
ke Z}=
g) E,= {+��sinx�U={xlk!t-i�.x�k!t+i, ke4 h) E,={xlln.x>O) = {xjx> l}=(l, oo); i) E,= {xjlnln .x>Ol = {xjln.x> l l - {.xjx>e) =(e, oo); j) E,= {xllntgx�OJ {.xjtgx> l ={xlk!t+� x y+x y-x cos->0, siny- sinx .. 2 sin2 2 lxl+IYI ;:;;-lt , lt y+x � � y-x -l fl l po§to J·e 0 '
x /, (x)=/(f (x)) =-· Jt +x>
. Jt +2r {:l;1+-
. Dk 0 aza ćemo mdukc ijom da je
l
x
l + x'
Jt +nx'
{l ) f.(x)=_:__. 1 Zbirka ..
'•JCknil\ tadatab ,
97
Fonnula (l) vrijedi /.., (x)•/(/.(x))•
tj.
za n • l . Prctpostavimo li da je (l) tačno za neko n (;ilo l), onda slijedi X
J
Jl +nr
l
l+n
x'
l+nr
-
X
Jt +(n+l)x '
fonnula je tačna i za n + l. Dokaz indukcijom je kompletiran.
e), d), i), b), e), r), g), b), j), l); neparne su funkcije u a), 11. Parne su funkcije, tj. vrijedif(-x)�J(x) u -f(x). � k), polto tada vrijedif(-x) 2��: l . . . 1 2��: (l -cos2x), tc Je T•l •n; 18. a) T• ; b) T• 2��:; e) T-6��:; d) sm x� 2 X b) nie j periodična; e) nije periodična; f) T•��:; g) nije periodična; i) vrijedi x(x+r)•x(x) najmanje takvo r> O;
za
j) 1'•nfa; k) Ta l;
ali ne postoji svako reQ, tako da je period bilo koje r>OIIrEQ,
l
2n n 3 l -; n2 2x=-+-cos4x, tako da je T---2 l) /(x)• (sin2 x+cos' x)'--si 4 4 4 2 lt s 3 j T· · x)=Š + Š cos4x, tako da e m)f(x)• (sin' x+cos' x)'- 3 sin' xcos' x (sin' x +cos' 2 2x1 -3
2x1 - 3
•-19. lz/(x.)•f(x2), tj. -x -1 x -1
Odgovarajuće invcro�c funkcije dobijemo po uobičajenom postupku - transkripcijom x-y: t• X•.f. (y)e y + l (y�O)•y• -,J;:I•fl ' (x), x � l ; 2• x�Jl (y)=Y + l (y;:O)-y•,J;:I•fi'' (x), x � l , (nacrtati odgovarajuće grafike).
m x-y dobije se 21. Transkripcijo tj. ljehvanjem po y dobijemo
4-x', xe(O, 2); y�fl' (x)=J
y�J,-• (x)= - J 4-x', xe(O, 2).
{
2 x+2,xe[-2, - 1 ) ' J. F (x)� -x, xe(O, 1). 24. a) Jje strogo rastuća na E, (/)• R sa skupom slika
E,(f)�R. ltlaziF' (xl•Vx, E, (r'J•E,(r'l•R; b) nema invero�u,jcr jeJ(-1 )•/( 1 ) • 1 , tj. funkcija nije· bijekcija; l-x
J(x)- � r· (x)�
Ito znači da jef:R'\{1 } .....R injektivno.
2x-3 Rije!imo jednakost y•f(x)a-- po x. Dobijamo x-l
je
l -x
�
strogo
opadajuća
(xi l);
(vidjeti
zad.
14.
d)
grafik).
Izlazi
i
�rema tome, funkcija/(x)•sbx je strogo rastuća na R. Zato postoji {vidi teorcmu l l ) njena IDVCrDia funkcija
r• {X)•&rsh x.
Funkciju arsbx dobićemo a.ko iz sby•x•!{er-e-')
Zamjenom slova x-y dobije se
2
x-3
r • (x)--, tj.
izrazimo Y=F' {x)•arsbx. Poslije množenja sa 2e', dobijemo
gdje je E, (F')•E,(f)-R'\{2! i E, (F')�E.(/)=R'\{1}.
Po!to
x-2
r'-2xe'- 1 -0, tj. e'•x±Jx'+ l .
F' :R'\{2) -R'\{1 !.
funkcije y�J(x) •
Sx-3
4x-S ·
f)
Sx-3 . Sy-3 .. .. CIJI k -, odakle se dOblJC y-J-' (x)•--•f(x), lJ. •'un lzvriimo transkripciju x-y: Imamo, x•4x-S 4y-S (sama sebi) u odnosu oa pravu y•x. Jje sama sebi invCrDta. Zato je simetrična
inverznu funkciju, jer npr. ( - l , 2)e/i (1, 2)ef, paf nije 21. Funkcija f:(x, x'+l)e RxR• nema bijekcija. Restrikcije funkcije l y•.f. (x)•x' +l, xe (- oo, O)
nacrtati
po!to je e'+e-'>0, er-·- 1 >0 (y-x>O).
y-J
20. Odredimo invero�u funkciju date
ili
e) za y>x (x, YER) jeJ(y)-J(x)- {r+e-')(e'-·- 1)>0.
• (yeR'\{2}). y-2 y- 3 Dakle, x•q>(y)· • yeR'\{2} je inverzna funkcija funkcijeJ. y- 2
x-
r• :x....Jx sa R; na R;;
e) f:x ....x' . strogo rastuća sa R; na R;, te je
d)
1 l •(2x1 - 3)(x1- 3)• (2x1- 3)(x1 - 3)=>x1 �x,,
'
4- Y •x(y�O);.h (y)•J 4- y' •x(y�O), J. (yJ=J
nastup1t1. Dakle, e'-x+Jx'+ l , tj. y-arsbx-ln {x+#+i") (sa R 08 R); anaJogoo, kao kod sb x, dobije se:
1•
Y-chx (sa R; na [1, oo)
2•
za Y�cbx-
x' - 1 )(x� l); Y=arcb x-ln (x+J
Y=
�
(e'+e-•) (sa Ri na (t,
c:o)) dobije se inverzna funkcija
-arcb xaln (x-,J;i'=t) (x� l; y�O);
sbx .. g) Funk CIJa ye tbx(sa R na ( - 1 , l))je strogo rastuća, te ima invero�u cbx
(-l, l):lx.....artb x- �ln.!..::. E R' 2 1-x '
y•/2 (x)•x' + l , xe (O, + oo )
. rastuća) u oblasti definisanosti, te imaju inverzne funkcije su strogo monotone u; opadajuća, f1
�.za svako x+O, x'+ l >xl, to je x-#+1 o• < -y
s.nx+ 2 :T' (x ) ) f(x)• �
f)) x•ch r-c - ±ln (x+Jr - l), to je rezultat eliminacije
11 - (sin r+cosl)(sinl-cost)'
11 . 1-- SID
27. a) Smjenom
b)
o)
�l, - :ta 1 O}=U(±oo, M) naziva M - okolina tačke + l, = ±co, q < - I (dvije beskonačne tačke nagomilavanja); Iim if,; = l ; c) lim � = l (a>O); a"
. hm--=0
l +a"
l n . ; b) hmx. = O za x.=(-lt- ; n n+l 2"-1 l n1+n+2 .e ; d) limva= e) limb.=-, za b.= 2 l (a>l); e) lim =1. 2" + l + 2n + 7 n+ l 3. Pokazati da niz a.= +(- 1)" ima dvije tačke nagomilavanja. n 4. Odrediti lima. lima. ako je: nn 1 "- 1 n1 2nn b) a. = ( - 1 ) l ++sin-; - cos- ; a) a. = n2 + l 4 n n mt d) a.=Vl + 2"H'; e) a• = sin1 - · n+ l 4' l 2"-1 2nn l l l 3 e) a =cos• -·, · · · 2-·�· . . . f) 2'2'4'4' · 3
.
f)
--
3n
3
--
g)
--
i
"
n
( )
5. Za nizove (x.) odrediti inrx
••
l a) x =-- ! · • n '
e) e) g)
supx.limx.,llmx. ako je opšti član niza: ( - l)" 1 + ( - l)" · b ) ·x =--+ •
( )
n
2
----
(3
8. Dokazati da je niz a.=
(t+�)" ( + �)"+ 1
b.= l
)
monotono rastući i ograničen odozgo, a da je niz monotono opadajući i ograničen odozdo.
Odatle proizlazi da ti nizovi imaju zajedničku graničnu vrijednost lim a.= lim b. ( =e).
--
• Augustin Louos (Baron) Cauchy (1789- 18S7).
q l , . l•m-= a ." n' ±co, a < - 1, (r> O). O, lal= l . l +x+
l 3 2n- t l (t) - ·- . . . - < te na osnovu toga dokazati � 2n v2n 24 +l· 2n-1 . t hm z-4 . . . -z;- =0.
'
n x. = l +-- cos"'t; 2 n+l n - l 2nn x. = l +2(- l)" + 1 + 3 ( - 1 )"1"- •W2 ; f) x• = n+ l cos-·' 3 . nn h) x.=n- •r; x.= ( - ! t n; l.) x.= l +nsm- . 2 3 x.=(- J)•- • 2+- ; n
{
1 . . . +q" -1 ) = -, l < l, . 1 - q ql =oo, q � l .
7. Dokazati nejednakost
--
•
= .J, lal> l ,
e) lim (l + q+
2. Primjenjujući definiciju granične vrijednosti, dokazati:
a) hma. = l za a.=
lal < l,
'
=2, a = l ;
konvergira ka O;
d) niz m--+ ( - 1)" divergira.
konvergira za a�O. divergira za a> O ;
lql O); q• e) a.=-(q>O); d) a1 =l, a =Jt+;;;. (t>O, n eN). n! a)
•
a) lim
•�«>
a) lim
12. Odrediti granične vrijednosti nizova
,
m
• • •
. • •
.
n�oo
. .
a.=Jr;+;-Jn; b) a.=n (l - R)(reN_); e) a.=Jn+Jn-Jn-Jn; 16. Izračunati '
11
17. Izračunati: a) lim
(1 ·2+ 2·3 + + n(n+1 l)) ) 1 ( l2 +2+ ... +n ; 1
-
1
-
1 b) lim 1 +-+ +
.
..
. . .
+
-
l
;
n3
xl" - 1 2 '-1 e-o--=sgnx; b) lim - arc tg = s x; e ) lim � =sgn (!xl - 1 ). +l e-o'+ l • l).
�
e) limnln l +
.
15. Izračunati granične vrijednosti nizova:
a)
+
+ n(
19. Izračunati:
•• ,
. .
. . .
. . .
IS. Provjeriti rezultate:
. . .
n n l l + . + r;-:-- · a. v� · b• = �+ � x. . � � +n v�+l v� + l v�+ 2 v� n 13. Neka je dato pozitivnih brojeva a1 a1, , a,.. , a,.}= A, dokazati da je Ako je max {a1, lim ylaj + a2 + +a:.= A 14. Izračunati: 3n2 -2n+ l ; b) lim an22 +bn+c (A1:0); a) lim 2 2n +7n-3 An +Bn+C 1 08 n + 1 e) lim 2 n +l ;
n+ l�(n + 2J (n-If ); e) hm. 1·2+2·3+ ... +n(n+l) +
lim c.�.3+ 2·�·4+
1 može uzeti
te je lima.• lim e prema definiciji 2;
m•[�].
(gdje je [x) cijeli dio od x);
e) za cx>O: n">M(>0)-n>M11", • te se u definiciji 2.1. može uzeli m-[M11"); za cxO)
1 - ; la,.-11 - m- ['] n+l n e
108
b) slično kao l.b) dobije se za
1 ('Ve>0)(3m (e)-[�]) n>m;>i ( - i f--0I m-lifa- 'l 1). Primjedba: Na isti način moguc!e je dokazati
1
rormi uređene četvorke, npr. u ovom slučaju je (inrx., supx,,limx,,
1 >0 niz iP opadajući teje inra,-lima,• - l , supa,-a,-0. J· x -x• , -Kako e " • n (n+ l) ' r
)
(;)
r + . . . +r'>nr,
tj.
M M . (V'M>O) (3m(M)=- n>-•q'>nr>M tli prema der. 2.J• tim q"=co(q> 1). r r Za q < - l niz q' ima dvije tačke nagomilavanja: q2"= (ql)"--+co; q>•-• .. - (-qjl•-• .... - co, (n--+CO). Primjedba: Rezullat za 0< jqj < l slijedi direktno: lim q'=O-(V't>O)jq"-Oj -- (a- ll':r->(n-l)(a-1)1, n 2 odakle je Za a> l•a
lim-•co, tj. rezultat je tačan za r= l (a> 1). n a"
Za r>O je �tf
(�n )'. gdje je b=a'"· teje lim�=oo. n'
11R
tf
l a" i --sgn a· lim -=0. Za lal•l je lm •-oo tf
Najzad, za a < -l, imamo
al·-·
fi•
lim --- +co, lim ---- -co. ,_00(2n-IY ,_00(2n)' i dukcijom, a potom primijeniti teoremu 14. 1. Nejednakost (l) dokazati npr. n
t )-(a, b (i O../c=a1 - tačno. Pretpostavimo daje a,>a,., . tj. a,-a,.1>0. Tada je a,-a,., r-:-1 • r-:-- - vc+a,.aft'.1-a"�vc+a" - >0 (c:::a::: "-a,._1 >0). r:-:-- +vc+a ve+a, r-: , te je indukcijom dokazano da je a,f. Ostaje da dokažemo da je (a,) ograničen odozgo (odozdo je ograničen sa a, =J�a"•-+--•a,.< r + • -vc+ l. r-:-- =-a all=vc+a,. a,. a,. ye Prema tome, na osnovu teoreme 13 dobijemo lim a,=lim a,.1 =a, tako da iz a!•e+a,.1 prelaskom na limes dobijemo da je a>O pozitiv81) korijen kvadratne jednačine al- a-e-O, tj. l +� 2 b) Pretpostavićemo da je e> l (za O a=a·Ooo>a=O. Dakle, n+l n+l
n!
lim-•0.
d) Za niz a,, 1 •,J;+;., a1 = l lako se dokazuje l ' (n + 1 ) ''
l 3--+-
n n1 .
a,• 3 ' 10 Je 7 2n1+1n-3 • -
2+---'
[(
l +:,.:cJ-I]c)
b>c ne umanjuje op!tost. U suprotnom bi promatrali niz
16. Istim postupkom kao u zadatku
2
�
b-c b-c l =---�---·--0, te a,-O(n-co). Jan+c Ja+ e Jn
-(VneN)(Vk•J."';)O:i!O::i>A' ,..(O�) A" :i0:+a1+. . . +O:,:imA' oo>A :i�O: +ai+ . . . +O:,�A if.;;". Odatle, nakon prelaska na lime.s kad n--+ co
- l
(n--+co);
- 1· . tj. Ox,>a., (Ahma,•limb,=l), odakle, prema teoremi 13, izlazi limx0• 1 . ,'
14. a) Kako je
r-:-
r•s,
d) iskoristimo li ideju iz zadatka JO, dobićemo:
-> --;::::;:=- > . . . >--;::: :;:=};1+1 .Jn 1 +2 .Jn' +n • n l slijed' >L > --;::::;:=- , tj. 1 +n v + 1 •·•vn'+k -/n
n n1
a, =-vn+x-JII-
b) sada je
dobijemo a=Jc+;,. (a> 1).
b, predstavljaju neodređenost oblika -. Skratimo li te razlomke sa n dobijemo
l
Oo
- Ao' tS. a)
a'
r l ; = sgn (lxl l l {nacrtaj grafik). l = ' " ; lim 1+ n
-
e:J- ( ) ;
b) kako je
)( ) ( ) l
' " "+l " 2� l +� = -- -. e" 2" - n + l
- 2:
l l Budući da-" -o, --o (n-+co), zaključujemo da je e" 2
e)
116
(
lim ! +
�r
.
.
(
=lim l +
�r
t
1
(
(
lim " n+ l
·lim t +
) =0.
�)"=(l
"'
+0)10 ·e=e;
(D
( �)" =lnlim ( l +�)"
e) limntn I + =Iimlo l +
=ine= l;
l)
lim n[ln (n+ 1)-lnn)=lim nin
(tako da i podniz a3,_1 -+e(n--.co)). Zato je lim x.= (lim a3,_,)- •J3=e-1!3; l 20. Za n = l :a1 =arc tg2 , identitel je tačan. Pretpostavimo da e j identitet tačan za neko n eN; tada je: • l l n l c tg- =arctg- tarctg --a,.,= L arctg -;-;+ar (n+ if n+ l 2(n+ If •·• n l -+--n + l 2(n+if n+ l 2n(n+ if+(n+ l) =arc tg '---'--' ....:. arctg-, =arc tgn+2 n _ 2(n+l)3-n _ _ l 1 _ __ n+l2(n+lf j dokazan na osnovu matematičke indukcije. Sada je tj. identitet e 11 n+l . n+ .hm a,=hm . arc tg-=arctghm-=arctg l=-. 4 n+2 n+2
2�
l, r>O);
x'log.,x
=O (a> l, r>O). 121
8.
Dokazati da je: a) lima"=a"(a>O);
e)
b) lim lnx=lna(a>O);
Neka su funkcije u i v definisane u nekoj okolini tačke samoj tački a, pri čemu je:
a,
osim možda u
(3A, BeR, A>O) (V't:>O) (3o>0) O< iu (x) - A i < e, O < iv(x)-BiO, c>O); x-oo cx+d
k) lim
" !. m) lim sin. .+cos .!.. ; X x-oo X
lnchax shax . chax - 1 (bfO); e) lim �; b) hm 25. a) lim--; x-o · x?x-o X x-o cos bx- l e'h ax e•h bx ch ax ''" f) lim ; e) lim (x2 -lnchx2 ); d) lim (c:f:O); ·-o ·-o ch bx ±oo th ex + lf+l ''X a"+ If ''"' h) lim , (a>O, b>O). (a>O, b>O); g) · :i� x-o a +b 2
(
26. Izračunati
)
(a"+l
•-
A = limf(x)- lim f(x), gdje je /(x)=ln
27.
x-oo
x--oo
Provjeriti rezultate:
(�
)
)
e) lim
xl
x-o
28.
a) f(x)
2(1 - x2) + 1 1 - x'- l 3 (1 - x2)- I I - x'- l ' a = l ;
e) f(x)=arctgx, a= z ; 7t
e) f(x)= x + [x'-], a= lO;
30.
a ) f (x)
126
x2- 2x+ l , x-+ 1 ; x3 - x
2° x-+-co;
lo X -+ + co, 2° x-+ - oo?
x?- (x- l ) 1 (x+ 1 \2
ax-b, x-+ ± oo ;
b)f(x)=-.f4x2 + x + l -ax-b:
�)
1 ° x -+ + co . 2° x -+ - oo ; Vx2 -x3-ax-b, x-+ ±co; d) f(x)= xe"f(e"- 1)-ax-b: lo x -+ + oo. 2° x -+ - 00 ; e) f(x)=xarc tgx-ax-b: l o x-+ +co, 2° x-+- oo? e) f(x)=
33. Provjeri koja je od sljedećih relacija tačna : a) X2=0(X), za: !0 X-+0; r X-+ ± oo ;
b ) x=o(x2), za: 1° x-+0, zo x-+ ± oo ;
e ) -.fx2 +x-x= o(x),za: ! 0 x-+0, z o x -+ - oo ; d ) ln (l + e")= o(l ), za: l o X-+CO, 2° x -+ - oo ; e ) IOOx+sin x = O (x): l o X -+ ±co, 2° x-+0; f) x =O (lOOx +sin x): l o x-+ ±co, 2° x-+0; g) x+xsin x = O (x): ! 0 x-+ ±oo, 2° x-+0.
1
e) f(x)=e- 1�; . .
l
,, . f) /(x)= -l +e • 7t
b) f(x)=sgncosx, a=-;
2
l - ' a= - l ; 'd) f(x)= X - [X] x" f) f(x)= lim --, a= 1 . •- oo ! +x"
Koja od slijedećih funkcija je beskonačno mala:
l 2 ' x-+2; X + 3x + 2
32. Za koje vr.ijednosti a i b je funkcijaf(x) beskonačno mala:
ln sin ax f) lim .--= 1 (a, b>O). x-o lnsmbx
__
29.
d)f(x)=chx-shx:
� x+vx'+ b2 ·
Odredit i f (-0) i/(+0): x- x . l l. a) f(x) b) /(x )=arccos (x - l ); 1x x+l e) f(x)=arctg-; X Odreditif(a-O),j(a+O):
l 3 X - 4x'- + 4X
b) f(x)=x(Jx2 + l - x), 1° x -+ + oo, 7t COS X e) f(x) . , X-+-; 2 \/( 1 - sinxf
x +�
(
- 2;
a) f(x)
a) f(x)
·
cos (xe") - cos x e - x
31. Koja od slijedećih funkcija je beskonačno velika:
( )
x - =� ; b) lim x � - arc sin =l; - arc tg x-oo 2 4 x - ±oo x+l 2 x;'- + 1 1 - cos (l - cosx) l . -; e) hm 8 x-o X . cosxcos2x . . . cos n.x: - 1 - n (n+ l )(2n+ l ) d) hm = ' x-o 12 X2 a) lim x
e) f(x)= ( 1 - �)/(1 -cos Jx). x -+ +0; d)f(x)= l/(1 +2")za: ! 0 X-+ + CO, 2° x-+ - oo?
b) f(x)= Jx2 + l -x: 2° X -+ - co ; !0 x-++CO,
34.
Dokazati asimpt otske relacije:
,--
l
!0 -.f l + x - l - - x (x-+0);
2 .
,-,. 1 1 ,-.. r 1 l 3° t' l + x - vx - - --;:::: (x-+co); 4° '-"l +x -\lx�- --;:=:::::: (x-oo), n E N ; 4 Vx3 "\/x"-1
so (x - W (x - 5 ) - 4 (x-5)
(x-+5), - - 2 (x- 3)2 (x-+3), (x-+ ±oo); - x3 6° ax2+bx3+ cx4-ax?- (x-+O) afO, - cx4 (x-+ oo) ef O. X ,...--35. a) Dokazati \/ 1 + x - l --(x-+0), nEN; n
127
b) koristeći taj rezultat dokazati:
1Vl + sinx l lim tgx ,6. x-0
lim
·
x-o
36. Odrediti l=limf(x),
2xsinx
.�
(.JI +x - l ) (y l + t g x - 1 ) ,...--
4n.
L=ITrii' f(x) ako je:
x-0
l 2
l
Dakle, {ltt>0)(3S (s)- J4.j:';- 2>0)0O)x > OE>f(x)> t
ili
lim f(x)• A-('0)(3o(e)>O)x < - o-lf(x)- Al 0)(3S (t)>O)Oo-AO 2 2 - (x -O ).
(l +(cosx-1))"-1 1-cosx
g) Iz očevidnih relacija
lim
'
1 =arctg--. Saglas o prethodnom zadatku n+x Dalje,
n
saglasno zadatku 9.g.), za n-+ oo
(
y
- +o Y_ _ n ncp�narc tg tako da je:
n+x
n+x
( )) � n
(
)
2x r+l "'' l+-+---.e" (n--.oo). n �
= y+o ( l ),
y- nq> nq> + y lcosnq>-cos yl = 2lsin - sin - 1 ;:;; ly- nq>I - O.
2
2
nq>-y nq>+ y . S jnq> - YI- O lsm nq>-sin YI = 2jsin --cos--1 ,
2
9'
2
131
-
1j. eos n -eos . sinn'l)-siny kad n-:x:>. Prema lome, (r +�)"-cr ceos + i sin yl cn-). Za slučaj n--, Ij. -n-+. dobijemo: (1 +�)' -[(r +=:fJ' -ce- T ' =t' e��- -). b) l; e) l ; d) 1/3: e) 64/105. 12. a) ('0 i)•5151: e) -9/4; d) O. b)81; JJ.a) 3; J4.a) (n1 - 2m + n)/2; b) (n-m)/2: e) (;). e) 5/3: d) 3/4; e) 1/144; l) 1/4: b) 3; IS. a) 1/4; e) - 1/4; 16. a) (2/S f0; b) ,.-•c•••lfl; e) l ; d) 1 /2: 'l)
y
h) 2';
i) 2n;
17.a) k • l . l • - 1 ;
j) H
b) (k,
30.
ne;
g) 12/S; l) - 1/4;
4 h) 427;
i) l/n!
l g)- (a, + . . . +a.); n
1)=(±1, ±1/2).
k
a) afb; b) (- 1)�- · ·-(r;I.O); e) O; d) 1/8: e) 2; l) 4; g) - l ; h) 1/4: i) 1g• 1- 1 = -cos 2jcos41 ; j) a; k) 1/2 ; l)7t; m) smjenom r • l fx-0 (x- ±) svodi se na zada ak f). 19. a) Pošto je x-a x+a x-a - cos-l O); d) -2/3; e) 8; f) (afb'f, Cb+O); i) l/Je: j) e-1; k) O za ac; e 0) (3o (E)> O) x- al lnx, x > O neprekidne u oblasti gdje su definisane; b) pokazati da je stepena funkcija X �-->X0, gdje je x>O, cxER, neprekidna u oblasti x>O; e) pokazati da su trigonometrijske funkcije x�->sin x, x�->cos x neprekidne na R, a funkcije x�->tgx=
sinx , cosx
{
x E R \. !:+ nnjnE Z 2
}
135
cosx . , x e R \{nnlneZ} neprekidne su, saglasno teor.emt 5, u . x�-+ctgx = -
svim tačkama u kojim su definisane. (Vidi zadatak 19, § 6.2.); d) provjeriti da su sve osnovne elementarne funkcije neprekidne u oblasti gdje su definisane.
2. Dokazati da je funkcija x�-+Jx, x !1; 0 neprekidna u svim tačkama x > O i neprekidna zdesna u tački x=O.
f) f(x)=xln sin1x, x :f O. . =0 , x=O.
{
(x- 1 )3,
.
e) f(x)=
X
si x o,
. x :f O x=O
prekidna u tački x =O.
d) f(x)=
e) Kako treba definisati funkciju h
{
f(x) x :f O (x)= h , u tački x = O da bi bila neprekidna? (0)
5. Dokazati, koristeći definiciju neprekidnosti, da je funkcija xt-tf(x) neprekidna u svakoj tački svoje oblasti definisanosti: a) f(x)=xl;
l b)f(x)= ; :;
2x - l c)f(x)= 1 . x +1
(x) R :x�-+ p neprekidna u svim tačkama, osim u nulama polinoma Q (x). Q(x)
7. Dokazati da je Dirihleova funkcija 1 , x e Q, . D (x) = prektdna za svako x e R . O, x e R \ Q
8. Odrediti tačke prekida funkcije i vrste tačaka prekida:
{
x+3,
a) f(x)= lfx,
x < l, l � x l ;
lxl 4= l,
x = - 1,
X=
·
l;
[
)
cos(x/2) , xe - �. 2n \{O, n } , . smx 2 a, x=O,
b, :t. = lt.
Dokazati da je funkcija
f(x)=x,
xeQ, x e R\Q, neprekidna u tački x=O, a prekidna u svim ostalim tačkama R\{0}. = -x,
ll. Ispitati neprekidnost složenih funkcija f(g (x)) i
6. Dokazati da je racionalna funkcija
{
O < x < l,
Jx.
sinx . a) f(x)=-- prektdna u tačk.t x= O;
{:
x�O.
a) f(x)= ax+b;
P (x)=a0x"+a1x"- 1 + . . +a.�1x + a. (a1eR, k=r:;;). Dokazati da je polinom neprekidna funkcija na R.
b) g(x)=
lx + q + lx - 31 - 2
9. Odrediti postoje li ili ne postoje. konstante a i b, pri kojima je funkcija f neprekidna na E" ({), ako je:
3. Neka je P:R-.R polinom definisan sa
4. Pokazati da je:
e)f(x)
d) f(x) = (sgnxf;
SlO X
12.
definisana ta složena funkcija:· a) f(x)=sgnx, g (x)= l +x1;
e) f(x)= sgn (x- 1), Slijedeće funkcije :
sin x a ) xt-t--;
X
g (x)= sgn (x + l )
. l b) Xt-+SID-;
X
g (f(x))
u tačkama gdje je
d) f(x)=sgnx,
g (x)= l + x - [x].
b) f(x)=sgnx,
�
g(x)=x3-x ;
l
d) xt-txsin x
imaju oblast definisanosti R \{O}. Ispitati prirodu tačke prekida. Da li postoji nepreki�no proširenje neke od funkcija, tj. da li se neka od funkcija može definisati u x=O, tako da bude neprekidna?
13. Ispitati neprekidnost, odrediti vrstu tačaka prekida i nacrtati grafik funkcije : l x1"- l . b) f(x)= hm a) f(x)= lim �; ; +l ,.- 00 A "_ co 1 +xl•+l
137
.
d) f(x)= hm
w-n-" e) f(x)= lim _ "; .- oo w + n
f) f(x)= lim--;
g) f(x)=
i) f(x)=
: . . - .. l + (2stn xf.
21. Dokazati da: a) jednačina
l + xe""
h) f(x)= lim (xarctg(nctgx));
ln (l +e"')
,':n:, ln (l +e') ;
ft (x)+fz (x)+ . . . +f.(x)=O
ima jedinstveno realno rješenje � E (a, b).
x+e""
•- oo
lim -di +x1"; .
Tada jednačina
X
e) f(x)= lim cos"x;
gdje je
j) f(x)= lim (l + x ) t h tx.
a > O,
a b --+--=0,
b > O,
b) jednačina
14. U kojoj tački je neprekidna funkcija x2 - l , xER'\Q, f(x)= { O, xEQ.
gdje je a1>0
X - IX X - �
(�XO) (3l> (e)��>O)jx-aj=>V(x)-f(a)j (x)lljl (x) nepre·
•
način: Koristimo definiciju u obliku 1.2.
Neka je (x,) proizvoljan niz
x e {knlkeZ\.{0}} su tačke preki (keZ\.{0)).
10. Prema definiciji funkcije /(0)=0. Zato je (11e>0)(3o (e)=s)
tj. fu kc j f(x)=x2 nep ek n j za s
n ia
ljl(xJ=Ix+ il+lx- 31- 2 ;;; l(x+ l ) + ( -x+3)l- 2=2>0 (11xe R), kidna funkcija saglasno teoremi 5 (i);
e) q>(x)=2x'-4x neprekidna naR (vidi zadatak 3),
r + 2 l a l c - e < O (r=lx-ai�O), tj. c e(- Jial' + e -lal. Jiai'+& - la1Jr1.Ri --lal= O$r;lx-ai-+b' b> l) su neprekidne, strogo rastuće na R, te je i njihova suma strogo rastuća i neprekidna na R. Osim toga je lim (a'+b'}=O, lim (a'+b')=oo.
(a,
, - - oo
,.... . .,
Na osnovu toga, saglasno teoremi 10, postoji inverzna funkcija funkcije F:y>-+a'+b', yeR, f(y)e(O, co), koja ]e isto tako strogo rastuća i neprekidna na R+. Ova tvrdnja može se izraziti ovako: jednačina a'+b'�x ima jedinstveno rješenje y=y(x} za svako x>O, takvo da je funkcija F-1 :x�-+y(x), x>O, strogo rastuća i neprekidna. 144
Analogno Icao u prethodnom zadatku dokazuje se dajednačina
F(x)a L J, (x)= y ima jedinstveno rješenje x=r 1 (y) za svako ye ( L L B,). .. '•l .. , Npr.: 21. Primijeniti rezultat iz zadatka d) xl-3xl+6x+ce(x- ljl+3x+c-l i funkcije x:--(x.;-: • t .i ,��-+Jx+c-1 su strogo rastuće i neprekidne. 23. Funkcija x�-+x sinx, x e [o: +co), je neprekidna, strogo rastuća (opadajuća) na svakom razmaku:
A.,
.
20.
A,= [2kn, 2kn+�] (A1=[n+2kn, 3211 +2kn]), kEN0, gdje uzima vrijednosti iz razmaka 3 B,= [0,2kn+ i] (B•= [ - 1! -2kn, O]). ke N . 2 Tako na svakom razmaku A.(A;}, takvom da je 2kn+'26;d ( -2- 2kn�d), gdje je d>O (d O, (k ii;�, df(x, ), tj. funkcija Jje strogo rastuća. Kako je još J(O)= -bx (c), t>-+y(c), IE(tx, �) neprekidne na (cx, l3) i daje jedna od njih strogo monotona, te da, prema teoremi ll, sistem jednačina x=x (e), y= y (t)=y= y (x-• (t))=J(x) (ili x=x (y- 1 (y))=F (y)) i funkci j neprekidna na razmaku koji predstavlja skup vrijednosti funkcije x �x (e) ja x,__.J(x) (ili x=J(y)) e (ili Y=y (t), I E (tx, l3}. a) Funkcija x� c112 + (- c - 111) je strogo rastuća na (a:, 13)= (0, + X>); y= y (x-• (t))=.J4 +x2, x eR; 1 a je x= 1 1 - e) rastuć b) rastuća je funkcija y=Jte', (a:, 13)� (0, +oo); -, . ceR; l +t +n] d) strogo je opadajuća (rastuća) funkcija x =acos e na svakom razmaku Na svakom od tih razmaka sistem parametarskih jednačina predstavlja ([-n+ 2kn, ]} jednačinu dijela elipse .. . . , . x2 l -+2� l, y>O, xe(-a, a] a' b x' l ;;2 + b2 = l , y0 o x,-6--, 6+a 6+a x,--6--. a ('V6> 0Jix1 -x1l·6--a•t. (O. a]. x1·� (neN). lx1 -x11·� o)(3x,, x, €(0. ;]) lx, -x11 t.
•
Promatrajmo nizove
broja
_
proizvoljno. T
vrijedi implikacija
Ito
ili y
a
Prema tome,
x, takvi da je (•)
i
je nije manji od t',
_
Tada e j
l 2 l 2 =--·-, x1•-·-, l ll 2
. e) NekaJC
e) Vi j t rje�nje pod a).
p izv ljn i
x,
l
!to neograničen raste (kad je
k je
Neka je
2(6+a)
.
X
p k
Funk ija neprekidna je na RO, pa i na 2)c RO. Zato pre a teorem• Kantora unifonnno neprekidna na 2). funkcija ravnomjerno neprekidna na (Tada će bit• ravnomjerno neprekidna na RO =(0, 2)U(l, .:x>). Dokazati !
moauće uzet
l Dakle, funkcija- nije unifonnno neprekidna na
leos al :ii l za svako
:ii
. t JC za
· o Po.to • Je
sonll
l-cosll
ll
ll
dorektno proizlazi dato rezultat.
31. lnverma funkcija de!inosana fonnulom
Y< O O, =t' , y>
Xa -�-1, -l, , y= = •.
{O}, (-i· i), re(-oo,
nije definisana u razmaku (- l ,
32. a) x=arctgt, x €
konstantnoj
t=lgx, b)
x(
l ) '\
2 2
c
tačkama u kojima je definisana.
+ oo ) je monotono rastuća funkcija: njena inverzna e j
� �) §
e - .
ali e j neprekidna u svim
. to smjenom u y
1, daje y•cos' x. •l+t
xe(-�. �): 2 2
monotona je funk ija y•sh t, teR, ye R. Eliminacijom 1 dobija se (xG; 1): x1y€R.
y'-l•x=Ji+Yi, x>O i
e) y= -Jn(l -e"'),
li x - - J n
(l-e-'), y>O.
147
7. DIFERENCIJALNI RACUN
18. Za funkcijuf(x) koja je diferencijabilna u tački
!� n�(xo+ n-f(Xo)]-f (xo).
x0
dokazati da j e (za
ne N) (l)
Pok �t i d a o��n �to n.e važi, tj. ak? postoji gran.ična vrijednost u (1), t o još ne značt da funkctJa trna tzvod u tačkt Xo · Razmotnmo npr.. Dirihleovu funkciju.
7.1. DEFINICIJA IZVODA I NJEGOVO GEOMETRIJSKO ZNAČENJE. LIJEVI I DESNI IZVOD FUNKCIJE
(a, b) i neka su x i Prvi izvod funkcije f u rački x je x + �x(�x=/=0) . 6y . f(x +�x)-f(x) =y, =f (x). lim - = hm �X �X Neka je kriva (C) grafik neprekidne funkcije/na intervalu (a, b), koja u tački x toga intervala ima konačan izvod f (x). Označimo sa ex ugao koji tangenta krive (C) u tački M (x, f(x)) zaklapa sa pozitivnim dijelom x-ose. Koeficijent pravca te tangente jednak je prvom izvodu f (x) funkcije f u tački x, tj. tgcx=f (x). 2. Lijevi (desni) izvodfunkcije J u tački X" je lijeva (desna) granična vrijednost f(x + � x) -f(x) !. (x) = lim f(x + �x) -f(x)). f- (x)= lim �X �X ( Da bi postojao f (x), potrebno j e da funkcija bude neprekidna, a potrebno je i dovoljno daje:f'_ (x) =f'� (x). Za funkciju koja ima izvod u tački x kažemo da je diferencijabilna. J.
Neka je funkcija y=f(x) definisana u intervalu tačke iz tog intervala. granična vrijednost t>x-o
ćx-0
ćx-0+
ćx-o-
19. Pokazati da funkcijaf(x) =lx- J I nema izvod u tački x = 1.
20. Ispitati da li je funkcija f(x)= Isin xl diferencijabilna u tački x= n.
{xl
21. Ispitati diferencijabilnost funkcije !( x)=
xO) određuju dva skupa međusobno ortogonalnih parabola. Odrediti jednačinu tangenata i normala u proizvoljnoj tački krive: a) y = x2+2x; b) x (x - y) + l =O. U slučaju b) odrediti granični slučaj tangente kada se dodirna tačka udaljava u beskonačnost. Odrediti izvode funkcija oblast definisanosti funkcija i njihovih izvoda: a
i
b) y=lo&xe;
{
e)
y=lnlnlnx.
63. l. Vodeći računa o definicionom području funkcije, dokazati :
:
1 - oo, - 2) a) (arsh J2x + xl )' = - (2x +x r . x E ( (2x+xl)-f, x E (O, +oo). 152
Posebno odrediti f- (-2) !'. (0). Da li je f (-2)=/ ( - 2 - 0), tj. coJ=t Jx = b) arch (x > l ). Postoji li/... (l)? x-1 (1-x x 63. 2. Ispitati definisanost i neprekidnost izvoda f i funkcije f date pomoću: . -l (x:f0)./(0)=0 a) f(x)=x1sm u tački x=O·' r
...
)
(
'
X
X
b) f(x)=-1 (x:f0)./(0)=0 u tački x=O. l +e; 64. Ispitati da li je funkcija/ određena sa l f(x)= 4 (x1 - l Hlxl � l ),f(x)=lxl - l , l), i za sve x te nacrtati grafik te funkcije. 65. Tangenta u tački P krive y=(x- 2)2 (x+2)3 siječe x - osu i y-osu u tačkama T i T• . Normala u P siječe x-osu i y-osu u N i N1 • Dokazati da je T. NfTN1 = Iii· 3 66. Nacrtati krivu xl -l = a i dokazati da ona siječe y- osu pod pravim uglom. 67. Odrediti x� ako je: a) y=e"+x; b) y=lnx+e"; e) y=3 sinx+cos x ; d) y=a�csinx; e ) y=log.,x (x>O). 68. Odrediti izvod y; ako je: a) x=e-•, y=e'; b) y=acost, y=bsint;
neprekidna diferencijabilna
e)
x=a(t- sint), y=a(l -cost); f)
d) y=
3r
l+r
'x=
Jc
l +rl
;
l
x=a (cosl-lnctg-), y=asint. . 2 l + ln l . 3 + 2 1n 1 .. . . 69• Pokazatt· da funkCIJa y (x) de fimtsana Jednačmama x= 1 y= 12 (t> O) zadovoljava jednačinu 2xy'2 -yy' + 1 =O.
·
--
---
70. Nać i koeficijent pravca tangente krive x=2tgt, y=2sin2t+sin2t u tački M (2,2).
�
�
71. Naći ugao pod kojim se sijeku krive x=t, y=r i x= cost, y= sint. 72. Odrediti y� ako je y= y(x) funkcija zadata implicitno: x2 1 2 2 2 a) 2 + = l ; b) x'i'+y3=df ; e) Jx+JY=4; d) x3+yl-3xy=0; a h2 e) 2y = x + sinx + cos y; f) lnx+e -� = 1 , g) x'=r. 153
73.
Koristeći teoremu o izvodu inverzne funkcije, dokazati
(
arc
)
2
l ' l tg- = l+x x
--
•
74. Na krivoj xr= 2a3 naći tačku u kojoj normala krive prolazi kroz koordinatni početak.
75. Dokazati da je funkcija y f(x) definisana pomoću jednakosti x = 2t + J tJ, y=5t2+4tJtJ , diferencijabilna u t=O. Da li vrijedi formula y'=yfx? =
76. Naći jednačine tangente i normale krive x3 + y3- xy-7 = 0 u tački (1,2). 77.
78.
Naći jednačine onih tangenata krive: a) y=x4-x+3;
b) y=x2 - 3x + l ; e) x = t2 + l , y = f +t+ l koje prolaze kroz koordinatni početak.
l-f Pokazati da sve normale krive x = ------:2 , Y = ----:1 prolaze kroz koordinatni l+• l + ,-
2t
81.
e ) y=(l +x)X(x;fO, x > - l); 1 - . f) y= l - e) y = x•""'•(x>O); x+l
b) y=r(x>O);
d) y = (lnx)' ( x > l ) ;
)..
(
RJESENJA 27. y'=
-- -4b
-
y'-
38. y'=
2a
3rVx · 3xW
58. a) (2, 13), (-
2, - 3);
l 28. y'= +-. 2...;, x x l
.
- x - 2 + 2� 2x'�
.
X
· -vr,--; i-r
2r 35. y' = , . (l+x 1"
29. t=r(3+xln3)3'.
40. y'= (xcosx-sinx)'
.
41.
y'=
43. y'=3sin (2x- 3)sin2 (2x- 3). (x+l'f'(x-8) 46. y' (x- 2)3
47. y'-
--=3x+l
Vr
36. y' -
l
-x
JxJ JJ -xl
39. y'=
.
2 (x1 + l )
37. y' = �
xsinx-cosx
( 1 -xcosx)lo 2
( 1 - .x- ,
.
42. y'=l2(3x-x' + I Y ( I -x)'.
e"-
---= 3sin,J;
2Jx cof',J;
44. y'=
•
33. y'=xe"(2sinx + x sinx+xcosx).
(sin X + X COS X) (sin X + COS X)COS X - X sin X . (sinx+cosx)'
r
sx.>-2 30. i = · ----r2...;x
(l+x)JJ-xl
.
55. y' ( - 1 ) = - l, a =
b) (l, 6), ( - l , 4).
b) krive se sijeku u tačkama lt
tj. cp1= za i = l, 2, 3, 4; J
{
3n
4
.
56. Da.
4
59. a) u M. (O, 2)cp1 =0, u M2 (2, IO)tgcp1= n;
}
-
n Sn 7n l i n M,(x" y,)J x, = , 6 ' 6' 6, y1=(x1) tg q>1=J3, 6
e)
pod pravim uglom.
l 2(x+l)
61. a) Y=2(x+l)X-x2• Y-x2-2x=---(X-x);
( )
b ) Y= t- _!_ x +:, x-oo=>Y=X. x' x lEZ
l
(2kn, (2k+ l )n).f(x)=.-; E{'=E{'-{knJkeZ}; SlO X
l l b) f(x)=-, te je E{=(O, I)U(I, +oo), tj.f(x)= - -i lnx xln1x e) Ef=(e, + oo ),f(x)
E{=E!';
l
x (lnx)(ln lnx)
, teje E{'=E!
63. l. a) f_ (- 2)=/ (- 2 - 0)= - oo.f, {O)=/ (O+O) = + oo ;
b)/. (1 )= - C().
l l 63. 2. a) f=2x sin--cos-, xfO, X
X
. 32. y'=arcsmx+
31. Q'=ae"".
154
l
62. a) Oblast definisanosti E{= U
a) y = x';"x (x>O);
34.
l
arcsinx Pokazati da funkcija y , zadovoljavajednačinu (l - x2)y'-xy = l . -f l - x2 1
e"cose"
54. t• /(0)=-; 2• f (O)=limf(x)= --. 8 2 x-o
60. Dokazati da je k,· k2 = - l .
Naći prvi izvod funkcije:
--
. 52. y' = - sin 2x · cos (cos 2x). 3� 53, 2" f(x)je neprekidna za x e ( - oo , 0), xe (O, 2), xe(2, +oo); 3• ne postoji f (0)./ (l)./ (2); 4•f (x) je neprekidna za xe (- oo, 0), xe (0, 1), xe (l, 2), xe (2, + C() ).
početak.
79. Izračunati f (O) ako je f(x) = (x2 + l ) arc tg e - 2 ... 80.
51. y'=
;
f (0)=0, lim/ (x) ne postoji, te prvi izvod f {x) ima prekid druge vste u tački x =0; b) f- (0)= l ff, {0)=0, ne postoji/ (0).
.
l
l
.
64./Je neprektdna za sve xeR;f_ ( - l ) = - l ff, { - l ) = --;f_ (1)=-jf, (l)= L
2
2
lt
66. x�{-a)=CO=>�=-.
2
l l 67. a) x;=-=--· Y. e" + l '
3 V1 +sin2x e) x�:cr ; . cosx - smx e) x��a'lna�xlna. 70.
l
2'
xl- y d) y' =--; x-y'
d) x;=cosy;
11. tgq>=20,5, cp ::::87°10'.
l +cosx e) y'=. -; 2+smy
68. a) y;� - e''; e)
t
y;=ctgi;
e) y; =-tgt: 72. a)
y'=-
::;:
g) i=
b b) y;=-ctgt;
d
a
J y;=l-r: 2t
f) y;=tgt.
b) y'=
-if;
e) y' =-
y'-xylny (x>O, y>O). x2 -xy lnx
}i;: 155
l x
l x'
l l l l +x2 x2 l +Jgly = ---.
73. tgy=-, /= - - cos'y= - - ·
Ako je funkcija y=f(x) zadata parametarski x
Dakle, y; =2x. < 76. x+ lly- 23 =0.
y=9t1 (1;;>0), y=t2 (r (x). Ako je: a) f(x)= e-xl, tada je f•+ lJ (x) + 2xf•> (x)+ 2nf•-l> (x)=O; b) f(x) = (2x + l )f(x2 -3x + l ), tada je f•l (0)= 3nf•-IJ (0)-n (n- l )f•-l> (0),
(n�2).
l + 2 1n y = .0.
a) Transfonnisati jednačinu 9x y" +6W- y=O stavivši x=t3 . b) Transfonnisati ( l + x2)y" + 2x ( l + x2)y' + y= O ako je x = tgt.
12y= O.
y= shxsin x zadovoljava jednačinu y14>+4y=0. Ako su u, v, w, t funkcije od x koje imaju prvi i drugi izvod, tada je
e)
t x =a (cos t-ln tg-), y= a sin t. 2 l
x
Pokazati da funkcija
e) (sin )< > sin
Naći treći izvod y;' funkcije y (x) definisane jednačinama:
funkcije od
Pokazati da funkcija y=e4.x + 2e- zadovoljava jednačinu y'"- 13y'-
a) (x«) kao
i
--- ·
(ut)' (vt)' (wt)' = r u' (ut)" (vt)" (wt)" u"
107.
. d2y dy ( l - x2) - - x - + y dx dxl
( )
Y111
Provjeriti izvode:.. -6 x3 "' a) - x-1 (x - l t ' e) (xsin2x)< 4> = - 8 (2sin2x + x cos2x).
u
y = t- arc tg t
()
dx 2 d2y a) ako je x2=sin(at+ b), tadaje x(l-.x4) dr +(l +.0) di =0; b) ako je ae"+be1 = 1 , tada je y"=y' ( l - y'); izraziti y'.
x (x >0).
l b) x=t+-, y=t+ 1; t
a) x=e'cost, y=e'sint;
Dokazati:
110.
Dokazati:
nl
a) (x" In x)O, a> 1). a
.
136. Dokazati da je:
.. . za date funkCIJe f(x) 1 g (x) na segmentu [a, bJ.
131. Primijeniti Košijevu teoremu na funkcije:
( )
1
Tt
134. Dokazati da je:
x-o
;
ln sin x
6
x3
..-4
d)
d) n (y- x)x•-• 0 za svako x. Znači, data jednačina ima samo jedan realan korijen. l 2e- l 8 124. a) c=-(a+b); b) c•--; e) e=2; d) e=-;l e) e= n · 2 l +ln2 2 125. a) 9=� arcco /�cos� sin� - x , lim9-�: b) 9-;;l x1 +hx + "' "' -x . h v; 2 2 H 2 _ ) l l lim9=-, (x+Ol ili /im9• r. • (x= O); t-- l); xk x• + 1 l · (x> -1), (ako je e) ln(l+x)= L" (- J)k -1-+(-1)" n k + l (l +9x)" 9e(O, 1)). funkcijuf(x)=.Jx sati Tejl orov upoliLagranžovom nom trećeg'stepena odgovarajući ostatak Tejlnapiorove formule obliku. u tački x= 1 i 153. funkcijuf(x)=x2lnx Tejlorovoblipolku.inom drugog stepena tački x =I ostatak u napisati Lagranžovom i odgovarajući 154. Razviti po Maklorenovoj formuli funkcije: a) y=a'; b) y=xel"; y=e-"2 ; =sin2xcosx; y d) y=shx; e) y=chx; 155. Razviti po Maklorenovoj formuli funkcije: l+x y=x-ln(l-x2); a) y=ln(l-x); b) y=ln--; 1-x xl l d) y= 1-x; e) y=-1-x2 ; y=--. 170 4.
Ako
je za
• (xo-
10- "'.
O).
t
g) X = J - f' y
.
xl
a) f(x)= - 3; l x
b) /(x)=
214. Naći asimptote funkcija:
3x
x+l
;
e) f(x)=
x +x+ 1 2
e) /(x)=
215. Naći asimptote funkcija: ;
d) /(x)=Vxl+Jxl; 182
;
' b) f(x)=�x2+ 1 - �x2; �
e) /(x)
, G
za
x>O,
. ,te f'(x)O za
n
ka
(0,
2 ( x + - 1 ) x l i yO. Nula funkcije je x• l . Maksmalna vrijednost je y=G)' za x= e •, a minimalna y,;.O za x revojna tačka je P(�. �). e AStmplo!& nema. b) Definisana za sve x >o. y>O za sve x> O. ula funkcije je x• l. Ima lokalni maksimum y-�2 za x-�e te lokalni minimum y=O za x= l. Ima dvije prevojne tačke za x•e-11../m. e) De nisana za svex O za x< -2, te yO. Nula funkcije x..�.e y>Oza x>�.e a y O. Nula funkcije je x • l. y> O za sve x E (O; I)U{I, Asimptole su 4 x=O (y-+:x:>) i y•O lokalni minimum y•O za x•l i lokalni maksi um y- ' 9e za x=W. Funkcija ima dvije prevojne !ačke P,(ife. 36�) i P2(e, �). De nisana za sve x>O. Nema nula. y>O za sve x>O. Asimpl la je x• l, -0 za x-0 Ima lokalni minimum za x=e' koji iznosi y-�· revojna tačka je P(e,, �). g) De nisana za sve xe(o. ;)u(�. + ). Nema nula. y>O, xe(;. ) a yO. l ma nulu trećeg reda x a l . Ima maksimum u tački (r". �e-J). Prevojne !ačke su (l, 0), P2 (J;, �). P,(r, �). Asimptote su x=O i y=O. i) Definisana je za sve xe(o. ;)u(;. + ) Ima nulu x•l. Asimplol su x=� y= l. y>O za xe(o. Du(l, + oo), a ye za xe (e, ay -l. Ima nulu x-0. y>O za sve xe(- 1, O)U(O, +oo). Ima lokalni 4 l maksimum u t ki x--- l koji iznosi y •- i lokalni min m u y•O za x-o. Ima prevojnu tačku � Nema asimpl