Zadania i problemy z fizyki [2] [PDF]

Zitiervorschau

ANDRZEJ HENNEL WOJCIECH SZUSZKIEWICZ

ZADANIA I PROBLEMY Z FIZYKI Tom II

POLA OBWODY TERMODYNAMIKA W ydanie drugie poprawione

W A R S Z A W A P A Ń S T W O W E

1981 W Y D A W N I C T W O

N A U K O W E

SPIS TREŚCI PR Z E D M O W A .................................................

7

Zadania

Odpowiedzi i rozwiązani;

R O Z D Z I A Ł I. TEORIA P O L A ...............

9

92

R O Z D Z I A Ł II. POLE GRAWITACYJNE

15

97

R O Z D Z I A Ł III. POLE ELEKTRYCZNE

W

UC

R O Z D Z I A Ł IV. POLE MAGNETYCZNE

44

16C

R O Ź D Z I A Ł V. TEORIA OBWODÓW . .

59

202

R O Z D Z I A Ł VI. TERMODYNAMIKA

79

215

PRZEDMOWA Drugi tom Zadań i problemów z fizy k i jest, podobnie jak tom poprzedni, opracowany na podstawie ćwiczeń do wykładu „Wstęp do fizyki”, pro­ wadzonych przez nas na pierwszym roku studiów na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego. Zbiór ten obejmuje zagadnienia zawarte w programie semestru dru­ giego, a więc elementy teorii pola, pole grawitacyjne, elektryczne i magne­ tyczne, a ponadto teorię obwodów i termodynamikę. W trakcie przygotowywania książki staraliśmy się maksymalnie uatrak­ cyjnić tematykę prezentowanych problemów. Obok wielu standardowych zadań znalazły się więc w zbiorze zagadnienia nietypowe, niekiedy nawet wykraczające poza program wykładu, jak na przykład: czarne dziury (rozdz. U), metody pomiaru przewodnictwa ciał stałych (rozdz. III), monopole magnetyczne, elementy elektrodynamiki relatywistycznej, czy też przyczyny powstawania wokół Ziemi przedstawionych na okładce pasów Van Allena (rozdz. IV). W celu ułatwienia Czytelnikowi korzystania ze zbioru umieściliśmy w rozdziale I wstęp teoretyczny, w którym znalazły się definicje podsta­ wowych pojęć związanych z polami skalarnymi i wektorowymi, natomiast w rozdziale V zostały przedstawione wybrane metody teorii obwodów. D la połowy zadań i problemów zamieściliśmy wyczerpujące rozwią­ zania, a dla pozostałych— jedynie krótkie odpowiedzi. Taki układ książki umożliwia Czytelnikowi samodzielną naukę. Część prezentowanych zadań wymaga obliczenia konkretnych wartości rozpatrywanych wielkości fizycznych. Są to przypadki, w których Czytel­ nik poza umiejętnością rozwiązania problemu powinien poznać rząd wielkości rozważanego efektu (dotyczy to na przykład zadań poświęconych lotom kosmicznym, polu elektrycznemu w atomie lub też własnościom gazów rzeczywistych).

7

Zadania i problemy z fizyki są w zasadzie przeznaczone dla studentów

wydziałów fizyki uniwersytetów, mamy jednak nadzieję, że podobnie jak tom pierwszy, książka la będzieprzydatna również dla studentów politechnik a nawet dla uczniów szkól średnich. Dziękujemy serdecznie prof. dr. hab. Andrzejowi Wróblewskiemu za zachętę do napisania tej książki oraz: za wnikliwe przejrzenie rękopisu. Prosimy Czytelników o nadsyłanie wszelkich uwag dotyczących doboru i sformułowania zadań i problemów oraz ewentualnych błędów na adres: Instytut Fizyki- Uniwersytetu Warszawskiego, Hoża 69, 00-681 Warszawa. Dzięki wielu cennyńi uwagom naszych Czytelników' mogliśmy w drugim wydaniu tomu pierwszego poprawić zaistniałe błędy i pomyłki drukarskie. •*

I

Autorzy

ZADANIA

Rozdział I

TEORIA POLA POJĘCIA PODSTAWOWE

1. Polem pewnej wielkości fizycznej 0 nazywamy przestrzeń lub część przestrzeni, w której każdemu punktowi przyporządkowana jest określona wartość tej wielkości 0 { f) . Jeżeli jest to wielkość skalarna, to poić nazy­ wamy skalarnym (np. pole temperatury); jeżeli jest to wielkość wektorowa, to pole nazywamy wektorowym (np. pole sił). Pole może mleć określoną symetrię, na przykład, gdy funkcja skalarna 0(r) przybiera jednakowe wartości we wszystkich punktach równood­ ległych od pewnego punktu wyróżnionego (tzn. 0(r) = 0 (r )), wówczas pole to nazywamy skalarnym sferycznym. Jeżeli natomiast funkcja skalarna 0(r) przybiera jednakowe wartości we Wszystkich punktach równoodległych od pewnej prostej (tzn. 0{o, , to / Adr = 0 ( r L) —0 (r 2). Ti

1.6. Udowodnić, że div(0A) = divA+Agrad$. 1.7. Znaleźć divr. 1.8. Znaleźć dywergencję pola wektorowego sferycznego. 1.9. Znaleźć dywergencję pola wektorowego osiowego. * od łac. rotatio — obrót, w literaturze anglosaskiej spotyka się również oznaczenie curlA, od ang. curl — lok włosów.

11

i . 10. Znaleźć laplasjan r.

1.12. Udowodnić, że Ą(0S/) = &&}F+2 1.13. Znaleźć A 1.14. Znaleźć laplasjan pola skalarnego sferycznego. 1.15. Znaleźć laplasjan pola skalarnego osiowego. 1.16. Znaleźć rofr. J.17, Udowodnić, że rot(0A) = (grad# x A)+ # rotA. 1.18. Znaleźć rotację pola wektorowego sferycznego. 1.19. Znaleźć -rotację pola wektorowego osiowego. 1.20. Znaleźć div(ajV) x b(r>). F.21. Udowodnić, żc jeżeli dla danego pola wektorowego A istnieje pole skalarne 0 takie, że A — —g rad # , to rotA = 0 i odwrotnie. Takie pole wektorowe nazywamy potencjalnym lub bezwirowym, a # — potencjałem skalarnym.

i.22. Udowodnić, że jeżeli dla danego pola wektorowego A istnieje fo k wektorowe B takie, że A = rot By to divA = 0 i odwrotnie. Takie pole wektorowe nazywamy wirowym lub bezźródiowym, a B potencjałem sektorowym.

!.23. Udowodnić, że rot rotA = graddivA—AA. 1.24. Pole wektorowe A(r) we współrzędnych cylindrycznych zapisujemy (/■!», Af , A-). Udowodnić, że słuszne są następujące wzory:

1.25. Udowodnić, że grad 1.26. Udowodnić, że 1.27.

grad(A)2 = (A • V)A + A x (V x A).

Zbadać własności pól wektorowych: a ) K = ( y , z , 0), b) L = (.v3, 0, 2r),

c) ' M = (2>>, 2.v, 0), d) N =? (sin.v, sinr,.sin>’)12

gdzie a — wektor stały,

1.28. Woda w rzece opływa pal mostu ze stałą prędkością kątową co. Scharakteryzować powyższe pole prędkości. 1.29. Rozkład prędkości prądu w rzece w funkcji odległości od środka rzeki dany jest wzorem v{x) = v 0

(rys. 1), gdzie L —■odległość

od środka do brzegu rzeki. Scharakteryzować powyższe pole prędkości.

1.30. W zadaniu poprzednim załóżmy, że w odległości L j l od prawego brzegu rzeki płynie drewniany patyk o długości / < — . Jaką odległość przepłynie on w czasie jednego obrotu? 1.31. W dnie zbiornika wypełnionego wodą zna jduje się niały otwór. Ruch cząsteczek wody w płaszczyźnie otworu można opisać spiralą Archimedesa g = Q0 ------ ę . Scharakteryzować pole prędkości cząsteczek wody.

O)

1.32. Znaleźć pole prędkości cieczy wirującej wokół danego punktu

v(g ,(p ,z) = (0, v (q), 0 ), którego rotacja jest równa zeru. • 1.33. Z małego otworu o promieniu g0 na dużej płaszczyźnie wypływa woda i rozlewa się wokół otworu. Prędkość wody na płaszczyźnie jest równa

(e > Qo), gdzie A — stała,

q — odległość od środka

otworu. Scharakteryzować powyższe pole prędkości. . 1.34. Rozważając wypływ cieczy z obszaru zamkniętego, udowodnić

równanie ciągłości

dy

+ div(yv)

0, gdzie y — gęstość cieczy. Rozważyć

postać równania ciągłości w przypadku cieczy nieściśliwej. 1.35. Znaleźć związek pomiędzy pochodną po czasie danej wielkości fizycznej a mierzoną w danym punkcie przestrzeni (pochodna lokalna) a pochódną po czasie tej samej wielkości mierzoną w danym punkcie cieczy przepływającej z prędkością v. •\

13

1.36. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania wyprowadzić równanie Eulera ruchu cieczy ov

~dT

+ (vV)v

-"gradp, 7

gdzie p jest ciśnieniem w cieczy. 1.37. Udowodnić, że w przypadku przepływu stacjonarnego i potencjalnego (rotv = 0) cieczy nieściśliwej w polu ciężkości spełnione jest równanie Bernoulliego - j y v2+ p + ygz = const.

W s k a z ó w k a . Skorzystać z równania Eulera, rówmania ciągłości oraz zadania 1.26. 1.38. Znaleźć zależność ciśnienia panującego w cieczy omawianej w za­ daniu 1.33 od odległości od źródła cieczy. 1.39. Udowodnić, że w każdym dwuwymiarowym i stacjonarnym ruchu cieczy nieściśliwej, przy braku sił zewnętrznych, wektory prędkości są prostopadłe do izobar. 1.40. Jakie równanie spełnia potencjał skalarny prędkości cieczy nieści­ śliwej przy przepływie bezwirowym ?

R o z d z i a ł II

POLE GRAWITACYJNE ILI. Scharakteryzować własności pola grawitacyjnego na przykładzie pola wytwarzanego przez masę punktową m. n .2 . Udowodnić, że jedynym polem wektorowym sferycznym, którego C r dywergencja znika, jest pole A(r) =

n .3. Rekordy świata w skokach w dal i wzwyż wynoszą odpowiednio 8,90 m i 2,30 m. Jakie wyniki uzyskaliby rekordziści skacząc na Księżycu i na Jowiszu? U w a g a . Dane liczbowe dotyczące Słońca, Księżyca oraz wszystkich planet Układu Słonecznego zestawione są w tabeli umieszczonej na końcu książki. R.4. W dniu 6.VI. 1973 roku w Afryce Równikowej nastąpiło całkowite zaćmienie Słońca. W tym właśnie czasie pewien nieuczciwy handlarz ku­ pował od poszukiwacza złota 197 gramów tego kruszcu ważąc go na wadze sprężynowej. Poszukiwacz zażądał uwzględnienia wpływu siły odśrodkowej na wynik ważenia (zad. III.76 tom 1), jednakże handlarzowi i tak udało się go oszukać. O ile atomów złota więcej musiał oddać poszukiwacz dzięki korzystnej dla kupującego konfiguracji ciał niebieskich? IL5. Udowodnić, że na punkt materialny o masie m umieszczony we­ wnątrz jednorodnej powłoki sferycznej o dowolnych wymiarach (patrz rys. 2) nie działa żadna siła. n.6. Znaleźć natężenie pola grawitacyjnego i potencjał tego pola w punkcie odległym o r od środka jednorodnej powłoki sferycznej o masie M i promieniu R. Grubość warstwy dr jest zaniedbywalna w porównaniu z promieniem warstwy R. Przedyskutować otrzymane rozwiązania w zależ­ ności od wartości odległości r. Przy rozwiązywaniu nie korzystać z twier­ dzenia Gaussa.

15

H.7. Znaleźć natężenie pola grawitacyjnego i potencjał tego pola w punkcie odległym o r od środka jednorodnej kuli o masie M i promieniu R. Przedyskutować otrzymane rozwiązania w zależności od wartości odleg­ łości r.

Rys. 2

11.8. Znaleźć wartość pracy W, jaką trzeba wykonać, aby ciało o masie m przenieść ze środka jednorodnej kuli o masie M i promieniu R do nie­ skończoności. Rozmiary ciała zaniedbać w porównaniu z rozmiarami kuli. 11.9. Do wysłania ciała na odległość jednego promienia od powierzchni pewnej planety potrzebna jest prędkość v 0. Jaką prędkość należy nadać ciału, aby wysłać je na nieskończenie wielką odległość od tej planety? 11.10. D la' której z planet Układu Słonecznego stosunek prędkości punktów znajdujących się na równiku do prędkości ucieczki jest największy? Wynik liczbowy porównać z wartością wyznaczoną dla Ziemi (prędkość ucieczki z Ziemi wynosi 11,19 km • s-1, Ziemia wykonuje jeden obrót dookoła swojej osi w czasie 23 h 56 min 4 s, prędkość punktów znaj­ dujących się na równiku wynosi 465 m- s-1, co stanowi około 4,2% pręd­ kości ucieczki). 11.11. Zaobserwowano na Słońcu protuberancję o wysokości /?max = = 105 km, liczonej od powierzchni Słońca. Jaką prędkość początkową v 0 prostopadłą do powierzchni miała materia tworząca protuberancję? 11.12. Znaleźć energię grawitacyjną planety o masie M i promieniu R. Założyć, że gęstość planety y jest stała. 11.13. Która z planet Układu Słonecznego ma największą energię gra­ witacyjną? Otrzymaną wartość energii porównać z energią grawitacyjną Ziemi (W z * - 2 ,3 • 1032 J) i Słońca (łUs * -2 ,3 • 1041 J). 16

Fi.14. Opisać ruch ciała w tunelu przechodzącym przez środek Ziemi (patrz rys. 3) i porównać go z ruchem sputnika krążącego na małej wyso­ kości h nad powierzchnią Ziemi (h R ) po orbicie zbliżonej do orbity kołowej. Znaleźć czas lotu ciała od punktu o współrzędnej x = R do punktu o współrzędnej x = —R . Założyć, że Ziemia jest jednorodną kulą o masie M i promieniu R. Przyjąć warunki początkowe v 0 = 0 , jr0 = JC

11.15. Do tunelu z poprzedniego zadania w chwili t = 0 wrzucono ciało z prędkością początkową v 0. Znaleźć czas lotu ciała do środka Ziemi, przyjmując te same założenia. Wyniki obu zadań porównać. 11.16. Znaleźć wartość ciśnienia grawitacyjnego panującego we wnętrzu Ziemi zakładając, że Ziemia jest jednorodną kulą o gęstości y i promieniu

R. 11.17. Znaleźć wartość ciśnienia grawitacyjnego panującego w odległości

r0 od środka Ziemi zakładając, że gęstość masy jest liniową funkcją odleg­ łości od środka Ziemi. Promień Ziemi wynosi R, gęstość masy na powierzchni równa jest y x, gęstość masy w środku Ziemi y 2 > y t ■ 11.18. Czy jest możliwe, aby Księżyc miał satelitę stale niewidocznego z Ziemi? Jeżeli tak, to znaleźć jego odległość od środka Księżyca. 11.19. Znaleźć prędkość, z jaką porusza się po orbicie wokół Ziemi satelita stacjonarny. 11.20. Ciała wchodzące w skład wewnętrznego brzegu pierścienia planety Saturn okrążają ją w ciągu około 4,5 h, natomiast ciała tworzące zewnętrzny brzeg pierścienia — w ciągu 14 h. Oszacować na tej pod­ stawie rozmiary pierścienia i porównać je z rozmiarami planety.2 2 Zadania i problemy

17

11.21. Udowodnij, że ruch w polu G(r) = -

Gm r r2 r

jest ruchem płaskim. Ponieważ zadanie to rozpoczyna grupę problemów poświęconych ruchom w polu grawitacyjnym, warto przypomnieć postać rozwiązań tzw. zągadnienia jednego ciała dla pola grawitacyjnego (A. K. Wróblewski, J. W. Zakrzewski — Wstęp do fizy k i , tom I, PWN, Warszawa 1976). k GM = — — = ---------- ciała poruszają się po krzywych r r ' stożkowych. Ogólną postać takiej krzywej we współrzędnych biegunowych (r, rp) można zapisać następująco W polu o potencjale

r(v) =

P l+ e c o sę s

parametr orbity p = , gdzie m — masa ciała {ni ' km 2 tomiast mimośród orbity e =

1+

M ) , L — moment pędu, na-

2WL1

, gdzie IFjcst energią całkowitą ciała. k 2m3 Gdy W < 0 , wówczas e < 1 i tor jest elipsą. We współrzędnych kartezjańskich równanie elipsy ma postać jc2 y2

b2

= 1,

przy czym półosie a i b (rys. 4) związane są z parametrami p i e następująco: p = — , / b2 \*/2 . a e = I I ----- —I . Współrzędne ognisk F i F ’ są odpowiednio równe (c, 0) i ( —c, 0), gdzie c jest dane wzorem c = y a1—b 2 = ae.

18

.

D la dowolnego punktu elipsy suma odległości od ognisk jest stała i równa 2a. Pole elipĄ' S = Kab. Gdy c — 0 , elipsa staje się okręgiem. Całkowita energia ciała krążą- • km cego po elipsie W ------------. 2a Gdy W = 0, wówczas e = 1 i tor jest parabolą. Równanie paraboli we współrzęd­ nych kartezjańskich (rys. 5) ma postać y 2 = 2px. Współrzędne ogniska F są równe

Gdy W > 0, wówczas e > 1 i tor jest hiperbolą. We współrzędnych kartezjańskich (rys. 6) równanie hiperboli ma postać X2

I?

12

-»

gdzie a i b związane są z parametramip i e następująco: b2

P. _ ,

2

*

/

b2 \ 1/ i

.-(1 + ^ .)

.

19

Współrzędne ognisk F i F ' są odpowiednio równe (c, 0) i ( —c, 0), gdzie c dane jest wzorem c =■ ]/ a2 + b2 = ae.

■

Asymptoty hiperboli opisywane są równaniami y = ±

b a

x . Całkowita energia ciała

km

poruszającego się po hiperboli wynosi W = ---- . 2a

11.22. Korzystając z zasady zachowania momentu pędu udowodnić, że ruch ciała po krzywej stożkowej odbywa się ze stałą prędkością połową (II prawo Keplera). Czy prawo to obowiązuje w przypadku ruchu swobod­ nego?

k 11.23. Ciało o masie m krąży po elipsie w polu o potencjale @— — —. Energia całkowita ciała wynosi W. Znaleźć okres obiegu elipsy.' 11.24. Korzystając z wyników zadania poprzedniego udowodnij, że stosunek kwadratu okresu obiegu elipsy do trzeciej potęgi wielkiej półosi elipsy nie zależy od energii ciała. 11.25. W jaki sposób zmieni się rozwiązanie zagadnienia jednego ciała, gdy masa m ciała poruszającego się w polu wytwarzanym przez masę M nie będzie zaniedbywalna w porównaniu z tą masą (zagadnienie dwóch ciał). 11.26. Kepler sformułował swoje III prawo w sposób następujący: „Stosunek trzeciej potęgi wielkiej półosi orbity planety do kwadratu okresu obiegu jest dla wszystkich planet jednakowy”. Czy prawo to jest całkowicie a3 - spełnione? Jaka jest różnica pomiędzy ^ dla Merkurego i Jowisza? 11.27. Korzystając z III prawa Keplera znaleźć czas lotu t na zadaną odległość r (liczoną od środka planety o masie M ), jeżeli ciału nadana została minimalna prędkość pozwalająca osiągnąć tę odległość. Założyć, że promień planety jest do zaniedbania w porównaniu z wartością r. 11.28. Znaleźć czas lotu na Księżyc rakiety odrywającej Się od Ziemi z prędkością 11,09 km • s_1 wiedząc, że jest to minimalna wartość prędkości pozwalająca osiągnąć żądaną odległość r = 384 000 km. 11.29. Amerykański astronom Joseph Brady, studiując w końcu lat sześćdziesiątych przeprowadzone dotychczas obserwacje ruchu komety Halley’a, wysunął hipotezę istnienia dziesiątej planety Układu Słonecznego. Orbita tej komety ulega ciągłym zmianom na skutek przyciągania grawi­ tacyjnego planet. Okazuje się, że nie można wytłumaczyć wszystkich nieregularności ruchu komety biorąc pod uwagę jedynie oddziaływania grawi-0

tacyjne dziewięciu znanych planet i dopiero przyjęcie hipotezy istnienia jeszcze jednej planety pozwala wyjaśnić te anomalie. Planeta X powinna mieć masę około 300 razy większą od masy Ziemi. Wiedząc, że czas obiegu planety X dookoła Słońca powinien wynosić 512 lat, znaleźć jej średnią odległość od Słońca. Zaniedbać masę planety w porównaniu z masą Słońca. 11.30. W informacjach prasowych o sztucznych satelitach Ziemi poda­ wane są trzy wartości: odległość perygeum orbity hP (punktu orbity naj­ bliższego Ziemi), odległość apogeum orbity hA (punktu orbity najbardziej oddalonego od Ziemi) oraz czas obiegu satelity po orbicie T. a) Uzasadnić, że dla pełnego scharakteryzowania ruchu satelity wy­ starczą dwa spośród trzech wymienionych parametrów, podać związki pomiędzy nimi. b) W dniu 12 kwietnia 1961 r. radziecki kosmonauta major J. A. Ga­ garin jako pierwszy człowiek na świecie okrążył kulę ziemską w kabinie' statku kosmicznego Wostok 1. Odległość perygeum orbity wynosiła około 175 km, odległość apogeum orbity — 302 km. Znaleźć czas trwania jednego okrążenia wiedząc, że w większości obliczeń tego typu przyjmuje się, że Ziemia jest kulą o promieniu 6378 km. 11.31. Udowodnić, że spośród wszystkich ciał poruszających się po różnych krzywych stożkowych o wspólnym perygeum najmniejszą prędkość w tym perygeum posiada ciało poruszające się po orbicie kołowej. 11.32. Jaka jest zależność prędkości ciała o masie m poruszającego się po krzywej stożkowej od odległości od centrum siły, którym jest masa M.

11.33. Udowodnij, że kosmiczny lot suborbitalny, tzn. bez okrążania Ziemi (rys. 7) nie może odbywać się po torze hiperbolicznym ani parabo­ licznym. 21

11.34. Pierwszy w historii lot suborbitalny odbył w kabinie Merkury komandor porucznik Allan Sheppard dnia 5.V.1961 roku. Osiągnął on wysokość maksymalną 185 km i po upływie 15 minut od chwili startu wodował na Atlantyku w odległości 480 km od miejsca startu, którym był Cap Canaveral. N a podstawie powyższych danych znaleźć półosie elipsy, po której leciał Sheppard. Narysować tę elipsę w porównaniu z obwodem Ziemi. v • 11.35. Znaleźć wysokość maksymalną toru rakiety, która startując z Polski doleciała do przeciwległego punktu Ziemi (okolice Ziemi Ognistej), jeżeli drugie ognisko elipsy znajdowało się dokładnie na powierzchni Ziemi. 11.36. Z powierzchni Ziemi wystrzelono pod kątem a rakietę z pręd­ kością początkową v0 mniejszą od pierwszej prędkości kosmicznej (patrz rys. 8).

a) Znaleźć zasięg wiedząc, że jedyną siłą działającą w czasie lotu na rakietę jest siła grawitacji, a promień Ziemi wynosi R. b) Znaleźć wartość kąta

-§

+ą
0 przymocowano na cienkiej nici o długości l > R kulkę, na której znajduje się ładunek q > 0. Wyznaczyć masę kulki wiedząc, że na skutek działających sił kulka znajduje się na osi koła (patrz rys. 15). Wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi g.

IU.21. Przestrzenna gęstość ładunku nieskończonej warstwy o grubości

a wynosi g. Wyznaczyć natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie przestrzeni. ra.22. Dwie różne pełne kule o tym samym promieniu R mają taki sam ładunek całkowity Q > 0. Zmierzone zależności potencjału pola elektrycz­ nego 0 od odległości od środka kul przedstawione są na rys. 16. a) Jaka jest zależność wartości natężenia pola elektrycznego E od odległości od środka kuli r w obu przypadkach? b) Jaka jest przyczyna obserwowanych różnic? ra.23. Zgodnie z danymi obserwacyjnymi Wszechświat rozszerza się. Próbując wyjaśnić powyższy fakt R. A. Lyttleton i H. Bondi wysunęli w swoim czasie interesującą hipotezę, że efekt ten spowodowany jest małą różnicą ładunków elektronu i protonu*. Zakładając, że Wszechświat jest jednorodną kulą równomiernie wypełnioną atomami wodoru, oszacować * Lyttleton i Bondi wysunęli dodatkowo hipotezę o ciągłym tworzeniu się materii (atomów wodoru) we Wszechświecie, żeby pomimo rozszerzania się Wszechświata gęstość materii była stała. Według ich obliczeń prędkość tworzenia się atomów wodoru powinna wynosić dwa atomy na jeden km3 w przeciągu jednego roku.

,

30

minimalną wartość różnicy ładunków, która byłaby jeszcze w stanie wyjaśnić jego rozszerzanie się. m .24. Znaleźć potencjał oraz natężenie pola elektrycznego wytwarza­ nego przez elektron w atomie wodoru znajdujący się: a) w stanie podstawowym, b) w pierwszym stanie wzbudzonym, jeżeli wiadomo, że w przypadku pierwszym rozkład gęstości ładunku elektronu dany jest wzorem

natomiast w przypadku drugim s‘V

=-

tŁ

* - ( 2- - j ) M

-

t

)'

gdzie e jest ładunkiem elektronu, natomiast a promieniem pierwszej orbity Bohra. Porównać wyniki z wzorami otrzymanymi dla ładunku punkto­ wego. 31

111.25. Sfera metalowa o promieniu R x otoczona jest kulistą warstwą dielektryka o względnej przfcnikalności elektrycznej s i grubości d oraz drugą sferą metalową o promieniu R 2 umieszczoną współśrodkowo (patrzrys. 17). Ładunek mniejszej sfery wynosi Q > 0.

Wiedząc, że spełniony jest warunek R L+ d ^ R 2, wyznaczyć dla dowol­ nego r liczonego od środka kul; a) wartość natężenia pola elektrycznego E, b) wartość potencjału 0 . III.26. Wyznaczyć wartość natężenia pola elektrycznego w środku podstawy jednorodnie naładowanej półsfery o gęstości powierzchniowej ładunku a i promieniu R. Zastanowić się nad kierunkiem wektora natężenia pola elektrycznego w dowolnym punkcie leżącym na kolistej powierzchni podstawy półsfery. ffl.27. Przestrzenna gęstość ładunku nieskończonego walca o promieniu R wynosi q. Wyznaczyó natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie przestrzeni. ffl.28. Czy umieszczenie w połowie odcinka pomiędzy dwoma różnoimiennymi ładunkami punktowymi q i —q przewodzącej płaszczyzny uziemionej, ustawionej prostopadle do osi symetrii -układu może zmienić rozkład potencjału w przestrzeni? 111.29. Czy umieszczenie przewodnika w polu dowolnego układu ładun­ ków może zmienić rozkład potencjału w przestrzeni? Powierzchnia prze­ wodnika pokrywa się z powierzchnią ekwipotencjalną pola. 111.30. Znaleźć siłę, 7 jaką uziemiona płaszczyzna przewodząca przy­ ciąga ładunek punktowy q znajdujący się w odległości d.32

III.31. Znaleźć rozkład gęstości ładunku indukowanego na płaszczyźnie w zadaniu poprzednim i udowodnić, że całkowity ładunek indukowany jest r ó w n y —q. ■ m .32. Jaki potencjał wytwarzają w dużej odległości następujące układy ładunków i uziemionych płaszczyzn przewodzących: a) ładunek punktowy i płaszczyzna, b) ładunek punktowy i dwie prostopadłe płaszczyzny (rys. 18a), c) dipol ustawiony równolegle do płaszczyzny (rys. 18b), d) dipol ustawiony prostopadle do płaszczyzny (rys. 18c). c)

b) ©

©

© ©

Rys. 18

m .33. Pomiędzy okładki naładowanego kondensatora odłączonego od źródła prądu wstawiamy dwie płytki metalowe (patrz rys. 19 — przypadek I). Następnie łączymy przewodnikiem płytki B i C i po odpowiednio długim A

B

C

D

czasie rozłączamy je (przypadek II). Wreszcie łączymy przewodnikiem płytki A i D i po dłuższym czasie również je rozłączamy (przypadek III). a) Zilustrować rozkłady ładunków elektrycznych na płytkach oznaczając symbolami + i — obie strony płytek we wszystkich trzech przypadkach. 3 Zadania i problemy

33

b) Wiedząc, że ładunek zgromadzony na kondensatorze równy był na początku Q, a różnica potencjałów pomiędzy płytkami A i D wynosiła U0, uzupełnić następującą tabelkę (U oznacza odpowiednią”'różnicę potencja­ łów, a E natężenie pola elektrycznego w danym obszarze) Przypadek I Qa Qb Qc Qo U

a

U

bc

iii

+Q

,

U CD E

n

-

ab

E sc E

cd

in.34. Korzystając z metody obrazów przedstawionej w zadaniach III.28—III.30, znaleźć rozkład potencjału wytwarzanego przez ładunek punktowy q odległy o d od uziemionej kuli przewodzącej o pro­ mieniu R. ra.35. Rozwiązać zadanie poprzednie w przypadku kuli przewodzącej, nieuziemionej, naładowanej ładunkiem —Q. Znaleźć wartość potencjału na powierzchni kuli. ni.36. Z jaką siłą przewodząca kula nienaładowana przyciąga ładunek q z odległości d: a) gdy jest uziemiona, b) gdy nie jest uziemiona. ra.37. Znaleźć pojemność i energię płaskiego kondensatora próżnio­ wego, jeżeli odległość między okładkami wynosi d, a powierzchniowa gęstość ładunku jednej z okładek jest stała i wynosi a. Powierzchnia okładki równa jest S. m.38. Znaleźć wartość pojemności kondensatora płaskiego o po­ wierzchni okładki S = 0,01 m2 i odległości pomiędzy okładkami d = = 0,01 m , jeżeli w kondensatorze znajdują się kolejno: powietrze « 1,0), parafina (e2 = 2,5), szkło (e3 = 4,0), porcelana (e4 = 6,0), woda (e3 = = 80), tytanian baru (e6 * 10 000). Otrzymane wyniki porównać z po34

emnością kondensatorów używanych najczęściej w elektronice (1 nF-rj + lpF)-

m .39. Podać wzory pozwalające na wyznaczenie pojemności trzech różnych kondensatorów połączonych w trójkąt (rys. 20a) poprzez pojemności kondensatorów tworzących układ równoważny, połączonych w gwiazdę (rys. 20b), i odwrotnie.

Rys. 20

m.40. Okładki dużego próżniowego kondensatora płaskiego, miedzy którymi odległość równa jest d, połączone są przewodnikiem. Pomiędzy okładkami znajduje się metalowa płytka o ładunku elektrycznym Q (rys. 21). Znaleźć całkowity ładunek, jaki przepłynie przez przewód, jeżeli płytkę

przesuniemy o odległość x w kierunku prostopadłym do okładek. Czy ładu­ nek ten zmieni się, jeżeli kondensator wypełnimy ciekłym dielektrykiem o względnej przenikalności elektrycznej s? Opór przewodnika R = 0. 3*

35

Rozważyć następujący problem: na kondensatorze płaskim o pojemności C znajduje się ładunek Q, w związku z czym energia układu wynosi 111.41.

Do naszego kondensatora dołączamy równolegle drugi, nienaładowany kondensator o identycznej pojemności. Ładunek Q dzieli się na dwa kon­ densatory, a więc energia układu wynosi teraz

Co się stało z połową energii? 111.42. Wyznaczyć pojemność kondensatora płaskiego, który wypełniony jest dielektrykiem o względnej przenikałności elektrycznej s, będącej ciągłą funkcją odległości od okładek kondensatora. Odległość pomiędzy „ okładkami kondensatora wynosi d, pole powierzchni okładek równe jest S. 111.43. Znaleźć pojemność kondensatora płaskiego wypełnionego kil­ koma warstwami dielektryków o różnych względnych przenikalńościach dielektrycznych s (patrz rys. 22).

Rys. 22

111.44. Wyznaczyć energię elektrostatyczną kuli o promieniu R, której przestrzenna gęstość ładunku jest stała i-wynosi q. 111.45. Znaleźć energię elektrostatyczną sfery o promieniu R, której powierzchniowa gęstość ładunku jest stała i wynosi gdzie a jest pewną stalą. Promień wewnętrznej okładki kondensatora wynosi R t , promień zewnętrznej okładki równy jest R 2 . 37

III.50. Pole elektryczne w pobliżu powierzchni Ziemi ma postać E(r) = = —A y , gdzie A = 130 V/m . Znaleźć gęstość powierzchniową ładunku na powierzchni Ziemi, całkowity ładunek Ziemi, potencjał w pobliżu powierzchni Ziemi oraz pojemność Ziemi. m .51. Jak zmieni się pojemność przewodzącej kuli o promieniu R, gdy zbliżymy do niej na odległość D = 10/? uziemioną płaszczyznę prze­ wodzącą? III.52. Duży kondensator płaski o powierzchni S zanurzony jest vv cieczy ó względnej przenikalności elektrycznej s. Odległość między okładkami wynosi d, kondensator połączony jest ze źródłem napięcia U (patrz rys. 24). W chwili t — 0 zaczynamy odsuwać jedną z okładek kondensatora z prędkością v w kierunku prostopadłym do okładek. Znaleźć zależność pracy potrzebnej na oddalanie okładki od czasu (zaniedbać opór ośrodka).

R ys. 24

HI.53. Znaleźć wartość ładunku q, jaki przepłynie z okładki kondensa­ tora z poprzedniego zadania do źródła napięcia, jeżeli odległość między okładkami zwiększymy do wartości nd. III.54. Okładki kondensatora płaskiego są prostokątami o wymiarach a x b . Odległość pomiędzy okładkami wynosi d, przy czym d a, b. Kon­ densator znajduje się w pozycji pionowej w odległości H od płaszczyzny poziomej, na której stoi jednorodna płytka dielektryka o wymiarach a, c i d oraz względnej przenikalności elektrycznej e (patrz rys. 25), c > H . Wiedząc, że gęstość dielektryka wynosi y, obliczyć wysokość h 0, na jaką uniesie się płytka dielektryka, jeżeli na okładce kondensatora znajduje się ładunek Q. Założyć, że płytka może swobodnie przesuwać się wewnątrz kondensatora. 38

DI.5S. Znaleźć powierzchniowe gęstości ładunku na okładkach konden­ satora z poprzedniego zadania zarówno gdy płytka dielektryka stoLjia płaszczyźnie, jak i gdy zjaajduje się na wysokości h0 nad płaszczyzną. Zaniedbać efekty związane ze skończonymi rozmiarami okładek.

Rys. 25

m.56. Kondensator opisany w zadaniu III.54 został częściowo zanu­ rzony w pozycji pionowej w cieczy o względnej przenikalności elektrycznej s i gęstości y, przy czym ładunek na okładkach równy był zeru. Po połą­ czeniu okładek kondensatora ze źródłem napięcia U poziom cieczy w kon­ densatorze podniósł się. Znaleźć: a) różnicę poziomów cieczy po obu stronach okładek, b) wartość ładunku elektrycznego q, który przepłynie przez przewód łączący okładkę kondensatora ze źródłem napięcia. IH.57. Rozważyć diodę płaską (rys. 26), do której przyłożono napięcie U0. Znaleźć rozkład potencjału &(x) w przypadkach; a) gdy katoda jest zimna i w diodzie nie płynie żaden prąd, b) gdy katoda jest rozgrzana i emituje elektrony, z tym, że ich prędkości początkowe są małe w porównaniu z prędkościami nadanymi przez pole 39

elektryczne, natomiast ich obecność w przestrzeni międzyelektrodowej powoduje spadek natężenia pola elektrycznego na powierzchni katody do zera. K

A

+Uo

-i--------------- ±---------- *-

o

d

Rys.

x

26

111.58. Znaleźć rozkład natężenia pola elektrycznego oraz gęstości ła­ dunku przestrzennego w przypadku b, w zadaniu poprzednim. 111.59. Znaleźć pojemność diody z zadania 111.57 w przypadkach a i b, jeżeli powierzchnie katody i anody są równe S. Dlaczego pojemności te są różne? 111.60. Korzystając z wyniku zad. 111.57 znaleźć zależność pomiędzy natężeniem przepływającego prądu a przyłożonym napięciem, jeżeli po­ wierzchnie katody i anody są równe S. 111.61. Obszar pomiędzy dwiema wspólśrodkowymi metalowymi sfe­ rami wypełniony jest substancją o przewodnictwie właściwym a*. Znaleźć wartość oporu elektrycznego R związanego z przepływem prądu przez ten obszar z jednej sfery do drugiej. Promienie sfer wynoszą odpowiednio a i b, gdzie a < b. 111.62. Udowodnić, że dla kondensatora o dowolnym kształcie wypeł­ nionego substancją o względnej przenikalności elektrycznej e i przewod­ nictwie właściwym a * spełniony jest wzór

gdzie Cjest pojemnością tego kondensatora, a R jego oporem elektrycznym. 111.63. Dwie kule metalowe o promieniu a znajdują się w ośrodku o przewodnictwie właściwym a*. Znaleźć wartość oporu elektrycznego R przy przepływie prądu pomiędzy kulami. Odległość między środkami kul wynosi d P 2a. Opór właściwy metalu jest znacznie mniejszy od oporu właściwego ośrodka. 111.64. Dwa długie równoległe walce metalowe o promieniach a i b znajdują się w ośrodku o przewodnictwie właściwym a*. Odległość pomiędzy

osiami walców wynosi d > a+ b. Znaleźć opór elektryczny R przypadający na odcinek walca o jednostkowej długości. Opór właściwy metalu jest znacz­ nie mniejszy od oporu właściwego ośrodka. m .6 5 . Nieskończona półprzestrzeń wypełniona jest substancją o nie­ znanym przewodnictwie właściwym er*. Wykazać, że nie można wyznaczyć Ri płynie w kierunkach przeciwnych prąd o natężeniu / (rys. 39). Znaleźć i narysować rozkład wartości natężenia pola magnetycz­ nego w przestrzeni. IV.23. W długim przewodzącym walcu o promieniu R znajduje się cylindryczne wydrążenie o promieniu a, przy czym środek wydrążenia znajduje się w odległości d od osi walca. Spełniony jest warunek d < R —a. Przez walec płynie prąd o natężeniu I. Znaleźć natężenie pola magnetycz­ nego w obszarze wydrążenia. IV.24. Człowiek wytwarza wokół siebie zmienne pole magnetyczne o indukcji rzędu 10-13 tesli. Oszacować na tej podstawie natężenia prądów elektrycznych płynących w układzie nerwow'ym. IV.25. Znaleźć równanie wiążące ze sobą gęstość prądu j wytwarzają­ cego pole magnetyczne i potencjał wektorowy tego pola. IV.26. Igła magnetyczna o momencie dipolowym magnetycznym dm wytwarza pole magnetyczne o natężeniu

H (r ) - U

-

r'

Wzór ten jest ścisłą analogią wzoru opisującego natężenie pola elektrycz­ nego wytwarzanego przez dipol elektryczny (zad. III.6) Znaleźć potencjały skalarny i wektorowy pola dipola magnetycznego. U w a g a . W podręcznikach wprowadzane są na ogół dwa rodzaje momentów magnetycznych: 1) Moment magnetyczny dipolowy dm jest to odpowiednik momentu dipolowego, elektrycznego, wyrażany w Wb • m = T - m3. 2) Moment magnetyczny zamkniętego obwodu płaskiego pm = /• S wyrażany w A • m2.' Obydwa momenty są do siebie proporcjonalne, a współczynnikiem proporcjonalności jest przenikalność magnetyczna d„, — /ło/^PmIV.27. Maksymalna wartość składowej poziomej indukcji pola magne­ tycznego ziemskiego = 4- 10"5 T osiągana jest na równiku, natomiast maksymalna wartość składowej pionowej B L = 7 • 10-5 T ■— na biegunach magnetycznych. Wiedząc, że pole magnetyczne Ziemi można w przybliże­ niu traktować jako pole dipola, znaleźć na podstawie przedstawionych danych moment magnetyczny Ziemi. 50

IV .28. Jakie musiałoby być natężenie prądu elektrycznego płynącego w kablu owijającym równik naszej planety, aby w okolicach biegunów wytworzyć pole magnetyczne odpowiadające panującemu tam polu ziem­ skiemu. 1V.29. Prostoliniowy, cienki przewodnik, w którym płynie prąd o na­ tężeniu I, wytwarza wokół siebie (zgodnie z rozwiązaniem zad. IV.5) pole magnetyczne o natężeniu H =

2 nr

Czy po otoczeniu przewodnika wal-

cową osłoną ferromagnetyczną natężenie pola magnetycznego w przestrzeni ulegnie zmianie? Czy indukcja pola magnetycznego w przestrzeni ulegnie zmianie? Znaleźć wartość pól H i B wewnątrz osłony przyjmując, że je st1 ona wykonana z: a) żelaza (jn = 5000), b) stali (ji = 40000), c) stopu supermaloj (// = 1 000000, skład 79% niklu, 16% żelaza i 5% molibdenu). Przyjąć, że / = 10 A oraz rt = 1 cm i r2 — 2 cm (promienie wewnętrzny i zewnętrzny osłony). IV.30. Znaleźć wartości sił oraz momentów sił działających w jedno­ rodnym polu magnetycznym o indukcji B na: a) prostoliniowy przewodnik o długości /, b) obwód płaski dowolnego kształtu o powierzchni S, przez które płynie prąd o natężeniu I. IV.3I. Jaką siłą działają na siebie dwa równoległe przewodniki o dłu­ gości / umieszczone w odległości a, przez które płyną prądy o natężeniach / i oraz I 2. IV.32. Znaleźć siłę wzajemnego oddziaływania nieskończonego, prostoliniowegp przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu /*, z kołowym przewodnikiem o promieniu R, w którym płynie prąd o natężeniu 12 w na­ stępujących przypadkach: a) Prosta i okrąg umieszczone śą w jednej płaszczyźnie (rys. 40). b) Prosta jest umieszczona wzdłuż osi symetrii okręgu.

Rys. 40

4*

51

IV.33. W polu długiego, cienkiego przewodu, w którym płynie prąd o natężeniu / , , znajduje się ramka prostokątna o tokach a i b, odległość osi symetrii ramki od przewodu jest równa c. Przez ramkę płynie prąd o natężeniu / 2. Obliczyć siłę i moment siły działające na ramkę w nastę­ pujących przypadkach: a) ramka leży w jednej płaszczyźnie z przewodnikiem (rys. 41), b) ramka jest do tej płaszczyzny prostopadła (rys. 42).

c.-

R ys. 41

IV.34. Cztery równoległe bardzo długie przewodniki umieszczono tak, że ich punkty przecięcia z płaszczyzną prostopadłą wyznaczają kwadrat o boku a (rys. 43). Przez każdy z przewodników płynie prąd o natężeniu /. Kierunek prądu jest we wszystkich przewodnikach taki sam. Znaleźć siłę działającą na odcinek o długości / każdego z przewodników. Na prze­ cięciu przekątnych kwadratu umieszczono przewodnik równoległy do pozostałych czterech. Jakie musi być natężenie i kierunek prądu płynącego w tym przewodniku, aby siły działające na każdy z przewodników były równe zeru? IV.35. Znaleźć energię ziemskiego'pola magnetycznego, znajdującego się na zewnątrz Ziemi. Porównać tę energię z energią grawitacyjną Ziemi. JV’.36. Znaleźć energię dipola magnetycznego o momencie magnetycz­ nym dipolowym d,„, znajdującego się w polu magnetycznym o natężeniu H. 52

IV.37. Korzystając z wyniku zadania poprzedniego znaleźć położenia równowagi trwałej i nietrwałej w przypadku: a) dipola magnetycznego znajdującego się w jednorodnym polu magne­ tycznym, b) kołowego przewodnika z prądem znajdującego się w jednorodnym polu magnetycznym, c) dwóch oddziałujących dipoli magnetycznych, d) dwóch oddziałujących kołowych przewodników z prądem o iden­ tycznych promieniach, e) dipola magnetycznego oddziałującego z kołowym przewodnikiem z prądem.

Rys. 43 IV.38. Znaleźć siłę działającą na dipol magnetyczny dm umieszczony na osi symetrii kołowego przewodnika o promieniu R, w którym płynie prąd o natężeniu I. IV.39. Czy we wzorze na siłę elektromotoryczną indukcji £ = —

>Bdt

musi występować znak minus? IV.40. Czy wzór na siłę elektromotoryczną indukcji wynika z równań Maxw'ella? IV.41. Dw'a samoloty przelatują nad biegunem północnym (B = = 7 ' 1 0 - S T) z prędkością v = 1000 km/h . Pomiędzy samolotami rozpięty jest drut o długos'ci 1 km. Samoloty lecą na tej samej wysokości. Jaka siła elektromotoryczna indukuje się w drucie? IV.42. Pręt o długości / wiruje z częstością w wokół prostopadłej osi przechodzącej przez jego środek w stałym, jednorodnym polu magne­ 53

tycznym o indukcji B. Znaleźć siłę elektromotoryczną indukującą się pomiędzy końcami pręta. IV.43. D o środka i brzegu wirującego koła metalowego podłączono końcówki gałwanometru. Co wskaże galwanometr. przy braku jakich­ kolwiek pól zewnętrznych? IV.44. Prostokątna ramka wykonana z drutu przewodzącego ma ruchomą poprzeczkę (rys. 44). Ramkę umieszczamy w jednorodnym, zmiennym polu magnetycznym. W jakim przypadku w ramce wydzieli się największa ilość ciepła: a) przy położeniu poprzeczki na środku prostokąta, b) po przysunięciu poprzeczki do jednego z boków prostokąta.

Rys. 44

IV.45. Pierścień z przewodnika w kształcie okręgu o promieniu R obraca się wokół swojej średnicy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B równoległej do to. Obliczyć różnicę potencjałów pomiędzy dwoma dowolnie obranymi punktami pierścienia. Dla jakich punktów osiąga ona maksimum? IV.46. Pierścień z poprzedniego zadania obraca się wokół średnicy prostopadłej do pola B. Znaleźć siłę elektromotoryczną indukującą się w pierścieniu. 1V.47. Wsuwanie magnesu do solenoidu połączonego z opornikiem powoduje przepływ prądu przez solenoid i opornik. W jakim przypadku wydzielana w oporniku moc będzie maksymalna: a) gdy magnes porusza się z prędkością v względem solenoidu, b) gdy solenoid porusza się z prędkością v względem magnesu, c) gdy solenoid i magnes poruszają się jednocześnie ze względną pręd­ kością v. IV.48. Znaleźć ruch przewodnika spadającego w polu grawitacyjnym wzdłuż pary przewodów zwartych oporem R (rys. 45). Masa poprzeczki m, długość.poprzeczki /, opór poprzeczki i przewodów jest zaniedbywalny 54

w porównaniu z oporem R. Prostopadle do płaszczyzny przewodów działa stałe pole magnetyczne o indukcji B. Prędkość początkowa poprzeczki *>(0) = 0. Q

R ®B

>

l •

II II

i ii Rys. 45

IV.49. Obliczyć współczynnik samoindukcji solenoidu, którego długość / jest dużo większa od promienia zwojów R, a całkowita liczba zwojów solenoidu jest równa N. IV.50. D w a‘solenoidy o identycznej długości / zostały umieszczone jeden w drugim. Znaleźć współczynnik indukcji wzajemnej solenoidów, jeżeli ich promienie zwojów R t i R z są duże mniejsze od /, a ilości zwojów są równe N y i N z . Co będzie, gdy Rz ? IV.5I. Znaleźć współczynnik samoindukcji układu walców z zad. 1V.22. Długość walców wynosi /. IV.52. Znaleźć energię pola magnetycznego obwodu o samoindukcji L, przez który płynie prąd o natężeniu / 0 . IV.53. Znaleźć energię pola magnetycznego dwóch obwodów o współ­ czynnikach samoidukcji L x i L z oraz współczynniku indukcji wzajemnej M, przez które płyną prądy o natężeniach /j i I2. IV.54. Korzystając z wyniku zadania poprzedniego udowodnić nie­ równość M < \fL ^ L Z . F IV.55. Przenikalność elektryczna e0 ma wymiar — , natomiast przem­ iń H kalność magnetyczna u 0 ------ .Korzystając z tych informacji wyjaśnić Jaką m interpretację fizyczną mają obydwie stałe. IV.56. Bateria kondensatorów o łącznej pojemności C = 5 mF została naładowana do napięcia U = 1000 V i połączona z cewką o zaniedbywalnie m.ałym oporze, której indukcyjność L = 10 mH. Obliczyć maksy55

raałną wartość indukcji pola magnetycznego B w cewce, jeżeli objętość, w której pole B ma porównywalną wartość z polem w środku cewki, wy­ nosi 10 cm3. Jaki prąd płynie wówczas przez cewkę? ’IV.57. Załóżmy, że indukcja pola magnetycznego wewnątrz długiego przewodnika o'promieniu a wzrasta proporcjonalnie do czasu B = f ł - 1 , natomiast na zewnątrz przewodnika B = 0. Jakie poie elektryczne po­ wstanie w przestrzeni wokół pręta? Zakładamy, że pole B jest jednorodne wewnątrz przewodnika i równoległe do jego osi symetrii. IV.58. Pomiędzy dwiema płytami w kształcie kół o promieniu a na­ tężenie pola elektrycznego wzrasta proporcjonalnie do czasu E = at. N a zewnątrz pole E = 0. Zakładając, że pole E jest jednorodne w ob­ szarze płyt i prostopadłe do ich powierzchni znaleźć pole B w obszarze płyt. IV.59. Jedną z teoretycznie przewidywanych, lecz jeszcze nie odkrytych cząstek elementarnych, jest monopol magnetyczny, tzn. pojedynczy biegun magnetyczny. Ładunek magnetyczny monopola g powinien spełniać równa­ nie ge = h, gdzie e jest elementarnym ładunkiem elektrycznym, a k stałą Plancka. Znaleźć wartość tego ładunku. Sformułować prawo Coulomba dla monopoli magnetycznych i znaleźć siłę, z jaką przyciągałyby się dwa różnoimienne monopole magnetyczne umieszczone w odległości równej 1 mm, porównać wynik z siłą przyciągania się protonu i elektronu z tej samej odległości. IV.60. Podać wzór na siłę działającą na monopol magnetyczny w ob­ szarze, w którym B # 0 i E # 0 (analogicznie do wzoru na siłę Lorentza). IV.61. W jaki sposób trzeba będzie uzupełnić równania Maxwella, jeżeli zostaną odkryte monopole magnetyczne? IV.62. Wzory transformacyjne obowiązujące dla pól elektrycznego i magnetycznego przy przejściu do układu współrzędnych poruszającego się z prędkością v względem układu nieruchomego są następujące:

gdzie znak j| oznacza składową wektora równoległą do wektora v, a znak _! składową prostopadłą.

56

Korzystając z tych wzorów udowodnić, że wielkości E ■B oraz E 2 — —c 2 B 2 nie ulegają zmianie przy przejściu od jednego układu współrzęd­ nych do drugiego (są to tzw. niezmienniki przekształceń Lorentza). IV.63. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania scharakteryzować własności wektorów E i B w różnych układach inercjalnych, jeżeli w pew­ nym układzie odniesienia a) b) c> d) e) f)

E- B = E- B = E• B = E• B # E « 0, B = 0.

0, 0, 0, 0,

E E E E

> cB, < cB, = cB, — cB,

IV.64. Rozważyć ładunek q poruszający się po prostej z prędkością v = const. Korzystając ze wzorów na transformację pól znaleźć natężenie pola elektrycznego E oraz indukcję pola magnetycznego B wytwarzanych przez ten ładunek w układzie spoczywającym. IY.65. Dwa identyczne ładunki q poruszają się równolegle obok siebie z prędkością v w odległości a (rys. 46). Znaleźć siłę, z jaką jeden z nich działa na drugi. Obliczenia wykonać w układzie nieruchomym oraz w ukła­ dzie poruszającym się wraz z ładunkami. Przedyskutować przypadek

v -* c. q

V

aI j_______

q R ys. 46

IV.66. Prostoliniowy, nieskończony przewodnik, w którym płynie prąd o natężeniu /, wytwarza wokół siebie pole elektryczne i magnetycz­ ne. Znaleźć stosunek energii tych pól. IV.67. Ruch ładunku elektrycznego w polu magnetycznym był już dyskutowany w rozdziale III tomu 1 (zad. III.39 i następne). Obecnie roz­ ważymy dwa trudniejsze problemy. 57

Znaleźć ruch cząstki o masie m fładunku q > 0 w polu magnetycznym indukcji B = B0 + [łt. W chwili t — t 0 prędkość cząstki v0 jest prosto­ padła do wektora B = B0 • Wektory B0 i (J są równoległe. IV.68. Korzystając z wyników poprzedniego zadania znaleźć ruch cząstki o masie, m i ładunku q > 0 w polu o indukcji B = —(0, Ą j+ ry , 0). założyć, że w chwili t = t 0 prędkość cząstki v0 = (0, v 0y, v0z). W s k a z ó w k a . Należy przejść do układu odniesienia poruszającego się wzdłuż/osi y z prędkością v Qy.

R ozdział V

TEORIA OBWODÓW Teoria obwodów jest dziedziną, która startując z elementarnych praw fizycznych (prawa Ohma i Kirchhoffa) doszła do zaawansowanych metod rachunkowych (m.in. wykorzystanie teorii grafów). Poniższy rozdział jest jedynie wprowadzeniem do najbardziej elementarnych spośród tych metod. Ze względu na to, że podręczniki fizyki z reguły nie poświęcają wiele miejsca teorii obwodów, rozdział ten, w przeciwieństwie do pozostałych, będzie zawierał więcej materiału teoretycznego i przykładów, a mniej zadań, które Czytelnik może bez trudności samodzielnie układać. V .l. PRĄDY STAŁE Podstawowymi prawami fizycznymi opisującymi zajwisko przepływu prądu w obwodach elektrycznych są: prawo Ohma

gdzie / jest natężeniem prądu, U — przyłożonym napięciem, a R oporem elementu oraz prawa Kirchhoffa : I. Suma natężeń prądów wpływających i wypływających z dowolnego węzła obwodu jest równa zeru

2 i t = o,

i

przy czym prądom wpływającym przypisujemy przeciwny znak niż prądom wypływającym (rys. 47). II. Suma spadków napięć w dowolnym oczku obwodu jest równa sumie sil elektromotorycznych źródeł napięcia znajdujących się w tym oczku

2 ^ *

= S rJR Jj 59

Zależnie od kierunku prądu i ustawienia źródła napięcia w obwodzie, w stosunku do ustalonego kierunku obiegu oczka, przypisujemy im różne znaki (rys. 48).

/1 + / 2—73- / 4—Is —0 R ys. 47