YGS-LYS Fizik Fasikülleri-7 2017-18 [77] [PDF]

Zitiervorschau

Ü N İ V E R S İ T E Y E H A Z I R L I K K AY N A K L A R I

FASİKÜLLERİ

R E GÖ N İ M E SİST V A N İ SI YEN

E HA

AN ZIRL

MIŞT

7

Çembersel Hareket Evrensel Çekim Kanunu Basit Harmonik Hareket i.c j e l o ikk

om

. fi z w w w mlü ü z ö deo Ç i V ı m Mehmet K Tama

IR

araağaç

Bu fasikülün her hakkı KARAAĞAÇ YAYINCILIK’ a aittir. Hangi amaçla olursa olsun bu fasikülün tamamının ya da bir kısmının, fasikülü yayınlayan yayınevinin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi ile çoğaltılması, yayınlanması ve depolanması yasaktır.

Bu fasikülde yer alan tüm testlerdeki soruların videolu anlatım çözümlerine www.fizikkoleji.com internet adresindeki “dergi soru çözümleri” linkinden ulaşabilirsiniz.

ISBN 978-605-85797-5-0 KAPAK TASARIMI Zafer SÖNMEZATEŞ www.zafersonmezates.com DİZGİ ve DÜZENLEME KARAAĞAÇ YAYINCILIK BASKI ve CİLT Aydan Matbaacılık

Fasiküllerin hazırlanmasında emeği geçen Zafer SÖNMEZATEŞ, Erdinç Kemal OKYAR ile bana sabırla destek veren eşim Banu KARAAĞAÇ’ a sonsuz teşekkürlerimi sunarım.

meşrutiyet cad. alibey apt. 29/7 çankaya/ankara tel: 0 537 872 60 96 www.fizikkoleji.com

Çalışmadan, Yorulmadan Öğrenmeden Rahat Yaşama Yolları Aramayı Hayat Haline Getirmiş Milletler, Evvela Haysiyetlerini, Sonra Hürriyetlerini ve Daha Sonra da İstiklallerini Kaybetmeye Mahkumdurlar.

Değerli Arkadaşlar

Zorlu bir yıla girmiş bulunuyorsunuz. Taşıdığınız yük, sorumluluklarınız ve yapacaklarınız düşünüldüğünde önünüz de başarmanız gereken bir çok ders var. Bu derslerden birisi de fiziktir. Bilindiği gibi fizik dersi, konuları iyi anlaşılmadan, birçok örnek çözülmeden, sık sık tekrarlar yapılmadan öğrenilebilecek bir ders değildir. Öğrenildiğinde ise, soruları çözerken hızlı düşünüp zamanı iyi kullanarak sonuca ulaşmak gerekir. Bu doğrultuda hazırlanan FİZİK FASİKÜLLERİ, ayrıntılı konu anlatımları, çözümlü örnekleri, pratik yolları ve birbirini tekrar etmeyen soruları içeren testleri ile siz sevgili öğrencileri sınava hazırlayan “üniversite hazırlık kaynaklarıdır.” Başarmanın yolu, doğru bilgiye ulaşıp çok çalışmaktan geçer. Bu öneriler doğrultusunda yapacağınız çalışmalarda başarılar diliyoruz.

İÇİNDEKİLER

ÇEMBERSEL HAREKET......................................... 7

EVRENSEL ÇEKİM KANUNU................................ 51

BASİT HARMONİK HAREKET............................... 82

Çembersel Hareket Sürtünmesiz yatay düzlem üzerinde sabit hızla hareket eden cisme, hareket yönünde sabit bir kuvvet uygulanırsa cisim düzgün hızlanan hareket, hareket yönüne ters yönde bir kuvvet uygulanırsa düzgün yavaşlayan hareket yapar.

Çizgisel Hız ve Açısal Hız Çembersel hareket yapan bir cisim, çember üzerinde yol alırken aynı zamanda belirli bir açı ile çemberin merkezi etrafında döner. Dolayısıyla çembersel hareket yapan cisimler için farklı iki hız kavramı kullanılır.

j Düzgün hızlanan hareket

F

1. Çizgisel hız (m/s) 2. Açısal hız (rad/s)

j Düzgün yavaşlayan hareket

F

j

j

K

Aynı cisme hareket doğrultusuna dik bir kuvvet, sabit ve sürekli uygulandığında hızının büyüklüğü değişmeyen cisim, bu kuvvetin etkisi ile "düzgün çembersel hareket" yapar.

L

x

Sürtünmesiz yatay düzlemde sabit hızla hareket eden cismin K ve L noktaları arasında aldığı x yolu; x = j.t

j

bağıntısı ile bulunur.

j F

j F

j r

O

O F F

j

j

Aynı mantıkla O noktası etrafında sabit v hızıyla hareket eden cismin hızının büyüklüğü değişmemek kaydıyla, bir tam tur

Cisme etki eden sabit ve sürekli F kuvvetinin hız vektörüne dik olması, uygulanan kuvvetin yönünde bir ivmenin oluşmasına neden olur. Bu ivme, cismin hızının büyüklüğünü değiş-

atarak çember üzerinde aldığı yol, yarıçapı r olan çemberin çevresi 2rr kadardır. Bir tur için geçen süre T (periyot) olduğuna göre; x = j.t

tirmezken sadece hareket yönünü değiştirir. Böyle bir çembersel yörüngede eşit zaman aralıklarında eşit yollar alan cismin

bağıntısı bu cisim için;

hareketine "düzgün çembersel hareket" denir. Şekildeki gibi,

2rr = j.T

O noktası etrafında düzgün çembersel hareket yapan bir cis-

şeklinde yazılır. Bağıntı düzenlendiğinde, cismin çember üze-

min, çember çevresi üzerinde dönme süresine periyot, tur sa-

rindeki çizgisel hızı;

yısına frekans denir.

j=

Periyot (T): Düzgün çembersel hareket yapan cismin bir tam dolanım yapması için geçen süreye "periyot" denir. Periyot, T ile gösterilip birimi saniyedir. Frekans (f): Düzgün çembersel hareket yapan cismin bir saniyedeki dolanım sayısına "frekans" denir. f ile gösterilip birimi s–1 (hertz) dir.

şeklinde yazılır. Yarıçap vektörünün birim zamanda çember düzlemi içinde taradığı açıya, "açısal hız" denir. Yarıçap vektörü bir tam devrini T sürede yaptığında radyan cinsinden 2r lik bir açı tarar. Dolayısıyla çembersel hareket yapan cisimler için açısal hız; w=

Periyot ile frekans arasındaki ilişki T.f = 1 ' dir.

2πr T

2π = 2πf T

şeklinde yazılır.

7

Açısal hızın bağıntısı w =

2π 2πr , çizgisel hızın bağıntısı j = T T

K

'de yerine yazılırsa çizgisel hız ile açısal hız arasında;

" j1 = j

r

j = w.r

L r

O

ilişkisinin olduğu görülür.

" j2 = j

" ∆j

" j2 = j " –j1 = j

NOT Dt sürede K noktasından L noktasına gelen cismin hızında-

~

ki değişim; O

r

K

r

L

r

M

D j = j2 – j1 vektörel işlemi ile bulunur.

Yatay bir zeminde O noktasından geçen eksen etra-

Bu süre içinde cismin ortalama ivmesi,

fında döndürülen bir ipin K, L, M noktalarında bulu-

a=

nan cisimlerin periyotları, frekansları ve açısal hızları eşit iken j = w.r bağıntısına göre dönme nokta-

olur.

sından uzaklaşıldıkça cisimlerin çizgisel hızlarının

" j1 = j " j2 = j

büyüklükleri artar. TK = TL = TM

O2

" j3 = j

O1

fK = fL = fM

Dj DT

j

" j4 = j

wK = wL = wM

j

" j5 = j

jM > jL > jK

" ∆j

Şekil - I

Merkezcil ivme j

O

O j

Şekil - II

gibidir. Büyükleri eşit, yönleri farklı olan bu hız vektörlerinin başlangıçları şekil–II deki gibi ortak bir O2 noktasına taşınırsa, ardışık D j hız vektörlerinin, bir periyotluk sürede yaklaşık ola-

F j

rak j yarıçaplı bir çember çizdiği görülür. a=

j a O

" ∆j

" ∆j

min eşit zaman aralıkları ile çizilmiş hız vektörleri şekil–I deki

F

R

j

j

" ∆j

O1 noktası etrafında düzgün çembersel hareket yapan bir cis-

j

R

j

Dj Dt

bağıntısına bağlı olarak merkezcil ivmenin büyüklüğü; a

a=

2πj T

j=

2πr T

olur. Cismin çizgisel hızı; j

O noktası etrafında düzgün çembersel hareket yapan cismin yarıçap vektörü, hız vektörüne dik ve merkezden dışarıya doğru, cismin çembersel hareket yapmasını sağlayan F kuvveti hız vektörüne dik ve merkeze doğrudur. Kuvvet ile ivme arasında F = m. a ilişkisi olup kuvvet ile ivme vektörü aynı yönlüdür. Dolayısıyla çembersel hareketteki ivmenin yönü de kuvvetle aynı yönde ve merkeze doğrudur. Cisme çembersel hareket sırasında etkiyen ivme daima merkezi gösterdiği için bu " ivmeye "merkezcil ivme (a mer)", kuvvete de "merkezcil kuvvet " (F mer)" denir. 8

merkezcil ivme bağıntısında yerine yazılırsa merkezcil ivmenin formülleri; a= şeklinde yazılabilir.

j2 4π 2 r , a = r , a = w2 r T2

Düşey Düzlemde Düzgün Çembersel Hareket

NOT

M

j

Aynı merkezcil ivme formülleri vektörel olarak ya-

mg

zıldığında; a =-

4π 2 . r , T2

a =-

j2 , r

Fmer TM

a = –w 2 . r

O TN

formüllerdeki (–) işareti, r yarıçap vektörü ile a ivme vektörünün ters yönlü olduğunu gösterir. mg.cosa

Merkezcil Kuvvet

Fmer j

j

mg

L mg

TK K

a

TL Fmer

a

Fmer

N

j

mg

Düşey düzlemde sabit j hızıyla döndürülen cisin ağırlığının

Kuvvet ile ivme arasında;

ipte oluşan gerilme kuvvetine etkisi olur. K, L, M ve N nokta-

" " F = m.a

ilişkisi vardır. Buna göre, düzgün çembersel hareket yapan cisme etki eden merkezcil kuvvetin büyüklüğü; j2 4π 2 r F = m. 2 , F = m. r , F = m.w 2 r T

larından geçen m kütleli cismi dengeleyen ipteki gerilme kuvvetleri; K noktasında; j2 TK = m. r + mg



şeklinde yazılır. j

j2 TL = m r



T

O

L noktasında;

Sürtünmesiz yatay düzlemde ipin ucuna bağlı cisim, hızı arttırılacak şekilde döndürülürse ipteki gerilme kuvvetinin de arttığı

M noktasında; j2 T = m r – mg M

görülür. Bunun sebebi, cismin hızındaki artışa bağlı olarak cisme etki eden merkezcil kuvvetinin artmasıdır. Cisme etki eden merkezcil kuvvet; F

mer

N noktasında; j2 T = m. r + mg cos a N



j2 = m. r

bağıntıları ile bulunur.

olup ipteki gerilme kuvveti de bu kuvvete eşit olur. Yatay Düzlemde Düzgün Çembersel Hareket L

j

j

Virajı Dönen Araçlara Etkiyen Kuvvetler: 1. Yatay Viraj:

r O

T

K

j O

r Fmer

Fs

M j

Sürtünmesiz yatay düzlemde, O noktası etrafında düzgün

Yatay bir yoldaki r yarıçaplı viraja, sabit j hızıyla giren bir ara-

çembersel hareket yapan cismi yörüngede tutan ipte bir T ge-

cın güvenli geçiş yapabilmesi için gereken merkezcil kuvveti,

rilme kuvveti oluşur. Yatay düzlemde cismin ağırlığının ipte-

sürtünme kuvveti sağlar. Aracın lastikleri ile yer arasındaki sür-

ki gerilme kuvvetini artırcı veya azaltıcı bir etkisi olmadığı için

tünme kuvveti yarıçap doğrultusunda olup;

ipte oluşan gerilme kuvveti her noktada sabit ve merkezcil kuv-

mj 2 F >>F & k.m.g ≥ r S

vete eşittir. j2 TK = TL = TM = Fmer = m. r

koşulu sağlanırsa, araç güvenli geçiş yapar. 9

2. Eğimli Viraj: N

5 dakikada 900 devir yapan 0,5 metre yarıçaplı dişlinin kenarındaki bir noktanın;

O

r Fmer



a) periyodu,



b) açısal hızı,



c) çizgisel hızı



kaçtır? (r = 3)



a) 1 dak

a a G

Sürtünme kuvvetinin yetersiz olduğu virajlı yollara, aracın virajı güvenli bir şekilde geçebilmesi için eğim verilir. Burada ara-

60 s ise

5 dak

x

cın virajda hareketini sürdürebilmesi için G ağırlığı ile yolun N

x = 300 saniyedir.

tepki kuvvetinin bileşkesinin Fmer merkezcil kuvetine eşit olma-

300 saniyede

900 devir yapan dişli



1 devrini

sı gerekir. Buna göre;

mj2 Fmer r tan a = = mg G

j2 tan a = r.g

artması veya azalması aracın yörüngeden çıkmasını sağlar.

T

T =

olursa araç güvenli geçiş yapabilir. Virajı dönen aracın hızının





b) Açısal hızın formülü w = Buna göre, periyodu hızı,



Dönen Silindir

w=

2π 'dir. T

1 saniye olan dişlinin açısal 3

2.3 = 18 rad/s 'dir. 1 3

c) Dişlinin kenarındaki bir noktanın çizgisel hızı;



~

300 1 = saniyede yapar. 3 900

j = w.r

bağıntısına göre, Fs O

Fmer r



j = 18.0,5



j = 9 m/s'dir.

mg

Merkezinden geçen düşey eksen etrafında sabit w açısal hı-

Y

X

zıyla döndürülen silindirin içindeki m kütleli cismin düşmeden dengede kalabilmesi için cismin ağırlığının sürtünme kuvvetine eşit olması gerekir. Cisim ile silindir arasındaki sürtünme

O1

r

O2

2r

kuvveti ise cisme etki eden merkezcil kuvvet ile bulunur. FS = m.g



10

O1 ve O2 merkezleri etrafında dönen r ve 2r yarı-

k. Fmer = m.g

çaplı X ve Y dişlilerinin;

mj 2 k. r = m.g

a) Periyotlarının oranı,

g.r j = k 2

b) Açısal hızlarının oranı, c) Çizgisel hızlarının büyüklerinin oranı kaçtır?

a) Yarıçapı 2r olan Y dişlisi 1 kez döndüğünde, yarı-

L makarası 1 kez döndürüldüğünde aynı merkezli K

çapı 2r olan X dişlisi aynı sürede 2 kez döner. Fre-

makarası da aynı yönde 1 kez döner. 3r yarıçaplı K

kanslarının oranı

makarası 1 kez döndüğünde r yarıçaplı M makarası fX



fY

3 kez, M makarası ile aynı merkezli N makarası da 3

=2

kez döner. Dönme sayıları aynı zamanda makarala-

olan dişlilerin periyotlarının oranı T. f = 1 bağıntısına göre; 1 = 2 T X Y



b) X dişlisinin periyodu T olarak alınırsa Y dişlisinin 2π periyodu 2T olur. Açısal hızın formülü w = T olup X dişlisinin açısal hızı; 2π w = X T Y dişlisinin açısal hızı; 2π w = Y 2T olup dişlilerin açısal hızlarının oranı; 2π wX T = 2'dir. = wY 2π 2T

c) Çizgisel hızın formülü;

j=

2πr = 2πr.f T

bağıntısına göre, X noktasının hızının büyüklüğü;

olur.



karasının frekansı f ise N makarasının frekansı 3f;

T



rın frekansları olarak ta alınabilir. Buna göre, L ma-

2πr 'dir. T Buna göre, X ve Y dişlilerinin çizgisel hızları; 2πr 2π2r jX = jY = T 2T olup büyüklerinin oranı;

jX = j = 2r.r.f Y noktasının hızının büyüklüğü;

jY = 2r.2r.3f



jY = 6.2rr.f



jY = 6j dir.

X Y

j=

jX



jY

=

2πr T = 1 'dir. 2π2r 2T

O1

r

r

K

r

O2

r

L

Yarıçapları sırasıyla 3r ve r olan O1 ve O2 merkez-

li kasnaklar gergin bir kayışla birbirlerine bağlanıp döndürülüyor.

Buna göre, X ve Y makaralarının üzerindeki K ve Y noktalarının merkezcil ivme büyüklüklerinin oranı K

X

aK aL

kaçtır?

N

L

Y

M r

2r

r

r

Yarıçapı 3r olan X makarası 1 kez döndüğünde kayış yardımı ile bağlı ve yarıçapı r olan Y makarası aynı sürede 3 kez döner. Dönme sayısı, frekans olaŞekildeki sistemde X noktasının çizgisel hızının büyüklüğü j ise Y noktasının çizgisel hızının büyüklüğü kaç j dir?

rak alınabileceği için X makarasının frekansı f olursa Y makarasının frekansı 3f, w = 2rf 11

bağıntısına göre, X makarasının açısal hızı; wX = 2rf = w

K

Y makarasının açısal hızı;

j1

r

wY = 2r3f = 3w

r

olur.

L

O 2

a = w .r

j2

bağıntısına göre, K ve L noktalarının merkezcil ivmeleri;

m ve 2m kütleli K ve L cisimlerinin periyotları arasın-

aK = w 2.2r 2



da 3T1 = T2 ilişkisi vardır.

2

aL = (3w) .r = 9w .r

Buna göre, K ve L cisimlerine etki eden merkez-

K ve L noktalarının açısal ivme büyüklüklerinin oranı ise;

FK

cil kuvvetlerinin oranı

FL

kaçtır?

a K w 2 .2r 2 a = 9w 2 .r = 9 L olarak bulunur.

K cisminin periyodu T olarak alınırsa, L cisminin periyodu 3T'ye eşit olur. Buna göre, K cisminin çizgisel hızı;

X

O1

2j r

O2

K

3r

2πr T

j=

j

Y

bağıntısına göre; L

jK =

2π.2r = 2j T

ve L cisminin çizgisel hızı; Yatay düzlemdeki K ve L cisimleri sırasıyla r ve 3r yarıçaplı yörüngelerde 2j ve j sabit hızlarıyla düzgün dairesel hareket yapmaktadırlar.

olur. Merkezcil kuvvetin bağıntısı; j2 F = m. r

Cisimlerin açısal hızları sırasıyla wK ve wL olduğuna göre,

wK wL

2π.r j = 3 3T

jL =

olup K ve L cisimlerine etki eden merkezcil kuvvet-

oranı kaçtır?

lerinin oranı; m ^2j h2 m.4j 2 9r 2r = . 2 = 2r F j 2mj 2 L 2m c m 3 r

FK Bir cismin çizgisel hızı ile açısal hızı arasında; j = w.r ilişikisi vardır. Buna göre, yarıçapları r ve 3r olan yörüngelerde 2j ve j çizgisel hızları ile hareket eden

bağıntısından; F

cisimlerin açısal hızları;

K

2j 2j = wK.r ⇒ w = r K j = w L .3r & w L =

j 3r

olup oranları; 2j wK r = 6'dır. = wL j 3r

12

FL olarak bulunur.

=9

M K

O1

2r

j1 r

j2

L

O2

r=0,225m 120°

O r=0,225m

N Şekil – I

r=0,225m

O

r=0,225m

Şekil – II j

Şekil–I ve şekil–II de verilen cisimler, yatay düzlemŞekil – I

de düzgün dairesel hareket yapıyorlar. Şekil–I'deki

Şekil – II

2m kütleli cisim T sürede K noktasından L noktası-

O noktası etrafında dönen içi boş kürenin şekil–I

na, şekil–II deki 3m kütleli cisim 2T sürede M nokta-

deki gibi açık ağzından serbest bırakılan bir cisim; 1 h = gt 2 2 bağıntısına göre, 0,45 m yol alarak kürenin alt yü-

sından N noktasına gelmektedir. Cisimlere etki eden merkezcil kuvvetlerin oranı

F1 F2

zeyinin içine;

kaçtır?

0, 45 =

0.09 = t 2

90° yi T sürede alan 2m kütleli cisim 360° yi 4T sürede, 120° yi 2T sürede alan 3m kütleli cisim 360° yi 6T sürede alır. Periyotları 4T ve 6T olan cisimlerin; j=

2πr T

bağıntısına göre, çizgisel hızlarının oranı; 2πr 2πr 6T 3j . = 4T = = 2π2r 4T 2π2r j2 4j 6T j1

merkezcil kuvvetlerinin oranı ise; F=

mj 2 r

1 10.t 2 2



t = 0.3 s

saniyede çarpar. Cismin kürenin alt yüzeyine çarpmadan kürenin içinden çıkabilmesi için kürenin aynı sürede yarım tur atarak açık ağzının alt ucuna gelmesi gerekir. Yarım turu 0,3 saniyede alan küre, 1 tam turu 0,6 saniyede gerçekleştirir. Buna göre; kürenin 1 dakikadaki tur sayısı; 0,6 saniyede 1 dak = 60 saniyede

1 tur x

x = 100 tur olarak bulunur.

bağıntısına göre, 2m ^3j h2 18mj 2 2r 3 r = = . 2 = r 4 F 48mj 2 3m ^4j h 2 2r F

1

m

~ O

olarak bulunur. r=2m

Şekilde O noktasından geçen eksen etrafında dönen yatay çubuk üzerindeki m kütleli cisim dengededir. Cisimle çubuk arasındaki sürtünme katsayı0,255 m yarıçaplı içi boş kürenin açık ağzından serbest bırakılan bir cismin küreye çarpmadan çıkabilmesi için kürenin 1 dakikadaki devir sayısı en az kaç olmalıdır?

sı 0,45 tir. Buna göre, cismin savrulmaması için, cismin çizgisel hızı en fazla kaç m/s olmalıdır? (g = 10 m/s2) 13

Dönen cismin dengede kalabilmesi için merkezcil j1

kuvvetinin sürtünme kuvveti ile dengelenmesi gerekir.

T1

O

FS = Fmer

2m

r

j2 T2

m

r

kmg =

mj 2 r

0, 45.m.10 =

mj 2 2

Bir ipe bağlı 2m ve m kütleli yatay düzledeki cisim-

bağıntısından cismin çizgisel hızı;

ler, O noktasından geçen düşey eksen etrafında w açısal hızı ile döndürülüyor.

j2 = 9

Buna göre, iplerde oluşan gerilme kuvvetlerinin

j = 3 m/s

oranı

olarak bulunur.

T1 T2

kaçtır?

~ m

T1

T2

2m

m kütleli cisimlerin açısal hızları eşit ve w kadardır.

O 2r

Aynı merkez etrafında döndürülen şekildeki 2m ve

r

Bir cisme etki eden merkezcil kuvvet w cinsinden; Fmer = mw 2.r bağıntısı ile bulunur. II. ipteki gerilme kuvvetini sa-

Şekildeki sürtünmesiz yatay platform üzerinde O

dece m kütleli cismin merkezcil kuvveti oluşturur-

noktasından geçen düşey eksen etrafında m ve

ken, I. ipteki gerilme kuvvetini 2m ve m kütleli cisim-

2m kütleli cisimler w açısal hızıyla döndürülmekte-

lerin merkezcil kuvvetlerinin toplamı oluşturur.

dir. m ve 2m kütlelerini düşey eksene ağlayan ipler-

Buna göre, iplerde oluşan gerilme kuvvetleri;

deki gerilme kuvvetleri T1 ve T2 olduğuna göre, T1 T2

oranı kaçtır?



T1 = F1 + F2 = 2mw 2.r + mw 2.2r



T1 = 4mw 2.r



T2 = F2 = mw 2.2r

olup oranları; T

1

T

2

Aynı dönme ekseni etrafında döndürülen m ve 2m

=

4mw 2 r = 2 'dir. 2mw 2 r

kütleli cisimlerin açısal hızları eşit ve w kadar olur. Bir cisme etki eden merkezcil kuvvet w cinsinden; Fmer = m.w 2.r bağıntısı ile bulunur. İplerde oluşan gerilme kuvvetleri, merkezcil kuvvetlere eşit olup iplerdeki gerilme kuvvetleri;

T1 = F1 = m.w 2.2r



T2 = F2 = 2m.w 2.r

olup oranları; T

1

T

2

14

=

mw 2 2r = 1'dir. 2mw 2 r

r yarıçaplı yörüngede T periyodu ile dönen m kütleli cisme etki eden merkezcil kuvvet F'dir. Aynı cisim 3r yarıçaplı yörüngede

T

periyodu 2 ile döndürülürse cisme etki eden merkezcil kuvvet kaç F olur?

FMK = 3.(4)2.0,2 = 9,6 N FML = 2.(4)2.0,6 = 19,2 N

Çembersel hareket yapan cismin çizgisel hızı; j=

olup FSK > FMK olduğu için K cismi dengede kalırken

2πr T

FML > FSL den dolayı L cismi dengede kalamaz ve dönme merkezinden dışarıya doğru savrulur.

Cisme etki eden merkezcil kuvvet ise; F=

mj 2 r 'dir.

Aynı cisim 3r yarıçaplı yörüngede

T periyot ile ha2

reket ettirilirse çizgisel hızı; jl =

2π.3r 6.2πr = = 6j T T 2

Yarıçapı 18 metre olan bir viraja giren araç, savrulmadan güvenli bir şekilde virajı dönmek istiyor. Araçla yüzey arasındaki sürtünme katsayısı 0,2

cisme etki eden merkezcil kuvvet; Fl =

olduğuna göre, aracın hızı kaç m/s dir?

m ^6j h2 36 mj 2 = = 12F 3r 3 r

olur.

Aracın virajı güvenli bir şekilde dönebilmesi için araca etki eden merkezcil kuvvetin aracın tekerlekleri ile yüzey arasındaki sürtünme kuvvetine eşit ol-

~ = 4 rad/s

ması gerekir.

K

L

3 kg

20 cm

FS = Fmer

2 kg

O

Buna göre, aracın hızı bağıntısından; 60 cm

O noktasından geçen eksen etrafında sürtünme katsayısı 0,4 olan yatay tabla 4 rad/s'lik açısal hız-



k.m.g =

m.j 2 r



0, 2. m .10 =

m .j 2 18



j2 = 36



j = 6 m/s

la döndürülüyor. Cisimlerin denge durumu için ne söylenebilir?

olarak bulunur.

Bir cisme etki eden merkezcil kuvvet, cisimle yüzey arasındaki sürtünme kuvvetine eşit ve küçük ise cisim dengede kalır. Eğer üyük ise dönme merkezinden dışarıya doğru savrulur. Buna göre, K ve L ci-

K

simleri ile yüzey arasındaki sürtünme kuvvetleri; FS = k.N = k.m.g

İp

L

2 metre

bağıntısına göre; FSK = 0,4.3.10 = 12 N

Birbirlerine iple bağlı 2 kg ve 3 kg kütleli K ve L ci-

FSL=0,4.2.10 = 8 N

simleri, sürtünmesiz yatay tabla w açısal hızı ile

cisimlere etki eden merkezcil kuvvetler; FM = mw 2r bağıntısına göre;

döndürüldüğünde dengede kalıyorlar. Buna göre, K cisminin dönme eksenine uzaklığı kaç metredir?

15

K cismi w açısal hızı ile düzgün çembersel hareket

O

yaparken L cisminin dengede kalabilmesi için L cis-

~ K

L

minin ağırlığının K cismine etki eden merkezcil kuvvete eşit olması gerekir.

x

mL.g = mK.w 2.r

2–x

O‫׳‬

Soruda verilen değerler bağıntıda yerlerine yazılır-

O–O' ekseni etrafında sabit w açısal hızı ile döndü-

sa K cisminin açısal hızı;

rülen K ve L cisimlerinin dengede kalabilmesi için

8.10 = 10.w 2.0,5

birbirlerine iple bağlı cisimlere etki eden merkezcil kuvvetlerin eşit olması gerekir. K cisminin dönme eksenine uzaklığı x olarak alınırsa L cisminin dönme eksenine uzaklığı 2 – x olur.



w 2 = 16



w = 4 rad/s

olarak ve

FMK = FML

w=

m .w 2 .r = m .w 2 .r K

K K

L

L L

bağıntısından K cisminin dönme eksenine uzaklı-

bağıntısından da K cisminin dolanım periyodu,

ğı x;

4= 2. w .x = 3. w . ^2 – xh 2



2



2x = 6 – 3x

2π T

2.3 T

T = 1,5 saniye

olarak bulunur.

x = 1,2 m

olarak bulunur.

j m1

O

j O

r = 0,5 m

mK = 10 kg

m2

Sürtünmesiz yatay masa üzerinde m1 kütleli cisim

sabit j çizgisel hızı ile O noktası etrafında döndürüldüğünde m1 kütleli cisme iple bağlı m2 kütlesi den-

mL = 8 kg

10 kg kütleli K cismi şekildeki sürtünmesiz yatay masa üzerinde w açısal hızı ile O noktası etrafında döndürüldüğünde K cismine iple bağlı L cismi dengede kalıyor. Buna göre, K cisminin dolanım periyodu kaç saniyedir? (r = 3) 16

gede kalıyor.

m1 kütlesinin dönme hızı 2 katına çıkarılırsa,

dönme yarıçapının değişmemesi için m2 kütle-

si öncekinin kaç katı olmalıdır?

Çizgisel hızı j olan m1 kütleli cisme etki eden merkezcil kuvvet;

F

mer

yaptığı açı değerine bağlı olarak 1 kg kütleli cismin dolanım yarıçapı;

m .j2 1 r

=

Soruda verilen ipin uzunluğu ve tablanın yatayla

~ r

Fmer

m et

re

olup merkezil kuvveti ip yardımı ile m2 kütleli cismin

37°

j2 m1 . r = m2 g sin 37° =

merkezcil kuvvet;

0, 6 =

tirilmeden 2 katına çıkarılırsa aynı cisme etki eden

mer

=

m . ^2j h2 1 r

l = 4. Fmer

mg

53°

m1 kütleli cismin çizisel hızı, dönme yarıçapı değiş-

Fl

T

1

ağırlığı dengelemektedir.

r 1

r & r = 0, 6 m'dir. 1

0,6 m yarıçaplı yörüngede dolanan cismi dengede tutan ip ile cismin ağırlığının eğik zemine paralel bileşeninin toplamı, merkezcil kuvvetinin eğik zemine

m 1 .j 2 r

paralel bileşenine eşittir.

bağıntısına göre 4 katına, dolayısıyla merkezcil kuvveti dengeleyecek m2 kütlesinin de 4 katına çık-

ması gerekir.

T + mg.sin53° = Fmer.cos53° Merkezcil kuvvet, açısal hız cinsinden yazılıp soruda verilen değerler bağıntıda yerlerine yazılırsa cismin açısal hızı; T + m.g.sin53°= m.w 2.r.cos53° 1 + 1.10.0,8 = 1.w 2.0,6.06



9 = w2.(0,6)2 9 w2 = ^0, 6h2



w=



3 = 5 rad/s 0, 6

olarak bulunur.

~

m ~

T

r

53°

Yatayla 53° lik açı yapan şekildeki tabla, bir ucundan geçen mil çevresinde sabit w açısal hızıyla döndürülmektedir.

a

1 m uzunluğundaki iple mile bağlanan 1 kg kütleli cisim dönerken ipte oluşan gerilme kuvveti-

Sürtünmesiz huni, merkezinden geçen eksen etra-

nin en küçük değeri 1 N olduğuna göre, bu an-

fında sabit w açısal hızı ile döndürüldüğünde huni-

da cismin açısal hızı kaç rad/s'dir? (sin53°= 0,8)

nin iç yüzeyindeki m kütleli cisim dengede kalıyor. Buna göre, w açısal hızının büyüklüğü neye eşittir? 17

m kütleli cisim, huninin dönme eksenine r kadar

r yarıçaplı yörüngede dolanım hareketi yapan cis-

uzaklıktan dengede kalabilmesi için cismin ağırlığı-

me etki eden kuvvetler şekildeki gibi olup merkez-

nın eğik zemine paralel bileşeninin cisme etki eden

cil kuvvet;

merkezcil kuvvetin eğik zemine paralel bileşenine eşit olması gerekir. Buna göre, w açısal hızı; ~ T = 13 N Fmer a

r

Fmer

r

Fmer.cosa mg = 0,5.10 =5N

na .si

mg

mg

a

Fmer . cos a = m.g. sin a

bağıntısından;

2

mw .r. cos a = m.g. sin a g r . tan a 'ya

w=

T 2 = ^Fmer h2 + ^mgh2



2 13 2 = F mer + 52

F2

mer

= 144

Fmer = 12 N'dur.

Merkezcil kuvvet açısal hız cinsinden;

eşittir.



Fmer = m.w 2.r

şeklinde yazılırsa cismin açısal hızı;

12 = 0, 5.w 2 .



w 2 = 36



2 3

w = 6 rad/s

ve cismin dolanım frekansı; w = 2r.f ten



6 = 2.3.f



f = 1 s –1

olarak bulunur.

ℓ

r j

Uzunluğu l olan ipin ucuna asılan m kütleli cisim şekildeki gibi konik sarkaç hareketi yapıyor. 2 Cismin dolanım yarıçapı metre, ipteki geril3 me kuvveti 13 N olduğuna göre, kütlesi 0,5 kg olan cismin dolanım frekansı kaç s –1 dir? (r = 3)

18



eşitliğinden K cisminin açısal hızı;

0, 8 =



0, 8 =



2

37°

r

mK = 3 kg

m K .w 2 .r T

3.w 2 50

5 6

w = 16



w = 4 rad/s

ve cismin dolanım frekansı

w = 2r.f

mL = 5 kg



4 = 2.3.f

Sürtünmesiz borudan geçirilen ipin iki ucuna mK



f=

ve mL kütleli cisimler bağlanmıştır. K cismi, yatay

2 –1 s 'dir. 3

düzleme paralel düzgün dairesel hareket yaptırılın5 ca cisim r = metre yarıçaplı daire çizerek denge6

de kalıyor. Buna göre, K cisminin dolanım frekansı kaç s –1

i

dir? (r = 3)

K cismi düzgün çembersel hareket yaparken L cisteki gerilme kuvvetinin L cisminin ağırlığına eşit olması gerekir.

r

O

minin dengede kalabilmesi için L cismini taşıyan ipj

Düşey düzlemde O noktası etrafında döndürülen m kütleli cismi taşıyan ipin düşey doğrultu ile yaptığı

53°

açı i ve ipteki gerilme kuvvetinin şiddeti T'dir.

T = 50 N

Cismin kütlesi artırılarak aynı hızla O noktası r

37°

Fmer

K

etrafında döndürülürse i ve T nasıl değişir?

mK.g T = 50 N i

mL = 5 kg T

50 N

i

İpin diğer ucuna bağlı K cismini dengelemeye çalışan gerilme kuvveti de 50 N olup açı değerlerine bağlı olarak K cisminin kütlesi, sin 37° =

m .g K T

m .10 0, 6 = K 50

mK = 3 kg

dır. K cismine etki eden merkezcil kuvvet açısal hız cinsinden;

Fmer = mK.w 2.r

olup; cos 37° =

Fmer

Fmer T

O

r

m.g

j hızıyla dönmekte olan cisme etki eden kuvvetler şekildeki gibi gösterilmiştir. Bir cisme etki eden merezcil kuvvet çizgisel hız cinsinden; mj 2 r olup kütlenin artması ile hem cismin ağırlığı, hem de cisme etki eden merkezcil kuvvet artar. Her iki büyüklükteki bu artışa bağlı olarak ipteki T gerilme kuvveti de artar. Fmer =

19

Cismin ağırlığı ile merkezcil kuvvet arasındaki ilişki i açısı kullanılarak; mj 2 Fmer r tan i = mg = mg

r yarıçaplı yatay bir viraja giren araç, hızı en fazla j olursa virajı güvenli bir şekilde geçebiliyor. Eğimi 0,25 olan sürtünmesiz 2r yarıçaplı başka bir vi-

2

j tan i = r.g

raja 2j hızı ile giren aynı araç, virajı güvenli olarak

şeklinde yazılır. Görüldüğü gibi açı değeri kütleden

geçebiliyor.

bağımsızdır. Kütle artırıldıkça hem cismin ağırlığı

Buna göre, yatay virajın sürtünme katsayısı

hem de cisme etki eden merkezcil kuvvet artar fa-

kaçtır?

kat oranlarına bağlı olarak i açısı değişmez.

N

r

Fmer

2r

j

Fmer a

O 53° a

Eğimi 53° ve yarıçapı 300 m olan bir viraja giren aracın savrulmadan bu virajı geçebilmesi için hızının en fazla kaç m/s olması gerekir?

mg

Şekil - I

Şekil - II

Yatay virajda aracın savrulmadan virajı geçebilmesini araç ile zemin arasındaki sürtünme kuvveti sağlar.

Fmer = FS

Eğimi 53° olan viraja giden araca etki eden kuvvet-

mj 2 r = kmg

ler şekildeki gibidir. N

j 2 = k.g.r



Şekil–II de cismin güvenli bir şekilde eğimi 0,25 yani tana = 0,25 olan virajı güvenli bir şekilde geçebil-

37°

Fmer

mesi için cismin ağırlığı ile cisme etki eden merkezmg

cil kuvvet arasındaki ilişki; F mer tan a = mg =

53°

Araca etki eden kuvvetler arasındaki açı değerine

2j 2 tan a = r.g

bağlı olarak cismin hızı;

tan 37° =



3 300.10 = 4 j2



j 2 = 4000



j = 20 10 m/s

olarak bulunur.

20

mg r.g = 2 j mj 2 r

m ^2j h2 2r m.g

olup I. bağıntıda bulunan j 2 değeri II. bağıntıda yerine yazılırsa şekil–I deki yüzeyin sürtünme katsayısı; 0, 25 = olarak bulunur.

k=

2.k.g.r r.g 'den 1 8

NOT r

Bir cisim çembersel yüzeyde veya bir ipin ucuna bağlanarak çembersel yörüngede düzgün çember-

j1

4r

j2

sel hareket yapıyorsa ve yüzeyin cisme gösterdiği tepki kuvveti veya ipteki gerilme kuvveti cismin

O

ağırlığı ile aynı yönde ise bu iki büyüklüğün toplamı, merkezcil kuvvete eşitlenir. Eğer yüzeyin tepki kuvveti veya ipteki gerilme kuvveti cismin ağırlığı ile ters yönde ise bu iki büyüklüğün farkı merkez-

Yarıçapları 4r ve r olan virajlı yolun ve silindirin yü-

cil kuvvete eşitlenir.

zeyinin sürtünme katsayıları eşit ve 0,6 dır. Kütlesi m olan bir araç, virajı j 1 hızıyla ve silin-

dirin iç çevresini j 2 hızıyla emniyetli bir şekilde j döndüklerine göre, 1 oranı kaçtır? j2

j

Bir motosikletli 6,4 m yarıçaplı kürenin içinde düzgün dairesel hareket yapıyor. 4r yarıçaplı yatay viraja giren cisme etki eden sürtünme kuvveti cisme etki eden merkezcil kuvvete

Baş aşağı geldiğinde dolanım periyodu en fazla kaç saniye olabilir?

eşittir.

Fmer = Fs mj2 4r

1

j

= k.m.g

j 2 = k.g.4r 1

m.g

r yarıçaplı silindirin içinde düşmeden dönmekte olan cisme etki eden sürtünme kuvveti cismin ağırlığına eşit iken sürtünme kuvvetini oluşturan neden cisme etki eden merkezcil kuvvettir.

Motosikletli baş aşağıya geldiğinde yüzeyin tepki kuvveti ile cismin ağırlığının toplamı, merkezcil kuvvete eşit olur.

Fs = m.g k.N = m.g mj 2 k. r 2 = m.g j 22 =

g.r k

Buna göre, her iki şekildeki cismin hızlarının oranı, j2 1

j 22



=

k.g.4r 2 g.r = k .4 k

j1 6 = 0, 6.2 = 1, 2 = 'tir. 5 j2

Fmer

N

N + mg = Fmer Dolanım periyodunun alabileceği en büyük değerde yüzeyin tepki kuvveti sıfır olur. (N = 0)

m.g =

mj 2 r

j 2 = r.g j 2 = 6,4.10 j = 8 m/s bu durumu sağlayan en büyük periyot değeri; 2πr j= T 8=

2.3.6, 4 T

T = 4,8 saniyedir.

21



mg – N = Fmer N = mg – Fmer

Yatay düzlemde 3 m yarıçaplı yörüngede düzgün çembersel hareket yapan cisme etki eden merkez-

N = mg -

cil kuvvet 60 N'dur. Buna göre, cismin kinetik enerjisi kaç joule'dür?

Bir cisme etki eden merkezcil kuvvet; mj 2 Fmer = r bağıntısı ile, aynı cismin kinetik enerjisi ise; 1 E K = mj 2 2 bağıntısı ile bulunur. Soruda verilen değerler 1. ba-

mj2 r

Buna göre, cisme etki eden tepki kuvveti; 800. ^25 h2 100



N = 800.10 -



N = 8000 – 5000



N = 3000 Newton

olur.

ğıntıda yerine yazılırsa mj 2 çarpımı; mj 2 60 = 3 mj 2 = 180

m = 3 kg

K

ℓ=2m

O

olarak, bulunan bu değer 2. bağıntıda yerine yazılırsa cismin kinetik enerjisi; 1 1 E K = mj 2 = .180 2 2 E = 90 joule K

L

olarak bulunur.

Bir ucu O noktasından sabitlenmiş 2 m uzunluğundaki ipin diğer ucuna 3 kg kütleli cisim bağlanmıştır. K noktasından serbest bırakılan cisim L nokj

tasından geçerken iple oluşan gerilme kuvveti kaç N'dur? (g = 10 m/s2)

r

K noktasından serbest bırakılan cisim L noktasın-

O

dan geçerken, cismin kaybettiği potansiyel enerji L

Sürücü ile birlikte kütlesi 800 kg olan bir araç,

noktasında kinetik enerjiye dönüşür.

eğrilik yarıçapı 100 m olan şekildeki bir köprünün üzerinden 25 m/s'lik hızla giderken köprünün en üst noktasında yerin araca uyguladığı

O

K

tepki kuvveti kaç Newton olur?

ℓ=2m T Fmer

Araç köprünün en üst noktasına geldiğnide cisme etki eden tepki kuvveti ile cismin ağırlığının farkı,

mg

merkezcil kuvvete eşit olur. N

m.g

Fmer

1 mj 2 2 1 m.10.2 = mj 2 2 m.g., =

j

mj 2 = 2.3.10.2 mj2 = 120

22

j

L

Cisim L noktasından geçerken ipteki gerilme kuv-

lel bileşeni çıkarıldığı zaman cisme etki eden mer-

veti ile cismin ağırlığının farkı, merkezcil kuvvete

kezcil kuvvet bulunur.

eşit olur. T – m.g =

mj 2 r

K

Bilinen değerler bağıntıda yerlerine yazılırsa ipteki

37°

gerilme kuvveti;

T Fmer

120 2 T = 90 N

T – 3.10 =

L 37°

olarak bulunur.

mg

mgcos37°

T – mgcos37°= Fmer T – mg.0, 8 =

mj 2 r

Bilinen değerler yerine yazılırsa ipteki gerilme kuvveti; ℓ=1m

32 1 T = 48 N

K

T – 2.10.0, 8 =

37°

olarak bulunur. L

1 m uzunluğundaki bir iple şekildeki gibi çiviye bağlanan ve K noktasından ilk hızsız bırakılan 2 kg kütleli cisim kesikli çizgilerle belirtilen yörüngeyi izlemektedir.

K

r=3m

O

Cisim L konumundan geçerken ipte oluşan gerilme kuvveti kaç Newton'dur? (g = 10 m/s2)

L

ℓ=1m

h

37°

K

ℓ=1m

Şekilde merkezi O noktası olan yarım daire şeklindeki ortamda sürtünmeler önemsenmiyor. K noktasından serbest bırakılan 4 kg kütleli cisim, L noktasından geçerken L noktasının cis-

L j

h , h 0, 8 = 1 h = 0, 8 m

me gösterdiği tepki kuvveti kaç Newton'dur? (g = 10 m/s2)

cos 37° =

1 mj 2 2 1 2.10.0, 8 = mj 2 2 mj 2 = 32 mgh =

Cisim L noktasından geçerken ipteki gerilme kuvvetinden, cismin ağırlığının ipin doğrultusuna para-

K noktasından serbest bırakılan cisim L noktasından geçerken cismin kaybettiği potansiyel enerjisi L noktasındaki kinetik enerjisine eşit olur. 1 mj2 2 mj2 = 2.m.g.r mj2 = 2.4.10.3 mj2 = 240 mgr =

23

L noktasında yüzeyin cisme gösterdiği tepki kuvveti

1 mghl = mj 2 2 1 3.10.11 = mj 2 2 mj 2 = 660 mj 2 N –mg = r 660 N – 3.10 = 2 N = 360 Newton

ile cismin ağırlığının farkı cisme etki eden merkezcil kuvveti verir. N

Fmer

L

mg

N – mg = Fmer N – mg =

mj 2 r

K

O

r

Buna göre, cisme etki eden tepki kuvveti;

53°

240 N – 4.10 = 3

L

N = 120 Newton olarak bulunur.

Sürtünmesiz yüzeyin merkezi O noktasıdır. K noktasından serbest bırakılan m kütleli cisme L noktasında yüzeyin gösterdiği tepki kuvveti kaç m.g dir? (cos 53° = 0,6)

m = 3 kg K

j0 = 0 L

h = 15 m

r=2m O

Yer

Sürtünmesiz ortamda K noktasından serbest bırakılan cisim, L noktasından geçerken yüzeyin cisme gösterdiği tepki kuvveti kaç Newton olur?

K noktasından serbest bırakılan cisim L noktasından geçerken potansiyel enerji kaybeder ve kaybettiği potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşür. Merkezi O noktası olan çembersel yüzeyde L noktasından j hızıyla geçen cisme etki eden merkezcil kuvvet ise yüzeyin tepki kuvveti ile cismin ağırlığının tepki kuvvetine paralel bileşeninin farkına eşittir. O

K h

53°

r

j

N

Fmer

L 53° mg

Yerden 15 m yükseklikteki K noktasından serbest bırakılan cisim, yerden 4 m yükseklikteki K noktasından geçerken potansiyel enerji kaybeder ve kaybettiği potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşür. Merkezi O noktası olan çembersel yüzeyde L noktasından j hızıyla geçen cisme etki eden merkezcil kuvvet ise yüzeyin tepki kuvveti ile cismin ağırlığının farkına eşit olur. K h' = 11 m

h cos 53° = r h 0, 6 = r & h = 0, 6 r 1 mgh = mj2 2 1 m.g.0, 6r = mj2 2 mj2 = 1, 2 mgr Buna göre, yüzeyin tepki kuvveti;

j0 = 0

N – m.g cos 53° = Fmer

N

mj 2 r 1, 2.m.g.r N – m.g.0, 6 = r N = 1, 8 mg'dir. N – m.g.0, 6 =

4m Yer

24

j mg O

Fmer

mgcos53°

NOT L

Düşey düzlemde bir cisim düzgün çembersel ha-

j

reket yapıyorsa, cismin hareketi sırasında her noktadaki hızının büyüklüğü sabittir. Fakat cismin dü-

r

şey düzlemde çembersel hareket yapıyorsa düşeyde yer değiştirmesine bağlı olarak potansiyel

O

enerji değişiminden dolayı cismin her noktadaki hır

zının büyüklüğü farklı değerler alır. j

K

Periyodu T olan bir cisim j sabit hızıyla düzgün

L

çembersel hareket yapmaktadır. Cisim K noktasından L noktasına geldiğinde ortalama ivme-

r

si ne olur?

O r

Bir cismin ortalama ivmesi; K

j

İpe bağlı m kütleli cisme, O noktası etrafında düşey düzlemde düzgün çembersel hareket yaptırılıyor. İpin K noktasındaki gerilme kuvveti TK, L nokta-

sındaki gerilme kuvveti TL dir. TK TL

D j j2 – j1 = Dt Dt

bağıntısı ile bulunur. Cismin K noktasındaki hareket yönünün işareti (–), L noktasındaki hareket yönünün işareti (+) alınırsa çember üzerindeki tam bir dönüşünü T sürede yapan cisim K noktasından L

= 3 olduğuna göre, cisme etki eden merkez-

cil kuvvetin, cismin ağırlığına oranı

a=

F G

noktasına gelme süresi ivmesi;

kaçtır?

a=

T olur ve cismin ortalama 2

^j – ^–j hh 2j 4j = = T T T 2 2

olur. Düzgün çembersel hareket yapan cismin her noktadaki hızı sabit, dolayısıyla cisme etki eden merkezcil kuvvette sabittir. K noktasında ipteki gerilme kuvveti ile cismin ağırlığının farkı merkezcil kuvvete eşit iken;

K

TK – G = F

j = 12 m/s

L noktasında ipteki gerilme kuvveti ile cismin ağırlığının toplamı gerilme kuvvetine eşittir. Buna göre,

TL + G = F F oranı; G T K

T

L



=

F+ G =3 F–G

3F – 3G = F + G

olarak bulunur.

O

2F = 4G F =2 G

L

j = 12 m/s

Periyodu 16 s olan bir cisim sabit 12 m/s'lik hızla düzgün çembersel hareket yapıyor. Cisim 90° döndürüldüğünde ortalama ivmesi kaç m/s2 olur? 25

Sürtünmesiz düşey düzlemde bir ucu sabitlenmiş ipin serbest ucuna bağlanan m kütleli cisim düzgün çembersel hareket yaparken cisme bağlı ip kopar-

Bir cismin hızındaki değişim;

sa, o anda cismin hız vektörü hangi yönü gösteri-

Dj = j son – j ilk bağıntısı ile bulunur. Hızı 12 m/s olan bir cisim, 90°

yorsa, cisim o yönde atış hareketi yapar.

dönerek K noktasından L noktasına gelirken cismin hızındaki değişim vektörel olarak;

j

D j = jL – jK

K

j

P j İp N

"

∆j = 12 2 m/s

O

L

" jL = 12 m/s

j j

"

–jK = 12 m/s

M

şeklinde bulunur. Tam bir dönüşünü (360°) 16 sani-

İpin koptuğu an cisim;

yede yapan cisim, 90° lik dönüşünü;

1. K noktasında ise yatay atış, 2. L noktasında ise aşağı yönde atış,

360°

16 s

90°



3. M noktasında ise yatay atış,

t

4. N noktasında ise yukarı yönde atış, 5. P noktasında ise pike atış hareketi

t=4s

de yapar. Buna göre, cismin ortalama ivmesi; Dj DT 12 2 = 3 2 m/s 2 a= 4

yapar.

a=

EYLEMSİZLİK MOMENTİ

dir.

I. Öteleme Kinetik Enerjisi j

j

m

Kayarak dönmeden hareket eden cismin bir öteleme (ilerleme)

NOT

hızı ve bu hızına bağlı olarak bir öteleme kinetik enerjisi vardır. Bir ucu sürtünmesiz yatay bir düzlem üzerine tuttu-

Buna göre; kütlesi m, öteleme hızı j olan cismin sahip olduğu

rulmuş ipin serbest ucuna bağlanan m kütleli cisim

öteleme kinetik enerjisi;

düzgün çembersel hareket yaparken cisme bağlı ip

EK =

koparsa, o anda cismin hız vektörü hangi yönü gösteriyorsa, cisim o yönde sabit hızla hareket yapar.

1 .mj 2 2

bağıntısı ile bulunur.

j

II. Dönme Kinetik Enerjisi İp O j

~

min dönme kinetik enerjisi dolayısıyla

L O j

j

26

Kendi ekseni etrafında dönen bir cis-

r

dönme kinetik enerjisine sahip cismin eylemsizlik momenti vardır. Eylemsizlik momenti, dönen cismin kütlesine bağlı olduğu gibi kütlenin bu sistem içinde nasıl dağıldığına da bağlıdır.

Sabit bir eksen etrafında r yarıçaplı yörüngede dönme hare-

Açısal Momentum

keti yapan cismin eylemsizlik momenti;

j

I = mr2

m

bağıntısı ile, dönme kinetik enerjisi;

Bir doğru boyunca sabit j hızıyla hareket eden m kütleli cismin momentumu;

1 E K = Iw 2 2

P = m.j

bağıntısı ile hesaplanır.

bağıntısı ile bulunur. Bağıntıdaki kütle öteleme eylemsizliğini,

Dönme ekseni ~ r

hız ise öteleme hızını ifade eder.

Dönme ekseni

m

j

~ r

2r

m

m

r

2r

m

m O

Şekil - I

Şekil - II

m kütleli iki cisim, dönme eksenine r kadar uzaklıkta iken sistemin eylemsizlik momenti;

Aynı cisme O noktası etrafında düzgün çembersel hareket 2

2

I1 = mr + mr I1 = 2mr2

yaptırılırsa çizgisel memontemunun karşılığı bu dönme hareketinde açısal momentum olur. Yani cismin dönme durumunu sürtünmesi, cismin dönme ve açısal momentumu ile ilgi-

iken iki cismin dönme merkezinden 2r uzaklığa konulduğunda

li bir durumdur. Dönen cisimler için kütle (m) yerine eylemsiz-

sistemin eylemsizlik momenti;

lik momenti (I), öteleme hızı (j) yerine açısal hız (w) kullanılır.



I2 = m(2r)2 + m(2r)2



I2 = m4r2 + m.4r2 2

I2 = 8.m.r



olur. Örnekten de görüldüğü gibi toplam kütlenin değişmemesine rağmen kütlelerin dönme eksenine olan uzaklıkları artırılırsa sistemin eylemsizlik momenti de artar. Buna göre, açısal hızları değiştirilmeyen sistemde kütlelerin dönme eksenine olan uzaklıklarının artması ile sistemin; EK =

1 2 Iw 2

bağıntısına göre, dönme kinetik enerjisi de artar.

Buna göre, sabit eksen etrafında dönen katı bir cismin açısal momentumunu bulmak için; bağıntısı kullanılır.

L = I .w

NOT Sabit bir nokta etrafında dönen cismin aynı yönlü açısal hız ve açısal momentum vektörlerinin, cismin hız vektörü ile arasındaki açı 90° dir. Dönme hareketi yapan cismin açısal hızının veya açısal momentumunun yönü şu şekilde bulunur. O

~

"

L

III. Dönerek İlerleyen Cisimlerin Kinetik Enerjileri

j

~

O

r

O

j

Kaymadan dönerek ilerleyen cisimlerin hem öteleme kinetik enerjileri hem de dönme kinetik enerjileri vardır. Bu şekilde hareket eden cisimler için toplam kinetik enerji; EK =

şeklinde yazılır.

1 1 mj 2 + Iw 2 2 2

R

O'

Sağ elin dört parmağı hız vektörünün yönünü gösterecek şekilde, avuç içi ise dönme noktasını görecek şekilde OO' dönme ekseni kavranıldığında, dört parmağa dik açılan baş parmak açısal momentumun yönünü verir. 27

AÇISAL MOMENTUMUN KORUNUMU ~

Bir cismin dönme kinetik enerjisi; EK =

1 2 Iw 2

bağıntısı ile bulunur. Açısal hızları eşit olan 2m ve m kütleli, r ve 2r yarıçaplı cisimlerin dönme kinetik enerjileri; 1 I .w 2 = 2 1 1 E 2 = I2 .w 2 = 2 E1 =

1 m .r 2 .w 2 = 2 1 1 1 m .r 2 .w 2 = 2 2 2

1 2m.r 2 .w 2 2 1 m. ^2r h2 .w 2 2

Kolları açık bir çocuk kendi ekseni etrafında w açısal hızı ile dönerken kollarını kapatırsa ilk duruma göre daha hızlı döndüğünü gözlemler. Çünkü, kollarını kapatan çocuk eylemsizlik momentumunu küçülttüğü için toplam açısal momentunu koruyabilmek için açısal hızını artırır.

olup bu enerjilerinin birbirine oranı;

Buna göre, dönmekte olan bir sisteme dışarıdan etki eden bileşke dış tork sıfır ise, dönen cismin açısal hızındaki artış veya azalışta sistemin açısal momentumunun yönü ve büyüklüğü değişmez. Bu durum "açısal momentumun korunumu yasası' olarak ifade edilir.

olarak bulunur.

~

1 2m.r 2 .w 2 1 = 2 = 1 2 E2 .m.4r 2 .w 2 2 E

1

~

1

2

~

O

r

j

Toplam kinetik enerjisi E olan r yarıçaplı içi dolu silindir kaymadan dönerek j hızıyla ilerliyor. " L2

" L1

Eylemsizlik momenti

1 2 mr olan cismin hızı 2j 2

yapılırsa toplam kinetik enerjisi kaç E olur?

L1 = L2

I1 . w1 = I2.w2 I1 >I2 dolayısıyla w2 > w1 dir.

~ r

Dönerek ilerleyen bir cismin toplam enerjisi, ötele-

~ 2m

2r

me kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin topm

lamına eşittir. E= baıntıda I yerine

1 1 mj 2 + I.w 2 2 2

1 2 j mr , w yerine r yazılırsa cismin 2

toplam kinetik enerjisi; Şekil - I

Şekil - II

Şekildeki 2m ve m kütleli içi boş silindirler verilen dönme eksenleri çevresinde aynı w açısal hızı ile dönmektedir. Her iki cisim için dönme eylemsizlik momenti eşit I = m.r 2 olduğuna göre, cisimlerin dönme kinetik enerjilerinin oranı E1 / E2 kaçtır? 28

1 mj 2 + 2 1 E = mj 2 + 2 E=

E= ye eşit olur.

3 mj 2 4

1 1 2 j 2 . mr a r k 2 2 1 2 j2 mr 2 4 r

Cismin hızı iki katına çıkarılırsa cismin yeni durumda toplam kinetik enerjisi; 3 El = m. ^2j h2 4 3 El = 4 m.j2 4 El = 4E

K

3 (E = m.j2) 4

ji = 0

h=3m

olur.

L

j

2 2 mr olan bir silindir, üzeri3 ne 3 m uzunluğunda ip sarılarak K noktasından serEylemsizlik momenti

j0 = 0

best bırakılıyor.

K h = 7,5 m

Silindir dönerek L noktasına gelip ipten kurtulduğu andaki çizgisel hızı kaç m/s olur?

j

K noktasından serbest bırakılan cismin L noktasına L

K noktasında durmakta olan cisim serbest bırakılıyor.

geldiğinde kaybettiği potansiyel enerji bu noktadaki toplam kinetik enerisine eşittir. 1 1 m.g.h = mj 2 + Iw 2 2 2

L noktasından kaymadan dönerek ilerleyen cismin bu noktadaki hızı kaç m/s dir? ( I =

1 mj 2 + 2 1 m.g.h = mj 2 + 2 1 m.g.h = mj 2 + 2 5 m .g.h = m j 2 6 m.g.h =

1 2 mr ) 2

K noktasından serbest bırakılan cismin L noktasına

bağıntıdan cismin L noktasındaki çizgisel hızı; 6 .10.h 5 6 j 2 = .10.3 = 36 5 j = 6 m/s

geldiğinde kaybettiği potansiyel enerji bu noktadaki toplam kinetik enerjisine eşittir.

1 2 Iw 2 1 2 2 j 2 . mr a r k 2 3 1 mj 2 3

j2 =

1 1 m.g.h = mj 2 + Iw 2 2 2

olarak bulunur. j 1 I yerine mr 2, w yerine r yazılırsa, cismin L nok2 tasındaki hızı 1 mj 2 + 2 1 m.g.h = mj 2 + 2 3 m.g.h = mj 2 4 3 10.7, 5 = .j 2 4 j 2 = 100 j = 10 m/s m.g.h =

olarak bulunur.

1 1 2 j 2 . mr a r k 2 2 1 mj 2 4

K

3r

r

L

Eylemsizlik momentleri 6I ve I olan K ve L makaralarının yarıçapları sırasıyla 3r ve r dir. K makarası ok yönünde sabit hızla şekildeki gibi döndüğünde K ve L makaralarının dönme kiE netik enerjilerinin oranı K kaç olur? EL 29

L X = 2I.w = L L = 3I.2w Y Bir cismin dönme kinetik enerjjisi; E=

L 2I.w = 3I.2w L Y



1 2 Iw 2

LY = 3L

olarak bulunur. Açısal momentum vektörel bir büyüklüktür. Dolayısıyla X dişlisine göre ters yönde

bağıntısı ile bulunur.

dönen L dişlisinin açısal momentumu;

Yarıçapı 3r olan K makarasının açısal hızı w olarak

L Y = –3 L

alınırsa r yarıçaplı L makarasının açısal hızı;

rK.wK = rL.wL



3r.w = r.wL



4

olarak bulunur.

wL = 3w

olur. Buna göre, makaraların dönme kinetik enerjilerinin oranı;

~

~

1 .6I.w 2 2 = 2 = 1 ^ 2h 3 EL .I . 3w 2

E

O2

O1

Şekil - I

K

Şekil - II

Eşit uzunluktakı özdeş iki çubuk O1 ve O2 noktala-

rından geçen çubuklara dik eksen etrafında sabit w

olarak bulunur.

açısal hızlarıyla döndürülüyorlar. Buna göre, çubukların açısal momentum büyüklüklerinin oranı

X Y 2r

r

L1 L2

eylemsizlik momenti I =

kaçtır? (Her iki çubuk için 1 m., 2 dir. ) 2

Eylemsizlik momentleri sırasıyla 2I ve 3I olan X ve Y dişlilerinden X dişlisinin açısal momentumu L dir. Buna göre, Y dişlisinin açısal momentumu kaç L dır?

Özdeş çubukların her bir biriminin uzunluğu l olarak alınırsa çubukların boyları 4l ye eşit olur. O1 nokta-

sı etrafında döndürülen şekil–I'deki çubuğun dönme yarıçapı 2l 'ye O2 noktası etrafında döndürülen şekil–II deki çubuğun dönme yarıçapı ise 4l ye eşit-

X dişlisinin açısal hızı w olarak alınırsa Y dişlisinin

tir. Açısal momentumun formülü;

açısal hızı;



L = I.w rX.wX = rY.wY



2r.w = r.wY



wY = 2w

olarak bulunur. Açısal momentumun bağıntısı;

L = I .w

olduğuna göre,

cinsinden; 30

1

L2

oranı;

_ 1 1 m. ^2, h2 .w bb L 4. m, 2 w 2 2 1 `& L = 1 1 2 16. m, 2 w L 2 = I 2 .w 2 = m ^4, h2 .w b 2 2 a L 1 = I 1 .w 1 =



dur. Buna göre, X ve Y dişlilerinin açısal momentum oranlarından Y dişlisinin açısal momentumu L

L

olarak bulunur.

L

1

L2

=

1 4



ÇEMBERSEL HAREKET

1.

TEST - 1

4. r

K

r

2r

2r

O

L

53° T



İpler yardımıyla birbirine bağlı makaralar ok yönünde döndürülüyor.



Buna göre, K ve L noktalarının açısal hızlarının oranı wK wL

oranı kaçtır?

A) 6

ℓ = 1,5 m r



B) 4

C) 2

3 2

D)

E)

1,5 m uzunluğundaki ipin ucuna 3 kg kütleli cisim bağlanıyor ve cisim ip yardımıyla O noktası etrafında döndü-

1 2

rülerek şekildeki konik sarkaç elde ediliyor.

2.

m = 3 kg j

Cisim düşeyle 53°'lik açık yapacak şekilde düzgün çembersel hareket yaptığına göre, cismin dolanım

~

periyodu kaç saniyedir? (sin53°= 0,8; cos53° = 0,6) m

T

A) 0,3

O

B) 0,6

C) 0,8

5.

Şekildeki yatay platform O noktasından geçen düşey eksen etrafında 1 devrini 3 de yapacak şekilde döndürülüyor. 6 kg kütleli cisim 0,5 m uzunluğundaki bir iple dönme eksenine bağlıdır.



Hareket sırasında ipte oluşan gerilme kuvveti 3 N olduğuna göre, cisme etki eden sürtünme kuvveti kaç N olur? (r = 3) A) 15

B) 12

C) 9

D) 6

D) 1,2

E) 1,8

O ~

K L M

E) 3

O'

3.

O' m1



Koni şeklindeki bir cisim OO' eksenleri etrafında sabit w açısal hızıyla döndürülüyor.

r İp

O



Buna göre; K, L, M noktalarının merkezcil ivmeleri aK, aL ve aM arasındaki ilişki ne olur? A) aK > aL > aM

İp

C) aM > aL > aK

m2



Şekildeki yatay konumda bulunan tabla OO' ekseni etra1 fında w = rad/s açısal hız ile döndürüldüğünde m1 ve 3 m2 kütleleri şekildeki gibi dengede kalıyor.



Sürtünmelerin önemsenmediği sistemde m1 kütleli cismin dönme eksenine uzaklığı 18 metre olduğuna göre, cisimlerinin kütlelerinin oranı



2

(g = 10 m/s ) A) 5

B) 4

C) 3

m1 m2

5 D) 2

kaçtır?

6.

B) aK = aL = aM D) aK > aL = aM

E) aL > aK > aM

Tekerlek yarıçapı 0,5 m olan bir araç sabit j hızıyla hareket etmektedir.



Aracın tekerlekleri saniye de 10 devir yaptığına göre, aracın j hızı kaç m/s olur? (r = 3)

E) 2

A) 5

B) 20

C) 30

D) 40

E) 50 31

7.

10.

~

m K

r

İp

O

ℓ

m

j L



Yarıçapı 1 m olan içi boş silindir 5 rad/s'lik açısal hızla merkezinden geçen bir eksen etrafında döndürülüyor.



Kütlesi 2 kg olan bir cismin şekildeki gibi dengede kalabilmesi için cisimle silindirin iç yüzeyi arasındaki sürtünme katsayısının kaç olması gerekir? 2 B) 5

1 A) 4

1 C) 2

ucuna m kütleli cisim bağlanıp şekildeki gibi K noktasından serbest bırakılıyor.

Cisim L noktasından geçerken ipte oluşan gerilme kuvveti kaç mg olur? A) 5

4 E) 5

3 D) 4

Bir ucu O noktasına sabitlenmiş l uzunluğundaki ipin

11.

8. ~

B) 4

C)

7 2

D) 3

L h





r

Şekildeki sistemde eğik yüzeyle cisim arası sürtünmelidir. Yatay platform O noktasından geçen düşey eksen etrafında 5 rad/s'lik açısal hızla döndürülüyor. 2 kg kütleli cismin dengede kalabilmesi için cisimle yüzey arasındaki sürtünme kuvvetinin kaç N olması gerekir? (sin37°= 0,6; cos37° = 0,8) A) 16

9.

r

37°

O

B) 12

C) 8

~

D) 4



Sürtünmesiz ortamda K noktasından serbest bırakılan m kütleli cisim, r yarıçaplı rayın L noktasından geçerken rayın tepki kuvveti sıfır oluyor.



Buna göre, h yüksekliği kaç r dir? A) 1

E) 2

~

K

B)

3 2

C) 2



L



Buna göre; EK, EL ve EM arasındaki büyüklük ilişkisi nedir?



A) EK = EL = EM

B) EM > EL > EK

C) EK > EM > EL

D) EM > EK > EL

32

2.3.C

E) 6

3. A4.

Bir cisim yatay düzlemde 6 m/s hız ile düzgün çemberCisim bir dönüşünü 12 s de tamamladığına göre, cisim K noktasından L noktasına gelirken ortalama ivmesi kaç m/s2 dir? A) 2

4. E 5. 5. A

O

sel hareket yapıyor.

E) EK > EL > EM 2.1. A

5 2

L

12.

M

Buz pistinde kendi ekseni etrafında w açısal hızla dönen çocuk kollarını şekildeki gibi açarken dönme kinetik enerjisi sırasıyla EK, EL ve EM oluyor.

1.

D)

~

K



5 2

K

m = 2 kg

0,4 m

E)

6. C

7. 7. B

B) 2 2

8. D 8. 9. E

9. 10. D

C) 4 11. 10.D

D) 4 2 12. 11. B

E) 5 12.



ÇEMBERSEL HAREKET

1. X 2r

O

K

O

4.

Y

Z

2r

r

L



Şekildeki düzenekte Y ve Z çarkları, eksenleri çakışacak şekilde perçinlenmiştir.



Sistem çalışırken K ve L noktalarının çizgisel hızlarının oranı A) 2

jK jL

37°



3 2

Eğimi 37° ve yarıçapı 120 m olan bir viraja giren aracın savrulmadan bu virajı geçebilmesi için hızının en

nedir?

B)

fazla kaç m/s olması gerekir? C)

2 3

D)

1 3

E)

1 6



(sin37° = 0,6; cos37°= 0,8; g = 10 m/s2) A) 60

2.

O 2m

TEST – 2

B) 45

C) 30

D) 15

~

T1

m

T2

5.

Uzunluğu l olan bir çubuğun üze-

O

rine m kütleli cisim konulup ip yarO 2r

~

dımıyla dengede tutuluyor. Çubuk r

OO' ekseni etrafında w açısal hızıyla döndürüldüğünde çubuğun

O'



Sürtünmeler önemsenmediğine göre, iplerde oluşan

A) 6

B) 4

T1 T2

3 D) 2

C) 2

3.

nedir?

İp

37°

cisme gösterdiği tepki kuvveti sıfır

Yatay konumdaki tabla OO' ekseni etrafında ~ açısal hızı ile döndürülüyor.

gerilme kuvvetlerinin oranı

E) 5

oluyor.

me kuvveti kaç m.g dir?

1 E) 2

r

Buna göre, ipte oluşan T gerilO'

(Sürtünmeler önemsenmiyor, sin37°= 0,6) A)

5 4

B)

3 2

C) 2

D)

7 4

E) 3

~

6.

m1 = 3m

O1

m2 = 2m

O2

3ℓ

37°

2ℓ

r = 0,5 m K



~ açısal hızıyla döndürülen şekildeki silindirin içine asılan 2 kg kütleli cisim K noktasına değecek şekilde dengededir.



K noktasının cisme gösterdiği tepki kuvveti 5 N ise silindirin açısal hızı kaç rad/s dir? (sin53° = 0,8; cos53°= 0,6)



A) 3 2

B) 2

C) 2 3

D) 2 5

E)

1 2

O1 ve O2 noktalarından sabitlenmiş iplere bağlı 3m ve

2m kütleli cisimler şekildeki konumlardan serbest bırakılıyorlar.



İpler düşey konuma geldiklerinde iplerde oluşan gerilme kuvvetlerinin oranı A) 3

B)

5 2

T1 T2

C) 2

nedir? D)

3 2

E)

7 5 33

7.

10. Eylemsizlik momenti 2m.r2/5 olan bir silin-

K r

dir üzerine 28 cm uzunluğundaki ip sarıla-

L

rak, K noktasından serbest bırakılıyor.

r



T

M

r

Silindir dönerek L noktasına gelip ipten kurtulduğu anda silindirin çizgisel hızı

r

kaç m/s olur? (g = 10 m/s2)

r



K

L

A)

Sürtünmesiz bir ortamda kütlesi m olan cisim hangi

1 2

B) 2

C) 3

D) 4

E) 6

nokta veya noktalar arasından serbest bırakılmalı ki T noktasından geçerken çemberin tepki kuvveti sıfır olsun? A) K noktası

B) KL arası

D) LM arası

8.

C) L noktası

E) M noktası

K

11. Yarıçapı r olan çembersel bir yörüngede j çizgisel hızı

j = 12 m/s

O

120

ile hareket eden bir cisim bulunuyor. r Bu cismi yarıçaplı çemberde 2j hızı ile hareket 3 ettirebilmek için merkezcil kuvveti kaç katına çıkarmak gerekir? A) 3

L



B) 4

C) 6

D) 9

2R

R

E) 12

j = 12 m/s

Periyodu 12 s olan bir cisim K noktasından L noktasına gelirken ortalama ivmesi kaç m/s2 dir? A) 2

B) 3

C) 3 3

D)

4 2

E) 6

9.

12. O K r =5 m

K

L

O1

60 m



O2

L

Şekildeki K ve L dişlilerinin yarıçapları sırasıyla 2R ve R dir. K dişlisi sabit açısal hızla dönerken dişlilerin dönme



O noktası etrafında düşey doğrultuda düzgün çembersel hareket yapan platformun K ve L noktalarından aynı anda fırlayan iki cismin 10 s sonra araların-

kinetik enerjileri eşit oluyor.

K ve L dişlilerinin merkezlerine doğru eylemsizlik momentleri IK ve IL olduğuna göre,

daki uzaklık 60 m ise platform dakika da kaç dönme 2

yapmaktadır? (r = 3; g = 10 m/s ) A) 6

B) 15 1. D

34

C) 60 2.B

3. D

D) 120 4. C

A) 1

E) 360 5. A

6. D

7. D

8. C

B) 9. A

3 2

C) 2

10. B

11. E

IK IL

D) 3 12. E

oranı kaçtır?

E) 4



ÇEMBERSEL HAREKET

1.

4.

N 2r

X

TEST – 3

m1 = 10 kg

L M 2r r

~

r = 0,75 m Y



r

K

m2 = 4 kg

r yarıçaplı K makarası okla gösterilen yönde döner-



Şekildeki masa üzerindeki 10 kg lık kütleye bağlı bir ipin diğer ucu, w = 10 rad/s 'lik açısal hızla yatay yörüngede düzgün çembersel hareket yapan m2 kütlesine bağlıdır.



Buna göre, m1 kütlesi ile masa arasındaki sürtünme katsayısı nedir?

ken X ve Y noktalarının merkezcil ivmelerinin oranı aX aY A)

nedir? 1 18

B)

1 12

C)

2.

2 9

D)

1 2

E)

1 32

1 4

B)

2 5

C)

1 2

D)

3 4

E)

4 5

5.

~ mK = 2m

A)

T1

mL = m

T2

O m 37° 1,5 m



Ağırlığı ihmal edilen eşit bölmeli çubuk, üzerindeki K ve



L cisimleri ile birlikte sabit w açısal hızıyla döndürülüyor. Sürtünmeler ihmal edildiğine göre, iplerdeki gerilme kuvvetlerinin oranı A)

1 2

T2

B) 1

3.

nedir? C)

r

x

3 2

D) 2

E) 4

~

r

r

L

z



Kütlesi m olan bir cisim şekildeki sürtünmesiz sistemde şekildeki gibi durmakta iken sistem OO' ekseni etrafında 1 rad/s'lik açısal hızla döndürülüyor.



Buna göre, cisim eğik düzlem üzerinde K noktasından kaç metre uzaklıkta iken dengede kalır? (g = 10 m/s2; sin37°= 0,6; cos37° = 0,8)



6.

B) 2,5

C) 4

D) 6

E) 7,5

r 37°

M

r

3r uzunluğundaki yatay çubuğun x, y, z noktalarına, kütleleri arasında mL = 2mK = 3mM ilişkisi olacak şekilde üç cisim eşit uzunluktaki iplerin uçlarına asılıyor. Çubuk

yatay düzlemde sabit w açısal hızıyla döndürülünce, iplerin doğrultuları düşeyle sırasıyla a, b, i açısı yapıyor.

O'

A) 1,5

y

K



T1

K



Merkezi O noktası olan yarım daire şeklindeki ortamda sürtünmeler önemsenmiyor.



K noktasından serbest bırakılan cisim L noktasından geçerken, L noktasının cisme gösterdiği tepki kuvveti, cismin ağırlığının kaç katı olur? (sin53°= 0,8; cos53°= 0,6)

Buna göre, a, b, i arasındaki ilişki nedir? A) a > b > i

B) i > b > a

D) a > b = i

C) i > a = b

E) a = b = i



A) 1,2

B) 1,6

C) 1,8

D) 2

E) 2,4 35

7.

10.

m O

L

j0 = 0 K h

r

M r

K



L



rakılan bir cisim K, L ve M noktalarından sırasıyla jK, jL ve jM hızlarıyla geçiyorlar.





tepki kuvvetleri TK, TL ve TM arasındaki büyüklük iliş-

A) 10

kisi nedir?

B) TK= TL = TM

C) TL > TM > TK

D) TL > TK > TM

atılıyor. Cisim dönerek çıkıp L noktasında durduğuna göre, h yüksekliği kaç metredir? (I = 2m.r2/5)

Buna göre, bu noktalarda yüzeyin cisme gösterdiği

A) TK > TL > TM

Kütlesi m yarıçapı r olan içi dolu bir silindir, sürtünmesiz yüzeyde K noktasından L noktasına doğru 30 m/s hızla

Şekildeki sürtünmesiz yolun O noktasından serbest bı-

B) 28

C) 50

11. O noktası etrafında 2r ve r ya-

E) TK = TM > TL

rıçaplı çembersel yörüngede

D) 63

K

jK

r

dolanan K ve L cisimlerinin pe-

8.

m1 = 4 kg

O 1m



r

riyotları eşittir.

m2 = 1 kg



Buna göre, K ve L cisimleriI. açısal hızları,

bir çubuk, O noktası etrafında dönebilmektedir.

II. çizgisel hızları,

Çubuk serbest bırakılırka m2 kütleli cismin düşey

III. merkezcil ivmeleri

doğrultudan ilk kez geçerken hızı kaç m/s olur? ( g = 10 m/s2) B) 2 2

C) 4

D) 4 2



niceliklerinden hangileri birbirine eşit olur? A) Yalnız I

E) 2 5



B) I ve III D) II ve III

9.

12.

E) I, II ve III

3~

~ 2r

L

3r

K

2,1 m yarıçaplı içi boş silindir üzerinde K ve L delikleri vardır. Küre ok yönünde sabit w açısal hızıyla dönerken





dunun en az kaç saniye olması gerekir?

(r = 3; g = 10 m/s2) A) 1

B) 0,8 1. A

36

C) 0,6 2. B

3. D

D) 0,5 4. C

6. E

Buna göre, K ve L disklerinin açısal momentumlarıL nın oranı K kaçtır? LL A)

E) 0,2 5.E

Yarıçapları 2r ve 3r, eylemsizlik momentleri 6I ve 2I olan w ve 3w açısal hızları ile döndürülüyorlar.

m/s olacak şekilde bir cisim atılıyor. Cismin L deliğinden çıkabilmesi için kürenin periyo-

L

K ve L diskleri merkezlerinden geçen eksenler etrafında

K deliğinden kürenin içine düşey aşağı yönde ilk hızı 4

C) Yalnız II

K m j



O jL

Uçlarında 4 kg ve 1 kg kütleli cisimler bulunan ağırlıksız

A) 2

L

nin;

2m

E) 74

7. C

1 6

8. E

B) 9. B

1 3

C)

2 3

10. D

11. A

D) 1 12. D

E) 3



ÇEMBERSEL HAREKET 4.

1.

TEST – 4

Sabit hızı 30 m/s olan bir araç, yarıçapı 120 m olan eğimli bir viraja giriyor.

2r

O1



K

O2

3r



L

Araç virajı savrulmadan alabildiğine göre, virajın eğimi (tana) kaçtır? (g = 10 m/s2) A)

Şekillerde gösterilen K ve L cisimleri O1 ve O2 noktaları

1 5

B)

2 5

C)

1 2

D)

3 4

E)

4 5

etrafında düzgün çembersel hareket yapıyorlar.



K ve L cisimlerinin periyotları arasında 2TK = TL ilişkisi olduğuna göre, cisimlerin çizgisel hızlarının ora-

nı A)

jK jL 4 3

5.

nedir?

Kütlesi m olan bir cisim ipin ucu-

B)

3 2

C) 1

D)

2 3

E)

m

j

na bağlanarak O noktası etrafın-

K

da düzgün çembersel hareket

1 2

ip

yapacak şekilde düşey düzlem-

O

de döndürülüyor.

Cisim L noktasına geldiğinde

L

ip koptuğuna göre, cismin bu

andan itibaren düşey doğrultudaki hız-zaman garfiği

2.

nasıl çizilir? 37°

A)

B)

Hız

Hız

ℓ = 0,5 m Zaman m

Zaman

O j



C)

m kütleli cisim, boyu 0,5 m olan ipin ucuna bağlanarak

D)

Hız

Hız

yatay düzlemde w açısal hızı ile döndürülüyor.

İp şekildeki gibi düşeyle 37° lik açı yaptığına göre,



cismin dolanım periyodu kaç saniyedir? (r = 3; sin53°= 0,8; cos53°= 0,6; g = 10 m/s2) A)

6 5

B)

3 2

C) 2

D) 5

Zaman

E) 6

E)

Zaman

Hız

Zaman m1

3.

m2

K

N r1

r2

6.

L



I. f: dolanım frekansı,

Şekildeki sürtünmesi rayların K ve N noktalarından ser-

II. j: çizgisel hızı,

best bırakılan m1 ve m2 kütleli cisimler rayların L ve P

noktalarından geçerken rayların tepki kuvvetleri eşit oluyor. m Buna göre, m1 ve m2 kütlelerinin oranı 1 nedir? m2 A) 3

B) 2

C) 1

1 D) 2

Düzgün çembersel hareket yapan bir cismin dolanım periyodu bilindiğine göre,

P

1 E) 4

III. w: açısal hızı

niceliklerinden hangileri hesaplanabilir? (r = 3) A) Yalnız I

B) I ve II D) I ve III

C) Yalnız II E) II ve III 37

7.

10.

K

O m

İp

L

Yay

h = 1,8 m r=0,3m

O'



w açısal hızı ile döndürülürken, sıkışmış yay ve gergin ip

Sürtünmesiz bir ortamda K noktasından serbet bırakılan

arasındaki cisim şekildeki gibi dengede kalıyor.

2 kg kütleli bir cisim, sürtünmesiz ray üzerinde hareket

ediyor.

Sürtünmesiz yatay platform, OO' ekseni etrafında sabit

Platformun w açısal hızı 2 katına çıkarılırsa;

Cisim L noktasından geçerken yüzeyin cisme gös-

I. İpteki gerilme kuvveti 2 katına çıkar.

terdiği tepki kuvveti kaç newtondur? (g = 10 m/s2)

II. Yayın sıkışma miktarı artar.

A) 160

III. Cisme etki eden merkezcil kuvvet 4 katına çıkar.

B) 150

C) 140

D) 120

E) 70

yargılarından hangileri doğru olur? A) Yalnız I

8.

j2

B) I ve II D) II ve III

C) Yalnız III E) I, II ve III

T2 O T1

11. j1



O noktası etrafında düşey düzlemde dairesel hareket yapan m kütleli cismin en alt noktadan geçerken ipte oluşturduğu gerilme kuvveti T1, en üst noktadan geçer-

Levha

ken ipte oluşturudğu gerilme kuvveti T2 dir.



Tokmak

Buna göre, ipteki gerilme kuvvetlerinin farkı T1 – T2 kaç mg dir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

Levha



8 dişli çark dönerken, tokmak levhalara vurarak ses çı-



karmaktadır. Dakikada 240 tokmak sesinin duyulabilmesi için çarkın açısal hızının kaç rad/s olması gerekir? (r = 3) A) 3

9.

B) 8

C) 12

D) 15

E) 16

K

h = 2,7 m

12. Sürtünmesiz yatay masa üzerinde bir ucu sabitlenmiş, diğer ucuna m kütleli cisim asılmış ip sabit T periyodu ile döndürülüyor. L







2

liği 2,7 m olan sürtünmesiz eğik düzlemin K noktasından

II. Açısal hız,

serbest bırakılıyor.

III. Çizgisel hız

Buna göre, kürenin L noktasındaki hızı kaç m/s olur?



2

(g = 10m/s ) A) 2 3

niceliklerinden hangileri zamanla değişmez? A) Yalnız I

B) 3 2 1. A

38

Buna göre, I. İpi geren kuvvetin büyüklüğü,

Eylemsizlik momentumu I = m.r /2 olan bir küre, yüksek-

C) 2 2. A

D) 3 3. C

4. D

D) II ve III

E) 6 5. E

B) I ve II

6. D

7. C

8. D

9. E

10. C

C) I ve III E) I, II ve III

11. A

12. B



ÇEMBERSEL HAREKET

1.

4.

K 3m L

M

2r O1

Şekil – I

r O2



B) 1

2.



1 D) 6

I. j: çizgisel hızı, II. f: dolanım frekansı, III. F: merkezcil kuvveti

niceliklerinden hangileri bulunabilir? (r = 3) A) Yalnız I

B) I ve II D) I ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III



K 3R

R

İpin uzunluğu l ve cismi periyodu T bilinenleriyle cismin;

1 E) 12

L ~

Uzunluğu l olan bir ipin ucuna m kütleli cisim bağlanarak dürülüyor.

Şekil – II

2 C) 3

m

O noktası etrafında yatay düzlemde sabit j hızıyla dön-

Şekil–I ve şekil–II de verilen cisimler, yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapmaktadırlar. Şekil–I deki 3m kütleli cisim T sürede K'den L'ye, şekil–II deki 2m kütleli cisimde T sürede M'den N'ye gelmektedir. F Cisimlere etki eden merkezcil kuvvetlerin oranı 1 F2 nedir? 3 A) 2

ℓ

O

N



j

2m

30°



TEST – 5

5.

2,5 m uzunluğundaki ipin ucu-

m

na bağlanan m kütleli bir cisim, düşey düzlemde 5 s'de 1

nin açısal momentumlarının oranı 1 A) 27

3.

devir yapacak şekilde düzgün

R ve 3R yarıçaplı K ve L küreleri, merkezlerinden geçen eksen etrafında w açısal hızıyla dönmektedirler. Eylemsizlik momentleri 2I ve I olan K ve L küreleriLK

2 B) 27

1 C) 6

LL

1 D) 2

çembersel hareket yapmaktadır.

kaçtır?

noktasında iken ip koptuğuna göre, cisim yatayda kaç metre yol alarak yere

E) 2

düşer? (r = 3, g = 10 m/s2) C) 6

D) 9

E) 24

i

6.

r1 mK w1

mK

mL

K

r2 N

w2



B) 3

Şekil – II a



h = 40 m

Cisim yörüngenin en üst

A) 2 Şekil – I

j

r=2,5m

L

mL

Sürtünmesiz borunun içinden geçirilen ipin uçlarına K ve L cisimleri bağlanarak K cismine düzgün çembersel hareket yapması sağlanıyor. r2 > r1 olup K cisminin düşeyle yaptığı açılar a ve i, açısal hızları ise w1 ve w2 olduğuna göre, aralarındaki büyüklük ilişkisi nedir? A) a = i, w1 > w 2 B) i > a, w1 > w 2 C) a > i, w1 = w 2 D) i > a, w 2 > w1 E) a = i, w1 = w 2

M



Dönerek ilerleyen bir tekerin üzerindeki K, L, M, N noktalarının şekilde verilen konumda hızları jK, jL,

jM ve jN arasındaki büyüklük sıralaması ne olur? A) jK > jL > jM > jN

B) jL > jM > jN > jK

C) jK > jL = jN > jM

D) jL = jN > jK > jM

E) jK > jL = jM > jN 39

10.

7. i

m1

j1

ℓ

j2

a

m3

m2

j3

b

i

K



m

x

Yarıçapları eşit virajlarda kütleleri arasında m2 > m1 = m3 ilişkisi olan 3 cisim, virajları güvenle dönebilmektedirler.



L

Eğik yüzeylerin eğim açıları arasında b > a > i ilişkisi olduğuna göre, cisimlerin j1, j2 ve j3 hızları ara-



m kütleli bir cisim K noktasından serbest bırakılıyor.



Cisim L noktasından geçerken ipte oluşan T gerilme kuvveti;

sındaki büyüklük ilişkisi nedir? A) j1 > j2 > j3 C) j2 > j1 = j3

I. i açısına, II. Cismin kütlesine,

B) j1 = j3 > j2 D) j3 > j1 > j2

E) j2 > j1 > j3

III. KL arası x düşey uzaklığına

niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

8.

11.

C) Yalnız II

~

E) I, II ve III

L

K

h

K



h r

O

İçi sıvı dolu olan bir U borusu şekildeki gibi dengede olup sıvı yüksekliği h tir. Sistem K kolunun içinden geçen ek-

L

sen etrafında w açısal hızı ile döndürülürse kollardaki sı-

r

vı yükseklikleri hK ve hL olmaktadır.

Kütlesi m olan bir cisim h yüksekliğindeki K noktasından serbest bırakılıyor.



Cisim, merkezi O noktası olan çembersel yayın L noktasından geçerken rayın cisme gösterdiği tepki h kuvveti 4mg olduğuna göre, oranı nedir? r A) 1

B) 2

C) 3

D) 6



Buna göre, h, hK ve hL arasındaki büyüklük sıralama-

sı nedir?

A) hL > hK > h

B) hL > hK = h

C) hL > h > hK

D) h = hK = hL E) hK = hL > h

E) 8

12. ~

9. ° 37°

r

16

K



L

Yarıçapı 1 m olan sürtünmesiz rayın K noktasından 2 kg kütleli bir cisim serbest bırakılıyor.





Cisim L noktasından geçtiği anda yüzeyin cisme gösterdiği tepki kuvveti kaç Newton olur?





(g = 10 m/s2; sin37°= 0,6; cos37°= 0,8) B) 12 1. E

40

liyor.



A) 4

C) 6 2. E

D) 20 3. A

4. B

Buna göre, cismin hızı 3j yapılırsa toplam kinetik enerjisi ilk durumdakinin kaç katı olur? 3 2 ( I = m.r ) 5 A) 3

E) 24 5. D

Şekildeki içi dolu r yarıçaplı silindir j hızı ile dönerek iler-

6. C

7. E

8. C

B) 6 9. E

10. D

C) 9 11. C

D) 18 12. C

E) 27



ÇEMBERSEL HAREKET

1.

TEST – 6

4. 3m r O

K

j1 r

2r

j2

L



O merkezi etrafında düzgün çembersel hareket yapan cisimlerin periyotları arasında 2T1 = T2 ilişkisi vardır.



Buna göre, cisimlere etki eden merkezcil kuvvetlerin oranı A) 12

F1 F2

30°

O

N



Düşey düzlemde merkezi O noktası olacak şekilde dairesel bir levha sabit w açısal hızıyla döndürülüyor. K

kaçtır?

noktasındaki m kütleli cisim serbest bırakılıp L noktası-

B) 4

C) 2

D)

1 3

E)

na geldiğinde M noktası N noktasının yerine ilk kez ula-

2 9

şıyor.

2.

Buna göre, dairesel levhanın açısal hızı kaç rad/s dir? (r = 3; g = 10 m/s2)

K

j

A) O

m

5. Düşey düzlemde düzgün çembersel hareket yapan bir cismin, K, L ve M noktalarından geçerken ipte oluşturduğu gerilme kuvvetleri TK, TL ve TM arasındaki büyüklük ilişkisi nedir? A) TK > TL > TM

B)

1 3

C)

1 2

D) 1

E) 2

Çembersel yörüngede dolanan iki cismin periyotları eşit ise bu cisimlerin; I. açısal hızları, II. çizgisel hızları, III. frekansları



B) TK > TM > TL

C) TM > TL > TK

1 6

L

M



~

M

h = 20 m

2m

niceliklerinden hangileri kesinlikle eşittir? A) Yalnız I

D) TM > TL > TK

B) I ve II D) I, II ve III

C) I ve III E) Yalnız III

E) TK = TM > TL

6. 3.

ℓ

K

K

h

h

O1

h L

Çivi

r O2



rünümde iken serbest bırakılıyor.

İp, O1 noktasından h kadar uzaklıktaki O2 noktasın-

da bulunan çiviye takılarak r yarıçaplı çember çizeh bilmesi için oranı en az kaç olmalıdır? , 4 3 9 7 1 B) C) D) E) A) 5 5 10 10 2

L

Şekil - I

i Şekil - II



Şekil–I ve şekil–II de h yüksekliğindeki K noktalarından eşit kütleli iki cisim serbest bırakılıyor. Şekil–I deki cisim dönerek, şekil–II deki cisim ise kayarak hareket ediyor.



Cisimlerin L noktasına ulaştıkları anda hızları j1 ve j2, ulaşma süreleri t1 ve t2 olduğuna göre, bunlar arasındaki büyüklük ilişkisi aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? (I = mr2/2)

Kütlesi m olan bir cisim, O1 noktasına tutturulmuş l uzunluğundaki ipin diğer ucuna bağlanarak şekildeki gö-

i

A) j1 > j2 , t1 > t2

B) j1 > j2 , t1 = t2

C) j1 = j2 , t1 = t2

D) j2 > j1 , t2 > t1

E) j2 > j1 , t1 > t2 41

7.

10.

K

j m1

O 2r j r L

m2

r



Yarıçapı 2r olan silindir yatay düzlemde sabit j hızıyla yuvarlanarak ilerliyor. Silindir şeklindeki konumda iken L'nin K noktasına göre hızı kaç j dir? A) -

3 2

B) -

1 2

C) 1

D)

1 2

E)

m3



3 2



8.

Sürtünmesiz masa üzerinde m1, m2 ve m3 kütleli cisimler dengede olup m1 kütleli cisim düzgün çembersel hareket yapmaktadır. m2 ve m3 kütleli cisimler arasındaki ip koparsa m1 kütleli cismin; I. çizgisel hızı değişmez. II. periyodu artar. III. açısal hızı azalır. yargılarından hangileri doğru olur? A) I ve II

K

B) I ve III D) II ve III

r r

L

C) Yalnız II E) I, II ve III

11.

r

~

O K M



Yarıçapı 3r olan yatay bir tabla, merkezinden geçen eksen etrafında sabit w açısal hızıyla döndürülüyor.



Tabla üzerinde K, L, M noktalarına sabitlenmiş eşit kütleli cisimlerin; I. Frekansları, II. Merkezcil ivmeleri, III. Çizgisel hızları, niceliklerinden hangileri her üç cisim içinde aynı olur? A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III



D) I, II ve III

L



Sabit açısal hızı w olacak şekilde Dünya kendi ekseni etrafında dönerken K ve L noktalarının çekim ivmeleri gK ve gL, çizgisel hızları ise jK ve jL olmaktadır.



Buna göre, aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisi doğrudur? A) gK > gL, j K > j L B) gK > gL, j K = j L C) gK > gL, j L > j K D) gL > gK, j L > j K

E) Yalnız III

E) gK = gL, j L> j K



9.

Bir aracın yatay virajı güvenli bir şekilde dönebil-

12.

~ = 4 rad/s

mesi için sahip olabileceği maksimum hızının bü-

O

yüklüğü;

K

I. r: virajın yarıçapı II. g: yerçekim ivmesi III. m: aracın kütlesi

niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) Yalnız I

B) I ve II D) II ve III 1. C

42

r

2. C



Şekildeki O merkezli dairesel levha 4 rad/s'lik açısal hızla kaymadan dönerek ilerlemektedir.



Dairesel levhanın K noktasından L noktasına gelme süresi kaç saniyedir? (r = 3)

C) Yalnız II

A)

E) I, II ve III 3. D

4. E

5. C

6. E

L

12r

7. A

3 2

8. A

B) 2

9. B

10. E

C)

5 2

11. C

D) 3

12. D

E)

9 2



ÇEMBERSEL HAREKET

1.

O 3m

T1

4.

~ 2m

T2

r

Kütlesi m olan bir cisim r yarıçaplı dairesel yörüngede j çizgisel hızı ile hareket ederken cisme etki eden mer-

m

kezcil kuvvet F tir.

r

Aynı cisim 2r yarıçaplı dairesel yörüngede 4j hızıyla hareket ederken cisme etki eden merkezcil kuvvet

2r

kaç F olur? A) 2



B) 4

C) 8

D) 10

E) 16

Sürtünmesiz yatay masa üzerinde kütleleri verilen cisimler O noktası etrafında sabit w açısal hızıyla dönmektedir.



TEST – 7

5.

N

Buna göre, iplerde oluşacak gerilme kuvvetlerinin oranı

T1 T2

A) 5

nedir? 5 C) 3

B) 3

P

L

3 E) 5

3 D) 2

Hız

M

Zaman K j Şekil - I

2.

O merkezli çembersel yörüngede

K

dolanan K ve L cisilerinin periyotla-

r

Cisimler 3. kez karşılaştıklarında

A)

B)

İp hangi noktada koparsa cismin hız-zaman grafiği şekil–II deki gibi olur? A) K

L

gisi gibi olur?



O

konumları aşağıdakilerden han-

l uzunluğundaki ipin ucuna bağlı m kütleli cisim düşey düzlemde çembersel hareket yapmaktadır.

r

rı arasında TK = 2TL ilişkisi vardır.



Şekil - II

B) L

C) M

D) N

C)

6.

D)

K

m1

h

E)

m2

L

h

i

3.

Yarıçapı R olan bir yörüngede çizgisel hızı j olan cisim



T periyodu ile düzgün çembersel hareket yapmaktadır. T süre sonra cismin, ortalama ivmesi aşağıdakiler2 den hangisine eşit olur? A)

2j T

B) D)

4j T

E) P

2j T

C) E)

8j T

3j T

a



Kütleleri m1 ve m2 olan eşit yarıçaplı iki cisim, K ve L noktalarından serbest bırakılıyor.



Sürtünmesiz sistemlerde cisimlerin eğik yüzeylerin alt uçlarına varma hızları arasında j1 > j2 ilişkisi olduğuna göre;

I. Eğik zeminlerin açıları arasında i > a ilişkisi olması, II. Cisimlerin kütleleri arasında m1 > m2 ilişkisinin olması III. İkinci cismin eylemsizlik momentinin daha büyük olması

yargılarından hangileri etkili olmuştur? A) Yalnız I

B) I ve II D) II ve III

C) Yalnız II E) Yalnız III 43

7.

K

10. Kütleleri eşit ve m olan K ve L

m

nularak OO' ekseni etrafında w

O

r

açısal hızıyla döndürülüyor.

K

K cisminin bulunduğu koni-

37°

nin iç yüzeyi sürtünmesiz ol-

m kütleli bir cisim, merkezi O noktası olacak şekilde dü-

37°

L

duğuna göre, L cisminin den-

şey düzlemde düzgün çembersel hareket yapmaktadır.

~

nilerin iç ve dış yüzeylerine ko-

T



O

cisimleri uç uca birleştirilmiş ko-

r

gede kalmasını sağlayan sür-

Buna göre, ip herhangi bir noktada koparsa;

tünme kuvveti kaç mg dir?

I. Pike atış,

(sin37°= 0,6; cos37°= 0,8)

O'

II. Yukarı yönde atış, III. Yatay atış,

A)

1 2

B)

3 5

C)

3 4

D)

6 5

E) 2

IV. Serbest düşme,

hareketlerinden hangilerini yapabilir? A) I ve II

B) I, II ve III D) II ve IV

11.

C) I, II ve IV

L

E) II, III ve IV

2m 2m

j

K

8. r



K

bit j hızıyla geçiyor.

L

r

Cismin L noktasından düşmeden geçebilmesi için cismin j hızı en az kaç m/s olmalıdır?

M

r

r



r



Sürtünmesiz ortamda K noktasından m kütleli cisim sa-

(g = 10 m/s2) A) 2

B) 4

C) 9

D) 10

E) 10 2

Şekildeki sürtünmesiz ray sisteminde eşit kütleli K, L, M cisimleri serbest bırakılıyor.



Cisimlerden hangileri r yarıçaplı çemberin içinden

12.

L

M

düşmeden geçebilir? A) Yalnız K

B) Yalnız L

D) K, L ve M

C) K ve L

K

E) L ve M



9.

Sabit hızı 20 m/s olan bir araç, yarıçapı 100 m olan bir viraja giriyor.





B)

2 5

1. E 44

C)

2. A

1 2 3. D

3 5

E)

4. C

5. B

D)

Şekildeki K, L ve M dişlilerinin yarıçapları sırasıyla R, 3R K dişlisi ok yönünde sabit hızla döndürülürken dişlilerin dönme kinetik enerjileri EK, EL ve EM arasındaki

Aracın virajı güvenli bir şekilde alabilmesi için yüze1 5

büyüklük sıralaması nedir? A) EK > EL > EM

4 5

B) EL > EK = EM

D) EK > EM > EL 6. E

2R

ve 2R, eylemsizlik momentleri I, 5I ve 2I dır.

yin sürtünme katsayısı en az kaç olması gerekir? A)

3R

R

7. B

8. C

9. B

10. D

C) EK > EL = EM

E) EK = EL = EM

11. D 12. A



ÇEMBERSEL HAREKET

1.

TEST – 8

4. j1 T1

O

j2

i

T2

ℓ

3m 2r

m r

m1 j



Uzunluğu 3r olan ve O noktası etrafında dönebilen bir ipin ucuna m ve dönme noktasından 2r uzaklıktaki nok-

m2

taya 3m kütleli cisimler bağlanıyor. Bu iki cisim O nokta

sı etrafında düzgün çembersel hareket yapıyor. T İplerde oluşan gerilme kuvvetlerinin oranı 1 nedir? T2 7 3 B) C) 2 D) 3 E) 5 A) 3 2



Çubuğun içinden geçirilmiş ipin uçlarına m1 ve m2 kütleleri bağlanarak m1 kütleli cismin sabit j hızıyla düzgün

çembersel hareket yapması sağlanıyor.

Cisimler dengede olduğuna göre, i açısı j hızından başka;

2.

I. m1 kütlesine,

O K

II. l ipin uzunluğuna,

~

L 2r

M r

III. m2 kütlesine

niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

O'



Düşey kesiti şekildeki gibi olan bileşik kap içinde sıvı varken denge durumu sağlanmıştır. Bileşik kap OO' ek-

5.

seni etrafında sabit w açısal hızıyla döndürülünce K, L,

j1

j2

m1

m2

M kollarındaki sıvı yükseklikleri sırasıylı hK, hL, hM oluyor.



Buna göre, hK, hL ve hM arasındaki büyüklük ilişkisi

O

T

aşağıdakilerden hangisindeki gibi olur? A) hK > hL > hM

B) hK = hL = hM

D) hM > hL > hK

C) hK > hM > hL

E) hM > hK > hL



Kütleleri m1 ve m2 olan cisimler, bir ipe şekildeki gibi

bağlanarak cisimlere j1 ve j2 hızlarıyla O noktası etra-

fında yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapmaları sağlanıyor.

3.

Uzunluğu l olan bir ipin ucuna bağlı cisme düşey düzlemde düzgün çembersel hareket yaptırılıyor.



Bu hareket sırasında cismin aşağıda verilen; I. İpi geren kuvvet,

II. m2 kütlesine,

II. Çizgisel hız,

III. g yerçekim ivmesine

III. Açısal hız,

büyüklüklerinden hangilerinde değişme olur? A) I ve II

B) I ve III C) Yalnız II D) II ve III E) I, II ve III



T ip gerilme kuvveti; I. m1 kütlesine,



niceliklerinden hagnilerine bağlıdır? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

45

6.

9.

m

K r

Şekildeki ortamda sürtünmeler önemsenmiyor.



Buna göre, K noktasından serbest bırakılan cisim yerden kaç r yükseklikte iken yüzeyi terk eder? B)

2 3

r

L



2 5

m

h

r

A)

O

r

K

3 4

C)

D)

1 2

E)



Sürtünmesiz rayın K noktasından m kütleli bir cisim se-



Cisim L noktasından geçerken rayın cisme gösterdi-

rest bırakılıyor. ği tepki kuvveti, g yerçekim ivmesinden başka;

1 4

I. r rayın yarıçapı, II. m cismin kütlesi, III. h cismin bırakıldığı yükseklik,

7.

3m

2m K



L

M



niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) I ve II

N

B) I ve III D) II ve III

3m ve 2m kütleli cisimler ağırlığı önemsiz ve sürtünme-

C) Yalnız II E) I, II ve III

siz çubuk üzerinde şekildeki gibi dengededirler.

Çubuk hangi noktadan geçen eksen etrafında yatay düzlemde döndürülmelidir ki cisimler şekildeki konumda dengede kalsın? A) K noktası

B) L noktası

D) M noktası

C) LM arası

10.

E) MN arası

K 2m

8.

r

r

L m

O

K j O

m

2m

L



L cisimleri 3m kütleli cisme bağlanarak O noktası etarfın-

M

da sabit w açısal hızıyla döndürülürken K ve L cisimlerini



Bir ipin ucuna bağlı m kütleli cisim düşey düzlemde çembersel hareket yapmaktadır.



Buna göre; I. İp K noktasından koparsa cisim yatay atış hareketi yapar.

birbirine bağlayan ipte oluşan gerilme kuvveti T dir. Sistemden 2m kütleli K cismi alınıyor ve aynı çembersel çizgi üzerinde L cismi sabit açısal hızla döndürülerek denge yeniden sağlanıyor.

II. m kütleli cismin periyodu azalır.

III. İp M noktasında koparsa cisim pike atış hareketi yapar. A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

1. D 46

III. m kütleli cismin çizgisel hızı artar.

yargılarından hangileri doğru olur? C) Yalnız II

3. A

yargılarından hangileri doğru olur? A) I ve II

E) I, II ve III

2. C

Buna göre. I. L cismine bağlı ipteki gerilme kuvveti artar.

II. İp L noktasında koparsa cisim aşağı yönde atış hareketi yapar.



Sürtünmesiz yatay masa üzerinde 2m ve m kütleli K ve

B) I ve III D) II ve III

4. E

5. A

6. B

7. B

8. E

9. E

C) Yalnız II E) I, II ve III

10. D



ÇEMBERSEL HAREKET

TEST – 9

3.

1.

jL

K K

O

jK

L

N



L

r

r

r

mK ve mL kütleli iki cisim, yatay zemin üzerinde ve O

noktası etrafında eşit kinetik enerjilerle düzgün çember-



sel hareket yapmaktadır.

Şekildeki K, L ve N makaraları kayışlar yardımıyla birbirlerini döndürebilmektedir. K çarkının yarıçapı N çarkının



yarıçapından büyük olup K çarkı w açısal hızı ile döndü-

1 2

A)

rülüyor.

Buna göre, cisimlerin kütleleri oranı B)

4 5

C) 1

mK mL

nedir?

D) 2

E) 4

Buna göre, I. wN > wK II. j K > j N

4.

III. aK > aN

m

2m

K

L

O

IV. f N > f K

r

niceliklerinden hangileri kesinlikle doğrudur? A) I ve II

B) I, III ve IV D) II, III ve IV

~

4r

C) I, II ve III

E) I ve IV



Yüzeyi sabit sürtünmeli olan tabla O noktası etrafında w açısal hızıyla döndürülünce K cismi ancak dışarı savruluyor.



L cisminin de dışa savrulabilmesi için tablanın açısal hızı w'nun en az kaç katına çıkarılması gerekir? A) 6

B) 5

C) 2

D)

3 2

E)

1 2

5. 2.

j O

r=1m

T1 m1 = 10 kg

O1

m

T2

2m 2r

r

O2

Şekil - I m2 = 9 kg





Kütleleri m1 ve m2 olan iki cisim, iple şekildeki gibi birbir-

reket yapmaktadır.

m1 kütlesinin dengede kalabilmesi için m1 kütlesinin dolanım frekansının kaç s A) 6

B) 4

–1

C) 2

Şekil - II

Şekil-I'deki uzunluğu 3r olan bir ipe m ve 2m kütleli cisimler şekil-II'de uzunluğu 2r olan başka bir ipe 2m kütleli cisim bağlanarak O1 ve O2 noktaları etrafında yatay

ne bağlanmıştır. Tüm sürtünmelerin ihmal edildiği ortamda O noktası etrafında m1 kütlesi düzgün çembersel ha-

düzlemde şekillerdeki gibi döndürülüyorlar.

Cisimlerin dolanım frekansları eşit olduğuna göre, iplerde oluşan gerilme kuvvetlerinin oranı

olması gerekir? (r = 3) D)

3 2

E)

1 2

3m

2r

A)

2 3

B) 1

C)

7 6

D)

8 5

T1 T2

nedir?

E)

5 2 47

6.





9.

m kütleli bir cisim, ipin ucuna bağlanarak düşey düzlemde düzgün çembersel hareket yapacak şekilde döndürülüyor.

Bir hareketli, yarıçapı 3 m olan ray içinde periyodu 6 s olacak şekilde düzgün çembersel hareket yapmaktadır.



Buna göre, I. İpi geren kuvvet, II. Cismin çizgisel hızı, III. Cismin ivmesi,

Hareketli 180° döndüğünde ortalama ivmesi kaç m/s2 olur? A) 1

3 2

B)

C) 2

D)

5 2

E) 6

niceliklerinden hangilerinin büyüklüğü zamanla değişmez? A) Yalnız I

B) I ve II D) II ve III

C) Yalnız II

10.

E) I, II ve III

~

7.

mL = m

mK = m

K

r

2r

O

L O

mM





sabit w açısal hızıyla döndürülürken ip yardımıyla K ve L

Sürtünmesiz yatay masa üzerinde O noktası etrafında birbirlerine iple bağlı K ve L cisimleri düzgün çembersel hareket yapmaktadır.

cisimlerine bağlı M cismi şekildeki gibi dengede kalıyor.

I. K'nin çizgisel hızı, L'nin çizgisel hızına eşittir.

I. K cismi düzgün doğrusal hareket yapar.

II. K'nin açısal hızı L'nin açısal hızının 3 katıdır.

II. L'nin periyodu artar.

III. M'nin ağırlığı 5m.w 2.r ye eşittir.

yargılarından hangileri doğru olur? A) Yalnız I

B) I ve II D) I ve III

A) Yalnız I

C) II ve III

11.

E) Yalnız III

D) II ve III 1. E



İpte oluşan T gerilme kuvveti; I. m cismin kütlesi, II. f dolanım frekansı, III. r çemberin yarıçapı



niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) Yalnız II

C) Yalnız II

3. D

4. C

5. C

O

Bir ipe bağlanmış m kütleli cisim O noktası etrafında

B) I ve II

D) II ve III

E) I, II ve III 2. E

T

düzgün çembersel hareket yapmaktadır.

Buna göre, L cismi için; I. Konumu değişmez. II. Çizgisel hızı değişmez. III. Cisme etki eden sürtünme kuvveti değişmez. yargılarından hangileri doğru olur? B) I ve III

r

m

Üst üste konulmuş K ve L cisimleri tabla üzerinde dengede olacak şekilde sabit w açısal hızıyla döndürülürken K cismi L cisminin üzerinden alınıyor.

A) I ve II

j

L



48

C) I ve III

~ O



B) I ve II D) I, II ve III

K



yargılarından hangileri doğrudur?

E) Yalnız III

8.



Buna göre;

K ve L cisimleri arasındaki ip koparsa;

III. OL ipindeki gerilme kuvveti azalır.

Sürtünmesiz yatay düzlemde eşit kütleli K ve L cisimleri

6. D

7. D

8. A

9. C

10. E

C) Yalnız III E) I, II ve III

11. E



ÇEMBERSEL HAREKET

1.

TEST – 10

4. K

O1

r2

r1

m

L

O2

~ O

K

L

r



Yarıçapları r1 ve r2 olan ve birbirlerine kayışla bağlı kasnaklar ok yönünde sabit hızla döndürülüyor.





hareket yapan KL platformu üzerinde bulunan m kütleli cisim dengededir.

Buna göre, K ve L noktalarının;

I. Açısal hızları,

Buna göre; I. m cismin kütlesi,

II. Çizgisel hızları,

Yatay düzlemde O noktası etrafında düzgün çembersel

III. Merkezcil ivmeleri,

II. f dolanım frekansı,

niceliklerinden hangilerinin büyüklükleri eşittir? (r1 ≠ r2)

III. k sürtünme katsayısı,

A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II



niceliklerinden hangilerinin değişimi r uzaklığını etkilemez?

E) I, II ve III

A) Yalnız I

B) I ve II D) II ve III

2.

E) I, II ve III

j=4m/s

r

O

C) Yalnız II

m3 = 6 kg

5.

r yarıçaplı silindir içine m kütleli

~

cisim konulup silindir w açısal hı-

r

zıyla döndürülüyor. m2 = 2 kg

m1 = 3 kg





Sürtünmelerin ihmal edildiği şekildeki sistemde m1 ve m2 kütleli cisimler serbest bırakılınca r yarıçap büyüklüğü

değişmeden m3 kütleli cisim sabit 4 m/s lik hızla düzgün



m kütleli cisim şekildeki gibi dengede kaldığına göre, silindirin açısal hızını (w) bulabilmek için yerçekimi ivmesinden başka;

çembersel hareket yapıyor.

I. m cismin kütlesi,

Buna göre, r yarıçap uzunluğu kaç metredir?

II. k ortamın sürtünme katsayısı,

A)

1 2

B)

3 2

C) 2

D) 3

E) 6

III. r silindirin yarıçapı,

nicelikerinden hangileri bilinmelidir? (r = 3) A) I ve II

3.

Kütlesi

ℓ

3m

olan cisim düzgün çem-

6. K 3m

r

bersel hareket yapacak T

tem dengede kalıyor. Buna göre, K cismine etki eden merkezcil kuv-

L

m

M

4m

1 4

B)

4 5

C)

1 2

D)

Bir ipin ucuna bağlanarak yatay düzlemde düzgün dairesel hareket yaptırılan cisme etki eden merkezcil kuvvet için; II. Çizgisel hız vektörüne daima diktir. III. Büyüklüğü sabittir.



vetin T ip gerilmesine oranı nedir? A)

E) I, II ve III

I. Yönü, dönme merkezinden cisme doğrudur.

j

şekilde döndürlünce sis

C) Yalnız II

i

m ve 4m kütleli cisimler bağlanıyor.

B) I ve III D) II ve III

İçi boş bir borunun içinden ip geçirilerek uçlarına 3m,

m

ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I

5 3

E) 2

B) I ve II D) II ve III

C) I ve III E) I, II ve III 49

7.

Mekanik kol saatinin yelkovanının açısal hızı kaç

10.

rad/s'dir? (r = 3) A)

1 60

K

B) D)

1 180

C)

1 1200

E)

1 600

2r

1 3600

j

K



Eylemsizlik momentleri 3I, I ve 2I olan K, L, M dişlilerinBuna göre, M dişlisinin açısal momentumu aşağıdakilerden hangisine eşittir?

j

M

A) -

4 L 3

B) - L D)

11.

Eşit büyüklükteki hızlarla viraja giren K, L ve M araçlarından L aracı virajı güvenli bir şekilde geçiyor.



L aracı bu virajı dönebileceği maksimum hızla geçtiğine göre, K ve M araçlarının durumları içen ne söylenebilir? A) B) C) D) E)

9.

Her ikisi de emniyetli dönüş yapar. K savrulur, M içe doğru kayar. K içe doğru kayar, M savrulur. Her ikisi de savurulur. M savrulur, K emniyetli dönüş yapar.

Sürtünmesiz ortamdaki şey doğrultuda K ve L nok-

Buna göre, K, L, M dişlilerinin açısal momentumlarının yönleri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir? ( 7 : Sayfa düzlemine dik, içeri doğru) ( 9 : Sayfa düzlemine dik, dışarı doğru)

L O

rilmiştir?

K

L

M

A)

9

7

9

B)

9

7

7

C)

7

9

7

D)

7

9

9

E)

7

7

7

m

A)

B)

12.

C)

j

K





D)



E)

1. C

2. C

3. B

4. A

5. D

6. D

7. C

L

M

N

P

R

İçi dolu m kütleli küre biçimindeki cisim kayarak ilerlerken sabit sürtünmeli yüzeye girdiğinde N noktasında durmaktadır. Cisim aynı hızla dönerek ilerleseydi hangi nokta2 da dururdu? (Kürenin eylemsizlik momenti mr2 dir? 3 Aralıklar eşittir.) A) L

50

M



eden kuvvetlerin yönlegisinde doğru olarak ve-

E) 3 L

K, L, M dişlilerinden K dişlisi okla gösterilen yönde döndürülüyor.

L noktasında cisme etki K

1 L 2



yor.

ri aşağıdakilerden han-

2 L 3

L



taları arasında gidip geli-

C) -

K



ipin ucuna asılı cisim, dü-



2r

r O2

den K dişlisinin açısal momentumu L dir.

j

L

r

O1

8.

M

L

8. E

B) M 9. B

10. A

C) N 11. C

D) P 12. E

E) R

Evrensel Çekim Kanunu



EVRENSEL ÇEKİM VE GÜNEŞ SİSTEMİ a) Kepler Kanunu Gezegenlerin, Güneş etrafında belli bir sisteme göre hareket

Buna göre, Güneş etrafında dolanan bütün gezegenlerin, Güneş'e olan ortalama yarıçap uzunluklarının küpünün dolanım periyotlarının küresine oranı sabit ve birbirlerininkine eşittir. m2

ettiğini fark eden bilim insanı Kepler, bu sistemleri üç kanun-

j1

m1

la açıklamıştır.

R2

R1

I. Yörüngeler Kanunu

M

Gezegen

R 31

Güneş

T 21

Bütün gezegenler odaklarından birinde Güneş bulunan elips şeklindeki yörüngelerde dolanırlar.

=

R3 2

T2

= ...................

2

İSPAT Newton'un genel çekim kanunu ispatına göre, gezegen ile Güneş arasında çekim kuvveti;

II. Alanlar Kanunu Güneş ∆t1

A2

A1

∆t2

G.m.M R2 olup aynı zamanda Güneş etrafında dolanan m küF=

leli gezegene F= Gezegen, Güneş etrafında dolanırken, Güneş'e yakın olduğu noktalarda çizgisel hızı büyük, güneşe uzak olduğu noktalar-

j=

rak gezegenle Güneş'i birleştiren yarıçapı vektörü, eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar. Dt1 = Dt2 ⇒ A1 = A2

R1

R2 Güneş

Güneş etrafında dolanan gezegenin Güneş'e en yakın ve en uzak olduğu mesafelerin toplamının yarısı gezegenin ortalama yarıçap uzunluğunu verir. R + R2 R ort = 1 2

2πR T

yazılırsa; mj 2 G.m.M = R R2 mc

Gezegen

m.j 2 R

kadarlık bir merkezcil kuvvet etki eder. Bu iki kuvvet birbirine eşitlenip çizgisel hız yerine;

da çizgisel hızı küçük olur. Bu hareketinin sonucuna bağlı ola-

III. Alanlar Kanunu

j2

2πR 2 m G. m .M T = R R2 4πR 2 G.M = R T2

3 R3 G.M 18 m 2 = 2 , 3, 35.10 2 T 4π s

yarıçap uzunluğunun küpünün, periyodun karesine oranının Güneş etrafında dolanan tüm gezegenler için sabit bir değeri verdiği görülür.

51

NOT

NOT m1

m1

m2

j1

F2

m2 Güneş j3

F1

j2

Etkileşme uzaklığında bulunan m1 ve m2 kütleli ci-

m3

simlerin birbirlerine uyguladıkları kuvvetlerin büyük-

Güneş etrafında dolanan gezegenlerin ortalama

lükleri eşit, yönleri zıttır.

yarıçapları ile periyotları arasında; R 31 T 21

=

R3 2

T2

F1 = – F2

R3

F1 = F2

3

=

T2

2

3

ilişkisi vardır. Çembersel hareket yapan cismin çizgisel hızı; Çekim Alanı (Çekim İvmesi: g)

2πR T

j=

m

bağıntısı ile bulunurken Güneş'ten uzaklaşıldıkça

M

R

ilk bağıntıya göre yarıçap artarken periyottaki artış daha fazla olur ve daha uzaktaki gezegenin çizgisel hızı daha küçük olur. Buna göre, şekildeki gezegenlerin çizgisel hızları arasında;

Yarıçapı R, yüzeyindeki çekim ivmesi g olan bir gezegenin m

j1 > j2 > j3

kütleli cisme uyguladığı çekim kuvveti;

ilişkisi vardır.

F=

G.m.M R2

olup bu kuvvet aynı zamanda cismin ağırlığına eşittir. (P = m.g) P=F b) Newton'un Genel Çekim Kanunu: m1

m .g = R2

R1 F2

m2

g=

F1

G. m .M R2 G.M R2

Bağıntıdan görüldüğü gibi yeryüzeyinden uzaklaştıkça çekim ivmesi azalır. Buna göre; yer yüzeyinden h kadar uzaklıkta cis-

d

me etki eden çekim ivmesi;

Evrende bulunan tüm kütleler birbirleri ile etkileşim içindedir. Bu ilişkiyi Newton genel çekim kuvveti ile açıklamıştır. Kütle merkezleri arasında d kadar uzaklık bulunan m1 ve m2 kütleli

m h

M

herhangi iki cisim, birbirlerini kütlelerinin büyüklükleri ile doğru

R

orantılı, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı olacak şekilde çekerler. Buna göre, bu iki kütle arasındaki çekim kuvveti; F=

G.m .m 1

d2

2

g=

formülü ile hesaplanır. G; genel çekim kanunu sabiti olup 6,67.10–11 N.m2/kg2 büyüklüğündedir. 52

bağıntısı ile bulunur.

G.M (h + R) 2

Çekim Alanı ile Gezegen Özkütlesi Arasındaki İlişki

NOT

Küre şeklinde olan d özkütleli bir gezegenin hacmi ve kütlesi;

Çekim ivmesinin büyüklüğü gezegenin merkezinden yer yüzeyine ulaşana kadar yarıçapla doğru

m

d

orantılı olarak artar, fakat gezegenin yer yüzeyin-

R

den uzaklaştıkça azalmaya başlar. Buna göre, çe-

M

V=

R

4 πR 3 3

M = V.d

kim ivmesi ile cismin yer merkezine uzaklığı ara-

M=

sındaki ilişki şekildeki grafikte gösterildiği gibi ifa-

4 πR 3 .d 3

de edilir. şeklinde yazılır. Buna göre, gezegenin yer yüzeyindeki cismin ağırlığı ve cisme etki eden çekim kuvveti eşitliğinden;

R

m .g = Çekim ivmesi

g

d –R

O

R

Uzaklık

G. m .M R2

g=

4 G. πR 3 .d 3 R2

g=

4 π.G.R.d 3

ilişkisine ulaşılır. Bağıntıdan da görüldüğü gibi çekim ivmesi ile gezegenin özkütlesi doğru orantılıdır. Çekim Alanı ile Enlem ilişkisi Kendi etrafında w açısal hızı ile dönen Dünya'nın Ekvator bölgesinden kutup bölgesine giderken merkezcil kuvvetin etkisine bağlı olarak cisme etki eden yer çekim ivmesi değişir. ~

rK

Ekvator

i

Bir gezegen etrafında dolanan uydunun periyodu ile gezegenin özkütlesi arasındaki ilişki, cisme etki

Fm

rL

NOT

eden merkezcil kuvvet ile çekim kuvvetinin eşitlen-

L

Fm

mesi sonucunda bulunur. Fmer = Fçekim mj 2 G.m.M = R R2

K

Çizgisel hız yerine; j= Cisme etki eden, yerçekimi ivmesi K noktasında;

PK = mg – Fmer

mgK = m.g – m.w2.rK gK = g – w2.rK

değerini alırken L noktasında

PL = mg – Fmer

PL = mg – mw2rL.cosi

mgL = mg – mw2.rL.cosi 2

gL = g – w .rL.cosi

gezegenin kütlesi yerine M = V.d =

mc

2πR 2 4 m G. m . π.R 3 .d T 3 = R R2

4π 2 .R 2 4πG.R 3 .d = T 2 .R 3R 2 T=

hem de rK > rL değerine bağlı olarak çekim ivmesi artar. Buna mum değerini alır.

4 π.R 3 .d 3

eşitliği yazılırsa uydunun periyodu;

değerini alır. K noktasından L noktasına giderken hem cosq göre; yerçekim ivmesi Ekvator'da minimum, kutuplarda maksi-

2πR T

3π G.d

bağıntısı ile bulunur.

53

Kütle Çekim Potansiyel Enerjisi

1 ile çarpılırsa uydunun kinetik enerjisi; 2

eşitliğin her iki tarafı

M

1 1 G.m.M mj 2 = . 2 2 R

m

bağıntısına eşit olur. Uydunun toplam mekanik enerjisi, kinetik enerjisi ile potansiyel d

enerjisinin toplamına eşit olup;

Kütle merkezleri arasında d uzaklık bulunan M ve m kütleli iki cisim arasındaki çekim potansiyel enerjisi EP = –



ET = EK + EP ET =

G.m.M R

1 G.m.M mj 2 – 2 R

bulunan kinetik enerji değeri bağıntıda yerine yazılırsa cismin

bağıntısı ile hesaplanır.

toplam mekanik enerjisi; Kurtulma Enerjisi ve Hızı Yer yüzeyinde duran bir kütleyi, gezegenin çekim alanından

ET =

1 G.m.M G.m.M . – 2 R R

kurtarmak için gereken en küçük enerjiye "kurtulma enerjisi" denir. Kurtulma enerjisi, cisim ile gezegen arasındaki potansi-

ET = -

yel enerjiyi sıfırlayan enerji değeridir.

0 = EP + Ekurtulma



Ekurtulma = – EP



E

kurtulma

E

kurtulma

= - c-

=+

G.m.M 2R

bağıntısına eşit olur. Uydunun toplam enerjisini sıfır yapan enerjiye "bağlanma enerjisi" denir.

G.m.M m R

Ebağlama = +

G.m.M 2R

G.m.M R M

Yer yüzeyinde bulunan cisme, en az kurtulma enerjisi kadar

L

kinetik enerji verilmelidir ki cisim gezegenin çekim alanından

K

O

kurtulabilsin. Buna göre, cismin kurtulma hızı; enerji eşitliğinden; 1 G.m.M mj 2 = 2 R

Şekildeki gezegenin O,K, L ve M noktalarındaki yerçekimi ivmelerinin büyüklükleri arasında-

2GM R

j=

ki ilişki nedir? (Aralıklar eşittir.)

olarak bulunur.

Bağlanma Enerjisi

Yerçekimi ivmesinin gezegenin merkezine uzaklığı-

Gezegenin merkezinden d kadar uzaklıktaki yörüngede bir uy-

na bağlı grafiği şekildeki gibidir.

dunun dolanabilmesi için uyduya etki eden çekim kuvvetinin merkezcil kuvveti eşit olması gerekir.

m

j

M

R

Fmer = Fçekim g

mj 2 G.m.M = R R2 mj 2 =

G.m.M R –R

54

O

R

d

Gezegende verilen aralıklar arası uzaklık r, yer yüzeyindeki çekim ivmesi g olarak alınırsa L noktasındaki çekim ivmesi; G.m.M m.g L = ^2rh2

gL =

GM =g 4r 2

Yarıçapı R olan bir gezegendeki cismin yeryüzeyindeki ağırlığı 640 N'dur. Cisim, yer yüzeyinden yer yarıçapının 3 katı kadar yükseklikte iken ağırlığı kaç Newton olur?

olup O, K ve M noktalarındaki çekim ivmeleri

gO = 0



g gK = 2

P2 3R

G.M GM 4g = = 9 ^3rh2 9r 2

g = M

olarak bulunur. Buna O, K, L ve M noktalarındaki çekim ivmeleri arasında; gL > gK > gM > gO ilişkisi vardır.

P1 = 640 N R

Yer yüzeyindeki ağırlığı 640 N olun cismin; mg =

G.m.M R2 yer yüzeyinden 3R, yer merkezinden 4R yükseklikteki ağırlığı; G.m.M P = 2 ^4R h2

Çekim ivmeleri

640 =

g g

2

g

1

R 2

G.m.M R2

R

2R

Uzaklık

Çekim ivmesi, yüzeyinde g olan Dünya'nın merkezinden itibaren uzaklığa bağlı çekim ivmesinin değişim grafiği şekildeki gibidir. g Buna göre, g1 ve g2 ivmelerinin oranı 1 kaçtır? g2

Yerin merkezinden yer yüzeyine doğru gidildikçe yer çekim ivmesi yarıçapla doğru orantılı olarak artar. Grafiğe göre; yer merkezinden R kadar uzaklıkR ta yer çekim ivmesi g ise, yer merkezinden uzak2 lıktaki noktada yer çekim ivmesi; g = 2

g 2

olur. Yer merkezinden R ve 2R uzaklıktaki yer çekim ivmeleri ve oranlarından g1 çekim ivmesi; _ GM b GM g= 2 2 b R g & = R GM `b g 1 GM g1 = 4R 2 ^2R h2 b a g g1 = 4 g olarak bulunur. Buna göre, g 1 oranı; 2 g g 4 = 1 dir. 1 = g2 g 2 2

P2 =

olur.

G.m.M 16R 2

P2 =

1 .640 = 40 N 16

Yerin kütlesi 4 kat, yarıçapı ise 3 kat daha büyük olsaydı 360 N ağırlığındaki bir cisim kaç Newton ağırlığında olurdu?

Kütlesi m olan bir csimin M kütleli, R yarıçaplı gezegende ağırlığı 360 N olduğuna göre, kütlesi 4 kat, yarıçapı 3 kat daha büyük olan gezegendeki ağırlığı; _ G.m.M b G.m.M R 2 b 360 R2 & = G.m.4M `b P G . m .4M P= 9R 2 ^3R h2 b a 360 =



360 9 = 4 P P = 160 N

olur. 55

PX = PY Yarıçapı, yer yarıçapının 5 katı, kütlesi 10 katı olan bir gezegende çekim ivmesinin değeri kaç N/kg olur? (Yerçekim ivmesi = 10 N/kg'dır.)

eşitliğinden cisimlerin kütlelerinin oranı; G.m X .M

=

G.m Y .M

mX

=

mY

r2



r2



m.g =



g=

olarak bulunur.

G.m.M R2 G.M R2

Yarıçapları sırasıyla RK = 3R ve RL = 2R olan K ve L

bağıntısına göre, _ G.M b G.M 2 2 b 10 R & = R ` l G.10M b G . M 10 g l g = 25R 2 ^5R h2 b a 10 =



9r 2

m 1 X mY = 9

Kütlesi M, yarıçapı R olan gezegende yerçekim ivmesi 10 N/kg olup kütlesi 10 kat, yarıçapı 5 kat daha büyük olan gezegendeki yer çekim ivmesi;

^3rh2



Buna göre, gezegenlerin yüzeyinden R kadar uzaktaki noktalarda çekim ivmelerinin oranı gK

10 25 = 10 gl



gezegenlerinin ortalama özkütleleri dK = 6d ve

dL = 2d dir.

gL

kaçtır?

gl = 4 N/kg

olarak bulunur.

M

Yarıçapı R, özkütlesi d olan bir gezegenin kütlesi; Kütle = Hacim x Özkütle

L

M



M = V.d 4 M = πR 3 .d 3 olup cisme gezegen yüzeyinde etki eden çekim iv-

K O

r yarıçaplı gezegenin K noktasında bulunan X cis-

mesi;

mi ile M noktasında bulunan Y cisminin ağırlıkları



mg =



g=

eşittir. Buna göre, X ve Y cisimlerinin kütlelerinin oranı mX mY

kaçtır? (OK = KL = LM = r)

G.m.M R2 4 G. πR 3 .d 3 R2

4 π.R.d 3 bağıntısı ile bulunur. Buna göre, yarıçapları 3R ve

g=

2R olan gezegenlerin yeryüzeyinden R kadar uzakYarıçapı r olan gezegenin K noktasında bulunan X cisminin ağırlığı; P = X

G.m .M X

r2

lıktaki çekim ivmeleri ve oranları; _ 4 4 π.G ^3R + R h .6d b g π.G.4R.6d 3 ` & gK = 3 4 4 L g L = π.G ^2R + Rh .2d b π.G.3R.2d 3 3 a gK =

,

L noktasında bulunan Y cisminin ağırlığı; P = Y

olup, 56

G.m .M



^3rh

olarak bulunur.

Y 2

g K gL = 4

Bulunan iki eşitlik taraf tarafa oranlanırsa hl; Bir gezegenin çekim ivmesinin büyüklüğü, I. Yarıçapının karesi ile ters orantılıdır. II. Yoğunluğu ile doğru orantılıdır. III. Kütlesi ile doğru orantılıdır. yargılarından hangileri doğrudur?

1 .m.j2 m.g.h 2 = 1 m .gl .8h 2 .m.4j 2

g 1 = 4 8gl



gl =

g 2

olarak bulunur. Yarıçapı R, kütlesi M olan bir gezegenin yüzeyindeki yer çekim ivmesi; m.g =

g=

G.m.M R2 G.M R2

bağıntısı ile bulunur. Yarıçapı R, özkütlesi d olan gezegenin kütlesi;

M = V.d 4 M = π.R 3 .d 3



olup bulunan değer ilk eşitlikte yerine yazılırsa çekim ivmesinin büyüklüğü; 4 G. π.R 3 .d 3 g= R2

g=

4 π.G.R.d 3

Bir cisim, yer çekim ivmesinin g, yarıçapın R ve kütlesinin M olduğu bir gezegende yer yüzeyinden 40 m/s hızla atıldığında 10 metre yüksekliğe çıkabilmektedir. Aynı cisim, kütlesi 3 kat, yarıçapı 2 kat büyüklükteki başka bir gezegende, düşey yukarı yönde 18 m/s hızla atılırsa cisim yüzeyden kaç metre yukarı çıkabilir?

İlk durum için enerji korunumunden yer çekim ivmesi; 1 mj 2 = m.g.h 2 1 .m. ^40h2 = m.10.10 2



olarak bulunur. Bağıntıya göre, I. ifade yanlış, II. ve

g = 8 m/s 2

III. ifadeler doğrudur.

olarak bulunur. Yarıçapı R, kütlesi M olan gezegende yerçekim ivmesi; g = 8 m/s2

Çekim olan şiddeti g olan bir gezegende j hızıyla düşey olarak atılan cisim h kadar yükselebiliyor. Aynı cisim başka bir gezegende 2j hızıyla düşey yukarı yönde atıldığında 8h kadar yükselebildiğine göre, bu gezegenin çekim alan şiddeti kaç g olur?

olarak bulunur. Yarıçapı R, kütlesi M olan gezegende yerçekim ivmesi 8 m/s2 ise yarıçapı 2R, kütlesi 3M olan gezegende yer çekim ivmesi; g=

G.M R2

bağıntısına göre, _ G.M b 2 b 8 R 4 & = G.3M `b gl 3 l g = ^2Rh2 b a

8=

Yerden düşey yukarı yönde atılan cismin çıkabile-



ceği maksimum yüksekliğin bulunabilmesi için yer-

olarak bulunur.

deki kinetik enerjisi maksimum yüksekliğe eşitlenir.

Enerji korunumundan, cismin çıkabileceği maksimum yükseklik; 1 .mj 2 = m.g.h 2

I. durum: 1 .m ^j h2 = m.g.h 2



II.durum: 1 .m ^2j h2 = m.gl .8h 2



gl = 6 m/s 2

1 .m ^18h2 = m.6.h 2 h = 27 metre olur.

57

~

Bir cisim, yarıçapı R, özkütlesi d olan bir gezegende

L

düşey yukarı yönde 20 m/s lik hızla atılınca en fazla 10 m yükselebiliyor. Aynı cisim 30 m/slik hızla yoğunluğu

30°

d , yarıça4

R

O

K

pı 10R olan başka bir gezegende düşey yukarı yönde atılırsa en fazla kaç metre yükselebilir?

Yer küre üzerinde K noktasında 3 N ağırlığında olan Yarıçapı R, özkütlesi d olan bir gezegenin kütlesi; M = V.d 4 M = π.R 3 .d 3 eşitliğine göre, 4 G. π.R 3 .d 3 g= R2

cismin L noktasındaki ağırlığı 15 N oluyor. Yer kürenin yarıçapının her yerde aynı olduğu ve kendi ekseni etrafında döndüğü kabul edilirse K noktasında cisme etki eden merkezcil kuvvet kaç N olur?

4 π.G.R.d 3 bağıntısı ile bulunur. Enerji konumuna göre, 20 m/s

Cisim yer küre üzerinde hangi noktada bulunursa

hızla atılan cismin 10 metre yükseleilmesi için or-

bulunsun ağırlığının yönü daima kürenin merkezi-

tamdaki yer çekim ivmesinin;

ne doğrudur. K noktasının dönme eksenine uzak-

g=

1 .mj 2 = m.g.h 2



lığı R alınırsa, L noktasının dönme eksenine olan x uzaklığı;

1 m ^20h2 = m.10.10 2



~

g = 2 m/s 2

x FL

olması gerekir. Yarıçapı R, özkütlesi d olan geze-

30° R



gende yer çekim ivmesi 2 m/s2 ise yarıçapı 10R, özkütlesi

O

d olan gezegende yer çekim ivmesi; 4



g=

L

sin 30° =

mg

R

mg FK

x R

1 x = 2 R

K

x=

R 2

4 π.G.R.d 3

bağıntısına göre,

_ 4 4 π.G.R.d bb π.G.R.d 3 2 3 & = ` 4 d 4 d gl π.G.10R. gl = π.G.10R. b 3 4 3 4a 2=



olup cismin K ve L noktalarındaki ağırlıklarından cisme etki eden merkezcil kuvvetler çıkarılırsa; K cismi için; PK = m.g – FK

gl = 5 m/s 2

PK = m.g –m.w 2.R

olarak bulunur. Enerji korunumundan 30 m/s lik hız-

3 = m.g – m.w 2.R

la atılan cismin çıkabileceği maksimum yükseklik;

1 .mj2 = m.gl .h 2



1 m ^30h2 = m.5.h 2



58

h = 90 metre olur.

L cismi için; PL = m.g – FL.cos60° PL = m.g – m.w 2 . 15 = m.g –

R 1 . 2 2

m.w 2 .R 4

bulunan bağıntılarda m.g ler birbirlerine eşitlendiğinde, cisme K noktasında etki eden merkezcil kuvvet; 3 + m.w 2 .R = 15 +

m.w 2 .R 4

K gezegeninin periyodu 1 yıldır. R 3K

3.m.w 2 .R = 12 4

T 2K

m.w 2.R = 16 Newton



=

R 3L T 2L

bağıntısına göre L gezegeninin periyodu;

olarak bulunur.

^4rh3 r3 2 = 1 T2 L

M

TL = 8 yıl olarak bulunur.

K Güneş

Dünya etrafındaki periyodu T, çizgisel hızının büyük-

L

lüğü j olan bir uydu, Dünya'ya daha uzak olsaydı T

K, L ve M gezegenleri Güneş etrafında şekilde gösterilen yörüngelerde dolanmaktadır.

ve j nasıl değişirdi?

Gezegenlerin Güneş etrafındaki hareketlerinin periyotları TK, TL ve TM arasındaki büyüklük ilişkisi nedir?

R3 = sabit T2 bağıntısına göre, uydunun Dünya'ya olan uzaklığı

Güneş etrafında dolanan gezegenlerin yörünge yarıçapları ile periyotları arasında; R 31 T 21

=

R3 2 T2 2

=

R3 3 T2 3

ilişkisi vardır. Bağıntıya göre, yörünge yarıçapı arttıkça, periyotta artar. Dolayısıyla gezegenlerin dolanım periyotları arasında

artarsa dolanım periyodu da artar. Bağıntıya göre, periyottaki artış, yörünge yarıçapındaki artıştan daha fazla olur. Çizgisel hızı; 2πR j= T olan uydunun Dünya'ya uzaklığı artırılırsa çizgisel hızı azalır. T artar

TM > TL > TK

j azalır

büyüklük ilişkisi vardır.

j2

j1

M

L

m2

m1 r

K

R1

3r

R2

Güneş

M kütleli Güneş etrafında dolanmakta olan gezegenlerin yörünge yarıçapları arasında 3R1 = 2R 2

Yarıçapı r olan yörüngedeki K gezegeni Güneş etra-

ilişkisi vardır.

fındaki tam bir dolanımını 1 yılda tamamlamaktadır.

Buna göre, gezegenlerin periyotlarının oranı

Buna göre, L gezegeni Güneş etrafında bir tam

T1

dolanımını kaç yılda tamamlar?

T2

ve çizgisel hızlarının oranı

j1 j2

kaçtır?

59

bağıntısına göre;

^R h3 ^2R h3 = T 21 T 22

Dolanım yarıçapları arasında 3R1 = 2R 2 ilişkisi olan gezegenlerden m1 kütleli gezegenin dolanım yarı-

T

çapı 2R alınırsa m2 kütleli gezegenin dolanım yarı-

1

T2

çapı 3R ye eşit olur.

R3 1 T 31

R3 2 T2 2

=

bağıntısından gezegenlerin periyotlarının oranı;

^2R h3 ^3R h2 = T 21 T 22

ilişkisi, çizgisel hızları arasında; 2π.R j1 1 = = 2 j2 2π.2R 2 2 ilişkisi vardır. Buna göre, cisimlere etki eden merkezcil kuvvetlerin oranı;

T

mj 2 R

F=

2 2 = T2 3 3 1

bağıntısına göre;

çizgisel hızlarının oranı ise; j1 j2

j1 j2

=

F

2πR 1 T1

=

1

F2

2πR 2 T2 R

1

1 2 2

=

m .j 2 1 1 R 1

=

m .j 2 2 2 R 2

F

1

F2

T

2

. R 2 T1

=

m .j 2 .R 1

1

2

2

2

1

m .j 2 .R

2m ^ 2 h 2R = m . . F ^1h2 R 2

F j1 olarak bulunur.

j2

=

2R 3 3 . = 3R 2 2

1

3 2

2

F

1



F2

=8

olarak bulunur.

j2

j1

M

m1 = 2m R

m2 = m

K

16M m

R

9M

L

Dünya'dan uzaklıkları R ve 2R olan m1 ve m2 kütleli uyduların etkisinde kaldıkları yer çekim kuvvetlerinin oranı

F1 F2

kaçtır?

35R

m kütleli bir cisim 16M ve 9M kütleli K ve L gezengenlerinin arasında dengededir. Cismin K gezegenine uzaklığı kaç R'dir?

Yarıçapları şekildeki gibi verilen uyduların periyotları arasında;

m kütleli cismin iki gezegen arasında şekildeki giR3 1 T 31

60

=

R3 2 T2 2

bi dengede kalabilmesi için her iki gezegenin cisme uyguladıkları kuvvetlerin büyüklüklerinin eşit olması gerekir.

bağıntısı ile bulunur. Periyot, özkütle cinsinden ya-

16M m

K

L

FL

FK x

9M

rıçapa bağlı değildir. Buna göre, d özkütleli gezegenin etrafındaki uydunun periyodu 36 gün ise 9d özkütleli gezegenin etrafındaki uydunun periyodu;

35R – x 35R

π π _ 36 = 3G.d b π 3.G.d b T ` 3.G.9d π b 3.G.9d a 36 = 3 T

36 = K gezegeninin m kütleli cisme uzaklığı x olarak alı-

T=

nırsa; G.m.16M G.m.9M = x2 ^35R–xh2

olarak bulunur.

eşitliğinden x uzunluğu;

4 3 x = 35R – x



7x = 140R



x = 20R

T = 12 gün

olarak bulunur.

K

Bir uydunun, özkütlesi d olan bir gezegene 3R uzak-

i

lıktaki yörüngede periyodu 36 gündür.

L

a Güneş

Aynı kütleli başka bir uydunun, özkütlesi 9d olan bir gezegene 2R uzaklıktaki yörüngede pe-

M

riyodu kaç gün olur?

Güneş etrafında dolanan gezegenin K, L ve M noktalarındaki hızları sırasıyla j K, j L ve j M dir. Buna göre, j K, j L ve j M arasındaki büyüklük

j d

R

M

ilişkisi nedir? (a > i)

m

Kütlesi m olan bir uydunun, özkütlesi d olan gezegenin etrafında, R yarıçaplı yörüngede periyodu; F

merkezcil 2



=F

çekim

mj G.m.M = R R2

J Kj = K KM = L

2πR 2 4 mc G.m c πR 3 .d m m 3 T = R R2



4π 2 R 2 4πG.R 3 .d = T 2 .R 3R 2



T=

N 2πr O T O 4 3 O πR d 3 P

Güneş etrafında dolanan gezegenin Güneş'e olan uzaklığı azaldıkça çizgisel hızının büyüklüğü artar. Buna göre; K, L ve M noktalarında gezegenin Güneş'e olan uzaklıkları arasındaki ilişki, rL > rK > rM olup gezegenin bu noktalardaki çizgisel hızları arasındaki büyüklük ilişkisi; dir.

jM > jK > jL

π 3G.d 61

j

Gezegen

Aralarında 2r uzaklık bulunan m kütleli uydu ile M

M Güneş

L

kütleli gezegen arasındaki çekim potansiyel enerjisi;

A2

A1



N

K

E =1

G.m.M ^2rh

Güneş etrafında dolanan bir gezegen K noktasından L noktasına j1, M noktasından N noktasına j 2 ortalama hızı ile geliyor.

iken uydu r yarıçaplı II. yörüngeye geçtiğinde uy-

Gezegenin KL ve MN arasında aldığı yollar eşit ve



yarıçap vektörünün taradığı alanlar oranı olduğuna göre,

j1

A

1

A2

du ile gezegen arasındaki çekim potansiyel enerjisi;



Kepler'in alanlar kanununa göre, yarıçap vektörünün taradığı alanlar arasındaki oran, gezegenin bu alanları geçiş sürelerinin oranına eşittir. A

G.m.M r

olur. Uydunun potansiyel enerisindeki değişimi;

=3

oranı kaçtır?

j2

E =2

DE = E2 – E1 DE = -

G.m.M G.m.M - cr 2r m

DE = -

G.m.M 2r

olarak bulunur. Sonucun (–) çıkması, uydunun potansiyel enerjisinin azaldığını ifade eder.

t = 1=3 t A2 2 1

olup soruda KL yayının uzunluğunun MN yayının uzunluğuna eşit olduğu bilgisi veriliyor. x = j.t bağıntısına göre, gezegenin KL ve MN noktaları arasındaki ortalama hızlarının oranı; x j 1 .t 1 1 x 2 = j .t 2 2

K

j 1 .3 x x = j .1 2 j1



j2

II

1 3

=

I Güneş

olarak bulunur.

L

Bir gezegen, odaklarının birinde Güneş bulunan

I

m

elips yörünge üzerinde dolanmaktadır. Gezegen KL noktaları arasını I yolunu izleyerek j1 ortalama hızı

ile T1 sürede, II nolu yolu izleyerek j 2 ortalama hızı r

r

ile T2 sürede alıyor.

M

Buna göre, I. j 2 > j1 dir.

II

II. Gezegenin hareketi süresince çekim potansiyel enerjisi değişmez.

m kütleli gezegenin merkezinden 2r uzaklıktaki I yö-

III. Gezegene II nolu yol boyunca etki eden ortalama

rüngesinde dolanan m kütleli uydu, şekildeki gibi II

çekim kuvveti, I nolu yol boyunca etki eden ortala-

nolu yörüngeye geçiyor. Buna göre, uydunun potansiyel enerjisindeki değişim için ne söylenebilir? 62

ma çekim kuvvetinden büyüktür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

4m

Güneş etrafında dolanan gezegenin Güneş'e olan uzaklığı azaldıkça çizgisel hızının büyüklüğü artar. Dolayısıyla gezegenin II nolu yol boyunca ortalama hızı j 2, I nolu yol boyunca ortalama hızı j1 den büyük olur. I. ifade doğrudur.

jL

L M m

Gezegen, Güneş etrafında dolanırken toplam enerjisi korunur. Güneş etrafında farklı hızlarla dolanan gezegenin kinetik enerjisi sürekli değişir. Toplam enerjinin değişmemesi için gezegenin çekim potansiyel enerjisi de sürekli değişir. II. ifade yanlıştır.

K

jK

Kütleleri m ve 4m olan iki uydunun periyotları ara-

Güneş'in gezegene uyguladığı çekim kuvveti; G.m.M F= R2

sında TL = 8TK ilişkisi vardır. Buna göre,

bağıntısı ile bulunur. Gezegenin Güneş'e yakın olduğu bölgelerde çekim kuvveti büyük, uzak olduğu bölgelerde çekim kuvveti küçük değerler alır. III. ifade doğrudur.

II. Uyduların çizgisel momentumlarının büyüklükleri

Buna göre, cevap I ve III'tür.

III. Uyduların bağlanma enerjileri eşittir.

I. Uyduların potansiyel enerjileri eşittir. eşittir.



ifadelerinden hangileri doğrudur?

r

II

m Uydu

I

2r

Dünya

Bir gezegen etrafında dolanan uyduların periyotları ile yarıçapları arasında; R3

K T 2K

M

Kütlesi m olan uydu, Dünya çevresinde 2r yarıçaplı yörüngede dönerken, 3r yarıçaplı yörüngeye çıkarılıyor. Dünya'nın kütlesi M olduğuna göre, uydunun toplam enerjisindeki değişim için ne söylenebilir?

G.m.M 2r dir. Buna göre, uydunun I ve II nolu yörüngelerdeki toplam enerjileri; E =I

G.m.M G.m.M =2.2r 4r

G.m.M G.m.M E II = =2.3r 6r olup uydunun toplam enerjisindeki değişim; DE = EII – EI DE =

G.m.M G.m.M - c6r 4r m

G.m.M DE = + 12r

olarak bulunur. Sonucun (+) çıkması, uydunun toplam enerjisinin arttığını ifade eder.

R 3L T2 L

ilişkisi vardır. TL = 8TK eşitliğine göre, K gezege-

ninin periyodu T alınırsa, L gezegeninin periyodu

8T'ye eşit olur. Buna göre, gezegenlerin yörünge yarıçaplarının oranı; R 3K



T R

Toplam enerjinin formülü; E =T

=

2

K

RL

=

=

R 3L

^8Th2 1 R = 4 4R

olarak bulunur. Uyduların çizgisel hızları sırasıyla; 2πR jK = =j T

jL =

2π.4R j = 2 8T

olarak bulunur. I. Bir uydunun potansiyel enerjisi; G.m.M E =P R

bağıntısı ile bulunur. K ve L uydularının potansiyel enerjileri;



EP = K

G.m.M G.4m.M ve E P = R 4R L

olup birbirlerine eşittir. I. ifade doğrudur. 63



II. Çizgisel momentum;

P = m.j



bağıntısı ile bulunur. Uyduların çizgisel momentum-

Bir cismin kütlesi M, yarıçapı R olan gezegenden

ları;

kurtulma hızı 200 m/s dir.



PK = m.j

j PL = 4m. = 2m.j 2

ve

Aynı cismin, kütlesi 2M, yarıçapı 8R olan gezegenden kurtulma hızı kaç m/s olur?

olup birbirine eşit değildir. II. ifade yanlıştır.

III. Bir uydunun bağlanma enerjisi;

E =+ B

G.m.M 2R

bağıntısı ile bulunur. Uyduların bağlanma enerjileri; E

BK

=+

G.4m.M G.m.M ve E = + BL 2R 2.4R

olup birbirine eşittir. III. ifade doğrudur.

Buna göre, cevap I ve III'tür.

Bir cismin kütlesi M, yarıçapı R olan gezegenden kurtulma enerjisi; E

kurtulma

=+

G.m.M R

bağıntısı ile bulunur. Yer yüzeyindeki cisme verilercek kinetik enerjinin en az bu enerji değerine eşit olması gerekir. Buna göre, cismin kurtulma hızı; 1 G.m.M m.j 2 = 2 R j=

2G.M R

bağıntısı ile bulunur. Kütlesi M, yarıçapı R olan gezegende kurtulma hızı 200 m/s olan cismin kütlesi Evrensel çekim sabiti G olmak üzere, yer yüzeyin-

2M, yarıçapı 8R olan gezegende kurtulma hızı

den R kadar uzaklıkta, dairesel yörüngede dolanmakta olan m kütleli uydunun dolanım hızı j yi he-

200 =

saplayabilmek için;

jl =

I. Dünya'nın kütlesi,

III. Yörünge yarıçapı,

2GM R 4GM 8R

j' = 100 m/s

olarak bulunur.

II. Uydunun kütlesi,



_ 2GM b R b 200 `& l = j 2G.2M b 8R b a

niceliklerinden hangilerini bilmek yeterlidir?

R yarıçaplı yörüngede dolanan uyduya etki eden çekim kuvveti ile merkezcil kuvvet birbirine eşittir. Bu eşitlikten; m j2 G. m .M = R R2 j=

j m

R

M

G.M R

bağıntısına göre uydunun dolanım hızı, Dünya'nın kütlesine ve dolanım yarıçapına bağlıdır. Evrensel çekim sabiti ile birlikte bu iki büyüklüğün bilinmesi dolanım hızını hesaplayabilmek için yeterli olur. Cevap I ve III'tür.

Kütlesi m olan bir uydu, M kütleli gezegen etrafında R yarıçaplı yörüngede dolanıyor. Uydunun bağlanma enerjisi E olduğuna göre, uydunun yörünge yarıçapı R; G, m, M ve E cinsinden nasıl ifade edilir?

64

Bağlanma enerjisinin bağıntısı;

Bir uydunun gezegene bağlanma enerjisi; E=+

G.m.M 2R

Ebağlanma = +

bağıntısı ile bulunur. Buna göre, uydunun yörünge yarıçapı; R=

dir. Buna göre, m ve 3m kütleli K ve L uydularının bağlanma enerjileri ve bu enerjilerin oranı;

G.m.M 'ye 2E

G.m.M _ G.m.M 2R b E K 2R `& = G.m.M b E G.3m.M EL = + L 2.2R a 4R E =+ K

eşittir.

E

2m r

K

EL

jK M

G.m.M 2r

=

2 3

olarak bulunur.

K 3r

Gezegen m

jL L

60M

Kütlesi 2m olan K uydusunun M gezegeninden kur-

5M

tulma enerjisi E'dir. R

Buna göre, L uydusunun M gezegeninden kur-

3R

tulma enerjisi kaç E dir? Şekil - I

m kütleli bir roketin şekil–I deki gezegenden kurtul-

Kurtulma enerjisinin bağıntısı; E kur = +

ma enerjisi E, kurtulma hızı j dir.

G.m.M R

Aynı roketin şekil–II deki gezegenden kurtulma enerjisi ve kurtulma hızı nedir?

dir. Buna göre, K gezegeninin kurtulma enerjisi; G.2m.M r

E=

ise L gezegeninin kurtulma enerjisi; G.m.M E = L 4r EL =

Kurtulma enerjisinin ve kurtulma hızının bağıntıları; E kur =

1 E E . = 4 2 8

G.m.M ve j = R

2GM R

dir. Buna göre, I. gezegende kurtulma enerjisi E,

olarak bulunur.

kurtulma hızı j olan roketin II. gezegende kurtulma enerjisi; G.m.5M _ G.m.5M E= bb R E 1 R = = `& 4 G.m.60M G.m.60M b E II E = II 3R 3R a

jL M R

R

Gezegen

L



3m

j=

m

Bir gezegen çevresinde dönmekte olan K ve L uydularının bağlanma enerjilerinin oranı

EII = 4E

ve kurtulma hızı;

jK K

kaçtır?

Şekil - II

EK EL

j II =

_ 2.G.5M b 10G.M b R j 1 R = = `& 2 2.G.60M b j II 40.G.M b 3R R a j II = 2j

olarak bulunur. 65

Gezegen çevresinde dolanmakta olan bir uydunun

Belli bir yükseklikten serbest bırakılan cismin yere

sadece kütlesi artırılırsa;

düşme süresi; 1 2 gt 2 bağıntısı ile bulunur. Cismin farklı iki gezegende hem yerden yükseklikleri eşit, hem de yere ulaşma süreleri eşittir. Buna göre, bu gezegenlerin çekim ivmeleri kesinlikle eşittir. Cismin ağırlığı, çekim kuvvetine eşitlendiğinde yer çekim ivmesi; G.m.M mg = R2 h=

I. Gezegen ile uydu arasındaki çekim kuvveti, II. Uydunun çizgisel hızı, III. Uydunun dolanım periyodu

niceliklerinden hangileri değişmez?

I. M kütleli gezegenin, m kütleli uyduya uyguladığı çe-

g=

kim kuvveti;



G.m.M R2 dir. Eğer uydunun kütlesi (m) artırılırsa çekim kuvve-

bağıntısına eşit olur. Bağıntıya göre, gezegenlerin kütleleri ve yarıçapları farklı olup oranlarından dolayı çekim ivmeleri eşit olabilir. Dolayısıyla kütleleri ve yarıçapları için kesinlikle aynıdır veya farklıdır yorumu yapılamaz.

Fçekim =



G.M R2

ti artar. II. Uydunun gezegen çevresinde belli bir yörünge-

Cevap yalnız III'tür.

de dolanabilmesi için uydunun gezegene uyguladığı merkezcil kuvvet ile çekim kuvvetinin eşit olması

gerekir.

Fmer = Fçekim



mj 2 G.m.M = R R2



j2 G.M = R R2



j

M R

m Uydu

Eşitliğe göre, uydunun kütlesinin artması veya azal-

Dünya

ması çizgisel hızı etkilemez. III. Çizgisel hızın formülü;

j=

Şekilde Dünya etrafında dairesel yörüngede dola-

2πR T

nan bir uydu görülmektedir.

olup uydunun kütlesinin değişmesi çizgisel hızın de-

Dünya'nın kütlesi M'yi hesaplayabilmek için G

ğişmesini etkilemeyeceği gibi uydunun dolanım pe-

evrensel çekim sabitinden başka;

riyodunu da etkilemez.

I. Uydunun yörünge yarıçapı,

Doğru cevap II ve III'tür.

II. Uydunun kütlesi, III. Uydunun dönme periyodu,

m kütleli bir cisim, yer çekim ivmeleri g1 ve g2 olan farklı iki gezegende, yer yüzeyine eşit uzaklıklardan

bırakılınca eşit sürelerde gezegen yüzeylerine ulaşıyorlar. Buna göre, gezegenlerin; I. Kütleleri, II. Yarıçapları, III. Çekim ivmeleri 66

niceliklerinden hangileri kesinlikle eşittir?

niceliklerinden hangilerinin bilinmesi gerekir?

Dünya'nın uyduya uyguladığı çekim kuvveti, uydunun merkezcil kuvvetine eşit olursa, uydu R yarıçaplı yörünge de döner. mj 2 G.m.M = R R2 bağıntısında çizgisel hız; j=

2πR T

alınırsa, Dünya'nın kütlesi;

mc

2πR 2 m T G.m.M 2 = R R2

Çekim kuvveti

2

4π .R G.M = 2 T2 R

F

4π 2 .R 3 M= G.T 2

2A R

bağıntısına eşit olur. Bağıntıya göre, Dünya'nın küt-

Uzaklık

lesi evrensel çekim sabitinden başka, uydunun yö-

Gezegen merkezinden R kadar uzaklıkta dolanan

rünge yarıçapı ve uydunun dolanım periyoduna

uyduya gezegenin uyguladığı çekim kuvveti F'tir.

bağlı olarak bulunur.

Uydunun gezegenden uzaklığına bağlı çekim kuv-

Cevap I ve III tür.

vetinin grafiği şekildeki gibi olup grafiğin altında kalan taralı alan 2A'dır. Buna göre, uydunun; I. Bağlanma enerjisi A'dır. II. Kurtulma enerjisi 2A'dır. III. Potansiyel enerjisi 2A'dır.

Dünya, Güneş etrafında daha büyük yarıçaplı bir



ifadelerinden hangileri doğrudur?

yörüngede dolansaydı; I. Dünya'nın dolanım periyodu, II. Güneş'in Dünya'ya uyguladığı çekim kuvveti,



III. Dünya'nın Güneş'ten kurtulma enerjisi

Şekildeki grafik, gezegen etrafında dolanan uydu-

durumlarından hangileri farklı olurdu?

nun gezegenin çekim alanının dışına çıktığını ifade eden grafiktir ve grafiğin altında kalan alan uydunun potansiyel enerjisindeki değişimi verir. İlk potansiyel enerjisi EP , son potansiyel enerjisi E P olan uydu 1

için potansiyel enerji değişimi; Güneş etrafında dolanan gezegenlerin periyotları

ile yörünge yarıçapları arasında; R3 1

T 21

=

R3 2

T2

.............

dır.

2

ilişkisi vardır. Dünya'nın Güneş'e olan uzaklığı artGüneş'in Dünya'ya uyguladığı çekim kuvveti; Fçekim =

G.m.M R2

dir. R artarsa çekim kuvveti azalır. Dünya'nın Güneş'ten kurtulma enerjisi; G.m.M E =+ kurtulma R bağıntısı ile bulunur. R artarsa, kurtulma enerjisi

D EP = EP – EP 2

1

2A = 0 – E P

1

E

P1

= –2A

EP = 1

saydı, bağıntıya göre dolanım periyodu da artardı.

2

G.m.M = - 2A R

G.m.M = 2A R Bulunan değer aynı zamanda kurtulma enerjisine eşittir. Bir uydunun bağlanma enerjisi; G.m.M E = B 2R ye eşit olup bu uydunun bağlanma enerjisi;

EB =

G.m.M 1 = .2A = A'dır. 2 2R

azalır.

Buna göre, soruda uyduya ait verilen bilgilerin üçü

Buna göre; cevap I, II ve III'tür.

de doğrudur.

67

1.

EVRENSEL ÇEKİM KANUNU 5.

Bir cismin yeryüzündeki ağırlığı 720 N'dur.

türülüp boyu da yarıya indirilirse yeni periyodu ön-

yükseklikte iken ağırlığı kaç N olur?

2.

B) 270

C) 180

Bir basit sarkaç, kütlesi Dünya kütlesinin 2 katı, yarıçapı Dünya yarıçapının 3 katı olan gezegene gö-

Cisim yer yüzeyinden, yer yarıçapının 2 katı kadar

A) 360

TEST - 11

cekinin kaç katı olur?

D) 90

E) 80

A)

3 5

B)

3 4

C) 1

D)

3 2

E) 2

Yerin kütlesi 9 kat, yarıçapı ise 5 kat daha büyük olsaydı, 750 N gelen bir cisim kaç N gelirdi? A) 300

B) 270

C) 160

D) 80

6.

60R

E) 50

m 81m



3.

rıçaplı m2 kütleli gezegende 18 N gelmektedir.





da ağırlıksız olması için Dünya merkezinden kaç R

A) 180

A) 6

K

B) 96

C) 48

D) 16

uzaklıkta olması gerekir?

E) 8

2h

3x



kildeki yolları izliyorlar.

68

j2

j1

m2

m1

Güneş etrafında dolanan gezegenlerin kütleleri arasınvardır.



Buna göre, Güneş'in gezegenlere uyguladığı çekim

Buna göre, gezegenlerin yüzeyindeki çekim ivmelegK gL

kuvvetlerinin oranı nedir?

B) 6

C) 9

D) 18

E) 20

E) 59

da 3m1 = 2m2, yarıçapları arasında ise R1 = 4R2 ilişkisi

liklerinden 2j0 ve j0 hızlarıyla yatay atılan cisimler, şe-

A) 2

D) 56

h

K ve L gezegenlerinde yer yüzeyinden 2h ve h yüksek-

rinin oranı

C) 54

Güneş

j0

2x



B) 50

7.

2j0 L



Bu verilere göre, bir cismin Dünya ile Ay arasın-

Aynı cisim, 1,5R yarıçaplı m1 + m2 kütleli bir geze-

gende kaç N ağırlığında olur?

4.

Dünya – Ay arası uzaklık, Dünya yarıçapının 60 katı, Dünya'nın kütlesi ise Ay'ın kütlesinin 81 katıdır.

Bir cisim 3R yarıçaplı m1 kütleli gezegende 16 N, 2R ya-

A) 6

B) 2

F1 F2

nedir? C)

1 4

D)

1 12

E)

1 24

12.

8.

L

2m M

3r

m

m

R Dünya

R

R K

j



m kütleli uydu, M kütleli gezegen etrafında şekildeki gibi



Kütleleri m ve 2m olan K ve L uyduları, Dünya çevresinde ortalama 2R ve R lik yarıçaplı yörüngelerde dolanmaktadırlar.



K uydusu ile Dünya arasındaki genel çekim potansi-

dolanırken potansiyel enerjisi –E oluyor.

Aynı uydu r yarıçaplı yörüngede dolanırsa potansiyel enerjisi kaç E olur? A) -

1 3

B) -

2 3

C) -

D) –2

yel enerjisi EK, L uydusu ile Dünya arasındaki genel E çekim potansiyel enerjisi EL olduğuna göre, L oraEK nı nedir?

3 2

E) –3

A)

9.

Yer yüzeyinden j 0 hızıyla düşey yukarı yönde atılan bir

1 4

B)

1 2

C) 1

D) 2

E) 6

cisim h yüksekliğine çıkabilmektedir.

Aynı cisim başka bir gezegende 2j0 hızıyla atıldığın-

13.

da 12h yüksekliğine çıkabildiğine göre, bu gezege-

K h

nin çekim ivmesi kaç g dir?

(g: Dünya yüzeyindeki çekim ivmesi) A)

1 6

B)

1 3

C)

2 3

Dünya

D)

3 2

10. M kütleli gezegen etrafında 2r yarıçaplı yörüngede dolanmakta olan m kütleli bir uydu, 3r yarıçaplı



Yarıçapı R olan Dünya yüzeyindeki çekim ivmesi g dir.



Dünya yüzeyinden h kadar yükseklikte bulunan K

yörüngeye çıkarılırsa çekim potansiyel enerjisi kaç G.m.M değişir? (G evrensel çekim sabiti) r A)

1 6

B)

1 3

C)

1 2

D)

5 6

R

E) 6

noktasındaki çekim ivmesi

g 9

olduğuna göre, h yük-

sekliği kaç R olur? A) 6

E) 1

B) 3

C) 2

D) 1

E)

1 2

14. Evrensel çekim sabiti G nin birimi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

11.

A) N.m/kg

m1

D) N.kg2 /m2

M

R1

R2

yinden bakan bir gözlemci uyduyu hareketsiz görüyor.

Buna göre, bu uyduların yarıçaplarının oranı dir? A) 6 1. E

B) 4 2. B

C) 3 3. B

4. D

R2

II. Dünya'nın kütlesine, ne-

III. Uydunun kütlesine

1 E) 4

D) 2 5. D

R1

6. C

Uydunun yer yüzeyinden uzaklığı; I. Dünya'nın kendi ekseni etrafında dönme periyoduna,

Kütlelerinin oranı m1 = 2m2 olan iki uydunun toplam enerjileri eşittir.



E) N.kg/m2

15. Dünya yörüngesinde dönmekte olan uyduya yeryüze-

m2



C) N.m2 /kg2

B) N.kg/m

7. E

niceliklerinden hangilerine bağlı değildir? A) I ve II

8. E

9. B

10. A

B) I ve III C) Yalnız III D) II ve III E) I, II ve III 11. D

12. A

13. C

14. C

15. C 69

1.

EVRENSEL ÇEKİM KANUNU Çekim ivmesi g olan bir gezegende j hızıyla düşey yu-

TEST – 12

5.

jL

karı yönde atılan bir cisim h kadar yükselmektedir.

jK

Aynı cisim başka bir gezegende 4j hızıyla atıldığın-

L

2R Dünya

da 32h kadar yükseldiğine göre, bu gezegenin çekim ivmesi kaç g dir? A)

1 2

B) 1

K

C) 2

D) 4

2R

R

E) 6

Dünya etrafında 3R ve 2R yarıçaplı yörüngelerde dolanan K ve L uydularının çizgisel hızlarının oranı

2.

K

jK jL

nedir?

j0 L

hK

j0

A)

3 2

B)

2 3

C)

3 2

D)

1 3

E)

2 3

hL



Kütleleri arasında mK = 2mL, yarıçapları arasında ise



rL = 3rK ilişkisi bulunan gezegenlerde, hK ve hL yükseklikten iki cisim eşit hızlarla yatay olarak atılıyorlar.



Cisimler eşit sürede yatay zeminlere ulaştıklarına göre,

hK hL

A) 3

6.

oranı nedir? B) 6

Bir cisim, yer çekim ivmesi g, yarıçapı r ve kütlesi M olan Dünya'da yer yüzeyinden düşey yukarı yönde 60

C) 9

D) 12

m/s lik hızla atıldığında 40 metre yüksekliğe çıkabil-

E) 18

mektedir.

Aynı cisim, kütlesi Dünya kütlesinin 6 katı, yer yarıçapının 3 katı büyüklüğünde olan başka bir gezegende, düşey yukarı yönde 30 m/s hızla atılırsa cisim yüzeyden kaç metre yukarı çıkar?

3.

A) 60

Yarıçapı r, kütlesi M olan bir gezegenin yüzeyindeki m

B) 30

C) 20

D) 15

E) 10

kütleli bir cisme etkiyen çekim kuvvet F tir.

Aynı cisim gezegen yüzeyinden 3r yüksekliğe çıkarılırsa, cisme etkiyen çekim kuvveti kaç F olur? A)



4.

1 16

B)

1 9

C)

1 4

D) 9

E) 18

7.

Yarıçapı R olan Dünya'nın yüzeyinden fırlatılan bir ro-



ketin m.g kadarlık ağırlığı yer yüzeyinden h kadar yükmg seklikte oluyor. 9 Buna göre, h yüksekliği kaç R dir?

Dünya yarıçapı bugünkü değerinin 2 katı, kütlesi ise 3 katı olsaydı çekim alan şiddeti şimdikinin kaç katı olurdu? (g = yer çekim ivmesi) A)

70

9 4

B)

9 2

C)

3 4

D)

1 4

E)

1 6

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 9

8.

11. Dünya etrafında dolanan bir uydunun kinetik ener-

27m

6m

3m x

R

jisi E olduğuna göre, bağlanma enerjisi ile potansiyel enerjisi aşağıda verilenlerden hangisidir?

R K





Şekildeki 3 gezegenin K noktasında oluşturduğu çekim alanının sıfır olabilmesi için x uzaklığı kaç R olmalıdır? A) 6

B) 4

C) 2

D) 1

E)

1 2

Bağlanma enerjisi Potansiyel enerjisi

A)

E

–E

B)

E/2

–E/2

C)

E

–2E

D)

E/2

–E

E)

2E

–2E



12. Yerin kütlesi M, genel çekim sabiti ise G dir.

9.



Buna göre, r yarıçaplı yerin yüzeyinde bulunan m kütleli bir uyduyu, yeryüzeyinden yer yarıçapı uzak-

M

m1

j1

lıktaki bir yörüngede dolandırmak için uydu üzerin-

m2

de en az ne kadarlık iş yapmak gerekir? A)

j2

3GmM 4r

B)

D)

3Gm.M 2r

GmM 2r

E)

C)

GmM 4r

4GmM 3r

M kütleli gezegen etrafında dolanan m1 ve m2 kütleli iki uydunun yörünge yarıçapları arasında r2 = 2r1 ve

kütleleri arasında m1 = 3m2 ilişkisi olduğuna göre, E uyduların kinetik enerjilerinin oranı 1 nedir? E2 A) 6

B)

4 3

C) 1

D)

4 9

E)

2 9

13. Kütleleri m1 ve m2 olan iki uydu Dünya çevresinde r1 ve r 2 yarıçaplı yörüngelerde dolanmaktadırlar.



Çizgisel hızları j1 ve j2 olan uyduların hızlarının oranı

j1 j2

nin bulunabilmesi için;

r I. r1 oranının, 2 II. Dünya'nın kütlesinin, m III. m 1 oranının, 2

10. K gezegeninin Güneş'e olan ortalama uzaklığı L gezegeninin 4 katıdır.



K gezegeninin ortalama çizgisel hızı j ise L gezege-

lidir?

ninin ortalama çizgisel hızı kaç j olur? A) 8

B) 4

1. A

C) 2

2.E

3. A

D)

4. C

1 2

5. E

ifadelerinden hangilerinin bilinmesi gerekli ve yeter-

E)

A) I ve II

1 8

6. D

B) I ve III D) II ve III

7. B

8. C

9. A

10. C

11. D

C) Yalnız I E) I, II ve III

12. D

13. C 71

1.

EVRENSEL ÇEKİM KANUNU Bir cisim, Dünya yüzeyinden düşey yukarı yönde j 0 hı-

5.

Aynı cisim aynı koşullarda yoğunluğu Dünya yoğun-



luğunun

Dünya çevresinde dolanan uydu ile Dünya arasındaki genel çekim potansiyel enerjisi –EP dir.

zıyla fırlatılınca en fazla 80 m yüksekliğe çıkabiliyor.

TEST – 13

1

katı, yer yarıçapının 12 katı olan başka 3 bir gezegende en fazla kaç metre yüksekliğe çıkabi-

Buna göre, uydunun bağlanma enerjisi EP kaçtır? A) –2

B) –1

C) -

1 2

D)

1 2

E) 2

lir? A) 320

B) 80

C) 40

D) 20

E) 5

6.

Yarıçapı R ve yoğunluğu d olan Dünya'nın yüzeyindeki g çekim ivmesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? (G evrensel çekim sabiti) A)

2.

4πGR 2 3d 3

Güneş etrafında ortalama R ve 4R yarıçaplı yörünge-

B)

D)

lerde dolanan K ve L gezegenlerinden K nın periyodu

4πGR 2 d 3

4πGR 2 d 3

E)

C)

4πGRd 3

4πGR 3d 2

5T dir.

Buna göre, L gezegenin periyodu kaç T'dir? A) 5

B) 8

C) 10

D) 20

E) 40

7.

K gezegeninin Güneş etrafındaki yörünge yarıçapı L gezegeninin 4 katıdır.



L gezegeninin Güneş etrafındaki dolanım süresi 2 yıl ise K gezegeninin dolanım periyodu kaç yıldır? A) 4

3.

C) 20

D) 24

E) 32

Dünya yüzeyindeki ağırlığı P olan bir cisim başka bir gezegene götürülüyor.



B) 16

Bu gezegenin yarıçapı Dünya yarıçapının

1

katı, 2 kütlesi 3 katı olduğuna göre, cismin bu gezegendeki

8.

L

ağırlığı kaç P olur? A) 16

B) 12

d2

C) 8

D) 6

E)

M

3 2

Gezegen

Yer yüzeyi

d1

K O

4.

Bir gezegenin kütlesi yerin kütlesinin 18 katı, yarıçapı



yer çekim ivmesinin L noktasındaki çekim ivmesine ora-

ise 3 katıdır.

72

nı 4 iken K noktasındakine oranı 2 dir.



Buna göre, gezegenin çekim ivmesi kaç g dir?



(g: yer çekim ivmesi) A) 9

Merkezi O noktası olan M kütleli gezegenin yüzeyindeki

B) 4

C) 2

D)

1 2

E)

1 12

Buna göre, d1 ve d2 mesafelerinin oranı A) 4

B) 2

C) 1

D)

1 2

d1 d2

nedir? E)

1 4

12.

9. M

R1

R2

Uydu

M

m 2R

R

Dünya



Çekim alanı g, yarıçapı R1 olan Dünya yüzeyinden R2 kadar uzaklıkta dolanan uydunun merkezcil ivmesi aşağıdakilerden hangisine eşit olur? R 21

2 ^R 1 + R 2h

A)

D)

10.

B)

R +R 1

R2

2

R +R 1

R1

2





E)

j0

C)

R 22

^R 1 + R 2h

2



Yarıçapı R olan M kütleli Dünya'nın etrafında yer yüzeyinden R uzaklıkta dolanan uydunun kinetik enerjisi E dir.



Aynı uydu yer yüzeyinden 3R uzaklıktaki yörüngeye geçirilirse kinetik enerjisi kaç E olur?

R2 1

^R 1 + R 2h

A)

1 3

B)

3 4

C) 1

D) 2

E) 8

j0

13. h

h M x1





x2

Yarıçapı 2R, kütlesi 2M olan bir gezegende yatay hızı j0 olan bir cisim yatayda x1 kadar yol alarak yere düşüyor. Aynı cisim 3R yarıçaplı, 3M kütleli gezegende aynı yükseklikten eşit hızla yatay atılınca x2 kadar yol alarak yere düşüyor. x Buna göre, 1 oranı nedir? x2 3 2

A)

2 B) 3

C)

2 3



Uydunun 2R yarıçaplı yörüngede dolanabilmesi için den hangisine eşit olması gerekir? (G evrensel çekim sabiti) A)

j L

Kütlesi m olan uydu, R yarıçaplı yörüngede M kütleli ge-

potansiyel enerjisindeki değişiminin aşağıdakiler

11.

3GmM 2R

M

Güneş

m

zegen etrafında dolanmaktadır.

3 E) 2

D) 1

R

D)

B)

GmM 2R

2GmM 3R

C) E)

4GmM 3R

3GmM 5R

S2

S1

N K



Güneş etrafında dolanan bir gezegen KL noktaları arasında ortalama j1 hızıyla, MN noktaları arasında ise ortalama j2 hızıyla hareket ediyor.



KL arasında aldığı yol MN arasındakinin 3 katı ve yarıçap vektörünün taradığı alanlar oranı ğuna göre, 2 A) 3 1. D

j1 j2

oranı nedir?

B) 1 2. E

C) 3. B

3 2 4. C

D) 2 5. D

S1 S2

=

3 2

14. M kütleli gezegenin merkezinden R yarıçaplı yörüngede dolanan m kütleli uydunun kinetik enerjisi aşağıdakilerden hangisine eşit olur?

(G evrensel çekim sabiti)

olduA)

GmM R D)

E) 3 6. C

B)

7. A

8. D

9. A

10. A

3GmM 2R

2GmM 3R 11. D

E)

12. A

C)

4GmM 3R

3GmM 5R

13. B

14. A 73



EVRENSEL ÇEKİM KANUNU

1.

Dünya çevresinde dolanan Ay'ın periyodu 27 gündür.



Dünya çevresinde dolanan bir uydunun dolanım süresi 1 gün ve yörünge yarıçapı r olduğuna göre,

5.

2.

1 9

B)

1 3

C)

1 2

Bir uydu, özkütlesi d olan bir gezegende R yarıçaplı yörüngede periyodu T olacak şekilde dolanmaktadır.



Ay'ın yörünge yarıçapı kaç r dir? A)

TEST – 14

Gezegenin özkütlesi 4d olacak şekilde, uydu 3R yarıçaplı bir yörüngede dolansaydı periyodu kaç T olur-

D) 1

du?

E) 9

A) 8

B) 4

C) 2

D) 1

E)

1 2

Dünya'da en çok 12 metre uzağa atlayabilen bir atlet, kütlesi ve yarıçapı Dünya'nın 2 katı olan gezegende en

6.

fazla kaç metre uzağa atlayabilir? A) 48

B) 24

C) 12

Gezegen

D) 6

E) 3

2R

mK



R

mL

Kütleleri mK ve mL olan K ve L uyduları, kütlesi M olan gezegenin çervesinde dolanmaktadır.



3.

Bir gezegenin doğal uydusu olan K uydusunun, geze-

kim kuvvetleri eşit olduğuna göre, uyduların kütlelem ri oranı K nedir? mL 1 3 B) C) 2 D) 3 E) 9 A) 3 4

genin çevresinde dönme periyodu 8 gün ve yörünge yarıçapı gezegenin 80 katıdır.

Gezegenin K ve L uydularına uyguladığı genel çe-

Gezegenin ekvator düzleminde bulunan bir L uydusunun ekvatordaki bir gözlemciye göre duruyor görülebilmesi için uydunun gezegen yüzeyinden kaç gezegen yarıçapı uzaklıkta bulunması gerekir? (Gezegenin kendi etrafındaki dönme periyodu 1 gündür.) A) 4

B) 5

C) 16

D) 19

E) 10

7. h

j0 i



x

Çekim ivmesinin g olduğu bir ortamda j0 hızı ile eğik atılan bir cisim h yüksekliğine kadar çıkıp yatayda x kadar

4.

cismin kurtulma enerjisinin 3 katı olduğuna göre, bu gezegenin kütlesi, yer kütlesinin kaç katıdır? A) 74

yol alarak yere düşüyor.

Yarıçapı yer yarıçapının 2 katı olan bir gezegende m kütleli bir cismin kurtulma enerjisi yer yüzeyindeki bir

3 2

B) 3

C) 6

D) 12

E) 18



Bu gezegenin çekim ivmesi da h ve x ne olurdu? A) h, x

B) 4h, x D) h, 4x

g 4

olsaydı yeni durum-

C) 4h, 4x E) 2h, 2x

8.

11.

jK

m

jL

m

K

2R

L 3R

3 2 2 3

B)

2 3

C)

D) 1

9.

E)

2R

M



Dünya çevresinde kütleleri 3m ve m olan iki uydu 2R ve 3R yarıçaplı yörüngelerde dolanmaktadır.



3m kütleli uydunun potansiyel enerjisi –E olduğuna göre, m kütleli uydunun potansiyel enerjisi kaç E

2 3

dir?

2 2 3 2

A) -

4 9

B) -

2 9

C) -

1 9

D) 1

E)

3 2

j0

x

K

12. Dünya'daki çekim ivmesinin Ay'daki çekim ivmesi-

L

nin 6 katı, özkütlesinin ise

5

katı olduğu bilindiği3 ne göre, Dünya'nın yarıçapı Ay yarıçapının kaç ka-

Yerçekim ivmesi g olan bir gezegende sürtünmeli yüzeyin K noktasından j0 hızıyla atılan bir cisim, x kadar yol

alarak L noktasında duruyor.

R

3M

m kütleli bir roketin, kütleleri 2M ve 3M olan K ve L j gezegenlerinden kurtulma hızlarının oranı K kaçjL tır? A)



m

2R

2M



3m

tıdır?

Yüzeyin sürtünme katsayısı değişmeyecek şekilde gezegenin yarıçapı 3 katı, özkütlesi ise

A) 0,6

1 katı ola2

B) 1,8

C) 3,6

D) 4,8

E) 10

cak şekilde arttırıldığında aynı hızla atılan cisim kaç x yol alarak durur? A)

2 3

B) 1

10.

C)

3 2

D) 2

E) 3

13.

Çekim kuvveti

3M

M

3R

2m

2R

m

F

3

F

2

Şekil - I

F

Şekil - II

1

2r



3r

4r



Uzaklık

nan uydular görülmektedir.

Yarıçapı 3r olan M kütleli bir gezegende, kütlesi m olan



bir cisme etki eden çekim kuvvetinin uzaklığa bağlı grafiği şekildeki gibidir.

Buna göre, F1 ve F2 çekim kuvvetlerinin oranı dir? 27 A) 32

B) 1. E

16 9 2. B

C)

8 9

3. D

D) 4. C

2 3 5. E

Şekil–I ve şekil–II de, iki gezegenin çevrelerinde dola-

F1 F2

deki uydunun bağlanma enerjisi E2 olduğuna göre, E1

ne-

E2 A)

E) 1 6. E

Şekil–I deki uydunun bağlanma enerjisi E1, şekil–II

7. C

8. B

oranı nedir? 4 9 9. A

B)

2 3

10. A

C) 1 11. B

12. C

D)

3 2

E) 3

13. A 75

1.

EVRENSEL ÇEKİM KANUNU Çekim ivmeleri eşit ve kütleleri arasında

mK mL

=4

4.

rL

2.

Yer yüzeyinden R kadar uzaklıkta dolanan m kütleli uydunun toplam enerjisi E, kütlesi yer kütlesinin 4 katı olan başka bir gezegen yüzeyinden 2R uzaklıkta do-

ilişkisi olan K ve L gezegenlerinin yarıçapları oranı rK

lanan m kütleli uydunun toplam enerjisi de E olduğuna

nedir?

göre, gezegenin yarıçapı nedir?

A) 16

B) 8

C) 4

D) 2

Güneş

etrafında

eliptik

yörüngede

E)

1 2

dolanan

A) 8

5.

iki ayrı durum için; I. Dünya ile Güneş'in birbirine uyguladığı çekim kuv-

B) 6

C) 4

D) 2

E) 1

Ortalama yoğunluğu d olan gezegen etrafında R yarıçaplı yörüngede dolanan uydunun dolanım frekansı f

Dünya'nın Güneş'e uzak ve Güneş'e yakın olduğu

dir.

Evrensel çekim sabiti G olduğuna göre, dir?

vetinin büyüklüğü,

A)

II. Güneş'i Dünya'ya birleştiren yarıçap vektörünün bi-

π G

rim zamanda taradığı alan,

B) D)

III. Dolanma hızının büyüklüğü

TEST – 15

4π 2 G

4πG R

C)

f

2

d

oranı ne-

3π G

G 3π

E)

niceliklerinden hangileri aynıdır? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

6.

m 2R

R

3. m = 2 kg

II. yörünge I. yörünge

h2 = 10 m

j = 5 m/s K



M kütleli yerin merkezinden 2R yarıçaplı I. yörüngede dairesel hareket yapan m kütleli uydu, R yarıçaplı

h1 = 4 m

II. yörüngeye geçirilirse, uydunun toplam enerji değişimi ne olur? (G evrensel çekim sabiti)



Şekildeki sürtünmesiz sistemde K noktasından 5 m/s hızla fırlatılan 2 kg kütleli cismin sistemindeki bağlanma enerjisi kaç joule olur? A) 200

76

B) 125

C) 105

D) 95

E) 50

A)

GmM 4R

B) D)

2GmM 3R

3GmM 2R E)

C) 3GmM 5R

4GmM 3R

10.

7.

m

Gezegen M R

2R

Uydu

mK = 2m

mL = m FL

FK

M L gezegeni

K gezegeni



ve FL çekim kuvvetleri uygulamaktadırlar.

Kütlesi M, yarıçapı R olan gezegenin yüzeyinden 2R uzaklıktaki yörüngede sabit j hızıyla dolanmak-



ta olan uydunun bağlanma enerjisi aşağıdakilerden GmM 6R

B) 5GmM D) 6R

GmM 3R

II. FK > FL

GmM 2R

C) GmM E) R

Buna göre, I. F = - F K L

hangisidir? (G: Evrensel çekim sabiti) A)

Kütleleri 2m ve m olan K ve L gezegenleri birbirlerine FK

III. 4FK = FL IV. FK = 4FL

eşitliklerinden hangileri doğrudur? A) I ve II

8.

B) I, III ve IV D) II, III ve IV

Yörünge yarıçapları arasında 4RK = RL ilişkisi olan

C) Yalnız I

E) I ve IV

gezegenlerin Güneş etrafında dolanma periyotları

arasındaki oran

A)

1 32

B)

TK

nedir?

TL

1 24

C)

1 18

D)

1 16

E)

11. Dünya yüzeyinden fırlatılan bir roketin kurtulma hı-

1 8

zı; I. Dünya'nın yarıçapına II. Dünya'nın kütlesine III. Uydunun kütlesine

9. jK

tK

AL

AK

K





L

Güneş

jL

A) Yalnız I

tL

Eliptik yörüngede Güneş etrafında dolanan gezegeni

12.

C) Yalnız II E) I, II ve III

I. Düz viraja j hızıyla giren araç

de AL alanlarını taramaktadır.

II. Güneş etrafında dolanan bir gezegen

Gezegenin K ve L noktalarındaki hızları jK ve jL ol-

III. Atomun yörüngesinde dolanan elektron

duğuna göre,



I. jK > jL dir.

III. AK = AL is e tK = tL dir.

B) I ve III D) II ve III 1. D

2. C

I A)

yargılarından hangileri doğrudur? (rK > rL) A) Yalnız I

Yukarıda verilen dairesel hareketler için, merkezcil kuvvetleri aşağıda verilenlerden hangileri dengeler?

II. AL > AK ise tL > tK dır.

B) I ve II D) II ve III

Güneş'e birleştiren yarıçap vektörü tK sürede Ak, tL süre

niceliklerinden hangilerine bağlıdır?

C) Yalnız III E) I, II ve III

3. D

4. B

5. E

6. A

7. A

II

III

Sürtünme Kuvveti Kütlesel Çekim

B)

Kütlesel Çekim

C)

Sürtünme Kuvveti Elektriksel Kuvvet

D)

Elektriksel Kuvvet Sürtünme Kuvveti

Kütlesel Çekim

E)

Elektriksel Kuvvet Kütlesel Çekim

Sürtünme Kuvveti

8. E

9. D

10. C

Sürtünme Kuvveti

Elektriksel Kuvvet

11. B

Elektriksel Kuvvet Kütlesel Çekim

12. A 77



EVRENSEL ÇEKİM KANUNU

1. Dünya Uydu

m

TEST – 16

4.

Dünya etrafında dolanım periyotları arasında



TK > TL ilişkisi olan K ve L uyduları için; I. K uydusunun Dünya'ya olan ortalama uzaklığı daha

R

fazladır. M

j

II. L'nin kütlesi daha azdır. III. L'nin Dünya'dan kurtulma enerjisi daha büyüktür.



Yörünge yarıçapı R olacak şekilde kütlesi m olan bir uy-



du, Dünya çevresinde dolanmaktadır.

yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur? A) Yalnız I

Uydunun Dünya etrafındaki dolanım periyodu;

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

I. Yörünge yarıçapına, II. Uydunun kütlesine, III. Dünya'nın kütlesine

niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

5. C) Yalnız II

jK

E) I, II ve III

Dünya

rK

rL L jL

2.

Dünya yüzeyindeki bir cisme etki eden çekim alan şid-



yörünge yarıçapları rK ve rL dir.

deti;

I. Dünya'nın kütlesine,

rK > rL olduğuna göre; I. TK = TL ise j K > j L dir.

II. Dünya ile cisim arası uzaklığa,



Kütleleri eşit olan K ve L uydularının Dünya etrafındaki

III. Cismin kütlesine

II. Bağlanma enerjileri arasındaki EL > EK ilişkisi vardır.

niceliklerinden hangilerine bağlıdır?

III. Kinetik enerjileri arasında EK > EL ilişkisi vardır.

A) Yalnız I

B) Yalnız II D) II ve III

C) I ve II



yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur? A) I ve II

E) I, II ve III

B) I ve III D) II ve III

3.



Yarıçapı R olan Dünya'nın yer yüzeyinden R kadar

E) I, II ve III

Dünya etrafında R yarıçaplı yörüngede dolanan bir

yükseklikteki bir noktadan Dünya merkezine doğru

uydunun yarıçapı 2R olacak şekilde bir yörüngede

gidildikçe g yerçekim ivmesi;

dolanabilmesi için;

I. Devamlı artar.

I. Uydu ile Dünya sisteminin potansiyel enerjisi,

II. Önce artar, sonra azalır.

II. Uydu ile Dünya sisteminin toplam enerjisi,

III. Devamlı azalır.

III. Uydunun kinetik enerjisi

yargılarından hangileri doğru olur? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

78

6.

C) Yalnız II

C) Yalnız II

E) I, II ve III

niceliklerinden hangilerinin artırılması gerekir? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

7.

Elips şeklindeki yörüngede, Dünya etrafında dola-

10. Dünya yüzeyinde bulunan bir cisim ile ilgili olarak

nan bir uydunun dolanımı sırasında;

verilen;

I. Hızının büyüklüğü,

I. Ekvator'da ağırlığı en fazla olur.

II. Dünya ile arasındaki toplam enerji,

II. Yeryüzeyinden uzaklaştıkça ağırlığı azalır.

III. Açısal momentumu

III. Kutuplarda ağırlığı en az olur.

niceliklerinden hangileri sabit kalır? A) I ve II

B) I ve III D) I, II ve III



C) II ve III E) Yalnız II

yargılarından hangileri doğru olur? A) I, II ve III

B) II ve III

D) I ve II

C) Yalnız III E) Yalnız II

11. Güneş

8.

saniyeleri vurmaktadır.

K

Yarıçapı R olan Dünya'nın yüzeyinde sarkaçlı bir saat Bu saat yer yüzeyinden yarlaştırılabilseydi;

R 2

M

m



Güneş etrafında eliptik bir yörüngede dolanan m kütleli gezegen K noktasından L noktasına gelirken; I. Mekanik enerjisi artar.

II. Saat ileri giderdi. III. Saat geri kalırdı.

II. Çekim potansiyel enerjisi azalır.

yargılarından hangileri doğru olurdu?

III. Kinetik enerjisi artar.

A) I ve II

L

kadar Dünya merkezine

I. Periyodu değişmezdi.



R

B) I ve III D) II ve III



C) Yalnız III E) I, II ve III

yargılarından hangileri doğru olur? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

12. jK

9.

RK

Dünya RL

Dünya Uydu

jL I. yörünge



Dünya etrafında dolanan ve yörünge yarıçapları arasında RK > RL ilişkisi olan K ve L uydularının kütleleri eşittir.



Buna göre uyduların;

II. yörünge



Dünya etrafında dolanan bir uydunun kinetik enerjisi EK, bağlanma enerjisi EB ve toplam enerjisi ET dir.



Aynı uydu II. yörüngede dolanırsa bu nicelikler ilk duruma göre nasıl değişir? EK EB ET



A) B) C) D) E)

Artar Azalır Artar Artar Azalır

Artar Azalır Azalır Azalır Artar 1. B

2. C

Artar Artar Azalır Değişmez Değişmez 3. C

4. A

5. C

I. Bağlanma enerjileri arasında EBL > EBK ilişkisi vardır. II. Çizgisel hızları arasında j K > j L ilişkisi vardır. III. Potansiyel enerjileri arasında EPK > EPL ilişkisi vardır.

yargılarından hangileri doğrudur? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

6. A

7. E

8. C

9. B

10. E

C) Yalnız II E) I, II ve III

11. D

12. B 79



EVRENSEL ÇEKİM KANUNU

TEST – 17

5.

1. jK

m

Dünya

Dünya

r

2m

R

Uydu

r

jL jM

m





Dünya çevresinde şekildeki yörüngelerde dolanan K, L, M uydularının çizgisel hızlarının büyüklükleri

I. Dünya'nın kütlesi,

arasındaki ilişki nedir? A) j K > j L > j M

C) j K > j L = j M

II. Dünya'nın yarıçapı,

B) j K = j M > j L

D) j L > j K > j M

E) j L > j M > j K

Dünya yüzeyinden R kadar uzaklıkta dolanan bir uydunun dolanım periyodunun bulunabilmesi için G genel çekim sabitinden başka;

III. Uydunun kütlesi

niceliklerinden hangilerinin bilinmesi gerekir? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

2.

Güneş etrafında elips şeklindeki yörüngede dolanan gezegenin zamanla; I. Kinetik enerjisi, II. Açısal momentumu,

6.

Yörünge yarıçapı R olacak şekilde Dünya çevresine bir uydu yerleştiriliyor.



Bu uydu ekvator üzerinde seçilen bir yörüngeye yerleştirildiğinde;

III. Güneş'le arasındaki etkileşim kuvveti,

I. Çizgisel hızı,

niceliklerinden hangileri değişir? A) I ve II

B) II ve III D) I ve III

II. Periyodu,

C) Yalnız II E) I, II ve III

III. Açısal hızı

niceliklerinden hangileri Dünya'nınki ile aynı olur? A) I ve II

3.

C) Yalnız I E) I, II ve III

B) I ve III D) II ve III

Dünya'nın Güneş etrafındaki dolanım frekansı;

C) Yalnız II E) I, II ve III

I. Dünya'nın Güneş'e olan ortalama uzaklığına,

7.

II. Güneş'in kütlesine,

mK = m

III. Dünya'nın kendi etrafındaki dolanım periyoduna

niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) I, II ve III

B) II ve III

D) I ve III

4.

R

C) Yalnız II

Dünya etrafında R yarıçaplı yörüngede dolanan uydunun R yarıçapı arttırıldığında uydu ile Dünya arasındaki çekim kuvvetinin değişmemesi için;

Dünya



Kütleleri m ve 2m olan K ve L uyduları Dünya etrafında R ve 2R yarıçaplı yörüngelerde dolanmaktadır.



Buna göre, K ve L uydularının; I. Kinetik enerjileri,

II. Uydunun dolanım periyodu azaltılmalı,

II. Periyotları,

III. Uydunun kütlesi arttırılmalı işlemlerinden hangilerinin yapılması gerekir? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

80

R

E) I ve II

I. Dünya'nın kütlesi arttırılmalı,



R

mL = 2m

C) Yalnız III E) I, II ve III

III. Hızları

niceliklerinden hangileri birbirine eşit olur? A) Yalnız I

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

8.

10.

j2

2m

m

4r

j1

Dünya

r

Uydu

R

Dünya



j

Yörünge yarıçapları 4r ve r, kütleleri ise 2m ve m olan iki uydu, Dünya çevresinde şekildeki yörüngelerde dolan-



Çizgisel hızı j olan bir uydu, Dünya çevresinde R yarıçaplı yörüngede dolanmaktadır.



Uydunun dönme hızı arttırılırsa, I. Yörünge yarıçapı, II. Merkezcil kuvvet, III. Periyodu niceliklerinden hangileri artar?

maktadır.

Buna göre,

I. j 2 = 2j1 dir.

A) I ve II

II. Uyduların kinetik enerjileri eşittir.

B) I ve III D) II ve III

III. Uyduların çizgisel momentumlarının büyüklükleri

C) Yalnız II E) I, II ve III

eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur? A) I ve II

B) I ve III

11. Yerden h kadar yükseklikten j hızıyla yatay olarak atılan bir cisim t süre sonunda yatayda x yol alıp yere çarpıyor.

C) Yalnız II

D) II ve III

E) I, II ve III



Dünya'nın yarıçapı değiştirilmeden kütlesi arttırıldığında cismin yatayda tekrar x yolunu alabilmesi için; I. h yüksekliği arttırılmalı, II. j 0 hızı ile arttırılmalı, III. Cismin kütlesi azaltılmalı

9.

Yerçekim ivmesi g ile yarıçapı R olan Dünya'nın



Dünya merkezinden itibaren uzaklığına bağlı deği-

A) I ve II

şim grafiği aşağıdakilerden hangisi gibidir?

A)

B)

g (m/s2)

g

işlemlerinden hangilerinin tek başına yapılması gerekir? B) I ve III D) II ve III

g (m/s2)

12.

g

C) Yalnız II E) I, II ve III

Çekim kuvveti F

R

C)

R

d (metre)

D)

g (m/s2)

g

1

d (metre)

F

g (m/s2)

2

R

g

R

R

d (metre)

E)

d (metre)

1. C

2. E

3. E

4. B

6. D

Uzaklık



Bu uydu, çekim kuveti F2 ve yarıçapı R2 olan yörüngeye yerleştirilirken grafikteki taralı olan bölge uydunun hangi niceliğini verir? A) B) C) D) E)

5. A

2

Dünya etrafında R1 yarıçaplı yörüngede dolanan uyduya etki eden çekim kuvveti F1 dir.

g

d (metre)

R



g (m/s2)

R

1

7. A

8. B

Kurtulma enerjisi Bağlanma enerjisi Toplam enerji Potansiyel enerji değişimi Kinetik enerji 9. A

10. D

11. A 12. D 81

Basit Harmonik Hareket



gesi ile gösterilir. Cismin hareketi sırasında denge konumuna göre, gidebileceği en uzak mesafeye "genlik" denir ve r x K

ile gösterilir. Uzanımın alabileceği en büyük değer, genlik ola-

x

O (Denge konumu)

L

rak ta tanımlanabilir. Cismin aynı noktadan, aynı yönde, peşpeşe iki geçişi arasında geçen zamana basit harmonik hare-

Denge konumu O noktası olan bir yay x kadar sıkıştırılıp ser-

ketin periyodu denir ve T ile gösterilir.

best bırakılırsa, veya;

K ve L noktaları arasında değişken ivmeli hareket yapan cismin ivmesi ile cisme etki eden kuvvet arasında; F = m. a

ilişkisi vardır. Bağıntıya göre, kuvvet ile ivme daima aynı yönlü olup kuvvet maksimum bir değer aldığı anda, ivme de en büyük değerini alır. Denge konumu O noktası olan bir yayın ucuK

na bağlanmış cisim x kadar sıkıştırılıp K noktasında iken ser-

L

best bırakılırsa;

O (Denge konumu)

–x

j 0=0

+x

F

bir ucu sabitlenmiş, diğer ucuna m kütleli cisim bağlanmış ip, denge konumu O noktasından şekildeki gibi uzaklaştırılıp K noktasından serbest bırakılırsa, veya;

–x (K)

M

+x (L)

O (Denge konumu)

–x konumuna kadar sıkıştırılmış yay, cisme +x yönünde bir F kuvveti uygular. Cisim de bu kuvvetin etkisi ile +x yönünde K

hızlanan hareket yapar. Cisim O noktasına geldiği anda, cis-

L O (Denge konumu)

me etki eden net kuvvet sıfır olur. Cisim O noktasını geçtiği

merkezi M noktası olan sürtünmesiz rayın K noktasındaki ci-

tan bir kuvvet etki eder ve cisim şiddeti artan bu kuvvetin et-

sim serbest bırakılırsa, her üç durumda da cisim, K ve L nok-

kisi ile yavaşlayarak hareket eder. Cisim hareketini tamamla-

taları arasında gidip gelme (titreşim) hareketi yapar. Bu şekil-

yıp denge konumundan K noktasına eşit uzaklıktaki L nokta-

lerde olduğu gibi bir cismin iki nokta arasında gidip gelme ha-

sına ulaştığı anda, yani +x konumuna ulaştığı anda cisim an-

reketini, eşit zaman aralıkları ile tekrarlamasına "basit har-

lık olarak durur ve –x yönünde cisme etki eden kuvvet o anda

monik hareket" denir.

en büyük değerini alır.

anda yayın açılması ile birlikte cisme –x yönünde şiddeti ar-

(Denge konumu) O

K

–x

+x F

L x

r

82

r

–x (K)

(O)

–x (L)

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan m küt-

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan cis-

leli cismin herhangi bir andaki konumu, K ve L noktalarının or-

me etki eden kuvvet, K ve L noktalarında maksimum, denge

tasındaki O noktasına göre tanımlanır. O noktası, cismin hare-

konumunda minimum olduğu için cismin K ve L noktalarındaki

keti süresince dengede olduğu tek noktadır. Cismin O nokta-

ivmesi maksimum, denge konumundaki ivmesi minimum olur.

sına herhangi bir andaki uzaklığına "uzanım" denir ve x sim-

K ve L noktalarında anlık olarak duran cismin bu noktalardaki

hızı sıfır, denge konumundaki hızı ise maksimum olur. Buna

min hız-zaman denklemi;

göre, basit harmonik hareket yapan cismin ivmesinin maksi-

j = w.r.cos(wt)

mum olduğu yerde hızı sıfır, ivmesinin sıfır olduğu yerde ise

ve cismin hız-zaman denkleminin türevi alınırsa cismin ivme-

hızı maksimum olur. +a

–a

zaman denklemi elde edilir.

F

F

–x a=max j=0

a = –w2.r.sin(wt)

0 a=0 j=max

+x a=max j=0

Basit harmonik hareketlerde - x konumunda bulunan cismin ivmesi + a , + x konumunda bulunan cismin ivmesi - a olup cismin ivme-yol ve hız-zaman grafikleri şekillerde gibi çizilir.

bağıntısı; a = - w 2 .x

şeklinde bulunur. Denklemdeki (–) işareti uzanım vektörü ile ivme vektörünün ters yönlü olduğunu anlatır. Yani, cismin ivmesi daima denge noktasına yöneliktir. Hareketi sırasında cisme etki eden merkezcil kuvveti ise;

Hız

İvme

bağıntıdaki r.sin(wt) yerine x yazılrsa cismin ivme-uzanım

F = - mw 2 x

+a +x

–x

T

Yol

Zaman

bağıntısı ile bulunur.

–a

NOT

1.

j

j

j

I. Düzgün Dairesel Hareketin Çap Üzerindeki İzdüşümünden Oluşan Basit Harmonik Hareket K

j

j

j –x

j O

L j

K

L a O

r x

+x

j j

j j

j

j

Merkezi O noktası olan çemberin K noktasından harekete başlayan cisim, tam bir tur atıp tekrar K noktasına geri geldiğinde

Merkezi O noktası olan r yarıçaplı çemberin etrafında sabit j büyüklüğündeki hız ile düzgün çembersel hareket yapan cisim, a açısına karşılık gelen KL yayını t sürede alacak şekil-

cismin çember üzerindeki hareketinin x doğrusu üzerindeki izdüşümü, K ve L noktaları arasında gidip gelme hareketi yapar. j

N

j

de K noktasından L noktasına gelsin. Buna göre, cismin açı-

M

r

sal hızı; a w= t

şeklinde, a açısı da;

j

30° 60°

O r 2

P r 2

K

a = w.t şeklinde yazılır. Cisim K noktasından L noktasına gelirken, cismin hareketinin yatay doğrultudaki izdüşümü x kadar yerdeğiştirir. x ile r yarıçapı uzunluğunun arasındaki ilişki; x sin a = r

olup bağıntıda a yerine w.t yazılırsa cismin uzanımı (x) ile genliği (r) arasındaki ilişki; x = r.sin(wt) olur. Cismin uzanım-zaman denkleminin türevi alınırsa, cis-

Buna göre, yarıçapı r olan çemberin K noktasından sabit büyüklükteki j hızıyla harekete başlayan cisim 60° dönerek M noktasına geldiği anda, cismin yataydaki izdüşümü de K noktası ile O noktasının tam ortasındaki P noktasında, 30° daha dönerek N noktasına geldiği anda izdüşümü O noktasında bulunur. 30° lik açıyı gören yayı t sürede alan cisim, 60° lik açıyı gören yayı 2t sürede alır. Dolayısıyla cismin hareketinin izdüşümü KP arasını 2t sürede, PO arasını t sürede alır. 83

K

2t

t

–x

2t

t

–x 2

+x

+x 2

O

L

Bu olay genelleştirilirse K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan cismin eşit aralıkları alma süreleri şekildeki gibi olup, cismin hareket periyodu t cinsinden 12t ye eşit olur.

O K

x

x' O'

T = 12t x'

2.

j

L

j'

r

K

r

O

Şekil–III

Şekil–II

Şekil–I

x

Düşey düzlemde duran ve ucunun denge konumu O noktası

L

K ve L noktaları arasında hareket genliği r olan bir cismin O

olan şekil–I deki esnek sarmal yayın ucuna kütlesi m, ağırlığı

noktasındaki hızı en büyük değerini alır ve cismin bu nokta-

mg olan cisim asılınca, ağırlığının etkisi ile yay uzar (x). Ağır-

daki hızı;

lık arttırıldıkça yayın uzama miktarı da, ağırlıkla doğru oranj=

tıl olarak artar. Dolayısıyla cismin ağırlığı, yay sabiti ve uza-

2πr = w.r T

ma miktarı arasında;

bağıntısı ile bulunur. Denge konumuna x kadar uzaklıktaki bir

Fnet = k.x

noktada ise cismin hızı;



j l = w. r 2 – x 2

mg = k.x

ilişkisi vardır. Yay, cismin ağırlığı ile şekil–II deki gibi denge

bağıntısı ile bulunur.

konumunda iken, denge konumundan x' kadar uzaklıktaki L noktasına kadar çekilip serbest bırakılırsa cisim, şekil-III teki gibi K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapar. K ve L noktaları arasındak basit harmonik hareket yapan cisme etki eden net kuvvet bağıntıları;

II. Yay Sarkacı k

Fnet = m.a



m

Fnet = mw2.x' K

x

O

x

L

Sürtünmesiz yatay düzlemde K ve L noktaları arasında basit

Fnet = m c

4π 2 l .x = k.xl T2 4π 2 m. 2 = k T

m.

tasına geri çağırıcı kuvvet olup; Fyay = - k.x

bu kuvvet aynı zamanda m kütleli cisme etki eden net kuvve-

T = 2π

tir. O halde, basit harmonik hareket yaparken cisme etki eden

monik hareket yapan yay sarkacının periyodu, sadece cismin kütlesine ve yay sabitine bağlıdır.

olup, cismin ivmesi; m. a = - k.x k.x a=- m

84

m k

olarak bulunur. Buna göre, sürtünmesiz ortamda basit harFnet = - k.x

bağıntısı ile bulunur.

Fnet = k.xl

birbirlerine eşitlenirse cismin periyodu;

harmonik hareket yapan cisme etki eden kuvvet, denge nok-

net kuvvet;

2π 2 l m .x T

III. Basit Sarkaç Bir ucu tavana sabitlenmiş, diğer ucunda m kütleli cisim bulunan l uzunluğundaki ipin şekildeki gibi hareket ettirilmesiyle elde edilen sisteme "basit sarkaç" denir.

i ℓ

L

K O

d

K i

r

r

L

x O F=mgsini

N=mgcosi

Sürtünmesiz yatay düzlemde, aynı ip üzerindeki K

mg

ve L cisimleri O noktası çevresinde döndürülüyorlar.

Bağlı olduğu ip düşey doğrultu ile i açısı yaparken K noktasından serbest bırakılan m kütelli cisim, K ve L noktaları arasındaki l yarıçaplı bir çember yayı üzerinde basit harmonik hareket

Cisimlerin periyotları, açısal hızları ve çizgisel hızları arasındaki ilişki nedir?

yapar. Cismin ağırlığı, biri ip doğrultusunda (N), diğeri yörüngeye teğet durumda (F) iki bileşenine ayrıldığında, F kuvveti cisme salınım hareketi yaptıran (geri çağrıcı kuvvet), N kuvveti ise ipte gerilme kuvvetini oluşturan kuvvettir. Şekilde l ve d uzunlukları arasında;

O noktası etrafında döndürülen ve aynı ip üzerinde bulunan K ve L cisimleri, harekete başladıkları noktaya tam bir tur attıktan sonra aynı anda gelirler. Do-

d sin i = ,

layısıyla periyotları eşit olan cisimlerin; 2π w= T açısal hız bağıntısına göre açısal hızları da eşit olur.

F kuvveti ile cismin ağırlığı arasında; F sin i = mg

Açısal hızları aynı, dönme noktasına uzaklıkları farklı olan cisimlerin;

ilişkileri vardır. Elde edilen iki bağıntı birbirlerine eşitlenip F kuvvetinin yerine;

bağıntısına göre, çizgisel hızları farklı olur. 2πr 2π2r jK = jL = T T

F = m.a F = m.w2.x F = mc

2π 2 m .x T

yazılırsa; d = ,

mc

2π 2 m .x T mg

mc

2π 2 m .d T mg

j = w.r

K

^i < 5° & x = d h

M

O

N

L

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan bir cisim K noktasından M noktasına 4 saniyede geliyor.

d = , g 4π 2 = 2 , T

Buna göre, cismin hareket periyodu kaç saniyedir?

eşitliğinden sarkacın periyodu; T = 2π

, g

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan cisim, K noktasından O noktasına doğru gider-

olarak bulunur. Buna göre, sürtünmesiz ortamda basit harmo-

ken hızı artar. Dolayısıyla cismin K ve M noktaları

nik hareket yapan basit sarkacın periyodu, sadece ipin boyu-

arasındaki hareket süresi M ve O noktaları arasında-

na ve cismin bulunduğu ortamın yerçekim ivmesine bağlıdır.

ki hareket süresinden daha uzun olur. Cismin M ve O noktaları arasını geçme süresi t ise K ve M noktaları arasını geçme süresi 2t olur. 85

2t

t

K

t

M

6s

2t

O

N

3s

L

K noktasından harekete başlayan cismin L noktası-

K

M 1,5 s O 1,5 s N

K

O

3s

L

na gidip K noktasına tekrar gelme süresi olan periyodu toplam 12t dir. Soruda cismin K ve M noktaları arasını 4 saniyede aldığı bilgisi veriliyor. 2t K

t

4s

M

t

2s

O

2t 4s

N

2s

L

Buna göre, cismin periyodu;

L

T = 12.t

K ve L noktaları arasında 9 saniye periyot ile ba-

T = 12.2

sit harmonik hareket yapan cismin maksimum hızı

T = 24 saniyedir.

j dir. KO = OL = 60 cm olduğuna göre, j hızı kaç m/s'dir? (r = 3)

Genliği 60 cm olan periyodik harekette cismin maksimum hızı; K

M

O

N

j = w.r =

L

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket

2πr T

bağıntısı ile bulunur. Periyodu 9 s, genliği

yapan m kütleli cisim, K noktasından N noktasına 6

60 cm = 0,6 m olan periyodik harekette cismin mak-

saniyede ulaştığına göre, cisim M noktasını geç-

simum hızı; 2.3.0, 6 9 j = 0, 4 m/s

tikten 27 saniye sonra nerede bulunur? (Aralık-

j=

lar eşittir.) olarak bulunur.

t

2t K

M

2t

t O

N

L

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket K

yapan cismin periyodu 12t olup cismin K noktasından N noktasına gelme süresi şekle göre 4t dir. Bu süre 9 saniye ye eşit olup, eşitlikten t;

4t = 6 t = 1,5 saniye

olarak bulunur. Buna göre, cismin periyodu;

T = 12t



T = 12.1,5 = 18 saniyedir.

r

O

r

L

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan cismin maksimum hızı 10 m/s dir. Buna göre, cismin denge konumundan

3r 5

uzaklıktaki noktadan geçerken hızının büyüklüğü kaç m/s'dir?

M noktasını geçen cisim aynı yönde gidecek şekilde tekrar M noktasına 18 saniyede gelir. Toplam 27

86

saniye hareket eden cisim M noktasını geçtikten

Periyodik hareket yapan bir cismin maksimum hızı;

27 – 18 = 9 saniye sonra N noktasında bulunur.



j = w.r

bağıntısı ile, denge konumuna belli bir uzaklıkta iken hızı; jl = w r 2 - x 2



Uzanım denklemi; y = 10sin(rt) (cm) olan bir ha-

bağıntısı ile bulunur. Buna göre, genliği r olan peri-

reketlinin genliği, periyodu, denge konumunu

yodik harekette, hızı 10 m/s olan cismin;

geçtikten t =

10 = w.r

1 6

saniye sonraki hızı kaçtır?

3r uzaklıkta iken hızı; 5

denge konumundan

jl = w

r2 - c

jl = w

16r 2 25

3r 2 5m Bir cismin uzanım denklemi;

4 .w.r 5 4 j l = .10 5 j l = 8 m/s



jl =

y = r.sin(w.t)

şeklinde yazılır. Cismin genliği r ile, periyodu ise w ile bulunur.

olarak bulunur.



y = r.sin(w.t)



y = 10.sin(rt)

eşitlikleri karşılaştırıldığında cismin genilği;

r = 10 cm

periyodu ise;

Basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım 2 denklemi y = 16 sin c π.t m (cm)'dir. 3 1 Buna göre, cisim denge konumunu geçtikten 4 saniye sonra denge konumuna uzaklığı kaç cm



w.t = r.t



2π .t = π.t T



T=2s

olarak bulunur. Uzanım denkleminin zamana göre türevi hızı verir. Dolayısıyla şekilde verilen denklemin türevi alınıp t yerine

olur?

Uzanım denkleminde t yerine

1 yazıldığında 4

2 sin c π.t m 'nin değeri; 3

1 yazılırsa cismin hızı; 6

j = r.w. cos ^w.th 2π j = r. . cos ^πt h T 2.3 1 j = 10. . cos c π. m 2 6 3 j = 30. 2 j = 15 3 cm/s

c cos 30° =

3m 2

olur. 2 1 sin c .π. m 3 4 sin

π 1 = 6 2

olur. Buna göre, denge konumundan

1 saniye son4

ra cismin denge konumuna uzaklığı; y = 16.

1 = 8 cm 2

olarak bulunur.

87

K

K

M

2t

M

O

t

t

N

2t

L

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket

O

yapan cismin periyodu 12t olup bu değer 18 saniye

N

12t = 18

L

t = 1,5 s dir. Harekete başladıktan 18 saniye sonra tekrar K nok-

olarak veriliyor. Buna göre, t;

m

K ve L noktaları arasındaki basit harmonik hareket

tasında bulunan cisim 9 saniye sonra L noktasında,

yapan m kütleli cismin M noktasındaki ivme vektö-

3 saniye sonra da N noktasında bulunur.

rü a dır.

9s

Buna göre, cismin L noktasındaki ivme vektöK

rü kaç a 'dir?

3s

M 1,5 s O 1,5 s N –

3s

L

+

Basit harmonik hareket yapan cismin ivmesinin en büyük olduğu noktalar, K ve L noktalarıdır. Buna göre, denge konumundan 2 birim uzaklıktaki K ve L noktalarında cismin ivmesinin en büyük değeri 10 m/s2 ise, denge konumundan 1 birim uzaklıktaki N

İvme, vektörel bir büyüklük olup;

noktasında cismin ivmesi –5 m/s2 olur.

2

a = - w .x bağıntısı ile bulunur. Yani cismin ivmesi, denge ko-

(a = w 2.x)

numuna uzaklığı ile doğru orantılı olarak değişir. Denge konumu O noktasından 1 birim uzaklıktaki M noktasında cismin ivmesi + a ise, M noktasına göre ters yönde ve denge konumu O noktasından 2 birim uzaklıktaki L noktasında cismin ivmesi - 2 a olur.

Konum (cm)

30 18 4,5

22,5

9 13,5

Zaman (s)

–30

K

M

O

N

L

zaman grafiği şekildeki gibidir.

nik hareket yapan cismin maksimum ivmesinin de-

Buna göre, cismin;

ğeri 10 m/s2 dir. Buna göre, cisim K noktasını geçtikten 30 saniye sonraki ivmesi kaç m/s2 olur? (Aralıklar eşittir.) 88

Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum-

K ve L noktaları arasında 18 saniyelik basit harmo-

I. Periyodu 18 saniyedir. II. Hareketinin genliği 30 cm dir. III. Maksimum hızı 10 cm/s'dir. yargılarından hangileri doğrudur?

bağıntısına göre, açısal hızı; w=

Konum (cm)

2.3 = 0, 5 rad/s 12

dir. Bir cismin hızı ile açısal hızı arasında; j = w.r

30 r

18 4,5

r

9 13,5

22,5

ilişkisi vardır. Açısal hızı 0,5 rad/s, hızı 10 cm/s olan Zaman (s)

–30

Konum-zaman grafiğine göre, genliği 30 cm, periyodu ise 18 s olan cismin uzanım denklemip y = r.sin(w.t) 2π y = 30. sin c .t 18 m

şeklinde yazılır. Uzanım denkleminin zamana göre türevi, hızı verir. 2π 2π j = 30. . cos c .t 18 18 m cos c



10 = 0,5.r



T



cismin genliği verilen bağıntıya göre;

2π .t 'nin alabileceği en büyük değer 1 olup 18 m

cismin hızı o anda en büyük değerini alır. Buna gö-

r = 20 cm

olup; a = w 2.r



bağıntısına göre, cismin ivmesi;

a = (0,5)2.20



a = 5 cm/s2

ve cisme etki eden kuvvet

F = m.a



F = 8.0,05



F = 0,4 N

(5 cm/s2 = 0,05 m/s2)

olarak bulunur. Dolayısıyla verilen ifadelerden üçü de doğrudur.

re, cismin maksimum hızı; 2.3 .1 18 j = 10 cm/s'dir. j = 30.

Verilen ifadelerden üçü de doğrudur. Basit harmonik hareket yapmakta olan bir cisim, uzanımın maksimum olduğu andaki ivme değeri 9 cm/s2, uzanımın sıfır olduğu andaki hızının değeri ise 12 cm/s dir. Hareketlinin frekansı kaç s –1 'dir? (r = 3)

12 saniyelik periyotla basit harmonik hareket yapan 8 kg kütleli cismin maksimum hızı 10 cm/s'dir.

r

Buna göre, I. Cismin açısal hızı 0,5 rad/s'dir.

K

M

r O

N

L

II. Cismin maksimum ivmesi 5 cm/s2 dir.

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket

III. Cisme etki eden maksimum kuvvet 0,4 N 'dur.

yapan cismin O noktasında hızı, K ve L noktaların-

ifadelerinden hangileri doğrudur?

da ise ivmesi maksimum değerler alır. Cismin maksimum hızı ile maksimum ivmesi arasında; j2 a= r ilişkisi vardır. Buna göre, verilen bağıntıdan cismin hareket genliği;

12 saniyelik periyotla basit harmonik hareket yapan

^12h2 r r = 16 cm

9=

cismin w=

2π T

olarak bulunur. 89

j=

2πr = 2πr.f T

bağıntısına göre, cismin hareketinin frekansı;

12 = 2.3.16.f

70 cm

1 f = s –1 8

110 cm

olarak bulunur.

Şekil–II

Şekil–I

Boyu 70 cm olan bir yayın ucuna m kütleli bir cisim bağlanıp serbest bırakıldığında yayın boyu 110 cm

Düşey doğrultuda şekildeki gibi denge-

olacak biçimde dengede kalıyor.

de durmakta olan bir yayın ucuna bağlı

Cisim şekil–II'deki gibi dengede iken 15 cm aşa-

m kütleli bir cisim, denge konumundan

ğıya çekilip serbest bırakılırsa hareketinin peri-

45 cm aşağı çekilip serbest bırakılıyor.

yodu kaç saniye olur? (r = 3)

Cisim bırakıldığı noktadan 72 s'de tam 8 kez geçtiğine göre, denge konumundan geçerken hızı kaç m/s olur?

m

Boyu 70 cm olan yayın ucuna m kütleli cismin asılması ile boyunun 110 cm olabilmesi yani 40 cm uzayabilmesi için cismin kütlesi ile yay sabiti arasındaDenge konumundan 45 cm aşağıya çekilip serbest

ki ilişkinin;

bırakılan cismin hareketinin genliği;







r = 45 cm = 0,45 m

dir. Cisim bırakıldığı noktadan 72 s'de 8 kez geçerse periyodu;

72 saniye

8 kez geçerse



T sürede

1 kez geçişini



T = 9 saniye





F = k.x m.g = k.x m.10 = k.0,4



m 4 = 100 k

olması gerekir. Buna göre, denge konumundan cismin 15 cm aşağıya çekilip serbest bırakılması ile hareketlinin periyodu;

olarak bulunur.

T = 2π 2πr j= T

(140 cm = 0,4 m)

m k

bağıntısına göre,

bağıntısına göre, cismin denge konumundan geçreT = 2.3

ken hızı; 2.3.0.45 9 j = 0, 3 m/s 'dir.

T = 6.

j=

90

olarak bulunur.

4 100

2 = 1, 2 s 10

İvme (m/s2)

Genliği 40 cm = 0,4 m olan cismin hızı 12 m/s olup;

72

j= 2

–2

Uzanım (m)

bağıntısına göre, periyodu; 12 =

–72

T=

Basit harmonik hareket yapan 9 kg kütleli bir cismin kuvvet-uzanım grafiği şekildeki gibidir. Buna göre, cismin periyodu kaç saniyedir?

2πr T

2.3.0, 4 T 2, 4 12

T = 0,2 saniye olarak bulunur.

(r = 3)

Bir yaya etki eden kuvvet ile yayın uzaması arasında;

F = k.x

ilişkisi olup şekildeki grafiğe göre, yayın yay sabiti;

72 = k.2



k

m

k

2k

m

2m

k = 36 N/m

olarak bulunur. Buna göre, bu yaya kütlesi 9 kg olan bir cisim bağlandığında cismin salınım periyodu; m T = 2π k bağıntısı kullanılarak; T = 2.3

9 36

1 2 T = 3 saniye T = 2.3. olarak bulunur.

Şekil–I

Şekil–II

Şekil–III

Sürtünmesi önemsiz ortamda yay sabitleri k, k ve 2k olan esnek yaylara m, m ve 2m kütleli cisimler bağlanarak salınıp yaptırılıyor. Cisimlerin periyotları T1, T2 ve T3 olduğuna gö-

re, bu periyotlar arasındaki büyüklük ilişkisi nedir?

Kütlesi m olan bir cisim, yay sabiti k olan yayın ucuna bağlandığında cismin hareketinin periyodu; T = 2π k

m

m k

ile bulunur. Buna göre, şekillerdeki cisimlerin periyotları;

Sürtünmesiz yatay düzlemdeki yay 40 cm sıkıştırılıp serbest bırakılıyor. Cisim denge konumunan 12 m/s hızla geçtiğine göre, sistemin periyodu kaç saniye olur? (r= 3)

T1 = 2π

m k

T2 = 2π

m k

T3 = 2π

2m 2k

olup, üç cismin periyotları birbirlerine eşittir. T1 = T2 = T3

91

k

k

m

k

m

k

k

m

k

k

m k

Şekil–I

Şekil–III

Şekil–II

m

m

Yay sabitleri eşit ve k olan yayların uçlarına kütleleri

Şekil–I

m olan cisimler asılarak yayların basit harmonik ha-

Şekil–III

Şekil–II

reket yapmaları sağlanıyor.

Sürtünmesiz ortamda özdeş yaylar ve eşit kütle-

Yaylarda oluşan periyotlar T1, T2 ve T3 arasında-

li cisimlerden kurulu sistemlerin salınım periyotla-

ki ilişki nedir?

rı T1, T2 ve T3 tür. Buna göre, cisimlerin periyotları arasındaki büyüklük ilişkisi nedir?

Bir yayın periyodu, sadece yayın yay sabitine ve yayın ucuna bağlanan cismin kütlesine bağlıdır. Cismin periyodu, bulunduğu ortamın yerçekim ivmesine veya şekillerdeki gibi cisimlerin düşey, yatay ve eğik zeminlerde bulunmasına bağlı değildir. Dolayısıyla şekillerdeki cisimlerin periyotları eşit ve m T1 = T2 = T3 = 2π 'dır. k

Şekil–II deki yayların eşdeğer yay sabiti; 1 1 1 k = + & k efl = 2 k k k efl

iken şekil–III teki yayların eşdeğer yay sabiti; keş = k1 + k 2 = k + k = 2k dır. m k bağıntısına göre, şekillerdeki yayların periyotları T = 2π

arasında; m T = 2π 2 k bağıntılarına göre; T1 = 2π

NOT

m k 2

T3 = 2π

m 2k

T2 > T1 > T3 büyüklük ilişkisi vardır.

k1

k1

k2

NOT

k2

Yay sabitleri k1 ve k 2 olan iki yay; Şekil–II

Şekil–I

Yay sabitleri k1 ve k 2 olan iki yay şekillerdeki gibi

birbirlerine seri ve paralel bağlandıklarında yayların eşdeğer yay sabitleri şekil–I için; 1 1 1 = + k efl k 1 k 2 şekil–II için;

keş = k1 + k 2

bağıntıları ile bulunur.

92

m

k1

k2

şekildeki gibi bağlandığında, denge konumunda bulunan m kütleli cisim sola doğru hareket ettirilirse yay sabiti k 2 olan yay uzar, yay sabiti k1 olan yay ise sıkışır ve yayların bu davranışı cismin sola doğru hareket etmesini engeller. Bu durum, her iki yayın birbirlerine paralel bağlı olduklarını gösterir. Dolayısıyla yayların eşdeğer yay sabiti; keş = k1 + k 2 bağıntısı ile bulunur.

Şekildeki sistemde yay sabitleri k1 ve k 2 olan yaylar

2k

birbirlerine paralel olup eşdeğer yay sabiti;

k

k 2m k

2k

2k



keş = k1 + k 2



keş = 70 + 50 = 120 N/m

m

olarak bulunur. Yay sabitleri k1 ve k 2 olan yayların

2m

eşdeğeri, yay sabiti k3 olan yaya seri bağlıdır. Buna

Şekil–III

Şekil–II

Şekil–I

Sürtünmesiz ortamda yay sabitleri verilen yaylarla

göre; sistemin eşdeğer yay sabiti;

ve yaylara bağlı cisimlerden oluşan sistemlerin pe1 1 1 = + klefl k efl k 3

riyotları sırasıyla T1, T2 ve T3 tür. Buna göre, bu periyotlar arasındaki büyüklük

1 1 1 = + klefl 120 60

sıralaması nedir?

k'eş = 40 N/m

Önce sistemlerdeki yayların eşdeğer yay sabitle-

dir. Sisteme 10 kg kütleli cisim bağlandığında sis-

ri bulunur.

temin periyodu;

Şekil–I için;

1 1 1 = + & k1 = k k1 2k 2k

Şekil–II için;

k 2 = k + k & k 2 = 2k

Şekil–III için;

k 3 = k + 2k = k 3 = 3k

m k bağıntısı kullanılarak cisimlerin periyotları bulunur. T2 = 2π

m 2k

T3 = 2π

T = 2.3

10 40

T = 2.3.

T = 2π

2m k

m k

bağıntısına göre;

Ardından;

T1 = 2π

T = 2π

2m 3k

Buna göre, cisimlerin periyotları arasında;

1 2

T=3s

ve sistemin ivmesinin en büyük değeri de;

T1 > T3 > T2

a = w2.r 2π 2 m .r T 2 4π a = 2 .r T a=c

büyüklük ilişkisi vardır.

bağıntısına göre, k1=70 N/m

k2=50 N/m



k3=60 N/m

4.3 2 .0, 5 32 a = 2 m/s 2 a=

^50 cm = 0, 5 mh

olur.

m=10 kg

Yay sabitleri verilen üç yay şekildeki gibi bağlanıyor. 10 kg kütleli cisim denge konumundan itibaren 50 cm aşağıya çekilip serbest bırakılıyor. Cismin hareketi sırasında ivmesinin alacağı en büyük değer kaç m/s2 olur? 93

k

k

k

k

F(N) 900

k

m

K x

m Şekil–I

Şekil–II

Yay sabitleri 600 N/m olan özdeş iki yayın ucuna m kütleli cisim şekil–I deki gibi bağlandığında sistemin periyodu 0,3 s oluyor. Aynı yaylar şekil–II deki gibi bağlandığında m kütleli cismin periyodu kaç saniye olur? (r = 3)

600 300 0,75 1,5

L Şekil–I

2,25

X(m)

Şekil–II

Denge konumu K doğrultusu olan bir yay uzatılarak L doğrultusuna getirilirken cisme uygulanan kuvvetin yayın uzama miktarına bağlı grafiği şekil–II deki gibi oluyor. Buna göre, yayı 0,6 m uzatabilmek için yapılması gereken iş kaç joule olur?

Şekil–I deki sistemin eşdeğer yay sabiti;

k1 = k + k = 600 + 600



k1 = 1200 N/m

Şekil–II deki sistemin eşdeğer yay sabiti; 1 1 1 1 1 = + = + 600 600 k k k 2

k = 300 N/m'dir.

Yayın ucuna bağlı cisme uygulanan kuvvet ile yayın uzama miktarı arasında; F = k.x

2

T = 2π

m k

ilişkisi vardır. Buna göre, grafikte verilen değerler

bağıntısına göre, şekil–I'deki sistemin periyodunun 0,3 saniye olabilmesi için m kütlesinin; m 1200 m 3 = 2.3 10 1200 m 1 = 4. 100 1200 m = 3 kg

kullanılarak yay sabiti; F = 600 N için x = 1,5 m alınırsa;

0, 3 = 2.3

600 = k.1,5 k = 400 N/m olarak bulunur. Yay sabiti 400 N/m olan yayı 0,6 metre uzatabilmek için;

olması gerekir. Buna göre, aynı yaylar şekil–II deki

E=

gibi bağlanırsa sistemin periyodu; T2 = 2π

m k

bağıntısına göre;

2

3 300 1 T2 = 2.3. 10 T2 = 0, 6 saniye

1 6 2 .400 c m 2 10 1 36 E = 400 2 100 E = 72 joule

T = 2.3

E=

2

olarak bulunur.

94

1 k.x 2 2

iş yapmak gerekir.

j=8 m/s k1

O

m

L

k2

m=3 kg

k3 r=1,2 m

Şekil–II

Şekil–I

Özdeş K ve L cisimlerinden K cismi yay sabiti k1

olan yaya şekil–I deki gibi, L cismi yay sabitleri k 2 ve k3 olan yaylara şekil–II deki gibi bağlandığında

Sürtünmesiz yatay zemin üzerinde, yayın ucuna bağlı olan 3 kg kütleli cisim 8 m/s hızla O noktası etrafında 1,2 m yarıçaplı yörüngede düzgün çembersel hareket yapmaktadır.

cisimlerin salınım frekansları eşit oluyor.

Yayın kuvvet sabiti 200 N/m olduğuna göre, yay

Buna göre,

bu hareketi sırasında kaç metre uzamıştır?

I. Cisimlerin periyotları eşittir. II. k1 > k 2 dir. III. Cisimlerin hareket genlikleri eşittir.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

j0=0 m=3 kg

O

x1

O noktasından sabitlenmiş yayın ucuna bağlı cisim şekildeki gibi denge konumunda iken cismin 8 m/s Basit harmonik hareket yapan bir cismin periyo-

hızla döndürülmesi ile yay x 2 kadar uzar. j=8 m/s

du ile frekansı arasında T.f = 1 ilişkisi vardır. Buna O

göre, frekansları eşit olan cisimlerin, periyotlarıda eşittir. Bir cismin periyodu; T = 2π

bağıntısı ile bulunur. Kütleleri eşit olan K ve L cisimlerinin periyotları da eşit ise her iki sistemdeki yay-

x2

x1

m k

r

Yayın x 2 kadar uzamasını sağlayan kuvvet, merkezcil kuvvet olup;

ların eşdeğer yay sabitleri de eşit olur. F = k.x

k1 = k 2 + k3 eşitliğe göre, 1. yayın yay sabiti 2. yayın yay sabi-

Fmer =

mj2 r

bağıntıları birbirlerine eşitlendiğinde yayın uzama miktarı;

tinden büyüktür. (k1 > k 2)

k.x =

Periyotları eşit olan cisimlerin hareket genlikleri bir-

2

mj2 r

3. ^8h2 1, 2 x 2 = 0, 8 metre

birlerine eşit olabileceği gibi farklı değerlerde ala-

200.x 2 =

bilir. Bir cismin hareketinin genliğinin periyoda etkisi yokken cismin hızına ve ivmesine etkisi vardır. Buna göre, I. ve II. ifadeler kesinlikle doğrudur.

ve

olarak bulunur.

95

maksimum hızı; K L M N P R S

j = w.r maksimum ivmesi;

X

I

bağıntıları ile bulunur. Genliğin arttırılmasının periyoda herhangi bir etkisi yoktur. Dolayısıyla periyodu, buna bağlı olarak açısal hızı değişmeyen cismin, hız ve ivme bağıntılarına göre genliği arttırıldıkça maksimum hızı ve maksimum ivmesi artar.

Y

II

a = w2.r

Özdeş yayların uçlarına eşit kütleli cisimler bağla-

Periyot

Hız

İvme

nıyor ve denge konumları K doğrultusu olan yaylar

Değişmez

Artar

Artar

M ve S doğrultularına kadar çekiliyor. Cisimler aynı anda serbest bırakıldıklarında; I. yayın ucundaki X cismi K doğrultusundan ilk kez geçtiğinde, II. yayın ucundaki Y cismi hangi doğrultu veya doğrultular arasında bulunur?

L

K M

O (Denge konumu)

Denge konumları K doğrultusu olan cisimlerden M noktasına kadar çekilen X cisminin genliği 2 birim, S noktasına kadar çekilen Y cisminin genliği 6 birimdir. Kütleleri ve yay sabitleri eşit olan cisimlerin; T = 2π

m k

bağıntısına göre periyotları da eşit olur. Buna göre,

N

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareketyapan cismin M noktasından O noktasına gelme süresi 0,5 saniyedir. Buna göre, sarkacın frekansı kaç s –1 dir? (Aralıklar eşittir.)

periyotları eşit olan iki cisim aynı anda serbest bırakıldıklarında denge konumundan da aynı anda geçerler. Dolayısıyla X cismi K doğrultusundan geçerken Y cismi de aynı anda K doğrultusundan geçer.

k

m

Sürtünmesiz yatay düzlemde basit harmonik hareket yapan yay sarkacının genliği artırıldığında cismin hareketinin frekansı ile cismin maksimum hızı ve maksimum ivmesi ilk duruma göre nasıl değişir?

Bir yay sarkacının periyodu; T = 2π

96

Denge konumu O noktası olan basit karkaç K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yaparken cismin eşit aralıkları alma süreleri arasında yay sarkaçlarında olduğu gibi,

m k

K

2t

t t O (Denge konumu)

M

N

2t

L

şekilde verilen ilişki vardır. Buna göre, M noktasından O noktasına t sürede (0,5 s) ulaşan cismin hareketinin periyodu 12t olup; T = 12.t T = 12.0,5 = 6 s T.f = 1 bağıntısına göre frekansı; 6.f = 1 f = 1/6 s –1 dir.

Basit harmonik hareket yapan bir sarkacın periyoL

i

du;

2i

T = 2π

4L

4m

L g

bağıntısı ile bulunur. Buna göre, boyları 3L ve 8L olan iplerin uçlarına bağlı m ve 2m kütleli cisimler, m

L

yerçekim ivmelerinin 2g ve 3g olduğu ortamlarda,

Şekil–II

Şekil–I

T1 = 2π

Aynı ortamda bulunan L ve 4L uzunluğundaki iplerin uçlarına bağlı 4m ve m kütleli cisimlere basit harmonik hareket yaptırılıyor. Buna göre, cisimlerin periyotlarının oranı kaçtır?

3L 2g

T2 = 2π

8L 3g

periyotları ile basit harmonik hareket yaparlar. Buna göre, cisimlerin periyotlarının oranı;

T1

T

T2

T

1

2π = 2π

2

T1

=

T1

=

T2 T2 Basit sarkaçların periyotları;

ve

3L 2g 8L 3g

9 16 3 4

olarak bulunur. L g

T = 2π

bağıntısı ile bulunur. Buna göre, aynı ortamda bulunan L ve 4L uzunluğundaki iplerin uçlarına bağlı cisimlerin periyotları; L T1 = 2π g

ve

T2 = 2π

4L g

Boyu 1,5 metre olan bir basit sarkaç, 4 m/s2 lik ivme ile aşağıya doğru hızlanarak inen bir asansö-

olup oranları; T1 T2 T1 T2

2π = 2π =

rün içindedir.

L g 4L g

Yerçekim ivmesinin 10 m/s2 olduğu bu ortamda sarkacın periyodu kaç saniyedir? (π = 3)

1 dir. 2

a=4 m/s2

Boyları 3L ve 8L olan iplerin uçlarına m ve 2m kütleli cisimleri bağlanarak yerçekim ivmelerinin sıra-

Yerçekim ivmesinin 10 m/s2 olduğu ortamda aşa-

sıyla 2g ve 3g olduğu ortamlarda cisimlere basit

ğı yönde 4 m/s2 ivme ile hızlanarak inen asansö-

harmonik hareket yaptırılıyor.

rün içinde bulunan cisme, hareket yönünün tersi

Buna göre, cisimlerin periyotlarının oranı kaçtır?

T1 T2

yönünde 4 m/s2 lik bir eylemsizlik ivmesi etki eder ve bu ivmenin etkisi ile cisim sanki yerçekim ivmesinin; 97



g' = g – a



g' = 10 – 4



g' = 6 m/s2

Bir yay sarkacının periyodu;

olduğu bir ortamda basit harmonik hareket yapıyormuş gibi salınım hareketi yapar. Buna göre, cismin periyodu;

bağıntısı ile bulunur. Buna göre, şekildeki sistemde yay sarkacının periyodu;

L gl 1, 5 T = 2.3 6 1 T = 2.3. 2

T = 2.3

T = 2π



m k

T = 2π

1 100

1 10 T = 0, 6 saniyedir. T = 6.

T = 3 saniye olarak bulunur.

a

a

K

m

5L

9L 0,4 m

çivi

L 0,4 m M

4L K

L

O Şekil–I

K

O Şekil–II

Şekil–I de 9L boyundaki sarkaç yana açılıp bırakıldığında 12 s sonra bırakıldığı yere geri dönüyor. Tavandan 5L aşağıya bir çivi çakılıp sarkaç şeŞekil–II

Şekil–I

Kütlesi m olan bir cisim, üstünde ağırlıksız tabla bu-

kil–II deki gibi aynı açıyla serbest bırakılırsa sarkacın periyodu kaç saniye olur?

lunan yay sistemine K seviyesinden serbest bırakılıyor. L seviyesinde tablaya çarpan m kütleli cisim yayı ancak M seviyesine kadar sıkıştırabildiğine göre, sistemin periyodu kaç saniye olur? (r = 3)

Boyu L olan basit sarkacın periyodu; T = 2π

L g

bağıntısı ile bulunur. Buna göre, boyu 9L, periyodu 12 s olan şekil–I deki sarkaç için; 12 = 2.3

K noktasından serbest bırakılan m kütleli cisim, ağırlıksız tablaya çarpıp yayı en fazla 0,4 m sıkıştırabiliyor. Cismin K ve M noktaları arasında kaybettiği potansiyel enerji, yay da depolanan yay potansiyel enerjisine eşit olur.

Ep = Eyay 1 k.x 2 2 1 m.10.0, 8 = .k. ^0, 4h2 2 m.8 = k.0, 08 m 1 = 100 k m.g.h =

98

9L g

L bağıntısı yazıldığında g oranı; 12 = 2.3

9L g

9L g 9L 4= g L 4 g= 9 2=

olarak bulunur. Boyu 4L olan bir sarkacın periyodu ise bulunan orandan;

L

Şekil–II için;

4L g 4.4 Tl = 2.3 9 4 Tl = 6. 3 Tl = 8 s Tl = 2π

T2 = 2π

L2 g

L2 =

4g 36

Şekil–III için;

olarak bulunur. Şekil–II deki sarkaç serbest bıra-

L1 + L2 g g 4g + 36 36 T3 = 2.3 g 5g T3 = 6. 36g T3 = 5 s T3 = 2π

kıldığında;

5L

9L

L2 g

2 = 2.3

çivi 4L

olarak bulunur. L

K O

3s 3s

2s 2s

KO arasına 3 s, OL arasını 2s de alacak şekilde K noktasından L noktasına ulaşır ve yeni durumda sarkacın periyodu;

T=3+3+2+2



T = 10 s olur.

a i L

L

m

4m I L1

a

L2

II

O

a

a

Eşit uzunluktaki iplerin uçlarına 4m ve m kütleleri

L1+L2

bağlanıp düşeyle a ve i açısı yapacak şekilde aynı m

anda serbest bırakılıyorlar. 2m Şekil–I

3m

Şekil–II

a > i olduğuna göre, iki cisim ilk kez nerede Şekil–III

karşılaşırlar?

Uzunluğu L1 olan şekil–I'deki sarkacın periyodu 1 s, uzunluğu L2 olan şekil–II'deki sarkacın periyodu 2 s

dir.

Buna göre, şekil–III teki sarkacın periyodu kaç saniyedir? Basit sarkaçta periyot; T = 2π

Basit sarkaçlarda periyot; T = 2π

bağıntısı ile bulunur. Bağıntıdan da görüldüğü gibi

L g

sarkacın periyodu cismin kütlesine ve düşeyle yaptığı açıya bağlı değildir. Dolayısıyla eşit uzunluktaki

bağıntısı ile bulunur.

sarkaçların periyotları eşit olup iki cisim ilk kez den-

Şekil–I için; T1 = 2π

L1 g

L g

1 = 2.3

L1 g

g & L1 = 36

ge konumu olan O noktasında karşılaşırlar.

99

basit sarkacın periyodu ise; L g

T = 2π a a

bağıntısı ile bulunur. Yay sabiti k olan yaya eşit

L

4L

uzunlukta özdeş bir yay eklenerek yay sarkacının

Y

boyu artırıldığında elde edilen şeklin eşdeğer yay sabiti;

X B

A I

II

O

1

k

4L ve L uzunluğundaki iplerin ucuna bağlı özdeş X

k efl

ve Y cisimleri aynı anda serbest bırakılıyorlar. Buna göre, iki cisim ilk kez nerede karşılaşır-

=

k efl =

k

lar?

T = 2π

k

+

1 k

k 2

olarak bulunur.

Basit sarkaçta periyot;

1

T = 2π

L g

m k

bağıntısına göre, yay sabitinin değeri azaldıkça yay

bağıntısı ile bulunur. Uzunlukları 4L ve L olan sar-

sarkacının periyodu artar.

kaçların periyotları;

Uzunluğu L olan basit sarkaca, L uzunluğunda ek-

Tx = 2π

4L g = 2T

Ty = 2π

L g =T

olup cisimler aynı anda serbet bırakıldıklarında AO

leme yapılırsa yeni durumda sarkacın boyu artırılır ve T = 2π

arasındaki I. bölgede ilk kez karşılaşırlar.

L g

bağıntısına göre, sarkacın boyu arttıkça periyodu da artar.

L

k

a 2a L

L

m m

Y X O

Uzunlukları eşit olan sarkaçların uçlarına bağlı öz-

Basit harmonik hareket yapan bir yaylı sarkaç ile

deş cisimler aynı anda serbest bırakılıyorlar.

bir basit sarkacın periyotları sırasıyla T1 ve T2 dir.

Buna göre;

Sarkaçların boyları artırılırsa, T1 ve T2 ilk duru-

muna göre nasıl değişir?

I. Cisimlerin O noktasından geçiş hızları arasında jX = jY ilişkisi vardır. II. Cisimlerin maksimum ivmelerinin büyüklükleri arasında aY > a X ilişkisi vardır. III. O noktasından geçen ve X ile Y cisimlerini taşıyan

Yay sarkacının periyodu; T = 2π

100

m k

iplerdeki gerilme kuvvetleri eşittir. ifadelerinden hangileri doğrudur?

a 2a L

L rY X

rX

Y

hY

hX O

Eşit uzunluktaki sarkaçların uçlarına bağlı özdeş cisimler, düşey doğrultudan farklı açılarla uzaklaştırıldıklarında cisimlerin denge konumuna olan düşey uzaklıkları da farklı olur. Enerji korunumundan, potansiyel enerji kaybeden cisim kinetik enerji kazanır. m.g.h =

Yukarıya doğru sabit hızla hareket eden asansörün içindeki yay sarkacı ile basit sarkaç T1 ve T2 periyotları ile salınım hareketi yapıyorlar.

Asansör yukarı yönde ivmeli hareket yaparak yavaşlarsa T1 ve T2 periyotları ilk duruma göre

nasıl değişir?

1 mj 2 2

bağıntısına göre, hY > hX olduğu için O noktasından geçecek cisimlerin hızları arasında jY > jX ilişkisi

Yay sarkacının periyodu;

vardır. I. ifade yanlıştır. Basit sarkaçta periyot;

T = 2π

m k

T1 = 2π L g

bağıntısı ile maksimum ivmesi ise; 4π 2 r a= T2

olup sarkacının periyoduna yerçekimi ivmesinin ve ivmeli hareketlerinin etkisi yoktur. Asansör yukarı yönde sabit hızla hareket ederken asansörün aniden yukarı yönde yavaşlaması ile cisme etki eden yerçekim ivmesinin şiddeti azalır. L g

T2 = 2π

bağıntısı ile bulunur. Boyları eşit olan sarkaçların periyotlarında eşit olup denge konumuna uzaklık-

bağıntısına göre, cisme etki eden yerçekim ivmesi-

ları arasında rY > rX ilişkisi olduğu için ivme bağın-

nin azalması ile basit sarkacın periyodu artar.

tısına göre cisimlerin maksimum ivmeleri arasında

Cevap, T1 değişmez, T2 artar.

aY > a X ilişkisi vardır. II. ifade doğrudur. Eşit kütleli cisimler O noktasından geçerken, oluşan merkezcil kuvvete bağlı olarak ipteki gerilme kuvveti; T = m.g + ip

mj 2 L

k

m

bağıntısı ile bulunur. Kütleleri ve ip uzunlukları eşit olan cisimlerin hızları arasında jY > jX ilişkisi bulunduğu için iplerde oluşan gerilme kuvvetleri arasında da T Y > T X ilişkisi vardır. III. ifade yanlıştır. Buna göre, cevap yalnız II dir.

x K

x O

L

Denge konumu O noktası olan yay sarkacında m kütleli cisme K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yaptırılıyor. Yay sarkacının sadece genliği artırılırsa cismin periyodu, denge konumundan geçiş hızı ve cisme etki eden maksimum kuvvet ilk duruma göre nasıl değişir? 101

Yay sarkacına bağlı m kütelli cismin periyodu; T = 2π

yapan cismin hızının en küçük olduğu noktalar K

m k

ve L noktaları olup, cismin bu noktalarda denge ko-

ile bulunur. Genliğin değiştirilmesi periyodu etkile-

numuna olan uzaklıkları yani uzanımları en büyük

mez.

değerini alır. j=

Cismin hızının en küçük olduğu K ve L noktalarında

2πr T

ivme ve kuvvet en büyük değerini alır.

bağıntısına göre periyodu değişmeyen cismin hareketinin genliği artırılırsa cismin denge konumundan geçiş hızı artar. a=

4.π 2 .r T2

bağıntısına göre periyodu değişmeyen cismin genliğindeki artışa bağlı olarak maksimum ivmesi artar. Cevap; Periyot : değişmez. Hız

: artar.

İvme

: artar.

L

K O

K ve L noktaları arasında bait harmonik hareket yapan m kütleli cisim, en küçük hız değerine ulaştığı anda; I. Uzanım, II. İvme, III. Kuvvet

niceliklerinden hangilerinde en büyük değerine ulaşır?

102

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket

Cevap I, II ve III'tür.



BASİT HARMONİK HAREKET

1.

4. K



TEST - 18

L

O

M

3k

N

Yatay düzlemde KN noktaları arasında basit harmonik

m

2k

6k

Cisim okla gösterilen yönde L noktasından geçtik-

T1

B) KL arası

D) OM arası

C) LO arası

E) MN arası

m T3

m

ten 21 s sonra nerede bulunur? (Aralıklar eşittir.) A) K noktası

2k

2k

hareket yapan cismin periyodu 12 s dir.

k

T2



Şekildeki yay sistemlerinde m kütleli cisimlerin periyotları T1, T2 ve T3 arasındaki büyüklük sıralaması

nasıl olur? A) T1 > T2 > T3

B) T1 > T3 > T2

C) T1 = T2 = T3

2.

5.

D) T3 > T2 > T1

E) T2 > T3 > T1

L m h2

m



K h1

Yay sabiti k olan esnek yayın ucuna m kütleli cisim bağlanıp, yay denge konumundan x kadar uzaklaştırılıp serbest bırakıldığında, cisim T periyodu ile salınım hareketi





periyoduyla, L noktasından serbest bırakılırsa T2 periyo-

Cismin kütlesi 9 katına çıkarılıp yay denge konumundan 4x kadar uzaklaştırılarak bırakılınca oluşan basit harmonik hareketin periyodu kaç T olur? A) 1

Sürtünmelerin önemsenmediği ortamda K noktasından serbest bırakılan cisim yayla kenetlendikten sonra T1

yapmaktadır.

B)

3 2

C)

9 4

D) 3



D) 9

duyla salınım hareketi yapıyor. T h2 = 3h1 olduğuna göre, 1 oranı nedir? T2 A)

1 9

B)

1 3

C) 1

D) 3

E) 9

6. ℓ

3.

m

2m

2x



O

x

O

Özdeş yayların uçlarına 2m ve m kütleleri bağlanarak, yaylar denge konumları olan O noktasından 2x ve x ka-

m (II)



O noktalarına t1 ve t2 sürelerde ulaşıyor.

Buna göre, A) 2

t2 B)

2

C)

2 2

monik hareket yaptırılıyor.

oranı nedir?

Aynı cins yaylardan l ve 3l uzunluğunda parçalar kesilerek uçlarına eşit kütleler asılıyor ve cisimlere basit har-

dar uzaklaştırılıyor ve serbest bırakıldıklarında cisimler

t1

Buna göre, şekillerdeki salınımların TI ve TII periyotlarının oranı

D) 1

3ℓ

(I) m

E)

1 2

A) 6

TI TII

B) 4

nedir? C) 3

D)

3

E)

3 3 103

7.

10.

40 cm m=5 kg

m Şekil–I

2m Şekil–I



Şekil–II



Üç yay birleştirilip şekil–II deki gibi bağlanırsa 2m kütleli cismin periyodu kaç T olur? A) 2

B)

3

C) 1

D)

1 3

E)

Denge konumu şekil–I'deki gibi verilen bir yayın ucuna 5 kg kütleli bir cisim asıldığında, yay 40 cm uzalıp şekil–II deki denge konumuna geliyor. Daha sonra cisim 18 cm çekilip serbest bırakılıyor.

Özdeş üç yay şekil–I deki gibi bağlandığında m kütleli cismin periyodu T oluyor.



Şekil–II



1 3

Cismin yapacağı basit harmonik hareketin periyodu kaç saniye olur? (r = 3) A) 12

B) 6

C) 3

4ℓ

pan 2 kg kütleli cismin genliği 10 metredir.

m

Denge konumundan harekete geçtikten 0,5 s sonra

N

K

cismin hızı kaç m/s olur? (r = 3)

L

B) 5 E) 2



Merkezi P noktası olacak biçimde KN yayının KP ve NP doğrultuları arasında basit harmonik hareket yapan 2m ve m kütleli cisimler şekildeki konumdan serbest bırakılıyorlar.



Cisimler ilk kez hangi doğrultu üzerinde veya aralıkta karşılaşırlar? A) L noktası



B) LO arası

D) M noktası

9.

m

12.

K

sim, denge konumundan 25 cm aşağı çekilip serbest bı



104

ivmesi nedir?

olur? (r = 3)

A) - 3 a

1.

2.1. B

C) 3 2.3.D

D) 3. B4.

3 2

E) 1

4. E 5. 5. C

B) - 2 a D)

6. E

x

KL noktaları arasında basit harmonik hareket yapan

ne göre, denge konumundan geçerken hızı kaç m/s

B) 6

L

cismin M noktasındaki ivmesi a ise L noktasındaki

Cisim bırakıldığı noktadan 7 s de tam 56 kez geçtiği-

A) 12

E) MN arası

x/3

x

C) OM arası

O

M

Düşey düzlemde bir yayın ucuna bağlı m kütleli bir cirakılıyor.

M

O

C) 3 5

D) 2 5

6 5

i i i i

Periyodu 6 s olacak şekilde basit harmonik hareket ya-

A) 5 3

E)

ℓ 2m



3 2

P

11.

8.

D)

7. 7. A

8. A 8. 9. A

a 3 9. 10. E

C) -

a 3

E) 3 a 11. 10.C

12. 11. A

12.



BASİT HARMONİK HAREKET 4.

1. K

L

O

M

TEST – 19 M=1950 g

v0=70 m/s

N m=50 g



KN noktaları arasında basit harmonik hareket yapan m kütleli cisim LN arasını 8 s de aldığına göre, cisim



ucuna 1950 g kütlesinde bir cisim bağlı olarak denge

K noktasından geçtikten 27 s sonra nerede bulunur?

durumunda durmaktadır. Kütlesi 50 g olan bir mermi ya-

(Aralıklar eşittir.) A) KL arası

Sürtünmesiz ortamda esneklik katsayısı k olan yayın

ya bağlı cisme 70 m/s hızla saplanıyor. B) L noktası

D) O noktası

C) LO arası



Yayın titreşim periyodu 1,2 s olduğuna göre, yayın esneklik katsayısı kaç olur? (r = 3)

E) OM arası

A) 200

B) 180

C) 120

D) 100

E) 50

2. x1

x2

m2=3m

m1=2m Şekil–II

Şekil–I



5.

Boyları eşit olan şekil–I deki yayların uçlarına 2m ve 3m kütleleri bağlanıp serbest bırakılınca şekil–II deki görünümü alarak dengede kalıyorlar.



Buna göre, cisimlerin yapacakları periyotların oranı T1 T2 A)



–x/2

0

+x/2

+x

K

L

O

M

N

Bir cisim KN noktaları arasında basit harmonik hareket yapmaktadır.



Aralıklar eşit olup cismin O noktasındaki hızı 4 3 m/s ise M noktasındaki hızının büyüklüğü kaç m/s olur?

ne olur? 1 9

–x

B)

1 3

C)

2 3

D) 1

E)

A) 2

3 2

B) 3

C) 4

D) 6

E) 8

3. 6.

F(N)

K

36

x O

m



x

+3

–3

L

x(m)

m –36

K noktasında durmakta olan yay sarkacının ucuna m kütleli cisim bağlanarak serbest bırakılınca m kütleli cismin denge konumu O noktası oluyor.





Basit harmonik hareket yapan 3 kg kütleli bir cismin kuvvet-uzanım grafiği şekildeki gibidir.

Cisim L seviyesine kadar çekilip serbest bırakılırsa, cisme O seviyesi ile L seviyesinin tam ortasında et-



Buna göre, cismin maksimum hızı kaç m/s dir?

kiyen net kuvvet kaç mg olur?



(r = 3)

A)

1 2

B) 1

C)

3 2

D) 2

E)

5 2

A) 3

B) 6

C) 9

D) 12

E) 15 105

7.

10. i

k k

m

4ℓ

m

k

i

3ℓ

4ℓ çivi

m T1



T3

T2

olan cisimler asılarak yayların basit harmonik hareket yapmaları sağlanıyor.

Şekil–I

Yay sabitleri eşit ve k olan yayların uçlarına kütleleri m

Şekil–I de 4l boyundaki sarkaç, yana açılıp bırakıldıktan 8 s sonra bırakıldığı yere geri dönüyor.

Yaylarda oluşan T1, T2 ve T3 periyotları arasındaki büyüklük sıralaması aşağıdakilerden hangisi olur? A) T1 > T2 > T3 C) T1 = T2 = T3



Şekil–II



Tavandan 3l aşağıya bir çivi çakılıp sarkaç şekil–II deki gibi aynı açıyla serbest bırakılınca sarkacın periyodu kaç saniye olur?

B) T1 > T3 > T2

D) T3 > T2 > T1

A) 6

E) T2 > T3 > T1

B)

11 2

C) 5

D)

9 2

E) 3

8. 11. k2

k1

O

T1=3 s

k2

T2=4 s

3m



4m Şekil–I

la O noktası etrafında döndürülerek cisme düzgün çem-

ki gibi bağlanıp uçlarına 4m kütleli bir cisim asılınca

bersel hareket yaptırılmaktadır.

Yayın kuvvet sabiti 75 N/m olduğuna göre, yay bu hareketi sırasında kaç metre uzamıştır?

periyotları kaç saniye olur? B) 18

Sürtünmesiz yatay zemin üzerinde, yayın ucuna bağlı 2 kg kütleli cisim, yarıçapı 3 m olacak şekilde 15 m/s hız-

Şekil–III

Şekil–II

Periyotları 3 s ve 4 s olan basit iki sarkaç, şekil–III te-

A) 25

m=2 kg

m

m



j=15 m/s

k1

C) 16

D) 10

A) 1

E) 5

B) 1,2

C) 1,5

D) 1,6

E) 2

9. i

ℓ1

m



12.

a

ℓ1 2i

ℓ1+ℓ2

K 6m

m

T1=3s

T2=4s

Şekil–I

Şekil–II

3m

30°

l1 uzunluğundaki sarkacın periyodu 3 s, l2 uzunluğun-



K noktasından serbest bırakılan 10 kg kütleli bir cisim, sürtünmesiz ortamda yay sabiti 100 N/m olan

Bu iki sarkaç şekil–III e dönüştürüldüğünde, bu sar-

yayı maksimum sıkıştırdığı anda yayda depolanan

kacın periyodu kaç saniye olur?

potansiyel enerjisi kaç joule olur? (g = 10 m/s2)

A) 3

B) 4 1. A

106

k=100 N/m

Şekil–III

daki sarkacın periyodu 4s dir.



m=10 kg

C) 5 2. D

D) 9 3. A

4. E

A) 200

E) 16 5. D

6. B

7. C

8. D

B) 350 9. C

10. A

C) 600 11. E

D) 800 12. D

E) 1200



BASİT HARMONİK HAREKET

1.

TEST – 20

4.

Kuvvet K L

8m

Uzanım



2ℓ

m

Kuvvet-uzanım grafiği şekildeki gibi olan K ve L yaylarıhareket yaptırılıyorlar. dir? B) 3

C)

3 2

D)

4 3

Uzunluğu 2l olan yayın ucuna m kütleli cisim şekil–I deki gibi bağlanarak cismin T periyodu ile basit harmonik ha-

ne-

TL

Şekil–II

Şekil–I



TK

Buna göre, sarkaçların periyotlarının oranı

A) 4

m

3m

nın uçlarına 8m ve 3m kütleleri asılarak basit harmonik

ℓ

ℓ K

L

reket yapması sağlanıyor. Bu yay eşit iki parçaya ayrılıp 2 3

E)

birbirlerine şekil–II deki gibi paralel bağlanıyorlar.

Bu yayların uçlarına aynı m kütleli cisim bağlanırsa cismin periyodu kaç T olur? A)

2.

1 2

B)

2 2

C)

3 4

D) 1

E)

2

Konum(cm)

20 8

4

5. 16

12

v=10 m/s

t(s)

–20

4,5 m



Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum-zaman grafiği şekildeki gibidir.



Buna göre, cismin;



Sürtünmeli ortamda 4 kg kütleli cisim yaya çarptıktan sonra 0,5 m yol alarak duruyor.



I. 4. s deki hızı en büyüktür.

Buna göre, cisme etki eden sürtünme kuvveti kaç Newton olur?

II. Hareketinin periyotu 16 s dir.

A) 30

III. 8. s deki ivmesi en büyüktür.

K=400 N/m

m=4 kg

B) 25

C) 18

D) 12

E) 8

yargılarından hangileri doğrudur? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

6.

F(N)

90

3.

Bir sarmal yayın kuvvet-uzama grafiği şekildeki gibidir. Yayın ucuna 9 kg lık bir cisim asılıyor.



F(N)

60

288

0,2

Buna göre, cismin yaptığı basit harmonik hareketin periyo-



du kaç saniyedir? (r = 3)

A) 12

B) 6

C) 3

F

30

2

D)

3 2

0,6 x(m)

Sürtünmesiz yatay düzlemde şekildeki yay-tampon sistemine uygulanan kuvvetin-yola bağlı grafiği verilmiştir.

x(m)

E) 1

0,4



Yayı 0,8 m sıkıştırmak için yapılan iş kaç joule olur? A) 72

B) 60

C) 48

D) 30

E) 20 107

7.



2k

x

K



10. Yerçekim ivmesinin g = 16 m/s2 olduğu bir gezegende

k

basit sarkacın periyodu T dir.

m



x

L

Aynı gezegende sarkaç, 7 m/s2 lik yukarı yönde yavaşlayan bir asansör içinde bulunsaydı sarkacın pe-

O

riyodu kaç T olurdu?

Esneklik katsayıları k ve 2k olan iki yay, şekildeki gibi iç içe yerleştirilmiş olup denge konumunda bulunmaktadırlar. m kütleli cisim ile yaylar K noktasına kadar sıkıştırılıp serbest bırakılıyor.

A) 4

B) 3

C)

3 2

D)

4 3

E)

2 3

Cismin hızı, denge konumundan geçerken aşağıdakilerden hangisine eşit olur? A)

3k.x m

k m

B) 3x D)

k.x m

E)

C)

11.

x k.m 3

ℓ

k

3k m x

T

m

m

4T

8.

Yerçekim ivmesinin g olduğu bir ortamda şekildeki asansör kabini durgun iken yay sarkacının periyodu 4T ve ba-

7ℓ

16ℓ

sit sarkacın periyodu T dir.

P çivi

Sarkaçların periyotlarını eşitleyebilmek için; I. Basit sarkacın boyunu 4 katına çıkarmak,

L

K

II. Cisimlerin kütlelerini 4 kat düşürmek,

O



KL noktaları arasında basit harmonik hareket yapan cismin K den O ye gelme süresi t dir.



III. Asansör kabinini yukarı yönde 4g ivme ile hareket

Buna göre, cismin KL noktaları arasında yaptığı salı-

A) I ve II

nım hareketinin periyodu kaç t dir? A) 4

B)

7 2

C) 3

D)

5 2

ettirmek işlemlerinden hangilerinin yapılması gerekir? B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

E) 2

12.

9.

K

m

16 m L 4m k

M

m Şekil–I

m Şekil–I





Şekil–I deki yay sistemi dengede olup yaylar özdeştir. Bu özdeş yaylar şekil–II deki gibi seri bağlanıp uçlarına m kütleli cisim asılıyor. Şekil–I deki sistemde depolanan yay potansiyel enerjisi E olduğuna göre, şekil–II de depolanan yay potansiyel enerjisi kaç E olur? A) 4

B) 3 1. D

108



Şekil–II

C) 2. E

3 2 3. D

D)

2

4. A

E) 5.A

Kütlesi m olan ve kalınlığı önemsiz silindirik bir cisim, üstünde ağırlıksız silindirik tabla bulunan yay sistemine K seviyesinden serbest bırakılıyor.



L seviyesinde tablaya çarpan m kütleli silindirik cisim, yayı ancak M seviyesine kadar sıkıştırılabildiği-



6 5

ne göre, sistemin periyodu kaç saniye olur? (r = 3, g = 10 m/s2) A) 0,4

6. C

Şekil–II

7. B

8. B

B) 0,6

9. A

10. D

C) 1,2

11. A

D) 1,6

12. E

E) 2,4

1.

BASİT HARMONİK HAREKET Basit harmonik hareket yapmakta olan bir cisim, uza-

4.

2

nımın maksimum olduğu andaki ivme değeri 25 cm/s , uzanımın sıfır olduğu andaki hızının değeri ise 15 cm/s dir.

Buna göre, hareketin periyodu kaç s dir? (r = 3) A) 4,8

B) 3,6

C) 3,2

D) 1,8

TEST – 21

Boyu 6 cm olan bir basit sarkaç, 4 m/s2 lik ivme ile aşağı yönde hızlanarak inen bir asansörün içindedir.



Buna göre, basit sarkacın periyodu kaç saniyedir?



(g = 10 m/s2; r= 3) A) 0,2

B) 0,4

C) 0,6

D) 1,2

E) 4,8

E) 1,5

5. k

L

k K



2.



m

Yay sabitleri ve yaylara bağlı kütlelerinin eşit olduğu yay sarkaçları basit harmonik hareket yapmaktadır.

Çekim ivmesinin g olduğu bir yerde uzunluğu l olan ipin ucuna m kütleli cisim bağlanıyor ve basit sarkaç siste-

m



Cisimler denge konumundan geçerken K ve L sar-

minin periyodu T oluyor.

kaçları için genlik, frekans ve hız niceliklerinden

Çekim ivmesinin 2g/3 olduğu bir yerde uzunluğu 6l

hangileri her iki sarkaç için kesinlikle aynıdır? (Or-

olan ipin ucuna 4m kütleli cisim bağlanırsa, sarkacın

tamlar sürtünmesizdir.)

periyodu kaç T olur?

A) Yalnız genlik

B) Genlik ve frekans

C) Yalnız frekans

D) Frekans ve hız

A) 9

B) 3

C) 1

D)

1 3

E)

1 9

E) Genlik, frekans ve hız

6. k

K x O x

3.

L x

K



x

O

L



yapan sarkacın K seviyesinden L seviyesine gelme

Sürtünmesiz yatay düzlemde yay sabiti k olan yayın

süresi;

ucuna bağlanmış m kütleli cismin denge konumu O nok-

I. Yay sabiti,

tasıdır. Yay K noktasına kadar sıkıştırıldığında yayda de

K ve L seviyeleri arasında basit harmonik hareket

polanan enerji E dir.

II. KL arası uzaklık,

Yay serbest bırakılınca O ve L noktalarının tam orta-

III. Cismin kütlesi

sından geçen cismin kinetik enerjisi kaç E olur? A)

1 4

B)

1 2

C)

2 3

D)

3 4

E) 1



niceliklerinden hangilerine bağlı değildir? A) I ve II

B) Yalnız II D) I ve III

C) II ve III

E) I, II ve III 109

10. Basit harmonik hareket yapan bir cismin genliği ar-

7.

tırılırsa; x

K





x

O

I. Denge konumunda geçiş hızı,

L

Sürtünmesiz ortamda denge konumu O noktası olan yay sarkacı KL noktaları arasında basit harmonik hareket yapmaktadır. Salınım hareketinin genliği x, cismin kütlesi m ve salınım periyodu T bilindiğine göre;

II. Hareketin periyodu, III. Belirli bir x uzanımındaki ivmesi

niceliklerinden hangileri değişmez? A) I ve II

B) Yalnız II

I. Cismin O noktasındaki hızı,

D) II ve III

C) I ve III

E) I, II ve III

II. Cismin L noktasındaki ivmesi, III. Cisme K noktasında etkiyen maksimum kuvvet

niceliklerinden hangileri bulunabilir? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II

11.

E) I, II ve III

a i ℓK

8.

ℓL

L

K mL

mK K



O L





Kütleleri mK ve mL, boyları lK ve lL olan K ve L sarkaçları düşeyle a ve i açısı yapacak şekilde yanlara açılıyor.



i

sürelerde ulaştıklarına göre,

Yay sarkacı sürtünmesiz i açılı eğik zeminde K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapmaktadır. Sarkacın periyodu T ve cismin genliği x tir. Eğik zeminin i açısı arttırılırsa, T ve x için ne söylenebilir? (KO = OL) A) T değişmez, x azalır. B) T azalır, x azalır. C) T değişmez, x artar. D) İkisi de artar. E) T artar, x değişmez.

Sarkaçlar aynı anda bırakılınca düşey konuma eşit I. a > i II. mK = mL III. lK =lL



eşitliklerinden hangileri kesinlikle doğru olur? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız III E) I, II ve III

9. r

K



r

O

12. Asansör içinde bulunan ayarlanmış sarkaçlı bir sa-

L

at için;

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan bir cisim için;

I. Asansör hızlanarak yukarı çıkarken saat ileri gider. II. Asansör yukarı yavaşlayarak çıkarkan saat geri ka-

I. Cismin K ve L noktalarındaki ivmeleri eşittir.

lır.

II. Uzanımın maksimum olduğu yerde cismin ivmesi maksimumdur. III. Cismin genliği arttırılırsa cismin denge konumundan geçiş hızı artar.

yargılarından hangileri doğru olur? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III 1. B

110

2. B

III. Asansör sabit hızla çıkarken sarkaçlı saat zamanı doğru gösterir.

yargılarından hangileri doğru olur? A) I ve II

C) Yalnız II

D) II ve III

E) I, II ve III 3. D

4. C

B) I ve III

5. C

6. B

7. E

8. C

9. D

10. D

C) Yalnız II E) I, II ve III

11. C

12. E



BASİT HARMONİK HAREKET

1.

k

X

4.

Y



K

m 16k

m K



L

O

M

L

M

K ve M noktaları arasında basit harmonik hareket yapan bir cisim, en büyük ivme değerine ulaştığı anda; I. Uzanım,

N

II. Hız,

Sürtünmesiz yatay düzlemde denge konumları O doğrultusu, yay sabitleri ve k ve 16k olan sıkıştırılmış yayların üstten görünüşü şekildeki gibidir. Sıkıştırılmış yaylar

III. Kuvvet

aynı anda serbest bırakılıyorlar.

TEST – 22

niceliklerinden hangileri o anda en büyük değerine ulaşır? A) I ve II

Buna göre, eşit kütleli cisimlerden Y cismi, N doğ-

B) I ve III

C) Yalnız III

D) II ve III

E) I, II ve III

rultusundan 2. kez geçtiğinde X cismi hangi doğrultu veya doğrultular arasında bulunur? A) O doğrultusu B)

5.

OM doğrultuları arası

Konum(cm)

C) M doğrultusu

10

D) MN doğrultuları arası E) N doğrultusu

K O

2.

Bir yaya bağlı m kütleli cisim düşey düzlemde basit harmonik hareket yapmaktadır. Periyodu T, yaydaki maksimum genlik ise x tir.



m kütleli cisme özdeş bir kütle şekilde-

6

8

t(s)

–10

Sürtünmesiz ortamda eğik zemindeki K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan cismin konumzaman grafiği şekildeki gibidir.



Grafikteki bilinenlerle; I. Hareketin periyodu,

ki gibi eklenirse T ve x için aşağıdakiler-

II. Cismin O noktasındaki hızı,

den hangisi doğru olur?

III. Cismin K noktasındaki ivmesi

A) T artar, x azalır. B)

Li

k m

4

2



T azalır, x azalır.

niceliklerinden hangileri bulunabilir? (KO = OL) A) I ve II

C) İkisi de artar.

B) I ve III D) II ve III

D) T değişmez, x artar.

C) Yalnız II E) I, II ve III

E) T artar, x değişmez.

6. 3. x

K



O

x

L

Sürtünmesiz ortamda denge konumu O noktası olan yay



hareket yapmaktadır. m kütleli cismin maksimum hızı j,

II. l nin arttırılması,

cisme etki eden maksimum kuvvet F ve periyodu T dir.

A) Yalnız j

B) j ve F

D) j ve T

C) F ve T E) Yalnız F

K

L O

III. Cismin kütlesinin azaltılması

Cismin hareket genliği x artırılırsa j, F ve T büyüklüklerinden hangileri artar?

ℓ

Buna göre, I. Yerçekim ivmesinin arttırılması,

sarkacı KL noktaları arasında x genliği ile basit harmonik



m kütleli cisim, l boyundaki ipin ucunda K ve L noktaları arasında T periyodu ile basit harmonik hareket yapmaktadır.

işlemlerinden hangileri T yi arttırır? A) Yalnız II

B) I ve III

D) II ve III

C) Yalnız III E) I, II ve III 111

7.



10. K ve L noktaları arasın-

Yukarı yönde sabit hızla hareket eden asansör içinde basit harmonik hareket yapan sarkacın genliği x, periyodu T dir. Asansör yukarı yönde sabit a ivmesi ile hızlanan hareket yaparsa x ve T nasıl değişir? A) İkisi de artar.

m



B) x artar, T azalır.

C) İkisi de azalır.

da salınım hareketi yapan basit sarkaç K noktasından O noktasına gelirken; I. Hızı artar. II. Mekanik enerjisi artar. III. İvmesi artar.

k

D) x azalır, T artar.

yargılarından doğru olur? A) Yalnız I

E) x artar, T değişmez.

hangileri K

L O

B) I ve III C) Yalnız II D) II ve III E) I, II ve III

11.

8.

ℓ

Enerji

a i E

L

EK

EP x0 k

O

N



Yay sabiti k olan yay sarkacı ile uzunluğu L olan basit sarkaç M ve N noktaları arasında basit harmonik hareket yapmaktadır.



Cisimlerin salınım periyotları eşit olduğuna göre, yaya bağlı m kütleli cismin ağırlığı aşağıdakilerden hangisine eşit olur? A)

Yatay sürtünmesiz düzlemde bir yayın ucunda basit harmonik hareket yapan cismin enerji-uzanım grafiği şekildeki gibidir.



Enerji (E), kütle (m) ve uzanım (x0) nicelikleri bilindiğine göre; I. Cismin denge konumundan geçiş hızı, II. Cisme etki eden kuvvetin maksimum değeri, III. Yayın yay sabiti,



niceliklerinden hangileri bulunabilir? A) I ve II B) I ve III C) Yalnız II D) II ve III E) I, II ve III

m M

1 k.L

b)

L k

C)

D) k.L

9.

E)

r

k L

12. i i

a a

O

r

k L

Uzanım



r II

I

i

r

m L

K





Merkezi O noktası olan sürtünmesiz r yarıçaplı yarım kürenin içinde m kütleli bir cisim K ve L noktaları arasında T periyoduyla basit harmonik hareket yapmaktadır.



Buna göre, I. g: yerçekim ivmesi,



II. m: cismin kütlesi, niceliklerinden hangilerinin değişmesi T periyodunu etkilemez? A) Yalnız I

B) I ve II D) II ve III 1. D

112

2. C

C) Yalnız II



4. B

5. E

O

A) I ve II

6. A

7. E

m2

L O

Denge konumları O noktası olan sarkaçlar aynı ortamda sırasıyla KL ve MN noktaları arasında salınım hareketi yapmaktadır. I. sarkacın periyodu II. sarkacın periyodundan büyük olduğuna göre, I. i > a dır. II. I. sarkacın ipi II. sarkacın ipinden uzundur. III. I. sarkaca bağlı kütle II. sarkaca bağlı kütleden büyüktür. yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur?

E) I, II ve III 3. B

L

m1

III. r: kürenin yarıçapı

M

K

8. D

B) I ve III C) Yalnız II D) II ve III E) I, II ve III

9. C

10. A

11. E

12. C



BASİT HARMONİK HAREKET

1. K



4.

O L

Sürtünmesiz ortamda sıkışmış yayın ucuna tutturulmuş m kütleli buz,

M

K ve M noktaları arasında basit harmonik hareket yapan bir cisim L'den M'ye doğru hareket ederken; I. Uzanımı,



TEST – 23

monik hareket yapmaktadır.

K

Buna göre, buz erirken;

buz

II. Hızı,

I. Yayın genliği artar.

III. Genliği,

II. Hareketin periyodu azalır.

IV. İvmesi

III. Yayın yay sabiti artar.

niceliklerinden hangileri LM arasında değişmez? (Aralıklar değişmez.) A) I ve II

B) II ve III D) I, II ve III



x L

B) II ve III D) I, II ve III

E) II, III ve IV

5.

x

O

yargılarından hangileri doğru olur? A) I ve II

C) Yalnız III

2.

k

K ve L noktaları arasında basit har-

C) Yalnız II E) II, III ve IV

Kütlesi m, boyu l olan basit bir sarkaç, çekim ivmesinin g ol-

x

K

x

O



Sürtünmesiz ortamda denge konumu O noktası olan yay sarkacı KL noktaları arasında x genliği ile basit harmonik hareket yapmaktadır.



Yay sarkacının genliği ve yay sabiti bilinenleriyle;



duğu bir ortamda şekildeki gibi

L

i

basit harmonik hareket yap-

ℓ

maktadır.

Cismin

salınım

frekansını

arttırabilmek için, m, l, g ve

I. F: cisme etki eden maksimum kuvvet,

i büyüklüklerinden hangile- m

II. T: cismin periyodu,

rinin azaltılması gerekir?

III. j: cismin maksimum hızı

A) Yalnız g

niceliklerinden hangileri bulunabilir? A) Yalnız I

B) I ve II D) II ve III

B) Yalnız l

D) g ve l

C) m, g ve i E) i, g ve l

C) Yalnız II E) I, II ve III

6. 3.

m2

F

j

m3

m1





Aşağı yönde sabit hızla hareket eden sürtünmesiz asansör sisteminde basit sarkaç, yay sarkacı ve eğik düzlem şekildeki gibi yerleştirilmiştir. Asansör aşağı yönde sabit a ivmesi ile yavaşlamaya başladığında; I. Basit sarkacın periyodu azalır. II. Yay sarkacının salınım frekansı artar. III. Eğik düzlemdeki cismin hareket ivmesi artar.



yargılarından hangileri doğru olur? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

m K



L O

KL noktaları arasında salınım yapan sarkaç, ipin ucuna uygulanan F kuvveti ile dengeleniyor.



Sarkaç K noktasından O noktasına gelirken m kütleli cismin hızı ve sarkacı dengeleyen F kuvveti nasıl değişir? A) İkisi de artar.

B) F artar, T azalır.

C) İkisi de azalır.

D) F azalır, T artar.



E) F değişmez, T artar. 113

7.

Şekildeki asansör aşağı yönde sabit hızla hareket ederken yay sarkacının periyodu T1, basit sarkacın periyodu T2 dir.



Asansör aşağı yönde sabit a ivmesi ile hızlanırsa T1 ve T2 nasıl değişir?

A) B) C) D) E)

10.

m2 çivi

m1

8.

L

K

T1 artar, T2 artar. T1 değişmez, T2 artar. T1 azalır, T2 artar. T1 değişmez, T2 azalır. T1 değişmez, T2 değişmez.

O hL

hK



Sürtünmesiz ortamda K noktasından serbest bırakılan m kütleli cisim denge konumundan geçerken çiviye takılıyor ve L noktasına kadar çıkıyor.



Cismin K ve L noktalarında yerden yükseklikleri hK ve hL, KO ve OL noktaları arasını alma süreleri t1 ve t2 olduğuna göre, bunlar arasında nasıl bir ilişki vardır? A) hK = hL, t1 > t 2 B) hL > hK, t 2 > t1 C) hK > hL, t1 > t 2 D) hK > hL, t1 = t 2 E) hK = hL, t 2 > t1

İvme +a

+x

Uzama

–x

–a



Basit harmonik hareket yapan m kütleli yay sarkacının ivmeye bağlı uzanım grafiği şekildeki gibidir.



Buna göre, cismin ivmesi a, genliği x ve kütlesi m bilinenleriyle; I. Yay sabiti,

11. m ve 4m kütleli cisimler 4l ve l uzunluğundaki iplerin ucuna bağlanıp K ve L noktalarından aynı anda bırakılıyorlar.

yargılarından hangileri doğrudur?



B) I ve III C) Yalnız II D) II ve III E) I, II ve III

Şekildeki m kütleli basit sarkaç, O denge konumundan 2i açısı kadar açılıp serbest bırakılıyor.

A) I ve II

12.

Sarkaç K'den, L'ye t sürede geldiğine K göre;

N L

O

M

II. Sarkacın periyodu 8t den küçüktür.

114

2. A

3. D

5. B

6. A

L



Kütle, genlik ve yay sabiti bilinenleriyle; I. Cismin maksimum hızı, II. Cismin frekansı III. Cismin maksimum ivmesi niceliklerinden hangileri bulunabilir? A) I ve II B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III



4. C

x

Sürtünmesiz yatay düzlemde m kütleli bir cisim, K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapmaktadır.

B) I ve III C) Yalnız II D) II ve IV E) I, II ve III 1. C

O



III. m kütlesi O'dan M'ye t den daha uzun sürede gelir. yargılarından hangileri doğru olur?

x

K

IV. m kütlesi L'den O'ya t den daha kısa sürede gelir. A) I ve II

B) I ve III C) II ve III D) Yalnız III E) I, II ve III

i i i i

I. Sarkacın periyodu 8t dir.



4ℓ



III. Yayda depo edilen toplam enerji

9.

L 4m

Basit harmonik hareket yapan cisimler için; I. Cisimlerin maksimum m hızları eşittir. K I II O II. Cisimlerin ilk karşılaşmaları II aralığında gerçekleşir. III. Cisimlerin maksimum kinetik enerjileri eşittir.

niceliklerinden hangileri bulunabilir? A) I ve II

ℓ



II. Kullanılan yayın boyu,

i i

7. B

8. B

9. D

10. A

11. D

12. E



BASİT HARMONİK HAREKET

1.

m2







4.

m1 x

K

r

K x

O

L

O noktasından K noktasına kadar sıkıştırılmış yay serbest bırakılıyor ve kütlesi m2 olan bir cisim j hızıyla m1 kütleli cisme çarpıyor. Esnek olmayan çarpışma sonrası sistem K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapıyor. Buna göre, sistemin salınım periyodu; I. k yay sabitine, II. m1 kütlesine, III. m2 kütlesinin çarpışma öncesi j hızına niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) I ve II

TEST – 24

B) I ve III C) Yalnız II D) II ve III E) I, II ve III



I. O noktasından geçerken hızı maksimumdur. II. L noktasında iken ivmesinin değeri maksimum, yönü O noktasına doğrudur. III. O noktasından L noktasına doğru hareket ederken cisme etki eden geri çağrıcı kuvvet artar.

yargılarından hangileri doğru olur? A) I ve II

B) I ve III C) Yalnız II D) II ve III E) I, II ve III

5. a a

i i ℓ2

ℓ1

k ℓ

m

m2

m1 K

L



Yerçekim ivmeleri farklı olan gezegenlerde basit harmonik hareket yapan şekildeki m1 ve m2 kütleli basit sarkaçların periyotları T1 ve T2, ip uzunlukları l1 ve l2, genlik açıları ise a ve i dır.



T1 = T2 olduğuna göre,

O



Esnek bir yayın ucuna bağlı m kütlesi ile sarkacın ucuna bağlı m kütlesi basit harmonik hareket yapmaktadır. Periyotları T1 ve T2 olan esnek yayın ve sarkacın boyları yarıya indirilirse hareket periyotları nasıl değişir? A) T1 artar, T2 artar. B) T1 azalır, T2 azalır. C) T1 artar, T2 azalır. D) T1 değişmez, T2 azalır. E) T1 değişmez, T2 değişmez.

3.

I. m1 = m2 dir.

II. l1.g2 = l2.g1 dir. III. a = i dır.

A) I ve II

L

K

B) I ve III C) Yalnız II D) II ve III E) I, II ve III

j

a

+j

+a

F +F

K

k m

O

+x x

–x

L

İpin ve yayın ucuna bağlı m kütleli buz parçaları KL noktaları arasında basit harmonik hareket yapmaktadır. Buz erirken sarkaçların periyotları nasıl değişir? A) T1 artar, T2 artar. B) T1 artar, T2 azalır. C) T1 azalır, T2 artar. D) T1 değişmez, T2 azalır. E) T1 değişmez, T2 değişmez.

–x

+x

–x

+x

x –a

O



yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur?

6. ℓ



L

K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan cisim için;

2.



r

O

Şekil–I

Şekil–II

x

–F Şekil–III



Basit harmonik hareket yapan bir cismin denge konumunda olan x uzaklığına bağlı olarak hız, ivme ve kuvvet grafikleri yukarıdaki gibi verilmiştir.



Buna göre, verilen grafiklerden hangileri doğru olarak çizilmiştir? A) I ve II

B) I ve III D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III 115

7.

10. K ve L noktaları arasında salınım hareketi yapan m kütleli cismin periyodu T, O

F�

F

noktasından geçiş hızı ise j dir.

i

i



Sarkacın genliği (x) iki katına çıkarılırsa, cismin

m

periyodu ve denge ko- K m

x

numundan geçiş hızı ne olur? Şekil–II

Şekil–I



A) T, 2j

Şekil–I deki sarkacın periyodu T ve sarkaç O noktasın-

B) 2T, j D) T, 4j

dan geçerken sarkacı dengelemek için ipin ucuna uygu-

L

x

O Denge konumu

C) 2T, 2j E) 2T, 4j

lanan kuvvet F'tir. İp bir miktar çekilerek cismin aynı açı ile şekil–II deki salınım hareketinin yapılması sağlanıyor.

Bu durumda sarkacın periyodu T ile O noktasından geçerken sistemi dengeleyen F' kuvveti ilk duruma

11.

göre nasıl değişir? A) İkisi de artar.

K

C) F artar, T azalır.



D) F azalır, T artar.

O

L

B) İkisi de azalır.

M

N

Esnek bir yayın ucuna bağlı bir cisim, K ve N noktaları arasında basit harmonik hareket yapmaktadır.

E) F değişmez, T azalır.

Cismin O noktasındaki hızı aşağıdakilerden hangilerine bağlıdır? (Aralıklar eşittir.) I. Yay sabitine,

8.

II. Cismin kütlesine,

O

K

P

III. Hareketin genliğine A) I ve II

L

D) II ve III

N

C) Yalnız II E) I, II ve III



M



B) I ve III

Merkezi O noktası olan sürtünmesiz KP rayının K noktasından serbest bırakılan cismin periyodu 12 s dir. Cisim K noktasından serbest bırakılıyor.



Buna göre, cisim 32 saniye sonra hangi noktada bu-

12.

lunur? A) K

B) L

C) M

D) N

Uzanım (m) 0,5

E) P

12 6

Zaman(s)

–0,5



9.

Basit harmonik hareket yapan bir cismin denge konumundan 3 cm uzakta iken ivmesi 27 cm/s2 dir.



1 4

1. A 116

grafiği şekildeki gibidir.

Buna göre, cismin frekansı kaç s–1 dir? (r = 3) A)

B) 2. B

1 2

C) 3. D

3 5

D) 4. E

3 4 5. C

E)

Basit harmonik hareket yapan bir cismin uzanım-zaman Buna göre, cismin denge konumundan 0,3 m uzaklıkta iken hız kaç m/s dir? (r = 3)

4 5 6. C

A) 7. E

1 5 8. D

B)

1 2

9. B

C)

3 5

10. A

D)

3 4

11. E

E) 12. A

4 5



BASİT HARMONİK HAREKET

1.

k2

k1

4.

k3

m

m

m

a

i

b



Yay sabitleri k1, k2 ve k3 olan sürtünmesiz sistemlerde kütleleri m olan cisimlerin periyotları eşittir.



Eğik zeminlerin yatayla yaptıkları açılar arasında



a > i > b ilişkisi olduğuna göre, yay sabitlerinin büyüklükleri arasındaki ilişki ne olur? A) k1 > k 2 > k3

B) k1 = k 2 = k3

D) k 2 > k1 > k3

C) k1 > k3 > k 2



TEST – 25

K noktasından serbest bırakılan cisim, K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapıyor.

i

i açısı artırılırsa; I. Cismin periyodu artar. II. Denge konumundan geçiş hızı artar. III. Çıkabileceği maksimum yükseklikteki potaniyel enerjisi artar.



O Denge konumu

ifadelerinden hangileri doğru olur? A) Yalnız I

E) k3 > k 2 > k1

L

K

B) I ve II D) II ve III

C) Yalnız II E) I, II ve III

2. 5.

j m

O X K

Y L

M

O

R

N



Eşit kütleli X ve Y cisimleri şekillerdeki konumlardan aynı anda serbest bırakılıyor.



Buna göre, cisimler ilk kez hangi nokta veya noktalar arasında karşılaşırlar? (Aralıklar eşittir.) A) M noktası

B) M–O arası

D) O–N arası



Uzunluğu l olan bir yayın ucuna bağlanan m kütleli cisme yatay düzlem üzerinde ve O noktası etrafında düzgün çembersel hareket yaptırılıyor.



Buna göre, cismin periyodu;

P

C) O noktası

E) N noktası

I. Yayın boyuna, II. Cismin kütlesine, III. Cismin çizgisel hızına,

niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) Yalnız I

B) I ve II D) I ve III

C) Yalnız III E) I, II ve III

3. yay +x

6.

–x

x

x Denge konumu



x

K

Denge konumu



X hava

m

Bir yayın ve bir sarkacın ucundaki m kütleli cisimler, yerçekim ivmesinin g olduğu bir ortamda f1 ve f2 frekansları ile salınım hareketi yapıyorlar. Çekim ivmesinin daha küçük olduğu bir gezegende f1 ve f2 frekansları nasıl değişir? A) f1 artar, f 2 azalır. C) f1 azalır, f 2 artar.

B) f1 değişmez, f 2 artar. D) f1 ve f 2 azalır.

E) f1 değişmez, f 2 azalır.

O

x

L



Kutu içindeki hava basıncı, ortamdaki hava basıncından büyük olacak şekilde ağzı kapalı kutu, K ve L noktaları arasında basit harmonik hareket yapıyor.



X musluğu açılırsa; I. Kutunun salınım periyodu azalır. II. Yayda depolanan enerji değişmez. III. Kutunun salınım genliği değişmez.



ifadelerinden hagnileri doğrudur? (Ortam sürtünmesizdir.) A) Yalnız I

B) I ve II D) II ve III

C) Yalnız III E) I, II ve III

117

7.

10.

Hız

k1 II

I

III Zaman



k2

m

İçinde basit sarkaç bulunan asansör aşağı yönde hare-

m

ket ederken asansörün hız-zaman grafiği şekildeki gibi sıyla T1, T2 ve T3'tür.



oluşturuluyor.

sı aşağıdakilerden hangisi gibi olur? B) T1 > T2 > T3

D) T2 > T3 > T1

C) T2 > T1 > T3

Yay sabitleri k1 ve k2 olan eşit uzunluktaki yayların uçlarına, eşit kütleli cisimler asılarak şekillerdeki sistemler

Buna göre, periyotlar arasındaki büyüklük sıralamaA) T1 = T2 = T3

Şekil–II

Şekil–I

oluyor. I., II. ve III. bölgelerde sarkacın periyotları sıra

k1

k2



E) T3 > T2 > T1

Şekil–I deki sistemin periyodu T1, şekil–II deki sistemin periyodu T2 olduğuna göre,

T1 T2

oranı aşağıdaki-

lerden hangisine eşittir?

8.

A) a

a

2a

ℓ

ℓ

k1 k2



B) D)

2ℓ

k 1 .k 2

k1 + k2

k1 + k2



E)

C)

k1 . k2

k1 + k2

k2 k1



11. Basit harmonik hareket yapan yay sarkacının periyodu T1, basit sarkacın periyodu T2 dir. Şekil–I





Şekil–III

Şekil–II

Sırasıyla l, l ve 2l uzunluğundaki iplerin ucuna asılı öz-

T2 periyotları ilk duruma göre nasıl değişir?

deş cisimler, a, 2a ve a açılarıyla basit harmonik hare-

A) T1 azalır, T2 azalır.

ket yapmaktadır.

Her iki sarkacın boyu yarıya düşürüldüğünde T1 ve

C) T1 artar, T2 artar.

B) T1 artar, T2 azalır.

D) T1 değişmez, T2 azalır.

E) T1 değişmez, T2 artar.

Basit sarkaçların periyotları T1, T2, T3 arasındaki büyüklük ilişkisi nasıl olur? A) T1 > T2 > T3

B) T1 = T2 > T3

D) T3 > T1 = T2

C) T2 > T1 = T3

E) T1 = T2 = T3

12.

2m

m D.K

9.

x

K ve L noktaları arasındaki basit harmonik ha-

I. Sarkacın kütlesine, II. Yerçekim ivmesine,

Sürtünmesiz ortamda özdeş iki yayın ucuna 2m ve m kütleli cisimler bağlanıyor ve yaylar denge konumuna göre, x ve 2x kadar sıkıştırılarak cisimlere basit harmonik hareket yaptırılıyor.



Buna göre, 2m ve m kütleli cisimlerin;

1. B

2. C

II. Maksimum hızları eşittir.

L

III. Maksimum ivmeleri arasında a1 > a2 ilişkisi vardır.

O



B) I ve II D) II ve III

118

I. Periyotları arasında T1 > T2 ilişkisi vardır.

III. Sarkaç ipinin uzunluğuna K niceliklerinden hangilerine bağlıdır? A) Yalnız I

2x



reket yapan cismin periyodu;



D.K

C) I ve III

ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I

E) I, II ve III 3. E

4. D

B) I ve II D) II ve III

5. E

6. A

7. B

8. D

9. D

10. C

C) I ve III E) I, II ve III

11. A

12. A

NOTLARIM

119

NOTLARIM

120