Wärme- und Stoffübertragung [6., neu bearb. Aufl.] 354087688X, 9783540876885 [PDF]

Zitiervorschau

H.D. Baehr · K. Stephan Wärme- und Stoffübertragung

Hans Dieter Baehr · Karl Stephan

Wärme- und Stoffübertragung 6. neu bearbeitete Auflage Mit 343 Abbildungen

123

Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. Hans Dieter Baehr em. o. Professor für Thermodynamik an der Universität Hannover

Professor Dr.-Ing. Dr.-Ing. E.h. mult. Karl Stephan em. o. Professor für Technische Thermodynamik und Thermische Verfahrenstechnik an der Universität Stuttgart

ISBN 978-3-540-87688-5

e-ISBN 978-3-540-87689-2

DOI 10.1007/978-3-540-87689-2 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c 2008, 2006, 2003 Springer-Verlag Berlin Heidelberg  Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Digitale Druckvorlage der Autoren Herstellung: le-tex publishing services oHG Einbandgestaltung: eStudioCalamar S.L., F. Steinen-Broo, Girona, Spain

Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de

Vorwort zur sechsten Auflage

F¨ ur die sechste Auflage unseres Buchs haben wir das Kapitel u ¨ber die numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen neu gegliedert und erweitert. Hinzugekommen ist ein Kapitel u osung von W¨armeleitproblemen ¨ber die numerische L¨ mit der Finite-Element-Methode. Es soll den Studierenden so weit mit der Methode vertraut machen, dass er imstande ist, einfachere Probleme selbst zu l¨ osen und f¨ ur die L¨ osung schwierigerer Probleme eines der vielen Programme zu nutzen, die kommerziell oder im Internet erh¨altlich sind. Auch das Kapitel u ubergang in ¨ber den konvektiven W¨arme- und Stoff¨ por¨ osen K¨ orpern haben wir gr¨ undlich u ¨berarbeitet und erg¨anzt um ein Kapitel u arme¨ ubertragung in durchstr¨ omten Kan¨alen, die mit einem por¨osen ¨ ber die W¨ Stoff gef¨ ullt sind. ¨ Anderungen haben wir wie in fr¨ uheren Auflagen erneut in den Kapiteln vorgenommen, die Berechnungsgleichungen und auf Messungen basierende Korrelationen des W¨ arme¨ ubergangs enthalten. Sie geben den neuesten Stand unserer Kenntnisse wieder. Dank schulden wir vielen Freunden und Kollegen, die uns wertvolle Ratschl¨ age gaben und uns auf Druckfehler aufmerksam machten. Besonderer Dank geb¨ uhrt Herrn Dipl.-Ing. Jens K¨ orber, der uns geholfen hat, dem Verlag eine reproduktionsf¨ ahige Vorlage zu liefern. M¨ oge unser Buch auch weiterhin Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis n¨ utzlich sein. Den Studenten m¨ oge es helfen, die Gesetze der W¨armeund Stoff¨ ubertragung zu verstehen und sie bef¨ahigen, diese zur L¨osung der vielf¨ altigen praktischen Probleme erfolgreich anzuwenden.

Bochum und Stuttgart, im Herbst 2008

H.D. Baehr K. Stephan

vi

Vorwort

Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist aus Vorlesungen u arme- und Stoff¨ ubertragung entstan¨ ber W¨ den, die wir seit vielen Jahren an den Universit¨aten Hannover bzw. Stuttgart gehalten haben. Es wendet sich an Studenten des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik an Universit¨ aten und Fachhochschulen, aber auch an Studierende verwandter Fachrichtungen wie Elektrotechnik, Physik und Chemie. Unser Buch ist einerseits als Lehrbuch zum Gebrauch neben den Vorlesungen konzipiert; es soll den Studenten mit den Grundlagen der W¨armeund Stoff¨ ubertragung vertraut machen und ihn bef¨ahigen, dieses Wissen zur L¨ osung technischer Probleme einzusetzen. Andererseits haben wir das Buch breiter angelegt, die Theorie der W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung systematisch entwickelt und die L¨ osungsmethoden wichtiger W¨arme- und Stoff¨ ubertragungsprobleme ausf¨ uhrlich dargestellt. Daher d¨ urfte es auch Wissenschaftlern und Ingenieuren in der Praxis bei der Weiterbildung und als Nachschlagewerk bei der L¨ osung ihrer Aufgaben gute Dienste leisten. Wir haben den Stoff durch ausf¨ uhrliche Rechenbeispiele erl¨ autert und am Ende eines jeden Kapitels eine ¨ Reihe von Ubungsaufgaben zusammengestellt. Dies soll auch das Selbststudium erleichtern. Viele Vorg¨ ange der W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung und die zugeh¨origen Apparate lassen sich bereits mit Hilfe der Bilanzgleichungen unter Verwendung von W¨ arme- und Stoff¨ ubertragungskoeffizienten quantitativ erfassen, ohne dass ein tieferes Eindringen in die Theorie der W¨arme- und Stoff¨ ubertragung erforderlich ist. Solche Vorg¨ ange haben wir im ersten Kapitel behandelt, das auch die grundlegenden Begriffe und die Grundgesetze der W¨arme¨ und Stoff¨ ubertragung enth¨ alt. Der Student erh¨alt einen Uberblick u ¨ ber die ubertragung und lernt zu verschiedenartigen Vorg¨ ange der W¨ arme- und Stoff¨ einem fr¨ uhen Zeitpunkt, praktische Probleme zu l¨osen und die Apparate zur W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung zu berechnen. Dadurch wird auch die Motivation erh¨ oht, sich eingehender mit der Theorie zu befassen, die Gegenstand der folgenden Kapitel ist. Im zweiten Kapitel behandeln wir die station¨are und instation¨are W¨armeleitung und die Diffusion in ruhenden Medien. Es werden die grundlegenden Differentialgleichungen zur Berechnung von Temperaturfeldern hergeleitet. Wir zeigen, wie man sie in praktischen F¨allen unter Anwendung analytischer und numerischer Methoden l¨ ost. Neben den analytischen Verfahren der Laplace-Transformation und des klassischen Separationsansatzes stellen wir die f¨ ur die Praxis wichtigen Differenzenverfahren ausf¨ uhrlich dar. Viele der f¨ ur die W¨ armeleitung gewonnenen Ergebnisse lassen sich wegen der hier bestehenden Analogie auf die Diffusion u ¨ bertragen, und die mathematischen L¨ osungsans¨ atze sind f¨ ur beide Gebiete gleich. Das dritte Kapitel ist der konvektiven W¨arme- und Stoff¨ ubertragung gewidmet. Hier steht die Herleitung der Bilanzgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie str¨ omender reiner Fluide und Mehrstoffgemische im Vordergrund,

Vorwort

vii

ehe die Materialgesetze eingef¨ uhrt und die maßgebenden Differentialgleichungen f¨ ur Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsfelder hergeleitet werden. Als typische Anwendungen behandeln wir W¨arme- und Stoff¨ ubergang an u omten K¨ orpern und in durchstr¨ omten Kan¨alen, in Haufwerken und ¨berstr¨ ¨ Wirbelschichten, ebenso die freie Konvektion und die Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung. Eine Einf¨ uhrung in den W¨arme¨ ubergang bei kompressibler Str¨ omung beschließt dieses Kapitel. Im vierten Kapitel wird die W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung beim Kondensieren und beim Sieden in freier und erzwungener Str¨omung behandelt. Die Darstellung lehnt sich an das Buch W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren und ” beim Sieden“ (Berlin: Springer-Verlag 1988) von K. Stephan an. Dabei werden nicht nur reine Stoffe betrachtet; auch die Kondensation und das Sieden von Stoffgemischen wird in angemessenem Umfang er¨ortert. Die W¨ armestrahlung ist Gegenstand des f¨ unften Kapitels. Es unterscheidet sich von vielen anderen Darstellungen dadurch, dass zuerst die strahlungsphysikalischen Gr¨ oßen zur quantitativen Beschreibung der Richtungsund Wellenl¨ angenabh¨ angigkeit der Strahlung umfassend und eingehend behandelt werden. Erst nach einer strengen Formulierung des Kirchhoffschen Gesetzes wird der ideale Strahler, der Schwarze K¨orper, eingef¨ uhrt. Danach werden die Materialgesetze realer Strahler besprochen. Als Anwendungen werden die Solarstrahlung und die W¨ arme¨ ubertragung durch Strahlung eingehend behandelt. Eine Einf¨ uhrung in die Gasstrahlung, technisch wichtig f¨ ur Brennkammern und Feuerungen, schließt das Kapitel ab. Die W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung geh¨ ort an Universit¨aten und Fachhochschulen in der Regel zum Hauptstudium. Wir haben daher Kenntnisse in ufung geH¨ oherer Mathematik vorausgesetzt, wie sie bis zur Diplom-Vorpr¨ lehrt werden. F¨ ur den, der sich nur mit den Grundbegriffen und einfacheren technischen Anwendungen der W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung vertraut machen m¨ ochte, d¨ urfte bereits das Studium des ersten Kapitels ausreichen. Von Diplomingenieuren des Maschinenbaus und der Verfahrenstechnik werden weitergehende Kenntnisse erwartet. Der Maschineningenieur sollte mit den Grundlagen der W¨ armeleitung, der konvektiven W¨arme¨ ubertragung und der Strahlung vertraut sein, und er sollte u ¨ ber Grundkenntnisse der Stoffu ugen. Der Verfahrensingenieur ben¨otigt neben einem ver¨ bertragung verf¨ tieften Wissen auf diesen Gebieten auch gute Kenntnisse der W¨arme- und Stoff¨ ubertragung in mehrphasigen Str¨ omungen. Die zur Verf¨ ugung stehende Vorlesungszeit wird in der Regel nicht ausreichen, um den gesamten Stoff dieses Buches zu behandeln. Es ist aber wichtig, dass der Student ein breites Wissen der Grundlagen und Methoden erwirbt. Es gen¨ ugt dann, dieses an ausgew¨ ahlten Beispielen zu vertiefen und so die L¨osung von Problemen zu u ¨ ben. Beim Abfassen des Manuskripts haben wir uns die Arbeit geteilt. H.D. Baehr hat die Erstschrift der Abschnitte 1.1 bis 1.3, des Kapitels 2 (außer 2.5) und des Kapitels 5 besorgt, K. Stephan die der Abschnitte 1.4 bis 1.7 und 2.5 sowie der Kapitel 3 und 4. Gleichwohl hat durch gegenseitige Korrektur jedes

viii

Vorwort

¨ Kapitel Anderungen erfahren, so dass jeder von uns in gleicher Weise f¨ ur das ganze Buch verantwortlich ist. Bei der Anfertigung des Manuskripts und der zahlreichen Abbildungen haben uns einige unserer Mitarbeiter, vor allem die Herren Dipl.-Ing. F. Harms-Watzenberg, Hannover, und S. Winkler, Stuttgart, geholfen. Ihnen allen danken wir auch an dieser Stelle. Die hervorragende Beherrschung des elektronischen Textsatzsystems LATEX durch Herrn Harms-Watzenberg hat es uns erm¨ oglicht, dem Verlag eine reproduktionsf¨ahige Druckvorlage zu liefern. Auch dadurch war es m¨ oglich, trotz des erheblichen Umfangs unseres Buches einen f¨ ur ein Lehrbuch noch akzeptablen Preis zu erreichen.

Hannover und Stuttgart, im Herbst 1993

H.D. Baehr K. Stephan

Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv 1

Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . 1.1.1 W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨armeleitung . 1.1.3 Konvektiver W¨ arme¨ ubergang, W¨arme¨ ubergangskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Die Bestimmung von W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten. Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 W¨ armestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Strahlungsaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 W¨ armedurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Der W¨ armedurchgangskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Mehrschichtige W¨ ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 W¨ armedurchgang durch W¨ ande mit vergr¨oßerter Oberfl¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Abk¨ uhlung und Erw¨ armung d¨ unnwandiger Beh¨alter . . . 1.3 W¨ arme¨ ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Bauarten und Stromf¨ uhrungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Allgemeine Berechnungsgleichungen. Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Gegenstrom- und Gleichstrom-W¨arme¨ ubertrager . . . . . . 1.3.4 Kreuzstrom-W¨ arme¨ ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Betriebscharakteristiken f¨ ur weitere Stromf¨ uhrungen. Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Einseitige Diffusion, ¨aquimolare Diffusion . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Konvektiver Stoff¨ ubergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Stoff¨ ubergangstheorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 5 11 18 28 31 34 35 37 38 43 45 46 51 56 64 71 72 75 82 85 89

x

Inhaltsverzeichnis

1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4

Die Filmtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Die Grenzschichttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Die Penetrations- und die Oberfl¨achenerneuerungstheorie 96 Anwendung der Filmtheorie auf die Verdunstungsk¨ uhlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 1.6 Stoffdurchgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 1.7 Stoff¨ ubertrager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.7.1 Die Mengenbilanzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 1.7.2 Konzentrationsverlauf und H¨ohe von Stoffaustauschkolonnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.8 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2

W¨ armeleitung und Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.1.1 Die Herleitung der Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.1.2 Die W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur einen K¨orper mit konstanten Stoffwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.1.3 Die Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.1.4 Temperaturabh¨ angige Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ¨ 2.1.5 Ahnliche Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.2 Station¨ are W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.2.1 Geometrisch eindimensionale W¨armeleitung mit W¨ armequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 2.2.2 W¨ armeleitung in L¨ angsrichtung eines Stabes . . . . . . . . . . 136 2.2.3 Der Temperaturverlauf in Rippen und Nadeln . . . . . . . . . 141 2.2.4 Der Rippenwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 2.2.5 Geometrisch mehrdimensionaler W¨armefluss . . . . . . . . . . 149 2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3.1 L¨ osungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.3.2 Die Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 2.3.3 Der einseitig unendlich ausgedehnte K¨orper . . . . . . . . . . . 165 2.3.4 Abk¨ uhlung und Erw¨ armung einfacher K¨orper bei eindimensionalem W¨ armefluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 2.3.5 Abk¨ uhlung und Erw¨ armung bei mehrdimensionalem W¨ armefluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 2.3.6 Erstarren geometrisch einfacher K¨orper . . . . . . . . . . . . . . 196 2.3.7 W¨ armequellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 osung von W¨ armeleitproblemen mit 2.4 Numerische L¨ Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2.4.1 Das einfache explizite Differenzenverfahren f¨ ur instation¨ are W¨ armeleitprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 2.4.2 Die Diskretisierung der Randbedingungen . . . . . . . . . . . . 217 2.4.3 Das implizite Differenzenverfahren von J. Crank und P. Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Inhaltsverzeichnis

xi

2.4.4 Nichtkartesische Koordinaten. Temperaturabh¨angige Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 2.4.5 Instation¨ are ebene und r¨ aumliche Temperaturfelder . . . . 232 2.4.6 Station¨ are Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der Finite-Element-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 2.5.1 Die Finite-Element-Methode f¨ ur station¨are, geometrisch eindimensionale Temperaturfelder . . . . . . . . 246 2.5.2 Die Finite-Element-Methode f¨ ur ebene station¨are Temperaturfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 2.5.3 Die Finite-Element-Methode f¨ ur instation¨are, geometrisch eindimensionale W¨armeleitprobleme . . . . . . 258 2.5.4 Erweiterung auf instation¨ are, geometrisch zweidimensionale W¨ armeleitprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . 263 2.6 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 2.6.1 Bemerkungen u ¨ ber ruhende Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 2.6.2 Die Herleitung der Differentialgleichung f¨ ur das Konzentrationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 2.6.3 Vereinfachungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 2.6.4 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 2.6.5 Station¨ are Diffusion mit katalytischer Oberfl¨ achenreaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 2.6.6 Station¨ are Diffusion mit homogener chemischer Reaktion281 2.6.7 Instation¨ are Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 2.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 3

Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 3.1 Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨omung 300 3.2 Die Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 3.2.1 Das Reynoldssche Transporttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 3.2.2 Die Massenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 3.2.3 Die Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 3.2.4 Die Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 3.2.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 3.3 Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . 337 3.4 Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . 339 3.4.1 Schleichende Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 3.4.2 Reibungsfreie Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 3.4.3 Grenzschichtstr¨omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 3.5 Die Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 3.5.1 Die Str¨ omungsgrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 3.5.2 Die Temperaturgrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 3.5.3 Die Konzentrationsgrenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

xii

Inhaltsverzeichnis

3.6 3.7

3.8

3.9

3.10 3.11

3.12 4

3.5.4 Allgemeine Bemerkungen zur L¨osung der Grenzschichtgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 Einfluss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoff¨ ubergang . . . . 354 3.6.1 Turbulente Str¨ omungen an festen W¨anden . . . . . . . . . . . . 359 ¨ Uberstr¨ omte K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 3.7.1 Die parallel angestr¨ omte ebene Platte . . . . . . . . . . . . . . . . 364 3.7.2 Der quer angestr¨ omte Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 3.7.3 Quer angestr¨ omte Rohrb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 3.7.4 Einige empirische Gleichungen f¨ ur den W¨arme- und Stoff¨ ubergang an u berstr¨ o mten K¨ orpern . . . . . . . . . . . . . . 390 ¨ Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten . . . . . . . . . . . 393 3.8.1 Die laminare Rohrstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 3.8.2 Die turbulente Rohrstr¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 3.8.3 Haufwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 3.8.4 Por¨ ose K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 3.8.5 Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 3.8.6 Einige empirische Gleichungen f¨ ur den W¨arme- und Stoff¨ ubergang in durchstr¨ omten Kan¨alen, Haufwerken und Wirbelschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 Freie Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 3.9.1 Die Impulsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 3.9.2 W¨ arme¨ ubergang an einer senkrechten Wand bei laminarer Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 3.9.3 Einige empirische Gleichungen f¨ ur den W¨arme¨ ubergang bei freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 ubergang bei freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 3.9.4 Stoff¨ ¨ Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨omung . . . . . . . . . . 458 Kompressible Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 3.11.1 Das Temperaturfeld in einer kompressiblen Str¨omung . . 460 3.11.2 Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471

Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 4.1.1 Die verschiedenen Arten der Kondensation . . . . . . . . . . . 478 4.1.2 Die Nußeltsche Wasserhauttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 4.1.3 Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie . 485 4.1.4 Einfluss nicht kondensierbarer Gase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 4.1.5 Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut . . . . . . . . 496 4.1.6 Kondensation str¨ omender D¨ampfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 4.1.7 Tropfenkondensation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 4.1.8 Kondensation von Dampfgemischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 4.1.9 Einige empirische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524

Inhaltsverzeichnis

xiii

4.2.1 Die verschiedenen Arten der W¨arme¨ ubertragung . . . . . . 524 4.2.2 Die Entstehung von Dampfblasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 4.2.3 Mechanismen der W¨ arme¨ ubertragung beim Sieden in freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 4.2.4 Blasenfrequenz und Abreißdurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . 537 4.2.5 Die Nukijama-Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 4.2.6 Stabilit¨ at beim Sieden in freier Str¨omung . . . . . . . . . . . . . 541 4.2.7 Berechnung von W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten beim Sieden in freier Str¨ omung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 4.2.8 Einige empirische Gleichungen zum W¨arme¨ ubergang beim Blasensieden in freier Str¨omung . . . . . . . . . . . . . . . . 548 4.2.9 Zweiphasige Str¨ omungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 4.2.10 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden von Gemischen . . . . . . . . . 579 4.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 5

W¨ armestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 5.1 Grundlagen. Strahlungsphysikalische Gr¨oßen . . . . . . . . . . . . . . . . 588 5.1.1 Temperaturstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 5.1.2 Ausstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 5.1.3 Bestrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 5.1.4 Absorption von Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 5.1.5 Reflexion von Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 5.1.6 Hohlraumstrahlung. Gesetz von Kirchhoff . . . . . . . . . . . . 610 5.2 Die Strahlung des Schwarzen K¨ orpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 5.2.1 Definition und Realisierung des Schwarzen K¨orpers . . . . 614 5.2.2 Die spektrale Strahldichte und die spektrale spezifische Ausstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 5.2.3 Die spezifische Ausstrahlung und die Ausstrahlung in einem Wellenl¨ angenbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 5.3 Strahlungseigenschaften realer K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 5.3.1 Emissionsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 5.3.2 Die Beziehungen zwischen Emissions-, Absorptionsund Reflexionsgraden. Der graue Lambert-Strahler . . . . 628 5.3.3 Emissionsgrade realer K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633 5.3.4 Strahlungsdurchl¨ assige K¨ orper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 5.4 Solarstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 5.4.1 Extraterrestrische Solarstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 5.4.2 Die Schw¨ achung der Solarstrahlung in der Erdatmosph¨ are . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 5.4.3 Direkte Solarstrahlung am Erdboden . . . . . . . . . . . . . . . . 655 5.4.4 Diffuse Solarstrahlung und Globalstrahlung . . . . . . . . . . . 657 5.4.5 Absorptionsgrade f¨ ur Solarstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 5.5 Strahlungsaustausch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 5.5.1 Sichtfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 5.5.2 Strahlungsaustausch zwischen Schwarzen K¨orpern . . . . . 668

xiv

Inhaltsverzeichnis

5.5.3 Strahlungsaustausch zwischen grauen Lambert-Strahlern672 5.5.4 Strahlungsschutzschirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 5.6 Gasstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 5.6.1 Absorptionskoeffizient und optische Dicke . . . . . . . . . . . . 690 5.6.2 Absorptions- und Emissionsgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692 5.6.3 Ergebnisse f¨ ur den Emissionsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 5.6.4 Emissionsgrade und gleichwertige Schichtdicken von Gasr¨ aumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698 5.6.5 Strahlungsaustausch in einem gasgef¨ ullten Hohlraum . . . 704 5.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 Anhang A: Erg¨ anzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 A.1 Einf¨ uhrung in die Tensornotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 A.2 Zusammenhang zwischen mittlerem und thermodynamischem Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 A.3 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosit¨ at in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . 717 A.4 Navier-Stokes-Gleichungen eines inkompressiblen Fluids konstanter Viskosit¨ at in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 717 A.5 Entropiebilanz f¨ ur Gemische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 A.6 Zusammenhang zwischen partieller und spezifischer Enthalpie . 720 A.7 Berechnung der Konstanten an des Graetz-Nußelt-Problems (3.243) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 Anhang B: Stoffwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 Anhang C: L¨ osungen der Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777

Formelzeichen

Lateinische Buchstaben Zeichen

Bedeutung

SI-Einheit

A Am Aq AR a a aλ aλ at a∗ b b C c c c

Fl¨ ache mittlere Fl¨ ache Querschnittsfl¨ ache Rippen-Oberfl¨ ache Temperaturleitf¨ ahigkeit hemisph¨ arischer Gesamt-Absorptionsgrad spektraler Absorptionsgrad gerichteter spektraler Absorptionsgrad turbulente Temperaturleitf¨ ahigkeit volumenbezogene Oberfl¨ ache √ W¨ armeeindringkoeffizient, b = λc W  Laplace-Konstante, b = 2σ/g (L − G ) Verh¨ altnis der W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome spez. W¨ armekapazit¨ at Stoffmengenkonzentration Fortpflanzungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen Vakuum-Lichtgeschwindigkeit Reibungsbeiwert spez. isobare W¨ armekapazit¨ at Widerstandsbeiwert

m2 m2 m2 m2 m2 /s — — — m2 /s m2 /m3 s1/2 /(m2 K) m — J/(kg K) mol/m3 m/s

c0 cf cp cW

m/s — J/(kg K) —

xvi

Formelzeichen

D Dt d dA dh E E0 Eλ e F FA FW Fij F (0, λT ) f fj g H H H H˙ h h hg hi Δhv ˜v Δh I I j j∗ uj K K Kλ

bin¨ arer Diffusionskoeffizient turbulenter Diffusionskoeffizient Durchmesser Abreißdurchmesser von Dampfblasen hydraulischer Durchmesser Bestrahlungsst¨ arke Solarkonstante spektrale Bestrahlungsst¨ arke Einheitsvektor Kraft Auftriebskraft Widerstandskraft Sichtfaktor zwischen den Fl¨ achen i und j Anteilsfunktion der schwarzen Strahlung Frequenz von Dampfblasen volumenbezogene Kraft Fallbeschleunigung H¨ ohe Helligkeit Enthalpie Enthalpiestrom Planck-Konstante spez. Enthalpie spez. Gesamtenthalpie, hg = h + w2 /2 partielle spez. Enthalpie spez. Verdampfungsenthalpie molare Verdampfungsenthalpie Impuls Strahlst¨ arke Diffusionsstromdichte Diffusionsstromdichte im Schwerpunktssystem Diffusionsstromdichte im Teilchenbezugssystem Bestrahlungsdichte Permeabilit¨ at spektrale Bestrahlungsdichte

m2 /s m2 /s m m m W/m2 W/m2 W/(m2 μm) — N N N — — 1/s N/m3 m/s2 m W/m2 J J/s Js J/kg J/kg J/kg J/kg J/mol kg m/s W/(m2 sr) mol/(m2 s) kg/(m2 s) mol/(m2 s) W/(m2 sr) m2 W/(m2 μm)

Formelzeichen

k k k kG kH kj k1 k1 , k1 kn L L Lλ L0 LS l M M M Mλ M˙ ˜ M m mr m ˙ N Ni N˙ n n n˙ P

W¨ armedurchgangskoeffizient Absorptionszahl Boltzmann-Konstante spektraler Absorptionskoeffizient Henry-Koeffizient massebezogene Kraft Geschwindigkeitskonstante einer homogenen Reaktion erster Ordnung Geschwindigkeitskonstante einer homogenen (heterogenen) Reaktion erster Ordnung Geschwindigkeitskonstante einer heterogenen Reaktion n-ter Ordnung L¨ ange Strahldichte spektrale Strahldichte Bezugsl¨ ange L¨ oslichkeit L¨ ange, Mischungsweg Masse Modul, M = aΔt/Δx2 spez. Ausstrahlung spektrale spez. Ausstrahlung Massenstrom molare Masse, Molmasse optische Masse relative optische Masse Massenstromdichte Stoffmenge ¨ dimensionslose Ubertragungsf¨ ahigkeit (number of transfer units) des Stoffstroms i Stoffmengenstrom Brechzahl Normalenvektor Stoffmengenstromdichte Leistung

xvii

W/(m2 K) — J/K 1/m N/m2 N/kg 1/s m/s mol/(m2 s) (mol/m3 )n m W/(m2 sr) W/(m2 μm sr) m mol/(m3 Pa) m kg — W/m2 W/(m2 μm) kg/s kg/mol kg/m2 — kg/(m2 s) mol — mol/s — — mol/(m2 s) W

xviii

Formelzeichen

Pdiss p p+ Q Q˙

dissipierte Leistung Druck dimensionsloser Druck W¨ arme W¨ armestrom W¨ armestromdichte Radius W¨ armeleitwiderstand molare (universelle) Gaskonstante radiale Koordinate hemisph¨ arischer Gesamt-Reflexionsgrad spektraler Reflexionsgrad gerichteter spektraler Reflexionsgrad spez. elektrischer Widerstand dimensionslose radiale Koordinate Reaktionsrate Abschw¨ achungsfaktor beim Str¨ omungssieden Entropie spez. Entropie Parameter der Laplace-Transformation Schichtdicke Schlupf-Faktor, s = wG /wL L¨ angsteilung Querteilung thermodynamische Temperatur Eigentemperatur Staupunktstemperatur Zeit dimensionslose Zeit Abk¨ uhlzeit, K¨ uhldauer Spannungsvektor Relaxationszeit, tR = 1/k1 Relaxationszeit der Diffusion, tD = L2 /D Umfang innere Energie

q˙ R RL Rm r r rλ rλ re r+ r˙ S S s s s s sl sq T Te TSt t t+ tk tj tR tD U U

W Pa — J W W/m2 m K/W J/(mol K) m — — — Ωm — mol/(m3 s) — J/K J/(kg K) 1/s m — m m K K K s — s N/m2 s s m J

Formelzeichen

u u u V VA v W ˙ W ˙i W w w0 wS wτ w w+ X ˜ X x x ˜ x+ x∗ x∗th Y˜ y y˜ y+ z z z+ zR

mittlere molare Geschwindigkeit spez. innere Energie Laplace-Transformierte der Temperatur Volumen Abreißvolumen von Dampfblasen spez. Volumen Arbeit Leistungsdichte W¨ armekapazit¨ atsstrom des Fluids i Geschwindigkeit Bezugsgeschwindigkeit Schallgeschwindigkeit Schubspannungsgeschwindigkeit,  wτ = τ0 / Schwankungsgeschwindigkeit dimensionslose Geschwindigkeit Beladung; Lockhart-Martinelli-Parameter molare Beladung in der Fl¨ ussigphase Koordinate Molanteil in der Fl¨ ussigkeit dimensionslose x-Koordinate ˙L Str¨ omungsdampfgehalt, x∗ = M˙ G /M thermodynamischer Dampfgehalt molare Beladung in der Gasphase Koordinate Molanteil in der Gasphase dimensionslose y-Koordinate Anzahl axiale Koordinate dimensionslose z-Koordinate Rohrreihenzahl

xix

m/s J/kg K m3 m3 m3 /kg J W/m3 W/K m/s m/s m/s m/s m/s — — — m — — — — — m — — — m — —

Griechische Buchstaben Zeichen

Bedeutung

SI-Einheit

α αm

W¨ arme¨ ubergangskoeffizient mittlerer W¨ arme¨ ubergangskoeffizient

W/(m2 K) W/(m2 K)

xx

β β β β0 Γ˙ γ˙ Δ δ δij ε ε ε∗ ε ελ ελ εD εi ε˙ii ε˙ji εp εt ζ ζ η ηR Θ ϑ ϑ+ κ κG Λ λ λ λt

Formelzeichen

Stoff¨ ubergangskoeffizient thermischer Ausdehnungskoeffizient Polarwinkel, Zenitwinkel Randwinkel Massen-Produktionsrate molare Produktionsrate Differenz Dicke; Grenzschichtdicke Kronecker-Symbol Hohlraumanteil volumetrischer Dampfgehalt volumetrischer Str¨ omungsdampfgehalt hemisph¨ arischer Gesamt-Emissionsgrad hemisph¨ arischer spektraler Emissionsgrad gerichteter spektraler Emissionsgrad turbulenter Diffusionskoeffizient dimensionslose Temperatur¨ anderung des Stoffstroms i Dilatation Verzerrungstensor L¨ uckengrad turbulente Viskosit¨ at Widerstandsbeiwert Volumenviskosit¨ at dynamische Viskosit¨ at Rippenwirkungsgrad ¨ Ubertemperatur Temperatur dimensionslose Temperatur Isentropenexponent optische Dicke einer Gasschicht Wellenl¨ ange einer Schwingung Wellenl¨ ange W¨ armeleitf¨ ahigkeit turbulente W¨ armeleitf¨ ahigkeit

m/s 1/K rad rad kg/(m3 s) mol/(m3 s) — m — — — — — — — m2 /s — 1/s 1/s — m2 /s — kg/(m s) kg/(m s) — K K — — — m m W/(K m) W/(K m)

Formelzeichen

μ ν ν  σ σ ξ τ τλ τ τji Φ Φ ϕ Ψ ω ω ω˙

Diffusionswiderstandsfaktor kinematische Viskosit¨ at Frequenz Dichte Stefan-Boltzmann-Konstante Grenzfl¨ achenspannung Massenanteil Transmissionsgrad spektraler Transmissionsgrad Schubspannung Schubspannungstensor Strahlungsleistung, Strahlungsfluss Dissipationsleistung Winkel, Azimutwinkel Stromfunktion Raumwinkel Bezugsgeschwindigkeit Leistungsdichte

Indizes Zeichen

Bedeutung

A a abs B b dgl diss E e eff eq F G g I

Stoff A außen, Austrittquerschnitt absorbiert Stoff B Bestrahlung durchgelassen dissipiert ¨ Exzess, Uberschuss, Erzeugnis, Erstarrung Eintrittquerschnitt effektiv Gleichgewicht Fluid, Feed Gas geod¨ atisch an der Phasengrenze

— m2 /s 1/s kg/m3 W/(m2 K4 ) N/m — — — N/m2 N/m2 W W/m3 rad m2 /s sr m/s W/m2

xxi

xxii

Formelzeichen

i id K L lam m max min n P r ref S s tot turb U u V W α δ λ ω 0 ∞

innen ideal Stoff K, K¨ uhlmittel, Kondensator Fl¨ ussigkeit, Luft laminar mittel, molar (stoffmengenbezogen) Maximum Minimum Normalrichtung Partikel Reibung reflektiert, Referenzzustand Festk¨ orper, Sumpfprodukt, Sonne Schwarzer K¨ orper, S¨ attigung total turbulent Umgebung im Teilchenbezugssystem Verdampfer Wand, Wasser Anfang an der Stelle y = δ spektral Ende hervorgehobener Zustand; an der Stelle y = 0 in sehr großem Abstand; im Unendlichen

Dimensionslose Kennzahlen   Ar = [(S − F )/F ] d3P g/ν 2 Bi = αL/λ BiD = βL/D Bo = q/ ˙ (mΔh ˙ v) Da = k1 L/D Ec = w2 / (cp Δϑ) F o = at/L2

Archimedes-Zahl Biot-Zahl Biot-Zahl f¨ ur die Stoff¨ ubertragung Siedekennzahl (boiling number) Damk¨ ohler-Zahl (f¨ ur heterogene Reaktion 1. Ordnung) Eckert-Zahl Fourier-Zahl

Formelzeichen

F r = w2 / (gx) Ga = gL3 /ν 2 Gr = gβΔϑL3 /ν 2  2 Ha = k1 L2 /D Le = a/D M a = w/wS N u = αL/λ P e = wL/a P h = hE / [c (ϑE − ϑ0 )] P r = ν/a Ra = GrP r Re = wL/ν Sc = ν/D Sh = βL/D St = α/ (wcp ) St = 1/P h

Froude-Zahl Galilei-Zahl Grashof-Zahl Hatta-Zahl Lewis-Zahl Mach-Zahl Nußelt-Zahl P´eclet-Zahl Phasen¨ ubergangszahl Prandtl-Zahl Rayleigh-Zahl Reynolds-Zahl Schmidt-Zahl Sherwood-Zahl Stanton-Zahl Stefan-Zahl

xxiii

1 Einfu ¨ hrung. Technische Anwendungen

In diesem Kapitel werden grundlegende Begriffe und physikalische Gr¨oßen zur Beschreibung von W¨ arme- und Stoff¨ ubertragungsvorg¨angen eingef¨ uhrt sowie Grundgesetze der W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung behandelt. Mit ihrer Hilfe lassen sich bereits technisch wichtige Aufgaben l¨osen wie die Berechnung des W¨ armedurchgangs zwischen zwei Fluiden, die durch eine Wand getrennt sind, oder die Dimensionierung von Apparaten zur W¨arme- und Stoff¨ ubertragung. Wir behandeln daher solche relativ einfachen Berechnungsverfahren in diesem einf¨ uhrenden Kapitel, w¨ ahrend die eingehende Darstellung komplexer W¨armeund Stoff¨ ubertragungsprobleme den folgenden Kapiteln u ¨ berlassen bleibt.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ armeu ¨bertragung In der Thermodynamik bezeichnet man Energie, welche die Grenze eines Systems u arme, wenn der Energietransport allein durch ¨ berschreitet, dann als W¨ einen Temperaturunterschied zwischen dem System und seiner Umgebung bewirkt wird, vgl. [1.1], [1.2]. Nach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik fließt dabei W¨ arme stets in Richtung fallender thermodynamischer Temperatur u ¨ ber die Systemgrenze. Die Thermodynamik macht keine Aussage dar¨ uber, in welcher Weise der u armestrom vom treibenden Temperaturgef¨alle abh¨angt und wie ¨ bertragene W¨ schnell oder intensiv der irreversible Prozess W¨arme¨ ubertragung abl¨auft. Diese Gesetzm¨ aßigkeiten zu kl¨ aren, ist Aufgabe der Lehre von der W¨arme¨ ubertragung. Dabei unterscheidet man drei Arten des W¨armetransports: W¨armeleitung, konvektiven W¨ arme¨ ubergang und W¨ armestrahlung. In den folgenden Abschnitten werden ihre Grundgesetze einf¨ uhrend behandelt, auf denen die ausf¨ uhrlichen Darstellungen der W¨ armeleitung in Kapitel 2, des W¨arme¨ ubergangs in den Kapiteln 3 und 4 sowie der W¨ armestrahlung in Kapitel 5 aufbauen. Wir beschr¨ anken uns dabei auf eine ph¨anomenologische Erfassung

2

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

der Transportvorg¨ ange und benutzen die aus der Thermodynamik bekannten Gr¨ oßen Temperatur, W¨ arme, W¨ armestrom und W¨armestromdichte. Im Gegensatz zur Thermodynamik, die vorzugsweise mit ausgedehnten homogenen Systemen, den Phasen operiert, ist die W¨ arme¨ ubertragung eine Kontinuumstheorie, in der r¨ aumlich ausgedehnte Felder auftreten, die zudem von der Zeit abh¨ angen k¨ onnen. Dies hat auch Konsequenzen f¨ ur den W¨ armebegriff, mit dem in der Ther¨ modynamik nur Energie beim Ubergang u ¨ber eine Systemgrenze bezeichnet wird. In der W¨ arme¨ ubertragung spricht man dagegen auch von einem W¨ armestrom innerhalb eines K¨ orpers. Dieser Widerspruch zur Terminologie der Thermodynamik l¨ ost sich auf, wenn man beachtet, dass in einer Kontinuumstheorie die Volumen- oder Massenelemente eines K¨orpers als kleine Systeme betrachtet werden, zwischen denen auch Energie als W¨arme u ¨ bergehen kann. Es ist deshalb kein Verstoß gegen die Thermodynamik, wenn man von W¨ armestr¨ omen innerhalb eines festen K¨orpers oder eines Fluids spricht oder vom Vektorfeld der W¨ armestromdichte, das neben dem Temperaturfeld auftritt. Wie in der Thermodynamik verwendet man in der Lehre von der W¨arme¨ ubertragung die thermodynamische Temperatur T . Dabei kommt es mit Ausnahme der W¨ armestrahlung jedoch nicht auf den Nullpunkt der thermodynamischen Temperatur an; meistens spielen nur Temperaturdifferenzen eine Rolle. Man verwendet daher thermodynamische Temperaturen mit verschobenem Nullpunkt, wie es zum Beispiel die (thermodynamische) Celsiustemperatur ist. Derartige besondere Differenzen thermodynamischer Temperaturen bezeichnen wir mit ϑ, und es gilt ϑ := T − T0

(1.1)

mit T0 als einer frei w¨ ahlbaren, meistens der vorliegenden Problemstellung angepassten (thermodynamischen) Bezugstemperatur. F¨ ur T0 = 273,15 K stimmt ϑ mit der Celsiustemperatur u ¨ berein. In der Regel braucht man die Bezugstemperatur T0 nicht zu spezifizieren, weil Temperaturdifferenzen von T0 unabh¨ angig sind.

1.1.1 W¨ armeleitung W¨ armeleitung ist ein Energietransport zwischen benachbarten Molek¨ ulen aufgrund eines im Material vorhandenen Temperaturgradienten. In Metallen u ¨ bertragen auch die freien Elektronen Energie. In strahlungsundurchl¨assigen Festk¨ orpern wird Energie allein durch W¨ armeleitung transportiert, in Gasen und Fl¨ ussigkeiten u armeleitvorgang ein Energietransport ¨ berlagert sich dem W¨ durch die str¨ omende Bewegung (Konvektion) und durch W¨armestrahlung. Der Mechanismus der W¨ armeleitung in Festk¨orpern und Fluiden ist theoretisch schwierig zu erfassen. Wir verzichten darauf, diese Theorien n¨aher zu

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

3

behandeln; denn sie haben vornehmlich f¨ ur die Berechnung der Materialeigenschaft W¨ armeleitf¨ ahigkeit Bedeutung. Wir beschr¨anken uns auf die ph¨anomenologische Erfassung der W¨ armeleitung durch die aus der Thermodynamik bekannten Gr¨ oßen Temperatur, W¨ armestrom und W¨armestromdichte, was f¨ ur die Behandlung technisch interessanter W¨ armeleitprobleme v¨ollig ausreicht. Man beschreibt den Energietransport in einem w¨armeleitenden Material durch das Vektorfeld der W¨ armestromdichte ˙ q˙ = q(x, t) .

(1.2)

Im Sinne einer Kontinuumstheorie erfasst der Vektor W¨armestromdichte an einem durch den Vektor x gekennzeichneten Ort St¨arke und Richtung des Energiestroms, der auch von der Zeit t abh¨ angen kann. Die W¨armestromdichte q˙ ist so definiert, dass f¨ ur den W¨ armestrom dQ˙ durch ein beliebig orientiertes Fl¨ achenelement dA ˙ ˙ cos β dA . dQ˙ = q(x, t)n dA = |q|

(1.3)

gilt. Hierbei ist n der Einheitsvektor in Richtung der (¨außeren) Fl¨achennormale; er bildet mit q˙ den Winkel β, Abb. 1.1. Steht q˙ senkrecht auf dA (β = 0), so wird der W¨ armestrom dQ˙ am gr¨ oßten. Der W¨armestrom hat die Dimension einer auf die Zeit bezogenen Energie (W¨ armeleistung); seine SI-Einheit ist daher J/s = W. Die W¨ armestromdichte hat die Dimension eines auf die Fl¨ ache bezogenen W¨ armestroms; ihre Einheit ist J/s m2 = W/m2 .

Abb. 1.1: Fl¨ achenelement mit Normalenvektor n und dem Vektor der W¨ arme˙ stromdichte q.

Ursache des Energietransports durch W¨ armeleitung sind Temperaturgradienten im Material. Die Temperatur ϑ a ndert sich von Ort zu Ort und auch ¨ mit der Zeit. Die Gesamtheit der Temperaturen bildet das Temperaturfeld ϑ = ϑ(x, t) . Station¨ are Temperaturfelder h¨ angen von der Zeit t nicht ab; spielt die Zeit eine Rolle, so spricht man von einem instation¨ aren oder nichtstation¨aren Temperaturfeld. Alle Punkte des K¨ orpers, die zu einer bestimmten Zeit dieselbe Temperatur ϑ besitzen, kann man sich durch eine Fl¨ache verbunden denken. Diese isotherme Fl¨ ache oder kurz Isotherme trennt die Teile des K¨orpers mit h¨ oheren Temperaturen als ϑ von denen, deren Temperatur niedriger als ϑ ist.

4

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Die st¨ arkste Temperatur¨ anderung erfolgt normal zu den Isothermen und ist durch den Temperaturgradienten grad ϑ =

∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z

(1.4)

gegeben, wobei ex , ey und ez die Einheitsvektoren der drei Koordinatenrichtungen bedeuten. Der Gradienten-Vektor steht senkrecht auf der durch den betrachteten Punkt verlaufenden Isotherme und zeigt in Richtung des st¨arksten Temperaturanstiegs. Sieht man nun Temperaturgradienten als Ursache

Abb. 1.2: Punkt P auf der Isotherme ϑ = const mit dem Temperaturgradienten grad ϑ nach (1.4) und dem Vektor q˙ der W¨ armestromdichte nach (1.5).

der W¨ armestr¨ ome in einem w¨ armeleitenden Material an, so liegt es nahe, eine einfache Proportionalit¨ at zwischen Ursache und Wirkung anzunehmen und f¨ ur die W¨ armestromdichte q˙ = −λ grad ϑ (1.5) zu setzen. Dies ist das 1822 von J. B. Fourier1 angegebene Grundgesetz der W¨ armeleitung. Das in dieser Gleichung auftretende Minuszeichen ber¨ ucksichtigt den 2. Hauptsatz der Thermodynamik: W¨arme str¨omt in Richtung des Temperaturgef¨alles, Abb. 1.2. Die in (1.5) auftretende Proportionalit¨atskonstante ist eine Materialeigenschaft, die W¨ armeleitf¨ahigkeit λ = λ(ϑ, p) . Sie h¨ angt von der Temperatur ϑ und vom Druck p ab. In Gemischen ist sie zus¨ atzlich von deren Zusammensetzung abh¨ angig. Die W¨armeleitf¨ahigkeit λ ist ein Skalar, sofern das Material isotrop ist, sein W¨armeleitverm¨ogen zwar vom Ort, aber an einem festen Ort nicht von der Richtung abh¨angt. Isotrope Materialien werden wir, abgesehen von einigen speziellen Beispielen in 1

´ Jean Baptiste Fourier (1768–1830) war Professor f¨ ur Analysis an der Ecole Polytechnique in Paris und seit 1807 Mitglied der franz¨ osischen Akademie der Wissenschaften. 1822 erschien sein wichtigstes Werk, die Th´eorie analytique de la ” chaleur“. Sie ist die erste umfassende mathematische Theorie der W¨ armeleitung und enth¨ alt auch die Fourier-Reihen“ zur L¨ osung der Randwertaufgaben der ” instation¨ aren W¨ armeleitung.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung Tabelle 1.1: W¨ armeleitf¨ ahigkeit ausgew¨ ahlter Stoffe bei 20

Stoff λ in W/K m Silber 427 Kupfer 399 Aluminium 99,2 % 209 Eisen 81 Legierte St¨ ahle 13 . . . 48 Mauerwerk 0,5 . . . 1,3 Schaumstoffplatten 0,02 . . . 0,09

5

und 100 kPa

Stoff λ in W/K m Wasser 0,598 Kohlenwasserstoffe 0,10 . . . 0,15 CO2 0,0162 Luft 0,0257 Wasserstoff 0,179 Krypton 0,0093 R 123 0,0090

Kapitel 3, stets voraussetzen, obwohl einige Stoffe eine richtungsabh¨angige W¨ armeleitf¨ ahigkeit haben. So leitet Holz die W¨arme in Faserrichtung wesentlich besser als quer dazu. In solchen nichtisotropen Medien ist λ ein Tensor 2. Stufe, die Vektoren q˙ und grad ϑ bilden dann, anders als in Abb. 1.2, einen Winkel. In einem isotropen Material steht der Vektor der W¨armestromdichte stets senkrecht auf den isothermen Fl¨ achen. F¨ ur den W¨armestrom dQ˙ durch ein beliebig orientiertes Fl¨ achenelement dA erh¨alt man aus (1.3) und (1.5) dQ˙ = −λ ( grad ϑ) n dA = −λ

∂ϑ dA . ∂n

(1.6)

Dabei bedeutet ∂ ϑ/∂n die Ableitung von ϑ in Richtung der (¨außeren) Normale des Fl¨ achenelements. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit, deren SI-Einheit W/K m ist, geh¨ort zu den wichtigsten Materialeigenschaften der W¨ arme¨ ubertragung. Ihre Druckabh¨angigkeit braucht nur bei Gasen und Fl¨ ussigkeiten beachtet zu werden. Die Temperaturabh¨ angigkeit ist h¨ aufig nicht stark ausgepr¨agt, so dass sie vernachl¨assigt werden kann. Ausf¨ uhrlichere Tabellen von λ sind in Anhang B, Tabellen B.1 bis B.8, B.10 und B.11, zu finden. Wie aus der kurzen Tabelle 1.1 hervorgeht, haben Metalle sehr hohe W¨ armeleitf¨ ahigkeiten, feste elektrische Nichtleiter erheblich kleinere, w¨ ahrend Fl¨ ussigkeiten und vor allem Gase besonders kleine Werte von λ aufweisen. Hierauf beruht beispielsweise das geringe W¨armeleitverm¨ ogen schaumartiger Isolierstoffe; sie enthalten eine Vielzahl kleiner gasgef¨ ullter Hohlr¨ aume, und auch der diese Hohlr¨aume umgebende Feststoff hat eine geringe W¨ armeleitf¨ ahigkeit.

1.1.2 Station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung Als einfachen, aber praktisch wichtigen Anwendungsfall behandeln wir die von der Zeit unabh¨ angige (= station¨ are) W¨ armeleitung in einer ebenen Wand, einem Hohlzylinder und einer Hohlkugel. Wir nehmen dabei an, W¨arme str¨ome nur in eine Richtung, n¨ amlich senkrecht zu den beiden Oberfl¨achen der ebenen Wand, beim Hohlzylinder und bei der Hohlkugel nur in radialer Richtung,

6

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.3. Das Temperaturfeld h¨ angt dann nur von einer Ortskoordinate ab; man spricht von geometrisch eindimensionaler W¨armeleitung.

Abb. 1.3: Station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung. a Temperaturverlauf in einer ebenen Wand der Dicke δ = r2 − r1 , b Temperaturverlauf in einem Hohlzylinder (Rohrwand) oder einer Hohlkugel mit dem Innenradius r1 und dem Außenradius r2 .

Wir bezeichnen die Ortskoordinate in allen drei F¨allen, auch bei der ebenen Wand, mit r. Die Koordinatenfl¨ achen r = const sind isotherme Fl¨achen; es gilt also ϑ = ϑ(r). Insbesondere nehme ϑ f¨ ur r = r1 den konstanten Wert ϑ = ϑW1 , f¨ ur r = r2 den Wert ϑ = ϑW2 an. Diese beiden Oberfl¨achentemperaturen seien gegeben. Gesucht ist der Zusammenhang zwischen dem ˙ der durch die ebene oder gekr¨ W¨ armestrom Q, ummte Wand fließt, und der Temperaturdifferenz ϑW1 − ϑW2 . Zur Veranschaulichung nehmen wir ohne Einschr¨ ankung der Allgemeing¨ ultigkeit ϑW1 > ϑW2 an. W¨arme fließt dann in Richtung wachsender Werte von r. Der W¨ armestrom Q˙ hat einen bestimmten Wert, der an der inneren und ¨ außeren Oberfl¨ache und auf jeder Isotherme r = const gleich groß ist, weil im zeitlich station¨aren Zustand keine Energie in der Wand gespeichert werden kann. Nach dem Gesetz von Fourier erh¨ alt man f¨ ur den W¨armestrom dϑ Q˙ = q(r)A(r) ˙ = −λ(ϑ) A(r) . dr

(1.7)

F¨ ur die ebene Wand h¨ angt A nicht von r ab: A = A1 = A2 . Ist die W¨armeleitf¨ ahigkeit konstant, so wird auch der Temperaturgradient dϑ/dr konstant: Der station¨ are Temperaturverlauf in einer ebenen Wand mit konstantem λ ist linear. Dies trifft aber nicht auf den Hohlzylinder und die Hohlkugel zu und gilt auch f¨ ur die ebene Wand nicht, wenn λ von der Temperatur abh¨angt. In diesen allgemeinen F¨ allen ergibt sich aus (1.7) dr −λ(ϑ) dϑ = Q˙ A(r) und nach Integration u ¨ber die Wanddicke δ = r2 − r1

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung



r2

ϑW2

λ(ϑ) dϑ = Q˙

− ϑW1

7

dr . A(r)

r1

Nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung kann man hierf¨ ur δ −λm (ϑW2 − ϑW1 ) = Q˙ Am oder

λm Q˙ = Am (ϑW1 − ϑW2 ) (1.8) δ setzen. Der W¨ armestrom ist der Temperaturdifferenz zwischen den beiden Oberfl¨ achen direkt proportional. Fasst man die treibende“ Temperaturdiffe” renz in Analogie zur elektrischen Leitung als Potentialdifferenz (Spannung) auf, so entspricht λm Am /δ dem W¨ armeleitwert und sein Kehrwert RL :=

δ λm Am

(1.9)

dem W¨ armeleitwiderstand. In Analogie zur Elektrizit¨atsleitung gilt dann Q˙ = (ϑW1 − ϑW2 ) /RL .

(1.10)

Die durch 

ϑW2

1 λm := (ϑW2 − ϑW1 )

λ(ϑ) dϑ

(1.11)

ϑW1

eingef¨ uhrte mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Wandmaterials l¨asst sich leicht berechnen. In vielen F¨ allen kann man die Temperaturabh¨angigkeit von λ verangt λ linear von ϑ ab, so ergibt sich nachl¨ assigen; dann ist λm = λ. H¨ λm =

1 [λ (ϑW1 ) + λ (ϑW2 )] . 2

(1.12)

Diese Annahme einer linearen Temperaturabh¨ angigkeit von λ f¨ ur den Bereich ϑW1 ≤ ϑ ≤ ϑW2 ist in der Regel ausreichend, wenn man bedenkt, dass λ selten mit einer kleineren relativen Unsicherheit als 1 bis 2 % gemessen werden kann. Die mittlere Fl¨ ache Am in (1.8) ist durch 1 1 := Am r2 − r1

r2 r1

definiert. Nun gilt

dr A(r)

(1.13)

8

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

⎧ A1 = A2 f¨ ur die ebene Wand ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ f¨ ur den Hohlzylinder der L¨ange L A(r) = 2πLr ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4πr2 f¨ ur die Hohlkugel . Aus (1.13) erhalten wir damit ⎧ ⎪ A1 = A2 = 21 (A1 + A2 ) ebene Wand ⎪ ⎪ ⎨ Am = (A2 − A1 ) / ln (A2 /A1 ) Hohlzylinder ⎪ ⎪ ⎪√ ⎩ A1 A2 Hohlkugel .

(1.14)

(1.15)

Die mittlere Fl¨ ache Am ergibt sich als ein Mittelwert der beiden Oberfl¨achen A1 = A(r1 ) und A2 = A(r2 ). Wir erhalten das arithmetische Mittel bei der ebenen Wand, das logarithmische Mittel beim Hohlzylinder und das geometrische Mittel bei der Hohlkugel. Dabei gilt bekanntlich  1 A2 − A1 ≤ (A1 + A2 ) . A1 A2 ≤ ln (A2 /A1 ) 2 F¨ ur den W¨ armeleitwiderstand der drei W¨ande erh¨alt man ⎧ δ ebene Wand ⎪ ⎪ λm A ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ln (d2 /d1 ) Hohlzylinder RL = 2πLλm ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (d2 /d1 ) − 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2πd2 λm Hohlkugel .

(1.16)

Beim Hohlzylinder (Rohrwand) und bei der Hohlkugel wurde f¨ ur die Wanddicke 1 δ = r2 − r1 = (d2 − d1 ) 2 gesetzt, so dass sich RL durch die beiden Durchmesser d1 und d2 ausdr¨ ucken l¨ asst. Wir bestimmen nun noch den Temperaturverlauf in den drei W¨anden. Dabei beschr¨ anken wir uns auf den Fall λ = const. Mit A(r) nach (1.14) erh¨ alt man durch Integration von Q˙ dr − dϑ = λ A(r) f¨ ur das dimensionslose Temperaturverh¨ altnis ⎧ r −r 2 ebene Wand ⎪ ⎪ r2 − r1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ln (r /r) ϑ(r) − ϑW2 2 = ln (r /r ) Hohlzylinder 2 1 ⎪ ϑW1 − ϑW2 ⎪ ⎪ ⎪ 1/r − 1/r ⎪ 2 ⎩ Hohlkugel . 1/r1 − 1/r2

(1.17)

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

9

Wie schon erw¨ ahnt, ist der station¨ are Temperaturverlauf in der ebenen Wand linear. Im Hohlzylinder besteht eine logarithmische, in der Hohlkugel eine hyperbolische Abh¨ angigkeit der Temperatur von der radialen Koordinate.

Abb. 1.4: Station¨ arer Temperaturverlauf nach (1.17) in einer ebenen, zylinderf¨ ormigen und kugelf¨ ormigen Wand mit gleicher Dicke δ und dem Verh¨ altnis r2 /r1 = 3.

Abb. 1.4 zeigt den Temperaturverlauf nach (1.17) in W¨anden gleicher Dicke. Die gr¨ oßte Abweichung des logarithmischen und hyperbolischen Temperaturverlaufs von der geraden Linie tritt u ¨brigens an der Stelle r = rm auf, an der die Querschnittsfl¨ ache A(r) den Wert A (rm ) = Am nach (1.15) annimmt. Beispiel 1.1: Eine ebene Wand mit der Dicke δ = 0,48 m besteht aus feuerfesten Steinen, deren W¨ armeleitf¨ ahigkeit von der Temperatur abh¨ angt. Mit ϑ als und 800 Celsiustemperatur gilt zwischen 0 λ(ϑ) =

λ0 1 − bϑ

(1.18)

achentemperaturen mit λ0 = 0,237 W/K m und b = 4,41 · 10−4 K−1 . Die Oberfl¨ und ϑW2 = 150 . Man berechne die W¨ armestromdichte sind ϑW1 = 750 ˙ q˙ = Q/A und den Temperaturverlauf in der Wand. Nach (1.8) erh¨ alt man f¨ ur die W¨ armestromdichte q˙ =

λm (ϑW1 − ϑW2 ) δ

mit der mittleren W¨ armeleitf¨ ahigkeit ϑW2

λm

1 = ϑW2 − ϑW1

Z

λ(ϑ) dϑ = ϑW1

1 − bϑW2 λ0 ln . b (ϑW1 − ϑW2 ) 1 − bϑW1

(1.19)

10

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Wir setzen zur Abk¨ urzung λ(ϑWi ) = λi (i = 1, 2) und erhalten ln(λ1 /λ2 ) ln(λ1 /λ2 ) = λ1 λ2 . 1 1 λ1 − λ2 − λ2 λ1

λm =

(1.20)

asst sich aus den Werten von λ an den Die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit λm l¨ beiden Oberfl¨ achen berechnen; sie ist gleich dem Quadrat des geometrischen Mittels, dividiert durch das logarithmische Mittel aus λ1 und λ2 . Aus (1.18) ergibt sich λ1 = λ(ϑW1 ) = 0,354 W/K m ,

λ2 = λ(ϑW2 ) = 0,254 W/K m ,

ur die W¨ armestromdichte folgt aus (1.19) und damit wird λm = 0,298 W/K m. F¨ q˙ = 373 W/m2 . Unter der nicht zutreffenden Annahme einer linearen Temperaturabh¨ angigkeit von λ h¨ atte man 1 λm = (λ1 + λ2 ) = 0,304 W/K m 2 erhalten. Dieser um 1,9% zu große Wert ist aber eine noch brauchbare N¨ aherung, denn seine Abweichung vom genauen Wert liegt im Bereich der Unsicherheit, mit der die W¨ armeleitf¨ ahigkeit gemessen werden kann. Zur Berechnung des Temperaturverlaufs gehen wir von (1.7), also von −λ(ϑ) dϑ = q˙ dr aus und erhalten mit x := r − r1 Zϑ

dϑ λ0 1 − bϑ = qx ˙ = ln 1 − bϑ b 1 − bϑW1

−λ0 ϑW1

Mit q˙ nach (1.19) und λm nach (1.20) folgt daraus ln

x 1 − bϑW2 1 − bϑ = ln 1 − bϑW1 δ 1 − bϑW1

oder

«x/δ „ 1 − bϑW2 1 − bϑ = . 1 − bϑW1 1 − bϑW1 Schließlich erhalten wir mit (1.18) " „ «x/δ # 1 λ0 λ1 ϑ(x) = 1− b λ1 λ2

(1.21)

als Gleichung zur Berechnung des Temperaturverlaufs in der Wand. Abb. 1.5 zeigt ϑ(x) und die Abweichung Δϑ(x) vom linearen Temperaturverlauf armeleitf¨ ahigkeit zwischen ϑW1 und ϑW2 . Bei hohen Temperaturen, wo die W¨ groß ist, verl¨ auft die Temperatur flacher als bei niedrigen Temperaturen, wo λ(ϑ) kleiner ist. An jeder Stelle der Wand muss n¨ amlich das Produkt dϑ dx gleich groß sein. Kleinere W¨ armeleitf¨ ahigkeiten werden durch gr¨ oßere Temperaturgradienten kompensiert“. ” q˙ = −λ(ϑ)

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

11

Abb. 1.5: Station¨ arer Temperaturverlauf ϑ = ϑ (x/δ) nach (1.21) in einer ebenen Wand mit temperaturabh¨ angiger W¨ armeleitf¨ ahigkeit nach (1.18). Δϑ ist die Abweichung des Temperaturverlaufs von der Geraden, die sich bei konstantem λ ergibt, rechte Skala.

1.1.3 Konvektiver W¨ armeu ¨ bergang, W¨ armeu ¨ bergangskoeffizient In einem str¨ omenden Fluid wird Energie nicht nur durch W¨armeleitung, sondern auch durch die makroskopische Bewegung des Fluids transportiert. Durch eine im Fluid ortsfest aufgespannte (gedachte) Fl¨ache fließt somit W¨arme durch Leitung aufgrund eines Temperaturgradienten und außerdem Energie als Enthalpie und kinetische Energie des Fluids, das diese Fl¨ache durchstr¨omt. ¨ Man spricht von konvektivem W¨ arme¨ ubergang und meint damit die Uberlagerung von W¨ armeleitung und Energietransport durch das str¨omende Fluid. Von besonderem technischem Interesse ist der W¨arme¨ ubergang zwischen einem str¨ omenden Fluid und einer festen Wand, z.B. zwischen einer beheizten Rohrwand und dem im Rohr str¨ omenden kalten Gas. F¨ ur die St¨arke dieses konvektiven W¨ arme¨ ubergangs ist die Fluidschicht in Wandn¨ahe von Bedeuundetung; man nennt sie die Grenzschicht, und die von L. Prandtl2 1904 begr¨ te Grenzschichttheorie ist der Zweig der Str¨ omungslehre, der f¨ ur die W¨armeund Stoff¨ ubertragung besonders wichtig ist. In der Grenzschicht ¨andert sich 2

Ludwig Prandtl (1875–1953) war von 1904 bis zu seinem Tode Professor f¨ ur Angewandte Mechanik an der Universit¨ at G¨ ottingen und seit 1925 Direktor des KaiserWilhelm-Instituts f¨ ur Str¨ omungsforschung. Die von ihm entwickelte Grenzschichttheorie sowie seine Arbeiten u omungen, zur Tragfl¨ ugeltheorie ¨ ber turbulente Str¨ ¨ und zur Theorie der Uberschallstr¨ omung sind grundlegende Beitr¨ age zur modernen Str¨ omungslehre.

12

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.6: Verlauf der Str¨ omungsgeschwindigkeit w (linkes Bild) und der Temperatur ϑ (rechtes Bild) eines str¨ omenden Fluids als Funktionen des Wandabstands y. δ und δt kennzeichnen die Dicke der Geschwindigkeits- bzw. Temperaturgrenzschicht.

die parallel zur Wand gerichtete Komponente der Str¨omungsgeschwindigkeit vom Wert null an der Wand u ¨ ber eine kurze Entfernung bis fast zum Maximalwert in der Kernstr¨ omung, Abb. 1.6. Auch die Temperatur des Fluids andert sich vor allem in der Grenzschicht von der Wandtemperatur ϑW zum ¨ Wert ϑF in einigem Abstand von der Wand. Als Folge des Temperaturunterschieds ϑW − ϑF geht W¨ arme von der Wand in das str¨omende Fluid u ¨ ber; ist ϑF > ϑW , so kehrt sich die Richtung des W¨armetransports um, das Fluid wird gek¨ uhlt. Die an der Wand auftretende W¨armestromdichte q˙W h¨angt in komplizierter Weise vom Temperatur- und Geschwindigkeitsfeld im Fluid ab, deren Berechnung auf erhebliche Schwierigkeiten st¨oßt. Man hat daher q˙W = α (ϑW − ϑF )

(1.22)

gesetzt und damit eine neue Gr¨ oße, den ¨ ortlichen W¨arme¨ ubergangskoeffizienten q˙W (1.23) α := ϑW − ϑF definiert. Durch diese Definition f¨ uhrt man die unbekannte W¨armestromubergangskoefdichte q˙W auf den allerdings genauso unbekannten W¨arme¨ fizienten α zur¨ uck. Es hat daher immer wieder Forscher gegeben, die die Einf¨ uhrung von α als u ussig und entbehrlich angesehen haben. Die Benut¨ berfl¨ zung von W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten d¨ urfte trotz dieser Bedenken sinnvoll sein, denn bei bekanntem α lassen sich die beiden Grundfragen des konvektivem W¨ arme¨ ubergangs leicht beantworten: Wie groß ist q˙W , wenn die Temperaturdifferenz ϑW − ϑF gegeben ist, und welcher Temperaturunterschied ϑW − ϑF stellt sich ein,wenn eine bestimmte W¨armestromdichte q˙W zwischen Wand und Fluid u ¨ bergeht? Um den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten mit dem Temperaturfeld im Fluid zu verkn¨ upfen und ihn damit berechenbar zu machen, betrachten wir die unmittelbare Wandn¨ ahe (Wandabstand y → 0). Außer bei extrem verd¨ unnten Gasen haftet das Fluid an der Wand, seine Geschwindigkeit ist hier gleich null, und Energie kann nur durch W¨ armeleitung transportiert werden. Es gilt

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

13

daher anstelle von (1.22) die physikalisch begr¨ undete Beziehung (Gesetz von Fourier)

 ∂ϑ q˙W = −λ . (1.24) ∂y W Hierin ist λ, genauer λ(ϑW ), die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Fluids bei der Wand-

Abb. 1.7: Temperaturverlauf ϑ = ϑ (y) im str¨ omenden Fluid als Funktion des Wandabstands y und Veranschaulichung des Quotienten λ/α als Subtangente.

temperatur. Die W¨ armestromdichte q˙W ergibt sich aus der Steigung des Temperaturprofils im Fluid an der Wand, Abb. 1.7. Aus der Definitionsgleichung (1.23) folgt f¨ ur den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten

 ∂ϑ ∂y W α = −λ . (1.25) ϑW − ϑF Danach wird α durch die Steigung des Temperaturprofils an der Wand und durch die Differenz zwischen Wand- und Fluidtemperatur bestimmt. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten ist somit die Kenntnis des Temperaturfelds im Fluid erforderlich. Dieses wird durch das Geschwindigkeitsfeld beeinflusst. Daher liefert neben den Energiebilanzen der Thermodynamik die Str¨ omungslehre die grundlegenden Beziehungen zur theoretischen Erfassung des konvektiven W¨ arme¨ ubergangs. Aus (1.25) folgt eine einfache graphische Veranschaulichung von α. Wie Abb. 1.7 zeigt, bedeutet das Verh¨ altnis λ/α eine Strecke, und zwar die in der H¨ ohe ϑ = ϑF liegende Subtangente des Temperaturprofils an der Wand. Die L¨ ange der Strecke λ/α hat die Gr¨ oßenordnung der (thermischen) Grenzschichtdicke, auf deren Berechnung wir in den Abschnitten 3.5 und 3.7.1 eingehen werden und die in der Regel etwas gr¨ oßer als λ/α ist. Eine d¨ unne Grenzschicht bedeutet demnach g¨ unstige W¨ arme¨ ubergangsverh¨altnisse, w¨ahrend umgekehrt eine dicke Grenzschicht kleine Werte von α zur Folge hat. In der Definition des ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten nach (1.23) tritt die Temperatur ϑF des Fluids in einem gr¨oßeren Abstand von der Wand auf. Umstr¨ omt das Fluid einen K¨ orper (external flow), so versteht man unter

14

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.8: Temperaturverlauf in einem Kanalquerschnitt. Wandtemperatur ϑW und mittlere Fluidtemperatur ϑF .

ϑF die Temperatur in einem so großen Abstand von der K¨orperoberfl¨ache, dass sie durch den W¨ arme¨ ubergang kaum beeinflusst ist. Man nennt ϑF die Freistromtemperatur und bezeichnet sie oft mit ϑ∞ . Str¨omt dagegen das Fluid in einem Kanal (internal flow), z.B. in einem beheizten Rohr, so wird die Fluidtemperatur an allen Stellen des Kanalquerschnitts durch den W¨arme¨ ubergang an der Kanalwand beeinflusst, und es stellt sich ein Temperaturprofil ein, wie es Abbildung 1.8 zeigt. Hier definiert man ϑF als einen Querschnittsmittelur den Energietransport wert der Temperatur, und zwar so, dass ϑF auch f¨ des str¨ omenden Fluids in Richtung der Kanalachse charakteristisch ist. Diese Definition von ϑF verkn¨ upft den von der Kanalwand u ¨bergehenden und durch α charakterisierten W¨ armestrom mit dem Energietransportstrom durch das str¨ omende Fluid. Zur sinnvollen Definition von ϑF betrachten wir einen kleinen Abschnitt des Kanals, Abb. 1.9. Der von der Kanalwand mit der Fl¨ ache dA an das Fluid u ¨ bergehende W¨ armestrom ist (1.26) dQ˙ = α (ϑW − ϑF ) dA . Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik gilt unter Vernachl¨ assigung der ¨ Anderung der kinetischen Energie “ ” dQ˙ = H˙ + dH˙ − H˙ = dH˙ . (1.27) ¨ Der u armestrom bewirkt die Anderung des Enthalpiestroms H˙ des ¨bergehende W¨ str¨ omenden Fluids. Der Querschnittsmittelwert ϑF der Fluidtemperatur ist nun so definiert, dass sich der Enthalpiestrom Z  w h(ϑ) dAq = M˙ h(ϑF )

H˙ = (Aq )

als Produkt aus dem Massenstrom Z M˙ =

 w dAq (Aq )

und der spez. Enthalpie h(ϑF ) bei der Mitteltemperatur ϑF schreiben l¨ asst.

(1.28)

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

15

Abb. 1.9: Energiebilanz f¨ ur einen Kanalabschnitt (linkes Bild); Verlauf der Str¨ omungsgeschwindigkeit w und der Temperatur ϑ im Kanalquerschnitt (rechtes Bild).

Man bezeichnet ϑF auch als adiabate Mischungstemperatur. Darunter versteht man jene Mitteltemperatur, die sich beim adiabaten Vermischen aller Fluidelemente eines Querschnitts in einem Beh¨ alter einstellt, so dass sie diesen mit der konstanten Temperatur ϑF verlassen. Nach dem ersten Hauptsatz muss dann der Enthalpiestrom ˙ mit dem der Stoffstrom unvermischt in den adiabaten Beh¨ H, alter eintritt, gleich alter verl¨ asst. dem Enthalpiestrom M˙ h (ϑF ) sein, mit dem das Fluid den Mischbeh¨ Dies entspricht Gl. (1.28), mit der wir ϑF implizit definiert haben. assigt man die Zur Berechnung der adiabaten Mischungstemperatur ϑF vernachl¨ geringe Druckabh¨ angigkeit der spez. Enthalpie und setzt h(ϑ) = h0 + [cp ]ϑ ϑ0 (ϑ − ϑ0 ) und

F h(ϑF ) = h0 + [cp ]ϑ ϑ0 (ϑF − ϑ0 )

armekapazit¨ at des Fluids zwischen ϑ und der Bemit [cp ]ϑ ϑ0 als mittlerer spez. W¨ alt man aus (1.28) zugstemperatur ϑ0 , bei der h(ϑ0 ) = h0 ist. Damit erh¨

ϑF = ϑ0 +

1 F ˙ M [cp ]ϑ ϑ0

Z

 w [cp ]ϑ ϑ0 (ϑ − ϑ0 ) dAq .

(1.29)

(Aq )

F¨ ur die praktische Rechnung nimmt man eine konstante spez. W¨ armekapazit¨ at cp an und erh¨ alt Z 1  w ϑ dAq (1.30) ϑF = M˙ (Aq ) sowie (1.31) dH˙ = M˙ cp dϑF . Die nach (1.30) gebildete adiabate Mischungstemperatur stellt somit f¨ ur jeden Kanalquerschnitt eine Verbindung zwischen dem ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α nach (1.23) und dem Enthalpiestrom her, denn aus (1.26), (1.27) und (1.31) folgt (1.32) dQ˙ = α (ϑW − ϑF ) dA = M˙ cp dϑF . Die adiabate Mischungstemperatur ϑF ist vom integralen Querschnittsmittelwert

16

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

ϑm =

Z 1 ϑ dAq Aq (Aq )

der Temperatur verschieden; sie stimmt mit diesem nur u ¨berein, wenn die Geschwindigkeit an jeder Stelle des Querschnitts gleich ist, also eine Kolbenstr¨ omung mit w = const vorliegt.

Abb. 1.10: Verlauf der mittleren Fluidtemperatur ϑF , der Wandtemortlichen W¨ armeperatur ϑW und des ¨ u ¨ bergangskoeffizienten α als Funktionen der axialen Koordinate z bei Erw¨ armung eines Fluids in einem Rohr der L¨ ange L.

Wir haben bisher den ¨ ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten betrachtet, der an jeder Stelle der Wand verschieden sein kann. In der Praxis ben¨otigt man h¨ aufig nur einen mittleren W¨arme¨ ubergangskoeffizienten αm , um den gesamten von einer Fl¨ ache A an das Fluid u ¨ bergehenden W¨armestrom Q˙ zu berechnen: Q˙ = αm AΔϑ oder

Q˙ . (1.33) AΔϑ In dieser Definitionsgleichung ist Δϑ eine beliebige Temperaturdifferenz, auf deren sinnvolle Wahl wir noch eingehen werden. Ist der o arme¨ ubergangskoeffizient α bekannt, so kann man αm ¨rtliche W¨ durch Integration finden. F¨ ur den u ¨ bertragenen W¨armestrom erh¨alt man αm :=

 Q˙ =

 α (ϑW − ϑF ) dA .

q(A) ˙ dA = (A)

(1.34)

(A)

Im Integranden variieren alle drei Gr¨ oßen — α, ϑW und ϑF — u ¨ber der Fl¨ache. Dies zeigt Abb. 1.10 f¨ ur das Beispiel eines Rohres, in dem sich ein Fluid erw¨ armt. Dabei sollen die drei Gr¨ oßen von der axialen Koordinate z, nicht aber vom Umfangswinkel abh¨ angen. F¨ ur den mittleren W¨arme¨ ubergangskoeffizienten erh¨ alt man aus (1.33) und (1.34)

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

αm =

1 AΔϑ

17

 α (ϑW − ϑF ) dA .

(A)

Bei umstr¨omten K¨orpern ist die Freistromtemperatur ϑF = ϑ∞ meistens konstant. Man wird daher Δϑ mit ϑ∞ und einer charakteristischen Wandtemperatur ϑW definieren: Δϑ = ϑW − ϑ∞ . Ist außerdem die Wandtemperatur ur den des umstr¨ omten K¨ orpers konstant, so erh¨ alt man mit Δϑ = ϑW − ϑ∞ f¨ mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten 1 αm = A

 α dA .

(A)

Liegt eine Kanalstr¨omung vor, so kann man Q˙ entweder durch Integration u arme¨ ubertragende Kanalfl¨ ache A oder einfacher nach (1.32) ¨ ber die w¨ berechnen: Q˙ = M˙ cp (ϑFa − ϑFe ) . Daraus folgt mit (1.33) αm =

M˙ cp (ϑFa − ϑFe ) , AΔϑ

wobei ϑFa und ϑFe die mittleren Fluidtemperaturen am Eintritt und am Austritt des Kanals bedeuten. F¨ ur Δϑ benutzt man nun bestimmte Mittelwerte der Temperaturdifferenzen ϑW − ϑF am Eintritt und am Austritt des Kanals, insbesondere das logarithmische Mittel Δϑlog =

(ϑW − ϑF )e − (ϑW − ϑF )a ϑFa − ϑFe = (ϑ − ϑF )e (ϑ − ϑF )e ln W ln W (ϑW − ϑF )a (ϑW − ϑF )a

(1.35)

Bezieht man αm auf das logarithmische Mittel, so erh¨alt man αm =

(ϑW − ϑF )e M˙ cp ln . A (ϑW − ϑF )a

(1.36)

Um αm experimentell zu bestimmen, m¨ ussen neben M˙ nur die Wandtemperaturen und die mittleren Fluidtemperaturen im Eintritts- und Austrittsquerschnitt des Kanals gemessen werden. Der Bezug von αm auf den logarithmischen Mittelwert nach (1.35) wird auch durch folgendes Ergebnis nahegelegt: Sind die Wandtempeortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α konstant, so erh¨ alt man ratur ϑW und der ¨ nur dann das naheliegende Resultat αm = α, wenn Δϑlog zur Definition von αm verwendet wird. Aus (1.32) folgt n¨ amlich α dA dϑF = . ϑW − ϑF M˙ cp

18

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Integration bei konstantem α und konstanter Wandtemperatur ϑW liefert ln

(ϑW − ϑF )e αA = . (ϑW − ϑF )a M˙ cp

Setzt man dies in (1.36) ein, so folgt αm = α.

1.1.4 Die Bestimmung von W¨ armeu ¨ bergangskoeffizienten. Dimensionslose Kennzahlen Die Berechnung von W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten nach (1.25) setzt die Kenntnis des Temperaturfelds im str¨ omenden Fluid voraus. Das Temperaturfeld wiederum l¨ asst sich erst dann bestimmen, wenn man das Geschwindigkeitsfeld kennt. Nur in relativ einfachen F¨ allen kann man durch L¨osen der grundlegenden partiellen Differentialgleichungen f¨ ur das Geschwindigkeitsund Temperaturfeld W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten exakt berechnen. Beispiele hierf¨ ur sind der W¨ arme¨ ubergang bei ausgebildeter laminarer Rohrstr¨omung und bei der l¨ angs angestr¨ omten ebenen Platte mit laminarer Grenzschicht. Schon bei turbulenter Str¨ omung muss man auf vereinfachte Modellvorstellungen zur¨ uckgreifen, und noch kompliziertere W¨arme¨ ubergangsprobleme wie die der Blasenverdampfung entziehen sich bisher weitgehend einer theoretischen Behandlung. Eine wichtige Methode zur Gewinnung von W¨arme¨ ubergangskoeffizienten war und ist daher das Experiment. Aus gemessenen W¨armestr¨omen oder W¨ armestromdichten und gemessenen Wand- und Fluidtemperaturen wird ein ortlicher oder mittlerer W¨ arme¨ ubergangskoeffizient nach (1.25) und (1.33) ¨ bestimmt. Um das W¨ arme¨ ubergangsproblem umfassend zu l¨osen, m¨ ussen bei derartigen Messungen alle Gr¨ oßen variiert werden, die den W¨arme¨ ubergang beeinflussen. Zu diesen Einflussgr¨ oßen geh¨ oren neben den geometrischen Abmessungen (z.B. Durchmesser und L¨ ange eines durchstr¨omten Rohres) eine charakteristische Str¨ omungsgeschwindigkeit und die Materialeigenschaften amlich seine Dichte, Viskosit¨ at, W¨armeleitf¨ahigkeit und spez. des Fluids, n¨ W¨ armekapazit¨ at. Die Zahl der zu variierenden Einflussgr¨ oßen liegt in der Regel zwischen f¨ unf und zehn. Um den Einfluss einer bestimmten Gr¨oße zu quantifizieren, wird man Versuche mit mindestens n (z.B. n = 5) verschiedenen Werten dieser Gr¨ oße ausf¨ uhren m¨ ussen, wobei alle anderen Einflussgr¨oßen konstant gehalten werden. Will man insgesamt m Einflussgr¨oßen auf diese Weise ber¨ ucksichtigen so sind nm Einzelversuche erforderlich. Bei sechs Einflussgr¨oßen und n = 5 w¨ aren bereits 56 = 15625 Versuche auszuf¨ uhren. Sie verlangen einen erheblichen Zeit- und Mittelaufwand. Eine wirksame Verringerung des Versuchsaufwands erreicht man durch An¨ wenden der Ahnlichkeitsoder Modelltheorie, vgl. hierzu [1.19], [1.20]. Hierbei

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

19

geht man von dem Grundsatz aus, dass sich die Geschwindigkeits- und Temperaturfelder (ebenso wie andere physikalische Zusammenh¨ange) durch dimensionslose Kenngr¨ oßen oder Kennzahlen beschreiben lassen. Dieser Sachverhalt ist Ausdruck des allgemeinen Prinzips, dass die L¨osung eines physikalischen Problems unabh¨ angig von dem zuf¨ allig gew¨ ahlten Maßsystem sein muss und sich daher durch dimensionslose Variable darstellen lassen muss. Um diese zu bilden, werden die Ortskoordinaten durch Division mit einer charakteristischen L¨ ange, die Geschwindigkeitskomponenten mit einer konstanten Bezugsgeschwindigkeit und die Temperatur durch Bezug auf eine charakteristische Temperaturdifferenz dimensionslos gemacht. Temperatur- und Geschwindigkeitsfelder, die in dimensionslosen Koordinaten u ¨ bereinstimmen, bezeichnet man als a hnliche Felder. Sie lassen sich allein durch Maßstabs¨anderung, ¨ ¨ n¨ amlich durch Andern der Bezugsgr¨ oßen ineinander u berf¨ uhren. ¨ Geschwindigkeits- und Temperaturfelder sind jedoch nur dann ¨ahnlich, wenn auch die dimensionslosen Kennzahlen, von denen die Felder abh¨angen, u ¨ bereinstimmen. Diese Kennzahlen enthalten geometrische Gr¨oßen, maßgebende Geschwindigkeiten und Temperaturdifferenzen sowie Materialeigenschaften des w¨ arme¨ ubertragenden Fluids. Die Zahl der dimensionslosen Kenngr¨ oßen ist merklich geringer als die Zahl der insgesamt vorhandenen Einflussgr¨ oßen. Der experimentelle Aufwand wird erheblich verringert, denn man braucht nur noch den f¨ ur das W¨ arme¨ ubergangsproblem maßgebenden funktionalen Zusammenhang zwischen den dimensionslosen Kennzahlen durch gezielte Experimente zu ermitteln. Dabei werden prim¨ar die Werte der Kennzahlen variiert und nicht die Werte der weit zahlreicheren Einzelgr¨oßen, aus denen sich die Kennzahlen zusammensetzen. Auch die theoretische L¨ osung eines W¨ arme¨ ubergangsproblems wird klarer strukturiert, wenn man mit dimensionslosen Variablen und Kennzahlen arbeitet. Es empfiehlt sich daher, zu Beginn der theoretisch-rechnerischen Behandlung eines Problems, dimensionslose Gr¨ oßen einzuf¨ uhren. Auch Auswertung und Darstellung der gefundenen L¨ osung werden vereinfacht, wenn man die Zahl der unabh¨ angig zu variierenden Gr¨oßen dadurch m¨oglichst klein h¨alt, dass man mit dimensionslosen Ver¨ anderlichen und Kenngr¨oßen arbeitet. Um die f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgebenden Kenngr¨oßen zu finden, geht man von den partiellen Differentialgleichungen f¨ ur das Geschwindigkeits- und Temperaturfeld aus. Die dort auftretenden Variablen, n¨amlich die Ortskoordinaten, die Geschwindigkeitskomponenten und die Temperatur, werden durch Division mit einer charakteristischen L¨ ange, Geschwindigkeit bzw. Temperatur dimensionslos gemacht. Die das Problem beschreibenden Gleichungen bringt man ebenfalls in dimensionslose Form, wobei dimensionslose Potenzprodukte aus den gew¨ ahlten charakteristischen Gr¨oßen (L¨ange, Geschwindigkeit und Temperatur) und aus den Fluideigenschaften wie Dichte, Viskosit¨at und W¨ armeleitf¨ ahigkeit entstehen: dies sind die gesuchten Kennzahlen. Wir zeigen dieses Vorgehen beispielhaft an der Beziehung (1.25), die den ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α mit dem Temperaturfeld verkn¨ upft. ¨ ange des Problems, z.B. dem DurchmesMit L0 als einer charakteristischen L¨

20

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

ser eines vom Fluid durchstr¨ omten Rohres, bildet man den dimensionslosen Wandabstand y + := y/L0 . Die Temperatur ϑ kann durch eine charakteristische Temperaturdifferenz Δϑ0 und, da nur Temperaturdifferenzen und Temperaturableitungen auftreten, durch Subtrahieren einer Bezugstemperatur ϑ0 dimensionslos gemacht werden: ϑ − ϑ0 ϑ+ := . (1.37) Δϑ0 Durch eine dem W¨ arme¨ ubergangsproblem angepasste Wahl von ϑ0 wird der Nullpunkt der dimensionslosen Temperatur ϑ+ festgelegt. Damit erh¨alt man aus (1.25) λ (∂ϑ+ /∂y + )W α=− + L0 ϑ+ W − ϑF oder

(∂ϑ+ /∂y + )W αL0 =− + λ ϑ+ W − ϑF

(1.38)

Da auf der rechten Seite von (1.38) ein dimensionsloser Ausdruck steht, gilt dies auch f¨ ur die linke Seite. Das hier auftretende Potenzprodukt aus dem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α, einer charakteristischen L¨ange L0 des W¨ arme¨ ubergangsproblems und der W¨ armeleitf¨ahigkeit λ des Fluids wird als Nußelt-Zahl (1.39) N u := αL0 /λ bezeichnet. Diese Kennzahl und die im Folgenden hergeleiteten Kennzahlen werden nach bedeutenden Forschern — hier nach W. Nußelt3 — benannt und durch die ersten beiden Buchstaben ihres Namens im Sinne eines Formelzeichens abgek¨ urzt. Die Bestimmung von α ist damit auf die Berechnung der Nußelt-Zahl zur¨ uckgef¨ uhrt. Nach (1.38) h¨ angt N u vom dimensionslosen Temperaturfeld ab, und wir m¨ ussen kl¨ aren, welche Kennzahlen die dimensionslose Temperauhrenden Kapitel nicht von tur ϑ+ bestimmen. Dazu gehen wir in diesem einf¨ den maßgebenden Differentialgleichungen aus — dies wird in Kapitel 3 geschehen —, sondern stellen eine Liste der physikalischen Einflussgr¨oßen auf und ermitteln die aus diesen Gr¨ oßen zu bildenden dimensionslosen Kenngr¨oßen. 3

Wilhelm Nußelt (1882–1957) wurde 1920 als Professor f¨ ur Theoretische Maschinenlehre an die Technische Hochschule Karlsruhe berufen; von 1925 bis 1952 lehrte er an der Technischen Hochschule M¨ unchen. 1915 ver¨ offentlichte er die grundlegende Arbeit Die Grundgesetze des W¨ arme¨ ubergangs“, in der er erstmals die ” dimensionslosen Kenngr¨ oßen einf¨ uhrte. Weitere wichtige Untersuchungen betrafen den W¨ arme¨ ubergang bei der Filmkondensation, die W¨ arme¨ ubertragung bei Kreuzstrom und die Analogie zwischen W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung bei der Verdunstung.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

21

Die dimensionslose Temperatur ϑ+ nach (1.37) h¨angt von den dimensionslosen Ortskoordinaten x+ := x/L0 ,

y + := y/L0 ,

z + := z/L0

und einer Reihe von Kennzahlen Ki ab:   ϑ+ = ϑ+ x+ , y + , z + , K1 , K2 , . . . .

(1.40)

Einige dieser Kennzahlen sind rein geometrische Parameter. Beim W¨arme¨ ubergang an der Wand eines durchstr¨ omten Rohres mit dem Durchmesser d und der L¨ ange L ist eine solche Kennzahl das Verh¨altnis L/d (oder sein Kehrwert d/L). Nur Rohre mit gleichen Werten von L/d sind geometrisch a¨hnlich. Diese geometrischen Kennzahlen wollen wir hier nicht explizit betrachten, sondern diejenigen Kennzahlen herleiten, die unabh¨angig von der Geometrie das Str¨ omungs- und Temperaturfeld bestimmen. Neben einer charakteristischen L¨ ange L0 und einer charakteristischen Geschwindigkeit w0 , z.B. die Eintrittsgeschwindigkeit in ein Rohr oder die Anstr¨ omgeschwindigkeit bei einem umstr¨ omten K¨orper, bestimmen zwei Stoffwerte, die Dichte  und die Viskosit¨ at η des Fluids, das Geschwindigkeitsfeld. W¨ ahrend die Dichte bereits bei reibungsfreier Str¨omung eine Rolle spielt, ist die Viskosit¨ at jene Fluideigenschaft, die f¨ ur Reibungsvorg¨ange und die Ausbildung der Grenzschicht charakteristisch ist. F¨ ur das Temperaturfeld sind neben einer charakteristischen Temperaturdifferenz Δϑ0 zwei weitere Materialeigenschaften von Bedeutung: die W¨ armeleitf¨ahigkeit λ und die spez. W¨armekapazit¨ at cp des Fluids. Diese Gr¨ oße verkn¨ upft die Enthalpie des Fluids mit seiner Temperatur. Wir haben damit insgesamt sieben Einflussgr¨oßen, n¨amlich L0 , w0 , , η, Δϑ0 , λ und

cp ,

von denen das Temperaturfeld und damit u ubergangs¨ber (1.38) der W¨arme¨ koeffizient und sein dimensionsloses Gegenst¨ uck, die Nußelt-Zahl abh¨angen. Aus den sieben Gr¨ oßen werden nun die dimensionslosen Kennzahlen Ki als Potenzprodukte gebildet. Mit passend gew¨ ahlten Exponenten a bis g gilt dann Ki = La0 · w0b · c · η d · Δϑe0 · λf · cgp ,

i = 1, 2, . . .

(1.41)

Die Dimension einer jeden der sieben Einflussgr¨oßen l¨asst sich als Potenzprodukt der vier Grunddimensionen L¨ ange L, Zeit Z, Masse M und Temperatur T schreiben, die ausreichen, um das Gebiet der Thermodynamik und W¨ arme¨ ubertragung zu erfassen. So ist zum Beispiel die Dichte als Quotient aus Masse und Volumen definiert; sie hat damit die Dimension Masse, dividiert durch die Dimension L¨ ange hoch drei: dim  = M/L3 .

22

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Tabelle 1.2: Werte der Exponenten a, e und f in (1.41) und (1.42) und die sich daraus ergebenden Kennzahlen Ki . i 1 2 3

a 1 0 0

e 0 0 −1

f 0 −1 0

Ki w0 L0 η −1 ηcp λ−1 2 −1 w0 cp Δϑ−1 0

Dr¨ uckt man in gleicher Weise die Dimensionen der anderen sechs Einflussgr¨ oßen durch L, Z, M und T aus, so erh¨ alt man aus (1.41) f¨ ur die Dimension von Ki        dim Ki = La Lb Z−b Mc L−3c Md L−d Z−d Te Mf Lf Z−3f T−f L2g Z−2g T−g . Soll nun Ki eine dimensionslose Kennzahl sein, so muss dim Ki = 1 gelten. Damit diese Bedingung erf¨ ullt ist, m¨ ussen die Exponenten der vier Grunddimensionen L, Z, M und T null sein. Wir erhalten daraus vier homogene Gleichungen f¨ ur die sieben Exponenten, n¨ amlich dim L dim Z dim M dim T

=1: =1: =1: =1:

a + b − 3c − d −b −d c +d

+ f + 2g = 0 − 3f − 2g = 0 + f =0 e− f − g =0 .

(1.42)

Da vier homogene Gleichungen zwischen den Exponenten der sieben Einflussgr¨ oßen bestehen, kann man 7 − 4 = 3 unabh¨angige dimensionslose Kennzahlen bilden. Man erh¨ alt sie, indem man drei Exponenten willk¨ urlich vorgibt. Dies ist auf unendlich viele Arten m¨ oglich, so dass man beliebig viele Kennzahlen erh¨ alt; aber nur drei Kennzahlen sind voneinander unabh¨angig, alle weiteren ergeben sich als Potenzprodukte dieser drei Kennzahlen und liefern somit keine inhaltlich neue Beschreibung des dimensionslosen Temperaturfeldes. Wir erhalten die drei am h¨ aufigsten benutzten Kennzahlen, indem wir in den vier Gleichungen (1.42) f¨ ur die Exponenten a, e und f die in Tabelle 1.2 angegebenen Werte einsetzen und die Werte f¨ ur b, c, d und g aus (1.42) berechnen. Damit erh¨ alt man aus (1.41) die in Tabelle 1.2 verzeichneten Kennzahlen K1 , K2 , K3 . omungslehre bekannt und wird als ReynoldsDie Kennzahl K1 ist in der Str¨ Zahl4 4

Osborne Reynolds (1842–1912) war von 1868 bis 1905 Professor f¨ ur Ingenieurwissenschaften in Manchester, England. Er wurde durch seine grundlegenden Arbei¨ ten zur Str¨ omungsmechanik bekannt. Er untersuchte insbesondere den Ubergang von der laminaren in die turbulente Str¨ omung und entwickelte die mathematischen Grundlagen zur Beschreibung turbulenter Str¨ omungen.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

Re :=

w0 L0 w0 L0 = η ν

23

(1.43)

bezeichnet. Anstelle von η f¨ uhrt man dabei die kinematische Viskosit¨at ν := η/ mit der SI-Einheit m2 /s ein. Die Reynolds-Zahl kennzeichnet den Einfluss der Reibungs- und Tr¨ agheitskr¨ afte auf das Str¨ omungsfeld. Die zweite Kennzahl alt nur Stoffwerte des Fluids. Man nennt sie Prandtl-Zahl K2 enth¨ P r :=

ν ηcp = , λ a

(1.44)

wobei a := λ/cp  die Temperaturleitf¨ ahigkeit des Fluids bedeutet. Die Prandtl-Zahl verkn¨ upft das Temperaturfeld mit dem Geschwindigkeitsfeld. Die dritte Kennzahl K3 wird als Eckert-Zahl5 bezeichnet: Ec :=

w02 . cp Δϑ0

(1.45)

Sie beeinflusst allein das Temperaturfeld und muss nur dann beachtet werden, wenn durch Reibung im Fluid eine nennenswerte Erw¨armung hervorgerufen wird. Dies ist nur bei sehr großen Geschwindigkeiten in der Gr¨oßenordnung der Schallgeschwindigkeit der Fall und bei sehr starken Geschwindigkeitsgradienten, wie sie bei der Str¨ omung durch enge Spalten auftreten k¨onnen. Das dimensionslose Temperaturfeld h¨ angt von den dimensionslosen Koordinaten und den drei Kennzahlen Re, P r und Ec ab sowie von den geometrischen Kenngr¨ oßen, die zur Beschreibung der Geometrie des W¨arme¨ ubergangsproblems erforderlich sind. Wir fassen diese geometrischen Kennzahlen abk¨ urzend in der Bezeichnung Kgeom zusammen und erhalten   ϑ+ = ϑ+ x+ , y + , z + , Re, P r, Ec, Kgeom . Die ¨ ortliche Nußelt-Zahl ergibt sich aus ϑ+ nach (1.38). Sie h¨angt nicht von + y ab, wenn wir y + als dimensionslosen Wandabstand interpretieren, so dass der Temperaturgradient an der Wand f¨ ur y + = 0 zu berechnen ist. Somit wird   N u = f x+ , z + , Re, P r, Ec, Kgeom . (1.46) 5

Ernst Rudolph Georg Eckert (1904–2004) untersuchte zwischen 1935 und 1938 die Strahlungseigenschaften fester K¨ orper und die Gasstrahlung von CO2 und H2 O. 1938 wurde er Dozent an der Technischen Hochschule Braunschweig und arbeitete an der dortigen Luftfahrt-Forschungs-Anstalt u arme¨ ubergang bei ¨ ber W¨ hohen Geschwindigkeiten. Er ging 1945 in die USA, wo er 1951 Professor an der Universit¨ at von Minnesota wurde. Mit seinen Sch¨ ulern behandelte er zahlreiche Probleme der W¨ arme¨ ubertragung.

24

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm nach (1.33) h¨angt auch von x+ + und z nicht ab. Die mit αm gebildete mittlere Nußelt-Zahl N um ist nur eine Funktion von Kennzahlen: N um :=

αm L0 = F (Re, P r, Ec, Kgeom ) . λ

(1.47)

Wie schon erw¨ ahnt, muss der Einfluss der Eckert-Zahl nur in Ausnahmef¨allen ber¨ ucksichtigt werden. Man kann daher in der Regel Ec in (1.46) und (1.47) fortlassen. Bei den folgenden Ausf¨ uhrungen werden wir dies tun. Die Art der Abh¨ angigkeit zwischen der Nußelt-Zahl und den anderen Kennzahlen, also die Gestalt der Funktionen in (1.46) und (1.47), muss durch die Theorie, eine geeignete Modellbildung oder auf der Grundlage von Experimenten bestimmt werden. Die Art dieser Abh¨angigkeit der Kennzahlen ist nat¨ urlich von Problem zu Problem verschieden. F¨ ur den Fall der Rohrstr¨ omung erh¨ alt man mit L0 = d, dem Rohrdurchmesser,

 w0 d ν L αm d = FRohr , , λ ν a d oder N um = FRohr (Re, P r, L/d) . F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang zwischen einer Kugel und dem Fluid, das sie umstr¨ omt, gilt

 w0 d ν αm d = FKugel , λ ν a oder N um = FKugel (Re, P r) . Eine geometrische Kennzahl tritt hier nicht auf, denn eine Kugel ist bereits durch ihren Durchmesser d geometrisch vollst¨andig gekennzeichnet. Die Funktionen FRohr und FKugel haben eine unterschiedliche Gestalt, da unterschiedliche Str¨ omungsfelder und verschiedene W¨ arme¨ ubergangsbedingungen bei der Durchstr¨ omung eines Rohres und bei der Umstr¨omung einer Kugel vorliegen. Nicht nur die geometrischen Verh¨ altnisse und die Str¨omungsbedingungen haben erheblichen Einfluss auf den Zusammenhang zwischen der Nußelt-Zahl und den u ¨ brigen Kennzahlen. Auch die thermischen Randbedingungen beeinflussen den W¨ arme¨ ubergang. So ergeben sich z.B. bei gleichen Werten von Re und P r verschiedene Nußelt-Zahlen f¨ ur eine l¨angs angestr¨omte Platte, wenn einmal die Platte eine konstante Wandtemperatur ϑW hat und zum anderen eine konstante W¨ armestromdichte q˙W vorgegeben ist, so dass sich die Oberfl¨ achentemperatur ϑW von selbst einstellt. Wie schon erw¨ ahnt, kann man statt der bisher eingef¨ uhrten Kennzahlen N u, Re, P r und Ec auch andere benutzen, die sich aus ihnen als Potenzprodukte ergeben.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

25

So verwendet man anstelle der Reynolds-Zahl auch die P´eclet-Zahl6 Pe =

w0 L0 w0 cp L0 = = Re P r , a λ

(1.48)

die als Produkt aus Reynolds- und Prandtl-Zahl geschrieben werden kann. In der amerikanischen Literatur wird die Nußelt-Zahl h¨ aufig durch die Stanton-Zahl7 St :=

α Nu = w0 cp Re P r

(1.49)

ersetzt. Die Stanton-Zahl eignet sich zur Beschreibung des W¨ arme¨ ubergangs in Kan¨ alen und l¨ asst sich hierbei anschaulich deuten. Wir zeigen dies f¨ ur die mit einem mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αm gebildete Stanton-Zahl Stm := αm /w0 cp , in der w0 = M˙ /Aq  die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit im Kanal mit der konstanten Querschnittsur den W¨ armestrom, der zwischen Kanalwand (Fl¨ ache A) und fl¨ ache Aq bedeutet. F¨ dem Fluid u ¨ bertragen wird, gilt Q˙ = αm AΔϑ = M˙ cp (ϑFa − ϑFe ) , woraus man f¨ ur die Stanton-Zahl Stm =

Aq ϑFa − ϑFe A Δϑ

¨ erh¨ alt. Sie gibt also die mit dem Fl¨ achenverh¨ altnis Aq /A multiplizierte Anderung der Fluidtemperatur zwischen Eintritts- und Austrittsquerschnitt an, bezogen auf ahlt man die zur Definition von αm benutzte treibende“ Temperaturdifferenz Δϑ. W¨ ” hierf¨ ur die logarithmische Temperaturdifferenz Δϑlog nach (1.35), so wird Stm =

(ϑW − ϑF )e Aq ln . A (ϑW − ϑF )a

Das Fl¨ achenverh¨ altnis ergibt sich f¨ ur ein Rohr mit kreisf¨ ormigem Querschnitt (Durchmesser d) zu Aq /A = d/4L . Man erkennt aus diesen Beziehungen, dass arme¨ ubertragers verkn¨ upft ist. Stm unmittelbar mit den Auslegungsdaten eines W¨ 6

7

Jean Claude Eugene P´eclet (1793–1857) wurde 1816 Professor f¨ ur Physik in Marseille; seit 1827 lehrte er in Paris. Sein ber¨ uhmtes Buch Trait´e de la chaleur et de ” ses applications aux arts et aux manufactures“ (1829) behandelte auch Probleme der W¨ arme¨ ubertragung und wurde in mehrere Sprachen u ¨ bersetzt. Thomas Edward Stanton (1865–1931) war Sch¨ uler von O. Reynolds in Manchester. 1899 wurde er Professor f¨ ur Ingenieurwissenschaften an der Universit¨ at Bristol, England. Stanton forschte auf dem Gebiet des Impuls- und W¨ armetransports von Str¨ omungen mit Reibung. Er besch¨ aftigte sich auch mit Problemen der Aerodynamik und der Flugzeugkonstruktion.

26

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Bei den bisherigen Betrachtungen wurden die Stoffwerte , η, λ und cp als konstant angesehen. Dies trifft nur n¨ aherungsweise und nur bei nicht zu großen Temperaturunterschieden im Fluid zu, denn die genannten Stoffwerte zeigen in der Regel eine zwar oft zu vernachl¨ assigende Druckabh¨angigkeit, variieren jedoch merklich mit der Temperatur. Um die Temperaturabh¨angigkeit der Stoffwerte zu ber¨ ucksichtigen, m¨ usste man weitere Kennzahlen einf¨ uhren, was oft in Gestalt von Stoffwertverh¨ altnissen geschieht, z.B. η(ϑF )/η(ϑW ). Man versucht, die Einf¨ uhrung solcher Kennzahlen zu umgehen, indem man die Stoffwerte bei geeigneten Mitteltemperaturen einsetzt. Die Temperaturabh¨ angigkeit der Fluiddichte spielt eine besondere Rolle beim W¨ arme¨ ubergang, der durch nat¨ urliche oder freie Konvektion bewirkt wird. Im Gegensatz zu dem bisher behandelten Fall der erzwungenen Konvektion, bei dem der Str¨ omung durch ein Gebl¨ase oder eine Pumpe eine Geschwindigkeit aufgezwungen wird, entsteht die Str¨omung bei freier Konvektion durch den Auftrieb, n¨ amlich durch Dichteunterschiede im Schwerefeld der Erde, die ihrerseits von Temperaturunterschieden herr¨ uhren. So erw¨armt sich beispielsweise ein ruhendes Fluid an einer beheizten Wand. In Wandn¨ahe verringert sich die Dichte des Fluids, wodurch im Schwerefeld eine nach oben gerichtete Auftriebsstr¨ omung zustande kommt. Bei freier Konvektion entf¨ allt die charakteristische (aufgezwungene) Geoße. Als neue Einflussgr¨oße tritt die Fallbeschwindigkeit w0 als Einflussgr¨ schleunigung g auf. An die Stelle der Reynolds-Zahl Re — sie enth¨alt ja die Bezugsgeschwindigkeit w0 — tritt nun eine neue Kennzahl, die dimensionslos gemachte Fallbeschleunigung Ga :=

g2 L3 gL30 = 02 0 , 2 ν0 η0

(1.50)

die als Galilei-Zahl bezeichnet wird. Da die Dichte von der Temperatur abh¨ angt — die anderen Stoffwerte werden als konstant angenommen —, muss ν = η/ mit einer konstanten Dichte 0 =  (ϑ0 ) bei einer festen Bezugstemperatur ϑ0 berechnet werden. Um die Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte zu beschreiben, ben¨otigt man ur die mittlere Nußeltmindestens eine weitere Kennzahl K , so dass man f¨ Zahl bei freier Konvektion den Zusammenhang N um = f (Ga, K , P r, Kgeom )

(1.51)

erh¨ alt. Die Dichtekennzahl K bzw. mehrere solcher Kennzahlen K1 , K2 , . . . charakterisieren die dimensionslose Beziehung f¨ ur die Temperaturabh¨angigkeit der Dichte:   (ϑ+ )/0 = f ϑ+ , K1 , K2 , . . . . Hierin ist ϑ+ die dimensionslose Temperatur nach (1.37). Bei nicht zu großen Temperaturunterschieden kann man die Taylor-Entwicklung



 1 ∂ (ϑ) = 0 1 + (ϑ − ϑ0 ) + . . . (1.52) 0 ∂ϑ ϑ0

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

27

benutzen und sich auf das lineare Glied mit dem Ausdehnungskoeffizienten

 1 ∂ (1.53) β0 = β(ϑ0 ) := − 0 ∂ϑ ϑ0 beschr¨ anken. Man erh¨ alt dann mit ϑ+ nach (1.37)    ϑ+ /0 = 1 − β0 Δϑ0 ϑ+ .

(1.54)

Bei nicht zu großen Temperaturdifferenzen wird also die Temperaturabh¨angigkeit der Dichte durch das Produkt aus dem Ausdehnungskoeffizienten β0 und einer charakteristischen Temperaturdifferenz Δϑ0 erfasst. Es gen¨ ugt eine Dichtekennzahl, n¨ amlich K = β0 Δϑ0 . Bei gr¨ oßeren Temperaturunterschieden m¨ ussten weitere Terme in (1.52) ber¨ ucksichtigt werden. Statt einer Kennzahl K werden dann zwei oder mehrere Kennzahlen ben¨ otigt. Die Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte erzeugt im Schwerefeld eine Auftriebskraft; sie hat aber nur einen geringen Einfluss auf die anderen Kr¨afte, die an einem Fluidteilchen angreifen, wie die Tr¨agheits- oder die Reibungskr¨ afte. In guter N¨ aherung gen¨ ugt es daher, die Temperaturabh¨angigkeit der Dichte nur beim Auftrieb zu ber¨ ucksichtigen. Man bezeichnet diese Annahme als Boussinesq-Approximation8 . Eine charakteristische (volumenbezogene) Auftriebskraft ist g [ (ϑW ) −  (ϑF )] = g (W − F ) . uhren ihn anstelle von g in die Wir teilen diesen Ausdruck durch F und f¨ Galilei-Zahl ein. Dies ergibt die neue Kennzahl Gr :=

gL30 W − F , νF2 F

(1.55)

die Grashof-Zahl9 genannt wird. Sie fasst die Galilei-Zahl und die f¨ ur die Temperaturabh¨ angigkeit der Dichte charakteristische Gr¨oße (W − F ) /F zu 8

9

Joseph Valentin Boussinesq (1842–1929) promovierte 1867 mit einer Untersuchung u arme, obwohl er nicht studiert hatte und ¨ ber die Ausbreitung der W¨ wissenschaftlich Autodidakt war. Boussinesq wurde 1873 Professor in Lille und sp¨ ater in Paris. Er ver¨ offentlichte u ¨ber 100 wissenschaftliche Arbeiten, darunter das zweib¨ andige Werk Th´eorie analytique de la chaleur“, das 1901 und 1903 in ” Paris erschien. Franz Grashof (1826–1893) lehrte von 1863 bis 1891 als Professor f¨ ur Theoretische Maschinenlehre an der Technischen Hochschule Karlsruhe. Seine mit mathematischer Strenge verfassten Arbeiten betrafen vor allem die Festigkeitslehre und die Technische Thermodynamik. Sein Hauptwerk, die aus drei B¨ anden bestehende Theoretische Maschinenlehre“ erschien zwischen 1875 und 1890 und ist eine ” umfassende, wissenschaftlich fundierte Darstellung des Maschinenbaus. Grashof

28

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

einer Kennzahl zusammen. Somit erh¨ alt man bei G¨ ultigkeit der BoussinesqApproximation f¨ ur die Nußelt-Zahl N um = f (Gr, P r, Kgeom ) .

(1.56)

Bei nicht zu großen Temperaturdifferenzen zwischen Wand und Fluid in weiter Entfernung von der Wand kann man (1.54) f¨ ur die Temperaturabh¨angigkeit der Dichte verwenden. Mit ϑ0 = ϑF und Δϑ0 = (ϑW − ϑF ) erh¨alt man W − F = βF (ϑW − ϑF ) . F Die Grashof-Zahl wird dann Gr = Ga βF (ϑW − ϑF ) =

g βF (ϑW − ϑF ) L30 . ν2

(1.57)

Der Ausdehnungskoeffizient β ist bei der Fluidtemperatur ϑF zu berechnen; um die Temperaturabh¨ angigkeit von ν zu ber¨ ucksichtigen, bestimmt man ν f¨ ur eine Mitteltemperatur zwischen ϑW und ϑF . Nach (1.56) und (1.57) h¨ angt die Nußelt-Zahl von der Temperaturdifferenz (ϑW − ϑF ) ab. Obwohl der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α aus der W¨ armestromdichte q˙W durch Division mit dieser Temperaturdifferenz erhalten wird, vgl. (1.24), ist α bei freier Konvektion nicht unabh¨ angig von (ϑW − ϑF ). Die u ¨bertragene W¨armestromachst also nicht proportional zu ϑW − ϑF . Dies ist darauf zur¨ uckdichte q˙W w¨ zuf¨ uhren, dass ϑW − ϑF nicht nur die treibende Kraft“ f¨ ur den W¨armestrom ” ist, sondern auch f¨ ur den Auftrieb, also f¨ ur das Geschwindigkeitsfeld bei freier Konvektion. Bei erzwungener Konvektion ist dagegen keine Abh¨angigkeit des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten von der Temperaturdifferenz zu erwarten.

1.1.5 W¨ armestrahlung Jeder K¨ orper gibt Energie durch elektromagnetische Wellen an seine Umgebung ab. Dies geschieht bereits deswegen, weil der K¨orper eine positive thermodynamische Temperatur hat. Man nennt daher diese Art der Energieabgabe Temperaturstrahlung, thermische Strahlung oder W¨armestrahlung. Emission oder Aussendung von Strahlung bedeutet Umwandlung der inneren Energie des K¨ orpers in Energie, die durch elektromagnetische Wellen forttransportiert wird. Treffen dagegen elektromagnetische Wellen auf Materie, so absorbiert diese einen Teil der mit ihnen transportierten Energie, w¨ahrend der Rest reflektiert oder durchgelassen wird. Die von einem K¨orper absorbierte Strahlungsenergie wird in innere Energie des K¨orpers umgewandelt. gr¨ undete 1856 mit weiteren 22 jungen Ingenieuren den Verein Deutscher Inge” nieure“ (VDI); er war der erste Direktor des VDI und viele Jahre Schriftleiter der technisch-wissenschaftlichen Zeitschrift des Vereins, in der er 42 Aufs¨ atze ver¨ offentlichte.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

29

W¨ armestrahlung bewirkt somit eine besondere Art der W¨arme¨ ubertragung, die als Strahlungsaustausch bezeichnet wird. Zum Strahlungstransport selbst ist keine Materie erforderlich, elektromagnetische Wellen pflanzen sich auch im leeren Raum fort. Somit kann W¨ arme auch u ¨ber große Entfernungen zwischen zwei K¨ orpern u bertragen werden. Auf diese Weise erh¨alt z.B. die Erde ¨ einen großen Energiestrom von der Sonne. Gase und Fl¨ ussigkeiten lassen W¨ armestrahlung teilweise hindurch. Daher finden auch Emission und Absorption von Strahlung im Inneren von Gas- oder Fl¨ ussigkeitsr¨ aumen statt. Emission und Absorption von Strahlung sind hier volumetrische Effekte. Dagegen wird in einem Festk¨orper Strahlung bereits nach Durchlaufen sehr d¨ unner Schichten (wenige Mikrometer) vollst¨andig absorbiert. Strahlung aus dem Inneren eines Festk¨orpers kann somit nicht nach außen dringen, die Emission ist auf eine d¨ unne oberfl¨achennahe Schicht begrenzt. Emission und Absorption von W¨ armestrahlung durch feste K¨orper sind daher Oberfl¨ acheneffekte, und es ist zul¨ assig, von strahlenden und absorbierenden Fl¨ achen statt richtiger von strahlenden Festk¨orpern zu sprechen. F¨ ur die Emission von W¨ armestrahlung gibt es eine obere Grenze, die nur von der thermodynamischen Temperatur T des strahlenden K¨orpers abh¨ angt. Die maximal m¨ ogliche W¨ armestromdichte der von der Oberfl¨ache eines K¨ orpers ausgesandte W¨ armestrahlung ist durch q˙s = σT 4

(1.58)

gegeben. Dieses Naturgesetz wurde 1879 von J. Stefan10 aufgrund von Experimenten angegeben und 1884 von L. Boltzmann11 aus der elektromagnetischen Theorie der Strahlung mit Hilfe des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik hergeleitet. Es enth¨ alt eine universelle Konstante, die Stefan-BoltzmannKonstante σ, deren Bestwert σ = (5,67040 ± 0,00004)10−8 W/m2 K4 betr¨ agt. Ein Strahler, dessen spez. Ausstrahlung, n¨ amlich die durch Strahlung abgegebene W¨ armestromdichte, den Maximalwert q˙s nach (1.58) erreicht, heißt 10

11

Josef Stefan (1835–1893) wurde 1863 Professor f¨ ur Physik an der Universit¨ at Wien. Er war ein hervorragender Experimentator und ver¨ offentlichte zahlreiche Arbeiten u armeleitung und Diffusion in Fluiden, u ¨ber W¨ ¨ ber Eisbildung und den Zusammenhang zwischen Oberfl¨ achenspannung und Verdampfung. Das T 4 Gesetz der W¨ armestrahlung schlug er aufgrund einer sorgf¨ altigen Auswertung alterer Experimente u armeabgabe heißer K¨ orper vor. ¨ ¨ ber die W¨ Ludwig Boltzmann (1844–1906) promovierte 1867 bei J. Stefan in Wien. Er war Professor f¨ ur Physik in Graz, M¨ unchen, Leipzig und Wien. Sein Hauptarbeitsgebiet war die kinetische Gastheorie und ihre Beziehung zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik. Er fand 1877 den grundlegenden Zusammenhang zwischen der Entropie eines Systems und dem Logarithmus der Anzahl der m¨ oglichen molekularen Verteilungen (Mikrozust¨ ande), die zu einem makroskopischen Zustand des Systems geh¨ oren.

30

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Schwarzer K¨orper. Er ist ein idealer Strahler, dessen spez. Ausstrahlung von keinem anderen K¨ orper gleicher Temperatur u ¨bertroffen werden kann. Andererseits absorbiert der Schwarze K¨ orper alle auftreffende Strahlung, er ist auch ein idealer Absorber. Die spezifische Ausstrahlung wirklicher Strahler wird mit Hilfe eines verkleinernden Korrekturfaktors in (1.58) beschrieben. Man setzt (1.59) q˙ = ε(T )σT 4 und definiert damit eine Materialeigenschaft, den Emissionsgrad ε(T ) ≤ 1 des Strahlers. Der Emissionsgrad h¨ angt nicht nur vom Material, sondern auch vom Zustand der Oberfl¨ ache, z.B. von ihrer Rauhigkeit ab. Einige Werte von ε sind in Tabelle 1.3 zusammengestellt. Tabelle 1.3: Emissionsgrade ε(T ) einiger Materialien

Stoff T in K Beton, rauh 293 Holz, Eiche 293 Ziegelstein, rot 293 Aluminium, walzblank 443

ε 0,94 0,90 0,93 0,049

Stoff T in K ε Nickel, poliert 373 0,053 Eisen, blank ge¨ atzt 423 0,158 Kupfer, oxidiert 403 0,725

Trifft Strahlung auf einen K¨ orper, so wird ein Teil reflektiert, ein Teil absorbiert, und ein Teil durchgelassen. Man kennzeichnet diese Anteile durch den Reflektionsgrad r, den Absorptionsgrad a und den Transmissionsgrad τ . Diese drei Verh¨ altnisgr¨ oßen (Zahlen) sind keine reinen Materialeigenschaften des bestrahlten K¨ orpers, sondern h¨ angen auch von der Art der auftreffenden Strahlung ab, insbesondere davon, wie die Strahlungsenergie auf das Wellenl¨ angen-Spektrum der auftreffenden elektromagnetischen Wellen verteilt ist. Es gilt jedoch stets r+a+τ =1 . (1.60) Die meisten Festk¨ orper sind f¨ ur Strahlung undurchl¨assig. Dann folgt mit τ = 0 f¨ ur den Absorptionsgrad aus (1.60) a = 1 − r. In Kapitel 5 werden wir die Absorption von W¨armestrahlung ausf¨ uhrlicher behandeln. Dabei werden wir auch auf einen Zusammenhang zwischen Emission und Absorption eingehen, der als Gesetz von G. Kirchhoff bezeichnet wird, vgl. Abschnitt 5.1.6. Danach ist, grob gesprochen, ein guter Sender (Emitter) von Strahlung auch ein guter Absorber. Dies ¨außert sich beim idealen Strahler, dem Schwarzen K¨ orper, darin, dass sowohl sein Absorptionsgrad a als auch sein Emissionsgrad ε den H¨ ochstwert eins haben. Der Schwarze K¨ orper, der alle auftreffende Strahlung absorbiert (a = 1), strahlt auch am meisten von allen Strahlern, n¨ amlich nach dem Gesetz (1.58) von Stefan und Boltzmann.

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

31

1.1.6 Strahlungsaustausch F¨ ur die W¨ arme¨ ubertragung ist der durch Strahlung zwischen K¨orpern mit verschiedenen Temperaturen u armestrom wichtig. Dabei strahlt ¨ bertragene W¨ nicht nur der K¨ orper mit der h¨ oheren Temperatur und gibt so W¨arme an den k¨ alteren ab. Auch der k¨ altere K¨ orper sendet elektromagnetische Wellen aus, die den w¨ armeren Strahler treffen und an ihn Energie u ¨bertragen. Es ist hier also zutreffend, von einem Strahlungsaustausch zu sprechen. Letztlich interessiert der W¨ armestrom, der netto vom K¨ orper mit der h¨oheren Temperatur auf den K¨ orper mit der niedrigeren Temperatur u ¨ bergeht. Die Berechnung dieses W¨ armestroms ist schwierig. Im Allgemeinen werden n¨amlich noch weitere K¨ orper am Strahlungsaustausch beteiligt sein. Außerdem absorbiert ein K¨ orper nicht alle auftreffende Strahlung; ein Teil wird reflektiert und kann auch den urspr¨ unglichen Strahlungssender treffen. Dieses verwickelte Wechselspiel zwischen zwei Strahlern kann dadurch weiter kompliziert werden, dass das Medium zwischen den Strahlern einen Teil der durchtretenden Strahlung absorbiert und auch selbst Strahlung emittiert. Dies ist bei der sog. Gasstrahlung der Fall, die z.B. bei der W¨ arme¨ ubertragung in Feuerungen ber¨ ucksichtigt werden muss.

Abb. 1.11: Strahlungsaustausch zwischen einem K¨ orper mit der Temperatur T und einer schwarzen Umgebung mit der Temperatur TU .

Zur Einf¨ uhrung behandeln wir einen einfachen Sonderfall des Strahlungsaustausches. Ein Strahler mit der Fl¨ ache A und der Temperatur T befindet sich in einer Umgebung mit der Temperatur TU , vgl. Abb. 1.11. Der Strahlungsaustausch soll durch das Zwischenmedium nicht beeinflusst werden; es sei v¨ ollig durchl¨ assig f¨ ur Strahlung, was z.B. in sehr guter N¨aherung auf die atmosph¨ arische Luft zutrifft. Die Umgebung m¨ oge sich wie ein Schwarzer K¨orper verhalten: die auf sie treffende Strahlung wird vollst¨andig absorbiert, aU = 1. Der von dem Strahler emittierte W¨ armestrom Q˙ em = A ε σ T 4 trifft auf die schwarze Umgebung und wird von ihr vollst¨andig absorbiert. Die von der Umgebung ausgehende schwarze Strahlung wird vom Strahler mit der Temperatur T nur zum Teil absorbiert; der reflektierte Teil f¨allt auf die Umgebung zur¨ uck und wird dort absorbiert. Der vom Strahler absorbierte W¨ armestrom ist

32

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Q˙ ab = A a σ TU4 , wobei a der Absorptionsgrad des Strahlers mit der Temperatur T f¨ ur auftreffende schwarze Strahlung der Temperatur TU ist. Der Absorptionsgrad a ist keine Materialeigenschaft, denn er h¨ angt nicht nur von den Eigenschaften der absorbierenden Oberfl¨ ache ab, sondern auch von der Art und der Quelle der auftreffenden Strahlung. In unserem Beispiel ist dies die schwarze Strahlung aus der Umgebung, die durch die Temperatur TU vollst¨andig charakterisiert ist. ˙ der netto vom Strahler an die ihn umschließende Der W¨ armestrom Q, Umgebung abgegeben wird, ist   (1.61) Q˙ = Q˙ em − Q˙ ab = Aσ εT 4 − aTU4 . In vielen F¨ allen nimmt man f¨ ur den Strahler ein besonders einfaches und daher nur n¨ aherungsweise g¨ ultiges Materialgesetz an: Man behandelt ihn als grauen Strahler. Der Absorptionsgrad eines grauen Strahlers ist unabh¨angig von der Art der auftreffenden Strahlung und stimmt mit dem Emissionsgrad u ¨berein: a = ε. F¨ ur einen grauen Strahler in einer schwarzen Umgebung vereinfacht sich damit (1.61) zu   Q˙ = Aσε T 4 − TU4 . (1.62) Charakteristisch f¨ ur den Strahlungsaustausch ist hier die Differenz der vierten Potenzen der thermodynamischen Temperaturen von Strahlungsquelle und Strahlungsempf¨ anger. Diese Temperaturabh¨ angigkeit trifft man bei zahlreichen Problemen des Strahlungsaustausches an, wenn graue Strahler vorausgesetzt werden. In vielen Anwendungsf¨ allen muss neben dem W¨arme¨ ubergang durch Strahlung auch der W¨ arme¨ ubergang durch Konvektion ber¨ ucksichtigt werden. Dies ist beispielsweise bei einem Heizk¨ orper der Fall, der W¨arme an einen Raum mit niedrigerer Temperatur abgibt. Der Heizk¨orper steht im Strahlungsaustausch mit den W¨ anden des Raumes und gibt zugleich W¨arme an die Luft durch Konvektion ab. Da diese beiden Arten der W¨arme¨ ubertragung parallel verlaufen, sind die durch Konvektion und durch Strahlung abgegebenen W¨ armestr¨ ome zu addieren, um den Gesamtw¨armestrom zu erhalten. F¨ ur die W¨ armestromdichte gilt daher q˙ = q˙Konv + q˙Str oder

  q˙ = α(T − TL ) + εσ T 4 − TU4 .

(1.63)

Dabei bedeutet α den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten f¨ ur den konvektiven W¨ arme¨ ubergang an die Luft mit der Temperatur TL . F¨ ur die Berechnung ultigkeit von (1.62) angenommen. von q˙Str haben wir die G¨ Da meistens TL ≈ TU ist, fasst man den konvektiven Anteil und den Strahlungsanteil des W¨ arme¨ ubergangs zusammen und setzt

1.1 Die verschiedenen Arten der W¨ arme¨ ubertragung

q˙ = (α + αStr ) (T − TU ) .

33

(1.64)

Der damit definierte W¨ arme¨ ubergangskoeffizient der Strahlung ergibt sich nach (1.63) zu αStr = ε σ

   T 4 − TU4 = ε σ T 2 + TU2 T + TU . T − TU

(1.65)

Diese Rechengr¨ oße h¨ angt vom Emissionsgrad ε und von den beiden Tempeuhrung von αStr gestattet es, den Einfluss der raturen T und TU ab. Die Einf¨ Strahlung im Vergleich zur Konvektion abzusch¨atzen. Da stets ε ≤ 1 ist, l¨asst sich sofort eine Obergrenze f¨ ur den Strahlungsanteil angeben. Beispiel 1.2: Eine mangelhaft isolierte Rohrleitung (Außendurchmesser d = auft horizontal durch 0,100 m), deren Oberfl¨ achentemperatur ϑW = 44 ◦ C ist, verl¨ einen gr¨ oßeren Raum mit ruhender Luft der Temperatur ϑL = 18 ◦ C. Man be˙ stimme den auf die L¨ ange L der Rohrleitung bezogenen W¨ armeverluststrom Q/L. Dabei kann angenommen werden, dass sich die Rohrleitung wie ein grauer Strahler mit dem Emissionsgrad ε = 0,87 verh¨ alt und die Umschließungsw¨ ande des Raums eine schwarze Umgebung mit der Temperatur ϑU = ϑL = 18 ◦ C bilden. Die Rohrleitung gibt W¨ arme durch freie Konvektion an die Luft und durch Strahlung an die Umschließungsw¨ ande ab. Daher gilt nach (1.64) mit ϑU = ϑL ˙ Q/L = πd (q˙Konv + q˙Str ) = πd (αm + αStr ) (ϑW − ϑL ) ,

(1.66)

arme¨ ubergangskoeffizient der freien Konvektion ist. wobei αm der mittlere W¨ Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient der Strahlung ergibt sich nach (1.65) mit den gegebenen Daten zu αStr = ε σ

4 TW W − TL4 W 3174 − 2914 3 K = 5,55 2 . = 0,87 · 5,67 · 10−8 2 4 TW − TL m K 317 − 291 m K

F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang durch freie Konvektion am horizontalen Rohr geben S.W. Churchill und H.H.S. Chu [1.3] die dimensionslose Beziehung ( )2 0,387(GrP r)1/6 αm d = 0,60 + (1.67) N um = 8/27 λ [1 + (0,559/P r)9/16 ] an, welche die Form von Gl. (1.56), n¨ amlich N um = f (Gr, P r) hat. Nach (1.57) ist die Grashof-Zahl gβ (ϑW − ϑL ) d3 . Gr = ν2 Der Ausdehnungskoeffizient β ist dabei f¨ ur die Lufttemperatur ϑL zu berechnen. Da Luft als ideales Gas behandelt werden kann, wird β = 1/TL = 0,00344 K−1 . Um die Temperaturabh¨ angigkeit der Stoffwerte n¨ aherungsweise zu ber¨ ucksichtigen, sollen ν, λ und P r bei der Mitteltemperatur ϑm = 12 (ϑW + ϑL ) bealt man ν = 16,40 · 10−6 m2 /s, rechnet werden. F¨ ur Luft bei ϑm = 31 ◦ C erh¨ λ = 0,0265 W/Km und P r = 0,713. Damit wird ` ´ 9,81 m/s2 0,00344 K−1 (44 − 18) K · 0,1003 m3 = 3,26 · 106 . Gr = 16,402 · 10−12 m4 /s2

34

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen arme¨ uberDies ergibt nach (1.67) die Nußelt-Zahl N um = 18,48, woraus der W¨ gangskoeffizient αm = N um

λ 0,0265 W/Km W = 18,48 = 4,90 2 d 0,100 m m K

˙ folgt. F¨ ur den W¨ armeverluststrom erh¨ alt man aus (1.66) Q/L = 85,4 W/m. Die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αm und αStr sind etwa gleich groß; die freie Konvektion der Luft und der Strahlungsaustausch transportieren etwa gleich viel oße W¨ arme. Dies gilt nicht bei erzwungener Konvektion, wo αm je nach der Gr¨ der Str¨ omungsgeschwindigkeit um ein bis zwei Zehnerpotenzen gr¨ oßer ist als der uber αm in hier berechnete Wert, αStr aber unbeeinflusst bleibt und damit gegen¨ der Regel vernachl¨ assigt werden kann. Beispiel 1.3: Von der Sonne aus gesehen erscheint die Erde samt ihrer ¨ außeren Atmosph¨ are wie eine normal zur Sonne gerichtete Scheibe vom Radius R = D/2, wobei D der Erddurchmesser ist. Auf diese Scheibe strahlt die Sonne mit einer W¨ armestromdichte E0 = 1367 W/m2 , der so genannten Solarkonstante. Ein Teil des eingestrahlten W¨ armestroms wird von der Erdoberfl¨ ache reflektiert, der Rest absorbiert. Ein mittlerer Reflexionsgrad, Albedo genannt, ist rS = 0, 3, der mittlere Absorptionsgrad somit aS = 1 − rS = 0, 7. Aufgrund ihrer Eigentemperatur T strahlt die Erde u ache W¨ arme in Form langwelliger Strah¨ ber ihre ganze Oberfl¨ lung in das Weltall mit einem mittleren Reflexionsgrad r = 1 − a, wobei a = 0, 39 der mittlere Absorptionsgrad f¨ ur langwellige Strahlung ist. Man berechne die mittlere Temperatur der Erdoberfl¨ ache im station¨ aren Zustand. Welche mittlere Temperatur w¨ urde sich einstellen, wenn keine Erdatmosph¨ are vorhanden w¨ are? Von dem eingestrahlten W¨ armestrom wird der Anteil Q˙ 0 = R2 π E0 aS absorbiert. Er ist im station¨ aren Zustand genau so groß wie der durch Reflexion u ache abgegebene W¨ armestrom Q˙ 1 = 4 R2 π σ T 4 r = ¨ber die ganze Erdoberfl¨ 2 4 armestr¨ ome ergibt die mittlere Tem4 R π σ T (1 − a). Gleichsetzen beider W¨ peratur der Erdoberfl¨ ache !1/4 ` ´ „ «1/4 1367 W/m2 · 0, 7 aS E 0 aS ˆ ` ´˜ = = 288, 4 K , T = 4 σ (1 − a) 4 · 5, 67 · 10−8 W/ m2 K4 · (1− 0, 39) also die Celsiustemperatur ϑ = 15, 2 . G¨ abe es keine Erdatmosph¨ are, so w¨ aren a = 0 und die mittlere Temperatur der Erdoberfl¨ ache T = 254, 9 K und somit nur ϑ = −18, 3 .

1.2 W¨ armedurchgang Bei vielen Anwendungen der W¨ arme¨ ubertragung sind zwei Fluide mit unterschiedlichen Temperaturen durch eine feste Wand getrennt. W¨arme geht von dem Fluid mit der h¨ oheren Temperatur an die Wand u ¨ ber, wird in der Wand weitergeleitet und geht von der k¨ alteren Wandseite an das Fluid mit der niedrigeren Temperatur u ubergangs¨ ber. Diese Hintereinanderschaltung von W¨arme¨ und W¨ armeleitungsvorg¨ angen bezeichnet man als W¨armedurchgang.

1.2 W¨ armedurchgang

35

W¨ armedurchgang findet vor allem in den Apparaten zur W¨arme¨ ubertragung, den W¨ arme¨ ubertragern statt, deren Berechnung wir in Abschnitt 1.3 behandeln. Hier str¨ omt das heiße Fluid beispielsweise in einem Rohr und gibt W¨ arme durch die Rohrwand an das kalte Fluid ab, welches um das Rohr str¨ omt. Auch jede Hauswand kann als Beispiel f¨ ur den W¨armedurchgang dienen. Sie trennt die warme Luft im Inneren des Hauses von der kalten Luft der Umgebung und soll dem W¨ armedurchgang einen m¨oglichst großen Widerstand entgegensetzen, damit trotz des Temperaturgef¨alles zwischen Innen und Außen nur ein kleiner W¨ armestrom durch die Wand fließt. Im Gegensatz dazu soll der W¨ armedurchgangswiderstand zwischen den Fluiden eines W¨ arme¨ ubertragers m¨ oglichst klein sein; denn hier m¨ochte man einen m¨oglichst großen W¨ armestrom u ¨ bertragen, wobei die Temperaturdifferenz zwischen den Fluiden aus thermodynamischen Gr¨ unden (geringer Exergieverlust) klein sein soll. Wie diese beiden Beispiele zeigen, kommt der Berechnung des W¨armedurchgangs erhebliche technische Bedeutung zu. Wir behandeln daher diese Aufgabe in den n¨ achsten Abschnitten ausf¨ uhrlich.

1.2.1 Der W¨ armedurchgangskoeffizient Wir legen den folgenden Betrachtungen die in Abb. 1.12 dargestellte Situation zugrunde: Eine ebene oder gekr¨ ummte Wand trennt das Fluid mit der Temperatur ϑ1 vom Fluid mit der Temperatur ϑ2 < ϑ1 . Im station¨aren Zustand fließt ein W¨ armestrom Q˙ aufgrund des Temperaturunterschieds ϑ1 − ϑ2 vom Fluid 1 durch die Wand zum Fluid 2. Der W¨ armestrom Q˙ geht zun¨achst vom Fluid 1 an die Wand u ache A1 und deren Temperatur ϑW1 ist. ¨ ber, deren Fl¨ Mit α1 als dem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten nach Abschnitt 1.1.3 gilt Q˙ = α1 A1 (ϑ1 − ϑW1 ) .

(1.68)

F¨ ur die W¨ armeleitung in der Wand erhalten wir nach Abschnitt 1.1.2 λm Q˙ = Am (ϑW1 − ϑW2 ) . δ

(1.69)

Darin bedeuten λm die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Wand nach (1.11), δ ihre Dicke und Am die mittlere Fl¨ ache, die nach (1.15) zu berechnen ist. Schließlich erhalten wir f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang von der Wand an das Fluid 2 die zu (1.68) analoge Beziehung Q˙ = α2 A2 (ϑW2 − ϑ2 ) .

(1.70)

Aus den drei Gleichungen f¨ ur Q˙ lassen sich die unbekannten Wandtemperaturen ϑW1 und ϑW2 eliminieren, so dass man Q˙ allein bei Kenntnis der

36

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.12: Temperaturverlauf beim W¨ armedurchgang durch eine Rohrwand, an die zwei Fluide mit den Temperaturen ϑ1 und ϑ2 < ϑ1 grenzen.

Fluidtemperaturen ϑ1 und ϑ2 berechnen kann. Das Ergebnis l¨asst sich in der Form Q˙ = kA (ϑ1 − ϑ2 ) (1.71) schreiben, wobei 1 δ 1 1 = + + kA α1 A1 λm Am α2 A2

(1.72)

gilt. Durch (1.71) wird der auf die Fl¨ ache A bezogene W¨armedurchgangskoeffizient k definiert. Dabei ist A die Gr¨ oße einer beliebigen Bezugsfl¨ache. Gleichung (1.72) erlaubt die Berechnung von kA aus den f¨ ur den W¨arme¨ ubergang und die W¨ armeleitung wichtigen Gr¨ oßen. Wie (1.71) und (1.72) zeigen, kommt es nur auf das Produkt kA an; eine Angabe von k allein ohne eine Aussage u oße der Bezugsfl¨ ache ist bedeutungslos; da ¨ ber die Gr¨ A beliebig gew¨ ahlt werden kann, nimmt auch k einen der Wahl von A entsprechenden Wert an. In der Praxis werden h¨ aufig Einzelwerte des W¨ armedurchgangskoeffizienten k angegeben und benutzt. So findet man beispielsweise in der Norm DIN 4108 Mindestwerte von k f¨ ur Geb¨ audew¨ ande, die nicht unterschritten werden d¨ urfen, um einen ausreichenden W¨ armeschutz zu gew¨ ahrleisten. Bei derartigen Angaben ist k stillschweigend auf eine bestimmte Fl¨ ache bezogen. Bei ebenen W¨ anden ist dies die ache A2 , die sich oft Wandfl¨ ache A1 = A2 = Am ; bei Rohren meistens die Außenfl¨ nur wenig von A1 oder Am unterscheidet. Wir werden im Folgenden in der Regel nur das Produkt kA benutzen, wobei dann A nicht spezifiziert zu werden braucht. In Ausnahmef¨ allen wird ein Wert von k unter Nennung der Bezugsfl¨ ache angegeben.

Nach (1.72) l¨ asst sich (1/kA) als W¨ armedurchgangswiderstand deuten. Er setzt sich additiv aus den Einzelwiderst¨ anden der hintereinander geschalte¨ ten Ubertragungsvorg¨ ange zusammen: W¨ arme¨ ubergang vom Fluid 1 an die Wand mit dem W¨ arme¨ ubergangswiderstand (1/α1 A1 ), W¨armeleitung in der ubergang von der Wand mit dem W¨ armeleitwiderstand (δ/λm Am ) und W¨arme¨ Wand an das Fluid 2 mit dem W¨ arme¨ ubergangswiderstand (1/α2 A2 ). Der W¨ armedurchgang l¨ asst sich somit in Analogie zum elektrischen Stromdurchgang durch hintereinander geschaltete elektrische Leiter setzen, deren elektrische Widerst¨ ande sich ebenso addieren wie die drei W¨armewiderst¨ande, die

1.2 W¨ armedurchgang

37

¨ der W¨ armestrom Q˙ passieren muss: Ubergangswiderstand der Grenzschicht ¨ des Fluids 1, Leitwiderstand der Wand und Ubergangswiderstand der Grenzschicht des Fluids 2. Der Temperaturabfall u armewiderst¨ande verh¨alt sich ge¨ ber einem der W¨ nauso wie der Spannungsabfall u ber einem elektrischen Widerstand: er ist um ¨ so gr¨ oßer, je gr¨ oßer der Widerstand und je st¨arker der fließende Strom ist. Aus (1.68) bis (1.72) folgt ϑW1 − ϑW2 ϑW2 − ϑ2 ϑ1 − ϑ2 ϑ1 − ϑW1 . = = = Q˙ = 1 1 1 δ α1 A1 α2 A2 kA λm Am

(1.73)

Daraus lassen sich die Temperaturabf¨ alle in der Wand und in den Grenzschichten zu beiden Seiten der Wand bestimmen. Zur Berechnung der Wandtemperaturen folgen daraus die Gleichungen Q˙ kA (ϑ1 − ϑ2 ) = ϑ1 − α1 A1 α1 A1

(1.74)

Q˙ kA (ϑ1 − ϑ2 ) = ϑ2 + . α2 A2 α2 A2

(1.75)

ϑW1 = ϑ1 − und ϑW2 = ϑ2 +

F¨ ur den W¨armedurchgang durch Rohre erh¨alt man aus (1.72) eine auf die Anwendung zugeschnittene Beziehung, wenn man beachtet, dass die Oberfl¨ ache eines Rohres mit dem Durchmesser d und der L¨ange L die Gr¨oße A = πdL hat. Aus (1.72) folgt dann mit Am nach (1.15) 

1 1 1 ln d2 /d1 1 = + + (1.76) kA πL α1 d1 2λm α2 d2 mit d1 als Innen- und d2 als Außendurchmesser des Rohres.

1.2.2 Mehrschichtige W¨ ande Die Analogie zur elektrischen Leitung benutzt man, um die in Abschnitt 1.2.1 hergeleiteten Beziehungen auf den W¨ armedurchgang durch mehrschichtige W¨ ande zu erweitern. W¨ ande mit zwei oder mehr Schichten aus unterschiedlichem Material treten in der Praxis h¨ aufig auf. Es sei z.B. an das Anbringen einer zus¨ atzlichen Isolierschicht aus einem Material mit niedriger W¨armeleitf¨ ahigkeit λis erinnert. Abb. 1.13 zeigt den Temperaturverlauf in einer Wand, die aus mehreren Schichten zusammengesetzt ist. Hier addieren sich die W¨ armeleitwiderst¨ ande der einzelnen in Serie geschalteten“ Wandschichten. ” Somit erhalten wir f¨ ur den W¨ armedurchgangswiderstand  1 δi 1 1 = + + . kA α1 A1 λ A α A2 mi mi 2 i

(1.77)

38

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.13: Temperaturverlauf beim W¨ armedurchgang durch eine ebene Wand aus drei Schichten unterschiedlichen Materials.

Bei gekr¨ ummten W¨ anden ist die mittlere Fl¨ache Ami einer Schicht aus den beiden Begrenzungsfl¨ achen dieser Schicht nach (1.15) zu berechnen. Gleichung (1.76) f¨ ur den W¨ armedurchgangswiderstand setzt voraus, dass sich zwei Schichten so eng ber¨ uhren, dass kein nennenswerter Temperaturunterschied zwischen den Schichten auftritt. Sonst muss ein thermischer Kontaktwiderstand (in Analogie zum elektrischen Kontaktwiderstand) ber¨ ucksichtigt werden. Der Temperaturabfall ϑi − ϑi+1 in der i-ten Schicht ist (in Analogie zum Spannungsabfall) proportional zum W¨ armestrom und zum W¨armeleitwiderstand der Schicht. Es gilt ϑi − ϑi+1 = RLi Q˙ =

δi Q˙ . λmi Ami

(1.78)

Mit Q˙ nach (1.71) und (1.77) l¨ asst sich nach dieser Beziehung ϑi − ϑi+1 leicht berechnen. F¨ ur die Oberfl¨ achentemperaturen ϑW1 und ϑW2 gelten (1.74) und (1.75) unver¨ andert. F¨ ur Rohre, die aus mehreren Schichten, z.B. aus dem eigentlichen Rohr und einer Isolierung bestehen, l¨ asst sich (1.77) erweitern zu   n 1 1 1 1 1 di+1 1 = + ln + . (1.79) kA πL α1 d1 2 i=1 λmi di α2 dn+1 Die i-te Schicht wird von den Durchmessern di und di+1 begrenzt. Dabei k¨ onnen die erste und die letzte Schicht, die an die Fluide grenzen, auch Schmutzschichten sein, die sich bei l¨ angerem Betrieb bilden und zus¨atzliche W¨ armeleitwiderst¨ ande darstellen.

1.2.3 W¨ armedurchgang durch W¨ ande mit vergr¨ oßerter Oberfl¨ ache Der W¨ armedurchgangswiderstand (1/kA) setzt sich nach (1.72) additiv aus den Einzelwiderst¨ anden des W¨ arme¨ ubergangs und der W¨armeleitung zusammen. Dabei bestimmt stets der gr¨ oßte Einzelwiderstand den Wert von (1/kA),

1.2 W¨ armedurchgang

39

und dies besonders ausgepr¨ agt, wenn die anderen W¨armewiderst¨ande viel kleiner sind. So kann man die Isolierwirkung einer Wand durch Anbringen einer Schicht mit deutlich h¨ oherem W¨ armeleitwiderstand δ/λm Am , also durch eine dicke Schicht aus einem Material mit kleiner W¨armeleitf¨ahigkeit, erheblich verbessern. Soll dagegen, z.B. in einem W¨ arme¨ ubertrager, der W¨armedurchgang m¨oglichst gut sein, so verhindert dies oft ein großer W¨arme¨ ubergangswiderstand (1/αA). Der große W¨ arme¨ ubergangswiderstand hat seine Ursache in einem kleinen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α, der sich, etwa durch Erh¨ohen der Str¨ omungsgeschwindigkeit, nur schwer oder gar nicht vergr¨oßern l¨asst. Hier liegt es nun nahe, (1/αA) durch Vergr¨ oßern der Fl¨ache A zu verringern und so den W¨ armedurchgang zu verbessern. Eine solche Fl¨achenvergr¨oßerung auf der Seite des schlechten“ W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten l¨asst sich durch das ” Anbringen von Rippen, Nadeln oder stabartigen Gebilden erreichen. Abb. 1.14 zeigt Beispiele derartig vergr¨ oßerter W¨ arme¨ ubertragungsfl¨achen, die im englischen Schriftum unter der Bezeichnung extended surfaces zusammengefasst werden. Man kann so die urspr¨ unglich vorhandene Fl¨ache erheblich, sogar um das 10- bis 100-fache vergr¨ oßern.

Abb. 1.14: Beispiele vergr¨ oßerter Oberfl¨ achen, a gerade L¨ angsrippen, b stumpfe und spitze Nadelrippen, c Kreisrippen.

Der W¨ arme¨ ubergangswiderstand verringert sich aber nicht in gleichem Maße. Die vergr¨ oßerte W¨ arme¨ ubergangsfl¨ ache wird n¨amlich durch einen zus¨ atzlichen W¨ armeleitwiderstand erkauft. Die W¨arme, die z.B. von der nahe der Spitze einer Rippe gelegenen Fl¨ ache an das Fluid abgegeben werden soll, muss in der Rippe durch W¨ armeleitung in die N¨ahe der Spitze transportiert werden. Hierzu ist ein Temperaturgef¨ alle zwischen Rippenfuß und Rippenspitze erforderlich, so dass die Rippe (oder eine andere Form einer vergr¨oßerten Oberfl¨ ache) im Mittel eine niedrigere Temperatur aufweist als das von den Rippen freie Grundmaterial. Die aufgesetzten Rippen sind also nicht voll wirksam, denn sie bieten dem W¨ arme¨ ubergang an das Fluid eine kleinere Temperaturdifferenz als das Grundmaterial. Um die Wirksamkeit berippter Fl¨ achen zu berechnen, betrachten wir die in Abb. 1.15 dargestellten Verh¨ altnisse. Der an das Fluid 2 abgegebene W¨armestrom Q˙ besteht aus zwei Teilen: Q˙ = Q˙ G + Q˙ R .

40

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.15: Temperaturverlauf in einer berippten Wand auf der Linie AB. ϑR ist die mittlere Temperatur der Rippe.

Der von der Fl¨ ache AG des von Rippen freien Grundmaterials abgegebene W¨ armestrom Q˙ G ist Q˙ G = αG AG (ϑW2 − ϑ2 ) , (1.80) wobei αG den hier maßgebenden W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten bedeutet. In der Rippe f¨ allt die Temperatur vom Wert ϑ0 am Rippenfuß (x = 0) bis zum Wert ϑh an der Rippenspitze (x = h) ab. Mit ϑR als dem Mittelwert der Rippentemperatur gilt dann f¨ ur den W¨ armestrom Q˙ R , der von den Rippen mit der Fl¨ ache AR an das Fluid abgegeben wird, Q˙ R = αR AR (ϑR − ϑ2 ) . arme¨ ubergangskoeffizient zwischen Rippe und Dabei ist αR der (mittlere) W¨ Fluid. H¨ atte die Rippe u ¨ berall die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes, so k¨onnte sie den gr¨ oßeren W¨ armestrom Q˙ R0 = αR AR (ϑ0 − ϑ2 ) , abgeben. Man kennzeichnet nun die Wirksamkeit der Rippe durch den Rippenwirkungsgrad Q˙ R ϑR − ϑ2 = (1.81) ηR := ˙ ϑ0 − ϑ2 QR0 und erh¨ alt (1.82) Q˙ R = αR ηR AR (ϑ0 − ϑ2 ) . Der Rippenwirkungsgrad ist stets kleiner als eins. Er h¨angt vom W¨armeleitvorgang in der Rippe und vom W¨ arme¨ ubergang ab; denn beide Transportvorg¨ ange beeinflussen sich gegenseitig. Neben der Rippengeometrie spielen uberdaher die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λR des Rippenmaterials und der W¨arme¨ gangskoeffizient αR eine Rolle bei der Berechnung des Rippenwirkungsgrads, auf die wir in 2.2.4 eingehen.

1.2 W¨ armedurchgang

41

Abb. 1.16: Periodische Temperaturverteilung auf der Linie CD. ϑ0 mittlere Temperatur des Rippenfußes, ϑW2 mittlere Temperatur der Oberfl¨ ache des Grundmaterials zwischen den Rippen.

Die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes hat einen anderen Wert als die Temperatur ϑW2 des von Rippen freien Grundmaterials. Durch den Rippenfuß fließt n¨ amlich eine wesentlich h¨ ohere W¨ armestromdichte in die Rippe als vom Grundmaterial an das Fluid u ¨ bergeht. Es tritt also eine Temperaturabsenkung unter der Rippe auf, so dass sich im Grundmaterial eine periodische Temperaturverteilung einstellt, wie sie Abb. 1.16 schematisch zeigt. Zur Vereinfachung vernachl¨ assigt man diesen komplizierten Temperaturverlauf und setzt ϑ0 = ϑW2 ,

(1.83)

nimmt also eine isotherme Temperaturverteilung unter den Rippen und an der Oberfl¨ ache des Grundmaterials zwischen den Rippen an. Diese Vereinfachung ¨ f¨ uhrt zu einer Ubersch¨ atzung des u ¨ bertragenen W¨armestroms. Wie zuerst O. Krischer und W. Kast [1.4], sp¨ ater E.M. Sparrow und D.K. Hennecke [1.5] sowie E.M. Sparrow und L. Lee [1.6] zeigten, kann der W¨armestrom bis zu 25 % zu groß berechnet werden. In vielen F¨ allen, besonders bei dickeren und enger stehenden Rippen, liegt der Fehler unter 5 %. Wir nehmen daher (1.83) als g¨ ultig an und erhalten mit dieser Vereinfachung aus (1.80) und (1.82) Q˙ = Q˙ R + Q˙ G = (αG AG + αR ηR AR ) (ϑ0 − ϑ2 ) .

(1.84)

Die Rippenoberfl¨ ache ist nicht mit ihrer vollen Gr¨oße AR , sondern nur mit dem durch den Rippenwirkungsgrad verminderten Anteil ηR AR wirksam. Meistens ist AR  AG , und in der ersten Klammer von (1.84) u ¨ berwiegt der zweite Summand trotz ηR < 1. Man kann daher ohne großen Fehler αG ≈ αR setzen und erh¨ alt (1.85) Q˙ = αR (AG + ηR AR ) (ϑ0 − ϑ2 ) . F¨ ur den W¨ armedurchgangswiderstand einer berippten Wand findet man nun, da außerdem die Beziehungen (1.68), (1.69) und (1.71) gelten, δ 1 1 1 + + = . kA α1 A1 λm Am αR (AG + ηR AR )

(1.86)

armeleitf¨ahigkeit und Am die mittHierin sind δ die Dicke, λm die mittlere W¨ lere Fl¨ ache der unberippten Wand. Der W¨ armedurchgang berippter W¨ande

42

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

l¨ asst sich also nach den gleichen Beziehungen berechnen wie bei unberippten W¨ anden; man hat nur statt der Rippenoberfl¨ache die mit dem Rippenwirkungsgrad multiplizierte Fl¨ ache einzusetzen. Beispiel 1.4: Ein Rohr aus einer Aluminiumlegierung (λm = 205 W/K m) hat den Innendurchmesser d1 = 22 mm und den Außendurchmesser d2 = 25 mm. omt, w¨ ahrend Luft mit Es wird innen von Wasser mit ϑ1 = 60 ◦ C durchstr¨ omt. Typische W¨ arme¨ ubergangskoefϑ2 = 25 ◦ C senkrecht zu seiner Achse str¨ fizienten sind α1 = 6150 W/m2 K und α2 = 95 W/m2 K. Man berechne den auf ˙ die Rohrl¨ ange L bezogenen W¨ armestrom Q/L. Aus (1.76) erh¨ alt man « „ 1 d2 1 1 1 1 + ln + = kA πL α1 d1 2λm d1 α2 d2 =

1 Km 0,1365 K m (0,0074 + 0,0003 + 0,4211) = πL W L W

und aus (1.71) ˙ Q/L = (kA/L) (ϑ1 − ϑ2 ) = 256 W/m . Der W¨ armedurchgangswiderstand (1/kA) wird durch den großen W¨ arme¨ ubergangswiderstand an der Rohraußenseite bestimmt, der durch das Anbringen von Rippen verkleinert werden soll. Hierzu werden kreisringf¨ ormige Scheiben-Rippen mit dem Außendurchmesser ahlt. Die dR = 60 mm, der Dicke δR = 1 mm und der Teilung tR = 6 mm gew¨ ur die von Rippen freie Außenfl¨ ache des Zahl der Rippen ist dann n = L/tR . F¨ Rohres gilt AG = π d2 (L − n δR ) = π d2 L (1 − δR /tR ) und f¨ ur die Rippenoberfl¨ ache AR = 2n

´ ´ π` 2 π L ` 2 d − d22 . d − d22 = 4 R 2 tR R

Die schmale Fl¨ ache mit der Breite δR an der Rippenspitze ist hierbei ver¨ nachl¨ assigt worden; denn sie tr¨ agt wegen ihrer niedrigen Ubertemperatur nur wenig zum W¨ arme¨ ubergang an die Luft bei. Gegen¨ uber der Fl¨ ache A0 = πd2 L des unberippten Rohres erh¨ alt man eine Fl¨ achenvergr¨ oßerung um den Faktor (AG + AR )/A0 = 10,75. F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang ist die Rippenfl¨ ache jedoch nicht voll wirksam. Wir nehmen αR = α2 und einen Rippenwirkungsgrad ηR = 0,55 an und erhalten nach (1.86) „ « 1 1 d2 πL 1 1 + ln + = kA πL α1 d1 2λm d1 αR (AG + ηR AR ) Km 0,0238 K m 1 (0,0074 + 0,0003 + 0,0670) = . πL W L W Der W¨ arme¨ ubergangswiderstand auf der Rohraußenseite ist zwar immer noch der gr¨ oßte W¨ armewiderstand, doch der W¨ armedurchgangswiderstand hat sich durch das Anbringen der Rippen erheblich verkleinert. Dementsprechend erh¨ alt ˙ man den gr¨ oßeren W¨ armestrom Q/L = 1472 W/m. Die Fl¨ achenvergr¨ oßerung um den Faktor 10,75 hat zu einer Erh¨ ohung der W¨ armeleistung um den Faktor 5,75 gef¨ uhrt. =

1.2 W¨ armedurchgang

43

1.2.4 Abku armung du ¨hlung und Erw¨ ¨nnwandiger Beh¨ alter Die Beziehungen f¨ ur den station¨ aren W¨ armedurchgang lassen sich auch auf die L¨ osung eines instation¨ aren W¨ arme¨ ubergangsproblems anwenden, n¨amlich zur Berechnung des zeitlichen Temperaturverlaufs beim Aufheizen und Abk¨ uhlen d¨ unnwandiger Beh¨ alter, die mit einer Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt sind. Hierzu muss man zwei vereinfachende Annahmen machen: 1. Die Temperatur der Fl¨ ussigkeit im Inneren des Beh¨alters ist r¨aumlich ausgeglichen; sie ¨ andert sich nur mit der Zeit, ϑF = ϑF (t). ¨ 2. Die W¨ armespeicherung der Beh¨ alterwand, genauer die Anderung ihrer inneren Energie, kann vernachl¨ assigt werden. Die erste Annahme wird h¨ aufig zutreffen, weil freie oder durch ein R¨ uhrwerk erzwungene Konvektionsstr¨ ome einen r¨ aumlichen Temperaturausgleich im Inneren des Beh¨ alters herbeif¨ uhren. Die zweite Annahme ist nur dann berechtigt, wenn die W¨ armekapazit¨ at des Beh¨ alterinhalts die W¨armekapazit¨at der W¨ ande weit u uhlung oder Erw¨armung ¨berwiegt. Dies trifft auf die Abk¨ von Fl¨ ussigkeiten in d¨ unnwandigen Beh¨ altern zu, jedoch nicht auf gasgef¨ ullte Beh¨ alter mit dicken oder stark isolierten W¨ anden. Bei G¨ ultigkeit der beiden Annahmen herrscht zu jeder Zeit im Beh¨alterinneren eine r¨ aumlich ausgeglichene Temperatur, und in den W¨anden verl¨auft die Temperatur nach den Gleichungen, die f¨ ur den station¨aren Zustand gelten. In einer ebenen Beh¨ alterwand f¨ allt die Temperatur also linear ab, diese Gerade verlagert sich jedoch im Laufe der Zeit.

Abb. 1.17: Temperaturverlauf bei der Abk¨ uhlung eines d¨ unnwandigen Beh¨ alters.

Wir betrachten zun¨ achst den Abk¨ uhlvorgang, Abb. 1.17. Der W¨armestrom ˙ Q(t), der von der Fl¨ ussigkeit mit der Temperatur ϑF (t) durch die Beh¨alterwand an die Umgebung mit der konstanten Temperatur ϑU u ¨ bertragen wird, ist durch ˙ Q(t) = kA [ϑF (t) − ϑU ] (1.87)

44

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

gegeben. Dabei kann der W¨ armedurchgangskoeffizient k nach (1.72) berechnet werden. Nach dem ersten Hauptsatz bewirkt der abfließende W¨armestrom Q˙ eine Abnahme der inneren Energie UF der im Beh¨alter befindlichen Fl¨ ussigkeit: dUF dϑF ˙ Q(t) =− = −MF cF . (1.88) dt dt Hierin bedeutet MF die Masse und cF die als konstant angenommene spez. W¨ armekapazit¨ at der Fl¨ ussigkeit. Aus (1.87) und (1.88) folgt die gew¨ ohnliche Differentialgleichung dϑF kA + (ϑF − ϑU ) = 0 dt M F cF f¨ ur die Fl¨ ussigkeitstemperatur. Ihre L¨ osung unter der Anfangsbedingung ϑF = ϑF0

zur Zeit t = 0

lautet in dimensionsloser Form ϑ+ F :=

 ϑF − ϑU kA = exp − t . ϑF0 − ϑU M F cF

(1.89)

Die Fl¨ ussigkeitstemperatur sinkt also exponentiell von ihrem Anfangswert ϑF0 auf die Umgebungstemperatur ϑU . Abb. 1.18 zeigt den Temperaturverlauf f¨ ur verschiedene Werte der Abklingzeit t0 := MF cF /kA .

(1.90)

Sie erscheint in Abb. 1.18 als Subtangente der Abk¨ uhlkurve zu einem beliebigen Zeitpunkt, insbesondere auch zur Zeit t = 0. Die Erw¨armung des Beh¨ alterinhalts m¨ oge zur Zeit t = 0 beginnen, bei der der ganze Beh¨ alter die Umgebungstemperatur hat: ϑF = ϑU

f¨ ur

t=0 .

(1.91)

Der Fl¨ ussigkeit werde f¨ ur t ≥ 0 die Heizleistung Q˙ H = Q˙ H (t) zugef¨ uhrt, die eine beliebige Funktion der Zeit sein kann. Da die Fl¨ ussigkeit den W¨armestrom ˙ Q(t) nach (1.87) durch die d¨ unne Beh¨ alterwand an die Umgebung verliert, liefert der erste Hauptsatz die Bilanzgleichung dUF ˙ = −Q(t) + Q˙ H (t) , dt woraus die Differentialgleichung Q˙ H (t) kA dϑF + (ϑF − ϑU ) = dt M F cF M F cF folgt. Ihre allgemeine L¨ osung unter Beachtung der Anfangsbedingung (1.91) lautet

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

45

¨ Abb. 1.18: Zeitliche Anderung der Fl¨ ussigkeitstemperatur ϑ+ F nach (1.89) mit t0 nach (1.90) bei der Abk¨ uhlung eines Beh¨ alters.

t ˙ QH (t) ϑF = ϑU + exp (−t/t0 ) exp (t/t0 ) dt M F cF

(1.92)

0

mit t0 nach (1.90). Nimmt man eine konstante Heizleistung Q˙ H an, so folgt aus (1.92) ϑF = ϑU +

Q˙ H [1 − exp (−t/t0 )] . kA

Nach sehr langer Zeit (t → ∞) erreicht die Temperatur der Fl¨ ussigkeit den Wert Q˙ H ϑF∞ = ϑU + . kA Die zugef¨ uhrte Heizleistung reicht dann gerade aus, um den Verlustw¨armestrom Q˙ nach (1.87) zu decken; es stellt sich ein station¨arer Zustand ein.

1.3 W¨ armeu ¨ bertrager Soll Energie als W¨ arme von einem Fluidstrom auf einen anderen u ¨ bertragen werden, so f¨ uhrt man die beiden Fluide durch einen Apparat, der W¨ arme¨ ubertrager (fr¨ uher auch W¨ armetauscher oder W¨armeaustauscher) genannt wird. Die Fluidstr¨ ome sind dabei durch eine materielle Wand, meist eine Rohrwand, getrennt, durch die W¨ arme vom Fluid mit der h¨oheren Temperatur auf das k¨ altere Fluid u ur die Berechnung von W¨arme¨ uber¨bertragen wird. F¨ tragern verwendet man daher die in Abschnitt 1.2 hergeleiteten Beziehungen

46

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

f¨ ur den W¨ armedurchgang. Außerdem verkn¨ upfen die Energiebilanzen des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik den u ¨bertragenen W¨armestrom mit den Enthalpie¨ anderungen der beiden Fluide und damit mit ihren Temperatur¨ anderungen. W¨ arme¨ ubertrager kommen in verschiedenen Bauarten vor, die sich insbesondere durch die Stromf¨ uhrung der beiden Fluide unterscheiden. Hier¨ uber wird im ersten Abschnitt berichtet. Danach gehen wir auf die Berechnungsgleichungen ein, die vorteilhaft mit dimensionslosen Kenngr¨oßen formuliert werden. In den dann folgenden Abschnitten behandeln wir die Berechnung der Gegenstrom-, Gleichstrom- und Kreuzstromw¨arme¨ ubertrager. Im letzten Abschnitt wird auf weitere praktisch wichtige Stromf¨ uhrungen hingewiesen, die sich aus den drei genannten Grundformen kombinieren lassen. Berechnung, Gestaltung und Anwendung von W¨arme¨ ubertragern werden ausf¨ uhrlich in verschiedenen B¨ uchern behandelt. Es sei insbesondere auf die Ver¨ offentlichungen von H. Hausen [1.7], H. Martin [1.8] sowie W. Roetzel u.a. [1.9] hingewiesen. Die folgenden Abschnitte geben nur eine Einf¨ uhrung in dieses umfangreiche Gebiet unter Betonung der w¨armetechnischen Berechnungsverfahren.

1.3.1 Bauarten und Stromfu ¨ hrungen Zu den einfachen Bauformen eines W¨ arme¨ ubertragers geh¨ort der in Abb. 1.19 schematisch dargestellte Doppelrohr-W¨arme¨ ubertrager. Hier werden zwei Rohre in der Regel konzentrisch angeordnet. Das eine Fluid, Index 1, str¨omt im Innenrohr, das andere, dessen Eigenschaften durch den Index 2 gekennzeichnet werden, str¨ omt im ringf¨ ormigen Raum zwischen dem Innen- und dem Mantelrohr. Offensichtlich sind zwei Stromf¨ uhrungen m¨oglich: der Gegenstrom, bei dem die beiden Fluide in verschiedenen Richtungen str¨omen, Abb. 1.19a, und der Gleichstrom nach Abb. 1.19b. In Abb. 1.19 sind auch die Verl¨ aufe der u ¨ ber den Querschnitt gemittelten Temperaturen ϑ1 und ϑ2 der beiden Fluide dargestellt. Die Eintrittstemperaturen werden mit einem Strich, die Austrittstemperaturen mit zwei Strichen gekennzeichnet. In jedem Querschnitt ist ϑ1 > ϑ2 , wenn wir mit dem Index 1 das heißere Fluid bezeichnen. Bei Gegenstromf¨ uhrung treten die beiden Fluide an verschiedenen Enden des W¨ arme¨ ubertragers aus. Deswegen kann die Austrittstemperatur ϑ1 des warmen Stromes unter der des kalten ussen nur die Bedingungen ϑ1 > ϑ2 Stromes liegen (ϑ1 < ϑ2 ); denn es m¨   und ϑ1 > ϑ2 eingehalten werden. Eine derartige starke Abk¨ uhlung des warmen Fluids 1 bzw. die große Erw¨ armung des kalten Fluids 2 ist mit der Gleichstromf¨ uhrung nicht zu erreichen. Hier treten die Austrittstemperaturen beider Fluide im selben Querschnitt des Doppelrohr-W¨arme¨ ubertragers auf, und es gilt daher ϑ1 > ϑ2 selbst bei beliebiger Verl¨angerung des Apparates. Dies ist ein erstes Anzeichen daf¨ ur, dass die Gegenstromf¨ uhrung der Gleichstromf¨ uhrung u arme¨ ubertragungsaufgaben, die bei ¨ berlegen ist: Nicht alle W¨

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

47

Abb. 1.19: Fluidtemperaturen ϑ1 und ϑ2 in einem Doppelrohr-W¨ arme¨ ubertrager. a Gegenstromf¨ uhrung, b Gleichstromf¨ uhrung.

Gegenstrom realisiert werden k¨ onnen, lassen sich mit Gleichstrom verwirklichen. Außerdem werden wir in 1.3.3 herleiten, dass bei gleicher u ¨bertragener W¨ armeleistung ein Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager stets eine kleinere Fl¨ache hat als ein Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertrager, sofern die gestellte Aufgabe u ¨ berhaupt mit beiden Stromf¨ uhrungen l¨ osbar ist. Aus diesen Gr¨ unden wird die Gleichstromf¨ uhrung selten angewendet. Die in der Praxis am h¨ aufigsten angewandte Bauform ist der Rohrb¨ undelW¨arme¨ ubertrager nach Abb. 1.20. Das eine der beiden Fluide str¨omt dabei in den parallelen Rohren eines B¨ undels, das sehr viele Rohre enthalten kann. Das B¨ undel ist von einem Mantelrohr umgeben, in dessen Innerem das an-

Abb. 1.20: Rohrb¨ undel-W¨ arme¨ ubertrager (schematisch)

dere Fluid an der Außenseite der Rohre des B¨ undels str¨omt. Auch hier l¨asst sich Gegenstrom verwirklichen, wenn man von den Enden des W¨arme¨ ubertragers absieht, wo das im Außenraum str¨ omende Fluid ein- bzw. austritt.

48

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

H¨ aufig erzwingt man jedoch durch Umlenk- oder Schikanebleche nach Abb. 1.21, dass das Fluid im Außenraum im Wesentlichen quer zu den Rohren des B¨ undels str¨ omt, was zu einem h¨ oheren W¨arme¨ ubergangskoeffizienten als bei L¨ angsstr¨ omung f¨ uhrt. In diesen Abschnitten zwischen den Umlenkblechen liegt nicht Gleich- oder Gegenstrom vor, sondern Kreuzstrom. Reiner Kreuz-

Abb. 1.21: Rohrb¨ undelW¨ arme¨ ubertrager mit Umlenkblechen

Abb. 1.22: Schema eines Plattenw¨ arme¨ ubertragers mit KreuzstromF¨ uhrung

strom wird bei den Plattenw¨arme¨ ubertragern nach Abb. 1.22 verwirklicht. Hier a ¨ndern sich die Temperaturen der beiden Fluide auch quer zur jeweiligen Str¨ omungsrichtung. Dies ist in Abb. 1.23 schematisch wiedergegeben. Jedes Fluidteilchen, das einen W¨ arme¨ ubertrager mit Kreuzstrom-F¨ uhrung durchstr¨ omt, erf¨ ahrt eine eigene Temperatur¨anderung zwischen der f¨ ur alle Teilchen gleichen Eintrittstemperatur ϑi und dem individuellen Wert seiner Austrittstemperatur. Kreuzstrom wird auch bei Rohrb¨ undel-W¨arme¨ ubertragern angewendet, bei denen eines der Fluide gasf¨ormig ist. Das Gas str¨omt quer zu den Rohrachsen u ¨ ber die Rohre, die in Reihen angeordnet sind und in denen das andere Fluid, oft eine Fl¨ ussigkeit, str¨omt. Durch Berippung der Rohre, vgl. Abschnitt 1.2.3 und 2.2.3, l¨ asst sich die W¨arme¨ ubertragungsfl¨ache auf der Gasseite vergr¨ oßern, wodurch der niedrige W¨arme¨ ubergangskoeffizient kompensiert wird. Abb. 1.24 zeigt eine besonders einfache Bauart eines W¨arme¨ ubertragers, eine Rohrschlange, die in einem Beh¨ alter (Kessel) untergebracht ist. Das eine Fluid str¨ omt durch das Rohr, das andere befindet sich im Kessel. Es kann diesen station¨ ar durchstr¨ omen oder, im Kessel ruhend, erw¨armt oder abgek¨ uhlt werden. H¨ aufig wird das im Kessel befindliche Fluid durch ein R¨ uhrwerk bewegt, um es zu durchmischen und den W¨ arme¨ ubergang an die Rohrschlange zu verbessern.

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

49

Abb. 1.23: Fluidtemperaturen ϑ1 = ϑ1 (x, y) und ϑ2 = ϑ2 (x, y) bei Kreuzstrom

Abb. 1.24: W¨ arme¨ ubertrager mit Rohrschlange (schematisch)

Neben den genannten Bauarten gibt es zahlreiche Sonderformen von W¨arme¨ ubertragern, auf die wir nicht eingehen. Dabei ist eine Vielzahl von Kombinationen der grundlegenden Stromf¨ uhrungen Gegenstrom, Gleichstrom und Kreuzstrom m¨ oglich, was zu komplizierten Berechnungsverfahren f¨ uhrt.

50

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Bei den bisher behandelten W¨ arme¨ ubertragern str¨ omen zwei Fluide station¨ ar und gleichzeitig durch den Apparat. Sie sind stets durch eine Wand getrennt, durch die W¨ arme vom heißen zum kalten Fluid fließt (W¨ armedurchgang). Diese W¨ arme¨ ubertrager werden auch als Rekuperatoren bezeichnet im Gegensatz zu den Regeneratoren. Sie enthalten eine f¨ ur Gase durchl¨ assige F¨ ullmasse, z.B. gitterartige Anordnungen von Formsteinen mit Kan¨ alen f¨ ur das Gas oder eine Sch¨ uttung aus Steinen oder Metallstreifen. Die beiden Gase durchstr¨ omen den Regenerator in zeitlichem Wechsel. Das heiße Gas gibt W¨ arme an die F¨ ullk¨ orper ab, in denen sie als innere Energie gespeichert wird. Das anschließend durch die Speichermasse str¨ omende kalte Gas nimmt Energie als W¨ arme auf und verl¨ asst den Regenerator mit h¨ oherer Temperatur. Ein kontinuierlicher Betrieb erfordert wenigstens zwei Regeneratoren, damit gleichzeitig das eine Gas erw¨ armt und das andere abgek¨ uhlt werden kann, Abb. 1.25. Durch Umschalten der Gasstr¨ ome wird jeder der beiden Regeneratoren im periodischen Wechsel aufgeheizt und gek¨ uhlt. Die Austrittstemperaturen der Gase f¨ uhren dabei zeitliche Schwingungen aus.

Abb. 1.25: Regeneratoren f¨ ur die periodische W¨ arme¨ ubertragung zwischen den Gasen Luft und Stickstoff (schematisch)

Regeneratoren werden als Winderhitzer der Hoch¨ ofen und als W¨ arme¨ ubertrager in Tieftemperaturanlagen zur Gasverfl¨ ussigung eingesetzt. Eine besondere Bauart, der Ljungstr¨ om-Vorw¨ armer mit rotierender Speichermasse, dient als Luftvorw¨ armer f¨ ur Feuerungen und in Gasturbinenanlagen; das warme Gas ist dabei das Verbrennungsgas (Abgas), das m¨ oglichst weit abgek¨ uhlt werden soll, um seinen Energieinhalt zu nutzen. Die Theorie der Regeneratoren hat vor allem H. Hausen [1.10] entwickelt. Da es sich um die Berechnung recht komplizierter zeitabh¨ angiger Vorg¨ ange handelt, gehen wir auf die Regenerator-Theorie in den folgenden Abschnitten nicht ein. Es sei auf die zusammenfassenden Darstellungen von H. Hausen [1.7] und im VDI-W¨ armeatlas [1.11] verwiesen.

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

51

1.3.2 Allgemeine Berechnungsgleichungen. Dimensionslose Kennzahlen Abb. 1.26 zeigt das Schema eines W¨ arme¨ ubertragers. Die Temperaturen der beiden Fluide werden wie in Abschnitt 1.3.1 mit ϑ1 und ϑ2 bezeichnet, woarme soll also vom Fluid 1 auf das Fluid 2 bei wir ϑ1 > ϑ2 annehmen. W¨ u bertragen werden. Die Eintrittstemperaturen werden durch einen Strich, die ¨ Austrittstemperaturen durch zwei Striche gekennzeichnet.

Abb. 1.26: Schema eines W¨ arme¨ ubertragers mit Massenstr¨ omen M˙ i , Eintrittstemperaturen ϑi , Austrittstemperaturen ϑi , Eintrittsenthalpien hi und Austrittsome (i = enthalpien hi der beiden Fluidstr¨ 1, 2).

Wir wenden zun¨ achst den ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf jedes der beiden Fluide an. Der u armestrom bewirkt eine Enthalpie¨ bertragene W¨ erh¨ ohung des kalten Fluids 2 und eine Enthalpieabnahme des warmen Fluids 1. Es gilt (1.93) Q˙ = M˙ 1 (h1 − h1 ) = M˙ 2 (h2 − h2 ) , wobei M˙ i den Massenstrom des Fluids i bedeutet. Die hier auftretenden spez. Enthalpien sind bei den Eintritts- und Austrittstemperaturen ϑi bzw. ϑi zu berechnen, die als Querschnittsmittelwerte, n¨ amlich als adiabate Mischungstemperaturen im Sinne der Ausf¨ uhrungen von Abschnitt 1.1.3 zu bestimmen sind. Gleichung (1.93) gilt nur f¨ ur einen bez¨ uglich der Umgebung adiabaten W¨ arme¨ ubertrager, was wir im Folgenden stets voraussetzen. Die beiden Fluide sollen den W¨ arme¨ ubertrager ohne Phasen¨anderung durchstr¨ omen, also nicht kondensieren oder verdampfen. Wir vernachl¨assigen die sehr geringe Druckabh¨ angigkeit der spez. Enthalpie. Sie h¨angt dann nur von der Temperatur ab, und wir erhalten mit cpi :=

hi − hi ϑi − ϑi

,

i = 1, 2

als mittlerer spez. W¨ armekapazit¨ at zwischen ϑi und ϑi aus (1.93) Q˙ = M˙ 1 cp1 (ϑ1 − ϑ1 ) = M˙ 2 cp2 (ϑ2 − ϑ2 ) .

(1.94)

52

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Zur Abk¨ urzung f¨ uhrt man den W¨armekapazit¨atsstrom ˙ i := M˙ i cpi W ein und erh¨ alt

,

i = 1, 2

(1.95)

˙ 2 (ϑ2 − ϑ2 ) . ˙ 1 (ϑ1 − ϑ1 ) = W Q˙ = W

(1.96)

Die Temperatur¨ anderungen der beiden Fluidstr¨ome sind durch den ersten Hauptsatz miteinander verkn¨ upft; sie verhalten sich reziprok zum Verh¨altnis ihrer W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome. Der W¨ armestrom Q˙ wird durch die Temperaturdifferenz ϑ1 − ϑ2 im Inneren des W¨ arme¨ ubertragers vom Fluid 1 auf das Fluid 2 u ¨bertragen. Dabei hat Q˙ den W¨ armedurchgangswiderstand 1/kA nach Abschnitt 1.2.1 zu u ¨ ber¨ winden. Die Gr¨ oße kA, die wir im Folgenden die Ubertragungsf¨ ahigkeit des W¨ arme¨ ubertragers nennen, ist die f¨ ur den Apparat typische Gr¨oße. Sie l¨asst sich nach (1.72) aus den W¨ arme¨ ubergangswiderst¨anden und dem W¨armeleitwiderstand der Trennwand zwischen den beiden Fluiden berechnen. In der Regel sieht man kA als eine Apparate-Konstante an und nimmt an, der W¨armedurchgangskoeffizient k solle an jeder Stelle des W¨arme¨ ubertragers den gleichen Wert haben. Dies muss jedoch nicht zutreffen; denn die W¨arme¨ ubergangskoeffizienten der Fluide k¨ onnen sich l¨ angs ihrer Str¨omungswege als Folge ¨ der Temperaturabh¨ angigkeit der Stoffwerte oder wegen einer Anderung der Str¨ omungsverh¨ altnisse ¨ andern. In solchen F¨ allen kann man k bzw. kA an mehreren Punkten des W¨ arme¨ ubertragers berechnen und einen geeigneten Mittelwert bilden, vgl. W. Roetzel u. B. Spang [1.12], der dann die f¨ ur den ganzen ¨ arme¨ ubertrager charakteristische Ubertragungsf¨ ahigkeit kA darstellt. W¨ Bevor wir die Berechnung eines W¨ arme¨ ubertragers beginnen, verschaffen ¨ wir uns einen Uberblick u ¨ber die maßgebenden Einflussgr¨oßen, verringern ihre Zahl durch Einf¨ uhren dimensionsloser Kennzahlen und ermitteln schließlich, welche Beziehungen zur Berechnung des W¨ arme¨ ubertragers ben¨otigt werden. In Abb. 1.27 sind die sieben bisher behandelten Einflussgr¨oßen eingetragen. ¨ Die Wirksamkeit des W¨ arme¨ ubertragers ist durch seine Ubertragungsf¨ ahigkeit kA gegeben; jeder der beiden Stoffstr¨ ome wird durch den W¨armekapazit¨ats˙ i , die Eintrittstemperatur ϑ und die Austritts- oder Ablauftemperastrom W i  tur ϑi gekennzeichnet. Da es auf die absolute Gr¨oße der Temperaturen nicht ankommt, spielen nur die drei Differenzen (ϑ1 − ϑ1 ), (ϑ2 − ϑ2 ) und (ϑ1 − ϑ2 ) eine Rolle, vgl. Abb. 1.28. Somit verringert sich die Zahl der Einflussgr¨oßen um eins. Es verbleiben sechs Gr¨ oßen ˙ 1 , (ϑ − ϑ ), W ˙2 kA, (ϑ1 − ϑ1 ), W 2 2

und

(ϑ1 − ϑ2 ) .

Sie geh¨ oren zu nur zwei verschiedenen Gr¨ oßenarten; es sind Temperaturen (Einheit K) oder W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome (Einheit W/K). Nach Abschnitt 1.1.4 lassen sich daher vier (= 6 − 2) Kenngr¨oßen bilden, n¨amlich die dimensionslosen Temperatur¨ anderungen der beiden Fluide, ε1 :=

ϑ1 − ϑ1 ϑ1 − ϑ2

und

ε2 :=

ϑ2 − ϑ2 , ϑ1 − ϑ2

(1.97)

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

Abb. 1.27: W¨ arme¨ ubertrager mit den sieben Einflussgr¨ oßen

53

Abb. 1.28: Die drei maßgebenden Temperaturdifferenzen (Pfeile) in einem W¨ arme¨ ubertrager

vgl. Abb. 1.29, und die Verh¨ altnisse N1 :=

kA ˙1 W

und

N2 :=

kA . ˙2 W

(1.98)

Sie werden in der amerikanischen Literatur als Number of Transfer-Units ¨ (N T U ) bezeichnet. Im deutschen Schrifttum findet man die direkte Uberset¨ zung Zahl der Ubertragungseinheiten“; wir schlagen vor, Ni als dimensions” ¨ lose oder bezogene Ubertragungsf¨ ahigkeit zu bezeichnen. Anstelle von N2 wird oft das Verh¨ altnis der W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome C1 :=

˙1 W N2 = ˙ N W2 1

(1.99)

C2 :=

˙2 W 1 = ˙ C W1 1

(1.100)

oder sein Kehrwert

verwendet. Die vier Kenngr¨ oßen nach (1.97) und (1.98) sind nicht unabh¨angig voneinander, denn aus der Bilanzgleichung (1.96) des ersten Hauptsatzes der Thermodynamik erh¨ alt man ε1 ε2 = N1 N2

oder ε2 = C1 ε1 .

Abb. 1.29: Verlauf der dimensionslosen    Fluidtemperaturen ϑ+ i = (ϑi −ϑ2 ) / (ϑ1 −ϑ2 ) u ache und Veranschaulichung von ¨ber der Fl¨ ε1 und ε2 nach (1.97)

(1.101)

54

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Die zwischen den drei verbleibenden Kenngr¨ oßen bestehende Relation F (ε1 , N1 , N2 ) = 0

oder F (ε1 , N1 , C1 ) = 0

(1.102)

ist die Betriebscharakteristik des W¨ arme¨ ubertragers. Sie h¨angt von der Stromf¨ uhrung ab und muss durch eine Berechnung des Temperaturverlaufs der beiden Fluidstr¨ ome gewonnen werden, worauf wir in den folgenden Abschnitten eingehen. Bei der Berechnung von W¨ arme¨ ubertragern treten zwei Gruppen von Aufgaben auf: 1. Nachrechnung eines gegebenen W¨ arme¨ ubertragers, 2. Auslegung des W¨ arme¨ ubertragers f¨ ur eine vorgeschriebene Leistung. ˙ 1 und W ˙2 Im ersten Fall sind neben (ϑ1 − ϑ2 ) die W¨ armekapazit¨atsstr¨ome W sowie kA gegeben. Gesucht sind die Temperatur¨anderungen der beiden Fluidstr¨ ome, aus denen sich nach (1.96) die W¨ armeleistung Q˙ ergibt. Da die Kennzahlen N1 und N2 bzw. das Paar N1 und C1 gegeben sind, l¨asst sich diese Aufgabe sofort l¨ osen, wenn die Betriebscharakteristik (1.102) explizit nach ε1 aufgel¨ ost werden kann: ε1 = ε1 (N1 , C1 ) . Die dimensionslose Temperatur¨ anderung ε2 des anderen Fluids folgt aus (1.101). Bei der Auslegungsrechnung wird kA gesucht; die Temperatur¨anderungen beider Str¨ ome sind gegeben, oder es sind beide W¨armekapazit¨atsstr¨ome und die Temperatur¨ anderung eines Stromes bekannt. In diesem Fall ist eine Betriebscharakteristik erw¨ unscht, die explizit nach N1 oder N2 aufl¨osbar ist: N1 = N1 (ε1 , C1 ) . ¨ Daraus erh¨ alt man die erforderliche Ubertragungsf¨ ahigkeit ˙ 1 = N2 W ˙2 . kA = N1 W In Abb. 1.30 ist die Betriebscharakteristik eines W¨arme¨ ubertragers mit gegebener Stromf¨ uhrung schematisch dargestellt. Die L¨osung der beiden Aufgaben, Nachrechnung und Auslegung, ist angedeutet. In vielen F¨allen ist die hier vorausgesetzte explizite Aufl¨ osung der Betriebscharakteristik nach ε1 und N1 nicht m¨ oglich, selbst wenn man u ur die ¨ ber einen analytischen Ausdruck f¨ Betriebscharakteristik verf¨ ugt. In solchen F¨ allen kann man Diagramme nach Art der Abb. 1.30 benutzen, auf die wir in Abschnitt 1.3.5 eingehen. ˙ i nach (1.95) hatten Bei der Einf¨ uhrung des W¨ armekapazit¨ atsstroms W wir die Kondensation oder Verdampfung eines der Fluide ausgeschlossen. Bei der isobaren Verdampfung oder Kondensation eines reinen Stoffes ¨andert sich seine Temperatur nicht, es geht aber cpi → ∞. Daraus folgt εi = 0, w¨ahrend ˙ i → ∞ strebt, was Ni = 0 und Ci → ∞ zur Folge hat. Die Berechnung W

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

55

Abb. 1.30: Schematische Darstellung der Betriebscharakteristik eines W¨ arme¨ uberur die Nachrechnung: εi = tragers f¨ ur Ci = const. N angenommener Betriebspunkt f¨ ur die Auslegung: Ni = Ni (εi , Ci ). εi (Ni , Ci ), A angenommener Betriebspunkt f¨ Außerdem ist die Bestimmung der bezogenen mittleren Temperaturdifferenz Θ f¨ ur den Betriebspunkt A dargestellt.

des W¨ arme¨ ubertragers vereinfacht sich in diesen F¨allen, denn die Betriebscharakteristik ist nur noch der Zusammenhang zwischen zwei (und nicht drei) Kennzahlen, n¨ amlich zwischen ε und N des anderen, nicht kondensierenden bzw. verdampfenden Fluids. Zur Berechnung von W¨ arme¨ ubertragern benutzt man neben den bereits eingef¨ uhrten Gr¨ oßen und Kennzahlen eine weitere Gr¨ oße, die mittlere Temperaturdifalt sie durch Integration der ¨ ortlichen Differenz (ϑ1 − ϑ2 ) der ferenz Δϑm . Man erh¨ ¨ beiden Fluidtemperaturen u ache: ¨ ber die gesamte Ubertragungsfl¨

Δϑm :=

1 A

Z (ϑ1 − ϑ2 ) dA .

(1.103)

(A)

Analog zu (1.71) erh¨ alt man dann f¨ ur den u armestrom ¨ bertragenen W¨ Q˙ = kAΔϑm .

(1.104)

Diese Gleichung gilt streng genommen nur, wenn der W¨ armedurchgangskoeffizient k an jeder Stelle von A gleich groß ist. Trifft dies nicht zu, so kann man (1.104) als Definitionsgleichung eines Mittelwertes von k ansehen. alt man mit (1.104) eine Beziehung, die den u Durch Einf¨ uhren von Δϑm erh¨ ¨ ber¨ tragenen W¨ armestrom unmittelbar mit der Ubertragungsf¨ ahigkeit kA, also mit der Fl¨ ache des W¨ arme¨ ubertragers verkn¨ upft. Es gelten nun die Gleichungen ˙ 1 (ϑ1 − ϑ1 ) = W ˙ 2 (ϑ2 − ϑ2 ) . Q˙ = kAΔϑm = W Mit der dimensionslosen mittleren Temperaturdifferenz Θ :=

Δϑm ϑ1 − ϑ2

erh¨ alt man daraus die folgenden Beziehungen zwischen Kennzahlen:

(1.105)

56

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Θ=

ε2 ε1 = . N1 N2

(1.106)

Die mittlere Temperaturdifferenz Δϑm bzw. die mit ihr gebildete Kennzahl Θ l¨ asst sich also aus den vorher behandelten Kennzahlen berechnen. Die aus der Betriebscharakteristik folgenden Zusammenh¨ ange lassen sich auf Θ u atz¨ bertragen. Grunds¨ lich liefert die Einf¨ uhrung der mittleren Temperaturdifferenz keine Erkenntnisse, die sich nicht auch aus der Betriebscharakteristik ablesen ließen. Dies veranschaulicht auch Abb. 1.30, in der Θ als Anstieg der Verbindungsgeraden zwischen dem Betriebspunkt des W¨ arme¨ ubertragers und dem Nullpunkt des Diagramms erscheint.

1.3.3 Gegenstrom- und Gleichstrom-W¨ armeu ¨ bertrager Wir berechnen nun die Betriebscharakteristik F (εi , Ni , Ci ) = 0, f¨ ur einen Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager durch eine Analyse des Temperaturverlaufs der beiden Fluide. Die so gewonnenen Ergebnisse lassen sich leicht auf den praktisch weniger wichtigen Fall des Gleichstroms u ¨bertragen.

Abb. 1.31: Temperaturverlauf in einem Gegenstrom-W¨ armeu ¨ bertrager

Wir betrachten den in Abb. 1.31 dargestellten Temperaturverlauf in einem Gegenstrom-Apparat. Die Temperaturen ϑ1 und ϑ2 der beiden Fluide h¨angen von der Koordinate z in Str¨ omungsrichtung des Fluids 1 ab. Auf einen Abschnitt mit der L¨ ange dz wenden wir den ersten Hauptsatz an und erhalten ˙ der vom Fluid 1 durch das Fl¨achenelement dA auf f¨ ur den W¨ armestrom dQ, das Fluid 2 u ¨ bertragen wird, ˙ 1 dϑ1 dQ˙ = −M˙ 1 cp1 dϑ1 = −W

(1.107)

˙ 2 dϑ2 . dQ˙ = −M˙ 2 cp2 dϑ2 = −W

(1.108)

und Nun eliminieren wir dQ˙ mit dem f¨ ur den W¨ armedurchgang g¨ ultigen Ansatz

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

dQ˙ = k(ϑ1 − ϑ2 ) dA = kA(ϑ1 − ϑ2 )

dz L

57

(1.109)

¨ aus (1.107) und (1.108) und erhalten f¨ ur die Anderung der Fluidtemperaturen dz kA dz = −(ϑ1 − ϑ2 )N1 ˙ L W1 L

(1.110)

dz kA dz = −(ϑ1 − ϑ2 )N2 . ˙2 L L W

(1.111)

dϑ1 = −(ϑ1 − ϑ2 ) und dϑ2 = −(ϑ1 − ϑ2 )

Wir verzichten darauf, die Temperaturverl¨ aufe ϑ1 = ϑ1 (z) und ϑ2 = ϑ2 (z) aus diesen beiden Differentialgleichungen zu berechnen, sondern bestimmen ¨ die Anderung der Differenz ϑ1 −ϑ2 . Dazu subtrahieren wir (1.111) von (1.110) und erhalten nach Division mit (ϑ1 − ϑ2 ) d(ϑ1 − ϑ2 ) dz . = (N2 − N1 ) ϑ1 − ϑ2 L

(1.112)

Integration dieser Differentialgleichung zwischen z = 0 und z = L liefert die Beziehung (ϑ1 − ϑ2 )L ϑ − ϑ2 ln = ln 1 = N2 − N1 . (1.113) (ϑ1 − ϑ2 )0 ϑ1 − ϑ2 Nun gilt

1 − ε1 ϑ1 − ϑ2 ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ1 ) = = 1 ,   ϑ1 − ϑ2 ϑ1 − ϑ2 − (ϑ2 − ϑ2 ) 1 − ε2

und wir erhalten ln

1 − ε1 = N2 − N1 1 − ε2

(1.114)

als Betriebscharakteristik des Gegenstrom-W¨arme¨ ubertragers in impliziter Form. Sie ist invariant gegen¨ uber dem Vertauschen der Indizes 1 und 2. Unter Verwendung der Verh¨ altnisse C1 und C2 = 1/C1 nach (1.99) bzw. (1.100) ergeben sich explizite Gleichungen der Form εi = f (Ni , Ci ) und Ni = f (εi , Ci ) ,

i = 1, 2

die f¨ ur jeden der beiden Fluidstr¨ ome dieselbe Gestalt haben. Diese expliziten Formen der Betriebscharakteristik sind in Tabelle 1.4 verzeichnet. Sind die ˙1 =W ˙ 2 , so gilt wegen C1 = C2 = 1 W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome gleich, W ε1 = ε2 = ε

und N1 = N2 = N ,

und man erh¨ alt nach Reihenentwicklung der f¨ ur Ci = 1 geltenden Gleichungen durch den Grenz¨ ubergang Ci → 1 die ebenfalls in Tabelle 1.4 angegebenen einfachen Beziehungen.

58

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Tabelle 1.4: Gleichungen zur Berechnung der normierten Temperatur¨ anderung εi , ¨ der dimensionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeit Ni und der mittleren Temperaturdifferenz Θ bei Gegenstrom- und Gleichstrom-W¨ arme¨ ubertragern Stromf¨ uhrung

εi = εi (Ni , Ci )

Ni = Ni (εi , Ci )

Θ = Θ (ε1 , ε2 )

Gegenstrom 1 − exp [(Ci − 1) Ni ] 1 1 − Ci ε i Ci = 1 εi = Ni = ln i = 1, 2 1 − Ci exp [(Ci − 1) Ni ] 1 − Ci 1 − εi

C=1

Gleichstrom i = 1, 2

ε=

N 1+N

N=

εi = 1 − exp [− (1 + Ci ) Ni ] 1 + Ci

˙i , Ni = kA/W

Θ=

ε1 =



ϑ1 − ϑ1 ,   ϑ1 − ϑ2

Δϑm εi ,   = N ϑ1 − ϑ2 i

C1 =



ε2 =

ε1 − ε2 1 − ε2 ln 1 − ε1

Θ =1−ε

Ni = ln [1 − εi (1 + Ci )] − 1 + Ci 

Bedeutung der Kennzahlen:

ε 1−ε

Θ=

Θ= − (ε1 + ε2 ) ln [1 − (ε1 + ε2 )] 

ϑ2 − ϑ2   ϑ1 − ϑ2

˙1 W ε2 N2 = = , ˙ ε N 1 1 W2

C2 =

1 C1

Abb. 1.32 zeigt die Betriebscharakteristik εi = f (Ni , Ci ) als Funktion von Ni mit Ci als Parameter. Erwartungsgem¨ aß nimmt die normierte Tempera¨ ahigtur¨ anderung εi mit wachsendem Ni , also mit wachsender Ubertragungsf¨ keit kA monoton zu. F¨ ur Ni → ∞ erh¨ alt man den Grenzwert  1 f¨ ur Ci ≤ 1 . lim εi = ur Ci > 1 1/Ci f¨ Ni →∞ Ist Ci ≤ 1, so hat εi den Charakter eines Wirkungsgrades; die normierte Temperatur¨ anderung des Fluids, das den kleineren W¨armekapazit¨atsstrom hat, bezeichnet man daher auch als Wirkungsgrad oder Effektivit¨at des W¨arme¨ ubertragers. Durch immer weiteres Vergr¨oßern der W¨arme u ¨ bertragenden Fl¨ ache A kann man die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Fluiden nur an einem Ende des Gegenstromapparates beliebig klein machen. Allein ˙ 2 , also f¨ ˙1 =W ur C1 = C2 = 1 ließen sich an beiden Enden (und damit f¨ ur W in jedem Querschnitt) des W¨ arme¨ ubertragers beliebig kleine Temperaturdifferenzen durch Fl¨ achenvergr¨ oßerung erreichen. Der in der Thermodynamik

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

59

Abb. 1.32: Betriebscharakteristik εi = εi (Ni , Ci ) f¨ ur Gegenstrom nach Tab. 1.4

h¨ aufig betrachtete Idealfall der reversiblen W¨ arme¨ ubertragung zwischen zwei ˙ 2 mit einem W¨arme¨ ˙1 = W ubertrager sehr Fluiden l¨ asst sich also nur bei W ¨ großer Ubertragungsf¨ ahigkeit ann¨ ahernd erreichen. Wie schon in Abschnitt 1.3.2 erw¨ ahnt, dient die Funktion εi = f (Ni , Ci ) ¨ zur Berechnung der Ablauftemperaturen und der Ubertragungsleistung, wenn der W¨ arme¨ ubertrager gegeben ist. Zur Dimensionierung des Apparats f¨ ur eine geforderte Temperatur¨ anderung der Fluide benutzt man die andere Form der Betriebscharakteristik, Ni = Ni (εi , Ci ). Sie ist ebenfalls in Tabelle 1.4 verzeichnet. Bei einem Gleichstrom-W¨arme¨ ubertrager kehrt sich die Richtung des Fluidstromes 2 gegen¨ uber Abb. 1.31 um, vgl. auch Abb. 1.20b. An die Stelle von (1.108) tritt die Energiebilanzgleichung ˙ 2 dϑ2 , dQ˙ = M˙ 2 cp2 dϑ2 = W so dass man statt (1.112) die Beziehung d(ϑ1 − ϑ2 ) dz = −(N1 + N2 ) ϑ1 − ϑ2 L

(1.115)

erh¨ alt. Danach nimmt die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Fluiden in Str¨ omungsrichtung stets ab. Integration von (1.115) zwischen z = 0 und z = L ergibt ϑ − ϑ2 ln 1 = −(N1 + N2 ) , ϑ1 − ϑ2 woraus ε1 + ε2 (1.116) ln [1 − (ε1 + ε2 )] = −(N1 + N2 ) = − Θ als implizite Form der Betriebscharakteristik folgt. Auch sie l¨asst sich nach εi und nach Ni aufl¨ osen, wodurch man die in Tabelle 1.4 verzeichneten Funktionen erh¨ alt. F¨ ur Ni → ∞ erreichen die normierten Temperatur¨anderungen den Grenzwert

60

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

lim εi =

Ni →∞

1 1 + Ci

,

i = 1, 2 .

Bei Gleichstromf¨ uhrung l¨ asst sich außer f¨ ur Ci = 0, worauf wir gleich eingehen werden, niemals der Grenzwert εi = 1 erreichen. Die Berechnung der W¨ armeleistung und die Dimensionierung eines W¨ arme¨ ubertragers kann man nach Abschnitt 1.3.2 auch mit der mittleren Temperaturdifferenz Θ nach (1.106) ausf¨ uhren. Ersetzt man bei Gegenstrom in (1.114) die Differenz alt man den in Tabelle 1.4 eingetragenen Ausdruck N2 −N1 durch Θ, ε1 und ε2 , so erh¨ uhrt man dagegen f¨ ur Θ = Θ(ε1 , ε2 ). F¨ N2 − N1 =

ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ1 ) ε2 − ε1 ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 ) = 2 = 1 Θ Δϑm Δϑm

in (1.113) ein, so erh¨ alt man f¨ ur die mittlere Temperaturdifferenz eines GegenstromW¨ arme¨ ubertragers ϑ − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 ) . (1.117) Δϑm = 1 ϑ − ϑ2 ln 1 ϑ1 − ϑ2 Sie ist der logarithmische Mittelwert der an den beiden Enden des Apparats auftretenden Temperaturdifferenzen zwischen den Fluiden. F¨ ur die normierte mittlere Temperaturdifferenz Θ bei Gleichstrom erh¨ alt man den in Tabelle 1.4 verzeichneten Ausdruck aus (1.116). Setzt man hierin die Definitionsgleichungen von ε1 und ε2 ein, so ergibt sich Δϑm =

ϑ1 − ϑ2 − (ϑ1 − ϑ2 ) . ϑ − ϑ2 ln 1 ϑ1 − ϑ2

(1.118)

Auch bei Gleichstromf¨ uhrung ist Δϑm das logarithmische Mittel der Temperaturdifferenzen an den beiden Enden des W¨ arme¨ ubertragers.

Wir vergleichen nun die beiden Stromf¨ uhrungen. F¨ ur Ci = 0 erh¨alt man nach Tabelle 1.4 die normierte Temperatur¨ anderung εi = 1 − exp(−Ni ) ¨ bzw. die dimensionslose Ubertragungsf¨ ahigkeit zu Ni = − ln(1 − εi ) unabh¨ angig davon, ob Gegenstrom oder Gleichstrom vorliegt. Wenn also einer der beiden Stoffstr¨ ome kondensiert oder verdampft, ist es gleichg¨ ultig, ob Gegenstrom oder Gleichstrom gew¨ ahlt wird. Wird jedoch in einem Kondensator u achst von ϑ1 auf die Kondensationstemperatur ϑ1s ¨ berhitzter Dampf zun¨ abgek¨ uhlt, dann vollst¨ andig kondensiert und das Kondensat von ϑ1s auf ϑ1 abgek¨ uhlt, so liegen kompliziertere Verh¨ altnisse vor, und es ist nicht zul¨assig, den Apparat nach den bisher abgeleiteten Gleichungen als einen W¨arme¨ ubertrager zu berechnen, f¨ ur den nur die Ein- und Austrittstemperaturen ϑi und ϑi (i = 1, 2) maßgebend sind, vgl. Abb. 1.33. Da sich der W¨armekapazit¨ats-

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

61

Abb. 1.33: Temperaturverlauf in einem Kondensator mit Abk¨ uhlung des u ¨ berhitzten Dampfes, Kondensation und Unterk¨ uhlung des Kondensats (Fluidstrom 1) durch K¨ uhlwasser (Fluidstrom 2).

˙ 1 erheblich ¨ ˙ 1 ist bei der Abk¨ strom W andert, — W uhlung des Dampfes und des Kondensats endlich, bei der Kondensation jedoch unendlich groß — muss der W¨ arme¨ ubertrager gedanklich geteilt und wie drei hintereinander geschaltete Apparate berechnet werden. Aus Energiebilanzen erh¨alt man zun¨achst die beiden unbekannten Temperaturen ϑ2a zwischen Enthitzer und Kondenuhlungsteil. Daraus sationsteil und ϑ2b zwischen Kondensations- und Unterk¨ ergeben sich die dimensionslosen Temperatur¨ anderungen εia , εib und εic f¨ ur die drei Teilapparate Enthitzer a, Kondensator b und K¨ uhler c (i = 1, 2). F¨ ur jeden Teilapparat k¨ onnen dann mit den Beziehungen nach Tabelle 1.4 ¨ die dimensionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeitenNia, Nib und Nic berechnet weralt man (kA)j und mit den jeweils g¨ ultigen W¨armedurchden. Aus Nij erh¨ gangskoeffizienten kj die drei Teilfl¨ achen Aj (j = a, b, c), die zusammen die Gesamtfl¨ ache des Apparates ergeben. uhrung der Gleichstromf¨ uhrung stets F¨ ur Ci > 0 zeigt sich die Gegenstromf¨ u uhrung besteht darin, dass mit ihr ¨ berlegen. Ein Nachteil der Gleichstromf¨ nicht alle W¨ arme¨ ubertragungsaufgaben gel¨ ost werden k¨onnen. Eine vorgegeamlich nur dann realisierbar, wenn in bene Temperatur¨ anderung εi ist n¨ NiGl = −

1 ln [1 − εi (1 + Ci )] 1 + Ci

das Argument des Logarithmus positiv ist. Das ist aber nur f¨ ur εi
1 , Ni →∞ i die mit denen des Gegenstroms u ur Ci = 0 erh¨alt man den ¨ bereinstimmen. F¨ Grenzwert (Ci = 0) (1.140) εi = 1 − e−Ni , der ebenfalls mit dem in Abschnitt 1.3.3 hergeleiteten Ergebnis u ¨ bereinstimmt. Das bedeutet: Wenn eines der beiden Fluide kondensiert oder verdampft, h¨ angt die Temperatur¨ anderung des anderen Fluids nicht von der Stromf¨ uhrung (Gegenstrom, Gleichstrom oder Kreuzstrom) ab. F¨ ur Ci = 0 und endliche Werte von Ni bleiben die bei Kreuzstrom erreichbaren Temperatur¨ anderungen merklich hinter den mit Gegenstrom erreichbaren Temperatur¨ anderungen zur¨ uck. Sie sind jedoch g¨ unstiger als im Fall der Gleichstromf¨ uhrung. Der Vergleich der bisher behandelten einfachen Stromf¨ uhrungen ist beispielhaft in Abb. 1.39 ausgef¨ uhrt. Dort ist die dimen-

Abb. 1.39: Vergleich verschiedener Stromf¨ uhrungen im ε1 , Θ-Diagramm. a Gegenstrom, b reiner Kreuzstrom, c einseitig quervermischter Kreuzstrom, d Gleichstrom

sionslose Temperatur¨ anderung ε1 u ¨ ber der dimensionslosen mittleren Tempeur das konstante Verh¨altnis C1 = 0,5 dargestellt. raturdifferenz Θ = ε1 /N1 f¨

70

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Linien N1 = const erscheinen als ein Geradenb¨ uschel, das durch den Koordinatennullpunkt geht. Eine vorgeschriebene Temperatur¨anderung ε1 , z.B. ¨ ε1 = 0,65, erfordert die folgenden Werte der dimensionslosen Ubertragungsf¨ ahigkeit: Gegenstrom (Kurve a) N1 = 1,30, Kreuzstrom (Kurve b) N1 = 1,50, Gleichstrom (Kurve c) N1 = 2,44. F¨ ur einen W¨arme¨ ubertrager mit N1 = 3,0 erreicht man eine dimensionslose Temperatur¨ anderung ε1 , die bei Gegenstrom den hohen Wert 0,874 hat, bei Kreuzstrom auf 0,816 und bei Gleichstrom auf 0,660 zur¨ uckgeht. Beispiel 1.6: Der K¨ uhler eines Kraftfahrzeugs ist ein Kreuzstrom-W¨ arme¨ ubertrager, in dem das fl¨ ussige Motork¨ uhlmittel durch eine Reihe paralleler Rohre str¨ omt, die an ihrer Außenseite mit Rippen versehen sind. Quer zu den Rohren str¨ omt die Luft. In einem bestimmten Fahrzustand ist der Volumenstrom des K¨ uhlmittels V˙ 1 = 1,25 dm3 /s; seine Dichte ist 1 = 1,015 kg/dm3 und seine omt mit mittlere spezifische W¨ armekapazit¨ at cp1 = 3,80 kJ/kgK. Die Luft str¨ in den K¨ uhler, und es sind V˙ 2 = 1,100 m3 /s, 2 = 1,188 kg/m3 ϑ2 = 20,0 ¨ und cp2 = 1,007 kJ/kgK gegeben. Der K¨ uhler hat die Ubertragungsf¨ ahigkeit kA = 0,550 kW/K; er soll den W¨ armestrom Q˙ = 28,5 kW an die Luft u ¨ bertragen. uhlmittels stellen sich ein, und wie Welche Temperaturen ϑ1 und ϑ1 des Motork¨ omenden Luft? groß ist die Temperatur ϑ2 der abstr¨ Aus der Energiebilanzgleichung (1.96), n¨ amlich aus `  ´ ` ´ ˙ 2 ϑ2 − ϑ2 ˙ 1 ϑ1 − ϑ1 = W Q˙ = W erh¨ alt man f¨ ur die Temperatur der abstr¨ omenden Luft ˙ W ˙2 ϑ2 = ϑ2 + Q/

(1.141)

und f¨ ur die Temperatur¨ anderung des K¨ uhlmittels ˙ W ˙1 . ϑ1 − ϑ1 = Q/ Damit ergibt sich aus der Definitionsgleichung (1.97) f¨ ur die normierte Tempeuhlmittels zu ratur¨ anderung ε1 die gesuchte Eintrittstemperatur des K¨ ϑ1 = ϑ2 +

ϑ1 − ϑ1 Q˙ = ϑ2 + , ˙ 1 ε1 ε1 W

(1.142)

woraus f¨ ur die K¨ uhlmittel-Austrittstemperatur ˙ W ˙1 ϑ1 = ϑ1 − Q/

(1.143)

folgt. F¨ ur den hier vorliegenden Kreuzstrom mit einer Rohrreihe (einseitig quervermischter Kreuzstrom) liefert die Betriebscharakteristik (1.131) den in (1.142) ben¨ otigten Wert » ”– 1 “ 1 − e−C1 N1 ε1 = 1 − exp − . (1.144) C1 Um die Gleichungen auszuwerten, berechnen wir aus den gegebenen Daten die W¨ armekapazit¨ atsstr¨ ome des K¨ uhlmittels, 3 ˙ 1 = V˙ 1 1 cp1 = 1,25 dm · 1,015 kg · 3,80 kJ = 4,821 kW , W s dm3 kgK K

1.3 W¨ arme¨ ubertrager

71

und der Luft, 3 ˙ 2 = V˙ 2 2 cp2 = 1,100 m · 1,188 kg · 1,007 kJ = 1,316 kW . W s m3 kgK K

Daraus erh¨ alt man die Kennzahlen ˙ 1 /W ˙ 2 = 3,664 C1 = W und ˙ 2 = 0,418 . C1 N1 = N2 = kA/W Aus der Betriebscharakteristik (1.144) folgt ε1 = 0,0890. Damit ergeben sich die gesuchten K¨ uhlmitteltemperaturen aus (1.142) und (1.143) zu ϑ1 = 86,4

und

ϑ1 = 80,5

.

Es stellt sich das f¨ ur den Betrieb des Motors g¨ unstige, relativ hohe Temperaturniveau des K¨ uhlmittels ein. Die Luftaustrittstemperatur erh¨ alt man aus (1.141) zu ϑ2 = 41,7 .

1.3.5 Betriebscharakteristiken fu ¨ r weitere Stromfu ¨hrungen. Diagramme Außer den bisher behandelten F¨ allen der Gegenstrom-, Gleichstrom- und Kreuzstrom-F¨ uhrung der beiden Fluide sind viele weitere Stromf¨ uhrungen m¨ oglich. Sie werden auch in der Praxis angewendet und sind von verschiedenen Autoren untersucht worden, vgl. die Zusammenstellung von W. Roetzel u. B. Spang [1.16]. F¨ ur die Betriebscharakteristik F (εi , Ni , Ci ) = 0 ergeben sich dabei meistens komplizierte mathematische Ausdr¨ ucke, so dass es naheliegt, die Ergebnisse graphisch darzustellen. W. Roetzel und B. Spang [1.18] haben die bekannten M¨oglichkeiten, die Betriebscharakteristik in Diagrammen darzustellen, diskutiert und ein u ¨ bersichtliches Diagramm vorgeschlagen, das in den VDI-W¨armeatlas [1.16] Eingang gefunden hat. Dieses quadratische Diagramm besteht aus zwei Teilen, die durch die Diagonale des Quadrats getrennt sind, Abb. 1.40. Die Koordinaten des Diagramms sind die beiden dimensionslosen Temperatur¨anderungen ε1 und ε2 nach (1.97). Der Bereich oberhalb der Diagonale enth¨alt Kurven kon˙ 1 = const sowie ¨ stanter dimensionsloser Ubertragungsf¨ ahigkeit N1 = kA/W die durch den Nullpunkt verlaufende Schar der Geraden C1 =

˙1 W ε2 N2 = = = const . ˙ ε1 N1 W2

(1.145)

Um das Diagramm nicht zu u ¨berladen, werden diese Geraden nicht eingezeichnet; nur ihr zweiter Endpunkt ist als Randmaßstab markiert. Jeder Punkt im Dreieck oberhalb der Diagonale entspricht einem Betriebszustand, dessen zusammengeh¨ orige Gr¨ oßen ε1 , N1 und C1 abgelesen werden k¨onnen. Außerdem kann man an der Abszisse den zugeh¨ origen Wert von ε2 finden.

72

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.40: Schema des ε1 , ε2 Diagramms nach W. Roetzel und B. Spang [1.16] mit Kurven N1 = const

Im Dreieck unterhalb der Diagonale ist die Betriebscharakteristik in der Form F (ε2 , N2 , C2 ) = 0 wiedergegeben. Wegen (1.145) treffen sich die Kurven ¨ gleichgroßer dimensionsloser Ubertragungsf¨ ahigkeit N1 = N2 auf der Diagonale C1 = C2 = 1 mit einem Knick. Nur die Kurve N1 = N2 → ∞ hat hier keinen Knick. Bei symmetrischer Stromf¨ uhrung, z.B. bei Gegenstrom oder reinem Kreuzstrom, stimmen die Betriebscharakteristiken f¨ ur i = 1 und i = 2 u alften sind dann spiegelsymmetrisch bez¨ uglich ¨ berein; die beiden Diagrammh¨ der Diagonalen. Bei asymmetrischer Stromf¨ uhrung, z.B. beim einseitig quervermischten Kreuzstrom, ist dies nicht der Fall, und man muss genau darauf achten, wie die beiden Indizes 1 und 2 den Fluidstr¨omen zugeordnet sind. Eine umfassende Zusammenstellung dieser f¨ ur Auslegung und Nachrechnung von W¨ arme¨ ubertragern gleichermaßen verwendbaren Diagramme findet man im VDI-W¨ armeatlas [1.16].

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoffu ¨bertragung Unter Stoff¨ ubertragung versteht man den Transport einer oder mehrerer Komponenten eines Gemisches fluider oder fester Stoffe innerhalb einer Phase12 oder u achen hinweg. Die Stoff¨ ubertragung innerhalb einer ¨ ber Phasengrenzfl¨ Phase bis an die Phasengrenzfl¨ ache bezeichnet man als Stoff¨ ubergang, die u ¨ ber 12

Unter Phase wird hier der Bereich eines Systems verstanden, in dem man jedem Volumenelement eindeutige Werte der thermodynamischen Variablen Druck, Temperatur, Konzentration u.a. zuordnen kann. In einer Phase sind keine sprung¨ haften, sondern nur stetige Anderungen dieser Gr¨ oßen erlaubt. In der Thermodynamik versteht man dagegen unter einer Phase einen homogenen Bereich eines Systems. In einer Phase im thermodynamischen Sinn sind alle intensiven Zustandsgr¨ oßen r¨ aumlich konstant.

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung

73

die Phasengrenze hinweg in eine andere Phase als Stoffdurchgang. Diese Begriffe entsprechen denen der W¨ arme¨ ubertragung. Treibende Kraft f¨ ur den Stoff¨ ubergang sind Konzentrations-, Temperaturund Druckgradienten. Wir befassen uns hier nur mit dem am h¨aufigsten vorkommenden Stoff¨ ubergang durch Konzentrationsgradienten. Wie die Erfahrung lehrt, bewegen sich die Komponenten eines Gemisches von Bereichen h¨ oherer zu denen niederer Konzentration. Gleichgewicht hinsichtlich des Stoff¨ ubergangs ist dann erreicht, wenn die treibenden Kr¨afte, in unserem Fall die Konzentrationsunterschiede verschwunden sind. Vorg¨ ange der Stoff¨ ubertragung kommen in Natur und Technik in vielf¨altiger Weise vor. H¨ oher entwickelte Pflanzen und Tiere besitzen Leitungssysteme, die der Versorgung mit Nahrung und Energie dienen, wobei Vorg¨ange der Stoff¨ ubertragung entscheidend sind. In der Pflanze bel¨adt sich das dem Erdreich entzogene Wasser mit den Produkten der Photosynthese, vor allem der Glucose, und transportiert diese zu den Orten des Verbrauchs und der Speicherung. Die roten Blutk¨ orperchen geben in der menschlichen Lunge Kohlendioxid ab und beladen sich mit Sauerstoff, mit dem die Zellen versorgt werden. Trennprozesse der Verfahrenstechnik wie die Trocknung fester Stoffe, die Destillation, Extraktion und Sorption beruhen auf Vorg¨angen der Stoff¨ ubertragung. Diese spielen ebenso eine Rolle bei der Herstellung von Werkstoffen, um gew¨ unschte Eigenschaften zu erzielen. Der Ablauf chemischer Reaktionen, wozu auch die Verbrennungsvorg¨ ange geh¨ oren, wird oft entscheidend durch die Stoff¨ ubertragung bestimmt. Als einfaches Beispiel des Stoff¨ ubergangs betrachten wir ein mit Wasser gef¨ ulltes Glas, das sich in einem Raum mit trockener Luft befindet. Unmittelbar u ussigkeitsoberfl¨ ache ist viel, in gr¨oßerer Entfernung nur wenig ¨ ber der Fl¨ Wasserdampf vorhanden. Infolge des Konzentrationsgef¨alles reichert sich die Luft mit Wasserdampf an. Dieser str¨ omt in Richtung des Konzentrations- bzw. Partialdruckgef¨ alles. In einem Volumenelement oberhalb der Wasseroberfl¨aache gerichtete Geschwindigkeit der che ist die senkrecht zur Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ Wassermolek¨ ule gr¨ oßer als die der Luftmolek¨ ule. Es kommt zu einer makroskopisch wahrnehmbaren Relativbewegung zwischen Wasserdampf und Luft. Eine solche makroskopisch wahrnehmbare Relativbewegung einzelner Stoffe in einer Phase bezeichnet man allgemein als Diffusion. Sie kann auf zwei Arten zustandekommen. In ruhenden Fluiden oder Festk¨orpern, die aus verschiedenen Komponenten bestehen, kann ein Stoff nur dadurch u ¨ bergehen, dass die mittleren Molek¨ ulgeschwindigkeiten der einzelnen Komponenten voneinander verschieden sind. Man spricht auch von molekularer Diffusion. Sie tritt auch in laminaren Str¨ omungen auf, weil sich dort die Volumenelemente eines Fluids auf bestimmten Strombahnen bewegen und ein Stoff¨ ubergang zwischen einzelnen Volumenelementen nur erfolgen kann, wenn die Komponenten verschiedene mittlere Molek¨ ulgeschwindigkeiten aufweisen. Eine turbulente Str¨ omung ist hingegen durch eine stark unregelm¨aßige, zufallsbedingte Schwankungsbewegung der Fluidteilchen gekennzeichnet, die f¨ ur die einzelnen Komponenten verschieden sein kann. Sie u ¨ berlagert sich der Gesamtstr¨omung

74

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

und somit auch dem Stofftransport durch molekulare Diffusion und ist h¨aufig um ein Vielfaches gr¨ oßer als diese. Man bezeichnet den Stoff¨ ubergang durch die unregelm¨ aßige Schwankungsbewegung als turbulente Diffusion. Sie kann in dem geschilderten Beispiel des Stoff¨ ubergangs von einer Wasseroberfl¨ache an die trockene Luft dadurch herbeigef¨ uhrt werden, dass man u ¨ ber der Wasseroberfl¨ ache eine ausreichend hohe Str¨ omungsgeschwindigkeit durch Anblasen oder R¨ uhren erzeugt. Die in einem Zeitintervall von der Luft aufgenommene Menge an Wasserdampf ist dann viel gr¨ oßer, als wenn die Luft ruhen w¨ urde. Um den Stoff¨ ubergang durch molekulare Diffusion zu verstehen, betrachten wir ein Gef¨ aß mit einer farbigen L¨ osung, beispielsweise mit Jodl¨osung ¨ gef¨ ullt. Uber die Jodl¨ osung werde Wasser so eingegossen, dass Konvektionsstr¨ omungen m¨ oglichst vermieden werden und die farbige L¨osung anf¨anglich scharf von der Wasserschicht getrennt ist. Nach einiger Zeit f¨arbt sich die obere Schicht mehr und mehr, w¨ ahrend die untere Schicht durchsichtiger wird. Nach hinreichend langer Zeit ist die gesamte L¨ osung gleichm¨aßig gef¨arbt. Offensichtlich werden w¨ ahrend des Vorgangs trotz fehlender Konvektion Jodmolek¨ ule aus dem unteren in den oberen Teil des Gef¨aßes transportiert. Man spricht von einer Diffusion der Jodmolek¨ ule in das Wasser. Die einzelnen Jodmolek¨ ule dringen teils in Bereiche h¨oherer, teils in Bereiche geringerer Jodkonzentration vor, ohne dass eine Richtung bevorzugt ist. Trotzdem findet ein Transport von Jodmolek¨ ulen aus dem Gebiet h¨oherer in das Gebiet geringerer Konzentration statt. Um dies zu verstehen, denke man unne sich beiderseits eines horizontalen Querschnitts in dem Beh¨alter zwei d¨ und gleich große Volumenelemente herausgeschnitten. Obwohl man nicht voraussagen kann, in welcher Richtung sich ein einzelnes Jodmolek¨ ul in einem dieser Volumenelemente w¨ ahrend einer vorgegebenen Zeit bewegen wird, so wird doch w¨ ahrend eines Zeitintervalls im Mittel ein endlicher Anteil von Molek¨ ulen aus dem unteren Volumenelement den gedachten Querschnitt passieren und in das obere Volumenelement eindringen, und umgekehrt wird ein endlicher Anteil von Molek¨ ulen aus dem oberen Volumenelement in das untere eindringen. Da in dem unteren Volumenelement aber mehr Jodmolek¨ ule vorhanden sind, werden allein aufgrund der zuf¨ alligen Molekularbewegung auch mehr Jodmolek¨ ule von der unteren in die obere Schicht eindringen. Es findet also ein Ausgleich der Konzentrationen statt, bis nach einiger Zeit alle Konzentrationsunterschiede abgebaut sind. Vom makroskopischen Standpunkt aus ist die molekulare Diffusion ein Stoff¨ ubergang aufgrund von Konzentrationsunterschieden. Mit anderen Arten der Diffusion, n¨ amlich der Diffusion durch Druckunterschiede (Druckdiffusion) und der Diffusion durch Temperaturunterschiede (Thermodiffusion) wollen wir uns nicht befassen. Der Mechanismus der molekularen Diffusion entspricht dem der W¨ armeleitung, w¨ ahrend der Stoff¨ ubergang in einem str¨omenden Fluid, kurz konvektiver Stoff¨ ubergang genannt, dem konvektiven W¨arme¨ ubergang entspricht. Stoff¨ ubergang durch Diffusion und Konvektion sind die einzigen Arten des Stoff¨ ubergangs. Der W¨ arme¨ ubertragung durch Strahlung kann kein entsprechender Vorgang der Stoff¨ ubertragung zugeordnet werden.

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung

75

1.4.1 Diffusion Zur Berechnung des Stoff¨ ubergangs durch Diffusion sind einige Definitionen und Zusammenh¨ ange erforderlich, die im Folgenden er¨ortert werden. 1.4.1.1 Zusammensetzung von Gemischen Die Zusammensetzung von Gemischen kann in verschiedener Weise charakterisiert werden. Zur quantitativen Beschreibung f¨ uhrt man folgende Gr¨oßen ein, vgl. DIN 1310. Der Massenanteil ξA ist die Masse MA einer Komponente A bezogen auf die gesamte Masse M in einem Volumenelement einer Phase13 : ξA =

MA MA =  . M MK

(1.146)

K

Die Summe aller Massenanteile ist 

ξK = 1 .

(1.146a)

K

Der Molanteil oder Stoffmengenanteil x˜A ist die Stoffmenge NA der Komponente A bezogen auf die gesamte Stoffmenge N in der betreffenden Phase: x ˜A =

NA NA = . N NK

(1.147)

K

Die Summe aller Molanteile ist 

x ˜K = 1 .

(1.147a)

K

Die Stoffmengenkonzentration oder molare Konzentration des Stoffes A ist definiert durch (1.148) cA = NA /V . Die Konzentration des Gemisches ist c = N/V =



cK ,

K

Damit erh¨ alt man f¨ ur den Molanteil der Komponente A x ˜A = cA /c . 13

Der Buchstabe K unter dem Summenzeichen bedeutet, dass u ¨ ber alle Komponenten K zu summieren ist.

76

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

F¨ ur ideale Gase gilt cA = pA /Rm T und c = p/Rm T , wobei pA = x ˜A p der Partialdruck der Komponente A ist und Rm = 8,31451 J/(mol K) die molare Gaskonstante bedeutet. Die einzelnen Maße f¨ ur die Zusammensetzung sind nicht unabh¨angig voneinander. Um einen Zusammenhang zwischen Mol- und Massenanteilen zu ˜ A = MA /NA der Komfinden, multiplizieren wir (1.147) mit der Molmasse M ponente A. Man erh¨ alt ˜ A = MA /N . x ˜A M ˜ = M/N : Summation u ¨ ber alle Komponenten ergibt die mittlere Molmasse M 

˜K = x˜K M

K



˜ . MK /N = M/N = M

(1.149)

K

Mit ihr ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Mol- und Massenanteilen ˜A M M A NA N MA x˜ . = = (1.150) ξA = ˜ A M NA N M M Im umgekehrten Fall, wenn die Massenanteile bekannt sind, ergeben sich die Molanteile aus ˜ M x˜A = ξ , (1.151) ˜A A M worin man die mittlere Molmasse aus den Molmassen und den Massenanteilen erh¨ alt, da  NK  M K NK N 1 = = = ˜ M M M MK M K

oder

K

 1 1 = ξK ˜ ˜ M MK K

(1.152)

ist. 1.4.1.2 Diffusionsstr¨ ome In jedem Volumenelement k¨ onnen die mittleren Teilchengeschwindigkeiten der einzelnen Stoffe verschieden sein, so dass sich der Konvektion des Volumenelements noch die Relativbewegung der Teilchenarten u ¨ berlagert. Man bezeichnet diese makroskopisch wahrnehmbare Relativbewegung bekanntlich als Diffusion. Die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen des Stoffes A sei durch den Vektor wA gekennzeichnet. Zur Beschreibung der Diffusion f¨ uhren wir die Relativgeschwindigkeit wA −ω ein, worin ω eine noch zu definierende Bezugsgeschwindigkeit bedeutet. Als Diffusionsstromdichte (SI-Einheit mol/m2 s) des Stoffes A definiert man die Gr¨ oße j A := cA (w A − ω) .

(1.153)

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung

77

Als Bezugsgeschwindigkeit ω kann man die Schwerpunktsgeschwindigkeit w w¨ ahlen. Darunter versteht man die mittlere Geschwindigkeit der Masse eines Volumenelements:   w = K w K bzw. w = ξK w K . (1.154) K

K

Die zugeh¨ orige Diffusionsstromdichte ist dann j A = cA (w A − w) . ˜ A = A ˜ A ergibt mit cA M Multiplikation mit der Molmasse M ˜ A = j ∗A = A (wA − w) , jAM

(1.155)

worin j ∗A die mit der Masse gebildete Diffusionsstromdichte des Stoffes A (SIEinheit kg/m2 s) ist. Aus (1.154) und (1.155) ergibt sich 

j ∗K = 0 .

(1.156)

K

Das mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit w nach (1.154) definierte Bezugssystem nennt man Schwerpunktssystem. In ihm lassen sich die Impuls- und die Energiebilanz besonders einfach formulieren. Als weitere Bezugsgeschwindigkeit verwenden wir die mittlere molare Geschwindigkeit u. Sie ist definiert durch u :=



x˜K wK .

(1.157)

K

Die zugeh¨ orige Diffusionsstromdichte (SI-Einheit mol/m2 s) ist ujA

= cA (w A − u) .

Unter Beachtung von cA = x˜A c und



(1.158)

cK = c folgt aus (1.157) und (1.158)

K



ujK

=0 .

K

Ein mit der mittleren molaren Geschwindigkeit u definiertes Bezugssystem nennt man Teilchenbezugssystem. Wegen anderer Definitionen der Bezugsgeschwindigkeit sei auf die Literatur verwiesen [1.21]. Die Diffusionsstromdichten eines Bezugssystems lassen sich in die eines beliebigen anderen u uhren, ¨berf¨ wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 1.7: Gegeben sei die Diffusionsstromdichte einer Komponente A in    einem  -Bezugssystem j A = cA (w A − ω ) mit der Bezugsgeschwindigkeit ω = P  P   ζK w K , wobei f¨ ur die Gewichtsfaktoren“ ζK gilt ζK = 1. ” K K

78

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen 



Man berechne die Diffusionsstromdichte j A = cA (w A − ω ) im  -Bezugssystem mit der Bezugsgeschwindigkeit 

ω =

X



ζK w K

X

mit

K



ζK = 1 .

K

Man leite daraus den allgemeinen Zusammenhang zwischen den Diffusionsstromdichten j A und u j A ab. P   − ζK ) w K . Weiter folgt aus j A = Es ist j A − j A = cA (ω  − ω  ) = cA (ζK K

cA (w A − ω  ) die Geschwindigkeit w A = j A /cA + ω  . Es ist also « „  P  jK  − ζK ) + ω j A − j A = cA (ζK cK K X  X  j  X  P  j K ζK + cA ω  ζK − cA ζK K − cA ω  ζK , = cA cK cK K K K K P  P  ζK = 1 und ζK = 1 und wegen woraus sich unter Beachtung von K K P   ζK j K /cK = 0 der Zusammenhang K

j A − j A = −cA

X

 ζK

K

j K cK

ergibt. F¨ ur die Umrechnung vom Teilchenbezugssystem in das Schwerpunktssys = ξA und j A = u j A setzen: tem folgt, wenn wir j A = j A , ζA j A − u j A = −cA

X

ξK

K

uj K

cK

.

¨ Entsprechend findet man f¨ ur die Uberf¨ uhrung einer Diffusionsstromdichte vom Schwerpunktssystem in die des Teilchenbezugssystems ujA

− j A = −cA

X

x ˜K

K

jK . cK

F¨ ur ein Zweistoffgemisch mit den Komponenten A und B gehen diese Beziehungen u ¨ ber in „ « ξB ξA j A − u j A = −cA . uj A + uj B cA cB ˜A − M ˜ B ) folgt Mit u j A = −u j B und ξA /cA − ξB /cB = (V /M )(M j A − u j A = −cA

V ˜ ˜ u j (MA − MB ) M A

˜ ˜A /M und daher mit cA V /M = x – » ˜ ˜A + x ˜B ˜A M ˜A M x ˜A ˜ ˜ B) = uj M − x j A = ujA 1 − (MA − M . A ˜ ˜ M M ˜A + x ˜B ˜ =x ˜B M Daraus ergibt sich wegen M ˜A M

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung

79

˜B M . ˜ M

jA = uj A Entsprechend folgt f¨ ur die Komponente B jB = uj B

˜A M . ˜ M

1.4.1.3 Ficksches Gesetz Die Diffusionsstromdichte einer Komponente A ist proportional dem Konzentrationsgradienten grad cA· . Wir beschr¨ anken unsere Betrachtungen zun¨achst auf ein Zweistoffgemisch aus den Komponenten A und B und nehmen an, Diffusion finde nur in Richtung einer Koordinatenachse, beispielsweise der yAchse statt. Die Diffusionsstromdichte l¨ asst sich dann durch einen dem Fourierschen Gesetz entsprechenden empirischen Ansatz beschreiben, = −DAB

u jA

dcA , dy

(1.159)

der in dieser Form von A. Fick14 aufgestellt wurde und nach ihm als erstes Ficksches Gesetz bezeichnet wird. Der Proportionalit¨atsfaktor DAB (SIEinheit m2 /s) ist der Diffusionskoeffizient in einem Zweistoffgemisch aus den Komponenten A und B. Gl. (1.159) gilt unter der Voraussetzung konstanter molarer Konzentration c des Gemisches, was in isobar-isothermen Gemischen ullt ist. L¨asst man die Voraussetidealer Gase wegen c = N/V = p/Rm T erf¨ zung c = const fallen, so gilt allgemein f¨ ur Zweistoffgemische u jA

= −cDAB

d˜ xA , dy

(1.160)

wie de Groot [1.22] nachwies. Im Schwerpunktssystem lautet die der Gl. (1.160) ¨ aquivalente Beziehung f¨ ur die Diffusionsstromdichte in Richtung der y-Achse dξA ∗ jA . (1.161) = −DAB dy In einem Vielstoffgemisch aus N Komponenten ist die Diffusionsstromdichte j ∗A der Komponente A gegeben durch [1.23] j ∗A = 

N  ˜ AM ˜K M DAK grad x ˜K . ˜2 M

(1.162)

K=1 K=A

Die Gl. (1.161) ist hierin als Sonderfall N = 2 enthalten. 14

Adolph Fick (1829–1901), Professor f¨ ur Physiologie in Z¨ urich und W¨ urzburg, hat die Grundgesetze der Diffusion entdeckt.

80

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen Beispiel 1.8: Man zeige, dass Gl. (1.161) der Gl. (1.160) ¨ aquivalent ist. ∗ in y-Richtung sind verkn¨ upft durch Die Diffusionsstromdichten u jA und jA ∗ ˜ A = ujA jA = jA M

˜B M ˜A M ˜ M

(siehe L¨ osung des Beispiels 1.7). Damit wird ∗ = −c DAB jA

˜A ˜B M ∂x ˜A M . ˜ ∂y M

˜ ξA /M ˜A ˜ , und wie durch Differentiation von x Hierin ist c = N/V = /M ˜A = M ˜ ˜ ˜ mit M = x ˜A MA + (1 − x ˜A ) MB folgt, ist d˜ xA =

˜2 M dξ . ˜ ˜B A MA M

Damit erh¨ alt man aus der obigen Gleichung ∗ jA = − DAB

∂ξA . ∂y

Durch Vertauschen der Indizes A und B erh¨alt man aus (1.161) die Diffusionsstromdichte der Komponente B im Zweistoffgemisch. Da nach (1.156) die Summe der beiden Diffusionsstromdichten verschwindet, gilt ∗ + jB∗ = −DAB jA

dξA dξB − DBA =0 . dy dy

Hierin ist dξA /dy = −dξB /dy, denn es gilt ξA + ξB = 1, und daher ist DAB = DBA . Der Diffusionskoeffizient der Komponente A durch die Komponente B ist genau so groß wie der Diffusionskoeffizient der Komponente B durch die Komponente A. Wir lassen daher die Indizes weg und schreiben einfach D statt DAB = DBA . Typische Zahlenwerte von Diffusionskoeffizienten sind 5 · 10−6 bis 10−5 2 m /s bei Gasen, 10−10 bis 10−9 m2 /s bei Fl¨ ussigkeiten und 10−14 bis 10−10 2 m /s bei Festk¨ orpern. In Gasen sind die freie Beweglichkeit der Molek¨ ule und daher auch die Diffusionskoeffizienten gr¨oßer als in Fl¨ ussigkeiten und in diesen gr¨ oßer als in Festk¨ orpern. Die Diffusion in Festk¨orpern l¨auft um mehrere Gr¨ oßenordnungen langsamer ab als in Fl¨ ussigkeiten und ist in Gasen am schnellsten. Mit Hilfe des Fickschen Gesetzes lassen sich bei bekannten Konzentrationen die Diffusionsstromdichten berechnen. Ist umgekehrt die Diffusionsstromdichte bekannt, so erh¨ alt man durch Integration das Konzentrationsfeld. Als einfaches Beispiel hierf¨ ur betrachten wir einen Feststoff, aus dem eine Komponente A durch ein fl¨ ussiges L¨ osungsmittel B entfernt werden soll, Abb. 1.41. An der dem Feststoff zugekehrten Oberfl¨ ache des Fl¨ ussigkeitsfilms sei cA0 die Konzentration der Komponente A, die in der Kernstr¨omung sei cAδ . Wir setzen c = N/V = const voraus. Da Stoff nur in Richtung der y-Achse

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung

81

Abb. 1.41: Diffusion durch einen ruhenden Fl¨ ussigkeitsfilm

u ussig, die Richtung des Stofftransports durch die ¨ bertragen wird, ist es u ¨berfl¨ Vektorschreibweise zu kennzeichnen. Die vom Feststoff in den Film u ¨ bergehende Stoffmengenstromdichte ist dann nach (1.158) n˙ A = cA wA = u jA + cA u mit u jA = −D dcA /dy und u = xA wA + xB wB . Die Geschwindigkeit wB des L¨ osungsmittels in Richtung der y-Achse ist null. Ist die Konzentration osungsmittel sehr klein, so ist bei nicht allzu großer cA des Stoffes A im L¨ Bezugsgeschwindigkeit u der Term cA u verschwindend gering und somit n˙ A = u jA = −D

dcA . dy

(1.163)

Da im station¨ aren Fall die in jede Fl¨ ussigkeitsschicht einstr¨omende Menge des Stoffes A wieder ausstr¨ omt, ist n˙ A = const. Unter der Annahme eines konstanten Diffusionskoeffizienten D folgt daher durch Integration aus obiger Gleichung cA0 − cAδ . n˙ A = −D δ F¨ ur eine Feststoffkugel vom Radius r0 , die von einem Fl¨ ussigkeitsfilm der Dicke δ umgeben ist, erh¨ alt man aus (1.163) die Diffusionsstromdichte in radialer Richtung r zu dcA . (1.164) n˙ A = u jA = −D dr Im station¨ aren Fall ist der durch eine kugelf¨ ormige Fl¨ ussigkeitsschale diffundierende Stoffmengenstrom konstant, dcA N˙ A = n˙ A 4πr2 = −D 4πr2 , dr und damit wird

dN˙ A d =0= dr dr

(1.165)



dcA 2 r . −D dr

Durch Integration findet man hieraus unter der Annahme D = const und unter Beachtung der Randbedingungen cA (r = r0 ) = cA0 und cA (r = r0 + δ) = cAδ das Konzentrationsprofil

82

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

cA − cA0 1/r − 1/r0 = . cAδ − cA0 1/(r0 + δ) − 1/r0

(1.166)

Es entspricht dem Temperaturprofil bei station¨arer W¨armeleitung in einer Hohlkugel nach (1.17). Der Diffusionsstrom, Gl. (1.165), ergibt sich durch Differentiation zu cA0 − cAδ N˙ A = D 4π . (1.167) 1/r0 − 1/(r0 + δ)

1.4.2 Einseitige Diffusion, ¨ aquimolare Diffusion Im vorigen Beispiel der Diffusion einer Komponente A aus einem Feststoff in ein L¨ osungsmittel hatten wir eine nicht allzu große Konvektionsgeschwindigkeit u und eine sehr geringe Konzentration cA des Stoffes A im L¨osungsmittel vorausgesetzt. Als Folge ergab sich ein verschwindender Konvektionsstrom aufig ist diese Voraussetzung nicht erf¨ ullt. Als typisches Beispiel becA u. H¨ trachten wir eine Fl¨ ussigkeit A in einem zylindrischen Gef¨aß, die in ein ruhendes Gas B hinein verdunstet, Abb. 1.42. Der Fl¨ ussigkeitsspiegel werde bei

Abb. 1.42: Diffusion der Komponente A in ein Gasgemisch aus den Komponenten A und B

y = y1 festgehalten oder ver¨ andere sich so langsam, dass wir ihn als ruhend ansehen k¨ onnen. An der Fl¨ ussigkeitsoberfl¨ ache sei cA (y = y1 ) = cA1 . Bei m¨ aßigem Gesamtdruck erhalten wir cA1 aus der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase zu cA1 = pA1 /Rm T , worin pA1 der S¨attigungspartialdruck von A bei der Temperatur T der Fl¨ ussigkeit ist. Die L¨oslichkeit des Gases B in der Fl¨ ussigkeit A sei vernachl¨ assigbar, was gut zutrifft, wenn beispielsweise ¨ die Fl¨ ussigkeit A aus Wasser, das Gas B aus Luft besteht. Uber das obere ome ein Gasgemisch aus den Stoffen A und B Ende y = y2 des Zylinders str¨ mit der Konzentration cA (y = y2 ) = cA2 . Die Stoffmengenstromdichte der Komponente A in Richtung der y-Achse ist wie zuvor n˙ A = cA wA = u jA + cA u mit u = x ˜A wA + x ˜B wB . Da das Gas B im Zylinder ruht, ist wB = 0 und daher u = x˜A wA . Man bezeichnet dies als einseitige Diffusion. Damit ergibt sich die Beziehung

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung

n˙ A = cA wA =

1 1−x ˜A

u jA

,

83

(1.168)

osten Stoffes in die vorige Gl. (1.163) die f¨ ur kleine Molanteile x ˜A des gel¨ u aren Fall ist dn˙ A /dy = 0, und mit dem Fickschen Gesetz, ¨ bergeht. Im station¨ Gl. (1.160), folgt

 xA d cD d˜ =0 . (1.169) dy 1 − x ˜A dy are Diffusionskoeffizient. F¨ ur Gemische idealer GaHierin ist D = DAB der bin¨ se ist bei konstantem Druck und konstanter Temperatur c = N/V = p/Rm T konstant. Der Diffusionskoeffizient D a ¨ndert sich nur wenig mit der Zusammensetzung und kann daher ebenfalls als konstant vorausgesetzt werden. Dann gilt f¨ ur das Konzentrationsprofil die Differentialgleichung

 1 d˜ xA d =0 , dy 1 − x ˜A dy ˜A auch als die man wegen x ˜B = 1 − x

 d 1 d˜ xB =0 dy x ˜B dy oder

xB d2 ln˜ xB d dln˜ = =0 dy dy dy 2

(1.170)

schreiben kann. Sie ist unter den Randbedingungen x ˜B (y = y1 ) = x˜B1 = 1 − x˜A1 x ˜B (y = y2 ) = x ˜B2 = 1 − x˜A2 Die L¨ osung lautet x ˜B = x ˜B1



x˜B2 x ˜B1

 y − y1 y2 − y1

und zu l¨osen.

.

(1.171)

Man u ¨ berzeugt sich leicht von der Richtigkeit der L¨osung. Logarithmiert man n¨ amlich (1.171), so folgt der Ausdruck ln

x ˜B y − y1 x ˜B2 = ln , x ˜B1 y2 − y1 x ˜B1

der bei zweimaliger Differentiation nach y verschwindet. Durch Differentiation von (1.171) erh¨ alt man die Diffusionsstromdichte u jA

= −cD

d˜ xB x ˜B d˜ xA x ˜B2 = cD = cD ln . dy dy y2 − y1 x ˜B1

Die u alt man damit aus (1.168), ¨ bergehende Mengenstromdichte erh¨

84

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

n˙ A = zu n˙ A =

1 1 u jA = u jA 1−x ˜A x ˜B

cD x˜B2 cD 1 − x˜A2 ln = ln . y2 − y1 x ˜B1 y2 − y1 1 − x˜A1

(1.172)

Der mittlere Molanteil der Komponente B zwischen y = y1 und y = y2 ist x ˜Bm

1 = y2 − y1

y2 x˜B dy . y1

Nach Einsetzen von x˜B aus (1.171) und Integration ergibt sich x˜Bm =

˜B1 x˜B2 − x . ln(˜ xB2 /˜ xB1 )

(1.173)

Der mittlere Molanteil ist das logarithmische Mittel aus den Werten x ˜B1 und x ˜B2 . Man kann damit (1.172) auch schreiben: n˙ A =

x ˜A1 − x ˜B2 − x˜B1 ˜A2 cD x cD = . x ˜Bm y2 − y1 (1 − x˜Am ) y2 − y1

(1.174)

F¨ ur ideale Gase lassen sich (1.173) und (1.174) noch mit Partialdr¨ ucken pB und dem Gesamtdruck p schreiben, n˙ A =

pD/Rm T pB2 pD/Rm T ln = (pB2 − pB1 ) , y2 − y1 pB1 (y2 − y1 )pBm

(1.175)

worin pBm der logarithmisch gemittelte Partialdruck pBm =

pB2 − pB1 ln(pB2 /pB1 )

ist.

¨ Aquimolare Gegendiffusion tritt in recht guter N¨aherung bei der Destillation von Zweistoffgemischen auf. In einer Destillationkolonne rieselt eine Fl¨ ussigkeit herab, ein Dampf str¨ omt in der Kolonne nach oben, Abb. 1.43. Da die herabrieselnde Fl¨ ussigkeit k¨ alter ist als der aufsteigende Dampf, wird vorzugsweise die Komponente mit dem h¨ oheren Siedepunkt, die sogenannte schwerer fl¨ uchtige Komponente kondensieren, w¨ahrend aus der Fl¨ ussigkeit ein Gemisch verdampft, das vorzugsweise niedriger siedende, sogenannte leichter fl¨ uchtige Komponenten enth¨ alt. Die molaren Verdampfungsenthalpien sind nach der Troutonschen Regel in guter N¨ aherung f¨ ur alle Komponenten konstant. Kondensiert eine bestimmte Stoffmenge der schwerer fl¨ uchtigen Komponente aus dem Dampf, so wird demnach die gleiche Stoffmenge der leichter fl¨ uchtigen aus der Fl¨ ussigkeit verdampft. An der Phasengrenze zwischen Fl¨ ussigkeit und Dampf ist cA wA = −cB wB . Somit ist die Bezugsgeschwindigkeit u wegen cu = cA wA + cB wB gleich null, und es ist nach (1.158) und (1.160) die zur Phasengrenze transportierte Stoffmengenstromdichte

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung

Abb. 1.43: Zum Stoff¨ ubergang bei der Destillation

85

¨ Abb. 1.44: Aquimolare Diffusion zwischen zwei Beh¨ altern

n˙ A = cA wA = u jA = −cD

d˜ xA . dy

(1.176)

Konvektions- und Diffusionsstrom stimmen u ¨ berein. Verbindet man zwei Beh¨ alter, von denen jeder ein anderes Gas enth¨alt, durch eine d¨ unne Leitung, Abb. 1.44, so stellt sich in dieser ebenfalls ¨aquimolare Gegendiffusion ein, wenn Druck und Temperatur der beiden Gase gleich sind und diese der thermischen Zustandsgleichung idealer Gase gehorchen. Wir betrachten dazu ein Gasvolumen V in der Verbindungsleitung. F¨ ur dieses gilt die thermische Zustandsgleichung p = (NA + NB )Rm T /V . Im station¨ aren Fall bleibt der Gesamtdruck zeitlich unver¨anderlich. Es ist daher dp = (N˙ A + N˙ B )Rm T /V = 0 dt und daher N˙ A = −N˙ B .

1.4.3 Konvektiver Stoffu ¨ bergang Der Stoff¨ ubergang von einem str¨ omenden Fluid an die Oberfl¨ache eines anderen Stoffes oder zwischen zwei wenig mischbaren str¨omenden Fluiden h¨angt von Stoffeigenschaften der Fluide und der Art der Str¨omung ab. Wie im Fall des konvektiven W¨ arme¨ ubergangs kann die Str¨omung von außen, z.B. durch Pumpen, Verdichter u.a. aufgepr¨ agt werden — man spricht dann von Stoff¨ ubergang bei erzwungener Konvektion —, oder sie kann durch Dichteunterschiede hervorgerufen werden, die ihrerseits eine Folge von Temperaturoder Konzentrationsunterschieden sind. Man hat es dann mit einem Stoff¨ ubergang bei freier Konvektion zu tun. In Anlehnung an die Definitionsgleichung (1.23) des W¨arme¨ ubergangskoeffizienten, beschreibt man den an einer Oberfl¨ache (Index 0) u ¨ bertragenen Stoffmengenstrom durch

86

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

N˙ A0 = βc AΔcA

(1.177)

und die Stoffmengenstromdichte durch n˙ A0 = N˙ A0 /A = βc ΔcA .

(1.178)

Durch diese Gleichung ist der Stoff¨ ubergangskoeffizient βc mit der SI-Einheit ur den je Fl¨ache u m/s oder m3 /(s m2 ) definiert. Er ist ein Maß f¨ ¨ bertragenen Volumenstrom. Der Konzentrationsunterschied ΔcA definiert den Stoff¨ ubergangskoeffizienten. Hierf¨ ur wird man zweckm¨ aßigerweise den f¨ ur den Stoffaustausch maßgebenden Konzentrationsunterschied w¨ahlen, also beispielsweise beim Stoff¨ ubergang durch einen Fl¨ ussigkeitsfilm nach Abb. 1.41 den Konzentrationsunterschied cA0 − cAδ zwischen Wand und Filmoberfl¨ache. Der Stoff¨ ubergangskoeffizient ist im Allgemeinen von der Art der Str¨omung, ob laminar oder turbulent, von Stoffeigenschaften, von der geometrischen Form des Systems und oft auch vom Konzentrationsunterschied ΔcA selbst abh¨angig. Str¨ omt ein Fluid u ¨ ber eine ruhende Oberfl¨ache, mit der ein Stoff ausgetauscht wird, so bildet sich eine d¨ unne oberfl¨achennahe Schicht aus, in der die Str¨ omungsgeschwindigkeit klein ist und auf den Wert null an der ruhenden Oberfl¨ ache abf¨ allt. In Oberfl¨ achenn¨ ahe ist daher der konvektive Anteil der Stoff¨ ubertragung gering, und der diffusive Anteil u ¨berwiegt. Er ist h¨aufig f¨ ur den Stoff¨ ubergang entscheidend. Da der diffusive Anteil nach dem Fickschen Gesetz (1.159) proportional dem Konzentrationsgradienten an der ruhenden Oberfl¨ache und somit n¨aherungsweise proportional einer Konzentrationsdifferenz ΔcA ist, definiert man zweckm¨ aßigerweise den Stoff¨ ubergangskoeffizienten durch

 d˜ xA j = − cD = βΔcA . (1.179) u A0 dy 0 Die Diffusionsstromdichte u jA0 ist die an der Oberfl¨ache (Index 0). Es ist also β=

−(cDd˜ xA /dy)0 . ΔcA

(1.180)

Der Zusammenhang zwischen Stoffmengenstromdichte nach (1.178) und Diffusionsstromdichte nach (1.179) ist definitionsgem¨aß durch cA0 wA0 = n˙ A0 =

u jA0

+ cA0 u0 =

u jA0

+x ˜A0 n˙ 0

gegeben. F¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ 0 → 0 ist cA0 wA0 = n˙ A0 = u j A0 ,

(g¨ ultig f¨ ur n˙ 0 → 0)

so dass dann mit Hilfe des Stoff¨ ubergangskoeffizienten nach (1.179) auch die Stoffmengenstromdichte n˙ A0 = βΔcA

(g¨ ultig f¨ ur n˙ 0 → 0)

(1.181)

1.4 Die verschiedenen Arten der Stoff¨ ubertragung

87

berechnet werden kann. Tats¨ achlich werden Konzentrationsprofil und auch Stoffmengenstromdichte von den f¨ ur n˙ 0 → 0 berechneten Werten abweichen. Als Beispiel betrachten wir dazu nach Abb. 1.45 einen mit einer Fl¨ ussigkeit A, z.B. Wasser, getr¨ ankten por¨ osen K¨ orper, u ber den ein Gas B, z.B. ein Alkohol, str¨omt. ¨ Die Fl¨ ussigkeit A verdunstet in das Gas B, und umgekehrt bel¨adt sich die Fl¨ ussigkeit A in dem por¨ osen K¨ orper mit dem Gas B. Der Konvektionsstrom cA0 wA0 + cB0 wB0 = c0 u0 = n˙ 0 wird an der Oberfl¨ache des por¨osen K¨orpers nicht vollst¨ andig verschwinden, so dass die an der Oberfl¨ache u ¨ bergehende Stoffmengenstromdichte von A gegeben ist durch die bekannte Gleichung n˙ A0 =

u jA0

+ cA0 u0 =

u jA0

+ x˜A0 n˙ 0 ,

(1.182)

da cA0 u0 = x ˜A0 c0 u0 = x˜A0 n˙ 0 ist.

Abb. 1.45: Stoff¨ ubergang von einem por¨ osen K¨ orper an ein str¨ omendes Gas

Infolge des endlichen Konvektionsstromes ist auch das Konzentrationsprofil verschieden von dem bei verschwindendem Konvektionsstrom n˙ 0 → 0. Es weicht von diesem umso mehr ab, je gr¨ oßer der Konvektionsstrom ist. Ist der Konvektionsstrom zur Wand gerichtet, n˙ 0 < 0, wie bei der Kondensation eines Dampfes aus einem Gemisch, so wird das Konzentrationsprofil infolge des Konvektionsstroms steiler, Abb. 1.47. Damit wird auch der diffusive Anteil der u ¨ bergehenden Stoffmenge durch den Konvektionsstrom im Fall des Stofftransports aus der betrachteten Phase vergr¨oßert, w¨ahrend er im Fall des Stofftransports in die betrachtete Phase, Abb. 1.46, verringert wird. Der durch (1.180) definierte Stoff¨ ubergangskoeffizient ist somit f¨ ur verur endlichen schwindenden Konvektionsstrom (n˙ 0 → 0) verschieden von dem f¨ Konvektionsstrom, und zwar gilt β(n˙ 0 > 0) < β(n˙ 0 → 0) , wie man aus Abb. 1.46 erkennt, und β(n˙ 0 < 0) > β(n˙ 0 → 0) , was aus Abb. 1.47 hervorgeht. Abk¨ urzend schreibt man β(n˙ 0 = 0) = β •

und β(n˙ 0 = 0) = β .

Der hochgestellte Punkt im Stoff¨ ubergangskoeffizienten soll anzeigen, dass der Konvektionsstrom n˙ 0 von null verschieden ist. Damit l¨asst sich die Stoffmengenstromdichte nach (1.182) berechnen zu

88

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.46: Konzentrationsprofil ubergang f¨ ur vercA (y) bei Stoff¨ schwindenden Konvektionsstrom und f¨ ur endlichen (n˙ → 0) . Konvektionsstrom (n˙ > 0) Stoff¨ ubergang in die betrachtete Phase

Abb. 1.47: Konzentrationsprofil ur verschwindenden KoncA (y) f¨ und vektionsstrom (n˙ → 0) f¨ ur endlichen Konvektionsstrom . Stoff¨ ubergang aus (n˙ < 0) der betrachteten Phase

n˙ A0 = β • ΔcA + x˜A0 n˙ 0 .

(1.183)

Im Grenz¨ ubergang n˙ 0 → 0 des verschwindenden Konvektionsstroms oder bei aquimolarer Diffusion wird β • = β = βc wie der Vergleich mit (1.181) und ¨ (1.178) zeigt. Von den verschiedenen Stoff¨ ubergangskoeffizienten ist derjenige bei verschwindendem Konvektionsstrom am leichtesten zu ermitteln. Er h¨angt von der Str¨ omungsgeschwindigkeit ab, mit der beispielsweise das Gas B in Abb. 1.45 den por¨ osen K¨ orper u omt, von Stoffeigenschaften des Gases und ¨ berstr¨ der geometrischen Gestalt des por¨ osen K¨ orpers. Diese Gr¨oßen lassen sich f¨ ur einen K¨ orper bestimmter geometrischer Gestalt, wie sp¨ater noch gezeigt wird, zu dimensionslosen Kenngr¨ oßen

 wL ν βL =f , (1.184) D ν D oder Sh = f (Re, Sc) .

(1.185)

zusammenfassen. Die Gr¨ oße βL/D ist die mit dem Stoff¨ ubergangskoeffizienten β, einer charakteristischen L¨ ange L, beispielsweise der u ¨ berstr¨omten Plattenl¨ ange in Abb. 1.45, und dem Diffusionskoeffizienten D gebildete SherwoodZahl15 Sh; wL/ν ist die mit der mittleren Geschwindigkeit w und der kine15

Thomas Kilgore Sherwood (1903–1976) promovierte 1929 bei Warren K. Lewis, nach dem die Lewis-Zahl benannt wurde, am Massachussetts Institute of Technology (MIT) in Boston, Mass., USA, mit einer Arbeit u ¨ ber The Mechanism of the ” Drying of Solids“. Er war von 1930 bis 1969 Professor am MIT. Seine grundlegenden Arbeiten u omender Fluide und sein 1937 erschienenes ¨ ber Stofftransport str¨ Buch Absorption and Extraction“ haben ihn weltweit bekannt gemacht. ”

1.5 Stoff¨ ubergangstheorien

89

matischen Viskosit¨ at ν des Gases gebildete Reynolds-Zahl Re und ν/D die Schmidt-Zahl16 Sc. Beziehungen nach Art der Gleichung (1.185) erh¨alt man aus Experimenten oder in einfachen F¨ allen durch L¨osen der zugeh¨origen partiellen Differentialgleichungen. Dies ist im Wesentlichen Gegenstand der noch zu er¨ orternden Theorie der Stoff¨ ubertragung. F¨ ur viele praktisch wichtige geometrische Anordnungen und Str¨ omungsf¨ uhrungen findet man Beziehungen nach Art von (1.185) in der einschl¨ agigen Literatur [1.23] bis [1.26]. Da der Konvektionsstrom h¨ aufig nicht allzu groß ist, berechnet man den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β • durch Multiplikation von β mit einem Korrekturfaktor ζ = β • /β, der in praktischen F¨ allen oft nur wenig von 1 verschieden ist.

1.5 Stoffu ¨bergangstheorien Die Berechnung von Stoff¨ ubergangskoeffizienten β kann in verschiedener Weise geschehen, wobei man nach der Art des jeweiligen Problems dar¨ uber entscheiden muss, nach welcher Theorie man die Stoff¨ ubergangskoeffizienten am besten bestimmt. Die wichtigsten Theorien sind die Film-, die Grenzschichtund die Penetrationstheorie, die hier in ihren Grundz¨ ugen vorgestellt werden sollen.

1.5.1 Die Filmtheorie Die Filmtheorie geht auf eine Arbeit von Lewis und Whitman [1.27] aus dem Jahre 1924 zur¨ uck. Um sie zu erl¨ autern, nehmen wir an, von einer festen oder fl¨ ussigen ruhenden Oberfl¨ ache, in Abb. 1.48 als ebene Platte gezeichnet, werde ein Stoff A an ein str¨ omendes Fluid B u ¨ bertragen. Die Konzentration des Stoffes A f¨ allt vom Wert cA0 an der Plattenoberfl¨ache auf den Wert cAδ im Innern des Fluids. Die Filmtheorie geht nun von der h¨aufig zutreffenden Annahme aus, dass der Stoff¨ ubergang in einem d¨ unnen wandnahen Fluidfilm der Dicke δ stattfindet, daher der Name Filmtheorie. Konzentrationen und Geschwindigkeiten sollen sich nur in Richtung der y-Achse, nicht aber, so wird 16

Ernst Schmidt (1892–1975) studierte an den Technischen Hochschulen in Dresden und M¨ unchen Bauingenieurwesen, wechselte dann aber zur Elektrotechnik. Nach einer T¨ atigkeit als Assistent von O. Knoblauch am Laboratorium f¨ ur Angewandte Physik der Technischen Hochschule M¨ unchen wurde er 1925 Professor an der Technischen Hochschule Danzig, 1937 Leiter des Instituts f¨ ur Motorenforschung der Luftfahrtforschungsanstalt in Braunschweig, dann Professor an der Technischen Hochschule Braunschweig. 1952 u ¨bernahm er als Nachfolger von W. Nußelt den Lehrstuhl f¨ ur Thermodynamik der Technischen Hochschule M¨ unchen. Auf ihn gehen grundlegende Arbeiten u.a. zur L¨ osung der instation¨ aren W¨ armeleitungsgleichung, zur Sichtbarmachung thermischer Grenzschichten und zur Ermittlung der Temperaturfelder bei nat¨ urlicher Konvektion zur¨ uck. In einer Arbeit zur Analogie zwischen W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung verwendete er erstmals die heute nach ihm benannte Schmidt-Zahl.

90

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

weiter angenommen, mit der Zeit oder in Richtung der anderen Koordinatenachsen ¨ andern. Das hat zur Folge, dass bei station¨arer Str¨omung die in Richtung der y-Achse u ¨ bertragene Stoffmengenstromdichte n˙ A = cA wA konstant bleibt. W¨ are dies nicht der Fall, w¨ urde also in ein Volumenelement des

Abb. 1.48: Konzentrationsprofil an u omter Oberfl¨ ache ¨berstr¨

Fluids beispielsweise mehr Stoff A ein- als ausstr¨omen, so w¨ urde sich in dem Volumenelement die Konzentration des Stoffes A mit der Zeit ¨andern, oder es m¨ usste in x-Richtung Stoff A abfließen, damit sich die Konzentration nicht mit der Zeit ¨ andert. Beides ist aber voraussetzungsgem¨aß nicht zul¨assig. Nach der Filmtheorie ist somit dn˙ A =0 . (1.186) dy Daraus ergibt sich f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ = n˙ A + n˙ B = 0 in Richtung der y-Achse, wegen n˙ A =

u jA

+x ˜A n˙ =

auch

u jA

= −cD d˜ xA /dy

d2 x ˜A =0 , dy 2

wenn man konstante Werte von cD voraussetzt. Das Konzentrationsprofil im Film ist eine Gerade: ˜A0 y x ˜A − x . (1.187) = x ˜Aδ − x ˜A0 δ Andererseits galt f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom an der Wand, n˙ 0 → 0, nach (1.181)

 d˜ xA . (1.188) n˙ A0 = β(cA0 − cAδ ) = −cD dy 0 Nach (1.187) ist

−cD

d˜ xA dy

 = −c 0

D D (˜ xAδ − x˜A0 ) = (cA0 − cAδ ) δ δ

und daher β=

D . δ

(1.189)

1.5 Stoff¨ ubergangstheorien

91

Da die Filmdicke δ meistens nicht bekannt ist, kann man aus dieser Gleichung zwar keine Stoff¨ ubergangskoeffizienten β berechnen. Man kann sich diese jedoch f¨ ur die in der Praxis h¨ aufig vorkommenden F¨alle aus der einschl¨ agigen Literatur (z.B. [1.23] bis [1.26]) verschaffen und dann mit (1.189) die Filmdicke absch¨ atzen. Der Stoff¨ ubergangskoeffizient β f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ 0 → 0 ist nach der Filmtheorie proportional dem Diffusionskoeffizienten. Zu einem anderen Ergebnis kommt man, wenn man einen endlichen Konvektionsstrom n˙ zul¨ asst. Dann ist weiterhin dn˙ A =0 . dy Einsetzen der Stoffstromdichte n˙ A =

u jA

+ x˜A n˙ = −cDd˜ xA /dy + x˜A n˙

ergibt nun unter der Annahme cD = const die Differentialgleichung zweiter Ordnung ˜A d˜ xA d2 x =0 , + n˙ −cD 2 dy dy die unter den Randbedingungen x ˜A (y = 0) = x ˜A0 und x ˜A (y = δ) = x ˜Aδ zu l¨ osen ist. Hierzu formen wir die Gleichung um in n˙ dln˜ xA = dy cD mit x˜A = d˜ xA /dy. Die Integration ergibt unter Beachtung der Randbedingungen das Konzentrationsprofil x ˜A (y) zu n˙ exp( y) − 1 ˜A0 x ˜A − x cD . = n˙ x ˜Aδ − x ˜A0 δ) − 1 exp( cD

(1.190)

F¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom n˙ → 0 folgt daraus das zuvor berechnete Konzentrationsprofil nach (1.187). Um dies zu zeigen, hat man lediglich die Taylorreihe der Exponentialfunktion an der Stelle n˙ = 0 zu bilden. Die an der Oberfl¨ ache y = 0 (Index 0 = Wand) in Richtung der y-Achse u ¨ bertragene Stoffstromdichte ist

 d˜ xA +x ˜A0 n˙ . (1.191) n˙ A = − cD dy 0 Sie ist nach der Filmtheorie konstant und gleich dem Wert an der Wand. Dort ist n˙ A = n˙ A0 und n˙ = n˙ 0 . Differentiation von (1.190) und Einsetzen in (1.191) ergibt

92

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

n˙ +x ˜A0 n˙ . nδ ˙ exp( )−1 cD Wie der Vergleich mit (1.183) zeigt, ist n˙ A = −(˜ xAδ − x ˜A0 )

β• =

n/c ˙ . nδ ˙ )−1 exp( cD

(1.192)

(1.193)

Setzt man noch gem¨ aß (1.189) den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β = D/δ f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom ein, so findet man nach der Filmtheorie folgenden Zusammenhang zwischen den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β • und β, der in Abb. 1.49 dargestellt ist: β• =ζ = β

n/cβ ˙ . n˙ exp( ) − 1 cβ

(1.194)

Den Faktor ζ bezeichnet man als Stefan-Korrektur“ [1.28]. Um die ausge”

Abb. 1.49: Stefan-Korrektur ζ = β • /β nach der Filmtheorie

tauschte Stoffmenge nach der Filmtheorie zu berechnen, wird man sich also zuerst den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β beschaffen. F¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom ist die u ur endlichen ¨ bertragene Stoffmenge durch (1.181), f¨ Konvektionsstrom durch (1.183) gegeben. Als Sonderfall enth¨ alt (1.192) auch den Fall des einseitigen Stoff¨ ubergangs mit n˙ A = n˙ und n˙ B = 0. Aus (1.192) folgt dann

 n˙ A δ x ˜A0 − x ˜Aδ = exp −1 1−x ˜A0 cD oder, aufgel¨ ost nach n˙ A ,

1.5 Stoff¨ ubergangstheorien

n˙ A =

˜Aδ ˜Bδ cD 1 − x cD x x˜Bδ ln ln = = cβln δ 1 − x˜A0 δ x ˜B0 x ˜B0

93

(1.195)

¨ in Ubereinstimmung mit der schon fr¨ uher gefundenen Gl. (1.172). Bei der Trocknung feuchter G¨ uter durch Luft rechnet man nicht mit Molanteilen, sondern mit Beladungen. Wir betrachten als Beispiel ein feuchtes Gut, das Wasser enth¨ alt und durch Luft getrocknet wird. Um die bisherigen Bezeichungen beibehalten zu k¨ onnen, kennzeichnen wir den einen Stoff, das Wasser, durch den Index A und den anderen, die Luft, durch den Index B. Da der Wassergehalt der feuchten Luft gering ist, kann man (1.195) wegen xA auch ln(1 − x˜A ) ≈ −˜ n˙ A = cβ(˜ xA0 − x˜Aδ ) schreiben. Hierin wollen wir die Beladung einf¨ uhren. Sie ist bekanntlich definiert durch XA = MA /MB , ur wobei MA die Masse des Wassers und MB die der trockenen Luft ist, wof¨ ˜ = M/N auch man mit der Molmasse M XA =

˜ A NA ˜A x ˜A x M M M ˜A ˜A = = ˜ ˜ ˜ N x ˜ 1 − x ˜A MB B MB B MB

schreiben kann. Aufl¨ osen nach dem Molanteil des Wassers ergibt x˜A =

˜ B /M ˜A XA M . ˜ B /M ˜A 1 + XA M

Wassergehalte sind bei Umgebungsdruck von der Gr¨oßenordnung 20 · 10−3 ˜ B /M ˜ A ≈ 0,03 1. Es gilt daher in kg/kg, und daher ist der Term XA M guter N¨ aherung ˜ B /M ˜A . x ˜ A = XA M Die ausgetauschte Stoffmengenstromdichte des Wassers wird damit n˙ A = cβ

˜B M (X − XAδ ) ˜ A A0 M

und die Massenstromdichte ˜ A = cβ M ˜ B (XA0 − XAδ ) . m ˙ A = n˙ A M ˜ B . Damit erh¨alt Es ist c = p/Rm T und die Gaskonstante der Luft RB = Rm /M man f¨ ur die u ¨ bergehende Massenstromdichte des Wassers m ˙A=

p β(XA0 − XAδ ) . RB T

(1.195a)

94

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

1.5.2 Die Grenzschichttheorie Der Grenzschichttheorie liegt ebenso wie der Filmtheorie die Vorstellung zugrunde, dass der Stoff¨ ubergang, wie in Abb. 1.48 skizziert, in einer d¨ unnen wandnahen Schicht erfolgt. Konzentrationen und Geschwindigkeiten d¨ urfen sich nun aber nicht nur in Richtung der y-Achse, sondern im Unterschied zur Filmtheorie auch in Richtung der anderen Koordinatenachsen ¨andern. ¨ Da jedoch die Anderung des Konzentrationsprofils in der d¨ unnen wandnahen ¨ Grenzschicht groß im Vergleich zur Anderung in Richtung der u ¨ brigen Koordinatenachsen ist, gen¨ ugt es, nur die Diffusion in Richtung der y-Achse zu ber¨ ucksichtigen. Dadurch vereinfachen sich, wie noch gezeigt wird, die Differentialgleichungen f¨ ur das Konzentrationsfeld erheblich. Als Ergebnis erh¨alt man Konzentrationsprofile, aus denen man Stoff¨ ubergangskoeffizienten β entsprechend der Definition (1.179) berechnen kann. In der Technik gen¨ ugt es meistens, mit mittleren Stoff¨ ubergangskoeffizienten 1 βm = L

L β dx x=0

zu rechnen. Man erh¨ alt sie f¨ ur erzwungene Str¨omung aus Gleichungen der Form Shm = f (Re, Sc) mit der mittleren Sherwood-Zahl Shm = βm L/D. Die Funktionen f¨ ur die mittlere Sherwood-Zahl sind praktisch identisch mit denen f¨ ur die mittlere Nußelt-Zahl N um = f (Re, P r) und f¨ ur u omte Oberfl¨ achen gut bekannt. Man kann sie beispielswei¨ berstr¨ se dem VDI-W¨ armeatlas [1.29] entnehmen, indem man dort die Nußelt-Zahl durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl-Zahl durch die Schmidt-Zahl ersetzt. Wie man W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten ermittelt und sie mit Hilfe dimensionsloser Kennzahlen darstellt, war bereits in Kapitel 1.1.4 er¨ortert worden. So l¨ asst sich beispielsweise die mittlere Nußelt-Zahl N um = αm L/λ bei erzwungener Str¨ omung durch Ausdr¨ ucke der Form N um = c Ren P rm

(1.196)

darstellen. In (1.196) sind die Gr¨ oßen c, n, m noch von der Art der Str¨omung, laminar oder turbulent, und der Gestalt des umstr¨omten K¨orpers oder durchstr¨ omten Kanals abh¨ angig. Entsprechend gilt f¨ ur die mittlere Sherwood-Zahl Shm = c Ren Scm .

(1.197)

Aus (1.197) kann man den mittleren Stoff¨ ubergangskoeffizienten berechnen. Man kann ihn aber auch auf den mittleren W¨arme¨ ubergangskoeffizienten

1.5 Stoff¨ ubergangstheorien

95

zur¨ uckf¨ uhren, indem man (1.197) durch (1.196) dividiert. Man erh¨alt dann einen Zusammenhang zwischen dem W¨arme- und dem Stoff¨ ubergangskoeffizienten, die sogenannte Lewissche Beziehung

m Sc Shm βm λ a !m = = = = Lem N um D αm Pr D oder βm =

αm = Lem−1 .  cp

(1.198)

Hierin ist m ≈ 1/3 und die dimensionslose Gr¨ oße Le = a/D die Lewis-Zahl.17 Sie ist f¨ ur ideale Gase von der Gr¨ oßenordnung 1, so dass f¨ ur diese in grober N¨ aherung βm = αm /cp (1.199) gilt. Einige Werte der Lewis-Zahl sind in Tabelle 1.5 angegeben. Tabelle 1.5: Lewis-Zahlen einiger Gasgemische bei 0 in Luft Wasserdampf Kohlendioxid Methanol Ethanol Benzol

0,87 1,33 1,41 1,79 2,40

in Wasserstoff 1,84 2,34 2,68 3,57 4,24

und 1 bar

in Kohlendioxid 0,627 — 1,03 1,33 1,74

Die Gl. (1.198) und (1.199) werden auch Lewissches Gesetz genannt. Die so bestimmten Stoff¨ ubergangskoeffizienten βm gelten definitionsgem¨aß nur f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom und m¨ ussen im Fall eines endlichen Kon• /βm , die man vektionsstroms korrigiert werden. Korrekturfaktoren ζ = βm mit den Annahmen der Grenzschichttheorie f¨ ur eine laminar l¨angsangestr¨omte ebene Platte berechnet, zeigt Abb. 1.50. Sie sind gr¨oßer als die Korrekturfaktoren nach der Filmtheorie f¨ ur einen Konvektionsstrom aus der Phase und kleiner f¨ ur einen Konvektionsstrom in die Phase. 17

Warren Kendall Lewis (1882–1978) studierte am Massachussetts Institute of Technology (MIT) Chemieingenieurwesen und promovierte 1908 an der Universit¨ at Breslau in Chemie. Von 1910 bis 1948 war er Professor am MIT. Seine Hauptt¨ atigkeitsgebiete waren die Filtration, Destillation und Absorption. In seiner Arbeit The evaporation of a liquid into a gas“, Mech. Engineering 44 (1922) 445–448, ” behandelte er den gleichzeitigen W¨ arme- und Stoffaustausch bei der Verdunstung und zeigte, wie sich W¨ arme- und Stoffaustausch gegenseitig beeinflussen.

96

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.50: Stefan-Korrektur • /βm nach der Film-, der ζ = βm Grenzschicht- und nach der Penetrationstheorie, nach [1.30]

1.5.3 Die Penetrations- und die Oberfl¨ achenerneuerungstheorie Die Film- und die Grenzschichttheorie setzen einen station¨aren Stofftransport voraus, gelten also nicht mehr, wenn sich in einem Volumenelement Material ansammelt, so dass sich die Konzentration mit der Zeit ¨andert. In vielen Stoffaustauschapparaten werden jedoch Fluide miteinander oder Fluide mit Feststoffen w¨ ahrend so kurzer Zeiten in Kontakt gebracht, dass sich kein station¨ arer Zustand einstellen kann. Steigt beispielsweise eine Luftblase in Wasser auf, so wird nur an den Stellen Wasser in die Luftblase verdunsten, an denen sich die Blase gerade befindet. Die Kontaktzeit mit der Wassermenge, welche die Luftblase umgibt, ist etwa gleich der Zeit, die erforderlich ist, damit sich die Luftblase um einen Durchmesser weiter bewegt. An einem festen Ort wird daher nur kurzzeitig Stoff u ¨ bertragen. Die Penetrationstheorie wurde von Higbie 1935 [1.31] f¨ ur den hier geschilderten kurzzeitigen Stoffaustausch zwischen Dampfblasen und Fl¨ ussigkeiten entwickelt. Wie Higbie zeigte, ist der Stoff¨ ubergangskoeffizient umgekehrt proportional der Wurzel aus der Kontaktzeit und gegeben durch " D 2 . (1.200) βm = √ π t Hierin ist βm der mittlere Stoff¨ ubergangskoeffizient von der Zeit t = 0 bis zur Zeit t. Wie die Erfahrung zeigt, erh¨ alt man brauchbare Werte des Stoff¨ ubergangskoeffizienten, wenn man die Kontaktzeit aus der mittleren Steig- oder Sinkgeschwindigkeit w von Blasen oder Tropfen und ihrem Durchmesser d berechnet: t = d/w. Schwieriger ist es, die Kontaktzeit in gasdurchstr¨omten F¨ ullk¨ orpersch¨ uttungen zu bestimmen, in denen eine Fl¨ ussigkeit herabrieselt.

1.5 Stoff¨ ubergangstheorien

97

Abb. 1.51: Zur Oberfl¨ achenerneuerungstheorie. M¨ oglicher Verlauf der Stromlinien beim Kontakt zwischen zwei Fl¨ ussigkeiten oder einer Fl¨ ussigkeit und einem Gas

Die von Dankwerts 1951 [1.32] entwickelte Oberfl¨achenerneuerungstheorie stellt eine Erweiterung der Penetrationstheorie dar. W¨ahrend Higbie stets an allen Orten eines Apparates gleiche Kontaktzeiten zwischen den Phasen voraussetzte, nahm Dankwerts an, dass Fluidelemente, die miteinander in Kontakt geraten, verschiedene Verweilzeiten haben, die durch ein Verweilzeitspektrum beschrieben werden. Man hat sich dies so vorzustellen, dass der Stoffaustausch zwischen zwei fluiden Phasen verschiedener miteinander in Kontakt gebrachter Stoffe, in einzelnen Str¨ omungszellen gem¨aß Abb. 1.51 abl¨ auft. Die Kontaktzeit zwischen den einzelnen Fluidelementen gehorcht einer Verteilungsfunktion, und nach einer gewissen Zeit kann ein Fluidelement wieder von der Kontaktfl¨ ache verdr¨ angt und durch ein anderes ersetzt werden. Aus diesem Grund spricht man von Oberfl¨achenerneuerungstheorie. Sie ist mit Erfolg auf die Absorption von Gasen in ger¨ uhrten Fl¨ ussigkeiten angewandt worden. Meistens sind jedoch die Zeitanteile bis zur Oberfl¨achenerneuerung ebenso wenig bekannt wie die Kontaktzeiten der Penetrationstheorie, so dass beide Theorien zwar f¨ ur das Verst¨ andnis von Stoffaustauschvorg¨angen n¨ utzlich, zu deren Berechnung oft jedoch nicht anwendbar sind.

1.5.4 Anwendung der Filmtheorie auf die Verdunstungsku ¨hlung Als eine Anwendung der Filmtheorie untersuchen wir die Verdunstungsk¨ uhlung. Eine feste, adiabat isolierte Wand sei nach Abb. 1.52 von einem Wasserfilm bedeckt, u attigte feuchte Luft hinwegstr¨omt. ¨ ber den unges¨

Abb. 1.52: Adiabate Verdunstungsk¨ uhlung. Temperaturen ϑ und Partialdr¨ ucke pA des Wassers in der Luft

98

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Die feuchte Luft nimmt dann Wasserdampf aus dem Wasserfilm auf. Dadurch k¨ uhlen sich Wasserfilm und Luft ab, bis sich nach einiger Zeit eine zeitlich und ¨ ortlich konstante Beharrungstemperatur im Wasserfilm einstellt. Sie ist u ¨ ber den ganzen Wasserfilm konstant, weil der Wasserfilm an eine adiabate Wand angrenzt und ihm daher keine W¨arme zugef¨ uhrt wird. Die adiabate Beharrungstemperatur nennt man auch K¨ uhlgrenztemperatur. Der Stoffaustauschwiderstand liegt allein auf der Gasseite. Nach Einstellen der Beharrungstemperatur verdunstet weiterhin Wasser in die vorbeistr¨omende unges¨ attigte Luft. Da die Temperatur des Wasserfilms konstant ist, wird die zur Verdunstung erforderliche Verdampfungsenthalpie von der vorbeistr¨omenden Luft als W¨ arme zugef¨ uhrt. Abb. 1.52 zeigt, wie im Beharrungszustand das Temperaturprofil und der Partialdruck des Wasserdampfes in der Luft verlaufen. K¨ uhlgrenztemperaturen liegen unterhalb der Temperatur der vorbeistreichenden feuchten Luft. Man kann somit ein feuchtes Gut durch Verdunstung bis auf die K¨ uhlgrenztemperatur abk¨ uhlen. Wir stellen uns die Frage, wie groß die K¨ uhlgrenztemperatur ist. Sie wird durch die Wassermenge bestimmt, die infolge Stoff¨ ubertragung von der Wasseroberfl¨ ache an die feuchte Luft u ¨bergeht. Da einseitige Diffusion vorliegt, ist die u ¨bergehende Wassermenge (Stoff A) nach (1.195) an der Phasengrenze I zwischen Wasser und Luft gegeben durch ˜Aδ ˜ A cβ ln 1 − x , m ˙A=M 1−x ˜AI

(1.201)

wenn x˜AI der Molanteil des Wasserdampfes in der Luft an der Wasseroberfl¨ache und x ˜Aδ der Molanteil in großer Entfernung von der Wasseroberfl¨ache ist. Da sich die Menge der trockenen Luft (Stoff B) nicht a¨ndert, ist es zweckm¨aßig, mit Beladungen XA = MA /MB zu rechnen. Es ist x ˜A =

˜ B /M ˜A NA NA XA M = = . ˜ B /M ˜A N NA + NB 1 + XA M

Damit kann man (1.201) auch schreiben ˜ A cβ ln m ˙A=M

˜ B /M ˜A 1 + XAI M . ˜ B /M ˜A 1 + XAδ M

(1.202)

Hierin sind die Beladung XAI an der Wasseroberfl¨ache und die u ¨ bergehende Massenstromdichte m ˙ A noch unbekannt. Da an der Wasseroberfl¨ache S¨attigung herrscht, ist die Beladung XAI , wie die Thermodynamik lehrt [1.33], durch ps (ϑI ) (1.203) XAI = 0,622 p − ps (ϑI ) gegeben, wobei ps der S¨ attigungsdruck des Wasserdampfes bei der Temperatur ache ist. ϑI der Wasseroberfl¨

1.5 Stoff¨ ubergangstheorien

99

Als weitere Gleichung steht noch die Energiebilanz zur Verf¨ ugung. Um sie aufzustellen, betrachten wir ein Bilanzgebiet im Gas, das gem¨aß den gestrichelten Linien in Abb. 1.53 vom Gas an der Wasseroberfl¨ache bis zu einer beliebigen Stelle y reicht.

Abb. 1.53: Zur Energiebilanz bei Verdunstungsk¨ uhlung

Die Energiebilanz f¨ ur eine station¨ are ebene Str¨omung lautet dann q˙I + m ˙ A hI = q˙ + m ˙ A h = const . Darin sind die W¨ armestromdichten q˙I und q˙ entgegen der y-Achse gerichtet und somit negativ. Durch Differentiation folgt d (q˙ + m ˙ A h) = 0 . dy ur den TemperaturDaraus erh¨ alt man mit q˙ = −λdϑ/dy und dh = cpA dϑ f¨ verlauf ϑ(y) die gew¨ ohnliche Differentialgleichung −λ

dϑ d2 ϑ =0 , +m ˙ A cpA dy 2 dy

(1.204)

die wir f¨ ur die Randbedingungen

ϑ(y = 0) = ϑI l¨ osen. Man erh¨ alt ϑ − ϑI = −

und

q˙I = −λ

 dϑ dy y =0



  m ˙ A cpA q˙I exp y −1 . m ˙ A cpA λ

(1.205)

oßerer Entfernung y = δ von der Wasseroberfl¨ache Die Temperatur ϑδ in gr¨ ist somit   

m ˙ A cpA q˙I δ −1 . (1.206) ϑδ − ϑI = − exp m ˙ A cpA λ Wenn der Verdunstungsstrom sehr klein wird, m ˙ A → 0, wird W¨arme nur durch Leitung quer zur Str¨ omungsrichtung der feuchten Luft u ¨bertragen. Der Wasseroberfl¨ ache wird dann eine W¨ armestromdichte

100

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

q˙I = α(ϑI − ϑδ )

(m ˙ A → 0)

(1.207)

zugef¨ uhrt. Durch diese Gleichung ist, wie in Abschnitt 1.1.3 gezeigt wurde, der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α definiert. Durch Grenz¨ ubergang m ˙A → 0 erh¨ alt man andererseits aus (1.206):   q˙I m ˙ A cpA δ + ···− 1 (1.208) ϑδ − ϑI = − 1+ m ˙ A cpA λ oder

λ (ϑI − ϑδ ) (m ˙ A → 0) . δ Wie der Vergleich mit (1.207) zeigt, ist α = λ/δ. Wir setzen dies in (1.206) ein und beachten weiter, dass die der Wasseroberfl¨ache zugef¨ uhrte W¨arme zur Verdunstung dient. Dann gilt q˙I =

q˙I = −m ˙ A Δhv , wenn Δhv die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei der Temperatur ϑI ist. Damit l¨ asst sich (1.206) umformen in   cpA m ˙ A cpA = ln 1 + (ϑδ − ϑI ) . (1.209) α Δhv In dieser Gleichung sind ebenfalls die Gr¨ oßen m ˙ A und ϑI unbekannt, so dass nun mit der aus der Mengenbilanz folgenden Gl. (1.202) eine zweite Gleichung f¨ ur die beiden Unbekannten zur Verf¨ ugung steht. Mit Hilfe von (1.202) eliminieren wir die Massenstromdichte m ˙ A aus (1.209) und erhalten zur Berechnung der K¨ uhlgrenztemperatur ϑI die Beziehung ⎡ ⎤ ˜ A cβcpA /α)  (M ˜ ˜ Δhv ⎢ 1 + XAI MB /MA ⎥ ϑδ − ϑI = − 1⎦ . (1.210) ⎣ ˜ B /M ˜A cpA 1 + XAδ M Diese l¨ asst sich f¨ ur kleine Verdunstungsraten m ˙ A → 0 noch vereinfachen. Dazu schreiben wir (1.202) ˜ B /M ˜A m ˙A 1 + XAI M m ˙A =1+ + ... = exp ˜ ˜ ˜ ˜ MA cβ MA cβ 1 + XAδ MB /MA

.

F¨ ur kleine Verdunstungsraten ist somit ˜ B cβ m ˙A=M

XAI − XAδ . ˜ B /M ˜A 1 + XAδ M

Hieraus folgt mit (1.208) und mit q˙I = −m ˙ A Δhv die f¨ ur kleine Verdunstungsultige Beziehung raten m ˙ A → 0 g¨

1.6 Stoffdurchgang

˜B ϑδ − ϑI = M

cβ XAI − XAδ Δhv . ˜ B /M ˜A α 1 + XAδ M

101

(1.211)

Aus (1.210) bzw. (1.211) erh¨ alt man die K¨ uhlgrenztemperatur ϑI , da nach (1.203) auch die Beladung XAI durch die Temperatur ϑI festliegt. Man kann umgekehrt aus beiden Gleichungen durch Messen der K¨ uhlgrenztemperatur den Wassergehalt XAδ von feuchter Luft berechnen. Nach diesem Verfahren arbeitet das Assmannsche Aspirationspsychrometer. Es besteht aus zwei Thermometern, von denen das eine, das sogenannte Feuchtthermometer, mit einem in Wasser getr¨ ankten Gewebestrumpf u ¨ berzogen ist, der den F¨ uhler dieses Thermometers st¨ andig feucht h¨alt. Es wird durch einen Ventilator mit Luft u uhlgrenz¨ berblasen und erreicht nach einiger Zeit die K¨ ahrend das zweite Thermometer, das sogenannte Trockentemperatur ϑI , w¨ thermometer, die Temperatur ϑδ der vorbeistreichenden Luft anzeigt. Aus diesen Messwerten ergibt sich dann mit Hilfe von (1.210) bzw. (1.211) der Wassergehalt XAδ der feuchten Luft. Beispiel 1.9: Das Trockenthermometer eines Assmannschen Aspirationspsyan, w¨ ahrend das Feuchtthermomechrometer zeigt eine Temperatur ϑδ von 30 ter die Temperatur ϑI = 15 anzeigt. Der Gesamtdruck sei p = 1000 mbar. Man ur feuchte berechne die Wasserbeladung XAδ und die relative Feuchte der Luft. F¨ ˜ A cβm cpA /αm = Luft ergibt sich aus dem Lewisschen Gesetz (1.198) der Wert M ist Δhv = 2466,1 kJ/kg, 1,30, die Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 15 die spez. W¨ armekapazit¨ at cpA = 1,907 kJ/kgK und die Molmasse des Wassers ˜ B = 28,953 kg/kmol. ˜ A = 18,015 kg/kmol, die der trockenen Luft M M Nach (1.203) ist mit pS (15 ) = 17,039 mbar: XAI = 0,622 · 17,039/(1000 − 17,039) = 1,078 · 10−2 . Aus (1.210) folgt dann # "„ «1,3 2466,1 · 103 1 + 1,078 · 10−2 · 28,953/18,015 −1 . (30 − 15) = 1907 1 + XAδ · 28,953/18,015 Man erh¨ alt XAδ = 5,189 · 10−3 . Mit (1.211) findet man praktisch denselben Wert XAδ = 5,182 · 10−3 . Die relative Feuchte ist ϕ=

XAδ p pA = pAs 0,622+XAδ ps (30

)

=

5,189 · 10−3 1000 = 0,195 = 19,5% . 0,622+5,189 · 10−3 42,41

(Diesen Wert findet man auch aus dem Mollierschen h1+X , X-Diagramm).

1.6 Stoffdurchgang W¨ ahrend W¨ arme h¨ aufig von einem Fluid durch eine feste Wand an ein anderes Fluid u ubertragung meistens eine oder ¨ bertragen wird, werden bei der Stoff¨ mehrere Komponenten aus einer Phase in eine andere u uhrt, die sich di¨berf¨ rekt ber¨ uhren und nicht durch eine feste Wand getrennt sind. In str¨omenden Fluiden wird die Phasengrenze durch die zwischen den Fluiden ausge¨ ubten

102

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

¨ Kr¨ aften unregelm¨ aßig verformt. Als Beispiel betrachten wir die Ubertragung einer Komponente A aus einem gasf¨ ormigen Zweistoffgemisch der Komponenten A und B an eine Fl¨ ussigkeit C, in der sich nur Stoff A l¨ost. Den Verlauf ormigen und x˜A in der fl¨ ussigen Phase zeigt Abb. des Molanteils y˜A in der gasf¨ 1.54. Mit y˜Am und x ˜Am sind die integralen Mittelwerte des Molanteils in jeder Phase bezeichnet. Die Komponente A hat auf ihrem Weg von der gasf¨ormigen in die fl¨ ussige Phase drei Stoff¨ ubergangswiderst¨ande zu u ¨berwinden: Den der ¨ gasf¨ ormigen Phase, einen Widerstand beim Ubergang von der gasf¨ormigen in die fl¨ ussige Phase und einen Widerstand bei der Wanderung in die fl¨ ussige Phase hinein. Der Stoff¨ ubergang der Komponente A von der gasf¨ormigen in die fl¨ ussige Phase an der Phasengrenze l¨ auft jedoch sehr schnell ab verglichen mit der viel langsameren Wanderung durch die gasf¨ormige und die fl¨ ussige Phase. Man kann daher den Stoff¨ ubergangswiderstand an der Phasengrenze vernachl¨ assigen und annehmen, an der Phasengrenze herrsche Gleichgewicht hinsichtlich des Stoffaustausches. Da der Stoff¨ ubergang durch die Diffusion an der Grenze zwischen den beiden Phasen bestimmt wird, spricht man von der Zweifilmtheorie des Stoffaustausches. Die ihr zugrunde liegende Annahme des Gleichgewichts an der Phasengrenze ist nicht mehr g¨ ultig, wenn dort chemische Reaktionen ablaufen oder wenn sich Spuren von oberfl¨achenaktiven Komponenten an der Phasengrenze ansammeln und die Stoff¨ ubertragung behindern; ebensowenig kann man Gleichgewicht an der Phasengrenze voraussetzen, wenn sehr große Stoffmengenstr¨ ome u ¨ bertragen werden, der Stoffaustausch in den Phasen also sehr rasch abl¨ auft.

Abb. 1.54: Molanteile beim Stoff¨ ubergang von einer Gasin eine Fl¨ ussigphase

Im Fall des Gleichgewichts an der Phasengrenze, den wir hier betrachten wollen, sind bei vorgegebenen Werten von Druck oder Temperatur die Molan˜AI an der Phasengrenze, wie die Gleichgewichtsthermodynamik teile y˜AI und x lehrt, durch eine Beziehung pAI = y˜AI p = f (˜ xAI )

(1.212)

miteinander verkn¨ upft. Wir wollen im Folgenden voraussetzen, dass der Stoffu ahe der Phasengrenze haupts¨achlich durch Diffusion be¨ bergang in der N¨ stimmt wird und der Konvektionsstrom zur Phasengrenze gering ist. Dann gilt f¨ ur den Stoff¨ ubergang an der Phasengrenze Gl. (1.181), die wir f¨ ur jede der beiden Phasen anschreiben k¨ onnen. Beachtet man den Zusammenhang

1.6 Stoffdurchgang

103

zwischen Molanteil und molarer Volumenkonzentration, (cA /c)G = y˜A und (cA /c)L = x˜A (G = Gas, L = Fl¨ ussigkeit), so gilt f¨ ur die Stoffstromdichte in der Gasphase yAm − y˜AI ) (1.213) n˙ AI = (βc)G (˜ und f¨ ur die in der Fl¨ ussigphase n˙ AI = (βc)L (˜ xAI − x˜Am ) .

(1.214)

Daraus folgt y˜Am − y˜AI = und x ˜AI − x˜Am =

n˙ AI (βc)G

(1.215)

n˙ AI . (βc)L

(1.216)

Die Molanteile y˜AI und x ˜AI an der Phasengrenze sind hierin durch eine thermodynamische Beziehung (1.212) voneinander abh¨angig. Da Gase nur schwach in Fl¨ ussigkeiten l¨ oslich sind, ist der Molanteil x ˜AI meistens sehr klein. Gl. (1.212) kann daher durch den als Henrysches Gesetz18 bekannten linearen Ansatz der Form (1.217) y˜AI = kH x˜AI /p angen¨ ahert werden, in dem der Henrysche Koeffizient f¨ ur Zweistoffgemische nur von der Temperatur abh¨ angt, kH (ϑ). Wir ordnen nun dem Molanteil x˜Am in der Fl¨ ussigkeit mit Hilfe des Henryschen Gesetzes einen Molanteil y˜Aeq in der Gasphase zu, ˜Am /p , (1.218) y˜Aeq = kH x wobei y˜Aeq der Molanteil von A in einem Gas ist, das mit der Fl¨ ussigkeit vom Molanteil x ˜Am im Gleichgewicht (lateinisch equilibrium, daher der Index eq) steht. Mit (1.217) und (1.218) geht (1.216) u ¨ber in y˜AI − y˜Aeq =

n˙ AI kH . (βc)L p

(1.219)

Addition von (1.215) und (1.219) ergibt   1 kH y˜Am − y˜Aeq = n˙ AI + . (βc)G (βc)L p Wir schreiben stattdessen n˙ AI = kG (˜ yAm − y˜Aeq ) ,

(1.220)

mit dem auf den Unterschied der Molanteile in der Gasphase bezogenen Stoffdurchgangskoeffizienten 18

Benannt nach William Henry (1775–1836), Fabrikbesitzer in Manchester, der dieses Gesetz 1803 aufstellte.

104

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

1 1 kH . = + kG (βc)G (βc)L p

(1.221)

Eliminiert man in (1.215) den Molanteil y˜Am durch y˜Am = kH x˜Aeq und den Molanteil y˜AI durch (1.217), so erh¨ alt man mit (1.216) die der Gl. (1.220) aquivalente Beziehung ¨ xAeq − x ˜Am ) (1.222) n˙ AI = kL (˜ mit dem auf den Unterschied der Molanteile in der Fl¨ ussigphase bezogenen Stoffdurchgangskoeffizienten 1 p 1 = + . kL kH (βc)G (βc)L

(1.223)

Der Widerstand f¨ ur den Stoffdurchgang nach (1.221) und (1.223) setzt sich aus den Stoff¨ ubergangswiderst¨ anden in der Gas- und in der Fl¨ ussigphase zusammen. Aus beiden Gleichungen erkennt man, wie sich der Stoff¨ ubergangswiderstand auf die Phasen verteilt. Damit l¨ asst sich nachpr¨ ufen, ob einer der Stoff¨ ubergangswiderst¨ ande im Vergleich zum anderen vernachl¨assigt werden kann, so dass man nur den Stoff¨ ubergang in einer Phase zu untersuchen hat. Stoffdurchgangskoeffizienten lassen sich jedoch nur dann in so einfacher Weise, wie hier gezeigt, aus den Stoff¨ ubergangskoeffizienten bilden, wenn das Phasengleichgewicht durch einen linearen Ansatz nach Art von Gl. (1.217) beschrieben werden kann. Dieses trifft meistens nur auf Vorg¨ange der Absorption von Gasen in Fl¨ ussigkeiten zu, weil die L¨ oslichkeit von Gasen in Fl¨ ussigkeiten gering ist und daher durch das Henrysche Gesetz (1.217) beschrieben werden kann. Sogenannte ideale Fl¨ ussigkeitsgemische lassen sich ebenfalls durch einen linearen Ansatz beschreiben (Raoultsches Gesetz). Sie kommen in der Technik jedoch nur selten vor. Infolgedessen spielt das Rechnen mit Stoffdurchgangskoeffizienten in der Stoff¨ ubertragung eine geringere Rolle als das Rechnen mit W¨ armedurchgangskoeffizienten in der W¨ arme¨ ubertragung.

1.7 Stoffu ¨ bertrager In Apparaten der Stoff¨ ubertragung werden Mehrstoffgemische in einzelne oder mehrere Komponenten zerlegt oder umgekehrt aus einzelnen oder mehreren Komponenten Gemische hergestellt. Man bringt dazu in den Stoff¨ ubertragern verschiedene Komponenten miteinander in Kontakt und nutzt die unterschiedliche L¨ oslichkeit der einzelnen Komponenten in den Phasen aus. Ein Beispiel, das wir schon behandelten, war die Aufnahme einer Komponente aus einem Fl¨ ussigkeitsgemisch durch Verdunsten in ein Gas hinein. Wir beschr¨anken uns im Folgenden auf solche Stoff¨ ubertrager, in denen physikalische Vorg¨ange ablaufen, lassen also chemische Reaktionen außer acht. Deren Einfluss auf den Stoffaustausch wird in Abschnitt 2.5 behandelt. Der Stoffaustausch soll zwischen Phasen ablaufen, die sich in direktem Kontakt befinden und nicht wie in

1.7 Stoff¨ ubertrager

105

Membranapparaten durch eine nur f¨ ur bestimmte Komponenten durchl¨assige Wand getrennt sind. Die einzelnen Phasen werden wegen des besseren Stoffaustausches fast immer im Gegenstrom zueinander gef¨ uhrt. Die am h¨aufigsten eingesetzten Stofftrennverfahren sind die Absorption, die Extraktion und die Rektifikation. Bei der Absorption werden aus einem Gasgemisch eine oder mehrere Komponenten von einer Fl¨ ussigkeit oder auch einem Feststoff aufgenommen. Durch Extraktion werden aus Fl¨ ussigkeits- oder Feststoffgemischen einzelne Komponenten mit einer Fl¨ ussigkeit herausgel¨ ost. Die Rektifikation dient zur Trennung von fl¨ ussigen Mehrstoffgemischen in einzelne Komponenten oder Gemische, sogenannte Fraktionen. Dazu werden in einer Kolonne abw¨arts fließende Fl¨ ussigkeit und aufsteigender Dampf in m¨ oglichst innige Ber¨ uhrung gebracht, so dass einzelne Komponenten zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit ausgetauscht werden k¨ onnen. Stoff¨ ubertrager werden meistens als Kolonnen gebaut, in denen eine Phase, beispielsweise das Gas, am Fuß, die andere Phase, beispielsweise die Fl¨ ussigkeit, am Kopf der Kolonne zugef¨ uhrt wird. Um den Stoffaustausch zu intensivieren, sorgt man f¨ ur eine große innere Oberfl¨ ache in der Kolonne. Das kann dadurch geschehen, dass man die herabrieselnde Fl¨ ussigkeit in der Kolonne auf B¨ oden aufstaut, durch die das aufsteigenden Gas hindurchperlt. Statt dessen kann die Kolonne auch mit Festk¨ orpern gef¨ ullt werden, die so gestaltet sind, dass die Fl¨ ussigkeit aufgestaut und die beiden Phasen gut durchmischt werden. H¨ aufig verwendete F¨ ullk¨ orper sind Kugeln, Ringe mit glatten oder profilierten Oberfl¨ achen, Ringe mit Innenstegen, Sattelk¨orper, Drahtnetzringe, Drahtwendel oder Drahtgewebe. Angaben u uber¨ ber die Bauart von Stoff¨ tragern findet man in der Fachliteratur u.a. in [1.34]. Wir wollen uns hier nicht mit den vielen Arten von Apparaten der Stoff¨ ubertragung und den Kriterien der Auswahl befassen, sondern lediglich untersuchen, wie man die Gr¨oße eines ur eine bestimmte Stofftrennung festlegt. Apparates f¨

1.7.1 Die Mengenbilanzen Zur Ermittlung der ¨ außeren Abmessungen eines Stoff¨ ubertragers, gleich welcher Bauart, dienen die Mengenbilanzen. So wie die Energiebilanzen die Temperaturen zweier Fluidstr¨ ome eines W¨ arme¨ ubertragers verkn¨ upfen, bestimmen die Mengenbilanzen die Konzentrationen der Fluidstr¨ome. Als typisches Anwendungsbeispiel betrachten wir eine Absorptionskolonne, Abb. 1.55, in der die Komponente A aus einem aufsteigenden Gasgemisch durch eine im Gegenstrom herabrieselnde Fl¨ ussigkeit gel¨ost wird. Wir setzen lediglich Kontakt zwischen zwei unmischbaren Phasen voraus, so dass die folgende Bilanzgleichungen ganz allgemein gelten, unabh¨angig davon, ob es sich um eine F¨ ullk¨ orper-, Rieselfilm- oder Bodenkolonne handelt. Das Rohgas besteht aus dem Tr¨ agergas G und der zu absorbierenden Komponente A, die Fl¨ ussigkeit aus dem Waschmittel L und der absorbierten Komponente A. Der Stoffmengenstrom an aufsteigendem Gas in einem Querschnitt ist somit

106

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Abb. 1.55: Gegenstromabsorber

N˙ G + N˙ GA , der an herabrieselnder Fl¨ ussigkeit N˙ L + N˙ LA . Da sich die Stoffmengenstr¨ ome N˙ G und N˙ L l¨ angs der Kolonne nicht a¨ndern, kennzeichnet man die Zusammensetzungen zweckm¨ aßigerweise durch Beladungen ˜ = N˙ LA /N˙ L und Y˜ = N˙ GA /N˙ G , X ˜ die mittlere Beladung der Fl¨ wobei mit X ussig- und mit Y˜ die der Gasphase mit der Komponente A bezeichnet ist. Die Mengenbilanz u ¨ ber die gesamte Kolonne zwischen dem Eintrittsquerschnitt e und dem Austrittsquerschnitt a der Fl¨ ussigkeit lautet dann ˜ e − N˙ G Y˜e − N˙ L X ˜ a + N˙ G Y˜a = 0 N˙ L X oder

Y˜a − Y˜e N˙ L = . ˜a − X ˜e N˙ G X

(1.224)

¨ Die Anderungen in der Gas- und Fl¨ ussigkeitszusammensetzung legen das Verh¨ altnis der Stoffmengenstr¨ ome von Gas und Fl¨ ussigkeit fest. Entsprechend lautet die Mengenbilanz f¨ ur einen Kontrollraum, der durch den Querschnitt e und einen beliebigen Querschnitt b im Inneren der Kolonne begrenzt ist, ˜ e − N˙ G Y˜e − N˙ L X ˜ + N˙ G Y˜ = 0 N˙ L X oder N˙ L ˜ Y˜ = X+ N˙ G



N˙ L ˜ Y˜e − Xe N˙ G

 .

(1.225)

˜ eine mittlere GasbelaDadurch ist jeder mittleren Fl¨ ussigkeitsbeladung X ˜ ˜ dung Y im gleichen Querschnitt zugeordnet. Gl. (1.225) stellt in einem Y˜ , XDiagramm eine Gerade dar.

1.7 Stoff¨ ubertrager

107

In ¨ ahnlicher Weise wie f¨ ur die Absorptionskolonne findet man einen linearen Zusammenhang zwischen der Zusammensetzung beider Phasen auch bei der Rektifikation und der Extraktion. Wir betrachten hierzu als Beispiel eine Rektifizierkolonne. Der Grundvorgang des Rektifizierens besteht darin, dass der beim Sieden eines Mehrstoffgemisches erzeugte Dampf in einer Kolonne im Gegenstrom zu herabrieselndem Kondensat aufsteigt. Da das Kondensat k¨ alter ist als der Dampf, kondensieren vorzugsweise die Komponenten mit dem h¨ oheren Siedepunkt, die schwerer fl¨ uchtigen Komponenten. Sie geben ihre Kondensationsenthalpie an die Fl¨ ussigkeit ab, aus der vorzugsweise Komponenten mit niedrigerem Siedepunkt, die leichter fl¨ uchtigen Komponenten verdampfen. Dadurch reichert sich der Dampf an leichter fl¨ uchtigen, die Fl¨ ussigkeit an schwerer fl¨ uchtigen Komponenten an. Das prinzipielle Schaltbild zeigt Abb. 1.56. Das zu trennende Fl¨ ussigkeitsgemisch mit dem Stoffmengenstrom N˙ F , Feed genannt, wird einem Verdampfer V — der Destillierblase — zugef¨ uhrt, und der durch W¨ armezufuhr Q˙ V erzeugte Dampf str¨omt in der Rektifiziers¨ aule R nach oben. Nach Verlassen der Rektifiziers¨aule gelangt der Dampf in einen K¨ uhler K, in dem er durch W¨ armeentzug Q˙ K vollst¨andig kondensiert. Ein Teil des Kondensates wird der Rektifiziers¨aule am oberen Ende als R¨ ucklauf wieder zugeleitet und l¨ auft im Gegenstrom unter W¨arme- und Stoffaustausch mit dem aufsteigenden Dampf zur¨ uck in die Destillierblase. Der Rest des Kondensats, Destillat genannt, wird als Erzeugnis- oder Produktstrom N˙ E entnommen. Zur Aufrechterhaltung einer konstanten Zusammensetzung der Destillierblase muss st¨ andig ein weiterer Stoffmengenstrom N˙ S aus ihrem Sumpf abgezogen werden. Die Stoffmengenstrombilanzen f¨ ur die gesamte Kolonne lauten

Abb. 1.56: Kontinuierliche Rektifikation. Verst¨ arkungss¨ aule R, Kondensator K und Verdampfer V

108

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

N˙ F = N˙ E + N˙ S N˙ F x ˜F = N˙ E x ˜E + N˙ S x ˜S . Daraus folgt N˙ E ˜S x ˜F − x = . (1.226) ˙ x ˜ − x ˜S NF E Die Molanteile von Feed, Sumpfprodukt und Destillat legen das Verh¨altnis von Erzeugnis- und Feedmenge fest. F¨ ur einen Kontrollraum, der den oberen Teil der Kolonne bis zu einem beliebigen Querschnitt b umfasst, wie der rechte Teil von Abb. 1.56 zeigt, lautet die Mengenbilanz, wenn y˜ den Molanteil der fl¨ uchtigen Komponente im Dampf und x˜ den in der Fl¨ ussigkeit bezeichnet, N˙ G = N˙ L + N˙ E und N˙ G y˜ = N˙ L x ˜ + N˙ E x ˜E . Beide Gleichungen zusammen ergeben wie zuvor einen linearen Zusammenhang zwischen y˜ und x˜: y˜ =

N˙ E N˙ L x˜ + x ˜E . N˙ L + N˙ E N˙ L + N˙ E

(1.227)

1.7.2 Konzentrationsverlauf und H¨ ohe von Stoffaustauschkolonnen Aufgrund der globalen Mengenbilanzen kann man zwar jeder mittleren Zusammensetzung der einen Phase eine solche der anderen Phase zuordnen, man kennt jedoch nicht den lokalen Verlauf der Zusammensetzung. Dazu muss man ahnlich wie beim W¨ arme¨ ubertrager eine Bilanz in einem differentiell kleinen ¨ Abschnitt aufstellen, in unserem Fall eine Mengenbilanz. Durch Integration ergibt sich der Konzentrationsverlauf u ubertragers. Aus ¨ ber die L¨ange des Stoff¨ dem bekannten Konzentrationsverlauf als Funktion der L¨ange kann man dann die erforderliche Bauh¨ ohe f¨ ur eine vorgegebene Konzentration bestimmen. Wie man dabei grunds¨ atzlich vorgeht, sei wieder am Beispiel des Absorbers und der als F¨ ullk¨ orperkolonne betriebenen Rektifiziers¨aule gezeigt. F¨ ur eine Bodenkolonne ist eine derartige Rechnung nicht erforderlich, da die beiden Phasen auf jedem Boden gut durchmischt werden. Auf den einzelnen B¨ oden kann man daher in guter N¨ aherung Gleichgewicht voraussetzen. Ein Volumenelement eines Apparates ist dann identisch mit einer Gleichgewichtsstufe, und die H¨ ohe eines Apparates ergibt sich aus der Zahl der f¨ ur eine bestimmte Trennaufgabe erforderlichen Gleichgewichtsstufen. Diese zu berechnen ist eine Aufgabe der Thermodynamik, nicht aber der Stoff¨ ubertragung. Dies erkl¨ art, warum man die in der thermischen Trenntechnik eingesetzten Stoff¨ ubertrager oft auch ohne Kenntnis der Gesetze des Stoff¨ ubergangs dimensionieren kann.

1.7 Stoff¨ ubertrager

109

Die F¨ ullk¨ orperkolonne sei mit einer Packung gef¨ ullt. Wegen der komplizierten Gestalt der F¨ ullk¨ orper ist es schwierig, die f¨ ur den Stoffaustausch zwischen den beiden Phasen zur Verf¨ ugung stehende Phasengrenzfl¨ache anzugeben. Man bestimmt daher nur das Produkt aus dem Stoff¨ ubergangskoeffizienten und der Phasengrenzfl¨ ache. Die Phasengrenzfl¨ache AI wird auf das Volumen VK der leeren Kolonne bezogen, und man definiert eine volumenbezogene Phasengrenzfl¨ ache a∗ durch a∗ := AI /VK mit dem Volumen VK = AK Z, wenn AK der Querschnitt der leeren Kolonne und Z ihre H¨ ohe ist. Wir betrachten zuerst einen Kontrollraum zwischen zwei Querschnitten eines Absorbers im Abstand dz, Abb. 1.57. Die an der Phasengrenzfl¨ache dAI

Abb. 1.57: Zum Stoff¨ ubergang im Absorber

an die Fl¨ ussigkeit u ¨ bergehende Stoffmenge n˙ AI dAI = n˙ AI a∗ AK dz wird vom Gas abgegeben und bewirkt eine Abnahme des Stoffes A in der Gasoht sich die Stoffmenge A in der Fl¨ ussigkeit phase um N˙ G dY˜ . Gleichzeitig erh¨ ˜ Es gilt somit um −N˙ G dY˜ = N˙ L dX. n˙ AI a∗ AK dz = −N˙ G dY˜ .

(1.228)

Die Stoffmengenstromdichte n˙ AI war durch (1.220) gegeben, in der wir unter der Annahme, dass die Beladung klein ist, die Molanteile y˜Am = Y˜ und y˜Aeq = Y˜eq durch Beladungen ersetzen d¨ urfen. Damit folgt aus (1.228) kG (Y˜ − Y˜eq )a∗ AK dz = −N˙ G dY˜ und dz =

−N˙ G dY˜ ∗ (kG a )AK Y˜ − Y˜eq

(1.229)

eine Beziehung, die mit der f¨ ur die W¨ arme¨ ubertragung im Gegenstrom, Gl. (1.112), vergleichbar ist. Zur Integration hat man zu beachten, dass sich die Beladung Y˜eq an der Phasengrenze selbst mit der Laufl¨ange und damit

110

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

auch mit der mittleren Beladung Y˜ ¨ andert. Aus der Bilanzgeraden (1.225) erh¨ alt man ˙ ˜ = NG (Y˜ − Y˜e ) + X ˜e . X N˙ L + ˜ + Daraus folgt mit dem Henryschen Gesetz Y˜eq = kH = kH /p X mit kH

˙ + NG ˜ + ˜ Y˜eq = kH Xe . (Y − Y˜e ) + kH N˙ L

(1.230)

Damit l¨ asst sich Y˜ − Y˜eq als lineare Funktion der Beladung Y˜ ausdr¨ ucken:     ˙ N˙ G ˜ + NG + ˜ ˜ ˜ ˜ Y − kH Xe − Ye = a0 Y˜ − b0 . Y − Yeq = 1 − kH (1.231) N˙ L N˙ L Gl. (1.229) l¨ asst sich damit u uhren in ¨berf¨ dz =

−N˙ G dY˜ . ∗ ˜ (kG a )AK a0 Y − b0

(1.232)

Durch Integration erh¨ alt man den Verlauf der Beladung Y˜ (z) u ¨ber die Kolonnenh¨ ohe. Aus (1.225), der Gleichung der Bilanzgeraden, erh¨alt man zu jeder ˜ in der Fl¨ Beladung Y˜ im Gas die Beladung X ussigkeit. Aus (1.232) folgt −N˙ G z= (kG a∗ )AK

Y˜ Y˜a

dY˜ −N˙ G a0 Y˜ − b0 = ln ∗ (kG a )AK a0 a0 Y˜a − b0 a0 Y˜ − b0

oder mit (1.231) z=

N˙ G + ˙ NG /N˙ L (kG a∗ )AK 1 − kH

! ln

(Y˜ − Y˜eq )a . Y˜ − Y˜eq

(1.233)

Die erforderliche Kolonnenh¨ ohe Z ergibt sich hieraus, wenn man bis zum Kopf der Kolonne, dem Eintrittsquerschnitt e f¨ ur die Fl¨ ussigkeit, fortschreitet Z=

N˙ G (Y˜ − Y˜eq )a ln . + ˙ NG /N˙ L ) (Y˜ − Y˜eq )e (kG a∗ )AK (1 − kH

(1.234)

Die Bedeutung der Beladungsunterschiede (Y˜ − Y˜eq )a und (Y˜ − Y˜eq )e geht aus Abb. 1.58 hervor. Um den Konzentrationsverlauf einer F¨ ullk¨orperkolonne zur Rektifikation eines Gemisches zu ermitteln, gehen wir wieder von der Mengenbilanz (1.228) aus, verwenden jedoch Molanteile statt der Beladung. Der von der Gasphase y , worin an die Fl¨ ussigkeit u ¨ bergehende Stoffmengenstrom ist dann −N˙ G d˜

1.7 Stoff¨ ubertrager

111

N˙ G jetzt der Mengenstrom des Gasgemisches und nicht wie in (1.228) der Mengenstrom des Tr¨ agergases ist. Gl. (1.228) ist somit zu ersetzen durch n˙ AI a∗ AK dz = −N˙ G d˜ y .

(1.235)

Mit der u ¨bertragenen Stoffmengenstromdichte nach (1.220) erhalten wir, indem wir abk¨ urzend y˜Am = y˜ und y˜Aeq = y˜eq setzen, dz =

−N˙ G d˜ y , ∗ (kG a )AK y˜ − y˜eq

(1.236)

was Gl. (1.229) entspricht. Integration ergibt den Konzentrationsverlauf y˜(z) u ohe z zu ¨ ber der H¨ y˜ −N˙ G d˜ y z= . (1.237) (ka∗ )AK y˜ − y˜eq y˜a

Die erforderliche Kolonnenh¨ ohe Z erh¨ alt man durch Integration bis zur Stelle y˜ = y˜e . Die Auswertung des Integrals ist oft nur numerisch m¨oglich, da ˜ der der Molanteil y˜eq meistens eine komplizierte Funktion des Molanteils x Fl¨ ussigkeit ist und damit u ber die Bilanzgleichung (1.227) noch vom Molan¨ teil y˜ abh¨ angt. Wie man die Molanteile f¨ ur das Gleichgewicht ermittelt, ist in der Thermodynamik Gegenstand der Lehre von den Phasengleichgewichten.

Abb. 1.58: Bilanz- und Gleichgewichtsgerade eines Absorbers

Beispiel 1.10: Am Kopf einer F¨ ullk¨ orperkolonne wird eine Waschfl¨ ussigkeit, bestehend aus einem Gemisch von hochsiedenden Kohlenwasserstoffen, aufgegeben. Die Waschfl¨ ussigkeit l¨ ost aus aufsteigender benzolhaltiger Luft das Benzol.

112

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

Die molare Benzolbeladung am Fuß der Kolonne (Querschnitt a) betrage 3 %, und es sollen bis zum Kopf der Kolonne (Querschnitt e) 90 % des Benzols aus der Luft entfernt werden. Das Waschmittel wird am Kopf der Kolonne mit einer molaren Beladung von 0,3 % Benzol zugef¨ uhrt. F¨ ur die L¨ oslichkeit von Benzol (Stoff A) in der Waschfl¨ ussigkeit gelte das RaoultxA , wobei pAs (ϑ) der S¨ attigungsdruck des reinen Bensche Gesetz y˜A = (pAs /p)˜ zols ist. Er betr¨ agt bei der herrschenden Temperatur von 30 : pAs = 159,1 mbar. Der Gesamtdruck ist p = 1 bar. Die zugef¨ uhrte benzolfreie Waschmittelmenge ist N˙ L = 5 mol/s, die benzolfreie Luftmenge N˙ G = 7,5 mol/s; der Innenubergangskoeffizienten sind durchmesser der Kolonne ist dK = 0,5 m, die Stoff¨ (βc)G a∗ = 139,3 mol/m3 s und (βc)L a∗ = 3,139 mol/m3 s. Wie hoch muss die Kolonne sein, um die gew¨ unschte Reinheit der benzolhaltigen Luft zu erreichen? Da die Beladung mit Benzol gering ist, darf man im Raoultschen Gesetz die + ˜ + = XA schreiben mit kH Molanteile durch Beladungen ersetzen und Y˜A = kH pAs /p = 0,1591. Nach (1.221) ist « „ + kH 0,1591 m3 s 1 1 1 + = + = kG a ∗ (β c)G a∗ (β c)L a∗ 139,3 3,139 mol kG a∗ = 17,28 mol/(m3 s). Die Beladung des abfließenden Waschmittels mit Benzol folgt aus (1.224) zu ˙ ˜ e = 7,5 (0,03 − 0,003) + 0,003 = 4,35 · 10−2 . ˜ a = NG (Y˜a − Y˜e ) + X X 5 N˙ L Weiter ist

+ ˜ Y˜eqe = kH Xe = 0,1591 · 0,003 = 4,773 · 10−4 + ˜ Y˜eqa = kH Xa = 0,1591 · 0,0435 = 6,921 · 10−3 .

Die erforderliche Kolonnenh¨ ohe ergibt sich aus (1.234) zu Z=

7,5 3 · 10−2 − 6,921 · 10−3 m = 6,44 m . ln 17,28 · 0,196 (1 − 0,1591 · 1,5) 3 · 10−3 − 4,773 · 10−4

1.8 Aufgaben 1.1: Die Außenwand eines Raumes besteht aus Ziegelmauerwerk mit λ = 0,75 W/K m; sie hat die Dicke δ = 0,36 m und die Oberfl¨ ache A = 15,0 m2 . Ihre und ϑ2 = 2,5 . Man berechne den Oberfl¨ achentemperaturen sind ϑ1 = 18,0 ˙ Wie ¨ ˙ wenn die Wand aus Gasbeton-Steinen W¨ armeverluststrom Q. andert sich Q, mit λ = 0,29 W/K m besteht und die Dicke δ = 0,25 m hat? 1.2: Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit h¨ ange linear von der Temperatur ab: λ = a + b ϑ. Man beweise Gl. (1.12) f¨ ur die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit λm . 1.3: Der station¨ are Temperaturverlauf ϑ = ϑ(x) in einer ebenen Wand hat eine armeleitf¨ ahigkeit λ = λ(ϑ) des zweite Ableitung d2 ϑ/dx2 > 0. Nimmt die W¨ Wandmaterials mit steigender Temperatur zu oder ab?

1.8 Aufgaben

113

1.4: Ein Kupferdraht mit d = 1,4 mm Durchmesser und dem spezifischen elektrischen Widerstand rel = 0,020 · 10−6 Ω m ist mit einer Kunststoffisolierung von δ = 1,0 mm Dicke umgeben, deren W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,15 W/K m betr¨ agt. gehalten. Wie groß Die ¨ außere Oberfl¨ ache der Isolierung wird auf ϑW2 = 20 ist die h¨ ochstzul¨ assige Stromst¨ arke, damit die Innentemperatur der Isolierung nicht u 30 ¨ berschreitet? 1.5: Im Inneren einer Hohlkugel mit den Durchmessern d1 = 0,15 m, d2 = 0,25 m und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,68 W/K m wird der W¨ armestrom Q˙ = 17,5 W erzeugt. Die a ußere Kugeloberfl¨ a che hat die Temperatur ϑW2 = 28 . Welche ¨ ache an? Temperatur ϑW1 nimmt die innere Oberfl¨ 1.6: Ein flacher K¨ orper mit der Dicke h und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ hat die Form eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die L¨ angeˆl haben. In die-˜ sem K¨ orper ist die ebene Temperaturverteilung ϑ(x, y) = ϑ0 +ϑ1 (y/l)2 − (x/l)2 gegeben; 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ x. a) Wo treten die h¨ ochste und die niedrigste Temperatur ϑmax bzw. ϑmin auf? Wie h¨ angen sie mit den gegebenen Temperaturen ϑ0 und ϑ1 zusammen? Es gilt 0 < ϑ1 < ϑ0 . b) Man berechne grad ϑ und den Vektor q˙ der W¨ armestromdichte. An welcher ˙ am gr¨ Stelle ist |q| oßten? c) Man berechne die W¨ armestr¨ ome, die durch die drei Begrenzungsfl¨ achen, gekennzeichnet durch y = 0, x = l und y = x, fließen, und zeige, dass in das Dreieck ebensoviel W¨ arme hinein- wie hinausstr¨ omt. 1.7: Ein Kochtopf enth¨ alt Wasser, das bei ϑs = 100,3 siedet. Der Boden des Topfes (Durchmesser d = 18 cm) wird elektrisch beheizt. Seine Temperatur bei einer Heizleistung von 1,35 kW. Wie groß ist der erreicht ϑW = 108,8 arme¨ ubergangskoeffizient des mit der Temperaturdifferenz (ϑW − ϑs ) gebildete W¨ siedenden Wassers? 1.8: Das Temperaturprofil ϑ = ϑ(y) in der thermischen Grenzschicht (0 ≤ y ≤ δt ) soll durch eine Parabel ϑ(y) = a + by + cy 2 approximiert werden, deren Scheitel bei y = δt liegt. Wie groß ist der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α, wenn δt = 11 mm und λ = 0,0275 W/K m (Luft) gilt? 1.9: F¨ ur den W¨ arme¨ ubergang bei erzwungener turbulenter Str¨ omung eines Fluids in einem Rohr gilt die N¨ aherungsgleichung N u = C Re4/5 P r 1/3 . Die charakteristische L¨ ange in der N u-Zahl und der Re-Zahl ist dabei der Rohrinarme¨ ubergangsnendurchmesser d. Man berechne das Verh¨ altnis αW /αL der W¨ koeffizienten von Wasser und Luft bei gleicher Str¨ omungsgeschwindigkeit w, gleichem Rohrdurchmesser d und bei der gleichen mittleren Temperatur ϑ = 40 , bei der die Stoffwerte von Wasser nach Tabelle B.2 des Anhangs und von Luft nach Tabelle B.1 einzusetzen sind.

114

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

1.10: Im Inneren eines sehr langen Hohlzylinders wird durch radioaktiven Zer˙ fall der auf die Zylinderl¨ ange L bezogene W¨ armestrom Q/L = 550 W/m erzeugt. Der Hohlzylinder besteht aus legiertem Stahl (λ = 15 W/K m); er hat den Inarke δ = 10 mm. An seiner ¨ außeren nendurchmesser di = 20 mm und die Wandst¨ Oberfl¨ ache wird W¨ arme nur durch Strahlung in den Weltraum (T = 0 K) abgegeben. Der Emissionsgrad der Zylinderoberfl¨ ache ist ε = 0,17. Man berechne die außeren Oberfl¨ ache. Wie groß ist Celsiustemperaturen ϑi der inneren und ϑa der ¨ der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αStr der Strahlung? 1.11: Eine Hauswand besteht aus drei Schichten mit den folgenden Eigenschaften (von innen nach außen): Innenputz δ1 = 1,5 cm, λ1 = 0,87 W/K m; Mauerwerk aus Lochziegeln δ2 = 17,5 cm, λ2 = 0,68 W/K m; Außenputz δ3 = 2,0 cm, λ3 = 0,87 W/K m. Die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten sind α1 = 7,7 W/m2 K auf der armestromdichte q, ˙ Innenseite und α2 = 25 W/m2 K außen. Man berechne die W¨ zur Außenluft mit der die durch die Hauswand vom Innenraum mit ϑ1 = 22,0 hindurchgeht. Wie groß sind die Temperaturen ϑW1 Temperatur ϑ2 = −12,0 und ϑW2 der beiden Wandoberfl¨ achen? 1.12: Um den W¨ armeverlust durch die Hauswand von Aufgabe 1.11 zu verringern, werden anstelle der Außenputzschicht eine Isoliermatte mit δ3 = 6,5 cm und λ3 = 0,040 W/K m sowie ein Verblendmauerwerk mit δ4 = 11,5 cm und armestromdichte q˙ und die λ4 = 0,79 W/K m angebracht. Man berechne die W¨ ache. Temperatur ϑW1 der inneren Wandoberfl¨ 1.13: In einer Rohrleitung mit dem Innendurchmesser d1 = 0,25 m und dem Auomt Wasßendurchmesser d2 = 0,27 m aus legiertem Stahl (λ1 = 16 W/K m) str¨ arme¨ ubergangskoeffizient ist αi = 425 W/m2 K. serdampf mit ϑi = 600 . Der W¨ Die Rohrleitung wird mit einer Schicht Steinwolle von δ2 = 0,05 m Dicke isoliert, an deren Außenfl¨ ache Mineralfaser-Formschalen von δ3 = 0,02 m Dicke angebracht sind. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zwischen den Formschalen und der betr¨ agt αa = 30 W/m2 K. Die W¨ armeLuft mit der Temperatur ϑa = 25 leitf¨ ahigkeit der Steinwolle h¨ angt von der Temperatur ab: «2 „ ϑ λ2 (ϑ) ϑ = 0,040 − 0,0005 + 0,0025 . W/K m 100 100 F¨ ur die mittlere W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Mineralfaser-Formschalen ist λm3 = 0,055 W/K m zu setzen. Man berechne den auf die Rohrl¨ ange L bezoge˙ nen W¨ armeverluststrom Q/L und pr¨ ufe, ob die Temperatur der Mineralfaserliegt. Formschalen unter dem h¨ ochstzul¨ assigen Wert ϑzul = 250 1.14: Eine zylinderf¨ ormige Getr¨ ankedose (d = 64 mm, h = 103 mm) wird mit einem K¨ uhlschrank entnommen und in einen Raum der Temperatur ϑF0 = 6 gestellt. Man berechne die Temperatur ϑF , mit der Lufttemperatur ϑU = 24 die die Dose nach 2 h annimmt, sowie die Zeit t∗ , nach deren Ablauf ϑF = 20 erreicht wird. F¨ ur den W¨ armedurchgang zwischen Luft und Doseninhalt ist nur arme¨ ubergangswiderstand an der der durch αa = 7,5 W/m2 K gekennzeichnete W¨ Außenseite der Dose von Bedeutung. Die Stoffwerte des Getr¨ anks sind F = 1,0 · 103 kg/m3 und cF = 4,1 · 103 J/kgK. 1.15: F¨ ur einen Gegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager leite man die Gleichungen f¨ ur den Verlauf der Fluidtemperaturen ϑ1 = ϑ1 (z) und ϑ2 = ϑ2 (z) her, vgl. Abschnitt 1.3.3.

1.8 Aufgaben

115

1.16: In einer W¨ armepumpen-Anlage dient Außenluft als W¨ armequelle, die sich auf ϑ2 = 5,0 abk¨ uhlt und dabei W¨ arme an ein Fluid abgibt, von ϑ2 = 10,0 auf ϑ1 = 3,0 erw¨ armt. Sein Massenstrom ist M˙ 1 = das sich von ϑ1 = −5,0 ur 0,125 kg/s, seine mittlere spezifische W¨ armekapazit¨ at cp1 = 3,56 kJ/kgK. F¨ diese W¨ arme¨ ubertragung werden drei Stromf¨ uhrungen verglichen: Gegenstrom, Kreuzstrom mit einer Rohrreihe und Kreuzgegenstrom mit zwei Rohrreihen und zwei Durchg¨ angen (gegensinnig), vgl. Abb. 1.59. F¨ ur die Betriebscharakteristik

Abb. 1.59: Kreuzgegenstrom-W¨ arme¨ ubertrager mit zwei Rohrreihen und zwei Durchg¨ angen dieser Stromf¨ uhrung gilt, vgl. [1.16] „ « f 1 f = + 1− exp(2f /C1 ) 1 − ε1 2 2

mit

f = 1 − exp(−C1 N1 /2) .

¨ Man bestimme die erforderlichen Ubertragungsf¨ ahigkeiten kA der W¨ arme¨ ubertrager mit den drei Stromf¨ uhrungen. 1.17: Aus einem zylinderf¨ ormigem Stab der L¨ ange L und vom Radius r0 wird eine Komponente A herausgel¨ ost. Diese diffundiert in einen ruhenden Fl¨ ussigkeitsfilm der Dicke δ, der den Stab umgibt. Man zeige, dass der Diffusionsstrom gegeben ist durch cA0 − cAδ 2πL , N˙ A = D ln(r0 + δ)/r0 wenn man D = const und geringe Konzentration der im Fl¨ ussigkeitsfilm gel¨ osten Komponente annimmt. 1.18: In einem Zylinder befindet sich Ethanol (Komponente A, Molmasse ˜ A = 46,07 kg/kmol). Der Fl¨ ussigkeitsspiegel befinde sich gem¨ aß Abb. 1.42 um M ¨ den Zylinder y2 − y1 = δ1 = 1 cm unterhalb des oberen Zylinderrandes. Uber str¨ omt trockene Luft (Komponente B) vom Druck p = 1 bar und der Temperatur T = 298 K. a) Man berechne die Mengenstromdichte n˙ A zu Beginn des Diffusionsvorgangs. b) Nach welcher Zeit hat sich der Fl¨ ussigkeitsspiegel um δ2 = 1 cm abgesenkt? Da die Diffusion sehr langsam abl¨ auft, kann man zur L¨ osung dieser Teilaufgabe in guter N¨ aherung voraussetzen, dass sich zum jeweiligen zeitlich ver¨ anderlichen Fl¨ ussigkeitsspiegel der Diffusionsstrom einstellt, der sich aus der station¨ aren L¨ osung ergibt. Der Diffusionskoeffizient Ethanol-Luft ist D = 1,19 · 10−5 m2 /s, attigungsdruck bei die Dichte des fl¨ ussigen Ethanols L = 875 kg/m3 und der S¨ T = 298 K ist pAs = 0,077 bar.

116

1 Einf¨ uhrung. Technische Anwendungen

1.19: Durch eine Rohrleitung str¨ omen V˙ = 10 m3 /h Ammoniak von 25 . Um den Druck auf 1 bar zu halten, ist an die Rohrleitung ein R¨ ohrchen von 3 mm Innendurchmesser angeschweißt, durch das eine Verbindung zur Umgebungsluft hergestellt wird, Abb. 1.60. Dieses R¨ ohrchen ist spiralf¨ ormig gewickelt und 20 m

Abb. 1.60: Konstanthalten des Drucks in einer Rohrleitung lang, damit die Verluste an Ammoniak durch Diffusion gering sind. Wie groß sind die Ammoniakverluste in m3 /h und wie groß ist der Molanteil der Luft in der Rohrleitung? Die Dichte des Ammoniaks ist 0,687 kg/m3 , der Diffusionskoeffizient von Ammoist D = 0,28 · 10−4 m2 /s. niak in Luft bei 25 1.20: Feuchtes Holz von 20 wird durch u omende trockene Luft von ¨ berstr¨ 0,1 MPa und der gleichen Temperatur getrocknet. Der Stoff¨ ubergangskoeffizient an der u omten Holzoberfl¨ ache ist β = 2 · 10−3 m/s, und der Molanteil des ¨berstr¨ Wasserdampfes an der Holzoberfl¨ ache ist x ˜A0 = 0, 024. Wie groß ist die von der Luft aufgenommene Massenstromdichte des Wassers m ˙ A in kg/m2 s? 1.21: Trockene Luft von 15 streicht u ache. Man berechne die ¨ ber eine Wasserfl¨ K¨ uhlgrenztemperatur. Als Stoffwerte verwende man die des Beispiels 1.8. 1.22: Ein heißes trockenes Brenngas von 600 und 1 bar str¨ omt u ¨ ber die Wand einer Brennkammer. Damit die Wandtemperatur nicht zu sehr ansteigt, bl¨ ast man Wasser durch die por¨ ose Wand der Brennkammer, Abb. 1.61, das verdunstet, so dass die Wandtemperatur sinkt. Wie weit kann man die Wandtemperatur

Abb. 1.61: K¨ uhlen einer heißen, por¨ osen Wand durch Einblasen von Wasser absenken und welche Wassermenge m ˙ A in kg/m2 s muss man dazu zuf¨ uhren? ˜ B = 28,953 kg/kmol, M ˜ A = 18,015 kg/kmol ˜ A cβm cpA /αm = 1,3, M Gegeben sei: M arme¨ ubergangskoeffizient und Δhv = 2346 kJ/kg, cpA = 1,907 kJ/kgK. Der W¨ zwischen Brenngas und Wasseroberfl¨ ache sei αm = 120 W/m2 K. 1.23: Einer Kolonne zur Absorption von Benzol aus Luft werden N˙ G = 250 uhrt. Das benzolfreie kmol/h Luft mit einer Molbeladung von Y˜a = 0,05 zugef¨ Waschmittel, N˙ L = 55 kmol/h soll 95 % des Benzols aufnehmen. Welches sind Stoffmengenbeladungen des Waschmittels und der Luft am Austritt aus dem Absorber?

2 W¨ armeleitung und Diffusion

In diesem Kapitel behandeln wir die station¨ are und instation¨are W¨armeleitung in ruhenden Medien, die vor allem in festen K¨orpern auftritt. Wir leiten zun¨ achst die grundlegende Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld her, indem wir den Energieerhaltungssatz mit dem Gesetz von Fourier verkn¨ upfen. Die dann folgenden Abschnitte behandeln die station¨aren und instation¨aren Temperaturfelder mit zahlreichen praktischen Anwendungen sowie die numerischen Methoden zur L¨ osung von W¨ armeleitproblemen, deren Anwendung durch elektronische Rechner erleichtert wird und sich zunehmend verbreitet. Im Anschluss an die W¨ armeleitung behandeln wir die Diffusion. Aufgrund der Analogien, die zwischen den beiden molekularen Transportvorg¨angen bestehen, k¨ onnen viele Ergebnisse, die auf dem Gebiet der W¨armeleitung gewonnen wurden, auf die Diffusion u ¨ bertragen werden. Insbesondere stimmen die mathematischen Methoden zur Berechnung von Konzentrationsfeldern mit den L¨ osungsmethoden von W¨ armeleitproblemen weitgehend u ¨ berein.

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung Grundlage der L¨ osung komplizierter W¨ armeleitprobleme, die u ¨ ber den einfachen Fall der station¨ aren und geometrisch eindimensionalen W¨armeleitung, Abschnitt 1.1.2, hinausgehen, ist die Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld in einem ruhenden Medium. Sie wird W¨armeleitungsgleichung genannt. Wir behandeln im Folgenden Abschnitt zun¨achst ihre Herleitung unter Ber¨ ucksichtigung temperaturabh¨ angiger Stoffwerte und von W¨armequellen. Die Annahme konstanter Stoffwerte f¨ uhrt zu linearen partiellen Differentialgleichungen, die in ihren verschiedenen Formen f¨ ur unterschiedliche Geometrien vorgestellt werden. Nach einer ausf¨ uhrlichen Diskussion der Randbedingungen, die bei der L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung gestellt und erf¨ ullt werden m¨ ussen, gehen wir auf die L¨ osungsm¨ oglichkeiten bei temperaturab¨ h¨ angigen Stoffwerten ein. Der letzte Abschnitt ist der Ahnlichkeitstheorie ge-

118

2 W¨ armeleitung und Diffusion

widmet; hier werden die Kennzahlen hergeleitet, die f¨ ur W¨armeleitvorg¨ange maßgebend sind.

2.1.1 Die Herleitung der Differentialgleichung fu ¨r das Temperaturfeld Ein W¨ armeleitproblem zu l¨ osen bedeutet, das Temperaturfeld ϑ = ϑ(x, t) in seiner r¨ aumlichen und zeitlichen Abh¨ angigkeit zu bestimmen. Ist es bekannt, so kann man das zugeh¨ orige Feld der W¨armestromdichte q˙ aufgrund des Gesetzes von Fourier, ˙ q(x, t) = −λ grad ϑ(x, t)

(2.1)

berechnen und die durch Leitung transportierten W¨armestr¨ome an beliebigen Stellen des K¨ orpers bestimmen. Man erh¨ alt das gesuchte Temperaturfeld durch L¨osen einer partiellen Differentialgleichung, der sogenannten W¨ armeleitungsgleichung, die wir im Folgenden herleiten. Dazu wenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik auf ein geschlossenes System an, n¨ amlich auf einen zusammenh¨angenden Bereich beliebiger Gr¨ oße, den wir uns aus dem w¨armeleitenden K¨orper herausgeschnitten denken, Abb. 2.1. Das Volumen des Bereichs sei V , und seine Oberfl¨ ache werde mit A bezeichnet. Der erste Hauptsatz liefert f¨ ur den Bereich die Leistungsbilanz dU ˙ = Q(t) + P (t) . (2.2) dt ¨ Sie f¨ uhrt die zeitliche Anderung seiner inneren Energie U auf zwei Ursachen zur¨ uck: auf den W¨ armestrom Q˙ und die (mechanische oder elektrische) Leistung P , welche die Oberfl¨ ache des Bereichs u ¨ berqueren.

Abb. 2.1: Bereich mit dem Volumen V im w¨ armeleitenden K¨ orper. Oberfl¨ achenelement dA des Bereichs mit außerer Normale n ¨

Da die W¨ armeleitung in einem Festk¨ orper betrachtet wird, vernachl¨assigt man die geringen Dichte¨ anderungen aufgrund von Temperatur- und Druck¨anderungen. Man verwendet das Stoffmodell des inkompressiblen K¨orpers mit  = const. Unter dieser Annahme kann

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

dU d = dt dt



 u dV = 

(V )

du dV dt

119

(2.3)

(V )

gesetzt werden, wobei sich das Integral u ¨ ber das Volumen des Bereichs erstreckt. Die hiermit eingef¨ uhrte spezifische innere Energie u des inkompressiblen K¨ orpers h¨ angt von seiner Temperatur ab. Mit c(ϑ) als spezifischer W¨ armekapazit¨ at gilt du = c (ϑ) dϑ . ¨ Damit erhalten wir aus (2.3) f¨ ur die zeitliche Anderung der inneren Energie des betrachteten Bereichs dU = dt

 c(ϑ)

∂ϑ dV . ∂t

(2.4)

(V )

Um den W¨ armestrom Q˙ zu berechnen, der u ¨ ber die Oberfl¨ache des Bereichs fließt, betrachten wir zun¨ achst ein Element dA der Oberfl¨ache, dessen Normale n nach außen gerichtet ist, Abb. 2.1. Der durch dA in den Bereich hineinfließende W¨ armestrom ist ˙ dA . dQ˙ = −qn

(2.5)

Das Minuszeichen wurde gesetzt, weil ein W¨ armestrom in (2.2) dann positiv gerechnet wird, wenn er in den Bereich hineinstr¨omt. Der Vektor q˙ der W¨armestromdichte weist dann in das Innere des Bereichs, der Normalenvektor n aber nach außen, so dass ihr Skalarprodukt negativ wird. Durch Integration aller W¨ armestr¨ ome dQ˙ nach (2.5) erh¨ alt man den W¨armestrom Q˙ zu 

 Q˙ = − (A)

˙ dA = − qn

div q˙ dV .

(2.6)

(V )

Dabei wurde das u ache des Bereichs zu erstreckende Integral ¨ ber die Oberfl¨ nach dem Gaußschen Integralsatz in das Volumenintegral der Divergenz von q˙ umgewandelt. Die dem Bereich zugef¨ uhrte Leistung P besteht aus zwei Teilen, aus der anderung bewirkt, und aus der im Inneren Leistung PV , die eine Volumen¨ des Bereichs dissipierten Leistung Pdiss . Bei einem inkompressiblen K¨orper ist PV ≡ 0. Zu Pdiss geh¨ ort die elektrisch zugef¨ uhrte Leistung, die im Inneren eines W¨ arme und Elektrizit¨ at leitenden K¨ orpers als Folge seines elektrischen Widerstandes dissipiert wird. Dies ist die sogenannte Joulesche W¨arme. Auch energiereiche Strahlung, z.B. γ-Strahlung, die von außen in einen Festk¨orper

120

2 W¨ armeleitung und Diffusion

eindringt, wird dort absorbiert; ihre Energie wird dabei dissipiert und tr¨agt zur Erh¨ ohung der inneren Energie bei. F¨ ur die Leistung dieser im Inneren des Bereichs auftretenden dissipativen und somit irreversiblen Energieumwandlungen setzen wir  ˙ (ϑ, x, t) dV , W

P = Pdiss =

(2.7)

(V )

˙ die auf das Volumen bezogene Leistung, die sogenannte Leistungswobei W dichte bedeutet. Bei einem stromdurchflossenen K¨orper mit dem spezifischen elektrischen Widerstand re = re (ϑ) erh¨ alt man als Leistungsdichte ˙ (ϑ, x, t) = re (ϑ) i2 , W e wobei ie die elektrische Stromdichte bedeutet. Ihre SI-Einheit ist A/m2 , so ˙ die dass sich mit Ω m als SI-Einheit des spez. elektrischen Widerstands f¨ ur W 2 4 3 3 Einheit ΩmA /m =VA/m =W/m ergibt. Die im Inneren eines Festk¨ orpers ablaufenden dissipativen und irreversiblen Energieumwandlungen setzen thermische Energie frei; sie wirken wie innere W¨armequellen. Wie der von außen zugef¨ uhrte W¨armestrom Q˙ nach (2.6) tragen sie zur Erh¨ ohung der inneren Energie bei. Die gleiche Wirkung haben auch chemische oder nukleare Reaktionen, die im Inneren eines Festk¨orpers ablaufen. Diese Reaktionen sind von einer W¨armet¨onung“ begleitet, n¨amlich ” von der irreversiblen Umwandlung chemischer oder nuklearer Bindungsenergie in thermische (innere) Energie. Mit Ausnahme der recht seltenen endothermen chemischen Reaktionen wirken sie wie W¨ armequellen im Festk¨orper. Obwohl sich durch eine Reaktion die chemische Zusammensetzung des K¨orpers ¨andert, vernachl¨ assigt man diesen Effekt bei der Berechnung seiner Stoffeigenschaften und erfasst die Wirkung der Reaktion nur als eine innere W¨armequelle, die al˙ liefert. Wir werden daher chemische lein einen Beitrag zur Leistungsdichte W oder nukleare Reaktionen in einem Festk¨ orper nur in (2.7) ber¨ ucksichtigen, ¨ die durch sie bewirkten Anderungen in der Zusammensetzung vernachl¨assigen und daher annehmen, dass die Stoffwerte λ und c nur von der Temperatur ϑ und nicht von der chemischen Zusammensetzung des Festk¨orpers abh¨angen. Wir setzen nun die Ergebnisse f¨ ur dU /dt nach (2.4), f¨ ur Q˙ nach (2.6) und f¨ ur P nach (2.7) in die Leistungsbilanzgleichung (2.2) des ersten Hauptsatzes ein, fassen alle Volumenintegrale zusammen und erhalten   c (ϑ)

 ∂ϑ ˙ (ϑ, x, t) dV = 0 . + div q˙ − W ∂t

(V )

Dieses Volumenintegral verschwindet nur dann f¨ ur beliebig gew¨ahlte Bilanzbereiche, wenn der Integrand selbst gleich null ist. Damit wird

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

c(ϑ)

121

∂ϑ ˙ (ϑ, x, t) . = − div q˙ + W ∂t

Im letzten Schritt unserer Herleitung ziehen wir das Gesetz von Fourier heran und verkn¨ upfen die W¨ armestromdichte q˙ nach (2.1) mit dem Temperaturgradienten. Damit erhalten wir c (ϑ)

∂ϑ ˙ (ϑ, x, t) = div [λ(ϑ) grad ϑ] + W ∂t

(2.8)

als die gesuchte Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld in einem ruhenden, isotropen und inkompressiblen Material mit temperaturabh¨angigen Stoffwerten c(ϑ) und λ(ϑ). Dabei wurden W¨ armequellen im Inneren des w¨arme˙ ber¨ leitenden K¨ orpers durch ihre Leistungsdichte W ucksichtigt. Bei der Anwendung der W¨ armeleitungsgleichung in ihrer allgemeinen Form (2.8) macht man eine Reihe vereinfachender Annahmen, wodurch man spezielle, auf bestimmte Problembereiche zugeschnittene Differentialgleichungen erh¨ alt. Eine wesentliche Vereinfachung erh¨ alt man vor allem durch die Annahme konstanter Stoffwerte λ und c. Auf die dadurch entstehende lineare partielle Differentialgleichung gehen wir im n¨ achsten Abschnitt ein. Weitere einfachere F¨ alle sind – – –

˙ ≡ 0, das Fehlen von W¨ armequellen: W station¨ are Temperaturfelder: ∂ ϑ/∂t ≡ 0, geometrisch eindimensionaler W¨ armefluss, z.B. nur in x-Richtung des kartesischen Koordinatensystems oder nur in radialer Richtung bei Zylinderund Kugelgeometrien.

2.1.2 Die W¨ armeleitungsgleichung fu orper mit ¨r einen K¨ konstanten Stoffwerten Bei der Herleitung der W¨ armeleitungsgleichung (2.8) haben wir einen dichtebest¨ andigen K¨ orper, also  = const vorausgesetzt. Wir vernachl¨assigen nun auch die Temperaturabh¨ angigkeit der W¨ armeleitf¨ahigkeit λ und der spezifischen W¨ armekapazit¨ at c. Diese Annahmen muss man in der Regel machen, wenn man eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung in mathematisch geschlossener Form erhalten m¨ ochte, die dann meist als exakte“ L¨osung bezeichnet ” wird. Auf L¨ osungsm¨ oglichkeiten bei temperaturabh¨angigen Stoffwerten gehen wir in 2.1.4 ein. Bei konstanter W¨ armeleitf¨ ahigkeit wird der in (2.8) auftretende Differentialoperator div [λ(ϑ) grad ϑ] zum Laplace-Operator λ div grad ϑ = λ∇2 ϑ , und die W¨ armeleitungsgleichung nimmt die Form ˙ W ∂ϑ = a∇2 ϑ + ∂t c

(2.9)

122

2 W¨ armeleitung und Diffusion

an. Die hier auftretende Konstante ist die Temperaturleitf¨ahigkeit a := λ/c

(2.10)

des Materials mit der SI-Einheit m2 /s. F¨ ur die beiden wichtigsten Koordinatensysteme, kartesische Koordinaten x, y, z und Zylinderkoordinaten r, ϕ, z hat die W¨armeleitungsgleichung die Gestalt 

2 ˙ W ∂ ϑ ∂2ϑ ∂2ϑ ∂ϑ + + + =a (2.11) ∂t ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 c bzw. ∂ϑ =a ∂t



∂2ϑ 1 ∂ ϑ 1 ∂2ϑ ∂ 2ϑ + 2 + + 2 2 2 ∂r r ∂r r ∂ϕ ∂z

 +

˙ W . c

(2.12)

Bei Kugelkoordinaten beschr¨ anken wir uns auf den W¨armefluss in radialer Richtung. Hierf¨ ur folgt aus (2.9)

2  ˙ ∂ ϑ 2 ∂ϑ ∂ϑ W =a . (2.13) + + ∂t ∂r2 r ∂r c Das einfachste Problem der instation¨ aren W¨armeleitung besteht in der Berechnung eines Temperaturfeldes ϑ = ϑ(x, t), das von der Zeit und nur noch von der x-Koordinate abh¨ angt; außerdem sollen keine W¨armequellen ˙ ≡ 0). Man spricht dann von linearem W¨armefluss, und es gilt auftreten (W die partielle Differentialgleichung ∂ϑ ∂2ϑ =a 2 . ∂t ∂x

(2.14)

Diese Gleichung l¨ asst eine anschauliche Deutung der Temperaturleitf¨ahigkeit a und der W¨ armeleitungsgleichung selbst zu. Nach (2.14) ist die zeitliche Temperatur¨ anderung ∂ ϑ/∂t an jeder Stelle des w¨armeleitenden K¨orpers der Temperaturleitf¨ ahigkeit proportional. Diese Materialeigenschaft gibt also an, wie schnell sich Temperaturen ¨ andern. Wie Tabelle 2.1 zeigt, haben Metalle nicht nur hohe W¨ armeleitf¨ ahigkeiten, sondern auch hohe Temperaturleitf¨ahigkeiten; sie geben Temperatur¨ anderungen schnell weiter. Die Differentialgleichung (2.14) verkn¨ upft die zeitliche Temperatur¨anderung an einer Stelle mit der Kr¨ ummung des Temperaturverlaufs in der Umgebung dieser Stelle. Dabei kann man die drei F¨alle von Abb. 2.2 unterscheiden. Ist ∂ 2 ϑ/∂x2 > 0, so steigt die Temperatur (Erw¨armung); denn von rechts“ ” fließt mehr W¨ arme zu als nach links“ abstr¨omt. Es muss also Energie ge” speichert werden, weswegen die Temperatur mit der Zeit steigt. Bei entgegengesetztem Vorzeichen der Kr¨ ummung, n¨ amlich f¨ ur ∂ 2 ϑ/∂x2 < 0 sinkt die 2 2 Temperatur mit der Zeit, w¨ ahrend f¨ ur ∂ ϑ/∂x = 0 die Temperatur konstant bleibt (station¨ arer Grenzfall). ˙ linear von der H¨ angt die auf das Volumen bezogene W¨armeleistung W Temperatur ab oder ist sie von ϑ unabh¨ angig, so ist die W¨armeleitungsgleichung (2.9) eine lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung vom

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

123

Tabelle 2.1: Materialeigenschaften einiger Festk¨ orper bei 20

Stoff

λ W/K m

Silber Kupfer Aluminium Messing (MS 60) Cr-Ni-Stahl

408 372 238 113 14,7

Granit Kiesbeton Korkplatten Fett

2,9 1,28 0,041 0,17

c kJ/kg K

 kg/m3

106 a m2 /s

0,234 0,419 0,945 0,376 0,502

10497 8300 2700 8400 7800

166 107 93,4 35,8 3,75

0,890 0,879 1,880 1,930

2750 2200 190 910

1,2 0,662 0,11 0,097

parabolischen Typ. Die mathematische Theorie dieser Klasse von Differentialgleichungen wurde im 19. und 20. Jahrhundert eingehend und umfassend erforscht. Daher stehen erprobte L¨ osungsmethoden zur Verf¨ ugung, auf die wir in 2.3.1 eingehen, und eine große Zahl geschlossener L¨osungen ist bekannt. Man findet sie z.B. in dem mathematisch orientierten Standardwerk von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1].

¨ Abb. 2.2: Bedeutung der Kr¨ ummung f¨ ur die zeitliche Anderung der Temperatur nach (2.14)

Station¨are Temperaturfelder h¨ angen von der Zeit nicht ab. Sie stellen sich als Endzustand eines instation¨ aren Anheiz- oder Abk¨ uhlvorganges ein. Es gilt nun ∂ ϑ/∂t = 0, und man erh¨ alt ˙ /λ) = 0 ∇2 ϑ + (W

(2.15)

als Differentialgleichung f¨ ur das station¨ are Temperaturfeld mit W¨armequellen. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ ist die einzige Materialeigenschaft, die das Temperaturfeld beeinflusst. Gl. (2.15) ist als Poissonsche Differentialgleichung bekannt; ˙ ≡ 0) in die Potentialgleisie geht f¨ ur alle quellenfreien Temperaturfelder (W chung oder Laplacesche Differentialgleichung

124

2 W¨ armeleitung und Diffusion

∇2 ϑ = 0

(2.16)

u ur die verschiedenen Koordinatensyste¨ ber. Der Laplace-Operator ∇2 hat f¨ me die in den Gleichungen (2.11), (2.12) und (2.13) angegebene Gestalt. Die Differentialgleichungen (2.15) und (2.16) f¨ ur station¨are Temperaturfelder sind, ˙ von ϑ nicht oder nur linear abh¨ sofern W angt, linear und vom elliptischen Typ. Dies f¨ uhrt zu anderen L¨ osungsmethoden als bei den Differentialgleichungen f¨ ur die instation¨ are W¨ armeleitung, die vom parabolischen Typ sind.

2.1.3 Die Randbedingungen Die W¨ armeleitungsgleichung bestimmt die Temperaturen nur im Inneren eines K¨ orpers. Damit ist das Temperaturfeld jedoch nicht vollst¨andig festgelegt; denn es m¨ ussen noch mehrere Grenzbedingungen gestellt und von der L¨osung der Differentialgleichung erf¨ ullt werden. Diese Grenzbedingungen enthalten eine zeitliche Anfangsbedingung und ¨ ortliche Randbedingungen, die an den R¨ andern (Oberfl¨ achen) des K¨ orpers vorgeschrieben sind. Erst durch die Differentialgleichung und durch die Randbedingungen ist das Temperaturfeld vollst¨ andig bestimmt. Die Anfangsbedingung schreibt zu einem bestimmten Zeitpunkt an jeder Stelle des K¨ orpers eine Temperatur vor. In der Regel beginnt man die Zeitz¨ ahlung mit diesem Zeitpunkt und hat daher die Bedingung ϑ(x, y, z, t = 0) = ϑ0 (x, y, z)

(2.17)

zu erf¨ ullen. Die durch die Problemstellung gegebene Anfangstemperaturverteilung ϑ0 (x, y, z), etwa die u ¨ berall gleiche Anfangstemperatur in einem sich abk¨ uhlendem K¨ orper, ver¨ andert sich im Laufe des nichtstation¨aren W¨armeleitvorganges. Die ¨ ortlichen Randbedingungen lassen sich in drei Gruppen einteilen. Es kann an den K¨ orperoberfl¨ achen 1. die Temperatur als Funktion der Zeit und des Ortes auf der Oberfl¨ache vorgeschrieben sein, sogenannte Randbedingung 1. Art, 2. die W¨ armestromdichte normal zur Oberfl¨ache als Funktion der Zeit und des Ortes vorgeschrieben sein, sogenannte Randbedingung 2. Art, oder 3. Ber¨ uhrung mit einem anderen Medium vorliegen. Gegebene Oberfl¨ achentemperaturen sind mathematisch am einfachsten zu ber¨ ucksichtigen, besonders dann, wenn die Oberfl¨achentemperaturen konstant sind. Bei vorgeschriebener W¨ armestromdichte q˙ muss an jeder Stelle der Oberfl¨ ache die Bedingung ∂ϑ (2.18) q˙ = −λ ∂n erf¨ ullt sein, wobei die Ableitung in Richtung der ¨außeren Fl¨achennormale zu bilden und λ bei der Oberfl¨ achentemperatur einzusetzen ist. Besonders h¨aufig treten adiabate Oberfl¨ achen auf; hier gilt wegen q˙ = 0

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

∂ ϑ/∂n = 0 .

125

(2.19)

Diese einfache Bedingung muss auch auf den Symmetriefl¨achen im Inneren des K¨ orpers erf¨ ullt sein. Es ist deshalb bei der Formulierung eines W¨armeleitproblems h¨ aufig vorteilhaft, nur den Teil eines K¨orpers zu betrachten, der durch eine oder mehrere adiabate Symmetriefl¨achen begrenzt ist. Ber¨ uhrt der betrachtete w¨ armeleitende K¨ orper ein anderes Medium, so sind mehrere unterschiedliche Randbedingungen m¨oglich je nachdem, ob das angrenzende Medium ein anderer fester K¨ orper oder ein Fluid ist und ob diese Medien besondere Materialeigenschaften haben. Grenzt der K¨orper an einen anderen festen K¨ orper, so ist die W¨ armestromdichte, die an der Grenzfl¨ache vom K¨ orper 1 in den K¨ orper 2 u ur beide K¨orper gleich. Nach (2.18) ¨bergeht, f¨ gilt daher an der Grenzfl¨ ache, gekennzeichnet durch den Index I (=interface),

λ(1) und außerdem





∂ ϑ(1) ∂n

= λ(2) I

(1)

ϑI

(2)

= ϑI

∂ ϑ(2) ∂n

 (2.20) I

.

(2.21)

Abb. 2.3: Temperaturverlauf an der Grenze zweier sich ber¨ uhrender K¨ orper 1 und 2. a kein Kontaktwiderstand, b Kontaktwiderstand nach (2.22)

Der Temperaturverlauf weist also an der Grenzfl¨ache einen Knick auf. Dabei ist der Temperaturgradient in dem K¨ orper gr¨oßer, der die kleinere W¨armeleitf¨ ahigkeit hat, Abb. 2.3 a. Gl. (2.21) gilt allerdings nur, wenn die beiden K¨ orper an der Grenzfl¨ ache fest miteinander verbunden sind. Anderenfalls tritt ein Kontaktwiderstand auf, der einen geringen Temperatursprung zur Folge hat, Abb. 2.3 b. Man kann diesen Widerstand durch einen Kontaktw¨arme¨ ubergangskoeffizienten αKt beschreiben. Anstelle von Gleichung (2.21) gilt dann

−λ

(1)

∂ ϑ(1) ∂n

 (1)

(2)

= αKt ϑI − ϑI

! .

(2.22)

I

Bei konstantem αKt w¨ achst der Temperatursprung an der Grenzfl¨ache proportional zur W¨ armestromdichte.

126

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Grenzt der w¨ armeleitende K¨ orper an ein Fluid, so bildet sich im Fluid an der Oberfl¨ ache eine Grenzschicht aus. F¨ ur die W¨armestromdichte, die an das Fluid u arme¨ ubergangskoeffizienten ¨bergeht, gilt dann mit α als dem W¨ q˙ = α (ϑW − ϑF ) , vgl. Abb. 2.4 und Abschnitt 1.1.3. Da diese W¨armestromdichte im K¨orper durch Leitung an die Oberfl¨ ache (Wand) transportiert werden muss, erh¨alt man als Randbedingung

 ∂ϑ = α (ϑW − ϑF ) . (2.23) −λ ∂n W Hierin bedeutet λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Festk¨orpers (und nicht die des

Abb. 2.4: Temperaturverlauf bei Vorliegen der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.23). Die Tangente des Temperaturverlaufs im Festk¨ orper an der Oberfl¨ ache trifft den Richtpunkt R auf der H¨ ohe der Fluidtemperatur ϑF im Abstand s = λ/α = L0 /Bi. Die Subtangente des Temperaturverlaufs in der Fluidgrenzschicht ist su¨ = λF /α = L0 /N u.

Fluids!) an der Wand. Gl. (2.23) schreibt einen linearen Zusammenhang zwischen der Temperatur ϑW und der Steigung des Temperaturverlaufs an der Oberfl¨ ache vor, sie wird auch als Randbedingung 3. Art bezeichnet. Wie in (2.18) ist ∂ ϑ/∂n die Ableitung in Richtung der ¨außeren Fl¨achennormale. Die angen kann, und der W¨arme¨ uberFluidtemperatur ϑF , die von der Zeit abh¨ gangskoeffizient α m¨ ussen f¨ ur die L¨ osung des W¨armeleitproblems gegeben sein. Ist α sehr groß, so wird der Temperaturunterschied (ϑW − ϑF ) sehr klein, und man kann die Randbedingung (2.23) durch die einfachere Randbedingung vorgeschriebener Temperatur (ϑW = ϑF ) ersetzen. Die Randbedingung (2.23) ist nur so lange linear — und das ist f¨ ur die mathematische L¨osung des W¨ armeleitproblems eine wichtige Voraussetzung —, wie α nicht von ϑW bzw. von (ϑW − ϑF ) abh¨ angt. In einer Reihe von W¨arme¨ ubergangsproblemen, z.B. bei freier Konvektion, h¨ angt α von (ϑW − ϑF ) ab, so dass die Linearit¨at der Randbedingung zerst¨ ort wird. Gleiches gilt, wenn der W¨arme¨ ubergang 4 abh¨angt, durch Strahlung ber¨ ucksichtigt werden muss, weil dann q˙ von TW vgl. Abschnitt 1.1.5. In diesen F¨ allen ist eine L¨osung des W¨armeleitproblems in geschlossener Form meistens nicht m¨ oglich. Man wird dann numerische Methoden anwenden, die wir in 2.4 behandeln. Bei der Abk¨ uhlung oder beim Anheizen von Beh¨ altern, die ein Fluid enthalten, aumlich konstant ansehen, weil sich die kann man die Fluidtemperatur ϑF oft als r¨

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

127

Temperaturen im Fluid durch Konvektion oder durch R¨ uhren ausgleichen. Die zeit¨ angt jedoch davon ab, in welchem Maße W¨ arme liche Anderung von ϑF = ϑF (t) h¨ von der Beh¨ alterwand (dem w¨ armeleitenden K¨ orper) an das Fluid u ¨ bergeht. Sie ¨ bewirkt eine Anderung der inneren Energie des Fluids und eine dem entsprechende ¨ Anderung von ϑF . F¨ ur die W¨ armestromdichte gilt dann einmal « „ ∂ϑ q˙ = −λ ∂n W (W¨ armeleitung in der Beh¨ alterwand) und zum anderen q˙ = cF

MF dϑF A dt

armekapazit¨ at des Fluids und mit MF als (Erw¨ armung des Fluids) mit cF als spez. W¨ seiner Masse, die mit der Beh¨ alterwand (Fl¨ ache A) in Ber¨ uhrung steht. Wir haben damit die Randbedingung « „ MF dϑF ∂ϑ =0 . (2.24) cF +λ A dt ∂n W Sie ist durch eine W¨ arme¨ ubergangsbedingung nach (2.23) oder, falls der W¨ armeu ¨ bergangskoeffizient sehr groß ist, durch die einfache Randbedingung ϑW = ϑF zu erg¨ anzen.

2.1.4 Temperaturabh¨ angige Stoffwerte Ist die Temperaturabh¨ angigkeit der Stoffwerte λ = λ(ϑ) und c = c(ϑ) nicht zu vernachl¨ assigen, so muss man von der W¨ armeleitungsgleichung (2.8) ausgehen. Es liegt ein nichtlineares Problem vor, das nur in Ausnahmef¨allen eine geschlossene mathematische L¨ osung zul¨ asst. Mit div [λ(ϑ) grad ϑ] = λ(ϑ) div grad ϑ +

dλ grad2 ϑ dϑ

erh¨ alt man aus (2.8) c(ϑ)

∂ϑ dλ ˙ = λ(ϑ)∇2 ϑ + grad2 ϑ + W ∂t dϑ

(2.25)

als W¨ armeleitungsgleichung. Die Nichtlinearit¨ at ist an den beiden ersten Termen der rechten Seite klar zu erkennen. Die Gl. (2.8) und (2.25) nehmen eine einfachere Form an, wenn man eine neue Variable, die transformierte Temperatur 1 Θ = Θ0 + λ0

ϑ λ(ϑ) dϑ ϑ0

(2.26)

128

2 W¨ armeleitung und Diffusion

einf¨ uhrt. Hierin bedeutet λ0 den Wert der W¨ armeleitf¨ahigkeit bei der Bezugstemperatur ϑ0 , der die transformierte Temperatur Θ0 zugeordnet ist. F¨ ur die Ableitungen von Θ erh¨ alt man aus (2.26) ∂Θ λ ∂ϑ = ∂t λ0 ∂t

und

grad Θ =

λ grad ϑ . λ0

Damit folgt aus (2.8) c(ϑ) oder

λ0 ∂ Θ ˙ = λ0 ∇2 Θ + W λ(ϑ) ∂t

˙ W 1 ∂Θ = ∇2 Θ + , a(ϑ) ∂t λ0

(2.27)

eine Gleichung, die formal mit der W¨ armeleitungsgleichung (2.9) f¨ ur konstante Stoffwerte u ¨ bereinstimmt. Die Temperaturleitf¨ahigkeit a h¨angt allerdings von ϑ bzw. Θ ab. Erfahrungsgem¨ aß ¨ andert sich a weniger mit der Temperatur als λ, so dass man a(ϑ) in (2.27) n¨ aherungsweise konstant setzen kann. Eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur konstante Stoffwerte l¨asst sich dann auf den Fall temperaturabh¨ angiger Stoffwerte u ¨ bertragen, indem man ϑ durch Θ ersetzt. Dabei besteht jedoch eine wichtige Einschr¨ankung: Nur Randbedingungen mit gegebener Temperatur oder gegebener W¨armestromdichte nach (2.18) d¨ urfen vorgeschrieben sein; denn die W¨arme¨ ubergangsbedingung (2.23) bleibt bei der Transformation (2.26) nicht erhalten. Die Transformation (2.26) ist besonders bei station¨ aren W¨ armeleitproblemen angebracht, weil der Term mit dem temperaturabh¨ angigen a wegen ∂ Θ/∂t = 0 entf¨allt. L¨osungen der ˙ = 0 der Laplace-Gleichung k¨onnen dann unPoisson-Gleichung bzw. bei W mittelbar u ¨ bernommen werden, sofern nur die Randbedingungen vorgeschriebener Temperatur oder vorgeschriebener W¨ armestromdichte vorliegen, nicht jedoch W¨ arme¨ ubergangsbedingungen nach (2.23). allen ist bei temperaturabh¨angigen Stoffwerten eine In den meisten F¨ L¨ osung in geschlossener Form nicht m¨ oglich. Man muss dann auf numerische L¨ osungsverfahren zur¨ uckgreifen, auf die wir in 2.4 eingehen werden.

¨ 2.1.5 Ahnliche Temperaturfelder In Abschnitt 1.1.4 wurde bereits auf die Vorteile hingewiesen, die durch das Einf¨ uhren dimensionsloser Variablen entstehen. Die sich dabei ergebenden dimensionslosen Kennzahlen erm¨ oglichen eine besonders klare und knappe Darstellung der physikalischen Zusammenh¨ ange, da die Zahl der Einflussgr¨ oßen erheblich vermindert wird. Die f¨ ur die W¨armeleitung maßgebenden Kennzahlen lassen sich leicht finden, weil die Differentialgleichungen und ihre Randbedingungen explizit gegeben sind. Um die Kennzahlen der W¨ armeleitung herzuleiten, gehen wir von der Differentialgleichung

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

129

˙ ∂2ϑ W ∂ϑ =a 2 + ∂t ∂x c ¨ aus, die alle wesentlichen Terme — Zeitabh¨ angigkeit, ¨ortliche Anderung des ˙ von W¨armequellen — enth¨alt. Temperaturfelds sowie die Leistungsdichte W Wir f¨ uhren eine dimensionslose Ortskoordinate und eine dimensionslose Zeit ein: t+ := t/t0 . x+ := x/L0 , ange des w¨armeleitenden K¨orpers und t0 Dabei ist L0 eine charakteristische L¨ eine charakteristische Zeit(spanne), die noch festgelegt wird. Als dimensionslose Temperatur w¨ ahlen wir ϑ+ := (ϑ − ϑ0 ) /Δϑ0 ,

(2.28)

worin ϑ0 eine Bezugstemperatur (Nullpunkt von ϑ+ ) und Δϑ0 eine f¨ ur das Problem charakteristische Temperaturdifferenz bedeuten. Die W¨ armeleitungsgleichung nimmt dann die dimensionslose Form ˙ ∂ ϑ+ at0 ∂ 2 ϑ+ t0 W = + 2 2 ∂t+ L0 ∂x+ Δϑ0 c

(2.29)

an. Hier liegt es nun nahe, als charakteristische Zeit t0 = L20 /a zu w¨ ahlen. Die dimensionslose Zeit nimmt dann die Form t+ = at/L20

(2.30a)

aufig als Fourier-Zahl an. Man bezeichnet t+ h¨ F o := at/L20 = t+ .

(2.30b)

Die Fourier-Zahl ist jedoch keine Kennzahl im u ur ein ¨blichen Sinne, die f¨ gegebenes Problem einen festen Wert annimmt, sondern eine dimensionslose Zeit-Variable, die nur f¨ ur bestimmte Zeiten feste Werte hat. Wir f¨ uhren nun die charakteristische Leistungsdichte W˙ 0 = Δϑ0 c/t0 = λΔϑ0 /L20

(2.31a)

als Bezugsgr¨ oße ein und erhalten mit ˙ +=W ˙ /W˙ 0 = W ˙ L2 /λΔϑ0 W 0

(2.31b)

als dimensionsloser W¨ armequellenfunktion aus (2.28) ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ ˙ + . = +W ∂t+ ∂x+ 2

(2.32)

130

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Die W¨ armeleitungsgleichung (2.32) enth¨ alt keine von eins verschiedenen Faktoren; sie zwingt also nicht unmittelbar zur Einf¨ uhrung von Kennzahlen, wenn ˙ + nach (2.31b) verwenden. wir die dimensionslose W¨ armequellenfunktion W Erst die in dieser Funktion auftretenden dimensionslosen Parameter, welche ˙ + beschreiben, u die Orts-, Zeit- oder Temperaturabh¨ angigkeit von W ¨ bernehmen die Rolle von Kennzahlen. Weitere Kennzahlen sind zu erwarten, wenn man die Randbedingungen dimensionslos macht. Die Anfangsbedingung (2.17) und die Randbedingung vorgeschriebener Temperatur sind homogen in ϑ. Sie f¨ uhren daher nicht unmittelbar zu Kennzahlen. Man wird jedoch diese Grenzbedingungen bei der Wahl von ϑ0 und Δϑ0 in (2.28) beachten, um eine m¨ oglichst g¨ unstige dimensionslose Temperatur ϑ+ , z.B. im Intervall 0 ≤ ϑ+ ≤ 1, zu erhalten. Ist die W¨armestromdichte q˙W als Randbedingung vorgeschrieben, so folgt aus (2.18) die dimensionslose Beziehung

+ ∂ϑ + (2.33a) q˙W = − ∂x+ W mit + := q˙W /q˙W0 = q˙W L0 /λΔϑ0 . q˙W

(2.33b)

+ q˙W

enth¨ alt einen oder mehrere Parameter, welDie dimensionslose Funktion che die Orts- und Zeitabh¨ angigkeit der aufgepr¨agten W¨armestromdichte q˙W beschreiben, wenn man vom Sonderfall q˙W = 0 absieht. Diese dimensionslosen ˙ + Parameter gehen ebenso wie die Parameter der W¨armequellenfunktion W nach (2.31b) als Kennzahlen in die L¨ osung des W¨armeleitproblems ein. Macht man schließlich die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.23) dimensionslos, so erh¨ alt man  ∂ ϑ+ αL0  + ϑW − ϑ+ . (2.34) = F + ∂x λ Hier tritt eine Kennzahl auf, die als Biot-Zahl1 Bi := αL0 /λ

(2.35)

bezeichnet wird. Von ihr h¨ angt das Temperaturfeld ab, wenn W¨arme¨ ubergang an ein Fluid stattfindet. Die Biot-Zahl ist formal in der gleichen Weise aus physikalischen Einflussgr¨ oßen zusammengesetzt wie die Nußelt-Zahl nach (1.36). Es besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied: In der Biot-Zahl bedeutet λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des festen K¨ orpers, w¨ahrend λ in der Nußelt-Zahl die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Fluids ist. Die Nußelt-Zahl dient zur dimensionslosen Darstellung und Berechnung des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α; die Biot-Zahl beschreibt eine Randbedingung des W¨armeleitvorgangs in einem 1

Jean Baptiste Biot (1774–1862) wurde 1800 Professor f¨ ur Physik am Coll`ege de France in Paris. Er untersuchte seit 1804 die Abk¨ uhlung erhitzter St¨ abe in Luft und ver¨ offentlichte 1816 die Differentialgleichung f¨ ur den Temperaturverlauf, ohne jedoch eine klare Herleitung zu geben. 1820 entdeckte er mit F. Savart das BiotSavartsche Gesetz f¨ ur die magnetische Feldst¨ arke stromdurchflossener Leiter.

2.1 Die W¨ armeleitungsgleichung

131

festen K¨ orper. Sie ist das Verh¨ altnis von L0 zur Subtangente an den Temperaturverlauf im festen K¨ orper, vgl. Abb. 2.4, w¨ahrend die Nußelt-Zahl das Verh¨ altnis einer (m¨ oglicherweise anders gew¨ ahlten) charakteristischen L¨ange L0 zur Subtangente des Temperaturverlaufs in der Grenzschicht des Fluids ist.

Abb. 2.5: Bedeutung der Biot-Zahl Bi = αL0 /λ f¨ ur den Temperaturverlauf in der N¨ ahe der Oberfl¨ ache. a kleine Biot-Zahl, b große Biot-Zahl

armeleitwiderstand des w¨ armeleitenden K¨ orFasst man L0 /λ als spezifischen W¨ pers und 1/α als spez. W¨ arme¨ ubergangswiderstand an seiner Oberfl¨ ache auf, so l¨ asst sich die Biot-Zahl auch als Verh¨ altnis dieser beiden Widerst¨ ande deuten: Bi =

L0 /λ . 1/α

Eine kleine Bi-Zahl bedeutet, dass der W¨ armeleitwiderstand im K¨ orper, z.B. wegen seiner hohen W¨ armeleitf¨ ahigkeit, wesentlich kleiner ist als der W¨ arme¨ ubergangswiderstand an seiner Berandung. Bei kleinen Biot-Zahlen sind die Temperaturdifferenzen im K¨ orper klein gegen¨ uber der Differenz (ϑW − ϑF ) zwischen Wand- und FluidTemperatur; bei großen Biot-Zahlen gilt das Umgekehrte, was in Abb. 2.5 f¨ ur einen Abk¨ uhlvorgang beispielhaft dargestellt ist. Sehr große Biot-Zahlen f¨ u hren zu ´ ` ´ sehr ` + + ur Bi → ∞ geht nach (2.34) ϑ+ kleinen Werten von ϑ+ W − ϑF , und f¨ W − ϑF → 0. Die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.34) kann durch die einfachere Randbedingung + = ϑ ersetzt werden. ϑ+ W F

Temperaturfelder in ruhenden festen K¨ orpern lassen sich in dimensionsloser Form durch ! ˙ + , q˙+ , Bi, KGeom (2.36) ϑ+ = ϑ+ x+ , y + , z + , t+ , W W darstellen. Dabei wurden die schon behandelten dimensionslosen Variablen und Kenngr¨ oßen durch geometrische Kenngr¨ oßen — hier abgek¨ urzt und als KGeom zusammengefasst — erg¨ anzt. Geometrische Kenngr¨oßen sind zum Beispiel das Verh¨ altnis H/D von H¨ ohe zu Durchmesser eines w¨armeleitenden Zylinders oder die Verh¨ altnisse L2 /L1 und L3 /L1 der Kantenl¨angen L1 bis L3 eines Quaders. Auch die Form der Funktion in (2.36) h¨angt von der Geometrie

132

2 W¨ armeleitung und Diffusion

und den sonstigen Bedingungen des W¨ armeleitproblems ab. In der Regel werden nicht alle dimensionslosen Variablen in (2.36) gleichzeitig auftreten. Bei station¨ aren W¨ armeleitvorg¨ angen entf¨ allt t+ ; f¨ ur K¨orper ohne W¨armequellen ˙ + ≡ 0; sind nur Temperaturen als Randbedingungen vorgeschrieben, so ist W + kommen q˙W und Bi in (2.36) nicht vor. Schließlich sei darauf hingewiesen, dass bei W¨armeleitproblemen die dimensionslose Darstellung und das Zusammenfassen der Einflussgr¨oßen zu Kennzahlen eine nicht so große Bedeutung haben wie bei der in 1.1.4 behandelten Darstellung und Bestimmung von W¨arme¨ ubergangskoeffizienten. Wir werden im Folgenden h¨ aufig darauf verzichten, das W¨armeleitproblem dimensionslos zu machen, und werden nur die gefundene L¨osung durch entsprechende Zusammenfassung von Variablen und Einflussgr¨oßen dimensionslos darstellen.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung H¨ angt die Temperatur an jeder Stelle des w¨ armeleitenden K¨orpers nicht von der Zeit ab, so spricht man von station¨ arer W¨armeleitung. Einfache, f¨ ur die Praxis wichtige F¨ alle der station¨ aren W¨ armeleitung haben wir bereits im einf¨ uhrenden Kapitel behandelt, n¨ amlich den geometrisch eindimensionalen W¨ armefluss in ebenen und gekr¨ ummten W¨ anden, vgl. Abschnitt 1.1.2. In den ¨ folgenden Abschnitten erweitern wir diese Uberlegungen zun¨achst auf geometrisch eindimensionale Temperaturverteilungen mit inneren W¨armequellen. Es folgt ein Abschnitt u ¨ber Temperaturverlauf und W¨armeabgabe von Rippen, in dem wir auch den in 1.2.3 eingef¨ uhrten Rippenwirkungsgrad bestimmen. Wir behandeln dann ebene und r¨ aumliche Temperaturfelder, deren Berechnung kompliziertere mathematische Methoden erfordert, so dass man h¨aufig gezwungen ist, auf numerische L¨ osungsverfahren zur¨ uckzugreifen, die im Abschnitt 2.4.6 dargestellt werden.

2.2.1 Geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung mit W¨ armequellen Im Abschnitt 1.2.1 hatten wir den geometrisch eindimensionalen W¨armefluss ohne innere W¨ armequellen behandelt. Die Temperatur h¨angt dabei nur von einer r¨ aumlichen Koordinate ab. Wir erhielten die Gleichungen f¨ ur den station¨ aren W¨ armefluss durch die ebene Wand (Platte), durch den Hohlzylinder (Rohrwand) und die Hohlkugel. Wir wollen nun diese Betrachtungen dahingehend erweitern, dass im w¨ armeleitenden Material auch W¨armequellen vorhanden sind. Beispiele hierf¨ ur sind ein stromdurchflossener elektrischer Leiter, in dem elektrische Energie dissipiert wird, und die zylinder- oder kugelf¨ormigen Spaltstoffelemente eines Kernreaktors, in denen die bei der Kernspaltung freigesetzte Energie als W¨ arme an die Oberfl¨ ache des Spaltstoffelements geleitet wird.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

133

Wie die in 2.1.1 hergeleitete W¨ armeleitungsgleichung zeigt, beeinflusst bei station¨ arer W¨ armeleitung wegen ∂ ϑ/∂t ≡ 0 nur die W¨armeleitf¨ahigkeit λ = λ(ϑ) als einzige Materialeigenschaft das Temperaturfeld. Wir setzen zun¨achst konstantes λ voraus; dann ist ˙ /λ) = 0 ∇2 ϑ + (W

(2.37)

˙ den die Differentialgleichung f¨ ur das station¨ are Temperaturfeld, in der W Quellterm, n¨ amlich die auf das Volumen bezogene, im Material erzeugte“ ” ˙ von der Temperatur ϑ oder W¨ armeleistung bedeutet. Dabei kann W von den Ortskoordinaten abh¨ angen. Wir beschr¨ anken uns nun auf geometrisch eindimensionalen W¨ armefluss. Die Temperatur h¨ angt nur von einer Ortskoordinate ab, die wir (auch im Falle kartesischer Koordinaten) mit r bezeichnen. Der Laplace-Operator nimmt f¨ ur kartesische, Zylinder- und Kugelkoordinaten eine unterschiedliche Gestalt an. Man kann diese drei F¨alle zusammenfassen und erh¨ alt aus (2.37) ˙ (r, ϑ) d2 ϑ n dϑ W + =0 (2.38) + 2 dr r dr λ als maßgebende Differentialgleichung mit n = 0 f¨ ur den linearen W¨armefluss (Platte), n = 1 f¨ ur den Zylinder und n = 2 f¨ ur die Kugel. Wir l¨ osen die gew¨ ohnliche Differentialgleichung (2.38) f¨ ur den Fall kon˙ =W ˙ 0 . Die L¨ stanter Leistungsdichte W osung lautet ⎫ ⎧ ⎬ ⎨ c0 + c1 (r − r0 ) ˙ 0 r2 W (2.39) − ϑ(r) = c0 + c1 ln (r/r0 ) ⎭ 2 (1 + n) λ ⎩ c + c (1/r − 1/r ) 0

1

0

f¨ ur die drei F¨ alle Platte (n = 0), Zylinder (n = 1) und Kugel (n = 2). Dabei sind c0 und c1 Konstanten, die den Randbedingungen anzupassen sind. Als Beispiel betrachten wir den einfachen Fall, dass an der Oberfl¨ache r = ±R W¨ arme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperatur ϑ = ϑF stattfindet. Es gilt dann

 dϑ −λ = α [ϑ(R) − ϑF ] (2.40) dr r=R und aus Symmetriegr¨ unden

dϑ dr

 =0 .

(2.41)

r=0

Aus der Bedingung (2.41) folgt c1 = 0. Aus (2.40) ergibt sich die Konstante osung des Randwertproblems c0 , so dass die L¨  ˙ 0 R2

W 2λ r2 ϑ(r) = ϑF + 1− 2 + 2λ (1 + n) R αR lautet. Mit der dimensionslosen Temperatur

134

2 W¨ armeleitung und Diffusion

ϑ+ :=

ϑ − ϑF , ˙ 0 R2 /λ W

(2.42)

dem dimensionslosen Abstand r+ = r/R

(2.43)

von der Mittelebene bzw. vom Mittelpunkt und mit der Biot-Zahl Bi := αR/λ erh¨ alt man daraus ϑ+ =

  1 2 2 1 − r+ + . 2(1 + n) Bi

(2.44)

(2.45)

Im w¨ armeleitenden K¨ orper stellt sich eine parabelf¨ormige Temperaturverteilung ein mit der h¨ ochsten Temperatur bei r+ = 0, Abb. 2.6.

Abb. 2.6: Verlauf der dimensionslosen Temperatur ϑ+ nach (2.45) in der Platte (n = 0), im Zylinder (n = 1) und in der Kugel (n = 2) f¨ ur Bi = αR/λ = 4,0

˙ 0 die W¨ Ist statt der Leistungsdichte W armestromdichte q˙W an der Oberfl¨ ache (r = R) der drei K¨ orper gegeben, so erh¨alt man aus der Energiebilanzgleichung ˙ 0 V = q˙W A W mit V als dem Volumen und A als der Oberfl¨ache den einfachen Zusammenhang ˙ 0V = W ˙0 R . q˙W = W (2.46) A 1+n Gleichung (2.45) f¨ ur den Temperaturverlauf nimmt dann die von der K¨orperform unabh¨ angige Gestalt

 q˙W R 2 2 ϑ(r) = ϑF + 1 − r+ + (2.47) 2λ Bi an.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

135

¨ Die vorstehenden Uberlegungen lassen sich auch auf den Fall temperaturabh¨ an˙ 0 und die Form des K¨ orpers giger W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = λ(ϑ) u ¨ bertragen. Sind W gegeben, so berechnet man zun¨ achst die W¨ armestromdichte q˙W an der Wand (r = R) nach (2.46). Aus ϑW = ϑF + q˙W /α erh¨ alt man die Oberfl¨ achentemperatur ϑW . Nach Abschnitt 2.1.4 f¨ uhren wir nun die transformierte Temperatur 1 Θ = ΘW + λ (ϑW )

Zϑ λ (ϑ) dϑ

(2.48)

ϑW

zur Ber¨ ucksichtigung des variablen λ ein. F¨ ur Θ erh¨ alt man aus (2.27) die Differentialgleichung ˙0 W n dΘ d2 Θ + =0 , + 2 dr r dr λ (ϑW ) die formal mit (2.38) u osen sie unter den Randbedingungen ¨ bereinstimmt. Wir l¨ r = 0 : dΘ/ dr = 0 , r = R: Θ = ΘW

(entsprechend ϑ = ϑW ) .

Die L¨ osung ist die Parabel Θ − ΘW =

˙ 0 R2 ˜ ˜ ˆ W q˙W R ˆ 1 − (r/R)2 = 1 − (r/R)2 . 2(1 + n)λ(ϑW ) 2λ(ϑW )

(2.49)

orpers findet man Zur Berechnung der h¨ ochsten Temperatur ϑmax im Zentrum des K¨ mit r = 0 ˙ 0 R2 W q˙W R Θmax − ΘW = = 2(1 + n)λ(ϑW ) 2λ(ϑW ) und erh¨ alt mit (2.48) f¨ ur ϑmax die Gleichung ϑmax

Z

λ (ϑ) dϑ = λ (ϑW ) (Θmax − ΘW ) =

˙ 0 R2 W . 2 (1 + n)

(2.50)

ϑW

˙ =W ˙ 0 = const fallengelassen und eine mit M. Jakob [2.2] hat die Voraussetzung W der Temperatur linear ansteigende oder linear fallende W¨ armeentwicklung ber¨ ucksichtigt. Der erste Fall tritt bei der Erw¨ armung metallischer elektrischer Leiter auf, deren elektrischer Widerstand ja mit der Temperatur zunimmt. Beispiel 2.1: Ein zylindrisches Spaltstoffelement mit dem Radius r = 0,011 m besteht aus Urandioxid (UO2 ). In einem bestimmten Querschnitt des Elements ˙ 0 = 1,80 · 105 kW/m3 ; die Oberfl¨ achentemperatur hat ist die Leistungsdichte W ochste Temperatur ϑmax im Zentrum den Wert ϑW = 340 . Man berechne die h¨ ochel u.a. [2.3] durch des Elements. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit von UO2 ist nach J. H¨ „ «3 3540 K T λ (T ) = + 0,0747 , W/K m T + 57 K 1000 K

136

2 W¨ armeleitung und Diffusion

g¨ ultig im Bereich 300 K < T < 3073 K, gegeben. Man erh¨ alt die maximale (thermodynamische) Temperatur Tmax aus (2.50) mit n = 1 und ϑ = T : Tmax

Z

λ (T ) dT =

˙ 0 R2 W = 5445 W/m . 4

TW

Mit der Oberfl¨ achentemperatur TW = ϑW + 273 K = 613 K ergibt sich (

Tmax

Z

λ (T ) dT =

3540 ln

Tmax + 57 K + 18,675 670 K

"„

Tmax 1000 K

#)

«4

− 0,1412

W . m

TW

Damit erh¨ alt man die transzendente Gleichung # "„ «4 Tmax Tmax + 57 K ln − 0,1412 = 1,5381 − 0,005275 670 K 1000 K mit der L¨ osung Tmax = 2491 K, entsprechend ϑmax = 2281 . Diese Temperatur liegt noch merklich unter der Schmelztemperatur von UO2 , die etwa 2800 betr¨ agt.

2.2.2 W¨ armeleitung in L¨ angsrichtung eines Stabes Wird ein stabf¨ ormiges Gebilde, z.B. ein Bolzen oder eine S¨aule, an einem Ende beheizt, so str¨ omt W¨ arme im Stab in axialer Richtung und geht u ¨ ber die Mantelfl¨ ache des Stabes an seine Umgebung u ¨ber. Auch die W¨armeabgabe von Rippen ist ein ¨ ahnliches W¨ armeleitproblem, das wir im n¨achsten Abschnitt behandeln. Schließlich gibt es Messverfahren zur Bestimmung der W¨ armeleitf¨ ahigkeit, die auf dem Vergleich des Temperaturabfalls in St¨aben unterschiedlichen Materials beruhen, vgl. [2.2]. Wir betrachten einen Stab der L¨ ange L mit konstanter Querschnittsfl¨ache Aq und konstantem Umfang U . Ein Ende des Stabes wird durch W¨armezufuhr auf der konstanten Temperatur ϑ0 gehalten. W¨arme str¨omt dann in Richtung der Stabachse und wird u außere Oberfl¨ache an die Umgebung ab¨ ber die ¨ gegeben, Abb. 2.7. Die Querschnittsfl¨ ache des Stabes sei so klein, dass die Temperatur u ¨ ber jeden Querschnitt konstant angenommen werden kann; sie h¨ angt dann nur von der axialen Koordinate x ab. Betrachtet man an einer beliebigen Stelle ein Stabelement mit dem Volumen ΔV = Aq Δx, so gibt es u ache den W¨ armestrom ¨ ber die Mantelfl¨ ΔQ˙ = α [ϑ (x + εΔx) − ϑU ] U Δx ,

0≤ε≤1 ,

an die Umgebung mit der konstanten Temperatur ϑU ab. Diese W¨armeabgabe wirkt wie eine W¨ armesenke im Stabmaterial mit der Leistungsdichte

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

137

˙ ˙ = − lim ΔQ = − αU [ϑ(x) − ϑU ] . W Δx→0 ΔV Aq Wir setzen dies in die Differentialgleichung (2.38) f¨ ur den linearen W¨armefluss mit W¨ armequellen (n = 0) ein und erhalten mit x anstelle von r d2 ϑ αU − (ϑ − ϑU ) = 0 dx2 λAq

(2.51)

als Differentialgleichung, die den Temperaturverlauf l¨angs des Stabes bestimmt.

Abb. 2.7: Temperaturverlauf in einem Stab mit konstanter Querschnitts߬ ache Aq

Wir nehmen nun einen konstanten W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α an und setzen zur Abk¨ urzung (2.52) m2 := αU/λAq . Dann lautet die allgemeine L¨ osung von (2.51) ϑ(x) = ϑU + c1 exp(−mx) + c2 exp(mx) = ϑU + C1 cosh(mx) + C2 sinh(mx) . Die Integrationskonstanten c1 und c2 bzw. C1 und C2 sind aus den Randbedingungen zu bestimmen. Am linken Ende (x = 0) soll der Stab stets die Temperatur ϑ = ϑ0 annehmen, w¨ ahrend wir am anderen Stabende (x = L) verschiedene Randbedingungen betrachten. Die Bedingung ϑ = ϑ0

f¨ ur

x=0

legt es nahe, die dimensionslose Temperatur ϑ+ :=

ϑ − ϑU ϑ0 − ϑU

zu benutzen. Es gilt dann stets 0 ≤ ϑ+ ≤ 1 .

(2.53)

138

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Wir betrachten nun einen Stab, der frei in die Umgebung ragt, Abb. 2.7, und an seiner Stirnfl¨ ache (x = L) W¨ arme abgibt. Hier gilt dϑ Q˙ L = −λAq = αL Aq (ϑ − ϑU ) dx

f¨ ur

x=L .

(2.54)

Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αL an der Stirnfl¨ache braucht dabei nicht mit dem α an der Mantelfl¨ ache des Stabes u ¨ bereinzustimmen. Nach l¨angerer Rechnung erh¨ alt man f¨ ur die Temperaturverteilung im Stab ϑ+ (x) =

cosh [m(L − x)] + (αL /mλ) sinh [m(L − x)] . cosh (mL) + (αL /mλ) sinh (mL)

(2.55)

Der an die Umgebung abgegebene W¨ armestrom Q˙ ist gleich dem W¨armestrom, der durch den Stabquerschnitt bei x = 0 fließt:

 dϑ ˙ ˙ Q = Q0 = −λAq . dx x=0 Durch Differenzieren von (2.55) erh¨ alt man hierf¨ ur Q˙ 0 =

 tanh(mL) + (αL /mλ) . αλAq U (ϑ0 − ϑU ) 1 + (αL /mλ) tanh(mL)

(2.56)

Kann man αL = α setzen, so wird α αL = = mλ mλ

"

αAq . λU

Eine merkliche Vereinfachung der Gleichungen erh¨alt man f¨ ur αL = 0. Dies gilt, wenn das Stabende isoliert ist oder wenn man die W¨armeabgabe u ¨ ber assigen kann. F¨ ur den Temperaturdie kleine Querschnittsfl¨ ache Aq vernachl¨ verlauf ergibt sich nun ϑ+ (x) =

cosh [m(L − x)] . cosh(mL)

(2.57)

Die Temperatur am freien Stabende ist auf ϑ+ (L) =

ϑL − ϑU 1 = ϑ0 − ϑU cosh(mL)

gesunken. Der abgegebene W¨ armestrom ergibt sich aus (2.56) zu  Q˙ 0 = αU λAq (ϑ0 − ϑU ) tanh(mL) . −1

(2.58)

(2.59)

Die Funktionen (cosh mL) und tanh mL sind in Abb. 2.8 dargestellt. Will man die einfachen Gleichungen (2.57) bis (2.59) auch f¨ ur αL = 0 benutzen, so kann man sich den Stab der L¨ange L mit W¨armeabgabe bei

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

139

Abb. 2.8: Charakteristische Funk¨ tionen f¨ ur die Ubertemperatur am freien Stabende nach (2.58) und f¨ ur den abgegebenen W¨ armestrom nach (2.59)

x = L durch einen Stab ersetzt denken, der die gr¨oßere L¨ange L + ΔL hat und bei x = L + ΔL isoliert ist. Die zus¨ atzliche L¨ange ΔL wird so bestimmt, dass der nicht ber¨ ucksichtigte W¨ armestrom Q˙ L u ¨ ber die Stirnfl¨ache von der vergr¨ oßerten Umfangsfl¨ ache U ΔL abgegeben wird. F¨ ur kleine Werte ΔL gilt in guter N¨ aherung Q˙ L = αL Aq (ϑL − ϑU ) = αU ΔL (ϑL − ϑU ) . Daraus erh¨ alt man die korrigierte L¨ ange LC des Ersatzstabes zu LC = L + ΔL = L +

αL Aq . α U

(2.60)

Sie ist in (2.57) bis (2.59) anstelle von L zu benutzen. Wir betrachten nun den Fall, dass am Stabende x = L die Temperatur ϑL vorgegeben ist, Abb. 2.9. Nach einiger Rechnung erh¨ alt man die Temperaturverteilung ϑ+ (x) =

sinh m(L − x) sinh(mx) + ϑ+ (L) . sinh(mL) sinh(mL)

(2.61)

Um die W¨ armeabgabe des Stabes zwischen x = 0 und x = L zu berechnen, bestimmen wir die W¨ armestr¨ ome, die durch die beiden Querschnitte x = 0 und x = L in x-Richtung fließen. F¨ ur einen beliebigen Querschnitt erh¨ alt man ˜ dϑ λAq m (ϑ0 − ϑU ) ˆ ˙ = cosh [m(L − x)] − ϑ+ (L) cosh(mx) . Q(x) = −λAq dx sinh(mL) Daraus ergibt sich mit m nach (2.52) Q˙ 0 = und Q˙ L =

p

αλAq U

˜ (ϑ0 − ϑU ) ˆ cosh(mL) − ϑ+ (L) sinh(mL)

p ˜ (ϑ0 − ϑU ) ˆ αλAq U 1 − ϑ+ (L) cosh(mL) . sinh(mL)

140

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.9: Temperaturverlauf in einem Stab, dessen Enden auf den vorgegebenen armestrom ab Temperaturen ϑ0 und ϑL gehalten werden. a bei x = L fließt ein W¨ armestrom zu (Q˙ L < 0) (Q˙ L > 0), b bei x = L fließt ein W¨

Der zwischen den Endquerschnitten u ache abgegebene W¨ armestrom ¨ ber die Mantelfl¨ wird dann Q˙ = Q˙ 0 − Q˙ L =

p

ˆ ˜ cosh(mL) − 1 . αλAq U (ϑ0 − ϑU ) 1 + ϑ+ (L) sinh(mL)

(2.62)

Beispiel 2.2: Ein zylinderf¨ ormiger Stahlbolzen (λ = 52,5 W/K m) mit dem Durchmesser d = 0,060 m und der L¨ ange L = 0,200 m ragt aus einer Platte her¨ hat. Uber seine Mantelfl¨ ache und die freie aus, die die Temperatur ϑ0 = 60,0 Stirnfl¨ ache geht W¨ arme an Luft mit der Temperatur ϑU = 12,5 u ¨ ber, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient f¨ ur beide Fl¨ achen den Wert α = 8,0 W/m2 K hat. Man berechne den W¨ armestrom Q˙ 0 , der an die Luft u ¨ bergeht, und die Tempeache. ratur ϑL der freien Stirnfl¨ F¨ ur den W¨ armestrom erh¨ alt man aus (2.56) mit U = πd und Aq = πd2 /4 π √ tanh (mL) + (α/mλ) . Q˙ 0 = d αλd (ϑ0 − ϑU ) 2 1 + (α/mλ) tanh (mL) Dabei ist nach (2.52)

r α mL = 2 L = 0,6375 λd

und 1 α = mλ 2

r

αd = 0,0478 . λ

Somit wird Q˙ 0 = 13,3 W. Die Temperatur an der Bolzenstirnfl¨ ache ergibt sich aus (2.55) mit x = L zu ϑ+ =

1 = 0,8047 cosh(mL) + (α/mL) sinh(mL)

und daraus zu ϑL = ϑU + (ϑ0 − ϑU ) ϑ+ L = 50,7

.

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

141

Vernachl¨ assigt man die W¨ armeabgabe an der Stirnfl¨ ache des Bolzens, so erh¨ alt man aus (2.59) den zu geringen W¨ armestrom Q˙ 0 = 12,7 W. Die Temperatur ϑL erh¨ alt den zu großen Wert ϑL = 51,8 . Mit der korrigierten Bolzenl¨ ange LC = L +

d = 0,215 m 4

nach (2.60) findet man jedoch aus (2.59) und (2.57) f¨ ur Q˙ 0 und ϑL Werte, die mit mindestens drei geltenden Ziffern mit den exakten Werten u ¨ bereinstimmen.

2.2.3 Der Temperaturverlauf in Rippen und Nadeln Wie schon in Abschnitt 1.2.3 dargestellt, l¨ asst sich der W¨armedurchgang zwischen zwei Fluiden dadurch verbessern, dass man die Oberfl¨ache der Wand auf der Seite mit dem kleineren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten durch das Anbringen von Rippen oder Nadeln vergr¨ oßert. Allerdings ist diese Fl¨achenvergr¨oßerung nur zu einem Teil wirksam, weil in den Rippen ein Temperaturgradient auftritt, ohne den W¨ arme nicht vom Rippenfuß fortgeleitet w¨ urde. Dadurch ¨ ist die f¨ ur die W¨ armeabgabe an das Fluid maßgebende mittlere Ubertem¨ peratur kleiner als die Ubertemperatur am Rippenfuß. Um dies quantitativ zu erfassen, wurde in Abschnitt 1.2.3 der Rippenwirkungsgrad eingef¨ uhrt. Zu seiner Berechnung muss man den Temperaturverlauf in der Rippe kennen, worauf wir im Folgenden eingehen. Ergebnisse f¨ ur den Rippenwirkungsgrad verschiedener Formen von Rippen oder Nadeln werden im n¨achsten Abschnitt angegeben. Um den Temperaturverlauf zu berechnen, werden einige einschr¨ankende Annahmen gemacht: 1. Die Rippe (oder Nadel) ist so d¨ unn, dass die Temperatur nur von der Koordinate in der Richtung vom Rippenfuß zur Rippenspitze abh¨angt. 2. Das Rippenmaterial ist homogen mit konstanter W¨armeleitf¨ahigkeit λR . 3. Der W¨ arme¨ ubergang an der Rippenoberfl¨ ache kann durch einen konstanten W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αR beschrieben werden. 4. Die Temperatur ϑU des die Rippe umgebenden Fluids ist konstant. 5. Der W¨ armestrom an der Rippenspitze wird gegen¨ uber dem W¨armestrom an den Rippenseitenfl¨ achen vernachl¨ assigt. Diese Annahmen treffen in der Regel zu mit Ausnahme eines u ¨ber die ganze Rippenoberfl¨ ache konstanten αR . Der Einfluss eines ver¨anderlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten wurde von S.-Y. Chen und G.L. Zyskowski ¨ [2.4], von L.S. Han und S.G. Lefkowitz [2.5] sowie von H.C. Unal [2.6] untersucht. Der Temperaturverlauf in Rippen wird unter den genannten Annahmen durch eine gew¨ ohnliche lineare Differentialgleichung 2. Ordnung beschrieben, die wir im Folgenden herleiten. Dazu schneiden wir aus der beliebig geformten Rippe oder Nadel nach Abb. 2.10 ein Element der Dicke Δx heraus. Die Energiebilanzgleichung f¨ ur dieses Element lautet

142

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.10: Energiebilanz f¨ ur das Volumenelement mit der Dicke Δx und der Oberache fl¨ ache ΔAR einer beliebig geformten Rippe oder Nadel mit der Querschnittsfl¨ Aq (x) ˙ ˙ + Δx) + ΔQ˙ u¨ , Q(x) = Q(x

(2.63)

denn der W¨ armestrom, der durch Leitung an der Stelle x in das Element hineinfließt, muss den bei x + Δx weitergeleiteten W¨ armestrom liefern und den W¨ armestrom ache ΔAR des Elements an das umgebende Fluid mit der ΔQ˙ U ¨ ber die Oberfl¨ ¨ , der u ¨ Temperatur ϑU u uhren die Ubertemperatur ¨ bergeht. Wir f¨ Θ(x) := ϑ(x) − ϑU

(2.64)

armeabgebenden a ache des Ripein und erhalten mit ΔAR als der w¨ ¨ußeren Oberfl¨ penelements f¨ ur ΔQ˙ U ¨ den Ausdruck ΔQ˙ U ¨ = αR ΔAR Θ(x + εΔx)

,

0≤ε≤1 .

armeNach dem Gesetz von Fourier wird durch die Querschnittsfl¨ ache Aq (x) der W¨ strom dΘ (2.65) Q˙ = −λR Aq (x) dx durch W¨ armeleitung transportiert. Daraus erh¨ alt man (Taylor-Entwicklung an der Stelle x) dQ˙ ˙ + Δx) = Q(x) ˙ Q(x + Δx + O(Δx2 ) dx » – dΘ d ˙ Aq (x) Δx + O(Δx2 ) , = Q(x) − λR dx dx wobei O(Δx2 ) andeutet, dass das Restglied proportional zu Δx2 ist. Wir setzen diese Beziehungen f¨ ur die drei W¨ armestr¨ ome in die Bilanzgleichung (2.63) ein und erhalten » – dΘ d Aq (x) Δx + O(Δx2 ) + αR ΔAR Θ(x + εΔx) . 0 = −λR dx dx Nach Division durch Δx ergibt der Grenz¨ ubergang Δx → 0

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung »

143

–

αR dAR dΘ d Aq (x) − Θ=0 dx dx λR dx

(2.66)

¨ als die gesuchte Differentialgleichung f¨ ur die Ubertemperatur Θ(x).

Abb. 2.11: Gerade Rippe der Breite b (senkrecht zur Zeichenebene) mit beliebiger Profilfunktion y = y(x)

Abb. 2.12: Kreisf¨ ormige Rippe auf einem Kernrohr (Außenradius r0 ) mit beliebiger Profilfunktion y = y(r)

Diese Differentialgleichung erfasst alle Formen vergr¨ oßerter Oberfl¨ achen, sofern nur die eingangs genannten Annahmen zutreffen. Die verschiedenen Rippen- oder ur die QuerschnittsNadelformen kommen in den beiden Funktionen Aq = Aq (x) f¨ ur die w¨ armeabgebende Rippenoberfl¨ ache zum Ausdruck. fl¨ ache und AR = AR (x) f¨ So erh¨ alt man f¨ ur gerade Rippen der Breite b senkrecht zur Zeichenebene der Abb. 2.11 mit der Profilfunktion y = y(x) die Fl¨ achen Aq (x) = 2y(x)b

und

AR (x) = 2bx .

In AR werden dabei die schmalen Seitenfl¨ achen nicht ber¨ ucksichtigt; außerdem wird der Unterschied zwischen AR und ihrer Projektion auf die von der Rippenbreite b und der x-Achse aufgespannte Ebene vernachl¨ assigt. Es wird also eine schlanke Rippe vorausgesetzt. Dies f¨ uhrt zur Differentialgleichung 1 dy dΘ d2 Θ αR + − Θ=0 . dx2 y dx dx λR y

(2.67)

Sie ist f¨ ur ein gegebenes Rippenprofil y = y(x) unter Beachtung der Randbedingungen am Rippenfuß, ur x = 0 , (2.68) Θ = Θ0 = ϑ0 − ϑU f¨ und der Bedingung dΘ = 0 f¨ ur x = h (2.69) dx zu l¨ osen. Dies entspricht der f¨ unften Annahme, der Vernachl¨ assigung der W¨ armeabgabe an der Rippenspitze. F¨ ur schlanke kreisf¨ ormige Rippen nach Abb. 2.12 erh¨ alt man mit r als radialer Koordinate Aq (r) = 4πry(r) und AR (r) = 2π(r 2 − r02 ) , wobei y = y(r) das Rippenprofil beschreibt. Aus (2.66) ergibt sich die f¨ ur Kreisrippen g¨ ultige Differentialgleichung

144

2 W¨ armeleitung und Diffusion „ « y d2 Θ dy dΘ αR Θ=0 . y 2 + + − dr r dr dr λR

(2.70)

Die L¨ osung muss die Randbedingungen Θ = Θ0 = ϑ0 − ϑU

f¨ ur

r = r0

am Rippenfuß und dΘ/dr = 0

f¨ ur

r = r0 + h

an der Rippenspitze erf¨ ullen. L¨ osungen der Differentialgleichungen (2.67) und (2.70) wurden erstmals 1922 von D.R. Harper und W.B. Brown [2.7] sowie 1926 von E. Schmidt [2.8] f¨ ur verschiedene Profilfunktionen y = y(x) bzw. y = y(r) angegeben. In einer umfassenden Untersuchung hat 1945 K.A. Gardner [2.9] alle Profile behandelt, die auf Differentialgleichungen f¨ uhren, deren L¨ osungen verallgemeinerte Bessel-Funktionen sind. Die aus (2.66) herzuleitende Differentialgleichung f¨ ur kegelf¨ ormige Nadeln mit unterschiedlichem Profil hat erstmals R. Focke [2.10] 1942 angegeben und gel¨ ost. Eine eingehende zusammenfassende Behandlung des Temperaturverlaufs in den verschiedenen Elementen vergr¨ oßerter W¨ arme¨ ubertragungsfl¨ achen findet man im Buch von D.Q. Kern und A.D. Kraus [2.11].

Im Folgenden behandeln wir beispielhaft die gerade Rippe mit rechteckigem Profil. Ihre Dicke sei mit δR bezeichnet, so dass f¨ ur die Profilfunktion der Abb. 2.11 y(x) = δR /2 gilt. Aus (2.67) folgt dann die einfache Differentialgleichung 2αR d2 Θ − Θ=0 . 2 dx λR δR Sie stimmt formal mit Gl. (2.51) von Abschnitt 2.2.2 u ur die ¨ berein, die f¨ W¨ armeleitung in L¨ angsrichtung eines Stabes gilt. Mit der Abk¨ urzung " 2αR m= (2.71) λR δR erh¨ alt man die schon aus Abschnitt 2.2.2 bekannte L¨osung Θ = Θ0

cosh [m(h − x)] , cosh(mh)

(2.72)

die den beiden Randbedingungen (2.68) und (2.69) gen¨ ugt. Will man die durch (2.69) vernachl¨ assigte W¨ armeabgabe der Rippenspitze ber¨ ucksichtigen, so kann man entsprechend (2.60) eine korrigierte Rippenh¨ohe einf¨ uhren und h durch hC = h + Δh = h + δR /2 ersetzen. Gl. (2.72) gilt auch f¨ ur eine Nadel mit konstanter Querschnittsfl¨ ache Aq . Man hat nur in (2.71) δR = Aq /2U mit U als dem Umfang der Querschnittsfl¨ ache zu setzen. Abb. 2.13 zeigt den Temperaturverlauf als Funktion der dimensionslosen Koordinate x/h f¨ ur verschiedene Werte des Parameters mh, in dem die Abmessungen der Rippe, ihre W¨ armeleitf¨ ahigkeit und der W¨arme¨ ubergangskoeffizient zusammengefasst sind. F¨ ur praktische Anwendungen sollten Werte

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

145

Abb. 2.13: Temperaturverlauf in geraden Rippen mit Rechteckprofil (Rippendicke δR ) als Funktion von x/h mit mh als Parameter nach (2.72)

im Bereich 0,7 < mh < 2 gew¨ ahlt werden. In langen Rippen mit mh > 2 f¨allt die Temperatur sehr rasch ab, und ein erheblicher Teil der Rippe u ¨bertr¨agt ¨ wegen zu geringer Ubertemperatur nur wenig W¨arme. Werte von mh < 0,7 weisen darauf hin, dass bei einer Verl¨ angerung der Rippe erheblich gr¨oßere W¨ armestr¨ ome h¨ atten u onnen. ¨bertragen werden k¨ Einen Optimalwert von mh kann man aus der Bedingung finden, dass der von der Rippe abgegebene W¨ armestrom Q˙ R m¨oglichst groß sein soll unter der Nebenbedingung, dass der Materialaufwand, also das Rippenvolumen armestrom, der durch den Rippenfuß konstant ist. Wir erhalten Q˙ R als den W¨ (x = 0) geleitet wird:

 dΘ ˙ QR = −λR b δR . (2.73) dx x=0 Aus (2.72) ergibt sich hierf¨ ur  Q˙ R = 2αR λR δR b Θ0 tanh (mh) .

(2.74)

Mit dem Rippenvolumen VR = δR hb wird dies Q˙ R =

 Θ0 2αR λR VR b √ tanh h

"

2αR b 3/2 h λR VR

 .

Man kann davon ausgehen, dass die Rippenbreite b durch die Abmessungen des zu k¨ uhlenden Apparates festgelegt ist. Q˙ R h¨angt dann von h ab, und die Bedingung dQ˙ R /dh = 0 f¨ uhrt auf die Gleichung tanh(mh) =

& % 3mh = 3mh 1 − tanh2 (mh) 2 cosh (mh)

146

2 W¨ armeleitung und Diffusion

mit der L¨ osung

" mh =

2αR h = 1,4192 . λR δR

Die nach dieser Bedingung gew¨ ahlte Rippenh¨ohe h gibt den maximalen W¨ armestrom bei festgehaltenem Rippenvolumen VR . Eine ¨ahnliche Rechnung f¨ ur kreisf¨ ormige Rippen mit verschiedenen Profilfunktionen haben A. Ullmann und H. Kalman [2.12] ausgef¨ uhrt. E. Schmidt [2.8] hat die Rippenform bestimmt, die bei gegebener W¨armeleistung den geringsten Materialaufwand erfordert. Das Profil dieser Rippen ist eine Parabel, deren Scheitel an der Rippenspitze liegt. Solche sehr spitz zulaufenden Rippen lassen sich nur schwer herstellen, weswegen man in der Praxis Rippen mit rechteckigem, trapezf¨ ormigem oder dreieckigem Querschnitt antrifft.

2.2.4 Der Rippenwirkungsgrad In Abschnitt 1.2.3 wurde der Rippenwirkungsgrad ηR :=

Q˙ R ϑR − ϑU ΘR = = ˙ ϑ0 − ϑU Θ0 QR0

(2.75)

eingef¨ uhrt als das Verh¨ altnis des von der Rippe tats¨achlich abgegebenen W¨ armestroms Q˙ R zum W¨ armestrom Q˙ R0 = αR AR (ϑ0 − ϑU ) = αR AR Θ0 , der von der Rippe abgegeben w¨ urde, wenn sie u ¨berall die Temperatur ϑ0 des Rippenfußes h¨ atte und nicht im Mittel die niedrigere Temperatur ϑR . Dabei bedeutet ϑU die Fluidtemperatur, die in Abschnitt 1.2.3 mit ϑ2 bezeichnet wurde. Der von der Rippe abgegebene W¨ armestrom stimmt mit dem W¨arme˙ = 0) u strom Q(x ¨ berein, der am Rippenfuß durch Leitung in die Rippe fließt: ˙ = 0) = −λR Aq0 (dΘ/dx) Q˙ R = Q(x x=0 .

(2.76)

Hierbei bezeichnet Aq0 die Rippenquerschnittsfl¨ache am Rippenfuß. F¨ ur die gerade Rippe mit Rechteckprofil haben wir Q˙ R bereits im letzten Abschnitt berechnet. Mit (2.74) und Aq0 = b δR folgt aus (2.76) ηR =

tanh(mh) . mh

(2.77)

Der Wirkungsgrad der geraden Rechteckrippe h¨angt nur von der Kenngr¨oße " 2αR mh = h (2.78) λR δR

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

147

Abb. 2.14: Wirkungsgrad ηR der geraden Rippe mit Rechteckprofil nach (2.77) und mit Dreieckprofil nach (2.79) als Funktion von mh nach (2.78)

ab. Abb. 2.14 zeigt ηR nach (2.77). F¨ ur den in 2.2.3 bestimmten optimalen Wert mh = 1,4192 der Rippe mit der gr¨ oßten W¨armeabgabe bei gegebenem Volumen wird ηR = 0,627. In gleicher Weise l¨ asst sich auch f¨ ur andere Rippenformen der Wirkungsgrad aus dem Temperaturverlauf berechnen. F¨ ur gerade Rippen mit Dreiecksprofil zeigt Abb. 2.14 ηR als Funktion von mh, wobei hier δR die Dicke der Rippe an ihrem Fuß bedeutet. Der Verlauf von ηR ist dem Verlauf des Wirkungsgrades der geraden Rippe mit Rechteckprofil ¨ahnlich. Es liegt daher nahe, den aus Besselfunktionen zusammengesetzten Ausdruck f¨ ur ηR n¨aherungsweise durch die der Gl. (2.77) ¨ ahnliche Funktion ηR =

tanh (ϕmh) ϕmh

(2.79)

zu ersetzen. F¨ ur den Korrekturfaktor ϕ erh¨ alt man tanh (0,74485mh) , (2.80) mh womit man eine Wiedergabe des exakten Ergebnisses erh¨alt, die f¨ ur mh < 5 genauer als 0,05% ist. F¨ ur die h¨ aufig verwendeten Kreisrippen konstanter Dicke δR ist in (2.70) f¨ ur die Profilfunktion y(r) = δR /2 zu setzen. Der Wirkungsgrad ηR h¨angt von zwei Kenngr¨ oßen ab: von mh nach (2.78) und vom Radienverh¨altnis (r0 + h)/r0 = 1 + h/r0 , vgl. Abb. 2.12. Hier ergibt sich ein komplizierter Ausdruck, der modifizierte Besselfunktionen enth¨alt. F. Brandt [2.13] hat die recht genaue N¨ aherungsgleichung  p 2r0 tanh(mh) [tanh(mh)] tanh(mh) −C ηR = (2.81) 1+ n 2r0 + h mh 2mr0 (mr0 ) ϕ = 0,99101 + 0,31484

148

2 W¨ armeleitung und Diffusion

angegeben mit C = 0,071882, p = 3,7482, n = 1,4810. Sie gilt mit einem maximalen Fehler von 0,6% f¨ ur alle Werte von mh und f¨ ur mr0 ≥ 0,2. Eine einfachere N¨ aherungsgleichung hat Th.E. Schmidt [2.14] gefunden: ηR =

tanh (mhϕ) mhϕ

(2.82)

mit ϕ = 1 + 0,35 ln (1 + h/r0 ) .

(2.82a)

F¨ ur ηR > 0,5 weicht sie um nicht mehr als ±1% von den exakten Werten ab.

Abb. 2.15: Scheibenrippen. a rechteckige Scheibenrippe auf einem Rohr, b Rohrregister mit Scheibenrippen (rechteckig und sechseckig)

H¨ aufig werden auf Rohren quadratische, rechteckige oder sechseckige Scheibenrippen angebracht, wobei auch mehrere Rohre durch durchgehende Rippenschichten verbunden sind, Abb. 2.15. In diesen Rippen h¨ angt die Temperatur nicht nur von einer Koordinate ab, vielmehr muss mit ebenen Temperaturfeldern gerechnet werden. In erster N¨ aherung bestimmt man den Wirkungsgrad von Scheibenrippen, indem ur eine kreisf¨ ormige Rippe mit gleicher Oberfl¨ ache man ηR nach (2.81) oder (2.82) f¨ berechnet. Man hat dann f¨ ur die Rechteckrippe nach Abb. 2.15 p √ (2.83) h = s1 s2 /π − r0 = 0,564 s1 s2 − r0 und f¨ ur die Sechseck-Rippe mit s als Seitenl¨ ange s √ 3 3 s − r0 = 1,211s − r0 h= 2π zu setzen. Etwas genauere Werte sind nach Th.E. Schmidt [2.14] mit p h = 0,64 s2 (s1 − 0,2s2 ) − r0

(2.84)

(2.85)

oßeren Rechteckseite zu erwarten. E.M. Sparf¨ ur die Rechteckrippe mit s1 als der gr¨ row und S.H. Lin [2.15] haben f¨ ur die quadratische Scheibenrippe (s1 = s2 ) und f¨ ur die Sechseckrippe analytische N¨ aherungsl¨ osungen angegeben, die bei vergr¨ oßertem Rechenaufwand beliebig genaue Werte von ηR zu berechnen gestatten. Danach

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

149

sind die einfachen Gleichungen (2.83) mit s1 = s2 = s hinreichend genau, sofern h/r0 ≥ 0,5 ist. H.D. Baehr u. F. Schubert [2.16] haben den Wirkungsgrad quadratischer Scheibenrippen mit einem elektrischen Analogieverfahren experimentell bestimmt und die N¨ aherungsgleichungen (2.82) und (2.85) im Wesentlichen best¨ atigt.

2.2.5 Geometrisch mehrdimensionaler W¨ armefluss Ebene und r¨ aumliche station¨ are Temperaturfelder, wie sie bei geometrisch mehrdimensionalem W¨ armefluss auftreten, sind wesentlich schwieriger zu berechnen als die bisher behandelten F¨ alle, in denen ϑ nur von einer Ortskoordinate abhing. L¨ osungen der Laplace-Gleichung f¨ ur ebene Temperaturfelder ohne W¨ armequellen, ∂2ϑ ∂2ϑ + 2 =0 , (2.86) ∇2 ϑ = ∂x2 ∂y kann man durch Anwenden verschiedener mathematischer Methoden erhalten. Es sei der Produkt- oder Separationsansatz ϑ(x, y) = f1 (x) · f2 (y) genannt, durch den sich aus (2.86) zwei gew¨ ohnliche, leicht l¨osbare Differentialgleichungen ergeben. Die Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen ist nur dann in einfacher Weise m¨ oglich, wenn das Temperaturfeld in einem Rechteck mit parallel zur x- bzw. y-Richtung verlaufenden R¨andern gesucht ist. Beispiele findet man im Buch von S. Kaka¸c und Y. Yener [2.17]. Ein weiteres L¨ osungsverfahren ist die konforme Abbildung. Ihre Anwendung wird von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1] sowie von U. Grigull und H. Sandner [2.18] beschrieben. Mit dieser Methode lassen sich auch geometrisch komplizierte Bereiche behandeln. Dabei ergeben sich nur dann einfache L¨ osungen, wenn als Randbedingungen konstante oder abschnittsweise konstante Temperaturen und adiabate Berandungen vorgeschrieben sind. Eine W¨ arme¨ ubergangsbedingung l¨ asst sich in der Regel nur n¨aherungsweise ber¨ ucksichtigen. Als Beispiel hierf¨ ur sei die Untersuchung von K. Elgeti [2.19] genannt, der die W¨ armeabgabe eines in einer Wand verlegten Rohres berech¨ net hat. Schließlich sei die Methode der Uberlagerung von W¨armequellen und -senken genannt. Auch mit dieser Methode lassen sich kompliziertere Temperaturfelder zwischen isotherm berandeten K¨ orpern berechnen. Sie entspricht dem Singularit¨ atenverfahren, das in der Str¨ omungslehre zur Berechnung von Potentialstr¨ omungen um beliebig berandete K¨ orper eingesetzt wird, vgl. z.B. [2.20]. Eine Anwendung dieses Verfahrens zeigen wir im n¨achsten Abschnitt. ¨ 2.2.5.1 Uberlagerung von W¨ armequellen und W¨ armesenken In Abschnitt 1.1.2 hatten wir die Temperaturverteilung ϑ = ϑ(r) in einem Hohlzylinder der L¨ ange L berechnet. Der in radialer Richtung fließende W¨ armestrom ist

150

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Q˙ = 2πLλ (ϑ − ϑ0 ) / ln (r0 /r) , wobei ϑ die Temperatur im Abstand r von der Achse und ϑ0 die Temperatur auf dem Radius r0 bedeuten. Man kann nun Q˙ als die Ergiebigkeit einer linienf¨ ormigen W¨ armequelle bei r = 0 auffassen, die parallel zur z-Achse verl¨ auft. Sie bewirkt das nur von r abh¨ angige Temperaturfeld ϑ(r) = ϑ0 +

Q˙ ln (r0 /r) 2πLλ

(2.87)

mit Temperaturen, die f¨ ur r → 0 gegen unendlich gehen. Eine solche linienf¨ ormige oder zylindrische W¨armequelle m¨oge nun auf der x-Achse im Punkt Q mit dem Abstand h vom Koordinatenursprung liegen, ˙ befinde sich im Punkt S im Abb. 2.16. Eine W¨ armesenke mit der St¨ arke (−Q) Abstand (−h) vom Koordinatenursprung. Wir stellen uns die Aufgabe, das ¨ ebene Temperaturfeld zu bestimmen, welches sich durch die Uberlagerung von Quelle und Senke in dem w¨ armeleitenden Medium ergibt.

¨ Abb. 2.16: Zur Uberlagerung der ebenen Temperaturfelder einer linienf¨ ormigen W¨ armequelle im Punkt Q und einer W¨ armesenke im Punkt S

Ein beliebiger Punkt P in Abb. 2.16 hat die Temperatur ϑ = ϑ0Q +

r0 r0 Q˙ Q˙ ln ln + ϑ0S − , 2πLλ rQ 2πLλ rS

woraus man mit ϑ0 = ϑ0Q + ϑ0S ϑ = ϑ0 +

Q˙ rS ln 2πLλ rQ

(2.88)

ande des Punktes P von der Quelle bzw. erh¨ alt. Darin bedeuten rQ und rS die Abst¨ der Senke. Eine Isotherme ϑ = const ist danach eine Linie, auf der das Abstandsverh¨ altnis (2.89) k := rS /rQ einen konstanten Wert hat. F¨ ur alle Punkte auf der y-Achse gilt rS = rQ ; somit ist die y-Achse die Isotherme mit k = 1, auf ihr ist ϑ = ϑ0 . Alle Punkte rechts von der y-Achse (x > 0) haben ein Abstandsverh¨ altnis k > 1 und Temperaturen ϑ > ϑ0 . F¨ ur die Punkte mit x < 0 gilt 0 ≤ k < 1 und ϑ < ϑ0 .

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

151

Wir zeigen nun, dass alle Isothermen ϑ = ϑ0 eine Schar von Kreisen bilden, deren Mittelpunkte auf der x-Achse liegen. Nach Abb. 2.16 gilt k2 = und daraus folgt

rS2 (x + h)2 + y 2 = , 2 rQ (x − h)2 + y 2

„ «2 k2 + 1 4k2 x− 2 h2 . h + y2 = 2 k −1 (k − 1)2

(2.90)

Dies ist die Gleichung eines Kreises mit dem Radius R=

2k h , k2 − 1

(2.91)

dessen Mittelpunkt M auf der x-Achse liegt und den Abstand m=

k2 + 1 h k2 − 1

(2.92)

vom Koordinatenursprung hat. Die Isothermen ϑ > ϑ0 sind wegen k > 1 Kreise, die rechts von der y-Achse liegen. Mit steigender Temperatur (wachsendem k) werden die Kreisradien immer kleiner, und der Kreismittelpunkt r¨ uckt immer n¨ aher an den Quellpunkt Q, Abb. 2.17. Isothermen mit ϑ < ϑ0 sind Kreise, die links von der y-Achse liegen. Mit sinkender Temperatur ziehen sich die Kreise immer enger um die Senke S zusammen.

Abb. 2.17: Isothermennetz nach (2.88) bzw. (2.90) f¨ ur verschiedene Abstandsverh¨ altnisse k nach (2.89); Q W¨ armequelle, S W¨ armesenke

Aus (2.91) und (2.92) erh¨ alt man durch Quadrieren

152

2 W¨ armeleitung und Diffusion h2 = m2 − R2 .

(2.93)

Bildet man das Verh¨ altnis m/R, so ergibt sich eine quadratische Gleichung f¨ ur k mit den L¨ osungen r“ ” m m 2 ± k= −1 . (2.94) R R Das Pluszeichen liefert Abstandsverh¨ altnisse k > 1, ist also f¨ ur die Kreise rechts von der y-Achse anzuwenden, w¨ ahrend die andere L¨ osung Werte k < 1 ergibt, die den Kreisen links von der y-Achse entsprechen. Das durch (2.88), (2.89) und (2.90) gegebene und in Abb. 2.17 dargestellte Isothermennetz erlaubt es, die station¨ are W¨ armeleitung in dem Medium zwischen zwei isothermen Kreisen, z.B. zwischen zwei Rohren mit den konstanten Oberfl¨ achentemur gilt peraturen ϑ1 und ϑ2 zu berechnen. Hierf¨ ϑ1 − ϑ2 =

Q˙ (ln k1 − ln k2 ) 2πLλ

oder

ϑ1 − ϑ2 2πLλ (ϑ1 − ϑ2 ) = . (2.95) ln (k1 /k2 ) RL Dies ist der W¨ armestrom, der zwischen den Isothermen ϑ = ϑ1 und ϑ = ϑ2 fließt. Er ist dem W¨ armeleitwiderstand (vgl. 1.2.2) Q˙ =

RL =

ln (k1 /k2 ) 2πLλ

(2.96)

umgekehrt proportional, der im Wesentlichen von der geometrischen Anordnung der beiden isothermen Kreise (Rohre) abh¨ angt. Dabei sind drei F¨ alle zu unterscheiden: 1. k1 > k2 > 1. Zwei exzentrische Rohre nach Abb. 2.18 a, deren Achsen den Abstand e haben. Das gr¨ oßere Rohr 2 mit der Oberfl¨ achentemperatur ϑ2 umschließt das Rohr 1 mit ϑ1 > ϑ2 . 2. k1 > 1; k2 = 1. Ein Rohr mit dem Radius R, das in der Tiefe m unter einer isothermen Ebene, z.B. unter der Erdoberfl¨ ache, liegt, Abb. 2.18 b. 3. k1 > 1; k2 < 1. Zwei Rohre mit den Radien R1 und R2 , deren Achsen den Abstand s > R1 +R2 haben. Sie liegen in einem sehr weit ausgedehnten Medium, Abb. 2.18 c.

Abb. 2.18: Drei Anordnungen von Rohren mit isothermen Ober߬ achen. a zwei exzentrisch ineinanderliegende Rohre, b ein Rohr und eine isotherme Ebene, c zwei Rohre mit dem Mittelpunktsabstand s > R1 + R2

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

153

Am einfachsten ist der W¨ armeleitwiderstand zwischen dem Rohr und der isoalt thermen Ebene nach Abb. 2.18 b zu berechnen. Mit k2 = 1 und k1 nach (2.94) erh¨ man aus (2.96) ! r“ ” m 2 1 1 m RL = −1 = ln + arcosh (m/R) . (2.97) 2πLλ R R 2πLλ Will man an der ebenen Oberfl¨ ache W¨ arme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperaucksichtigen, so kann dies n¨ aherungsweise dadurch geschehen, dass man tur ϑ2 ber¨ oßerten Abstand RL mit dem vergr¨ m∗ = m + λ/α berechnet. Die wirkliche Oberfl¨ ache in der Tiefe“ λ/α ist dann keine Isotherme, ” sondern zeigt ein schwaches Temperaturmaximum unmittelbar u ¨ ber dem Rohr, wie es physikalisch zu erwarten ist. K. Elgeti [2.21] hat f¨ ur dieses Problem eine exakte L¨ osung gefunden. Danach gilt die N¨ aherung u ¨ berraschend genau. Merkliche Abweichungen von der exakten L¨ osung treten nur f¨ ur αR/λ < 0,5 auf und nur bei Werten von m/R < 2. Bei der Berechnung des W¨ armeleitwiderstandes zwischen den beiden exzentrisch angeordneten Rohren nach Abb. 2.18 a hat man davon auszugehen, dass die beiden at) Rohrradien R1 und R2 und ihr Mittelpunktsabstand (Exzentrizit¨ e = m2 − m1

(2.98)

gegeben sind. Die Abst¨ ande m1 und m2 sind durch diese drei Gr¨ oßen auszudr¨ ucken. Nach (2.93) gilt (2.99) m22 − m21 = R22 − R12 und aus (2.98) folgt (m2 − m1 )2 = e2 . Aus diesen beiden Gleichungen erh¨ alt man m1 =

R22 − R12 − e2 2e

und

m2 =

R22 − R12 + e2 . 2e

Damit ergibt sich der W¨ armeleitwiderstand zu » – 1 1 R2 − R12 + e2 R2 − R12 − e2 RL = − arcosh 2 (ln k1 − ln k2 ) = arcosh 2 2πLλ 2πLλ 2eR1 2eR2 oder unter Benutzung eines Additionstheorems der Areacosinus hyperbolicus-Funktion 1 R2 + R22 − e2 . (2.100) RL = arcosh 1 2πLλ 2R1 R2 F¨ ur den Sonderfall der konzentrischen Kreise (e = 0) erh¨ alt man nach kurzer Umformung das von 1.1.2 her bekannte Resultat RL =

1 ln (R2 /R1 ) . 2πLλ

F¨ ur den dritten Fall, zwei Rohre in einem ausgedehnten Medium nach Abb. 2.18 c, dr¨ ucken wir m1 und m2 durch die Rohrradien R1 und R2 sowie durch den Abstand

154

2 W¨ armeleitung und Diffusion s = m1 + m2

aus. Hierf¨ ur erh¨ alt man mit (2.99) ` ´ s2 − R22 − R12 m1 = 2s

und

m2 =

s2 + R22 − R12 . 2s

Der W¨ armeleitwiderstand ergibt sich mit 0 1 s„ «2 m m2 m 2 2 ln k2 = ln @ − − 1A = −arcosh R2 R2 R2 zu

# " ` ´ s2 − R22 − R12 1 s2 + R22 − R12 + arcosh RL = arcosh 2πLλ 2sR1 2sR2

(2.101)

und schließlich zu

1 s2 − R12 − R22 . (2.102) arcosh 2πLλ 2R1 R2 alt man aus Haben die beiden Rohre den gleichen Radius R1 = R2 = R, so erh¨ (2.101) s 1 arcosh . (2.103) RL = πLλ 2R ¨ Durch die Uberlagerung mehrerer W¨ armequellen und -senken lassen sich kompliziertere Temperaturfelder berechnen. W. Nußelt [2.22] hat die Rohre in der Decke einer Strahlungsheizung durch linienf¨ ormige W¨ armequellen ersetzt und so die Temperaturverteilung in der Decke berechnet. RL =

2.2.5.2 Formkoeffizienten ˙ der von einer isothermen Fl¨ache mit der Temperatur ϑ1 Der W¨ armestrom Q, zu einer anderen isothermen Fl¨ ache mit der Temperatur ϑ2 str¨omt, l¨asst sich bei bekanntem W¨ armeleitwiderstand RL nach der einfachen Beziehung Q˙ = (ϑ1 − ϑ2 ) /RL berechnen. Dabei ist RL umgekehrt proportional zur W¨armeleitf¨ahigkeit λ des Materials zwischen den beiden isothermen Fl¨achen. Es liegt nahe, −1

RL = (λS)

(2.104)

oder Q˙ = λS (ϑ1 − ϑ2 )

(2.105)

zu setzen und damit den Formkoeffizienten S (englisch: shape factor) zu definieren. Der Formkoeffizient h¨ angt nur von der geometrischen Anordnung der beiden isothermen Fl¨ achen ab, zwischen denen Q˙ durch Leitung u ¨ bertragen wird; er hat die Dimension einer L¨ ange. F¨ ur K¨ orper mit zweidimensionaler (ebener) Temperaturverteilung, die die L¨ ange L senkrecht zur Ebene der Koordinaten haben, von denen ϑ abh¨angt,

2.2 Station¨ are W¨ armeleitung

155

l¨ asst sich ein auf L bezogener und damit dimensionsloser Formkoeffizient SL := S/L definieren, der auch Formfaktor genannt wird. Beispiele solcher ebenen Temperaturfelder haben wir im letzten Abschnitt behandelt. So ergibt sich der Formfaktor f¨ ur ein Rohr mit dem Radius R und der L¨ange L, das nach Abb. 2.18 b in der Tiefe m unter einer isothermen Ebene liegt, nach (2.97) und (2.104) zu SL =

2π S = . L arcosh (m/R)

(2.106)

In gleicher Weise erh¨ alt man die Formfaktoren f¨ ur die Rohranordnungen nach Abb. 2.18 a und 2.18 c aus den Gl. (2.100) bzw. (2.102). Um den Formkoeffizienten S allgemein zu berechnen, bestimmt man den W¨ armestrom Q˙ durch Integration der ¨ ortlichen W¨armestromdichte q˙ = −λ

∂ϑ ∂n

an den isothermen Fl¨ achen A1 und A2 . F¨ ur den W¨armestrom, der von A1 nach A2 fließt, erh¨ alt man  Q˙ = −λ

∂ϑ dA1 = λ ∂n1

(A1 )



∂ϑ dA2 . ∂n2

(2.107)

(A2 )

Dabei sind die Fl¨ achennormalen n1 und n2 in das w¨armeleitende Medium hinein gerichtet. Mit (2.105) erh¨ alt man f¨ ur den Formkoeffizienten

S=

  Q˙ 1 ∂ϑ ∂ϑ 1 =− dA1 = dA2 . (2.108) λ (ϑ1 − ϑ2 ) ϑ1 − ϑ2 ∂n1 ϑ1 − ϑ2 ∂n2 (A1 )

(A2 )

Nach dieser Beziehung kann S aus einem bekannten Temperaturfeld berechnet werden. E. Hahne und U. Grigull [2.23] haben Formkoeffizienten und Formfaktoren f¨ ur eine gr¨ oßere Zahl geometrischer Anordnungen zusammengestellt und systematisch eingeteilt. Eine ¨ ahnliche, sehr u ¨ bersichtliche Sammlung von Formfaktoren f¨ ur 45 geometrische Anordnungen findet man im VDI-W¨armeatlas [2.24]. Bei der Definition des Formkoeffizienten nach (2.105) und seiner Berechnung nach (2.107) und (2.108) wurde eine konstante W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ vorausgesetzt. Man ber¨ ucksichtigt die Temperaturabh¨ angigkeit von λ = λ(ϑ) durch die in Abschnitt 2.1.4 eingef¨ uhrte transformierte Temperatur Θ nach (2.26) und findet, dass ein f¨ ur konstantes λ berechneter Formkoeffizient S bei temperaturabh¨ angigem λ = λ(ϑ) unver¨ andert benutzt werden kann, um den W¨ armestrom zwischen isothermen Fl¨ achen zu berechnen. Hierf¨ ur gilt (2.105) mit der Maßgabe, dass λ durch den integralen Mittelwert

156

2 W¨ armeleitung und Diffusion

λm

1 = ϑ1 − ϑ2

Zϑ1 λ(ϑ) dϑ

(2.109)

ϑ2

ersetzt wird. Dieses Ergebnis ist eine Verallgemeinerung der in Abschnitt 1.1.2 aufgestellten Gl. (1.8) bis (1.11) f¨ ur die geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung zwischen den isothermen Oberfl¨ achen ebener und gekr¨ ummter W¨ ande.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung Zeitabh¨ angige oder instation¨ are Temperaturfelder treten auf, wenn sich die thermischen Bedingungen an der Berandung eines K¨orpers ¨andern. Wird z.B. ein K¨ orper mit anf¨ anglich konstanter Temperatur einer Umgebung mit einer davon abweichenden Temperatur ausgesetzt, so fließt W¨arme u ¨ber die K¨ orperoberfl¨ ache, und die Temperatur im K¨orper ¨andert sich mit der Zeit. Am Ende dieses zeitabh¨ angigen Vorgangs stellt sich eine neue station¨are Temperaturverteilung ein. In den folgenden Abschnitten behandeln wir einfache und f¨ ur die Anwendungen wichtige L¨ osungen der instation¨ aren W¨armeleitungsgleichung. Dabei stehen die Probleme im Vordergrund, bei denen das Temperaturfeld von der Zeit und nur einer geometrischen Koordinate abh¨angt. Wir gehen auf die wichtigsten mathematischen L¨ osungsmethoden ein. Die L¨osung instation¨arer W¨ armeleitprobleme durch numerische Verfahren wird Abschnitt 2.4 behandelt.

2.3.1 L¨ osungsmethoden Die L¨ osung eines instation¨ aren W¨ armeleitproblems kann auf drei Wegen gefunden werden: 1. durch eine geschlossene L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung unter Erf¨ ullung der Randbedingungen, 2. durch eine numerische L¨ osung der Differentialgleichung (mit Randbedingungen) unter Verwendung eines Differenzenverfahrens oder der Methode der finiten Elemente, 3. durch eine experimentelle L¨ osung unter Benutzung eines Analogieverfahrens. Um eine geschlossene L¨ osung durch mathematische Funktionen zu finden, muss man temperaturunabh¨ angige Stoffwerte annehmen, was nach Abschnitt 2.1.2 auf die partielle Differentialgleichung ˙ W ∂ϑ = a∇2 ϑ + ∂t c

(2.110)

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

157

f¨ uhrt. Damit eine lineare Differentialgleichung entsteht, beschr¨ankt man sich ˙ ≡ 0) oder setzt eientweder auf Probleme ohne innere W¨ armequellen (W ne von ϑ unabh¨ angige oder eine nur linear von ϑ abh¨angige Leistungsdichte ˙ voraus. Außerdem m¨ W ussen die Randbedingungen linear sein, was bei der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.23) einen konstanten oder zeitabh¨angigen, jedoch nicht temperaturabh¨ angigen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α verlangt. Die hiermit umrissenen linearen Anfangs-Randwertaufgaben wurden f¨ ur zahlreiche F¨ alle im 19. und 20. Jahrhundert gel¨ost. Dabei wurden die klas¨ sischen L¨ osungsmethoden des Separationsansatzes, der Uberlagerung von W¨ armequellen und W¨ armesenken sowie der Greenschen Funktion verwendet. In neuerer Zeit hat die Laplace-Transformation als L¨osungsmethode f¨ ur lineare instation¨ are W¨ armeleitprobleme an Bedeutung gewonnen. Den klassischen Separationsansatz werden wir in den Abschnitten 2.3.4 bis 2.3.6 anwenden. Da die Laplace-Transformation dem Ingenieur weniger bekannt ist, geben wir im folgenden Abschnitt eine kurze Einf¨ uhrung und zeigen in 2.3.3 ihre Anwendung auf Probleme, die mit dieser Methode besonders einfach l¨osbar sind. Eine umfassende Darstellung der mathematischen L¨osungsmethoden und eine F¨ ulle von Ergebnissen enth¨ alt das Standardwerk von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1]. Die numerische L¨osung instation¨ arer W¨ armeleitprobleme hat besondere Bedeutung, wenn temperaturabh¨ angige Stoffwerte, K¨orper mit unregelm¨aßigen Berandungen oder komplizierte Randbedingungen, z.B. ein temperaturabh¨ angiges α vorliegen. In diesen F¨ allen bieten numerische Verfahren in der Regel die einzige L¨ osungsm¨ oglichkeit. Durch den Einsatz elektronischer Rechner haben sich ihre Anwendungsm¨ oglichkeiten stark erweitert. Wir gehen auf diese Verfahren in Abschnitt 2.4 ausf¨ uhrlich ein. Experimentelle Analogieverfahren beruhen darauf, dass verschiedene nichtstation¨ are Transportvorg¨ ange, insbesondere die Elektrizit¨atsleitung, zu partiellen Differentialgleichungen f¨ uhren, die den gleichen Aufbau wie die W¨armeleitungsgleichung haben. Man spricht von analogen Vorg¨angen und benutzt ein Modell eines solchen zur W¨ armeleitung analogen Vorgangs, um die an diesem Modell gewonnenen Messergebnisse auf den W¨armeleitungsvorgang zu u ¨ bertragen. Eine kurze Beschreibung derartiger Analogiemodelle findet man bei U. Grigull und H. Sandner [2.18]. Da sie als Folge der Entwicklung der modernen Rechentechnik kaum noch praktische Bedeutung haben, gehen wir auf die Analogieverfahren nicht weiter ein.

2.3.2 Die Laplace-Transformation Zur L¨ osung der linearen W¨ armeleitungsgleichung (2.110) bei linearen Randbedingungen hat sich die Laplace-Transformation bew¨ahrt. Sie zeichnet sich durch einen eindeutig vorgegebenen L¨ osungsweg aus und erm¨oglicht es, spezielle L¨ osungsformen, z.B. L¨ osungen f¨ ur kleine Zeiten oder an einer bestimmten Stelle des w¨ armeleitenden K¨ orpers, zu erhalten, ohne das gesamte Temperaturfeld in seiner r¨ aumlichen und zeitlichen Abh¨angigkeit bestimmen zu

158

2 W¨ armeleitung und Diffusion

m¨ ussen. Eine einf¨ uhrende Darstellung der Laplace-Transformation in ihrer Anwendung auf W¨ armeleitprobleme hat H.D. Baehr [2.25] gegeben. Eine ausf¨ uhrliche Darstellung bietet das Buch von H. Tautz [2.26]. Besondere Bedeutung hat die Laplace-Transformation bei geometrisch eindimensionalem W¨ armefluss; hier wird die L¨ osung der partiellen Differentialgleichung auf die L¨ osung einer linearen gew¨ohnlichen Differentialgleichung zur¨ uckgef¨ uhrt. Bei der folgenden Einf¨ uhrung beschr¨ anken wir uns auf diesen Fall. Es sei ϑ = ϑ (x, t) die gesuchte Temperaturverteilung. Multipliziert man ϑ mit dem Faktor e−st , in dem s eine (komplexe) Gr¨oße mit der Dimension einer Frequenz ist, und integriert das Produkt von t = 0 bis t → ∞, so erh¨alt man eine neue Funktion ∞ u (x, s) = L {ϑ (x, t)} =

ϑ (x, t) e−st dt .

(2.111)

0

Sie heißt die Laplace-Transformierte der Temperatur ϑ und h¨angt von s und x ab2 . Wir benutzen die Bezeichnung L {ϑ}, wenn wir allgemeine S¨atze formulieren; die Bezeichnung u ist eine Abk¨ urzung f¨ ur L {ϑ} bei der L¨osung konkreter Probleme. Allgemeiner wird ϑ als Oberfunktion oder Objektfunktion und L {ϑ} als Unterfunktion oder Bildfunktion bezeichnet. Da s die Dimension einer Frequenz hat, sagt man auch, durch die Laplace-Transformation werde ϑ vom Zeitbereich in den Frequenzbereich transformiert. Zur Anwendung der Laplace-Transformation ben¨otigt man einige wenige S¨ atze, die ohne Beweis in Tabelle 2.2 zusammengestellt sind, und eine Tafel von Funktionen ϑ mit ihren Laplace-Transformierten u. Man erzeugt diese Tafel der Korrespondenzen durch Auswerten der Definitionsgleichung (2.111). So erh¨ alt man beispielsweise f¨ ur ϑ (x, t) = f (x) e−ct die Laplace-Transformierte Z∞

−ct −st

f (x) e

u (x, s) = 0

»

e

e−(s+c)t = −f (x) s+c

Z∞ dt = f (x) –∞ 0

e−(s+c)t dt

0

f (x) = . s+c

Wir haben also allgemein die Entsprechung u (x, s) •−◦ ϑ (x, t) und in unserem Beispiel 2

In manchen Darstellungen wird der Laplace-Parameter s mit p bezeichnet, so bei H.S. Carslaw u. J.C. Jaeger [2.1] und bei H. Tautz [2.26].

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

159

Tabelle 2.2: Einige allgemeine Beziehungen f¨ ur die Laplace-Transformierte L {ϑ} = u 1. L {ϑ1 + ϑ2 } = L {ϑ1 } + L {ϑ2 } j

ff ∂ϑ = sL {ϑ} − ϑ0 = s u − ϑ0 (x) ∂t mit ϑ0 (x) = lim ϑ (x, t) , ( Anfangstemperaturverteilung )

2. L

t→+0

j 3. L

∂nϑ ∂xn

jZ

t

4. L 0

ff =

∂nu ∂xn

` ´ ϑ t dt

ff =

1 L {ϑ} s

5. Ist L {ϑ (t)} = u (s) und k eine positive Konstante, so gilt 1 “s” L {ϑ (kt)} = u k k jZ t ff jZ t ff 6. L f1 (τ ) f2 (t − τ ) dτ = L f2 (τ ) f1 (t − τ ) dτ 0

0

= L {f1 (t)} · L {f2 (t)} , sogenannter Faltungssatz, der insbesondere bei zeitabh¨ angigen Randbedingungen angewendet wird.

f (x) •−◦ f (x) e−ct , s+c wobei als Sonderfall f¨ ur f (x) ≡ 1 und c = 0 1 •−◦ 1 s gilt.

Weitere derartige Korrespondenzen, die f¨ ur die L¨osung der W¨armeleitungsgleichung wichtig sind, enth¨ alt Tafel 2.3. Umfangreichere Verzeichnisse findet man in der Literatur, z.B. [2.1], [2.26] bis [2.28]. Um das L¨ osungsverfahren zu erl¨ autern, beschr¨anken wir uns auf den linearen W¨ armefluss in x-Richtung und schreiben die W¨armeleitungsgleichung in der Form ∂2ϑ 1 ∂ ϑ =0 . (2.112) − ∂x2 a ∂t Wir wenden die Laplace-Transformation an und erhalten nach Tabelle 2.2 die gew¨ ohnliche Differentialgleichung

160

2 W¨ armeleitung und Diffusion

1 d2 u s − u = − ϑ0 (x) , dx2 a a

(2.113)

in der ϑ0 (x) = ϑ (x, t = 0) die gegebene Anfangstemperaturverteilung zur Zeit t = 0 bedeutet. Ist ϑ0 (x) = 0, so liegt eine homogene lineare Differentialgleichung vor, deren allgemeine L¨ osung sofort angegeben werden kann: ' ! ' ! s x + c exp s u (x, s) = c1 exp − a 2 ax (2.114) ' ! ' ! s s = C1 cosh a x + C2 sinh ax . Die beiden Integrationskonstanten c1 , c2 bzw. C1 , C2 ergeben sich durch Anpassung von u an die Randbedingungen, die ebenfalls der Laplace-Transformation unterworfen werden m¨ ussen. Muss eine Anfangsbedingung ϑ0 = 0 ber¨ ucksichtigt werden, so hat man die durch (2.114) gegebene L¨osung der homogenen Differentialgleichung durch eine partikul¨are L¨osung der inhomogenen Gleichung zu erg¨ anzen. Ist die den Anfangs- und Randbedingungen angepasste Laplace-Transformierte u (x, s) der Temperatur ϑ (x, t) gefunden, so muss noch die R¨ ucktransformation vorgenommen werden. Dies geschieht am einfachsten durch Verwenden einer Tafel von Korrespondenzen, z.B. Tabelle 2.3, aus der die gesuchte Temperaturverteilung einfach abgelesen werden kann. H¨aufig ist jedoch u (x, s) nicht in der Tafel der Korrespondenzen zu finden. F¨ ur diesen Fall stellt die Theorie der Laplace-Transformation eine Umkehrformel zur Verf¨ ugung. Hier erscheint die gesuchte Temperaturverteilung als ein komplexes Integral, das mit dem Cauchyschen Satz der Funktionentheorie ausgewertet werden kann. Die Temperaturverteilung ergibt sich dann als eine unendliche Reihe mit abklingenden Exponentialfunktionen der Zeit. Wir gehen auf die Anwendung der Umkehrformel nicht ein, sondern beschr¨ anken uns auf die F¨alle, bei denen die R¨ ucktransformation durch die Tafel der Korrespondenzen erm¨oglicht wird. Die Anwendung der Umkehrformel ist in [2.1], [2.25] und [2.26] erl¨autert. Außerdem ist es m¨ oglich, die R¨ ucktransformation numerisch vorzunehmen, wozu es verschiedene Algorithmen gibt, [2.29]. Die L¨ osung eines instation¨ aren W¨ armeleitproblems mit Hilfe der LaplaceTransformation geschieht also in drei Schritten: 1. Transformation der Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung und den Randbedingungen in den Frequenzbereich (ϑ → u, t → s). 2. L¨ osung der Differentialgleichung f¨ ur die Laplace-Transformierte u unter Ber¨ ucksichtigung der (transformierten) Randbedingungen. 3. R¨ ucktransformation in den Bildbereich (u → ϑ, s → t) unter Benutzung einer Tafel der Korrespondenzen (u •−◦ ϑ) oder der allgemeinen Umkehrformel. Auf zwei vorteilhafte Eigenschaften der Laplace-Transformation sei noch besonders hingewiesen. Interessiert man sich nicht f¨ ur die Temperaturverteilung

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

161

Tabelle 2.3: Tafel einiger Korrespondenzen.pu (s, x) ist die Laplace-Transformierte √ von ϑ (t, x). Es gelten die Abk¨ urzungen p = s/a und ξ = x/2 at .

u (s, x) c s

1. 2.

1 sν+1

ϑ (t, x)

c , ν > −1

tν , Γ ist die Gammafunktion, s.u. Γ (ν + 1)

3.

1 s+c

e−ct

4.

e−px

5.

e−px p

2 ξ √ e−ξ πt r a −ξ2 e πt

6.

e−px s

erfc ξ, Komplement¨ are Fehlerfunktion , s.u.

7.

e−px sp

√ 2 at

8.

e−px s2

t

9.

e−px p+h

10.

e−px p (p + h)

“ √ ” 2 aehx+ah t erfc ξ + h at

11.

e−px s (p + h)

“ √ ”i 2 1h erfc ξ − ehx+ah t erfc ξ + h at h

» `

r

2

e−ξ √ − ξ erfc ξ π

!

√ = 2 at ierfc ξ

´ 2 2 1 + 2ξ 2 erfc ξ − √ ξ e−ξ π

–

“ √ ” 2 a −ξ2 e − haehx+ah t erfc ξ + h at πt

Besondere Werte der Gamma-Funktion: Γ (1) = 1 ; Γ (n) = (n − 1)! = 1 · 2 · 3 · . . . (n − 1) , (n = 2, 3, . . .) √ 1 · 3 · 5 · . . . (2n − 1) √ , (n = 1, 2, 3, . . .) Γ ( 12 ) = π ; Γ (n + 12 ) = π 2n Werte der komplement¨ aren Fehlerfunktionen erfc ξ und ierfc ξ findet man in Tabelle 2.5 in Abschnitt 2.3.3.1. Der Verlauf dieser Funktionen ist in Abb. 2.22 dargestellt.

162

2 W¨ armeleitung und Diffusion

in ihrer r¨ aumlichen Gesamtheit, sondern nur f¨ ur den zeitlichen Temperaturverlauf an einer bestimmten Stelle des w¨ armeleitenden K¨orpers, so braucht man nicht die gesamte Laplace-Transformierte u r¨ uckzutransformieren. Es gen¨ ugt vielmehr, in u die Ortsvariablen konstant zu setzen und nur diese vereinfachte Funktion u (s) in ϑ (t) r¨ uckzutransformieren. Neben dieser Vereinfachung, nur den tats¨ achlich ben¨ otigten Teil der Temperaturverteilung zu berechnen, gibt es die M¨ oglichkeit, L¨ osungen zu erhalten, die f¨ ur kleine Zeiten, also f¨ ur den Anfang eines W¨ armeleitvorganges gelten und hier besonders einfache Formen annehmen. Dazu hat man die Laplace-Transformierte u in eine Reihe zu entwickeln, die f¨ ur große Werte von s konvergiert. Durch gliedweises R¨ ucktransformieren unter Benutzung der Tafel der Korrespondenzen erh¨alt man f¨ ur ϑ eine Reihe, die f¨ ur kleine Werte von t konvergiert. Diese Besonderheiten und eine Veranschaulichung des L¨ osungswegs zeigt das folgende Beispiel. Beispiel 2.3: Eine ebene Wand mit der Dicke δ habe die konstante Temperatur ache x = δ sprungartig auf ϑ0 . Zur Zeit t = 0 werde die Temperatur der Oberfl¨ oht, w¨ ahrend die andere Oberfl¨ ache x = 0 adiabat sein soll, den Wert ϑU erh¨ Abb. 2.19. Von der rechten Oberfl¨ ache her str¨ omt dann W¨ arme in die Wand; die Temperaturen steigen mit der Zeit, wobei sich die Temperatur der linken Wandoberfl¨ ache am langsamsten erh¨ oht. Der hier auftretende Temperaturanstieg, also die Temperatur ϑ(x = 0, t) soll berechnet werden.

Abb. 2.19: Einseitige Erw¨ armung einer ebenen Wand durch sprunghafte Erh¨ ohung der Oberfl¨ achentemperatur bei x = δ von ϑ0 auf ϑU Dieses instation¨ are W¨ armeleitproblem kann als Modell des folgenden realen Vorgangs angesehen werden. Eine feuerhemmende Wand wird auf ihrer Außenseite (x = δ) aufgrund eines Brandes stark erw¨ armt. Es interessiert der zeitliche Temperaturanstieg auf der anderen Wandseite bei x = 0; die Annahme einer adiabaten Oberfl¨ ache bei x = 0 ergibt einen st¨ arkeren Temperaturanstieg, als er in Wirklichkeit zu erwarten ist. Mit dieser Annahme befindet man sich also auf der sicheren Seite“. ” Zur L¨ osung des W¨ armeleitproblems nehmen wir einen W¨ armefluss nur in xRichtung sowie eine konstante Temperaturleitf¨ ahigkeit a der Wand an. Wir ¨ f¨ uhren zun¨ achst nur die Ubertemperatur Θ(x, t) := ϑ(x, t) − ϑ0 ein und verschieben die Benutzung dimensionsloser Gr¨ oßen bis zur Darstellung des Ergebnisses, um eine gr¨ oßere Anschaulichkeit zu erhalten. Die W¨ armeleitungsgleichung (2.112) hat hier die Gestalt

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

163

1 ∂Θ ∂2Θ − =0 ∂x2 a ∂t mit der Anfangsbedingung Θ0 (x) = Θ(x, 0) = 0 . Die Randbedingungen lauten ∂Θ =0 ∂x

bei

x=0

(adiabate Oberfl¨ ache) und Θ(δ, t) = ΘU = ϑU − ϑ0

bei

x=δ .

Anwendung der Laplace-Transformation f¨ uhrt auf die der Gl. (2.113) entsprechende gew¨ ohnliche Differentialgleichung s d2 u − u=0 dx2 a

(2.115)

¨ f¨ ur die Laplace-Transformierte u = u(x, s) der Ubertemperatur Θ(x, t). Dabei ist die Anfangsbedingung bereits ber¨ ucksichtigt. Laplace-Transformation der beiden Randbedingungen ergibt du =0 dx

f¨ ur

x=0

(2.116)

und

ΘU f¨ ur x = δ . s Die allgemeine L¨ osung der Differentialgleichung (2.115) ist u(δ, s) =

(2.117)

u(x, s) = C1 cosh px + C2 sinh px , p wobei wir die Abk¨ urzung p = s/a benutzt haben. Aus der Randbedingung (2.116) folgt C2 = 0, und aus (2.117) ergibt sich C1 cosh pδ =

ΘU . s

Somit lautet die gesuchte Unterfunktion u(x, s) =

ΘU cosh px . s cosh pδ

Die R¨ ucktransformation gelingt mit Hilfe der allgemeinen Umkehrformel, worauf wir hier verzichten, denn uns interessiert nur die Temperatur an der Stelle x = 0. Wir finden hierf¨ ur u(0, s) =

2ΘU 2ΘU e−pδ ΘU = = . s cosh pδ s (epδ + e−pδ ) s (1 + e−2pδ )

Um die R¨ ucktransformation mit Hilfe der Tafel der Korrespondenzen ausf¨ uhren zu k¨ onnen, entwickeln wir den Nenner in eine binomische Reihe, erhalten

164

2 W¨ armeleitung und Diffusion u(0, s) =

und schließlich

i 2ΘU e−pδ h 1 − e−2pδ + e−4pδ − e−6pδ + · · · s

– » −pδ e−3pδ e−5pδ e u(0, s) − + − ··· . =2 ΘU s s s

p Dies ist eine Reihenentwicklung, die f¨ ur große Werte von s bzw. p = s/a rasch konvergiert. Ihre R¨ ucktransformation mit Hilfe der Tafel der Korrespondenzen (Nr. 6 von Tabelle 2.3 mit x = δ, 3δ, 5δ, . . . ) ergibt eine Reihe, die f¨ ur kleine Zeiten t besonders gut geeignet ist. Man erh¨ alt Θ(0, t) = 2 [erfc ξ − erfc 3ξ + erfc 5ξ − · · · ] , ΘU wobei zur Abk¨ urzung δ ξ= √ 2 at gesetzt wurde. Die hier auftretende Funktion erfc ξ ist das komplement¨ are Fehlerintegral (errorfunction complement), das in Abschnitt 2.3.3.1 erl¨ autert wird und in Tabelle 2.4 vertafelt ist. Diese transzendente Funktion strebt mit gr¨ oßer werdendem Argument sehr rasch gegen null, so dass die Reihe f¨ ur großes ξ, entsprechend kleinen Zeiten t, sehr gut konvergiert. Wir f¨ uhren die dimensionslose Zeit t+ :=

at = (2ξ)−2 δ2

ein und erhalten f¨ ur die dimensionslose Temperatur bei x = 0 die Reihe ` ´ ` ´ ϑ 0, t+ − ϑ0 Θ(0, t) + + ϑ t = := ϑU − ϑ0 ΘU „ « (2.118) 1 3 5 = 2 erfc √ − erfc √ + erfc √ − · · · . 2 t+ 2 t+ 2 t+ ugen, um die Abb. 2.20 zeigt den Verlauf von ϑ+ (t+ ). Nur wenige Terme gen¨ Temperatur auch bei gr¨ oßeren bezogenen Zeiten t+ genau wiederzugeben. Das wird durch den ersten Term der Verhalten von ϑ+ (t+ ) bei sehr kleinen Zeiten √ asymptotischen Entwicklung von erfc(1/2 t+ ) beschrieben. Nach Gl. (2.127) von Abschnitt 2.3.3.1 erh¨ alt man hierf¨ ur ` ` ´ ´ 4 √+ 1 t exp −1/4t+ . (2.119) ϑ+ t+ ≈ 2 erfc √  √ + π 2 t Diese Funktion ist als Kurve a in Abb. 2.20 dargestellt. Als Beispiel werde eine Wand aus Beton mit a = 3,75 · 10−6 m2 /s und der Dicke δ = 0,50 m betrachtet. F¨ ur die reale“ Zeit t erh¨ alt man ” ` 2 ´ + t = δ /a t = 18,5 h t+ . Nach dieser Beziehung wurde die zus¨ atzliche Skala in Abb. 2.20 gezeichnet. Danach vergehen z.B. 2,41 h bis ϑ+ (t+ ) = 0,1 wird, die Temperatur bei x = 0 also um 10% des an der anderen Wandoberfl¨ ache angenommenen Temperatursprungs (ϑU − ϑ0 ) ansteigt.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

165

Abb. 2.20: Zeitlicher Verlauf der dimensionslosen Temperatur ϑ+ (0, t+ ) an der adiabaten Oberfl¨ ache (x = 0) der Wand von Abb. 2.19. Kurve 1: erster Term, Kurve 2: Summe der beiden ersten Terme in (2.118), Kurve a: asymptotische Entwicklung nach (2.119) f¨ ur sehr kleine Zeiten

2.3.3 Der einseitig unendlich ausgedehnte K¨ orper Wir betrachten die instation¨ are W¨ armeleitung in einer sehr dicken Platte, deren freie Oberfl¨ ache x = 0, vgl. Abb. 2.21, an die Umgebung grenzt und die sonst als unendlich ausgedehnt angesehen werden kann. Das an die Erdoberfl¨ ache grenzende Erdreich ist ein Beispiel eines solchen einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orpers. Auch K¨ orper endlicher Dicke lassen sich bei Beginn eines Abk¨ uhlungs- oder Erw¨ armungsvorgangs, der an der Oberfl¨ache x = 0 einsetzt, als in x-Richtung unendlich weit ausgedehnt behandeln, so dass die folgenden relativ einfachen Ergebnisse auch in solchen F¨allen anwendbar sind. 2.3.3.1 Erw¨ armung und Abk¨ uhlung bei verschiedenen Randbedingungen Die gesuchte Temperaturverteilung ϑ = ϑ(x, t) gen¨ ugt der Differentialgleichung ∂2ϑ ∂ϑ = a 2 , t ≥ 0, x ≥ 0, (2.120) ∂t ∂x und soll die einfache Anfangsbedingung ϑ(x, t = 0) = ϑ0 = const erf¨ ullen. Außerdem muss ϑ f¨ ur x → ∞ beschr¨ ankt bleiben. An der Oberfl¨ache x = 0 sollen nun verschiedene Randbedingungen gelten, die in Abb. 2.21 veranschaulicht sind:

166

– – –

2 W¨ armeleitung und Diffusion

¨ eine sprunghafte Anderung der Oberfl¨ achentemperatur auf den Wert ϑS , der f¨ ur t > 0 konstant bleiben soll, Abb. 2.21a; das Einwirken einer konstanten W¨ armestromdichte q˙0 , Abb. 2.21b; ¨ eine sprunghafte Anderung der Umgebungstemperatur auf den f¨ ur t > 0 arme¨ ubergang mit dem W¨arme¨ uberkonstanten Wert ϑU = ϑ0 , so dass W¨ gangskoeffizienten α stattfindet, Abb. 2.21c.

Abb. 2.21: Erw¨ armung eines halbunendlichen K¨ orpers bei unterschiedlichen Randbedingungen an der Oberfl¨ ache (x = 0). a sprungartige Erh¨ ohung der Oberfl¨ achenarmestromdichte q˙0 , c W¨ arme¨ ubergang von einem temperatur auf ϑS , b konstante W¨ Fluid mit ϑ = ϑU

Zur Berechnung der Temperaturverteilung in allen drei F¨allen f¨ uhren wir ¨ zun¨ achst die Ubertemperatur Θ := ϑ − ϑ0 als neue abh¨ angige Variable ein. Dann gilt statt (2.120) ∂2Θ 1 ∂Θ =0 − ∂x2 a ∂t

(2.121)

Θ(x, t = 0) = 0 .

(2.122)

mit der Anfangsbedingung

Wir wenden auf diese Gleichungen die Laplace-Transformation an und erhalten die schon in Abschnitt 2.3.2 besprochene gew¨ohnliche Differentialgleichung d2 u s − u=0 dx2 a f¨ ur die Laplace-Transformierte u von Θ mit der L¨osung

"  s u(x, s) = C exp − x = C exp (−px) . a

(2.123)

Da Θ und damit u auch f¨ ur x → ∞ beschr¨ ankt sein m¨ ussen, entf¨allt in (2.114) die zweite zu exp(+px) proportionale L¨ osung.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

167

Tabelle 2.4: Randbedingungen an der freien Oberfl¨ ache x = 0 eines einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orpers nach Abb. 2.21 mit ihren Laplace-Transformierten und der sich daraus ergebenden Konstante C von Gl. (2.123)

Fall

Randbedingung bei x = 0

a

Θ = ϑS − ϑ0 = ΘS

b

c −λ

−λ

∂Θ = q˙0 ∂x

Transformierte Randbedingung

u=

−λ

Konstante C in Gl. (2.123)

ΘS s

C=

du q˙0 = dx s

∂Θ du = α(ΘU − Θ) −λ =α ∂x dx

„

C=

ΘS s q˙0 λsp

« ΘU αΘU −u C = s λs (p + α/λ)

Tabelle 2.4 enth¨ alt die Randbedingungen bei x = 0 f¨ ur die drei F¨alle von Abb. 2.21, die Laplace-Transformierte der Randbedingung und den sich daraus ergebenden Ausdruck f¨ ur die Konstante C. Die R¨ ucktransformation der Unterfunktion u nach (2.123) mit C nach Tabelle 2.4 gelingt ohne Komplikation durch Aufsuchen der entsprechenden Korrespondenzen in Tabelle 2.3. Wir diskutieren nun die so gewonnenen Temperaturverteilungen der Reihe nach. ¨ Bei sprunghafter Anderung der Oberfl¨achentemperatur von ϑ0 auf ϑS (Fall a) lautet die Temperaturverteilung (Nr. 6 von Tabelle 2.3) ϑ − ϑ0 x Θ = = erfc √ = erfc ξ . ΘS ϑS − ϑ0 2 at

(2.124)

Sie h¨ angt nur von der dimensionslosen Variablenkombination x ξ := √ 2 at

(2.125)

ab. Hierbei bedeutet 2 erfc ξ = 1 − erf ξ = 1 − √ π

ξ

2

e−w dw

(2.126)

0

das komplement¨ are Fehlerintegral (error-function complement), w¨ahrend erf ξ als Fehlerintegral (error-function) bezeichnet wird. Tabelle 2.5 gibt Werte von erfc ξ. Ausf¨ uhrliche Tabellen sind in [2.30] bis [2.32] enthalten. Reihenentwicklungen und Berechnungsgleichungen f¨ ur erf ξ und erfc ξ findet man bei

168

2 W¨ armeleitung und Diffusion

J. Spanier und K.B. Oldham [2.28]. F¨ ur gr¨ oßere Argumente (ξ > 2,6) gilt die asymptotische Entwicklung 

3 15 exp(−ξ 2 ) 1 . (2.127) erfc ξ = √ 1 − 2 + 4 − 6 + ··· πξ 2ξ 4ξ 8ξ In Abb. 2.22 sind die Funktionen erf ξ und erfc ξ dargestellt. Der Grenzwert ur x = 0, erfc(ξ = 0) = 1 entspricht der Temperatur ϑ = ϑS ; er wird f¨ entsprechend der vorgeschriebenen Randbedingung, und f¨ ur sehr große Zeiten (t → ∞) auch im Inneren des K¨ orpers erreicht. Der Grenzwert erfc(∞) = 0 ur t = 0. entspricht ϑ = ϑ0 , also der Anfangsbedingung f¨

Abb. 2.22: Fehlerintegrale erf ξ und erfc ξ nach (2.126) sowie integriertes Fehlerintegral ierfc ξ nach (2.134)

Aus (2.124) erh¨ alt man die W¨ armestromdichte in der Tiefe x zur Zeit t zu q(x, ˙ t) = −λ

  λ(ϑS − ϑ0 ) ∂ϑ √ = exp −x2 /4at . ∂x πat

Hier ist es u angigen W¨armeeindringkoeffizienten ¨ blich, den vom Material abh¨  √ b := λc = λ/ a (2.128) einzuf¨ uhren. Damit wird q(x, ˙ t) =

  b (ϑS − ϑ0 ) √ exp −x2 /4at . πt

(2.129)

An der Oberfl¨ ache x = 0 ist √ q˙0 = q(0, ˙ t) = b (ϑS − ϑ0 )/ πt .

(2.130)

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

169

Tabelle 2.5: Werte des komplement¨ aren Fehlerintegrals erfc ξ nach (2.126) und des √ √ 2 integrierten Fehlerintegrals ierfc ξ in der Form π ierfc ξ = e−ξ − π ξ erfc ξ ξ

erfc ξ

0 0,05 0,10 0,15 0,20

1,00000 0,94363 0,88754 0,83200 0,77730

0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

√

π ierfc ξ

ξ

erfc ξ

1,00000 0,91388 0,83274 0,75655 0,68525

0,75 0,80 0,85 0,90 0,95

0,28884 0,25790 0,22933 0,20309 0,17911

0,72367 0,67137 0,62062 0,57161 0,52452

0,61874 0,55694 0,49970 0,44688 0,39833

1,00 1,05 1,10 1,15 1,20

0,47950 0,43668 0,39614 0,35797 0,32220

0,35386 0,31327 0,27639 0,24299 0,21287

1,25 1,30 1,35 1,40 1,45

√

π ierfc ξ

√

ξ

erfc ξ

π ierfc ξ

0,18581 0,16160 0,14003 0,12088 0,10396

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,03389 0,02365 0,01621 0,01091 0,00721

0,01528 0,01023 0,00673 0,00436 0,00277

0,15730 0,13756 0,11980 0,10388 0,08969

0,08907 0,07602 0,06463 0,05474 0,04617

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,00468 0,00298 0,00186 0,00114 0,00069

0,00173 0,00107 0,00064 0,00038 0,00022

0,07710 0,06599 0,05624 0,04771 0,04031

0,03879 0,03246 0,02705 0,02246 0,01856

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,00041 0,00024 0,00013 0,00008 0,00004

0,00013 0,00007 0,00004 0,00002 0,00001

Die eindringende W¨ armestromdichte ist also der Materialeigenschaft b proportional und klingt wie t−1/2 mit der Zeit ab. W¨ahrend der Zeitspanne von t = 0 bis t = t∗ fließt die W¨ arme ∗

Q(t∗ ) = A

t

√ 2 q(0, ˙ t) dt = A √ b(ϑS − ϑ0 ) t∗ π

(2.131)

0

durch die Oberfl¨ ache A. Die hier gewonnenen Gleichungen gelten unver¨andert f¨ ur die Abk¨ uhlung. Es ist dann ϑS < ϑ0 , und in (2.129) bis (2.131) wechselt das Vorzeichen. Die Temperaturverteilung l¨ asst sich durch Umformen von (2.124) als 2 ϑ − ϑS = erf ξ = √ ϑ0 − ϑS π

ξ

2

e−w dw

(2.132)

0

schreiben. Wird die Oberfl¨ ache des unendlich ausgedehnten K¨orpers durch die konarmt (Fall b), so erh¨alt man nach Nr. 7 von stante W¨armestromdichte q˙0 erw¨ Tabelle 2.3 die Temperaturverteilung q˙0 √ q˙0 √ t ierfc ξ . (2.133) Θ(x, t) = ϑ(x, t) − ϑ0 = 2 at ierfc ξ = 2 λ b

170

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Die Funktion

2 1 ierfc ξ = √ e−ξ − ξ erfc ξ π

(2.134)

wird auch als integriertes Fehlerintegral bezeichnet. Sie ist in Abb. 2.22 dargestellt und in Tabelle 2.5 vertafelt. Mit ierfc(0) = π −1/2 erh¨alt man die Oberfl¨ achentemperatur ϑ(0, t) = ϑ0 +

q˙0 2 √ √ t . b π

(2.135)

Sie w¨ achst zuerst rasch und dann immer langsamer mit der Zeit t. Bei großem W¨ armeeindringkoeffizienten b kann das Material große W¨armestr¨ome schlucken“, so dass die Oberfl¨ achentemperatur langsamer ansteigt als bei ” einem K¨ orper mit kleinem b. Findet bei x = 0 W¨arme¨ ubergang von einem Fluid mit ϑ = ϑU an die freie Oberfl¨ ache statt, Fall c von Tabelle 2.4, so ergibt sich die gesuchte Temperaturverteilung auch hier aus der Tafel der Korrespondenzen (Fall 11 von Tabelle 2.3). Wir schreiben die L¨ osung in dimensionsloser Form mit den Variablen ϑ+ := und x+ :=

x λ/α

,

ϑ − ϑ0 ϑU − ϑ0 t+ :=

(2.136) at (λ/α)2

(2.137)

und erhalten

+ √   +  x+ x + ϑ (x , t ) = erfc √ − exp x + t erfc √ + t+ . 2 t+ 2 t+ +

+

+

(2.138)

In Abb. 2.23 ist diese Temperaturverteilung dargestellt. Auch hier lassen sich die W¨ armestromdichten an der Oberfl¨ ache und im Inneren des K¨orpers durch Differenzieren von (2.138) leicht berechnen. Die Temperaturverteilung bei der Abk¨ uhlung, ϑU < ϑ0 , ergibt sich zu   ϑ − ϑU = 1 − ϑ+ x+ , t+ , ϑ0 − ϑU wobei ϑ+ (x+ , t+ ) nach (2.138) zu berechnen ist. 2.3.3.2 Zwei sich ber¨ uhrende halbunendliche K¨ orper Wir betrachten die beiden in Abb. 2.24 dargestellten halbunendlichen K¨orper, die verschiedene, aber konstante Anfangstemperaturen ϑ01 und ϑ02 haben. Auch ihre Stoffwerte λ1 , a1 und λ2 , a2 seien verschieden. Zur Zeit t = 0 werden die beiden K¨ orper in Ber¨ uhrung (thermischen Kontakt) auf der durch x = 0 gekennzeichneten Ebene gebracht. Schon nach sehr kurzer Zeit stellt

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

171

sich in dieser Ebene eine gemeinsame Mitteltemperatur ϑm ein, und W¨arme fließt vom K¨ orper 1 mit der h¨ oheren Anfangstemperatur zum K¨orper 2 mit der niedrigeren Temperatur. Der hier beschriebene instation¨are W¨armeleitvorgang kann als einfaches Modell f¨ ur die Beschreibung eines kurzzeitigen Kontakts zweier (endlicher) K¨ orper unterschiedlicher Temperatur dienen. Beispiele sind die Ber¨ uhrung verschiedener Gegenst¨ ande mit der menschlichen Hand oder dem Fuß und die kurzzeitige Wechselwirkung eines erhitzten metallischen K¨ orpers mit einer gek¨ uhlten Form bei Prozessen der Umformtechnik. In jedem der beiden K¨ orper gilt die W¨ armeleitungsgleichung und zwar ∂ 2 ϑ1 ∂ ϑ1 , = a1 ∂t ∂x2

x≥0 ,

sowie

∂ 2 ϑ2 ∂ ϑ2 = a2 , x≤0 . ∂t ∂x2 An der Grenzfl¨ ache m¨ ussen nach Abschnitt 2.1.3 die Bedingungen (ϑ1 )+0 = (ϑ2 )−0 = ϑm „

und λ1

∂ ϑ1 ∂x

«

„ = λ2 +0

∂ ϑ2 ∂x

« (2.139) −0

erf¨ ullt sein. Außerdem gelten die schon genannten Anfangsbedingungen. Zur L¨ osung nehmen wir an, die sich bei x = 0 einstellende Kontakttemperaangig von t. Wie sich noch zeigen wird, trifft diese Annahme zu tur ϑm sei unabh¨ und erlaubt eine einfache L¨ osung des Problems, das in zwei Teilprobleme zerf¨ allt, deren L¨ osung bereits aus Abschnitt 2.3.3.1 bekannt ist: In jedem K¨ orper stellt sich eine Temperaturverteilung ein, die sich aus der konstanten Anfangstemperatur ϑ01 bzw. ϑ02 entwickelt, wenn die Oberfl¨ achentemperatur auf den konstanten Wert ϑm springt.

Abb. 2.23: Temperaturfeld ϑ+ (x+ , t+ ) nach (2.138) im halbunendlichen K¨ orper beim W¨ arme¨ ubergang von einem Fluid an die freie Oberfl¨ ache x+ = 0. a ϑ+ als Funktion von x+ mit t+ als Parameter, b ϑ+ als Funktion von t+ mit x+ als Parameter

172

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.24: Temperaturverlauf in zwei halbunendlichen K¨ orpern mit den Anfangstemperaturen ϑ01 und ϑ02 bei Kontakt auf der Ebene x = 0 F¨ ur den K¨ orper 1 erhalten wir aus (2.132) mit der Variablenkombination √ (2.140) ξ1 = x/ 4a1 t die Temperatur ϑ1 = ϑm + (ϑ01 − ϑm ) erf ξ1

x≥0 ,

,

deren Ableitung bei x = +0 den Wert « „ ∂ ϑ1 ϑ01 − ϑm = √ ∂x +0 πa1 t hat. Analog hierzu gilt mit

(2.141)

(2.142)

√ ξ2 = x/ 4a2 t

(2.143)

f¨ ur den K¨ orper 2 nach (2.124) ϑ2 = ϑ02 + (ϑm − ϑ02 ) erfc(−ξ2 ) und an der Grenzfl¨ ache

„

∂ ϑ2 ∂x

« = −0

,

x≤0 ,

ϑm − ϑ02 √ . πa2 t

(2.144)

(2.145)

Setzen wir (2.142) und (2.145) in die Grenzbedingung (2.139) ein, so folgt die von t unabh¨ angige Beziehung λ2 λ1 √ (ϑ01 − ϑm ) = √ (ϑm − ϑ02 ) a1 a2 oder b1 (ϑ01 − ϑm ) = b2 (ϑm − ϑ02 ) .

(2.146)

Die Annahme einer von der Zeit unabh¨ angigen Kontakttemperatur ϑm war also zutreffend. Ihre Lage h¨ angt von den W¨ armeeindringkoeffizienten p p b1 = λ1 c1 1 und b2 = λ2 c2 2 der beiden K¨ orper ab. Aus (2.146) folgt ϑm = ϑ02 +

b1 (ϑ01 − ϑ02 ) . b1 + b2

(2.147)

Die von der Zeit unabh¨ angige Kontakttemperatur liegt n¨ aher an der Anfangstemperatur des K¨ orpers mit dem gr¨ oßeren W¨ armeeindringkoeffizienten. Gleichung (2.147) erkl¨ art, warum sich verschiedene K¨ orper gleicher Temperatur bei Ber¨ uhrung mit der Hand oder dem Fuß verschieden warm“ anf¨ uhlen. ”

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

173

2.3.3.3 Periodische Temperatur¨ anderungen Periodische Temperatur¨ anderungen treten in Natur und Technik h¨aufig auf. Es sei an das Eindringen der t¨ aglichen Temperaturschwingungen in Geb¨audemauern oder an das Eindringen der t¨ aglichen oder jahreszeitlichen Schwankungen der Temperatur in den Erdboden erinnert. In den Zylindern der Verbrennungsmotoren treten große und hochfrequente Temperaturschwankungen auf, die in die Zylinderwand eindringen und die Festigkeit des Materials beeinflussen k¨ onnen. Im Folgenden behandeln wir ein einfaches Modell, das diese Temperaturschwingungen wenigstens n¨ aherungsweise und in ihren wesentlichen Eigenschaften wiedergibt. Wir betrachten einen einseitig unendlich ausgedehnten K¨orper mit konstanten Stoffwerten λ und a. An die freie Oberfl¨ache x = 0 grenze ein Fluid, dessen Temperatur ϑF sich nach dem Zeitgesetz

 t ϑF (t) = ϑm + Δϑ cos ωt = ϑm + Δϑ cos 2π (2.148) t0 andern m¨ oge. Es wird also eine harmonische Schwingung mit der Amplitude ¨ Δϑ und der Schwingungsdauer t0 um den Mittelwert ϑm angenommen. An der Oberfl¨ ache x = 0 sei die W¨ arme¨ ubergangsbedingung

 ∂ϑ −λ = α [ϑF − ϑ (0, t)] (2.149) ∂x x=0 mit konstantem α vorgeschrieben. Wir suchen das Temperaturfeld ϑ = ϑ (x, t), das sich im K¨ orper nach l¨ angerer Zeit als quasistation¨arer Dauerzustand einstellt, wenn die von der Anfangstemperaturverteilung des K¨orpers herr¨ uhrende Anfangsst¨ orung abgeklungen ist.

Abb. 2.25: Zeitlicher Verlauf der Fluidtemperatur ϑp F nach (2.148) und der Oberfl¨ achentemperatur ϑ(0, t) nach (2.153) mit k = (b/α) π/t0 = 1,0

Eine L¨ osung dieses W¨ armeleitproblems ist wieder mit Hilfe der LaplaceTransformation m¨ oglich, vgl. z.B. [2.18], [2.26] oder [2.1], S. 317–319, wo auch

174

2 W¨ armeleitung und Diffusion

der von einer konstanten Anfangstemperatur herr¨ uhrende Anteil berechnet wurde, der nach Ablauf einer gen¨ ugend großen Zeitspanne auf null abklingt. Da dieser L¨ osungsweg recht kompliziert ist, w¨ahlen wir einen anderen Weg. Es ist zu erwarten, dass die Temperaturen im Inneren des K¨orpers eine harmonische Schwingung ausf¨ uhren, die mit wachsender Tiefe x immer st¨arker ged¨ ampft wird und außerdem eine Phasenverschiebung zeigt. Ein dementsprechender Ansatz ϑ (x, t) = ϑm + Δϑ η e−mx cos (ωt − mx − ε)

(2.150)

erf¨ ullt die W¨ armeleitungsgleichung (2.120), wenn m2 =

π ω = 2a at0

(2.151)

ist. Die Konstanten η und ε ergeben sich aus der Randbedingung (2.149) zu 1  = 1 + 2k + 2k 2 η und ε = arctan mit k=

λ mλ = α α

"

(2.152a)

k 1+k

π b = at0 α

(2.152b) "

π . t0

(2.152c)

Ihre Bedeutung erkennt man, wenn man die Oberfl¨achentemperatur berechnet. Aus (2.150) folgt mit x = 0 ϑ (0, t) = ϑm + Δϑ η cos (ωt − ε) .

(2.153)

Die Amplitude dieser Schwingung ist um den Faktor η < 1 gegen¨ uber der Schwingungsamplitude der Fluidtemperatur verkleinert. Außerdem hinkt die Oberfl¨ achentemperatur hinter der Fluidtemperatur um den Winkel ε nach, Abb. 2.25. Auch die Temperatur in einer bestimmten Tiefe x verh¨alt sich wie die Oberfl¨ achentemperatur. Sie schwingt harmonisch mit derselben Kreisfrequenz ω, einer mit zunehmender Tiefe stark ged¨ ampften Amplitude und einer mit x wachsenden Phasenverschiebung. Zu jedem Zeitpunkt stellt (2.150) eine in das Innere des K¨ orpers wandernde, mit zunehmender Tiefe rasch abklingende Temperaturwelle dar, Abb. 2.26. Man erh¨ alt ihre Wellenl¨ange Λ als Abstand zweier Punkte, deren Phasenwinkel sich um 2π unterscheiden. Sind x1 und x2 solche Punkte, so folgt aus ωt − mx1 − ε = ωt − mx2 − ε + 2π die Wellenl¨ ange

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

175

Abb. 2.26: Temperaturwellen nach (2.155) im halbunendlichen K¨ orper bei einer harmonischen Schwingung der Oberfl¨ achentemperatur mit η = 1 und ε = 0

√ 2π = 2 πat0 . m Damit erh¨ alt man f¨ ur die Temperaturverteilung 

  t x − ϑ (x, t) = ϑm + Δϑ η e−2πx/Λ cos 2π −ε . t0 Λ Λ = x2 − x1 =

(2.154)

(2.155)

Um die Eindringtiefe der Temperaturschwingung zu beurteilen, berechnen wir jene Tiefe xn , in der die Amplitude auf den n-ten Teil ihres Wertes an der Oberfl¨ ache x = 0 gesunken ist. Aus e−2πxn /Λ = 1/n " Λ at0 ln n = ln n . (2.156) 2π π Eindringtiefe und Wellenl¨ ange wachsen mit der Temperaturleitf¨ahigkeit des K¨ orpers und der Schwingungsdauer. Hochfrequente Schwingungen, wie sie in schnell laufenden Verbrennungsmotoren vorkommen, werden eine weit geringere Eindringtiefe in die Zylinderwand haben als die t¨aglichen oder gar die

findet man

xn =

176

2 W¨ armeleitung und Diffusion

jahreszeitlichen Schwankungen der Lufttemperatur in das Erdreich. Eine Abnahme der Amplitude auf 1% des Wertes an der Oberfl¨ache (n = 100) findet nach (2.156) in einer Tiefe x100 = 0,733Λ statt. Schon in dieser Tiefe d¨ urften die Temperaturschwingungen ohne praktische Bedeutung sein.

2.3.4 Abku armung einfacher K¨ orper bei ¨hlung und Erw¨ eindimensionalem W¨ armefluss Das zeitabh¨ angige Temperaturfeld ϑ = ϑ(r, t) in einem K¨orper wird durch die Differentialgleichung

2  ∂ ϑ n ∂ϑ ∂ϑ =a + (2.157) ∂t ∂r2 r ∂r mit n = 0, 1 und 2 f¨ ur die Platte, den Zylinder und die Kugel bestimmt, wenn man geometrisch eindimensionalen W¨ armefluss, n¨amlich nur in r-Richtung, annimmt. Beim Zylinder und bei der Kugel bedeutet r die radiale Koordinate. Der Zylinder muss dabei sehr lang gegen¨ uber seinem Durchmesser sein, damit der W¨ armestrom in axialer Richtung vernachl¨assigt werden kann, und die Temperatur ϑ darf, ebenso bei der Kugel, nicht von den Winkelkoordinaten abh¨ angen. Bei der Platte soll, wie schon in Abschnitt 1.1.2, die x-Koordinate mit r bezeichnet werden; sie ist die Koordinate senkrecht zu den beiden sehr großen Begrenzungsebenen, wir z¨ ahlen sie von der Plattenmitte aus. 2.3.4.1 Formulierung des Problems Die drei K¨ orper — Platte, sehr langer Zylinder und Kugel — sollen zur ur t > 0 werde Zeit t = 0 die konstante Anfangstemperatur ϑ0 haben. F¨ die K¨ orperoberfl¨ ache mit einem Fluid in Ber¨ uhrung gebracht, dessen Temperatur ϑU = ϑ0 zeitlich konstant ist. Es geht dann W¨arme zwischen dem K¨ orper und dem Fluid u uhlt sich der K¨orper ab, f¨ ur ¨ ber. Ist ϑU < ϑ0 , so k¨ armt er sich. Diese instation¨ aren W¨armeleitvorg¨ange laufen so ϑU > ϑ0 erw¨ lange ab, bis der K¨ orper die Temperatur ϑU des Fluids angenommen hat; dies ist der station¨ are Endzustand. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α sei an den beiden Seiten der Platte gleich groß, und bei Zylinder und Kugel soll er auf der ganzen vom Fluid ber¨ uhrten Oberfl¨ ache konstant sein. In allen drei F¨allen h¨ ange er nicht von der Zeit ab. Betrachtet man die Platte halber Dicke, so entspricht das W¨ armeleitproblem der einseitigen Abk¨ uhlung oder Erw¨armung einer Platte, deren andere Oberfl¨ ache isoliert (adiabat) ist. Unter den genannten Annahmen erh¨ alt man die Randbedingungen r=0:

∂ϑ =0 ∂r

aus Symmetriegr¨ unden und r=R:

−λ

∂ϑ = α(ϑ − ϑU ) . ∂r

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

177

Außerdem gilt die Anfangsbedingung t=0:

0≤r≤R ,

ϑ(r) = ϑ0 ,

vgl. Abb. 2.27. Es empfiehlt sich, dimensionslose Variablen einzuf¨ uhren. Wir setzen r+ := r/R und t+ := at/R2 (2.158) mit R als halber Plattendicke bzw. Zylinder- oder Kugelradius, sowie ϑ+ :=

ϑ − ϑU . ϑ0 − ϑU

(2.159)

Mit diesen Gr¨ oßen geht die Differentialgleichung (2.157) in ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ n ∂ ϑ+ = + + + 2 + ∂t r ∂r ∂r+

(2.160)

u ¨ ber. Die Randbedingungen lauten ∂ ϑ+ =0 ∂r+ und −

f¨ ur

∂ ϑ+ = Bi ϑ+ ∂r+

r+ = 0

f¨ ur

r+ = 1

(2.161)

(2.162)

mit der Biot-Zahl Bi = αR/λ , vgl. Abschnitt 2.1.5. Die Anfangsbedingung lautet ϑ+ = 1 f¨ ur

t+ = 0 .

(2.163)

Die gesuchte dimensionslose Temperaturverteilung in den drei K¨orpern hat die Gestalt ϑ+ = fn (r+ , t+ , Bi) ,

Abb. 2.27: Zur Erl¨ auterung der Anfangs- und Randbedingungen bei der Abk¨ uhlung einer Platte der Dicke 2R, eines langen Zylinders und einer Kugel, jeweils mit dem Radius R

178

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.28: Temperaturverh¨ altnis ϑ+ = (ϑ − ϑU )/(ϑ0 − ϑU ). a beim Abk¨ uhlen und b beim Erw¨ armen

wobei sich f¨ ur die Platte (n = 0), den Zylinder (n = 1) und die Kugel (n = 2) unterschiedliche Funktionen fn ergeben werden, weil jedesmal eine andere Differentialgleichung gilt. Die dimensionslose Temperatur kann nur Werte zwischen ϑ+ = 0 (f¨ ur t+ → ∞) und ϑ+ = 1 (f¨ ur t+ = 0) annehmen. Durch ϑ+ wird der Temperaturverlauf beim Erw¨ armen und Abk¨ uhlen in gleicher Weise beschrieben, vgl. Abb. 2.28. Beim Abk¨ uhlen (ϑU < ϑ0 ) gilt nach (2.159)   ϑ (x, t) = ϑU + (ϑ0 − ϑU ) ϑ+ r+ , t+ und f¨ ur das Erw¨ armen (ϑU > ϑ0 ) folgt daraus  & % . ϑ (x, t) = ϑ0 + (ϑU − ϑ0 ) 1 − ϑ+ r+ , t+ F¨ ur Bi → ∞ erh¨ alt man den Sonderfall, dass die Oberfl¨ache der K¨orper auf der konstanten Temperatur ϑU des Fluids, entsprechend ϑ+ = 0, gehalten wird. Dies ergibt bei gleicher Temperaturdifferenz ϑ0 − ϑU die raschest m¨ogliche Abk¨ uhlung oder Erw¨ armung (α → ∞). 2.3.4.2 Separationsansatz Um eine L¨ osung der Differentialgleichung (2.160) unter Beachtung der Anfangs- und Randbedingungen zu finden, macht man den Produkt- oder Separationsansatz3 ϑ+ (r+ , t+ ) = F (r+ ) · G(t+ ) . Man sucht also Funktionen F und G von jeweils nur einer Variablen, welche die aus (2.160) folgende Differentialgleichung

2  d F n dF + dG F (r ) + = + + + G(t+ ) dt r dr dr+ 2 3

Die Anwendung der Laplace-Transformation liefert dieselbe L¨ osung. F¨ ur die R¨ ucktransformation vom Frequenz- in den Zeitbereich muss die Umkehrformel, vgl. 2.3.2, angewendet werden. Um dies zu vermeiden, benutzen wir in diesem Falle die einfachere klassische Methode des Produktansatzes.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

oder 1 dG 1 = G(t+ ) dt+ F (r+ )



d2 F n dF 2 + r+ dr+ + dr

179

 (2.164)

erf¨ ullen. Die linke Seite von (2.164) h¨ angt nur von der (dimensionslosen) Zeit t+ , die rechte nur von der Ortskoordinate r+ ab: die Variablen sind getrennt (separiert). Die durch (2.164) geforderte Gleichheit ist nur m¨oglich, wenn beide Seiten von (2.164) einer Konstanten −μ2 gleich sind. Man bezeichnet μ als Separationsparameter. Aus (2.164) entstehen damit die beiden gew¨ohnlichen Differentialgleichungen dG + μ2 G = 0 (2.165) dt+ und d2 F n dF 2 (2.166) 2 + r+ dr+ + μ F = 0 . + dr Produkte ihrer L¨ osungen mit demselben Wert des Separationsparameters μ ergeben L¨ osungen der W¨ armeleitungsgleichung (2.160). Die L¨ osung der Differentialgleichung (2.165) f¨ ur die Zeitfunktion G(t+ ) ist die abklingende Exponentialfunktion   (2.167) G(t+ ) = C exp −μ2 t+ . Dies gilt f¨ ur alle drei K¨ orper. Die Ortsfunktion F ist jedoch f¨ ur Platte, Zylinder und Kugel verschieden. In allen drei F¨ allen m¨ ussen jedoch die L¨osungsfunktionen F die gleichen Randbedingungen erf¨ ullen. Es folgt aus (2.161) und (2.162) dF = 0 f¨ ur r+ = 0 (2.168) dr+ und dF ur r+ = 1 . (2.169) − + = Bi F f¨ dr Die durch die Differentialgleichung (2.166) und die beiden Randbedingungen (2.168) und (2.169) gebildete Randwertaufgabe f¨ uhrt zur Klasse der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgaben, f¨ ur die eine Reihe allgemeiner Theoreme gilt. Wie wir gleich zeigen werden, erf¨ ullen nur L¨osungsfunktionen F mit bestimmten, diskreten Werten μi des Separationsparameters die beiden Randbedingungen. Diese besonderen Werte μi heißen Eigenwerte der Randwertaufgabe, und die zugeh¨ origen L¨ osungsfunktionen Fi werden Eigenfunktionen genannt. Die wichtigsten S¨ atze aus der Theorie der Sturm-Liouvilleschen Eigenwertaufgaben sind, vgl. z.B. K. J¨ anich [2.33]: 1. Alle Eigenwerte sind reell. 2. Die Eigenwerte bilden eine monoton wachsende unendliche Folge μ1 < μ2 < μ3 . . .

mit

lim μi = +∞ .

i→∞

180

2 W¨ armeleitung und Diffusion

3. Die zugeh¨ origen Eigenfunktionen F1 , F2 , . . . sind orthogonal, d.h. es gilt 

b +

Fi Fj dr =

0 f¨ ur i = j Ai f¨ ur i = j

a

mit Ai als einer positiven Konstante. Dabei sind a und b die beiden Stellen, an denen die Randbedingungen vorgeschrieben sind. Bei unserer Aufgabe ist a = 0 und b = 1. orige Eigenfunktion Fi hat zwischen den R¨an4. Die zum Eigenwert μi geh¨ dern, also im offenen Intervall (a, b) genau (i − 1) Nullstellen. Wir werden von diesen Eigenschaften bei der nun folgenden L¨osung des Randwertproblems f¨ ur Platte, Zylinder und Kugel Gebrauch machen. 2.3.4.3 Ergebnisse f¨ ur die Platte Die Funktion F (r+ ) gen¨ ugt bei der Platte der Differentialgleichung (2.166) mit n = 0, die als Schwingungs-Differentialgleichung bekannt ist. Sie hat die allgemeine L¨ osung     F = c1 cos μr+ + c2 sin μr+ . Aus der Randbedingung (2.168) folgt c2 = 0. Die W¨arme¨ ubergangsbedingung (2.169) f¨ uhrt auf eine transzendente Gleichung f¨ ur den Separationsparameter μ, n¨ amlich tan μ = Bi/μ . (2.170) Die L¨ osungen μ = μi dieser Gleichung sind die Eigenwerte des Problems; sie ¨ h¨ angen von der Biot-Zahl ab. Wie Abb. 2.29 zeigt, gibt es in Ubereinstimmung mit der Sturm-Liouvilleschen Theorie eine unendliche Folge von Eigenwerten μ1 < μ2 < μ3 . . . Nur die zu den Eigenwerten μi geh¨orenden Eigenfunktionen   Fi = cos μi r+ erf¨ ullen die beiden Randbedingungen (2.168) und (2.169). Damit ist die mit den unendlich vielen Eigenfunktionen und der zeitabh¨angigen Funktion G(t+ ) nach (2.167) gebildete unendliche Reihe ϑ+ (r+ , t+ ) =

∞ 

  Ci cos μi r+ exp(−μ2i t+ )

(2.171)

i=1

die allgemeine L¨ osung des W¨ armeleitproblems f¨ ur die Platte. Sie ist nur noch der Anfangsbedingung (2.163) anzupassen. Es muss also gelten: 1=

∞  i=1

  Ci cos μi r+

,

0 ≤ r+ ≤ 1 .

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

181

Abb. 2.29: Graphische Bestimmung der Eigenwerte nach (2.170)

Eine gegebene Funktion, hier die Zahl 1, ist durch die unendliche Summe der Eigenfunktionen im Intervall [0, 1] darzustellen. Um die Koeffizienten Ci zu erhalten, multipliziert man mit einer Eigenfunktion cos (μj r+ ) und integriert von r+ = 0 bis r+ = 1. Da die Eigenfunktionen orthogonal sind, werden alle Terme, bei denen j = i ist, zu null. Es bleibt nur der Term mit j = i, so dass 1 0

  cos μi r+ dr+ = Ci

1

  cos2 μi r+ dr+

0

den Koeffizienten Ci liefert mit dem Ergebnis Ci =

1 2 sin μi 2Bi = . μi + sin μi cos μi Bi2 + Bi + μ2i cos μi

(2.172)

Damit ist die gesuchte Temperaturverteilung beim Erw¨armen oder Abk¨ uhlen der Platte gefunden. Die Eigenwerte μi und die Entwicklungskoeffizienten Ci h¨angen von der ur die Biot-Zahl ab. In Tabelle 2.6 findet man Werte von μ1 und C1 . Werte f¨ ersten sechs Eigenwerte sind in [2.1] angegeben. F¨ ur Bi → ∞ erh¨alt man die Randbedingung ϑ+ (1, t+ ) = 0, entsprechend ϑ(R) = ϑU , und die Eigenwerte sind μ1 = π/2, μ2 = 3π/2, μ3 = 5π/2 . . . F¨ ur Bi = 0, den Grenzfall der isolierten Wand mit endlicher W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ, aber mit α = 0, wird μ1 = 0, μ2 = π, μ3 = 2π, . . . ; als Temperaturverteilung ergibt sich ϑ+ = 1 unabh¨ angig von t+ , wie es physikalisch einleuchtend ist.

182

2 W¨ armeleitung und Diffusion

origer Tabelle 2.6: Kleinster Eigenwert μ1 nach (2.170), (2.177) bzw. (2.182), zugeh¨ ur die Temperaturverteilung ϑ+ (r + , t+ ) Entwicklungskoeffizient C1 in der Reihe f¨ + ur die Mitteltemperatur ϑ+ sowie Koeffizient D1 in der Reihe f¨ m (t ) von Platte, sehr langem Zylinder und Kugel, vgl. auch (2.185) und (2.188) in Abschnitt 2.3.4.5

Bi

μ1

Platte C1

D1

μ1

Zylinder C1

D1

μ1

Kugel C1

D1

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,09983 0,14095 0,17234 0,19868 0,22176

1,0017 1,0033 1,0049 1,0066 1,0082

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

0,14124 0,19950 0,24403 0,28143 0,31426

1,0025 1,0050 1,0075 1,0099 1,0124

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999

0,17303 0,24446 0,29910 0,34503 0,38537

1,0030 1,0060 1,0090 1,0120 1,0150

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

0,24253 0,26153 0,27913 0,29557 0,31105

1,0098 1,0114 1,0130 1,0145 1,0161

0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998

0,34383 0,37092 0,39603 0,41954 0,44168

1,0148 1,0173 1,0197 1,0222 1,0246

0,9999 0,9999 0,9999 0,9998 0,9998

0,42173 0,45506 0,48600 0,51497 0,54228

1,0179 1,0209 1,0239 1,0268 1,0298

0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9998

0,15 0,20 0,25 0,30 0,40

0,37788 0,43284 0,48009 0,52179 0,59324

1,0237 1,0311 1,0382 1,0450 1,0580

0,9995 0,9992 0,9988 0,9983 0,9971

0,53761 0,61697 0,68559 0,74646 0,85158

1,0365 1,0483 1,0598 1,0712 1,0931

0,9995 0,9992 0,9988 0,9983 0,9970

0,66086 0,75931 0,84473 0,92079 1,05279

1,0445 1,0592 1,0737 1,0880 1,1164

0,9996 0,9993 0,9990 0,9985 0,9974

0,50 0,60 0,70 0,80 0,90

0,65327 0,70507 0,75056 0,79103 0,82740

1,0701 1,0814 1,0918 1,1016 1,1107

0,9956 0,9940 0,9922 0,9903 0,9882

0,94077 1,01844 1,08725 1,14897 1,20484

1,1143 1,1345 1,1539 1,1724 1,1902

0,9954 0,9936 0,9916 0,9893 0,9869

1,16556 1,26440 1,35252 1,43203 1,50442

1,1441 1,1713 1,1978 1,2236 1,2488

0,9960 0,9944 0,9925 0,9904 0,9880

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40

0,86033 0,89035 0,91785 0,94316 0,96655

1,1191 1,1270 1,1344 1,1412 1,1477

0,9861 0,9839 0,9817 0,9794 0,9771

1,25578 1,30251 1,34558 1,38543 1,42246

1,2071 1,2232 1,2387 1,2533 1,2673

0,9843 0,9815 0,9787 0,9757 0,9727

1,57080 1,63199 1,68868 1,74140 1,79058

1,2732 1,2970 1,3201 1,3424 1,3640

0,9855 0,9828 0,9800 0,9770 0,9739

1,50 1,60 1,70 1,80 1,90

0,98824 1,00842 1,02725 1,04486 1,06136

1,1537 1,1593 1,1645 1,1695 1,1741

0,9748 0,9726 0,9703 0,9680 0,9658

1,45695 1,48917 1,51936 1,54769 1,57434

1,2807 1,2934 1,3055 1,3170 1,3279

0,9696 0,9665 0,9633 0,9601 0,9569

1,83660 1,87976 1,92035 1,95857 1,99465

1,3850 1,4052 1,4247 1,4436 1,4618

0,9707 0,9674 0,9640 0,9605 0,9570

2,00 2,20 2,40 2,60 2,80

1,07687 1,10524 1,13056 1,15330 1,17383

1,1785 1,1864 1,1934 1,1997 1,2052

0,9635 0,9592 0,9549 0,9509 0,9469

1,59945 1,64557 1,68691 1,72418 1,75794

1,3384 1,3578 1,3754 1,3914 1,4059

0,9537 0,9472 0,9408 0,9345 0,9284

2,02876 2,09166 2,14834 2,19967 2,24633

1,4793 1,5125 1,5433 1,5718 1,5982

0,9534 0,9462 0,9389 0,9316 0,9243

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

183

Tabelle 2.6: Fortsetzung

μ1

Platte C1

D1

μ1

3,00 3,50 4,00 4,50 5,00

1,19246 1,23227 1,26459 1,29134 1,31384

1,2102 1,2206 1,2287 1,2351 1,2402

0,9431 0,9343 0,9264 0,9193 0,9130

1,78866 1,85449 1,90808 1,95248 1,98981

6,00 7,00 8,00 9,00 10,00

1,34955 1,37662 1,39782 1,41487 1,42887

1,2479 1,2532 1,2570 1,2598 1,2620

0,9021 0,8932 0,8858 0,8796 0,8743

12,00 14,00 16,00 18,00 20,00

1,45050 1,46643 1,47864 1,48830 1,49613

1,2650 1,2669 1,2683 1,2692 1,2699

25,00 30,00 35,00 40,00 50,00

1,51045 1,52017 1,52719 1,53250 1,54001

60,00 80,00 100,00 200,00 ∞

1,54505 1,55141 1,55525 1,56298 1,57080

Bi

Zylinder C1

D1

μ1

Kugel C1

D1

1,4191 1,4473 1,4698 1,4880 1,5029

0,9224 0,9081 0,8950 0,8830 0,8721

2,28893 2,38064 2,45564 2,51795 2,57043

1,6227 1,6761 1,7202 1,7567 1,7870

0,9171 0,8995 0,8830 0,8675 0,8533

2,04901 2,09373 2,12864 2,15661 2,17950

1,5253 1,5411 1,5526 1,5611 1,5677

0,8532 0,8375 0,8244 0,8133 0,8039

2,65366 2,71646 2,76536 2,80443 2,83630

1,8338 1,8673 1,8920 1,9106 1,9249

0,8281 0,8069 0,7889 0,7737 0,7607

0,8658 0,8592 0,8541 0,8499 0,8464

2,21468 2,24044 2,26008 2,27555 2,28805

1,5769 1,5828 1,5869 1,5898 1,5919

0,7887 0,7770 0,7678 0,7603 0,7542

2,88509 2,92060 2,94756 2,96871 2,98572

1,9450 1,9581 1,9670 1,9734 1,9781

0,7397 0,7236 0,7109 0,7007 0,6922

1,2710 1,2717 1,2721 1,2723 1,2727

0,8400 0,8355 0,8322 0,8296 0,8260

2,31080 2,32614 2,33719 2,34552 2,35724

1,5954 1,5973 1,5985 1,5993 1,6002

0,7427 0,7348 0,7290 0,7246 0,7183

3,01656 3,03724 3,05207 3,06321 3,07884

1,9856 1,9898 1,9924 1,9942 1,9962

0,6766 0,6658 0,6579 0,6519 0,6434

1,2728 1,2730 1,2731 1,2732 1,2732

0,8235 0,8204 0,8185 0,8146 0,8106

2,36510 2,37496 2,38090 2,39283 2,40483

1,6007 1,6013 1,6015 1,6019 1,6020

0,7140 0,7085 0,7052 0,6985 0,6917

3,08928 3,10234 3,11019 3,12589 3,14159

1,9974 1,9985 1,9990 1,9998 2,0000

0,6376 0,6303 0,6259 0,6170 0,6079

Neben den nach (2.171) zu berechnenden Temperaturen ist oft auch die Energie von Interesse, welche die Platte w¨ ahrend einer bestimmten Zeitspanne als W¨ arme aufgenommen oder abgegeben hat. K¨ uhlt sich die Platte mit dem Volumen V von ur t → ∞), so der Anfangstemperatur ϑ0 auf die Umgebungstemperatur ϑU ab (f¨ gibt sie die Energie Q0 = V c(ϑ0 − ϑU ) als W¨ arme an die Umgebung ab. Nach Ablauf einer endlichen Zeit t hat sie nur die W¨ arme Q(t) = V c [ϑ0 − ϑm (t)] an die Umgebung abgegeben. Dabei bedeutet 1 ϑm (t) = R

ZR ϑ(r, t) dr 0

die Mitteltemperatur der Platte zur Zeit t. Das Verh¨ altnis

184

2 W¨ armeleitung und Diffusion ϑ0 − ϑm (t) Q(t) + = = 1 − ϑ+ m (t ) Q0 ϑ0 − ϑU

(2.173)

+ ur erh¨ alt man ist durch die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m (t ) gegeben. Hierf¨ durch Integration von (2.171) ` ´ ∞ ∞ X X ` 2 +´ exp −μ2i t+ sin μi + + 2 . (2.174) Ci exp −μi t = 2Bi ϑm (t ) = μi μ2 (Bi2 + Bi + μ2i ) i=1 i=1 i

Die Gleichungen (2.171) f¨ ur die Temperaturverteilung in der Platte sowie (2.173) und (2.174) f¨ ur die abgegebene W¨ arme sind wiederholt ausgewertet und in Diagrammen dargestellt worden, vgl. [2.34] und [2.35]. Angesichts der heute verf¨ ugbaren Rechenhilfsmittel ist jedoch die unmittelbare Auswertung der angegebenen Beziehungen vorteilhafter auch im Hinblick auf ihre Verwendung in Simulationsprogrammen, in denen instation¨are W¨armeleitvorg¨ange auftreten. Die rechnerische Anwendung der hier entwickelten Beziehungen wird dadurch erleichtert, dass f¨ ur gr¨ oßere Werte von t+ nur das erste Glied der unendlichen Reihen ben¨ otigt wird, vgl. Abschnitt 2.3.4.5. F¨ ur sehr kleine t+ werden wir in Abschnitt 2.3.4.6 besondere Gleichungen herleiten. Außerdem gibt es N¨ aherungsgleichungen, die numerisch etwas einfacher zu handhaben sind als die hier angegebenen Beziehungen, vgl. z.B. [2.69]. ` ´ Beispiel 2.4: In Beispiel 2.3 von Abschnitt 2.3.2 wurde die Temperatur ϑ 0, t+ der bei x = adiabaten Oberfl¨ ache einer ebenen Wand (Platte) be´ ` 0 gelegenen anderte sich infolge der sprunghaften Erh¨ rechnet; ϑ 0, t+ ¨ `ohung´ der Temperaache. F¨ ur ϑ 0, t+ ergab sich in tur von ϑ0 auf ϑU an der anderen Wandoberfl¨ Beispiel 2.3 ´ ` « „ « „ « „ ϑ 0, t+ − ϑ0 3 5 1 √ √ √ − 2 erfc + 2 erfc − ... = 2 erfc ϑU − ϑ0 2 t+ 2 t+ 2 t+ (2.175) Dieser Gleichung soll die aus (2.171) folgende Beziehung gegen¨ ubergestellt werden. ¨ Die sprunghafte Anderung der Oberfl¨ achentemperatur bei r = R (entsprechend x = δ in Beispiel 2.3) bedeutet α → ∞, also Bi → ∞. Damit erh¨ alt man aus (2.170) die Eigenwerte μ1 =

π 2

,

μ2 =

3π 2

μ3 =

,

5π 2

,

...

und aus (2.172) die Koeffizienten C1 =

4 π

,

C2 = −

4 3π

,

C3 =

4 5π

,

...

Aus (2.171) folgt nun ` ´ » – ∞ ϑ 0, t+ − ϑU π2 4 X (−1)i+1 2 + exp − (2i − 1) t . = ϑ0 − ϑU π i=1 2i − 1 4 Die (2.175) entsprechende Gleichung ergibt sich daraus zu

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung 185 ` +´ « « „ „ ϑ 0, t − ϑ0 4 π2 + 9π 2 + 4 + − t exp − t = 1 − exp − ϑU − ϑ0 π 4 3π 4 (2.176) „ « 25π 2 + 4 exp − t +... − 5π 4 Die Gleichungen (2.175) und (2.176) beschreiben denselben Temperaturverlauf. ur große W¨ ahrend (2.175) f¨ ur kleine Zeiten t+ rasch konvergiert, ist (2.176) f¨ + uberstellung f¨ ur Zeiten t besonders gut geeignet. Dies zeigt die folgende Gegen¨ ur t+ = 0,1 erh¨ alt man allein mit dem zwei Zeiten, t+ = 0,1 und t+ = 1,0. F¨ ersten Term von (2.175) auf f¨ unf Nachkommastellen genau den Wert 0,05070. In (2.176) ben¨ otigt man jedoch drei Terme der unendlichen Reihe: 1 − 0,99484 + 0,04607 − 0,00053 + . . . = 0,05070 . ugt bereits das erste Reihenglied in (2.176), um F¨ ur die Zeit t+ = 1,0 gen¨ 1 − 0,10798 + . . . = 0,89202 zu erhalten. F¨ ur dieses Resultat ben¨ otigt man dagegen drei Terme in (2.175): 0,95900 − 0,06779 + 0,00081 − . . . = 0,89202 .

2.3.4.4 Ergebnisse f¨ ur Zylinder und Kugel Beim unendlich langen Zylinder bestimmt (2.166) mit n = 1 die Funktion F (r + ). Dies ist die Besselsche Differentialgleichung nullter Ordnung, und ihre L¨ osungen sind die Bessel-Funktion J0 und die Neumann-Funktion N0 nullter Ordnung: ` ´ ` ´ ` ´ F r + = c1 J0 μr + + c2 N0 μr + . Die Symmetriebedingung (2.168) schließt N0 aus (c2 = 0). Die W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.169) liefert wie bei der Platte eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Eigenwerte μi : ` ´ dJ0 (μr + ) − = Bi J0 μr + f¨ ur r + = 1 + dr oder (2.177) μJ1 (μ) = Bi J0 (μ) mit J1 als Bessel-Funktion 1. Ordnung. Tafeln der Besselfunktionen J0 und J1 findet man in [2.30] und [2.32]; u ¨ ber ihre Eigenschaften und Berechnungsgleichungen informiert z.B. [2.28]. osung von (2.177), zu Man erh¨ alt wieder unendlich viele Eigenwerte μi als L¨ oren. Die Summe denen die Eigenfunktionen Fi = J0 (μi r + ) geh¨ ∞ ` ´ X ` ´ ` ´ Ci J0 μi r + exp −μ2i t+ ϑ + r + , t+ =

(2.178)

i=1

ist damit eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung f¨ ur den Zylinder, die` den ´Randbedingungen gen¨ ugt. Aus der Anfangsbedingung (2.163), n¨ amlich ϑ+ r + , 0 = 1, erh¨ alt man die Entwicklungskoeffizienten

186

2 W¨ armeleitung und Diffusion Ci =

2Bi 2J1 (μi ) = . μi [J02 (μi ) + J12 (μi )] (Bi2 + μ2i ) J0 (μi )

(2.179)

Tabelle 2.6 gibt den ersten Eigenwert μ1 und das zugeh¨ orige C1 in Abh¨ angigkeit von der Biot-Zahl. Werte der ersten sechs Eigenwerte findet man in [2.1]. Das Verh¨ altnis der in der Zeit t abgegebenen W¨ arme Q(t) zum Maximalwert Q0 f¨ ur t → ∞ ist durch (2.173) gegeben. Die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m ist f¨ ur den Zylinder nach Z1 ϑ+ m

=2

` ´ ϑ+ r + , t+ r + dr +

0

zu berechnen. Integration von (2.178) ergibt ϑ+ m

` ´ ∞ X ` +´ exp −μ2i t+ 2 t = 4Bi . μ2 (Bi2 + μ2i ) i=1 i

(2.180)

F¨ ur die Kugel erh¨ alt man in der gleichen Weise die Temperaturverteilung ` ´ ∞ X ` ´ sin μi r + +` + +´ Ci exp −μ2i t+ . (2.181) ϑ r ,t = + μ ir i=1 Die Eigenwerte sind die L¨ osungen der transzendenten Gleichung μ cot μ = 1 − Bi .

(2.182)

Die Koeffizienten Ci ergeben sich zu Ci = 2

sin μi − μi cos μi μ2 + (Bi − 1)2 sin μi = 2 Bi 2 i . μi − sin μi cos μi μi + Bi (Bi − 1) μi

(2.183)

Daraus erh¨ alt man f¨ ur die dimensionslose Mitteltemperatur

ϑ+ m

` +´ t =3

Z1

` ´ ϑ+ r + , t+ r +2 dr +

0

der Kugel die Reihe ∞ X ` +´ = 6 Bi2 ϑ+ m t i=1

` ´ exp −μ2i t+ . μ2i [μ2i + Bi (Bi − 1)]

(2.184)

Damit l¨ asst sich die auf Q0 bezogene W¨ arme Q(t+ ) nach (2.173) berechnen. osung von (2.182) und den Tabelle 2.6 enth¨ alt den ersten Eigenwert μ1 als L¨ zugeh¨ origen Koeffizienten C1 nach (2.183) als Funktionen von Bi. Werte der ersten sechs Eigenwerte findet man in [2.1]. Graphische Darstellungen des Temperaturverlaufs im sehr langen Zylinder und in der Kugel findet man in den schon erw¨ ahnten Ver¨ offentlichungen [2.34] und [2.35], N¨ aherungsgleichungen in [2.69]. In Abb. 2.30 ist ` ´ der zeitliche Verlauf der dimensionslosen Temperatur ϑ+ 0, t+ im Zentrum r + = 0 der drei K¨ orper Platte (Mittelebene), sehr langer Zylinder (Achse) und Kugel (Mittelpunkt) dargestellt.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

187

Abb. 2.30: Zeitlicher Temperaturverlauf ϑ+ (t+ ) im Zentrum (r + = 0) von Platte, sehr langem Zylinder und Kugel f¨ ur Bi = αR/λ = 1,0

2.3.4.5 N¨ aherung f¨ ur große Zeiten: Beschr¨ ankung auf den ersten Term der Reihen F¨ ur gen¨ ugend große Zeiten t+ reicht das erste Glied der Reihen (2.171), (2.178) und (2.181), um die Temperaturverteilung in der Platte, im unendlich langen Zylinder und in der Kugel zu berechnen. Man erh¨alt dann das einfache Resultat ⎧ Platte ⎨ cos (μr+ )     + + + 2 + (2.185) J0 (μr+ ) Zylinder . ϑ1 r , t = C exp −μ t ⎩ sin (μr+ ) / (μr+ ) Kugel Der erste Eigenwert μ = μ1 und der zugeh¨ orige Entwicklungskoeffizient C = C1 h¨ angen von der Biot-Zahl Bi = αR/λ ab. Sie haben außerdem verschiedene Werte f¨ ur die Platte, den Zylinder und die Kugel. In Tabelle 2.6 sind diese Werte zusammengestellt. U. Grigull u.a. [2.36] haben den Fehler berechnet, der bei Vernachl¨assigung der h¨ oheren Reihenglieder entsteht. L¨ asst man eine bestimmte Abweichung     + + + + Δϑ := ϑ1 r , t − ϑ+ r+ , t+ (2.186) + andige Reihe bezu, wobei ϑ+ 1 den ersten Term nach (2.185) und ϑ die vollst¨ + ur die dieser Fehler deuten, so kann man eine bezogene Zeit tmin berechnen, f¨ + gerade auftritt. Dabei h¨ angt t+ ur alle min von r und von der Biot-Zahl ab. F¨ + + Zeiten t > tmin kann man dann mit dem ersten Term ϑ+ 1 nach (2.185) rechnen, ohne dass der Fehler gr¨ oßer als Δϑ+ ist. Abb. 2.31 zeigt das von U. Grigull u.a. [2.36] gefundene Ergebnis f¨ ur r+ = 0 (Mittelebene bzw. Mittelachse oder + Mittelpunkt) und Δϑ = 0,001 als Funktion von Bi. Bei kleinen Bi-Zahlen gen¨ ugt das erste Reihenglied bereits bei recht kleinen Zeiten t+ > t+ min . Gleichung (2.185) erlaubt auch eine explizite Berechnung von Erw¨armungsoder Abk¨ uhlzeiten. Wir definieren diese Zeit tk so, dass nach ihrem Ablauf

188

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.31: Mindestzeiten t+ ur das Unterschreiten eines Fehlers Δϑ+ = 0,001 min f¨ nach (2.186) durch die Vernachl¨ assigung h¨ oherer Reihenglieder f¨ ur r + = 0. P Platte, Z sehr langer Zylinder, K Kugel

eine vorgegebene Temperatur ϑk im Zentrum des w¨armeleitenden K¨orpers (r+ = 0) erreicht sein soll. Dieser Temperatur ϑk entspricht ein bestimmter Wert ϑ+ k = (ϑk − ϑU ) / (ϑ0 − ϑU ) . Aus (2.185) erh¨ alt man mit r+ = 0  2 + ϑ+ k = C exp −μ tk und daraus t+ k =

 atk 1  = 2 ln C − ln ϑ+ . k 2 R μ

(2.187)

+ + Dabei w¨ achst t+ ahlt. Mit k wegen ϑk < 1 umso mehr, je kleiner man ϑk w¨ Hilfe von Tabelle 2.6 l¨ asst sich (2.187) leicht auswerten. Auch die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m , die zur Berechnung der zu- oder abgef¨ uhrten W¨ arme nach (2.173) ben¨otigt wird, l¨asst sich bei Beschr¨ ankung auf das erste Reihenglied leicht berechnen. Aus (2.174), (2.180) und (2.184) erh¨ alt man  2 + ϑ+ . (2.188) m = D exp −μ t

Der von der Biot-Zahl abh¨ angige Koeffizient D = D1 ist in Tabelle 2.6 verzeichnet. 2.3.4.6 Eine L¨ osung f¨ ur kleine Zeiten Zu Beginn des Abk¨ uhlens oder Erw¨ armens (t+ klein) braucht man mehrere Terme der unendlichen Reihen (2.171), (2.178) bzw. (2.181), um die Tempe-

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

189

raturverteilung in der Platte, dem Zylinder oder der Kugel genau berechnen zu k¨ onnen. Es empfiehlt sich, eine andere L¨osung des W¨armeleitproblems zu suchen, die besonders gut bei kleinen Zeiten konvergiert. Man findet sie durch Anwenden der Laplace-Transformation, wobei man die LaplaceTransformierte der Temperatur in eine Reihe entwickelt, die f¨ ur große Werte von s konvergiert, vgl. Abschnitt 2.3.2. Durch gliedweises R¨ ucktransformieren unter Verwendung der Tafel der Korrespondenzen erh¨alt man Ausdr¨ ucke, die bei kleinen Zeiten zur Berechnung des Temperaturfeldes geeignet sind. Diese Methode hat zuerst S. Goldstein [2.37] angewendet, vgl. auch [2.36]. Wir beschr¨ anken uns darauf, das Ergebnis f¨ ur die Platte anzugeben. Die Behandlung von Zylinder und Kugel f¨ uhrt auf kompliziertere Beziehungen, die man in [2.36] und [2.37] findet. F¨ ur die in Abschnitt 2.3.4.3 behandelte Erw¨armung oder Abk¨ uhlung einer Platte erh¨ alt man mit den dimensionslosen Variablen nach (2.158) und (2.159)   ϑ+ r+ , t+ = 

√ (  & %  1 + r+ 1 + r+ + 2 + √ 1 − erfc √ − exp Bi 1 + r + Bi t erfc + Bi t+ 2 t+ 2 t+  (

√ %   & 1 − r+ 1 − r+ + 2 + + √ − erfc √ + exp Bi 1 − r + Bi t erfc + Bi t 2 t+ 2 t+ + ... (2.189) Diese L¨ osung l¨ asst eine anschauliche Deutung zu. Die Terme in den geschweiften Klammern entsprechen jeweils dem Temperaturverlauf in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper. Beim ersten Term liegt seine Oberfl¨ache bei r+ = −1, und er erstreckt sich in positiver r+ -Richtung. Der zweite Term geh¨ ort zu einem halbunendlichen K¨ orper, der sich, ausgehend von der Oberfl¨ ache bei r+ = +1, in negativer r+ -Richtung erstreckt. Die Subtraktion dieser beiden Temperaturverteilungen von der Anfangstemperatur ϑ+ = 1 ergibt die in Abb. 2.32 dargestellte symmetrische Temperaturverteilung in der Platte, ugt. die der Bedingung ∂ϑ+ /∂r+ = 0 bei r+ = 0 gen¨ Die L¨ osung (2.189) ist nur f¨ ur solche Zeiten g¨ ultig, f¨ ur die der Beitrag der ersten assigbar geschweiften Klammer zur Oberfl¨ achentemperatur bei r + = +1 vernachl¨ klein ist. Es muss also „ √ « ` ` ´ ´ 1 1 Δϑ+ r + = 1, t+ = erfc √ − exp 2Bi + Bi2 t+ erfc √ + Bi t+ t+ t+ hinreichend klein sein. Eine asymptotische Entwicklung dieses Ausdrucks f¨ ur t+ → 0 ergibt – » +√ ` ´ ´ 3 ` ´ t+ e−1/t t+ ` √ Δϑ+ 1, t+ = (1 − y) − 1 − y 3 + t+2 1 − y 5 − . . . 2 4 π mit y := (1 + t+ Bi)−1 . Der ung¨ unstigste Fall entspricht Bi → ∞, also y = 0. Dann ergeben sich f¨ ur verschiedene dimensionslose Zeiten die folgenden Werte von Δϑ+ :

190

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.32: Temperaturverteilung in der Platte nach (2.189) f¨ ur Bi = 2,0 und t+ = 0,25. Die gestrichelt gezeichneten Kurven a und b entsprechen den Termen in den geschweiften Klammern von (2.189) 0,10 0,15 0,20 0,25 t+ = 0,05 Δϑ+ = 2,5 · 10−10 7,7 · 10−6 2,6 · 10−4 1,6 · 10−3 4,6 · 10−3 Damit d¨ urfte die durch (2.189) gegebene L¨ osung f¨ ur t+ < 0,2 in der Regel anwendbar sein.

2.3.5 Abku armung bei ¨hlung und Erw¨ mehrdimensionalem W¨ armefluss Bei geometrisch mehrdimensionalem W¨ armefluss hat man Temperaturfelder zu berechnen, die von zwei oder drei r¨ aumlichen Koordinaten abh¨angen und der W¨ armeleitungsgleichung ∂ϑ = a∇2 ϑ ∂t

(2.190)

ur kartesische und Zylindergen¨ ugen. Dabei hat der Laplace-Operator ∇2 ϑ f¨ Koordinaten die in Abschnitt 2.1.2 angegebene Form. Wir betrachten wieder das in Abschnitt 2.3.4 f¨ ur die Platte, den unendlich langer Zylinder und die Kugel gel¨ oste instation¨ are W¨ armeleitproblem: Ein K¨orper mit der konstanten Anfangstemperatur ϑ0 wird mit einem Fluid der konstanten Temperatur ϑU = ϑ0 in Ber¨ uhrung gebracht, so dass W¨ arme¨ ubergang zwischen dem K¨orper und dem Fluid stattfindet, wobei der konstante W¨arme¨ ubergangskoeffizient α maßgebend ist. Wir behandeln in den folgenden Abschnitten zwei L¨osungsverfahren: – –

eine analytische L¨ osung f¨ ur spezielle K¨ orperformen, die sich als Produkt der bereits in Abschnitt 2.3.4 berechneten Temperaturverteilungen ergibt, ein N¨ aherungsverfahren f¨ ur beliebige K¨ orperformen, das jedoch nur bei kleinen Biot-Zahlen hinreichend genau ist.

Besonders das zuletzt genannte Verfahren bietet eine praktisch einfach anwendbare L¨ osung des instation¨ aren W¨ armeleitproblems; es sollte bei gen¨ ugend kleinen Biot-Zahlen stets angewendet werden.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

191

2.3.5.1 Produktl¨ osungen Ein Zylinder endlicher L¨ ange entsteht durch die rechtwinklige Durchdringung eines unendlich langen Zylinders und einer Platte. In gleicher Weise erh¨alt man ein sehr langes Prisma mit Rechteckquerschnitt bei der Durchdringung zweier Platten und ein Rechtkant (Quader), wenn sich drei Platten orthogonal durchdringen. F¨ ur die Erw¨ armung oder Abk¨ uhlung dieser K¨orper erh¨alt man die r¨ aumliche Temperaturverteilung als Produkt der geometrisch eindimensionalen Temperaturverteilungen in den einfachen K¨orpern, die sich rechtwinklig durchdringen. Somit folgt f¨ ur den Quader mit den Kantenl¨angen 2X, 2Y und 2Z, vgl. Abb. 2.33,



   x at αX y at α Y z at α Z ϑ − ϑU + + + + , , , = ϑPl , , , ϑ = ·ϑPl ·ϑPl . ϑ0 − ϑU X X2 λ Y Y2 λ Z Z2 λ (2.191) + ist durch (2.171) gegeben. Dabei ist r durch x/X, Die Platten-L¨ osung ϑ+ Pl y/Y oder z/Z zu ersetzen und ebenso t+ durch at/X 2 , at/Y 2 bzw. at/Z 2 . Die Biot-Zahl αR/λ erh¨ alt jeweils die in (2.191) angegebene Bedeutung. Dabei ist es bemerkenswert, dass der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient nur auf den einander gegen¨ uberliegenden Oberfl¨ achen den gleichen Wert haben muss; er kann jedoch auf den Oberfl¨ achenpaaren senkrecht zur x-, y- oder z-Richtung ur das in z-Richtung sehr unterschiedliche Werte α, α und α annehmen. F¨ lange Prisma entf¨ allt in (2.191) der letzte Faktor. Die Temperaturverteilung f¨ ur den Zylinder der H¨ohe 2Z ergibt sich als Produkt

Abb. 2.33: Abmessungen eines Quaders und eines Zylinders endlicher L¨ ange sowie Lage des Koordinatensystems f¨ ur die Gleichungen (2.191) und (2.192)

Abb. 2.34: Quader mit adiabater Oberfl¨ ache bei y = 0 (schraffiert). An der gegen¨ uberliegenden Oberfl¨ ache W¨ armeu ¨bergang mit α

192

2 W¨ armeleitung und Diffusion

+

ϑ =

ϑ+ Zy

r at αR , , R R2 λ



 ·

ϑ+ Pl

z at α Z , , Z Z2 λ

 ,

(2.192)

wobei die Temperatur ϑ+ Zy des unendlich langen Zylinders durch (2.178) gegeben ist. Auch hier k¨ onnen der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α auf der Mantelfl¨ ache und der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α auf den beiden Deckfl¨achen verschiedene Werte haben. Ist eine von zwei parallelen ebenen Oberfl¨ achen des Quaders, Prismas oder Zylinders adiabat isoliert, w¨ ahrend an der anderen W¨arme u ¨ bergeht, so l¨asst sich auch dieser Fall mit den obigen Gleichungen erfassen. Man hat nur die Abmessung senkrecht zu der adiabaten Fl¨ ache zu halbieren, also den Nullpunkt des Koordinatensystems in die adiabate Oberfl¨ache zulegen. Dies ist beispielhaft f¨ ur einen Quader in Abb. 2.34 dargestellt. Den Beweis f¨ ur die Richtigkeit der Beziehungen (2.191) und (2.192) findet man z.B. im Buch von H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1], S. 33–35. Weitere Produktdarstellungen geometrisch mehrdimensionaler Temperaturfelder sind unter Benutzung der L¨ osung f¨ ur den halbunendlichen K¨orper m¨oglich. Wegen weiterer Einzelheiten sei auf [2.1] und [2.18] verwiesen. Auch die bei mehrdimensionaler W¨ armeleitung abgegebene W¨ arme l¨ asst sich mit Hilfe der Produktl¨ osungen bestimmen. Nach Abschnitt 2.3.4 gilt f¨ ur die bis zur Zeit t abgegebene W¨ arme ϑ0 − ϑm (t) Q(t) + = = 1 − ϑ+ m (t ) , Q0 ϑ0 − ϑU

(2.193)

vgl. (2.173). Die dimensionslose Mitteltemperatur ϑ+ m ergibt sich nun als Produkt der in Abschnitt 2.3.4.3 berechneten Mitteltemperaturen f¨ ur die Platte und den unendlich langen Zylinder. F¨ ur den Quader wird « « « „ „ „ at αX at α Y at α Z + + + · ϑ · ϑ (2.194) = ϑ , , , ϑ+ m mPl mPl mPl X2 λ Y2 λ Z2 λ mit ϑ+ alt man f¨ ur den Zylinder endlicher L¨ ange mPl nach (2.174). Ebenso erh¨ « « „ „ at αR at α Z + · ϑ+ , (2.195) , , ϑ+ m = ϑmZy mPl 2 R λ Z2 λ wobei ϑ+ mZy durch (2.180) gegeben ist.

Die hier angegebenen Gleichungen f¨ ur die Temperaturverteilung und die Mitteltemperatur lassen sich besonders einfach auswerten, wenn die bezogene Zeit t+ so groß ist, dass man sich auf das erste Glied der unendlichen Reihen + beschr¨ anken kann, welche die Temperaturverteilung ϑ+ Pl in der Platte und ϑZy im langen Zylinder darstellen. Man kann dann die in Abschnitt 2.3.4.5 angegebenen Gleichungen benutzen und von Tabelle 2.6 Gebrauch machen. Auch Erw¨ armungs- oder Abk¨ uhlzeiten f¨ ur das Erreichen einer vorgegebenen Temperatur ϑk im Zentrum der hier behandelten w¨armeleitenden K¨orper lassen sich bei Beschr¨ ankung auf die ersten Reihenglieder explizit berechnen. Wegen weiterer Einzelheiten sei auf [2.37] verwiesen.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

193

Beispiel 2.5: Zylinder aus Chrom-Nickel-Stahl (λ = 15,0 W/K m , c = 510 ange J/kgK ,  = 7800 kg/m3 ) mit dem Durchmesser d = 60 mm und der L¨ betr¨ agt, werden in ein L = 100 mm, deren Anfangstemperatur ϑ0 = 320 ¨ Olbad mit der Temperatur ϑU = 30 getaucht. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffi¨ ussen die Zylinder im Olbad bleiben, zient sei α = 450 W/m2 K. Wie lange m¨ erreicht? Wie damit die Temperatur in ihrem Zentrum den Wert ϑk = 70 groß ist zu diesem Zeitpunkt ihre h¨ ochste Oberfl¨ achentemperatur? Die Temperaturverteilung in einem Zylinder endlicher L¨ ange ist durch (2.192) oglichen, begegeben. Um eine explizite Berechnung der Abk¨ uhldauer tk zu erm¨ schr¨ anken wir uns auf den jeweils ersten Term der unendlichen Reihen und u ¨berpr¨ ufen diese Vereinfachung sp¨ ater. Wir setzen also ` ` ´ ´ ϑ+ = CZy J0 (μZy r/R) exp −μ2Zy at/R2 · CPl cos (μPl z/Z) exp −μ2Pl at/Z 2 (2.196) mit R = d/2 = 30 mm und Z = L/2 = 50 mm. Die Eigenwerte μZy , μPl und die angen von den Biot-Zahlen ab. F¨ ur den Zylinder gilt Koeffizienten CZy , CPl h¨ BiZy = αR/λ = 0,900 , alt. woraus man aus Tabelle 2.6 (Seite 182) μZy = 1,20484 und CZy = 1,1902 erh¨ F¨ ur die Platte wird BiPl = αZ/λ = 1,500 und damit nach Tabelle 2.6 μPl = 0,98824 und CPl = 1,1537. F¨ ur die Temperatur im Zentrum (r = 0, z = 0) des Zylinders folgt aus (2.196) ˘ ˆ ˜ ¯ 2 2 atk , (2.197) ϑ+ k = CZy CPl exp − (μZy /R) + (μPl /Z) wobei ϑ+ k aus den gegebenen Temperaturen berechenbar ist: ϑ+ k =

ϑk − ϑU 70 = ϑ0 − ϑU 320

− 30 − 30

= 0,1379 .

alt man aus (2.197) zu Die gesuchte Abk¨ uhldauer tk erh¨ tk =

1 ln CZy + ln CPl − ln ϑ+ k . a (μZy /R)2 + (μPl /Z)2

Mit der Temperaturleitf¨ ahigkeit a = λ/c = 3,77 · 10−6 m2 /s ergibt sich tk = 304 s = 5,07 min . Um zu pr¨ ufen, ob es zul¨ assig ist, die Reihen nach den ersten Gliedern abzubrechen, berechnen wir mit tk die Fourier-Zahlen ` +´ tk Zy = atk /R2 = 1,274 und

`

t+ k

´ Pl

= atk /Z 2 = 0,459 .

Nach Abb. 2.31 sind diese dimensionslosen Zeiten so groß, dass die Fehler durch Vernachl¨ assigung der h¨ oheren Reihenglieder bedeutungslos sind.

194

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Die h¨ ochste Oberfl¨ achentemperatur tritt entweder auf dem Zylindermantel (r = R) f¨ ur z = 0 oder in der Mitte der Deckfl¨ ache, also bei z = Z und r = 0 auf. F¨ ur die Mitte des Zylindermantels erh¨ alt man aus (2.196) und (2.197) ϑ+ (r = R , z = 0 , t = tk ) = J0 (μZy ) ϑ+ k = 0,6687 · 0,1379 = 0,0922 , also ϑ (r = R , z = 0 , t = tk ) = 56,7

. F¨ ur die Mitte der Deckfl¨ ache gilt

ϑ+ (r = 0 , z = Z , t = tk ) = cos (μPl ) ϑ+ k = 0,5502 · 0,1379 = 0,0759 , woraus man ϑ (r = 0 , z = Z , t = tk ) = 52,0 erh¨ alt. Die h¨ ochste Oberfl¨ achentemperatur tritt also auf dem Zylindermantel bei z = 0 (Mitte) auf.

2.3.5.2 N¨ aherung f¨ ur kleine Biot-Zahlen Eine einfach anwendbare Berechnung der Erw¨armung oder Abk¨ uhlung beliebig geformter K¨ orper ist f¨ ur den Grenzfall sehr kleiner Biot-Zahlen (Bi → 0) m¨ oglich. Diese Bedingung ist erf¨ ullt, wenn der W¨armeleitwiderstand im K¨ orper sehr viel kleiner ist als der W¨ arme¨ ubergangswiderstand an seiner Oberfl¨ ache, vgl. Abschnitt 2.1.5. Im w¨ armeleitenden K¨orper treten dann zu einem festen Zeitpunkt nur geringe Temperaturunterschiede auf, w¨ahrend zwischen Oberfl¨ achentemperatur und Umgebungstemperatur eine weit gr¨oßere Differenz besteht, vgl. Abb. 2.5. Wir nehmen nun vereinfachend an, die Temperatur des K¨orpers h¨ange nur von der Zeit, aber nicht von den r¨ aumlichen Koordinaten ab. Diese Annahme entspricht Bi = 0 und zwar deswegen, weil λ → ∞ geht, w¨ahrend der ¨ W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α = 0 ist. Um die zeitliche Anderung der Temperatur zu bestimmen, wenden wir den ersten Hauptsatz der Thermodynamik ¨ auf den betrachteten K¨ orper an. Die Anderung seiner inneren Energie ist gleich dem W¨ armestrom, der seine Oberfl¨ ache u ¨berquert: dU = Q˙ . dt

(2.198)

Der K¨ orper mit dem Volumen V habe konstante Stoffwerte  und c. Dann gilt dU du dϑ =V = V c . dt dt dt Mit A als Oberfl¨ ache des K¨ orpers erh¨ alt man f¨ ur den W¨armestrom Q˙ = αA(ϑ − ϑU ) . Aus (2.198) folgt nun die Differentialgleichung dϑ αA = (ϑ − ϑU ) , dt cV deren L¨ osung

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

ϑ+ =

ϑ − ϑU ϑ0 − ϑU



αA t = exp − cV

195

(2.199)

ullt. Diese Beziehung f¨ ur den zeitlidie Anfangsbedingung ϑ(t = 0) = ϑ0 erf¨ chen Temperaturverlauf ist erheblich einfacher zu handhaben als die Reihenentwicklungen. Alle Einflussgr¨ oßen wie der W¨arme¨ ubergangskoeffizient, die Stoffwerte und die Geometrie des K¨ orpers sind in einer einzigen Gr¨oße, der Abklingzeit c V , t0 := α A zusammengefasst. Am Beispiel der Platte zeigen wir, dass (2.199) der exakten L¨osung f¨ ur Bi = 0 mit α = 0 entspricht. Wir untersuchen ferner, f¨ ur welche von null verschiedenen Biot-Zahlen die einfache Berechnung des zeitlichen Temperaturverlaufs nach (2.199) mit hinreichender Genauigkeit anwendbar ist. Die Temperaturverteilung in der Platte ist durch (2.171) gegeben. F¨ ur Bi = 0 ur erh¨ alt man aus (2.170) die Eigenwerte μ1 = 0, μ2 = π, μ3 = 2π, . . . Dabei gilt f¨ den ersten Eigenwert (2.200) μ21 = Bi − Bi2 /3 + . . . , was man durch Reihenentwicklung von tan μ leicht best¨ atigt. Nach (2.172) werden alle Entwicklungskoeffizienten Ci mit i ≥ 2 gleich null, und es gilt C1 = 1. Wegen alt man unter Beachtung von (2.200) f¨ ur das einzige von null cos(μ1 r + ) ≡ 1 erh¨ verschiedene Glied der unendlichen Reihe (2.171) „ « ` ´ ϑ − ϑU αt = exp −Bi t+ = exp − . ϑ+ = ϑ0 − ϑU cR Dies stimmt mit (2.199) u ur die Platte der Dicke 2R ist V /A = R. In ¨berein, denn f¨ der gleichen Weise l¨ asst sich auch f¨ ur die anderen K¨ orper nachweisen, dass (2.199) mit der geschlossenen L¨ osung f¨ ur Bi = 0, entsprechend λ → ∞, jedoch α = 0, u ¨ bereinstimmt. Wird dagegen bei endlichem λ die Biot-Zahl dadurch zu null, dass alt ihre man α = 0 setzt, so folgt aus (2.171) ϑ+ = 1. Die isolierte Platte beh¨ Anfangstemperatur ϑ0 bei; es findet kein Temperaturausgleich zwischen ϑ0 und ϑU statt. Die Genauigkeit der N¨ aherungsgleichung (2.199) l¨ asst sich durch Vergleich mit der geschlossenen L¨ osung f¨ ur Quader und Prismen verschiedener Seitenverh¨ altnisse, f¨ ur den Zylinder mit verschiedenen Verh¨ altnissen von Durchmesser und H¨ ohe sowie f¨ ur die Kugel berechnen. Dabei vergleichen wir die wahre Mitteltemperatur ϑ+ m mit der Temperatur ϑ+ nach (2.199). Die Differenz + Δϑ+ := ϑ+ m −ϑ +

(2.201)

h¨ angt noch von der Zeit t bzw. t ab. Sie ist jedoch stets positiv, denn durch die alt die f¨ ur den W¨ arme¨ uberAnnahme einer r¨ aumlich konstanten Temperatur ϑ+ erh¨ gang maßgebende Oberfl¨ achentemperatur einen zu hohen Wert. Damit wird der an die Umgebung abgegebene W¨ armestrom zu groß berechnet, und ϑ+ , die Mitteltemperatur der N¨ aherungsl¨ osung (2.199), ist zu jeder Zeit kleiner als die wahre Mitteltemperatur ϑ+ m.

196

2 W¨ armeleitung und Diffusion

ur jeden K¨ orper und f¨ ur Die zeitabh¨ angige Differenz Δϑ+ nach (2.201) nimmt f¨ eine vorgegebene Biot-Zahl einen Maximalwert Δϑ+ max an, der bei einer bestimmten Zeit auftritt. Diese maximalen Abweichungen der N¨ aherungsl¨ osung wurden f¨ ur verschiedene K¨ orperformen berechnet. F¨ ur Bi = 0,1 liegen die maximalen Abweichungen der N¨ aherungsl¨ osung ausnahmslos unter 2% der charakteristischen Temperaturdifferenz ϑ0 − ϑU . Dabei wurde die Biot-Zahl mit dem Kugel- bzw. Zylinder-Radius R als charakteristische L¨ ange gebildet (Bi = αR/λ). Beim Quader und beim Prisma wurde die H¨ alfte X der kleinsten Kantenl¨ ange 2X als charakteristische L¨ ange benutzt. Bei K¨ orpern, deren L¨ angendimensionen X, Y, Z bzw. R und Z sich nicht stark unterscheiden, liegt der maximale Fehler der N¨ aherungsl¨ osung nahe 1% von ϑ0 −ϑU . Der Fehler w¨ achst mit steigender Biot-Zahl rasch an. Die f¨ ur Bi = 0,10 berechneten urften in der Regel toleriert werden k¨ onnen. Fehler unter 2% von ϑ0 − ϑU d¨

Die N¨ aherungsl¨ osung nach (2.199) bietet somit ein einfaches und empfehlenswertes Verfahren zur Berechnung von Abk¨ uhlungs- und Erw¨armungsvorg¨ angen beliebig geformter K¨ orper. Es ist jedoch nur f¨ ur Biot-Zahlen Bi < 0,1 hinreichend genau. Man pr¨ ufe diese Bedingung, wobei als charakteristische L¨ ange bei der Bildung der Biot-Zahl die H¨alfte der kleinsten L¨ angenabmessung des betrachteten K¨ orpers zu w¨ahlen ist.

2.3.6 Erstarren geometrisch einfacher K¨ orper Reine Stoffe und eutektische Gemische erstarren und schmelzen bei bestimmugig ten Temperaturen ϑE , die von Stoff zu Stoff verschieden sind und geringf¨ vom Druck abh¨ angen. Das bekannte Beispiel ist Wasser, das unter Atmoerstarrt. Dabei wird die Erstarrungsenthalpie sph¨ arendruck bei ϑE = 0 hE = 333 kJ/kg frei. Beim Schmelzen eines Festk¨orpers ist die Schmelzenthalpie, die im Betrag mit der Erstarrungsenthalpie u ¨ bereinstimmt, als W¨arme zuzuf¨ uhren. Erstarrungsvorg¨ ange haben Bedeutung in der K¨altetechnik (Eiserzeugung), in der Lebensmittel- und Verfahrenstechnik und in der Metallurgie. Dabei interessiert besonders die Geschwindigkeit, mit der sich die Grenze zwischen fester und fl¨ ussiger Phase bewegt. Daraus lassen sich die Zeiten berechnen, die zum Erstarren von Materialschichten gegebener Dicke erforderlich sind. Die Modellierung dieser Prozesse geh¨ ort in das Gebiet der instation¨aren W¨ armeleitung, da die an der Phasengrenze frei werdende Erstarrungsenthalpie durch den festen K¨ orper geleitet werden muss. Eine allgemeine mathematische L¨ osung dieses W¨armeleitproblems existiert nicht. Spezielle geschlossene L¨ osungen haben F. Neumann4 um 1865 und J. Stefan 1891 [2.39] angegeben. Im ersten Abschnitt behandeln wir das von J. Stefan gel¨ oste Problem und leiten im darauf folgenden Abschnitt die quasistation¨ aren L¨ osungen her, bei denen die W¨armespeicherung im erstarrten 4

F. Neumann hat diese L¨ osung in seinen Vorlesungen an der Universit¨ at K¨ onigsberg vorgetragen. Eine erste Ver¨ offentlichung findet man in: Die partiellen Differentialgleichungen der Physik, Hrsg.: B. Riemann und H. Weber, Bd. 2, S. 117– 121, Braunschweig: F. Vieweg 1912.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

197

Festk¨ orper vernachl¨ assigt wird. Im letzten Abschnitt gehen wir auf Verbesserungen der quasistation¨ aren L¨ osungen ein, bei denen die W¨armespeicherung im Festk¨ orper n¨ aherungsweise ber¨ ucksichtigt wird. 2.3.6.1 Das Erstarren ebener Schichten (Stefan-Problem) Ein erstarrter Festk¨ orper werde bei x = 0 durch K¨ uhlung auf der konstanten Temperatur ϑ0 gehalten, die kleiner als die Erstarrungstemperatur ϑE ist, Abb. 2.35. Es soll nur eindimensionale W¨ armeleitung in x-Richtung betrachtet werden. An der nach rechts wandernden ebenen Phasengrenze x = s ber¨ uhrt der Festk¨ orper die Fl¨ ussigkeit, die bereits auf die Erstarrungstemperatur abgek¨ uhlt sein soll. Beim Vorr¨ ucken der Phasengrenze, also beim Erstarren einer Schicht der Dicke ds, wird die Erstarrungsenthalpie frei und muss als W¨arme an die gek¨ uhlte Oberfl¨ ache des Festk¨ orpers bei x = 0 geleitet werden.

Abb. 2.35: Temperaturverlauf (f¨ ur t = const) beim Erstarren eines ebenen Festk¨ orpers. s Abstand der Phasengrenze von der gek¨ uhlten Fl¨ ache x = 0

Die Temperatur ϑ = ϑ(x, t) im erstarrten Festk¨orper gen¨ ugt der W¨armeleitungsgleichung ∂ 2ϑ ∂ϑ =a 2 (2.202) ∂t ∂x mit den Randbedingungen ϑ = ϑ0

f¨ ur

x=0 , t>0 ,

(2.203)

ϑ = ϑE

f¨ ur

x=s , t>0 ,

(2.204)

und sowie der Anfangsbedingung s = 0 f¨ ur

t=0 .

An der Phasengrenze muss die Energiebilanzgleichung

(2.205)

198

2 W¨ armeleitung und Diffusion

λ

∂ϑ dt = hE  ds ∂x

erf¨ ullt sein, in der hE die spez. Erstarrungsenthalpie bedeutet. Daraus erh¨alt man f¨ ur das zeitliche Vorr¨ ucken der Phasengrenze (die Erstarrungsgeschwindigkeit)

 ds λ ∂ϑ = . (2.206) dt hE  ∂x x=s Eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (2.202) ist das Fehlerintegral

 x √ ϑ = ϑ0 + C erf , 2 at vgl. 2.3.3.1; es erf¨ ullt die Randbedingung (2.203). Die Bedingung (2.204) verlangt

 s √ ϑE = ϑ0 + C erf . 2 at Das Argument des Fehlerintegrals muss danach unabh¨angig von t gleich einer Konstanten γ sein. Die Dicke der erstarrten Schicht w¨achst proportional zu √ t, √ s = γ 2 at , (2.207) womit auch die Anfangsbedingung (2.205) erf¨ ullt ist. Aus ϑE − ϑ0 = C erf γ erhalten wir f¨ ur den Temperaturverlauf in der erstarrten Schicht (x ≤ s)  √  erf x/ 4at erf (γx/s) ϑ − ϑ0 + = . (2.208) = ϑ := ϑE − ϑ0 erf γ erf γ Die noch unbekannte Konstante γ ergibt sich aus der Bedingung (2.206) f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit. Aus (2.207) folgt " ds a =γ dt t und aus (2.206) und (2.208) 2

λ ϑE − ϑ0 e−γ ds = . √ √ dt hE  erf γ π at Daraus erh¨ alt man die von t unabh¨ angige transzendente Gleichung √ 2 c (ϑE − ϑ0 ) 1 πγeγ erf γ = = hE Ph

(2.209)

zur Bestimmung von γ. Diese Konstante h¨ angt nur von der Phasen¨ ubergangszahl

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

199

1 hE = (2.210) c (ϑE − ϑ0 ) St ab, die das Verh¨ altnis zweier spez. Energien ist: der spez. Erstarrungsenthalpie hE und der Differenz der spez. inneren Energien des Festk¨orpers bei den Temperaturen ϑE und ϑ0 . Das Reziproke von P h wird auch als Stefan-Zahl St bezeichnet. Unter Benutzung der Reihenentwicklung des Fehlerintegrals, vgl. z.B. [2.28], [2.30], l¨ asst sich die linke Seite von (2.209) in eine f¨ ur kleine γ rasch konvergierende Reihe entwickeln:  2 n+1 ∞  2γ 1 = . (2.211) 1 · 3 · 5 · . . . (2n + 1) P h n=0 P h :=

Daraus erh¨ alt man die Reihe 1 1 7 79 γ 2 = P h−1 − P h−2 + P h−3 − P h−4 + . . . , (2.212) 2 6 90 1890 die f¨ ur gr¨ oßere Werte der Phasen¨ ubergangszahl eine direkte Berechnung von γ gestattet. F¨ ur die Zeit t zum Erstarren einer ebenen Schicht der Dicke s ergibt sich schließlich aus (2.207) und (2.212) 

s2 hE s2 2 16 1 −1 −2 −3 Ph − ... . t= = 1 + Ph − Ph + 4aγ 2 2λ (ϑE − ϑ0 ) 3 45 945 (2.213) Die Erstarrungsdauer w¨ achst quadratisch mit der Schichtdicke und ist umso gr¨ oßer, je kleiner die Phasen¨ ubergangszahl P h ist.

Abb. 2.36: Relativer Fehler der mit der quasistation¨ aren N¨ aherung nach (2.214) berechneten Erstarrungszeit t∗

Vernachl¨ assigt man die W¨ armespeicherung im erstarrten Festk¨orper, so entspricht dies wegen c = 0 dem Grenzfall P h → ∞. Dies ist die sogenannte

200

2 W¨ armeleitung und Diffusion

quasistation¨ are N¨ aherung, f¨ ur die sich aus (2.213) die stets zu kleine Erstarrungsdauer hE s2 (2.214) t∗ = 2λ (ϑE − ϑ0 ) ergibt. Der relative Fehler t − t∗ 1 7 79 = 1 − 2P hγ 2 = P h−1 − P h−2 + P h−3 . . . t 3 45 945

(2.215)

ist in Abb. 2.36 dargestellt. F¨ ur P h > 6,2 ist der Fehler kleiner als 5%; er w¨ achst mit kleiner werdender Phasen¨ ubergangszahl stark an. Das hier behandelte Problem hat zuerst J. Stefan [2.39] 1891 gel¨ost. Die L¨ osung des allgemeineren Problems von F. Neumann haben U. Grigull und H. Sander [2.18] ausf¨ uhrlich dargestellt. Hier wird in der Fl¨ ussigkeit eine Anfangstemperatur ϑ0F > ϑE angenommen, so dass auch f¨ ur die Fl¨ ussigkeitstemperatur ϑF (x, t) die W¨ armeleitungsgleichung gel¨ost werden muss. Dabei wird angenommen, dass keine Konvektion auftritt. Die L¨osung enth¨alt wiederum ussigkeit zu Fehlerintegrale, wobei auch die Stoffwerte λF , cF und F der Fl¨ ber¨ ucksichtigen sind. Weitere analytische L¨ osungen von Varianten des StefanNeumann-Problems findet man bei H.S. Carslaw und J.C. Jaeger [2.1]. Verallgemeinerte mathematische Formulierungen und eine Darstellung weiterer L¨ osungsmethoden enthalten die Beitr¨ age von A.B. Tayler und J.R. Ockendon in [2.40], vgl. auch [2.41]. 2.3.6.2 Die quasistation¨ are N¨ aherung F¨ ur gen¨ ugend große Werte der Phasen¨ ubergangszahl P h nach (2.210), etwa f¨ ur P h > 7, ist es zul¨ assig, die Speicherf¨ ahigkeit der erstarrten Schicht zu vernachl¨ assigen. Man nimmt dann einen Temperaturverlauf an, wie er bei station¨ arer W¨ armeleitung auftreten w¨ urde. Diese quasistation¨are N¨aherung gestattet es, am gek¨ uhlten Ende der erstarrten Schicht andere Randbedingungen als bei den exakten L¨ osungen nach F. Neumann und J. Stefan anzunehmen sowie Erstarrungsvorg¨ ange mit Zylinder- und Kugelgeometrie zu behandeln, f¨ ur die es keine exakten analytischen L¨osungen gibt. Die aus der quasistation¨ aren N¨ aherung folgenden Gleichungen f¨ ur die Erstarrungszeiten haben vor allem R. Plank [2.42] und K. Nesselmann [2.43], [2.44] hergeleitet. Sie gelten wegen der Bedingung großer Phasen¨ ubergangszahlen f¨ ur das Geur Wasser besonders frieren von Eis und von wasserhaltigen Stoffen, weil hE f¨ groß ist. Wir behandeln zuerst den Erstarrungsvorgang an einer ebenen, gek¨ uhlten Wand nach Abb. 2.37. Die Wand mit der Dicke δW und der W¨armeleitf¨ ahigkeit λW wird durch ein Fluid mit der Temperatur ϑ0 gek¨ uhlt, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α maßgebend ist. An der anderen Seite der Wand bildet sich die erstarrte Schicht aus, die zur Zeit t die Dicke s hat. Die Fl¨ ussigkeit soll bereits die Erstarrungstemperatur ϑE angenommen haben.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

201

Abb. 2.37: Temperaturverlauf beim Erstarren einer ebenen Schicht unter Annahme der quasistation¨ aren N¨ aherung

W¨ ahrend der Zeit dt r¨ uckt die Phasengrenze um die Strecke ds vor. Dabei wird die Erstarrungsenthalpie dQ = hE A ds frei und muss als W¨ arme durch die bereits erstarrte Schicht abgef¨ uhrt werden. Im Sinne der quasistation¨ aren N¨ aherung findet zu jedem Zeitpunkt uhlmeW¨ armedurchgang zwischen der Phasengrenze (ϑ = ϑE ) und dem K¨ dium (ϑ = ϑ0 ) statt. Nach Abschnitt 1.2.1 gilt dann (ϑE − ϑ0 )A dt , dQ = Q˙ dt = δW 1 s + + λ λW α wobei λ die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des erstarrten Festk¨orpers ist. Aus den beiden Gleichungen f¨ ur dQ folgt

 hE  λ dt = s+ ds (2.216) λ(ϑE − ϑ0 ) k mit

δW 1 1 = . + k λW α

(2.217)

Durch Integration von (2.216) erh¨ alt man die Erstarrungszeit f¨ ur eine ebene Schicht der Dicke s zu

 hE s2 λ t= 1+2 . (2.218) 2λ (ϑE − ϑ0 ) ks F¨ ur k → ∞ hat die Temperatur bei x = 0 den Wert ϑ = ϑ0 . Dies ist die Randbedingung des in 2.3.6.1 behandelten Stefan-Problems. Aus (2.218) erh¨alt man den ersten Term der exakten L¨ osung (2.213), entsprechend P h → ∞, also armedurchgangswiderstand (1/k) die Zeit t∗ nach (2.214). Bei endlichem W¨ vergr¨ oßert sich die Erstarrungszeit gegen¨ uber t∗ ; sie w¨achst nicht mehr proportional zu s2 . In der gleichen Weise kann man die Erstarrungszeiten f¨ ur Schichten an Zylinderfl¨ achen (Rohren) und Kugeln berechnen. Wir leiten das Ergebnis f¨ ur eine Schicht

202

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.38: Erstarrung an der Außenseite eines von innen gek¨ uhlten Rohres mit dem Außenradius R (quasistation¨ are N¨ aherung)

her, die sich an der Außenfl¨ ache eines von innen gek¨ uhlten Rohres mit dem Außenradius R bildet, Abb. 2.38. Beim Erstarren einer Schicht der Dicke ds wird die W¨ arme dQ = hE 2π(R + s)Lds frei, wobei L die L¨ ange des Rohres bedeutet. F¨ ur den W¨ armedurchgang gilt ˙ = dQ = Qdt

ϑE − ϑ0 dt 1 R+s 1 ln + 2πLλ R kA

mit

1 1 R 1 = + , ln kA 2πLλW R − ΔR 2πL(R − ΔR)α wobei ΔR die Dicke der Rohrwand bedeutet. Daraus folgt – » hE  R+s dt = + (R + s)β ds (R + s) ln λ (ϑE − ϑ0 ) R

(2.219)

mit der Abk¨ urzung β=

λ λ R + . ln λW R − ΔR (R − ΔR)α

(2.220)

Integration von (2.219) unter Beachtung der Anfangsbedingung s = 0 f¨ ur t = 0 ergibt mit s+ := s/R die Erstarrungsdauer hE s2 t= 2λ (ϑE − ϑ0 )

"„

1 1+ + s

«2

„ «# «„ 1 2 ln(1 + s ) − 1 + + −β . s 2 +

(2.221)

In der gleichen Weise erh¨ alt man die in Tabelle 2.7 zusammengestellten Beziehungen. Dabei ist zu beachten, dass R den Radius der Zylinder- oder Kugeloberfl¨ ache bedeutet, an der sich die erstarrende Schicht bildet, vgl. Abb. 2.39. Bei β = 0 nehur s+ → 0 den Grenzwert eins an. men die Funktionen f (s+ , β) von Tabelle 2.7 f¨ Bei kleinen Schichtdicken und β = 0 w¨ achst also die Erstarrungszeit unabh¨ angig ur die ebene von der geometrischen Form proportional zu s2 , was nach (2.218) auch f¨ Schicht gilt.

Kugel innen

Kugel außen

Zylinder innen

2 

 1 1 2 R + ΔR λ λ + 1 − + ln(1 − s ) − 1 − + ln +β + s s 2 λW R α(R + ΔR)   2 λ R λ ΔR 2 2β s+ + 1 + s+ + + 1 + s+ + 3 s 3 λW R − ΔR α(R − ΔR) R − ΔR   2 λ R λ ΔR 2 2β s+ + 1 − s+ + + 1 − s+ + 3 s 3 λW R + ΔR α(R + ΔR) R + ΔR

λ λ R + ln λW R − ΔR α(R − ΔR)





2 

1 2 1 + −β 1 + + ln(1 + s ) − 1 + + s s 2

und

Zylinder außen

s+ = s/R β=

mit

f (s+ , β) =

hE s2 f (s+ , β) 2λ(ϑE − ϑ0 )

Erstarrende Schicht

Erstarrungsdauer t =

Tabelle 2.7: Gleichungen f¨ ur die Berechnung der Erstarrungsdauer t von zylinder- und kugelf¨ ormigen Schichten der Dicke s, vgl. Abb. 2.39. Mit R wird stets der Zylinder- oder Kugelradius der Seite bezeichnet, an der sich die erstarrende Schicht bildet; ΔR bedeutet die Dicke der Zylinder- bzw. Hohlkugelwand.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung 203

Abb. 2.39: Abmessungen beim Erstarren an der Außenseite (linker Bildteil) bzw. Innenseite (rechter Bildteil) eines Rohres oder einer Hohlkugel

204

2 W¨ armeleitung und Diffusion

2.3.6.3 Verbesserte N¨ aherungen Wie ein Vergleich mit der exakten L¨ osung des Stefan-Problems zeigt, gilt die im letzten Abschnitt behandelte quasistation¨are N¨aherung nur f¨ ur gen¨ ugend große Phasen¨ ubergangszahlen, etwa f¨ ur P h > 7. F¨ ur Erstarrungsprobleme mit endlichem W¨ armedurchgangswiderstand zur K¨ uhlfl¨ ussigkeit und f¨ ur Probleme mit Zylinder- oder Kugelgeometrie gibt es keine exakten L¨osungen, so dass man zun¨ achst auf die quasistation¨ are N¨ aherung angewiesen ist. Eine Verbesserung dieser N¨ aherung, bei der die W¨ armespeicherung in der erstarrten Schicht wenigstens n¨ aherungsweise ber¨ ucksichtigt wird, ist daher erw¨ unscht und in verschiedenen Untersuchungen angegeben worden. In vielen F¨ allen wird dabei der Temperaturverlauf im erstarrten Festk¨ orper durch eine N¨ aherungsfunktion, z.B. ein Polynom zweiten oder h¨ oheren Grades ersetzt. Die von der Zeit abh¨ angigen Koeffizientenfunktionen eines solchen Ansatzes werden zun¨ achst den Randbedingungen angepasst. Die W¨ armeleitungsgleichung l¨ asst sich dagegen nicht exakt, sondern nur n¨ aherungsweise erf¨ ullen. Dies kann nach T.R. Goodman [2.45] im Mittel durch einen Integralansatz (heat-balance integral) geschehen, vgl. hierzu auch [2.46] und [2.47]. F. Megerlin [2.48] empfiehlt dagegen, die W¨ armeleitungsgleichung punktweise und zwar an der Phasengrenze x = s zu erf¨ ullen. Man erh¨ alt recht verwickelte Gleichungen f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit ds/dt, deren Integration die Erstarrungsdauer liefert. Oft l¨ asst sich diese Integration nur numerisch ausf¨ uhren, vgl. [2.48] und [2.49]. Beim Verfahren der asymptotischen N¨ aherungen werden keine willk¨ urlichen N¨ aherungsfunktionen verwendet, sondern eine Funktionenreihe ϑ(x, t) = ϑ0 (x, t) + ϑ1 (x, t)P h−1 + ϑ2 (x, t)P h−2 + . . . f¨ ur die Temperatur in der erstarrten Schicht angesetzt. Diese Reihe konvergiert umso besser, je gr¨ oßer die Phasenumwandlungszahl P h ist. Ein gleicher Ansatz wird f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit gemacht: ds = s0 (t) + s1 (t)P h−1 + s2 (t)P h−2 + . . . dt Aus der exakten Formulierung des Problems, der W¨ armeleitungsgleichung mit ihren Randbedingungen, lassen sich die Funktionen ϑi (x, t) und si (t) rekursiv bestimmen. aren N¨ aherung, P h → ∞. Dabei entsprechen ϑ0 (x, t) und s0 (t) der quasistation¨ K. Stephan und B. Holzknecht [2.50] haben auf diese Weise die in 2.3.6.2 behandelten Erstarrungsprobleme gel¨ ost. Leider ergeben sich f¨ ur die Terme mit i ≥ 1 verwickelte Ausdr¨ ucke, die eine explizite Berechnung der Erstarrungsdauer erschweren. K. Stephan und B. Holzknecht haben daher einfachere und recht genaue N¨ aherungsgleichungen f¨ ur die Erstarrungsgeschwindigkeit angegeben. Schließlich sei die numerische L¨ osung des Erstarrungsproblems genannt, die wegen der wandernden Phasengrenze zus¨ atzliche Schwierigkeiten enth¨ alt. Da wir in Abschnitt 2.4 hierauf nicht eingehen, sei an dieser Stelle auf die Arbeit von K. Stephan und B. Holzknecht [2.51] sowie auf Beitr¨ age von D.R. Atthey, J. Crank und von L. Fox in [2.40] hingewiesen.

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

205

2.3.7 W¨ armequellen Im Inneren eines w¨ armeleitenden K¨ orpers treten W¨armequellen als Folge von dissipativen Prozessen und chemischen oder nuklearen Reaktionen auf. Nach 2.1.2 gilt f¨ ur das Temperaturfeld die Differentialgleichung ˙ (x, t, ϑ) W ∂ϑ = a∇2 ϑ + ∂t c

(2.222)

bei Annahme temperatur- und konzentrationsunabh¨angiger Stoffwerte. Die in ˙ (x, t, ϑ) bedeutet die auf das Volumen Abschnitt 2.1.1 eingef¨ uhrte Funktion W bezogene W¨ armeleistung, die aufgrund der genannten Prozesse im K¨orperinneren entsteht. Die L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (2.222) ist in der ˙ nicht oder linear von der Temperatur ϑ abh¨angt. Regel m¨ oglich, wenn W Die Laplace-Transformation stellt f¨ ur diese linearen Probleme ein bevorzugtes L¨ osungsverfahren dar. Andere Methoden werden in [2.1] angegeben, wo man auch eine gr¨ oßere Zahl von L¨ osungen f¨ ur verschiedene Geometrien und unterschiedliche Randbedingungen findet. Das Buch von H. Tautz [2.26] enth¨ alt mehrere ausf¨ uhrlich behandelte F¨alle, die durch Anwenden der Laplace-Transformation gel¨ ost wurden. Im folgenden Abschnitt behandeln wir beispielhaft ein Problem mit einer homogenen W¨ armequelle. Die interne W¨ armeentwicklung ist hier kontinuierlich u orper verteilt. Im darauf folgenden Abschnitt gehen ¨ber den ganzen K¨ wir auf lokale W¨ armequellen ein, bei denen die W¨armeentwicklung auf einen Punkt oder eine Linie im w¨ armeleitenden Material konzentriert ist. 2.3.7.1 Homogene W¨ armequellen Wir nehmen geometrisch eindimensionalen W¨armefluss in x-Richtung und ˙ an, die nicht von der Temperatur abh¨angt. Es gilt eine Leistungsdichte W dann die W¨ armeleitungsgleichung ˙ (x, t) ∂2ϑ W ∂ϑ =a 2 + . ∂t ∂x c

(2.223)

Diese lineare inhomogene Differentialgleichung l¨asst sich vorteilhaft mit der Laplace-Transformation l¨ osen. Wir zeigen den L¨osungsweg an dem folgenden Beispiel. In einem halbunendlichen K¨ orper (x ≥ 0) sei eine r¨ aumlich konstante, aber von der Zeit abh¨ angige Leistungsdichte p ˙ (t) = W ˙ 0 t0 /t , t > 0 , (2.224) W ˙ 0 die Leistungsdichte zur Zeit t0 . Durch (2.224) wird vorhanden. Hierin bedeutet W eine W¨ armeentwicklung modelliert, wie sie z.B. beim Abbinden von Beton vorkommt: eine anf¨ anglich große, mit fortschreitender Zeit rasch abnehmende W¨ arme¨ freisetzung. Der halbunendliche K¨ orper soll anf¨ anglich die konstante (Uber-)Temperatur

206

2 W¨ armeleitung und Diffusion ϑ=0

f¨ ur

t=0

(2.225)

haben, und seine Oberfl¨ ache x = 0 soll stets auf dieser Temperatur gehalten werden: ϑ(0, t) = 0

f¨ ur

x=0 .

(2.226)

Aus (2.223) und (2.224) entsteht durch Anwenden der Laplace-Transformation die inhomogene gew¨ ohnliche Differentialgleichung ˙ 0 √πt0 W d2 u 2 √ − p u = − dx2 λ s ur x → ∞ bemit p2 = s/a unter Beachten der Anfangsbedingung (2.225). Die f¨ schr¨ ankte L¨ osung der homogenen Differentialgleichung ist uhom = C exp(−px); eine partikul¨ are L¨ osung der inhomogenen Gleichung lautet √ √ ˙ 0 πt0 ˙ 0 πt0 W W √ 2 = uinh = . λ c s3/2 sp Die aus diesen beiden Anteilen zusammengesetzte Unterfunktion ˙ 0 √πt0 W u(x, s) = Ce−px + cs3/2 ist noch an die Randbedingung (2.226) anzupassen. Man erh¨ alt « „ ˙ 0√ 1 1 e−px W πt0 −√ u(x, s) = . 3/2 c s a sp Die R¨ ucktransformation mit Hilfe einer Tafel der Korrespondenzen, Tab. 2.3, ergibt „ « √ ˙ 0 t0 √ √ x W 2 t 1 − π ierfc √ (2.227) ϑ(x, t) = c 2 at mit dem integrierten Fehlerintegral nach Abschnitt 2.3.3.1. Wir f¨ uhren in (2.227) die folgenden dimensionslosen Variablen ein: √ ˙ 0 t0 ) . t+ := t/t0 , x+ := x/ at0 , ϑ+ := ϑc/(W Damit ergibt sich „ « √ ` ´ √ x+ ϑ+ x+ , t+ = 2 t+ 1 − π ierfc √ . 2 t+

(2.228)

Diese √ Temperaturverteilung ist in Abb. 2.40 dargestellt. F¨ ur sehr kleine Werte von x+ /(2 t+ ) gilt h “ √ ”i “ √ ” √ √ π ierfc x+ / 2 t+ = 1 − πx+ / 2 t+ + · · · Man erh¨ alt daher f¨ ur t+ → ∞ die Gerade √ + πx ϑ+ ∞ = als station¨ are Endtemperatur. Diese Gerade ist gleichzeitig Tangente aller Tempeache x+ = 0. Hier muss n¨ amlich die raturkurven t+ = const an der freien Oberfl¨ zeitlich konstante W¨ armestromdichte

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

207

Abb. 2.40: Temperaturfeld ϑ+ (x+ , t+ ) nach (2.228) im unendlichen Halbraum mit zeitabh¨ angiger homogener W¨ armequelle nach (2.224) „ q˙0 = −λ

∂ϑ ∂x

« x=0

√ ˙ 0 at0 = −W

„

∂ ϑ+ ∂x+

« x+ =0

√ ˙ 0 πat0 = −W

abgef¨ uhrt werden, um die Temperatur auf dem Wert ϑ+ = 0 zu halten.

In der gleichen Weise kann man L¨ osungen von (2.223) f¨ ur andere Leistungs˙ (x, t) und andere Randbedingungen finden. Bei K¨orpern endlicher dichten W Dicke l¨ asst sich allerdings die R¨ ucktransformation von u(x, s) in der Regel nur mit der in Abschnitt 2.3.2 erw¨ ahnten Umkehrformel vornehmen. Man vgl. hierzu [2.1] und die ausf¨ uhrlich behandelten Beispiele in [2.26]. 2.3.7.2 Punkt- und linienf¨ ormige W¨ armequellen Ist die W¨ armeerzeugung in einem K¨ orper auf einen eng begrenzten Raum beschr¨ ankt, so spricht man von lokalen W¨ armequellen, die als punktf¨ormige, linienf¨ ormige oder fl¨ achenartige Singularit¨ aten idealisiert werden. Ein elektrisch beheizter, d¨ unner Draht kann beispielsweise als eine linienf¨ormige W¨armequelle behandelt werden. Neben solchen technischen Anwendungen haben diese Singularit¨ aten erhebliche theoretische Bedeutung f¨ ur die Berechnung von Temperaturfeldern, vgl. [2.1]. Um das von einer punktf¨ ormigen W¨ armequelle hervorgerufene Temperaturfeld zu berechnen, betrachten wir einen allseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper mit einem inneren kugelf¨ ormigen Hohlraum, dessen Radius R ist, Abb. 2.41. Auf der Kugeloberfl¨ ache sei als Randbedingung eine r¨aumlich konstante W¨ armestromdichte q˙0 = q˙0 (t) vorgeschrieben. Dies entspricht einer W¨armequelle im Inneren des Hohlraums, deren Leistung (Ergiebigkeit) Q˙ = 4πR2 q˙0

208

2 W¨ armeleitung und Diffusion

ist. Der Grenz¨ ubergang R → 0 unter Konstanthalten von Q˙ zu einer gegebenen Zeit t f¨ uhrt dann zu einer punktf¨ ormigen W¨armequelle der Ergiebigkeit ˙ Q(t), die sich im Kugelmittelpunkt befindet, den wir als Ursprung r = 0 der radialen (Kugel-)Koordinate ansehen.

Abb. 2.41: Allseitig unendlich ausgedehnter K¨ orper mit kugelf¨ ormigem Hohlraum, an dessen Oberfl¨ ache die W¨ armeagt ist stromdichte q˙0 aufgepr¨

Das Temperaturfeld außerhalb des kugelf¨ ormigen Hohlraums gen¨ ugt der Differentialgleichung „ 2 « 2 ∂ϑ ∂ ϑ ∂ϑ =a + ∂t ∂r 2 r ∂r mit den Randbedingungen −λ

˙ Q(t) ∂ϑ = q˙0 = ∂r 4πR2

f¨ ur

r=R

und ϑ=0

f¨ ur

r→∞ ,

wenn wir als Anfangstemperatur ϑ = 0 annehmen. Anwendung der LaplaceTransformation f¨ uhrt auf 2 du d2 u − p2 u = 0 + dr 2 r dr mit p2 = s/a. Die Randbedingungen sind n o du 1 ˙ =− L Q(t) 2 dr 4πR λ

f¨ ur

r=R

(2.229)

und u → 0 f¨ ur r → ∞. Eine der letzten Bedingung gen¨ ugende L¨ osung ist u=

B −pr . e r

Die Konstante B erh¨ alt man aus (2.229), so dass n o ˙ L Q(t) e−p(r−R) u= 4πλr 1 + pR die gesuchte Unterfunktion ist. Wir lassen nun R → 0 gehen und erhalten f¨ ur die punktf¨ ormige W¨ armequelle bei r = 0

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung n o ˙ L Q(t) e−pr . u= 4πλr

209

Nach Nr. 4 von Tabelle 2.3 auf S. 161 ist j ff r −r 2 /4at √ e , e−pr = L 2 aπt3/2 so dass man u als Produkt zweier Laplace-Transformierten erh¨ alt: ) ( 2 n o 1 e−r /4at ˙ √ u= . L Q(t) ·L 4πλ 2 aπt2/3 Nach dem Faltungssatz, Nr. 6 von Tabelle 2.2 ist dies 9 8 > > τ =t ` ´ > > Z 2 = < exp −r /4a(t − τ ) 1 ˙ ) √ u= dτ . Q(τ L 3/2 > 4πλ > 2 aπ(t − τ ) > > ; : τ =0

Somit ergibt sich die gesuchte Temperaturverteilung um eine punktf¨ormi˙ ge W¨ armequelle bei r = 0, die zur Zeit t = 0 mit der Ergiebigkeit Q(t) eingeschaltet“ wird, zu ” 1 ϑ(r, t) = (4πa)3/2 c



t ˙ ) exp Q(τ

−r2 4a (t − τ )



dτ . (t − τ )3/2

(2.230)

0

˙ Diese allgemeine L¨ osung f¨ ur beliebige Zeitfunktionen Q(t) enth¨alt einfache ˙ Sonderf¨ alle. So ergibt sich f¨ ur die Quelle konstanter Ergiebigkeit Q(t) = Q˙ 0 das Temperaturfeld r Q˙ 0 erfc √ . (2.231) ϑ(r, t) = 4πλr 4at F¨ ur t → ∞ erhalten wir daraus mit erfc(0) = 1 das station¨are Temperaturfeld um eine punktf¨ ormige Quelle zu ϑ(r) =

Q˙ 0 . 4πλr

Eine sehr rasch verlaufende Reaktion oder ein elektrischer Kurzschluss kann zu einer pl¨ otzlichen Freisetzung einer Energie Q0 zur Zeit t = 0 auf kleinstem Raum bei r = 0 f¨ uhren. F¨ ur diese W¨armeexplosion“ f¨ uhrt man ” in (2.230) den Grenz¨ ubergang τ → 0 aus und beachtet, dass die freigesetzte W¨ arme durch τ ˙ ) dτ Q0 = lim Q(τ τ →0

0

gegeben ist. Damit erh¨ alt man

210

2 W¨ armeleitung und Diffusion

 Q0 r2 ϑ(r, t) = exp − 4at (4πat)3/2 c

(2.232)

als Temperaturverteilung. Sie hat den Grenzwert ϑ → ∞ f¨ ur t = 0 und r = 0. An einer festen Stelle r = const, aber r = 0 beginnt die zeitliche Temperatur¨ anderung mit ϑ = 0, durchl¨ auft ein Maximum zur Zeit tmax = r2 /(6a) und klingt wieder auf ϑ = 0 ab. In Abb. 2.42 ist der zeitliche Temperaturverlauf nach (2.232) f¨ ur verschiedene Verh¨ altnisse r/r0 dargestellt.

Abb. 2.42: Temperaturfeld nach (2.232) in einem allseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper nach einer W¨ armeexplosion“ bei r = 0. Die Bezugstemperatur ist ϑ0 = ” urlich w¨ ahlbaren Abstand von r = 0 Q0 /(cr03 ) mit r0 als einem willk¨

Um das Temperaturfeld um eine linienf¨ormige W¨armequelle bei r = 0 zu berechnen, gehen wir von der W¨ armeexplosion“ aus: Zur Zeit t = 0 werde ” durch eine linienf¨ ormige W¨ armequelle der L¨ ange L (senkrecht zur r, ϕ–Ebene des Polarkoordinatensystems) die W¨ arme Q0 freigesetzt. Da keine weiteren W¨ armequellen vorhanden sein sollen, muss sich zu jedem sp¨ateren Zeitpunkt die W¨ arme Q0 als innere Energie der Umgebung der W¨armequelle wiederfinden. Es muss also die Bilanz ∞ Q0 =

∞ 2πrLc ϑ(r, t) dr = 2πLc

0

rϑ(r, t) dr 0

unabh¨ angig von t gelten. Dieser Gleichung hat die gesuchte Temperaturverteilung ϑ(r, t) zu gen¨ ugen. In Analogie zur punktf¨ ormigen W¨ armeexplosion“ machen wir den (2.232) ” entsprechenden Ansatz

2.3 Instation¨ are W¨ armeleitung

211

 r2 ϑ(r, t) = f (t) exp − 4at und erhalten ∞ Q0 = 2πLcf (t) √ Mit ξ = r/ 4at wird daraus

 r2 r exp − dr . 4at

0

∞ Q0 = 2πLcf (t)4at

2

ξe−ξ dξ .

0

Das hier auftretende bestimmte Integral hat den Wert 1/2, so dass sich die Zeitfunktion f (t) zu Q0 /L Q0 /L f (t) = = 4πcat 4πλt ergibt. Damit erhalten wir die gesuchte Temperaturverteilung

 Q0 /L r2 ϑ(r, t) = exp − . (2.233) 4πλt 4at Man kann leicht nachweisen, dass sie der W¨ armeleitungsgleichung (2.157) mit n = 1 (Zylinderkoordinaten) gen¨ ugt. Wir verallgemeinern nun dieses Ergebnis auf eine bei r = 0 wirkende Li˙ nienquelle mit zeitabh¨ angiger W¨ armeleistung Q(t). W¨ahrend der Zeit von ˙ ) dτ ab und erzeugt ein Temperat = τ bis t = τ + dτ gibt sie die W¨ arme Q(τ ¨ turfeld entsprechend (2.233). Durch zeitliche Uberlagerung derartiger kleiner W¨ armeexplosionen“ erh¨ alt man das folgende zu (2.230) analoge Tempera” turfeld 1 ϑ(r, t) = 4πλL

τ =t 

˙ Q(τ ) exp −

r2 4a(t − τ )



dτ . t−τ

(2.234)

τ =0

F¨ ur den Sonderfall konstanter W¨ armeleistung Q˙ 0 wird hieraus

 Q˙ 0 r2 Ei − ϑ(r, t) = − . 4πλL 4at Die hier auftretende Funktion ist das Exponentialintegral ∞ Ei(−ξ) = ξ

e−u du u

(2.235)

212

2 W¨ armeleitung und Diffusion Tabelle 2.8: Werte des Exponentialintegrals Ei(−ξ)

ξ −Ei(−ξ) 0 0,01 0,02 0,05 0,10

∞ 4,0379 3,3547 2,4679 1,8229

ξ

−Ei(−ξ)

0,15 0,20 0,25 0,30 0,35

1,4645 1,2227 1,0443 0,9057 0,7942

ξ −Ei(−ξ) 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

ξ −Ei(−ξ)

0,7024 0,5598 0,4544 0,3738 0,3106

0,9 1,0 1,5 2,0 2,5

0,2602 0,2194 0,1000 0,0489 0,0249

ξ −Ei(−ξ) 3,0 3,5 4,0 5,0 6,0

0,01305 0,00697 0,00378 0,00115 0,00036

mit der Reihenentwicklung Ei(−ξ) = 0,577216 + ln ξ +

∞ 

(−1)n

n=1

ξn n · n!

und der asymptotischen Entwicklung (ξ  1) 

e−ξ 3! 1! 2! Ei(−ξ) = , 1 − + 2 − 3 + ··· −ξ ξ ξ ξ vgl. [2.28] und [2.30]. Einige Werte von Ei(−ξ), die stets negativ sind, enth¨alt Tabelle 2.8.

2.4 Numerische Lo armeleit¨sung von W¨ problemen mit Differenzenverfahren Komplizierte W¨ armeleitprobleme, f¨ ur die keine geschlossenen L¨osungen vorhanden oder nur unter großem Aufwand zu erhalten sind, lassen sich vorteilhaft numerisch l¨ osen. Hierzu geh¨ oren Probleme mit temperaturabh¨angigen Stoffwerten, mit komplizierter geometrischer Gestalt und mit besonderen Randbedingungen, z.B. temperaturabh¨angige W¨arme¨ ubergangskoeffizienten. Trotz Computereinsatz erfordert die numerische L¨osung komplizierter W¨ armeleitprobleme einen nicht zu untersch¨atzenden Programmier-, Speicherplatz- und Rechenzeitaufwand. Man sollte daher vor der Entscheidung, ein numerisches Verfahren einzusetzen, sorgf¨altig u ¨berlegen, ob nicht Vereinfachungen in der Problemstellung akzeptabel sind, die zu einer analytischen (geschlossenen) L¨ osung f¨ uhren. Zur numerischen Behandlung von Anfangsrandwertaufgaben stehen zwei Verfahren zur Verf¨ ugung, das Differenzenverfahren und die Methode der finiten Elemente. Differenzenverfahren sind einfach zu handhaben und erfordern einen geringen mathematische Aufwand. Die Methode der finiten Elemente, deren Hauptanwendungsgebiet die Festk¨ orper- und Strukturmechanik ist,

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

213

stellt zwar h¨ ohere mathematische Anforderungen, ist jedoch sehr flexibel. Besonders bei komplizierten geometrischen Verh¨ altnissen l¨asst sie sich der Aufgabenstellung gut anpassen und ist hier den Differenzenverfahren vorzuziehen. An eine einf¨ uhrende Darstellung des Differenzenverfahrens, das auch dem Anf¨ anger als rasch einzusetzendes Werkzeug empfohlen werden kann, schließt sich daher eine Einf¨ uhrung in die Methode der finiten Elemente an. Sie soll den Anf¨ anger so weit mit der Methode vertraut machen, dass er imstande ist, einfachere Probleme selbst zu l¨ osen. F¨ ur kompliziertere Aufgabenstellungen ist es ratsam, sich eines der vielen kommerziellen oder im Internet vorhandenen Programme zu bedienen. Die in Abschnitt 2.5 u ¨ber finite Elemente erworbenen Kenntnisse, d¨ urften es dem Anwender leicht machen, sich in diese Programme einzuarbeiten und sie zu nutzen.

2.4.1 Das einfache explizite Differenzenverfahren fu ¨r instation¨ are W¨ armeleitprobleme Bei den Differenzenverfahren werden die Ableitungen ∂ ϑ/∂t, ∂ ϑ/∂x und ∂ 2 ϑ/∂x2 , die in der W¨ armeleitungsgleichung und in den Randbedingungen auftreten, durch Differenzenquotienten ersetzt. Durch diese Diskretisierung geht die Differentialgleichung in eine Differenzengleichung u ¨ ber; ihre L¨osung approximiert die L¨ osung der Differentialgleichung an diskreten Stellen, die ein Gitternetz in Raum und Zeit bilden. Verkleinerung der Maschenweite erh¨oht die Zahl der Gitterpunkte und die G¨ ute der Approximation, allerdings unter Vergr¨ oßerung des Rechenaufwands. Bei der Anwendung eines Differenzenverfahrens muss man daher einen Kompromiss zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand eingehen. 2.4.1.1 Die Differenzengleichung Zur Einf¨ uhrung und Erl¨ auterung der Methode behandeln wir die instation¨are, geometrisch eindimensionale W¨ armeleitung bei konstanten Stoffwerten. Im armeleitungsgleichung Bereich x0 ≤ x ≤ xn sei die W¨ ∂ 2ϑ ∂ϑ =a 2 ∂t ∂x

(2.236)

osen unter Beachtung von Randbedingungen bei x0 und f¨ ur Zeiten t ≥ t0 zu l¨ ur t = t0 sei gegeben. xn . Die Anfangstemperaturverteilung ϑ0 (x) f¨ Wir legen auf dem Streifen x0 ≤ x ≤ xn , t ≥ t0 , ein Gitter mit den Maschenweiten Δx in x-Richtung und Δt in t-Richtung fest, Abb. 2.43. Ein Gitterpunkt (i, k) hat dann die Koordinaten xi = x0 + iΔx mit und

i = 0, 1, 2, . . .

214

2 W¨ armeleitung und Diffusion

tk = t0 + kΔt

mit k = 0, 1, 2, . . .

Der N¨ aherungswert von ϑ am Gitterpunkt (i, k) werde mit ϑki = ϑ (xi , tk )

(2.237)

bezeichnet. Wir verzichten darauf, die N¨ aherungswerte der Temperatur mit einem anderen Formelzeichen zu bezeichnen als die exakten Temperaturen, z.B. Θ statt ϑ, wie es in der mathematischen Literatur u ¨ blich ist. Zur Bezeichnung der Zeitebene tk benutzen wir den hochgestellten Index k ohne Klammern, weil keine Gefahr der Verwechslung mit der k-ten Potenz von ϑ besteht. Die in (2.236) auftretenden Ableitungen ersetzt man durch Differenzenquotienten, wobei ein Diskretisierungsfehler in Kauf genommen werden muss: Ableitung = Differenzenquotient + Diskretisierungsfehler . Der Diskretisierungsfehler soll mit Verkleinern der Maschenweite Δx bzw. Δt gegen null gehen. Die zweite Ableitung in x-Richtung an der Stelle xi zur Zeit tk wird durch den zentralen zweiten Differenzenquotienten

k

  ϑki−1 − 2ϑki + ϑki+1 (2.238) + O Δx2 2 Δx i   ersetzt. Die Schreibweise O Δx2 weist darauf hin, dass der Diskretisierungsfehler proportional zu Δx2 ist und damit bei Verkleinern der Maschenweite quadratisch gegen null geht. Die erste Ableitung nach der Zeit wird durch den relativ ungenauen vorderen Differenzenquotienten ∂ 2ϑ ∂x2



=

∂ϑ ∂t

k = i

− ϑki ϑk+1 i + O (Δt) Δt

(2.239)

ersetzt. Sein Diskretisierungsfehler geht nur proportional Δt gegen null. Man erh¨ alt jedoch mit (2.239) ein numerisch einfach zu handhabendes explizites

Abb. 2.43: Gitternetz zur Diskretisierung der W¨ armeleitungsgleichung (2.236) und zur Veranschaulichung der Differenzengleichung (2.240)

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

215

Differenzenverfahren. Wir setzen (2.238) und (2.239) in die Differentialgleichung (2.236) ein und erhalten nach einfacher Umformung die Differenzengleichung = M ϑki−1 + (1 − 2M ) ϑki + M ϑki+1 (2.240) ϑk+1 i mit M := aΔt/Δx2

(2.241)

als Modul oder Fourier-Zahl des Differenzenverfahrens. Der Diskretisierungs2 fehler  Differenzengleichung hat wegen Δt = M Δx /a die Ordnung  2der O Δx . Gleichung (2.240) ist eine explizite Differenzengleichung; sie gestattet es, aus jeweils drei Temperaturen der Zeitebene t = tk explizit die Temperaturen ϑk+1 der n¨ achsten Zeitebene tk+1 = tk + Δt zu berechnen, vgl. Abb. 2.43. i F¨ ur k = 0, also f¨ ur t = t0 , sind alle Temperaturen ϑ0i aus der gegebenen Anfangstemperaturverteilung bekannt. Mit (2.240) lassen sich daraus alle ϑ1i zur Zeit t1 berechnen und aus ihnen die ϑ2i zur Zeit t2 usw. Die Gleichungen (2.238) und (2.239) f¨ ur den Ersatz der Ableitungen durch Differenzenquotienten k¨ onnen mit Hilfe der Taylor-Entwicklung des Temperaturfeldes um oglich, den Punkt (xi , tk ) gewonnen werden, vgl. z.B. [2.72] und [2.52]. Es ist auch m¨ die Differenzengleichung (2.240) aus einer Energiebilanz in Verbindung mit dem Gesetz von Fourier herzuleiten, vgl. [2.53]. Dazu f¨ uhrt man W¨ armeleitwiderst¨ ande Δx/λ zwischen den Gitterpunkten ein und ber¨ ucksichtigt die Energiespeicherung eines Blocks“ um die Stelle xi . Eine Weiterentwicklung dieses Verfahrens ist die ” Volumen-Integral-Methode, mit der unterschiedliche Differenzengleichungen hergeleitet werden k¨ onnen, vgl. hierzu [2.54].

2.4.1.2 Die Stabilit¨ atsbedingung Viele Differenzengleichungen haben die unerw¨ unschte Eigenschaft, dass sich auch sehr kleine Anfangs- und Rundungsfehler beim Fortschreiten der Rechnung mit wachsendem Betrag fortpflanzen und schließlich das Ergebnis v¨ollig verf¨ alschen. Man nennt diese Erscheinung (numerische) Instabilit¨at. Dagegen ist ein Differenzenverfahren stabil, wenn Fehler im Verlauf der Rechnung kleiner werden und ihr Einfluss abklingt. Die meisten expliziten Differenzenverfahren sind nur bedingt stabil, n¨ amlich nur f¨ ur bestimmte Schritt- oder Maschenweiten. Die explizite Gleichung (2.240) geh¨ort zu dieser Gruppe; sie ist nur dann stabil, wenn der Modul M der Bedingung M = aΔt/Δx2 ≤

1 2

(2.242)

gen¨ ugt. F¨ ur gegebenes Δx darf man die Zeit-Schrittweite Δt nicht beliebig groß w¨ ahlen, weil beim Verletzen von (2.242) das Verfahren nicht nur ungenau, sondern v¨ ollig unbrauchbar wird. Die Stabilit¨ atsbedingung (2.242) l¨ asst sich auf verschiedenen Wegen herleiten; man vgl. die ausf¨ uhrliche Diskussion in [2.52]. Eine allgemeine Bedingung f¨ ur die

216

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Stabilit¨ at von expliziten Differenzengleichungen ist die Forderung, dass kein Koeffizient einer solchen Gleichung negativ sein darf, vgl. [2.55]. F¨ ur (2.240) bedeutet dies 1 − 2M ≥ 0 , woraus unmittelbar (2.242) folgt. Zur Verdeutlichung des Stabilit¨ atsverhaltens benutzt man das sogenannte ε-Schema. Man setzt f¨ ur t = t0 alle ϑ0i = 0 bis auf einen Wert ε = 0. Mit der Differenzengleichung verfolgt man die Fortpflanzung dieses Fehlers f¨ ur die weiteren Zeitschritte mit k = 1, 2, . . . Das ε-Schema der Differenzengleichung (2.240) hat f¨ ur M = 1/2 (Stabilit¨ atsgrenze) folgendes Aussehen: ε-Schema f¨ ur M = 1/2 k k k k k

=0: 0 0 0 0 ε 0 0 0 0 =1: 0 0 0 0,5ε 0 0,5ε 0 0 0 =2: 0 0 0,25ε 0 0,5ε 0 0,25ε 0 0 =3: 0 0,125ε 0 0,375ε 0 0,375ε 0 0,125ε 0 = 4 : 0,0625ε 0 0,25ε 0 0,375ε 0 0,25ε 0 0,0625ε

Das Differenzenverfahren mit M = 1/2 ist gerade noch stabil; der Fehler wird auf die Nachbarpunkte verteilt und klingt dabei langsam ab. Außerdem zerf¨ allt das Gitter in zwei nicht zusammenh¨ angende Teilgitter, weil nach der Differenzenformel „ « ” 1 1“ k ϑi−1 + ϑki+1 , M= = , (2.243) ϑk+1 i 2 2 bestimmen; ϑki hat nur zwei Temperaturen zur Zeit tk die neue Temperatur ϑk+1 i . Eine lose Verkn¨ u pfung der beiden Teilgitter findet nur keinen Einfluss auf ϑk+1 i u andern vorgegebenen Temperaturverteilungen statt. Es ist da¨ ber die an den R¨ her nicht zu empfehlen, Gl. (2.240) mit M = 1/2 zu verwenden, obwohl dies den gr¨ oßten Zeitschritt Δt erlaubt. Die Differenzengleichung (2.243) liegt dem fr¨ uher h¨ aufig verwendeten graphischen Verfahren von L. Binder [2.56] und E. Schmidt [2.57] zugrunde. Durch die Fortschritte in der Rechentechnik haben die zwar anschaulichen, aber ungenauen und m¨ uhsam zu handhabenden graphischen Verfahren ihre fr¨ uhere Bedeutung verloren. Wir gehen hierauf nicht mehr ein, vgl. hierzu [2.58], [2.59]. Um die Instabilit¨ at der Differenzengleichung (2.240) f¨ ur M > 1/2 zu veranschaulichen, zeigen wir das ε-Schema f¨ ur M = 1: ε-Schema f¨ ur M = 1 k k k k k

=0: =1: =2: =3: =4:

0 0 0 0 ε 0 0 0 0 0 0 ε −ε ε 0 0 0 0 ε −2ε 3ε −2ε ε 0 0 ε −3ε 6ε −7ε 6ε −3ε ε ε −4ε 7ε −16ε 19ε −16ε 7ε −4ε

0 0 0 0 ε

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

217

Ein Fehler wird mit jedem Zeitschritt immer st¨ arker vergr¨ oßert, so dass die L¨ osung der Differenzengleichung bei Verletzung der Stabilit¨ atsbedingung nicht der L¨ osung der Differentialgleichung entspricht.

2.4.1.3 W¨ armequellen Die Differenzengleichung (2.240) l¨ asst sich leicht f¨ ur den Fall erweitern, dass W¨ armequellen auftreten. Nach 2.1.2 gilt die Differentialgleichung ˙ (x, t, ϑ) ∂ϑ ∂2ϑ W =a 2 + . ∂t ∂x c

(2.244)

Ihre Diskretisierung mit den Differenzenquotienten nach (2.238) und (2.239) f¨ uhrt auf die explizite Differenzengleichung   k ˙ . = M ϑki−1 + (1 − 2M ) ϑki + M ϑki+1 + M Δx2 /λ W (2.245) ϑk+1 i i Dabei bezeichnet

  ˙ k=W ˙ xi , tk , ϑk W i i

(2.246)

den Wert der Leistungsdichte bei xi zur Zeit tk . Gl. (2.245) kann offenbar auch dann benutzt werden, wenn die Leistungsdichte von der Temperatur abh¨ angt. Die in (2.246) auftretende Temperatur ϑki ist ja durch die Berechnung des Temperaturfeldes f¨ ur die Zeit tk bekannt. Ei˙ kann grunds¨atzlich das Stabilit¨atsne starke Temperaturabh¨ angigkeit von W verhalten beeinflussen. In [2.52] wurde gezeigt, dass die Stabilit¨atsbedingung ˙ linear von ϑ abh¨angt. (2.242) unver¨ andert gilt, wenn W

2.4.2 Die Diskretisierung der Randbedingungen Bei der Erfassung der Randbedingungen im Differenzenverfahren unterscheiden wir drei F¨ alle: – – –

vorgeschriebene Randtemperaturen, vorgegebene W¨ armestromdichte auf dem Rand und die W¨ arme¨ ubergangsbedingung, vgl. Abschnitt 2.1.3.

Ist die Temperatur auf dem Rand x = xR gegeben, so w¨ahle man die Gittereinteilung so, dass der Rand mit einer Gitterlinie xi = const zusammenf¨ allt. Am linken Rand setze man also xR = x0 und am rechten Rand xR = xn+1 = x0 + (n + 1) Δx. Die gegebenen Temperaturen ϑ (xR , tk ) werden als Temperaturwerte ϑk0 bzw. ϑkn+1 in der Differenzengleichung (2.240) verwendet. Bei gegebener W¨armestromdichte q(t) ˙ muss am Rand die Bedingung

 ∂ϑ = q(t) ˙ (2.247) −λ ∂n x=xR

218

2 W¨ armeleitung und Diffusion

erf¨ ullt werden. Die Ableitung ist dabei in Richtung der ¨außeren Fl¨achennormale zu bilden, und die W¨ armestromdichte q˙ ist dann positiv, wenn sie in diese Richtung fließt. Das Gitter wird nun so gelegt, dass der Rand in der Mitte zwischen zwei Gitterlinien liegt. Am linken Rand gilt also xR = x0 + Δx/2, vgl. Abb. 2.44. Man f¨ uhrt damit Gitterpunkte (0, k) außerhalb des w¨armeleitenden K¨ orpers ein. Die hier auftretenden Temperaturen ϑk0 dienen nur als Rechenwerte bei der Erf¨ ullung der Randbedingung (2.247).

Abb. 2.44: Zur Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen (2.247) bei xR = x0 + Δx/2 durch Einf¨ uhren von Temperaturen ϑk0 außerhalb des K¨ orpers

Die in (2.247) auftretende Ortsableitung wird durch den genaueren zentralen Differenzenquotienten ersetzt. Am linken Rand gilt dann

−

∂ϑ ∂n



 = x0 +Δx/2

∂ϑ ∂x

k = 1 2

  ϑk1 − ϑk0 + O Δx2 . Δx

(2.248)

Aus (2.247) erh¨ alt man damit ϑk0 = ϑk1 −

Δx q˙ (tk ) . λ

(2.249)

An der Stelle x1 gilt die Differenzengleichung (2.240) mit i = 1: ϑk+1 = M ϑk0 + (1 − 2M ) ϑk1 + M ϑk2 . 1

(2.250)

Eliminiation von ϑk0 aus diesen beiden Gleichungen ergibt ϑk+1 = (1 − M ) ϑk1 + M ϑk2 − M 1

Δx q˙ (tk ) . λ

(2.251)

Diese Gleichung ersetzt (2.250), wenn die Randbedingung (2.247) am linken Rand zu ber¨ ucksichtigen ist. Ist (2.247) am rechten Rand zu erf¨ ullen, so w¨ahle man das Gitter so, dass ur xn geltenden xR = xn + Δx/2 gilt. Die Elimination von ϑkn+1 aus der f¨ Differenzengleichung mit Hilfe der Randbedingung ergibt ϑk+1 = M ϑkn−1 + (1 − M ) ϑkn + M n

Δx q˙ (tk ) . λ

(2.252)

Wie in (2.251) ist auch hier q(t ˙ k ) dann positiv, wenn die W¨armestromdichte aus dem K¨ orper heraus fließt.

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

219

Die Differenzengleichungen (2.251) und (2.252) gelten mit q˙ ≡ 0 f¨ ur einen adiabaten Rand. Adiabate R¨ ander sind auch die Symmetrieebenen im K¨ orperinneren. Man w¨ ahle in solch einem Fall das Gitter so, dass die adiabate Symmetrieebene in der Mitte zwischen zwei aufeinander folgenden Gitterlinien liegt, und beschr¨ anke sich auf die Berechnung der Temperaturen in einer der K¨ orperh¨ alften. Geht am Rand W¨ arme an ein Fluid mit der Temperatur ϑU u ¨ ber, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α gegeben ist, so gilt die W¨arme¨ ubergangsbedingung ∂ϑ ur x = xR . (2.253) = α (ϑ − ϑU ) f¨ −λ ∂n Die Ableitung ist in Richtung der ¨ außeren Fl¨ achennormale zu bilden; α und ϑU k¨ onnen von der Zeit abh¨ angen. Zur Diskretisierung von (2.253) ist es am g¨ unstigsten, den Rand mit einer Gitterlinie zusammenfallen zu lassen, Abb. 2.45, weil dann die in (2.253) auftretende Randtemperatur unmittelbar im Differenzenverfahren benutzt wird. Beim Ersatz der Ableitung ∂ ϑ/∂n durch den zentralen Differenzenquotienten ben¨ otigt man Gitterpunkte außerhalb des K¨ orpers, n¨ amlich die Temperaturen ϑk0 bzw. ϑkn+1 , die mittels der Randbedingung aus den Differenzengleichungen eliminiert werden.

Abb. 2.45: Zur Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253), a am linken Rand xR = x1 , b am rechten Rand xR = xn

Am linken Rand (xR = x1 ) zeigt die ¨ außere Fl¨achennormale in die negative x-Richtung; aus (2.253) folgt daher ∂ϑ α = (ϑ − ϑU ) ∂x λ

f¨ ur

x = x1 .

Ersatz durch den zentralen Differenzenquotienten,

ergibt mit

∂ϑ ∂x

k = 1

  ϑk2 − ϑk0 + O Δx2 , 2Δx

  ϑk0 = ϑk2 − 2Bi∗ ϑk1 − ϑkU

(2.254)

Bi∗ := αΔx/λ

(2.255)

220

2 W¨ armeleitung und Diffusion

als der Biot-Zahl des Differenzenverfahrens. Die Temperatur ϑk0 wird nun mit (2.254) aus der Differenzengleichung (2.250) eliminiert, die die Gestalt ϑk+1 = [1 − 2M (1 + Bi∗ )] ϑk1 + 2M ϑk2 + 2M Bi∗ ϑkU 1

(2.256)

annimmt. Am rechten Rand (xR = xn ) folgt aus (2.253) die Randbedingung −

α ∂ϑ = (ϑ − ϑU ) . ∂x λ

Ihre Diskretisierung f¨ uhrt auf die zu (2.254) analoge Gleichung   ϑkn+1 = ϑkn−1 − 2Bi∗ ϑkn − ϑkU .

(2.257)

Mit ihr eliminiert man ϑkn+1 aus der f¨ ur xn geltenden Differenzengleichung, die damit die Gestalt = 2M ϑkn−1 + [1 − 2M (1 + Bi∗ )] ϑkn + 2M Bi∗ ϑkU ϑk+1 n

(2.258)

erh¨ alt. Die Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253) verschlechtert das Stabilit¨atsverhalten des expliziten Differenzenverfahrens. Da die Koeffizienten der expliziten Differenzengleichungen (2.256) und (2.258) positiv sein m¨ ussen, um Stabilit¨ at zu gew¨ ahrleisten, erh¨ alt man die Stabilit¨atsbedingung M≤

1 . 2 (1 + Bi∗ )

(2.259)

Sie versch¨ arft die Bedingung (2.242) und f¨ uhrt zu noch kleineren Zeitschritten Δt. Zur Ber¨ ucksichtigung der W¨ arme¨ ubergangsbedingung (2.253) wird h¨ aufig eine von Abb. 2.45 abweichende Wahl des Gitters in Randn¨ ahe getroffen. Man legt das Gitter nach Abb. 2.44 und ersetzt die Ableitung ∂ ϑ/∂x bei xR = x0 + Δx/2 durch den zentralen Differenzenquotienten nach (2.248). F¨ ur die Randtemperatur aherung ϑ (xR , tk ) verwendet man die grobe N¨ ” 1“ k ϑ0 + ϑk1 . (2.260) ϑ (xR , tk ) = ϑk1/2 = 2 Damit erh¨ alt man aus (2.253) die Beziehung ϑk0 =

2 − Bi∗ k 2Bi∗ k ϑ1 + ϑU , ∗ 2 + Bi 2 + Bi∗

die mit (2.250) zur Differenzengleichung « „ 2 + 3Bi∗ 2M Bi∗ k k+1 k k ϑ1 = 1 − M ϑ + M ϑ + ϑ 1 2 2 + Bi∗ 2 + Bi∗ U

(2.261)

(2.262)

f¨ uhrt. Der Diskretisierungsfehler dieser Gleichung ist O(Δx) und nicht O(Δx2 ) wie f¨ ur (2.256), weil die N¨ aherung (2.260) benutzt wurde. Bei Verwendung von (2.262)

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

221

sind daher gr¨ oßere Fehler zu erwarten als bei (2.256). Daf¨ ur ist das Stabilit¨ atsverhalten g¨ unstiger, denn anstelle von (2.259) gilt die Bedingung 2 + Bi∗ , 2 + 3Bi∗

M≤

(2.263)

die f¨ ur große Werte von Bi∗ den Grenzwert M = 1/3 liefert, wogegen aus (2.259) M → 0 folgt. Will man den gr¨ oßeren Diskretisierungsfehler von (2.262) vermeiden, so muss man die Randtemperatur ϑk1/2 durch einen genaueren Ausdruck als das einfache arithmetische Mittel nach (2.260) ersetzen. Eine Parabel durch die drei Temperaturen ϑk0 , ϑk1 und ϑk2 liefert ” 1“ k 3ϑ0 + 6ϑk1 − ϑk2 . ϑk1/2 = 8 Damit erh¨ alt man anstelle von (2.261) ϑk0 =

8 − 6Bi∗ k Bi∗ 8Bi∗ k ϑ + ϑ + ϑk 1 2 8 + 3Bi∗ 8 + 3Bi∗ 8 + 3Bi∗ U

und aus (2.250) die Differenzengleichung « „ 2 + 3Bi∗ 8 + 4Bi∗ k 8M Bi∗ k ϑk1 + M ϑk+1 = 1 − 4M ϑ2 + ϑU . 1 ∗ ∗ 8 + 3Bi 8 + 3Bi 8 + 3Bi∗

(2.264)

Diese Gleichung f¨ ur die Erfassung der Randbedingung (2.250) ist zwar numerisch komplizierter, aber genauer als (2.262), n¨ amlich mit einem Diskretisierungsfehler atsbedingung resultiert O(Δx2 ). Als Stabilit¨ M≤

1 8 + 3Bi∗ . 4 2 + 3Bi∗

(2.265)

Sie f¨ uhrt nur f¨ ur Bi∗ ≥ 4/3 zur Versch¨ arfung der Stabilit¨ atsbedingung (2.242) und ergibt f¨ ur sehr große Bi∗ den Grenzwert M ≤ 1/4. urfte die einfache Beziehung (2.256) mit einem Bei kleinen Werten von Bi∗ d¨ Gitternetz nach Abb. 2.45 a sehr genaue Resultate liefern. Bei gr¨ oßeren Bi∗ -Werten sollte man (2.264) mit einem Gitter nach Abb. 2.44 verwenden, wobei die Stabilit¨ atsbedingung (2.265) zu beachten ist. Beispiel 2.6: Eine Stahlplatte mit den Stoffwerten λ = 15,0 W/K m und a = 3,75 · 10−6 m2 /s hat die Dicke 2δ = 270 mm und eine konstante Anfangstemperatur ϑ0 . Zur Zeit t0 wird die Platte mit einem Fluid in Kontakt gebracht, arme¨ ubergangskoeffidessen Temperatur ϑU < ϑ0 zeitlich konstant ist. Der W¨ zient an den beiden Plattenoberfl¨ achen betrage α = 75 W/m2 K. Es sollen die Temperaturen bei der Abk¨ uhlung der Platte numerisch bestimmt werden. Die Anfangs- und Randbedingungen wurden absichtlich einfach gew¨ ahlt, um die Genauigkeit des Differenzenverfahrens durch Vergleich mit der in Abschnitt 2.3.3 behandelten geschlossenen L¨ osung zu u ufen. ¨ berpr¨ Wegen der Symmetrie gen¨ ugt es, nur eine Plattenh¨ alfte der Dicke δ = 135 mm zu betrachten. Ihre linke Oberfl¨ ache kann als adiabat angesehen werden, w¨ ahrend an der rechten Oberfl¨ ache W¨ arme an das Fluid u ahlen das Gitter ¨ bergeht. Wir w¨ von Abb. 2.46 mit der Maschenweite Δx = 30 mm. Der linke Rand der Platte

222

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.46: Gittereinteilung f¨ ur die Berechnung der Abk¨ uhlung einer Platte der Dicke 2δ

liegt in der Mitte zwischen den Gitterlinien x0 und x1 = x0 + Δx; der rechte Rand f¨ allt mit x5 zusammen. Die Biot-Zahl des Differenzenverfahrens ist ´ ` 75 W/m2 K 0,030 m αΔx ∗ Bi = = = 0,15 . λ 15,0 W/K m F¨ ur den Modul w¨ ahlen wir M = aΔt/Δx2 = 1/3 , womit die Stabilit¨ atsbedingung (2.259) erf¨ ullt ist. Der Zeitschritt wird Δt =

Δx2 M = 80 s . a

Wir setzen ϑU = 0 und ϑ0 = 1,0000. Die damit berechneten Temperaturen ϑki stimmen mit den dimensionslosen Temperaturen ϑ+ (xi , tk ) der geschlossenen L¨ osung nach (2.171) u ¨ berein.

Tabelle 2.9: Temperaturen bei der Abk¨ uhlung einer Stahlplatte, berechnet mit dem expliziten Differenzenverfahren.

k

tk /s

ϑk1

ϑk2

ϑk3

ϑk4

ϑk5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 80 160 240 320 400 480 560 640 720 800 880 960

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9988 0,9964 0,9930 0,9887 0,9836 0,9779 0,9717 0,9651

1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9963 0,9917 0,9861 0,9800 0,9734 0,9664 0,9592 0,9518 0,9442

1,0000 1,0000 1,0000 0,9889 0,9789 0,9679 0,9574 0,9471 0,9372 0,9276 0,9182 0,9091 0,9003

1,0000 1,0000 0,9667 0,9478 0,9286 0,9125 0,8977 0,8844 0,8721 0,8607 0,8500 0,8399 0,8303

1,0000 0,9000 0,8767 0,8490 0,8300 0,8127 0,7980 0,7847 0,7727 0,7617 0,7515 0,7420 0,7331

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

223

Mit diesen Festsetzungen gelten die folgenden f¨ unf Differenzengleichungen: = ϑk+1 1

2 k 1 k ϑ1 + ϑ2 3 3

nach (2.251) mit q(t ˙ k ) = 0, ” 1“ k ϑi−1 + ϑki + ϑki+1 3

= ϑk+1 i f¨ ur i = 2, 3, 4 nach (2.240) sowie

= ϑk+1 5

2 k ϑ + 0,2333 ϑk5 3 4

nach (2.258). Die Ergebnisse f¨ ur die ersten 12 Zeitschritte zeigt Tabelle 2.9. In Tabelle 2.10 werden die Oberfl¨ achentemperaturen ϑk5 und die Temperaturosung verglichen. Obwohl ein verteilung zur Zeit t12 = 960 s mit der exakten L¨ ¨ recht grobes Gitter gew¨ ahlt wurde, ist die Ubereinstimmung mit der geschlossenen L¨ osung nach (2.171) befriedigend. Allerdings erfasst man mit den ersten 12 Zeitschritten nur einen kleinen Teil des Abk¨ uhlvorgangs. Dies liegt an der Begrenzung des Zeitschritts Δt durch die Stabilit¨ atsbedingung. Um sie zu u ¨berwinden, muss man zu einem impliziten Differenzenverfahren u ¨ bergehen.

Tabelle 2.10: Vergleich der mit dem Differenzenverfahren berechneten Obermit den Werten ϑ+ der fl¨ achentemperaturen ϑk5 und der Temperaturen ϑ12 i geschlossenen L¨ osung nach (2.171).

k

ϑk5

ϑ+ (x5 , tk )

k

ϑk5

ϑ+ (x5 , tk )

k

ϑk5

ϑ+ (x5 , tk )

1 2 3 4

0,9000 0,8767 0,8490 0,8300

0,9093 0,8755 0,8509 0,8311

5 6 7 8

0,8127 0,7980 0,7847 0,7727

0,8142 0,7994 0,7861 0,7741

9 10 11 12

0,7617 0,7515 0,7420 0,7331

0,7631 0,7529 0,7433 0,7343

1

2

i ϑ12 i ϑ+ (xi , t12 )

3

4

5

0,9651 0,9442 0,9003 0,8303 0,7331 0,9629 0,9427 0,8998 0,8309 0,7343

2.4.3 Das implizite Differenzenverfahren von J. Crank und P. Nicolson Das in 2.4.1 behandelte einfache explizite Differenzenverfahren hat den Nachteil, dass der Zeitschritt Δt durch die Stabilit¨atsbedingungen (2.242) und

224

2 W¨ armeleitung und Diffusion

(2.259) beschr¨ ankt ist. Um die Temperaturverteilung zu einer vorgegebenen Zeit zu erhalten, sind meistens sehr viele Zeitschritte auszuf¨ uhren. Man umgeht diese Schrittweitenbegrenzung durch Wahl eines impliziten Differenzenverfahrens. Dabei muss bei jedem Zeitschritt ein lineares Gleichungssystem gel¨ ost werden, das allerdings eine besonders einfache Gestalt hat: Es ist ein Tridiagonalsystem, dessen Koeffizientenmatrix nur in der Hauptdiagonale und ihren beiden Nachbarn besetzt ist. Einfache L¨osungsalgorithmen f¨ ur Tridiagonalsysteme findet man bei D. Marsal [2.72] und in Standardwerken u ¨ ber numerische Mathematik, z.B. [2.61] und [2.62]. Ein besonders genaues implizites Differenzenverfahren, das stets stabil ist, haben J. Crank und P. Nicolson [2.60] angegeben. Bei diesem Verfahren benutzt man Temperaturen der Zeitebenen tk und tk+1 ; die Differentialgleichung (2.236) wird jedoch zur dazwischen liegenden Zeit tk + Δt/2 diskretisiert. Dak+1/2 durch ist es m¨ oglich, die Ableitung (∂ ϑ/∂t)i durch den genauen zentralen Differenzenquotienten

k+ 12   ∂ϑ ϑk+1 − ϑki + O Δt2 (2.266) = i ∂t i Δt zu approximieren. Dies ist deswegen vorteilhaft, weil man bei der Wahl eines impliziten Differenzenverfahrens gr¨ oßere Zeitschritte Δt verwenden m¨ochte und daher eine genauere Approximation der zeitlichen Ableitung ben¨otigt. k+1/2 zur Zeit tk + Δt/2 wird durch das Die zweite Ableitung (∂ 2 ϑ/∂x2 )i arithmetische Mittel der zweiten zentralen Differenzenquotienten zu den Zeiten tk und tk+1 ersetzt. Man erh¨ alt so  

2 k+ 12 k+1 k+1 k+1   ϑki−1 − 2ϑki + ϑki+1 ∂ ϑ 1 ϑi−1 − 2ϑi + ϑi+1 = + + O Δx2 . ∂x2 i 2 Δx2 Δx2 (2.267) Mit (2.266) und (2.267) ergibt sich die implizite Differenzengleichung k+1 k k k − M ϑk+1 −M ϑk+1 i−1 + (2 + 2M )ϑi i+1 = M ϑi−1 + (2 − 2M )ϑi + M ϑi+1 (2.268)

mit M = aΔt/Δx2 . Die Temperaturen zur Zeit tk auf der rechten Seite von (2.268) sind bekannt; die drei unbekannten Temperaturen zur Zeit tk+1 auf der linken Seite m¨ ussen berechnet werden. Die Differenzengleichung (2.268) ergibt mit i = 1, 2, . . . n ein lineares Gleichungssystem. Die Hauptdiagonale der Koeffizientenmatrix enth¨ alt die Elemente (2 + 2M ); die Sub- und die Superdiagonale werden von den Elementen (−M ) gebildet; alle anderen Koeffizienten sind null. In diesem Tridiagonalsystem darf in der ersten Gleichung (i = 1) der und in der letzten Gleichung (i = n) der Term −M ϑk+1 Term −M ϑk+1 0 n+1 nicht auftreten. Man eliminiert diese Terme durch Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen. Sind die Temperaturen auf den R¨andern vorgegeben, so w¨ahle man das Gitter so, dass x = x0 und x = xn+1 mit den beiden R¨andern zusammenfallen.

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

225

Damit sind ϑk0 , ϑk+1 und ϑkn+1 , ϑk+1 0 n+1 stets bekannt, und die erste Gleichung des Tridiagonalsystems lautet   (2 + 2M )ϑk+1 − M ϑk+1 = M ϑk0 + ϑk+1 + (2 − 2M )ϑk1 + M ϑk2 , (2.269) 1 2 0 w¨ ahrend die letzte Gleichung   k+1 −M ϑk+1 = M ϑkn−1 +(2−2M )ϑkn +M ϑkn+1 + ϑk+1 n−1 +(2+2M )ϑn n+1 (2.270) wird. Ist die W¨armestromdichte q(t) ˙ am linken Rand gegeben, vgl. (2.247), so w¨ ahle man das Gitter wie in Abb. 2.44 so, dass der Rand in der Mitte zwieliminiert. Die erste schen x0 und x1 liegt. Mit (2.249) werden ϑk0 und ϑk+1 0 Gleichung lautet dann Δx [q˙ (tk ) + q˙ (tk+1 )] . λ (2.271) Die adiabate Wand ist der Sonderfall mit q˙ ≡ 0. In der gleichen Weise eliarmestromdichte miniert man ϑkn+1 und ϑk+1 n+1 , wenn am rechten Rand die W¨ gegeben ist. Zur Ber¨ ucksichtigung der W¨arme¨ ubergangsbedingung (2.253) legen wir das Gitter wie in Abb. 2.45, n¨ amlich so, dass der Rand mit x1 bzw. xn zusammenf¨ allt, wenn am linken bzw. rechten Rand (2.253) vorgeschrieben ist. Mit aus der ersten Gleichung des Tridiagonalsystems (2.254) werden ϑk0 und ϑk+1 0 (2.268) eliminiert. Dies ergibt (2 + M )ϑk+1 − M ϑk+1 = (2 − M )ϑk1 + M ϑk2 + M 1 2

− M ϑk+1 = [1 − M (1 + Bi∗ )] ϑk1 [1 + M (1 + Bi∗ )] ϑk+1 1 2   +M ϑk2 + M Bi∗ ϑkU + ϑk+1 U

(2.272)

f¨ ur die erste Gleichung. Mit (2.257) eliminiert man ϑkn+1 und ϑk+1 alt n+1 und erh¨ als letzte Gleichung ∗ k+1 = M ϑkn−1 + − M (1 + Bi∗ )] ϑkn −M ϑk+1 n−1 + [1 + M (1 + Bi )] ϑn  [1 ∗ k . +M Bi ϑU + ϑk+1 U (2.273) Das Differenzenverfahren von Crank-Nicolson ist stabil f¨ ur alle M . Die Gr¨ oße des Zeitschritts wird daher durch Genauigkeitsforderungen begrenzt. Sehr große Werte von M f¨ uhren zu endlichen Schwingungen in der numerischen L¨ osung, die nur langsam mit fortschreitendem k abklingen, vgl. [2.52].

Beispiel 2.7: Das in Beispiel 2.6 behandelte Abk¨ uhlungsproblem soll mit dem impliziten Differenzenverfahren nach Crank-Nicolson gel¨ ost werden. Dabei wird die Gittereinteilung nach Abb. 2.46 beibehalten. Das bei jedem Zeitschritt zu l¨ osende Tridiagonalsystem besteht aus f¨ unf Gleichungen und hat die Gestalt A ϑ k+1 = b

226

2 W¨ armeleitung und Diffusion

mit der Koeffizientenmatrix 2 3 2 + M −M 0 0 0 6 −M 2 + 2 M −M 7 0 0 6 7 6 7 , A=6 0 −M 2 + 2 M −M 0 7 4 0 5 0 −M 2 + 2 M −M 0 0 0 −M 1 + 1,15 M dem L¨ osungsvektor

iT h ϑk+1 = ϑk+1 , ϑk+1 , ϑk+1 , ϑk+1 , ϑk+1 1 2 3 4 5

und den rechten Seiten

2

3

(2 − M )ϑk1 + M ϑk2

6 M ϑk + (2 − 2M )ϑk + M ϑk 7 6 1 2 37 7 6 k k k7 b=6 M ϑ + (2 − 2M )ϑ + M ϑ 2 3 47 . 6 7 6 4 M ϑk3 + (2 − 2M )ϑk4 + M ϑk5 5 M ϑk4 + (1 − 1,15M )ϑk5 F¨ ur den ersten Schritt des Verfahrens (k = 0) sind alle Temperaturen ϑ0i = 1,000 zu setzen, entsprechend der Anfangsbedingung ϑ(xi , t0 ) = 1. Wir w¨ ahlen M = 1, also einen dreimal so großen Zeitschritt wie beim expliziten Verfahren von Beispiel 2.6, n¨ amlich Δt = 240 s = 4,0 min. Die Temperaturen f¨ ur die ersten 10 Zeitebenen enth¨ alt Tabelle 2.11. Wie ein Vergleich der Temperaturen zur Zeit t4 = 960 s mit den Werten von Tabelle 2.10 zeigt, liefert das CrankNicolson-Verfahren trotz des dreimal gr¨ oßeren Zeitschritts bessere Resultate als das explizite Differenzenverfahren. Tabelle 2.11: Temperaturen bei der Abk¨ uhlung einer Stahlplatte, berechnet nach dem Verfahren von Crank-Nicolson mit M = aΔt/Δx2 = 1.

tk /s

ϑk1

ϑk2

ϑk3

ϑk4

ϑk5

240 480 720 960 1200

0,9990 0,9937 0,9815 0,9636 0,9427

0,9969 0,9851 0,9657 0,9437 0,9208

0,9885 0,9594 0,9282 0,9013 0,8756

0,9573 0,8982 0,8639 0,8322 0,8058

0,8406 0,8044 0,7635 0,7356 0,7105

1440 1680 1920 2160 2400

0,9203 0,8974 0,8744 0,8516 0,8292

0,8975 0,8743 0,8514 0,8289 0,8070

0,8514 0,8282 0,8058 0,7841 0,7630

0,7816 0,7592 0,7381 0,7179 0,6984

0,6887 0,6686 0,6498 0,6318 0,6146

Um den Einfluss der Zeitschrittweite auf die Genauigkeit zu untersuchen, haben wir neben M = 1 auch M = 2, 5 und 10 verwendet. In Tabelle 2.12 sind die

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

227

Temperaturverteilungen gezeigt, die sich f¨ ur t = 9600 s = 160 min ergeben. Diese Zeit wird mit M = 1 in 40 Schritten, mit M = 2 in 20 Schritten, mit M = 5 in 8 Schritten und in nur 4 Schritten mit M = 10 erreicht. Die Temperaturen f¨ ur M = 1 und M = 2 stimmen untereinander und mit der analytischen L¨ osung sehr gut u oßere Abweichungen, w¨ ahrend das ¨ berein. Mit M = 5 ergeben sich etwas gr¨ Ergebnis mit M = 10 nicht brauchbar ist. Bei dieser großen Schrittweite treten Oszillationen der Temperaturen auf, die physikalisch nicht m¨ oglich sind. In [2.52], S. 122, findet man f¨ ur ein instation¨ ares W¨ armeleitproblem mit anderen Randbedingungen eine notwendige Bedingung f¨ ur die Begrenzung der Zeitschrittweite, ¨ damit Oszillationen vermieden werden. Die Ubertragung dieser Bedingung auf Tabelle 2.12: Vergleich der Temperaturen f¨ ur t = 9600 s, berechnet mit verschiedenen Modulwerten M . M

ϑ1

ϑ2

ϑ3

ϑ4

ϑ5

1 2 5 10

0,3684 0,3683 0,3677 0,3683

0,3584 0,3584 0,3584 0,3532

0,3388 0,3387 0,3386 0,3259

0,3099 0,3099 0,3051 0,2995

0,2727 0,2727 0,2801 0,3180

Analyt. L¨ osung

0,3684 0,3584 0,3389 0,3101 0,2730

die vorliegende Aufgabe liefert die Grenze 2 δ = 5,7 . π Δx Sie best¨ atigt das Ergebnis unserer numerischen Testrechnungen. M
0 (2.297) Δx2 1 + λki /λki+1 1 + λki /λki−1 sein. Da a und λ sich bei jedem Zeitschritt a¨ndern, wird man in den Programmablauf eine Kontrolle dieser Ungleichung einbauen und Δt gegebenenfalls schrittweise verkleinern. Die Temperaturabh¨ angigkeit von λ muss auch bei der W¨arme¨ ubergangsbedingung (2.253) und bei der Randbedingung vorgeschriebener W¨armestromdichte ber¨ ucksichtigt werden. Die Biotzahl Bi∗ wird temperaturabh¨angig, was bei der Elimination der Temperaturen ϑk0 und ϑkn+1 aus (2.254) bzw. (2.257) und (2.297) mit i = 1 bzw. i = n zu beachten ist.

2.4.5 Instation¨ are ebene und r¨ aumliche Temperaturfelder Sind ebene oder r¨ aumliche Temperaturfelder numerisch zu bestimmen, wachsen Rechenzeit und Speicherplatzbedarf gegen¨ uber den geometrisch eindimensionalen Problemen erheblich. Wir beschr¨ anken uns im Folgenden auf Rechteckbereiche (kartesische Koordinaten); Zylinder- und Kugelprobleme lassen sich durch Diskretisieren der entsprechenden Differentialgleichungen l¨osen. F¨ ur kompliziertere Geometrien ist das Differenzenverfahren weniger gut geeignet, besonders dann nicht, wenn auf beliebig geformten R¨andern Randbedingungen zweiter oder dritter Art vorgeschrieben sind. In diesen F¨allen ist es g¨ unstiger, Finite-Elemente-Verfahren zu verwenden. Wir nehmen konstante Stoffwerte an. Die W¨armeleitungsgleichung f¨ ur ebene instation¨ are Temperaturfelder mit W¨ armequellen hat die Gestalt

2  ˙ (x, y, t, ϑ) ∂ ϑ ∂2ϑ W ∂ϑ =a . (2.298) + + ∂t ∂x2 ∂y 2 c Die Temperatur ϑ = ϑ(x, y, t) soll auf einem zu den x- und y-Achsen parallelen Rechteck bestimmt werden. Wir diskretisieren die Koordinaten durch

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

xi = x0 + iΔx ,

yj = y0 + jΔy

233

und tk = t0 + kΔt .

Die Temperatur an einem Schnittpunkt des ebenen Gitters von Abb. 2.48 werde mit ϑki,j = ϑ (xi , yj , tk ) bezeichnet. F¨ ur die Leistungsdichte gilt das Entsprechende:   ˙ k =W ˙ (xi , yj , tk ) bzw. W ˙ k =W ˙ ϑk W , i,j i,j i,j ˙ allein von der Temperatur abh¨ falls W angt.

Abb. 2.48: Ebenes Gitter zur Diskretisierung der W¨ armeleitungsgleichung (2.298) auf dem Rechteckbereich x0 ≤ x ≤ xn , y0 ≤ y ≤ yl

Die beiden zweiten Ableitungen in x- bzw. y-Richtung werden durch zentrale Differenzenquotienten approximiert, so dass

2 k    ∂ ϑ 1  k ϑi−1,j − 2ϑki,j + ϑi+1,j + O Δx2 (2.299) = 2 2 ∂x i,j Δx und



∂2ϑ ∂y 2

k = i,j

   1  k ϑ − 2ϑi,j + ϑi,j+1 + O Δy 2 Δy 2 i,j−1

(2.300)

gilt. Um eine explizite Differenzengleichung zu erhalten, verwenden wir f¨ ur die Zeitableitung den vorderen Differenzenquotienten:

k  ∂ϑ 1  k+1 ϑ (2.301) = − ϑki,j + O (Δt) ∂t i,j Δt i,j Mit diesen Differenzenquotienten erh¨ alt man aus (2.298) die explizite Differenzengleichung

234

2 W¨ armeleitung und Diffusion

 k  k k ϑk+1 i,j = (1 − 2Mx − 2My ) ϑi,j + Mx ϑi−1,j + ϑi+1,j   Δt k ˙ W . +My ϑki,j−1 + ϑki,j+1 + c i,j

(2.302)

Hier treten zwei Module, Mx :=

aΔt Δx2

und

My :=

aΔt , Δy 2

auf. F¨ ur ein quadratisches Gitter (Δx = Δy) erh¨alt man Mx = My = M = aΔt/Δx2 , und (2.302) vereinfacht sich zu  k  Δt k k k k k ˙ W ϑk+1 . i,j = (1 − 4M ) ϑi,j + M ϑi−1,j + ϑi+1,j + ϑi,j−1 + ϑi,j+1 + c i,j (2.303) Mit (2.302) und (2.303) k¨ onnen aus der gegebenen Anfangstemperaturverteilung ϑ0i,j die Temperaturen ϑ1i,j zur Zeit t1 = t0 + Δt, aus diesen die achsten Zeitebene usw. explizit berechnet werden. Temperaturen ϑ2i,j der n¨ Dieses Differenzenschema ist leicht zu programmieren. Es eignet sich auch ˙ (ϑ), weil W ˙ k f¨ f¨ ur eine temperaturabh¨ angige Leistungsdichte W i,j ur die bereits k bekannte Temperatur ϑi,j zu berechnen ist. Der Nachteil des expliziten Differenzenverfahrens liegt in seiner eingeschr¨ ankten Stabilit¨at, vgl. 2.4.1.2. Die Stabilit¨atsbedingung, wonach kein Koeffizient der rechten Seite von (2.302) negativ sein darf, begrenzt den Zeitschritt: Δt ≤

Δx2 * . ) 2 2a 1 + (Δx/Δy)

(2.304)

Dies f¨ uhrt zu noch kleineren Zeitschritten als die Bedingung (2.242) der geometrisch eindimensionalen W¨ armeleitung. Um die aus Stabilit¨ atsgr¨ unden erforderliche Schrittweitenbegrenzung (2.304) des expliziten Differenzenverfahrens zu umgehen, benutzt man ein implizites Verfahren. Dabei wird (2.298) zur Zeit tk+1 diskretisiert und f¨ ur die Zeitableitung der hintere Differenzenquotient benutzt. Mit

k+1  ∂ϑ 1  k+1 ϑi,j − ϑki,j + O(Δt) = ∂t i,j Δt und den f¨ ur tk+1 angeschriebenen Differenzenquotienten (2.299) und (2.300) ˙ ≡ 0 gesetzt — die erh¨ alt man aus (2.298) — zur Vereinfachung wurde W implizite Differenzengleichung   a  k+1 a  k+1 k+1 k+1 ϑi−1,j − 2ϑk+1 ϑi,j−1 − 2ϑk+1 i,j + ϑi+1,j + i,j + ϑi,j+1 = 2 2 Δx Δy  1  k+1 ϑi,j − ϑki,j . (2.305) Δt

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

235

Diese Gleichung ist f¨ ur jeden Gitterpunkt (i, j) anzusetzen. Man erh¨alt ein lineares Gleichungssystem f¨ ur die unbekannten Temperaturen zur Zeit tk+1 , das f¨ ur jeden Zeitschritt zu l¨ osen ist. Jede Gleichung enth¨alt f¨ unf Unbekannte; nur die Temperatur ϑki,j zum vorangegangenen Zeitpunkt tk ist bekannt. Ein vorteilhaftes L¨ osungsverfahren haben P.W. Peaceman und H.H. Rachford [2.64] angegeben; es ist unter der Bezeichnung alternating-direction implicit ” procedure“ (ADIP) bekannt. Hierbei werden anstelle des Gleichungssystems (2.305) zwei tridiagonale Systeme gel¨ ost, wodurch sich der Rechenaufwand verringert, vgl. auch [2.72]. Die Randbedingungen lassen sich bei geometrisch zweidimensionalen Temperaturfeldern leicht erf¨ ullen, sofern die R¨ ander parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen. Zu den im Inneren des Bereichs liegenden Gitterpunkten f¨ ugt man je eine Reihe Gitterpunkte außerhalb des Bereichs hinzu. Mit diesen zus¨ atzlichen Gitterpunkten lassen sich wie in Abschnitt 2.4.2 die drei Arten von Randbedingungen ohne Schwierigkeiten ber¨ ucksichtigen. Bei R¨ andern, die nicht parallel zu den Koordinatenrichtungen verlaufen, k¨ onnen erhebliche Komplikationen eintreten. Am einfachsten ist die Bedingung vorgegebener Randtemperaturen zu erf¨ ullen. Hier gen¨ ugt es, den krummlinigen Rand durch x- und y- parallele Geradenst¨ ucke zu approximieren, wobei hinreichend kleine Gitterabst¨ ande Δx und Δy zu w¨ ahlen sind. Die Diskretisierung der Ableitung ∂ϑ/∂n in Richtung der Normalen der Berandung f¨ uhrt jedoch auf komplizierte und schwer zu handhabende Ausdr¨ ucke. Die Diskretisierung der W¨ armeleitungsgleichung l¨ asst sich auf r¨ aumliche Temperaturfelder u ¨ bertragen; dies bleibe dem Leser u ¨ berlassen. Bei der expliziten Differenzengleichung versch¨ arft sich dabei die Stabilit¨ atsbedingung (2.304), so dass noch kleinere Zeitschritte als bei den ebenen Problemen gew¨ ahlt werden m¨ ussen. Zur L¨ osung des Gleichungssystems des impliziten Differenzenverfahrens kann man das ADIP-Verfahren nicht anwenden, weil es in drei Dimensionen instabil ist. Man verwendet stattdessen ein ¨ ahnliches Verfahren nach J. Douglas und H.H. Rachford [2.66], [2.67], das stabil ist und auch auf Tridiagonalsysteme f¨ uhrt, aber einen etwas gr¨ oßeren Diskretisierungsfehler als ADIP hat, vgl. auch [2.72].

2.4.6 Station¨ are Temperaturfelder Zur Anwendung des Differenzenverfahrens auf station¨are W¨armeleitprobleme hat man den ebenen oder r¨ aumlichen Bereich, in dem das Temperaturfeld zu bestimmen ist, durch Wahl eines Gitternetzes zu diskretisieren. Die Temperaturen in den Gitterpunkten werden durch Differenzengleichungen bestimmt, die jede Temperatur mit den Temperaturen an benachbarten Gitterpunkten verkn¨ upfen. Die Differenzengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, das die W¨ armeleitungsgleichung mit ihren Randbedingungen ersetzt und dessen L¨ osung N¨ aherungswerte f¨ ur die Temperaturen an den Gitterpunkten liefert. Durch Verkleinern der Gitterabst¨ ande (Maschenweiten) erh¨oht sich die Zahl der Gitterpunkte und der linearen Differenzengleichungen; die aus ihnen berechneten Temperaturen sind genauere N¨ aherungen an die wahren Werte. Wir beschr¨ anken uns auf ebene Temperaturfelder; r¨aumliche Temperaturfelder lassen sich in ¨ ahnlicher Weise berechnen. Hierf¨ ur geeignete Verfahren und

236

2 W¨ armeleitung und Diffusion

ausgearbeitete Algorithmen findet man insbesondere bei D. Marsal [2.72]. Dort werden auch Verfahren besprochen, die u ¨ ber das einfache Differenzenverfahren hinausgehen, das wir im Folgenden behandeln. 2.4.6.1 Ein einfaches Differenzenverfahren f¨ ur ebene station¨ are Temperaturfelder Ebene station¨ are Temperaturfelder ϑ = ϑ(x, y) mit W¨armequellen der Leis˙ werden durch die Differentialgleichung tungsdichte W ˙ (x, y, ϑ) ∂ 2 ϑ ∂ 2ϑ W =0 + 2 + 2 ∂x ∂y λ

(2.306)

beschrieben. Zu ihrer Diskretisierung w¨ ahlen wir ein quadratisches Gitter mit der Maschenweite Δx = Δy, so dass xi = x0 + iΔx ,

i = 0, 1, 2, . . .

yj = y0 + jΔx

j = 0, 1, 2, . . .

und ,

gilt. Die Temperatur am Gitterpunkt (xi , yj ) wird mit ϑi,j = ϑ(xi , yj ) be˙ i,j = W ˙ (xi , yj , ϑi,j ). zeichnet und ebenso die Leistungsdichte W Wir leiten nun, anders als in den vorhergehenden Abschnitten, die zu (2.306) geh¨ orende Differenzengleichung durch eine Energiebilanz in anschaulicher Weise her. Wir fassen dazu jeden Gitterpunkt als den Mittelpunkt eines kleinen Blocks auf, der aus dem w¨ armeleitenden Material herausgeschnitten ist, Abb. 2.49. Der Block hat einen quadratischen Grundriss mit der Kantenl¨ ange Δx und die H¨ ohe b senkrecht zur x,y-Ebene. Die Temperatur ϑi,j im Gitterpunkt (i, j) wird als charakteristische Mitteltemperatur des ganzen Blocks angesehen. Von den vier unmittelbar benachbarten Bl¨ocken mit den Mitteltemperaturen ϑi+1,j , ϑi,j+1 , ϑi−1,j und ϑi,j−1 wird W¨arme zum betrachteten Block (i, j) geleitet. Die Energiebilanz f¨ ur diesen Block enth¨alt daher die vier W¨ armestr¨ ome von Abb. 2.49 und die durch innere W¨armequel˙ i,j ΔV , wobei ΔV = Δx2 b das Volumen des len hervorgerufene Leistung W Blocks bedeutet: ˙ i,j ΔV = 0 . Q˙ i+1 + Q˙ j+1 + Q˙ i−1 + Q˙ j−1 + W

(2.307)

F¨ ur den W¨ armestrom Q˙ i+1 , der vom Block (i + 1, j), zum Block (i, j) fließt, gilt λ Q˙ i+1 = q˙i+1 Δx b = (ϑi+1,j − ϑi,j ) Δx b = λ (ϑi+1,j − ϑi,j ) b . Δx Dementsprechend wird

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

237

Q˙ j+1 = λ (ϑi,j+1 − ϑi,j ) b , Q˙ i−1 = λ (ϑi−1,j − ϑi,j ) b und Q˙ j−1 = λ (ϑi,j−1 − ϑi,j ) b . Im Sinne der Vorzeichenvereinbarung der Thermodynamik wurden die vier W¨ armestr¨ ome als positive Gr¨ oßen angesetzt, wenn sie dem Block (i, j) zufließen. Damit erh¨ alt man aus der Energiebilanzgleichung (2.307) die gesuchte Differenzengleichung ˙ i,j Δx2 /λ . ϑi+1,j + ϑi,j+1 + ϑi−1,j + ϑi,j−1 − 4 ϑi,j = −W

(2.308)

Dies ist eine N¨ aherungsgleichung, weil jedem kleinen, aber endlich großen Block nur eine diskrete Temperatur zugeordnet ist und weil W¨armeleitung nur zwischen unmittelbar benachbarten Bl¨ ocken ber¨ ucksichtigt wird. Wie man unter Verwendung der Diskretisierungsgleichungen (2.299) und (2.300) f¨ ur die zweiten Ableitungen zeigen kann, erh¨ alt man (2.308) auch durch die u ¨ bliche Diskretisierung der  Differentialgleichung (2.306). Der Diskretisierungsfehler  ist daher O Δx2 ; er geht mit Verkleinern der Maschenweite (= Blockbreite) quadratisch gegen null. Die Differenzengleichung (2.308) ist f¨ ur jeden Gitterpunkt im Inneren des ebenen Bereichs anzusetzen. Entsprechende Differenzengleichungen f¨ ur die Randpunkte leiten wir im n¨ achsten Abschnitt her. Man erh¨alt ein lineares Gleichungssystem mit — bei feiner Gittereinteilung — sehr vielen Gleichungen. Die numerische Mathematik stellt Verfahren zur L¨osung solcher großen Gleichungssysteme zur Verf¨ ugung [2.61], [2.62]. Vor- und Nachteile der L¨ osungsverfahren diskutieren z.B. D. Marsal [2.72] und G.D. Smith [2.52]. In der Regel verwendet man Iterationsverfahren, die ausf¨ uhrlich von D.M. Young [2.68] beschrieben werden, insbesondere das Gauß-Seidel-Verfahren und die Methode der successive over-relaxation (SOR-Verfahren).

Abb. 2.49: Block mit quadratischem Querschnitt um den Gitterpunkt (i, j) zur Herleitung der Energiebilanzgleichung (2.307)

238

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Beispiel 2.8: Eine Wand mit der Dicke δ umschließt einen Raum mit quadratischem Grundriss; die L¨ ange der inneren Quadratseite ist 2,5 δ. Die Wand hat die armekonstanten Oberfl¨ achentemperaturen ϑi und ϑa < ϑi . Man berechne den W¨ omt. strom, der aufgrund der Temperaturdifferenz ϑi − ϑa aus dem Raum abstr¨

Abb. 2.50: Wand eines Raumes mit quadratischem Grundriss. a Abmessungen, b grobes Gitter (Δx = δ/2) mit vier unbekannten (normierten) Tempe+ raturen ϑ+ 1 bis ϑ4 Aus Symmetriegr¨ unden gen¨ ugt es, ein Achtel des Grundrisses zu betrachten, Abb. 2.50a. Der gesuchte W¨ armestrom liegt zwischen zwei Grenzen: Man kann ihn mit der inneren Wandoberfl¨ ache zu λ Q˙ i = 8 · 1,25 · δ · b (ϑi − ϑa ) = 10 bλ (ϑi − ϑa ) δ und mit der ¨ außeren Wandoberfl¨ ache zu λ Q˙ a = 8 · 2,25 · δ · b (ϑi − ϑa ) = 18 bλ (ϑi − ϑa ) δ berechnen, wobei b die Abmessung der Wand senkrecht zur Zeichenebene von Abb. 2.50a bedeutet. Man erh¨ alt den richtigen Wert des zwischen 10 und 18 liegenden Formfaktors Q˙ , Sb = λb (ϑi − ϑa ) vgl. Abschnitt 2.2.5.2, durch Berechnen des Temperaturfeldes in der Wand. Wir verwenden die dimensionslose Temperatur ϑ+ := (ϑ − ϑa )/(ϑi − ϑa ), die im Bereich 0 ≤ ϑ+ ≤ 1 liegt. Ein sehr grobes Gitter mit Δx = δ/2 liefert + vier Gitterpunkte mit den unbekannten Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ4 , vgl. Abb. ˙ i,j ≡ 0 aufgestellten 2.50b. Zu ihrer Berechnung dienen die nach (2.308) mit W Differenzengleichungen + + ϑ+ 2 + 0 + ϑ1 + 1 − 4 ϑ1 = 0 , + + ϑ+ 3 + 0 + ϑ1 + 1 − 4 ϑ2 = 0 , + + ϑ+ 4 + 0 + ϑ2 + 1 − 4 ϑ3 = 0 , + + 0 + 0 + ϑ+ 3 + ϑ3 − 4 ϑ4 = 0 .

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

239

Bei der ersten und vierten Gleichung wurde die Symmetrie (Spiegelung) des Temperaturfeldes an den in Abb. 2.50b strichpunktierten Symmetrielinien ber¨ ucksichtigt. Die L¨ osung der vier linearen Gleichungen ergibt die Temperaturen ϑ+ 1 = 0,4930,

ϑ+ 2 = 0,4789,

ϑ+ 3 = 0,4225,

ϑ+ 4 = 0,2113 .

Damit kann man den W¨ armestrom, der zur ¨ außeren Wandoberfl¨ ache geleitet wird, zu ` + + +´ Q˙ = 8 bλ (ϑi − ϑa ) ϑ+ = 12,85 bλ (ϑi − ϑa ) 1 + ϑ2 + ϑ3 + ϑ4 bestimmen. Der Formfaktor hat den Wert Sb = 12,85. Die Ecken erh¨ ohen somit den W¨ armestrom um 28,5 % gegen¨ uber Q˙ i , dem mit der inneren Wandfl¨ ache berechneten W¨ armestrom. Wegen des groben Gitters sind dies ungenaue N¨ aherungswerte. Gitterverfeinerung liefert genauere Temperaturen, doch steigt dabei die Zahl der Differenzengleichungen: Eine Halbierung der Maschenweite (Δx = δ/4) f¨ uhrt bereits zu einem System aus 24 linearen Gleichungen.

2.4.6.2 Die Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen Das aus der Differenzengleichung (2.308) hervorgehende lineare Gleichungssystem muss durch die Differenzengleichungen f¨ ur die Randpunkte erg¨anzt werden, mit denen die dort maßgebenden Randbedingungen ber¨ ucksichtigt werden. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die R¨ander parallel zu den x- und y-Richtungen verlaufen. Krummlinige R¨ander kann man durch einen Linienzug aus zur x- bzw. y-Richtung parallelen Geradenst¨ ucken ersetzen. Hinreichende Genauigkeit wird man dabei jedoch nur bei sehr kleiner Maschenweite Δx erreichen. Sind die R¨ ander Koordinatenlinien eines Polarkoordinatensystems (r, ϕ), so empfiehlt es sich, die Differentialgleichung mit ihren Randbedingungen in Polarkoordinaten zu formulieren und daraus die entsprechenden Differenzengleichungen herzuleiten. Am einfachsten l¨ asst sich die Randbedingung erster Art ber¨ ucksichtigen. Man muss hierzu wie in Beispiel 2.8 Gitterlinien mit den R¨andern zusammenfallen lassen und in den auf den R¨ andern liegenden Gitterpunkten die dort vorgeschriebenen Temperaturen in der Differenzengleichung (2.308) verwenden. Dies ist f¨ ur R¨ ander, die parallel zur x- und y-Richtung verlaufen, durch geeignete Wahl der Maschenweite Δx zu erreichen. Gegebenenfalls muss man das bisher verwendete quadratische Gitter durch ein Rechteckgitter mit unterschiedlichen Abst¨ anden Δx und Δy ersetzen. Die Differenzengleichung (2.308) ist dann abzu¨ andern, was nach den Ausf¨ uhrungen von 2.4.6.1 ohne Schwierigkeiten ausf¨ uhrbar ist. Die Randbedingung vorgegebener Temperaturen l¨asst sich auch bei gekr¨ ummten R¨ andern in guter N¨ aherung erf¨ ullen. Abb. 2.51 zeigt einen randnahen Gitterpunkt (i, j). Die durch ihn laufenden Gittergeraden x = xi und y = yj schneiden die Randkurve R, wobei die Temperaturen ϑR,n und ϑR,n+1 in den Schnittpunkten gegeben sind. F¨ ur Gitterpunkte (i, j) gilt anstelle von (2.308) die Differenzengleichung

240

2 W¨ armeleitung und Diffusion

2 2 2 ϑR,n + ϑR,n+1 + ϑi−1,j εn (1 + εn ) εn+1 (1 + εn+1 ) 1 + εn

 2 1 1 Δx2 ˙ Wi,j . (2.309) + ϑi,j−1 − 2 + ϑi,j = − 1 + εn+1 εn εn+1 λ Ihre Herleitung findet man bei G.D. Smith [2.52].

Abb. 2.51: Gitterpunkt (i, j) in der N¨ ahe der Randkurve R, auf der die Temperatur ϑR vorgegeben ist

Abb. 2.52: Zur Herleitung der Differenzengleichung f¨ ur den Randarme¨ ubergang punkt (xi , yj ) bei W¨ an ein Fluid mit der Temperatur ϑU

Die W¨arme¨ ubergangsbedingung l¨ asst sich nur dann einfach erf¨ ullen, wenn der Rand aus Geradenst¨ ucken besteht, die parallel zur x- oder y-Achse verlaufen. Man l¨ asst den Rand mit einer Gitterlinie zusammenfallen, und die Differenzengleichung f¨ ur einen solchen Randpunkt l¨asst sich wieder durch eine Energiebilanz gewinnen. Wir zeigen dies f¨ ur einen Gitterpunkt auf einem Rand, der mit der Gitterlinie y = yj zusammenf¨allt, Abb. 2.52. In den schraffierten Block werden von den benachbarten Bl¨ocken die W¨armestr¨ome λ λ Δx Q˙ i−1 = (ϑi−1,j − ϑi,j ) b = (ϑi−1,j − ϑi,j ) b , Δx 2 2

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

241

λ Q˙ j−1 = (ϑi,j−1 − ϑi,j ) Δxb = λ (ϑi,j−1 − ϑi,j ) b Δx und

λ λ Δx Q˙ i+1 = (ϑi+1,j − ϑi,j ) b = (ϑi+1,j − ϑi,j ) b Δx 2 2 durch Leitung u ¨ bertragen. Vom Fluid mit der Temperatur ϑU geht der W¨ armestrom Q˙ U = αi (ϑU − ϑi,j ) Δx b ortlichen W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten an der Stelle xi u ¨ ber, wobei αi den ¨ bedeutet. Setzt man die vier W¨ armestr¨ ome in die Bilanzgleichung ˙ i,j Δx2 b/2 = 0 Q˙ i−1 + Q˙ j−1 + Q˙ i+1 + Q˙ U + W ein, so erh¨ alt man die Differenzengleichung ϑi,j−1 +

1 ˙ i,j Δx2 /2λ (2.310) (ϑi−1,j + ϑi+1,j )+ Bi∗i ϑU − (2 + Bi∗i ) ϑi,j = −W 2

mit Bi∗i = αi Δx/λ als der ¨ ortlichen Biot-Zahl. Durch sie l¨asst sich eine Ver-

Abb. 2.53: Zur Erl¨ auterung der Differenzengleichungen f¨ ur den Randpunkt a in der einspringenden Ecke, b an der ¨ außeren Ecke bei W¨ arme¨ ubergang an ein Fluid mit der Temperatur ϑU

a¨nderung des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten l¨ angs des Randes leicht ber¨ ucksichtigen. In der gleichen Weise gewinnt man die folgenden Differenzengleichungen, die f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang an einer inneren (einspringenden) Ecke nach Abb. 2.53a und an einer a ur die innere Ecke ¨ußeren Ecke nach Abb. 2.53b gelten. F¨ erh¨ alt man 1 ˙ i,j Δx2 /4λ (ϑi,j−1 + ϑi+1,j ) + Bi∗i ϑU − (3 + Bi∗i ) ϑi,j = −3W 2 (2.311) und f¨ ur die Ecke nach Abb. 2.53b

ϑi,j+1 + ϑi−1,j +

1 ˙ i,j Δx2 /4λ . (ϑi−1,j + ϑi,j−1 ) + Bi∗i ϑU − (1 + Bi∗i ) ϑi,j = −W 2

(2.312)

242

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Treten keine inneren W¨ armequellen auf, so ist in den Beziehungen (2.309) bis ˙ i,j = 0 zu setzen. (2.312) W Setzt man in (2.310) bis (2.312) Bi∗i = 0, also αi = 0, so gelten diese Beziehungen f¨ ur eine adiabate Oberfl¨ ache. Dies entspricht dem Sonderfall q˙ = 0 der Randbedingung vorgeschriebener W¨ armestromdichte q. ˙ Nach Abschnitt 2.4.2 wird diese Randbedingung genauer erfasst, wenn man das Gitter so legt, dass der Rand mit vorgeschriebener W¨armestromdichte den Abstand Δx/2 von der Gittergeraden hat, vgl. Abb. 2.54. Die Energiebilanz f¨ ur den in Abb. 2.54 hervorgehobenen Block mit der Temperatur ϑi,j lautet

Abb. 2.54: Zur Herleitung der Differenzengleichung (2.313) bei vorgeschriebener W¨ armestromdichte q˙i auf dem Rand

˙ i,j Δx2 b = 0 , Q˙ i+1 + Q˙ i−1 + Q˙ j−1 + q˙i Δx b + W ˙ i ) die bei x = xi vorgegebene W¨armestromdichte bedeutet. wobei q˙i = q(x Aus der Energiebilanz folgt die Differenzengleichung ϑi+1,j + ϑi−1,j + ϑi,j−1 − 3ϑi,j = −q˙i

2 Δx ˙ i,j Δx . −W λ λ

(2.313)

Man erh¨ alt ¨ ahnlich aufgebaute Differenzengleichungen, wenn die W¨armestromdichte auf einem parallel zur y-Achse verlaufenden Rand vorgeschrieben ist. Beispiel 2.9: Der in Abb. 2.55a dargestellte Formstein einer Ofenwand (λ = 0,80 W/K m) mit trapezf¨ ormigem Querschnitt (δ = 0,30 m) ist an den senkrechten Fl¨ achen isoliert. An der oberen Begrenzungsfl¨ ache geht W¨ arme an Luft arme¨ ubergangskoeffizient ist mit der konstanten Temperatur ϑU u ¨ ber; der W¨ ache habe die konstante Temperatur α = 10 W/m2 K. Die untere Begrenzungsfl¨ armestrom, der durch den Formstein an die Luft ϑR > ϑU . Man berechne den W¨ u arme abgebenden Oberfl¨ ache. ¨bertragen wird, und die Temperaturen an der W¨ Um das Temperaturfeld n¨ aherungsweise zu bestimmen, benutzen wir das in Abb. 2.55b eingezeichnete Gitternetz mit der recht groben Maschenweite Δx = Δy = δ/3 = 0,10 m. Wir f¨ uhren wie im letzten Beispiel eine dimensionslose Temperatur ϑ+ =

ϑ − ϑU ϑR − ϑU

,

0 ≤ ϑ+ ≤ 1

2.4 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit Differenzenverfahren

243

ein und stellen die Differenzengleichungen f¨ ur die acht unbekannten Temperatu+ ˙ i,j ≡ 0 ur die drei Oberfl¨ achentemperaturen ist (2.310) mit W ren ϑ+ 1 bis ϑ8 auf. F¨ maßgebend, woraus die drei Gleichungen

Abb. 2.55: W¨ armeleitung in einem Formstein. a Abmessungen und gegebene Temperaturen, b quadratisches Gitternetz mit der Maschenweite Δx = δ/3 + zur Berechnung der Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ8

ϑ+ 4 +

1 2

ϑ+ 5 +

1 2

ϑ+ 6 +

1 2

` + ´ + ∗ ϑ1 + ϑ+ 2 − (2 + Bi ) ϑ1 = 0 , ` + ´ ∗ + ϑ1 + ϑ+ 3 − (2 + Bi ) ϑ2 = 0 , ` + ´ + ∗ ϑ2 + ϑ+ 3 − (2 + Bi ) ϑ3 = 0

resultieren. Dabei ist zu beachten, dass ϑ+ U = 0 ist. Die adiabaten senkrechten W¨ ande wurden als Symmetriefl¨ achen mit einer Spiegelung der Temperaturen ϑ+ 1 bzw. ϑ+ ucksichtigt. 3 in der ersten und letzten Gleichung ber¨ + F¨ ur die beiden innen liegenden Gitterpunkte mit den Temperaturen ϑ+ 4 und ϑ5 kommt die Differenzengleichung (2.308) zur Anwendung: + + + + ϑ+ 5 + ϑ1 + ϑ4 + ϑ7 − 4 ϑ4 = 0 , + + + + ϑ+ 6 + ϑ2 + ϑ4 + ϑ8 − 4 ϑ5 = 0 . + Die in der N¨ ahe des unteren Randes liegenden Gitterpunkte mit ϑ+ 6 bis ϑ8 haben Arme“, die von der schr¨ ag laufenden Randgeraden geschnitten werden, auf der ”+ ϑR = 1 ist. Hier verwenden wir (2.309) und denken uns dabei Abb. 2.55b um ¨ mit Abb. 2.51 90◦ entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht, damit Ubereinstimmung entsteht. F¨ ur den Punkt 6 mit εn = 0,75 und εn+1 = 1 sowie mit ϑR,n = ϑ+ R und folgt ϑR,n+1 = ϑ+ « „ 6 2 2 1 ϑ+ + ϑ+ ϑ+ + ϑ+ + 1 ϑ+ 6 + 5 −2 6 = 0 . 0,75 (1 + 0,75) R 1 + 0,75 3 0,75 + + F¨ ur den Gitterpunkt mit ϑ+ 7 gilt analog mit ϑR,n = ϑR und ϑR,n+1 = ϑ8 « „ 2 1 2 + + + ϑ+ ϑ + 1 ϑ+ + ϑ + + ϑ − 2 8 7 7 = 0 . 0,75 (1 + 0,75) R 1 + 0,75 4 0,75

Die Differenzengleichung f¨ ur den letzten, randn¨ achsten Gitterpunkt 8 mit εn = + 0,25, εn+1 = 0,50, ϑR,n = ϑ+ R und ϑR,n+1 = ϑR lautet

244

2 W¨ armeleitung und Diffusion 2 2 2 ϑ+ + ϑ+ + ϑ+ 0,25 (1 + 0,25) R 0,50 (1 + 0,50) R 1 + 0,25 5 « „ 1 2 1 ϑ+ + ϑ+ + − 2 8 = 0 . 1 + 0,50 7 0,25 0,50

Mit Bi∗ = αΔx/λ = 10 (W/m2 K) 0,10 m/0,80 (W/Km) = 1,25 und ϑ+ R = 1 erh¨ alt man aus diesen Gleichungen das lineare Gleichungssystem ` + ´ + + + + + ϑ+ , ϑ+ 1 = 0,1818 ϑ2 + 0,3636 ϑ4 , 5 = 0,2500 ϑ2 + ϑ4 + ϑ6 + ϑ8 ´ ` + + + + + + + ϑ2 = 0,1538 ϑ1 + ϑ3 + 0,3077 ϑ5 , ϑ6 = 0,3117 ϑ3 + 0,2727 ϑ5 + 0,4156 , + + + + ϑ+ ϑ+ 3 = 0,1818 ϑ2 + 0,3636 ϑ6 , 7 = 0,3117 ϑ4 + 0,2727 ϑ8 + 0,4156 , ´ ` + + + + + + , ϑ+ ϑ+ 4 = 0,2500 ϑ1 + ϑ4 + ϑ5 + ϑ7 8 = 0,1333 ϑ5 + 0,1111 ϑ7 + 0,7556 .

Seine L¨ osung, etwa nach dem Iterationsverfahren von Gauß-Seidel, liefert die Temperaturen + + + ϑ+ 1 = 0,258 , ϑ2 = 0,274 , ϑ3 = 0,295 , ϑ4 = 0,573 , + + + ϑ+ 5 = 0,613 , ϑ6 = 0,675 , ϑ7 = 0,848 , ϑ8 = 0,932 .

Die Temperatur der an die Luft grenzenden Oberfl¨ ache ist nicht konstant; sie nimmt von der linken Ecke, wo der Formstein am dicksten ist, bis zur rechten Ecke zu. Ihr Mittelwert ist 1` + +´ = 0,276 . ϑ + ϑ+ ϑ+ m = 2 + ϑ3 3 1 Damit l¨ asst sich der an die Luft u armestrom ¨bergehende W¨ Q˙ = α δb (ϑm − ϑU ) = αδbϑ+ m (ϑR − ϑU ) berechnen, wobei b die Abmessung des Formsteins senkrecht zur Zeichenebene von Abb. 2.55a bedeutet. Man erh¨ alt ˙ (ϑR − ϑU ) = 0,828 W/K m . Q/b

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der Finite-Element-Methode Wie wir sahen, ersetzt man bei den Differenzenverfahren die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten und wandelt so die Differentialgleichung einschließlich ihrer Randbedingungen in ein System algebraischer Gleichungen um. Mit der Methode der finiten Elemente, abk¨ urzend oft als FEM bezeichnet, ersetzt man hingegen die Differentialgleichung mit den zugeh¨origen Randbedingungen durch eine ¨ aquivalente Variationsaufgabe, was im folgenden Abschnitt gezeigt wird. Man zerlegt dazu das L¨ osungsgebiet in Unterbereiche, die

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

245

finiten Elemente, welche das L¨ osungsgebiet m¨oglichst vollst¨andig abdecken. Als Beispiel zeigt Abb. 2.56 die Zerlegung einer innen runden, außen rechteckigen Wand in Dreieckselemente. Manchmal werden anstelle der Dreiecke auch Vierecke verwendet. Ebenso ist es m¨ oglich, innerhalb eines L¨osungsgebiets verschiedene Elementtypen zu verwenden, wenn dadurch die geometrische Gestalt besser angen¨ ahert werden kann. Geometrisch dreidimensionale K¨ orper zerlegt man durch Tetraeder.

Abb. 2.56: Diskretisierung einer Wand mit finiten Elementen

Zur L¨ osung der Variationsaufgabe werden die Temperaturen in jedem Element approximiert, indem man zwischen den zun¨achst noch unbekannten Temperaturen der Knotenpunkte linear oder durch andere Funktionen, z.B. durch Splinefunktionen, so genannte Ansatzfunktionen, interpoliert. Diese N¨ aherungen setzt man in die Formulierung der Variationsrechnung ein. Man erh¨ alt dann wie bei den Differenzenverfahren ein System algebraischer Gleichungen f¨ ur die noch unbekannten Temperaturen an den Knotenpunkten. Verzichtet man darauf, die zeitlichen Ableitungen in der W¨armeleitungsgleichung durch Ansatzfunktionen zu approximieren, so erh¨alt man ein System von gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen anstelle der partiellen und als deren L¨ osung die zeitlich ver¨ anderlichen Temperaturen an den Knotenpunkten. Anders als mit Differenzenverfahren kann man durch das Verfahren der finiten Elemente K¨ orper von unregelm¨ aßiger Gestalt leicht nachbilden. Ein grobes Gitter gen¨ ugt in den Bereichen, in denen sich die geometrische Gestalt und die Temperaturen nur wenig ¨ andern; dort wo sie sich stark ¨andern, wird man ein feineres Gitter w¨ ahlen. Die Anwendung der Methode der finiten Elemente auf Probleme der W¨arme¨ ubertragung wird u.a. in den B¨ uchern von R.W. Lewis [2.70], J.N. Reddy und D.K. Gartling [2.71] behandelt. Weitere Informationen findet man bei D. Marsal [2.72], sowie in Standardwerken u ¨ber finite Elemente, z.B. [2.73] und [2.74].

246

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Bekannte kommerzielle Programme, mit denen man auch Probleme der W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung bearbeiten kann, sind: – – – – – – – –

Abaqus von ABAQUS, Inc., jetzt Dassault Syst`emes, Frankreich ANSYS von Swanson Analysis Systems Inc., U.S.A. COSMOS von Structural Research and Analysis Corp., U.S.A. FIDAP, Fluid Dynamic Analysis Package von Fluent, Lebanon, U.S.A. FLUENT von Fluent, Lebanon, U.S.A. MARC von Marc Analysis Research Corp., U.S.A. NASTRAN, ein von der NASA entwickeltes Programm SEPRAN, ein von der Technischen Universit¨at Delft entwickeltes Programm.

2.5.1 Die Finite-Element-Methode fu are, ¨r station¨ geometrisch eindimensionale Temperaturfelder Zur Einf¨ uhrung in die Finite-Element-Methode (FEM) behandeln wir zuerst die station¨ are, geometrisch eindimensionale W¨armeleitung in L¨angsrichtung eines Stabes. An diesem einfachen Beispiel lassen sich die Grundz¨ uge des Verfahrens verst¨ andlich machen, und wir k¨ onnen die mit der Finite-ElementMethode gewonnenen Ergebnisse mit denen der analytischen L¨osung vergleichen, die wir aus Abschnitt 2.2.2 bereits kennen. Gesucht ist der Temperaturverlauf in einem Stab konstanten Querschnitts wie in Abb. 2.7 skizziert. Es gilt die W¨ armeleitungsgleichung (2.51) oder d2 ϑ+ − m2 h ϑ+ = 0 , dx+2

(2.314)

in die wir die dimensionslose Temperatur nach (2.53) ϑ+ :=

ϑ − ϑU ϑ0 − ϑU

eingef¨ uhrt und die dimensionslose L¨ ange mit x+ := x/h bezeichnet haben, wobei L = h die L¨ ange des Stabes ist. Der gesuchte Temperaturverlauf im Bereich 0 ≤ x+ ≤ 1 soll die Randbedingungen   ϑ+ x+ = 0 = 1 und

∂ϑ+ (x+ = 1) =0 ∂x+

erf¨ ullen. Wie man in der Variationsrechnung zeigt, gen¨ ugt die gesuchte L¨osung ϑ+ (x+ ) der Integralbedingung 1 I= 2

1 

x+ =0

∂ϑ+ ∂x+

2

 2 2 +2

+m h ϑ

dx+ = Minimum .

(2.315)

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

247

Statt die Differentialgleichung (2.314) unter den angegebenen Randbedingungen zu l¨ osen, kann man daher auch diejenige Funktion ϑ+ (x+ ) suchen, welche das Integral zum Minimum macht. Um dies zu zeigen, betrachten wir die unbekannte exakte L¨osung ϑ+ (x+ ) als eingebettet in eine Familie von Funktionen       ϑˆ+ x+ , ε = ϑ+ x+ + ε η x+ . Die Gr¨ oße ε ≥ 0 hat hierin f¨ ur jede Kurve einen konstanten, aber jeweils anderen Wert. Wie in Abb. 2.57 dargestellt, sollen die Funktionen ϑˆ+ (x+, ε) andern x+ = 0 und x+ = 1 u und ϑ+ (x+ ) an den R¨ ¨ bereinstimmen. Es ist daher + ˆ dort η (0) = η (1) = 0 und somit ϑ (0, ε) = ϑ+ (0) und ϑˆ+ (1, ε) = ϑ+ (1). Voraussetzungsgem¨ aß ist ϑˆ+ (x+, ε = 0) = ϑ+ (x+ ).

Abb. 2.57: Abweichung ´des Tem` peraturverlaufs ϑˆ+ x+`, ε ´von dem Temperaturverlauf ϑ+ x+ der exakten L¨ osung

Da das Integral I (ϑ+ ) ein Minimum annehmen soll, gilt f¨ ur alle Werte ε     I ϑˆ+ ≥ I ϑ+ und an jeder Stelle x+ I (ε) ≥ I (ε = 0) . Daraus folgt:   I ϑˆ+ nimmt an der Stelle ε = 0 einen Extremwert an. Damit gilt bei ε = 0

  dI ϑˆ+ =0 . dε

248

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Wir wenden dies auf (2.315) an und erhalten:     1  ˆ+  dI ϑˆ+ 1 dϑˆ dϑˆ+ d 2 2 ˆ+ dϑ = +2m h ϑ 2 + dx+ = 0 . dε 2 dx dε dx+ dε x+ =0

Darin ist f¨ ur ε = 0: dϑˆ+ dϑ+ = ; dx+ dx+

d dε



dϑˆ dx+

 =

dη ; dx+

ϑˆ+ = ϑ+

und

dϑˆ+ =η dε

und somit f¨ ur ε = 0:    1  + dI ϑˆ+ dϑ dη 2 2 + = + m h ϑ η dx+ = 0 . dε dx+ dx+ x+ =0

Wegen 1 x+ =0

dϑ+ dη = dx+ dx+

1 x+ =0

d dx+

 1 d2 ϑ+ dϑ+ + η +2 dx+ η + dx − dx dx x+ =0

kann man daf¨ ur auch schreiben  

+1  1 2 + dI ϑˆ+ d ϑ dϑ+ ++ 2 2 + = η + + − η −m h ϑ dx+ = 0 . (2.316) dε dx dx+2 x+ =0 x+ =0

Der erste Term verschwindet, wenn man gem¨aß Abb. 2.57 an den R¨andern η (0) = η (1) = 0 vorgibt. Er w¨ urde auch verschwinden, wenn man nicht u ¨ ber η (x+) an den R¨ andern verf¨ ugte und dort dϑ+/dx+ = 0 ist, also keine W¨arme u allen gilt ¨ bertragen wird. In beiden F¨  

 1   d2 ϑ+ dI ϑˆ+ 2 2 + = η x+ − m h ϑ dx+ = 0 . dε dx+2

(2.317)

x+ =0

Diese Gleichung ist f¨ ur beliebige Funktionen η (x+ ) nur zu erf¨ ullen, wenn das gesuchte Temperaturprofil gerade (2.314) gen¨ ugt unter den Randbedingungen konstanter Temperatur an den R¨ andern x+ = 0 und x+ = 1, oder wenn an einem Rand die Temperatur vorgegeben ist und am anderen keine W¨arme u ¨ bertragen wird. Um zu zeigen, wie man den Temperaturverlauf ϑ+ (x+ ) bestimmt, welcher das Integral (2.315) zu einem Minimum macht, behandeln wir beispielhaft die gerade Rippe mit rechteckigem Profil. F¨ ur deren Temperaturverlauf ist uns die analytische L¨ osung (2.72) bereits bekannt ist, so dass wir mit ihr die Genauigkeit der FEM-L¨ osung u ufen k¨ onnen. ¨ berpr¨

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

249

Abb. 2.58: Ann¨ aherung des Temperaturprofils in einer Rippe durch Geraden

Den gesuchten Temperaturverlauf n¨ ahern wir nach Abb. 2.58 durch einen Polygonzug an, der aus geraden Teilst¨ ucken besteht. In jedem Intervall + + x+ ≤ x ≤ x gilt dann i−1 i +      ϑ+ i −ϑi−1  + x −x+ . ϑ+ x+ = ϑ+(i) x+ ∼ = ϑ+ i−1 + i−1 + Δxi

Der Beitrag des Teilintervalls i zum Integral I betr¨agt daher I (i)

1 = 2

+⎧ xi ⎨

x+ i−1

+ ϑ+ i −ϑi−1

⎩

Δx+ i

2



+ m2 h 2

2 ⎫ + + ⎬   −ϑ ϑ i i−1 + + x + −x ϑ+ dx+ , i−1 i−1 ⎭ Δx+ i (2.318)

der des Teilintervalls i + 1 ist dementsprechend ⎧ x+ i+1 

I (i+1)

2 ⎫   ⎨ + + 2 + + ⎬   ϑi+1 −ϑi ϑi+1 −ϑi 1 x+ −x+ = + m2 h2 ϑ+ dx+ . i + i + + ⎩ ⎭ 2 Δxi Δxi+1 x+ i

(2.319) Die Summe aller Teilintegrale ergibt das Integral I=

n 

  + + + + . I (k) = I ϑ+ 0 , ϑ1 , . . . , ϑi , ϑi+1 , . . . , ϑn

k=1

Notwendige Bedingung f¨ ur das Minimum sind die n + 1 Gleichungen ∂I = 0; ∂ϑ+ i Ausgeschrieben bedeutet dies:

i = 0, 1, 2, . . . , n .

(2.320)

250

2 W¨ armeleitung und Diffusion

∂I ∂I (1) ∂I (2) ∂I (i) ∂I (i+1) ∂I (n) = + +. . .+ + +. . .+ = 0 ; i = 0, 1, 2, . . . , n . ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ i i i i i i Hierin verschwinden alle Terme, in denen ϑ+ i nicht vorkommt. Es verbleiben (i+1) somit nur die beiden Ausdr¨ ucke ∂I (i) / ∂ϑ+ / ∂ϑ+ i und ∂I i , und es gilt daher ∂I ∂I (i) ∂I (i+1) =0 . (2.321) + = + + ∂ϑi ∂ϑi ∂ϑ+ i Die Differentiation von I (i) und I (i+1) nach ϑ+ i liefert nach wenigen Umformungen, wenn wir ¨ aquidistante Schrittweiten Δx+ w¨ahlen + + ϑ+ i−1 + ϑi d + ϑi+1 = 0 ,

mit der Abk¨ urzung

+ ϑ+ n−1 + ϑn d/2 = 0

(2.322)

  2 1 + 2 m2 h2 Δx+2 /6 . d= −1 + m2 h2 Δx+2 /6

Vorgegeben war die Temperatur ϑ+ ur die n unbekannten Temperatu0 = 1. F¨ + + ren ϑ+ , ϑ , . . . , ϑ hat man mit (2.322) n lineare Gleichungen. n 1 2 Als Zahlenbeispiel berechnen wir das Temperaturprofil einer rechteckigen Rippe. Die Schrittweite w¨ ahlen wir Δx+ = 0, 25. Zu ermitteln sind + + + somit vier unbekannte Temperaturen ϑ+ 1 (Δx = 0, 25), ϑ2 (2Δx = 0, 5), + + + + ϑ3 (3Δx = 0, 75) und ϑ4 (4Δx = 1). Aus (2.322) erhalten wir folgende Gleichungen: + 1 + ϑ+ 1 d + ϑ2 = 0 , + + ϑ+ 2 + ϑ3 d + ϑ4 = 0 ,

+ + ϑ+ 1 + ϑ2 d + ϑ3 = 0 + ϑ+ 3 + ϑ4 d/2 = 0 .

Aufl¨ osung der Gleichungen ergibt die Temperaturen:   d 3 − d2 d2 − 2 + ϑ1 = , ϑ+ 2 = 2 4 2−4d +d 2 − 4 d2 + d4 ϑ+ 3 =

−d , 2 − 4 d2 + d4

ϑ+ 4 =

2 . 2 − 4 d2 + d4

In Tabelle 2.13 findet man Zahlenwerte f¨ ur Rippen mit mh = 1 und mh = 2 verglichen mit den Werten der analytischen L¨osungen nach (2.72).

2.5.2 Die Finite-Element-Methode fu are ¨ r ebene station¨ Temperaturfelder Wie in Abschnitt 2.4.6.1 gezeigt wurde, werden ebene station¨are Tempe˙ (x, y) durch die Differentialgleiraturfelder ϑ (x, y) mit W¨ armequellen W chung (2.306)

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

251

Tabelle 2.13: Vergleich von Temperaturen in einer geraden rechteckigen Rippe berechnet mit der Finite-Element-Methode (FEM) mit den Werten der analytischen L¨ osung nach (2.72) ϑ+ 0 FEM Analyt. L¨ osung

ϑ+ 2

ϑ+ 3

ϑ+ 4

1

0,8384 0,7297 0,6672 0,6468

1

0,8390 0,7308 0,6684 0,6480

1

0,6215 0,4051 0,2943 0,2604

1

0,6253 0,4102 0,2997 0,2658

mh = 1

FEM Analyt. L¨ osung

ϑ+ 1

mh = 2

˙ ∂2ϑ ∂2ϑ W =0 (2.323) + 2 + 2 ∂x ∂y λ beschrieben. Als Randbedingungen sei endlicher W¨arme¨ ubergang auf dem Rand Γ zugelassen Q˙ = αA (ϑ − ϑU ) , wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient l¨ angs des Randes Γ ver¨anderlich sein kann. Statt die Differentialgleichung mit den zugeh¨origen Randbedingungen zu l¨ osen, kann man das Temperaturfeld ϑ (x, y) bestimmen, welches das Integral ⎧ ⎫     2 2 ⎨ ⎬ ˙ ∂ϑ W ∂ϑ α 1 2 ϑ dx dy + (ϑ − ϑU ) ds + −2 I= ⎭ 2⎩ ∂x ∂y λ λ Ω

Γ

(2.324) zum Minimum macht. Mit ds ist hierin ein Linienelement auf dem Rand Γ bezeichnet, Ω ist der ebene Bereich, in dem das Temperaturfeld zu bestimmen ist. Der Beweis f¨ ur diese Behauptung ist ¨ ahnlich dem von Abschnitt 2.5.1; wir verzichten darauf, ihn hier darzustellen, und verweisen auf [2.71]. Wird nur auf einem Teilst¨ uck Γ1 des Randes W¨arme durch Konvektion u uck Γ2 die W¨armestromdichte q˙ ¨ bertragen, und ist auf einem anderen Teilst¨ vorgegeben, so treten in (2.324) an Stelle von  α 2 (ϑ − ϑU ) ds λ Γ

die beiden Ausdr¨ ucke

 Γ1

α (ϑ − ϑU )2 ds + λ

 Γ2

q˙ ϑ ds . λ

252

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Ist das Teilst¨ uck Γ2 des Randes adiabat oder sind dort die Temperaturen vorgegeben, so entf¨ allt der zweite Term. Ebenso entf¨allt der erste Term, wenn statt endlichem W¨ arme¨ ubergang auf dem Teilst¨ uck Γ1 die Temperaturen vorgegeben sind. Beispiel 2.10: Mit Hilfe der Finite-Element-Methode behandeln wir die station¨ are W¨ armeleitung in einer Wand der Dicke δ, die einen Raum mit quadratischem Grundriss nach Abb. 2.50 des Beispiels 2.8 umschließt. Die mit der FiniteElement-Methode berechneten Temperaturen und der W¨ armestrom, der aus der Wand abfließt, sollen mit den Ergebnissen des finiten Differenzenverfahrens des Beispiels 2.8 verglichen werden. Im Unterschied zu Beispiel 2.8 berechnen wir nun auch die Temperatur ϑ+ 0 an der strichpunktierten linken Symmetrielinie, Abb. 2.59.

Abb. 2.59: Wand eines Raumes mit quadratischem Grundriss wie in Abb. 2.50, hier mit FEM-Gitternetz

+ + + Die Temperaturen ϑ+ 1 , ϑ2 , ϑ3 und ϑ4 liegen an den gleichen Stellen wie in Abb. 2.50. Das Rechengebiet zwischen den beiden strichpunktierten Symmetrielinien enth¨ alt die Dreieck-Elemente 1, 2, . . . , 16. Jede der Temperaturen aß der Tabelle 2.14. ϑ+ j , j = 0, 1, . . . , 4 liegt auf der Ecke mehrerer Dreiecke gem¨ Gesucht ist das Minimum des Integrals (2.324). In diesem entf¨ allt nun die ˙ und das Integral u W¨ armequelle W arme durch ¨ ber den Rand Γ , da dort keine W¨ Konvektion u ¨ bertragen wird, sondern die Temperaturen gegeben sind. Mit den dimensionslosen Temperaturen ϑ+ = (ϑ − ϑa ) / (ϑi − ϑa ) und den dimensionslosen L¨ angen x+ = x / δ sowie y + = y / δ geht dann (2.324) u ¨ ber in

I=

1 2

Z »„ Ω+

∂ϑ+ ∂x+

„

«2 +

∂ϑ+ ∂y +

«2 – dx+ dy + .

(2.325)

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

253

Tabelle 2.14: Den Temperaturen ϑ+ j , j = 0, 1, . . . , 4 nach Abb. 2.59 zugeordnete Dreiecke k = 1, 2, . . . , 16 ϑ+ j

ϑ+ j ist Eckpunkt der Dreiecke k

j= 0 1 2 3 4

k = 1, 1, 2, 3, 4,

13, 5, 6, 7, 12,

8 2, 3, 4, 16

14, 15, 16,

9, 10, 11,

13 14 15

Mit Ω + ist hierin das L¨ osungsgebiet in den dimensionslosen L¨ angen x+ und + ur jedes Dreieck-Element der Abb. 2.59 kann man ein solches y bezeichnet. F¨ Integral I (k) bilden, und es ist I=

16 X

I (k) .

(2.326)

k=1

Zur Berechnung der Integrale I (k) eines jeden Dreieck-Elements ben¨ otigt man aherungsweise durch ihre die Ableitungen ∂ϑ+ / ∂x+ und ∂ϑ+ / ∂y + , die wir n¨ Differenzenquotienten ersetzen. Diese sind in Tabelle 2.15 aufgef¨ uhrt.

Tabelle 2.15: Den Dreiecken k zugeordnete Ableitungen der Temperaturen ` + ´ ∂ϑ / ∂x+ ∼ =

` + ´ ∂ϑ / ∂y + ∼ =

+ ϑ+ k − ϑk−1

ϑ+ k−1 − 1

Δx+ k

Δyk+

5, 6, 7

0

ϑ+ k −1 Δyk+

8, 9, 10, 11, 12

0

Dreiecke k k = 1, 2, 3, 4

13, 14, 15, 16

0 − ϑ+ k−8 Δyk+

+ ϑ+ k−12 − ϑk−13

0 − ϑ+ k−12

Δx+ k

Δyk+

Wie aus Tabelle 2.15 und auch aus Abb. 2.59 hervorgeht, kommt die Temperatur ϑ+ 0 nur als Knotenpunkt der Dreiecke 1, 13 und 8 vor. Daher ist ∂I ∂I (1) ∂I (13) ∂I (8) =0 . + = + + + + ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ+ 0

254

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Um die hierin vorkommenden Ableitungen zu bilden, ersetzen wir in (2.325) die Differentialquotienten durch die Differenzenquotienten der Tabelle 2.15 und erhalten «2 „ + «2 – Z »„ + ϑ0 − 1 ϑ1 − ϑ+ 1 0 + dx+ dy + , I (1) = 2 Δx+ Δy1+ 1 + Ω1

I (13) =

I (8) =

1 2 1 2

Z »„

+ Ω13

Z »„

+ Ω8

+ ϑ+ 1 − ϑ0 + Δx13

ϑ+ 0 Δy8+

„

«2 +

ϑ+ 1 + Δy13

«2 – dx+ dy + ,

«2 – dx+ dy + .

+ + + + + + Nach Abb. 2.59 ist Δx+ 1 = Δx13 = Δx /2 und Δy1 = Δy13 = Δy8 = Δx . Die Dreiecksfl¨ achen 1, 13 und 8 sind gleich groß. Wir erhalten daher

∂I ∂I (1) ∂I (13) ∂I (8) + = + + + + ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ0 ∂ϑ+ 0 » =

+ ϑ+ ϑ+ − 1 ϑ+ − ϑ+ ϑ+ 1 − ϑ0 0 0 (−1) + 0 +2 + 1 + 2 2 + + Δx Δx+2 (Δx /2) (Δx /2)

–

Δx+2 4

=0 .

(2.327)

Daraus folgt + 10 ϑ+ 0 − 8 ϑ1 − 1 = 0

(2.328)

ϑ+ 1

ist nach Tabelle 2.14 Knotenpunkt der Dreiecke 1, 5, 2, 14, Die Temperatur 9 und 13. Es ist somit ∂I (1) ∂I (5) ∂I (2) ∂I (14) ∂I (9) ∂I (13) ∂I = + + + + + =0 . ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ 1 1 1 1 1 1 1 Eine entsprechende Rechnung wie zuvor f¨ uhrt auf + + −2 ϑ+ 0 + 10 ϑ1 − 2 ϑ2 − 3 = 0 .

(2.329)

Die Bildung von ∂I/∂ϑ+ 2 = 0 liefert

uhrt auf ∂I/∂3+ = 0 f¨ und

∂I/∂4+

+ + −2 ϑ+ 1 + 8 ϑ2 − 2 ϑ3 − 2 = 0 ,

(2.330)

+ + −2 ϑ+ 2 + 8 ϑ3 − 2 ϑ4 − 2 = 0

(2.331)

+ −2 ϑ+ 3 + ϑ4 = 0 .

(2.332)

= 0 ergibt

Als L¨ osung von (2.328) bis (2.332) findet man die Temperaturen ϑ+ 0 = 0, 4961

ϑ+ 1 = 0, 4951

ϑ+ 2 = 0, 4795

ϑ+ 3 = 0, 4227

ϑ+ 4 = 0, 2114 .

Sie unterscheiden sich nur wenig von den mit finiten Differenzen ermittelten Werten des Beispiels 2.8:

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode ϑ+ 1 = 0, 4930

ϑ+ 2 = 0, 4789

ϑ+ 3 = 0, 4225

255

ϑ+ 4 = 0, 2113 .

andert sich nur Auch der Formfaktor, in Beispiel 2.8 zu Sb = 12, 85 berechnet, ¨ wenig. Er wird jetzt Sb = 12, 87. Beispiel 2.11: Die Innenwand eines aus Schamottesteinen gemauerten Induheißen Gase in die strieofens ist st¨ uckweise schlecht verfugt, so dass die 500 Spalten zwischen den Steinen eindringen k¨ onnen. Um wie viel erh¨ ohen sich die dadurch entstehenden W¨ armeverluste?

Abb. 2.60: Wand eines Industrieofens mit offener Fuge. Grobes Gitter f¨ ur das FEM-Verfahren Dem Rechenverfahren werde das in Abb. 2.60 dargestellte Gitter zugrunde gelegt. Aus Symmetriegr¨ unden gen¨ ugt es, wie die Abbildung zeigt, nur die eine H¨ alfte der Wand zu betrachten. Deren Seitenl¨ ange ist δ = 1 m. Die W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Schamottesteine ist λ = 10 W/Km. Auf der Außenseite des Ofens wird u W¨ arme konvektiv an Luft der Umgebungstemperatur ϑU = 20 ¨ bertragen mit dem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α = 10 W/m2 K. Die Spaltbreite kann man als vernachl¨ assigbar gering im Vergleich zur Seitenl¨ ange δ ansehen. Es ist zweckm¨ aßig in (2.324), folgende dimensionslose Gr¨ oßen einzuf¨ uhren: ϑ+ = (ϑ − ϑU ) / (ϑi − ϑU ), ϑU = 20 ist die Umgebungstemperatur der Luft, die Temperatur der heißen Gase im Ofen. Weiter ist x+ = x/δ und ϑi = 500 + + unf Temperaturen ϑ+ y + = y/δ. Gesucht sind nach Abb. 2.60 die f¨ 5 , ϑ6 , . . ., ϑ9 , + + + + w¨ ahrend die Innentemperaturen ϑ1 = ϑ2 = ϑ3 = 1 und die Temperatur ϑ4 = 1 in der Fuge bekannt sind. F¨ ur die Elemente (Dreiecke) k = 1, 2, 3, 4, 6 und 8 gilt: Z »„ + «2 „ + «2 – 1 ∂ϑ ∂ϑ + dx+ dy + . I +(k) = 2 ∂x+ ∂y + + Ωk

256

2 W¨ armeleitung und Diffusion

¨ Uber die Elemente 5 und 7 wird W¨ arme an die umgebende Luft abgef¨ uhrt. F¨ ur sie ist Z »„ + «2 „ + «2 – ∂ϑ ∂ϑ 1 I +(k) = + , k = 5, 7 . dx+ dy + + Bi ϑ+2 y + =1 2 ∂x+ ∂y + + Ωk

Den Temperaturen ϑ+ i sind folgende Dreieckselemente zugeordnet: ϑ+ i

i =1

ϑ+ i

ist Eckpunkt der k =1,2 Dreiecke k

2

3

4

5

6

7

8

9

2,3,4

4

5,6,1

6,7,8,3,2,1

8,4,3

5

5,6,7

7,8

Es ist I +(1) =

1 2

I +(2) =

1 2

.. . I

+(5)

1 = 2

„ „

+ ϑ+ 5 −ϑ4 Δx+ + ϑ+ 2 −ϑ5 Δx+

"„

«2 «2

Δx+2 2 Δx+2 2

+ Δx «2 # «2 Z„ + «2 „ + + ϑ8 −ϑ+ ϑ+ ϑ+ Δx+2 + + 4 −ϑ7 7 8 −ϑ7 + + x dx+ . + Bi ϑ 7 Δx+ Δx+ 2 Δx+

x+ =0

Daraus folgt nach Integration ) ("„ «2 # + «2 „ + ϑ8 −ϑ+ ϑ+ 1 Δx+2 Δx+ ` +2 + + +2 ´ +(5) 4 −ϑ7 7 I = + +Bi ϑ7 +ϑ7 ϑ8 +ϑ8 2 Δx+ Δx+ 2 3 .. . I

+(8)

1 = 2

"„

«2 # + «2 „ + ϑ+ ϑ8 −ϑ+ Δx+2 6 −ϑ5 9 . + Δx+ Δx+ 2

Es ist Bi =

αδ 10 W/m2 K · 1m = = 10 λ 1 W/ Km

und Δx+ = 0, 5 . Zur Berechnung der unbekannten Temperatur ϑ+ 5 bildet man nun die Summe aller Integrale I +(k) , in denen ϑ+ 5 vorkommt. Nach der vorigen Tabelle sind dies die Integrale I +(6) , I +(7) , I +(8) , I +(3) , I +(2) , und I +(1) . Es ist ∂I + ∂I +(6) ∂I +(7) ∂I +(8) ∂I +(3) ∂I +(2) ∂I +(1) = + + + + + =0 . ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ ∂ϑ+ 5 5 5 5 5 5 5 Man erh¨ alt ϑ+ 5 −

1 + 1 + 1 ϑ − ϑ8 = . 4 6 4 2

(2.333)

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

257

In entsprechender Weise bildet man: ∂I +(8) ∂I +(4) ∂I +(3) ∂I + = + + =0 . + + + ∂ϑ6 ∂ϑ6 ∂ϑ6 ∂ϑ+ 6 Daraus folgt: 1 + 1 ϑ = . 2 9 2 +(5) /∂ϑ+ alt man: Aus ∂I + /∂ϑ+ 7 = ∂I 7 = 0 erh¨ + ϑ+ 5 − 2 ϑ6 +

ϑ+ 7 −

(2.334)

1 + ϑ = 0, 1875 . 8 8

(2.335)

+(5) +(6) +(7) Aus ∂I + /∂ϑ+ /∂ϑ+ /∂ϑ+ /∂ϑ+ 8 = ∂I 8 + ∂I 8 + ∂I 8 = 0 ergibt sich

ϑ+ 5 −

1 + 16 + 1 + ϑ − ϑ − ϑ9 = 0 . 3 7 3 8 3

(2.336)

+(7) +(8) /∂ϑ+ /∂ϑ+ ∂I + /∂ϑ+ 9 = ∂I 9 + ∂I 9 = 0 liefert:

ϑ+ 6 −

2 + 16 + ϑ − ϑ =0 . 3 8 3 9

(2.337)

Die L¨ osung des linearen Gleichungssystems (2.333) bis (2.337) ergibt die Temperaturen: + + + + ϑ+ 5 = 0, 6817, ϑ6 = 0, 6163, ϑ7 = 0, 1737, ϑ8 = 0, 1106, ϑ9 = 0, 1017 .

Als Celsius-Temperaturen: ϑ5 = 347, 2

, ϑ6 = 315, 8

, ϑ7 = 103, 4

, ϑ8 = 73, 09

, ϑ9 = 68, 82

.

Der an die Luft u armestrom ist ¨ bertragene W¨ » „ « „ «– ϑ7 + ϑ8 ϑ8 + ϑ9 δ − ϑU + 2 − ϑU . Q˙ = α b 2 2 2 2 Daraus folgt: ` + +´ ˙ = α δ (ϑi − ϑU ) ϑ+ = 1192 W/m . Q/b 7 + 2 ϑ8 + ϑ9 2 Bei vollst¨ andig geschlossener Fuge w¨ are ein W¨ armestrom «−1 „ 1 W ˙ = k 2 δ (ϑi − ϑU ) , k = δ + 1 , = Q/b λ δ 1, 1 m2 K

˙ = 872 W/m Q/b

u andiges Verfugen entsteht somit ein W¨ arme¨bertragen worden. Durch unvollst¨ verlust von “ ” ˙ ≈ (1192 − 872) W/m = 320 W/m Q/b V

Anmerkung: Da wir ein grobes Gitter gew¨ ahlt haben, um das Rechenverfahren u atte ¨bersichtlich zu gestalten, ist bei diesem Ergebnis Vorsicht angebracht. H¨ ˙ = 1192 W/m den man ein viel feineres Gitter gew¨ ahlt, so h¨ atte man statt Q/b ˙ = 1062 W/m erhalten. Der tats¨ Wert Q/b achliche W¨ armeverlust betr¨ agt somit ˙ achtlich. (Q/b) V = (1062 − 872) W/m = 190 W/m, ist aber immer noch betr¨

258

2 W¨ armeleitung und Diffusion

2.5.3 Die Finite-Element-Methode fu are, ¨r instation¨ geometrisch eindimensionale W¨ armeleitprobleme Wir behandeln die Finite-Element-Methode zur L¨osung instation¨arer W¨armeleitprobleme bei konstanten Stoffwerten. Zwar ist der Rechenaufwand meist gr¨ oßer als der mit den in Kapitel 2.4.1.1 er¨ orterten Differenzenverfahren. Daf¨ ur lassen sich im Unterschied zu diesen geometrisch komplexen Strukturen leichter untersuchen. Es sei wie in Kapitel 2.4.1.1 die W¨armeleitungsgleichung ∂2ϑ ∂ϑ =a 2 ∂t ∂x

(2.338)

ur Zeiten t ≥ 0 zu l¨osen. Anfangs- und Randbedinim Bereich x0 ≤ x ≤ xn f¨ gungen seien die f¨ ur die Abk¨ uhlung einer ebenen Platte nach Abb. 2.27: t = 0 : ϑ (t, x) = ϑ0 x = 0 : ∂ϑ/∂x = 0 x = δ : −λ (∂ϑ/∂x) = α (ϑ − ϑU ) ,

(2.339)

wobei wir jetzt die halbe Plattendicke mit δ und die Koordinate r durch x ersetzt haben. Gesucht ist das Temperaturprofil ϑ (t, x), das (2.338) und den Randbedingungen (2.339) gen¨ ugt. Wie man mit Hilfe der Variationsrechnung nachweist, macht dieses Temperaturprofil das Integral ⎫ ⎧ δ     2 ⎬ ∂ϑ 1⎨ 1 ∂ ϑ2 α 2 I= + (2.340) dx + (ϑ − ϑU )x=δ ⎭ 2⎩ ∂x a ∂t λ x=0

zum Minimum. Statt (2.338) unter Beachtung der Randbedingung (2.339) zu l¨ osen, kann man daher auch das Temperaturprofil ϑ (t, x) suchen, welches das Integral (2.340) zum Minimum macht. ¨ Andern sich die Randbedingungen, so gilt wieder – wie in Abschnitt 2.5.2 dargelegt – das Folgende: Wird an einem Rand konstante W¨ armestromdichte vorgegeben, so ist in (2.340) der Term α 2 (ϑ − ϑU )x=δ λ zu ersetzen durch q˙ ϑ . λ Beide Terme entfallen, falls an den R¨ andern konstante Temperatur vorge˙ (x) vorhanden, so kommt in der schrieben ist. Sind noch W¨ armequellen W eckigen Klammer unter dem Integral (2.340) noch der Term

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

259

˙ W ϑ λ hinzu. Beispiel 2.12: Um die Anwendung der Methode auf instation¨ are W¨ armeleitprobleme zu erl¨ autern, behandeln wir die Abk¨ uhlung einer Stahlplatte konstanter Anfangstemperatur ϑ0 , die zur Zeit t0 mit einem Fluid der Temperatur ϑU > ϑ0 in Kontakt gebracht wird. Die Stoffwerte und der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient seien dieselben wie in Beispiel 2.6. Es sollen dann die dort mit dem Differenzenverfahren gewonnenen Ergebnisse mit denen der Finite-Element-Methode verglichen werden. Anders als beim Differenzenverfahren brauchen wir aber jetzt den linken Rand nicht in die Mitte zwischen den Gitterlinien x0 und x1 = x0 − Δ x zu legen wie die Abb. 2.46 des Beispiels 2.6 zeigt, sondern k¨ onnen ihn nach Abb. 2.61 mit der gestrichelten Symmetrielinie zusammen fallen lassen, an der die Randbedingung ∂ϑ /∂x = 0 erf¨ ullt ist. Wir w¨ ahlen daher ein Gitter nach Abb. 2.61 mit der Maschenweite Δx/2 = 15 mm im ersten Abschnitt und Δx = 30 mm in den folgenden Abschnitten.

Abb. 2.61: Abk¨ uhlung einer Platte der Dicke 2δ. FEM-Gitternetz

In (2.340) f¨ uhren wir dimensionslose Gr¨ oßen ein: ϑ+ =

ϑ − ϑU ; ϑ0 − ϑU

t+ =

at ; δ2

x+ =

x ; δ

I+ = I

δ und (ϑ0 − ϑU )2

Bi =

αδ . λ

Nach Einf¨ uhrung dieser Gr¨ oßen geht (2.340) u ¨ ber in I+ =

1 2

` ´ «2 Z1 ∂ ϑ+2 ∂ϑ+ 1 1 + dx + dx+ + Bi ϑ+2 . x+ =1 ∂x+ 2 ∂t+ 2 + x =0 {z } | {z } +(α) I I +(β)

Z1 „ x+ =0

|

(2.341)

260

2 W¨ armeleitung und Diffusion

onnen wir die Ableitung nach der Zeit vor das Integral In dem Teilintegral I +(β) k¨ ziehen und schreiben I +(β) =

1 2

Z1 x+ =0

` ´ Z1 ∂ ϑ+2 1 d + dx = ϑ+2 dx+ . ∂t+ 2 dt+ x+ =0

¨ Der Ubergang vom partiellen Differential ∂/∂t+ zum totalen Differential d/dt+ R1 +2 + ist erlaubt, denn nach Integration h¨ angt das Integral ϑ dx nicht mehr x+ =0

von der Ortskoordinate x+ ab. Man kann daher (2.341) auch schreiben I+ =

1 2

Z1 „ x+ =0

∂ϑ+ ∂x+

«2 dx+ +

1 d 2 dt+

Z1 ϑ+2 dx+ + x+ =0

1 Bi ϑ+2 . x+ =1 2

(2.342)

Wir spalten nun dieses Integral auf in die Beitr¨ age der einzelnen Abschnitte k = 1, 2, . . . , 5 gem¨ aß Abb. 2.61 I+ =

5 X

I +(k) .

k=1

F¨ ur den ersten Abschnitt nach Abb. 2.61 gilt, wenn wir das x-abh¨ angige Temperaturprofil linearisieren

I

+(1)

1 = 2

+ Δx Z /2„

x+ =0

+ ϑ+ 1 − ϑ0 + Δx /2

«2

1 d dx + 2 dx+

+ Δx Z /2„

+

ϑ+ 0 + x+ =0

+ ϑ+ 1 − ϑ0 x+ + Δx /2

«2 dx+

und nach Integration ´ ` + + ” 1 Δx+ “ + ˙ + 1 ϑ1 − ϑ0 + + ˙+ + ˙+ + 2 ϑ0 ϑ0 + ϑ˙ + I +(1) = . 0 ϑ1 + ϑ0 ϑ1 + 2 ϑ1 ϑ1 + 2 Δx /2 2 6 ¨ Mit dem Uberpunkt sind Ableitungen nach der Zeit bezeichnet. Differentiation nach der unbekannten Temperatur ϑ+ 0 ergibt ” + ϑ+ ∂I +(1) 1 Δx+ “ ˙ + 0 − ϑ1 ˙+ 2 ϑ . = + ϑ + 0 1 Δx+ /2 2 6 ∂ϑ+ 0 Wie Abb. 2.61 zeigt, kommt ϑ+ 0 nur im ersten Abschnitt vor. Daher ist ∂I +(1) ∂I + =0 . + = ∂ϑ0 ∂ϑ+ 0 Wir erhalten

” Δx+2 “ ˙ + 2 ϑ0 + ϑ˙ + =0 . (2.343) 1 6 F¨ ur die folgenden Abschnitte i = 2, 3 und 4 gilt analog, jetzt mit der Schrittweite Δx+ : + ϑ+ 0 − ϑ1 +

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

I

+(i)

Δx Z +

1 = 2

+ ϑ+ i − ϑi−1 + Δx

!2

1 d dx + 2 dt+

Δx Z +

+

x+ =0

ϑ+ i−1

ϑ+ − ϑ+ i−1 + + i x Δx+

261

! dx+ .

x+ =0

Es ist

∂I +(1) ∂I +(2) ∂I + =0 . + = + + ∂ϑ1 ∂ϑ1 ∂ϑ+ 1 Daraus folgt nach einigen Zwischenrechnungen „ «2 “ ” 3 + 1 + 1 Δx+ ˙+ ˙+ = 0 . ϑ˙ + ϑ1 − ϑ2 + −ϑ+ 0 + 0 + 6 ϑ1 + 2 ϑ2 2 2 6 2

Aus

(2.344)

∂I +(2) ∂I +(3) ∂I + =0 + = + + ∂ϑ2 ∂ϑ2 ∂ϑ+ 2

folgt

“ ” 1 ˙+ ˙+ = 0 . Δx+2 ϑ˙ + 1 + 4 ϑ2 + ϑ3 6 Entsprechend erh¨ alt man wegen + + −ϑ+ 1 + 2 ϑ2 − ϑ3 +

(2.345)

∂I +(3) ∂I +(4) ∂I + = + =0 + + ∂ϑ3 ∂ϑ3 ∂ϑ+ 3 + + −ϑ+ 2 + 2 ϑ3 − ϑ4 +

und aus

“ ” 1 ˙+ ˙+ = 0 Δx+2 ϑ˙ + 2 + 4 ϑ3 + ϑ4 6

(2.346)

∂I +(4) ∂I +(5) ∂I + =0 + = + + ∂ϑ4 ∂ϑ4 ∂ϑ+ 4

“ ” 1 ˙+ ˙+ = 0 . (2.347) Δx+2 ϑ˙ + 3 + 4 ϑ4 + ϑ5 6 + ur diesen folgt Die Temperatur ϑ5 kommt nur im 5-ten Abschnitt vor. F¨ aus (2.342), wenn wir das Temperaturprofil linearisieren: + + −ϑ+ 3 + 2 ϑ4 − ϑ5 +

I

+(5)

1 = 2

Δx Z +„

x+ =0

+

+ ϑ+ 5 − ϑ4 Δx+

«2

1 d dx + 2 dt+

Δx Z +„

+

ϑ+ 4 + x+ =0

+ ϑ+ 5 − ϑ4 Δx+ Δx+

«2 dx+ +

´ 1` Bi ϑ+2 x+ =1 . 2

Differentiation nach ϑ+ 5 liefert wegen ∂I + ∂I +(5) =0 + = ∂ϑ5 ∂ϑ+ 5 die Gleichung “ ” ` ´ + 1 + ˙+ = 0 . ϑ5 + Δx+2 ϑ˙ + −ϑ+ 4 + 1 + Bi Δx 4 + 2 ϑ5 6

(2.348)

262

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Mit (2.343) bis (2.348) stehen uns sechs gew¨ ohnliche Differentialgleichungen zur + + Bestimmung der sechs unbekannten Temperaturen ϑ+ 0 , ϑ1 , . . . , ϑ5 als Funktionen der Zeit zur Verf¨ ugung. Mit Hilfe der Laplace-Transformation entsteht aus dem System der gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen ein System linearer algebraischer Gleichungen. `Deren osung liefert nach R¨ ucktransformation der ´ L¨ , i = 0, 1, . . . , 5 die gesuchten Temperaturen Laplace-Transformierten L ϑ+ i + + , ϑ , . . . , ϑ als Funktion der Zeit. ϑ+ 0 1 5 Die nicht schwierige, aber aufw¨ andige Rechnung wird man mit Hilfe eines Rechenprogramms bew¨ altigen, zum Beispiel mit Mathematica oder MathCad. Es sei hier nur das Ergebnis mitgeteilt, das man f¨ ur eine Schrittweite Δx+ = 30 mm/135 mm = 6/27 und die Biot-Zahl αδ 75 W/m2 K · 135 · 10−3 m = = 0, 675 λ 15 W/Km ` + ´ + + + erh¨ alt. An den diskreten Stellen x+ = 0, x+ 1 = Δx /2, xi+1 = Δx /2 +i Δx , i = 1, 2, 3, 4 ergeben sich Ausdr¨ ucke der Form Bi =

5 ` ´ X ` ´ ` ´ aj x+ exp −αj t+ ϑ + t+ , x + = i

(2.349)

j=0

deren Koeffizienten in der Tabelle 2.16 angegeben sind.

Tabelle 2.16: Koeffizienten von Gleichung (2.349))

α0

α1

α2

α3

α4

α5

0,5733 12,4277 49,3350 120,0466 222,2537 715,6565 aj ` ´ aj x+ 0 ` ´ aj x+ 1 ` ´ aj x+ 2 ` +´ aj x3 ` ´ aj x+ 4 ` ´ aj x+ 5

j=0

j=1

j=2

j=3

j=4

j=5

1,0910

-0,1177

0,0400

-0,0197

0,0070

-0,0005

1,0872

-0,1089

0,0289

-0,0080

0,0004

0,0004

1,0616

-0,0572

-0,0177

0,0206

-0,0073

-0,00015

1,0061

0,0264

-0,0336

-0,0122

0,0132

0,00005

0,9223

0,0953

0,0086

-0,0086

-0,0176

-0,00002

0,8124

0,1111

0,0359

0,0206

0,0199

0,00001

In Tabelle 2.17 sind die mit der Finite-Element-Methode berechneten Temperaturen f¨ ur verschiedene Zeiten mit den Temperaturen nach dem Crank-NicolsonVerfahren (Tabelle 2.11) und mit den Werten der analytischen L¨ osung verglichen.

2.5 Numerische L¨ osung von W¨ armeleitproblemen mit der FEM-Methode

263

Tabelle 2.17: Vergleich von Temperaturen berechnet mit der Finite-Element-Methode (erste Zeile), mit denen des Beispiels 2.7 nach dem Verfahren von Crank-Nicolson (zweite Zeile) und den Werten der analytischen L¨ osung (dritte Zeile).

t/s

ϑ+ 0

ϑ+ 1

ϑ+ 2

ϑ+ 3

ϑ+ 4

ϑ+ 5

240

1,0000 1,0000 0,9995 0,9894 0,9489 0,8531 0,9990 0,9990 0,9969 0,9885 0,9573 0,8406 0,9998 0,9997 0,9976 0,9861 0,9459 0,8510

960

0,9641 0,9614 0,9430 0,9007 0,8317 0,7350 0,9636 0,9636 0,9437 0,9013 0,8322 0,7356 0,9654 0,9629 0,9427 0,8998 0,8309 0,7343

9600

0,3516 0,3503 0,3421 0,3242 0,2972 0,2618 0,3683 0,3683 0,3584 0,3387 0,3099 0,2727 0,3696 0,3684 0,3584 0,3389 0,3101 0,2730

2.5.4 Erweiterung auf instation¨ are, geometrisch zweidimensionale W¨ armeleitprobleme Bei instation¨ arer, geometrisch zweidimensionaler W¨armeleitung tritt in der 2 eckigen Klammer unter dem Integralzeichen in (2.340) noch der Term (∂ϑ/∂y) ˙ (x, y) vorhanden, so ist (2.340) noch um −W ˙ /λ ϑ hinzu. Sind W¨ armequellen W zu erweitern. Zu integrieren ist jetzt u ¨ ber die geometrisch zweidimensionale Fl¨ ache Ω mit dΩ = dx dy. Die Umrandung der Fl¨ache sei Γ , ein Linienelement ¨ des Randes sei ds. Uber den Rand fließt ein W¨armestrom  ˙ Q = α (ϑ − ϑU ) b ds . Γ

Gesucht ist nun das Temperaturprofil ϑ (t, x, y), welches das Integral      2 2 ˙  W ∂ϑ ∂ϑ 1 α 1 ∂ ϑ2 2 I= − ϑ dx dy + (ϑ − ϑU ) ds + + 2 ∂x ∂y a δt λ λ Ω

Γ

(2.350) zum Minimum macht. Auf den Beweis k¨ onnen wir verzichten, denn er verl¨auft nach dem gleichen Schema wie im vorigen Kapitel. Wird nur auf einem Teilst¨ uck Γ1 des Randes W¨arme durch Konvektion u uck Γ2 die W¨armestromdichte q˙ ¨ bertragen, und ist auf einem anderen Teilst¨ vorgegeben, so gelten wieder die Ausf¨ uhrungen am Ende von Kapitel 2.5.3. Das L¨ osungsgebiet zerlegt man in Dreiecks- oder Viereckselemente. Das Rechenverfahren gleicht dem des vorigen Kapitels.

264

2 W¨ armeleitung und Diffusion

2.6 Diffusion Grundlage der L¨ osung von Diffusionsproblemen, die u ¨ ber den einfachen Fall der station¨ aren und geometrisch eindimensionalen Diffusion, Abschnitte 1.4.1 und 1.4.2, hinausgehen, ist die Differentialgleichung f¨ ur das Konzentrationsfeld in einem ruhenden Medium. Sie wird Diffusionsgleichung genannt. Da Diffusion Teilchenbewegung bedeutet, darf ein ruhendes Medium nur in Sonderf¨ allen vorausgesetzt werden, die im Folgenden zuerst besprochen werden ¨ sollen. Ahnlich dem Vorgehen bei der W¨ armeleitung, Abschnitt 2.1, behandeln wir dann die Herleitung der Diffusionsgleichung in allgemeiner Weise, wobei wir konzentrationsabh¨ angige Stoffwerte und chemische Reaktionen ber¨ ucksichtigen. Dabei zeigt sich, dass eine große Zahl von Diffusionsproblemen durch Differentialgleichungen und Randbedingungen gleicher Art wie die von W¨ armeleitproblemen beschrieben werden. Wir brauchen somit viele Diffusionsprobleme nicht neu zu l¨ osen, sondern k¨ onnen L¨osungen aus der W¨armeleitung auf das analoge Diffusionsproblem u ¨ bertragen. Dadurch l¨asst sich die L¨ osung von Diffusionsproblemen recht kurz darstellen. Etwas ausf¨ uhrlicher behandeln wir abschließend die station¨ are und die instation¨are Diffusion mit chemischer Reaktion.

2.6.1 Bemerkungen u ¨ber ruhende Systeme Die folgenden Betrachtungen zeigen, dass man es bei Diffusionsvorg¨angen im Gegensatz zur W¨ armeleitung nur selten mit ruhenden Systemen zu tun hat. Die Diffusion in ruhenden Systemen ist daher von geringerer Bedeutung f¨ ur die technische Praxis als die W¨ armeleitung. Unter Diffusion verstanden wir einen Stofftransport aufgrund der nat¨ urlichen Bewegung der Molek¨ ule von einem Bereich eines Systems in einen anderen. Entsprechend kann man W¨ armeleitung als Energietransport aufgrund der statistischen Bewegung von Elementarteilchen infolge einer ungleichf¨ ormigen Temperaturverteilung beschreiben. Insofern besteht eine enge Verwandtschaft zwischen Diffusion und W¨ armeleitung. Im Gegensatz zur W¨ armeleitung k¨ onnen bei der Diffusion die mittleren Geschwindigkeiten der Teilchen der einzelnen Stoffe eines Volumenelements voneinander verschieden sein, so dass eine Relativbewegung der einzelnen Teilchenarten zueinander makroskopisch wahrnehmbar ist. Dies hat im Allgemeinen auch eine makroskopische Bewegung s¨amtlicher Teilchen eines Volu¨ menelements und somit eine Konvektion zur Folge. Wie diese Uberlegungen zeigen, darf man bei der Diffusion, anders als bei der W¨armeleitung, nicht ohne weiteres ruhende Systeme annehmen. Diese wird man nur unter bestimmten Bedingungen antreffen, die wir zun¨ achst diskutieren. Wir beschr¨ anken dabei unsere Betrachtungen auf solche Systeme, bei denen die Bezugsgeschwindigkeit zur Bestimmung der Diffusionsstromdichte, vgl. (1.153), verschwindet. Als Bezugsgeschwindigkeiten hatten wir die Schwerpunktsgeschwindigkeit nach (1.154),

2.6 Diffusion

w =



K w K ,

265

(2.351)

K

und die mittlere molare Geschwindigkeit u nach (1.157) gew¨ahlt, die wir nun in folgender Form schreiben:  cK w K . (2.352) cu = K

Verschwindende Schwerpunktsgeschwindigkeit w = 0 an jedem Ort hat  K w K = 0 (2.353) K

u ¨ berall im betrachteten System zur Folge. Die einem Volumenelement zugef¨ uhrten Massenstr¨ ome m¨ ussen genau so groß wie die abgef¨ uhrten sein, damit (2.353) erf¨ ullt ist. Die Masse im Volumenelement bleibt daher unver¨andert; die Dichte  des an einem festen Ort befindlichen Volumenelements ist konstant. Sie kann jedoch f¨ ur ein Volumenelement an einem anderen Ort x verschieden sein. Es darf also ∂/∂x = 0 sein, aber es ist ∂/∂t = 0. Verschwindende Schwerpunktsgeschwindigkeit w = 0 hat demnach lediglich ∂/∂t = 0, nicht aber ∂/∂x = 0 zur Folge. Das hier betrachtete Modell ist das eines inkompressiblen K¨orpers, denn dieser ist dadurch definiert, dass sich die Dichte eines materiellen Volumenelements im Laufe seiner Bewegung nicht a ur ihn ist  = (x, t) = const ¨ndert; f¨ und daher d/dt = 0, was in unserem Fall erf¨ ullt ist, da wegen w = 0 und ∂/∂t = 0 ∂ ∂ d = +w =0 dt ∂t ∂x ist. Als Beispiel betrachten wir einen por¨ osen K¨ orper, in den Wasserstoff hineindiffundiert. Ein Volumenelement des por¨ osen K¨ orpers besitzt eine bestimmte Masse und hat somit eine bestimmte Dichte, z.B.  = 7,8 · 103 kg/m3 . Ein Volumenelement von 1 mm3 hat demnach eine Masse von 7,8 · 10−3 g. Wir nehmen an, dieses Volumenelement belade sich bei Umgebungstemperatur 298 K mit Wasserstoff vom Partialdruck p = 1 hPa. Aus der Zustandsgleichung idealer Gase errechnet man dann eine Wasserstoffaufnahme in dem Volumenelement von MH2 =

102 Pa · 10−9 m3 pH2 V = RH2 T 4,1245 (J/gK) · 298 K MH2 = 8,136 · 10−11 g .

Die Masse des Volumenelements wird durch die Zufuhr des Wasserstoffs vernachl¨ assigbar wenig ge¨ andert. Der Massenmittelpunkt beh¨ alt seine Lage im Raum bei; es ist in sehr guter N¨ aherung dx/dt = w = 0. Zu ¨ ahnlichen Ergebnissen kommt man auch, wenn man die Diffusion in stark verd¨ unnten L¨ osungen betrachtet, also beispielsweise die Aufnahme eines Gases in eine Fl¨ ussigkeit. Die Dichte der Fl¨ ussigkeit ist fernab vom kritischen Gebiet viel

266

2 W¨ armeleitung und Diffusion

gr¨ oßer als die des Gases und die aufgenommene Gasmasse außerordentlich gering, so dass sich die Masse eines Volumenelements durch Gasaufnahme praktisch nicht andert. In guter N¨ aherung ist wieder dx/dt = w = 0. ¨

Verschwindende Schwerpunktsgeschwindigkeit und damit ein in Bezug auf die Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhendes Medium d¨ urfen wir somit bei der Diffusion von Gasen in Festk¨ orpern oder der Diffusion in stark verd¨ unnten L¨ osungen voraussetzen. Wir betrachten nun ein System, bei dem die mittlere molare Geschwindigkeit u nach (2.352) verschwindet. Dann wird  cK w K = 0 . (2.354) K

Die Summe aller einem Volumenelement zugef¨ uhrten Stoffmengenstr¨ome ist genau so groß wie die Summe aller abgef¨ uhrten Stoffmengenstr¨ome. Die Diffusion ist ¨ aquimolar. Die Stoffmenge N im Volumenelement bleibt unver¨andert; es ist also die molare Dichte lim N/V = c an einem festen Ort konstant. Sie V →0

kann sich mit dem Ort x ¨ andern, aber es ist ∂c/∂t = 0.

Abb. 2.62: Zur ¨ aquimolaren Diffusion zweier Gase, a Massenmittelpunkt vor, b nach der Mischung ˜ =4 Als Beispiel betrachten wir einen Beh¨ alter, Abb. 2.62, mit 0,5 mol He (M ˜ kg/kmol) in der linken und 0,5 mol Ar (M = 40 kg/kmol) in der rechten H¨ alfte bei p = 0,1 MPa und T = 298 K. Nach Entfernen der Trennwand diffundieren die Gase ineinander. Dabei bleiben Druck und Temperatur konstant. F¨ ur jedes Volumenelement gilt die Zustandsgleichung idealer Gase, N p = = c = const . Rm T V Es ist daher

∂c =0 , ∂t was nur m¨ oglich ist, wenn in jedem Volumenelement die zustr¨ omende Stoffmenge des einen Stoffs genau so groß wie die abstr¨ omende des anderen ist: (cw)He = −(cw)Ar .

Die mittlere molare Geschwindigkeit nach (2.352) ist u = 0. Da Druck, Temperatur und Stoffmengen beider Gase vor der Mischung gleich waren, nahmen beide Gase auch das gleiche Volumen ein. Der Massenmittelpunkt lag vor der Mischung auf der Seite des schwereren Argons, Punkt a in Abb. 2.62. Nach der Mischung bildet

2.6 Diffusion

267

sich eine homogene Verteilung, der Massenmittelpunkt ist in die Mitte des Gef¨ aßes gewandert, Punkt b in Abb. 2.62, und die Schwerpunktsgeschwindigkeit somit von null verschieden. Im betrachteten Beispiel ist die mittlere molare Geschwindigkeit u = 0, hingegen die Schwerpunktsgeschwindigkeit w = 0.

Verschwindende mittlere molare Geschwindigkeit und damit ein in Bezug auf die mittlere molare Geschwindigkeit ruhendes System d¨ urfen wir, wie das Beispiel zeigt, somit bei der Diffusion idealer Gase bei konstantem Druck und konstanter Temperatur voraussetzen.

2.6.2 Die Herleitung der Differentialgleichung fu ¨r das Konzentrationsfeld Ein Diffusionsproblem zu l¨ osen bedeutet, die Zusammensetzung eines K¨orpers in ihrer r¨ aumlichen und zeitlichen Abh¨ angigkeit zu bestimmen. Kennzeichnet man die Zusammensetzung durch Massenanteile und will man den Massenanteil ξA = MA /M eines Stoffes A ermitteln, so ist ξA = ξA (x, t) gesucht. Daraus kann man mit Hilfe des Fickschen Gesetzes die Diffusionsstromdichte ermitteln. Diese ist f¨ ur ein Zweistoffgemisch aus den Komponenten A und B, (1.161): j ∗A = − D grad ξA (2.355) und f¨ ur ein Vielstoffgemisch, (1.162): j ∗A = 

N  ˜ AM ˜K M DAK grad x ˜K ˜ M2 K=1

(2.356)

K=A

˜ ξA /M ˜ A nach (1.151) und der mittleren Molmasse mit dem Molanteil x˜A = M ˜ M nach (1.154). osung einer partiellen DifferentialMan erh¨ alt den Massenanteil ξA als L¨ gleichung, die aus einer Massenbilanz hervorgeht. Um diese herzuleiten, betrachten wir einen zusammenh¨ angenden Bereich beliebiger Gr¨oße, den wir aus einem K¨ orper herausgeschnitten denken, in dem Diffusion stattfindet, Abb. 2.63a. Das Volumen des Bereichs sei V , und seine Oberfl¨ache sei A. Einem Oberfl¨ achenelement dA, dessen Normale n nach Abb. 2.63a nach außen gerichtet ist, wird ein Massenstrom dM˙ A = −A w A n dA

(2.357)

zugef¨ uhrt. Das Minuszeichen wurde gesetzt, weil ein Stoffstrom positiv gerechnet wird, wenn er in den Bereich einstr¨ omt. Der Geschwindigkeitsvektor wA des Stoffes A weist dann in das Innere des Bereiches, w¨ahrend der Normalenvektor n nach außen weist, so dass das Skalarprodukt negativ wird. Die Diffusionsstromdichte ist nach (1.155) definiert durch:

268

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.63: Zufuhr von Stoff A durch Diffusion und Erzeugung durch chemische Reaktion im Volumen V . a zur Massenbilanz, b zur Stoffbilanz

j ∗A = A (wA − w) . Wir behandeln nun ein in Bezug auf die Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhendes Medium, w = 0, so dass f¨ ur die Diffusionsstromdichte j ∗A = A wA

(2.358)

gilt. Aus (2.357) und (2.358) folgt dM˙ A = −j ∗A n dA . Durch Integration erh¨ alt man den insgesamt zugef¨ uhrten Massenstrom der Komponente A  M˙ A = −

j ∗A

 n dA = −

(A)

div j ∗A dV .

(2.359)

(V )

Dabei wurde das u ache des Bereiches zu erstreckende Integral ¨ ber die Oberfl¨ nach dem Gaußschen Integralsatz in das Volumenintegral der Divergenz j ∗A umgewandelt. Gleichzeitig soll noch im Inneren des Bereiches eine gewisse Menge des Stoffes A durch chemische Reaktionen erzeugt oder verbraucht werden. Die Produktionsrate in einem Volumenelement bezeichnen wir mit Γ˙A (SI-Einheit kg/m3 s). Sie sei positiv, wenn Stoff A erzeugt und negativ, wenn er verbraucht wird. Von dem Stoff A wird daher im Inneren des Bereiches der Massenstrom  Γ˙A dV

(2.360)

(V )

erzeugt. Der u ache dem Bereich durch Diffusion zugef¨ uhrte und ¨ ber die Oberfl¨ der im Inneren durch chemische Reaktion erzeugte Massenstrom bewirken eine zeitliche Zunahme der im Inneren des Bereiches gespeicherten Masse um

2.6 Diffusion

d dt



 A dV =

(V )

∂A dV . ∂t

269

(2.361)

(V )

Die Massenbilanz f¨ ur den Stoff A lautet daher unter Beachtung von (2.359) und (2.360): 

∂A dV = − ∂t

(V )



div j ∗A

 Γ˙A dV .

dV +

(V )

(V )

Da man den Bilanzbereich beliebig klein w¨ ahlen kann, gilt ∂A = − div j ∗A + Γ˙A . ∂t

(2.362)

Eine solche Massenbilanz gilt f¨ ur jede Komponente des Gemisches. Es gibt daher genau so viele Massenbilanzen wie Stoffe. Addition u ¨ ber alle Komponenten f¨ uhrt zu N N N    ∂K Γ˙K . = − div j ∗K + ∂t

K=1

Hierin ist

N 

K=1

(2.363)

K=1

K =  die Dichte der aus N Stoffen bestehenden Gemisches.

K=1

F¨ ur die Summe aller Diffusionsstromdichten gilt noch (1.156), also

N  K=1

j ∗K =

0. Da im Inneren des Bereiches durch chemische Reaktion nur soviel Masse je Zeiteinheit von bestimmten Stoffen erzeugt werden kann wie von anderen verschwindet, muss N  Γ˙K = 0 K=1

sein. Die Summation u uhrt daher zu ¨ber alle Stoffe nach (2.363) f¨ ∂ =0 . ∂t Die Dichte an einem vorgegebenen Ort ¨ andert sich nicht mit der Zeit. Dies ist dadurch bedingt, dass wir ein ruhendes Medium mit w = 0 voraussetzten. Es ist aber die Dichte nur an einem festen Ort konstant. Sie kann sich wegen der unterschiedlichen Zusammensetzung noch ¨ortlich ¨andern,  = (x). Da die Dichte  nicht von der Zeit abh¨ angt, darf man (2.362) wegen A =  ξA auch als ∂ξA = − div j ∗A + Γ˙A  (2.364) ∂t

270

2 W¨ armeleitung und Diffusion

schreiben. Nach Einsetzen des Fickschen Gesetzes (2.355) erh¨alt man 

∂ξA = div( D grad ξA ) + Γ˙A ∂t

(2.365)

als die gesuchte Differentialgleichung f¨ ur den Massenanteil ξA (x, t) in einem bez¨ uglich der Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhenden, isotropen Zweistoffgemisch aus den Stoffen A und B. Eine entsprechende Gleichung gilt auch f¨ ur den Stoff B. Man braucht sie jedoch nicht zu l¨osen, wenn man den Massenanteil ξA ermittelt hat, denn in einem Zweistoffgemisch ist ξB = 1 − ξA . Durch Einsetzen des Fickschen Gesetzes nach (2.356) in (2.364) erh¨alt man die (2.365) entsprechende Gleichung f¨ ur ein Gemisch aus N Komponenten: 

N  ˜ AM ˜K M ∂ξA = − div( DAK grad x˜K ) + Γ˙A . 2 ˜ ∂t M K=1

(2.366)

K=A

Da wir das Stoffmodell eines bez¨ uglich der Schwerpunktsgeschwindigkeit ruhenden K¨ orpers voraussetzten, w = 0 und daher ∂/∂t = 0, h¨angen die Gr¨ oßen D und Γ˙A in (2.365) von der Dichte (x), der Temperatur ϑ und der Zusammensetzung ξA ab. In (2.366) h¨ angen diese Gr¨oßen nicht nur vom Massenanteil ξA der Komponente A, sondern auch von den Massenanteilen der u angt auch grad x ˜A vom Gradienten der Massen¨ brigen Stoffe ab. Außerdem h¨ ˜ ξA /M ˜ A mit 1/M ˜ =  ξK /M ˜K anteile der u ˜A = M ¨brigen Stoffe ab, was aus x K

folgt. Die Diffusionsgleichungen (2.365) und (2.366) sind daher im Allgemeinen nicht linear. In der allgemeinen Gleichung (2.366) ist (2.365) als Sonderfall mit N = 2 enthalten, was man leicht nachpr¨ uft. Wir setzen nun ein in Bezug auf die mittlere molare Geschwindigkeit u ruhendes System von konstanter Temperatur und konstantem Druck voraus und leiten hierf¨ ur die Diffusionsgleichung ab. Der einem Oberfl¨achenelement dA zugef¨ uhrte Stoffmengenstrom der Komponente A nach Abb. 2.63b ist dN˙ A = −cA wA n dA .

(2.367)

Das Minuszeichen r¨ uhrt wieder daher, dass der Normalenvektor n der Fl¨ache dA nach außen weist, der zugef¨ uhrte Stoffstrom positiv gerechnet wird. Die Diffusionsstromdichte ist definiert durch (1.158) uj A

= cA (wA − u)

und gleich der Stoffmengenstromdichte ujA

= cA w A ,

(2.368)

da wir verschwindende mittlere molare Geschwindigkeit u voraussetzten. Der u ache zugef¨ uhrte Stoffmengenstrom ist somit ¨ ber die gesamte Oberfl¨

2.6 Diffusion





N˙ A = −

cA wA n dA = −

(A)

271

 u j A n dA = −

(A)

div u j A dV .

(2.369)

(V )

Die im Inneren des Bereiches durch chemische Reaktion erzeugte Stoffmenge des Stoffes A kennzeichnen wir durch die molare Produktionsdichte γ˙ A (SIEinheit mol/m3 s). Sie ist  γ˙ A dV .

(2.370)

(V )

Durch Diffusion zugef¨ uhrter und im Inneren durch chemische Reaktion erzeugter Stoffmengenstrom bewirken eine zeitliche Zunahme der im Inneren des Bereichs gespeicherten Stoffmenge um d dt





∂cA dV . ∂t

cA dV =

(V )

(2.371)

(V )

Die Stoffmengenbilanz f¨ ur den Stoff A lautet daher 

∂cA dV = − ∂t

(V )



 div u j A dV +

(V )

γ˙ A dV . (V )

Da man das Bilanzgebiet beliebig klein w¨ ahlen kann, gilt ∂cA = − div u j A + γ˙ A . ∂t

(2.372)

Da eine solche Bilanz f¨ ur alle an der Diffusion beteiligten Stoffe gilt, kann man u alt ¨ ber alle Stoffe addieren. Man erh¨ N N   ∂cK = − div ∂t

K=1

Hierin ist

N 

ujK +

K=1

N 

γ˙ K .

(2.373)

K=1

cK = c die molare Dichte des aus N Stoffen bestehenden Gemi-

K=1

sches. Weiter ist

N 

uj K

= 0, vgl. Abschnitt 1.4.1, Seite 77, womit (2.373)

K=1

u ur die Summe aller Komponenten g¨ ultige Gleichung ¨ bergeht in die f¨ N  ∂c = γ˙ K . ∂t K=1

(2.374)

272

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Da die Summe der Stoffmengen bei einer chemischen Reaktion im Allgemeinen nicht erhalten bleibt, verschwindet die rechte Seite von (2.374) nicht, es sei denn, es w¨ urden genau so viele Mole erzeugt wie verschwinden. Durch Einsetzen des Fickschen Gesetzes (1.160), worin wir DAB durch D ersetzen, erh¨ alt man aus (2.372) ∂cA = div(c D grad x˜A ) + γ˙ A ∂t

(2.375)

als die Differentialgleichung f¨ ur die molare Konzentration cA (x, t) in einem bez¨ uglich der mittleren molaren Geschwindigkeit u ruhenden Zweistoffgemisch aus den Stoffen A und B. Eine entsprechende Gleichung gilt auch f¨ ur den Stoff B. Stattdessen kann man auch (2.375) l¨ osen und daraus cB bestimmen, denn es ist cB = c − cA . F¨ ur ein Vielstoffgemisch idealer Gase mit konstanter Temperatur und konstantem Druck lautet das Ficksche Gesetz im Teilchenbezugssystem [2.75] ujA

=

N 

DAK grad cK .

(2.376)

K=1 K=A

Nach Einsetzen in (2.372) erh¨ alt man die f¨ ur Vielstoffgemische idealer Gase bei konstanter Temperatur und konstantem Druck g¨ ultige Diffusionsgleichung  ∂cA = − div( DAK grad cK ) + γ˙ A . ∂t N

(2.377)

K=1 K=A

In (2.375) gilt f¨ ur den Diffusionskoeffizienten D = D(p, ϑ, x ˜A ) und f¨ ur die molare Produktionsdichte γ˙ A = γ˙ A (p, ϑ, x ˜A ) mit x ˜A = cA /c. In (2.377) h¨angen diese Gr¨ oßen nicht nur vom Stoffmengenanteil x ˜A , sondern auch von den Stoffmengenanteilen der anderen Stoffe ab.

2.6.3 Vereinfachungen Im Folgenden behandeln wir nur noch Zweistoffgemische, da die Diffusionskoeffizienten DAK von Gemischen mit mehr als zwei Komponenten meistens unbekannt und daher die Diffusion in diesen Gemischen nicht zahlenm¨aßig berechnet werden kann. Die f¨ ur Zweistoffgemische g¨ ultigen Diffusionsgleichungen (2.365) und (2.375) lassen sich oft noch erheblich vereinfachen. Wir hatten bereits festgestellt, dass sich bei der Diffusion eines Gases A in einen Feststoff oder eine Fl¨ ussigkeit B die Dichte eines Volumenelements praktisch nicht ¨ andert, ∂/∂t = 0, weil die Masse des aufgenommenen Gases gering ist im Vergleich zur Masse des Volumenelements. War der Stoff B anf¨ anglich homogen,  = (x) = const, so wird durch den Diffusionsvorgang die Dichte auch lokal kaum ge¨ andert; die Dichte ist somit in guter N¨aherung

2.6 Diffusion

273

unabh¨ angig von Ort und Zeit konstant. Messungen [2.76] haben weiter gezeigt, dass der Diffusionskoeffizient in verd¨ unnten fl¨ ussigen L¨osungen bei konstanter Temperatur ann¨ ahernd konstant gesetzt werden darf. Ebenso ist der Diffusionskoeffizient bei der Diffusion eines Gases in einen homogenen, por¨osen Feststoff konstanter Temperatur ann¨ ahernd konstant, da sich die Konzentration nur in engen Grenzen a ndert. In solchen F¨ allen, in denen man  = const und ¨ DAB = D = const setzen darf, vereinfacht sich (2.365) zu ∂ξA = D∇2 ξA + Γ˙A / ∂t

(2.378)

mit Γ˙A = Γ˙A (ϑ, ξA ). Auch die f¨ ur verschwindende mittlere molare Geschwindigkeit u = 0 g¨ ultige Gleichung (2.375) l¨ asst sich noch vereinfachen, wenn wir sie auf bin¨are Gemische idealer Gase anwenden. Die Diffusionskoeffizienten bin¨arer Gasgemische sind bei niedrigen Dr¨ ucken — im Allgemeinen bis zum Druck von 10 bar — in guter N¨ aherung unabh¨ angig von der Zusammensetzung. Sie nehmen mit der Temperatur zu und sind umgekehrt proportional dem Druck. F¨ ur isobar-isotherme Gemische sind die Diffusionskoeffizienten konstant. F¨ ur sie geht (2.375) u ur c = const g¨ ultige Gleichung ¨ ber in die f¨ ∂cA = D∇2 cA + γ˙ A ∂t

(2.379)

mit γ˙ A = γ˙ A (ϑ, x˜A ). Die Gleichungen (2.378) und (2.379) sind einander ¨aquivalent, denn setzt ˜ A , so folgt man in (2.379) cA = A /M ∂A ˜A . = D∇2 A + γ˙ A M ∂t Andererseits kann man (2.378) wegen  = const auch schreiben ∂A = D∇2 A + Γ˙A . ∂t ˜ A = Γ˙A , womit gezeigt ist, dass beide Gleichungen Definitionsgem¨ aß ist γ˙ A M aquivalent sind. Gl. (2.379) ist f¨ ur den Fall, dass keine chemischen Reaktionen ¨ vorkommen, γ˙ A = 0, zuerst von A. Fick 1855 [2.76] gefunden worden, und man bezeichnet daher ∂cA = D∇2 cA (2.380) ∂t als zweites Ficksches Gesetz.

2.6.4 Randbedingungen Die Gleichungen (2.379) bzw. (2.378) sind von gleicher Art wie die W¨armeleitungsgleichung (2.11). Es gelten folgende Entsprechungen:

274

2 W¨ armeleitung und Diffusion

cA =ϑ , ,

D=a ,

˙ /c . und γ˙ A = ,W

Aus diesem Grund lassen sich viele L¨ osungen der W¨armeleitungsgleichung auf das analoge Diffusionsproblem u ¨ bertragen, vorausgesetzt, dass nicht nur die Differentialgleichungen, sondern auch die Anfangs- und Randbedingungen u osungen der Differentialgleichung (2.379) findet ¨ bereinstimmen. Zahlreiche L¨ man in dem Buch von Crank [2.78]. Analog zur W¨armeleitung schreibt die Anfangsbedingung zu einer bestimmten Zeit an jeder Stelle des K¨orpers eine Konzentration vor, und man beginnt die Zeitz¨ahlung mit dieser Zeit cA (x, y, z, t = 0) = cAα (x, y, z) .

(2.381)

Die o ¨rtlichen Randbedingungen lassen sich ebenso wie bei W¨armeleitvorg¨angen in drei Gruppen einteilen. 1. Es kann die Konzentration als Funktion der Zeit und des Ortes x0 , y0 , z0 auf der Oberfl¨ ache eines K¨ orpers vorgeschrieben sein (Randbedingung 1. Art) (2.382) cA (x0 , y0 , z0 , t) = cA0 (t) . Beispiele hierf¨ ur sind die Trocknung por¨ oser Stoffe in der ersten Trocknungsphase, wenn die Oberfl¨ ache von einem Fl¨ ussigkeitsfilm bedeckt ist, oder die Verdunstung von Wasser in trockene Luft. In beiden F¨allen stellt sich an der Phasengrenze zwischen Fl¨ ussigkeit und Gas der zur dort herrschenden Temperatur ϑ geh¨ orende S¨ attigungsdruck pAS (ϑ) ein, und es ist cA0 = pAS (ϑ)/Rm T . Oft interessiert auch die L¨ oslichkeit des Gases A in einer angrenzenden Fl¨ ussigkeit oder einem angrenzenden Feststoff B. Falls das Gas in der Fl¨ ussigkeit nur schwach l¨ oslich ist, erh¨ alt man den Stoffmengenanteil x ˜A des gel¨ osten Gases aus dem Henryschen Gesetz (1.217) zu x ˜A0 = pAS (ϑ)/kH , worin kH der Henrysche Koeffizient ist. Er ist bei Zweistoffgemischen eine Funktion von Temperatur und Druck. Die Druckabh¨angigkeit kann man jedoch vernachl¨ assigen, falls der Gesamtdruck der Gasphase so gering ist, ur diesen Fall dass man diese als ideal betrachten darf. Zahlenwerte kH (ϑ) f¨ findet man u.a. im Tabellenwerk von Landolt-B¨ornstein [2.79]. 2. Es kann die Diffusionsstromdichte normal zur Oberfl¨ache als Funktion der Zeit und des Ortes vorgeschrieben sein (Randbedingung 2. Art) u jA

= −c D

∂x ˜A , ∂n

(2.383)

wobei f¨ ur stoffundurchl¨ assige Oberfl¨ achen ∂x ˜A /∂n = 0 ist.

(2.384)

2.6 Diffusion

275

3. Es kann Ber¨ uhrung zwischen zwei ruhenden K¨orpern (1) und (2) an der Grenzfl¨ ache vorliegen (Randbedingung 3. Art) ˜A !(1) ˜A !(2) (1) ∂ x (2) ∂ x (c D)0 = (c D)0 . (2.385) ∂n 0 ∂n 0 Grenzt ein ruhender K¨ orper (1) an ein bewegtes Fluid (2), so bildet sich in diesem eine Diffusionsgrenzschicht aus. An die Stelle von (2.385) tritt dann die Randbedingung ˜A !(1) (1) ∂ x (2) −(c D)0 = β Δ cA (2.386) ∂n 0 (2)

(2)

(2)

mit dem Konzentrationsunterschied im Fluid ΔcA = cA0 − cAδ zwischen Grenzfl¨ ache 0 und dem Rand δ der Grenzschicht des Fluids. Stoffmengenuhrbar anteil x˜A und Konzentration cA sind bekanntlich ineinander u ¨berf¨ ur ideale Gase gegeben durch cA = x˜A c. Die Konzentration c = N/V ist f¨ durch c = p/Rm T und ist f¨ ur reale Gase aus der thermischen Zustandsgleichung zu ermitteln. Wird zwischen zwei sich ber¨ uhrenden K¨ orpern (1) und (2) W¨arme durch Leitung u ¨bertragen (Randbedingung 3. Art), so sind bekanntlich nicht nur (1) die u armestromdichten, sondern auch die Temperaturen ϑ0 = ¨ bertragenen W¨ (2) ϑ0 gleich. Im Gegensatz dazu stellt sich bei der Diffusion an Phasengrenzfl¨ achen fast immer ein Konzentrationssprung ein, der sich aus den Bedingungen f¨ ur das Gleichgewicht hinsichtlich des Stoffaustausches (Gleichheit der chemischen Potentiale jeder Komponente in jeder Phase) ergibt. F¨ ur vorgegebene Werte von Druck und Temperatur gilt dann eine Beziehung der Form (1)

(2)

xA0 ) , x ˜A0 = f (˜

(2.387)

die durch die Thermodynamik der Phasengleichgewichte bereitgestellt wird. Eine Gleichung dieser Art ist die Definitionsgleichung f¨ ur den Gleichgewichtswert (1) (2) xA0 . (2.388) K := x˜A0 /˜ F¨ ur die L¨ oslichkeit von Gasen in Fl¨ ussigkeiten ist K = kH (ϑ)/p , ahere Angaben u wobei kH (ϑ) der Henrysche Koeffizient ist. N¨ ¨ber den Gleichgewichtswert und den Henryschen Koeffizienten findet man, wie bereits in Kapitel 1 erw¨ ahnt, in Lehrb¨ uchern der Gemischthermodynamik u.a. [1.1]. Die L¨ oslichkeit eines Gases A in einer festen Phase berechnet man aus cA0 = LS pA0

(2.389)

ur findet mit der L¨ oslichkeit LS (SI-Einheit mol/m3 bar). Zahlenwerte hierf¨ man u.a. im Tabellenwerk von Landolt-B¨ ornstein [2.79].

276

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Beispiel 2.13: In einem kugelf¨ ormigen Beh¨ alter von 1450 mm Innendurchmesser und 4 mm Wanddicke aus Chrom-Nickel-Stahl ist ein wasserstoffhaltiges Gas unter hohem Druck gespeichert. Der Wasserstoff hat anf¨ anglich einen bei 85 Partialdruck von 1 MPa. Infolge Diffusion durch die Beh¨ alterwand geht ein Teil des Wasserstoffs an die umgebende Luft verloren, so dass der Druck im Beh¨ alter im Lauf der Zeit sinkt. Man berechne, nach welcher Zeit der Druck im Beh¨ alter um 10−3 MPa gesunken ist und wie groß bis dahin der Verlust an Wasserstoff ist. Angaben zur L¨ osung: Da der Druck im Beh¨ alter sehr langsam abnimmt, kann ¨ man die zeitliche Anderung des Wasserstoffgehalts in der Wand vernachl¨ assigen, dort also station¨ are Diffusion annehmen. F¨ ur die an der Wandoberfl¨ ache gel¨ oste Wasserstoffmenge gilt (2.389) mit dem aus Messungen ermittelten L¨ oslichkeitskoeffizienten LS = 9,01 mol/m3 bar. Der Diffusionskoeffizient von Wasserstoff in der alter Beh¨ alterwand ist bei 85 : D = 1,05 · 10−13 m2 /s. Das Gasgemisch im Beh¨ erf¨ ullt die thermische Zustandsgleichung idealer Gase. Der Wasserstoffgehalt der umgebenden Luft sei vernachl¨ assigbar. Die durch die Beh¨ alterwand diffundierende Wasserstoffmenge (Stoff A sei der Wasserstoff) ist gleich der Abnahme der gespeicherten Menge: jA A = −

dNA dN =− . dt dt

Weiter ist

D Am (cAi − cAa ) δ √ mit der Wanddicke δ und dem geometrischen Mittel Am = Ai Aa ∼ = Ai von alt man innerer und a ache. Mit cAa = 0 und cAi = LS pA erh¨ ¨ußerer Kugeloberfl¨ jA A =

jA A =

D Am LS pA . δ

Andererseits gilt f¨ ur die Wasserstoffmenge im Inneren des Beh¨ alters NA = pA V /Rm T . Damit ist −

dpA D V = Am LS pA Rm T dt δ

oder d ln pA = −

D Rm T Am LS dt . δ V

Die Integration ergibt “ D Rm T ” t pA (t) = pA (t = 0) exp − Am LS δ V Man erh¨ alt nach Einsetzen der Gr¨ oßen pA (t1 ) = 1 MPa · exp (−2,915 · 10−11 t1 /s) und daraus t1 =

1 (1 − 10−3 ) MPa ln s = 3,432 · 107 s = 9534 h = 397 Tage . −11 −2,915 · 10 1 MPa

Der Verlust an Wasserstoff folgt aus der Zustandsgleichung idealer Gase

2.6 Diffusion

277

MA ΔpA 10−3 MPa = = . MA (t = 0) pA (t = 0) 1 MPa Das sind 0,1 % der anf¨ anglich vorhandenen Wasserstoffmenge von ˜ A NA (t = 0) = M ˜ A pA (t = 0) V /Rm T = 1,072 kg . MA (t = 0) = M

2.6.5 Station¨ are Diffusion mit katalytischer Oberfl¨ achenreaktion In den einf¨ uhrenden Kapiteln 1.4.1 und 1.4.2 hatten wir bereits die eindimensionale station¨ are Diffusion behandelt. Chemische Reaktionen waren dabei ausgeschlossen worden. Wir wollen nun chemische Reaktionen zulassen und zuerst solche Reaktionen behandeln, wie sie in einem katalytischen Reaktor vorkommen. Hierbei treten heterogene Reaktionen auf, worunter man Reaktionen an der Kontaktfl¨ ache zwischen einem reagierenden Medium und dem Katalysator versteht. Sie laufen an Oberfl¨ achen ab, k¨onnen daher als Randbedingung f¨ ur das Stoffaustauschproblem formuliert werden. Im Unterschied dazu spielen sich homogene Reaktionen innerhalb des Mediums ab; es werden innerhalb eines jeden Volumenelements je nach der dort herrschenden Temperatur und Zusammensetzung und je nach dem Druck neue chemische Verbindungen aus vorhandenen erzeugt. Man kann also jedem Volumenelement eine Stoffquelle f¨ ur die Produktion von Materie zuordnen, entsprechend einer W¨ armequelle bei W¨ armeleitvorg¨ angen. Als Beispiel betrachten wir einen katalytischen Reaktor, Abb. 2.64, in dem durch eine chemische Reaktion aus einem Gas A und seinen Reaktionspartnern R neue Reaktionsprodukte P gebildet werden. Dem Reaktor werden die Reaktionspartner R und das Gas A zugef¨ uhrt, ihn verlassen das u ussige ¨ bersch¨ Gas A und die Reaktionsprodukte P. Der Reaktor sei mit Kugeln gef¨ ullt, deren Oberfl¨ ache mit einem katalytisch wirkenden Material u ¨ berzogen ist. Die Reaktion zwischen dem Gas A und den Reaktionspartnern R l¨auft an der Katalysatoroberfl¨ ache ab und wird durch den Katalysator beschleunigt. In den meisten F¨ allen kennt man die verwickelten Reaktionsmechanismen an Katalysatoroberfl¨ achen nicht in allen Einzelheiten und ist daher zur Beschreibung auf grob vereinfachende Modelle angewiesen. Wir betrachten hierzu einen Abschnitt der Katalysatoroberfl¨ ache, Abb. 2.65. Im station¨aren Zustand wird an der Katalysatoroberfl¨ ache x = 0 genau soviel Gas A erzeugt, wie durch Diffusion abtransportiert wird: Die Reaktionsrate ist gleich der Diffusionsstromdichte. Bei katalytischen Reaktionen h¨ angt die Reaktionsrate n˙ A0 im Allgemeinen von den Konzentrationen der Reaktionspartner ab. Im vorliegenden Fall nehmen wir an, die Reaktionsrate werde u ¨berwiegend von der Konzentration cA (x = 0) = cA0 des Gases A an der Oberfl¨ache bestimmt. Sie ist f¨ ur eine Reaktion erster Ordnung gegeben durch n˙ A0 = −k1 cA0 .

(2.390)

278

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.64: Katalytischer Reaktor

Abb. 2.65: Eindimensionale Diffusion mit Reaktion an der Katalysatoroberfl¨ ache

F¨ ur eine Reaktion n-ter Ordnung ist n˙ A0 = −kn cnA0 .

(2.391)

Hierin ist kn die Geschwindigkeitskonstante mit der SI-Einheit (mol / m2 s) / (mol / m3 )n . Die Geschwindigkeitskonstante k1 einer Reaktion erster Ordnung hat die SI-Einheit m/s. Die hochgestellten Indizes  sollen darauf hinweisen, dass die Reaktion an einer Oberfl¨ ache abl¨ auft. Durch das Minuszeichen wird n˙ A0 negativ, denn der Stoff A wird durch chemische Reaktion aufgezehrt. W¨ urde Stoff A erzeugt, so m¨ usste in (2.390) ein positives Vorzeichen stehen. An der Katalysatoroberfl¨ ache gilt somit, falls wir eine Reaktion erster Ordnung voraussetzen, ∂x ˜A ! = −k1 cA0 . (2.392) n˙ A0 = − c D ∂x x=0 Oberhalb der Katalysatoroberfl¨ ache wird der Stoff A durch Diffusion haupts¨ achlich in Richtung der x-Achse transportiert. In einer d¨ unnen wandnahen Schicht, der Diffusionsgrenzschicht, ist der Stofftransport durch Konvektion vernachl¨ assigbar, und es folgt aus (2.375) die f¨ ur station¨are, eindimensionale Diffusion ohne chemische Reaktion g¨ ultige Diffusionsgleichung d˜ xA ! d cD =0 . (2.393) dx dx Ihre L¨ osung muss außer der Randbedingung (2.392) noch die Bedingung x˜A (x = L) = x ˜AL

(2.394)

erf¨ ullen, wenn L die Dicke der Diffusionsgrenzschicht ist. Als L¨osung erh¨alt man unter der Voraussetzung c D = const:

2.6 Diffusion

x ˜A − x ˜AL =

k1 cA0 (x − L) . cD

279

(2.395)

Daraus ergibt sich der Stoffmengenanteil an der Wand x = 0 zu: x ˜A0 = −

˜A0 L k1 cA0 k  x L+x ˜AL = − 1 +x ˜AL cD D

oder x˜A0 =

x ˜AL . 1 + k1 L/D

(2.396)

Setzt man weiterhin c = const voraus, so wird hieraus wegen cA = x ˜A c cA0 =

cAL 1 + k1 L/D

(2.397)

und damit die Reaktionsrate mit (2.392) n˙ A0 = −

k1 cAL . 1 + (k1 L/D)

(2.398)

Im Fall eines konvektiven Stoff¨ ubergangs an der Katalysatoroberfl¨ache tritt in dieser Gleichung der Stoff¨ ubergangskoeffizient β anstelle von D/L auf, β = D/L, wie man leicht nachpr¨ uft, weil (2.392) dann zu ersetzen ist durch n˙ A0 = −k1 cA0 = β(cA0 − cAL ) , woraus nach Elimination von cA0 die Beziehung n˙ A0 = −

k1 cAL 1 + (k1 /β)

(2.399)

folgt. Das negative Vorzeichen in (2.398) bzw. (2.399) besagt, dass der Stoffstrom A zur Katalysatoroberfl¨ ache hingerichtet ist. Man nennt die dimensionslose Gr¨ oße Da1 := k1 L/D

(2.400)

die Damk¨ohler-Zahl 5 f¨ ur eine heterogene Reaktion erster Ordnung (es gibt noch weitere Damk¨ ohler-Zahlen). Sie l¨ asst sich als Verh¨altnis von Reaktionsgeschwindigkeit k1 zur Diffusionsgeschwindigkeit D/L deuten. In (2.398) bzw. (2.399) sind zwei Grenzf¨ alle interessant: 5

¨ Gerhard Damk¨ ohler (1908–1944) hat als erster eine Ahnlichkeitstheorie f¨ ur chemische Prozesse unter Ber¨ ucksichtigung des W¨ arme- und Stoffaustausches entwickelt. Er wurde mit seiner Arbeit Einfluß von Diffusion, Str¨ omung und W¨ arme” transport auf die Ausbeute von chemischen Reaktionen“ (Der Chemie-Ingenieur, Leipzig, 1937, 359–485) zu einem der Wegbereiter der chemischen Reaktionstechnik.

280

2 W¨ armeleitung und Diffusion

a) Es sei Da1 = k1 L/D bzw. k1 /β sehr klein, weil k1 D/L bzw. k1 β. Dann wird n˙ A0 = −k1 cAL . (2.401) Der Stoffumsatz wird durch die Reaktionsgeschwindigkeit bestimmt. Er ist reaktionskontrolliert“. Nach (2.397) ist die Konzentration des Stoffes ” A senkrecht zur Katalysatoroberfl¨ ache konstant; es ist cA0 = cAL . b) Es sei Da1 = k1 L/D bzw. k1 /β sehr groß, weil k1  D/L bzw. k1  β. Dann wird D (2.402) n˙ A0 = − cAL bzw. n˙ A0 = −β cAL . L Der Stoffumsatz wird durch die Diffusion bestimmt. Er ist diffusionskon” trolliert“. Nach (2.397) ist cA0 = 0. Der Stoff A wird durch die rasche Reaktion an der Katalysatoroberfl¨ ache vollst¨andig umgesetzt. Beispiel 2.14: Im Katalysator eines Personenkraftwagens werden Stickoxide an der Katalysatoroberfl¨ ache nach folgender Reaktion reduziert: NO + CO →

1 N2 + CO2 . 2

Die NO-Reduktion (Stoff A) folgt n¨ aherungsweise einer Reaktion 1. Ordnung n˙ A0 = −k1 cA0 . Der Abgasstrom eines 75-kW-Motors betrage M˙ = 350 kg/h, ˜ = 32 kg/kmol und darf in guter N¨ die Molmasse der Abgase sei M aherung als und 0,12 MPa enthalten konstant angenommen werden. Die Abgase von 480 NO mit einem Stoffmengenanteil x ˜AL = 10−3 , das zu 80 % entfernt werden soll. Gegeben seien der Stoff¨ ubergangskoeffizient β = 0,1 m/s und die Geschwindigache ist erforderlich? keitskonstante k1 = 0,05 m/s. Welche Katalysatoroberfl¨ Der Stoffmengenstrom an Abgas ist ˜ = N˙ = M˙ /M

350 kg/h = 3,038 · 10−3 kmol/s . 3600 s/h · 32 kg/kmol

Abb. 2.66: Zur Mengenbilanz eines Abgaskatalysators Die Mengenbilanz u ¨ ber den gestrichelten Bilanzraum, Abb. 2.66, ergibt (N˙ x ˜AL )z = (N˙ x ˜AL )z+dz + n˙ AL dA oder, da N˙ = const:

2.6 Diffusion

281

N˙ d˜ xAL = −n˙ AL dA . Hierin ist n˙ AL = β c (˜ xAL − x ˜A0 ), wenn wir einen geringen wandnormalen Stoffstrom voraussetzen und die Stefan-Korrektur f¨ ur den Stoff¨ ubergangskoeffizienten vernachl¨ assigen. Mit c = N/V = p/Rm T wird “ x ˜A0 ” −βp x ˜AL 1 − dA . N˙ d˜ xAL = Rm T x ˜AL Einsetzen von (2.396) ergibt unter Beachtung von β = D/L: −p k1 x ˜AL dA N˙ d˜ xAL = Rm T 1 + k1 /β oder

k1 −p dA . x ˜AL N˙ Rm T 1 + k1 /β Integration zwischen Eintrittsquerschnitt e und Austrittsquerschnitt a des Katalysators der Fl¨ ache A ergibt 1

ln

k1 p (˜ xAL )a A , =− (˜ xAL )e N˙ Rm T 1 + k1 /β

also A= Es ist A=

d˜ xAL =

N˙ Rm T (1 + k1 /β) (˜ xAL )e ln . p k1 (˜ xAL )a

‹ 3,038 mol/s · 8,31451 Nm/molK · 753,15 K(1 + 0,05 m/s 0,1 m/s) 0,12 · 106 N/m2 · 0,05 m/s

·

· ln(10−3 /2 · 10−4 ) A = 7,65 m2 .

2.6.6 Station¨ are Diffusion mit homogener chemischer Reaktion Wir betrachten einen Stoff A, der, wie in Abb. 2.67 gezeigt, in einen anderen por¨ osen oder pastenartigen Feststoff B oder in ein ruhendes Fluid B diffundiert und dort mit anderen Reaktionspartnern chemisch reagiert. Beispielsweise diffundiert bei der biologischen Abwasserreinigung Sauerstoff aus dem Inneren von Luft- oder Sauerstoffblasen in das umgebende Abwasser und wird dort zusammen mit organischen Schadstoffen, z.B. Kohlenwasserstoffen, von Mikroorganismen in Kohlendioxid und Wasser umgewandelt. Der Stoff B kann auch ein Katalysator sein. Katalysatoren bestehen h¨aufig aus Formk¨ orpern wie Kugeln oder Zylindern, die von feinen Kapillaren durchzogen sind. Die por¨ ose innere Oberfl¨ ache wird vor allem durch die feinen Kapillaren bestimmt und betr¨ agt ein Vielfaches der ¨ außeren Oberfl¨ache. Chemische Umsetzungen k¨ onnen sowohl an der ¨ außeren als auch an der inneren Oberfl¨ache beschleunigt werden.

282

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.67: Eindimensionale Diffusion mit homogener Reaktion

Nach (2.375) gilt f¨ ur die station¨ are, geometrisch eindimensionale Diffusion mit chemischer Reaktion d d˜ xA ! cD + γ˙ A = 0 . (2.403) dx dx Wir nehmen nun an, der Stoff A und die durch chemische Reaktion entstandenen Produkte seien nur in kleiner Menge im Stoff B vorhanden. Dann ist in guter N¨ aherung c = N/V = const. Außerdem setzen wir D = const. Ist der Stoff B ein por¨ oser Festk¨ orper, so muss man den molekularen Diffusionskoeffizienten D durch den effektiven Diffusionskoeffizienten Deff ersetzen. Dieser ist kleiner als der molekulare Diffusionskoeffizient, weil die Beweglichkeit der Molek¨ ule durch die engen Poren behindert wird. Es ist u ¨ blich, einen Diffusionswiderstandsfaktor zu definieren: μ :=

D . Deff

Ein por¨ oser Festk¨ orper vom Volumen V besteht aus dem Volumen VS Feststoff und dem von Feststoff freien Volumen VG = V − VS . Man bezeichnet uckengrad. Der Widerstandsfaktor h¨angt vom L¨ uckengrad εp = VG /V als L¨ des por¨ osen K¨ orpers und von einem Umweg- oder Windungsfaktor μp ab, so dass die Relationen μ := μp /εp , und Deff =

εp 1 D= D . μ μp

gelten. Die folgende Tabelle enth¨ alt einige Zahlenangaben f¨ ur L¨ uckengrad und Umwegfaktor. Der Stoff A werde nach einer Reaktion erster Ordnung umgesetzt: γ˙ A = −k1 cA .

(2.404)

Hierin ist k1 die Geschwindigkeitskonstante der chemischen Reaktion (SIEinheit s−1 ). Der tiefgestellte Index 1 zeigt an, dass es sich um eine Reaktion erster Ordnung handelt. Die Reaktionsrate γ˙ A ist negativ, weil Stoff A durch die Reaktion verschwindet. W¨ urde Stoff A erzeugt, so st¨ unde in (2.404) ein positives Vorzeichen. In por¨ osen K¨ orpern l¨ auft die Reaktion umso schneller

2.6 Diffusion

283

Tabelle 2.18: L¨ uckengrad εp und Umwegfaktor μp einiger trockener Stoffe

Stoff

Dichte  kg/m3 L¨ uckengrad εp Umwegfaktor μp

Mauerziegel Klinker Kalksandstein Naturbimsbeton Holzwolle Molekularsieb 4 ˚ A Molekularsieb 10 ˚ A

1360 2050 900 840 300 1100 1180

0,49 0,19 0,63 0,62 0,81 0,45 0,57

Silikagel

1090

0,46

3,6

760

0,56

7,0

Aktivkohle

3,3 73,0 5,4 4,3 2,0

bis 3,4 bis 89,0 bis 5,9 bis 5,5 bis 2,6 10,3 8,0

ab, je gr¨ oßer die innere und a ache ist. Man spaltet daher die ¨ußere Oberfl¨ Geschwindigkeitskonstante k1 in zwei Faktoren auf: k1 = aP k1 ,

(2.405)

ache (SI-Einheit m2 /m3 ) ist; das ist die f¨ ur die worin aP die spezifische Oberfl¨ Reaktion wirksame Oberfl¨ ache bezogen auf das Volumen des por¨osen K¨orpers. Die Geschwindigkeitskonstante k1 hat die SI-Einheit m/s. Mit x ˜A = cA /c geht (2.403) mit (2.404) unter den genannten Voraussetzungen u ¨ber in k1 d2 cA − cA = 0 . (2.406) 2 dx D Sie ist unter den in Abb. 2.67 eingezeichneten Randbedingungen cA (x = 0) = cA0

(2.407)

und

d cA ! =0 (2.408) dx x=L zu l¨ osen. F¨ ur por¨ ose K¨ orper ist D durch Deff zu ersetzen. Gleichung (2.406) stimmt formal mit (2.51) f¨ ur die W¨ armeleitung in einem Stab u ur ¨berein. F¨ sie war der Temperaturverlauf unter den Randbedingungen konstanter Temperatur am Stabanfang und verschwindender W¨armeabgabe am Stabende bereits berechnet worden, was im vorliegenden Problem den Randbedingungen (2.407) und (2.408) entspricht. Die L¨ osung von (2.406) bis (2.408) entspricht daher der bereits fr¨ uher f¨ ur die W¨ armeleitung in St¨aben gefundenen Beziehung (2.57). Die L¨ osung lautet cosh [m(L − x)] cA = cA0 cosh(mL)

(2.409)

284

2 W¨ armeleitung und Diffusion

mit m=

 k1 /D .

Der u ¨ bergehende Stoffmengenstrom ist dcA ! N˙ A0 = A n˙ A0 = −A D = A D cA0 m tanh(mL) . dx x=0 Die dimensionslose Gr¨ oße mL =

 k1 L2 /D := Ha

(2.410)

(2.411)

(2.412)

bezeichnet man hierin auch als Hatta-Zahl 6 Ha. Ihr Quadrat ist gleich dem Verh¨ altnis aus der sogenannten Relaxationszeit der Reaktion tR = 1/k1 und der Relaxationszeit der Diffusion tD = L2 /D , denn es ist Ha2 = tD /tR . Ein großer Wert der Hatta-Zahl bedeutet einen im Vergleich zur Diffusion raschen Ablauf der chemischen Reaktion. Der Stoff A kann durch Diffusion nicht weit in das Innere von Stoff B eindringen, sondern wird durch chemische Reaktion in einer oberfl¨ achennahen Schicht umgesetzt. F¨ ur por¨ ose K¨ orper f¨ uhrt man noch einen Porennutzungsgrad ηP ein. Darunter versteht man das Verh¨ altnis aus tats¨ achlich u ¨bergehendem Stoffmengenstrom N˙ A0 zum Stoffmengenstrom N˙ A , der u ¨ berginge, wenn im por¨osen K¨ orper u urde, d.h. wenn der effektive ¨ berall die Konzentration cA0 herrschen w¨ Diffusionskoeffizient Deff , der an die Stelle des molekularen Diffusionskoeffizienten D tritt, sehr groß w¨ are, Deff → ∞ oder Ha → 0. Von Stoff A w¨ urde dann nach (2.404) die Reaktionsrate γ˙ A = −k1 cA0 verschwinden und der insgesamt nachgelieferte Stoffmengenstrom w¨are N˙ A = k1 cA0 A L .

(2.413)

Der Porennutzungsgrad wird damit ηP = 6

N˙ A0 Deff m tanh (mL) = ˙ k1 L NA

Shironji Hatta (1895–1973) war Professor an der Tohoku Imperial Universit¨ at, der jetzigen Tohoku Universit¨ at, in Tokio, Japan. Auf ihn gehen grundlegende Arbeiten u ussigkeiten, insbesondere der Absorption ¨ber die Absorption von Gasen in Fl¨ mit gleichzeitiger chemischer Reaktion zur¨ uck.

2.6 Diffusion

oder ηP =

tanh (mL) mL

285

(2.414)

  mit m = k1 /Deff = k1 ap /Deff . Der Porennutzungsgrad gilt f¨ ur eine Pore von konstantem Querschnitt. Er stimmt formal mit dem Wirkungsgrad der geraden Rechteckrippe, Gl. (2.79), u ¨ berein. Der Porennutzungsgrad von Poren beliebiger Querschnittsform l¨asst sich, wie Aris [2.81] zeigte, in guter N¨ aherung ebenfalls aus (2.414) berechnen, wenn man als L¨ ange L eine charakteristische L¨ange L = V /A

(2.415)

bildet mit dem Volumen V des por¨ osen K¨ orpers und seiner ¨außeren Oberfl¨ ache A. F¨ ur ein kugelf¨ ormiges Pellet vom Radius R wird beispielsweise L = (4/3)πR3 / 4πR2 = R/3. F¨ ur kleine Werte mL < 0,3 in (2.414) wird ηp > 0,97, liegt also nahe bei 1; die Zusammensetzung des Reaktionspartners A ¨andert sich kaum u ¨ ber die Porenl¨ ange. Der Diffusionswiderstand ist im Vergleich zu den u brigen Wi¨  derst¨ anden vernachl¨ assigbar. Ein kleiner Wert mL = k1 /Deff L bedeutet entweder eine kurze Pore, eine langsame chemische Reaktion oder eine rasche Diffusion. Beispiel 2.15: Um den CO-Gehalt im Abgas einer Feuerung zu vermindern, leitet man das Abgas u osen Partikel (sog. Pellets) aus CuO eines ka¨ ber die por¨ talytischen Reaktors in der Abgasleitung. In den Pellets und an ihrer Oberfl¨ ache aß wird CO (Stoff A) mit O2 zu CO2 oxidiert gem¨ CO +

1 O2 = CO2 . 2

Es handelt sich in guter N¨ aherung um eine Reaktion erster Ordnung gem¨ aß n˙ A = −k1 aP cA . a) Man berechne den Porennutzungsgrad. b) Wieviel kg CuO ben¨ otigt man, wenn der Molanteil des CO auf 1/10 des Anfangswerts x ˜A = 0,04 abgebaut werden soll? Der Stoffmengenstrom N˙ des Abgases kann in guter N¨ aherung konstant gesetzt werden. Gegeben sind: Stoffmengenstrom des Abgases N˙ = 3 mol/s, Stoffmengenanteil des CO im Abgas x ˜A = 0,04, Abgastemperatur 480 , Druck 0,12 MPa, Durchmesser der kugelf¨ ormigen Pellets 5 mm, volumenbezogene Oberfl¨ ache aP = 5·106 m2 /m3 , effektiver Diffusionskoeffizient Deff = 5 · 10−5 m2 /s, Geschwindigkeitskonstante der Reaktion k1 = 10−3 m/s, Dichte von CuO: CuO = 8,9·103 kg/m3 . a) Es ist mL = (k1 aP /Deff )1/2 L mit L = R/3. Somit wird mL = (10−3 m/s · 5 · 106 m2 /m3 /5 · 10−5 m2 /s)1/2 (2,5 · 10−3 m/3) = 8,33 und damit ηp = tanh(mL)/(mL) = 0,12 .

286

2 W¨ armeleitung und Diffusion

b) Das außerhalb der Poren im Gasraum str¨ omende CO wird durch chemische Reaktion abgebaut. L¨ angs eines Wegelements dz ¨ andert sich die CO-Menge um d(N˙ x ˜A0 ). Diese Menge wird durch chemische Reaktion in den Poren umgesetzt xA0 ηp dVP . dN˙ A0 = γ˙ A dVP = −k1 aP cA0 ηp dVP = −k1 aP c˜ VP ist hierin das Volumen der Pellets. Somit ist ˜A0 ηp dVP . d(N˙ x ˜A0 ) = −k1 ap c x Daraus folgt mit N˙ = const und c = p/Rm T k ap pηp d˜ xA0 dVP . =− 1 x ˜A0 N˙ Rm T Nach Integration zwischen den Stoffmengenanteilen x ˜Ae bei Eintritt und x ˜Aa bei Austritt aus dem Katalysator erh¨ alt man das Volumen VP der Pellets VP =

N˙ Rm T x ˜Ae ln , k1 aP p ηp x ˜Aa

3 mol/s · 8,31451 Nm/mol K · 753,15 K ln 10 = 6,008 · 10−4 m3 . 10−3 m/s · 5 · 106 m2 /m3 · 1,2 · 105 N/m2 · 0,12 Man ben¨ otigt VP =

M = VP = 8,9 · 103 kg/m3 · 6,008 · 10−4 m3 = 5,35 kg CuO .

2.6.7 Instation¨ are Diffusion In Abschnitt 2.6.3 war gezeigt worden, dass die Differentialgleichung der instation¨ aren Diffusion von gleicher Art wie die W¨armeleitungsgleichung ist und dass sich infolgedessen viele Diffusionsprobleme auf entsprechende W¨armeleitprobleme zur¨ uckf¨ uhren lassen. Wir wollen dies im Folgenden an der instation¨ aren Diffusion in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨orper und in den einfachen K¨ orpern Platte, Zylinder und Kugel er¨ortern. 2.6.7.1 Instation¨ are Diffusion in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper Wir behandeln die instation¨ are Diffusion eines Stoffes in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨ orper B. In diesem sei der Stoff A zur Zeit t = 0 mit der Konzentration cAα gespeichert. Die gesuchte Konzentrationsverteilung ugt unter der Annahme cD = const der Differentialgleichung cA ≡ cA (x, t) gen¨ ∂ 2 cA ∂cA =D , ∂t ∂x2 und soll die Anfangsbedingung

t ≥ 0,

x≥0

(2.416)

cA (t = 0, x) = cAα = const erf¨ ullen. An der Oberfl¨ ache des K¨ orpers kommen analog zum W¨armeleitproblem folgende Bedingungen in Frage:

2.6 Diffusion

– – –

287

¨ eine sprunghafte Anderung der Oberfl¨ achenkonzentration auf den Wert cA0 , der f¨ ur t > 0 konstant bleiben soll, Zufuhr einer konstanten Stoffmengenstromdichte n˙ A0 , ¨ eine sprunghafte Anderung der Umgebungskonzentration auf den Wert ubergang mit dem Stoff¨ ubergangskoeffizienten β cAU = cA0 , so dass Stoff¨ stattfindet.

Wie man erkennt, kann man wegen der Gleichartigkeit der Differentialgleichungen, der Anfangs- und der Randbedingungen die L¨osung der W¨armeleitprobleme von Abschnitt 2.3.3 sinngem¨ aß auf die der Diffusionsprobleme u ¨ bertragen. Es gelten die Entsprechungen der folgenden Tabelle. Tabelle 2.19: Entsprechungen zwischen Gr¨ oßen der W¨ armeleitung und der Diffusion W¨ armeleitung

Diffusion

ϑ

cA

a

D

t = at/L

t+ D

Bi = αL/λ √ x/2 at √ b = λc

BiD = βL/D √ x/2 Dt √ bD = D

+

2

= Dt/L2

Mit diesen Entsprechungen lassen sich aus den bereits behandelten L¨osungen von W¨ armeleitproblemen die L¨ osungen der entsprechenden Diffusionsprobleme anschreiben. F¨ ur instation¨ are Diffusion in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨or¨ per bei sprunghafter Anderung der Oberfl¨ achenkonzentration findet man aus (2.126) x cA − cAα (2.417) = erfc √ cA0 − cAα 2 Dt und mit (2.131) die u ¨bergehende Stoffmengenstromdichte √ D x2 ! √ n˙ A (t, x) = . (cA0 − cAα )exp − 4Dt πt

(2.418)

Die an der Oberfl¨ ache x = 0 u ¨bergehende Stoffmengenstromdichte ist √ D √ n˙ A (t, x = 0) = (cA0 − cAα ) . (2.419) πt

288

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Entsprechende L¨ osungen erh¨ alt man aus (2.135), wenn der Oberfl¨ache eine konstante Stoffmengenstromdichte n˙ A0 zugef¨ uhrt wird, und aus (2.140), wenn ein Stoff¨ ubergang von der Oberfl¨ ache an ein anderes Fluid stattfindet. 2.6.7.2 Instation¨ are Diffusion in einfachen K¨ orpern bei eindimensionalem Stofffluss Das zeitabh¨ angige Konzentrationsfeld cA (x, t) in einem K¨orper wird durch die der W¨ armeleitungsgleichung (2.157) entsprechende, f¨ ur cD = const g¨ ultige Diffusionsgleichung ∂cA ∂ 2 cA n ∂cA ! =D (2.420) + ∂t ∂r2 r ∂r mit n = 0 f¨ ur die Platte, n = 1 f¨ ur den Zylinder und n = 2 f¨ ur die Kugel bestimmt, wenn man geometrisch eindimensionale Diffusion in r-Richtung annimmt. Wie bei der W¨ armeleitung bedeutet r die radiale Koordinate f¨ ur Zylinder und Kugel. Der Zylinder soll sehr lang im Vergleich zu seinem Durchurfen nicht von messer sein. Die Konzentrationen cA in Zylinder und Kugel d¨ der Winkelkoordinate abh¨ angen. Bei der Platte soll die x-Koordinate vor¨ ubergehend mit r bezeichnet werden. Sie z¨ ahlt von der Plattenmitte aus. Mit der Anfangsbedingung t=0:

cA (r) = cAα ,

0≤r≤R

und den Randbedingungen r = 0 : ∂cA /∂r = 0 r = R : −D∂cA /∂r = β(cA − cAU ) ergeben sich durch sinngem¨ aße Anwendung der L¨osungen der entsprechenden W¨ armeleitprobleme folgende Ergebnisse. Wir setzen dabei c+ A =

cA − cAU . cAα − cAU

F¨ ur die ebene Platte folgt aus (2.171) und (2.172) sowie mit BiD und t+ D nach Tab. 2.19 und r+ = r/R: + + c+ A (r , tD )

=

∞  i=1

2 BiD 1 cos(μi r+ )exp(−μ2i t+ D) Bi2D + BiD + μ2i cos μi

(2.421)

mit den Eigenwerten μi aus tan μ = BiD /μ .

(2.422)

2.7 Aufgaben

289

Die mittlere Konzentration c+ Am folgt aus (2.174) + 2 c+ Am (tD ) = 2BiD

∞  i=1

exp(−μ2iD t+ D) . μ2i (Bi2D + BiD + μ2i )

(2.423)

Analoge Ergebnisse erh¨ alt man mit den Gleichungen von Kapitel 2.3.4.4 f¨ ur den Zylinder und die Kugel. + Beispiel 2.16: Wie lautet die Gleichung f¨ ur die mittlere Konzentration c+ Am (tD ) einer Kugel, wenn die Konzentration vom Anfangswert cA (r, t = 0) = cAα sprunghaft auf den Wert cA (r = R, t) = cA0 anstieg? ¨ Die sprunghafte Anderung der Oberfl¨ achenkonzentration bei r = R ist nur m¨ oglich, wenn der Stoff¨ ubergangswiderstand 1/βA zwischen Oberfl¨ ache A und Umgebung vernachl¨ assigbar gering wird. Dann wird β → ∞ und somit BiD = ‹ ur βR/DAB → ∞ und cA0 = cAU , und es wird c+ Am = (cAm − cA0 ) (cAα − cA0 ). F¨ die Kugel erh¨ alt man aus (2.183) und (2.185)

+ + c+ A (r , tD ) =

∞ X

2 BiD

i=1

μ2i + (BiD − 1)2 sin μi sin(μi r + ) exp(−μ2i t+ D ) (2.424) μ2i + BiD (BiD − 1) μi μi r +

mit den Eigenwerten μi aus μ cot μ = 1 − BiD .

(2.425)

Die mittlere Konzentration ist gem¨ aß (2.184) + 2 c+ Am (tD ) = 6 BiD

∞ X i=1

exp(−μ2i t+ D) . μ2i [μ2i + BiD (BiD − 1)]

(2.426)

F¨ ur BiD → ∞ erh¨ alt man aus (2.425) die Eigenwerte μ1 = π, μ2 = 2π, μ3 = 3π . . . und als mittlere Konzentration aus (2.426) + c+ Am (tD ) = 6

∞ X exp(−μ2i t+ ) D

i=1

μ2i

.

ur auch schreiben Mit den Eigenwerten μi = iπ, i = 1, 2, 3 . . . kann man daf¨ + c+ Am (tD ) =

∞ 6 X exp(−i2 π 2 t+ D) . π 2 i=1 i2

(2.427)

2.7 Aufgaben 2.1: Man leite die Differentialgleichung f¨ ur das Temperaturfeld ϑ = ϑ(r, t) her, das sich in einem Zylinder bei instation¨ arer, geometrisch eindimensionaler W¨ armeleitung in radialer Richtung einstellt. Dazu gehe man von der Energiebilanz f¨ ur einen Hohlzylinder mit dem Innenradius r und der Dicke Δr aus und vollziehe den Grenz¨ ubergang Δr → 0. Die Stoffwerte λ und c sollen von ϑ abh¨ angen; innere W¨ armequellen treten nicht auf.

290

2 W¨ armeleitung und Diffusion

2.2: Eine Oberfl¨ ache (x = 0) einer sich abk¨ uhlenden Platte der Dicke δ ist isoliert, w¨ ahrend u ache W¨ arme an ein Fluid mit der Temperatur ¨ ber die andere Oberfl¨ ur ϑF u ¨ bergeht. Man skizziere den Temperaturverlauf ϑ = ϑ(x, t∗ ) in der Platte f¨ ahe der beiden eine feste Zeit t∗ . Welchen Bedingungen muss diese Kurve in der N¨ Oberfl¨ achen x = 0 und x = δ gen¨ ugen, wenn die Biot-Zahl Bi = αδ/λ = 1,5 ist? Man skizziere außerdem den Verlauf der Fluidtemperatur in der Grenzschicht an der Plattenoberfl¨ ache unter Ber¨ ucksichtigung der Bedingung N u = αδ/λF = 10; armeleitf¨ ahigkeit des Fluids. λF ist die W¨ 2.3: Das Temperaturprofil in einer Stahlplatte mit der Dicke δ = 60 mm und der konstanten Temperaturleitf¨ ahigkeit a = 12,6 · 10−6 m2 /s ist zu einer festen Zeit t0 durch « „ ϑ − ϑ1 1 , 0 ≤ x+ ≤ 1 , = x+ − B(t0 ) cos π(x+ − ) ϑ+ := ϑ2 − ϑ1 2 und ϑ2 = 250 mit B(t0 ) = 0,850 gegeben. Dabei ist x+ := x/δ; ϑ1 = 100 sind die konstanten Oberfl¨ achentemperaturen der Platte bei x+ = 0 und x+ = 1. armt sich die Platte a) Man zeichne den Temperaturverlauf ϑ = ϑ(x, t0 ). Erw¨ oder k¨ uhlt sie sich ab? b) An welcher Stelle x+ andert sich die Temperatur am schnellsten mit der Zeit? T ¨ Wie groß ist dort ∂ϑ/∂t? + c) Stimmt x+ ¨ berein, an der das Temperaturprofil zur Zeit T mit der Stelle xmin u t0 sein Minimum hat? d) Man bestimme die Zeitfunktion B(t) unter Ber¨ ucksichtigung der Anfangsbeare Temperaturverlauf ergibt sich f¨ ur dingung B(t0 ) = 0,850. Welcher station¨ t → ∞? 2.4: In einem sehr langen Zylinder mit dem Radius R wird durch eine Reaktion W¨ arme freigesetzt. Die Leistungsdichte nimmt mit dem Abstand r von der Zylinderachse zu: ˙ (r) = W ˙ R (r/R)m W

,

m≥0 .

a) Wie groß ist die vom Zylinder abgegebene W¨ armestromdichte q(R)? ˙ Wie groß ˙ R sein, damit q(R) muss W ˙ mit der W¨ armestromdichte u ¨ bereinstimmt, die ein ˙ 0 abgibt? gleichgroßer Zylinder mit r¨ aumlich konstanter Leistungsdichte W ¨ b) F¨ ur einen Zylinder mit konstantem λ berechne man die Ubertemperatur Θ(r) = ϑ(r) − ϑ(R) unter Benutzung des Ansatzes i h Θ(r) = A 1 − (r/R)k , der den Randbedingungen r = 0 : dΘ/ dr = 0

und

r=R: Θ=0

gen¨ ugt. ¨ ¨ c) Man vergleiche die maximale Ubertemperatur Θmax mit der maximalen Uber0 ˙ 0 . Wie eines Zylinders mit der konstanten Leistungsdichte W temperatur Θmax 0 , wenn beide Zylinder gleich viel W¨ arme groß ist das Verh¨ altnis Θmax /Θmax 0 f¨ ur m = 0, 1, 2 und 3. abgeben? Man berechne Θmax /Θmax

2.7 Aufgaben

291

2.5: Aus einer Isolierschicht ragt ein st¨ ahlerner Bolzen (d = 20 mm, λ = 52,0 W/K m) heraus, vgl. Abb. 2.68. Sein linkes Ende wird auf der konstanten gehalten. Der Bolzen ist u Temperatur ϑ∗ = 75,0 ¨ ber die Strecke Lis = 100 mm vollkommen isoliert; das um L = 200 mm herausragende St¨ uck gibt W¨ arme ab, wobei der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an die Umgebung mit ϑU = 15,0 ache maßgebend ist. α = 8,85 W/m2 K am Bolzenumfang und an der freien Stirnfl¨

Abb. 2.68: Stahlbolzen, der aus einer Isolierschicht ragt a) Man berechne die Temperaturen ϑ0 und ϑL . b) Wie groß ist der W¨ armestrom, den der Bolzen an die Umgebung abgibt? ache? Welcher W¨ armestrom Q˙ L fließt durch die freie Stirnfl¨ c) Man vergleiche die Ergebnisse, die aus der Temperaturverteilung nach (2.55) folgen, mit den Werten, die sich f¨ ur den an der Stirnfl¨ ache adiabaten Ersatzbolzen mit der L¨ ange LC nach (2.60) ergeben. 2.6: Der Wirkungsgrad ηR gerader Rippen mit rechteckigem Querschnitt l¨ asst sich durch Messen von drei Temperaturen bestimmen: der Temperatur ϑ0 am Rippenfuß, der Temperatur ϑh an der Rippenspitze und der Temperatur ϑU des ur ϑ0 = 75,0 , ϑh = 40,5 Fluids, das die Rippe umgibt. Man bestimme ηR f¨ und ϑU = 15,0 . 2.7: Ein Messingrohr mit dem Außendurchmesser d = 25 mm wird von Luft quer zu seiner Achse angestr¨ omt; der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient sei α = 90 W/m2 K. Das Rohr wird mit Kreisrippen aus Messing (λR = 126 W/K m) versehen, deren ohe h = 20 mm betr¨ agt. Die Oberfl¨ achentempeDicke δR = 1,5 mm und deren H¨ ratur des Rohres und die Lufttemperatur seien konstant. a) Wie viele Rippen m¨ ussen je Meter Rohrl¨ ange angebracht werden, damit sich der an die Luft abgegebene W¨ armestrom versechsfacht? Es kann αR = α gesetzt werden. b) Die Rippenh¨ ohe wird auf h = 30 mm vergr¨ oßert. Um welchen Faktor vergr¨ oßert sich der W¨ armestrom gegen¨ uber dem berippten Rohr nach a)? 2.8: Ein Rohr mit dem Durchmesser d = 0,30 m und der Oberfl¨ achentemperatur ϑR = 60 ist im Erdboden (λ = 1,20 W/K m) so verlegt, dass seine Achse 0,80 m arme¨ uberunter der Oberfl¨ ache liegt. Die Lufttemperatur ist ϑL = 10 ; der W¨ gangskoeffizient zwischen Luft und Erdoberfl¨ ache sei α = 8,5 W/m2 K. Wie groß ˙ ist der auf die Rohrl¨ ange L bezogene Verlustw¨ armestrom Q/L des Rohres? 2.9: Ein Straßenbelag aus Asphalt (λ = 0,65 W/K m,  = 2120 kg/m3 , c = 920 J/kg K) habe durch l¨ angere Sonneneinstrahlung die Temperatur ϑ0 = 55 nicht nur an seiner Oberfl¨ ache, sondern auch in den Schichten mehrere Zentimeter unter der Oberfl¨ ache erreicht. Pl¨ otzlich einsetzender Regen senkt die Oberfl¨ achentemperatur 10 min lang auf ϑS = 22 . Man berechne

292

2 W¨ armeleitung und Diffusion

a) die auf die Oberfl¨ ache bezogene W¨ arme, die der Asphalt w¨ ahrend des Regens abgibt, und b) die Temperatur, die sich in 3,0 cm Tiefe am Ende des Regenschauers einstellt. 2.10: Eine sehr dicke Betonwand (λ = 0,80 W/K m,  = 1950 kg/m3 , c = 880 J/kg K) hat anf¨ anglich die gleichf¨ ormige Temperatur ϑ0 = 20 . Sie wird an ihrer Oberfl¨ ache mit der konstanten W¨ armestromdichte q˙0 = 650 W/m2 (Sonneneinstrahlung) aufgeheizt. Welche Temperatur erreicht die Oberfl¨ ache nach 2,0 h? Wie hoch ist zu dieser Zeit die Temperatur in 10 cm Tiefe? 2.11: Man l¨ ose Aufgabe 2.10 unter der zus¨ atzlichen Bedingung, dass die Betonabgibt, wobei der wand W¨ arme an Luft mit der Temperatur ϑU = ϑ0 = 20 W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α = 15,0 W/m2 K maßgebend ist. 2.12: Es soll das Eindringen der t¨ aglichen und jahreszeitlichen Temperaturschwankungen in das Erdreich (a = 0,35 · 10−6 m2 /s) untersucht werden. Dazu wird f¨ ur die Oberfl¨ achentemperatur die harmonische Schwingung ϑ0 (t) = 10,0

+ Δϑ cos(2π t/t0 )

mit der Schwingungsdauer t0 angenommen. a) Man zeige, dass die Amplitude der t¨ aglichen Temperaturschwankungen assigbar klein ist. (Δϑ = 10 , t0 = 24 h) bereits in 1 m Tiefe vernachl¨ b) F¨ ur die jahreszeitlichen Temperaturschwankungen (Δϑ = 25 , t0 = 365 d) berechne man den Temperaturverlauf in 2 m Tiefe. Wie groß sind dort die h¨ ochste und die niedrigste Temperatur, und an welchem Tag des Jahres treten sie jeweils auf unter der Annahme, dass das Maximum der Oberfl¨ achentemperatur am 1. August erreicht wird. 2.13: Eine ebene Wand aus Schamottesteinen hat die Dicke δ = 0,325 m und achen die Stoffwerte λ = 1,15 W/K m, a = 0,613 · 10−6 m2 /s. Eine ihrer Oberfl¨ ist isoliert, u arme an die Umgebung (ϑU = 20,0 ) u ¨ ber. ¨ ber die andere geht W¨ Die Wand hatte anf¨ anglich die Temperatur ϑ0 = 180,0 . Zur Zeit t1 ist die Temperatur ihrer nicht isolierten Oberfl¨ ache ϑW1 = 50,0 ; zur Zeit t2 = t1 + gesunken. 8,50 h ist die Oberfl¨ achentemperatur auf ϑW2 = 41,9 a) Wie groß ist der f¨ ur die Abk¨ uhlung maßgebende W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α? b) Man berechne die Temperaturen der isolierten Wandoberfl¨ ache f¨ ur die Zeiten t1 und t2 . 2.14: Eine Kugel aus Kunststoff (λ = 0,35 W/K m, c = 2300 J/kg K,  = erhitzt 950 kg/m3 ) mit dem Durchmesser d = 20 mm, die auf ϑ0 = 110,0 ab; der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient wurde, k¨ uhlt sich in Luft von ϑU = 15,0 ist α = 8,75 W/m2 K . a) Welche Temperatur erreicht die Kugel nach 20 min? Man verwende die N¨ aherungsgleichung f¨ ur kleine Biot-Zahlen, vgl. Abschnitt 2.3.5.2. b) Man vergleiche das Ergebnis von a) mit der exakten L¨ osung durch Berechnen ache und im der Mitteltemperatur ϑm und der Temperaturen an der Oberfl¨ Kugelmittelpunkt.

2.7 Aufgaben

293

2.15: Ein sehr langes Stahlband mit rechteckigem Querschnitt (h = 15 mm, b = 50 mm) und der Temperaturleitf¨ ahigkeit a = 3,8 · 10−6 m2 /s wird durch ein ¨ ¨ Olbad von L = 4,0 m L¨ ange gezogen. Das Olbad hat die konstante Temperatur ¨ die Temperatur ϑ0 = ϑF = 50 ; das Stahlband hat beim Eintritt in das Ol ¨ sei so groß, arme¨ ubergangskoeffizient zwischen Stahlband und Ol 375 . Der W¨ dass die Oberfl¨ ache des Stahlbands die Temperatur ϑF annimmt. Mit welcher ¨ gezogen werden, damit es Geschwindigkeit w muss das Stahlband durch das Ol ¨ beim Verlassen des Olbads in seiner Mittelachse die Temperatur ϑk = 65 erreicht? Die axiale W¨ armeleitung im Stahlband ist zu vernachl¨ assigen. 2.16: Ein gusseisernes Rohr (λ = 51,0 W/K m) mit dem Innendurchmesser arke δ = 7,5 mm ist mit Wasser gef¨ ullt, das die Temdi = 40 mm und der Wandst¨ hat. Die Außenluft habe die Temperatur ϑ0 = −8,0 ; der peratur ϑE = 0,0 W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zwischen Rohr und Luft sei α = 25 W/m2 K. Nach welcher Zeit hat sich im Rohr eine Eisschicht der Dicke s = 15 mm gebildet, so dass wegen der Volumenvergr¨ oßerung des Eises gegen¨ uber dem Wasser mit dem Platzen des Rohres gerechnet werden muss? Wie lange w¨ urde es dauern, bis der Rohrinhalt vollst¨ andig gefroren ist? Stoffwerte von Eis bei 0 :  = 917 kg/m3 , λ = 2,25 W/K m, hE = 333 kJ/kg. 2.17: Zur Messung der W¨ armeleitf¨ ahigkeit wird in einer gr¨ oßeren, meist zylinderf¨ ormigen Probe des zu untersuchenden Materials ein sehr d¨ unner Platindraht der L¨ ange L zentrisch so angebracht, dass sehr guter Kontakt zwischen dem Draht und dem ihn umgebenden Material besteht. Bis zur Zeit t = 0 befindet sich diese Anordnung auf einer konstanten Temperatur ϑ0 . Dann wird der Draht elektrisch mit der konstanten Leistung Q˙ 0 beheizt. Zu den Zeiten t1 und t2 werden die Temperaturen ϑ1 und ϑ2 des Platindrahtes (z.B. aus seiner Widerstands¨ anderung) bestimmt. Nach [2.82], S. 442, erh¨ alt man die W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Materials, das den Draht umgibt, aus λ=

t2 Q˙ 0 /L ln . 4π(ϑ2 − ϑ1 ) t1

Man leite diese Beziehung aus Gl. (2.235) von Abschnitt 2.3.7.2 her. 2.18: Eine sehr dicke Wand mit konstanter Temperaturleitf¨ ahigkeit a und der ache her aufgeheizt. Dort konstanten Anfangstemperatur ϑ0 wird von ihrer Oberfl¨ steigt die Temperatur zwischen t = 0 und t = t∗ linear mit der Zeit t auf den ur t > t∗ konstant bleibt. Es soll der Temperaturverlauf Wert ϑ1 > ϑ0 , der f¨ in der Wand zu den Zeiten t = t∗ und t = 2 t∗ numerisch berechnet werden. Man benutze das einfache explizite Differenzenverfahren, w¨ ahle Δt = t∗ /6 und + M = 1/3, und rechne mit der normierten Temperatur ϑ = (ϑ − ϑ0 )/(ϑ1 − ϑ0 ). Man vergleiche die numerisch berechneten Werte mit der geschlossenen L¨ osung 8 « „ t x > > f¨ ur 0 ≤ t ≤ t∗ , > < t∗ F 2√at ! + „ « ϑ (x, t) = x x t − t∗ t > > √ p F F − f¨ ur t ≥ t∗ , > : t∗ ∗ t 2 at 2 a(t − t∗ ) wobei

bedeutet.

2 F (ξ) = (1 + 2 ξ 2 ) erfc ξ − √ ξ exp(−ξ 2 ) π

294

2 W¨ armeleitung und Diffusion

2.19: Ein langer Hohlzylinder aus Kunststoff (λ = 0,23 W/K m, c = 1045 J/kg K,  = 2200 kg/m3 ) mit den Durchmessern di = 60 mm und da = 100 mm hat anf¨ anglich die Temperatur ϑ0 = 20 , die mit der Umgebungs-(Luft-)Temperatur u ¨ bereinstimmt. Zur Zeit t = 0 wird der Hohlzylinder mit einer heißen Fl¨ ussigkeit gef¨ ullt und so beheizt, dass seine Innenwandtemperatur f¨ ur t ≥ 0 den annimmt. An der Außenwand des Zylinders geht W¨ arme an die Wert ϑi = 80 Luft u arme¨ ubergangskoeffizienten α = 12,0 W/m2 K. ¨ ber mit dem W¨ a) Man wende das explizite Differenzenverfahren mit Δr = 4,0 mm an, zeige, dass die Schrittweite Δt = 60 s zul¨ assig ist, und berechne damit den Temperaturverlauf im Hohlzylinder zur Zeit t∗ = 15 min. b) Wie groß ist der Unterschied zwischen der station¨ aren Temperaturverteilung und den f¨ ur die Zeit t∗ berechneten Temperaturen? 2.20: Der Wirkungsgrad einer quadratischen Scheibenrippe, die auf einem Rohr aherungsweise mit dem Radius r0 sitzt, soll mit einem Differenzenverfahren n¨ bestimmt werden. Die Rippe hat die Seitenl¨ ange s = 4 r0 , die konstante Dicke armeleitf¨ ahigkeit λR . Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αR sei auf δR und die W¨ der Rippenoberfl¨ ache konstant. Die Temperatur am Rippenfuß sei ϑ0 , die Umgebungstemperatur ϑU . Dem Differenzenverfahren zur Berechnung des dimensionslosen Temperaturfelds ϑ+ = (ϑ − ϑU )/(ϑ0 − ϑU ) wird das in Abb. 2.69 dargestellte quadratische Gitter mit Δx = 0,40 r0 zugrundegelegt. Wegen der + Symmetrie gen¨ ugt es, die 12 Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ12 zu bestimmen.

Abb. 2.69: Quadratische Scheibenrippe auf einem Kreisrohr mit quadratischem Gitter der Maschenweite Δx = 0,40 r0 . Die gestrichelten Linien achen. begrenzen die den Temperaturen ϑ+ i zugeordneten Fl¨

2.7 Aufgaben

295

+ a) Man stelle die linearen Gleichungen f¨ ur die Temperaturen ϑ+ 1 bis ϑ12 auf. Dap bei verwende man zur Abk¨ urzung die Gr¨ oße m = 2αR /λR δR nach (2.71). Man beachte, dass den Gitterpunkten 5, 9 und 12 nur die Fl¨ ache Δx2 /2 und ur den Punkten 10 und 11 ein noch zu berechnender Teil der Fl¨ ache Δx2 f¨ den W¨ arme¨ ubergang zugeordnet ist. + b) F¨ ur mΔx = 0,40 berechne man ϑ+ 1 bis ϑ12 und bestimme daraus einen N¨ aherungwert f¨ ur ηR . Man vergleiche diesen Wert mit dem, der sich aus den N¨ aherungsgleichungen (2.82) und (2.83) ergibt.

2.21: Die in Abb. 2.70 dargestellte Wand ist Ecke eines Industrieofens aus Silikasteinen. Auf der Außenseite wird der Ofen von Luft gek¨ uhlt, w¨ ahrend die Tempeagt. Der W¨ arme¨ uberratur der Innenwand weiterhin konstant ist und 500◦ C betr¨ gangskoeffizient an die Außenluft ist α = 10 W/m2 K, ihre Umgebungstemperatur armeleitf¨ ahigkeit der Silikasteine betr¨ agt λ = 0, 8 W/Km, die ϑU = 20◦ C. Die W¨ Wanddicke ist δ = 0, 25 m. Man berechne mit Hilfe der Finite-Element-Methode die Temperaturen ϑ0 , . . . , ϑ4 sowie die Außentemperaturen ϑ5 , . . . , ϑ10 . Um wieviel verringert sich die an die Luft abgef¨ uhrte W¨ arme verglichen mit der bei konstanter Außentemperatur des Beispiels 2.8?

Abb. 2.70: Wand eines Raumes mit quadratischem Grundriss. W¨ arme¨ ubertragung an die umgebende Luft. FEM-Gitternetz

2.22: Zur K¨ uhlung eines elektrisch beheizten Bauelements dient die in Abb. 2.71 dargestellte Grundplatte mit dem darauf befindlichen Gitter aus 60 Rundst¨ aben. quer angestr¨ omt mit Die St¨ abe werden von Luft der Temperatur ϑU = 20 einem W¨ arme¨ ubergangskoeffizient von α = 20 W/m2 K. Sie bestehen aus Aluminium der W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 200 W/Km, der spez. W¨ armekapazit¨ at c = 900 J/kg K und der Dichte  = 2700 kg/m3 . Jeder Stab hat einen Durchmesser von d = 0, 01 m und eine L¨ ange von L = 0, 1 m. Die Anfangstemperatur aben der St¨ abe ist ϑ0 = ϑU = 20 . Bei Einschalten der Heizung wird den 60 St¨ ein W¨ armestrom von 600 W zugef¨ uhrt. Gleichzeitig wird die Luftk¨ uhlung eingeschaltet.

296

2 W¨ armeleitung und Diffusion

Abb. 2.71: Querangestr¨ omte Gitterst¨ abe auf einer Grundplatte zur K¨ uhlung elektronischer Bauelemente

Man berechne mit der Finite-Element-Methode den zeitlichen und ¨ ortlichen Temperaturverlauf in den St¨ aben unter der Annahme, dass jedem Stab der gleiche W¨ armestrom zugef¨ uhrt wird, und dass man den W¨ armestrom, der von der freien Fl¨ ache der Grundplatte an die Luft abgef¨ uhrt wird, vernachl¨ assigen kann. Die Lufttemperatur in einigem Abstand von der Staboberfl¨ ache ¨ andert sich beim Durchstr¨ omen des Stabb¨ undels nur wenig und betr¨ agt dort unver¨ andert 20 . 2.23: Eine 75 mm dicke Holzplatte enth¨ alt 2,8 Massen-% Wasser bezogen auf das trockene Holz, entsprechend einem Massenanteil von ξAα = 0,218. Im Gleichgewicht mit der Umgebung w¨ urde sich der Massenanteil auf ξAU = 0,065 verringern. Wie lange dauert es, bis der Massenanteil des Wassers in der Plattenmitte auf ξA (x = 0) = 0,08 gesunken ist? Der Diffusionskoeffizient von Wasser in Holz ist D = 1,2 · 10−9 m2 /s. 2.24: Statt der 75 mm dicken Holzplatte der vorigen Aufgabe soll ein sehr langer Holzstamm mit quadratischem Querschnitt von 75 mm Kantenl¨ ange getrocknet werden. Die Massenanteile des Wassers und der Diffusionskoeffizient seien dieselben wie in der vorigen Aufgabe: ξAα = 0,218, ξAU = 0,065, D = 1,2 · 10−9 m2 /s. Wie lange dauert es, bis der Wasseranteil im Kern des Stammes auf den Wert ξA (x = 0, y = 0) = 0,08 gesunken ist? 2.25: In einem Spr¨ uhabsorber wird ammoniakhaltiges Abgas durch Wasser gereinigt. Das Abgas und die Wassertropfen werden nach Abb. 2.72 im Gegenstrom gef¨ uhrt. An der Oberfl¨ ache der herabfallenden Wassertropfen stellt sich des eingespr¨ uhten Wassers und zum Druck von die zur Temperatur von 10 0,11 MPa geh¨ orende S¨ attigungskonzentration an Ammoniak (Stoff A) ein. Der Massenanteil Ammoniak bei S¨ attigung betr¨ agt ξA0 = 0,4. Gegeben sind folgende Massenstr¨ ome und Massenanteile: zugef¨ uhrter Wassermengenstrom M˙ W = 2,3 kg/s, zugef¨ uhrter Abgasmengenstrom M˙ Ge = 4,4 kg/s, Massenanteil Ammoniak G G = 0,12; er soll auf ξAa = 0,006 im abstr¨ omenden Abim zugef¨ uhrten Abgas ξAe L = 0,24 gas verringert werden; der Massenanteil Ammoniak im Abwasser darf ξAa betragen. Der Wasseranteil im Abgas sei vernachl¨ assigbar.

2.7 Aufgaben

297

Abb. 2.72: Reinigung von Gasen in einem Spr¨ uhabsorber ˙ Ga von Abgas, M˙ La von Abwasser und a) Wie groß sind die Massenstr¨ ome M uhren? welchen Massenstrom M˙ W Wasser muss man dem Absorber zuf¨ L = b) Nach welcher Zeit ist der mittlere Massenanteil NH3 im Abwasser auf ξAa 0,24 angewachsen? Der Durchmesser der Wassertropfen betrage 3 mm und der Diffusionskoeffizient von NH3 in H2 O ist D = 1,5 · 10−9 m2 /s. c) Wie hoch wird der Spr¨ uhabsorber, wenn die Wassertropfen in dem nach oben str¨ omenden Abgas mit einer Geschwindigkeit w = 0,1 m/s nach unten fallen? 2.26: Trockene Styroporkugeln von 60 mm Durchmesser werden 1 h lang mit Wasser berieselt. Wieviel Wasser nimmt jede Kugel auf, wenn der Diffusionskoagt? effizient von Wasser (Stoff A) in Styropor (Stoff B) D = 1,8 · 10−8 m2 /s betr¨

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoffu omungen ¨ bergang. Einphasige Str¨

Im ersten Kapitel waren der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient durch q˙ = αΔϑ und der Stoff¨ ubergangskoeffizient f¨ ur einen Stoff A durch n˙ A = βΔcA definiert worden. Der so eingef¨ uhrte Stoff¨ ubergangskoeffizient galt f¨ ur verschwindenden Konvektionsstrom und musste f¨ ur endlichen Konvektionsstrom noch korrigiert werden. Diese Gleichungen beschreiben zwar den konvektiven W¨ arme- und Stoff¨ ubergang, sie sind jedoch weiter nichts als Definitionsgleichungen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α und den Stoff¨ ubergangskoeffizienten β, keinesfalls aber als Gesetze des W¨arme- oder Stoff¨ ubergangs anzusehen. Der naturgesetzliche Ablauf des Vorgangs der W¨arme- und Stoff¨ ubertragung ist vielmehr in dem W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten verborgen. Beide sind im Allgemeinen nicht konstant, sondern lokal und bei instation¨ aren Vorg¨ angen auch zeitlich ver¨ anderlich. Sie h¨angen außerdem von der Str¨ omung, von Stoffeigenschaften des Fluids und der geometrischen Gestalt der W¨ arme oder Stoff u ¨ bertragenden Oberfl¨achen ab. Die obigen Definitionsgleichungen f¨ ur den W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten sind somit nicht geeignet, den Mechanismus der W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung zu beschreiben. Das ist nur u ¨ ber ein eingehendes Studium der Str¨omung m¨oglich und soll Gegenstand der folgenden Ausf¨ uhrungen sein. Grunds¨ atzlich unterscheidet man zwischen erzwungener und freier Str¨omung. Eine erzwungene Str¨ omung wird durch ¨außere Kr¨afte hervorgerufen, beispielsweise dadurch, dass die Str¨omung durch eine Pumpe oder ein Gebl¨ase zustande kommt. Eine freie Str¨ omung wird durch Dichteunterschiede angefacht, die ihrerseits auf Temperatur-, Druck- oder Konzentrationsunterschiede zur¨ uckzuf¨ uhren sind. Im Folgenden soll zuerst der W¨arme- und Stoff¨ ubergang bei erzwungener, anschließend der bei freier Str¨omung behandelt werden.

300

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.1 Vorbemerkungen: Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung Um zu erkennen, wie sich W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten mit dem Str¨ omungsweg ¨ andern, betrachten wir eine l¨ angsangestr¨omte ebene Platte und nehmen dabei an, die Platte werde mit der konstanten mittleren Geschwinomt. Gleichbedeutend damit ist die Annahme, die Viskodigkeit wm u ¨berstr¨ sit¨ at des Fluids sei verschwindend gering. Wirkliche Str¨omungen haften an der Wand, so dass die Str¨ omungsgeschwindigkeit vom Wert null an der Wand asymptotisch in die Geschwindigkeit der Außenstr¨omung u ¨ bergeht. Ein Fluid mit verschwindender Viskosit¨ at w¨ urde an der Wand nicht haften. Solche Fluide kommen zwar in der Praxis nicht vor, ihre Einf¨ uhrung erm¨oglicht es uns jedoch, lokale Temperatur- und Konzentrationsfelder und daraus auch lokale W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten mit den bereits bekannten Methoden wenigstens in grober N¨ aherung zu berechnen. Dadurch wird das Verst¨andnis der sp¨ ater folgenden allgemeinen Betrachtungen mit Hilfe der maßgebenden partiellen Differentialgleichungen erleichtert. Eine ebene Platte werde von einem Fluid der Temperatur ϑα mit der konstanten mittleren Geschwindigkeit wm angestr¨omt, Abb. 3.1. Die Oberfl¨achentemperatur der Platte sei konstant und gleich ϑ0 . Falls die Platte heißer ist als das ankommende Fluid ϑ0 > ϑα bildet sich ein Temperaturprofil aus, wie links in Abb. 3.1a eingezeichnet; ist die Platte k¨ alter als das ankommende Fluid, alt man das rechts in Abb. 3.1a eingezeichnete Temperaturϑ0 < ϑα , so erh¨ profil. Die Temperatur¨ anderungen sind auf eine d¨ unne wandnahe Schicht begrenzt, die stromabw¨ arts anw¨ achst, weil sich die Temperatur¨anderung immer weiter in das Fluid fortpflanzt. Die wandnahe Schicht mit der Dicke δT (x), in der die Temperatur¨ anderungen auftreten, heißt Temperaturgrenzschicht, Abb. 3.1b. Sie erstreckt sich asymptotisch in den Außenraum; ihre Dicke muss also durch eine Definition festgelegt werden, beispielsweise dadurch, dass man die Grenze an eine Stelle legt, wo die Temperatur nur noch vernachl¨assigbar wenig — etwa um 1 % — von derjenigen der Außenstr¨omung abweicht. In der Temperaturgrenzschicht wird die einem Fluidelement durch Leitung zugef¨ uhrte W¨ arme in Form von innerer Energie gespeichert und mit dem Fluidelement abgef¨ uhrt. Es ist ϑ = ϑ(x, y). Außerhalb der Temperaturgrenzschicht herrscht mit guter Genauigkeit die konstante Temperatur ϑα der Außenstr¨ omung. Ein im Abstand y von der Wand mit einem Fluidelement mitbewegter Beobachter befindet sich nach der Zeit t am Ort x = wm t. F¨ ur ihn ist die Temperatur ϑ(x, y) = ϑ(wm t, y) nur eine Funktion der Zeit und des Wandabstands y, da die Geschwindigkeit wm konstant sein soll. F¨ ur den mitbewegten Beobachter wird daher die Temperatur ϑ(t, y) durch die bereits bekannte Fouriersche Gleichung (2.14) f¨ ur die instation¨are W¨armeleitung beschrieben, ∂ϑ ∂ 2ϑ =a 2 , (3.1) ∂t ∂y

3.1 Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung

301

Abb. 3.1: a Temperaturprofile und b Temperaturgrenzschicht an einer l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte

wenn wir eine temperaturunabh¨ angige W¨ armeleitf¨ahigkeit λ voraussetzen. Am Ort x = 0 oder zur Zeit t = 0 herrscht die Anfangstemperatur ϑα ; an der Wand ist die Temperatur ϑ0 vorgegeben. Randbedingungen sind somit ϑ(t = 0, y) = ϑα

(3.2)

ϑ(t, y = 0) = ϑ0 .

(3.3)

Zusammen mit (3.1) beschreiben diese Randbedingungen auch das Temperaturfeld in einem einseitig unendlich ausgedehnten K¨orper mit der Anfangstemperatur ϑα , wenn die Oberfl¨ achentemperatur pl¨otzlich den konstanten Wert ϑ0 = ϑα annimmt. Dieses Problem war schon in Abschnitt 2.3.3.1 behandelt worden. Die L¨ osung lautete, vgl. (2.124), y ϑ − ϑα = (ϑ0 − ϑα ) erfc √ . 2 at

(3.4)

Den o arme¨ ubergangskoeffizienten α erh¨alt man aus der Energiebi¨rtlichen W¨ lanz an der Wand

 ∂ϑ . (3.5) q˙ = α(ϑ0 − ϑα ) = −λ ∂y y=0 Die hierin vorkommende Steigung an der Wand ergibt sich durch Differentiation von (3.4) zu

 ∂ϑ 1 = −(ϑ0 − ϑα ) √ . ∂y y=0 πat Damit wird der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient λ α= √ πat oder mit t = x/wm

" wm 1 . α= √ λ ax π

(3.6)

302

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm ist der integrale Mittelwert u ¨ ber die Plattenl¨ ange L 1 αm = L

L

" 1 wm α dx = 2 √ λ = 2α(x = L) . aL π

(3.7)

x=0

Er ist zweimal so groß wie der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an der Stelle L. Wie aus (3.6) folgt, f¨ allt der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient mit der uberLaufl¨ ange gem¨ aß α ∼ x−1/2 . Am Plattenanfang x → 0 wird der W¨arme¨ gangskoeffizient extrem groß, α → ∞, und demnach auch die u ¨ bertragene W¨ armestromdichte sehr groß, q˙ → ∞. Nach sehr großen Laufl¨angen, x → ∞, wird der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient verschwindend klein, α → 0. Eine Absch¨ atzung der Dicke δT der Temperaturgrenzschicht erh¨alt man durch Linearisieren des Temperaturanstiegs

 ∂ϑ ϑα − ϑ0 ≈ . ∂y y=0 δT Damit folgt aus (3.5) α≈

λ . δT

Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient ist umgekehrt proportional zur Dicke der Temperaturgrenzschicht. Der W¨ armewiderstand 1 δT ≈ α λ ist proportional zur Dicke der Temperaturgrenzschicht. Er ist verschwindend klein am Plattenanfang (δT → 0, α → ∞) und w¨achst u ¨ber alle Maßen, wenn die Platte unendlich lang wird (δT → ∞, α → 0). Mit Hilfe von (3.6) findet man, dass die Temperaturgrenzschicht " ax λ √ (3.8) δT ≈ = π α wm mit der Quadratwurzel aus der Laufl¨ ange x anw¨achst. Um das analoge Problem der Stoff¨ ubertragung zu untersuchen, nehmen wir an, eine ebene Platte sei mit einem Stoff A u ¨ berzogen, beispielsweise Naphthalin, der in das l¨ angs der Platte str¨ omende Fluid, beispielsweise Luft, diffundiert. Damit unserer Voraussetzung entsprechend sich die Str¨omungsgeschwinangs des Str¨ omungsweges nicht ¨andert, m¨ ussen wir andigkeit wm des Fluids l¨ nehmen, dass die durch Diffusion u ¨ bergehende Stoffmenge vernachl¨assigbar klein im Vergleich zur vorbeistr¨ omenden Stoffmenge ist. Die wandnormale Konvektion soll also keine Rolle spielen. Die Konzentration cA0 des Stoffes A an der Plattenoberfl¨ ache ist konstant, die Konzentration des ankommenden Fluids sei cAα < cA0 . Im Fall des idealen Gases ist cA = NA /V = pA /Rm T ,

3.1 Die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte bei reibungsfreier Str¨ omung

303

wobei cA0 mit dem S¨ attigungsdruck pA (ϑ0 ) an der Plattenoberfl¨ache und cAα mit dem Partialdruck des Stoffes A im ankommenden Gas zu bilden ist. Es bildet sich ein Konzentrationsprofil aus. Die Konzentrations¨anderungen sind genau wie zuvor die Temperatur¨ anderungen auf eine d¨ unne stromabw¨arts anwachsende Schicht der Dicke δc (x) begrenzt, die man Konzentrationsgrenzschicht nennt. Sie ist f¨ ur den bewegten Beobachter eine Funktion von Zeit und Ort, die durch die bereits bekannte Gleichung (2.380) f¨ ur die instation¨are Diffusion beschrieben wird, in der wir einen konzentrationsunabh¨angigen Diffusionskoeffizienten voraussetzen: ∂ 2 cA ∂ cA =D . ∂t ∂y 2

(3.9)

cA (t = 0, y) = cAα

(3.10)

cA (t, y = 0) = cA0 .

(3.11)

Randbedingungen sind

Das analoge Problem der instation¨ aren W¨ armeleitung war durch (3.1) bis (3.3) gegeben. Entsprechend erh¨ alt man die der Gl. (3.4) verwandte L¨osung y . cA − cAα = (cA0 − cAα ) erfc √ 2 Dt

(3.12)

Wegen cA = x˜A c darf man hierin auch die Konzentration cA durch den Molortlichen Stoff¨ ubergangskoeffizienten erh¨alt man aus anteil x ˜A ersetzen. Den ¨ der Stoffbilanz an der Wand

 ∂x ˜A n˙ A0 = β(cA0 − cAα ) = −cD . (3.13) ∂y y=0 Die Steigung an der Wand ergibt sich durch Differentiation von (3.12) zu

 1 ∂ cA = −(cA0 − cAα ) √ . ∂y y=0 πDt Damit wird der Stoff¨ ubergangskoeffizient D β= √ πDt oder mit t = x/wm 1 β= √ π

"

Dwm . x

Der mittlere Stoff¨ ubergangskoeffizient βm u ¨ ber die Plattenl¨ange L 1 βm = L

L β dx = 2β(x = L) x=0

(3.14)

304

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

ist genau wie der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient zweimal so groß wie der ortliche Wert an der Stelle L. Eine Absch¨ atzung der Dicke δc der Konzentra¨ tionsgrenzschicht folgt aus (3.13) durch Linearisieren des Konzentrationsprofils, x ˜Aα − x ˜A0 cAα − cA0 ∂x ˜A ≈c = , c ∂y δc δc und f¨ uhrt zu dem (3.8) entsprechenden Ausdruck " Dx D √ = π δc ≈ , β wm

(3.15)

wonach die Dicke der Konzentrationsgrenzschicht ebenfalls mit der Wurzel aus der Laufl¨ ange x anw¨ achst. Wie aus (3.8) und (3.15) folgt, ist das Verh¨altnis der Dicken von Temperatur- und Konzentrationsgrenzschicht n¨ aherungsweise durch die schon bekannte Lewis-Zahl Le = a/D, siehe Tabelle 1.5, gegeben: √ δT ≈ Le . δc W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten sind wegen (3.6) und (3.14) ebenfalls durch die Lewis-Zahl miteinander verkn¨ upft " √ α a = = Le . cp β D Da f¨ ur ideale Gasgemische Lewis-Zahlen von der Gr¨oßenordnung eins sind, gilt die schon fr¨ uher mitgeteilte Beziehung (1.199): β = α/ cp .

3.2 Die Bilanzgleichungen Wirkliche Str¨ omungen sind nicht reibungsfrei. Es bildet sich vielmehr infolge der Reibung ein Str¨ omungsfeld aus mit im Allgemeinen ¨ortlich und zeitlich ver¨ anderlichen Geschwindigkeiten. Das Temperatur- und das Konzentrationsfeld werden nicht nur durch Leitung und Diffusion, sondern auch durch die Str¨ omung bestimmt. Gestalt und Verlauf von Str¨omungs-, Temperatur- und Konzentrationsfeld ergeben sich als L¨ osungen der Bilanzgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie, die Gegenstand der folgenden Abschnitte sind.

3.2.1 Das Reynoldssche Transporttheorem Die Herleitung der Bilanzgleichungen wird durch das Reynoldssche Transporttheorem vereinfacht. Um es aufzustellen, betrachten wir eine bestimmte infinitesimal kleine Fluidmasse dM und verfolgen deren Bewegung in einem

3.2 Die Bilanzgleichungen

305

Str¨ omungsfeld. Die Fluidmasse soll immer aus denselben Teilen bestehen; sie besitzt ein bestimmtes Volumen und eine bestimmte Oberfl¨ache. Da sich im Laufe der Bewegung die Gestalt des Fluidvolumens im Allgemeinen ¨andert, k¨ onnen auch Volumen und Oberfl¨ ache mit der Zeit ver¨anderlich sein. Die Masse M des abgegrenzten Fluidvolumens ergibt sich als Summe u ¨ ber alle Massenelemente dM  dM , M= (M)

wof¨ ur man mit der Dichte dM ΔM = , ΔV →0 ΔV dV

 = lim

die in einem Kontinuum eine stetige Funktion der Zeit und der Ortskoordinaten ist, auch  M=

 dV V (t)

schreiben kann. Entsprechend l¨ asst sich jede andere extensive Zustandsgr¨oße Z, wie innere Energie, Enthalpie, Entropie u.a. durch Integration aus den zugeh¨origen spezifischen Zustandsgr¨ oßen bilden. F¨ ur die spezifische Zustandsgr¨oße z gilt dZ ΔZ = , ΔM dM   Z = z dM = z dV z = lim

ΔM→0

woraus

M

V (t)

folgt. Hierin kann die spez. Zustandsgr¨ oße z ein Skalar, ein Vektor oder auch ein Tensor beliebiger Stufe sein. Sie ist wie die Dichte vom Ort und der Zeit abh¨ angig, w¨ ahrend die extensive Zustandsgr¨ oße Z nur zeitabh¨angig ist. Es soll nun die zeitliche Ableitung von Z gebildet werden  d dZ = z dV . dt dt V (t)

Wir schreiben zur Abk¨ urzung f¨ ur die auf das Volumen bezogene Zustandsgr¨oße vor¨ ubergehend z = ZV , die ihrerseits von der Zeit und vom Ort abh¨angt. Definitionsgem¨ aß ist dann dZ Z(t + Δt) − Z(t) = lim Δt→0 dt Δt ⎡ ⎤   1 ⎢ ⎥ = lim ZV (t + Δt) dV − ZV (t) dV ⎦ , ⎣ Δt→0 Δt V (t+Δt)

V (t)

306

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

¨ worin die Ortsabh¨ angigkeit von ZV der Ubersichtlichkeit wegen nicht mitgeschrieben ist. F¨ ur die Ableitung kann man auch schreiben ⎡ ⎤    dZ 1 ⎢ ⎥ = lim (ZV (t +Δt) − ZV (t)) dV + ZV (t) dV − ZV (t) dV ⎦ ⎣ dt Δt→0 Δt V (t+Δt)

oder dZ = dt



V (t+Δt)

ZV (t + Δt) − ZV (t) 1 dV + lim lim Δt→0 Δt→0 Δt Δt

V (t)

V (t)

 ZV (t) dV . (3.16) ΔV (t)

Abb. 3.2: Deformation eines geschlossenen Systems mit dem Volumen V (t) in einer Str¨ omung

Mit ΔV (t) = V (t + Δt) − V (t) ist hierin der Volumenzuwachs w¨ahrend der Zeit Δt bezeichnet. Nach Abb. 3.2 ist das Volumenelement gegeben durch dV = wi dAi Δt.1 Damit geht das zweite Integral in ein Oberfl¨achenintegral u ¨ ber,   1 ZV (t)wi dAi Δt = ZV (t)wi dAi , Δt A(t)

A(t)

und die Grenzwertbildung ist u ussig, da das Zeitintervall Δt nicht mehr ¨ berfl¨ vorkommt. Der Integrand des ersten Integrals geht nach der Grenzwertbildung alt man aus (3.16) das Reynoldssche Transporttheogegen ∂ ZV /∂t. Damit erh¨ rem f¨ ur Volumina, indem man wieder ZV = z setzt   dZ ∂ (z) = dV + zwi dAi . (3.17) dt ∂t V (t)

A(t)

In dieser Gleichung gibt der erste Term auf der rechten Seite an, um wieviel die betrachtete Zustandsgr¨ oße Z im Innern des Volumens V zur Zeit t zunimmt; der zweite Term gibt an, welcher Anteil der Zustandsgr¨oße mit der 1

Wir bedienen uns in diesem und den beiden folgenden Abschnitt 3.3 und 3.4 sowie in den Abschnitt 3.6 und 3.9 der Tensornotation, weil sich mit ihr die ¨ Bilanzgleichungen besonders u u ¨bersichtlich schreiben lassen. Einen Uberblick ¨ ber die Vereinbarungen der Tensornotation findet man im Anhang A1.

3.2 Die Bilanzgleichungen

307

Materie abfließt, denn das Oberfl¨ achenelement dAi ist, wie Abb. 3.2 zeigt, definitionsgem¨ aß nach außen gerichtet, so dass positives wi dAi einen Abfluss aus dem Volumen heraus bedeutet. Anschaulich besagt demnach (3.17), ¨ dass die Anderung der extensiven Zustandsgr¨oße Z einer Materiemenge M mit zeitlich ver¨ anderlichem Volumen V (t) gleich der Zunahme der extensiven Zustandsgr¨ oße im Innern des Volumens V zur Zeit t ist und dem Anteil der Zustandsgr¨ oße, der zur gleichen Zeit mit der Materie aus dem Volumen abfließt. Mit Hilfe des Gaußschen Satzes kann man das Oberfl¨achenintegral noch in ein Volumenintegral umwandeln, und man erh¨alt   ∂ (z) ∂ (zwi ) dZ = dV + dV . (3.18) dt ∂t ∂xi V (t)

V (t)

3.2.2 Die Massenbilanz 3.2.2.1 Reine Stoffe Wir wenden nun (3.18) auf die Masse als extensive Zustandsgr¨oße an, setzen also Z = M und z = M/M = 1. Gleichung (3.18) lautet damit   dM ∂ ∂ wi = dV + dV . (3.19) dt ∂t ∂xi V (t)

V (t)

Da voraussetzungsgem¨ aß die Masse dM der betrachteten infinitesimal kleinen Untersysteme konstant ist, bleibt auch die Masse des Gesamtsystems konstant: Sie befindet sich innerhalb des zeitlich ver¨anderlichen Volumens V (t). Wir betrachten also ein geschlossenes System, und es ist somit dM /dt = 0. Da auch die inifinitesimal kleinen Untersysteme voraussetzungsgem¨aß eine konstante Masse besitzen, gilt (3.19) auch f¨ ur V (t) → 0; es muss also auch die Summe der beiden Integranden verschwinden. Damit erhalten wir ∂  ∂ (wi ) + =0 . ∂t ∂xi

(3.20)

Durch Differentiation ∂ ∂ ∂ wi + wi + =0 ∂t ∂xi ∂xi findet man die der Gleichung (3.20) ¨ aquivalente Beziehung d ∂ wi + =0 , dt ∂xi denn es ist

(3.21)

308

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

d ∂ ∂ = + wi . dt ∂t ∂xi Die Gleichung (3.20) bzw. (3.21) besagt, dass die Masse in einem infinitesimal kleinen Volumenelement erhalten bleibt; sie wird Kontinuit¨atsgleichung genannt. In einem inkompressiblen Fluid ist die Dichte konstant,  = const. Die Kontinuit¨ atsgleichung vereinfacht sich zu ∂ wi =0 . ∂xi Beispiel 3.1: Man zeige mit Hilfe von (3.18) und (3.20), dass folgende Beziehung gilt: Z Z d dz dZ = dV . z dV =  dt dt dt V (t)

V (t)

(3.18) kann man nach Differentiation der Integranden auf der rechten Seite auch schreiben « « Z Z „ Z „ d ∂z ∂ ∂ ( wi ) dZ ∂z = + dV + z z dV z dV = +  wi dt dt ∂t ∂t ∂xi ∂xi V (t)

V (t)

V (t)

„

Z =

z V (t)

∂ ∂ ( wi ) + ∂t ∂xi

«

„

Z 

dV + V (t)

∂z ∂z + wi ∂t ∂xi

« dV .

Wegen der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20) verschwindet das erste Integral auf der rechten Seite. Der Integrand in der Klammer des zweiten Integrals ist gleich dem totalen Differential ∂z ∂z dz . = + wi dt ∂t ∂xi Damit ist die Beziehung Z Z dz d dZ z dV =  = dV dt dt dt V (t)

V (t)

bewiesen.

3.2.2.2 Mehrstoffgemische Es soll nun die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur eine beliebige Komponente A eines aus N Komponenten bestehenden Gemisches aufgestellt werden. Wir betrachten den Stoff A allein. Er soll zur Zeit t das Volumen V (t) einnehmen und die Oberfl¨ ache A(t) besitzen. Durch Abfluss des Stoffes A vergr¨oßert sich das in Abb. 3.2 dargestellte Volumen um dV = wAi dAi Δt, wenn wAi die ¨ Str¨ omungsgeschwindigkeit des Stoffes A ist. Beim Ubergang von (3.16) auf (3.17) und (3.18) ist daher die Schwerpunktsgeschwindigkeit wi durch die Geschwindigkeit wAi des Stoffes A zu ersetzen. Weiterhin setzen wir in (3.17)

3.2 Die Bilanzgleichungen

309

f¨ ur die extensive Zustandsgr¨ oße Z die Masse MA , z = MA /M = ξA und z = MA /V = A und erhalten damit   ∂ A dMA = dV + A wAi dAi . (3.22) dt ∂t V (t)

A(t)

Nach dieser Gleichung setzt sich die Zunahme einer Stoffmenge A aus zwei Anteilen zusammen: aus der Zunahme im Inneren des Systems und aus der Menge des Stoffes A, die aus dem System abfließt. Bezeichnet man mit Γ˙A die Produktionsrate (SI-Einheit kg/m3 s) der Komponente A in einem Volumenelement, so ist  dMA Γ˙A dV . = dt V (t)

Die Produktionsdichte Γ˙A ist im Allgemeinen zeitlich und ¨ortlich ver¨anderlich. Sie wird durch den Ablauf von chemischen Reaktionen im Innern des Systems bestimmt, und es ist Aufgabe der Reaktionskinetik, sie zu ermitteln. Wandelt man in (3.22) das Oberfl¨ achenintegral mittels des Gaußschen Satzes noch in ein Volumenintegral um, so erh¨ alt man    ∂ A ∂ A wAi Γ˙A dV = dV + dV . ∂t ∂xi V (t)

V (t)

V (t)

Da diese Beziehung auch f¨ ur V (t) → 0 gilt, m¨ ussen die Integranden u ¨ bereinstimmen. Es ist daher ∂ (A wAi ) ∂ A + . Γ˙A = ∂t ∂xi

(3.23)

Eine derartige Massenbilanz wird Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung genannt. Sie l¨ asst sich f¨ ur jede Komponente aufstellen. Es gibt daher genau so viele solcher Gleichungen wie Komponenten. Die Summation u ¨ber alle Komponenten f¨ u hrt wieder zur Kontinuit¨ a tsgleichung f¨ u r die Gesamtmas   K =  und K wKi = wi ist. Anstelle der N se, weil Γ˙K = 0, Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichungen f¨ ur ein aus N Komponenten bestehendes System kann man daher auch N − 1 Komponenten-Kontinuit¨atsgleichungen und zus¨ atzlich die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Gesamtmasse verwenden. asst sich auf die DiffusionsstromDie Stoffstromdichte A wAi in (3.23) l¨ ∗ dichte jAi zur¨ uckf¨ uhren ∗ A wAi = jAi + A wi .

Damit geht (3.23) u ¨ber in ∂ A ∂ Γ˙A = (j ∗ + A wi ) + ∂t ∂xi Ai

(3.24)

310

oder

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

∂ ∂ j∗ ∂ A + (A wi ) = − Ai + Γ˙A . ∂t ∂xi ∂xi

Hierin l¨ asst sich die Partialdichte A durch den Massenanteil ξA und die Dichte A = ξA  ausdr¨ ucken, so dass man die linke Seite der Gleichung auch umformen kann in   ∂  ∂ (wi ) ∂ (ξA ) ∂ ∂ ξA ∂ ξA + + + wi (ξA wi ) = ξA . + ∂t ∂xi ∂t ∂xi ∂t ∂xi Der Term in der eckigen Klammer verschwindet wegen der Kontinuit¨atsgleichung (3.20) f¨ ur die Gesamtmasse. Die Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung lautet damit ∂ ξA ∂ j∗ ∂ ξA + wi = − Ai + Γ˙A  ∂t ∂xi ∂xi oder 

∂ j∗ dξA = − Ai + Γ˙A . dt ∂xi

(3.25)

∗ F¨ ur ein Zweistoffgemisch geht sie nach Einsetzen des Diffusionsstroms jAi nach (1.161) mit DAB = DBA = D u ¨ber in

 ∂ ξA ∂ ξA ∂ ∂ ξA  + wi = (3.26) D + Γ˙A . ∂t ∂xi ∂xi ∂xi

Im Fall des ruhenden Systems, wi = 0, ergibt sich die bereits bekannte Beziehung f¨ ur die instation¨ are Diffusion, (2.378). Setzt man konstante Dichte voraus, so folgt aus (3.26):

 ∂ ξA ∂ ∂ ξA ∂ ξA + wi = (3.27) D + Γ˙A / ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ˜ A cA /, worin cA die molare Konzentration cA = NA /V ist, oder mit ξA = M

 ∂ cA ∂ ∂ cA ∂ cA D + r˙A = (3.28) + wi ∂t ∂xi ∂xi ∂xi ˜ A (SI-Einheit kmol/m3 s) der durch chemimit der Reaktionsrate r˙A = Γ˙A /M sche Reaktion erzeugten Stoffmenge A. Beispiel 3.2: Man zeige, dass unter den Voraussetzungen der Filmtheorie — station¨ arer Stoff¨ ubergang nur in Richtung der wandnahen Koordinatenachse, verschwindende Produktionsdichte — die Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung (3.25) in (1.186) der Filmtheorie u ¨bergeht. Bezeichnet man die wandnormale Koordinate mit y so geht (3.25) unter den angegebenen Voraussetzungen u ¨ ber in w

∂ j∗ ∂ ξA =− A , ∂y ∂y

3.2 Die Bilanzgleichungen

311

∗ der Diffusionsstrom und w die Geschwindigkeit in Richtung der y-Achse worin jA sind. Andererseits gilt aufgrund der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20)

∂ ( w) =0 . ∂y Es ist somit  w = const, und man kann (3.25) auch schreiben ∂ ∗ ∂ ∗ (j +  w ξA ) = (j + A w) = 0 . ∂y A ∂y A ∗ ∗ Nun ist aber definitionsgem¨ aß nach (1.155) jA = A (wA − w), somit jA + A w = ˙ ˙A = A wA und daher ∂(A wA )/∂y = 0 oder dMA /dy = 0, woraus aber wegen M ˙ ˙ ˜ MA NA , die Gl. (1.186) dNA /dy = 0 folgt. Dieses Ergebnis findet man auch direkt aus Gl. (3.23), wenn man Γ˙A = 0, dA /dt = 0 setzt und eindimensionalen Stoffstrom voraussetzt.

3.2.3 Die Impulsbilanz Die Massenelemente eines str¨ omenden Fluids u ¨ bertragen einen Impuls. Darunter versteht man das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit. Ein Massenelement dM , das mit der Geschwindigkeit wj str¨omt, transportiert den Impuls wj dM = wj  dV . Der von einem Fluidvolumen mit dem Volumen V (t) insgesamt transportierte Impuls Ij ist somit   wj dV . (3.29) Ij = V (t)

Nach dem zweiten Newtonschen Axiom der Mechanik ist die zeitliche Impuls¨ anderung eines K¨ orpers gleich der Resultierenden aller auf diesen K¨orper wirkenden Kr¨ afte dIj = Fj (3.30) dt und daher  d wj dV = Fj . (3.31) dt V (t)

Anwendung des Transporttheorems ergibt, wenn wir in (3.17) z = wj setzen,   ∂ (wj ) dV + wj wi dAi = Fj (3.32) ∂t V (t)

A(t)

oder unter Beachtung der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20) (vgl. auch Beispiel 3.1)  dwj dV = Fj  (3.33) dt V (t)

312

mit

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

∂ wj ∂ wj dwj = + wi . dt ∂t ∂xi

(3.34)

Die an einem K¨ orper angreifenden Kr¨ afte Fj lassen sich in zwei Klassen einteilen: in Massen- bzw. Volumenkr¨ afte und in Oberfl¨achenkr¨afte. Die Massenkr¨afte wirken auf alle materiellen Teilchen eines K¨orpers. Sie sind Kr¨ afte mit großer Reichweite und haben ihre Ursache in Kraftfeldern. Ein Beispiel ist das Erdschwerefeld. Die Fallbeschleunigung gj wirkt auf jedes Molek¨ ul, so dass auf ein Fluidelement der Masse ΔM die Schwerkraft ΔFj = gj ΔM wirkt. Sie ist proportional der Masse des Fluidelements. Die Massenkraft definiert man durch dFj ΔFj kj = lim = (3.35) ΔM→0 ΔM dM und die Volumenkraft durch fj = lim

ΔV →0

dFj ΔFj = . ΔV dV

(3.36)

Im Fall der Schwerkraft ist somit kj = gj und fj = gj , allgemein gilt fj = kj . Andere Massen- oder Volumenkr¨ afte sind Zentrifugalkr¨afte oder durch elektromagnetische Felder hervorgerufene Kr¨ afte. Im Fall eines Mehrstoffgemisches hat man noch zu beachten, dass die Massenoder Volumenkr¨ afte auf die einzelnen Komponenten verschieden einwirken k¨ onnen. Es sei kAj die auf die Komponente A wirkende Massenkraft, definiert durch dFAj ΔFAj = . ΔMA dM A P P dFKj = dV kKj K , Dann ist dFAj = kAj dMA = kAj A dV und dFj = wobei die Summation u ¨ ber alle Stoffe K zu bilden ist. Andererseits gilt wegen (3.35) dFj = kj dM = kj  dV und somit X kKj K . (3.37) kj  = kAj =

lim

ΔMA →0

Greift als Massenkraft nur die Schwerkraft an, so ist gj = kj = kKj und  =

P

K .

Die Oberfl¨achenkr¨afte sind Nahkr¨ afte und werden von der unmittelbar benachbarten Umgebung auf die Oberfl¨ ache des betrachteten Fluids ausge¨ ubt. Ist ΔA das Oberfl¨ achenelement eines K¨ orpers und greift an diesem eine Kraft ΔFj an, Abb. 3.3, so bezeichnet man tj = lim

ΔA→0

dFj ΔFj = ΔA dA

(3.38)

als den Spannungsvektor. Er ist nicht nur vom Ort und der Zeit, sondern

3.2 Die Bilanzgleichungen

Abb. 3.3: Oberfl¨ achenkraft ΔFj an einem Fl¨ achenelement ΔA

313

Abb. 3.4: Zur Abh¨ angigkeit der Oberfl¨ achenkr¨ afte von der Orientierung des Fl¨ achenelements ΔA

auch von der Orientierung des Fl¨ achenelements und somit vom Normalenvektor des Fl¨ achenelements abh¨ angig. Um dies einzusehen, betrachten wir die Str¨ omung entlang einer ebenen Platte, Abb. 3.4. Auf ein Fl¨achenelement ΔA senkrecht zur Platte wirken im Wesentlichen Normalkr¨afte. Denkt man sich das Fl¨ achenelement am gleichen Ort in eine wandparallele Lage gedreht, so wirken an diesem nur noch Schubspannungen. Beide sind im Allgemeinen von verschiedener Gr¨ oße. Die gesamte Kraft, die zur Zeit t an dem betrachteten Fluid vom Volumen V (t) und der Oberfl¨ ache A(t) angreift, erhalten wir durch Integration der Volumen- und der Oberfl¨ achenkr¨ afte zu   kj dV + tj dA . (3.39) Fj = V (t)

A(t)

Damit lautet die Impulsgleichung (3.33)    dwj dV =   kj dV + tj dA . dt V (t)

V (t)

(3.40)

A(t)

¨ Sie besagt, dass die zeitliche Anderung des Impulses eines Fluidvolumens V zur Zeit t durch Volumen- und durch Oberfl¨ achenkr¨afte bewirkt wird. 3.2.3.1 Der Spannungstensor Zur Berechnung des Spannungsvektors tj begrenzen wir ein Fluidelement durch ein infinitesimal kleines Tetraeder, Abb. 3.5, dessen eine Fl¨ache eine beliebige Richtung hat, w¨ ahrend die u ¨ brigen durch die Koordinatenachsen aufgespannt sind. Die schr¨ age Fl¨ ache habe den nach außen gerichteten Noroße dA. An der Fl¨ache greife der Spanmaleneinheitsvektor ni und die Gr¨ nungsvektor t an. Entsprechend sollen an der Fl¨ache dA1 , senkrecht zur xAchse, der Spannungsvektor t1 wirken und an den beiden u ¨ brigen Fl¨achen

314

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.5: Zum Gleichgewicht der Oberfl¨ achenkr¨ afte

dA2 und dA3 die Spannungsvektoren t2 und t3 . Die an den vier Fl¨achenelementen wirkenden Kr¨ afte m¨ ussen nun unabh¨angig von der augenblicklichen Bewegung des Fluidelements miteinander im Gleichgewicht stehen. Dies folgt unmittelbar aus der Impulsgleichung (3.40), wenn man sie auf ein infinitesimal kleines Volumenelement anwendet. Beim Grenz¨ ubergang V → 0 verschwinden die Volumenintegrale rascher als das Oberfl¨achenintegral, so dass also die Oberfl¨ achenkr¨ afte lokal im Gleichgewicht sind. Angewandt auf das Tetraeder gilt demnach t dA = t1 dA1 + t2 dA2 + t3 dA3 . Hierin kann man noch die Fl¨ achenelemente eliminieren, denn mit den Beziehungen von Abb. 3.6 ist dA =

1 AD · BC 2

,

dA1 =

1 OD · BC 2

und daher OD = dA cos α . AD Daf¨ ur kann man wegen cos α = n1 /n = n1 auch dA1 = dA n1 schreiben. Entsprechend gilt dA2 = dA n2 , dA3 = dA n3 . Zwischen den Spannungsvektoren besteht daher der Zusammenhang dA1 = dA

t = t1 n1 + t2 n2 + t3 n3 .

(3.41)

Jeden der Spannungsvektoren t1 , t2 und t3 kann man nun durch drei Komponenten der Spannung darstellen, die ebenfalls auf die Fl¨acheneinheit bezogene Kr¨ afte sind. Zur Kennzeichnung der Spannungskomponenten sind zwei Indizes erforderlich. Vereinbarungsgem¨ aß kennzeichnet der erste Index die Fl¨ ache, an der die Spannung angreift, und ist identisch mit dem Index der Koordinatenachse normal zu dieser Fl¨ ache, w¨ahrend der zweite Index angibt, in welcher Richtung die Spannungskomponente wirkt. Als Beispiel zeigt Abb. 3.7 die drei Spannungskomponenten an einer Fl¨ache dA1 senkrecht zur xAchse. Es ist

3.2 Die Bilanzgleichungen

Abb. 3.6: Zum Zusammenhang zwischen den Fl¨ achen

315

Abb. 3.7: Spannungskomponenten an der Fl¨ ache dA1

t1 = τ11 e1 + τ12 e2 + τ13 e3 und entsprechend t2 = τ21 e1 + τ22 e2 + τ23 e3 ,

(3.42)

t3 = τ31 e1 + τ32 e2 + τ33 e3 . Die Spannungskomponenten bilden einen Tensor, der aus neun Komponenten besteht: ⎞ ⎛ τ11 τ12 τ13 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ τij = ⎜ τ21 τ22 τ23 ⎟ . ⎠ ⎝ τ31 τ32 τ33 Die normal zur Oberfl¨ ache wirkenden Spannungen τ11 , τ22 , τ33 oder τij mit i = j bezeichnet man als Normalspannungen, die tangential angreifenden Spannungen τij mit i = j heißen Tangential- oder Schubspannungen. Wegen des Satzes von der Gleichheit einander zugeordneter Schubspannungen ist τij = τji : Der Spannungstensor ist symmetrisch. Setzt man die Spannungsvektoren nach (3.42) in (3.41) ein, so erh¨ alt man t = (τ11 e1 + τ12 e2 + τ13 e3 ) n1 + (τ21 e1 + τ22 e2 + τ23 e3 ) n2 + (τ31 e1 + τ32 e2 + τ33 e3 ) n3 . Andererseits kann man den an der schr¨ agen Tetraederfl¨ache, Abb. 3.5, angreifenden Spannungsvektor t in seine drei Komponenten t1 , t2 , t3 in Richtung der drei Koordinatenachsen zerlegen t = t 1 e1 + t 2 e2 + t 3 e3 .

316

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Wie der Vergleich mit der vorigen Beziehung zeigt, gilt f¨ ur die Komponenten des Spannungsvektors t1 = τ11 n1 + τ21 n2 + τ31 n3 t2 = τ12 n1 + τ22 n2 + τ32 n3 t3 = τ13 n1 + τ23 n2 + τ33 n3 oder tj = τji ni

(i, j = 1, 2, 3) .

(3.43)

Formal l¨ asst sich der Spannungstensor τji als Summe zweier Tensoren schreiben ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 τ12 τ13 0 ⎟ ⎟ ⎜ 3 τkk 0 ⎜ τ11 − 3 τkk ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ τji = ⎜ ⎟+⎜ 0 τkk 0 ⎟ τ21 τ22 − τkk τ23 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 1 τkk 0 0 τ31 τ32 τ33 − τkk 3 3 oder

1 δji τkk 3 mit dem Einheitstensor δji , auch Kronecker-δ genannt, ⎛ ⎞ 1 0 0 / 1 fu ¨r i = j ⎜ ⎟ d.h. δji = ⎜ δji = 0 1 0⎟ ⎝ ⎠ . 0 fu ¨r i = j 0 0 1 τji = τˆji +

(3.44)

(3.45)

Aus der Definition folgt unmittelbar δji = δ11 + δ22 + δ33 = 3. Man nennt τˆji den Deviator des Tensors τji . Er ist dadurch gekennzeichnet, dass die Summe der Diagonalelemente, die sogenannte Spur des Tensors, verschwindet, denn es ist (τ11 −

1 1 1 1 τkk ) + (τ22 − τkk ) + (τ33 − τkk ) = τkk − 3 · τkk = 0 . 3 3 3 3

Allgemein ist ein Deviator ein Tensor mit der Spur null. Da die Diagonalelemente eine Normalspannung charakterisieren und sich gerade aufheben, ist der Deviator f¨ ur die Scherung des Fluidelements maßgebend, w¨ ahrend der Term 1/3 δij τkk allseitig gleiche Normalspannungen, sogenannte hydrostatische Spannungen, enth¨ alt. Man bezeichnet den arithmetischen Mittelwert der drei Normalspannungen τkk als den mittleren Druck −¯ p=

1 τkk . 3

3.2 Die Bilanzgleichungen

317

Das Minuszeichen r¨ uhrt daher, dass Fl¨ ussigkeiten praktisch keine Zugspannungen aufnehmen k¨ onnen und daher τkk im Allgemeinen negativ, der mittlere Druck hingegen positiv ist. (3.44) l¨ asst sich daher auch schreiben τji = τˆji − δji p¯ .

(3.46)

Der mittlere Druck p¯ ist nicht identisch mit dem thermodynamischen Druck, den man aus der f¨ ur ruhende Fluide aufgestellten thermischen Zustandsgleichung p = p(v, T ) erh¨ alt. Man kann jedoch zeigen, s. hierzu Anhang A2, dass f¨ ur nicht allzu rasche Volumen¨ anderungen mittlerer Druck und thermodynamischer Druck miteinander verkn¨ upft sind durch p¯ − p = −ζ

∂ wk , ∂xk

(3.47)

worin der durch diese Gleichung definierte Faktor ζ > 0 die sogenannte Volumenviskosit¨at ist (SI-Einheit kg/sm; 0,1 kg/sm = 1 Poise). Methoden der statistischen Mechanik haben gezeigt, dass die Volumenviskosit¨at von Gasen geringer Dichte verschwindet, und dass sie in dichten Gasen und Fl¨ ussigkeiten sehr klein ist. In der Str¨ omungsmechanik und in der W¨arme- und Stoff¨ ubertragung setzt man daher ζ = 0 voraus, setzt also den mittleren Druck gleich dem thermodynamischen Druck. Weiterhin ist in einem inkompressiblen Fluid wegen ∂ wk /∂xk = 0 der mittlere Druck stets gleich dem thermodynamischen. 3.2.3.2 Die Cauchysche Bewegungsgleichung Durch Einsetzen des Spannungsvektors tj nach (3.43) in die Impulsgleichung (3.40) erh¨ alt man    dwj dV =  kj dV + τji ni dA . dt V (t)

V (t)

A(t)

Mit Hilfe des Gaußschen Satzes formen wir das Oberfl¨achenintegral um,   ∂ τji τji ni dA = dV , ∂xi A(t)

und erhalten

  V (t)

dwj dV = dt

V (t)



  kj dV +

V (t)

∂ τji dV . ∂xi

V (t)

Diese Gleichung gilt f¨ ur ein beliebiges Volumen V (t) und daher auch im Grenzfall V (t) → 0. Aus ihr folgt die Cauchysche Bewegungsgleichung 2 : 2

Auguste-Louis Cauchy (1789–1857) war als Zeitgenosse von Leonhard Euler und Carl-Friedrich Gauß einer der bedeutendsten Mathematiker der ersten H¨ alfte des

318

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen



dwj ∂ τji =  kj + dt ∂xi

(i, j = 1, 2, 3) .

(3.48)

Sie gilt f¨ ur jedes Kontinuum unabh¨ angig von den jeweiligen Materialeigenschaften und ist daher eine der grundlegenden Gleichungen der Str¨omungsmechanik und somit auch der W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung. Erst durch Einf¨ uhrung einer Materialgleichung, die den Spannungstensor mit der Bewegung eines Stoffes verkn¨ upft, wird die Bewegung eines speziellen Stoffes beschrieben. Zur Herleitung solcher Materialgesetze ist der Begriff des Verzerrungstensors n¨ utzlich, der im Folgenden eingef¨ uhrt wird. 3.2.3.3 Der Verzerrungstensor In einem str¨ omenden Fluid werden die einzelnen Fluidelemente nicht nur in ihrer Lage verschoben, sondern unter dem Einfluss der Normalspannungen τii und der Schubspannungen τij (i = j) auch verformt. Die Verformungsgeschwindigkeit h¨ angt von der Relativbewegung der einzelnen Massenpunkte zueinander ab. Nur falls sich die einzelnen Massenpunkte eines Fluidelements nicht relativ zueinander bewegen, verh¨ alt sich das Fluidelement wie ein starrer Festk¨ orper und wird nicht verformt. Es muss daher ein Zusammenhang zwischen dem Geschwindigkeitsfeld und der Verformung und damit auch zwischen Geschwindigkeitsfeld und Spannungstensor τij existieren. Diesen Zusammenhang ben¨ otigt man, wenn man in der Cauchyschen Bewegungsgleichung den Spannungstensor durch Geschwindigkeiten ausdr¨ ucken will. Normalspannungen a ndern die Gr¨ o ße eines Fluidelements vorgegebener ¨ Masse. Falls sie von verschiedener Gr¨ oße sind, beispielsweise τ11 = τ22 , a¨ndert sich auch die Gestalt des Fluidelements. Wie in Abb. 3.8 angedeutet, w¨ urde ein Rechteck in ein Prisma u bergehen, ein kugelf¨ o rmiges Fluidelement w¨ urde ¨ zu einem Ellipsoid verformt. Abb. 3.9 zeigt die Vorderansicht eines W¨ urfels, der durch eine Normalspannung τ11 gedehnt wird. Man erkennt, dass das Volumen um ∂ w1 ∂ w1 dx1 dt dx2 dx3 = dt dV ∂x1 ∂x1 zunimmt. Entsprechende Ausdr¨ ucke erh¨ alt man f¨ ur die Volumenzunahme durch die Normalspannungen τ22 und τ33 , so dass die gesamte Volumenzunahme gegeben ist durch

 ∂ w1 ∂ w2 ∂ w3 dt dV . + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 19. Jahrhunderts. Seine bekanntesten Werke sind die Trait´e des Fonctions“ und ” die M´echanique Analytique“. Da er sich nach der Revolution von 1830 weigerte, ” ¨ den Eid auf das neue Regime zu leisten, wurde er seiner Amter als Professor an der Ecole Polytechnique und am Coll`ege de France enthoben und aus der Acad´emie Fran¸caise entlassen. Er verbrachte mehrere Jahre im Exil in der Schweiz, in Turin und in Prag, durfte 1838 nach Frankreich zur¨ uckkehren, wo er aber erst nach der Revolution von 1848 wieder seine Professur an der Sorbonne erhielt.

3.2 Die Bilanzgleichungen

Abb. 3.8: Verformung eines Fluidelements durch Normalspannungen

319

Abb. 3.9: Zum Zusammenhang zwischen Verformung und Geschwindigkeit

Die Volumenzunahme je Zeiteinheit bezogen auf das urspr¨ ungliche Volumen bezeichnet man als Dilatation. Sie ist ∂ w1 ∂ w2 ∂ w3 ∂ wi + + = = ε˙ii . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi

(3.49)

In einem inkompressiblen Fluid,  = const, gibt es keine Dilatation, wie man aus der Kontinuit¨ atsgleichung (3.20) erkennt. Das Volumen eines Fluidelements vorgegebener Masse bleibt dann konstant. ungliches w¨ urfelf¨orDurch die Schubspannungen τij (i = j) wird ein urspr¨ miges Volumenelement zu einem Rhomboid verformt, wie die Fl¨achenansicht in Abb. 3.10 zeigt. Der urspr¨ unglich rechte Winkel bei A ¨andert sich um die

Abb. 3.10: Zur Verformung eines w¨ urfelf¨ ormigen Volumenelements zu einem Rhomboid

Winkel dγ12 =

∂ w1 dt ∂x2

und

dγ21 =

∂ w2 dt . ∂x1

Man bezeichnet den arithmetischen Mittelwert der beiden Winkelgeschwindigkeiten als Verzerrungstensor, oft auch als Dehnungs- oder Deformationsgeschwindigkeitstensor 

1 ∂ w1 ∂ w2 ε˙12 = + 2 ∂x2 ∂x1

320

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

oder allgemein 1 ε˙ji = 2



∂ wj ∂ wi + ∂xi ∂xj

 .

(3.50)

ur i = j wieder in Er ist ein symmetrischer Tensor, da ε˙ji = ε˙ij ist, und geht f¨ die Dilatation u ¨ber. Die Elemente ε˙ii bilden hierbei die Diagonale des Verzerrungstensors. Falls ihre Summe verschwindet, a¨ndert sich wie zuvor gezeigt, das Volumen eines Fluidelements vorgegebener Masse nicht. Spaltet man daher den Verzerrungstensor in zwei Anteile auf, von denen die Summe der Diagonalelemente des einen, des Deviators, verschwindet, so beschreibt dieser die Gestalt¨ anderung bei konstantem Volumen. Die Gestalt¨anderung bei konstantem Volumen wird somit durch den Deviator des Verzerrungstensors beschrieben. Um den Deviator abzuspalten, bilden wir formal ε˙ji = εˆ˙ji +

1 δji ε˙kk . 3

Wie mit (3.49) und (3.50) folgt, ist   

∂ wj ∂ wk 1 ∂ wi 2 εˆ˙ji = + − δji . 2 ∂xi ∂xj 3 ∂xk

(3.51)

(3.52)

Ausgeschrieben bedeutet (3.51) ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 1 1 ε ˙ ε ˙ ε ˙ − ε ˙ ε ˙ 0 0 12 13 ⎟ ⎜ 3 kk ⎟ ⎜ 11 3 kk ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ +⎜ 0 ε˙ji = ⎜ ε˙kk 0 ⎟ ε˙21 ε˙22 − ε˙kk ε˙23 ⎟ ⎟ . 3 3 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1 1 ε˙kk 0 0 ε˙31 ε˙32 ε˙33 − ε˙kk 3 3 Der erste Term ist bereits der gesuchte Deviator, da seine Spur verschwindet, denn sie ist





 1 1 1 1 ε˙11 − ε˙kk + ε˙22 − ε˙kk + ε˙33 − ε˙kk = ε˙kk − 3 ε˙kk = 0 . 3 3 3 3 W¨ ahrend der Deviator die Gestalt¨ anderung bei konstantem Volumen beur die Voschreibt, ist der (isotrope) Tensor 1/3 δij ε˙kk = 1/3 δij ∂ wk /∂xk f¨ lumen¨ anderung bei konstanter Gestalt maßgebend. Dies folgt daraus, dass er nur gleich große Diagonalelemente enth¨ alt, so dass die Verformungen in allen Koordinatenrichtungen gleich sind. 3.2.3.4 Materialgesetze zur L¨ osung der Impulsgleichung Zur L¨ osung der allgemein f¨ ur jeden Stoff g¨ ultigen Cauchyschen Bewegungsgleichung ben¨ otigt man noch einen Zusammenhang zwischen dem Spannungs-

3.2 Die Bilanzgleichungen

321

und dem Verzerrungstensor, bzw. zwischen Spannungstensor und Geschwindigkeitsfeld. Eine solche Gleichung ist stoffspezifisch und ¨ahnlich wie die Zustandsgleichungen der Thermodynamik charakteristisch f¨ ur einen bestimmten Stoff. Aufgrund von (3.46) und (3.47) gilt noch allgemein

 ∂ wk τji = τˆji − δji p − ζ . (3.53) ∂xk Die im Deviator τˆji des Spannungstensors vorkommenden Elemente bewirken nun genau die Dehnungen, die durch die Elemente im Deviator εˆ˙ji des Verzerrungstensors beschrieben werden, wie man aus einem Vergleich der beiden Deviatoren erkennt. Es muss daher ein stoffspezifischer Zusammenhang τˆji = f (εˆ˙ji ) existieren. F¨ ur kleine Verzerrungsgeschwindigkeiten ist ein linearer Ansatz naheliegend: (3.54) τˆji = η 2εˆ˙ji . Den Faktor 2 f¨ uhrt man ein, damit man f¨ ur die eindimensionale inkompressible Str¨ omung (j = 1, i = 2; ∂ wk /∂xk = 0) mit εˆ˙ = (1/2) ∂ w1 /∂x2 aus (3.52) gerade den Newtonschen Ansatz τ12 = η∂ w1 /∂x2 erh¨alt. Ein Fluid, in dem die Schubspannungen entsprechend diesem Ansatz proportional der Schergeschwindigkeit sind, heißt ideal viskos oder Newtonsches Fluid. Viele Fl¨ ussigkeiten und Gase folgen dem Ansatz so genau, dass man sie als Newtonsche Fluide bezeichnen kann. Ihnen entspricht in der Elastomechanik der ideal Hookesche K¨ orper, bei dem die Schubspannungen proportional der Scherung sind. Eine Reihe von Stoffen k¨ onnen jedoch weder durch Newtonsches noch durch Hookesches Verhalten gen¨ ugend genau beschrieben werden. Der Zusammenhang zwischen Schubspannungen und Dehnungen kann dann nicht mehr durch den obigen einfachen linearen Ansatz beschrieben werden. Mit den Materialgesetzen dieser Stoffe besch¨ aftigt sich die Rheologie. Nach Einsetzen von εˆ˙ji nach (3.52) geht (3.54) u ¨ ber in 

  ∂ wj ∂ wk ∂ wi 2 + τˆji = η − δji . (3.55) ∂xi ∂xj 3 ∂xk Der durch (3.54) bzw. (3.55) definierte Faktor η ist die dynamische Viskosit¨at (SI-Einheit kg/sm = 1 Pa · s; 0,1 kg/sm = 1 Poise). Mit Hilfe von (3.53) erh¨alt man f¨ ur den Spannungstensor 

 

 ∂ wj ∂ wk ∂ wi 2 ∂ wk + − δji − δji p − ζ . (3.56) τji = η ∂xi ∂xj 3 ∂xk ∂xk

322

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.2.3.5 Die Navier-Stokesschen Gleichungen Wir setzen Newtonsche Fluide voraus und vernachl¨assigen die meist sehr kleine Volumenviskosit¨ at. Dann geht der Ansatz (3.56) f¨ ur den Spannungstensor in den Stokesschen Ansatz u ¨ ber: 

  ∂ wj ∂ wi 2 ∂ wk τji = η + (3.57) − δji − δji p . ∂xi ∂xj 3 ∂xk Einsetzen dieses Ausdrucks in die Cauchysche Bewegungsgleichung, (3.48), ergibt die sogenannte Navier-Stokessche Gleichung 

  ∂ wj ∂p ∂ ∂ wi 2 ∂ wk dwj = kj − + η + − δji . (3.58)  dt ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj 3 ∂xk F¨ ur ein inkompressibles Fluid ist ∂ wk /∂xk = ∂ wi /∂xi = 0. Setzt man weiter konstante Viskosit¨ at voraus, so vereinfacht sich die Gleichung zu 

dwj ∂p ∂ 2 wj = kj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.59)

Anschaulich besagt die Gleichung: Die auf ein bewegtes Fluidelement ausge¨ ubte Kraft setzt sich aus den Volumen-, den Druck- und den Viskosit¨atskr¨aften zusammen. F¨ ur jede der drei Koordinatenrichtungen j = 1, 2, 3 gilt eine Impulsbilanz, so dass (3.58) und (3.59) jeweils drei voneinander unabh¨angige Gleichungen repr¨ asentieren. Ausgeschrieben findet man (3.59) im Anhang A3. Dort ist ebenfalls ihre Schreibweise in Zylinderkoordinaten angegeben.

3.2.4 Die Energiebilanz Reine Stoffe Nach dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik ¨andert sich die innere Energie U eines geschlossenen Systems durch Zufuhr von W¨arme Q12 und Arbeit W12 : U2 − U1 = Q12 + W12 oder in differentieller Form dU = dQ + dW oder

(3.60)

dU dQ dW = + = Q˙ + P . (3.61) dt dt dt Wir wenden diese Gleichung auf ein Fluidelement vorgegebener Masse an. Da dieses als geschlossenes System betrachtet wird, schließen wir einen Stofftransport u ¨ber die Systemgrenze und damit Diffusion zun¨achst aus. Mit Hilfe des Transporttheorems (3.17) ergibt sich durch Einsetzen von ¨ z = u f¨ ur die zeitliche Anderung der inneren Energie des str¨omenden Fluids

3.2 Die Bilanzgleichungen

dU d = dt dt



 u dV =

V (t)

∂ u dV + ∂t

V (t)

323

 uwi dAi .

(3.62)

A(t)

¨ Danach ist die zeitliche Anderung der inneren Energie eines str¨omenden Fluids gleich der im Innern des Fluidvolumens V (t) zur Zeit t gespeicherten inneren Energie und der mit der Materie u ¨ ber die Oberfl¨ache A(t) abfließenden inneren Energie. W¨ arme wird definitionsgem¨ aß zwischen einem System und seiner Umgebung u uhrt ¨ bertragen und daher dem System u ¨ ber seine Oberfl¨ache zugef¨  q˙ dA , (3.63) Q˙ = A(t)

worin q˙ die W¨ armestromdichte ist. Sie ist ein Skalar. (3.63) kann man auch mit dem Normalvektor n, der die Orientierung eines Oberfl¨achenelements im Raum kennzeichnet, als  ˙ Q= (q˙ ni )( dA ni ) A(t)

schreiben, da ni ni = 1 ist. Die hierin vorkommenden Produkte dA ni = dAi

(i = 1, 2, 3)

sind, wie in Abschnitt 3.2.3.1 gezeigt wurde, die Projektionen der Fl¨ache dA auf die von den Koordinatenachsen ausgespannten Ebenen. Sie sind bekanntlich die Komponenten des Fl¨ achenvektors n dA. Entsprechend kann man q˙ ni = −q˙i

(3.64)

als die Komponenten eines Vektors q˙ der W¨ armestromdichte deuten; q˙1 ist die W¨ armestromdichte durch die Fl¨ ache dA1 , q˙2 die durch dA2 und q˙3 die uhrt daher, dass man eine zugef¨ uhrdurch dA3 . Das Minuszeichen in (3.64) r¨ te W¨ armestromdichte positiv z¨ ahlt, der Normalvektor ni einer geschlossenen Fl¨ ache aber nach außen zeigt. Damit wird  Q˙ = − q˙i ni dA . (3.65) A(t)

¨ Die Arbeit zur Anderung der inneren Energie wird zwischen dem System und seiner Umgebung ausgetauscht und fließt“ u ¨ ber die Oberfl¨ache in das ” System. Die Massen- oder Volumenkr¨ afte verschieben jedes Fluidelement als ¨ Ganzes, tragen also zur Anderung der kinetischen und potentiellen, nicht aber ¨ zur Anderung der inneren Energie bei, sofern das Fluidelement seine Masse nicht durch Stoffaustausch mit seinen Nachbarn ¨andert. Dann bewegen sich

324

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

die einzelnen Teilchenarten mit unterschiedlicher Geschwindigkeit und die an ihnen angreifenden Massenkr¨ afte liefern einen Beitrag zur Gesamtleistung. Dieser Anteil spielt bei Mehrstoffgemischen eine Rolle und muss dort ber¨ ucksichtigt werden. ¨ Die Oberfl¨ achenkr¨ afte enthalten somit Anteile, die eine Anderung der inneren Energie bewirken und solche, die das Fluidelement als Ganzes verschieben, ohne dessen innere Energie zu a ¨ndern. Da der Anteil der Leistung, der ¨ zur Anderung der inneren Energie beitr¨ agt, dem System u ¨ber die Oberfl¨ache zugef¨ uhrt wird, k¨ onnen wir hierf¨ ur auch schreiben  ω˙ dA . (3.66) P = A(t)

Durch diese Gleichung wird die Leistungsdichte ω˙ (SI-Einheit W/m2 ) definiert. Wir w¨ ahlen f¨ ur die Leistungsdichte den Buchstaben ω˙ und nicht w, ˙ weil sonst zu leicht eine Verwechslung mit der Geschwindigkeit w m¨oglich w¨are. ¨ In Anlehnung an die Uberlegungen zur W¨ armestromdichte kann man (3.66) auch umformen in  P = (ωn ˙ i )( dAni ) A(t)

und darin die Gr¨ oßen ωn ˙ i = −ω˙ i

(3.67)

als die Komponenten des Vektors ω˙ der Leistungsdichte deuten; ω˙ 1 ist die Leistungsdichte durch die Fl¨ ache dA1 , ω˙ 2 die durch dA2 und ω˙ 3 die durch dA3 . Das Minuszeichen kommt wieder dadurch zustande, dass eine zugef¨ uhrte Leistung positiv gez¨ ahlt wird. Es gilt daher  P =− ω˙ i ni dA . (3.68) A(t)

Der erste Hauptsatz (3.61) l¨ asst sich mit den Ausdr¨ ucken f¨ ur die innere Energie (3.62), den W¨ armestrom (3.65) und die Leistung (3.68) auch schreiben     ∂ (u) dV + uwi dAi = − q˙i ni dA − ω˙ i ni dA . ∂t V (t)

A(t)

A(t)

A(t)

Umwandlung der Oberfl¨ achen- in Volumenintegrale mit Hilfe des Gaußschen ¨ Satzes und Ubergang auf ein kleines Volumenelement V (t) → 0 ergibt dann ∂ (u) ∂ (uwi ) ∂ q˙i ∂ ω˙ i + =− − . ∂t ∂xi ∂xi ∂xi Die linke Seite kann man auch schreiben

3.2 Die Bilanzgleichungen



325

∂ ∂ (wi ) ∂u ∂u +u +u + wi . ∂t ∂t ∂xi ∂xi

Sie vereinfacht sich unter Ber¨ ucksichtigung der Kontinuit¨atsgleichung (3.20) zu ∂u ∂u du + wi .  = ∂t ∂xi dt Damit lautet die Energiegleichung 

du ∂ q˙i ∂ ω˙ i =− − . dt ∂xi ∂xi

(3.69)

Um die Leistungsdichte ω˙ i zu berechnen, betrachten wir zun¨achst die gesamte durch die Oberfl¨ achenkr¨ afte zugef¨ uhrte Leistung Ptot und trennen davon den als Schleppleistung bezeichneten Anteil ab, der eine Verschiebung des Fluidelements bewirkt, so dass nur noch die Leistung u ¨ brig bleibt, die zur ¨ Anderung der inneren Energie beitr¨ agt. Mit Hilfe des Spannungstensors ti = τji nj erh¨alt man die gesamte durch die Oberfl¨ achenkr¨ afte zugef¨ uhrte Leistung zu    ∂ (wi τji ) wi ti dA = wi τji nj dA = dV . Ptot = ∂xj A(t)

A(t)

V (t)

Die an dem Fluidvolumen wirkenden Oberfl¨ achenkr¨afte    ∂ τji Fi = ti dA = τji nj dA = dV ∂xj A(t)

A(t)

V (t)

bewirken andererseits auch eine Verschiebung des Systems. Die an einem Volumenelement dV angreifende Kraft dFi =

∂ τji dV ∂xj

verschiebt dieses w¨ ahrend einer kleinen Zeit dt um den Weg dxi , so dass die Schleppleistung ∂ τji ∂ τji dxi dxi = = dV dV wi dFi dt ∂xj dt ∂xj ist. Die gesamte Schleppleistung ist daher  ∂ τji PS = wi dV , ∂xj V (t)

¨ und der zur Anderung der inneren Energie beitragende Anteil der Oberfl¨achenkr¨ afte wird

326

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen



P = Ptot − PS =

∂ (wi τji ) ∂ τji − wi ∂xj ∂xj

 dV ,

V (t)



woraus P =

τji

∂ wi dV ∂xj

V (t)

folgt. Da man (3.68) auch mittels des Gaußschen Satzes in  ∂ ω˙ i P =− dV ∂xi V (t)

umformen kann, ist also −

∂ ω˙ i ∂ wi = τji . ∂xi ∂xj

(3.70)

Die Energiebilanz (3.69) lautet damit 

du ∂ q˙i ∂ wi =− + τji . dt ∂xi ∂xj

(3.71)

Da wir die Fluidelemente als geschlossene Systeme voraussetzten, ist diese Gleichung nicht f¨ ur Mehrstoffgemische und Diffusion g¨ ultig. Mehrstoffgemische In Mehrstoffgemischen tritt im Ungleichgewicht Diffusion auf. Einzelne Stoffstr¨ ome u ¨ berqueren die Systemgrenzen. Man kann daher kein geschlossenes System voraussetzen. Der erste Hauptsatz lautet nun [3.1] X hK d(a MK ) dU = dQ + dW + K

oder

X dU = Q˙ + P + hKa M˙ K . dt K

(3.72)

Hierin ist f¨ ur einen bestimmten Stoff A die Gr¨ oße hA = (∂H/∂MA )T, p, MK=A die uhrte Massenpartielle spez. Enthalpie und a M˙ A der dem System von außen zugef¨ strom der Komponente A. Die Summe ist u uhrten Stoffstr¨ ome zu ¨ ber alle zugef¨ erstrecken. W¨ armestrom Q˙ und Leistung P berechnen sich hierin wie zuvor aus Z Z ∂ q˙i q˙i ni dA = − dV Q˙ = − ∂xi und

A(t)

V (t)

Z

Z

P =− A(t)

ω˙ i ni dA = − V (t)

∂ ω˙ i dV . ∂xi

3.2 Die Bilanzgleichungen

327

omende Der durch ein Oberfl¨ achenelement mit der Geschwindigkeit wAi einstr¨ Stoff A ist Tr¨ ager von Energie und erh¨ oht die innere Energie eines mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit wi bewegten Fluidelements um ∗ −hA A (wAi − wi )ni dA = −hA jAi ni dA .

Das Minuszeichen erkl¨ art sich wieder dadurch, dass eine zugef¨ uhrte Energie positiv ¨ gez¨ ahlt wird, der Fl¨ achenvektor aber entgegengesetztes Vorzeichen hat. Uber die gesamte Oberfl¨ ache wird von allen einstr¨ omenden Stoffen die Energie ∗ X Z X Z ∂ (hK jKi X ) ∗ ˙ hKa MK = − hK jKi ni dA = − dV ∂x i K K K A(t)

V (t)

zugef¨ uhrt. Angewandt auf ein Fluidelement lautet daher die Energiegleichung (3.72) eines Mehrstoffgemisches 

∗ ∂ q˙i ∂ ω˙ i X ∂ (hK jKi ) du =− − − . dt ∂xi ∂xi ∂x i K

(3.73)

Die hierin vorkommende Leistungsdichte ω˙ i besteht nun wieder aus der Leistung der Oberfl¨ achenkr¨ afte abz¨ uglich der Schleppleistung, die das Fluidelement als Ganzes verschiebt und daher keinen Beitrag zu dessen innerer Energie leistet. Sie enth¨ alt aber im Unterschied zu den reinen Stoffen noch zus¨ atzlich einen Anteil, der dadurch zustande kommt, dass sich die einzelnen Teilchensorten mit unterschiedlicher Georigen Massenkr¨ afte kAi am Stoff A schwindigkeit wAi bewegen, so dass die zugeh¨ in einem Volumenelement dV zur Leistung den Beitrag ∗ kAi dV A (wAi − wi )kAi dV = jAi

liefern. F¨ ur s¨ amtliche Stoffe wird am System vom Volumen V (t) der Beitrag X Z ∗ jKi kKi dV K

V (t)

¨ verrichtet. Die gesamte Leistung P zur Anderung der inneren Energie setzt sich nun aus der Leistung der Oberfl¨ achenkr¨ afte Z Z Z ∂ (wi τji ) wi ti dA = wi τji nj dA = dV ∂xi A(t)

A(t)

V (t)

X Z

und der Massenkr¨ afte

K

abz¨ uglich der Schleppleistung

V (t)

Z V (t)

zusammen:

Z P = V (t)

∗ jKi kKi dV

∂ τji wi dV ∂xj

∂ wi X ∗ + jKi kKi τji ∂xj K

! dV .

328

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

F¨ ur die Leistungsdichte folgt dann wegen Z Z ω˙ i ni dA = − P =− A(t)

−

V (t)

∂ ω˙ i dV ∂xi

∂ wi X ∗ ∂ ω˙ i = τji + jKi kKi . ∂xi ∂xj K

(3.74)

Sie sich von der Leistungsdichte (3.70) f¨ ur reine Stoffe um den Term P unterscheidet ∗ jKi kKi f¨ ur die an den einzelnen Stoffen von den Massenkr¨ aften verrichtete LeisK

tung. F¨ ur Mehrstoffgemische geht daher die Energiegleichung (3.73) u ¨ ber in 

∂ q˙ du ∂ wi X ∗ = − i + τji + jKi kKi dt ∂xi ∂xj K

mit

q˙i = q˙i +

X

∗ hK jKi ,

(3.75)

(3.76)

K ∗ = 0 in die Energiebilanz (3.71) der die f¨ ur verschwindenden Diffusionsstrom jKi reinen Stoffe u ¨ bergeht.

3.2.4.1 Dissipierte Energie und Entropie Anschaulich besagt die Energiegleichung (3.71), dass sich die innere Energie eines Fluidelements durch W¨ armezufuhr und Verrichten von Arbeit a ¨ndert. In Mehrstoffgemischen kommt, wie (3.75) zeigt, noch ein Term f¨ ur die mit der Materie zugef¨ uhrte Energie hinzu. Die verrichtete Arbeit besteht aus einem reversiblen Anteil und der dissipierten Arbeit. Wir wollen diese Anteile noch einzeln mit Hilfe der Entropiebilanz berechnen und betrachten der Einfachheit halber nur reine Stoffe. Nach der Gibbsschen Fundamentalgleichung gilt hierf¨ ur T

du dv du p d ds = +p = − 2 . dt dt dt dt  dt

(3.77)

Einsetzen der Energiegleichung (3.71) und der Kontinuit¨ atsgleichung (3.21) ergibt T Nun ist

oder

ds 1 ∂ wi p ∂ wi 1 ∂ q˙i + τji + . =− dt  ∂xi  ∂xj  ∂xi ∂ (q˙i /T ) 1 ∂ q˙i q˙i ∂ T = − 2 ∂xi T ∂xi T ∂xi ∂ q˙i ∂ (q˙i /T ) q˙i ∂ T =T + ∂xi ∂xi T ∂xi

und nach (3.53) τji = τˆji − δji p , wenn man verschwindende Volumenviskosit¨ at voraussetzt. Damit l¨ asst sich die Entropiebilanz (3.77) auch schreiben

3.2 Die Bilanzgleichungen „ « ∂ (q˙i /T ) p ∂ wi ds q˙i ∂ T 1 1 ∂ wi ∂ wi =− −δji p +  − 2 + τˆji + . dt ∂xi T ∂xi T ∂xj T ∂xj T ∂xi

329

Wegen δji ∂ wi /∂xj = ∂ wj /∂xj = ∂ wi /∂xi vereinfacht sich diese Gleichung zu 

∂ (q˙i /T ) ds q˙i ∂ T 1 ∂ wi =− − 2 + τˆji . dt ∂xi T ∂xi T ∂xj

(3.78)

Der erste Term auf der rechten Seite von (3.78) kennzeichnet die mit der W¨ arme zugef¨ uhrte Entropie. Man bezeichnet ihn als Entropiestromdichte. Die beiden u ¨ brigen Terme stellen die Entropieproduktion dar. Der zweite Term r¨ uhrt von den endlichen Temperaturunterschieden bei der W¨ armeleitung, der dritte von der mechanischen Energie her. Man nennt ∂ wi =φ (3.79) τˆji ∂xj auch mechanische Dissipationsleistung. Sie ist die auf die Volumeneinheit bezogene dissipierte mechanische Energie (SI-Einheit W/m3 ). Unter Beachtung von (3.53) τji = τˆji − pδji kann man damit den ersten Hauptsatz (3.71) auch schreiben: 

∂ q˙i ∂ wi du =− −p +φ . dt ∂xi ∂xi

(3.80)

Hierbei ist verschwindende Volumenviskosit¨ at vorausgesetzt. F¨ uhrt man die mechanische Dissipationsleistung in die Energiegleichung (3.75) f¨ ur Mehrstoffgemische ein, so lautet diese X ∗ ∂ q˙ ∂ wi du = − i −p +φ+ jKi kKi . (3.81)  dt ∂xi ∂xi K Gl. (3.81) setzt ebenfalls verschwindende Volumenviskosit¨ at voraus. Die Ableitung der Entropiebilanz f¨ ur Gemische findet man im Anhang A 5. Beispiel 3.3: Man berechne die mechanische Dissipationsleistung f¨ ur ein Newtonsches Fluid. Wie groß ist die Dissipationsleistung im Sonderfall einer eindimensionalen Str¨ omung w1 = w1 (x2 )? F¨ ur ein Newtonsches Fluid ist nach (3.55) « – »„ 2 ∂ wi ∂ wk ∂ wj − δji + τˆji = η ∂xi ∂xj 3 ∂xk und daher φ = τˆji

∂ wi ∂ wi =η ∂xj ∂xj

»„

∂ wi ∂ wj + ∂xi ∂xj

« −

∂ wk 2 δji 3 ∂xk

Falls w1 = w1 (x2 ) ist, reduziert sich der Ausdruck auf „ «2 ∂ w1 ∂ w1 ∂ w1 =η . φ=η ∂x2 ∂x2 ∂x2

– .

330

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.2.4.2 Materialgesetze zur L¨ osung der Energiegleichung Um die Energiegleichung (3.71) bzw. (3.75) l¨ osen zu k¨onnen, sind noch Materialgesetze erforderlich. Wir betrachten zun¨ achst die Gl. (3.71) f¨ ur reine Stoffe. Man ben¨ otigt die kalorische Zustandsgleichung u = u(ϑ, v). Durch Differentiation erh¨ alt man





 ∂u ∂u ∂u dϑ + dv = cv dϑ + dv du = ∂ϑ v ∂v ϑ ∂v ϑ Wie man in der Thermodynamik zeigt [3.2], ist



 ∂u ∂p =T −p . ∂v ϑ ∂ϑ v Weiter ist dv = − d/2 . Damit wird    ∂p 1 d du dϑ  = cv − T . −p dt dt ∂ϑ v  dt

(3.82)

Mit der Kontinuit¨ atsgleichung (3.21) erh¨ alt man hierf¨ ur    ∂p ∂ wi du dϑ  = cv + T −p . dt dt ∂ϑ v ∂xi F¨ ur ideale Gase verschwindet der Ausdruck in der eckigen Klammer. F¨ ur ein inkompressibles Fluid,  = const, ist d/dt = 0 und ∂ wi /∂xi = 0. Der Ausdruck vereinfacht sich in beiden F¨ allen zu 

du dϑ = cv . dt dt

Bei inkompressiblen Fluiden braucht man nicht mehr zwischen cp und cv zu ahrend in einem isotropen K¨orper die unterscheiden. Es ist cp = cv = c. W¨ W¨ armestromdichte durch das Fouriersche Gesetz q˙i = −λ

∂ϑ ∂xi

gegeben ist, gibt es in anisotropen Materialien, beispielsweise in Kristallen, bevorzugte Richtungen f¨ ur den W¨ armestrom. Die W¨armestromdichte q˙i h¨angt nicht mehr allein vom Gradienten ∂ ϑ/∂xi , sondern im allgemeinsten Fall von allen drei Komponenten des Temperaturgradienten ab. So gilt beispielsweise f¨ ur die W¨ armestromdichte q˙1 in Richtung der x1 -Achse −q˙1 = λ11

∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ + λ21 + λ31 = λi1 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂xi

Entsprechendes gilt auch f¨ ur die beiden anderen W¨armestromdichten, so dass man allgemein schreiben kann

3.2 Die Bilanzgleichungen

q˙i = −λji

∂ϑ ∂xi

331

(i, j = 1, 2, 3)

Die W¨ armestromdichte in Richtung einer Koordinatenachse h¨angt von den Temperaturgradienten in Richtung aller Koordinatenachsen ab. Die W¨armeleitf¨ ahigkeit λji im Fourierschen Gesetz ist ein Tensor. Wie man mit den Methoden der Thermodynamik irreversibler Prozesse nachweist [3.3], ist der W¨ armeleitf¨ ahigkeitstensor symmetrisch λij = λji . Er besteht somit aus sechs Komponenten. Davon k¨ onnen bei bestimmten Kristallen einige oder mehrere Komponenten u ¨ bereinstimmen oder auch verschwinden. Beispiel 3.4: Quarzkristall besitzt in Richtung der einzelnen Koordinatenachsen unterschiedliche W¨ armeleitf¨ ahigkeiten. Der W¨ armeleitf¨ ahigkeitstensor ist gegeben durch 0 1 λ11 0 0 λji = @ 0 λ22 0 A . 0 0 λ33 Wie lautet die Differentialgleichung der station¨ aren W¨ armeleitung, wenn man temperaturunabh¨ angige Werte λii voraussetzt? In welchem Verh¨ altnis stehen die W¨ armestr¨ ome durch Leitung in einem W¨ urfel der Kantenl¨ ange a in Richtung der drei Koordinaten? Zur n¨ aherungsweisen L¨ osung dieser Teilaufgabe setze man voraus, dass die W¨ armestr¨ ome in Richtung der drei Koordinatenachsen unabh¨ angig voneinander sind. Da keine Str¨ omung vorliegt, verschwindet der Term τji ∂ wi /∂xj in der Energiegleichung, (3.71). Es wird station¨ are W¨ armeleitung vorausgesetzt, du/dt = 0, so dass sich die Energiegleichung vereinfacht zu ∂ q˙1 ∂ q˙2 ∂ q˙3 ∂ q˙i =0= + + . ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 F¨ ur den Quarzkristall ist q˙1 = −λ11 ∂ ϑ/∂x1 , q˙2 = −λ22 ∂ ϑ/∂x2 , q˙3 = −λ33 ∂ ϑ/∂x3 . Die Energiegleichung geht damit u ¨ ber in 0 = λ11

∂2ϑ ∂2ϑ ∂2ϑ + λ + λ . 22 33 ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x3 2

Unter der Annahme, dass die W¨ armestr¨ ome in Richtung der drei Koordinaten unabh¨ angig voneinander sind, ist 0 = λ11

∂ 2 ϑ1 ∂ 2 ϑ2 ∂ 2 ϑ3 = λ22 = λ33 . 2 2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 2

Der Temperaturverlauf einander gegen¨ uberliegender W¨ urfeloberfl¨ achen ist linear. Die W¨ armestromdichten sind dann q˙1 = λ11 Δϑ1 /a, q˙2 = λ22 Δϑ2 /a, q˙3 = λ33 Δϑ3 /a, und es ist q˙1 : q˙2 : q˙3 = λ11 Δϑ1 : λ22 Δϑ2 : λ33 Δϑ3 . Falls die Temperaturdifferenzen gleich sind, ist q˙1 : q˙2 : q˙3 = λ11 : λ22 : λ33 .

332

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.2.4.3 Einige andere Formulierungen der Energiegleichung F¨ ur praktische Rechnungen ist es oft vorteilhaft, statt der inneren Energie andere abh¨ angige Variablen in der Energiegleichung zu verwenden. Besonders n¨ utzlich sind die Enthalpie-“ und die Temperaturform“ der Energie” ” gleichung. Die Enthalpieform erh¨ alt man wegen h = u + pv durch Addition von d(pv)/dt auf beiden Seiten der Energiegleichung (3.80) zu 

∂ q˙i ∂ wi d(pv) dh =− +φ . −p + dt ∂xi ∂xi dt

F¨ ur den dritten Term auf der rechten Seite ist 

d(pv) dp dv dp 1 d = v + p = − p , dt dt dt dt  dt

woraus man mit Hilfe der Kontinuit¨ atsgleichung (3.21) 

dp ∂ wi d(pv) = +p dt dt ∂xi

erh¨ alt. Damit ergibt sich die f¨ ur kompressible und inkompressible Str¨omungen g¨ ultige Form der Energiegleichung 

∂ q˙i dp dh =− +φ . + dt ∂xi dt

(3.83)

Entsprechend findet man aus (3.81) f¨ ur Mehrstoffgemische 

dh ∂ q˙ dp  ∗ =− i + + jKi kKi + φ dt ∂xi dt

(3.84)

K

mit q˙i = q˙i +

 K

∗ hK jKi .

Besonders wichtig ist die Temperaturform der Energiegleichung, deren L¨ osung das Temperaturfeld in seinem zeitlichen und r¨aumlichen Verlauf beschreibt. F¨ ur reine Stoffe erhalten wir diese Gleichung, wenn wir von dem aus der Thermodynamik bekannten Zusammenhang [3.2] 

∂v − v dp dh = cp dϑ − T ∂ϑ p Gebrauch machen und damit das Enthalpiedifferential in (3.83) eliminieren. Außerdem ist q˙i = −λ∂ ϑ/∂xi . Daraus ergibt sich



 ∂ ∂ϑ T ∂v dϑ dp cp = +φ . (3.85) λ + dt ∂xi ∂xi v ∂ϑ p dt

3.2 Die Bilanzgleichungen

333

F¨ ur ideale Gase wird wegen pv = RT der Ausdruck



 T ∂v T ∂v = =1 . v ∂ϑ p v ∂T p Die Enthalpie von Gemischen ist von Temperatur, Druck und Zusammensetzung abh¨ angig. Ihr Differential ist gegeben durch " „ # « X ∂v − v dp + hK dξK , (3.86) dh = cp dϑ − T ∂ϑ p K wenn hA die partielle spezifische Enthalpie des Stoffes A ist, definiert durch „ « ∂H hA = . ∂MA T,p,MK=A Es ist daher unter Beachtung der Kontinuit¨ atsgleichung (3.25) " „ « # X dϑ ∂ j∗ dp X T ∂v dh hK Ki + hK Γ˙K . = cp + 1− −  dt dt v ∂ϑ p dt ∂xi K K Nach Einsetzen dieses Ausdrucks in die Energiegleichung (3.84) ergibt sich nach wenigen Umformungen „ « „ « ∂ ∂ϑ T ∂v dϑ dp = +φ λ + cp dt ∂xi ∂xi v ∂T p dt „ « P ∗ P ∂ hK + jKi kKi − − hK Γ˙K ∂x i K K Wie im Anhang A5 gezeigt wird, kann man die partielle spezifische Enthalpie hK in der vorletzten Summe eliminieren und durch die spez. Enthalpie h des Gemisches ersetzen, da N−1 N X X ∗ ∂ „ ∂h « ∗ ∂ hK jKi = jKi ∂xi ∂xi ∂ξK K=1 K=1 gilt, wobei die Ableitung ∂ h/∂ξK bei festen Werten von Temperaturen, Druck und allen Massenanteilen außer ξK zu bilden ist. Die Temperaturform der Energiegleichung f¨ ur Gemische lautet damit „ « „ « ∂ dϑ dp ∂ϑ T ∂v = +φ cp λ + dt ∂xi ∂xi v ∂ϑ p dt „ «– X N−1 X ∗ » ∂ ∂h + jKi kKi − hK Γ˙K . (3.87) − ∂xi ∂ξK K=1 K Die Gl. (3.85) und (3.87) gelten unabh¨ angig davon, ob das Fluid kompressibel oder inkompressibel ist.

Inkompressible Fluide stellen in der Str¨ omungslehre und der W¨arme- und Stoff¨ ubertragung bekanntlich ein brauchbares Modell f¨ ur die wirklichen Fluide ur reine Stoffe dar. Ihre thermische Zustandsgleichung lautet v = v0 = const. F¨

334

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

und auch f¨ ur Gemische stimmen isobare und isochore spez. W¨armekapazit¨aten u ¨ berein, cp = cv = c. Die Temperaturform der Energiegleichung f¨ ur inkompressible reine Stoffe ergibt sich aus (3.85) unter der Annahme einer konstanten W¨armeleitf¨ahigkeit c

∂2ϑ dϑ =λ +φ . dt ∂xi 2

(3.88)

Ist die Str¨ omung isobar, so verschwindet der zweite Term auf der rechten Seite von (3.85). F¨ ur ideale Gase ist in (3.85) (T /v)(∂ v/∂ϑ)p = 1 zu setzen. F¨ ur inkompressible Gemische findet man aus (3.87), wenn man konstante W¨ armeleitf¨ ahigkeit voraussetzt „ «– X X ∗ » ∂h ∂ ∂2ϑ dϑ + φ + j − hK Γ˙K . (3.89) =λ k − c Ki Ki dt ∂xi 2 ∂xi ∂ξK K K Die Energiebilanz f¨ ur Gemische unterscheidet sich von der f¨ ur reine Stoffe um zwei zus¨ atzliche Ausdr¨ ucke, den f¨ ur den Energietransport durch Diffusion und den f¨ ur die durch chemische Reaktion hervorgerufene Enthalpie- bzw. Temperatur¨ anderung.

3.2.5 Zusammenfassung Die wichtigsten der in diesem Kapitel hergeleiteten Bilanzgleichungen sollen noch einmal zusammenfassend dargestellt werden. Wir ben¨ utzen dabei die Abk¨ urzung ∂ d ∂ = + wi . dt ∂t ∂xi Es gelten folgende Bilanzgleichungen f¨ ur reine Stoffe: d ∂ wi = − , dt ∂xi

(3.90)

∂ τji dwj = kj + , dt ∂xi

(3.91)

du ∂ q˙i ∂ wi =− + τji . dt ∂xi ∂xj

(3.92)

 

Gl. (3.90) ist die Massenbilanz oder Kontinuit¨atsgleichung, (3.91) die Impulsbilanz oder Cauchysche Bewegungsgleichung und (3.92) die Energiebilanz. Da f¨ ur jede der drei Koordinatenrichtungen eine Impulsbilanz gilt, j = 1, 2, 3 hat man insgesamt f¨ unf Bilanzgleichungen. Gleichwertig mit der Energiegleichung ist deren Enthalpieform (3.83). In Mehrstoffgemischen muss man zur Kontinuit¨atsgleichung noch N − 1 Massenbilanzen f¨ ur die Komponenten hinzuf¨ ugen, (3.25), w¨ahrend die Energiebilanz durch (3.81) bzw. (3.87) zu ersetzen ist.

3.2 Die Bilanzgleichungen

335

Das Gleichungssystem ist noch durch die sogenannten konstitutiven Gleichungen oder Materialgesetze zu erg¨ anzen, welche die Eigenschaften der zu untersuchenden Stoffe beschreiben. Setzt man den h¨ aufig vorkommenden Fall eines inkompressiblen Newtonschen Fluids,  = const, d/dt = 0, konstanter Viskosit¨at voraus, so gehen die Kontinuit¨ atsgleichung, die Impuls- und die Energiebilanz u ¨ber in



∂ wi =0 , ∂xi

(3.93)

dwj ∂p ∂ 2 wj = kj − +η , dt ∂xj ∂xi 2

(3.94)

dϑ ∂2ϑ =λ +φ dt ∂xi 2

(3.95)

c mit

∂ wi φ=η ∂xj



∂ wj ∂ wi + ∂xi ∂xj



Die Gl. (3.94) ist die Navier-Stokes-Gleichung f¨ ur ein inkompressibles Fluid. F¨ ur Mehrstoffgemische aus N Komponenten hat man neben der Kontinuit¨ atsgleichungen f¨ ur die Gesamtmasse, (3.93), noch die Kontinuit¨atsgleichungen f¨ ur N − 1 Komponenten ∂ j∗ dA = − Ai Γ˙A . dt ∂xi

(3.96)

Die Impulsbilanz (3.94) bleibt unver¨ andert, w¨ ahrend man als Energiegleichung die Gl. (3.89) erh¨ alt: 

  N −1  ∂2ϑ dϑ ∂ ∂h ∗ =λ c +φ+ jKi kKi − hK Γ˙K . − dt ∂xi 2 ∂xi ∂ξK K=1

(3.97)

K

Beispiel 3.5: Eine sogenannte Couette-Str¨ omung entsteht in einem Fluid zwischen zwei planparallelen unendlich ausgedehnten Platten, wenn man die eine Platte — in Abb. 3.11 die obere — mit konstanter Geschwindigkeit wL bewegt, w¨ ahrend die andere Platte festgehalten wird. ¨ eines Gleitlagers zustande. Man Solche Str¨ omungen kommen beispielsweise im Ol bezeichnet sie auch als Schichten- oder Parallelstr¨ omung. Wir betrachten hier die inkompressible station¨ are Str¨ omung, deren Geschwindigkeitsprofil durch w1 (x2 ) gekennzeichnet ist. Ferner ist ∂ /∂t = 0, w2 = w3 = 0. Man berechne das Geschwindigkeitsprofil w1 (x2 ). Die Temperatur der oberen Platte sei ϑL , die der unteren ϑ0 < ϑL . Man berechne und diskutiere den Verlauf des Temperaturprofils ϑ(x2 ) unter der Annahme, dass die mechanische Dissipationsleistung nicht vernachl¨ assigbar ist. Es kommen nur Geschwindigkeiten in Richtung der x1 -Achse vor. Man braucht somit nur die Impulsgleichung (3.94), f¨ ur j = 1 zu betrachten. In dieser verschwindet die linke Seite, denn es ist ∂ /∂t = 0, ∂ w/∂x1 = 0, w2 = w3 = 0.

336

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.11: Zur Couette-Str¨ omung Ferner ist die Massenkraft k1 = 0, und es ist ∂ p/∂x1 = 0, da die Str¨ omung durch die Bewegung der oberen Platte, nicht aber durch Druckunterschiede zustande kommt. Die Impulsgleichung verk¨ urzt sich auf 0=η

∂ 2 w1 , ∂x2 2

und es ist daher

w1 =

x2 wL . L

In der Energiegleichung (3.95) verschwinden ebenfalls alle Glieder auf der linken Seite, denn es ist ∂ /∂t = 0, ∂ ϑ/∂x1 = 0, w2 = 0. Sie verk¨ urzt sich auf „ « 2 “ w ”2 ∂ w1 ∂2ϑ L + φ = mit φ = η =η . λ 2 ∂x2 ∂x2 L Integration der Energiegleichung ergibt das in x2 parabolische Temperaturprofil η “ wL ”2 2 x2 + a1 x2 + a0 . ϑ(x2 ) = − 2λ L Die Konstanten a0 und a1 folgen aus den Randbedingungen ϑ(x2 = 0) = ϑ0

und

ϑ(x2 = L) = ϑL .

Als Temperaturprofil erh¨ alt man damit » – η wL2 x2 “ x2 ”2 x2 − . + (ϑL − ϑ0 ) ϑ = ϑ0 + 2λ L L L Den Verlauf des Temperaturprofils u ¨ber x2 zeigt die Abb. 3.11 rechts. Falls die obere Platte ruht, wL = 0, hat man das lineare Temperaturprofil der reinen W¨ armeleitung zwischen zwei ebenen Platten. F¨ ur hinreichend große Werte wL hat das Temperaturprofil ein Maximum, dessen Lage man aus dϑ/dx2 = 0 berechnet zu » – λ 1 (x2 )max = (ϑL − ϑ0 ) + L . η wL2 2 Es muss (x2 )max ≤ L sein. Das trifft dann zu, wenn » –1/2 2λ = wL∗ wL ≥ (ϑL − ϑ0 ) η ist: Bei kleineren Geschwindigkeiten als wL∗ wird nur wenig Energie dissipiert; das Maximum der Temperatur f¨ allt mit der Temperatur der oberen Platte zusammen. Bei gr¨ oßeren Geschwindigkeiten als wL∗ wird soviel Energie dissipiert, dass sich das Fluid in einem gewissen Bereich zwischen den Platten u ¨ ber die Temperatur der oberen Platte aufheizt.

3.3 Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Str¨ omung

337

3.3 Einfluss der Reynolds-Zahl auf die Str¨ omung Eine allgemeine L¨ osung der Navier-Stokes-Gleichungen ist bisher nicht gelungen. Hauptursache f¨ ur die Schwierigkeiten ist der nichtlineare Charakter der Differentialgleichungen durch die Produkte in den Tr¨agheitsgliedern 

∂ wj dwj ∂ wj = + wi dt ∂t ∂xi

auf der linken Seite der Navier-Stokes-Gleichung. Es sind nur f¨ ur bestimmte Grenzf¨ alle L¨ osungen bekannt. Sie ergeben sich dadurch, dass man feststellt, unter welchen Bedingungen man einzelne Terme der Gleichung gegen¨ uber anderen vernachl¨ assigen und so die Gleichung vereinfachen kann. Zur Absch¨ atzung der Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme formt man die Differentialgleichung zweckm¨ aßigerweise so um, dass sie nur dimensionslose Gr¨oßen enth¨ alt. Dadurch wird die Gr¨ oßenordnung der Terme unabh¨angig von dem zuf¨ allig gew¨ ahlten Maßsystem. Eine solche Darstellung der Gleichung durch dimensionslose Gr¨ oßen ist stets m¨ oglich und Ausdruck des allgemeinen Prinzips, dass die Beschreibung und L¨ osung eines physikalischen Problems unabh¨ angig von Maßsystemen sein muss. Gleichbedeutend mit der Einf¨ uhrung dimensionsloser Gr¨ oßen ist die Verwendung problemorientierter Maßeinheiten. Wir betrachten die Navier-Stokes-Gleichung der inkompressiblen Str¨omung (3.94) ohne Massenkr¨ afte 

∂ wj ∂ wj ∂p ∂ 2 wj dwj = + wi =− +η . dt ∂t ∂xi ∂xj ∂xi 2

(3.98)

Man bezieht nun alle Geschwindigkeiten auf eine durch das Problem gegebene charakteristische Geschwindigkeit wα , beispielsweise die Anstr¨omgeschwindigkeit bei einem querangestr¨ omten K¨ orper. Ebenso bezieht man alle L¨ angen auf eine durch das Problem gegebene charakteristische L¨ange L, beispielsweise die u omte L¨ ange eines quer angestr¨omten K¨orpers. Damit ¨ berstr¨ bilden wir die dimensionslosen Gr¨ oßen wi+ = wi /wα

,

x+ i = xi /L ,

p+ = p/wα2 t+ = t wα /L

und f¨ uhren diese in die Navier-Stokes-Gleichung (3.98) ein. Dabei ersetzen wir noch die Viskosit¨ at η durch die kinematische Viskosit¨at ν gem¨aß η = ν. Man erh¨ alt dann + ∂ wj+ ∂ wj+ ∂ p+ 1 ∂ 2 wj + + w = − + (3.99) i ∂t+ Re ∂x+ 2 ∂x+ ∂x+ i j i

mit der bereits bekannten Reynolds-Zahl

338

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Re =

wα L . ν

Zusammen mit der dimensionslosen Form der Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur die inkompressible Str¨ omung ∂ wi+ =0 , (3.100) ∂x+ i die nach Einf¨ uhren der dimensionslosen Gr¨ oßen aus (3.93) hervorgeht, und den Randbedingungen beschreiben (3.99) und (3.100) die Str¨omung vollst¨andig. Als L¨ osung erh¨ alt man das Geschwindigkeitsfeld wj+ (t+ , x+ i ) und das + + + Druckfeld p (t , xi ). Die L¨ osung h¨ angt offenbar noch von der Reynolds-Zahl ab. Diese l¨asst sich als Verh¨ altnis von einer f¨ ur das Problem charakteristischen Tr¨agheits- zur Reibungskraft deuten. Die Tr¨ agheitskraft dw1 /dt ist von der Gr¨oßenordnung wα /t, worin die Zeit t von der Gr¨ oßenordnung L/wα und die Tr¨agheitskraft somit von der Gr¨ oßenordnung wα2 /L ist. Die Reibungskraft η∂ 2 w1 /∂x21 ist von der Gr¨oßenordnung ηwα /L2 . Das Verh¨ altnis beider Terme ist von der Gr¨ oßenordnung wα L wα2 /L wα L = = Re = ηwα /L2 η ν und wird gerade durch die Reynolds-Zahl Re beschrieben. Wie man erkennt, wachsen die Tr¨ agheitskr¨afte quadratisch mit der Geschwindigkeit, nehmen also viel rascher mit der Geschwindigkeit zu als die linear mit dieser anwachsenden Reibungskr¨ afte. Bei großen Reynolds-Zahlen k¨ onnen daher die stets vorhandenen St¨ orungen der Geschwindigkeit nicht mehr durch die vergleichsweise kleinen Reibungskr¨afte ged¨ampft werden. Dies außert sich darin, dass Str¨ omungen von einer gewissen Gr¨oße der Reynolds¨ Zahl an, der sogenannten kritischen Reynolds-Zahl, ihre Form ¨andern. W¨ ahrend sich unterhalb der kritischen Reynolds-Zahl die Fluidteilchen auf vorgegebenen Strombahnen bewegen und Geschwindigkeitsst¨orungen rasch wieder abklingen, werden oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl Schwankungsbewegungen nicht mehr ged¨ ampft sondern weiter verst¨arkt. Man bezeichnet eine solche Str¨ omung als turbulent. Die Str¨omung auf vorgegebenen Teilchenbahnen nennt man laminar. Die turbulente Str¨omung ist immer dreidimensional, instation¨ ar und rotationsbehaftet. Die Geschwindigkeit an einem festen Ort schwankt unregelm¨ aßig um einen Mittelwert. Die momentanen Werte von Geschwindigkeit, Druck, Temperatur und Konzentration sind Zufallsgr¨ oßen. L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen f¨ ur laminare Str¨omungen beschreiben bei großen Reynolds-Zahlen daher nur dann wirkliche Str¨omungen,

3.4 Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

339

wenn die L¨ osungen gegen kleine St¨ orungen stabil sind: Eine vor¨ ubergehende kleine St¨ orung muss wieder abklingen. Oberhalb der kritischen Reynolds-Zahl ist dies nicht mehr der Fall. Eine vor¨ ubergehende kleine St¨orung klingt nicht mehr ab, sondern wird verst¨ arkt. Die Str¨ omungsform schl¨agt von der laminaren in die turbulente Str¨ omung um. Diese Erscheinungen hat Osborne Reynolds (1842–1912) erstmalig beobachtet, indem er der Str¨ omung durch ein Glasrohr in der Rohrachse einen Farbstoff zusetzte. In laminarer Str¨ omung bildete sich in der Rohrachse ein d¨ unner Farbfaden, der sich durch die geringe molekulare Diffusion stromabw¨ arts nur wenig verbreiterte. Erh¨ ohte man die Geschwindigkeit, so dass die kritische Reynolds-Zahl gen¨ ugend weit u ¨berschritten wurde, so schwankte der Faden, l¨ oste sich stromabw¨ arts rasch auf und vermischte sich mit der Str¨ omung. Bei der Rohrstr¨ omung zeigt sich, dass sie bei Reynolds-Zahlen Rekrit = wm d/ν ≤ 2300 , gebildet mit der u ¨ber den Querschnitt gemittelten Geschwindigkeit wm und dem Rohrdurchmesser d, auch bei stark gest¨ ortem Zulauf stets laminar bleibt. F¨ ur besonders st¨ orungsfreie Zustr¨ omungen hat man zwar kritische ReynoldsZahlen bis 40 000 gemessen, bei den in den technischen Anwendungen nie v¨ ollig st¨ orungsfreien Zul¨ aufen ist die Str¨ omung jedoch nur unterhalb Rekrit = 2 300 laminar. Bei Reynolds-Zahlen bis etwa 2 600 hat die Str¨omung zun¨achst intermittierenden Charakter. Sie ist zeitweise laminar, zeitweise turbulent und wird oberhalb von Re = 2 600 voll turbulent. ¨ An einer l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte liegt der Ubergang von der laminaren zur turbulenten Str¨ omung bei Reynolds-Zahlen wα L/ν zwischen 3 · 105 und 5 · 105 ; wα ist die Anstr¨ omgeschwindigkeit, L die u ¨berstr¨omte Plattenl¨ ange. Der W¨ arme- und Stoffaustausch in turbulenten Str¨omungen ist viel intensiver als in laminaren. Gleichzeitig steigt allerdings im Allgemeinen auch der Druckabfall.

3.4 Vereinfachungen der Navier-StokesGleichungen Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen ergeben sich, wenn die Reynolds-Zahlen sehr klein oder sehr groß sind, Re → 0 oder Re → ∞. Diese Grenzf¨ alle werden zwar in Wirklichkeit nicht erreicht werden, sie stellen aber asymptotische L¨ osungen dar und sind umso bessere N¨aherungen, je gr¨oßer bzw. kleiner die Reynolds-Zahl ist. Wir wollen diese Grenzf¨alle im Folgenden untersuchen.

3.4.1 Schleichende Str¨ omungen Den Grenzfall Re → 0 bezeichnet man als schleichende Str¨omungen. Er kann dadurch verwirklicht werden, dass die Geschwindigkeit wα sehr klein, die

340

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Dichte  sehr gering, zum Beispiel in stark verd¨ unnten Gasen, und die Viskosit¨ at η sehr groß ist, also bei Str¨ omungen hochviskoser Fluide, oder dass typische K¨ orperabmessungen L sehr klein sind wie bei der Umstr¨omung von Staubk¨ ornern oder Nebeltr¨ opfchen. Die Reibungskr¨afte u uber ¨ berwiegen gegen¨ den Tr¨ agheitskr¨ aften, so dass die linke Seite von (3.99) im Vergleich zum assigt werden kann. Der Druckgradient Term (1/Re)(∂ 2 wj+ /∂x+2 i ) vernachl¨ + + ∂p /∂xj kann hingegen nicht ohne weiteres vernachl¨assigt werden, denn er ist von der Gr¨ oßenordnung Δp/L Δp , = wα2 wα2 /L enth¨ alt also die Tr¨ agheitskr¨ afte als kleine Gr¨oße im Nenner. Nur wenn der Druckabfall deutlich kleiner als die Tr¨ agheitskr¨afte ist, kann man auch den Druckterm weglassen. Ob dies zutrifft, kann man erst anhand der L¨osung der Impuls- und der Kontinuit¨ atsgleichung entscheiden. Durch Vernachl¨assigung der Tr¨ agheitskr¨ afte in (3.99) entfallen die nichtlinearen Terme, und es ¨ verbleibt nach Ubergang zu dimensionsbehafteten Gr¨oßen die lineare Differentialgleichung ∂ 2 wj ∂p =η . (3.101) ∂xj ∂xi 2 Nochmalige Differentiation ergibt ∂2p ∂ ∂ 2 wj ∂2 = η = η ∂xj 2 ∂xj ∂xi 2 ∂xi 2



∂ wj ∂xj

 =0 .

(3.102)

Da die Str¨ omung als inkompressibel vorausgesetzt wurde, ist aufgrund der ullt die Potentialgleichung. Kontinuit¨ atsgleichung ∂ wj /∂xj = 0. Der Druck erf¨ Die Gl. (3.101) und (3.102) sind Grundlage der hydrodynamischen Schmie¨ rungstheorie, die sich unter anderem mit der Olstr¨ omung in Gleitlagern befasst.

3.4.2 Reibungsfreie Str¨ omungen Setzt man eine Str¨ omung als v¨ ollig reibungsfrei voraus, η = 0, so wird 1/Re = 0. Der Reibungsterm auf der rechten Seite von (3.99) verschwindet, und man ¨ erh¨ alt nach Ubergang zu dimensionsbehafteten Gr¨oßen 

∂ wj ∂ wj ∂p + wi =− . ∂t ∂xi ∂xj

(3.103)

Dies ist die Eulersche Gleichung. Sie enth¨ alt im Sonderfall der eindimensionalen station¨ aren Str¨ omung die Beziehung w1

dp dw1 =− dx1 dx1

3.4 Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen

341

oder integriert w12 + p = const 2 die als Bernoullische Gleichung bekannt ist. Der Einfluss der Schwerkraft ist hierin vernachl¨ assigt. W¨ ahrend die Navier-Stokes-Gleichung (3.98) von zweiter Ordnung ist, enth¨ alt die Eulersche Gleichung (3.103) nur noch Terme erster Ordnung. Da ihre Ordnung um eins niedriger ist als die der Navier-Stokes-Gleichung, kann man nach der Integration eine Randbedingung weniger erf¨ ullen. Als Folge davon kann man die Haftbedingung an der Wand nicht erf¨ ullen. Man erh¨alt vielmehr an der Wand endliche Geschwindigkeiten, da im ganzen Str¨omungsraum und somit auch an der Wand Reibungsfreiheit vorausgesetzt wurde, w¨ahrend wirkliche Str¨ omungen an festen W¨ anden haften. 

3.4.3 Grenzschichtstr¨ omungen ¨ Wie die vorstehenden Uberlegungen zeigen, darf man bei großen ReynoldsZahlen Re → ∞ den Reibungsterm in der Navier-Stokes-Gleichung (3.98) nicht vernachl¨ assigen, wenn man Str¨ omungen in der N¨ahe fester W¨ande richtig beschreiben und die Haftbedingung erf¨ ullen will. Der Bereich, in dem man die Reibungskr¨ afte gegen¨ uber den Tr¨ agheitskr¨ aften nicht vernachl¨assigen darf, ist im Allgemeinen auf eine d¨ unne wandnahe Zone begrenzt, da der Geschwin-

Abb. 3.12: Geschwindigkeiten in einer Grenzschicht

digkeitsanstieg in Wandn¨ ahe und somit auch die Schubspannung groß ist, wie es in Abb. 3.12 anschaulich dargestellt ist. In Wandn¨ahe ist die Schubspannung ∂ w1 τ21 = η ∂x2 besonders groß, in gr¨ oßerer Entfernung von der Wand hingegen vernachl¨assigbar. Die wandnahe Schicht, in der Reibungs- und Tr¨agheitskr¨afte von gleicher Gr¨ oßenordnung sind, nennt man Str¨omungsgrenzschicht oder einfach Grenzschicht. Die Berechnung des Impuls-, W¨ arme- und Stoffaustausches in solchen Str¨ omungen ist Gegenstand der Grenzschichttheorie und wird im folgenden Abschnitt behandelt. Es soll hier lediglich noch die Grenzschichtdicke δ(x1 ) abgesch¨ atzt werden. Wir betrachten dazu nur die in Richtung der x1 -Achse wirkenden Tr¨ agheits- und Reibungskr¨ afte. Das charakteristische Tr¨agheitsglied war von der Gr¨ oßenordnung

342

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

wα2 /x1 , wenn wir die charakteristische L¨ ange durch den jeweiligen Abstand von der Vorderkante ersetzen. In x1 -Richtung treten in (3.98) f¨ ur die hier betrachtete Str¨ omung mit der Geschwindigkeit w1 (x1 , x2 ) folgende Reibungsterme auf: η

∂ 2 w1 ∂ 2 w1 ∂ 2 w1 = η + η . ∂xi 2 ∂x1 2 ∂x2 2

W¨ ahrend der erste Term auf der rechten Seite von der Gr¨oßenordnung ηwα /x21 ist, ergibt sich als Gr¨ oßenordnung f¨ ur den zweiten Term ηwα /δ 2 . Da die Grenzschicht in einem ausreichend großen Abstand von der Plattenvorderkante sehr viel d¨ unner als die Plattenl¨ange ist, δ x1 , ist der zweite Term f¨ ur die Reibung innerhalb der Grenzschicht entscheidend. Gleichsetzen der Gr¨ oßenordnungen von Tr¨agheits- und Reibungskr¨aften ergibt wα2 ηwα ≈ 2 x1 δ oder δ ≈ x1 /

 Rex1

(3.104) √ mit Rex1 = wα x1 /ν. Die Grenzschicht w¨ achst mit x1 . Sie ist umso d¨ unner, je gr¨ oßer die Reynolds-Zahl ist. Innerhalb des schmalen Bereiches der Grenzschicht kann man offenbar die Reibungskr¨ afte nicht vernachl¨assigen, w¨ahrend diese außerhalb der Grenzschicht praktisch keine Rolle spielen, so dass f¨ ur die Str¨ omung im Außenbereich die einfachere Eulersche Gleichung gilt.

3.5 Die Grenzschichtgleichungen 3.5.1 Die Str¨ omungsgrenzschicht F¨ ur große Reynolds-Zahlen l¨ asst sich, wie zuvor er¨ortert, der Str¨omungsraum in zwei Bereiche unterteilen, die ¨ außere reibungsfreie Str¨omung, die durch die Eulersche Gleichung beschrieben wird, und die Str¨omung innerhalb der Grenzschicht, die dadurch gekennzeichnet ist, dass man die Reibungskr¨afte nicht mehr gegen¨ uber den Tr¨ agheitskr¨ aften vernachl¨assigen kann. Aus der Eulerschen Gleichung erh¨ alt man f¨ ur ein bekanntes Druckfeld die Geschwindigkeitsverteilung im Außenraum. Man ist aber nicht in der Lage, den Str¨omungswiderstand zu ermitteln. Dazu muss die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht bekannt sein. In ihr geht das Geschwindigkeitsprofil vom Wert null an der Wand asymptotisch in das der reibungsfreien Außenstr¨omung u ¨ ber. In gleicher Weise n¨ ahern sich auch Temperaturen und Konzentrationen von den Werten an der Wand asymptotisch denen der Außenstr¨omung.

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

343

Wir nehmen im Folgenden an, dass Geschwindigkeiten, Temperaturen und Konzentrationen der Außenstr¨ omung bekannt sind, und betrachten eine station¨ are, ebene Str¨ omung. Die Massenkr¨ afte seien vernachl¨assigbar. Die Str¨ omung l¨ angs einer gekr¨ ummten Wand kann man ebenfalls als eben ansehen, solange der Kr¨ ummungsradius der Wand groß ist im Vergleich zur Grenzschichtdicke. Dann spielt die Kr¨ ummung keine Rolle f¨ ur die d¨ unne Grenzschicht, und sie entwickelt sich so wie an einer ebenen Wand. Die Wandkr¨ ummung ist lediglich von Einfluss auf die Außenstr¨omung und deren Druckverteilung. Wir f¨ uhren sogenannte Grenzschichtkoordinaten ein, Abb. 3.13, indem die orperoberfl¨ ache und x2 = y senkrecht daKoordinate x1 = x entlang der K¨ zu gew¨ ahlt wird. Wir setzen eine Anfangsgeschwindigkeit wα (y) voraus; ihr integraler Mittelwert sei wm .

Abb. 3.13: Grenzschicht an einem l¨ angsangestr¨ omten K¨ orper

Dichte¨ anderungen in str¨ omenden Fl¨ ussigkeiten sind sehr gering, wenn man von Extremf¨ allen absieht, beispielsweise Dichte¨anderungen, die durch sehr ¨ schnelles Schließen oder Offnen der Absperrorgane von Rohrleitungen hervorgerufen werden. Im Allgemeinen ist somit in str¨omenden Fl¨ ussigkeiten d/dt → 0, und wir d¨ urfen die Kontinuit¨ ats- und die Impulsgleichung f¨ ur inkompressible Str¨ omung anschreiben. Aber auch in Gasen sind Dichte¨anderungen gering, wenn die Geschwindigkeiten so klein sind, dass die mit der Schallgeschwindigkeit gebildete Mach-Zahl Ma = wm /wS 1 ist. Wir zeigen dies am Beispiel einer reversibel adiabaten Str¨omung. Aus der Zustandsgleichung p = p(, s) folgt

 ∂p dp = d . ∂ s Hierin bezeichnet man die Ableitung

 ∂p := wS2 ∂ s und nennt wS die Schallgeschwindigkeit. Es gilt somit f¨ ur eine reversibel adiabate Str¨ omung dp = wS2 d . Da keine technische Arbeit verrichtet werden soll, ist

344

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

dwt = 0 = v dp + d

w2 2

 ,

¨ wenn wir Anderungen der potentiellen Energie vernachl¨assigen. Damit folgt v dp = vwS2 d = wS2 d/ und d 1 1 = 2 v dp = − 2 d  wS wS oder



w2 2

 =−

w dw wS2

dw d = −Ma2 .  w

F¨ ur die relative Geschwindigkeits¨ anderung gilt dw/w ≤ 1. Die relative Dichte¨ anderung d/ ist somit klein f¨ ur Ma < 1, z.B. erh¨alt man f¨ ur Ma = 0,3, was einer Geschwindigkeit von 100 m/s der Luft im Umgebungszustand entspricht, d ≤ 0,09 .  Man darf daher Gase m¨ aßiger Geschwindigkeit bei nicht allzu großen Temperatur¨ anderungen n¨ aherungsweise als inkompressibel ansehen, d/dt → 0, und ihre Str¨ omung n¨ aherungsweise durch die Kontinuit¨ats- und die Impulsgleichung einer inkompressiblen Str¨ omung beschreiben. Die Kontinuit¨ ats- und die Navier-Stokes-Gleichung (3.93) und (3.94) lauten unter den angegebenen Voraussetzungen, wenn wir w1 = wx und w2 = wy setzen, also die Tensorschreibweise wieder verlassen: ∂ wx ∂ wy + =0 ∂x ∂y

2  ∂ wx ∂p ∂ wx ∂ wx ∂ 2 wx + wy =− +η wx + ∂x ∂y ∂x ∂x2 ∂y 2

2  ∂ wy ∂p ∂ wy ∂ wy ∂ 2 wy + wy =− +η wx + . ∂y ∂y ∂y ∂x2 ∂y 2

(3.105)

(3.106) (3.107)

Um die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme in diesen Gleichungen abzusch¨atzen, f¨ uhren wir dimensionslose Gr¨ oßen ein. Es bietet sich an, den Wandabstand y auf eine mittlere Grenzschichtdicke“ ” δm ∼ L/Re1/2 zu beziehen mit Re = wm L/ν, w¨ ahrend man die L¨ange L zweckm¨aßigerweise als L¨ angenmaßstab f¨ ur die Str¨ omungsrichtung x w¨ahlt und die Geschwindigomgeschwindigkeit wm bezieht. Aus der Kontikeit wx auf die mittlere Anstr¨ nuit¨ atsgleichung folgt

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

wy ∼

345

wm δm L

und daher wy ∼ wm /Re1/2 . Als Maßstab f¨ ur die Geschwindigkeit wy f¨ uhrt man daher zweckm¨aßigerweise wm /Re1/2 ein. Auf diese Weise ergeben sich die folgenden dimensionslosen Gr¨ oßen: wx + =

wx wy x y y p , wy + = Re1/2 , x+ = , y + = = Re1/2 , p+ = . 2 wm wm L δm L wm

Mit diesen Gr¨ oßen nehmen (3.105) bis (3.107) die folgende Form an: ∂ wy+ ∂ wx+ + =0 , ∂x+ ∂y + + ∂ wx+ ∂ p+ 1 ∂ 2 wx+ ∂ 2 wx+ + ∂ wx + w = − + + , y ∂x+ ∂y + ∂x+ Re ∂x+ 2 ∂y + 2 

∂ wy+ ∂ wy+ 1 1 ∂ 2 wy+ 1 ∂ 2 wy+ ∂ p+ + + + w + + . = − wx y Re ∂x+ ∂y + ∂y + Re2 ∂x+ 2 Re ∂y + 2

wx+

F¨ ur große Reynolds-Zahlen Re → ∞ werden alle Glieder mit dem Faktor 1/Re und erst recht die mit 1/Re2 verschwindend klein. Kehrt man nach Vernachl¨ assigung dieser Glieder wieder zu dimensionsbehafteten Gleichungen zur¨ uck, so erh¨ alt man die Grenzschichtgleichungen, die in dieser Form im Jahre 1904 erstmalig von L. Prandtl (1875–1953) [3.4] angegeben wurden: ∂ wy ∂ wx + =0 , ∂x ∂y wx

∂p ∂ 2 wx ∂ wx ∂ wx + wy =− +η , ∂x ∂y ∂x ∂y 2 ∂p =0 . ∂y

(3.108)

(3.109) (3.110)

Aus (3.108) und (3.109) erh¨ alt man die beiden unbekannten Geschwindigkeiten wx und wy . Der Druck ist keine Unbekannte mehr, denn nach (3.110) ist der Druck p = p(x) keine Funktion der wandnormalen Koordinate y. Er wird durch die Außenstr¨ omung, also letztlich durch die Gestalt des umstr¨omten K¨ orpers oder durchstr¨ omten Kanals bestimmt. Der Druck hat in der Grenzschicht an jeder Stelle x den gleichen Wert wie außerhalb und kann mittels der Eulerschen Gleichung (3.103) durch die Geschwindigkeit wδ (x) der Außenstr¨ omung ersetzt werden: wδ

dp ∂ wδ =− . ∂x dx

(3.111)

346

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Folgende Randbedingungen stehen zur L¨ osung des Gleichungssystems zur Verf¨ ugung: Die Haftbedingung an der Wand y=0:

wx = wy = 0 ,

(3.112)

die Bedingung am Außenrand der Grenzschicht, wonach die Geschwindigkeit wy asymptotisch in die Geschwindigkeit der Außenstr¨omung u ¨bergehen soll, y→∞:

wx = wδ

(3.113)

und die Anfangsbedingung x=0:

wx = wα (y) .

(3.114)

Die Grenzschichtgleichungen sind nichtlinear und abgesehen von einigen Spezialf¨ allen nicht streng analytisch l¨ osbar.

3.5.2 Die Temperaturgrenzschicht ¨ Ahnlich wie man zur Berechnung der Geschwindigkeiten in einer Str¨omungsgrenzschicht die Navier-Stokes-Gleichungen erheblich vereinfachen konnte, l¨ asst sich auch die Energiegleichung zur Berechnung der Temperaturen in einer Temperaturgrenzschicht vereinfachen. Wir betrachten dazu wieder einen K¨ orper gem¨ aß Abb. 3.12, dessen Oberfl¨ ache eine bestimmte Wandtemperatur ϑ0 hat, die von der Temperatur ϑα der Anstr¨omung verschieden ist. Wir setzen wie zuvor eine station¨ are, ebene Str¨ omung voraus. Große Temperaturund Druck¨ anderungen wollen wir ausschließen, so dass man konstante W¨armeleitf¨ ahigkeit annehmen darf. Fl¨ ussigkeiten sind, wie schon zuvor er¨ortert, weitgehend inkompressibel, d/dt = 0, w¨ ahrend f¨ ur Gase der Beitrag der, wenn auch geringen, Dichte¨ anderung zur Energiebilanz noch abzusch¨atzen ist. Wir verwenden daher die f¨ ur kompressible und inkompressible Str¨omung g¨ ultige Temperaturform (3.85) der Energiegleichung

 

2

 ∂ ϑ ∂ 2ϑ ∂ϑ ∂ϑ dp T ∂v + wy +φ (3.115) + + =λ cp wx ∂x ∂y ∂x2 ∂y 2 v ∂ϑ p dt und sch¨ atzen wie zuvor die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme ab, indem wir einige der zuvor bereits definierten dimensionslosen Gr¨oßen weiter verwenden: wx+ =

wx ; wm

wy+ =

wy Re1/2 ; wm

x+ =

x ; L

p+ =

p . 2 wm

Als Maßstab f¨ ur die Koordinate y f¨ uhrt man zweckm¨aßigerweise eine mittlere Dicke der Temperaturgrenzschicht ein. Eine Absch¨atzung der Temperaturgrenzschicht hatte bereits (3.8) ergeben,

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

δT ∼ x

a

347

1/2 ,

wm x

wobei wm die als konstant vorausgesetzte Geschwindigkeit war. Hierin ist jetzt die Temperaturleitf¨ ahigkeit definiert durch a = λ/cp . Wir bilden eine mittlere Dicke δT m der Temperaturgrenzschicht

1/2 a δT m ∼ L , wm L die durch diese Gleichung bis auf einen noch unbekannten Proportionalit¨atsfaktor bestimmt ist. Die hierin vorkommende Gr¨oße wm L a ist die bereits bekannte P´eclet-Zahl P e. Sie ist mit der Reynolds-Zahl verkn¨ upft durch wm L ν wm L = = Re P r . Pe = a ν a P r = ν/a ist die Prandtl-Zahl. Mit δT m bilden wir die dimensionslose Koordinate y y = P e1/2 . y+ = δT m L Außerdem f¨ uhren wir noch eine dimensionslose Zeit t+ =

t wm L

und als dimensionslose Temperatur ϑ+ =

ϑ − ϑ0 ϑα − ϑ0

ein. Durch diese Normierung verl¨ auft die Temperatur in der Grenzschicht zwischen den Werten 0 ≤ ϑ+ ≤ 1. Mit den so definierten dimensionslosen Gr¨ oßen l¨ asst sich die Energiegleichung (3.115) umformen in wx+

+ ∂ ϑ+ 1 ∂ 2 ϑ+ ∂ 2 ϑ+ 1/2 + ∂ ϑ + P r w = + y 2 ∂x+ ∂y + P e ∂x+ ∂y + 2

+

2 T wm cp Δϑ v



∂v ∂ϑ

 p

dp+ φL + dt+ wm cp Δϑ

(3.116)

mit Δϑ = ϑα − ϑ0 . Die hierin vorkommende Dissipationsleistung φ ist von der Gr¨ oßenordnung (s. hierzu auch das Beispiel 3.3) 2

∂ wx w2 ∼ η 2m oder mit δm ∼ L/Re1/2 φ∼η ∂y δm

348

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

φ∼η

2 2 3 wm wm L  wm wm = . Re = η L2 L2 η L

Damit ist die Gr¨ oßenordnung des letzten Terms in (3.116) 2 φL wm ∼ . wm cp Δϑ cp Δϑ

Die Gr¨ oße

2 wm = Ec cp Δϑ

ist die bereits bekannte Eckert-Zahl. Sie ist das Verh¨altnis der (doppelten) mittleren kinetischen Energie und der mittleren inneren Energie der Grenzschicht. Bei W¨ arme- und Stoffaustauschproblemen ist sie sehr klein, abgesehen von Str¨ omungen mit hohen Geschwindigkeiten nahe oder u ¨ ber der Schallgeschwindigkeit. Derartige Str¨ omungen waren jedoch ausgeschlossen. Man kann somit den Beitrag der mechanischen Dissipationsleistung in der Energiegleichung vernachl¨ assigen. In dem vorletzten Ausdruck von (3.116)



 2 T ∂v T ∂v dp+ dp+ wm = Ec cp Δϑ v ∂ϑ p dt+ v ∂ϑ p dt+ ist f¨ ur ideale Gase: T v



∂v ∂ϑ

 =1 , p

w¨ ahrend f¨ ur Fl¨ ussigkeiten wegen v = v0 =const der Ausdruck sogar verschwindet. Da die Eckert-Zahl Ec sehr klein ist, kann man den vorletzten Ausdruck auch f¨ ur Gase vernachl¨ assigen. Da wir große Reynolds-Zahlen Re → ∞ voraussetzten, die Prandtl-Zahl aber von der Gr¨oßenordnung 1 ist, kann man auch das erste Glied auf der rechten Seite von (3.116) vernachl¨assigen: Die W¨ armeleitung in Str¨ omungsrichtung x ist vernachl¨assigbar im Vergleich zu derjenigen durch die d¨ unne Grenzschicht. Nach R¨ ucktransformation in dimensionsbehaftete Koordinaten erh¨ alt man als Gleichung der Temperaturgrenzschicht ∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ + cp wy =λ 2 . (3.117) cp wx ∂x ∂y ∂y ¨ Entsprechende Uberlegungen gelten auch f¨ ur die Temperaturgrenzschicht von Mehrstoffgemischen. Der Energietransport durch Leitung und durch Diffusion in Richtung der L¨ angskoordinate x ist vernachl¨ assigbar im Vergleich zu dem durch die Grenzschicht. Die Energiegleichung der Grenzschicht folgt aus (3.97), in der wir verschwindende Massenkr¨ afte kKi voraussetzen: N−1 X ∗ ∂ „ ∂h « X ∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ + cp wy =λ 2 − − jKy hK Γ˙K . (3.118) cp wx ∂x ∂y ∂y ∂y ∂ξK K=1 K Die Gl. (3.118) gilt in dieser Form auch f¨ ur Vielstoffgemische mit mehr als zwei Komponenten.

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

349

F¨ ur ein Zweistoffgemisch aus den Komponenten A und B ist die Enthalpie des Gemisches h = h0A ξA + h0B (1 − ξA ) + Δh , wenn Δh die Mischungsenthalpie ist und h0A , h0B die Enthalpien der reinen Stoffe A und B sind. Die Mischungsenthalpie kann f¨ ur Gase in einiger Entfernung vom kritischen Zustand vernachl¨ assigt werden und verschwindet definitionsgem¨ aß f¨ ur ideale Fl¨ ussigkeitsgemische. Dann ist ∂h = h0A − h0B . ∂ξA Weiter ist f¨ ur ein inkompressibles reines Fluid wegen v = v0 =const dh = cp dϑ + v0 dp und

∂ϑ ∂h = cp ∂y ∂y da ∂ p/∂y = 0 in der Grenzschicht ist. Somit ist ∂ϑ ∂ ∂h = (cpA − cpB ) ∂y ∂ξA ∂y worin cpA und cpB die spez. W¨ armekapazit¨ aten der reinen Stoffe A und B sind. Die Energiegleichung der Grenzschicht eines inkompressiblen Zweistoffgemisches lautet damit cp wx

∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∂ϑ ∗ + cp wy = λ 2 − jAy − (hA − hB )Γ˙A (cpA − cpB ) ∂x ∂y ∂y ∂y

(3.119)

mit

∂ ξA . ∂y Falls die beiden Stoffe gleiche spez. W¨ armekapazit¨ aten besitzen, entf¨ allt der Term f¨ ur den Stoffaustausch. In allen anderen F¨ allen kann er jedoch nicht mehr vernachl¨ assigbare Werte annehmen. Selbst f¨ ur Stoffe wie Wasserdampf und Luft unterscheiden sich die spez. W¨ armekapazit¨ aten schon so deutlich, dass man den Term f¨ ur den Stoffaustausch nicht mehr weglassen kann. Man erkennt außerdem, dass die Energiegleichung mit der f¨ ur reine Stoffe u armekapazit¨ aten ¨ bereinstimmt, wenn die spez. W¨ der beiden Komponenten gleich sind und wenn keine chemischen Reaktionen vorkommen. ∗ jAy = −D

Beispiel 3.6: In der Energiegleichung f¨ ur ein Zweistoffgemisch (3.119) bestesch¨ atze man die Gr¨ oßenordnung hend aus Wasserdampf und Luft von 100 der einzelnen Terme ab. Chemische Reaktionen seien ausgeschlossen. Es ist die spez. W¨ armekapazit¨ at des Wasserdampfes cpA = 1,8477 kJ/kgK, die der Luft cpB = 1,00258 kJ/kgK. Ferner sei die Lewis-Zahl Le = a/D = 1. Man f¨ uhrt die gleichen dimensionslosen Gr¨ oßen ein, die zur Herleitung der Energiegleichung f¨ ur die Grenzschicht reiner Stoffe verwendet wurden, wx+ =

wx ; wm

wy+ =

wy Re1/2 ; wm

x+ =

x ; L

y+ =

y P e1/2 ; L

350

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

ϑ − ϑ0 ϑα − ϑ0 Damit geht (3.119) u ¨ ber in ϑ+ =

wx+

und zus¨ atzlich

+ ξA =

ξA − ξA0 . ξAα − ξA0

+ ∂ ξA ∂2ϑ (ξAα −ξA0 )  D (cpA −cpB ) L ∂ϑ ∂ ϑ+ 1/2 + ∂ ϑ +P r w = + P e . y ∂x+ ∂y + wm  cp L2 ∂y + ∂y + ∂y + 2

ur schreiben: Wegen P e = wm L/a kann man hierf¨ wx+

+ + ∂ 2 ϑ+ (ξAα −ξA0 ) (cpA −cpB ) D ∂ ξA ∂ ϑ+ ∂ ϑ+ 1/2 + ∂ ϑ + P r w = + . y 2 + ∂y + + ∂x+ ∂y + c a ∂y ∂y p

Die Gr¨ oßenordnung des letzten Terms wird durch dessen Vorfaktor bestimmt. Dieser ergibt sich, wenn wir f¨ ur cp einen Mittelwert (cpA + cpB )/2 = 1,42514 omung kJ/kgK setzen und ξAα − ξA0 = 1 setzen, d.h. annehmen, in der Kernstr¨ sei der Massenanteil des Wasserdampfes gering ξAα = 0, an der Wand sei er groß ξA0 = 1, weil dort Wasserdampf kondensiert. Mit a/D = 1 ergibt sich dann die Gr¨ oßenordnung des Vorfaktors zu 0,593. Da alle u ucke ¨ brigen Ausdr¨ von der Gr¨ oßenordnung eins sind, kann man den Term f¨ ur den Stofftransport nicht vernachl¨ assigen. Dies w¨ are nur dann zul¨ assig, wenn ξAα − ξA0 sehr klein are. und etwa von der Gr¨ oßenordnung 10−2 w¨

3.5.3 Die Konzentrationsgrenzschicht Die gleiche Begr¨ undung wie zuvor, wonach Stoffstr¨ome in Str¨omungsrichtung im Vergleich zu denen durch die Konzentrationsgrenzschicht quer zur Str¨ omung vernachl¨ assigbar sind, f¨ uhrt zu den Gleichungen f¨ ur die Konzentrationsgrenzschicht. Wir erhalten sie aus den Komponenten-Kontinuit¨atsgleichungen (3.25) durch Vernachl¨ assigung der entsprechenden Ausdr¨ ucke zu wx

∗ ∂ jAy ∂ ξA ∂ ξA + wy =− + Γ˙A , ∂x ∂y ∂y

(3.120)

∗ mit jAy = −D∂ ξA /∂y f¨ ur ein Zweistoffgemisch.

3.5.4 Allgemeine Bemerkungen zur L¨ osung der Grenzschichtgleichungen Die Gleichungen (3.109), (3.117) bzw. (3.118) und (3.120) f¨ ur die Str¨omungs-, Temperatur- und Konzentrationsgrenzschicht weisen einige bemerkenswerte ¨ Ahnlichkeiten auf. Sie enthalten auf der linken Seite konvektive Terme“, ” die den Impuls-, W¨ arme- oder Stoffaustausch durch Konvektion beschreiben, w¨ ahrend auf der rechten Seite jeweils ein diffusiver Term“ f¨ ur den Impuls-, ” W¨ arme- oder Stoffaustausch vorkommt. Zus¨atzlich enthalten die Energiegleichung f¨ ur Mehrstoffgemische (3.118) und die Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung (3.25) noch Glieder f¨ ur den Einfluss chemischer Reaktionen. Die dar¨ uber hinaus noch auftretenden Ausdr¨ ucke f¨ ur Druckabfall in der Impulsgleichung und Stofftransport in der Energiegleichung f¨ ur Mehrstoffgemische

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

351

lassen sich nicht ohne weiteres miteinander vergleichen, da sie verschiedene physikalische Ph¨ anomene beschreiben. Die Gleichungen sind Grundlage f¨ ur viele Anwendungen in der Technik. Bevor wir jedoch spezielle L¨ osungen untersuchen, scheint es angebracht, zun¨ achst einige allgemeine Bemerkungen zur L¨osung der Gleichungen voranzuschicken. Zu diesem Zweck sollen die Gleichungen erneut in eine dimensionslose Form gebracht werden. Da es nur auf Aussagen zur L¨osung des Gleichungssystems ankommt und nicht wie bei der Herleitung der Grenzschichtgleichungen auf eine Absch¨ atzung der Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme in einer bestimmten Gleichung, werden alle Gr¨ oßen in allen Gleichungen in gleicher Weise dimensionslos gemacht. Wir f¨ uhren jetzt folgende dimensionslose Gr¨oßen ein x+ =

x ; L

ϑ+ =

ϑ − ϑ0 ; ϑα − ϑ0

y+ =

y ; L + ξA =

wx+ =

wx ; wm

ξA − ξA0 ; ξAα − ξA0

wy+ = p+ =

wy ; wm

p . 2 wm

Chemische Reaktionen sollen keine Rolle spielen. Wir beschr¨anken die Betrachtung auf reine Stoffe oder auf Zweistoffgemische, deren Komponenten ann¨ ahernd gleiche spezifische W¨ armekapazit¨ aten haben. Die Energiegleichung (3.119) stimmt dann mit der f¨ ur reine Stoffe (3.117) u uhren ¨berein. Nach Einf¨ der dimensionslosen Gr¨ oßen lautet die Kontinuit¨atsgleichung ∂ wy+ ∂ wx+ + =0 , + ∂x ∂y +

(3.121)

die Impulsgleichung wx+

+ ∂ wx+ ∂ p+ 1 ∂ 2 wx+ + ∂ wx + w = − + , y ∂x+ ∂y + ∂x+ Re ∂y + 2

(3.122)

die Energiegleichung wx+

+ ∂ ϑ+ 1 ∂ 2 ϑ+ + ∂ϑ + w = y ∂x+ ∂y + ReP r ∂y + 2

(3.123)

und die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Komponente A wx+

+ + + ∂ ξA 1 ∂ 2 ξA + ∂ ξA + w = y ∂x+ ∂y + ReSc ∂y + 2

(3.124)

mit der Reynolds-Zahl Re = wm L/ν, der Prandtl-Zahl P r = ν/a und der Schmidt-Zahl Sc = ν/D. Als L¨ osung der Kontinuit¨ ats- und der Impulsgleichung erh¨alt man f¨ ur eine vorgegebene Außenstr¨ omung und damit vorgegebenen Druckabfall ∂p+ /∂x+ :

352

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

wx+ = f (x+ , y + , Re) und

wy+ = f (x+ , y + , Re) .

Daraus folgt die Schubspannung an der Wand

+  ∂ wx ∂ wx wm τ0 = η =η ∂y y=0 ∂y + y+ =0 L und der Reibungsbeiwert cf =

2 τ0 = 2 wm /2 Re



∂ wx+ ∂y +

 = y + =0

2 f (x+ , Re) . Re

(3.125)

F¨ ur eine vorgegebene Kontur des umstr¨ omten K¨orpers h¨angt der Reibungsbeiwert nur von der Koordinate x+ und der Reynolds-Zahl ab, nicht aber von der Art des Fluids. Die L¨ osung der Energiegleichung ist von der Form ϑ+ = f (x+ , y + , Re, P r) . Damit ergibt sich die u armestromdichte zu ¨bertragene W¨



+ ∂ϑ ∂ϑ ϑα − ϑ0 q˙ = −λ . = −λ ∂y y=0 ∂y + y+ =0 L Andererseits ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient definiert durch q˙ = α(ϑ0 − ϑα ) . Nach Gleichsetzen beider Ausdr¨ ucke erh¨ alt man

+ ∂ϑ αL = Nu = = f (x+ , Re, P r) . λ ∂y + y+ =0

(3.126)

Die Nußelt-Zahl ist gleich der dimensionslosen Steigung des Temperaturprofils an der Wand. Sie ist f¨ ur einen K¨ orper von vorgegebener Gestalt f¨ ur jedes Fluid eine universelle Funktion von x+ , Re und P r. Die mittlere Nußelt-Zahl ist als integraler Mittelwert u armeaustauschende Oberfl¨ache unabh¨angig ¨ber die w¨ von x+ : αm L N um = = f (Re, P r) . (3.127) λ Aus der Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung (3.124) erh¨alt man unter Beachtung des Geschwindigkeitsfelds wx+ (x+ , Re) und wy+ (y + , Re) als allgemeine L¨ osung + ξA = f (x+ , y + , Re, Sc) . Die u ¨ bertragene Stoffstromdichte ist

+  ∂ ξA ∂ ξA ξAα − ξA0 ∗ . = −D jA = −D + ∂y y=0 ∂y L y + =0

3.5 Die Grenzschichtgleichungen

353

Bei verschwindendem Konvektionsstrom ist der Stoffaustauschkoeffizient durch ∗ jA = β(ξA0 − ξAα ) definiert. Aus beiden Gleichungen folgt

+ ∂ ξA βL = Sh = = f (x+ , Re, Sc) . D ∂y + y+ =0

(3.128)

Die Sherwood-Zahl ist gleich der dimensionslosen Steigung des Konzentrationsprofils an der Wand. Sie ist f¨ ur einen K¨ orper von vorgegebener Gestalt unabh¨ angig von der Art des Fluids eine universelle Funktion von x+ , Re und Sc. Die mittlere Sherwood-Zahl als integraler Mittelwert u ¨ber die Stoff austauschende Oberfl¨ ache ist unabh¨ angig von x+ : Shm =

βm L = f (Re, Sc) . D

(3.129)

Sobald man den funktionellen Zusammenhang zwischen Nußelt-, Reynoldsund Prandtl-Zahl oder Sherwood-, Reynolds- und Schmidt-Zahl gefunden hat, sei es durch Messungen oder durch Rechnung, gilt das so gefundene W¨armeoder Stoff¨ ubergangsgesetz f¨ ur alle Fluide, Geschwindigkeiten und auch alle L¨ angenmaßst¨ abe. Es gilt also auch f¨ ur alle geometrisch ¨ahnliche K¨orper. Voraussetzung ist dabei, dass die Annahmen zutreffen, die zu den Grenzschichtgleichungen f¨ uhrten, n¨ amlich vernachl¨ assigbare Dissipations- und Massenkr¨ afte und keine chemischen Reaktionen. Da die Differentialgleichungen (3.123) und (3.124) formal u ¨ bereinstimmen, stimmen auch die L¨osungen u ¨berein, vorausgesetzt, dass die Randbedingungen ebenfalls formal gleich sind. Die Funktionen (3.126) und (3.128) sowie (3.127) und (3.129) sind daher von gleicher Art. Es gilt somit f (Re, Sc) Shm . = N um f (Re, P r) Wie schon er¨ ortert, Abschnitt 1.5, kann man derartige Funktionen h¨aufig u ¨ ber weite Zustandsbereiche durch Potenzprodukte ann¨ahern N um = c Ren P rm

und Shm = c Ren Scm .

Daraus folgt die schon bekannte Beziehung (1.198)

m Sc Shm βm λ a !m = = = = Lem N um D αm Pr D oder βm =

αm Lem−1  cp

die schon bekannte Lewissche Beziehung mit der Lewis-Zahl Le = a/D, aus der man den Stoff¨ ubergangskoeffizienten βm berechnen kann, wenn der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient bekannt ist. In guter N¨aherung ist m = 1/3.

354

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die Gleichungen (3.123) und (3.124) stimmen f¨ ur P r = Sc = 1 außerdem mit der Impulsgleichung (3.122) u ¨berein, wenn man verschwindenden Druckabfall voraussetzt. Unter der Annahme gleicher Randbedingungen stimmt dann auch das Geschwindigkeitsprofil mit dem Temperatur- und dem Konzentrationsprofil u ¨ berein. Es ist daher

+

+

+ ∂ ξA ∂ϑ ∂ wx τ0 = = = N u = = Sh ∂y + y+ =0 ηwm ∂y + y+ =0 ∂y + y+ =0 2 oder nach Einf¨ uhren des Reibungsbeiwertes cf = τ0 /(wm /2) und der Reynolds-Zahl Re = wm L/ν:

Sh cf Nu = = Re Re 2

f¨ ur

P r = Sc = 1 .

(3.130)

Hierin sind die Nußelt-Zahl N u = αL/λ und die Sherwood-Zahl Sh = βL/D mit den ¨ ortlichen W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten gebildet. Das Verh¨ altnis N u/Re und Sh/Re ist unabh¨angig von der charakteristischen L¨ ange, da diese auch in der Reynolds-Zahl Re = wm L/ν enthalten ist. Die Gleichung (3.130) ist als Reynolds-Analogie bekannt. Man kann mit ihr W¨ arme- oder Stoff¨ ubergangskoeffizienten berechnen, wenn der Reibungsbeiwert bekannt ist.

3.6 Einfluss der Turbulenz auf den W¨ armeund Stoffu ¨bergang Die turbulente Str¨ omung ist durch Schwankungsbewegungen gekennzeichnet, die sich der Hauptstr¨ omung u ¨ berlagern. Sie ist grunds¨atzlich dreidimensional und instation¨ ar. Auch die Str¨ omung in Grenzschichten ist bei hinreichend großer Reynolds-Zahl nicht mehr laminar, sondern turbulent, so dass Geschwindigkeiten, Temperaturen und Konzentrationen an einem festen Ort lokal schwanken, wie dies Abb. 3.14 f¨ ur eine Geschwindigkeitskomponente wi an einem festen Ort zeigt. Sie kann an jedem Ort als Summe aus einem Mittelwert (T ist hier Integrationszeit) 1 w ¯i = lim T →∞ T

T wi (xj , t) dt = w ¯i (xj )

(3.131)

0

und einem Schwankungswert wi gebildet werden: ¯i + wi . wi = w Die Abb. 3.14 zeigt eine im statistischen Mittel station¨are Str¨omung, denn die Geschwindigkeit an einem festen Ort ist u ¨ber eine hinreichend lange Zeit im

3.6 Einfluss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoff¨ ubergang

355

Abb. 3.14: Geschwindigkeitsschwankungen an einem festen Ort bei im Mittel station¨ arer Str¨ omung

Mittel konstant. Man erh¨ alt sie durch eine Mittelwertbildung gem¨aß (3.131). Eine Str¨ omung kann im statistischen Mittel auch instation¨ar sein, beispielsweise wenn eine im Querschnitt pulsierende Kunststoffleitung von einem Fluid durchstr¨ omt wird. Es ist dann w ¯i (xj , t), und die Mittelkurve in Abb. 3.14 w¨ urde sich noch mit der Zeit ¨ andern. Es sollen hier nur im Mittel station¨ are Str¨ omungen betrachtet werden. F¨ ur sie ist definitionsgem¨ aß der zeitliche Mittelwert der Schwankungsgeschwindigkeiten gleich null, w ¯i = 0. Entsprechend kann man auch Druck, Temperatur und Konzentration in Mittelwert und Schwankungsgr¨oße aufspalten p = p¯ + p ,

ϑ = ϑ¯ + ϑ ,

 ξA = ξ¯A + ξA .

Es werde eine inkompressible Str¨ omung vorausgesetzt, so dass eine Aufspaltung der Dichte nicht erforderlich ist. Messungen haben gezeigt, dass Fluidteilchen verschiedener Gr¨oße turbulente Schwankungen ausf¨ uhren und sich dabei gleichzeitig noch um ihre Achse drehen. Man hat demnach ein Spektrum von Wirbeln verschiedener Gr¨oße und Frequenz. Die kleinsten Wirbel sind von der Gr¨oßenordnung 0,1 bis 1 mm, also immer noch viel gr¨ oßer als die bei 10−14 mm liegende mittlere freie Wegl¨ange der Molek¨ ule. Die Wirbel bestehen somit aus hinreichend vielen Molek¨ ulen, so dass die Bilanzgleichungen weiterhin gelten. Geschwindigkeit, Druck, Temperatur und Konzentration sind Momentanwerte an jedem Ort und k¨onnen grunds¨ atzlich mit numerischen Verfahren aus den Gleichungen f¨ ur die dreidimensionale instation¨ are Str¨ omung berechnet werden. Dazu m¨ usste man aber die Zeitschritte wegen der hohen Frequenz der turbulenten Schwankungen von ahlen, was zu einem derzeit selbst 104 s−1 bis 1 s−1 außerordentlich klein w¨ mit Großrechnern nicht bew¨ altigbarem Aufwand f¨ uhrt. In der W¨arme- und Stoff¨ ubertragung ist man auch nicht an den zeitlich ver¨anderlichen Schwankungswerten, sondern nur an den Mittelwerten interessiert. Allerdings sind auch diese nicht einfach zu bestimmen, denn als Folge der Nichtlinearit¨at der konvektiven Glieder in den Bilanzgleichungen haben Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsschwankungen auch einen Einfluss auf die Mittelwerte. Die mit diesen gebildeten Bilanzgleichungen enthalten zus¨atzliche Ausdr¨ ucke, die sich nicht aus den Gleichungen selbst ergeben. F¨ ur sie muss man ph¨ anomenologische Ans¨ atze oder statistische Turbulenzmodelle entwickeln. Um dies zu zeigen, betrachten wir eine Grenzschichtstr¨omung. Chemische Reaktionen sollen keine Rolle spielen. Außerdem setzen wir reine Stoffe oder ein Zweistoffgemisch mit ann¨ ahernd gleichen spez. W¨armekapazit¨aten der beiden

356

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Komponenten voraus, so dass die Energiegleichung mit der f¨ ur reine Stoffe u ¨ bereinstimmt. Aufspalten der Geschwindigkeit in Mittelwert und Schwankungsgeschwin¯i + wi , in der Kontinuit¨ atsgleichung (3.93) f¨ uhrt zu digkeit, wi = w ∂w ¯i ∂ wi ∂ (w¯i + wi ) = + =0 . ∂xi ∂xi ∂xi Nach zeitlicher Mittelung verbleibt ∂w ¯i =0 . ∂xi

(3.132)

F¨ ur die konvektiven Terme in der Impulsgleichung (3.94) kann man unter der Beachtung der Kontinuit¨ atsgleichung ∂ wi /∂xi = 0 auch schreiben wi

∂ wj ∂ = (wi wj ) . ∂xi ∂xi

Daraus wird & ∂ ∂ % w ¯i w [(w ¯i + wi )(w ¯j wj )] = ¯j + w ¯i wj + w ¯i w ¯j + wi wj . ∂xi ∂xi Nach zeitlicher Mittelung verschwinden alle in wj und wi linearen Glieder, und es bleibt ∂ wj ∂w ¯j ∂ wi =w ¯i + (w w ) . ∂xi ∂xi ∂xi i j Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur den konvektiven Term in der Energiegleichung (3.95) ∂ϑ ∂ ϑ¯ ∂ wi =w ¯i + (w ϑ ) ∂xi ∂xi ∂xi i und f¨ ur den konvektiven Term in der Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung wi

∂ ξA ∂ ξ¯A ∂ =w ¯i + (w ϑ ) . ∂xi ∂xi ∂xi i

Die Grenzschichtgleichungen (3.108), (3.109), (3.117) und (3.120) haben daher f¨ ur die turbulente Str¨ omung unter den genannten Voraussetzungen folgende Form, wenn wir die Tensorschreibweise verlassen und f¨ ur w1 = wx , w2 = wy , x1 = y und x2 = y setzen: ∂w ¯x ∂w ¯y + =0 ∂x ∂y

 

∂ ∂w ¯x ∂w ¯x ∂ p¯ ∂w ¯x    w ¯x +w ¯y + − wx wy =− η ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y

(3.133)

(3.134)

3.6 Einfluss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoff¨ ubergang

 ∂ ϑ¯ ∂ ϑ¯ +w ¯y cp w ¯x = ∂x ∂y

 ∂ ξ¯A ∂ ξ¯A +w ¯y  w ¯x = ∂x ∂y



¯ ∂ ∂ϑ   − cp wy ϑ λ ∂y ∂y 

∂ ∂ ξ¯A   − wy ξA . D ∂y ∂y

357

(3.135) (3.136)

Die Gleichungen stimmen mit denen f¨ ur die laminare Str¨omung bis auf die Glieder der Form a b u ¨ berein. Diese beschreiben den Einfluss der turbulenten Schwankungsbewegung auf den Impuls-, W¨ arme- und Stoffaustausch. Der Ausdruck −wx wy (SI-Einheit N/m2 ) ist ein gemittelter Impulsfluss je Fl¨ acheneinheit, also vergleichbar mit einer Schubspannung: An einer Fl¨ache senkrecht zur Achse x wird eine Kraft in Richtung der Achse y hervorgerufen. Man nennt allgemein Terme der Form −wi wj Reynoldssche Spannungen oder turbulente Scheinspannungen. Sie sind symmetrische Tensoren. Entsprechend tritt in der Energiegleichung (3.135) eine turbulente W¨armestromdichte“ von ” der Form q˙i = −cp wi ϑ und in der Komponenten-Kontinuit¨ atsgleichung eine turbulente Diffusions” stromdichte“ der Form ∗  jAi = −wi ξA auf. Aufgrund dieser Gleichungen kann man auch eine Gesamtschubspannung definieren ∂ wx − wx wy (3.137) (τxy )tot = η ∂y und entsprechend eine Gesamtw¨ armestromdichte



 ∂ϑ ∂ϑ     (q˙y )tot = − λ − cp wy ϑ = −cp a − wy ϑ ∂y ∂y und eine Gesamtdiffusionsstromdichte

 ∂ ξA ∗   (jAy )tot = − D − wy ξA . ∂y

(3.138)

(3.139)

Sie bestehen jeweils aus einem molekularen und einem turbulenten Beitrag. Impuls-, W¨ arme- und Stoffaustausch werden durch die turbulenten Anteile erh¨ oht. Die Gleichungen sagen nichts dar¨ uber aus, wie die turbulenten Beitr¨age zu berechnen sind. Hierf¨ ur sind zus¨ atzliche Annahmen erforderlich. Besonders einfach ist der Ansatz, den J.V. Boussinesq (1842–1929) f¨ ur die Reynoldssche Spannung vorschlug: ∂w ¯x . (3.140) − wx wy = εt ∂y Darin ist εt die turbulente Viskosit¨at“ (SI-Einheit m2 /s). Damit l¨asst sich ” die Gesamtschubspannung ausdr¨ ucken durch

358

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

(τxy )tot = (ν + εt )

∂w ¯x . ∂y

(3.141)

Da die Reynoldssche Spannung bei Ann¨ aherung an die Wand verschwinden muss, kann die turbulente Viskosit¨ at nicht konstant sein. Mit dem BoussinesqAnsatz kann man daher wandnahe Str¨ omungen nicht beschreiben, wenn man ur Str¨ omungen, wie sie in turbulenten Freistrahlen εt = const voraussetzt. F¨ auftreten, ist jedoch die Annahme einer konstanten turbulenten Viskosit¨at recht gut zutreffend. Entsprechend dem Boussinesq-Ansatz f¨ uhrt man auch eine turbulente Temperaturleitf¨ahigkeit“ at ein (SI-Einheit m2 /s) durch ” ∂ ϑ¯ = −wy ϑ . at (3.142) ∂y Es ist at = λt /cp mit der turbulenten W¨armeleitf¨ahigkeit“ λt (SI-Einheit ” W/K m). Die Gesamtw¨ armestromdichte wird (q˙y )tot = −cp (a + at )

∂ ϑ¯ . ∂y

(3.143)

Außerdem definiert man einen turbulenten Diffusionskoeffizienten“ Dt (SI” Einheit m2 /s) durch ∂ ξ¯A  . Dt = wy ξA (3.144) ∂y Damit wird die Gesamtdiffusionsstromdichte ∗ )tot = −(D + Dt ) (jAy

∂ ξ¯A . ∂y

(3.145)

Ebenso wie die turbulente Viskosit¨ at m¨ ussen die turbulenten Anteile von Temperaturleitf¨ ahigkeit, W¨ armeleitf¨ ahigkeit und Diffusionskoeffizient an festen W¨ anden verschwinden. In einiger Entfernung von einer festen Wand ist hingegen der turbulente Austausch viel intensiver als der durch Molekularbewegung. Es kommt zu einer guten Durchmischung der Fluidteilchen. Das hat zur Folge, dass Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsprofile in turbulenter Str¨ omung ausgeglichener sind als in laminarer Str¨omung, wie Abb. 3.15 f¨ ur das Geschwindigkeitsprofil eines u ¨berstr¨omten K¨orpers zeigt.

Abb. 3.15: Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil an einem u omten K¨ orper ¨berstr¨

Die Geschwindigkeit an der Wand steigt in einer turbulenten Str¨omung steiler an als in einer laminaren. Die Wandschubspannungen und damit der

3.6 Einfluss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoff¨ ubergang

359

Str¨ omungswiderstand sind in turbulenter Str¨ omung gr¨oßer als in laminarer. Die Temperatur- und das Konzentrationsprofile sind ebenfalls v¨olliger, so dass die je Fl¨ acheneinheit u arme- und Stoffstr¨ome in turbulenter ¨bertragenen W¨ Str¨ omung gr¨ oßer als in laminarer Str¨ omung sind. Turbulente Str¨omungen sind daher in der W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung erstrebenswert und kommen in der Technik auch meistens vor. Der bessere W¨arme- und Stoffaustausch muss allerdings mit einem h¨ oheren Str¨ omungswiderstand und damit gr¨oßerer Pumpen- oder Gebl¨ aseleistung erkauft werden.

3.6.1 Turbulente Str¨ omungen an festen W¨ anden In vielen technischen Anwendungen, beispielsweise der Str¨omung in Kan¨alen, ist das wandnahe Geschwindigkeitsprofil nur vom Wandabstand abh¨angig. Bezeichnet man mit wx die zur Wand parallele Geschwindigkeit und mit y die wandnormale Koordinate, so ist wx (y), w¨ahrend die u ¨ brigen Geschwindigkeitskomponenten verschwinden, wy = wz = 0. Man bezeichnet eine solche Str¨ omung als Schichtenstr¨omung. In station¨ aren, laminaren Str¨omungen mit verschwindendem Druckgradienten vereinfacht sich die Impulsgleichung (3.98) zu

 ∂ ∂ wx ∂ τxy =0 , η = 0 oder ∂y ∂y ∂y woraus sich ein lineares Geschwindigkeitsprofil wx (y) und eine konstante Schubspannung τxy ergeben. Es ist also τxy = τ0 = const. Im Fall der station¨ aren turbulenten Schichtenstr¨omungen mit verschwindendem Druckgradienten ist nach (3.134) 

∂ ∂w ¯x − wx wy = 0 , η ∂y ∂y woraus durch Integration η

∂w ¯x − wx wy = const = τ0 ∂xy

(3.146)

folgt. Die Integrationskonstante ist gleich der Wandschubspannung, denn an der Wand y = 0 verschwinden die Reynoldsschen Spannungen, wx wy = 0. Im Gegensatz zur laminaren Str¨ omung ist nun die Geschwindigkeit w ¯x (y) keine lineare Funktion von y. Gleichung (3.146) kann man umformen in ∂w ¯x τ0 =ν − wx wy .  ∂y

(3.147)

Wie man daraus erkennt, hat die Gr¨ oße τ0 / die Dimension eines Quadrats einer Geschwindigkeit. Man bezeichnet daher  (3.148) wτ = τ0 /

360

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

als Schubspannungsgeschwindigkeit. Mir ihr l¨asst sich (3.147) auch als Differentialgleichung d(w ¯x /wτ ) wx wy 1= − (3.149) d(wτ y/ν) wτ2 schreiben. Offenbar gehorcht das Geschwindigkeitsprofil einer Funktion der Form w ¯x wτ y ! = f (y + ) , =w ¯x+ = f (3.150) wτ ν und es ist

wx wy wτ y ! = g(y + ) . =g 2 wτ ν

(3.151)

Gl. (3.150) stellt das von Prandtl (1925) erstmalig formulierte Wandgesetz der turbulenten Str¨omung dar. Die Funktionen f (y + ) und g(y + ) sind universeller Natur, da sie unabh¨ angig von ¨ außeren Abmessungen wie der H¨ohe eines Kanals sind und auch unabh¨ angig von der Grenzschichtdicke f¨ ur alle Schichtenstr¨ omungen gelten. osen der Differentialgleichung (3.149) zu berechnen, Um w ¯x /wτ durch L¨ muss man die Reynoldsschen Spannungen wx wy kennen. Der von Boussinesq eingef¨ uhrte Ansatz (3.140) ist hierf¨ ur ungeeignet, da nach ihm die Reynoldsschen Spannungen an der Wand nicht verschwinden. Die Bedingung wx wy = 0 an der Wand wird aber durch die im Folgenden zu er¨orternde Prandtlsche Mischungsweghypothese erf¨ ullt. Um sie zu erkl¨aren, betrachten wir ein Fluidelement in einer turbulenten Grenzschicht im Abstand y von der Wand, Abb. 3.16. Dieses besitze im Abstand y die mittlere Geschwindigkeit w ¯x (y)

Abb. 3.16: Zur Prandtlschen Mischungsweghypothese

und m¨ oge sich mit der Geschwindigkeit wy < 0 der Wand um eine kleine Strecke l n¨ ahern. Falls das Fluidelement dabei seine urspr¨ ungliche mittlere Geschwindigkeit beibeh¨ alt, besitzt es am neuen Ort eine um Δw ¯x gr¨oßere Geschwindigkeit als seine Umgebung. Der Geschwindigkeitsunterschied Δw ¯x = w ¯x (y) − w ¯x (y − l ) = l

∂w ¯x ∂y

3.6 Einfluss der Turbulenz auf den W¨ arme- und Stoff¨ ubergang

361

ist ein Maß f¨ ur die Schwankungsgeschwindigkeit wx . Das Fluidelement verdr¨ angt am neuen Ort andere und erzeugt so eine Quergeschwindigkeit wy , die unter der Annahme kleiner Schwankungsgeschwindigkeiten proportional zur Schwankungsgeschwindigkeit ist. Es sind daher wx und wy proportional zu l ∂ w ¯x /∂y und somit + + + ¯x + ∂ w 2 + ∂ w   + ¯x τt = −wx wy = kl + ∂y + ∂y oder mit kl2 = l2

+ + +∂w ¯x ¯x ++ ∂ w τt = −wx wy = l2 ++ . ∂y + ∂y

(3.152)

Durch die Schreibweise mit den Betragsstrichen wird sichergestellt, dass entsprechend dem Newtonschen Ansatz f¨ ur die laminare Str¨omung τxy = η

∂ wx ∂y

auch die turbulente Schubspannung τt das gleiche Vorzeichen wie der Geschwindigkeitsgradient ∂ w ¯x /∂y hat. Nach (3.152) ist die turbulente Viskosit¨at + + +∂w ¯x ++ . (3.153) εt = l2 ++ ∂y + Man bezeichnet die Gr¨ oße l als Mischungsweg. Da die Reynoldsschen Spannungen an der Wand verschwinden, hat Prandtl hierf¨ ur den einfachen Ansatz l = κy gew¨ ahlt. Damit wird τt =

−wx wy

(3.154)

+ + + + = κ y + ∂y + ∂y

¯x + ∂ wx 2 2+ ∂ w

.

Gl. (3.149) f¨ ur die Schichtenstr¨ omung geht u ¨ ber in

2 d(w¯x /wτ ) dw ¯x 1 1= + κ2 y 2 . d(wτ y/ν) dy wτ2

(3.155)

(3.156)

Da (dw ¯x /dy) > 0 sein soll, haben wir hierin |dw ¯x /dy|(dw ¯x /dy) zu (dwx /dy)2 vereinfacht. Mit den Abk¨ urzungen w ¯x+ =

w ¯x wτ

und y + =

erhalten wir dw ¯x+ 1= + κ2 y +2 dy +



dw ¯x+ dy +

wτ y ν 2

Durch Integration ergeben sich folgende L¨ osungen:

.

(3.157)

362

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

a) In der laminaren Unterschicht, y → 0 und damit y + → 0, ist der zweite Term vernachl¨ assigbar und damit w ¯x+ = y +

(3.158)

oder unter Beachtung der Definitionen f¨ ur w ¯x+ , y + τ0 = η

 und wτ τ0 /:

w¯x . y

Das Geschwindigkeitsprofil wird in der laminaren Unterschicht durch eine Gerade ersetzt. b) Im vollturbulenten Bereich in großer Entfernung von der Wand, y → ∞ und damit y + → ∞, u ¨ berwiegt der zweite Term, und es gilt

1 = κ2 y +2 oder dw ¯x+ =

dw ¯x+ dy +

2

1 dy + . κ y+

Die Integration ergibt ein logarithmisches Geschwindigkeitsprofil w ¯x+ =

w ¯x 1 = ln y + + c . wτ κ

(3.159)

Die Konstanten κ und c m¨ ussen aus Experimenten ermittelt werden. Man findet κ ≈ 0,4 und c ≈ 5. Tats¨ achlich geht die laminare Unterschicht kontinuierlich in den volltur¨ bulenten Bereich u so dass ¨ ber. Zwischen beiden liegt ein Ubergangsbereich, man das Wandgesetz der Geschwindigkeit in drei Bereiche unterteilen kann, deren Grenzen aufgrund von Experimenten festgelegt wurden. Die laminare Unterschicht erstreckt sich u ¨ ber den Bereich 0 < y+ < 5 , ¨ der Ubergangsbereich u ¨ ber 5 < y + < 60 und der vollturbulente Bereich u ¨ ber y + > 60 . Abb. 3.17 zeigt den vollst¨ andigen Verlauf des Geschwindigkeitsprofils w ¯x+ als Funktion von y + .

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

363

Abb. 3.17: Universelles Geschwindigkeitsverteilungsgesetz der turbulenten Grenzschicht a: Gl. (3.158) b: Gl. (3.159). Die Abszisse ist logarithmisch geteilt

¨ 3.7 Uberstr omte K¨ orper ¨ Es soll der W¨ arme- und Stoff¨ ubergang von der Oberfl¨ache eines K¨orpers an die Außenstr¨ omung untersucht werden. Benachbarte K¨orper sollen entweder nicht vorhanden oder soweit entfernt sein, dass sich Grenzschichten um den u omten K¨ orper frei entwickeln k¨ onnen. Geschwindigkeiten, Tempera¨ berstr¨ turen und Konzentrationen sollen sich nur in der Grenzschicht ¨andern, und in der Str¨ omung außerhalb der Grenzschicht konstant sein. Eine erzwungene Str¨ omung, die wir hier betrachten wollen, wird durch ein Gebl¨ase oder eine ¨ Pumpe aufrecht erhalten. Ortliche W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten ergeben sich dann aus Gleichungen der Form N u = f (x+ , Re, P r) ,

Sh = f (x+ , Re, Sc) ,

w¨ ahrend ihre Mittelwerte durch N um = f (Re, P r) ,

Shm = f (Re, Sc)

gegeben sind. In vielen F¨ allen sind die Gestalt des u ¨berstr¨omten K¨orpers und damit auch der Str¨ omungsverlauf so verwickelt, dass man den funktionellen Zusammenhang zwischen diesen Gr¨ oßen nur experimentell ermitteln kann. Man misst dazu die an dem u omten K¨ orper oder an einem ihm geo¨ berstr¨ metrisch ¨ ahnlichen Modell u arme- und Stoffstr¨ome sowie die ¨ bertragenen W¨ zugeh¨ origen Temperatur- und Konzentrationsunterschiede. Daraus berechnet man W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten gem¨aß α=

Q˙ AΔϑ

und β =

M˙ AΔξ

bildet damit die Nußelt- und Sherwood-Zahl und stellt diese als Funktionen der u oßen Re, P r bzw. Re, Sc dar. Zu ihrer Darstellung als ¨ brigen Kenngr¨ Gleichung eignen sich die schon besprochenen Potenzproduktans¨atze. F¨ ur einige einfache K¨ orper kann man W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten durch

364

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

L¨ osen der Grenzschichtgleichungen berechnen. Dies soll in den folgenden Abschnitten an einigen charakteristischen Beispielen er¨ortert werden.

3.7.1 Die parallel angestr¨ omte ebene Platte Parallel angestr¨ omte ebene Platten kommen beispielsweise in Plattenw¨armetauschern vor. Die Rippen eines Rippenrohres sind oft parallel angestr¨omt. Auch gekr¨ ummte Oberfl¨ achen wie Tragfl¨ ugel oder Turbinenschaufeln verhalten sich im Hinblick auf die Grenzschicht h¨aufig wie ebene Platten, da ihre Grenzschichtdicken fast immer klein im Vergleich zum Kr¨ ummungsradius sind. Von der Plattenvorderkante an bildet sich zun¨achst eine laminare Grenzschicht, Abb. 3.18. Sie wird von einer bestimmten Laufl¨ange, ge-

Abb. 3.18: Parallel angestr¨ omte ebene Platte

nauer von einer bestimmten, mit der Laufl¨ ange xl gebildeten Reynolds-Zahl > ahrend unterhalb dieser Reynolds-Zahl — Re = wm xl /ν ∼ 6 · 104 instabil. W¨ man spricht vom Indifferenzpunkt der Str¨ omung — die Str¨omung immer laminar ist, klingen oberhalb der genannten Reynolds-Zahl kleine St¨orungen nicht mehr ab. St¨ orungen von sehr großer und auch solche von sehr kleiner Wellenl¨ ange werden jedoch, wie Tollmien [3.5] erstmalig nachwies, nach wie vor ged¨ ampft. Die Str¨ omung wird also noch nicht vollst¨andig turbulent, sondern ¨ auf den laminaren Bereich folgt vom Indifferenzpunkt an ein Ubergangsbereich mit teils laminarer, teils turbulenter Str¨ omung, und erst von einer hinreichend großen Reynolds-Zahl Recr = wm xcr /ν von Recr = 3 · 105

bis

5 · 105

wird die Str¨ omung voll turbulent. Der Umschlag h¨angt stark von der Rauhigkeit der Platte und dem Zulauf an ihrer Vorderkante ab. Unter extrem st¨ orungsfreien Bedingungen hat man die Str¨ omung noch bei Reynolds-Zahlen onnen; ihr Zustand ist dann in hohem Maße mebis 106 laminar halten k¨ tastabil, und die kleinste St¨ orung gen¨ ugt bereits, um den Umschlag in die turbulente Str¨ omungsform auszul¨ osen. In unmittelbar N¨ ahe einer festen Wand werden auch in einer vollturbulenten Str¨ omung die turbulenten Schwankungsbewegungen ged¨ampft. In einer

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

365

d¨ unnen wandnahen Schicht, auch viskose Unterschicht genannt, u ¨ berwiegt daher die Wirkung der Viskosit¨ at gegen¨ uber der scheinbaren turbulenten Viskosit¨ at. 3.7.1.1 Laminare Grenzschicht Wir behandeln zun¨ achst den W¨ arme- und Stoff¨ ubergang der parallel angestr¨ omten ebenen Platte in der laminaren Grenzschicht. Die Str¨omung sei station¨ ar, Dissipation sei vernachl¨ assigbar, und es werden konstante Stoffwerte vorausgesetzt. Chemische Reaktionen sollen nicht vorkommen. Die Grenzschichtgleichungen bestehen dann aus der Kontinuit¨atsgleichung ∂ wy ∂ wx + =0 , ∂x ∂y

(3.160)

der Impulsgleichung wx

∂ 2 wx ∂ wx ∂ wx + wy =ν ∂x ∂y ∂y 2

(3.161)

∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ + wy =a 2 . ∂x ∂y ∂y

(3.162)

und der Energiegleichung wx

Hinsichtlich des Stoffaustausches beschr¨ anken wir uns auf ein Zweistoffgemisch, dessen Komponenten ann¨ ahernd gleiche spezifische W¨armekapazit¨aten haben sollen, so dass die Energiegleichung in der angeschriebenen Form weiterhin g¨ ultig bleibt. Es gilt dann zus¨ atzlich noch die Kontinuit¨atsgleichung f¨ ur eine Komponente wx

∂ 2 ξA ∂ ξA ∂ ξA + wy =D . ∂x ∂y ∂y 2

(3.163)

Da die Stoffwerte als unabh¨ angig von der Temperatur und der Zusammensetzung vorausgesetzt wurden, ist das Geschwindigkeitsfeld unabh¨angig vom Temperatur- und vom Konzentrationsfeld, und man kann die Kontinuit¨atsund die Impulsgleichung unabh¨ angig von der Energie- und der KomponentenKontinuit¨ atsgleichung l¨ osen. Integralmethoden Wir behandeln zuerst eine L¨ osung des Gleichungssystems mit Hilfe einer Integralmethode, die zu einer einfachen und geschlossenen N¨aherungsl¨osung f¨ uhrt. Integralmethoden sind auf viele andere Grenzschichtprobleme, insbesondere solche bei kompressibler Str¨ omung angewandt worden. Sie haben jedoch mit dem Aufkommen der elektronischen Rechner an Bedeutung verloren. Der Grundgedanke der Integralmethoden besteht darin, dass man auf eine vollst¨ andige L¨ osung der Grenzschichtgleichung verzichtet und diese statt dessen nur im integralen Mittel u ullt. ¨ ber die Grenzschichtdicke erf¨

366

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Durch Integration der Kontinuit¨ atsgleichung (3.160) u ¨ ber die Grenzschichtdicke δ erh¨ alt man δ

∂ wx dy + ∂x

0

δ

∂ wy dy = 0 ∂y

0

oder mit wy (y = 0) = 0: δ wy (δ) = −

∂ wx dy . ∂x

(3.164)

0

Die Impulsgleichung (3.161) l¨ asst sich unter Beachtung der Kontinuit¨atsgleichung (3.160) auch in folgender Form schreiben ∂ wx2 ∂ (wx wy ) ∂ 2 wx + =ν . ∂x ∂y ∂y 2 Integration zwischen den Grenzen y = 0 und y = δ ergibt unter Beachtung von δ δ ∂ (wx wy ) ∂ wx dy = wx (δ)wy (δ) = −wδ dy ∂y ∂x 0

0

die Integralbedingung f¨ ur den Impuls: d dx



δ wx (wδ − wx ) dy = ν

∂ wx ∂y

 .

(3.165)

y=0

0

Die Energiegleichung (3.162) l¨ asst sich mit Hilfe der Kontinuit¨atsgleichung (3.160) auf folgende Form bringen: ∂ (wx ϑ) ∂ (wy ϑ) ∂2ϑ + =a 2 . ∂x ∂y ∂y Die Integration zwischen den Grenzen y = 0 und y = δT ergibt unter Beachtung von δT

δT

∂ (wy ϑ) dy = wy (δT )ϑ(δT ) = −ϑ(δT ) ∂y

∂ wx dy ∂x

0

δ

die Integralbedingung f¨ ur die Energie d dx



δT wx (ϑ(δT ) − ϑ) dy = a 0

∂ϑ ∂y

 . y=0

(3.166)

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

367

Nach einer entsprechenden Integration zwischen den Grenzen y = 0 und y = δc geht die Kontinuit¨ atsgleichung (3.162) f¨ ur eine Komponente A u ¨ ber in die Integralbedingung f¨ ur den Stoffaustausch d dx



δc wx (ξAδc − ξA ) dy = D

∂ ξA ∂y



0

.

(3.167)

y=0

In der Integralbedingung (3.165) f¨ ur den Impuls n¨ahert man nach dem Vorschlag von Pohlhausen [3.6] das Geschwindigkeitsprofil durch ein Polynom an: wx y! y !2 y !3 + a2 = a0 + a1 + a3 , (3.168) wδ δ δ δ indem man die freien Koeffizienten so bestimmt, dass die Randbedingungen

 ∂ wx wx (y = 0) = 0 , wx (y = δ) = wδ , =0 ∂y y=δ und die aus der Impulsgleichung (3.161) folgende sogenannte Wandbindung

2  ∂ wx =0 ∂y 2 y=0 erf¨ ullt werden. Man findet a0 = a2 = 0, a1 = 3/2 und a2 = −1/2 und somit 3y 1 wx − = wδ 2δ 2

y !3 . δ

(3.169)

Mit diesem Geschwindigkeitsprofil geht die Integralbedingung (3.165) f¨ ur den Impuls in eine gew¨ ohnliche Differentialgleichung f¨ ur die noch unbekannte Grenzschichtdicke δ u ¨ber:

 39 2 3 wδ d wδ δ = ν dx 280 2 δ oder

d(δ 2 /2) 140 ν = . dx 13 wδ

Durch Integration folgt mit δ(x = 0) = 0

δ = 4,64

νx wδ

1/2 = 4,64

x 1/2

(3.170)

Rex

mit Rex = wδ x/ν. Die Grenzschicht w¨ achst mit der Wurzel aus der Laufl¨ange x. Der Anstieg des Geschwindigkeitsprofils an der Wand ist nach (3.169)

368

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen



∂ wx ∂y

 = y=0

3 wδ . 2 δ

Daraus ergibt sich nach Einsetzen der Grenzschichtdicke die Wandschubspannung zu

 ∂ wx 0,323 τ0 = η = wδ2 . 1/2 ∂y y=0 (wδ x/ν) Der Widerstandsbeiwert ist τ0 0,646 = . 1/2 wδ2 /2 Rex

(3.171)

F¨ ur das Temperaturprofil f¨ uhrt man ebenfalls einen Polynomansatz ein: ϑ+ =

y ϑ − ϑ0 = b0 + b1 + b2 ϑδT − ϑ0 δT



y δT

2

+ b3

y δT





3 ,

der den Randbedingungen +

ϑ (y = 0) = 0

;

+

ϑ (y = δT ) = 1 ;

∂ ϑ+ ∂y

=0 y=δT

und der aus der Energiegleichung (3.162) folgenden Wandbindung

2 + ∂ ϑ =0 ∂y 2 y=0 gen¨ ugen soll. Man erh¨ alt damit die gleichen Werte der Konstanten wie f¨ ur Geschwindigkeitsprofil (3.169). Es wird ϑ+ =

2 y 1 − 3 δT 2



y δT

3 .

(3.172)

Nach Einsetzen des Temperaturprofils und des Geschwindigkeitsprofils (3.169) in die Integralbedingung f¨ ur die Energie (3.166) und Integration ergibt sich eine Differentialgleichung f¨ ur die Grenzschichtdicke δT  

1 δT2 d 1 δT4 a 1 − . = δ 2 4 dx 10 δ 140 δ wδ δT Wir betrachten nun nur solche Str¨ omungen, bei denen δT /δ < 1 ist. Dann kann man den zweiten Term in der eckigen Klammer gegen¨ uber dem ersten vernachl¨ assigen, so dass sich die Gleichung vereinfacht zu

 10a 1 d δT2 . = dx δ wδ δT

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

369

Wir setzen abk¨ urzend k = δT /δ und schreiben (3.170) als δ = c0 x1/2 mit 1/2 1/2 c0 = (280/13) (ν/wδ ) . Damit geht die obige Differentialgleichung u ¨ ber in d 10a 13 . = kx1/2 (k 2 x1/2 ) = dx wδ c20 28 P r Durch die Substitution von z = k 3 u uhrt man diese Gleichung in die ¨ berf¨ gew¨ ohnliche Differentialgleichung z 1/3 x1/2

d 2/3 1/2 13 (z x ) = dx 28 P r

oder ausdifferenziert

13 4 dz x +z = . 3 dx 14 P r Eine Partikul¨ arl¨ osung lautet z=

(3.173)

13 , 14 P r

und als L¨ osung der homogenen Gleichung findet man mit dem Ansatz z = xm den Wert m = −3/4. Damit lautet die vollst¨ andige L¨osung z=

13 + cx−3/4 . 14 P r

Die noch freie Konstante c ergibt sich aus der Bedingung, dass die Platte erst von einer Stelle x0 an beheizt wird; dann ist z(x0 ) = 0 und c=−

13 x0 3/4 . 14 P r

Daraus folgt k=

√ 3

z=

δT = δ



13 14 P r

1/3  1−

x0 !3/4 x

1/3 .

(3.174)

Ist die Platte u ange beheizt, so ist x0 = 0 und das Verh¨altnis ¨ ber ihre ganze L¨ von Temperatur- zur Str¨ omungsgrenzschicht nur eine Funktion der PrandtlZahl:

1/3 13 δT 0,976 = = . (3.175) δ 14 P r P r1/3 Die Prandtl-Zahlen idealer Gase liegen zwischen etwa 0,6 und 0,9, so dass ihre Temperaturgrenzschicht nur wenig dicker als die Str¨omungsgrenz¨ sogar schicht ist. Fl¨ ussigkeiten haben Prandtl-Zahlen u ¨ ber eins, z¨ahe Ole Prandtl-Zahlen u ber 1000. Ihre Temperaturgrenzschicht ist daher d¨ unner als ¨ die Str¨ omungsgrenzschicht. Voraussetzungsgem¨aß gilt die L¨osung nur, wenn ussigkeiten, n¨aherungsweise auf Gase, aber δT /δ < 1 ist; sie ist also gut auf Fl¨

370

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

nicht mehr auf Fluide mit Prandtl-Zahlen P r 1 anwendbar, wie sie bei fl¨ ussigen Metallen vorkommen. Den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten berechnet man aus der u ¨ bertragenen W¨ armestromdichte zu

 ∂ϑ = α(ϑ0 − ϑ(δT )) . q˙ = −λ ∂y y=0 Hierin ist nach (3.172)

∂ϑ ∂y

 = y=0

und somit α=

3 (ϑ(δT ) − ϑ0 ) 2δT 3 λ . 2 δT

Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient ist umgekehrt proportional der Dicke der Temperaturgrenzschicht. Da diese mit x1/2 anw¨achst, ist α ∼ x−1/2 . Einsetzen der Dicke der Temperaturgrenzschicht nach (3.175) ergibt mit der Str¨omungsgrenzschicht (3.170) nach wenigen Umformungen die Nußelt-Zahl N ux =

αx 1/3 = 0,331 Re1/2 . x Pr λ

(3.176)

Ersetzt man 0,331 durch 0,332, so stimmt diese Gleichung mit der genaueren L¨ osung der Grenzschichtgleichungen f¨ ur 0,6 < P r < 10 u ¨berein. Die Konzentrationsgrenzschicht und den Stoff¨ ubergangskoeffizienten kann man unmittelbar aus den vorigen Gleichungen ermitteln, da die Integralbedingung (3.167) f¨ ur den Stoffaustausch der f¨ ur den W¨armeaustausch entspricht. Man hat nur die Temperatur ϑ durch den Massenanteil ξA , die Temperaturleitf¨ ahigkeit a durch den Diffusionskoeffizienten D zu ersetzen, und anstelle der Temperaturgrenzschicht δT tritt die Konzentrationsgrenzschicht δc . Damit erh¨ alt man f¨ ur das Konzentrationsprofil entsprechend (3.172): 3 y 1 ξA − ξA0 = − ξAδ − ξA0 2 δc 2



y δc

3 .

(3.177)

Die Dicke der Konzentrationsgrenzschicht wird entsprechend (3.175) unter der Voraussetzung, dass Str¨ omungs- und Konzentrationsgrenzschicht an der gleichen Stelle beginnen, δc 0,976 = 1/3 , (3.178) δ Sc g¨ ultig f¨ ur Sc ≥ 0,6, und anstelle von (3.176) tritt die Gleichung f¨ ur das Stoff¨ ubergangsgesetz Shx =

βx 1/3 = 0,331 Re1/2 . x Sc D

(3.179)

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

371

Beispiel 3.7: Aufgrund der L¨ osung (3.174) berechne man die Nußelt-Zahl einer parallel angestr¨ omten ebenen Platte, wenn Temperatur- und Str¨ omungsgrenzschicht um x0 , s. Abb. 3.19, voneinander entfernt sind. Man ermittle auch die Sherwood-Zahl f¨ ur den Fall x0 = 0. Es ist α = (3/2) λ/δT . Einsetzen von δT nach (3.174) ergibt unter Beachtung des Ausdrucks (3.170) f¨ ur die Str¨ omungsgrenzschicht » “ x ”3/4 –−1/3 αx 0 1/3 = 0,331 Re1/2 N ux = P r , 1 − x λ x woraus f¨ ur x0 = 0 wieder die bekannte Gl. (3.176) folgt. Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur die Sherwood-Zahl » “ x ”3/4 –−1/3 βx 0 1/2 1/3 . Sh = = 0,331 Rex Sc 1− D x

Abb. 3.19: Str¨ omungs- und Temperaturgrenzschicht an einer laminar angestr¨ omten ebenen Platte

Exakte L¨ osung der Grenzschichtgleichungen Als Außenstr¨ omung setzen wir eine ungest¨ orte Parallelstr¨ omung der Geschwindigkeit w∞ voraus. Zur Berechnung der Geschwindigkeiten wx und wy sind dann die Kontinuit¨ atsgleichung (3.160) und die Impulsgleichung (3.161) zu l¨ osen unter den Randbedingungen y = 0 , x > 0 : wx = wy = 0 y → ∞ : wx = w∞ und der Anfangsbedingung x = 0,

y>0:

wx = w∞ .

Zur L¨ osung f¨ uhrte Blasius [3.6] in seiner G¨ ottinger Dissertation 1908 eine Stromfunktion ψ(x, y) ein, welche die Eigenschaft besitzen soll, dass wx =

∂ψ ∂y

und

wy = −

∂ψ ∂x

(3.180)

ist. Durch sie wird die Kontinuit¨ atsgleichung identisch erf¨ ullt. Die Impulsgleichung geht in eine partielle Differentialgleichung u ¨ ber ∂ ψ ∂2ψ ∂3ψ ∂ ψ ∂2ψ − =ν 3 . 2 ∂y ∂y∂x ∂x ∂y ∂y

(3.181)

Da f¨ ur die Grenzschichttheorie nach (3.170) δ ∼ (νx/w∞ )1/2 gilt, bezieht man zweckm¨ aßigerweise den Wandabstand y auf die jeweilige Grenzschichtdicke δ und f¨ uhrt die dimensionslose Variable

372

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen η+ = y

“w

∞

νx

”1/2 = g(x, y)

ein. Die vorigen Betrachtungen hatten bereits gezeigt, dass man das Geschwindigkeitsprofil durch Ans¨ atze der Form “y ” wx =ϕ wδ δ n¨ aherungsweise darstellen kann. Es ist daher naheliegend zu vermuten, dass sich asst. Wir w¨ ahlen das Geschwindigkeitsprofil allein durch die Variable η + darstellen l¨ daher den Ansatz “ w ”1/2 wx ∞ = ϕ(η + ) mit η + = y . w∞ νx Er ist dann eine L¨ osung, wenn sich mit ihm die Differentialgleichung (3.181) und die zugeh¨ origen Randbedingungen erf¨ ullen lassen. Um zu zeigen, dass dies zutrifft, bilden wir zun¨ achst die Stromfunktion Zy

Zy wx dy = w∞ δ

ψ= 0

+

„ «1/2 Zη “y ” νx = w∞ ϕ(η ) d ϕ(η + ) dη + δ w∞ +

0

0

oder ψ = (w∞ νx)1/2 f (η + ) . Die Normierung der Stromfunktion und der wandnormalen Koordinate y folgt streng genommen daraus, dass (3.181) invariant ist bei einer Transformation ˜ x, y˜) = cψ(x, y) ψ(˜ mit x ˜ = c2 x und y˜ = cy, was man durch Einsetzen in (3.181) u ufen kann. ¨ berpr¨ In der L¨ osung k¨ onnen die Variablen ψ, x, y daher nur in solchen Kombinationen vorkommen, die den Faktor c nicht enthalten. Solche Kombinationen sind „ « „ « ψ˜ ψ x x ˜ =f =f , denn daraus folgt y y2 y˜ y˜2 oder

„ « y˜ ψ˜ √ =f √ . x ˜ x ˜ √ √ Die oben angegebene Stromfunktion ist gerade von der Form ψ/ x = f (y/ x). Man erh¨ alt mit der Stromfunktion die in (3.181) vorkommenden Ableitungen r ∂ψ 1 w∞ ν ∂ψ = wx = w∞ f  ; = −wy = (f − η + f  ) ; ∂y ∂x 2 x r 1 w∞ +  ∂3ψ w2 ∂2ψ w∞  ∂2ψ f =− η f . = w ; = ∞ f  und ∞ 2 3 ∂y νx ∂y νx ∂y∂x 2 x (3.182) Setzt man diese Ableitungen in (3.181) ein, so bleibt die gew¨ ohnliche nichtlineare Differentialgleichung 1 (3.183) f  + f f  = 0 2 ψ √ =f x

„

y √ x

«

,

denn daraus folgt

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

373

f¨ ur die Funktion f (η + ). Die Randbedingungen lauten y=0

bzw.

η+ = 0 :

y→∞

bzw.

η+ → ∞ :

f = f = 0 f = 1 .

(3.184)

Die Anfangsbedingung x = 0, y > 0 : wx = w∞ ist bereits in der Randbedingung f  (η + → ∞) = 1 enthalten. Gl. (3.183) wurde zuerst von Blasius [3.6] durch Potenzreihenans¨ atze und sp¨ ater von vielen anderen Autoren (z.B. [3.7], [3.8]) numerisch gel¨ ost. Zur numerischen Integration k¨ onnte man statt der Randbedingung f  (η + → uhren. Dies ∞) = 1 als weitere Anfangsbedingung f  (η + = 0) = const = c0 einf¨ w¨ urde jedoch mehrfach Absch¨ atzungen von c0 erfordern, bis die Bedingung f  (η + → ∞) = 1 erf¨ ullt ist. Die mehrfache numerische L¨ osung wird vermieden, wenn man das Randwert- auf ein Anfangswertproblem zur¨ uckf¨ uhrt. Dies ist in einfacher Weise m¨ oglich, da (3.183) durch die Transformation f˜(˜ η + ) = cf (η + ) mit η˜+ = η + /c invariant bleibt, d.h. in die von der Konstanten c unabh¨ angige Gleichung 1 f˜ + f˜f˜ = 0 2 u ¨ bergeht. Auch die Randbedingungen f (η + = 0) = f  (η + = 0) = 0 bleiben unabh¨ angig von der Wahl von c f˜(˜ η + = 0) = f˜ (˜ η + = 0) = 0 . Man l¨ ost daher die obige Gleichung mit den Anfangsbedingungen f˜(˜ η + = 0) =  +  + ˜ ˜ η = 0) = 0 und f (˜ η = 0) = 1 und bestimmt dann die Konstante c aus f (˜ η + → ∞) = c2 f  (η + → ∞) = c2 . f˜ (˜ ahe gilt Abb. 3.20 zeigt das Geschwindigkeitsprofil wx /w∞ = f  (η + ). In Wandn¨ + f (η ) = 0,332 057η +2 /2 + O(η +5 ). Durch die Koordinatentransformation fallen alle Geschwindigkeitsprofile zusammen. Die Grenzschicht geht asymptotisch in die Außenstr¨ omung u atzlich bis ins Unendliche. Tats¨ achlich ist die ¨ ber und reicht grunds¨ omung schon bei Abweichung der Geschwindigkeit wx von derjenigen der Außenstr¨ endlichem Wandabstand vernachl¨ assigbar gering. Man kann daher auch als Grenzschichtdicke denjenigen Wandabstand definieren, bei dem wx /w∞ sich nur noch wenig vom Wert eins unterscheidet. W¨ ahlt man f¨ ur wx /w∞ den Wert 0,99, so ergibt die numerische Rechnung, dass dieser Wert an der Stelle η + ≈ 4,910 erreicht wird. Die damit definierte Grenzschichtdicke ist δ = 4,910

x 1/2

(3.185)

Rex

¨ in recht guter Ubereinstimmung mit der N¨ aherung (3.170). Die Wandschubspannung ist „ „ « « „ +« ∂ wx ∂ wx ∂η =η τ0 = η ∂xy y=0 ∂η + η+ =0 ∂y y=0 “ w ”1/2 ∞ = ηw∞ f  (η + = 0) . νx

374

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die numerische L¨ osung liefert f  (η + = 0) = 0,3321. Damit findet man den Widerstandsbeiwert 0,664 τ0 , (3.186) = 2 /2 1/2 w∞ Rex der sich ebenfalls nur wenig von dem N¨ aherungswert (3.171) unterscheidet.

Abb. 3.20: Geschwindigkeitsprofil an der ebenen Platte

Zur Berechnung des Temperatur- und Konzentrationsfeldes ersetzt man in der Energiegleichung (3.162) und der Komponenten-Kontinuit¨atsgleichung (3.163) die Geschwindigkeiten durch die Stromfunktion und f¨ uhrt als dimensionslose Temperatur ϑ − ϑ0 ϑ+ = ϑ∞ − ϑ0 und als dimensionslosen Massenbruch + ξA =

ξA − ξA0 ξA∞ − ξA0

ein. Die Temperatur sei durch ϑ(η + ) und das Konzentrationsprofil durch ϕ(η + ) darstellbar. Damit geht die Energiegleichung (3.162) unter Beachtung von (3.180) u ¨ber in ∂ ψ ∂ ϑ+ ∂ η + ∂ 2 ϑ+ ∂ ψ ∂ ϑ+ ∂ η + − = a ∂y ∂η + ∂x ∂x ∂η + ∂y ∂η + 2



∂ η+ ∂y

2 (3.187)

und die Kontinuit¨ atsgleichung (3.163) in + + + ∂ 2 ξA ∂ ψ ∂ ξA ∂ η+ ∂ η+ ∂ ψ ∂ ξA − = D ∂y ∂η + ∂x ∂x ∂η + ∂y ∂η + 2



∂ η+ ∂y

2 .

(3.188)

Mit Hilfe der Ableitungen (3.182) der Stromfunktion lassen sich diese Gleichungen umformen in die gew¨ ohnlichen Differentialgleichungen ϑ+ +

1 P r f ϑ+ = 0 2

(3.189)

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper + ξA +

1 + Sc f ξA =0 . 2

375 (3.190)

Die Randbedingungen lauten + =0 η + = 0 : ϑ + = ξA + =1 . η + → ∞ : ϑ + = ξA

Einmalige Integration von (3.189) ergibt + Zη „

ϑ+ = ϑ+ (η + = 0) exp

1 − Pr f 2

« dη + .

(3.191)

0

Nun kann man andererseits (3.183) auch schreiben 1 d ln f  =− f , dη + 2 woraus 



+ Zη „

+

f = f (η = 0) exp

1 − f dη + 2

«

0

folgt. Damit kann man die Exponentialfunktion in (3.191) eliminieren und erh¨ alt » ϑ+ = ϑ+ (η + = 0)

f   f (η + = 0)

–P r .

Nach Integration folgt das Temperaturprofil unter Beachtung der Randbedingungen ϑ+ (η + = 0) = 0 und ϑ+ (η + → ∞) = 1 zu 1 0∞ η0 ϑ − ϑ0 = (f  )P r dη + (f  )P r dη + . ϑ∞ − ϑ0 0 0 +

ϑ+ =

(3.192)

Entsprechend ergibt sich das Konzentrationsprofil zu 1 0∞ η0 ξA − ξA0 = (f  )Sc dη + (f  )Sc dη + . ξA∞ − ξA0 0 0 +

+ ξA =

(3.193)

Die u armestromdichte ist ¨ bertragene W¨



+ ∂ϑ ∂ϑ ∂ η+ q˙ = −λ (ϑ∞ − ϑ0 ) = −λ ∂y y=0 ∂η + η+ =0 ∂y mit

∂ η+ w∞ !1/2 = . ∂y νx

Andererseits ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α definiert durch q˙ = α(ϑ0 − ϑ∞ ) und somit

376

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

1 0∞ w∞ x !1/2  + αx = [f (η = 0)]P r (f  )P r dη + λ ν 0 mit f  (η + = 0) = 0,332. Daf¨ ur kann man auch schreiben N ux =

αx = Re1/2 x F (P r) . λ

(3.194)

Entsprechend ergibt sich f¨ ur den Stoff¨ ubergang Shx =

βx = Re1/2 x F (Sc) . D

(3.195)

Die Funktionen F (P r) bzw. F (Sc) sind identisch und ergeben sich aus einer numerischen L¨ osung. In guter N¨ aherung gilt f¨ ur alle Prandtl-Zahlen 0 ≤ P r ≤ ∞ die Beziehung 1 N ux = √ Re1/2 ϕ1 (P r) (3.196a) π x mit ϕ1 (P r) =

P r1/2 . (1 + 1,973 P r0,272 + 21,29 P r)1/6

Im Bereich 0,3 ≤ P r ≤ ∞ ist der Fehler in N ux kleiner als 0,15 % und im Bereich 0 ≤ P r < 0,3 kleiner als 1,5 %. Eine ¨ ahnliche Gleichung gilt f¨ ur konstante W¨armestromdichte q˙ = const an der Wand: √ π 1/2 Rex ϕ2 (P r) (3.196b) N ux = 2 mit P r1/2 ϕ2 (P r) = . (1 + 2,55 P r1/4 + 48,66 P r)1/6 Im Bereich 0,2 ≤ P r ≤ ∞ ist der Fehler in N ux kleiner als 0,13 % und im Bereich 0 ≤ P r < 0,2 kleiner als 2,4 %. Entsprechende Gleichungen gelten auch f¨ ur den Stoff¨ ubergang. An die Stelle der Nußelt-Zahl N ux tritt dann die Sherwood-Zahl Shx und an die Stelle der Prandtl-Zahl P r die Schmidt-Zahl Sc. Im Bereich 0,6 < P r < 10 ist die ¨ Ubereinstimmung mit der N¨ aherungsgleichung (3.176) vorz¨ uglich. Beispiel 3.8: Man leite aus den ¨ ortlichen Nußelt-Zahlen (3.196) Gleichungen arme¨ uberf¨ ur die mittleren Nußelt-Zahlen N um = αm L/λ ab. Der mittlere W¨ gangskoeffizient ist αm

1 = L

ZL 0

1 α(x) dx = c L

ZL

x−1/2 dx = 2 c L−1/2 = 2 α(x = L) ,

0

weil f¨ ur eine vorgegebene Prandtl-Zahl nach (3.196) α = c x−1/2 ist. Somit gilt auch

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

377

αm L = 2 N u(x = L) . λ Damit folgt mit Re = (w∞ L)/ν aus Gl. (3.196a) N um =

2 N um = √ Re1/2 ϕ1 (P r) π f¨ ur konstante Wandtemperatur und aus Gl. (3.196b) N um =

√

πRe1/2 ϕ2 (P r)

f¨ ur den Fall konstanter W¨ armestromdichte q˙ an der Wand.

3.7.1.2 Turbulente Str¨ omung Die Reynoldssche Analogie, wonach W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten mit dem Reibungsbeiwert verkn¨ upft sind gem¨ aß N ux Shx cf = = Rex Rex 2

f¨ ur

P r = Sc = 1 ,

liefert bereits eine einfache Beziehung f¨ ur den W¨arme- und den Stoff¨ ubergangskoeffizienten, da der Reibungsbeiwert aus Messungen bekannt ist [3.9]: cf = 0,0592 Re−1/5 x

f¨ ur

5 · 105 < Re < 107

mit Rex = wm x/ν. Damit wird N ux Shx = = 0,0296 Re−1/5 x Rex Rex

f¨ ur

P r = Sc = 1

in dem genannten Bereich der Reynolds-Zahl. Nach Chilton und Colburn [3.10], [3.11] kann man den Einfluss der Prandtl-Zahl auf den W¨ arme¨ ubergang durch den empirischen Ansatz 1/3 N ux = 0,0296 Re4/5 x Pr

(3.197)

beschreiben, g¨ ultig f¨ ur 0,6 < P r < 60 und 5 · 105 < Rex < 107 . Entsprechend gilt f¨ ur den Stoff¨ ubergangskoeffizienten 1/3 Shx = 0,0296 Re4/5 , x Sc

(3.198)

g¨ ultig f¨ ur 0,6 < Sc < 3 000 und 5 · 105 < Rex < 107 . Statt der Nußelt-Zahl hatte Colburn in (3.197) die Stanton-Zahl St =

N ux cf = 0,0296 Re−1/5 P r−2/3 = P r−2/3 x Rex P r 2

eingef¨ uhrt, vgl. Abschnitt 1.1.4.

(3.199)

378

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Eine analytisch besser begr¨ undete und in einem gr¨oßeren Bereich der Prandtl- bzw. Schmidt-Zahl g¨ ultige Gleichung erh¨alt man, wenn man eine turbulente Schichtenstr¨ omung voraussetzt, also eine station¨are turbulente Str¨omung annimmt mit verschwindendem Druckgradient und einem Geschwindigkeits-, Temperatur- und Konzentrationsprofil, das nur von der wandnormalen Koordinate y abh¨ angt. Dann ist, wie aus (3.134) bis (3.139) folgt, ∗ ∂ (jAy )tot ∂ (q˙y )tot ∂ (τxy )tot = = =0 . ∂y ∂y ∂y

Die Gesamtwerte von Schubspannung, W¨ arme- und Diffusionsstromdichte sind unabh¨ angig von der wandnormalen Koordinate und somit gleich den Werten an der Wand. In der laminaren Unterschicht ist τxy = ν

∂ wx = τ0 ∂y

q˙y = −cp a

,

und ∗ = −D jAy

∂ϑ = q˙0 ∂y

∂ ξA ∗ = jA0 . ∂y

Daraus folgt τ0 1 ∂ wx = − Pr q˙0 cp ∂ϑ und nach Integration von der Wand bis zum Rand (Index r) der laminaren Unterschicht, Abb. 3.21

Abb. 3.21: Zum Zweischichtenmodell der Prandtl-Analogie

q˙0 P r wr . τ0 cp

(3.200)

∗ jA0 Sc wr . τ0

(3.201)

ϑr − ϑ0 = − Entsprechend gilt ξr − ξ0 = −

Wir nehmen nun an, die vollturbulente Kernstr¨omung schließe sich gem¨aß Abb. 3.21 direkt an die laminare Unterschicht an, und es gelten die BoussinesqAns¨ atze (3.141), (3.143) und (3.145), wonach

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

379

∂w ¯x , ∂y ∂ ϑ¯ und = −cp (a + at ) ∂y ∂ ξ¯A = − (D + Dt ) ∂y

(τxy )tot = (ν + εt ) (q˙y )tot ∗ (jAy )tot

ist. In der turbulenten Kernstr¨ omung ist ν εt , a at und D Dt . Es ist daher (τxy )tot ∂w ¯x τ0 1 = = P rt ¯ (q˙y )tot q˙0 cp ∂ϑ mit der turbulenten Prandtl-Zahl“ P rt = εt /at . Die Integration vom Rand ” r der laminaren Unterschicht bis in die turbulente Kernstr¨omung (Index ∞) ergibt unter der Annahme einer konstanten turbulenten Prandtl-Zahl P rt q˙0 P rt (w ¯∞ − wr ) . ϑ¯∞ − ϑr = − τ0 cp

(3.202)

Entsprechend gilt ∗

j ξ¯A∞ − ξAr = − A0 Sct (w ¯∞ − wr ) . τ0

(3.203)

Durch Addition von (3.200) mit (3.202) erh¨ alt man mit der Annahme P rt = 1: q˙0 ϑ¯∞ − ϑ0 = − [w ¯∞ + (P r − 1)wr ] . τ0 cp ur den W¨arme¨ ubergangskoeffiHieraus ergibt sich wegen q˙0 = α(ϑ0 − ϑ∞ ) f¨ zienten α die Beziehung α=

1 τ0 cp . w ¯∞ 1 + (P r − 1)wr /w ¯∞

2 ¯∞ /2) auch schreiDaf¨ ur kann man mit dem Widerstandsbeiwert cf = τ0 /(w ben α cf 1 = Stx = . (3.204) cp w ¯∞ 2 1 + (P r − 1)wr /w ¯∞

Der Ausdruck α/(cp w ¯∞ ) ist gleich der Stanton-Zahl, denn es ist St =

αx/λ α N ux = w . ¯∞ νcp = cp w Rex P r ¯∞ ν λ

In (3.204) kann man noch das Geschwindigkeitsverh¨altnis wr /w ¯∞ eliminieren, denn in der laminaren Unterschicht gilt

380

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

τ0 =

η δr , wr

wenn δr ihre Dicke ist. Wie in 3.6.1  dargelegt, erstreckt sich diese bis zur Stelle y + = wτ δr /ν ≈ 5. Wegen wτ = τ0 / ist daher  τ0 / δr ≈5 . ν Eliminiert man damit δr aus der vorigen Gleichung, so erh¨alt man unter Beachtung von η = ν τ0 w2 = x .  25 Daraus folgt τ0 wr2 2 = c = f 2 /2 2 25 w ¯∞ w ¯∞ oder wr =5 w ¯∞

"

cf . 2

Die Beziehung (3.204) geht damit u ¨ber in St =

cf 1  . 2 1 + (P r − 1)5 cf /2

(3.205)

Eine entsprechende Rechnung f¨ ur den Stoffaustausch f¨ uhrt unter der Annahme einer turbulenten Schmidt-Zahl“ Sct = εt /Dt = 1 auf den analogen ” Ausdruck 1 cf  (3.206) StSt = 2 1 + (Sc − 1)5 cf /2 ur den Stoffaustausch StSt = Shx /RexSc. Die Gln. mit der Stanton-Zahl StSt f¨ (3.205) und (3.206) f¨ ur den ¨ ortlichen W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten stellen die Prandtl-Analogie dar. Im Grenzfall P r = Sc = 1 gehen sie in die Reynolds-Analogie (3.130) u ¨ ber. F¨ ur praktische Rechnungen interessiert vor allem die mittlere StantonZahl. Man erh¨ alt sie nach Einsetzen des Reibungsbeiwertes cf (Rex ) durch ¨ Integration von (3.205) bzw. (3.206). Die Ubereinstimmung mit Messwerten ist dann immer noch unbefriedigend, weil die der Prandtl-Analogie zugrunde liegende Unterteilung der Grenzschicht in eine laminare Unterschicht und eine daran angrenzende voll turbulente Schicht zu grob und auch die Festlegung der Dicke der laminaren Unterschicht durch y + = 5 nur eine N¨aherung ist. Die Prandtl-Analogie war jedoch Grundlage f¨ ur die Aufstellung von empirischen Gleichungen, die Messwerte genauer wiedergeben. Als Beispiel hierf¨ ur sei die aus einer Beziehung von Petukhov und Popov [3.12] hergeleitete Gleichung von Gnielinski [3.13] f¨ ur die mittlere Nußelt-Zahl mitgeteilt

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

N um =

0,037 Re0,8 P r 1 + 2, 443 Re−0,1 (P r2/3 − 1)

381

(3.207)

mit N um = αm L/λ, Re = w ¯∞ L/ν. Sie gilt f¨ ur 5 · 105 < Re < 107 und 0,6 < P r < 2 000. Die Stoffwerte sind bei der Temperatur ϑm = (ϑe + ϑa )/2, dem arithmetischen Mittel zwischen Ein- und Austrittstemperatur, zu berechnen. ¨ Im Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Str¨omung erh¨alt ¨ ¨ man gute Ubereinstimmung durch eine quadratische Uberlagerung ' (3.208) N um = N u2m, lam + N u2m, turb , worin N um, lam die mittlere Nußelt-Zahl der laminaren Str¨omung N um, lam = 2N ux mit N ux nach (3.196) und N um, turb die der turbulenten Str¨omung nach (3.207) ist. In (3.208) wird bei kleinen Reynolds-Zahlen der turbulente und bei großen Reynolds-Zahlen der laminare Anteil klein. Sie kann daher im gesamten Bereich der Reynolds-Zahlen 10 < Re < 107 verwendet werden. Eine entsprechende Beziehung gilt auch f¨ ur den Stoff¨ ubergang im gleichen Bereich der Reynolds-Zahlen und f¨ ur 0,7 < Sc < 70 000. Man hat dazu nur die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Beispiel 3.9: Man leite aus den Gleichungen (3.176) f¨ ur 0,6 < P r < 10 und (3.197) f¨ ur den o arme¨ ubergangskoeffizienten eine Beziehung f¨ ur den ¨rtlichen W¨ mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten der ebenen l¨ angsangestr¨ omten Platte ab; man beachte dabei, dass die Grenzschicht zun¨ achst laminar und ab einer kritischen Reynolds-Zahl (Rex )cr = 5 · 105 turbulent wird. Es ist 3 2x Z cr ZL 1 4 αlam dx + αturb dx5 . αm = L x=0

x=xcr

Mit (3.176) und (3.197) wird 2 “ w ”1/2 Zxcr dx “ w ”4/5 λ 4 ∞ ∞ 0,332 + 0,0296 αm = L ν ν x1/2 x=0

ZL x=xcr

3 dx 5 P r 1/3 x1/5

h “ ” ” ”i “ “ αm L = 0,664 Rex 1/2 P r1/3 . + 0,037 Re4/5 − Rex 4/5 λ cr cr Daraus folgt mit (Rex )cr = 5 · 105 N um =

N um = (0,037 Re4/5 − 871) P r1/3 , g¨ ultig f¨ ur Re = w0 L/ν ≥ 5 · 105 .

382

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.7.2 Der quer angestr¨ omte Zylinder Die Grenzschicht eines quer angestr¨ omten Zylinders hat am vorderen Staupunkt, x = 0 in Abb. 3.22, bereits eine endliche Dicke, w¨ahrend sie an der l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte mit der Dicke null beginnt. Am vorderen Staupunkt wird die kinetische Energie bei adiabater Str¨omung des Fluids vollst¨ andig in Enthalpie umgesetzt. Es ist h + w2 /2 = h0 . Ein Fluidelement besitzt im Staupunkt eine h¨ ohere Enthalpie als vor Erreichen des Staupunkts. Betrachtet man die Str¨ omung als reversibel, so f¨ uhrt dies wegen h = h(s, p) mit s = const zu einem Druckanstieg am Staupunkt. Auf einer Stromlinie nahe der K¨ orperoberfl¨ ache wird das Fluidelement wieder beschleunigt und bewegt sich daher in ein Gebiet abnehmenden Drucks. Hinter der dicksten Stelle des K¨ orpers wird das Fluidelement anschließend verz¨ogert, und der Druck steigt wieder an. Die wirkliche Str¨ omung ist nicht reversibel, sondern es wird infolge der Reibung in der Grenzschicht kinetische Energie dissipiert und in innere Energie umgewandelt. Die w¨ ahrend der Beschleunigungsphase gewonnene kinetische Energie ist daher geringer als in einer reversiblen Str¨omung. Das Fluidelement hat infolgedessen bereits seine gesamte kinetische Energie in Enthalpie umgesetzt, wenn es sich noch im Bereich des Druckanstiegs befindet. Unter dem Einfluss des Druckanstiegs beginnt es weiter stromab in Gegenrichtung zu str¨ omen. Es entsteht ein R¨ uckstr¨ omgebiet, durch welches die Außenstr¨omung von der Oberfl¨ ache abgedr¨ angt wird. Hinter dem Abl¨osepunkt ist der Druck praktisch konstant. Dort herrscht keine geordnete Str¨omung mehr. W¨armeund Stoff¨ ubergang kommen in diesem als Totwasser bezeichneten Gebiet praktisch zum Erliegen. In Grenzschichten mit Druckanstieg in Str¨omungsrichtung kann somit die Str¨ omung abl¨ osen. Man erkennt dies auch aus der Impulsgleichung (3.109), die an der Wand wegen wx = wy = 0 in die sogenannte Wandbindungsgleichung

2  ∂ wx dp (3.209) = η 2 ∂y dx y=0 u um¨ bergeht. Danach bestimmt der Druckabfall der Außenstr¨omung die Kr¨ mung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand. F¨ ur konstanten Druck in der

Abb. 3.22: Str¨ omungsgrenzschicht um einen zylindrischen K¨ orper. S Staupunkt, A Abl¨ osepunkt der Grenzschicht

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

Abb. 3.23: Str¨ omung um einen quer angestr¨ omten Kreiszylinder bei verschiedenen Reynolds-Zahlen

383

¨ Abb. 3.24: Ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten um einen quer angestr¨ omten Kreiszylinder, nach Giedt [3.14]

Außenstr¨ omung ist die Kr¨ ummung null, das Geschwindigkeitsprofil in Wandn¨ ahe kann in guter N¨ aherung durch eine Gerade ersetzt werden. In einem Gebiet mit Druckanstieg ist dp/dx > 0 und η(∂ 2 wx /∂y 2 )y=0 > 0. Dem entspricht ein Geschwindigkeitsprofil, wie es rechts in Abb. 3.22 gezeichnet ist. Nach der Bernoulli-Gleichung wδ

dp dwδ =− dx dx

ist hier die Außenstr¨ omung verz¨ ogert. Eine Grenzschichtabl¨osung ist daher nur bei verz¨ ogerter Außenstr¨ omung m¨ oglich. In einer turbulenten Str¨ omung wird der wandnahen Schicht durch den Impulsaustausch zwischen Schichten verschiedener Geschwindigkeit st¨andig Impuls zugef¨ uhrt. Die kinetische Energie der wandnahen Fluidelemente nimmt nicht so rasch ab wie bei laminarer Str¨ omung. Turbulente Grenzschichten l¨ osen daher sp¨ ater ab als laminare. Der W¨arme- und Stoffaustausch in Wandn¨ ahe wird nicht nur durch die Turbulenz gef¨ordert, es wird auch eine gr¨ oßere Fl¨ ache ohne Abl¨ osung u omt. Gleichzeitig wird der Druckwider¨ berstr¨ stand geringer, wenn die Str¨ omung l¨ anger anliegt. Das Str¨ omungsbild um einen quer angestr¨omten Zylinder h¨angt stark von der Reynolds-Zahl ab, wie es Abb. 3.23 f¨ ur den Kreiszylinder zeigt. Bei kleinen Reynolds-Zahlen Re = w∞ d/ν < 5, Abb. 3.23a, umschließt die Str¨omung den Zylinder; zwischen 5 bis 15 ≤ Re ≤ 40, Abb. 3.23b, reißt sie bereits ab, und es

384

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

bilden sich stehende Abl¨ osewirbel. Bei h¨ oheren Reynolds-Zahlen 40 ≤ Re ≤ 150, Abb. 3.23c, werden die Wirbel periodisch mitgerissen und bilden eine Wirbelstraße, in der die Str¨ omung noch laminar ist. Sie geht bei ReynoldsZahlen 150 ≤ Re ≤ 300 in Turbulenz u ¨ ber und wird im Bereich 300 < Re < 3 · 105 , Abb. 3.23d, voll turbulent. Oberhalb von Re = 3 · 105 ist auch die Grenzschicht stromabw¨ arts um den Zylinder turbulent. Die Nachlaufstr¨omung konzentriert sich auf einen schmalen Bereich und ist voll turbulent, Abb. 3.23e, und enth¨ alt keine gr¨ oßeren Wirbel. Erst oberhalb Re ≈ 3,5 · 106 bildet sich wieder eine schmale voll turbulente Wirbelstraße, Abb. 3.23 f. Die Str¨ omung beeinflusst den W¨ arme- und Stoff¨ ubergang in verwickelter Weise, wie man aus Abb. 3.24 erkennt, in der o¨rtliche Nußelt-Zahlen u ¨ ber den vom vorderen Staupunkt an gez¨ ahlten Umfangswinkel aufgetragen sind. Die Nußelt-Zahl nimmt vom Staupunkt an in dem Maß ab, wie sich die Grenzschicht entwickelt. Sie erreicht ein Minimum bei einem Umfangswinkel von omung abzul¨osen, und der W¨arme¨ uberrund 80◦ . Dort beginnt sich die Str¨ gang nimmt dann wieder l¨ angs des Umfangs zu, weil das Fluid durch die Abl¨ osewirbel durchmischt wird. Bei großen Reynolds-Zahlen u ¨ ber 105 treten sogar zwei Minima der lokalen Nußelt-Zahl auf. Ihr starker Anstieg zwischen 80◦ und 100◦ Umfangswinkel kommt durch den Umschlag der anf¨anglich laminaren in eine turbulente Grenzschicht zustande. Diese w¨achst stromabw¨arts an, so dass der W¨ arme¨ ubergang gehemmt wird, bis etwa ab einem Umfangsarme¨ ubergang infolge der besseren Durchmischung des winkel von 140◦ der W¨ Fluids im Nachlauf wieder zunimmt. In der Praxis interessiert vor allem der mittlere W¨arme¨ ubergangskoeffizient. Er l¨ asst sich durch empirische Ans¨ atze der Form

p Pr m n (3.210) N um = c Re P r P r0 beschreiben, in dem die mittlere Nußelt- und die Reynolds-Zahl mit dem Rohrdurchmesser gebildet sind. Alle Stoffwerte sollen bei der mittleren Fluidtemperatur ϑ = (ϑ0 + ϑ∞ )/2 gebildet werden außer der Prandtl-Zahl P r0 , die bei Wandtemperatur ϑ0 einzusetzen ist. Die Koeffizienten c, m, n, und p sind ˇ einer Arbeit von Zukauskas [3.15] entnommen und in Tabelle 3.1 aufgef¨ uhrt. Eine einheitliche empirische Gleichung f¨ ur alle Reynolds-Zahlen 1 ≤ Re ≤ ur Prandtl-Zahlen 0,7 < P r < 600 hat Gnielinski [3.13] mitgeteilt. 106 und f¨ Sie lautet ' N um = 0,3 + N u2m, lam + N u2m, turb (3.211) mit N um, lam = 2 N ux (x = L) nach (3.196a) und N um, turb nach (3.207). Als L¨ ange L ist in diese Gleichungen der u ¨ berstr¨omte Umfang L = dπ/2 einzusetzen. Im Fall des Stoffaustausches hat man die Nußelt- durch die SherwoodZahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Die Gleichung gilt ur 0,7 < Sc < 7 · 104 . dann f¨ ur 1 ≤ Re ≤ 106 und f¨ Eine vor allem f¨ ur Gase mit Prandtl-Zahlen von der Gr¨oßenordnung 1 ultige empirische Gleichung haben und f¨ ur Reynolds-Zahlen 1 ≤ Re ≤ 105 g¨

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

385

Tabelle 3.1: Konstante und Exponenten der Gl. (3.210)

Re

c

m

n

0,76

0,4

0,37

0,52

0,5

0,37

10 bis 2 · 10 0,26

0,6

0,37

0,8

0,4

1 bis 40 3

40 bis 10 3

5

2 · 10 bis 10 5

7

0,023

Heizung des Fluids: K¨ uhlung des Fluids:

p=0,25 p=0,20

Sparrow et al. [3.16] mitgeteilt. Sie lautet ! 1/4 N um = 0,25 + 0, 4 Re1/2 + 0, 06 Re2/3 P r0,37 (η/ηw )

(3.211a)

Darin sind die mittlere Nußelt-Zahl und die Reynolds-Zahl mit dem Rohrdurchmesser gebildet. Alle Stoffeigenschaften ausgenommen ηw sind mit der Freistromtemperatur ϑ∞ gebildet; ηw ist bei Wandtemperatur einzusetzen. In der Arbeit von Sparrow et al. [3.16] findet man auch Korrelationen f¨ ur die W¨ arme¨ ubertragung von Luft an quer angestr¨ omte nicht-kreisf¨ormige Zylinder und Kugeln. Beispiel 3.10: Ein Kupferzylinder von 10 mm Durchmesser und 1 m L¨ ange hat anf¨ anglich eine Temperatur von ϑα = 423,15 K = 150 . Der Zylinder wird dann mit w∞ = 10 m/s quer angestr¨ omt. Nach von Luft von ϑL = 298,15 K = 25 abgek¨ uhlt? welcher Zeit ist der Zylinder auf ϑω = 308,15 K = 35 Gegebene Stoffwerte: W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Zylinders λz = 399 W/Km, Dichte armekapazit¨ at cL = 0,387 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahig = 8933 kg/m3 , spez. W¨ ) = 0,714, keit der Luft λL = 26,02 · 10−3 W/Km, Prandtl-Zahl P rL (25 at νL (25 ) = P rL (35 ) = 0,713, P rL (92,5 ) = 0,707, kinematische Viskosit¨ 158,2 · 10−7 m2 /s, νL (35 ) = 167,8 · 10−7 m2 /s. Zur L¨ osung der Aufgabe zeige man zun¨ achst, dass der W¨ armewiderstand des Zylinders gegen¨ uber dem der Luft vernachl¨ assigbar und daher die Temperatur des Zylinders nur eine Funktion der Zeit ist. Der W¨ armewiderstand der Luft ergibt sich aus dem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten. Wir berechnen diesen aus (3.210). Die Reynolds-Zahl der anstr¨ omenden Luft ist 10 m/s · 10 · 10−3 m w∞ d = = 6321 . Re = ν 158,2 · 10−7 m2 /s Damit wird mit den Werten von Tabelle 3.1 „ «0,25 Pr N um = 0,26 Re0,6 P r0,37 P r0

386

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen „

mit P r0 = P r

150 + 35 2

« = P r(92,5

Es wird

„ N um = 0,26 · 63210,6 · 0,7410,37

0,741 0,707

) = 0,707 . «0,25 = 44,91

λ 26,02 · 10−3 W/Km = 44,91 = 116,9 W/m2 K d 10 · 10−3 m F¨ ur das Verh¨ altnis der W¨ armewiderst¨ ande von Zylinder und Luft ist die BiotZahl maßgebend: αm = N um

Bi =

116,9 W/m2 K · 10 · 10−3 m αm d = = 2,92 · 10−3 . λz 399 W/Km

Sie liegt weit unter der in Abschnitt 2.3.5.2 angegebenen Grenze Bi = 0,1. Der W¨ armewiderstand des Zylinders ist somit vernachl¨ assigbar gegen¨ uber dem der Luft, so dass man dem Zylinder eine einheitliche, nur mit der Zeit ver¨ anderliche Temperatur zuordnen kann. Die Zeit zur Abk¨ uhlung des Zylinders ergibt sich aus (2.199) zu t= t=

ϑα − ϑL cV ln αm A ϑω − ϑL

mit

V d2 π 1 d = L = A 4 dπ L 4

150 − 25 8933 kg/m3 · 387 J/kgK · 10 · 10−3 m ln = 186,7 s = 3,1 min . 116,9 W/m2 K · 4 35 − 25

Mit (3.211) findet man αm = 128 W/m2 K und t = 2,84 min; (3.211a) ergibt αm = 126,5 W/m2 K und t = 2,87 min..

3.7.3 Quer angestr¨ omte Rohrbu ¨ndel Im Folgenden sollen der W¨ arme¨ ubergang und der Druckabfall in einem quer angestr¨ omten Rohrb¨ undel untersucht werden, dessen Einzelrohre nach Abb. 3.25 fluchtend oder versetzt zueinander angeordnet sind.

Abb. 3.25: Quer angestr¨ omte Rohrb¨ undel. a fluchtende Rohranordnung; b versetzte Rohranordnung mit engstem Querschnitt quer zur Anstr¨ omrichtung; c versetzte Rohranordnung mit engstem Querschnitt in den Diagonalen

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

387

Bei versetzter Anordnung ist der W¨ arme¨ ubergang bei gleicher ReynoldsZahl gr¨ oßer. Dies wird jedoch durch einen h¨ oheren Druckabfall erkauft. Entsprechend Abb. 3.25a bis c bezeichnet man den senkrecht zur Str¨omungsrichtung gemessenen Rohrabstand als Querteilung sq , den Rohrabstand in Str¨ omungsrichtung als L¨angsteilung sl und den Rohrabstand in Richtung der Diagonalen als Versetzung sv . Den Quotienten sq /d nennt man Querteilungsverh¨ altnis, sl /d L¨ angsteilungsverh¨ altnis und sv /d Versetzungsverh¨altnis. Die Umstr¨ omung und damit auch der W¨ arme¨ ubergang am Einzelrohr innerhalb des B¨ undels wird durch die Grenzschichtabl¨osung und die Verwirbelungen beeinflusst, wie sie sich bereits an den vorangehenden Rohren entwickelt hat. Der W¨ arme¨ ubergang an einem Rohr der ersten Reihe ist etwa gleich dem des einzelnen quer angestr¨ omten Zylinders, wenn man keine allzu enge Querteilung voraussetzt. Weiter stromab nimmt der W¨arme¨ ubergangskoeffizient jedoch zu, weil die vorangehenden Rohrreihen als Turbulenzerzeuger f¨ ur die folgenden wirken. Von der vierten bis f¨ unften Rohrreihe an ¨andert sich der Str¨ omungsverlauf praktisch nicht mehr, und der mittlere W¨arme¨ ubergangskoeffizient der Rohre erreicht einen konstanten Endwert. Als Folge davon strebt auch der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient u ¨ ber alle Rohre einem von der Reihenzahl unabh¨ angigen Endwert zu. Er ist etwa von der zehnten Reihe an konstant, wie dies Abb. 3.26 zeigt, in welcher das Verh¨altnis F von mittlerem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αm (zR ) bis zur Reihe zR mit dem Endwert αm (zR → ∞) = αm∞ u ¨ ber der Reihenzahl zR aufgetragen ist.

Abb. 3.26: Einfluss der Rohrreiarme¨ uberhenzahl zR auf den W¨ gang in Glattrohrb¨ undeln nach [3.16]. a) fluchtende, b) versetzte Rohranordnung. Gestrichelte Kurven f¨ ur Re > 103 , voll ausgezogene f¨ ur 102 < Re < 103

Bisher ver¨ offentlichte Messergebnisse des mittleren W¨arme¨ ubergangskoeffizienten sind von verschiedenen Autoren [3.17] bis [3.21] durch Korrelationen beschrieben worden. Eine Gleichung, die bisherige Messungen f¨ ur eine einzelne Rohrreihe und f¨ ur B¨ undel mit mehreren Rohrebenen gut wiedergibt, stammt von Gnielinski [3.18]. Hiernach berechnet man zur Ermittlung des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten eines Rohrb¨ undels zun¨achst den W¨arme¨ ubergangskoeffizienten am quer angestr¨ omten Einzelrohr nach (3.211) und den zugeh¨ origen Gln. (3.196a) und (3.207). In diesen ist die Reynolds-Zahl mit der mittleren Geschwindigkeit wm = w/ε, Re = wm l/ν, l = dπ/2 zu bilden ist. w ist die auf den ganzen Querschnitt bezogene Anstr¨omgeschwindigkeit. Die Gr¨ oße ε ist der Hohlraumanteil. Er h¨ angt vom Querteilungsverh¨altnis angsteilungsverh¨ altnis b = sl /d ab gem¨aß a = sq /d und vom L¨

388

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

ε = 1 − π/(4a) f¨ ur b ≥ 1 und ε = 1 − π/(4ab) f¨ ur b < 1 . Die so nach (3.211) berechnete Nußelt-Zahl N um hat man noch mit einem Anordnungsfaktor fA zu multiplizieren. Man erh¨alt dann die Nußelt-Zahl N uB = αB l/λ = fA N um

mit l = dπ/2

(3.212)

Die Gleichung gilt im Bereich 10 < Re < 106 und 0,6 < P r < 103 . Bei fluchtender Anordnung ist ! (3.212a) fA = 1 + 0,7(b/a − 0,3)/ ε3/2 (b/a + 0,7)2 und bei versetzter Anordnung fA = 1 + 2/3 b

(3.212b)

Der Gleichung (3.212a) lagen Experimente mit b ≥ 1,2 zugrunde; f¨ ur b < 1,2 war in den Experimenten b/a ≥ 1. Enth¨ alt das B¨ undel weniger als zehn Rohrreihen, so ist die mittlere NußeltZahl N uB noch mit einem Faktor 1 + (zR − 1)fA zR zu multiplizieren, durch den in etwa der Anstieg der W¨arme¨ ubergangskoeffiucksichtigt zienten mit der Reihenzahl zR der Rohre nach Abbildung 3.26 ber¨ wird. Der W¨ arme¨ ubergang am Rippenrohrb¨ undel wird durch ¨ahnliche Gleichungen berechnet. Es sei hierzu auf die Literatur verwiesen [3.22]. Zur Berechnung des in einem Rohrb¨ undel u ¨ bertragenen W¨armestromes hat man zu beachten, dass sich die Fluidtemperatur zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt erheblich ¨ andern kann. Der von einer Rohroberfl¨ache dA an das Fluid u armestrom betr¨ agt ¨bertragene W¨ dQ˙ = α dA(ϑ0 − ϑF ) = M˙ cp dϑF , wenn ϑF die mittlere Fluidtemperatur in einem Kanalquerschnitt ist. Es ist daher α dϑF dA = . ˙ ϑ M cp 0 − ϑF Durch Integration zwischen Eintrittsquerschnitt e, in dem die mittlere Fluidtemperatur ϑe herrscht, und Austrittsquerschnitt a mit der mittleren Fluidalt man temperatur ϑa erh¨ 1 ˙ M cp

a α dA = e

αB A0 ϑ0 − ϑe = ln . c˙p ϑ0 − ϑa

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

389

Hierin sind αB der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient des Rohrb¨ undels und A0 die gesamte Rohroberfl¨ ache. Damit betr¨ agt der u ¨ bertragene W¨armestrom ϑ0 − ϑe Q˙ = M˙ cp (ϑa − ϑe ) = αB A0 (ϑa − ϑe )/ ln ϑ0 − ϑa oder Q˙ = αB A0 Δϑlog

(3.213)

mit der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz Δϑlog = (ϑa − ϑe )/ ln

ϑ0 − ϑe . ϑ0 − ϑa

(3.214)

Beispiel 3.11: Atmosph¨ arische Luft (p = 0,1 MPa) soll in einen Rohrb¨ undelauf 30 erw¨ armt werden. Der Apparat besteht W¨ arme¨ ubertrager von 10 omungsrichtung hintereinander liegenden aus 4 nebeneinander und zR in Str¨ fluchtenden Rohrreihen. Der Außendurchmesser der Rohre betr¨ agt 25 mm, ihre L¨ ange 1,5 m, das L¨ angsteilungsverh¨ altnis sei gleich dem Querteilungsverh¨ altnis: die Anstr¨ omgesl /d = sq /d = 2. Die Wandtemperatur der Rohre betrage 80 schwindigkeit der Luft 4 m/s. Man berechne die erforderliche Zahl zR der Rohrreihen. at ν = 15,11 · Gegeben seien folgende Stoffwerte f¨ ur Luft bei ϑm = 20 : Viskosit¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0257 W/Km, Dichte  = 1,293 kg/m3 , spez. 10−6 m2 /s, W¨ W¨ armekapazit¨ at cp = 1,007 kJ/kgK, Prandtl-Zahl P r = 0,715. Den Hohlraumanteil ε berechnet man wegen a = b = 2 zu ε = 1−π/(4·2) = 0,607 und die mittlere Geschwindigkeit zu wm = w/ε = 4(m/s)/0,607 = 6,587m/s . Damit erh¨ alt man die Reynolds/Zahl zu Re = wm (dπ/2)/ν = 6,587(m/s)·(25·10−3 m·π/2)/15,11·10−6 m2 /s = 1,71·104 . Die mittlere Nußelt-Zahl N um,lam folgt aus (3.196a) zu N um,lam = 77,18 , die der turbulenten Str¨ omung aus (3.207) zu N um,turb = 80,42 . Nach (3.211) ist daher die mittlere Nußelt-Zahl N u = 111,76. Den Anordnungsfaktor ermittelt man nach (3.212a) zu fA = 1 +

0, 7 · (1 − 0, 3) = 1, 359 . 0, 6073/2 (1 + 0, 7)2

Die Nußelt-Zahl des Rohrb¨ undels folgt damit aus (3.212) zu N uB = 1,359 · 111, 76 = 151, 8 , und der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient des Rohrb¨ undels ist

390

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

αB = N uB λ/(dπ/2) = 151,8 · 0,0257 W/Km/(25 · 10−3 m · π/2) = 99,4 W/(m2 K) Der zu u armestrom ist ¨ bertragende W¨ Q˙ = M˙ cp (ϑe − ϑa ) =  w∞ 4 sq d L cp (ϑe − ϑa ) = 1,293 kg/m3 · 4 m/s · 4 · 2 · 25 · 10−3 m · 1,5 m · 1,007 kJ/kg · 20 K = 31,25 kW . Andererseits ist nach (3.213) Q˙ = αB 4 zR d π L Δϑm . Mit Δϑm nach (3.214), also Δϑm = (ϑa − ϑe )/ ln

ϑ0 − ϑe 80 − 10 = (30 K − 10 K)/ ln = 59,44 K ϑ0 − ϑa 80 − 30

wird Q˙ = 31,25 · 103 W = 99,4 W/(m2 K) · 4 · zR · 25 · 10−3 m · π · 1,5 m · 59,44 K . ahlte Zahl der Rohrreihen ist zR = 12. Daraus ergibt sich zR = 11,2. Die gew¨

3.7.4 Einige empirische Gleichungen fu arme¨r den W¨ und Stoffu omten K¨ orpern ¨bergang an u ¨ berstr¨ Wie die bisherige Darstellung zeigte, lassen sich W¨arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten u omter K¨ orper f¨ ur einfache Str¨omungen, wie sie beispiels¨ berstr¨ weise an der ebenen oder leicht gew¨ olbten Platte auftreten, mit Hilfe der Grenzschichtgleichungen exakt berechnen. Die Str¨omung mit Abl¨osung wie sie sich bei umstr¨ omten Zylindern, Kugeln und anderen K¨orpern einstellt, ist jedoch nur schwer oder gar nicht berechenbar, so dass man W¨arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten durch Versuche bestimmen muss. F¨ ur die praktische Anwendung hat man die Rechen- oder Versuchsergebnisse in empirischen Korrelationen der Form N u = f (Re, P r) zusammengefasst, von denen einige schon er¨ ortert wurden. Sie sind im Folgenden zusammenfassend mit einigen weiteren h¨ aufiger ben¨ otigten Korrelationen dargestellt. Alle Korrelationen gelten in gleicher Weise auch f¨ ur den Stoffaustausch. Man hat dazu lediglich die Nußelt- durch die Sherwood- und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. 1. L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, von der Vorderkante an beheizt oder gek¨ uhlt Korrelation G¨ ultigkeitsbereich N ux = √1 (Rex P r)1/2 π 1/2 N ux = 0,332 Rex P r1/3 1/2 N ux = 0,339 Rex P r1/3

Pr → ∞

lam. Str¨omung

0,5 ≤ P r ≤ 1000 Rex ≤ 5 · 105 Pr → ∞

0,5 ≤ P r ≤ 1000 N um = 0,664 Re1/2P r1/3 0,037 Re0,8 P r 0,6 ≤ P r ≤ 2000 turb. Str¨omung: N um = 1+2,443 Re−0,1 (P r2/3 −1) 5 · 105 < Re < 107

¨ 3.7 Uberstr¨ omte K¨ orper

391

Abb. 3.27: L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, von der Vorderkante an beheizt

2. L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, ab der Stelle x0 beheizt oder gek¨ uhlt 1/2

0,332 Rex P r1/3 N ux = ) *1/3 , 3/4 1 − (x0 /x)

0,5 ≤ P r ≤ 1000 ,

Rex ≤ 5 · 105

Abb. 3.28: L¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, ab der Stelle x0 beheizt oder gek¨ uhlt

3. Querangestr¨ omter Zylinder N um = 0,3 + (N um, lam 2 + N um, turb 2 )1/2 mit N um, lam = 0,664 Re1/2P r1/3 und N um, turb =

0,037 Re0,8 P r 1 + 2,443 Re−0,1 (P r2/3 − 1)

10 < Re < 107 ,

0,6 < P r < 1 000 .

Die Nußelt- und die Reynolds-Zahl werden mit der u ¨berstr¨omten L¨ange L = dπ/2 gebildet.

Abb. 3.29: Querangestr¨ omter Zylinder

392

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

4. Beliebige querangestr¨ omte Profilzylinder Gleichung wie f¨ ur querangestr¨ omte Zylinder, die Nußelt- und ReynoldsZahl werden mit der u omten L¨ ange gebildet, im Beispiel der Abb. ¨ berstr¨ 3.30 ist L = a + b.

Abb. 3.30: Querangestr¨ omter Profilzylinder

¨ 5. Uberstr¨ omte Kugel Bezeichnungen wie beim quer angestr¨ omten Zylinder 1/2  2 N um = 2 + N um, lam + N u2m, turb N um, lam = 0,664 Re1/2P r1/3 N um, turb =

0,037Re0,8 P r 1 + 2,443Re−0,1 (P r2/3 − 1)

αm d ; λ 0,7 < P r < 600 N um =

w∞ d ν 1 ≤ Re ≤ 106 Re =

Im Fall des Stoffaustausches ist N um durch Shm und P r durch Sc zu ersetzen, g¨ ultig im Bereich 0,7 < Sc < 70000. 6. Frei fallender Fl¨ ussigkeitstropfen   x !−0,7 1/2 1/3 25 . N um = 2 + 0,6 Re P r d Die Nußelt- und die Reynolds-Zahl werden mit dem Tropfendurchmesser d gebildet; x ist die Fallh¨ ohe. Es ist 10 ≤ x/d ≤ 600 und 3 mm ≤ d ≤ 6 mm. 7. Rohrb¨ undel aus Glattrohren Man berechne zun¨ achst aus (3.211) unter Beachtung von (3.196a) f¨ ur ur N um,turb die mittlere Nußelt-Zahl N um des N um,lam und (3.207) f¨ quer angestr¨ omten Einzelrohres, in dem man die Reynolds-Zahl Re = wm l/ν, l = dπ/2 mit der mittleren Geschwindigkeit wm = w/ε bildet. Darin sind w die Anfangsgeschwindigkeit und ε der Hohlraumanteil. ε = 1 − π/4 a f¨ ur b ≥ 1 und ε = 1 − π/4 ab f¨ ur b < 1 . Hierin sind a = sq /d das Querteilungsverh¨altnis und b = sl /d das L¨angsteilungsverh¨ altnis.

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

393

Die mittlere Nußelt-Zahl des Rohrb¨ undels ist N uB =

αB l = fA N u m λ

mit dem Anordnungsfaktor bei fluchtender Anordnung fA = 1 + 0,7(b/a − 0,3)/ ε3/2 (b/a + 0,7)2

!

und fA = 1 + 2/3 b ultig im Bereich bei versetzter Anordnung. Die Gleichung f¨ ur N uB ist g¨ 10 < Re < 106 und 0, 6 < P r < 103 . F¨ ur B¨ undel mit weniger als zehn Rohrreihen ist die mittlere Nußelt-Zahl N uB noch mit einem Faktor (1 + (zR − 1)fA )/zR zu multiplizieren. Hierin ist zR die Zahl der hintereinander liegenden Rohrreihen.

3.8 Durchstro ale, Haufwerke, ¨mte Kan¨ Wirbelschichten W¨ arme- und Stoff¨ ubertragungsapparate bestehen meistens aus durchstr¨omten Kan¨ alen, h¨ aufig aus Rohren, in denen ein Fluid erw¨armt, gek¨ uhlt oder in seiner stofflichen Zusammensetzung ge¨ andert wird. W¨ahrend sich die Grenzschichten um einen u omten K¨ orper, beispielsweise die an einer l¨angsan¨berstr¨ gestr¨ omten ebenen Platte, unbeeinflusst von benachbarten Begrenzungen entwickeln k¨ onnen, sind sie in durchstr¨ omten Kan¨alen vollst¨andig eingeschlossen und k¨ onnen sich daher nicht frei entwickeln. Im Folgenden werden zun¨achst die Str¨ omung, dann der W¨ arme- und Stoff¨ ubergang in Rohren behandelt, ehe dann andere durchstr¨ omte Kan¨ ale wie por¨ose K¨orper, Haufwerke und Sch¨ uttungen betrachtet werden.

3.8.1 Die laminare Rohrstro ¨mung Wir betrachten die laminare Str¨ omung eines Fluids, das mit konstanter Geschwindigkeit in ein Kreisrohr eintritt, Abb. 3.31. Infolge Wandreibung wird die wandnahe Fl¨ ussigkeit verz¨ ogert. Es bildet sich eine stromabw¨arts anwachsende Grenzschicht aus. Damit durch jeden Querschnitt der gleiche Mengenstrom fließt, muss die Kernstr¨ omung auf Kosten des Druckabfalls in Str¨ omungsrichtung beschleunigt werden. W¨ ahrend die Grenzschicht asymptotisch bis zur Rohrachse anw¨ achst, n¨ ahert sich das Geschwindigkeitsprofil asymptotisch einem parabelf¨ ormigen Endprofil, der sogenannten PoiseuilleParabel. Die Abweichung von dieser ist schon nach endlicher Laufl¨ange vernachl¨ assigbar gering. Man bezeichnet eine solche Str¨omung, deren Geschwindigkeitsprofil sich nicht mehr ¨ andert, als hydrodynamisch ausgebildet und

394

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.31: Geschwindigkeitsprofile und Grenzschicht der laminaren Rohrstr¨ omung

nennt die vom Eintrittsquerschnitt an gerechnete Strecke, bis sich das Endprofil bis auf eine vernachl¨ assigbare Abweichung vom asymptotischen Endwert eingestellt hat, die hydrodynamische Einlaufl¨ange. Sie l¨asst sich f¨ ur die in Abb. 3.31 skizzierte laminare Rohrstr¨ omung exakt berechnen [3.23] und betr¨agt xe ≈ 0,056 Re d ,

(3.215)

wenn sich die Geschwindigkeit in der Rohrachse bis auf eine Abweichung von 1 % dem Wert der Poiseuille-Str¨ omung gen¨ ahert hat. Ob die Str¨ omung laminar oder turbulent ist, h¨angt ebenso wie bei der ebenen Platte von der Reynolds-Zahl ab. Wie bereits dargelegt ist eine Str¨omung unterhalb von Re = wm d/ν = 2300 stets laminar und oberhalb von Re = 4000 turbulent. Eine turbulente Str¨ omung ist schon nach kurzer Strecke hydrodynamisch ausgebildet. Die Einlaufl¨ ange liegt im Bereich [3.24]
1 .

Alle Stoffwerte sind bei der Mitteltemperatur ϑm = (ϑe + ϑa )/2 zu bilden. Den Einfluss einer stark mit der Temperatur ver¨anderlichen Viskosit¨at erfasst man wieder durch den Faktor (P r/P r0 )0,11 auf der rechten Seite von (3.260), wobei P r bei der Mitteltemperatur ϑm , und P r0 bei Wandtemperatur zu bilden sind. Die vorstehenden Gleichungen (3.259) und (3.260) k¨onnen auch zur Berechnung von Stoff¨ ubergangskoeffizienten verwendet werden. Man hat dazu, wie schon er¨ ortert, lediglich die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen.

3.8.3 Haufwerke Unter einem Haufwerk versteht man die geordnete oder regellose Anordnung von Einzelk¨ orpern verschiedener Form. Als Beispiel zeigt Abb. 3.36 ein Haufwerk aus Partikeln verschiedener Gr¨ oße. Auch ein Rohrregister ist im Sinne

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

411

dieser Definition ein Haufwerk. Technisch bedeutsam sind Haufwerke in Form von Fließ- oder von Festbetten. In Fließbetten werden die Partikel durch ein str¨omendes Fluid aufgewirbelt und in der Schwebe gehalten. Sie haben dann ihrerseits fluid¨ahnliche Eigenschaften. Man spricht von Wirbelschichten oder Fluidatbetten (engl. fluidised beds). In ihnen laufen chemische Reaktionen, Trocknung oder andere Stoffaustauschvorg¨ ange infolge der lebhaften Bewegung der Partikel rasch ab. Festbetten dienen mit ihren F¨ ull- und Speichermassen zur W¨arme¨ ubertragung in Regeneratoren. Als sogenannte F¨ ullk¨ orperkolonnen werden sie h¨aufig als Stoffaustauschapparate eingesetzt. Dabei wird, wie Abb. 3.37 zeigt, im Allgemeinen am Kopf der Kolonne ein Fl¨ ussigkeitsgemisch aufgegeben, dem ein Gas anderer Zusammensetzung entgegenstr¨ omt. Durch Stoffaustausch gehen eine oder mehrere Komponenten von der Gas- in die Fl¨ ussigphase u ¨ ber und umgekehrt. Auf diese Weise k¨ onnen beispielsweise Schadstoffe aus einem Gas durch eine herabrieselnde Waschfl¨ ussigkeit aufgenommen werden. Die Bemessung derartiger Apparate ist Gegenstand der thermischen Verfahrenstechnik. Dazu ben¨ otigt man jedoch Grundlagen des W¨ arme- und Stoffaustausches, die im Folgenden er¨ ortert werden sollen. Zur Charakterisierung des Str¨ omungsraumes innerhalb einer Sch¨ uttung betrachten wir zun¨ achst eine Packung aus gleich großen Kugeln vom Durchaßiger Parameter zur Beschreibung der Packung ist messer dP . Ein zweckm¨ der Hohlraumvolumenanteil oder L¨ uckengrad ε = VG /V ,

(3.262)

gebildet mit dem von Gas gef¨ ullten Hohlraumvolumen VG und dem Gesamtvolumen V = VG + VS . Darin berechnet sich das Festk¨ orpervolumen VS aus dem Volumen VP der Einzelpartikel und deren Anzahl n, VS = nVP . Es ist daher auch

Abb. 3.36: Haufwerk aus Partikeln verschiedener Gr¨ oße

Abb. 3.37: F¨ ullk¨ orperkolonne im Gegenstrombetrieb

412

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

VS nVP = =1−ε V V oder die Zahl der Partikel je Volumeneinheit nV =

1−ε n = . V VP

(3.263)

Sie liegt demnach fest, wenn man den L¨ uckengrad und das Volumen eines Partikels kennt. Die beiden Gr¨ oßen L¨ uckengrad ε und Partikeldurchmesser dP reichen jedoch nicht aus, um die Str¨ omung und damit auch den W¨arme- und Stoff¨ ubergang eindeutig zu beschreiben; denn stellt man sich beispielsweise gem¨aß Abb. 3.38a eine kubische Packung aus hintereinander liegenden gleich großen Kugeln vor, so kann das Fluid durch die Gassen zwischen den Kugeln str¨omen. In einer ungeordneten Sch¨ uttung gleichen L¨ uckengrades und aus Kugeln glei-

Abb. 3.38: Sch¨ uttungen aus Kugeln gleicher Gr¨ oße und von gleichem L¨ uckengrad a kubische Packung b ungeordnete Packung

chen Durchmessers k¨ onnen die Gassen, wie Abb. 3.38b zeigt, jedoch teilweise blockiert und die Durchstr¨ omung an einigen Stellen st¨arker behindert sein als an anderen. Trotz gleicher Werte von L¨ uckengrad und Partikeldurchmesser ergeben sich also verschiedene Str¨ omungsbilder. Wenn man dennoch Str¨omung, W¨ arme- und Stoff¨ ubergang durch die beiden Parameter ε und dP recht gut beschreiben kann, so wohl nur deshalb, weil sich in hinreichend großen Sch¨ uttungen im statistischen Mittel ein Ausgleich einstellt. Die spezifische Oberfl¨ ache aP von Partikeln beliebiger Gestalt ist definiert durch aP = nAP /V (3.264) (SI-Einheit m2 /m3 ), worin AP die Oberfl¨ ache eines einzelnen Partikels ist. Die spezifische Oberfl¨ ache aP ist eine charakteristische Eigenschaft des Sch¨ uttguts. F¨ ur F¨ ullk¨ orper verschiedener Form und Gestalt ist f¨ ur nAP die Summe der einzelnen Partikeloberfl¨ achen im Volumen V einzusetzen. Weiter ist mit (3.263) AP nAP = (1 − ε) , (3.265) aP = V VP worin AP /VP die spezifische Oberfl¨ ache eines Einzelpartikels ist. Sie ist f¨ ur kugelf¨ ormige Partikel gleich 6/d, so dass hierf¨ ur aP =

6 (1 − ε) d

(3.266)

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

413

gilt. Hierzu ein Beispiel: Eine kubische Kugelpackung, Abb. 3.38a, mit z Kugeln je Reihe und r Reihen hinter- und u ¨ bereinander besitzt das Volumen V = (zd)(rd)(rd) = uckengrad zr 2 d3 . Das Volumen aller Kugeln ist VS = nd3 π/6 = zr 2 d3 π/6, und der L¨ ε=1−

VS π = 1 − = 0,476 . V 6

Eine regellose Kugelsch¨ uttung hat einen L¨ uckengrad ε ≈ 0,4. Ihre spezifische Oberfl¨ ache ist nach (3.266) daher aP ≈ 3,6/d. Kugeln von 1 cm Durchmesser in unregelm¨ aßiger Anordnung haben somit bereits eine spezifische Oberfl¨ ache aP ≈ ur die Zahl der Partikeln je Volumenein360m2 /m3 . Nach (3.263) ergibt sich hierf¨ ormigen Partikeln von 100 μm heit zu nV ≈ 1,15 · 106 /m3 . Ein Pulver aus kugelf¨ ergibt bereits aP ≈ 3,6 · 104 m2 /m3 und nV ≈ 1,15 · 1012 /m3 . Diese Zahlen belegen eindrucksvoll, dass die f¨ ur den W¨ arme- und Stoffaustausch zur Verf¨ ugung stehende Oberfl¨ ache in Sch¨ uttungen ungew¨ ohnlich groß sein kann.

In einer durchstr¨ omenden Sch¨ uttung wachsen W¨arme¨ ubergangskoeffizienten in den ersten Reihen der Packung rasch an und erreichen dann feste Endwerte wie Gillespie et al. [3.39] am Beispiel des W¨arme¨ ubergangs an eine ungeordnete Kugelsch¨ uttung zeigten. Die Endwerte der Nußelt-Zahl sind infolge der h¨ aufigen Umlenkungen und Verwirbelungen der Str¨omung in einer Sch¨ uttung deutlich gr¨ oßer als die einer umstr¨ omten Einzelkugel. Entsprechendes w¨ urde man auch f¨ ur den Stoff¨ ubergang finden. Der Endwert der mittleren uttung und die mittlere Nußelt-Zahl N umK Nußelt-Zahl N um in einer Kugelsch¨ der umstr¨ omten Einzelkugel stehen jedoch, wie die Versuche zeigten, in einem bestimmten nur vom L¨ uckengrad abh¨ angigen Verh¨altnis zueinander. Es ist N um = fε N umK ,

(3.267)

worin fε ein nur vom L¨ uckengrad abh¨ angiger Anordnungsfaktor ist. Die mittlere Nußelt-Zahl f¨ ur eine u omte Kugel ist in 3.7.4, Nr.5, mitgeteilt. In ¨ berstr¨ ihr ist nun die Reynolds-Zahl mit der effektiven mittleren Geschwindigkeit weff = wm /ε zu bilden. Sie ergibt sich aus der Mengenbilanz wm A0 = weff AG zu weff = wm A0 /AG = wm /ε, worin A0 der Querschnitt der leeren Kolonne omte Querschnitt ist. und AG der vom Gas durchstr¨ Der Faktor fε l¨ asst sich im Bereich 0,26 < ε < 1 nach Schl¨ under [3.40] aus dem einfachen Ansatz (3.268) fε = 1 + 1,5(1 − ε) mit ausreichender Genauigkeit berechnen. Gl. (3.267) gilt auch f¨ ur Sch¨ uttungen aus nichtkugelf¨ ormigen Partikeln. Einige Anhaltswerte f¨ ur den Anordalt Tabelle 3.4. Die Werte gelten im Bereich 102 < Re < nungsfaktor fε enth¨ 104 , wenn man die Reynolds-Zahl mit der effektiven mittleren Geschwindigkeit weff = wm /ε und einem a ¨quivalenten Kugeldurchmesser dP bildet. Dieser berechnet sich aus der mittleren Partikeloberfl¨ache AmP = aP /nV

(3.269)

414

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

mit der spezifischen Oberfl¨ ache aP nach (3.264) und der Zahl nV der Partikel je Volumeneinheit nach (3.263) durch Vergleich mit einer Kugel gleicher Oberfl¨ ache zu  (3.270) dP = AmP /π . Den W¨ armestrom berechnet man in bekannter Weise aus Q˙ = αm nAP Δϑlog und der mittleren logarithmischen Temperaturdifferenz (3.214) Δϑlog = (ϑa − ϑe )/ ln

ϑ0 − ϑe , ϑ0 − ϑa

wenn ϑe die Eintritts-, ϑa die Austrittstemperatur des Fluids und ϑ0 die Oberfl¨ achentemperatur der Partikel ist. Tabelle 3.4: Anordnungsfaktor fε f¨ ur Sch¨ uttungen mit nichtkugelf¨ ormigen Partikeln Partikel

fε

u uft f¨ ur ¨ berpr¨

Zylinder, L¨ ange L, Durchmesser d

1,6

0,24 < L/d < 1,2

W¨ urfel

1,6

0,6 ≤ P r, Sc ≤ 1300

Raschigringe

2,1

P r = 0,7, Sc = 0,6

Berls¨ attel

2,3

Sc = 2,5

Die Gleichungen gelten in entsprechender Weise auch f¨ ur den Stoffaustausch. Man hat dann lediglich die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl und die Prandtl- durch die Schmidt-Zahl zu ersetzen. Voraussetzung f¨ ur die G¨ ultigkeit der Gleichungen sind jedoch hinreichend große Werte der P´eclet-Zahl > P e = ReP r ∼ 500 bis 1000, weil sonst die Str¨omung und damit auch der W¨ arme- und Stoff¨ ubergang ungleichm¨ aßig u ¨ber den Querschnitt verteilt sind; es kann sogar R¨ uckstr¨ omung einsetzen, so dass mittlere W¨arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten kleiner sein k¨ onnen als die am u ¨ berstr¨omten Einzelk¨ orper.

3.8.4 Poro ¨se Ko ¨rper Im Unterschied zum Haufwerk, das aus einer geordneten oder regellosen Anordnung von Einzelk¨ orpern verschiedener Form besteht, besitzen por¨ose

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

415

K¨ orper einen festen Grundk¨ orper, der von Hohlr¨aumen, den sogenannten Poren durchsetzt ist. In nat¨ urlichen por¨ osen K¨ orpern sind die Poren von unterschiedlicher Gr¨ oße und Gestalt und ungleichm¨aßig verteilt. Beispiele sind die menschliche Lunge, Holz, Kalkstein und anderes por¨oses Gestein. Wie im Haufwerk ist die Str¨ omung durch die Hohlr¨ aume sehr ungleichf¨ormig. Dennoch kann man wie beim Haufwerk die einzelnen Volumenelemente, die zwar klein im Vergleich zum gesamten Volumen des betrachteten K¨orpers sind, aber dennoch eine große Zahl von Poren enthalten, als Kontinuum behandeln. Jedes Volumenelement besteht dann aus hinreichend vielen Poren und einem Teilvolumen des festen Grundk¨ orpers. Jedem von beiden kann man dann einheitliche Mittelwerte der Zustandsgr¨ oßen zuordnen. Dadurch lassen sich Str¨ omung und W¨ arme¨ ubertragung, wie das schon bei der Behandlung des Haufwerks geschah, und ebenso auch die Stoff¨ ubertragung mit den bekannten Gleichungen der Impuls- W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung eines Kontinuums behandeln. Haufwerke und por¨ ose K¨ orper lassen sich somit hinsichtlich der W¨ arme- und Stoff¨ ubertragung auf dieselben Grundgleichungen der Kontinuumstheorie zur¨ uckf¨ uhren. Eine genauere Betrachtung von Str¨omung, W¨armeund Stoff¨ ubertragung in den einzelnen Poren w¨are nur mit statistischen Methoden m¨ oglich und wird durch die Annahme eines Kontinuums vermieden. 3.8.4.1 Str¨ omung und Impulsbilanz Die Impuls- oder Kr¨ aftebilanz durchstr¨ omter por¨oser K¨orper kann man durch das experimentell gut abgesicherte Gesetz von Darcy [3.41] ersetzen, das dieser bereits 1856 bei seinen Untersuchungen u ¨ ber die Wasserversorgung der Stadt Dijon durch Experimente ermittelte. Danach ist die mittlere Str¨omungsgeschwindigkeit u ¨ ber den Austrittsquerschnitt eines por¨osen K¨orpers proportional dem Druckabfall, den man dem K¨ orper aufpr¨agt. Sp¨atere Versuche zeigten, dass die mittlere Str¨ omungsgeschwindigkeit außerdem umgekehrt proportional zur dynamischen Viskosit¨ at η des Fluids ist. Nach Darcy gilt 

K ∂p , (3.271) − wi = η ∂xi wobei wi die mittlere Geschwindigkeit in Richtung der Achse i (x-, y- oder z-Achse) u omungsquerschnitt Ai des por¨osen K¨orpers ist. Sie ist ¨ ber einen Str¨ definiert durch  1 wi := wpi dApi , (3.272) Ai Api

wpi ist hierin die ¨ ortlich ver¨ anderliche Geschwindigkeit in den einzelnen Poren und Api deren Querschnitt in Richtung der Achse i. Bei geometrisch eindimensionaler Str¨ omung in Richtung der x-Achse gilt somit

416

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

wx =

  dp 1 wpx dApx . − = dx Ax

K η

(3.273)

Apx

Die Gr¨ oße K in (3.271) ist eine empirische Konstante und wird Permeabilit¨at genannt. Ihre SI-Einheit ist m2 . Einige Zahlenwerte findet man in der folgenden Tabelle 3.5. F¨ ur Kolonnen, gepackt mit Kugeln vom Durchmesser d und dem L¨ uckengrad ε ist nach Ergun [3.46] K=

d2 ε3 2

150 (1 − ε)

.

(3.274)

Wie Versuche zeigten [3.47], gilt das Darcysche Gesetz solange die mit K 1/2 gebildete Reynolds-Zahl ReK = wi K 1/2 /ν kleiner als etwa 1 ist. Eine Erweiterung des Darcyschen Gesetzes, die u ¨ ber einen weiten Bereich der Reynolds-Zahlen, n¨ amlich 0,1 ≤ ReK ≤ 100, experimentell u uft wurde [3.47], ist das Gesetz von Forchheimer [3.48] ¨ berpr¨ −

η c∗F dp = wi + 1/2 F wi |wi | dxi K K

(3.275)

uttungen wird der Wert c∗F auch von den ¨außeren Abmesmit c∗F = 0,55. In Sch¨ sungen der Sch¨ uttung beeinflusst. Nach Versuchen von Beavers et al. [3.48] wird dies ber¨ ucksichtigt durch c∗F = 0,55 (l − 5,5 d/deq ), worin d der Durchmesser der Kugeln in einer Sch¨ uttung und deq der ¨aquivalente Durchmesser des Sch¨ uttbetts ist: Tabelle 3.5: Permeabilit¨ at, L¨ uckengrad und Korngr¨ oße por¨ oser Stoffe nach [3.42– 3.45]

Stoff

Permeabilit¨ at K m2

L¨ uckengrad ε

Kalkstein

2 · 10−15 − 4,5 · 10−14

0,04 − 0,1

Sand

2 · 10−11 − 1,8 · 10−10

0,37 − 0,5

¨ Sandstein (Olsand) Ton Schwemmsand (Schlick) Leder

−16

5 · 10

−18

10

−16

10

−12

− 3 · 10

− 10

−12

− 10

9,5 · 10

0,05 − 2

0,08 − 0,38

−15

−14

Korngr¨ oße mm

−13

− 1,2 · 10

0,4 − 0,7

< 0,002

0,35 − 0,5

0,002 − 0,05

0,56 − 0,59

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

deq =

417

2 dB H . dB + H

Hierin sind dB der Durchmesser und H die H¨ ohe des Sch¨ uttbetts. Das Gesetz von Forchheimer (3.273) l¨ asst sich f¨ ur eine Str¨omung in Richtung der x-Achse auch darstellen durch den Widerstandsbeiwert

 K 1/2 dp 1 ζK := + 0,55 (3.276) − = 2 F wx dx ReK mit der Reynolds-Zahl ReK = wx K 1/2 /ν, w¨ ahrend sich das Darcysche Gesetz (3.271) auf die Form

 K 1/2 dp 1 ζK := (3.277) − = F wx2 dx ReK bringen l¨ asst.

Abb. 3.39: Widerstandsbeiwert bei eindimensionaler Str¨ omung durch einen isothermen, ges¨ attigten por¨ osen K¨ orper nach Ward [3.47]

Abb. 3.39 zeigt den Verlauf des Widerstandsbeiwerts ζK u ¨ ber der ReynoldsZahl ReK bei eindimensionaler Str¨ omung durch einen isothermen ges¨attigten por¨ osen K¨ orper. Eingetragen sind die Messwerte aus einer Arbeit von Ward [3.47]. Man erkennt, dass das Darcysche Gesetz nur bei kleinen ReynoldsZahlen gilt und dass bei großen Reynolds-Zahlen der quadratische Term in

418

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

der Forchheimer-Gleichung u ¨ berwiegt. Die Str¨omung ist bei großen ReynoldsZahlen in den Poren zwar immer noch laminar. Es u ¨berwiegt jedoch der Formwiderstand, den die Str¨ omung auf ihrem Weg durch die verwinkelten Poren u ¨ berwinden muss. Beispiel 3.12: Einem Sandbeh¨ alter von d = 0,35 m Durchmesser wird von zugef¨ uhrt. Wieviel Wasser verl¨ asst den nach oben st¨ andig Wasser von 10 unten offenen Beh¨ alter? Die Permeabilit¨ at der Sandschicht sei K = 10−10 m2 , die dynamische Viskosit¨ at des Wassers ist ηF = 1, 3 · 10−3 Pa · s, die Dichte 3 3 F = 10 kg/m . Da das Druckgef¨ alle nur durch die Schwerkraft zustande kommt, ist dp = −F g . dx Mit (3.271) erh¨ alt man « „ K dp K 10−10 0,352 π m3 ˙ A= , − V = wx A = F g A = · 103 · 9,81 · −3 ηF dx ηF 1,3 · 10 4 s also

V˙ = 7,26 · 10−5 m3 /s = 4,36 dm3 /min .

Anmerkung: Mit der Forchheimer-Gleichung (3.273) erh¨ alt man fast denselben Volumenstrom V˙ = 7,23 · 10−5 m3 /s = 4,34 dm3 /min.

3.8.4.2 Energiebilanz Wir betrachten einen por¨ osen K¨ orper, durch dessen Poren ein Fluid in Richtung der x-Achse str¨ omt, w¨ ahrend W¨ armeleitung nur in y-Richtung stattfinden soll. Das Fluid sei inkompressibel und habe die konstante W¨armeleitf¨ahigkeit λF . Aus der Energiegleichung (3.95) folgt dann  F cF

dϑF ∂ 2 ϑF = λF +φ dt ∂y 2

mit

∂ ϑF ∂ ϑF dϑF = + wpx . dt ∂t ∂x

Integration u ¨ ber einen Porenquerschnitt Apx ergibt unter der Annahme, dass die Temperatur sich u ¨ ber den Querschnitt so wenig ¨andert, dass wir sie als konstant ansehen k¨ onnen,

 F cF

∂ ϑF ∂ ϑF Apx + F cF ∂t ∂x



Apx

wpx dApx = λF

∂ 2 ϑF Apx + ∂y 2

 φ dApx . (3.278)

Apx

An dem Volumenelement ΔV greife eine Volumenkraft fx , SI-Einheit N/m3 , an. W¨ urde nur die Schwerkraft angreifen, so w¨are fx = gx = 0, wenn die yAchse senkrecht nach oben zeigt. Da keine technische Arbeit verrichtet wird, ist 2 dwpx /2 dx ˙ diss + F ΔV ˙ t = 0 = ΔV dp + W − F ΔV fx . W dt dt dt

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

419

In den engen Poren-Kan¨ alen ist die Str¨ omung hydrodynamisch ausgebildet,  2 d wpx /2 /dt = 0. Man erh¨ alt daher die dissipierte Leistung je Volumeneinheit zu ˙ diss W dp =− + F fx wx . φ= ΔV dt Einsetzen in (3.278) ergibt unter Beachtung von (3.272) und mit dp/dt = wx ∂ p/∂x  F cF

∂ ϑF ∂ ϑF ∂ 2 ϑF dp Apx + F cF wx Ax = λF Apx − wx Ax + F fx wx Ax . ∂t ∂x ∂y 2 dx

F¨ ur einen por¨ osen K¨ orper ist der L¨ uckengrad definiert durch ε=

Apx Δx Apx VP = = , V Ax Δx Ax

wobei VP das Porenvolumen bedeutet. Damit lautet die Energiebilanz des durch die Poren str¨ omenden Fluids εF cF

∂ ϑF ∂ ϑF ∂ 2 ϑF dp + F cF wx = ελF + F fx wx . − wx ∂t ∂x ∂y 2 dx

(3.279)

Entsprechend erh¨ alt man f¨ ur die geometrisch dreidimensionale Str¨omung εF cF

∂ ϑF ∂ ϑF ∂ 2 ϑF dp + F cF wi = ελF − wi + F fi wi . ∂t ∂xi ∂xi 2 dxi

(3.280)

Wirkt als Volumenkraft nur die Schwerkraft, so ist fi = gi mit den Komponenten (0, -g, 0), wenn die y-Achse senkrecht nach oben zeigt. Der por¨ ose Feststoff nimmt den Volumenanteil 1 − ε ein. F¨ ur ihn gilt bei geometrisch eindimensionaler W¨ armeleitung in y-Richtung (1 − ε)S cS

∂ ϑS ∂ 2 ϑS = (1 − ε)λS + (1 − ε)φS . ∂t ∂y 2

(3.281)

armequellen im por¨osen Feststoff. φS ist hierin die Leistungsdichte von W¨ Addition von (3.279) und (3.281) unter der Annahme, dass in einem Volumenelement des por¨ osen K¨ orpers die Temperaturen in Feststoff und Fluid gleich sind, ϑS = ϑF = ϑ, ergibt ∂ϑ ∂ϑ + F cF wx = ∂t ∂x

 ∂2ϑ dp [ελF + (1 − ε)λS ] 2 + (1 − ε)φS + wx − + F f x . ∂y dx

[εF cF + (1 − ε)S cS ]

Mit den Abk¨ urzungen σ ∗ :=

εF cF + (1 − ε)S cS εF cF

420

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

und λeff := ελF + (1 − ε)λS sowie φ∗S := (1 − ε)φS erh¨alt man als Energiebilanz



  ∂ϑ ∂2ϑ dp ∗ ∂ϑ ∗ + wx + F f x  F cF σ . (3.282) = λeff 2 + φS + wx − ∂t ∂x ∂y dx F¨ ur ein Fluid, auf das außer dem aufgepr¨agten Druckgef¨alle zus¨atzlich noch eine Volumenkraft fx wirkt, gilt anstelle von (3.271) 

K dp wx = + F f x . (3.283) − η dx F¨ ur dieses Fluid lautet daher (3.282)

 ∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ w2 η + wx  F cF σ ∗ = λeff 2 + φ∗S + x . ∂t ∂x ∂y K

(3.284)

Eine entsprechende Ableitung f¨ ur die geometrisch dreidimensionale Str¨omung ergibt

 ∂ϑ ∂ϑ ∂2ϑ w2 η + wi (3.285)  F cF σ ∗ + φ∗S + i . = λeff 2 ∂t ∂xi ∂xi K Im station¨ aren Fall, ∂ ϑ/∂t = 0 und bei geometrisch eindimensionaler Str¨omung konstanter Geschwindigkeit wx vereinfacht sich (3.284), wenn wir darin τ := x/wx setzen, zu  F cF

∂ϑ ∂2ϑ w2 η = λeff 2 + φ∗S + x . ∂τ ∂y K

(3.284a)

Diese parabolische Differentialgleichung hat die Form der bekannten W¨armeleitungsgleichung mit W¨ armequellen f¨ ur geometrisch eindimensionalen W¨armefluss in y-Richtung, vgl. (2.11). Dabei entspricht die transformierte x-Koordinate τ := x/wx der Zeit t in (2.11). Zahlreiche L¨ osungen dieser Gleichung, besonders f¨ ur φ∗S = 0 und wx2 η/K = 0, findet man bei Nield und Bejan [3.49, 3.50]. Beispiel 3.13: Wir behandeln den station¨ aren W¨ arme¨ ubergang von einer beheizten ebenen Platte an einen por¨ osen K¨ orper, der sich von y=0 bis y → ∞ erstreckt und der von einem Fluid mit konstanter Geschwindigkeit wx = w∞ durchstr¨ omt wird, Abb. 3.40. Am Plattenanfang habe das Fluid die Temperaosen K¨ orper tur ϑ∞ < ϑ0 , wenn ϑ0 die konstante Temperatur der an den por¨ grenzenden Plattenoberfl¨ ache ist. Da es sich um eine station¨ ares Problem handelt, ∂ ϑ/∂t = 0, und keine W¨ armequellen im Festk¨ orper vorhanden sein sollen, φ∗S = 0, vereinfacht sich (3.284) zu w2 η ∂ϑ ∂2ϑ = λeff 2 + ∞ F cF w∞ ∂x ∂y K

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

421

Abb. 3.40: W¨ arme¨ ubertragung von einer ebenen Wand an einen parallel zur Wand durchstr¨ omten por¨ osen K¨ orper mit den Randbedingungen ϑ(x = 0, y) = ϑ∞ ,

ϑ(x, y = 0) = ϑ0

und

∂ ϑ(x, y → ∞) =0 ∂y

Die Randbedingung ∂ ϑ(x, y → ∞)/∂y = 0 besagt, dass sich in hinreichend großem Wandabstand die W¨ armezufuhr von der Wand nicht mehr bemerkbar macht. Dennoch steigt die Temperatur infolge der Reibung mit dem Str¨ omungsweg noch weiter an. Wir f¨ uhren dimensionslose Gr¨ oßen ein: ϑ+ :=

ϑ − ϑ∞ , ϑ0 − ϑ∞

y + :=

y , L

x+ :=

aF x F cF

worin aF = λeff /F cF die Temperaturleitf¨ ahigkeit und L eine charakteristische L¨ ange ist. W¨ ahlt man „ «1/2 λeff (ϑ0 − ϑ∞ ) K , L := 2 η w∞ so erh¨ alt man die einfache partielle Differentialgleichung ∂ ϑ+ ∂ 2 ϑ+ = +1 . + ∂x ∂y + 2

(3.286)

Die Randbedingungen sind ` ´ ϑ+ x+ = 0, y + = 0,

´ ` ϑ+ x+ , y + = 0 = 1

und

´ ` ∂ ϑ+ x+ , y + → ∞ =0 . ∂y +

Die L¨ osung von (3.286), welche den Randbedingungen gen¨ ugt, lautet: ! r « „ 2 y+ −y + y+ x+ + + + + erfc √ exp +y ϑ = x + 1−x − . 2 π 4x+ 2 x+

(3.287)

422

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Aus der Definition des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten ergibt sich die ¨ ortliche Nußelt-Zahl zu „ +« αx x ∂ϑ =− . N ux = λeff L ∂y + y + =0 ´ ` Den Temperaturanstieg ∂ϑ+ /∂y + y + =0 an der Wand findet man aus (3.287) und damit die o ¨rtliche Nußelt-Zahl zu „ « √ 1 αx 1 x √ N ux = . = √ − 2 x+ λeff πL x+ Hierin ist x x √ = L L x+ und

x x√ + x = L L

„

„

w∞ L2 aF x

aF x w∞ L2

„

«1/2 =

«1/2 =

x2 L2

„

w∞ x aF

aF w∞ x

«1/2 = P e1/2 x

«1/2 =

x2 P e−1/2 . x L2

Nach Einsetzen der charakteristischen L¨ ange L erh¨ alt man hieraus mit νF = η/F √ νF a F x x+ = . P e3/2 x L cF (ϑ0 − ϑ∞ ) K Somit wird die ¨ ortliche Nußelt-Zahl „ « αx 1 νF a F 3/2 = √ − 2 P e1/2 N ux = P e . (3.288) x x λeff cF (ϑ0 − ϑ∞ ) K π √ 1/2 ortlichen Nußelt-Zahl Der erste Term (1/ π) P ex = (N ux )konv ist gleich der ¨ einer reibungsfrei l¨ angs angestr¨ omten ebenen Platte, siehe auch (3.196a) f¨ ur P r → 0. Der zweite Term gibt den Einfluss der Reibung auf die Nußelt-Zahl wieder. Er verschwindet bei reibungsfreier Str¨ omung, denn dann geht K → ∞, siehe hierzu auch (3.284). Wie man aus (3.288) findet, ist der Reibungs- gegen¨ uber den Konvektionsanteil vernachl¨ assigbar, wenn P ex

1 cF |ϑ0 − ϑ∞ | K 2 νF a F

ist. Dass dies nur bei sehr kleinen Geschwindigkeiten w∞ der Fall sein kann, zeigt das folgende Beispiel. durchstr¨ omt. Ihr L¨ uckengrad sei Eine Tonschicht werde von Wasser von 20 ε = 0,3, die Permeabilit¨ at K = 6,6 · 10−12 m2 . Die Stoffwerte des Wassers sind F = 998 kg/m3 , cF = 4, 181 · 103 J/kg K, λF = 0,598 W/K m und νF = alt man λeff = 1,089 W/K m 1,004 · 10−6 m2 /s. Mit λS = 1,3 W/K m erh¨ und aF = λeff /F cF = 2,61 · 10−7 m2 /s. Somit kann man den Reibungsanteil gegen¨ uber dem Konvektionsanteil vernachl¨ assigen, wenn P ex 5,265 · 104 |ϑ0 − ϑ∞ | ist. Wie man hieraus erkennt, spielt die Reibung nur bei kleinen Temperaturdifferenzen ϑ0 − ϑ∞ eine Rolle. Bei verschwindender Temperaturdifferenz ϑ0 − ϑ∞ sorgt allein der Reibungsanteil f¨ ur eine W¨ arme¨ ubertragung. Die Aufheizung ist jedoch gering wegen der kleinen Geschwindigkeiten in por¨ osen K¨ orpern.

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten Die ¨ ubertragene W¨ armestromdichte erh¨ alt man aus (3.288) zu „ « λeff νF aF 3/2 P e1/2 P ex . q˙ = α (ϑ0 − ϑ∞ ) = √ x (ϑ0 − ϑ∞ ) − 2 cF K x π

423

(3.289)

Man kann drei F¨ alle unterscheiden: a) Ist ϑ0 = ϑ∞ , so wird die u armestromdichte ¨ bertragene W¨ q˙ = −

λeff 2 νF aF 3/2 √ P ex . x π cF K

Sie ist zur Wand hin gerichtet, daher das negative Vorzeichen. arme durch Konvektion und Leitung von der Wand b) Ist ϑ0 > ϑ∞ , so wird W¨ an den por¨ osen K¨ orper u armt sich dieser durch Dis¨ bertragen, gleichzeitig w¨ sipation im Fluid auf, was einen W¨ armefluss vom por¨ osen K¨ orper zur Wand zur Folge hat. Bei kleinen P´eclet-Zahlen u armestrom von der ¨berwiegt der W¨ Wand an den por¨ osen K¨ orper, bei großen P´eclet-Zahlen dagegen der vom por¨ osen K¨ orper zur Wand. Bei der P´eclet-Zahl P ex =

cF (ϑ0 − ϑ∞ ) K 2 νF a F

heben sich die beiden W¨ armestr¨ ome gerade auf. Es wird keine W¨ arme u ¨bertragen. arme durch Konvektion und Leitung an die Wand c) Ist ϑ0 < ϑ∞ , so wird W¨ u armestrom fließt zur ¨ bertragen. Auch der durch Dissipation erzeugte W¨ Wand hin.

3.8.4.3 W¨ arme¨ ubertragung in durchstr¨ omten Kan¨ alen Wir behandeln die W¨ arme¨ ubertragung bei erzwungener Str¨omung in Kan¨alen, die mit einem por¨ osen Stoff gef¨ ullt sind. Als einfachsten Fall untersuchen wir zuerst die W¨ arme¨ ubertragung in einem Kanal, der von zwei planparallelen unendlich ausgedehnten Platten begrenzt wird. Anschließend untersuchen wir die W¨ arme¨ ubertragung in einem zylindrischen Kanal. In beiden F¨allen gelte das Darcysche Gesetz, wonach die Geschwindigkeit wx u ¨ber den Kanalquerschnitt konstant ist. Wie in Abb. 3.41 dargestellt, habe das Fluid im Eintrittsquerschnitt des Kanals die Temperatur ϑα . An die Umgebung der Temperatur werde W¨ arme durch Konvektion mit dem W¨arme¨ ubergangskoeffizienten α u ar, ∂ϑ/∂t = 0. Durch Reibung in den en¨ bertragen. Das Problem ist station¨ gen Poren wird Energie dissipiert, die wir als Quellterm in der Energiebilanz ber¨ ucksichtigen. In diesem Fall geht (3.285) u ¨ ber in

2  ∂ ϑ ∂ϑ n ∂ϑ w2 η = λeff (3.290) + F cF wx + x 2 ∂x ∂r V ∂r K mit n = 0 f¨ ur den durchstr¨ omten Kanal und n = 1 f¨ ur das durchstr¨omte Rohr.

424

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.41: W¨ arme¨ ubertragung an einen por¨ osen K¨ orper in einem zylindrischen Kanal

Die Randbedingungen lauten x = 0 : ϑ (r) = ϑα r = 0 : ∂ϑ/∂r = 0 r = R : −λ

∂ϑ = α (ϑ − ϑU ) . ∂r

(3.291)

Man kann sich hier die Frage stellen, ob man angesichts der geringen Str¨omungsgeschwindigkeiten in den engen Poren u ¨ berhaupt die dissipierte Energie ber¨ ucksichtigen muss. Dass sie besonders dann nicht vernachl¨assigbar ist, wenn Gase durch den por¨ osen K¨ orper str¨ omen, sieht man ein, wenn man absch¨ atzt, wie groß der Temperaturanstieg ∂ϑD /∂x mit der Laufl¨ange infolge Dissipation ist. Nach (3.290) ist F cF wx

w2 η ∂ϑD ≈ x ∂x K

oder umgeformt mit (3.273) ∂ϑD ∂p 1 ≈− . ∂x ∂x F cF ¨ Presst man beispielsweise Luft mit einem Uberdruck von 0, 02 MPa durch eine 1 m dicke por¨ ose Schicht, so erh¨ alt man ∂ϑD N 1 ≈ 0, 02 · 106 2 = 16, 26 K/m . ∂x m 1 m · 1, 23 kg/m3 · 103 J/kg K Einen solchen Temperaturanstieg wird man nicht vernachl¨assigen. W¨ urde man hingegen Wasser unter gleichen Bedingungen durch die por¨ose Schicht pressen, so erhielte man wegen dessen sehr viel gr¨oßerer Dichte und W¨ armekapazit¨ at nur einen vernachl¨ assigbar geringen Temperaturanstieg durch Dissipation ∂ϑD N 1 ≈ 0, 02 · 106 2 = 5 · 10−3 K/m . ∂x m 1 m · 103 kg/m3 · 4 · 103 J/kg K

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

425

¨ Wie diese Uberlegungen jedoch zeigen, kann Dissipation durchaus von Bedeutung sein. Wir wollen sie daher im Folgenden nicht vernachl¨assigen. In die W¨ armeleitungsgleichung (3.290) f¨ uhren wir dimensionslose Gr¨oßen ein: ϑ+ :=

ϑ − ϑU ; ϑα − ϑU

x+ :=

P reff :=

ν ; aeff

x aeff λeff mit aeff = ; wx R2  F cF Φ+ =

r+ :=

r ; R

wx2 R2 P reff . cF K (ϑα − ϑU )

Damit geht (3.290) u ¨ ber in ∂ 2 ϑ+ n ∂ϑ+ ∂ϑ+ = + + Φ+ . ∂x+ ∂r+2 r+ ∂r+

(3.292)

Die Randbedingungen lauten   x+ = 0 : ϑ+ r+ = 1 r+ = 0 : ∂ϑ+ /∂r+ = 0 r+ = 1 : −

∂ϑ+ = Bi ϑ+ . ∂r+

(3.293)

Wir behandeln zuerst den ebenen Kanal, n = 0. Zur L¨ osung von (3.292) w¨ ahlen wir wie schon in Kapitel 3.2.4.2 einen Produktansatz, hier in der Form 

      1−r+2 ϑ+ r+, x+ = F r+ G x+ + Φ+ + const , (3.294) 2 worin const eine noch offene Konstante ist, die sich durch Anpassen an die Randbedingungen noch ergeben wird. Mit Hilfe des Produktansatzes wird (3.292) u uhrt in ¨ berf¨   dG   d2 F F r+ = G x+ + +2 dx dr oder

1 dG d2 F 1 = . G (x+ ) dx+ F (r+ ) dr+2

Die Gleichheit beider Seiten ist nur m¨ oglich, wenn jede der Seiten gleich einer Konstanten μ2 ist. Dadurch entstehen in bekannter Weise, s. Kap. 3.2.4.2, zwei gew¨ ohnliche Differentialgleichungen dG d2 F 1 1 2 = −μ und = −μ2 . G (x+ ) dx+ F (r+ ) dr+2

426

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die L¨ osung der ersten Gleichung lautet     G x+ = C0 exp −μ2 x+ , die der zweiten

    F r+ = C1 cos μ r+ .

Man erh¨ alt damit einen Temperaturverlauf +

ϑ



+

+

r ,x



    = C cos μ r+ exp −μ2 x+ + Φ+



 1−r+2 + const . (3.295) 2

Dieser erf¨ ullt bereits die Randbedingung f¨ ur r+ = 0: ∂ϑ+ /∂r+ = 0. Anpassen + + an die Randbedingung −∂ϑ /∂r = Bi ϑ+ an der Stelle r+ = 1 ergibt   & %   C μ sin (μ) exp −μ2 x+ + Φ+ = Bi C cos (μ) exp −μ2 x+ + Φ const . Da wir u ugen k¨onnen, setzen wir const = ¨ ber die Konstante const noch frei verf¨ 1/Bi. Die Eigenwerte μ m¨ ussen dann noch der Bestimmungsgleichung tan μ = Bi/μ

(3.296)

gen¨ ugen, die identisch mit der schon in Kapitel 2.3.4.3 gefundenen Gl. (2.170) ist. Als L¨ osung von (3.296) erh¨ alt man unendlich viele Eigenwerte. Die Summe ∞        ϑ+ r+, x+ = Ci cos μi r+ exp −μ2i x+ + Φ+ i=1



1−r+2 1 + 2 Bi

 (3.297)

ist somit allgemeine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (3.292). Sie gen¨ ugt allen Randbedingungen, außer der Anfangsbedingung ϑ+ (r+, x+ = 0) = 1. Um diese zu erf¨ ullen, muss gelten 1=

∞  i=1

  Ci cos μi r+ + Φ+



1−r+2 1 + 2 Bi

 .

Multiplikation dieser Gleichung mit cos (μj r+ ) und Integration zwischen den Grenzen r+ = 0 und r+ = 1 ergibt dann unter Beachtung der Orthogonalit¨ atsbedingung 1

    cos μi r+ cos μj r+ dr+ f¨ ur alle i = j ,

0

die in Kapitel 3.2.4.2 erl¨ autert wurde, die noch unbekannten Konstanten Ci zu 2 sin μi 2 sin μi . Ci = − Φ+ 2 μi + sin μi cos μi μi (μi + sin μi cos μi )

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

427

Mit (3.296) l¨ asst sich dies noch vereinfachen zu Ci = ci − Φ+

ci = ci + Φ+ di . μ2i

(3.298)

Es bedeutet ci =

1 2 sin μi 2 Bi = ; μi + sin μi cos μi Bi2 + Bi + μi cos μi

di = −

ci . μ2i

(3.299)

Damit l¨ asst sich die Temperaturverteilung ϑ+ (r+, x+ ) nach (3.297) in zwei Terme aufspalten ∞  + +      ϑ r ,x = ci cos μi r+ exp −μ2i x+ + +

i=1

34 + + (r ,x ) ϑ+ I

2

+

+Φ 2

5

∞    2 +  1 1−r+2 + + + di cos μi r exp −μi x . (3.300) 2 Bi i=1 34 5 + + + ϑII (r , x )

+ + Der erste Term ϑ+ I (r , x ) beschreibt den Temperaturverlauf bei verschwindender Dissipation, und ist identisch mit (2.171), wenn man dort die dimensionslose  Zeit t+ = a t/R2 durch die dimensionslose Ortskoordinate + + x+ = x aeff / wx R2 ersetzt. Der zweite Term ϑ+ II (r , x ) gibt den Einfluss der Dissipation auf den Temperaturverlauf wieder. Die dimensionslose Mitteltemperatur

1 ϑ+ m =

ϑ+ dr+ 0

erh¨ alt man durch die Integration von (3.300) zu ϑ+ m =

∞ 

ci

i=1

  sin μi exp −μ2i x+ + μi

+

+Φ

∞   2 + 1 sin μi 1 + + . di exp −μ x 4 Bi i=1 μi

(3.301)

F¨ ur gen¨ ugend große Werte x+ gen¨ ugt das erste Glied der Reihen von (3.300) und (3.294) zur Berechnung des Temperaturverlaufs. Man erh¨alt aus (3.300)  + +     = c cos μ r+ exp −μ2 x+ + ϑ+ 1 r ,x       1−r+2 1 + + d cos μ r+ exp −μ2 x+ + Φ+ . (3.302) 2 Bi

428

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Der erste Eigenwert μ = μ1 h¨ angt ebenso wie die Gr¨oßen c = c1 und d = d1 von der Biot-Zahl Bi = α R/λ ab. Tabelle 2.6 enth¨alt bereits μ1 als L¨osung von (3.296) und c1 als L¨ osung von (3.299). Werte f¨ ur d1 = d findet man, indem man nach (3.299) die Werte c1 der Tabelle 2.6 mit −2/μ2 multipliziert. F¨ ur das durchstr¨omte Rohr gilt Gl. (3.292) mit n = 1. Der Produktansatz (3.294) f¨ uhrt nun auf einen Temperaturverlauf 

     2 + 1−r+2 + + + + + + const , (3.303) ϑ r , x = C J0 μi r exp −μi x + Φ 2 mit der Besselfunktion J0 . Der Ansatz erf¨ ullt bereits die Randbedingung (∂ϑ+ /∂r+ ) = 0 an der Stelle r+ = 0. Anpassen an die Randbedingung − (∂ϑ+ /∂r+ ) = Bi ϑ+ an der Stelle r+ = 1 ergibt    %  & C μ J1 (μ) exp −μ2 x+ + Φ+ = Bi C J0 (μ) exp −μ2 x+ + Φ+ const . Setzt man const = 1/Bi, so erh¨ alt man die Bestimmungsgleichung f¨ ur die Eigenwerte μ Ji (μ) = Bi J0 (μ) , (3.304) die mit (2.177) u osung von (3.303) erh¨alt man wieder ¨bereinstimmt. Als L¨ unendlich viele Eigenwerte. Die Summe ∞        ϑ r+, x+ = Ci J0 μi r+ exp −μ2i x+ + Φ+ +

i=1



1−r+2 1 + 2 Bi

 (3.305)

ist daher allgemeine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung (3.292) f¨ ur n = 1. Die Konstanten Ci findet man durch Anpassen an die Anfangsbedingung ϑ+ (r+, x+ = 0) = 1 zu Ci = ci + Φ+ di . (3.306) Es bedeuten 2 2 Ji (μi ) 2 Bi   und di = −ci 2 . % 2 2& = μi Bi2 + μ2i J0 (μi ) μi J0 (μi ) + J1 (μi ) (3.307) Wir spalten damit die Temperaturverteilung nach (3.305) in zwei Terme auf ci =

∞        ci J0 μi r+ exp −μ2i x+ + ϑ+ r+, x+ = i=1

2

+

+Φ 2

34 + + ϑ+ (r ,x ) I

5

∞     2 + 1 1−r+2 + + + di J0 μi r exp −μi x . (3.308) 2 Bi i=1 34 5 + + + ϑII (r , x )

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

429

+ + Der erste Term ϑ+ I (r , x ) beschreibt wie in (3.300) den Temperaturverlauf ohne Dissipation und ist identisch mit (2.178), wenn man dort die dimensionslose Zeit t+ = a t/R2 durch die dimensionslose Ortskoordinate + + x+ = x aeff / wx R2 ersetzt. Der zweite Term ϑ+ II (r , x ) beschreibt den Einfluss der Dissipation. Die dimensionslose Mitteltemperatur folgt aus

1 ϑ+ m

=2

  ϑ+ r+, x+ r+ dr+

0

zu ϑ+ m

  ∞  exp −μ2i x+ + = 4 Bi μ2 (Bi2 + μ2i ) i=1 i 2

+ Φ+

 2 + ∞  exp −μi x 1 1 + − 8 Bi2 . 4 (Bi2 + μ2 ) 4 Bi μ i i=1 i

(3.309)

F¨ ur große Werte x+ gen¨ ugt das erste Glied der Reihen aus (3.308)       + + ϑ+ = c exp −μ2 x+ J0 μ r+ 1 r ,x       1−r+2 1 + + d exp −μ2 x+ J0 μ r+ (3.310) + Φ+ . 2 Bi oßen c1 = c als Funktion der BiotDen ersten Eigenwert μ1 = μ sowie die Gr¨ Zahl Bi = α R/λ findet man in Tabelle 2.6, die Gr¨oßen d1 = d nach (3.307). Der zeitliche Temperaturverlauf l¨ angs der Achse r+ = 0 l¨asst sich nach + + (3.308) wiederum in zwei Anteile aufspalten, von denen der erste ϑ+ I (r = 0, x ) identisch ist mit dem Temperaturverlauf f¨ ur den Zylinder in Abb. 2.30, wenn + 2 = a t/r durch die dimensionslose Ortsman dort die dimensionslose Zeit t   + 2 koordinate x = x aeff / wx r ersetzt. + + + In Abb. 3.42 ist ϑ+ u ¨ ber x+ dargestellt. Wie das Bild II (r = 0, x ) /Φ zeigt, ist im vorderen Teil des por¨ osen K¨ orpers der Reibungsanteil gering. Er nimmt mit der Laufl¨ ange zu und n¨ ahert sich f¨ ur das durchstr¨omte Rohr ebenso wie f¨ ur den durchstr¨ omten ebenen Kanal asymptotisch dem Wert + + ϑ+ 1 1 II (r = 0, x → ∞) = + + Φ 2 Bi

f¨ ur Bi = 1 somit dem Wert 1,5, wie auch Abb. 3.42 zeigt.

430

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

+ + Abb. 3.42: Zeitlicher Temperaturanstieg ϑ+ infolge Dissipation entlang II (x )/Φ + ur Bi = αR/λ = 1, 0 der Achse r = 0 eines sehr langen Zylinders f¨

3.8.5 Wirbelschichten Wirbelschichten bestehen aus Feststoffpartikeln, die durch ein aufw¨arts str¨omendes Fluid im zeitlichen Mittel im Schwebezustand gehalten werden. Sie sind erstmalig im Winkler-Verfahren (DRP 437 970 vom 28. Sept. 1922) zur Kohlevergasung eingesetzt worden. Heute werden Wirbelschichtverfahren in vielf¨ altiger Weise genutzt: F¨ ur chemische Reaktionen, u.a. zum Mischen, Agglomerieren oder Trocknen von Feststoffen. Abb. 3.43 zeigt schematisch eine Gas-Feststoff-Wirbelschicht.

Abb. 3.43: Wirbelschicht

Um eine Wirbelschicht zu erzeugen, muss die Geschwindigkeit des aufw¨arts str¨ omenden Fluids gerade so groß sein, dass Kr¨aftegleichgewicht zwischen den

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

431

von der Str¨ omung ausge¨ ubten Kr¨ aften und dem Gewicht der Feststoffpartikel herrscht. Dann ist Δp = gH = [S (1 − ε) + F ε]gH ,

(3.311)

wenn H die H¨ ohe ist, welche die Feststoffpartikel in der S¨aule ausf¨ ullen, S die Dichte des Feststoffs und F die des Fluids. Da die Masse des Feststoffs konstant bleibt, unabh¨angig davon, wie hoch die Feststoffpartikel aufgewirbelt werden, gilt MS = S (1 − ε)A0 H = const und in einer S¨ aule konstanten Querschnitts S (1 − ε)H = const . Der L¨ uckengrad nimmt mit der H¨ ohe der Wirbelschicht zu. Andererseits ist in Gas-Feststoff-Wirbelschichten fast immer F S und daher auch Δp ∼ = S (1 − ε)gH = const . Der Druckabfall einer Wirbelschicht ist unabh¨angig von ihrer H¨ohe in guter N¨ aherung konstant. Um die Feststoffpartikel zum Schweben zu bringen, muss das Fluid eine bestimmte Mindestgeschwindigkeit, die sogenannte Lockerungsgeschwindigkeit wL , u ¨ berschreiten, wG ≥ wL . Diese ergibt sich mit Hilfe der im VDIW¨ armeatlas [3.51] mitgeteilten N¨ aherungsgleichung aus   (1 − εL ) ϕ3S ε3L wL dP ∼ 1/2 Ar) − 1 (3.312) ReL = (1 + 3,11 · 10−4 = 42,9 ν ϕS (1 − εL )2 mit der Archimedes-Zahl Ar als Verh¨ altnis von Auftriebs- zu Reibungskr¨aften Ar =

S − F d3P g F ν2

und der Sph¨arizit¨at definiert als ϕS =

Ober߬ ache einer Kugel gleichen Volumens wie die Partikel . Partikelober߬ ache

Zahlenwerte f¨ ur die Sph¨ arizit¨ at enth¨ alt der VDI-W¨armeatlas [3.51]; f¨ ur abuckengrad gerundeten Sand beispielsweise ist ϕS = 0,86. εL in (3.312) ist der L¨ am Lockerungspunkt. Bei Geschwindigkeiten oberhalb der Lockerungsgeschwindigkeit dehnt sich die Wirbelschicht aus. Ihre H¨ ohe und ihr L¨ uckengrad nehmen zu. FeststoffFl¨ ussigkeitssysteme dehnen sich mit zunehmender Fl¨ ussigkeitsgeschwindigkeit kontinuierlich aus, und die Feststoffpartikel sind homogen verteilt. In Feststoff-

432

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Gassystemen bilden sich innerhalb der Wirbelschicht Gasblasen, so dass ein heterogenes System entsteht. Die Fluidgeschwindigkeit bzw. die Reynolds-Zahl des Fluids und der L¨ uckengrad sind daher in Wirbelschichten im Gegensatz zu Festbetten nicht unabh¨ angig voneinander. Vielmehr nimmt der L¨ uckengrad vom Wert ε ∼ = 0,4 des Festbetts mit der Reynolds-Zahl bis zu einem Wert ε → 1 zu, der dann n¨ aherungsweise erreicht wird, wenn sich nur noch ein Einzelpartikel in einem großen Volumen befindet. W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten in einer Wirbelschicht liegen somit zwischen den Werten f¨ ur das Festbett und denen f¨ ur die Einzelpartikel. Den grunds¨ atzlichen Verlauf der Nußelt- bzw. der Sherwood-Zahl als Funktion der Reynolds-Zahl zeigt Abb. 3.44. Dort sind die Nußelt-Zahl N u = αdP /λ bzw. die Sherwood-Zahl Sh = βdP /D sowie die Reynolds-Zahl Re = wm dP /ν mit dem Partikeldurchmesser gebildet, der f¨ ur nichtkugelf¨ormige Partikel gleich dem ¨ aquivalenten Kugeldurchmesser nach (3.270) ist. In der Reynoldsuttung. Zahl ist wm die mittlere Geschwindigkeit in der leer gedachten Sch¨ Erh¨ oht man in einem Festbett die Reynolds-Zahl, so nehmen Nußelt- und Sherwood-Zahl entsprechend dem linken Ast der Kurve in Abb. 3.44 zu. Erreicht das aufw¨ arts str¨ omende Fluid die Lockerungsgeschwindigkeit wL und somit die Reynolds-Zahl den Wert ReL = wL dP /ν, Punkt a in Abb. 3.44, so bildet sich eine Wirbelschicht. Mit zunehmender Fluidgeschwindigkeit andern sich W¨ arme und Stoff¨ ubergangskoeffizienten nur wenig: Die Nußelt¨ und die Sherwood-Zahl sind nur schwach von der Reynolds-Zahl abh¨angig, entsprechend der leicht nach oben gew¨ olbten Kurve a b in Abb. 3.44. Nach Erreichen einer bestimmten Fluidgeschwindigkeit, gekennzeichnet durch Punkt b in Abb. 3.44, werden die Partikel nach oben ausgetragen. In Punkt b sind W¨ arme- und Stoff¨ ubergangkoeffizienten etwa gleich denen der umstr¨omten Einzelkugel vom Durchmesser dP . In einer homogenen (blasenfreien) Wirbelschicht ist die Geschwindigkeit, mit der die Partikel in Punkt b gerade ausgetragen werden, gleich der Fluidgeschwindigkeit. Punkte auf dem ansteigenden Ast der Kurve f¨ ur die umstr¨omte Einzelkugel rechts von Punkt b sind solche, bei denen die Fluidgeschwindigkeit gr¨ oßer als die Partikelgeschwindigkeit ist. Sie liegen im Bereich der pneumatischen F¨ orderung. Ein mit dem Fluid mitbewegter Beobachter hat bei Erreichen von Punkt b den Eindruck, als w¨ urden die Partikel zu sinken beginnen. Die Austragsgeschwindigkeit im Punkt b ist daher bei einer homogenen Wirbelschicht gleich der Sinkgeschwindigkeit wS eines Partikels in einem ruhenden Fluid. Diese berechnet sich aus der Gleichheit von Auftriebskraft FA und Widerstandskraft FW . Es ist d2 π w2 d3 π (3.313) FA = (S − F ) P g = FW = cw P F S . 6 4 2 Hieraus folgt der Widerstandsbeiwert zu

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

433

Abb. 3.44: W¨ armeund Stoff¨ ubertragung ¨ beim Ubergang vom Festbett zur Wirbelschicht

cw =

4 (S − F )dP g . 3 F wS2

(3.314)

Mit der Reynolds-Zahl ReS = wS dP /ν und der zuvor definierten ArchimedesZahl kann man f¨ ur den Widerstandsbeiwert auch schreiben cw =

4 Ar . 3 Re2S

(3.315)

omten Kugel von der ReynoldsDa der Widerstandsbeiwert cw einer umstr¨ Zahl abh¨ angt, l¨ asst sich nach (3.315) ein Zusammenhang zwischen der mit der Sinkgeschwindigkeit wS gebildeten Reynolds-Zahl und der ArchimedesZahl herleiten, ReS = f (Ar). F¨ ur die meisten Belange der Verfahrenstechnik interessiert der Bereich ReS ≤ 104 . Das Gebiet oberhalb ReS = 105 , in dem die laminare in die turbulente Grenzschicht umschl¨ agt, kann f¨ ur Aufgaben der Verfahrenstechnik meistens außer acht bleiben. Durch L¨ osen der Navier-Stokes-Gleichung bis Re = 80 und Vergleich mit Experimenten haben Brauer und Mitarbeiter [3.52] ur den Widerstandsbeiwert das bis Re = 104 sehr genaue empirische Gesetz f¨ gefunden 5,48 24 + + 0,36 . (3.316) cw = Re Re0,573 In dieses ist in unserem Fall Re = wS dP /ν = ReS einzusetzen. Es enth¨alt das f¨ ur kleine Reynolds-Zahlen 0 ≤ Re ≤ 1 g¨ ultige Stokessche Gesetz cw = 24/Re und erreicht an der Grenze des G¨ ultigkeitsbereichs Re = 104 den Wert cw = 0,39. Setzt man nun (3.316) in (3.315) ein, so erh¨alt man eine transzendente Gleichung der Form Ar (ReS ), aus der man bei vorgegebener ArchimedesZahl Ar die Reynolds-Zahl ReS durch Iteration entwickeln kann. Um den Rechenaufwand ohne nennenswerten Verlust an Genauigkeit zu vermindern, ultige N¨aherung ersetzt man (3.316) durch die im Bereich 0 ≤ Re ≤ 104 g¨ cw ∼ = 0,36 1 +



24 0,36Re

1/1,8 1,8 .

(3.317)

434

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Setzt man dies unter Beachtung von Re = ReS in (3.315) ein, so erh¨alt man einen expliziten Ausdruck f¨ ur die Reynolds-Zahl,

1,8

 1/1,8 1/2 Ar ReS ∼ −1 , = 19,14 1 + 12,84

(3.318)

g¨ ultig f¨ ur homogene Wirbelschichten im Bereich 0 ≤ ReS ≤ 104 oder 0 ≤ Ar ≤ 2,9 · 107 . F¨ ur heterogene Wirbelschichten, wie sie bei Durchstr¨omung mit Gasen auftreten, gilt ebenfalls (3.318) f¨ ur 0 ≤ ReS ≤ 1,2 · 102 oder 0 ≤ Ar ≤ 104 . Im dar¨ uber hinausgehenden Bereich ReS ≥ 1,2 · 102 oder Ar ≥ 104 gilt nach Reh [3.54] f¨ ur heterogene Wirbelschichten ReS ∼ =



4 Ar 3

1/2 .

(3.319)

Die nach (3.318) berechneten Reynolds-Zahlen weichen geringf¨ ugig von denen einer anderen, von Martin [3.53] mitgeteilten Gleichung ab, geben aber den Zusammenhang ReS (Ar), den man nach Einsetzen des genaueren Widerstandsgesetzes (3.316) von Brauer in die Gleichung (3.315) erh¨alt, etwas besser wieder. Der maximale Fehler in der Reynolds-Zahl nach der N¨aherungsgleichung (3.318) betr¨ agt rund 3,5 %. Mit Hilfe von (3.318) bzw. (3.319) kann man f¨ ur vorgegebene Archimedes-Zahlen die Reynolds-Zahl ReS im Austragspunkt b berechnen. Abb. 3.45 zeigt den Verlauf der W¨arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten in Wirbelschichten f¨ ur verschiedene Archimedes-Zahlen. Nach dem Vorschlag von Martin [3.53] ersetzt man nun die schwach gekr¨ ummte Kurve f¨ ur den W¨ arme- und Stoff¨ ubergang in einer Wirbelschicht durch die gestrichelte Waagerechte, Abb. 3.44 und 3.45. W¨ arme- und Stoff¨ ubergangskoeffizienten sind dort gleich denen der umstr¨ omten Einzelkugel, Punkt b in Abb. 3.44. Die hierf¨ ur g¨ ultige Gleichung entnimmt man nach Kapitel 3.7.4, Nr.5, worin als Reynolds-Zahl ReS nach (3.278) bzw. (3.279) einzusetzen ist. Abschließend noch einige Bemerkungen zur Energiebilanz f¨ ur einen Wirbelschichtreaktor. Der Temperaturverlauf in den Feststoffpartikeln wird, wie im Abschnitt u are W¨ armeleitung in Festk¨orpern dargelegt, maߨber instation¨ geblich durch die Biot-Zahl Bi = αdP /λs bestimmt. Sie ist das Verh¨altnis von W¨ armewiderstand im Feststoff zum W¨ armewiderstand im Gas. Wegen der kleinen Partikelabmessungen und der im Vergleich zum Gas guten W¨armeleitf¨ ahigkeit des Feststoffs kann man den W¨ armewiderstand der Partikel gegen¨ uber dem des Gases meistens vernachl¨ assigen, denn die Biot-Zahlen in ¨ Wirbelschichten sind sehr klein. Ortliche Temperaturver¨anderungen in den Partikeln sind daher vernachl¨ assigbar. Andererseits werden die Partikel in einer Wirbelschicht gut durchmischt, etwaige anf¨anglich vorhandene Temperaturunterschiede werden rasch abgebaut. Man kann daher den Partikeln einer Wirbelschicht eine einheitliche Temperatur zuordnen, wodurch sich die Energiebilanz erheblich vereinfacht.

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

435

Abb. 3.45: W¨ arme- und Stoff¨ ubergang Fluid/Partikel in der Wirbelschicht, nach Martin [3.53]

Betrachtet man ein Volumenelement dV = A0 dx, der H¨ohe dx, wenn A0 der freie Querschnitt einer Wirbelschicht ist, siehe hierzu Abb. 3.43, so ¨andert sich die Fluidtemperatur in dem Volumenelement durch die vom Fluid an den Feststoff u arme ¨ bergehende W¨ −M˙ F cpF dϑF = α n dAp (ϑF − ϑS )

(3.320)

mit n dAP = aP A0 dx. Wegen M˙ F = wm A0 F ist αap − dϑF = dx . ϑF − ϑS F wm cpF Integration zwischen dem Eintrittsquerschnitt e und dem Austrittsquerschnitt a einer Wirbelschicht der H¨ ohe H ergibt ln

αm ap ϑFe − ϑS = H ϑFa − ϑS F wm cpF

oder mit (3.266), wenn man dort den ¨ aquivalenten Kugeldurchmesser dP nach (3.270) verwendet, und der mittleren Nußelt-Zahl N um = αm dP /λ, der Reynolds-Zahl Re = wm dP /λ und der Prandtl-Zahl P r = ν/a des Fluids ln

N um 6(1 − ε)H ϑFe − ϑS = . ϑFa − ϑS ReP r dP

(3.321)

¨ Entsprechende Uberlegungen gelten auch f¨ ur den Stoffaustausch: Der Diffusionswiderstand der Partikel kann gegen¨ uber dem im Gas vernachl¨assigt werden, und man kann den Partikeln stets eine einheitliche Zusammensetzung zuordnen. Wenn nur eine Komponente A zwischen einem aus den Komponenten A und B bestehenden Fluid und dem Feststoff ausgetauscht wird, rechnet man zweckm¨ aßigerweise mit Beladungen des Fluids XF = (M˙ A /M˙ B )F . Die

436

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Mengenbilanz lautet dann unter der Annahme nicht allzu großer Beladungen des Feststoffs mit der Komponente A, siehe Gleichung (1.195a) ˙ B dXF = β p dAp (XF − XS ) = βB aP A0 dx(XF − XS ) . −M RB T Hierin bezeichnet XS = (M˙ A /M˙ B )S die Beladung des Fluids an der Feststoffoberfl¨ ache. Nach Integration zwischen Eintrittsquerschnitt e und Austrittsquerschnitt a einer Wirbelschicht der H¨ohe H erh¨alt man mit M˙ B = wm A0 B , unter Beachtung von (3.266) und der Definitionen Shm = βm dP /D, Re = wm dP /ν, Sc = ν/D: ln

XFe − XS Shm 6(1 − ε)H = . XFa − XS ReSc dP

(3.322)

Beispiel 3.14: In einer Wirbelschicht wird nasser Sand durch Luft geringer Feuchte aber gleicher Temperatur wie der Sand getrocknet. Dabei bel¨ adt sich die Luft mit Wasserdampf von der anf¨ anglichen Beladung XFe bis auf den Wert ache sei die Luft mit Wasserdampf ges¨ attigt. Ihre BeXFa . An der Sandoberfl¨ ladung dort sei XS , so dass der treibende Beladungsunterschied XS − XFe auf den Endwert XS − XFa sinkt. Wie hoch muss die Wirbelschicht mindestens sein, damit das treibende Gef¨ alle XS − XFa im Austrittsquerschnitt nur noch 5 % des agt? treibenden Gef¨ alles XS − XFe im Eintrittsquerschnitt betr¨ Die Geschwindigkeit wm im freien Querschnitt betrage das 10-fache der Lockerungsgeschwindigkeit wL . Gegeben sind: Partikeldurchmesser dP = 0,5 mm, Dichte des Sandes S = 1500 kg/m3 , Dichte der Luft F = 0,8 kg/m3 , kinematiarizit¨ at sche Viskosit¨ at der Luft ν = 3 · 10−5 m2 /s, Schmidt-Zahl Sc = 0,7, Sph¨ uckengrad εS = 0,73, L¨ uckengrad am Lockerungspunkt des Sandes ϕS = 0,86, L¨ εL = 0,4. Es ist XS − XFa = 0,05 (XS − XFe ) und daher in (3.322) ln

XFe − XS Shm 6 (1 − ε) H = ln 20 = 2,996 = . XFa − XS Re Sc dP

F¨ ur alle Werte

H Re Sc ≈ 0,5 dP Shm (1 − ε)

ist das treibende Gef¨ alle im Austrittsquerschnitt auf weniger als 5 % des Wertes im Eintrittsquerschnitt abgebaut. Zur Berechnung der Sherwood-Zahl ist zuerst die Archimedes-Zahl zu ermitteln Ar =

(1500 − 0,8) kg/m3 · (0,5 · 10−3 )3 m · 9,81 m/s2 (S − F ) d3P g = = 2 553 . 2 F ν 0,8 kg/m3 (3 · 10−5 )2 m4 /s2

Nach (3.318) ist "„ ReS ≈ 19,14

1+Ar 1/1,8 12,84

"„ «1/2 #1,8 «1/2 #1,8 1+25531/1,8 − 1 = 19,14 − 1 = 47,75 . 12,84

Nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 5 wird

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten 1/2

Shm, lam = 0,664 ReS

437

Sc1/3 = 0,664 · 47,751/2 · 0,71/3 = 4,07

0,037 Re0,8 0,037 · 47,750,8 · 0,7 S Sc = = 0,88 −0,1 2/3 1+2,443·47,75−0,1 ·(0,72/3 −1) 1+2,443 ReS (Sc −1) ` ´1/2 = 2 + Sh2m, lam + Sh2m, turb = 2 + (4,072 + 0,882 )1/2 = 6,16 .

Shm, turb = Shm

Die Lockerungsgeschwindigkeit folgt nach (3.312) aus # "„ «1/2 1 − εL wL dP ϕ3s ε3L 1 + 3,11 · 10−4 = 42,9 Ar − 1 ReL = ν ϕS (1 − εL )2 # "„ «1/2 3 3 1 − 0,4 −4 0,86 · 0,4 2553 − 1 = 1,31 . ReL = 42,9 1 + 3,11 · 10 0,86 (1 − 0,4)2 Wegen Re = 10 ReL = 13,1 wird wm = Re

ν 3 · 10−5 m2 /s = 13,1 = 0,786 m/s . dP 0,5 · 10−3 m

Damit wird 13,1 · 0,7 H = 2,73 ≈ 0,5 dP 6,16 (1 − 0,73)

und

H ≈ 1,38 · 10−3 m .

Man erkennt, dass das treibende Beladungsgef¨ alle sehr stark abgebaut wird. Die erforderliche Mindesth¨ ohe der Wirbelschicht ist demnach sehr klein. Beispiel 3.15: Man berechne die tats¨ achliche H¨ ohe der Wirbelschicht nach Beispiel 3.14, wenn die F¨ ullh¨ ohe 1 m betr¨ agt und gebe an, wie weit das treibende Beladungsgef¨ alle zwischen Ein- und Austrittsquerschnitt wirklich abgebaut wird. Die Feststoffmasse ist am Lockerungspunkt dieselbe wie am Betriebspunkt. Daraus folgt A0 HL S (1 − εL ) = A0 H S (1 − εS ) oder

1 − εL 1 − 0,4 H = = = 2,22 . HL 1 − εS 1 − 0,73 Die F¨ ullh¨ ohe ist gleich der H¨ ohe am Lockerungspunkt HL = 1 m, daraus H = 2,22 m. Mit (3.322) wird dann ln

6,16 6 (1 − 0,73) · 2,22 m XFe − XS = = 4 831 XFa − XS 13,1 · 0,7 0,5 · 10−3 m XFa − XS ≈ 0

oder

XFa ≈ XS .

Bis zum Austrittsquerschnitt sind die Beladungsunterschiede v¨ ollig abgebaut. Beispiel 3.16: Durch R¨ osten auf 300 erhitzte Kaffeebohnen sollen in einer auf eine TempeWirbelschicht durch atmosph¨ arische Luft der Temperatur 20 abgek¨ uhlt werden. Man berechne die hierf¨ ur erforderliche Zeit. ratur von 30 Gegeben seien folgende Werte: F¨ ur die Kaffeebohnen: Dichte S = 630 kg/m3 , aquivalenter Partikeldurchmesser dP = spez. W¨ armekapazit¨ at cS = 1,70 kJ/kgK, ¨

438

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

6 mm, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λS = 0,6 W/Km, Masse der Bohnen MS = 100 kg, L¨ uckengrad der Wirbelschicht ε = 0,7. F¨ ur die Luft sei gegeben: Massen˙ G = 5 kg/s, Dichte G = 1,188 kg/m3 , spez. W¨ armekapazit¨ at cpG = strom M at 1,007 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λG = 0,0257 W/Km, kinematische Viskosit¨ aule 1,4 m2 . νG = 15,3 · 10−6 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,715, Querschnitt der S¨ Anmerkung zur L¨ osung: Man beachte, dass die Temperaturen ϑFa = ϑGa des ache in (3.321) nun Funktionen der Zeit sind, und Gases und ϑS der Partikeloberfl¨ dass als weitere Gleichung f¨ ur diese beiden Temperaturen noch die Energiebilanz MS cS

dϑmS = M˙ G cpG (ϑGe − ϑG ) dt

zur Verf¨ ugung steht. Wegen der Durchwirbelung des Feststoffs ist dessen mittlere Temperatur ϑmS nur eine Zeit-, aber keine Ortsfunktion, damit sind linke und auch rechte Seite unabh¨ angig vom Ort, so dass man rechts f¨ ur die Gastemperatur ϑG auch deren Wert ϑGa im Austrittsquerschnitt setzen darf. MS ist die gesamte Menge des Feststoffs. Zur Berechnung der Nußelt-Zahl N um nach (3.321) ist zuerst die ArchimedesZahl zu ermitteln: S − F d3P g . Ar = F ν2 Hierin ist F = G und ν = νG . Damit wird Ar =

(630 − 1,188) kg/m3 (6 · 10−3 )3 m3 · 9,81 m/s2 = 4,79 · 106 . 1,188 kg/m3 (15,3 · 10−6 )2 m4 /s2

Aus (3.319) folgt damit 4 4 ReS = ( Ar)1/2 = ( · 4,79 · 106 )1/2 = 2,527 · 103 . 3 3 Nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 5 wird 1/2

N um, lam = 0,664 ReS

N um, turb =

=

P r 1/3 = 0,664 (2,527 · 103 )1/2 (0, 715)1/3 = 29,85

0,037 Re0,8 S Pr 1 + 2,443 Re−0,1 (P r 2/3 − 1) S 0,037 · (2,527 · 103 )0,8 · 0,715 = 17,97 1 + 2,443 · (2,527 · 103 )−0,1 · (0,7152/3 − 1)

` ` ´1/2 ´1/2 N um = 2 + N u2m, lam + N u2m, turb = 2 + 29,852 + 17,972 = 36,84 . Die Geschwindigkeit in der leeren S¨ aule folgt aus wm = Damit ist Re =

M˙ G 5 kg/s = = 3 m/s . G A0 1,188 kg/m3 · 1,4 m2

3 m/s · 6 · 10−3 m wm dP = = 1,176 · 103 . νG 15,3 · 10−6 m/s2

In (3.321) wird mit ϑF = ϑG

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten ln

439

6(1 − 0,7)H 36,84 ϑGe − ϑS . = ϑGa − ϑS 1,176 · 103 · 0,715 6 · 10−3 m

Die H¨ ohe H der Wirbelschicht ergibt sich aus der Masse der Kaffeebohnen MS = (1 − ε) A0 S H zu H=

100 kg MS = = 0,378 m . (1 − ε) A0 S (1 − 0,7) · 1,4 m2 · 630 kg/m3

Es ist somit

ϑGe − ϑS = 143,8 = c0 (3.323) ϑGa − ϑS alt als Unbekannte noch die Temperamit ϑGe = 293,15 K. Die Gleichung enth¨ tur ϑGa (t) im Austrittsquerschnitt und die Temperatur ϑS (t) des Feststoffs. Als weitere Bilanzgleichung steht noch MS cS

dϑmS = M˙ G cpG (ϑGe − ϑGa ) dt

(3.324)

angt zur Verf¨ ugung. ϑmS (t) ist hierin die mittlere Temperatur des Feststoffs. Sie h¨ aß mit seiner Oberfl¨ achentemperatur ϑS (t) zusammen, gem¨ αmS (ϑmS − ϑS ) = αmG (ϑS − ϑGa ) ϑmS =

αmG (ϑS − ϑGa ) + ϑS . αmS

Mit αmS ≈ λS /(dP /2) und Bi = αmG dP /λS wird ϑmS ≈

Bi (ϑS − ϑGa ) + ϑS . 2

(3.325)

Aus (3.323) und (3.325) erh¨ alt man durch Elimination von ϑS ϑGe − ϑGa =

(ϑGe − ϑmS ) (c0 − 1) . c0 + Bi/2

Gl. (3.325) geht damit u ¨ ber in M˙ G cpG c0 − 1 1 dϑmS = . ϑGe − ϑmS dt MS cS c0 + Bi/2 Integration zwischen t = 0 und t = t1 ergibt ln

˙ G cpG c0 − 1 ϑGe − ϑmS (t = 0) M = t1 . ϑGa − ϑmS (t = t1 ) MS cS c0 + Bi/2

Hierin ist Bi =

αmG dP λG 0,0257 W/Km λG αmG dP = = N um = 36,84 = 1,58 . λS λG λS λS 0,6 W/Km

Damit wird ln

5 kg/s · 1,007 kJ/kgK · (143,8 − 1) 293,15 − 673,15 = t1 , 293,15 − 303,15 100 kg · 1,70 kJ/kgK · (143,8 + 1,58/2)

also t1 = 124,4 s ≈ 2,1 min .

440

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.8.6 Einige empirische Gleichungen fu arme¨r den W¨ und Stoffu omten Kan¨ alen, ¨ bergang in durchstr¨ Haufwerken und Wirbelschichten Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen zusammenfassend dargestellt und um einige weitere erg¨ anzt. 1. Durchstr¨ omtes Rohr a) Turbulente Str¨omung: N um = 0,023Re0,8 P r0,4 (η/η0 )0,14 , g¨ ultig f¨ ur 0,5 < P r < 120, 104 < Re < 105 , L/d ∼ 60. ) * 2/3 0,14 (η/η0 ) , N um = 0,037(Re0,75 − 180)P r0,42 1 + (d/L) g¨ ultig f¨ ur 2300 < Re < 105 , 0,5 < P r < 500, L/d ∼ 10. In einem weiten Bereich der Kennzahlen gilt

2/3 d (ζ/8) Re P r  N um = 1+ 2/3 L 1 + 12,7 ζ/8(P r − 1) mit dem Widerstandsbeiwert Δp 1 ζ= = , 2 (L/d)(wm /2) (0,78 ln Re − 1,5)2 g¨ ultig f¨ ur 104 ≤ Re ≤ 106 , 0,6 ≤ P r ≤ 1000, L/d > 1. Alle Stoffwerte sind auf das arithmetische Mittel (ϑe + ϑa )/2 aus mittlerer Eintrittstemperatur ϑe und mittlerer Austrittstemperatur ϑa zu beziehen, nur η0 ist auf die Wandtemperatur bezogen. Die Nußelt- und die Reynolds-Zahl werden mit dem Rohrdurchmesser gebildet. b) Laminare Str¨omung: Hydrodynamisch ausgebildete Laminarstr¨omung, konstante Wandtemperatur: N um =

3,657 0,0499 tanh X + , + X+ tanh(2,264X +1/3 + 1,7 X +2/3 )

g¨ ultig f¨ ur 0 ≤ X + = L/(dP e) ≤ ∞, Re ≤ 2300. Hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildete Laminarstr¨omung, konstante Wandtemperatur: N um 1 = , N uma tanh(2,432P r1/6 )X +1/6 g¨ ultig f¨ ur 0 < X + ≤ ∞, 0 < P r ≤ ∞, Re ≤ 2300. N um ist die Nußelt-Zahl bei hydrodynamisch und thermisch nicht ausgebildeter, N uma die bei hydrodynamisch ausgebildeter Laminarstr¨ omung.

3.8 Durchstr¨ omte Kan¨ ale, Haufwerke, Wirbelschichten

441

2. Nichtkreisf¨ ormige Rohre Es gelten die vorigen Gleichungen; man hat lediglich den Rohrdurchmesser d in der Nußelt- und der Reynolds-Zahl durch den hydraulischen Durchmesser dh = 4A/U mit dem durchstr¨ omten Querschnitt A und dem vom Fluid benetzten Umfang U zu ersetzen. 3. Konzentrische Ringspalte Unter einem konzentrischen Ringspalt versteht man den Raum zwischen zwei konzentrisch angeordneten Rohren. Man hat drei F¨alle der W¨armeu ¨ bertragung zu unterscheiden: 3.1: W¨ arme wird am Innenrohr u ¨ bertragen. Das Außenrohr ist isoliert. 3.2: W¨ arme wird am Außenrohr u ¨bertragen. Das Innenrohr ist isoliert. 3.3: W¨ arme wird am Innen- und Außenrohr u ¨ bertragen. Das Fluid str¨ ome in axialer Richtung durch den Ringspalt. Der Außendurchmesser des Innenrohres sei di , der Innendurchmesser des Außenrohres da . Der hydraulische Durchmesser ist dh = da − di . a) Turbulente Str¨omung Man bezieht die mittlere Nußelt-Zahl N um auf (N um )Rohr des turbulent durchstr¨ omten Rohres nach Nr. 1a. Beide Nußelt-Zahlen werden mit dem hydraulischen Durchmesser gebildet, N um = αm dh /λ. Die Reynolds-Zahl ist Re = wm dh /ν. Es gilt in den oben genannten F¨allen 3.1 : 3.2 : 3.3 :

−0,16 N um di = 0,86 (N um )Rohr da

0,6 N um di = 1 − 0,14 (N um )Rohr da & % 0,86(di /da ) + 1 − 0,14(di /da )0,6 N um . = (N um )Rohr 1 + (di /da )

Die Gleichungen gelten im gleichen Bereich wie die f¨ ur (N um )Rohr nach Nr. 1a und f¨ ur 0 ≤ di /da ≤ 1. b) Laminare, hydrodynamisch ausgebildete Str¨omung Es ist

 di N um − N u∞ =f . (N um )Rohr − 3,657 da In der Gleichung f¨ ur die laminare Rohrstr¨omung nach Nr. 1b ist die Gr¨ oße X + nun mit dem hydraulischen Durchmesser zu bilden, X + = L/(dh P e) mit P e = wm dh /a. Es gilt in den oben genannten F¨ allen

442

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.1 :

N u∞ = 3,657 + 1,2(di /da )−0,8 , f (di /da ) = 1 + 0,14(di /da )−1/2 .

3.2 :

N u∞ = 3,657 + 1,2(di /da )1/2 ,

3.3 :

f (di /da ) = 1 + 0,14(di /da )1/3 .

 0,04 di 0,102 N u∞ = 3,657 + 4 − , 0,02 + (di /da ) da f (di /da ) = 1 + 0,14(di /da )0,1 .

Die Gleichungen gelten f¨ ur 0 ≤ X + ≤ ∞, Re ≤ 2300 und 0 ≤ di /da ≤ 1. 4. Durchstr¨ omte Kugel- und andere Sch¨ uttungen N um = fε N umK . Die mittlere Nußelt-Zahl N um wird auf die Nußelt-Zahl N umK der umstr¨ omten Einzelkugel (siehe 3.7.4, Nr. 5) zur¨ uckgef¨ uhrt. Der Faktor fε ist vom L¨ uckengrad ε = VG /V abh¨ angig, und zwar ist fε = 1 + 1,5(1 − ε) im Bereich 0,26 < ε < 1 . F¨ ur Haufwerke aus Kugeln verschiedenen Durchmessers oder aus nichtkugelf¨ ormigen Partikeln, bildet man einen ¨ aquivalenten Kugeldurchmesser  dP = AmP /π mit der mittleren Partikeloberfl¨ ache AmP = aP /nV ,

mit

aP = 6(1 − ε)/dP ,

ache der Partikel (SI-Einheit m2 /m3 ) und worin aP die spezifische Oberfl¨ nV die Zahl der Partikel je Volumeneinheit (SI-Einheit 1/m3 ) wird. Damit berechnet man die Nußelt-Zahl N umK . Angaben u ¨ ber den Faktor fε findet man in Tabelle 3.4. 5. Wirbelschichten Die Nußelt-Zahl ist gleich derjenigen der umstr¨omten Einzelkugel N umK , Kapitel 3.7.4, Nr. 5. Die darin ben¨ otigte Reynolds-Zahl Re = ReS ergibt sich aus (3.318) ReS ∼ = 19,14



1,8 1/2 Ar1/1,8 1+ −1 12,84

mit der Archimedes-Zahl Ar =

S − F d3P g , F ν2

3.9 Freie Str¨ omung

443

g¨ ultig f¨ ur homogene Wirbelschichten f¨ ur 0 ≤ ReS ≤ 104

oder 0 ≤ Ar ≤ 2,9 · 107 .

F¨ ur heterogene Wirbelschichten gilt die Gleichung im Bereich
U , ein Luftballen sinkt wieder

Wenn nun die Dichte des Luftballens kleiner als die seiner Umgebung oder, was gleichbedeutend damit ist, der Ballen heißer als seine Umgebung ist, so steigt er weiter auf, siehe hierzu den Zustandsverlauf mit T2 > TU in Abb. 3.47. Die Schichtung ist instabil, denn eine kleine St¨orung, eingeleitet durch das Aufsteigen des Luftballens, klingt nicht von selbst wieder ab. Ist hingegen die Dichte des Luftballens nach der Expansion gr¨oßer als die seiner Umgebung entsprechend dem Zustandsverlauf mit T2 < TU in Abb. 3.47, so sinkt er wieder. Die Schichtung ist stabil. Eine solche stabile Schichtung tritt auch auf, wenn sich warme und damit leichte Luftmassen u ¨ ber kalte Bodenluft schieben. Die bodennahe schwere und oft durch Abgase verunreinigte Luft kann sich nicht mehr mit der dar¨ uber liegenden leichteren Luft austauschen. Man bezeichnet eine solche Schichtung als Inversion. Es besteht Smoggefahr.

446

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.9.1 Die Impulsgleichung Die Impulsgleichung eines Newtonschen Fluids ergibt sich aus der NavierStokes-Gleichung (3.59) 

∂p ∂ 2 wj dwj =  kj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.328)

Da die freie Str¨ omung Dichtegradienten voraussetzt, nehmen wir an, die Dichte sei ver¨ anderlich, w¨ ahrend alle anderen Stoffwerte als konstant vorausgesetzt werden sollen. Als Massenkraft wirke die Schwerkraft kj = gj . In Bereichen, in denen die Dichte konstant ist, beispielsweise fernab von einer beheizten Wand, herrsche hydrostatisches Gleichgewicht. Dort gilt ∂ p∞ = ∞ g j , ∂xj

(3.329)

wenn p∞ der hydrostatische Druck und ∞ die zugeh¨orige Dichte sind. Durch Beheizung oder Stoffaustausch stellen sich Temperatur- oder Konzentrationsund damit auch Dichtegradienten ein, so dass die lokalen Werte von Druck und Dichte von den Werten des hydrostatischen Gleichgewichts abweichen p = p∞ + Δp

,

 = ∞ + Δ .

(3.330)

Wir nehmen an, die Abweichungen Δp und Δ seien klein im Vergleich zu den Werten des hydrostatischen Gleichgewichts p∞ und ∞ . Als Beispiel betrachten wir in Abb. 3.48 eine beheizte, senkrechte Wand der Temperatur ϑ0 , vor der sich ein Fluid befinde, das vor Beginn der Beheizung im hydrostatischen Gleichgewicht war und u ¨ berall die Temperatur ϑ∞ hatte. Nach kurzer Anlaufzeit bilden sich station¨ are Temperatur- und Geschwindigkeitsprofile aus, wie sie in Abb. 3.48 skizziert sind. Mit den Ans¨atzen (3.330) geht die Impulsgleichung (3.328) u ¨ ber in (∞ + Δ)

dwj ∂ (p∞ + Δp) ∂ 2 wj = (∞ + Δ) gj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.331)

Beachtet man dass auf der linken Seite Δ ∞ und auf der rechten Seite alt man nach (3.329) ∂ p∞ /∂xj = ∞ gj gilt, so erh¨ ∞

dwj ∂ Δp ∂ 2 wj = Δ gj − +η . dt ∂xj ∂xi 2

(3.332)

Bei station¨ arer Str¨ omung, die wir voraussetzen wollen, ist hierin dwj ∂ wj = wi . dt ∂xi In (3.332) sch¨ atzen wir nun die Gr¨ oßenordnung der einzelnen Terme ab. Wir betrachten dazu die Auftriebsstr¨ omung an einer ebenen Platte, die um

3.9 Freie Str¨ omung

447

Abb. 3.48: Temperatur- und Geschwindigkeitsprofil an einer beheizten senkrechten Wand bei freier Str¨ omung

den Winkel ϕ gegen die Senkrechte geneigt ist. Die Tr¨agheitskr¨afte sind von der Gr¨ oßenordnung w2 (3.333) FT ∼ ∞ ref , L worin wref eine charakteristische Geschwindigkeit, beispielsweise die maximale Geschwindigkeit in Abb. 3.48 ist. Sie stellt sich von selbst durch den Auftrieb ein und ist nicht wie etwa bei einer l¨ angsangestr¨omten Platte durch die Aufgabenstellung vorgegeben. Ihre Gr¨ oßenordnung ist noch abzusch¨atzen. Mit Hilfe der Referenzgeschwindigkeit ergibt sich als Gr¨oßenordnung f¨ ur die Reibungskr¨ afte wref FR ∼ η 2 . (3.334) δ oßenordnung Die Auftriebskr¨ afte FA sind von der Gr¨ FA ∼ −(0 − ∞ ) g cos ϕ .

(3.335)

Im Fall der beheizten senkrechten Platte nach Abb. 3.48 stehen Dichtegradient und Schwerkraft senkrecht zueinander, es ist cos ϕ = cos 0 = 1; im Fall der waagrechten Platte sind beide Gradienten parallel gerichtet, es ist cos ϕ = cos π/2 = 0. Das negative Vorzeichen in (3.335) r¨ uhrt daher, dass bei Beheizung 0 − ∞ negativ, die Auftriebskraft in Abb. 3.48 aber in Richtung der x-Koordinate zeigt. In der wandnahen Schicht sind die Tr¨ agheitskr¨afte von gleicher Gr¨oßenordnung wie die Reibungskr¨ afte und daher

1/2 2 ν wref wref δ ∼ν 2 ∼ oder . (3.336) L δ L wref L

448

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Außerdem sind die Auftriebskr¨ afte auch von gleicher Gr¨oßenordnung wie die Tr¨ agheitskr¨ afte w2 −(0 − ∞ ) g cos ϕ ∼ ∞ ref . L Daraus folgt

1/2 −(0 − ∞ ) g cos ϕ L wref ∼ . (3.337) ∞ Damit kann man die Bezugsgeschwindigkeit in (3.336) eliminieren, und man erh¨ alt

1/4 ν2 δ ∼ . (3.338) L (1 − 0 /∞ ) g cos ϕL3 Kommen die Dichteunterschiede nur durch Temperaturunterschiede zustande, so gilt unter der Annahme hinreichend kleiner Temperaturunterschiede

 ∂ (ϑ0 − ϑ∞ ) . (3.339) 0 = ∞ + ∂ϑ p Die Gr¨ oße 1 v



∂v ∂ϑ

 p

1 =− 



∂ ∂ϑ

 =β p

ist der thermische Ausdehnungskoeffizient (SI-Einheit 1/K). Er ist in (3.339) bei der Temperatur ϑ∞ einzusetzen. Man erh¨alt 0 − ∞ = −∞ β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) .

(3.340)

F¨ ur ideale Gase ist wegen v = R T /p der thermische Ausdehnungskoeffizient β=

1 R 1 = v p T

und β∞ = 1/T∞ . Mit (3.340) erh¨ alt man aus (3.338) δ ∼ L



ν2 β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3

1/4

1 . (cos ϕ)1/4

(3.341)

Hierin ist die dimensionslose Gr¨ oße β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 = Gr ν2

(3.342)

die Grashof-Zahl Gr. F¨ ur die senkrechte Platte, ϕ = 0, ist somit δ ∼ Gr−1/4 . L

(3.343)

F¨ ur große Grashof-Zahlen Gr  1, wird δ/L 1: Es liegt eine Grenzschichtstr¨ omung vor. Die Grenzschichtdicke w¨ achst gem¨aß

3.9 Freie Str¨ omung

449

δ ∼ L1/4 . F¨ ur die geneigte Platte f¨ uhrt man eine modifizierte Grashof-Zahl ein Grϕ =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 cos ϕ . ν2

Es ist dann

δ −1/4 ∼ Grϕ . (3.344) L Falls die Platte gegen die Senkrechte um den Winkel ϕ geneigt ist, bildet sich wieder eine Grenzschicht, wenn Grϕ  1 ist, w¨ahrend an einer waagrechten Platte, ϕ = π/2, keine Grenzschicht entstehen kann. Wie man aus (3.333) und (3.335) erkennt, sind Tr¨agheits- und Auftriebskr¨ afte von gleicher Gr¨ oßenordnung, wenn −(0 − ∞ ) g cos ϕ ∼1 2 /L ∞ wref gilt. Mit (3.340) und der Reynolds-Zahl wref L/ν kann man hierf¨ ur auch β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 cos ϕ 2

(wref L/ν)

ν2

=

Grϕ ∼1 Re2

(3.345)

schreiben. Es gilt daher folgende Absch¨ atzung: Ist Grϕ /Re2 1, so wird die Auftriebskraft viel kleiner als die Tr¨ agheitskraft. Die Str¨omung wird durch Tr¨ agheits- und Reibungskr¨ afte bestimmt. Ist hingegen Grϕ /Re2  1, so sind die Auftriebskr¨ afte viel gr¨ oßer als die Tr¨ agheitskr¨afte. Die Str¨omung wird durch Auftriebs- und Reibungskr¨ afte bestimmt.

3.9.2 W¨ armeu ¨ bergang an einer senkrechten Wand bei laminarer Str¨ omung Wir behandeln nun die freie Str¨ omung an einer senkrechten ebenen Wand, deren Temperatur ϑ0 konstant und gr¨ oßer als die Temperatur im unendlichen Halbraum ist. Der Koordinatenursprung liege gem¨aß Abb. 3.48 an der unteren Kante, die Koordinate x verlaufe entlang der Wand, die Koordinate y normal zu ihr. Es werde station¨ are Str¨ omung vorausgesetzt. Alle Stoffwerte seien konstant. Lediglich die Dichte wird in dem f¨ ur die freie Str¨omung verantwortlichen Auftriebsterm in der Impulsgleichung als temperaturabh¨angig, in allen u ¨ brigen Termen aber als konstant angenommen. Diese auf Oberbeck (1879) und Boussinesq (1903) zur¨ uckgehende Annahmen [3.55], [3.56] bezeichnet man auch als Boussinesq-Approximation; korrekter w¨are es, von Oberbeck-Boussinesq-Approximation zu sprechen. Sie ber¨ ucksichtigt, dass die ortlich ver¨ anderliche Dichte eine der Voraussetzungen f¨ ur eine freie Str¨omung ¨ ist. Die Impulsgleichung (3.331) lautet dann in Richtung der x-Achse, wenn

450

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

man ber¨ ucksichtigt, dass auf der linken Seite Δ ∞ , auf der rechten Seite p∞ + Δp = p, ∞ + Δ =  und gj = −g ist ∞ wx

∂p ∂ 2 wx ∂ wx ∂ wx + ∞ wy = − g − +η . ∂x ∂y ∂x ∂y 2

(3.346)

Die Impulsgleichung in Richtung der y-Achse reduziert sich zu ∂p =0 , ∂y

(3.347)

wie bereits die Grenzschichtvereinfachungen in Abschnitt 3.5 zeigten, denn der Druck an einer Stelle x ist senkrecht zur Wand konstant. Da die Außenstr¨ omung ruht, gilt dort die Bedingung (3.326) f¨ ur hydrostatisches Gleichgewicht ∂p − = ∞ g , (3.348) ∂x womit sich die Impulsgleichung (3.346) vereinfacht zu wx

∞ −  ∂ wx ∂ wx ∂ 2 wx + wy = g+ν . ∂x ∂y ∞ ∂y 2

(3.349)

Da wir kleine Dichte¨ anderungen voraussetzen, ist

 ∂  = ∞ + (ϑ − ϑ∞ ) = ∞ − ∞ β∞ (ϑ − ϑ∞ ) ∂ϑ p mit dem thermischen Ausdehnungskoeffizienten



 1 ∂v 1 ∂ =− =β , v ∂ϑ p  ∂ϑ p der bei der Temperatur ϑ∞ einzusetzen ist. Damit wird in der Impulsgleichung (3.349) ∞ −  = β∞ (ϑ − ϑ∞ ) . ∞ Man hat somit folgendes Gleichungssystem zu l¨osen: Die Kontinuit¨ atsgleichung ∂ wy ∂ wx + =0 , ∂x ∂y

(3.350)

die Impulsgleichung wx

∂ wx ∂ wx ∂ 2 wx + wy = g β∞ (ϑ − ϑ∞ ) + ν ∂x ∂y ∂y 2

und die Energiegleichung

(3.351)

3.9 Freie Str¨ omung

wx

∂2ϑ ∂ϑ ∂ϑ + wy =a 2 . ∂x ∂y ∂y

451

(3.352)

Die dissipierte Energie ist hierbei vernachl¨ assigt. Die Randbedingungen sind: y=0

:

wx = wy = 0 ;

y→∞

:

wx = 0 ;

ϑ = ϑ0

ϑ = ϑ∞ .

(3.353)

Zur L¨ osung f¨ uhrt man eine Stromfunktion ψ(x, y) ein, vgl. (3.180): wx =

∂ψ ∂y

und

wy = −

∂ψ , ∂x

durch welche die Kontinuit¨ atsgleichung (3.350) identisch erf¨ ullt wird, w¨ ahrend die Impulsgleichung (3.351) u ¨ bergeht in ∂3ψ ∂ ψ ∂2ψ ∂ ψ ∂2ψ = g β (ϑ − ϑ ) + ν . − ∞ ∞ ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y 2 ∂y 3

(3.354)

Da die Grenzschichtdicke nach (3.343) an einer Stelle x gegeben ist durch δ ∼ x/Grx1/4

mit

Grx =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g x3 , ν2

normiert man wie bei der l¨ angsangestr¨ omten ebenen Platte die wandnormale Koordinate y mit der jeweiligen Grenzschichtdicke und f¨ uhrt als dimensionslose wandnormale Koordinate die Gr¨ oße „ «1/4 y y Grx = g(x, y) (3.355) η+ = = δ x 4 ¨ ¨ ein. Der Faktor 4 ist in Ubereinstimmung mit der Ahnlichkeitsl¨ osung von Ostrach [3.57] eingef¨ uhrt, weil dadurch in den noch abzuleitenden Gleichungen keine gebrochenen Zahlen als Faktoren auftreten. Eine charakteristische Geschwindigkeit wref gewinnt man aus (3.337) und (3.340) f¨ ur die senkrechte Wand (ϕ = π/2) zu ˆ ˜1/2 =2 wref = 2 β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g x

„ Grx

ν2 x2

«1/2 .

(3.356)

¨ Der Faktor 2 ist wieder in Ubereinstimmung mit Ostrach gew¨ ahlt. Damit erh¨ alt man als Ansatz f¨ ur die Stromfunktion Zy ψ= 0

oder

Zy wx dy = wref δ

wx “ y ” d wref δ

(3.357)

0

+ „ «1/2 Zη ν2 x ψ = 2 Grx 2 wx+ dη + . x (Grx /4)1/4

0

(3.358)

452

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Es ist daher „ ψ = 4ν

Grx 4

„ «1/4 Zη+ «1/4 Grx wx+ dη + = 4 ν f (η + ) . 4

(3.359)

0

Hierin steckt die Annahme, dass das Geschwindigkeitsprofil wx+ = wx /wref als eine Funktion der Grenzschichtkoordinate η + darstellbar ist. Die Geschwindigkeiten ergeben sich hieraus zu 2ν ∂ψ = Grx1/2 f  (η + ) ∂y x

wx = und

„ «1/4 ˆ +  + ˜ ν Grx ∂ψ = η f (η ) − 3 f (η + ) . ∂x x 4 In entsprechender Weise f¨ uhrt man ein normierte Temperatur ein wy = −

ϑ+ =

ϑ − ϑ∞ = ϑ+ (η + ) . ϑ0 − ϑ∞

(3.360)

(3.361)

Mit diesen Ans¨ atzen kann man die Impulsgleichung (3.354) u uhren in ¨berf¨ f  + 3 f f  − 2 (f  )2 + ϑ+ = 0

(3.362)

und die Energiegleichung (3.352) in 



ϑ+ + 3 P r f ϑ+ = 0 .

(3.363)

An die Stelle der partiellen Differentialgleichungen (3.350) bis (3.352) treten somit zwei gew¨ ohnliche nichtlineare Differentialgleichungen. Die Kontinuit¨ atsgleichung tritt nicht mehr auf, weil sie durch die Stromfunktion identisch erf¨ ullt ist. Die L¨ osung muss folgenden Randbedingungen gen¨ ugen: η+ = 0 : f = f  = 0 ; η+ → ∞ : f  = 0 ;

ϑ+ = 1

ϑ+ → 0 .

Diese Gleichungen hat zuerst Pohlhausen [3.58] durch Reihenentwicklung f¨ ur die Prandtl-Zahl P r = 0,733 von Luft und sp¨ater Ostrach [3.57] numerisch f¨ ur einen weiten Bereich der Prandtl-Zahlen 0,008 35 ≤ P r ≤ 1 000 gel¨ost. Abb. 3.49 zeigt normierte Geschwindigkeiten in der Form 1 wx x = f  (η + ) ν 2 Grx1/2 und Abb. 3.50 normierte Temperaturen ϑ+ (η + ) aufgrund der Rechnungen von Ostrach [3.57]. Aus den Temperaturprofilen ergeben sich die W¨arme¨ ubergangskoeffizienten in bekannter Weise

 ∂ϑ α (ϑ0 − ϑ∞ ) = q˙ = −λ . ∂y y=0

3.9 Freie Str¨ omung

Darin ist



∂ϑ ∂y

453



 y=0

 dϑ+ ∂ η + = (ϑ0 − ϑ∞ ) dη + ∂y y=0

1/4 +  dϑ 1 Grx = (ϑ0 − ϑ∞ ) x 4 dη + η+ =0

(3.364)

und daher αx =− N ux = λ



Grx 4

1/4

dϑ+ dη +



 = η + =0

Grx 4

1/4 ϕ(P r) .

(3.365)

Der Temperaturanstieg (dϑ+ /dη + )η+ =0 ist, wie auch Abb. 3.50 zeigt, eine Funktion ϕ der Prandtl-Zahl P r. Die numerischen Ergebnisse von Ostrach hat Le F`evre [3.59] durch eine Interpolationsgleichung der folgenden Form wiedergegeben, die von der genauen numerischen L¨osung um h¨ochstens 0,5 % abweicht: 0,849 P r1/2 (3.366) ϕ(P r) =  1/4 . 1 + 2,006 P r1/2 + 2,034 P r Die L¨ osung enth¨ alt folgende Sonderf¨ alle: Im Grenzfall P r → 0 wird ϕ(P r) = 0,849 P r1/2 und damit 1/4  N ux = 0,600 Grx P r2 . In diesem Fall sind die Reibungskr¨ afte gegen¨ uber den Tr¨agheits- und Auftriebskr¨ aften vernachl¨ assigbar, so dass der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient unabh¨ angig von der Viskosit¨ at des Fluids wird. Im Grenzfall P r → ∞ wird ϕ(P r) = 0,7109 P r1/4 und damit N ux = 0,5027 (Grx P r)

Abb. 3.49: Geschwindigkeiten bei freier Str¨ omung an einer senkrechten Wand, nach [3.57]

1/4

.

Abb. 3.50: Temperaturen bei freier Str¨ omung an einer senkrechten Wand, nach [3.57]

454

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die Tr¨ agheitskr¨ afte sind nun gegen¨ uber den Reibungs- und den Auftriebskr¨aften vernachl¨ assigbar. Der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm ergibt sich aus (3.365) durch Integration zu 1 αm = L

L

1/4  L dx λ β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g α dx = ϕ(P r) . 2 L 4ν x1/4

0

0

Die mittlere Nußelt-Zahl wird

1/4 4 Gr αm L 4 N um = = ϕ(P r) = N ux (x = L) . λ 3 4 3

(3.367)

Hierin ist die Grashof-Zahl mit der L¨ ange L der senkrechten Wand zu bilden. Die Gleichung gilt ebenso wie (3.365) nur f¨ ur die laminare Str¨omung. Diese bildet sich, wie Experimente zeigten, dann aus, wenn die Rayleigh-Zahl Gr P r ≤ 109 ist. Eine Gleichung, die Mess- und Rechenwerte bei laminarer und turbulenter Str¨omung an senkrechten Platten und senkrechten Zylindern f¨ ur alle RayleighZahlen und Prandtl-Zahlen wiedergibt, haben Churchill und Chu [3.60] mitgeteilt. Sie ist im Bereich der laminaren Str¨ omung Gr P r ≤ 109 allerdings etwas ungenauer als die zuvor besprochene Gleichung von Le F`evre und lautet / N um =

0,825 + %

0,387 Ra1/6 1 + (0,492/P r)9/16

62 &8/27

.

(3.368)

Hierin sind die mittlere Nußelt- und die Rayleigh-Zahl mit der Plattenh¨ohe L gebildet: N um =

αm L , λ

Ra = Gr P r =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 Pr . ν2

Die Gleichung gilt auch f¨ ur senkrechte Zylinder, wenn d/L ≥ 35 Gr−1/4 ist. Sie gilt auch f¨ ur konstante W¨ armestromdichte; man hat dazu lediglich den Faktor 0,492 im Nenner von (3.368) durch 0,437 zu ersetzen.

3.9.3 Einige empirische Gleichungen fu ¨r den W¨ armeu omung ¨ bergang bei freier Str¨ Im Folgenden werden außer den bereits besprochenen Beziehungen (3.365) und (3.368) f¨ ur die senkrechte Platte noch einige weitere empirische Korrelationen f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang bei freier Str¨omung mitgeteilt. 1. Waagerechte Platte Charakteristische L¨ ange in der mittleren Nußelt- und der Rayleigh-Zahl

3.9 Freie Str¨ omung

455

ist eine ¨ aquivalente L¨ ange L = A/U gebildet aus w¨arme¨ ubertragender Oberfl¨ ache A und Umfang U der ¨ außeren Umrandung der Platte. Man unterscheidet folgende F¨ alle: Oberseite der Platte beheizt oder Unterseite gek¨ uhlt gem¨ aß Abb. 3.51 und 3.52: N um = 0,766 Ra1/5 [ϕ1 (P r)]

1/5

&−20/11 % mit ϕ1 (P r) = 1 + (0,322/P r)11/20 g¨ ultig f¨ ur Ra ϕ1 (P r) ≤ 7 · 104 und 0 < P r < ∞ sowie 1/3

N um = 0,15 Ra1/3 [ϕ1 (P r)] g¨ ultig f¨ ur Ra ϕ1 (P r) ≥ 7 · 104 .

Abb. 3.51: Ebene Platte. Oberseite beheizt

Abb. 3.52: Ebene Platte. Unterseite gek¨ uhlt

Oberseite der Platte gek¨ uhlt oder Unterseite beheizt nach Abb. 3.53 und 3.54: 1/5 N um = 0,6 Ra1/5 [ϕ2 (P r)] % &−16/9 mit ϕ2 (P r) = 1 + (0,492/P r)9/16 g¨ ultig f¨ ur 103 < Ra ϕ1 (P r) < 10 10 und 0,001 < P r < ∞.

Abb. 3.53: Ebene Platte. Oberseite gek¨ uhlt

Abb. 3.54: Ebene Platte. Unterseite beheizt

2. Geneigte Platte Es gilt (3.368) f¨ ur laminare und turbulente Str¨omung. Man hat die Fallbeschleunigung g zu ersetzen durch ihre wandparallele Komponente g cos ϕ, worin ϕ der Neigungswinkel gegen die Senkrechte ist. Die Gleichung gilt dann f¨ ur geneigte Platten, solange ϕ ≤ π/3 = 60◦ ist.

456

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3. Waagrechter Zylinder vom Durchmesser d und der L¨ ange L  d: / 62 0,387 Ra1/6 N um = 0,60 + % , &8/27 1 + (0,559/P r)9/16 g¨ ultig f¨ ur 10−6 ≤ Ra ≤ ∞ und 0 ≤ P r ≤ ∞. Es bedeuten: N um =

αm d ; λ

Ra = Gr P r =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g d3 Pr . ν2

4. Kugel vom Durchmesser d: 0,589 Ra1/4 N um = 2 + % &4/9 , 1 + (0,469/P r)9/16 g¨ ultig f¨ ur P r ≥ 0,7 und Ra ≥ 1011 . Es bedeuten: N um =

αm d ; λ

Ra = Gr P r =

β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g d3 Pr . ν2

5. Senkrechte Platte Beheizung mit konstanter W¨ armestromdichte:

N ux = 0,616 Ra1/5 x

Pr 0,8 + P r

1/5 ,

g¨ ultig f¨ ur 0,1 ≤ P r ≤ ∞; Rax ≤ 109 . Es bedeuten: N ux =

αx ; λ

Rax = Grx P r =

β∞ q˙ g x4 Pr . ν2 λ

6. Por¨ ose, halbunendliche senkrechte Wand Konstante Wassertemperatur ϑ0 : N ux = 0,444 Ra1/2 x gesch¨ atzter G¨ ultigkeitsbereich: Grx ≤ 2,5 · 10−3 x2 /K. Es bedeuten: N ux = α x/λeff mit der effektiven W¨ armeleitf¨ ahigkeit λeff , die zu bilden ist mit der W¨armeleitf¨ ahigkeit des Fluids λF und derjenigen der por¨osen Matrix λS gem¨aß uckengrad, K ist die Permeabilit¨at, λeff = ελF + (1 − ε)λS , ε ist der L¨ siehe Kapitel 3.8.4. Die mittlere Nußelt-Zahl u ¨ ber die Wandl¨ange L ist N um = αm L/λeff = 2N ux=L.

3.9 Freie Str¨ omung

457

3.9.4 Stoffu omung ¨ bergang bei freier Str¨ In Mehrstoffgemischen k¨ onnen Dichtegradienten nicht nur durch Temperaturund Druckgradienten, sondern auch durch Gradienten der Zusammensetzung entstehen. Sofern Dichtegradient und Massenkraft nicht parallel sind, bildet sich ebenfalls eine freie Str¨ omung aus, die einen Stoff¨ ubergang bewirkt. Die Stoff¨ ubergangskoeffizienten lassen sich dann aus den vorigen Gleichungen berechnen. Man hat lediglich die Nußelt- durch die Sherwood-Zahl zu ersetzen. Die Grashof-Zahl ist mit dem Dichteunterschied zu bilden Gr =

(∞ − 0 ) g L3 . ∞ ν 2

(3.369)

In einem bin¨ aren Gemisch, in dem Dichtegradienten allein durch Konzentrationsgradienten hervorgerufen werden, folgt aus  = (p, T, ξ):

 ∂ (ξ0 − ξ∞ ) . (3.370) 0 = ∞ + ∂ξ p,T Man bezeichnet

1 v



∂v ∂ξ

 =− T,p

1 



∂ ∂ξ

 =γ T,p

als Stoffausdehnungskoeffizient. Damit wird 0 = ∞ − ∞ γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) . Die Grashof-Zahl (3.369) geht u ¨ber in Gr =

γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) g L3 . ν2

(3.371)

F¨ ur ideale Gasgemische erh¨ alt man den Stoffausdehnungskoeffizienten aus der thermischen Zustandsgleichung pv = RT mit der mittleren Gaskonstanten R = R1 ξ + R2 (1 − ξ) zu γ = (R1 − R2 )/R , ˜ i Ri die einfacheren Beworaus mit der universellen Gaskonstanten Rm = M ziehungen ˜2 − M ˜1 M γ= ˜ 2ξ + M ˜ 1 (1 − ξ) M und

458

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

γ∞ =

˜2 − M ˜1 M ˜ ˜ M2 ξ∞ + M1 (1 − ξ∞ )

(3.372)

folgen. Bei gleichzeitiger W¨arme- und Stoff¨ ubertragung in bin¨aren Gemischen erh¨ alt man mittlere Stoff¨ ubergangskoeffizienten ebenfalls aus den vorstehenden Gleichungen, wenn man die mittlere Nußelt-Zahl N um durch die mittlere Sherwood-Zahl Shm ersetzt und statt der Grashof-Zahl eine modifizierte Grashof-Zahl einf¨ uhrt, indem man die Dichte (p, T, ξ) in eine Taylorreihe entwickelt,

  ∂ ∂ (ϑ0 − ϑ∞ ) + (ξ0 − ξ∞ ) , 0 = ∞ + ∂T p,ξ ∂ξ p,T also 0 = ∞ − ∞ β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) − ∞ γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) in die Grashof-Zahl (3.369) einsetzt. Man erh¨ alt als modifizierte Grashof-Zahl Gr =

γ∞ (ξ0 − ξ∞ ) g L3 β∞ (ϑ0 − ϑ∞ ) g L3 + . ν2 ν2

(3.373)

Wie Saville und Churchill [3.61] zeigten, erh¨ alt man jedoch nach diesem Verfahren nur dann ausreichend genaue Ergebnisse, wenn Schmidt- und PrandtlZahl des Gemisches u ¨ bereinstimmen. Andernfalls wird offenbar die gegenseitige Beeinflussung von Stoffaustausch und Str¨omungsfeld nicht ausreichend ber¨ ucksichtigt.

¨ 3.10 Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung Bei der Behandlung der erzwungenen Str¨ omung hatten wir den Einfluss der freien Str¨ omung vernachl¨ assigt und umgekehrt bei der Betrachtung der freien Str¨ omung den der erzwungenen Str¨ omung vernachl¨assigt. H¨aufig u ¨ berlagert sich aber einer erzwungenen Str¨ omung infolge von Dichtegradienten noch eine freie Str¨ omung. Maßgebend hierf¨ ur ist, wie in 3.9.1, Gl. (3.345), gezeigt wurde, oßenordnung 1, so sind Auftriebsdie Kenngr¨ oße Gr/Re2 . Ist sie von der Gr¨ und Tr¨ agheitskr¨ afte etwa gleich groß, w¨ ahrend f¨ ur Gr/Re2 1 die erzwun2 omung u gene und f¨ ur Gr/Re  1 die freie Str¨ ¨berwiegt. Erzwungene und freie Str¨ omung k¨ onnen sich je nach Richtung von Tr¨agheits- und Auftriebskr¨ aften gegenseitig anfachen oder auch d¨ampfen. Der W¨ arme- und Stoff¨ ubergang kann daher in einer erzwungenen Str¨omung, der sich eine freie Str¨ omung u arkt oder gehemmt werden. Als Bei¨ berlagert, verst¨ spiel betrachten wir einen Plattenheizk¨ orper, Abb. 3.55. Es bildet sich eine

¨ 3.10 Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung

459

nach oben gerichtete freie Str¨ omung aus, durch welche die von einem Gebl¨ ase erzeugte Str¨ omung verst¨ arkt, Abb. 3.55a, oder geschw¨acht werden kann, Abb. 3.55b. Wie Experimente zeigten, kann man W¨arme¨ ubergangskoeffizienten gut durch Gleichungen der Form N un = | N unE ± N unF |

(3.374)

berechnen, worin N uE die Nußelt-Zahl der erzwungenen und N uF die der freien Str¨ omung ist. Das positive Vorzeichen gilt, wenn beide Str¨omungen gleich-, das negative wenn sie einander entgegengesetzt sind. Der Exponent n ist im Allgemeinen n = 3. F¨ ur l¨ angsangestr¨ omte waagrechte Platten, Zylinder und Kugeln ist n = 4 zu setzen. Eine (3.374) entsprechende Beziehung gilt auch f¨ ur den Stoff¨ ubergang; es ist lediglich die Nußelt- durch die SherwoodZahl zu ersetzen.

¨ Abb. 3.55: Uberlagerung von freier und erzwungener Str¨ omung. a Verst¨ arkung b Schw¨ achung der freien durch die erzwungene Str¨ omung

Beispiel 3.17: Eine senkrecht stehende Metallplatte von 0,5 m H¨ ohe und 1 m armestrom durch Tiefe hat eine Temperatur von 170 . Man berechne den W¨ betr¨ agt. Zur freie Str¨ omung an die umgebende Luft, deren Temperatur 90 L¨ osung beziehe man die Stoffwerte auf die mittlere Grenzschichttemperatur von + 90 )/2 = 130 . (170 Hierf¨ ur sind folgende Stoffwerte gegeben: W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,0336 W/Km, kinematische Viskosit¨ at ν = 2,639 · 10−5 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,697. Weiter ist β∞ = 1/T∞ = 2,754 · 10−3 K−1 . Es ist Gr =

2,754 · 10−3 1/K · (170−90) K · 9,81 m/s2 · 0,53 m3 β∞ (ϑ0 −ϑ∞ ) g L3 = , ν2 (2,639 · 10−5 )2 m4 /s2

also Gr = 3,879 · 108

und

GrP r = 2,704 · 108 .

Die Str¨ omung ist laminar, es gilt (3.367) mit ϕ(P r) nach (3.366)

460

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen N um =

=

4 4 N u(x = L) = 3 3 4 3

„

3,879 · 108 4

αm = N um

„

«1/4

Gr 4

«1/4 ϕ(P r)

0,849 · 0,6791/2 = 65,08 (1 + 2,006 · 0,6971/2 + 2,034 · 0,697)1/4

λ 0,0336 W/Km = 65,08 = 4,37 W/m2 K L 0,5

Q˙ = αm A (ϑ0 − ϑ∞ ) = 4,37 W/m2 K · 0,5 m · 1 m · (170 − 90) K = 175 W .

3.11 Kompressible Str¨ omungen In einer freien Str¨ omung kam der Auftrieb durch Dichteunterschiede zusammen mit einer Massenkraft zustande, w¨ ahrend die erzwungene laminare und turbulente Str¨ omung bisher unter der Annahme konstanter Dichte behandelt wurde. In Fl¨ ussigkeiten ist die Annahme konstanter Dichte nur dann in guter N¨ aherung erf¨ ullt, wenn diese sich nicht in der N¨ahe ihres kritischen Zustands befinden. In Gasen muss man zus¨ atzlich m¨aßige Geschwindigkeiten mit Machzahlen M a = w/wS 1 voraussetzen. Sind die Geschwindigkeiten von Gasstr¨ omungen groß, so dass nicht mehr die Bedingung kleiner Machzahlen erf¨ ullt ist, oder befinden sich Fluide in der N¨ahe ihres kritischen Zustands, so ¨ andert sich die Dichte eines materiellen Volumenelements im Laufe seiner Bewegung. Es ist d/dt = 0. In einer station¨aren Str¨omung ist die Dichte daher lokal ver¨ anderlich. Infolge Aufheizung durch Dissipation kinetischer Energie k¨onnen auch in adiabaten Str¨ omungen hoher Geschwindigkeit lokale Temperatur- und damit lokale Dichteunterschiede entstehen. Eine Str¨omung, in der sich die Dichte eines materiellen Volumenelements im Laufe der Bewegung ¨andert, bezeichnen wir als kompressibel. Im Folgenden soll der W¨arme¨ ubergang in solchen kompressiblen Str¨ omungen behandelt werden. Wir beschr¨anken uns dabei auf station¨ are Str¨ omungen. Da in diesem Kapitel die von der thermodynamischen Temperatur T abh¨ angige Schallgeschwindigkeit wS eine Rolle spielt, ist es zweckm¨aßig, im Folgenden nicht mit der Temperatur ϑ, sondern mit thermodynamischen Temperaturen T zu rechnen.

3.11.1 Das Temperaturfeld in einer kompressiblen Str¨ omung Um die grunds¨ atzlichen Eigenschaften kompressibler Str¨omung zu er¨ortern, behandeln wir die ebene, station¨ are Grenzschichtstr¨omung eines reinen Fluids. Neben der Dichte sollen im Unterschied zu den bisherigen Betrachtungen auch

3.11 Kompressible Str¨ omungen

461

die Viskosit¨ at und W¨ armeleitf¨ ahigkeit ¨ ortlich ver¨anderlich sein. Die Kontinuit¨ atsgleichung lautet ∂ ( wx ) ∂ ( wy ) + =0 . ∂x ∂y

(3.375)

Die Impulsgleichung (3.58) geht mit den in Abschnitt 3.5 er¨orterten Grenzschichtvereinfachungen u ¨ ber in 

mit

dwx ∂ p ∂ τxy =− + , dt ∂x ∂y ∂p =0 ∂y

∂ wx ∂ wx dwx = wx + wy dt ∂x ∂y

und τxy = η

(3.376) ∂ wx . ∂y

Die Energiegleichung in der Enthalpieform (3.83) lautet mit den Grenzschichtvereinfachungen von Abschnitt 3.5: 

dh ∂ q˙ dp =− + +φ dt ∂y dt

(3.377)

mit dp/dt = wx ∂ p/∂x, q˙ = q˙y und der Dissipationsfunktion φ = η (∂ wx /∂y)2 = τxy ∂ wx /∂y. Multiplikation der Impulsgleichung (3.376) mit wx und Addition zur Energiegleichung (3.377) ergibt nach Einf¨ uhren der sogenannten Gesamtenthalpie w2 (3.378) hg = h + x 2 die Beziehung ∂ dhg = (wx τxy − q)  ˙ . (3.379) dt ∂y Hierin kann man die W¨ armestromdichte noch durch die Enthalpie h = h(p, T ) ersetzen, denn unter Beachtung von ∂ p/∂y = 0 und von q˙ = −λ ∂ T /∂y gilt ∂h ∂T q˙ = cp = −cp . ∂y ∂y λ

(3.380)

Zusammen mit (3.378) und mit λ/cp = η/P r folgt daher q˙ = −

η ∂ hg η ∂ wx λ ∂h =− + wx cp ∂y P r ∂y Pr ∂y

oder q˙ = −

1 η ∂ hg + wx τxy . P r ∂y Pr

Damit lautet die Energiebilanz (3.379)

(3.381)

462

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

P r − 1 ∂ (wx τxy ) 1 ∂ dhg = +  dt Pr ∂y P r ∂y

 ∂ hg η , ∂y

(3.382)

wenn man konstante laminare oder turbulente Prandtl-Zahlen voraussetzt. Die Gleichung (3.382) legt nahe, der Einfachheit halber die laminare oder turbulente Str¨ omung von Luft oder anderen Gasen zu untersuchen, weil deren Prandtl-Zahlen P r ≈ 1 ist, so dass der erste Term auf der rechten Seite, der den Einfluss der Schubspannungsarbeit beschreibt, verschwindet. Die Gleichung (3.382) vereinfacht sich dann zu

 ∂ ∂ hg dhg = η . (3.383)  dt ∂y ∂y Diese Gleichung hat zwei wichtige Partikul¨ arl¨osungen: a) Die adiabate Str¨ omung an einer festen Wand F¨ ur sie ist q(y ˙ = 0) = 0, und wie aus (3.380) und (3.378) folgt auch 

∂ hg =0 . ∂y y=0

(3.384)

Weiter ist am Rand der Grenzschicht hg = hgδ = const .

(3.385)

An der Plattenvorderkante sei hg (x = 0, y) = const .

(3.386)

Eine L¨ osung von (3.383), die diesen Randbedingungen gen¨ ugt, lautet hg (x, y) = const .

(3.387)

Es ist daher

wx2 w2 = hδ + δ . 2 2 Daraus ergibt sich mit h − hδ = cp (T − Tδ )

2 wx T 1 wδ2 1− =1+ . Tδ cp T δ 2 wδ hg = h +

(3.388)

(3.389)

Das Temperaturprofil in der Grenzschicht ist bei adiabater Str¨omung unter der Annahme P r = 1 mit dem Geschwindigkeitsprofil gekoppelt. Die Beziehung gilt unabh¨ angig vom Druckabfall ∂ p/∂x. Sie l¨asst sich f¨ ur ideale Gase noch umformen, denn f¨ ur sie ist die zur Temperatur Tδ geh¨orende Schallgeschwindigkeit '  wSδ = κ R Tδ = cp (κ − 1) Tδ

3.11 Kompressible Str¨ omungen

und daher cp T δ =

2 wSδ . κ−1

Damit geht (3.389) f¨ ur ideale Gase u ¨ ber in

2 T wx κ−1 M a2δ 1 − =1+ Tδ 2 wδ

463

(3.390)

(3.391)

mit der Machzahl M aδ = wδ /wSδ . Abb. 3.56 zeigt den Verlauf des Temperaturprofils T /Tδ in Abh¨ angigkeit von den Geschwindigkeiten wx /wδ nach (3.391). Setzt man f¨ ur das Geschwindigkeitsprofil wx /wδ der inkompressiblen Str¨ omung in (3.391) als N¨ aherung die Blasiussche L¨osung der Plattengrenzschicht ein, Abschnitt 3.7.1.1, so erh¨ alt man einen Temperaturverlauf, wie ihn Abb. 3.57 zeigt. Die Abbildung gibt aber nur den ungef¨ahren Temperaturverlauf wieder. Wie man aus (3.391) erkennt, stellt sich an der Wand y = 0 wegen wx = 0 die Temperatur T0 = Te ein, die man auch als Ruhetemperatur oder Eigentemperatur Te bezeichnet: Te κ−1 M a2δ . =1+ Tδ 2

(3.392)

Sie ist diejenige Temperatur, die sich an der Oberfl¨ache eines adiabat isolierten K¨ orpers in einer Str¨ omung von selbst einstellt. Durch die Beziehung (3.392) wird die starke Aufheizung der Grenzschicht bei großen Mach-Zahlen deutlich. Einige Eigentemperaturen Te gibt die Tabelle 3.6 wieder. Die Eigentemperatur ist identisch mit der Temperatur im Staupunkt eines mit der Geschwindigkeit wδ angestr¨ omten K¨ orpers. Hierf¨ ur gilt

Abb. 3.56: Temperatur- und Geschwindigkeitsprofil in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase, nach (3.391)

Abb. 3.57: Temperaturprofile in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase. Adiabate Wand

464

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Tabelle 3.6: Eigentemperaturen einer Luftstr¨ omung von Tδ = 300 K, κ = 1,4 M aδ

0

1

2

3

5

Te /K

300

360

540

840

1800

hSt = hδ +

wδ2 , 2

woraus mit hSt − hδ = cp (TSt − Tδ ) die mit (3.392) u ¨bereinstimmende Beziehung TSt wδ2 κ−1 M a2δ = 1+ =1+ Tδ 2 cp T δ 2

(3.393)

folgt. Das Ergebnis (3.392) galt nur unter der Voraussetzung, dass die PrandtlZahl des als ideal vorausgesetzten Gases P r = 1 ist. Im allgemeinen Fall der Str¨ omung eines idealen Gases mit der Prandtl-Zahl P r = 1 stellt sich eine andere Eigentemperatur ein, die noch von der Prandtl-Zahl abh¨angig ist. Um sie einfach berechnen zu k¨ onnen, f¨ uhrt man den sogenannten Recovery” Faktor“ r ein, definiert durch Te − Tδ Te − Tδ = 2 =r , TSt − Tδ wδ /2 cp

(3.394)

der noch von der Prandtl-Zahl abh¨ angt. Definitionsgem¨aß ist r = 1 f¨ ur P r = 1. Eine L¨ osung der Grenzschichtgleichungen durch Eckert und Drake [3.62] ergab f¨ ur die l¨ angsangestr¨ omte ebene Platte, dass man f¨ ur die laminare Str¨omung im Bereich 0,6 < P r < 15 den Recovery-Faktor gut ann¨ ahern kann durch √ r∼ = Pr ,

(3.395)

und f¨ ur die turbulente Str¨ omung im Bereich 0,25 < P r < 10 durch

r∼ =

√ 3 Pr .

(3.396)

3.11 Kompressible Str¨ omungen

465

b) Die Str¨ omung mit verschwindendem Druckabfall ∂ p/∂x = 0 F¨ ur eine Str¨ omung mit verschwindendem Druckabfall ∂ p/∂x vereinfacht sich die Impulsgleichung (3.376) zu

 dwx ∂ τxy ∂ ∂ wx  = = η . (3.397) dy ∂y ∂y ∂y Sie stimmt in ihrer Form mit der Energiegleichung (3.382) f¨ ur ein Fluid mit Pr = 1 u berein ¨

 ∂ ∂ hg dhg = η .  dt ∂y ∂y Es existiert daher eine Partikul¨ arl¨ osung hg = a0 wx + a1 ,

(3.398)

denn ist wx (x, y) eine L¨ osung der Impulsgleichung, so ist hg (x, y) eine L¨osung ussen aus den folgenden der Energiegleichung. Die Konstanten a0 und a1 m¨ Randbedingungen bestimmt werden: hg (y = 0) = h0 hg (y = δ) = hgδ .

(3.399)

Damit lautet die L¨ osung von (3.398) hg − h0 =

wx (hgδ − h0 ) wδ

(3.400)

oder mit hg = h + wx2 /2: wx w2 cp (T − T0 ) + x = 2 wδ



w2 cp (Tδ − T0 ) + δ 2

 ,

worin T0 die Wandtemperatur ist. Zusammen mit (3.390) und der Mach-Zahl M aδ = wδ /wSδ ergibt sich hieraus die f¨ ur ideale Gase mit der Prandtl-Zahl P r = 1 g¨ ultige Beziehung

 wx T0 Tδ − T0 wx κ−1 T 2 wx 1− . (3.401) = + + M aδ Tδ Tδ Tδ wδ 2 wδ wδ Auch in diesem Fall ist das Temperaturprofil eindeutig mit dem Geschwindigkeitsprofil gekoppelt. Im Fall sehr kleiner Mach-Zahlen M a → 0, also der inkompressiblen Str¨ omung eines idealen Gases, ergibt sich hieraus T = T0 + (Tδ − T0 )

wx . wδ

Daraus folgt die u armestromdichte ¨ bertragene W¨

(3.402)

466

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

q˙ = α (T0 − Tδ ) = −λ Es ist somit

λ α= wδ



∂ wx ∂y

 = y=0

∂T ∂y

 . y=0

λ τ0 . η wδ

Beachtet man noch die Definition des Reibungsbeiwertes cf = τ0 /( wδ2 /2) und f¨ uhrt man die Reynolds-Zahl Re = wδ x/ν ein, so erh¨alt man die bereits bekannte Analogie zwischen W¨ arme- und Impulsaustausch αx cf = N ux = Re , λ 2

g¨ ultig f¨ ur

Pr = 1 .

(3.403)

Als Sonderfall ist in (3.401) auch die L¨ osung f¨ ur eine adiabat isolierte ebene Wand enthalten. F¨ ur sie ist





  ∂T ∂T ∂ wx = =0 . ∂y y=0 ∂wx y=0 ∂y y=0 Da der Geschwindigkeitsanstieg (∂ wx /∂y)y=0 an der Wand von null verschieden ist, muss (∂ T /∂wx )y=0 verschwinden. Durch Ableiten von (3.401) findet man

 ∂T 1 Tδ − T0 1 κ−1 M a2δ =0= + . (3.404) ∂wx y=0 Tδ wδ 2 wδ Daraus erh¨ alt man die Wandtemperatur T0 κ−1 M a2δ . =1+ Tδ 2 Sie ist, wie der Vergleich mit (3.392) zeigt, gleich der Eigentemperatur Te . Abb. 3.58 zeigt die Temperaturen T /Tδ nach (3.401) in Abh¨angigkeit von den Geschwindigkeiten wx /wδ . Der Verlauf des Temperaturprofils q˙ = 0, T0 = Te ist als dick durchgezogene Kurve in Abb. 3.58 eingezeichnet. Bei W¨armezufuhr von der Wand an

Abb. 3.58: Temperatur- und Geschwindigkeitsprofile in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase; ∂ p/∂x 1 = 0; nach (3.401)

3.11 Kompressible Str¨ omungen

467

das Fluid muss die Wandtemperatur T0 u ¨ ber der Eigentemperatur Te liegen, also T0 κ−1 M a2δ (Heizung des Fluids) >1+ Tδ 2 sein, w¨ ahrend bei K¨ uhlung die Wandtemperatur T0 unter der Eigentemperatur Te liegt und somit gilt T0 κ−1 M a2δ Te bei Die Kurve T0 = Te f¨ ur K¨ uhlung. Im Grenzfall M aδ = 0 Heizung des Fluids von denen T0 < Te f¨ geht (3.401) in die gestrichelt eingezeichnete Gerade u ¨ ber. Um die verschiedenen F¨ alle — Heizung, K¨ uhlung oder adiabate Wand — zu unterscheiden, f¨ uhrt man in (3.401) einen W¨arme¨ ubergangsparameter ϑ+ =

Te − T0 Te − Tδ

(3.405)

ein. Sein Vorzeichen gibt an, ob eine Wand adiabat isoliert, das Fluid beheizt ur die adiabat oder gek¨ uhlt wird. Bei Heizung ist T0 > Te und ϑ+ < 0, f¨ isolierte Wand ist T0 = Te und ϑ+ = 0 und bei K¨ uhlung ist T0 < Te und ϑ+ > 0. Zwischen der Wandtemperatur T0 und dem W¨arme¨ ubergangsparameter besteht ein einfacher Zusammenhang, denn es folgt aus (3.405)

 Te T0 Te Te = − ϑ+ + ϑ+ = 1 + − 1 (1 − ϑ+ ) . Tδ Tδ Tδ Tδ Mit der Eigentemperatur nach (3.392) kann man hierf¨ ur schreiben κ−1 T0 =1+ M a2δ (1 − ϑ+ ) . Tδ 2

(3.406)

Einsetzen von (3.406) in (3.401) ergibt eine andere Form von (3.401), die nun den W¨ arme¨ ubergangsparameter enth¨ alt:



 T κ−1 wx wx M a2δ 1 − =1+ 1 − ϑ+ + . (3.407) Tδ 2 wδ wδ Nach dieser f¨ ur P r = 1 und ideale Gase g¨ ultigen Gleichung kann man das Temperaturprofil durch das Geschwindigkeitsprofil und den Parameter ϑ+ beschreiben. Setzt man als N¨ aherung das Geschwindigkeitsprofil der Blasiusschen L¨ osung aus Abschnitt 3.7.1.1 ein, so erh¨alt man die in Abb. 3.59 beispielhaft f¨ ur M aδ = 2 dargestellten Temperaturprofile als Funktion des Wandabstands η + . Sie geben wegen der Vereinfachung nur den ungef¨ahren Temperaturverlauf wieder.

468

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.59: Temperaturprofile in einer kompressiblen Str¨ omung idealer Gase. Kurvenparameter ϑ+ = (Te − T0 )/(Te − Tδ ). Bei Heiuhlung T0 < Te und ϑ+ > 0. zung ist T0 > Te und ϑ+ < 0, bei K¨

3.11.2 Berechnung des W¨ armeu ¨ bergangs Die von einer Oberfl¨ ache vorgegebener Temperatur ϑ0 = ϑe u ¨ bertragene W¨ armestromdichte erh¨ alt man durch L¨ osung der Impuls- und Energiegleichung unter Ber¨ ucksichtigung der Dissipation. Dazu f¨ uhrt man, wie schon in Abschnitt 3.1.1 u osung der Grenzschichtgleichungen er¨ortert, Grenz¨ ber die L¨ schichtkoordinaten ein und u uhrt die partiellen Differentialgleichungen in ¨ berf¨ gew¨ ohnliche, die sich jedoch nur numerisch l¨osen lassen. Eine solche L¨osung haben Eckert und Drake [3.62] f¨ ur die inkompressible Str¨omung eines Fluids entlang einer ebenen Platte konstanter Wandtemperatur angegeben. Danach l¨ asst sich die von der Platte u ortliche W¨armestromdichte in guter ¨ bertragene ¨ N¨ aherung durch 1/3 q(x) ˙ = 0,332 Re1/2 x Pr

λ (T0 − Te ) g¨ ultig f¨ ur x

0,6 ≤ P r ≤ 10

(3.408)

beschreiben. Dieses Ergebnis legt es nahe, einen W¨arme¨ ubergangskoeffizienten α zu definieren durch q˙ = α (T0 − Te ) . (3.409) Die mit diesem W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten gebildete ¨ortliche Nußelt-Zahl N ux =

αx 1/3 = 0,332 Re1/2 x Pr λ

(3.410)

stimmt dann mit der f¨ ur die inkompressible Str¨omung gefundenen Beziehung (3.176) f¨ ur 0,6 < P r < 10 u ¨ berein. Zur Berechnung des u armestroms berechnet man daher ¨bertragenen W¨ nach dem Vorschlag von Eckert und Drake [3.62] die W¨arme¨ ubergangskoeffizienten aus den bekannten Nußelt-Beziehungen und multipliziert dann mit der Differenz zwischen Wand- und Eigentemperatur, um die u ¨ bertragene W¨armestromdichte zu ermitteln. Da die Nußelt-Beziehungen unter der Annahme

3.11 Kompressible Str¨ omungen

469

konstanter Stoffwerte abgeleitet wurden, tats¨ achlich jedoch Dichte, Viskosit¨at und W¨ armeleitf¨ ahigkeit in einer kompressiblen Str¨omung wegen der großen Temperaturunterschiede stark ver¨ anderlich sind, bezieht man die Stoffwerte ur die Eckert [3.63] aufgrund numerischer auf eine Referenztemperatur Tref , f¨ Rechnungen die empirische Gleichung Tref = T∞ + 0,5 (T0 − T∞ ) + 0,22 (Te − T∞ )

(3.411)

vorschlug, worin T∞ die Temperatur in großem Abstand von der Wand ist. Sie ist in einer Grenzschichtstr¨ omung gleich der Temperatur Tδ am Rand der Grenzschicht. Die Eigentemperatur erh¨ alt man aus (3.394) mit dem RecoveryFaktor nach (3.395) oder (3.396). Auf diese Weise kann man den W¨arme¨ ubergang an laminar und an turbulent str¨ omende Fluide berechnen. Beispiel 3.18: Luft vom Druck 0,1 MPa und der Temperatur 20 str¨ omt mit einer Geschwindigkeit von 600 m/s u ¨ber eine 1 m lange und 1 m breite ebene Platgehalten wird. Man berechne den u te, deren Temperatur auf 60 ¨ bertragenen W¨ armestrom. Folgende Stoffwerte der Luft sind gegeben: Kinematische Viskosit¨ at ν(40 ) = ) = 20,6 · 10−6 m2 /s, ν(74,9 ) = 20,82 · 10−6 17,26 · 10−6 m2 /s, ν(73 m2 /s, Gaskonstante R = 0,2872 kJ/kgK, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ(73 ) = 0,0295 W/Km, λ(74,9 ) = 0,0297 W/Km, Adiabatenexponent κ = 1,4, Prandtl-Zahl P r(74,9 ) = 0,709. Wir berechnen zuerst die Reynolds-Zahl am Plattenende, um festzustellen, ob die Str¨ omung dort laminar oder turbulent ist. Bezugstemperatur f¨ ur die Stoffwerte, (ϑ0 + ϑδ )/2 = (60 + 20) /2 = 40 . Damit wird Re =

600 m/s · 1 m wm L = = 3,476 · 107 . ν 17,26 · 10−6 m2 /s

Die Str¨ omung am Plattenende ist turbulent, am Plattenanfang ist sie laminar. Weiter ist p √ wSδ = κ RTδ = 1,4 · 0,2872 · 103 Nm/kgK · 293,15 K = 343,3 m/s und M aδ =

wδ 600 m/s = 1,748 . = wSδ 343,3 m/s

Die Staupunktstemperatur ist nach (3.393) » – » – κ−1 1,4 − 1 M a2δ = 293,15 K 1 + 1,7482 = 472,2 K . TSt = Tδ 1 + 2 2 Die Eigentemperatur folgt aus (3.394) mit dem Recovery-Faktor nach (3.395) im Bereich der laminaren Str¨ omung und mit dem Sch¨ atzwert P r ≈ 0,7: √ p Te = P r (TSt − Tδ ) + Tδ = 0,7 · (472,2 − 293,15) K + 293,15 K = 443 K . Hierf¨ ur ist die Prandtl-Zahl P r = 0,705; die Annahme P r ≈ 0,7 muss also nicht ur die Stoffwerte ist nach (3.411) korrigiert werden. Die Referenztemperatur Tref f¨ Tref = 293,15 K+0,5·(333,15−293,15) K+0,22·(443−293,15) K = 346,12 K = 73

.

470

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Die kritische Reynolds-Zahl f¨ ur den Umschlag laminar-turbulent ist Recr =

wδ xcr = 5 · 105 , ν

daraus

5 · 105 · 20,6 · 10−6 m2 /s = 0,0172 m . 600 m/s Die mittlere Nußelt-Zahl, der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient und der mittlere W¨ armestrom sind nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 1 im laminaren Bereich xcr =

1/2

N um, lam = 0,664 · Recr P r 1/3 = 0,664 · (5 · 105 )1/2 · 0,7091/3 = 418,7 αm, lam = N um, lam

0,0295 W/Km λ = 418,7 · = 718 W/m2 K . xcr 0,0172 m

Q˙ lam = αm, lam A (ϑ0 − ϑe ) = 718 W/m2 K · 0,0172 m · 1 m · (333,15 − 443) K = −1,357 kW . Im turbulenten atzen wir wieder P r ≈ 0,7. Dann ist der Recovery-Faktor √ √ Teil sch¨ r = 3 P r = 3 0,7 = 0,8879. Die Eigentemperatur folgt aus (3.394) mit (3.396) zu √ 3 Te = P r (TSt − Tδ ) + Tδ = 0,8879 · (472,2 − 293,15) K + 293,15 K = 452 K = 179 . Hierf¨ ur ist die Prandtl-Zahl P r = 0,705; die urspr¨ ungliche Sch¨ atzung muss nicht korrigiert werden. Die Referenztemperatur f¨ ur die Stoffwerte ist nach (3.411) Tref = 293,15 K+0,5·(333,15−293,15) K+0,22·(452−293,15) K = 348,1 K = 74,9

.

Die Reynolds-Zahl im turbulenten Bereich ist Re =

600 m/s · (1 − 0,0172) m = 2,833 · 107 . 20,82 · 10−6 m2 /s

Die gesuchten Gr¨ oßen im turbulenten Bereich sind nach Abschnitt 3.7.4, Nr. 1 0,037 Re0,8 P r 1 + 2,443 Re−0,1 (P r2/3 − 1) ` ´0,8 0,037 · 2,883 · 107 · 0,709 = = 2,68 · 104 1 + 2,443 · (2,833 · 107 )−0,1 · (0,7092/3 − 1)

N um, turb =

αm, turb = N um, turb λ/L = 2,68 · 104 ·

0,0297 W/Km = 810 W/m2 K . (1 − 0,0172) m

Q˙ turb = αm, turb A (T0 − Te ) = 810 W/m2 K · (1 − 0,0172) m · 1 m · (333,15 − 452) K = −94,6 kW . Insgesamt wird der Platte ein W¨ armestrom Q˙ = Q˙ lam + Q˙ turb = −95,96 kW zugef¨ uhrt. Um die Plattentemperatur konstant zu halten, muss man diesen W¨ armestrom abf¨ uhren.

3.12 Aufgaben

471

3.12 Aufgaben 3.1: Gips- und Zuckerkristalle leiten W¨ arme in Richtung der Koordinatenachsen unterschiedlich. Ihre W¨ armeleitf¨ ahigkeit ist durch folgenden Tensor gegeben 0 1 λ11 λ12 0 λii = @ λ21 λ22 0 A . 0 0 λ33 Wie groß sind die W¨ armestromdichten in Richtung der einzelnen Koordinatenachsen, und wie lautet die Differentialgleichung der station¨ aren W¨ armeleitung unne, planparallele ebene Platte? durch eine in x2 -Richtung d¨ 3.2: Es soll der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an eine mit Chloroform u omte kleine Kugel vom Durchmesser d0 bestimmt werden. Zu diesem ¨berstr¨ Zweck werden Versuche mit Wasser an einer Kugel von zehnfachem Durchmesser ausgef¨ uhrt. a) Bei welcher Temperatur muss man die Versuche ausf¨ uhren, wenn die mittlere agt? Temperatur des Chloroforms T0 = 293 K betr¨ b) Es interessieren die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten an das Chloroform bei Anstr¨ omgeschwindigkeiten im Bereich 0,2 m/s ≤ wα ≤ 2 m/s. In welchem Geschwindigkeitsbereich sind die Versuche mit Wasser auszuf¨ uhren? c) In den Modellversuchen findet man f¨ ur einen bestimmten Zustand den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αM = 250 W/m2 K. Wie groß ist der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an der mit Chloroform u omten Kugel ¨ berstr¨ bei gleicher Reynolds- und Prandtl-Zahl? Folgende Stoffwerte von Chloroform sind bei T0 = 293 K bekannt: ν = 0,383 · 10−6 m2 /s, λ = 0,121 W/Km, P r = 4,5. Die Stoffwerte von Wasser kann man aus beigef¨ ugtem Diagramm, Abb. 3.60, ablesen.

Abb. 3.60: Stoffwerte von Wasser

472

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

3.3: Die W¨ armeverluste eines Ventils durch laminare freie Str¨ omung an Helium sollen an einem im Maßstab 1:2 verkleinerten Modell bestimmt werden. Am Modell misst man bei einer Temperaturdifferenz ΔϑM = 20 K zwischen der Modelloberfl¨ ache und der Helium-Umgebung einen W¨ armeverluststrom Q˙ M = 200 W. Wie groß ist der W¨ armeverluststrom Q˙ O des Originals, wenn die Temperaturdifferenz zwischen dessen Oberfl¨ ache und der Helium-Umgebung ΔϑO = 15 K betr¨ agt? Die Stoffwerte von Helium seien f¨ ur Original und Modell gleich groß. 3.4: Aus Messungen des W¨ arme¨ ubergangs an einem u omten K¨ orper ist ¨berstr¨ oßen bekannt, dass der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm von folgenden Gr¨ abh¨ angt αm = f (L, wm , , λ, ν, c) . ¨ Man zeige mit Hilfe der Ahnlichkeitstheorie, dass sich der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient als Funktion von drei Variablen darstellen l¨ asst N u = f (Re, P r) mit N u = αm L/λ, Re = wm L/ν und P r = ν/a. 3.5: Die Untersuchung aufsteigender Gasblasen in mit Fl¨ ussigkeit gef¨ ullten vertikalen zylindrischen Rohren ist von technischem Interesse, z.B. f¨ ur die Auslegung von Mammutpumpen, Umlaufverdampfern u.a.m. Die Berechnung dieses Vorgangs ist aber schwierig, auch wenn er stark idealisiert wird. Mit Hilfe der Dimensionsanalyse lassen sich in diesem Fall weitgehende Aussagen u osung machen. Das Problem werde wie folgt idealisiert: ¨ber die Form der L¨ – Es soll sich um eine fast den ganzen Rohrquerschnitt ausf¨ ullende sehr große Luftblase in Wasser handeln, s. Abb. 3.61.

Abb. 3.61: Luftblase in Wasser – Luft und Wasser werden als reibungsfrei und inkompressibel angesehen. – Kapillarkr¨ afte werden vernachl¨ assigt. – Die Blase bewege sich mit der station¨ aren Geschwindigkeit w nach oben. Unter diesen Voraussetzungen wird der physikalische Vorgang des Aufsteigens durch folgende Einflussgr¨ oßen beschrieben: w, g, d, W , L . g bedeutet die Fallbeschleunigung, d den Rohrdurchmesser, L die Dichte der Luft, W die Dichte des Wassers.

3.12 Aufgaben

473

a) Man bestimme die den Vorgang beschreibenden dimensionslosen Kenngr¨ oßen π1 , π2 , . . . , πn . b) Welche Aussagen lassen sich aus der Beziehung π1 = f (π2 , π3 , . . . , πn ) zwischen den Kenngr¨ oßen u ¨ ber die Form der Gleichung w = f (g, d, W , L ) machen? 3.6: Das Geschwindigkeitsprofil in der Grenzschicht l¨ asst sich n¨ aherungsweise durch den Ansatz ” “ πy wx = sin wδ 2δ beschreiben, der ebenfalls den Randbedingungen wx (y = 0) = 0; wx (y = δ) = wδ ; (∂ wx /∂y)y=0 = 0 und (∂ 2 wx /∂y 2 )y=0 = 0 gen¨ ugt. Man berechne die Grenzschichtdicke δ(x). 3.7: Heiße Luft von 300 und einem Druck von 0,01 MPa str¨ omt mit einer Geschwindigkeit von 10 m/s u armestrom ¨ ber eine 1 m lange ebene Platte. Welchen W¨ ache abf¨ uhren, wenn man die Plattentemperatur muss man je m2 Plattenoberfl¨ halten will? auf 25 Gegeben sind die kinematische Viskosit¨ at ν1 (p1 = 0,1 MPa, ϑm = 162,5 ) = arme30,84 · 10−6 m2 /s, die Prandtl-Zahl P r(ϑm = 162,5 ) = 0,687 und die W¨ leitf¨ ahigkeit von Luft λ(ϑ = 162,5 ) = 3,64 · 10−2 W/Km. 3.8: Feuchte Luft von 20 und einer relativen Feuchte ϕ = 0,5 str¨ omt u ¨ ber einen omt u See von ebenfalls 20 . Der See ist 200 m · 50 m groß und die Luft str¨ ¨ ber die L¨ angsfl¨ ache mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s. Wieviel Wasser verdunstet st¨ undlich? Gegeben sind die Viskosit¨ at der Luft ν(20 ) = 1,535 · 10−5 m2 /s, die SchmidtZahl f¨ ur Wasserdampf-Luft Sc = ν/D = 0,6, der S¨ attigungsdruck von Was) = 2,337 · 10−3 MPa und die S¨ attigungsdichte  (20 ) = ser pWS (20 0,01729 kg/m3 . 3.9: Ein d¨ unnwandiges Stahlrohr von 60 m L¨ ange und 50 mm Innendurchmesser wird von außen durch kondensierenden Wasserdampf beheizt, der eine aufrecht erh¨ alt. Das Rohr wird von innen Innenwandtemperatur von 100 omt, das sich dabei von 20 auf von V˙ = 2,5 · 10−4 m3 /s Wasser durchstr¨ erw¨ armt. Wie groß ist der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient u 60 ¨ ber die Rohrl¨ ange? armekaStoffwerte des Wassers bei 20 : Dichte  = 998,3 kg/m3 , spezifische W¨ pazit¨ at cp = 4,178 kJ/kgK. 3.10: Ein Solarkollektor, siehe Abb. 3.62, besteht aus einem parabolischen Reflektor und einem Absorberrohr, dessen Achse sich im Brennpunkt des Reflektors befindet. Der Reflektor konzentriert die empfangene Sonnenstrahlung auf das Absorberrohr, durch welches Wasser mit einer mittleren Geschwindigkeit von 0,03 m/s str¨ omt und dabei erw¨ armt wird. Wie lang m¨ ussen Reflektor und Rohr auf ϑa = 80 aufgew¨ armt werden soll und die sein, wenn Wasser von ϑe = 20 agt? Wie hoch ist die Innentemperatur Sonneneinstrahlung q˙S = 800 W/m2 betr¨ der Rohrwand im Austrittsquerschnitt? Der Reflektor hat eine Seitenl¨ ange von s = 2 m, der Innendurchmesser des Rohres ist di = 60 mm, der Außendurchmesser da = 65 mm.

474

3 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang. Einphasige Str¨ omungen

Abb. 3.62: Solarkollektor mit Reflektor und Absorber Weiter seien gegeben die Stoffwerte des Wassers: Spezifische W¨ armekapazit¨ at arme¨ ubercp = 4,181 kJ/kgK, Dichte bei 20 :  = 998,3 kg/m3 . Der o ¨rtliche W¨ gangskoeffizient im Austrittsquerschnitt sei α = 264 W/m2 K. 3.11: 0,2 kg/s u omen durch ein ¨ berhitzter Wasserdampf vom Druck 0,1 MPa str¨ nicht isoliertes Stahlrohr von 25 mm Innendurchmesser und 5 m L¨ ange. Der Wasin die Rohrleitung ein und serdampf tritt mit einer Temperatur von ϑe = 150 ab. Das Rohr ist von k¨ uhlt sich bis zum Austrittsquerschnitt auf ϑa = 120 umgeben; der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient von kalter Luft von ϑ0 = 0 armeder Rohroberfl¨ ache an die Luft ist αa = 15 W/m2 K. Man berechne den W¨ verlust an die Umgebungsluft und die Oberfl¨ achentemperatur des Rohres im Austrittsquerschnitt. Der W¨ armewiderstand der Rohrwand sei vernachl¨ assigbar. Folgende Stoffwerte des Wasserdampfs sind gegeben: Spezifische W¨ armekapazit¨ at armeleitf¨ ahigkeit λ(135 ) = 0,0276 W/Km, dycp (135 ) = 1,995 kJ/kgK, W¨ namische Viskosit¨ at η(135 ) = 13,62 · 10−6 kg/sm, Prandtl-Zahl P r(135 ) = 0,986. ¨ 3.12: Uber eine ungeordnete Kugelsch¨ uttung, deren Oberfl¨ achentemperatur durch verdunstendes Wasser konstant auf der K¨ uhlgrenztemperatur von 21,5 gehalten wird, str¨ omt Luft von ϑL = 40 und der relativen Feuchte ϕ = 0,2. Die Luft bel¨ adt sich dabei mit Wasserdampf. Man berechne a) den u armestrom und ¨ bertragenen W¨ b) den u ¨ bertragenen Mengenstrom des Wassers. Folgende Werte sind gegeben: Kugeldurchmesser d = 0,02 m, Kanalquerschnitt ohne Kugeln A0 = 1 m2 , Luftgeschwindigkeit bezogen auf A0 : wm = 2 m/s, L¨ uckengrad ε = 0,4, Sch¨ utth¨ ohe H = 0,65 m, S¨ attigungsdruck des Wasserdamparmeleitf¨ ahigkeit der Luft bei (ϑL + ϑ0 )/2 = fes pWS (40 ) = 73,75 mbar, W¨ : λ = 0,0262 W/Km, Prandtl-Zahl P r = 0,72, kinematische Visko30,75 sit¨ at ν = 1,64 · 10−5 m2 /s, Verdampfungsenthalpie des Wassers bei 21,5 : Δhv = 2450,8 kJ/kg. 3.13: In einer Wirbelschicht dient heißer Sand von 850 zur Erw¨ armung atauf praktisch mosph¨ arischer Luft vom Druck 0,1 MPa und der Temperatur 20 uhrt. ebenfalls 850 . Die heiße Luft wird anschließend einer Brennkammer zugef¨ Man berechne die Gebl¨ aseleistung und die der Luft zuzuf¨ uhrende W¨ arme. Gegeben: Innendurchmesser der Wirbelkammer 3 m, kinematische Viskosit¨ at der Luft ν(850 ) = 1,513 · 10−4 m2 /s, Gaskonstante der Luft 0,2872 kJ/kgK, mittund 850 : cp = 1,163 kJ/kgK, spez. lere spez. W¨ armekapazit¨ at zwischen 30 W¨ armekapazit¨ at cp (20 ) = 1,007 kJ/kgK, Dichte des Sandes S = 2500 kg/m3 , arizit¨ at ϕS = 0,86, H¨ ohe H0 der ruhenPartikeldurchmesser dP = 0,5 mm, Sph¨ uckengrad der ruhenden Sandschicht εS = 0,36, den Sandschicht H0 = 0,5 m, L¨

3.12 Aufgaben

475

uckengrad bei 10-facher LockeL¨ uckengrad am Lockerungspunkt εL = 0,44, L¨ rungsgeschwindigkeit ε = 0,55, Gebl¨ asewirkungsgrad ηv = 0,7. 3.14: Die Temperatur einer bodennahen Luftschicht sei bis zu 100 m H¨ ohe konanglich stant 15 . Aus einem Kamin werden stark CO2 -haltige Abgase von anf¨ ausgestoßen. Man pr¨ ufe, ob die Abgase noch h¨ oher als 100 m aufsteigen 170 k¨ onnen. Gegeben sind: Gaskonstante der Luft RL = 0,2872 kJ/kgK, Gaskonstante der Abgase RG = 0,1889 kJ/kgK, Adiabatenexponent der Abgase κ = 1,3, Luftdruck am Erdboden p1 = 0,1 MPa. 3.15: Eine 60 heiße, senkrecht stehende quadratische Platte der Abmessungen L = b = 1 m wird von oben nach unten von Luft vom Druck 0,1 MPa und der mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s angestr¨ omt. Welchen Temperatur 20 W¨ armestrom gibt die Platte ab? Folgende Stoffwerte der Luft bei der mittleren Grenzschichttemperatur von 40 sind gegeben: W¨ armeleitf¨ ahigkeit λ = 0,02716 W/Km, kinematische Viskosit¨ at ν = 17,26 · 10−6 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,7122. Ferner ist der thermische β∞ = 1/T∞ = 3,411 · 10−3 K−1 . Ausdehnungskoeffizient bei 20 3.16: Eine 0,4 m hohe senkrechte Platte eines mit q˙ = 15 W/m2 elektrisch beheizten Heizk¨ orpers wird von atmosph¨ arischer Luft vom Druck 0,1 MPa mit der u omt. Temperatur 10 ¨ berstr¨ Man berechne den Verlauf der Plattentemperatur u ohe. ¨ ber der Plattenh¨ Da die mittlere Grenzschichttemperatur unbekannt ist, rechne man n¨ aherungsarmeleitf¨ ahigkeit weise mit den Stoffwerten der Luft von 10 . Diese sind: W¨ λ = 0,02494 W/Km, kinematische Viskosit¨ at ν = 14,42 · 10−6 m2 /s, Prandtl-Zahl P r = 0,716, thermischer Ausdehnungskoeffizient β∞ = 1/T∞ = 3,532·10−3 K−1 . 3.17: Bier in zylindrischen Dosen von 150 mm H¨ ohe und 60 mm Durchmesser hat uhlschrank, dessen Lufttemperatur eine Temperatur von 27 und soll in einem K¨ betr¨ agt, gek¨ uhlt werden. 4 Wann k¨ uhlt das Bier schneller ab: Wenn man die Dosen in den K¨ uhlschrank legt oder wenn man sie stellt? Man rechne n¨ aherungsweise mit den Stoffwerten von Luft f¨ ur die anf¨ angliche ur ist die W¨ armeleitf¨ ahigMitteltemperatur von (27 + 4) /2 = 15,5 . Hierf¨ keit λ = 0,0235 W/Km, die kinematische Viskosit¨ at ν = 14,93 · 10−6 m2 /s, die Prandtl-Zahl P r = 0,715, weiter ist der thermische Ausdehnungskoeffizient β∞ = 1/T∞ = 3,608 · 10−3 K−1 . 3.18: Man berechne die Temperatur der Außenhaut einer Flugzeugoberfl¨ ache. Das Flugzeug fliegt in einer H¨ ohe von 10 000 m mit einer Geschwindigkeit von 700 km/h. Die Lufttemperatur in 10 000 m H¨ ohe betrage −50 . ache ist von der Klimaanlage zuWelcher W¨ armestrom je m2 Flugzeugoberfl¨ zu halten? zuf¨ uhren, um die Innentemperatur Ti auf 20 Gegeben sind folgende Stoffwerte der Luft: Adiabatenexponent κ = 1,4, Gaskonstante R = 0,2872 kJ/kgK. Weiter ist der W¨ armewiderstand der Flugzeugarme¨ ubergangskoeffizient auf der Innenseite haut λ/δ = 5 m2 K/W und der W¨ αi = 10 W/m2 K. ¨ 3.19: Eine Tragfl¨ ache wird von Luft mit Uberschallgeschwindigkeit u omt. ¨ berstr¨ ache soll Die Mach-Zahl M aδ sei 2, die Temperatur der Außenhaut der Tragfl¨ ansteigen. nicht u ¨ber 300 Von welcher Lufttemperatur an muss man die Tragfl¨ ache k¨ uhlen?

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoffu omungen mit ¨ bergang. Str¨ Phasenumwandlungen

Einige der im Folgenden zu behandelnden Vorg¨ange des konvektiven W¨armeund Stoff¨ ubergangs mit Phasenumwandlung sind schon in den bisherigen Kapiteln er¨ ortert worden, dazu geh¨ oren die Verdunstung einer Fl¨ ussigkeit an der Grenzfl¨ ache zwischen einem Gas und einer Fl¨ ussigkeit oder die Sublimation an einer Gas-Feststoff-Grenzfl¨ ache. Sie ließen sich mit den Methoden des konvektiven W¨ arme- und Stoff¨ ubergangs beschreiben. In vielen Prozessen des W¨ arme- und Stoff¨ ubergangs in Fluiden spielen jedoch Vorg¨ ange des Kondensierens oder Siedens an festen Oberfl¨achen eine entscheidende Rolle. In W¨ armekraftanlagen wird Wasser von hohem Druck im Kessel verdampft und der Dampf, nachdem er in der Turbine entspannt wurde, wieder in einem Kondensator verfl¨ ussigt. In Kompressions- und Absorptionsk¨ alteanlagen und in W¨ armepumpen sind Verdampfer und Kondensatoren wichtige Bestandteile der Anlage. Zur Stofftrennung von Gemischen macht man sich die unterschiedliche Zusammensetzung von D¨ampfen im Gleichgewicht mit ihren Fl¨ ussigkeiten zunutze. Verdampfung und Kondensation sind daher charakteristisch f¨ ur viele Stofftrennprozesse in der Verfahrenstechnik. Als Beispiele seien das Eindampfen, das Kondensieren, die Destillation, die Rektifikation und die Absorption von Fluiden genannt. Um eine Fl¨ ussigkeit zu verdampfen oder einen Dampf zu kondensieren, ist die Verdampfungsenthalpie zu- bzw. abzuf¨ uhren. Die Phasenumwandlung erfordert unter der Voraussetzung thermodynamischen Gleichgewichts keine Temperaturdifferenz zwischen den Phasen. In Wirklichkeit muss jedoch, da zumindest ein kleines Ungleichgewicht f¨ ur den Ablauf der Phasenumwandlung erforderlich ist, eine, wenn auch kleine, Temperaturdifferenz vorhanden sein. W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten beim Kondensieren und Verdampfen sind im Allgemeinen viel gr¨ oßer als die f¨ ur konvektiven W¨arme¨ ubergang ohne Phasenwandel. Hinzu kommt, dass die Dichtedifferenz zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit groß ist, sofern die Phasenumwandlung hinreichend weit vom kritischen Gebiet entfernt abl¨ auft. Es treten daher starke Auftriebskr¨afte arme- und Stoff¨ ubergang durch freie Str¨omung (L − G )g auf, so dass W¨

478

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

unterst¨ utzt werden. Im Folgenden wollen wir uns mit diesen Vorg¨angen auseinandersetzen.

4.1 W¨ armeu ¨bergang beim Kondensieren Kommt ein Dampf mit einer Wand in Ber¨ uhrung, deren Temperatur niedriger als die S¨ attigungstemperatur des Dampfes ist, so wird Dampf an der Wandoberfl¨ ache verfl¨ ussigt. Hierbei entsteht Kondensat, das infolge seines Kontakts mit der Wandoberfl¨ ache unterk¨ uhlt wird, so dass sich weiterer Dampf auf dem zuvor gebildeten Kondensat niederschlagen kann. Die Kondensation von D¨ ampfen ist daher stets mit einem Stofftransport verbunden, bei dem der Dampf zur Phasengrenze str¨ omt und in die fl¨ ussige Phase u ¨ bergeht. Den Ablauf dieses Vorgangs kann man in mehrere Schritte unterteilen, bei denen mehrere hintereinander geschaltete Teilwiderst¨ande zu u ¨ berwinden sind. Die Anteile der einzelnen Teilwiderst¨ande am gesamten Widerstand k¨ onnen sehr verschieden sein. Zun¨ achst gelangt Dampf infolge Str¨omung (konvektiver Transport) und Molekularbewegung (diffuser Transport) zur Phasengrenze. Im n¨ achsten Schritt kondensiert der Dampf an der Phasengrenze, und anschließend wird die an der Phasengrenze frei werdende Kondensationsenthalpie durch Leitung und Konvektion an die gek¨ uhlte Wand transportiert. Dementsprechend sind drei hintereinandergeschaltete Teilwiderst¨ande zu u armewiderstand in der Dampfphase, der W¨armewider¨berwinden: Der W¨ ¨ stand beim Ubertritt des Dampfes in die fl¨ ussige Phase und der W¨armewiderstand in der fl¨ ussigen Phase. Von diesen Teilwiderst¨ anden ist meistens der in der fl¨ ussigen Phase entscheidend. Der W¨ armewiderstand im Dampf ist wegen der guten Durchmi¨ schung oft gering, kann aber bei großer Uberhitzung eines Dampfes betr¨achtlich sein, ebenso auch bei der Kondensation von Dampfgemischen oder von Gemischen aus D¨ ampfen mit Inertgasen wegen der hemmenden Wirkung der ¨ Diffusion. Zum Ubergang des Dampfes in die fl¨ ussige Phase ist unmittelbar an der Phasengrenze zwischen Dampf und Fl¨ ussigkeit ein Temperaturgef¨alle agt meistens nur wenige hunerforderlich. Dieses ist jedoch sehr klein und betr¨ dertstel Kelvin, wenn man von sehr niedrigen Dr¨ ucken absieht, die bei Wasser unter 0,01 bar liegen [4.1]. Entsprechend ist der zugeh¨orige molekularkineti” sche“ Widerstand an der Phasengrenze vom Dampf zur Fl¨ ussigkeit fast immer vernachl¨ assigbar.

4.1.1 Die verschiedenen Arten der Kondensation Die eigentliche Kondensation kann nun in sehr unterschiedlicher Weise erfolgen. Bildet das Kondensat einen zusammenh¨angenden Film, Abb. 4.1, so spricht man von Filmkondensation. Der Kondensatfilm kann ruhen, laminar

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

479

oder turbulent str¨ omen. Sein W¨ armewiderstand ist, wenn man den molekularkinetischen Widerstand vernachl¨ assigen kann, entscheidend f¨ ur die Kondensationsgeschwindigkeit. Zur Berechnung gen¨ ugt es dann, diesen Widerstand zu ermitteln, wie es Nußelt [4.2] erstmalig f¨ ur den laminar abfließenden Film getan hat.

Abb. 4.1: Filmkondensation

Abb. 4.2: Tropfenkondensation

Statt in Form eines Films kann Kondensat, wie Abb. 4.2 zeigt, auch in Form von Tropfen entstehen. Man nennt diese Art der Kondensation die Tropfenkondensation. Ob Film- oder Tropfenkondensation vorherrscht, h¨angt davon ab, ob die Wand vollst¨ andig oder unvollst¨andig benetzbar ist. Maßgebend daf¨ ur sind die an einen Fl¨ ussigkeitstropfen angreifenden Kr¨afte, wie sie in Abb. 4.3 dargestellt sind. Bedeutet σLG die Grenzfl¨achenspannung (SIEinheit N/m) der Fl¨ ussigkeit (Index L) gegen ihren eigenen Dampf (Index G), σSL die der festen Wand (Index S) gegen die Fl¨ ussigkeit und σSG die der

Abb. 4.3: Grenzfl¨ achenspannungen am Tropfenrand bei unvollst¨ andiger Benetzung. Die Indizes S, L, G bedeuten die feste, die fl¨ ussige und die gasf¨ ormige Phase, β0 den Randwinkel

festen Wand gegen den Dampf, so muss sich im Gleichgewicht ein Randwinkel β0 einstellen nach der Gleichung σSG − σSL = σLG cos β0 .

(4.1)

Endliche Werte des Randwinkels bedeuten unvollst¨andige Benetzung und Tropfenbildung. Ist hingegen β0 = 0, so breitet sich der Tropfen u ¨ber die ganze

480

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Wand aus. Falls die sogenannte Benetzungsspannung σSG − σSL > σLG ist, so kann sich kein Gleichgewicht nach (4.1) mehr einstellen. Es tritt vollst¨andige Benetzung und damit Filmbildung ein. In der Technik hat man oft Dampfgemische zu kondensieren, deren fl¨ ussige Phasen unmischbar sind. Dabei bildet sich, wie Abb. 4.4 zeigt, eine Mischform von Tropfen- und Filmkondensation. In einem ausgedehnten Fl¨ ussigkeitsfilm der einen Phase entstehen mehr oder weniger große Tropfen der anderen Phase, von denen einige bis zur Wand reichen, w¨ahrend andere in dem Fl¨ ussigkeitsfilm eingeschlossen sind oder auf ihm schwimmen. Schließlich kann sich bei ausreichender Unterk¨ uhlung eines Dampfes und bei Anwesenheit von Kondensationskeimen“, das sind winzige Partikel, an ” denen sich Kondensat anlagern kann, ein Nebel bilden, wie es Abb. 4.5 schematisch zeigt.

Abb. 4.4: Kondensation von D¨ ampfen unmischbarer Fl¨ ussigkeiten

Abb. 4.5: Kondensatbildung in Form von Nebeltropfen

4.1.2 Die Nußeltsche Wasserhauttheorie Kondensiert ein Dampf an einer senkrechten oder an einer geneigten Oberfl¨ ache, so bildet sich ein Fl¨ ussigkeitsfilm, der unter dem Einfluss der Schwerkraft abfließt. Wenn die Dampfgeschwindigkeit gering und der Fl¨ ussigkeitsfilm d¨ unn sind, herrscht im Kondensat laminare Str¨omung, und die W¨arme wird haupts¨ achlich durch Leitung von der Kondensatoberfl¨ache zur Wand u ussigkeitsfilm u ¨ bertragen. Die durch Konvektion im Fl¨ ¨bertragene W¨arme ist vernachl¨ assigbar gering. Bereits im Jahre 1916 hat Nußelt [4.2] eine einfache Theorie zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs bei der laminaren Filmkondensation an Rohren und senkrechten oder geneigten W¨ anden angegeben. Diese Theorie wird

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

481

im technischen Schrifttum als Nußeltsche Wasserhauttheorie bezeichnet. Sie soll im Folgenden am Beispiel der Kondensation an einer senkrechten Wand er¨ ortert werden. Wie Abb. 4.6 zeigt, soll ges¨ attigter Dampf der Temperatur ϑs an einer senkrechten Wand kondensieren, deren Temperatur ϑ0 konstant und niedriger als die S¨ attigungstemperatur ist. Es bildet sich ein zusammenh¨angender Kondensatfilm, der unter dem Einfluss der Schwerkraft nach unten fließt und dessen Dicke δ(x) dabei stetig zunimmt. Das Geschwindigkeitsprofil w(y), alt man aus einer Kr¨aftebilanz. Unter wenn w f¨ ur wx geschrieben wird, erh¨ der Annahme einer station¨ aren Str¨ omung sind die von den Schubspannungen ausge¨ ubten Kr¨ afte im Gleichgewicht mit der Schwerkraft, und man erh¨alt entsprechend der Skizze rechts in Abb. 4.6 L g dV +τ (y+ dy) dy dz+p(x) dy dz = τ (y) dx dz+p(x+ dx) dy dz . (4.2) Mit τ (y + dy) − τ (y) = (∂ τ /∂y) dy , p(x) dy dz − p(x + dx) dy dz = −(dp/dx) dx dy dz und dV = dx dy dz erh¨ alt man hieraus

∂τ dp = −L g + . ∂y dx

Abb. 4.6: Laminarer Kondensatfilm an einer senkrechten Wand. Geschwindigkeitsund Temperaturprofil. Kr¨ aftebilanz

Betrachtet man nun den Dampfraum, so gilt dort dp = G g . dx Somit lautet die Kr¨ aftebilanz ∂τ = −(L − G )g . ∂y

(4.3)

482

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Ist das Kondensat eine Newtonsche Fl¨ ussigkeit, so gilt τ = ηL

∂w . ∂y

(4.4)

Unter der Annahme temperaturunabh¨ angiger dynamischer Viskosit¨at geht (4.3) somit u ¨ ber in ∂2w ηL 2 = −(L − G )g , (4.5) ∂y woraus man nach Integration unter der Voraussetzung konstanter Dichte das in der Koordinate y parabolische Geschwindigkeitsprofil w=−

(L − G )g 2 y + c1 y + c0 2ηL

(4.6)

erh¨ alt. Die Koeffizienten c1 und c0 k¨ onnen noch von der Koordinate x abh¨ angen. Zu ihrer Bestimmung stehen zwei Randbedingungen zur Verf¨ ugung: An der Wand, y = 0, ist die Geschwindigkeit w = 0, und wenn man weiter voraussetzt, dass die Dampfgeschwindigkeit nicht sehr groß und infolgedessen die vom Dampf auf den Kondensatfilm ausge¨ ubte Schubspannung gering ist, so ist an der Kondensatoberfl¨ ache y = δ ∂ w/∂y = 0 . Mit diesen beiden Randbedingungen werden c0 = 0

und c1 = (L − G )gδ/ηL ,

so dass man als Geschwindigkeitsprofil (L − G )g 2 w= δ ηL



y y2 − 2 δ 2δ

 (4.7)

erh¨ alt. Die mittlere Geschwindigkeit wm (x) u ¨ber die Filmdicke δ(x) findet man hieraus durch Integration zu 1 wm = δ

δ w dy =

(L − G )g 2 δ . 3ηL

(4.8)

0

Der abfließende Kondensatmassenstrom folgt zu L (L − G )gb 3 M˙ = wm L b δ = δ , 3ηL

(4.9)

¨ und die Anderung dieses Massenstroms mit der Filmdicke ist dM˙ L (L − G )gb 2 = δ . dδ ηL

(4.10)

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

483

Zur Bildung des Kondensatmassenstroms dM˙ ist ein W¨armestrom dQ˙ = Δhv dM˙ abzuf¨ uhren, wenn Δhv die Verdampfungsenthalpie ist. Dieser W¨armestrom wird voraussetzungsgem¨ aß durch reine W¨armeleitung durch den Kondensatfilm u ¨bertragen. Die durch die Konvektion im Kondensatfilm u ¨ bertragene W¨ arme sei vernachl¨ assigbar. Setzt man außerdem konstante W¨armeleitf¨ ahigkeit des Kondensats und damit, wie in Abb. 4.6 eingezeichnet, einen linearen Temperaturverlauf voraus, so ist der l¨ angs eines Fl¨achenstreifens b dx abgef¨ uhrte W¨ armestrom ϑs − ϑ0 b dx . dQ˙ = λL δ Andererseits war aber dQ˙ = Δhv dM˙ , wobei der Kondensatmassenstrom dM˙ durch (4.10) gegeben ist. Damit geht die letzte Gleichung u ¨ ber in λL

ϑs − ϑ0 L (L − G )gb 2 b dx = Δhv dM˙ = Δhv δ dδ , δ ηL

oder es ist δ3

λL ηL dδ = (ϑs − ϑ0 ) , dx L (L − G )gΔhv

woraus man durch Integration unter Beachtung von δ(x = 0) = 0 die Filmdicke zu  1/4 4λL ηL (ϑs − ϑ0 ) δ= x (4.11) L (L − G )gΔhv erh¨ alt. Die Filmdicke w¨ achst mit der vierten Wurzel aus der Laufl¨ange x an. Wegen des als linear vorausgesetzten Temperaturprofils ist der ¨ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α gegeben durch  1/4 L (L − G )gΔhv λ3L 1 λL = , α= δ 4ηL (ϑs − ϑ0 ) x

(4.12)

und der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient f¨ ur eine Wand der H¨ohe H ist 1 αm = H

H α dx = 0

 1/4 4 L (L − G )gΔhv λ3L 1 . α(x = H) = 0,943 3 ηL (ϑs − ϑ0 ) H

(4.13) S¨ amtliche Stoffgr¨ oßen beziehen sich gem¨ aß der Ableitung auf das Kondensat und sind am besten bei der Mitteltemperatur ϑm = (ϑ0 + ϑs )/2 einzusetzen. Mit Hilfe der Energiebilanz f¨ ur den l¨ angs der H¨ohe H gebildeten Kondensatmassenstrom, M˙ Δhv = αm (ϑs − ϑ0 )bH , kann man noch die Temperaturdifferenz ϑs − ϑ0 eliminieren. Man erh¨alt dann die der Gl. (4.13) ¨ aquivalente Beziehung

484

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

αm λL



ηL2 L (L − G )g



1/3 = 0,925

M˙ /b ηL

−1/3 .

(4.13a)

Wie aus den obigen Gleichungen hervorgeht, erzielt man große W¨arme¨ ubergangskoeffizienten, wenn die Temperaturdifferenz ϑs − ϑ0 und die Wandh¨ohe klein sind. In beiden F¨ allen ist der Kondensatfilm d¨ unn und somit der W¨armewiderstand gering. Die obigen Ergebnisse gelten auch f¨ ur die Kondensation von D¨ ampfen an der Innen- oder an der Außenseite von senkrechten Rohren, wenn der Rohrdurchmesser groß im Vergleich zur Filmdicke ist. In (4.13a) ist dann die Breite b = πd zu setzen. Die bisherige Ableitung bezog sich auf die senkrechte Wand oder auf das senkrechte Rohr nicht zu kleinen Durchmessers. Ist die Wand um den Winkel γ gegen die Senkrechte geneigt, so hat man in den vorigen Gleichungen die Fallbeschleunigung g durch ihre wandparallele Komponente g cos γ zu ersetzen. angt dann mit dem f¨ ur die senkrechte Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αγ h¨ Wand nach (4.12) durch folgende Beziehung zusammen αγ = α(cos γ)1/4

und entsprechend αmγ = αm (cos γ)1/4 .

(4.14)

Diese Ergebnisse lassen sich aber nicht auf geneigte Rohre anwenden, weil dann der Fl¨ ussigkeitsfilm nicht gleichm¨ aßig u ¨ ber den Umfang abfließt. Nußelt hat auch den W¨ arme¨ ubergang bei der laminaren Filmkondensation an waagrechten Rohren berechnet. Man erh¨ alt eine Differentialgleichung f¨ ur die Filmdicke, die man numerisch integrieren kann. Bezeichnet man mit d den ¨ außeren Rohrdurchmesser, so lassen sich die Ergebnisse f¨ ur den u ¨ber den Umfang gemittelten W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αm,waag am waagrechten Rohr darstellen durch  1/4 L (L − G )gΔhv λ3L 1 αm,waag = 0,728 = 0,864 αm (H = πd/2) , ηL (ϑs − ϑ0 ) d (4.15) wobei αm der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an der senkrechten Wand nach (4.13) ist.1 Mit Hilfe der Energiebilanz f¨ ur das gebildete Kondensat M˙ Δhv = αm,waag (ϑs − ϑ0 )π d L kann man aus der vorigen Gleichung noch die Temperaturdifferenz eliminieren und sie durch den Kondensatmassenstrom ersetzen. Man erh¨alt dann die der Gl. (4.15) ¨ aquivalente Beziehung αm,waag λL 1



ηL2 L (L − G )g



1/3 = 0,959

M˙ /L ηL

−1/3 .

(4.15a)

Nußelt hat durch graphische Integration in Gl. (4.15) statt des Werts 0,728 den etwas ungenaueren Wert 0,725 ermittelt, der von allen sp¨ ateren Autoren u ¨ bernommen wurde.

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

485

Aus dem Vergleich von (4.15) und (4.13) ergibt sich, dass der mittlere W¨arme¨ ubergangskoeffizient an einem Rohr bei waagrechter Lage sich zu dem des senkrechten Rohres verh¨ alt wie αm,waag /αm = 0,772 (L/d)1/4 .

(4.16)

W¨ ahlt man also beispielsweise eine Rohrl¨ ange von 3 m und einen Durchmesser von 0,029 m, so wird αm,waag = 2,46 αm: An dem Rohr in waagrechter Lage kondensiert rund 2,5 mal so viel Dampf wie an dem in senkrechter Lage. Liegen bei einem waagrechten Rohrregister n Rohre untereinander, so wird der Kondensatfilm der unteren Rohre durch auftreffendes Kondensat verdickt und dadurch der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient verringert. Andererseits wird durch das von oben auftreffende Kondensat die Konvektion im Fl¨ ussigkeitsfilm verst¨ arkt und so die Wirkung des h¨ oheren W¨armewiderstands teilweise ur n u aufgehoben. Als Mittelwert des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αmn f¨ ¨ bereinanderliegende Rohre erh¨ alt man nach Nußelt αmn /αm1 = n−1/4 , wenn αm1 der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient f¨ ur das oberste Rohr nach (4.15) ist. Dabei ist jedoch nicht die Verbesserung des W¨arme¨ ubergangs durch die von auftreffendem Kondensat hervorgerufene st¨ arkere Konvektion ber¨ ucksichtigt. Der so berechnete W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αmn ist also etwas zu klein. Genauere Werte erh¨ alt man nach Chen [4.3], wenn man außerdem ber¨ ucksichtigt, dass der Fl¨ ussigkeitsfilm sich mit dem von oben herabrieselnden Kondensat mischt und dadurch unterk¨ uhlt wird, so dass neuer Dampf kondensieren kann. Auf diese Weise ergibt sich   cpL (ϑs − ϑ0 ) (n − 1) n−1/4 αm1 , (4.17) αmn = 1 + 0,2 Δhv arme¨ ubergangskoeffizient f¨ ur das oberste wobei αm1 wiederum der mittlere W¨ Rohr nach (4.15) ist. Diese Beziehung gibt Messwerte an senkrecht untereinander angeordneten Rohren im Bereich cpL (ϑs − ϑ0 )(n − 1)/Δhv < 2 gut wieder.

4.1.3 Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie Experimente zur Filmkondensation ges¨ attigter D¨ampfe an senkrechten W¨anden ergaben Abweichungen bis zu +25% von den W¨arme¨ ubergangskoeffizienten nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie. Hierf¨ ur sind verschiedene Ursachen maßgebend.

486

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

a) Wellenbildung auf der Filmoberfl¨ ache Die Nußeltsche Wasserhauttheorie setzte eine gleichm¨ aßige, durch die weitere Kondensation anwachsende Filmdicke voraus. Experimente, u.a. [4.4] bis [4.6], zeigten jedoch, dass auch bei eindeutig laminarer Filmstr¨ omung die Filmoberfl¨ ache wellig sein kann. Derartige Wellen wurden nicht nur an rauhen, sondern auch an polierten W¨ anden beobachtet. Offenbar werden die in einer Str¨ omung stets vorhandenen kleinen St¨ orungen der Geschwindigkeit unter bestimmten Bedingungen nicht ged¨ ampft, und es bilden sich Wellen. Sie f¨ uhren zu einer Verbesserung des W¨ arme¨ ubergangs um 10 bis 25 % gegen¨ uber der Nußeltschen Wasserhauttheorie. Nach Grimley [4.7] erscheinen Wellen und Riffeln ab einer kritischen Reynolds-Zahl "„ «1/2 „ «1/3 #3/4 σ g M˙ /b wm δ = = 0,392 , (4.18) Re = νL ηL L g νL2 at der worin σ die Oberfl¨ achenspannung und νL = ηL /L die kinematische Viskosit¨ Fl¨ ussigkeit sind. Aufgrund einer St¨ orungsrechnung haben van der Walt und Kr¨ oger [4.8] nachgewiesen, dass die Beziehung f¨ ur Wasser und einige andere Fl¨ ussigkeiten, wie das K¨ altemittel R12, eine recht gute N¨ ahrung f¨ ur das Einsetzen von Wellen darstellt. In fl¨ ussigem Natrium setzt jedoch Wellenbildung erst bei kritischen Reynolds-Zahlen ein, die rund f¨ unfmal gr¨ oßer sind als die nach (4.18) berechneten. Vernachl¨ assigt man die Wellenbildung und rechnet man nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie, so erh¨ alt man zu kleine W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten, bemisst also den Kondensator zu groß. Leider gibt es derzeit noch keine verl¨ assliche Theorie zur Berechnung des Einflusses der Wellenbildung auf den W¨ arme¨ ubergang. F¨ ur den praktischen Gebrauch multipliziert man die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie mit einem Korrekturfaktor f , αWellen = f α ,

(4.19)

der den Einfluss der Wellenbildung ber¨ ucksichtigt. Da die Wellen zu einer im statistischen Mittel geringeren Filmdicke f¨ uhren, wird der W¨ arme¨ ubergang durch die Wellenbildung verbessert. Der obige Korrekturfaktor ist daher gr¨ oßer als eins und nach Experimenten von van der Walt und Kr¨ oger [4.8] weitgehend unabh¨ angig von der Kondensatmenge. Ein guter Mittelwert ist f = 1,15.

b) Temperaturabh¨ angige Stoffwerte In (4.12) und (4.13) der Nußeltschen Wasserhauttheorie sind die Stoffwerte des Kondensatfilms als temperaturunabh¨ angig vorausgesetzt. Diese Annahme ist gut erf¨ ullt, wenn der Temperaturabfall ϑs − ϑ0 im Kondensatfilm hinreichend klein ist. Andernfalls hat man zu ber¨ ucksichtigen, dass die dynamische Viskosit¨ at, die W¨ armeleitf¨ ahigkeit und in geringerem Maße auch die Dichte des Kondensatfilms mit der Temperatur ver¨ anderlich sind. Anstelle von (4.5) tritt dann die Impulsbilanz » – ∂w ∂ (4.20) ηL (ϑ) = − [L (ϑ) − G ] g , ∂y ∂y und das Temperaturprofil im Kondensatfilm ergibt sich unter der Annahme, dass W¨ arme im Kondensatfilm nur durch Leitung u ¨ bertragen wird, aus der Energiebilanz » – ∂ ∂ϑ λL (ϑ) =0 . (4.21) ∂y ∂y

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

487

Diese Gleichungen sind unter den Randbedingungen w(y = 0) = 0 ϑ(y = 0) = ϑ0

∂ w(y = δ) =0 , ∂y

, und

ϑ(y = δ) = ϑs

zu l¨ osen. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient folgt definitionsgem¨ aß aus « „ ∂ϑ dQ˙ = αb dx (ϑs − ϑ0 ) = −λ0 b dx = Δhv dM˙ . ∂y y=0

(4.22)

Auf die Wiedergabe der L¨ osung von (4.20) und (4.21) unter den angegebenen Randbedingungen sei hier verzichtet. Man findet Einzelheiten hierzu in einer Arbeit von Voskresenskij [4.9]. Mit der zus¨ atzlichen Annahme, dass die Dichte im Fl¨ ussigkeitsfilm nur wenig von der Temperatur abh¨ angt und sehr viel gr¨ oßer als die des Dampfes ist, L  G , erh¨ alt man das Ergebnis, dass das Verh¨ altnis des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α zum W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αNu nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie sich durch „ « λs ηs α =f ; (4.23) αNu λ0 η0 darstellen l¨ asst. Der Index s zeigt an, dass die Stoffwerte des Kondensatfilms bei S¨ attigungstemperatur, der Index 0, dass sie bei Wandtemperatur zu bilden sind. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αNu nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie, Gl. (4.12), ist mit den gemittelten Stoffwerten ηL =

1 (ηs + η0 ) 2

1 (λs + λ0 ) 2

und

λL =

und

λ∗ = λs /λ0

zu berechnen. Mit den Abk¨ urzungen η ∗ = ηs /η0 lautet (4.23) vollst¨ andig α = αNu

j

–ff1/4 » 1 + η∗ λ∗ ∗ ∗ ∗ ∗2 (14 + 11λ ) + (1 + 4λ + 5λ ) . 5 + λ 10(1 + λ∗ )3 η∗

(4.24)

alt man α = αNu . Im Grenzfall λ∗ = η ∗ = 1 erh¨ In Abb. 4.7 ist (4.24) dargestellt. Wie man aus dem Diagramm erkennt, kann die Temperaturabh¨ angigkeit der dynamischen Viskosit¨ at und der W¨ armeleitf¨ ahigkeit von merklichem Einfluss auf den W¨ arme¨ ubergang sein, sofern sich diese Stoffwerte stark mit der Temperatur a ur kondensierenden Wasserdampf a ¨ndern. F¨ ¨ndern sich bei einem Temperaturunterschied zwischen S¨ attigungs- und Wandtemperatur ϑs − ϑ0 ≤ 50 K die Stoffwerte λs /λ0 zwischen 0,6 und 1,2 und ηs /η0 zwischen 1 und 1,3. Dieser Bereich ist in Abb. 4.7 schraffiert eingezeichnet. Wie man sieht, sind innerhalb dieses Bereichs die Abweichungen von der Nußeltschen Wasserhauttheorie kleiner als 3%.

488

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.7: Einfluss temperaturabh¨ angiger Stoffwerte auf den W¨ arme¨ ubergang bei Filmkondensation [4.9]

¨ c) Unterk¨ uhlung des Kondensats und Uberhitzung des Dampfes Da die Wandtemperatur geringer als die S¨ attigungstemperatur ist, wird an der Wand nicht nur die Kondensationsenthalpie, sondern auch noch ein W¨ armestrom zur Unterk¨ uhlung des Kondensats abgef¨ uhrt. In einem Querschnitt an der Stelle x ist der Enthalpiestrom des abfließenden Kondensats M˙ (h − hL ) = M˙ Δhv +

Zδ L w b cpL (ϑs − ϑ) dy ,

(4.25)

0

ussigkeit ist. H¨ atte die Fl¨ ussigkeit wenn hL die mittlere spezifische Enthalpie der Fl¨ are h − hL = h − h . u attigungstemperatur ϑ = ϑs , so w¨ ¨ ber einen Querschnitt die S¨ Setzt man wieder ein lineares Temperaturprofil “ y” (4.26) ϑs − ϑ = (ϑs − ϑ0 ) 1 − δ voraus, und nimmt man weiter temperaturunabh¨ angige Stoffwerte im Kondensat an, so erh¨ alt man nach Einsetzen der Temperatur aus (4.26) und der Geschwindigkeit aus (4.7) in (4.25) als Ergebnis der Integration

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren (h − hL ) = Δhv +

3 cpL (ϑs − ϑ0 ) = Δh∗v . 8

489 (4.27)

Wie hieraus folgt, ist unter den getroffenen Voraussetzungen die spezifische Enangig von der Filmdicke. Die Gleithalpie hL des abfließenden Kondensats unabh¨ chung zeigt weiter, dass man die Verdampfungsenthalpie Δhv in den Gleichungen der Nußeltschen Wasserhauttheorie durch die Enthalpiedifferenz Δh∗v zu ersetzen hat. Ber¨ ucksichtigt man außerdem, dass das Temperaturprofil im Kondensatfilm schwach gekr¨ ummt ist, so erh¨ alt man nach Rohsenow [4.10] anstelle von (4.27) f¨ ur Δh∗v den genaueren Wert Δh∗v = Δhv + 0,68 cpL (ϑs − ϑ0 ) .

(4.28)

Diese Beziehung gilt f¨ ur Prandtl-Zahlen P r > 0,5 und cpL (ϑs − ϑ0 )/Δhv ≤ 1. Die ¨ beste Ubereinstimmung mit Experimenten ergab sich, wenn man die Stoffwerte, insbesondere die dynamische Viskosit¨ at ηL , bei einer Temperatur ϑL = ϑ0 +1/4(ϑs − ϑ0 ) einsetzte. Eine weitere, meistens ebenfalls geringe Abweichung von der Nußeltschen Wasserhauttheorie ergibt sich, wenn der Dampf ¨ uberhitzt ist. Außer der Verdampfungs¨ uhren, enthalpie hat man dann noch die Uberhitzungsenthalpie cpG (ϑG − ϑs ) abzuf¨ attigungstemperatur ϑs um den u ¨ berhitzten Dampf von der Temperatur ϑG auf die S¨ an der Phasengrenze abzuk¨ uhlen. Anstelle der Enthalpiedifferenz Δhv nach (4.28) hat man dann in (4.13) die Enthalpiedifferenz Δh∗v¨u = cpG (ϑG − ϑs ) + Δhv + 0,68 cpL (ϑs − ϑ0 )

(4.29)

einzusetzen. Da die Temperaturdifferenz durch den Kondensatfilm weiterhin ϑs − ϑ0 ist, ergibt sich auch die u armestromdichte wie zuvor aus q˙ = α(ϑs −ϑ0 ) ¨ bertragene W¨ ∗ und die Massenstromdichte des Kondensats aus M˙ /A = q/Δh ˙ v¨ u. In technischen F¨ allen erreichen die Unterk¨ uhlung des Kondensats, die Auftriebs¨ kr¨ afte und die Uberhitzung des Dampfes jedoch selten solche Werte, dass man nach den verbesserten Gln. (4.28) bzw. (4.29) rechnen muss.

4.1.4 Einfluss nicht kondensierbarer Gase Kondensiert ein Dampf in Anwesenheit eines nicht kondensierbaren Gases, so muss er durch das Gas hindurch zur Phasengrenze diffundieren. Dazu ist ein Partialdruckgef¨ alle zur Phasengrenze erforderlich. Wie Abb. 4.8 zeigt, f¨allt der Partialdruck p1 des Dampfes von einem konstanten Wert p1G in gr¨oßerer Entfernung von der Phasengrenze auf einen geringeren Wert p1I an der Phasengrenze. Entsprechend sinkt auch die zugeh¨orige S¨attigungstemperatur ϑs (p1 ) bis zum Wert ϑI an der Phasengrenze. Der Druck p0 des Inertgases steigt zur Phasengrenze hin so an, dass die Summe p1 + p0 stets den konstanten Gesamtdruck p ergibt. Die S¨ attigungstemperatur ϑI an der Phasengrenze kann je nach Gasgehalt betr¨ achtlich unter der zum Druck p geh¨ orenden S¨attigungstemperatur ϑs (p) liegen, die sich erg¨ abe, wenn kein Inertgas vorhanden w¨are. Durch das Inertgas wird somit die Temperaturdifferenz zwischen Phasengrenze und Wand

490

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

herabgesetzt und damit auch der W¨ arme¨ ubergang verringert. Um dies zu vermeiden, sorgt man daf¨ ur, dass das Inertgas u ¨ ber Ventile abgeblasen werden kann. Große Kondensatoren sind mit einem Dampfstrahlapparat verbunden, der das Gas absaugt. In anderen F¨ allen, beispielsweise bei der Kondensation von Wasser aus Gemischen von Wasserdampf und Luft oder bei der Kondensation von Ammoniak aus seinen Gemischen mit Luft, ist zwangsl¨aufig stets Inertgas anwesend; sein Einfluss auf den W¨arme¨ ubergang muss daher ber¨ ucksichtigt werden. Den Einfluss des Inertgases auf den W¨ arme¨ ubergang bestimmt man mit Hilfe der Energiebilanz Q˙ = αL A(ϑI − ϑ0 ) = M˙ Δhv + α•G A(ϑG − ϑI ) .

(4.30)

Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient α•G kennzeichnet hierin den vom Dampf-GasGemisch an die Phasengrenze u ¨ bertragenen W¨armestrom. Der hochgestellte Punkt soll darauf hinweisen, dass W¨ arme nicht nur durch Leitung, sondern auch durch einen wandnormalen Stoffstrom u ¨bertragen wird. In einem str¨ omenden Gas wird die Gr¨ oße von α•G von den Stoffwerten des Gases und der Str¨ omungsgeschwindigkeit bestimmt.

Abb. 4.8: Einfluss von Inertgas auf den Partialdruck- und den Temperaturverlauf. ϑG Dampftemperaattigungstemperatur, p1 tur, ϑs S¨ Partialdruck des kondensierenden Dampfes, p0 Partialdruck des Inertgases, p = p1 + p0 Gesamtdruck

Der Massenstrom M˙ des an die Kondensatoberfl¨ache transportierten Dampfes w¨ achst mit dem Unterschied der Partialdr¨ ucke p1G = y1G p im uberDampfraum und p1I an der Phasengrenze. Nach den Gesetzen der Stoff¨ tragung, siehe hierzu (1.195), ist p − p1I M˙ = G βG A ln , p − p1G

(4.31)

wenn G die Dichte des Gas-Dampfgemisches beim Druck p und der Temperatur ϑG ist. Diese Beziehung gilt streng genommen nur, wenn die Temperatur bis zur Phasengrenze konstant ist. Abgesehen von tiefen Temperaturen, wirkt sich die Annahme einer konstanten Temperatur jedoch auf die Gr¨oße M˙ kaum

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

491

fehlerhaft aus. Weiter sind p1I der Partialdruck des kondensierenden Dampfes an der Phasengrenze und p1G derjenige im Kern der Gas-Dampfstr¨omung. Den Stoff¨ ubergangskoeffizienten βG kann man nach der bekannten Lewisschen Beziehung (1.198) n¨ aherungsweise auf den W¨arme¨ ubergangskoeffizienten zur¨ uckf¨ uhren αG Le−2/3 . βG = cpG G Die Werte βG und αG sind, wie schon er¨ ortert, Stoff- und W¨arme¨ ubergangskoeffizienten einer Dampfstr¨ omung bei der die Kondensatoberfl¨ache als eine ruhende feste Wand angesehen wird. Wir setzen in (4.30) α•G = αG ζ ,

(4.32)

worin der Korrekturfaktor ζ, die sog. Ackermann-Korrektur“ [4.11] ber¨ uck” sichtigt, dass der Dampf in Wirklichkeit nicht entlang einer festen Wand str¨ omt, sondern ein Teilstrom an der Phasengrenze verschwindet. Man erh¨alt die Ackermann-Korrektur in ¨ ahnlicher Weise wie die Stefan-Korrektur (1.194) f¨ ur den Stoff¨ ubergang, indem man die Filmtheorie nach Abschn. 1.5.1 auf Vorg¨ ange des W¨ arme¨ ubergangs der hier betrachteten Kondensation oder Absaugung anwendet, zu ζ=

−φ exp(−φ) − 1

mit

φ=

|M˙ |cpG . AαG

Mit Hilfe von (4.31) erh¨ alt man aus der Energiebilanz (4.30)   αG Δhv −2/3 p − p1I ϑI − ϑ0 = Le ln + ζ(ϑG − ϑI ) αL cpG p − p1G

(4.33)

(4.34)

als Bestimmungsgleichung f¨ ur die unbekannte Temperatur ϑI an der Phasengrenze. Diese Gleichung kann nur iterativ gel¨ ost werden. F¨ ur kleine Inertgasgehalte p0 p bzw. p1 → p, wird der Quotient (p − p1I )/(p − p1G ) und damit auch der erste Summand in der Klammer groß. Gl. (4.34) vereinfacht sich dann zu αG Δhv −2/3 p − p1I ϑI − ϑ0 = Le ln . (4.35) αL cpG p − p1G Um den Einfluss des Inertgases auf den W¨ arme¨ ubergang abzusch¨atzen, betrachten wir einen Kondensatfilm der Dicke δ. Vor diesem befinde sich ein Dampf mit Inertgas. Falls kein Inertgas vorhanden w¨are, w¨ urde an der Oberuhrte fl¨ ache des Films S¨ attigungstemperatur ϑs (p) herrschen und die abgef¨ W¨ armestromdichte w¨ are λL (ϑs − ϑ0 ) . q˙ = δ Durch das Vorhandensein von Inertgas wird bei gleicher Filmdicke eine geringere W¨ armestromdichte λL (ϑI − ϑ0 ) q˙G = δ

492

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

u altnis ¨ bertragen. Das Verh¨ q˙G ϑI − ϑ0 = ≤1 q˙ ϑs − ϑ0

(4.36)

gibt an, um wieviel sich die W¨ armestromdichte durch das Inertgas verringert. Mit (4.35) ergibt sich die N¨ aherungsbeziehung αG Δhv Le−2/3 p − p1I q˙G = ln . q˙ (ϑs − ϑ0 )αL cpG p − p1G

(4.37)

Wie man daraus erkennt, sollte besonders bei großen Temperaturdifferenzen ϑs − ϑ0 die Str¨ omungsgeschwindigkeit im Dampfraum hinreichend groß gew¨ ahlt werden, damit der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αG des Dampfes groß und somit die W¨ armestromdichte q˙G nicht zu klein wird. Als Ergebnis einer genaueren Rechnung zeigen die Abb. 4.9 und 4.10 das ˙ aufgetragen u Verh¨ altnis der beiden W¨ armestromdichten q˙G /q, ¨ ber der Temperaturdifferenz ϑs − ϑ0 mit dem Inertgasanteil als Parameter. Beide Bilder

Abb. 4.9: Einfluss von Inertgas auf den W¨ arme¨ ubergang bei Kondensation in einer erzwungenen Str¨ omung von Wasserdampf mit Luft; armestromdichte mit, q˙ q˙G W¨ ohne Inertgas

gelten f¨ ur die Kondensation von Wasserdampf aus einem Gemisch mit Luft. Abb. 4.9 gilt f¨ ur die Kondensation bei erzwungener Str¨omung, wenn der Einfluss der Schwerkraft gegen¨ uber dem der Tr¨agheitskraft vernachl¨assigt werden kann, wie dies bei der Str¨ omung u ¨ ber eine waagrechte Platte der Fall ist. Abb. 4.10 zeigt den umgekehrten Fall, bei dem die Tr¨agheitskr¨afte von vernachl¨ assigbarem Einfluss gegen¨ uber der Schwerkraft sind. Dies entspricht der freien Str¨ omung an einer senkrechten Platte. Aus beiden Bildern ist deutlich ersichtlich, dass der W¨ arme¨ ubergang sich mit zunehmendem Inertgasanteil verringert, und dass er bei freier Str¨ omung durch das Inertgas viel st¨arker herabgesetzt wird als bei erzwungener Str¨ omung.

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

493

Abb. 4.10: Einfluss von Inertgas auf den W¨ arme¨ ubergang bei Kondensation in einer freien Str¨ omung von Wasserdampf mit Luft [4.12]; q˙G W¨ armestromdichte mit, q˙ ohne Inertgas

Beispiel 4.1: An einer senkrechten Wand kondensiert ges¨ attigter Wasserdampf attigungsvom Druck 9,58 · 10−3 MPa. Die Wandtemperatur liegt 5 K unter der S¨ temperatur. Man berechne folgende Gr¨ oßen in einer Entfernung von H = 0,08 m von der Wandoberkante: Die Filmdicke δ(H), die mittlere Geschwindigkeit wm des abfließenden Kondensats, dessen Massenstrom M˙ /b je m Plattenbreite, den ortlichen und den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten. ¨ An welcher Stelle H1 ist der Massenstrom M˙ /b doppelt so groß wie an der Stelle H? Warum ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient auf der Strecke H < x ≤ H1 kleiner als α(x ≤ H)? , VerGegeben sind: S¨ attigungstemperatur bei 9,8 · 10−3 MPa: ϑs = 45,4 ussigkeit L = 991 kg/m3 , dampfungsenthalpie Δhv = 2392 kJ/kg, Dichte der Fl¨ at ηL = 6,54 · W¨ armeleitf¨ ahigkeit λL = 0,634 W/Km, dynamische Viskosit¨ 10−4 kg/sm, Dichte des Dampfes G L . Nach (4.11) ist die Filmdicke » δ(H) =

4 · 0,634 W/K m · 6,54 · 10−4 kg/s m · 5 K · 0,08 m 9912 kg2 /m6 · 9,81 m/s2 · 2392 · 103 J/kg

–1/4

δ(H) = 7,325 · 10−5 m ≈ 0,073 mm . Die mittlere Geschwindigkeit ist nach (4.8) wm =

991 kg/m3 · 9,81 m/s2 · (7,325 · 10−5 )2 m2 = 0,0266 m/s . 3 · 6,54 · 10−4 kg/s m

Nach (4.9) ist M˙ /b = wm L δ 0,0266 m/s · 991 kg/m3 · 7,325 · 10−5 m = 1,93 · 10−3 kg/s m . Der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient an der Stelle H ist α(H) =

λL 0,634 W/K m = = 8655 W/m2 K . δ 7,325 · 10−5 m

Aus (4.13) folgt der mittlere W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm (H) =

4 α(H) = 11540 W/m2 K . 3

494

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Weiter soll sein M˙ (H) M˙ (H1 ) =2 = 3,86 · 10−3 kg/sm . b b Dazu geh¨ ort nach (4.9) eine Filmdicke „ δ(H1 ) =

M˙ (H1 ) · 3ηL 2L g b

„

«1/3 =

3,86 · 10−3 kg/sm · 3 · 6,54 · 10−4 kg/sm 9912 kg2 /m6 · 9,81 m/s2

«1/3

δ(H1 ) = 9,23 · 10−5 m . Aus (4.11) folgt mit x = H1 H1 = δ 4

2L g Δ hv 4 λL ηL (ϑs − ϑ0 )

und damit H1 = (9,23 · 10−5 )4 m4 ·

9912 kg2 /m6 · 9,81 m/s2 · 2392 · 103 J/kg = 0,202 m . 4 · 0,634 W/K m · 6,54 · 10−4 kg/s m · 5 K

Auf der Strecke H < x ≤ H1 ist der Film dicker als auf der Strecke x ≤ H, daher ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient kleiner. Beispiel 4.2: Im Rohrb¨ undelkondensator einer K¨ alteanlage, wie er in Abb. 4.11 skizziert ist, sollen 103 kg/h Sattdampf Ammoniak (NH3 ), vom Druck 2,034 MPa kondensiert werden. Zur Verf¨ ugung steht K¨ uhlwasser von 18 , das sich um 10 K erw¨ armen darf. Zum Bau des Kondensators werden Stahlrohre von 2 m L¨ ange, 16 mm Außendurchmesser und 1,5 mm Wanddicke verwendet.

Abb. 4.11: Rohrb¨ undelkondensator Wieviele Rohre sind erforderlich? Wie groß ist der Mengenstrom des K¨ uhlwassers? Gegeben sind folgende Stoffdaten von Ammoniak beim S¨ attigungsdruck 2,034 ussigkeit L = 562,86 MPa: S¨ attigungstemperatur ϑs = 50 , Dichte der Fl¨

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

495

armekapazit¨ at der kg/m3 , Verdampfungsenthalpie Δhv = 1050,5 kJ/kg, spez. W¨ at ηL = 103,79 · 10−6 Fl¨ ussigkeit cpL = 5,0635 kJ/kg K, dynamische Viskosit¨ kg/s m, W¨ armeleitf¨ ahigkeit λL = 416,32 · 10−3 W/K m. Der W¨ arme¨ ubergangskoarmekapaeffizient auf der Wasserseite betr¨ agt αmi = 2000 W/m2 K, die spez. W¨ armeleitf¨ ahigkeit der Stahlrohre zit¨ at des Wassers cpW = 4,1805 kJ/kg K. Die W¨ ist λS = 20 W/K m. Den W¨ armewiderstand der Kupferwand kann man vernachl¨ assigen. Die erforderliche Leistung betr¨ agt 3 ˙ Δhv = 10 kg/h · 1050,5 kJ/kg = 291,8 kW . Q˙ = M 3600 s/h

Die K¨ uhlwassermenge folgt aus M˙ W =

Q˙ 291,8 kW = 6,98 kg/s . = cpW ΔϑW 4,1805 kJ/kg K · 10 K

Die erforderliche Fl¨ ache folgt aus Q˙ = km A Δϑm mit Δϑm =

(50 − 18) K − (50 − 28) K (ϑs − ϑWe ) − (ϑs − ϑWa ) = = 26,69 K , ln[(ϑs − ϑWe )/(ϑs − ϑWa )] ln[(50 − 18) K/(50 − 28) K]

damit wird km A = Andererseits ist

Q˙ 291,8 kW = = 10,93 · 103 W/K . Δϑm 26,69 K

1 δS 1 1 = + + km A αmi Ai λS A m αma Aa

und daher mit A = Aa 1 1 δS 1 = + + km αmi (di /da ) λS (dm /da ) αma

mit

dm =

da − di = 14,45 mm . ln(da /di )

Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αm auf der Kondensatseite berechnet sich aus (4.15a) und (4.17). Er enth¨ alt in (4.15a) noch den Kondensatmassenstrom M˙ /L am obersten Rohr, den man bestimmen k¨ onnte, wenn die Zahl der Rohre bzw. deren Oberfl¨ ache A bekannt w¨ are. Wir sch¨ atzen daher zun¨ achst αma ab, berechnen damit die Oberfl¨ ache A und pr¨ ufen anschließend die Sch¨ atzung. Sch¨ atzwert αma = 3 000 W/m2 K. Damit wird 10−3 m 1 1 + + = 2 km 2000 W/m K · (14 mm/16 mm) 20 W/Km · (14,45 mm/16 mm) 1 + 3000 W/m2 K = 9,6013 · 10−4

m2 K W

km = 1041,5 W/m2 K . Damit wird die Fl¨ ache A = km A/km =

10,93 · 103 W/K = 10,49 m2 . 1041,5 W/m2 K

496

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Die Zahl der Rohre ist 10,49 m2 A = = 104 . da π L 16 · 10−3 m · π · 2 m √ Wir w¨ ahlen 110 Rohre. Es liegen rund 110 ≈ 10 Rohre u ¨ bereinander. Die mittlere Wandtemperatur ϑ0 folgt aus: Q˙ = αma A(ϑs − ϑ0 ) zu z=

ϑ0 = ϑs −

Q˙ αma A

= 50

−

291,8 · 103 W = 40,7 3000 W/m2 K · 10,49 m2

.

¨ Uberpr¨ ufung von αma : Nach (4.15a) ist „ αm, waag = αm1 = λL

ηL2 2L g

«−1/3 0,959

„ ˙ «−1/3 M /L ηL

–−1/3 » (103,79 · 10−6 )2 kg2 /s2 m2 = 416,32 · 10−3 W/Km · (562,86)2 kg2 /m6 · 9,81 m/s2 «−1/3 „ 0,278 kg/s · 0,959 · 10 · 2 m · 103,79 · 10−6 kg/s m αm, waag = 5156 W/m2 K . Aus (4.17) erh¨ alt man damit αmn = αma » – 506,35 kJ/kg K · (50−40,7) K = 1 + 0,2 · · (10−1) · 10−1/4 · 5156 W/m2 K 1050,5 kJ/kg αma = 3133 W/m2 K . Eine Korrektur des Sch¨ atzwertes f¨ ur αma er¨ ubrigt sich. Anmerkung: Bei der Berechnung von αma nach (4.15a) und (4.17) begeht man einen Fehler, weil beide Gleichungen konstante Wandtemperaturen voraussetzen. Diese ist im vorliegenden Fall ver¨ anderlich, da die K¨ uhlwassertemperatur und damit auch die Wandtemperatur mit dem Str¨ omungsweg des K¨ uhlwassers andert, ansteigt. Da sich jedoch αm, waag nach (4.15a) nur mit ∼ (ϑs − ϑ0 )−1/4 ¨ wirkt sich in unserem Beispiel dieser Fehler praktisch nicht auf das Ergebnis aus.

4.1.5 Filmkondensation mit turbulenter Wasserhaut Die Nußeltsche Wasserhauttheorie setzte eine laminare Filmstr¨omung voraus. Da die abfließende Kondensatmenge stromabw¨arts zunimmt, w¨achst auch die mit der Filmdicke gebildete Reynolds-Zahl st¨andig an. Der anf¨anglich glatte Film wird wellig und geht schließlich in einen turbulenten Film u ¨ ber; der W¨ arme¨ ubergang ist deutlich besser als bei laminarem Film. Den W¨arme¨ ubergang bei turbulenter Filmkondensation hat zuerst Grigull [4.14] n¨aherungsweise berechnet, indem er die Prandtl-Analogie f¨ ur die Rohrstr¨omung auf die turbulente Kondensathaut u ¨ bertrug. Als neuer Parameter tritt dabei neben den Gr¨ oßen f¨ ur die laminare Filmkondensation die Prandtl-Zahl auf. Die Ergebnisse lassen sich nicht geschlossen darstellen. Um zu einer u ¨bersichtlichen

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

497

Darstellung zu kommen, definieren wir zun¨ achst die Reynolds-Zahl des Kondensatfilms M˙ wm δ wm δ L b Re = = . (4.38) = νL νL L b ηL b Diese l¨ asst sich im Bereich der Nußeltschen Wasserhauttheorie mit Hilfe des Massenstroms f¨ ur das abfließende Kondensat, Gl. (4.9), L (L − G ) g b 3 M˙ = wm L b δ = δ 3 ηL2 unter Beachtung von L  G auch umformen in M˙ /b 2 g Re = = L 2 δ3 ηL 3 ηL

1/3

oder (3 Re)

=

g νL2

1/3 δ .

Eliminiert man hierin noch die Filmdicke δ mit Hilfe von α = λL /δ, so erh¨alt man als andere Schreibweise f¨ ur die W¨ arme¨ ubergangsgleichung der Nußeltschen Wasserhauttheorie Nu =

α (νL2 /g)1/3 = (3 Re)−1/3 , λL

(4.39)

wobei die Reynolds-Zahl durch (4.38) gegeben ist. Bei turbulenter Kondensathaut ist nun, wie Grigull zeigte, N u = f (Re, P r) . Ergebnisse einer analytischen L¨ osung der Differentialgleichungen f¨ ur den turbulenten Kondensatfilm an einem senkrechten Rohr gibt Abb. 4.12 wieder [4.15]. Kurve A stellt die Nußeltsche Wasserhauttheorie nach (4.39) dar. Die Reynolds-Zahl Re = wm δ/νL kann man f¨ ur den Kondensatfilm an einem senkrechten Rohr wegen der Massenbilanz M˙ = wm d π δ L und mit ηL = νL L auch Re = M˙ /(d π ηL ) schreiben. Da der Rohrdurchmesser d, der den Berechnungen von Abb. 4.12 zugrunde liegt, viel gr¨oßer als die Filmdicke vorausgesetzt wurde, hat die Kr¨ ummung des Kondensatfilms keinen Einfluss auf den W¨ arme¨ ubergang. Die Ergebnisse gelten daher auch f¨ ur die Kondensation an einer senkrechten ebenen Platte mit der nach (4.38) definierten Reynolds-Zahl. ¨ In einem Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Konden¨ sation ist der Kondensatfilm wellig. In Abb. 4.12 ist dieser Ubergangsbereich nach Ergebnissen von Henstock und Hanratty [4.16] gestrichelt eingezeichnet. ¨ Uber die Gr¨ oße der Reynolds-Zahl f¨ ur den Umschlag von der laminaren in die turbulente Str¨ omung findet man in der Literatur unterschiedliche Angaben. Wie Abb. 4.12 zeigt, kann man eine solche kritische Reynolds-Zahl nicht eindeutig festlegen, wie das gelegentlich versucht wurde. Vielmehr schließt sich ¨ an den laminaren Bereich zun¨ achst ein Ubergangsbereich mit welligem Film

498

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

an, in dem die Nußelt-Zahl von den Werten der Wasserhauttheorie abweicht. ¨ Dieser Ubergangsbereich beginnt bei sehr kleinen Reynolds-Zahlen Reu¨ , wenn die Prandtl-Zahl hinreichend groß ist, w¨ ahrend bei kleinen Prandtl-Zahlen ¨ die laminare Str¨ omung nach einem kurzen Ubergangsbereich in die turbulente Str¨ omung u bergeht. Die kritische Reynolds-Zahl h¨ a ngt daher von der ¨ Prandtl-Zahl ab und kann weit unterhalb einer kritischen Reynolds-Zahl von ¨ 400 liegen, bei welcher der Ubergangsbereich etwa endet. L¨ asst man eine Abweichung von 1 % von den Werten der Nußeltschen Wasserhauttheorie zu, so gilt diese bis zu einer Reynolds-Zahl Reu¨ = 256 P r−0,47 ,

(4.40)

g¨ ultig f¨ ur 1 ≤ P r ≤ 10. Außerdem muss zur Anwendung der Wasserhauttheorie die vom Dampf ausge¨ ubte Schubspannung hinreichend klein sein. Im turbulenten Bereich, bei Reynolds-Zahlen u ¨ber Re = 400, erreichen die NußeltZahlen Werte, die insbesondere bei gr¨ oßeren Prandtl-Zahlen um ein Vielfaches u ¨ ber denen der Wasserhauttheorie liegen. ¨ Im Ubergangsbereich nimmt die Nußelt-Zahl zun¨achst mit der ReynoldsZahl ab und dann nach Durchlaufen eines Minimums wieder zu. Die mit der Reynolds-Zahl wachsende Filmdicke bewirkt zuerst eine Abnahme des W¨arme¨ ubergangs, dann u ¨berwiegt aber der mit der Reynolds-Zahl ansteigende Einfluss der Turbulenz und f¨ uhrt zu einer Verbesserung des W¨arme¨ ubergangs. Man hat zu beachten, dass in Abb. 4.12 ¨ ortliche Nußelt-Zahlen aufgetragen sind. In einem Kondensator ¨ andert sich die mit der Filmdicke gebildete Reynolds-Zahl vom Wert null bei Beginn der Kondensation bis zu einem

¨ Abb. 4.12: Ortliche Nußelt-Zahl in Abh¨ angigkeit von der Reynolds-Zahl, nach [4.15], bei Kondensation an einem senkrechten Rohr oder an einer senkrechten ebenen Wand

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

499

¨ Endwert. Dazwischen k¨ onnen im Ubergangsbereich Zust¨ande mit schlechtem W¨ arme¨ ubergang liegen, so dass der mittlere W¨arme¨ ubergangskoeffizient kleiner sein kann als der ¨ ortliche im Austrittsquerschnitt. Abb. 4.13 gibt die zu Abb. 4.12 geh¨ orenden mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten gem¨aß αm (ϑs − ϑ0 ) = Δhv M˙ /A wieder, wobei A die Rohroberfl¨ ache und M˙ der am unteren Rohrende ablaufende Kondensatmassenstrom ist.

Abb. 4.13: Mittlere Nußelt-Zahl in Abh¨ angigkeit von der Reynolds-Zahl, nach [4.15], bei Kondensation an einem senkrechten Rohr oder an einer senkrechten ebenen Wand

Wie man daraus erkennt, sollte man bei kleinen Prandtl-Zahlen zur Erzielung eines guten W¨ arme¨ ubergangs einen Kondensator m¨oglichst im Bereich der Nußeltschen Wasserhauttheorie, also bei kleinen Reynolds-Zahlen betreiben. Dies kann durch Verwendung kurzer Rohre erreicht werden. Ist dagegen die Prandtl-Zahl groß, so ist ein guter W¨ arme¨ ubergang vorwiegend im turbulenten Bereich, also bei Verwendung hinreichend langer Rohre, zu erreichen. F¨ ur den Bereich des turbulenten Films bei Reynolds-Zahlen Re ≥ 400 hat Isashenko [4.17] ausgehend von einer L¨ osung der Impuls- und Energiegleichung der turbulenten Str¨ omung einfache Gebrauchsformeln entwickelt, die aus der Literatur bekannte Messwerte gut wiedergeben. Danach ist die ortliche Nußelt-Zahl gegeben durch ¨ Nu =

α (νL2 /g)1/3 = 0,0325 Re1/4 P r 1/2 λL

(4.41)

mit der Reynolds-Zahl Re = (M˙ /b)/ηL = Γ/ηL und der Prandtl-Zahl P r des Kondensats. Die Gleichung gilt im Bereich 1 ≤ P r ≤ 25 und 400 ≤ Re ≤ 7 · 105 . Die Reynolds-Zahl des Kondensats erh¨alt man aus

500

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen





Re = 89 + 0,024 P r mit Z=

1/2

Pr P r0

4/3

1/4

(Z − 2300)

x cpL (ϑs − ϑ0 ) 1 . 2 Δhv P r (νL /g)1/3

(4.42)

(4.42a)

In diesen Gleichungen sind alle Stoffwerte bei S¨attigungstemperatur einzusetzen außer der Prandtl-Zahl P r 0 , die bei Wandtemperatur zu bilden ist. Nach Untersuchungen von Labunzov [4.18] weichen gemessene W¨arme¨ ubergangskoeffizienten um h¨ ochstens ±12 % von den berechneten ab. ¨ Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs im Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Filmkondensation haben sich empirische Interpolationsformeln bew¨ ahrt. Eine solche ist ' 4 4 (4.43) α = (f αlam ) + α4turb . Der Faktor f ber¨ ucksichtigt hierin die Welligkeit des laminaren Kondensatfilms, f ≈ 1,15; αlam ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient bei laminarer Filmkondensation aus der Nußeltschen Wasserhauttheorie und αturb der bei turbulenter Kondensathaut, wie er sich beispielsweise aus (4.41) zusammen mit (4.42) ergibt.

4.1.6 Kondensation str¨ omender D¨ ampfe Schon Nußelt hat die Wasserhauttheorie erweitert und ber¨ ucksichtigt, dass der am Kondensatfilm entlang str¨ omende Dampf die Geschwindigkeit im Kondensat beeinflusst. Die Randbedingung zu (4.6) lautet dann nicht mehr ∂ w/∂y = 0 f¨ ur y = δ, sondern das Geschwindigkeitsprofil endet mit endlicher Neigung auf der freien Filmoberfl¨ ache entsprechend der vom str¨omenden Dampf ausge¨ ubten Schubspannung. In (4.6) f¨ ur das Geschwindigkeitsprofil w=−

(L − G ) g 2 y + c1 y + c0 2 ηL

sind demnach die Koeffizienten c1 und c0 so zu bestimmen, dass die Randbedingungen w(y = 0) = 0 und ηL (∂ w/∂y)y=δ = ±τδ (4.44) erf¨ ullt werden, wobei das positive Vorzeichen f¨ ur abw¨arts str¨omenden Dampf gilt, das negative, wenn der Dampf aufw¨ arts str¨omt. Damit erh¨alt man f¨ ur die Geschwindigkeit

 y2 τδ y (L − G ) g 2 y − 2 ± δ . (4.45) w= ηL δ 2δ ηL Zur Berechnung der an der Phasengrenze herrschenden Schubspannung nimmt man Gleichheit von Druck- und Reibungskr¨aften im Dampfraum an. Der

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

501

Druckabfall l¨ angs des Str¨ omungswegs dx sei dp. F¨ ur eine Rohrstr¨omung ist dann d2 π dp τδ d π = . (4.46) 4 dx Andererseits gilt f¨ ur den Druckabfall 2 dp G wG =ζ . dx d

(4.47)

Damit wird

2 G wG . 4 Die mittlere Geschwindigkeit erh¨ alt man zu

τδ = ζ

1 wm = δ

δ w dy =

(L − G ) g 2 τδ δ δ ± 3 ηL 2 ηL

(4.48)

(4.49)

0

und daraus den Massenstrom an Kondensat, der durch eine Ebene senkrecht zur Wand abfließt L (L − G ) g b 3 L τδ δ 2 b M˙ = wm L b δ = δ ± . 3 ηL 2 ηL

(4.50)

Die Filmdicke findet man, wie bereits in Abschnitt 4.1.2 gezeigt, mit Hilfe der Energiebilanz ϑs − ϑ0 λL b dx = Δhv dM˙ δ zu τδ δ 3 4 λ ηL (ϑs − ϑ0 ) 4 = δ4 ± x , (4.51) 3 g(L − G ) L (L − G ) g Δhv woraus sich nach Berechnung der Filmdicke δ die u ¨bertragene W¨armestromdichte q˙ = λL (ϑs − ϑ0 )/δ ergibt. Die Schubspannung τδ ist durch (4.48) gegeben. Ber¨ ucksichtigt man noch die Unterk¨ uhlung des Kondensatfilms und die ¨ Uberhitzung des Dampfes, so ist anstelle der Verdampfungsenthalpie Δhv die Enthalpiedifferenz Δh∗v¨u nach (4.29) einzusetzen. Ist die Kondensatfl¨ache um den Winkel γ gegen die Senkrechte geneigt, so hat man die Fallbeschleunigung g durch ihre wandparallele Komponente g cos γ zu ersetzen. Gleichung (4.51) haben Rohsenow et al. [4.19] durch Einf¨ uhren dimensionsloser Gr¨ oßen umgeformt und dann aus den berechneten Filmdicken die ubergangsW¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α = λL /δ und auch mittlere W¨arme¨ koeffizienten αm bestimmt. Als Ergebnis zeigt Abb. 4.14 die mittlere NußeltZahl αm L N um = λ mit der charakteristischen L¨ ange

502

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

 L=

L νL2 (L − G ) g

1/3

aufgetragen u ¨ ber der Reynolds-Zahl Re =

wm δ M˙ = , νL b ηL

wenn b die Breite des abfließenden Kondensatfilms ist, die bei der Kondensation am senkrechten Rohr b = π d betr¨ agt. Als Kurvenparameter ist die dimensionslose Schubspannung τδ∗ =

τδ L (L − G ) g

eingetragen. Die Ergebnisse gelten f¨ ur abw¨ arts str¨omenden Dampf. Die gestrichelten Linien zeigen die ungef¨ ahre Grenze zur turbulenten Filmkondensation.

Abb. 4.14: Einfluss der Schubspannung des Dampfes auf die laminare Filmkondensation, nach [4.19]

F¨ ur turbulente Filmkondensation str¨ omender D¨ampfe gelten zwar ebenso wie f¨ ur die laminare die Erhaltungss¨ atze von Masse, Impuls und Energie, man ben¨ otigt jedoch zus¨ atzliche Informationen u ¨ ber die Mechanismen des turbulenten Austausches von Materie, Impuls und Energie. Als Ergebnis einer solchen Rechnung erh¨ alt man wiederum Temperaturprofile und daraus die W¨arme¨ ubergangskoeffizienten. Als Beispiel zeigt Abb. 4.15 Ergebnisse von Dukler [4.19] u ortlichen Nußelt-Zahl als Funktion der Reynolds¨ ber den Verlauf der ¨ Zahl f¨ ur eine Prandtl-Zahl P r = 5 und abw¨ arts gerichtete Dampfstr¨omung. Die Kenngr¨ oßen sind genau so definiert wie in der f¨ ur die laminare Str¨omung g¨ ultigen Abb. 4.14, so dass man anhand beider Bilder den W¨arme¨ ubergang bei

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

503

laminarer und bei turbulenter Str¨ omung vergleichen kann. Auch f¨ ur die turbulente Str¨ omung erh¨ alt man keinen analytischen Ausdruck, sondern nur numerische Ergebnisse f¨ ur die berechneten W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten. Diese lassen sich durch empirische Gleichungen darstellen. Als Beispiel sei die f¨ ur die praktische Handhabung besonders einfache Gleichung von Shah [4.21] mitgeteilt. Sie enth¨ alt die Beziehung (3.259) f¨ ur den konvektiven W¨arme¨ ubergang der turbulenten einphasigen Str¨ omung, in der lediglich der Exponent der Prandtl-Zahl von 1/3 auf 0,4 erh¨ oht wurde, und einen zus¨atzlichen Term, der die Phasenumwandlungen und den Einfluss der Dampfstr¨omung ber¨ ucksichtigt. F¨ ur den o rtlichen W¨ a rme¨ u bergang gilt ¨  ( 3,8 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 0,8 0,4 ∗ 0,8 (1 − x ) + (4.52) N u = 0,023 Re P r p+0,38 mit

 π d2 wm d p αd νL ˙ , Re = , wm = M / L , p+ = . Nu = , Pr = λL νL 4 aL pcr

omungsdampfgehalt in einem Querschnitt Die Gr¨ oße x∗ = M˙G /M˙ ist der Str¨ des Rohrs. Diese Gleichung gibt Messungen mit Wasser, mit den K¨altemit-

Abb. 4.15: Filmkondensation von abw¨ arts str¨ omendem Sattdampf, nach [4.20], Prandtl-Zahl P r = 5,0

teln R11, R12, R113 und mit Methanol, Ethanol Benzol, Toluol und Trichlorethylen bei der Kondensation in senkrechten, waagrechten und geneigten Rohren von 7 bis 40 mm Innendurchmesser wieder bei normierten Dr¨ ucken attigungstemperaturen 21 ≤ ϑs ≤ 310 , Dampfge0,002 ≤ p+ ≤ 0,44, S¨ schwindigkeiten 3 m/s ≤ wG ≤ 300 m/s, Massenstromdichten 10,8 kg/m2 s ≤

504

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

m ˙ ≤ 210,6 kg/m2 s, W¨ armestromdichten 158 W/m2 ≤ q˙ ≤ 1,893 · 106 W/m2 , Reynolds-Zahlen 100 ≤ Re ≤ 63 000, und Prandtl-Zahlen 1 ≤ P r ≤ 13. Die mittlere Abweichung von den Versuchswerten wird zu ±15,4 % angegeben. Zur praktischen Berechnung empfiehlt es sich, ein Kondensatorrohr in Ab¨ omungsdampfgehaltes zu unterschnitte mit gleicher Anderung Δx∗ des Str¨ teilen. Wenn man diese Abschnitte nicht allzu groß w¨ahlt, kann man in jedem Abschnitt einen linearen Abfall des Str¨ omungsdampfgehaltes annehmen und dann den o rtlichen W¨ a rme¨ u bergangskoeffizienten nach (4.52) in der Mitte ¨ ugt eine Unterteilung des Abschnitts Δx∗ berechnen. Nach Shah [4.21] gen¨ in Abschnitte Δx∗ < 0,4. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient in der Mitte eines Abschnitts ist n¨ aherungsweise gleich dem mittleren W¨arme¨ ubergangskoeffialt die Fl¨ache A des betreffenden zienten α = αm des Abschnitts. Man erh¨ Abschnitts aus Q˙ = km A Δϑm (4.53) mit

1 1 δ 1 = + + , km A αm AK λ Am αma Aa

oder, falls man den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten auf die Kondensatoberfl¨ ache AK = A bezieht, mit 1 1 δd 1 d 1 1 = + + = +  km αm λ dm αma da αm km und Δϑm =

ϑa − ϑe , ln[(ϑG − ϑe )/(ϑG − ϑa )]

(4.54)

(4.55)

worin ϑe die Eintrittstemperatur des K¨ uhlmittels in den betreffenden Abschnitt, ϑa die Austritts- und ϑG die mittlere Dampftemperatur sind. Beispiel 4.3: In einem Rohrb¨ undelkondensator aus 200 senkrechten Rohren attigter Toluoldampf von je 25 mm Innendurchmesser, sollen M˙ G = 8 kg/s ges¨ vom Druck 0,1 MPa kondensiert werden. Die Rohre werden von außen durch uhlt, das dem Kondensator mit einer M˙ W = 60 kg/s Wasser im Gegenstrom gek¨ zugef¨ uhrt wird. Der W¨ armedurchgangskoeffizient vom Temperatur von 45  = 2500 W/m2 K. Man berechne die K¨ uhlwasser bis zur Rohrwand betr¨ agt km erforderliche Rohrl¨ ange. Folgende Stoffwerte sind gegeben: Fl¨ ussiges Toluol: Dichte L = 782 kg/m3 , spez. armeleitf¨ ahigkeit λL = 0,126 W/K m, W¨ armekapazit¨ at cpL = 2,015 kJ/kg K, W¨ dynamische Viskosit¨ at ηL = 2,52 · 10−4 kg/sm, Prandtl-Zahl P r = 4,03. Weiter ist f¨ ur das Toluol G L , und die Verdampfungsenthalpie Δhv = 356 kJ/kg, S¨ attigungstemperatur bei 0,1 MPa: ϑs = 383,75 K = 110,6 , kritischer Druck armekapazit¨ at des K¨ uhlwassers ist cpW = 4,10 kJ/kg pcr = 4,11 MPa. Die spez. W¨ K. Die Kondensatorleistung ist Q˙ = M˙ G Δhv = 8 kg/s · 356 kJ/kg = 2848 kW, die ˙ Leistung je Rohr Q/200 = 14,24 kW. Die K¨ uhlwasseraustrittstemperatur folgt ˙ ˙ aus Q = MW cpW (ϑWa − ϑWe ) zu

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren ϑWa = ϑWe +

Q˙ = 45,0 M˙ W cpW

+

2 848 kW = 56,58 60 kg/s · 4,10 kJ/kg K

505 .

Zur Berechnung der erforderlichen Rohrl¨ ange unterteilen wir in vier Abschnitte mit Δx∗ = 0,25. Der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient auf der Kondensatseite folgt aus (4.52). Darin ist mit der Kondensatmenge M˙ = 8(kg/s)/200 = 0,04 kg/s je Rohr die Reynolds-Zahl Re =

0,04 kg/s · 25 · 10−3 m M˙ = = 8 084 . ηL d π/4 2,52 · 10−4 kg/s m · (25 · 10−3 )2 · π/4

Nach (4.52) wird

ff 3,8 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 (1 − x ) + p+0,38 j ff 0,126 W/Km 3,8 ·(1−x∗ )0,04 ·x∗0,76 0,8 0,4 ∗ 0,8 = · 0,023 · 8 084 · 4,03 · (1−x ) + , 25 · 10−3 m (2,433 · 10−2 )0,38 ˘ ¯ α = 270,63 (W/m2 K) (1 − x∗ )0,8 + 15,579 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 . λL 0,023 Re0,8 P r 0,4 α= d

j

∗ 0,8

omungsdampfgehalt Im ersten Abschnitt 1,0 ≥ x∗ ≥ 0,75 ist der mittlere Str¨ (1,0 + 0,75)/2 = 0,875. Damit ergibt sich aus der vorigen Gleichung ein mittlerer W¨ arme¨ ubergangskoeffizient ˘ ¯ α = αm = 270,63 W/m2 K (1 − 0,875)0,8 + 15,597 · (1 − 0,875)0,04 · 0,8750,76 = 3 557 W/m2 K . Nach (4.54) ist der W¨ armedurchgangskoeffizient dieses Abschnitts 1 1 1 1 1 = +  = + km αm km 3 557 W/m2 K 2 500 W/m2 K km = km1 = 1 468 W/m2 K . Der in dem ersten Abschnitt u armestrom ist 14,24 kW/4 = 3,56 kW = ¨ bertragene W¨ Q˙ 1 . Das K¨ uhlwasser tritt in den ersten Abschnitt mit der Temperatur ϑWe1 = ϑWa −

Q˙ 1 = 56,58 ˙ MW1 cpW

−

3,56 kW = 53,69 0,3 kg/s · 4,10 kJ/kg K

ein. Die mittlere logarithmische Temperaturdifferenz nach (4.55) ist Δϑm1 =

56,58 − 53,69 K = 55,4 K . ln[(110,6 − 53,69)/(110,6 − 56,58)]

Damit folgt aus (4.53) die Fl¨ ache des ersten Abschnitts A1 =

Q˙ 1 3,56 · 103 W = 4,377 · 10−2 m2 . = km1 Δϑm1 1 468 W/m2 K · 55,4 K

Die zugeh¨ orige Rohrl¨ ange ist 4,377 · 10−2 m2 A1 = = 0,56 m . dπ 25 · 10−3 m · π Eine entsprechende Rechnung f¨ ur alle Abschnitte ergibt die in der Tabelle P auf der folgenden Seite aufgelisteten Werte. Die Gesamtl¨ ange der Rohre ist L= Lges = 2,69 m ≈ 2,7 m. L1 =

506

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

x∗

x∗m

αm 2

km

ϑW

Δϑm

2

W/m K

W/m K

3557

1468

1,0

m 56,58

0,875 0,75

2960

1355

0,5 0,375

2149

1156

1106

768

0,0

m 0,56

58,3

4,507 · 10−2

0,57

61,0

5,05 · 10−2

0,64

63,9

7,25 · 10−2

0,92

47,90 0,125

L

4,377 · 10−2

50,80

0,25

2

55,4 53,69

0,625

A

45

4.1.7 Tropfenkondensation Benetzt das Kondensat die Wand nur unvollst¨andig, so bildet sich, wie in Abschnitt 4.1.1 erl¨ autert wurde, kein zusammenh¨angender Kondensatfilm, sondern es entstehen einzelne Fl¨ ussigkeitstropfen. W¨arme¨ ubergangskoeffizienten bei Tropfenkondensation sind deutlich gr¨ oßer als bei Filmkondensation. Man hat bei der Kondensation von Wasserdampf um den Faktor vier bis acht gr¨oßere W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten gemessen. Allerdings hat sich gezeigt, dass alle untersuchten Stoffe, insbesondere Wasser, die an den u ¨ blicherweise verwendeten Heizfl¨ achen kondensieren, vollst¨ andig benetzen, sofern der Werkstoff der Heizfl¨ ache und die Fl¨ ussigkeit nicht verunreinigt waren. Das entspricht auch der Erfahrung, wonach ein Wasserfilm als Kennzeichen gut gereinigten Laborger¨ ats angesehen wird. Die Kondensationsform wird haupts¨ achlich durch an der festen Oberfl¨ache adsorbierte Fremdstoffe beeinflusst. Sie k¨ onnen lokal zu endlichen Werten des Randwinkels f¨ uhren und damit eine unvollst¨ andige Benetzung bewirken. Als Fremdstoffe kommen organische Stoffe in Frage, denen man Wasser als Antinetzmittel zusetzt (Impfstoffe, Promotoren). Gelegentlich sind solche Impfstoffe unbeabsichtigt im Dampf, beispielsweise das Schmier¨ol einer Kesselspeisepumpe, wobei zur Erzeugung von Tropfenkondensation die geringen im Kondensat noch l¨ osbaren Mengen ausreichen. Auch die Zugabe wachsartiger Stoffe ist vorgeschlagen worden [4.22]. Man kann die Oberfl¨ache mit Werkstoffen geringer Oberfl¨ achenenergie wie Polymere oder amorphe Kohlenwasserstoffe beschichten oder die Oberfl¨ ache durch Ionenbestrahlung ver¨andern und dadurch die Oberfl¨ achenenergie verringern. Bei Impfstoffzugabe ist zur Aufrechterhaltung einer stabilen Tropfenkondensation eine st¨andige oder periodische Zugabe des Impfstoffes erforderlich, da dieser im Laufe der Zeit durch Abwaschen oder L¨ osen im Kondensat von der Oberfl¨ache entfernt wird. Die Tropfenbildung wird zus¨ atzlich durch Wandrauhigkeit, Wandh¨ohe, W¨armestromdichte und Temperaturdifferenz beeinflusst.

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

507

Als Promotor haben sich auch d¨ unne, durch Elektrolyse aufgetragene Goldschichten und Edelmetallplattierungen aus Gold, Rhodium, Palladium oder Platin bew¨ ahrt. Allerdings m¨ ussen diese, wie Versuche zeigten [4.23], eine bestimmte Mindestdicke haben, die bei Goldschichten rund 0,2 μm betr¨ agt, um eine dauernde Tropfenkondensation aufrechtzuerhalten. Obwohl diese Schichtdicke nur etwa halb so groß ist wie die Wellenl¨ange des sichtbaren Lichts, ist die ben¨ otigte Goldmenge doch keineswegs gering. Sie betr¨agt 3,8 g ache. Das bedeutet bei Goldpreisen von rund 10 000 ¤ je kg allein je m2 Heizfl¨ f¨ ur das Material zur Plattierung Kosten von rund 38 ¤ je m2 Heizfl¨ache. Dem steht ein f¨ unf- bis siebenmal gr¨ oßerer W¨ arme¨ ubergang bei der Kondensation von Wasserdampf [4.23] gegen¨ uber. Dennoch wird man angesichts des hohen Aufwands nur in Sonderf¨ allen von einer Goldplattierung Gebrauch machen, sonst aber die Filmkondensation w¨ ahlen. Auch wenn die Art der Kondensation nicht genau bekannt ist, wird man zur Berechnung von Kondensatoren Filmkondensation annehmen, da man dann die Kondensatorfl¨ ache ausreichend dimensioniert. Versuche zur Tropfenkondensation sind schwierig, weil man zur Bestimmung von W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten Temperaturunterschiede von 1 K und weniger messen muss, wobei die Wandtemperatur zeitlich und ¨ ortlich schwankt. Der messtechnische Aufwand zur Erzielung genauer Ergebnisse ist daher betr¨ achtlich. Als Beispiel f¨ ur die Tropfenkondensation zeigt Abb. 4.16 Aufnahmen an einer senkrechten Fl¨ ache. Die kleinen Tr¨ opfchen wachsen durch Nachkondensation aus dem Dampfraum und durch Zusammenfließen. Sobald eine bestimmte Tropfengr¨ oße erreicht ist, rollt der Tropfen ab und nimmt dabei die auf seiner Bahn liegenden Tropfen mit. Hinter dem abrollenden Tropfen entstehen sofort neue. Sie bilden sich vorzugsweise an den zur¨ uckgebliebenen Wasserr¨ andern und an Kratzern in der Kondensationsfl¨ ache. Die Keimdichte h¨ angt nach Versuchen von Krischer und Grigull [4.24] haupts¨ achlich von der Unterk¨ uhlung der Heizfl¨ ache ab. Versuche mit kondensierendem Wasserdampf an Kupfer- und Messingfl¨ achen ergaben bei Unterk¨ uhlungen ache, w¨ ahrend bei einer von 0,1 K Keimdichten von etwa 3·103 Keimen je mm2 Heizfl¨ Unterk¨ uhlung von 0,4 K die Keimdichte bei 15 · 103 Keimen je mm2 lag. Abb. 4.17 zeigt Ergebnisse zum W¨ arme¨ ubergang bei Tropfenkondensation, die aus Arbeiten der letzten 20 Jahre zusammengestellt wurden. Die meisten der Kondensationsfl¨ achen bestanden aus Kupfer. Als Promotoren, mit denen die K¨ uhlfl¨ ache bestrichen wurde, dienten verschiedene Fl¨ ussigkeiten. Je nach Promotoren und Werkstoff der Kondensationsfl¨ ache ergaben sich meist sehr unterschiedliche Ergebnisse. Wie man erkennt, weichen einzelne Versuchsergebnisse bis zum Faktor 30 in der W¨ armestromdichte voneinander ab. Eine schwach zunehmende Steigung und nur geringe Abweichungen untereinander weisen die Kurven 2, 5 und 6 von Wenzel [4.26], Le F`evre und Rose [4.29] und Tanner et al. [4.30] auf. In Abb. 4.18 sind Ergebnisse aus [4.30] und [4.32] zusammen mit denen von Krischer und Grigull [4.24] gesondert gezeichnet. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs sind mehrere Theorien ¨ uber die Tropfenkondensation aufgestellt worden. Eine der ¨ altesten, von Eucken [4.33] entwickelte Theorie geht von der Vorstellung aus, dass aus einer adsorbierten monomolekularen Kondensatschicht, deren Bildung durch Keime beg¨ unstigt wird, die ersten Kondensattr¨ opfchen entstehen, denen durch Oberfl¨ achendiffusion vorwiegend am Tropfen-

508

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

a

b

c

Abb. 4.16: Tropfenkondensation an einer senkrechten Kondensationsfl¨ ache, nach Krischer und Grigull [4.24]. a Beginn der Kondensation; b Kondensationsform nach 16 s; c Kondensationsform nach 32 s. Die Spuren der abrollenden Tropfen sind deutlich zu erkennen. Oben in Bild b ein sich gerade abl¨ osender Tropfen. q˙ = 0,12 W/cm2 , Δϑ = 0,05 K. Durchmesser der Kondensationsfl¨ ache: 18 mm

rand st¨ andig neues Kondensat zufließt. Diese Theorie ist sp¨ ater von anderen Autoren [4.34], [4.35] aufgegriffen und weiter ausgearbeitet worden. Andere Theorien setzten voraus, dass zwischen den Tropfen ein d¨ unner, instabiler Wasserfilm existiert, der nach Erreichen einer kritischen Dicke von wenigen μm aufplatzt und in den Tropfen verschwindet [4.36]. Diese Vorstellung wurde jedoch inzwischen durch Versuche widerlegt [4.37], [4.38].

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

Abb. 4.17: Versuchsergebnisse u ¨ ber Tropfenkondensation von Wasser bei etwa 1 bar Kondensationsdruck, nach ¨ [4.24]. 1 Hampson und Ozisik 1952, Kurven f¨ ur zwei verschiedene Promotoren [4.25]; 2 Wenzel 1957 [4.26]; 3 Welch und Westwater 1961 [4.27]; 4 Kast 1965, verchromte (obere Kurve) und unverchromte Kupferoberfl¨ ache [4.28]; 5 Le F`evre und Rose 1965, verschiedene Promotoren [4.29]; 6 Tanner et al. 1968, verschiedene Promotoren [4.30]; 7 Griffith und Lee 1967, vergoldete Kondensationsoberfl¨ achen: obere Kurve Kupfer, mittlere Kurve Zink und untere Kurve Stahl [4.31]

509

Abb. 4.18: Versuchsergebnisse bei etwa 0,03 bar Kondensationsdruck, nach [4.24]. Gestrichelte Kurven: Interpolierte Werte 8 aus Messungen von Tanner et al. [4.30] a) Promotor Montan ” wax“und b) Promotor Dioctadecyldi” sulfide“; 9 Messungen von Brown und Thomas [4.32]

Am besten mit Experimenten in Einklang zu bringen ist die Vorstellung, dass zun¨ achst winzige Tr¨ opfchen an Keimstellen, an Vertiefungen der Kondensationsfl¨ ache oder an Fl¨ ussigkeitsresten entstehen. Ihre Wachstumsgeschwindigkeit wird durch den W¨ armeleitwiderstand in den Tropfen und teilweise auch durch den W¨ armewiderstand an der Phasengrenze zum Dampf bestimmt. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist damit nur von dem jeweiligen Tropfenradius und der treibenden Temperaturdifferenz abh¨ angig, was auch experimentell best¨ atigt wurde [4.24]. Wenn es bisher dennoch nicht gelungen ist, eine geschlossene Theorie zu entwickeln, so liegt dies vor allem daran, dass die Keimdichte unbekannt ist und dass man auch den Radius der abrollenden Tropfen nur schwer vorhersagen kann, da er von der Reinheit und Gl¨ atte der Kondensationsfl¨ ache und den Grenzfl¨ achenspannungen abh¨ angt.

4.1.8 Kondensation von Dampfgemischen In technischen Apparaten werden h¨ aufig Dampfgemische verfl¨ ussigt, deren Komponenten sich alle in der fl¨ ussigen Phase wiederfinden, oder die Dampf-

510

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

gemische enthalten Beimengungen von Inertgasen, die nicht kondensieren. Deren Einfluss auf den W¨ arme¨ ubergang bei der Kondensation wurde schon in Abschnitt 4.1.4 behandelt. Hier soll daher noch untersucht werden, wie sich der W¨ arme¨ ubergang a ¨ndert, wenn das Kondensat alle Komponenten in mehr oder weniger starkem Maße enth¨ alt. Je nach Anwendungszweck kann der Dampf vollst¨andig oder nur teilweise kondensiert werden, so dass ein Restdampf von im Allgemeinen anderer Zusammensetzung als der anf¨ angliche Dampf den Kondensator verl¨asst. Man bezeichnet solche Apparate als Teil- oder Partialkondensatoren und in Rektifizierkolonnen auch als Dephlegmatoren. Ihr Zweck besteht darin, aus einem Dampf die h¨ oher siedenden Komponenten durch Kondensation abzutrennen. Sie arbeiten mit geringerer Temperaturdifferenz zwischen Dampf und K¨ uhlmittel als ein Kondensator, in dem der Dampf m¨oglichst vollst¨andig kondensiert werden soll. Da bei der Kondensation von Dampfgemischen die Komponenten mit dem h¨ oheren Siedepunkt in der Regel zuerst kondensieren und der Restdampf an diesen Komponenten verarmt, baut sich ein mit dem Str¨omungsweg ver¨anderliches Konzentrationsprofil auf, das den W¨ arme¨ ubergang maßgeblich beeinflusst. Dies f¨ uhrt dazu, dass man zur Berechnung des W¨arme- und Stoff¨ ubergangs den Str¨ omungsweg in einzelne Abschnitte unterteilt, und f¨ ur jeden Abschnitt die Mengenbilanzen der Komponenten und die Energiebilanzen unter Beachtung der Gesetze des W¨ arme- und Stoff¨ ubergangs l¨osen muss. Eine derartige Berechnung ist selbst f¨ ur die Kondensation von Zweistoffgemischen nur mit Hilfe einer Rechenanlage m¨ oglich. Wir wollen uns hier darauf beschr¨anken, die grundlegenden physikalischen Vorg¨ ange zu er¨ortern und die maßgebenden Bilanzgleichungen bereit zu stellen. Da die Vorg¨ange bei der Kondensation von Vielstoffgemischen mit mehr als zwei Komponenten ¨ahnlich ablaufen wie bei Zweistoffgemischen, beschr¨ anken wir die Betrachtungen auf Zweistoffgemische. Kondensiert ein Zweistoffgemisch, dessen Siede- und Taulinie in Abb. 4.19a dargestellt sind, an einer gek¨ uhlten Wand der Temperatur ϑ0 , so bildet sich ein Kondensat, Abb. 4.19b, an das der Dampf grenzt. An der Phasengrenze stellt sich eine Temperatur ϑI ein, die zwischen der Temperatur ϑG des Dampfes weitab von der Wand und der Wandtemperatur ϑ0 liegt. Ist der Dampf ges¨ attigt, so betr¨ agt seine Temperatur ϑG = ϑs entsprechend Abb. 4.19a. Den Temperaturverlauf im Dampf und Kondensat zeigt Abb. 4.19c. Die Komponente mit dem h¨ oheren Siedepunkt geht an der Phasengrenze in der Regel bevorzugt vom Dampf in das Kondensat u ¨ ber. Infolgedessen enth¨ alt das Dampfgemisch an der Phasengrenze im Allgemeinen mehr von der leichter fl¨ uchtigen Komponente als in gr¨oßerer Entfernung davon. Es baut sich, wie in Abb. 4.19d dargestellt, ein Konzentrationsprofil auf. Die Konzentration der leichter fl¨ uchtigen Komponente nimmt zur Phasengrenze hin zu. Im station¨ aren Zustand werden so die an der Kondensatoberfl¨ache nicht kondensierten Molek¨ ule der leichter fl¨ uchtigen Komponente durch Dif-

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

511

Abb. 4.19: Temperatur-Konzentrationsdiagramm f¨ ur ein bin¨ ares Gemisch sowie Temperatur- und Konzentrationsverlauf in Dampf und Kondensat. Indizes: 0 K¨ uhlwand, I Phasengrenze, G Kernstr¨ omung im Dampf (G Gas). a Verlauf der Siedeund Taulinie; b Kondensat und Dampfgrenzschicht; c Temperaturverlauf; d Konzentrationsverlauf

fusion wieder in den Dampf zur¨ ucktransportiert. Im Kondensat kann man meistens wegen der im Vergleich zum Dampf kleinen Str¨omungsgeschwindigkeit den Impuls-, W¨ arme- und Stoffaustausch durch Konvektion im Vergleich zu dem durch Leitung und Diffusion vernachl¨ assigen, falls nicht die Prandtloder Schmidt-Zahl sehr klein ist. Daher gelten im Kondensatfilm weiterhin die Nußeltschen Annahmen, wonach die Str¨ omung nur durch Reibungs- und Feldkr¨ afte (Schwerkraft), das Temperaturprofil hingegen haupts¨achlich durch W¨ armeleitung bestimmt wird. Die Konzentration ist u ¨ ber einen Querschnitt des Kondensatfilms konstant, da die Wand f¨ ur Materie undurchl¨assig und konvektiver Stofftransport im Fl¨ ussigkeitsfilm vernachl¨assigbar ist. Dies sieht man leicht ein, denn unter den genannten Voraussetzungen lautet die Gleichung f¨ ur die Diffusion, das sogenannte zweite Ficksche Gesetz,

 ∂ ∂c D =0 , ∂y ∂y wenn y die Koordinate senkrecht zur Wand, D der Diffusionskoeffizient und c = N/V die Konzentration einer der beiden Komponenten des Zweistoffgemischs ist. Integriert man diese Gleichung unter Beachtung der Randbedingungen

 ∂c = 0 und c(y = δ) = cI , ∂y y=0

512

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

so folgt unmittelbar c = c0 = cI = const. Es ist daher auch, wie in Abb. 4.19d eingezeichnet, x ˜ = x˜0 = x ˜I = const. Der Konzentrationsverlauf wird maßgeblich durch die Str¨omung und die Art der Str¨ omungsf¨ uhrung beeinflusst. Bei der in Abb. 4.20a gezeichneten, u blichen Gleichstromf¨ uhrung von Dampf und Kondensat geht die schwerer ¨ siedende Komponente bevorzugt aus dem Dampf in das Kondensat u ¨ ber. Der Anteil der leichter siedenden Komponente nimmt daher stromab im Dampf zu von der anf¨ anglichen Zusammensetzung y˜α zur Endzusammensetzung y˜ω . Die im Eintrittsquerschnitt anfallende Kondensatmenge ist groß, und infolgedessen wird dem Dampf auch viel von der schwerer siedenden Komponente entzogen. Anders sind die Verh¨ altnisse bei Gegenstrom, Abb. 4.20b, wie sie in Rieselfilmkolonnen oder in den R¨ ucklaufkondensatoren von Rektifizieranlagen vorkommen. Dort trifft der Dampf von der anf¨anglichen Zusammensetzung y˜α auf eine dickere Kondensathaut. Die kondensierende Menge ist geringer, und es wird dem Dampf weniger von der schwerer siedenden Komponente entzogen als im Fall des Gleichstroms. Der aufsteigende Dampf kommt nun in Kontakt

Abb. 4.20: Kondensation bei a Gleich- und b Gegenstrom. Im Fall a enth¨ alt die nach unten rieselnde Fl¨ ussigkeit mehr an leichter fl¨ uchtigen Bestandteile (LS) als im Fall b. Im Fall b treten LS-Molek¨ ule in den Dampf u ¨ ber, weil aufsteigende schwerer fl¨ uchtige Bestandteile kondensieren und dabei LS-Molek¨ ule austreiben

mit einem d¨ unner werdenden Kondensatfilm der herabrieselnden Fl¨ ussigkeit. Die anfallende Kondensatmenge nimmt zu, und es kondensieren vorzugsweise die schwerer siedenden Komponenten des Dampfes. Die frei werdende Kondensationsenthalpie bewirkt gleichzeitig eine Verdampfung der leichter siedenden Komponenten, was durch die waagerechten Pfeile in Abb. 4.20b angedeutet ist: Zwischen Fl¨ ussigkeit und Dampf findet ein Stoffaustausch durch Rekti” fikation“ statt, wodurch der austretende Dampf mehr, das unten austretende Kondensat entsprechend weniger an leichter fl¨ uchtigen Bestandteilen enth¨alt als im Fall des Gleichstroms nach Abb. 4.20b. Will man daher ein an schwer

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

513

fl¨ uchtigen Stoffen st¨ arker angereichertes Kondensat erhalten, so ist die Gegenstromf¨ uhrung vorzuziehen, ein Effekt, auf den Claude [4.39] schon vor mehr als 70 Jahren hinwies. Der abstr¨ omende Dampf enth¨alt bei Gegenstrom mehr leichter fl¨ uchtige Stoffe als bei Gleichstrom. Allerdings wird infolge der vom Dampf ausge¨ ubten Schubspannung das Kondensat bei Gegenstrom aufgestaut und der W¨ arme¨ ubergang verschlechtert. Offenbar ist die Str¨ omungsf¨ uhrung f¨ ur den Stoffaustausch und damit auch f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang maßgebend. Ganz allgemein gilt, dass sich infolge des Konzentrationsfelds an der Phasengrenze ein Stoffaustauschwiderstand aufbaut, der den Stoffstrom zur Phasengrenze hin behindert. Als Folge ist der W¨ arme¨ ubergang kondensierender Gemischd¨ampfe bei gleichem treibenden Temperaturgef¨ alle geringer als der kondensierender reiner D¨ampfe. Diese Verringerung kann betr¨ achtliche Werte annehmen. Als Beispiel daf¨ ur zeigt Abb. 4.21a die bezogene W¨ armestromdichte q/ ˙ q˙0 u ¨ ber der Temperatur ϑ∞ aufgetragen, die in diesem Fall gleich der S¨ attigungstemperatur entlang der Taulinie sein soll. Wie man erkennt, ist die u ¨ bertragene W¨armestromdichte q˙

Abb. 4.21: Verminderung des W¨ armestroms bei der Kondensation von Methaangigkeit von der Temperanol/Wasser. a bezogene W¨ armestromdichte q/ ˙ q˙0 in Abh¨ tur ϑ∞ ; b Siedediagramm

deutlich kleiner als die W¨ armestromdichte q˙0 , die u urde, wenn kein ¨bertragen w¨ Widerstand f¨ ur den Stoffaustausch im Dampf zu u berwinden w¨are und da¨ her an der Kondensatoberfl¨ ache die S¨ attigungstemperatur ϑ∞ herrschte. Die ausgezogenen Kurven gelten f¨ ur die Kondensation eines Dampfgemischs aus Methanol (CH3 OH) und Wasser (H2 O) bei vernachl¨assigbarem Einfluss der Schwerkraft, also an einer waagrechten Platte oder dann, wenn die Dampf2 /g x geschwindigkeit hinreichend groß und somit die Froude-Zahl F r = w∞ sehr groß wird. Die gestrichelten Kurven gelten f¨ ur die Kondensation bei klei-

514

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

nen Froude-Zahlen, also beispielsweise an einer senkrechten Wand mit freier Konvektion des Dampfes. ¨ Ahnlich wie nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie nimmt auch bei der Kondensation von Gemischd¨ ampfen die u ¨ bertragene W¨armestromdichte mit der treibenden Temperaturdifferenz ϑ∞ − ϑ0 zu. Nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie nahm der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient mit der treibenden Temperaturdifferenz entsprechend α ∼ (ϑ∞ − ϑ0 )−1/4 ab, Gl. (4.12). Die W¨armestromdichte nahm gem¨ aß q˙ ∼ (ϑ∞ − ϑ0 )3/4 zu. Dar¨ uber hinaus erkennt man in Abb. 4.21a ein Minimum der u bertragenen W¨ a rmestromdichte bei einer be¨ ur den stimmten Temperatur ϑ∞ . Dieses kommt dadurch zustande, dass die f¨ W¨ arme¨ ubergang maßgebende Temperaturdifferenz ϑI − ϑ0 zwischen Kondensatoberfl¨ ache und Wand bei einer bestimmten S¨attigungstemperatur ϑ∞ ebenfalls ein Minimum annimmt, was sich anhand des Siedediagramms, Abb. 4.21, erkl¨ aren l¨ asst. Wir setzen dazu eine hinreichend große Temperaturdifferenz ϑ∞ − ϑ0 voraus, so dass der Dampf vom Anfangszustand A vollst¨andig kondensiert und ein Kondensat anf¨ allt, das durch Punkt B in Abb. 4.21b gekennzeichnet ist. Die Temperatur ϑI an der Phasengrenze ist dann gleich der Siedetemperatur des Fl¨ ussigkeitsgemischs und die Zusammensetzung des anfallenden Kondensats identisch mit der des Dampfes. Man bezeichnet dies als ¨ortliche Totalkondensation. Die als konstant angenommene Wandtemperatur sei durch Punkt C charakterisiert. Die Strecke BC entspricht dann der Temperaturdifferenz ϑI − ϑ0 , die f¨ ur die u ¨bertragene W¨armestromdichte q˙ entscheidend ist. W¨ urde die Nußeltsche Wasserhauttheorie auch f¨ ur die Kondensation von Gemischd¨ ampfen gelten, so w¨ are q˙ ∼ (ϑI − ϑ0 )3/4 . H¨alt man ϑ∞ − ϑ0 konstant und erh¨ oht man die Temperatur ϑ∞ , verfolgt also in Abb. 4.21a den Verlauf einer Kurve ϑ∞ − ϑ0 = const in Richtung wachsender Temperatur ϑ∞ , so kann man in Abb. 4.21b wieder die Strecke BC abgreifen, wenn man durch Punkt C eine Parallele zur Taulinie legt. Die Strecke AC =ϑ , ∞ − ϑ0 bleibt damit voraussetzungsgem¨ aß unver¨ andert, w¨ahrend BC zun¨achst kleiner, dann wieder gr¨ oßer wird. Im gleichen Verh¨altnis ¨andert sich auch die alt man andererseits die Dampftemperabezogene W¨ armestromdichte q/ ˙ q˙0 . H¨ tur ϑ∞ konstant und verringert man die Temperaturdifferenz ϑ∞ − ϑ0 , indem man die Wandtemperatur erh¨ oht, so muss man in Abb. 4.21b die durch Punkt C gehende ϑ0 -Kurve nach oben verschieben. Damit erh¨alt man auch kleinere Werte der W¨ armestromdichte q˙ und der bezogenen W¨armestromdichte q/ ˙ q˙0 . 4.1.8.1 Die Temperatur an der Phasengrenze ¨ Wie die vorherigen Uberlegungen zeigten, muss man zur Berechnung des W¨arme¨ ubergangs bei Filmkondensation von Gemischen die Temperatur ϑI an der Phasengrenze kennen. An der Phasengrenze eines Kondensationsfilms herrscht thermodynamisches Gleichgewicht zwischen Fl¨ ussigkeit und Dampf. Die Temperatur ϑI ist leicht zu berechnen, wenn die anfallende Kondensatmenge an jeder Stelle die gleiche Zusammensetzung wie der Dampf hat. Sie stimmt dann mit der jeweiligen Temperatur auf der Siedelinie u ¨ berein und ist beispielsweise

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

515

durch Punkt B in Abb. 4.21b bestimmt. Um diese Temperatur zu erreichen, muss die Wandtemperatur ϑ0 = ϑC nach Abb. 4.21b hinreichend weit unter der Siedetemperatur ϑB der leichter fl¨ uchtigen Komponente liegen. Als Regel gilt, dass ϑB −ϑ0 > 2 (ϑA −ϑB ) sein soll. Die Kondensationsrate muss demnach hinreichend groß sein, weswegen man von o ¨rtlicher Totalkondensation spricht. In technischen Kondensatoren ist diese Bedingung zwar erf¨ ullt, allerdings gibt es auch F¨ alle, wie bei der Partialkondensation, wo man die Wandtemperatur bewusst h¨ oher w¨ ahlt, damit die leichter fl¨ uchtige Komponente im Kondensat nur in geringer Menge oder gar nicht vorkommt. Um zu zeigen, wie man dann die Temperatur an der Phasengrenze ermittelt, betrachten wir ein Zweistoffgemisch und stellen f¨ ur dieses eine Massenbilanz an der Kondensatoberfl¨ache auf. Der senkrecht zur Phasengrenze fließende Massenstrom M˙ G des Dampfes wird dort kondensiert und als Kondensat M˙ L abgef¨ uhrt. Es ist M˙ G = M˙ L = M˙ 1 . Wir setzen nun der Einfachheit halber die G¨ ultigkeit der Filmtheorie voraus, wonach Geschwindigkeits- und Konzentrationsprofil nur von der wandnormalen Koordinate y abh¨ angen. Mit dieser Annahme lautet die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die betrachtete Komponente ∂ M˙ 1 =0 , ∂y wobei y die wandnormale Koordinate bezeichnet. F¨ ur diese Gleichung kann ˜ 1 N˙ 1 mit der Molmasse M ˜ 1 und dem Stoffmengenstrom man wegen M˙ 1 = M N˙ 1 (SI-Einheit mol/s) auch schreiben ∂ N˙ 1 =0 . ∂y

(4.56)

Der Stoffstrom im Gas setzt sich aus dem Diffusionsstrom u j1 A (SI-Einheit von u j1 : mol/m2 s) und dem Konvektionsstrom y˜1 N˙ zusammen, wenn N˙ der gesamte Stoffmengenstrom und y˜ = y˜1 ist: N˙ 1 = u j1 A + y˜ N˙ .

(4.57)

Hierin ist nach dem Fickschen Gesetz (1.160) u j1

= −c D

∂ y˜ ∂y

(4.58)

mit c = N/V . Die Koordinate y l¨ auft senkrecht zur Kondensatoberfl¨ache und zeigt von der Kondensatoberfl¨ ache in den Dampfraum. Mit (4.58) kann man (4.57) nach Division durch N˙ auch schreiben N˙ ∂ y˜/∂y u j1 = = −c D . A N˙ 1 /N˙ − y˜ N˙ 1 /N˙ − y˜

(4.59)

516

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Da die Stoffmengenstromdichte jeder der beiden Komponenten unabh¨angig von der Ortskoordinate y sein soll, sind die gesamte Stoffmengenstromdichte N˙ /A und ebenso auch der Quotient N˙ 1 /N˙ unabh¨angig von y. Man kann daher (4.59) leicht integrieren. Die Integration soll sich von der Kondensatoberfl¨ache (Index I) bis in den Dampfraum (Index G) erstrecken. Die Dicke der Dampfgrenzschicht sei δ. Wir setzen dabei konstante Werte von Druck und Temperatur voraus. Unter der Annahme, dass sich die Gasphase ideal verh¨alt, sind dann der Diffusionskoeffizient und die molare Konzentration c = N/V = angig von der Ortskoordinate y. Die Integration p/(Rm T ) ebenfalls unabh¨ ergibt N˙ 1 /N˙ − y˜G N˙ δ = c D ln A N˙ 1 /N˙ − y˜I und nach Einf¨ uhren eines Stoffaustauschkoeffizienten βG = D/δ N˙ 1 /N˙ − y˜G N˙ = n˙ = βG c ln . A N˙ 1 /N˙ − y˜I

(4.60)

Dieses Ergebnis erh¨ alt man auch aus der fr¨ uher abgeleiteten Gleichung (1.192) der Filmtheorie, wenn man diese auf die Dampfphase anwendet und nach n˙ aufl¨ ost. Nun ist in (4.60) der Stoffmengenstrom an der Phasengrenze I gegeben durch N˙ 1 /A = (c1 w1 )G = (c1 w1 )L und N˙ /A = (c u)G = (c u)L , worin u die mittlere molare Geschwindigkeit nach (1.157) ist. Damit ist das ussigphase aber keine DifVerh¨ altnis N˙ 1 /N˙ = (c1 w1 )L /(c u)L . Da in der Fl¨ fusion stattfindet, ist dort nach (1.158) w1 = u, und infolgedessen gilt auch N˙ 1 /N˙ = c1 /c = n1 /n = x ˜1 . Dieser Wert ist an der Phasengrenze zu nehmen, so dass wir schreiben k¨ onnen N˙ 1 = x˜1I = x ˜I . N˙ Kondensiert ein Dampf aus einem Gemisch mit einem Inertgas, so ist x˜I = 1 und man erh¨ alt aus (4.60) die bereits bekannte Gleichung (4.31). xI − y˜I ) in (4.60) kleiner als eins ist, wird die Da der Quotient (˜ xI − y˜G )/(˜ Stoffmengenstromdichte negativ: Der Stoffstrom des kondensierenden Dampfes ist der von uns gew¨ ahlten Oberfl¨ achenkoordinate y entgegen gerichtet. Da es uns nur auf den Betrag der Mengenstromdichte ankommt, schreiben wir |n| ˙ = βG c ln

˜I y˜I − x . y˜G − x ˜I

(4.61)

In (4.61) sind nun zwei Grenzf¨ alle enthalten: a) Bei ¨ ortlicher Totalkondensation ist die Zusammensetzung der Fl¨ ussigkeit ˙ → ∞ f¨ ur identisch mit der des Dampfes x ˜I = y˜G . Man erh¨alt dann |n|

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

517

die Mengenstromdichte des zur Kondensatoberfl¨ache str¨omenden Dampfes. Um ¨ ortliche Totalkondensation zu erreichen, muss die Wandtemperatur hinreichend weit unter der Siedetemperatur aller Komponenten liegen, damit diese alle kondensieren und das Kondensat dieselbe Zusammensetzung wie der Dampf aufweist. b) F¨ ur verschwindend kleine Mengenstromdichten des entstehenden Kondensats |n| ˙ → 0 ist nach (4.61) die Dampfzusammensetzung y˜G = y˜I . Es wird praktisch kein Kondensat gebildet und infolgedessen bildet sich im Dampfraum auch kein Konzentrationsprofil aus.

Abb. 4.22: Grenzf¨ alle der Kondensation

Abb. 4.23: Molanteile und Temperatur an der Kondensatober߬ ache

Beide Grenzf¨ alle sind in Abb. 4.22 eingezeichnet. Tats¨achliche Kondensationsraten liegen zwischen beiden Extremf¨ allen. Die Temperatur ϑI an der Phasengrenze liegt, wie in Abb. 4.22 zu sehen, zwischen der Temperatur der Taulinie (Fall b) und der Temperatur der Siedelinie (Fall a). Die zugeh¨orige Dampfund Fl¨ ussigkeitszusammensetzung liest man auf der Abszisse, Punkte A und B in Abb. 4.22 ab. Zur Berechnung der Temperatur ϑI an der Phasengrenze ben¨otigt man noch als weitere Bilanzgleichung die Energiegleichung an der Kondensatoberfl¨ ache ˜v , ˙ Δh (4.62) q˙L = q˙G + |n| uhrworin q˙L dem Betrage nach die durch Konvektion vom Kondensat abgef¨ te, q˙G die durch Konvektion vom Dampf der Kondensatoberfl¨ache zugef¨ uhrte ˜ v die molare Verdampfungsenthalpie des GemiW¨ armestromdichte und Δh sches sind. Es ist q˙L = αL (ϑI − ϑ0 ) . (4.63) Andererseits wird diese W¨ armestromdichte auch durch die Wand an das K¨ uhlmittel u ¨bertragen, dessen Temperatur ϑK sei. Der W¨armedurchgangskoeffizient zwischen Wand und K¨ uhlmittel sei k  . Dann ist

518

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

q˙L = k  (ϑ0 − ϑK ) .

(4.64)

Mit Hilfe von (4.63) kann man hieraus ϑ0 eliminieren und erh¨alt q˙L =

αL (ϑI − ϑK ) . (αL /k  ) + 1

(4.65)

Im Fall eines sehr großen W¨ armedurchgangskoeffizienten k  → ∞ ist die Wandtemperatur ϑ0 konstant und gleich der K¨ uhlmitteltemperatur ϑK . Die vom Dampf an die Kondensatoberfl¨ ache u ¨ bergehende W¨armestromdichte ist (4.66) q˙G = α•G (ϑG − ϑI ) . Sie enth¨ alt den Anteil f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang an die Phasengrenze infolge des Temperaturgef¨ alles ϑG − ϑI und den Anteil f¨ ur die Energie, die durch den Dampf zur Kondensatoberfl¨ ache transportiert wird. Setzt man die W¨ armestromdichte q˙G nach (4.66) zusammen mit der W¨armestromdichte q˙L nach (4.65) in die Energiebilanz (4.62) ein und beachtet, dass die Mengenstromdichte des Kondensats durch (4.61) gegeben ist, so erh¨ alt man f¨ ur die Energiebilanz αL ˜I ˜ y˜I − x (ϑI − ϑK ) = α•G (ϑG − ϑI ) + βG c ln Δhv .  (αL /k ) + 1 y˜G − x ˜I

(4.67)

Aus dieser Gleichung kann man die unbekannte Temperatur ϑI berechnen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass die Molanteile x ˜I , y˜I von der Temperatur ϑI abh¨ angen, wie Abb. 4.23 f¨ ur ein Zweistoffgemisch zeigt. Außerdem ist der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient αL von der Temperatur ϑI abh¨ angig. Da sich im Dampf zumindest freie Konvektion einstellt, ist der Term α•G (ϑG −ϑI ) oft nicht vernachl¨ assigbar, sondern kann von gleicher Gr¨oßenordnung wie die u ucke in (4.67) sein, insbesondere wenn die Tem¨ brigen Ausdr¨ peratur der Phasengrenzfl¨ ache ϑI nahe bei der Wandtemperatur liegt, so dass das treibende Temperaturgef¨ alle ϑI − ϑ0 im Kondensat klein, dasjenige im Dampf ϑG − ϑI dagegen groß wird. Die praktische Berechnung der Temperatur ϑI an der Kondensatoberfl¨ ache ist recht aufw¨andig und selbst im Fall des hier besprochenen Zweistoffgemischs kaum ohne Rechenanlage zu bew¨altigen. 4.1.8.2 Die Mengen- und die Energiebilanz des Dampfes Zur Berechnung der Temperatur ϑI an der Phasengrenze unterteilt man die Fl¨ ache des Kondensators in Abschnitte ΔA. Jedem Abschnitt ordnet man einheitliche (mittlere) Werte der Temperatur ϑI , ϑG und der Zusammensetzung y˜G zu. Mit Hilfe von (4.67) erh¨ alt man die Temperatur ϑI f¨ ur vorgegebene Werte ϑG , y˜G . Um die Werte ϑG , y˜G eines jeden Abschnitts aus den Werten des vorhergehenden Abschnitts zu berechnen sind die Mengen- und Energiebilanzen zu l¨ osen.

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

519

Zur Aufstellung der Mengenbilanzen betrachten wir nach Abb. 4.24 rechts einen Fl¨ achenabschnitt dA. Die Mengenbilanz f¨ ur die leichter fl¨ uchtige Komponente lautet N˙ G y˜G = (N˙ G + dN˙ G ) (˜ yG + d˜ yG ) + dN˙ x ˜I . uchtigen Komponente ist hierbei, wie in Der Molanteil y˜G der leichter fl¨ (4.67), ein integraler Mittelwert u ¨ber einen Querschnitt des Dampfraums. Man erh¨ alt aus der letzten Beziehung mit dN˙ = − dN˙ G die sogenannte RayleighGleichung dN˙ G − d˜ yG = . (4.68) ˙ y˜G − x ˜I NG Diese liefert nach Integration zwischen den Querschnitten 1 und 2, Abb. 4.24 links, den Ausdruck y˜G2 N˙ G1 d˜ yG = , ln ˙ y ˜ − x ˜I NG2 G y˜G1

woraus sich der im Fl¨ achenabschnitt ΔA anfallende Kondensatmengenstrom berechnet ⎛ ⎞⎞ ⎛ y˜ G2 d˜ yG ⎠⎠ |n| ˙ ΔA = N˙ G1 − N˙ G2 = N˙ G1 ⎝1 − exp ⎝− . (4.69) y˜G − x ˜I y˜G1

Hat man die Temperatur ϑI an der Phasengrenze mit Hilfe von (4.67) ermittelt, so kennt man nach (4.61) den Kondensatmengenstrom. Aus (4.69) kann man dann den Molanteil y˜G2 des Dampfes im n¨achsten Abschnitt ΔA berechnen. Die Energiebilanz ergibt sich aus dem in Abb. 4.25 gezeigten Fl¨achenabschnitt zu ˜ G + dh ˜ G ) + dN˙ h ˜ G + q˙G dA . N˙ G ˜ hG = (N˙ G + dN˙ G ) (h I Mit dN˙ = − dN˙ G folgt ˜ GI ) + N˙ G dh ˜ G + q˙G dA . ˜G − h 0 = − dN˙ (h Nun ist d|N˙ | = |n| ˙ dA mit |n| ˙ nach (4.61). Damit wird

Abb. 4.24: Zur Mengenbilanz in einem Abschnitt des Kondensators

520

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.25: Zur Energiebilanz in einem Abschnitt des Kondensators

˜ G = |n| ˜G − ˜ −N˙ G dh ˙ (h hGI ) dA + q˙G dA

(4.70)

˜ G = c˜pG dϑG , h ˜G − h ˜ GI = c˜pG (ϑG − ϑI ) und q˙G = α• (ϑG − ϑI ). Diese mit dh G ˜ G und Gleichung l¨ asst sich nicht geschlossen integrieren, da die Enthalpien h ˜ angs des Str¨ omungswegs ver¨anderlichen Temperatur hGI ihrerseits von der l¨ und dem Molanteil abh¨ angen. Falls der Fl¨ achenabschnitt ΔA nicht zu groß gew¨ ahlt wird, kann man in guter N¨ aherung mit Vorw¨artsdifferenzen arbeiten. Dann ist ˜ G2 − h ˜ G1 ) = |n| ˜ G1 − h ˜ GI ) ΔA + q˙G ΔA . ˙ (h −N˙ G1 (h

(4.71)

˜ G2 des folgenden Fl¨achenabAus dieser Beziehung erh¨ alt man die Enthalpie h schnitts und damit auch dessen Temperatur, denn es ist ˜ 01 (ϑG ) y˜G + h ˜ 02 (ϑG ) (1 − y˜G ) und ˜G = h h ˜ GI = h ˜ 01 (ϑI ) y˜I + h ˜ 02 (ϑI ) (1 − y˜I ) , h

(4.72)

˜ 02 die von der Temperatur abh¨angigen molaren Enthalpien ˜ 01 und h wenn h der reinen Stoffe 1 und 2 sind. Da wir die Gasphase als ideal voraussetzten, entf¨ allt die Druckabh¨ angigkeit der Enthalpien. In (4.71) ist in der von der uberGasphase abgegeben W¨ armestromdichte q˙G = α•G (ϑG − ϑI ) der W¨arme¨ • gangskoeffizient αG vom Gas an die Phasengrenze verschieden von dem einer Dampfstr¨ omung ohne Kondensation, αG . Es ist nach (4.32) α•G = αG ζG , worin der Korrekturfaktor ζ durch die Ackermann-Korrektur“ (4.33) gegeben ” ist. 4.1.8.3 Die Berechnung der Fl¨ ache eines Kondensators Die praktische Berechnung f¨ ur Zweistoffgemische aufgrund der vorstehenden Gleichungen ist nun in verschiedener Weise m¨oglich. Empfehlenswert ist das folgende Vorgehen.



Man gibt einen Fl¨ achenabschnitt ΔA vor und sch¨atzt die Temperatur ϑI an der Kondensatoberfl¨ ache dieses Abschnitts. Es ist ϑG < ϑI < ϑK , wenn uhlmittels ist. Mit dieser ϑG die Temperatur des Dampfes und ϑK die des K¨ Vorgabe von ϑI liegen aufgrund des Phasengleichgewichts die Molanteile ache fest. x ˜I und y˜I an der Kondensatoberfl¨

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren



521

¨ Man sch¨ atzt weiter die Anderung Δ˜ yG der Dampfzusammensetzung in dem betreffenden Abschnitt und setzt n¨ aherungsweise yG1 + y˜G2 )/2 mit y˜G2 = y˜G1 + Δ˜ yG , y˜G = (˜





 

worin y˜G1 die Dampfzusammensetzung im Eintrittsquerschnitt 1 und y˜G2 die im Austrittsquerschnitt 2 des betrachteten Abschnitts sind. Mit diesen Sch¨ atzwerten kann man den dampfseitigen W¨arme¨ ubergangsubergangskoeffizienten βG berechnen. Ebenkoeffizient α•G und den Stoff¨ so kennt man den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten αL des Kondensatfilms, der sich bei laminarer Filmkondensation aus der Nußeltschen Wasserhauttheorie (4.39) und bei turbulenter Filmkondensation aus (4.41) ergibt. Aus (4.67) berechnet man damit eine Temperatur ϑI an der Kondensatoberfl¨ ache. Stimmt diese mit dem Sch¨ atzwert nicht u ¨berein, so muss man die atzen, bis Sch¨ atz- und Rechenwert gen¨ ugend geTemperatur ϑI erneut sch¨ nau genug u ¨ bereinstimmen. Im n¨ achsten Schritt berechnet man nun mit Hilfe von (4.69) den anfallenden Mengenstrom |n| ˙ des Kondensats. Stimmt dieser mit dem aus (4.61) ermittelten u angliche Sch¨atzung hinsichtlich ¨berein, so war die anf¨ ¨ der Anderung y˜G der Dampfzusammensetzung richtig. Andernfalls muss man die Rechnung solange wiederholen, bis Sch¨atz- und Rechenwert genau u ¨ bereinstimmen. Erst dann k¨ onnen Temperaturen und Zusammensetzung des folgenden Abschnitts ermittelt werden. Solange der Dampf u ¨ berhitzt ist, ϑG > ϑT (ϑT ist die Tautemperatur), wie dies Abb. 4.26 zeigt, berechnet man zweckm¨aßigerweise zuerst mit Hilfe von (4.71) die Dampftemperaturen des folgenden Fl¨achenabschnitts und dann wie zuvor er¨ ortert alle u oßen. Ist der Dampf auf Tautem¨ brigen Gr¨ uhlt, so braucht man die Energiegleichung (4.71) nicht peratur ϑT abgek¨ mehr zu l¨ osen, da dann die Dampftemperatur ϑG = ϑT , wie aus Abb. 4.26 hervorgeht, nur vom Molanteil y˜G abh¨ angt.

Wie sich Dampftemperatur ϑG und Molanteile y˜G , y˜I , und die Temperatur ϑI l¨ angs eines Kondensators ¨ andern k¨ onnen, zeigt schematisch Abb. 4.26.

Abb. 4.26: Temperaturen ϑG , ϑI und Zusam˜I l¨ angs eines Kondensamensetzung y˜G , y˜I , x tors. e = Eintrittszustand, a = Austrittszustand des Dampfes

522

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

4.1.9 Einige empirische Gleichungen Im Folgenden werden die bisherigen Gleichungen zusammengefasst und um einige weitere erg¨ anzt. 1. Laminare Filmkondensation an senkrechten oder geneigten Platten und an der Innen- oder Außenseite senkrechter Rohre Nach der Nußeltschen Wasserhauttheorie folgt f¨ ur die W¨arme¨ ubergangskoeffizienten aus (4.13a) unter der Voraussetzung G L :  −1/3

1/3 M˙ /b αm νL2 N um = = 0,925 = 0,925 Re−1/3 . λL g ηL Der ¨ ortliche W¨ arme¨ ubergangskoeffizient ist α = 3 αm /4. Ist die Wand um den Winkel γ gegen die Senkrechte geneigt, so hat man die Fallbeschleunigung g durch die wandparallele Komponente g cos γ mit 0 ≤ γ ≤ π/2 zu ersetzen. Die Gleichung gilt auch f¨ ur die Kondensation ruhender D¨ ampfe an der Innen- oder Außenseite senkrechter Rohre, wenn der Rohrdurchmesser groß im Vergleich zur Filmdicke ist. Man hat dann die Breite b durch b = π d zu ersetzen. L¨asst man eine Abweichung von 1 % von den Werten der Nußeltschen Wasserhauttheorie zu, so gilt die Gleichung bis zu einer Reynolds-Zahl Reu¨ = 256 P r−0,47

mit

1 ≤ P r ≤ 10 .

2. Laminare Filmkondensation am Einzelrohr Es gilt f¨ ur den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten nach (4.15a), wenn man G L setzt  −1/3 M˙ /L αm, waag (νL2 /g)1/3 = 0,959 = 0,959 Re−1/3 . N um = λL ηL L ist die Rohrl¨ ange. 3. Laminare Filmkondensation am Rohrb¨ undel in fluchtender Anordnung Man berechne zun¨ achst nach 2. den mittleren W¨arme¨ ubergangskoeffizienten f¨ ur laminare Filmkondensation am waagrechten Einzelrohr. Den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten f¨ ur n fluchtend u ¨ bereinander liegende Rohre erh¨ alt man nach (4.17) zu   cpL (ϑs − ϑ0 ) (n − 1) n−1/4 αml . αm = 1 + 0,2 Δhv ϑs ist die S¨ attigungstemperatur, ϑ0 die Wandtemperatur, Δhv die Verussigkeit. dampfungsenthalpie und cpL die spez. W¨armekapazit¨at der Fl¨ Die Gleichung gilt f¨ ur cpL (ϑs − ϑ0 ) (n − 1)/Δhv < 2 .

4.1 W¨ arme¨ ubergang beim Kondensieren

523

4. Turbulente Filmkondensation an senkrechten oder geneigten Platten und an der Innen- oder Außenseite senkrechter Rohre Der o arme¨ ubergangskoeffizient berechnet sich f¨ ur Re ≥ 400 aus ¨rtliche W¨ (4.41) α (νL2 /g)1/3 = 0,0325 Re1/4 P r1/2 Nu = λL mit

4/3

1/4 Pr M˙ /b 1/2 = 89 + 0,024 P r (Z − 2300) Re = ηL P r0 und Z=

x cpL (ϑs − ϑ0 ) 1 . 2 Δhv P r (ν /g)1/3 L

¨ 5. Ubergangsbereich zwischen laminarer und turbulenter Filmkondensation ¨ Im Ubergangsbereich 256 P r−0,44 ≤ Reu¨ ≤ 400 zwischen laminarer und turbulenter Filmkondensation erh¨ alt man W¨arme¨ ubergangskoeffizienten nach (4.43) aus ' α=

4

(f αlam )4 + α4turb .

Der Faktor f ≈ 1,15 ber¨ ucksichtigt die Welligkeit des laminaren Kondensatfilms. 6. Turbulente Filmkondensation str¨ omender D¨ ampfe in Rohren F¨ ur den o rtlichen W¨ a rme¨ u bergang gilt nach Shah, Gl. (4.52) ¨  ( 3,8 (1 − x∗ )0,04 x∗0,76 0,8 0,4 ∗ 0,8 N u = 0,023 Re P r (1 − x ) + p+0,38 mit

 αd π d2 wm d p νL ˙ Nu = , Re = , wm = M / L und p+ = . , Pr = λL νL 4 aL pcr Haupts¨ achlicher G¨ ultigkeitsbereich 100 ≤ Re ≤ 63 000,

1 ≤ P r ≤ 13,

0,002 ≤ p+ ≤ 0,44 .

Weitere Hinweise zum G¨ ultigkeitsbereich findet man auf S. 503 7. Schichtenstr¨ omung in waagrechten Rohren Bei kleinen Str¨ omungsgeschwindigkeiten bildet sich in waagrechten Rohren kein ringf¨ ormiger Fl¨ ussigkeitsfilm, sondern eine Schichtenstr¨omung aus. Im unteren Teil des Rohres sammelt sich Kondensat an, die oberen W¨ande

524

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

sind von Fl¨ ussigkeit benetzt. Schichtenstr¨ omung tritt auf, wenn die dimensionslose Dampfgeschwindigkeit ∗ wG =

x∗ M˙ A [g d G (L − G )]

1/2

≤1

ist und wenn f¨ ur den Fl¨ ussigkeitsanteil 1−ε AL = AG ε

mit

ε=

AG A

und A = AG + AL

gilt

1−ε ≤ 0,5 . ε F¨ ur den mittleren W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten gilt  1/4 1 2 3 αm = 0,728 ε L g Δ hv λL ηL (ϑs − ϑ0 ) . d

4.2 W¨ armeu ¨bergang beim Sieden W¨ ahrend sich der W¨ arme¨ ubergang bei der Konvektion durch physikalische Gr¨ oßen wie Viskosit¨ at, Dichte, W¨ armeleitf¨ ahigkeit, thermischer Ausdehnungskoeffizient und durch geometrische Gr¨ oßen beschreiben l¨asst, sind bei Siedevorg¨ angen dar¨ uber hinaus diejenigen Variablen von Bedeutung, die mit der Phasenumwandlung verkn¨ upft sind. Dazu geh¨oren Verdampfungsenthalpie, Siedetemperatur, Dichte des Dampfes und Grenzfl¨achenspannung. Außerdem spielen Mikrostruktur und Werkstoff der Heizfl¨ache eine Rolle. Wegen dieser Vielzahl von Variablen ist es schwieriger als bei anderen Problemen der W¨ arme¨ ubertragung, Gleichungen zur Berechnung von W¨arme¨ ubergangskoeffizienten anzugeben. Auch von der Erarbeitung einer geschlossenen Theorie ist man weit entfernt, weil die physikalischen Ph¨anomene zu verwickelt und keinesfalls ausreichend erforscht sind. Ursache daf¨ ur sind nicht nur die vielen Einflussgr¨oßen, die bei Siedevorg¨ angen eine Rolle spielen, sondern auch die vielen Arten des W¨arme¨ uber¨ gangs, die sich je nach Str¨ omungsf¨ uhrung und Gr¨oße der Uberhitzung ergeben. Mit ihnen wollen wir uns im Folgenden zuerst befassen, anschließend die physikalischen Grundlagen der Siedeph¨ anomene er¨ortern und uns dann der Berechnung des W¨ arme¨ ubergangs zuwenden.

4.2.1 Die verschiedenen Arten der W¨ armeu ¨bertragung Je nach Art des Siedevorgangs unterscheidet man zwischen stillem Sieden, Blasensieden und Str¨ omungssieden. Wir behandeln zuerst das stille Sieden.

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

525

Ist die Fl¨ ussigkeit an einer beheizten Wand nur wenig u ¨ber die S¨attigungstemperatur u ¨ berhitzt, so bilden sich wenige oder gar keine Dampfblasen. In einem von unten beheizten, mit Fl¨ ussigkeit gef¨ ullten Gef¨aß stellt sich ein Tem¨ peraturverlauf ein, wie er schematisch in Abb. 4.27 dargestellt ist. Uber dem beheizten Boden mit der Temperatur ϑ0 bildet sich eine Grenzschicht von der Gr¨ oßenordnung 1 mm mit einem starken Temperaturabfall, w¨ahrend im Kern die Fl¨ ussigkeitstemperatur fast konstant u ¨ ber die H¨ohe z ist (Mittelwert ϑL ). An der freien Oberfl¨ ache f¨ allt die Temperatur in einer d¨ unnen Schicht auf ber der S¨ a ttigungstemperatur ϑ liegt. Die Differenz den Wert ϑI , der wenig u ¨ s ϑI − ϑs wurde erstmalig von Pr¨ uger [4.42] f¨ ur Wasser bei 1,01 bar zu etwa 0,03 K gemessen, w¨ ahrend dieser Wert bei nicht polaren Fl¨ ussigkeiten wie Tetrachlorkohlenstoff etwa 0,001 K betr¨ agt. So wichtig diese Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung an der Oberfl¨ ache f¨ ur die kinetische Betrachtung der Verdampfung ist, kann sie bei technischen Berechnungen doch außer acht bleiben. Im Folgenden wird daher einer dampfbildenden Oberfl¨ ache stets die S¨attigungstemperatur ϑI = ϑs zugeschrieben.

Abb. 4.27: Temperaturverlauf in der Fl¨ ussigkeit bei Oberfl¨ achenverdampfung

In der d¨ unnen, wandnahen Schicht f¨ allt die Temperatur, wie Abb. 4.27 zeigt, steil ab. Die W¨ arme wird in dieser Schicht vom Boden her durch Leitung nachgeliefert. In der Fl¨ ussigkeit besorgen auf- und absteigende Konvektionsstr¨ ome den W¨ armetransport. Sie erzeugen das ausgeglichene Temperaturfeld im Kern der Fl¨ ussigkeit. Die beiden Grenzschichten oben und unten unterscheiden sich dadurch voneinander, dass die freie Oberfl¨ache wegen der Dampfbildung verschiebbar ist und dass dort im Gegensatz zur Fl¨ ussigkeit an der Wand auch endliche Geschwindigkeiten parallel zur Oberfl¨ache auftreten k¨ onnen. Die Verdampfung selbst wirkt an der Oberfl¨ache als W¨armesenke, die man sich durch einen anderen Vorgang, etwa durch Abstrahlung, ersetzt denken k¨ onnte. Da die Verdampfung oder auch Verdunstung an der freien Oberfl¨ ache erfolgt, spricht man von stillem Sieden“. Dieser Vorgang geh¨ort ” seinem Wesen nach zu den Erscheinungen der Konvektion in geschlossenen R¨ aumen. W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten von der Heizfl¨ache an die Fl¨ ussigkeit lassen sich mit der treibenden Temperaturdifferenz ϑ0 − ϑL bilden, wobei ache und ϑL die Fl¨ ussigkeitstemperatur ϑ0 die Wandtemperatur der Heizfl¨

526

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

ist. Da die Fl¨ ussigkeitstemperatur ϑL im voraus nicht bekannt ist und, wie oben dargelegt, nur sehr wenig von der S¨ attigungstemperatur abweicht, ist es zweckm¨ aßig, die W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten mit der Temperaturdifferenz uberΔϑ = ϑ0 −ϑs zu bilden. Bei stillem Sieden gelten die Gesetze des W¨arme¨ gangs in freier Str¨ omung. So ist α = c1 Δϑ1/4 bei laminarer und α = c2 Δϑ1/3 bei turbulenter Str¨ omung u ¨ ber einer waagrechten Platte. Da die W¨armestromdichte durch q˙ = αΔϑ gegeben ist, gilt also bei laminarer Str¨omung α = c1 Δϑ1/4

oder

α = c1 q˙1/5

(4.73)

bzw. bei turbulenter Str¨ omung α = c2 Δϑ1/3

oder α = c2 q˙1/4 .

(4.74)

Erh¨ oht man die Wandtemperatur, indem man den zugef¨ uhrten W¨armestrom steigert, so bilden sich von einer bestimmten Wandtemperatur an Dampfblasen. Wie die Beobachtung zeigt, entstehen diese nur an bestimmten Stellen der Heizfl¨ ache. Die Zahl der gebildeten Dampfblasen w¨achst mit dem zugef¨ uhrten W¨ armestrom. Man bezeichnet diese Art der W¨arme¨ ubertragung als Blasensieden. Einen typischen Temperaturverlauf u ¨ ber einer waagrechten

Abb. 4.28: Temperaturverlauf u ¨ ber einer waagrechten Heizfl¨ ache, nach Jakob und Linke [4.46]. Heizfl¨ achenbelastung q˙ = 22 440 W/m2 , Temperatur der Heizfl¨ ache ϑ0 = 109,1

Abb. 4.29: W¨ arme¨ ubergang an siedendes bei waagrechter HeizWasser von 100 fl¨ ache, nach Jakob u. Mitarbeitern [4.43], [4.45]. Kurve a Bereich des stillen Siedens, Kurve b Bereich des Blasensiedens

Platte zeigt Abb. 4.28 nach Messungen von Jakob und Mitarbeitern [4.43] bis [4.49], denen wir die ersten grundlegenden Untersuchungen u ¨ber den Vorgang verdanken. Gegen¨ uber Abb. 4.27 f¨ allt auf, dass der Temperaturunterschied oßer und dass ϑL − ϑs kleiner ist. Die Blasenbewegung an der ϑ0 − ϑL nun gr¨ Oberfl¨ ache erlaubt keine genaue Abmessung der Grenzschicht. Man bildet den W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten wie bei stillem Sieden wieder mit der Tempearme¨ ubergang ist sehr viel besser als bei raturdifferenz Δϑ = ϑ0 − ϑs . Der W¨

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

527

stillem Sieden und n¨ aherungsweise proportional der dritten Potenz der Temperaturdifferenz Δϑ. Beachtet man, dass die u ¨ bertragene W¨armestromdichte durch q˙ = αΔϑ gegeben ist, so gilt im Bereich des Blasensiedens n¨aherungsweise (4.75) α = c3 Δϑ3 oder α = c3 q˙3/4 . Stellt man α(q) ˙ aus (4.73) bzw. (4.74) und (4.75) graphisch dar, so ergeben sich zwei Geraden, wenn man f¨ ur Ordinate und Abszisse logarithmische Maßst¨abe w¨ ahlt. Man erh¨ alt zwei deutlich getrennte Bereiche, einen f¨ ur stilles Sieden und einen f¨ ur Blasensieden, wie Abb. 4.29 zeigt, die Messergebnisse von Jakob und Mitarbeitern [4.44], [4.45] wiedergibt. In technischen Apparaten wird meistens unter Zwangskonvektion verdampft. Die Str¨ omungsverh¨ altnisse werden dabei weitgehend durch die Druckdifferenz l¨ angs der Heizfl¨ ache bestimmt. Der Dampfgehalt nimmt auf dem Str¨ omungsweg bis zur vollst¨ andigen Verdampfung stetig zu. Entsprechend dem abnehmenden Fl¨ ussigkeitsangebot ergeben sich unterschiedliche Siedeph¨ anomene, von deren W¨ arme¨ ubertragungseigenschaften wiederum die ¨ortliche Siedetemperatur abh¨ angt. Im Allgemeinen tritt eine Fl¨ ussigkeit unterk¨ uhlt in einen Heizkanal ein. An der Wand gebildete Dampfblasen kondensieren wieder im k¨ alteren Kern der Fl¨ ussigkeit. Ist die Fl¨ ussigkeit im Kern auf S¨ attigungstemperatur aufgeheizt, so herrscht Blasensieden vor. Dabei wird der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient haupts¨ achlich durch die W¨armestromdichte bestimmt. Er h¨ angt in einer erzwungenen Str¨omung noch schwach von der Massenstromdichte, bei freier Str¨ omung jedoch praktisch gar nicht von der Massenstromdichte ab. Die einzelnen Dampfblasen wachsen zu gr¨oßeren Blasenkolben zusammen, gehen also, wie in Abb. 4.30 gezeigt, in eine Pfropfenstr¨omung u ¨ ber. Mit zunehmendem Dampfgehalt wachsen auch die Blasenkolben zusamachst eine Schaum-Ringstr¨omung und anschließend an men, so dass sich zun¨ der Rohrwand ein Fl¨ ussigkeitsfilm und im Kern Dampf mit Fl¨ ussigkeitstropfen befinden. Man spricht von Ringstr¨omung. Bei weiterer W¨armezufuhr verschwindet stromabw¨ arts der Fl¨ ussigkeitsfilm, und es str¨omt ein Dampf mit Fl¨ ussigkeitstropfen, eine sogenannte Spr¨ uhstr¨omung, durch das Rohr. Abb. 4.30 zeigt diese in einem senkrechten Rohr aufeinanderfolgenden Str¨omungsformen. Noch kompliziertere Str¨ omungsformen ergeben sich in waagrechten oder geneigten Rohren. Blasen-, Pfropfen-, Schaum-Ring- und Ringstr¨omungen stellen verschiedene Formen des Str¨omungssiedens oder Konvektionssiedens dar. In der Technik kommt h¨ aufig Ringstr¨ omung oder, bei sehr kleinen Str¨omungsgeschwindigkeiten, Pfropfenstr¨ omung vor. Blasenstr¨omung tritt nur bei sehr kleinem Dampfanteil und hohen Str¨ omungsgeschwindigkeiten auf. Steigender Druck und damit ein abnehmender Dichteunterschied zwischen dem Dampf und der Fl¨ ussigkeit erweitert das Gebiet der Blasenstr¨omung. W¨ ahrend im Bereich des Blasensiedens der W¨arme¨ ubergangskoeffizient haupts¨ achlich von der Heizfl¨ achenbelastung q˙ und praktisch nicht von der

528

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.30: Str¨ omungsformen im senkrechten beheizten Rohr

Abb. 4.32: Verlauf des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten α l¨ angs eines waagrecht durchstr¨ omten Verdampferrohrs

Abb. 4.31: W¨ arme¨ ubergangskoeffizient bei Blasen- und Str¨ omungssieden

Str¨ omungsgeschwindigkeit abh¨ angt, Kurve b in Abb. 4.29, wird im Bereich des Str¨ omungssiedens der W¨ arme¨ ubergang entscheidend von der Str¨omungsgeschwindigkeit oder der Massenstromdichte m, ˙ dagegen kaum von der Heizfl¨ achenbelastung beeinflusst. Dies zeigt Abb. 4.31, in der die Bereiche des Blasensiedens und des Str¨ omungssiedens deutlich voneinander getrennt sind. Eine weitere unabh¨ angige Variable ist der Str¨omungsdampfgehalt x∗ = M˙ G /M˙ . Mit zunehmendem Str¨ omungsdampfgehalt verschieben sich die Kur-

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

529

ven f¨ ur das Str¨ omungssieden in Abb. 4.31 zu gr¨oßeren W¨arme¨ ubergangskoeffizienten α. Der grunds¨ atzliche Verlauf des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten in Abh¨angigkeit vom Str¨ omungsdampfgehalt ist in Abb. 4.32 dargestellt. Im Bereich kleiner Str¨ omungsdampfgehalte x∗ herrscht Blasensieden, und der W¨arme¨ ubergangskoeffizient h¨ angt haupts¨ achlich von der W¨armestromdichte ab. Stromabw¨ arts nimmt der Str¨ omungsdampfgehalt zu. Damit w¨achst auch die Str¨ omungsgeschwindigkeit. Die zugef¨ uhrte W¨arme wird im Wesentlichen durch Konvektion von der Rohrwand an die Dampf-Fl¨ ussigkeitsstr¨omung u bertragen. Das Blasensieden geht in Str¨ o mungssieden u ber, wie es in Abb. ¨ ¨ ˙ 1 angedeutet ist. Im Bereich 4.32 durch die Pfeile an den Kurven q˙1 und m des Str¨ omungssiedens ist der o arme¨ ubergangskoeffizient praktisch ¨rtliche W¨ unabh¨ angig von der Heizfl¨ achenbelastung q˙ und h¨angt stark vom Massenstrom und dem Str¨ omungsdampfgehalt ab. Bei großen Str¨omungsdampfgehalten nimmt der W¨ arme¨ ubergangskoeffizient wieder ab wegen der im Vergleich zur Fl¨ ussigkeit geringeren W¨ armeleitf¨ ahigkeit des Dampfes. Zur Berechnung des W¨ arme¨ ubergangskoeffizienten dienen Gleichungen der Form ˙ s f (x∗ ) , α = c q˙n m wobei c von den Stoffeigenschaften abh¨ angt. Im Bereich des Str¨omungssiedens ist n ≈ 0, w¨ ahrend s zwischen 0,6 und 0,8 liegt. Im Bereich des Blasensiedens ist n ungef¨ ahr 3/4 und s etwa 0,1 bis 0,3.

4.2.2 Die Entstehung von Dampfblasen Der W¨ arme¨ ubergang bei Verdampfung wird leichter verst¨andlich, wenn man weiß, wie Dampfblasen an Heizfl¨ achen entstehen. Wir wollen daher im Folgenden zun¨ achst die Bildung und das Anwachsen von Dampfblasen er¨ortern, ehe wir die verschiedenen Arten des W¨ arme¨ ubergangs im Einzelnen behandeln. F¨ ur das Gleichgewicht einer als kugelf¨ ormig angenommenen Dampfblase, Abb. 4.33, mit der sie umgebenden Fl¨ ussigkeit gelten folgende Betrachtungen. Zwischen der gasf¨ ormigen Blase (Gas = Index G) und der umgebenden Fl¨ ussigkeit (Fl¨ ussigkeit = Index L) herrscht thermisches Gleichgewicht ϑG = ϑL = ϑ .

(4.76)

Schneidet man aus der Oberfl¨ ache der Dampfblase, wie im rechten Teil von Abb. 4.33 gezeichnet, ein Fl¨ achenelement der Kugelschale aus, dessen Kantenl¨ angen r dϕ sind, so greifen an den Kanten die von den Oberfl¨achenspannungen σ (σ ist eine Kraft je L¨ angeneinheit) ausge¨ ubten Kr¨afte σr dϕ an. Man u ¨ berzeugt sich leicht davon, dass die Resultierende FR dieser Kr¨afte gegeben ist durch d2 FR = 2σr dϕ2 . Außerdem wirken noch die vom Gas- und Fl¨ ussigkeitsdruck ausge¨ ubten Kr¨afte

530

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Abb. 4.33: Zum Gleichgewicht zwischen kugelf¨ ormiger Dampfblase mit umgebender Fl¨ ussigkeit

pL (r dϕ)2 + d2 FR = pG (r dϕ)2 . Daraus folgt die Bedingung f¨ ur das mechanische Gleichgewicht pG = pL + 2σ/r .

(4.77)

Schließlich gilt noch die Bedingung f¨ ur das Gleichgewicht hinsichtlich des Stoffaustauschs zwischen gasf¨ ormiger und fl¨ ussiger Phase. Sie f¨ uhrt, wie beispielsweise in [4.50] gezeigt wurde, auf pL = p0 −

 2σ  −  r

oder mit (4.77) auf pG = p0 −



 2σ . −  r

(4.78)

(4.79)

Die Gl. (4.78) bzw. (4.79) bezeichnet man als Thomsonsche Gleichung. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen dem Dampfdruck p0 (ϑ) an einer ebenen Phasengrenzfl¨ ache, dem Fl¨ ussigkeitsdruck pL (ϑ, r) und dem Dampfdruck pG (ϑ, r) an der Oberfl¨ ache einer Dampfblase vom Radius r her. In Abb. 4.34 sind die Zusammenh¨ ange anschaulich dargestellt. Bei vorgegebener Temperatur ϑ ist der Dampfdruck pG entsprechend (4.79) um p0 − pG = ΔpG =

 2σ  2σ =  Δ r  −  r

kleiner als der Dampfdruck p0 an der ebenen Phasengrenze. Da die Oberfl¨achenspannung σ temperaturabh¨ angig ist, verlaufen die Kurven f¨ ur den Dampfussigkeitsdruck pL nicht genau, aber doch ungef¨ahr padruck pG und den Fl¨ rallel zur Dampfdruckkurve p0 bei ebener Phasengrenze.

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

531

Gibt man nicht die Siedetemperatur ϑ des Systems Fl¨ ussigkeit-Dampfblase, sondern dessen Druck p0 vor, so muss die Fl¨ ussigkeit um Δϑ = ϑ − ϑS gegen¨ uber dem System mit ebener Phasengrenze u ¨ berhitzt sein, wie Abb. 4.34 zeigt, damit eine Dampfblase vom Radius r mit der Fl¨ ussigkeit im Gleichge¨ wicht ist. Man erkennt außerdem, dass die erforderliche Uberhitzung Δϑ umso

Abb. 4.34: Dampf- und Fl¨ ussigkeitsdruck zwischen Fl¨ ussigkeit und einer kugelf¨ ormigen Dampfblase

gr¨ oßer wird, je kleiner der Radius r der Dampfblase ist, denn f¨ ur kleinere Radien r∗ < r ist die Kurve des Fl¨ ussigkeitsdrucks pL (ϑ, r∗ ) in Abb. 4.34 weiter nach rechts verschoben, ebenso auch die nicht eingezeichnete Kurve pG (ϑ, r∗ ) des Dampfdrucks. Umgekehrt geh¨ ort zu einer Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung Δϑ ein ganz bestimmter Radius r derjenigen Dampfblase, die mit der u ¨ berhitzten Fl¨ ussigkeit im Gleichgewicht steht. Zur n¨ aherungsweisen Berechnung der er¨ forderlichen Uberhitzung nehmen wir an, die Kurven p0 (ϑ) und pL (ϑ, r) in Abb. 4.34 verliefen parallel. Dann ist dpL dp0 = . dϑ dϑ Die Ableitung dp0 /dϑ ist die Steigung der Dampfdruckkurve p0 (ϑ). Sie l¨asst sich aus der Gleichung von Clausius-Clapeyron berechnen: dp0 Δhv   = . dϑ Ts ( −  )

(4.80)

 2σ dpL ∼ p0 − pL ∼ 1 . = = dϑ Δϑ Δϑ  −  r

(4.81)

Andererseits ist mit (4.78)

532

4 Konvektiver W¨ arme- und Stoff¨ ubergang mit Phasenumwandlungen

Aus diesen Gleichungen errechnet man den Blasenradius r als Funktion der ¨ Uberhitzung Δϑ n¨ aherungsweise zu r∼ =

2σTS .  Δhv Δϑ

(4.82)

Danach geh¨ ort zu einer bestimmten Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung Δϑ ein ganz bestimmter Blasenradius r, bei dem die Blase mit der Fl¨ ussigkeit im Gleichgeussigkeit nur im wicht steht. Blasen, deren Radius r∗ < r ist, sind mit der Fl¨ ¨ Gleichgewicht, wenn die Uberhitzung Δϑ∗ > Δϑ w¨are, wie Abb. 4.34 zeigt. Eine nur um Δϑ u ussigkeit ist zu kalt. Zu kleine Blasen konden¨berhitzte Fl¨ sieren daher wieder. Blasen mit dem Radius r∗ > r befinden sich hingegen in einer f¨ ur ihre Lebensbedingungen u ussigkeit und k¨onnen wei¨berhitzten Fl¨ ter anwachsen. Tats¨ achlich ist jedoch die Verweilzeit der Blasen insbesondere in Wandn¨ ahe so kurz, dass sich kein Gleichgewicht einstellen kann, und die wirkliche Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung um ein Vielfaches gr¨oßer ist als Δϑ. Auch ¨ zu dieser wirklichen Uberhitzung geh¨ ort ein bestimmter kritischer Blasenradius. Bei siedendem Wasser von 1 bar ist nach (4.82) der Blasendurchmesser ¨ 2r ∼ im Kern der Fl¨ ussigkeit von 0,4 K = 0,155 mm, wenn man eine Uberhitzung zugrunde legt. Erst eine Blase von dieser Gr¨oße ist lebensf¨ahig“ und kann ” ule. weiter anwachsen. Eine solche Blase enth¨ alt rund 3 · 1020 Wassermolek¨ Soviele Molek¨ ule mit der u ¨ berdurchschnittlich hohen Energie von Dampfmolek¨ ulen k¨ onnen sich aber schwerlich zuf¨ allig an einem bestimmten Ort im Inneren der Fl¨ ussigkeit ansammeln, dort eine Dampfblase bilden und dann weiter anwachsen. Es erhebt sich somit die Frage, wie Dampfblasen u ¨berhaupt entstehen. Wie die Beobachtung lehrt, k¨ onnen im Inneren von ganz reinen, sorgf¨altig entgasten Fl¨ ussigkeiten keine Blasen entstehen, es sei denn, man w¨ urde die Fl¨ ussigkeit extrem u ¨ berhitzen oder zum Beispiel ionisierende Strahlen hindurchschicken. Die Beobachtung zeigt weiter, dass die Blasen u ¨ber l¨angere Zeit mit einer zeitlich ver¨ anderlichen Frequenz, die n¨aherungsweise nach einer Fehlerfunktion verteilt ist, immer wieder an denselben Stellen der Oberfl¨ache des Heizk¨ orpers entstehen. Offensichtlich hat man es dort mit hochaktiven ¨ Zentren zu tun, die den Ubergang der instabilen u ussigkeit in den ¨berhitzten Fl¨ stabilen Dampf katalysieren. Solche Zentren sind Gas- oder Dampfreste in den Vertiefungen der Oberfl¨ ache, die von der Fl¨ ussigkeit nicht restlos verdr¨angt werden, da diese auch bei guter Benetzungsf¨ahigkeit die feinen Vertiefungen des Oberfl¨ achengebirges nicht vollst¨ andig ausf¨ ullen kann. Bei W¨armezufuhr dehnen sich die Gas- oder Dampfreste aus, bis eine bestimmte kritische Gr¨oße erreicht ist, die der Gr¨ oße einer lebensf¨ ahigen Blase entspricht. Dann kann eine Dampfblase aufgrund der herrschenden Fl¨ ussigkeits¨ uberhitzung weiter wachsen, bis schließlich die Haftkr¨ afte kleiner geworden sind als die Auftriebsund dynamischen Kr¨ afte, so dass sich die Blase von der Heizfl¨ache l¨ost. Nach dem Abreißen der Blase bleibt weiterhin ein Gas- oder Dampfrest in der Vertiefung eingeschlossen, der nun durch die kalte, aus dem Fl¨ ussigkeitsinneren zur Wand str¨ omenden Fl¨ ussigkeit gek¨ uhlt und anschließend durch W¨arme-

4.2 W¨ arme¨ ubergang beim Sieden

533

zufuhr von der Wand wieder erw¨ armt wird und zu einem neuen Keim“ f¨ ur ” eine Dampfblase anw¨ achst. Mit diesen Betrachtungen wird auch verst¨andlich, warum die Gestalt des Oberfl¨ achengebirges eine wichtige Einflussgr¨oße f¨ ur den W¨ arme¨ ubergang ist. Dampfblasen bilden sich fast imm